Telecommunication fondamentale Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (12 Exercices)
  • 1
    1. Une station radio FM transmet un signal audio avec une puissance de 200 W sur une fréquence porteuse de 100 MHz. Calculer la distance maximale de réception si la limite minimale de puissance à l’arrivée est de 1 μW et le canal est sans obstacle, d’antenne isotrope à isotrope. 2. Le même signal FM est transmis, mais cette fois avec une antenne directive de gain 12 dB à l’émission et 6 dB à la réception. Recalculer la distance maximale de réception. 3. Un récepteur reçoit ce signal FM en présence d’un bruit thermique dont la densité spectrale est $N_0 = 4\times10^{-21}\; W/Hz$ ....→
  • 2
    1. Un émetteur AM double bande transmet un signal de message de 5 kHz sur une porteuse de 1 MHz avec un indice de modulation $m=0,7$ . Calculer la puissance totale transmise, sachant que la puissance de la porteuse est de 100 W. 2. Dessiner le spectre en fréquence du signal modulé AM pour la bande passante maximale du message. 3. Un récepteur détecte ce signal avec un filtre passe-bande centré sur la porteuse. Quelle doit être la largeur minimale du filtre pour récupérer intégralement le message ? 4. La transmission est perturbée par du bruit blanc additif de densité...→
  • 3
    1. Une liaison numérique utilise une modulation QAM 16 à un débit de $R_b=240\;kb/s$ sur un canal de largeur de 1 MHz, puissance émise 10 W, entre deux antennes isotropes distantes de 2 km ( $f=900\;MHz$ ). Calculer la puissance reçue par l’antenne réceptrice. 2. Calculer l’énergie par bit reçue $E_b$ . 3. Déterminer le rapport signal sur bruit en puissance, sachant que le bruit thermique est $N_0=2\times10^{-21}\;W/Hz$ . 4. Quel est le taux d’erreur binaire (BER) prévu pour ce système de communication ? Utilisez pour la QAM 16 : $BER\approx\frac{3}{8} \mathrm{erfc}(\sqrt{0,1\frac{P_r}{N_0R_b}})$ . 5. Le canal subit une atténuation supplémentaire de...→
  • 4
    On considère un système de transmission analogique utilisant la modulation d'amplitude (AM). Le signal message est $m(t) = 5\sin(2\pi f_m t)$ avec $f_m = 1\,kHz$ . Le signal porteur est $c(t) = 20\cos(2\pi f_c t)$ avec $f_c = 100\,kHz$ . L'indice de modulation est $\mu = 0,8$ . 1. (a) Calculez l'expression analytique complète du signal modulé en AM et déterminez son spectre de fréquence (bandes latérales). 2. (b) Déterminez la bande passante nécessaire pour transmettre ce signal et justifiez cette valeur. 3. (c) Calculez la puissance du signal modulé sachant que l'impédance du canal est $Z = 50\,\Omega$ . 4. (d) Le signal traverse un canal avec atténuation $20\log_{10}(0,1) = -20\,dB$ . Quelle est la puissance reçue...→
  • 5
    Durée: 2 heures | Niveau: Licence 3 | Candidat: ___________________ Consignes: Les calculs de probabilités doivent être détaillés. Les schémas de constellation doivent être annotés. Les unités doivent être systématiquement indiquées. Question 1 (5 points): Modulation M-QAM et Constellation Un système de transmission numérique utilise la modulation 16-QAM (16 Quadrature Amplitude Modulation) avec les caractéristiques suivantes: - Débit binaire: D = 4 Mbps - Fréquence porteuse: $f_c = 2.4$ GHz - Points de constellation symétriquement distribués avec amplitude de référence $A = 1$ V a) Déterminez le nombre de bits par symbole et la période symbole. b) Calculez le débit symbole (baud rate) du...→
  • 6
    Un système de communication analogique transmet des signaux vocaux sur une distance de 50 km via un câble coaxial. Le signal d'entrée est une onde sinusoïdale de fréquence 1 kHz avec une amplitude de 10 V. Question 1 : Analyse du signal source et bande passante requise Un signal vocal analogique est constitué d'une composante fondamentale de fréquence $f_0 = 1 \text{ kHz}$ et de deux harmoniques aux fréquences $3f_0$ et $5f_0$ . Les amplitudes respectives sont $A_0 = 10 \text{ V}$ , $A_1 = 4 \text{ V}$ , et $A_2 = 2 \text{ V}$ . a) Calculez la bande passante minimale requise pour transmettre ce signal sans atténuation. b) Déterminez la puissance totale du signal...→
  • 7
    Un système de transmission numérique doit transmettre des données à débit binaire constant sur une fibre optique. Le signal binaire est composé d'une séquence de bits générée à partir d'une source de données discrète. Question 1 : Quantification et codage du signal discret Un signal analogique échantillonné à la fréquence de Nyquist $f_e = 8 \text{ kHz}$ doit être quantifié sur $n = 8 \text{ bits}$ . L'amplitude du signal varie entre $-10 \text{ V}$ et $+10 \text{ V}$ . a) Calculez le nombre de niveaux de quantification et le pas de quantification $\Delta$ . b) Déterminez le débit binaire nécessaire (en kbps). c) Calculez le rapport signal-sur-bruit de quantification (SQNR) en...→
  • 8
    Un système de transmission numérique utilisant la modulation QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) doit transmettre des données à débit D = 1 Mbit/s sur un canal bruyant. Ce problème intégré examine la modulation, le débit symbole, le taux d'erreur binaire et la capacité du canal. ÉNONCÉ INTÉGRÉ DES QUESTIONS Contexte général : Un système QPSK transmet sur une porteuse à $f_c = 2.4 \text{ GHz}$ avec une puissance de $P_t = 30 \text{ dBm}$ . Le canal a une bande passante de $B = 500 \text{ kHz}$ et le rapport signal-bruit est $\text{SNR} = 15 \text{ dB}$ . QUESTION 1 : Débit Symbole et Efficacité Spectrale Le système utilise QPSK (4 états de phase). Calculez le...→
  • 9
    Un réseau de communication cellulaire 4G doit desservir une zone urbaine avec plusieurs cellules. Le système utilise OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) avec les paramètres avancés. Ce problème intégré examine la capacité réseau, la répartition de ressources et l'interférence intercellulaire. ÉNONCÉ INTÉGRÉ DES QUESTIONS Contexte général : Un opérateur déploie un réseau 4G LTE dans une ville avec N = 7 cellules. Chaque cellule a une bande passante $B = 20 \text{ MHz}$ , avec des sous-porteuses OFDM espacées de $\Delta f = 15 \text{ kHz}$ . La puissance de transmission par cellule est $P_t = 46 \text{ dBm}$ . QUESTION 1 : Architecture OFDM et Nombre de Sous-porteuses Calculez le nombre total...→
  • 10
    Contexte global de l'examen: Vous concevez un système de communication radio-fréquence pour une liaison descendante satellite utilisant la modulation d'amplitude (AM). Le signal vidéo à transmettre doit traverser plusieurs étages d'amplification et de filtrage avant transmission. À travers les 5 questions suivantes, vous analyserez l'indice de modulation, la largeur de bande du signal modulé, les pertes de propagation en espace libre, l'efficacité énergétique du système et la qualité de réception. Question 1: Calcul de l'Indice de Modulation AM Un signal modulant sinusoïdal $m(t) = 2\cos(2\pi f_m t)$ volts (où $f_m = 10 \text{ kHz}$ ) module une porteuse $c(t) = 10\cos(2\pi f_c t)$ volts (où $f_c = 100 \text{ MHz}$ ). Données: Amplitude du modulant: $A_m = 2$...→
  • 11
    00 | Niveau : L3 Télécommunications | Contexte : Analyse d'une liaison numérique binaire utilisant différents codages de ligne (NRZ, RZ, Manchester), calcul du taux d'erreur et performance en présence de bruit. Question 1 : Codage de Ligne et Densité Spectrale de Puissance On transmet une séquence binaire aléatoire à débit $D_b = 10 \text{ Mbps}$ . On considère trois codages : • NRZ-L (Non Return to Zero - Level) : niveau haut = +1V, niveau bas = -1V. • RZ (Return to Zero) : impulsion de largeur T/2 à +1V ou -1V. • Manchester : transition à mi-période pour chaque bit. 1.1) Calculez...→
  • 12
    00 | Niveau : Master 1 Télécommunications | Documents : Normes techniques autorisées Contexte : Conception et analyse d'une liaison complète pour transmission de données (10 Mbps) sur un canal radiofréquence dégradé. Intégration des concepts analogiques et numériques. Question 1 : Architecture Globale et Budget de Liaison Chaîne TX : Data Source → Codage/Interleaving → Modulation (QPSK) → Amplificateur (P_TX = 1W) → Antenne (G_TX = 10 dBi) → Canal. Chaîne RX : Antenne (G_RX = 10 dBi) → Amplificateur bas bruit (NF = 6 dB) → Démodulateur → Égaliseur → Décodeur. Paramètres : • Fréquence : $f_c = 2.4 \text{ GHz}$ (WiFi). •...→
• systèmes de communication (38 Exercices)
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    Exercice 2 : Liaison par fibre optique monomode Un système de communication optique utilise une fibre monomode pour transmettre des données entre deux centres de données distants de $L = 25$ km. La fibre optique fonctionne à une longueur d'onde $\lambda = 1550$ nm (fenêtre C-band). Les caractéristiques de la fibre sont : atténuation $\alpha = 0.22$ dB/km, dispersion chromatique $D = 17$ ps/(nm·km), et indice de réfraction du cœur $n_1 = 1.468$ . Le laser émetteur a une largeur spectrale $\Delta\lambda = 0.1$ nm et émet une puissance optique de $P_0 = 5$ mW. Le récepteur nécessite une puissance minimale de $P_{\text{min}} = 0.5$ μW pour fonctionner correctement. Question 1: Calculez la puissance optique reçue...→
  • 2
    Exercice 3 : Propagation dans un guide d'onde rectangulaire Un guide d'onde rectangulaire en cuivre est utilisé pour transporter un signal micro-ondes dans un système radar. Les dimensions intérieures du guide sont $a = 7.2$ cm (largeur, dimension selon x) et $b = 3.4$ cm (hauteur, dimension selon y). Le guide fonctionne en mode dominant TE₁₀ à une fréquence $f = 3.5$ GHz. La vitesse de la lumière dans le vide est $c = 3 \times 10^8$ m/s, et la permittivité relative du milieu à l'intérieur du guide est $\varepsilon_r = 1$ (air). Question 1: Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode TE₁₀ pour ce guide d'onde. Vérifiez que le guide...→
  • 3
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale pour système de communication RF Un système de communication radiofréquence utilise un câble coaxial de longueur $L = 50 \ \text{m}$ pour relier un émetteur à une antenne. Le câble coaxial possède les caractéristiques suivantes : Conducteur intérieur en cuivre de rayon $a = 1 \ \text{mm}$ Conducteur extérieur en cuivre de rayon intérieur $b = 3.5 \ \text{mm}$ Diélectrique en polyéthylène avec $\varepsilon_r = 2.25$ et $\mu_r = 1$ Perméabilité du vide $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{H/m}$ Permittivité du vide $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ \text{F/m}$ Coefficient d'atténuation $\alpha = 0.02 \ \text{Np/m}$ L'émetteur fournit un signal de puissance $P_{in} = 10 \ \text{W}$ à une fréquence $f = 1 \ \text{GHz}$ , et l'impédance de sortie de l'émetteur est $Z_g = 75 \ \Omega$ . Question 1 : Calculez l'impédance...→
  • 4
    Exercice 2 : Caractérisation d'une fibre optique dans un système de télécommunication longue distance Un système de télécommunication par fibre optique relie deux stations distantes de $L = 80 \ \text{km}$ . La fibre optique utilisée possède les caractéristiques suivantes : Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.48$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.46$ Diamètre du cœur : $d = 50 \ \mu\text{m}$ Longueur d'onde d'opération : $\lambda = 1.3 \ \mu\text{m}$ Coefficient d'atténuation linéique : $\alpha = 0.35 \ \text{dB/km}$ Vitesse de la lumière dans le vide : $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$ Une source laser injecte une puissance optique de $P_0 = 5 \ \text{mW}$ dans la fibre. La fibre présente une dispersion chromatique caractérisée par un paramètre $D = 3.5 \ \text{ps/(nm} \cdot \text{km)}$ ....→
  • 5
    Exercice 3 : Propagation d'ondes électromagnétiques dans un guide d'ondes rectangulaire Un système de communication micro-ondes utilise un guide d'ondes rectangulaire pour transmettre un signal haute fréquence entre un émetteur radar et une antenne. Le guide d'ondes présente les dimensions suivantes : Largeur : $a = 4.755 \ \text{cm}$ Hauteur : $b = 2.215 \ \text{cm}$ Longueur totale : $L = 10 \ \text{m}$ Perméabilité magnétique : $\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{H/m}$ Permittivité électrique : $\varepsilon = \varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ \text{F/m}$ Vitesse de la lumière : $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$ Le guide d'ondes fonctionne en mode dominant $TE_{10}$ , et transporte un signal de fréquence $f = 5 \ \text{GHz}$ avec une puissance moyenne de $P = 50 \ \text{W}$ . Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode...→
  • 6
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale pour système de télécommunication Une entreprise de télécommunications doit installer une ligne de transmission coaxiale pour relier deux équipements distants. Le câble coaxial utilisé possède les caractéristiques suivantes : Conducteur intérieur en cuivre de rayon $a = 1.2$ mm Conducteur extérieur en cuivre de rayon intérieur $b = 4.0$ mm Diélectrique : polyéthylène avec perméabilité relative $\varepsilon_r = 2.26$ Résistance linéique du conducteur intérieur : $R_1 = 0.05$ Ω/m Résistance linéique du conducteur extérieur : $R_2 = 0.02$ Ω/m Conductance linéique du diélectrique : $G = 10^{-9}$ S/m Perméabilité magnétique : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m Permittivité du vide : $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m La ligne est utilisée...→
  • 7
    Exercice 2 : Analyse d'une liaison par fibre optique multimode Un système de télécommunication utilise une fibre optique multimode à saut d'indice pour transmettre des données entre deux stations distantes. La fibre optique présente les caractéristiques suivantes : Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.48$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.46$ Longueur de la fibre : $L = 2000$ m Diamètre du cœur : $d = 50$ μm Longueur d'onde du signal : $\lambda = 850$ nm Vitesse de la lumière dans le vide : $c = 3 \times 10^8$ m/s Atténuation linéique de la fibre : $\alpha = 3$ dB/km Question 1 : Calculez l'ouverture numérique $ON$ de cette...→
  • 8
    Exercice 3 : Analyse d'un système de communication par guide d'ondes et propagation en espace libre Un système radar utilise un guide d'ondes rectangulaire pour transporter l'énergie électromagnétique de l'émetteur vers l'antenne, puis le signal se propage en espace libre. Le guide d'ondes présente les caractéristiques suivantes : Dimensions du guide : $a = 7.2$ cm, $b = 3.4$ cm (avec $a > b$ ) Fréquence de fonctionnement : $f = 3$ GHz Mode de propagation : $TE_{10}$ (mode fondamental) Vitesse de la lumière : $c = 3 \times 10^8$ m/s Perméabilité du vide : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m Permittivité du vide : $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m Pour la transmission en espace libre : Puissance transmise...→
  • 9
    Exercice 1 : Transmission d’un signal téléphonique sur une ligne bifilaire Un signal téléphonique analogique, de puissance $1~\mathrm{mW}$ et de bande passante $3.4~\mathrm{kHz}$ , est transmis sur une ligne bifilaire de longueur $2~\mathrm{km}$ . Les paramètres de la ligne sont : résistance par km $R=170~\Omega/\mathrm{km}$ , inductance par km $L=0.8~\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ , capacité par km $C=45~\mathrm{nF}/\mathrm{km}$ , conductance négligeable. 1. Calculez l’atténuation totale en dB sur la ligne bifilaire. 2. Estimez la perte de puissance du signal reçu au bout de la ligne. 3. Calculez la vitesse de propagation du signal sur la ligne bifilaire.→
  • 10
    Exercice 2 : Transmission d’un signal RF via un câble coaxial Un générateur radiofréquence émet une puissance de $10~\mathrm{W}$ à une fréquence de $100~\mathrm{MHz}$ sur un câble coaxial de longueur $50~\mathrm{m}$ . Les caractéristiques du câble sont : atténuation $0.23~\mathrm{dB/m}$ , impédance caractéristique $50~\Omega$ . 1. Calculez la puissance reçue à l’extrémité du câble. 2. Déterminez la tension efficace en bout de câble lorsque le câble est adapté à la charge (mêmes impédances). 3. Calculez la perte linéique totale sur le câble exprimée en Watts.→
  • 11
    Exercice 3 : Transmission optique sur fibre multimode Un système de communication utilise une fibre optique multimode de longueur $5~\mathrm{km}$ pour transmettre un signal lumineux d’une puissance de $2~\mathrm{mW}$ à une longueur d’onde de $850~\mathrm{nm}$ . L’atténuation est $3~\mathrm{dB/km}$ . 1. Calculez la puissance du signal optique reçu à la sortie de la fibre. 2. Déterminez le nombre de photons émis par seconde à l’entrée de la fibre. 3. Calculez le nombre de photons reçus par seconde à la sortie de la fibre.→
  • 12
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale Une ligne de transmission coaxiale est utilisée pour transmettre un signal RF à $f = 1\text{ GHz}$ . Le câble coaxial possède un conducteur interne de rayon $a = 0.5\text{ mm}$ et un conducteur externe de rayon interne $b = 1.5\text{ mm}$ . Le diélectrique entre les conducteurs a une permittivité relative $\varepsilon_r = 2.25$ et une perméabilité relative $\mu_r = 1$ . La conductivité du diélectrique est $\sigma = 10^{-5}\text{ S/m}$ et la tangente de perte est $\tan\delta = 0.0002$ . Les conducteurs sont en cuivre avec une conductivité $\sigma_c = 5.8 \times 10^7\text{ S/m}$ . Question 1 : Calculez l'impédance caractéristique $Z_0$ de cette ligne de transmission coaxiale. Question 2 : Calculez...→
  • 13
    Exercice 2 : Conception d'un système de transmission par fibre optique Un système de transmission par fibre optique monomode est conçu pour une liaison de télécommunication. La fibre optique a un cœur d'indice de réfraction $n_1 = 1.465$ et une gaine d'indice $n_2 = 1.450$ . Le diamètre du cœur est $d = 9\text{ }\mu\text{m}$ et la longueur d'onde de fonctionnement est $\lambda = 1550\text{ nm}$ . La fibre présente une atténuation de $\alpha_f = 0.25\text{ dB/km}$ et une dispersion chromatique de $D = 17\text{ ps/(nm·km)}$ . La source laser a une largeur spectrale de $\Delta\lambda = 0.1\text{ nm}$ . Question 1 : Calculez l'ouverture numérique $\text{ON}$ de la fibre et l'angle d'acceptance maximal $\theta_{\text{max}}$ (en degrés) pour le...→
  • 14
    Exercice 3 : Propagation dans un guide d'onde rectangulaire Un guide d'onde rectangulaire en bande X est utilisé pour transmettre des signaux micro-ondes. Le guide a des dimensions internes $a = 22.86\text{ mm}$ (largeur) et $b = 10.16\text{ mm}$ (hauteur). Il est rempli d'air ( $\varepsilon_r = 1$ , $\mu_r = 1$ ). Les parois du guide sont en aluminium avec une conductivité $\sigma_c = 3.5 \times 10^7\text{ S/m}$ . Le guide fonctionne dans le mode dominant $\text{TE}_{10}$ à une fréquence de $f = 10\text{ GHz}$ . Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode $\text{TE}_{10}$ , puis calculez la longueur d'onde guidée $\lambda_g$ à la fréquence de fonctionnement de $10\text{ GHz}$ . Question 2 :...→
  • 15
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale Une entreprise de télécommunications doit installer un système de transmission utilisant un câble coaxial de longueur $L = 150\text{ m}$ pour transmettre un signal radiofréquence. Le câble coaxial possède les caractéristiques suivantes : Diamètre du conducteur intérieur : $d = 2\text{ mm}$ Diamètre du conducteur extérieur : $D = 8\text{ mm}$ Permittivité relative du diélectrique : $\varepsilon_r = 2.25$ Tangente de perte du diélectrique : $\tan(\delta) = 0.0004$ Conductivité du cuivre : $\sigma = 5.8 \times 10^7\text{ S/m}$ Fréquence de travail : $f = 100\text{ MHz}$ Le générateur a une impédance interne $Z_g = 50\text{ }\Omega$ et fournit une tension $V_g = 10\text{ V}$ . La charge connectée à l'extrémité du câble a une impédance $Z_L = 75\text{ }\Omega$ . Question...→
  • 16
    Exercice 2 : Système de communication par fibre optique Un réseau métropolitain de télécommunications utilise une liaison par fibre optique monomode pour transmettre des données à haut débit. La liaison possède les caractéristiques suivantes : Longueur de la fibre : $L = 25\text{ km}$ Longueur d'onde de fonctionnement : $\lambda = 1550\text{ nm}$ (fenêtre de transmission) Coefficient d'atténuation de la fibre : $\alpha = 0.22\text{ dB/km}$ Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.468$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.465$ Paramètre de dispersion chromatique : $D = 17\text{ ps/(nm·km)}$ Largeur spectrale de la source laser : $\Delta\lambda = 0.1\text{ nm}$ L'émetteur optique délivre une puissance $P_{TX} = 3\text{ dBm}$ dans la fibre. La liaison comporte $2$ connecteurs...→
  • 17
    Exercice 3 : Propagation en espace libre et guide d'onde rectangulaire Un système de télécommunication par satellite en bande Ku utilise une liaison descendante (downlink) vers une station terrestre. Le satellite émet un signal à la fréquence $f_1 = 12\text{ GHz}$ avec une puissance d'émission $P_t = 100\text{ W}$ . L'antenne d'émission du satellite a un gain $G_t = 35\text{ dBi}$ , et l'antenne de réception au sol a un gain $G_r = 45\text{ dBi}$ . La distance entre le satellite et la station est $d = 38\,000\text{ km}$ . Les pertes atmosphériques sont estimées à $L_{atm} = 2\text{ dB}$ . Par ailleurs, la station terrestre est connectée à un centre de traitement via un guide d'onde rectangulaire...→
  • 18
    Exercice 1 : Étude d'une ligne de transmission coaxiale Une liaison de télécommunication utilise un câble coaxial de longueur $L = 500\,\text{m}$ pour transmettre un signal de fréquence $f = 100\,\text{MHz}$ . Le câble possède les caractéristiques suivantes : Inductance linéique : $L' = 0.25\,\mu\text{H/m}$ Capacité linéique : $C' = 100\,\text{pF/m}$ Résistance linéique : $R' = 0.05\,\Omega\text{/m}$ Conductance linéique : $G' = 0.01\,\mu\text{S/m}$ Le câble est alimenté par une source de tension $V_g = 10\,\text{V}$ avec une impédance interne $Z_g = 50\,\Omega$ . La charge en bout de ligne présente une impédance $Z_L = 75\,\Omega$ . Question 1 : Calculer l'impédance caractéristique $Z_0$ du câble coaxial à la fréquence de travail. Déterminer également la vitesse de propagation $v_p$...→
  • 19
    Exercice 2 : Propagation dans une fibre optique monomode Un système de télécommunication optique utilise une fibre monomode de longueur $L = 80\,\text{km}$ pour transmettre un signal numérique à un débit de $D = 10\,\text{Gbit/s}$ . La fibre optique possède les caractéristiques suivantes à la longueur d'onde de travail $\lambda = 1550\,\text{nm}$ : Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.468$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.465$ Coefficient d'atténuation : $\alpha = 0.2\,\text{dB/km}$ Coefficient de dispersion chromatique : $D_\lambda = 17\,\text{ps/(nm·km)}$ Largeur spectrale de la source laser : $\Delta\lambda = 0.1\,\text{nm}$ Un émetteur optique injecte une puissance $P_0 = 1\,\text{mW}$ à l'entrée de la fibre. Le récepteur nécessite une puissance minimale de $P_{\text{min}} = 10\,\mu\text{W}$...→
  • 20
    Exercice 3 : Propagation en espace libre et bilan de liaison micro-ondes Un système de télécommunication par faisceaux hertziens opère à la fréquence $f = 6\,\text{GHz}$ pour établir une liaison point-à-point entre deux stations séparées par une distance $d = 40\,\text{km}$ . Le système utilise les caractéristiques suivantes : Puissance d'émission : $P_t = 10\,\text{W}$ Gain de l'antenne d'émission : $G_t = 30\,\text{dBi}$ Gain de l'antenne de réception : $G_r = 28\,\text{dBi}$ Pertes dans les câbles d'alimentation côté émission : $L_t = 2\,\text{dB}$ Pertes dans les câbles côté réception : $L_r = 1.5\,\text{dB}$ Sensibilité du récepteur : $S_r = -85\,\text{dBm}$ Marge de fonctionnement requise : $M_f = 15\,\text{dB}$ On considère une propagation en visibilité directe (LOS - Line...→
  • 21
    Exercice 1 : Analyse d'une Ligne de Transmission Coaxiale Une ligne de transmission coaxiale est utilisée pour transmettre un signal RF à $f = 2.4$ GHz. Le câble coaxial possède les caractéristiques suivantes : Conducteur intérieur en cuivre de rayon $a = 0.5$ mm Conducteur extérieur en cuivre de rayon intérieur $b = 1.5$ mm Diélectrique : Téflon avec permittivité relative $\varepsilon_r = 2.1$ et perméabilité relative $\mu_r = 1$ Conductivité du cuivre : $\sigma = 5.8 \times 10^7$ S/m Tangente de perte du diélectrique : $\tan(\delta) = 0.0004$ Longueur de la ligne : $L = 50$ m Question 1 : Calculez l'impédance caractéristique $Z_0$ de cette ligne de transmission coaxiale en supposant des pertes négligeables. Question 2...→
  • 22
    Exercice 2 : Propagation dans un Guide d'Ondes Rectangulaire Un guide d'ondes rectangulaire en cuivre est utilisé pour transmettre un signal à la fréquence $f = 10$ GHz. Le guide possède les dimensions standards WR-90 : Largeur : $a = 22.86$ mm Hauteur : $b = 10.16$ mm Conductivité du cuivre : $\sigma = 5.8 \times 10^7$ S/m Le guide est rempli d'air : $\varepsilon_r = 1$ , $\mu_r = 1$ Longueur du guide : $L = 2$ m Le guide fonctionne dans le mode dominant $TE_{10}$ . Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode $TE_{10}$ et vérifiez que le guide peut propager le signal à $f = 10$ GHz. Déterminez ensuite la longueur...→
  • 23
    Exercice 3 : Transmission par Fibre Optique Monomode Un système de télécommunication par fibre optique utilise une fibre monomode pour transmettre un signal optique. Les caractéristiques du système sont les suivantes : Longueur d'onde d'opération : $\lambda = 1550$ nm (fenêtre télécom) Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.4682$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.4628$ Diamètre du cœur : $d = 9$ μm Coefficient d'atténuation de la fibre : $\alpha = 0.2$ dB/km Vitesse de la lumière dans le vide : $c = 3 \times 10^8$ m/s Longueur de la liaison : $L = 80$ km Question 1 : Calculez l'ouverture numérique $ON$ (ou $NA$ ) de la fibre optique,...→
  • 24
    Exercice 1 : Analyse d'une Ligne de Transmission Coaxiale Une ligne de transmission coaxiale est utilisée pour transmettre un signal radiofréquence de $P_0 = 50 \, \text{W}$ à une fréquence de $f = 1 \, \text{GHz}$ . La ligne a une longueur de $L = 100 \, \text{m}$ et présente les caractéristiques suivantes : Impédance caractéristique : $Z_0 = 75 \, \Omega$ Constante d'atténuation : $\alpha = 0.05 \, \text{Np/m}$ Constante de phase : $\beta = 20.94 \, \text{rad/m}$ Charge connectée à l'extrémité : $Z_L = 50 + j30 \, \Omega$ L'objectif de cet exercice est d'analyser complètement le comportement de cette ligne de transmission en calculant le coefficient de réflexion, le rapport d'onde stationnaire, et la puissance transmise à la charge. Question 1 : Coefficient de Réflexion et Impédance...→
  • 25
    Exercice 2 : Conception d'un Système de Transmission par Fibre Optique Un système de communication par fibre optique est conçu pour transmettre des données sur une longue distance. La fibre optique multimode utilisée présente les caractéristiques suivantes : Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.48$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.46$ Diamètre du cœur : $d = 50 \, \mu\text{m}$ Coefficient d'atténuation : $\alpha_{\text{dB}} = 0.8 \, \text{dB/km}$ Longueur d'onde d'opération : $\lambda = 850 \, \text{nm}$ Indice de dispersion modale : $\Delta = 0.0135$ Une source LED émet une puissance optique de $P_{\text{in}} = 1 \, \text{mW}$ dans la fibre. Le système doit transmettre sur une distance de $L = 15 \, \text{km}$ . Le récepteur nécessite une puissance...→
  • 26
    Exercice 3 : Propagation d'Ondes Électromagnétiques dans un Guide d'Ondes Rectangulaire Un guide d'ondes rectangulaire en cuivre est utilisé dans un système radar opérant en bande X. Le guide présente les dimensions suivantes : Largeur (grand côté) : $a = 22.86 \, \text{mm}$ Hauteur (petit côté) : $b = 10.16 \, \text{mm}$ Longueur du guide : $L = 2 \, \text{m}$ Le système radar transmet un signal à une fréquence de $f = 10 \, \text{GHz}$ . Le guide d'ondes supporte le mode dominant $\text{TE}_{10}$ . Les propriétés du milieu sont celles du vide ( $\epsilon_r = 1$ , $\mu_r = 1$ ). Constantes physiques : vitesse de la lumière $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ , permittivité du vide $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ , perméabilité du vide...→
  • 27
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale Une ligne de transmission coaxiale est utilisée pour transmettre un signal haute fréquence de $f = 2\text{ GHz}$ . La ligne possède les caractéristiques suivantes : Conducteur intérieur de rayon $a = 0.5\text{ mm}$ Conducteur extérieur de rayon $b = 3\text{ mm}$ Diélectrique : polyéthylène avec $\varepsilon_r = 2.25$ et $\mu_r = 1$ Conductivité du diélectrique : $\sigma_d = 10^{-15}\text{ S/m}$ Conductivité des conducteurs : $\sigma_c = 5.8 \times 10^7\text{ S/m}$ (cuivre) Longueur de la ligne : $L = 50\text{ m}$ Le générateur d'entrée fournit une puissance de $P_g = 10\text{ W}$ avec une impédance interne $Z_g = 50\text{ }\Omega$ . La charge en bout de ligne a une impédance $Z_L = (75 + j25)\text{ }\Omega$ . Question 1 : Calculez l'impédance caractéristique $Z_0$ de la...→
  • 28
    Exercice 2 : Transmission par fibre optique monomode Un système de communication optique utilise une fibre optique monomode pour transmettre des données sur une longue distance. Les caractéristiques du système sont les suivantes : Longueur d'onde du laser : $\lambda = 1550\text{ nm}$ Fibre optique : cœur en silice dopée avec indice de réfraction $n_1 = 1.4682$ Gaine de la fibre : indice de réfraction $n_2 = 1.4628$ Diamètre du cœur : $d = 9\text{ }\mu\text{m}$ Coefficient d'atténuation de la fibre : $\alpha_f = 0.2\text{ dB/km}$ Distance de transmission : $L = 80\text{ km}$ Puissance optique émise par le laser : $P_0 = 5\text{ mW}$ Coefficient de couplage laser-fibre : $\eta_c = 0.75$ Sensibilité du photodétecteur : $P_{min} = -35\text{ dBm}$ Question 1 :...→
  • 29
    Exercice 3 : Propagation en espace libre et bilan de liaison Un système de communication sans fil point-à-point utilise la propagation en espace libre pour transmettre des données entre deux stations. Le système possède les caractéristiques suivantes : Fréquence porteuse : $f = 5.8\text{ GHz}$ (bande ISM) Puissance transmise : $P_t = 1\text{ W} = 30\text{ dBm}$ Gain de l'antenne émettrice : $G_t = 18\text{ dBi}$ Gain de l'antenne réceptrice : $G_r = 15\text{ dBi}$ Distance entre émetteur et récepteur : $d = 10\text{ km}$ Coefficient d'atténuation atmosphérique : $\gamma = 0.015\text{ dB/km}$ Perte due aux câbles et connecteurs côté émission : $L_{c,t} = 2\text{ dB}$ Perte due aux câbles et connecteurs côté réception : $L_{c,r} = 1.5\text{ dB}$ Sensibilité du récepteur : $P_{r,min} = -85\text{ dBm}$ Marge de fonctionnement...→
  • 30
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale Une ligne de transmission coaxiale est utilisée pour transmettre un signal haute fréquence de $f = 1 \ \text{GHz}$ entre un générateur et une charge. Les caractéristiques de la ligne sont les suivantes : Longueur de la ligne : $L = 50 \ \text{m}$ Impédance caractéristique : $Z_0 = 75 \ \Omega$ Constante de propagation : $\gamma = \alpha + j\beta$ où $\alpha = 0.05 \ \text{Np/m}$ (coefficient d'atténuation) et $\beta = 20.94 \ \text{rad/m}$ (coefficient de phase) Impédance de la charge : $Z_L = 100 + j50 \ \Omega$ Impédance du générateur : $Z_g = 50 \ \Omega$ Tension du générateur : $V_g = 10 \ \text{V}$ (valeur efficace) Question 1 : Calculez le coefficient de réflexion $\Gamma_L$ à la charge (en forme complexe), puis déterminez son module...→
  • 31
    Exercice 2 : Propagation dans une fibre optique monomode Une liaison de communication par fibre optique monomode est installée pour relier deux stations distantes de $L = 80 \ \text{km}$ . Les caractéristiques de la fibre et du système sont les suivantes : Longueur d'onde de travail : $\lambda = 1550 \ \text{nm}$ Coefficient d'atténuation de la fibre : $\alpha_{\text{fibre}} = 0.22 \ \text{dB/km}$ Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.4682$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.4628$ Coefficient de dispersion chromatique : $D = 17 \ \text{ps/(nm} \cdot \text{km)}$ Largeur spectrale de la source laser : $\Delta\lambda = 0.1 \ \text{nm}$ Puissance optique couplée à l'entrée de la fibre : $P_0 = 5 \ \text{mW}$ Deux épissures sur le parcours, chacune avec une perte...→
  • 32
    Exercice 3 : Propagation dans un guide d'onde rectangulaire Un guide d'onde rectangulaire en cuivre est utilisé pour transmettre un signal micro-onde. Les dimensions et caractéristiques du guide sont : Dimension du grand côté : $a = 7.214 \ \text{cm}$ Dimension du petit côté : $b = 3.404 \ \text{cm}$ Fréquence de travail : $f = 3.5 \ \text{GHz}$ Conductivité du cuivre : $\sigma = 5.8 \times 10^7 \ \text{S/m}$ Perméabilité magnétique du cuivre : $\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \text{H/m}$ Permittivité diélectrique de l'air dans le guide : $\varepsilon = \varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ \text{F/m}$ Longueur du guide : $L = 2.5 \ \text{m}$ Puissance injectée à l'entrée : $P_0 = 100 \ \text{W}$ Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode fondamental $\text{TE}_{10}$ du guide d'onde. Vérifiez que le guide fonctionne bien...→
  • 33
    Exercice 1 : Analyse d'une Ligne de Transmission Coaxiale Une ligne de transmission coaxiale de longueur $L = 50$ m est utilisée pour transmettre un signal RF à une fréquence $f = 2$ GHz. Les caractéristiques de la ligne sont les suivantes : Impédance caractéristique : $Z_0 = 50$ $\Omega$ Constante d'atténuation : $\alpha = 0.2$ dB/m Vitesse de propagation : $v_p = 2 \times 10^8$ m/s Impédance de charge : $Z_L = 75 + j25$ $\Omega$ Question 1 : Calculez le coefficient de réflexion complexe $\Gamma_L$ à la charge et son module $|\Gamma_L|$ . Déterminez également le rapport d'onde stationnaire (ROS ou VSWR). Question 2 : En utilisant le résultat de la Question 1, calculez...→
  • 34
    Exercice 2 : Propagation dans un Guide d'Onde Rectangulaire Un guide d'onde rectangulaire en cuivre est utilisé pour transmettre des signaux dans la bande X. Les dimensions du guide sont : Largeur : $a = 22.86$ mm Hauteur : $b = 10.16$ mm Conductivité du cuivre : $\sigma = 5.8 \times 10^7$ S/m Perméabilité du vide : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m Permittivité du vide : $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m Le guide fonctionne en mode dominant TE₁₀ à une fréquence $f = 10$ GHz. Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode TE₁₀ et vérifiez que le guide peut propager ce mode à $f = 10$ GHz. Déterminez ensuite la longueur d'onde de coupure...→
  • 35
    Exercice 3 : Caractéristiques d'une Fibre Optique Multimode Une fibre optique multimode à saut d'indice est utilisée pour une liaison de données à courte distance. Les caractéristiques de la fibre sont : Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.50$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.48$ Diamètre du cœur : $d = 62.5$ $\mu$ m Longueur de la fibre : $L = 2$ km Longueur d'onde de fonctionnement : $\lambda = 850$ nm Coefficient d'atténuation : $\alpha = 2.5$ dB/km Question 1 : Calculez l'ouverture numérique (ON) de la fibre, l'angle d'acceptance maximal $\theta_{max}$ dans l'air ( $n_0 = 1$ ), et la fréquence normalisée $V$ (paramètre V). Déterminez...→
  • 36
    Exercice 1 : Analyse d'une ligne de transmission coaxiale Une liaison de télécommunication utilise un câble coaxial de longueur $L = 500$ m pour transmettre un signal à haute fréquence de $f = 2 \text{ GHz}$ . Le câble présente les caractéristiques suivantes : Conducteur intérieur en cuivre de diamètre $d = 2 \text{ mm}$ Conducteur extérieur en cuivre de diamètre intérieur $D = 6 \text{ mm}$ Diélectrique en polytétrafluoroéthylène (PTFE) de permittivité relative $\varepsilon_r = 2.1$ Perméabilité magnétique relative du diélectrique $\mu_r = 1$ Résistance linéique du conducteur intérieur $R_i = 8 \times 10^{-3} \, \Omega/\text{m}$ Résistance linéique du conducteur extérieur $R_e = 4 \times 10^{-3} \, \Omega/\text{m}$ Conductance linéique de fuite $G = 10^{-8} \, \text{S/m}$ On donne : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$ , $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ , $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ Question 1 : Calculez l'impédance caractéristique $Z_c$ du...→
  • 37
    Exercice 2 : Transmission par fibre optique monomode Un système de télécommunication optique utilise une fibre optique monomode pour transmettre des données à très haut débit. La fibre présente les caractéristiques suivantes : Longueur de la liaison : $L = 80 \, \text{km}$ Longueur d'onde de travail : $\lambda = 1550 \, \text{nm}$ (fenêtre de transmission optimale) Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.4682$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.4628$ Diamètre du cœur : $d_{coeur} = 9 \, \mu\text{m}$ Coefficient d'atténuation linéique : $\alpha = 0.2 \, \text{dB/km}$ Coefficient de dispersion chromatique : $D = 17 \, \text{ps/(nm} \cdot \text{km)}$ Largeur spectrale de la source laser : $\Delta\lambda = 0.1 \, \text{nm}$ On donne : vitesse de la lumière dans le vide $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ Question...→
  • 38
    Exercice 3 : Propagation en guide d'onde rectangulaire Un système radar utilise un guide d'onde rectangulaire métallique pour transporter l'énergie électromagnétique entre l'émetteur et l'antenne. Le guide présente les caractéristiques suivantes : Dimensions intérieures : $a = 7.214 \, \text{cm}$ (grand côté) et $b = 3.404 \, \text{cm}$ (petit côté) Fréquence de fonctionnement : $f = 3.5 \, \text{GHz}$ Mode de propagation : $TE_{10}$ (mode fondamental) Longueur du guide : $L = 5 \, \text{m}$ Conductivité du métal (cuivre) : $\sigma = 5.8 \times 10^7 \, \text{S/m}$ Le guide est rempli d'air : $\varepsilon_r = 1$ , $\mu_r = 1$ On donne : $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ , $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$ , $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_c$ du mode $TE_{10}$ dans ce guide d'onde rectangulaire. Vérifiez...→
• Techniques de transmission numérique (32 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Analyse complète de la numérisation d'un signal audio par échantillonnage et quantification Un système de transmission numérique doit numériser un signal audio analogique destiné à une diffusion radiophonique haute fidélité. Le signal audio analogique $s(t)$ présente les caractéristiques suivantes : Bande passante du signal : $0 \text{ à } 20 \ \text{kHz}$ Amplitude maximale du signal : $A_{max} = 10 \ \text{V}$ Amplitude minimale du signal : $A_{min} = -10 \ \text{V}$ Fréquence d'échantillonnage appliquée : $f_s = 48 \ \text{kHz}$ Nombre de niveaux de quantification : $L = 256$ (quantification sur $8 \ \text{bits}$ ) Durée du signal numérisé : $T = 10 \ \text{s}$ Débit binaire disponible du canal : $D = 500 \ \text{kbit/s}$ Après la numérisation et le codage, le signal numérique doit...→
  • 2
    Exercice 2 : Analyse des performances d'une chaîne de codage et transmission numérique avec modulation Un système de transmission numérique utilise un codage en ligne pour adapter le signal numérique au canal de transmission. Le signal numérique après numérisation d'une source de données présente les caractéristiques suivantes : Débit binaire source : $R_b = 256 \ \text{kbit/s}$ Type de signal binaire initial : $\{0, 1\}$ représenté en tension par $\{0 \ \text{V}, 5 \ \text{V}\}$ Codage en ligne appliqué : Manchester (2 transitions par bit) Fréquence porteuse pour modulation : $f_c = 10 \ \text{MHz}$ Bande passante disponible du canal : $B = 2.5 \ \text{MHz}$ Atténuation du canal : $\alpha = 0.5 \ \text{dB/km}$ Distance de transmission : $d = 50 \ \text{km}$ Puissance d'émission...→
  • 3
    Exercice 3 : Analyse du débit d'information, du théorème d'échantillonnage et de la capacité optimale d'un système de transmission Un système de transmission numérique intégré doit numériser, coder et transmettre efficacement un signal composite contenant plusieurs composantes. Le système présente les caractéristiques suivantes : Signal analogique composé de deux composantes : signal utile et signal de contrôle Fréquence maximale du signal utile : $f_1 = 8 \ \text{kHz}$ Fréquence maximale du signal de contrôle : $f_2 = 2 \ \text{kHz}$ Fréquence d'échantillonnage globale appliquée : $f_s = 24 \ \text{kHz}$ Nombre de bits de quantification pour signal utile : $n_1 = 12 \ \text{bits}$ Nombre de bits de quantification pour signal de contrôle : $n_2 = 6 \ \text{bits}$ Codage...→
  • 4
    Exercice 1 : Transmission d'un signal analogique par chaîne PCM Un capteur délivre un signal analogique de bande limitée, dont la bande passante maximale est $B = 4$ kHz. Ce signal est transmis sous forme numérique par une chaîne PCM constituée des étapes suivantes : échantillonnage, quantification uniforme avec $n_q = 8$ bits, codage NRZ, transmission sur un canal dont la largeur de bande est de $W_c = 40$ kHz. Question 1 : Calculez la fréquence minimale d’échantillonnage $f_e$ du signal analogique exigée par le théorème de Shannon, puis le nombre de valeurs d’échantillonnage obtenues pour une période de $T = 10$ ms. Question 2 : Déterminez le...→
  • 5
    Exercice 2 : Transmission d’un signal numérique sur un canal atténué Une séquence de bits codés NRZ est transmise sur un canal cuivre de longueur $L = 2$ km, présentant une atténuation linéique de $\alpha = 0.2$ dB/km. Le débit binaire est $D_b = 200$ kbit/s. Le signal codé utilise une tension d'amplitude initiale $V_{in} = 5$ V. Le récepteur nécessite une tension minimale de $V_{min} = 1$ V pour une détection fiable. Question 1 : Calculez l’atténuation totale du canal en dB puis la tension reçue au récepteur $V_{out}$ . Question 2 : Déterminez le rapport signal à bruit en sortie (en dB), sachant que le bruit de fond...→
  • 6
    Exercice 3 : Chaîne numérique, codage et canal bruité Un signal vocal, de bande passante $B = 3.5$ kHz, est transmis numériquement par une chaîne PCM. L’échantillonnage se fait à la fréquence de Nyquist. Les échantillons sont codés sur $n_q = 10$ bits. Après multiplexage TDM avec $N = 30$ canaux identiques, la transmission se fait sur un canal à bruit blanc gaussien. On mesure une SNR de $\gamma = 120$ à la réception. Question 1 : Calculez la fréquence d’échantillonnage, le nombre d’échantillons par seconde, le débit binaire total par canal, et le débit total après multiplexage sur $N = 30$ canaux. Question 2 : Calculez le SNR de...→
  • 7
    Exercice 1 : Chaîne de transmission numérique avec échantillonnage et quantification Un signal analogique de bande passante $4~\mathrm{kHz}$ et d'amplitude crête-à-crête $4~\mathrm{V}$ est échantillonné puis quantifié pour transmission numérique. 1. Déterminez la fréquence d'échantillonnage minimale requise selon le théorème de Nyquist et calculez le nombre d'échantillons par seconde. 2. Pour une quantification sur $8~\mathrm{bits}$ , calculez le pas de quantification et le rapport signal sur bruit de quantification (RSNQ) en dB. 3. Si le débit binaire du canal est $64~\mathrm{kbps}$ , déterminez le nombre de niveaux de quantification possibles et vérifiez la compatibilité avec la transmission en temps réel.→
  • 8
    Exercice 2 : Codage et transmission d'un signal vidéo numérique Un signal vidéo en résolution $720 \times 480~\mathrm{pixels}$ avec $24~\mathrm{bits}~→
  • 9
    Exercice 3 : Transmission numérique en bande de base avec codage Manchester Un signal numérique composé de $1024~\mathrm{bits}$ est transmis via un codage Manchester sur un canal de transmission ayant une bande passante de $2~\mathrm{MHz}$ . La séquence binaire a un taux de transition de $70\%$ . 1. Calculez le débit binaire requis pour transmettre cette séquence en $10~\mathrm{ms}$ et le débit après codage Manchester. 2. Déterminez la largeur minimale de bande requise pour la transmission du signal codé Manchester et vérifiez sa compatibilité avec le canal. 3. Calculez l'énergie totale transmise si chaque impulsion Manchester a une amplitude de...→
  • 10
    Exercice 3 : Codage source et compression de données numériques Un système d'enregistrement audio numérique utilise le codage PCM (Pulse Code Modulation) pour convertir un signal analogique en données numériques. L'audio source a une fréquence d'échantillonnage de $f_e = 44.1\text{ kHz}$ (compatibilité CD audio), chaque échantillon est quantifié sur $n = 16\text{ bits}$ , et il y a $c = 2\text{ canaux}$ (stéréo). Le débit binaire résultant est compressé à l'aide d'un code de Huffman avec une efficacité de compression de $\eta = 60\%$ (réduction de 40% du débit original). Après compression, les données sont codées avec un code de Hamming ( $7,4$ ) pour la correction d'erreurs. Question 1 :...→
  • 11
    Exercice 1 : Chaîne complète de transmission numérique - Échantillonnage et quantification Un signal analogique représentant la température d'une enceinte climatisée doit être transmis numériquement par un réseau de télécommunication. Le signal analogique $s(t)$ varie de manière sinusoïdale entre $-10\text{ °C}$ et $+30\text{ °C}$ avec une fréquence fondamentale $f_m = 0.5\text{ Hz}$ . On souhaite transmettre ce signal avec une chaîne complète incluant l'échantillonnage, la quantification et le codage binaire. Pour respecter le théorème de Nyquist et éviter le repliement spectral, on utilise une fréquence d'échantillonnage $f_e = 10\text{ Hz}$ . Le signal numérisé utilise un codage binaire avec $n = 8\text{ bits}$ pour chaque échantillon. Les paramètres du système sont...→
  • 12
    Exercice 2 : Codage binaire et rapport signal sur bruit - Transmission sur canal bruité Un système de transmission numérique transmet des données binaires via un codage Manchester sur un canal de communication affecté par un bruit blanc gaussien additif (AWGN). Le signal transmis est représenté par le codage Manchester, où chaque bit est divisé en deux demi-périodes : un bit "1" est codé par une transition montante (+1 suivi de -1) et un bit "0" par une transition descendante (-1 suivi de +1). Les paramètres du système sont : Débit binaire : $R_b = 256\text{ kbit/s}$ Amplitude du signal codé Manchester :...→
  • 13
    Exercice 3 : Codage de canal et redondance - Système avec correction d'erreur Un système de télécommunication transmet des données sur un canal bruité avec un mécanisme de correction d'erreur utilisant un code en bloc linéaire (code de Hamming). Le système fonctionne en environnement hostile avec un taux d'erreur binaire brut (sans correction) estimé à $p_e = 10^{-3}$ . Les paramètres du système sont : Taux d'erreur binaire du canal : $p_e = 10^{-3}$ Code de Hamming utilisé : Hamming (7,4), codant 4 bits d'information en 7 bits transmis Longueur du mot d'information : $k = 4\text{ bits}$ Longueur du mot codé : $n = 7\text{ bits}$ Nombre de bits...→
  • 14
    Exercice 1 : Transmission numérique PCM sur canal filaire Une source audio analogique de bande passante limitée à $B = 15\,\text{kHz}$ est numérisée et échantillonnée selon le théorème de Shannon. Après échantillonnage, le signal subit une quantification uniforme à $n = 12$ bits et un codage binaire sans compression. Le tout est transmis sur un canal filaire de bande passante limitée à $B_c = 100\,\text{kHz}$ et un rapport signal sur bruit du canal de $S/B = 35\,\text{dB}$ . Question 1 : Calculer la fréquence minimale d'échantillonnage $f_e$ nécessaire, puis le débit binaire résultant $D_b$ après codage. Question 2 : Déterminer le rapport signal sur bruit d'écrêtage (quantification) maximal...→
  • 15
    Exercice 2 : Quantification, codage et transmission après filtrage passe-bas Une image analogique de largeur de bande limitée à $B = 4\,\text{MHz}$ subit un échantillonnage à la fréquence minimale et une quantification sur $n = 8$ bits. À la sortie du quantificateur, un codeur de Gray est utilisé pour le codage binaire. Le signal numérique ainsi obtenu est transmis sur un canal à largeur de bande $B_c = 6\,\text{MHz}$ et rapport signal/bruit $S/B = 30\,\text{dB}$ . Question 1 : Calculer le nombre total d'échantillons en 2 millisecondes et le débit binaire total du système. Question 2 : Calculer le rapport S/B dû à la quantification, ainsi que la...→
  • 16
    Exercice 3 : Transmission numérique sur canal bruité (codage et capacité) Un signal vocal de bande passante $B = 4\,\text{kHz}$ est transmis par PCM (n=8 bits/sample) sur un canal bruité de type AWGN à bande passante $B_c = 30\,\text{kHz}$ et puissance spectrale de bruit $N_0 = 2\times10^{-12}\,\text{W/Hz}$ . Le système utilise une modulation à 16-QAM. L'émetteur dispose d'une puissance de $P = 20\,\text{mW}$ . Le taux d'erreur binaire maximal admissible est $BER_{max} = 10^{-4}$ . Question 1 : Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale et le débit binaire PCM généré. Question 2 : Calculer la capacité du canal d’après Shannon et déterminer si le système peut transmettre sans erreur en théorie....→
  • 17
    Exercice 1 : Chaîne de Transmission Numérique avec Échantillonnage et Quantification Un système de transmission numérique doit transmettre un signal audio analogique. Le signal d'entrée est un signal sinusoïdal issu d'un microphone avec les caractéristiques suivantes : Signal analogique : $s(t) = 5 \sin(2\pi f_0 t)$ où $f_0 = 3$ kHz Amplitude maximale du signal : $S_{max} = 5$ V Fréquence d'échantillonnage : $f_e = 16$ kHz Résolution du quantificateur : $b = 12$ bits Gamme de quantification : $[-5V, +5V]$ Type de quantification : uniforme linéaire Question 1 : Vérifiez le respect du théorème de Nyquist-Shannon. Calculez la bande passante minimale requise en Hz, puis déterminez le débit binaire $D_b$ (en bits/s) nécessaire...→
  • 18
    Exercice 2 : Codage de Canal et Transmission sur Canal Bruité Un système de transmission numérique utilise un code correcteur d'erreurs pour améliorer la fiabilité de la transmission. Les paramètres du système sont : Code de Hamming (7,4) : $k = 4$ bits d'information, $n = 7$ bits codés Débit binaire du signal codé : $D_b = 28$ kbps Modulation : QPSK (4 symboles possibles) Énergie par bit transmis : $E_b = 10^{-10}$ J Densité spectrale bilatérale de bruit blanc : $N_0 = 10^{-12}$ W/Hz Longueur de la transmission : $L = 50$ ms Question 1 : Calculez le rapport signal sur bruit $E_b/N_0$ en dB, puis déterminez le débit d'information (bits...→
  • 19
    Exercice 3 : Transmision Multi-canaux par Multiplexage Fréquentiel (FDM) et Calcul de Débit Un système de télécommunication utilise le multiplexage par division en fréquence (FDM) pour transmettre plusieurs signaux audio sur un même canal de transmission. Les spécifications du système sont : Nombre de canaux : $N = 12$ canaux indépendants Bande passante de chaque signal audio : $B_{audio} = 4$ kHz (gamme voix standard 0-4 kHz) Fréquence de modulation (porteuse) du canal 1 : $f_1 = 50$ kHz Espacement entre porteuses : $\Delta f = 8$ kHz (2 kHz de garde de chaque côté) Débit binaire de chaque canal après codage : $D_{canal} = 64$ kbps (quantification 8 bits à...→
  • 20
    Exercice 1 : Echantillonnage et Quantification PCM Un signal analogique vocal de bande passante $B = 3{,}4 \, \text{kHz}$ est transmis sous forme numérique via une liaison PCM (Pulse Code Modulation). Le signal présente une amplitude variant de $-1$ à $+1 \, \text{V}$ . Les caractéristiques de la chaîne de transmission sont les suivantes : Taux d'échantillonnage : $f_e$ Nombre de niveaux de quantification : $M$ Nombre de bits par tranche PCM : $n$ Débit binaire total du canal : $D$ Question 1 : Fréquence minimale d'échantillonnage selon Shannon Déterminez la fréquence minimale d'échantillonnage $f_{e,min}$ imposée par le théorème de Shannon. Donnez la valeur numérique. Question...→
  • 21
    Exercice 2 : Transmission Numérique - Canal Binaire Symétrique et Taux d’Erreur Un modem transmet des symboles binaires sur un canal binaire symétrique (BSC) avec bruit. Le schéma de transmission utilise un code de correction d’erreur simple : Probabilité d’erreur du canal : $p = 10^{-3}$ La transmission codée utilise un code répétition (3 fois chaque bit) La source envoie $R = 24 \, \text{kbps}$ sur le canal. Question 1 : Calcul du taux d’erreur binaire sans codage Calculez le taux d’erreur obtenu en sortie si aucun codage correcteur n’est utilisé. Donnez la probabilité de réception erronée d’un bit. Question 2 : Taux d’erreur avec codage...→
  • 22
    Exercice 3 : Transmission Numérique – Systèmes PAM et Interférence Inter-Symbole On considère une transmission sur un canal filaire utilisant le codage PAM (Pulse Amplitude Modulation). La durée du symbole transmis est $T_s = 50 \ \mu\text{s}$ et la forme d’onde de base est un canal de type RC avec réponse impulsionnelle : $h(t) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t), \ \tau = 20 \ \mu\text{s}$ Au récepteur, on applique un filtre intégrateur idéal sur l’intervalle du symbole. Question 1 : Valeur du pic du signal reçu sans I.I.S. Calculez la valeur du pic de la réponse du canal à la réception pour un symbole isolé (pas d’interférence inter-symbole, I.I.S.), lorsque \tau = 20 \mu\text{s}. Question...→
  • 23
    Exercice 1 : Chaîne de transmission numérique avec échantillonnage et quantification Une chaîne de transmission numérique doit transmettre un signal analogique audio. Le signal original a les caractéristiques suivantes : Bande de fréquence utile : $f_{max} = 7.5\text{ kHz}$ Amplitude maximale du signal : $A_{max} = 5\text{ V}$ Amplitude minimale du signal : $A_{min} = -5\text{ V}$ Fréquence d'échantillonnage : $f_e = 20\text{ kHz}$ Nombre de bits de quantification : $n = 12\text{ bits}$ Débit binaire du canal de transmission : $D_b = 480\text{ kbit/s}$ Durée de transmission d'un bloc de données : $T_{bloc} = 50\text{ ms}$ Question 1 : Vérifiez que la fréquence d'échantillonnage $f_e$ satisfait le théorème de Nyquist-Shannon, puis calculez le nombre total d'échantillons $N_{ech}$ et le nombre...→
  • 24
    Exercice 2 : Canal de transmission et modulation numérique Un système de transmission numérique utilise la modulation QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) pour transmettre des données sur un canal à bande limitée. Les paramètres du système sont les suivants : Débit binaire : $D_b = 2\text{ Mbit/s}$ Bande passante disponible du canal : $B = 1.2\text{ MHz}$ Rapport signal-sur-bruit en entrée du récepteur : $\text{SNR}_{in} = 12\text{ dB}$ Puissance du signal reçu : $P_s = -60\text{ dBm}$ Densité spectrale de puissance du bruit : $N_0 / 2 = -170\text{ dBm/Hz}$ Efficacité spectrale requise : $\eta_s = 1.5\text{ bit/s/Hz}$ Nombre de symboles QPSK : $M = 4$ Question 1 : Calculez le débit de symboles (symboles par seconde) $R_s$ correspondant à une modulation...→
  • 25
    Exercice 3 : Codage de source et compression numérique Un système de compression d'image utilise un codage par transformée DCT (Discrete Cosine Transform) suivi d'une quantification uniforme. Les paramètres du système sont les suivants : Résolution de l'image : $512 \times 512\text{ pixels}$ Profondeur de couleur : $24\text{ bits}$ (8 bits par canal RGB) Taille des blocs pour la DCT : $8 \times 8\text{ pixels}$ Facteur de compression cible : $C_r = 16:1$ Nombre de coefficients DCT utilisés (après sélection) : $n_{coef} = 32$ sur $64$ possibles (50% de réduction) Débit binaire disponible pour la transmission : $D_b = 1.5\text{ Mbit/s}$ Taux d'images par seconde : $f_i = 30\text{ fps}$ Question 1 : Calculez la taille initiale...→
  • 26
    Exercice 1 : Système de Transmission binaire sur canal à bande limitée On désire transmettre une séquence binaire NRZ à débit $R_b = 2$ Mbit/s sur un canal ayant une bande passante maximale $B = 1.7$ MHz, avec un rapport signal à bruit en puissance à l'entrée du récepteur de $SNR = 24$ dB. On considère une liaison idéale, sans intersymbol interference (ISI). Question 1 : Calculez le taux minimum d’échantillonnage à utiliser pour éviter la perte d’information selon le théorème de Shannon-Nyquist. Que se passe-t-il si on utilise le débit binaire comme fréquence d’échantillonnage ? Question 2 : On désire effectuer une quantification uniforme sur...→
  • 27
    Exercice 2 : Transmission PCM multiplexée Deux signaux analogiques $s_1(t)$ et $s_2(t)$ de bandes passantes de $B_1 = 3$ kHz et $B_2 = 8$ kHz doivent être transmis simultanément sur un canal numérique PCM par multiplexage temporel. Le codage est réalisé après échantillonnage et quantification uniforme sur $n = 10$ bits, chaque échantillon codé utilise un code linéaire binaire pour chaque signal. Question 1 : Calculez la fréquence d’échantillonnage minimale pour chaque signal selon le théorème de Nyquist-Shannon, puis le nombre total d’échantillons transmis par seconde pour les deux. Question 2 : En considérant un multiplexage synchrone, calculez le débit binaire total sur le canal. Que...→
  • 28
    Exercice 2 : Transmission numérique et codeur binaire (NRZ) Un système de téléphonie numérique utilise la transmission numérique NRZ pour transmettre la voix codée selon le standard G.711 (PCM, 8 bits/échantillon, 8 kHz). Le canal présente un coefficient d’atténuation $\alpha = 4 \ \text{dB/km}$ et une longueur de $L = 2.4 \ \text{km}$ . Question 1 : Calculez le débit binaire brut $D_b$ pour une trame PCM mono. Question 2 : Si la puissance du signal numérique injecté au début du canal est $P_{in} = 20 \ \text{mW}$ , quelle est la puissance reçue $P_{out}$ à la sortie du canal au bout de $2.4 \ \text{km}$ ? Question 3 : Calculez la durée d’un...→
  • 29
    Exercice 3 : Transmission binaire sur un canal bruité On souhaite transmettre une séquence binaire sur un canal ayant un bruit blanc gaussien additif (AWGN) limité en bande à $B = 200 \ \text{kHz}$ . On utilise un codage à 4 niveaux (2 bits/symbole) et la puissance moyenne du signal au récepteur est $P_s = 1.5 \ \text{mW}$ . Le bruit spectral est de $N_0 = 3 \times 10^{-12} \ \text{W/Hz}$ . Question 1 : Calculez le débit binaire maximal $D_{b,max}$ admissible sur ce canal en modulation QPSK. Question 2 : Déterminez le rapport signal à bruit $SNR$ en décibels au récepteur. Donnez le rapport énergie par bit/bruit $\left(E_b/N_0\right)$ nécessaire pour une probabilité d’erreur...→
  • 30
    Exercice 1 : Conversion et transmission d'un signal analogique Un signal audio vocal de bande passante Question 1 : Calculez la fréquence d'échantillonnage Question 2 : Déterminez le débit binaire Question 3 : Supposant un canal à largeur de bande passante limitée→
  • 31
    Exercice 2 : Transmission d'images sur un canal bruité Un système de télémédecine doit transmettre des images médicales. Chaque image a une dimension de Question 1 : Calculez la taille binaire totale Question 2 : En supposant vouloir transmettre Question 3 : En considérant un canal bruité de bande limitée, calculez le débit binaire maximal autorisé par la capacité de Shannon et vérifier si la transmission peut s'effectuer sans perte. Interprétez le résultat.→
  • 32
    Exercice 3 : Transmission PCM d’un signal vidéo et bruit On souhaite transmettre un signal vidéo composite de largeur de bande Question 1 : Calculez la fréquence d’échantillonnage Question 2 : Calculez la valeur de Question 3 : Déterminez la capacité limite de transmission du canal selon la formule de Shannon, puis concluez sur la faisabilité sans perte.→
• Techniques de transmission analogiques (30 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Modulation d'amplitude et analyse spectrale On considère un système de transmission analogique utilisant la modulation d'amplitude. Le signal modulant est un signal sinusoïdal $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ avec $A_m = 4\,\text{V}$ et $f_m = 1\,\text{kHz}$ . La porteuse est donnée par $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$ avec $A_c = 10\,\text{V}$ et $f_c = 100\,\text{kHz}$ . Le signal modulé en amplitude avec porteuse est : $s(t) = A_c[1 + m_a \cdot \frac{m(t)}{A_m}]\cos(2\pi f_c t)$ où $m_a$ est l'indice de modulation. Question 1 : Pour un indice de modulation $m_a = 0.6$ , déterminer l'expression complète du signal modulé $s(t)$ et calculer les amplitudes des composantes spectrales (porteuse et bandes latérales). Question 2 : Le signal modulé $s(t)$ est transmis à travers un canal...→
  • 2
    Exercice 2 : Modulation de fréquence et mélangeur Un émetteur FM utilise un signal modulant $m(t) = V_m \sin(2\pi f_m t)$ avec $V_m = 3\,\text{V}$ et $f_m = 5\,\text{kHz}$ . La fréquence de la porteuse est $f_c = 10\,\text{MHz}$ et la sensibilité de fréquence du modulateur est $k_f = 15\,\text{kHz/V}$ . Le signal FM est donné par : $s_{\text{FM}}(t) = A_c \cos\left[2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t)\right]$ où $\beta = \frac{k_f V_m}{f_m}$ est l'indice de modulation. Question 1 : Calculer l'indice de modulation $\beta$ , la déviation de fréquence maximale $\Delta f$ , et la bande passante nécessaire selon la règle de Carson $B_\text{Carson} = 2(\Delta f + f_m)$ . Question 2 : Le signal FM est appliqué à un mélangeur (multiplicateur) avec un oscillateur local de fréquence $f_{\text{OL}} = 10.455\,\text{MHz}$ et...→
  • 3
    Exercice 3 : Analyse de signaux et chaîne d'amplification Un signal composite $x(t)$ est formé par la somme de trois signaux élémentaires : $x(t) = x_1(t) + x_2(t) + x_3(t)$ où : $x_1(t) = 5\cos(2\pi \times 10^4 t)\,\text{V}$ (signal sinusoïdal) $x_2(t) = 2\text{rect}(t/T)\,\text{V}$ avec $T = 10^{-4}\,\text{s}$ (impulsion rectangulaire), dont le spectre principal s'étend jusqu'à $f_2 = 1/T$ $x_3(t) = 3e^{-1000t}u(t)\,\text{V}$ (signal exponentiel décroissant), où $u(t)$ est l'échelon unitaire Ce signal traverse une chaîne d'amplification composée de deux étages en cascade. Question 1 : Déterminer la fréquence $f_1$ du signal sinusoïdal $x_1(t)$ , la fréquence caractéristique $f_2$ de l'impulsion rectangulaire, et la fréquence de coupure à $-3\,\text{dB}$ du signal exponentiel sachant que $f_{3\text{dB}} = \frac{\alpha}{2\pi}$ où $\alpha = 1000\,\text{rad/s}$ est le coefficient d'atténuation....→
  • 4
    Exercice 1 : Analyse d'une chaîne de transmission analogique avec filtrage et amplification On considère une chaîne de transmission analogique complète composée d'un signal d'entrée, d'un filtre passe-bas, et d'un amplificateur en cascade. Le signal d'entrée est défini par : $s(t) = 5\cos(2\pi \times 10^3 t) + 2\cos(2\pi \times 50 \times 10^3 t) + 1.5\cos(2\pi \times 100 \times 10^3 t)$ où $t$ est le temps en secondes. Ce signal traverse un filtre passe-bas de premier ordre dont la fonction de transfert est : $H(f) = \frac{1}{1 + j\frac{f}{f_c}}$ avec une fréquence de coupure $f_c = 20\,\text{kHz}$ . Le signal filtré est ensuite amplifié par un amplificateur de gain $G = 15\,\text{dB}$ et d'impédance de sortie $R_s = 50\,\Omega$ , connecté à une charge $R_L = 75\,\Omega$ . Question 1 : Déterminez...→
  • 5
    Exercice 2 : Modulation d'amplitude et mélangeur de fréquences Dans un système de transmission radio, on utilise la modulation d'amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM-DBL). Le signal modulant (message) est un signal sinusoïdal : $m(t) = 4\cos(2\pi \times 5 \times 10^3 t)$ La porteuse est définie par : $p(t) = 10\cos(2\pi \times 500 \times 10^3 t)$ Le taux de modulation est $\mu = 0.6$ . Après la modulation, le signal AM traverse un mélangeur (multiplicateur) où il est multiplié par un oscillateur local : $OL(t) = 2\cos(2\pi \times 455 \times 10^3 t)$ Le signal résultant du mélange est ensuite filtré par un filtre passe-bande centré sur la fréquence intermédiaire $f_{FI} = 45\,\text{kHz}$ . Question 1 : Déterminez l'expression complète du signal modulé en...→
  • 6
    Exercice 3 : Système de transmission avec modulation de fréquence et analyse de bande passante Un système de télécommunication utilise la modulation de fréquence (FM) pour transmettre un signal audio. Le signal modulant est un signal mono-fréquentiel : $m(t) = 3\cos(2\pi \times 15 \times 10^3 t)$ La porteuse non modulée est : $p(t) = 8\cos(2\pi \times 100 \times 10^6 t)$ L'excursion maximale de fréquence (déviation de fréquence) est $\Delta f = 75\,\text{kHz}$ . Le signal FM est ensuite transmis à travers un canal avec un bruit blanc gaussien de densité spectrale de puissance $N_0 = 10^{-15}\,\text{W/Hz}$ . À la réception, le signal traverse un amplificateur à faible bruit de gain $G = 20\,\text{dB}$ et de facteur de bruit $F = 2.5\,\text{dB}$ . Question...→
  • 7
    Contexte : Un émetteur radio AM utilise une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 1\text{ MHz}$ et d'amplitude $A_c = 10\text{ V}$ . Le signal modulant est un signal sinusoïdal de fréquence $f_m = 5\text{ kHz}$ et d'amplitude $A_m = 6\text{ V}$ . Le signal modulé traverse ensuite un filtre passe-bande centré sur la fréquence porteuse. Question 1 : Déterminez l'indice de modulation $m$ , puis calculez les amplitudes des composantes spectrales (porteuse et bandes latérales) du signal modulé en amplitude. Exprimez le signal modulé $s_{AM}(t)$ dans le domaine temporel. Question 2 : Calculez la puissance totale dissipée par le signal modulé dans une charge résistive de $R = 50\,\Omega$ . Déterminez également la...→
  • 8
    Contexte : Un système de transmission FM utilise une porteuse de fréquence $f_c = 100\text{ MHz}$ et d'amplitude constante $A_c = 8\text{ V}$ . Le signal modulant est un signal sinusoïdal de fréquence $f_m = 10\text{ kHz}$ et d'amplitude $V_m = 4\text{ V}$ . La sensibilité en fréquence du modulateur est $k_f = 25\text{ kHz/V}$ . En réception, le signal FM est mélangé avec un oscillateur local de fréquence $f_{OL} = 110\text{ MHz}$ pour obtenir une fréquence intermédiaire. Question 1 : Calculez l'excursion de fréquence $\Delta f$ , puis déterminez l'indice de modulation $\beta$ pour ce système FM. En utilisant la règle de Carson, calculez la bande passante $B_{FM}$ nécessaire pour transmettre ce signal sans distorsion significative. Question 2...→
  • 9
    Contexte : Un signal utile sinusoïdal de fréquence $f_s = 50\text{ kHz}$ et d'amplitude $A_s = 2\text{ V}$ est transmis à travers un canal de communication bruité. Le signal est accompagné d'un bruit blanc gaussien de densité spectrale de puissance bilatérale $N_0 = 10^{-9}\text{ W/Hz}$ . Un filtre passe-bande du second ordre (type Butterworth) centré sur $f_0 = 50\text{ kHz}$ avec une bande passante à $-3\text{ dB}$ de $B = 20\text{ kHz}$ est utilisé pour améliorer le rapport signal sur bruit. Le signal filtré est ensuite amplifié avec un amplificateur de gain $G = 40\text{ dB}$ et un facteur de bruit $F = 3\text{ dB}$ . Question 1 : Calculez la puissance du signal utile $P_s$ à l'entrée du filtre dans une...→
  • 10
    Exercice 1 : Analyse de signaux et chaîne d'amplification avec filtrage Un système de transmission analogique est composé d'un émetteur qui génère un signal porteur sinusoïdal et d'une chaîne d'amplification suivie d'un filtre passe-bas. Le signal émis est de la forme : $s(t) = A_0 \cos(2\pi f_0 t + \varphi)$ où $A_0 = 2\text{ V}$ , $f_0 = 100\text{ kHz}$ et $\varphi = \pi/4$ . Ce signal traverse d'abord un amplificateur de gain $G_1 = 20\text{ dB}$ , puis un deuxième amplificateur de gain $G_2 = 15\text{ dB}$ . À la sortie de la chaîne d'amplification, le signal entre dans un filtre passe-bas de type Butterworth d'ordre 2 dont la fréquence de coupure est $f_c = 150\text{ kHz}$ . Après le filtrage, on observe...→
  • 11
    Exercice 2 : Modulation d'amplitude et mélangeur de fréquences Dans un système de transmission radio AM (Amplitude Modulation), un signal modulant basse fréquence (signal informatif) $m(t)$ est utilisé pour moduler une porteuse haute fréquence $c(t)$ . Le signal modulant est de la forme : $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ où $A_m = 4\text{ V}$ et $f_m = 5\text{ kHz}$ . La porteuse est un signal sinusoïdal : $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$ où $A_c = 10\text{ V}$ et $f_c = 1\text{ MHz}$ . Le signal modulé en amplitude avec porteuse (AM classique) est donné par : $s_{AM}(t) = A_c[1 + m_a \cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_c t)$ où $m_a = \frac{A_m}{A_c}$ est l'indice de modulation. Après modulation, le signal $s_{AM}(t)$ est appliqué à un mélangeur (multiplieur) qui reçoit également un signal d'oscillateur...→
  • 12
    Exercice 3 : Modulation de fréquence et analyse d'une chaîne de transmission complète Un système de transmission FM (Frequency Modulation) utilise un signal modulant sinusoïdal $m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)$ avec $A_m = 3\text{ V}$ et $f_m = 10\text{ kHz}$ . La porteuse non modulée a une fréquence $f_c = 100\text{ MHz}$ et une amplitude $A_c = 8\text{ V}$ . En modulation de fréquence, la fréquence instantanée du signal modulé varie linéairement avec le signal modulant : $f_i(t) = f_c + k_f m(t) = f_c + \Delta f \cos(2\pi f_m t)$ où $k_f$ est la sensibilité en fréquence du modulateur (en Hz/V) et $\Delta f = k_f A_m$ est l'excursion maximale de fréquence (déviation de fréquence). Pour ce système, la déviation de fréquence est $\Delta f = 75\text{ kHz}$ . Le signal FM peut s'écrire sous la...→
  • 13
    Contexte de l'exercice Un signal analogique $s(t) = 5\cos(2\pi \times 10^4 t) + 2\cos(2\pi \times 10^5 t) + 1.5\cos(2\pi \times 5 \times 10^5 t)$ (tensions en volts, temps en secondes) est transmis à travers une chaîne de traitement comprenant un filtre passe-bande suivi d'un amplificateur. Le filtre passe-bande a une fonction de transfert idéale avec une fréquence de coupure basse $f_{cb} = 50\text{ kHz}$ et une fréquence de coupure haute $f_{ch} = 200\text{ kHz}$ . L'amplificateur possède un gain en tension $G = 15\text{ dB}$ et une impédance de sortie $R_s = 50\text{ }\Omega$ . Le signal amplifié est ensuite délivré à une charge résistive $R_L = 75\text{ }\Omega$ . Question 1 Déterminez l'expression temporelle du signal $s_f(t)$ en sortie du filtre passe-bande. Calculez l'amplitude de chaque composante fréquentielle présente dans $s_f(t)$ ....→
  • 14
    Contexte de l'exercice Un émetteur radio utilise la modulation d'amplitude (AM) pour transmettre un signal d'information. Le signal modulant (information) est $m(t) = 4\cos(2\pi \times 10^3 t)$ V et la porteuse est $c(t) = 12\cos(2\pi \times 10^6 t)$ V. Le signal modulé en amplitude s'écrit sous la forme : $s_{AM}(t) = A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t)$ où $A_c$ est l'amplitude de la porteuse, $k_a = 0.5$ est l'indice de modulation et $f_c$ est la fréquence de la porteuse. Le signal modulé est ensuite mélangé avec un oscillateur local $OL(t) = 10\cos(2\pi \times 1.2 \times 10^6 t)$ V dans un mélangeur idéal (multiplieur), puis filtré par un filtre passe-bas avec une fréquence de coupure $f_{cut} = 250\text{ kHz}$ . Question 1 Développez l'expression complète du signal modulé $s_{AM}(t)$ en...→
  • 15
    Contexte de l'exercice Un émetteur FM utilise la modulation de fréquence pour transmettre un signal musical. Le signal modulant est un signal sinusoïdal $m(t) = 3\cos(2\pi \times 5 \times 10^3 t)$ V. La fréquence de la porteuse non modulée est $f_c = 100\text{ MHz}$ et la sensibilité en fréquence du modulateur est $k_f = 25\text{ kHz/V}$ . Pour un signal FM, la fréquence instantanée est donnée par : $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$ et l'indice de modulation FM est défini par : $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$ où $\Delta f$ est l'excursion maximale de fréquence (déviation de fréquence) et $f_m$ est la fréquence du signal modulant. Le signal FM modulé passe ensuite à travers un discriminateur de fréquence qui convertit les variations...→
  • 16
    Exercice 1 : Système de Transmission par Modulation d'Amplitude Un émetteur radio utilise la modulation d'amplitude (AM) pour transmettre un signal audio. Le signal modulant (message) est un signal sinusoïdal de fréquence $f_m = 1\text{ kHz}$ et d'amplitude $A_m = 2\text{ V}$ . La porteuse est un signal sinusoïdal de fréquence $f_c = 100\text{ kHz}$ et d'amplitude $A_c = 10\text{ V}$ . Question 1 : Calculez l'indice de modulation $m$ du système et déterminez les amplitudes des composantes spectrales (porteuse et bandes latérales) du signal modulé en amplitude. Écrivez l'expression temporelle complète du signal modulé $s_{AM}(t)$ . Question 2 : Le signal modulé traverse un filtre passe-bande du second ordre avec une...→
  • 17
    Exercice 2 : Mélangeur de Fréquences et Conversion Hétérodyne Dans un récepteur superhétérodyne, un mélangeur (mixer) est utilisé pour convertir un signal RF (radiofréquence) reçu en un signal FI (fréquence intermédiaire). Le signal RF est un signal sinusoïdal de fréquence $f_{RF} = 95{,}5\text{ MHz}$ et d'amplitude $A_{RF} = 50\text{ mV}$ . L'oscillateur local (OL) génère un signal sinusoïdal de fréquence $f_{OL} = 105\text{ MHz}$ et d'amplitude $A_{OL} = 500\text{ mV}$ . Le mélangeur est un multiplieur de gain de conversion $K_c = 0{,}4$ . Question 1 : Le signal de sortie du mélangeur contient plusieurs composantes fréquentielles. Calculez les fréquences des quatre composantes principales produites par le mélange (somme, différence, et les fréquences fondamentales)....→
  • 18
    Exercice 3 : Chaîne d'Amplification et Analyse du Bruit Un signal analogique sinusoïdal de fréquence $f_s = 5\text{ kHz}$ et d'amplitude crête $A_s = 100\text{ }\mu\text{V}$ doit être transmis à travers une chaîne d'amplification. Le signal est d'abord amplifié par un préamplificateur de gain en tension $G_1 = 26\text{ dB}$ et de facteur de bruit $F_1 = 2{,}5\text{ dB}$ . La résistance d'entrée du préamplificateur est $R_1 = 50\text{ }\Omega$ . Le signal amplifié passe ensuite par un amplificateur principal de gain $G_2 = 34\text{ dB}$ et de facteur de bruit $F_2 = 4\text{ dB}$ . La température de référence est $T_0 = 290\text{ K}$ et la bande passante du système est $B = 10\text{ kHz}$ (constante de Boltzmann $k_B = 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J/K}$ ). Question 1 : Calculez la puissance...→
  • 19
    Exercice 1 : Modulation d'Amplitude et Filtrage d'un Signal de Communication Un émetteur radio diffuse un signal de communication en utilisant la modulation d'amplitude (AM). Le signal modulant (message) est un signal sinusoïdal de fréquence $f_m = 5 \text{ kHz}$ et d'amplitude $A_m = 4 \text{ V}$ . La porteuse est également sinusoïdale avec une fréquence $f_c = 100 \text{ kHz}$ et une amplitude $A_c = 10 \text{ V}$ . L'indice de modulation est noté $m$ . Le signal modulé en amplitude traverse ensuite un filtre passe-bande du deuxième ordre de fonction de transfert : $H(j\omega) = \frac{K \cdot j\omega}{(j\omega)^2 + 2\xi\omega_0 j\omega + \omega_0^2}$ où $K = 1$ , $\xi = 0.5$ (coefficient d'amortissement), et $f_0 = 100 \text{ kHz}$ (fréquence de résonance). Question 1 : Calculez l'expression temporelle complète du signal...→
  • 20
    Exercice 2 : Amplification Multi-Étages et Mélange de Fréquences Un système de réception radio superhétérodyne utilise un mélangeur pour convertir un signal RF en un signal de fréquence intermédiaire (FI). Le signal d'entrée RF est à la fréquence $f_{RF} = 150 \text{ MHz}$ avec une amplitude $A_{RF} = 50 \text{ mV}$ . L'oscillateur local génère un signal à la fréquence $f_{OL} = 160 \text{ MHz}$ avec une amplitude $A_{OL} = 200 \text{ mV}$ . Le mélangeur a une constante de mélange $k_m = 0.5$ et produit des composantes aux fréquences $f_{RF} + f_{OL}$ et $f_{RF} - f_{OL}$ . Seule la composante de différence (fréquence intermédiaire FI) est conservée après filtrage. Le signal FI passe ensuite à travers une chaîne d'amplification composée de...→
  • 21
    Exercice 3 : Modulation de Fréquence et Analyse Spectrale Un émetteur FM génère un signal modulé en fréquence à partir d'un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 15 \text{ kHz}$ et d'amplitude $A_m = 3 \text{ V}$ . La porteuse non modulée a une fréquence $f_c = 90 \text{ MHz}$ et une amplitude $A_c = 8 \text{ V}$ . La sensibilité en fréquence de l'oscillateur est $k_f = 25 \text{ kHz/V}$ . Le signal FM peut s'écrire sous la forme : $s_{FM}(t) = A_c \cos\left[2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t)\right]$ où $\beta$ est l'indice de modulation de fréquence défini par $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$ , avec $\Delta f = k_f \cdot A_m$ la déviation maximale de fréquence. Le signal modulé traverse ensuite un filtre passe-bande idéal de bande passante $B_{filtre}$ centré sur $f_c$ . La...→
  • 22
    Exercice 1 : Analyse d'un Système de Transmission avec Filtrage et Amplification Un système de transmission analogique traite un signal composite constitué de trois composantes sinusoïdales. Le signal d'entrée est défini par : $s(t) = 2\cos(2\pi \times 1000t) + 0.5\cos(2\pi \times 5000t) + 0.8\cos(2\pi \times 15000t)$ où $t$ est exprimé en secondes. Ce signal traverse successivement un filtre passe-bas puis un amplificateur. Le filtre passe-bas est un filtre de Butterworth d'ordre 2 avec une fréquence de coupure $f_c = 8000$ Hz. La fonction de transfert en amplitude du filtre est donnée par : $|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^{4}}}$ L'amplificateur qui suit le filtre possède un gain de tension $G = 25$ dB et introduit un bruit thermique de densité spectrale...→
  • 23
    Exercice 2 : Modulation d'Amplitude à Porteuse Supprimée (DSB-SC) et Analyse Spectrale Un système de transmission utilise une modulation d'amplitude à double bande latérale avec porteuse supprimée (DSB-SC). Le signal modulant (signal d'information) est un signal multifréquentiel donné par : $m(t) = 3\cos(2\pi \times 300t) + 2\cos(2\pi \times 800t)$ La porteuse est un signal sinusoïdal de fréquence $f_c = 10$ kHz et d'amplitude $A_c = 5$ V : $c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t) = 5\cos(2\pi \times 10000t)$ Le signal modulé DSB-SC est obtenu par multiplication directe : $s_{DSB-SC}(t) = m(t) \times c(t)$ . Ce signal est transmis sur une antenne avec une résistance d'entrée $R_a = 75$ Ω. Le système de démodulation utilise un démodulateur cohérent (synchrone) suivi d'un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure...→
  • 24
    Exercice 3 : Modulation de Fréquence et Mélange Fréquentiel dans un Système de Transmission Un émetteur radio utilise la modulation de fréquence (FM) pour transmettre un signal audio. Le signal modulant est un signal multifréquentiel donné par : $m(t) = 4\cos(2\pi \times 1000t) + 2\cos(2\pi \times 3000t)$ où les amplitudes sont en volts et le temps en secondes. La porteuse non modulée a une fréquence $f_c = 50$ MHz et une amplitude $A_c = 10$ V. La sensibilité en fréquence du modulateur FM est $k_f = 15$ kHz/V. Le signal modulé en fréquence est donné par : $s_{FM}(t) = A_c\cos\left[2\pi f_c t + 2\pi k_f \int m(t)dt\right]$ Pour transposer le signal vers une fréquence intermédiaire (FI), l'émetteur utilise un mélangeur (mixer) qui multiplie...→
  • 25
    Exercice 1 : Chaîne de transmission analogique avec filtrage et amplification On considère une chaîne de transmission analogique destinée à transmettre un signal vocal. Le signal d'entrée $s(t)$ est un signal sinusoïdal de fréquence $f_0 = 1 \text{ kHz}$ et d'amplitude $A_0 = 50 \text{ mV}$ . Ce signal traverse successivement un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure $f_c = 3 \text{ kHz}$ , puis un amplificateur de gain $G = 40 \text{ dB}$ , et enfin un second filtre passe-bande centré sur $f_0$ avec une bande passante $B = 200 \text{ Hz}$ et un facteur de qualité $Q = 5$ . Question 1 : Calculer l'amplitude du signal à la sortie du filtre passe-bas sachant que la fonction...→
  • 26
    Exercice 2 : Modulation d'amplitude et mélange de fréquences Un émetteur radio utilise la modulation d'amplitude (AM) pour transmettre un signal informatif. Le signal modulant (information) est $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ avec $A_m = 2 \text{ V}$ et $f_m = 5 \text{ kHz}$ . La porteuse est $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$ avec $A_c = 10 \text{ V}$ et $f_c = 100 \text{ kHz}$ . Le signal modulé en amplitude avec porteuse est donné par $s_{AM}(t) = A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t)$ , où $k_a$ est l'indice de modulation. Question 1 : Pour un indice de modulation $k_a = 0.8$ , calculer les amplitudes des bandes latérales supérieure et inférieure du signal modulé. Déterminer également le taux de modulation en pourcentage et vérifier qu'il n'y a pas de surmodulation. Question 2...→
  • 27
    Exercice 3 : Modulation de fréquence et analyse spectrale Un système de communication utilise la modulation de fréquence (FM) pour transmettre un signal audio. Le signal modulant est $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ avec $A_m = 3 \text{ V}$ et $f_m = 10 \text{ kHz}$ . La porteuse a une fréquence $f_c = 50 \text{ MHz}$ et une amplitude $A_c = 5 \text{ V}$ . Le signal FM est donné par $s_{FM}(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t)]$ , où $\beta$ est l'indice de modulation de fréquence. Question 1 : Sachant que l'excursion maximale de fréquence (déviation de fréquence) est $\Delta f = 75 \text{ kHz}$ , calculer l'indice de modulation $\beta$ et déterminer la bande passante nécessaire du signal FM en utilisant la règle de Carson donnée par $B_T \approx 2(\Delta f + f_m)$ ....→
  • 28
    Exercice 1 : Modulation d'amplitude et analyse spectrale d'un système de transmission Un émetteur radio utilise une modulation d'amplitude (AM) pour transmettre un signal audio. Le signal modulant (message) est un signal sinusoïdal de fréquence $f_m = 5\text{ kHz}$ et d'amplitude $A_m = 2\text{ V}$ . La porteuse est un signal sinusoïdal de fréquence $f_c = 100\text{ kHz}$ et d'amplitude $A_c = 10\text{ V}$ . Le signal modulant s'écrit : $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$ La porteuse s'écrit : $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$ Le signal modulé en amplitude s'exprime par : $s(t) = A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t)$ , où $k_a$ est l'indice de modulation. Question 1 : Calculez l'indice de modulation $k_a$ pour que le taux de modulation soit de $\mu = 80\%$ . Déterminez ensuite...→
  • 29
    Exercice 2 : Mélangeur de fréquences et amplification dans un récepteur superhétérodyne Un récepteur superhétérodyne reçoit un signal RF (radiofréquence) modulé en amplitude. Le signal reçu est de la forme : $s_{RF}(t) = [A_0 + A_m\cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_{RF} t)$ où $f_{RF} = 10\text{ MHz}$ est la fréquence de la porteuse RF, $f_m = 10\text{ kHz}$ est la fréquence du signal modulant, $A_0 = 5\text{ mV}$ et $A_m = 3\text{ mV}$ . Ce signal est appliqué à l'entrée d'un mélangeur (multiplieur) qui reçoit également un signal d'oscillateur local : $s_{OL}(t) = B\cos(2\pi f_{OL} t)$ où $B = 1\text{ V}$ et $f_{OL} = 10.455\text{ MHz}$ . Le mélangeur produit en sortie le produit des deux signaux : $s_{mel}(t) = s_{RF}(t) \times s_{OL}(t)$ . Ce signal passe ensuite par un filtre passe-bande idéal centré sur la...→
  • 30
    Exercice 3 : Modulation de fréquence et analyse de bande passante Un émetteur de radiodiffusion FM utilise la modulation de fréquence pour transmettre un signal audio. Le signal modulant est un signal musical qui peut être approximé par un signal sinusoïdal de fréquence $f_m = 15\text{ kHz}$ et d'amplitude $V_m = 4\text{ V}$ . La porteuse non modulée a une fréquence $f_c = 100\text{ MHz}$ et une amplitude $A_c = 20\text{ V}$ . Le signal FM modulé s'écrit sous la forme générale : $s_{FM}(t) = A_c\cos\left[2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t)\right]$ où $\beta$ est l'indice de modulation de fréquence. L'excursion de fréquence (déviation maximale de fréquence) est donnée par $\Delta f = k_f V_m$ , où $k_f = 25\text{ kHz/V}$ est la sensibilité en fréquence du...→
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