Mecanique analytique Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (90 Exercices)
  • 13
    Le même pendule simple de l’examen précédent est décrit par la coordonnée généralisée $ $\theta$$ et son impulsion canonique $ $p_\theta$$ . 1. Définir la transformée de Legendre et le Hamiltonien d’un système. 2. Exprimer l’impulsion canonique $ $p_\theta$$ et déterminer le Hamiltonien $ $H(\theta,p_\theta)$$ . 3. Écrire les équations canoniques de Hamilton. 4. Calculer le crochet de Poisson $ $\{H,p_\theta\}$$ et interpréter le résultat. 5. Vérifier la conservation de l’énergie à partir des équations de Hamilton.→
  • 14
    Un corps rigide symétrique (masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ , inertie autour de l’axe de symétrie $ $I=0.1\,\mathrm{kg\cdot m^2}$$ ) tourne sans frottement autour de cet axe avec une vitesse angulaire $ $\omega$$ . 1. Définir le moment cinétique d’un solide rigide et son torseur cinétique. 2. Exprimer l’énergie cinétique de rotation du solide. 3. Si un moment de frottement négligeable agit, écrire l’équation du moment dynamique. 4. Déterminer la relation entre le moment cinétique et la vitesse angulaire. 5. Vérifier la conservation du moment cinétique en l’absence de couple externe.→
  • 15
    On considère une corde élastique de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ , masse linéique $ $\mu=0.05\,\mathrm{kg/m}$$ , soumise à une tension $ $T=100\,\mathrm{N}$$ . On étudie les petites déformations transverses $ $y(x,t)$$ . 1. Définir la densité lagrangienne pour un milieu continu unidimensionnel. 2. Écrire la forme de la densité lagrangienne $ $\mathcal{L}(y,\partial_t y,\partial_x y)$$ . 3. Déduire l'équation des ondes par les équations d'Euler–Lagrange. 4. Pour des conditions aux limites $ $y(0,t)=y(L,t)=0$$ , trouver les fréquences propres $ $f_n$$ . 5. Vérifier que l’énergie totale de la corde est conservée.→
  • 16
    Un oscillateur harmonique simple (masse $ $m=0.5\,\mathrm{kg}$$ , raideur $ $k=2\,\mathrm{N/m}$$ ) évolue dans l’espace des phases $ $(x,p)$$ . 1. Énoncer le théorème de Liouville pour un système hamiltonien. 2. Écrire les équations de Hamilton pour cet oscillateur. 3. Calculer la divergence du champ de vecteurs dans l’espace des phases. 4. Montrer que le volume de phase occupé par un ensemble de solutions est constant. 5. Discuter l’effet d’un terme de dissipation linéaire $ $-b\dot x$$ sur la conservation du volume de phase.→
  • 17
    Un pendule simple (examen 1) est repris dans l’espace des phases. On souhaite combiner Lagrange, Hamilton et Hamilton–Jacobi. 1. Définir une coordonnée cyclique et la quantité conservée associée. 2. Écrire d'abord le Lagrangien puis le Hamiltonien du pendule. 3. Formuler l’équation de Hamilton–Jacobi et proposer une solution séparée. 4. Montrer comment l’intégrale complète de Hamilton–Jacobi permet de retrouver la dynamique. 5. Vérifier que le flot hamiltonien conserve le volume de phase (théorème de Liouville).→
  • 18
    1. Question conceptuelle : définir la coordonnée généralisée et expliquer son rôle dans la formulation lagrangienne. 2. Un pendule de masse $ $m=1.0\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=1.5\,\mathrm{m}$$ est accouplé à un ressort de constante $ $k=50.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$$ fixé au point d’attache. Exprimer le Lagrangien $ $\mathcal{L}(\theta,\dot\theta)$$ en fonction de l’angle $ $\theta$$ et de sa vitesse angulaire $ $\dot\theta$$ . 3. En déduire l’équation de Lagrange du mouvement pour $ $\theta(t)$$ . 4. Pour de petites oscillations ($ $\theta\ll1$$ ), linéariser l’équation et déterminer la pulsation propre $ $\omega_0$$ . 5. Si une force harmonique $ $F(t)=F_0\sin(\omega t)$$ est appliquée au...→
  • 19
    1. Question conceptuelle : définir le moment conjugué $ $p$$ et expliquer son lien avec l’énergie cinétique. 2. Un oscillateur harmonique de masse $ $m=2.0\,\mathrm{kg}$$ et de constante $ $k=20.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$$ a pour Lagrangien $ $\mathcal{L}=\tfrac12m\dot q^2-\tfrac12kq^2$$ . Déterminer le Hamiltonien $ $H(q,p)$$ . 3. Écrire les équations de Hamilton canoniques pour $ $q(t)$$ et $ $p(t)$$ . 4. Résoudre ces équations avec $ $q(0)=q_0$$ et $ $p(0)=0$$ pour obtenir $ $q(t)$$ . 5. Calculer la divergence du champ $ $(\dot q,\dot p)$$ et vérifier le théorème de Liouville.→
  • 20
    1. Question conceptuelle : définir le tenseur d’inertie d’un solide et expliquer son utilité. 2. Un cylindre homogène de masse $ $m=3.0\,\mathrm{kg}$$ , de rayon $ $R=0.20\,\mathrm{m}$$ et de hauteur $ $h=0.50\,\mathrm{m}$$ a pour axes principaux. Calculer ses moments d’inertie $ $I_{zz}$$ et $ $I_{xx}=I_{yy}$$ . 3. Exprimer le moment cinétique $ $L_z$$ quand le cylindre tourne autour de l’axe $ $z$$ à la vitesse angulaire $ $\omega=10.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ . 4. Énoncer l’équation d’Euler pour la rotation libre d’un solide et appliquer-la pour un couple constant $ $\tau_z$$ exercé autour de $ $z$$ . 5. En régime permanent, déterminer la vitesse...→
  • 21
    1. Question conceptuelle : donner la forme générale du Lagrangien d’un milieu continu et expliquer la densité d’énergie. 2. Considérer une corde homogène de masse linéique $ $\mu=0.100\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$$ et de tension $ $T=50.0\,\mathrm{N}$$ de longueur $ $L=1.0\,\mathrm{m}$$ . Écrire le Lagrangien $ $\mathcal{L}[y,\dot y]$$ pour le déplacement transverse $ $y(x,t)$$ . 3. Dériver l’équation d’onde avec le principe variationnel (équation d’Euler–Lagrange continue). 4. Pour une solution modale $ $y(x,t)=A\sin(\tfrac{n\pi x}{L})\cos(\omega t)$$ , déterminer la relation de dispersion $ $\omega_n$$ . 5. Calculer la première fréquence propre $ $f_1$$ pour $ $n=1$$ .→
  • 22
    1. Question conceptuelle : énoncer le théorème de Liouville et expliquer sa signification en mécanique analytique. 2. Pour un système unidimensionnel de Hamiltonien $ $H(p,q)=\tfrac{p^2}{2m}+V(q)$$ , écrire l’équation de Hamilton–Jacobi pour l’action $ $S(q,t)$$ . 3. Dans un potentiel constant $ $V(q)=V_0$$ , séparer variables et résoudre l’équation pour $ $S(q,t)$$ . 4. En déduire la caractéristique $ $W(q,E)$$ et exprimer $ $t$$ en fonction de $ $q$$ et de l’énergie $ $E$$ . 5. Montrer que la transformation canonique induite par $ $S$$ conserve le volume de phase en calculant le jacobien de $ $(q,p)\to(\alpha,\beta)$$ .→
  • 23
    1. Définissez le formalisme de Lagrange et la notion de coordonnée généralisée. 2. Écrivez le Lagrangien ℒ(φ,φ̇) du pendule sous la gravité g. 3. Déduisez l’équation de Lagrange : $ $\frac{d}{dt}\bigl(\frac{\partial ℒ}{\partial φ̇}\bigr)-\frac{\partial ℒ}{\partial φ}=0$$ . 4. Calculez la pulsation propre pour les oscillations petites amplitudes. 5. Montrez que l’énergie mécanique E est conservée et exprimez-la en fonction de φ et φ̇.→
  • 24
    1. Définissez le formalisme de Hamilton et la notion de variables canoniques. 2. Écrivez le Hamiltonien H(r,θ,pr,pθ) correspondant au Lagrangien L=T–V. 3. Écrivez les équations de Hamilton : $ $ \dot r=\frac{\partial H}{\partial p_r}, \quad \dot θ=\frac{\partial H}{\partial p_θ}, \quad \dot p_r=-\frac{\partial H}{\partial r}, \quad \dot p_θ=-\frac{\partial H}{\partial θ}$$ . 4. Montrez que pθ est conservé et interprétez physiquement. 5. Pour V(r)=–k/r, déduisez l’équation différentielle radiale du mouvement.→
  • 25
    1. Définissez la formulation lagrangienne pour un solide indéformable. 2. Écrivez ℒ= T–V en fonction de φ, φ̇ et du moment d’inertie I. 3. Établissez l’équation de Lagrange généralisée incluant le moment externe. 4. Pour petite oscillation, écrivez l’équation non homogène : $ $I φ̈ +k φ= M_0 \cos(Ωt)$$ et identifiez k. 5. Résolvez pour l’amplitude de l’oscillation en régime permanent.→
  • 26
    1. Définissez la mécanique lagrangienne des milieux continus et le champ de déplacement. 2. Écrivez l’action S=∫ℒ dx dt avec ℒ density cinétique–potentielle. 3. Établissez l’équation d’Euler–Lagrange : $ $ρ ∂_{tt}u - E ∂_{xx}u=0$$ . 4. Calculez la vitesse des ondes c=√(E/ρ). 5. Pour conditions aux limites u(0,t)=0, u(L,t)=0, écrivez la solution en modes propres et leurs fréquences.→
  • 27
    1. Définissez le théorème de Liouville pour les flux hamiltoniens. 2. Montrez que le jacobien du flot est unitaire. 3. Écrivez l’équation de continuité en espace des phases. 4. Pour H ne dépendant pas explicitement du temps, montrez que la densité de probabilité f(H) est un invariant. 5. Écrivez l’équation de Hamilton–Jacobi : $ $H(q,∂S/∂q)=E$$ et interprétez S.→
  • 28
    1. Définissez la notion de monodromie dans le formalisme de Hamilton–Jacobi. 2. Calculez l’énergie H en fonction de amplitude A. 3. Écrivez l’équation Hamilton–Jacobi et séparez les variables. 4. Exprimez le temps de retour (période) T(A) en intégrale elliptique. 5. Pour petites amplitudes, développez T≈T0(1+β A^2) et calculez β.→
  • 29
    1. Définissez la densité de Lagrangien pour un milieu continu. 2. Écrivez l’action S=∫ℒ dV dt avec ℒ=½ρv^2–ρΦ où Φ potentiel. 3. Établissez l’équation d’Euler pour la dynamique : $ $ρ(∂_t v + (v·∇)v)=-∇p - ρ∇Φ$$ . 4. Pour écoulement stationnaire axisymétrique, déduisez l’équation de Bernoulli généralisée. 5. Montrez que l’action de Hamilton–Jacobi S(r,ϕ,t) vérifie : $ $∂_t S+H(r,∇S)=0$$ .→
  • 30
    On considère une particule de masse $ $m=2.00\,\mathrm{kg}$$ évoluant dans un potentiel central attractif $ $V(r)=-\frac{k}{r}$$ avec $ $k=5.00\,\mathrm{J\cdot m}$$ . On utilise les coordonnées polaires $ $(r,\theta)$$ et on note le moment angulaire constant $ $p_{\theta}=3.00\,\mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}}$$ . 1. Définir le formalisme de Lagrange et donner l’expression générale du lagrangien. 2. Écrire le lagrangien $ $L(r,\theta,\dot r,\dot\theta)$$ . 3. En déduire la conservation de $ $p_{\theta}=m r^{2}\dot\theta$$ . 4. Introduire le potentiel effectif $ $V_{eff}(r)=-\frac{k}{r}+\frac{p_{\theta}^{2}}{2m r^{2}}$$ et déterminer l’équilibre circulaire $ $r_{0}$$ . 5. Pour de petites oscillations radiales autour de $ $r_{0}$$ , calculer la pulsation $ $\omega_{r}$$ du mouvement radial.→
  • 31
    On considère un double pendule plan constitué de deux masses $ $m_{1}=1.00\,\mathrm{kg}$$ et $ $m_{2}=2.00\,\mathrm{kg}$$ reliées respectivement par des tiges sans masse de longueurs $ $l_{1}=1.00\,\mathrm{m}$$ et $ $l_{2}=1.00\,\mathrm{m}$$ . Les angles par rapport à la verticale sont $ $\theta_{1}$$ et $ $\theta_{2}$$ . On pose $ $g=9.81\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$$ . 1. Définir les coordonnées généralisées et écrire les vitesses des masses. 2. Écrire le lagrangien $ $L(\theta_{1},\theta_{2},\dot\theta_{1},\dot\theta_{2})$$ . 3. Déduire les équations d’Euler–Lagrange du système. 4. En supposant de petites oscillations ($ $\theta_{i}\ll1$$ ), linéariser ces équations et déterminer les pulsations propres $ $\omega_{1}$$ et $ $\omega_{2}$$ . 5. Calculer numériquement...→
  • 32
    On étudie un oscillateur harmonique simple de masse $ $m=2.00\,\mathrm{kg}$$ et de constante de raideur $ $k=18.0\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}$$ . On note la coordonnée généralisée $ $q$$ et la quantité de mouvement canonique $ $p$$ . 1. Définir le moment canonique et écrire sa relation avec la vitesse. 2. Écrire l’hamiltonien $ $H(q,p)$$ du système. 3. Écrire les équations de Hamilton. 4. Résoudre ces équations pour les conditions initiales $ $q(0)=0.10\,\mathrm{m},\ p(0)=0$$ et déterminer $ $q(t)$$ . 5. Vérifier la conservation de l’énergie et tracer qualitativement la trajectoire dans l’espace des phases $(q,p)$ .→
  • 33
    On considère une corde vibrante homogène de longueur $ $L=1.00\,\mathrm{m}$$ , de masse linéique $ $\mu=0.02\,\mathrm{kg\cdot m^{-1}}$$ et soumise à une tension $ $T_{0}=100\,\mathrm{N}$$ . On utilise la variable de champ $ $\phi(x,t)$$ correspondant au déplacement transversal. 1. Donner la densité lagrangienne $ $\mathcal{L}(\phi,\partial_{t}\phi,\partial_{x}\phi)$$ pour la corde. 2. En déduire l’équation d’Euler–Lagrange et montrer qu’elle coïncide avec l’équation d’onde $ $\partial_{t}^{2}\phi=(T_{0}/\mu)\partial_{x}^{2}\phi$$ . 3. Appliquer les conditions aux extrémités $ $\phi(0,t)=\phi(L,t)=0$$ et chercher les modes propres $ $\phi_{n}(x,t)$$ . 4. Déterminer la fréquence fondamentale $ $f_{1}$$ . 5. Calculer l’énergie totale de la corde pour le mode $ $n=1$$ d’amplitude maximale $ $A=0.01\,\mathrm{m}$$ ....→
  • 34
    On considère un système hamiltonien à deux degrés de liberté décrit par le hamiltonien $ $H=\frac{1}{2m}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+\frac{k}{2}(x^{2}+y^{2})$$ , avec $ $m=1.00\,\mathrm{kg}$$ et $ $k=4.00\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}$$ . 1. Énoncer le théorème de Liouville en mécanique analytique. 2. Écrire le champ de vecteurs du flux de phase et calculer sa divergence. 3. Montrer que le volume élémentaire $ $dV=dx\,dy\,dp_{x}\,dp_{y}$$ est invariant. 4. Considérer un hypercube d’arête $ $a=0.10$$ dans l’espace de phase à $ $t=0$$ . Calculer son volume et vérifier qu’il reste constant sous l’écoulement. 5. Expliquer l’importance de cette propriété pour la conservation des micro-états en mécanique statistique.→
  • 35
    On considère une particule libre de masse $ $m=1.00\,\mathrm{kg}$$ se déplaçant sur l’axe $ $x$$ sans potentiel ($ $V=0$$ ). On note la fonction principale de Hamilton–Jacobi $ $S(x,t)$$ . 1. Énoncer l’équation de Hamilton–Jacobi pour une particule libre. 2. Chercher une solution par séparation de variables sous la forme $ $S(x,t)=W(x)-Et$$ . 3. Déterminer $ $W(x)$$ et l’énergie $ $E$$ associée. 4. En déduire l’équation du mouvement $ $x(t)$$ . 5. Vérifier que $ $S$$ est une fonction complète du système en explicitant la relation entre constantes de séparation et conditions initiales.→
  • 36
    On étudie un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse $ $m=1.00\,\mathrm{kg}$$ et de constante $ $k=4.00\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}$$ . On cherche la fonction de Hamilton–Jacobi complète $ $S(x,t)$$ . 1. Énoncer l’équation de Hamilton–Jacobi pour l’oscillateur harmonique. 2. Proposer une solution par séparation $ $S(x,t)=W(x)-Et$$ . 3. Déterminer $ $W(x)$$ en fonction de $ $E$$ . 4. Exprimer l’équation caractéristique du mouvement $ $x(t)$$ . 5. Introduire la variable d’action $ $J$$ et montrer que $ $\omega=\partial H/\partial J$$ .→
  • 37
    Un point matériel de masse m=1\,kg glisse sans frottement sur un plan incliné d’angle α=30° puis suit une trajectoire cycloïdale de même hauteur. 1. Définir le Lagrangien L(q,\dot q) d’un système à un degré de liberté (courte réponse). 2. Pour la trajectoire plane, écrire L en prenant q=x la position le long du plan. 3. Déduire l’équation de Lagrange et montrer que a=g\sinα. 4. Pour la cycloïde paramétrée par q=θ, calculer L(θ,\dot θ). 5. Justifier que l’énergie mécanique totale est conservée et en déduire \dot θ(θ).→
  • 38
    Un oscillateur harmonique de masse m=2\,kg, de raideur k=8\,\mathrm{N/m}, est soumis à aucune force dissipative. 1. Définir le moment conjugué p associé à la coordonnée généralisée q (courte réponse). 2. Écrire le Lagrangien L(q,\dot q) et en déduire le Hamiltonien H(q,p). 3. Écrire les équations de Hamilton pour q(t) et p(t). 4. Déterminer q(t) pour les conditions initiales q(0)=q_0=0.1\,m, \dot q(0)=0. 5. Calculer H numérique et commenter sa conservation.→
  • 39
    1. Définissez les coordonnées généralisées et le Lagrangien d’un système holonome. 2. Pour une particule de masse $ $m$$ soumise à un potentiel $ $V(x)$$ , écrivez les équations d’Euler–Lagrange. 3. Appliquez-les au pendule simple de longueur $ $l$$ et masse $ $m$$ pour obtenir l’équation du mouvement en $ $\theta(t)$$ . 4. En l’absence de frottement, montrez la conservation de l’énergie et exprimez $ $E$$ en fonction de $ $\theta$$ et $ $\dot{\theta}$$ . 5. Pour de petites oscillations, linéarisez l’équation et calculez la pulsation propre $ $\omega_0$$ .→
  • 40
    1. Définissez les variables canoniques et le Hamiltonien d’un système mécanique. 2. Expliquez la transformation de Legendre entre $ $L(q,\dot q)$$ et $ $H(q,p)$$ . 3. Pour l’oscillateur harmonique unidimensionnel de masse $ $m$$ et raideur $ $k$$ , écrivez $ $H(x,p)$$ . 4. Écrivez les équations de Hamilton et résolvez-les pour obtenir $ $x(t)$$ et $ $p(t)$$ . 5. Calculez la fonction action $ $S(t) = \int (p\dot x - H)\,dt$$ entre $ $t=0$$ et $ $t=T$$ .→
  • 41
    1. Définissez le torseur cinématique d’un solide indéformable en mouvement plan. 2. Montrez que la vitesse de tout point $ $M$$ est $ $\mathbf{v}_M = \mathbf{v}_O + \omega\,\hat{k}\times\overrightarrow{OM}$$ . 3. Pour une barre rigide AB de longueur $ $L$$ tournant autour d’un axe vertical en A avec $ $\omega$$ constant, calculez $ $\mathbf{v}_B$$ et l’accélération $ $\mathbf{a}_B$$ . 4. Exprimez le moment cinétique $ $\mathbf{L}_O$$ autour d’un point fixe O pour cette barre de masse $ $m$$ . 5. Écrivez et interprétez l’équation de la dynamique du solide rigide (équation d’Euler).→
  • 42
    1. Définissez la densité lagrangienne d’un milieu continu et le principe variationnel associé. 2. Pour une corde de masse linéique $ $\mu$$ tendue entre $ $x=0$$ et $ $x=L$$ , écrivez la densité lagrangienne $ $\mathcal{L}(y,\dot y,y')$$ . 3. En appliquant le principe de Hamilton, dérivez l’équation d’onde unidimensionnelle pour $ $y(x,t)$$ . 4. Trouvez la solution générale pour conditions initiales $ $y(x,0)=f(x)$$ et $ $\dot y(x,0)=0$$ . 5. Calculez l’énergie totale du segment de corde et montrez qu’elle est conservée.→
  • 43
    1. Énoncez le théorème de Liouville sur la conservation du volume en espace de phases. 2. Pour un système à un degré de liberté, écrivez l’équation du flot Hamiltonien $ $(\dot q,\dot p)$$ . 3. Montrez que la divergence $ $\nabla\cdot(\dot q,\dot p)=0$$ . 4. Déduisez que le volume dans une région de phase est constant au cours du temps. 5. Interprétez physiquement cette conservation dans le contexte d’un oscillateur harmonique.→
  • 44
    1. Définissez l’équation de Hamilton–Jacobi et sa signification. 2. Pour une particule libre de masse $ $m$$ , écrivez l’équation de Hamilton–Jacobi pour la fonction action $ $S(q,t)$$ . 3. Résolvez pour obtenir $ $S(q,t)$$ et montrez qu’elle conduit à la trajectoire linéaire $ $q(t)$$ . 4. Appliquez la méthode de séparation des variables pour un potentiel constant $ $V_0$$ . 5. Interprétez la relation entre Hamilton–Jacobi et mécanique géométrique des ondes de phase.→
  • 45
    1. Définissez les différences entre formalismes lagrangien et hamiltonien. 2. Pour un double pendule couplé, identifiez les coordonnées généralisées $ $\theta_1,\theta_2$$ et écrivez le Lagrangien total. 3. Passez au formalisme de Hamilton et écrivez le Hamiltonien en fonction des moments conjugués $ $p_1,p_2$$ . 4. Montrez que le flot hamiltonien associé conserve le volume de phase (théorème de Liouville). 5. Proposez la forme de l’équation de Hamilton–Jacobi associée et commentez sur la séparation des variables pour petits angles.→
  • 46
    On considère un pendule simple de masse $ $m=1.0\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $l=1.0\,\mathrm{m}$$ oscillant sans frottement dans un plan vertical sous l’effet de la pesanteur. On suppose le déplacement caractérisé par l’angle $ $\theta$$ par rapport à la verticale descendante. On étudie : 1. Donnez l’expression du Lagrangien pour ce système et citez le principe fondamental associé. 2. Écrivez l’équation de Lagrange. 3. Déduisez l’équation différentielle du mouvement. 4. Pour petites oscillations, donnez la pulsation propre $ $\omega_0$$ et la solution générale. 5. Calculez la période d’oscillation pour $ $l=1.0\,\mathrm{m}$$ .→
  • 47
    Un système à une dimension a pour Hamiltonien $ $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$$ , où $ $V(x)=x^4-x^2$$ . On suppose $ $m=0.50\,\mathrm{kg}$$ . On étudie : 1. Expliquez la signification physique d’un Hamiltonien et son rôle dans l’évolution dynamique. 2. Écrivez les équations canoniques de Hamilton. 3. Déduisez les équations différentielles du mouvement pour $ $x(t)$$ et $ $p(t)$$ . 4. Trouvez les points d’équilibre du système. 5. Discutez qualitativement la stabilité de ces points.→
  • 48
    On considère une toupie symétrique de masse $ $m=0.20\,\mathrm{kg}$$ , de hauteur $ $h=0.10\,\mathrm{m}$$ , de rayon $ $R=0.04\,\mathrm{m}$$ , animée d’un mouvement de précession lente sous l’effet de la gravité. Son centre O se trouve à une distance $ $a=0.03\,\mathrm{m}$$ de son point d’appui. Moments principaux d’inertie : $ $I_z=2.2\times10^{-4}\,\mathrm{kg\,m^2}$$ , $ $I_x=1.1\times10^{-4}\,\mathrm{kg\,m^2}$$ . On étudie : 1. Donnez l’expression de l’énergie cinétique et du Lagrangien pour une toupie symétrique. 2. Écrivez les équations de Lagrange associées. 3. Déduisez la relation de précession gyroscopique lente. 4. Calculez la fréquence de précession pour $ $\omega_z=80.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ . 5. Calculez l’énergie totale...→
  • 49
    On considère un solide indéformable de masse $ $m=5.0\,\mathrm{kg}$$ , de moment d’inertie $ $I=0.12\,\mathrm{kg\,m^2}$$ , lancé en rotation autour de son axe fixe avec couple constant. On étudie : 1. Donnez l’expression du Hamiltonien pour ce système. 2. Écrivez l’équation d’Hamilton pour l’impulsion angulaire. 3. Déduisez la loi d’évolution de $ $\omega(t)$$ sous un couple $ $C=1.5\,\mathrm{N\,m}$$ . 4. Calculez l’énergie cinétique après $ $t=8.0\,\mathrm{s}$$ , en partant du repos. 5. Calculez l’action sur l’intervalle.→
  • 50
    Un solide continu incompressible subit une déformation en cisaillement pur. Sa densité volumique est $ $\rho=1800\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$$ , le module de cisaillement $ $G=2.0\times10^{9}\,\mathrm{Pa}$$ . Une contrainte de cisaillement $ $\tau=10^{6}\,\mathrm{Pa}$$ est imposée. On étudie : 1. Donnez l’expression du lagrangien volumique pour un milieu élastique pur. 2. Écrivez l’équation de mouvement (Lagrange) pour le déplacement $ $u(y,t)$$ . 3. Calculez l’accélération maximale pour une onde de cisaillement d’amplitude $ $A=0.005\,\mathrm{m}$$ et de fréquence $ $f=1000\,\mathrm{Hz}$$ . 4. Calculez la vitesse de propagation des ondes de cisaillement. 5. Calculez l’énergie volumique maximale de déformation.→
  • 51
    On considère un gaz parfait monoatomique dans une boîte 1D de longueur $ $L=0.5\,\mathrm{m}$$ , analysé par le formalisme Hamiltonien et la mécanique statistique. Le système évolue selon le théorème de Liouville. On étudie : 1. Donnez l’énoncé du théorème de Liouville en mécanique hamiltonienne. 2. Écrivez l’équation de Liouville pour la fonction de distribution $ $f(x,p,t)$$ . 3. Pour $ $H=\frac{p^2}{2m}$$ , montrez que $ $f$$ est constant le long des trajectoires dans l’espace des phases. 4. Calculez la densité de probabilité microcanonique. 5. Donnez l’expression de l’entropie de Gibbs de ce système à énergie $ $E$$ .→
  • 52
    Un système à une dimension admet une fonction caractéristique de Hamilton-Jacobi $ $S(q,\alpha,t)$$ avec Hamiltonien $ $H=\frac{p^2}{2m}+U(q)$$ . Pour $ $U(q)=\frac12kq^2$$ , $ $m=1.0\,\mathrm{kg}$$ , $ $k=4.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$$ : 1. Donnez l’équation de Hamilton-Jacobi et sa signification. 2. Trouvez une solution particulière pour $ $S(q,t)$$ . 3. Déduisez les trajectoires $ $(q(t),p(t))$$ . 4. Calculez explicitement la période de l’oscillateur. 5. Comparez avec la solution obtenue par les méthodes de Lagrange ou Hamilton.→
  • 53
    1. Donner le nombre de degrés de liberté du pendule simple et définir la coordonnée généralisée adéquate. 2. Établir l’expression du Lagrangien $ $L = T - V$$ du pendule de longueur $ $l$$ et de masse $ $m$$ dans le champ de pesanteur uniforme, avec $ $T = \tfrac12 m l^2 \dot\theta^2$$ et $ $V = m g l (1 - \cos\theta)$$ . 3. À partir de ce Lagrangien, dériver l’équation d’Euler–Lagrange et montrer que pour petits angles $ $\theta \approx 0$$ , elle se réduit à $ $\ddot\theta + \tfrac{g}{l}\,\theta = 0$$ . 4. Calculer la période des petites oscillations $ $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$$ . Effectuer la substitution pour $ $l = 1\,\mathrm{m}$$ et $ $g = 9.81\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$$ . 5. Déterminer le Hamiltonien $ $H(\theta, p_\theta)$$ du...→
  • 54
    1. Définir la coordonnée généralisée pour un oscillateur harmonique de masse $ $m$$ et constante de raideur $ $k$$ . 2. Écrire le Lagrangien $ $L = T - V$$ avec $ $T = \tfrac12 m \dot x^2$$ et $ $V = \tfrac12 k x^2$$ . 3. Dériver l’équation d’Euler–Lagrange et montrer qu’elle s’écrit $ $\ddot x + \tfrac{k}{m}x = 0$$ . 4. Calculer la pulsation propre $ $\omega = \sqrt{\tfrac{k}{m}}$$ pour $ $m = 0.5\,\mathrm{kg}$$ et $ $k = 2\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}$$ . 5. Passer au formalisme hamiltonien : déterminer $ $p = m\dot x$$ , le Hamiltonien $ $H(x,p)$$ , et vérifier qu’il est constant.→
  • 55
    1. Définir les deux degrés de liberté et les coordonnées généralisées pour un double pendule de longueurs $ $l_1,l_2$$ et masses $ $m_1,m_2$$ . 2. Établir le Lagrangien $ $L = T - V$$ en limite de petits angles $ $\theta_1,\theta_2$$ . 3. Linéariser les équations d’Euler–Lagrange et écrire le système matriciel pour $ $\ddot\theta_1,\ddot\theta_2$$ . 4. Trouver les pulsations propres $ $\omega_{\pm}$$ du système en résolvant le déterminant caractéristique. 5. Déterminer les modes normaux et commenter la dépendance des fréquences sur le rapport $ $m_2/m_1$$ .→
  • 56
    1. Définir la coordonnée généralisée pour une particule de masse $ $m$$ glissant sans frottement sur un anneau de rayon $ $R$$ tournant à vitesse angulaire $ $\Omega$$ . 2. Écrire le Lagrangien $ $L=T-V$$ dans le référentiel inertiel, avec potentiel centrifuge effectif. 3. Trouver l’équation d’Euler–Lagrange et montrer l’existence d’un point d’équilibre angulaire stable. 4. Analyser les petites oscillations autour de cet équilibre et calculer la fréquence propre. 5. Passer au formalisme hamiltonien et déterminer le moment conjugué, puis l’équation canonique du mouvement.→
  • 57
    1. Pour deux masses $ $m$$ liées par deux ressorts identiques de constante $ $k$$ sur un support fixe, définir les degrés de liberté et les coordonnées généralisées. 2. Écrire le Lagrangien $ $L=T-V$$ du système en coordonnées généralisées $ $x_1,x_2$$ . 3. Obtenir les équations d’Euler–Lagrange et écrire la matrice dynamique. 4. Déterminer les fréquences propres et les vecteurs propres du système. 5. Interpréter physiquement les modes symétrique et antisymétrique.→
  • 58
    1. Écrire le Lagrangien d’une particule de charge $ $q$$ et masse $ $m$$ dans un potentiel vecteur $ $\mathbf{A}(\mathbf{r})$$ et scalaire $ $\phi(\mathbf{r})$$ . 2. Déterminer les équations de Lagrange et montrer qu’elles conduisent à la force de Lorentz $ $\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})$$ . 3. Passer au formalisme hamiltonien : identifier le moment conjugué et écrire le Hamiltonien $ $H(\mathbf{r},\mathbf{p})$$ . 4. Vérifier que les équations canoniques reproduisent l’équation du mouvement. 5. Discuter de la non-conservation de l’énergie si $ $\phi$$ dépend explicitement du temps.→
  • 59
    1. Décrire la coordonnée généralisée pour une bille glissant sans frottement sur une tige inclinée d’angle $ $\alpha$$ . 2. Écrire le Lagrangien $ $L=T-V$$ avec $ $T=\tfrac12 m \dot s^2$$ et $ $V=m g s\sin\alpha$$ . 3. Obtenir l’équation d’Euler–Lagrange et montrer que $ $\ddot s + g\sin\alpha =0$$ . 4. Si la tige est reliée à un ressort de constante $ $k$$ à l’extrémité supérieure, rédiger le nouveau Lagrangien. 5. Déterminer la fréquence des petites oscillations dans ce cas combiné ressort-gravité.→
  • 60
    1. Donner le Lagrangien d’une particule unidimensionnelle de masse $ $m$$ dans un puits harmonique dont la raideur $ $k(t)$$ varie lentement avec le temps. 2. Écrire les équations d’Euler–Lagrange et discuter de la non-conservation de l’énergie. 3. Passer au formalisme hamiltonien et écrire $ $H(x,p,t)$$ . 4. Démontrer que $ $\frac{dH}{dt} = \partial_t H$$ et calculer $ $\partial_t H$$ pour $ $H=\tfrac{p^2}{2m}+\tfrac12 k(t)x^2$$ . 5. Expliquer qualitativement l’adaptation adiabatique du système si $ $k(t)$$ évolue lentement.→
  • 61
    1. Un système est constitué de deux masses $ $m_1,m_2$$ reliées par un ressort de raideur $ $k$$ et un amortisseur idéal (sans perte) modélisé par un potentiel quartique. Définir les degrés de liberté. 2. Proposer un Lagrangien $ $L=T-V$$ avec $ $T=\tfrac12 m_1\dot x_1^2 + \tfrac12 m_2\dot x_2^2$$ et $ $V=\tfrac12 k(x_2-x_1)^2 + \tfrac14 \lambda(x_2-x_1)^4$$ . 3. Écrire les équations d’Euler–Lagrange pour $ $x_1,x_2$$ . 4. Linéariser autour de l’équilibre $ $x_2-x_1=0$$ et retrouver l’oscillateur couplé classique. 5. Discuter de l’effet du terme quartique $ $\lambda$$ sur l’amplitude et la fréquence pour grandes oscillations.→
  • 62
    1. Expliquer la différence entre les formulations de Lagrange et de Newton pour un système à un degré de liberté. 2. Écrire l’équation d’Euler–Lagrange pour une particule de masse $ $m$$ se déplacant sur un plan incliné d’angle $ $\alpha$$ sans frottement. 3. Pour un pendule simple de longueur $ $\ell$$ et masse $ $m$$ , montrer que pour de petits déplacements l’équation du mouvement se réduit à $ $\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\theta=0$$ . 4. Définir une coordonnée cyclique et expliquer la conséquence physique sur la quantité conjugée. 5. Dans des coordonnées polaires $ $(r,\theta)$$ , écrire le Lagrangien d’une particule libre et...→
  • 63
    1. Énoncer le principe des travaux virtuels de D’Alembert pour un système contraint. 2. Pour une particule liée à glisser sans frottement sur un cerceau de rayon $ $R$$ , trouver la relation entre $ $\theta$$ et $ $\ddot\theta$$ établie par le principe. 3. Une particule de masse $ $m$$ glisse sur un plan incliné d’angle $ $\alpha$$ reliée à un ressort de constante $ $k$$ en haut du plan. Écrire le Lagrangien et déterminer l’équation du mouvement. 4. Expliquer le rôle des multiplicateurs de Lagrange pour les systèmes à contraintes holonomes. 5. Pour deux particules reliées par une tige...→
  • 64
    1. Définir le Hamiltonien et expliquer sa relation avec l’énergie totale pour un système lagrangien. 2. Pour $ $L=\tfrac12m\dot x^{2}-V(x)$$ , écrire l’hamiltonien $ $H(x,p)$$ et les équations canoniques. 3. Montrer que si $ $L$$ ne dépend pas explicitement de $ $t$$ , alors $ $H$$ est conservé. 4. Calculer l’hamiltonien pour un oscillateur harmonique $ $H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac12m\omega^{2}q^{2}$$ et démontrer la conservation de $ $H$$ . 5. Expliquer le flux hamiltonien et la signification du fait que $ $\nabla\cdot v_{H}=0$$ .→
  • 65
    1. Énoncer le principe de moindre action pour une particule de masse $ $m$$ . 2. Déduire l’équation d’Euler–Lagrange à partir de $ $\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)dt=0$$ . 3. Déterminer la trajectoire d’une particule libre $ $L=\tfrac12m\dot x^{2}$$ entre $ $x_1,t_1$$ et $ $x_2,t_2$$ . 4. Expliquer le rôle de la condition aux limites fixes sur $ $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$$ . 5. Pour la brachistochrone, écrire l’intégrale à minimiser et identifier la variable à varier.→
  • 66
    1. Définir une oscillation libre non amortie et écrire l’équation caractéristique. 2. Pour deux masses $ $m$$ reliées par un ressort de constante $ $k$$ sur un plan horizontal sans frottement, établir les équations de mouvement. 3. Déterminer les fréquences propres du système précédent. 4. Expliquer la notion de mode normal pour un système à deux degrés de liberté. 5. Construire les coordonnées normales et écrire l’énergie du système en ces coordonnées.→
  • 67
    1. Définir le moment d’inertie et son rôle dans la dynamique d’un corps rigide. 2. Calculer le moment d’inertie d’un anneau de masse $ $M$$ et de rayon $ $R$$ autour de son axe central. 3. Pour un cylindre plein de masse $ $M$$ et de rayon $ $R$$ tournant autour de son axe, calculer $ $I$$ . 4. Expliquer le théorème des axes parallèles. 5. Première équation d’Euler pour un solide homogène en rotation libre.→
  • 68
    1. Écrire l’équation de Hamilton–Jacobi pour un Hamiltonien indépendant du temps. 2. Pour une particule libre, résoudre HJ et trouver $ $S(q,t)$$ . 3. Expliquer la méthode de séparation des variables pour un potentiel central $ $V(r)$$ . 4. Appliquer la séparation à $ $H=\tfrac{p_r^{2}}{2m}+\tfrac{p_{\theta}^{2}}{2mr^{2}}+V(r)$$ et identifier les constantes de séparation. 5. Expliquer l’interprétation physique de la fonction génératrice $ $S$$ .→
  • 69
    1. Définir une transformation canonique et la condition sur le crochet de Poisson. 2. Montrer que la transformation $ $Q=q\cos\alpha+p\sin\alpha,\ P=-q\sin\alpha+p\cos\alpha$$ est canonique. 3. Écrire la fonction génératrice de type 2 $ $F_2(q,P)$$ pour cette transformation. 4. Expliquer l’avantage de passer aux variables action–angle pour un système périodique. 5. Pour l’oscillateur harmonique, identifier les actions et angles.→
  • 70
    1. Énoncer le théorème de Liouville pour les systèmes hamiltoniens. 2. Expliquer la signification de $ $d\rho/dt=0$$ pour la densité de phase $ $\rho(q,p,t)$$ . 3. Pour un oscillateur non linéaire perturbé, discuter qualitativement la conservation du volume de phase. 4. Définir le concept d’exposant de Lyapunov et son lien avec la stabilité du flot. 5. Expliquer pourquoi le théorème de Liouville n’empêche pas le chaos.→
  • 71
    2. Pour un pendule simple de masse $ $m$$ et de longueur $ $l$$ , écrire le Lagrangien $ $L$$ en coordonnées généralisées $ $θ$$ . 3. Déduire l’équation d’Euler–Lagrange et la linéariser pour $ $θ\ll1$$ . 4. Calculer la période $ $T$$ du pendule pour $ $l=1\,\mathrm{m}$$ et $ $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$$ . 5. Expliquer la conservation d’énergie mécanique dans ce contexte.→
  • 72
    2. Pour la machine d’Atwood avec masses $ $m_1$$ et $ $m_2$$ et corde sans masse, écrire le Lagrangien en coordonnée $ $x$$ de déplacement. 3. En déduire l’accélération $ $a$$ si $ $m_2>m_1$$ . 4. Calculer $ $a$$ pour $ $m_1=2\,\mathrm{kg}$$ et $ $m_2=5\,\mathrm{kg}$$ avec $ $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$$ . 5. Expliquer comment la cyclicité en $ $x$$ conduit à une intégrale première.→
  • 73
    2. Calculer le moment d’inertie d’une tige homogène de longueur $ $L$$ autour d’un axe passant par son centre et perpendiculaire à la tige. 3. Écrire l’énergie cinétique de rotation d’un corps rigide de masse $ $M$$ et de tenseur $ $I$$ pour une vitesse angulaire $ $ω$$ . 4. Pour une tige de $ $L=2\,\mathrm{m}$$ et $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ , calculer $ $I$$ . 5. Expliquer la distinction entre moment cinétique et moment d’inertie.→
  • 74
    2. Écrire les équations de Hamilton pour un oscillateur harmonique de pulsation $ $ω_0$$ . 3. Démontrer la conservation de l’hamiltonien si $ $∂H/∂t=0$$ . 4. Pour $ $H=½(p²/m+mω_0²q²)$$ , montrer que $ $H$$ est invariant. 5. Illustrer par un schéma la géométrie symplectique du plan des phases.→
  • 75
    2. Pour un corps rigide contraint à rouler sans glissement, écrire la relation de contraste cinématique. 3. Déduire les Lagrangiennes étendue avec multiplicateur de Lagrange $ $λ$$ . 4. Appliquer au cas d’une roue de rayon $ $R$$ et écrire l’équation de mouvement. 5. Comment évolue l’entropie cinématique dans un mouvement contraint ?→
  • 76
    2. Pour une particule dans un potentiel central $ $V(r)$$ , identifier la coordonnée cyclique. 3. Écrire la conservation du moment cinétique $ $L$$ . 4. Montrer que $ $r²\dot θ = const$$ dans le plan. 5. Calculer la trajectoire angulaire $ $θ(r)$$ pour $ $V(r)=-k/r$$ .→
  • 77
    2. Pour un système à deux degrés de liberté, écrire le passage de $ $L(q,\dot q)$$ à $ $H(q,p)$$ . 3. Calculer les équations de Hamilton pour $ $L=½m\dot q² - V(q)$$ . 4. Montrer que $ $\dot H = -∂L/∂t$$ . 5. Donner un exemple concret d’application en physique des particules.→
  • 78
    2. Pour un oscillateur non linéaire $ $L=½m\dot q² - α q^4$$ , calculer $ $H$$ . 3. Montrer que $ $H$$ est conservé si $ $α$$ ne dépend pas du temps. 4. Étudier la stabilité des points critiques de $ $H$$ . 5. Expliquer le rôle des transformations canoniques en mécanique quantique.→
  • 79
    2. Pour une rotation infinitésimale, identifier la quantité conservée. 3. Démontrer la conservation du moment angulaire. 4. Appliquer au problème central gravitationnel de Kepler. 5. Décrire l’impact de la brisure de symétrie sur la dynamique.→
  • 80
    2. Écrire le Lagrangien pour une sphère tournant autour d’un axe fixe. 3. Déduire l’équation de mouvement pour la rotation libre. 4. Calculer la vitesse angulaire si l’énergie cinétique vaut $ $E_k$$ . 5. Illustrer comment la contrainte de corps rigide entre en jeu.→
  • 81
    1. Définissez le crochet de Poisson pour deux fonctions f(q,p) et g(q,p). 2. Calculez $ $\{q_i,p_j\}$$ et $ $\{q_i,q_j\}$$ . 3. Montrez que $ $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f,H\} + \partial_t f$$ . 4. Pour le hamiltonien $ $H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$ , calculez $ $\{q,H\}$$ et $ $\{p,H\}$$ . 5. Interprétez physiquement les résultats obtenus.→
  • 82
    1. Énoncez le principe du moindre action en mécanique classique. 2. Pour le lagrangien $ $L = \tfrac12 m\dot x^2 - V(x)$$ , écrivez l'intégrale d'action $ $S = \int_{t_1}^{t_2} L\,\mathrm{d}t$$ . 3. Appliquez la variation de S pour obtenir l'équation d'Euler–Lagrange $ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\partial_{\dot x}L) - \partial_x L = 0$$ . 4. Montrez que pour $ $L = \tfrac12 m\dot x^2 - V(x)$$ , l'équation d'Euler–Lagrange devient $ $m\ddot x + \partial_x V = 0$$ . 5. Interprétez physiquement la condition de frontière libre.→
  • 83
    1. Décrivez les coordonnées généralisées pour une bille glissant sans frottement sur un anneau de rayon R tournant à vitesse angulaire $ $\omega$$ . 2. Écrivez le lagrangien $ $L$$ en fonction de l'angle $ $\phi$$ et de $ $\dot{\phi}$$ . 3. Déduisez l'équation d'Euler–Lagrange pour $ $\phi$$ . 4. Montrez qu'une force centrifuge effective $ $mR\omega^2\sin\phi$$ apparaît. 5. Analysez la stabilité des positions d'équilibre.→
  • 84
    1. Énoncez la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour un système avec contrainte. 2. Appliquez-la au cas de $ $f(x,y) = x^2 + y^2 - R^2 = 0$$ pour trouver les extrémums de $ $V(x,y) = xy$$ . 3. Trouvez les valeurs de x, y et du multiplicateur $ $\lambda$$ . 4. Calculez l'extrémum de V. 5. Interprétez géométriquement la solution.→
  • 85
    1. Définissez ce qu'est une transformation canonique en mécanique hamiltonienne. 2. Écrivez la condition $ $\{Q_i,P_j\} = \delta_{ij}$$ . 3. Pour la fonction génératrice $ $F_2(q,P) = qP + \tfrac12\kappa q^2$$ , trouvez les relations $ $p = \partial_q F_2$$ et $ $Q = \partial_P F_2$$ . 4. Exprimez le nouveau hamiltonien $ $K(Q,P)$$ . 5. Discutez de la conservation de la forme symplectique sous cette transformation.→
  • 86
    1. Présenter les coordonnées généralisées pour une machine d’Atwood avec masses m₁ et m₂. 2. Écrire le Lagrangien du système sans frottement. 3. Obtenir l’équation du mouvement pour q, la distance parcourue par m₂. 4. Exprimer l’accélération a en fonction de m₁ et m₂. 5. Calculer a pour m₁=2.00 kg, m₂=3.00 kg (g=9.81).→
  • 87
    1. Définir les coordonnées polaires (r,θ) comme généralisées. 2. Écrire le Lagrangien pour une particule de masse m dans un potentiel V(r). 3. Montrer que le moment angulaire L=mr²𝜃̇ est constant. 4. Exprimer l’équation radiale effective. 5. Pour V(r)=−k/r, déterminer le rayon de l’orbite circulaire stable.→
  • 88
    1. Pour deux masses couplées par deux ressorts, choisir coordonnées généralisées q₁ et q₂. 2. Écrire T et V du système. 3. Obtenir les équations de Lagrange. 4. Déterminer les modes normaux et leurs fréquences. 5. Expliquer qualitativement la forme des deux modes (in-phase et out-of-phase).→
  • 89
    1. Donner le Lagrangien d’une particule de masse m dans un référentiel tournant à ω constant. 2. Expliquer l’apparition des forces de Coriolis et centrifuge. 3. Écrire l’équation de mouvement incluant ces forces. 4. Pour mouvement plan inertiel v=(v_x,v_y), exprimer F_Coriolis. 5. Calculer numériquement F_Coriolis pour m=1.00 kg, ω=1.00 rad/s, v=(1.00,0) m/s.→
  • 90
    1. Introduire une force visqueuse f=−c𝑞̇ dans le formalisme de Lagrange. 2. Écrire l’équation de Lagrange modifiée (Rayleigh). 3. Pour oscillateur amorti c=2.00 kg/s, m=1.00 kg, k=100 N/m, déterminer δ=c/(2m). 4. Calculer δ numériquement. 5. Décrire qualitativement le régime (sous-, critique, sur-amorti).→
• Formalisme de Lagrange (51 Exercices)
  • 1
    Pour un pendule simple de masse $ $m$$ et de longueur $ $l$$ , le Lagrangien s’écrit $ $L = \tfrac12 m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta$$ . En approximation des petites oscillations ($ $\theta \ll 1$$ ), quelle est la fréquence angulaire $ $\omega_0$$ ?→
  • 2
    Une particule de masse $ $m$$ se déplace dans un potentiel central $ $V(r)$$ . Le Lagrangien en coordonnées polaires est $ $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\phi^2) - V(r)$$ . Quelle quantité est conservée grâce à la cyclicité de la coordonnée $ $\phi$$ ?→
  • 3
    Dans une machine d’Atwood, deux masses $ $m_1$$ et $ $m_2$$ (avec $ $m_1 > m_2$$ ) sont reliées par une poulie sans frottement. En choisissant la coordonnée $ $x$$ mesurant le déplacement de $ $m_1$$ vers le bas, quelle est l’accélération $ $a$$ du système ?→
  • 4
    Une masse $ $m$$ glisse sans frottement sur un plan incliné d’angle $ $\alpha$$ . Avec la coordonnée $ $x$$ mesurée le long du plan, le Lagrangien vaut $ $L = \tfrac12 m\dot x^2 + mgx\sin\alpha$$ . Quelle est l’accélération $ $a$$ de la masse ?→
  • 5
    Deux masses identiques $ $m$$ liées par un ressort de constante $ $k$$ oscillent en ligne sur une tige fixe sans frottement. Les déplacements symétriques $ $x\,$$ et $ $-x$$ décrivent leurs positions. Quelle est la fréquence propre $ $\omega$$ du mode normal ?→
  • 6
    Un ressort de constante $ $k$$ et longueur à vide $ $L_0$$ est fixé à un mur et porte une masse $ $m$$ . Le Lagrangien en coordonnée radiale $ $r$$ est $ $L = \tfrac12 m\dot r^2 - \tfrac12 k(r - L_0)^2$$ . Quelle est la période $ $T$$ des petites oscillations autour de l’équilibre ?→
  • 7
    Une particule de masse $ $m$$ glisse sans frottement sur une tige inclinée d’angle $ $\alpha$$ qui tourne à vitesse angulaire $ $\omega$$ autour de l’axe vertical. Le Lagrangien en coordonnée $ $r$$ est $ $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2 \omega^2 \sin^2\alpha) - mg r\sin\alpha$$ . Quelle est la condition d’équilibre en $ $r_0$$ ?→
  • 8
    Pour un oscillateur harmonique unidimensionnel de constante $ $k$$ et masse $ $m$$ , le Lagrangien est $ $L = \tfrac12 m\dot x^2 - \tfrac12 k x^2$$ . Quelle est l’expression de la quantité conservée associée à l’invariance par translation temporelle ?→
  • 9
    On considère un système avec une coordonnée généralisée $ $q$$ soumise à une force non conservative de type friction visqueuse $ $F_{nc} = -b\dot q$$ . Quel terme doit-on ajouter au formalisme de Lagrange pour décrire cette dissipation ?→
  • 10
    Un pendule conique consiste en une masse $ $m$$ attachée à une tige de longueur $ $l$$ tournant avec angle constant $ $\theta_0$$ . Le Lagrangien en angle azimutal $ $\phi$$ est $ $L = \tfrac12 m l^2 \sin^2\theta_0 \dot\phi^2 + mgl\cos\theta_0$$ . Quelle est la vitesse angulaire constante $ $\dot\phi$$ en équilibre ?→
  • 11
    On étudie un système à deux degrés de liberté $ $x$$ et $ $y$$ couplés par un potentiel $ $V = \tfrac12 k(x - y)^2$$ et $ $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2) - V$$ . Quelles sont les fréquences de vibration normales $ $\omega_1,\omega_2$$ ?→
  • 12
    Une masse $ $m$$ se déplace sans frottement sur un fil fixé verticalement en spirale décrite par $ $r(z) = a z$$ . En coordonnées cylindriques, quel terme géométrique apparaît dans le Lagrangien ?→
  • 13
    Pour une particule libre de masse $ $m$$ dans le plan, le Lagrangien en coordonnées cartésiennes est $ $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2)$$ . Quelles sont les équations de mouvement ?→
  • 14
    Un système a un Lagrangien $ $L(q,\dot q,t)$$ indépendant de $ $t$$ . Quelle quantité est alors conservée ?→
  • 15
    Pour un système avec coordonnée cyclique $ $q_1$$ et Lagrangien $ $L = L(q_2,\dot q_1,\dot q_2)$$ , quel principe permet de réduire le nombre d’équations différentielles ?→
  • 16
    Un pendule double (deux masses $ $m$$ et longueurs $ $l$$ ) est approximé pour petites oscillations. Quelles sont les fréquences normales du système ?→
  • 17
    Une particule de masse $ $m$$ se déplace sans frottement sur une hélice paramétrée par $ $r=R,\ z= p\phi$$ . Quel est le Lagrangien en coordonnée angulaire $ $\phi$$ ?→
  • 18
    Écrire le Lagrangien d’un pendule simple de masse $ $m$$ et de longueur $ $l$$ , et en déduire l’équation d’Euler–Lagrange.→
  • 19
    Pour la machine d’Atwood avec masses $ $m_1$$ et $ $m_2$$ liées par un fil passant sur une poulie de masse $ $M$$ et rayon $ $R$$ , écrire le Lagrangien et déterminer l’accélération des masses.→
  • 20
    Une particule de masse $ $m$$ glisse sans frottement sur un cerceau fixe vertical de rayon $ $R$$ sous gravité. Choisir comme coordonnée généralisée l’angle $ $\theta$$ mesuré depuis le sommet, écrire le Lagrangien.→
  • 21
    Montrer que pour un système dont le Lagrangien ne dépend pas explicitement du temps, l’énergie canonique est conservée, et écrire son expression.→
  • 22
    Pour la particule de masse $ $m$$ soumise à un potentiel central $ $V(r)$$ , montrer que le moment cinétique est conservé et écrire la coordonnée généralisée cyclique.→
  • 23
    Un solide homogène cylindrique de masse $ $M$$ et de rayon $ $R$$ roule sans glisser sur un plan incliné d’angle $ $α$$ . Choisir la coordonnée généralisée appropriée et écrire le Lagrangien.→
  • 24
    Pour un pendule élastique de masse $ $m$$ , longueur à vide $ $l_0$$ et raideur $ $k$$ , écrire le Lagrangien en $ $q$$ mesuré depuis l’équilibre vertical.→
  • 25
    Montrer que le pendule sphérique de masse $ $m$$ présente deux degrés de liberté et écrire son Lagrangien en coordonnées sphériques $ $(θ,φ)$$ .→
  • 26
    Une particule de masse $ $m$$ soumise à un champ électromagnétique de potentiel vecteur $ $\mathbf A(q)$$ et scalaire $ $V(q)$$ a pour Lagrangien lequel ?→
  • 27
    Pour deux oscillateurs couplés de masses $ $m$$ reliés par ressorts $ $k$$ et $ $k'$$ , identifier les coordonnées normales et exprimer les fréquences propres.→
  • 28
    Appliquer une contrainte holonome $ $f(q,t)=0$$ via multiplicateur de Lagrange $ $λ$$ : quelle forme prend le Lagrangien étendu ?→
  • 29
    Démontrer que pour un pendule simple approximé aux petits angles, la fréquence propre est $ $ω=\sqrt{g/l}$$ .→
  • 30
    Pour une particule sur une tige tournante d’angle $ $Ωt$$ , écrire la coordonnée généralisée utile et son Lagrangien.→
  • 31
    Pour un pendule élastique de longueur variable $ $ρ(t)$$ , écrire les équations de Lagrange en $ $ρ$$ et $ $θ$$ .→
  • 32
    Montrer que pour une particule libre de masse $ $m$$ dans $ $\mathbb R^3$$ , le Lagrangien en coordonnées cartésiennes est inchangé par translation de $ $q$$ et en déduire la conservation du moment linéaire.→
  • 33
    Pour un pendule de torsion de constante $ $κ$$ et moment d’inertie $ $I$$ , écrire l’équation du mouvement via Lagrange.→
  • 34
    Démontrer que pour une particule de masse $ $m$$ dans un champ gravitationnel uniforme, la coordonnée $ $z$$ est cyclique et trouver la quantité conservée.→
  • 35
    Appliquer le formalisme de Lagrange à un oscillateur amorti de coefficient $ $c$$ : quelle est l’équation de mouvement si la force non conservative vaut $ $-c\dot q$$ ?→
  • 36
    Montrer que pour une particule libre dans un potentiel sphérique $ $V(r)$$ , l’équation radiale inclut un terme de potentiel effectif $ $L^2/2mr^2$$ .→
  • 37
    Dans une machine d’Atwood idéale (poulie sans inertie, fil inextensible), on a m₁ = 2.00 kg et m₂ = 3.00 kg. Déterminer l’accélération a du système. Utiliser la coordonnée généralisée q telle que q croît quand m₂ descend.→
  • 38
    Un pendule simple de longueur l = 0.50 m et de masse m = 1.00 kg oscille de petits angles. Déterminer la fréquence propre ω₀ du système en utilisant la coordonnée généralisée θ.→
  • 39
    Un oscillateur harmonique amorti a m = 1.00 kg, k = 100 N/m et coefficient de frottement visqueux c = 2.00 kg/s. Déterminer le facteur d’amortissement δ et dire si le régime est sous-amorti, critique ou sur-amorti.→
  • 40
    Une masse m = 0.50 kg est suspendue à un ressort de constante k = 200 N/m et longueur à vide l₀ = 0.30 m. Déterminer la pulsation propre ω₀ de petites oscillations verticales autour de l’équilibre.→
  • 41
    Une particule de masse m = 1.00 kg se déplace sans frottement sur la surface intérieure d’une sphère de rayon a = 1.00 m. Exprimer l’équation de Lagrange en coordonnée θ mesurant l’angle avec la verticale et déterminer l’équation du mouvement.→
  • 42
    Un double pendule simple a deux masses m identiques = 1.00 kg et deux tiges sans masse de longueurs l₁ = l₂ = 0.50 m. Quel est le nombre de degrés de liberté du système et proposer les coordonnées généralisées.→
  • 43
    Une bille de masse m glisse sans frottement sur un fil circulaire fixe de rayon R et tourne à vitesse angulaire constante ω. Écrire le Lagrangien en coordonnée φ et déterminer l’équation de mouvement.→
  • 44
    Deux masses m = 1.00 kg sont reliées par trois ressorts identiques de raideur k = 100 N/m en série et parallèle selon un schéma couplé. Déterminer qualitativement le nombre de modes normaux.→
  • 45
    Un solide élastique est modélisé par N masses identiques m et N+1 ressorts identiques k alignés. Quel est le nombre de degrés de liberté et la forme générale du Lagrangien?→
  • 46
    Un système masse-ressort (m=1.00 kg, k=100 N/m) est soumis à une force F(t)=F₀cos(ωt) avec F₀=1.00 N. Déterminer l’amplitude A de l’état stationnaire pour ω=8.00 rad/s et amortissement négligeable.→
  • 47
    1. Énoncer la forme générale des équations d’Euler–Lagrange pour un système à une coordonnée généralisée q(t). 2. Pour un pendule simple de masse m et longueur l, écrire le Lagrangien et dériver l’équation du mouvement. 3. Démontrer que si la coordonnée q est cyclique (n’apparaît pas dans L), alors la quantité conjuguée p=∂L/∂q̇ est conservée. 4. Un solide de masse m glisse sans frottement dans un plan incliné d’angle α, exprimé par la coordonnée q mesurée le long du plan. Déterminer l’équation d’Euler–Lagrange et montrer que l’accélération est g sin α. 5. Décrire le formalisme des multiplicateurs de Lagrange pour...→
  • 48
    1. Soit deux particules de masses m₁, m₂ liées par un ressort de constante k sans frottement. Choisir les coordonnées généralisées adéquates pour décrire le mouvement et écrire le Lagrangien. 2. Dériver les équations d’Euler–Lagrange et montrer que le système vibre avec pulsation $ $ω=√{k(m₁+m₂)/(m₁m₂)}$$ . 3. Expliquer la transformation en coordonnées normales pour découpler les équations couplées. 4. Pour m₁=m₂, déterminer les deux modes propres et leurs fréquences. 5. Décrire comment on calcule l’énergie totale du système en fonction des amplitudes normales.→
  • 49
    3. Pour un système avec coordonnée cyclique $ $q$$ (n’apparaît pas dans le Lagrangien $ $L(q,\dot q,t)$$ ), quelle quantité est conservée ?→
  • 50
    4. Un cylindre plein de masse $ $m$$ et de rayon $ $R$$ roule sans glisser à l’intérieur d’une cavité cylindrique de rayon $ $R_{c}$$ . En choisissant comme coordonnée $ $\theta$$ l’angle du point de contact, quel est le Lagrangien correct ?→
  • 51
    5. Pour une particule soumise à une contrainte holonome $ $f(q_{1},q_{2})=0$$ , le formalisme des multiplicateurs de Lagrange conduit à écrire le système $ $\frac{d}{dt}(\partial L/\partial \dot q_{i})-\partial L/\partial q_{i}+λ\,\partial f/\partial q_{i}=0$$ avec $ $f(q)=0$$ . Quel est le rôle de $ $λ$$ ?→
• Formalisme de Hamilton (26 Exercices)
  • 1
    Un oscillateur harmonique de masse m et constante de raideur k a pour Lagrangien $ $L = \frac12 m \dot q^2 - \frac12 k q^2$$ . Déterminer le Hamiltonien $ $H(q,p)$$ du système.→
  • 2
    Pour un pendule simple de masse m et longueur l, sous l'approximation des petits angles, le Lagrangien est $ $L = \frac12 m l^2 \dot \theta^2 - mg l \left(1 - \cos\theta\right)$$ . En utilisant $ $\cos\theta \approx 1 - \frac12 \theta^2$$ , déterminer le Hamiltonien $ $H(\theta,p_\theta)$$ .→
  • 3
    Un point matériel libre de masse m se déplace dans le plan avec Lagrangien $ $L = \frac12 m (\dot x^2 + \dot y^2)$$ . Déterminer le Hamiltonien $ $H(x,y,p_x,p_y)$$ .→
  • 4
    Exprimer le Hamiltonien pour une particule de masse m en coordonnées polaires avec Lagrangien $ $L = \frac12 m (\dot r^2 + r^2 \dot \phi^2)$$ . Déterminer $ $H(r,\phi,p_r,p_\phi)$$ .→
  • 5
    Montrer que si le Lagrangien $ $L(q,\dot q)$$ ne dépend pas explicitement du temps, alors le Hamiltonien $ $H = p\dot q - L$$ est conservé. Calculer $ $\frac{dH}{dt}$$ et conclure.→
  • 6
    Calculer le crochet de Poisson $ $\{q,p\}$$ pour les variables canoniques $ $q$$ et $ $p$$ , sachant que $ $\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$$ .→
  • 7
    Vérifier que le crochet de Poisson est invariant sous la transformation canonique $ $Q = q \cos\alpha + p \sin\alpha,\ P = -q\sin\alpha + p\cos\alpha$$ . Calculer $ $\{Q,P\}$$ .→
  • 8
    Écrire l'équation de Hamilton–Jacobi pour une particule libre de masse m en une dimension : $ $\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^2 = 0$$ . Vérifier que l'action génératrice $ $S(q,t)= W(q)-Et$$ satisfait cette équation.→
  • 9
    Pour l'oscillateur harmonique de pulsation $ $\omega$$ , le Hamiltonien est $ $H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m\omega^2 q^2$$ . Trouver la solution séparée de l'équation de Hamilton–Jacobi $ $S(q,t)=W(q)-Et$$ et déterminer $ $W(q)$$ .→
  • 10
    Montrer que le flot hamiltonien conserve le volume de phase en vérifiant que $ $\nabla_{q,p} \cdot (\dot q,\dot p) = 0$$ pour $ $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}$$ .→
  • 11
    Pour l'oscillateur harmonique, définir l'action $ $J$$ via $ $J = \frac{1}{2\pi} \oint p\,dq$$ et montrer que $ $J = \frac{E}{\omega}$$ où $ $E$$ est l'énergie du système.→
  • 12
    Pour le potentiel à double puits $ $V(q)=a q^4 - b q^2$$ , écrire le Hamiltonien $ $H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$ et déterminer les points d'équilibre en résolvant $ $\frac{dV}{dq}=0$$ .→
  • 13
    Pour un potentiel $ $V(q)=k q^n$$ , écrire les équations de Hamilton : $ $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}$$ et exprimer $ $\dot p$$ en fonction de q.→
  • 14
    Une bille de masse m glisse sans frottement sur un anneau fixe de rayon R. En coordonnées angulaires $ $\theta$$ , on a $ $L = \frac12 m R^2 \dot \theta^2$$ . Déterminer le Hamiltonien $ $H(\theta,p_\theta)$$ .→
  • 15
    Pour un Hamiltonien $ $H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$$ , écrire les équations canoniques $ $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}$$ et en déduire l'équation du mouvement $ $m\ddot q = -V'(q)$$ .→
  • 16
    Montrer que l'évolution temporelle d'une observable $ $F(q,p,t)$$ est donnée par $ $\frac{dF}{dt} = \{F,H\} + \frac{\partial F}{\partial t}$$ , où $ $\{F,H\}$$ est le crochet de Poisson.→
  • 17
    Appliquer la transformation canonique $ $Q=\alpha q,\ P = \frac{p}{\alpha}$$ à l'Hamiltonien $ $H=\frac{p^2}{2m}+V(q)$$ et déterminer la nouvelle forme $ $K(Q,P)$$ .→
  • 18
    Deux masses m_1 et m_2 sont couplées par des ressorts de constante k en série sur une ligne droite. Les coordonnées propres sont q_1 et q_2. Le Lagrangien est $ $L=\sum_{i=1}^2\left(\frac12 m_i \dot q_i^2\right)- \frac12 k(q_1^2+(q_2-q_1)^2)$$ . Déterminer le Hamiltonien $ $H(q_i,p_i)$$ .→
  • 19
    Soit la Lagrangienne $ $L(q,\dot q)=\frac{1}{2}\,m\,\dot q^2 - \frac{1}{2}\,k\,q^2$$ . Effectuer la transformation de Legendre et trouver le Hamiltonien $ $H(q,p)$$ .→
  • 20
    Pour un oscillateur harmonique de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et de constante élastique $ $k=8\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}$$ dont le Hamiltonien est $ $H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}\,k\,q^2$$ , calculer $ $\dot q$$ et $ $\dot p$$ au point $ $q=0.5\,\mathrm{m}$$ et $ $p=1.2\,\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}$$ .→
  • 21
    Soit l'Hamiltonien $ $H(q,p)=\frac{p^2}{2m} + a\,q^4 - b\,q^2$$ avec $ $m=1\,\mathrm{kg}$$ , $ $a=2\,\mathrm{J\cdot m^{-4}}$$ et $ $b=4\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}$$ . Calculer l'énergie au point critique $ $q_0=\sqrt{\tfrac{b}{2a}}$$ et $ $p=0$$ .→
  • 22
    Pour les fonctions $ $U(q,p)=q^2$$ et $ $V(q,p)=p^2$$ , calculer le crochet de Poisson $ $\{U,V\}$$ et évaluer pour $ $q=2$$ et $ $p=3$$ .→
  • 23
    Considérer la transformation canonique définie par $ $Q=q\cos\alpha + \frac{p}{m\omega}\sin\alpha$$ et $ $P=-m\omega\,q\sin\alpha + p\cos\alpha$$ . Vérifier que $ $\{Q,P\}=1$$ .→
  • 24
    Le générateur de type 2 est donné par $ $F_2(q,P)=qP+\frac{1}{2}m\omega q^2\tan\alpha$$ . Exprimer les variables canoniques $ $p$$ et $ $Q$$ en fonction de $ $q$$ et $ $P$$ .→
  • 25
    Pour l'oscillateur harmonique de fréquence $ $\omega=2\,\mathrm{s^{-1}}$$ et d'énergie $ $E=5\,\mathrm{J}$$ , calculer la variable d'action $ $J=\oint p\,dq$$ .→
  • 26
    Résoudre l'équation de Hamilton-Jacobi pour une particule libre de masse $ $m$$ avec $ $H=\frac{p^2}{2m}=E$$ . Quelle est la forme générale de la fonction d'action $S(q,t)$ ?→
• Mouvement d’un solide indéformable (56 Exercices)
  • 1
    On considère un cylindre homogène de masse $ $M$$ et de rayon $ $R$$ animé d’un mouvement de rotation uniforme autour de son axe central. Calculer le tenseur d’inertie du cylindre par rapport à cet axe et déterminer l’énergie cinétique pour une vitesse angulaire $ $\omega$$ .→
  • 2
    Un bâton rigide de longueur $ $L$$ et de masse $ $m$$ tourne dans un plan horizontal autour d’un axe perpendiculaire passant par son extrémité. Déterminer son moment d’inertie et l’énergie cinétique si la vitesse angulaire est $ $Ω$$ .→
  • 3
    Une plaque rectangulaire mince de masse $ $m$$ avec côtés $ $a$$ et $ $b$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre. Calculer son inertie et l’énergie cinétique pour $ $ω$$ .→
  • 4
    Deux masses $ $m_1$$ et $ $m_2$$ sont reliées par une tige rigide de longueur $ $L$$ sans masse. Calculer le moment d’inertie du système autour d’un axe perpendiculaire passant par le centre de la tige.→
  • 5
    Un solide rigide de forme quelconque a pour énergie cinétique totale la somme de translation et de rotation autour du centre de masse. Exprimer T en fonction de la vitesse du CM $ $V_G$$ et du tenseur d’inertie $ $I_G$$ .→
  • 6
    On applique une force $ $F$$ tangente à un cylindre de rayon $ $R$$ libre de tourner sans frottement. Déterminer l’accélération angulaire $ $α$$ pour une masse $ $m$$ concentrée sur la périphérie.→
  • 7
    Une plaque circulaire tourne autour d’un axe décalé d’une distance $ $d$$ de son centre. Utiliser le théorème des axes parallèles pour exprimer l’inertie autour de cet axe si l’inertie autour du centre est $ $I_C$$ et la masse $ $m$$ .→
  • 8
    On mesure la précession d’un gyroscope de moments d’inertie $ $I$$ soumis à un couple $ $τ$$ . Déterminer la vitesse de précession $ $Ω_p$$ si la vitesse de rotation est $ $ω$$ .→
  • 9
    Deux roues de vélo de rayons $ $R_1$$ et $ $R_2$$ sont accouplées par une courroie sans glissement. Si la roue 1 tourne à $ $ω_1$$ , déterminer $ $ω_2$$ .→
  • 10
    Un disque plein de rayon $ $R$$ et de masse $ $m$$ freine par frottement visqueux, avec couple de freinage proportionnel à $ $ω$$ : $ $τ = -k ω$$ . Déterminer l’équation différentielle de décroissance de $ $ω(t)$$ .→
  • 11
    Une roue libre repose sur un plan incliné. On modélise la dynamique par translation + rotation sans glissement. Déterminer l’accélération du centre de masse $ $a$$ en fonction de $ $g$$ et $ $I$$ /$ $mR²$$ .→
  • 12
    Un solide rigide est animé d’un mouvement hélicoïdal combinant translation le long de l’axe et rotation autour. Déterminer l’énergie cinétique en fonction de $ $V$$ et $ $ω$$ .→
  • 13
    Une barre rigide glisse sans frottement sur deux rails écartés de $ $d$$ et tourne autour de son centre avec vitesse angulaire $ $ω$$ . Déterminer la vitesse linéaire des extrémités.→
  • 14
    Un solide est animé d’une rotation non uniforme autour d’un axe fixe. Exprimer la puissance de la force de rotation avec le moment cinétique $ $L$$ et la vitesse angulaire $ $ω$$ .→
  • 15
    Pour un solide indéformable en mouvement rigide, le champ des vitesses est donné par $ $\mathbf v(P)=\mathbf v(O)+\boldsymbol ω\wedge\overrightarrow{OP}$$ . Si $ $\mathbf v(O)=(1,2,0)\,\mathrm{m/s}$$ , $ $\boldsymbol ω=(0,0,3)\,\mathrm{rad/s}$$ et $ $\overrightarrow{OP}=(2,0,0)\,\mathrm{m}$$ , déterminer $ $\mathbf v(P)$$ .→
  • 16
    Dans un mouvement plan d’un solide, deux points A et B ont $ $\mathbf v(A)=(2,0)\,\mathrm{m/s}$$ et $ $\mathbf v(B)=(0,2)\,\mathrm{m/s}$$ . Déterminer la position du centre instantané de rotation I sur l’axe AB.→
  • 17
    Un cylindre plein de masse m=4.00 kg et de rayon R=0.20 m tourne autour de son axe. Calculer son moment d’inertie I.→
  • 18
    Une barre mince de masse m=2.00 kg et longueur L=1.00 m a un moment d’inertie autour d’une axe passant par une extrémité et parallèle à la barre. Utiliser le théorème d’Huygens pour déterminer I.→
  • 19
    Un solide indéformable de masse m=3.00 kg a son centre de masse animé d’une translation v=2.00 m/s et tourne avec ω=4.00 rad/s autour d’un axe passant par le CM, avec I_CM=0.5 kg·m². Calculer son énergie cinétique totale.→
  • 20
    Un disque homogène de masse $ $m = 3.0\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R = 0.4\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe fixe passant par son centre avec une vitesse angulaire $ $\omega = 5.0\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Calculer son énergie cinétique de rotation.→
  • 21
    Une tige mince homogène de longueur $ $L = 1.5\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m = 2.0\,\mathrm{kg}$$ est pivotée sans frottement en son extrémité fixe O. Déterminer son moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation.→
  • 22
    Un solide indéformable est entraîné en translation et en rotation simultanément. À l’instant initial, le point A est à une distance $ $r = 0.6\,\mathrm{m}$$ de l’axe de rotation et la rotation est $ $\omega = 2.0\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Si le solide se déplace en translation uniforme à $ $v_{t} = 1.2\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ parallèlement à l’axe, déterminer la vitesse du point A au même instant.→
  • 23
    Un bâton uniforme de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=1.5\,\mathrm{m}$$ est en rotation autour d’un axe perpendiculaire passant à une distance $ $d=0.3\,\mathrm{m}$$ de son centre. Calculez le moment d’inertie $ $I$$ par rapport à cet axe.→
  • 24
    Une roue solide de rayon $ $R=0.4\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $M=3\,\mathrm{kg}$$ tourne à vitesse angulaire $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez son énergie cinétique de rotation $ $E_k$$ .→
  • 25
    Un top symétrique a $ $I_3=0.02\,\mathrm{kg\,m^2}$$ , $ $I_1=0.03\,\mathrm{kg\,m^2}$$ , masse $ $m=1\,\mathrm{kg}$$ , distance du point de contact au centre de masse $ $h=0.1\,\mathrm{m}$$ et tourne à $ $\omega=100\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse de précession $ $\Omega$$ (approximation $ $\Omega = \tfrac{m g h}{I_3 \omega}$$ ).→
  • 26
    Un cylindre creux de masse $ $M=5\,\mathrm{kg}$$ , de rayon interne $ $R_1=0.1\,\mathrm{m}$$ et de rayon externe $ $R_2=0.2\,\mathrm{m}$$ tourne autour de son axe. Calculez son moment d’inertie $ $I$$ .→
  • 27
    Une barre de masse $ $m=10\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ a une énergie cinétique de rotation de $ $E_k=50\,\mathrm{J}$$ lorsqu’elle tourne autour d’une extrémité. Calculez la vitesse angulaire $ $\omega$$ . (Moment d’inertie : $ $I=\tfrac{1}{3}mL^2$$ )→
  • 28
    Un prisme rectangulaire de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ et de dimensions $ $a=0.5\,\mathrm{m}, b=0.2\,\mathrm{m}, c=0.1\,\mathrm{m}$$ tourne autour de l’axe passant par son centre et parallèle à l’arête de longueur $ $c$$ . Calculez son moment d’inertie $ $I$$ .→
  • 29
    Un solide de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ se déplace en translation à $ $v=2\,\mathrm{m/s}$$ et en rotation autour de son centre de masse avec $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Son moment d’inertie autour du centre est $ $I_C=0.4\,\mathrm{kg\,m^2}$$ . Calculez son énergie cinétique totale $ $E_{tot}$$ .→
  • 30
    Un cylindre solide de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement sur un plan incliné d’angle $ $\alpha=30°$$ . Calculez l’accélération $ $a$$ de son centre de masse (formule connue : $ $a = \tfrac{g\sin\alpha}{1+I/(mR^2)}$$ , avec $ $I=\tfrac{1}{2}mR^2$$ ).→
  • 31
    Une barre fine de masse $ $m=1\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ oscille en pendule composé autour d’une extrémité. Calculez la période $ $T$$ (formule : $ $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{I}{m g d}}$$ , avec $ $I=\tfrac{1}{3}mL^2$$ et $ $d=L/2$$ ).→
  • 32
    Une plaque carrée fine de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et de côté $ $a=0.6\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre. Calculez son moment d’inertie $ $I$$ (formule : $ $I=\tfrac{1}{12}m a^2 + \tfrac{1}{12}m a^2$$ ).→
  • 33
    Deux masses $ $m_1=2\,\mathrm{kg}$$ et $ $m_2=3\,\mathrm{kg}$$ sont reliées par une tige légère de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ . Calculez le moment d’inertie total autour d’un axe perpendiculaire à la tige passant par le centre de masse du système.→
  • 34
    Une plaque rectangulaire mince de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ , dimensions $ $a=1\,\mathrm{m}, b=0.5\,\mathrm{m}$$ , oscille comme pendule composé autour d’un axe horizontal passant par un bord parallèle à $ $b$$ . Calculez sa période $ $T$$ (formule : $ $T=2\pi\sqrt{\tfrac{I}{m g d}}$$ , $ $I=\tfrac{1}{3}m a^2 + \tfrac{1}{12}m b^2$$ , $ $d=a/2$$ ).→
  • 35
    Un cylindre solide de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement sur un plan horizontal avec vitesse $ $v=4\,\mathrm{m/s}$$ . Calculez son énergie cinétique totale $ $E_{tot}$$ .→
  • 36
    Deux points $ $A$$ et $ $B$$ d’un solide indéformable ont des vitesses instantanées $ $\overrightarrow{v_A}=(2,0,0)\,\mathrm{m/s}$$ et $ $\overrightarrow{v_B}=(0,3,0)\,\mathrm{m/s}$$ . La position de $ $B$$ relative à $ $A$$ est $ $\overrightarrow{AB}=(0,0,1)\,\mathrm{m}$$ . Déterminez la vitesse angulaire $ $\overrightarrow{\omega}$$ du solide.→
  • 37
    Une sphère solide de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=8\,\mathrm{kg}$$ tourne à $ $\omega=20\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez son énergie cinétique de rotation $ $E_k$$ (moment : $ $I=\tfrac{2}{5}mR^2$$ ).→
  • 38
    Une plaque rectangulaire de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et dimensions $ $a=0.8\,\mathrm{m}, b=0.4\,\mathrm{m}$$ tourne autour de son axe central parallèle à $ $b$$ . Calculez son moment d’inertie $ $I$$ (formule : $ $I=\tfrac{1}{12}m(a^2+b^2)$$ ).→
  • 39
    Un pendule circulaire (anneau fin) de rayon $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ oscille autour d’un axe horizontal passant par son centre. Calculez sa période $ $T$$ (moment : $ $I=mR^2$$ , $ $T=2\pi\sqrt{\tfrac{I}{m g R}}$$ ).→
  • 40
    Un disque plein de rayon $ $R=0.25\,\mathrm{m}$$ est entraîné par une vitesse de translation $ $v=1\,\mathrm{m/s}$$ sans glissement. Calculez sa rotation $ $\omega$$ et son énergie cinétique totale $ $E_{tot}$$ (moment : $ $I=\tfrac{1}{2}mR^2$$ , $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ ).→
  • 41
    1. Pour un solide plan pivotant autour d’un axe fixe z, quelle est l’expression du vecteur vitesse d’un point M de coordonnées polaires (r,θ) dans ce solide ?→
  • 42
    2. Un solide en translation pure a tous ses points dotés de la même vitesse v_0. Quel est le Lagrangien L pour ce mouvement dans le repère inertiel ?→
  • 43
    3. Dans le formalisme de Lagrange, la variable généralisée q correspond à une translation selon x. Quel est le moment conjugué p associé et son interprétation physique ?→
  • 44
    4. Un solide indéformable subit une rotation pure autour d’un axe fixe. Quel est le terme de l’énergie cinétique de rotation pour ce solide ?→
  • 45
    5. Pour un solide en rotation et translation (roulement sans glissement d’un cylindre de rayon R sur un plan), quelle relation lie la rotation θ̇ et la translation ẋ ?→
  • 46
    Un cylindre plein roule sans glissement vers le bas d’un plan incliné d’angle $ $\alpha$$ . Exprimez l’accélération de son centre de masse $ $a$$ en fonction de $ $g$$ et $ $\alpha$$ .→
  • 47
    Un solide rigide subit une rotation instantanée de vecteur $ $\overrightarrow{\omega}$$ et une translation de vitesse $ $\overrightarrow{v_O}$$ au point O. Exprimez la vitesse $ $\overrightarrow{v_P}$$ d’un point P défini par $ $\overrightarrow{OP}$$ .→
  • 48
    Une particule se déplace sur un cercle de rayon $ $R$$ à vitesse angulaire $ $\omega(t)=\alpha t$$ . Calculez son accélération tangentielle $ $a_t$$ et normale $ $a_n$$ .→
  • 49
    Deux solides identiques de masse $ $m$$ sont reliés par une barre rigide de longueur $ $L$$ et pivotent librement dans un plan horizontal autour d’un point O à l’extrémité de la barre. Calculez le moment d’inertie total $ $I$$ autour de O.→
  • 50
    Un solide tourne avec une vitesse angulaire $ $\omega$$ autour de deux axes perpendiculaires et passe de $ $\omega_x$$ à $ $\omega_y$$ . Quelle expression donne la vitesse instantanée résultante $ $\omega_r$$ ?→
  • 51
    Un disque de rayon $ $R$$ roule sans glissement dans un cylindre intérieur. La relation entre la vitesse de rotation $ $\omega$$ et la vitesse linéaire $ $v$$ du centre est ?→
  • 52
    Un solide rigide en mouvement plan suit la loi $ $x=At^2,\ y=Bt^2$$ . Quel est le moment cinétique relatif au point origine ?→
  • 53
    Un solide subit une composition de rotations $ $\omega_1$$ autour de x puis $ $\omega_2$$ autour de y. Quelle condition assure que le résultat est indépendant de l’ordre ?→
  • 54
    Un solide subit un mouvement plan de rotation pure autour d’un point fixe O. Comment se calcule la trajectoire instantanée de tout point P ?→
  • 55
    Une plaque mince triangulaire tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre de masse. Quelle grandeur physique est mesurée par $ $\tfrac{1}{2}I\omega^2$$ ?→
  • 56
    Une barre glissante sans frottement sur deux poulies fixes de même niveau effectue un mouvement de translation pure. Quel point du système peut jouer le rôle de centre instantané de rotation ?→
• Mécanique Lagrangienne des milieux continus (31 Exercices)
  • 1
    On donne la transformation de configuration $ $x_1 = 2 X_1,\quad x_2 = X_2,\quad x_3 = X_3$$ . Calculer le jacobien $ $J=\det F$$ de la transformation.→
  • 2
    Pour le même mouvement, déterminer la nouvelle densité $ $ρ$$ si la densité initiale $ $ρ_0$$ est homogène.→
  • 3
    Le déplacement suivant est donné en description lagrangienne : $ $u_1=X_1+AX_2,\;u_2=X_2,\;u_3=X_3$$ avec $ $A=0{,}1$$ . Calculer la composante $ $E_{12}$$ du tenseur de Green–Lagrange.→
  • 4
    Dans un milieu continu, le champ de vitesse est donné par $ $v_1 = α X_2,\;v_2=0,\;v_3=0$$ avec $ $α=2\,\mathrm{s^{-1}}$$ . Calculer la divergence du champ de vitesse.→
  • 5
    Une onde plane de petite amplitude se propage dans un solide continu. L’équation de mouvement lagrangienne fournit la relation $ $ρ_0 \ddot u = (λ+2μ)∇²u$$ . Identifier la vitesse de propagation $ $c$$ .→
  • 6
    Dans la description lagrangienne, le tenseur des taux de déformation est D = ½(∇v + ∇vᵀ). Pour v = [x₂,0,0], calculer D₁₂.→
  • 7
    Le principe variationnel stationnaire applique à la mécanique des milieux continus impose δ∫(T−W)dVdt=0. Quelle équation locale en résulte ?→
  • 8
    Pour un solide incompressible, on impose J=1 avec multiplicateur de Lagrange p. Quelle expression du tenseur de Piola–Kirchhoff de premier type contient p ?→
  • 9
    Une vibration propre d’une plaque mince suit l’équation ρh ü + D∇⁴u = 0. Identifier la raideur D si la plaque a module d’Young E et épaisseur h.→
  • 10
    Pour un faisceau de particules continues, la condition d’incompressibilité div v = 0 s’écrit en description lagrangienne comment ?→
  • 11
    Dans une description lagrangienne, la position d’un point M d’un milieu continu est donnée par $ $\mathbf x(\mathbf X,t)=\mathbf X + A\,t\,\mathbf e_1$$ où A=2.00 m/s. Calculer le champ de vitesse $ $\mathbf v(\mathbf X,t)$$ .→
  • 12
    Pour un mouvement lagrangien $ $\mathbf x(\mathbf X)=\lambda\mathbf X$$ avec $ $\lambda=2.00$$ , calculer le jacobien J et vérifier la condition de conservation de la masse pour une densité initiale $ $\rho_0$$ .→
  • 13
    Le déplacement d’un milieu continu est $ $\mathbf u(X_1,X_2)=(aX_1,\,bX_2)$$ avec a=0.10, b=0.20. Calculer le tenseur des taux de déformation linéarisé $ $\mathbf D=\frac12(\nabla\mathbf u+\nabla\mathbf u^T)$$ .→
  • 14
    Dans un solide continu, le tenseur de contrainte en un point est $ $[σ]=\begin{pmatrix}10&2&0\\2&5&0\\0&0&3\end{pmatrix}\,\mathrm{Pa}$$ . Calculer les contraintes principales.→
  • 15
    Écrire la forme variationnelle du principe de Hamilton pour un solide continu élastique linéaire entre t₁ et t₂.→
  • 16
    Pour un solide continu, la densité lagrangienne est $ $\mathcal L=\frac12\rho_0\dot u^2-\frac12C(∇u)^2$$ . Écrire l’équation d’Euler-Lagrange associée.→
  • 17
    Montrer que l’équation précédente conduit à l’équation d’onde $ $ü=c^2Δu$$ et déterminer c en fonction de ρ₀ et C.→
  • 18
    Pour une barre élastique de longueur L fixée à une extrémité, écrire les modes propres et fréquences normales.→
  • 19
    Dans la limite statique ü=0, l’équation ρ₀ü−CΔu=0 devient Δu=0. Pour une barre soumise à u(0)=0, u(L)=u₀, trouver u(x).→
  • 20
    Pour approximer u(x)=Σa_iφ_i(x), écrire la condition variationnelle de Ritz min ∫₀ᴸ[½C(u')²]dx−…=min.→
  • 21
    Pour un fluide incompressible, condition δρ=0 impose div v=0. Montrer div v=0 pour $ $v=(−y,x,0)$$ .→
  • 22
    Écrire l’équation d’Euler pour un fluide parfait sans force de volume.→
  • 23
    Pour un son dans un fluide compressible, l’équation linéarisée conduit à $ $∂^2p/∂t^2−c^2Δp=0$$ . Identifier c et exprimer en fonction de κ et ρ₀.→
  • 24
    Énoncer le principe des travaux virtuels pour un milieu continu élastique.→
  • 25
    Pour un solide soumis à grande déformation, la stabilité est liée au signe de la matrice tangentielle. Quel critère utilise-t-on ?→
  • 26
    Dans le formalisme lagrangien, l’énergie cinétique d’une poutre inclut la rotation β. Écrire T=½∫[ρAẇ²+Iρβ̇²]dx.→
  • 27
    En couplant thermique et mécanique, on ajoute une densité d’action thermique Q. Quel terme apparaît dans le principe variationnel ?→
  • 28
    2. Un fil tendu a une densité linéique ρ=0.20 kg·m⁻¹ et une tension K=500 N. Quelle est la célérité des ondes transversales c=√(K/ρ) ?→
  • 29
    3. Pour une plaque mince de masse surfacique σ=0.1 kg·m⁻² et tension superficielle T=200 N·m⁻¹, quelle est la fréquence propre fₘₙ du mode (m,n) pour dimensions a=b=1 m approximée par f₁₁≈(1/2π)√(T/σ)π√2 ?→
  • 30
    4. Un tube contient un fluide incompressible de densité ρ=1000 kg·m⁻³ s’écoulant en régime laminaire. La densité lagrangienne s’écrit L=∫[½ρv²−P]dV. Pour un écoulement uniforme v=2 m·s⁻¹ sur volume V=0.1 m³ et P=10⁵ Pa, que vaut L ?→
  • 31
    5. Pour un milieu continu élastique unidimensionnel, la densité lagrangienne est L=½ρ(∂ₜu)²−½E(∂ₓu)². Quelle est l’équation de mouvement ?→
• Théorème de Liouville et Équation de Hamilton-Jacobi (18 Exercices)
  • 1
    Dans l’espace des phases d’un oscillateur harmonique unidimensionnel de Hamiltonien $ $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2q^2$$ , on considère un élément de volume infinitésimal initial $ $V_0=\Delta q\,\Delta p$$ . Quelle est la valeur de ce volume après une évolution temporelle t sous le flot hamiltonien ?→
  • 2
    Pour une transformation canonique $ $(q,p)\to(Q,P)$$ , la matrice jacobienne $M=\partial(q,p)/\partial(Q,P)$ est symplectique. Quel est le déterminant de $M$ ?→
  • 3
    L’équation de Liouville pour la densité de probabilité $ $\rho(q,p,t)$$ s’écrit $ $\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\{\rho,H\}=0$$ . Quelle interprétation physique en déduit-on pour $ $\rho$$ le long d’une trajectoire ?→
  • 4
    Montrer que sous le flot hamiltonien, la divergence du champ vectoriel $ $(\dot q,\dot p)$$ est nulle. Quelle condition cela implique-t-il ?→
  • 5
    Dans une transformation canonique infinitésimale engendrée par une fonction $F(q,p)$ , l’élément de volume de phase reste invariant. Quel rôle y joue la condition $M^TJM=J$ sur la matrice jacobienne ?→
  • 6
    Écrire l’équation de Hamilton-Jacobi pour un système de Hamiltonien $ $H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+V(q)$$ et la fonction principale $ $S(q,t)$$ .→
  • 7
    Pour un oscillateur harmonique $ $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2q^2$$ , on cherche une solution de l’équation de HJ sous la forme $ $S(q,\,t)=W(q)-Et$$ . Que vaut l’équation satisfaite par $ $W(q)$$ ?→
  • 8
    Séparer les variables dans l’équation HJ indépendante du temps pour un potentiel central $ $V(r)$$ et fonction principale $ $S(r,\theta)=R(r)+\Theta(\theta)$$ . Quel terme apparaît comme constante de séparation ?→
  • 9
    Résoudre HJ pour une particule libre $ $H=\frac{p^{2}}{2m}$$ et trouver la fonction principale $ $S(q,t)$$ .→
  • 10
    Pour une particule de masse $ $m = 1\,\mathrm{kg}$$ soumise au potentiel central $ $V(r) = -\frac{k}{r}$$ avec $ $k = 1\,\mathrm{N\cdot m^2}$$ , énergie $ $E = -0.5\,\mathrm{J}$$ et moment cinétique $ $L = 1\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}$$ , calculez la variable d'action radiale $ $J_r = \frac{1}{\pi}\oint p_r\,\mathrm{d}r$$ .→
  • 11
    Dans l’espace des phases à deux dimensions pour un système hamiltonien à un degré de liberté, on considère une région initiale Ω₀ de volume $ $V_0$$ . Selon le théorème de Liouville, quelle est la valeur du volume $ $V(t)$$ de la région Ω₀ transportée par le flot hamiltonien après un temps $ $t$$ ?→
  • 12
    Pour un système à deux degrés de liberté, la densité de probabilité dans l’espace des phases est $ $\rho(q,p,t)$$ . D’après l’équation de Liouville, quelle est l’expression de $ $\partial_t\rho +\{\rho,H\}$$ où $ $\{\cdot,\cdot\}$$ désigne le crochet de Poisson ?→
  • 13
    Pour un hamiltonien intégrable à deux degrés de liberté, on introduit les variables actions-angles $ $(I_k,\theta_k)$$ . Quelle propriété sur le hamiltonien $ $H(I)$$ garantit la conservation des actions $ $I_k$$ ?→
  • 14
    Dans le cas d’un pendule simple approché pour de petits angles, l’action $ $I$$ s’exprime $ $I=\frac{E}{\omega}$$ où $ $E$$ est l’énergie et $ $\omega=\sqrt{g/L}$$ . Quel est la variation $ $\Delta I$$ si l’énergie passe de $ $E$$ à $ $E+\delta E$$ ?→
  • 15
    On considère une transformation canonique générée par $ $F_2(q,P)=qP+\varepsilon\sin q\sin P$$ . Quel est le déterminant de la matrice jacobienne de cette transformation pour petit $ $\varepsilon$$ ?→
  • 16
    Pour le solveur de l’équation de Hamilton-Jacobi, on cherche $ $S(q,t;\alpha)=W(q;\alpha)-E(\alpha)t$$ . Si $ $W(q;\alpha)=\frac{\alpha}{2}q^2$$ , quel hamiltonien $ $H(q,p)$$ correspond-il ?→
  • 17
    Dans l’application du principe variationnel, on montre que pour une variation canonique infinitésimale, $ $\delta p_i\,\delta q_i=0$$ . Quelle conséquence en déduit-on sur le volume élémentaire $ $d^Nq\,d^Np$$ ?→
  • 18
    On considère l’EDP de Hamilton-Jacobi à une dimension : $ $\frac{1}{2m}(\partial_x S)^2+V(x)=E$$ . Quel est le formalisme pour obtenir la trajectoire classique $ $x(t)$$ à partir de $ $S(x,t)$$ ?→
• Autre examen mecanique analytique corrige 1 Autre examen mecanique analytique corrige 2 Autre examen mecanique analytique corrige 3 Autre examen mecanique analytique corrige 4 Autre examen mecanique analytique corrige 5 Autre examen mecanique analytique corrige 6 Autre examen mecanique analytique corrige 7 Autre examen mecanique analytique corrige 8 Autre examen mecanique analytique corrige 9 Autre examen mecanique analytique corrige 10 Autre examen mecanique analytique corrige 11 Autre examen mecanique analytique corrige 12 Autre examen mecanique analytique corrige 13 Autre examen mecanique analytique corrige 14 Autre examen mecanique analytique corrige 15 Autre examen mecanique analytique corrige 16 Autre examen mecanique analytique corrige 17 Autre examen mecanique analytique corrige 18 Autre examen mecanique analytique corrige 19 Autre examen mecanique analytique corrige 20 Autre examen mecanique analytique corrige 21 Autre examen mecanique analytique corrige 22 Autre examen mecanique analytique corrige 23 Autre examen mecanique analytique corrige 24 Autre examen mecanique analytique corrige 25 Autre examen mecanique analytique corrige 26 Autre examen mecanique analytique corrige 27 Autre examen mecanique analytique corrige 28 Autre examen mecanique analytique corrige 29 Autre examen mecanique analytique corrige 30 Autre examen mecanique analytique corrige 31 Autre examen mecanique analytique corrige 32 Autre examen mecanique analytique corrige 33 Autre examen mecanique analytique corrige 34

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