Regulation industrielle Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (8 Exercices)
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    Examen 2 : Régulateurs Standards et Contrôle Tout-ou-Rien | | Documents autorisés : formulaires Un système de chauffage industriel doit être régulé par différentes stratégies de commande. L'objectif est de comparer les performances de régulateurs P, PI, PD, PID et contrôle bang-bang. Question 1 : Régulateur proportionnel P - Analyse statique et dynamique (7 points) Un système thermique du premier ordre avec retard : - Fonction transfert : $G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} e^{-\theta s}$ - Gain statique : $K = 1 \text{ °C/}\%$ - Constante de temps : $\tau = 30 \text{ s}$ - Retard pur : $\theta = 5 \text{ s}$ - Consigne de température : $T_{ref} = 100 \text{ °C}$ - Température initiale : $T_0 = 20 \text{ °C}$ a) Calculer l'erreur statique...→
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    Examen 3 : Dimensionnement des Régulateurs et Implémentation Pratique | | Documents autorisés : formulaires Un système de régulation de débit d'un procédé industriel doit être dimensionné avec plusieurs contraintes pratiques. L'objectif est d'appliquer des méthodes systématiques de dimensionnement et d'analyser l'impact des limitations réelles. Question 1 : Identificat ion système pratique et modélisation (8 points) D'un essai en boucle ouverte, on mesure pour un échelon de 20% sur vanne d'alimentation : - Temps de réaction : $t_0 = 0.5 \text{ s}$ - Valeur finale mesurée à temps t = 10s : $y(10) = 45\%$ du gain final estimé $ - Valeur finale mesurée à t = 30s : $ y(30) = 85\% $ - Pente initiale tangente : $ \frac{dy}{dt}|_{t=0.5} =...→
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    Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires | Contexte général : On étudie le système de régulation thermique d'un four industriel. L'objectif est d'identifier le système en boucle ouverte, de concevoir un régulateur PID optimisé, et de valider les performances du système en boucle fermée. Question 1 (4 points) - Identification du Système en Boucle Ouverte Un test en échelon est effectué sur le four avec une augmentation de puissance $\Delta P = 2 \text{ kW}$ . La réponse temporelle est enregistrée et modélisée. a) Le système présente un délai pur $\tau_d = 30 \text{ s}$ , une constante de temps $\tau_1 = 120 \text{ s}$ , et un gain statique...→
  • 4
    Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires | Contexte général : On étudie le système de contrôle de débit d'une pompe centrifuge dans un circuit de refroidissement. L'analyse porte sur l'identification en boucle fermée, la conception d'un régulateur PI robuste, et l'optimisation pour variations de charge. Question 1 (4 points) - Identification en Boucle Fermée Le système fonctionne initialement en boucle fermée avec un régulateur proportionnel $K_p = 5$ . On applique une perturbation échelon sur la charge de $\Delta Q_{charge} = 0.1 \text{ m}^3/\text{s}$ . La réponse montre : erreur statique $\epsilon_s = 0.05 \text{ m}^3/\text{s}$ , période d'oscillation $T = 10 \text{ s}$ , amortissement $\zeta \approx 0.4$ . a) Déterminer le gain...→
  • 5
    Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires | Contexte général : On étudie le système de positionnement d'une table XY industrielle pilotée par des moteurs pas à pas. L'analyse porte sur l'identification du système non-linéaire, la conception d'un régulateur PID non-linéaire, et l'optimisation des trajectoires. Question 1 (4 points) - Identification d'un Système Non-Linéaire Le système présente une friction sèche $F_c = 2 \text{ N}$ , une viscosité $f_v = 0.1 \text{ N·s/m}$ , une inertie $m = 5 \text{ kg}$ , et un délai de démarrage $\tau_d = 0.05 \text{ s}$ . On applique une rampe de force $F_{cmd} = 0.2t$ pour $t \in [0, 30] \text{ s}$ . a) Modéliser le système avec friction non-linéaire : équation différentielle complète....→
  • 6
    Examen de Régulation Industrielle - Série 1 - Master Automatique et Contrôle des Systèmes Consignes: Justifiez toutes réponses. Calculatrices autorisées. Énoncez hypothèses explicitement. Un système de régulation de température dans un réacteur chimique de 100 litres doit maintenir la consigne 80°C ±2°C malgré variations charge et perturbations externes. L'étude porte sur l'identification du système en boucle ouverte, la sélection du régulateur approprié (P, PI, PID), et la tuning optimale pour atteindre performances industrielles (dépassement Question 1: Identification système boucle ouverte - Réponse indicielle (6 points) Un test en échelon 20% ouverture vanne chauffage est appliqué au réacteur. La température évolue...→
  • 7
    Examen de Régulation Industrielle - Série 2 - Master Automatique Avancée Consignes: Démonstrations rigoureuses requises. Justifications mathématiques complètes. Un système de régulation de débit (pompeen circulation) doit maintenir 100 m³/h ±5 m³/h malgré variations pression réseau ±0.5 bar. L'étude porte sur l'identification dynamique par analyse fréquentielle (Bode), le choix régulateur selon critères stabilité (marges Gain/Phase), et la tuning optimale avec contraintes anti-saturation. Question 1: Identification système par analyse fréquentielle (6 points) Un test sinusoïdal de faible amplitude (1 Hz → 10 Hz) est appliqué au système débit. Les mesures montrent: a) À 1 Hz: amplitude attenuation 0 dB, déphasage -45°....→
  • 8
    - Documents autorisés Contexte général : Un four industriel est utilisé pour le traitement thermique de pièces métalliques. Le système de régulation de température doit être identifié puis optimisé. La température de consigne est de 850°C. Une étude expérimentale a été réalisée en boucle ouverte puis en boucle fermée. Question 1 : Identification du système en boucle ouverte (5 points) Un essai indiciel en boucle ouverte a été effectué en appliquant un échelon de commande de 10% à l'instant t=0. Les relevés expérimentaux montrent que la température augmente progressivement selon une réponse qui peut être modélisée par un système du...→
• Régulateur tout-ou-rien (40 Exercices)
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    Un régulateur tout-ou-rien avec seuil est utilisé pour contrôler le niveau d'eau dans un réservoir. La consigne est $H_s = 1.5$ m, avec une zone morte (seuil) de $\Delta H = 0.2$ m pour éviter des commutations trop fréquentes. Question 1 : Déterminer les hauteurs $H_{on}$ et $H_{off}$ correspondant à l'activation et désactivation de la pompe. Question 2 : Si la pompe remplit le réservoir à un débit constant $Q = 0.02\text{ m}^3/\text{s}$ , calculer le temps de remplissage entre $H_{off}$ et $H_{on}$ . Question 3 : Déterminer le nombre de cycles complets d'activation/désactivation par heure.→
  • 2
    Un capteur d'humidité capacitif présente une capacité initiale $C_0 = 100$ pF et une variation linéaire de capacité $\Delta C = K_h \times H$ , où $K_h = 0.02$ pF/% et $H$ est l'humidité relative en %. Question 1 : Calculer la variation de capacité pour une humidité de $60%$ . Question 2 : Si ce capteur est intégré dans un pont de Wheatstone alimenté en $V_{in} = 5$ V, déterminer la tension de sortie approximative $V_{out}$ . Question 3 : Évaluer la sensibilité en tension du capteur $S = \frac{d V_{out}}{dH}$ .→
  • 3
    Un système industriel utilise un régulateur tout-ou-rien simple pour maintenir la température d’un four autour d’une valeur consigne $T_s = 200^\circ C$ . Le régulateur agit avec une sortie binaire $Y(t) = \{0,1\}$ selon que la température mesurée $T(t)$ est inférieure ou supérieure à la consigne. Question 1 : Calculer la durée de fonctionnement du four lorsque la température croît de $190^\circ C$ à $200^\circ C$ sachant que la puissance fournie est $P = 2 \, \text{kW}$ , la capacité thermique du four $C = 1000 \, \text{ J/}^\circ C$ . Question 2 : La température diminue ensuite de $200^\circ C$ à $190^\circ C$ . Calculer la durée d’arrêt nécessaire pour ce refroidissement, avec la constante de temps thermique...→
  • 4
    Un régulateur tout-ou-rien avec seuil est utilisé pour contrôler le niveau d'eau dans un réservoir. La consigne est $H_s = 1.5$ m, avec une zone morte (seuil) de $\Delta H = 0.2$ m pour éviter des commutations trop fréquentes. Question 1 : Déterminer les hauteurs $H_{on}$ et $H_{off}$ correspondant à l'activation et désactivation de la pompe. Question 2 : Si la pompe remplit le réservoir à un débit constant $Q = 0.02\text{ m}^3/\text{s}$ , calculer le temps de remplissage entre $H_{off}$ et $H_{on}$ . Question 3 : Déterminer le nombre de cycles complets d'activation/désactivation par heure.→
  • 5
    Un capteur d'humidité capacitif présente une capacité initiale $C_0 = 100$ pF et une variation linéaire de capacité $\Delta C = K_h \times H$ , où $K_h = 0.02$ pF/% et $H$ est l'humidité relative en %. Question 1 : Calculer la variation de capacité pour une humidité de $60%$ . Question 2 : Si ce capteur est intégré dans un pont de Wheatstone alimenté en $V_{in} = 5$ V, déterminer la tension de sortie approximative $V_{out}$ . Question 3 : Évaluer la sensibilité en tension du capteur $S = \frac{d V_{out}}{dH}$ .→
  • 6
    Un système de chauffage est piloté par un régulateur tout-ou-rien sans seuil ni hystérésis. La température ambiante à réguler suit la dynamique d’un premier ordre caractérisée par une constante de temps $\tau = 200\, s$ et un gain statique $K = 0.5\, °C/W$ . La résistance chauffante délivre une puissance maximale de $1000\, W$ lorsque le relais est fermé. La consigne de température est $T_c = 50\, °C$ et la température initiale est $T(0) = 20\, °C$ . 1. Calculer la température maximale atteinte après une commande tout-ou-rien fermée pendant $300\, s$ . 2. Déterminer le temps nécessaire pour atteindre $48\, °C$ lorsque la commande reste fermée. 3. Après coupure de la commande, calculer le...→
  • 7
    Un système thermostatique possède un régulateur tout-ou-rien à seuil fixe. Le chauffage s’enclenche lorsque la température descend sous $T_s = 45\, °C$ et s’éteint lorsque la température dépasse $T_s$ . La dynamique thermique est modélisée par une équation de premier ordre avec $\tau = 150\, s$ et un gain statique $K = 0.4\, °C/W$ . La puissance appliquée est $800\, W$ lorsque l’action est enclenchée. 1. Déterminer la température maximale atteinte après enclenchement initial. 2. Calculer la durée de la phase de chauffe entre 40 °C et 45 °C. 3. Après coupure, calculer la durée de la phase de refroidissement de 45 °C à 40 °C.→
  • 8
    Un système de régulation fonctionne avec un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis de largeur $\Delta T = 4\, °C$ centrée autour d’une consigne de $50\, °C$ . Le chauffage s’allume à $48\, °C$ et s’éteint à $52\, °C$ . Le modèle thermique du four est décrit par $\tau = 250\, s$ et $K = 0.5\, °C/W$ , avec une puissance nominale $P = 800\, W$ . 1. Calculer la température limite supérieure atteinte pendant la phase de chauffe. 2. Déterminer la durée de la phase de chauffe de 48 °C à 52 °C. 3. Calculer la durée de la phase de refroidissement de 52 °C à 48 °C lorsque le chauffage est coupé.→
  • 9
    Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple pour contrôle de température Un système de chauffage est contrôlé par un régulateur tout-ou-rien fonctionnant avec une consigne de température $T_c = 50$ °C. La température mesurée $T(t)$ évolue de façon continue. Question 1 : Déterminer la commande $u(t)$ dans le cas d’un régulateur tout-ou-rien simple, qui passe à 100 % lorsque $T(t) Question 2 : Si un seuil haut $ T_{sup} = 52 $ °C est ajouté, déterminer l’état de la commande pour $ T(t) = 51 $ °C. Question 3 : Avec une hystérésis définie entre $ T_{inf} = 48 $ °C et $ T_{sup} = 52 $ °C, calculer à quel moment la commande passe de 100 % à 0 % si la température monte de 47 °C à 53 °C.→
  • 10
    Exercice 2 : Calcul de fréquence de commutation avec hystérésis Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis possède un seuil bas $S_{inf} = 22$ °C et un seuil haut $S_{sup} = 26$ °C. La température du système oscille sinusoïdalement : $T(t) = 24 + 3 \sin (\omega t)$ Question 1 : Déterminer la pulsation $\omega$ de la température qui provoque une commutation à chaque passage des seuils d'hystérésis. Question 2 : Calculer la fréquence de commutation en Hz. Question 3 : Si on réduit la largeur d'hystérésis à 2 °C (de 23 à 25 °C), quelle est la nouvelle fréquence de commutation ?→
  • 11
    Exercice 3 : Régulation tout-ou-rien avec seuil et hystérésis appliquée à la gestion d'un niveau de liquide Un réservoir d'eau est maintenu entre un seuil bas $h_{inf} = 1.2$ m et un seuil haut $h_{sup} = 1.8$ m par un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis. Le niveau de remplissage est mesuré en continu. Question 1 : Pour un niveau actuel $h = 1.1$ m, déterminer l’état de la pompes (marche/arrêt). Question 2 : Si le niveau monte jusqu’à $1.5$ m, préciser le fonctionnement du régulateur et l’état de la pompe. Question 3 : Déterminer à quel niveau précis le système commutera l’état de la pompe lors d’une...→
  • 12
    Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple – commande de température Un four est régulé par un régulateur tout-ou-rien sans hystérésis. La température de consigne est $T_c = 200\,°C$ . Lors du fonctionnement, la puissance de chauffe est $P = 2\,kW$ et la capacité thermique équivalente du four est $C_{th} = 500\,J/°C$ . Les pertes thermiques sont proportionnelles à la différence de température avec l’extérieur : $P_{pertes} = K(T - T_{ext})$ avec $K = 8\,W/°C$ et $T_{ext} = 20\,°C$ . 1. Déterminer la température d’équilibre atteinte lorsque le chauffage est en régime permanent (ON en continu). 2. Calculer le temps nécessaire pour chauffer de 20 °C à 200 °C en négligeant les pertes thermiques. 3....→
  • 13
    Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec hystérésis et seuil de température Une chambre froide est commandée par un régulateur tout-ou-rien à hystérésis. La consigne de température est fixée à $T_c = 4\,°C$ , avec un seuil haut de $T_H = 5\,°C$ (marche du compresseur) et un seuil bas de $T_B = 3\,°C$ (arrêt du compresseur). La puissance frigorifique du compresseur est $P_c = 1.5\,kW$ et la puissance thermique des apports extérieurs est $P_e = 300\,W$ . La capacité thermique équivalente de la chambre est $C_{th} = 4000\,J/°C$ . 1. Déterminer le temps de refroidissement de $5\,°C$ à $3\,°C$ . 2. Déterminer le temps de réchauffement naturel de $3\,°C$ à $5\,°C$ . 3....→
  • 14
    Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien sans hystérésis. Un régulateur tout-ou-rien commande un système thermique représenté par un premier ordre de constante de temps $\tau = 120$ s et de gain statique $K = 2$ °C/W. La puissance de chauffage maximale disponible est $P_{max} = 100$ W. La consigne de température est fixée à $T_c = 80$ °C et la température initiale du système est $T(0) = 20$ °C. 1. Déterminez l’équation différentielle du système lorsque le chauffage est activé. 2. Calculez le temps nécessaire pour atteindre la température de 79 °C. 3. Déduisez la période approximative des oscillations de la température entre 79 °C et 80 °C lorsque le régulateur...→
  • 15
    Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil de commutation. Un système thermique présente une dynamique du premier ordre : $\tau = 100$ s, gain statique $K = 1.5$ °C/W. Le chauffage tout-ou-rien applique une puissance de $60$ W quand la température $T$ est inférieure à $T_c - \Delta = 75$ °C et s'arrête au-dessus de $T_c = 80$ °C. 1. Établissez les équations de montée et descente de température. 2. Calculez le temps de chauffage entre 75 °C et 80 °C. 3. Déduisez la période des oscillations de température.→
  • 16
    Exercice 1 : Régulation tout-ou-rien simple Un système régulé utilise un régulateur tout-ou-rien simple avec une consigne de température $T_c = 70^{\circ}\mathrm{C}$ . Le système chauffe jusqu'à $T = 75^{\circ}\mathrm{C}$ où le régulateur arrête la chauffe, puis baisse jusqu'à $T = 65^{\circ}\mathrm{C}$ où il relance la chauffe. Question 1 : Déterminer la bande d'hystérésis effective $\Delta T$ . Question 2 : Calculer la durée de fonctionnement du système si la puissance de chauffe moyenne est de $P = 2\,\text{kW}$ avec une variation de température $\pm 5^{\circ}\mathrm{C}$ autour de la consigne, sachant que la capacité thermique de l'environnement est $C = 10\,\text{kJ/K}$ . Question 3 : Estimer l'énergie consommée par cycle complet (chauffe...→
  • 17
    Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil Un régulateur tout-ou-rien est réglé avec une consigne de température $T_s = 40^{\circ}C$ et un seuil d'activation $\Delta T_s = 2^{\circ}C$ . Le système doit prévenir les oscillations trop fréquentes. Question 1 : Définir les seuils supérieur et inférieur $T_{sup}, T_{inf}$ . Question 2 : Si la chaleur spécifique du système est $C=5000 \, \text{J/K}$ et que la puissance de chauffe est $P=1000\, \text{W}$ , calculer le temps nécessaire pour passer du seuil inférieur au seuil supérieur. Question 3 : Calculer la fréquence minimale d’oscillation du système avec ces seuils.→
  • 18
    Exercice 3 : Régulation tout-ou-rien avec seuil et hystérésis Un régulateur tout-ou-rien est conçu avec une consigne de température $T_c = 60^{\circ}\mathrm{C}$ , un seuil d’action supérieur $T_{sup} = 62^{\circ}\mathrm{C}$ et un seuil d’action inférieur $T_{inf} = 58^{\circ}\mathrm{C}$ . Il présente une hystérésis assurant la stabilisation du système. Question 1 : Déterminer la largeur de l’hystérésis $\Delta T$ . Question 2 : En supposant que la puissance appliquée à la charge est $P=1.5\,\text{kW}$ et que la capacité thermique est $C=8000\,\text{J/K}$ , calculer la période d’oscillation. Question 3 : Calculer l’énergie consommée par cycle d’oscillation.→
  • 19
    On étudie un régulateur tout-ou-rien simple pour un système de chauffage électrique avec une consigne de température $T_s = 75$ °C. Question 1 : Calculez l'état de la sortie du régulateur (ON ou OFF) pour une température mesurée $T_m = 70$ °C. Question 2 : Si on introduit une zone morte (seuil) de ± 3 °C autour de la consigne, calculez les limites supérieure et inférieure de la zone morte. Question 3 : En ajoutant une hystérésis de ± 2 °C, calculez les seuils effectifs de passage ON/OFF et expliquez leur effet sur la fréquence des commutations.→
  • 20
    Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis est utilisé pour contrôler le niveau d'un réservoir d'eau. Question 1 : Si le seuil bas est fixé à 30% et le seuil haut à 70% de remplissage, calculez la largeur de la bande d'hystérésis. Question 2 : Pour un remplissage actuel de 25%, quelle action prendra le régulateur (activé/désactivé) ? Question 3 : Calculez la fréquence de commutation théorique si la vitesse de variation du niveau est de 5% par minute dans une zone efficace entre 30% et 70%.→
  • 21
    Un système industriel utilise un régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis pour maintenir une pression constante. Question 1 : Les seuils étant $P_{bas} = 1.5$ bar et $P_{haut} = 2.0$ bar, calculez l'intervalle de pression d'activation du compresseur. Question 2 : Si la pression diminue de $0.05$ bar par minute, calculez le temps de réponse avant activation du compresseur en cas de dépassement du seuil bas. Question 3 : Calculez le nombre théorique de cycles de mise en marche/arrêt en 1 heure si la pression est proche des seuils et varie périodiquement de ±0.1 bar autour de 1.75 bar.→
  • 22
    Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple Un système est contrôlé par un régulateur tout-ou-rien simple avec une consigne $W = 50$ °C. La température mesurée $T(t)$ varie autour de cette consigne. La sortie du régulateur est soit 0 (arrêt du chauffage) soit $M = 100$ % (mise en marche du chauffage). Question 1 : Calculer la durée pendant laquelle le chauffage est activé si la température s'élève de $45$ °C à $55$ °C avec un taux de chauffe constant de $2$ °C/min. Question 2 : Déterminer la fréquence de commutation du régulateur si la température descend ensuite de 55 °C à 45 °C avec...→
  • 23
    Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil Un régulateur tout-ou-rien équipé d'un seuil de déclenchement $W_s = 2$ unités agit sur un système avec une consigne $W = 100$ . La mesure évolue entre $W - W_s$ et $W + W_s$ avec une vitesse de changement constante. Question 1 : Calculer la durée entre deux commutations si la mesure varie de $90$ à $110$ unités avec une vitesse de changement de $5$ unités/s. Question 2 : Déduire la fréquence de commutation. Question 3 : Si on diminue le seuil à $1$ unité, quel sera l'impact sur la fréquence ?→
  • 24
    Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis Un régulateur est configuré avec une consigne $W = 75$ , un seuil de commutation $W_s = 3$ et une hystérésis de $H = 2$ . La grandeur mesurée oscille entre $70$ et $80$ selon un profil sinusoïdal. Question 1 : Déterminer les bornes hautes et basses des plages de commutation conséquentes à l'hystérésis. Question 2 : Calculer la durée où la commande est activée et désactivée si la période d'oscillation est $T = 60$ secondes. Question 3 : Déduire la fréquence de commutation et expliquer l'impact sur la stabilité du système.→
  • 25
    Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple - calculs de seuils et temps de réponse Un système est régulé par un régulateur tout-ou-rien avec une consigne $W = 50$ unité, une sortie de commande binaire entre 0 (arrêt) et 100 % (marche), et une dynamique caractérisée par une constante de temps $\tau = 10$ s. Question 1 : Pour un écart initial de $e(0) = -10$ , calculer le temps nécessaire pour que la sortie bascule pour la première fois si la sortie initiale est 100 %. Question 2 : Si la consigne est $W$ avec un seuil d'activation $S = 2$ , déterminer la valeur de l'écart $e$...→
  • 26
    Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil Considérons un régulateur TOR avec seuil $S = 3$ unités, consigne $W = 100$ , et réponse de l'erreur suivant : $e(t) = 25 \sin(0.2 t)$ . Question 1 : Déterminer les instants où la commande bascule entre 0 % et 100 %. Question 2 : Calculer les périodes d'activation et désactivation. Question 3 : Calculer la fréquence moyenne d'oscillation.→
  • 27
    Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis Un régulateur TOR est configuré avec seuils $w_{inf} = 45$ et $w_{sup} = 55$ . La consigne est $W = 50$ . La dynamique du système est représentée par : $e(t) = 10 \sin(0.1 t)$ . Question 1 : Déterminer les intervalles de temps où la commande est activée (100 %) ou désactivée (0 %). Question 2 : Calculer la fréquence d'oscillation effective du système. Question 3 : Déterminer l'amplitude maximale de l'erreur $e(t)$ durant un cycle complet.→
  • 28
    Un régulateur tout-ou-rien simple commande un système où la variable mesurée est la température $T(t)$ . Le régulateur agit en coupant ou en activant une résistance chauffante avec : Consigne : $T_c = 70^\circ C$ Valeur de sortie : $y(t) = 1$ si $T(t) Question 1 : Pour une température mesurée $ T = 65^\circ C $, quelle est la commande $ y $ ? Question 2 : Pour une température de $ T = 75^\circ C $, calculer la valeur de la sortie. Question 3 : Si on mesure une oscillation entre $ 68^\circ C $ et $ 72^\circ C $, quelle est la fréquence d’oscillation pour une période de $ 120\text{ s} $ ?→
  • 29
    Dans un système de chauffage, un régulateur tout-ou-rien avec seuil agit sur la température : Seuil bas : $T_{min} = 68^\circ C$ Seuil haut : $T_{max} = 72^\circ C$ Lorsque la température dépasse $T_{max}$ , la commande coupe l’alimentation, et quand elle descend sous $T_{min}$ , elle rétablit l’alimentation. Question 1 : Déterminez la valeur de la sortie $y(t)$ si $T = 67^\circ C$ . Question 2 : Pour une température $T = 70^\circ C$ , quel état de la commande ? Question 3 : Pour $T = 75^\circ C$ , calculez la valeur de $y(t)$ .→
  • 30
    Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis est défini par : Seuil inférieur $U_{inf} = 40$ Seuil supérieur $U_{sup} = 50$ Le système commande l’état selon : $y(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{si } x(t) \leq U_{inf} \ 0, & \text{si } x(t) \geq U_{sup} \end{array} \right.$ Question 1 : Calculez la valeur de $y$ pour $x = 35$ . Question 2 : Pour $x = 45$ , quelle est la valeur de $y$ sachant que la dernière commande était à 1. Question 3 : Pour $x = 48$ , quelle est la valeur de $y$ si la dernière commande était à 0.→
  • 31
    On considère un régulateur tout-ou-rien simple qui commande un chauffage électrique alimenté sous une tension $V_s = 220 \, V$ . La température de consigne est $T_s = 75^\circ C$ , et la température actuelle $T$ . Le régulateur déclenche le chauffage lorsque $T Question 1 : Calculer la durée de chauffe nécessaire pour augmenter la température de $ 10^\circ C $ dans une pièce dont la capacité thermique est $ C = 5000 \, J/^{\circ}C $ et la puissance thermique du chauffage est $ P = 1000 \, W $. Question 2 : Déterminer la fréquence de commutation du régulateur si la température baisse de $ 2^\circ C $ par heure. Question 3 : Calculer la tension moyenne appliquée au chauffage.→
  • 32
    Un régulateur tout-ou-rien avec seuils positive et négative est utilisé pour maintenir la température autour d'une consigne $T_c = 60^\circ C$ . Le seuil haut est $T_{sup} = 62^\circ C$ et le seuil bas est $T_{inf} = 58^\circ C$ . La puissance du chauffage est $P = 1500 \, W$ , la capacité thermique du milieu est $C = 8000 \, J/^{\circ}C$ . Question 1 : Calculer la durée de chauffe jusqu'à atteindre $T_{sup}$ depuis la consigne. Question 2 : Calculer le temps de refroidissement jusqu'à atteindre $T_{inf}$ . Question 3 : Déterminer la période totale de commutation et la fréquence du cycle.→
  • 33
    Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis maintient la température dans une enceinte comprise entre $20^\circ C$ et $22^\circ C$ . Le cycle de chauffe est piloté par une puissance $P = 1200 \, W$ et le volume thermique a une capacité $C = 4500 \, J/^{\circ}C$ . Question 1 : Calculez la durée de montée de la température de 2°. Question 2 : Calculez la durée de refroidissement sur 2° dans ce contexte. Question 3 : Déterminez la fréquence de commutation du régulateur.→
  • 34
    Exercice 1 : Calculs pour un régulateur tout-ou-rien simple Un système industriel est commandé par un régulateur tout-ou-rien simple. La consigne est fixée à $W = 100$ unités et la mesure instantanée est $X(t)$ . Question 1 : Calculer la sortie du régulateur $Y(t)$ lorsque $X(t) = 95$ puis pour $X(t) = 105$ . Question 2 : Si la dynamique du système implique un dépassement de la consigne de 5 unités avant stabilisation, calculer la durée totale pendant laquelle la sortie sera à 100% dans un cycle complet en supposant une fréquence de régulation de 1 Hz. Question 3 : Décrire l'effet de l'introduction d'un seuil...→
  • 35
    Exercice 2 : Calculs pour un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis a des seuils $u_{sup} = 55$ et $u_{inf} = 45$ avec une consigne nominale $W = 50$ . Question 1 : Déterminer la sortie $Y(t)$ lorsque la mesure est $X(t) = 47$ , puis lorsque $X(t) = 53$ . Question 2 : Calculer la largeur de la bande d'hystérésis. Question 3 : Estimer la fréquence maximale de commutation si la mesure varie sinusoidalement avec une période de 10 s.→
  • 36
    Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis Un régulateur tout-ou-rien possède un seuil d'activation $u_s = 2$ et une bande d'hystérésis de $h = 4$ . La consigne est fixée à $W = 50$ . Question 1 : Déterminer les seuils supérieur et inférieur de commutation $u_{sup}$ et $u_{inf}$ . Question 2 : Calculer la sortie du régulateur pour une mesure qui augmente de $48$ à $52$ . Question 3 : Estimer la moindre amplitude du signal de mesure pour que le régulateur commute.→
  • 37
    Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple sans seuil Un système thermique est régulé par un actionneur tout-ou-rien commandant une résistance chauffante de puissance $P = 1000\,\text{W}$ , montée dans un réservoir d’eau de masse $m = 10\,\text{kg}$ . La chaleur spécifique de l’eau est $c = 4180\,\text{J/kg·K}$ . Le système est soumis à une dissipation thermique équivalente à une résistance thermique $R_{th} = 6\,\text{K/W}$ . La température de consigne est fixée à $T_c = 60\,\text{°C}$ , et la température ambiante vaut $T_a = 20\,\text{°C}$ . 1. Calculer la température d’équilibre atteinte lorsque le chauffage reste en service en permanence. 2. Déterminer le temps nécessaire pour que la température atteigne 90 % de...→
  • 38
    Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec hystérésis et seuil différentiel Un système de climatisation commande un compresseur via un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis. La consigne de température est fixée à $T_c = 25\,\text{°C}$ . Le compresseur s’enclenche à $T = 26,5\,\text{°C}$ et se coupe à $T = 23,5\,\text{°C}$ . Le modèle d’évolution de la température intérieure est de premier ordre : $\frac{dT}{dt} = \frac{T_{ext} - T}{\tau} + KQ$ , avec $T_{ext} = 30\,\text{°C}$ , $K = 0,05\,\text{°C/W}$ , $\tau = 600\,\text{s}$ , et puissance frigorifique maximale $Q = -200\,\text{W}$ . 1. Déterminer la température d’équilibre lorsque le compresseur fonctionne en permanence. 2. Calculer le temps nécessaire pour passer de 26,5°C à 23,5°C. 3. En supposant une remontée thermique identique en...→
  • 39
    Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil bas et haut – thermostat industriel Un four électrique est régulé entre deux limites de température : $T_h = 150 °C$ (arrêt du chauffage) et $T_b = 135 °C$ (remise en route). Le système thermique est modélisé par une équation du premier ordre avec $τ = 300 s$ lorsqu’il chauffe, et $τ' = 500 s$ lorsqu’il refroidit. Questions : 1. Calculer le temps de chauffage entre 135 °C et 150 °C. 2. Calculer le temps de refroidissement de 150 °C à 135 °C. 3. En déduire la période de régulation complète.→
  • 40
    Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec hystérésis et signal perturbé Un bain thermostaté utilise un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis de $ΔT = 3 °C$ autour d’une consigne $T_c = 80 °C$ . Le modèle thermique est décrit par une constante de temps $τ = 400 s$ . La puissance disponible du chauffage correspond à un réchauffement exponentiel de type : $T(t) = 80 - 3 e^{-t/τ}$ pour l’arrêt, puis un refroidissement de $T(t) = 77 + 3 e^{-t/τ}$ pour la détente. Questions : 1. Déterminer le temps nécessaire pour passer de 77 °C à 80 °C. 2. Calculer le temps de descente de température de 80 °C à 77 °C après coupure. 3. En déduire la durée totale d’un...→
• Identification des systèmes en boucle ouverte et fermée (31 Exercices)
  • 1
    La sortie d’un procédé en boucle ouverte suite à un échelon d’entrée présente une courbe en S modélisable par le modèle de Broïda : $H(p) = K \exp(-T_m p) / (\tau p + 1)$ . Sur l’enregistrement, l’échelon de 3 unités en entrée mène à une sortie passant de 0 à 6,6, avec une tangente à l’inflexion coupant l’axe à $t_0=16\ \text{s}$ , et atteignant 63 % de la réponse à $t_1=43\ \text{s}$ . 1) Identifiez les paramètres $K$ , $\tau$ et $T_m$ du modèle. 2) Écrivez la fonction de transfert obtenue. 3) Calculez la valeur de la sortie à $t=60\ \text{s}$ (en régime transitoire).→
  • 2
    On applique une entrée échelon de 2 unités à un système intégrateur pur dont la sortie croît linéairement et atteint 10 après 25 secondes. 1) Identifiez la fonction de transfert du procédé. 2) Déterminez la valeur constante d’intégration. 3) Calculez la sortie attendue à $t=80\ \text{s}$ .→
  • 3
    Un procédé industriel en boucle fermée subit la méthode des oscillations continues de Ziegler-Nichols. La période d’oscillation mesurée à la limite de stabilité est $T_u=23\ \text{s}$ pour un gain critique de boucle $K_{cr}=8,7$ . 1) Calculez les paramètres du correcteur PID selon Ziegler-Nichols. 2) Déterminez la fonction de transfert globale en boucle fermée avec ce correcteur. 3) Calculez la marge de stabilité (phase -180°) pour ce réglage si la constante d’intégration est $T_i=11,5\ \text{s}$ .→
  • 4
    Un procédé industriel présente une réponse à une entrée échelon sous forme d'une courbe en S typique d'une chaîne à retard pur et premier ordre. L'enregistrement du signal de sortie donne un temps de retard pur $T_{0} = 8~s$ , le temps pour atteindre 63% de la valeur finale à partir de la sortie de retard pur est $T_{1} = 36~s$ . La variation d'entrée est de $2,5~V$ et la variation de sortie est de $9,7~V$ . 1. Identifiez le modèle équivalent du procédé et donnez l'expression de la fonction de transfert. 2. Calculez le gain statique du procédé. 3. Calculez la sortie attendue...→
  • 5
    Une chaîne intégratrice idéale donne une sortie linéaire lors d’une réponse indicielle. Pour une variation de consigne de $4~V$ , la sortie atteint $3,6~V$ au bout de $2~min$ . 1. Déterminez la constante d’intégration K du système. 2. Calculez la sortie attendue au bout de $5~min$ pour une variation de même amplitude. 3. Une consigne de $2~V$ est appliquée pendant $60~s$ , puis supprimée : calculez la valeur maximale atteinte à la sortie.→
  • 6
    Pour un système industriel en boucle fermée, on tente d’identifier un modèle à partir de la méthode des oscillations continues (critère de Ziegler-Nichols). L’enregistrement donne une période d’oscillation continue $T_{osc}=33~s$ pour une valeur critique du gain $K_{cr}=9,1$ . 1. Déterminez la fonction de transfert approchée du système (modèle de Ziegler-Nichols). 2. Calculez la constante de temps équivalente (T) et le gain (K). 3. Pour un correcteur proportionnel pur réglé à $K_p=0,45 K_{cr}$ , donnez la valeur du gain réel appliqué.→
  • 7
    Un système de chaîne ouverte présente une courbe intégratrice caractérisée par une pente moyenne de $a=0,092}$ et un gain statique théorique $K=2,3}$ . Lors d'une excitation par échelon d’amplitude $A=1,5}$ , la sortie atteint $y=3,7}$ à $t=27~\text{s}$ après le début de la réponse. Questions : 1. Identifiez le modèle de l’intégrateur pur, écrivez la fonction de transfert en Laplace. 2. Calculez la constante de temps équivalente à partir de la pente observée. 3. Calculez la sortie du système à $t=50~\text{s}$ pour un échelon d’entrée d’amplitude $1,5}$ .→
  • 8
    Un procédé sous commande en boucle fermée est soumis à la méthode des oscillations continues de Ziegler-Nichols. Le système présente une oscillation d’amplitude constante pour un gain de boucle $K_u=13,7}$ . La période d’oscillation mesurée est $T_u=36~\text{s}$ . Questions : 1. Déterminez le modèle du système à partir de ces données (fonction de transfert simplifiée). 2. Calculez la constante de temps équivalente du système. 3. Pour une entrée échelon d’amplitude 2,5, calculez l’amplitude de la première oscillation théorique.→
  • 9
    Un procédé industriel présente une réponse à un échelon d'entrée illustrée par une courbe en S typique des chaînes ouvertes. Après l'application d'un échelon, la courbe de sortie atteint 10 % de sa réponse finale à $t_1 = 13~s$ et 90 % à $t_2 = 33~s$ . La valeur finale de la sortie est $Y_{\infty} = 8,2$ . • Q1. Déterminez le temps de réponse du procédé. • Q2. Identifiez les paramètres du modèle de type « premier ordre à retard » (constante de temps, gain, temps mort). • Q3. Donnez l'expression mathématique de la sortie d'après le modèle obtenu.→
  • 10
    Un système intégrateur en chaîne ouverte donne la réponse suivante : l’entrée échelon est de taille $A = 4,5$ , la pente en régime transitoire est mesurée à $s = 0,18~unit/s$ . • Q1. Donnez la fonction de transfert du modèle à identifier. • Q2. Calculez la constante d’intégration. • Q3. En déduire l’expression de la sortie en fonction du temps.→
  • 11
    On réalise une identification en chaîne fermée avec la méthode des oscillations. Un régulateur proportionnel maintient le système à la limite de stabilité et la période d’oscillation observée est $T_u = 8,2~s$ . Le gain du régulateur à la limite est $K_u = 5,7$ . • Q1. Calculez la pulsation propre associée à la période d’oscillation. • Q2. En utilisant la méthode de Ziegler-Nichols, donnez la valeur recommandée du gain proportionnel pour réglage optimal. • Q3. Donnez la fonction de transfert du système fermé, identifié comme un second ordre critique.→
  • 12
    Exercice 1 : Identification d’un système intégrateur en boucle ouverte par sa courbe de réponse Un système industriel présente une réponse à un échelon unité de type courbe intégratrice observée expérimentalement : pour une entrée de $u(t) = 1\,U$ , la sortie croît linéairement de $0\,V$ à $3.5\,V$ entre $t = 0\,s$ et $t = 7\,s$ . 1. Déterminez la fonction de transfert du système à partir de la courbe obtenue. 2. Calculez la constante d’intégration à partir de la réponse mesurée. 3. Prédisez la sortie pour une entrée échelon de $u(t) = 2\,U$ appliquée pendant $5\,s$ .→
  • 13
    Exercice 2 : Identification d’un système du premier ordre en boucle ouverte par la méthode de la courbe en S Un système industriel à reconnaître est soumis à une entrée échelon unité. Sa sortie passe de $0\,V$ à $1.4\,V$ . Les points d’inflexion expérimentaux (via tangentes) se trouvent à $t_{1} = 1.3\,s$ et $t_{2}=3.9\,s$ . 1. Déduisez la constante de temps du système par la méthode graphique. 2. Déterminez la fonction de transfert correspondant à ce modèle. 3. Calculez la sortie attendue 5 secondes après l’application d’un échelon unité.→
  • 14
    Exercice 3 : Identification en boucle fermée par oscillations entretenues (méthode de Ziegler-Nichols) Un système régulé en automatique présente des oscillations entretenues pour un gain de réglage $K_{cr} = 7.3$ . La période des oscillations enregistrée sur le graphique de sortie vaut $T_{cr} = 25.4\,s$ . 1. Calculez la fonction de transfert du système régulé équivalent selon le modèle de Ziegler-Nichols. 2. Prédisez la valeur de la sortie après 50 s à partir d'une réponse impulsionnelle normale d'amplitude 1. 3. Calculez les paramètres du régulateur PID optimum selon Ziegler-Nichols classique.→
  • 15
    Un procédé industriel présente une réponse à un échelon d’entrée de type courbe en S caractérisée par un retard $T_u = 8~\mathrm{s}$ , un temps de montée $T_g = 38~\mathrm{s}$ et un gain statique mesuré $K = 2{,}8$ . Le système est modélisé en boucle ouverte par un modèle de type $H(p)=\frac{K}{1+\tau p}e^{-T_u p}$ . 1. Déterminez la valeur de la constante de temps $\tau$ . 2. Donnez l’expression de la fonction de transfert identifiée. 3. Calculez la sortie du système à un échelon unité en entrée pour ce modèle.→
  • 16
    Une boucle ouverte d’un procédé intégrateur a pour réponse à un échelon une rampe de pente $k_I = 1,7~\mathrm{min}^{-1}$ après un retard pur $T_u=5,5~\mathrm{s}$ . 1. Identifiez la fonction de transfert du procédé. 2. Quelle valeur atteint la sortie au bout de $t=30~\mathrm{s}$ après l’application de l’échelon ? 3. Si la consigne devient une rampe de pente $r=0,5~\mathrm{min}^{-1}$ , calculez la sortie à $t=30~\mathrm{s}$ .→
  • 17
    Un système industriel est bouclé par un régulateur proportionnel de gain $K_p=11$ . Une série d’oscillations entretenues de période $T_u=6,2~\mathrm{s}$ est observée lors de l’augmentation graduelle du gain. Le modèle recherché se ramène à une fonction de transfert de type premier ordre à retard pur : $H(p)=\frac{1}{1+T p}$ . 1. Appliquez la méthode d’identification de Ziegler-Nichols et déduisez la valeur de la constante de temps $T$ . 2. Donnez le modèle bouclé équivalent. 3. Précisez le modèle de la chaîne fermée, en retrouvant la pulsation propre et le facteur d’amortissement.→
  • 18
    Un système industriel est excité en boucle ouverte par un échelon unitaire. La réponse obtenue est typiquement celle d'un système du premier ordre, montrée ci-dessous : après un retard pur $T_d = 3,0\,\text{s}$ le point d'inflexion, la sortie atteint 63 % de sa valeur finale après $T_c = 8,2\,\text{s}$ (mesuré à partir de l'échelon). 1) Identifiez le modèle mathématique du système à partir de la courbe en S (point d'inflexion + temps caractéristique). 2) Déterminez l'équation de la sortie en fonction du temps. 3) Calculez la constante de temps et comparez la sortie réelle à la sortie identifiée au temps $t = 12$ s.→
  • 19
    On excite une chaîne industrielle en boucle ouverte qui présente une courbe intégratrice réelle : la sortie $y(t)$ évolue linéairement après l’échelon et atteint $y = 16$ au temps $t = 14$ s. $ Le modèle d’intégrateur pur est retenu. 1) Identifiez le modèle mathématique et le gain intégrateur. 2) Donnez l’équation de la réponse à l’échelon unitaire. 3) Calculez la valeur de la sortie au temps $ t = 50 $ s et évaluez la précision de cette identification.→
  • 20
    En boucle fermée, un régulateur auto-oscillant est associé à une chaîne de la forme $G(s) = \frac{3,8}{6s+1}$ . Lors de l’identification par méthode des oscillations entretenues, la période d’oscillation observée est $T = 11,3\,\text{s}$ pour un gain critique de $K_{cr} = 7,3$ . 1) Déterminez la fréquence propre de la boucle régulée et le modèle temporaire identifiant le système. 2) Calculez la marge de stabilité pour un gain $K = 4,6$ . 3) Déduisez l’équation de la sortie pour une consigne sinusoïdale à $\omega = 0,45\,\text{rad/s}$ .→
  • 21
    Un procédé industriel est modélisé par une courbe en S pour une entrée échelon de grandeur $A = 5\,\mathrm{V}$ . En boucle ouverte, on observe un temps de retard pur $T_0 = 2.8\,\mathrm{s}$ , un temps de montée $T_m = 14.6\,\mathrm{s}$ , et une pente maximale $P_{max} = 0.32\,\mathrm{V.s}^{-1}$ . 1. Identifiez le modèle de transfert à utiliser et calculez ses paramètres dynamiques (gain statique, constante de temps, retard). 2. Écrivez l’expression analytique de la sortie $y(t)$ pour une entrée échelon. 3. Calculez la valeur de la sortie à $t = 10\,\mathrm{s}$ et à $t = 40\,\mathrm{s}$ .→
  • 22
    Un système à identifier par courbe intégratrice présente une sortie linéaire en réponse à une entrée échelon de grandeur $E = 2\,\mathrm{V}$ . On mesure une dérivée de la sortie $\frac{dy}{dt}=0.58\,\mathrm{V.s}^{-1}$ durant la phase linéaire principale. 1. Déterminez l’expression de la fonction de transfert du modèle intégrateur pur, puis le paramètre du modèle. 2. Calculez l’expression analytique de la sortie pour une entrée échelon. 3. Calculer la valeur de la sortie à $t=4\,\mathrm{s}$ puis à $t=20\,\mathrm{s}$ .→
  • 23
    Lors de l’identification d’un système en boucle fermée par la méthode des oscillations, on observe un régime périodique stable pour une valeur du réglage du correcteur de gain proportionnel $K_p^* = 0.89$ , avec une période d’oscillation $T_{osc} = 11.2\,\mathrm{s}$ pour une entrée consigne harmonique de $A = 1.5\,\mathrm{V}$ . 1. Calculez la pulsation critique et exprimez la fonction de transfert du système. 2. Déduisez l’expression analytique de la sortie selon l’entrée harmonique à cette fréquence critique. 3. Calculez la valeur maximale et minimale de la sortie au cours d’une période.→
  • 24
    Exercice 1 : Identification en boucle ouverte – Méthode des courbes en S et du modèle de premier ordre Un réacteur thermique est soumis à une consigne de température sous forme de saut d’amplitude $A = 30\ ^\circ\mathrm{C}$ . La réponse mesurée est une courbe en S dont le délai d’entrée est $D=2.8\ \mathrm{min}$ et le temps de montée de 10% à 90% est $T_r=9.6\ \mathrm{min}$ . On cherche à identifier le modèle de premier ordre à retard : $G(s) = \frac{K}{1+T s} e^{-Ds}$ . 1. Déterminez la constante de temps $T$ du système à partir des données. 2. Calculez le gain statique $K$ si la température finale atteinte...→
  • 25
    Exercice 2 : Identification en boucle ouverte par courbe oscillatoire – Modèle du second ordre Un système hydraulique contrôlé génère une oscillation de la sortie à la suite d’un saut d’entrée de débit. La réponse présente un dépassement maximal $M_{max}=37\%$ et une pseudo-période de $T_p=2.35\ \mathrm{s}$ . On cherche à identifier les paramètres du modèle du second ordre : $G(s) = \frac{K}{1+2\xi Ts + T^2 s^2}$ . 1. Calculez le facteur d’amortissement $\xi$ à partir du dépassement. 2. En déduire la constante de temps $T$ à partir de $T_p$ et $\xi$ . 3. Si le gain statique est $K=0.85$ , calculez la valeur de la sortie à...→
  • 26
    Exercice 3 : Identification en boucle fermée – Méthode des oscillations entretenues Un régulateur industriel PI commande une boucle dont la réponse conduit à des oscillations entretenues pour une valeur critique du gain $K_c=0.95$ . La période des oscillations mesurées est $T_u=52\ \mathrm{s}$ . On cherche à identifier le modèle fermé équivalent à : $G(s) = \frac{K'}{(1+T_1 s)(1+T_2 s)}$ . 1. Déterminez les coefficients de réglage PI selon Ziegler-Nichols. 2. En déduire les constantes de temps équivalentes $T_1$ et $T_2$ du système modèle. 3. Si l’entrée est un signal carré d’amplitude $A=16\ $ , calculez l’amplitude fondamentale de la sortie, puis la réponse initiale pour t=0....→
  • 27
    Un système industriel en boucle ouverte présente une réponse à un échelon de consigne caractérisée par une courbe en S. À partir de l’enregistrement, la sortie commence à réagir après un retard $T_u = 1{,}6~\text{s}$ , et stabilise à sa nouvelle valeur après $T_g = 13,2~\text{s}$ . L’incrément de consigne est $\Delta u = 2,5~\text{V}$ et l’incrément de la sortie stabilisée est $\Delta y = 6,8~\text{°C}$ . 1. Déduisez le modèle de premier ordre à retard pur (modèle de Broïda) en identifiant les paramètres du modèle. 2. Calculez la constante de temps du système et le gain statique. 3. Déterminez l’expression de la fonction de transfert selon le modèle identifié....→
  • 28
    Un système industriel est modélisé par une courbe intégratrice après un échelon de commande en boucle ouverte. L’incrément de consigne est $\Delta u = 1,4~\text{V}$ . Après $15~\text{s}$ , la sortie a augmenté de $\Delta y = 10{,}5~\text{mm}$ et son évolution reste linéaire pour une seule entrée. 1. Déterminez le modèle intégrateur équivalent à partir des données. 2. Calculez le coefficient d’intégration du système. 3. Déduisez l’expression de la fonction de transfert associée au système identifié.→
  • 29
    Lors du test d’identification en boucle fermée d’un procédé industriel, une méthode des oscillations de Ziegler-Nichols est appliquée : À partir de la valeur critique de gain $K_{crit} = 6,7$ du régulateur, on observe une période d’oscillation maintenue $T_{osc} = 22,5~\text{s}$ . 1. Déduisez la fonction de transfert équivalente du système à partir de cette identification. 2. Pour un régulateur de type proportionnel-intégral (PI), calculez les valeurs des paramètres $K_{PI}$ et $T_i$ selon les règles de Ziegler-Nichols. 3. Calculez l’expression du PID optimal selon Ziegler-Nichols et déterminez les valeurs de $K_{PID}$ , $T_i$ , $T_d$ .→
  • 30
    Un système industriel présente une réponse en S après une consigne d’entrée de type échelon. Après analyse de la courbe, on mesure un temps de retard $t_{0}=2,6\;s$ , un temps de montée $t_{m}=8,7\;s$ et un gain statique de sortie $K=3,4$ . 1. Identifiez le modèle équivalent du système (type et paramètres caractéristiques) utilisant la méthode de la courbe en S. 2. Déduisez la fonction de transfert modélisée du système. 3. Si on applique un échelon d’entrée de $A=4,5$ unités, calculez la sortie du système au régime établi.→
  • 31
    Un système industriel en boucle fermée présente une oscillation entretenue lors d’un essai. L’oscillation a une période mesurée $T_{osc}=12,2\;s$ et l’amplitude reste constante. La valeur du gain critique introduit au correcteur est $K_{cr}=2,1$ . 1. À l’aide de la méthode des oscillations (Ziegler-Nichols), estimez les paramètres d’un correcteur PID réglé. 2. Déduisez la fonction de transfert PID du système pour ces réglages. 3. Donnez la valeur numérique du temps intégral et du temps dérivatif du régulateur PID.→
• Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID (37 Exercices)
  • 1
    Un système est soumis à une régulation par un régulateur proportionnel (P) de gain $K_p = 3$ . L'entrée de consigne est une rampe $r(t) = 2t$ , l'erreur de suivi est : $e(t) = r(t) - y(t)$ . Question 1 : Calculer la sortie du régulateur $u(t) = K_p e(t)$ en fonction de temps. Question 2 : En ajoutant une action intégrale avec constante $T_i = 5$ s, déterminer l’expression de la commande dans un régulateur PI. Question 3 : Pour le régulateur PID avec une constante dérivée $T_d = 1$ s et avec $K_p = 3$ , calculer la sortie pour une erreur $e(t) = 0.1 e^{-t}$ .→
  • 2
    Un système est contrôlé par un régulateur PD avec les paramètres : Gain proportionnel $K_p = 4$ Constante dérivée $T_d = 0.5$ s Question 1 : Calculer la fonction de transfert du régulateur $H(p) = K_p (1 + T_d p)$ . Question 2 : Pour une entrée échelon unité, déterminer la sortie $u(t)$ en domaine temporel. Question 3 : Évaluer l'impact du terme dérivé sur la réponse du système pour un signal d'erreur rapide.→
  • 3
    Un moteur est contrôlé par un régulateur PID avec : Gain proportionnel $K_p = 5$ Constante intégrale $T_i = 2$ s Constante dérivée $T_d = 0.1$ s Question 1 : Écrire la fonction de transfert du régulateur PID. Question 2 : Pour une entrée fonction échelon unité $e(t) = 1(t)$ , calculer la sortie $u(t)$ du régulateur. Question 3 : Déterminer la valeur finale $\lim_{t \to \infty} u(t)$ .→
  • 4
    On considère un système industriel de premier ordre dont la fonction de transfert est : $G(p) = \dfrac{K}{1 + T p}$ avec $K = 2$ et $T = 3~\text{s}$ . On souhaite asservir ce système à l’aide d’un régulateur proportionnel de gain $K_p$ . 1. Établir la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$ . 2. Calculer le gain de boucle fermée si $K_p = 5$ . 3. Déterminer la valeur finale de la réponse à un échelon unitaire d’entrée en utilisant le théorème de la valeur finale.→
  • 5
    Un système de régulation de température est modélisé par : $G(p) = \dfrac{4}{(1 + 5p)}$ . Le correcteur utilisé est de type PI : $C(p) = K_p\left(1 + \dfrac{1}{T_i p}\right)$ avec $K_p = 2$ et $T_i = 4~\text{s}$ . 1. Établir la fonction de transfert en boucle ouverte $L(p) = C(p)G(p)$ . 2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée. 3. Calculer l’erreur statique pour un échelon unitaire en entrée.→
  • 6
    Un système industriel possède pour fonction de transfert : $G(p) = \dfrac{10}{p(1 + 2p)}$ . On souhaite appliquer un régulateur PID défini par $C(p) = K_p\left(1 + \dfrac{1}{T_i p} + T_d p\right)$ avec $K_p = 1,5$ , $T_i = 3~\text{s}$ et $T_d = 0,5~\text{s}$ . 1. Déterminer la fonction de transfert du correcteur PID. 2. Établir la fonction de transfert en boucle ouverte $L(p)$ . 3. Calculer la pulsation de coupure à -3 dB du système en boucle ouverte (approximation en faible amortissement).→
  • 7
    Un procédé est modélisé par une fonction de transfert de premier ordre $G(p) = \frac{K}{1 + T p}$ avec $K = 2$ et $T = 4\, s$ . Un régulateur proportionnel de gain $K_p$ est utilisé. 1. Établir l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée. 2. Calculer la valeur de $K_p$ pour obtenir un temps de réponse de 4 s (temps de réponse à ±5 % d’environ $3T_{eq}$ ). 3. Déterminer l’erreur statique pour une entrée échelon unitaire et commenter.→
  • 8
    Un système de régulation PID contrôle un moteur à retard négligeable modélisé par $G(p) = \frac{K}{Tp + 1}$ avec $K = 3$ et $T = 0.5\, s$ . Le régulateur est $R_{PID}(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$ . Les gains visés sont : $K_p = 2$ , $T_i = 0.6\, s$ , $T_d = 0.15\, s$ . 1. Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte et déterminer son expression canonique. 2. Calculer la constante de boucle ouverte à basse fréquence (erreur statique pour échelon). 3. Déterminer les pôles dominants de la boucle fermée (approximation du second ordre).→
  • 9
    Exercice 1 : Analyse d’un régulateur proportionnel (P) Un système industriel linéaire est contrôlé par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 5$ . L'équation d'erreur est $\varepsilon(t) = R(t) - Y(t)$ où $R(t)$ est la consigne et $Y(t)$ la sortie du système. Question 1 : Écrire l’expression de la commande $u(t)$ délivrée par le régulateur. Question 2 : Pour une erreur constante $\varepsilon = 2$ , calculer la valeur de la commande. Question 3 : Si une perturbation fait que l’erreur diminue à $0.5$ , déterminer la nouvelle commande.→
  • 10
    Exercice 2 : Régulateur proportionnel-intégral (PI) et élimination de l'erreur statique Un régulateur PI est défini par : $u(t) = K_p \varepsilon(t) + K_i \int_0^t \varepsilon(\tau) d\tau$ avec $K_p = 4, K_i = 1$ . Question 1 : Calculer la commande $u(t)$ à l’instant $t=5$ s, sachant que $\varepsilon(t) = 3$ (constante). Question 2 : Déterminer la valeur de la commande si l'erreur est réduite à zéro à $t=5$ s. Question 3 : Calculer la contribution de l’action intégrale à $t=5$ s.→
  • 11
    Exercice 3 : Régulateur proportionnel-intégral-dérivé (PID) dans un système dynamique Le régulateur PID est caractérisé par : $u(t) = K_p \varepsilon(t) + K_i \int_0^t \varepsilon(\tau) d\tau + K_d \frac{d \varepsilon}{d t}$ avec $K_p = 3, K_i = 2, K_d = 0.5$ . Question 1 : Pour une erreur constante $\varepsilon = 1$ , calculer la commande instantanée \(u(t)\) . Question 2 : Si l'erreur diminue linéairement selon $\varepsilon(t) = 1 - 0.1 t$ , calculer la dérivée Question 3 : Déterminer la commande totale $u(t)$ à \(t = 5\) s.→
  • 12
    Exercice 3 : Régulateur PID – Compensation dynamique d’un procédé du second ordre On considère un procédé de fonction de transfert $G(p) = \dfrac{4}{p(1 + 2p)}$ soumis à un régulateur PID défini par $R(p) = K_p \left(1 + \dfrac{1}{T_i p} + T_d p \right)$ . Les constantes sont $K_p = 1.5$ , $T_i = 3\,s$ , $T_d = 0.5\,s$ . 1. Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte $R(p)G(p)$ . 2. Déterminer la fonction en boucle fermée simplifiée et identifier la pulsation propre et le facteur d’amortissement pour un comportement du second ordre équivalent. 3. Calculer la réponse en régime permanent à un échelon unitaire et vérifier que l’erreur est nulle.→
  • 13
    Exercice 1 : Régulateur proportionnel (P) appliqué à un système du premier ordre. On considère un système de premier ordre de fonction de transfert $G(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ avec $K = 2$ et $\tau = 3$ s. Le système est asservi en boucle fermée avec un régulateur proportionnel de gain $K_p$ . Une consigne en échelon de 10 unités est appliquée à $t = 0$ . 1. Établissez la fonction de transfert en boucle fermée du système. 2. Déterminez la valeur finale de la sortie pour $K_p = 2$ . 3. Calculez le dépassement en pourcentage et le temps de réponse à 5 % pour cette valeur de gain.→
  • 14
    Exercice 2 : Régulateur intégral (PI) pour l’élimination de l’erreur statique. On considère un système de premier ordre $G(p) = \frac{5}{1 + 2p}$ . Le régulateur de type PI est donné par $R(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)$ avec $K_p = 2$ et $T_i = 4$ s. Une consigne échelon de 3 V est appliquée au système. 1. Établissez la fonction de transfert en boucle fermée du système avec ce régulateur. 2. Calculez le gain statique en boucle fermée et vérifiez si l’erreur statique est nulle. 3. Déterminez la constante de temps équivalente du système en régime permanent pour cette régulation.→
  • 15
    Exercice 3 : Régulateur PID appliqué à un processus de second ordre. Un système est modélisé par : $G(p) = \frac{4}{p(1 + 2p)}$ . Un régulateur PID est mis en œuvre sous la forme $R(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$ avec $K_p = 1.2$ , $T_i = 3$ s et $T_d = 0.75$ s. 1. Écrivez la fonction de transfert en boucle ouverte du système régulé. 2. Calculez les pôles du système en boucle fermée. 3. Déterminez la valeur du dépassement pour un échelon unitaire et la vitesse d’établissement à 5 %.→
  • 16
    Exercice 1 : Calculs sur un régulateur proportionnel (P) Un système est contrôlé par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 4$ . La consigne de sortie est $Y_{cons} = 100$ et la sortie mesurée initiale est $Y = 60$ . Question 1 : Calculer l’erreur instantanée $e(t)$ . Question 2 : Déterminer la valeur du signal de commande $u(t)$ fourni par le régulateur. Question 3 : Si on souhaite réduire l’erreur à $e(t) = 5$ , quelle doit être la nouvelle valeur de la sortie $Y$ en supposant la même consigne ?→
  • 17
    Exercice 2 : Régulateur proportionnel-intégral (PI) avec conditions initiales Un régulateur PI est utilisé avec : $K_p = 3, \quad T_i = 5\,\text{s}$ (temps intégral). La fonction de transfert du régulateur est : $G_c(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)$ L’entrée est une erreur constante $e(t) = 2$ pour $t > 0$ et $u(0) = 0$ . Question 1 : Écrire l’expression de la sortie temporelle $u(t)$ du régulateur. Question 2 : Calculer la valeur de $u(t)$ à $t = 10\,\text{s}$ . Question 3 : Déterminer la valeur de la sortie en régime permanent.→
  • 18
    Exercice 3 : Régulateur proportionnel-intégral-dérivé (PID) et analyse de sa réponse Un régulateur PID est défini par : $G_c(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$ avec les paramètres : $K_p = 2, \quad T_i = 4\,\text{s}, \quad T_d = 1\,\text{s}$ . L'entrée est une fonction échelon unité appliquée à l'erreur, donc $e(t) = 1(t)$ . Question 1 : Calculer la transformée de Laplace de la sortie $U(p)$ . Question 2 : Déterminer l’expression temporelle de la sortie $u(t)$ via la transformée inverse. Question 3 : Calculer la valeur finale de la sortie $\lim_{t \to \infty} u(t)$ .→
  • 19
    Un processus industriel est contrôlé par un régulateur proportionnel (P) avec un gain $K_p = 2.5$ . La consigne de température est $T_s = 100$ °C, et la température mesurée initiale est $T_m = 80$ °C. Question 1 : Calculez l'erreur $e(t)$ à l'instant initial. Question 2 : Déterminez la valeur de la commande régulateur $u(t)$ appliquée au système. Question 3 : En supposant que la constante de temps du processus est $\tau = 5$ s, calculez la sortie temporelle du système→
  • 20
    On considère un régulateur PI (Proportionnel-Intégral) avec Question 1 : Écrivez l'expression de la fonction de transfert du régulateur en domaine de Laplace. Question 2 : Pour fournissez valeur du gain proportionnel $K_p = 3$ et du temps intégral $T_i = 4$ s, calculez la sortie du régulateur pour une erreur constante $e(t) = 5$ °C. Question 3 : Calculez la valeur finale de la sortie régulée en régime permanent.→
  • 21
    Un régulateur PID a des gains Question 1 : Exprimez la fonction de transfert du régulateur en domaine de Laplace. Question 2 : Pour une entrée échelon unité, calculez la sortie régulée dans le domaine temporel en supposant et Les gains sont et . Question 3 : Déterminez le dépassement maximal et le temps de réponse pour une étape d'entrée, et commentez la fonction du terme dérivé dans la réduction des oscillations.→
  • 22
    Exercice 1 : Régulateur Proportionnel (P) Un système industriel est asservi par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 4$ . L'entrée de consigne est une échelon unité et la fonction de transfert du processus est : $G(s) = \frac{1}{s + 2}$ Question 1 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée Question 2 : Déterminer la valeur finale de la sortie $y_{\infty}$ à l'entrée échelon. Question 3 : Evaluer l'erreur statique en régime permanent.→
  • 23
    Exercice 2 : Régulateur Proportionnel-Intégral (PI) Pour le même processus et consigne que dans l'exercice précédent, un régulateur PI de paramètres $K_p = 3$ et $T_i = 4$ s est utilisé avec la fonction de transfert : $C(s) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i s} \right)$ Question 1 : Calculer la fonction de transfert boucle fermée avec ce régulateur PI. Question 2 : Déterminer l'erreur statique à une entrée échelon. Question 3 : Étudier la stabilité du système par le critère de Routh.→
  • 24
    Exercice 3 : Régulateur Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) Un procédé possède la fonction de transfert : $G(s) = \frac{5}{s (s + 1)}$ Un régulateur PID est utilisé dont la fonction de transfert est : $C(s) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right)$ avec $K_p = 2, T_i = 1, T_d = 0,5$ . Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{bo}(s)$ . Question 2 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$ . Question 3 : Étude de la stabilité : calculer le polynôme caractéristique et vérifier si le système est stable avec les paramètres choisis.→
  • 25
    Exercice 1 : Régulateur proportionnel (P) Un procédé industriel possède une fonction de transfert : $G(p) = \frac{5}{10 p + 1}$ . On utilise un régulateur proportionnel de gain $K_p = 2$ . Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$ . Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie $y(t)$ suite à une entrée échelon unité. Question 3 : Évaluer l'erreur statique.→
  • 26
    Exercice 2 : Régulateur proportionnel-intégral (PI) Procédé de fonction de transfert : $G(p) = \frac{4}{8 p + 1}$ . Le régulateur PI a pour fonction : $G_c(p) = K_p + \frac{K_i}{p}$ , avec $K_p = 3$ et $K_i = 1$ . Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$ . Question 2 : Calculer la valeur finale de sortie pour une entrée échelon unité. Question 3 : Calculer le polynôme caractéristique du système en boucle fermée.→
  • 27
    Exercice 3 : Régulateur PID classique Un procédé est modélisé par : $G(p) = \frac{6}{12 p + 1}$ . Un régulateur PID en parallèle est défini par : $G_c(p) = K_p + \frac{K_i}{p} + K_d p$ avec $K_p = 2$ , $K_i = 1$ , et $K_d = 0.5.$ Question 1 : Établir la fonction de transfert en boucle fermée. Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie pour une entrée échelon unité. Question 3 : Déterminer la fonction caractéristique du système.→
  • 28
    Un système est régulé par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 3$ . La consigne de sortie est $Y_c = 10$ unités, et la sortie actuelle est $Y = 7$ . Question 1 : Calculez l'erreur $e = Y_c - Y$ et la sortie du régulateur $U$ . Question 2 : Si la fonction de transfert directe du système est $G(s) = \frac{1}{s + 2}$ , calculez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$ avec ce régulateur. Question 3 : Déterminez la valeur finale de la sortie $Y_{\infty}$ en réponse à un échelon de consigne constant.→
  • 29
    Un système possède la fonction de transfert : $G(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 3}$ Il est contrôlé par un régulateur PI de la forme : $K(s) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i s} \right)$ avec $K_p = 5$ et $T_i = 2 $ secondes. Question 1 : Calculez la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{ol}(s)$ . Question 2 : Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$ . Question 3 : Calculez l’erreur statique en réponse à un échelon unitaire de consigne.→
  • 30
    Un régulateur PD a pour fonction de transfert : $H(p) = K_p (1 + T_d p)$ , avec $K_p = 5$ et $T_d = 0{,}1 \, s$ . Le système contrôlé est soumis à une entrée échelon de valeur $1$ . Question 1 : Calculer la sortie en régime permanent. Question 2 : Déterminer la contribution de l'action dérivée à la réponse temporelle. Question 3 : Quel est l'effet du correcteur PD sur le dépassement et le temps de réponse ?→
  • 31
    Un système est régulé par un correcteur PID avec : $H(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p \right)$ , où $K_p = 3$ , $T_i = 2 \, s$ et $T_d = 0{,}5 \, s$ . L'entrée est un échelon unité. Question 1 : Calculer la fonction de transfert du correcteur PID. Question 2 : Déterminer l'expression de l'erreur en régime permanent. Question 3 : Évaluer l'effet de chaque paramètre sur la dynamique du système.→
  • 32
    Exercice 1 : Régulateur Proportionnel (P) - Calcul de la sortie et de l'erreur Un régulateur proportionnel est utilisé sur un système avec une consigne fixe $r = 100$ et une sortie mesurée $y(t)$ . Le gain proportionnel est $K_p = 4$ . Question 1 : Déterminer l'expression de la sortie du régulateur $u(t)$ . Question 2 : Si $y(t) = 90$ , calculer la valeur de $u(t)$ et l'erreur $e(t)$ . Question 3 : Que représente le gain proportionnel dans la réponse temporelle du système ? Donnez sa signification en termes de stabilité.→
  • 33
    Exercice 2 : Régulateur Proportionnel-Intégral (PI) - Calculs de la sortie Un régulateur PI est appliqué avec un gain proportionnel $K_p = 3$ et un temps d'intégration $T_i = 5 s$ . La consigne est $r=50$ et la sortie mesurée $y(t) = 45$ . Question 1 : Définir la fonction de transfert $H(p)$ du régulateur PI. Question 2 : Calculer la sortie temporelle $u(t)$ pour une erreur constante $e(t) = 5$ appliquée depuis $t=0$ . Question 3 : Interprétez l'effet de l'action intégrale en termes d'erreur à régime permanent.→
  • 34
    Exercice 3 : Régulateur Proportionnel-Dérivé-Intégral (PID) - Calculs de la réponse Un régulateur PID a les paramètres suivants : $K_p = 2, \quad T_i = 4 s, \quad T_d = 1 s$ . La consigne est constante à $r = 100$ et la sortie mesurée est $y(t) = 85$ . Question 1 : Écrire l'expression du signal de commande $u(t)$ en fonction de l'erreur $e(t)$ et de ses dérivées/integrales. Question 2 : Pour une erreur constante $e(t) = 15$ , calculer la valeur de $u(t)$ après $t = 6 s$ en supposant un zéro initial. Question 3 : Expliquez l'effet de chaque terme du PID sur la performance de la régulation.→
  • 35
    Exercice 2 : Régulateur proportionnel intégral (PI) Un moteur asservi en position est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \frac{10}{p(0,5p + 1)}$ . On installe un régulateur PI : $R(p) = K_p(1 + \frac{1}{T_i p})$ . On fixe $K_p = 2$ et $T_i = 1\,\text{s}$ . 1. Établir la fonction de transfert en boucle fermée. $ 2. Calculer le temps de réponse à 5 % et la pulsation naturelle équivalente.$ 3. Déterminer l’erreur statique en réponse à un échelon unitaire. $→
  • 36
    Exercice 2 : Régulateur PI appliqué à un système thermique Un procédé thermique est modélisé par $G(p) = \frac{2}{10p+1}$ et piloté par un régulateur PI de gain proportionnel $K_p$ et intégral $K_i$ . Le signal de consigne est un échelon unité. Questions : 1. Établir la fonction de transfert du régulateur PI et la fonction de transfert en boucle fermée du système. 2. Pour $K_p = 3$ et $K_i = 1$ , calculer l’expression du dénominateur caractéristique. 3. Calculer le temps de réponse à 5 % et commenter l’amélioration apportée par l’action intégrale.→
  • 37
    Exercice 3 : Régulateur PID – correction d’un moteur à courant continu Un moteur à courant continu est modélisé par $G(p) = \frac{10}{p(0.5p + 1)}$ . Il est asservi par un régulateur PID de forme standard : $R(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p \right)$ . Les constantes du régulateur sont $K_p = 2$ , $T_i = 0.5 s$ , et $T_d = 0.1 s$ . Questions : 1. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte. $ 2. Trouver le dénominateur caractéristique du système en boucle fermée. 3. Calculer le temps de réponse approché et commenter la rapidité obtenue avec l’action dérivée.→
• dimensionnement des régulateurs (25 Exercices)
  • 1
    Un procédé de fonction de transfert $H(p)=\frac{5}{(1+0,5p)(1+0,12p)}$ doit être réglé par un correcteur PI via la méthode de Ziegler-Nichols. Par essais, l’oscillation limite est obtenue pour un gain critique $K_{cr}=1,38$ et une période d’oscillation $T_u=8,6\ \text{s}$ . 1) Calculez les paramètres $K_P$ et $T_I$ du PI selon Ziegler-Nichols. 2) Écrivez la fonction de transfert globale en boucle fermée. 3) Évaluez la valeur de la sortie à $t=20\ \text{s}$ pour une entrée échelon unité par la réponse type des ZN PI.→
  • 2
    On doit dimensionner un correcteur PID pour un procédé d’inertie pure (modèle symétrique) de gain $K=4,7$ , de temps de retard $T_0=1,9\ \text{s}$ et de temps d’intégration $T_1=8,2\ \text{s}$ . Le critère symétrique impose un dépassement inférieur à 10%. 1) Calculez le réglage initial du PID selon le critère symétrique de CHR. 2) Déterminez la fonction du correcteur obtenue. 3) Calculez la sortie attendue à $t=30\ \text{s}$ pour une entrée échelon unité, réponse du type symétrique CHR.→
  • 3
    On considère un procédé industriel modélisé par une fonction de transfert du premier ordre : $H(p) = \frac{2}{1 + 10p}$ . L’objectif est de dimensionner un correcteur de type P selon le critère du méplat pour une réponse rapide sans dépassement. 1. Calculez le gain du correcteur pour atteindre une précision statique de moins de $5\%$ pour une entrée échelon. 2. Dimensionnez le gain P optimal selon le critère du méplat pour garantir une stabilité sans oscillation significative. 3. Déterminez la constante de temps du système corrigé.→
  • 4
    Un procédé à dynamique intégratrice est modélisé par $H(p)=\frac{3}{p}$ . L'objectif est le dimensionnement optimal d'un correcteur PI selon le critère symétrique pour minimiser l'écart de poursuite et accélérer la réponse sans oscillation excessive. On souhaite respecter une marge de phase de $45^\circ$ . 1. Donnez l’expression du correcteur PI et la fonction de transfert en boucle fermée. 2. Déterminez les paramètres optimaux du régulateur PI pour assurer la marge de phase imposée. 3. Calculez le temps de réponse à 5% pour une entrée échelon.→
  • 5
    Un procédé industriel présente des oscillations continues pour un gain critique $K_{cr}=12,4$ et une période d’oscillation $T_{osc}=41~s$ . On souhaite dimensionner un régulateur PID par la méthode de Ziegler-Nichols. 1. Calculez les paramètres du régulateur PID selon la méthode de Ziegler-Nichols. 2. Donnez l’équation du PID ainsi obtenu. 3. Pour une entrée échelon, calculez la valeur de la réponse initiale à t = 0 et finale à l’infini.→
  • 6
    Un procédé industriel est modélisé par une fonction de transfert de premier ordre à retard pur : $H(p)=\frac{K}{1+Tp}e^{-T_0p}$ avec $K=7,6}$ , $T=19,8~\text{s}$ , $T_0=4,2~\text{s}$ . On souhaite concevoir un régulateur P en utilisant le critère méplat pour obtenir un dépassement inférieur à 16 %. Questions : 1. Calculez le gain maximal du régulateur P selon le critère méplat. 2. Déterminez la pulsation de croisement correspondant à ce réglage. 3. Pour une consigne échelon d’amplitude $A=4,5}$ , calculez la valeur maximale de la réponse du système fermé.→
  • 7
    On souhaite dimensionner un régulateur PI pour un procédé défini par $H(p)=\frac{12,5}{1+13,2p}$ . On utilise le critère symétrique pour fixer la marge de phase à $60^{\circ}$ . Questions : 1. Calculez la pulsation de croisement pour une marge de phase de $60^{\circ}$ . 2. Déterminez les paramètres du régulateur PI ( $K_P$ et $T_I$ ) pour assurer ce critère. 3. En régime permanent pour une entrée échelon $A=3,2}$ , calculez la valeur finale de la sortie.→
  • 8
    On réalise un réglage automatique Ziegler-Nichols sur une boucle fermée. En augmentant le gain, des oscillations continues sont obtenues pour $K_u=7,3}$ et la période est $T_u=26~\text{s}$ . On veut dimensionner un régulateur PID selon Ziegler-Nichols. Questions : 1. Déterminez les paramètres $K_P$ , $T_I$ et $T_D$ du PID selon la méthode Ziegler-Nichols. 2. Donnez la fonction de transfert du régulateur ainsi dimensionné. 3. Calculez, pour un échelon d’entrée de $A=2,0}$ , la valeur de la sortie à l’issue du premier cycle d’oscillation.→
  • 9
    Un procédé industriel de type premier ordre avec retard est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \frac{3,4~e^{-4,8p}}{12p+1}$ . On souhaite dimensionner un régulateur proportionnel intégral (PI) selon différents critères de réglage. • Q1. Calculez la constante de temps équivalente selon le critère du méplat (critère de réaction rapide sans dépassement). • Q2. Déterminez les paramètres du régulateur PI par la méthode symétrique en prenant une marge de phase de $60^{\circ}$ . • Q3. Comparez les réglages du PI avec ceux donnés par la méthode de Ziegler-Nichols (à partir d'un temps d'oscillation critique $T_u = 13~s$ et d'un gain critique $K_u = 4,6$ ).→
  • 10
    Un système régulé présente une réponse d’oscillation critique pour un gain de régulation $K_u = 5,5$ et une période d’oscillation $T_u = 10~s$ . On souhaite dimensionner un régulateur PID selon les méthodes de Ziegler-Nichols et du critère symétrique. • Q1. Calculez les paramètres $K_p$ , $T_i$ , $T_d$ du PID selon Ziegler-Nichols. • Q2. Dimensionnez les paramètres du PID selon le critère symétrique si le temps de réponse cible est $τ = 6,2~s$ . • Q3. Comparez la rapidité théorique (temps de réponse estimé) pour chaque réglage.→
  • 11
    Exercice 2 : Dimensionnement d’un régulateur PI selon le critère symétrique Pour le procédé $G(p) = \frac{10}{3p+1}$ , un régulateur PI est choisi : $C(p) = K_P \left(1 + \frac{1}{T_I p}\right)$ . L’objectif est d’obtenir une réponse symétrique (temps de montée égal au temps de descente), ce qui impose l’annulation du pôle du procédé par le zéro du régulateur. 1. Déterminez la condition de symétrie sur les paramètres du régulateur. 2. Calculez la valeur de $K_P$ nécessaire pour que le système en boucle fermée ait une bande passante à $\omega_c = 1.2\,rad/s$ . 3. Calculez l’écart statique pour une entrée échelon unité avec ce réglage.→
  • 12
    Exercice 3 : Méthode de Ziegler-Nichols pour le dimensionnement d’un régulateur PID Un procédé industriel de fonction de transfert $G(p) = \frac{15}{(6p+1)(2p+1)}$ est réglé expérimentalement : oscillations entretenues à $K_{cr}=10.4$ et période d’oscillation $T_{cr}=18\,s$ . 1. Déterminez les paramètres optimums du régulateur PID selon Ziegler-Nichols. 2. Retrouvez la fonction de transfert en boucle fermée pour $K_P$ ainsi calculé, $T_I$ et $T_D$ . 3. Calculez la valeur de la sortie à $t=20\,s$ pour une entrée échelon unité (modèle simplifié).→
  • 13
    Un procédé industriel est modélisé par la fonction de transfert de premier ordre : $H(p)=\frac{4,2}{1+13p}$ . On souhaite dimensionner le réglage d’un régulateur proportionnel à l’aide du critère méplat. On impose un dépassement maximal de $20~\%$ dans la réponse à un échelon. 1. Calculez la valeur du gain proportionnel $K_p$ devant être adopté pour respecter cette contrainte. 2. En déduire le temps de réponse à 5 % du régime permanent. 3. Pour cette configuration, calculez la vitesse maximale d’erreur en régime transitoire.→
  • 14
    Un procédé réglé par un régulateur PI est modélisé par : $H(p)=\frac{8}{1+20p}$ . On souhaite appliquer la méthode symétrique pour réguler le système. On vise une réponse symétrique, c’est-à-dire avoir le même temps de dépassement et de retour lors d'un échelon. 1. Déterminez les valeurs optimales des paramètres du régulateur PI ( $K_p$ et $T_i$ ) selon le critère symétrique. 2. Calculez la constante de temps du système réglé. 3. Déterminez l’écart statique sous une consigne échelon unité.→
  • 15
    Un procédé de type second ordre est identifié selon : $H(p)=\frac{15}{1+7p+70p^2}$ . On souhaite appliquer la méthode de Ziegler-Nichols pour dimensionner un régulateur PID standard. Des oscillations entretenues sont obtenues pour un gain proportionnel critique $K_{pc}=0,24$ et une période $T_u=9,4~\mathrm{s}$ . 1. Déterminez les valeurs des paramètres PID selon Ziegler-Nichols. 2. Calculez la fonction de transfert du système bouclé sous ce réglage PID. 3. Quel sera le temps de réponse à 5 % pour le système régulé ?→
  • 16
    On veut régler un procédé avec la méthode de Ziegler Nichols à partir d’une identification par oscillations entretenues. Pour l’installation, on constate des oscillations entretenues pour $K_{cr} = 11,8$ et une période critique $T_{cr} = 4,71$ s. 1) Calculez les valeurs optimales des paramètres pour un régulateur PI. 2) Calculez la marge de gain et la marge de phase rattachées à ce réglage. 3) Si la spécification impose un temps de réponse à 5 % inférieur à $8$ s, le réglage Ziegler-Nichols est-il conforme ? Si non, proposez un nouveau réglage sur la base du PI ZN.→
  • 17
    Un procédé thermique est modélisé par une courbe S de réponse à échelon unité : temps de retard $ T_0 = 2\,\mathrm{s} $ , constante de temps $ T = 12.5\,\mathrm{s} $ . On veut dimensionner un régulateur par la méthode symétrique (essai d’oscillation continue). 1. Par la méthode de Ziegler-Nichols (oscillations), déterminer le gain proportionnel critique $ K_{cr} $ et la période d’oscillation critique $ T_{cr} $ en considérant $ K_{cr} = \frac{T}{K_{proc} T_0} $ . 2. Calculez les paramètres d’un correcteur PI optimal selon la méthode de Ziegler-Nichols. 3. Calculez le dépassement maximal et le temps de réponse à 5% attendus avec ce réglage PI.→
  • 18
    Un procédé dont la fonction de transfert est $ H(p) = \frac{5}{10p+1} $ doit être régulé. On utilise le critère symétrique pour dimensionner un régulateur PID selon la méthode de Ziegler-Nichols (essai d'oscillation continue). 1. Par essais, on constate des oscillations soutenues pour $ K_p^*=2.6 $ et une période d’oscillation critique $T_{cr}=11.8\,\mathrm{s}$ . Établissez les paramètres du PID optimal selon Ziegler-Nichols. 2. Calculez l’expression de la commande en fonction de l’erreur à ce réglage. 3. Calculez le temps d’intégration et de dérivation ainsi que le gain en boucle ouverte du PID à basse fréquence.→
  • 19
    Un procédé industriel est modélisé par une fonction de transfert de premier ordre à retard pur : $G(s) = \frac{2,6~e^{-2,7s}}{18,5s + 1}$ . Il s’agit de dimensionner un régulateur PID série selon le critère méplat pour obtenir une réponse rapide sans dépassement. 1. Calculez les valeurs optimales des paramètres $K_p$ , $T_i$ et $T_d$ selon le critère méplat. 2. Calculez le temps d'établissement à 5% de la consigne pour la boucle fermée obtenue. 3. Vérifiez si la marge de stabilité est satisfaisante à partir du modèle obtenu.→
  • 20
    On utilise la méthode symétrique pour dimensionner un régulateur PI destiné à un procédé modélisé par $G(s) = \frac{4,7~e^{-1,2s}}{8,6s + 1}$ . Le but est d'obtenir une réponse symétrique et rapide. 1. Déterminez les valeurs des paramètres optimaux $K_p$ et $T_i$ selon le critère symétrique. 2. Calculez la valeur de la bande passante angulaire de la boucle fermée obtenue. 3. Calculez l’erreur de régulation permanente pour une consigne de $3~\text{V}$ .→
  • 21
    On doit dimensionner le régulateur d’un procédé dont la réponse en boucle fermée a été analysée par la méthode de Ziegler-Nichols en boucle fermée. Le système présente un gain critique $K_{crit} = 5,6$ et une période d’oscillation maintenue $T_{osc} = 27,5~\text{s}$ . 1. Déduisez les réglages optimaux d’un régulateur PI selon Ziegler-Nichols. 2. Calculez les valeurs optimales d’un régulateur PID selon Ziegler-Nichols. 3. Calculez la valeur minimale du gain du régulateur permettant d’assurer une stabilité absolue de la boucle fermée.→
  • 22
    Pour une chaîne linéaire à comportement symétrique, la fonction de transfert identifiée est $G(s) = \frac{K}{T s + 1}$ , avec $K = 1.7$ , $T = 17~\mathrm{s}$ . Selon le critère symétrique, on dimensionne un régulateur PID. 1. Calculez le gain proportionnel $K_p$ selon le critère symétrique ( $K_p = \frac{0.5T}{K}$ ). 2. Déterminez le réglage intégral $T_i$ et dérivant $T_d$ pour ce même critère ( $T_i = T$ , $T_d = 0.12 T$ ). 3. Exprimez la fonction de transfert du régulateur PID ainsi dimensionné.→
  • 23
    Une boucle de régulation industrielle reçoit une consigne échelon. Après identification, la courbe de sortie présente un temps de retard pur $t_{o}=3,3\;s$ , une constante de temps $T=5,1\;s$ et un gain statique $K=2,85$ . On souhaite dimensionner le régulateur selon le critère du méplat. 1. Calculez les paramètres d’un régulateur P selon ce critère. 2. En appliquant le critère symétrique, déduisez le nouveau gain du régulateur. 3. Proposez les paramètres d’un régulateur PID à l’aide de la méthode de Ziegler-Nichols (utilisez $K=2,85$ , $T=5,1\;s$ , $t_o=3,3\;s$ ).→
  • 24
    Un système thermique est modélisé par un premier ordre pur avec une constante de temps $T=8,2\;s$ et un gain statique $K=4,0$ . Après identification expérimentale, la periodicité du système impose une correction PID selon Ziegler-Nichols. 1. Calculez la valeur du gain du régulateur PID et les temps intégral et dérivatif pour un fonctionnement optimal selon la méthode de Ziegler-Nichols. 2. Si le régulateur doit respecter un méplat en sortie correspondant à une erreur statique d’échelon inférieure à 1,1 unités, quelle valeur minimale de $K_P$ doit être choisie? 3. Pour une consigne échelon de 6,3 unités, calculez la réponse initiale et...→
  • 25
    Un procédé industriel en boucle fermée, avec correction PID, présente un gain critique déterminé expérimentalement à $K_{cr}=1,85$ et une période d'oscillation de $T_{osc}=10,7\;s$ . 1. Selon la méthode de Ziegler-Nichols, calculez les paramètres d’un régulateur PID optimal. 2. Donnez l’expression de la fonction de transfert du régulateur PID correspondant. 3. Calculez la valeur du gain du régulateur pour une demande de stabilité critique avec un temps de montée inférieur à $7,5\;s$ .→
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