Systèmes asservis échantillonnés Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (8 Exercices)
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    Examen 2 : Analyse des Systèmes Échantillonnés | | Documents autorisés : formulaires Un système asservi temps discret doit être analysé pour stabilité, réponse transitoire et performances. L'objectif est d'appliquer les outils d'analyse des systèmes échantillonnés. Question 1 : Stabilité des systèmes discrets (8 points) Un système discret avec fonction de transfert : - $H(z) = \frac{0.5z}{z^2 - 1.2z + 0.35}$ - Période d'échantillonnage : $T_e = 0.1 \text{ s}$ a) Déterminer les pôles du système et analyser la stabilité (critère Jury ou Schur-Cohn). b) Calculer les marges de stabilité (gain et phase) par diagramme Bode en Z. c) Analyser la marge de robustesse vis-à-vis des variations de paramètres système....→
  • 2
    Examen 3 : Représentation des Systèmes Échantillonnés | | Documents autorisés : formulaires Un système asservi temps discret est analysé par représentation d'état. L'objectif est d'étudier le modèle d'état discret, la contrôlabilité, observabilité et la synthèse de régulateur. Question 1 : Représentation d'état discrète (8 points) Un système continu défini par : - Équations d'état : $\dot{x}_1 = x_2, \quad \dot{x}_2 = -2x_2 - 3x_1 + u$ - Sortie : $y = x_1$ - Période d'échantillonnage : $T_e = 0.2 \text{ s}$ a) Écrire matrices d'état continues (A, B, C, D). b) Calculer matrices discrètes (Ad, Bd, Cd, Dd) par exponentielle matricielle. c) Analyser l'impact de la période d'échantillonnage Te sur la discrétisation. Question 2 :...→
  • 3
    Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires | Contexte général : On étudie l'asservissement numérique d'un moteur DC. L'analyse porte sur l'échantillonnage du signal de position, la stabilité du système discrétisé et la conception d'un correcteur numérique. Question 1 (4 points) - Échantillonnage et Théorème de Shannon Le signal continu de position du moteur $x(t) = A \sin(2\pi f_0 t)$ avec $A = 1 \text{ m}$ , $f_0 = 5 \text{ Hz}$ doit être échantillonné pour implémentation numérique. a) Déterminer la fréquence d'échantillonnage minimale $f_e$ selon le théorème de Nyquist-Shannon et justifier cette valeur. b) Si on choisit $f_e = 50 \text{ Hz}$ , calculer les premiers 5 échantillons $x(k)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ . c) Analyser...→
  • 4
    Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires | Contexte général : On étudie un système de contrôle numérique de bras robotique. L'analyse porte sur la reconstruction de signaux échantillonnés, les filtres de lissage numériques et la stabilité des systèmes avec retards numériques. Question 1 (4 points) - Reconstruction de Signaux Un signal de position sinusoïdale $x(t) = 2\cos(10\pi t)$ est échantillonné à $f_e = 50 \text{ Hz}$ , puis reconstruit par interpolation linéaire. a) Calculer les échantillons aux instants $t = 0, 0.02, 0.04, 0.06 \text{ s}$ . b) Établir la fonction de reconstruction linéaire $x_r(t)$ entre deux échantillons consécutifs (entre t=0 et t=0.02s). c) Évaluer l'erreur de reconstruction maximum et l'erreur...→
  • 5
    Examen de Systèmes Asservis Échantillonnés - Série 2 - Master Traitement du Signal Numérique Consignes: Démonstrations mathématiques complètes. Justifications requises. Un système de filtrage numérique pour suppression bruit dans capteur de pression doit éliminer composantes haute fréquence (> 100 Hz) tout en préservant signal utile (0-10 Hz). Le système opère à fréquence d'échantillonnage 1 kHz. L'étude porte sur la représentation en z, la stabilité, et le dimensionnement du filtre optimal. Question 1: Représentation état-discret du système (6 points) Un filtre passe-bas analogique du 2e ordre a pour fonction de transfert: $H_a(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$ avec $\omega_n = 628$ rad/s (100 Hz), $\zeta = 0.707$ . a) Écrivez...→
  • 6
    Examen de Systèmes Asservis Échantillonnés - Série 3 - Doctorat Traitement Signal et Contrôle Consignes: Recherche approfondie. Démonstrations rigoureuses requises. Un système de régulation vectorielle moteur asynchrone en temps discret doit atteindre précision ±1% vitesse et couples dynamic élevés. L'analyse porte sur la modélisation complète en z (équations d'état discrétisées couplées), la synthèse contrôleur robuste (H∞ numérique), et la compensation délais pratiques (computational lag). Question 1: Modélisation système complet temps discret (6 points) a) Écrivez les équations d'état moteur asynchrone en repère (d,q) tournant. b) Discrétisez les équations par Tustin avec T_s = 100 µs. c) Analysez le couplage mutuel...→
  • 7
    Durée: 3 heures | Niveau: Master Contexte Global Un système de contrôle de température d'un réacteur nucléaire utilise un capteur de température et un actionneur de refroidissement. Le système en temps continu a pour fonction de transfert $G(s) = \frac{10}{s(s+2)(s+5)}$ , et doit être asservi en utilisant une commande numérique avec période d'échantillonnage $T_e = 0.1 \text{ s}$ . Question 1: Analyse du Théorème d'Échantillonnage de Shannon La réponse fréquentielle du système continu présente des composantes significatives jusqu'à 8 rad/s. 1.1 Déterminez la fréquence d'échantillonnage minimale (en Hz et en rad/s) respectant le théorème de Shannon. 1.2 Avec $T_e = 0.1 \text{ s}$ , vérifiez si le choix d'échantillonnage est...→
  • 8
    Durée: 3 heures | Niveau: Master Contexte Global Un système de régulation de vitesse pour un moteur DC utilise un encodeur rotatif comme capteur. Le moteur non asservi a pour fonction de transfert continue $G_m(s) = \frac{150}{s(s+10)}$ . Le système doit respecter des spécifications sévères : temps de réponse < 0.5 s et erreur statique < 2%. Une période d'échantillonnage $T_e = 0.05 \text{ s}$ est choisie. Question 1: Analyse Fréquentielle du Système Continu et Choix de l'Échantillonnage Le système continu $G_m(s) = \frac{150}{s(s+10)}$ présente des dynamiques à différentes échelles temporelles. 1.1 Calculez la bande passante (fréquence de coupure à -3 dB) du système continu $G_m(s)$ en boucle...→
• Echantillonnage des signaux (34 Exercices)
  • 1
    On dispose d’un convertisseur N/A qui reconstruit le signal discret $x[n]=\delta[n]$ (impulsion unité) par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ) puis on filtre par un filtre passe-bas de coupure $f_c=150~Hz$ . 1. Calculez la réponse temporelle du BOZ à l’impulsion unité. 2. Déterminez et exprimez la réponse du filtre à la sortie du BOZ. 3. Pour un échantillonnage à $f_e=600~Hz$ , représenter la fréquence maximale reconstructible après ce filtrage.→
  • 2
    Un signal d’entrée analogique est défini par $x_a(t) = \sin(800\pi t) + 0{,}5\cos(1500\pi t)$ . Ce signal est échantillonné avec une période $T_e = 0{,}5\ \text{ms}$ à l’aide d’un convertisseur A/N, puis reconstruit par un bloqueur d'ordre zéro (BOZ). 1. Vérifiez l’application du théorème d’échantillonnage de Shannon pour ce signal. 2. Calculez les valeurs des échantillons $x[n]$ pour $n=0, n=2, n=4$ . 3. Trouvez la transmittance en Z du BOZ pour cette période d’échantillonnage.→
  • 3
    Considérons un système d’échantillonnage composé d’un convertisseur A/N suivi d’un bloqueur d’ordre zéro, le tout piloté à la fréquence $f_e = 10\ \text{kHz}$ . On applique un signal d’entrée analogique $x_a(t) = 2\sin(1500\pi t)$ . 1. Calculez le nombre d’échantillons obtenus sur un intervalle de $10\ \text{ms}$ . 2. Donnez l’expression du signal discrétisé $x[n]$ . 3. Déterminez la valeur moyenne du signal en sortie du bloqueur d’ordre zéro sur un intervalle d’échantillonnage.→
  • 4
    Un signal analogique $x_a(t)$ défini par $x_a(t) = \sin(2\pi\cdot300t)$ est échantillonné avec une période $T_e=1\ \mathrm{ms}$ à l’aide d’un convertisseur idéal A/N. 1. Calculez la fréquence d’échantillonnage et vérifiez le respect du théorème de Shannon pour ce signal. 2. Déterminez l’expression du signal échantillonné $x_e(n)$ et donnez sa transmittance en Z. 3. Un BOZ (bloqueur d’ordre zéro) reconstruit le signal à la sortie : trouvez son expression temporelle en tenant compte du maintien, puis déduisez la réponse fréquentielle du BOZ à la fréquence du signal.→
  • 5
    Un système d'acquisition utilise un convertisseur N/A idéal pour reproduire un signal échantillonné décrit par : $x_e(n) = 2\cos(\pi n/4) + 1\sin(\pi n/2)$ . La période d’échantillonnage est $T_e = 2\ \mathrm{ms}$ . 1. Modélisez le convertisseur N/A dans le domaine du temps et du Z. 2. Calculez la transmittance en Z du signal d’entrée, et déterminez la fréquence du premier spectre de repliement utile. 3. À partir du signal reconstruit, donnez l’expression de la recomposition temporelle réelle (BOZ) pour tout $t$ et vérifiez rigoureusement l’amplitude du spectre à la fréquence d'origine.→
  • 6
    Un signal analogique périodique $x_a(t) = 3\sin(2\pi 250 t) + 2\cos(2\pi 900 t)$ est traité par une chaîne A/N, échantillonnage, puis reconstruction N/A. La période d’échantillonnage est $T_e = 0,5\ \mathrm{ms}$ . 1. Identifiez la fréquence d’échantillonnage et démontrez la présence d’aliasing pour le signal proposé. 2. Déterminez les composantes spectrales présentes dans le signal échantillonné à partir du spectre du signal original. 3. Calculez la transmittance en Z globale de la chaîne complète (A/N, échantillonnage, BOZ) et sa réponse temporelle pour le premier échantillon.→
  • 7
    Un signal analogique $x_a(t) = 3\cos(600\pi t) + 4\sin(1200\pi t)$ est appliqué à un convertisseur A/N idéal de période d’échantillonnage $T_e = 0{,}5\,\mathrm{ms}$ . 1) Déterminer la fréquence d’échantillonnage et vérifier si la condition de Shannon est respectée pour ce signal. 2) Calculer les premières valeurs échantillonnées $x(nT_e)$ pour $n = 0, 1, 2, 3$ . 3) On cherche la transmittance en Z du bloqueur d’ordre zéro associé à ce échantillonnage : l’exprimer et déterminer la fréquence de coupure utile du BOZ.→
  • 8
    Un signal d’entrée $x_a(t) = 5\cos(2\pi \cdot 800 t)$ doit être traité par un convertisseur A/N sur 10 bit, suivi d’un échantillonneur/reconstructeur de période $T_e = 0{,}25\,ms$ et d’un D/A de tension maximale $+/-2{,}5\,V$ . 1) Calculer la fréquence d’échantillonnage et le nombre total de niveaux de quantification. 2) Déterminer le pas de quantification et la valeur codée pour l’échantillon maximal. 3) Pour une reconstruction de qualité, calculer la fréquence maximale reconstructible et vérifier le respect du critère de Shannon.→
  • 9
    Un bloqueur d’ordre zéro (BOZ) est utilisé pour reconstruire un signal à partir d’échantillons de période $T_e=1\,\mathrm{ms}$ issus d’un convertisseur numérique à 8 bits (0 à 5 V). 1) Trouver l’expression de la fonction de transfert en Z du BOZ associé. 2) Déterminer le module de la réponse fréquentielle pour $\omega=\pi/2$ rad/échantillon. 3) Calculer la tension reconstruite en sortie pour une séquence échantillonnée d’entrée : [1V, 3V, 5V].→
  • 10
    La sortie d’un capteur analogique délivre le signal $s(t)=3\sin(400\pi t)+1,5\cos(800\pi t)$ . Ce signal est connecté à un convertisseur A/N d’ordre zéro de période d’échantillonnage →
  • 11
    Soit un convertisseur N/A suivi d'un bloqueur d'ordre zéro. Il reçoit la séquence d’échantillons définie par →
  • 12
    Un signal analogique sinusoïdal de fréquence inconnue est échantillonné avec →
  • 13
    Exercice 1 : Échantillonnage et reconstruction d’un signal sinusoïdal Un signal analogique $x(t) = 2 \sin(1200 \pi t)$ est échantillonné par un convertisseur A/N à la période $T_e = 0,5 \text{ ms}$ . Les échantillons sont ensuite reconstruits par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ). 1. Calculez la fréquence d’échantillonnage et vérifiez le respect du théorème de Shannon. 2. Donnez l’expression du signal échantillonné $x[n]$ et calculez $x[3]$ . 3. Donnez l’expression du signal reconstruit par le BOZ et représentez sa valeur sur l’intervalle du quatrième échantillon.→
  • 14
    Exercice 2 : Modélisation et analyse d’un convertisseur N/A Un convertisseur numérique/analogique (N/A) 10 bits reçoit une séquence d’échantillons codés sur $V_{ref} = 5,00 \text{ V}$ . La fréquence d'horloge du convertisseur est de $f_e = 50\text{ kHz}$ . 1. Calculez la résolution en tension de ce convertisseur. 2. Si le mot en entrée est $1000110101_2$ , donnez la valeur de sortie analogique associée. 3. Calculez la tension maximale d’erreur d’arrondi lors de la conversion pour ce système.→
  • 15
    Exercice 3 : Transmittance en Z et propriétés d’un bloqueur d’ordre zéro (BOZ) Considérons un système échantillonné de bloqueur d’ordre zéro (BOZ) avec période d’échantillonnage $T_e = 0,02\text{ s}$ . Le système est modélisé pour une entrée d’impulsion unitaire. 1. Déduisez la transmittance en Z du BOZ pour cette période d’échantillonnage. 2. Calculez la réponse du BOZ pour la séquence d’entrée $u[0] = 1$ , $u[n] = 0$ pour $n \geq 1$ . 3. Calculez et représentez la valeur fréquentielle (gain en fréquence) du BOZ à $f = 12\text{ Hz}$ .→
  • 16
    Un signal analogique $x(t) = 3\cos(2000\pi t) + 2\sin(6000\pi t)$ est injecté dans une chaîne d’acquisition comportant un convertisseur A/N suivi d’un BOZ (Bloqueur d’ordre zéro) avant restitution par un N/A. 1. Calculez la fréquence minimale d’échantillonnage selon le théorème de Shannon, et la période correspondante. 2. Déterminez la séquence des échantillons pour $n = 0, 1, 2, 3$ si la fréquence d’échantillonnage choisie est $f_e = 8\,000\,\text{Hz}$ . 3. Donnez l’expression de la transmittance en Z du BOZ pour une période d’échantillonnage $T_e = 125\,\mu s$ .→
  • 17
    Le système échantillonné suivant reçoit en entrée un signal discret : $x[n] = u[n] - u[n-5]$ . Ce signal est traité par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ) suivi d’une reconstruction par un convertisseur N/A. 1. Calculez la transformée en Z de x[n], et indiquez sa région de convergence. 2. Déterminez l’expression de la sortie analogique du BOZ pour $T_e = 0.5\,ms$ , dans le domaine temporel, pour $t \in [0, 2.5\,ms]$ . 3. Calculez la réponse fréquentielle du BOZ, pour la fréquence $f = 800\,Hz$ .→
  • 18
    Un circuit d’asservissement reçoit un signal analogique périodique de fréquence $f = 1.2\,kHz$ qui doit être reconstruit précisément après échantillonnage et filtrage anti-repliement. 1. Pour une fréquence d’échantillonnage de $f_e = 4\,kHz$ , calculez la fréquence maximale reconstructible sans repliement selon le théorème de Shannon. 2. Déterminez la réponse du circuit si on utilise un bloqueur d’ordre zéro (BOZ) pour restituer le signal, exprimez $y(t)$ sur l’intervalle du premier échantillon. 3. Calculez la transmittance en Z du système si le filtre anti-repliement est idéal (passe-bas jusqu’à $f_c = 1.6\,kHz$ ).→
  • 19
    Un convertisseur A/N reçoit un signal analogique continu: $x_a(t) = 3\sin(500\pi t) + 2\cos(800\pi t)$ On souhaite étudier l’échantillonnage de ce signal. 1. Calculer la fréquence minimale d’échantillonnage $f_e$ selon le théorème de Shannon. 2. Effectuer l’échantillonnage du signal à la fréquence $f_e = 1200~Hz$ et déterminer l’expression du signal échantillonné $x_e[n]$ . 3. Modéliser la réponse du bloqueur d’ordre zéro (BOZ) associé, et calculer sa transmittance en Z.→
  • 20
    On considère le signal : $x_a(t) = e^{-100t}\cos(600\pi t)$ Le signal passe par un convertisseur A/N puis un bloqueur d’ordre zéro, suivi d’un convertisseur N/A. 1. Calculer le spectre du signal échantillonné pour $f_e = 1300~Hz$ . 2. Déduire l’expression reconstruite à la sortie du N/A en supposant la méthode du maintien d’ordre zéro. 3. Calculer la consommation de bande passante du signal reconstruit.→
  • 21
    Un bloqueur d’ordre zéro est inséré dans une chaîne d’acquisition numérique. Soit l’entrée échantillonnée : $x_e[n] = \delta[n] - \delta[n-1]$ à $f_e=250~Hz$ . 1. Calculer la sortie du BOZ en temps continu. $ 2. En déduire la réponse fréquentielle du système. 3. Calculer la valeur moyenne (DC) de la sortie du BOZ.→
  • 22
    Un signal analogique $x_a(t) = \sin(400\pi t) + 2\cos(600\pi t)$ est échantillonné à une période $T_e = 1\textrm{ ms}$ par un convertisseur AN idéal. 1) Calculez la fréquence d’échantillonnage et vérifiez la condition du théorème de Shannon pour ce signal. 2) Déterminez la séquence d’échantillons obtenue à l’issue de la conversion AN pour $n = 0$ à $n = 4$ . 3) Reconstituez le signal analogique par un BOZ (bloqueur d’ordre zéro) en donnant la forme de $x_{BOZ}(t)$ sur l’intervalle $[0,5 \textrm{ ms}]$ .→
  • 23
    Un signal analogique périodique $x_a(t) = 3 \cos(2\pi 250 t - \frac{\pi}{6})$ est traité dans une chaîne d’acquisition numérique. 1) Calculez la fréquence d’échantillonnage minimale selon le théorème de Shannon. 2) Pour une fréquence d’échantillonnage de $f_e = 700\textrm{ Hz}$ , calculez la séquence d’échantillons pour $n=0$ à $n=3$ . 3) Effectuez la reconstruction idéale du signal par un convertisseur numérique-analogique (NA) en explicitant l’expression de sortie pour $t\in [0,0,004]$ .→
  • 24
    Un système échantillonné est représenté par la chaîne suivante : Un signal analogique $x_a(t) = e^{-t}$ est converti par un A/N puis traité par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ) à $T_e=0,2$ s. 1. Déterminez la séquence discrète obtenue en sortie du CAN. 2. Calculez la fonction de transfert en z du BOZ. 3. Calculez la réponse fréquentielle du BOZ pour $\omega = \frac{\pi}{10}$ rad/s.→
  • 25
    Un signal analogique est donné par $x(t) = \sin(500\pi t) + 2 \cos(2000\pi t)$ . On utilise un système d’acquisition comprenant un échantillonneur, un convertisseur N/A et un filtre de reconstruction idéal. La fréquence d’échantillonnage est $f_e = 2400$ Hz. 1. Déterminez la position exacte des raies spectrales du signal échantillonné. 2. Calculez le signal reconstruit à la sortie du filtre N/A. 3. Précisez si le signal subit un repliement de spectre (aliasing) et calculez l’ensemble des fréquences en jeu ( originales et repliées ).→
  • 26
    Un signal analogique $x_a(t)$ de bande limitée est donné par : $x_a(t) = 3\cos(400\pi t) + 2\sin(600\pi t)$ . Le signal est converti par un convertisseur A/N avec une fréquence d'échantillonnage $f_e = 700\;\mathrm{Hz}$ , puis reconstruit via un bloqueur d'ordre zéro (BOZ). 1. Déterminez la fréquence maximale présente dans le signal et vérifiez à l’aide du théorème de Shannon si l’échantillonnage est correct. 2. Calculez la suite d’échantillons $x[n]$ obtenue après échantillonnage, puis exprimez la transmittance Z du BOZ utilisée pour la reconstruction. 3. Calculez la réponse fréquentielle du BOZ à la fréquence la plus élevée présente dans le signal.→
  • 27
    On considère un échantillonnage et reconstruction sur le signal $x_a(t) = \sin(1000\pi t)$ par un convertisseur A/N puis un convertisseur N/A avec verrouillage d’ordre zéro (BOZ), fréquence d’échantillonnage $f_e=600\;\mathrm{Hz}$ . 1. Calculez le spectre des fréquences échantillonnées et précisez si du repliement de spectre (aliasing) se produit. 2. Déterminez l’expression analytique du signal reconstruit en sortie du BOZ. 3. Calculez le pourcentage d’erreur maximale entre le signal original et celui reconstruit, sur un cycle.→
  • 28
    On dispose d’une chaîne d’échantillonnage-reconstruction avec : — Un convertisseur A/N (10 bits, pleine échelle ±5V), — Un échantillonnage à $f_e=1\,\mathrm{kHz}$ , — Un filtre BOZ en reconstruction, On injecte le signal $x_a(t) = 4\cos(2\pi 200 t)\;\mathrm{V}$ . 1. Calculez la résolution en tension du CAN (convertisseur analogique-numérique). 2. Donnez la suite des valeurs numériques codées obtenues pour $x_a(t)$ aux échantillons des périodes entières de sa fréquence sur trois périodes. 3. Donnez et analysez la distorsion en amplitude introduite par l’ensemble CAN/BOZ.→
  • 29
    Considérons un signal $x(t)$ composé de sinusoïdes à 400 Hz et 1100 Hz qui transite par une chaîne d’échantillonnage et de reconstruction comprenant un convertisseur N/A et un filtre de reconstruction passe-bas ( Supposez que l’échantillonnage se fait à $f_e = 1800\ \mathrm{Hz}$ ). 1. Déterminez la transmittance en Z du bloqueur d’ordre zéro (BOZ) associé. 2. Calculez la fréquence de repliement et l’allure spectrale du signal reconstruit par le filtre si la bande passante du filtre est $800~\mathrm{Hz}$ . 3. Donnez, à l’aide des calculs, les fréquences composantes présentes à la sortie finale.→
  • 30
    Un système d’asservissement à conversion numérique utilise un échantillonneur suivi d’un filtre d’ordre zéro et un convertisseur N/A pour restituer un signal analogique de commande. Les tensions de référence analogiques sont dans ±5V. Le système fonctionne avec un taux d’échantillonnage $f_e = 1000~\mathrm{Hz}$ et dispose d’un convertisseur N/A sur 10 bits. Un signal d’entrée $u[n] = 50\sin\left(2\pi \frac{200}{1000} n\right)$ est appliqué. 1. Calculez la tension analogique maximale délivrée à la sortie du CNA. 2. Déterminez la résolution du CNA en volts par pas. 3. Quelle est la réponse fréquentielle (module) du BOZ à la fréquence d’entrée ?→
  • 31
    On considère un échantillonneur, suivi d’un bloqueur d’ordre zéro et d’un convertisseur D/A pour reconstituer un signal. 1. Étant donné $x(t)=e^{-100t}$ pour $t \geq 0$ , calculez l’expression du signal échantillonné $x[n]$ pour $T_e=0,01\mathrm{s}$ . 2. Calculez la transmittance en Z du système composé échantillonneur + BOZ + DAC. 3. Pour une fréquence d’entrée de $f=10\mathrm{Hz}$ , déterminez le module de la réponse fréquentielle du système.→
  • 32
    Un convertisseur A/N reçoit le signal analogique $ x(t) = 3 \cos(2000\pi t) + 2\sin(6000\pi t) $ . On fixe la période d’échantillonnage à $ T_e = 200 \mu s $ . 1. Calculez la fréquence d’échantillonnage $ f_e $ et vérifiez si le théorème de Shannon est respecté. 2. Déterminez la séquence échantillonnée $ x[n] $ des instants d’échantillonnage de $ x(t) $ . 3. Soit le BOZ associé (bloqueur d’ordre zéro), calculez la transmittance en Z de ce BOZ pour $ T_e $ donné.→
  • 33
    Un signal analogique $ x(t)=4\sin(4000\pi t) $ est échantillonné à la période $ T_e=100\,\mu s $ puis reconstruit par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ). 1. Calculez la fréquence d’échantillonnage et identifiez la fréquence de Nyquist. 2. Déterminez la réponse fréquentielle $ H_{BOZ}(j\omega) $ du bloqueur d’ordre zéro. 3. Calculez la valeur du signal reconstruit à $ t=150\,\mu s $ .→
  • 34
    Un signal d’entrée $ x(t) = \cos(2\pi 700 t) $ passe par une chaîne A/N puis N/A avec une fréquence d’échantillonnage de $ f_e = 1000 $ Hz. 1. Quel est le spectre de $ x(t) $ après échantillonnage ? 2. Après reconstruction par un bloqueur d’ordre zéro, donnez l’expression du signal en sortie du BOZ. 3. Quelles composantes fréquentielles observera-t-on dans le signal reconstruit ? Calculez leur amplitude.→
• exercise (4 Exercices)
  • 1
    On considère un système linéaire échantillonné modélisé par l'équation aux différences suivante : $ \(y(k+2) - 1{,}5 y(k+1) + 0{,}7 y(k) = u(k+1) + 0{,}5 u(k)\) $ , où $ \(k\) $ est l'indice d'échantillonnage. [web:108][web:109] Question 1 : Écrire la fonction de transfert en $ \(z\) $ du système échantillonné, c’est-à-dire $ \(H(z) = \dfrac{Y(z)}{U(z)}\) $ . [web:108] Question 2 : Exprimer la représentation d’état discrète correspondante sous la forme $ \(x(k+1) = A x(k) + B u(k)\) $ et $ \(y(k) = C x(k) + D u(k)\) $ . Calculer explicitement les matrices $ \(A\) $ , $ \(B\) $ , $ \(C\) $ et $ \(D\) $ . [web:108] Question 3 : À partir de la fonction de transfert continue $ \(G(s) = \dfrac{1}{s+2}\) $ ,...→
  • 2
    On étudie un système asservi dont la fonction de transfert continue est : $ \(G(s) = \dfrac{4}{s^2 + 3s + 2}\) $ et la période d’échantillonnage est $ \(T_e = 0{,}2\,\mathrm{s}\) $ . Question 1 : Calculer la réponse impulsionnelle à l’instant $ \(k\) $ de la fonction continue discretisée. [web:105] Question 2 : Déterminer la fonction de transfert en $ \(z\) $ du système échantillonné. [web:105] Question 3 : Transformer la représentation en équations aux différences en un schéma de bloc et simplifier ce schéma pour obtenir une représentation standard du système discrétisé. [web:105]→
  • 3
    Un système asservi discret est caractérisé par la fonction de transfert en $ \(z\) $ : $ \(H(z) = \dfrac{0{,}4 z + 0{,}3}{z^2 - 1{,}2 z + 0{,}32}\) $ avec période d’échantillonnage $ \(T_e = 0{,}05\,\mathrm{s}\) . [web:109] Question 1 : Déterminer l’équation aux différences associée au système. [web:109] Question 2 : Calculer la réponse impulsionnelle du système discrétisé aux premiers instants $ \(k = 0,1,2,3\) $. [web:109] Question 3 : Analyser la stabilité du système à partir des pôles de la fonction de transfert en $ \(z\) . [web:109]→
  • 4
    On étudie un système dont la fonction de transfert en domaine discret est donnée par : $ \(H(z) = \dfrac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}\) $ , avec $ \(b_0 = 0{,}3\) , $ \(b_1 = 0{,}6\) , $ \(a_1 = -1{,}3\) , $ \(a_2 = 0{,}42\) . [web:110] Question 1 : Écrire la représentation sous forme d’équations aux différences du système. [web:110] Question 2 : Calculer la réponse impulsionnelle du système aux premiers instants $ \(k = 0, 1, 2, 3, 4\) $ . [web:110] Question 3 : Vérifier la stabilité du système en calculant les pôles et en étudiant leur position par rapport au cercle unité. [web:110]→
• Représentation des systèmes échantillonnés (33 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Représentation par équations aux différences et transformée en Z On considère un système échantillonné décrit par l’équation aux différences suivante : $y(k) = 0.6y(k-1) + 0.2y(k-2) + 0.1u(k-1)$ . 1. Écrivez la forme générale de la transformée en Z de cette équation. 2. Déterminez la fonction de transfert en Z notée $H(z) = \dfrac{Y(z)}{U(z)}$ . 3. Identifiez les pôles et zéros du système, puis vérifiez la stabilité en fonction de leur position dans le plan Z.→
  • 2
    Exercice 2 : Réponse impulsionnelle et fonction de transfert en Z On considère un système discret causal dont la réponse impulsionnelle est donnée par : $h(k) = (0.5)^k u(k)$ . 1. Déterminez la transformée en Z de la réponse impulsionnelle. 2. Calculez la fonction de transfert $H(z)$ correspondante. 3. Déduisez la valeur de la sortie $y(k)$ pour une entrée échelon unité ( $u(k) = 1$ ).→
  • 3
    Exercice 3 : Transformation de pôles par échantillonnage et simplification en Z On considère un système continu de fonction de transfert $H(p) = \dfrac{2}{p^2 + 3p + 2}$ soumis à un échantillonnage de période $T_e = 0.1\,s$ . 1. Calculez les pôles du système continu. 2. Déduisez les pôles équivalents en Z via la transformation d’échantillonnage : $z = e^{p T_e}$ . 3. Déterminez la fonction de transfert discrète équivalente en Z sous forme factorisée.→
  • 4
    Exercice 1 : Représentation par équations aux différences et transformée en Z. On considère un système discret défini par l’équation aux différences suivante : $y(k+2) - 0.5y(k+1) - 0.25y(k) = 2u(k+1)$ . 1. Écrivez l’équation sous forme canonique en décalant les indices. 2. Calculez la fonction de transfert en Z $H(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}$ . 3. Simplifiez et donnez la forme factorisée en pôles et zéros de $H(z)$ .→
  • 5
    Exercice 2 : Transformation d’un système continu en système échantillonné. Un système continu est donné par sa fonction de transfert : $G(p) = \frac{10}{p + 5}$ . Le système est échantillonné à la période $T = 0.1 \, s$ . 1. Trouvez la transmittance équivalente en Z en utilisant la transformation $z = e^{pT}$ . 2. Déterminez la fonction de transfert discrète sous la forme : $H(z) = \frac{b_0}{z - a_1}$ . 3. Calculez la réponse impulsionnelle discrète $h[k]$ correspondante.→
  • 6
    Exercice 3 : Simplification d’un diagramme discret et transformation pôles/zéros. On considère un schéma bloc discret comportant deux sous-systèmes en série : $H_1(z) = \frac{0.4z}{z - 0.6}$ et $H_2(z) = \frac{z - 0.2}{z}$ . On souhaite obtenir la fonction équivalente simplifiée et analyser sa structure en pôles et zéros. 1. Calculez la transmittance équivalente $H(z) = H_1(z) H_2(z)$ . 2. Déterminez les positions des pôles et des zéros du système résultant. 3. Donnez l’expression de la réponse impulsionnelle discrète correspondante.→
  • 7
    EXERCICE 1 : Représentation d’un système échantillonné par équations aux différences On considère un système discret défini par l’équation aux différences suivante : $y(k) - 0.5y(k-1) = 2x(k) + x(k-1)$ . 1. Déterminer la fonction de transfert du système en utilisant la transformée en Z. 2. Exprimer cette transmittance sous la forme canonique $H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}$ et identifier les pôles et zéros. 3. Calculer la réponse impulsionnelle $h(k)$ associée au système.→
  • 8
    EXERCICE 2 : Étude d’un système échantillonné dans le domaine Z Un système est défini par la fonction de transfert $H(z) = \frac{0.2z}{z^2 - 1.2z + 0.32}$ . 1. Déterminer les pôles du système. 2. Calculer la réponse impulsionnelle $h(k)$ . 3. Vérifier la stabilité du système à partir de la localisation des pôles dans le plan Z.→
  • 9
    EXERCICE 3 : Transformation p ↦ z et transmittance échantillonnée Un système continu de fonction de transfert : $G(p) = \frac{2}{p+2}$ est échantillonné avec une période $T_s = 0.1\,s$ . 1. Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z)$ en utilisant la méthode du maintien d’ordre zéro (ZOH). 2. Calculer les pôles et zéros de $G(z)$ . 3. Vérifier que le module du pôle est inférieur à 1 pour garantir la stabilité du système.→
  • 10
    Exercice 1 : Représentation et équations aux différences d’un système échantillonné. On considère un système à temps discret décrit par la transmittance en Z : $H(z) = \frac{0.5z + 0.25}{z^2 - 1.2z + 0.32}$ . Le signal d’entrée est $u(k) = 2(0.8)^k$ . 1. Écrivez l’équation aux différences reliant $y(k)$ et $u(k)$ . 2. Déterminez la réponse naturelle du système pour des conditions initiales nulles. 3. Calculez les cinq premières valeurs de $y(k)$ à partir de l’entrée donnée.→
  • 11
    Exercice 2 : Transformée en Z et réponse impulsionnelle. Un système discret est défini par l’équation : $y(k) = 0.5y(k-1) + u(k-1)$ avec l’entrée impulsionnelle $u(k) = \delta(k)$ . 1. Trouvez la fonction de transfert $H(z)$ . 2. Déduisez la réponse impulsionnelle $h(k)$ . 3. Vérifiez par calcul direct les trois premières valeurs de $h(k)$ .→
  • 12
    Exercice 3 : Transformation de pôles et zéros par échantillonnage. On considère le système continu de fonction de transfert : $H(p) = \frac{2(p+1)}{p^2 + 4p + 5}$ . Il est échantillonné avec une période $T = 0.1\,s$ . 1. Déterminez ses pôles et zéros dans le domaine de Laplace. 2. Calculez la position des pôles équivalents dans le plan Z au moyen de la transformation $z = e^{pT}$ . 3. Donnez la transmittance échantillonnée approximative $H(z)$ et indiquez si le système discret est stable.→
  • 13
    Exercice 1 – Équations aux différences et opérateur de retard. On considère un système échantillonné décrit par l’équation aux différences : $y(k) - 0.6y(k-1) + 0.08y(k-2) = 0.2u(k-1) + 0.1u(k-2)$ . 1. Écrivez la relation entrée-sortie du système à l’aide de l’opérateur de retard $q^{-1}$ . 2. Déterminez la fonction de transfert du système en $H(q^{-1}) = \dfrac{Y(q^{-1})}{U(q^{-1})}$ . 3. Calculez la réponse impulsionnelle du système pour $u(k) = \delta(k)$ .→
  • 14
    Exercice 2 – Transformée en Z et transmittance d’un système. On considère un système d’échantillonnage issu d’un système continu du premier ordre : $G(p) = \dfrac{1}{p + 2}$ . Il est échantillonné avec une période $T = 0.5\,s$ . 1. Écrivez la fonction de transfert équivalente en Z du système échantillonné. 2. Déterminez les pôles et zéros correspondants du système discret. 3. Calculez la séquence de réponse impulsionnelle discrète $h(k)$ .→
  • 15
    Exercice 3 – Simplification d’un diagramme en Z et localisation des pôles. Soit un système échantillonné constitué de deux blocs en série : $G_1(z) = \dfrac{0.4z}{z - 0.6}$ et $G_2(z) = \dfrac{z - 0.2}{z}$ . 1. Simplifiez le système global en une seule transmittance équivalente $G(z)$ . 2. Déterminez les pôles et zéros du système simplifié. 3. Calculez la réponse impulsionnelle du système résultant pour $k = 0,1,2,3$ .→
  • 16
    Exercice 1 – Représentation par équations aux différences et fonction de transfert en Z. On considère un système échantillonné défini par l’équation aux différences suivante : $y(k) = 0.6y(k-1) + 0.1y(k-2) + 0.3u(k-1)$ , avec $T_e = 0.1\,s$ . 1. Déterminer l’expression de la fonction de transfert en Z du système, $H(z) = \dfrac{Y(z)}{U(z)}$ . 2. En déduire la réponse impulsionnelle $h(k)$ du système. 3. Calculer la sortie $y(k)$ pour une entrée échelon unitaire en supposant $y(-1)=y(-2)=0$ .→
  • 17
    Exercice 2 – Transformation en Z et simplification d’un diagramme de blocs. Considérons un système échantillonné défini par le schéma en blocs suivant : un bloc intégrateur discret suivi d’un retard unitaire. Le bloc intégrateur discret est défini par $H_1(z) = \dfrac{T_e}{z-1}$ , et le retard est représenté par $H_2(z) = z^{-1}$ . On a $T_e = 0.2\,s$ . 1. Établir la fonction de transfert globale du système en Z. 2. Simplifier la fonction résultante en forme polynomiale rationnelle. 3. Déterminer la réponse impulsionnelle du système global.→
  • 18
    Exercice 3 – Transformation de pôles et zéros par échantillonnage. On considère un système continu du premier ordre défini par la fonction de transfert : $G(p) = \dfrac{5}{p + 10}$ . On effectue un échantillonnage avec une période $T_e = 0.1\,s$ . 1. Déterminer la fonction de transfert discrète correspondante en utilisant la méthode d’échantillonnage par maintien d’ordre zéro (ZOH). 2. En déduire la transformation du pôle et du zéro du système. 3. Calculer la valeur numérique du pôle discret et de la fonction de transfert complète.→
  • 19
    Exercice 1 : Représentation d’un système échantillonné par équations aux différences et transformée en Z. On considère un système discret tel que la relation d’entrée-sortie est donnée par : $y(k+2) - 0.5y(k+1) - 0.2y(k) = 2u(k+1) + 3u(k)$ . 1. Écrire l’équation aux différences sous la forme canonique reliant y(k) et u(k). 2. Déterminer la transmittance en Z du système $H(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}$ . 3. Simplifier cette transmittance sous forme rationnelle en $z^{-1}$ . 4. Déterminer la réponse impulsionnelle du système par transformée inverse en Z. 5. Vérifier la stabilité du système à partir de la position des pôles dans le plan Z.→
  • 20
    Exercice 2 : Analyse fréquentielle d’un système échantillonné et transformation en Z. Un système continu est défini par $G(s)=\frac{5}{s+5}$ . Il est échantillonné avec une période $T_e=0.2$ s selon la méthode d’échantillonnage à maintien d’ordre 0. 1. Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z)$ à partir de $G(s)$ . 2. Simplifier la forme de $G(z)$ en utilisant la transformation bilinéaire exacte pour le maintien d’ordre nul. 3. Calculer la réponse impulsionnelle discrète $h(k)$ . 4. Calculer les pôles en Z du système échantillonné. 5. Déterminer la fréquence équivalente du pôle dans le plan continu et comparer.→
  • 21
    Exercice 3 : Réduction et simplification d’un système échantillonné en boucle fermée. Un système discret est défini par le schéma suivant : la fonction de transfert directe est $G(z)=\frac{0.4z^{-1}}{1-0.6z^{-1}}$ et la fonction de retour est $H(z)=z^{-1}$ . 1. Déterminer la transmittance en boucle fermée du système échantillonné. 2. Simplifier cette transmittance sous forme rationnelle en $z^{-1}$ . 3. Déterminer l’équation aux différences correspondante reliant y(k) et u(k). 4. Calculer la réponse impulsionnelle pour les cinq premiers échantillons. 5. Vérifier la stabilité du système par la position des pôles sur le cercle unité du plan Z.→
  • 22
    Exercice 1 : Représentation par équations aux différences et transformée en Z. On considère un système échantillonné décrit par l’équation aux différences : $y(k) = 0.6y(k-1) - 0.08y(k-2) + 0.4u(k-1)$ . 1. Déterminer la fonction de transfert en Z, $H(z) = \dfrac{Y(z)}{U(z)}$ . 2. Calculer les pôles et zéros du système et préciser si le système est stable. 3. Déduire la réponse impulsionnelle $h(k)$ pour les 4 premiers échantillons.→
  • 23
    Exercice 2 : Transformation en Z et simplification des blocs. On considère un système échantillonné dont la fonction de transfert en Z est donnée par : $H(z) = \dfrac{0.1(z+0.5)}{(z-0.8)(z-0.5)}$ . On désire étudier ses propriétés de stabilité et calculer sa sortie pour une entrée unitaire en échelon. 1. Simplifier la fonction de transfert sous forme de décomposition en éléments simples. 2. Trouver la réponse impulsionnelle $h(k)$ . 3. Déterminer la réponse à un échelon unitaire $u(k)=1$ .→
  • 24
    Exercice 3 : Transformation de pôles par échantillonnage. Soit un système analogique de fonction de transfert : $H(p) = \dfrac{5}{p^2 + 6p + 5}$ . On échantillonne le système avec la période $T_e = 0.1\;s$ . 1. Déterminer les pôles du système analogique. 2. Calculer la transformation de pôles par échantillonnage : $z_i = e^{p_i T_e}$ . 3. Écrire la fonction de transfert échantillonnée correspondante $H(z)$ .→
  • 25
    Exercice 1 : Représentation par équation aux différences et transformée en Z. On considère un système échantillonné défini par l’équation aux différences suivante : $y(k)=0,6y(k-1)+0,1y(k-2)+2u(k-1)$ avec $u(k)$ l’entrée du système et $y(k)$ la sortie. 1. Déterminer la transmittance en Z du système. 2. Calculer la réponse impulsionnelle pour $δ(k)$ en entrée. 3. Tracer la position des pôles et zéros du système sur le plan Z.→
  • 26
    Exercice 2 : Réponse impulsionnelle et simplification de blocs. On considère un système échantillonné décrit par le schéma suivant : une chaîne de deux blocs $H_1(z)$ et $H_2(z)$ en série avec $H_1(z)=\frac{z}{z-0,5}$ et $H_2(z)=\frac{0,4z}{z-0,2}$ . 1. Déterminer la transmittance globale équivalente en Z. 2. Calculer la réponse impulsionnelle du système résultant. 3. Déterminer la valeur de $y(3)$ si l’entrée est $u(k)=δ(k)$ .→
  • 27
    Exercice 3 : Transformation de pôles par échantillonnage et équivalence temporelle. On considère un système continu du premier ordre de fonction de transfert $H(p)=\frac{5}{p+10}$ échantillonné à une période $T_e=0,1s$ par maintien d’ordre zéro. 1. Déterminer la transmittance en Z du système discrétisé par la méthode du maintien d’ordre zéro. 2. Déterminer le pôle en Z correspondant au pôle continu. 3. Évaluer la réponse impulsionnelle discrète associée.→
  • 28
    Exercice 1 : Représentation par équations aux différences et opérateurs de retard. On considère un système échantillonné décrit par l’équation aux différences suivante : $y(k) - 1{,}2y(k-1) + 0{,}32y(k-2) = 0{,}5u(k-1)$ . 1. Écrire l’équation à l’aide de l’opérateur de retard $q^{-1}$ . 2. Déterminer la transmittance en $Z$ du système. 3. Calculer la réponse impulsionnelle pour les trois premiers instants ( $k = 0, 1, 2$ ).→
  • 29
    Exercice 2 : Transformée en Z et analyse de pôles/zéros. On considère un système discret défini par sa réponse impulsionnelle $h(k) = (0{,}8)^k u(k)$ . 1. Calculez sa transformée en $Z$ . 2. Déterminez les pôles et zéros du système. 3. Calculez la valeur du gain statique en régime permanent.→
  • 30
    Exercice 3 : Transformation continue-discrète et simplification de blocs. Un système continu est donné par $H(p) = \dfrac{1}{p+2}$ avec un maintien d’ordre zéro et une période d’échantillonnage $T_e = 0{,}1\text{ s}$ . 1. Déterminez la transmittance équivalente en $Z$ par échantillonnage à maintien d’ordre zéro. 2. Calculez les pôles du système échantillonné. 3. Donnez la forme simplifiée du diagramme fonctionnel.→
  • 31
    On considère un système asservi échantillonné dont la fonction de transfert continue est donnée par $H(s) = \frac{5}{s+2}$ et le temps d'échantillonnage $T_e = 0,1 s$ . Question $1$ : Obtenir l'équation aux différences discrète associée au système échantillonné en utilisant la transformation en $z$ et la méthode de transformation bilinéaire (Tustin). Question $2$ : Déterminer la fonction de transfert discrète $H(z)$ et simplifier le bloc correspondant. Question $3$ : Calculer les pôles et les zéros du système discret obtenu et vérifier leur position dans le plan $z$ pour déterminer la stabilité du système échantillonné.→
  • 32
    On considère un système linéaire échantillonné modélisé par l'équation aux différences suivante : $ \(y(k+2) - 1{,}5 y(k+1) + 0{,}7 y(k) = u(k+1) + 0{,}5 u(k)\) $ , où $ \(k\) $ est l'indice d'échantillonnage. Question 1 : Écrire la fonction de transfert en $ \(z\) $ du système échantillonné, c’est-à-dire $ \(H(z) = \dfrac{Y(z)}{U(z)}\) $ . Question 2 : Exprimer la représentation d’état discrète correspondante sous la forme $ \(x(k+1) = A x(k) + B u(k)\) $ et $ \(y(k) = C x(k) + D u(k)\) $ . Calculer explicitement les matrices $ \(A\) $ , $ \(B\) $ , $ \(C\) $ et $ \(D\) $ . Question 3 : À partir de la fonction de transfert continue $ \(G(s) = \dfrac{1}{s+2}\) $ , déterminer...→
  • 33
    On étudie un système dont la fonction de transfert en domaine discret est donnée par : $ \(H(z) = \dfrac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}\) $ , avec $ \(b_0 = 0{,}3\) , $ \(b_1 = 0{,}6\) , $ \(a_1 = -1{,}3\) , $ \(a_2 = 0{,}42\) . Question 1 : Écrire la représentation sous forme d’équations aux différences du système. Question 2 : Calculer la réponse impulsionnelle du système aux premiers instants $ \(k = 0, 1, 2, 3, 4\) $ . Question 3 : Vérifier la stabilité du système en calculant les pôles et en étudiant leur position par rapport au cercle unité.→
• Analyse des systèmes échantillonnés (43 Exercices)
  • 1
    On considère un système asservi échantillonné dont la fonction de transfert en $ \(z\) $ est : $ \(H(z) = \dfrac{z - 0{,}3}{z^2 - 1{,}2 z + 0{,}5}\) $ . Question 1 : Vérifier la stabilité du système en calculant les pôles (racines du dénominateur) et en analysant leur position par rapport au cercle unité dans le plan complexe. Question 2 : Appliquer le critère de Jury pour ce polynôme caractéristique. Construire le tableau du critère pour les coefficients $ \(1, -1{,}2, 0{,}5\) $ et conclure sur la stabilité. Question 3 : Analyser la nature temporelle du régime transitoire du système de manière qualitative, en liant la position des pôles à...→
  • 2
    Considérons un système échantillonné décrit par le polynôme caractéristique : $ \(D(z) = z^3 - 1{,}8 z^2 + 1{,}3 z - 0{,}36\) $ . Question 1 : Vérifier la stabilité du système en appliquant le critère de Schur-Cohn à ce polynôme. Calculer et expliquer chaque étape du test. Question 2 : Calculer les pôles du système, c’est-à-dire les racines de $ \(D(z)\) $ , et vérifier leur position dans le plan complexe. Question 3 : Étudier le lieu d’Evans discret pour ce système et expliquer comment on peut en déduire la stabilité dynamique. Effectuer un calcul d’exemple numérique pour $ \(z\) -value(s).→
  • 3
    On considère la fonction de transfert en $ \(z\) $ suivante : $ \(H(z) = \dfrac{z^2 - 0{,}5 z + 0{,}2}{z^3 - 1{,}3 z^2 + 0{,}8 z - 0{,}15}\) $ . Question 1 : Étudier la stabilité du système en utilisant le critère de Routh-Hurwitz adapté aux systèmes discrets. Construire le tableau correspondant et conclure. Question 2 : Calculer les racines de $ \(H(z)\) $ et vérifier qu'elles respectent bien les conditions de stabilité dans le plan complexe (module inférieur à 1). Question 3 : Présenter un calcul du lieu d’Evans discret associé au système et illustrer comment ce lieu permet de prévoir l’évolution dynamique du système.→
  • 4
    Soit un système asservi échantillonné dont la fonction de transfert discrète est : $ H(z) = \frac{0.3 z + 0.1}{z^2 - 1.2 z + 0.5} $ . Question $1$ : Vérifier la stabilité du système en utilisant le critère de localisation des pôles dans le plan $z$ . Question $2$ : Appliquer le critère de Schur-Cohn et établir les conditions à vérifier pour la stabilité de ce polynôme caractéristique. Question $3$ : Calculer explicitement les conditions issues du critère de Schur-Cohn sur les coefficients du dénominateur.→
  • 5
    On considère un système linéaire asservi échantillonné avec équation aux différences d'ordre 3 donnée par : $ y(k+3) - 0.6 y(k+2) + 0.4 y(k+1) - 0.1 y(k) = u(k) $ . Question $1$ : Ecrire et construire le tableau de Jury pour ce polynôme caractéristique. Question $2$ : En déduire les conditions de stabilité selon le critère de Jury. Question $3$ : vérifier la stabilité avec les coefficients donnés.→
  • 6
    Un système asservi échantillonné possède la fonction de transfert discrète : $ H(z) = \frac{z - 0.5}{z^2 - 1.4 z + 0.49} $ . Question $1$ : Calculer les pôles du système en résolvant l'équation caractéristique du dénominateur. Question $2$ : Appliquer le critère de Routh-Hurwitz discret pour déterminer la stabilité du système. Question $3$ : Étudier la stabilité à l’aide du lieu d'Evans discret en calculant la position des pôles en boucle fermée avec un retour d'état classique $K = [k_1 \quad k_2]$ fixé à $K = [1.2 \quad 0.7]$ .→
  • 7
    On considère un système échantillonné décrit par la fonction de transfert en Z : $H(z) = \frac{0,7z + 0,2}{z^2 - 1,1z + 0,21}$ . 1. Analysez la stabilité du système à l’aide du critère de Jury. 2. Déterminez la nature du régime transitoire pour la réponse en impulsion et précisez l’évolution temporelle de la sortie pour l’entrée $\delta[n]$ . 3. En modifiant $0,21$ par $k$ , trouvez la valeur maximale de $k$ pour garder la stabilité du système.→
  • 8
    Soit la fonction de transfert en Z : $H(z) = \frac{z-0,4}{z^2-0,9z+0,16}$ . On veut vérifier la stabilité et la nature de la réponse transitoire par les racines du dénominateur et le critère de Schur-Cohn. 1. Appliquez le critère de Schur-Cohn et déterminez la stabilité du système. 2. Décrivez la nature de la réponse à une impulsion unitaire, calculez la sortie pour les premiers instants. 3. En utilisant le critère de Jury, donnez la condition pour que le coefficient constant soit modifié à $k$ tout en assurant la stabilité.→
  • 9
    Un système échantillonné a la fonction de transfert : $H(z) = \frac{0,5}{z-0,85}$ . On veut analyser la stabilité et le temps de réponse à 5%. 1. Vérifiez la stabilité par Routh-Hurwitz (transposé du plan Z), puis par le critère des pôles. 2. Calculez la réponse à une impulsion unitaire et le nombre d’itérations pour atteindre 5 % de la finale. 3. En traçant le lieu d’Evans discret, précisez la variation de la stabilité si le pôle est déplacé de $0,85$ vers $-0,7$ .→
  • 10
    On considère le système échantillonné défini par sa transmittance en Z: $H(z) = \frac{z + 0,6}{z^2 - 0,3z + 0,1}$ 1. Analysez la stabilité du système à l’aide du critère de Jury. 2. Déterminez la nature de la réponse temporelle du système (comportement transitoire) à partir des pôles. 3. Vérifiez la stabilité par le critère de Schur-Cohn.→
  • 11
    Le système discret admet la fonction de transfert : $G(z) = \frac{1}{z^2 + 0,1z - 0,2}$ 1. Déterminez la stabilité du système par la méthode de Jury. 2. Analysez la stabilité par le critère de Routh-Hurwitz adapté au domaine z. 3. Pour un échelon unitaire à l’entrée, qualifiez la nature temporelle du régime transitoire du signal de sortie (sans simulation, calcul strict).→
  • 12
    Un système échantillonné est décrit par la fonction de transfert en Z suivante : $H(z) = \frac{0{,}3z + 0{,}6}{z^2 - 1{,}2z + 0{,}44}$ 1) Analyser la stabilité du système à l’aide du critère de Jury. 2) Déterminer la nature temporelle du régime transitoire (apériodique, oscillant, etc.) à partir des pôles. 3) Calculer la réponse libre (transitoire) pour les conditions initiales : $y(0) = 1, y(1) = 0, u(k) = 0$ pour $k\geq0$ .→
  • 13
    On considère le système échantillonné suivant : $H(z) = \frac{1}{z^2 + 1,1z + 0,3}$ 1) Vérifier la stabilité du système à l’aide du critère de Schur-Cohn. 2) Calculer le comportement temporel du système : déterminer si le régime transitoire est oscillant ou apériodique. 3) Trouver les valeurs numériques de la réponse libre pour y(0)=0 ; y(1)=1 ; u(k)=0 pour k≥0 jusqu’à k=4.→
  • 14
    Un régulateur échantillonné est modélisé par la fonction de transfert discrète : $G(z) = \frac{2z - 1}{z^2 - 0.5z - 0.5}$ 1) Vérifier sa stabilité à l’aide de la carte polaire et du critère de Nyquist discret. 2) Exprimer la nature temporelle du régime transitoire en fonction des pôles trouvés. 3) Calculer la réponse libre pour $y(0)=0, y(1)=2, u(k)=0$ pour les quatre premiers instants.→
  • 15
    Un système échantillonné est défini par la fonction de transfert en Z suivante : $H(z)=\frac{z+0,5}{z^2-1,2z+0,35}$ . 1. Analysez la stabilité du système en appliquant le critère Schur-Cohn sur le dénominateur. 2. Déterminez la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité pour les trois premiers instants. 3. Vérifiez la stabilité par la méthode graphique du lieu d’Evans discret (racines du dénominateur), précisez la localisation dans le plan complexe.→
  • 16
    Considérons le système échantillonné défini par la fonction de transfert : $G(z) = \frac{z+0,8}{z^2-0,3z+0,09}$ . 1. Déterminez la nature temporelle du régime transitoire par analyse des racines (amortissement, oscillatoire, convergence/divergence). 2. Vérifiez la stabilité de ce système à l’aide du critère de Jury complet. 3. Calculez la réponse du système à une impulsion unité pour les instants n=0,1,2.→
  • 17
    Soit le système échantillonné à boucle fermée, dont la fonction de transfert est : $T(z) = \frac{0,5z+0,25}{z^2-0,5z+0,15}$ . 1. Vérifiez la stabilité par le critère de Routh-Hurwitz adapté aux systèmes discrets (analyse des coefficients). 2. Utilisez le critère de Nyquist discret pour valider graphiquement la stabilité (emplacement des zéros du dénominateur par rapport au cercle unité). 3. Calculez la nature de la réponse temporelle en caractérisant le dépassement initial et le mode dominant.→
  • 18
    Un système échantillonné est décrit par la fonction de transfert en Z : $H(z)=\frac{0,6z+0,4}{z^2-0,7z+0,18}$ . 1. Analysez la stabilité du système à l’aide du critère de Jury pour les pôles du dénominateur. 2. Trouvez la nature temporelle des signaux du régime initial et à long terme pour une entrée échelon. 3. Vérifiez la stabilité par l’ensemble des racines du dénominateur et Interprétation physique.→
  • 19
    Un système discret possède la fonction de transfert suivante : $G(z)=\frac{z+0,95}{z^2-1,15z+0,54}$ . 1. Appliquez le critère de Schur-Cohn pour vérifier la stabilité. 2. Déterminez la nature du signal transitoire pour une entrée échelon et l’expression du premier état récurrent. 3. Utilisez le critère de Routh-Hurwitz discret pour valider la stabilité.→
  • 20
    On considère le BOZ d’une chaîne échantillonnée de transfert $H(z)=\frac{0,8z}{z^2-0,3z-0,25}$ . 1. Vérifiez la stabilité par le critère de Jury et calculez les racines du dénominateur. 2. Calculez la nature temporelle du régime libre pour une entrée impulsionnelle et l’évolution de l’amplitude maximale. 3. Réalisez le tracé du lieu d’Evans discret des pôles sur le cercle unité pour justifier la stabilité.→
  • 21
    Exercice 1 : Analyse de stabilité par Jury et comportement temporel d’un système échantillonné Considérons le système discret dont la fonction de transfert est $H(z) = \frac{0,3z + 0,24}{z^2 - 1,1z + 0,33}$ . 1. Vérifiez la stabilité à l’aide du critère de Jury. 2. Déterminez la nature de la réponse temporelle à partir des pôles. 3. Calculez explicitement l’évolution de $y[n]$ pour $u[n]=1$ et $y[0]=0, y[1]=0$ sur les quatre premiers échantillons.→
  • 22
    Un système échantillonné linéaire d’ordre 2 est représenté par la fonction de transfert : $H(z) = \frac{z^2 + 0.6z + 0.08}{z^2 - 1.2z + 0.32}$ . 1. Analysez la stabilité du système selon le critère de Schur-Cohn (en détaillant chaque étape du test). 2. Déterminez la nature temporelle du régime transitoire en fonction des racines du dénominateur. 3. Représentez le lieu d’Evans discret en calculant le module et argument de chaque pôle dans le plan complexe.→
  • 23
    Un système échantillonné en boucle fermée possède la fonction de transfert suivante : $G(z) = \frac{0.4(z+1)}{z^2-0.7z+0.18}$ . 1. Vérifiez la stabilité par le critère de Jury en déroulant toutes les étapes du test. 2. Calculez la réponse à un échelon discret pour $n=0$ à $n=3$ en utilisant la décomposition en éléments simples. 3. Effectuez l’analyse de stabilité par le critère de Nyquist discret, déterminez la position des pôles dans le plan complexe.→
  • 24
    On considère le système échantillonné suivant : $H(z) = \frac{0.5z}{z^2 - 0.2z - 0.32}$ . 1. Testez la stabilité du système par le critère de Routh-Hurwitz (adaptation pour le plan Z, en passant par l’équation bilinéaire). 2. Calculez la réponse libre temporelle pour l’état initial $x[0]=2$ , $x[1]=1$ . 3. Dessinez le diagramme de Nyquist discret du système en évaluant $H(z)$ sur le cercle unité pour $\omega = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ .→
  • 25
    Considérons un système discret dont la fonction de transfert est : $H(z) = \frac{0.5z + 0.3}{z^2 - 0.8z + 0.12}$ . On souhaite étudier la stabilité et la nature des régimes temporels de sa réponse. 1. Déterminer, par le critère de Schur-Cohn, si le système est stable. 2. Utiliser le critère de Jury pour vérifier la stabilité du système. 3. Calculer la nature temporelle du régime transitoire de la réponse à un échelon (explosif, oscillant, apériodique, etc.) en fonction de la localisation des pôles.→
  • 26
    Soit le système discret défini par la transmittance : $G(z) = \frac{z+1}{z^2 + 0.6z + 0.9}$ . On souhaite étudier sa stabilité et la réponse transitoire par différents critères. 1. Vérifier la stabilité par le critère de Routh-Hurwitz appliqué au polynôme caractéristique bilinéarisé. 2. Déterminer par le critère de Nyquist discret si le système est stable. 3. Discuter la nature (oscillante, explosive, etc.) du régime transitoire à l’échelon.→
  • 27
    On considère un système en boucle fermée avec la fonction de transfert : $T(z) = \frac{0.4z + 0.1}{z^2 - 1.3z + 0.6}$ 1. Vérifier la stabilité à l’aide du critère du lieu d’Evans discret (position des pôles dans le plan Z et déplacement en fonction du gain). 2. Déterminer numériquement les valeurs de gain K pour lesquelles le système reste stable, si le numérateur devient $0.4Kz + 0.1K$ . 3. Calculer, pour le cas limite de stabilité (déplacement d’un pôle sur $|z|=1$ ), la fréquence de sortie oscillante.→
  • 28
    Considérez le système échantillonné défini par sa fonction de transfert en Z : $H(z) = \frac{z+0.4}{z^2-1.3z+0.42}$ . 1) Analysez la stabilité du système par le critère de Schur-Cohn. 2) Déterminez la nature du régime transitoire temporel associée aux pôles de $H(z)$ . 3) Vérifiez la stabilité avec la table de Jury.→
  • 29
    Un système échantillonné a pour caractéristique d’ordre deux : $H(z) = \frac{z}{z^2+0.5z+0.25}$ . 1) Analysez la stabilité par le critère de Routh-Hurwitz appliqué à l’équivalent bilinéaire du polynôme. 2) Déterminez les valeurs propres et concluez sur la nature temporelle du régime transitoire. 3) Étudiez la stabilité par le critère du lieu de Nyquist discret.→
  • 30
    On étudie la stabilité d’un système échantillonné défini par la fonction de transfert : $H(z) = \frac{z-0.6}{z^2-0.5z+0.3}$ . 1) Vérifiez la stabilité via le critère de Jury en explicitant chaque étape. 2) Déduisez la réponse temporelle pour une entrée échelon unitaire et analysez la nature du régime transitoire. 3) Montrez graphiquement le lieu d’Evans discret pour ce système en expliquant comment il assure ou non la stabilité.→
  • 31
    On considère un système échantillonné dont la fonction de transfert discrète est : $H(z) = \frac{z - 0,5}{z^2 - 1,2z + 0,32}$ 1. Déterminez les pôles du système et analysez leur position par rapport au cercle unité. 2. Vérifiez la stabilité du système en appliquant le critère de Schur-Cohn. 3. Étudiez la réponse temporelle du système à une entrée impulsionnelle et précisez la nature transitoire (oscillante ou apériodique).→
  • 32
    On étudie un système dont la fonction de transfert récursive vérifie : $Y(z) = \frac{z}{z^2-0,4z+0,18} U(z)$ On considère l’application du critère de Jury. 1. Construisez le tableau de Jury pour ce polynôme caractéristique. 2. Déterminez la stabilité du système à partir du tableau. 3. Appliquez la méthode du lieu d’Evans discret : calculez et tracez qualitativement la trajectoire des pôles en fonction d’un gain $k$ ajouté dans le dénominateur sous la forme $z^2-0,4z+0,18+k$ (expliquez l’évolution).→
  • 33
    Une fonction de transfert en z est donnée : $H(z)=\frac{1}{z^2 - 0,5z + 0,25}$ On souhaite effectuer l’analyse complète en utilisant à la fois le critère de Routh-Hurwitz dans le plan s, et le critère de Nyquist discret. 1. Réalisez le passage de H(z) à H(s) (transformation inverse de Z, hypothèse: T_e=0,1 s) et exprimez le polynôme caractéristique en s. 2. Vérifiez la stabilité par Routh-Hurwitz. 3. Esquissez le contour de Nyquist dans le plan Z et vérifiez l’absence d’encerclement de -1 par la courbe. Interprétez la stabilité.→
  • 34
    On considère le système échantillonné de fonction de transfert : $H(z) = \frac{z+0.3}{z^2-1.4z+0.45}$ 1. Vérifiez la stabilité du système à l'aide du critère de Jury. 2. Calculez la réponse temporelle à une entrée échelon unitaire ( $u[n]=1$ ) pour les trois premiers instants. 3. Analysez la nature du régime transitoire en fonction des pôles trouvés.→
  • 35
    On considère un système discret de fonction de transfert : $H(z) = \frac{2z+1}{z^2-0.2z-0.48}$ 1. Analysez la stabilité à l’aide du critère de Schur-Cohn. 2. Calculez, à partir des pôles, le temps de chute à $5\% $ pour une réponse à un échelon unitaire. 3. Utilisez la méthode du Lieu d’Evans discret pour indiquer comment déplacer le pôle le plus lent pour obtenir un temps de chute inférieur à $3$ itérations.→
  • 36
    On considère un système à retour unitaire : $F(z)=\frac{K(z+0.5)}{z^2-0.6z+0.08}$ (K positif) 1. Pour $K=2$ , utilisez le critère de Routh-Hurwitz appliqué au domaine Z pour déterminer la stabilité. 2. Calculez la réponse complète pour $u[0]=1$ , $u[n]=0$ pour $n>0$ (impulsion unité) pour les trois premiers instants. 3. Utilisez le critère de Nyquist discret pour justifier le gain maximal admissible pour la stabilité.→
  • 37
    Soit le système discret suivant : $H(z) = \frac{1.2z - 0.8}{z^2 - 1.1z + 0.25}$ . L’entrée est $u[n]$ échelon. 1. Déterminez la condition de stabilité à l’aide du critère de Routh-Hurwitz adapté au plan Z. 2. Calculez et tracez l’évolution temporelle du premier état transitoire (réponse libre) sur les quatre premiers instants, supposant $y[-1]=0$ et $y[-2]=0$ . 3. Vérifiez la stabilité en calculant les pôles et leur position par rapport au cercle unité.→
  • 38
    Une boucle d’asservissement numérique présente une transmittance : $H(z) = \frac{0.4}{z^2 - 1.5z + 0.7}$ . 1. Vérifiez la stabilité à l’aide du critère de Nyquist discret (argument sur le cercle unité). 2. Trouvez la nature du régime transitoire pour une entrée échelon en déterminant l’évolution temporelle des premiers instants ( $y[0], y[1], y[2]$ ). 3. Déterminez les conditions de stabilité en fonction des paramètres du dénominateur à l’aide du lieu d’Evans discret.→
  • 39
    Le système échantillonné suivant est décrit par la fonction de transfert en Z : $H(z)=\frac{z+0,5}{z^2-0,6z+0,08}$ 1. Déterminez les conditions de stabilité discrète du système et appliquez le critère de Jury pour ce système. 2. Calculez la nature temporelle du signal du régime transitoire (décomposition du temps en impulsionnel et exponentiel discret) suite à une entrée échelon. 3. Calculez les valeurs de la sortie pour $n=0,1,2$ , en explicitant l’évolution du régime transitoire selon la solution trouvée.→
  • 40
    Considérez le système échantillonné décrit par l’équation en Z : $Y(z) = \frac{1}{z^2-0,5z+0,25} U(z)$ 1. Appliquez le critère de Routh-Hurwitz discret pour déterminer la stabilité. 2. Déterminez la réponse temporelle en régime transitoire pour une entrée impulsionnelle sur les trois premiers instants n=0,1,2. 3. Tracez le lieu d’Evans discret et déduisez l’influence des pôles sur la réponse tempérée et la stabilité.→
  • 41
    Un système échantillonné admet une fonction de transfert en Z : $ H(z) = \frac{z-0,8}{z^2-1,3z+0,4} $ . 1. Déterminez la stabilité du système à l’aide du critère de Schur-Cohn. 2. Analysez la nature temporelle de la réponse impulsionnelle du système (régime transitoire), en calculant explicitement les premiers termes. $ 3. Trouvez la réponse du système à l’entrée $ u[n]=1 $ (échelon unitaire), et discutez sa stabilité.→
  • 42
    Un système discret de fonction de transfert en Z est défini par : $ H(z) = \frac{z+0,6}{z^2-0,9z+0,2} $ . 1. Vérifiez la stabilité du système avec le critère de Jury. 2. Calculez la réponse temporelle y[n] lorsque $ u[n]=\delta[n] $ (entrée impulsionnelle), pour les trois premières valeurs n=0,1,2. 3. À partir des pôles trouvés, analysez la nature des signaux du régime transitoire (nature oscillante ou apériodique ?).→
  • 43
    La fonction de transfert discrète d’un système est : $ H(z)=\frac{0,3z+0,6}{z^2-0,5z+0,12} $ . 1. Utilisez le critère de Routh-Hurwitz modifié (discret) pour conclure sur la stabilité. 2. Dessinez le lieu d’Evans discret pour ce système et trouvez les abscisses des pôles. 3. À l’aide du contour de Nyquist discret, vérifiez graphiquement la stabilité.→
• Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 1 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 2 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 3 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 4 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 5 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 6 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 7 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 8 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 9 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 10 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 11 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 12 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 13 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 14 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 15 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 16 Autre examen Systèmes asservis échantillonnés corrige 17 Autre examen Systèmes asservis 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Exercice

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