Maths 1

EXAMENS
raisonnement mathématique (35 Exercices)
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  On étudie l'irrationalité de certains nombres réels. Question 1: Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel, c'est-à-dire $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient $2q^2 = p^2$ . Pour $q = 3$ , calculer $p^2$ et en déduire $p$ . Question 2: Avec la valeur de $p$ trouvée à la question précédente, vérifier que $p$ est pair en écrivant $p = 2k$ . Calculer la valeur de $k$ . Puis calculer $(2k)^2$ et vérifier l'équation $2q^2 = 4k^2$ avec $q = 3$ . Question 3: De l'équation $2q^2 = 4k^2$ , déduire que $q^2 = 2k^2$ . Calculer numériquement $k^2$ avec la valeur de $k$ trouvée...→
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  On examine diverses propriétés mathématiques et on cherche à les réfuter par des contre-exemples calculés. Question 1: Considérons la proposition: « Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $n^2 + n + 41$ est un nombre premier ». Calculer $n^2 + n + 41$ pour $n = 1, 2, 3$ et vérifier si ces nombres sont premiers. Question 2: Calculer $n^2 + n + 41$ pour $n = 40$ et $n = 41$ . Factoriser ces résultats pour trouver un contre-exemple à la proposition. Question 3: On propose que « Si $a^2 = b^2$ alors $a = b$ ». Prendre $a = 5$ et $b = -5$ . Calculer $a^2$ et $b^2$ et montrer que c'est un contre-exemple. Question 4: Considérons la proposition: « Pour tous réels $x$ et $y$ ,...→
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  Exercice 1 : Étude d'une suite par raisonnement direct On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \frac{3u_n + 4}{u_n + 2}$ . Question 1 : Calculer les valeurs de $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ . Arrondir à $10^{-3}$ près si nécessaire. Question 2 : On pose $v_n = u_n - 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Montrer par raisonnement direct que $v_{n+1} = \frac{v_n}{u_n + 2}$ , puis calculer $v_0$ , $v_1$ et $v_2$ . Question 3 : En utilisant le fait que $u_n > 0$ pour tout $n$ , démontrer par raisonnement direct que $|v_{n+1}| \leq \frac{|v_n|}{2}$ . En déduire la valeur numérique de $|v_3|$ en utilisant cette majoration. Question...→
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  Exercice 2 : Divisibilité et congruences Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse à la proposition : « Si $n^2$ est divisible par 3, alors $n$ est divisible par 3 ». Question 1 : Calculer les valeurs de $n^2 \mod 3$ pour $n = 7$ , $n = 12$ et $n = 18$ . Pour chaque cas, déterminer si $n^2$ est divisible par 3. Question 2 : Par contraposition, on considère : « Si $n$ n'est pas divisible par 3, alors $n^2$ n'est pas divisible par 3 ». Sachant que tout entier non divisible par 3 s'écrit $n = 3k + r$ avec $r \in \{1, 2\}$ , calculer $n^2 \mod 3$ pour $n = 3k + 1$ et $n = 3k + 2$ avec $k = 5$ ....→
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  Exercice 3 : Irrationalité et équations On souhaite démontrer que $\sqrt{5}$ est irrationnel en raisonnant par l'absurde. Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient $5q^2 = p^2$ . Calculer $p^2$ pour $q = 3$ , puis déterminer si $p$ peut être un entier. Question 2 : Si $p^2 = 5q^2$ , alors $p^2$ est divisible par 5. Montrer que $p$ doit être divisible par 5 en posant $p = 5m$ . Calculer $p^2$ pour $m = 2$ et vérifier la relation avec $q$ . Question 3 : En substituant $p = 5m$ dans $5q^2 = p^2$ , on obtient $5q^2 = 25m^2$ ,...→
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  Exercice 4 : Réfutation de propositions On considère plusieurs propositions mathématiques. Pour les réfuter, il suffit de trouver un contre-exemple. Question 1 : Proposition P1 : « Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a $n^2 + n + 41$ est un nombre premier ». Calculer les valeurs de $n^2 + n + 41$ pour $n = 1$ , $n = 5$ et $n = 40$ . Pour chaque valeur, déterminer si le résultat est premier. Question 2 : Proposition P2 : « Pour tous réels $x$ et $y$ , si $x^2 = y^2$ alors $x = y$ ». Calculer $x^2$ et $y^2$ pour $x = 7$ et $y = -7$ , puis vérifier si la conclusion $x = y$ est vraie. Question 3 : Proposition...→
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  Exercice 5 : Démonstration par récurrence avec calculs On considère la formule $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ . Question 1 : Initialisation : Vérifier la formule pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ en calculant explicitement $S_n$ par sommation directe et par la formule proposée. Question 2 : Hérédité : On suppose que la formule est vraie au rang $n$ . Calculer $S_{n+1}$ en utilisant $S_{n+1} = S_n + (n+1)^2$ pour $n = 4$ (en utilisant le résultat de $S_4$ obtenu par la formule). Question 3 : Montrer que $S_{n+1} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$ peut s'écrire sous la forme $\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ . Effectuer les calculs algébriques détaillés avec $n = 4$ pour vérifier numériquement. Question...→
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  Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = 3u_n - 4$ . Question 1: Calculer les trois premiers termes $u_1$ , $u_2$ , et $u_3$ de cette suite. Question 2: On conjecture que $u_n = 2 \cdot 3^n - 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Vérifier cette formule en calculant directement $u_4$ par la relation de récurrence et en utilisant la formule conjecturée. Question 3: En utilisant la formule $u_n = 2 \cdot 3^n - 2$ , calculer $u_{10}$ et déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que $u_{n_0} > 10000$ . Question 4: Calculer la somme $S_5 = \sum_{k=0}^{5} u_k$ en utilisant la formule explicite trouvée.→
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  On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*$ . On souhaite démontrer par contraposition que si $a^2 + b^2$ est pair, alors $a$ et $b$ ont la même parité. Question 1: Calculer $a^2 + b^2$ pour les couples $(a, b) = (3, 4)$ , $(5, 7)$ , $(2, 6)$ et $(4, 9)$ . Déterminer la parité de chaque résultat et la parité de $a$ et $b$ dans chaque cas. Question 2: Par contraposition, on doit montrer que si $a$ et $b$ sont de parités différentes, alors $a^2 + b^2$ est impair. Considérons $a = 2m + 1$ (impair) et $b = 2n$ (pair). Calculer $a^2$ , $b^2$ et $a^2 + b^2$ en fonction de $m$ et $n$ . Question...→
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  On souhaite démontrer par l'absurde que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Supposons par l'absurde que $\sqrt{3}$ est rationnel, c'est-à-dire $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers premiers entre eux avec $q \neq 0$ . Question 1: En élevant au carré l'égalité $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ , montrer que $p^2 = 3q^2$ . Calculer $p^2$ et $3q^2$ pour $p = 6$ et $q = 2$ , puis vérifier si cette égalité est satisfaite. Question 2: De $p^2 = 3q^2$ , on déduit que $3$ divise $p^2$ . On peut donc écrire $p = 3k$ pour un certain entier $k$ . Calculer $p^2$ en fonction de $k$ , puis en déduire une expression de $q^2$ en fonction de...→
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  On considère la proposition suivante: "Pour toute fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable, si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $f$ est strictement croissante sur $[a, b]$ ." Nous allons réfuter cette proposition par un contre-exemple. Question 1: Soit $f(x) = x^3$ sur l'intervalle $[-2, 2]$ . Calculer $f'(x)$ , puis évaluer $f'(0)$ , $f'(-1)$ , et $f'(1)$ . Question 2: Calculer les valeurs $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ , et $f(2)$ . Vérifier que $f$ est strictement croissante en comparant ces valeurs. Question 3: Considérons maintenant $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ sur $[0, 3]$ . Calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x) = 3(x-1)^2$ . Évaluer $g'(0)$ , $g'(1)$ , $g'(2)$ ,...→
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  Exercice 1 : Raisonnement direct et propriétés arithmétiques Soit $n$ un entier naturel quelconque. On considère l'expression $A(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$ . Question 1 : En utilisant un raisonnement direct, démontrez que $A(n)$ est divisible par $6$ pour tout entier naturel $n$ . Pour cela, factorisez complètement $A(n)$ et analysez la divisibilité de chaque facteur. Question 2 : Calculez $A(5)$ et vérifiez directement que le résultat est bien divisible par $6$ . Décomposez le résultat en produit de facteurs premiers. Question 3 : Soit $B(n) = A(n+1) - A(n)$ . Calculez et simplifiez l'expression de $B(n)$ en développant les termes. Question 4 : En utilisant le résultat...→
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  Exercice 2 : Raisonnement par contraposition et inégalités Considérons la proposition suivante : "Pour tous réels $x$ et $y$ , si $x^2 + y^2 Question 1 : Énoncez la contraposée de cette proposition. Démontrez ensuite cette contraposée en considérant le cas où $ |x| \geq 2 $. Calculez la valeur minimale de $ x^2 $ dans ce cas. Question 2 : Vérifiez numériquement la contraposée en prenant $ x = 2.5 $ et $ y = 0.5 $. Calculez $ x^2 + y^2 $ et comparez avec $ 2 $. Question 3 : Soit maintenant la proposition : "Si $ xy > 4 $ et $ x > 0 $, alors $ y > \frac{4}{x} $". Calculez la contraposée et vérifiez-la numériquement avec $ x = 3 $ et $ y = 1 $. Question 4 : En reprenant les résultats précédents, calculez pour quelles valeurs de $ x $ (avec $ x > 0 $) on a $ x \cdot \frac{4}{x} = 4 $, et déterminez si le point $ (x, \frac{4}{x}) $ avec $ x = 2 $ satisfait $ xy > 4 $.→
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  Exercice 3 : Raisonnement par l'absurde et irrationalité On souhaite démontrer par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel. Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{5}$ est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux tels que $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ . En élevant au carré cette égalité, montrez que $5q^2 = p^2$ . Calculez cette relation pour $q = 3$ et $p = 6$ pour illustrer numériquement. Question 2 : De l'égalité $5q^2 = p^2$ , déduisez que $p^2$ est divisible par $5$ . En utilisant le lemme "si $5 \mid p^2$ alors $5 \mid p$ ", posons $p = 5k$ . Calculez $p^2$ en fonction de $k$ et montrez que $5q^2 = 25k^2$ ....→
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  Exercice 4 : Raisonnement par récurrence et sommes On considère la somme $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1)$ . Question 1 : Calculez $S_1$ , $S_2$ , et $S_3$ directement en développant les termes. Vérifiez que ces valeurs satisfont la formule proposée $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ . Question 2 : Initialisation : Démontrez que la formule $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ est vraie pour $n = 1$ en calculant les deux membres de l'égalité. Question 3 : Hérédité : Supposons que la formule est vraie au rang $n$ , c'est-à-dire $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ . Calculez $S_{n+1}$ en utilisant la relation $S_{n+1} = S_n + (n+1)(n+2)$ . Développez et simplifiez pour montrer que $S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$ . Question 4 : Appliquez la formule...→
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  Exercice 5 : Raisonnement combiné - Direct, contraposition et récurrence Soit la suite définie par $u_0 = 2$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour tout $n \geq 0$ . Question 1 : Calculez les cinq premiers termes de la suite : $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , et $u_4$ . Observez le comportement de la suite. Question 2 : On conjecture que $u_n = 5 \cdot 2^n - 3$ pour tout $n \geq 0$ . Vérifiez cette formule pour $n = 0, 1, 2$ en calculant les deux membres de l'égalité. Question 3 : Démontrez par récurrence que $u_n = 5 \cdot 2^n - 3$ pour tout $n \geq 0$ . Effectuez l'initialisation pour $n = 0$ , puis montrez l'hérédité en calculant...→
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  Exercice 1 : Propriétés de divisibilité par raisonnement direct Soit $n$ un entier naturel. On considère l'expression $E(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$ . Question 1 : Calculez $E(5)$ et vérifiez que le résultat est divisible par 6. Question 2 : Factorisez complètement l'expression $E(n)$ et démontrez par raisonnement direct que $E(n)$ est divisible par 6 pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Question 3 : Soit $F(n) = 2n^3 + 6n^2 + 4n$ . Calculez $F(7)$ et déterminez le reste de la division de $F(7)$ par 12. Question 4 : En utilisant la factorisation de $E(n)$ obtenue à la question 2, démontrez que $F(n) = 2E(n)$ est divisible par 12 pour tout $n \in \mathbb{N}$ .→
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  Exercice 2 : Démonstrations par contraposition On considère des propositions concernant les entiers naturels. Question 1 : Soit $n = 143$ . Calculez $n^2$ et déterminez si $n^2$ est pair ou impair. Question 2 : Démontrez par contraposition que : « Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ». Pour cela, montrez que si $n$ est impair (soit $n = 2k+1$ avec $k \in \mathbb{N}$ ), alors $n^2$ est impair. Calculez $(2k+1)^2$ et développez complètement. Question 3 : Soit $a = 17$ et $b = 23$ . Calculez $ab$ et vérifiez si $ab$ est divisible par 4. Question 4 : Démontrez par contraposition que : « Si $ab$ est...→
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  Exercice 3 : Irrationalité et raisonnement par l'absurde On souhaite démontrer que certains nombres sont irrationnels. Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est rationnel. Alors il existe deux entiers premiers entre eux $p$ et $q$ (avec $q \neq 0$ ) tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ . Calculez $2q^2$ pour $q = 5$ et exprimez $p^2$ en fonction de $q$ à partir de l'équation $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ . Question 2 : En élevant au carré l'équation $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ , montrez que $p^2 = 2q^2$ . Déduisez-en que $p^2$ est pair. En utilisant le résultat de l'exercice 2 (si $p^2$ est pair alors $p$ est pair), écrivez $p = 2k$ pour un certain...→
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  Exercice 4 : Réfutation de propositions par contre-exemple On considère plusieurs propositions qu'il faut infirmer en trouvant des contre-exemples. Question 1 : Proposition P1 : « Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , si $n$ est premier, alors $n$ est impair ». Testez cette proposition pour $n = 2$ . Calculez le reste de la division de $2$ par $2$ et déterminez si $2$ est premier. Question 2 : Proposition P2 : « Pour tous $a, b \in \mathbb{N}^*$ , si $a^2 + b^2$ est premier, alors $a = 1$ ou $b = 1$ ». Testez cette proposition avec $a = 2$ et $b = 3$ . Calculez $a^2 + b^2$ et déterminez si ce nombre est premier en testant...→
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  Exercice 5 : Démonstrations par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la formule de la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls. Question 1 : Soit $S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \sum_{k=1}^{n} k$ . On conjecture que $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ . Vérifiez l'initialisation pour $n = 1$ et $n = 5$ . Calculez $S_1$ et $\frac{1(1+1)}{2}$ , puis $S_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$ et $\frac{5(5+1)}{2}$ . Question 2 : Hypothèse de récurrence : supposons que pour un certain $n = k$ (avec $k \geq 1$ ), la formule est vraie, c'est-à-dire $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$ . Calculez $S_{k+1}$ en fonction de $S_k$ (écrivez $S_{k+1} = S_k + (k+1)$ ), puis remplacez $S_k$ par $\frac{k(k+1)}{2}$ . Question 3 : À partir de l'expression $S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$ , mettez $(k+1)$...→
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  Exercice 1 : Propriétés des suites arithmétiques et géométriques Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 5$ . On considère également une suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$ . Question 1 : Calculer le terme général $u_n$ de la suite arithmétique, puis déterminer la valeur de $u_{10}$ . Question 2 : Calculer le terme général $v_n$ de la suite géométrique, puis déterminer la valeur de $v_7$ . Question 3 : Calculer la somme $S_{15} = \sum_{k=0}^{14} u_k$ des 15 premiers termes de la suite arithmétique. Question 4 : Calculer la somme $T_6 = \sum_{k=0}^{5} v_k$ des...→
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  Exercice 2 : Applications de la contraposition en analyse On considère une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5$ . Pour démontrer certaines propriétés par contraposition, nous allons étudier cette fonction et ses dérivées. Question 1 : Calculer la dérivée première $f'(x)$ de la fonction $f(x)$ , puis déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ , puis évaluer $f''(0)$ et $f''(2)$ pour étudier la concavité aux points critiques. Question 3 : Calculer les valeurs de la fonction aux points critiques : $f(0)$ et $f(2)$ . Question 4 : En utilisant le résultat...→
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  Exercice 3 : Analyse des limites et continuité Soit la fonction $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ . Pour étudier le comportement de cette fonction, nous allons effectuer plusieurs calculs. Question 1 : Simplifier l'expression de $g(x)$ en factorisant le numérateur, puis calculer la limite $\lim_{x \to 2} g(x)$ . Question 2 : Soit $h(x) = \frac{3x^2 + 5x - 2}{x + 2}$ . Calculer $h(-2)$ si elle est définie, sinon calculer $\lim_{x \to -2} h(x)$ en factorisant le numérateur. Question 3 : Calculer la dérivée de la forme simplifiée de $g(x)$ obtenue à la question 1, notée $g'(x)$ , puis évaluer $g'(3)$ . Question 4 : Calculer l'intégrale définie $I = \int_0^1 (x + 2) dx$ où $x + 2$ est la forme simplifiée...→
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  Exercice 4 : Vérification de propriétés par le calcul On souhaite vérifier si certaines propriétés sont vraies ou fausses en calculant des exemples spécifiques. Considérons les nombres $a = 7$ , $b = 3$ , $c = 5$ , et $d = 2$ . Question 1 : Calculer $(a + b)^2$ et $a^2 + b^2$ , puis déterminer leur différence $\Delta_1 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ . Question 2 : Calculer $\sqrt{a^2 + b^2}$ et $a + b$ , puis déterminer leur différence $\Delta_2 = (a + b) - \sqrt{a^2 + b^2}$ . Question 3 : Calculer $\frac{a + c}{b + d}$ et $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ , puis déterminer leur différence $\Delta_3 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d}$ . Question 4 : Calculer $(a - b)(c - d)$ et $ac - bd$ , puis déterminer leur différence $\Delta_4 = (a - b)(c - d) - (ac - bd)$ .→
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  Exercice 5 : Sommes et produits par récurrence On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on a $S_n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Pour cela, nous allons vérifier plusieurs étapes calculatoires. Question 1 : Vérifier l'initialisation pour $n = 1$ : calculer $S_1$ directement et vérifier que $S_1 = \frac{1(1+1)}{2}$ . Question 2 : Supposons la propriété vraie au rang $n = 5$ . Calculer $S_5 = \sum_{k=1}^{5} k$ en utilisant la formule, puis vérifier en calculant directement $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ . Question 3 : En supposant que $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ pour $n = 5$ , calculer $S_6 = S_5 + 6$ en utilisant cette hypothèse, puis vérifier que le résultat correspond à $\frac{6(6+1)}{2}$ . Question 4 :...→
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  Exercice 1 : Raisonnement direct sur les suites arithmétiques On considère une suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$ . On s'intéresse aux propriétés de cette suite et à la somme de ses termes. Question 1 : En utilisant un raisonnement direct, calculer explicitement le terme général $u_n$ de la suite, puis déterminer la valeur de $u_{15}$ . Question 2 : En déduire directement la somme $S_{15} = \sum_{k=0}^{15} u_k$ des 16 premiers termes de la suite. Question 3 : Calculer la différence $D = u_{20} - u_{10}$ et montrer directement que cette différence ne dépend que de la raison $r$ et du nombre...→
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  Exercice 2 : Raisonnement par contraposition sur la divisibilité On considère un entier naturel $n \geq 2$ et on étudie des propriétés de divisibilité par contraposition. Question 1 : En utilisant la contraposition, démontrer que si $n^2$ est divisible par 3, alors $n$ est divisible par 3. Appliquer ce résultat pour déterminer si $n = 126$ vérifie cette propriété en calculant $n^2$ modulo 3. Question 2 : Pour $n = 7$ , calculer $n^3 - n$ et montrer que le résultat est divisible par 6 en effectuant la division euclidienne. Question 3 : En utilisant la contraposition de l'implication « Si $n$ est pair, alors $n^2$ est divisible...→
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  Exercice 3 : Raisonnement par l'absurde sur les nombres irrationnels On étudie des propriétés de nombres en utilisant le raisonnement par l'absurde. Considérons $\alpha = \sqrt{2}$ . Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ où $p = 4$ et $q = 3$ sont premiers entre eux. Calculer $\left(\frac{p}{q}\right)^2$ et vérifier si cette égalité $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2$ est satisfaite. Question 2 : Soit $x = 3 + 2\sqrt{2}$ . Calculer $x^2$ en développant l'expression complètement. Question 3 : En utilisant le résultat précédent, calculer $y = x^2 - 6x$ pour $x = 3 + 2\sqrt{2}$ et simplifier l'expression. Question 4 : Pour vérifier numériquement nos calculs, en utilisant l'approximation $\sqrt{2} \approx 1.414$ ,...→
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  Exercice 4 : Raisonnement par contre-exemple sur les inégalités On étudie plusieurs propositions mathématiques et on utilise des contre-exemples pour infirmer certaines affirmations. Question 1 : Considérons la proposition : « Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $n^2 + n + 1$ est un nombre premier ». Calculer $n^2 + n + 1$ pour $n = 5$ et déterminer si ce nombre est premier en testant sa divisibilité. Question 2 : Soit la proposition : « Pour tous réels $a$ et $b$ , si $a^2 = b^2$ alors $a = b$ ». Prendre $a = 5$ et $b = -5$ , calculer $a^2$ et $b^2$ , puis vérifier si l'implication est vraie. Question 3 : Considérons la proposition...→
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  Exercice 5 : Raisonnement par récurrence sur les sommes et produits On utilise le principe de récurrence pour démontrer des formules et effectuer des calculs. Question 1 : On veut démontrer par récurrence que $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Vérifier l'initialisation pour $n = 1$ en calculant les deux membres de l'égalité. Question 2 : Pour l'hérédité, supposons que la formule est vraie au rang $n = 5$ , c'est-à-dire $\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5 \times 6}{2}$ . Calculer cette somme, puis vérifier qu'au rang $n = 6$ , on a bien $\sum_{k=1}^{6} k = \frac{6 \times 7}{2}$ en utilisant $\sum_{k=1}^{6} k = \sum_{k=1}^{5} k + 6$ . Question 3 : On considère maintenant $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Calculer $\sum_{k=1}^{4} k^2$ directement (en calculant $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ ), puis vérifier avec...→
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  Exercice 1 : Propriétés de divisibilité et parité (Raisonnement direct) On considère deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n = 2k + 1$ et $m = 2p + 1$ où $k, p \in \mathbb{N}$ . Question 1 : Calculer $n^2$ en fonction de $k$ et démontrer par raisonnement direct que $n^2$ est impair. Déterminer la valeur numérique pour $k = 3$ . Question 2 : Calculer le produit $n \times m$ en fonction de $k$ et $p$ . Démontrer que ce produit est impair. Calculer numériquement pour $k = 3$ et $p = 5$ . Question 3 : Calculer $n^2 + m^2$ en fonction de $k$ et $p$ . Démontrer que cette somme est paire. Évaluer pour $k = 3$ et...→
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  Exercice 2 : Propriétés des fonctions et contraposée (Raisonnement par contraposition) Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction définie par $f(x) = 3x + 5$ . On souhaite démontrer par contraposition que : "Si $f(a) \neq f(b)$ , alors $a \neq b$ ". Question 1 : Énoncer la contraposée de la proposition initiale. Calculer $f(a) - f(b)$ lorsque $a = b$ . Question 2 : En utilisant la contraposée, calculer $f(4) - f(4)$ et interpréter le résultat pour la démonstration. Question 3 : Soit maintenant $g(x) = x^2 - 2x + 3$ . Calculer $g(2)$ et $g(-1)$ . Déterminer si la contraposée s'applique ici. Question 4 : Pour la fonction $h(x) = 2x^3 + x$ , calculer $h(2) - h(1)$ puis $h(1) - h(2)$ . Vérifier que si $h(a) \neq h(b)$ , alors...→
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  Exercice 3 : Irrationalité et raisonnement par l'absurde On souhaite démontrer par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel. On suppose par l'absurde que $\sqrt{5}$ est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux ( $\gcd(p, q) = 1$ ) tels que $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ . Question 1 : Élever l'égalité $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ au carré et exprimer $p^2$ en fonction de $q^2$ . Calculer numériquement pour $q = 2$ la valeur de $p^2$ . Question 2 : À partir de $p^2 = 5q^2$ , déduire que $p^2$ est divisible par $5$ . Calculer $p^2 \mod 5$ pour vérifier. Si $p^2$ est divisible par $5$ , montrer que $p$ est aussi...→
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  Exercice 4 : Réfutation de propositions par contre-exemples On considère les propositions suivantes que l'on souhaite réfuter par des contre-exemples calculés. Proposition A : "Pour tous entiers $n \geq 1$ , le nombre $n^2 + n + 41$ est premier." Proposition B : "Pour tous réels $x$ et $y$ , si $x^2 = y^2$ , alors $x = y$ ." Question 1 : Calculer $f(n) = n^2 + n + 41$ pour $n = 1, 2, 3$ . Vérifier si ces valeurs sont premières. Puis calculer $f(40)$ et $f(41)$ et déterminer si ces nombres sont premiers en calculant leur factorisation. Question 2 : Pour la Proposition B, calculer $x^2$ et $y^2$ pour $x = 3$ et $y = -3$ . Vérifier si $x^2 = y^2$ et...→
Les ensembles, les relations et les applications (26 Exercices)
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  Soit l'ensemble universel $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ et les sous-ensembles $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ , et $C = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ . Question 1: Déterminer $A \cap B$ , $B \cap C$ , $A \cup C$ , et $(A \cup B) \cap C$ . Question 2: Calculer le cardinal de l'ensemble $A \triangle B$ (différence symétrique), défini par $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ , puis calculer $|A \triangle C|$ . Question 3: Déterminer le complémentaire de $A \cap B$ dans $U$ , noté $\overline{A \cap B}$ , puis vérifier la loi de De Morgan en calculant $\overline{A} \cup \overline{B}$ . Question 4: Soit $D = A \times B$ le produit cartésien de $A$ et $B$ . Calculer $|D|$ et donner trois éléments distincts de $D$ .→
- 2
  Soit $E = \mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par: $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \equiv 0 \pmod{5}$ Question 1: Vérifier que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence en calculant explicitement pour les couples $(7, 12)$ , $(12, 7)$ , $(7, 7)$ , et $(7, 17)$ si la relation est satisfaite. Question 2: Déterminer la classe d'équivalence de $0$ , notée $\overline{0}$ , puis calculer $\overline{3}$ et vérifier que $\overline{3} = \overline{8}$ . Question 3: Calculer le nombre d'éléments de l'ensemble $\{-10, -9, -8, ..., 9, 10\}$ qui appartiennent à la classe $\overline{2}$ . Question 4: Soit $E/\mathcal{R}$ l'ensemble quotient. Déterminer $|E/\mathcal{R}|$ et calculer $\overline{1} + \overline{3}$ dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ , puis $\overline{2} \times \overline{4}$ .→
- 3
  Soit $E = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par: $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \text{ divise } y$ (noté $x | y$ ) Question 1: Calculer le nombre de couples $(x, y)$ tels que $x \mathcal{R} y$ en vérifiant systématiquement toutes les divisions possibles dans $E \times E$ . Donner explicitement tous ces couples. Question 2: Pour le sous-ensemble $A = \{2, 6, 18\}$ , déterminer si $A$ admet un majorant dans $E$ , puis calculer $\sup(A)$ (borne supérieure) et $\max(A)$ (maximum) si ils existent. Question 3: Pour le sous-ensemble $B = \{6, 9\}$ , calculer l'ensemble des majorants de $B$ dans $E$ , puis déterminer $\inf(B)$ (borne inférieure). Question 4: Calculer la longueur de la plus longue chaîne dans $(E, \mathcal{R})$ ,...→
- 4
  Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x + 3$ , et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2 - 4$ . Question 1: Pour la fonction $f$ , calculer $f(5)$ , $f(-2)$ , puis résoudre $f(x) = 13$ pour déterminer l'antécédent de $13$ . Vérifier ensuite si $f$ est injective en montrant que $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ . Question 2: Pour la fonction $g$ , calculer $g(3)$ , $g(-3)$ , et $g(0)$ . Vérifier si $g$ est injective en testant si $g(2) = g(-2)$ . Question 3: Soit $A = [1, 4]$ et calculer l'image directe $f(A)$ en déterminant $f(1)$ et $f(4)$ . Puis calculer l'image réciproque $f^{-1}(B)$ où $B = [7, 11]$ en résolvant $f(x) = 7$ et $f(x) = 11$ . Question 4: Calculer...→
- 5
  Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ , $A = \{x \in E \mid x \text{ est pair}\}$ , $B = \{x \in E \mid x \leq 6\}$ et $C = \{x \in E \mid x \text{ est premier}\}$ . Question 1: Déterminer explicitement les ensembles $A$ , $B$ et $C$ , puis calculer $|A|$ , $|B|$ et $|C|$ . Question 2: Calculer $A \cap B$ , $A \cup C$ et $B \setminus C$ . Déterminer leurs cardinaux respectifs. Question 3: Calculer $\overline{A}$ (le complémentaire de $A$ dans $E$ ), puis déterminer $(A \cup B) \cap C$ et son cardinal. Question 4: Vérifier la formule du crible : $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$ en calculant explicitement chaque terme.→
- 6
  On considère l'ensemble $E = \mathbb{Z}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie par: pour tous $x, y \in \mathbb{Z}$ , $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x - y \equiv 0 \pmod{5}$ . Question 1: Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence en vérifiant les trois propriétés (réflexivité, symétrie, transitivité). Pour chaque propriété, effectuer les calculs nécessaires avec des éléments génériques. Question 2: Déterminer explicitement les classes d'équivalence $\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ modulo $5$ . Pour chaque classe, donner au moins $5$ éléments. Question 3: Calculer le nombre d'éléments de l'ensemble $A = \{-12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23\}$ qui appartiennent à la classe $\overline{3}$ . Vérifier explicitement pour chaque élément. Question 4: Soit $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -20 \leq x \leq 20\}$ . Calculer le...→
- 7
  Soit $E = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par: $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x$ divise $y$ (noté $x \mid y$ ). Question 1: Vérifier que $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre en démontrant par calcul la réflexivité, l'antisymétrie et la transitivité pour des éléments génériques de $E$ . Question 2: Déterminer tous les couples $(x, y)$ de $E \times E$ tels que $x \mathcal{R} y$ avec $x \neq y$ . Calculer le nombre total de tels couples. Question 3: Pour chaque élément de $E$ , calculer le nombre de ses diviseurs dans $E$ (y compris lui-même) et le nombre de ses multiples dans $E$ (y compris lui-même). Question...→
- 8
  Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x + 3$ , $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ définie par $g(x) = x^2$ , et $h: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ définie par $h(x) = x^2$ . Question 1: Pour l'application $f$ , montrer par le calcul qu'elle est injective en résolvant $f(x_1) = f(x_2)$ , puis montrer qu'elle est surjective en résolvant $f(x) = y$ pour tout $y \in \mathbb{R}$ . Conclure sur la bijectivité et calculer $f^{-1}(y)$ . Question 2: Pour l'application $g$ , vérifier l'injectivité en testant $g(-2)$ et $g(2)$ . Ensuite, montrer par calcul que $g$ n'est pas surjective en cherchant les antécédents de $y = -1$ . Question 3: Pour l'application $h$ , montrer par le calcul qu'elle est injective sur $\mathbb{R}^+$ en...→
- 9
  Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ un ensemble et $f : E \rightarrow E$ une application définie par $f(x) = 2x \mod 7$ . Soit également les sous-ensembles $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{2, 4, 6\}$ de $E$ . Question 1: Calculer l'image directe $f(A)$ de l'ensemble $A$ par l'application $f$ . Question 2: Déterminer l'image réciproque $f^{-1}(B)$ de l'ensemble $B$ par l'application $f$ . Question 3: Calculer le cardinal de l'ensemble $f(A) \cap f^{-1}(B)$ . Question 4: En utilisant les résultats précédents, déterminer si l'application $f$ est injective, surjective ou bijective. Justifier par le calcul du cardinal de l'image $\text{Im}(f)$ et la vérification de l'injectivité.→
- 10
  Soit $E = \{a, b, c, d\}$ un ensemble et $\mathcal{R}$ une relation sur $E$ définie par sa matrice: $M_{\mathcal{R}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ où les lignes et colonnes correspondent respectivement à $a, b, c, d$ . Question 1: Calculer la matrice $M_{\mathcal{R}^2}$ de la relation composée $\mathcal{R} \circ \mathcal{R}$ (produit matriciel booléen). Question 2: Vérifier si $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence en calculant le nombre de propriétés satisfaites (réflexivité, symétrie, transitivité) parmi $3$ . Question 3: Déterminer le nombre de classes d'équivalence distinctes si $\mathcal{R}$ est modifiée en $\mathcal{R}'$ en ajoutant les paires $(c,a)$ et $(a,c)$ . Calculer le cardinal de chaque classe. Question 4: Calculer le nombre total de relations d'équivalence possibles...→
- 11
  Soit $E = \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ et l'application $g: E \rightarrow E$ définie par $g(x) = 3x + 5 \mod 10$ . Soit également $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ l'ensemble des nombres pairs de $E$ et $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ l'ensemble des nombres impairs. Question 1: Calculer l'image directe $g(A)$ et déterminer son cardinal $|g(A)|$ . Question 2: Calculer l'ensemble $C = g^{-1}(g(A))$ et vérifier si $A \subseteq C$ en calculant $|A \cap C|$ . Question 3: Déterminer le noyau de l'application $\ker(g) = \{(x,y) \in E \times E : g(x) = g(y)\}$ et calculer le nombre de paires $(x,y)$ avec $x Question 4: En utilisant le résultat du noyau, calculer le cardinal de l'image $ |\text{Im}(g)| $ puis déduire le degré moyen de surjectivité défini par $ \frac{|E|}{|\text{Im}(g)|} $.→
- 12
  Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ et $\leq$ une relation d'ordre partiel sur $E$ définie par: $x \leq y$ si et seulement si $x$ divise $y$ (relation de divisibilité). Question 1: Construire l'ensemble $P$ de toutes les paires ordonnées $(x,y)$ vérifiant $x \leq y$ avec $x \neq y$ , puis calculer le cardinal $|P|$ . Question 2: Pour le sous-ensemble $S = \{2, 4, 5\}$ , déterminer l'ensemble des majorants de $S$ dans $E$ et calculer le nombre de ces majorants. Question 3: Calculer le nombre de chaînes maximales dans le diagramme de Hasse de $(E, \leq)$ en énumérant toutes les chaînes de longueur maximale de $1$ à un multiple de $5$ . Question 4:...→
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  Soit $E = \{0, 1, 2, 3\}$ et $F = \{a, b, c\}$ deux ensembles. Considérons l'application $h: E \rightarrow F$ définie par: $h(0) = a, h(1) = b, h(2) = b, h(3) = c$ . Question 1: Calculer le nombre de fibres non vides de $h$ (c'est-à-dire le nombre d'images réciproques distinctes et non vides), puis déterminer le cardinal de chaque fibre $h^{-1}(\{y\})$ pour tout $y \in F$ . Question 2: Soit $A_1 = \{0, 1\}$ et $A_2 = \{2, 3\}$ . Calculer $h(A_1) \cup h(A_2)$ et $h(A_1 \cup A_2)$ , puis vérifier l'égalité en calculant $|h(A_1) \cup h(A_2)| - |h(A_1 \cup A_2)|$ . Question 3: Pour l'ensemble $B = \{a, c\} \subseteq F$ , calculer $h^{-1}(B)$ puis l'image directe $h(h^{-1}(B))$ . Déterminer le cardinal de $B \setminus h(h^{-1}(B))$ . Question 4: Calculer le nombre total d'applications de $E$ dans $F$ ayant exactement $2$ fibres non vides...→
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  Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ , $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ et $C = \{2, 4, 6, 8\}$ trois sous-ensembles de $E$ . Question 1 : Calculer le cardinal de l'ensemble $(A \cup B) \cap C$ . Question 2 : Déterminer le cardinal de l'ensemble $\mathcal{P}(A \cap B \cap C)$ où $\mathcal{P}$ désigne l'ensemble des parties. Question 3 : Calculer le nombre d'applications distinctes de $A \cap B \cap C$ dans $\{0, 1\}$ . Question 4 : Sachant que $|A \Delta B| = |(A \setminus B) \cup (B \setminus A)|$ , calculer $|A \Delta B|$ puis en déduire $|(A \Delta B) \cap C|$ .→
- 15
  Soit $E = \mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs et $n = 5$ . On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $E$ par : pour tous $x, y \in E$ , $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \equiv 0 \pmod{n}$ (c'est-à-dire $n$ divise $x - y$ ). Question 1 : Déterminer les éléments de la classe d'équivalence $\overline{3}$ qui sont compris entre $-10$ et $20$ , puis calculer le cardinal de cet ensemble. Question 2 : Calculer le nombre total de classes d'équivalence distinctes de $E/\mathcal{R}$ (l'ensemble quotient). Question 3 : Pour la classe $\overline{0}$ , déterminer combien d'éléments de cette classe appartiennent à l'intervalle $[0, 25]$ , puis calculer leur somme. Question 4 : Calculer le nombre d'applications $f: E/\mathcal{R} \to \{0, 1, 2\}$...→
- 16
  Soit $A = \{2, 3, 6, 12, 24\}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $A$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x$ divise $y$ (noté $x | y$ ). Cette relation est une relation d'ordre partiel. Question 1 : Calculer le nombre total de couples $(x, y) \in A \times A$ tels que $x \mathcal{R} y$ (c'est-à-dire le nombre d'éléments de la relation $\mathcal{R}$ ). Question 2 : Déterminer le nombre de chaînes de longueur $3$ dans cet ordre partiel, c'est-à-dire le nombre de triplets $(a, b, c)$ avec $a, b, c \in A$ distincts tels que $a | b$ et $b | c$ . Question 3 : Pour l'élément $x = 6$ , calculer le cardinal de l'ensemble des majorants de $x$ dans $A$ (éléments $y \in A$ tels que $x \mathcal{R} y$ )....→
- 17
  Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 3x - 5$ , $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}$ définie par $g(x) = x^2$ , et $h: [0, 10] \to \mathbb{R}$ définie par $h(x) = 2x + 1$ . Question 1 : Pour l'application $f$ , calculer les antécédents de $y = 7$ , puis déterminer le nombre total d'antécédents. Question 2 : Pour l'application $g$ , déterminer le cardinal de l'ensemble $g^{-1}(\{4\})$ (l'image réciproque de $\{4\}$ ). Question 3 : Pour l'application $h$ , calculer le cardinal de l'image $h([2, 5])$ sachant que $[2, 5] \subset [0, 10]$ , puis déterminer si cet ensemble image est un intervalle et préciser ses bornes. Question 4 : Soit $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{a, b\}$ . Calculer le nombre d'applications injectives possibles de $A$...→
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  Exercice 1 : Opérations sur les ensembles et cardinal Soit l'ensemble universel $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ . On considère les sous-ensembles suivants : $A = \{x \in U \mid x \text{ est pair}\}$ $B = \{x \in U \mid x \leq 5\}$ $C = \{x \in U \mid x \text{ est premier}\}$ Question 1 : Déterminer explicitement les ensembles $A$ , $B$ et $C$ , puis calculer $\text{Card}(A)$ , $\text{Card}(B)$ et $\text{Card}(C)$ . Question 2 : Calculer $A \cap B$ , $A \cup C$ et $B \setminus A$ . Déterminer ensuite $\text{Card}(A \cap B)$ , $\text{Card}(A \cup C)$ et $\text{Card}(B \setminus A)$ . Question 3 : Calculer le complément de $A$ dans $U$ , noté $\overline{A}$ ou $A^c$ . Vérifier ensuite que $\text{Card}(A) + \text{Card}(A^c) = \text{Card}(U)$ . Question 4 : Calculer $(A \cup B) \cap C$ et $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ . Vérifier la loi de distributivité de l'intersection par rapport...→
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  Exercice 2 : Relations d'équivalence et classes d'équivalence Soit l'ensemble $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ . On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $E$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \equiv y \pmod{3}$ Autrement dit, $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x$ et $y$ ont le même reste dans la division par $3$ . Question 1 : Déterminer tous les couples $(x, y)$ tels que $x \mathcal{R} y$ avec $x \leq y$ et $x, y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Calculer le nombre total de ces couples. Question 2 : Déterminer la classe d'équivalence de $0$ , notée $\overline{0}$ ou $[0]$ , la classe d'équivalence de $1$ , notée $\overline{1}$ , et la classe d'équivalence de $2$ , notée $\overline{2}$ . Calculer...→
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  Exercice 3 : Relations d'ordre et éléments particuliers Soit l'ensemble $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\}$ et la relation $\mathcal{R}$ sur $A$ définie par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \text{ divise } y$ On note $x \mid y$ si $x$ divise $y$ . Question 1 : Déterminer tous les diviseurs de $18$ dans l'ensemble $A$ , c'est-à-dire tous les éléments $x \in A$ tels que $x \mid 18$ . Calculer le nombre de ces diviseurs. Question 2 : Pour l'élément $12$ , déterminer tous ses diviseurs dans $A$ (éléments $x$ tels que $x \mid 12$ ) et tous ses multiples dans $A$ (éléments $y$ tels que $12 \mid y$ ). Calculer le nombre total d'éléments en relation avec $12$ . Question 3...→
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  Exercice 4 : Applications et leurs propriétés Soit les ensembles $E = \{1, 2, 3, 4\}$ et $F = \{a, b, c\}$ . On définit les applications suivantes : $f: E \rightarrow F$ définie par : $f(1) = a$ , $f(2) = b$ , $f(3) = c$ , $f(4) = b$ $g: E \rightarrow F$ définie par : $g(1) = a$ , $g(2) = a$ , $g(3) = a$ , $g(4) = a$ Question 1 : Pour l'application $f$ , déterminer l'image directe de $A = \{1, 3\}$ , notée $f(A)$ , et l'image réciproque de $B = \{b, c\}$ , notée $f^{-1}(B)$ . Calculer $\text{Card}(f(A))$ et $\text{Card}(f^{-1}(B))$ . Question 2 : Pour l'application $f$ , déterminer si $f$ est injective en vérifiant si pour tous $x_1, x_2 \in E$ avec $x_1 \neq x_2$ , on a $f(x_1) \neq f(x_2)$ . Calculer le nombre...→
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  Soit l'ensemble universel $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ , et trois sous-ensembles définis comme suit : $A = \{x \in U \mid x \text{ est pair}\}$ $B = \{x \in U \mid x \leq 6\}$ $C = \{x \in U \mid x \text{ est un multiple de 3}\}$ Question 1 : Déterminer explicitement les ensembles $A$ , $B$ et $C$ , puis calculer leurs cardinaux respectifs $|A|$ , $|B|$ et $|C|$ . Question 2 : Calculer les ensembles $A \cap B$ , $A \cup C$ , et $(A \cap B) \cup C$ . Déterminer ensuite le cardinal de $(A \cap B) \cup C$ . Question 3 : Calculer le complémentaire de $A$ dans $U$ , noté $\overline{A}$ (ou $A^c$ ), puis déterminer l'ensemble $\overline{A} \cap (B \cup C)$ et son cardinal. Question 4 : En utilisant le principe d'inclusion-exclusion, calculer le cardinal de $A \cup B \cup C$ , c'est-à-dire $|A \cup B \cup C|$ , en...→
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  On considère l'ensemble $E = \mathbb{Z}$ (l'ensemble des entiers relatifs) et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \equiv 0 \pmod{5}$ Autrement dit, $x$ est en relation avec $y$ si leur différence est divisible par $5$ . Question 1 : Déterminer si les paires suivantes sont en relation : $(7, 12)$ , $(15, -5)$ , et $(-3, 8)$ . Pour chaque paire $(a, b)$ , calculer $a - b$ et vérifier si le résultat est divisible par $5$ . Question 2 : Déterminer explicitement la classe d'équivalence de $0$ , notée $\overline{0}$ ou $[0]$ , et la classe d'équivalence de $2$ , notée $\overline{2}$ ou $[2]$ . Donner au...→
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  Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ , l'ensemble des diviseurs positifs de $24$ , et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \text{ divise } y$ On note $x \mid y$ lorsque $x$ divise $y$ . Question 1 : Vérifier que la relation $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre en calculant et vérifiant trois exemples concrets pour chacune des trois propriétés suivantes : Réflexivité : vérifier pour $x = 2, 6, 12$ Antisymétrie : vérifier pour les paires $(2, 4)$ et $(4, 2)$ Transitivité : vérifier pour $2 \mid 6$ et $6 \mid 12$ Question 2 : Déterminer tous les éléments minimaux et tous les éléments maximaux de $(E, \mathcal{R})$ . Pour chaque candidat potentiel, vérifier qu'aucun autre élément ne...→
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  Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x - 3$ , et $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2$ . Question 1 : Pour l'application $f$ , démontrer qu'elle est injective en résolvant l'équation $f(x_1) = f(x_2)$ pour $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ . Ensuite, démontrer qu'elle est surjective en résolvant l'équation $f(x) = y$ pour un $y$ quelconque dans $\mathbb{R}$ et en exprimant $x$ en fonction de $y$ . Question 2 : Pour l'application $g$ , vérifier si elle est injective en testant si $g(-2) = g(2)$ . Calculer ces deux valeurs. Ensuite, vérifier si elle est surjective en cherchant s'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $g(x) = -4$ . Résoudre l'équation $x^2 = -4$ dans $\mathbb{R}$ . Question 3 : Calculer...→
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  Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 + 1$ . Question 1 : Calculer l'image directe de l'ensemble $A = [-2, 1]$ par $f$ , c'est-à-dire $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$ . Pour cela, déterminer le minimum et le maximum de $f(x)$ sur $[-2, 1]$ en évaluant $f$ aux points critiques et aux bornes : calculer $f(-2)$ , $f(0)$ , et $f(1)$ . Question 2 : Calculer l'image réciproque de l'ensemble $B = [1, 5]$ par $f$ , c'est-à-dire $f^{-1}(B) = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in B\}$ . Résoudre les inéquations $1 \leq x^2 + 1 \leq 5$ , soit $0 \leq x^2 \leq 4$ , et déterminer l'ensemble des $x$ qui satisfont ces conditions. Question 3 : Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = 2x - 1$ . Calculer la composée $f \circ g$ et $g \circ f$ . Pour...→
Les fonctions (38 Exercices)
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  Exercice 1 : Étude d'une fonction rationnelle avec limite et continuité Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ définie sur son domaine de définition. Question 1 : Déterminer le domaine de définition de $f(x)$ et calculer les limites de $f(x)$ aux bornes du domaine. Question 2 : Calculer $\lim_{x \to 2} f(x)$ en levant l'indétermination. Question 3 : Déterminer si $f$ peut être prolongée par continuité en $x = 2$ . Si oui, donner la valeur du prolongement $\tilde{f}(2)$ . Question 4 : Calculer la dérivée $\tilde{f}'(2)$ de la fonction prolongée en utilisant la définition de la dérivée.→
- 2
  Exercice 2 : Analyse d'une fonction logarithmique et exponentielle composée Soit la fonction $g(x) = \ln(e^{2x} + e^x - 2)$ définie sur un domaine à déterminer. Question 1 : Déterminer le domaine de définition $D_g$ de la fonction $g(x)$ en résolvant l'inéquation $e^{2x} + e^x - 2 > 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ et simplifier l'expression obtenue en factorisant le numérateur. Question 3 : Résoudre l'équation $g'(x) = 0$ pour trouver les points critiques de $g$ . Question 4 : Calculer $g''(0)$ où $g''$ est la dérivée seconde de $g$ , et déterminer la nature du point critique trouvé à la question 3.→
- 3
  Exercice 3 : Étude d'une fonction avec puissance et continuité Soit la fonction $h(x) = (x^2 + 1)^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{2}{3}}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculer $h(0)$ , $h(1)$ , et $h(8)$ en donnant les résultats sous forme exacte puis sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près. Question 2 : Calculer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}^*$ (ensemble des réels non nuls). Question 3 : Étudier la dérivabilité de $h$ en $x = 0$ en calculant les dérivées à droite et à gauche : $h'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x) - h(0)}{x}$ et $h'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{h(x) - h(0)}{x}$ . Question 4 : Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ pour $x > 0$ et calculer la valeur exacte de $x_0$...→
- 4
  Exercice 4 : Fonctions hyperboliques et équations On considère la fonction hyperbolique $f(x) = \cosh(2x) - 3\sinh(x)$ où $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ . Question 1 : Exprimer $f(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$ , puis simplifier l'expression. Question 2 : Résoudre l'équation $f(x) = 0$ en posant $t = e^x$ et en résolvant l'équation du second degré obtenue. Question 3 : Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant les dérivées des fonctions hyperboliques : $\cosh'(x) = \sinh(x)$ et $\sinh'(x) = \cosh(x)$ . Question 4 : Vérifier que $x_1$ (la solution positive trouvée à la question 2) est un extremum local en calculant $f'(x_1)$ et en étudiant le signe de $f'(x)$ au voisinage de...→
- 5
  Exercice 5 : Fonction trigonométrique inverse et équation Soit la fonction $k(x) = \arctan(2x) + \arctan\left(\frac{1}{1-x^2}\right)$ définie sur un domaine à déterminer. Question 1 : Déterminer le domaine de définition $D_k$ de la fonction $k(x)$ en tenant compte des conditions d'existence de chaque terme. Question 2 : Calculer $k'(x)$ en utilisant la formule de dérivation : $\left[\arctan(u)\right]' = \frac{u'}{1+u^2}$ . Question 3 : Calculer les valeurs particulières $k(0)$ et $k\left(\frac{1}{2}\right)$ en utilisant les propriétés des fonctions arctan. Question 4 : Résoudre l'équation $k'(x) = 0$ et déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $k$ admet un extremum.→
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  Étude complète d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par : $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ Question 1 : Déterminer les limites de $f(x)$ aux bornes de son domaine de définition : $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et étudier son signe. Déterminer les points critiques éventuels. Question 3 : En déduire le tableau de variations complet de $f$ en précisant les valeurs de $f$ aux points critiques. Question 4 : Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0 = 0$ .→
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  Fonctions exponentielles et logarithmiques On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x \ln(x) - 2x + 3$ Question 1 : Calculer les limites $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ . Pour la première limite, on pourra utiliser le fait que $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Question 2 : Déterminer la dérivée $g'(x)$ puis résoudre l'équation $g'(x) = 0$ pour trouver les points critiques. Étudier le signe de $g'(x)$ . Question 3 : Calculer la valeur exacte de $g$ au point critique trouvé à la question 2, puis donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. Question 4 : On pose $h(x) = e^{g(x)}$ . Calculer $h'(x)$ et déterminer $h'(1)$ .→
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  Fonctions trigonométriques et leurs propriétés On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin(2x) + 2\cos(x)$ Question 1 : Démontrer que $f$ est périodique de période $T = 2\pi$ . Calculer $f(0)$ et $f(\pi)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $f'(x) = 2(\cos(2x) - \sin(x))$ . Question 3 : Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ sur l'intervalle $[0, \pi]$ en posant $u = \cos(x)$ et en utilisant la relation $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ . Question 4 : Calculer les valeurs exactes de $f$ aux points critiques trouvés dans la question 3. On donnera les résultats sous forme de racines carrées.→
- 9
  Fonctions hyperboliques et leurs applications On rappelle que les fonctions hyperboliques sont définies par : $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi(x) = \cosh(2x) - 3\sinh(x)$ Question 1 : Démontrer l'identité fondamentale $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ en utilisant les définitions exponentielles. Question 2 : Calculer les dérivées de $\cosh(x)$ et $\sinh(x)$ , puis en déduire $\varphi'(x)$ . Question 3 : Exprimer $\varphi(x)$ uniquement en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$ . Simplifier au maximum. Question 4 : Calculer $\varphi(0)$ et $\varphi(\ln(2))$ . Donner les valeurs exactes puis les valeurs approchées à $10^{-2}$ près.→
- 10
  Fonctions puissances et fonctions inverses On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x^{\frac{3}{2}} - 4x + 5\sqrt{x}$ Question 1 : Réécrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = ax^{\frac{3}{2}} + bx + cx^{\frac{1}{2}}$ en identifiant $a$ , $b$ et $c$ . Calculer $f(1)$ et $f(4)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Simplifier en écrivant tous les termes avec des exposants rationnels. Question 3 : Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ en posant $u = \sqrt{x}$ , ce qui transforme l'équation en équation polynomiale du second degré en $u$ . Question 4 : Soit $g$ la fonction réciproque de $h(x) = x^3$ pour $x > 0$ . Déterminer $g(x)$ ,...→
- 11
  Étude d'une fonction rationnelle : Limite et continuité Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ . Question 1 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-2$ . Question 3 : Déterminer si la fonction $f$ peut être prolongée par continuité en $x = 2$ . Si oui, donner la valeur du prolongement $\tilde{f}(2)$ . Question 4 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.→
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  Dérivabilité et différentiabilité d'une fonction puissance Soit la fonction $g(x) = x^{\frac{5}{3}} - 4x^{\frac{2}{3}}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculer la dérivée $g'(x)$ de la fonction $g$ pour $x \neq 0$ en utilisant la formule de dérivation des fonctions puissance. Question 2 : Étudier la dérivabilité de $g$ en $x = 0$ en calculant la limite du taux d'accroissement $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ . Question 3 : Déterminer les points critiques de $g$ (où $g'(x) = 0$ ) et calculer leurs coordonnées exactes. Question 4 : Calculer la valeur de la dérivée seconde $g''(x)$ en $x = 8$ pour analyser la concavité de la fonction en ce point.→
- 13
  Fonctions logarithmique et exponentielle : Équations et optimisation On considère la fonction $h(x) = x \ln(x) - 2x$ définie sur $]0, +\infty[$ . Question 1 : Calculer la dérivée $h'(x)$ en appliquant la règle de dérivation du produit et des fonctions logarithmiques. Question 2 : Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ pour trouver le point d'extremum de $h$ . Donner la solution exacte sous forme exponentielle. Question 3 : Calculer la valeur minimale de $h$ , c'est-à-dire $h(x_0)$ où $x_0$ est la solution trouvée à la Question 2. Question 4 : Résoudre l'équation $h(x) = 0$ et exprimer la solution en fonction de $e$ .→
- 14
  Fonctions hyperboliques : Identités et équations On rappelle les définitions : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Question 1 : Démontrer l'identité fondamentale $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ en développant les expressions. Question 2 : Calculer la dérivée de $f(x) = \sinh(3x^2 + 1)$ en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Question 3 : Résoudre l'équation $\cosh(x) = 2$ . Exprimer les solutions en fonction du logarithme népérien. Question 4 : Calculer la valeur de $\tanh(\ln(3))$ où $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ . Simplifier le résultat sous forme de fraction.→
- 15
  Fonctions trigonométriques et fonctions inverses Soit la fonction $k(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)$ définie sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculer la dérivée $k'(x)$ en utilisant la règle de dérivation de la fonction arcsinus et la règle de dérivation en chaîne. Question 2 : Simplifier l'expression de $k'(x)$ obtenue à la Question 1 et montrer que $k'(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ . Question 3 : En déduire que $k(x) = \arctan(x) + C$ où $C$ est une constante. Déterminer la valeur de $C$ en calculant $k(0)$ . Question 4 : Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)$ en utilisant les relations trigonométriques.→
- 16
  Exercice 1 : Étude complète d'une fonction définie par morceaux Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$ Question 1 : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ en utilisant le développement limité de $e^{2x}$ au voisinage de $0$ . Question 2 : Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $x = 0$ . Question 3 : Pour la valeur de $a$ trouvée, calculer $f'(x)$ pour $x \neq 0$ en utilisant la règle du quotient. Question 4 : Calculer la dérivée à droite en $0$ , notée $f'_d(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ , et vérifier si $f$ est dérivable en $0$ .→
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  Exercice 2 : Étude d'une fonction logarithmique composée On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x^2 \ln(x) - x^2$ Question 1 : Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ en utilisant le changement de variable $t = \ln(x)$ et les limites de référence. Question 2 : Déterminer la dérivée $g'(x)$ en appliquant les règles de dérivation du produit et de la fonction logarithmique. Question 3 : Résoudre l'équation $g'(x) = 0$ et dresser le tableau de variations de $g$ en déterminant le signe de $g'(x)$ . Question 4 : Calculer la valeur minimale de $g$ et déterminer l'équation de la tangente au point correspondant...→
- 18
  Exercice 3 : Analyse d'une fonction exponentielle-puissance Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^*_+$ par : $h(x) = x^3 e^{-x}$ Question 1 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ en utilisant la croissance comparée des fonctions puissance et exponentielle, puis déterminer $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $h'(x)$ en utilisant la règle de dérivation d'un produit, puis factoriser l'expression obtenue. Question 3 : Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ et calculer les valeurs exactes de $h$ aux points critiques, en déduire la valeur maximale de $h$ . Question 4 : Calculer la dérivée seconde $h''(x)$ et déterminer la nature du point critique trouvé en question 3 en utilisant...→
- 19
  Exercice 4 : Étude de fonctions trigonométriques et leurs inverses On considère la fonction $k$ définie sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ par : $k(x) = x \sin(x) + \cos(x)$ Question 1 : Calculer $k(0)$ , $k(\frac{\pi}{2})$ , et $k(-\frac{\pi}{2})$ , puis déterminer si la fonction est paire ou impaire en vérifiant si $k(-x) = k(x)$ ou $k(-x) = -k(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $k'(x)$ en utilisant les formules de dérivation du produit et des fonctions trigonométriques, puis simplifier l'expression obtenue. Question 3 : Résoudre l'équation $k'(x) = 0$ sur l'intervalle $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ et établir le tableau de variations complet de $k$ . Question 4 : Calculer l'aire $A$ sous la courbe de...→
- 20
  Exercice 1 : Étude de limite et continuité d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ pour $x \neq 2$ et $x \neq -2$ Question 1 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-2$ . Question 3 : Pour que $f$ soit continue en $x = 2$ , déterminer la valeur $f(2)$ qu'il faut définir. Question 4 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et déterminer l'asymptote horizontale éventuelle.→
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  Exercice 2 : Étude de la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ Question 1 : Calculer la dérivée $g'(x)$ pour $x \neq 0$ . Question 2 : Calculer le taux d'accroissement de $g$ en $x = 0$ , puis déterminer si $g$ est dérivable en $0$ en calculant $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ . Question 3 : Si $g$ est dérivable en $0$ , déterminer la valeur de $g'(0)$ . Question 4 : La dérivée $g'$ est-elle continue en $x = 0$ ? Calculer $\lim_{x \to 0} g'(x)$ et comparer avec $g'(0)$ .→
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  Exercice 3 : Résolution d'équations et inéquations avec ln et exp On considère l'équation différentielle et les problèmes associés suivants : Question 1 : Résoudre l'équation : $\ln(x^2 - 3x + 3) = 0$ . Question 2 : Résoudre l'inéquation : $e^{2x} - 5e^x + 6 \leq 0$ . Question 3 : Soit $h(x) = x - 1 - \ln(x)$ pour $x > 0$ . Calculer $h'(x)$ et étudier les variations de $h$ . Question 4 : En déduire le signe de $h(x)$ et résoudre l'inéquation $\ln(x) \leq x - 1$ .→
- 23
  Exercice 4 : Étude des fonctions hyperboliques et leurs dérivées On rappelle que les fonctions hyperboliques sont définies par : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ Question 1 : Démontrer l'identité hyperbolique fondamentale : $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ . Question 2 : Calculer les dérivées de $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$ . Question 3 : Calculer la dérivée de $f(x) = \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ et simplifier le résultat. Question 4 : Résoudre l'équation $\cosh(x) = \frac{5}{4}$ en exprimant la solution en fonction de $\ln$ .→
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  Exercice 1 : Étude complète d'une fonction rationnelle On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par : $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ Question 1 : Calculer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2^-$ , $2^+$ et $+\infty$ . Question 2 : Déterminer si la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $x = 2$ . Si oui, calculer la valeur de ce prolongement. Question 3 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Question 4 : Déterminer les points critiques de $f$ en résolvant $f'(x) = 0$ , puis calculer les valeurs de $f$ en ces points.→
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  Exercice 2 : Analyse d'une fonction combinant exponentielle et logarithme Soit la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x \ln(x) - e^x + 2x$ Question 1 : Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ . On rappelle que $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $g'(x) = \ln(x) + 3 - e^x$ . Question 3 : Calculer $g'(1)$ et $g(1)$ , puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $x = 1$ . Question 4 : Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to +\infty$ . Déterminer quel terme domine le comportement asymptotique.→
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  Exercice 3 : Étude comparative des fonctions sinus hyperbolique et sinus On considère les fonctions $h$ et $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $k(x) = \sin(x)$ Question 1 : Calculer les dérivées $h'(x)$ et $k'(x)$ . Vérifier que $h'(x) = \cosh(x)$ où $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Question 2 : Calculer $h(0)$ , $h'(0)$ , $k(0)$ et $k'(0)$ . En déduire les équations des tangentes aux courbes de $h$ et $k$ au point d'abscisse $x = 0$ . Question 3 : Montrer que $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ en développant cette expression. Question 4 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh(x)}{e^x}$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh(x)}{x}$ .→
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  Exercice 4 : Étude d'une fonction composée avec logarithme et fonction inverse Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = \ln\left(\frac{1}{x}\right) + \sqrt{x}$ Question 1 : Simplifier l'expression de $f(x)$ en utilisant les propriétés du logarithme, puis calculer $f(1)$ et $f(e^2)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et la mettre sous la forme d'une seule fraction. Question 3 : Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour déterminer les points critiques de $f$ . Calculer la valeur exacte du point critique $x_0$ . Question 4 : Calculer $f(x_0)$ où $x_0$ est le point critique trouvé à la question précédente....→
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  Exercice 5 : Optimisation d'une fonction puissance avec contrainte On considère une boîte cylindrique de rayon $r$ et de hauteur $h$ , avec $r > 0$ et $h > 0$ . Le volume est imposé : $V = \pi r^2 h = 1000$ cm³. La surface totale est : $S(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ Question 1 : Exprimer $h$ en fonction de $r$ à partir de la contrainte du volume, puis exprimer $S$ comme une fonction d'une seule variable $S(r)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $S'(r)$ et la mettre sous la forme d'une seule fraction. Question 3 : Résoudre l'équation $S'(r) = 0$ pour trouver le rayon optimal $r_0$ qui minimise la surface. Exprimer...→
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  Exercice 1 : Analyse d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x^2 - 4}$ définie sur son domaine de définition. Question 1 : Déterminer le domaine de définition de $f$ et calculer les limites aux bornes du domaine : $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ , $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ , et $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ . Question 2 : Étudier la continuité de $f$ sur son domaine et déterminer la nature des discontinuités éventuelles. Question 3 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et déterminer son signe sur chaque intervalle du domaine de définition. Question 4 : En utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer les extrema...→
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  Exercice 2 : Étude d'une fonction logarithmico-exponentielle On considère la fonction $g(x) = x \ln(x) - e^x + 2x$ définie sur $]0, +\infty[$ . Question 1 : Calculer les limites $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ . Pour la limite en $0^+$ , utiliser le fait que $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $g'(x) = \ln(x) + 3 - e^x$ . Étudier ensuite le signe de $g'(x)$ sur $]0, +\infty[$ . Question 3 : Calculer la dérivée seconde $g''(x)$ et déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $g$ . Identifier les points d'inflexion éventuels. Question 4 : Sachant que $g(x)$ admet un maximum en un...→
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  Exercice 3 : Analyse d'une fonction mixte hyperbolique-trigonométrique Soit la fonction $h(x) = \sinh(x) - 2\sin(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ , où $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ est la fonction sinus hyperbolique. Question 1 : Démontrer que $h$ est une fonction impaire et calculer $h(0)$ , $h'(0)$ , et $h''(0)$ . En déduire le comportement de $h$ au voisinage de $x = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $h'(x)$ et montrer qu'elle s'écrit $h'(x) = \cosh(x) - 2\cos(x)$ où $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Étudier le signe de $h'(x)$ sur $[0, \pi]$ sachant que $\cosh(x) \geq 1$ pour tout $x$ . Question 3 : Calculer $h''(x)$ et déterminer les points où $h''(x) = 0$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$ . Calculer les valeurs...→
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  Exercice 4 : Optimisation avec fonctions puissance et inverse Une entreprise produit $x$ unités d'un produit. Le coût total de production est modélisé par $C(x) = 100 + 50x + x^2$ (en euros) et le prix de vente unitaire est donné par $p(x) = \frac{200}{x^{0.5}} + 10$ (en euros). On définit le revenu total $R(x) = x \cdot p(x)$ et le profit $P(x) = R(x) - C(x)$ . Question 1 : Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$ et calculer la dérivée $R'(x)$ . Déterminer pour quelle valeur de $x$ le revenu marginal $R'(x)$ s'annule. Question 2 : Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$ et calculer $P'(x)$ . Résoudre l'équation $P'(x) = 0$ pour trouver la quantité optimale de production $x_{opt}$...→
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  Exercice 5 : Modèle de croissance avec fonctions composées La population d'une colonie de bactéries est modélisée par la fonction $N(t) = 1000 e^{0.5t} \ln(1 + t)$ où $t$ est le temps en heures ( $t \geq 0$ ) et $N(t)$ le nombre de bactéries. Question 1 : Calculer $N(0)$ , $N(1)$ , et $N(2)$ . Interpréter ces résultats dans le contexte du problème. Vérifier que la fonction est bien définie sur $[0, +\infty[$ . Question 2 : Calculer la dérivée $N'(t)$ en utilisant la règle du produit. Montrer que $N'(t) = 1000 e^{0.5t} \left[0.5\ln(1+t) + \frac{1}{1+t}\right]$ et étudier le signe de $N'(t)$ sur $[0, +\infty[$ . Question 3 : Le taux de croissance relatif est...→
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  Exercice 1 : Étude d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ définie sur son domaine de définition. Question 1 : Déterminer le domaine de définition de $f(x)$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ par valeurs supérieures, c'est-à-dire $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ . Question 3 : Calculer les limites aux bornes du domaine : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Question 4 : La fonction $f(x)$ peut-elle être prolongée par continuité en $x = 2$ ? Si oui, déterminer la valeur du prolongement.→
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  Exercice 2 : Étude de la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux Soit la fonction $g(x)$ définie par : $g(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ Question 1 : Montrer que $g$ est continue en $x = 0$ en calculant $\lim_{x \to 0} g(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ pour $x \neq 0$ en utilisant la règle de dérivation du produit. Question 3 : Déterminer si $g$ est dérivable en $x = 0$ en calculant $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ . Question 4 : Si $g$ est dérivable en $x = 0$ , déterminer si $g'$ est continue en $x = 0$ en calculant $\lim_{x \to 0} g'(x)$ .→
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  Exercice 3 : Résolution d'équations et optimisation On considère la fonction $h(x) = x e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}^+$ . Question 1 : Calculer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h$ et déterminer son signe sur $\mathbb{R}^+$ . Question 2 : Déterminer les coordonnées du point où $h(x)$ atteint son maximum sur $\mathbb{R}^+$ et calculer la valeur maximale. Question 3 : Résoudre l'équation $h(x) = \frac{1}{e}$ , c'est-à-dire trouver toutes les valeurs de $x$ telles que $x e^{-x} = \frac{1}{e}$ . Question 4 : Calculer l'aire sous la courbe de $h(x)$ entre $x = 0$ et $x = 2$ en évaluant $\int_0^2 x e^{-x} dx$ par intégration par parties.→
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  Exercice 4 : Étude des fonctions hyperboliques Les fonctions hyperboliques sont définies par : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Question 1 : Démontrer l'identité hyperbolique fondamentale : $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Question 2 : Calculer les dérivées de $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$ , puis en déduire la dérivée de $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ . Question 3 : Résoudre l'équation $\cosh(x) = 3$ en exprimant les solutions sous forme logarithmique. Question 4 : Calculer la limite $\lim_{x \to +\infty} \tanh(x)$ en utilisant les définitions des fonctions hyperboliques.→
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  Exercice 5 : Fonctions trigonométriques et leurs inverses On considère la fonction $f(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ pour $x > 0$ . Question 1 : Calculer la dérivée de $\arctan(x)$ en utilisant la dérivée de la fonction inverse. Question 2 : Déterminer la dérivée de $f(x)$ et montrer que $f(x)$ est constante sur $]0, +\infty[$ . Question 3 : Calculer $f(1)$ et en déduire la valeur de $f(x)$ pour tout $x > 0$ . Question 4 : En utilisant le résultat précédent, résoudre l'équation $\arctan(2) + \arctan(3) = \arctan(y)$ en trouvant la valeur exacte de $y$ .→
Développement limité (40 Exercices)
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  Exercice 1 : Développement limité en 0 On considère la fonction $f(x) = e^{2x} \cos(x)$ . Question 1 : Déterminer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $e^{2x}$ . Question 2 : Déterminer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $\cos(x)$ . Question 3 : En déduire le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $f(x)$ . Question 4 : Donner une estimation de l’erreur commise lorsqu’on approche $f(x)$ par son développement limité à l’ordre 2 pour $x = 0{,}1$ (en valeur absolue).→
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  Exercice 2 : Application aux composée de fonctions Soit $g(x) = \ln(1 + x^2)$ et $h(x) = \sin(g(x))$ . Question 1 : Développer à l’ordre 3 en 0 $g(x)$ . Question 2 : En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $h(x)$ à l’aide du développement de $\sin(y)$ en 0. Question 3 : Calculer l’approximation de $h(0{,}2)$ en utilisant le DL obtenu. Question 4 : Estimer l’erreur commise (en valeur absolue) en comparant à la valeur réelle pour $x = 0{,}2$ .→
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  Exercice 3 : Développement limité en $x = 1$ Soit $f(x) = \sqrt{x}$ . Question 1 : Calculer le développement limité à l’ordre 3 en $x = 1$ de $f(x)$ . Question 2 : En déduire une approximation de $\sqrt{1{,}2}$ via ce développement limité. Question 3 : Calculer l’erreur absolue commise en utilisant cette approximation. Question 4 : Calculer le développement limité à l’ordre 2 en $x = 1$ de $g(x) = \sqrt[3]{x}$ et en déduire une estimation de $\sqrt[3]{1{,}2}$ .→
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  Exercice 4 : Développement limité d’une fonction trigonométrique composée Considérons la fonction $f(x) = \sin(2x) \exp(x)$ . Question 1 : Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $\sin(2x)$ . Question 2 : Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $\exp(x)$ . Question 3 : En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $f(x)$ . Question 4 : Utiliser ce développement pour approximer $f(0{,}2)$ , puis évaluer l’erreur absolue par rapport à la valeur exacte.→
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  Exercice 5 : Estimation de l’erreur sur un développement limité Soit la fonction $f(x) = \ln(1 + x)$ . Question 1 : Écrire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $\ln(1 + x)$ . Question 2 : Calculer $f(0{,}2)$ à l’aide du développement trouvé. Question 3 : Calculer l’erreur réelle sur cette approximation. Question 4 : Utiliser le reste intégral de Taylor pour majorer l’erreur absolue sur l’approximation de $f(0{,}2)$ par son développement limité à l’ordre 3.→
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  Soit la fonction $f(x) = e^x$ . On souhaite déterminer le développement limité de $f$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 4$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $f'(x)$ , $f''(x)$ , $f'''(x)$ , et $f^{(4)}(x)$ de la fonction $f(x) = e^x$ . Question 2: Évaluer chacune de ces dérivées en $x = 0$ , c'est-à-dire calculer $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ , et $f^{(4)}(0)$ . Question 3: En utilisant la formule de Taylor-Maclaurin $f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + o(x^4)$ , écrire le développement limité de $e^x$ à l'ordre 4. Question 4: Utiliser ce développement limité pour calculer une approximation de $e^{0.1}$ en gardant tous les termes jusqu'à...→
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  Soit la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ . On souhaite déterminer le développement limité de $g$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 5$ . Question 1: Calculer les cinq premières dérivées $g'(x)$ , $g''(x)$ , $g'''(x)$ , $g^{(4)}(x)$ , et $g^{(5)}(x)$ de la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ . Question 2: Évaluer ces dérivées en $x = 0$ , c'est-à-dire calculer $g(0)$ , $g'(0)$ , $g''(0)$ , $g'''(0)$ , $g^{(4)}(0)$ , et $g^{(5)}(0)$ . Question 3: En utilisant la formule de Taylor-Maclaurin, écrire le développement limité de $\ln(1 + x)$ à l'ordre 5 en calculant chaque coefficient $\frac{g^{(k)}(0)}{k!}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Question 4: Utiliser ce développement limité pour calculer une...→
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  Soit la fonction $h(x) = \cos(x)$ . On souhaite déterminer le développement limité de $h$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 6$ . Question 1: Calculer les six premières dérivées de $h(x) = \cos(x)$ , c'est-à-dire $h^{(k)}(x)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Question 2: Évaluer toutes ces dérivées en $x = 0$ , en notant que les dérivées de $\cos(x)$ suivent un motif périodique. Question 3: En utilisant la formule de Taylor, construire le développement limité de $\cos(x)$ à l'ordre 6 en calculant les coefficients $\frac{h^{(k)}(0)}{k!}$ pour chaque terme. Question 4: Utiliser ce développement limité pour calculer une approximation de $\cos(0.5)$ en gardant tous les termes jusqu'à l'ordre...→
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  Soit la fonction $f(x) = e^{-x^2}$ . On souhaite déterminer le développement limité de $f$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 6$ . Question 1: En utilisant le développement limité connu de $e^u$ à l'ordre 3 (soit $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ ), exprimer le développement limité de $e^{-x^2}$ en remplaçant $u$ par $-x^2$ . Question 2: Calculer et simplifier les puissances de $-x^2$ pour obtenir les premiers termes du développement, notamment $(-x^2)^2 = x^4$ et $(-x^2)^3 = -x^6$ . Question 3: Écrire le développement limité complet de $e^{-x^2}$ à l'ordre 6 en combinant tous les termes et en mettant en évidence les puissances paires de $x$ . Question 4:...→
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  Soit la fonction $p(x) = \sin(x) - x$ . On souhaite étudier le comportement local de $p$ au voisinage de $x = 0$ en utilisant le développement limité. Question 1: Utiliser le développement limité connu de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)$ pour obtenir le développement limité de $p(x) = \sin(x) - x$ à l'ordre 7. Question 2: En mettant en facteur le premier terme non nul du développement limité de $p(x)$ , montrer que $p(x) = -\frac{x^3}{6}\left(1 + \frac{x^2}{20} - \frac{x^4}{168} + o(x^4)\right)$ . Question 3: Calculer les trois premières dérivées $p'(x)$ , $p''(x)$ , et $p'''(x)$ et évaluer ces dérivées en $x = 0$ pour confirmer que le développement limité commençe au terme en $x^3$ . Question 4: Utiliser le développement limité pour...→
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  Exercice 1 : Développement limité de l'exponentielle On considère la fonction $f(x) = e^{2x}$ étudiée au voisinage de $x_0 = 0$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 3 de $e^{2x}$ en $x = 0$ . Question 2 : Utilisez ce développement limité pour calculer une approximation de $e^{0.2}$ à l'ordre 3. Donnez la valeur approchée obtenue. Question 3 : Calculez l'erreur absolue commise par ce développement limité par rapport à la valeur exacte de $e^{0.2}$ (donnez la valeur avec 5 décimales). Question 4 : Déterminez à l'ordre 3 le développement limité de la fonction $g(x) = x \, e^{2x}$ au voisinage de $0$ .→
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  Exercice 2 : Développement limité du logarithme Soit la fonction $f(x) = \ln(1+x^2)$ étudiée au voisinage de $x_0 = 0$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 3 de $\ln(1+x^2)$ en $x = 0$ . Question 2 : Utilisez ce développement limité pour calculer une approximation de $\ln(1+0.04)$ à l'ordre 3. Question 3 : En posant $g(x) = \frac{\ln(1+x^2)}{x}$ , développez à l'ordre 2 la fonction $g(x)$ autour de 0 (hors 0). Question 4 : Calculez la limite de $g(x)$ en $x \to 0$ à l'aide du DL précédent.→
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  Exercice 3 : Développement limité de la fonction trigonométrique On considère $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ étudiée autour de $x = 0$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 2 de $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ au voisinage de 0. Question 2 : Utilisez ce développement pour approximer $\sin(\frac{\pi}{6} + 0.05)$ à l'ordre 2. Question 3 : Calculez l’erreur absolue entre la valeur approchée et la valeur exacte arrondie à 5 décimales. Question 4 : Donnez le développement limité à l'ordre 2 de $g(x) = x\sin(x + \frac{\pi}{6})$ autour de 0.→
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  Exercice 4 : Développement limité du cosinus et composition Soit $f(x) = \cos(3x)$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 4 de $\cos(3x)$ en $x = 0$ . Question 2 : Utilisez ce DL pour calculer une approximation de $\cos(0.09)$ à l'ordre 4. Question 3 : Soit $g(x) = \cos(3x^2)$ . Donnez le DL à l'ordre 2 de $g(x)$ autour de $0$ . Question 4 : Approximez $\cos(3\times0.03^2)$ à l'aide du DL précédent et donnez le résultat arrondi à 5 décimales.→
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  Exercice 5 : Développement limité d'une fonction composée et inverse Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1-x}\,$ étudiée pour $|x| Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 3 de $ f(x) $ au voisinage de $ x = 0 $. Question 2 : Utilisez ce développement limité pour approximer $ \frac{1}{1-0.1} $ à l'ordre 3 et comparez avec la valeur exacte (arrondie à 4 décimales). Question 3 : Développez à l'ordre 3 la fonction $ g(x) = \frac{x}{1-x} $ au voisinage de $ 0 $. Question 4 : Utilisez ce DL pour approximer $ g(0.05) $ à l'ordre 3.→
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  Exercice 1 : Développement limité de $e^x$ au voisinage de $0$ et approximation numérique On considère la fonction $f(x) = e^x$ , définie sur $\mathbb{R}$ . On s'intéresse à son développement limité au voisinage de $0$ et à des applications numériques. Question 1 : Calculez le développement limité de $f(x) = e^x$ à l'ordre $4$ au voisinage de $0$ (polynôme de Taylor d'ordre $4$ en $0$ ). Question 2 : À partir du développement limité obtenu à la question 1, calculez une approximation numérique de $e^{0{,}1}$ (en remplaçant $x$ par $0{,}1$ ) en détaillant toutes les étapes de calcul. Question 3 : En utilisant...→
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  Exercice 2 : Développements limités de $\ln(1+x)$ et combinaison pour approcher $\ln(3)$ On considère les fonctions $f(x) = \ln(1+x)$ et $g(x) = \ln(1-x)$ , définies pour $|x| Question 1 : Calculez le développement limité de $ f(x) = \ln(1+x) $ à l'ordre $ 3 $ au voisinage de $ 0 $. Question 2 : Calculez le développement limité de $ g(x) = \ln(1-x) $ à l'ordre $ 3 $ au voisinage de $ 0 $. Question 3 : À partir des résultats précédents, déduisez le développement limité de $ h(x) = \ln \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) $ à l'ordre $ 3 $ au voisinage de $ 0 $ et simplifiez l'expression. Question 4 : En utilisant le développement limité de $ h(x) $, donnez une approximation numérique de $ \ln(3) $ en prenant $ x = 0{,}5 $, puis calculez la valeur approchée obtenue.→
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  Exercice 3 : Développements limités de $\sqrt{1+x}$ , $(1+x)^2$ et produit de fonctions On considère les fonctions $f(x) = \sqrt{1+x}$ et $g(x) = (1+x)^2$ , définies pour $x > -1$ . On définit ensuite $h(x) = f(x) \cdot g(x) = \sqrt{1+x} \,(1+x)^2$ . Question 1 : Calculez le développement limité de $f(x) = \sqrt{1+x}$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ . Question 2 : Calculez le développement limité de $g(x) = (1+x)^2$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ . Question 3 : À partir des résultats précédents, déduisez le développement limité de $h(x) = \sqrt{1+x} \, (1+x)^2$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ en effectuant le produit des polynômes. Question 4 : En utilisant le développement limité de...→
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  Exercice 4 : Développement limité de $\ln(x)$ au voisinage de $1$ et approximations numériques On considère la fonction $f(x) = \ln(x)$ , définie sur $\mathbb{R}_+^*$ . On étudie son développement limité au voisinage de $1$ . Question 1 : Calculez les dérivées d’ordre $1$ , $2$ et $3$ de $f(x) = \ln(x)$ , puis leurs valeurs en $x = 1$ . Question 2 : À partir des dérivées calculées, déterminez le polynôme de Taylor de degré $3$ de $\ln(x)$ au voisinage de $1$ , c’est-à-dire le développement limité de $\ln(x)$ à l’ordre $3$ en $1$ . Question 3 : En utilisant ce polynôme de Taylor, donnez...→
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  Exercice 5 : Développements limités de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ et calcul d’un quotient de fonctions On considère les fonctions trigonométriques $\sin(x)$ et $\cos(x)$ au voisinage de $0$ . On étudie également la fonction $h(x) = \sin(x) - x \cos(x)$ . Question 1 : Calculez le développement limité de $\sin(x)$ à l’ordre $5$ au voisinage de $0$ . Question 2 : Calculez le développement limité de $\cos(x)$ à l’ordre $4$ au voisinage de $0$ . Question 3 : En utilisant les résultats précédents, déduisez le développement limité de $h(x) = \sin(x) - x \cos(x)$ à l’ordre $4$ au voisinage de $0$ . Question 4 : À partir du développement limité de...→
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  Exercice 1 : Développement limité d'une fonction exponentielle Soit la fonction $f(x) = e^{2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ en utilisant la formule de Taylor. Question 1 : Calculer les dérivées successives $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ et $f^{(4)}(0)$ de la fonction $f(x) = e^{2x}$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_4(f)$ de $f(x)$ à l'ordre 4 au voisinage de $x = 0$ sous la forme $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + o(x^4)$ , en calculant chaque coefficient $a_k$ . Question 3 : Calculer la valeur approchée de $f(0.1)$ en utilisant le développement...→
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  Exercice 2 : Développement limité et étude de convergence Soit la fonction $g(x) = \sin(3x)$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ et analyser ses propriétés. Question 1 : Calculer les dérivées successives $g(0)$ , $g'(0)$ , $g''(0)$ , $g'''(0)$ , $g^{(4)}(0)$ et $g^{(5)}(0)$ de la fonction $g(x) = \sin(3x)$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_5(g)$ de $g(x)$ à l'ordre 5 au voisinage de $x = 0$ sous la forme $g(x) = b_1 x + b_3 x^3 + b_5 x^5 + o(x^5)$ , en calculant les coefficients non nuls. Question 3 : Calculer une approximation de $g(\pi/18)$ en utilisant le développement...→
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  Exercice 3 : Développement limité et application à l'analyse d'erreur Soit la fonction $h(x) = \ln(1 + 2x)$ définie pour $x > -1/2$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ et l'utiliser pour l'approximation. Question 1 : Calculer les dérivées successives $h(0)$ , $h'(0)$ , $h''(0)$ , $h'''(0)$ et $h^{(4)}(0)$ de la fonction $h(x) = \ln(1 + 2x)$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_4(h)$ de $h(x)$ à l'ordre 4 au voisinage de $x = 0$ sous la forme $h(x) = c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + o(x^4)$ , en calculant chaque coefficient. Question 3 : Calculer une approximation de $\ln(1.1)$ en utilisant le développement limité avec $x = 0.05$ ,...→
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  Exercice 4 : Développement limité et applications numériques Soit la fonction $p(x) = \sqrt{1 + x}$ définie pour $x \geq -1$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ et l'utiliser pour des calculs. Question 1 : Calculer les dérivées successives $p(0)$ , $p'(0)$ , $p''(0)$ , $p'''(0)$ et $p^{(4)}(0)$ de la fonction $p(x) = (1 + x)^{1/2}$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_4(p)$ de $p(x)$ à l'ordre 4 au voisinage de $x = 0$ , en calculant les coefficients $d_0, d_1, d_2, d_3, d_4$ . Question 3 : Calculer une approximation de $\sqrt{1.08}$ en utilisant le développement limité avec $x = 0.08$ , puis donner...→
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  Exercice 5 : Développement limité et analyse de comportement asymptotique Soit la fonction $q(x) = \frac{1}{1 - x}$ définie pour $|x| Question 1 : Calculer les dérivées successives $ q(0) $, $ q'(0) $, $ q''(0) $, $ q'''(0) $ et $ q^{(4)}(0) $ de la fonction $ q(x) = (1 - x)^{-1} $. Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $ DL_4(q) $ de $ q(x) $ à l'ordre 4 au voisinage de $ x = 0 $ sous la forme $ q(x) = e_0 + e_1 x + e_2 x^2 + e_3 x^3 + e_4 x^4 + o(x^4) $. Question 3 : Calculer une approximation de $ \frac{1}{0.9} $ en utilisant le développement limité avec $ x = 0.1 $, puis comparer avec la valeur exacte $ \frac{1}{0.9} = 1.\overline{1} $. Question 4 : Calculer le reste $ |R_4(0.1)| $ en utilisant $ |R_4(x)| \leq \frac{M}{5!}|x|^5 $ où $ M $ majore $ |q^{(5)}(\xi)| $ pour $ \xi \in [0, 0.1] $.→
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  Exercice 1 : Développement limité d'une fonction exponentielle On considère la fonction $f(x) = e^{2x}$ et on souhaite obtenir son développement limité autour du point $x_0 = 0$ à différents ordres. Question 1 : En utilisant la formule de Taylor pour $f(x) = e^{2x}$ , calculer le développement limité à l'ordre 2 autour de $x = 0$ . On rappelle que $f(0) = 1$ . Question 2 : À partir du développement limité d'ordre 2 obtenu à la question précédente, calculer la valeur approchée de $e^{2 \times 0.1}$ et comparer avec la valeur exacte $e^{0.2}$ en utilisant l'approximation $e^{0.2} \approx 1.2214$ . Question 3 : Prolonger le développement limité à l'ordre 4 autour de...→
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  Exercice 2 : Développement limité d'une fonction logarithmique On considère la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ et on étudie son développement limité autour du point $x_0 = 0$ pour des applications pratiques. Question 1 : Calculer les trois premières dérivées de $g(x) = \ln(1 + x)$ , puis déterminer le développement limité à l'ordre 3 autour de $x = 0$ . Question 2 : En utilisant le développement limité d'ordre 3 obtenu, calculer une valeur approchée de $\ln(1.05)$ en posant $x = 0.05$ , puis comparer avec la valeur exacte $\ln(1.05) \approx 0.04879$ . Question 3 : Estimer l'erreur d'approximation du développement d'ordre 3 en utilisant le terme de reste $R_3(x) = -\frac{x^4}{4(1+\xi)^4}$ où $0 Question 4 : Utiliser le développement limité de $ \ln(1 +...→
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  Exercice 3 : Développement limité d'une fonction trigonométrique On étudie le développement limité de la fonction $h(x) = \sin(x)$ et ses applications numériques pour des angles proches de zéro. Question 1 : Calculer les quatre premières dérivées de $\sin(x)$ à l'ordre 0, puis en déduire le développement limité à l'ordre 5 autour de $x = 0$ . Question 2 : En utilisant le développement limité d'ordre 5, calculer une valeur approchée de $\sin(0.3)$ (angle en radians) et la comparer avec la valeur exacte $\sin(0.3) \approx 0.29552$ . Question 3 : Pour la même fonction $\sin(x)$ , calculer le développement limité à l'ordre 7 en déterminant le...→
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  Exercice 4 : Développement limité d'une fonction composée On étudie le développement limité de la fonction composée $f(x) = e^{\sin(x)}$ en combinant les développements de l'exponentielle et du sinus. Question 1 : En utilisant le développement $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ et $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + O(u^4)$ , calculer le développement limité de $e^{\sin(x)}$ à l'ordre 3 autour de $x = 0$ . Question 2 : Calculer la valeur approchée de $e^{\sin(0.2)}$ en utilisant le développement d'ordre 3 obtenu à la question précédente. Question 3 : Prolonger le calcul du développement limité de $e^{\sin(x)}$ à l'ordre 5 en tenant compte des termes d'ordre supérieur du développement du sinus. Question 4 : Recalculer...→
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  Exercice 5 : Développement limité et étude de limite d'une fonction fractionnaire On utilise les développements limités pour calculer des limites de fonctions fractionnaires complexes qui se présentent sous la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Question 1 : Calculer le développement limité à l'ordre 3 de la fonction $p(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ autour de $x = 0$ en utilisant le développement de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ . Question 2 : En déduire la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ en expliquant comment le développement limité permet de lever l'indétermination. Question 3 : Calculer le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $q(x) = \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ en utilisant le développement de l'exponentielle. Question 4 : Déterminer...→
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  Exercice 1 : Analyse de la fonction exponentielle par développement limité Soit la fonction $f(x) = e^x$ . On souhaite déterminer son développement limité au voisinage de $x_0 = 0$ à différents ordres et analyser l'erreur d'approximation. Question 1 : Calculer les dérivées successives $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ et $f'''(0)$ de la fonction $f(x) = e^x$ . Déterminer le développement limité de $e^x$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 3$ en utilisant la formule de Taylor. Question 2 : En utilisant le développement limité obtenu à la question 1, calculer la valeur approchée de $e^{0.5}$ avec le développement d'ordre 3. Exprimer le résultat sous forme...→
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  Exercice 2 : Étude de la fonction sinus par développement limité Soit la fonction $f(x) = \sin(x)$ . On désire obtenir son développement limité au voisinage de $x_0 = 0$ et analyser son comportement pour des petites valeurs de $x$ . Question 1 : Calculer les dérivées successives $f^{(k)}(0)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ de la fonction $f(x) = \sin(x)$ . Déterminer le développement limité de $\sin(x)$ à l'ordre $n = 5$ en utilisant la formule de Taylor au voisinage de $x = 0$ . Question 2 : Utiliser le développement limité obtenu pour calculer l'approximation de $\sin(0.1)$ et $\sin(0.3)$ . Exprimer les résultats en fractions et en décimales, puis comparer avec les...→
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  Exercice 3 : Approximation de la fonction logarithme par développement limité Soit la fonction $f(x) = \ln(1 + x)$ . On souhaite obtenir son développement limité autour de $x_0 = 0$ et analyser la précision de l'approximation pour différentes valeurs de $x$ . Question 1 : Calculer les dérivées successives $f^{(k)}(0)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ de la fonction $f(x) = \ln(1 + x)$ . Déterminer le développement limité de $\ln(1 + x)$ à l'ordre $n = 4$ en utilisant la formule de Taylor au voisinage de $x = 0$ . Question 2 : Utiliser le développement limité pour calculer l'approximation de $\ln(1.2)$ , $\ln(1.5)$ et $\ln(2)$ . Exprimer chaque résultat en fractions et en décimales à 6 chiffres...→
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  Exercice 4 : Étude de la fonction racine carrée par développement limité Soit la fonction $f(x) = \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2}$ . On désire obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ en utilisant la formule binomiale généralisée. Question 1 : Utiliser la formule de Taylor avec $\alpha = \frac{1}{2}$ pour calculer les dérivées successives $f^{(k)}(0)$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ de la fonction $f(x) = (1 + x)^{1/2}$ . Déterminer le développement limité de $\sqrt{1 + x}$ à l'ordre $n = 3$ . Question 2 : Utiliser le développement limité pour calculer les approximations de $\sqrt{1.1}$ , $\sqrt{1.2}$ et $\sqrt{1.5}$ . Exprimer chaque résultat en fractions et en décimales. Comparer avec les valeurs exactes et calculer les...→
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  Exercice 5 : Étude des limites et formes indéterminées via développements limités On souhaite déterminer les limites de plusieurs fonctions en utilisant les développements limités pour lever les indéterminations. Question 1 : Calculer la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$ en utilisant le développement limité de $\sin(x)$ à l'ordre approprié. Montrer tous les termes du développement et interpréter le résultat. Question 2 : Déterminer la limite $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}$ en utilisant le développement limité de $e^x$ . Calculer le coefficient dominant au numérateur et la limite. Question 3 : Calculer la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$ en développant $\ln(1 + x)$ à l'ordre suffisant. Exprimer chaque terme du développement. Question 4...→
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  Soit la fonction $f(x) = e^{2x}$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ et $f^{(4)}(0)$ de la fonction $f(x) = e^{2x}$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 4 de $f(x) = e^{2x}$ au voisinage de $x = 0$ en utilisant la formule de Taylor. Écrire $e^{2x} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + o(x^4)$ où $a_i$ sont les coefficients à calculer. Question 3: Utiliser le développement limité trouvé pour calculer une approximation numérique de $e^{0.2}$ en remplaçant $x = 0.1$ dans le développement. Calculer successivement les contributions de chaque terme. Question 4: Estimer l'erreur d'approximation en comparant la valeur exacte $e^{0.2} \approx 1.2214$ avec l'approximation obtenue. Calculer le...→
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  Soit la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $g'(0)$ , $g''(0)$ , $g'''(0)$ et $g^{(4)}(0)$ de la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 4 de $g(x) = \ln(1 + x)$ au voisinage de $x = 0$ . Exprimer le résultat sous la forme $\ln(1 + x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 + b_4 x^4 + o(x^4)$ . Question 3: Utiliser ce développement pour estimer $\ln(1.05)$ en remplaçant $x = 0.05$ . Calculer successivement chaque terme de la série. Question 4: Comparer l'approximation obtenue avec la valeur exacte $\ln(1.05) \approx 0.04879$ . Calculer l'erreur relative en pourcentage et analyser la précision du développement.→
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  Soit la fonction $h(x) = \sin(x)$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $h'(0)$ , $h''(0)$ , $h'''(0)$ et $h^{(4)}(0)$ et $h^{(5)}(0)$ de la fonction $h(x) = \sin(x)$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 5 de $h(x) = \sin(x)$ au voisinage de $x = 0$ . Exprimer le résultat sous la forme $\sin(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + c_5 x^5 + o(x^5)$ . Question 3: Utiliser ce développement pour estimer $\sin(\pi/6)$ où $\pi/6 \approx 0.5236$ . Calculer les contributions successives et obtenir une approximation. Question 4: Comparer l'approximation avec la valeur exacte $\sin(\pi/6) = 0.5$ . Calculer l'erreur absolue et analyser pourquoi cette erreur est plus grande que dans les exercices précédents.→
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  Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1-x}$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ , $f^{(4)}(0)$ et $f^{(5)}(0)$ de la fonction $f(x) = \frac{1}{1-x}$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 5 de $f(x) = \frac{1}{1-x}$ au voisinage de $x = 0$ . Exprimer sous la forme $\frac{1}{1-x} = d_0 + d_1 x + d_2 x^2 + d_3 x^3 + d_4 x^4 + d_5 x^5 + o(x^5)$ . Question 3: Utiliser ce développement pour estimer $\frac{1}{1-0.1} = \frac{1}{0.9}$ . Calculer les contributions de chaque terme et obtenir une approximation. Question 4: Comparer avec la valeur exacte $\frac{1}{0.9} = 1.1111...$ . Calculer l'erreur absolue et relative. Puis examiner comment le développement se comporterait pour $x = 0.2$ et $x = 0.5$ .→
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  Soit la fonction $p(x) = e^{\sin(x)}$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: En utilisant les développements limités connus de $\sin(x)$ et $e^u$ , déterminer le développement limité d'ordre 3 de $p(x) = e^{\sin(x)}$ . Procéder étape par étape en composant les deux développements. Question 2: Calculer explicitement les coefficients du développement $e^{\sin(x)} = e_0 + e_1 x + e_2 x^2 + e_3 x^3 + o(x^3)$ en utilisant le produit de Cauchy. Question 3: Utiliser ce développement limité pour estimer $e^{\sin(0.1)}$ . Calculer numériquement chaque terme du développement et obtenir une approximation d'ordre 3. Question 4: Comparer l'approximation obtenue avec la valeur numérique exacte $e^{\sin(0.1)} \approx 1.10526$ . Calculer l'erreur absolue et discuter du domaine de validité du...→
Algèbre linéaire (25 Exercices)
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  Exercice 2 : Espaces vectoriels et dimension Soit $V$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 à coefficients réels. 1. Vérifiez que $V$ est un espace vectoriel pour l'addition et la multiplication par un scalaire. 2. Donnez une base explicite de $V$ et calculez sa dimension. 3. Exprimez le polynôme $P(X) = 3 - 2X + X^2$ dans la base canonique. 4. Vérifiez si les polynômes $Q_1(X) = X^2 + 1$ , $Q_2(X) = X$ , $Q_3(X) = X^2 - X$ sont linéairement indépendants.→
- 2
  Exercice 3 : Application linéaire, noyau et image On considère $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x + 2y, y - z)$ . 1. Calculez $f(1, 0, 2)$ et $f(0, 1, -1)$ . 2. Déterminez le noyau de $f$ . 3. Déterminez l'image de $f$ . 4. Calculez le rang de $f$ .→
- 3
  Soit $ E = \mathbb{R}^2 $ muni de l'addition vectorielle habituelle et de la multiplication par un scalaire. On considère les vecteurs $ \vec{u} = (2, 3) $ et $ \vec{v} = (-1, 4) $ . Question 1 : Calculer leur somme : $\vec{u} + \vec{v}$ . Question 2 : Calculer la combinaison linéaire $3\vec{u} - 2\vec{v}$ . Question 3 : Montrer la distributivité : calculer $2(\vec{u} + 3\vec{v})$ . Question 4 : Calculer le vecteur opposé de $\vec{u} + \vec{v}$ et vérifier sa somme avec $\vec{u} + \vec{v}$ .→
- 4
  On considère les vecteurs de $ \mathbb{R}^3 $ : $\vec{a} = (1, 2, -1)$ , $\vec{b} = (2, 1, 0)$ et $\vec{c} = (0, 1, 1)$ . Question 1 : Déterminer si $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ sont linéairement indépendants. Question 2 : Trouver une base du sous-espace $F = \text{Vect}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ . Question 3 : Calculer la dimension de $F$ . Question 4 : Exprimer $(3, 7, 2)$ comme combinaison linéaire de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ si possible.→
- 5
  On considère l'ensemble $W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ . Question 1 : Montrer que $W$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et proposer une famille génératrice composée de 2 vecteurs. Question 2 : Trouver une base de $W$ et en déduire sa dimension. Question 3 : Exprimer $(2, -3, 1)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base trouvée s'il appartient à $W$ . Question 4 : Calculer les coordonnées du symétrique de $(5, -2, -3)$ par rapport à $W$ dans $\mathbb{R}^3$ .→
- 6
  On considère l’application linéaire $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (x + 2y, 3x - y)$ . Question 1 : Calculer l’image de $(2, 1)$ et $(-1, 4)$ . Question 2 : Déterminer une équation cartésienne du noyau de $f$ . Question 3 : Calculer le rang de $f$ . Question 4 : En déduire une base de l’image de $f$ .→
- 7
  Soit $g: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ l’application définie par $g(x, y, z) = (x - y + 2z, 2x + 3y - z)$ . Question 1 : Déterminer le noyau de $g$ . Question 2 : Calculer la dimension du noyau. Question 3 : Trouver une base de l’image de $g$ . Question 4 : Calculer le rang de $g$ et vérifier le théorème du rang.→
- 8
  Considérons l'ensemble $V = \mathbb{R}^3$ muni de l'addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire usuelles. Soient les vecteurs $u = (1, 2, -1)$ , $v = (0, -1, 2)$ et $w = (2, 3, 1)$ . Question 1: Vérifier si $u, v$ et $w$ sont linéairement indépendants. Question 2: Exprimer le vecteur $t = (3, 5, 0)$ comme combinaison linéaire de $u, v$ et $w$ si possible. Question 3: Former une base de $V$ à partir de $u, v$ et $w$ , puis déterminer la dimension de $V$ . Question 4: Calculer la coordonnée du vecteur $p = (1, 0, 3)$ dans cette base.→
- 9
  Soit l'espace vectoriel $F = \mathbb{R}^2$ et soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}$ . Définissons l'application linéaire $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ par $f(X) = AX + B$ . Question 1: Calculer $f\left(\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\right)$ . Question 2: Déterminer l'ensemble des points fixes de $f$ par le calcul. Question 3: Calculer le noyau de l'application linéaire associée $g(X) = AX$ , puis donner une base de ce noyau. Question 4: Calculer le rang de $g$ et en déduire le rang de $f$ .→
- 10
  Dans l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}^4$ , soient $v_1 = (1, 0, 1, 2)$ , $v_2 = (2, 1, 0, 0)$ et $v_3 = (0, 1, -1, 1)$ . Question 1: Calculer le sous-espace vectoriel $F = \text{Vect}(v_1, v_2, v_3)$ et déterminer sa dimension. Question 2: Déterminer une base de $F$ par la méthode de Gauss. Question 3: Trouver $\dim E/F$ (le codimension de $F$ dans $E$ ). Question 4: Pour $w = (3, 2, 0, 2)$ , déterminer s'il appartient à $F$ par le calcul explicite, et s'il y appartient donner ses coordonnées dans la base de $F$ .→
- 11
  Soit l'espace vectoriel $V = \mathbb{R}_3[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Soit $f:V \to V$ définie par $f(P)(X) = P(X+1) - P(X)$ . Question 1: Calculer $f(X^3)$ . Question 2: Calculer le noyau de $f$ . Question 3: Trouver une base et la dimension de l'image de $f$ . Question 4: Calculer le rang de $f$ .→
- 12
  Soit $E = \mathbb{R}^3$ et l'application linéaire $f:E \to E$ définie par $f(x,y,z) = (2x - y + z, x + y, y - z)$ . Question 1: Calculer la matrice de $f$ dans la base canonique. Question 2: Calculer le noyau de $f$ et exhiber une base du noyau. Question 3: Calculer l'image de $f$ et donner une base de l'image. Question 4: Calculer le rang de $f$ et vérifier le théorème du rang.→
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  Soit $\mathbb{R}^3$ l'espace vectoriel réel standard muni de la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ . On définit l'application $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ par sa matrice représentative dans la base canonique : $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ Cette application est linéaire et représente une transformation géométrique dans l'espace tridimensionnel. Question 1 : Calculer l'image du vecteur $v = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$ par l'application $f$ , c'est-à-dire déterminer $f(v)$ . Question 2 : Déterminer le noyau $\ker(f)$ en résolvant l'équation $f(x) = 0$ où $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}$ , puis calculer la dimension de $\ker(f)$ . Question 3 : Utiliser le théorème du rang pour calculer la dimension de l'image $\text{Im}(f)$ et vérifier la relation $\dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(\mathbb{R}^3)$ . Question 4 :...→
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  Soit $E = \mathbb{R}^2$ l'espace vectoriel des couples de nombres réels. On définit l'application $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ par : $g(x, y) = (x + y, 2x - y, x + 3y)$ Cette application est linéaire et représente une injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$ . Question 1 : Écrire la matrice représentative $A$ de l'application $g$ par rapport aux bases canoniques de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ , puis déterminer les dimensions des espaces de départ et d'arrivée. Question 2 : Calculer le noyau $\ker(g)$ et déterminer la dimension du noyau. L'application $g$ est-elle injective ? Question 3 : Déterminer le rang de $g$ en réduisant la matrice $A$ à la forme échelonnée, puis vérifier le théorème du...→
- 15
  Soit $V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + 2y - z = 0\}$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ défini par une équation linéaire. On définit l'application $h: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ par : $h(x, y, z) = x + 2y - z$ L'objectif est de comprendre la structure du sous-espace $V$ et sa relation avec l'application $h$ . Question 1 : Montrer que $h$ est une application linéaire et écrire sa matrice représentative dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}$ . Question 2 : Déterminer une base de $V = \ker(h)$ en exprimant les solutions générales de l'équation $x + 2y - z = 0$ , puis calculer la dimension de $V$ . Question 3 : Calculer le rang de $h$ et utiliser le théorème du rang pour vérifier que...→
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  Soit $\mathbb{R}^2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus $2$ à coefficients réels. Cet espace admet une base naturelle $\mathcal{B} = \{1, X, X^2\}$ . On définit l'application $\phi: \mathbb{R}^2[X] \to \mathbb{R}^3$ par : $\phi(P) = (P(0), P(1), P(2))$ où $P(0)$ , $P(1)$ , et $P(2)$ sont les valeurs du polynôme aux points $0, 1, 2$ respectivement. Question 1 : Montrer que $\phi$ est une application linéaire en vérifiant les propriétés de linéarité. Question 2 : Déterminer la matrice $A$ représentative de $\phi$ par rapport aux bases canoniques de $\mathbb{R}^2[X]$ et $\mathbb{R}^3$ . Question 3 : Calculer le noyau $\ker(\phi)$ , déterminer sa dimension, et en donner une base. Question 4 :...→
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  Soit $E = \mathbb{R}^4$ l'espace vectoriel réel de dimension $4$ . On définit l'application $\psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ par sa matrice représentative : $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ L'objectif est de déterminer les propriétés fondamentales de cette application. Question 1 : Calculer l'image du vecteur $w = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ par l'application $\psi$ , c'est-à-dire déterminer $\psi(w)$ . Question 2 : Déterminer le noyau $\ker(\psi)$ en résolvant l'équation $Bx = 0$ et calculer sa dimension. Question 3 : Réduire la matrice $B$ à la forme échelonnée et déterminer le rang de $\psi$ . Question 4 : Vérifier le théorème du rang en calculant $\dim(\ker(\psi)) + \text{rg}(\psi)$ et comparer avec $\dim(\mathbb{R}^4)$ . Déterminer également si $\psi$ est surjective....→
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  Soit l'ensemble $G = \mathbb{Z}_7$ muni de l'opération $\oplus$ définie par $a \oplus b = (a + 3b) \bmod 7$ . Question 1 : Montrer que $\oplus$ est une loi de composition interne sur $G$ en calculant explicitement quelques exemples. Question 2 : Déterminer pour $a = 4$ et $b = 5$ la valeur de $a \oplus b$ et $b \oplus a$ . Question 3 : Calculer $((2 \oplus 6) \oplus 3)$ et comparer avec $(2 \oplus (6 \oplus 3))$ . Question 4 : Pour l'élément $a = 5$ , existe-t-il un neutre pour $\oplus$ ? Calculer $a \oplus e$ et $e \oplus a$ pour $e \in G$ et en déduire (calcul explicite).→
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  Soit $V = \mathbb{R}^3$ et les vecteurs $u = (1, 2, 0)$ , $v = (0, 1, 3)$ , $w = (1, 0, 3)$ . Question 1 : Montrer que $(u,v,w)$ est une famille génératrice de $V$ en résolvant un système linéaire. Question 2 : Les vecteurs sont-ils linéairement indépendants ? Calculez le déterminant correspondant. Question 3 : Si $z = (2,1,3)$ , exprimer $z$ comme combinaison linéaire de $u, v, w$ par calcul direct. Question 4 : Trouver une base $B'$ contenant $u$ et composée de vecteurs à coordonnées entières, et calculer sa matrice de passage vers la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .→
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  Soit $F$ l'ensemble de tous les triplets $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ tels que $x - 2y + z = 0$ et $3x + y - z = 0$ . Question 1 : Déterminer une base de $F$ par résolution du système linéaire. Question 2 : Calculer la dimension de $F$ . Question 3 : Exprimer tous les éléments de $F$ sous forme vectorielle explicite. Question 4 : Pour $w = (1, 1, 1)$ , déterminer si $w \in F$ , calculant et expliquant clairement.→
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  Exercice 1 : Loi de composition interne sur un ensemble On considère l'ensemble $E = \mathbb{R}^2$ muni de la loi de composition interne $\star$ définie par : $(x_1, y_1) \star (x_2, y_2) = (x_1 + x_2 + 1, y_1 + y_2 - 2)$ Question 1 : Montrer que la loi $\star$ est associative en vérifiant que pour tous $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3) \in E$ , on a $[(a_1, b_1) \star (a_2, b_2)] \star (a_3, b_3) = (a_1, b_1) \star [(a_2, b_2) \star (a_3, b_3)]$ . Question 2 : Déterminer l'élément neutre $e = (e_x, e_y)$ de la loi $\star$ en résolvant le système $(x, y) \star (e_x, e_y) = (x, y)$ pour tout $(x, y) \in E$ . Question 3 : Pour un élément $(x, y) \in E$ , déterminer son symétrique $(x', y')$ tel que $(x, y) \star (x', y') = e$ , où $e$ est l'élément neutre trouvé en Question 2. Question 4 : Soit l'élément $u = (2, 3)$ . Calculer...→
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  Exercice 2 : Sous-espace vectoriel et base Soit $E = \mathbb{R}^4$ et considérons le sous-ensemble $F$ défini par : $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + 2y - z = 0 \text{ et } y + t = 0\}$ Question 1 : Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ en vérifiant que pour tous vecteurs $u = (x_1, y_1, z_1, t_1), v = (x_2, y_2, z_2, t_2) \in F$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ , on a $u + v \in F$ et $\lambda u \in F$ . Question 2 : Déterminer une représentation paramétrique de $F$ en exprimant les vecteurs de $F$ en fonction de paramètres libres. En déduire deux vecteurs $v_1$ et $v_2$ qui engendrent $F$ . Question 3 : Vérifier que les vecteurs $v_1$ et $v_2$ trouvés en Question 2 sont linéairement indépendants en résolvant l'équation $\alpha v_1 + \beta v_2 = 0$...→
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  Exercice 3 : Application linéaire et représentation matricielle Soit $f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire définie par : $f(x, y, z) = (2x + y - z, x - y + 3z, -x + 2y + z)$ Question 1 : Déterminer la matrice $A$ de l'application linéaire $f$ dans la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ de $\mathbb{R}^3$ en calculant $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ . Question 2 : Calculer l'image du vecteur $v = (1, 2, -1)$ par l'application $f$ en utilisant le produit matriciel $A \cdot v$ , où $A$ est la matrice trouvée en Question 1. Question 3 : Calculer la composée $f \circ f$ en déterminant la matrice $A^2 = A \times A$ . Vérifier le résultat en calculant $f(f(1, 0, 0))$ . Question 4 : Soit $g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ définie par $g(x, y, z) = (x + y, 2x - z, y + z)$ . Déterminer la matrice $B$ de $g$...→
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  Exercice 4 : Noyau, image et rang d'une application linéaire Soit $\varphi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est : $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ Question 1 : Déterminer le noyau $\text{Ker}(\varphi)$ en résolvant le système homogène $M \cdot X = 0$ , où $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix}$ . Réduire la matrice $M$ sous forme échelonnée et exprimer les solutions en fonction de paramètres libres. Question 2 : Donner une base du noyau $\text{Ker}(\varphi)$ à partir de la forme paramétrique trouvée en Question 1, puis calculer $\dim(\text{Ker}(\varphi))$ . Question 3 : Déterminer le rang de $\varphi$ en comptant le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée...→
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  Exercice 5 : Changement de base et transformation linéaire Dans $\mathbb{R}^2$ , on considère deux bases : la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2\}$ où $e_1 = (1, 0)$ et $e_2 = (0, 1)$ , et une nouvelle base $\mathcal{B}' = \{u_1, u_2\}$ où $u_1 = (2, 1)$ et $u_2 = (1, 3)$ . Question 1 : Déterminer la matrice de passage $P$ de la base $\mathcal{B}$ vers la base $\mathcal{B}'$ en écrivant les vecteurs de $\mathcal{B}'$ comme colonnes de $P$ . Question 2 : Calculer l'inverse $P^{-1}$ de la matrice de passage en utilisant la formule $P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ pour $P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Vérifier que $P \cdot P^{-1} = I_2$ . Question 3 : Soit $v = (5, 7)$ un vecteur exprimé dans la base $\mathcal{B}$ ....→
EXERCICE CORRIGES

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Maths 1

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