Mecanique des solides Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (98 Exercices)
  • 1
    Examen 1 – Torseur statique d’actions mécaniques Une poutre rigide AB horizontale de longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ est encastrée en A et soutenue en B par une liaison glissière verticale. La poutre subit en C (à $ $x_{C}=1.2\,\mathrm{m}$$ de A) une force verticale $ $P=1500\,\mathrm{N}$$ vers le bas, et en B une force horizontale $ $H=500\,\mathrm{N}$$ vers la droite. 1. Définir le torseur des actions mécaniques et ses composantes. 2. Calculer le torseur des forces appliquées ramené au point C. 3. Réduire ce torseur au point A en utilisant la formule de transfert. 4. Déterminer la résultante $ $\mathbf{R}$$ et le...→
  • 2
    Examen 2 – Torseur cinématique d’un solide rigide Un solide rigide se déplace dans le plan par translation de vitesse du point A $ $\mathbf{v}_{A}=(2,1)\,\mathrm{m/s}$$ et rotation de pulsation $ $\omega=3\,\mathrm{rad/s}$$ autour de A. Le point B est tel que $ $\overrightarrow{AB}=(0.5,0.2)\,\mathrm{m}$$ . 1. Définir le torseur cinématique et ses invariants. 2. Exprimer le torseur cinématique en A. 3. Déterminer la vitesse $ $\mathbf{v}_{B}$$ du point B. 4. Calculer l’accélération normale $ $\mathbf{a}_{B,n}$$ de B. 5. Vérifier que la composante rotationnelle du torseur est invariante au changement de point.→
  • 3
    Examen 3 – Cinématique relative d’un mécanisme bielle-manivelle Le mécanisme comporte une manivelle AB de longueur $ $L_{1}=0.1\,\mathrm{m}$$ tournant autour de A à vitesse angulaire $ $\omega=50\,\mathrm{rad/s}$$ , et une bielle BC de longueur $ $L_{2}=0.3\,\mathrm{m}$$ articulée en B et en C fixé au sol. L’angle $ $\theta$$ entre AB et l’horizontale satisfait $ $\cos\theta=0.8$$ . 1. Définir la composition des vitesses pour un solide lié. 2. Exprimer la vitesse de B en fonction de $ $\omega$$ et $ $L_{1}$$ . 3. Déterminer la vitesse de C. 4. Calculer l’accélération normale et tangentielle de B. 5. Vérifier la géométrie $ $L_{1}\cos\theta + L_{2}=\text{constante}$$ ....→
  • 4
    Examen 4 – Torseur cinétique et moment d’inertie Une plaque homogène rectangulaire ABCD de dimensions $ $a=0.5\,\mathrm{m}$$ et $ $b=0.2\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par A avec $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Sa masse est $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ . 1. Définir le torseur cinétique d’un solide et ses composantes. 2. Calculer le moment d’inertie $ $I_{A}$$ de la plaque autour de l’axe en A. 3. Déterminer le torseur cinétique en A. 4. Exprimer l’énergie cinétique de rotation du solide. 5. Vérifier que $ $T=\tfrac{1}{2}I_{A}\omega^{2}$$ .→
  • 5
    Examen 5 – Torseur dynamique et PFD d’un solide rigide Une poutre homogène AB de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ est articulée sans frottement en A. Une force $ $F=20\,\mathrm{N}$$ perpendiculaire à la poutre agit en B. La poutre reste dans un plan vertical. 1. Définir le torseur dynamique et le principe fondamental de la dynamique. 2. Écrire le torseur dynamique autour de A en fonction de l’accélération angulaire $ $\alpha$$ . 3. Calculer le moment dynamique $ $M_{A}$$ en fonction de $ $\alpha$$ . 4. Établir l’équation $ $M_{A}=F\,L$$ et en déduire $ $\alpha$$ . 5. Vérifier...→
  • 6
    Examen 6 – Théorème de l’énergie cinétique et puissance Une barre AB de longueur $ $L=0.8\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ tourne autour d’un axe vertical passant par A avec vitesse angulaire $ $\dot\theta=5\,\mathrm{rad/s}$$ . Un moteur applique un couple constant $ $C=15\,\mathrm{N{\cdot}m}$$ . 1. Définir la puissance d’une action mécanique sur un solide rigide. 2. Calculer la puissance fournie par le couple. 3. Déterminer l’énergie cinétique accumulée si le couple agit pendant $ $\Delta t=0.2\,\mathrm{s}$$ . 4. Vérifier le théorème de l’énergie cinétique. 5. Expliquer l’influence du couple sur l’évolution de $ $\dot\theta$$ .→
  • 7
    Examen 7 – Dynamique du cylindre en roulement sans glissement Un cylindre plein de masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ roule sans glisser sur un plan incliné d’angle $ $\alpha=30°$$ . Le moment d’inertie est $ $I=\tfrac{1}{2}mR^{2}$$ . 1. Définir la condition de roulement sans glissement. 2. Écrire les équations dynamiques : $ $m g \sin\alpha - F_{f}=m a$$ et $ $F_{f}R=I\alpha$$ . 3. Calculer l’accélération $ $a$$ et la force de frottement $ $F_{f}$$ . 4. Déterminer la vitesse $ $v$$ après avoir parcouru $ $s=2\,\mathrm{m}$$ depuis le repos. 5. Vérifier la conservation de l’énergie mécanique entre le sommet et la position...→
  • 8
    Une barre homogène AB de longueur $ $L=3.0\,\mathrm{m}$$ et de masse linéique $ $\lambda=2.0\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$$ est articulée en A et maintenue horizontalement. On applique en B une force verticale descendante $ $F=200\,\mathrm{N}$$ . 1. Définissez le torseur des actions mécaniques appliquées à un solide. 2. Exprimez le torseur au point A des actions dues à la pesanteur de la barre et à la force $ $F$$ . 3. Calculez les composantes de force et le moment résultant du torseur en A. 4. Déterminez la réaction en A pour l’équilibre statique. 5. Commentez la nature de la liaison en A au regard...→
  • 9
    Un solide indéformable effectue un mouvement plan combiné de translation de vecteur vitesse $ $\mathbf{V}_O=(2.0,0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$$ et de rotation autour de O à vitesse angulaire $ $\omega=3.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ . Les points A et B vérifient $ $\overrightarrow{OA}=(1.0,0)\,\mathrm{m}$$ et $ $\overrightarrow{OB}=(0,1.0)\,\mathrm{m}$$ . 1. Définissez le torseur cinématique d’un solide rigide en mouvement plan. 2. Calculez la vitesse de A et de B. 3. Déterminez l’accélération de A. 4. Exprimez le torseur de l’accélération en O. 5. Commentez la relation entre translation et rotation dans ce torseur.→
  • 10
    Une barre mince OA de longueur $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ porte en A une masse $ $m=2.0\,\mathrm{kg}$$ . Elle est animée d’un mouvement plan de rotation autour de O avec $ $\omega(t)=4.0 -0.5t\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ . 1. Définissez le torseur dynamique d’un solide rigide. 2. Écrivez l’équation du principe fondamental de la dynamique sous forme de torseur. 3. Calculez le moment dynamique $ $M_O$$ à l’instant $ $t=2.0\,\mathrm{s}$$ . 4. Déterminez la force d’inertie résultante agissant sur la masse en A. 5. Commentez l’équilibre dynamique si la barre était articulée sans frottement en O.→
  • 11
    Un disque homogène de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=5.0\,\mathrm{kg}$$ roule sans glisser à vitesse angulaire $ $\omega=10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ sur une surface plane. On lui applique un couple de freinage constant $ $C_f=2.0\,\mathrm{N\,m}$$ . 1. Définissez le torseur cinétique d’un solide rigide. 2. Calculez le torseur cinétique (moment cinétique en O). 3. Écrivez le principe fondamental de la dynamique en rotation autour de l’axe du disque. 4. Déterminez l’accélération angulaire $ $\alpha$$ due au couple $ $C_f$$ . 5. Calculez le temps de freinage jusqu’à l’arrêt complet.→
  • 12
    Un solide rigide en forme de T se déplace dans un plan horizontal. On considère son torseur cinétique en G et la dynamique des actions en un point P. 1. Définissez l’axe central d’inertie et son rôle dans le torseur cinétique. 2. Écrivez l’expression du torseur cinétique en G pour un solide en rotation pure d’axe fixe. 3. Donnez la relation entre le torseur cinétique en G et en P. 4. Calculez la résultante cinétique et le moment cinétique en P si $ $\mathbf{V}_G=(1.0,2.0)\,\mathrm{m/s}$$ , $ $\omega=4.0\,\mathrm{rad/s}$$ et $ $\overrightarrow{GP}=(0.5,0.5)\,\mathrm{m}$$ . 5. Commentez la dépendance du moment cinétique à l’origine...→
  • 13
    Un solide en rotation autour d’un axe fixe est soumis à une accélération angulaire variable $ $\alpha(t)=2.0t\,\mathrm{rad/s^2}$$ . Son moment d’inertie autour de cet axe est $ $I=1.0\,\mathrm{kg\,m^2}$$ . 1. Définissez le torseur dynamique en repère non galiléen et précisez le terme d’entraînement. 2. Écrivez l’expression du moment dynamique incluant le terme d’entraînement. 3. Calculez la vitesse angulaire $ $\omega(t)$$ si $ $\omega(0)=0$$ . 4. Déterminez le moment dynamique $ $M_d(t)$$ . 5. Commentez l’influence du terme d’entraînement sur la dynamique du solide.→
  • 14
    On considère un parallélépipède homogène de masse $ $m=8\,\mathrm{kg}$$ , de dimensions $ $a=0.4\,\mathrm{m}$$ , $ $b=0.2\,\mathrm{m}$$ , $ $c=0.1\,\mathrm{m}$$ , encastré en O. Une force $ $\mathbf{F}=(0,\,0,\,50)\,\mathrm{N}$$ est appliquée en A $($ 0.4,0,0 $)$ . 1. Définir le torseur d’une action mécanique et son centre de réduction. 2. Établir le torseur de la force à O. 3. Calculer le tenseur d’inertie du solide en O, en supposant les axes alignés avec les arêtes. 4. À partir du torseur cinétique, déterminer la variation du moment cinétique en O si la solide subit une petite rotation angulaire $ $d\boldsymbol{\theta}=(0,\,0,\,0.01)\,\mathrm{rad}$$ . 5....→
  • 15
    Une poulie circulaire de rayon $ $R=0.1\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ est fixée en O. Un câble sans glissement enroulé sur la poulie supporte une force de traction $ $T=30\,\mathrm{N}$$ tangentielle en A. La poulie peut tourner librement autour de O sans frottement. 1. Définir le torseur cinétique et le torseur dynamique d’un solide rigide. 2. Écrire l’équation du moment dynamique autour de O. 3. Calculer le moment d’inertie de la poulie autour de l’axe passant par O. 4. Déterminer l’accélération angulaire initiale de la poulie. 5. Vérifier le principe fondamental de la dynamique en projection sur l’axe de...→
  • 16
    Un cylindre plein de rayon $ $R=0.15\,\mathrm{m}$$ , de hauteur $ $h=0.2\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ roule sans glissement sur une plan incliné d’angle $ $\beta=30^\circ$$ . 1. Définir la condition de roulement sans glissement et son expression en cinématique du solide. 2. Écrire le torseur cinétique en O au contact instantané. 3. Calculer le moment d’inertie du cylindre autour de son axe. 4. Déterminer l’accélération linéaire de son centre de masse. 5. Vérifier le théorème du moment cinétique projeté sur l’axe de la roule.→
  • 17
    Une plaque circulaire homogène de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ effectue une rotation plane autour de son axe passant par son centre O. La vitesse angulaire initiale est $ $\omega_0=50\,\mathrm{rad/s}$$ et un moment de frottement constant $ $M_f=2\,\mathrm{N\cdot m}$$ s’oppose au mouvement. 1. Définir le torseur dynamique d’un solide en rotation pure et l’énergie cinétique de rotation. 2. Calculer le moment d’inertie autour de l’axe. 3. Écrire l’équation du mouvement angulaire en O. 4. Déterminer le temps nécessaire pour que la plaque s’arrête. 5. Vérifier que la variation d’énergie cinétique est égale au travail du moment de frottement....→
  • 18
    Un solide S constitué de deux billes identiques de masse $ $m=1\,\mathrm{kg}$$ reliées par une tige rigide de longueur $ $L=0.5\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe fixe passant par son centre G, perpendiculaire à la tige. La vitesse angulaire initiale est $ $\omega_0=20\,\mathrm{rad/s}$$ . 1. Définir le torseur cinétique et son lien avec le moment cinétique. 2. Calculer le moment d’inertie de S autour de G. 3. Écrire l’évolution angulaire de S si aucun couple externe n’agit. 4. Si un moment constant $ $M=5\,\mathrm{N\cdot m}$$ est ensuite appliqué, déterminer la nouvelle accélération angulaire. 5. Vérifier le théorème du moment cinétique pour ces...→
  • 19
    $ $\vec F_A= (10\,\mathrm{N})\,\hat i + (5\,\mathrm{N})\,\hat j$$ et $ $\vec F_B= (-8\,\mathrm{N})\,\hat i + (12\,\mathrm{N})\,\hat j$$ respectivement. Le point C du solide subit un moment pur $ $M_C=20\,\mathrm{N\cdot m}$$ selon l’axe z. 1. Définissez un torseur et ses composantes principales. 2. Calculez la résultante $ $\vec R$$ du torseur des forces en A et B. 3. Déterminez le moment résultant $ $\vec M_O$$ au point O=(0,0). 4. Trouvez le couple central équivalent et son bras de levier. 5. Exprimez le torseur en O et vérifiez que le moment pur en C s’y retrouve.→
  • 20
    1. Définissez le torseur cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. 2. Calculez le moment d’inertie $ $I$$ du cylindre. 3. Déterminez l’évolution de la vitesse angulaire $ $\omega(t)$$ . 4. Calculez le temps $ $t_s$$ nécessaire pour arrêter le cylindre. 5. Écrivez le torseur dynamique et vérifiez le principe fondamental de la dynamique.→
  • 21
    1. Définissez le torseur des vitesses et l’axe instantané de roulis. 2. Calculez la vitesse de glissement du centre de masse $ $V_G$$ après une descente de $ $d=2.00\,\mathrm{m}$$ . 3. Déterminez le torseur cinématique en G. 4. Calculez le moment cinétique $ $\vec L_G$$ du solide. 5. Exprimez le torseur dynamique et vérifiez le PFD appliqué au solide.→
  • 22
    1. Définissez le torseur dynamique pour rotation autour d’un axe fixe. 2. Calculez le moment d’inertie $ $I$$ autour de l’axe. 3. Déterminez la vitesse angulaire $ $\omega$$ après l’impulsion. 4. Écrivez le torseur cinétique en G. 5. Vérifiez le théorème impulsion-moment cinétique.→
  • 23
    1. Définissez le torseur cinétique en un point P pour un solide quelconque. 2. Calculez le moment d’inertie total $ $I_P$$ du système. 3. Déterminez le torseur cinétique $ $\{0, I_P\omega\}$$ . 4. Si un moment $ $M=0.5\,\mathrm{N\cdot m}$$ est appliqué, calculez l’accélération angulaire $ $\alpha$$ . 5. Exprimez le torseur dynamique et vérifiez le PFD.→
  • 24
    1. Définissez le torseur cinétique global pour translation + rotation. 2. Calculez le moment d’inertie du tore autour de son axe central. 3. Déterminez la vitesse angulaire $ $\omega$$ de rotation. 4. Calculez l’énergie cinétique totale $ $E_c$$ du solide. 5. Exprimez le torseur dynamique et vérifiez le théorème de Koenig.→
  • 25
    1. Définissez le torseur dynamique en un point P pour translation + rotation. 2. Calculez la résultante dynamique $ $\vec R_d$$ . 3. Déterminez le moment dynamique $ $\vec M_P$$ en P. 4. Exprimez le torseur cinétique et vérifiez la relation cinétique-dynamique. 5. Appliquez le PFD au solide en chaque composante.→
  • 26
    On considère une poutre homogène AB de longueur $ $L=2.00\,\mathrm{m}$$ et de poids $ $P=100.0\,\mathrm{N}$$ appuyée en A sur un pivot sans frottement et chargée en son extrémité B par une force horizontale $ $F=200.0\,\mathrm{N}$$ . On souhaite étudier l'équilibre puis la dynamique de la poutre. 1. Définir un torseur statique et son utilité pour un solide rigide. 2. Déterminer le torseur des forces appliquées ramené en A (résultante et moment autour de A). 3. Calculer la réaction au pivot en A (force et moment) pour maintenir la poutre à l'équilibre. 4. Si la poutre est relâchée sans vitesse initiale,...→
  • 27
    Un cylindre plein homogène de masse $ $m=2.00\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.100\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement sur un plan incliné d'angle $ $\theta=30.0^{\circ}$$ . Il part du repos et descend sur une distance $ $d=3.00\,\mathrm{m}$$ . 1. Définir un torseur cinématique pour un mouvement de roulement sans glissement. 2. Déterminer la vitesse du centre de masse $ $v$$ au bas de la pente. 3. Calculer la vitesse angulaire $ $\omega$$ du cylindre. 4. Déterminer l'accélération du centre de masse $ $a$$ . 5. Vérifier le bilan énergétique et calculer la répartition entre énergie cinétique de translation et de rotation.→
  • 28
    Une plaque rigide ABCD de masse $ $m=2.00\,\mathrm{kg}$$ et d’axe vertical passant par A (pivot sans frottement) tourne dans son plan avec une vitesse angulaire $ $\omega=5.00\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ et une accélération angulaire $ $\alpha=2.00\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}$$ . Les coordonnées des points B et C dans le repère lié à la plaque valent respectivement $ $\overrightarrow{AB}=(0.50,0.00)\,\mathrm{m}$$ et $ $\overrightarrow{AC}=(0.50,0.30)\,\mathrm{m}$$ . 1. Définir le torseur cinématique d’un solide en mouvement plan. 2. Déterminer les vitesses de B et de C. 3. Calculer les accélérations de B et de C. 4. Exprimer le torseur dynamique ramené en A (masse $ $m$$ et moment d’inertie $ $J_{A}=0.10\,\mathrm{kg\cdot m^{2}}$$ )....→
  • 29
    On considère un disque uniforme de masse $ $M=3.00\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.20\,\mathrm{m}$$ , fixé sans frottement sur un axe vertical passant par son centre O. Un couple moteur constant $ $C=5.00\,\mathrm{N\cdot m}$$ est appliqué pendant $ $t=4.00\,\mathrm{s}$$ . 1. Définir le torseur dynamique d’un solide rigide en rotation autour d’un point fixe. 2. Calculer le moment d’inertie $ $J_{O}$$ du disque autour de l’axe. 3. Déterminer l’accélération angulaire $ $\alpha$$ . 4. Calculer la vitesse angulaire $ $\omega$$ après $ $4.00\,\mathrm{s}$$ . 5. Évaluer l’énergie cinétique de rotation finale du disque.→
  • 30
    Une tige homogène AB de masse $ $m=4.00\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=1.00\,\mathrm{m}$$ est articulée en A et maintenue verticale puis lâchée sans vitesse initiale. On néglige les frottements. 1. Définir le centre de masse d’un solide rigide et son rôle en dynamique. 2. Déterminer la position du centre de masse G. 3. Calculer le moment d’inertie $ $J_{A}$$ de la tige par rapport à A. 4. Déterminer l’accélération angulaire initiale $ $\alpha_{0}$$ . 5. En appliquant l’énergie mécanique, déterminer la vitesse angulaire $ $\omega$$ lorsque la tige devient horizontale.→
  • 31
    On dispose d’une plaque rectangulaire homogène de dimensions $ $a=0.40\,\mathrm{m}$$ (hauteur) et $ $b=0.60\,\mathrm{m}$$ (largeur) et de masse $ $M=5.00\,\mathrm{kg}$$ , pivotée sans frottement autour de son côté supérieur de longueur b. Après une petite rotation initiale $ $\phi_{0}=5.00^{\circ}$$ , elle oscille dans son plan. 1. Définir le torseur d’inertie d’un solide rigide. 2. Déterminer la position du centre de masse G et la distance h au pivot. 3. Calculer le moment d’inertie $ $J_{pivot}$$ de la plaque par rapport au pivot. 4. Exprimer la période $ $T$$ des petites oscillations. 5. Calculer numériquement $ $T$$ .→
  • 32
    Un solide rigide se déplace dans le plan et son torseur cinématique en A est donné par $ $\{V\}_{A}=\bigl\{\omega;\,v_{Ax},\,v_{Ay}\bigr\}$$ avec $ $\omega=2.00\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ , $ $v_{Ax}=1.00\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ , $ $v_{Ay}=0.50\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ . On note B un point mobile tel que $ $\overrightarrow{AB}=(0.20,0.30)\,\mathrm{m}$$ . 1. Définir le torseur cinématique et ses composantes. 2. Déterminer la vitesse $ $\vec v_{B}$$ . 3. Calculer l’accélération $ $\vec a_{B}$$ de B. 4. Si la masse du solide est $ $m=2.00\,\mathrm{kg}$$ et le moment d’inertie autour de A $ $J_{A}=0.10\,\mathrm{kg\cdot m^{2}}$$ , exprimer le torseur dynamique en A. 5. Déterminer la puissance du torseur dynamique au point A.→
  • 33
    Un solide indéformable S est soumis à deux forces glissantes F1 et F2 agissant respectivement en A et B, et montées sur un torseur en O. 1. Définir le torseur des actions mécaniques et ses composantes fondamentales (courte réponse). 2. Exprimer le torseur résultant à O en fonction de F1, F2, OA, OB. 3. Calculer le moment de F1 et F2 en O si F1=(0,50,0)\,N appliquée en A(1,0,0)\,m et F2=(0,0,100)\,N en B(0,1,0)\,m. 4. Déterminer la résultante R et le moment M_O du torseur en O. 5. Chercher l’axe central du torseur et le couple pur éventuel.→
  • 34
    Le solide S effectue un mouvement plan autour d’un axe vertical Oz, et on connaît la vitesse angulaire constante $ $\omega=5\,\mathrm{rad/s}$$ . Un point M du solide est à la position (x=2, y=1)\,m dans le repère fixe Oxyz. 1. Définir la cinématique du solide rigide en mouvement plan (courte réponse). 2. Déterminer la vitesse vectorielle v_M de M en coordonnées cartésiennes. 3. Calculer l’accélération a_M de M en mouvement circulaire uniforme. 4. Exprimer le torseur cinématique {V} en O (v_O et \omega). 5. Vérifier que \dot v_M = a_M en utilisant le torseur cinématique.→
  • 35
    Un cylindre massif de masse m=3\,\mathrm{kg} et de rayon R=0.2\,\mathrm{m} pivote autour de l’axe fixe Oz selon un mouvement d’accélération angulaire \alpha(t)=2t\,\mathrm{rad/s^2}. 1. Définir le torseur cinétique d’un solide rigide (courte réponse). 2. Calculer le moment cinétique L_O(t) du cylindre en O. 3. Déterminer la puissance P(t) du couple moteur C constant =5\,\mathrm{N·m}. 4. Vérifier le principe fondamental de la dynamique par \dot L_O=P(t). 5. Calculer la vitesse angulaire \omega(t) et l’énergie cinétique T(t).→
  • 36
    Un solide S de masse m=4\,\mathrm{kg} glisse sans frottement le long d’une hélice de pas p=0.5\,\mathrm{m} en effectuant un tour complet par seconde autour de l’axe Oz. 1. Définir la cinématique hélicoïdale d’un solide rigide (courte réponse). 2. Écrire la relation entre la vitesse de translation v et la vitesse angulaire \omega. 3. Calculer v et \omega si le solide effectue N=1 tour/s. 4. Déterminer l’énergie cinétique totale du mouvement hélicoïdal. 5. Vérifier que le torseur cinétique reflète la somme des contributions translation et rotation.→
  • 37
    Un portique articulé comporte une poutre AB de longueur L=2\,\mathrm{m} articulée en A et reliée à un vérin en B qui impose un déplacement angulaire θ=30° autour de l’axe A. 1. Définir le torseur d’un mouvement général d’un solide (courte réponse). 2. Écrire le torseur cinématique du pont mobile en A (v_A, \omega). 3. Calculer la vitesse v_B du point B à θ̇=0.1\,\mathrm{rad/s}. 4. Déterminer l’accélération a_B si θ̈=0.05\,\mathrm{rad/s^2}. 5. Vérifier la relation entre torseur cinématique et champ des vitesses des points du solide.→
  • 38
    Une plaque mince triangulaire ABC de masse \(m=3.00\,\mathrm{kg}\) a ses sommets A, B, C fixés sur un support par des appuis ponctuels. Les coordonnées dans un repère cartésien sont A(0,0), B(1.0\,\mathrm{m},0), C(0,1.0\,\mathrm{m}). On applique en son centre de masse G la force gravitationnelle. 1. Conceptuel : définissez le torseur des efforts au point O et ses conditions d’équilibre pour un solide en statique. 2. Calculez les coordonnées de G de la plaque. 3. Déterminez le torseur statique à O = A en y incluant la résultante et le moment. 4. Déterminez les réactions en B et C si seule l’appui...→
  • 39
    Un solide rigide OABC est articulé en O et se déplace dans le plan selon la rotation d’angle \(\theta(t)=\tfrac{\pi}{6}t\) (rad/s). Les points A, B, C de coordonnées dans le repère lié à O sont A(1.0,0), B(0,1.0), C(-1.0,0) en mètres. 1. Conceptuel : définissez le torseur cinématique d’un solide en mouvement plan. 2. Exprimez la vitesse \(\vec v_P\) de tout point P en fonction de \(\omega(t)\) et des coordonnées. 3. Calculez la vitesse de A, B, C à l’instant \(t=2.0\,\mathrm{s}\) . 4. Déterminez l’accélération de B à \(t=2.0\,\mathrm{s}\) . 5. Trouvez la trajectoire paramétrique de C dans le repère fixe.→
  • 40
    Une tige mince homogène AB de longueur \(L=2.00\,\mathrm{m}\) et de masse \(m=4.00\,\mathrm{kg}\) est orientée selon un angle \(\alpha=30°\) par rapport à l’horizontale, pivotée en A. 1. Conceptuel : définissez le rayon de giration et son lien avec le moment d’inertie. 2. Calculez le moment d’inertie \(I_A\) de la tige autour de l’axe perpendiculaire en A. 3. Déterminez le rayon de giration \(k\) tel que \(I_A=m k^2\) . 4. Si la tige est horizontale, calculez le moment d’inertie effectif dans la direction verticale. 5. Vérifiez le théorème d’Huygens pour déplacer l’axe de A à G, où G est le centre de masse....→
  • 41
    Une roue homogène de masse \(m=2.50\,\mathrm{kg}\) et de rayon \(R=0.20\,\mathrm{m}\) pivote autour de son axe horizontal sans frottement. On applique un couple constant \(C=1.00\,\mathrm{N·m}\) . 1. Conceptuel : énoncez le principe fondamental de la dynamique pour un solide en rotation. 2. Calculez le moment d’inertie \(I\) de la roue autour de l’axe. 3. Déterminez l’accélération angulaire \(\alpha\) sous l’action du couple. 4. Calculez la vitesse angulaire \(\omega\) après \(4.00\,\mathrm{s}\) . 5. Déterminez l’énergie cinétique de rotation à cet instant et vérifiez le travail du couple.→
  • 42
    Un parallélogramme ABCD rigide est articulé en A et B sur un châssis fixe. Les longueurs AB=BC=0.5\,\mathrm{m}, CD=DA=0.5\,\mathrm{m}. On applique en C une force \(\vec F=(10,0)\,\mathrm{N}\) . 1. Conceptuel : définissez le torseur cinétique et le torseur dynamique d’un solide. 2. Calculez le moment cinétique au point A si le solide tourne à \(\omega=5.0\,\mathrm{rad/s}\) autour d’un axe perpendiculaire. 3. Déterminez le torseur dynamique à A en fonction de la masse m=4.00\,\mathrm{kg} et de \(I_A\) . 4. Exprimez le couple résultant en A dû à la force en C et calculez-le. 5. Vérifiez le principe fondamental de la dynamique : \(\sum M_A=C_{dyn}\) ....→
  • 43
    Une vis cylindrique de rayon \(R=0.02\,\mathrm{m}\) tourne à \(\omega=50\,\mathrm{rad/s}\) et avance d’un pas \(p=5.0\,\mathrm{mm}\) par tour. 1. Conceptuel : définissez la composition d’un mouvement rigide hélicoïdal. 2. Calculez la vitesse linéaire axiale \(v\) de la vis. 3. Exprimez le torseur cinématique de la vis (translation + rotation). 4. Déterminez la trajectoire d’un point M situé sur la périphérie. 5. Calculez l’accélération de M (composantes axiale et radiale).→
  • 44
    Un solide S de masse \(m=6.00\,\mathrm{kg}\) est articulé en A et glisse sans frottement le long d’une glissière horizontale en B. La liaison AB reste de longueur fixe \(L=1.00\,\mathrm{m}\) . Un ressort de raideur \(k=100\,\mathrm{N/m}\) relie C, milieu de AB, à un point fixe C0. On applique une force horizontale \(F=20.0\,\mathrm{N}\) en B. 1. Conceptuel : énoncez le principe fondamental de la dynamique pour un solide en liaison parfaite. 2. Calculez le torseur dynamique en A incluant résultante et moment. 3. Exprimez l’équation motionnelle en translation-glissière et rotation (variables x_B, \(\theta\) ). 4. Déterminez l’accélération initiale de B et de...→
  • 45
    Une poutre rigide AB de longueur $ $L=4.0\,\mathrm{m}$$ est articulée en A et soumise à deux forces verticales descendantes : $ $F_1=200\,\mathrm{N}$$ appliquée en B et $ $F_2=100\,\mathrm{N}$$ appliquée en C, milieu de AB. On se propose d’étudier : 1. Définissez le torseur statique d’un système de forces. 2. Calculez la résultante $ $R$$ des forces et le moment résultant $ $M_A$$ au point A. 3. Écrivez le torseur statique $ $\{T\}_A$$ au point A. 4. Déterminez la distance $ $x_0$$ à partir de A où la résultante s’applique (axe central). 5. Calculez le moment en ce point et vérifiez...→
  • 46
    Une barre rigide AB de longueur $ $L=2.0\,\mathrm{m}$$ se déplace dans le plan tel que le point A a une vitesse $ $\mathbf{v_A}=2.0\,\hat{x}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$$ et l’ensemble tourne autour de A avec une pulsation $ $\omega=4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ . On se propose d’étudier : 1. Définissez le torseur cinématique d’un solide rigide. 2. Déterminez le torseur cinématique $ $\{V\}_A$$ au point A. 3. Calculez la vitesse $ $\mathbf{v_B}$$ du point B. 4. Déterminez l’accélération $ $\mathbf{a_B}$$ du point B. 5. Exprimez l’accélération $ $\mathbf{a_M}$$ de tout point M à une distance $ $x$$ de A.→
  • 47
    Une barre homogène OB de longueur $ $L=1.5\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=4.0\,\mathrm{kg}$$ est pivotée sans frottement en O. À l’instant considéré, elle tourne dans le plan horizontal avec pulsation $ $\omega=3.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ et accélération angulaire $ $\dot\omega=2.0\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$$ . On se propose d’étudier : 1. Définissez le torseur dynamique d’un solide rigide. 2. Calculez la résultante d’inertie au centre de masse G. 3. Calculez le moment dynamique autour de G. 4. Écrivez le torseur dynamique au point O. 5. Vérifiez l’équation dynamique et déterminez la réaction d’appui en O.→
  • 48
    Un cylindre homogène de masse $ $m=4.0\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.20\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement sur un plan incliné d’angle $ $\theta=30^{\circ}$$ sous l’action de son poids. On se propose d’étudier : 1. Définissez la condition de roulement sans glissement. 2. Déterminez le torseur dynamique au centre de masse G. 3. Calculez l’accélération du cylindre. 4. Calculez la force de friction de roulement. 5. Vérifiez le torseur dynamique + torseur statique =0.→
  • 49
    Un disque homogène de masse $ $m=5.0\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.40\,\mathrm{m}$$ est monté sans frottement sur un arbre fixe. Un couple moteur constant $ $C=8.0\,\mathrm{N\,m}$$ est appliqué. On se propose d’étudier : 1. Définissez le torseur dynamique autour de l’axe fixe. 2. Calculez le moment d’inertie $ $I$$ du disque. 3. Déterminez l’accélération angulaire $ $\alpha$$ . 4. Calculez la vitesse angulaire $ $\omega$$ après $ $t=3.0\,\mathrm{s}$$ . 5. Calculez le travail fourni par le couple pendant ces $ $3.0\,\mathrm{s}}$$ .→
  • 50
    Une plaque rectangulaire rigide est animée d’une translation de son point O avec vitesse $ $\mathbf{v_O}=2.0\,\hat{x}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$$ et d’une rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan passant par O avec pulsation $ $\omega=5.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$$ . On se propose d’étudier : 1. Définissez le torseur cinématique d’un solide rigide. 2. Déterminez le torseur cinématique $ $\{V\}_O$$ . 3. Calculez la vitesse $ $\mathbf{v_M}$$ d’un point M de coordonnées $ $\mathbf{r_{OM}}=(0.20,0.10)\,\mathrm{m}$$ . 4. Déterminez l’accélération $ $\mathbf{a_M}$$ de M pour $ $\omega$$ constant. 5. Vérifiez que $ $\mathbf{v_M}-\mathbf{v_N}=\omega\,\mathbf{k}\times(\mathbf{r_{OM}}-\mathbf{r_{ON}})$$ pour un second point N de coordonnées $ $(0.10,0.20)\,\mathrm{m}$$ .→
  • 51
    Examen 1 – Torseur statique d’actions mécaniques Une poutre rigide AB horizontale de longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ est encastrée en A et soutenue en B par une liaison glissière verticale. La poutre subit en C (à $ $x_{C}=1.2\,\mathrm{m}$$ de A) une force verticale $ $P=1500\,\mathrm{N}$$ vers le bas, et en B une force horizontale $ $H=500\,\mathrm{N}$$ vers la droite. 1. Définir le torseur des actions mécaniques et ses composantes. 2. Calculer le torseur des forces appliquées ramené au point C. 3. Réduire ce torseur au point A en utilisant la formule de transfert. 4. Déterminer la résultante $ $\mathbf{R}$$ et le...→
  • 52
    Examen 2 – Torseur cinématique d’un solide rigide Un solide rigide se déplace dans le plan par translation de vitesse du point A $ $\mathbf{v}_{A}=(2,1)\,\mathrm{m/s}$$ et rotation de pulsation $ $\omega=3\,\mathrm{rad/s}$$ autour de A. Le point B est tel que $ $\overrightarrow{AB}=(0.5,0.2)\,\mathrm{m}$$ . 1. Définir le torseur cinématique et ses invariants. 2. Exprimer le torseur cinématique en A. 3. Déterminer la vitesse $ $\mathbf{v}_{B}$$ du point B. 4. Calculer l’accélération normale $ $\mathbf{a}_{B,n}$$ de B. 5. Vérifier que la composante rotationnelle du torseur est invariante au changement de point.→
  • 53
    Examen 3 – Cinématique relative d’un mécanisme bielle-manivelle Le mécanisme comporte une manivelle AB de longueur $ $L_{1}=0.1\,\mathrm{m}$$ tournant autour de A à vitesse angulaire $ $\omega=50\,\mathrm{rad/s}$$ , et une bielle BC de longueur $ $L_{2}=0.3\,\mathrm{m}$$ articulée en B et en C fixé au sol. L’angle $ $\theta$$ entre AB et l’horizontale satisfait $ $\cos\theta=0.8$$ . 1. Définir la composition des vitesses pour un solide lié. 2. Exprimer la vitesse de B en fonction de $ $\omega$$ et $ $L_{1}$$ . 3. Déterminer la vitesse de C. 4. Calculer l’accélération normale et tangentielle de B. 5. Vérifier la géométrie $ $L_{1}\cos\theta + L_{2}=\text{constante}$$ ....→
  • 54
    Examen 4 – Torseur cinétique et moment d’inertie Une plaque homogène rectangulaire ABCD de dimensions $ $a=0.5\,\mathrm{m}$$ et $ $b=0.2\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par A avec $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Sa masse est $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ . 1. Définir le torseur cinétique d’un solide et ses composantes. 2. Calculer le moment d’inertie $ $I_{A}$$ de la plaque autour de l’axe en A. 3. Déterminer le torseur cinétique en A. 4. Exprimer l’énergie cinétique de rotation du solide. 5. Vérifier que $ $T=\tfrac{1}{2}I_{A}\omega^{2}$$ .→
  • 55
    Examen 5 – Torseur dynamique et PFD d’un solide rigide Une poutre homogène AB de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ est articulée sans frottement en A. Une force $ $F=20\,\mathrm{N}$$ perpendiculaire à la poutre agit en B. La poutre reste dans un plan vertical. 1. Définir le torseur dynamique et le principe fondamental de la dynamique. 2. Écrire le torseur dynamique autour de A en fonction de l’accélération angulaire $ $\alpha$$ . 3. Calculer le moment dynamique $ $M_{A}$$ en fonction de $ $\alpha$$ . 4. Établir l’équation $ $M_{A}=F\,L$$ et en déduire $ $\alpha$$ . 5. Vérifier...→
  • 56
    Examen 6 – Théorème de l’énergie cinétique et puissance Une barre AB de longueur $ $L=0.8\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ tourne autour d’un axe vertical passant par A avec vitesse angulaire $ $\dot\theta=5\,\mathrm{rad/s}$$ . Un moteur applique un couple constant $ $C=15\,\mathrm{N{\cdot}m}$$ . 1. Définir la puissance d’une action mécanique sur un solide rigide. 2. Calculer la puissance fournie par le couple. 3. Déterminer l’énergie cinétique accumulée si le couple agit pendant $ $\Delta t=0.2\,\mathrm{s}$$ . 4. Vérifier le théorème de l’énergie cinétique. 5. Expliquer l’influence du couple sur l’évolution de $ $\dot\theta$$ .→
  • 57
    Examen 7 – Dynamique du cylindre en roulement sans glissement Un cylindre plein de masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ roule sans glisser sur un plan incliné d’angle $ $\alpha=30°$$ . Le moment d’inertie est $ $I=\tfrac{1}{2}mR^{2}$$ . 1. Définir la condition de roulement sans glissement. 2. Écrire les équations dynamiques : $ $m g \sin\alpha - F_{f}=m a$$ et $ $F_{f}R=I\alpha$$ . 3. Calculer l’accélération $ $a$$ et la force de frottement $ $F_{f}$$ . 4. Déterminer la vitesse $ $v$$ après avoir parcouru $ $s=2\,\mathrm{m}$$ depuis le repos. 5. Vérifier la conservation de l’énergie mécanique entre le sommet et la position...→
  • 58
    1. Définir le vecteur position $ $\vec{r}$$ , le vecteur vitesse $ $\vec{v}$$ et le vecteur accélération $ $\vec{a}$$ d’un point d’un solide en mouvement plan. 2. Énoncer la relation du torseur cinématique reliant les vitesses de deux points A et B d’un solide indéformable en rotation autour d’un axe fixe. 3. Un solide S tourne autour d’un axe fixe OO' avec une vitesse angulaire $ $\omega=5\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Calculer la vitesse d’un point M situé à la distance $ $r=0.2\,\mathrm{m}$$ de l’axe. 4. Pour ce même point M, déterminer l’accélération centripète et l’accélération tangentielle. 5. Expliquer le principe fondamental de...→
  • 59
    1. Définir le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe. 2. Calculer le moment d’inertie d’une tige homogène de masse $ $m$$ et longueur $ $L$$ autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre. 3. Calculer le moment d’inertie d’un disque homogène de masse $ $m$$ et rayon $ $R$$ autour de son axe central. 4. Appliquer le théorème des axes parallèles pour déterminer le moment d’inertie de la tige autour d’un axe décalé de $ $d$$ du centre. 5. Expliquer comment le moment d’inertie influence la résistance au changement de rotation d’un solide.→
  • 60
    1. Donner la définition d’un torseur de forces appliqué à un solide indéformable et ses composantes. 2. Énoncer le théorème du moment dynamique (principe fondamental de la dynamique du solide). 3. Pour un solide de moment d’inertie $ $I$$ soumis à un couple variable $ $M(t)$$ , établir l’équation de mouvement angulaire. 4. Déterminer le moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. 5. Expliquer la réduction d’un torseur de forces au centre de masse.→
  • 61
    1. Définir une liaison pivot, une liaison glissière et expliquer leur mobilité. 2. Calculer le nombre de degrés de liberté d’un mécanisme plan composé de $ $n$$ éléments liés par $ $j$$ liaisons simples. 3. Pour un mécanisme à quatre barres, déterminer sa mobilité. 4. Expliquer le concept d’effort de liaison et écrire les équations d’équilibre pour une liaison pivot. 5. Décrire la différence entre chaîne fermée et chaîne ouverte en mécanique des solides.→
  • 62
    1. Définir la contrainte normale $ $\sigma$$ et la déformation unitaire $ $\varepsilon$$ . 2. Énoncer la loi de Hooke pour un matériau linéaire élastique en traction uniaxiale. 3. Calculer la déformation d’une barre homogène de longueur $ $L$$ sous une force axiale $ $F$$ sachant le module de Young $ $E$$ . 4. Déterminer l’énergie d’extension stockée dans la barre. 5. Expliquer la différence entre limite élastique et limite plastique.→
  • 63
    1. Présenter les hypothèses de la théorie d’Euler–Bernoulli pour la flexion des poutres. 2. Écrire la relation entre moment fléchissant $ $M(x)$$ et courbure $ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$$ : $ $M(x)=EI\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$$ . 3. Calculer la flèche maximale d’une poutre encastrée-libre de longueur $ $L$$ soumise à une charge concentrée $ $P$$ à l’extrémité. 4. Déterminer la flèche maximale d’une poutre simplement appuyée de longueur $ $L$$ sous charge répartie uniforme $ $q$$ . 5. Expliquer la distribution de la contrainte normale $ $\sigma_{x}$$ dans la section d’une poutre fléchie.→
  • 64
    1. Décrire la torsion d’un arbre circulaire et définir la relation $ $\tau=G\gamma$$ . 2. Calculer le moment de torsion $ $T$$ transmis par un arbre de rayon $ $R$$ via $ $\tau(r)=\dfrac{T r}{J}$$ . 3. Déterminer l’angle de torsion $ $\phi$$ d’un arbre de longueur $ $L$$ soumis à un couple $ $T$$ : $ $\phi=\dfrac{T L}{GJ}$$ . 4. Expliquer la notion de rigidité en torsion $ $K=GJ/L$$ . 5. Discuter la répartition de la contrainte tangentielle dans la section d’un arbre en torsion.→
  • 65
    1. Définir le flambement élastique d’une colonne et la charge critique $ $P_{cr}$$ . 2. Établir $ $P_{cr}=\dfrac{\pi^{2}EI}{(KL)^{2}}$$ en précisant le coefficient $ $K$$ . 3. Calculer $ $P_{cr}$$ pour une colonne encastrée-encastrée de longueur $ $L$$ . 4. Expliquer l’influence des conditions aux limites sur $ $P_{cr}$$ . 5. Discuter l’effet des imperfections initiales sur la charge réelle.→
  • 66
    1. Définir une vibration libre d’un solide élastique et présenter l’équation $ $m\ddot{y}+ky=0$$ . 2. Expliquer le modèle masse-ressort pour une poutre de masse linéique $ $m$$ et raideur $ $k$$ . 3. Déterminer la fréquence propre $ $\omega_{n}=\sqrt{k/m}$$ . 4. Calculer $ $\omega_{n}$$ pour $ $m=2\,\mathrm{kg\cdot m^{-1}}$$ et $ $k=2000\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}$$ . 5. Expliquer l’absence d’amortissement et son impact.→
  • 67
    1. Présenter le principe des travaux virtuels pour un solide indéformable. 2. Énoncer le théorème de Castigliano pour calculer les déplacements. 3. Appliquer Castigliano pour déterminer la flèche en milieu d’une poutre simplement appuyée sous charge ponctuelle $ $P$$ . 4. Détailer : calcul de l’énergie $ $U$$ puis dérivée partielle par rapport à $ $P$$ . 5. Expliquer les avantages et conditions d’application de la méthode énergétique.→
  • 68
    1. Expliquer la notion de tenseur des contraintes pour un solide indéformable et décrire ses invariants. 2. Déterminer la déflexion maximale au milieu d'une poutre encastrée-encastrée de longueur $ $L$$ chargée uniformément par une charge linéique $ $q$$ . 3. Calculer le moment quadratique (second moment d'aire) d'une section rectangulaire de hauteur $ $h$$ et largeur $ $b$$ par rapport à l'axe neutre horizontal. 4. Un arbre circulaire de rayon $ $R$$ et module de rigidité $ $G$$ est soumis à un couple de torsion $ $T$$ . Déterminer l'angle de torsion $ $\phi$$ sur une longueur $ $L$$ ....→
  • 69
    1. Décrire la loi de Hooke tridimensionnelle et expliquer le rôle du module de Young $ $E$$ et du coefficient de Poisson $ $\nu$$ . 2. Calculer la contrainte normale et la déformation uniaxiale dans une barre de longueur $ $L$$ soumise à une traction $ $P$$ et de section $ $A$$ . 3. Déterminer la flèche en bout d’une poutre cantilever de longueur $ $L$$ chargée en bout par une force $ $F$$ . 4. Un cylindre plein de rayon $ $R$$ subit une pression interne uniforme $ $p$$ . Calculer la contrainte circonférentielle $ $\sigma_\theta$$ . 5. Exprimer...→
  • 70
    1. Expliquer les modes de flambage d’une colonne et énoncer la formule d’Euler pour la charge critique $ $P_{cr}$$ . 2. Calculer la longueur de flambement équivalente pour une colonne encastrée-libre de longueur réelle $ $L$$ . 3. Déterminer la contrainte maximale admissible d’une colonne soumis à $ $P→
  • 71
    1. Définir le torseur de cohésion d’un solide soumis à une charge quelconque. 2. Exprimer la résultante et le moment de ces forces sur une section plane. 3. Une poutre bi-encastrée de longueur $ $L$$ porte une charge concentrée $ $P$$ au milieu. Calculer le diagramme des efforts internes (couple, effort tranchant). 4. Déterminer la flèche maximale et l’angle de rotation aux extrémités pour cette poutre. 5. Expliquer la méthode des éléments finis en quelques phrases.→
  • 72
    1. Expliquer le modèle de Timoshenko pour la flexion des poutres. 2. Comparer l’expression de la flèche selon Euler–Bernoulli et Timoshenko. 3. Déterminer la contrainte de cisaillement maximale dans une poutre rectangulaire sous charge transverse $ $q$$ . 4. Calculer l’énergie de déformation élastique stockée dans un volume de solide soumis à un champ de contraintes connu. 5. Exprimer le théorème de l’énergie de Castigliano pour la déflexion.→
  • 73
    1. Définir l’endommagement et le critère de fatigue en mécanique du solide. 2. Calculer la durée de vie en fatigue selon la loi de Wöhler pour une contrainte alternée $ $\sigma_a$$ . 3. Déterminer la contrainte de surface critique pour initiation de fissure. 4. Expliquer l’effet du gradient de contrainte sur la propagation de fissure. 5. Présenter brièvement la méthode de la plasticité limitée (rainflow count).→
  • 74
    1. Expliquer le comportement viscoélastique d’un matériau et citer deux modèles élémentaires. 2. Pour un modèle de Maxwell avec module élastique $ $E$$ et viscosité $ $\eta$$ , déterminer la déformation $ $\epsilon(t)$$ sous une contrainte imposée $ $\sigma_0$$ . 3. Calculer la réponse en relaxation de contrainte pour un modèle de Kelvin–Voigt. 4. Déterminer l’énergie dissipée par cycle dans un cycle de chargement sinusoïdal $ $\sigma(t)=\sigma_a\sin(\omega t)$$ . 5. Comment le module de stockage et de perte peuvent être mesurés en laboratoire ?→
  • 75
    1. Décrire la propagation d'une onde de traction dans un barreau élastique indéfini. 2. Écrire l'équation d'onde pour la déformation $ $\epsilon(x,t)$$ et déterminer la vitesse $ $c$$ . 3. Calculer l'amplitude de l'onde à distance $ $x$$ pour une onde amortie avec coefficient $ $\alpha$$ . 4. Déterminer la fréquence propre $ $\omega_n$$ d'une barre de longueur $ $L$$ encastrée aux deux extrémités. 5. Expliquer le phénomène de résonance dans un solide.→
  • 76
    1. Expliquer l’effet de la température sur les propriétés mécaniques d’un solide. 2. Déterminer la dilatation thermique linéaire $ $\Delta L$$ pour une barre de longueur $ $L_0$$ , coefficient $ $\alpha$$ et variation de température $ $\Delta T$$ . 3. Calculer la contrainte thermique dans une barre encastrée chauffée de $ $\Delta T$$ . 4. Exprimer le module d’Young effectif dans le cas d’un solide soumis simultanément à traction et température variable. 5. Décrire le protocole pour mesurer le coefficient de dilatation thermique en laboratoire.→
  • 77
    1. Décrire le modèle bilinéaire pour la plasticité d’un matériau. 2. Exprimer la contrainte plastique résistante $ $\sigma_p$$ en fonction de la déformation plastique $ $\epsilon_p$$ . 3. Calculer l’énergie plastique dissipée pour un cycle de chargement-déchargement jusqu’à $ $\epsilon_p$$ . 4. Déterminer la dureté Rockwell $ $H_R$$ pour une indentation de profondeur $ $d$$ sous charge $ $F$$ . 5. Expliquer l’effet Bauschinger sur un état de contraintes réversibles.→
  • 78
    1. Expliquer la notion d'énergie de surface et son influence sur la rupture fragile. 2. Déterminer le facteur d'intensité de contrainte $ $K_I$$ pour une fissure de longueur $ $a$$ dans une plaque infinie sous traction $ $\sigma$$ . 3. Calculer l'énergie libérée $ $G$$ pour propagation stable de la fissure. 4. Exprimer la condition de Griffith pour la fissuration. 5. Présenter brièvement la mécanique de la rupture en champ de contrainte.→
  • 79
    2. Énoncer le théorème du moment cinétique appliqué à un solide libre et expliquer ses hypothèses. 3. Déterminer le torseur dynamique d’un solide de masse m et d’accélération $ $\vec a$$ en un point G. 4. Calculer le moment d’inertie d’une barre uniforme de longueur $ $L$$ et de masse $ $m$$ autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre. 5. Expliquer la notion de travail d’un torseur de forces et énoncer le théorème de l’énergie cinétique pour un solide indéformable.→
  • 80
    2. En rotation autour d’un axe fixe, montrer que la vitesse de tout point M s’écrit $ $\vec v_M=\vec \omega\times\vec OM$$ . 3. Un solide de masse $ $m$$ tourne à la vitesse $ $\omega$$ autour d’un axe passant par G ; calculer son énergie cinétique. 4. Déterminer l’accélération d’un point M sur une roue tournant à vitesse angulaire $ $\omega(t)$$ variable. 5. Illustrer le centre instantané de rotation pour un mouvement plan et expliquer son utilité.→
  • 81
    2. Calculer le moment d’inertie d’un disque plein de rayon $ $R$$ et de masse $ $m$$ autour de son axe de symétrie. 3. Appliquer le théorème des axes parallèles pour un rectangle de base $ $b$$ et hauteur $ $h$$ autour d’un axe passant par un bord. 4. Expliquer la méthode de l’intégration pour un solide non homogène et donner un exemple. 5. Illustrer le cercle de Mohr pour un torseur d’inertie et expliquer son intérêt.→
  • 82
    2. Calculer l’énergie cinétique totale d’une roue de masse $ $m$$ , rayon $ $R$$ , vitesse de translation $ $v$$ et rotation $ $\omega$$ . 3. Décrire la méthode pour déterminer les réactions d’appui statiques d’un solide soumis à trois liaisons. 4. Résoudre l’équilibre d’une poutre appuyée à deux appuis et soumise à une charge uniforme. 5. Expliquer la notion de stabilité statique pour un solide en équilibre.→
  • 83
    2. Pour une liaison pivot d’axe fixe, établir le torseur de liaison exprimant les efforts transmis. 3. Calculer les réactions d’une glissière perpendiculaire soumise à une charge $ $P$$ . 4. Expliquer la méthode de réduction d’un torseur en un point V et donner un exemple. 5. Illustrer la superposition de deux torseurs de liaison et expliquer la sommation.→
  • 84
    2. Pour un solide soumis à deux forces non parallèles, déterminer graphiquement le point d’application résultant. 3. Calculer le travail virtuel pour un déplacement infinitésimal d’un solide en liaison encastrement. 4. Expliquer le principe des travaux virtuels et son application au calcul des réactions. 5. Illustrer la méthode des travaux virtuels pour une poutre fléchie sous charge ponctuelle.→
  • 85
    2. Pour un solide glissant sans frottement, déterminer la relation entre vitesse et translation relative. 3. Calculer l’accélération d’un solide dans une glissière soumise à une variation de position $ $s(t)$$ . 4. Expliquer l’impact des forces de frottement visqueux sur le mouvement d’un solide. 5. Illustrer la méthode de modélisation d’une glissière avec ressort et amortisseur.→
  • 86
    2. Pour une roue de rayon $ $R$$ et vitesse angulaire $ $\omega$$ , calculer la vitesse de translation du centre. 3. Déterminer l’énergie cinétique totale d’une roue se déplaçant avec $ $v$$ et $ $\omega$$ . 4. Expliquer l’influence du moment d’inertie sur l’accélération d’une roue sous couple moteur. 5. Illustrer le diagramme du couple moteur nécessaire pour maintenir le roulement.→
  • 87
    2. Pour un solide subissant un couple $ $C$$ et une vitesse angulaire $ $\omega$$ , calculer la puissance fournie. 3. Expliquer la notion de rendement mécanique dans une transmission par engrenages. 4. Déterminer la perte de puissance due aux frottements internes dans un palier. 5. Illustrer l’équilibre de puissance dans un système pivotant en charge.→
  • 88
    2. Pour un solide en rotation pure d’axe fixe, démontrer que le torseur dynamique se ramène à un moment unique. 3. Calculer la réaction au pivot d’un solide de masse $ $m$$ soumis à son poids et en rotation. 4. Appliquer la méthode des bilans énergétiques pour un solide libéré d’une position encastrée. 5. Illustrer la trajectoire d’un point M fixé sur un solide en rotation et translation.→
  • 89
    1. Définissez la contrainte normale et la déformation unitaire dans un essai de traction. 2. Une barre en acier de section constante $ $A = 200\,\mathrm{mm^2}$$ et longueur initiale $ $L = 1\,\mathrm{m}$$ est soumise à la force axiale $ $F = 50\,\mathrm{kN}$$ . Calculez la contrainte normale $ $\sigma$$ et la déformation unitaire $ $\varepsilon$$ , sachant que $ $E = 210\,\mathrm{GPa}$$ . 3. Déterminez la nouvelle longueur de la barre après chargement. 4. Expliquez le concept de limite élastique et proposez une méthode expérimentale pour la déterminer. 5. Schématisez le diagramme contrainte–déformation typique pour un acier doux.→
  • 90
    1. Définissez le moment de torsion et la déformation angulaire par unité de longueur. 2. Un arbre circulaire de rayon $ $R = 20\,\mathrm{mm}$$ et longueur $ $L = 1\,\mathrm{m}$$ est soumis à un moment de torsion $ $T = 500\,\mathrm{N\,m}$$ . Calculez la contrainte tangentielle maximale $ $\tau_{\mathrm{max}}$$ et la déformation unitaire $ $\gamma_{\mathrm{max}}$$ , sachant que $ $G = 80\,\mathrm{GPa}$$ . 3. Déterminez la rotation angulaire $ $\phi$$ à l’extrémité. 4. Expliquez le critère de von Mises pour la rupture en torsion. 5. Schématisez la distribution radiale de la contrainte tangentielle dans la section.→
  • 91
    1. Énoncez la formule de la contrainte de flexion pour un moment fléchissant constant. 2. Une poutre rectangulaire de largeur $ $b = 50\,\mathrm{mm}$$ et hauteur $ $h = 100\,\mathrm{mm}$$ est soumise à un moment constant $ $M = 2000\,\mathrm{N\,m}$$ . Calculez la contrainte de flexion maximale $ $\sigma_f$$ . 3. La même poutre, simplement appuyée aux deux extrémités de portée $ $L = 4\,\mathrm{m}$$ , supporte une charge répartie uniforme $ $q = 5000\,\mathrm{N\,m^{-1}}$$ . Calculez la flèche maximale $ $\delta_{\mathrm{max}}$$ . 4. Expliquez le concept de section résistante. 5. Schématisez la fibre neutre et le profil de contrainte le long de la hauteur.→
  • 92
    1. Définissez les contraintes principales et le cercle de Mohr. 2. Un élément soumis à $ $\sigma_x = 80\,\mathrm{MPa},\ \sigma_y = 20\,\mathrm{MPa}$$ et $ $\tau_{xy} = 30\,\mathrm{MPa}$$ . Calculez les contraintes principales $ $\sigma_1$$ et $ $\sigma_2$$ . 3. Déterminez l’angle $ $\theta_p$$ de direction des contraintes principales. 4. Expliquez l’utilisation du cercle de Mohr pour évaluer le critère de von Mises. 5. Schématisez le cercle de Mohr et indiquez $ $\sigma_1$$ et $ $\sigma_2$$ .→
  • 93
    1. Énoncez la formule critique de flambage d’Euler pour une colonne à extrémités encastrées. 2. Une colonne en acier de longueur $ $L = 3\,\mathrm{m}$$ et moment quadratique $ $I = 8\times10^{-6}\,\mathrm{m^4}$$ est encastrée aux deux extrémités. Calculez la charge critique $ $P_{cr}$$ , sachant que $ $E = 210\,\mathrm{GPa}$$ . 3. Déterminez la contrainte critique $ $\sigma_{cr}$$ si la section est circulaire de section $ $A = 50\,\mathrm{cm^2}$$ . 4. Expliquez l’effet du coefficient de longueur efficace $ $K$$ pour différents appuis. 5. Schématisez le mode de flambage et la forme de la colonne à la charge critique.→
  • 94
    1. Énoncez le théorème de Castigliano pour le calcul des déplacements. 2. Une poutre encastrée-libre de longueur $ $L = 2\,\mathrm{m}$$ subit une charge ponctuelle $ $P = 1000\,\mathrm{N}$$ à l’extrémité libre. Calculez la flèche $ $\delta$$ à l’extrémité par l’énergie de déformation, sachant que $ $E = 200\,\mathrm{GPa}$$ et $ $I = 1\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$$ . 3. Déduisez la rotation $ $\theta$$ à l’embase. 4. Expliquez la différence entre énergie de flexion et cisaillement. 5. Schématisez la poutre avec indication des déformations et énergie stockée.→
  • 95
    1. Définissez la contrainte de cisaillement moyenne et maximale dans une poutre rectangulaire. 2. Pour une poutre rectangulaire de largeur $ $b = 100\,\mathrm{mm}$$ et hauteur $ $h = 200\,\mathrm{mm}$$ soumise à une force transversale $ $V = 20\,\mathrm{kN}$$ , calculez $ $\tau_{moy}$$ et $ $\tau_{max}$$ . 3. Expliquez la distribution parabolique de la contrainte de cisaillement dans la section. 4. Calculez la flèche d’une poutre encastrée-encastrée de longueur $ $L = 3\,\mathrm{m}$$ sous une charge concentrée $ $P = 10\,\mathrm{kN}$$ au milieu, en négligeant cisaillement. 5. Schématisez les diagrammes de cisaillement et moment.→
  • 96
    1. Définissez la contrainte normale sous flexion composée (effort normal + moment fléchissant). 2. Une poutre porteuse subit un effort normal $ $N = 100\,\mathrm{kN}$$ et un moment fléchissant $ $M = 50\,\mathrm{kN\,m}$$ . Pour une section rectangulaire $ $b = 200\,\mathrm{mm},\ h = 400\,\mathrm{mm}$$ , calculez la contrainte maximale. 3. Vérifiez la condition de non-rupture selon le critère de von Mises pour ces sollicitations. 4. Expliquez l’effet du point neutre déplacé. 5. Schématisez la répartition des contraintes sur la section.→
  • 97
    1. Énoncez l’équation de Navier pour une barre en traction uniaxiale. 2. Une barre conique de longueur $ $L = 2\,\mathrm{m}$$ a une section circulaire variable de $ $A(x) = A_0(1 + \alpha x)$$ , avec $ $A_0 = 1000\,\mathrm{mm^2},\ \alpha = 0.5\,\mathrm{m^{-1}}$$ . Soumise à $ $F = 20\,\mathrm{kN}$$ , calculez la déformation totale $ $\Delta L$$ . 3. Déterminez la contrainte moyenne le long de la barre. 4. Expliquez l’hypothèse de déformation homogène. 5. Schématisez la variation de section et de déformation le long de la barre.→
  • 98
    1. Écrivez l’équation différentielle de la déflexion $ $y(x)$$ pour une poutre encastrée aux deux extrémités soumise à une charge répartie $ $q$$ . 2. Donnez la solution générale et les conditions aux limites pour $ $y(x)$$ . 3. Pour $ $L = 5\,\mathrm{m},\ q = 1000\,\mathrm{N\,m^{-1}},\ E = 200\,\mathrm{GPa},\ I = 2\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$$ , cal- culez la flèche maximale. 4. Expliquez l’effet du cisaillement sur la déflexion et quand il devient significatif. 5. Schématisez le profil de déformation et les conditions aux limites.→
• Les Torseurs (74 Exercices)
  • 1
    On donne un torseur en O de résultante $ $R=(10\,\mathrm{N},20\,\mathrm{N},0)$$ et moment en O $ $M_O=(0,0,50\,\mathrm{N\cdot m})$$ . Calculez le moment en A(1,1,0).→
  • 2
    Déterminez la nature du torseur en O défini par $ $R=(2,-2,0)$$ et $ $M_O=(0,0,0)$$ .→
  • 3
    Calculez le comoment de deux torseurs en O définis par T₁{R₁=(1,2,3),M₁,O=(0,1,0)} et T₂{R₂=(4,5,6),M₂,O=(1,0,1)}.→
  • 4
    Calculez l’automoment du torseur en O défini par $ $R=(2,0,1)$$ et $ $M_O=(1,3,2)$$ .→
  • 5
    Calculez la somme de deux torseurs en O : T₁{R₁=(1,0,1),M₁,O=(2,0,0)} et T₂{R₂=(0,2,1),M₂,O=(0,3,0)}.→
  • 6
    Calculez la norme de la résultante $ $R=(3,4,12)$$ .→
  • 7
    Pour le torseur en O $ $R=(0,0,0)$$ et $ $M_O=(5,0,0)$$ , précisez sa nature.→
  • 8
    Déterminez l’axe central du torseur en O défini par $ $R=(0,0,5)$$ et $ $M_O=(0,0,0)$$ .→
  • 9
    Trouvez un point A de l’axe central pour le torseur $ $R=(4,4,0)$$ et $ $M_O=(0,0,8)$$ .→
  • 10
    Calculez le pas $ $p$$ du torseur en O défini par $ $R=(1,1,1)$$ et $ $M_O=(2,2,2)$$ .→
  • 11
    Réduisez le torseur en O $ $R=(0,5,5)$$ et $ $M_O=(10,0,0)$$ au point B(2,0,1) en calculant $M_B$ .→
  • 12
    Calculez le moment en C(0,1,2) pour le torseur $ $R=(3,0,4)$$ et $ $M_O=(5,0,0)$$ .→
  • 13
    Calculez le comoment de deux torseurs en O : T₁{R₁=(1,0,2),M₁,O=(0,3,0)} et T₂{R₂=(2,1,0),M₂,O=(1,0,4)}.→
  • 14
    Décomposez le torseur en O $ $R=(1,2,1)$$ et $ $M_O=(0,0,4)$$ en glisseur et couple pur.→
  • 15
    Calculez l’invariant scalaire du torseur en O $ $R=(1,2,3)$$ et $ $M_O=(4,5,6)$$ .→
  • 16
    Calculez le moment en D(1,-1,1) pour le torseur $ $R=(2,1,0)$$ et $ $M_O=(0,0,3)$$ .→
  • 17
    Calculez le pas $ $p$$ du torseur en O $ $R=(1,2,3)$$ et $ $M_O=(4,5,6)$$ .→
  • 18
    Calculez le moment en E(1,1,1) pour le torseur $ $R=(3,0,0)$$ et $ $M_O=(0,4,0)$$ .→
  • 19
    Pour le torseur en O $ $R=(0,0,0)$$ et $ $M_O=(0,0,0)$$ , précisez sa nature.→
  • 20
    On considère un corps rigide soumis à une force $ $\vec{F}=120\,\mathrm{N}\,\vec{e}_y$$ appliquée au point B de coordonnées $ $x_B=0.5\,\mathrm{m},\ y_B=0.2\,\mathrm{m}$$ par rapport au point O. Déterminez le torseur au point O : calculez la résultante $ $\vec{R}$$ et le moment $ $\vec{M}_O$$ .→
  • 21
    Un torseur au point O est défini par $ $\vec{R}=50\,\mathrm{N}\,\vec{e}_x+30\,\mathrm{N}\,\vec{e}_y$$ et $ $\vec{M}_O=20\,\mathrm{N\cdot m}\,\vec{e}_z$$ . Calculez les invariants : la norme de la résultante $ $R$$ et le moment scalaire $ $M_t$$ sur l'axe de la résultante.→
  • 22
    Un torseur au point O a pour résultante $ $\vec{R}=0\,\vec{e}_x+100\,\mathrm{N}\,\vec{e}_y$$ et moment $ $\vec{M}_O=50\,\mathrm{N\cdot m}\,\vec{e}_z$$ . Déterminez la distance $ $d$$ du point O à l'axe central du torseur et le moment minimal $ $M_c$$ .→
  • 23
    On a un torseur au point O avec $ $\vec{R}=100\,\mathrm{N}\,\vec{e}_y$$ et $ $\vec{M}_O=10\,\mathrm{N\cdot m}\,\vec{e}_z$$ . Montrez que ce torseur est un glisseur et déterminez l'équation de la droite d'action.→
  • 24
    Un torseur est donné par $ $\vec{R}=0$$ et $ $\vec{M}_O=30\,\mathrm{N\cdot m}\,\vec{e}_x$$ . Identifiez-le et calculez le moment à tout point du corps.→
  • 25
    Deux torseurs au point O sont : $ $[T_1]_O\{R_1=(100,0,0),M_1=(0,0,20)\}$$ et $ $[T_2]_O\{R_2=(0,50,0),M_2=(0,0,10)\}$$ . Calculez la torseur résultant $ $[T]_O=T_1+T_2$$ .→
  • 26
    Un torseur a $ $\vec{R}=200\,\mathrm{N}\,\vec{e}_x$$ au point O et $ $\vec{M}_O=0$$ . Calculez le moment $ $\vec{M}_A$$ au point A de coordonnées $ $x_A=0\,\mathrm{m},\ y_A=0.4\,\mathrm{m}$$ .→
  • 27
    Une masse ponctuelle de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ accélère selon $ $\vec{a}=3\,\mathrm{m/s^2}\,\vec{e}_x$$ . Calculez le torseur dynamique au point G (centre de masse).→
  • 28
    Pour un torseur au point O, $ $\vec{R}=(30,40,0)\,\mathrm{N}$$ et $ $\vec{M}_O=(0,0,25)\,\mathrm{N·m}$$ , calculez la composante du moment selon l'axe de la résultante.→
  • 29
    Une poutre subit une charge uniforme de linéaire $ $q=200\,\mathrm{N/m}$$ sur une longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ . Calculez le torseur équivalent au point O.→
  • 30
    Pour un torseur au point O, $ $\vec{R}=(0,80,0)\,\mathrm{N}$$ et $ $\vec{M}_O=(0,0,40)\,\mathrm{N·m}$$ , trouvez les coordonnées du point A sur l'axe de la résultante où le moment est maximal.→
  • 31
    Deux torseurs généraux au point O sont $ $[T_1]\{R_1=(10,0,0),M_1=(0,5,0)\}$$ et $ $[T_2]\{R_2=(0,0,20),M_2=(0,0,0)\}$$ . Calculez leur comoment.→
  • 32
    Classez le torseur défini par $ $\vec{R}=(0,0,0)$$ et $ $\vec{M}_O=(15,0,0)$$ .→
  • 33
    Pour un torseur au point O, $ $\vec{R}=(20,20,0)\,\mathrm{N}$$ et $ $\vec{M}_O=(0,0,20)\,\mathrm{N·m}$$ , réduisez-le à son axe central : donnez $ $\vec{R}$$ , $ $\vec{M}_c$$ et un point C de l'axe.→
  • 34
    Soient deux forces $ $\mathbf{F_1}= (50,0,0)\,\mathrm{N}$$ appliquées en $ $A(2,0,0)$$ et $ $\mathbf{F_2}=(0,30,0)\,\mathrm{N}$$ appliquée en $ $B(0,1,0)$$ . Déterminer le moment résultant au point O.→
  • 35
    Un glisseur $ $\{F;\mathbf{R}\}$$ a pour resultant $ $\mathbf{R}=(0,0,100)\,\mathrm{N}$$ appliqué en $ $A(0,2,0)$$ . Quel est le moment au point B(1,0,0) ?→
  • 36
    Réduire le torseur de forces $ $\{\mathbf{R}=(150,0,0),\ \mathbf{M_O}=(0,0,50)\}$$ au point C(0,0,2). Calculer $ $\mathbf{M_C}$$ .→
  • 37
    Pour le torseur $ $\{\mathbf{R}=(0,0,100),\ \mathbf{M_O}=(20,30,0)\}$$ , calculer l’équation de l’axe central.→
  • 38
    Un torseur a $ $\mathbf{R}=(0,0,0)$$ et $ $\mathbf{M_O}=(0,0,120)\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Quel type de torseur est-ce ?→
  • 39
    Pour un torseur plan $ $\{\mathbf{R}=(F_x,F_y,0),\mathbf{M_O}=(0,0,M_z)\}$$ quelle est la condition d’équilibre des forces ?→
  • 40
    Additionnez les torseurs $ $T_1\{(10,0,0),(0,0,5)\}$$ et $ $T_2\{(0,20,0),(0,0,15)\}$$ au point O.→
  • 41
    Un glisseur de résultante $ $\mathbf{R}=(0,0,200)$$ passe par A(0,1,0). Quel est l’effort réduite en O ?→
  • 42
    Calculez le moment de la force $ $\mathbf{F}=(0,50,0)$$ appliquée en D(3,0,0) autour de l’axe z.→
  • 43
    Projetez le torseur $ $\{\mathbf{R}=(10,20,30),\mathbf{M_O}=(5,5,5)\}$$ sur l’axe x.→
  • 44
    Calculez l’invariant scalaire $ $I_1=\mathbf{R}\cdot\mathbf{M_O}$$ pour $ $\mathbf{R}=(2,3,4)$$ et $ $\mathbf{M_O}=(5,6,7)$$ .→
  • 45
    Transportez $ $\{\mathbf{R}=(0,100,0),\mathbf{M_O}=(0,0,0)\}$$ de O à E(1,2,0). Trouvez $ $\mathbf{M_E}$$ .→
  • 46
    Deux forces parallèles $ $F_1=50\,\mathrm{N}$$ et $ $F_2=-50\,\mathrm{N}$$ séparées de 0.4\,m créent quel couple ?→
  • 47
    Pour un torseur viscoélastique où $ $\mathbf{R}(t)= (10t,0,0)$$ et $ $\mathbf{M_O}(t)=(0,5t,0)$$ , trouver l’invariant à t=2\,s.→
  • 48
    Donnez les composantes canoniques du torseur $ $\{(3,4,0),(0,0,5)\}$$ .→
  • 49
    Quel est le critère pour qu’un torseur soit glisseur ?→
  • 50
    Réduire le torseur $ $\{\mathbf{R}=(0,0,50),\mathbf{M_O}=(10,0,0)\}$$ sur l’axe z.→
  • 51
    Un torseur $ $\{\mathbf{R}=(30,40,0),\mathbf{M_O}=(0,0,0)\}$$ est glisseur. Trouvez le point de passage I.→
  • 52
    Pour un torseur plan, condition d’équilibre globale ?→
  • 53
    Quel caractère distingue un torseur général d’un torseur plan ?→
  • 54
    Au point A, on a le torseur : $ $\mathbf{R}=(150,\,0,\,0)\,\mathrm{N},\quad \mathbf{M}_A=(0,\,0,\,200)\,\mathrm{N{\cdot}m}$$ . Calculez $ $\mathbf{M}_B$$ en B(2,1,0).→
  • 55
    Pour $ $\mathbf{R}=(0,0,300)\,\mathrm{N},\;\mathbf{M}_O=(60,0,0)\,\mathrm{N{\cdot}m}$$ , trouvez l’équation paramétrique de l’axe central.→
  • 56
    Calculez l’automoment de $ $\{\mathbf{R}=(20,30,0),\;\mathbf{M}_A=(40,50,0)\}$$ .→
  • 57
    Soit $ $T_1\{R_1=(10,0,0),M_1=(0,0,5)\},\;T_2\{R_2=(0,20,0),M_2=(0,0,10)\}$$ . Calculez $ $T=T_1+T_2$$ en O.→
  • 58
    Avec les mêmes $R_i,M_i$ , calculez $ $C=R_1\cdot M_2+R_2\cdot M_1$$ .→
  • 59
    Torseur en O : $ $R=(0,0,0),\;M=(0,0,120)$$ . Identifiez la nature.→
  • 60
    Torseur en A : $ $R=(10,5,0),\;M_A=(20,10,0)$$ . Vérifiez s’il est glisseur.→
  • 61
    Calculez la distance minimale de O à l’axe central pour $ $R=(0,0,400),\;M=(0,80,0)$$ .→
  • 62
    Pour $ $R=(0,0,500),\;M=(0,0,100)$$ , calculez le pas $ $p=(R·M)/\|R\|^2$$ .→
  • 63
    Projetez $ $M=(30,40,0)$$ sur la direction $ $R=(0,40,30)$$ (valeur scalaire).→
  • 64
    Réduisez $ $\{R=(50,0,0),M_A=(0,0,20)\}$$ en C(0,2,1). Trouvez $ $M_C$$ .→
  • 65
    Pour $ $T\{R=(15,20,0),M=(5, -5,0)\}$$ , calculez $ $I=R·M$$ .→
  • 66
    Torseur $ $T\{R=(0,0,0),M=(0,100,0)\}$$ . Quel est le pas ?→
  • 67
    Torseur $ $T\{R=(10,0,0),M=(0,20,0)\}$$ . Nature ?→
  • 68
    Décalez $ $T\{R=(5,5,0),M=(0,0,10)\}$$ de Δx=2. Résultante ?→
  • 69
    Somme d’un couple pur et d’un glisseur donne :→
  • 70
    Torseur $ $T\{R=(100,0,0),M_A=(0,0,50)\}$$ . Calculez $ $M_C$$ en C(0,1,3).→
  • 71
    Pour $ $R=(0,0,600),M=(0,120,0)$$ , existe-t-il un axe central et quel est p?→
  • 72
    Projetez $ $M=(10,0,30)$$ sur $ $R=(0,30,40)$$ .→
  • 73
    Torseur $ $\{R=(a,0,0),M=(0,a,0)\}$$ . Pour quelle a I=0 ?→
  • 74
    Torseur $ $\{R=(20,0,0),M=(0,0,10)\}$$ . Réduisez à D(0,3,4). Trouvez $ $M_D$$ .→
• Cinématique du solide (87 Exercices)
  • 1
    Un disque rigide de rayon $ $R=0.200\,\mathrm{m}$$ effectue une rotation uniforme autour de son centre O avec une vitesse angulaire $ $\omega=10.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse linéaire $ $v$$ d’un point P situé sur la circonférence, sachant que $ $v=\omega R$$ .→
  • 2
    Une tige rigide OA de longueur $ $L=0.500\,\mathrm{m}$$ tourne autour de O avec une accélération angulaire constante $ $\alpha=5.00\,\mathrm{rad/s^2}$$ partant du repos. Calculez la vitesse angulaire $ $\omega$$ au bout de $ $t=4.00\,\mathrm{s}$$ sachant que $ $\omega=\alpha t$$ .→
  • 3
    Pour la même tige OA de longueur $ $L=0.500\,\mathrm{m}$$ en rotation autour de O, calculez l’accélération linéaire tangentielle $ $a_t$$ au point A à $ $t=4.00\,\mathrm{s}$$ sachant que $ $a_t=\alpha R$$ avec $ $\alpha=5.00\,\mathrm{rad/s^2}$$ .→
  • 4
    Un solide S1 se déplace avec une translation de vitesse $ $\mathbf{V}_{O_1/S_0}=(2.00\,\mathrm{m/s})\mathbf{i}$$ et une rotation de vitesse angulaire $ $\omega=5.00\,\mathrm{rad/s}$$ autour de O1. Calculez la vitesse du point P tel que $ $\overrightarrow{O_1P}=(0.300\,\mathrm{m})\mathbf{j}$$ sachant que $ $\mathbf{V}_P=\mathbf{V}_{O_1}+\boldsymbol{\omega}\times\overrightarrow{O_1P}$$ .→
  • 5
    Un solide en rotation autour d’un axe fixe a une vitesse angulaire variable $ $\omega(t)=3.00t\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la rotation $ $\theta$$ entre $ $t=0\,\mathrm{s}$$ et $ $t=4.00\,\mathrm{s}$$ sachant que $ $\theta=\int_0^t\omega(t)\,dt$$ .→
  • 6
    Pour le même solide à rotation variable $ $\omega(t)=3.00t\,\mathrm{rad/s}$$ , calculez l’accélération angulaire $ $\alpha$$ à instant $ $t=4.00\,\mathrm{s}$$ sachant que $ $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$$ .→
  • 7
    Un solide S1 tourne autour de O1 avec $ $\omega_1=4.00\,\mathrm{rad/s}$$ et S2 tourne autour de O2 avec $ $\omega_2=2.00\,\mathrm{rad/s}$$ . En O commun, calculez la vitesse angulaire résultante $ $\omega_r$$ si les rotations sont dans le même sens sachant que $ $\omega_r=\omega_1+\omega_2$$ .→
  • 8
    Une tige OA de longueur $ $L=1.00\,\mathrm{m}$$ glisse sans rotation sur un rail horizontal à vitesse constante $ $v=2.00\,\mathrm{m/s}$$ et tourne simultanément autour de O d’une vitesse angulaire $ $\omega=1.00\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse du point A sachant que $ $\mathbf{V}_A=\mathbf{V}_O+\omega\mathbf{k}\times\overrightarrow{OA}$$ avec $ $\overrightarrow{OA}=(1.00\,\mathrm{m})\mathbf{i}$$ .→
  • 9
    Déterminez la vitesse scalaire de la projection d’un point P en mouvement circulaire de rayon $ $R=0.100\,\mathrm{m}$$ à $ $\omega=20.0\,\mathrm{rad/s}$$ à l’instant où $ $\theta=30°$$ , sachant que la vitesse ne dépend pas de $ $\theta$$ .→
  • 10
    Un solide se déplace selon la loi angulaire $ $\theta(t)=2.00t^2\,\mathrm{rad}$$ . Calculez la vitesse angulaire $ $\omega(t)$$ et l’accélération angulaire $ $\alpha(t)$$ en $ $t=3.00\,\mathrm{s}$$ sachant que $ $\omega=\frac{d\theta}{dt}$$ et $ $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$$ .→
  • 11
    Une tige rigide AB tourne autour de O avec $ $\omega=8.00\,\mathrm{rad/s}$$ et assure la translation de son centre C selon $ $v_C=1.00\,\mathrm{m/s}$$ le long de l’axe x. Calculez la vitesse du point B si $ $\overrightarrow{CB}=(0.200\,\mathrm{m})\mathbf{j}$$ .→
  • 12
    Pour une liaison pivot idéale entre S1 et S0 en O, le torseur cinématique est défini par $ $\{T_c\}=[\omega\,\mathbf{k};\mathbf{V}_O]$$ . Si $ $\omega=3.00\,\mathrm{rad/s}$$ et $ $\mathbf{V}_O=(2.00\,\mathrm{m/s})\mathbf{i}$$ , écrivez le torseur au point O.→
  • 13
    Une rotation plane fait varier les coordonnées d’un point P selon $ $x=2.00\cos(\omega t)$$ , $ $y=2.00\sin(\omega t)$$ avec $ $\omega=5.00\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse au temps $ $t=\frac{\pi}{10}\,\mathrm{s}$$ .→
  • 14
    Sur un plan, un solide effectue une translation de vecteur position $ $\overrightarrow{OP}(t)= (1.00t)\mathbf{i} + (0.500t^2)\mathbf{j}$$ . Calculez la vitesse $ $\mathbf{V}_P$$ à $ $t=2.00\,\mathrm{s}$$ sachant que $ $\mathbf{V}_P=d\overrightarrow{OP}/dt$$ .→
  • 15
    Un disque tourne à vitesse angulaire constante $\omega = 12\,\mathrm{rad/s}$ . Calculez la vitesse linéaire au bord à $r = 10\,\mathrm{cm}$ .→
  • 16
    Un solide plan effectue une rotation autour de $O$ : $\theta(t) = 3 t^2$ avec $\theta$ en rad et $t$ en s. Quelle est l’accélération angulaire à $t=2\,\mathrm{s}$ ?→
  • 17
    Un point M d’un solide a : $x_M(t) = 4 t + 2$ . Déterminez la vitesse instantanée à $t = 3\,\mathrm{s}$ .→
  • 18
    Une tige AB de longueur $L = 3\,\mathrm{m}$ pivote à la vitesse angulaire $\omega = 2\,\mathrm{rad/s}$ autour de O. Déterminez la vitesse en B.→
  • 19
    Une barre effectue une rotation autour de $O$ avec $\theta(t) = 2 t^3$ . Calculez la vitesse angulaire à $t = 1\,\mathrm{s}$ .→
  • 20
    Dans un mouvement de translation rectiligne, $x(t) = 2 t^2 + 6 t$ . Déterminez l'accélération du solide.→
  • 21
    Une roue de rayon $r = 40\,\mathrm{cm}$ roule sans glissement à $v = 5\,\mathrm{m/s}$ . Calculez sa vitesse angulaire.→
  • 22
    Un point d’un solide tourne selon $x(t) = 6\sin(2t)$ . Calculez la vitesse linéaire à $t = \pi/4\,\mathrm{s}$ .→
  • 23
    Un solide effectue une rotation uniforme : $\omega = 8\,\mathrm{rad/s}$ , $t = 5\,\mathrm{s}$ . Calculez l’angle parcouru.→
  • 24
    Un solide (régulateur) pivote autour de O avec $ω = 4\,\mathrm{rad/s}$ et $OA = 20\,\mathrm{cm}$ . Trouver la valeur de l’accélération normale en A.→
  • 25
    Un solide M a pour position : $x(t) = 10t - t^2$ . Calculez l'instant où $v_M = 0\,\mathrm{m/s}$ .→
  • 26
    Un solide en translation : $x(t) = 3t^2 + 2t$ . Quelle est la vitesse à $t = 4 s$ ?→
  • 27
    Soit un point P du solide à $r = 0.5\,\mathrm{m}$ du centre, rotation $\omega = 2\,\mathrm{rad/s}$ , calculer la vitesse à P.→
  • 28
    Dans un mouvement plan, un disque accélère selon $\alpha = 4\,\mathrm{rad/s^2}$ , initialement à $ω = 2\,\mathrm{rad/s}$ . Après $t = 3\,\mathrm{s}$ , quelle est la vitesse angulaire ?→
  • 29
    Une barre AB de $2\,\mathrm{m}$ oscille d’avant en arrière, vitesse angulaire $ω = 2.5\,\mathrm{rad/s}$ , calculer la vitesse à B.→
  • 30
    Soit $x(t) = 5 t^2 - 3 t$ , calculez l’accélération instantanée à $t = 2 s$ .→
  • 31
    Un solide évolue selon $x(t) = 7 t - 2 t^2$ . Trouvez l’instant d’arrêt.→
  • 32
    Une rotation est définie par $θ(t) = α t^2$ , $α = 0.8\,\mathrm{rad/s^2}$ , $t = 5\,\mathrm{s}$ . Calculez l’angle parcouru.→
  • 33
    Sur une piste circulaire de rayon $r = 50 \,\mathrm{m}$ , une voiture circule à 36\,\mathrm{km/h}. Trouver la vitesse angulaire.→
  • 34
    Un solide, initialement immobile, reçoit une accélération angulaire $α = 5\,\mathrm{rad/s^2}$ pendant $t = 6\,\mathrm{s}$ . Quelle est la vitesse angulaire finale ?→
  • 35
    Un axe effectue une rotation uniforme $ω = 3\,\mathrm{rad/s}$ pendant $t = 8$ s. Trouvez l’angle parcouru.→
  • 36
    Un disque accélère de façon constante $α = 2.0\,\mathrm{rad/s^2}$ de $t = 0$ à $t = 4\,\mathrm{s}$ . Quelle est la distance parcourue sur le bord ( $r = 0.3\,\mathrm{m}$ )?→
  • 37
    Un point M se déplace selon l’équation vectorielle $ $\vec{r}(t)=3t^2\,\mathrm{m}\,\mathbf{i}+4t\,\mathrm{m}\,\mathbf{j}$$ . Calculez la norme de sa vitesse à $ $t=2\,\mathrm{s}$$ (en $ $\mathrm{m/s}$$ ).→
  • 38
    Une tige AB de longueur $ $L=0.4\,\mathrm{m}$$ est pivotée en A et tourne selon $ $\theta(t)=0.1\,t^2\,\mathrm{rad}$$ . Calculez la vitesse linéaire de B à $ $t=3\,\mathrm{s}$$ .→
  • 39
    Pour la tige pivotée précédente, calculez l’accélération de B à $ $t=3\,\mathrm{s}$$ en m/s² en tenant compte des composantes radiale et tangentielle.→
  • 40
    Une roue de rayon $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement à $ $v=2\,\mathrm{m/s}$$ . Calculez sa vitesse angulaire $ $\omega$$ (en rad/s).→
  • 41
    Pour la roue précédente, calculez la vitesse du point au sommet supérieur de la roue (en m/s).→
  • 42
    Un point M décrit un cercle de rayon $ $0.2\,\mathrm{m}$$ avec $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ et $ $\alpha=5\,\mathrm{rad/s^2}$$ . Calculez l’accélération tangentielle de M (en m/s²).→
  • 43
    Calculez l’accélération radiale (centripète) de M à $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ et $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ (en m/s²).→
  • 44
    Un mobile a pour équation paramétrique $ $x(t)=t^3\,\mathrm{m},\quad y(t)=\sin(2t)\,\mathrm{m}$$ . Calculez l’accélération instantanée à $ $t=1\,\mathrm{s}$$ sous forme vectorielle.→
  • 45
    Une tige de longueur $ $0.2\,\mathrm{m}$$ tourne à vitesse angulaire constante $ $\omega=5\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez l’accélération radiale au point B.→
  • 46
    Pour la même tige, calculez l’accélération tangentielle si $ $\alpha=4\,\mathrm{rad/s^2}$$ .→
  • 47
    Un solide se déplace selon $ $s(t)=5t^2\,\mathrm{m}$$ en translation. Calculez sa vitesse à $ $t=4\,\mathrm{s}$$ .→
  • 48
    Une particule suit $ $s(t)=t^3\,\mathrm{m}$$ . Calculez sa vitesse moyenne entre $ $t=1\,\mathrm{s}$$ et $ $t=2\,\mathrm{s}$$ (en m/s).→
  • 49
    Une tige tourne d’un angle $ $\Delta\theta=\pi/2\,\mathrm{rad}$$ avec $ $\alpha=2\,\mathrm{rad/s^2}$$ . Calculez le temps nécessaire pour atteindre cet angle.→
  • 50
    Un solide a les composantes de position $ $x(t)=5t\,\mathrm{m},\quad y(t)=2t^2\,\mathrm{m}$$ . Calculez son accélération (en m/s²).→
  • 51
    Une tige pivotée tourne à $ $\omega=2\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse linéaire du point situé à $ $0.5\,\mathrm{m}$$ du pivot.→
  • 52
    Un solide glisse en rotation pure selon $ $\theta=3t\,\mathrm{rad}$$ . Calculez la vitesse angulaire constante.→
  • 53
    Pour $ $\theta(t)=\sin t\,\mathrm{rad}$$ , calculez l’expression de l’accélération angulaire $ $\alpha(t)$$ .→
  • 54
    Un point décrit $ $r(t)=4\cos(3t)\,\mathbf{i}+4\sin(3t)\,\mathbf{j}$$ . Calculez les vitesses angulaire et linéaire du mouvement.→
  • 55
    Calculez l’accélération totale (centripète + tangentielle) d’un point pour $ $R=0.2\,\mathrm{m},\ \omega=10\,\mathrm{rad/s},\ \alpha=-5\,\mathrm{rad/s^2}$$ .→
  • 56
    Un solide a pour position $ $x(t)=2\cos t,\ y(t)=2\sin t$$ . Quelle est la norme de son accélération ?→
  • 57
    Un point M suit $ $\vec{r}(t)=(t^2)\,\mathbf{i}+(t^3)\,\mathbf{j}$$ . Calculez sa vitesse linéaire à $ $t=2\,\mathrm{s}$$ .→
  • 58
    Une tige de longueur 1 m est pivotée et glisse; en A translation à $ $v_A=2\,\mathrm{m/s}$$ et $ $\omega=3\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse de B (en m/s).→
  • 59
    Un solide indéformable effectue une translation rectiligne avec une vitesse constante de $ $\mathbf{v} = 2\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ . Calculer la vitesse du point A situé aux coordonnées $ $x=1\,\mathrm{m},\ y=2\,\mathrm{m}$$ dans le référentiel fixe.→
  • 60
    Un disque rigide tourne autour de son centre O avec une vitesse angulaire $ $\omega = 5\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Calculer la vitesse du point B situé à $ $r=0.2\,\mathrm{m}$$ du centre.→
  • 61
    Un solide effectue une rotation non uniforme autour d’un axe fixe avec $ $\omega(t)=2t\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Calculer l’accélération angulaire à l’instant $ $t=3\,\mathrm{s}$$ .→
  • 62
    Un bâton rigide de longueur $ $L=1.5\,\mathrm{m}$$ pivoté en O tourne avec $ $\omega=4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ et $ $\alpha=2\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}$$ . Calculer l’accélération totale du point A à l’extrémité.→
  • 63
    Un solide subit une translation $ $\mathbf{v}_0= [1,2,0]\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ et une rotation $ $\mathbf{\omega}=[0,0,3]\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Quelle est la vitesse du point P de coordonnées $ $[0,0,1]\,\mathrm{m}$$ ?→
  • 64
    Un point M décrit un mouvement circulaire de rayon $ $R=0.300\,\mathrm{m}$$ avec une vitesse angulaire $ $\omega=20.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez l’accélération normale $ $a_n$$ sachant que $ $a_n=\omega^2 R$$ .→
  • 65
    Un disque tourne au ralenti avec une accélération angulaire $ $\alpha=8.00\,\mathrm{rad/s^2}$$ . Calculez la composante tangentielle de l’accélération $ $a_t$$ pour un point P situé à $ $R=0.150\,\mathrm{m}$$ du centre, sachant que $ $a_t=\alpha R$$ .→
  • 66
    Sur un plan, un point P suit la trajectoire $ $x(t)=2.00\,t^3\quad\text{et}\quad y(t)=3.00\,t^2$$ en mètres. Calculez la norme de la vitesse $ $V$$ et de l’accélération $ $a$$ instantanées à $ $t=1.00\,\mathrm{s}$$ .→
  • 67
    Une bielle-manivelle est constituée d’un maneton de longueur $ $R=0.100\,\mathrm{m}$$ tournant à $ $\omega=10.0\,\mathrm{rad/s}$$ . En approximation, la vitesse du piston Vp vaut $ $V_p=\omega R\cos\theta$$ . Calculez $ $V_p$$ pour $ $\theta=30°$$ .→
  • 68
    Un solide est en rotation avec $ $\omega=6.00\,\mathrm{rad/s}$$ autour d’un axe fixe et glisse selon $ $\mathbf{V}_O=(1.00\,\mathrm{m/s})\mathbf{i}$$ . Pour un point B tel que $ $\overrightarrow{OB}=(0.200\,\mathrm{m})\mathbf{j}$$ , calculez $ $\mathbf{V}_B$$ sachant que $ $\mathbf{V}_B=\mathbf{V}_O+\boldsymbol{\omega}\times\overrightarrow{OB}$$ .→
  • 69
    Une plaque rectangulaire glisse horizontalement. Sa position est donnée par $x(t) = 6 t + 2$ , $y(t) = 5 t^2$ . Calculez la vitesse totale à $t = 4\,\mathrm{s}$ .→
  • 70
    Un solide pivote autour de O selon $θ(t) = 2 t + 0.5 t^2$ . Calculez la vitesse angulaire à $t = 3\,\mathrm{s}$ .→
  • 71
    Une roue de vélo accélère : $ω_0 = 1\,\mathrm{rad/s}$ , $α = 2\,\mathrm{rad/s^2}$ . Quelle vitesse angulaire après $t = 5\,\mathrm{s}$ ?→
  • 72
    Sur une barre oscillante AB de $L=1.2\,\mathrm{m}$ , $ω = 7\,\mathrm{rad/s}$ , calculez la vitesse du point B.→
  • 73
    Un solide a pour position : $x(t) = 7 t^2 - 2 t$ . Quelle est sa vitesse à $t = 2\,\mathrm{s}$ ?→
  • 74
    Un disque pivote autour de $O$ avec $ω(t) = 3 t$ . Calculez la vitesse angulaire à $t = 5\,\mathrm{s}$ .→
  • 75
    Dans un mouvement plan, la position est donnée par $x(t) = 2 t^2 + 5$ , $y(t) = 4 t + 3$ . Déterminez la vitesse totale au temps $t = 2\,\mathrm{s}$ .→
  • 76
    Un solide effectue un mouvement circulaire avec accélération angulaire $\alpha = 1.5\,\mathrm{rad/s^2}$ . Trouver la vitesse angulaire après $t = 8\,\mathrm{s}$ , initialement à $\omega_0 = 2\,\mathrm{rad/s}$ .→
  • 77
    Une voiture roule selon $x(t) = 12 t - t^2$ . Déterminez l’instant où elle est à l’arrêt.→
  • 78
    Un solide a pour accéleration $a = 3\,\mathrm{m/s^2}$ , il part avec $v_0 = 2\,\mathrm{m/s}$ du point $x_0 = 0$ . Trouver la position à $t = 4\,\mathrm{s}$ .→
  • 79
    Un disque de $r=0.15\,\mathrm{m}$ roule à $v=3\,\mathrm{m/s}$ . Quelle est la vitesse angulaire ?→
  • 80
    Dans un mouvement rectiligne, $v_0 = 12\,\mathrm{m/s}$ , $a = -3\,\mathrm{m/s^2}$ . Combien de temps pour s’arrêter ?→
  • 81
    Un point a la position $x(t) = 2 t^3 + 5 t$ . Quelle est la vitesse à $t = 2\,\mathrm{s}$ ?→
  • 82
    Un mouvement circulaire de rayon $0.2\,\mathrm{m}$ , accélération angulaire $\alpha=1\,\mathrm{rad/s^2}$ , calculez l’accélération linéaire tangentielle.→
  • 83
    Un solide tourne $ω = 6\,\mathrm{rad/s}$ , $α = 3\,\mathrm{rad/s^2}$ , calculer son angle après $t = 2\,\mathrm{s}$ .→
  • 84
    Un mobile a $v_0 = 3\,m/s$ , $a=4\,m/s^2$ , quelle position après $t = 2\,s$ ?→
  • 85
    Un solide indéformable effectue une translation rectiligne avec $ $\mathbf{v}=3\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$$ . Quelle est la vitesse du point A situé en $ $A(2,5)\,\mathrm{m}$$ ?→
  • 86
    Un disque rigide tourne autour de son centre O avec $ $\omega=5\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Calculer la vitesse du point B à $ $r=0.2\,\mathrm{m}$$ .→
  • 87
    Un solide tourne avec $ $\omega(t)=2\,t\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ . Quelle est l’accélération angulaire à $ $t=3\,\mathrm{s}$$ ?→
• Cinétique du solide (53 Exercices)
  • 1
    Un cylindre plein homogène de masse m = 3\,\mathrm{kg} et de rayon R = 0.5\,\mathrm{m} tourne autour de son axe à vitesse angulaire \omega = 10\,\mathrm{rad/s}. Calculez le torseur cinétique en G.→
  • 2
    Un solide se déplace en translation à V = (2,0,0)\,\mathrm{m/s} et tourne autour d’un axe z avec \omega = 4\,\mathrm{rad/s}. Sa masse est m = 2\,\mathrm{kg} et son moment d’inertie autour de z est I_z = 1\,\mathrm{kg\cdot m^2}. Calculez le torseur cinétique en O.→
  • 3
    On donne un torseur cinétique en A: R=(0,5,0)\,\mathrm{kg\cdot m/s}, M_A=(0,0,10)\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}. Calculez la réduction de ce torseur en B(1,0,0).→
  • 4
    Calculez l’invariant scalaire du torseur cinétique R=(1,2,3), M_O=(4,5,6).→
  • 5
    Un solide est en rotation pure: torseur cinématique {\Omega,0} en K. Calculez le torseur cinétique si la masse est m et le tenseur d’inertie en K est I_K.→
  • 6
    Une plaque tourne et se traduit: torseur cinématique en P = {\Omega=(0,0,\omega), V=(v,0,0)}. Masse m, I_P inertie. Exprimez R et M_P.→
  • 7
    Pour un solide en rotation autour de z et translation selon x, torseur cinématique {\Omega=(0,0,\omega), V=(v,0,0)}. Calculez l’énergie cinétique totale.→
  • 8
    Appliquez le théorème du moment cinétique en O: \frac{dM_O}{dt} = \sum M_{ext}(O). Quel solide pour lequel \sum M_{ext}(O)=0 était en équilibre de rotation?→
  • 9
    Un solide décrit un mouvement général. Son torseur cinématique en A est {\Omega, V(A)} et cinétique {R, M_A}. Exprimez la puissance cinétique P.→
  • 10
    Deux solides S1 et S2 s’assemblent. Torseurs cinématiques: Tc(S1) et Tc(S2). Montrez que Tc(E) = Tc(S1)+Tc(S2). Quel résultat obtient-on pour\Omega et V(P)?→
  • 11
    Une tige glisse et tourne: torseur cinématique en C: {\Omega=(0,0,\omega), V(C)=(v,0,0)}. Calculez le moment cinétique en C si m=4\,\mathrm{kg}, I_C=2\,\mathrm{kg\cdot m^2}.→
  • 12
    Un solide S glisse sans rotation: torseur cinématique = {0, V}. Quel est son torseur cinétique en P si m=6\,\mathrm{kg}, V=(3,0,0)?→
  • 13
    Calculez la puissance cinétique pour un solide en translation V et rotation \Omega, sachant que R et M_P sont connus.→
  • 14
    Deux torseurs cinétiques sont T1{R1=(1,2,0),M1=(0,0,3)} et T2{R2=(0,1,2),M2=(3,0,0)}. Calculez leur somme.→
  • 15
    Un solide tourne autour de z et glisse en x: torseur cinématique K{\Omega=(0,0,\omega), V=(v,0,0)}. Masse m, I_K. Quel est le tenseur d’inertie effectif (J_eff) pour moment cinétique L_z?→
  • 16
    Une sphère creuse de masse m=2\,\mathrm{kg} et de rayon R=0.5\,\mathrm{m} tourne autour d’un axe passant par son centre à \omega=8\,\mathrm{rad/s}. Calculez E_c.→
  • 17
    Un solide S de masse $ $m=3.0\,\mathrm{kg}$$ se déplace en translation rectiligne sur l’axe Ox avec la vitesse $ $v=4.0\,\mathrm{m/s}$$ . Calculer son énergie cinétique.→
  • 18
    Une lame fine tourne autour d’un axe fixe Oz avec une vitesse angulaire $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ et possède un moment d’inertie $ $I_O=0.2\,\mathrm{kg\,m^2}$$ . Déterminer son énergie cinétique de rotation.→
  • 19
    Une tige homogène de masse $ $m=4.0\,\mathrm{kg}$$ et longueur $ $L=2.0\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre avec $ $\omega=5.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Moment d’inertie de la tige : $ $I_G=\tfrac{1}{12}mL^2$$ . Calculer l’énergie cinétique.→
  • 20
    Un solide se déplace en rotation autour d’un point O avec moment cinétique $ $\mathbf{L_O}=(0,0,50)\,\mathrm{kg\,m^2/s}$$ . Calculer la vitesse angulaire si le moment d’inertie autour de Oz est $ $I_z=2.0\,\mathrm{kg\,m^2}$$ .→
  • 21
    Un point matériel de masse $ $m=0.5\,\mathrm{kg}$$ décrit un cercle de rayon $ $r=0.4\,\mathrm{m}$$ à la vitesse angulaire $ $\omega=12\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculer son moment cinétique autour du centre.→
  • 22
    Une masse ponctuelle $ $m=1.0\,\mathrm{kg}$$ file sur une trajectoire hélicoïdale combinant rotation autour de Oz à $ $\omega=6\,\mathrm{rad/s}$$ et translation à $ $v=2\,\mathrm{m/s}$$ . Rayon r=0.5 m. Calculer l’énergie cinétique totale.→
  • 23
    Une poulie de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=2.0\,\mathrm{kg}$$ est reliée à un solide en translation. Roule sans glisser avec $ $\omega=8\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculer l’énergie cinétique du système (poulie + solide de masse 3 kg se déplaçant à $ $v=1.6\,\mathrm{m/s}$$ ).→
  • 24
    Un cylindre plein de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.1\,\mathrm{m}$$ roule sans glisser à la vitesse de translation $ $v=5\,\mathrm{m/s}$$ . Calculez son énergie cinétique totale $ $E_c$$ .→
  • 25
    Calculez le moment d’inertie $ $I_G$$ d’une sphère pleine homogène de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ autour d’un diamètre.→
  • 26
    Pour une tige homogène de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ , calculez son moment d’inertie autour d’un axe perpendiculaire passant par une extrémité.→
  • 27
    Une sphère de masse $ $m=1\,\mathrm{kg}$$ se déplace en translation pure à $ $v=3\,\mathrm{m/s}$$ . Quelle est son énergie cinétique ?→
  • 28
    Une jante annulaire de masse $ $m=0.5\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ tourne à $ $\omega=20\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez son énergie cinétique de rotation.→
  • 29
    Une roue de masse $ $m=10\,\mathrm{kg}$$ , $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ roule sans glisser à $ $v=4\,\mathrm{m/s}$$ . Calculez son énergie cinétique totale.→
  • 30
    Un solide tourne autour d’un axe fixe passant par O à $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la vitesse du point M à $ $OM=0.2\,\mathrm{m}$$ .→
  • 31
    Un disque tourne à $ $\omega=15\,\mathrm{rad/s}$$ avec une accélération angulaire $ $\alpha=5\,\mathrm{rad/s^2}$$ . Calculez l’accélération tangentielle de M à $ $r=0.1\,\mathrm{m}$$ .→
  • 32
    Une barre tourne et se déplace de telle sorte que son centre G a $ $v_G=3\,\mathrm{m/s}$$ et la barre tourne à $ $\omega=4\,\mathrm{rad/s}$$ autour de G. Sa masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et $ $I_G=0.1\,\mathrm{kg·m^2}$$ . Calculez son énergie cinétique.→
  • 33
    Calculez le moment cinétique $ $\mathbf{L}_O$$ d’un disque plein de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ , $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ tournant à $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ autour de son axe en O.→
  • 34
    Plaque plane homogène $ $a=0.5\,\mathrm{m}, b=0.3\,\mathrm{m}, m=2\,\mathrm{kg}$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre à $ $\omega=8\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez $ $E_c$$ .→
  • 35
    Déterminez la valeur du moment d’inertie autour de l’axe longitudinal d’un cylindre plein de $ $m=5\,\mathrm{kg}, R=0.2\,\mathrm{m}, h=1\,\mathrm{m}$$ .→
  • 36
    Une force $ $F=20\,\mathrm{N}$$ agit au sommet d’une roue de $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ , faisant tourner la roue d’un angle $ $\theta=\pi/2$$ . Calculez l’énergie cinétique acquise.→
  • 37
    Une roue roule sans glisser à $ $v=6\,\mathrm{m/s}$$ . Calculez la vitesse angulaire $ $\omega$$ si $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ .→
  • 38
    Un solide en mouvement plan a $ $v_A=2\,\mathrm{m/s}$$ vers la droite en A et $ $v_B=2\,\mathrm{m/s}$$ vers le haut en B, AB perpendiculaire. Où se trouve le centre instantané de rotation ?→
  • 39
    Deux masses ponctuelles $ $m_1=1\,\mathrm{kg}, m_2=2\,\mathrm{kg}$$ reliées par tige légère tournent à $ $\omega=5\,\mathrm{rad/s}$$ à $ $r_1=0.2\,\mathrm{m}, r_2=0.4\,\mathrm{m}$$ . Calculez $ $E_c$$ .→
  • 40
    Une sphère pleine roule sans glisser sur un plan avec une vitesse de translation $ $v=4\,\mathrm{m/s}$$ . Sa masse est $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et son rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ . Calculez son énergie cinétique totale.→
  • 41
    Un anneau mince de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ se déplace avec $ $V=(0,2,0)\,\mathrm{m/s}$$ et tourne autour de son axe à $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez son torseur cinétique en O.→
  • 42
    Un cylindre de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ accélère uniformément de $ $\omega=0$$ à $ $\omega=8\,\mathrm{rad/s}$$ en $ $4\,\mathrm{s}$$ . Calculez la puissance moyenne fournie.→
  • 43
    Une tige homogène AB de longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ pivote autour de A. La vitesse angulaire varie selon $ $\omega(t)=t$$ rad/s. À $ $t=2\,\mathrm{s}$$ , calculez l’énergie cinétique.→
  • 44
    Un système comprend un disque plein (m_1=2\,\mathrm{kg},R_1=0.2\,\mathrm{m}) et un anneau (m_2=3\,\mathrm{kg},R_2=0.3\,\mathrm{m}) solidaires en rotation à \omega=5\,\mathrm{rad/s}. Calculez l’énergie cinétique totale.→
  • 45
    Un cylindre massif de rayon $ $R = 0.25\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m = 5.0\,\mathrm{kg}$$ roule sans glisser sur un plan horizontal à la vitesse $ $v = 3.0\,\mathrm{m/s}$$ . Calculer la fraction de l’énergie cinétique due à la rotation.→
  • 46
    Une coquille sphérique mince de masse $ $m = 2.0\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R = 0.20\,\mathrm{m}$$ roule sans glisser à la même vitesse de $ $v = 4.0\,\mathrm{m/s}$$ . Calculer la fraction de l’énergie cinétique due à la rotation (moment d’inertie $ $I = \tfrac23 mR^2$$ ).→
  • 47
    Une barre homogène de longueur $ $L=1.0\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=3.0\,\mathrm{kg}$$ , pivotée en O, est lâchée à l’horizontale. Calculer sa vitesse angulaire après avoir gagné une énergie potentielle de $ $E_p = 10.0\,\mathrm{J}$$ (moment d’inertie $ $I_O=\tfrac{1}{3}mL^2$$ ).→
  • 48
    Un disque de masse $ $m=4.0\,\mathrm{kg}$$ et rayon $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ tourne avec une accélération angulaire $ $\alpha=2.0\,\mathrm{rad/s^2}$$ . Calculer le couple moteur nécessaire (moment d’inertie $ $I=\tfrac12mR^2$$ ).→
  • 49
    Un solide a un moment cinétique initial $ $L_0 = 50\,\mathrm{kg\,m^2/s}$$ et subit un couple constant de $ $M = 5.0\,\mathrm{N·m}$$ . Calculer le temps nécessaire pour annuler son moment cinétique.→
  • 50
    Un gyroscope est soumis à un poids $ $P = 2.0\,\mathrm{N}$$ à bras de levier $ $d = 0.3\,\mathrm{m}$$ , son moment cinétique vaut $ $L = 10.0\,\mathrm{kg·m^2/s}$$ . Calculer sa vitesse de précession $ $\Omega$$ .→
  • 51
    Deux masses ponctuelles $ $m_1=2.0\,\mathrm{kg}$$ à $ $r_1=0.5\,\mathrm{m}$$ et $ $m_2=3.0\,\mathrm{kg}$$ à $ $r_2=0.8\,\mathrm{m}$$ tournent à la même $ $\omega=4.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculer le moment cinétique total.→
  • 52
    Un solide subit une accélération angulaire $ $\alpha(t)=2t\,\mathrm{rad/s^2}$$ et a $ $I=3.0\,\mathrm{kg·m^2}$$ . Calculer le moment cinétique à $ $t=2.0\,\mathrm{s}$$ si $ $L(0)=0$$ .→
  • 53
    Une roue de masse $ $m=6.0\,\mathrm{kg}$$ et rayon $ $R=0.4\,\mathrm{m}$$ possède un rotor additionnel de moment d’inertie $ $I_r=0.2\,\mathrm{kg·m^2}$$ fixé en son centre. Roue + rotor tournent à $ $\omega=10.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculer l’énergie cinétique totale.→
• Dynamique du solide (77 Exercices)
  • 1
    Un disque homogène de masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ est soumis à un couple constant $ $C=10\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculez son accélération angulaire $ $\alpha$$ .→
  • 2
    Une tige uniforme pivotée en A subit une force perpendiculaire $ $F=20\,\mathrm{N}$$ en B à l’extrémité, longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ , masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ . Calculez l’accélération angulaire initiale $ $\alpha$$ .→
  • 3
    Un cylindre solide de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $r=0.1\,\mathrm{m}$$ reçoit un couple $ $C(t)=5t\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Quel est le moment cinétique $ $L(t)$$ à $ $t=2\,\mathrm{s}$$ ?→
  • 4
    Une roue de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=6\,\mathrm{kg}$$ roule sans glisser sous l’action d’une force de traction $ $F=30\,\mathrm{N}$$ . Trouvez l’accélération de son centre→
  • 5
    Une barre AB pivotée en A est soumise à un couple de frottement constant $ $C_f=2\,\mathrm{N·m}$$ . Pour $ $L=1.5\,\mathrm{m}$$ et $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ , calculez l’accélération angulaire de la barre.→
  • 6
    Une rondelle de masse négligeable entraine un solide de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ par friction dans un mouvement circulaire. La tension dans le fil est $ $T=20\,\mathrm{N}$$ enroulé sur le cylindre de rayon $ $r=0.05\,\mathrm{m}$$ . Calculez $ $\alpha$$ .→
  • 7
    Un solide plan de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ subit un moment dynamique $ $M_d=15\,\mathrm{N·m}$$ . Déterminez $ $\alpha$$ si $ $I=0.5\,\mathrm{kg·m^2}$$ .→
  • 8
    Un cylindre plein de rayon $ $R=0.4\,\mathrm{m}$$ est soumis à un couple de freinage $ $C_f=8\,\mathrm{N·m}$$ . Masse $ $m=10\,\mathrm{kg}$$ . Calculez l’accélération angulaire due au frein.→
  • 9
    Une plaque rectangulaire pivotée en O subit un couple variable $ $C(t)=4+2t$$ . Moment d’inertie $ $I=2\,\mathrm{kg·m^2}$$ . Calculez $ $ω(t)$$ si $ $ω(0)=0$$ .→
  • 10
    Un solide de masse $ $m=7\,\mathrm{kg}$$ subit une force $ $F=21\,\mathrm{N}$$ appliquée à $ $d=0.5\,\mathrm{m}$$ du pivot. Moment d’inertie $ $I=1.75\,\mathrm{kg·m^2}$$ . Calculez $ $α$$ .→
  • 11
    Une roue de moteur de masse $ $m=8\,\mathrm{kg}$$ et $ $R=0.25\,\mathrm{m}$$ a $ $I=0.25\,\mathrm{kg·m^2}$$ . Un frein produit un couple $ $C_f=5\,\mathrm{N·m}$$ . Calculez le temps d’arrêt начиная de $ $ω_0=20\,\mathrm{rad/s}$$ .→
  • 12
    Un point matériel de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ est fixé sur un disque de rayon $ $R=0.1\,\mathrm{m}$$ tournant à $ $ω=50\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez l’effort centrifuge.→
  • 13
    Un solide subit un moment dynamique $ $M_d=I\alpha$$ . Si $ $I=3\,\mathrm{kg·m^2}$$ et $ $\alpha=4\,\mathrm{rad/s^2}$$ , calculez $ $M_d$$ .→
  • 14
    Une plaque rectangulaire subit une force $ $F=40\,\mathrm{N}$$ à $ $d=0.2\,\mathrm{m}$$ du centre. Quel moment dynamique $ $M_d$$ autour du centre ?→
  • 15
    Un solide oscillant a un moment d’inertie $ $I=1.5\,\mathrm{kg·m^2}$$ et un couple de rappel $ $C=-5θ$$ . Calculez la pulsation propre $ $ω_0$$ .→
  • 16
    Une poulie de rayon $ $r=0.1\,\mathrm{m}$$ de masse négligeable entraîne une masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ par un fil tendu verticalement. Calculer l’accélération de la masse.→
  • 17
    Une tige de masse $ $m=1\,\mathrm{kg}$$ et longueur $ $L=1\,\mathrm{m}$$ pivote autour de son extrémité avec couple initial $ $C=3\,\mathrm{N·m}$$ . Calculer $ $\alpha$$ .→
  • 18
    Un solide roule sans glisser sur un plan incliné sous $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ , $ $θ=30°$$ . Calculer $ $a$$ du centre.→
  • 19
    Une barre AB subit une force $ $F=50\,\mathrm{N}$$ à milieu. Masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ , $ $L=2\,\mathrm{m}$$ . Déterminez $ $α$$ .→
  • 20
    Un solide mobile a $ $v_0=0$$ , $ $a=2\,\mathrm{m/s^2}$$ . Combien de tour produit-il en $ $t=4\,\mathrm{s}$$ sur un disque de $ $r=0.5\,\mathrm{m}$$ ?→
  • 21
    Une tige homogène de masse $ $m=2.0\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=1.0\,\mathrm{m}$$ est pivotée en O. On lui applique un couple $ $C=5.0\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculez l’accélération angulaire $ $\alpha$$ (en $ $\mathrm{rad/s^2}$$ ) autour de O.→
  • 22
    Une roue de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $M=5.0\,\mathrm{kg}$$ tourne librement sur un axe horizontal. Calculez le moment d’inertie $ $I$$ de la roue (en $ $\mathrm{kg\cdot m^2}$$ ).→
  • 23
    Un solide de masse $ $m=1.0\,\mathrm{kg}$$ glisse sans frottement sur un plan incliné à $ $30^\circ$$ . Calculez son accélération $ $a$$ (en $ $\mathrm{m/s^2}$$ ).→
  • 24
    Une masselotte de masse $ $m=0.5\,\mathrm{kg}$$ attachée à un bras rigide horizontal de longueur $ $L=0.2\,\mathrm{m}$$ tourne à vitesse angulaire $ $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez la force centrifuge exercée sur la masselotte (en $ $\mathrm{N}$$ ).→
  • 25
    Un cylindre plein descend sans glisser sur un plan incliné de $ $30^\circ$$ . Calculez son accélération $ $a$$ (en $ $\mathrm{m/s^2}$$ ).→
  • 26
    Un solide subit un choc impulsionnel, recevant une impulsion $ $J=20.0\,\mathrm{N\cdot s}$$ . Quel est le changement de quantité de mouvement $ $\Delta p$$ du solide (en $ $\mathrm{kg\cdot m/s}$$ ) ?→
  • 27
    Une plaque rectangulaire homogène de masse $ $m=3.0\,\mathrm{kg}$$ , largeur $ $b=0.5\,\mathrm{m}$$ et hauteur $ $h=1.0\,\mathrm{m}$$ , tourne autour d’un axe vertical passant par son centre. Calculez son moment d’inertie $ $I$$ (en $ $\mathrm{kg\cdot m^2}$$ ).→
  • 28
    Un solide rigide tourne autour d’un axe fixe avec vitesse angulaire $ $\omega=8.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Si son moment d’inertie est $ $I=0.75\,\mathrm{kg\cdot m^2}$$ , quelle est son énergie cinétique de rotation $ $E_c$$ (en $ $\mathrm{J}$$ ) ?→
  • 29
    Un solide glisse avec frottement coefficient $ $\mu=0.2$$ sur un plan incliné à $ $45^\circ$$ . Calculez l’accélération $ $a$$ (en $ $\mathrm{m/s^2}$$ ).→
  • 30
    Une barre uniforme de masse $ $m=4.0\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=2.0\,\mathrm{m}$$ , pivotée en O, est relâchée de l’horizontale. Calculez sa vitesse angulaire $ $\omega$$ lorsqu’elle passe par la verticale.→
  • 31
    Un solide subit un moment dynamique constant $ $M=2.0\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Sachant son moment d’inertie $ $I=0.5\,\mathrm{kg\cdot m^2}$$ , calculez l’énergie cinétique acquise après un rotation de $ $\Delta\theta=\pi/2\,\mathrm{rad}$$ .→
  • 32
    Un châssis de masse $ $M=1000\,\mathrm{kg}$$ est accéléré horizontalement avec une force constante $ $F=5000\,\mathrm{N}$$ . Calculez l’accélération $ $a$$ (en $ $\mathrm{m/s^2}$$ ).→
  • 33
    Une barre de longueur $ $L=1.2\,\mathrm{m}$$ et masse $ $m=3.0\,\mathrm{kg}$$ roule sans glisser sur un cylindre de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ . Calculez son accélération $ $a$$ (en $ $\mathrm{m/s^2}$$ ).→
  • 34
    Un solide en rotation subit un couple variable $ $C(t)=4t\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Si $ $I=1.0\,\mathrm{kg\cdot m^2}$$ et condition initiale $ $\omega(0)=0$$ , calculez $ $\omega(2)$$ (en $ $\mathrm{rad/s}$$ ).→
  • 35
    Une masse $ $m=2.0\,\mathrm{kg}$$ attachée à un ressort de raideur $ $k=100\,\mathrm{N/m}$$ oscille sans amortissement. Calculez la période $ $T$$ (en $ $\mathrm{s}$$ ).→
  • 36
    Un solide de masse $ $m=1.0\,\mathrm{kg}$$ relié par deux ressorts identiques $ $k=50\,\mathrm{N/m}$$ en série oscille. Calculez la raideur équivalente $ $k_{eq}$$ (en $ $\mathrm{N/m}$$ ).→
  • 37
    Une plaque fine tourne autour d’un axe passant par son bord avec $ $\omega=5.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Masse $ $m=2.0\,\mathrm{kg}$$ largeur $ $b=0.2\,\mathrm{m}$$ . Calculez son moment d’inertie $ $I$$ (en $ $\mathrm{kg\cdot m^2}$$ ).→
  • 38
    Une tige de masse $ $m=1.5\,\mathrm{kg}$$ et longueur $ $L=1.0\,\mathrm{m}$$ subit un choc et acquiert une vitesse angulaire $ $\omega=4.0\,\mathrm{rad/s}$$ . Calculez son énergie cinétique (en $ $\mathrm{J}$$ ).→
  • 39
    Un solide est lancé sur un plan horizontal avec vitesse initiale $ $v_0=3.0\,\mathrm{m/s}$$ et coefficient de frottement $ $\mu=0.4$$ . Calculez la distance d’arrêt $ $d$$ (en $ $\mathrm{m}$$ ).→
  • 40
    Un solide de masse $ $m=10\,\mathrm{kg}$$ subit une force résultante $ $\mathbf{F}=20\,\mathbf{i}+30\,\mathbf{j}\,\mathrm{N}$$ . Calculer l’accélération de son centre d’inertie $ $G$$ .→
  • 41
    Un solide rigide a un moment d’inertie autour de G de $ $I_G=2\,\mathrm{kg\cdot m^2}$$ et subit un moment résultant $ $M=10\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer l’accélération angulaire $ $\alpha$$ .→
  • 42
    Une barre pivotée en O de longueur $ $L=1.5\,\mathrm{m}$$ tourne avec $ $\omega=4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$$ et $ $\alpha=2\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}$$ . Calculer l’accélération totale du point A à l’extrémité.→
  • 43
    Un disque homogène de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.5\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement sur un plan incliné à $ $30^\circ$$ . Calculer l’accélération de son centre d’inertie.→
  • 44
    Une barre homogène de longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ pivotée en O est lâchée à partir de l’horizontale. Calculer sa vitesse angulaire lorsqu’elle passe à la verticale.→
  • 45
    Un cercle plein de rayon $ $R=0.1\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ subit une accélération angulaire $ $\alpha=20\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}$$ . Calculer le moment dynamique autour de l’axe central.→
  • 46
    Une sphère homogène de masse $ $m=6\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ roule sans glissement sur un plan incliné à $ $20^\circ$$ . Déterminer l’accélération de son centre d’inertie.→
  • 47
    Un cylindre de masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.1\,\mathrm{m}$$ est entraîné par une force tangentielle $ $F=10\,\mathrm{N}$$ appliquée à la circonférence sans glissement. Déterminer l’accélération de son centre et son accélération angulaire.→
  • 48
    Une tige de masse $ $m=1.2\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=0.5\,\mathrm{m}$$ pivotée en un bout effectue de petites oscillations. Déterminer sa période $ $T$$ .→
  • 49
    Une barre mince pivotée en son centre a un moment d’inertie $ $I=1.2\,\mathrm{kg\cdot m^2}$$ . Un moment de frottement constant $ $M_f=4\,\mathrm{N\cdot m}$$ s’oppose au mouvement. Déterminer l’accélération angulaire de ralentissement.→
  • 50
    Un anneau mince de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ subit un moment $ $M=6\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer l’accélération angulaire.→
  • 51
    Un cylindre creux de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ , de rayon intérieur $ $R_i=0.1\,\mathrm{m}$$ et extérieur $ $R_e=0.2\,\mathrm{m}$$ , subit un moment $ $M=8\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer l’accélération angulaire.→
  • 52
    Un disque plein de masse $ $m=8\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.4\,\mathrm{m}$$ subit un moment moteur $ $M=16\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer l’accélération angulaire.→
  • 53
    Une sphère solide de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.2\,\mathrm{m}$$ subit un moment $ $M=4\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer son accélération angulaire.→
  • 54
    Une barre mince homogène de masse $ $m=4\,\mathrm{kg}$$ et de longueur $ $L=2\,\mathrm{m}$$ tourne autour de son centre G sous un moment $ $M=12\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer l’accélération angulaire.→
  • 55
    Une plaque rectangulaire homogène de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ et de dimensions $ $a=0.6\,\mathrm{m},b=0.4\,\mathrm{m}$$ tourne autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre sous l’action d’un moment $ $M=10\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer $ $\alpha$$ .→
  • 56
    Un cône plein de masse $ $m=5\,\mathrm{kg}$$ , de rayon de base $ $R=0.3\,\mathrm{m}$$ et de hauteur $ $H=0.6\,\mathrm{m}$$ tourne autour de son axe sous un moment $ $M=15\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer $ $\alpha$$ .→
  • 57
    Un cylindre plein de masse $ $m=3\,\mathrm{kg}$$ et de rayon $ $R=0.25\,\mathrm{m}$$ subit un moment $ $M=9\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer $ $\alpha$$ .→
  • 58
    Un bâton homogène de longueur $ $L=3\,\mathrm{m}$$ et de masse $ $m=2\,\mathrm{kg}$$ tourne autour de son centre sous un moment $ $M=6\,\mathrm{N\cdot m}$$ . Calculer $ $\alpha$$ .→
  • 59
    Un bloc de masse 10\,\mathrm{kg} est poussé horizontalement par une force constante F=50\,\mathrm{N} sur une surface sans frottement. Calculez l’accélération a du bloc sachant que a=F/m.→
  • 60
    Un cylindre plein de masse m=5.00\,\mathrm{kg} et de rayon R=0.200\,\mathrm{m} roule sans glisser sur un plan incliné à 30°. Déterminez son accélération a en bas de l’inclinaison sachant que a=\frac{g\sin\alpha}{1+I/(mR^2)} avec I=\frac{1}{2}mR^2.→
  • 61
    Un solide disque de rayon R=0.150\,\mathrm{m} et de masse m=2.00\,\mathrm{kg} est soumis à un couple moteur C=4.00\,\mathrm{N·m}. Calculez l’accélération angulaire \alpha sachant que \alpha=C/I et I=\frac{1}{2}mR^2.→
  • 62
    Un pendule simple de longueur L=0.500\,\mathrm{m} oscille de petits angles. Calculez la période T sachant que T=2\pi\sqrt{L/g}.→
  • 63
    Deux masses m1=4.00\,\mathrm{kg} et m2=6.00\,\mathrm{kg} liées par un fil passent par une poulie sans frottement. Calculez l’accélération commune a sachant que a=\frac{(m2-m1)g}{m1+m2}.→
  • 64
    Un solide de masse m=3.00\,\mathrm{kg} est lâché sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur g=9.81\,\mathrm{m/s^2} sous l’effet de la résistance f=kv^2 avec k=0.100\,\mathrm{kg/m}. Calculez la vitesse terminale v_t sachant que mg=f ⇒ v_t=\sqrt{mg/k}.→
  • 65
    Un disque de masse m=4.00\,\mathrm{kg} et rayon R=0.250\,\mathrm{m} roule sans glisser sur une courbe. Calculez la force centrifuge F_c=mv^2/R pour v=3.00\,\mathrm{m/s}.→
  • 66
    Un pendule de torsion de moment d’inertie I=0.0500\,\mathrm{kg·m^2} et de constante de raideur C=0.200\,\mathrm{N·m/rad} oscille librement. Calculez la pulsation naturelle \omega_n=\sqrt{C/I}.→
  • 67
    Une poutre uniforme de masse m=2.00\,\mathrm{kg} et de longueur L=1.00\,\mathrm{m} est articulée en un bout. Un choc lui communique une vitesse angulaire initiale \omega_0=10.0\,\mathrm{rad/s}. Calculez l’énergie cinétique de rotation KE=\frac{1}{2}I\omega_0^2 avec I=\frac{1}{3}mL^2.→
  • 68
    Une force F=100\,\mathrm{N} agit sur un levier de bras 0.400\,\mathrm{m} pour créer un moment M=F×d. Calculez M.→
  • 69
    Un volant d’inertie de moment d’inertie I=0.500\,\mathrm{kg·m^2} subit un couple résistant C_r=2.00\,\mathrm{N·m}. Calculez le freinage angulaire \alpha négatif sachant que \alpha=-C_r/I.→
  • 70
    Un chariot de masse m=50.0\,\mathrm{kg} est freiné par une force constante F=150\,\mathrm{N} jusqu’à l’arrêt. Si sa vitesse initiale est v0=20.0\,\mathrm{m/s}, calculez la distance d de freinage sachant que travail = variation d’énergie cinétique.→
  • 71
    Une barre de masse m=2.00\,\mathrm{kg} et longueur L=1.00\,\mathrm{m} est en rotation autour de son centre G avec \omega=10.0\,\mathrm{rad/s}. Calculez le moment cinétique L=I\omega avec I=\frac{1}{12}mL^2.→
  • 72
    Un solide S subit deux forces parallèles F1=30\,\mathrm{N} et F2=50\,\mathrm{N} séparées de d=0.200\,\mathrm{m}. Calculez le moment total M=F1×d+F2×d.→
  • 73
    Une roue de rayon R=0.500\,\mathrm{m} et I=2.00\,\mathrm{kg·m^2} est soumise à une force tangentielle F=10.0\,\mathrm{N}. Calculez l’accélération angulaire \alpha=C/I avec C=F×R.→
  • 74
    Un pendule de torsion tourne avec une amplitude initiale \phi_0=0.100\,\mathrm{rad}. Calculez l’énergie potentielle élastique maximale Ep=½C\phi_0^2 avec C=0.400\,\mathrm{N·m/rad}.→
  • 75
    Un solide de masse m=3.00\,\mathrm{kg} lié à un ressort de raideur k=200\,\mathrm{N/m} oscille. Calculez la periode T=2\pi\sqrt{m/k}.→
  • 76
    Une barre rigide de masse m=2.00\,\mathrm{kg} et longueur L=0.800\,\mathrm{m} tourne autour de son centre avec \omega=5.00\,\mathrm{rad/s}. Calculez le moment du moment cinétique dL/dt sous l’action d’un couple constant C appliqué.→
  • 77
    Un solide de masse m=4.00\,\mathrm{kg} est soumis à la pesanteur et à une force de frottement f=20.0\,\mathrm{N} descendant un plan incliné à 45°. Calculez l’accélération a le long du plan sachant que mgsin45°-f=ma.→
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