Systemes asservis lineaires et continus Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (16 Exercices)
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    30 | Niveau : Automatique Avancée Contexte : Un système complexe de maintien de position d'une charge suspendue (grue électrique) doit être asservi. Le système est modélisé par une fonction de transfert du 3ème ordre avec intégrateur, ce qui pose des défis particuliers de stabilité et de précision. Question 1 : Fonction de Transfert et Réponse Temporelle en Boucle Ouverte Le système est décrit par la fonction de transfert suivante : $G(s) = \frac{K}{s(1 + \tau_1 s)(1 + \tau_2 s)}$ Avec $K = 2$ , $\tau_1 = 1$ s, $\tau_2 = 0.5$ s. Calculez : 1.1) La forme factorisée et identifiez les pôles du système. 1.2) La réponse indicielle $y(t)$ en boucle ouverte pour...→
  • 2
    Examen de Systèmes Asservis Linéaires - Transformées de Laplace et Domaine Fréquentiel - Contexte général : Un système de positionnement industriel comprend un moteur électrique contrôlé par un correcteur. Le système est modélisé par une fonction de transfert en boucle ouverte et doit respecter des critères de stabilité et de performance en régime fréquentiel. L'étude porte sur l'analyse fréquentielle, la synthèse du correcteur et la réponse temporelle. Question 1 : Transformée de Laplace et fonction de transfert (6 points) Un système mécanique est composé d'un moteur entrainant une charge avec frottement visqueux. L'équation différentielle du système est : $J \frac{d^2\theta}{dt^2} + f \frac{d\theta}{dt} = \tau_{moteur}(t)$ avec...→
  • 3
    Examen de Systèmes Asservis - Représentation d'État et Analyse Temporelle - Contexte général : Un système de suspension active d'automobile est modélisé par une représentation d'état. L'étude porte sur la matrice de transition, la réponse temporelle, la contrôlabilité et l'observabilité du système. Question 1 : Représentation d'état et matrices du système (6 points) Un système de suspension est décrit par l'équation différentielle : $\ddot{z} + 2\dot{z} + 5z = u(t)$ où z est le déplacement vertical, et u est la force appliquée. a) Établir une représentation d'état du système sous forme standard avec $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} z \\ \dot{z} \end{bmatrix}$ . b) Déterminer la matrice de transition $e^{At}$ du système. c) Vérifier...→
  • 4
    Examen de Systèmes Asservis - Synthèse et Critères de Performance - Contexte général : Un système de régulation de température d'un four industriel doit être régulé avec des critères de performance spécifiques : rejet de perturbation, rapidité et stabilité. L'étude porte sur la synthèse du correcteur et l'analyse des critères de performance dans le domaine fréquentiel et temporel. Question 1 : Spécifications et critères de performance (6 points) Le procédé thermique est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre : $G(s) = \frac{K_p}{1 + \tau s}$ avec gain $K_p = 2 °C/V$ et constante de temps $\tau = 100 s$ . Les spécifications en boucle fermée sont : -...→
  • 5
    Examen 1 : Analyse Fréquentielle et Temporelle d'un Système de Positionnement Contexte : On étudie un système d'asservissement de position d'une table XY commandée par un moteur électrique. Le système comporte une chaîne directe de fonction de transfert : $G(s) = \frac{K}{s(1 + \tau s)}$ avec $K = 10$ et $\tau = 0.5$ s. La boucle est fermée par un retour unitaire. On souhaite analyser les performances temporelles et fréquentielles. Question 1 : Transformée de Laplace et Équation Temporelle (4 points) La sortie $y(t)$ du système obéit à l'équation différentielle du second ordre suivante (après linéarisation) : $0.5\ddot{y}(t) + \dot{y}(t) + 10y(t) = 10e(t)$ où $e(t)$ est l'erreur d'asservissement. Calculez la fonction de transfert $G(s) = \frac{Y(s)}{E(s)}$...→
  • 6
    Examen 2 : Synthèse de Correcteurs et Étude de Stabilité Contexte : Un système de régulation thermique d'un réacteur utilise un procédé modélisé par : $G(s) = \frac{5}{s(s+2)}$ Le système doit satisfaire les critères de performance suivants : Erreur statique de position nulle Marge de phase ≥ 45° Bande passante ≥ 1 rad/s Question 1 : Analyse du Système Non Compensé (3 points) Étudiez le système en boucle ouverte sans correcteur. Calculez les pôles, justifiez l'instabilité en boucle fermée. Appliquez le critère de Routh-Hurwitz pour déterminer la stabilité du système bouclé. Question 2 : Synthèse d'un Correcteur Proportionnel-Intégral (PI) (5 points) On...→
  • 7
    Examen 3 : Analyse Temporelle et Réduction de Modèles Contexte : Un système mécanique complexe d'ordre 4 est décrit par sa représentation d'état. On souhaite analyser ses performances temporelles et le réduire à un modèle d'ordre inférieur. $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -10 & -5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -100 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -50 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Question 1 : Analyse Modale du Système (4 points) Calculez les valeurs propres de la matrice A et justifiez la stabilité du système. Identifiez les modes dominants et les modes négligeables (à hautes fréquences). Question 2 : Fonction de Transfert et Réponse Impulsionnelle (4 points) À partir de la représentation d'état, calculez la fonction de transfert $H(s) = C(sI - A)^{-1}B$ . Écrivez sous forme d'une...→
  • 8
    Contexte : Un système de régulation de température est modélisé par une fonction de transfert en boucle ouverte $G(s)$ . L'ingénieur doit s'assurer que le système possède des marges de stabilité suffisantes avant de fermer la boucle. On utilise les diagrammes de Bode et de Nyquist pour cette analyse. La fonction de transfert en boucle ouverte est : $G(s) = \frac{K}{(1 + 0,1s)(1 + 0,01s)(1 + 0,005s)}$ . On étudie d'abord le cas où $K = 10$ . Questions : Diagramme de Bode (Amplitude) : Pour $K=10$ , tracer l'allure asymptotique du diagramme de Bode en amplitude. Calculer les gains en dB aux fréquences de cassure (pulsations de coupure) :...→
  • 9
    Durée : 2h00 | Sans document On considère le système d'asservissement de position d'un bras robotique. Le système est modélisé par un moteur à courant continu entraînant une charge inertielle. L'objectif est de concevoir une commande qui assure précision et rapidité. Contexte La fonction de transfert en boucle ouverte du processus (moteur + charge) est donnée par : \( G(s) = \frac{K}{s(s + 2)(s + 5)} \) Le système est inséré dans une boucle à retour unitaire avec un correcteur \( C(s) \) . Questions Analyse Temporelle (Système non corrigé) : On fixe le correcteur \( C(s) = 1 \) (correcteur proportionnel unitaire). Déterminez l'erreur de traînage (erreur de vitesse) \( \varepsilon_v \) du système en...→
  • 10
    Durée : 2h00 | Sans document On étudie la régulation de température d'un four industriel. Le système est modélisé par des équations différentielles et on cherche à optimiser sa réponse temporelle. Contexte Le four est assimilé à un système du premier ordre avec retard pur. L'équation différentielle liant la puissance de chauffe \( u(t) \) (entrée) à la température \( y(t) \) (sortie) est : \( T \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K_0 u(t - T_r) \) Avec \( K_0 = 2 \, ^\circ\text{C}/\text{W} \) , \( T = 100 \text{ s} \) et \( T_r = 10 \text{ s} \) . Questions Transformée de Laplace et Fonction de Transfert : Déterminez la fonction de transfert \( H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \) du système en utilisant la transformée de Laplace, en considérant les conditions initiales nulles. Approximation de...→
  • 11
    Durée : 2h00 | Sans document Ce sujet porte sur l'analyse temporelle et fréquentielle d'un filtre électronique passif du second ordre, utilisé pour le traitement de signal dans une chaîne d'asservissement. Contexte On considère un circuit RLC série composé d'une résistance \( R \) , d'une inductance \( L \) et d'un condensateur \( C \) . L'entrée est la tension \( v_e(t) \) aux bornes de l'ensemble, et la sortie est la tension \( v_s(t) \) aux bornes du condensateur. Données numériques : \( R = 200 \, \Omega \) , \( L = 1 \, \text{H} \) , \( C = 10 \, \mu\text{F} \) . Questions Modélisation (Fonction de Transfert Canonique) : Établissez l'expression littérale de la fonction de transfert \( H(s) = \frac{V_s(s)}{V_e(s)} \) . Mettez-la sous la...→
  • 12
    Contexte : Moteur asservi en position avec fonction de transfert $G(s) = \frac{K}{s(1 + \tau s)}$ , $K = 10 \, \text{s}^{-2}$ , $\tau = 0.1 \, \text{s}$ , régulateur proportionnel $K_p = 2$ Question 1 : Transformation de Laplace et fonction de transfert en boucle fermée Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte, en boucle fermée, et identifiez $\omega_n$ et $\zeta$ . Question 2 : Réponse temporelle à un échelon Calculez la réponse y(t), le dépassement, le temps de pics et le temps de réponse à 5%. Question 3 : Analyse fréquentielle - Bode Tracez qualitativement le diagramme et calculez la bande passante -3dB. Question 4 : Performances et robustesse Évaluez la marge...→
  • 13
    Contexte : Procédé thermique $G_p(s) = \frac{K_m}{s(1 + T_m s)}$ , $K_m = 2 \, \text{°C/V}$ , $T_m = 5 \, \text{s}$ Question 1 : Synthèse du correcteur PID par Ziegler-Nichols Déterminez $K_c, T_c$ et les paramètres $K_p, T_i, T_d$ . Question 2 : Stabilité par Routh-Hurwitz Analysez la fonction de transfert en boucle fermée et vérifiez la stabilité. Question 3 : Marges de stabilité Calculez la marge de phase et la marge de gain sur le diagramme de Bode. Question 4 : Performances temporelles Évaluez la réponse indicielle et la réjection de perturbation. Question 5 : Optimisation du correcteur Proposez des améliorations : filtre de dérivée, ajustement fin des paramètres.→
  • 14
    Contexte : Suspension automobile $\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_n \dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = \omega_n^2 u(t)$ , $\omega_n = 3 \, \text{rad/s}$ , $\zeta = 0.6$ Question 1 : Représentation d'état et propriétés structurelles Établissez les matrices A, B, C, D et analysez l'observabilité et commandabilité. Question 2 : Calcul des pôles et modes Déterminez les valeurs propres et la stabilité du système. Question 3 : Synthèse du retour d'état Concevez une loi de commande pour placer les pôles en -3 et -4. Question 4 : Design d'un observateur Synthétisez un observateur avec pôles en -6 et -8. Question 5 : Système compensé et recommandations Analysez les performances du système avec régulateur et observateur.→
  • 15
    | Niveau : Licence 3 / Master 1 Contexte Global Un ingénieur de contrôle doit analyser et concevoir un système d'asservissement de température pour un four industriel. Le système comprend un capteur de température, un régulateur, et un élément chauffant. L'objectif est de maintenir la température de consigne avec une précision et une stabilité déterminées. Question 1 : Détermination de la Fonction de Transfert à partir de la Réponse Fréquentielle On dispose de mesures de réponse harmonique du système en boucle ouverte. L'essai a été réalisé à plusieurs fréquences, en injectant un signal sinusoïdal à l'entrée du régulateur. Les résultats...→
  • 16
    Contexte : On souhaite asservir en position un bras robotique actionné par un moteur à courant continu. Le système est modélisé par une équation différentielle reliant la tension d'induit $u(t)$ et la position angulaire $\theta(t)$ . L'étude couvre la modélisation, l'analyse temporelle, et la correction PID. Question 1 (Modélisation) : Le moteur est régi par l'équation différentielle suivante, où $\tau_m = 0.1 \text{ s}$ est la constante de temps mécanique et $K_m = 5 \text{ rad/V.s}$ est le gain statique en vitesse : $\tau_m \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{d\theta(t)}{dt} = K_m u(t)$ . En supposant les conditions initiales nulles, déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $G(s) = \frac{\Theta(s)}{U(s)}$ . Identifiez la classe du système et son...→
• Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis (39 Exercices)
  • 1
    Exercice 2 – Schémas-blocs et simplifications, représentation par fonctions de transfert Un système asservi est modélisé par le schéma-blocs suivant : un premier bloc de fonction de transfert $ \( H_1(p) = \dfrac{5}{p+1} \) $ est suivi d’un second bloc $ \( H_2(p) = \dfrac{p+4}{p^2 + 3p + 2} \) $ . Un retour unitaire (-1) est réalisé sur la sortie du second bloc, et la sommation est faite sur l’entrée (entrée – retour). 1) Écrire la fonction de transfert globale $ \( T(p) = \dfrac{Y(p)}{E(p)} \) $ du système en boucle fermée. 2) Simplifier la fonction de transfert obtenue et donner la position des pôles et zéros du système. 3) Calculer, pour une entrée échelon...→
  • 2
    Exercice 3 – Inverses de transformées de Laplace, modèle mathématique et équivalent schéma-bloc Considérons le système défini par la fonction de transfert : $ \( H(p) = \dfrac{7p+3}{p^2+6p+5} \) $ . 1) Décomposer $ \( H(p) \) $ en éléments simples puis donner la transformée de Laplace inverse correspondante, soit la réponse impulsionnelle h(t). 2) Déduire l’équation différentielle reliant la sortie $ \( y(t) \) $ à l’entrée $ \( u(t) \) $ , en exprimant le modèle mathématique du système dans le domaine temporel. 3) Tracer le schéma-bloc équivalent série et redonner la fonction de transfert du système série obtenu.→
  • 3
    Exercice 1 – Transformée de Laplace et fonction de transfert d’un système premier ordre. Considérons un système asservi décrit par l’équation différentielle suivante : $\tau \dfrac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ , où $\tau = 0{,}5$ s est la constante de temps, $K = 4$ est le gain statique, $u(t)$ l’entrée et $y(t)$ la sortie. Question 1 : Déterminez la transformée de Laplace $Y(p)$ de la sortie pour une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ avec conditions initiales nulles. Question 2 : Déduisez la fonction de transfert $H(p) = \dfrac{Y(p)}{U(p)}$ et exprimez-la sous la forme canonique en identifiant pôles et gain statique. Question 3 : Calculez puis interprétez la valeur finale $\lim_{t\to\infty} y(t)$ et la...→
  • 4
    Exercice 2 – Analyse d’un système du second ordre et détermination des pôles, zéros, et gain statique. On considère le système défini par sa fonction de transfert : $H(p) = K \dfrac{p + z}{p^{2} + 2 \xi \omega_{n} p + \omega_{n}^{2}}$ , avec $K = 10$ , $z = 5$ , $\xi = 0{,}3$ , et $\omega_{n} = 20$ rad/s. Question 1 : Déterminez les pôles du système en calculant les racines du dénominateur. Question 2 : Calculez la valeur du gain statique $K_{statique} = \lim_{p\to 0} H(p)$ . Question 3 : Résoudre l’équation différentielle associée dans le domaine temporel pour une entrée échelon unité, en utilisant l’expression inverse de Laplace simplifiée (donnez l’expression générale sans évaluation numérique complète).→
  • 5
    Exercice 3 – Simplification et analyse de blocs en série et en boucle avec retour unitaire. Considérons un système asservi qui est la cascade de deux systèmes en série avec fonctions de transfert : $H_1(p) = \dfrac{5}{p+3}$ et $H_2(p) = \dfrac{2}{p+1}$ . Le système en boucle fermée avec retour unitaire est décrit par la fonction : $H_{boucle}(p) = \dfrac{H_1(p) H_2(p)}{1 + H_1(p) H_2(p)}$ . Question 1 : Exprimez la fonction de transfert du système en boucle fermée sous la forme factorisée (numérateur et dénominateur polynomiaux réduits). Question 2 : Déterminez les pôles du système en boucle fermée en calculant les racines du dénominateur facteur principal. Question 3 : Calculez le...→
  • 6
    On considère un système asservi décrit par l'équation différentielle suivante : $y''(t) + 4 y'(t) + 4 y(t) = 2 u(t)$ avec conditions initiales nulles, où $u(t)$ est une fonction échelon unité. 1. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ . 2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \dfrac{Y(p)}{U(p)}$ du système. 3. Trouver la réponse temporelle $y(t)$ en inversant la transformée de Laplace.→
  • 7
    On considère un système asservi représenté par la fonction de transfert (FT) : $H(p) = \dfrac{10 (p + 2)}{p (p + 5)}$ . 1. Déterminer les pôles et zéros de la fonction de transfert. 2. Calculer le gain statique $K_s = \lim_{p \to 0} H(p)$ . 3. Pour une entrée échelon unité, calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ et déterminer la réponse temporelle $y(t)$ par transformée inverse.→
  • 8
    Exercice 1 : Étude d’un système asservi simple avec transformation de Laplace On considère un système asservi linéaire continu modélisé par l’équation différentielles suivante : $\dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \dfrac{d y(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)$ , avec $y(0) = 0, \quad \dfrac{d y}{dt}(0) = 0$ . 1. Calculer la transformée de Laplace de l’équation différentielle et exprimer la fonction de transfert $H(p) = \dfrac{Y(p)}{U(p)}$ . 2. Identifier les pôles et zéros de la fonction de transfert. 3. Déterminer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ (fonction unité de Heaviside).→
  • 9
    Exercice 2 : Fonction de transfert et réponse temporelle d’un système premier ordre Considérons un système asservi décrit par la fonction de transfert : $H(p) = \dfrac{5}{\tau p + 1}$ avec $\tau = 0{,}2\ s$ . 1. Calculer la réponse temporelle du système pour une entrée échelon unité. 2. Déterminer la valeur initiale $y(0^+)$ et la valeur finale $y(\infty)$ de la sortie. 3. Vérifier le théorème de la valeur finale en utilisant la fonction de transfert et la transformée de Laplace.→
  • 10
    Exercice 3 : Schéma bloc et simplification dans la représentation d’un système asservi en rétroaction unitaire Un système asservi possède la fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \dfrac{10}{p+2}$ et un retour unitaire. 1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $F(p) = \dfrac{Y(p)}{R(p)}$ du système. 2. Identifier les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée. 3. Calculer le gain statique du système en boucle fermée.→
  • 11
    Exercice 1 : Transformée de Laplace et fonction de transfert d'un système du premier ordre Un système linéaire continu est décrit par l'équation différentielle : $ \tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = Ku(t) $ où $\tau = 2 \text{ s}$ et $K=5$ . La fonction d'entrée est u(t) une fonction échelon unitaire. 1. Calculer la transformée de Laplace de l'entrée u(t). 2. Déterminer la fonction de transfert $H(p)$ du système. 3. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ .→
  • 12
    Exercice 2 : Pôles, zéros et gain statique d'une fonction de transfert Soit le système dont la fonction de transfert est donnée par : $ H(p) = K \frac{p + z}{p + a} $ avec $K=10$ , $z=-1$ , et $a=2$ . 1. Déterminer les pôles et les zéros du système. 2. Calculer le gain statique $K_s = \lim_{p \to 0} H(p)$ . 3. Écrire la fonction de transfert simplifiée en mettant les valeurs numériques.→
  • 13
    Exercice 3 : Représentation en schéma bloc et simplification d’un système en boucle fermée On considère un système asservi en boucle fermée avec la fonction de transfert en boucle ouverte : $ G(p) = \frac{K}{\tau p + 1} $ , avec $K=4$ et $\tau=1$ s. Le retour est unitaire. 1. Écrire la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$ . 2. Calculer les pôles de $H(p)$ . 3. Déterminer le gain statique en boucle fermée.→
  • 14
    Exercice 1 – Transformée de Laplace et modélisation d’un système asservi électrique. On considère un système électrique commandé modélisé par l’équation différentielle suivante : $\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ où $\tau = 0{,}5 \; s$ est la constante de temps, $K = 4$ le gain statique, $u(t)$ est l’entrée et $y(t)$ la sortie du système. Le système est au repos initialement, $y(0)=0$ . 1) Déterminez la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ en fonction de l'entrée $U(p)$ . 2) Calculez la fonction de transfert $H(p) = \frac{Y(p)}{U(p)}$ et identifiez ses pôles et son gain statique. 3) En considérant une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ , calculez la sortie temporelle $y(t)$ en utilisant...→
  • 15
    Exercice 2 – Analyse de la fonction de transfert et schéma bloc d’un système en retour unitaire. Considérons un système en boucle fermée avec la fonction de transfert en avant-système $ G(p) = \frac{10}{p + 5}$ et une rétroaction unitaire. 1) Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $ T(p) = \frac{Y(p)}{U(p)} $ . 2) Identifiez les pôles du système fermé et discutez de la stabilité. 3) Calculez la valeur finale de la sortie $ y(t) $ pour une entrée échelon unité.→
  • 16
    Exercice 3 – Systèmes en série et calcul des fonctions de transfert globales. Considérons deux systèmes linéaires en cascade avec fonctions de transfert respectives : $ G_1(p) = \frac{5}{p + 2}$ et $ G_2(p) = \frac{3(p + 1)}{p + 4}$ . 1) Calculez la fonction de transfert globale $ G(p) = G_1(p) \times G_2(p)$ du système en série. 2) Déterminez les pôles et les zéros de $ G(p)$ . 3) Simplifiez la fonction de transfert globale en annulant les pôles et zéros communs si possible.→
  • 17
    Exercice 1 : Transformée de Laplace et fonction de transfert d’un système du premier ordre On considère un système asservi linéaire continu dont la sortie $y(t)$ et l'entrée $u(t)$ sont liées par l'équation différentielle : $\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ , où $\tau > 0$ est la constante de temps et $K > 0$ est le gain statique. 1. Calculer la transformée de Laplace des deux membres de l’équation, en supposant des conditions initiales nulles. 2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \frac{Y(p)}{U(p)}$ du système. 3. Pour $\tau = 0{,}1~s$ et $K = 5$ , déterminer la transformée de Laplace de la sortie si l'entrée est un échelon unitaire $u(t) = \mathcal{U}(t)$ .→
  • 18
    Exercice 2 : Calcul de transformées de Laplace inverses et théorèmes sur les fonctions usuelles On considère les fonctions suivantes définies pour $t \ge 0$ : 1. $f_1(t) = e^{-3t}$ , calculer sa transformée de Laplace. 2. $f_2(t) = t^2 \cdot \mathcal{U}(t)$ , où $\mathcal{U}(t)$ est la fonction échelon unitaire, calculer la transformée de Laplace. 3. Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction $F(p) = \frac{2p + 5}{p^2 + 4p + 5}$ .→
  • 19
    Exercice 3 : Analyse de schémas-blocs et fonctions de transfert en systèmes asservis Soit un système asservi constitué de deux blocs en série avec fonctions de transfert : $H_1(p) = \frac{10}{p + 2}$ et $H_2(p) = \frac{5}{p + 1}$ . 1. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte, $H_{OL}(p)$ . 2. Si on ajoute un retour unitaire négatif (rétroaction avec gain 1), déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{CL}(p)$ . 3. Calculer le gain statique du système en boucle fermée et donner l’expression de ses pôles.→
  • 20
    Exercice 1 : Transformée de Laplace d'une fonction temps et application à un système de premier ordre. Considérons un système asservi linéaire continu dont l'entrée est un échelon unité $u(t) = \mathcal{U}(t)$ et dont la sortie $y(t)$ vérifie l'équation différentielle $\tau \dfrac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ , où $\tau = 2\,s$ est la constante de temps et $K = 5$ le gain statique. 1. Calculer la transformée de Laplace $Y(p)$ de la sortie en fonction de $p$ . 2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \frac{Y(p)}{U(p)}$ du système. 3. À partir de $Y(p)$ , calculer la réponse temporelle $y(t)$ du système à l'entrée échelon.→
  • 21
    Exercice 2 : Calcul de transformée de Laplace inverse et analyse d'un système sous forme de fonction de transfert. On considère la fonction de transfert suivante : $H(p) = \frac{10(p+2)}{p(p+5)}$ . 1. Décomposer $H(p)$ en éléments simples par fraction partielle. 2. Calculer la transformée de Laplace inverse de $H(p)$ , c'est-à-dire la réponse temporelle impulsionnelle $h(t)$ . 3. Déterminer la valeur initiale et la valeur finale de la réponse à un échelon unité entrée. $→
  • 22
    Exercice 3 : Étude d'un système asservi en rétroaction unitaire avec fonction de transfert donnée. Soit un système asservi en rétroaction unitaire défini par la fonction de transfert en boucle ouverte: $G(p) = \frac{5}{p(p+3)}$ . 1. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $F(p)$ du système. 2. Trouver les pôles et zéros de $F(p)$ . 3. Déterminer la valeur finale de la sortie réponse à un échelon unité. $→
  • 23
    Exercice 1 : Analyse d’un système asservi du premier ordre On considère un système asservi représenté par la fonction de transfert en variable de Laplace : $G(p) = \dfrac{K}{\tau p + 1}$ , où $K=5$ est le gain statique et $\tau=0.2 \,\text{s}$ la constante de temps. 1) Déterminez la transformée de Laplace de la réponse indicielle à une entrée échelon unité $e(t) = u(t)$ . 2) Calculez la valeur initiale $y(0^+)$ et la valeur finale $y(\infty)$ de la sortie en utilisant les théorèmes de la valeur initiale et finale. 3) Déterminez l’expression temporelle explicite de la sortie $y(t)$ .→
  • 24
    Exercice 2 : Analyse de pôles et zéros et gain statique d’une fonction de transfert Considérons un système linéaire continu dont la fonction de transfert est donnée par : $H(p) = \dfrac{p + 2}{(p + 5)(p + 10)}$ . 1) Déterminez la position des pôles et des zéros du système. 2) Calculez le gain statique du système. $ 3) Analysez la stabilité du système en se basant sur les pôles calculés.→
  • 25
    Exercice 3 : Simplification et représentation en schéma bloc Un système asservi est constitué d’une fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \dfrac{4}{p + 2}$ et d’un retour unitaire. On souhaite analyser la fonction de transfert en boucle fermée $H_{bf}(p)$ . 1) Déterminez l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée 2) Calculez le gain statique de la boucle fermée. 3) Si un gain proportionnel $K_p = 3$ est appliqué en amont, déterminez la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée et son gain statique.→
  • 26
    Exercice 1 – Analyse d’un système asservi continu à partir de sa fonction de transfert. Considérons un système décrit par la fonction de transfert $H(p) = \frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13}$ , où $p$ est la variable de Laplace. Question 1 : Déterminez les pôles et zéros de la fonction de transfert $H(p)$ , ainsi que le gain statique du système. Question 2 : En utilisant le théorème de la valeur initiale et le théorème de la valeur finale, calculez respectivement $\lim_{t \to 0^+} y(t)$ et $\lim_{t \to +\infty} y(t)$ pour une entrée échelon unitaire. Question 3 : Écrivez l’équation différentielle régissant ce système en temps réel et exprimez la réponse temporelle...→
  • 27
    Exercice 2 – Fonction de transfert et schéma bloc d’un système asservi en boucle fermée. Le système asservi a pour fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \frac{10}{p(p+2)}$ avec un correcteur proportionnel de gain $K = 5$ en boucle fermée. Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_f(p)$ . Question 2 : Calculer le gain statique $K_s$ du système bouclé. Question 3 : Trouver les pôles du système en boucle fermée et discuter la stabilité.→
  • 28
    Exercice 1 – Analyse d’un système asservi linéaire par transformée de Laplace. Considérons un système asservi continu représenté par l'équation différentielle suivante : $ \(\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 5 \frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)\) $ , avec $ \(y(0)=0\) $ et $ \(y'(0)=0\) $ où $ \(u(t)\) $ est l'entrée unitaire échelon et $ \(y(t)\) $ la sortie. 1) Déterminer la transformée de Laplace $ \(Y(p)\) $ de la sortie en fonction de $ \(p\) $ . 2) Identifier la fonction de transfert $ \(H(p)=\frac{Y(p)}{U(p)}\) $ . 3) Déterminer la réponse temporelle $ \(y(t)\) $ du système à une entrée échelon unitaire.→
  • 29
    Exercice 2 – Modélisation et analyse en Laplace d’un système asservi avec retour unitaire. Un système asservi a pour fonction de transfert ouverte : $ \(G(p) = \frac{5}{p (p + 1)}\) $ . Il est en boucle fermée avec un retour unitaire. 1) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $ \(H_{bf}(p)\) $ . 2) Déterminer le gain statique $ \(K_s\) $ du système. 3) Calculer la réponse temporelle à une entrée échelon unité.→
  • 30
    Exercice 3 – Simplification et analyse d’un système série avec fonction de transfert. On considère un système en séries composé de deux sous-systèmes avec fonctions de transfert : $ \(H_1(p) = \frac{2}{p + 3}\) $ et $ \(H_2(p) = \frac{3}{p + 4}\) $ . 1) Déterminer la fonction de transfert globale $ \(H(p)\) $ du système série. 2) Trouver les pôles et les zéros de $ \(H(p)\) $ . 3) Calculer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.→
  • 31
    Exercice 1 – Analyse d’un système asservi linéaire par transformée de Laplace. Considérons un système asservi continu représenté par l'équation différentielle suivante : $ \(\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 5 \frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)\) $ , avec $ \(y(0)=0\) $ et $ \(y'(0)=0\) $ où $ \(u(t)\) $ est l'entrée unitaire échelon et $ \(y(t)\) $ la sortie. 1) Déterminer la transformée de Laplace $ \(Y(p)\) $ de la sortie en fonction de $ \(p\) $ . 2) Identifier la fonction de transfert $ \(H(p)=\frac{Y(p)}{U(p)}\) $ . 3) Déterminer la réponse temporelle $ \(y(t)\) $ du système à une entrée échelon unitaire.→
  • 32
    Exercice 2 – Modélisation et analyse en Laplace d’un système asservi avec retour unitaire. Un système asservi a pour fonction de transfert ouverte : $ \(G(p) = \frac{5}{p (p + 1)}\) $ . Il est en boucle fermée avec un retour unitaire. 1) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $ \(H_{bf}(p)\) $ . 2) Déterminer le gain statique $ \(K_s\) $ du système. 3) Calculer la réponse temporelle à une entrée échelon unité.→
  • 33
    Exercice 3 – Simplification et analyse d’un système série avec fonction de transfert. On considère un système en séries composé de deux sous-systèmes avec fonctions de transfert : $ \(H_1(p) = \frac{2}{p + 3}\) $ et $ \(H_2(p) = \frac{3}{p + 4}\) $ . 1) Déterminer la fonction de transfert globale $ \(H(p)\) $ du système série. 2) Trouver les pôles et les zéros de $ \(H(p)\) $ . 3) Calculer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.→
  • 34
    Exercice 1 : Analyse d’un système asservi du premier ordre avec entrée échelon. On considère un système asservi dont la fonction de transfert est donnée par : $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ où $K = 5$ est le gain statique et $\tau = 0{,}2\,\text{s}$ la constante de temps. 1. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ lorsque l’entrée est un échelon unité $E(p) = \frac{1}{p}$ . 2. Déterminer la sortie temporelle $y(t)$ en effectuant la transformée de Laplace inverse. 3. Trouver les valeurs initiales $y(0^+)$ et finale $y(\infty)$ de la sortie à l’aide des théorèmes de la valeur initiale et finale.→
  • 35
    Exercice 2 : Analyse d’un système asservi du second ordre à réponse impulsionnelle. Un système est caractérisé par la fonction de transfert : $H(p) = \frac{\omega_0^2}{p^2 + 2 \xi \omega_0 p + \omega_0^2}$ avec $\omega_0 = 10\,\text{rad/s}$ et $\xi = 0{,}3$ . 1. Calculer la fonction de transfert $H(p)$ et exprimer la sortie $Y(p)$ lorsque l’entrée est un échelon unité $E(p) = \frac{1}{p}$ . 2. Trouver l’expression temporelle de la sortie $y(t)$ en effectuant la transformée de Laplace inverse. 3. Déterminer les pôles du système et analyser la nature de la réponse temporelle.→
  • 36
    Exercice 3 : Combinaison de systèmes asservis en série et en parallèle. Deux systèmes de transfert respectifs sont définis : $H_1(p) = \frac{2}{p + 3}$ et $H_2(p) = \frac{4}{p + 5}$ . 1. Calculer la fonction de transfert globale $H_{série}(p)$ obtenue en connectant en série $H_1$ puis $H_2$ . 2. Calculer la fonction de transfert globale $H_{parallèle}(p)$ obtenue en connectant $H_1$ et $H_2$ en parallèle. 3. Pour une entrée échelon unité $E(p) = \frac{1}{p}$ , calculer la sortie correspondante $Y_{série}(p)$ et $Y_{parallèle}(p)$ , puis déterminer leurs réponses temporelles respectives.→
  • 37
    Un système asservi est décrit par l'équation différentielle suivante : $ \dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \dfrac{d y(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 \dfrac{d u(t)}{dt} + 8 u(t)$ , où $u(t)$ est l'entrée et $y(t)$ la sortie. Question 1 : En appliquant la transformée de Laplace (avec conditions initiales nulles), déterminer l'expression de la fonction de transfert $T(p) = \dfrac{Y(p)}{U(p)}$ du système. Question 2 : Décomposer cette fonction de transfert en éléments simples puis calculer la réponse temporelle $y(t)$ lorsque l'entrée $u(t)$ est un échelon unité $u(t) = \mathcal{U}(t)$ . Question 3 : Déterminer les pôles et les zéros de la fonction de transfert et calculer le gain statique $K_s = \lim_{p\to 0} T(p)$ . Interpréter physiquement ces résultats dans le contexte des systèmes asservis....→
  • 38
    Un système asservi est représenté par la fonction de transfert suivante : $ T(p) = \dfrac{5 (p+2)}{p^2 + 4 p + 5}$ . Question 1 : Déterminez l'équation différentielle temporelle associée au système, en retenant la convention que la sortie est $y(t)$ et l'entrée $u(t)$ . Question 2 : Calculez la réponse du système à une entrée échelon unité $u(t) = \mathcal{U}(t)$ , en effectuant la décomposition en éléments simples de $Y(p) = T(p) \dfrac{1}{p}$ . Question 3 : En utilisant le théorème de la valeur initiale et finale, calculez $y(0^+)$ et $\lim_{t \to \infty} y(t)$ .→
  • 39
    Un système asservi en retour unitaire est composé de deux fonctions de transfert en série : $ G_1(p) = \dfrac{10}{p + 3}$ et $G_2(p) = \dfrac{5}{p + 1}$ . Question 1 : Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = G_1(p) G_2(p)$ . Question 2 : En considérant un retour unitaire, calculez la fonction de transfert en boucle fermée $T(p) = \dfrac{G(p)}{1 + G(p)}$ . Question 3 : Déterminez les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée et discutez de la stabilité du système.→
• analyse dans le domaine temporel (33 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Identification et analyse temporelle d’un système du premier ordre On considère un système linéaire continu du premier ordre décrit par l’équation différentielle $\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ , avec $\tau = 0,65 \ s$ et $K = 2,8$ . À l’instant $t = 0$ , on applique un échelon d’amplitude $U_0 = 7$ . 1. Déterminez l’expression temporelle de la réponse du système pour $y(0) = 0$ . 2. Calculez la valeur de $y(t)$ à $t = 1,2\ s$ . 3. Calculez le temps de réponse à 2 %, puis donnez la précision statique en régime permanent pour cet échelon.→
  • 2
    Exercice 2 : Réponse impulsionnelle et identification d’un système du second ordre On analyse la réponse d’un système linéaire du second ordre dont la fonction de transfert est $H(s) = \frac{K}{\tau^2 s^2 + 2\xi \tau s + 1}$ , avec $K = 1,5$ , $\tau = 0,7\ s$ et $\xi = 0,28$ . À $t = 0$ , on applique une impulsion unitaire $\delta(t)$ . 1. Écrivez l’expression temporelle de la réponse impulsionnelle.→
  • 3
    Exercice 3 : Stabilité et rapidité d’un système d’ordre supérieur Un système d’asservissement d’ordre 3 est régi par l’équation $\frac{d^3y}{dt^3} + 5 \frac{d^2y}{dt^2} + 17\frac{dy}{dt} + 13 y = 17 u(t)$ . Pour $u(t)$ échelon unitaire et $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ . 1. Déterminer la nature des pôles du système et la stabilité. 2. Calculer le temps de montée (10 % à 90 %) en utilisant les valeurs propres. 3. Déterminer la précision statique pour une entrée échelon et interpréter la rapidité.→
  • 4
    Un système asservi linéaire du premier ordre est décrit par la fonction de transfert $H(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$ où $K = 2$ et $\tau = 0{,}5~s$ . Le système est soumis à un échelon d’entrée de valeur $A = 4$ . 1. Déterminez la réponse temporelle du système à l’échelon. 2. Calculez le temps nécessaire pour que la sortie atteigne 95% de sa valeur finale. 3. Calculez l’erreur statique pour une entrée échelon et commentez la précision statique du système.→
  • 5
    Un système de second ordre de fonction de transfert $H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\xi \omega_0 s + \omega_0^2}$ où $\omega_0 = 5~rad/s$ et $\xi = 0,5$ reçoit un échelon de valeur $A = 3$ . 1. Déterminez la réponse temporelle à cet échelon (expression complète). 2. Calculez le dépassement maximal de la sortie et le temps auquel il se produit. 3. Calculez l’écart entre la sortie à l’instant $t = 0,9~s$ et sa valeur finale.→
  • 6
    On observe la réponse impulsionnelle d’un système d’ordre supérieur. La sortie expérimentale obtenue est : $y(t) = 7 e^{-t/3} - 2 e^{-2t}$ pour $t \geq 0$ . 1. Identifiez le type de système et déduisez une expression générique de la fonction de transfert. 2. Calculez la valeur de la sortie à $t = 0,5~s$ et à $t = 2~s$ . 3. Déterminez la rapidité du système en calculant le temps au bout duquel la sortie a perdu 90% de sa valeur initiale.→
  • 7
    Exercice 1 : Réponse d’un système du premier ordre à une entrée en échelon On considère un système linéaire et continu du premier ordre dont la fonction de transfert est $H(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$ avec $K = 4,5$ et $\tau = 1,7\,\text{s}$ . On applique au système un échelon de tension de $7\,\text{V}$ à l’instant $t = 0$ . 1. Déterminez l’expression temporelle de la réponse du système. 2. Calculez la valeur de la réponse à $t = 4\,\text{s}$ et à $t = 8\,\text{s}$ . 3. Calculez la vitesse initiale de la réponse au moment de l’application du signal.→
  • 8
    Exercice 3 : Identification d’un système réel et analyse de ses performances On impose une entrée échelon à un système inconnu. Sa sortie mesurée est caractérisée par un temps de réponse à 5 % de $2,3\,\text{s}$ , un dépassement de $17\%$ et une valeur finale de $5,7$ . On suppose la structure d’un second ordre typique. 1. Identifiez l’ordre, le gain statique et la pulsation propre du système. 2. Déterminez le coefficient d’amortissement à partir du dépassement mesuré. 3. Calculez la pulsation propre à partir du temps de réponse et vérifiez la cohérence avec le dépassement.→
  • 9
    Un système asservi d'ordre 1 répond à une entrée échelon de $A=6$ . Sa constante de temps est $\tau=0{,}45\ \text{s}$ et son gain statique est $K=3{,}8$ . 1. Déterminez l’expression temporelle de la sortie du système en régime transitoire pour $t\geq 0$ . 2. Calculez la valeur de la sortie en régime permanent et le temps nécessaire pour atteindre $99\ \%$ de la valeur finale. 3. Identifiez (à partir de la réponse temporelle) la précision statique et la rapidité de ce système.→
  • 10
    Un système de second ordre de fonction de transfert $H(p)=\dfrac{15}{p^2+7p+15}$ reçoit une entrée impulsionnelle de Dirac. 1. Calculez la réponse temporelle du système à cette impulsion. 2. Déterminez le temps auquel la sortie atteint son maximum, puis calculez ce maximum. 3. Relevez (par identification sur la réponse temporelle) la nature du régime (sur-amorti, pseudo-périodique, critique) et la valeur de la rapidité typique du système.→
  • 11
    Une chaîne de régulation d’ordre supérieur (d’ordre 3) est soumise à une entrée échelon, et on observe la réponse temporelle suivante : au bout de $0{,}8\ \text{s}$ , la sortie atteint $68\ \%$ de la valeur finale ; la sortie finale est $10{,}2$ . 1. Identifiez le type d’ordre du système et déduisez, par modélisation simplifiée, la constante de temps équivalente. 2. Évaluez le temps de réponse à $95\ \%$ pour ce système. 3. Si l’on souhaite obtenir une rapidité deux fois supérieure, calculez la nouvelle constante de temps à imposer.→
  • 12
    Exercice 1 : Analyse temporelle d’un système du premier ordre soumis à un échelon Un système linéaire continu du premier ordre de fonction de transfert $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ reçoit en entrée un échelon de valeur $E_0 = 8\ \mathrm{V}$ et de durée infinie. Les paramètres sont $K = 3$ et $\tau = 0,6\ \mathrm{s}$ . 1. Déterminer l’expression temporelle de la sortie pour $t \geq 0$ . 2. Calculer le temps nécessaire pour que la sortie atteigne $95\%$ de sa valeur finale. 3. Déterminer la valeur de la sortie en régime permanent et le dépassement éventuel.→
  • 13
    Exercice 2 : Identification d’un système du second ordre à partir de la réponse à un échelon On applique à un système inconnu un signal échelon de $2\ \mathrm{V}$ . La sortie observée présente une première oscillation de pic de $3,6\ \mathrm{V}$ à $t_1 = 0,32\ \mathrm{s}$ et le second maximum atteint $2,8\ \mathrm{V}$ à $t_2 = 1,08\ \mathrm{s}$ . 1. Calculer le taux d’amortissement $\xi$ du système à partir des pics successifs. 2. En déduire la pulsation propre $\omega_0$ du système. 3. Donner l’expression de la sortie temporelle pour un échelon de 2 V, en utilisant les résultats précédents.→
  • 14
    Exercice 3 : Identification d’un système à partir d’une réponse impulsionnelle et stabilité On donne la réponse impulsionnelle d’un système continu de la forme $h(t) = \,\alpha e^{-\beta t} u(t)$ , où $u(t)$ est l’échelon unité. On observe que le maximum de la réponse est $h_{max}=4,5$ pour $t=0$ et qu’à $t=1,2\ \mathrm{s}$ on a $h(1,2) =1,66$ . 1. Identifier les valeurs des paramètres $\alpha$ et $\beta$ . 2. Vérifier la stabilité du système. 3. Calculer la réponse à une entrée échelon de $U_0 = 3\ \mathrm{V}$ et donner la valeur de la sortie à l’infini.→
  • 15
    Un système linéaire d’ordre 1 à retour unitaire a pour fonction de transfert $H(s) = \frac{5}{\tau s + 1}$ . Après application d'un échelon d'entrée de valeur $2$ à $t=0$ , on mesure expérimentalement une valeur de sortie de $1,26$ au temps $t=0,15~s$ . 1) Identifiez la constante de temps $\tau$ du système. 2) Déterminez l’expression temporelle de la réponse pour $t>0$ . 3) Calculez le temps pour lequel la sortie atteint $99~\%$ de sa valeur finale.→
  • 16
    Un système du second ordre de fonction de transfert $H(s) = \frac{16}{s^2 + 4s + 16}$ est soumis à une impulsion de Dirac à $t=0$ d’amplitude $6$ . 1) Déterminez l’expression temporelle de la réponse impulsionnelle. 2) Calculez le temps auquel la première extremum (pic de dépassement) est atteint. 3) Évaluez la valeur de la sortie à cet instant précis.→
  • 17
    Lors de l’identification d’un système inconnu, on lui applique un échelon de hauteur $3$ . La réponse mesurée est : à $t=0$ , $y=0$ ; à $t=0,3~s$ , $y=2,16$ ; à $t=0,8~s$ , $y=2,94$ . En régime permanent, $y_\infty = 3,00$ . 1) En supposant un système d’ordre 1, déterminez la constante de temps. 2) Calculez l’écart statique pour un échelon de même amplitude si le système est d’ordre supérieur non parfait. 3) Déduisez une estimation de l’ordre minimal du système compatible avec la précision.→
  • 18
    On considère un système linéaire continu du premier ordre modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \frac{4}{2p + 1}$ . 1. Déterminez l’expression de la réponse du système à un échelon unitaire. 2. Calculez le temps nécessaire pour que la sortie atteigne 95 % de sa valeur finale. 3. Pour l’entrée impulsionnelle de Dirac, calculez et tracez la réponse impulsionnelle.→
  • 19
    Un système de second ordre est défini par $H(p) = \frac{25}{p^2 + 6p + 25}$ . 1. Calculez la réponse temporelle à un échelon unitaire. 2. Déterminez le maximum de la réponse (dépassement) et le temps d’atteinte de ce maximum. 3. En utilisant la même fonction de transfert, identifiez la nature et calculez le temps de réponse à 2 %.→
  • 20
    Un système asservi linéaire continu de premier ordre admet comme fonction de transfert $H(p) = \dfrac{5}{1 + 0,25p}$ . On applique à l’entrée un échelon unitaire à partir de $t = 0$ . 1. Déterminez la réponse indicielle temporelle $y(t)$ et le temps de réponse à 5%. 2. Calculez la sortie du système pour une impulsion de Dirac de magnitude 2 à $t = 0$ . 3. On réalise expérimentalement une réponse à un échelon : on trouve que $y(0,25) = 3,16$ . Identifiez les paramètres du système expérimental (gain et constante de temps).→
  • 21
    Un système du second ordre de fonction de transfert $H(p) = \dfrac{20}{p^2 + 6p + 20}$ est excité par une entrée échelon unitaire. 1. Déterminez l’expression de la sortie temporelle $y(t)$ (réponse indicielle). 2. Calculez la valeur du dépassement maximal (overshoot) et le temps auquel il est atteint. 3. À partir de la réponse, identifiez la nature du régime transitoire et la précision statique du système.→
  • 22
    On considère un système d’ordre supérieur (ordre 4), de fonction de transfert : $H(p) = \dfrac{15}{(p + 2)^2 (p^2 + 8p + 25)}$ . Un signal d’entrée échelon de valeur 1 est appliqué à t=0. 1. Exprimez la sortie sous la forme d’une somme de réponses de premier et second ordre (décomposition partielle). 2. Donnez l’expression de la composante dominante de la réponse (celle gouvernant la stagnation/régime permanent). 3. Identifiez à partir de l’expression temporelle les pôles dominants et leur influence sur la rapidité et la stabilité du système.→
  • 23
    On considère un système du premier ordre, modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \frac{5}{1 + 0{,}2p}$ , soumis à un échelon unitaire d'entrée. 1. Calculez la réponse du système à l’échelon et déterminez la constante de temps. 2. Déterminez la valeur de la sortie à $t = 0{,}4~s$ et le temps pour atteindre $98~\% $ de la valeur finale. 3. Déterminer la réponse impulsionnelle, puis l'intégrale de cette réponse et l’interpréter physiquement.→
  • 24
    On considère un système du second ordre de fonction de transfert $H(p) = \frac{16}{p^2 + 8p + 16}$ . On applique un échelon unitaire à l’entrée. 1. Déterminez la réponse du système à l’échelon et la valeur finale atteinte par la sortie. 2. Calculez la valeur maximale de la sortie, le dépassement éventuel et le temps de réponse à $2~\% $ près. 3. Identifiez les caractéristiques du système (rapidité, stabilité, précision statique) et comparez-les à un système du premier ordre ayant même gain statique.→
  • 25
    On observe la réponse temporelle d’un système inconnu à un échelon unitaire : au bout de $0,5~s$ , la sortie atteint $0,63$ de sa valeur finale ; au bout de $2~s$ , elle atteint $0,98$ . On suppose que le système est soit du premier ordre, soit du second ordre. 1. Identifiez le type et le modèle d’ordre à l’aide des constantes temporelles. 2. Déterminez l’équation temporelle de la réponse en justifiant l’identification. 3. Pour un système du second ordre, quelle serait la valeur du facteur d’amortissement pour expliquer cette réponse ?→
  • 26
    Exercice 1 : Réponse temporelle d’un système du premier ordre On considère un système linéaire continu du premier ordre de fonction de transfert $H_1(p) = \frac{4}{\tau p + 1}$ où $\tau = 0{,}75~s$ . À t = 0, on applique au système un échelon unitaire. 1. Calculer l’expression temporelle de la réponse du système à cet échelon. 2. Déterminer la valeur atteinte par la sortie à t = 2~s et le temps de réponse à 5%. 3. Calculer et interpréter la valeur finale (régime permanent) et le temps caractéristique lié à la rapidité.→
  • 27
    Exercice 3 : Analyse temporelle et stabilité d’un système d’ordre supérieur On considère un système à trois pôles : $H_3(p) = \frac{20}{(p+1)(p+2)(p+5)}$ 1. Calculer l’expression de la sortie pour une entrée échelon unitaire. 2. Déterminer la valeur de la sortie à $t = 2~s$ et le régime permanent. 3. Discuter de la stabilité et rapidité du système en analysant les pôles réels.→
  • 28
    Un système asservi de premier ordre possède une fonction de transfert $H_1(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ , avec $K = 2,5$ et $\tau = 0,8\,s$ . Le système reçoit une entrée échelon de valeur $E_0 = 10$ à $t=0$ . 1. Calculez l’expression temporelle de la réponse du système pour $t \geq 0$ . 2. Déterminez le régime permanent et le temps pour atteindre 95% de la valeur finale. 3. Déduisez la précision statique et la rapidité (temps de réponse à 5%).→
  • 29
    Un système d’ordre 2 admet pour fonction de transfert $H_2(p) = \frac{25}{p^2 + 10p + 25}$ . On lui applique une entrée échelon de $E_0 = 5$ unités. 1. Déterminez la réponse temporelle sous forme analytique. 2. Calculez la valeur maximale de la réponse avant stabilisation (dépassement maximal). 3. Déduisez la période de pseudo-oscillation et le temps de stabilisation à 2%, en expliquant les étapes.→
  • 30
    On observe la réponse temporelle d’un système inconnu à une entrée échelon de $E_0 = 3$ . La sortie est mesurée et suit : à $t=0$ , $s=0$ ; à $t=0,5\,s$ , $s=1,2$ ; à $t=1\,s$ , $s=2,02$ ; à $t=\infty$ , $s=3$ . 1. Proposez l’identification du système (premier ou second ordre). 2. Déterminez les paramètres caractéristiques du système identifié. 3. Calculez le temps de réponse à 90%.→
  • 31
    Un système d’asservissement de premier ordre représenté par la fonction de transfert $H(p) = \frac{5}{0{,}4p+1}$ reçoit en entrée un échelon de $4\,\mathrm{V}$ à $t=0$ . 1) Calculer l’expression temporelle de la sortie $s(t)$ pour $t \geq 0$ . 2) Déterminer la valeur finale et l’erreur statique par rapport à l’entrée. 3) Calculer le temps pour atteindre 95 % de la valeur finale.→
  • 32
    Un système asservi de second ordre est défini par $H(p) = \frac{10}{p^2 + 4p + 10}$ . 1) Déterminer la réponse temporelle du système à une impulsion unitaire (dirac) d’entrée. 2) Calculer la valeur maximale de la sortie suite à un échelon unitaire d’entrée. 3) Identifier le régime (régime transitoire : oscillant, apériodique, rapide/lent ?).→
  • 33
    On effectue l’identification expérimentale d’un procédé asservi. À une entrée échelon de valeur $3\,\mathrm{V}$ , la sortie s’établit à $2,1\,\mathrm{V}$ avec un temps de montée (10 %-90 %) de $0,55\,\mathrm{s}$ et un temps de réponse à 5 % de $0,71\,\mathrm{s}$ . 1) En considérant un modèle du premier ordre, déterminer le gain statique et la constante de temps. 2) En considérant un modèle du second ordre de type $\frac{K\omega_0^2}{p^2+2\xi\omega_0 p+\omega_0^2}$ , identifier $\omega_0$ et $\xi$ . 3) Calculer la précision statique (erreur de position) pour chaque modèle.→
• Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel (35 Exercices)
  • 1
    Un système de régulation de vitesse est modélisé en boucle ouverte par la fonction de transfert suivante dans le domaine de Laplace : $ \(G(p) = \dfrac{K}{p(1+0{,}1p)}\) $ , où $ \(K\) $ est un gain réel strictement positif. On considère une boucle fermée avec retour unitaire. Question 1 : Pour $ \(K = 1\) $ , calculer la valeur exacte du module $ \(|G(j\omega)|\) $ et de l’argument $ \(\arg G(j\omega)\) $ aux pulsations $ \(\omega = 0{,}1\) $ , $ \(\omega = 1\) $ et $ \(\omega = 10\) $ (en utilisant des radians par seconde et des degrés). En déduire les valeurs du diagramme de Bode (module en...→
  • 2
    On considère un système linéaire continu en boucle ouverte défini par la fonction de transfert : $ \(G(p) = \dfrac{K}{(p+1)(p^2 + 4p + 13)}\) $ , avec $ \(K > 0\) $ . Le retour est unitaire et l’on souhaite étudier la stabilité de la boucle fermée à l’aide du critère de Nyquist. Question 1 : Pour $ \(K = 1\) $ , calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $ \(G(j\omega)\) $ aux pulsations $ \(\omega = 0\) $ , $ \(\omega = 1\) $ , $ \(\omega = 2\) $ et $ \(\omega = 5\) $ . En déduire le module $ \(|G(j\omega)|\) $ et la phase $ \(\arg G(j\omega)\) $ à chacune de ces...→
  • 3
    Un système asservi est constitué d’un procédé de fonction de transfert $ \(P(p) = \dfrac{1}{p(p+4)(p+6)}\) $ et d’un correcteur proportionnel de gain $ \(K\) $ , en boucle fermée avec retour unitaire. On souhaite étudier la stabilité et la dynamique du système en utilisant le critère de Routh-Hurwitz et le lieu d’Evans. Question 1 : Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte $ \(G(p) = K P(p)\) $ puis déterminer le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire, c’est-à-dire le polynôme caractéristique $ \(\Delta(p)\) $ . Construire le tableau de Routh-Hurwitz de $ \(\Delta(p)\) $ et déterminer la plage...→
  • 4
    Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système du premier ordre Un système de commande est défini par la fonction de transfert suivante : $H(p) = \dfrac{K}{1 + T p}$ avec $K = 10$ et $T = 0.1\,s$ . 1. Calculez le gain statique du système en décibels à très basse fréquence ( $\omega \to 0$ ). 2. Déterminez la pulsation de coupure à -3 dB du système. 3. Calculez la phase du système à $\omega = 10\,rad/s$ . 4. Tracez sur le diagramme de Bode la courbe asymptotique correspondante. 5. Vérifiez la stabilité du système en traçant le lieu de Nyquist et en identifiant si le contour entoure le point critique (-1, 0)....→
  • 5
    Exercice 3 : Diagrammes de Bode et critère de Routh Soit la fonction de transfert suivante : $H(p) = \dfrac{1000}{p^3 + 6p^2 + 11p + K}$ . 1. Pour $K = 60$ , tracez le diagramme de Bode asymptotique du module. 2. Déterminez la marge de gain et de phase correspondantes. 3. Appliquez le critère de Routh pour identifier la plage de valeurs de $K$ assurant la stabilité. 4. Calculez les valeurs précises de $K$ donnant une racine sur l’axe imaginaire. 5. Interprétez physiquement la signification de ces résultats en termes de stabilité.→
  • 6
    Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système du premier ordre. Un système linéaire invariant est décrit par la fonction de transfert $H(p) = \frac{10}{p + 10}$ . On s’intéresse à son comportement dans le domaine fréquentiel. 1. Calculez le module de la fonction de transfert $|H(j\omega)|$ en fonction de la pulsation $\omega$ . 2. Déterminez l’argument de $H(j\omega)$ en fonction de $\omega$ . 3. Calculez la fréquence de coupure $\omega_c$ à -3 dB.→
  • 7
    Exercice 2 : Étude du diagramme de Bode d’un système du second ordre. On considère la fonction de transfert suivante : $H(p) = \frac{100\omega_n^2}{p^2 + 2\xi \omega_n p + \omega_n^2}$ avec $\omega_n = 20~\text{rad/s}$ et $\xi = 0.2$ . 1. Calculez le gain statique $K = H(0)$ . 2. Déterminez la fréquence de résonance $\omega_r$ . 3. Évaluez le module en dB à cette fréquence de résonance.→
  • 8
    EXERCICE 1 : Analyse fréquentielle d’un système d’asservissement de vitesse Un moteur à courant continu est modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $G(p) = \frac{K}{p(Tp + 1)}$ avec $K = 50$ et $T = 0.1\,s$ . 1. Tracer le diagramme de Bode de ce système pour les fréquences comprises entre $\omega = 1\,rad/s$ et $\omega = 1000\,rad/s$ . 2. Déterminer la pulsation de coupure $\omega_c$ telle que le gain soit nul (0 dB). 3. Calculer la marge de phase correspondante à cette fréquence de coupure.→
  • 9
    EXERCICE 2 : Étude du lieu de Nyquist d’un système du second ordre Un système de régulation est décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \frac{K}{(1 + 0.2p)(1 + 0.05p)}$ avec $K=10$ . 1. Tracer approximativement le lieu de Nyquist de ce système. 2. Déterminer si la courbe de Nyquist encercle le point (-1,0). 3. Évaluer la marge de gain en dB et la marge de phase correspondante.→
  • 10
    Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système de premier ordre RC. On considère un système linéaire et continu de fonction de transfert donnée par $H(p) = \frac{1}{1 + pRC}$ , où $R = 10\,k\Omega$ et $C = 10\,\mu F$ . On veut analyser ce système dans le domaine fréquentiel. 1. Calculez la pulsation de coupure $\omega_c$ et la fréquence de coupure $f_c$ . 2. Déterminez le module $|H(j\omega)|$ et l'argument $\arg(H(j\omega))$ en fonction de $\omega$ . 3. Calculez le gain (en décibels) et la phase pour $\omega = 100\,rad/s$ , et en déduire la marge de phase à partir du diagramme de Bode théorique.→
  • 11
    Exercice 2 : Analyse de stabilité d’un système d’ordre 2. On considère un système de fonction de transfert fermée donnée par $H(p) = \frac{100}{p^2 + 10p + 100}$ . 1. Calculez la pulsation naturelle $\omega_n$ et le facteur d’amortissement $\xi$ . 2. Déterminez la fréquence à laquelle le module du diagramme de Bode atteint -3 dB. 3. Calculez la marge de phase et la marge de gain à partir des conditions de stabilité du critère de Nyquist.→
  • 12
    Exercice 3 : Étude du lieu de Nyquist d’un système de contrôle. On considère le système en boucle ouverte de fonction de transfert $G(p) = \frac{K (1 + 0.5p)}{p(1 + 0.1p)(1 + 0.02p)}$ . On souhaite dimensionner K pour assurer la stabilité du système en boucle fermée. 1. Calculez la valeur de $|G(j\omega)|$ pour $\omega = 10\,rad/s$ et $K = 1$ . 2. Déterminez la marge de gain lorsque la phase atteint -180°. 3. Calculez la valeur de K correspondant à une marge de phase de 45°.→
  • 13
    Exercice 1 – Analyse fréquentielle d’un système asservi de premier ordre. Un système de commande est représenté par la fonction de transfert suivante : $H(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}$ . 1. Calculez la fréquence de coupure en fonction de $\tau$ . 2. Déterminez le gain (en dB) et la phase à une fréquence donnée $\omega = 10 \ rad/s$ pour $\tau = 0.05 \ s$ et $K = 2$ . 3. Déduisez les coordonnées du point correspondant sur le diagramme de Nyquist.→
  • 14
    Exercice 2 – Étude fréquentielle d’un système du second ordre. On considère un système dont la fonction de transfert est donnée par : $H(p) = \dfrac{\omega_n^2}{p^2 + 2\xi\omega_n p + \omega_n^2}$ avec $\omega_n = 50 \ rad/s$ et $\xi = 0.2$ . 1. Calculez le gain à la résonance en fonction de $\xi$ et $\omega_n$ . 2. Déterminez la fréquence de résonance $\omega_r$ . 3. Évaluez le gain en décibels à cette fréquence pour les valeurs données.→
  • 15
    Exercice 3 – Étude de stabilité d’un système avec retour unitaire. La fonction de transfert en boucle ouverte d’un système est donnée par $G(p) = \dfrac{10}{p(p+2)(p+5)}$ . 1. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée pour un retour unitaire. 2. Déterminez la marge de gain à partir du diagramme de Bode théorique. 3. Calculez la marge de phase correspondante.→
  • 16
    Exercice 1 – Analyse fréquentielle d’un système de premier ordre. On considère un système asservi linéaire et continu dont la fonction de transfert est donnée par : $G(p) = \dfrac{K}{1 + \tau p}$ , avec $K = 5$ et $\tau = 0.2\,s$ . 1. Déterminer la pulsation de coupure à -3 dB du système. 2. Calculer le module et la phase du gain complexe $G(j\omega)$ pour $\omega = 5\,rad/s$ . 3. Tracer le diagramme de Bode asymptotique et indiquer les principales caractéristiques (gain statique, fréquence de rupture, pente finale).→
  • 17
    Exercice 2 – Diagramme de Nyquist d’un système du second ordre. On considère un système linéaire invariant dont la fonction de transfert est : $G(p) = \dfrac{\omega_0^2}{p^2 + 2\xi \omega_0 p + \omega_0^2}$ , avec $\omega_0 = 10\,rad/s$ et $\xi = 0.3$ . 1. Calculer le module $|G(j\omega)|$ pour $\omega = 10\,rad/s$ . 2. Déterminer la fréquence de résonance $\omega_r$ et le gain maximal du module en dB. 3. Tracer qualitativement le lieu de Nyquist de $G(j\omega)$ et indiquer le point de passage à $\omega = 0$ et $\omega \to \infty$ .→
  • 18
    Exercice 3 – Application du critère de Routh et de Bode à un système d’ordre 3. On considère la fonction de transfert suivante : $G(p)H(p) = \dfrac{K}{p(p+2)(p+5)}$ . 1. Déterminer la fonction caractéristique fermée et établir le tableau de Routh. 2. Trouver la valeur critique $K_c$ qui rend le système à la limite de stabilité. 3. Déterminer le gain de phase marge à cette limite en considérant le diagramme de Bode asymptotique.→
  • 19
    Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système du premier ordre. Un système asservi est défini par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $G(p) = \dfrac{10}{p(1 + 0.5p)}$ 1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $T(p)$ avec un correcteur proportionnel de gain $K$ . 2. Pour $K = 5$ , calculer le gain statique du système fermé. 3. Tracer le diagramme de Bode (gain et phase) de $G(p)$ et déterminer la pulsation de coupure à -3 dB. 4. Déterminer la marge de phase et la marge de gain de la boucle ouverte. 5. Vérifier la stabilité de la boucle fermée à l’aide...→
  • 20
    Exercice 2 : Application du critère de Routh et lieu de Nyquist. La fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par : $G(p) = \dfrac{K(1 + 2p)}{p(1 + 0.5p)(1 + 0.1p)}$ 1. Déterminer l’équation caractéristique du système en boucle fermée. 2. Construire le tableau de Routh pour étudier la stabilité en fonction de $K$ . 3. Trouver la valeur critique de $K$ pour laquelle le système devient instable. 4. Représenter le lieu de Nyquist et en déduire la marge de phase associée à $K = 2$ . 5. Vérifier que la stabilité déterminée par Routh coïncide avec celle du Nyquist.→
  • 21
    Exercice 3 : Analyse de stabilité à partir du lieu d’Evans et diagramme de Bode. On considère un système asservi dont la fonction de transfert est : $G(p) = \dfrac{K}{p(p+2)(p+4)}$ 1. Établir l’équation caractéristique du système en boucle fermée. 2. À partir du lieu d’Evans, déterminer les valeurs de $K$ pour lesquelles le système reste stable. 3. Calculer les pôles en boucle fermée pour $K = 32$ . 4. Déterminer la fréquence de coupure du diagramme de Bode de $G(p)$ . 5. En déduire la marge de gain et de phase du système pour $K = 32$ .→
  • 22
    Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système du premier ordre avec retard. On considère un système linéaire continu de fonction de transfert : $H(p) = \dfrac{K e^{-Tp}}{1 + \tau p}$ avec $K = 2$ , $\tau = 0,1 \; s$ et $T = 0,05 \; s$ . 1. Calculer le module de la fonction de transfert en fréquence : $|H(j\omega)|$ en fonction de $\omega$ . 2. Déterminer la phase totale $\phi(\omega)$ du système. 3. Calculer la fréquence de coupure en amplitude (à -3 dB) et exprimer la valeur correspondante en rad/s.→
  • 23
    Exercice 2 : Diagramme de Bode et stabilité d’un système du second ordre. On considère un système d’asservissement de fonction de transfert : $H(p) = \dfrac{100}{p^2 + 10p + 100}$ . 1. Calculer le module et la phase du système en fonction de $\omega$ . 2. Déterminer la fréquence de résonance $\omega_r$ et le gain correspondant. 3. Calculer la marge de phase pour une fonction de boucle ouverte équivalente $L(p) = K \; H(p)$ avec $K = 2$ .→
  • 24
    Exercice 3 : Lieu de Nyquist et stabilité d’un système à avance de phase. On considère le système ouvert : $L(p) = K \dfrac{1 + \alpha T p}{(1 + T p)(p(1 + 0.5p))}$ avec $K = 5$ , $\alpha = 4$ et $T = 0.1\; s$ . 1. Calculer l’expression de $L(j\omega)$ et son module en fonction de $\omega$ . 2. Déterminer les coordonnées du point critique du lieu de Nyquist pour $\omega = 10 \; rad/s$ . 3. Calculer la marge de gain et la marge de phase correspondantes.→
  • 25
    Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système du premier ordre avec retard. On considère un système linéaire continu dont la fonction de transfert est définie par $H(p)=\frac{K e^{-Tp}}{1+\tau p}$ , avec $K=5$ , $\tau=0,2\,s$ et un retard pur $T=0,05\,s$ . Les questions suivantes concernent uniquement des calculs dans le domaine fréquentiel : 1. Déterminer l’expression du module $|H(j\omega)|$ et de l’argument $\phi(\omega)$ de la fonction de transfert. 2. Calculer le module et la phase du système pour $\omega=10\,rad/s$ . 3. Déterminer la fréquence à laquelle le module vaut $-3\,dB$ et le déphasage associé.→
  • 26
    Exercice 2 : Étude de stabilité à partir du lieu de Nyquist d’un système du second ordre. On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\frac{10}{p(p+2)(p+5)}$ . Toutes les étapes sont à calculer : 1. Déterminer le gain marginal $K_m$ pour lequel le système est à la limite de stabilité. 2. Calculer la fréquence de coupure de phase correspondante où l'argument est égal à $-180°$ . 3. Vérifier la marge de phase pour $K=5$ .→
  • 27
    Exercice 3 : Diagramme de Bode et stabilité d’un système à retour unitaire. On se donne un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\frac{100(1+0,1p)}{p(1+0,5p)(1+0,05p)}$ . Les questions sont : 1. Calculer les points de cassure (pulsations caractéristiques) du diagramme de Bode. 2. Déterminer le gain en dB et la phase à $\omega=10\,rad/s$ . 3. En déduire la marge de gain pour une boucle unitaire.→
  • 28
    On considère un système asservi linéaire, continu et invariant dans le temps en boucle unitaire négative. La fonction de transfert en boucle ouverte du procédé est définie par $ \( G(p) = \dfrac{K}{p\bigl(1+0{,}2p\bigr)\bigl(1+0{,}05p\bigr)} \) $ avec $ \( K > 0 \) $ . On souhaite analyser le comportement fréquentiel de ce système et étudier sa stabilité dans le domaine de Bode. Question 1 : En utilisant la forme produit standard, exprimer symboliquement le module $ \( \lvert G(j\omega) \rvert \) $ et l’argument $ \( \arg\bigl(G(j\omega)\bigr) \) $ puis calculer numériquement le gain en décibels et la phase pour $ \( \omega = 1 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1} \) $ et $ \( \omega = 10 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1} \) $ (en laissant $ \( K \) $ symbolique). Question...→
  • 29
    On considère un système asservi linéaire et continu en boucle unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par $ \( G(p) = \dfrac{K(p+2)}{p(p+1)(p+4)} \) $ avec $ \( K > 0 \) $ . On souhaite étudier la stabilité de la boucle fermée par la méthode du lieu de Nyquist et l’abaque de Black-Nichols. Question 1 : Écrire l’expression de la réponse fréquentielle $ \( G(j\omega) \) $ en séparant partie réelle et partie imaginaire, puis calculer numériquement $ \( \Re\bigl(G(j\omega)\bigr) \) $ et $ \( \Im\bigl(G(j\omega)\bigr) \) $ pour $ \( \omega = 0{,}5 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1} \) $ et $ \( \omega = 2 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1} \) $ en fonction de $ \( K \) $ . Question 2 : En fixant $ \( K = 5 \) $ ,...→
  • 30
    On considère un système asservi linéaire et continu décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $ \( G(p) = \dfrac{K(p+3)}{p(p+1)(p+4)} \) $ avec $ \( K > 0 \) $ , en boucle unitaire négative. On souhaite utiliser successivement le critère de Routh et le lieu d’Evans (root locus) pour analyser la stabilité et la position des pôles fermés. Question 1 : Écrire le polynôme caractéristique de la boucle fermée en fonction de $ \( K \) $ et le mettre sous la forme standard $ \( a_{3}p^{3}+a_{2}p^{2}+a_{1}p+a_{0} = 0 \) $ en exprimant les coefficients $ \( a_{i} \) $ en fonction de $ \( K \) $ . Question 2 : Construire...→
  • 31
    On considère un système de commande en boucle fermée avec retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(s)=4/(s(s+2))$ , représentant un processus du second ordre avec un pôle intégrateur et un pôle réel stable à $s=-2$ . On souhaite analyser ce système dans le domaine fréquentiel en utilisant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte et le critère de Nyquist pour déterminer la stabilité de la boucle fermée. Question $1$ : exprimer la partie réelle $Re(G(j w))$ et la partie imaginaire $Im(G(j w))$ de la fonction de transfert en fonction de la pulsation...→
  • 32
    On considère un système de commande en boucle fermée à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(s)=K(s+3)/(s(s+2)(s+5))$ , où $K>0$ est un gain réel à ajuster. On souhaite utiliser le critère de Routh-Hurwitz et le lieu d'Evans (root locus) pour analyser la stabilité en boucle fermée lorsque le gain $K$ varie. Question $1$ : établir l'équation caractéristique de la boucle fermée pour un retour unitaire, la mettre sous la forme d'un polynôme en $s$ de degré $3$ et exprimer ses coefficients en fonction de $K$ . Question $2$ : construire le tableau de Routh pour...→
  • 33
    Un système de régulation de vitesse est modélisé en boucle ouverte par la fonction de transfert suivante dans le domaine de Laplace : $ \(G(p) = \dfrac{K}{p(1+0{,}1p)}\) $ , où $ \(K\) $ est un gain réel strictement positif. On considère une boucle fermée avec retour unitaire. Question 1 : Pour $ \(K = 1\) $ , calculer la valeur exacte du module $ \(|G(j\omega)|\) $ et de l’argument $ \(\arg G(j\omega)\) $ aux pulsations $ \(\omega = 0{,}1\) $ , $ \(\omega = 1\) $ et $ \(\omega = 10\) $ (en utilisant des radians par seconde et des degrés). En déduire les valeurs du diagramme de Bode (module en...→
  • 34
    On considère un système linéaire continu en boucle ouverte défini par la fonction de transfert : $ \(G(p) = \dfrac{K}{(p+1)(p^2 + 4p + 13)}\) $ , avec $ \(K > 0\) $ . Le retour est unitaire et l’on souhaite étudier la stabilité de la boucle fermée à l’aide du critère de Nyquist. Question 1 : Pour $ \(K = 1\) $ , calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $ \(G(j\omega)\) $ aux pulsations $ \(\omega = 0\) $ , $ \(\omega = 1\) $ , $ \(\omega = 2\) $ et $ \(\omega = 5\) $ . En déduire le module $ \(|G(j\omega)|\) $ et la phase $ \(\arg G(j\omega)\) $ à chacune de ces...→
  • 35
    Un système asservi est constitué d’un procédé de fonction de transfert $ \(P(p) = \dfrac{1}{p(p+4)(p+6)}\) $ et d’un correcteur proportionnel de gain $ \(K\) $ , en boucle fermée avec retour unitaire. On souhaite étudier la stabilité et la dynamique du système en utilisant le critère de Routh-Hurwitz et le lieu d’Evans. Question 1 : Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte $ \(G(p) = K P(p)\) $ puis déterminer le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire, c’est-à-dire le polynôme caractéristique $ \(\Delta(p)\) $ . Construire le tableau de Routh-Hurwitz de $ \(\Delta(p)\) $ et déterminer la plage...→
• Synthèse des systèmes (31 Exercices)
  • 1
    On considère un système de régulation à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \frac{20}{p(p+4)}$ . On souhaite synthétiser un régulateur proportionnel-intégral (PI) répondant aux spécifications suivantes : erreur statique nulle pour une entrée échelon, dépassement inférieur à 10 %, temps de réponse à 5 % inférieur à $1,4\,\mathrm{s}$ . 1) Déterminer la valeur du gain $K_p$ garantissant l’erreur statique nulle pour une entrée échelon. 2) Dimensionner la constante de temps $T_i$ pour que le dépassement ne dépasse pas 10 % (préciser les calculs sur l’amortissement). 3) Calculer la valeur minimale du gain pour garantir le...→
  • 2
    Un régulateur PID doit être dimensionné pour une boucle dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\frac{14}{(p+2)(p+6)}$ . Les spécifications imposent une erreur statique nulle pour une rampe d’entrée, un dépassement maximal de 5 % et un temps de montée inférieur à $0,85\,\mathrm{s}$ . 1) Déterminer la structure minimale du PID assurant l’erreur statique nulle pour une rampe (préciser les conditions sur les gains). 2) Calculer les gains du PID pour obtenir $M_p \leq 5\,\% $ et temps de montée $t_{m} < 0,85\,\mathrm{s}$ . 3) Déterminer la position du zéro dérivateur pour optimiser la rapidité sans réduire la marge de stabilité.→
  • 3
    Un système industriel nécessite un régulateur à avance de phase pour garantir une marge de phase de $50^{\circ}$ et une bande passante à $6\,\mathrm{rad}\,/\,\mathrm{s}$ . Le procédé a pour fonction de transfert : $H(p) = \frac{8}{p\,(p+3)}$ . 1) Dimensionner un correcteur avance de phase de type $C(p)=K\frac{1+aT p}{1+T p}$ assurant la marge de phase demandée au point de coupure choisi. 2) Déterminer les paramètres $K$ , $a$ et $T$ pour satisfaire simultanément la marge de phase et la bande passante. 3) Calculer la précision statique pour une entrée échelon sous cette correction.→
  • 4
    On considère un système asservi décrit par la fonction de transfert $G(s) = \frac{2}{s(s+3)}$ dont la commande est réalisée via un régulateur correcteur d’avance de phase. On souhaite obtenir une marge de phase de $50^\circ$ et une fréquence de coupure à $\omega_c = 2,5~rad/s$ . 1. Calculez l’angle de phase du système boucle ouverte à $\omega_c$ et la phase supplémentaire à apporter. 2. Déterminez les paramètres du correcteur d’avance de phase nécessaire. 3. Calculez la fonction de transfert totale boucle ouverte corrigée et vérifiez la nouvelle marge de phase.→
  • 5
    Un système d’ordre 2 de fonction de transfert $H(s)=\frac{25}{s^2+6s+25}$ est assujetti à une régulation PID identifiée par la méthode de Ziegler-Nichols. La fréquence d’oscillation critique mesurée est $\omega_u = 3,16~rad/s$ et le gain critique est $K_u = 1{,}8$ . 1. Calculez les paramètres $K_p$ , $T_i$ et $T_d$ du PID selon Ziegler-Nichols. 2. Donnez la fonction de transfert du régulateur PID dimensionné. 3. Calculez la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée régulée avec le PID ainsi obtenu.→
  • 6
    Une boucle de régulation utilisant la méthode graphique d’Evans doit répondre à des spécifications de stabilité et de rapidité: rabattement du pôle dominant à $-4$ et dépassement maximal inférieur à $10\%$ . Le système à corriger est $G(s) = \frac{4}{s(s+2)}$ et on propose un régulateur de type avance-retard : $C(s) = K \frac{s+\alpha}{s+\beta}$ . 1. Calculez la valeur de $\alpha$ de façon à rabattre le pôle dominant à $s = -4$ . 2. Déterminez le gain $K$ qui assure cette position du pôle. 3. Calculez la valeur maximale admissible de $\beta$ pour garantir un dépassement inférieur à $10\%$ .→
  • 7
    Exercice 1 : Synthèse d’un correcteur avancé pour système de régulation de température Un système de chauffage peut être modélisé par la fonction de transfert de premier ordre $G(p) = \frac{2,8}{5p+1}$ . Pour répondre aux exigences suivantes : temps de réponse à 5 % inférieur à $5\,\text{s}$ , erreur statique nulle à une consigne en échelon, et marge de phase supérieure à $60^{\circ}$ , on souhaite dimensionner un régulateur à avance de phase. 1. Déterminez la valeur minimale du gain statique pour obtenir le temps de réponse spécifié. 2. Déterminez les paramètres d’un correcteur avance de phase permettant de garantir une marge...→
  • 8
    Exercice 2 : Synthèse empirique d’un régulateur PID (méthode de Ziegler-Nichols) On considère un système caractérisé expérimentalement par : pour $K_c = 3,7$ , une oscillation permanente de période $T_u = 1,6\,\text{s}$ est observée. On souhaite synthétiser un régulateur PID par la méthode de Ziegler-Nichols. 1. Calculez les paramètres $K_p, T_i, T_d$ du PID selon la méthode. 2. Écrivez la fonction de transfert du régulateur PID obtenu. 3. Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée et la vitesse de réponse (temps de montée) avec le régulateur synthétisé.→
  • 9
    Un système asservi de structure simple doit être stabilisé et répondre à des spécifications de rapidité et de précision. On dispose du système à boucle ouverte de fonction de transfert $G(p)=\dfrac{7}{p(p+5)}$ . 1. Déterminez le régulateur proportionnel-intégral (PI) tel que la constante de temps de la réponse soit réduite de moitié et l’erreur statique à une entrée échelon soit nulle. 2. Calculez le gain critique du régulateur proportionnel si l’on impose une marge de phase de $55^{\circ}$ (par la méthode de Bode, supposons la pulsation de coupure à $\omega_c=4\ \text{rad/s}$ ). 3. Optimisez le réglage du PI pour que le temps...→
  • 10
    On souhaite synthétiser un régulateur par la méthode Ziegler-Nichols pour un système de fonction de transfert $G(p)=\dfrac{13}{p(p+7)}$ . Lors d’une expérience de mise en boucle proportionnelle, l’oscillation soutenue est obtenue pour un gain critique $K_{cr}=5{,}2$ , période d’oscillation $T_{cr}=1,32\ \text{s}$ . 1. Déterminez les paramètres du régulateur PID selon Ziegler-Nichols (type classique). 2. Calculez le temps de réponse à $5\ \%$ du système ainsi réglé. 3. À partir de la structure obtenue, dimensionnez un régulateur RST permettant d’annuler l’erreur statique pour une entrée type échelon.→
  • 11
    On doit synthétiser et dimensionner un régulateur avance de phase pour un système de fonction de transfert réelle $G(p)=\dfrac{9}{(p+3)(p+8)}$ . Les spécifications exigent : stabilité absolue, temps de réponse $<1{,}0\ \text{s}$ , et précision statique supérieure à $98\ \%$ . 1. Calculez les paramètres du régulateur avance pour que la marge de phase soit $62^{\circ}$ (méthode graphique : utilisez la pulsation où le gain est 0 dB, puis déduisez le paramètre a). 2. Dimensionnez le régulateur pour que la rapidité typique (temps à $5\ \%$ ) soit de $0,68\ \text{s}$ . 3. Évaluez le gain de la précision statique dans la nouvelle configuration régulée....→
  • 12
    Exercice 2 : Synthèse d’un régulateur à avance de phase par la méthode des diagrammes de Bode Un système a pour fonction de transfert $H(p) = \frac{15}{p(p+4)}$ . On souhaite concevoir un correcteur à avance de phase afin de garantir une marge de phase $\geq 50^{\circ}$ et une rapidité de réponse (fréquence à -3 dB) $\geq 2\ \mathrm{rad/s}$ . 1. Calculer la fréquence de coupure à -3 dB du système d’origine. 2. Déterminer les paramètres d’un correcteur avance de phase pour atteindre la marge de phase souhaitée. 3. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée.→
  • 13
    Exercice 3 : Dimensionnement d’un régulateur PI par la méthode de Ziegler-Nichols en boucle fermée Un système de process donne une oscillation entretenue pour un gain critique de $K_{cr}=7,6$ et une période d’oscillation critique $T_{cr}=1,1\ \mathrm{s}$ . 1. Déterminer les paramètres du régulateur PI selon la méthode de Ziegler-Nichols. 2. Écrire la fonction de transfert du système corrigé avec ces paramètres. 3. Calculer la nouvelle erreur statique pour une entrée échelon unitaire.→
  • 14
    On souhaite synthétiser un régulateur PID pour un système dont la fonction de transfert est $G(s)=\frac{6}{2s+1}$ afin d'obtenir une marge de phase de $55^\circ$ et un temps de réponse inférieur à $0,4~s$ . 1) Déterminez la pulsation de coupure à considérer pour la synthèse. 2) Calculez les coefficients $K_P$ , $K_I$ , $K_D$ du PID par la méthode de Ziegler-Nichols temporelle, sachant que la réponse à l’échelon donne une courbe de pente initiale $S=24$ et un retard équivalent $L=0,05~s$ . 3) Vérifiez si les spécifications de rapidité et de stabilité sont respectées.→
  • 15
    Un système régulé par avance de phase a pour contraintes une précision statique inférieure à $2~\%$ et une marge de gain minimale de $10~dB$ . Le système à asservir a la fonction de transfert $G(s)=5/(s(s+2))$ . On choisit de placer un correcteur d’avance de phase de la forme $C(s)=\frac{1+\alpha T s}{1 + T s}$ . 1) Calculez la valeur de $\alpha$ à imposer pour obtenir un déphasage de $40^\circ$ . 2) Déterminer la valeur de $T$ pour un domaine fréquentiel centré à $3~rad/s$ . 3) Estimez le degré d’amélioration sur la marge de gain apportée par le correcteur.→
  • 16
    Un système du second ordre donne une réponse à l’échelon avec un temps de montée de $0,41~s$ et un dépassement de $19~\%$ sans correction. On impose une précision statique inférieure à $1~\%$ et un dépassement inférieur à $5~\%$ sur la réponse. 1) Déterminez le coefficient d’amortissement initial $\xi$ . 2) Calculez le coefficient d’amortissement nécessaire pour respecter la nouvelle précision. 3) Proposez le dimensionnement d’un correcteur RST dont le polynôme impose la nouvelle valeur.→
  • 17
    Un système de régulation a pour fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \frac{2}{p(p+2)}$ . Pour répondre à des exigences de stabilité et de rapidité (temps de réponse à 5 % inférieur à 2 s, erreur de position nulle), on souhaite intégrer une correction proportionnelle-intégrale. 1. Déterminez la forme de la fonction de transfert en boucle fermée avec un correcteur PI de gain $K_p$ et temps d’intégration $T_i$ . 2. Calculez les valeurs numériques de $K_p$ et $T_i$ pour respecter le cahier des charges. 3. Vérifiez, pour le réglage trouvé, la stabilité du système (analyse des pôles).→
  • 18
    On considère le système de transfert $H(p) = \frac{5}{p(p+5)}$ . Pour garantir une stabilité de phase > 60° et un temps de réponse inférieur à 1,5 s, on impose une correction avance de phase. 1. Déterminez la fonction de transfert du compensateur avance de phase sous la forme $C(p) = K \frac{1 + a \tau p}{1 + \tau p}$ . 2. Calculez numériquement les paramètres $a$ , $\tau$ et $K$ pour répondre aux exigences. 3. Vérifiez numériquement la marge de phase de la boucle corrigée.→
  • 19
    Un système en boucle fermée présente la fonction de transfert $H_{bf}(p) = \frac{K}{p^2 + 6p + K}$ . Selon la méthode de Ziegler-Nichols, le système entre en oscillation pour $K_{osc} = 80$ et la période d’oscillation est $T_{osc} = 1.25\,s$ . 1. Calculez les valeurs optimales des paramètres d’un régulateur PID selon la méthode des réglages empiriques de Ziegler-Nichols. 2. Déterminez la fonction de transfert totale obtenue avec ces réglages. 3. Pour ces réglages, calculez la marge de gain et la marge de phase du système.→
  • 20
    On considère un procédé modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \dfrac{8}{p^2 + 3{,}5p + 8}$ . Les spécifications exigent une rapidité (temps de réponse à 5%) inférieure à $1,2~s$ et une précision statique nulle pour un échelon. On souhaite synthétiser un régulateur PID répondant à ces exigences. 1. Déterminez les paramètres d’amortissement et la pulsation propre du procédé, puis le temps de réponse à 5%. 2. Dimensionnez les paramètres du régulateur PID pour obtenir une précision statique nulle et réduire de moitié le temps de réponse. 3. Vérifiez la stabilité du système asservi en utilisant le critère de Routh.→
  • 21
    On souhaite synthétiser un régulateur avance de phase pour un système linéaire continu de transfert $H(p) = \dfrac{10}{p(p + 4)}$ . Les spécifications imposent un dépassement maximal de $10~\%$ et un temps de montée inférieur à $0,5~s$ . 1. Calculez la valeur d’amortissement nécessaire pour respecter le dépassement, puis la pulsation propre requise. 2. Proposez puis dimensionnez la structure du régulateur avance de phase (donnée : $T_a$ ), afin de satisfaire la rapidité demandée. 3. Appliquez la méthode Bode pour vérifier le gain de phase apporté par le régulateur ainsi dimensionné.→
  • 22
    On désire dimensionner un régulateur RST sur une boucle à retour d’état d’un système linéaire continu de fonction de transfert $H(p) = \dfrac{3}{p^2 + 2p + 5}$ , pour obtenir les spécifications suivantes: stabilité (tous les pôles réels négatifs), rapidité (pulsation propre souhaitée $\omega_n = 7~rad~s^{-1}$ ), et absence d’erreur statique pour un échelon. 1. Calculez les paramètres R, S, T du polynôme de régulation par la méthode du placement de pôles. 2. Déterminez le retour d’état nécessaire sur le système pour garantir la stabilité et la rapidité imposées. 3. Appliquez la méthode de Ziegler-Nichols pour donner une première estimation des coefficients du régulateur RST.→
  • 23
    Un système de régulation de température est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \frac{4}{(1 + 0,5p)(1 + 0,1p)}$ . On souhaite utiliser un correcteur PID pour atteindre les spécifications suivantes : marge de phase minimale $60^\circ$ , temps de réponse à $5\%$ inférieur à $1,5~s$ , absence d’erreur statique en régime permanent à une rampe unitaire. 1. Déterminez la fonction de transfert idéale du correcteur PID nécessaire pour annuler l’erreur de suivi sur rampe. 2. Calculez la valeur du gain proportionnel $K_p$ assurant une marge de phase d’au moins $60^\circ$ par la méthode de Bode (formule analytique). 3. Dimensionnez les paramètres $\tau_i$ et $\tau_d$...→
  • 24
    Un système de positionnement doit satisfaire un dépassement maximal de $20\%$ et un temps de réponse à $5\%$ inférieur à $0,8~s$ . Le modèle de la plante est $H_p(p) = \frac{10}{p(p+10)}$ . On propose un correcteur avance de phase sous la forme $C(p) = K_c \frac{1 + \alpha T p}{1 + T p}$ . 1. Déterminez le facteur d’amortissement $\xi$ et la pulsation propre $\omega_n$ nécessaires pour obtenir les spécifications. 2. Calculez la position et le gain du zéro du correcteur avance nécessaires, puis déduisez $\alpha$ et $T$ . 3. Déterminez la valeur minimale de $K_c$ garantissant un régime permanent sans erreur sur échelon.→
  • 25
    On souhaite synthétiser un régulateur avancé RST pour un système à fonction de transfert $G(p) = \frac{3}{(p+2)(p+5)}$ afin de répondre aux spécifications suivantes : 1. Placez les pôles du système fermé en $-4$ (double) pour assurer une bonne rapidité. 2. Utilisez la méthode graphique d’Evans (lieux des racines) pour calculer le polynôme de commande S(p) minimal. 3. Calculez la valeur numérique de S(p) et dimensionnez les régulateurs R(p), S(p) et T(p) pour satisfaire les spécifications.→
  • 26
    Un moteur à courant continu est utilisé dans une boucle de régulation de vitesse. On souhaite synthétiser un régulateur permettant de répondre aux spécifications suivantes : - Stabilité absolue - Temps de réponse à 5% inférieur à $0,4\ \mathrm{s}$ - Erreur de régime permanent sur une entrée échelon de vitesse inférieure à $1\ \%$ Pour cela, on vous donne la fonction de transfert du moteur : $G(p)=\frac{20}{(0,1p+1)p}$ . 1. Calculer la valeur de l'erreur de régime permanent sans correcteur pour une entrée échelon unité. 2. Déterminer le type du système et déduire le correcteur proportionnel $K_p$ minimal à ajouter pour respecter la...→
  • 27
    Un procédé industriel est modélisé par la fonction de transfert suivante : $H(p)=\frac{5}{(p+2)(p+5)}$ . Le cahier des charges impose une rapidité élevée (temps de montée inférieur à $0,3\ \mathrm{s}$ ), une marge de phase supérieure à $45^{\circ}$ et une précision nulle en régime permanent pour une entrée échelon. On souhaite synthétiser un correcteur PID par la méthode des courbes de Black (diagramme de Bode). 1. Calculez le gain statique du procédé et l’erreur de régime permanent pour une entrée échelon sans correcteur. 2. Dimensionnez un correcteur intégral pour annuler l’erreur de régime permanent ; exprimez son action dans le domaine de...→
  • 28
    On souhaite réguler la température d’un four industriel modélisé par $G(p)=\frac{15}{(p+1)^2}$ . Les objectifs sont les suivants : - Temps de dépassement inférieur à $1\ \mathrm{s}$ - Erreur de régime permanent nulle pour une rampe de consigne On considère la synthèse par la méthode de Ziegler-Nichols (méthode de la réponse indicielle). 1. Déterminer le gain critique $K_{cr}$ et la période d’oscillation critique $T_{cr}$ du système en boucle fermée sans correction ajoutée. 2. Proposer les paramètres du régulateur PID selon les réglages Ziegler-Nichols. 3. Vérifier que le régulateur ainsi dimensionné permet bien de satisfaire le temps de dépassement imposé (par une estimation...→
  • 29
    Un système de régulation de température d'un four industriel utilise une structure PID. La boucle a une dynamique d'entrée modélisée par $G(p) = \frac{2}{3p+1}$ . On impose les spécifications suivantes : temps de réponse à 5% $T_{r,5\%} = 4,5\ s$ et erreur statique nulle pour une entrée échelon. 1. Déterminez les paramètres du régulateur PID nécessaires pour respecter la rapidité et la précision imposées (par méthode Ziegler-Nichols). 2. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée et vérifiez la stabilité du système régulé. 3. Calculez la valeur de la sortie pour une entrée échelon $E_0 = 80\ ^\circ C$ , à $t = 0$ , $t = T_{r,5\%}$ et $t \to \infty$ .→
  • 30
    Exercice 2 : Synthèse graphique d’un régulateur avance de phase (Bode) Considérons un système à corriger dont la fonction de transfert est $G(p) = \frac{4}{p(0,2 p + 1)}$ . On souhaite obtenir une marge de phase de $50\deg$ et une bande passante à $\omega_c = 7\ rad/s$ . 1. Déterminez la phase du système à la pulsation de coupure, puis le déficit de phase à compenser. 2. Calculez les paramètres d’un correcteur avance de phase permettant d’obtenir la marge requise. 3. Déterminez la fonction de transfert corrigée en boucle ouverte.→
  • 31
    Exercice 3 : Synthèse empirique d’un régulateur PID par la méthode de Ziegler-Nichols On réalise l’expérience suivante sur un procédé dont la FT est inconnue : on place un régulateur proportionnel pur et on augmente $K_p$ jusqu’à obtenir des oscillations permanentes pour $K_{pu} = 42$ . La période des oscillations est $T_u = 0,65\ s$ . 1. Déterminez la loi PID selon la méthode Ziegler-Nichols (première méthode). 2. Écrivez la fonction de transfert du correcteur PID ainsi dimensionné. 3. Calculez les valeurs numériques exactes pour $K_p$ , $T_i$ et $T_d$ , et concluez sur la validité selon les spécifications classiques de stabilité et rapidité.→
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