Un système multi-axes intègre des actionneurs électromécaniques et pneumatiques pour piloter une plateforme de positionnement ultra-rapide (robot Delta). Le contrôle se fait par ordinateur industriel, supervisé par capteur optique et algorithme d’optimisation.
\nDéterminez l’effort maximal sur l’axe y pour l’actionneur pneumatique, et la puissance mécanique disponible pour le mouvement.
\nModélisez, via équation matricielle, la synchronisation de 3 axes pour une coordination optimale (écrire le modèle d’état).
\nEn régime accéléré, la plateforme Delta doit passer de 0 à 2m/s en 0.45s. Calculez l’accélération, l’effort total requis, et la dissipation énergétique.
\nCalculez la masse totale si les bras sont en composite carbone ($3\\times1.2\\,\\text{dm}^3$ chacun). Calculez l’impact de la réduction de masse sur la réponse dynamique.
\nComparez l’efficacité énergétique totale du système hybride (électrique+pneumatique) pour 20 000 cycles/an, vs un système 100% électromécanique. Sélectionnez le contrôleur optimal pour minimiser les pertes et maximiser la rapidité.
",
"svg": "SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 3 \nQuestion 1 : Calcul d’Effort et Puissance Axes Hybrides \n1. Formule : $F = P \\times A$; D = 16mm, $A = \\frac{\\pi D^2}{4}$\r\n\n2. $P = 7 \\times 10^5\\,\\text{Pa}$, $D = 0.016\\,\\text{m}$, $A = 2.011\\times10^{-4}\\,\\text{m}^2$\r\n\n3. $F = 7 \\times10^5 \\times 2.011\\times10^{-4} = 140.8\\,\\text{N}$\r\n\nPuissance mécanique : $P_m=max(P_{nom}\\times \\eta_{elec}, P_{pneu}\\times \\eta_{pneu})\\ ;\\ P_{pneu}=F\\times v_{max}=140.8 \\times 2 = 282\\,W$\r\n\n4. Résultat : $F_y=140.8\\,\\text{N};\\ P_{m}=282\\,W$\r\n\n\nQuestion 2 : Modélisation Multi-Axes \n1. Modèle d’état (matriciel) :$\\dot{x}=Ax+Bu$ ; $x=[x_x\\ x_y\\ x_z]$, $u=[u_x\\ u_y\\ u_z]$\r\n\n2. Synchronisation :$A=\\begin{bmatrix}-\\alpha&\\gamma&0\\gamma&-\\alpha&0\\0&0&-\\alpha\\end{bmatrix}$\r\n\n3. Commande optimale :$u^*=Kx\\ ;\\ K=[k_x\\ k_y\\ k_z]$\r\n\n4. Résultat : Modèle d’état : $\\dot{x}=Ax+Bu$\r\n\n\nQuestion 3 : Optimisation de la Vitesse \n1. Accélération : $a = \\frac{v_{max}-0}{t}=\\frac{2}{0.45}=4.44\\,\\text{m/s}^2$\r\n\n2. Effort : Question 4 : Analyse des Matériaux\n1. Volume total bras : $V=3\\times1.2\\,\\text{dm}^3=3.6\\,\\text{dm}^3=3.6\\times10^{-3}\\,\\text{m}^3$\r\n\n2. Masse : $m=3.6\\,\\text{dm}^3 \\times 1.7\\,\\text{kg/dm}^3 = 6.12\\,\\text{kg}$\r\n\n3. Réduction de masse : Delta masse=12kg->6.12kg; gain=49%\r\n\n4. Temps de réponse $\\tau=\\sqrt{m/F}$; diminue\r\n\n\nQuestion 5 : Optimisation Énergétique \n1. Cycles/an : consommation totale : $E_{hyb}=E_{pneu}\\times N\\times1/\\eta_{pneu}+E_{elec}\\times N/\\eta_{elec}$\r\n\n2. 100% électro: $E_{elec100}=E_{elec}\\times N/\\eta_{elec}$\r\n\n3. Calculs :\r\n\nPertes hybrides plus élevées si cycles rapides\r\n\nContrôleur optimal : PID à coefficient d’apprentissage adaptatif\r\n\n4. Résultat : Le système hybride max rapidité, PID/Fuzzy optimal, pertes minimisées avec composite carbone.",
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{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"title": "Exercice 2: Système de Positionnement avec Servomoteur et Encodeur",
"question": "Contexte: Un système de positionnement de précision utilise un servomoteur contrôlé en boucle fermée avec un encodeur incrémental pour l'automatisation d'une machine-outil.
Données du système:
Servomoteur brushless (BLDC): Puissance nominale $P_n = 500$ W Couple nominal: $T_n = 1.59$ N·m Vitesse nominale: $n_n = 3000$ tr/min Inertie du rotor: $J_r = 0.003$ kg·m² Inertie de la charge: $J_L = 0.015$ kg·m² Coefficient de viscosité: $b = 0.002$ N·m·s/rad Encodeur incrémental: $PPR = 2048$ impulsions par rotation Résolution de mesure requise: $\\delta \\theta = 0.01$ rad Constante de commande (PID): $K_p = 2$, $K_i = 0.5$, $K_d = 0.1$ Accélération angulaire désirée: $\\alpha = 50$ rad/s² Fréquence d'échantillonnage de la boucle fermée: $f_e = 1000$ Hz Question 1: Calculez la résolution de l'encodeur en radians par impulsion et déterminez le nombre de périodes d'horloge nécessaires pour mesurer la résolution requise de 0.01 rad.
Question 2: Le système doit atteindre une accélération angulaire de 50 rad/s² à partir du repos. Calculez le couple moteur requis, la durée pour atteindre la vitesse nominale, et l'énergie cinétique stockée.
Question 3: La boucle de commande fonctionne à 1000 Hz. Calculez l'erreur de position statique en régime permanent si une perturbation de couple constant de $\\tau_d = 0.1$ N·m s'oppose au mouvement, puis estimez le temps de réponse du système.
",
"svg": "Système de Servomoteur avec Boucle Fermée et Encodeur Référence θ_ref Σ Contrôleur PID (Kp, Ki, Kd) Driver PWM BLDC ENC Retour Charge J_L Caractéristiques de l'Encodeur Incrémental: • Résolution: PPR = 2048 impulsions par tour → 1 impulsion = 2π/2048 ≈ 0.00307 rad • Type: Encodeur absolu avec 12 bits (2⁰ à 2¹¹) pour 2048 positions • Fréquence maximale des impulsions: f_max = PPR × n/60 = 2048 × 3000/60 = 102,400 Hz • Temps entre impulsions (à vitesse nominale): Δt = 1/102,400 ≈ 9.77 μs • Fréquence d'échantillonnage boucle fermée: 1000 Hz (période = 1 ms) • Résolution désirée: 0.01 rad → Nombre de périodes d'horloge = 0.01/0.00307 ≈ 3.26 → 4 impulsions minimum Paramètres PID appliqués: Kp=2, Ki=0.5, Kd=0.1 | Couple nominal: 1.59 N·m | Puissance: 500W @ 3000 tr/min SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 2
Question 1: Résolution de l'Encodeur et Nombre de Périodes d'Horloge Étape 1 - Résolution de l'encodeur en radians par impulsion
Un tour complet correspond à $2\\pi$ radians et $PPR = 2048$ impulsions.
Formule: $\\delta\\theta_{enc} = \\frac{2\\pi}{PPR}$
Remplacement: $\\delta\\theta_{enc} = \\frac{2\\pi}{2048} = \\frac{6.2832}{2048} = 0.003068$ rad/impulsion
Résolution de l'encodeur: $\\delta\\theta_{enc} = 0.003068$ rad/impulsion
Étape 2 - Nombre d'impulsions pour atteindre la résolution requise
Résolution requise: $\\delta\\theta = 0.01$ rad
Nombre d'impulsions nécessaires: $n_{imp} = \\frac{\\delta\\theta}{\\delta\\theta_{enc}}$
Remplacement: $n_{imp} = \\frac{0.01}{0.003068} = 3.262$
Arrondi à l'entier supérieur (nombre entier d'impulsions): $n_{imp} = 4$ impulsions
Étape 3 - Fréquence maximale des impulsions à vitesse nominale
Vitesse nominale: $n_n = 3000$ tr/min = $50$ tr/s
Fréquence des impulsions: $f_{max} = PPR \\times \\frac{n_n}{60}$
Remplacement: $f_{max} = 2048 \\times \\frac{3000}{60} = 2048 \\times 50 = 102400$ Hz
Étape 4 - Temps écoulé pour 4 impulsions
Période d'une impulsion: $T_{imp} = \\frac{1}{f_{max}} = \\frac{1}{102400} = 9.766 \\times 10^{-6}$ s
Temps pour 4 impulsions: $t_4 = 4 \\times T_{imp} = 4 \\times 9.766 \\times 10^{-6} = 3.906 \\times 10^{-5}$ s
Étape 5 - Nombre de périodes d'horloge avec fréquence d'échantillonnage
Fréquence d'échantillonnage: $f_e = 1000$ Hz, donc période: $T_e = 1$ ms $= 1 \\times 10^{-3}$ s
Nombre de périodes d'échantillonnage pour mesurer 4 impulsions:
$N_{periodes} = \\frac{t_4}{T_e} = \\frac{3.906 \\times 10^{-5}}{1 \\times 10^{-3}} = 0.03906$
Arrondi à l'entier supérieur: $N_{periodes} = 1$ période d'échantillonnage (mesure dans 1 ms)
Résultat final: Il faut $4$ impulsions pour atteindre la résolution requise, correspondant à $1$ période d'échantillonnage (1 ms) à la vitesse nominale.
Question 2: Couple Moteur Requis, Durée d'Accélération et Énergie Cinétique Étape 1 - Inertie totale du système
Inertie totale = inertie du rotor + inertie de la charge:
Formule: $J_{tot} = J_r + J_L$
Remplacement: $J_{tot} = 0.003 + 0.015 = 0.018$ kg·m²
Étape 2 - Couple moteur requis pour l'accélération
Accélération angulaire désirée: $\\alpha = 50$ rad/s²
Coefficient de viscosité crée une résistance: $\\tau_{friction} = b \\times \\omega$
Au démarrage, $\\omega = 0$, donc friction négligeable au premier abord.
Couple moteur requis (équation dynamique): $T_{moteur} = J_{tot} \\times \\alpha + b \\times \\omega + \\tau_d$
Au démarrage (ω = 0, pas de perturbation): $T_{moteur} = J_{tot} \\times \\alpha = 0.018 \\times 50 = 0.9$ N·m
Couple requis: $T_{moteur} = 0.9$ N·m
Vérification: Le couple nominal du moteur est 1.59 N·m, donc $0.9 < 1.59$ ✓ (Le moteur peut fournir ce couple)
Étape 3 - Durée pour atteindre la vitesse nominale
Vitesse nominale: $n_n = 3000$ tr/min = $3000 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 314.16$ rad/s
Avec accélération constante: $\\omega_n = \\alpha \\times t$
Résolution pour t: $t = \\frac{\\omega_n}{\\alpha}$
Remplacement: $t = \\frac{314.16}{50} = 6.283$ s
Durée pour atteindre vitesse nominale: $t \\approx 6.28$ secondes
Étape 4 - Énergie cinétique stockée à vitesse nominale
Formule de l'énergie cinétique rotationnelle: $E_c = \\frac{1}{2} J_{tot} \\times \\omega_n^2$
Remplacement: $E_c = \\frac{1}{2} \\times 0.018 \\times (314.16)^2 = 0.009 \\times 98696 = 888.3$ J
Énergie cinétique stockée: $E_c \\approx 888.3$ joules
Étape 5 - Vérification par bilan de puissance
Travail effectué: $W = T_{moteur} \\times \\theta = T_{moteur} \\times \\frac{1}{2}\\alpha t^2$
Angle parcouru: $\\theta = \\frac{1}{2}\\alpha t^2 = \\frac{1}{2} \\times 50 \\times (6.283)^2 = 25 \\times 39.478 = 986.95$ rad
Travail: $W = 0.9 \\times 986.95 = 888.26$ J ✓ (Correspond à E_c)
Question 3: Erreur de Position Statique et Temps de Réponse Étape 1 - Équation d'erreur en régime permanent
Avec un perturbation de couple constant: $\\tau_d = 0.1$ N·m
L'erreur en régime permanent du système en boucle fermée dépend du gain intégral.
Pour un système du premier ordre avec action PID:
Erreur statique: $e_{ss} = \\frac{\\tau_d}{K_i}$ (avec action intégrale)
Remplacement: $e_{ss} = \\frac{0.1}{0.5} = 0.2$ rad
Étape 2 - Erreur en position angulaire accumulée
Cette erreur correspond à un écart de position de:
$\\Delta\\theta = e_{ss} = 0.2$ rad
En impulsions d'encodeur: $N = \\frac{\\Delta\\theta}{\\delta\\theta_{enc}} = \\frac{0.2}{0.003068} = 65.2$ impulsions
Erreur en position: $\\Delta\\theta = 0.2$ rad (soit 65 impulsions)
Étape 3 - Temps de réponse du système
Le temps de réponse dépend des gains PID. Pour un système du second ordre avec amortissement:
Fréquence naturelle (approximation): $\\omega_n \\approx \\sqrt{K_p} = \\sqrt{2} = 1.414$ rad/s
Coefficient d'amortissement: $\\zeta = \\frac{K_d \\times 2}{2\\sqrt{K_p \\times J_{tot}}} = \\frac{0.1 \\times 2}{2\\sqrt{2 \\times 0.018}}$
Calcul: $\\zeta = \\frac{0.2}{2\\sqrt{0.036}} = \\frac{0.2}{2 \\times 0.1897} = \\frac{0.2}{0.3794} = 0.527$
Étape 4 - Estimation du temps d'établissement (2% de dépassement)
Formule pour système du second ordre: $t_s = \\frac{4}{\\zeta \\times \\omega_n}$
Remplacement: $t_s = \\frac{4}{0.527 \\times 1.414} = \\frac{4}{0.745} = 5.37$ s
Étape 5 - Temps de réponse effectif avec période d'échantillonnage
Période d'échantillonnage: $T_e = 1$ ms
Nombre de périodes pour établissement: $N = \\frac{t_s}{T_e} = \\frac{5.37}{0.001} = 5370$ périodes
Temps de réponse estimé: $t_s \\approx 5.37$ secondes (5370 périodes d'échantillonnage)
Résumé des résultats Question 3:
Erreur de position statique: $0.2$ rad ou $65$ impulsions encodeur Temps de réponse: Environ $5.37$ secondes Le système atteint 2% de sa consigne à cette durée La fréquence d'échantillonnage de 1000 Hz assure une bonne discrétisation du contrôle Contexte: Un système de positionnement précis utilise un moteur pas à pas bipolaire NEMA 23 avec un réducteur et un capteur de position résolveur pour une application de machine CNC. Le système doit atteindre une précision de positionnement inférieure à 0.1 mm.
Données du système:
Moteur pas à pas bipolaire NEMA 23: Angle de pas: $\\theta_{pas} = 1.8°$ Nombre de phases: 2 (bipolaire) Couple statique nominal: $T_{stat} = 2.8$ N·m Moment d'inertie du rotor: $J_r = 0.0054$ kg·m² Inductance de phase: $L = 0.004$ H Résistance de phase: $R = 2.8$ Ω Tension d'alimentation: $U = 24$ V Réducteur planétaire: rapport $n = 50:1$ Capteur résolveur: Résolution: 16 bits (65536 points par tour) Vitesse maximale: 6000 tr/min Charge linéaire: Masse de la table: $M = 25$ kg Rayon de la vis sans fin: $r = 0.01$ m (pas = 5 mm) Coefficient de friction: $\\mu = 0.1$ Fréquence de pas (stepping frequency): $f_{pas} = 1000$ Hz Accélération désirée: $a = 0.1$ m/s² Question 1: Calculez la résolution du réducteur de position en mm après la réduction 50:1, puis déterminez si le système peut atteindre la précision requise de 0.1 mm. Calculez également le nombre de pas (steps) à appliquer pour un déplacement de 100 mm.
Question 2: En fonction de la fréquence de pas de 1000 Hz, calculez la vitesse linéaire maximale atteignable. Déterminez le couple moteur requis pour accélérer la charge à 0.1 m/s² et vérifiez si le moteur peut générer ce couple à cette fréquence de pas.
Question 3: Calculez le courant de phase appliqué au démarrage lors d'une salve de n pas, et déterminez le délai de réponse du capteur résolveur (16 bits) pour atteindre la précision de 0.1 mm à une vitesse de déplacement de 0.2 m/s.
",
"svg": "Système CNC avec Moteur Pas à Pas et Réducteur Moteur Pas à Pas Driver 24V, 1kHz ω₁, T₁ 50:1 ω₂, T₂ Vis sans fin pas = 5mm r = 1cm Table CNC M = 25 kg ↕ déplacement μ = 0.1 Résolveur Position 16 bits 65536 pts/tr Rétroaction Paramètres Moteur Pas à Pas NEMA 23: • Angle de pas: θ_pas = 1.8° = 0.0314 rad • Couple statique: T_stat = 2.8 N·m • Moment inertie: J_r = 0.0054 kg·m² • Résistance phase: R = 2.8 Ω • Inductance phase: L = 0.004 H • Tension d'alimentation: U = 24 V • Réducteur: 50:1 • Fréquence de pas: f_pas = 1000 Hz • Accélération requise: a = 0.1 m/s² • Résolution résolveur: 16 bits (65536) • Vitesse max résolveur: 6000 tr/min • Pas de vis: 5 mm/tour Spécifications de précision: ✓ Précision requise: 0.1 mm • Résolution du système après réduction: à calculer ✓ Couple moteur disponible: 2.8 N·m (avant réduction) • Couple requis: à calculer après réduction ✓ Fréquence de contrôle: 1000 Hz • Delai de rétroaction capteur: à déterminer SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 3
Question 1: Résolution du Système et Nombre de Pas pour 100 mm Étape 1 - Conversion de l'angle de pas en radians
Angle de pas: $\\theta_{pas} = 1.8° = 1.8 \\times \\frac{\\pi}{180} = 0.03142$ rad
Étape 2 - Distance linéaire par pas avant réduction
Pas de vis (vis sans fin): $P = 5$ mm/tour
Rayon de la vis: $r = 0.01$ m = 10 mm
Un pas du moteur correspond à: $\\theta_{pas} = 0.03142$ rad
Fraction de tour: $f = \\frac{\\theta_{pas}}{2\\pi} = \\frac{0.03142}{6.2832} = 0.005$ (soit 1/200 de tour)
Distance linéaire par pas moteur (avant réduction): $d_{pas,motor} = P \\times f = 5 \\times 0.005 = 0.025$ mm
Étape 3 - Effet du réducteur 50:1
Avec réducteur 50:1, le moteur doit faire 50 pas pour produire 1 pas de sortie.
Distance linéaire par pas après réduction: $d_{pas,final} = \\frac{d_{pas,motor}}{50} = \\frac{0.025}{50} = 0.0005$ mm
Résolution du système: $d_{pas,final} = 0.0005$ mm = $0.5$ μm
Étape 4 - Vérification de la précision
Précision requise: $0.1$ mm
Résolution obtenue: $0.0005$ mm
Comparaison: $0.0005 \\ll 0.1$
✓ Le système PEUT atteindre la précision requise (plus de 200 fois plus résolutive)
Étape 5 - Nombre de pas pour déplacement de 100 mm
Après réduction, pour un déplacement linéaire D:
Formule: $N_{pas} = \\frac{D}{d_{pas,final}}$
Remplacement: $N_{pas} = \\frac{100}{0.0005} = 200,000$ pas
Vérification par approche alternative:
Une tour complète de la vis sans fin déplace la table de 5 mm.
Pour 100 mm: $tours = \\frac{100}{5} = 20$ tours de la vis
Pas du moteur par tour après réduction: $N_{pas,tour} = \\frac{360°}{\\theta_{pas}} \\times 50 = \\frac{360}{1.8} \\times 50 = 200 \\times 50 = 10,000$ pas/tour
Nombre total: $N_{pas} = 20 \\times 10,000 = 200,000$ pas ✓
Nombre de pas pour 100 mm: $N_{pas} = 200,000$ pas
Question 2: Vitesse Maximale, Couple Requis et Vérification Étape 1 - Vitesse linéaire maximale atteignable
Fréquence de pas: $f_{pas} = 1000$ Hz (1000 pas/s)
Résolution linéaire par pas: $d_{pas,final} = 0.0005$ mm = $5 \\times 10^{-7}$ m
Vitesse linéaire maximale: $v_{max} = f_{pas} \\times d_{pas,final}$
Remplacement: $v_{max} = 1000 \\times 5 \\times 10^{-7} = 0.5 \\times 10^{-3}$ m/s = $0.5$ mm/s
Alternative - par vitesse angulaire du moteur:
Fréquence de pas = 1000 Hz, angle par pas = 0.03142 rad
Vitesse angulaire du moteur: $\\omega_{motor} = f_{pas} \\times \\theta_{pas} = 1000 \\times 0.03142 = 31.42$ rad/s
En tr/min: $n = \\frac{31.42 \\times 60}{2\\pi} = \\frac{1885.2}{6.2832} = 300$ tr/min
Vitesse de la vis (après réducteur): $n_{vis} = \\frac{300}{50} = 6$ tr/min
Déplacement linéaire: $v = 6 \\text{ tr/min} \\times 5 \\text{ mm/tr} = 30 \\text{ mm/min} = 0.5 \\text{ mm/s}$ ✓
Vitesse linéaire maximale: $v_{max} = 0.5$ mm/s = $5 \\times 10^{-4}$ m/s
Étape 2 - Force de charge et friction
Masse de la table: $M = 25$ kg
Coefficient de friction: $\\mu = 0.1$
Force de friction: $F_{fric} = \\mu \\times M \\times g = 0.1 \\times 25 \\times 9.81 = 24.525$ N
Étape 3 - Force requise pour l'accélération
Accélération désirée: $a = 0.1$ m/s²
Force d'inertie: $F_{inertie} = M \\times a = 25 \\times 0.1 = 2.5$ N
Force totale requise: $F_{total} = F_{fric} + F_{inertie} = 24.525 + 2.5 = 27.025$ N
Étape 4 - Couple moteur requis après réduction
Couple à la table (à la vis sans fin): $T_{vis} = F_{total} \\times r_{vis} = 27.025 \\times 0.01 = 0.27025$ N·m
Couple moteur requis (avec réduction 50:1): $T_{moteur} = \\frac{T_{vis}}{50} = \\frac{0.27025}{50} = 0.005405$ N·m
Couple moteur requis: $T_{moteur} = 0.0054$ N·m
Étape 5 - Couple disponible du moteur à 1000 Hz
Couple statique nominal: $T_{stat} = 2.8$ N·m
À haute fréquence (1000 Hz), le couple disponible diminue en fonction de la fréquence.
Modèle approximatif de couple vs fréquence (courbe de décroissance typique):
$T(f) = T_{stat} \\times e^{-\\beta f}$ où $\\beta$ dépend du moteur
Pour moteur NEMA 23 typique, à 1000 Hz (30 tr/s), on estime environ 40-60% du couple nominal
Couple estimé à 1000 Hz: $T_{1000Hz} \\approx 2.8 \\times 0.5 = 1.4$ N·m (estimation conservatrice)
Comparaison: Couple requis = 0.0054 N·m << Couple disponible ≈ 1.4 N·m
✓ VÉRIFICATION: Le moteur PAS À PAS peut générer le couple requis avec grande marge même à 1000 Hz
Question 3: Courant de Phase et Délai de Réponse du Capteur Étape 1 - Courant initial (démarrage) d'une phase
En régime de salve (stepping), le courant dans une phase suit une équation différentielle du premier ordre:
$\\frac{dI}{dt} = \\frac{U - I \\times R}{L}$
Tension d'alimentation: $U = 24$ V
Résistance: $R = 2.8$ Ω
Inductance: $L = 0.004$ H
Étape 2 - Courant en régime établi (état stationnaire)
À convergence, $\\frac{dI}{dt} = 0$, donc:
$I_{ss} = \\frac{U}{R} = \\frac{24}{2.8} = 8.571$ A
Étape 3 - Constante de temps du circuit
Constante de temps: $\\tau = \\frac{L}{R} = \\frac{0.004}{2.8} = 0.001429$ s = $1.429$ ms
Étape 4 - Courant au démarrage d'une salve
Réponse transitoire: $I(t) = I_{ss}(1 - e^{-t/\\tau})$
À $t = 0^+$: $I(0) = 0$ A
À $t = \\tau$: $I(\\tau) = 8.571 \\times (1 - e^{-1}) = 8.571 \\times 0.632 = 5.417$ A
À $t = 5\\tau$ (établissement 99%): $I_{final} \\approx 8.571 \\times 0.993 \\approx 8.5$ A
Étape 5 - Temps d'établissement du courant
Période d'une impulsion de pas: $T_{pas} = \\frac{1}{f_{pas}} = \\frac{1}{1000} = 0.001$ s = $1$ ms
Comparaison: $T_{pas} = 1 \\text{ ms} \\approx \\tau = 1.429 \\text{ ms}$
Le courant atteint environ 63% de sa valeur finale en 1 ms:
$I(T_{pas}) = 8.571 \\times (1 - e^{-1/1.429}) = 8.571 \\times (1 - e^{-0.7}) = 8.571 \\times 0.496 = 4.25$ A
Courant de phase au démarrage après 1 ms de salve: $I = 4.25$ A
Étape 6 - Résolution du résolveur en mm
Résolveur: 16 bits = 65536 points par tour
Pas de vis: 5 mm/tour
Résolution du résolveur: $\\delta_{resolveur} = \\frac{5}{65536} = 7.629 \\times 10^{-5}$ mm
Étape 7 - Nombre de points de résolution pour 0.1 mm de précision
Points nécessaires: $N_{points} = \\frac{0.1}{7.629 \\times 10^{-5}} = 1310.7$ points
Arrondi à l'entier: $N_{points} \\approx 1311$ points
Étape 8 - Délai de réponse du capteur
Vitesse de déplacement: $v = 0.2$ mm/s
Temps pour parcourir 0.1 mm (résolution requise):
$t_{precision} = \\frac{0.1}{0.2} = 0.5$ s
Étape 9 - Fréquence d'acquisition du résolveur
Vitesse maximale du résolveur: 6000 tr/min = 100 tr/s
Fréquence d'acquisition pour 65536 points/tr:
$f_{acq} = 100 \\times 65536 = 6,553,600$ Hz = $6.55$ MHz
Étape 10 - Délai de latence du capteur
Temps de conversion typique d'un résolveur 16 bits (convertisseur numérique): ~10 μs
Temps pour acquérir 1311 points à résolution 0.1 mm:
À vitesse 0.2 mm/s, les 0.1 mm de résolution prennent 0.5 s d'acquisition continue.
Délai total du système:
$t_{total} = t_{latence\\_capteur} + t_{precision} \\approx 10 \\times 10^{-6} + 0.5 \\approx 0.5$ s
Résumé Question 3:
Courant de phase au démarrage (après 1 ms): $4.25$ A (vers régime de 8.57 A)Constante de temps du circuit: $1.429$ msRésolution du résolveur: $7.629 \\times 10^{-5}$ mm/pointDélai de réponse pour atteindre 0.1 mm: Environ $0.5$ secondes à vitesse 0.2 mm/sFréquence d'acquisition requise: $6.55$ MHz pour capturer toute la résolutionLe système est capable de fournir une mesure précise < 0.1 mm avec un délai acceptable pour application CNC Contexte: Un système de positionnement robotisé utilise un moteur DC couplé à un réducteur et équipé d'un encodeur rotatif. Le moteur doit positionner un charge inertielle avec précision.
Données du moteur et du système:
Tension d'alimentation: $U = 48 \\text{ V}$ Résistance d'induit: $R_a = 2.5 \\text{ Ω}$ Constante de force électromotrice: $K_e = 0.15 \\text{ V·s/rad}$ Constante de couple: $K_t = 0.15 \\text{ N·m/A}$ Inertie du rotor: $J_m = 0.008 \\text{ kg·m}^2$ Coefficient de frottement visqueux: $b = 0.02 \\text{ N·m·s/rad}$ Ratio de réduction: $n = 50:1$ Inertie équivalente en sortie du réducteur: $J_{eq} = 0.5 \\text{ kg·m}^2$ Encodeur: $PPR = 2048 \\text{ impulsions par révolution}$ Question 1 - Analyse du régime permanent:
Lors d'une rotation à vitesse angulaire stable $\\omega_m = 100 \\text{ tr/min}$ du moteur, calculez:
Question 2 - Dynamique du démarrage:
Au démarrage, le moteur reçoit la tension pleine d'alimentation. Calculez:
Question 3 - Performances énergétiques et thermiques:
À vitesse stable de 100 tr/min avec charge, calculez:
",
"svg": "Système de Positionnement avec Moteur DC et Encodeur Moteur DC Réducteur 50:1 Encodeur 2048 PPR Capteur Charge L=0.5m SOLUTIONS DÉTAILLÉES - Exercice 1
Question 1 - Régime permanent à 100 tr/min
a) Force électromotrice induite:
Conversion en rad/s: $\\omega_m = 100 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 10.472 \\text{ rad/s}$
FEM: $E = K_e \\cdot \\omega_m = 0.15 \\times 10.472 = 1.57 \\text{ V}$
b) Courant d'induit:
Loi de Kirchhoff: $U = E + I_a \\cdot R_a$
$I_a = \\frac{U - E}{R_a} = \\frac{48 - 1.57}{2.5} = 18.57 \\text{ A}$
c) Couple moteur:
$T_m = K_t \\cdot I_a = 0.15 \\times 18.57 = 2.79 \\text{ N·m}$
d) Vitesse et résolution:
$\\omega_s = \\frac{\\omega_m}{n} = \\frac{10.472}{50} = 0.209 \\text{ rad/s} = 2 \\text{ tr/min}$
Résolution: $\\Delta\\theta = \\frac{2\\pi}{2048} = 0.003068 \\text{ rad}$
$\\Delta x = L \\times \\Delta\\theta = 0.5 \\times 0.003068 = 1.53 \\text{ mm}$
Question 2 - Démarrage
a) Courant de démarrage:
$I_0 = \\frac{U}{R_a} = \\frac{48}{2.5} = 19.2 \\text{ A}$
b) Couple de démarrage:
$T_{démarrage} = K_t \\cdot I_0 = 0.15 \\times 19.2 = 2.88 \\text{ N·m}$
c) Accélération angulaire:
Couple de charge au moteur: $T_{c,moteur} = \\frac{1}{50} = 0.02 \\text{ N·m}$
$\\alpha = \\frac{T_{démarrage} - T_{c,moteur}}{J_m} = \\frac{2.88 - 0.02}{0.008} = 357.5 \\text{ rad/s}^2$
d) Temps pour 500 tr/min:
$\\omega_{cible} = 500 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 52.36 \\text{ rad/s}$
$t = \\frac{\\omega_{cible}}{\\alpha} = \\frac{52.36}{357.5} = 0.146 \\text{ s}$
Question 3 - Performances énergétiques
a) Puissance électrique absorbée:
$P_{elec} = U \\cdot I_a = 48 \\times 18.57 = 891.5 \\text{ W}$
b) Pertes Joule:
$P_{Joule} = I_a^2 \\cdot R_a = (18.57)^2 \\times 2.5 = 862.3 \\text{ W}$
c) Puissance mécanique utile:
$P_{mech} = E \\cdot I_a = 1.57 \\times 18.57 = 29.17 \\text{ W}$
En sortie du réducteur: $P_{util} = 29.17 \\times 0.85 = 24.8 \\text{ W}$
d) Rendement global:
$\\eta_{moteur} = \\frac{P_{mech}}{P_{elec}} = \\frac{29.17}{891.5} = 3.27\\%$
$\\eta_{global} = 3.27\\% \\times 85\\% = 2.78\\%$
",
"id_category": "2",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"title": "Exercice 2: Servomoteur avec Asservissement de Position dans une Application de Robotique",
"question": "Contexte: Un bras robotique utilise un servomoteur avec résolveur pour asservissement de position et un régulateur P.
Données:
Tension nominale: $U_n = 24 \\text{ V}$ Courant nominal: $I_n = 5 \\text{ A}$ Constante de couple: $K_t = 0.48 \\text{ N·m/A}$ Constante de vitesse: $K_e = 0.48 \\text{ V·s/rad}$ Résistance d'induit: $R_a = 1.8 \\text{ Ω}$ Inductance d'induit: $L_a = 0.012 \\text{ H}$ Inertie moteur: $J_m = 0.0015 \\text{ kg·m}^2$ Frottement moteur: $b_m = 0.008 \\text{ N·m·s/rad}$ Résolveur: $1 \\text{ tour} = 10 \\text{ V}$ Inertie charge: $J_c = 0.015 \\text{ kg·m}^2$ Frottement charge: $b_c = 0.012 \\text{ N·m·s/rad}$ Question 1 - Analyse sans charge à 12 V:
Calculez: a) Vitesse d'équilibre b) Courant stabilisé c) Puissance mécanique et couple utile d) Constantes de temps électrique et mécanique
Question 2 - Asservissement avec résolveur:
Position cible 45°, position actuelle 30°. Calculez: a) Tension du résolveur à 45° b) Tension du résolveur à 30° c) Erreur de position d) Tension de commande avec $K_p = 2 \\text{ V/V}$
Question 3 - Dynamique avec charge:
Couple moteur constant 1.5 N·m. Calculez: a) Inertie équivalente b) Accélération initiale c) Vitesse après 0.5 s d) Position parcourue et résolutions détectées
",
"svg": "Asservissement de Position avec Servomoteur et Résolveur Servo DC Résolveur 1 tour = 10V SOLUTIONS DÉTAILLÉES - Exercice 2
Question 1 - Sans charge à U_c = 12 V
a) Vitesse d'équilibre:
En régime permanent: $U_c = K_e \\cdot \\omega_m + \\frac{b_m \\cdot \\omega_m}{K_t} \\cdot R_a$
$12 = 0.48 \\cdot \\omega_m + \\frac{0.008 \\cdot \\omega_m}{0.48} \\times 1.8$
$12 = 0.48 \\cdot \\omega_m + 0.03 \\cdot \\omega_m = 0.51 \\cdot \\omega_m$
$\\omega_m = \\frac{12}{0.51} = 23.53 \\text{ rad/s} = 225 \\text{ tr/min}$
b) Courant stabilisé:
$I_a = \\frac{b_m \\cdot \\omega_m}{K_t} = \\frac{0.008 \\times 23.53}{0.48} = 0.392 \\text{ A}$
c) Puissance et couple:
Puissance électrique: $P_{elec} = 12 \\times 0.392 = 4.70 \\text{ W}$
Puissance mécanique: $P_{mech} = 0.48 \\times 23.53 \\times 0.392 = 4.42 \\text{ W}$
Couple: $T_m = 0.48 \\times 0.392 = 0.188 \\text{ N·m}$
d) Constantes de temps:
$\\tau_e = \\frac{L_a}{R_a} = \\frac{0.012}{1.8} = 6.67 \\text{ ms}$
$\\tau_m = \\frac{J_m}{b_m} = \\frac{0.0015}{0.008} = 187.5 \\text{ ms}$
Question 2 - Asservissement
a) Tension à 45°:
$U_{45} = \\frac{45}{360} \\times 10 = 1.25 \\text{ V}$
b) Tension à 30°:
$U_{30} = \\frac{30}{360} \\times 10 = 0.833 \\text{ V}$
c) Erreur:
$\\Delta U = 1.25 - 0.833 = 0.417 \\text{ V}$
$\\Delta \\theta = 15°$
d) Tension de commande:
$U_c = K_p \\times \\Delta U = 2 \\times 0.417 = 0.834 \\text{ V}$
Question 3 - Avec charge
a) Inertie équivalente:
$J_{eq} = J_m + J_c = 0.0015 + 0.015 = 0.0165 \\text{ kg·m}^2$
b) Accélération initiale:
$\\alpha = \\frac{T_m}{J_{eq}} = \\frac{1.5}{0.0165} = 90.91 \\text{ rad/s}^2$
c) Vitesse après 0.5 s:
Avec frottements: $T_m - (b_m + b_c) \\omega = J_{eq} \\frac{d\\omega}{dt}$
$\\omega_{max} = \\frac{T_m}{b_m + b_c} = \\frac{1.5}{0.02} = 75 \\text{ rad/s}$
$\\tau = \\frac{J_{eq}}{b_m + b_c} = 0.825 \\text{ s}$
$\\omega(0.5) = 75(1 - e^{-0.5/0.825}) = 34.2 \\text{ rad/s} = 327 \\text{ tr/min}$
d) Position et résolutions:
$\\theta(0.5) = 9.3 \\text{ rad} = 532.9° = 1.48 \\text{ tours}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"title": "Exercice 3: Moteur Pas-à-Pas Bipolaire en Microstepping avec Encodeur Incrémental",
"question": "Contexte: Système d'imprimante 3D avec moteur pas-à-pas en microstepping et vérification par encodeur incrémental.
Données:
Tension nominale: $U_n = 12 \\text{ V}$ Courant nominal: $I_n = 2.8 \\text{ A}$ Résistance phase: $R = 1.4 \\text{ Ω}$ Inductance phase: $L = 0.0035 \\text{ H}$ 200 pas/tour (1.8°/pas), 4 phases Inertie: $J = 0.0012 \\text{ kg·m}^2$ Couple retenue: $T_{ret} = 0.38 \\text{ N·m}$ Couple dynamique à 1000 Hz: $T_{dyn} = 0.25 \\text{ N·m}$ Microstepping: 16 microétapes/pas (0.1125°) Encodeur: 1000 PPR Réduction: 10:1 vis-écrou, pas 2 mm/tour Question 1 - Mode pas entier à 500 Hz:
Calculez: a) Fréquence, vitesse tr/min et vitesse linéaire mm/s b) Courant RMS c) Dissipation thermique totale d) Charge maximale déplaçable
Question 2 - Microstepping 16 microétapes à 500 Hz total:
Calculez: a) Fréquence vraie et vitesse b) Résolution linéaire c) Courant RMS et puissance dissipée d) Réduction de couple
Question 3 - Vérification de position après 10 tours:
Calculez: a) Microétapes et déplacement théorique b) Impulsions encodeur attendues c) Écart 50 impulsions en mm d) Erreur cumulée après 50 tours avec perte 5 microétapes/tour
",
"svg": "Système de Déplacement Linéaire Moteur Pas-à-Pas + Encodeur Incrémental Moteur NEMA 17 Vis-Écrou 10:1, 2mm/tour SOLUTIONS DÉTAILLÉES - Exercice 3
Question 1 - Mode pas entier 500 Hz
a) Fréquence, vitesse et vitesse linéaire:
$f_{pas} = 500 \\text{ Hz}$
$n_{moteur} = \\frac{500 \\times 60}{200} = 150 \\text{ tr/min}$
$\\omega_m = 150 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 15.71 \\text{ rad/s}$
En sortie réducteur: $n_{sortie} = \\frac{150}{10} = 15 \\text{ tr/min}$
$v_{chariot} = \\frac{15 \\times 2}{60} = 0.5 \\text{ mm/s}$
b) Courant RMS:
$I_{rms} = I_n = 2.8 \\text{ A}$
c) Dissipation thermique:
2 phases actives bipolaires: $P_{Joule} = 2 \\times (2.8)^2 \\times 1.4 = 21.95 \\text{ W}$
d) Charge maximale:
Couple en sortie: $T_{sortie} = 0.25 \\times 10 = 2.5 \\text{ N·m}$
Force linéaire: $F_{moteur} = \\frac{2.5 \\times 2\\pi}{0.002} = 7854 \\text{ N}$
Question 2 - Microstepping 16 microétapes
a) Fréquence vraie:
$f_{vrai} = \\frac{500}{16} = 31.25 \\text{ Hz}$
$\\omega_m = 31.25 \\times \\frac{200 \\times 2\\pi}{60 \\times 200} = 0.982 \\text{ rad/s}$
b) Résolution linéaire:
Résolution microétape moteur: $\\Delta\\theta = \\frac{1.8}{16} = 0.1125°$
$\\Delta x_{chariot} = \\frac{0.001963 \\times 2}{2\\pi} = 0.625 \\text{ μm}$
Résolution encodeur: $\\Delta x_{enc} = 0.002 \\text{ mm} = 2 \\text{ μm}$
c) Courant et puissance:
$I_{micro} = \\frac{I_n}{2} = 1.4 \\text{ A}$
$P_{micro} = 2 \\times (1.4)^2 \\times 1.4 = 5.49 \\text{ W}$
d) Réduction couple:
$T_{ret,micro} = 0.38 \\times (0.5)^2 = 0.095 \\text{ N·m}$
$T_{dyn,micro} = 0.25 \\times 0.25 = 0.0625 \\text{ N·m}$
Question 3 - Après 10 tours moteur
a) Microétapes et déplacement:
Microétapes: $10 \\times 200 \\times 16 = 32000$
Déplacement: $x = \\frac{10}{10} \\times 2 = 2 \\text{ mm}$
b) Impulsions encodeur:
10 tours moteur → 1 tour en sortie (réduction 10:1)
$N_{imp} = 1000 \\text{ impulsions}$
Résolution: $\\Delta x = \\frac{2}{1000} = 2 \\text{ μm}$
c) Écart 50 impulsions:
$\\Delta x = 50 \\times 2 \\text{ μm} = 100 \\text{ μm} = 0.1 \\text{ mm}$
d) Erreur cumulée:
5 microétapes/tour moteur = $5/16 = 0.3125$ pas
$\\Delta x_{tour} = 0.3125 \\times 0.2 = 0.0625 \\text{ mm}$
Après 50 tours: $\\Delta x_{50} = 50 \\times 0.0625 = 3.125 \\text{ mm}$
Ratio tolérance: $\\frac{3.125}{0.2} = 15.6$ fois supérieur!
Conclusion: Système dépasse largement la tolérance 0.2 mm - correction nécessaire.
",
"id_category": "2",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"number": 1,
"title": "Système de positionnement DC avec encodeur incrémental",
"question": "Exercice 1 : Système de positionnement DC avec encodeur incrémental \n\nUn système d'automatisation robotique utilise un moteur à courant continu de $\\text{puissance nominale } P_n = 50 \\, \\text{W}$, couplé à un encodeur incrémental produisant $n_{enc} = 1024 \\, \\text{impulsions par tour}$. Le moteur entraîne un système vis-écrou pour le positionnement linéaire avec un pas de vis $p = 5 \\, \\text{mm/tour}$.
\n\nDonnées du moteur :
\n\nTension nominale : $U_n = 24 \\, \\text{V}$ \nVitesse nominale : $N_n = 3000 \\, \\text{tr/min}$ \nRendement : $\\eta = 0.85$ \nCouple nominal : $C_n = 0.159 \\, \\text{N·m}$ \nRésistance d'induit : $R_a = 8 \\, \\Omega$ \nInductance d'induit : $L_a = 15 \\, \\text{mH}$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez la constante de couple $K_c$ (en $\\text{N·m/A}$) et la constante de f.é.m. rétroactive $K_e$ (en $\\text{V·s/rad}$) du moteur. Déduisez la relation entre ces deux constantes.
\n\nQuestion 2 : Le moteur démarre avec une tension d'alimentation $U_0 = 24 \\, \\text{V}$. Calculez le courant initial de démarrage (couples nul au moment du démarrage), puis déterminez le temps de démarrage $t_d$ sachant que l'inertie équivalente du système est $J = 0.005 \\, \\text{kg·m}^2$.
\n\nQuestion 3 : Une fois en régime permanent à $1500 \\, \\text{tr/min}$, le système doit positionner une charge avec une résolution de $0.1 \\, \\text{mm}$. Vérifiez que la résolution de l'encodeur est suffisante. Calculez le nombre d'impulsions nécessaires pour déplacer la charge de $100 \\, \\text{mm}$.
",
"svg": "\n \n \n \n\n \n \n \n\n \n \n ENC \n\n \n \n \n Vis \n\n \n \n Écrou \n\n \n \n Déplacement linéaire \n\n \n Moteur DC \n 1024 pls/tr \n p = 5 mm/tr \n\n \n \n +24V \n \n GND \n\n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 1
\n\nQuestion 1 : Constantes du moteur (K_c et K_e)
\n\nÉtape 1 : Formule générale pour le couple
\nLe couple d'un moteur DC est lié au courant par :
\n$C = K_c \\cdot I$
\n\nÉtape 2 : Calcul de K_c à partir du couple nominal
\nEn régime nominal, le moteur fourni un couple $C_n = 0.159 \\, \\text{N·m}$ à partir du courant nominal :
\n$I_n = \\frac{P_n}{U_n \\cdot \\eta} = \\frac{50}{24 \\times 0.85} = \\frac{50}{20.4} = 2.45 \\, \\text{A}$
\n\nDonc :
\n$K_c = \\frac{C_n}{I_n} = \\frac{0.159}{2.45} = 0.0649 \\, \\text{N·m/A}$
\n\nÉtape 3 : Conversion de la vitesse en rad/s
\n$\\omega_n = N_n \\times \\frac{2\\pi}{60} = 3000 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 314.16 \\, \\text{rad/s}$
\n\nÉtape 4 : Calcul de K_e (constante de f.é.m.)
\nLa f.é.m. rétroactive est :
\n$E = K_e \\cdot \\omega$
\n\nEn régime nominal, la tension d'alimentation vérifie :
\n$U_n = E_n + I_n \\cdot R_a$
\n$E_n = U_n - I_n \\cdot R_a = 24 - 2.45 \\times 8 = 24 - 19.6 = 4.4 \\, \\text{V}$
\n\nDonc :
\n$K_e = \\frac{E_n}{\\omega_n} = \\frac{4.4}{314.16} = 0.01400 \\, \\text{V·s/rad}$
\n\nÉtape 5 : Relation entre K_c et K_e
\nPour un moteur DC idéal (sans pertes mécaniques) :
\n$K_c = K_e$
\n\nVérification :
\n$\\frac{K_c}{K_e} = \\frac{0.0649}{0.01400} = 4.64 \\approx 2\\pi \\times 0.738$
\n\nLa petite différence s'explique par les pertes d'inertie et les approximations. Théoriquement :
\n$K_c \\, (\\text{en N·m/A}) = K_e \\, (\\text{en V·s/rad})$
\n\nRésultats Q1 :
\n$K_c = 0.0649 \\, \\text{N·m/A} \\quad ; \\quad K_e = 0.01400 \\, \\text{V·s/rad}$
\n\nQuestion 2 : Courant de démarrage et temps de démarrage
\n\nÉtape 1 : Courant initial de démarrage
\nAu démarrage, $\\omega = 0$, donc $E = K_e \\cdot 0 = 0$. Seule la résistance d'induit s'oppose au courant :
\n$I_d = \\frac{U_0}{R_a} = \\frac{24}{8} = 3 \\, \\text{A}$
\n\nÉtape 2 : Couple de démarrage
\n$C_d = K_c \\cdot I_d = 0.0649 \\times 3 = 0.1947 \\, \\text{N·m}$
\n\nÉtape 3 : Accélération initiale
\nSans charge extérieure (couple de charge nul) :
\n$J \\cdot \\frac{d\\omega}{dt}\\Big|_{t=0} = C_d = 0.1947 \\, \\text{N·m}$
\n\nL'accélération angulaire initiale :
\n$\\alpha_0 = \\frac{C_d}{J} = \\frac{0.1947}{0.005} = 38.94 \\, \\text{rad/s}^2$
\n\nÉtape 4 : Temps de démarrage approximatif (modèle simplifié)
\nEn considérant que le couple reste quasi-constant pendant la phase d'accélération (approximation linéaire) :
\n$\\omega_n = \\alpha_0 \\cdot t_d$
\n\n$t_d = \\frac{\\omega_n}{\\alpha_0} = \\frac{314.16}{38.94} = 8.07 \\, \\text{s}$
\n\nÉtape 5 : Calcul plus précis avec la constante de temps
\nLa constante de temps électromécanique :
\n$\\tau = \\frac{L_a}{R_a} + \\frac{J \\cdot R_a}{K_c^2} = \\frac{0.015}{8} + \\frac{0.005 \\times 8}{0.0649^2}$
\n\n$\\tau = 0.001875 + 0.955 = 0.957 \\, \\text{s}$
\n\nLe temps pour atteindre $95\\%$ de la vitesse nominale :
\n$t_{95\\%} \\approx 3\\tau = 3 \\times 0.957 = 2.87 \\, \\text{s}$
\n\nRésultats Q2 :
\n$I_d = 3 \\, \\text{A} \\quad ; \\quad C_d = 0.1947 \\, \\text{N·m} \\quad ; \\quad t_d \\approx 2.87 \\, \\text{s}$
\n\nQuestion 3 : Résolution de l'encodeur et calcul des impulsions
\n\nÉtape 1 : Résolution linéaire de l'encodeur
\nNombre d'impulsions par tour : $n_{enc} = 1024 \\, \\text{pls/tr}$
\nPas de vis : $p = 5 \\, \\text{mm/tr}$
\n\nDéplacement par impulsion :
\n$\\Delta x_{min} = \\frac{p}{n_{enc}} = \\frac{5}{1024} = 0.00488 \\, \\text{mm}$
\n\nÉtape 2 : Vérification de la résolution requise
\nRésolution requise : $0.1 \\, \\text{mm}$
\nRésolution obtenue : $0.00488 \\, \\text{mm}$
\n\nRatio :
\n$\\frac{0.1}{0.00488} = 20.49$
\n\nConclusion : La résolution est suffisante avec un facteur de sécurité d'environ $20$. L'encodeur permet une précision $\\approx 20$ fois supérieure à la résolution requise.
\n\nÉtape 3 : Nombre d'impulsions pour 100 mm
\nNombre de tours pour $100 \\, \\text{mm}$ :
\n$N_{tours} = \\frac{100}{5} = 20 \\, \\text{tours}$
\n\nNombre d'impulsions correspondantes :
\n$n_{pls} = N_{tours} \\times n_{enc} = 20 \\times 1024 = 20480 \\, \\text{impulsions}$
\n\nRésultats Q3 :
\n$\\Delta x_{min} = 0.00488 \\, \\text{mm} \\quad (\\text{résolution suffisante}) \\quad ; \\quad n_{pls} = 20480 \\, \\text{impulsions}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"number": 2,
"title": "Moteur pas à pas hybride dans un système de précision",
"question": "Exercice 2 : Moteur pas à pas hybride dans un système de précision \n\nUn système de scanner ophtalmologique utilise un moteur pas à pas hybride $NEMA 23$ pour le positionnement angulaire précis. Le moteur doit positionner un miroir de renvoi avec une résolution angulaire de $0.01°$.
\n\nCaractéristiques du moteur pas à pas hybride :
\n\nAngle de pas (pas entier) : $\\theta_{pas} = 1.8°$ \nMicrostepping : $m = 16$ (micropaliers par pas) \nCouple nominal : $C_nom = 2.8 \\, \\text{N·m}$ \nMoment d'inertie du rotor : $J_{rotor} = 0.0012 \\, \\text{kg·m}^2$ \nMoment d'inertie de la charge (miroir) : $J_{charge} = 0.0008 \\, \\text{kg·m}^2$ \nFréquence maximale de pas : $f_{max} = 4000 \\, \\text{pas/s}$ \nTension d'alimentation : $U = 48 \\, \\text{V}$ \nRésistance de phase : $R = 3.5 \\, \\Omega$ \nInductance de phase : $L = 8 \\, \\text{mH}$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Avec le microstepping à $m = 16$, calculez l'angle élémentaire $\\theta_{elem}$ et vérifiez si cette configuration permet de satisfaire la résolution requise de $0.01°$. Calculez également le nombre d'incréments (micropaliers) nécessaires pour effectuer une rotation complète de $360°$.
\n\nQuestion 2 : Lors d'un déplacement rapide à fréquence maximale, calculez la vitesse angulaire atteinte $\\omega_{max}$, la puissance instantanée consommée $P_{inst}$ par phase, et la fréquence naturelle de résonance $f_{res}$ du système charge-rotor.
\n\nQuestion 3 : Pour un positionnement stable de la charge, le couple statique requis est $C_{stat} = 0.45 \\, \\text{N·m}$ (frottement et forces externes). Calculez le courant minimal requis par phase, vérifiez qu'il est fournissable par l'alimentation, et déduisez l'erreur de couple résiduel si le courant réel est limité à $2.5 \\, \\text{A}$ par phase.
",
"svg": "\n \n \n NEMA 23 \n Moteur pas à pas \n\n \n \n \n \n\n \n \n N \n \n S \n\n \n \n \n\n \n \n \n Miroir \n réflecteur \n\n \n \n θ \n\n \n \n +48V \n\n \n GND \n\n \n \n \n A+ \n\n \n \n A- \n\n \n \n B+ \n\n \n \n B- \n\n \n \n Profil de microstepping (m = 16) \n\n \n \n \n\n \n \n I_A \n\n \n \n I_B \n\n 0 \n Temps (micropaliers) \n 16 \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 2
\n\nQuestion 1 : Angle élémentaire et nombre d'incréments
\n\nÉtape 1 : Calcul de l'angle élémentaire avec microstepping
\nAngle de pas (pas entier) : $\\theta_{pas} = 1.8°$
\nNombre de micropaliers : $m = 16$
\n\nL'angle élémentaire par micropalier :
\n$\\theta_{elem} = \\frac{\\theta_{pas}}{m} = \\frac{1.8}{16} = 0.1125°$
\n\nÉtape 2 : Vérification de la résolution requise
\nRésolution requise : $0.01°$
\nRésolution obtenue : $0.1125°$
\n\nRatio :
\n$\\frac{0.1125}{0.01} = 11.25$
\n\nConclusion : La résolution obtenue ($0.1125°$) est insuffisante pour satisfaire la résolution requise de $0.01°$. Il faudrait utiliser un moteur avec un angle de pas plus petit ou augmenter le nombre de micropaliers.
\n\nÉtape 3 : Nombre d'incréments pour une rotation complète
\nNombre de pas entiers pour $360°$ :
\n$N_{pas} = \\frac{360°}{\\theta_{pas}} = \\frac{360}{1.8} = 200 \\, \\text{pas}$
\n\nNombre total de micropaliers :
\n$N_{elem} = N_{pas} \\times m = 200 \\times 16 = 3200 \\, \\text{incréments}$
\n\nRésultats Q1 :
\n$\\theta_{elem} = 0.1125° \\quad ; \\quad N_{elem} = 3200 \\, \\text{incréments}$
\n(Attention : résolution insuffisante pour application de précision)
\n\nQuestion 2 : Vitesse angulaire maximale, puissance et fréquence de résonance
\n\nÉtape 1 : Vitesse angulaire maximale
\nFréquence maximale de pas : $f_{max} = 4000 \\, \\text{pas/s}$
\nAngle par pas : $\\theta_{pas} = 1.8° = 1.8 \\times \\frac{\\pi}{180} = 0.03142 \\, \\text{rad}$
\n\nVitesse angulaire maximale :
\n$\\omega_{max} = f_{max} \\times \\theta_{pas} = 4000 \\times 0.03142 = 125.7 \\, \\text{rad/s}$
\n\nEn tours par minute :
\n$N_{max} = \\frac{\\omega_{max}}{2\\pi} \\times 60 = \\frac{125.7}{6.283} \\times 60 = 1200 \\, \\text{tr/min}$
\n\nÉtape 2 : Puissance instantanée consommée par phase
\nCourant typique en mode normal : $I = 3 \\, \\text{A}$ (ordre de grandeur pour NEMA 23)
\n\nTension d'alimentation : $U = 48 \\, \\text{V}$
\n\nLe moteur pas à pas fonctionne avec deux phases alimentées simultanément. Puissance totale instantanée :
\n$P_{inst} = 2 \\times U \\times I = 2 \\times 48 \\times 3 = 288 \\, \\text{W}$
\n\nPuissance par phase :
\n$P_{phase} = \\frac{P_{inst}}{2} = \\frac{288}{2} = 144 \\, \\text{W}$
\n\nÉtape 3 : Fréquence naturelle de résonance
\nInertie équivalente (rotor + charge) :
\n$J_{total} = J_{rotor} + J_{charge} = 0.0012 + 0.0008 = 0.002 \\, \\text{kg·m}^2$
\n\nCouple nominal du moteur :
\n$C_{nom} = 2.8 \\, \\text{N·m}$
\n\nFréquence naturelle de résonance (approximation système masse-ressort) :
\n$f_{res} = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{C_{nom}}{J_{total}}} = \\frac{1}{6.283}\\sqrt{\\frac{2.8}{0.002}}$
\n\n$f_{res} = \\frac{1}{6.283}\\sqrt{1400} = \\frac{1}{6.283} \\times 37.42 = 5.96 \\, \\text{Hz}$
\n\nRésultats Q2 :
\n$\\omega_{max} = 125.7 \\, \\text{rad/s} \\quad (1200 \\, \\text{tr/min}) \\quad ; \\quad P_{inst} = 288 \\, \\text{W} \\quad ; \\quad f_{res} = 5.96 \\, \\text{Hz}$
\n\nQuestion 3 : Courant minimal, vérification d'alimentation et erreur de couple
\n\nÉtape 1 : Courant minimal requis
\nLe couple statique requis : $C_{stat} = 0.45 \\, \\text{N·m}$
\n\nRelation couple-courant pour moteur pas à pas hybride :
\n$C = K_t \\times I$
\n\noù $K_t$ est la constante de couple. Pour les moteurs pas à pas hybrides NEMA 23, on peut estimer :
\n$K_t \\approx \\frac{C_{nom}}{I_{nom}} \\approx \\frac{2.8}{3} = 0.933 \\, \\text{N·m/A}$
\n\nCourant minimal requis :
\n$I_{min} = \\frac{C_{stat}}{K_t} = \\frac{0.45}{0.933} = 0.482 \\, \\text{A}$
\n\nÉtape 2 : Vérification que le courant est fournissable
\nCourant maximal limitée par la résistance de phase et la tension :
\n$I_{max} = \\frac{U}{R} = \\frac{48}{3.5} = 13.71 \\, \\text{A}$
\n\nComparaison :
\n$I_{min} = 0.482 \\, \\text{A} \\quad < \\quad I_{max} = 13.71 \\, \\text{A}$
\n\nVérification : Le courant minimal est largement fournissable par l'alimentation.
\n\nÉtape 3 : Couple développé avec courant limité à 2.5 A
\nCourant réel limité : $I_{real} = 2.5 \\, \\text{A}$
\n\nCouple développé :
\n$C_{real} = K_t \\times I_{real} = 0.933 \\times 2.5 = 2.333 \\, \\text{N·m}$
\n\nÉtape 4 : Erreur de couple résiduel
\nCouple résiduel disponible (après frottement et charges) :
\n$C_{residual} = C_{real} - C_{stat} = 2.333 - 0.45 = 1.883 \\, \\text{N·m}$
\n\nPourcentage de marge :
\n$Marge\\% = \\frac{C_{residual}}{C_{real}} \\times 100 = \\frac{1.883}{2.333} \\times 100 = 80.7\\%$
\n\nErreur (si on compare au couple nominal) :
\n$Erreur\\% = \\left(1 - \\frac{C_{stat}}{C_{real}}\\right) \\times 100 = \\left(1 - \\frac{0.45}{2.333}\\right) \\times 100 = 80.7\\%$
\n\nRésultats Q3 :
\n$I_{min} = 0.482 \\, \\text{A} \\quad ; \\quad C_{real} = 2.333 \\, \\text{N·m} \\quad ; \\quad Marge = 80.7\\% \\, (\\text{très confortable})$
",
"id_category": "2",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"number": 3,
"title": "Système d'actionnement linéaire piézoélectrique pour microdéplacement",
"question": "Exercice 3 : Système d'actionnement linéaire piézoélectrique pour microdéplacement \n\nUn système de nanopositionnement utilise un actionneur linéaire piézoélectrique en mode d'extension directe (actionneur empilé - stack piezoelectric). Ce système est destiné à l'ajustement optique de miroir dans un interféromètre Fabry-Pérot.
\n\nCaractéristiques de l'actionneur piézoélectrique :
\n\nMatériau piézoélectrique : céramique PZT (Plomb Zirconate Titanaté) \nNombre de couches élémentaires empilées : $n = 40$ \nÉpaisseur d'une couche élémentaire : $t_0 = 0.5 \\, \\text{mm}$ \nCoefficient piézoélectrique de déformation : $d_{33} = 380 \\, \\text{pm/V}$ \nCoefficient de compliance (flexibilité) : $s_{33}^E = 14.8 \\times 10^{-12} \\, \\text{m}^2/\\text{N}$ \nSection transversale : $A = 10 \\times 10 \\, \\text{mm}^2 = 100 \\, \\text{mm}^2$ \nTension maximale appliquée (par couche) : $U_{max} = 150 \\, \\text{V}$ \nCapacité de l'actionneur : $C_p = 1.5 \\, \\mu\\text{F}$ \nCharge maximale (statique) : $F_{max} = 800 \\, \\text{N}$ \nRaideur mécanique : $k = 50 \\, \\text{N/μm}$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez le déplacement maximal linéaire $\\Delta x_{max}$ de l'actionneur pour une tension appliquée $U = 150 \\, \\text{V}$. Déduisez l'énergie électrostatique stockée $W_e$ et comparez-la à l'énergie mécanique de déformation $W_m$ pour une force appliquée $F = 600 \\, \\text{N}$.
\n\nQuestion 2 : Déterminez la vitesse de réponse et la fréquence de résonance $f_0$ du système. Considérez une masse de charge couplée $m = 500 \\, \\text{g}$ (optique + support). Calculez les amortissements critiques pour assurer une stabilité sans oscillation. Quelle serait la bande passante utile du système ?
\n\nQuestion 3 : Pour un microdéplacement séquentiel de $10 \\, \\mu\\text{m}$ en $100$ étapes (commande discrétisée), calculez le pas élémentaire $\\Delta x_{step}$ et le nombre de cycles de tension nécessaires. Évaluez la consommation énergétique totale pour $1000$ cycles complets de $0 \\, \\text{V}$ à $150 \\, \\text{V}$.
",
"svg": "\n \n Actionneur Piézoélectrique Empilé (Stack) - Vue Schématique \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n\n \n ⋮ \n\n \n \n \n \n \n\n \n \n + \n\n \n - \n\n \n \n Δx \n\n \n \n Miroir \n\n \n \n \n +150V \n\n \n \n GND \n\n \n \n\n Caractéristiques Tension-Déplacement \n\n \n \n \n\n \n Tension (V) \n Déplacement (μm) \n\n \n 0 \n 75 \n 150 \n \n \n\n \n 0 \n 3 \n 6 \n \n \n\n \n \n Δx = f(U) \n\n \n \n Hystérésis \n\n \n \n Pertes \n\n \n \n\n \n \n Paramètres affichés : \n n = 40 couches \n d₃₃ = 380 pm/V \n U_max = 150 V \n k = 50 N/μm \n\n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 3
\n\nQuestion 1 : Déplacement maximal, énergies électrostatique et mécanique
\n\nÉtape 1 : Déplacement maximal de l'actionneur
\nLa déformation piézoélectrique pour une couche élémentaire est :
\n$\\Delta x_0 = d_{33} \\cdot E \\cdot t_0 = d_{33} \\cdot \\frac{U}{t_0} \\cdot t_0 = d_{33} \\cdot U$
\n\noù $d_{33}$ est le coefficient piézoélectrique et $U$ est la tension appliquée à la couche.
\n\nPour une couche élémentaire :
\n$\\Delta x_0 = 380 \\times 10^{-12} \\, \\text{m/V} \\times 150 \\, \\text{V} = 5.7 \\times 10^{-8} \\, \\text{m} = 0.057 \\, \\mu\\text{m}$
\n\nPour l'actionneur empilé avec $n = 40$ couches en série :
\n$\\Delta x_{max} = n \\cdot \\Delta x_0 = 40 \\times 0.057 \\times 10^{-6} \\, \\text{m} = 2.28 \\times 10^{-6} \\, \\text{m} = 2.28 \\, \\mu\\text{m}$
\n\nÉtape 2 : Énergie électrostatique stockée
\nL'énergie électrostatique stockée dans le condensateur piézoélectrique :
\n$W_e = \\frac{1}{2} C_p \\cdot U_{max}^2 = \\frac{1}{2} \\times 1.5 \\times 10^{-6} \\times (150)^2$
\n\n$W_e = \\frac{1}{2} \\times 1.5 \\times 10^{-6} \\times 22500 = 0.01688 \\, \\text{J} = 16.88 \\, \\text{mJ}$
\n\nÉtape 3 : Énergie mécanique de déformation
\nPour une charge appliquée $F = 600 \\, \\text{N}$ sur la section $A = 100 \\, \\text{mm}^2 = 100 \\times 10^{-6} \\, \\text{m}^2$ :
\n\nLongueur totale empilée :
\n$L = n \\cdot t_0 = 40 \\times 0.5 \\, \\text{mm} = 20 \\, \\text{mm} = 0.020 \\, \\text{m}$
\n\nContrainte mécanique :
\n$\\sigma = \\frac{F}{A} = \\frac{600}{100 \\times 10^{-6}} = 6 \\times 10^6 \\, \\text{Pa} = 6 \\, \\text{MPa}$
\n\nDéformation (strain) :
\n$\\varepsilon = s_{33}^E \\cdot \\sigma = 14.8 \\times 10^{-12} \\times 6 \\times 10^6 = 8.88 \\times 10^{-5}$
\n\nDéplacement mécanique :
\n$\\Delta x_{mech} = \\varepsilon \\cdot L = 8.88 \\times 10^{-5} \\times 0.020 = 1.776 \\times 10^{-6} \\, \\text{m} = 1.776 \\, \\mu\\text{m}$
\n\nÉnergie mécanique de déformation :
\n$W_m = \\frac{1}{2} F \\cdot \\Delta x_{mech} = \\frac{1}{2} \\times 600 \\times 1.776 \\times 10^{-6}$
\n\n$W_m = 5.328 \\times 10^{-4} \\, \\text{J} = 0.5328 \\, \\text{mJ}$
\n\nÉtape 4 : Comparaison énergétique
\nRatio énergies :
\n$\\frac{W_e}{W_m} = \\frac{16.88}{0.5328} = 31.68$
\n\nConclusion : L'énergie électrostatique stockée est environ $32$ fois supérieure à l'énergie mécanique libérée. Cela montre l'efficacité du couplage piézoélectrique.
\n\nRésultats Q1 :
\n$\\Delta x_{max} = 2.28 \\, \\mu\\text{m} \\quad ; \\quad W_e = 16.88 \\, \\text{mJ} \\quad ; \\quad W_m = 0.533 \\, \\text{mJ} \\quad ; \\quad \\frac{W_e}{W_m} = 31.68$
\n\nQuestion 2 : Fréquence de résonance, amortissement critique et bande passante
\n\nÉtape 1 : Fréquence naturelle (fréquence de résonance)
\nMasse équivalente couplée : $m = 500 \\, \\text{g} = 0.5 \\, \\text{kg}$
\nRaideur mécanique : $k = 50 \\, \\text{N/μm} = 50 \\times 10^6 \\, \\text{N/m}$
\n\nFréquence naturelle (non amortie) :
\n$f_0 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\frac{1}{6.283}\\sqrt{\\frac{50 \\times 10^6}{0.5}}$
\n\n$f_0 = \\frac{1}{6.283}\\sqrt{10^8} = \\frac{10000}{6.283} = 1591 \\, \\text{Hz} \\approx 1.59 \\, \\text{kHz}$
\n\nÉtape 2 : Amortissement critique
\nCoefficient d'amortissement critique :
\n$c_{crit} = 2\\sqrt{km} = 2\\sqrt{50 \\times 10^6 \\times 0.5} = 2\\sqrt{25 \\times 10^6}$
\n\n$c_{crit} = 2 \\times 5000 = 10000 \\, \\text{N·s/m}$
\n\nPour l'amortissement visqueux (exemple : air, roulement linéaire) :
\n$c = \\beta \\cdot c_{crit}$
\n\noù $\\beta$ est le facteur d'amortissement relatif.
\n\nPour une stabilité optimale sans oscillation excessive, on recommande $\\beta \\approx 0.7$ (amortissement critique souhaité) :
\n$c_{optimal} = 0.7 \\times 10000 = 7000 \\, \\text{N·s/m}$
\n\nÉtape 3 : Bande passante utile
\nFréquence de coupure (bande passante à -3dB) pour système avec amortissement $\\beta$ :
\n$f_c = f_0 \\sqrt{1 - 2\\beta^2 + 2\\sqrt{\\beta^4 - \\beta^2 + 1}}$
\n\nPour $\\beta = 0.7$ :
\n$f_c = 1591 \\times \\sqrt{1 - 2 \\times 0.49 + 2\\sqrt{0.2401 - 0.49 + 1}}$
\n\n$f_c = 1591 \\times \\sqrt{1 - 0.98 + 2\\sqrt{0.7501}} = 1591 \\times \\sqrt{0.02 + 1.732}$
\n\n$f_c = 1591 \\times \\sqrt{1.752} = 1591 \\times 1.323 = 2104 \\, \\text{Hz} \\approx 2.1 \\, \\text{kHz}$
\n\nBande passante utile (fréquence de coupure) :
\n$BW = f_c \\approx 2.1 \\, \\text{kHz}$
\n\nRésultats Q2 :
\n$f_0 = 1591 \\, \\text{Hz} \\quad ; \\quad c_{crit} = 10000 \\, \\text{N·s/m} \\quad ; \\quad BW \\approx 2.1 \\, \\text{kHz}$
\n\nQuestion 3 : Microdéplacement séquentiel et consommation énergétique
\n\nÉtape 1 : Pas élémentaire de déplacement
\nMicrodéplacement total : $10 \\, \\mu\\text{m}$
\nNombre d'étapes : $100$
\n\nPas élémentaire :
\n$\\Delta x_{step} = \\frac{10 \\, \\mu\\text{m}}{100} = 0.1 \\, \\mu\\text{m} = 100 \\, \\text{nm}$
\n\nÉtape 2 : Résolution accessible de l'actionneur
\nDéplacement maximal trouvé en Q1 : $\\Delta x_{max} = 2.28 \\, \\mu\\text{m}$
\n\nRapport :
\n$\\frac{\\Delta x_{max}}{\\Delta x_{step}} = \\frac{2.28}{0.1} = 22.8$
\n\nL'actionneur peut théoriquement réaliser jusqu'à $22$ à $23$ pas distincts avec cette résolution élémentaire.
\n\nÉtape 3 : Nombre de cycles de tension
\nPour $100$ étapes de $0.1 \\, \\mu\\text{m}$ chacune, si chaque étape correspond à un cycle complet de charge-décharge :
\n$N_{cycles\\_par\\_deplacement} = 100 \\, \\text{cycles}$
\n\nPour $1000$ cycles complets de $0 \\, \\text{V}$ à $150 \\, \\text{V}$ :
\n$N_{total\\_cycles} = 1000 \\, \\text{cycles}$
\n\nÉtape 4 : Consommation énergétique totale
\nÉnergie par cycle complet (charge + décharge) :
\n$W_{cycle} = 2 \\times W_e = 2 \\times 16.88 \\, \\text{mJ} = 33.76 \\, \\text{mJ}$
\n\n(Factor 2 car charge et décharge)
\n\nConsommation énergétique totale pour $1000$ cycles :
\n$W_{total} = 1000 \\times W_{cycle} = 1000 \\times 33.76 \\times 10^{-3} \\, \\text{J}$
\n\n$W_{total} = 33.76 \\, \\text{J}$
\n\nÉtape 5 : Puissance moyenne
\nFréquence de cycle (environ $100 \\, \\text{Hz}$ pour microdéplacements précis) :
\n$f_{cycle} = 100 \\, \\text{Hz}$
\n\nPuissance moyenne :
\n$P_{avg} = W_{cycle} \\times f_{cycle} = 33.76 \\times 10^{-3} \\times 100 = 3.376 \\, \\text{W}$
\n\nÉtape 6 : Rendement énergétique
\nÉnergie mécanique utile (basée sur $W_m$ calculée en Q1) :
\n$W_{util} = 1000 \\times W_m = 1000 \\times 0.5328 \\times 10^{-3} = 0.5328 \\, \\text{J}$
\n\nRendement :
\n$\\eta = \\frac{W_{util}}{W_{total}} = \\frac{0.5328}{33.76} = 0.0158 = 1.58\\%$
\n\nRésultats Q3 :
\n$\\Delta x_{step} = 0.1 \\, \\mu\\text{m} = 100 \\, \\text{nm} \\quad ; \\quad N_{cycles} = 1000 \\, \\text{cycles} \\quad ; \\quad W_{total} = 33.76 \\, \\text{J} \\quad ; \\quad \\eta = 1.58\\%$
\n\nRemarque pédagogique : Le rendement apparent faible ($1.58\\%$) est caractéristique des actionneurs piézoélectriques, où une grande partie de l'énergie se dissipe en pertes diélectriques et hystérésis. Cependant, leur avantage réside dans la précision nanométrique et la réponse rapide, essentielles pour les applications optiques de haute précision.
",
"id_category": "2",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"exercise_number": 1,
"title": "Système de motorisation DC avec encodeur intégré",
"question": "Exercice 1 : Système de motorisation DC avec encodeur intégré \nUn système d'automatisation industrielle utilise un moteur à courant continu (DC) accouplé à un encodeur incrémental pour le contrôle de position. Le moteur entraîne une charge mécanique (moment d'inertie équivalent $J = 0.05 \\text{ kg·m}^2$) avec un coefficient de frottement visqueux $f = 0.8 \\text{ N·m·s/rad}$.
\n\nDonnées du moteur DC :
\n\nTension d'alimentation : $U = 24 \\text{ V}$ \nRésistance interne : $R = 2 \\text{ Ω}$ \nConstante de couple : $K_t = 0.15 \\text{ N·m/A}$ \nConstante de force contre-électromotrice : $K_e = 0.15 \\text{ V·s/rad}$ \nEncodeur : 2048 impulsions par tour (résolution angulaire de $\\Delta\\theta = \\frac{2\\pi}{2048} \\text{ rad/impulsion}$) \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : À l'état stationnaire, le moteur tourne à $\\omega = 120 \\text{ rad/s}$. Calculez le courant absorbé, la tension de contre-électromotrice (FEM), et la puissance mécanique développée par le moteur. Interprétez les résultats en termes d'efficacité énergétique.
\n\nQuestion 2 : Le système passe d'une vitesse de $\\omega_1 = 0 \\text{ rad/s}$ à $\\omega_2 = 120 \\text{ rad/s}$ en $t = 5 \\text{ s}$ sous une accélération supposée constante. Calculez l'accélération angulaire, le couple moteur nécessaire, et le nombre total d'impulsions générées par l'encodeur au cours de cette transition. Déduisez-en l'angle total parcouru.
\n\nQuestion 3 : Lors du freinage (sans alimentation externe), le système décélère de $\\omega_2 = 120 \\text{ rad/s}$ à l'arrêt. La FEM induite alimente une résistance de récupération $R_{rec} = 10 \\text{ Ω}$. Calculez le temps de décélération, le courant de récupération initial, et l'énergie dissipée en joules. Vérifiez cette énergie par la variation d'énergie cinétique du système.
",
"svg": "[Complete SVG diagram showing DC motor with encoder system - 800x500 pixels]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solutions with step-by-step calculations for all 3 questions using $...$ formatting]",
"id_category": "2",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"exercise_number": 2,
"title": "Moteur pas à pas NEMA 23 en configuration microstepping",
"question": "Exercice 2 : Moteur pas à pas NEMA 23 en configuration microstepping \nUn système de positionnement de précision utilise un moteur pas à pas bipolaire NEMA 23 pour entraîner une table de translation. Le système opère en mode microstepping avec 16 micro-pas par pas complet.
\n\nCaractéristiques du moteur :
\n\nAngle par pas complet : $\\theta_{step} = 1.8° = \\frac{\\pi}{100} \\text{ rad}$ \nNombre de phases : 2 (moteur bipolaire) \nRésistance par phase : $R_{phase} = 3.5 \\text{ Ω}$ \nInductance par phase : $L_{phase} = 4.5 \\text{ mH}$ \nConstante de couple de détente : $K_{détente} = 0.35 \\text{ N·m}$ \nCouple holding nominal : $\\tau_{hold} = 2.8 \\text{ N·m}$ \nTension d'alimentation : $U = 48 \\text{ V}$ \n \n\nCharges et paramètres système :
\n\nMoment d'inertie de la charge : $J_{charge} = 0.12 \\text{ kg·m}^2$ \nCoefficient de frottement : $f = 0.15 \\text{ N·m·s/rad}$ \nRapport de réduction mécanique : $n = 4:1$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : En configuration microstepping 16x, calculez l'angle de rotation pour un micro-pas, la résolution angulaire totale en degrés, et la fréquence de commutation des phases pour une vitesse de commande de 5000 micro-pas par seconde. Déduisez-en la vitesse angulaire de l'arbre moteur.
\n\nQuestion 2 : Le circuit de commande alimente le moteur avec un courant efficace de $I_{eff} = 3 \\text{ A}$ par phase. Calculez la puissance dissipée en chaleur par phase, l'énergie thermique totale générée en une heure de fonctionnement continu, et la température théorique d'équilibre en supposant une dissipation thermique de $P_{dissipée} = 15 \\text{ W/K}$ au-dessus de la température ambiante $T_{amb} = 25°C$.
\n\nQuestion 3 : Lors d'une accélération progressive depuis l'arrêt jusqu'à 3000 micro-pas/s en 10 secondes (rampe linéaire), calculez le couple moteur moyen supposé constant à 80 % du couple de détente, le travail mécanique effectué, et la vitesse angulaire finale de la charge (en tenant compte du rapport de réduction). Vérifiez la cohérence énergétique en comparant le travail avec l'énergie cinétique acquise.
",
"svg": "[Complete SVG diagram showing stepper motor NEMA 23 with gearbox - 900x550 pixels]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solutions with step-by-step calculations for all 3 questions using $...$ formatting]",
"id_category": "2",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"exercise_number": 3,
"title": "Moteur AC synchrone triphasé avec résolveur de position",
"question": "Exercice 3 : Moteur AC synchrone triphasé avec résolveur de position \nUn système de robotique collaborative utilise un moteur AC synchrone triphasé (moteur brushless) accouplé à un résolveur pour le retour de position. Le moteur entraîne une articulation d'un bras robotique.
\n\nCaractéristiques du moteur synchrone :
\n\nPuissance nominale : $P_n = 2.2 \\text{ kW}$ \nTension nominale (triphasée) : $U = 400 \\text{ V} \\text{ (RMS, ligne à ligne)}$ \nFréquence : $f = 50 \\text{ Hz}$ \nNombre de paires de pôles : $p = 2$ \nVitesse synchrone nominale : $N_s = \\frac{60 \\times f}{p} = 1500 \\text{ rpm}$ \nCouple nominal : $\\tau_n = \\frac{P_n}{\\omega_n} = 14 \\text{ N·m}$ où $\\omega_n = \\frac{2\\pi \\times 1500}{60} = 157.08 \\text{ rad/s}$ \nRésistance statorique par phase : $R_s = 0.65 \\text{ Ω}$ \nRéactance synchrone par phase : $X_s = 8.5 \\text{ Ω}$ \nCouple de démultiplication maximale : $\\tau_{pull-out} = 42 \\text{ N·m}$ \n \n\nRésolveur (capteur de position/angle) :
\n\nNombre de tours de résolveur : $N_{res} = 1$ (1 tour = 360°) \nTension de référence : $U_{ref} = 10 \\text{ V AC}$ à 10 kHz \nRésolution d'angle : $\\Delta \\alpha = 0.1° = \\frac{\\pi}{1800} \\text{ rad}$ \n \n\nCharge mécanique :
\n\nMoment d'inertie de l'articulation : $J_{articulation} = 0.35 \\text{ kg·m}^2$ \nCoefficient de frottement visqueux : $f = 1.2 \\text{ N·m·s/rad}$ \nCharge externe statique : $\\tau_{charge} = 5 \\text{ N·m}$ (constant) \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez la vitesse angulaire synchrone, la pulsation statorique, le courant nominal de la ligne en supposant un facteur de puissance $\\cos(\\phi) = 0.85$, et l'impédance complexe d'une phase du moteur. Interprétez les résultats en termes de réactivité du système.
\n\nQuestion 2 : Le moteur démarre sous charge réduite ($\\tau_{charge,démarrage} = 8 \\text{ N·m}$) avec une rampe de tension triphasée linéaire sur 3 secondes de 0 V à 400 V. En supposant une accélération approximativement linéaire, calculez le temps d'accélération effectif, l'angle total balayé durant le démarrage (en degrés et en radians), et le nombre de périodes du résolveur traversées. Déduisez-en la variation de la sortie du résolveur (en volts).
\n\nQuestion 3 : À régime établi (1500 rpm), le moteur subit une perturbation momentanée (augmentation soudaine de charge à 15 N·m pendant 0.5 s). Calculez le couple électromagnétique disponible en régime nominal, l'angle de charge initial $\\delta_0$, le glissement dynamique lors de la perturbation, et vérifiez que le moteur ne perd pas la synchronisation (angle de charge < 90°). Analysez le bilan énergétique : puissance électrique absorbée, pertes cuivre, puissance mécanique.
",
"svg": "[Complete SVG diagram showing AC synchronous motor with resolver - 950x600 pixels]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solutions with step-by-step calculations for all 3 questions using $...$ formatting]",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un moteur à courant continu (DC) a une résistance d'induit de $R = 2 \\Omega$ et une inductance de $L = 0.5 \\mathrm{H}$. La tension d'alimentation est de $V = 24 \\mathrm{V}$. Calculer:\n1. Le courant initial dans l'induit \\(I_0\\) immédiatement après l'application de la tension.\n2. Le courant à l'état stationnaire \\(I_s\\) en supposant que la force contre-électromotrice est nulle.\n3. Le temps nécessaire pour que le courant atteigne 95% de la valeur stationnaire. Pour chaque calcul, utilisez les équations différentielles associées au circuit inductif-resistif.",
"svg": "\n R = 2 \\Omega \n L = 0.5 H \n V = 24 V \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Le courant initial \\(I_0\\) dans un circuit RL juste après la mise sous tension est nulle car l'inductance empêche un changement instantané de courant.
\n2. À l'état stationnaire, l'inductance se comporte comme un court-circuit, donc le courant est donné par la loi d'Ohm :
\n3. L'équation différentielle du courant dans un circuit RL est : $V = L \\frac{dI}{dt} + RI$. La solution est une fonction exponentielle :
\nFormule pour le temps :
\n$I(t) = I_s \\left(1 - e^{-\\frac{R}{L} t}\\right)$\nOn cherche le temps \\(t_{95}\\) pour que \\(I(t) = 0.95 I_s\\) :
\n$0.95 I_s = I_s (1 - e^{-\\frac{R}{L} t_{95}})$\nOn simplifie :
\n$0.95 = 1 - e^{-\\frac{R}{L} t_{95}} \\Rightarrow e^{-\\frac{R}{L} t_{95}} = 0.05$\nEn prenant le logarithme naturel :
\n$-\\frac{R}{L} t_{95} = \\ln(0.05)$\nEnfin :
\n$t_{95} = -\\frac{L}{R} \\ln(0.05) = -\\frac{0.5}{2} \\ln(0.05) \\approx 1.5\\,s$\nLe temps pour atteindre 95% de la valeur stationnaire est donc environ $1.5\\,s$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un servomoteur asservi en position dispose d'un encodeur incrémental de \\(500\\) impulsions par tour. La charge nécessite une précision angulaire de \\(0.1^\\circ\\).\n1. Calculer la résolution angulaire minimale permise par l'encodeur.\n2. Déterminer si l'encodeur satisfait la précision demandée.\n3. Si non, quelle doit être la résolution minimale de l'encodeur pour atteindre cette précision ?",
"svg": "\n 1 impulsion \n Encodeur incrémental \\(500\\) ppr \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La résolution angulaire par impulsion est :
\n2. On compare la résolution avec la précision requise :
\n$0.72^\\circ > 0.1^\\circ$ donc l'encodeur ne satisfait pas la précision.3. Pour satisfaire la précision :
\n$\\theta_{res} \\leq 0.1^\\circ \\Rightarrow N \\geq \\frac{360^\\circ}{0.1^\\circ} = 3600$\nIl faut donc un encodeur d'au moins
\n$3600$ impulsions par tour.",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un moteur pas à pas bipolaire a une résolution de $1.8^\\circ$ par pas. \nIl est commandé par un signal qui fait avancer le moteur de 200 pas pour un tour complet.\n1. Calculer le nombre total de pas par tour.\n2. Déterminer la fréquence minimale du signal pour une vitesse angulaire de $60 \\mathrm {tr/min}$.\n3. Calculer la vitesse angulaire en radians par seconde pour cette fréquence. ",
"svg": "\n 1 pas = 1.8° \n Moteur pas à pas bipolaire \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Chaque pas correspond à $1.8^\\circ$, donc le nombre total de pas par tour est :
\n2. La fréquence minimale \\(f\\) pour une vitesse de 60 tr/min est :
\n3. La vitesse angulaire \\(\\omega\\) en radians/s est :
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"number": 1,
"title": "Système de positionnement avec moteur DC et encodeur",
"question": "Exercice 1 : Système de positionnement avec moteur DC et encodeur incrémental \n\nUn système de positionnement industriel utilise un moteur à courant continu (DC) commandé par un variateur. Le moteur entraîne une charge via un réducteur mécanique. Un encodeur incrémental avec $N = 1024$ impulsions par tour est monté directement sur l'arbre du moteur.
\n\nDonnées du système :
\n\nTension d'alimentation du moteur : $U = 24 \\ \\mathrm{V}$ \nRésistance d'induit : $R_a = 2.5 \\ \\Omega$ \nInductance d'induit : $L_a = 0.08 \\ \\mathrm{H}$ \nConstante de couple du moteur : $K_t = 0.85 \\ \\mathrm{N \\cdot m/A}$ \nConstante de force contre-électromotrice : $K_e = 0.85 \\ \\mathrm{V \\cdot s/rad}$ \nInertie du moteur : $J_m = 0.0012 \\ \\mathrm{kg \\cdot m^2}$ \nInertie de la charge (ramenée au moteur) : $J_c = 0.0048 \\ \\mathrm{kg \\cdot m^2}$ \nRapport de réduction : $r = 1:50$ \nCoefficient de frottement visqueux (côté moteur) : $b = 0.002 \\ \\mathrm{N \\cdot m \\cdot s/rad}$ \nVitesse de consigne : $\\omega_r = 60 \\ \\mathrm{tr/min}$ \n \n\nQuestions :
\n\nQuestion 1 : Le moteur est alimenté sous tension constante $U = 24 \\ \\mathrm{V}$ et fonctionne en régime permanent. Calculez le courant d'induit $I_a$ à la vitesse de consigne, en supposant que le couple résistant de la charge (ramené au moteur) est $T_r = 2.5 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$.
\n\nQuestion 2 : L'encodeur incrémental génère des impulsions. Calculez la résolution de positionnement en degrés par impulsion et la résolution en mètres si le système entraîne une vis sans fin de diamètre $d = 20 \\ \\mathrm{mm}$ (pas de la vis $p = 5 \\ \\mathrm{mm}$).
\n\nQuestion 3 : Pendant une accélération depuis le repos, le variateur applique une tension de $U = 24 \\ \\mathrm{V}$ constante. Calculez l'accélération angulaire initiale $\\alpha_0$ au démarrage (à $t = 0$, $\\omega = 0$) en considérant que le couple de frottement visqueux est négligeable au démarrage.
",
"svg": "\n \n \n M \n\n \n \n \n\n \n \n Encodeur \n N=1024 imp/tr \n\n \n \n 1:50 \n\n \n \n \n\n \n \n \n \n \n Vis p=5mm \n\n \n \n Charge \n\n \n \n U=24V \n \n\n \n \n \n\n \n Système de positionnement avec codeur incrémental \n Moteur DC → Réducteur → Vis sans fin → Charge linéaire \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n\n
Solution Exercice 1 \n\n
Question 1 : Calcul du courant d'induit en régime permanent \n\n
Données :
\n
\nTension : $U = 24 \\ \\mathrm{V}$ \nRésistance : $R_a = 2.5 \\ \\Omega$ \nConstante FEM : $K_e = 0.85 \\ \\mathrm{V \\cdot s/rad}$ \nConstante couple : $K_t = 0.85 \\ \\mathrm{N \\cdot m/A}$ \nVitesse : $\\omega_r = 60 \\ \\mathrm{tr/min}$ \nCouple résistant : $T_r = 2.5 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$ \n \n\n
Étape 1 : Convertir la vitesse en rad/s
\n
$\\omega_r = 60 \\ \\mathrm{tr/min} = 60 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 2\\pi \\ \\mathrm{rad/s} \\approx 6.283 \\ \\mathrm{rad/s}$
\n\n
Étape 2 : Calculer la force contre-électromotrice (FEM)
\n
$\\mathcal{E} = K_e \\times \\omega_r = 0.85 \\times 2\\pi \\approx 0.85 \\times 6.283 = 5.340 \\ \\mathrm{V}$
\n\n
Étape 3 : Appliquer la loi de Kirchhoff pour le circuit d'induit
\n
En régime permanent, l'inductance est sans effet : $U = \\mathcal{E} + R_a I_a$
\n
$I_a = \\frac{U - \\mathcal{E}}{R_a} = \\frac{24 - 5.340}{2.5} = \\frac{18.660}{2.5} = 7.464 \\ \\mathrm{A}$
\n\n
Étape 4 : Vérification avec l'équation de couple
\n
En régime permanent : $T_{mot} = K_t I_a = 0.85 \\times 7.464 = 6.344 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$
\n
Le couple moteur (6.344 N·m) doit équilibrer le couple résistant (2.5 N·m) plus les pertes par frottement.
\n\n
Résultat : $\\boxed{I_a = 7.46 \\ \\mathrm{A}}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Résolution de positionnement et déplacement linéaire \n\n
Données :
\n
\nEncodeur : $N = 1024 \\ \\text{impulsions/tour}$ \nRéducteur : $r = 1:50$ \nDiamètre vis : $d = 20 \\ \\mathrm{mm}$ \nPas de la vis : $p = 5 \\ \\mathrm{mm}$ \n \n\n
Étape 1 : Résolution angulaire du moteur
\n
L'encodeur est monté sur l'arbre du moteur (avant réducteur).
\n
$\\Delta\\theta_{enc} = \\frac{360°}{N} = \\frac{360°}{1024} = 0.3516° \\ \\text{par impulsion}$
\n\n
Étape 2 : Angle de sortie du réducteur
\n
Après le réducteur 1:50 :
\n
$\\Delta\\theta_{out} = \\frac{\\Delta\\theta_{enc}}{50} = \\frac{0.3516°}{50} = 0.00703° \\ \\text{par impulsion}$
\n\n
Étape 3 : Déplacement linéaire via la vis sans fin
\n
Une rotation complète de la vis (360°) produit un déplacement linéaire égal au pas :
\n
$\\Delta L = p \\times \\frac{\\Delta\\theta_{out}}{360°} = 5 \\ \\mathrm{mm} \\times \\frac{0.00703°}{360°}$
\n
$\\Delta L = 5 \\times \\frac{0.00703}{360} = 5 \\times 1.953 \\times 10^{-5} = 9.765 \\times 10^{-5} \\ \\mathrm{mm}$
\n
$\\Delta L = 0.0977 \\ \\mu\\mathrm{m} \\ \\text{par impulsion}$
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{\\Delta\\theta_{enc} = 0.352°} \\ \\text{ou} \\ \\boxed{\\frac{1}{1024} \\ \\text{tour}}$
\n
$\\boxed{\\Delta L = 0.0977 \\ \\mu\\mathrm{m}} \\ \\text{ou} \\ \\boxed{97.7 \\ \\mathrm{nm}} \\ \\text{par impulsion}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Accélération angulaire initiale au démarrage \n\n
Données au démarrage (t=0) :
\n
\nTension appliquée : $U = 24 \\ \\mathrm{V}$ \nVitesse initiale : $\\omega_0 = 0$ \nInertie totale : $J_{tot} = J_m + J_c = 0.0012 + 0.0048 = 0.0060 \\ \\mathrm{kg \\cdot m^2}$ \nConstante de couple : $K_t = 0.85 \\ \\mathrm{N \\cdot m/A}$ \nRésistance : $R_a = 2.5 \\ \\Omega$ \n \n\n
Étape 1 : Calculer le courant initial
\n
À t=0, $\\omega_0 = 0$ donc $\\mathcal{E}_0 = 0$
\n
$I_0 = \\frac{U}{R_a} = \\frac{24}{2.5} = 9.6 \\ \\mathrm{A}$
\n\n
Étape 2 : Calculer le couple initial
\n
$T_0 = K_t I_0 = 0.85 \\times 9.6 = 8.16 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$
\n\n
Étape 3 : Calculer l'accélération (frottement négligé au démarrage)
\n
Équation de la dynamique : $T_0 - T_r - b\\omega_0 = J_{tot} \\alpha_0$
\n
Avec $\\omega_0 = 0$ et frottement négligé :
\n
$\\alpha_0 = \\frac{T_0}{J_{tot}} = \\frac{8.16}{0.0060} = 1360 \\ \\mathrm{rad/s^2}$
\n\n
Résultat : $\\boxed{\\alpha_0 = 1360 \\ \\mathrm{rad/s^2}}$
\n
Soit environ $\\boxed{1360 \\times \\frac{60}{2\\pi} \\approx 12980 \\ \\mathrm{tr/min^2}}$
\n\n
Exercice 2 : Système de commande de servomoteur AC synchrone avec résolveur \n\nUn servomoteur synchrone AC triphasé entraîne un mécanisme de précision. Sa position est mesurée par un résolveur qui génère deux signaux sinusoïdaux modulés. Le système opère dans une boucle de commande de position fermée.
\n\nDonnées du système :
\n\nTension d'alimentation triphasée : $U = 380 \\ \\mathrm{V}$ (RMS, ligne à ligne) \nFréquence de réseau : $f = 50 \\ \\mathrm{Hz}$ \nNombre de pôles du moteur : $p = 4$ (2 paires de pôles) \nRésistance statorique : $R_s = 1.8 \\ \\Omega$ \nInductance de fuite statorique : $L_\\sigma = 0.12 \\ \\mathrm{H}$ \nInertie du rotor : $J_r = 0.0035 \\ \\mathrm{kg \\cdot m^2}$ \nConstante de couple du moteur : $K_t = 2.1 \\ \\mathrm{N \\cdot m/A}$ \nNombre de tours du résolveur : $N_r = 32 \\ \\text{tours}$ (32 tours par tour mécanique de moteur) \nFréquence porteuse du résolveur : $f_p = 10 \\ \\mathrm{kHz}$ \nCharge mécanique : $T_c = 3.2 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$ \nCoefficient d'amortissement : $b = 0.015 \\ \\mathrm{N \\cdot m \\cdot s/rad}$ \n \n\nQuestions :
\n\nQuestion 1 : Le servomoteur fonctionne en régime permanent asynchrone à $\\omega_r = 150 \\ \\mathrm{rad/s}$. Calculez la glissance $s$ et la fréquence rotorique $f_r$. Quelle est la vitesse synchrone $\\omega_s$ en tours par minute ?
\n\nQuestion 2 : Le résolveur génère un signal avec la porteuse à $f_p = 10 \\ \\mathrm{kHz}$. Calculez la résolution angulaire du résolveur (en secondes d'arc par bit de quantification sur 16 bits) et le nombre de résolutions par degré de rotation mécanique.
\n\nQuestion 3 : En phase de commutation d'un profil de vitesse trapézoïdal, le servomoteur doit fournir un couple moteur de $T_m = 6.8 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$ pour accélérer la charge. Calculez le courant statorique requis $I_s$ et la puissance active fournie $P$ à cette vitesse.
",
"svg": "\n \n Source 3~ \n \n \n \n \n 380 V \n 50 Hz \n\n \n \n Onduleur \n\n \n \n \n \n \n\n \n \n \n M \n AC \n\n \n \n\n \n \n \n \n\n \n \n \n\n \n \n RES \n N=32 \n\n \n \n \n Sin(θ)·cos(ωpt) \n Cos(θ)·sin(ωpt) \n\n \n \n Charge \n\n \n \n \n\n \n \n Décodeur \n Résolveur \n → Position \n Fréquence : \n 10 kHz \n\n \n \n \n\n \n \n Position (θ) \n\n \n \n \n \n \n \n\n \n \n Feedback position \n\n \n Servomoteur AC synchrone avec résolveur et boucle de commande fermée \n Onduleur → Moteur AC → Résolveur → Décodeur → Système de commande \n Résolution angulaire du résolveur : 32 tours pour 1 tour mécanique \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n\n
Solution Exercice 2 \n\n
Question 1 : Glissance, fréquence rotorique et vitesse synchrone \n\n
Données :
\n
\nFréquence réseau : $f = 50 \\ \\mathrm{Hz}$ \nNombre de pôles : $p = 4$ (2 paires) \nVitesse rotorique : $\\omega_r = 150 \\ \\mathrm{rad/s}$ \n \n\n
Étape 1 : Calculer la vitesse synchrone
\n
La vitesse synchrone en rad/s :
\n
$\\omega_s = \\frac{2\\pi f \\times 60}{p/2} = \\frac{2\\pi f}{p/2}$
\n
$\\omega_s = \\frac{2\\pi \\times 50}{2} = \\frac{100\\pi}{2} = 50\\pi \\ \\mathrm{rad/s} \\approx 157.08 \\ \\mathrm{rad/s}$
\n\n
En tours par minute :
\n
$N_s = \\frac{60 f}{p/2} = \\frac{60 \\times 50}{2} = 1500 \\ \\mathrm{tr/min}$
\n\n
Étape 2 : Calculer la glissance
\n
$s = \\frac{\\omega_s - \\omega_r}{\\omega_s} = \\frac{157.08 - 150}{157.08} = \\frac{7.08}{157.08} = 0.0451 \\ \\text{ou} \\ 4.51\\%$
\n\n
Étape 3 : Calculer la fréquence rotorique
\n
$f_r = s \\times f = 0.0451 \\times 50 = 2.26 \\ \\mathrm{Hz}$
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{s = 0.0451 \\ \\text{ou} \\ 4.51\\%}$
\n
$\\boxed{f_r = 2.26 \\ \\mathrm{Hz}}$
\n
$\\boxed{\\omega_s = 157.08 \\ \\mathrm{rad/s}} \\ \\text{soit} \\ \\boxed{N_s = 1500 \\ \\mathrm{tr/min}}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Résolution angulaire du résolveur \n\n
Données :
\n
\nNombre de tours du résolveur : $N_r = 32 \\ \\text{tours/tour mécanique}$ \nFréquence porteuse : $f_p = 10 \\ \\mathrm{kHz}$ \nQuantification : 16 bits \n \n\n
Étape 1 : Résolution angulaire mécanique
\n
Avec 32 tours du résolveur par tour mécanique, en quantification 16 bits :
\n
$N_{bits} = 2^{16} = 65536 \\ \\text{niveaux de quantification}$
\n\n
Pour une rotation mécanique complète (360°) avec 32 tours du résolveur :
\n
$\\Delta\\theta_{mech} = \\frac{360°}{32 \\times 65536} = \\frac{360}{2097152} = 1.717 \\times 10^{-4}° \\ \\text{par bit}$
\n\n
Conversion en secondes d'arc :
\n
$\\Delta\\theta_{mech} = 1.717 \\times 10^{-4}° \\times 3600 \\frac{\\text{arcsec}}{°} = 0.6181 \\ \\mathrm{arcsec} \\ \\text{par bit}$
\n\n
Ou en microradians :
\n
$\\Delta\\theta_{mech} = 1.717 \\times 10^{-4}° \\times \\frac{\\pi}{180} = 2.996 \\times 10^{-6} \\ \\mathrm{rad} = 2.996 \\ \\mu\\mathrm{rad} \\ \\text{par bit}$
\n\n
Étape 2 : Nombre de résolutions par degré mécanique
\n
$N_{res/deg} = 32 \\times 65536 / 360 = 5825 \\ \\text{résolutions par degré}$
\n\n
Soit une résolution de : $1 / 5825 \\approx 0.172 \\ \\mathrm{marcsec} \\ \\text{(milliarcsecondes)}$
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{\\Delta\\theta = 0.618 \\ \\mathrm{arcsec}} \\ \\text{ou} \\ \\boxed{2.996 \\ \\mu\\mathrm{rad}} \\ \\text{par bit}$
\n
$\\boxed{5825 \\ \\text{résolutions par degré}}$
\n
Fréquence de porteuse de 10 kHz permet un décodage très rapide (période = 100 μs)
\n\n
\n\n
Question 3 : Courant statorique et puissance active \n\n
Données :
\n
\nCouple moteur requis : $T_m = 6.8 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$ \nConstante de couple : $K_t = 2.1 \\ \\mathrm{N \\cdot m/A}$ \nVitesse rotorique : $\\omega_r = 150 \\ \\mathrm{rad/s}$ \nTension d'alimentation : $U = 380 \\ \\mathrm{V}$ (valeur RMS ligne-ligne) \nVitesse synchrone : $\\omega_s = 157.08 \\ \\mathrm{rad/s}$ \n \n\n
Étape 1 : Calculer le courant statorique requis
\n
$I_s = \\frac{T_m}{K_t} = \\frac{6.8}{2.1} = 3.238 \\ \\mathrm{A}$
\n\n
Étape 2 : Déterminer la puissance mécanique de sortie
\n
$P_{mech} = T_m \\times \\omega_r = 6.8 \\times 150 = 1020 \\ \\mathrm{W}$
\n\n
Étape 3 : Calculer les pertes statoriques
\n
$P_{loss} = 3 R_s I_s^2 = 3 \\times 1.8 \\times 3.238^2 = 3 \\times 1.8 \\times 10.48 = 56.57 \\ \\mathrm{W}$
\n\n
Étape 4 : Calculer la puissance active fournie
\n
La puissance active totale au moteur :
\n
$P = P_{mech} + P_{loss} = 1020 + 56.57 = 1076.6 \\ \\mathrm{W}$
\n\n
Pour un moteur triphasé équilibré :
\n
$P = \\sqrt{3} U I_s \\cos(\\phi)$
\n\n
Où $\\cos(\\phi)$ est le facteur de puissance. En fonctionnement nominal :
\n
$P \\approx \\sqrt{3} \\times 380 \\times 3.238 \\times \\cos(\\phi)$
\n\n
Avec $\\cos(\\phi) \\approx 0.92$ (typique) :
\n
$P \\approx 1.732 \\times 380 \\times 3.238 \\times 0.92 = 1876 \\ \\mathrm{W}$
\n\n
Rendement du moteur :
\n
$\\eta = \\frac{P_{mech}}{P} = \\frac{1020}{1876} = 0.543 \\ \\text{ou} \\ 54.3\\%$
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{I_s = 3.24 \\ \\mathrm{A}}$
\n
$\\boxed{P = 1.077 \\ \\mathrm{kW}} \\ \\text{(puissance mécanique)} \\ \\text{ou} \\ \\boxed{P_{total} \\approx 1.88 \\ \\mathrm{kW}}$
\n
Rendement estimé : $\\boxed{54.3\\%}$
\n\n
Exercice 3 : Moteur pas à pas NEMA 23 en commande de couple avec capteur d'accélération \n\nUn système d'automatisation industrielle utilise un moteur pas à pas bipolaire NEMA 23 pour entraîner un mécanisme de précision. Un capteur d'accélération piézoélectrique mesure les vibrations du système. La commande doit être coordonnée avec un actionneur linéaire piézoélectrique pour une application de micro-positionnement.
\n\nDonnées du moteur pas à pas :
\n\nType : Moteur pas à pas hybride bipolaire (NEMA 23) \nCouple de détente : $T_{hold} = 2.8 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$ \nPas angulaire : $\\theta_{step} = 1.8°$ (200 pas par tour) \nNombre de phases : $n_{phase} = 2$ \nRésistance par phase : $R_{ph} = 3.2 \\ \\Omega$ \nInductance par phase : $L_{ph} = 0.25 \\ \\mathrm{H}$ \nCourant nominal : $I_{nom} = 2.8 \\ \\mathrm{A}$ \nTension d'alimentation du driver : $U = 48 \\ \\mathrm{V}$ \nFréquence pas maximale : $f_{max} = 5000 \\ \\mathrm{pps}$ (pas par seconde) \nConstante de couple : $K_\\tau = 1.0 \\ \\mathrm{N \\cdot m/A}$ \n \n\nDonnées du capteur et système :
\n\nCapteur d'accélération piézoélectrique : sensibilité $S_{acc} = 100 \\ \\mathrm{mV/g}$ \nBande passante : $f_{acc} = 0 \\text{ à } 5 \\ \\mathrm{kHz}$ \nActionneur piézoélectrique linéaire : débattement $\\Delta x = 15 \\ \\mu\\mathrm{m}$ \nFréquence de résonance : $f_{res} = 1200 \\ \\mathrm{Hz}$ \nCharge mécanique équivalente sur moteur : $T_{load} = 1.2 \\ \\mathrm{N \\cdot m}$ \n \n\nQuestions :
\n\nQuestion 1 : Le moteur fonctionne à une cadence de $f_{step} = 2500 \\ \\mathrm{pps}$ en mode microslip (pas avec courant nominal). Calculez la vitesse angulaire $\\omega$ en rad/s et en tr/min, ainsi que la fréquence mécanique équivalente $f_{mech}$.
\n\nQuestion 2 : Le driver du moteur utilise la technique PWM (Pulse Width Modulation) avec une fréquence de commutation $f_{PWM} = 20 \\ \\mathrm{kHz}$. Calculez la tension moyenne appliquée pour maintenir le courant nominal $I = 2.8 \\ \\mathrm{A}$ en tenant compte de la résistance de la phase. Quel est le rapport cyclique (duty cycle) requis ?
\n\nQuestion 3 : Le capteur piézoélectrique mesure une accélération $a = 2.5 \\ g$ lors d'une transition de pas. Convertissez cette lecture en mV et en m/s². Si l'actionneur piézoélectrique se déplace du débattement maximal ($\\Delta x = 15 \\ \\mu\\mathrm{m}$) en temps $t_p = 50 \\ \\mu\\mathrm{s}$, calculez la vitesse moyenne et l'accélération moyenne correspondante de l'actionneur.
",
"svg": "\n \n \n PSU \n 48 V \n\n \n \n Driver PWM \n 20 kHz \n\n \n \n\n \n \n \n \n NEMA \n 23 \n\n \n \n \n Phase A \n Phase B \n\n \n \n \n\n \n \n Réd. \n 1:5 \n\n \n \n \n\n \n \n Charge \n\n \n \n Encoder \n\n \n \n\n \n \n Acc. Sensor \n Piézo \n 100 mV/g \n\n \n \n\n \n \n \n \n Actionneur \n Piézo-lin. \n\n \n \n \n 15 μm \n\n \n \n Dépl. linéaire \n \n\n \n \n Haute tension \n\n \n \n Acq. + ADC \n 0-5 kHz \n 16 bits \n\n \n \n\n \n \n μC \n Commande \n Coordonnée \n Moteur + Piézo \n\n \n \n \n \n\n \n Système de micro-positionnement hybride \n • Moteur pas à pas bipolaire NEMA 23 : couple de détente 2.8 N·m, 200 pas/tour \n • Capteur d'accélération piézoélectrique : 100 mV/g, bande 0-5 kHz \n • Actionneur piézoélectrique linéaire : 15 μm de débattement, fréquence résonance 1200 Hz \n • Driver PWM 20 kHz pour commande fluide du moteur pas à pas \n • Microcontrôleur de commande coordonnée pour synchronisation moteur-actionneur \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n\n
Solution Exercice 3 \n\n
Question 1 : Vitesse angulaire et fréquence mécanique du moteur pas à pas \n\n
Données :
\n
\nPas angulaire : $\\theta_{step} = 1.8°$ \nCadence de pas : $f_{step} = 2500 \\ \\mathrm{pps}$ (pas par seconde) \nNombre de pas par tour : $N_{pas} = 360° / 1.8° = 200$ \n \n\n
Étape 1 : Calculer la vitesse angulaire en rad/s
\n
La vitesse angulaire est proportionnelle à la fréquence de pas :
\n
$\\omega = \\theta_{step} \\times f_{step} = 1.8° \\times 2500 \\ \\mathrm{pps}$
\n
$\\omega = 1.8 \\times \\frac{\\pi}{180} \\times 2500 = 0.03142 \\times 2500 = 78.54 \\ \\mathrm{rad/s}$
\n\n
Étape 2 : Convertir en tours par minute
\n
Le nombre de tours par seconde :
\n
$N_{tr/s} = \\frac{f_{step}}{N_{pas}} = \\frac{2500}{200} = 12.5 \\ \\mathrm{tr/s}$
\n
$N_{tr/min} = 12.5 \\times 60 = 750 \\ \\mathrm{tr/min}$
\n\n
Étape 3 : Calculer la fréquence mécanique équivalente
\n
La fréquence mécanique est égale à la fréquence de pas divisée par le nombre de phases :
\n
$f_{mech} = \\frac{f_{step}}{n_{phase}} = \\frac{2500}{2} = 1250 \\ \\mathrm{Hz}$
\n\n
Ou en considérant une rotation complète (200 pas par tour) :
\n
$f_{mech} = \\frac{f_{step}}{N_{pas}} = \\frac{2500}{200} = 12.5 \\ \\mathrm{Hz}$
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{\\omega = 78.54 \\ \\mathrm{rad/s}}$
\n
$\\boxed{N = 750 \\ \\mathrm{tr/min}}$
\n
$\\boxed{f_{mech} = 12.5 \\ \\mathrm{Hz}} \\ \\text{(fréquence de rotation complète)}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Tension moyenne et rapport cyclique PWM \n\n
Données :
\n
\nCourant nominal : $I = 2.8 \\ \\mathrm{A}$ \nRésistance par phase : $R_{ph} = 3.2 \\ \\Omega$ \nInductance par phase : $L_{ph} = 0.25 \\ \\mathrm{H}$ \nFréquence PWM : $f_{PWM} = 20 \\ \\mathrm{kHz}$ \nTension d'alimentation : $U = 48 \\ \\mathrm{V}$ \nCadence de pas : $f_{step} = 2500 \\ \\mathrm{pps}$ \nVitesse angulaire : $\\omega = 78.54 \\ \\mathrm{rad/s}$ \n \n\n
Étape 1 : Calculer la chute de tension résistive
\n
$U_R = I \\times R_{ph} = 2.8 \\times 3.2 = 8.96 \\ \\mathrm{V}$
\n\n
Étape 2 : Calculer la FEM (force contre-électromotrice) induite
\n
Pour un moteur pas à pas, la FEM est proportionnelle à la vitesse de commutation :
\n
$\\mathcal{E} = K_e \\times \\omega$
\n\n
Où $K_e \\approx 0.01 \\ \\mathrm{V/(rad/s)}$ pour un moteur NEMA 23 typique.
\n
$\\mathcal{E} = 0.01 \\times 78.54 = 0.785 \\ \\mathrm{V}$
\n\n
Étape 3 : Calculer la tension moyenne requise
\n
Pour maintenir le courant nominal :
\n
$U_{avg} = U_R + \\mathcal{E} = 8.96 + 0.785 = 9.745 \\ \\mathrm{V}$
\n\n
Étape 4 : Calculer le rapport cyclique (duty cycle)
\n
$D = \\frac{U_{avg}}{U} = \\frac{9.745}{48} = 0.203 \\ \\text{ou} \\ 20.3\\%$
\n\n
Étape 5 : Vérification fréquence PWM vs fréquence de pas
\n
Rapport : $\\frac{f_{PWM}}{f_{step}} = \\frac{20000}{2500} = 8$
\n
Cela signifie 8 cycles PWM par impulsion de pas, ce qui est approprié pour un contrôle fluide.
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{U_{avg} = 9.75 \\ \\mathrm{V}}$
\n
$\\boxed{D = 20.3\\%}$
\n
Le driver doit produire une impulsion PWM avec un rapport cyclique de 20.3% à 20 kHz pour maintenir le courant nominal de 2.8 A.
\n\n
\n\n
Question 3 : Conversion du signal d'accélération et analyse du mouvement piézoélectrique \n\n
Données :
\n
\nAccélération mesurée : $a_{measured} = 2.5 \\ g$ \nSensibilité capteur : $S_{acc} = 100 \\ \\mathrm{mV/g}$ \nDébattement actionneur : $\\Delta x = 15 \\ \\mu\\mathrm{m}$ \nTemps de déplacement : $t_p = 50 \\ \\mu\\mathrm{s}$ \nAccélération terrestre : $g = 9.81 \\ \\mathrm{m/s^2}$ \n \n\n
Partie 1 : Conversion du signal d'accélération
\n\n
Étape 1a : Convertir en millivolts
\n
$U_{out} = a_{measured} \\times S_{acc} = 2.5 \\ g \\times 100 \\ \\mathrm{mV/g} = 250 \\ \\mathrm{mV}$
\n\n
Étape 1b : Convertir en m/s²
\n
$a = 2.5 \\ g \\times 9.81 \\ \\mathrm{m/s^2} = 2.5 \\times 9.81 = 24.53 \\ \\mathrm{m/s^2}$
\n\n
Partie 2 : Analyse du mouvement de l'actionneur piézoélectrique
\n\n
Étape 2a : Calculer la vitesse moyenne de l'actionneur
\n
$v_{avg} = \\frac{\\Delta x}{t_p} = \\frac{15 \\times 10^{-6} \\ \\mathrm{m}}{50 \\times 10^{-6} \\ \\mathrm{s}} = \\frac{15}{50} = 0.3 \\ \\mathrm{m/s}$
\n\n
Étape 2b : Calculer l'accélération moyenne de l'actionneur
\n
En supposant un profil triangulaire de vitesse (accélération puis décélération) :
\n
$a_{actor} = \\frac{2 v_{avg}}{t_p} = \\frac{2 \\times 0.3}{50 \\times 10^{-6}} = \\frac{0.6}{50 \\times 10^{-6}} = 12000 \\ \\mathrm{m/s^2}$
\n\n
Soit en unités de g :
\n
$a_{actor} = \\frac{12000}{9.81} \\approx 1223 \\ g$
\n\n
Étape 2c : Vérification avec la fréquence de résonance
\n
Fréquence de résonance de l'actionneur : $f_{res} = 1200 \\ \\mathrm{Hz}$
\n
Période de résonance : $T_{res} = \\frac{1}{f_{res}} = \\frac{1}{1200} = 833 \\ \\mu\\mathrm{s}$
\n\n
Le temps de déplacement ($t_p = 50 \\ \\mu\\mathrm{s}$) est beaucoup plus court que la période de résonance, donc l'actionneur opère bien en régime statique (pas d'oscillations résonnantes).
\n\n
Résultats :
\n
$\\boxed{U_{out} = 250 \\ \\mathrm{mV}}$
\n
$\\boxed{a = 24.53 \\ \\mathrm{m/s^2}} \\ \\text{ou} \\ \\boxed{2.5 \\ g}$
\n
$\\boxed{v_{actionneur} = 0.3 \\ \\mathrm{m/s}} \\ \\text{(vitesse moyenne du piézo)}$
\n
$\\boxed{a_{actionneur} = 12000 \\ \\mathrm{m/s^2}} \\ \\text{ou} \\ \\boxed{1223 \\ g} \\ \\text{(accélération moyenne du piézo)}$
\n\n
Interprétation : L'actionneur piézoélectrique génère une accélération extrêmement élevée (1223 g) sur un très court laps de temps (50 μs), ce qui est caractéristique des dispositifs piézoélectriques. Cette accélération élevée en temps court permet un positionnement de haute précision et une réponse très rapide, adaptée aux applications de micro-positionnement.
\n\n
Moteur DC Encodeur Charge Alimentation variable C_load 1. Calcul du courant d'induit à vitesse donnée : 2. Calcul du couple fourni : 3. Calcul de la nouvelle vitesse sous charge :
",
"id_category": "2",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un système automatisé industriel utilise un moteur asynchrone triphasé alimenté par un variateur de fréquence pour déplacer une charge linéaire (actionneur linéaire). Les paramètres du moteur sont : puissance nominale $P_n = 2{,}2~\\text{kW}$; rendement $\\eta = 88~\\%$; tension d'alimentation $U_n = 400~\\text{V}$; fréquence nominale $f_n = 50~\\text{Hz}$; facteur de puissance $\\cos \\varphi = 0{,}85$. On ignore la perte ohmique des câbles. La masse déplacée par l'actionneur est $m = 55~\\text{kg}$.\n\n1. Calculez le courant nominal absorbé par le moteur.\n2. Déterminez la force linéaire maximale fournie par l'actionneur, supposant que tout le couple du moteur est transmis à la charge via un système vis-écrou d'efficacité $\\eta_{vm} = 0{,}75$ et que le rayon équivalent est $r = 0{,}01~\\text{m}$.\n3. Calculez l'accélération maximale de la charge linéaire dans ces conditions.",
"svg": "Moteur AC Vis-écrou Charge linéaire m=55kg 1. Calcul du courant nominal : 2. Calcul de la force linéaire maximale : 3. Accélération maximale de la charge :
",
"id_category": "2",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un servomoteur à courant continu est intégré dans un système de positionnement pour un bras robotisé. Le système comprend un moteur à courant continu, un codeur incrémental pour la mesure de position et un amplificateur de puissance en boucle fermée. Les caractéristiques nominales du moteur sont : \n- Tension nominale $24\\ \\mathrm{V}$\n- Résistance de l’induit $2.0\\ \\Omega$\n- Constante de couple $0.1\\ \\mathrm{N\\cdot m/A}$\n- Constante de vitesse $100\\ \\mathrm{rad/s/V}$\nLe moteur doit produire une accélération angulaire suffisante pour déplacer une charge de moment d’inertie $0.01\\ \\mathrm{kg\\cdot m^2}$ sur un angle de $90^{\\circ}$ ($\\pi/2$ rad) en $0.2\\ \\text{s}$. Supposons un couple résistant constant de $0.05\\ \\mathrm{N\\cdot m}$ dû aux frottements.\n\n1. Calculez le courant minimal requis dans l’induit pour réaliser cette accélération.\n2. Déterminez la tension minimale que doit fournir l’amplificateur pour garantir l’accélération demandée.\n3. Calculez le nombre d’impulsions produites par un codeur donnant $500$ impulsions par tour lors de ce déplacement.",
"svg": "Moteur CC Codeur Charge Boucle de positionnement avec retour codeur 1. Courant minimal requis dans l’induit 2. Tension minimale à fournir 3. Nombre d’impulsions produites
",
"id_category": "2",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un système de convoyage utilise un moteur asynchrone triphasé alimenté par variateur. Les paramètres sont : \n- Puissance nominale $2.2\\ \\mathrm{kW}$\n- Tension $400\\ \\mathrm{V}$ (triangle)\n- Fréquence réseau $50\\ \\mathrm{Hz}$\n- Vitesse nominale $1440\\ \\mathrm{tr/min}$\n- Performance mécanique : variation de fréquence requise de $30$ à $60\\ \\mathrm{Hz}$\nLe moteur entraîne un mécanisme linéaire via une vis à billes de pas $10\\, \\mathrm{mm/tr}$. Un résolveur est utilisé pour la mesure de vitesse instantanée de l’axe.\n\n1. Déterminez la vitesse linéaire maximale disponible au niveau de l’axe.\n2. Calculez le couple global transmis à $30\\ \\mathrm{Hz}$ si la charge résiste avec une force de $750\\ \\mathrm{N}$.\n3. Déterminez la tension efficace à appliquer au moteur quand on fonctionne à $30\\ \\mathrm{Hz}$ en conservant le rapport $V/f$ constant.",
"svg": "Moteur asynchrone Résolveur Vis à billes Chariot 1. Vitesse linéaire maximale disponible 2. Couple global transmis à $30\\ \\mathrm{Hz}$ avec une force résistante de $750\\ \\mathrm{N}$3. Tension efficace à appliquer pour $30\\ \\mathrm{Hz}$ à rapport $V/f$ constant
",
"id_category": "2",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Une table de micropositionnement utilise un actionneur piézoélectrique linéaire en série avec un capteur de déplacement. On impose une force de $300\\ \\mathrm{N}$ pour déplacer un miroir sur une distance de $20\\ \\mu\\mathrm{m}$ (micromètre). L'actionneur choisi présente un coefficient de raideur de $70\\ \\mathrm{N/\\mu m}$ et peut accepter une tension allant jusqu'à $150\\ \\mathrm{V}$. Le capteur de déplacement intégré a une sensibilité de $1.5\\ \\mathrm{mV/\\mu m}$.\n\n1. Calculez la déformation générée dans l’actionneur pour cette force.\n2. Déterminez la tension minimale à appliquer à l’actionneur pour atteindre ce déplacement en supposant son comportement parfaitement linéaire.\n3. Calculez la sortie en tension du capteur correspondant à ce déplacement.",
"svg": "Source de force Actionneur piézo Capteur Miroir 1. Déformation générée par l’actionneur 2. Tension minimale pour déplacer sur $20\\ \\mu\\mathrm{m}$Remarque : Dans ces conditions, le déplacement réel maximal réalisable : $\\delta_{max} = 300/70 = 4.29\\ \\mu\\mathrm{m}$3. Sortie du capteur correspondant au déplacement maximal possible
",
"id_category": "2",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Dans un robot industriel, un moteur pas à pas (type bipolaire à 4 fils) commande l’axe de rotation d’une table. La table effectue un déplacement angulaire de $150^{\\circ}$ à vitesse constante. Données du moteur pas à pas : angle par pas $\\theta_p = 1.8^{\\circ}$, courant nominal $I_n = 2{\\,}\\mathrm{A}$ par phase, tension d’alimentation $V = 36{\\,}\\mathrm{V}$, résistance de chaque phase $R = 1.2{\\,}\\Omega$. Un résolveur analogique permet de mesurer la position angulaire de la table.\n\n1. Calculez le nombre total de pas nécessaires pour effectuer la rotation de $150^{\\circ}$.\n2. Déterminez la puissance dissipée par effet Joule dans une phase du moteur pendant la rotation.\n3. Calculez la résolution angulaire fournie par le résolveur si sa sortie analogique est convertie par un CAN 12 bits sur une plage de $360^{\\circ}$.",
"svg": "\n\n Table rotative \n Moteur PP \n Résolveur \n Alim 36V \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.1. Nombre de pas nécessaires pour $150^{\\circ}$ : Interprétation : Il faut 83 pas pour une rotation de $150^{\\circ}$.\n\n2. Puissance dissipée par effet Joule dans une phase : Interprétation : Chaque phase dissipe $4.8{\\,}\\mathrm{W}$ par effet Joule pendant son activation.\n\n3. Résolution angulaire fournie par le résolveur (CAN 12 bits) : Interprétation : Le résolveur permet une résolution théorique de $0.0879^{\\circ}$ par incrément CAN.\n
",
"id_category": "2",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actionneur d’un système robotisé est constitué d’un moteur à courant continu. Les caractéristiques nominales du moteur sont : tension d’alimentation $V = 24\\ \\mathrm{V}$, résistance d’induit $R = 0,8\\ \\Omega$, constante de couple $k_c = 0,12\\ \\mathrm{N \\cdot m \\cdot A^{-1}}$, et constante de force contre-électromotrice $k_e = 0,12\\ \\mathrm{V \\cdot s\\, rad^{-1}}$.\n\n1. Calculer l’intensité du courant d’induit $I$, sachant que le moteur délivre un couple de $C = 1{,}5\\ \\mathrm{N \\cdot m}$.\n2. Calculer la vitesse angulaire $\\omega$ de l’arbre moteur lorsque la tension d’alimentation est appliquée et que le moteur développe le couple précédent.\n3. Calculer la puissance électrique absorbée par le moteur et le rendement pour cette situation.",
"svg": "Moteur CC Alim 24V C=1,5 N·m V Couple Tension Question 1 : Calcul du courant d’induit $I$.\n1. Formule générale : $C = k_c \\cdot I$\n2. On remplace les données : $1{,}5 = 0{,}12 \\cdot I$\n3. Calcul de $I$ : $I = \\frac{1{,}5}{0{,}12} = 12{,}5$ (A)\n4. Résultat final : $I = 12{,}5~\\mathrm{A}$\n\nQuestion 2 : Calcul de la vitesse angulaire $\\omega$.\n1. Formule générale de la tension au bornes du moteur : $V = R\\cdot I + k_e\\cdot\\omega$\n2. Remplacement : $24 = 0{,}8\\cdot 12{,}5 + 0{,}12\\cdot\\omega$\n3. On résout :$ 24 = 10{,}0 + 0{,}12\\cdot\\omega \\rightarrow 0{,}12\\cdot\\omega = 24-10 = 14 \\rightarrow \\omega = \\frac{14}{0{,}12} = 116{,}67$ (rad/s)\n4. Résultat final : $\\omega = 116{,}67~\\mathrm{rad\\, s^{-1}}$\n\nQuestion 3 : Puissance absorbée et rendement.\n1. Puissance d’entrée : $P_{\\text{elec}} = V \\cdot I$\n2. Remplacement : $P_{\\text{elec}} = 24\\cdot12{,}5 = 300$ (W)\n3. Puissance mécanique utile : $P_{\\text{meca}} = C \\cdot \\omega = 1{,}5 \\cdot 116{,}67 = 175{,}0$ (W)\n4. Rendement : $\\eta = \\frac{P_{\\text{meca}}}{P_{\\text{elec}}} = \\frac{175{,}0}{300} = 0{,}583\\ (58,3\\%)$
",
"id_category": "2",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un servomoteur alternatif est utilisé dans un système automatisé pour positionner rapidement une pièce. Il fonctionne sous une tension triphasée de $U = 400\\ \\mathrm{V_{eff}}$, avec un couple nominal de $C_n = 2,2\\ \\mathrm{N \\cdot m}$ et tourne initialement à la fréquence nominale de $f_n = 50\\ \\mathrm{Hz}$. Sa résistance statorique est $R_s = 1,1\\ \\Omega$ et son rendement à charge nominale est $\\eta = 0,87$.\n\n1. Calculer le courant efficace dans le stator sous charge nominale.\n2. Déterminer la puissance mécanique disponible à l’arbre moteur.\n3. Calculer la vitesse angulaire nominale du rotor (en rad/s) et la fréquence de rotation (en tr/min).",
"svg": "Servomoteur AC Alim 400V 3~ Puissance mécanique C_n=2,2 N·m U Question 1 : Calcul du courant efficace dans le stator.\n1. Formule générale (puissance apparente triphasée) :$ P = \\sqrt{3}\\, U\\, I \\cdot \\eta$\n2. Remplacement : $ P = (C_n \\cdot \\omega_n)$ (à déterminer question 3). Pour l’instant, on pose $P (\\text{meca}) = C_n \\cdot \\omega_n$ et la puissance absorbée :$P_{\\text{abs}} = \\frac{P_{\\text{meca}}}{\\eta}$\n3. Le courant statorique s'écrit :$ I = \\frac{P_{\\text{abs}}}{\\sqrt{3}\\, U}$\n(besoin de $\\omega_n$, voir question 3)\n\nQuestion 2 : Puissance mécanique disponible à l’arbre moteur.\n1. Formule générale :$ P_{\\text{meca}} = C_n \\cdot \\omega_n$\n2. Remplacement : Calculer $\\omega_n$ (voir question 3), alors$P_{\\text{meca}} = 2,2 \\times \\omega_n$\n\nQuestion 3 : Vitesse angulaire nominale et fréquence rotation.\n1. Pour un moteur 2 pôles, $n = \\frac{60f}{p}$, ici supposons $p = 2$ : $n = 3000$ tr/min\n2. Vitesse angulaire :$\\omega_n = 2 \\pi \\frac{n}{60}$\n3. Calcul :$\\omega_n = 2 \\pi \\frac{3000}{60} = 314,16$ rad/s\n4. Résultat :$\\omega_n = 314,16~\\mathrm{rad/s}$; $n = 3000~\\mathrm{tr/min}$\n\nOn retourne aux questions 1 et 2 :\n- $P_{\\text{meca}} = 2,2 \\times 314,16 = 691,15$ (W)\n- $P_{\\text{abs}} = \\frac{691,15}{0,87} = 794,42$ (W)\n- $I = \\frac{794,42}{\\sqrt{3} \\times 400} = 1,15$ (A)\n\nRésultats : \n1. $I = 1,15~\\mathrm{A}$\n2. $P_{\\text{meca}} = 691,2~\\mathrm{W}$\n3. $\\omega_n = 314,2~\\mathrm{rad\\,s^{-1}} ;\\ n = 3000~\\mathrm{tr/min}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actionneur linéaire piézoélectrique est utilisé dans une application de positionnement de haute précision. Ce vérin a une capacitance de $C_p = 22~\\mu\\mathrm{F}$ et le déplacement généré est proportionnel à la tension d’excitation pour $U \\leq 130~\\mathrm{V}$, avec un coefficient de déplacement $k_x = 13~\\mathrm{nm\\,V^{-1}}$. On relie cet actionneur à une source sinusoïdale de tension $u(t) = U_0 \\sin(\\omega t)$ avec $U_0 = 100~\\mathrm{V}$ et $f = 600~\\mathrm{Hz}$.\n\n1. Calculer l’amplitude maximale du déplacement généré par l’actionneur.\n2. Calculer le courant efficace traversant l’actionneur piézoélectrique.\n3. Calculer la puissance réactive fournie par le générateur à l’actionneur.",
"svg": "Actionneur Commande sinusoïdale u(t) Déplacement x Question 1 : Amplitude maximale du déplacement généré.\n1. Formule générale :$ x_{\\max} = k_x \\cdot U_0$\n2. Remplacement :$ x_{\\max} = 13 \\cdot 100$ (nm)\n3. Calcul :$ x_{\\max} = 1300$ (nm)\n4. Résultat final :$ x_{\\max} = 1,3~\\mu\\mathrm{m}$\n\nQuestion 2 : Courant efficace traversant l'actionneur.\n1. Formule pour courant capacitif :$ I_{eff} = \\omega C_p \\frac{U_0}{\\sqrt{2}}$\n2. $\\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 600 = 3769,91$ (rad/s)\n3. Remplacement :$ I_{eff} = 3769,91 \\times 22\\cdot10^{-6} \\times \\frac{100}{\\sqrt{2}}$\n4. Calcul :$ I_{eff} = 3769,91 \\times 22\\cdot10^{-6} \\times 70,71 = 5,86\\cdot10^{-3}$ (A) ou $5,86~\\mathrm{mA}$\n\nQuestion 3 : Puissance réactive fournie.\n1. Formule générale :$ Q = \\omega C_p U_0^2 / 2$\n2. Remplacement :$ Q = 3769,91 \\times 22\\cdot10^{-6} \\times 10000 / 2$\n3. Calcul :$ Q = 3769,91 \\times 22\\cdot10^{-6} \\times 5000 = 414,69$ (VAR)\n4. Résultat final :$ Q = 415~\\mathrm{VAR}$ (arrondi à l’unité)
",
"id_category": "2",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"exercise_number": 1,
"title": "Système hydraulique centralisé avec analyse de pression et débit",
"question": "Exercice 1 : Dimensionnement d'une centrale hydraulique pour commande de vérins \n\nUne centrale hydraulique industrielle alimente plusieurs vérins hydrauliques dans un système d'automatisation de presse. La centrale est composée d'une pompe à engrenages, d'un réservoir de 500 litres et d'un système de filtration multi-étages.
\n\nSpécifications du système :
\n\nPompe à débit nominal : $Q_p = 60 \\text{ L/min}$ \nViscosité du fluide ISO VG 46 : $\\eta = 46 \\text{ cSt à } 40°C$ \nDensité du fluide : $\\rho = 870 \\text{ kg/m}^3$ \nDiamètre intérieur des conduites principales : $d = 25 \\text{ mm}$ \nLongueur des conduites de la pompe au vérin : $L = 15 \\text{ m}$ \nPression de tarage du limiteur de pression : $P_{lim} = 250 \\text{ bar}$ \nCoefficient de rugosité relative : $\\varepsilon/d = 0,0002$ \n \n\nTrois vérins identiques sont montés en parallèle alimentés par la pompe. Chaque vérin possède une surface effective de piston : $A = 50 \\text{ cm}^2$.
\n\nQuestion 1 : Calculez la vitesse moyenne du fluide dans les conduites principales (en m/s) et le nombre de Reynolds correspondant pour caractériser le régime d'écoulement. Justifiez le type de régime obtenu (laminaire, transitoire ou turbulent).
\n\nQuestion 2 : En utilisant l'équation de Darcy-Weisbach, calculez la perte de charge (en bar) dans les conduites principales entre la pompe et les vérins. Utilisez le diagramme de Moody pour déterminer le coefficient de frottement $f$.
\n\nQuestion 3 : Si les trois vérins fonctionnent simultanément avec une force de charge totale de $F_{charge} = 45000 \\text{ N}$ répartie équitablement, calculez la pression effective requise à la sortie des vérins (en bar) et vérifiez que le système hydraulique peut fournir cette pression en tenant compte des pertes de charge calculées précédemment.
",
"svg": "\n \n \n \n Réservoir \n 500 L \n \n \n \n Pompe \n 60 L/min \n \n \n \n d=25mm, L=15m \n \n \n \n Collecteur \n \n \n \n 250 bar \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin 1 \n A=50 cm² \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin 2 \n A=50 cm² \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin 3 \n A=50 cm² \n \n \n \n \n \n \n \n \n Retour \n \n \n \n Filtration \n Multi-étages \n ISO VG 46 \n \n \n \n \n Paramètres du système : \n $\\eta = 46 \\text{ cSt}$, $\\rho = 870 \\text{ kg/m}^3$ \n $P_{lim} = 250 \\text{ bar}$, $Q_p = 60 \\text{ L/min}$ \n \n \n \n Équations utiles : \n $v = \\frac{Q}{A_{conduite}}$ ; $Re = \\frac{\\rho v d}{\\eta}$ \n $\\Delta P = f \\times \\frac{L}{d} \\times \\frac{\\rho v^2}{2}$ ; $P = \\frac{F}{A}$ \n Darcy-Weisbach avec coefficient $f$ du diagramme de Moody \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée Exercice 1 :
\n\nQuestion 1 : Vitesse moyenne et nombre de Reynolds
\n\nConversion du débit en unités SI :
\n$Q_p = 60 \\text{ L/min} = 60 \\times 10^{-3} \\text{ m}^3 / 60 \\text{ s} = 10^{-3} \\text{ m}^3/\\text{s} = 0,001 \\text{ m}^3/\\text{s}$
\n\nSection transversale de la conduite :
\n$A_{conduite} = \\pi \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2 = \\pi \\left(\\frac{0,025}{2}\\right)^2 = \\pi \\times (0,0125)^2 = 4,909 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2$
\n\nVitesse moyenne du fluide :
\n$v = \\frac{Q_p}{A_{conduite}} = \\frac{0,001}{4,909 \\times 10^{-4}} = 2,037 \\text{ m/s}$
\n\nConversion de la viscosité en unités SI :
\n$\\eta = 46 \\text{ cSt} = 46 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2/\\text{s} = 4,6 \\times 10^{-5} \\text{ m}^2/\\text{s}$
\n\nNombre de Reynolds :
\n$Re = \\frac{\\rho v d}{\\eta} = \\frac{870 \\times 2,037 \\times 0,025}{4,6 \\times 10^{-5}}$
\n\n$Re = \\frac{44,31}{4,6 \\times 10^{-5}} = 963326$
\n\nÉtant donné que $Re > 4000$, l'écoulement est fortement **turbulent**. Ce régime est typique dans les systèmes hydrauliques industriels.
\n\nRésultats Question 1 : $v = 2,037 \\text{ m/s}$, $Re = 963326$ (régime turbulent)
\n\n
\n\nQuestion 2 : Perte de charge (Darcy-Weisbach)
\n\nPour un écoulement turbulent avec $Re = 963326$ et $\\varepsilon/d = 0,0002$, le coefficient de frottement est déterminé par le diagramme de Moody.
\n\nPour ce régime très turbulent en zone de transition, on utilise l'équation de Colebrook-White approchée. Pour une rugosité relative très faible et $Re$ très élevé, on obtient approximativement :
\n$f \\approx 0,0125$
\n\nÉquation de Darcy-Weisbach :
\n$\\Delta P = f \\times \\frac{L}{d} \\times \\frac{\\rho v^2}{2}$
\n\nSubstitution des données :
\n$\\Delta P = 0,0125 \\times \\frac{15}{0,025} \\times \\frac{870 \\times (2,037)^2}{2}$
\n\n$\\Delta P = 0,0125 \\times 600 \\times \\frac{870 \\times 4,149}{2}$
\n\n$\\Delta P = 0,0125 \\times 600 \\times \\frac{3609,63}{2}$
\n\n$\\Delta P = 0,0125 \\times 600 \\times 1804,815 = 13535,6 \\text{ Pa}$
\n\nConversion en bar (1 bar = 100000 Pa) :
\n$\\Delta P = \\frac{13535,6}{100000} = 0,1354 \\text{ bar}$
\n\nRésultats Question 2 : $\\Delta P = 0,1354 \\text{ bar}$ (perte de charge négligeable devant la pression de service)
\n\n
\n\nQuestion 3 : Pression requise et vérification du système
\n\nForce totale de charge : $F_{charge} = 45000 \\text{ N}$
\n\nCette force est répartie équitablement entre les trois vérins :
\n$F_{par\\_vérin} = \\frac{45000}{3} = 15000 \\text{ N}$
\n\nConversion de la surface effective en m² :
\n$A = 50 \\text{ cm}^2 = 50 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2 = 5 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
\n\nPression nécessaire à la sortie des vérins (à la tige) :
\n$P_{vérin} = \\frac{F_{par\\_vérin}}{A} = \\frac{15000}{5 \\times 10^{-3}} = 3 \\times 10^6 \\text{ Pa} = 30 \\text{ bar}$
\n\nPression requise à la sortie de la pompe pour compenser les pertes :
\n$P_{pompe} = P_{vérin} + \\Delta P = 30 + 0,1354 = 30,1354 \\text{ bar}$
\n\nVérification par rapport au limiteur de pression :
\n$P_{pompe} = 30,1354 \\text{ bar} < P_{lim} = 250 \\text{ bar}$
\n\n**Le système peut fournir la pression requise avec une marge de sécurité importante.** Le limiteur de pression n'intervient pas dans ce mode de fonctionnement nominal.
\n\nRésultats Question 3 : $P_{vérin} = 30 \\text{ bar}$, $P_{pompe} = 30,1354 \\text{ bar}$ (système capable et sûr)
",
"id_category": "3",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"exercise_number": 2,
"title": "Système pneumatique avec accumulation et cylindre double effet",
"question": "Exercice 2 : Dimensionnement d'un système pneumatique avec accumulation \n\nUn système pneumatique utilise de l'air comprimé à une pression nominale de $P_{nom} = 6 \\text{ bar}$ pour actionner deux cylindres pneumatiques identiques en parallèle. Le compresseur alimente également un accumulateur pour lisser les variations de pression.
\n\nDonnées du système :
\n\nPression nominale : $P_{nom} = 6 \\text{ bar} = 6 \\times 10^5 \\text{ Pa}$ \nTempérature ambiante : $T = 20°C = 293 \\text{ K}$ \nDiamètre du piston du cylindre : $d_{piston} = 40 \\text{ mm}$ \nDiamètre de la tige : $d_{tige} = 15 \\text{ mm}$ \nCourse du piston : $L = 200 \\text{ mm}$ \nVolume de l'accumulateur : $V_{acc} = 10 \\text{ litres}$ \nCoefficient de remplissage de l'accumulateur : $\\gamma = 0,8$ (rapport du volume de travail au volume total) \nPression de tarage du réducteur de pression : $P_{réd} = 6 \\text{ bar}$ \n \n\nLes cylindres fonctionnent selon un cycle : avance (sortie de tige) suivie d'une retraction. On assume que la pression reste constante à 6 bar pendant le fonctionnement normal.
\n\nQuestion 1 : Calculez la force de poussée effective en avance (sortie de tige) et la force de rétraction (rentrée de tige) pour chaque cylindre. Comparez ces forces pour justifier le dimensionnement asymétrique des vérins pneumatiques.
\n\nQuestion 2 : Déterminez le volume d'air consommé (en litres à la pression nominale) pour un cycle complet (avance + rétraction) des deux cylindres. En déduire la capacité de stockage requise de l'accumulateur en termes de cycles possibles par charge.
\n\nQuestion 3 : Calculez la quantité de masse d'air (en kg) emmagasinée dans l'accumulateur à la pression de 6 bar (utiliser l'équation de gaz parfaits $PV = nRT$). Si la pression chute à 4 bar après un cycle complet de fonctionnement, calculez la variation de masse d'air expulsée et l'énergie théorique disponible.
",
"svg": "\n \n \n Compr. \n 6 bar \n \n \n \n \n \n \n Réd. P \n \n \n \n \n \n \n \n \n Accum. \n 10 L \n \n \n \n \n \n \n Dist \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Cylindre 1 \n d=40mm, L=200mm \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Cylindre 2 \n d=40mm, L=200mm \n \n \n \n Silenc \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n Section transversale du cylindre double effet : \n \n \n \n \n \n \n \n Surface avance : $A_1 = \\pi(d_{piston}/2)^2$ \n Surface rétraction : $A_2 = \\pi[(d_{piston}/2)^2 - (d_{tige}/2)^2]$ \n Volume phase avance : $V_{avance} = A_1 \\times L$ \n Volume phase retrait : $V_{retrait} = A_2 \\times L$ \n Consommation cycle : $V_{cycle} = V_{avance} + V_{retrait}$ \n \n \n \n Formules et constantes : \n \n $P \\times V = n \\times R \\times T$ (Gaz parfaits) \n $n = \\frac{P \\times V}{R \\times T}$ (Nombre de moles) \n $R = 287 \\text{ J/(kg·K)}$ (Constante spécifique air) \n $\\rho = \\frac{P}{R \\times T}$ (Densité de l'air) \n Masse volumique air à 6 bar, 20°C : $\\rho \\approx 7,2 \\text{ kg/m}^3$ \n Énergie : $W = \\int P \\, dV$ ou $W = n C_v (T_f - T_i)$ \n $C_v = 718 \\text{ J/(kg·K)}$ pour l'air diatomique \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée Exercice 2 :
\n\nQuestion 1 : Forces de poussée et rétraction
\n\nSurface effective en avance (sortie de tige) :
\n$A_1 = \\pi \\left(\\frac{d_{piston}}{2}\\right)^2 = \\pi \\left(\\frac{0,040}{2}\\right)^2 = \\pi \\times (0,020)^2 = 1,2566 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
\n\nSurface effective en rétraction (rentrée de tige) :
\n$A_2 = \\pi \\left[\\left(\\frac{d_{piston}}{2}\\right)^2 - \\left(\\frac{d_{tige}}{2}\\right)^2\\right] = \\pi \\left[(0,020)^2 - (0,0075)^2\\right]$
\n\n$A_2 = \\pi \\times (4 \\times 10^{-4} - 5,625 \\times 10^{-5}) = \\pi \\times 3,4375 \\times 10^{-4} = 1,0795 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
\n\nForce en avance (sortie de tige) avec $P = 6 \\times 10^5 \\text{ Pa}$ :
\n$F_{avance} = P \\times A_1 = 6 \\times 10^5 \\times 1,2566 \\times 10^{-3} = 753,96 \\text{ N}$
\n\nForce en rétraction (rentrée de tige) :
\n$F_{rétraction} = P \\times A_2 = 6 \\times 10^5 \\times 1,0795 \\times 10^{-3} = 647,70 \\text{ N}$
\n\n**Justification :** La force de rétraction est inférieure à celle d'avance en raison de la réduction de la surface effective due à la présence de la tige. Cette asymétrie est une caractéristique fondamentale des cylindres pneumatiques double effet, importante pour le dimensionnement des charges.
\n\nRésultats Question 1 : $F_{avance} = 753,96 \\text{ N}$ par cylindre, $F_{rétraction} = 647,70 \\text{ N}$ par cylindre
\n\n
\n\nQuestion 2 : Volume consommé et capacité d'accumulation
\n\nVolume en phase d'avance (sortie de tige) :
\n$V_{avance} = A_1 \\times L = 1,2566 \\times 10^{-3} \\times 0,200 = 2,5132 \\times 10^{-4} \\text{ m}^3 = 0,25132 \\text{ litres}$
\n\nVolume en phase de rétraction (rentrée de tige) :
\n$V_{rétraction} = A_2 \\times L = 1,0795 \\times 10^{-3} \\times 0,200 = 2,1590 \\times 10^{-4} \\text{ m}^3 = 0,21590 \\text{ litres}$
\n\nVolume total consommé par cycle complet (pour un seul cylindre) :
\n$V_{cycle_unité} = V_{avance} + V_{rétraction} = 0,25132 + 0,21590 = 0,46722 \\text{ litres}$
\n\nPour deux cylindres en parallèle (cycle simultané) :
\n$V_{cycle_total} = 2 \\times V_{cycle_unité} = 2 \\times 0,46722 = 0,93444 \\text{ litres}$
\n\nVolume de travail de l'accumulateur :
\n$V_{travail} = \\gamma \\times V_{acc} = 0,8 \\times 10 = 8 \\text{ litres}$
\n\nNombre de cycles possibles par charge complète :
\n$N_{cycles} = \\frac{V_{travail}}{V_{cycle_total}} = \\frac{8}{0,93444} = 8,56 \\text{ cycles}$
\n\n**L'accumulateur peut alimenter environ 8 à 9 cycles complets avant que la pression ne chute significativement.**
\n\nRésultats Question 2 : $V_{cycle_total} = 0,93444 \\text{ litres}$, $N_{cycles} \\approx 8,56 \\text{ cycles}$
\n\n
\n\nQuestion 3 : Masse d'air et énergie disponible
\n\nUtilisant l'équation de gaz parfaits : $PV = mRT$, où $R = 287 \\text{ J/(kg·K)}$ est la constante spécifique pour l'air.
\n\nÀ la pression nominale $P_1 = 6 \\text{ bar} = 6 \\times 10^5 \\text{ Pa}$ :
\n$m_1 = \\frac{P_1 V_{acc}}{R T} = \\frac{6 \\times 10^5 \\times 10 \\times 10^{-3}}{287 \\times 293}$
\n\n$m_1 = \\frac{6000}{84091} = 0,07137 \\text{ kg}$
\n\nAprès utilisation d'un cycle (pression chute à $P_2 = 4 \\text{ bar} = 4 \\times 10^5 \\text{ Pa}$) :
\n$m_2 = \\frac{P_2 V_{acc}}{R T} = \\frac{4 \\times 10^5 \\times 10 \\times 10^{-3}}{287 \\times 293}$
\n\n$m_2 = \\frac{4000}{84091} = 0,04758 \\text{ kg}$
\n\nVariation de masse d'air expulsée :
\n$\\Delta m = m_1 - m_2 = 0,07137 - 0,04758 = 0,02379 \\text{ kg}$
\n\nÉnergie théorique disponible (pour un processus adiabatique, $\\gamma_{air} = 1,4$) :
\n$W = \\frac{P_1 V_{acc}}{\\gamma - 1} \\left[1 - \\left(\\frac{P_2}{P_1}\\right)^{\\frac{\\gamma-1}{\\gamma}}\\right]$
\n\n$W = \\frac{6 \\times 10^5 \\times 10 \\times 10^{-3}}{0,4} \\left[1 - \\left(\\frac{4}{6}\\right)^{2/7}\\right]$
\n\n$W = \\frac{6000}{0,4} \\left[1 - (0,6667)^{0,2857}\\right] = 15000 \\times [1 - 0,8936]$
\n\n$W = 15000 \\times 0,1064 = 1596 \\text{ J}$
\n\nRésultats Question 3 : $m_1 = 0,07137 \\text{ kg}$, $\\Delta m = 0,02379 \\text{ kg}$, $W = 1596 \\text{ J}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"exercise_number": 3,
"title": "Comparaison hydraulique-pneumatique et étude de rentabilité",
"question": "Exercice 3 : Analyse comparative des systèmes hydraulique et pneumatique \n\nDans une usine de fabrication, un ingénieur doit choisir entre un système hydraulique et un système pneumatique pour actionner une presse de forgeage. L'application requiert une force de $F = 200000 \\text{ N}$ et une vitesse d'extension/rétraction de $v = 0,5 \\text{ m/s}$ avec un cycle de 60 secondes (actionnement 20s, repos 40s).
\n\nDonnées disponibles :
\n\n**Système hydraulique :** Pression de 250 bar, surface de piston requise $A_h = 80 \\text{ cm}^2$, débit nominal $Q_h = 120 \\text{ L/min}$ \n**Système pneumatique :** Pression de 8 bar, surface de piston requise $A_p = 2500 \\text{ cm}^2$, débit nominal $Q_p = 3600 \\text{ L/min}$ \nCoût de l'énergie électrique : $c_e = 0,15 \\text{ €/kWh}$ \nCoût de l'énergie de compressionair : $c_a = 0,12 \\text{ €/kWh}$ \nTemps de fonctionnement annuel : $T_{an} = 2000 \\text{ heures}$ \nRendement hydraulique (global) : $\\eta_h = 0,90$ \nRendement pneumatique (global) : $\\eta_p = 0,40$ \n \n\nQuestion 1 : Vérifiez que les surfaces de piston proposées permettent de générer la force requise pour chaque système. Calculez le ratio des surfaces de piston $R_{surface} = A_p / A_h$ et justifiez pourquoi les vérins pneumatiques sont dimensionnés plus grands.
\n\nQuestion 2 : Calculez la puissance hydraulique en charge (pendant les 20s d'actionnement) : $P_h = P \\times Q$. Puis calculez la puissance pneumatique en charge. Exprimez ces puissances en kW et comparez-les en termes de ratio d'efficacité énergétique (puissance utile / puissance consommée).
\n\nQuestion 3 : Calculez le coût annuel d'exploitation pour chaque système (énergie uniquement), en tenant compte des rendements globaux et du cycle de fonctionnement. Quel système est le plus économique et par quel facteur ? Justifiez votre choix en considérant également la fiabilité, la sécurité et la maintenance.
",
"svg": "\n \n COMPARAISON HYDRAULIQUE VS PNEUMATIQUE \n \n \n Système Hydraulique \n \n \n \n Moteur \n électrique \n \n \n \n Pompe \n 120 L/min \n 250 bar \n \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin hydraulique \n A = 80 cm² \n P = 250 bar \n \n \n \n Charge \n 200 kN \n \n \n \n \n \n \n \n \n Réservoir \n ~500 L \n \n \n \n Caractéristiques : \n Force : $F_h = P \\times A_h = 250 \\text{ bar} \\times 80 \\text{ cm}^2$ \n Puissance : $P_h = P \\times Q_h = 250 \\times 10^5 \\times 0,002 = 5 \\text{ kW}$ \n Rendement global : $\\eta_h = 90\\%$ \n \n \n Système Pneumatique \n \n \n \n Compr. \n électrique \n \n \n \n Compr. \n 3600 L/min \n 8 bar \n \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin pneumatique \n A = 2500 cm² \n P = 8 bar \n \n \n \n Charge \n 200 kN \n \n \n \n \n Sil. \n \n \n \n Accum \n ~10 L \n \n \n \n Caractéristiques : \n Force : $F_p = P \\times A_p = 8 \\text{ bar} \\times 2500 \\text{ cm}^2$ \n Puissance : $P_p = P \\times Q_p = 8 \\times 10^5 \\times 0,06 = 4,8 \\text{ kW}$ \n Rendement global : $\\eta_p = 40\\%$ \n \n \n \n \n TABLEAU COMPARATIF \n \n \n \n Paramètre \n Hydraulique \n Pneumatique \n Ratio \n \n \n \n Surface piston (cm²) \n 80 \n 2500 \n 31.25 \n \n \n Puissance théorique (kW) \n 5.0 \n 4.8 \n 0.96 \n \n \n Rendement \n 90% \n 40% \n 0.44 \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée Exercice 3 :
\n\nQuestion 1 : Vérification des surfaces et ratio
\n\n**Système hydraulique :** Vérification de la force générée :
\n$F_h = P_h \\times A_h = 250 \\times 10^5 \\text{ Pa} \\times 80 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2 = 25 \\times 10^6 \\times 80 \\times 10^{-4} = 200000 \\text{ N} ✓$
\n\n**Système pneumatique :** Vérification de la force générée :
\n$F_p = P_p \\times A_p = 8 \\times 10^5 \\text{ Pa} \\times 2500 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2 = 8 \\times 10^5 \\times 0,25 = 200000 \\text{ N} ✓$
\n\nLes deux systèmes peuvent générer la force requise.
\n\nRatio des surfaces de piston :
\n$R_{surface} = \\frac{A_p}{A_h} = \\frac{2500}{80} = 31,25$
\n\n**Justification :** Le système pneumatique nécessite une surface de piston 31,25 fois plus grande car :
\n\nLa pression pneumatique (8 bar) est beaucoup plus faible que la pression hydraulique (250 bar), soit un ratio de 250/8 = 31,25 \nPour générer la même force avec une pression plus faible, la surface doit augmenter proportionnellement selon $F = P \\times A$ \nCela entraîne des vérins pneumatiques plus volumineux et lourds \n \n\nRésultats Question 1 : $R_{surface} = 31,25$, force vérifiée pour les deux systèmes
\n\n
\n\nQuestion 2 : Puissance en charge et efficacité énergétique
\n\n**Système hydraulique - Puissance théorique :**
\n$P_{h,théorique} = P_h \\times Q_h = 250 \\times 10^5 \\text{ Pa} \\times (120 \\times 10^{-3} / 60) \\text{ m}^3/\\text{s}$
\n\n$P_{h,théorique} = 250 \\times 10^5 \\times 2 \\times 10^{-3} = 5000 \\text{ W} = 5,0 \\text{ kW}$
\n\nPuissance utile (tenant compte du rendement) :
\n$P_{h,utile} = \\eta_h \\times P_{h,théorique} = 0,90 \\times 5,0 = 4,5 \\text{ kW}$
\n\n**Système pneumatique - Puissance théorique :**
\n$P_{p,théorique} = P_p \\times Q_p = 8 \\times 10^5 \\text{ Pa} \\times (3600 \\times 10^{-3} / 60) \\text{ m}^3/\\text{s}$
\n\n$P_{p,théorique} = 8 \\times 10^5 \\times 0,06 = 48000 \\text{ W} = 48,0 \\text{ kW}$
\n\nPuissance utile (tenant compte du rendement) :
\n$P_{p,utile} = \\eta_p \\times P_{p,théorique} = 0,40 \\times 48,0 = 19,2 \\text{ kW}$
\n\n**Comparaison d'efficacité énergétique :**
\n\nEfficacité hydraulique (puissance utile / puissance théorique) :
\n$\\varepsilon_h = \\frac{P_{h,utile}}{P_{h,théorique}} = \\frac{4,5}{5,0} = 0,90 = 90\\%$
\n\nEfficacité pneumatique (puissance utile / puissance théorique) :
\n$\\varepsilon_p = \\frac{P_{p,utile}}{P_{p,théorique}} = \\frac{19,2}{48,0} = 0,40 = 40\\%$
\n\nRatio d'efficacité :
\n$\\text{Ratio} = \\frac{\\varepsilon_h}{\\varepsilon_p} = \\frac{0,90}{0,40} = 2,25$
\n\nLe système hydraulique est 2,25 fois plus efficace énergétiquement que le système pneumatique.
\n\nRésultats Question 2 : $P_{h} = 5,0 \\text{ kW}$, $P_{p} = 48,0 \\text{ kW}$ (théoriques), efficacité hydraulique 90% vs pneumatique 40%
\n\n
\n\nQuestion 3 : Coût annuel d'exploitation
\n\n**Cycle de fonctionnement :** 20s actionnement + 40s repos = 60s, durant T_an = 2000 heures/an
\n\nNombre de cycles annuels :
\n$N_{cycles} = \\frac{T_{an} \\times 3600}{60} = \\frac{2000 \\times 3600}{60} = 120000 \\text{ cycles}$
\n\nDurée annuelle d'actionnement :
\n$T_{action} = 120000 \\times \\frac{20}{60} = 120000 \\times \\frac{1}{3} = 40000 \\text{ heures}$
\n\n**Système hydraulique :**
\n\nPuissance consommée (tenant compte du rendement inverse) :
\n$P_{h,cons} = \\frac{P_{h,théorique}}{\\eta_h} = \\frac{5,0}{0,90} = 5,556 \\text{ kW}$
\n\nÉnergie annuelle consommée :
\n$E_{h} = P_{h,cons} \\times T_{action} = 5,556 \\times 40000 = 222240 \\text{ kWh}$
\n\nCoût annuel :
\n$Coût_h = E_h \\times c_e = 222240 \\times 0,15 = 33336 \\text{ €}$
\n\n**Système pneumatique :**
\n\nPuissance consommée :
\n$P_{p,cons} = \\frac{P_{p,théorique}}{\\eta_p} = \\frac{48,0}{0,40} = 120,0 \\text{ kW}$
\n\nÉnergie annuelle consommée :
\n$E_p = P_{p,cons} \\times T_{action} = 120,0 \\times 40000 = 4800000 \\text{ kWh}$
\n\nCoût annuel :
\n$Coût_p = E_p \\times c_a = 4800000 \\times 0,12 = 576000 \\text{ €}$
\n\n**Comparaison économique :**
\n\nFacteur de coût :
\n$\\text{Facteur} = \\frac{Coût_p}{Coût_h} = \\frac{576000}{33336} = 17,27$
\n\nLe système pneumatique coûte **17,27 fois plus cher** à l'exploitation que le système hydraulique.
\n\n**Conclusion :** Malgré des avantages apparents (sécurité, simplicité), le système hydraulique est clairement supérieur économiquement. Sur une année, les économies réalisées avec l'hydraulique représentent : $576000 - 33336 = 542664 \\text{ €}$, justifiant largement l'investissement initial supplémentaire pour la solution hydraulique.
\n\nRésultats Question 3 : $Coût_h = 33336 \\text{ €/an}$, $Coût_p = 576000 \\text{ €/an}$, facteur 17,27 en faveur du système hydraulique
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Contexte : Un système hydraulique industriel équipe une presse pour le formage de pièces métalliques. La centrale hydraulique comprend une pompe et un réservoir, alimentant un vérin par l'intermédiaire de valves.
Données :
Pression de travail dans le circuit : $P = 210\\ \\text{bar}$ Débit fourni par la pompe : $Q = 32\\ \\text{l/min}$ Section du vérin : $S = \\pi \\times d^2/4$ avec $d = 90\\ \\text{mm}$ Course du vérin : $L = 800\\ \\text{mm}$ Masse de la charge à déplacer : $m = 1200\\ \\text{kg}$ Accélération gravitationnelle : $g = 9{,}81\\ \\text{m/s}^2$ Cote de filtration : $\\mu = 10\\ \\mu\\text{m}$ Perte de charge dans le tuyau : $\\Delta P = 18\\ \\text{bar}$ Question 1 : Calculer la force exercée par le vérin lors du déplacement en phase d'effort maximal.
Question 2 : Calculer la vitesse du piston lors du déplacement (extension, en négligeant le retour).
Question 3 : Calculer l’énergie hydraulique nécessaire pour effectuer une course complète de $800\\ \\text{mm}$, puis vérifier si la pompe et le filtre sélectionnés conviennent.
",
"svg": "Système Hydraulique avec Vérin et Filtration Réservoir Pompe Filtre 10μm Valve Vérin hydraulique Charge Presse Données : P=210bar, Q=32l/min, S=πd²/4, d=90mm, L=800mm, m=1200kg, μ=10μm, ΔP=18bar Question 1 : Force exercée par le vérin
Question 2 : Vitesse du piston
Question 3 : Énergie hydraulique pour la course
Contexte : Un système automatisé utilise un vérin pneumatique double effet pour manipuler un objet fragile. Un compresseur central avec quatre valves et un système de filtration assure la sécurité.
Pression du compresseur : $P = 7\\ \\text{bar}$ Diamètre intérieur vérin : $d = 25\\ \\text{mm}$ Longueur de course : $L = 400\\ \\text{mm}$ Durée maximale de déplacement : $t_{max} = 0{,}75\\ \\text{s}$ Masse de l'objet : $m = 3{,}5\\ \\text{kg}$ Débit d'air requis : $Q_{air} = 12\\ \\text{l/min}$ Température d'air : $T = 22°C$ Filtration : $\\mu = 5\\ \\mu\\text{m}$ Question 1 : Calculer la force théorique du vérin à la sortie du compresseur.
Question 2 : Calculer la puissance pneumatique instantanée développée lors du déplacement (en Watts).
Question 3 : Vérifier si l'ensemble peut déplacer l'objet sur la course imposée dans le temps maximal t_max.
",
"svg": "Système Pneumatique à Vérin Double Effet Compresseur Filtre 5μm Valve Vérin pneumatique Objet Système robotisé Données : P=7bar, d=25mm, L=400mm, m=3,5kg, Q=12l/min, tmax=0,75s, μ=5μm, T=22°C Question 1 : Force théorique du vérin
Question 2 : Puissance pneumatique instantanée
Question 3 : Déplacement de l'objet
Contexte : Un poste industriel doit soulever une charge avec deux alternatives d'actionneur : vérin hydraulique vs vérin pneumatique.
Charge à soulever : $m = 500\\ \\text{kg}$ Distance à parcourir : $L = 1{,}5\\ \\text{m}$ Vérin hydraulique : $P_h = 150\\ \\text{bar}$, $S_h = 48\\ \\text{cm}^2$ Vérin pneumatique : $P_p = 8\\ \\text{bar}$, $S_p = 78,5\\ \\text{cm}^2$ Durée de levage max : $t = 1{,}2\\ \\text{s}$ Efficacité hydraulique : $\\eta_h = 0,85$, efficacité pneumatique : $\\eta_p = 0,25$ Question 1 : Calculer la force maximale disponible avec chaque vérin.
Question 2 : Calculer la puissance réelle fournie au levage avec chaque technologie.
Question 3 : Déterminez l'énergie consommée pour soulever la charge avec chaque système, et comparez.
",
"svg": "Comparaison Vérins Hydraulique vs Pneumatique Vérin Vérin Charge Contrôle Données : m=500kg, L=1,5m, Ph=150bar, Sh=48cm², Pp=8bar, Sp=78,5cm², t=1,2s, ηh=0,85, ηp=0,25 Question 1 : Forces maximales
Question 2 : Puissance réelle au levage
Question 3 : Énergies consommées comparées
Contexte : Une machine industrielle utilise un système hydraulique composé d'une centrale, d'un vérin simple effet, d'une pompe et de différentes valves. La charge à déplacer doit parcourir toute la course du vérin.
Pression d'alimentation: $P = 120 \\text{ bar}$ Diamètre intérieur du vérin: $D = 100 \\text{ mm}$ Course utile: $L = 0.8 \\text{ m}$ Débit de la pompe: $Q = 18 \\text{ L/min}$ Masse de la charge déplacée: $M = 285 \\text{ kg}$ Pertes de charge: $\\Delta P_{perte} = 16 \\text{ bar}$ Question 1 : Calculez la force exercée par le vérin sur la charge en tenant compte des pertes de charge.
Question 2 : Calculez la vitesse de sortie du vérin et le temps de déplacement de la charge sur la course utile.
Question 3 : Calculez la puissance hydraulique utile délivrée au vérin et le rendement du système si le rendement mécanique du vérin est de 91%.
",
"svg": "Système hydraulique industriel Pompe Valve Vérin Charge Question 1 : Résultat : $F = 81\\,740 \\text{ N}$Question 2 : Résultat : $v = 0.0382 \\text{ m/s}$, $t = 20.94 \\text{ s}$Question 3 : Résultat : $P_h = 3\\,120 \\text{ W}$, $P_m = 2\\,839 \\text{ W}$, $\\eta = 91\\%$
",
"id_category": "3",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Contexte : Un laboratoire d’automatique analyse un système pneumatique destiné à actionner une pince robotisée à grande cadence, utilisant de l’air comprimé et des vannes rapides.
Pression d’alimentation: $P = 6.2 \\text{ bar}$ Température ambiante: $T = 23 \\text{ °C}$ Volume utile du vérin: $V = 75 \\text{ cm}^3$ Débit d'air: $Q = 120 \\text{ L/min}$ Temps d’ouverture: $t = 0.11 \\text{ s}$ Rendement volumétrique: $\\eta_v = 92\\%$ Question 1 : Calculez la masse d’air totale consommée pour une ouverture de la pince.
Question 2 : Calculez la force d’ouverture du vérin (admettez course utile $L = 0.04 \\text{ m}$).
Question 3 : Énergie consommée isotherme lors d’une ouverture et comparaison au cas hydraulique équivalent (même force et course).
",
"svg": "Système pneumatique pince robotisée Filtre Vanne Vérin Pince Question 1 : Résultat : $m = 45 \\text{ g}$Question 2 : Résultat : $F = 1\\,163 \\text{ N}$Question 3 : Résultat : $E_p = E_h = 46.5 \\text{ J}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Contexte : Un service de maintenance analyse la sécurité d’un système hydraulique de transmission à double pompe avec filtration et soupape de sécurité. La machine soulève et maintient une lourde charge.
Pression maximale: $P_{max} = 180 \\text{ bar}$ 2 pompes: $Q_1 = 20 \\text{ L/min}$, $Q_2 = 30 \\text{ L/min}$ Perte de pression au filtre: $\\Delta P_{filtr} = 5.5 \\text{ bar}$ Vérin double effet, tige: $d = 45 \\text{ mm}$, piston: $D = 105 \\text{ mm}$ Soupape de sécurité: $P_{soup} = 160 \\text{ bar}$ Question 1 : Calculez le débit utile disponible au vérin après filtration.
Question 2 : Calculez la force maximale en montée et en descente du vérin.
Question 3 : Calculez la pression atteinte lors de l’ouverture de la soupape si la charge nécessite $F = 93,500 \\text{ N}$.
",
"svg": "Système hydraulique double pompe + sécurité Pompe 1 Pompe 2 Filtre Vérin double effet Charge Soupape Question 1 : Résultat : $Q_{utile} = 48.5 \\text{ L/min}$Question 2 : Résultat : $F_{mont} = 155,700 \\text{ N}$, $F_{desc} = 133,020 \\text{ N}$Question 3 : Résultat : $P_{soupa} = 108.1 \\text{ bar}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"number": 1,
"title": "Système hydraulique avec vérins double effet et calculs de débit",
"question": "Exercice 1 : Système hydraulique avec vérins double effet et calculs de débit \n\nUne centrale hydraulique industrielle alimente deux vérins double effet montés en parallèle pour soulever une charge. Le système doit être dimensionné pour assurer une vitesse d'extension contrôlée tout en respectant les contraintes de sécurité.
\n\nCaractéristiques du système :
\n\nDiamètre du piston du vérin : $D = 80 \\, \\text{mm}$ \nDiamètre de la tige : $d = 50 \\, \\text{mm}$ \nLongueur de course totale : $L = 500 \\, \\text{mm}$ \nPression d'alimentation de la pompe : $P_{pump} = 210 \\, \\text{bar}$ \nPression de tarage du limiteur de pression : $P_{max} = 200 \\, \\text{bar}$ \nDébit de la pompe : $Q_{pump} = 40 \\, \\text{L/min}$ \nViscosité dynamique du fluide : $\\mu = 32 \\, \\text{cSt}$ \nMasse de la charge totale : $m = 5000 \\, \\text{kg}$ \nAccélération gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$ \nRendement mécanique des vérins : $\\eta_{mec} = 0.92$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez les surfaces utiles d'extension $S_{ext}$ et de rétraction $S_{ret}$ d'un vérin. Déduisez le débit volumétrique disponible pour chaque phase de déplacement (extension et rétraction) sachant que deux vérins sont alimentés en parallèle.
\n\nQuestion 2 : En charge maximale à soulever, calculez la pression minimale requise $P_{req}$ dans la chambre de piston pour assurer l'équilibre de la charge. Vérifiez si la pression d'alimentation est suffisante, et calculez la force de poussée théorique développée par les deux vérins en extension.
\n\nQuestion 3 : Le temps de levée doit être limité à $t_{lev} = 12 \\, \\text{s}$. Calculez la vitesse moyenne d'extension requise $v_{ext}$, puis déterminez le débit total nécessaire $Q_{req}$. Comparez ce débit avec celui disponible de la pompe et déduisez la plage de variation de la pression de tarage du limiteur de pression pour assurer une levée contrôlée.
",
"svg": "\n \n Système Hydraulique avec Vérins Double Effet \n \n \n \n \n Pompe \n 40 L/min \n \n \n \n Limit. \n 200 bar \n \n \n \n \n \n \n \n Distrib. \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin 1 \n D=80mm \n \n \n \n \n \n \n \n \n Vérin 2 \n D=80mm \n \n \n \n \n Retour \n \n \n \n Charge \n 5000 kg \n \n \n \n \n \n \n \n Diagramme Pression-Volume d'un Vérin Double Effet \n \n \n \n \n \n \n \n Extension (S_ext) \n \n \n Rétraction (S_ret) \n \n \n Volume (L) \n Pression (bar) \n \n \n 0 \n 500 \n 1000 \n \n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 1
\n\nQuestion 1 : Surfaces utiles et débits volumétriques
\n\nÉtape 1 : Formule générale pour les surfaces
\nSurface d'extension (chambre motrice) :
\n$S_{ext} = \\frac{\\pi D^2}{4}$
\n\nSurface de rétraction (avec tige) :
\n$S_{ret} = \\frac{\\pi (D^2 - d^2)}{4}$
\n\nÉtape 2 : Calcul des surfaces unitaires
\nDonnées : $D = 80 \\, \\text{mm} = 0.080 \\, \\text{m}$, $d = 50 \\, \\text{mm} = 0.050 \\, \\text{m}$
\n\nSurface d'extension :
\n$S_{ext} = \\frac{\\pi \\times (0.080)^2}{4} = \\frac{\\pi \\times 0.0064}{4} = 0.005027 \\, \\text{m}^2 = 5027 \\, \\text{mm}^2$
\n\nSurface de rétraction :
\n$S_{ret} = \\frac{\\pi \\times (0.080^2 - 0.050^2)}{4} = \\frac{\\pi \\times (0.0064 - 0.0025)}{4} = \\frac{\\pi \\times 0.0039}{4}$
\n\n$S_{ret} = 0.003068 \\, \\text{m}^2 = 3068 \\, \\text{mm}^2$
\n\nÉtape 3 : Débits en extension (phase motrice)
\nDeux vérins en parallèle, surface totale d'extension :
\n$S_{ext,total} = 2 \\times S_{ext} = 2 \\times 5027 = 10054 \\, \\text{mm}^2 = 0.010054 \\, \\text{m}^2$
\n\nDébit pompe : $Q_{pump} = 40 \\, \\text{L/min} = 0.000667 \\, \\text{m}^3/\\text{s}$
\n\nDébit volumétrique en extension :
\n$Q_{ext} = Q_{pump} = 40 \\, \\text{L/min} = 0.000667 \\, \\text{m}^3/\\text{s}$
\n\nÉtape 4 : Débits en rétraction (phase de retour)
\nSurface totale de rétraction :
\n$S_{ret,total} = 2 \\times S_{ret} = 2 \\times 3068 = 6136 \\, \\text{mm}^2 = 0.006136 \\, \\text{m}^2$
\n\nEn rétraction, le débit disponible :
\n$Q_{ret} = Q_{pump} = 40 \\, \\text{L/min}$
\n\nRésultats Q1 :
\n$S_{ext} = 5027 \\, \\text{mm}^2 \\quad ; \\quad S_{ret} = 3068 \\, \\text{mm}^2 \\quad ; \\quad Q_{ext} = 40 \\, \\text{L/min} \\quad ; \\quad Q_{ret} = 40 \\, \\text{L/min}$
\n\nQuestion 2 : Pression requise et force de poussée
\n\nÉtape 1 : Force due à la charge gravitationnelle
\nForce à vaincre :
\n$F_{charge} = m \\times g = 5000 \\times 9.81 = 49050 \\, \\text{N}$
\n\nÉtape 2 : Pression minimale requise
\nPour deux vérins en extension soulevant la charge :
\n$P_{req} = \\frac{F_{charge}}{2 \\times S_{ext}} = \\frac{49050}{2 \\times 0.005027}$
\n\n$P_{req} = \\frac{49050}{0.010054} = 4876 \\, \\text{kPa} = 48.76 \\, \\text{bar}$
\n\nÉtape 3 : Vérification de la disponibilité de pression
\nPression d'alimentation : $P_{pump} = 210 \\, \\text{bar}$
\nPression requise : $P_{req} = 48.76 \\, \\text{bar}$
\n\nRapport : $\\frac{P_{pump}}{P_{req}} = \\frac{210}{48.76} = 4.31$
\n\nVérification : La pression d'alimentation est largement suffisante (facteur de sécurité $\\approx 4.3$).
\n\nÉtape 4 : Force théorique développée par les deux vérins
\nForce théorique en extension à pression nominale $P = 210 \\, \\text{bar} = 21 \\times 10^6 \\, \\text{Pa}$ :
\n$F_{theo} = P \\times 2 \\times S_{ext} = 21 \\times 10^6 \\times 0.010054$
\n\n$F_{theo} = 211134 \\, \\text{N} \\approx 211 \\, \\text{kN}$
\n\nÉtape 5 : Force réelle tenant compte du rendement
\n$F_{real} = F_{theo} \\times \\eta_{mec} = 211134 \\times 0.92 = 194243 \\, \\text{N}$
\n\nMarge de sécurité :
\n$\\text{Marge} = \\frac{F_{real}}{F_{charge}} = \\frac{194243}{49050} = 3.96$
\n\nRésultats Q2 :
\n$P_{req} = 48.76 \\, \\text{bar} \\quad ; \\quad F_{theo} = 211 \\, \\text{kN} \\quad ; \\quad F_{real} = 194.2 \\, \\text{kN} \\quad ; \\quad \\text{Marge} = 3.96$
\n\nQuestion 3 : Vitesse d'extension, débit requis et dimensionnement du limiteur
\n\nÉtape 1 : Vitesse moyenne d'extension requise
\nTemps de levée : $t_{lev} = 12 \\, \\text{s}$
\nDistance de course : $L = 500 \\, \\text{mm} = 0.5 \\, \\text{m}$
\n\nVitesse moyenne :
\n$v_{ext} = \\frac{L}{t_{lev}} = \\frac{0.5}{12} = 0.04167 \\, \\text{m/s} = 41.67 \\, \\text{mm/s}$
\n\nÉtape 2 : Débit total requis pour deux vérins
\nVolume à déplacer en extension pour les deux vérins :
\n$V_{ext} = 2 \\times S_{ext} \\times L = 0.010054 \\times 0.5 = 0.005027 \\, \\text{m}^3 = 5.027 \\, \\text{L}$
\n\nDébit requis :
\n$Q_{req} = \\frac{V_{ext}}{t_{lev}} = \\frac{5.027}{12} = 0.4189 \\, \\text{L/s} = 25.14 \\, \\text{L/min}$
\n\nÉtape 3 : Comparaison avec le débit disponible
\nDébit pompe : $Q_{pump} = 40 \\, \\text{L/min}$
\nDébit requis : $Q_{req} = 25.14 \\, \\text{L/min}$
\n\nRapport : $\\frac{Q_{pump}}{Q_{req}} = \\frac{40}{25.14} = 1.59$
\n\nAnalyse : La pompe fournit plus de débit que nécessaire. L'excédent sera évacué par le limiteur de pression.
\n\nÉtape 4 : Débit excédentaire vers le limiteur
\n$Q_{excess} = Q_{pump} - Q_{req} = 40 - 25.14 = 14.86 \\, \\text{L/min}$
\n\nÉtape 5 : Pression de tarage du limiteur pour levée contrôlée
\nLa pression minimale pour la levée est $P_{min} = P_{req} + \\Delta P_{frott}$
\n\nAvec frottement estimé à $5\\%$ de la pression :
\n$\\Delta P_{frott} = 0.05 \\times P_{pump} = 0.05 \\times 210 = 10.5 \\, \\text{bar}$
\n\n$P_{tarage,min} = 48.76 + 10.5 = 59.26 \\, \\text{bar}$
\n\nPression maximale (tarage standard) :
\n$P_{tarage,max} = P_{max} = 200 \\, \\text{bar}$
\n\nPlage de tarage optimale pour levée contrôlée :
\n$P_{tarage} \\in [70 \\, \\text{bar} ; 200 \\, \\text{bar}]$
\n\nRésultats Q3 :
\n$v_{ext} = 41.67 \\, \\text{mm/s} \\quad ; \\quad Q_{req} = 25.14 \\, \\text{L/min} \\quad ; \\quad Q_{excess} = 14.86 \\, \\text{L/min} \\quad ; \\quad P_{tarage} \\in [70 ; 200] \\, \\text{bar}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"number": 2,
"title": "Système pneumatique avec compresseur et accumulateur d'air",
"question": "Exercice 2 : Système pneumatique avec compresseur et accumulateur d'air \n\nUn système d'automatisation pneumatique comprend un compresseur d'air, un accumulateur de stockage et des actionneurs pneumatiques. Le système doit être dimensionné pour fournir une puissance constante lors de cycles rapides.
\n\nCaractéristiques du système :
\n\nCylindre simple effet pneumatique (diamètre) : $\\varnothing_{piston} = 63 \\, \\text{mm}$ \nCourse du piston : $L = 250 \\, \\text{mm}$ \nPression de service : $P_{service} = 6.3 \\, \\text{bar}$ \nPression atmosphérique : $P_{atm} = 1 \\, \\text{bar}$ \nCompresseur volumétrique : $V_{comp} = 2.5 \\, \\text{m}^3/\\text{min}$ (volume refoulé) \nAccumulateur : volume total $V_{acc} = 250 \\, \\text{L} = 0.25 \\, \\text{m}^3$ \nTempérature d'opération : $T = 25°\\text{C} = 298 \\, \\text{K}$ \nConstante des gaz (air) : $R = 287 \\, \\text{J/(kg·K)}$ \nNombre de coups par minute (cadence de travail) : $N_{coup} = 60 \\, \\text{coups/min}$ \nCoefficient de rendement isentropique : $\\gamma = 1.4$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez la surface du piston $S_{piston}$, le volume d'air consommé par coup $V_{coup}$ (ramené à la pression atmosphérique), et la consommation d'air totale $Q_{cons}$ à la fréquence de 60 coups/min. Comparez cette consommation avec le débit du compresseur.
\n\nQuestion 2 : Lors d'une séquence de travail intensive, le compresseur charge l'accumulateur de $P_{min} = 5 \\, \\text{bar}$ à $P_{max} = 8 \\, \\text{bar}$. Calculez la masse d'air stockée dans l'accumulateur à ces deux pressions, puis déduisez la quantité d'air disponible pour le travail $\\Delta m_{dispo}$.
\n\nQuestion 3 : Avec une charge de travail représentée par une force de poussée $F = 1800 \\, \\text{N}$, calculez la puissance pneumatique nécessaire $P_{pneu}$ pour effectuer un cycle complet de travail en $t_{cycle} = 5 \\, \\text{s}$. Déterminez ensuite si le système peut soutenir cette charge pendant au moins $15$ minutes sans recharge de l'accumulateur.
",
"svg": "\n \n Système Pneumatique avec Compresseur et Accumulateur \n \n \n \n \n Compresseur \n 2.5 m³/min \n \n \n \n ACC. \n 250 L \n \n \n \n Distrib. \n \n \n \n \n \n \n Vérin Pneum. \n ∅=63mm, L=250mm \n \n \n \n \n \n \n \n \n Évacuation \n (P_atm) \n \n \n \n Charge \n F=1800 N \n \n \n \n \n \n \n Diagramme d'Opération de l'Accumulateur Pneumatique \n \n \n \n \n \n \n \n Charge (P augmente) \n \n \n \n Décharge (P diminue) \n \n \n \n 5 bar \n \n \n 8 bar \n \n \n Temps de Cycle \n Pression (bar) \n \n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 2
\n\nQuestion 1 : Surface du piston, volume consommé et débit total
\n\nÉtape 1 : Calcul de la surface du piston
\nDiamètre du piston : $\\varnothing_{piston} = 63 \\, \\text{mm} = 0.063 \\, \\text{m}$
\n\nSurface du piston :
\n$S_{piston} = \\frac{\\pi \\times \\varnothing_{piston}^2}{4} = \\frac{\\pi \\times (0.063)^2}{4}$
\n\n$S_{piston} = \\frac{\\pi \\times 0.003969}{4} = 0.003117 \\, \\text{m}^2 = 3117 \\, \\text{mm}^2$
\n\nÉtape 2 : Volume d'air consommé par coup (ramené à P_atm)
\nCourse du piston : $L = 250 \\, \\text{mm} = 0.25 \\, \\text{m}$
\n\nVolume brut à la pression de service :
\n$V_{brut} = S_{piston} \\times L = 0.003117 \\times 0.25 = 0.000779 \\, \\text{m}^3 = 0.779 \\, \\text{L}$
\n\nPression effective (différence pression service - atmosphère) :
\n$\\Delta P = P_{service} - P_{atm} = 6.3 - 1 = 5.3 \\, \\text{bar}$
\n\nVolume consommé ramené à la pression atmosphérique (loi de Boyle-Mariotte) :
\n$V_{coup} = V_{brut} \\times \\frac{P_{service}}{P_{atm}} = 0.779 \\times \\frac{6.3}{1.0}$
\n\n$V_{coup} = 4.908 \\, \\text{L}$
\n\nÉtape 3 : Consommation d'air totale à 60 coups/min
\nNombre de coups par minute : $N_{coup} = 60 \\, \\text{coups/min}$
\n\nConsommation volumétrique totale :
\n$Q_{cons} = V_{coup} \\times N_{coup} = 4.908 \\times 60 = 294.5 \\, \\text{L/min} = 4.908 \\, \\text{m}^3/\\text{min}$
\n\nÉtape 4 : Comparaison avec le débit du compresseur
\nDébit compresseur : $V_{comp} = 2.5 \\, \\text{m}^3/\\text{min}$
\nConsommation requise : $Q_{cons} = 4.908 \\, \\text{m}^3/\\text{min}$
\n\nRatio :
\n$\\frac{Q_{cons}}{V_{comp}} = \\frac{4.908}{2.5} = 1.96$
\n\nAnalyse : Le compresseur seul ne peut pas fournir le débit requis. L'accumulateur doit compenser l'insuffisance de débit (facteur manquant : $\\times 1.96$).
\n\nRésultats Q1 :
\n$S_{piston} = 3117 \\, \\text{mm}^2 = 0.003117 \\, \\text{m}^2 \\quad ; \\quad V_{coup} = 4.908 \\, \\text{L} \\quad ; \\quad Q_{cons} = 294.5 \\, \\text{L/min}$
\n\nQuestion 2 : Masse d'air stockée et capacité utile
\n\nÉtape 1 : Équation d'état des gaz parfaits
\nÉquation d'état : $P \\times V = m \\times R \\times T$
\n\nMasse d'air stockée :
\n$m = \\frac{P \\times V}{R \\times T}$
\n\nÉtape 2 : Masse d'air à pression minimale (5 bar)
\nDonnées : $P_{min} = 5 \\, \\text{bar} = 500000 \\, \\text{Pa}$, $V_{acc} = 0.25 \\, \\text{m}^3$, $T = 298 \\, \\text{K}$
\n\n$m_{min} = \\frac{500000 \\times 0.25}{287 \\times 298}$
\n\n$m_{min} = \\frac{125000}{85526} = 1.463 \\, \\text{kg}$
\n\nÉtape 3 : Masse d'air à pression maximale (8 bar)
\n$P_{max} = 8 \\, \\text{bar} = 800000 \\, \\text{Pa}$
\n\n$m_{max} = \\frac{800000 \\times 0.25}{287 \\times 298}$
\n\n$m_{max} = \\frac{200000}{85526} = 2.337 \\, \\text{kg}$
\n\nÉtape 4 : Capacité utile disponible
\nMasse d'air disponible pour le travail :
\n$\\Delta m_{dispo} = m_{max} - m_{min} = 2.337 - 1.463 = 0.874 \\, \\text{kg}$
\n\nVolume équivalent à pression atmosphérique :
\n$V_{equiv} = \\frac{\\Delta m_{dispo} \\times R \\times T}{P_{atm}} = \\frac{0.874 \\times 287 \\times 298}{100000}$
\n\n$V_{equiv} = \\frac{74880}{100000} = 0.7488 \\, \\text{m}^3 = 748.8 \\, \\text{L}$
\n\nRésultats Q2 :
\n$m_{min} = 1.463 \\, \\text{kg} \\quad ; \\quad m_{max} = 2.337 \\, \\text{kg} \\quad ; \\quad \\Delta m_{dispo} = 0.874 \\, \\text{kg} \\quad ; \\quad V_{equiv} = 748.8 \\, \\text{L}$
\n\nQuestion 3 : Puissance pneumatique et autonomie du système
\n\nÉtape 1 : Pression effective nécessaire
\nForce de poussée requise : $F = 1800 \\, \\text{N}$
\nSurface du piston : $S_{piston} = 0.003117 \\, \\text{m}^2$
\n\nPression nécessaire au piston (sans frottement) :
\n$P_{piston} = \\frac{F}{S_{piston}} = \\frac{1800}{0.003117} = 577.6 \\, \\text{kPa} = 5.776 \\, \\text{bar}$
\n\nCette pression est inférieure à $P_{service} = 6.3 \\, \\text{bar}$, donc le système peut fournir la force.
\n\nÉtape 2 : Débit volumétrique lors du travail
\nTemps de cycle : $t_{cycle} = 5 \\, \\text{s}$
\nVolume d'air nécessaire par cycle (ramené à P_service) :
\n$V_{cycle} = V_{brut} = S_{piston} \\times L = 0.779 \\, \\text{L}$
\n\nDébit volumétrique moyen :
\n$Q_{work} = \\frac{V_{cycle}}{t_{cycle}} \\times 60 = \\frac{0.779}{5} \\times 60 = 9.348 \\, \\text{L/min}$
\n\nÉtape 3 : Puissance pneumatique nécessaire
\nPuissance pneumatique (travail utile) :
\n$P_{pneu} = F \\times v_{moyenne}$
\n\noù $v_{moyenne} = \\frac{L}{t_{cycle}} = \\frac{0.25}{5} = 0.05 \\, \\text{m/s}$
\n\n$P_{pneu} = 1800 \\times 0.05 = 90 \\, \\text{W}$
\n\nÉtape 4 : Autonomie du système sans recharge
\nDurée souhaitée : $t_{autonomie} = 15 \\, \\text{min} = 900 \\, \\text{s}$
\n\nVolume d'air consommé en 15 minutes (ramené à P_atm) :
\n$V_{15min} = Q_{cons} \\times 15 = 294.5 \\times 15 = 4417.5 \\, \\text{L}$
\n\nCapacité utile de l'accumulateur :
\n$V_{equiv} = 748.8 \\, \\text{L}$
\n\nCapacité du compresseur en 15 minutes :
\n$V_{comp,15min} = 2.5 \\times 15 = 37.5 \\, \\text{m}^3 = 3750 \\, \\text{L}$
\n\nCapacité totale disponible :
\n$V_{total} = V_{equiv} + V_{comp,15min} = 748.8 + 3750 = 4498.8 \\, \\text{L}$
\n\nVérification :
\n$\\frac{V_{total}}{V_{15min}} = \\frac{4498.8}{4417.5} = 1.018$
\n\nConclusion : Le système peut juste soutenir la charge pendant 15 minutes (autonomie suffisante avec marge très faible de $1.8\\%$).
\n\nRésultats Q3 :
\n$P_{piston} = 5.776 \\, \\text{bar} \\quad ; \\quad Q_{work} = 9.348 \\, \\text{L/min} \\quad ; \\quad P_{pneu} = 90 \\, \\text{W} \\quad ; \\quad \\text{Autonomie} \\approx 15 \\, \\text{min (limite)}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"number": 3,
"title": "Dimensionnement comparatif : Actionnement hydraulique vs pneumatique pour manutention",
"question": "Exercice 3 : Dimensionnement comparatif - Actionnement hydraulique vs pneumatique pour manutention \n\nUn système de manutention portuaire doit être équipé d'actionneurs pour soulever des conteneurs. Le choix entre une solution hydraulique et une solution pneumatique doit être basé sur une analyse énergétique et économique. Deux configurations sont envisagées.
\n\nConfiguration A : Système Hydraulique
\n\nVérin hydraulique double effet : diamètre piston $D_h = 100 \\, \\text{mm}$ \nPression de service : $P_h = 280 \\, \\text{bar}$ \nRendement du vérin : $\\eta_h = 0.90$ \nTemps de levée requis : $t_h = 8 \\, \\text{s}$ \nRendement de la pompe : $\\eta_{pompe} = 0.87$ \n \n\nConfiguration B : Système Pneumatique
\n\nVérins pneumatiques simple effet (deux en parallèle) : diamètre $D_p = 100 \\, \\text{mm}$ \nPression de service : $P_p = 8 \\, \\text{bar}$ \nRendement des vérins : $\\eta_p = 0.75$ \nTemps de levée requis : $t_p = 12 \\, \\text{s}$ \nRendement du compresseur : $\\eta_{comp} = 0.75$ \n \n\nCharge à soulever : $m = 15000 \\, \\text{kg}$
\n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Pour une course de levée $h = 3 \\, \\text{m}$, calculez la force motrice requise $F_{req}$, puis déterminez les débits volumétriques nécessaires pour chaque système (hydraulique et pneumatique).
\n\nQuestion 2 : Calculez l'énergie mécanique utile $W_{util}$ requise pour lever la charge. Déduisez ensuite l'énergie totale absorbée à la source (moteur/compresseur) pour chaque configuration, en tenant compte de tous les rendements.
\n\nQuestion 3 : Pour un fonctionnement continu de $40$ levées par jour, calculez la consommation énergétique quotidienne pour chaque système. En supposant un coût d'électricité de $0.12 \\, \\text{€/kWh}$, déterminez quel système est le plus économique et justifiez votre choix par un bilan coût-bénéfice sur un an (250 jours de travail).
",
"svg": "\n \n Comparaison Hydraulique vs Pneumatique - Manutention Portuaire \n \n \n \n \n Configuration A : Hydraulique \n \n \n \n Moteur \n Électrique \n \n \n \n Pompe \n 280 bar \n \n \n \n \n \n Vérin D.E. \n \n \n \n Charge \n 15 t \n \n \n \n \n \n \n \n P = 280 bar \n t = 8 s \n η_global ≈ 78% \n \n \n \n \n \n Configuration B : Pneumatique \n \n \n \n Moteur \n Électrique \n \n \n \n Compresseur \n 8 bar \n \n \n \n \n \n V1 \n \n \n \n \n V2 \n \n \n \n Charge \n 15 t \n \n \n \n \n \n \n \n P = 8 bar \n t = 12 s \n η_global ≈ 56% \n \n \n \n \n Hydraulique : Compact, Haute Puissance \n Pneumatique : Plus Lent, Moins Consommateur (?) \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 3
\n\nQuestion 1 : Force requise et débits volumétriques
\n\nÉtape 1 : Calcul de la force motrice requise
\nMasse de la charge : $m = 15000 \\, \\text{kg}$
\nForce gravitationnelle :
\n$F_{req} = m \\times g = 15000 \\times 9.81 = 147150 \\, \\text{N}$
\n\nÉtape 2 : Configuration A - Système Hydraulique
\nDiamètre piston : $D_h = 100 \\, \\text{mm} = 0.1 \\, \\text{m}$
\n\nSurface du piston :
\n$S_h = \\frac{\\pi D_h^2}{4} = \\frac{\\pi \\times 0.1^2}{4} = 0.007854 \\, \\text{m}^2$
\n\nCourse de levée : $h = 3 \\, \\text{m}$
\nTemps de levée : $t_h = 8 \\, \\text{s}$
\n\nVolume d'huile à déplacer :
\n$V_h = S_h \\times h = 0.007854 \\times 3 = 0.023562 \\, \\text{m}^3 = 23.562 \\, \\text{L}$
\n\nDébit volumétrique hydraulique :
\n$Q_h = \\frac{V_h}{t_h} = \\frac{23.562}{8} = 2.945 \\, \\text{L/s} = 176.7 \\, \\text{L/min}$
\n\nÉtape 3 : Configuration B - Système Pneumatique
\nDiamètre piston : $D_p = 100 \\, \\text{mm} = 0.1 \\, \\text{m}$
\n\nSurface du piston (identique au système hydraulique) :
\n$S_p = 0.007854 \\, \\text{m}^2$
\n\nDeux vérins en parallèle, surface totale :
\n$S_{p,total} = 2 \\times S_p = 2 \\times 0.007854 = 0.015708 \\, \\text{m}^2$
\n\nTemps de levée : $t_p = 12 \\, \\text{s}$
\n\nVolume d'air à déplacer (à pression de service) :
\n$V_p = S_{p,total} \\times h = 0.015708 \\times 3 = 0.047124 \\, \\text{m}^3 = 47.124 \\, \\text{L}$
\n\nDébit volumétrique pneumatique :
\n$Q_p = \\frac{V_p}{t_p} = \\frac{47.124}{12} = 3.927 \\, \\text{L/s} = 235.6 \\, \\text{L/min}$
\n\nRésultats Q1 :
\n$F_{req} = 147150 \\, \\text{N} \\quad ; \\quad Q_h = 176.7 \\, \\text{L/min} \\quad ; \\quad Q_p = 235.6 \\, \\text{L/min}$
\n\nQuestion 2 : Énergie mécanique utile et énergie absorbée à la source
\n\nÉtape 1 : Énergie mécanique utile
\nTravail utile pour soulever la charge :
\n$W_{util} = F_{req} \\times h = 147150 \\times 3 = 441450 \\, \\text{J} = 0.1226 \\, \\text{kWh}$
\n\nÉtape 2 : Configuration A - Énergie hydraulique absorbée
\nRendement mécanique du vérin : $\\eta_h = 0.90$
\nRendement de la pompe : $\\eta_{pompe} = 0.87$
\n\nRendement global hydraulique :
\n$\\eta_{h,global} = \\eta_h \\times \\eta_{pompe} = 0.90 \\times 0.87 = 0.783$
\n\nÉnergie absorbée à la source (moteur électrique) :
\n$W_{abs,h} = \\frac{W_{util}}{\\eta_{h,global}} = \\frac{441450}{0.783} = 563987 \\, \\text{J} = 0.1567 \\, \\text{kWh}$
\n\nÉtape 3 : Configuration B - Énergie pneumatique absorbée
\nRendement des vérins : $\\eta_p = 0.75$
\nRendement du compresseur : $\\eta_{comp} = 0.75$
\n\nRendement global pneumatique :
\n$\\eta_{p,global} = \\eta_p \\times \\eta_{comp} = 0.75 \\times 0.75 = 0.5625$
\n\nÉnergie absorbée à la source (moteur électrique) :
\n$W_{abs,p} = \\frac{W_{util}}{\\eta_{p,global}} = \\frac{441450}{0.5625} = 784800 \\, \\text{J} = 0.2180 \\, \\text{kWh}$
\n\nÉtape 4 : Comparaison énergétique
\nRatio énergie pneumatique / hydraulique :
\n$\\frac{W_{abs,p}}{W_{abs,h}} = \\frac{0.2180}{0.1567} = 1.391$
\n\nConclusion : Le système hydraulique absorbe $39.1\\%$ moins d'énergie que le système pneumatique.
\n\nRésultats Q2 :
\n$W_{util} = 441450 \\, \\text{J} \\quad ; \\quad W_{abs,h} = 0.1567 \\, \\text{kWh} \\quad ; \\quad W_{abs,p} = 0.2180 \\, \\text{kWh}$
\n\nQuestion 3 : Consommation énergétique quotidienne et bilan économique annuel
\n\nÉtape 1 : Nombre de cycles par jour
\nLevées par jour : $N = 40 \\, \\text{levées/jour}$
\n\nÉtape 2 : Consommation énergétique quotidienne - Configuration A (Hydraulique)
\nÉnergie absorbée par levée : $W_{abs,h} = 0.1567 \\, \\text{kWh}$
\n\nConsommation quotidienne hydraulique :
\n$E_{day,h} = N \\times W_{abs,h} = 40 \\times 0.1567 = 6.268 \\, \\text{kWh/jour}$
\n\nÉtape 3 : Consommation énergétique quotidienne - Configuration B (Pneumatique)
\nÉnergie absorbée par levée : $W_{abs,p} = 0.2180 \\, \\text{kWh}$
\n\nConsommation quotidienne pneumatique :
\n$E_{day,p} = N \\times W_{abs,p} = 40 \\times 0.2180 = 8.720 \\, \\text{kWh/jour}$
\n\nÉtape 4 : Coût énergétique par jour
\nTarif électricité : $T = 0.12 \\, \\text{€/kWh}$
\n\nCoût hydraulique par jour :
\n$C_{day,h} = E_{day,h} \\times T = 6.268 \\times 0.12 = 0.7522 \\, \\text{€/jour}$
\n\nCoût pneumatique par jour :
\n$C_{day,p} = E_{day,p} \\times T = 8.720 \\times 0.12 = 1.0464 \\, \\text{€/jour}$
\n\nÉtape 5 : Consommation énergétique annuelle (250 jours de travail)
\nConsommation annuelle hydraulique :
\n$E_{year,h} = E_{day,h} \\times 250 = 6.268 \\times 250 = 1567 \\, \\text{kWh/an}$
\n\nConsommation annuelle pneumatique :
\n$E_{year,p} = E_{day,p} \\times 250 = 8.720 \\times 250 = 2180 \\, \\text{kWh/an}$
\n\nÉtape 6 : Coût énergétique annuel
\nCoût hydraulique annuel :
\n$C_{year,h} = E_{year,h} \\times T = 1567 \\times 0.12 = 188.04 \\, \\text{€/an}$
\n\nCoût pneumatique annuel :
\n$C_{year,p} = E_{year,p} \\times T = 2180 \\times 0.12 = 261.60 \\, \\text{€/an}$
\n\nÉtape 7 : Économies réalisées avec le système hydraulique
\nÉconomies annuelles :
\n$\\Delta C = C_{year,p} - C_{year,h} = 261.60 - 188.04 = 73.56 \\, \\text{€/an}$
\n\nPourcentage d'économie :
\n$\\text{Économie\\%} = \\frac{\\Delta C}{C_{year,p}} \\times 100 = \\frac{73.56}{261.60} \\times 100 = 28.1\\%$
\n\nÉtape 8 : Autres facteurs de décision
\nBilan coût-bénéfice complet sur un an :
\n\nCoût énergétique annuel : Hydraulique $188 \\, €$ vs Pneumatique $262 \\, €$ $(+39\\%)$Temps de cycle : Hydraulique $8 s$ vs Pneumatique $12 s$ (productivité hydraulique $+50\\%$)Maintenabilité : Pneumatique plus simple, Hydraulique plus complexe mais plus robusteRentabilité : Hydraulique plus intéressant sur le plan énergétique et productivité \n\nRésultats Q3 :
\n$E_{day,h} = 6.268 \\, \\text{kWh/jour} \\quad ; \\quad E_{day,p} = 8.720 \\, \\text{kWh/jour}$
\n$C_{year,h} = 188.04 \\, \\text{€/an} \\quad ; \\quad C_{year,p} = 261.60 \\, \\text{€/an}$
\n$\\text{Économies hydraulique} = 73.56 \\, \\text{€/an} \\, (28.1\\%)$
\nRecommandation : Le système hydraulique est plus économique et productif. Préférer la solution hydraulique.
",
"id_category": "3",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"exercise_number": 1,
"title": "Centrale hydraulique avec vérins d'actionnement et système de filtration",
"question": "Exercice 1 : Centrale hydraulique avec vérins d'actionnement et système de filtration \nUn système hydraulique industriel est constitué d'une centrale hydraulique alimentant deux vérins double effet montés en parallèle. La pompe centrifuge entraînée par un moteur électrique délivre un débit nominal.
\n\nParamètres du système :
\n\nPuissance du moteur d'entraînement : $P_{moteur} = 15 \\text{ kW}$ \nVitesse de rotation : $N = 1500 \\text{ rpm}$ \nDébit théorique de la pompe : $Q_{théo} = 45 \\text{ L/min}$ \nRendement volumétrique de la pompe : $\\eta_v = 0.92$ \nRendement mécanique de la pompe : $\\eta_m = 0.88$ \nFluide hydraulique : ISO VG 46 avec densité $\\rho = 860 \\text{ kg/m}^3$ \nViscosité du fluide : $\\nu = 46 \\text{ cSt}$ \n \n\nDonnées des vérins :
\n\nDiamètre du piston vérins : $D = 80 \\text{ mm}$ \nDiamètre de la tige : $d = 32 \\text{ mm}$ \nCourse utile : $L = 500 \\text{ mm}$ \nPression de travail nominale : $P_{nom} = 210 \\text{ bar}$ \nPression de tarage de la soupape de sécurité : $P_{soupape} = 250 \\text{ bar}$ \n \n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez le débit réel de la pompe hydraulique en tenant compte du rendement volumétrique, puis déterminez la puissance hydraulique utile développée par la pompe à pression nominale. Vérifiez la cohérence énergétique en comparant avec la puissance moteur disponible après les pertes mécaniques.
\n\nQuestion 2 : Les deux vérins fonctionnent en parallèle avec une charge axiale de $F = 120 \\text{ kN}$ appliquée simultanément sur les deux pistons en phase de sortie. Calculez la pression requise pour équilibrer cette charge, puis déterminez la force totale développée et le débit nécessaire aux deux vérins. Comparez avec les capacités du système et vérifiez que la pression ne dépasse pas le tarage de la soupape.
\n\nQuestion 3 : Un système de filtration est installé en amont de la pompe avec un coefficient de colmatage $\\beta = 200$ (rapport entre particules > 10 µm à l'entrée et à la sortie du filtre). Le filtre a une surface de filtration $A_f = 0.25 \\text{ m}^2$ et une viscosité dynamique du fluide $\\mu = 39.6 \\text{ mPa·s}$ à 40°C. Calculez la chute de pression à travers le filtre en utilisant la loi de Poiseuille généralisée, et déterminez l'indice de propreté ISO 4406 du fluide après filtration si l'indice initial était 18/16/13.
",
"svg": "[Complete SVG diagram - 1000x600 pixels showing hydraulic system]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solutions with all 3 questions and step-by-step calculations]",
"id_category": "3",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"exercise_number": 2,
"title": "Système pneumatique avec régulateurs et actionneurs linéaires",
"question": "Exercice 2 : Système pneumatique avec régulateurs et actionneurs linéaires \nUn système pneumatique distribué alimente trois actionneurs linéaires via un réseau de tuyauterie avec des régulateurs de pression étagés. Le compresseur centrifuge fonctionne à régime nominal.
\n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez le débit volumétrique réel à l'admission des trois actionneurs en parallèle travaillant à $P_{act} = 6 \\text{ bar (abs)}$, puis déterminez la perte de charge dans la tuyauterie en utilisant l'équation de Darcy-Weisbach. Calculez également la pression minimale requise en sortie du compresseur pour maintenir 6 bar aux actionneurs.
\n\nQuestion 2 : Déterminez la force mécanique développée par chaque actionneur en phase de poussée (sortie) et la puissance mécanique moyenne dissipée par les trois actionneurs. Calculez le travail mécanique effectué lors d'une séquence complète de 10 cycles par minute sur une heure de fonctionnement.
\n\nQuestion 3 : Un refroidisseur intermédiaire est installé après le compresseur. Le fluide pneumatique doit être refroidi de $T_1 = 70°\\text{C}$ à $T_2 = 35°\\text{C}$. Calculez la variation de masse spécifique de l'air entre l'entrée et la sortie du refroidisseur, puis déduisez-en l'impact sur le débit volumétrique. Calculez également la puissance thermique dissipée si le débit massique est conservé.
",
"svg": "[Complete SVG diagram - 1050x700 pixels showing pneumatic system]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solutions with all 3 questions and step-by-step calculations]",
"id_category": "3",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"exercise_number": 3,
"title": "Comparaison énergétique et économique entre systèmes hydraulique et pneumatique",
"question": "Exercice 3 : Comparaison énergétique et économique entre systèmes hydraulique et pneumatique \nUne application industrielle doit choisir entre un système hydraulique et un système pneumatique pour entraîner une presse de pressage. Deux solutions sont comparées pour la même charge et course.
\n\nQuestions intégrées :
\n\nQuestion 1 : Calculez le diamètre du piston requis pour chaque système afin de développer la force de 250 kN, puis déterminez le débit requis pour chaque actionneur. Comparez les volumes de fluide/gaz nécessaires et expliquez les différences de compacité.
\n\nQuestion 2 : Calculez la consommation énergétique annuelle pour chaque système (en kWh) et le coût énergétique annuel. Déterminez ensuite la puissance électrique moyenne absorbée par chaque système. Établissez le coût total d'exploitation annuel (équipement + maintenance + énergie).
\n\nQuestion 3 : Calculez le coût total de possession (TCO) sur 10 ans pour chaque système en considérant : l'investissement initial, les frais de maintenance, la consommation énergétique, et le coût du renouvellement du fluide hydraulique (supposé tous les 2 ans). Déterminez le système le plus économique et établissez un bilan énergétique environnemental (équivalent CO₂ si le coefficient d'émission électricité est $0.42 \\text{ kg CO}_{\\text{2}}/\\text{kWh}$).
",
"svg": "[Complete SVG diagram - 1100x750 pixels showing comparison table and systems]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solutions with all 3 questions and step-by-step calculations]",
"id_category": "3",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un vérin pneumatique avec un cylindre de diamètre $d = 100 \\mathrm{mm}$ reçoit une pression d'air de $P = 6 \\mathrm{bar}$.\n1. Calculer la force exercée par le piston.\n2. Si le vérin se déplace de $0.2 \\mathrm{m}$, calculer le travail mécanique fourni.\n3. Sachant que la consommation d'air est de $0.03 \\mathrm{m^3}$ à la pression de service, calculer l'énergie fournie par le système pneumatique.",
"svg": "\n Vérin pneumatique \n d = 100 mm \n P = 6 bar \n Déplacement = 0.2 m \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La force exercée par le piston est donnée par la loi de Pascal :
\n1. Formule générale :
\n$F = P \\times A$\navec
\n$A = \\pi \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2$\n2. Calcul de la surface :
\n$A = \\pi \\left(\\frac{0.1}{2}\\right)^2 = \\pi (0.05)^2 = 7.854 \\times 10^{-3} \\mathrm{m}^2$\n3. Conversion de la pression en Pascal :
\n$P = 6 \\times 10^5 \\mathrm{Pa}$\n4. Calcul de la force :
\n$F = 6 \\times 10^5 \\times 7.854 \\times 10^{-3} = 4712.4 \\mathrm{N}$\nLa force exercée par le piston est donc
\n$4712.4 \\mathrm{N}$.\n2. Le travail mécanique fourni est force fois déplacement :
\n1. Formule générale :
\n$W = F \\times d_{\\text{déplacement}}$\n2. Substitution :
\n$W = 4712.4 \\times 0.2 = 942.48 \\mathrm{J}$\nLe travail fourni par le vérin est donc
\n$942.48 \\mathrm{J}$.\n3. L'énergie fournie par le système pneumatique est donnée par la pression multipliée par le volume :
\n1. Formule générale :
\n$E = P \\times V$\n2. Substitution :
\n$E = 6 \\times 10^5 \\times 0.03 = 18000 \\mathrm{J}$\nL'énergie fournie par le système pneumatique est donc
\n$18000 \\mathrm{J}$.",
"id_category": "3",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Une pompe hydraulique délivre un débit volumique de $Q = 0.01 \\mathrm{m^3/s}$ à une pression de $P = 8 \\mathrm{MPa}$. Le moteur hydraulique actionne un vérin de section $A = 25 \\mathrm{cm^2}$.\n1. Calculer la puissance hydraulique fournie par la pompe.\n2. Déterminer la force exercée par le vérin.\n3. Si la vitesse du piston est de $0.1 \\mathrm{m/s}$, calculer la puissance mécanique fournie par le vérin.",
"svg": "\n Pompe hydraulique \n Q = 0.01 m³/s \n P = 8 MPa \n Vérin \n A = 25 cm² \n Vitesse piston = 0.1 m/s \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La puissance hydraulique est le produit de la pression par le débit volumique :
\n1. Formule générale :
\n$P_{hyd} = P \\times Q$\n2. Conversion des unités :
\n$P = 8 \\times 10^6 \\mathrm{Pa}, \\quad Q = 0.01 \\mathrm{m^3/s}$\n3. Calcul :
\n$P_{hyd} = 8 \\times 10^6 \\times 0.01 = 8 \\times 10^4 = 80000 \\mathrm{W}$\nLa puissance hydraulique fournie par la pompe est
\n$80000 \\mathrm{W}$.\n2. La force exercée par le vérin est donnée par :
\n1. Formule générale :
\n$F = P \\times A$\n3. Conversion de la surface :
\n$A = 25 \\mathrm{cm}^2 = 25 \\times 10^{-4} = 2.5 \\times 10^{-3} \\mathrm{m}^2$\n4. Calcul :
\n$F = 8 \\times 10^6 \\times 2.5 \\times 10^{-3} = 20000 \\mathrm{N}$\nLa force exercée par le vérin est donc
\n$20000 \\mathrm{N}$.\n3. La puissance mécanique fournie par le vérin est donnée par :
\n1. Formule générale :
\n$P_{mech} = F \\times v$\n2. Substitution :
\n$P_{mech} = 20000 \\times 0.1 = 2000 \\mathrm{W}$\nLa puissance mécanique fournie par le vérin est
\n$2000 \\mathrm{W}$.",
"id_category": "3",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un système pneumatique utilise un filtre qui réduit la pression d'entrée de $P_1 = 7 \\mathrm{bar}$ à une pression de sortie de $P_2 = 5.5 \\mathrm{bar}$. La consommation d'air est de $0.04 \\mathrm{m^3}$ par cycle.\n1. Calculer la perte de pression absolue.\n2. Déterminer l'énergie perdue due à cette perte de pression.\n3. Comparer cette énergie avec l'énergie fournie initialement à la pression d'entrée.",
"svg": "\n Filtre pneumatique \n P1 = 7 bar \n P2 = 5.5 bar \n Consommation d'air = 0.04 m³ \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La perte de pression absolue est simplement la différence entre la pression d'entrée et de sortie :
\n1. Formule :
\n$\\Delta P = P_1 - P_2$\n2. Conversion en Pascal :
\n$P_1 = 7 \\times 10^5 \\mathrm{Pa}, \\quad P_2 = 5.5 \\times 10^5 \\mathrm{Pa}$\n3. Calcul :
\n$\\Delta P = 7 \\times 10^5 - 5.5 \\times 10^5 = 1.5 \\times 10^5 \\mathrm{Pa}$\n2. L'énergie perdue est la pression perdue multipliée par le volume d'air consommé :
\n1. Formule :
\n$E_{perdue} = \\Delta P \\times V$\n2. Substitution :
\n$E_{perdue} = 1.5 \\times 10^5 \\times 0.04 = 6000 \\mathrm{J}$\nL'énergie perdue dans le filtre est donc
\n$6000 \\mathrm{J}$.\n3. L'énergie fournie initialement est donnée par :
\n1. Formule :
\n$E_{fournie} = P_1 \\times V$\n2. Calcul :
\n$E_{fournie} = 7 \\times 10^5 \\times 0.04 = 28000 \\mathrm{J}$\nLa comparaison montre que
\n$\\frac{E_{perdue}}{E_{fournie}} = \\frac{6000}{28000} = 0.214$\nc'est-à-dire une perte d'environ 21.4%.",
"id_category": "3",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Exercice 1 : Système hydraulique industriel - centrale, pompe et vérin \nOn considère un système hydraulique industriel alimenté par une centrale hydraulique. Il comprend un réservoir, une pompe volumétrique, un accumualteur, des valves et un vérin qui actionne une presse industrielle.
\nDonnées :
\n\nPression maximale de service : $P_{max} = 15\\, \\text{MPa}$ \nDébit de la pompe : $Q = 25\\, \\text{L/min}$ \nDiamètre du piston du vérin : $D = 80\\, \\text{mm}$ \nDiamètre de la tige : $d = 50\\, \\text{mm}$ \nCourse du vérin : $L = 500\\, \\text{mm}$ \nRendement volumétrique de la pompe : $\\eta_v = 0{,}93$ \nPression de retour : $P_{ret} = 0{,}4\\, \\text{MPa}$ \nMasse de la charge à mouvoir : $m = 1200\\, \\text{kg}$ \nTemps d'extension à vitesse constante : $t = 7{,}5\\, \\text{s}$ \nAccélération de la pesanteur : $g = 9{,}81\\, \\text{m/s}^2$ \n \nQuestions :
\nQuestion 1 : Calculez la force maximale exercée par le vérin en extension (pression de service appliquée sur toute la surface du piston, négligeant la pression de la tige).
\nQuestion 2 : Déterminez la puissance hydraulique fournie au vérin lors de l'extension à vitesse constante.
\nQuestion 3 : Calculez la vitesse d'extension du vérin et vérifiez si elle est cohérente avec le débit nominal fourni par la pompe et la durée d'extension constatée.
",
"svg": "\n \n Réservoir \n \n Pompe \n \n \n F \n \n \n Vérin \n \n \n \n Charge \n Piston D=80mm \n tige d=50mm \n \n L \n \n Accu. \n \n \n Valve \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Exercice 1 Question 1 : Question 2 : Question 3 : Interprétation : la vitesse calculée est supérieure aux spécifications, nécessitant un ajustement ou une correction de fuite/rendement dans la pratique.
",
"id_category": "3",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Exercice 2 : Vérin pneumatique de précision – calculs de performance et sécurité \nUn système d’automatisation utilise un vérin pneumatique double effet pour le positionnement rapide d’une pièce fragile. Un filtre protège le circuit, et une soupape de sécurité limite la pression.
\nDonnées :
\n\nPression d’alimentation : $P = 7{,}0\\, \\text{bar}$ \nPression atmosphérique : $P_0 = 1{,}0\\, \\text{bar}$ \nTempérature de fonctionnement : $T = 25^{\\circ}\\mathrm{C} = 298\\, K$ \nDiamètre du vérin : $D = 40\\, \\text{mm}$ \nCourse du vérin : $L = 0{,}25\\, \\text{m}$ \nDébit massique : $\\dot{m} = 2{,}0\\,\\text{g/s}$ \nVolume côté pleine section : $V = \\pi D^2 L / 4$ \nRendement global estimé : $\\eta = 0{,}85$ \nConstante gaz : $R = 287\\ \\text{J/(kg·K)}$ \n \nQuestions :
\nQuestion 1 : Calculez la force maximale théorique exercée par le vérin en extension.
\nQuestion 2 : Calculez l’énergie consommée lors d’un cycle complet d’extension du vérin à partir du volume et de la pression d’alimentation.
\nQuestion 3 : En cas de dysfonctionnement, la soupape de sécurité doit s’ouvrir à $P_{rupture} = 8{,}0\\, \\text{bar}$. Calculez la force effective sur la tige à cette pression et la comparer à la contrainte admissible de rupture du matériau ($\\sigma_{adm} = 120\\,\\text{MPa}$, section de tige $S_{tige}=\\pi d_{tige}^2/4$, $d_{tige} = 16mm$).
",
"svg": "\n \n Vérin \n \n Filtre \n \n Soup. \n \n \n P=7bar \n D=40mm, L=0,25m \n \n Pièce \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Exercice 2 Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
"id_category": "3",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Exercice 3 : Comparaison de systèmes hydraulique et pneumatique pour un actionneur linéaire de robot \nUn cahier des charges industriel propose deux alternatives pour l'entraînement d'un axe de robot : un système hydraulique et un système pneumatique. L'actionneur linéaire doit déplacer une charge, avec exigences de rapidité, de précision et de consommation énergétique.
\nDonnées :
\n\nHydraulique : $P_H = 12{,}0\\,\\text{MPa}$, $Q_H = 8{,}0\\,\\text{L/min}$, rendement $\\eta_H = 0{,}88$, masse déplacée $m = 380\\,\\text{kg}$ \nPneumatique : $P_P = 6{,}0\\,\\text{bar}$, $Q_P = 1500\\,\\text{L/h}$, rendement $\\eta_P = 0{,}32$ \nCourse commune $L = 550\\,\\text{mm}$ \nDiamètre piston hydraulique : $D_H = 60\\,\\text{mm}$ \nDiamètre piston pneumatique : $D_P = 80\\,\\text{mm}$ \ng = $9{,}81\\,\\text{m/s}^2$ \n \nQuestions :
\nQuestion 1 : Calculez la force maximum développée par chaque actionneur.
\nQuestion 2 : Calculez le travail fourni au déplacement complet et la puissance hydraulique et pneumatique absorbée.
\nQuestion 3 : Calculez, pour chaque système, la consommation énergétique sur un cycle de travail de 20 s, puis comparez l’efficacité des deux conceptions.
",
"svg": "\n \n Hydraulique \n D=60mm \n \n \n Pneumatique \n D=80mm \n \n Charge \n \n \n L=550mm \n \n Cycle 20s \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Exercice 3 Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
"id_category": "3",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un vérin hydraulique industriel actionne une presse avec une pression de service de $P = 16{,}5~\\mathrm{MPa}$, le diamètre interne du vérin est $D = 95~\\mathrm{mm}$ et la course utile est $L = 0{,}44~\\mathrm{m}$. La pompe alimente le système à un débit de $Q = 7~\\mathrm{L \\cdot min^{-1}}$. La filtration installée réduit la chute de pression à $\\Delta P_{\\text{filtre}} = 0{,}32~\\mathrm{MPa}$. \n\n1. Calculer la force maximale générée par le vérin.\n2. Calculer le temps nécessaire pour que le vérin effectue la course totale L à ce débit, en tenant compte des pertes de pression.\n3. Calculer la puissance hydraulique fournie par la pompe à cette pression avec filtration.",
"svg": "Pompe Vérin hydraulique P Filtre Question 1 : Calcul de la force maximale générée par le vérin.\n1. Formule générale :$ F = P \\cdot S$, où $S = \\frac{\\pi D^2}{4}$\n2. Remplacement :$ S = \\frac{\\pi \\cdot (95 \\times 10^{-3})^2}{4} = 0{,}007088~\\mathrm{m}^2$ et $P = 16{,}5 \\times 10^6~\\mathrm{Pa}$\n3. Calcul :$ F = 16{,}5 \\cdot 10^6 \\cdot 0{,}007088 = 116{,}952$ (N)\n4. Résultat final :$ F = 117~\\mathrm{kN}$\n\nQuestion 2 : Temps pour parcourir la course utile avec pertes.\n1. Pression utile : $P_{\\text{utile}} = P - \\Delta P_{\\text{filtre}} = 16{,}5-0{,}32 = 16{,}18~\\mathrm{MPa}$\n2. Débit en $\\mathrm{m}^3\\cdot\\mathrm{s}^{-1}$ : $Q = 7 / 60 / 1000 = 1{,}1667 \\times 10^{-4}$\n3. Volume déplacé :$V = S \\cdot L = 0{,}007088 \\cdot 0{,}44 = 0{,}00312~\\mathrm{m}^3$\n4. Temps :$t = V / Q = 0{,}00312 / 1{,}1667 \\times 10^{-4} = 26,75$ (s)\n5. Résultat final :$ t = 26{,}8~\\mathrm{s}$\n\nQuestion 3 : Puissance hydraulique fournie par la pompe.\n1. Formule générale :$ P_{\\text{hyd}} = P_{\\text{utile}} \\cdot Q$\n2. Remplacement :$ P_{\\text{hyd}} = 16{,}18 \\cdot 10^6 \\cdot 1{,}1667 \\times 10^{-4}$\n3. Calcul :$ P_{\\text{hyd}} = 16{,}18 \\cdot 116,67 = 1889$ (W)\n4. Résultat final :$ P_{\\text{hyd}} = 1,89~\\mathrm{kW}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Une centrale hydraulique alimente deux vérins parallèles identiques. Chaque vérin a un diamètre de tige $d = 22~\\mathrm{mm}$, un diamètre de piston $D = 64~\\mathrm{mm}$, course de $L = 0{,}18~\\mathrm{m}$. La pression maximale fournie par la pompe est $P = 12{,}2~\\mathrm{MPa}$. Chaque vérin soulève une charge de $F = 30~\\mathrm{kN}$. L'efficacité hydraulique de la centrale est $\\eta = 0{,}80$.\n\n1. Calculer la section annulaire (tige/piston) de chaque vérin.\n2. Calculer le débit minimal nécessaire fourni par la pompe pour un temps de montée de $t = 5,6~\\mathrm{s}$ (pour le déplacement simultané des deux vérins).\n3. Calculer la puissance électrique absorbée, en tenant compte du rendement de la centrale.",
"svg": "Centrale Vérin 1 Vérin 2 Question 1 : Section annulaire du vérin.\n1. Formule générale :$ S_a = \\frac{\\pi}{4}(D^2 - d^2)$\n2. Remplacement :$ S_a = \\frac{\\pi}{4}(64^2 - 22^2) \\cdot 10^{-6} = \\frac{\\pi}{4}(4096 - 484)\\cdot 10^{-6} = \\frac{\\pi}{4}(3612)\\cdot10^{-6}$\n3. Calcul :$ S_a = 0{,}00284~\\mathrm{m}^2$\n4. Résultat final :$ S_a = 2,84~\\mathrm{cm}^2$\n\nQuestion 2 : Débit minimal pour deux vérins simultanés.\n1. Volume déplacé pour un vérin :$ V = S_a \\cdot L = 0{,}00284 \\cdot 0{,}18 = 0,000513~\\mathrm{m}^3$\n2. Débit pour deux vérins :$ Q = \\frac{2V}{t} = \\frac{2 \\cdot 0{,}000513}{5,6} = 0{,}0001832~\\mathrm{m}^3\\cdot\\mathrm{s}^{-1}$\n3. En $\\mathrm{L}\\cdot\\mathrm{min}^{-1}$ :$ Q = 0,0001832 \\cdot 60 \\cdot 1000 = 11{,}0~\\mathrm{L}\\cdot\\mathrm{min}^{-1}$\n4. Résultat final :$ Q = 11~\\mathrm{L}\\cdot\\mathrm{min}^{-1}$\n\nQuestion 3 : Puissance électrique absorbée.\n1. Puissance hydraulique :$ P_{\\text{hyd}} = P \\cdot Q$ (en SI)\n2. $P = 12,2 \\times 10^6~\\mathrm{Pa}$, $Q = 0,0001832~\\mathrm{m}^3\\cdot\\mathrm{s}^{-1}$.\n3. $P_{\\text{hyd}} = 12,2 \\times 10^6 \\cdot 0,0001832 = 2237$ (W)\n4. Puissance absorbée :$ P_{el} = \\frac{P_{\\text{hyd}}}{\\eta} = \\frac{2237}{0,80} = 2796$ (W)\n5. Résultat final :$ P_{el} = 2,80~\\mathrm{kW}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un système de manutention utilise un circuit pneumatique comprenant un compresseur, deux vérins double effet et un ensemble de distributeurs et valves. Les vérins (A, B) ont chacun un diamètre $D = 32~\\text{mm}$ et une course de $L = 250~\\text{mm}$. La pression de service est de $P = 7~\\text{bar}$. \n\n1. Calculez la force développée par chaque vérin lors de l'avance si la pression est appliquée sur toute la surface du piston.\n2. Déterminez l'énergie emmagasinée par la réserve d'air comprimé (volume total $V = 25~\\text{L}$) à la pression de service.\n3. Calculez le temps nécessaire pour effectuer un cycle complet (aller-retour) d'un vérin si le débit effectif d'air disponible est de $Q = 8~\\text{L/min}$.",
"svg": "Compresseur Valve Vérin A Vérin B Réserve P V Q 1. Force développée par chaque vérin : 2. Énergie emmagasinée dans la réserve : 3. Temps pour effectuer un cycle complet d'un vérin :
",
"id_category": "3",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "On compare un système hydraulique et un système pneumatique utilisés pour l’automatisation d’un poste de presse industrielle. La force à exercer sur la pièce à emboutir est de $F = 20000~\\text{N}$. Le vérin sélectionné (même géométrie dans les deux cas) a un diamètre $D = 80~\\text{mm}$. On souhaite que la pression côté hydraulique ne dépasse pas $P_h = 180~\\text{bar}$ et la pression côté pneumatique ne dépasse pas $P_p = 10~\\text{bar}$.\n\n1. Déterminez la surface efficace du vérin.\n2. Calculez la pression nécessaire pour obtenir la force désirée dans chaque système. Indiquez si les maxima sont dépassés.\n3. En supposant la même course de vérin ($L = 160~\\text{mm}$), calculez le volume d’huile ou d’air déplacé pour une opération.",
"svg": "Hydraulique Pneumatique Vérin D=80mm Vérin D=80mm F F 1. Surface efficace du vérin : 2. Pression nécessaire dans chaque système : 3. Volume déplacé pour une opération :
",
"id_category": "3",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un système hydraulique alimente un vérin simple effet destiné à soulever une charge dans une installation d’automatisation. Les spécifications suivantes s’appliquent :\n- Pression délivrée par la centrale $120\\ \\mathrm{bar}$\n- Section du vérin $D = 80\\ \\mathrm{mm}$\n- Course à réaliser $L = 0,5\\ \\mathrm{m}$\n- Masse de la charge à soulever $m = 2500\\ \\mathrm{kg}$\n1. Calculez la force exercée par le vérin lors de l’avance en utilisant la loi de Pascal.\n2. Déterminez la pression minimale réelle nécessaire pour soulever cette charge (considérez une efficacité mécanique de $85\\%$).\n3. Évaluez le volume d’huile à fournir pour un mouvement complet du piston sur sa course.",
"svg": "Centrale Canalisation Vérin simple effet Charge Hydraulique - Loi de Pascal (pression uniforme) 1. Force exercée par le vérin (loi de Pascal) 2. Pression minimale réelle (efficacité 85%) 3. Volume d’huile nécessaire
",
"id_category": "3",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Une ligne de production automatisée est équipée d’un système pneumatique double effet pour le déplacement rapide et précis de pièces. On utilise :\n- Vérin à double effet, alésage $50\\ \\mathrm{mm}$, tige $20\\ \\mathrm{mm}$\n- Pression réseau $7,0\\ \\mathrm{bar}$\n- Déplacement total nécessaire $250\\ \\mathrm{mm}$\n- Le poids de la pièce à déplacer est $250\\ \\mathrm{N}$\n1. Calculez la force utile lors de l’avance du vérin (différence des surfaces).\n2. Déterminez la durée minimale pour le déplacement si le débit effectif à la valve est de $125\\ \\mathrm{NI/min}$ (normalisé, ramené à $0^{\\circ}\\mathrm{C}$ et $1\\ \\mathrm{bar}$).\n3. Calculez le travail pneumatique fourni par le vérin pour déplacer la pièce.",
"svg": "Compresseur Valve de débit Vérin double effet Pièce 1. Force utile lors de l’avance (différence des surfaces) 2. Durée minimale (avec débit effectif) 3. Travail pneumatique pour déplacer la pièce
",
"id_category": "3",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un système hydraulique industriel est équipé d’une pompe à pistons alimentant un vérin de grande capacité. Lors d’une manœuvre de sécurité, le système doit déplacer une vanne lourde en $6,0\\ \\mathrm{s}$, sur $1,2\\ \\mathrm{m}$ de course. Les données du circuit sont :\n- Débit nominal de la pompe $15,0\\ \\mathrm{l/min}$\n- Pression maximale autorisée $180\\ \\mathrm{bar}$\n- Diamètre du vérin $100\\ \\mathrm{mm}$\n- Toute la course est réalisée à vitesse constante.\n1. Calculez la vitesse réelle du piston pendant le déplacement.\n2. Évaluez la force hydraulique maximale disponible au vérin.\n3. Déterminez la pression moyenne durant la manœuvre sachant que la charge exerce une résistance de $80\\ 000\\ \\mathrm{N}$ et que le rendement mécanique global est $0,78$.",
"svg": "Pompe à pistons Vanne (sécurité) Vérin hydraulique Vanne lourde Hydraulique - sécurité et dynamique 1. Vitesse réelle du piston 2. Force hydraulique maximale disponible 3. Pression moyenne pour résister à la charge (rendement global 0,78)
",
"id_category": "3",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un système hydraulique alimente un vérin simple effet pour soulever une charge verticale. La centrale hydraulique fournit une pression constante de $P = 15{\\,}\\mathrm{MPa}$. Le vérin possède un diamètre de piston $D = 40{\\,}\\mathrm{mm}$. La charge à soulever est de $m = 320{\\,}\\mathrm{kg}$. Le fluide circule à travers une valve qui garantit un débit de $Q = 1.5{\\,}\\mathrm{L/min}$. \n1. Calculez la force développée par le vérin lors de l'application de la pression maximale.\n2. Déterminez la vitesse de déplacement du piston.\n3. Calculez la puissance hydraulique fournie au vérin pendant la levée de la charge.",
"svg": "\n\n Centrale \n Valve \n Vérin \n Charge \n 320 kg \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.1. Force développée par le vérin : Interprétation : Le vérin peut soulever des charges jusqu'à $18849{\\,}\\mathrm{N}$.\n\n2. Vitesse de déplacement du piston : Interprétation : La vitesse du piston est $19.9{\\,}\\mathrm{mm/s}$.\n\n3. Puissance hydraulique fournie : Interprétation : La puissance hydraulique réelle fournie pendant la levée est de $375{\\,}\\mathrm{W}$.\n
",
"id_category": "3",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Une centrale hydraulique alimente deux vérins parallèles pour déplacer simultanément une plateforme. Les vérins sont identiques : diamètre du piston $D = 50{\\,}\\mathrm{mm}$, pression de service $P = 10{\\,}\\mathrm{MPa}$. Chaque vérin possède un tuyau de longueur $l = 7{\\,}\\mathrm{m}$ et diamètre intérieur $d = 14{\\,}\\mathrm{mm}$. Le fluide est de densité ${\\rho} = 860{\\,}\\mathrm{kg/m^3}$ et de viscosité ${\\eta} = 58 \\times 10^{-3}{\\,}\\mathrm{Pa\\,s}$. La plateforme a une masse de $m = 900{\\,}\\mathrm{kg}$. \n1. Déterminez la force totale disponible pour la plateforme.\n2. Calculez la perte de charge dans chaque tuyau lors du déplacement (formule de Poiseuille).\n3. Calculez la pression restante aux vérins.",
"svg": "\n\n Centrale \n Tuyau \n Tuyau \n Vérin 1 \n Vérin 2 \n Plateforme \n 900 kg \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.1. Force totale disponible : Interprétation : La plateforme bénéficie d’une force maximale de $39270{\\,}\\mathrm{N}$.\n\n2. Perte de charge par tuyau (loi de Poiseuille) : Interprétation : La perte de charge hydraulique par tuyau est de $65.9{\\,}\\mathrm{kPa}$.\n\n3. Pression restante aux vérins : Interprétation : La pression disponible aux vérins, en tenant compte de la perte de charge, est de $9.9341{\\,}\\mathrm{MPa}$.\n
",
"id_category": "3",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Un système pneumatique équipe une machine de tri rapide. Le compresseur fournit une pression de $P = 6{\\,}\\mathrm{bar}$. Trois vérins pneumatiques identiques (diamètre $D = 25{\\,}\\mathrm{mm}$) chassent les objets sur la ligne de tri. Le volume d’air total par cycle est $V = 2.4{\\,}\\mathrm{L}$ et la température est de $T = 22{\\,}\\mathrm{^\\circ C}$. \n1. Calculez le travail utile fourni par l’air comprimé pour un cycle.\n2. Déterminez la quantité de chaleur dégagée lors d'une détente isotherme de tout le volume.\n3. Calculez le coût énergétique pour un cycle si le compresseur possède un rendement de $\\eta = 0.72$ et l'électricité coûte $0.18{\\,}\\mathrm{\\EUR/kWh}$.",
"svg": "\n\n Compresseur \n Réservoir \n Vérin 1 \n Vérin 2 \n Vérin 3 \n Objets \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.1. Travail utile fourni par l'air comprimé : Interprétation : Le travail mécanique utile est de $1440{\\,}\\mathrm{J}$ par cycle.\n\n2. Chaleur dégagée lors d'une détente isotherme : Interprétation : Lors de la détente isotherme, environ $1000{\\,}\\mathrm{J}$ sont échangés sous forme de chaleur.\n\n3. Coût énergétique pour un cycle : Interprétation : Le coût énergétique pour un cycle est de $0.0001{\\,}\\mathrm{\\EUR}$.\n
",
"id_category": "3",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Exercice 1 : Dimensionnement d'une centrale pneumatique avec filtration et régulation de pression Une centrale pneumatique industrielle doit alimenter une chaîne de montage équipée de vérins pneumatiques et de distributeurs proportionnels. La centrale comporte un compresseur, un réservoir de stockage, un système de filtration multi-étages, et des régulateurs de pression. Le dimensionnement du système dépend de la consommation d'air comprimé des actionneurs et des paramètres de sécurité.
Données du système pneumatique :
Pression d'alimentation atmosphérique : $P_{atm} = 1.013\\,\\text{bar}$ Pression relative de travail requise : $P_{rel} = 6\\,\\text{bar}$ Débit de consommation des vérins et actionneurs : $Q_{consomm} = 120\\,\\text{L/min}$ Température ambiante : $T_{amb} = 25°C = 298\\,\\text{K}$ Température de l'air comprimé à la sortie du compresseur : $T_{compr} = 80°C = 353\\,\\text{K}$ Capacité du réservoir : $V_{res} = 200\\,\\text{L}$ Temps autorisé de montée en pression du réservoir : $t = 5\\,\\text{min}$ Rendement isentropique du compresseur : $\\eta_{iso} = 0.80$ Coefficient de sécurité requis pour débits : $k_{sec} = 1.25$ Question 1 : Calculer le débit volumique nominal du compresseur (à pression atmosphérique) nécessaire pour alimenter le système avec un coefficient de sécurité de 1.25. En tenant compte de la température différente à l'admission et à la sortie du compresseur, calculer le volume d'air atmosphérique qui doit être aspiré par minute.
Question 2 : Calculer le temps nécessaire pour remplir le réservoir de 200 L de la pression atmosphérique (1.013 bar) à la pression de travail (7.013 bar absolu) en utilisant le débit du compresseur calculé en Question 1. Vérifier si ce temps est compatible avec le temps autorisé de 5 minutes. Si non, proposer une valeur de débit réelle nécessaire.
Question 3 : Calculer la puissance mécanique requise pour entraîner le compresseur (puissance isentropique) et la puissance réelle absorbée en tenant compte des rendements mécaniques (0.90) et du rendement volumétrique (0.88). Comparer cette puissance avec celle requise pour un système hydraulique équivalent ayant une pression de 200 bar et un débit de 40 L/min.
",
"svg": "Centrale pneumatique industrielle avec filtration et régulation Moteur électrique Compresseur volumétrique Air chaud 80°C Refroid. Air tiède ~35°C Filtre particulaire Réservoir 200 L Manomètre Régulateur 6 bar Distributeur vers vérins Vérin 1 Vérin 2 Paramètres du système pneumatique • Pression atmosphérique: Patm = 1.013 bar • Pression relative travail: Prel = 6 bar • Consommation air: Qcons = 120 L/min (à 6 bar) • Température ambiante: Tamb = 25°C • Température air comprimé: Tcompr = 80°C • Capacité réservoir: Vres = 200 L • Rendement isentropique: ηiso = 0.80 • Coefficient sécurité: ksec = 1.25 Principes physiques du système pneumatique Loi des gaz parfaits (état initial/final): P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ | Utilisée pour convertir débits entre différentes pressions/températuresDébit volumique: Q = Volume/temps [L/min ou m³/s] | Permet dimensionner compresseur et circuitPuissance isentropique compresseur: Piso = (k/(k-1)) × P₁ × Q₁ × [ln(P₂/P₁)] avec k=1.4 pour airRendement global: ηglobal = ηiso × ηmeca × ηvol | Puissance réelle = Puissance théorique / ηglobal Remplissage réservoir: Δ(PV) = ∫P·Q·dt | Temps = V·ΔP / (Q·Pmoyenne )Solution de l'exercice 1 Question 1 : Débit volumique nominal du compresseur à pression atmosphérique
Le compresseur doit fournir le débit de consommation avec un coefficient de sécurité. Il est important de noter que le débit est défini à des conditions de pression et température spécifiques. Nous devons convertir le débit requis à pression de travail vers le débit équivalent à pression atmosphérique.
Partie A : Débit avec coefficient de sécurité
Étape 1 : Débit nominal requis au compresseur (pression de travail)
$Q_{nom,6bar} = Q_{consomm} \\times k_{sec} = 120 \\times 1.25 = 150\\,\\text{L/min}$
Ce débit est exprimé à la pression de travail relative de 6 bar.
Partie B : Conversion du débit vers pression atmosphérique
Étape 2 : Pression absolue
Pression de travail absolue :
$P_{abs,travail} = P_{rel} + P_{atm} = 6 + 1.013 = 7.013\\,\\text{bar}$
Étape 3 : Application de la loi des gaz (à température constante pour cette étape)
À température ambiante (approximation), utilisant $P_1 V_1 = P_2 V_2$ :
$P_{atm} \\times Q_{atm} = P_{abs,travail} \\times Q_{travail}$
$1.013 \\times Q_{atm} = 7.013 \\times 150$
Étape 4 : Calcul du débit à pression atmosphérique
$Q_{atm} = \\frac{7.013 \\times 150}{1.013} = \\frac{1051.95}{1.013} = 1038.6\\,\\text{L/min}$
Partie C : Correction de température
L'air à l'admission du compresseur est à 25°C (température ambiante), mais à la sortie il est à 80°C. Pour un calcul plus précis, nous pouvons appliquer la loi des gaz parfaits en tenant compte de cette différence.
Étape 5 : Relation entre débit et température
Si l'air admis à l'atmosphère (25°C = 298 K) doit être comprimé puis refroidi partiellement avant distribution, le volume d'air atmosphérique à aspirer est :
$Q_{atm,corrigé} = Q_{atm} \\times \\frac{T_{amb}}{T_{amb}} = Q_{atm} \\times 1 = 1038.6\\,\\text{L/min}$
Remarque : Si l'air sort à 80°C mais nous voulons le comparer à un état à 25°C après refroidissement, la conversion aurait été différente. Cependant, pour le débit d'admission, nous utilisons les conditions à l'aspiration.
Résultat Question 1 : Le débit volumique nominal du compresseur requis est $\\boxed{Q_{compresseur} = 1038.6\\,\\text{L/min}}$ à pression atmosphérique (1.013 bar) et température ambiante (25°C). Ce débit correspond au volume d'air atmosphérique qui doit être aspiré par minute pour fournir 150 L/min à la pression de travail de 7.013 bar absolu (6 bar relatif). Le coefficient de sécurité de 1.25 assure une marge pour les pointes de consommation et les fuites du système.
Question 2 : Temps de remplissage du réservoir et vérification de compatibilité
Le réservoir doit être rempli de la pression atmosphérique (état initial) à la pression de travail (7.013 bar absolu). Le temps dépend du volume, de la différence de pression, et du débit disponible du compresseur.
Partie A : Quantités de matière (en termes de PV)
Étape 1 : État initial du réservoir
Le réservoir contient de l'air à pression atmosphérique :
$(PV)_{initial} = P_{atm} \\times V_{res} = 1.013 \\times 200 = 202.6\\,\\text{bar·L}$
Étape 2 : État final du réservoir
Le réservoir rempli à pression de travail absolue :
$(PV)_{final} = P_{abs,travail} \\times V_{res} = 7.013 \\times 200 = 1402.6\\,\\text{bar·L}$
Étape 3 : Variation de (PV)
$\\Delta(PV) = (PV)_{final} - (PV)_{initial} = 1402.6 - 202.6 = 1200\\,\\text{bar·L}$
Partie B : Débit du compresseur exprimé en bar·L/min
Étape 4 : Débit du compresseur à sa sortie (pression variable)
Le compresseur fournit 1038.6 L/min à pression atmosphérique. En termes de quantité de matière (PV) :
$\\dot{(PV)}_{compresseur} = P_{atm} \\times Q_{atm} = 1.013 \\times 1038.6 = 1052.1\\,\\text{bar·L/min}$
Étape 5 : Temps théorique de remplissage
$t_{remplissage} = \\frac{\\Delta(PV)}{\\dot{(PV)}_{compresseur}} = \\frac{1200}{1052.1} = 1.141\\,\\text{min} = 1\\,\\text{min}\\,8.5\\,\\text{s}$
Partie C : Vérification de compatibilité
Étape 6 : Comparaison avec le temps autorisé
$t_{remplissage} = 1.141\\,\\text{min} < t_{autorisé} = 5\\,\\text{min}$ ✓
Le temps calculé (1.14 min) est bien inférieur au temps autorisé (5 min).
Étape 7 : Marge temporelle
$\\text{Marge} = t_{autorisé} - t_{remplissage} = 5 - 1.141 = 3.859\\,\\text{min}$
Le système dispose d'une marge confortable de 3.86 minutes.
Résultat Question 2 : Le temps de remplissage du réservoir de 200 L de 1.013 bar à 7.013 bar est $\\boxed{t_{remplissage} = 1.141\\,\\text{min}}$ (soit 1 minute et 8.5 secondes). Ce temps est bien compatible avec le temps autorisé de 5 minutes, avec une marge de 3.86 minutes. Le compresseur dimensionné pour 1038.6 L/min est largement suffisant et offre une réserve de capacité. Si une cinématique plus rapide était nécessaire, on aurait pu réduire la cylindrée du compresseur, mais cela aurait éliminé la marge de sécurité.
Question 3 : Puissance mécanique du compresseur pneumatique vs système hydraulique
La puissance requise pour entraîner un compresseur dépend du volume d'air comprimé, du ratio de compression, et des rendements. Elle est toujours comparée aux systèmes hydrauliques pour évaluer l'efficacité énergétique.
Partie A : Puissance isentropique du compresseur pneumatique
Étape 1 : Paramètres thermodynamiques
Pour l'air, l'indice adiabatique est :
$\\gamma = 1.4$
Étape 2 : Formule de puissance isentropique
$P_{iso} = \\frac{\\gamma}{\\gamma - 1} \\times P_1 \\times Q_1 \\times \\ln\\left(\\frac{P_2}{P_1}\\right)$
Où :
$P_1 = P_{atm} = 1.013\\,\\text{bar} = 101300\\,\\text{Pa}$ $Q_1 = Q_{atm} = 1038.6\\,\\text{L/min} = 1038.6 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^3/60\\,\\text{s} = 0.01731\\,\\text{m}^3\\text{/s}$ $P_2 = P_{abs,travail} = 7.013\\,\\text{bar} = 701300\\,\\text{Pa}$ Étape 3 : Calcul du ratio de compression
$\\frac{P_2}{P_1} = \\frac{7.013}{1.013} = 6.920$
$\\ln(6.920) = 1.935$
Étape 4 : Substitution dans la formule de puissance isentropique
$P_{iso} = \\frac{1.4}{1.4 - 1} \\times 101300 \\times 0.01731 \\times 1.935$
$P_{iso} = \\frac{1.4}{0.4} \\times 101300 \\times 0.01731 \\times 1.935$
$P_{iso} = 3.5 \\times 101300 \\times 0.01731 \\times 1.935$
Étape 5 : Calcul étape par étape
$3.5 \\times 101300 = 354550\\,\\text{Pa}$
$354550 \\times 0.01731 = 6138.8\\,\\text{W}$
$6138.8 \\times 1.935 = 11878.7\\,\\text{W} \\approx 11.88\\,\\text{kW}$
Partie B : Puissance réelle absorbée par le compresseur
Étape 6 : Rendement global
Le rendement global inclut :
Rendement isentropique : $\\eta_{iso} = 0.80$ Rendement mécanique : $\\eta_{mec} = 0.90$ Rendement volumétrique : $\\eta_{vol} = 0.88$ $\\eta_{global} = \\eta_{iso} \\times \\eta_{mec} \\times \\eta_{vol} = 0.80 \\times 0.90 \\times 0.88 = 0.6336$
Étape 7 : Puissance réelle du compresseur
$P_{reelle,pn} = \\frac{P_{iso}}{\\eta_{global}} = \\frac{11.88}{0.6336} = 18.76\\,\\text{kW}$
Partie C : Comparaison avec système hydraulique équivalent
Étape 8 : Puissance hydraulique
Pour un système hydraulique avec :
Pression : $P_h = 200\\,\\text{bar} = 200 \\times 10^5\\,\\text{Pa} = 2 \\times 10^7\\,\\text{Pa}$ Débit : $Q_h = 40\\,\\text{L/min} = 40 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^3/60\\,\\text{s} = 0.00667\\,\\text{m}^3\\text{/s}$ $P_{h} = P_h \\times Q_h = 2 \\times 10^7 \\times 0.00667 = 133400\\,\\text{W} = 13.34\\,\\text{kW}$
Étape 9 : Puissance mécanique hydraulique (rendement 85%)
$P_{reelle,hydro} = \\frac{P_{h}}{\\eta_{hydro}} = \\frac{13.34}{0.85} = 15.69\\,\\text{kW}$
Étape 10 : Ratio de puissance
$\\frac{P_{reelle,pn}}{P_{reelle,hydro}} = \\frac{18.76}{15.69} = 1.195$
Le système pneumatique requiert $19.5\\%$ plus de puissance que le système hydraulique.
Résultat Question 3 : Puissance isentropique du compresseur pneumatique : $\\boxed{P_{iso,pn} = 11.88\\,\\text{kW}}$ | Puissance réelle du compresseur pneumatique : $\\boxed{P_{reelle,pn} = 18.76\\,\\text{kW}}$ | Puissance réelle hydraulique équivalente : $\\boxed{P_{reelle,hydro} = 15.69\\,\\text{kW}}$ | Ratio : $\\boxed{P_{pn}/P_{hydro} = 1.195}$. Conclusion : Le système pneumatique consomme 19.5% plus de puissance que l'hydraulique pour fournir une puissance mécanique utile comparable. Cette différence est due aux rendements volumétriques et mécaniques inférieurs du pneumatique, ainsi qu'à la nature compressible de l'air qui requiert une surcompression pour maintenir les débits. Cependant, le pneumatique offre des avantages en sécurité, flexibilité et maintenance qui peuvent compenser ce surcoût énergétique dans de nombreuses applications.
",
"id_category": "3",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Actionneurs pneumatiques",
"question": "Exercice 2 : Dimensionnement de vérins pneumatiques avec calcul de forces en régime statique et dynamique Une application industrielle de manutention requiert deux types de vérins pneumatiques : un vérin simple effet pour pousser des charges et un vérin double effet pour des mouvements de précision. Le système doit être dimensionné pour garantir la sécurité des opérateurs et la fiabilité de la production. L'analyse porte sur les forces développées en régime statique et dynamique, avec différentes charges appliquées.
Données du système :
Pression de travail nominale : $P_{travail} = 6\\,\\text{bar (gauge/relatif)}$ Pression atmosphérique : $P_{atm} = 1.013\\,\\text{bar}$ Vérin simple effet : diamètre piston $D_1 = 63\\,\\text{mm}$, course $L_1 = 200\\,\\text{mm}$, charge axiale $F_{charge,1} = 1500\\,\\text{N}$ Vérin double effet : diamètre piston $D_2 = 50\\,\\text{mm}$, diamètre tige $d_2 = 16\\,\\text{mm}$, course $L_2 = 300\\,\\text{mm}$, charge axiale $F_{charge,2} = 800\\,\\text{N}$ Friction des joints : coefficient $\\mu = 0.15$ (sans rendement donné, à estimer) Rendement pneumatique des vérins : $\\eta = 0.90$ Vitesse moyenne de déplacement requise : $v = 0.5\\,\\text{m/s}$ Fréquence d'actionnement : $f = 30\\,\\text{cycles/min}$ Question 1 : Calculer les forces théoriques maximales développées par le vérin simple effet et le vérin double effet en compression (extension de tige). Vérifier si ces vérins peuvent supporter les charges spécifiées avec un coefficient de sécurité de 1.3. Calculer également les forces en traction (rentrée de tige pour le double effet).
Question 2 : Calculer les débits d'air comprimé (volumes standards normalisés - vsn) requis pour actionner les deux vérins simultanément avec la vitesse spécifiée de 0.5 m/s. Le débit total est-il compatible avec une source de 120 L/min (débit source disponible) ? Calculer le temps d'un cycle complet (aller-retour) et le nombre de cycles possibles par minute.
Question 3 : Calculer la puissance pneumatique moyenne consommée pendant les cycles d'actionnement continu à 30 cycles/min. Comparer avec la puissance mécanique utile (travail fourni contre les charges). Estimer le rendement global pneumatique de ce système et conclure sur son efficacité énergétique.
",
"svg": "Vérins pneumatiques simples et doubles effets - Dimensionnement statique et dynamique P Vérin simple effet D₁ = 63 mm L₁ = 200 mm Fcharge = 1500 N Pression : 6 bar Mode compression Air pousse piston P Vérin double effet D₂ = 50 mm, d₂ = 16 mm L₂ = 300 mm Fcharge = 800 N Pression : 6 bar Sortie/Rentrée tige Air deux faces Air comprimé 6 bar Sortie tige Retour Paramètres et formules de dimensionnement pneumatique Force développée: F = Pabs × A × η | Pression absolue = Prelatif + Patm = 6 + 1.013 = 7.013 barSurface piston simple effet: A₁ = π×D₁²/4 | Surface annulaire double effet: A₂ = π×(D₂² - d₂²)/4Débit volumétrique: Q = A × v [m³/s] ou [L/min] | Conversion: 1 m³/s = 60000 L/minCoefficient sécurité: Fdisponible / Frequise ≥ ksec = 1.3Rendements et efficacité pneumatique Rendement global système: ηglobal = Puissance mécanique utile / Puissance pneumatique consomméeVitesse moyenne déplacement: v = 0.5 m/s | Fréquence actionnement: f = 30 cycles/min | Rendement vérins: η = 0.90Solution de l'exercice 2 Question 1 : Forces théoriques des vérins et vérification de capacité
Les vérins pneumatiques développent une force proportionnelle à la pression absolue et à la surface active du piston. Il faut vérifier que les forces disponibles sont supérieures aux charges avec un coefficient de sécurité requis.
Partie A : Vérin simple effet en compression (extension)
Étape 1 : Pression absolue
$P_{abs} = P_{travail} + P_{atm} = 6 + 1.013 = 7.013\\,\\text{bar} = 701300\\,\\text{Pa}$
Étape 2 : Surface active du piston
$A_1 = \\frac{\\pi D_1^2}{4} = \\frac{\\pi \\times (63 \\times 10^{-3})^2}{4}$
$A_1 = \\frac{\\pi \\times 0.003969}{4} = \\frac{0.01247}{4} = 3.118 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^2$
Étape 3 : Force théorique du vérin simple effet
$F_{1,theo} = P_{abs} \\times A_1 \\times \\eta = 701300 \\times 3.118 \\times 10^{-3} \\times 0.90$
$F_{1,theo} = 701300 \\times 3.118 \\times 10^{-3} \\times 0.90 = 1964.7\\,\\text{N}$
Étape 4 : Vérification de capacité avec coefficient de sécurité
$\\text{Ratio capacité} = \\frac{F_{1,theo}}{F_{charge,1}} = \\frac{1964.7}{1500} = 1.31$
Étape 5 : Vérification du coefficient de sécurité
$1.31 \\times k_{sec} = 1.31 \\times 1.3 = 1.70 > 1.0\\,\\text{ ✓}$
Le vérin simple effet peut supporter la charge avec coefficient de sécurité 1.3.
Partie B : Vérin double effet en sortie de tige (compression)
Étape 6 : Surface annulaire (côté tige sortante)
$A_{2,sortie} = \\frac{\\pi (D_2^2 - d_2^2)}{4} = \\frac{\\pi ((50 \\times 10^{-3})^2 - (16 \\times 10^{-3})^2)}{4}$
$A_{2,sortie} = \\frac{\\pi (0.0025 - 0.000256)}{4} = \\frac{\\pi \\times 0.002244}{4} = \\frac{0.00705}{4} = 1.763 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^2$
Étape 7 : Force théorique du vérin double effet (sortie tige)
$F_{2,theo,sortie} = P_{abs} \\times A_{2,sortie} \\times \\eta = 701300 \\times 1.763 \\times 10^{-3} \\times 0.90$
$F_{2,theo,sortie} = 701300 \\times 1.763 \\times 10^{-3} \\times 0.90 = 1115.3\\,\\text{N}$
Étape 8 : Vérification pour charge du double effet
$\\text{Ratio capacité} = \\frac{F_{2,theo,sortie}}{F_{charge,2}} = \\frac{1115.3}{800} = 1.394$
$1.394 > 1.3\\,\\text{ ✓}$
Le vérin double effet peut supporter la charge en sortie de tige.
Partie C : Vérin double effet en rentrée de tige (traction)
Étape 9 : Surface face arrière du piston (rentrée tige)
$A_{2,entree} = \\frac{\\pi D_2^2}{4} = \\frac{\\pi \\times (50 \\times 10^{-3})^2}{4}$
$A_{2,entree} = \\frac{\\pi \\times 0.0025}{4} = 1.963 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^2$
Étape 10 : Force en rentrée de tige
$F_{2,theo,entree} = P_{abs} \\times A_{2,entree} \\times \\eta = 701300 \\times 1.963 \\times 10^{-3} \\times 0.90$
$F_{2,theo,entree} = 701300 \\times 1.963 \\times 10^{-3} \\times 0.90 = 1239.7\\,\\text{N}$
Résultat Question 1 : Force vérin simple effet (compression) : $\\boxed{F_{1,theo} = 1964.7\\,\\text{N}}$ | Force vérin double effet (sortie tige) : $\\boxed{F_{2,theo,sortie} = 1115.3\\,\\text{N}}$ | Force vérin double effet (rentrée tige) : $\\boxed{F_{2,theo,entree} = 1239.7\\,\\text{N}}$. Les deux vérins respectent le coefficient de sécurité de 1.3 pour leurs charges respectives. Le vérin simple effet développe une force plus élevée car sa surface de piston est plus grande. La force en rentrée est supérieure à celle en sortie car la surface de travail est plus grande (surface complète du piston vs surface annulaire).
Question 2 : Débits d'air et analyse de cycles
Les débits requis dépendent de la surface active et de la vitesse de déplacement. L'analyse du cycle complet (aller-retour) détermine la faisabilité du système avec la source disponible.
Partie A : Débit du vérin simple effet
Étape 1 : Formule du débit volumétrique
$Q = A \\times v$
Étape 2 : Débit en extension du vérin simple effet
$Q_{1,ext} = A_1 \\times v = 3.118 \\times 10^{-3} \\times 0.5 = 1.559 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^3\\text{/s}$
Étape 3 : Conversion en L/min
$Q_{1,ext} = 1.559 \\times 10^{-3} \\times 60 \\times 1000 = 93.54\\,\\text{L/min}$
Étape 4 : Note sur la rétraction du vérin simple effet
Le vérin simple effet se rétracte par ressort (pas de consommation d'air comprimé en retour).
$Q_{1,ret} = 0\\,\\text{L/min}$ (pour l'air comprimé; seul l'échappement à l'atmosphère)
Partie B : Débit du vérin double effet
Étape 5 : Débit en sortie de tige
$Q_{2,sortie} = A_{2,sortie} \\times v = 1.763 \\times 10^{-3} \\times 0.5 = 0.882 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^3\\text{/s}$
$Q_{2,sortie} = 0.882 \\times 10^{-3} \\times 60 \\times 1000 = 52.92\\,\\text{L/min}$
Étape 6 : Débit en rentrée de tige
$Q_{2,entree} = A_{2,entree} \\times v = 1.963 \\times 10^{-3} \\times 0.5 = 0.982 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^3\\text{/s}$
$Q_{2,entree} = 0.982 \\times 10^{-3} \\times 60 \\times 1000 = 58.92\\,\\text{L/min}$
Partie C : Débit total simultané et vérification de compatibilité
Étape 7 : Scénario 1 - Sortie simultanée des deux vérins
$Q_{total,1} = Q_{1,ext} + Q_{2,sortie} = 93.54 + 52.92 = 146.46\\,\\text{L/min}$
Ce débit dépasse la source disponible de 120 L/min.
$146.46 > 120\\,\\text{ ✗}$ (Incompatible)
Étape 8 : Scénario 2 - Rentrée du double effet avec sortie simple effet
$Q_{total,2} = Q_{1,ext} + Q_{2,entree} = 93.54 + 58.92 = 152.46\\,\\text{L/min}$
Ce débit est également incompatible.
$152.46 > 120\\,\\text{ ✗}$
Étape 9 : Débit maximal simple effet seul
$Q_{1,seul} = 93.54\\,\\text{L/min} < 120\\,\\text{L/min} ✓$
Seul le vérin simple effet peut fonctionner seul à 0.5 m/s.
Étape 10 : Vitesses réelles pour action simultanée
Si les deux vérins doivent fonctionner ensemble :
$Q_{max} = 120\\,\\text{L/min}$
$v_{reelle} = \\frac{Q_{max}}{A_1 + A_{2,sortie}} = \\frac{120 \\times 10^{-3} / 60}{3.118 \\times 10^{-3} + 1.763 \\times 10^{-3}}$
$v_{reelle} = \\frac{0.002}{4.881 \\times 10^{-3}} = 0.410\\,\\text{m/s}$
La vitesse réalisable serait réduite à 0.41 m/s au lieu de 0.5 m/s.
Partie D : Temps de cycle avec vitesse nominale (vérins séquentiels)
Étape 11 : Temps d'extension du vérin simple effet
$t_{1,ext} = \\frac{L_1}{v} = \\frac{0.2}{0.5} = 0.4\\,\\text{s}$
Étape 12 : Temps de rétraction du vérin simple effet (ressort)
Temps estimé (ressort, généralement plus rapide) :
$t_{1,ret} = 0.3\\,\\text{s}$ (estimation; dépend de la raideur)
Étape 13 : Temps du double effet (sortie puis rentrée)
$t_{2,sortie} = \\frac{L_2}{v} = \\frac{0.3}{0.5} = 0.6\\,\\text{s}$
$t_{2,entree} = \\frac{L_2}{v} = 0.6\\,\\text{s}$
Étape 14 : Cycle total (séquence optimisée)
Si l'action est : extension simple effet (0.4 s) + double effet aller (0.6 s) en parallèle = 0.6 s
Puis rétraction simple (0.3 s) + double effet retour (0.6 s) en parallèle = 0.6 s
$t_{cycle,total} = 0.6 + 0.6 = 1.2\\,\\text{s}$
Étape 15 : Nombre de cycles par minute
$N_{cycles} = \\frac{60}{t_{cycle,total}} = \\frac{60}{1.2} = 50\\,\\text{cycles/min}$
Comparé à la fréquence d'actionnement requise : $f = 30\\,\\text{cycles/min}$
$50 > 30\\,\\text{ ✓}$ (Compatible)
Résultat Question 2 : Débit simple effet : $\\boxed{Q_{1} = 93.54\\,\\text{L/min}}$ | Débit double effet (sortie) : $\\boxed{Q_{2,sortie} = 52.92\\,\\text{L/min}}$ | Débit double effet (rentrée) : $\\boxed{Q_{2,entree} = 58.92\\,\\text{L/min}}$. Débit simultané : $\\boxed{Q_{total} = 146.46\\,\\text{L/min} > 120\\,\\text{L/min}}$, donc non compatible en action simultanée à 0.5 m/s. La vitesse réelle en simultané serait réduite à 0.41 m/s. Si action séquentielle ou optimisée : $\\boxed{t_{cycle} = 1.2\\,\\text{s}}$, permettant $\\boxed{50\\,\\text{cycles/min}}$ > 30 cycles/min requis. Solution : soit réduire vitesse à 0.41 m/s en simultané, soit séquencer les actions.
Question 3 : Puissance pneumatique et rendement global
La puissance pneumatique consommée inclut le travail contre la pression et contre les frottements. Le rendement global compare cette puissance avec le travail mécanique utile fourni.
Partie A : Puissance pneumatique consommée en cycle continu
Étape 1 : Débit moyen équivalent pour cycles continus à 30 cycles/min
En supposant action séquentielle optimisée (cycle 1.2 s) :
Temps d'actionnement (simple effet sortie + double effet) : 0.6 s
Débit moyen sur la durée du cycle :
$Q_{moy} = \\frac{Q_{1} \\times 0.4 + Q_{2,sortie} \\times 0.6}{1.2}$
$Q_{moy} = \\frac{93.54 \\times 0.4 + 52.92 \\times 0.6}{1.2}$
$Q_{moy} = \\frac{37.42 + 31.75}{1.2} = \\frac{69.17}{1.2} = 57.64\\,\\text{L/min}$
Étape 2 : Conversion du débit moyen en m³/s
$Q_{moy} = 57.64 \\times 10^{-3} / 60 = 0.000961\\,\\text{m}^3\\text{/s}$
Étape 3 : Puissance pneumatique moyenne (P = P × Q)
$P_{pn,moy} = P_{abs} \\times Q_{moy} = 701300 \\times 0.000961 = 673.9\\,\\text{W}$
Étape 4 : Puissance pneumatique pour 30 cycles/min
À 30 cycles/min (0.5 cycle/s), la puissance instantanée pendant l'actionnement :
$P_{pn,inst} = P_{abs} \\times (Q_1 + Q_{2,sortie}) / 2\\,\\text{(moyenne)}$
$P_{pn,inst} = 701300 \\times (93.54 + 52.92) \\times 10^{-3} / 60 / 2$
$P_{pn,inst} = 701300 \\times 0.001211 = 849.0\\,\\text{W}$
En tenant compte du rapport cyclique :
$P_{pn,cycle} = 849.0 \\times \\frac{0.6}{1.2} = 424.5\\,\\text{W}$
Partie B : Puissance mécanique utile (travail contre les charges)
Étape 5 : Travail mécanique du vérin simple effet par cycle
$W_1 = F_{charge,1} \\times L_1 = 1500 \\times 0.2 = 300\\,\\text{J}$
Étape 6 : Travail mécanique du vérin double effet par cycle
$W_2 = F_{charge,2} \\times L_2 = 800 \\times 0.3 = 240\\,\\text{J}$
Étape 7 : Travail total par cycle
$W_{total} = W_1 + W_2 = 300 + 240 = 540\\,\\text{J}$
Étape 8 : Puissance mécanique utile à 30 cycles/min (0.5 cycle/s)
$P_{mec,utile} = W_{total} \\times f_{cycles} = 540 \\times 0.5 = 270\\,\\text{W}$
Partie C : Rendement global du système
Étape 9 : Rendement global
$\\eta_{global} = \\frac{P_{mec,utile}}{P_{pn,cycle}} = \\frac{270}{424.5} = 0.636 = 63.6\\%$
Étape 10 : Analyse du rendement
Ce rendement global inclut :
Rendement des vérins : 0.90 (donné) Pertes de distribution : 5-10% Fuites et compressibilité de l'air : 25-30% Le rendement réel pneumatique typique est de 35-65%, donc 63.6% est acceptable mais proche de la limite supérieure.
Résultat Question 3 : Puissance pneumatique consommée (30 cycles/min) : $\\boxed{P_{pn,cycle} = 424.5\\,\\text{W}}$ | Puissance mécanique utile : $\\boxed{P_{mec,utile} = 270\\,\\text{W}}$ | Rendement global : $\\boxed{\\eta_{global} = 63.6\\%}$. Conclusion : Le système pneumatique pour cette application de manutention a un rendement global de 63.6%, ce qui est acceptable pour une application pneumatique industrielle. Cependant, il consomme 424.5 W de puissance pneumatique pour fournir 270 W de travail utile, ce qui signifie que 154.5 W (36.4%) sont perdus en frottements, fuites et expansion inutile de l'air. Pour améliorer l'efficacité : optimiser la géométrie des distributeurs, réduire les longueurs de tuyauterie, utiliser de l'air à pression plus basse si possible, ou considérer un système hydraulique pour applications à haute puissance.
",
"id_category": "3",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un moteur linéaire est utilisé pour déplacer une charge de $10\\,\\text{kg}$ sur une distance de $0{,}8\\,\\text{m}$ dans le cadre d'un système d'actionneur électromécanique.\n1. Calculez la force électromagnétique nécessaire pour accélérer la charge de $0$ à $2\\,\\text{m/s}$ en $0{,}6\\,\\text{s}$ sur une trajectoire horizontale sans frottement.\n2. En supposant que le moteur fonctionne sous une tension de $60\\,\\text{V}$ et consomme un courant moyen de $4\\,\\text{A}$ pendant la phase d'accélération, calculez la puissance électrique moyenne fournie au moteur au cours de cette phase.\n3. Le moteur est constitué d’un stator en acier et d’un rotor en aluminium. Sachant que l’efficacité énergétique dépend du matériau, comparez le rendement si le rotor était en cuivre, en tenant compte d’une résistance du rotor de $0{,}5\\,\\Omega$ pour l’aluminium et $0{,}18\\,\\Omega$ pour le cuivre. Calculez le rendement pour chaque cas utilisant une puissance mécanique de sortie de $34\\,\\text{W}$.",
"svg": "Stator (acier) Rotor (Al/Cu) Charge: 10 kg 0,8 m déplacement Question 1: Question 2: Question 3: Le rotor en cuivre offre un rendement supérieur en raison de sa résistance plus faible, ce qui minimise les pertes Joule.
",
"id_category": "4",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actionneur électromagnétique unifié est conçu pour réguler la position d’un volet dans une application de ventilation industrielle.\n1. Déterminez le couple électromagnétique maximal pouvant être généré, sachant que le flux magnétique maximal dans l’entrefer est de $0{,}015\\,\\text{Wb}$, la densité de courant de $1{,}2\\,\\text{A/mm}^2$, le rayon du rotor de $35\\,\\text{mm}$ et la longueur active de $0{,}2\\,\\text{m}$.\n2. Pour une optimisation, comparez la force magnétique si le noyau est constitué de fer pur ($\\mu_{\\text{r}} = 7000$) versus fer silicié ($\\mu_{\\text{r}} = 3000$), avec une surface d’entrefer de $350\\,\\text{mm}^2$ et une excitation de $2{,}8\\,\\text{A}$ dans la bobine.\n3. Sachant que le système doit s’arrêter en $0{,}3\\,\\text{s}$ après une coupure d’alimentation avec un déplacement angulaire de $50^\\circ$, calculez l’accélération angulaire requise.",
"svg": "Rotor r = 35 mm Flux max = 0,015 Wb Longueur active = 0,2 m Déplacement angulaire Question 1 : Question 2 : Question 3 : Cette accélération permet d’arrêter le système efficacement après la coupure d’alimentation.
",
"id_category": "4",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Une tige piézoélectrique de $60\\,\\text{mm}$ de long est utilisée comme actionneur précis pour déplacer une pièce dans un système micro-électromécanique.\n1. Calculez la déformation maximale (en mm) de la tige sachant un coefficient piézoélectrique $d_{33} = 420\\,\\text{pm/V}$ et une tension appliquée de $150\\,\\text{V}$.\n2. Déterminez la force de réaction maximale fournie par la tige si son module d’Young est $80\\,\\text{GPa}$ et sa section droite est $6\\,\\text{mm}^2$.\n3. Si cette tige est remplacée par une tige composite (50% céramique, 50% alliage d’aluminium), la longueur reste la même mais la section droite devient $8\\,\\text{mm}^2$ et le module d’Young équivalent est $44\\,\\text{GPa}$. Calculez la nouvelle force de réaction maximale.",
"svg": "Tige piézo de 60 mm Pièce Section : 6 mm² Remplacement : composite (Section : 8 mm²) Déplacement Question 1 : Question 2 : Question 3 : La tige composite montre une force de réaction inférieure due au module d’Young plus faible, malgré une section accrue.
",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actuateur linéaire électromagnétique est utilisé pour déplacer une charge selon une trajectoire droite. Considérez le schéma suivant (voir figure). Les caractéristiques du moteur sont : longueur de course $l = 15\\ \\mathrm{cm}$, force maximale $F_{max} = 250\\ \\mathrm{N}$, résistance du bobinage $R = 3{,}0\\ \\Omega$, inductance du bobinage $L = 220\\ \\mathrm{mH}$. On alimente l'actionneur sous une tension continue de $V = 24\\ \\mathrm{V}$. Le déplacement complet doit s'effectuer en $t = 0{,}5\\ \\mathrm{s}$.Charge Course l Bobine 24V Schéma d'un actionneur linéaire électromagnétique 1. Calcul du courant maximal pour obtenir la force maximale : 2. Puissance instantanée minimale nécessaire : 3. Quantité de chaleur dissipée par effet Joule durant la course :
",
"id_category": "4",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "On considère un actionneur rotatif à courant continu destiné à piloter un robot. Le moteur a une résistance $R = 2{,}4\\ \\Omega$ et une inductance $L = 150\\ \\mathrm{mH}$. Le couple maximal fourni est $C_{max} = 0{,}42\\ \\mathrm{N\\cdot m}$ et la vitesse nominale est $\\omega_n = 3000\\ \\mathrm{tr/min}$. La tension d'alimentation disponible est $V = 28\\ \\mathrm{V}$.Commutateur Rotor Bobines Tension 28V Moteur DC pour actionneur rotatif 1. Courant de fonctionnement à couple maximal : 2. Puissance électrique absorbée sous couple maximal : 3. Optimisation — effet de la résistivité réduite :
",
"id_category": "4",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un vérin électromécanique à vis sans fin doit soulever une plateforme de $m = 85\\ \\mathrm{kg}$ sur $h = 0{,}42\\ \\mathrm{m}$. On utilise un moteur dont le rendement global (moteur + conversion mécanique) est $\\eta = 0{,}67$ et tournant à $N = 1350\\ \\mathrm{tr/min}$. La tension d'alimentation est $U = 36\\ \\mathrm{V}$. La montée doit être réalisée en $\\Delta t = 8\\ \\mathrm{s}$.Plateforme Vis sans fin Moteur Alim 36V Schéma d'un vérin électromécanique 1. Force nécessaire générée : 2. Travail mécanique total : 3. Puissance électrique moyenne à fournir :
",
"id_category": "4",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actionneur électromécanique linéaire utilise une bobine de cuivre pour déplacer un noyau ferromagnétique dans un tube selon la figure ci-dessous. Le système est alimenté sous une tension constante et la résistance interne de la bobine est connue. \n1. Calculer la force maximale générée par l’actionneur sachant la longueur de la bobine, son nombre de spires, le courant appliqué et la perméabilité du noyau. $F = ...$\n2. Optimiser la masse du cuivre nécessaire pour que l’actionneur fournisse une force donnée, en fonction de la densité du cuivre et des dimensions. $m_{Cu} = ...$\n3. Comparer deux matériaux pour le noyau (fer pur vs alliage Fe-Si) et calculer l’effet sur la force générée pour la même géométrie et courant.",
"svg": "Bobine de cuivre (N spires) Noyau F Question 1 : Force maximale Question 2 : Optimisation masse cuivre Question 3 : Influence du matériau du noyau
",
"id_category": "4",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "On considère un actionneur rotatif à aimant permanent utilisé pour piloter un bras robotisé. L’aimant est monté sur un axe et entouré d’un enroulement alimenté par un convertisseur PWM. \n1. Calculer le couple électromagnétique maximal produit en fonction du flux magnétique de l’aimant, du nombre de spires, du courant et du rayon de l’axe. $C_{max}=...$\n2. Déterminer la vitesse angulaire maximale atteinte si l’inertie du bras et la tension d’alimentation sont connues. $\\omega_{max}=...$\n3. Optimiser le choix du matériau du rotor entre deux alliages d’aluminium en comparaison de la densité et de la conductivité pour minimiser les pertes de courant de Foucault.",
"svg": "Aimant Bobine Bras robotisé C Question 1 : Couple électromagnétique Question 2 : Vitesse angulaire maximale Question 3 : Optimisation matériau rotor Le matériau B offre des pertes de Foucault plus faibles, ce qui optimise la performance pour la même masse
",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actionneur rotatif synchrone à rotor bobiné est alimenté sous tension constante. Les paramètres sont :\n- Nombre de paires de pôles : $p = 2$\n- Rayon du rotor : $r = 35\\,mm$\n- Longueur axiale du rotor : $l = 120\\,mm$\n- Nombre de tours du bobinage de l’inducteur : $N = 600$\n- Courant d’excitation : $I = 3{,}2\\,A$\n- Perméabilité relative : $\\mu_r = 1600$\n- Vitesse de rotation : $\\omega = 1500\\,tr/min$\n\nQuestions intégrées :\n1) Calculez le flux magnétique total $\\Phi$ créé par l’inducteur sur le rotor.\n2) Déterminez la force électromagnétique axiale agissant sur le rotor lors de son fonctionnement.\n3) En remplaçant le rotor par un matériau composite optimisé, la section magnétique est réduite de 20 % mais la perméabilité relative passe à $3000$, recalculez le flux et la force, et interprétez la différence.",
"svg": "Rotor Bobinage N Sens rotation ω 1. Flux magnétique 2. Force électromagnétique axiale 3. Optimisation du rotor Interprétation : Malgré la réduction de section de 20 %, le gain de perméabilité compense largement, et le flux, ainsi que la force, augmentent de près de $\\frac{11{,}3}{7{,}5} \\approx 1{,}51 = +51\\%$. Ce résultat illustre l’impact direct de l’optimisation des matériaux sur les performances des actionneurs électromécaniques.
",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un actionneur linéaire électromagnétique utilise un noyau ferromagnétique et une bobine de cuivre d'une longueur de $15\\,cm$ et d'un rayon de $2\\,cm$. On lui applique une tension de $24\\,V$ et la bobine comporte $1800$ spires. Supposons que la masse mobile reliée à l'actionneur pèse $0{,}6\\,kg$. Les matériaux magnétique et conducteur utilisés sont à optimiser.\n1. Calculez l'inductance de la bobine si la perméabilité relative du noyau est $\\mu_r = 2500$.\n2. Déterminez la force électromagnétique maximale générée lorsque le courant atteint $2{,}9\\,A$.\n3. Si la résistance du fil de cuivre est de $3{,}6\\,\\Omega$, calculez la puissance dissipée par effet Joule et proposez une solution pour minimiser cette perte énergétique en optimisant la conception ou le matériau.",
"svg": "Noyau ferromagnétique Bobine (Cuivre) Charge Masse mobile Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
"id_category": "4",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Un moteur pas-à-pas piloté par microcontrôleur nécessite une optimisation de ses performances dynamiques dans un système d'entraînement linéaire à forte inertie. Le stator est composé de $50$ dents, chaque dent ayant une longueur de $12\\,mm$ et une largeur de $5\\,mm$. La résistance de chaque enroulement vaut $5\\,\\Omega$ et la tension d’alimentation est $48\\,V$.\n1. Calculez le courant traversant un enroulement à la mise sous tension.\n2. Déterminez la densité de courant dans l'enroulement si le fil de cuivre présente une section de $0{,}42\\,mm^2$.\n3. Si l’enroulement dissipe une puissance maximun supportable de $10\\,W$, quelle doit être la résistance minimale à prévoir pour limiter le courant et éviter la surchauffe ?",
"svg": "Stator Dents Rotor linéaire Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Une tige piézoélectrique actionne un micromanipulateur. La tige de longueur $50\\,mm$ et d’une section carrée de $2\\,mm$ de côté possède une constante piézoélectrique de $d_{33} = 450\\,pC/N$. La tension appliquée est de $100\\,V$ et la rigidité de la tige est $9 \\times 10^6\\,N/m$.\n1. Calculez le déplacement maximal généré par effet piézoélectrique.\n2. Calculez la contrainte mécanique subie par la tige pour ce déplacement maximal.\n3. En supposant un échauffement linéaire de la tige et une puissance d’activation de $0{,}4\\,W$ appliquée en continu, quelle sera l’énergie totale fournie en $30\\,s$ ?",
"svg": "Tige piézoélectrique Charge Longueur = 50 mm Section 2 mm x 2 mm Question 1 : Question 2 : ou $F = k \\Delta L$, puis $\\sigma = F/S$)Question 3 :
",
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},
{
"category": "Optimisation et matériaux pour actionneurs électromécaniques",
"question": "Exercice 3 : Actionneur à solénoïde et minimisation énergétique\n\nUn solénoïde industriel est utilisé comme actionneur verrouillant un mécanisme. Voici ses spécifications :\n- Nombre de spires \n Solénoïde (N=1600) \n Noyau \n Armature \n l=10cm \n r=9mm \n Champ \n \n \n \n \n1. Calcul de la force
\n$F = k \\cdot \\frac{I^2}{(x + x_0)^2}$\n$F = 0{,}05 \\times \\frac{(2)^2}{(0{,}01 + 0{,}005)^2} = 0{,}05 \\times \\frac{4}{0{,}015^2}$\n$F = 0{,}05 \\times \\frac{4}{0{,}000225} = 0{,}05 \\times 17777{,}78 = 888{,}89\\,N$\n\n2. Trouver la position
\n$F = k \\cdot \\frac{I^2}{(x + x_0)^2} = 10$\n$10 = 0{,}05 \\times \\frac{4}{(x + 0{,}005)^2}$\n$(x + 0{,}005)^2 = 0{,}05 \\times \\frac{4}{10} = 0{,}02$\n$x + 0{,}005 = \\sqrt{0{,}02} = 0{,}1414$\n$x = 0{,}1364\\,m = 13{,}64\\,cm$\n\n3. Variation de force
\n$F_1 = k \\cdot \\frac{I^2}{(x_1 + x_0)^2}, \\quad F_2 = k \\cdot \\frac{I^2}{(x_2 + x_0)^2}$\n$F_1 = 0{,}05 \\times \\frac{4}{(0{,}01 + 0{,}005)^2} = 888{,}89\\,N$\n$F_2 = 0{,}05 \\times \\frac{4}{(0{,}015 + 0{,}005)^2} = 0{,}05 \\times \\frac{4}{0{,}02^2} = 0{,}05 \\times 10000 = 500\\,N$\n$\\Delta F = F_2 - F_1 = 500 - 888{,}89 = -388{,}89\\,N$\n\nCette diminution de force s'explique par l'augmentation de la distance magnétique.",
"id_category": "5",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un moteur actionneur linéaire est modélisé par la relation électrique $V = R \\cdot I + L \\frac{dI}{dt} + K_e \\cdot v$ et la relation mécanique $F = K_t \\cdot I = m \\frac{dv}{dt} + b v$ où $V$ est la tension, $I$ l'intensité, $v$ la vitesse linéaire, $F$ la force, $m$ la masse, $b$ le coefficient de frottement, $R, L, K_e, K_t$ des constantes.\n\n1. Pour une commande en régime stationnaire avec $V = 12\\,V$, $R = 2\\,\\Omega$, $L = 0$, calculer l'intensité $I$ et la vitesse $v$ sachant que $K_e = K_t = 0{,}5\\,N/A$, $m = 1\\,kg$ et $b = 0{,}1\\,N \\cdot s/m$.\n\n2. Si la vitesse initiale est nulle, calculer le courant instantané $I(t)$ à $t = 0,1\\,s$.\n\n3. Déterminer la force électrique maximale au démarrage $F_0$.",
"svg": "1. Régime stationnaire
\n$V = R \\cdot I + K_e \\cdot v$\n$F = K_t \\cdot I = b \\cdot v$\n$v = \\frac{K_t \\cdot I}{b}$\nRemplaçons dans l'équation électrique :\n$V = R \\cdot I + K_e \\cdot \\frac{K_t \\cdot I}{b} = I \\left(R + \\frac{K_e K_t}{b}\\right)$\n$I = \\frac{V}{R + \\frac{K_e K_t}{b}} = \\frac{12}{2 + \\frac{0{,}5 \\times 0{,}5}{0{,}1}} = \\frac{12}{2 + 2{,}5} = \\frac{12}{4{,}5} = 2{,}67\\,A$\n$v = \\frac{K_t I}{b} = \\frac{0{,}5 \\times 2{,}67}{0{,}1} = 13{,}35\\,m/s$\n\n2. Dynamique du courant avec
\n$L = 0$ donc \n$V = R I + K_e v$, vitesse initiale nulle, \n$\\frac{dI}{dt} = \\frac{V - R I - K_e v}{L} \\to indéfinie$\nNous considérons la dynamique du système mécanique\n$m \\frac{dv}{dt} + b v = K_t I$\n$\\Rightarrow \\frac{dv}{dt} = \\frac{K_t}{m} I - \\frac{b}{m} v$\neau temps initial $v(0) = 0$, \n$I(0) = \\frac{V}{R} = \\frac{12}{2} = 6\\,A$\nCalculons en $t=0,1\\,s$ (hypothèse réponse exponentielle associée) :\n$I(t) = I(0) e^{-\\frac{R}{L}t} = 6 e^{-\\frac{2}{0} 0{,}1}$ non défini car $L=0$. \nAvec inductance nulle, le courant est instantané à l'état de régime stable, donc $I(0,1) \\approx 2{,}67\\,A$ comme au régime stationnaire.\n\n3. Force au démarrage
\n$F_0 = K_t \\times I(0) = 0{,}5 \\times 6 = 3\\,N$.\n\nLe courant initial est maximal car la vitesse est nulle, donc $F_0$ est la force maximale au démarrage.",
"id_category": "5",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur piézoélectrique est caractérisé par sa constante de charge $d_{33} = 400 \\times 10^{-12}\\, C/N$, sa permittivité $\\epsilon_r = 1200$, et sa constante de souplesse mécanique $s_E = 15 \\times 10^{-12}\\, m^2/N$.\n\nLe bloc de matière a une épaisseur $L = 2\\,mm$ et une surface $A = 1\\,cm^2$.\n\n1. Calculer la capacité électrique de l'actionneur \n\n2. Déterminer l'allongement maximal $\\Delta L$ lorsqu'une tension $V = 100\\,V$ est appliquée.\n\n3. Calculer la force maximale générée par l'actionneur lorsqu'il est bloqué mécaniquement.",
"svg": "1. Calcul de la capacité
\n$C = \\epsilon_0 \\epsilon_r \\frac{A}{L} $\nAvec $\\epsilon_0 = 8{,}854 \\times 10^{-12}\\, F/m, A = 1 \\times 10^{-4}\\, m^2, L = 2 \\times 10^{-3}\\, m$\n$C = 8{,}854 \\times 10^{-12} \\times 1200 \\times \\frac{1 \\times 10^{-4}}{2 \\times 10^{-3}} = 5{,}31 \\times 10^{-10}\\, F$\n\n2. Allongement maximal
\nLa déformation $\\Delta L = d_{33} \\times \\frac{V}{L} \\times L = d_{33} \\times V $\n$\\Delta L = 400 \\times 10^{-12} \\times 100 = 4 \\times 10^{-8}\\, m = 40 \\, nm$\n\n3. Force maximale générée
\nLa contrainte maximale$\\sigma = \\frac{\\Delta L}{s_E} = \\frac{4 \\times 10^{-8}}{15 \\times 10^{-12}} = 2{,}67 \\times 10^3\\, N/m^2$\nLe force $F = \\sigma \\times A = 2{,}67 \\times 10^{3} \\times 1 \\times 10^{-4} = 0{,}267\\, N$",
"id_category": "5",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électromécanique est modélisé par un moteur à courant continu avec une résistance de l'induit R = 2 Ω, une inductance L = 0.5 H, une constante de force contre-électromotrice K_e = 0.05 V.s/rad, et une constante de couple K_t = 0.05 N.m/A. La charge mécanique a un moment d'inertie J = 0.01 kg.m² et un coefficient de frottement viscose b = 0.001 N.m.s/rad.\n\n1) Écrire la fonction de transfert du système entre la tension d'entrée électrique u(t) et la vitesse angulaire de sortie ω(t) en régime permanent. Donnez l'expression générale de la fonction de transfert en terme de s.\n\n2) Calculez la vitesse angulaire de sortie ω(t) en régime permanent lorsque la tension d'entrée est une grandeur constante u_0 = 24 V.\n\n3) Déterminez le temps de réponse τ à 5 % pour atteindre la vitesse finale en réponse à une entrée en échelon de 24 V.",
"svg": "1. Formule de base liant \\(u(t)\\), \\(i(t)\\), et \\(F(t)\\) :
\n\n2. En régime permanent, \\(\\frac{dv}{dt}=0\\), donc :
\n\n3. Calcul avec \\(U_0=10\\,V\\), \\(R=2\\,\\Omega\\), \\(k_i=3\\,\\mathrm{N/A}\\), \\(b=0.5\\,\\mathrm{Ns/m}\\) :
",
"id_category": "5",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électromagnétique est composé d'une bobine inductive traversée par un courant \\(i(t)\\), et d'un noyau mobile. La force d'attraction est liée au courant selon :\n\\($F(t) = \\frac{N^2 \\, A \\, \\mu}{2 \\, g(t)^2} \\cdot i(t)^2$\\) où \\(N\\) est le nombre de spires, \\(A\\) la surface de la section magnétique, \\(\\mu\\) la perméabilité magnétique, et \\(g(t)\\) l'entrefer variable selon la position.\n\nQuestions :\n1. Établissez l'expression de la force statique si \\(i\\) est constant et \\(g=\\mathrm{constante}\\).\n2. Pour \\(N=500\\), \\(A=10^{-4} \\, m^2\\), \\(\\mu = 4\\pi \\times 10^{-7} \\, H/m\\), \\(g=1\\,mm\\), et \\(i=2\\,A\\), calculez la force.\n3. Si l'entrefer varie de \\(0.5\\,mm\\) à \\(1.5\\,mm\\), expliquez et calculez la variation de la force pour \\(i=2\\,A\\).",
"svg": "1. La force statique lorsque \\(i\\) et \\(g\\) sont constants est :
\n\n2. Remplacement numérique :
\n\n3. Pour \\(g=0.5 mm = 5 \\times 10^{-4} m\\) et \\(g=1.5 mm = 1.5 \\times 10^{-3} m\\), calculons la force minimale et maximale et comparons :
\n\nLa force varie de manière inversement proportionnelle au carré de l'entrefer, donc la force diminue fortement quand l'entrefer augmente.
",
"id_category": "5",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électromécanique linéaire modélisé par un circuit électrique inductif et résistif pilote un vérin. On donne : \n- Inductance : \\(L\\)\n- Résistance : \\(R\\)\n- Masse du vérin : \\(m\\)\n- Frottement visqueux : \\(b\\)\n- Constante de force : \\(k_f\\) en \\(N/A\\)\n- La tension \\(u(t)\\) alimente la bobine générant un courant \\(i(t)\\)\n\nQuestions :\n1. Écrivez l'équation différentielle liant \\(i(t)\\) et \\(u(t)\\) dans le circuit de commande.\n2. En partant de l'équation mécanique \\(m \\frac{d^2 x}{dt^2} + b \\frac{dx}{dt} = k_f i(t)\\), exprimez la fonction de transfert \\(H(s) = \\frac{X(s)}{U(s)}\\).\n3. Pour \\(L=0.1\\,H\\), \\(R=10\\,\\Omega\\), \\(m=2\\,kg\\), \\(b=1\\,Ns/m\\), \\(k_f=50\\,N/A\\), calculez \\(H(s)\\) explicitement en forme polynomiale et déterminez la réponse en vitesse pour une entrée impulsionnelle \\(u(t)\\).",
"svg": "1. Équation du circuit électrique :
\n\n2. Équation mécanique :
\n\n3. Fonction de transfert totale :
\n\nPour la réponse en vitesse \\(V(s) = s X(s)\\) à une impulsion \\(U(s)=1\\), on calcule
",
"id_category": "5",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électrique linéaire est modélisé par un système électrique et mécanique couplé. Le circuit électrique est composé d'une résistance $R$, d'une inductance $L$ et une force contre-électromotrice proportionnelle à la vitesse $v$. La partie mécanique est caractérisée par une masse $m$, un amortissement visqueux $b$ et une force $F$ proportionnelle au courant électrique. \n\n1. Établir l'équation différentielle liant la tension d'entrée $u(t)$ au déplacement $x(t)$ de l'actionneur en utilisant la loi d'Ohm et la deuxième loi de Newton. \n\n2. Supposant une excitation sinusoïdale $u(t)=U_0\\sin(\\omega t)$, déterminer l'expression de la réponse en régime permanent du déplacement $x(t)$ en fonction de $U_0, \\omega, R, L, m, b$ et autres constantes du système.\n\n3. Calculer la valeur de la fréquence optimale $\\omega_{opt}$ qui maximise le déplacement amplitude, en explicitant la méthode utilisée.",
"svg": "1. Déplacement
\nLa déformation due à la tension appliquée est liée à la constante piezoélectrique $d_{31}$ et au champ électrique $E = \\frac{V}{t}$ (tension divisée par épaisseur).
\n$\\Delta L = d_{31} \\times L \\times \\frac{V}{t}$.
\n2. Force maximale
\n$F_{max} = \\sigma_{max} \\times A = E \\times d_{31} \\times \\frac{V}{t} \\times A$.
\n3. Calcul numérique :
\n$\\Delta L = 250 \\times 10^{-12} \\times 0.1 \\times \\frac{100}{0.001} = 2.5 \\times 10^{-6} m$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Considérons un moteur électrique à courant continu comme actionneur, modélisé par une inductance de l'induit $L$, une résistance de l'induit $R$, une constante de couple $K_t$, une constante de force contre-électromotrice $K_e$, une inertie mécanique $J$ et un coefficient d'amortissement visqueux $b$. Les équations sont :1. Équation électrique :
\n$u(t) = L \\frac{di}{dt} + R i(t) + e_{cem}(t)$, avec $e_{cem}(t) = K_e \\omega(t)$.
\n$J \\frac{d \\omega}{dt} + b \\omega(t) = K_t i(t)$.
\n2. En régime permanent ($s=0$),
\n$U = R I + K_e \\Omega$ et $0 = b \\Omega - K_t I$.
\n$U = R \\frac{b}{K_t} \\Omega + K_e \\Omega = \\Omega \\left(\\frac{R b}{K_t} + K_e \\right)$, donc
\n$\\Omega = \\frac{U}{\\frac{R b}{K_t} + K_e}$.
\n3. Calcul numérique :
\n$\\Omega = \\frac{24}{\\frac{1 \\times 0.1}{0.5} + 0.5} = \\frac{24}{0.2 + 0.5} = \\frac{24}{0.7} = 34.29 \\; rad/s$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électrique est modélisé par un moteur à courant continu alimenté par une tension $U$. On suppose le moteur avec une résistance $R$, une inductance $L$, et une constante de force contre-électromotrice $k_e$, ainsi qu'une constante de couple $k_t$. Le moment d'inertie de la charge est $J$ et le coefficient de frottement visqueux est $b$.\n\n1. Écrire l'équation de tension appliquée au moteur en tenant compte de tous les éléments.\n2. Exprimer la relation entre le couple $T$ et le courant $i$.\n3. Déterminer l'expression de la vitesse angulaire $\\omega$ en régime permanent lorsque la tension $U=24\\,V$, $R=2\\,\\Omega$, $k_e=0.1\\,V\\cdot s\\cdot rad^{-1}$, et le courant $i=3\\,A$.",
"svg": "1. Équation de tension :
",
"id_category": "5",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un vérin pneumatique modélisé comme un actionneur linéaire a une masse $m=5\\,kg$ soumise à une force $F$ générée par la pression dans le vérin. La force de frottement visqueux vaut $b=10\\,N\\cdot s/m$.\n\n1. Écrire et modéliser l'équation de mouvement du vérin avec la force d'entrée $F$ et la force de frottement.\n2. En régime stationnaire avec une force constante $F=100\\,N$, calculer la vitesse $v$ du vérin pour $m=5\\,kg$ et $b=10\\,N\\cdot s/m$.\n3. Si la force $F$ est modifiée à $50\\,N$, calculer la nouvelle vitesse $v$.",
"svg": "1. Équation de mouvement :
",
"id_category": "5",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électrique est modélisé par une bobine inductive $L=5\\,mH$ en série avec une résistance $R=1\\,\\Omega$. Une tension alternative sinusoïdale $u(t)=U_0 \\sin(\\omega t)$ est appliquée.\n\n1. Écrire l'expression de l'impédance $Z$ de l'actionneur.\n2. Calculer la valeur de l'impédance $Z$ pour une fréquence $f=50\\,Hz$ et une tension maximale $U_0=10\\,V$.\n3. Calculer le courant maximal $I_0$ qui traverse l'actionneur.",
"svg": "1. Expression de l'impédance :
",
"id_category": "5",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "On considère un actionneur électrique composé d'un moteur à courant continu alimenté par une tension $U$. 1) Calculez la constante de temps électrique $\\tau_e$ sachant que la résistance du rotor est $R = 2\\,\\Omega$ et l'inductance $L = 0,01\\,H$. 2) En supposant que la tension d'alimentation est $U = 48\\,V$, calculez le courant dans le rotor au temps $t = 0,05\\,s$. 3) Déterminez la puissance électrique instantanée dissipée dans la résistance du rotor à $t = 0,05\\,s$.",
"svg": "$i(0,05) = \\frac{48}{2}\\left(1 - e^{-\\frac{0,05}{0,005}}\\right) = 24\\left(1 - e^{-10}\\right)$
$e^{-10} \\approx 4,54 \\times 10^{-5} ,\\quad i(0,05) \\approx 24 \\times (1 - 4,54 \\times 10^{-5}) \\approx 24 \\times 0,999955 = 23,9989\\,A$
En général, le rendement \\(\\eta < 1\\) donc il y a une erreur dans les données ou hypothèses.
Le calcul montre la méthode, mais les données doivent être revues pour cohérence.
",
"id_category": "5",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur hydraulique est modélisé avec une pompe entraînée par un moteur électrique. 1) Calculez le débit volumique $Q$ si la pompe fournit un volume de $50\\, L/min$. 2) Convertissez ce débit en mètres cubes par seconde. 3) En supposant une pression $P = 10^6\\, Pa$, calculez la puissance hydraulique fournie $P_h$ par la pompe.",
"svg": "$Q = 50 \\times 10^{-3} \\text{ m}^3/\\text{min} = 0,05 \\text{ m}^3/\\text{min}$
1. Équation différentielle du circuit électrique :
2. Force électromagnétique :
Utilisant l'équation précédente, on exprime $i(t)$ en fonction de $u(t)$ ; en régime dynamique, on utilise la transformée de Laplace (ou analyse fréquentielle) pour le résoudre.
3. Équation du mouvement de la masse :
4. En régime permanent sinusoïdal :
5. Amplitude maximale de la force :
1. Équation électrique du circuit piézoélectrique :
2. Relation force-charge :
3. Équation dynamique :
4. En régime sinusoïdal :
5. Amplitude maximale du déplacement :
1. Équation électrique :
2. Couple électromoteur :
3. Équation mécanique :
4. En régime permanent, dérivées nulles :
$0 = K_t I$ (pas de variation de vitesse en régime permanent, mais couple=0 seulement si friction négligée)\nSous hypothèse régime lent, on combine en :
5. Constante de temps électrique :
1. L'équation différentielle du circuit série R-L alimenté par une tension continue est donnée par la loi des mailles :
",
"id_category": "5",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un vérin électromagnétique est modélisé par une inductance variable $L(x) = L_0 + \\alpha x$ où $x$ est le déplacement en mètres, $L_0=0,02\\ H$, $\\alpha=0,1\\ H/m$. La résistance du circuit est constante $R=2\\ \\Omega$. Le circuit est soumis à une tension constante $U=12\\ V$. Le déplacement initial $x(0)=0$ et la vitesse initiale de déplacement est nulle.\n\n1. Écrire l'équation différentielle liant le courant $i(t)$ et le déplacement $x(t)$.\n2. Trouver l'expression du courant à l'instant $t=0,05\\ s$ en supposant $x\\approx 0$.\n3. Si la force électromagnétique est proportionnelle au carré du courant : $F = k i^2$ avec $k=0,8$, calculer $F$ à $t=0,05\\ s$.",
"svg": "1. La loi des mailles donne :
",
"id_category": "5",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un système d'actionneur est composé d'un moteur pas à pas avec une résistance $R=40\\ \\Omega$ et une inductance $L=10\\ mH$, alimenté par une tension $U=5\\ V$. Le moteur est commandé en mode courant constant.\n\n1. Écrire l'équation différentielle décrivant la dynamique du courant dans le moteur.\n2. Calculer le temps nécessaire pour que le courant atteigne 95 % de sa valeur finale en réponse à une application de la tension.\n3. Déterminer la valeur maximale du courant si la tension maximale est appliquée brusquement et que le courant initial est nul.",
"svg": "1. La dynamique du courant est donnée par la loi des mailles :
",
"id_category": "5",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Exercice 1 : Modélisation d’un actionneur électromécanique linéaire\n\nUn actionneur linéaire est constitué d’un enroulement alimenté en courant et produisant une force proportionnelle au flux magnétique. Le système est modélisé par la suivante équation électromécanique : $u(t) = R i(t) + L \\frac{di(t)}{dt} + k_e v(t)$, où $v(t) = \\frac{dx(t)}{dt}$ est la vitesse du noyau mobile. On suppose que la masse en déplacement est $m$ et que la force électromagnétique est donnée par $F = k_t i(t)$. Sa dynamique mécanique est décrite par $m \\frac{d^2x(t)}{dt^2} + f v(t) = F$.\n\n1. Déterminer l’expression de $i(t)$ lorsque la tension d’entrée est une rampe $u(t) = U_0 t$.\n2. Calculer la vitesse $v(t)$ du noyau à partir de l’équation mécanique et de la relation précédente.\n3. Évaluer la position $x(t)$ à l’instant $t = 0.2\\,s$ pour les paramètres : $U_0 = 12\\,V$, $R = 4\\,\\Omega$, $L = 0.02\\,H$, $k_e = 0.1\\,V·s/m$, $k_t = 3\\,N/A$, $m = 0.5\\,kg$, $f = 2\\,N·s/m$.",
"svg": "1. Équation électrique :
$ V(t) = L \\frac{di}{dt} + R i + K_e \\omega(t) $ 2. Équation mécanique :
$ J \\frac{d\\omega}{dt} + b \\omega = K_t i - T_L(t) $ 3. Régime permanent (\\( \\frac{di}{dt}=0, \\frac{d\\omega}{dt}=0 \\)) sous charge constante \\( T_0 \\) et tension permanente \\( V_0 \\).
$ V_0 = R i + K_e \\omega_{ss} $ 1. Charge maximale dans le condensateur pour tension maximale :
$ Q_m = C_0 V_m $ 2. La fréquence de résonance d'un circuit RLC série est donnée par :
$ \\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{L C_0}} $ 3. La déformation mécanique maximale est proportionnelle à la charge maximale :
$ x_{max} = d_{33} Q_m = d_{33} C_0 V_m $",
"id_category": "5",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Modélisation des Actionneurs",
"question": "Un actionneur électromagnétique est constitué d'une bobine à \\( N \\) spires de résistance \\( R \\) parcourue par un courant \\( i(t) \\). La force magnétique exercée est donnée par l'expression \\( F(t) = k i(t)^2 \\) avec \\( k \\) une constante donnée. La masse mobile a une masse \\( m \\) et est freinée par un amortisseur visqueux \\( c \\). On cherche la position \\( x(t) \\) de la masse mobile en réponse à une excitation en courant donnée \\( i(t) = I_0 \\sin(\\omega t) \\).\\n\\n1) Écrire l'équation différentielle du mouvement de la masse mobile sous l'effet de la force électromagnétique et de l'amortissement.1. Équation du mouvement :
$ m \\frac{d^2 x}{dt^2} + c \\frac{dx}{dt} = F(t) = k i(t)^2 $ 2. Force moyenne sur un cycle, avec \\( i(t) = I_0 \\sin(\\omega t) \\), donc \\( i(t)^2 = I_0^2 \\sin^2(\\omega t) \\).
$ \\overline{F} = k \\frac{I_0^2}{2} $ 3. Supposant une solution harmonique \\( x(t) = X \\sin(\\omega t + \\phi) \\), appliquer la transformation de Laplace ou phasorique donne :
$ X = \\frac{k I_0^2 / 2}{\\sqrt{(m \\omega^2)^2 + (c \\omega)^2}} $",
"id_category": "5",
"id_number": "35"
}
]
