Maths 4 Recherche avancée

• Intégrales simples et multiples (115 Exercices)
  • 1
    Calculer l’intégrale définie suivante : $ $\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x + 1) \,dx$$→
  • 2
    Calculer : $ $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \,dx$$→
  • 3
    Déterminer l’aire sous la courbe définie par $ $y = x^2$$ entre $ $x = 1$$ et $ $x = 3$$ .→
  • 4
    Calculer l’intégrale suivante : $ $\int_{0}^{1} x\,e^{x^2} \,dx$$ .→
  • 5
    Soit $ $I = \int_{0}^{\pi} \sin(x)\,dx$$ . Calculer I.→
  • 6
    Calculer l’aire entre la courbe $ $y = x^2$$ et l’axe x sur [0;2].→
  • 7
    Trouver la valeur de : $ $\int_{0}^{1} (4x + 5) \,dx$$ .→
  • 8
    Calculer $ $\int_{0}^{1} x\,\ln(x) \,dx$$ .→
  • 9
    Trouver la valeur de : $ $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x)\,dx$$ .→
  • 10
    Calculer : $ $\iint_{D} (x+y)\,dA$$ où $ $D = [0,1]\times[0,1]$$→
  • 11
    Calculer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} (3x^3 - 2x + 4)\,dx$$ .→
  • 12
    Déterminer la valeur de : $ $\int_{0}^{2} xe^{2x}\,dx$$ .→
  • 13
    Calculer : $ $\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+2y)\ dx\,dy$$→
  • 14
    Soit $ $f(x) = x^3$$ . Calculer $ $\int_{1}^{2} f(x)\,dx$$ .→
  • 15
    Calculer : $ $\int_{-1}^{1} x^3 \,dx$$→
  • 16
    Calculer : $ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx$$→
  • 17
    Évaluer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} e^{2x} dx$$→
  • 18
    Calculer l’intégrale suivante : $ $\int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^2}$$ .→
  • 19
    Calculer l’intégrale suivante : $ $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$$ (aire d’un quart de cercle).→
  • 20
    Déterminer : $ $\int_{0}^{1} \ln(x+1) dx$$ .→
  • 21
    Calculer l’intégrale triple : $ $\iiint_{[0,1]^3} (x+y+z) \,dx\,dy\,dz$$→
  • 22
    Calculer $ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) dx$$ .→
  • 23
    Évaluer le flux de $ $\vec{F} = xi + yj$$ à travers la face supérieure du carré $ $[0,1] \times [0,1]$$ dans le plan z=1, avec un champ normal sortant.→
  • 24
    Calculer : $ $\iint_{x=0}^1 \iint_{y=0}^{2} (2x+3y) dy dx$$ .→
  • 25
    Soit $ $I = \int_{0}^{2} (x^2 + 1)dx$$ , calculer I.→
  • 26
    Calculer l’aire du triangle de sommets (0,0), (1,0), (0,2) à l’aide d’une intégrale double.→
  • 27
    Soit $ $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$ . Calculer $ $\int_{0}^{1} f(x) dx$$ .→
  • 28
    Calculer $ $\int_{0}^{1} e^{x}dx$$ .→
  • 29
    Calculer : $ $\iint_{x=0}^1 \iint_{y=0}^{1} 6x y\ dy dx$$ .→
  • 30
    Calculer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$$ .→
  • 31
    Déterminer : $ $\int_{0}^{1} \ln(x)dx$$ .→
  • 32
    Calculer : $ $\int_{0}^{1} x^3\, dx + \int_{2}^{3} 2x\, dx$$ .→
  • 33
    Soit $ $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ . Calculer I.→
  • 34
    Évaluer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} e^{-x} dx$$ .→
  • 35
    Calculer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2}dx$$ .→
  • 36
    Calculer : $ $\int_{0}^{1} (2x+1)^2 dx$$ .→
  • 37
    Trouver l’aire sous $ $y = 2x$$ sur [0;2].→
  • 38
    Calculer : $ $\iint_{[0,1]\times[0,1]} xy dxdy$$→
  • 39
    Calculer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx$$ .→
  • 40
    Déterminer la valeur de : $ $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x}}dx$$ .→
  • 41
    Calculer : $ $\int_0^\pi \sin^2(x) dx$$ .→
  • 42
    Calculer l’intégrale : $ $\int_{0}^{1} x^n dx,\ n\in\mathbb{N},\ n>0$$→
  • 43
    Soit $ $S = \iint_{D}x^2y\ dA$$ avec $ $D = [0,1]\times[0,3]$$ . Calculer S.→
  • 44
    Évaluer : $ $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^2}dx$$→
  • 45
    Soit $ $f(x) = e^{-x}$$ . Calculer $ $\int_{0}^{2} f(x) dx$$ .→
  • 46
    Calculer : $ $\int_{0}^{1} 4x^3 dx$$ .→
  • 47
    Calculer : $ $\int_0^1 \ln(1+x)dx$$ .→
  • 48
    Calculer : $ $\int_{0}^{1} xe^x dx$$ .→
  • 49
    Évaluer : $ $\int_{0}^{2} (x^2 + 2x + 3)dx$$ .→
  • 50
    Soit $ $f(x) = x^2$$ , calculer : $ $\int_{-1}^{1} f(x)dx$$ .→
  • 51
    Trouver : $ $\int_{0}^{1} \cos(x)dx$$ .→
  • 52
    Évaluer : $ $\int_{0}^{\ln(2)} e^{2x} dx$$ .→
  • 53
    Calculer l'intégrale $ $I = \int_{0}^{1} x^2 e^x dx$$ .→
  • 54
    Évaluer $ $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,dx$$ .→
  • 55
    Calculer $ $I = \int_{1}^{2} x\ln x\,dx$$ .→
  • 56
    Évaluer l'intégrale impropre $ $I = \int_{0}^{+\infty} x e^{-2x} dx$$ .→
  • 57
    Calculer l'aire du domaine $ $D$$ défini par $ $0 \le x \le 1$$ et $ $0 \le y \le x$$ , via $ $I = \iint_D dx\,dy$$ .→
  • 58
    Déterminer $ $I = \iint_D r\,dr\,d\theta$$ où $ $D$$ est le disque de rayon $ $R$$ centré à l'origine.→
  • 59
    Calculer le volume de la région $ $V$$ définie par $ $0 \le z \le 1 - x - y$$ dans le premier octant.→
  • 60
    Évaluer $ $I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$$ .→
  • 61
    Calculer $ $I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^2}\,dx$$ .→
  • 62
    Calculer $ $I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x\,dx$$ .→
  • 63
    Évaluer $ $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$ .→
  • 64
    Calculer $ $I = \iint_D (x + y)\,dx\,dy$$ sur le triangle $ $D$$ défini par $ $x\ge0$$ , $ $y\ge0$$ et $ $x+y\le1$$ .→
  • 65
    Évaluer $ $I = \iint_D x\,dx\,dy$$ où $ $D$$ est le demi-disque $ $x^2 + y^2 \le R^2$$ , $ $x\ge0$$ .→
  • 66
    Calculer $ $I = \iiint_V z\,dx\,dy\,dz$$ dans le cube $ $0\le x,y,z\le a$$ .→
  • 67
    Évaluer $ $I = \iint_D (x - y)\,dx\,dy$$ avec la transformation $ $u = x+y$$ , $ $v = x-y$$ sur le carré $ $0\le x,y\le1$$ .→
  • 68
    Calculer $ $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$$ .→
  • 69
    Évaluer $ $I = \int_{0}^{1} x^3 \ln x\,dx$$ .→
  • 70
    Calculer $ $I = \iint_D xy\,dx\,dy$$ où $ $D$$ est le rectangle $ $0\le x\le2$$ , $ $0\le y\le3$$ .→
  • 71
    Calculer $ $\int_{0}^{2} (4x - x^{2}) \, dx$$ .→
  • 72
    Évaluer $ $\int_{1}^{2} \frac{3}{x^{2}} \, dx$$ .→
  • 73
    Calculer $ $\int_{0}^{3} x\sqrt{9 - x^{2}} \, dx$$ en utilisant la substitution trigonométrique.→
  • 74
    Évaluer $ $\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x) \, dx$$ .→
  • 75
    Calculer $ $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \, dx$$ .→
  • 76
    Évaluer $ $\int_{0}^{2} (x+1)e^{x} \, dx$$ par intégration par parties.→
  • 77
    Calculer l'intégrale double $ $\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} xy \, dx \, dy$$ .→
  • 78
    Évaluer $ $\iint_{D} (x+y) \, dA$$ où D: 0≤x≤1, 0≤y≤1.→
  • 79
    Calculer $ $\iint_{D} xy \, dA$$ où D: x^{2}+y^{2}≤1 (en polaires).→
  • 80
    Évaluer $ $\int_{0}^{1}\int_{x}^{1} y \, dy \, dx$$ .→
  • 81
    Calculer la masse d'une lamina sur D: x^{2}+y^{2}≤R^{2} avec densité \(\rho=r\) en polaires.→
  • 82
    Calculer $ $\iiint_{V} z \, dV$$ où V: 0≤x,y≤1, 0≤z≤x+y.→
  • 83
    Évaluer l'intégrale de surface $ $\iint_{S} x \, dS$$ sur S: z=1-x-y, x,y≥0, x+y≤1.→
  • 84
    Calculer $ $\int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx$$ .→
  • 85
    Évaluer $ $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax} \, dx$$ (n entier, a>0).→
  • 86
    Calculer $ $\int_{0}^{1} \ln(x+1) \, dx$$ .→
  • 87
    Évaluer $ $\int_{0}^{\pi/2} x\cos(x) \, dx$$ par parties.→
  • 88
    Calculer $ $\int_{1}^{2}\int_{1}^{y} \frac{1}{x}dx\,dy$$ .→
  • 89
    Évaluer $ $\iiint_{V} xyz \, dV$$ où V: 0≤x,y,z≤1.→
  • 90
    Calculer $ $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (x^{2}+y^{2}) \, dy\,dx$$ .→
  • 91
    Évaluer $ $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin(bx) \, dx$$ (a>0,b>0).→
  • 92
    Calculer $ $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$$ .→
  • 93
    Évaluer $ $\int_{0}^{\infty} x^{1/2} e^{-x} \, dx$$ .→
  • 94
    Calculer $ $\iint_{D} (x^{2}-y^{2}) \, dA$$ où D est le carré [0,1]×[0,1].→
  • 95
    Évaluer $ $\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \, dx$$ (p,q>0).→
  • 96
    Calculer $ $\int_{0}^{2\pi}\sin^{4}x\,dx$$ .→
  • 97
    Évaluer $ $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}$$ .→
  • 98
    Calculer $ $\int_{0}^{1} \frac{xdx}{1+x^{3}}$$ .→
  • 99
    Évaluer $ $\int_{0}^{1} \sinh(x)dx$$ .→
  • 100
    Calculer $ $\int_{0}^{\infty} \sech^{2}(x)dx$$ .→
  • 101
    Évaluer $ $\int_{0}^{2\pi}\cos(nx)dx$$ (n entier ≠0).→
  • 102
    Calculer $ $\iiint_{B} dV$$ où B est la boule de rayon R.→
  • 103
    Calculer $ $\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} e^{x+y} \, dx\,dy$$ .→
  • 104
    Évaluer $ $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}$$ (a>0).→
  • 105
    Calculer $ $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$$ .→
  • 106
    Évaluer $ $\int_{0}^{1}\ln(x)dx$$ .→
  • 107
    Évaluer l'intégrale définie $ $\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x)\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 108
    Calculer l'intégrale indéfinie $ $\int (4x^3 - 6x)\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 109
    Déterminer l'intégrale définie $ $\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 110
    Évaluer $ $\int_{0}^{\pi} \sin(x)\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 111
    Calculer l'aire sous la courbe $ $y = x^2$$ entre $ $x = 0$$ et $ $x = 3$$ .→
  • 112
    Calculer $ $\int_{0}^{1} e^{2x}\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 113
    Trouver l'intégrale indéfinie $ $\int \cos(3x)\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 114
    Calculer l'intégrale indéfinie $ $\int x e^{x}\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 115
    Évaluer l'intégrale définie $ $\int_{0}^{1} \ln(x)\,\mathrm{d}x$$ .→
• Intégrales impropres (114 Exercices)
  • 1
    Calculer la valeur de l'intégrale impropre $ $I = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$$ .→
  • 2
    Déterminer la convergence de l'intégrale $ $J = \int_0^{+\infty} e^{-2x} \, dx$$ et calculer sa valeur si elle converge.→
  • 3
    Étudier la convergence et calculer l'intégrale $ $K = \int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^3} \, dx$$ .→
  • 4
    Calculer la valeur de l'intégrale $ $L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$$ .→
  • 5
    Déterminer la convergence et calculer la valeur de $ $M = \int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx$$ .→
  • 6
    Étudier la convergence et calculer la valeur de $ $N = \int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx$$ .→
  • 7
    Calculer la valeur de \[ P = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2} \].→
  • 8
    Étudier la convergence et donner la valeur de \[ Q = \int_0^{+\infty} x e^{-x^2} dx \].→
  • 9
    Calculer la valeur de l'intégrale $ $R = \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$$ où $ $p > 1$$ .→
  • 10
    Étudier la convergence de $ $S = \int_0^1 \frac{dx}{x^p}$$ avec $ $p < 1$$ .→
  • 11
    Évaluer \[ T = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx \].→
  • 12
    Calculer la valeur de $ $U = \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} dx$$ .→
  • 13
    Déterminer si l'intégrale suivante converge et donner sa valeur si oui : $ $V = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$$ .→
  • 14
    Calculer \[ W = \int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} dx \].→
  • 15
    Calculer l'intégrale impropre \[ X = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx \] avec $ $a, b > 0$$ .→
  • 16
    Évaluer \[ Y = \int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^{p}} \] pour $ $p<1$$ .→
  • 17
    Calculer \[ Z = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}} \].→
  • 18
    Calculer \[ I_4 = \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^2} dx \].→
  • 19
    Déterminer la convergence et calculer \[ I_5 = \int_0^{1} \frac{dx}{x^{1/3}} \].→
  • 20
    Calculer la valeur de \[ I_6 = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx \].→
  • 21
    Déterminer la convergence et calculer \[ I_7 = \int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx \].→
  • 22
    Évaluer \[ I_8 = \int_0^1 \frac{\sin(\pi x)}{\sqrt{x}} dx \].→
  • 23
    Calculer \[ I_9 = \int_0^{+\infty} x^3 e^{-x^2} dx \].→
  • 24
    Étudier la convergence et;si convergente, calculer \[I_{10} = \int_0^1 \ln(x) dx\].→
  • 25
    Évaluer \[I_{11} = \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^2}\].→
  • 26
    Calculer\[I_{12} = \int_0^{+\infty} \frac{x}{1+x^4} dx\].→
  • 27
    Étudier \[I_{13} = \int_0^1 \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx\].→
  • 28
    Calculer la valeur de\[I_{14} = \int_0^{+\infty} e^{-ax} \sin(bx) dx\], avec \(a > 0, b > 0\) .→
  • 29
    Étudier la convergence et calculer \[I_{15} = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 + x} dx \].→
  • 30
    Calculer \[I_{16} = \int_0^{+\infty} x^4 e^{-x} dx \].→
  • 31
    Évaluer\[I_{17} = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx\].→
  • 32
    Calculer la valeur de\[I_{18} = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx\].→
  • 33
    Étudier la convergence et calculer \[I_{19} = \int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x} \ln(x)^2} dx\].→
  • 34
    Calculer la valeur de\[I_{20} = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^2}\].→
  • 35
    Calculer \[I_{21} = \int_0^1 x^{p} \ln x \, dx \], avec \(p > -1\) .→
  • 36
    Étudier la convergence et calculer \[I_{22} = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx\].→
  • 37
    Calculer \[I_{23} = \int_0^{1} \frac{1 - e^{-x}}{x} dx \].→
  • 38
    Évaluer \[I_{24} = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{e^{x} + 1} \].→
  • 39
    Déterminer la convergence de \[I_{25} = \int_0^{+\infty} \frac{\cos x}{1+x^2} dx \].→
  • 40
    Déterminer la convergence et calculer l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2.5}}\,dx$$ .→
  • 41
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} x^{1.2}\,dx$$ .→
  • 42
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{2} e^{-4x}\,dx$$ .→
  • 43
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{4} e^{-2x}\,dx$$ .→
  • 44
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}}\,dx$$ .→
  • 45
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}}\,dx$$ .→
  • 46
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx$$ .→
  • 47
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-x^{2}}\,dx$$ .→
  • 48
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx$$ .→
  • 49
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx$$ .→
  • 50
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x e^{-2x}\,dx$$ .→
  • 51
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{2} e^{-3x}\,dx$$ .→
  • 52
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{3} e^{-5x}\,dx$$ .→
  • 53
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{5} e^{-x}\,dx$$ .→
  • 54
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{\tfrac12} e^{-x}\,dx$$ .→
  • 55
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{-\tfrac12} e^{-x}\,dx$$ .→
  • 56
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} e^{-3x^{2}}\,dx$$ .→
  • 57
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x e^{-2x^{2}}\,dx$$ .→
  • 58
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}}\,dx$$ .→
  • 59
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx$$ .→
  • 60
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$$ .→
  • 61
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{\pi/4} \tan(x)\,dx$$ .→
  • 62
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}(x)\,dx$$ .→
  • 63
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{3}(x)\,dx$$ .→
  • 64
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \frac{\arctan(x)}{x}\,dx$$ .→
  • 65
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \arctan(x)\,dx$$ .→
  • 66
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{2} \frac{1}{x\sqrt{x}}\,dx$$ .→
  • 67
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\,dx$$ .→
  • 68
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$$ .→
  • 69
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \arcsin(x)\,dx$$ .→
  • 70
    Déterminer la convergence et calculer l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}}\,dx$$ .→
  • 71
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+1}\,dx$$ .→
  • 72
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-2x}-e^{-5x}}{x}\,dx$$ .→
  • 73
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx$$ .→
  • 74
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}\,dx$$ .→
  • 75
    Étudier la convergence de $ $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x}\,dx$$ .→
  • 76
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{\pi/2} \ln\bigl(\sin(x)\bigr)\,dx$$ .→
  • 77
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{\pi/2} \ln\bigl(\cos(x)\bigr)\,dx$$ .→
  • 78
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} x^{2}\ln(x)\,dx$$ .→
  • 79
    Calculer l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{x}\,dx$$ .→
  • 80
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{+\infty} x^{-2}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 81
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{+\infty} x^{-3}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 82
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{1}^{+\infty} x^{-\tfrac12}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 83
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} x^{-\tfrac12}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 84
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 85
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 86
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 87
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 88
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-x}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 89
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\cos(3x)\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 90
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{+\infty} x^{\tfrac12}e^{-x}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 91
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 92
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}-1}\,\mathrm{d}x$$ et, si elle converge, la calculer.→
  • 93
    Étudier la convergence de l'intégrale impropre $ $\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}\,\mathrm{d}x$$ et la calculer.→
  • 94
    Étudier $ $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^{2}}\,\mathrm{d}x$$ et la calculer.→
  • 95
    Calculer $ $\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{4}}\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 96
    Calculer $ $\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{4}}\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 97
    Pour \(p>0\) , étudier $ $\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}\,\mathrm{d}x$$ et la calculer.→
  • 98
    Étudier $ $\int_{0}^{1}x^{-\tfrac13}\,\mathrm{d}x$$ .→
  • 99
    Étudier $ $\int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x}\,$$ .→
  • 100
    Évaluer $ $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx$$→
  • 101
    Calculer $ $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{-\tfrac{3}{4}}\,dx$$→
  • 102
    Déterminer $ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-3x}\,dx$$→
  • 103
    Calculer $ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x\,e^{-2x}\,dx$$→
  • 104
    Évaluer $ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-x}\,dx$$→
  • 105
    Étudier $ $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}}\,dx$$→
  • 106
    Calculer $ $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx$$→
  • 107
    Évaluer $ $\displaystyle \int_{0}^{1} x\ln(x)\,dx$$→
  • 108
    Calculer $ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+t^{2}}$$→
  • 109
    Évaluer $ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{3}e^{-t}\,dt$$→
  • 110
    Évaluer la convergence et, si elle existe, calculer $ $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx$$→
  • 111
    Calculer $ $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$→
  • 112
    Déterminer la convergence et la valeur de $ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\,dx$$→
  • 113
    Étudier la convergence de $ $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^{3}}\,dx$$ et déterminer sa valeur.→
  • 114
    Calculer $ $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,dx$$→
• Equations différentielles (103 Exercices)
  • 1
    Résoudre l'équation différentielle $ $\frac{dy}{dx} + 3y = 6$$ avec la condition initiale $ $y(0)=2$$ .→
  • 2
    Résoudre l'équation différentielle homogène $ $\frac{d^2 y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$$ et donner la solution générale.→
  • 3
    Résoudre l'équation différentielle $ $\frac{dy}{dx} = y \tan x$$ avec $ $y(0) = 1$$ sur l'intervalle $ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$ .→
  • 4
    Déterminer la solution générale de $ $\frac{d^2 y}{dx^2} + y = \sin x$$ .→
  • 5
    Trouver la solution de $ $\frac{dy}{dx} = y^2 \sin x$$ avec $ $y(0) = 1$$ .→
  • 6
    Résoudre $ $x\frac{dy}{dx} + 2y = x^3$$ , $ $x > 0$$ .→
  • 7
    Résoudre l'équation différentielle $ $\frac{dy}{dx} = y \ln y$$ , avec condition initiale $ $y(1) = e$$ .→
  • 8
    Trouver la solution particulière de \[ y'' - 2y' + y = e^x \] avec conditions initiales $ $y(0) = 0$$ et $ $y'(0) = 1$$ .→
  • 9
    Résoudre l'équation différentielle \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0 \], avec conditions initiales $ $y(0) = 0$$ et $ $y'(0) = 1$$ .→
  • 10
    Trouver la solution générale de \[ y' = \frac{x + y}{x} \].→
  • 11
    Résoudre $ $\frac{dy}{dx} = y^2 - 1$$ avec $ $y(0) = 0$$ .→
  • 12
    Résoudre \[ y'' + 4y = 0 \] avec $ $y(0) = 2$$ et $ $y'(0) = 0$$ .→
  • 13
    Résoudre l'équation $ $y' + y \tan x = \sin 2x$$ , $ $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$$ .→
  • 14
    Résoudre \[ y'' + 9 y = 0 \] avec $ $y(0) = 0$$ et $ $y'(0) = 3$$ .→
  • 15
    Résoudre $ $x^2 y'' - 3x y' + 4 y = 0$$ pour $ $x > 0$$ , en utilisant une solution de la forme $ $y = x^m$$ .→
  • 16
    Résoudre $ $y'' - y = \cosh x$$ avec $ $y(0) = 0$$ , $ $y'(0) = 1$$ .→
  • 17
    Trouver la solution de \[ \frac{dy}{dx} = x y^2 \], avec la condition initiale $ $y(0) = 1$$ .→
  • 18
    Résoudre \[ y' = y + e^{2x} \], $ $y(0) = 0$$ .→
  • 19
    Résoudre \[ (x^2 + 1) y' + 2x y = 0 \], $ $y(0) = 1$$ .→
  • 20
    Trouver la solution générale de l'équation \[ y'' - 3y' + 2y = 0 \].→
  • 21
    Résoudre \[ y' = (1+y^2) \tan x \], pour $ $y(0)=0$$ sur $ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$ .→
  • 22
    Résoudre \[ y'' + 4 y' + 4 y = e^{-2x} \] avec $ $y(0) = 0$$ et $ $y'(0) = 1$$ .→
  • 23
    Résoudre l'équation différentielle $ $y'+2y=e^{3x}$$ et donner la solution générale.→
  • 24
    Résoudre l'équation différentielle $ $y'-3y=\sin(x)$$ et donner la solution générale.→
  • 25
    Résoudre l'équation différentielle $ $y'+y=x^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 26
    Résoudre l'équation différentielle $ $y'-y=4x$$ et donner la solution générale.→
  • 27
    Résoudre l'équation différentielle $ $y'+3y=6x$$ et donner la solution générale.→
  • 28
    Résoudre l'équation différentielle séparable $ $y'=x^{2}y$$ et donner la solution générale.→
  • 29
    Résoudre l'équation différentielle séparable $ $y'=(x-1)y^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 30
    Résoudre l'équation différentielle séparable $ $y'=\sin(x)\cos(x)$$ et donner la solution générale.→
  • 31
    Résoudre l'équation différentielle implicite $ $y'=\frac{e^{x}}{1+y^{2}}$$ et donner la relation générale entre $ $x$$ et $ $y$$ .→
  • 32
    Résoudre l'équation différentielle séparable $ $y'=y^{2}-1$$ et donner la solution implicite générale.→
  • 33
    Résoudre l'équation différentielle de Bernoulli $ $y'+y=y^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 34
    Résoudre l'équation différentielle de Bernoulli $ $y'+3y=2y^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 35
    Résoudre l'équation différentielle de Bernoulli $ $y'+2y=y^{3}$$ et donner la solution générale.→
  • 36
    Résoudre l'équation différentielle de Bernoulli $ $y'-4y=-y^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 37
    Résoudre l'équation différentielle de Bernoulli $ $x\,y'+2y=y^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 38
    Résoudre l'équation différentielle exacte $ $ (2xy+y^{2})\,dx+(x^{2}+2xy)\,dy=0 $$ et donner la solution implicite.→
  • 39
    Résoudre l'équation différentielle exacte $ $ (y\cos x+2x)\,dx+(\sin x+1)\,dy=0 $$ et donner la solution implicite.→
  • 40
    Résoudre l'équation différentielle exacte $ $ (e^{x}(y+1))\,dx+e^{x}\,dy=0 $$ et donner la solution implicite.→
  • 41
    Résoudre l'équation différentielle exacte $ $ (3x^{2}y-y^{3})\,dx+(x^{3}-3xy^{2})\,dy=0 $$ et donner la solution implicite.→
  • 42
    Résoudre l'équation différentielle homogène du second ordre $ $y''-5y'+6y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 43
    Résoudre l'équation différentielle homogène du second ordre $ $y''+y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 44
    Résoudre l'équation différentielle homogène du second ordre $ $y''-4y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 45
    Résoudre l'équation différentielle homogène du second ordre $ $y''+4y'+4y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 46
    Résoudre l'équation différentielle homogène du second ordre $ $y''-2y'+y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 47
    Résoudre l'équation différentielle non homogène $ $y''-y=x^{2}$$ et donner la solution générale.→
  • 48
    Résoudre l'équation différentielle non homogène $ $y''+3y'+2y=x$$ et donner la solution générale.→
  • 49
    Résoudre l'équation différentielle non homogène $ $y''+4y=x$$ et donner la solution générale.→
  • 50
    Résoudre l'équation différentielle non homogène $ $y''-y= e^{2x}$$ et donner la solution générale.→
  • 51
    Résoudre l'équation différentielle homogène de Cauchy–Euler $ $x^{2}y''-3x y'+4y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 52
    Résoudre l'équation différentielle homogène de Cauchy–Euler $ $x^{2}y''+x y'-16y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 53
    Résoudre l'équation différentielle homogène de Cauchy–Euler $ $x^{2}y''-x y'+y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 54
    Résoudre l'équation différentielle homogène de Cauchy–Euler $ $x^{2}y''+5x y'+4y=0$$ et donner la solution générale.→
  • 55
    Résoudre l'équation différentielle non homogène par variation des constantes $ $y''-y'+y=e^{x}$$ et donner la solution générale.→
  • 56
    Résoudre l'équation différentielle non homogène par variation des constantes $ $y''+y=x$$ et donner la solution générale.→
  • 57
    Résoudre l'équation différentielle non homogène par variation des constantes $ $y''-4y=x e^{2x}$$ et donner la solution générale.→
  • 58
    Résoudre l'équation différentielle non homogène par variation des constantes $ $y''+9y=\sin(3x)$$ et donner la solution générale.→
  • 59
    Résoudre l'équation différentielle non homogène par variation des constantes $ $y''+4y'+5y=e^{-2x}$$ et donner la solution générale.→
  • 60
    Trouver une seconde solution indépendante de $ $y_{1}=e^{x}$$ pour l'équation $ $y''-3y'+2y=0$$ par réduction de l'ordre.→
  • 61
    Trouver une seconde solution indépendante de $ $y_{1}(x)=x$$ pour l'équation d'Euler $ $x^{2}y''-x y'+y=0$$ par réduction de l'ordre.→
  • 62
    Trouver une seconde solution indépendante de $ $y_{1}(x)=\cos(x)$$ pour $ $y''+y=0$$ par réduction de l'ordre.→
  • 63
    Trouver une seconde solution indépendante de $ $y_{1}(x)=\sin(2x)$$ pour $ $y''+4y=0$$ par réduction de l'ordre.→
  • 64
    Trouver une seconde solution indépendante de $ $y_{1}(x)=e^{x}$$ pour $ $y''+y'-2y=0$$ par réduction de l'ordre.→
  • 65
    Résoudre le système linéaire $ $\begin{cases}x'=3x+4y\\y'=-4x+3y\end{cases}$$ et donner la solution générale.→
  • 66
    Résoudre le système linéaire $ $\begin{cases}x'=2x+y\\y'=x+2y\end{cases}$$ et donner la solution générale.→
  • 67
    Résoudre le système linéaire $ $\begin{cases}x'=x+y\\y'=-y\end{cases}$$ et donner la solution générale.→
  • 68
    Résoudre l'équation $ $y'(x) + 3y(x) = 0$$ , $ $y(0) = 2$$ .→
  • 69
    Trouver la solution particulière de $ $y'(x) + y(x) = 2e^{x}$$ .→
  • 70
    Résoudre $ $y''(x) + y'(x) - 6y(x) = 0$$ .→
  • 71
    Résoudre $ $y''(x) - 5y'(x) + 4y(x) = 0$$ avec $ $y(0)=5$$ et $ $y'(0)=8$$ .→
  • 72
    Résoudre $ $y'(x) = 2x + y(x)$$ avec $ $y(0)=1$$ .→
  • 73
    Résoudre l'équation différentielle $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x y^{2}$$ .→
  • 74
    Résoudre l'équation linéaire $ $y' + y = e^{-x}$$ .→
  • 75
    Résoudre l'équation différentielle séparable $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y(y-1)$$ .→
  • 76
    Montrer que l'équation différentielle exacte $ $(2xy + y^{2})\,\mathrm{d}x + (x^{2} + 2xy)\,\mathrm{d}y = 0$$ admet la solution implicite adéquate.→
  • 77
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants $ $y'' - 3y' + 2y = 0$$ .→
  • 78
    Trouver la solution générale de $ $y'' - y = e^{x}$$ .→
  • 79
    Résoudre l'équation d'Euler $ $x^{2}y'' - 3x y' + 4y = 0$$ pour $ $x>0$$ .→
  • 80
    Résoudre le problème de Cauchy $ $y'' + y = 0,\quad y(0)=2,\ y'(0)=0$$ .→
  • 81
    Résoudre l'équation logistique $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3y\bigl(1-y\bigr)$$ .→
  • 82
    Résoudre l'équation de Bernoulli $ $y' + y = y^{2}$$ .→
  • 83
    Résoudre $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\tan x\,y$$ .→
  • 84
    Résoudre $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{x+y}$$ .→
  • 85
    Résoudre $ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}$$ .→
  • 86
    Résoudre $ $y'' + 4y = 8$$ .→
  • 87
    Résoudre le système $ $\begin{cases}\dot x=x+y\\\dot y=-x+y\end{cases}$$ .→
  • 88
    Résoudre $ $y' + 2xy = 0$$ .→
  • 89
    Résoudre $ $y' = \cos x\,y$$ .→
  • 90
    Résoudre $ $y' = x e^{-x^{2}}$$ .→
  • 91
    Résoudre $ $y'' + 2y' + y = 0$$ .→
  • 92
    Résoudre $ $y'' - 2y' + y = x e^{x}$$ .→
  • 93
    Résoudre $ $x y' + 2y = x^{3}$$ .→
  • 94
    Résoudre $ $x y' - y = x^{2}$$ .→
  • 95
    Résoudre $ $y' = \sqrt{y}$$ pour $ $y\ge0$$ .→
  • 96
    Résoudre $ $y' = \frac{1}{y}$$ .→
  • 97
    Résoudre $ $y'' = x$$ .→
  • 98
    Résoudre $ $y'' + y' = 0$$ .→
  • 99
    Résoudre $ $y'' + y = \sin x$$ .→
  • 100
    Trouver la solution générale de $ $y'' + 3y' + 2y = e^{-x}$$ .→
  • 101
    Résoudre l'équation homogène $ $y'' - 4y = 0$$ .→
  • 102
    Résoudre $ $y'' + 2y' -3y = 0$$ .→
  • 103
    Résoudre l'équation linéaire $ $y' + \frac{3}{x}y = x^{2}$$ pour $ $x>0$$ .→
• Séries (113 Exercices)
  • 1
    Déterminer la somme de la série géométrique $ $\sum_{n=0}^{\infty}5\left(\tfrac{2}{3}\right)^n$$ .→
  • 2
    La série $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ converge-t-elle et quelle est sa somme ?→
  • 3
    Déterminer le rayon de convergence de la série entière $ $\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n$$ .→
  • 4
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$$ et préciser son intervalle de convergence.→
  • 5
    Appliquer le test de d’Alembert à la série $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$$ et conclure.→
  • 6
    Trouver la somme de la série alternée $ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\tfrac12\right)^n$$ .→
  • 7
    Calculer $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$$ .→
  • 8
    Donner le développement en série de Maclaurin de $ $e^x$$ .→
  • 9
    Quel est le rayon de convergence de la série de Maclaurin de $ $\ln(1+x)$$ donnée par $ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\tfrac{x^n}{n}$$ ?→
  • 10
    Montrer que la série $ $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}$$ converge et déterminer sa somme.→
  • 11
    Calculer la somme de la série entière $ $ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ .→
  • 12
    Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $ $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$$ sur \([0,1]\) .→
  • 13
    Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière $ $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^n}{2^n}$$ .→
  • 14
    Calculer les coefficients \(a_n\) et \(b_n\) de la série de Fourier de la fonction 2 \(\pi\) -périodique \(f(x)=x\) sur \([-\pi,\pi]\) .→
  • 15
    Montrer que la suite de fonctions $ $ S_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$ converge uniformément vers \(\arctan(x)\) sur \([-1,1]\) .→
  • 16
    Déterminer la somme de la série $ $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$$ pour \(|x|<1\) .→
  • 17
    Estimer la somme partielle \(S_N=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^p}\) pour \(p>1\) et donner une majoration de l’erreur \(R_N=S-S_N\) .→
  • 18
    Calculer la série de Fourier de la fonction paire \(f(x)=x^2\) sur \([-\pi,\pi]\) et donner la forme finale.→
  • 19
    Calculer la somme : $ $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ .→
  • 20
    Calculer : $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}$$ .→
  • 21
    Montrer que : $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$$ .→
  • 22
    Calculer : $ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-1}$$ .→
  • 23
    Évaluer : $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$$ .→
  • 24
    Domaines de convergence de $ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ .→
  • 25
    Somme de $ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ .→
  • 26
    Étudier la dérivation terme à terme de $ $\sum x^n/n!$$ sur \(\mathbb R\) .→
  • 27
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = \ln(1+x)$$ pour \(|x|<1\) .→
  • 28
    La convergence de $ $\sum x^n/n$$ est uniforme sur \([0,a]\) si ?→
  • 29
    Rayon de convergence de $ $\sum \frac{1}{\sqrt n}x^n$$ .→
  • 30
    Rayon de $ $\sum \frac{n!}{(2n)!}x^n$$ .→
  • 31
    Rayon de $ $\sum (\ln n)x^n$$ .→
  • 32
    Développement de $ $\frac{1}{(1-x)^2}$$ .→
  • 33
    Série de $ $\sin x$$ en série entière.→
  • 34
    Développement de $ $\ln(1+x)$$ pour \(|x|<1\) .→
  • 35
    Série de Fourier de $ $f(x)=x$$ sur \([-\pi,\pi]\) impaire.→
  • 36
    Coefficient \(a_n\) de la série de Fourier de $ $f(x)=x^2$$ sur \([-\pi,\pi]\) .→
  • 37
    Série de Fourier paire de $ $f(x)=|x|$$ sur \([-\pi,\pi]\) .→
  • 38
    Série de Fourier de la fonction créneau (square wave).→
  • 39
    Formule de convergence ponctuelle pour Fourier si f est C¹.→
  • 40
    Déterminer si la série $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$$ converge et, si oui, calculer sa somme.→
  • 41
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$ .→
  • 42
    Calculer la somme de $ $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$$ pour $ $|x|<1$$ .→
  • 43
    Déterminer la nature de $ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2}$$ .→
  • 44
    Évaluer $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$$ .→
  • 45
    Étudier la convergence uniforme de $ $f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}$$ sur $ $[0,1]$$ .→
  • 46
    Déterminer le rayon de convergence de $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ .→
  • 47
    Pour $ $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$$ , calculer $ $f'(x)$$ dans son intervalle de convergence.→
  • 48
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$$ converge pour $ $x\neq 2k\pi$$ .→
  • 49
    Trouver le rayon de convergence de $ $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$$ .→
  • 50
    Déterminer la somme de $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ pour tout $ $x$$ .→
  • 51
    Calculer le développement limité de $ $e^x$$ en série entière jusqu'au terme d'ordre 3.→
  • 52
    Pour $ $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$ de rayon de convergence $ $R>0$$ , exprimer $ $a_n$$ en fonction de $ $f$$ .→
  • 53
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$$ suivant $ $x$$ .→
  • 54
    Trouver les coefficients de Fourier de la fonction paire $ $f(x)=|x|$$ sur $ $[-\pi,\pi]$$ .→
  • 55
    Développer en série de Fourier la fonction impaire $ $f(x)=x$$ sur $ $[-\pi,\pi]$$ .→
  • 56
    Calculer la série de Fourier de la fonction périodique $ $f(x)=x^2$$ sur $ $[-\pi,\pi]$$ (coefficient $ $a_0$$ ).→
  • 57
    Montrer que la série de Fourier de $ $f(x)=\operatorname{sgn}(\sin x)$$ ne converge pas uniformément.→
  • 58
    Calculer la somme de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$$ .→
  • 59
    Étudier la convergence ponctuelle de $ $f_n(x)=x^n$$ sur $ $[0,1]$$ .→
  • 60
    Pour $ $\sum a_n (x-1)^n$$ de rayon $ $R>0$$ , exprimer la dérivée en $ $x=1$$ .→
  • 61
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$$ converge et trouver sa somme.→
  • 62
    Étudier la convergence uniformes de $ $f_n(x)=\frac{x}{n+x}$$ sur $ $[0,\infty)$$ .→
  • 63
    Trouver la somme de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$$ pour $ $|x|<1$$ .→
  • 64
    Pour la fonction périodique triangulaire de période $ $2L$$ , écrire la forme générale de la série de Fourier.→
  • 65
    Analyser la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n}$$ .→
  • 66
    Montrer que $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n+n}$$ converge uniformément sur $ $[0,1]$$ .→
  • 67
    Pour $ $f(x)=\ln(1+x)$$ , écrire son développement en série entière pour $ $|x|<1$$ .→
  • 68
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1+\ln n)}$$ .→
  • 69
    Pour $ $f(x)=\cos x$$ sur $ $[-\pi,\pi]$$ , quelles sont les composantes impaires ?→
  • 70
    Vérifier que $ $\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$$ pour $ $|x|<1$$ .→
  • 71
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$$ sur $ $[0,1]$$ .→
  • 72
    Calculer la limite partielle $ $S_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}$$ quand $ $N\to\infty$$ .→
  • 73
    Trouver le rayon de convergence de $ $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n+1}$$ .→
  • 74
    Montrer que la coefficient $ $b_n$$ pour $ $f(x)=x^2$$ sur $ $[-\pi,\pi]$$ est nul.→
  • 75
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}$$ .→
  • 76
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty x^n\sin(n x)$$ sur $ $[0,\pi]$$ .→
  • 77
    Calculer $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$$ .→
  • 78
    Déterminer la convergence de $ $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$$ .→
  • 79
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n}$$ converge uniformément sur $ $[0,1]$$ .→
  • 80
    Trouver la somme de $ $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n+1}$$ pour $ $|x|<1$$ .→
  • 81
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n}$$ .→
  • 82
    Analyser la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$$ sur $ $\mathbb R$$ .→
  • 83
    Pour $ $\sum a_n x^n$$ de rayon $ $R$$ , exprimer la somme partielle $ $S_N(x)$$ .→
  • 84
    Pour $ $f(x)=\mathrm{sgn}(x)$$ sur $ $(-\pi,\pi)$$ , déterminer $ $a_0$$ .→
  • 85
    Calculer la somme de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{F_n}$$ où $ $F_n$$ est la suite de Fibonacci.→
  • 86
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^\infty x e^{-nx}$$ converge uniformément sur $ $[1,\infty)$$ .→
  • 87
    Trouver le développement en série entière de $ $\arctan x$$ pour $ $|x|<1$$ .→
  • 88
    Pour $ $f(x)=x$$ sur $ $[-\pi,\pi]$$ , quelle est la valeur moyenne $ $a_0/2$$ ?→
  • 89
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\sqrt[n]{n!}$$ .→
  • 90
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(x/n)}{n}$$ converge uniformément sur $ $\mathbb R$$ .→
  • 91
    Calculer $ $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$$ pour $ $|x|<1$$ .→
  • 92
    Étudier la convergence et la somme de la série numérique $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$ .→
  • 93
    Déterminer la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$$ .→
  • 94
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$ .→
  • 95
    Calculer la somme de la série géométrique $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}$$ .→
  • 96
    Étudier la convergence et calculer la somme de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}$$ .→
  • 97
    Déterminer le rayon de convergence de $ $\sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n}$$ .→
  • 98
    Calculer la somme de la série entière $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$$ .→
  • 99
    Étudier la convergence uniforme de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$$ sur [0,1].→
  • 100
    Déterminer la somme de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$$ pour |x|<1.→
  • 101
    Trouver le rayon de convergence et la somme de $ $\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}$$ .→
  • 102
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$$ et déterminer sa somme.→
  • 103
    Montrer que $ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$$ converge et déterminer sa somme.→
  • 104
    Trouver le rayon de convergence de $ $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+1}$$ .→
  • 105
    Calculer la série de Fourier de $ $f(x)=x$$ sur [-π,π] : coefficients $ $a_{n}$$ .→
  • 106
    Calculer $ $b_{n}$$ pour la série de Fourier de $ $f(x)=x$$ sur [-π,π].→
  • 107
    Écrire la série de Fourier complète de $ $f(x)=x$$ sur [-π,π].→
  • 108
    Montrer que la série de Fourier de $ $f(x)=|x|$$ sur [-π,π] ne contient pas de termes en $ $\sin(nx)$$ .→
  • 109
    Trouver le rayon de convergence de $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2n)!}$$ .→
  • 110
    Calculer la somme de $ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$$ .→
  • 111
    Étudier la convergence de $ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$$ et en déterminer la somme.→
  • 112
    Calculer la série de Fourier de l’onde carrée f(x)=sgn(sin x).→
  • 113
    Utiliser l’identité de Parseval pour f(x)=x sur [-π,π] et calculer $ $\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}x^{2}dx$$ .→
• Transformation de Fourier (80 Exercices)
  • 1
    Calculer la transformée de Fourier $ $\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$$ .→
  • 2
    Trouver $ $\mathcal{F}\{\mathrm{rect}(t/T)\}(\omega)$$ où $ $\mathrm{rect}(x)=1\text{ si }|x|<\tfrac12,\ 0\text{ sinon}$$ .→
  • 3
    Démontrer que $ $\mathcal{F}\{\delta(t-t_{0})\}(\omega)=e^{-i\omega t_{0}}$$ .→
  • 4
    Montrer la propriété de linéarité : $ $\mathcal{F}\{a f(t)+b g(t)\}(\omega)=a\hat f(\omega)+b\hat g(\omega)$$ .→
  • 5
    Calculer $ $\mathcal{F}\{f'(t)\}(\omega)$$ si $ $\hat f(\omega)\) est la transformée de $$ f$ $.→
  • 6
    Utiliser la propriété de translation : trouver $ $\mathcal{F}\{f(t-t_{0})\}(\omega)$$ .→
  • 7
    Montrer la propriété de dilatation : $ $\mathcal{F}\{f(a t)\}(\omega)=\frac{1}{|a|}\hat f(\omega/a)$$ .→
  • 8
    Calculer la transformée de Fourier de $ $\mathrm{sinc}(t)=\tfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}$$ .→
  • 9
    Vérifier que $ $\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=\hat f(\omega)\cdot\hat g(\omega)$$ .→
  • 10
    Calculer $ $\mathcal{F}^{-1}\{e^{-a\omega^{2}}\}(t)$$ .→
  • 11
    Montrer que $ $\|\hat f\|_{\infty}\le \|f\|_{1}$$ (théorème de Riemann–Lebesgue).→
  • 12
    Calculer $ $\mathcal{F}\{H(t)\}(\omega)$$ avec $ $H(t)$$ la fonction de Heaviside.→
  • 13
    Vérifier que $ $\mathcal{F}\{e^{-at}u(t)\}(\omega)=\frac{1}{a+i\omega}$$ pour $ $a>0$$ .→
  • 14
    Calculer $ $\mathcal{F}\{\cos(\omega_{0}t)\}(\omega)$$ .→
  • 15
    Montrer que $ $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega t}d\omega=f(t)$$ (inversion).→
  • 16
    Vérifier le théorème de Plancherel : $ $\int|f(t)|^{2}dt=\frac{1}{2\pi}\int|\hat f(\omega)|^{2}d\omega$$ .→
  • 17
    Calculer $ $\mathcal{F}\{e^{-t^{2}/(2\sigma^{2})}\}(\omega)$$ .→
  • 18
    Calculer la transformée de Fourier $ $X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$ de la fonction $ $x(t)=\begin{cases}1,&|t|\le a\\0,&|t|>a\end{cases}$$ .→
  • 19
    Calculer la transformée de Fourier de la fonction triangulaire $ $x(t)=\begin{cases}1-\frac{|t|}{a},&|t|\le a\\0,&|t|>a\end{cases}$$ .→
  • 20
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=e^{-at}u(t)$$ où $ $a>0$$ et $ $u(t)$$ est la fonction porte.→
  • 21
    Montrer que la transformée de Fourier de la gaussienne $ $x(t)=e^{-t^{2}/(2\sigma^{2})}$$ est $ $X(\omega)=\sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\sigma^{2}\omega^{2}/2}$$ .→
  • 22
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\frac{\sin(\omega_{0}t)}{\pi t}$$ .→
  • 23
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\cos(\omega_{0}t)$$ .→
  • 24
    Calculer la transformée de Fourier bilatérale de $ $x(t)=u(t)$$ .→
  • 25
    Appliquer la propriété de translation temporelle pour déterminer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\mathrm{rect}(t/T)e^{-j\omega_{0}t}$$ .→
  • 26
    Appliquer la propriété de modulation pour calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\cos(\omega_{0}t)\,\mathrm{rect}(t/T)$$ .→
  • 27
    Appliquer la propriété d'étalement temporel pour déterminer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\mathrm{rect}(2t)$$ .→
  • 28
    Appliquer la propriété d'étalement fréquentiel pour calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\mathrm{sinc}(2t)$$ .→
  • 29
    Utiliser la propriété de dérivation pour trouver la transformée de Fourier de $ $x(t)=\frac{d}{dt}e^{-at}u(t)$$ .→
  • 30
    Utiliser la propriété d'intégration pour déterminer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\int_{0}^{t}e^{-\alpha\tau}d\tau$$ avec $ $\alpha>0$$ .→
  • 31
    Vérifier le théorème de convolution : si $ $x(t)=\mathrm{rect}(t/T)$$ et $ $h(t)=\mathrm{rect}(t/T)$$ , calculer la transformée de $ $y(t)=x*h$$ .→
  • 32
    Appliquer le théorème du produit : pour $ $x(t)=e^{-at}u(t)$$ et $ $h(t)=u(t)$$ , calculer la transformée de $ $y(t)=x(t)h(t)$$ .→
  • 33
    Appliquer Parseval : vérifier que $ $\int_{-\infty}^{+\infty}|\mathrm{rect}(t/T)|^{2}dt=\tfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(\omega)|^{2}d\omega$$ .→
  • 34
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT)$$ .→
  • 35
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\frac{1}{1+t^{2}}$$ .→
  • 36
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=t\,e^{-at}u(t)$$ .→
  • 37
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\mathrm{sech}(t)=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}}$$ .→
  • 38
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+a^{2}}}$$ .→
  • 39
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\mathrm{rect}(t/T)\cos(\omega_{0}t)$$ sans passer par l'exponentielle.→
  • 40
    Déterminer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\delta(t)-\delta(t-T)$$ .→
  • 41
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=\frac{1}{1+|t|}$$ .→
  • 42
    Calculer la transformée de Fourier de $ $x(t)=t^{2}e^{-at}u(t)$$ .→
  • 43
    Déterminer la transformée de Fourier de $ $x(t)=e^{-a|t|}$$ avec $ $a>0$$ .→
  • 44
    Calculer la transformée de Fourier inverse de $ $X(\omega)=e^{-a|\omega|}$$ .→
  • 45
    Montrer que la modulation en fréquence $ $x(t)e^{j\omega_{0}t}$$ donne $ $X(\omega-\omega_{0})$$ et l'appliquer à $ $x(t)=\mathrm{rect}(t/T)$$ .→
  • 46
    Calculer la transformée de Fourier de $ $f(t) = t^2 e^{-a t^2}$$ , avec $ $a > 0$$ .→
  • 47
    Calculer la transformée de Fourier de la fonction $ $f(t) = \mathrm{sgn}(t)$$ , la fonction signe.→
  • 48
    Trouver la transformée de Fourier inverse de $ $\hat{f}(\omega) = e^{-a \omega^2}$$ , $ $a > 0$$ .→
  • 49
    Calculer la transformée de Fourier de $ $f(t) = t^n e^{-a t^2}$$ où $ $n$$ est un entier naturel et $ $a>0$$ .→
  • 50
    Calculer la transformée de Fourier du produit $ $f(t) = e^{-a t^2} \cos(\omega_0 t)$$ , $ $a > 0$$ .→
  • 51
    Trouver la transformée de Fourier de $ $f(t) = \mathrm{rect}(t/T) * \mathrm{rect}(t/T)$$ , convolution de fonctions porte de largeur $ $T$$ .→
  • 52
    Calculer la transformée de Fourier de la fonction $ $f(t) = e^{-a|t|}$$ avec $ $a > 0$$ .→
  • 53
    Déterminer la transformée de Fourier de $ $f(t) = \sin(\omega_0 t)$$ .→
  • 54
    Calculer la transformée de Fourier de la fonction $ $f(t) = e^{-a t} u(t)$$ , où $ $a > 0$$ et $ $u(t)$$ est la fonction échelon unité de Heaviside.→
  • 55
    Trouver la transformée de Fourier de $ $f(t) = \cos(\omega_0 t)\, e^{-a|t|}$$ avec $ $a > 0$$ .→
  • 56
    Calculer la transformée de Fourier de $ $f(t) = t e^{-a t^2}$$ , avec $ $a > 0$$ .→
  • 57
    Trouver la transformée de Fourier de $ $f(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{T}\right)$$ où $ $\text{rect}$$ est la fonction porte égale à 1 pour $ $|t|<\frac{T}{2}$$ et 0 ailleurs.→
  • 58
    Calculer la transformée de Fourier de la dérivée $ $f'(t)$$ de $ $f(t) = e^{-a t^2}$$ .→
  • 59
    Calculer \(\hat{f}(\omega)\) pour \(f(t) = t e^{-a t^2} \cos(\beta t)\) avec $ $a>0$$ , $ $\beta > 0$$ .→
  • 60
    Trouver la transformée de Fourier de $ $f(t) = \delta(t - t_0)$$ .→
  • 61
    Calculer la transformée de Fourier $ $F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a|t|}e^{-i\omega t}\,dt$$ pour $ $a>0$$→
  • 62
    Déterminer la transformée de Fourier de la fonction porte $ $\displaystyle f(t)=\begin{cases}1,&|t|\le\tfrac{T}{2},\\0,&|t|>\tfrac{T}{2},\end{cases}$$→
  • 63
    Quel est le résultat de la transformée de Fourier de $ $\displaystyle f(t)=e^{-t^{2}/(2\sigma^{2})}$$ ?→
  • 64
    Appliquer la propriété de décalage : trouver $ $F\{f(t-t_{0})\}(\omega)$$ en fonction de $ $F\{f(t)\}(\omega)$$→
  • 65
    Utiliser la propriété d’échelle : déterminer $ $F\{f(at)\}(\omega)$$ pour $ $a>0$$→
  • 66
    Montrer que la transformée de $ $\displaystyle f(t)=\cos(\omega_{0}t)$$ est $ $\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})\bigr]$$→
  • 67
    Calculer la transformée de $ $\displaystyle f(t)=\sin(\omega_{0}t)$$ et exprimer avec des deltas→
  • 68
    Vérifier la relation de conjugaison : $ $\overline{F\{f(t)\}(\omega)} = F\{\overline{f(-t)}\}(\omega)$$ pour une fonction réelle→
  • 69
    Déterminer la transformée de Fourier de la dérivée $ $f'(t)$$ en fonction de $ $F\{f(t)\}(\omega)$$→
  • 70
    Déterminer la transformée de $ $f(t)=u(t)$$ (fonction échelon unité)→
  • 71
    Calculer la transformée de $ $\displaystyle f(t)=te^{-at}u(t)$$ (avec $ $a>0$$ )→
  • 72
    Montrer que $ $F\{\delta(t-t_{0})\}(\omega)=e^{-i\omega t_{0}}$$→
  • 73
    Vérifier la propriété de convolution : $ $F\{f*g\}(\omega)=F\{f\}(\omega)\cdot F\{g\}(\omega)$$→
  • 74
    Déterminer la transformée de Fourier de $ $\displaystyle f(t)=\mathrm{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$$→
  • 75
    Calculer la transformée de $ $\displaystyle f(t)=\frac{1}{1+t^{2}}$$→
  • 76
    Utiliser la dualité : si $ $F\{f(t)\}(\omega)=F(\omega)$$ , que vaut $ $F\{F(\omega)\}(t)$$ ?→
  • 77
    Montrer la relation de Parseval : $ $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt=\tfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^{2}d\omega$$→
  • 78
    Calculer la transformée de $ $\displaystyle f(t)=\mathrm{sgn}(t)$$ (fonction signe)→
  • 79
    Déterminer la transformée de $ $\displaystyle f(t)=e^{-t}u(t)$$→
  • 80
    Montrer la transformée de $ $\displaystyle f(t)=t^{2}e^{-at}u(t)$$→
• Transformation de Laplace (105 Exercices)
  • 1
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t) = t^2$$ .→
  • 2
    Trouver la transformée de Laplace de $ $f(t) = e^{at} \sin(\omega t)$$ .→
  • 3
    Déterminer la transformée de Laplace de $ $f(t) = t e^{-2t}$$ .→
  • 4
    Calculer la transformée de Laplace de la fonction périodique $ $f(t)$$ de période $ $T$$ telle que $ $f(t) = 1$$ sur $ $[0, a]$$ et 0 ailleurs sur un intervalle $ $[0, T]$$ .→
  • 5
    Résoudre par la méthode de Laplace l'équation différentielle : $ $y'' + 3y' + 2y = 0$$ avec $ $y(0) = 1, y'(0)=0$$ .→
  • 6
    Trouver la transformée de Laplace de la dérivée d’ordre n, $ $f^{(n)}(t)$$ , sachant les conditions initiales $ $f(0), f'(0), ..., f^{(n-1)}(0)$$ .→
  • 7
    Calculer la transformée de Laplace de la convolution $ $h(t) = f * g (t)$$ sachant les transformées de Laplace $ $F(s)$$ et $ $G(s)$$ de $ $f$$ et $ $g$$ .→
  • 8
    On donne $ $F(s) = \frac{2}{s^2+4}$$ . Trouver $ $f(t)$$ par transformée de Laplace inverse.→
  • 9
    Soit $ $f(t)=u(t-2)$$ (fonction échelon retardée). Calculer sa transformée de Laplace.→
  • 10
    Déduire la transformée de Laplace de la dérivée $ $f'(t)$$ à partir de $ $F(s)$$ .→
  • 11
    Soit $ $F(s) = \frac{1}{s(s+a)}$$ . Trouver $ $f(t)$$ par transformée de Laplace inverse.→
  • 12
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t) = e^{2t}$$ .→
  • 13
    Déterminer la transformée de Laplace de $ $f(t) = t^3$$ .→
  • 14
    Trouver la transformée de Laplace de $ $f(t) = \sin (3 t)$$ .→
  • 15
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t) = \cos (4t)$$ .→
  • 16
    Donner la transformée de Laplace de $ $f(t) = e^{-5 t} t^2$$ .→
  • 17
    Trouver la transformée de Laplace de $ $f(t) = e^{3 t} \cos(2 t)$$ .→
  • 18
    Quelle est la transformée de Laplace de $ $H(t - 2)$$ , où $ $H$$ est la fonction de Heaviside ?→
  • 19
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t) = t e^{-4 t}$$ .→
  • 20
    Trouver la transformée de Laplace de $ $f(t) = \sin(at)H(t - a)$$ .→
  • 21
    Donner la transformée de Laplace inversée de $ $\frac{1}{p-5}$$ .→
  • 22
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=e^{at}$$ .→
  • 23
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=1$$ .→
  • 24
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t^n$$ pour un entier $ $n\ge0$$ .→
  • 25
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\sin(\omega t)$$ .→
  • 26
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\cos(\omega t)$$ .→
  • 27
    Calculer la transformée de Laplace de la fonction retardée $ $f(t)=u(t-a)$$ , où $ $u$$ est la fonction échelon unitaire.→
  • 28
    Calculer la transformée de Laplace de l’impulsion retardée $ $f(t)=\delta(t-a)$$ .→
  • 29
    Déterminer $ $\mathcal{L}\{f'(t)\}$$ en fonction de $ $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$$ et de $ $f(0)$$ .→
  • 30
    Déterminer $ $\mathcal{L}\{\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau\}$$ en fonction de $ $F(s)$$ .→
  • 31
    Énoncer le théorème de convolution : si $ $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$$ et $ $G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}$$ , quelle est la transformée de $ $h(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$ ?→
  • 32
    Appliquer le théorème de la valeur initiale : exprimer $ $\lim_{t\to0^+} f(t)$$ en fonction de $ $F(s)$$ .→
  • 33
    Appliquer le théorème de la valeur finale : exprimer $ $\lim_{t\to\infty} f(t)$$ en fonction de $ $F(s)$$ .→
  • 34
    Montrer la propriété de décalage fréquentiel : quel est $ $\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}$$ en fonction de $ $F(s)$$ ?→
  • 35
    Montrer la propriété de multiplication par $ $t$$ : quel est $ $\mathcal{L}\{t f(t)\}$$ en fonction de $ $F(s)$$ ?→
  • 36
    Montrer la propriété de multiplication par $ $t^2$$ : quel est $ $\mathcal{L}\{t^2 f(t)\}$$ en fonction de $ $F(s)\}$$ ?→
  • 37
    Résoudre par transformée de Laplace l’équation différentielle $ $y'(t) + 3y(t) = \sin(2t)$$ avec $ $y(0)=0$$ .→
  • 38
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\cosh(at)$$ .→
  • 39
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\sinh(at)$$ .→
  • 40
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=te^{-at}$$ .→
  • 41
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t^n e^{-at}$$ pour $ $n\in\mathbb{N}$$ .→
  • 42
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t\sin(\omega t)$$ .→
  • 43
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\sin^2(\omega t)$$ .→
  • 44
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\cos^2(\omega t)$$ .→
  • 45
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=u(t)$$ fonction échelon unitaire.→
  • 46
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\delta'(t)$$ , la dérivée de l’impulsion.→
  • 47
    Écrire la transformée de Laplace d’une fonction périodique $ $f(t)$$ de période $ $T$$ .→
  • 48
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t$$ (fonction rampe).→
  • 49
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t^2$$ .→
  • 50
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=e^{-at}\sin(bt)$$ .→
  • 51
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=e^{-at}\cos(bt)$$ .→
  • 52
    Préciser la région de convergence de $ $\mathcal{L}\{e^{2t}\}$$ .→
  • 53
    Préciser la région de convergence de $ $\mathcal{L}\{\cos(2t)\}$$ .→
  • 54
    Préciser la région de convergence de $ $\mathcal{L}\{t^n\}$$ .→
  • 55
    Calculer la transformée de Laplace inverse de $ $F(s)=\frac{1}{s^2 + 1}$$ .→
  • 56
    Calculer la transformée de Laplace inverse de $ $F(s)=\frac{s}{s^2 + 4}$$ .→
  • 57
    Calculer la transformée de Laplace inverse de $ $F(s)=\frac{1}{(s + 3)^2}$$ .→
  • 58
    Calculer la transformée de Laplace inverse de $ $F(s)=\frac{1}{s(s + 2)}$$ .→
  • 59
    Calculer la transformée de Laplace inverse de $ $F(s)=\frac{s+1}{s^2 + 2s + 2}$$ .→
  • 60
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\sqrt{t}\,$$ .→
  • 61
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$$ .→
  • 62
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t^{n-1}$$ pour $ $n>0$$ réel.→
  • 63
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=1$$ .→
  • 64
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t$$ .→
  • 65
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t^n$$ pour \(n\in\mathbb{N}^*\) .→
  • 66
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=e^{at}\quad(a\in\mathbb{R})$$ .→
  • 67
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\sin(\omega t)$$ .→
  • 68
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\cos(\omega t)$$ .→
  • 69
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\sinh(at)$$ .→
  • 70
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\cosh(at)$$ .→
  • 71
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f'(t)$$ sachant $ $f(0)=f_0$$ .→
  • 72
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f''(t)$$ sachant $ $f(0)=f_0$$ et $ $f'(0)=f_1$$ .→
  • 73
    Calculer la transformée de Laplace de $ $\delta(t-a)$$ (impulsion de Dirac).→
  • 74
    Calculer la transformée de Laplace de $ $u(t-a)$$ (fonction de Heaviside).→
  • 75
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=(t-a)u(t-a)$$ .→
  • 76
    Calculer la transformée de Laplace de $ $t\,f(t)$$ .→
  • 77
    Calculer la transformée de Laplace de $ $\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau$$ .→
  • 78
    Quelles sont les conditions de convergence de $ $\mathcal{L}\{f(t)\}(s)$$ ?→
  • 79
    Quel est le théorème de la convolution pour la transformée de Laplace ?→
  • 80
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{1\}(p)$$ .→
  • 81
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{t\}(p)$$ .→
  • 82
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{t^2\}(p)$$ .→
  • 83
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{e^{2t}\}(p)$$ .→
  • 84
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(p)$$ .→
  • 85
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}(p)$$ .→
  • 86
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(p)$$ .→
  • 87
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{\cos(\pi t)\}(p)$$ .→
  • 88
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{t^2e^{-t}\}(p)$$ .→
  • 89
    Calculer la transformée de Laplace $ $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(4t)\}(p)$$ .→
  • 90
    Montrer que l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace de $ $e^{2t}\cos(\omega t)$$ est \(\Re(p)>2\) et calculer cette transformée.→
  • 91
    Déterminer l'abscisse de convergence de $ $\mathcal{L}\{t^3e^{-3t}\}(p)$$ et calculer la transformée.→
  • 92
    Montrer que pour une fonction causale f, $ $\mathcal{L}\{f'(t)\}(p)=pF(p)-f(0^+)$$ et appliquer au cas \(f(t)=e^{-2t}\sin(3t)\) .→
  • 93
    Résoudre par Laplace l'équation différentielle $ $y''+4y=\cos(2t),\ y(0)=0,\ y'(0)=1$$ .→
  • 94
    Appliquer la transformée inverse pour $ $F(p)=\frac{p+1}{(p+1)^2+4}\$$ et identifier l’original.→
  • 95
    Montrer que $ $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-3p}F(p)\}=u(t-3)f(t-3)$$ (théorème du retard) et l’appliquer à \(F(p)=1/p\) .→
  • 96
    Utiliser le théorème d’amortissement pour calculer $ $\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(5t)\}(p)$$ .→
  • 97
    Vérifier le théorème de la valeur finale pour $ $F(p)=\frac{1}{p(p+1)}$$ .→
  • 98
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t^{2}e^{-3t}$$ .→
  • 99
    Déterminer $ $L\{\cosh(5t)\}$$ , la transformée de Laplace de la fonction hyperbolique $ $\cosh(5t)$$ .→
  • 100
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=t\sin(2t)$$ .→
  • 101
    Déterminer $ $L^{-1}\!\{\tfrac{p}{(p+1)^{2}}\}$$ , la transformée de Laplace inverse de $ $\frac{p}{(p+1)^{2}}$$ .→
  • 102
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=H(t-3)\cdot(t-3)$$ où $ $H$$ est la fonction de Heaviside.→
  • 103
    Trouver $ $L\{\delta(t-2)\}$$ où $ $\delta$$ est la distribution de Dirac.→
  • 104
    Calculer la transformée de Laplace de $ $f(t)=\int_{0}^{t}e^{-2\tau}d\tau$$ .→
  • 105
    Déterminer $ $L\{t\ast e^{-t}\}(p)$$ , la transformée de Laplace du produit de convolution de $ $t$$ et $ $e^{-t}$$ .→
• Examen Mathematiques 4 corrige 1 Examen Mathematiques 4 corrige 2 Examen Mathematiques 4 corrige 3 Examen Mathematiques 4 corrige 4 Examen Mathematiques 4 corrige 5 Examen Mathematiques 4 corrige 6 Examen Mathematiques 4 corrige 7 Examen Mathematiques 4 corrige 8 Examen Mathematiques 4 corrige 9 Examen Mathematiques 4 corrige 10 Examen Mathematiques 4 corrige 11 Examen Mathematiques 4 corrige 12 Examen Mathematiques 4 corrige 13 Examen Mathematiques 4 corrige 14 Examen Mathematiques 4 corrige 15 Examen Mathematiques 4 corrige 16 Examen Mathematiques 4 corrige 17 Examen Mathematiques 4 corrige 18 Examen Mathematiques 4 corrige 19 Examen Mathematiques 4 corrige 20 Examen Mathematiques 4 corrige 21 Examen Mathematiques 4 corrige 22 Examen Mathematiques 4 corrige 23 Examen Mathematiques 4 corrige 24 Examen Mathematiques 4 corrige 25 Examen Mathematiques 4 corrige 26 Examen Mathematiques 4 corrige 27 Examen Mathematiques 4 corrige 28 Examen Mathematiques 4 corrige 29 Examen Mathematiques 4 corrige 30 Examen Mathematiques 4 corrige 31 Examen Mathematiques 4 corrige 32 Examen Mathematiques 4 corrige 33

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