Physique 1 Recherche avancée

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• Cinématique (50 Exercices)
  • 1
    Exercice 2 : Mouvement circulaire uniforme Un point matériel $M$ se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon $R = 2 \ \text{m}$ avec une vitesse angulaire constante $\omega = 5 \ \text{rad/s}$ . À l'instant $t = 0$ , le point se trouve sur l'axe $Ox$ du repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , où $O$ est le centre du cercle. Question 1 : Déterminer la vitesse linéaire $v$ du point matériel et calculer sa période de révolution $T$ . Question 2 : Établir les équations paramétriques $x(t)$ et $y(t)$ de la position du point $M$ en fonction du temps, sachant que $\theta(t) = \omega t$ . Question 3 : Calculer les composantes du vecteur vitesse...→
  • 2
    Exercice 3 : Mouvement rectiligne uniformément varié Une automobile se déplace sur une route rectiligne. À l'instant $t_0 = 0$ , elle passe par un point $A$ avec une vitesse $v_0 = 20 \ \text{m/s}$ et commence à accélérer avec une accélération constante $a = 3 \ \text{m/s}^2$ jusqu'à atteindre un point $B$ . Elle maintient ensuite une vitesse constante $v_1$ pendant $\Delta t = 10 \ \text{s}$ jusqu'à un point $C$ , puis elle freine avec une décélération constante $a' = -5 \ \text{m/s}^2$ jusqu'à l'arrêt complet au point $D$ . On prend l'origine en $A$ et l'axe $Ox$ dans le sens du mouvement. Question 1 : Sachant que la phase d'accélération dure $t_1 = 5 \ \text{s}$ , calculer la vitesse...→
  • 3
    Exercice 4 : Mouvement curviligne en coordonnées polaires Un point matériel $M$ se déplace dans le plan $(O, \vec{i}, \vec{j})$ selon une trajectoire en spirale dont les coordonnées polaires $(r, \theta)$ évoluent dans le temps selon les lois : $r(t) = 2t$ (en mètres) $\theta(t) = 3t$ (en radians) où $t$ est le temps en secondes. On note $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$ les vecteurs unitaires de la base polaire locale. Question 1 : Calculer les composantes polaires de la vitesse $v_r$ et $v_\theta$ à l'instant $t = 2 \ \text{s}$ . Question 2 : Déterminer le module de la vitesse $||\vec{v}||$ à $t = 2 \ \text{s}$ . Question 3 : Calculer les composantes polaires de...→
  • 4
    Exercice 5 : Mouvement relatif Un train $T$ se déplace sur une voie rectiligne avec une vitesse constante $\vec{V_T} = 25 \vec{i} \ \text{m/s}$ par rapport au sol (référentiel absolu $\mathcal{R}_0$ ). Un voyageur $P$ se déplace à l'intérieur du train selon une trajectoire rectiligne perpendiculaire au mouvement du train avec une vitesse constante $\vec{v_{P/T}} = 1.5 \vec{j} \ \text{m/s}$ par rapport au train (référentiel relatif $\mathcal{R}_T$ ). On considère que le train n'accélère pas. À l'instant $t = 0$ , le voyageur est à l'origine des deux référentiels. Question 1 : Déterminer la vitesse absolue $\vec{v_{P/0}}$ du voyageur par rapport au sol et calculer son module. Question 2 : Établir les...→
  • 5
    Exercice 1 : Oscillation libre d'un système masse-ressort horizontal Un système masse-ressort est constitué d'une masse $m = 2 \text{ kg}$ fixée à un ressort horizontal de raideur $k = 800 \text{ N/m}$ . Le système est placé sur une surface sans frottement. La masse est écartée de sa position d'équilibre d'une distance $x_0 = 0.05 \text{ m}$ puis lâchée sans vitesse initiale. Question 1 : Calculez la pulsation propre $\omega_0$ du système et la période d'oscillation $T$ . Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ et déterminez la position de la masse à l'instant $t = 0.5 \text{ s}$ . Question 3 : Calculez la vitesse maximale $v_{\max}$ atteinte par la masse au cours...→
  • 6
    Exercice 2 : Pendule simple en oscillation libre Un pendule simple est composé d'une masse $m = 0.5 \text{ kg}$ suspendue par un fil inextensible de longueur $L = 1 \text{ m}$ . Le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle initial $\theta_0 = 0.1 \text{ rad}$ (petit angle) puis lâché sans vitesse initiale. On prendra $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ . Question 1 : Calculez la pulsation propre $\omega_0$ du pendule et sa fréquence d'oscillation $f$ . Question 2 : Déduisez l'équation du mouvement angulaire $\theta(t)$ et déterminez l'angle à l'instant $t = 2 \text{ s}$ . Question 3 : Calculez la vitesse linéaire maximale $v_{\max}$ du point de masse au cours de l'oscillation. Question 4 :...→
  • 7
    Exercice 3 : Oscillateur vertical avec ressort et gravité Une masse $m = 1.5 \text{ kg}$ est suspendue à un ressort vertical de raideur $k = 150 \text{ N/m}$ . Au repos, le ressort s'étire d'une longueur $\Delta L_0$ . La masse est alors écartée de $x_0 = 0.08 \text{ m}$ au-dessus de sa position d'équilibre et lâchée sans vitesse initiale. On prendra $g = 10 \text{ m/s}^2$ . Question 1 : Calculez l'allongement initial du ressort $\Delta L_0$ à l'équilibre et la pulsation propre $\omega_0$ du système. Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ (prenant comme origine la position d'équilibre, sens positif vers le haut) et déterminez le déplacement à $t = 1 \text{ s}$ . Question 3 : Calculez...→
  • 8
    Exercice 4 : Oscillation d'un système rotor-amortisseur Un disque de moment d'inertie $I = 0.05 \text{ kg·m}^2$ est monté sur un arbre de torsion de raideur $k_t = 10 \text{ N·m/rad}$ . Le disque est écarté d'un angle $\theta_0 = 0.2 \text{ rad}$ puis lâché sans vitesse angulaire initiale. On néglige l'amortissement. Question 1 : Calculez la pulsation propre $\omega_0$ et la période d'oscillation $T$ du système de torsion. Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement angulaire $\theta(t)$ et calculez l'angle de torsion à $t = 2 \text{ s}$ . Question 3 : Calculez la vitesse angulaire maximale $\dot{\theta}_{\max}$ et la position angulaire correspondante. Question 4 : Déterminez l'énergie de déformation maximale du ressort de torsion...→
  • 9
    Exercice 5 : Oscillateur en échelon d'accélération : Changement de fréquence Un système masse-ressort horizontal a une masse $m = 3 \text{ kg}$ , une raideur $k = 300 \text{ N/m}$ . Le système est au repos à sa position d'équilibre initial. À l'instant $t = 0$ , la base du système subit un déplacement impulsif de $x_{\text{base}} = 0.06 \text{ m}$ (la position d'équilibre se déplace brusquement de 0.06 m). On demande d'étudier le mouvement de la masse dans le nouveau repère (centré sur la nouvelle position d'équilibre). Question 1 : Calculez la pulsation propre $\omega_0$ du système et sa fréquence $f$ . Question 2 : À l'instant $t = 0^+$ (juste après le déplacement),...→
  • 10
    Exercice 1 : Système Masse-Ressort en Oscillation Libre Un système mécanique constitué d'une masse $m = 2 \ \text{kg}$ fixée à un ressort de raideur $k = 128 \ \text{N/m}$ est mis en oscillation libre. La masse est écartée de sa position d'équilibre d'une amplitude initiale de $x_0 = 0.1 \ \text{m}$ puis libérée sans vitesse initiale. Question 1 : Déterminez la pulsation propre $\omega_0$ du système et la période propre $T_0$ de l'oscillation. Question 2 : En supposant que la position initiale est $x(0) = 0.1 \ \text{m}$ et la vitesse initiale $v(0) = 0 \ \text{m/s}$ , écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ complète et déduisez l'équation de la vitesse $v(t)$ . Question 3 : Calculez l'énergie mécanique totale...→
  • 11
    Exercice 2 : Pendule Simple En Oscillation Libre Un pendule simple constitué d'une masse $m = 0.5 \ \text{kg}$ suspendue à un fil inextensible de longueur $L = 1.2 \ \text{m}$ est mis en oscillation libre avec une amplitude angulaire initiale de $\theta_0 = 0.15 \ \text{rad}$ (petites oscillations). On prend $g = 9.81 \ \text{m/s}^2$ . Question 1 : Calculez la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ du pendule. Comparez avec la période d'un pendule de longueur identique sur la Lune ( $g_{\text{Lune}} = 1.62 \ \text{m/s}^2$ ). Question 2 : Exprimez l'angle $\theta(t)$ et la vitesse angulaire $\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}$ en fonction du temps, sachant que $\theta(0) = 0.15 \ \text{rad}$ et $\omega(0) = 0 \ \text{rad/s}$ . Question 3 : Calculez l'énergie mécanique totale du...→
  • 12
    Exercice 3 : Système Masse-Ressort Vertical Une masse $m = 0.8 \ \text{kg}$ est suspendue à un ressort vertical de raideur $k = 40 \ \text{N/m}$ . Le système est d'abord au repos à sa position d'équilibre statique. On le met ensuite en oscillation en le déplaçant vers le bas de $\Delta x = 0.05 \ \text{m}$ puis en le relâchant avec une vitesse initiale descendante de $v_0 = 0.2 \ \text{m/s}$ . Prenez $g = 10 \ \text{m/s}^2$ . Question 1 : Déterminez la position d'équilibre statique $x_{\text{eq}}$ du système (par rapport à sa longueur naturelle), puis la pulsation propre $\omega_0$ et la période $T_0$ des oscillations libres autour de cet équilibre. Question 2 : Écrivez l'équation complète du mouvement...→
  • 13
    Exercice 4 : Système à Deux Ressorts en Série Une masse $m = 2.5 \ \text{kg}$ est attachée à deux ressorts disposés en série. Le premier ressort a une raideur $k_1 = 100 \ \text{N/m}$ et le second $k_2 = 150 \ \text{N/m}$ . Le système est mis en oscillation libre avec une amplitude initiale de $A_0 = 0.08 \ \text{m}$ (sans vitesse initiale). Question 1 : Déterminez la raideur équivalente $k_{\text{eq}}$ du système de deux ressorts en série. Calculez ensuite la pulsation propre $\omega_0$ , la fréquence $f_0$ et la période $T_0$ des oscillations libres. Question 2 : En supposant que $x(0) = 0.08 \ \text{m}$ (écart maximal initial) et $v(0) = 0 \ \text{m/s}$ , écrivez l'équation complète du mouvement $x(t)$ et...→
  • 14
    Exercice 5 : Oscillation d'une Particule Chargée en Potentiel Parabolique Une particule de charge $q = 2 \times 10^{-6} \ \text{C}$ et de masse $m = 0.1 \ \text{kg}$ est placée dans un champ électrique créant un potentiel parabolique de la forme $U(x) = \alpha x^2$ avec $\alpha = 50 \ \text{J/m}^2$ . La particule est libérée d'une position $x_0 = 0.04 \ \text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 0.3 \ \text{m/s}$ dirigée vers la position d'équilibre. Question 1 : Déterminez la force de rappel $F(x)$ agissant sur la particule. Déduisez la raideur effective $k_{\text{eff}}$ , puis calculez la pulsation propre $\omega_0$ et la période $T_0$ de l'oscillation. Question 2 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\text{mec}}$ du système (énergie potentielle + énergie cinétique). En...→
  • 15
    Exercice 1 : Mouvement rectiligne uniformément accéléré avec changement de phase Un véhicule démarre d'un feu tricolore situé à l'origine $x_0 = 0$ . Pendant les $t_1 = 8 \text{ s}$ premières secondes, le véhicule accélère uniformément avec une accélération $a_1 = 2,5 \text{ m/s}^2$ . Ensuite, pendant $t_2 = 12 \text{ s}$ , il maintient une vitesse constante. Enfin, pendant $t_3 = 6 \text{ s}$ , il décélère uniformément jusqu'à l'arrêt complet avec une accélération $a_3 = -1,5 \text{ m/s}^2$ . Question 1 : Calculez la vitesse maximale $v_{\text{max}}$ atteinte par le véhicule et vérifiez que cette vitesse correspond bien à la fin de la phase d'accélération. Question 2 : Déterminez la position finale $x_f$ du véhicule après les trois phases...→
  • 16
    Exercice 2 : Mouvement bidimensionnel - Tir parabolique avec plateau Un projectile est lancé d'une falaise de hauteur $h_0 = 45 \text{ m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 30 \text{ m/s}$ à un angle $\theta = 30°$ au-dessus de l'horizontale. On néglige la résistance de l'air et on prend $g = 10 \text{ m/s}^2$ . À distance horizontale $x_{\text{plateau}} = 60 \text{ m}$ , se trouve un plateau surélevé à hauteur $h_{\text{plateau}} = 10 \text{ m}$ au-dessus du pied de la falaise. Question 1 : Calculez les composantes horizontale et verticale de la vitesse initiale $v_{0x}$ et $v_{0y}$ . Déterminez le temps $t_1$ pour que le projectile atteigne le plateau. Question 2 : Vérifiez que le projectile franchit bien le plateau...→
  • 17
    Exercice 3 : Mouvement circulaire uniformément accéléré Une roue dentée de rayon $R = 0,5 \text{ m}$ démarre du repos et tourne autour de son axe fixe. Elle subit une accélération angulaire constante $\alpha = 2 \text{ rad/s}^2$ pendant $t_1 = 10 \text{ s}$ . Ensuite, elle continue à tourner à vitesse angulaire constante pendant $t_2 = 8 \text{ s}$ . Enfin, elle décélère uniformément avec une accélération angulaire $\alpha_3 = -0,5 \text{ rad/s}^2$ jusqu'à l'arrêt complet. Question 1 : Calculez la vitesse angulaire maximale $\omega_{\text{max}}$ atteinte par la roue et déterminez le nombre de tours $N_1$ effectués pendant la première phase (accélération). Question 2 : Calculez les accélérations centripète $a_c$ et tangentielle $a_t$ d'un point de la périphérie de...→
  • 18
    Exercice 4 : Mouvement relatif - Référentiels en translation et rotation Un train se déplace le long d'une voie rectiligne horizontale avec une vitesse constante $v_{\text{train}} = 20 \text{ m/s}$ . À l'intérieur du train, une personne lance verticalement vers le haut une balle avec une vitesse relative au train $v_{\text{rel}} = 10 \text{ m/s}$ (dans le référentiel du train). La hauteur initiale de la balle est $h_0 = 1,5 \text{ m}$ (à partir du sol du train). On prend $g = 10 \text{ m/s}^2$ et on néglige la résistance de l'air. Question 1 : Dans le référentiel du train, calculez le temps de vol $t_{\text{vol}}$ de la balle et la hauteur maximale $h_{\text{max}}^{\text{train}}$ atteinte au-dessus...→
  • 19
    Exercice 5 : Cinématique du point avec coordonnées polaires Un drone se déplace en spirale autour d'une antenne verticale. Sa trajectoire en coordonnées polaires $(r, \theta)$ est donnée par : $r(t) = 10 + 2t \text{ (en mètres)}$ $\theta(t) = \frac{\pi}{4} t \text{ (en radians)}$ où t est le temps en secondes. Le drone effectue ce mouvement pendant $t_{\text{total}} = 8 \text{ s}$ . Question 1 : Calculez les composantes radiale $\dot{r}$ et angulaire $\dot{\theta}$ de la vitesse du drone. Déterminez la vitesse totale $v$ du drone à l'instant $t = 4 \text{ s}$ . Question 2 : Calculez les composantes radiale $\ddot{r}$ et angulaire $\ddot{\theta}$ de l'accélération du drone. Déterminez l'accélération centripète $a_{\text{centripète}}$ et tangentielle $a_{\text{tang}}$ à l'instant $t = 4 \text{ s}$ . Question...→
  • 20
    Exercice 1 : Mouvement rectiligne uniformément accéléré d'un mobile Un mobile $M$ se déplace sur un axe horizontal $(Ox)$ avec une accélération constante. À l'instant $t_0 = 0$ s, le mobile se trouve à la position $x_0 = 5$ m avec une vitesse initiale $v_0 = 8$ m/s. L'accélération du mobile est $a = -2$ m/s $^2$ . Question 1 : Établir les équations horaires $v(t)$ et $x(t)$ du mouvement du mobile. Question 2 : Calculer la vitesse et la position du mobile à l'instant $t_1 = 3$ s. Question 3 : Déterminer l'instant $t_s$ auquel le mobile s'arrête et calculer la distance totale parcourue depuis $t_0$ jusqu'à cet instant....→
  • 21
    Exercice 2 : Mouvement parabolique d'un projectile Un projectile est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 25$ m/s faisant un angle $\alpha = 37^\circ$ avec l'horizontale. On prend $g = 10$ m/s $^2$ , $\cos(37^\circ) = 0.8$ et $\sin(37^\circ) = 0.6$ . L'origine du repère est placée au point de lancement. Question 1 : Déterminer les composantes $v_{0x}$ et $v_{0y}$ de la vitesse initiale, puis établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du projectile. Question 2 : Calculer le temps de vol total $T$ du projectile (temps pour retomber au sol) et la portée horizontale $R$ . Question 3 : Déterminer la hauteur maximale $h_{max}$ atteinte...→
  • 22
    Exercice 3 : Mouvement circulaire d'une particule Une particule $M$ se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon $R = 2$ m dans le plan horizontal. À l'instant initial $t = 0$ , la particule se trouve à la position angulaire $\theta_0 = 0$ rad avec une vitesse angulaire $\omega_0 = 3$ rad/s. Le mouvement est caractérisé par une accélération angulaire constante $\alpha = 0.5$ rad/s $^2$ . Question 1 : Établir les équations horaires $\omega(t)$ et $\theta(t)$ du mouvement angulaire, puis calculer la position angulaire à $t = 4$ s. Question 2 : Calculer la vitesse tangentielle $v_t$ et l'accélération tangentielle $a_t$ de la particule à l'instant $t = 4$ s. Question 3...→
  • 23
    Exercice 4 : Mouvement relatif de deux mobiles Deux mobiles $A$ et $B$ se déplacent sur un axe horizontal $(Ox)$ . À l'instant $t = 0$ , le mobile $A$ est en $x_A = 0$ m avec une vitesse constante $v_A = 15$ m/s. Au même instant, le mobile $B$ est en $x_B = 100$ m, initialement au repos ( $v_{B0} = 0$ ), et commence à se déplacer avec une accélération constante $a_B = 2$ m/s $^2$ dans le sens positif de l'axe. Question 1 : Établir les équations horaires $x_A(t)$ et $x_B(t)$ des deux mobiles. Question 2 : Déterminer l'instant $t_r$ et la position $x_r$ où les deux mobiles se...→
  • 24
    Exercice 5 : Mouvement curviligne en coordonnées polaires Une particule $M$ se déplace dans le plan $(Oxy)$ selon une trajectoire définie en coordonnées polaires par $r(t) = 2 + 0.5t$ (en mètres) et $\theta(t) = 0.4t^2$ (en radians), où $t$ est le temps en secondes. Question 1 : Calculer les vitesses radiale $\dot{r}$ et angulaire $\dot{\theta}$ à l'instant $t = 2$ s. Question 2 : Déterminer les composantes de la vitesse $v_r$ et $v_\theta$ dans la base polaire $(\vec{e_r}, \vec{e_\theta})$ à $t = 2$ s, puis calculer le module de la vitesse. Question 3 : Calculer les accélérations radiale $\ddot{r}$ et angulaire $\ddot{\theta}$ à l'instant $t = 2$ s. Question 4 : Déterminer...→
  • 25
    Exercice 1 : Système Masse-Ressort Non Amorti Un système mécanique est constitué d'une masse $m = 2\,\text{kg}$ attachée à un ressort de raideur $k = 800\,\text{N/m}$ . À l'instant initial $t = 0$ , la masse est déplacée d'une distance $x_0 = 0.05\,\text{m}$ de sa position d'équilibre et relâchée avec une vitesse initiale $v_0 = 0.4\,\text{m/s}$ dans le sens positif. Question 1 : Calculer la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ du système. Question 2 : Déterminer l'amplitude $A$ des oscillations et la phase initiale $\varphi$ . Question 3 : Écrire l'équation horaire du mouvement $x(t)$ et calculer la position de la masse à l'instant $t_1 = 0.1\,\text{s}$ . Question...→
  • 26
    Exercice 2 : Oscillations Amorties d'un Système Mécanique Un système oscillant est composé d'une masse $m = 5\,\text{kg}$ reliée à un ressort de constante de raideur $k = 500\,\text{N/m}$ et d'un amortisseur de coefficient de frottement visqueux $c = 40\,\text{N·s/m}$ . Le système est écarté de sa position d'équilibre de $x_0 = 0.08\,\text{m}$ et lâché sans vitesse initiale. Question 1 : Calculer le coefficient d'amortissement $\lambda$ , la pulsation propre $\omega_0$ , et déterminer la nature du régime d'oscillation (pseudo-période $\omega_d$ ). Question 2 : Calculer le décrément logarithmique $\delta$ et le facteur de qualité $Q$ du système. Question 3 : Établir l'équation du mouvement $x(t)$ et calculer...→
  • 27
    Exercice 3 : Pendule Simple en Oscillations Libres Un pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle $m = 0.5\,\text{kg}$ suspendue à l'extrémité d'un fil inextensible de longueur $L = 1.2\,\text{m}$ . Le pendule est écarté d'un angle initial $\theta_0 = 8^\circ$ par rapport à la verticale et lâché sans vitesse angulaire initiale. On prend $g = 9.81\,\text{m/s}^2$ . Question 1 : Calculer la pulsation propre $\omega_0$ et la période $T_0$ des petites oscillations du pendule. Question 2 : Déterminer l'équation horaire $\theta(t)$ du mouvement angulaire et calculer l'angle à l'instant $t = 1\,\text{s}$ . Question 3 : Calculer la vitesse angulaire maximale $\dot{\theta}_{max}$ et la vitesse linéaire maximale $v_{max}$ de...→
  • 28
    Exercice 4 : Oscillations Torsionnelles d'un Disque Un disque homogène de masse $m = 3\,\text{kg}$ et de rayon $R = 0.15\,\text{m}$ est suspendu horizontalement par un fil vertical attaché en son centre. Le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe vertical est $J = \frac{1}{2}mR^2$ . Lorsqu'on fait tourner le disque d'un angle $\theta$ autour de l'axe vertical, le fil exerce un couple de rappel $C = -K\theta$ où $K = 0.8\,\text{N·m/rad}$ est la constante de torsion. Le disque est tordu d'un angle initial $\theta_0 = 15^\circ$ puis relâché. Question 1 : Calculer le moment d'inertie $J$ du disque et la pulsation propre $\omega_0$ des oscillations torsionnelles. Question 2 : Déterminer...→
  • 29
    Exercice 5 : Système Masse-Ressort avec Conditions Initiales Complexes Un système oscillant horizontal est formé d'une masse $m = 1.5\,\text{kg}$ attachée à un ressort de constante $k = 600\,\text{N/m}$ . À l'instant initial $t = 0$ , la masse se trouve à la position $x_0 = -0.03\,\text{m}$ (comprimé) et possède une vitesse $v_0 = -0.6\,\text{m/s}$ (vers les positions négatives). Question 1 : Calculer la pulsation propre $\omega_0$ , la période $T_0$ , et la fréquence $f_0$ du système. Question 2 : Déterminer l'amplitude $A$ des oscillations et la phase initiale $\varphi$ en tenant compte du signe de la vitesse. Question 3 : Écrire l'équation horaire complète $x(t)$ et calculer les...→
  • 30
    Exercice 1 : Mouvement Rectiligne d'un Mobile sur une Piste Un mobile se déplace sur une piste rectiligne selon une loi horaire donnée par : $x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 5$ , où $x$ est exprimé en mètres et $t$ en secondes. Question 1 : Déterminer l'expression de la vitesse $v(t)$ du mobile en fonction du temps, puis calculer sa valeur numérique à l'instant $t = 2 \, \text{s}$ . Question 2 : Déterminer l'expression de l'accélération $a(t)$ du mobile en fonction du temps, puis calculer sa valeur numérique à l'instant $t = 2 \, \text{s}$ . Question 3 : Déterminer les instants où le mobile s'arrête (vitesse nulle) et préciser les positions...→
  • 31
    Exercice 2 : Mouvement Parabolique d'un Projectile Un projectile est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 30 \, \text{m/s}$ faisant un angle $\alpha = 53^\circ$ avec l'horizontale. On prend $g = 10 \, \text{m/s}^2$ et on néglige la résistance de l'air. On utilise un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ où $O$ est le point de lancement, $\vec{i}$ est horizontal et $\vec{j}$ est vertical ascendant. Données : $\cos(53^\circ) = 0,6$ et $\sin(53^\circ) = 0,8$ . Question 1 : Déterminer les composantes de la vitesse initiale $v_{0x}$ et $v_{0y}$ , puis établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du mouvement. Question 2 : Calculer la durée totale du vol $T$ du projectile (temps pour retomber...→
  • 32
    Exercice 3 : Mouvement Circulaire Uniforme d'une Particule Une particule $M$ décrit un mouvement circulaire uniforme de rayon $R = 0,5 \, \text{m}$ dans le plan horizontal. À l'instant $t = 0$ , la particule se trouve sur l'axe $Ox$ et sa vitesse angulaire est constante $\omega = 4 \, \text{rad/s}$ . On utilise un repère polaire $(O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$ centré en $O$ (centre du cercle). Question 1 : Déterminer l'expression de l'angle $\theta(t)$ en fonction du temps, puis calculer sa valeur à l'instant $t = \frac{\pi}{8} \, \text{s}$ . Question 2 : Calculer le module de la vitesse linéaire $v$ de la particule. Question 3 : Déterminer le module de l'accélération centripète $a_c$ de la...→
  • 33
    Exercice 4 : Mouvement Curviligne en Coordonnées Polaires Une particule se déplace dans le plan selon une trajectoire dont l'équation en coordonnées polaires est : $r(t) = 2 + 3t$ (en mètres) et $\theta(t) = t^2$ (en radians), où $t$ est le temps en secondes. Question 1 : Déterminer les composantes radiale $v_r$ et orthoradiale $v_\theta$ de la vitesse à l'instant $t = 1 \, \text{s}$ . Question 2 : Calculer le module de la vitesse $v$ à l'instant $t = 1 \, \text{s}$ . Question 3 : Déterminer les composantes radiale $a_r$ et orthoradiale $a_\theta$ de l'accélération à l'instant $t = 1 \, \text{s}$ . Question 4 : Calculer le module de l'accélération $a$ à l'instant $t = 1 \, \text{s}$ ....→
  • 34
    Exercice 3 : Mouvement d'un satellite en coordonnées sphériques Un satellite artificiel se déplace dans un plan équatorial autour d'une planète selon une orbite circulaire de rayon $r = R = 8000\text{ km}$ . On utilise des coordonnées sphériques $(r, \theta, \phi)$ où $\theta$ est l'angle polaire (depuis l'axe $z$ ) et $\phi$ est l'azimut. Le satellite reste dans le plan équatorial ( $\theta = \frac{\pi}{2}$ ) et effectue une révolution complète en $T = 120\text{ min}$ . Question 1 : Exprimer la loi de mouvement du satellite en coordonnées sphériques. Calculer la vitesse angulaire $\omega$ en $\text{rad/s}$ et déterminer le vecteur position $\vec{r}(t)$ en coordonnées cartésiennes à $t = 30\text{ min}$ . Question 2...→
  • 35
    Exercice 4 : Mouvement relatif - Train et passager Un train se déplace sur une voie rectiligne avec une vitesse constante $\vec{V}_0 = 30\text{ m/s}\,\vec{e}_x$ par rapport au sol (référentiel fixe $\mathcal{R}_0$ ). À l'intérieur du wagon, un passager lance une balle verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $\vec{v}_{r0} = 5\text{ m/s}\,\vec{e}_z$ dans le référentiel du train $\mathcal{R}$ . On prendra $g = 10\text{ m/s}^2$ et on négligera les frottements de l'air. Question 1 : Calculer le vecteur vitesse initiale $\vec{v}_{a0}$ de la balle dans le référentiel absolu (sol) $\mathcal{R}_0$ . Déterminer les équations horaires $x_a(t)$ , $y_a(t)$ , $z_a(t)$ du mouvement de la balle dans $\mathcal{R}_0$...→
  • 36
    Exercice 5 : Mouvement sur une spirale logarithmique Une particule se déplace sur une spirale logarithmique définie en coordonnées polaires par l'équation $r = ae^{k\theta}$ , où $a = 0.1\text{ m}$ et $k = 0.2$ . Le mouvement suit une loi temporelle $\theta(t) = \omega t$ avec $\omega = 2\text{ rad/s}$ . La particule part de $\theta_0 = 0$ à $t = 0$ . Question 1 : Déterminer les expressions de $r(t)$ et $\theta(t)$ . Calculer la position de la particule en coordonnées cartésiennes $(x, y)$ à $t = \pi\text{ s}$ . Quelle est la distance radiale $r$ parcourue depuis l'origine à cet instant ? Question 2 : Calculer les composantes radiale $v_r$ et orthoradiale $v_\theta$ de la vitesse, ainsi que...→
  • 37
    Un point matériel M se déplace dans un repère cartésien selon la loi de mouvement suivante : $ x(t) = 3t^2 + 2t $ , $ y(t) = 4t + 1 $ , $ z(t) = 2t^3 $ , où t est en secondes et les positions en mètres. 1. Déterminez le vecteur position de M à l'instant $ t = 2\,s $ . 2. Calculez le vecteur vitesse à cet instant. 3. Déterminez la norme de l'accélération à $ t = 2\,s $ .→
  • 38
    Un point matériel se déplace selon une trajectoire définie dans un système cylindrique par : $ r(t) = 2t + 1 $ , $ \theta(t) = t^2 $ , $ z(t) = 5 \sin(t) $ , avec t en secondes. 1. Calculez le vecteur position à $ t = 1,5\,s $ . 2. Déterminez le vecteur vitesse à cet instant dans la base cylindrique. 3. Trouvez la norme de l'accélération à $ t = 1,5\,s $ .→
  • 39
    Dans un système de coordonnées sphériques, un point matériel a pour coordonnées à chaque instant : $ r(t) = 5 + t^2 $ , $ \theta(t) = \pi/6 \cdot t $ , $ \varphi(t) = \pi/2 - 0,1 t $ (t en secondes, angles en radians). 1. Déterminez le vecteur position pour $ t = 2\,s $ . 2. Calculez chaque composante du vecteur vitesse à cet instant. 3. Trouvez la norme du vecteur vitesse.→
  • 40
    Un point suit une trajectoire curviligne plane décrite par l'équation cartésienne $ y = 0,5x^2 $ , où la coordonnée $ x(t) = 2t $ (t en secondes, x et y en mètres). 1. Exprimez le vecteur position en fonction du temps à partir de ces relations. 2. Calculez le vecteur vitesse à l'instant $ t = 3\,s $ . 3. Trouvez la valeur de l'accélération normale à cet instant.→
  • 41
    Un point matériel est animé d'un mouvement rectiligne selon $ x(t) = 4t - t^3 $ (t en secondes, x en mètres). Un second repère (R') se déplace par rapport au repère fixe (R) selon $ x'(t) = x(t) - 3t $ (en m). On étudie le mouvement relatif. 1. Déterminez la vitesse du point dans R puis dans R' à l'instant $ t = 1\,s $ . 2. Trouvez l'accélération du point dans R puis dans R' au même instant. 3. Calculez la différence de vitesses (vitesse relative du point dans R par rapport à R') à $ t = 1\,s $ .→
  • 42
    Un point matériel M se déplace dans un plan selon un mouvement décrit dans le repère cartésien par la loi de mouvement suivante : $x(t) = 2t^2 + 1$ , $y(t) = 3t + 4$ , où t est en secondes et x, y en mètres. 1. Calculez le vecteur position $\vec{r}(t)$ à l’instant $t = 2\ \text{s}$ . 2. Déterminez l’expression générale du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ puis sa norme à $t = 2\ \text{s}$ . 3. Déterminez le vecteur accélération $\vec{a}(t)$ et calculez sa norme à $t = 2\ \text{s}$ .→
  • 43
    Un mobile M décrit un mouvement dans un repère cylindrique de coordonnées $(r,\ \theta,\ z)$ selon les lois : $r(t) = 2 + t$ , $\theta(t) = \frac{\pi}{4} t$ , $z(t) = t^2$ , avec t en secondes, r et z en mètres, $\theta$ en radians. 1. Déterminer l’expression générale du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ dans ce système. 2. Calculer la valeur numérique de $\vec{v}(t)$ à $t=2\ \text{s}$ . 3. Donner le vecteur accélération général $\vec{a}(t)$ et sa valeur à $t=2\ \text{s}$ .→
  • 44
    Soit un point matériel M qui suit la trajectoire plane curviligne paramétrée par : $x(t) = 4\cos(t)$ , $y(t) = 3\sin(t)$ avec $t$ en secondes ( $x, y$ en mètres). 1. Écrivez l’équation de la trajectoire de M sous la forme $f(x,y) = 0$ . 2. Déterminez l’expression de la vitesse scalaire $v(t)$ et de l’accélération vectorielle $\vec{a}(t)$ . 3. Calculez la norme de la vitesse et de l’accélération à $t=\frac{\pi}{3}\ \text{s}$ .→
  • 45
    Un train circule à vitesse constante de $V_T = 25\ \text{m/s}$ le long d’une voie rectiligne orientée suivant l’axe x. Un oiseau part du sol à côté de la voie, avec une vitesse relative par rapport au train de $v_0 = 12\ \text{m/s}$ formant un angle de $\alpha = 60^\circ$ (par rapport à la direction du train, dans le plan x-y). 1. Déterminez le vecteur vitesse de l’oiseau dans le référentiel du sol. 2. Quelles sont les composantes x et y de cette vitesse ? 3. Calculez la norme de la vitesse de l’oiseau par rapport au sol.→
  • 46
    Exercice 1 : Mouvement hélicoïdal d'une particule chargée Une particule chargée se déplace dans un champ magnétique uniforme selon une trajectoire hélicoïdale. Son vecteur position dans un système de coordonnées cylindriques est donné par : $\vec{r}(t) = R\vec{u}_\rho + z(t)\vec{u}_z$ où $R = 0{,}05~\text{m}$ est le rayon constant de l'hélice, $\rho = R$ , l'angle polaire varie selon $\theta(t) = \omega t$ avec $\omega = 100~\text{rad/s}$ , et la coordonnée axiale évolue selon $z(t) = v_z t$ avec $v_z = 2~\text{m/s}$ . Question 1 : Déterminer les composantes du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ de la particule dans la base cylindrique $(\vec{u}_\rho, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z)$ à l'instant $t = 0{,}01~\text{s}$ . Calculer ensuite la norme de la vitesse totale $|\vec{v}|$ . Question 2 : Calculer...→
  • 47
    Exercice 2 : Mouvement d'un satellite en coordonnées sphériques Un satellite se déplace dans l'espace selon une trajectoire décrite en coordonnées sphériques $(r, \theta, \varphi)$ . Son vecteur position est donné par : $\vec{r}(t) = r(t)\vec{u}_r$ où la distance radiale varie selon $r(t) = r_0 + A\sin(\omega_r t)$ avec $r_0 = 7000~\text{km}$ , $A = 500~\text{km}$ , $\omega_r = 0{,}001~\text{rad/s}$ . L'angle de colatitude évolue selon $\theta(t) = \theta_0 = \frac{\pi}{3}$ (constant), et l'angle azimutal selon $\varphi(t) = \omega_\varphi t$ avec $\omega_\varphi = 0{,}0007~\text{rad/s}$ . Question 1 : Calculer les composantes du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ dans la base sphérique $(\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi)$ à l'instant $t = 1000~\text{s}$ . Déterminer la composante radiale $v_r$ , la composante de colatitude $v_\theta$ , et la composante azimutale $v_\varphi$ . Question 2...→
  • 48
    Exercice 3 : Mouvement curviligne d'une bille sur une piste parabolique Une bille se déplace sans frottement sur une piste parabolique située dans le plan vertical $xOz$ . La trajectoire est définie par l'équation $z = \frac{x^2}{2a}$ où $a = 2~\text{m}$ . La position de la bille est repérée par son abscisse curviligne $s(t)$ mesurée le long de la courbe depuis l'origine $O$ . À l'instant $t$ , la bille possède une abscisse $x(t) = v_0 t$ avec $v_0 = 1{,}5~\text{m/s}$ . Question 1 : En utilisant la base de Frenet $(\vec{T}, \vec{N})$ , calculer la vitesse tangentielle $v_T$ de la bille à l'instant $t = 2~\text{s}$ . Sachant que la norme...→
  • 49
    Exercice 4 : Mouvement relatif d'un point sur un disque tournant Un disque horizontal de rayon $R = 1~\text{m}$ tourne autour de son axe vertical $Oz$ à vitesse angulaire constante $\Omega = 3~\text{rad/s}$ par rapport au référentiel du laboratoire $\mathcal{R}_0$ (considéré comme galiléen). Un point matériel $M$ se déplace sur le disque selon une trajectoire radiale définie dans le référentiel tournant $\mathcal{R}$ lié au disque par : $\vec{OM} = r(t)\vec{u}_r$ où $r(t) = r_0 + v_r t$ avec $r_0 = 0{,}2~\text{m}$ et $v_r = 0{,}3~\text{m/s}$ . Les deux référentiels partagent la même origine $O$ et le même axe $Oz$ . Question 1 : Déterminer le vecteur vitesse relative $\vec{v}_{rel}$ du point $M$ dans le référentiel...→
  • 50
    Exercice 5 : Analyse complète d'un mouvement conique en coordonnées sphériques Une particule se déplace sur la surface d'un cône de demi-angle au sommet $\alpha = 30°$ (soit $\alpha = \frac{\pi}{6}~\text{rad}$ ). Le sommet du cône est placé à l'origine $O$ et l'axe du cône est l'axe $Oz$ . En coordonnées sphériques $(r, \theta, \varphi)$ , la contrainte géométrique impose $\theta(t) = \alpha = \frac{\pi}{6}$ (constant). La particule possède un mouvement tel que $r(t) = r_0 e^{\beta t}$ avec $r_0 = 0{,}1~\text{m}$ et $\beta = 0{,}5~\text{s}^{-1}$ , et $\varphi(t) = \omega t$ avec $\omega = 4~\text{rad/s}$ . Question 1 : À l'instant $t = 2~\text{s}$ , calculer les trois composantes du vecteur vitesse $\vec{v}$ dans la base sphérique $(\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi)$ . Utiliser les formules $\vec{v} = \dot{r}\vec{u}_r + r\dot{\theta}\vec{u}_\theta + r\sin\theta\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi$ et...→
• Dynamique (44 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Mouvement d'une particule sur une tige rotative avec force de frottement visqueux Une particule de masse $m = 0{,}5 \, \text{kg}$ glisse sans frottement solide le long d'une tige horizontale (T) qui tourne dans le plan horizontal $(x, y)$ autour de l'axe vertical $(Oz)$ avec une vitesse angulaire constante $\omega = 4 \, \text{rad/s}$ . On utilise les coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ avec $\theta = \omega t$ . À l'instant initial $t = 0$ , la particule est en position $r_0 = 0{,}2 \, \text{m}$ avec une vitesse radiale $\dot{r}_0 = 0{,}1 \, \text{m/s}$ . La particule est soumise à son poids $\vec{P}$ , à la réaction normale de la tige $\vec{R}$ , et à une force de frottement visqueux...→
  • 2
    Exercice 3 : Mouvement d'un projectile avec force de traînée quadratique Un projectile de masse $m = 2 \, \text{kg}$ est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 50 \, \text{m/s}$ faisant un angle $\alpha = 45°$ avec l'horizontale. Le projectile est soumis à son poids et à une force de traînée aérodynamique de la forme $\vec{f} = -k v^2 \vec{u}_v$ où $\vec{u}_v = \frac{\vec{v}}{v}$ est le vecteur unitaire dans la direction de la vitesse, et $k = 0{,}01 \, \text{kg/m}$ est le coefficient de traînée. On utilise un repère cartésien $(O, x, y)$ où $x$ est horizontal et $y$ est vertical ascendant. On prendra $g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2$ . Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir...→
  • 3
    Exercice 4 : Satellite en orbite elliptique sous force centrale gravitationnelle Un satellite artificiel de masse $m = 500 \, \text{kg}$ est en orbite elliptique autour de la Terre. L'orbite a un périgée (point le plus proche) à une distance $r_p = 6{,}8 \times 10^6 \, \text{m}$ du centre de la Terre et un apogée (point le plus éloigné) à $r_a = 1{,}2 \times 10^7 \, \text{m}$ . La vitesse au périgée est $v_p = 7800 \, \text{m/s}$ . La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est $\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\vec{e}_r$ où $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2\text{/kg}^2$ est la constante gravitationnelle et $M = 5{,}97 \times 10^{24} \, \text{kg}$ est la masse de la Terre. Question 1 : En utilisant le principe de conservation du moment cinétique pour une force...→
  • 4
    Exercice 5 : Oscillateur harmonique amorti avec force de rappel et frottement Une masse $m = 0{,}8 \, \text{kg}$ est attachée à un ressort horizontal de constante de raideur $k = 50 \, \text{N/m}$ et de longueur à vide $l_0 = 0{,}3 \, \text{m}$ . La masse glisse sur une surface horizontale avec un coefficient de frottement visqueux $\lambda = 2 \, \text{N·s/m}$ . À l'instant initial, la masse est écartée de $x_0 = 0{,}15 \, \text{m}$ de sa position d'équilibre et lancée avec une vitesse initiale $v_0 = -0{,}5 \, \text{m/s}$ (vers la position d'équilibre). On utilise un axe $Ox$ horizontal, l'origine étant à la position d'équilibre. Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir l'équation différentielle du mouvement...→
  • 5
    Un bloc de masse $m = 5 \, \text{kg}$ est soumis à une force variable dans le temps $\vec{F}(t) = F_0 \sin(\omega t) \vec{i}$ où $F_0 = 20 \, \text{N}$ et $\omega = 2 \, \text{rad/s}$ . Le bloc part du repos à l'instant $t = 0$ depuis la position $x_0 = 0$ . Le système est étudié dans un référentiel galiléen et on néglige les frottements. Question 1: Établir l'équation différentielle du mouvement du bloc et déterminer l'expression de sa vitesse $v(t)$ en fonction du temps. Question 2: Calculer la position $x(t)$ du bloc à tout instant, puis déterminer numériquement sa position à l'instant $t_1 = \frac{\pi}{4} \, \text{s}$ . Question 3: Calculer la quantité de mouvement $\vec{p}(t)$ du bloc et déterminer sa valeur...→
  • 6
    Une particule de masse $m = 0.5 \, \text{kg}$ se déplace dans le plan $(Oxy)$ sous l'action d'une force centrale $\vec{F} = -k\vec{r}$ où $k = 10 \, \text{N/m}$ et $\vec{r}$ est le vecteur position. À l'instant initial $t = 0$ , la particule est en position $\vec{r}_0 = 2\vec{i} \, \text{m}$ avec une vitesse $\vec{v}_0 = 3\vec{j} \, \text{m/s}$ . Question 1: Calculer le moment cinétique $\vec{L}_0$ de la particule à l'instant initial par rapport à l'origine $O$ . Démontrer que le moment cinétique se conserve et donner sa valeur à tout instant. Question 2: Établir les équations différentielles du mouvement en coordonnées cartésiennes et déterminer la pulsation propre $\omega_0$ du système. Calculer numériquement la période $T$ du mouvement....→
  • 7
    Un projectile de masse $m = 2 \, \text{kg}$ est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 30 \, \text{m/s}$ faisant un angle $\alpha = 45°$ avec l'horizontale. Le projectile est soumis à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ (où $g = 10 \, \text{m/s}^2$ ) et à une force de frottement fluide $\vec{f} = -\lambda \vec{v}$ où $\lambda = 0.4 \, \text{kg/s}$ . On étudie le mouvement dans le plan $(Oxy)$ vertical. Question 1: Établir les équations différentielles du mouvement en coordonnées cartésiennes. Calculer les composantes initiales $v_{0x}$ et $v_{0y}$ de la vitesse. Question 2: En négligeant les frottements, calculer le temps de vol $t_v$ et la portée horizontale $x_{\text{max}}$ du projectile. Question 3: Avec frottements, sachant que l'équation de...→
  • 8
    Deux particules de masses $m_1 = 3 \, \text{kg}$ et $m_2 = 1 \, \text{kg}$ se déplacent sur un axe $(Ox)$ dans un référentiel galiléen. À l'instant $t = 0$ , la particule $m_1$ est en position $x_1 = -2 \, \text{m}$ avec une vitesse $v_1 = 5 \, \text{m/s}$ , tandis que $m_2$ est en position $x_2 = 3 \, \text{m}$ avec une vitesse $v_2 = -3 \, \text{m/s}$ . Les deux particules entrent en collision parfaitement inélastique (elles restent collées après le choc). Question 1: En utilisant le principe de conservation de la quantité de mouvement, calculer la vitesse commune $v_f$ des deux particules après la collision et déterminer l'instant $t_c$ de la collision. Question 2: Calculer l'énergie cinétique totale du système avant et...→
  • 9
    Une barre homogène rigide de masse $M = 4 \, \text{kg}$ et de longueur $L = 2 \, \text{m}$ peut tourner sans frottement autour d'un axe horizontal fixe $(\Delta)$ passant par son extrémité $A$ . La barre est initialement en position verticale au repos. À l'instant $t = 0$ , une force constante horizontale $\vec{F} = 30\vec{i} \, \text{N}$ est appliquée à l'extrémité $B$ de la barre. On rappelle que le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe $(\Delta)$ est $J_A = \frac{1}{3}ML^2$ et $g = 10 \, \text{m/s}^2$ . Question 1: Calculer le moment d'inertie $J_A$ de la barre par rapport à l'axe $(\Delta)$ . En appliquant le théorème du moment cinétique, établir l'équation différentielle du mouvement...→
  • 10
    Mouvement d'une particule sous force variable dans le temps Une particule de masse $m = 2.5 \text{ kg}$ se déplace sur un axe horizontal $Ox$ sans frottement. À l'instant $t = 0$ , la particule est au repos à l'origine. Elle est soumise à une force horizontale variable dans le temps donnée par : $ $ \vec{F}(t) = F_0(1 - \alpha t)\vec{i} $ où $ F_0 = 20 \text{ N} $ et $ \alpha = 0.4 \text{ s}^{-1} $. Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminez l'expression littérale de la vitesse $ v(t) $ de la particule en fonction du temps. Calculez numériquement la vitesse à l'instant $ t_1 = 2 \text{ s} $. Question 2 : Déterminez l'expression littérale de la position $ x(t) $ de la particule en fonction du temps. Calculez la position de la particule à l'instant $ t_1 = 2 \text{ s} $. Question 3 : La force s'annule à un instant $ t_c $. Calculez cet instant critique, puis déterminez la vitesse maximale atteinte par la particule et la distance totale parcourue jusqu'à cet instant.→
  • 11
    Mouvement avec force dépendant de la vitesse - Chute avec résistance de l'air Un projectile de masse $m = 5 \text{ kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 40 \text{ m/s}$ . Durant son mouvement, il est soumis à son poids et à une force de résistance de l'air proportionnelle à la vitesse, donnée par : $ $ \vec{F}_r = -k\vec{v} $ où $ k = 2 \text{ kg/s} $. On prend $ g = 10 \text{ m/s}^2 $ et l'axe $ Oz $ orienté vers le haut. Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établissez l'équation différentielle du mouvement. Résolvez cette équation pour obtenir l'expression de la vitesse $ v(t) $ en fonction du temps. Calculez numériquement la vitesse à $ t = 1 \text{ s} $. Question 2 : Déterminez l'expression de la vitesse limite $ v_L $ (vitesse asymptotique lors de la descente). Calculez sa valeur numérique et expliquez sa signification physique. Question 3 : Calculez l'altitude maximale $ h_{max} $ atteinte par le projectile. Pour cela, déterminez d'abord l'instant $ t_{max} $ où la vitesse s'annule, puis calculez la hauteur correspondante en intégrant l'expression de la vitesse.→
  • 12
    Moment cinétique et force centrale - Mouvement circulaire sous force gravitationnelle Un satellite artificiel de masse $m = 800 \text{ kg}$ décrit une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude $h = 600 \text{ km}$ au-dessus de la surface terrestre. Le rayon de la Terre est $R_T = 6400 \text{ km}$ et la masse de la Terre est $M_T = 6 \times 10^{24} \text{ kg}$ . La constante gravitationnelle est $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{/kg}^2$ . Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique pour un mouvement circulaire uniforme, établissez l'expression de la vitesse orbitale $v$ du satellite en fonction de $G$ , $M_T$ et du rayon orbital $r = R_T + h$ . Calculez numériquement cette vitesse. Question 2 :...→
  • 13
    Système de deux masses reliées - Conservation de la quantité de mouvement Deux blocs de masses $m_1 = 3 \text{ kg}$ et $m_2 = 5 \text{ kg}$ sont placés sur un plan horizontal sans frottement. Initialement, les deux blocs sont au repos et séparés d'une distance $d = 2 \text{ m}$ . Un ressort comprimé de constante de raideur $k = 400 \text{ N/m}$ et de compression initiale $x_0 = 0.15 \text{ m}$ est placé entre eux. À l'instant $t = 0$ , on libère le système et le ressort propulse les deux blocs dans des directions opposées. Question 1 : En appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement totale du système, établissez la relation entre les vitesses $v_1$...→
  • 14
    Pendule conique et moment de force - Mouvement circulaire dans un plan horizontal Un pendule conique est constitué d'une masse $m = 0.5 \text{ kg}$ suspendue à un fil inextensible de longueur $L = 1.2 \text{ m}$ et de masse négligeable. La masse décrit un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal, le fil faisant un angle constant $\theta = 30°$ avec la verticale. On prend $g = 10 \text{ m/s}^2$ . Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), déterminez la tension $T$ du fil et la vitesse angulaire $\omega$ du mouvement circulaire. Calculez ensuite la vitesse linéaire $v$ de la masse. Question 2...→
  • 15
    Exercice 1 : Étude dynamique d'un système masse-ressort avec force de frottement visqueux Un point matériel $M$ de masse $m = 0{,}5 \, \text{kg}$ est attaché à un ressort horizontal de constante de raideur $k = 20 \, \text{N/m}$ et de longueur à vide $l_0 = 0{,}3 \, \text{m}$ . L'autre extrémité du ressort est fixée à un point $O$ . Le système évolue sur un plan horizontal dans un milieu visqueux qui exerce une force de frottement $\vec{F}_f = -\lambda \vec{v}$ avec $\lambda = 0{,}4 \, \text{N·s/m}$ . On repère la position de $M$ par son abscisse $x$ sur un axe horizontal $(Ox)$ d'origine $O$ . À l'instant $t = 0$ , le point $M$ est lancé depuis la position...→
  • 16
    Exercice 2 : Mouvement d'une particule sous force centrale newtonienne Une particule de masse $m = 2 \, \text{kg}$ se déplace dans un plan sous l'action d'une force centrale attractive $\vec{F} = -\frac{K}{r^2}\vec{u}_r$ où $K = 50 \, \text{N·m}^2$ est une constante positive et $r$ la distance de la particule au centre de force $O$ . À l'instant initial, la particule se trouve en $A$ à la distance $r_0 = 2 \, \text{m}$ du centre $O$ avec une vitesse $\vec{v}_0$ perpendiculaire à $\vec{OA}$ de module $v_0 = 4 \, \text{m/s}$ . On utilise les coordonnées polaires $(r, \theta)$ dans le plan du mouvement. Question 1 : En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport au point $O$ ,...→
  • 17
    Exercice 3 : Dynamique d'un pendule conique en rotation Un pendule conique est constitué d'une masse ponctuelle $m = 0{,}8 \, \text{kg}$ suspendue à un fil inextensible de longueur $l = 1{,}2 \, \text{m}$ et de masse négligeable. L'extrémité supérieure du fil est fixée en un point $O$ . La masse $m$ tourne à vitesse angulaire constante $\omega$ autour de l'axe vertical passant par $O$ , décrivant un cercle horizontal. Le fil fait un angle constant $\alpha = 30°$ avec la verticale. On note $g = 10 \, \text{m/s}^2$ l'accélération de la pesanteur. Question 1 : Calculer le rayon $R$ de la trajectoire circulaire décrite par la masse $m$ . En déduire l'expression vectorielle...→
  • 18
    Exercice 1 : Mouvement d'un projectile lancé horizontalement Une bille est lancée horizontalement d'une falaise de hauteur $h = 45$ m avec une vitesse initiale $v_0 = 20$ m/s. On néglige la résistance de l'air et on prend $g = 9,8$ m/s². Le point de lancement est pris comme origine du système de coordonnées. Question 1 : Calculer le temps de vol $t_v$ avant que la bille ne touche le sol. Question 2 : Déterminer la portée horizontale $x_p$ et la distance parcourue par la bille au moment de l'impact. Question 3 : Calculer la vitesse d'impact $v_{impact}$ et l'angle $\theta$ que fait la trajectoire avec...→
  • 19
    Exercice 2 : Mouvement sur un plan incliné avec frottement Un bloc de masse $m = 5$ kg est placé sur un plan incliné d'angle $\alpha = 30°$ . Le coefficient de friction statique est $\mu_s = 0,5$ et le coefficient de friction cinétique est $\mu_k = 0,3$ . On applique une force $F = 30$ N parallèle au plan incliné, dirigée vers le haut. Question 1 : Vérifier si le bloc se met en mouvement et calculer l'accélération du bloc s'il se déplace. Question 2 : Déterminer les forces de réaction normale $N$ et de frottement $f$ agissant sur le bloc. Question 3 : Si le bloc part du...→
  • 20
    Exercice 3 : Mouvement circulaire d'une voiture en courbe Une voiture de masse $m = 1200$ kg prend une courbe horizontale de rayon $r = 80$ m avec une vitesse constante $v = 20$ m/s. La route est inclinée d'un angle $\beta = 15°$ vers l'intérieur de la courbe (dévers). Le coefficient de friction entre les pneus et la route est $\mu = 0,6$ . Question 1 : Calculer la force centripète requise $F_c$ et analyser les forces agissant sur la voiture en incluant le poids, la normale et la friction. Question 2 : Déterminer la vitesse maximale $v_{max}$ que la voiture peut atteindre sans déraper sur cette courbe en...→
  • 21
    Exercice 4 : Collision entre deux corps et conservation de la quantité de mouvement Deux billes se déplacent sur une surface sans frottement. La première bille de masse $m_1 = 2$ kg se déplace à une vitesse $v_1 = 8$ m/s et la seconde de masse $m_2 = 3$ kg se déplace à une vitesse $v_2 = -4$ m/s (direction opposée). Elles entrent en collision. Question 1 : Calculer la quantité de mouvement totale avant la collision et déterminer si la collision est élastique ou inélastique en calculant l'énergie cinétique avant et après. Question 2 : En supposant une collision parfaitement inélastique (les billes restent ensemble après la...→
  • 22
    Exercice 5 : Mouvement d'un satellite en orbite Un satellite artificiel de masse $m = 1500$ kg orbite autour de la Terre à une altitude $h = 400$ km. Le rayon de la Terre est $R_T = 6371$ km et la masse de la Terre est $M_T = 5,972 \times 10^{24}$ kg. La constante gravitationnelle est $G = 6,674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg². Question 1 : Calculer le rayon orbital $r$ , la vitesse orbitale $v_{orb}$ et la période de révolution $T_{orb}$ du satellite. Question 2 : Déterminer l'accélération centripète $a_c$ et la force gravitationnelle $F_g$ qui maintient le satellite en orbite. Question 3 : Calculer l'énergie cinétique $E_k$ , l'énergie potentielle gravitationnelle $E_p$ et...→
  • 23
    Un bloc de masse $m = 5{,}0\ \text{kg}$ est placé sur un plan incliné d'angle $\theta = 30°$ . Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est $\mu_k = 0{,}25$ et le coefficient de frottement statique est $\mu_s = 0{,}35$ . On applique une force $F$ parallèle au plan, dirigée vers le haut. Question 1 : Calculez la force minimale $F_{min}$ nécessaire pour initier le mouvement du bloc. Question 2 : Si on applique une force $F = 35\ \text{N}$ parallèle au plan vers le haut, calculez l'accélération du bloc. Question 3 : Avec cette même force, calculez le temps nécessaire pour que le bloc parcoure une distance...→
  • 24
    Un bloc de masse $m_1 = 3{,}0\ \text{kg}$ et un bloc de masse $m_2 = 2{,}0\ \text{kg}$ sont reliés par une corde inextensible passant sur une poulie sans frottement. Le bloc $m_1$ est sur une table horizontale avec un coefficient de frottement cinétique $\mu_k = 0{,}20$ . Le bloc $m_2$ pend verticalement. Le système part du repos. Question 1 : Calculez l'accélération du système. Question 2 : Calculez la tension dans la corde. Question 3 : Si $m_2$ descend d'une distance $h = 1{,}5\ \text{m}$ , quelle est la vitesse du bloc $m_2$ ? Question 4 : Quel est le travail effectué par la tension sur le bloc $m_1$ lors de...→
  • 25
    Un projectile de masse $m = 2{,}0\ \text{kg}$ est lancé du sol avec une vitesse initiale $v_0 = 30\ \text{m/s}$ à un angle $\alpha = 45°$ par rapport à l'horizontale. On néglige la résistance de l'air et on prend $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ . Question 1 : Calculez la hauteur maximale atteinte par le projectile. Question 2 : Calculez le temps total de vol du projectile. Question 3 : Calculez la portée horizontale du projectile. Question 4 : Calculez la vitesse du projectile au moment où il retouche le sol.→
  • 26
    Une particule de masse $m = 1{,}5\ \text{kg}$ subit l'action d'une force résultante $\vec{F} = (12\ \vec{i} - 8\ \vec{j})\ \text{N}$ . Au temps $t = 0$ , la particule est à la position $\vec{r}_0 = (2{,}0\ \vec{i} + 1{,}0\ \vec{j})\ \text{m}$ et possède une vitesse initiale $\vec{v}_0 = (3{,}0\ \vec{i} - 2{,}0\ \vec{j})\ \text{m/s}$ . Question 1 : Calculez l'accélération de la particule (vecteur et magnitude). Question 2 : Calculez la position de la particule au temps $t = 2{,}0\ \text{s}$ . Question 3 : Calculez la vitesse de la particule au temps $t = 2{,}0\ \text{s}$ . Question 4 : Calculez le travail effectué par la force entre $t = 0$ et $t = 2{,}0\ \text{s}$ .→
  • 27
    Un objet de masse $m = 4{,}0\ \text{kg}$ se déplace sur un plan incliné d'angle $\beta = 25°$ par rapport à l'horizontale. Une force motrice $F_{motrice} = 50\ \text{N}$ est appliquée parallèlement au plan vers le haut. Le coefficient de frottement cinétique est $\mu_k = 0{,}30$ . L'objet part du repos. Question 1 : Calculez la force de frottement agissant sur l'objet. Question 2 : Calculez l'accélération de l'objet le long du plan incliné. Question 3 : Quel est le travail net effectué sur l'objet lorsqu'il se déplace de $s = 3{,}0\ \text{m}$ le long du plan ? Question 4 : Calculez la vitesse de l'objet après ce déplacement de 3,0 m.→
  • 28
    Exercice 1 : Bloc sur plan incliné avec frottement Un bloc de masse $m = 10 \, \text{kg}$ est posé sur un plan incliné d'un angle $\alpha = 30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est $\mu_k = 0.20$ . On prendra $g = 9.81 \, \text{m·s}^{-2}$ . Le bloc est initialement au repos et libre de glisser vers le bas. Questions : En appliquant la deuxième loi de Newton, calculez l'accélération $a$ du bloc le long du plan incliné. Le bloc parcourt une distance $s = 2.0 \, \text{m}$ le long du plan à partir du repos. Calculez le temps $t$ nécessaire pour parcourir cette distance....→
  • 29
    Exercice 2 : Particule en mouvement circulaire uniforme sur table horizontale Une petite bille de masse $m = 0.50 \, \text{kg}$ est attachée à une ficelle de longueur $R = 0.80 \, \text{m}$ , l'autre extrémité étant fixée en un point sur une table horizontale lisse. La bille décrit un mouvement circulaire uniforme sur la table, la ficelle restant tendue. On néglige tous les frottements (table parfaitement lisse, ficelle de masse négligeable). On considère que la vitesse angulaire de la bille est $\omega = 4.0 \, \text{rad·s}^{-1}$ . Questions : Calculez la vitesse linéaire $v$ de la bille et la période de révolution $T$ . Calculez la valeur de l'accélération centripète $a_c$...→
  • 30
    Exercice 3 : Trajectoire parabolique d’un projectile Une bille est lancée depuis le sol avec une vitesse initiale de norme $v_0 = 20.0 \, \text{m·s}^{-1}$ selon un angle $\theta = 40^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale. On néglige la résistance de l'air et on prend $g = 9.81 \, \text{m·s}^{-2}$ . On place l'origine du repère au point de lancement. Questions : Calculez les composantes horizontale $v_{0x}$ et verticale $v_{0y}$ de la vitesse initiale. Calculez le temps de vol total $t_f$ jusqu’au retour au sol ( $y = 0$ ) et la hauteur maximale $h_{max}$ atteinte par la bille. Calculez la portée horizontale $R$ (distance horizontale parcourue jusqu’au retour au sol). Calculez la norme...→
  • 31
    Exercice 4 : Chariot tiré par une force oblique avec frottement Un chariot de masse $m = 25 \, \text{kg}$ repose sur un sol horizontal rugueux. Le coefficient de frottement cinétique entre le chariot et le sol est $\mu_k = 0.30$ . On applique au chariot une force $\vec{F}$ de norme $F = 200 \, \text{N}$ , faisant un angle $\alpha = 25^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale, dans le sens du mouvement. On prend $g = 9.81 \, \text{m·s}^{-2}$ . Questions : Calculez la réaction normale $N$ exercée par le sol sur le chariot. Calculez la force de frottement cinétique $f$ ainsi que la résultante des forces horizontales, puis l'accélération $a$ du chariot. Le chariot part du...→
  • 32
    Exercice 5 : Ascenseur et dynamique du point matériel Une personne de masse $m = 75 \, \text{kg}$ se tient debout dans un ascenseur. On s'intéresse à la force normale $N$ exercée par le plancher de l'ascenseur sur la personne en différentes phases de mouvement vertical. On prendra $g = 9.81 \, \text{m·s}^{-2}$ . L’ascenseur démarre du repos, monte avec une accélération constante, puis se déplace à vitesse constante, puis freine avec une accélération constante (dirigée vers le bas) jusqu’à l’arrêt. Questions : Au démarrage, l’ascenseur monte avec une accélération $a_1 = 1.50 \, \text{m·s}^{-2}$ vers le haut. Calculez la force normale $N_1$ exercée sur la personne. Pendant la phase de vitesse...→
  • 33
    Un bloc de masse $m = 5 \ \text{kg}$ est lancé avec une vitesse initiale $v_0 = 12 \ \text{m/s}$ vers le haut d'un plan incliné faisant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est $\mu_c = 0.2$ . On prendra $g = 9.81 \ \text{m/s}^2$ . Question 1 : En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), calculez la décélération (accélération négative) $a$ subie par le bloc lors de sa montée. Question 2 : Déterminez la distance maximale $d_{max}$ parcourue par le bloc le long du plan avant de s'arrêter momentanément. Question 3 : Calculez le travail $W_f$ effectué par la force de...→
  • 34
    Une particule de masse $m = 2 \ \text{kg}$ est attachée à l'extrémité d'un fil inextensible de longueur $L = 1.5 \ \text{m}$ et décrit un mouvement circulaire vertical. Au point le plus bas de sa trajectoire (point A), la particule a une vitesse $v_A = 8 \ \text{m/s}$ . On néglige les frottements de l'air. $g = 9.81 \ \text{m/s}^2$ . Question 1 : Calculez la tension du fil $T_A$ au passage par le point le plus bas (point A). Question 2 : En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, déterminez la vitesse de la particule $v_B$ au point le plus haut de la trajectoire (point B). Question 3 : Calculez la tension du fil...→
  • 35
    Un pendule balistique est utilisé pour mesurer la vitesse d'une balle. Une balle de masse $m = 0.02 \ \text{kg}$ frappe un bloc de bois de masse $M = 1.50 \ \text{kg}$ suspendu par une corde de longueur $l = 2.0 \ \text{m}$ . La balle reste incrustée dans le bloc après l'impact. L'ensemble (bloc + balle) s'élève jusqu'à ce que la corde fasse un angle maximal $\theta = 40^\circ$ avec la verticale. Question 1 : Calculez la hauteur maximale $h$ atteinte par le centre de gravité du système bloc-balle après le choc. Question 2 : En utilisant la conservation de l'énergie mécanique après le choc, déterminez la vitesse commune $V_{sys}$ du système juste...→
  • 36
    Un satellite de masse $m = 500 \ \text{kg}$ est en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude $h = 800 \ \text{km}$ . Le rayon de la Terre est $R_T = 6371 \ \text{km}$ et sa masse $M_T = 5.97 \times 10^{24} \ \text{kg}$ . La constante gravitationnelle est $G = 6.67 \times 10^{-11} \ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ . Question 1 : Calculez le rayon orbital $r$ du satellite (distance au centre de la Terre) et déduisez-en la force d'attraction gravitationnelle $F_g$ exercée par la Terre sur le satellite. Question 2 : Déterminez la vitesse orbitale $v$ du satellite en appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique. Question 3 : Calculez la période de révolution $T$ du satellite (en secondes puis convertie en...→
  • 37
    Un ressort horizontal de raideur $k = 400 \ \text{N/m}$ est comprimé de $\Delta x = 0.20 \ \text{m}$ par un bloc de masse $m = 2.5 \ \text{kg}$ posé sur une surface horizontale sans frottement. Au temps $t=0$ , le bloc est libéré sans vitesse initiale. Question 1 : Calculez l'énergie potentielle élastique initiale $E_{pe}$ stockée dans le ressort. Question 2 : Déterminez la vitesse maximale $v_{max}$ atteinte par le bloc (lorsqu'il passe par la position d'équilibre). Question 3 : Calculez la pulsation propre $\omega_0$ du mouvement et la période $T$ des oscillations. Question 4 : Déterminez l'énergie cinétique $E_c$ du bloc lorsque sa position est à $x = 0.10 \ \text{m}$ (à mi-chemin de l'amplitude...→
  • 38
    Contexte : Un bloc de masse $m = 5,0 \, \text{kg}$ est lâché sans vitesse initiale du sommet d'un plan incliné faisant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est $\mu_c = 0,20$ . Le bloc glisse sur une distance $d = 4,0 \, \text{m}$ avant d'atteindre le bas de la pente. On prendra $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$ . Question 1 : En appliquant la deuxième loi de Newton projetée sur les axes adéquats, calculer l'accélération $a$ du bloc lors de sa descente. Question 2 : Calculer la vitesse $v_f$ du bloc au moment où il atteint le bas de la pente (après avoir...→
  • 39
    Contexte : Un ingénieur conçoit une courbe relevée pour une piste d'essai automobile. La courbe est un arc de cercle de rayon $R = 150 \, \text{m}$ . La voiture, modélisée par un point matériel de masse $m = 1200 \, \text{kg}$ , doit pouvoir négocier ce virage à une vitesse optimale $v_0$ sans avoir recours aux frottements latéraux (force de frottement nulle). L'angle d'inclinaison de la route par rapport à l'horizontale est $\theta = 20^\circ$ . Question 1 : En considérant l'équilibre dynamique dans le référentiel terrestre (décomposition sur les axes vertical et radial), calculer la valeur de la réaction normale $N$ exercée par la route sur la voiture....→
  • 40
    Contexte : Une petite bille de masse $m = 0,2 \, \text{kg}$ est attachée à un fil inextensible de longueur $L = 0,8 \, \text{m}$ . L'autre extrémité du fil est fixée à un point O. La bille est lancée de telle sorte qu'elle décrit un cercle vertical. Au point le plus bas de sa trajectoire (point A), sa vitesse est $v_A = 6,0 \, \text{m/s}$ . On néglige les frottements de l'air. Question 1 : Calculer la tension $T_A$ du fil lorsque la bille est au point le plus bas (point A). Question 2 : En utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique, calculer la vitesse $v_B$ de la bille...→
  • 41
    Contexte : Un satellite de télécommunication de masse $m = 800 \, \text{kg}$ est en orbite circulaire géostationnaire autour de la Terre. Le rayon de cette orbite (distance centre Terre - satellite) est $r = 42164 \, \text{km}$ . La masse de la Terre est $M_T = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}$ et la constante de gravitation universelle est $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ . Question 1 : Calculer la force d'attraction gravitationnelle $F_g$ exercée par la Terre sur le satellite. Question 2 : Déterminer la vitesse orbitale $v$ du satellite sur cette orbite circulaire. Question 3 : Calculer la période de révolution $T$ du satellite (en secondes). Question 4 : Calculer l'énergie cinétique $E_c$ du satellite sur...→
  • 42
    Contexte : Deux palets de hockey sur glace entrent en collision frontale sur une surface sans frottement. Le palet A, de masse $m_A = 0,15 \, \text{kg}$ , se déplace initialement à $v_{A1} = 5,0 \, \text{m/s}$ vers la droite. Le palet B, de masse $m_B = 0,25 \, \text{kg}$ , se déplace initialement à $v_{B1} = -3,0 \, \text{m/s}$ (vers la gauche). La collision est parfaitement élastique. Question 1 : Calculer la quantité de mouvement totale $P_{\text{tot}}$ du système avant la collision. Question 2 : En utilisant les équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique, établir et calculer la vitesse finale $v_{B2}$ du palet B après le choc. Question 3...→
  • 43
    Exercice 4 : Chute d'un corps avec résistance de l'air quadratique Un projectile de masse $m = 5 \, \text{kg}$ est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 100 \, \text{m}$ . Durant sa chute verticale, il subit la force de pesanteur $\vec{P} = m\vec{g}$ et une force de résistance de l'air proportionnelle au carré de sa vitesse $\vec{F}_r = -\beta v^2 \vec{u}_z$ où $\vec{u}_z$ est le vecteur unitaire vertical ascendant, $v$ la vitesse du projectile (positive vers le bas), et $\beta = 0{,}02 \, \text{N·s}^2\text{/m}^2$ un coefficient aérodynamique. On prend $g = 10 \, \text{m/s}^2$ et on oriente l'axe $(Oz)$ vers le haut avec l'origine au sol. Question 1 : En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle...→
  • 44
    Exercice 5 : Application de la loi fondamentale à un système de deux masses reliées Deux masses $m_1 = 2 \, \text{kg}$ et $m_2 = 3 \, \text{kg}$ sont reliées par un fil inextensible de masse négligeable passant sur une poulie idéale (sans masse et sans frottement) fixée au bord d'une table horizontale. La masse $m_1$ est posée sur la table et peut glisser avec un coefficient de frottement cinétique $\mu_c = 0{,}2$ . La masse $m_2$ pend verticalement. On prend $g = 10 \, \text{m/s}^2$ . On suppose qu'à l'instant $t = 0$ , le système est lâché sans vitesse initiale avec $m_2$ à une hauteur $h_0 = 1{,}5 \, \text{m}$ au-dessus du sol. Question 1 : En appliquant...→
• Travail et énergie (17 Exercices)
  • 1
    Exercice 3 : Ressort comprimé, forces conservatives et énergie élastique Un bloc de masse $m = 3$ kg est placé contre un ressort horizontal de raideur $k = 1000$ N/m, comprimé d'une distance $x_0 = 0{,}1$ m. Le ressort est soudainement libéré, projetant le bloc sur une surface horizontale rugueuse. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la surface est $\mu_k = 0{,}2$ . On néglige les frottements du ressort lui-même. Données : $g = 10$ m/s² ; distance initiale : $x_0 = 0{,}1$ m Question 1 : Calculer l'énergie potentielle élastique initiale emmagasinée dans le ressort $E_{p,\text{élast}}$ . Le ressort est une force conservative. Calculer également l'énergie cinétique du...→
  • 2
    Exercice 4 : Système de poulie avec énergie potentielle gravitationnelle Un système de deux masses connectées par une corde inextensible passant sur une poulie sans frottement est considéré. La masse $m_1 = 4$ kg est suspendue verticalement d'un côté, et la masse $m_2 = 2$ kg de l'autre côté. Initialement, le système est au repos. On lâche le système et il commence à se mouvoir sous l'effet de la gravité. On prendra le niveau initial de m₁ comme référence pour l'énergie potentielle (h = 0 à ce niveau). Données : $g = 10$ m/s² ; les masses se déplacent sur une distance $d = 2$ m avant d'arrêter...→
  • 3
    Exercice 1 : Analyse du travail et de l'énergie cinétique dans un système de transport par câble Un système de transport par câble aérien est utilisé pour charrier des matériaux sur une pente. Une cabine de masse $m = 800 \, \text{kg}$ est tirée par un câble le long d'une pente inclinée d'angle $\theta = 35°$ par rapport à l'horizontale. La cabine se déplace d'une distance le long de la pente de $d = 250 \, \text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 2 \, \text{m/s}$ et une vitesse finale $v_f = 8 \, \text{m/s}$ . Le coefficient de frottement cinétique entre la cabine et les surfaces de contact est $\mu_k = 0.15$ . L'accélération due à la gravité est...→
  • 4
    Exercice 2 : Étude énergétique d'un pendule physique avec frottement Un pendule physique composé d'une barre rigide de longueur $L = 1.5 \, \text{m}$ et de masse $m = 2.5 \, \text{kg}$ est suspendu par son extrémité supérieure. Le pendule est initialement écadré à un angle $\theta_0 = 60°$ par rapport à la verticale, puis il est lâché sans vitesse initiale. En oscillant, le pendule subit une résistance de l'air proportionnelle à sa vitesse angulaire. L'énergie potentielle gravitationnelle du pendule est mesurée par rapport à son point le plus bas (équilibre). Le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe de rotation est $I = \frac{1}{3} m L^2$ . On observe que lors...→
  • 5
    Exercice 3 : Analyse énergétique d'un système masse-ressort en mouvement harmonique Un système masse-ressort horizontal est constitué d'une masse $m = 3.0 \, \text{kg}$ attachée à un ressort de constante de raideur $k = 120 \, \text{N/m}$ . Le système repose sur une surface horizontale sans frottement. La masse est initialement écartée de sa position d'équilibre d'une amplitude $A_0 = 0.40 \, \text{m}$ et libérée sans vitesse initiale. Au cours du mouvement, la masse oscille avec une période $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ . On étudie la conversion entre énergie potentielle élastique et énergie cinétique à différentes positions du mouvement : à l'amplitude maximale, au passage par l'équilibre, et à une position intermédiaire. Données : Masse...→
  • 6
    Exercice 4 : Analyse énergétique d'une collision et conservation de l'énergie mécanique Deux objets se déplacent sur un plan horizontal sans frottement avant d'entrer en collision. Le premier objet de masse $m_1 = 4.0 \, \text{kg}$ se déplace à une vitesse $v_1 = 6.0 \, \text{m/s}$ vers la droite (direction positive). Le second objet de masse $m_2 = 2.0 \, \text{kg}$ se déplace à une vitesse $v_2 = -3.0 \, \text{m/s}$ vers la gauche (direction négative). Les deux objets entrent en collision et, après la collision, le premier objet se déplace à une vitesse $v_1' = 2.0 \, \text{m/s}$ vers la droite. On étudie la dynamique du choc : la quantité de mouvement avant et après la collision, les énergies...→
  • 7
    Exercice 5 : Analyse énergétique d'un objet glissant sur un plan incliné avec frottement Un bloc de masse $m = 5.0 \, \text{kg}$ part du repos et glisse le long d'une pente inclinée d'angle $\theta = 30°$ par rapport à l'horizontale. La longueur de la pente est $L = 8.0 \, \text{m}$ . Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la pente est $\mu_k = 0.20$ . On examine l'énergie potentielle gravitationnelle, l'énergie cinétique, le travail effectué par le frottement, et l'application du théorème de l'énergie mécanique totale. L'accélération due à la gravité est $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ . Données : Masse du bloc : $m = 5.0 \, \text{kg}$ Angle de la pente : $\theta = 30°$ Longueur...→
  • 8
    Exercice 1 : Travail et énergie cinétique — objet en translation rectiligne Un objet de masse $m = 5.0 \text{ kg}$ est mis en mouvement sur une surface horizontale sans frottement par l'application d'une force constante $F = 25 \text{ N}$ dirigée parallèlement au déplacement. L'objet part du repos. Question 1 : Calculer le travail effectué par la force $F$ lorsque l'objet se déplace d'une distance $d = 8.0 \text{ m}$ . Déterminer également le travail en utilisant la relation $W = \Delta E_c$ . Question 2 : À partir du travail calculé, déduire la vitesse finale $v_f$ de l'objet après le déplacement de 8.0 m. Vérifier le résultat en utilisant l'équation cinématique $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ où...→
  • 9
    Exercice 2 : Énergie potentielle gravitationnelle et conservation de l'énergie Un objet de masse $m = 2.0 \text{ kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 20 \text{ m/s}$ depuis le sol. Prenez $g = 10 \text{ m/s}^2$ et considérez que l'air n'exerce aucune résistance. Question 1 : Calculer l'énergie cinétique initiale et l'énergie potentielle gravitationnelle initiale (en prenant le sol comme référence). En déduire l'énergie mécanique totale du système. Question 2 : À l'aide de la conservation de l'énergie mécanique, déterminer la hauteur maximale atteinte par l'objet. Vérifier ce résultat en utilisant l'équation cinématique $v^2 = v_0^2 - 2gh$ (où la vitesse au sommet est nulle). Question 3 : Calculer...→
  • 10
    Exercice 3 : Énergie potentielle élastique et travail des forces conservatrices Un ressort de constante de raideur $k = 200 \text{ N/m}$ est fixé horizontalement à un mur. Une masse $m = 1.5 \text{ kg}$ est attachée à l'extrémité libre du ressort. On compresse le ressort d'une distance $x_0 = 0.50 \text{ m}$ puis on le relâche sans vitesse initiale. Question 1 : Calculer l'énergie potentielle élastique emmagasinée dans le ressort comprimé. Calculer également le travail que le ressort effectuera en se relâchant complètement. Question 2 : Déterminer la vitesse maximale de la masse lorsque le ressort revient à sa longueur naturelle (position d'équilibre). Vérifier le résultat par une approche énergétique. Question...→
  • 11
    Exercice 4 : Forces conservatives et non-conservatives — mouvement le long d'une pente Un objet de masse $m = 3.0 \text{ kg}$ glisse le long d'un plan incliné de $\theta = 30°$ sur une distance $L = 10 \text{ m}$ . Le coefficient de frottement cinétique est $\mu_k = 0.15$ . L'objet débute à partir du repos au sommet. Question 1 : Calculer le travail effectué par la composante gravitationnelle le long de la pente (force conservative) et le travail du frottement (force non-conservative) sur le parcours total de 10 m. Question 2 : Utiliser le théorème de l'énergie totale pour déterminer la vitesse de l'objet au bas de la pente. Exprimer...→
  • 12
    Exercice 5 : Énergie potentielle gravitationnelle et orbites circulaires Considérez un satellite de masse $m = 1000 \text{ kg}$ en orbite circulaire autour de la Terre. Le rayon de l'orbite par rapport au centre de la Terre est $r = 7.0 \times 10^6 \text{ m}$ (altitude approximative : 600 km au-dessus de la surface terrestre). Données : $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N.m}^2/\text{kg}^2$ , $M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ . Question 1 : Calculer l'énergie potentielle gravitationnelle du satellite dans son orbite. Calculer également l'énergie cinétique orbitale sachant que la vitesse orbitale est $v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}$ . Question 2 : En déduire l'énergie mécanique totale du satellite et vérifier la relation $E_{mec} = -\frac{E_c}{1}$ ou $E_{mec} = \frac{E_p}{2}$ (théorème du viriel pour les orbites gravitationnelles)....→
  • 13
    Un objet de masse $m = 5\ \mathrm{kg}$ est tiré sur une surface horizontale rugueuse par une force $F = 50\ \mathrm{N}$ appliquée à un angle $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique est $\mu_k = 0{,}2$ et l'objet se déplace de $d = 10\ \mathrm{m}$ . 1) Calculez le travail effectué par la force appliquée. 2) Calculez le travail effectué par la force de frottement. 3) Déduisez le travail net et interprétez son signe en termes de variation d'énergie cinétique.→
  • 14
    Un projectile de masse $m = 2\ \mathrm{kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$ depuis le niveau du sol. On néglige la résistance de l'air. 1) Calculez l'énergie cinétique initiale du projectile. 2) Calculez l'énergie potentielle gravitationnelle à la hauteur maximale atteinte. 3) En utilisant la conservation de l'énergie mécanique totale, déduisez la hauteur maximale et vérifiez votre résultat.→
  • 15
    Un ressort horizontal de constante $k = 500\ \mathrm{N/m}$ est comprimé de $x = 0{,}2\ \mathrm{m}$ . Il libère un bloc de masse $m = 4\ \mathrm{kg}$ sur une surface horizontale. Le bloc parcourt une distance $d = 8\ \mathrm{m}$ avant de s'arrêter. 1) Calculez l'énergie potentielle élastique initiale du ressort. 2) Calculez le travail effectué par la force de frottement sur l'ensemble du parcours. 3) Déduisez le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la surface.→
  • 16
    Un enfant de masse $m = 35\ \mathrm{kg}$ glisse sur un toboggan courbe sans frottement. Il descend d'une hauteur $h = 5\ \mathrm{m}$ . En bas du toboggan, le sol est rugueux avec un coefficient de frottement $\mu = 0{,}25$ . 1) Calculez la vitesse de l'enfant en bas du toboggan (avant le frottement horizontal). 2) Calculez la distance horizontale parcourue par l'enfant avant d'arrêter. 3) Vérifiez votre résultat en comparant les énergies initiale et finale.→
  • 17
    Une particule de masse $m = 3\ \mathrm{kg}$ se déplace sur une surface courbe sous l'action d'une force conservative. Elle part d'un point A avec une vitesse $v_A = 4\ \mathrm{m/s}$ à une hauteur $h_A = 10\ \mathrm{m}$ . Elle atteint un point B à une hauteur $h_B = 15\ \mathrm{m}$ . 1) Calculez l'énergie mécanique totale au point A. 2) Calculez la vitesse de la particule au point B. 3) Vérifiez que la particule atteint vraiment le point B en comparant l'énergie mécanique totale à l'énergie potentielle requise.→
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