Univdocs - Documents Universitaires: Asservissements continus et Regulation_json
Asservissements continus et Regulation_json
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[
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
Examen 3 : Modélisation avancée et analyse fréquentielle d'un système asservi multi-boucles
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| Niveau : Master Automatique - Spécialisation Contrôle Avancé
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Contexte global :
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Un système de positionnement 3-axes pour robot industriel utilise une architecture de contrôle multi-boucles : boucle interne de courant (très rapide), boucle intermédiaire de vitesse et boucle externe de position. Chaque étage est asservi indépendamment. L'objectif est d'assurer la stabilité globale du système, une bande passante de 50 Hz au minimum sur la boucle de position et une atténuation des bruits de mesure supérieure à 40 dB au-delà de 5 kHz.
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Questions intégrées :
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Q1 : Établissez la fonction de transfert complète du système en cascades. Données : boucle courant fermée $H_I(p) = \\frac{10}{p+100}$, boucle vitesse ouverte utilise moteur avec $G_v(p) = \\frac{1}{p(0,01p+1)}$ et régulateur $K_v(p) = 2 + \\frac{5}{p}$, boucle position avec capteur et régulateur $K_\\theta(p) = 1 + \\frac{2}{p}$.
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Q2 : Calculez les marges de phase et de gain de chaque boucle successivement. Concluez sur la stabilité du système complet.
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Q3 : Tracez le diagramme asymptotique de Bode (gain et phase) du système de position en boucle ouverte. Identifiez les fréquences caractéristiques et les pentes.
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Q4 : Calculez la sensibilité du système aux perturbations en couple et analysez le rejet de perturbation à différentes fréquences (DC, 10 Hz, 100 Hz).
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Q5 : Proposez un filtre anti-repliement adapté pour réduire les bruits de mesure haute fréquence (> 5 kHz) avec atténuation ≥ 40 dB. Vérifiez que ce filtre n'ajoute pas plus de 5° de déphasage à 50 Hz.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
À 5 kHz : atténuation totale ≈ -31 dB. Encore léger déficit → ajouter filtre 3ème ordre.
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Résultat final :
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Filtre Butterworth ordre 4, fréquence coupure 1,5 kHz assure -40 dB à 5 kHz et -3° à 50 Hz (conforme spécifications).
",
"id_category": "1",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen n°1 : Précision et Stabilité d'un système asservi en boucle fermée\n\nPartie 1 : Étude d'un servoméchanisme de positionnement angulaire\n\nUn système asservi en boucle fermée est utilisé pour asservir la position angulaire d'une charge mécanique. Le système comporte un correcteur proportionnel-intégral (PI) avec un gain proportionnel Kp = 12 et un gain intégral Ki = 3. La fonction de transfert du processus est $G_p(s) = \\frac{K_p}{s(s+2)(s+5)}$ où Kp = 1. Les cinq questions suivantes analysent la précision et la stabilité de ce servoméchanisme :\n\nQ1. Détermine la fonction de transfert en boucle ouverte du système asservi avec le correcteur PI.\nQ2. Calcule l'erreur statique en régime permanent pour une entrée échelon unitaire.\nQ3. Étudie la stabilité du système en boucle fermée à l'aide du critère de Nyquist simplifié et du lieu des racines.\nQ4. Trace le diagramme de Bode asymptotique de la boucle ouverte et détermine les marges de gain et de phase.\nQ5. Analyse la réponse temporelle du système en boucle fermée pour une perturbation échelon et évalue le dépassement ainsi que le temps d'établissement.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte avec correcteur PI 1. Formule générale : $H(s) = C(s) \\times G_p(s)$ où $C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s}$ est le correcteur PI 2. Remplacement : $C(s) = 12 + \\frac{3}{s} = \\frac{12s + 3}{s}$, $G_p(s) = \\frac{1}{s(s+2)(s+5)}$ 3. Calcul :$H(s) = \\frac{12s + 3}{s} \\times \\frac{1}{s(s+2)(s+5)} = \\frac{12s + 3}{s^2(s+2)(s+5)}$ Expansion du dénominateur :$(s+2)(s+5) = s^2 + 7s + 10$ $s^2(s^2 + 7s + 10) = s^4 + 7s^3 + 10s^2$ 4. Résultat final :$H(s) = \\frac{12s + 3}{s^4 + 7s^3 + 10s^2}$
Question 3 : Étude de la stabilité - Critère de Nyquist et lieu des racines 1. Critère de Nyquist : Compter les encerclements du point (-1, 0) pour la courbe de Nyquist de H(jω) 2. Polynôme caractéristique en boucle fermée :$1 + H(s) = s^4 + 7s^3 + 10s^2 + 12s + 3$ 3. Application du critère de Routh pour $P(s) = s^4 + 7s^3 + 10s^2 + 12s + 3$ : Tableau de Routh : $\\begin{array}{c|cc}\\\r\ns^4 & 1 & 10 & 3 \\\r\ns^3 & 7 & 12 & \\\r\ns^2 & \\frac{70-12}{7} = 8,29 & 3 & \\\r\ns^1 & \\frac{12 \\times 8,29 - 7 \\times 3}{8,29} = 11,47 & & \\\r\ns^0 & 3 & & \\\r\n\\end{array}$ Aucun changement de signe en première colonne : système **stable** 4. Lieu des racines : Pour 0 < K < Kc, les racines restent dans le demi-plan gauche 5. Résultat final : **Système stable** en boucle fermée (tous les pôles à partie réelle négative)
Question 4 : Diagramme de Bode et marges de gain/phase 1. Fonction de transfert réduite pour Bode :$H(jω) = \\frac{12jω + 3}{(jω)^2(jω+2)(jω+5)}$ À basse fréquence (ω → 0) :$|H(jω)| \\approx \\frac{3}{10ω^2}$, soit une pente de -40 dB/décade 2. Pulsation de coupure (|H(jω)| = 1) :$|H(jω_c)| = \\frac{\\sqrt{144ω_c^2 + 9}}{ω_c^2\\sqrt{(ω_c^2+4)(ω_c^2+25)}} = 1$ Solution approchée : ωc ≈ 1,2 rad/s 3. Phase à la coupure :$\\phi(ω_c) = \\arg(12ω_c + 3) - 180° - \\arctan(ω_c/2) - \\arctan(ω_c/5)$ À ωc ≈ 1,2 rad/s : $\\phi \\approx 76° - 180° - 31° - 13° = -148°$ 4. Marges :$MG = \\frac{1}{|H(jω_{180°})|}\\text{ (dB)}$, $MP = 180° + \\phi(ω_c) = 32°$ 5. Résultat final : Marge de phase ≈ **32°** (système stable mais marge modérée)
",
"id_category": "1",
"id_number": "2"
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{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen n°2 : Modélisation des systèmes asservis linéaires - Approche fréquentielle et temporelle\n\nPartie 2 : Identification et modélisation d'un système thermique de chauffage\n\nUn système de chauffage d'eau industriel est contrôlé en boucle fermée par un régulateur proportionnel. La température de l'eau doit atteindre une consigne de 60°C. Le système possède une constante de temps thermique τ = 25 s et un gain statique K = 0,8°C/%. La puissance de chauffage peut varier de 0 à 100 %. L'entrée de perturbation est due à la température ambiante variable. Les cinq questions suivantes permettent de modéliser et d'analyser ce système thermique :\n\nQ1. Établissez le modèle mathématique en espace d'état du système thermique linéarisé autour du point de fonctionnement nominal.\nQ2. Calculez les valeurs propres du système en boucle ouverte et déduisez la stabilité naturelle du processus.\nQ3. Dimensionnez le gain proportionnel Kp du régulateur pour obtenir une constante de temps en boucle fermée de 10 s.\nQ4. Modélisez la réponse du système à une échelon de perturbation de température ambiante et estimez le rejet de perturbation.\nQ5. Analysez le couplage entre les variables d'état et proposez une structure de compensateur pour améliorer les performances dynamiques.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Modèle en espace d'état du système thermique 1. Système d'ordre 1 linéarisé :$\\tau \\frac{d\\Theta}{dt} + \\Theta = K \\times P(t)$ où Θ est l'écart de température, P(t) la puissance en %, τ la constante thermique 2. Représentation d'état :$\\dot{x} = A x + B u$ avec $x = \\Theta, u = P$ 3. Remplacement : $\\tau = 25~\\mathrm{s}, K = 0,8~°\\mathrm{C}/\\%$ 4. Équation d'état :$\\dot{\\Theta} = -\\frac{1}{\\tau} \\Theta + \\frac{K}{\\tau} P = -\\frac{1}{25} \\Theta + \\frac{0,8}{25} P$ Matrice :$A = -0,04~\\mathrm{s}^{-1}, \\quad B = 0,032~°\\mathrm{C}/\\%$ 5. Résultat final : Modèle d'état : $\\dot{\\Theta} = -0,04 \\Theta + 0,032 P$, avec sortie $y = \\Theta$
Question 2 : Valeurs propres et stabilité en boucle ouverte 1. Équation caractéristique : $\\det(sI - A) = 0$ 2. Remplacement : $s - A = s - (-0,04) = s + 0,04$ 3. Calcul :$s + 0,04 = 0 \\Rightarrow s = -0,04~\\mathrm{rad/s}$ 4. Stabilité : Valeur propre négative, donc système **stable en boucle ouverte** 5. Résultat final : Valeur propre $\\lambda_1 = -0,04~\\mathrm{rad/s}$, système naturellement stable (processus stable)
Question 3 : Dimensionnement du régulateur proportionnel 1. En boucle fermée avec régulateur P :$u = K_p (w - y)$ où w est la consigne, y la sortie mesurée 2. Système en boucle fermée :$\\dot{\\Theta} = -0,04 \\Theta + 0,032 K_p (w - \\Theta) = -(0,04 + 0,032 K_p) \\Theta + 0,032 K_p w$ 3. Constante de temps désirée :$\\tau_{BF} = 10~\\mathrm{s}$, donc $\\lambda_{BF} = -\\frac{1}{10} = -0,1~\\mathrm{rad/s}$ 4. Calcul du gain :$-(0,04 + 0,032 K_p) = -0,1$ $0,04 + 0,032 K_p = 0,1$ $K_p = \\frac{0,1 - 0,04}{0,032} = \\frac{0,06}{0,032} = 1,875~\\mathrm{\\%/°C}$ 5. Résultat final : $K_p = 1,875~\\%/°\\mathrm{C}$
Question 4 : Réponse à perturbation - Rejet de perturbation 1. Perturbation ambiante modélisée : $\\Theta_p = \\alpha \\Theta_{amb}$ où α est le coefficient de couplage Équation modifiée :$\\dot{\\Theta} = -0,04 \\Theta + 0,032 K_p (w - \\Theta) + \\alpha \\Theta_{amb}$ 2. Pour échelon de perturbation $\\Delta T_{amb} = 5~°\\mathrm{C}$ :$\\Theta_p(s) = \\alpha \\times 5 \\times \\frac{1}{s}$ 3. Réponse en régime permanent avec régulateur P :$\\Theta_{pp} = \\frac{\\alpha \\times 5 \\times (0,04 + 0,032 K_p)}{0,032 K_p}$ 4. Avec Kp = 1,875 :$\\Theta_{pp} = \\frac{\\alpha \\times 5 \\times 0,1}{0,032 \\times 1,875} = \\frac{0,5 \\alpha}{0,06} = 8,33 \\alpha~°\\mathrm{C}$ Rejet de perturbation (hypothèse α = 0,1) : $\\Theta_{pp} \\approx 0,83~°\\mathrm{C}$ 5. Résultat final : Erreur de régulation due à perturbation ≈ **0,83°C** (rejet imparfait avec P seul)
Question 5 : Couplage et structure compensatrice 1. Analyse du couplage : Le système thermique possède une intégrale naturelle entre l'énergie accumulée et la température Fonction de transfert réelle :$G(s) = \\frac{K}{\\tau s + 1} = \\frac{0,8}{25s + 1}$ 2. Avec régulateur PI :$C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s} = \\frac{K_p s + K_i}{s}$ 3. Choix des paramètres PI pour réduction d'erreur : - Réglage en cascade ou par placement de pôles - Pulsation naturelle souhaitée : $\\omega_n = 0,1~\\mathrm{rad/s}$ - Amortissement cible : ζ = 0,7 (compromis rapidité/dépassement) 4. Dimensionnement :$K_p \\approx 0,84, \\quad K_i \\approx 0,007$ (par méthode de Ziegler-Nichols ou placement de pôles) 5. Résultat final : **Structure PI recommandée** avec Kp ≈ 0,84 et Ki ≈ 0,007 pour élimination perturbations basse fréquence
",
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"id_number": "3"
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{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen n°3 : Systèmes asservis complexes - Analyse multi-critères et optimisation\n\nPartie 3 : Asservissement d'une suspension magnétique de lévitation\n\nUn système de lévitation magnétique maintient une sphère conductrice en lévitation au-dessus d'un électroaimant. Le système est naturellement instable et nécessite une rétroaction pour la stabilisation. La distance de lévitation nominale est z = 10 mm. La fonction de transfert du processus est $G(s) = \\frac{K_m}{m s^2 - K}$ où Km = 4 N·A−1 est le gain magnétique, m = 0,5 kg la masse de la sphère, et K = 2 N/m le coefficient de raideur. Un capteur inductif mesure la position avec gain Ks = 1 V/mm. Les cinq questions suivantes permettent d'étudier la stabilisation de ce système chaotique :\n\nQ1. Calculez la fréquence naturelle du système non commandé (pulsation propre) et commentez la stabilité.\nQ2. Dimensionnez un régulateur proportionnel-dérivé (PD) pour stabiliser la lévitation avec une marge de phase de 45°.\nQ3. Modélisez la réponse du système en boucle fermée à une perturbation d'impulsion (force appliquée transitoire).\nQ4. Analysez le compromis entre précision de positionnement, bande passante et robustesse vis-à-vis de variations de charge (masse).\nQ5. Proposez une stratégie de contrôle adaptatif qui compense les variations de masse de la sphère (0,4 à 0,6 kg) tout en maintenant des performances constantes.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Fréquence naturelle et stabilité du système non commandé 1. Fonction de transfert :$G(s) = \\frac{K_m}{ms^2 - K}$ 2. Remplacement : $K_m = 4~\\mathrm{N \\cdot A}^{-1}, m = 0,5~\\mathrm{kg}, K = 2~\\mathrm{N/m}$ 3. Équation caractéristique :$ms^2 - K = 0 \\Rightarrow s^2 = \\frac{K}{m} = \\frac{2}{0,5} = 4$ $s = \\pm 2~\\mathrm{rad/s}$ 4. Analyse : Deux pôles réels sur l'axe imaginaire (à ±j2 pour oscillations). Pôles à partie réelle positive indiquent une **instabilité exponentielle** Pulsation naturelle (si stable) :$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{K}{m}} = 2~\\mathrm{rad/s}$ 5. Résultat final : Pôles en $s = \\pm 2$, système **naturellement instable** (lévitation chaotique sans contrôle)
Question 3 : Réponse à perturbation impulsive 1. Perturbation modélisée : Force impulsive $F_{pert}(t) = F_0 \\delta(t)$ avec $F_0 = 1~\\mathrm{N}$ 2. Réponse en boucle fermée avec régulateur PD :$\\frac{Z(s)}{F_{pert}(s)} = \\frac{G(s)}{1 + C(s) K_s G(s)}$ 3. Avec pôles fermés en $s = -1 \\pm j$ :$\\frac{Z(s)}{F_{pert}(s)} = \\frac{\\frac{4}{0,5(s^2-4)}}{1 + \\frac{8(0,375 + 0,125s)}{s^2 - 4}} = \\frac{8}{0,5s^2 + s + 1}$ Transformée inverse (impulsion unitaire :$F_0 = 1$) : $z(t) = \\frac{1}{0,5} e^{-t} \\sin(t) = 2 e^{-t} \\sin(t)~\\mathrm{m}$ Amplitude maximale :$z_{max} = 2 \\times e^{-\\pi/2} \\approx 0,24~\\mathrm{m} = 24~\\mathrm{mm}$ (pour F0 = 1 N) 4. Temps de retour (2 τ) :$t_s \\approx 2 \\times 1 = 2~\\mathrm{s}$ 5. Résultat final : Déplacement maximal ≈ **2.4 cm**, retour à position stable en **~2 s**
Question 4 : Compromis précision-bande passante-robustesse 1. Précision statique :$\\varepsilon_{stat} = \\frac{1}{1 + K_0}$ où $K_0 = C(0) K_s G(0)$ Avec $G(0) = \\frac{4}{-2} = -2$, $K_s = 1$, $C(0) = K_p = 0,375$ : $K_0 = 0,375 \\times 1 \\times (-2) = -0,75$ (gain statique instable) 2. Bande passante (−3 dB) : Pour pôles en -1±j :$BW = \\sqrt{2}~\\mathrm{rad/s} \\approx 1,4~\\mathrm{rad/s}$ 3. Robustesse : Analyser sensibilité aux variations de m ∈ [0,4 ; 0,6] kg Pôles fermés dépendent de K/m = 2/m, variation de ±20 % 4. Comparaison : - Augmenter Kp → améliore précision mais réduit stabilité - Augmenter Kd → améliore amortissement mais augmente bruit capteur - Pôles fermés fixes requièrent compensation adaptative 5. Résultat final : **Compromis optimal** : Kp=0,375, Kd=0,125 pour m=0,5 kg nominal; robustesse limitée à ±10 % variation de masse
Question 5 : Contrôle adaptatif pour compensation de masse variable 1. Stratégie : Estimer la masse en temps réel et adapter gains :$\\hat{m} = \\frac{F_m(t)}{\\ddot{z}(t)}$ 2. Loi d'adaptation : $K_p(t) = K_{p,0} \\times \\frac{m_{ref}}{\\hat{m}(t)}, \\quad K_d(t) = K_{d,0} \\times \\sqrt{\\frac{m_{ref}}{\\hat{m}(t)}}$ où $m_{ref} = 0,5~\\mathrm{kg}$ 3. Estimateur de masse basé sur perturbations :$\\hat{m} = \\frac{\\sum_{k=1}^{N} |F_k \\times \\Delta t|}{\\sum_{k=1}^{N} |\\Delta \\ddot{z}_k|}$ Fenêtre glissante N = 100 échantillons 4. Algorithme PI adaptés :$K_p(n+1) = K_p(n) - \\alpha_p e(n), \\quad K_d(n+1) = K_d(n) - \\alpha_d \\dot{e}(n)$ Gain adaptation : $\\alpha_p = 0,01, \\alpha_d = 0,005$ 5. Résultat final : **Régulateur PD adaptatif** maintient marge phase ≈ 45° et amortissement ζ ≈ 0,7 pour m ∈ [0,4 ; 0,6] kg en ajustant dynamiquement les gains proportionnels à 1/√m
",
"id_category": "1",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 1 : Précision et Stabilité d'un système asservi\n\nSoit un système de régulation de température dans une enceinte thermique. Le système est modélisé par une fonction de transfert en boucle ouverte : $H(p) = \\frac{K}{p(1+\\tau p)}$ où $K = 2$ est le gain statique, $\\tau = 0,5\\,s$ est la constante de temps thermique et $p$ est l'opérateur de Laplace. On souhaite asservir ce système avec un correcteur proportionnel de gain $K_c = 10$.\n\nL'objectif est d'analyser la précision statique, la stabilité et les performances dynamiques du système asservi :\n\n1. Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée $F(p) = \\frac{S(p)}{E(p)}$ avec le correcteur proportionnel.\n2. Calculez l'erreur de positionnement en régime permanent pour une entrée échelon unitaire (consigne constante).\n3. Déterminez les pôles de la boucle fermée et analysez la stabilité du système.\n4. Calculez le dépassement en réponse à un échelon unité et la pulsation propre non amortie du système.\n5. Proposez un correcteur PI pour améliorer la précision et justifiez votre choix avec un calcul de l'erreur statique améliorée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\nQuestion 2 : 1. Formule générale (théorème de la valeur finale) : $\\varepsilon_∞ = \\lim_{p \\to 0} p \\cdot E(p) = \\lim_{p \\to 0} p \\cdot \\frac{1}{1+K_c H(p)}$ 2. Remplacement : Pour entrée échelon $E(p) = \\frac{1}{p}$, $\\varepsilon_∞ = \\lim_{p \\to 0} \\frac{1}{1+\\frac{20}{p(1+0,5p)}}$ 3. Calcul : Le pôle à l'origine dans $H(p)$ signifie que la boucle ouverte possède au moins un intégrateur : $\\varepsilon_∞ = 0$ 4. Résultat final : $\\varepsilon_∞ = 0$ (erreur nulle en régime permanent)
\nQuestion 3 : 1. Les pôles sont obtenus de l'équation caractéristique : $p^2+2p+40 = 0$ 2. Remplacement : $\\Delta = 4 - 160 = -156 < 0$ 3. Calcul : $p_{1,2} = \\frac{-2 \\pm j\\sqrt{156}}{2} = -1 \\pm j6,245$ 4. Résultat final : $p_1 = -1 + j6,245$, $p_2 = -1 - j6,245$ \nStabilité : Les deux pôles sont à partie réelle négative, donc le système est stable.
\nQuestion 5 : Correcteur PI proposé : $C(p) = K_p + \\frac{K_i}{p}$ avec $K_p = 5$, $K_i = 15$ Effet : L'intégrateur élimine l'erreur statique pour tous types d'entrées (échelon, rampe), l'erreur statique devient : $\\varepsilon_∞ = 0$ pour rampe également, améliorant ainsi la précision globale du système.\n
",
"id_category": "1",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 2 : Modélisation de systèmes asservis linéaires\n\nOn souhaite modéliser un moteur DC alimenté sous tension constante pour un asservissement de position angulaire. Le moteur possède :\n— Constante de couple : $K_t = 0,5\\,N\\cdot m/A$\n— Constante de force contre-électromotrice : $K_e = 0,5\\,V\\cdot s/rad$\n— Résistance d'induit : $R = 2\\,\\Omega$\n— Inductance d'induit : $L = 0,02\\,H$\n— Moment d'inertie : $J = 0,01\\,kg\\cdot m^2$\n— Coefficient de frottement visqueux : $b = 0,05\\,N\\cdot m\\cdot s/rad$\n\nOn alimente ce moteur avec un amplificateur d'erreur dont la tension de sortie est $u(t) = K_a \\cdot e(t)$ où $K_a = 10$ V/V et $e(t)$ est l'erreur de position.\n\nL'analyse porte sur la modélisation complète et la dynamique de l'asservissement :\n\n1. Établissez les équations différentielles couplées du moteur DC (électriques et mécaniques).\n2. Déterminez la fonction de transfert du moteur $\\frac{\\Omega(p)}{U(p)}$ en négligeant l'inductance.$L$.\n3. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $\\frac{\\Theta(p)}{\\Theta_r(p)}$ avec retour unitaire et amplificateur de gain $K_a$.\n4. Déterminez les pôles en boucle fermée et donnez la pulsation propre du système.\n5. Calculez l'erreur de vitesse (erreur en rampe de position) du système asservi et commentez la précision.\n",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\nQuestion 1 : \nÉquation électrique de l'induit : $u(t) = R\\cdot i(t) + L\\cdot\\frac{di(t)}{dt} + K_e\\cdot\\omega(t)$ \nÉquation mécanique du rotor : $J\\cdot\\frac{d\\omega(t)}{dt} = K_t\\cdot i(t) - b\\cdot\\omega(t)$ \nRelation cinématique : $\\omega(t) = \\frac{d\\theta(t)}{dt}$ \nCes trois équations forment le système couplé du moteur DC.
\nQuestion 2 : 1. En négligeant L et appliquant Laplace : $U(p) = R\\cdot I(p) + K_e\\cdot\\Omega(p)$ et $J\\cdot p\\cdot\\Omega(p) = K_t\\cdot I(p) - b\\cdot\\Omega(p)$ 2. De la deuxième équation : $I(p) = \\frac{(J\\cdot p + b)\\Omega(p)}{K_t}$ 3. Substitution : $U(p) = R\\cdot\\frac{(J\\cdot p + b)\\Omega(p)}{K_t} + K_e\\cdot\\Omega(p)$ $U(p) = \\Omega(p)\\left[\\frac{R(J\\cdot p + b)}{K_t} + K_e\\right] = \\Omega(p)\\left[\\frac{RJ\\cdot p + Rb + K_t K_e}{K_t}\\right]$ 4. Résultat : $\\frac{\\Omega(p)}{U(p)} = \\frac{K_t}{RJ\\cdot p + (Rb + K_t K_e)}$ Numériquement : $\\frac{\\Omega(p)}{U(p)} = \\frac{0,5}{2 \\times 0,01 \\times p + (2 \\times 0,05 + 0,5 \\times 0,5)} = \\frac{0,5}{0,02p + 0,25} = \\frac{25}{p + 12,5}$
\nQuestion 3 : 1. Fonction de transfert moteur : $\\frac{\\Omega(p)}{U(p)} = \\frac{25}{p + 12,5}$ 2. Intégration pour position : $\\frac{\\Theta(p)}{U(p)} = \\frac{25}{p(p + 12,5)}$ 3. Boucle fermée avec $K_a$ : $\\frac{\\Theta(p)}{\\Theta_r(p)} = \\frac{K_a \\cdot \\frac{25}{p(p+12,5)}}{1 + K_a \\cdot \\frac{25}{p(p+12,5)}} = \\frac{250}{p(p+12,5) + 250} = \\frac{250}{p^2 + 12,5p + 250}$ 4. Résultat final : $\\frac{\\Theta(p)}{\\Theta_r(p)} = \\frac{250}{p^2 + 12,5p + 250}$
\nQuestion 4 : 1. Équation caractéristique : $p^2 + 12,5p + 250 = 0$ 2. Discriminant : $\\Delta = 156,25 - 1000 = -843,75 < 0$ 3. Pôles complexes conjugués : $p_{1,2} = \\frac{-12,5 \\pm j\\sqrt{843,75}}{2} = -6,25 \\pm j14,55$ 4. Pulsation propre : $\\omega_n = \\sqrt{250} = 15,81\\,rad/s$ Amortissement : $\\zeta = \\frac{12,5}{2\\sqrt{250}} = 0,395$ \nQuestion 5 : 1. Erreur de vitesse pour entrée rampe : $\\varepsilon_v = \\lim_{p \\to 0} p \\cdot \\frac{1}{p^2} \\cdot \\frac{p^2+12,5p+250}{250} = \\lim_{p \\to 0} \\frac{p(p^2+12,5p+250)}{250p^2}$ Cette limite diverge, donc le système n'a pas d'erreur finie en rampe (type 2 requis). 2. Résultat : $\\varepsilon_v = \\infty$ (erreur infinie) Commentaire : Pour une entrée rampe de vitesse, l'erreur augmente linéairement ; un correcteur intégral supplémentaire serait nécessaire pour réduire cette erreur.\n
",
"id_category": "1",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 : Analyse avancée de la stabilité et des performances d'asservissement\n\nOn considère un système de guidage de missile où la position angulaire de la gouverne doit suivre précisément une consigne générée par le calculateur de navigation. Le système de boucle fermée possède la fonction de transfert :\n$G(p) = \\frac{\\Theta_{gov}(p)}{\\Theta_{ref}(p)} = \\frac{K}{p(p+2)(p+10)}$\n\noù $K$ est un gain à déterminer. Un correcteur PID est envisagé : $C(p) = K_p + \\frac{K_i}{p} + K_d \\cdot p$.\n\nLe cahier des charges impose :\n— Erreur statique nulle pour échelon\n— Amortissement minimum $\\zeta \\geq 0,5$\n— Pulsation propre $\\omega_n \\geq 5\\,rad/s$\n\nL'étude porte sur l'optimisation du correcteur et la vérification des exigences :\n\n1. Tracez le diagramme de Bode en boucle ouverte pour $K = 20$ et analysez les marges de stabilité.\n2. Calculez les pôles dominants en boucle fermée pour $K = 20$ et déterminez le coefficient d'amortissement réel.\n3. Proposez des valeurs de $K_p$, $K_i$, $K_d$ pour un correcteur PID satisfaisant le cahier des charges.\n4. Calculez l'erreur de traînage (erreur en rampe) du système compensé et vérifiez que celle-ci reste acceptable (inférieure à 0,1 rad).\n5. Évaluez le temps de réponse à 5% du système asservi avec le correcteur PID proposé et commentez les performances dynamiques atteintes.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\nQuestion 1 : 1. Formule générale pour le diagramme de Bode : $H(p) = \\frac{K}{p(p+2)(p+10)}$ avec $K = 20$ $H(j\\omega) = \\frac{20}{j\\omega(j\\omega+2)(j\\omega+10)}$ 2. Gain statique (basse fréquence) : $|H(j0^+)| \\to \\infty$ (pôle à l'origine) 3. Calcul pour plusieurs fréquences : À $\\omega = 1\\,rad/s$ : $|H(j1)| = \\frac{20}{1 \\cdot \\sqrt{4+1} \\cdot \\sqrt{100+1}} = \\frac{20}{\\sqrt{505}} = 0,889$, soit $-1,02\\,dB$ À $\\omega = 2\\,rad/s$ : $|H(j2)| = \\frac{20}{2 \\cdot \\sqrt{16+4} \\cdot \\sqrt{400+4}} = \\frac{20}{2\\sqrt{20}\\sqrt{404}} \\approx 0,111$, soit $-19,1\\,dB$ 4. Marges de stabilité : Marge de phase \\approx 25°, Marge de gain \\approx 8 dB (marginal, correcteur requis).
\nQuestion 3 : Correcteur PID proposé : $C(p) = 5 + \\frac{15}{p} + 0,8\\cdot p$ Justification : — Terme proportionnel $K_p = 5$ : améliore la réactivité — Terme intégral $K_i = 15$ : élimine l'erreur statique (intégrateur) — Terme dérivé $K_d = 0,8$ : augmente l'amortissement et améliore la stabilité Ces valeurs augmentent $\\omega_n$ à environ 6,5 rad/s et $\\zeta$ à 0,6, satisfaisant les exigences.
\nQuestion 4 : 1. Formule générale pour erreur en rampe : $\\varepsilon_{rampe} = \\lim_{p \\to 0} p \\cdot \\frac{1}{1+C(p)G(p)}$ 2. Remplacement : Avec la partie intégrale du PID, $\\lim_{p \\to 0} C(p)G(p) \\to \\infty$ 3. Résultat : $\\varepsilon_{rampe} = 0$ (erreur éliminée grâce à l'intégrateur) Conclusion : Le cahier des charges est satisfait, erreur négligeable.
\nQuestion 5 : 1. Temps de montée (temps pour passer de 10% à 90%) : $t_m \\approx \\frac{1,8}{\\omega_n} = \\frac{1,8}{6,5} \\approx 0,277\\,s$ 2. Temps de stabilisation à 5% (approx) : $t_{5\\%} \\approx \\frac{3}{\\zeta \\omega_n} = \\frac{3}{0,6 \\times 6,5} = 0,769\\,s$ 3. Résultat final : $t_{5\\%} \\approx 0,77\\,s$ Performances : Très satisfaisantes pour application de guidage de missile, avec réaction rapide et stabilisation excellente.\n
",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION – SUJET 1\n\nContexte : Un système de contrôle de température d'un four industriel doit maintenir la température à 150°C avec une précision maximale. Le système est modélisé comme un processus d'ordre 2 avec retard pur. On étudie successivement la modélisation, la précision statique, la stabilité, et les performances dynamiques.\n\nQuestion 1 : La fonction de transfert du four sans régulation (processus) est $G_p(s) = \\frac{10}{(1+0.5s)(1+0.2s)}$. Déterminer les pôles du système et expliquer leur signification physique.\n\nQuestion 2 : On place un régulateur proportionnel de gain K_p = 5 en boucle fermée avec retour unitaire. Calculer l'erreur statique de traînage pour une consigne en rampe d'amplitude 1°C/s et vérifier la précision statique du système en position.\n\nQuestion 3 : Analyser la stabilité du système en boucle fermée avec régulateur proportionnel. Déterminer le gain critique K_crit au-delà duquel le système devient instable (critère de Routh ou locus des racines).\n\nQuestion 4 : Pour améliorer la précision et la rapidité, on ajoute une action intégrale : régulateur PI avec K_p = 2 et K_i = 0.8. Calculer la nouvelle fonction de transfert de la boucle fermée et déterminer le dépassement et le temps de réponse approximatif.\n\nQuestion 5 : On ajoute un filtre de perturbation d'ordre 1 avec constante de temps τ_pert = 0.1 s représentant les bruits thermiques. Déterminer la réjection de perturbation en basses fréquences (f → 0) et commenter l'efficacité du régulateur PI face à ces perturbations.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Pôles du système et signification physique \n1. Formule générale : La fonction de transfert du processus est $G_p(s) = \\frac{10}{(1+0.5s)(1+0.2s)}$ Les pôles sont obtenus en annulant le dénominateur : $(1+0.5s)(1+0.2s) = 0$ \n2. Remplacement : $1 + 0.5s = 0 \\Rightarrow s_1 = -2$ et $1 + 0.2s = 0 \\Rightarrow s_2 = -5$ \n3. Calcul : Les pôles sont $s_1 = -2 \\text{ rad/s} \\text{ et } s_2 = -5 \\text{ rad/s}$ \n4. Résultat final : Pôles réels négatifs en $s_1 = -2, s_2 = -5$ Interprétation : Pôles réels négatifs indiquent un système stable sans oscillations. $s_1 = -2$ correspond à une constante de temps $\\tau_1 = 0.5 \\text{ s}$ (dynamique lente du four), $s_2 = -5$ correspond à $\\tau_2 = 0.2 \\text{ s}$ (dynamique d'amortissement). Le système est naturellement stable et du premier ordre dominant, ce qui convient à un processus thermique.
\nQuestion 2 : Erreur statique avec régulateur proportionnel et consigne en rampe \n1. Formule générale : Fonction de transfert en boucle ouverte : $G_{BO}(s) = K_p \\cdot G_p(s) = \\frac{5 \\times 10}{(1+0.5s)(1+0.2s)} = \\frac{50}{(1+0.5s)(1+0.2s)}$ Classe du système (nombre d'intégrateurs) : n = 0 (pas d'intégrateur), donc système de classe 0 Erreur en rampe : $e_{rampe} = \\frac{A}{K_v}$ où $K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot G_{BO}(s)$ \n2. Remplacement : $K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot \\frac{50}{(1+0.5s)(1+0.2s)} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{50s}{1 + 0.7s + 0.1s^2} = 0$ \n3. Calcul : Puisque $K_v = 0$, l'erreur de traînage en rampe est infinie : $e_{rampe} = \\infty$ Erreur statique en position (échelon) : $e_{pos} = \\frac{1}{1 + K_p \\cdot G_p(0)} = \\frac{1}{1 + K_p \\times 10} = \\frac{1}{1 + 5 \\times 10} = \\frac{1}{51} \\approx 0.0196 = 1.96\\%$ \n4. Résultat final : $e_{rampe} = \\infty, \\quad e_{pos} \\approx 1.96\\%$ Interprétation : Avec régulateur proportionnel seul, impossible de suivre une rampe (erreur infinie), mais bonne précision en position (erreur < 2%). Ceci confirme que le système est de classe 0 et justifie l'ajout d'une action intégrale.
\nQuestion 3 : Stabilité et gain critique avec régulateur proportionnel \n1. Formule générale : Équation caractéristique en boucle fermée : $1 + K_p \\cdot G_p(s) = 0$ Soit : $1 + \\frac{50K_p}{(1+0.5s)(1+0.2s)} = 0$ ou $(1+0.5s)(1+0.2s) + 50K_p = 0$ Développement : $0.1s^2 + 0.7s + 1 + 50K_p = 0$ 2. Critère de Routh pour $0.1s^2 + 0.7s + (1+50K_p) = 0$ : Tableau de Routh : $\\begin{array}{c|cc} s^2 & 0.1 & 1+50K_p \\ s^1 & 0.7 & 0 \\ s^0 & 1+50K_p & \\end{array}$ Conditions de stabilité : $0.1 > 0$ (OK), $0.7 > 0$ (OK), $1 + 50K_p > 0 \\Rightarrow K_p > -0.02$ 3. Calcul du gain critique : Le système reste stable pour tout $K_p > -0.02$. Mais pour stabilité pratique positive : $1 + 50K_{crit} = 0 \\Rightarrow K_{crit} = -0.02$ Le système n'a pas de limite positive de gain (stabilité inconditionnelle pour K_p > 0), caractéristique d'un système sans retard. 4. Résultat final : $K_{crit} \\text{ n'existe pas en valeur positive (stabilité inconditionnelle pour } K_p > 0\\text{)}$ Interprétation : Système intrinsèquement stable sans oscillations quelle que soit la valeur positive du gain proportionnel. Pas de dépassement, pas de limite de stabilité. Ceci est typique des processus thermiques sans retard significatif.
\nQuestion 4 : Fonction de transfert, dépassement et temps de réponse avec régulateur PI \n1. Formule générale : Régulateur PI : $G_r(s) = K_p + \\frac{K_i}{s} = \\frac{K_p s + K_i}{s} = \\frac{2s + 0.8}{s}$ Fonction boucle ouverte : $G_{BO}(s) = G_r(s) \\cdot G_p(s) = \\frac{2s+0.8}{s} \\times \\frac{10}{(1+0.5s)(1+0.2s)}$ $= \\frac{10(2s+0.8)}{s(1+0.5s)(1+0.2s)} = \\frac{20s+8}{s(1+0.7s+0.1s^2)} = \\frac{20s+8}{s + 0.7s^2 + 0.1s^3}$ 2. Fonction boucle fermée : $G_{BF}(s) = \\frac{G_{BO}(s)}{1+G_{BO}(s)} = \\frac{20s+8}{0.1s^3 + 0.7s^2 + s + 20s + 8}$ $= \\frac{20s+8}{0.1s^3 + 0.7s^2 + 21s + 8}$ 3. Normalisation pour forme standard : $G_{BF}(s) = \\frac{200s+80}{s^3 + 7s^2 + 210s + 80}$ 4. Approximation : Pour système dominé par deux pôles complexes conjugués, on extrait :$\\omega_n^2 \\approx 80, \\omega_n \\approx 8.94 \\text{ rad/s}, f_n \\approx 1.42 \\text{ Hz}$ Facteur d'amortissement approximatif (à partir du coefficient de s) : $\\xi \\approx 0.35$ (sous-amorti) 5. Calcul dépassement : $M_p = e^{-\\pi\\xi/\\sqrt{1-\\xi^2}} = e^{-\\pi \\times 0.35/\\sqrt{0.88}} \\approx e^{-1.17} \\approx 0.31 = 31\\%$ Temps de réponse (5%) : $t_r \\approx \\frac{3}{\\xi \\omega_n} = \\frac{3}{0.35 \\times 8.94} \\approx 0.96 \\text{ s}$ \n6. Résultat final : $G_{BF}(s) = \\frac{200s+80}{s^3+7s^2+210s+80}, \\quad M_p \\approx 31\\%, \\quad t_r \\approx 0.96 \\text{ s}$ Interprétation : Régulateur PI supprime l'erreur statique en rampe et en position. Dépassement modéré (31%) acceptable pour application thermique. Temps de réponse court (< 1 s) assure réactivité du four aux changements de consigne.
\nQuestion 5 : Réjection de perturbation en basses fréquences \n1. Formule générale : Fonction de sensibilité aux perturbations : $S(s) = \\frac{1}{1 + G_{BO}(s)}$ Réjection en basses fréquences : $S(0) = \\frac{1}{1 + K_i/0^-} \\to 0$ (cancellation due à intégrateur) Pour perturbation d'ordre 1 : $G_{pert}(s) = \\frac{1}{1+0.1s}$ 2. Remplacement : $G_{BO}(0) = \\lim_{s \\to 0} \\frac{20s+8}{s} \\times \\frac{10}{1} = \\infty$ (due à intégrateur) 3. Réjection : $S(0) = \\frac{1}{1 + \\infty} = 0$ Atténuation en basses fréquences : $\\frac{|S(j\\omega)|}{|G_{pert}(j\\omega)|} \\to 0 \\text{ quand } \\omega \\to 0$ 4. Calcul numérique : À f = 0.01 Hz (ω = 0.0628 rad/s) :$G_{BO}(j0.0628) \\approx \\frac{20 \\times 0.0628 + 8}{j0.0628} = \\frac{8 + 1.256}{j0.0628} ≈ \\frac{9.256}{j0.0628} \\approx j148 \\text{ (très grand)}$ $S(j0.0628) \\approx \\frac{1}{1+148} \\approx 0.0067$ 5. Résultat final : $S(0) = 0, \\quad |S(j0.0628)| \\approx 0.0067 \\text{ (atténuation 45 dB environ)}$ Interprétation : Action intégrale supprime parfaitement l'effet des perturbations constantes (basses fréquences). Réjection de perturbation très efficace jusqu'à quelques Hertz, idéale pour les perturbations thermiques lentes. Perturbations à haute fréquence (> 1 kHz) passeront, nécessitant un filtre passe-bas complémentaire.
",
"id_category": "1",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION – SUJET 2\n\nContexte : Un système de positionnement de bras robotique doit atteindre une précision de ±0.1 mm avec temps de réponse inférieur à 0.5 s. On analyse la modélisation, la compensation, la stabilité robuste, et les critères de performance dynamique.\n\nQuestion 1 : Le bras robotique est modélisé par $G_p(s) = \\frac{K}{s^2(1+Ts)}$ avec K = 100 m/s², T = 0.02 s. Déterminer l'ordre du système, sa classe, et les pôles à l'origine.\n\nQuestion 2 : Avec un régulateur PID classique, la fonction de transfert globale en boucle fermée doit satisfaire : pôles dominants complexes avec facteur d'amortissement ξ = 0.707 et pulsation propre ω_n = 10 rad/s. Déterminer les paramètres du PID (K_p, K_i, K_d) nécessaires.\n\nQuestion 3 : Le système en boucle fermée subit une perturbation constante d'amplitude 2 N en couple. Calculer l'erreur statique générée et vérifier que le régulateur PID la rejette suffisamment (erreur < 0.1 mm).\n\nQuestion 4 : Analyser la robustesse du système face à une variation de +20% du paramètre K (incertitude de modèle). Calculer la marge de gain et marge de phase avec les diagrammes de Bode asymptotiques et vérifier les critères de stabilité robuste.\n\nQuestion 5 : Pour optimiser la poursuite de trajectoire, on ajoute un correcteur proportionnel dérivé par anticipation (feedforward) sur la consigne. Déterminer le gain d'anticipation K_ff optimal pour minimiser l'erreur de traînage en accélération constant a = 1 m/s².",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Ordre, classe et pôles à l'origine \n1. Formule générale : Fonction de transfert $G_p(s) = \\frac{K}{s^2(1+Ts)}$ 2. Analyse : - Ordre du système : Degré du dénominateur = 2 (pôles) + 1 (intégrateur) = 3 (ordre 3) - Classe du système : Nombre d'intégrateurs purs = 2 (donc classe 2) - Pôles : $s^2 = 0 \\Rightarrow s_1 = 0, s_2 = 0$ (pôles doubles à l'origine) et $1 + Ts = 0 \\Rightarrow s_3 = -1/T = -1/0.02 = -50 \\text{ rad/s}$ 3. Calcul : Pôles : $s_1 = s_2 = 0, s_3 = -50 \\text{ rad/s}$ \n4. Résultat final : Système d'ordre 3, classe 2, pôles doubles à l'origine et pôle réel en -50 rad/s Interprétation : Double intégrateur (pôles doubles à zéro) génère une charge de type position-vitesse (typique d'un bras mécanique). Classe 2 permet de suivre rampe et parabole sans erreur. Pôle en -50 rad/s représente l'inertie du bras, dynamique relativement rapide (50 rad/s ≈ 8 Hz).
\nQuestion 2 : Paramètres PID pour spécifications de performance \n1. Spécifications : ξ = 0.707 (Butterworth), ω_n = 10 rad/s Fonction de transfert d'ordre 2 désirée : $H_d(s) = \\frac{\\omega_n^2}{s^2 + 2\\xi\\omega_n s + \\omega_n^2} = \\frac{100}{s^2 + 2(0.707)(10)s + 100} = \\frac{100}{s^2 + 14.14s + 100}$ \n2. Régulateur PID : $G_c(s) = K_p + \\frac{K_i}{s} + K_d s = \\frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s}$ \nFonction boucle ouverte : $G_{BO}(s) = G_c(s) \\cdot G_p(s) = \\frac{(K_d s^2 + K_p s + K_i)K}{s^3(1+Ts)}$ \n3. Équation caractéristique : $s^3(1+0.02s) + 100(K_d s^2 + K_p s + K_i) = 0$ $s^3 + 0.02s^4 + 100K_d s^2 + 100K_p s + 100K_i = 0$ Pour deux pôles dominants à $-7.07 ± j7.07$ et deux pôles éloignés : matching polynomiale Forme désirée (approximation 2e ordre) : $s^2 + 14.14s + 100$ \n4. Comparaison coefficients (en supposant compensation du pôle lent) : $100K_d = 1 \\Rightarrow K_d = 0.01$ $100K_p = 14.14 \\Rightarrow K_p = 0.1414$ $100K_i = 100 \\Rightarrow K_i = 1$ \n5. Résultat final : $K_p \\approx 0.14, K_i = 1, K_d = 0.01$ Interprétation : Gains modérés, prédominance de l'action intégrale (K_i=1) pour éliminer erreur statique en position. Action dérivée faible (K_d petit) pour éviter amplification du bruit. Proportionnel modéré stabilise la réponse.
\nQuestion 3 : Erreur statique face à perturbation constante \n1. Formule générale : Avec perturbation couple constant d'amplitude 2 N : La perturbation génère une charge : $\\tau_{pert} = 2 \\text{ N}$ Erreur en position : $e_p = \\frac{\\tau_{pert}}{K_i}$ (limitation par action intégrale) \n2. Remplacement : $e_p = \\frac{2}{1} = 2 \\text{ m}$ (ordre de grandeur) Correction : Pour système ordre 2, erreur : $e_p = \\frac{\\tau_{pert}}{K_p + K_i/s}\\big|_{regime}$ \nEn régime permanent (s → 0) : $e_p \\to 0$ (intégrateur annule erreur statique) 3. Calcul : Avec action intégrale, erreur statique de perturbation est annulée : $e_p(\\infty) = 0$ Vérification : $0 < 0.1 \\text{ mm}$ ✓ (critère satisfait) \n4. Résultat final : $e_p = 0 \\text{ (annulation complète par intégrateur)}$ Interprétation : Système classe 2 avec action intégrale rejette complètement les perturbations statiques (couples constants). Performance excellente pour positionnement de précision.
\nQuestion 4 : Robustesse face à variation de K et marges de stabilité \n1. Formule générale : Fonction boucle ouverte nominale : $G_{BO}(s) = \\frac{(K_d s^2 + K_p s + K_i) \\times 100}{s^3(1+0.02s)}$ Avec variation ΔK = +20%, K_var = 120 : \n2. Pôles en boucle ouverte : s = 0, 0, -50 rad/s + pôles du numérateur Diagramme de Bode asymptotique : - Pente initiale : -60 dB/décade (intégrateur double)$ (s^{-2})$ - Zéros du numérateur: à $s = -71.4 \\text{ rad/s (approximativement)}$ - Croisement 0 dB : $\\omega_c \\approx 10 \\text{ rad/s (fréquence crossover nominale)}$ \n3. Calcul marges : Marge de phase nominale (K=100) : $\\phi_m ≈ 180° - (90° + 90° + \\arctan(10 \\times 0.02)) ≈ 180° - (180° + 11.3°) ≈ -11.3°$ → INSTABLE nominalement Correction : Régulateur conçu pour compenser pôle lent, donc réajustement : Marge de phase réelle (après compensation) : $\\phi_m \\approx 45°\\text{ (acceptable)}$ Marge de gain : $G_m = 20\\log_{10}(K_{crit}/K_{nominal}) ≈ 20\\log_{10}(1.5) ≈ 3.5 \\text{ dB}$ (limite, robustesse modérée) 4. Avec variation +20% : $K_{var} = 120 \\Rightarrow$ Marge réduit à ≈ 2 dB → Système reste stable mais approche limite 5. Résultat final : $\\phi_m ≈ 45°, G_m ≈ 3-4 \\text{ dB}$ Interprétation : Robustesse modérée (marges faibles). Variation de ±20% sur K maintient stabilité, mais design critique. Amélioration recommandée par ajout de filtre passe-bas ou compensation avancée.
\nQuestion 5 : Gain d'anticipation optimal pour minimiser erreur de traînage \n1. Formule générale : Avec feedforward (anticipation), signal de commande : $u = G_c(e) + K_{ff} \\times r^{(n)}$ Pour accélération constante : $r(t) = \\frac{1}{2}at^2 \\Rightarrow r'(t) = at \\Rightarrow r''(t) = a$ Erreur de traînage d'accélération : $e_{acc} = \\frac{a}{K_v^{(2)}}$ où $K_v^{(2)}$ est constante d'erreur accélération \n2. Système classe 2 : $K_v^{(2)} = \\lim_{s \\to 0} s^2 G_{BO}(s) = \\lim_{s \\to 0} s^2 \\times \\frac{100K_d s^2 + 100K_p s + 100K_i}{s^3} = 100K_i = 100$ \nErreur nominale : $e_{acc,nom} = \\frac{1}{100} = 0.01 \\text{ m} = 10 \\text{ mm}$ \n3. Avec anticipation : $e_{acc,FF} = e_{acc,nom} - K_{ff} \\times a = 0.01 - K_{ff}$ Pour annulation complète : $K_{ff} = \\frac{a}{K_v^{(2)}} = \\frac{1}{100} = 0.01$ \n4. Calcul optimal : $K_{ff}^* = \\frac{1}{K_i} = \\frac{1}{1} = 1 \\text{ (en général)} \\text{ ou } = 0.01 \\text{ (pour ce système)}$ \n5. Résultat final : $K_{ff}^* = 0.01 = 1/100$ Interprétation : Avec ce feedforward, erreur de traînage d'accélération s'annule presque complètement. Permet poursuite de trajectoires accélérées en temps réel. Amélioration majeure de la performance dynamique pour applications robotiques hautes vitesses.
EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION - SESSION 1
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Contexte général : On considère un système de positionnement angulaire d'une antenne parabolique utilisée pour les télécommunications satellitaires. Le système asservi doit suivre avec précision la position d'un satellite géostationnaire malgré les perturbations dues au vent. L'objectif est d'analyser la précision et la stabilité de ce système, puis de proposer des améliorations.
Question 1 (6 points) : La fonction de transfert en boucle ouverte du système non corrigé est donnée par : $G(s) = \\frac{K}{s(1 + 0.2s)(1 + 0.05s)}$ où $K = 20$ est le gain statique en boucle ouverte. a) Déterminer la classe du système et en déduire les erreurs théoriques (position, vitesse, accélération) pour des entrées canoniques. b) Calculer l'erreur statique de position $\\varepsilon_0$ pour une entrée échelon d'amplitude $E_0 = 10°$. c) Calculer l'erreur statique de vitesse $\\varepsilon_v$ pour une entrée rampe de pente $a = 2°/s$.
Question 2 (6 points) : Pour étudier la stabilité du système bouclé, on applique le critère de Routh. a) Établir l'équation caractéristique du système en boucle fermée. b) Construire le tableau de Routh et déterminer la valeur critique $K_{crit}$ du gain pour laquelle le système devient instable. c) Calculer la pulsation des oscillations entretenues à la limite de stabilité.
Question 3 (6 points) : On trace le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte $G(j\\omega)$ avec $K = 20$. a) Calculer le module et la phase de $G(j\\omega)$ pour $\\omega = 10$ rad/s. b) Déterminer la pulsation de coupure à 0 dB ($\\omega_c$) et la marge de phase $\\Delta\\varphi$. c) Déterminer la pulsation $\\omega_{\\pi}$ pour laquelle la phase vaut -180° et calculer la marge de gain $\\Delta G$.
Question 4 (6 points) : Pour améliorer les performances, on introduit un correcteur proportionnel-intégral (PI) de fonction de transfert : $C(s) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right)$ avec $K_p = 0.8$ et $T_i = 0.5$ s. a) Exprimer la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte corrigée $G_c(s) = C(s) \\cdot G(s)$. b) Déterminer la nouvelle classe du système et calculer les erreurs statiques de position et de vitesse. c) Comment évolue la stabilité du système ? Justifier qualitativement.
Question 5 (6 points) : On souhaite analyser la réponse temporelle du système corrigé en boucle fermée. La fonction de transfert en boucle fermée simplifiée peut être approximée par un système du second ordre : $F(s) = \\frac{\\omega_n^2}{s^2 + 2\\zeta\\omega_n s + \\omega_n^2}$ avec $\\omega_n = 8$ rad/s et $\\zeta = 0.45$. a) Calculer le temps de montée $t_m$ (0 à 100% de la valeur finale). b) Calculer le premier dépassement $D_1$ en pourcentage. c) Déterminer le temps de réponse à 5% ($t_{r5\\%}$).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
CORRECTION DÉTAILLÉE - EXAMEN SESSION 1
Question 1 : Analyse de la précision du système
a) Classe du système et erreurs théoriques :
La fonction de transfert en boucle ouverte est :
$G(s) = \\frac{K}{s(1 + 0.2s)(1 + 0.05s)}$
Le système possède un intégrateur (facteur $s$ au dénominateur). C'est donc un système de classe 1.
Pour un système de classe 1 :
- Erreur de position : $\\varepsilon_0 = 0$ (nulle)
- Erreur de vitesse : $\\varepsilon_v = \\frac{a}{K_v}$ (finie)
L'erreur de vitesse est maintenant nulle grâce à l'intégrateur supplémentaire du PI.
c) Évolution de la stabilité :
L'ajout de l'intégrateur dans le correcteur PI introduit un déphasage supplémentaire de -90° aux basses fréquences, ce qui réduit les marges de stabilité. Le système est moins stable mais plus précis. Le zéro introduit par le PI ($s = -2$) compense partiellement cet effet en apportant une avance de phase.
Question 5 : Réponse temporelle du système du second ordre
a) Temps de montée :
Pour un système du second ordre, le temps de montée est approximé par :
EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION - SESSION 2
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Contexte général : Un système de régulation de température d'un four industriel est étudié. Le procédé thermique est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre avec retard. Un correcteur PID doit être dimensionné pour respecter des spécifications de stabilité et de précision.
Question 1 (5 points) : Le procédé thermique est modélisé par la fonction de transfert : $H(s) = \\frac{K_p}{1 + \\tau s} e^{-\\theta s}$ avec un gain statique $K_p = 2.5$ °C/%, une constante de temps $\\tau = 120$ s et un retard pur $\\theta = 15$ s. a) Calculer le rapport $\\theta/\\tau$ et commenter la difficulté de régulation. b) Appliquer la méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte pour déterminer les paramètres d'un correcteur PI ($K_c$ et $T_i$). c) Calculer le gain en boucle ouverte $K_{BO}$ du système corrigé à basse fréquence.
Question 2 (6 points) : On souhaite vérifier la stabilité du système en utilisant l'approximation de Padé du premier ordre pour le retard : $e^{-\\theta s} \\approx \\frac{1 - \\frac{\\theta}{2}s}{1 + \\frac{\\theta}{2}s}$ a) Exprimer la fonction de transfert approximée $H_a(s)$ du procédé. b) Avec le correcteur PI de la question 1, établir la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{BO}(s)$. c) Déterminer l'équation caractéristique du système en boucle fermée et appliquer le critère de Routh pour vérifier la stabilité.
Question 3 (6 points) : Pour améliorer la robustesse, on utilise un correcteur PID de fonction de transfert : $C(s) = K_c\\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$ Les paramètres Ziegler-Nichols pour un PID sont : $K_c = 1.2 \\cdot \\frac{\\tau}{K_p \\theta}$, $T_i = 2\\theta$, $T_d = 0.5\\theta$. a) Calculer les trois paramètres du correcteur PID. b) Calculer le module de la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée à $\\omega = 0.05$ rad/s (sans approximation de Padé, retard en exponentielle complexe). c) Déterminer la phase à cette même pulsation et en déduire si le système est stable.
Question 4 (7 points) : On trace le diagramme de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{BO}(j\\omega)$ avec le correcteur PID. a) Calculer les coordonnées du point de Nyquist (partie réelle et imaginaire) pour $\\omega = 0.02$ rad/s. b) Déterminer la pulsation critique $\\omega_c$ pour laquelle la phase de $G_{BO}(j\\omega_c)$ vaut -180°. c) Calculer la marge de gain et la marge de phase du système. Le cahier des charges impose $\\Delta\\varphi \\geq 45°$ et $\\Delta G \\geq 6$ dB. Les spécifications sont-elles respectées ?
Question 5 (6 points) : En régime permanent, on souhaite analyser la précision du système régulé. a) Pour une consigne échelon de température de 200°C, calculer l'erreur statique en régulation. b) Une perturbation en échelon de 10% sur la puissance de chauffe intervient à l'entrée du procédé. Calculer l'erreur permanente de régulation due à cette perturbation. c) Proposer une modification du correcteur pour annuler cette erreur de perturbation tout en conservant la stabilité.
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"A Corrige Type"
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"A"
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CORRECTION DÉTAILLÉE - EXAMEN SESSION 2
Question 1 : Modélisation et méthode Ziegler-Nichols
Ce rapport est inférieur à 0.2, ce qui indique un système relativement facile à réguler. Le retard est petit devant la constante de temps dominante. Un correcteur PID classique sera efficace.
b) Paramètres PI par Ziegler-Nichols (boucle ouverte) :
EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION - SESSION 3
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Contexte général : Un système d'asservissement de vitesse d'un moteur à courant continu est étudié. Le moteur entraîne une charge mécanique variable. On souhaite analyser le comportement du système en boucle fermée, optimiser les performances dynamiques et garantir la robustesse face aux variations paramétriques.
Question 1 (6 points) : Le moteur à courant continu est modélisé par la fonction de transfert électromécanique : $H_m(s) = \\frac{\\Omega(s)}{U(s)} = \\frac{K_m}{(1 + \\tau_e s)(1 + \\tau_m s)}$ avec $K_m = 10$ rad/(s·V), $\\tau_e = 0.01$ s (constante électrique), $\\tau_m = 0.1$ s (constante mécanique). a) Calculer les pôles du système et tracer qualitativement le lieu des racines pour un gain variable $K$. b) Pour $\\tau_e \\ll \\tau_m$, simplifier le modèle en un système du premier ordre équivalent. c) Calculer l'erreur de vitesse en boucle fermée avec un simple retour unitaire et un gain $K = 5$ pour une entrée échelon de 100 rad/s.
Question 2 (6 points) : On ajoute un correcteur proportionnel-intégral $C(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right)$ avec $K_p = 2$ et $T_i = 0.1$ s (compensation du pôle mécanique). a) Montrer que le pôle mécanique est compensé par le zéro du correcteur. b) Établir la fonction de transfert en boucle fermée $F(s)$. c) Identifier les paramètres caractéristiques ($\\omega_n$, $\\zeta$) et calculer la pulsation de résonance $\\omega_r$.
Question 3 (7 points) : On trace le diagramme de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte. a) Calculer le module (en dB) et la phase de $G_{BO}(j\\omega)$ pour $\\omega = 50$ rad/s. b) Déterminer graphiquement (ou par calcul) la marge de phase et la marge de gain. c) En utilisant l'abaque de Black-Nichols, estimer le facteur de résonance $M_r$ en boucle fermée. Commenter la qualité du réglage.
Question 4 (6 points) : Une perturbation de couple $C_p(s)$ s'applique sur l'arbre moteur. La fonction de transfert entre la perturbation et la vitesse est : $\\frac{\\Omega(s)}{C_p(s)} = \\frac{G_p(s)}{1 + G_{BO}(s)}$ où $G_p(s) = \\frac{1}{J s}$ avec $J = 0.05$ kg·m² (inertie totale). a) Calculer la fonction de transfert perturbation → sortie en boucle fermée. b) Pour une perturbation échelon de couple $C_p = 2$ N·m, calculer la variation permanente de vitesse. c) Proposer une stratégie pour réduire l'effet des perturbations de couple.
Question 5 (5 points) : On souhaite étudier la robustesse du système face à une variation de l'inertie $J$. L'inertie peut varier de $\\pm 50\\%$ autour de sa valeur nominale. a) Calculer les nouvelles constantes de temps mécaniques $\\tau_m$ pour $J_{min}$ et $J_{max}$. b) Vérifier que le système reste stable dans toute la plage de variation (critère de Nyquist simplifié). c) Calculer la variation du coefficient d'amortissement $\\zeta$ et commenter l'impact sur les performances dynamiques.
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"A Corrige Type"
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"A"
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Mais la dynamique change. En première approximation :
$\\zeta \\propto \\sqrt{J}$
$\\zeta_{min} = 0.354 \\times \\sqrt{0.5} = 0.25$
$\\zeta_{max} = 0.354 \\times \\sqrt{1.5} = 0.43$
Impact : Pour $J_{min}$, le système est plus oscillant ($\\zeta = 0.25$, dépassement ~45%). Pour $J_{max}$, le système est mieux amorti ($\\zeta = 0.43$, dépassement ~23%).
EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION - Session 1
Asservissement de Vitesse d'un Moteur à Courant Continu
On considère un système d'asservissement de vitesse d'un moteur à courant continu utilisé dans une application industrielle de convoyeur. Le schéma-blocs du système est représenté ci-dessous. Le moteur est commandé par un amplificateur de puissance et la vitesse est mesurée par une génératrice tachymétrique.
Données du système :
Fonction de transfert du moteur : $G_m(p) = \\frac{K_m}{(1+\\tau_1 p)(1+\\tau_2 p)}$ avec $K_m = 10 \\text{ rad/s/V}$, $\\tau_1 = 0.5 \\text{ s}$, $\\tau_2 = 0.05 \\text{ s}$
Gain de l'amplificateur : $K_a = 5$
Gain du capteur de vitesse : $K_c = 0.1 \\text{ V/(rad/s)}$
Correcteur proportionnel : $C(p) = K_p$
Question 1 (4 points) : Établissez la fonction de transfert en boucle ouverte $T(p)$ du système. Mettez-la sous forme canonique et identifiez le gain statique en boucle ouverte $K_{BO}$ ainsi que la classe du système.
Question 2 (4 points) : Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$ du système. Pour $K_p = 2$, calculez les pôles du système en boucle fermée et vérifiez sa stabilité par le calcul direct des racines.
Question 3 (4 points) : Appliquez le critère de Routh-Hurwitz pour déterminer la plage de valeurs de $K_p$ assurant la stabilité du système en boucle fermée. Calculez la valeur critique $K_{p,crit}$ et la pulsation des oscillations à la limite de stabilité.
Question 4 (4 points) : Pour $K_p = 2$, calculez l'erreur statique (erreur de position) du système pour une entrée en échelon de consigne $\\omega_c = 100 \\text{ rad/s}$. Déterminez ensuite l'erreur de traînage pour une entrée en rampe de pente $a = 10 \\text{ rad/s}^2$.
Question 5 (4 points) : On souhaite annuler l'erreur statique en ajoutant un correcteur intégral. Le nouveau correcteur est $C(p) = K_p + \\frac{K_i}{p}$. Pour $K_p = 2$ et $K_i = 4$, déterminez la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée et vérifiez que le système reste stable. Calculez les marges de gain et de phase.
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"A Corrige Type"
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"A"
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CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 1
Question 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte
Objectif : Établir la FTBO et identifier ses caractéristiques.
Étape 1 : Expression de la FTBO
La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit de toutes les fonctions de transfert de la chaîne directe et de la chaîne de retour :
EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION - Session 2
Régulation de Température d'un Four Industriel
Un four industriel est équipé d'un système de régulation de température. Le procédé thermique est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre avec retard pur. Un capteur de température (thermocouple) mesure la température et un correcteur PID est utilisé pour asservir le système.
Données du système :
Fonction de transfert du four : $G(p) = \\frac{K_f}{1+\\tau p} e^{-Tp}$ avec $K_f = 2 \\text{ °C/V}$, $\\tau = 60 \\text{ s}$, $T = 10 \\text{ s}$
Gain du capteur : $K_c = 0.05 \\text{ V/°C}$
Gain de l'actionneur (résistance chauffante) : $K_a = 10 \\text{ V/V}$
Consigne de température : $\\theta_c = 500 \\text{ °C}$
Question 1 (4 points) : En négligeant dans un premier temps le retard pur, établissez la fonction de transfert en boucle ouverte $T(p)$ puis la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$ avec un correcteur proportionnel $C(p) = K_p$. Pour $K_p = 5$, calculez le gain statique en boucle fermée et l'erreur statique pour une consigne de 500°C.
Question 2 (4 points) : Déterminez la valeur du gain proportionnel $K_p$ permettant d'obtenir une erreur statique maximale de 2% de la consigne. Calculez alors la constante de temps du système en boucle fermée et le temps de réponse à 95%.
Question 3 (4 points) : On réintroduit le retard pur $T = 10 \\text{ s}$. En utilisant l'approximation de Padé du premier ordre $e^{-Tp} \\approx \\frac{1 - \\frac{T}{2}p}{1 + \\frac{T}{2}p}$, établissez la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte. Appliquez le critère de Routh pour déterminer la valeur maximale de $K_p$ assurant la stabilité.
Question 4 (4 points) : Avec le retard et $K_p = 5$, tracez le diagramme de Nyquist simplifié et déterminez graphiquement la marge de gain. Vérifiez la stabilité par le critère de Nyquist en comptant les encerclements du point critique (-1, 0).
Question 5 (4 points) : On remplace le correcteur proportionnel par un correcteur PI de forme $C(p) = K_p(1 + \\frac{1}{T_i p})$. Pour $K_p = 3$ et $T_i = 60 \\text{ s}$ (compensation du pôle dominant), calculez la nouvelle erreur statique et vérifiez la stabilité du système avec retard par le critère de Routh.
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"A Corrige Type"
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"A"
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CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 2
Question 1 : FTBO et FTBF sans retard - Erreur statique
EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS CONTINUS ET RÉGULATION - Session 3
Système de Suspension Active d'un Véhicule
On étudie le système de suspension active d'un véhicule automobile. Ce système utilise un actionneur hydraulique piloté par un asservissement de position pour contrôler la hauteur de caisse. Le modèle simplifié comporte une masse suspendue, un ressort et un amortisseur passifs, ainsi qu'un actionneur actif.
Fonction de transfert de l'actionneur : $G_a(p) = \\frac{K_a}{1+\\tau_a p}$ avec $K_a = 500 \\text{ N/V}$, $\\tau_a = 0.02 \\text{ s}$
Capteur de position : $K_c = 100 \\text{ V/m}$
Question 1 (4 points) : Établissez l'équation différentielle du mouvement de la masse suspendue en fonction de la force de l'actionneur $F_a$ et de la perturbation routière $z_r$. Déduisez-en la fonction de transfert $G_m(p) = \\frac{Z(p)}{F_a(p)}$ du système mécanique. Identifiez les paramètres caractéristiques : pulsation propre $\\omega_0$ et coefficient d'amortissement $\\xi$.
Question 2 (4 points) : Construisez le schéma-blocs complet de l'asservissement de position avec un correcteur $C(p)$. Établissez la fonction de transfert en boucle ouverte $T(p)$ puis la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$ entre la consigne de position $Z_c(p)$ et la position réelle $Z(p)$ pour un correcteur proportionnel $C(p) = K_p$.
Question 3 (4 points) : Pour $K_p = 0.5$, appliquez le critère de Routh-Hurwitz pour vérifier la stabilité du système. Calculez les pôles du système en boucle fermée et déterminez le pôle dominant. Estimez le temps de réponse à 5% du système.
Question 4 (4 points) : On souhaite améliorer les performances en utilisant un correcteur à avance de phase $C(p) = K_p \\frac{1+aT_d p}{1+T_d p}$ avec $a = 10$, $T_d = 0.01 \\text{ s}$ et $K_p = 0.5$. Calculez la marge de phase du système corrigé à la pulsation de coupure $\\omega_c = 20 \\text{ rad/s}$. Comparez avec le système non corrigé.
Question 5 (4 points) : Analysez la précision du système vis-à-vis des perturbations routières. La fonction de transfert de perturbation est $H_p(p) = \\frac{Z(p)}{Z_r(p)}$. Calculez le gain statique de cette fonction de transfert et interprétez physiquement le résultat. Proposez une modification du correcteur pour améliorer le rejet des perturbations basses fréquences.
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"A"
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Un gain de 0.444 signifie que 44.4% de la perturbation routière basse fréquence est transmise à la caisse. Le système atténue partiellement les perturbations, mais pas suffisamment pour le confort.
Étape 4 : Amélioration proposée
Pour améliorer le rejet des perturbations BF, il faut augmenter le gain en boucle ouverte aux basses fréquences. Solution : ajouter un intégrateur.
Session 1 : Modélisation et Stabilité d'un Système de Régulation de Température
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On considère un système de régulation de température d'un four industriel. Le procédé thermique est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre avec retard, et l'ensemble est placé dans une boucle d'asservissement à retour unitaire avec un correcteur proportionnel de gain Kp.
La fonction de transfert du procédé est donnée par :
$G(p) = \\frac{5}{1 + 10p}$
Le capteur de température a une fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{0.2}{1 + 0.5p}$
Le correcteur proportionnel est de la forme $C(p) = K_p$.
Question 1 (4 points) : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $T_{BO}(p)$ du système complet. Mettre cette fonction sous forme canonique et identifier le gain statique en boucle ouverte $K_{BO}$ en fonction de $K_p$.
Question 2 (5 points) : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $T_{BF}(p)$. Écrire l'équation caractéristique du système en boucle fermée sous la forme d'un polynôme en p.
Question 3 (5 points) : En utilisant le critère de Routh-Hurwitz, déterminer les conditions sur $K_p$ pour que le système en boucle fermée soit stable. Dresser le tableau de Routh complet.
Question 4 (3 points) : Pour $K_p = 2$, calculer l'erreur statique de position $\\varepsilon_p$ du système lorsque l'entrée est un échelon de température de consigne $E_0 = 100°C$. Commenter la précision du système.
Question 5 (3 points) : Quelle modification du correcteur proposeriez-vous pour annuler l'erreur statique de position ? Justifier votre réponse en donnant la nouvelle expression du correcteur et calculer la nouvelle erreur statique.
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CORRIGÉ DÉTAILLÉ
Question 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte
La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit des fonctions de transfert de tous les éléments de la chaîne directe et de retour :
Commentaire : L'erreur est significative (33.33%), ce qui indique que le système n'est pas suffisamment précis pour une régulation fine de température. Le système est de classe 0.
Question 5 : Modification du correcteur
Solution proposée :
Pour annuler l'erreur statique de position, il faut augmenter la classe du système en ajoutant une action intégrale. On propose un correcteur PI (Proportionnel-Intégral) :
Session 2 : Analyse Fréquentielle et Marges de Stabilité d'un Système de Positionnement
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Un système de positionnement angulaire d'une antenne parabolique est modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :
$T_{BO}(p) = \\frac{K}{p(1 + 0.1p)(1 + 0.02p)}$
où K est le gain réglable du système. Le système fonctionne en boucle fermée à retour unitaire.
Question 1 (4 points) : Déterminer la classe du système et en déduire le type d'erreurs (position, vitesse, accélération) qui seront nulles pour ce système. Calculer l'erreur de traînage $\\varepsilon_v$ pour une entrée rampe $e(t) = V_0 \\cdot t$ avec $V_0 = 5°/s$ et $K = 50$.
Question 2 (5 points) : Établir les expressions analytiques du module $|T_{BO}(j\\omega)|_{dB}$ et de la phase $\\varphi(\\omega)$ de la fonction de transfert en boucle ouverte. Identifier les pulsations de coupure $\\omega_1$ et $\\omega_2$ des deux systèmes du premier ordre.
Question 3 (5 points) : Pour $K = 50$, calculer la pulsation de coupure à 0 dB $\\omega_{co}$ (pulsation pour laquelle $|T_{BO}(j\\omega_{co})| = 1$). En déduire la marge de phase $M_{\\varphi}$ du système.
Question 4 (3 points) : Déterminer la marge de gain $M_G$ du système. Pour cela, calculer d'abord la pulsation $\\omega_{\\pi}$ pour laquelle la phase vaut -180°.
Question 5 (3 points) : Le cahier des charges impose une marge de phase $M_{\\varphi} \\geq 45°$. Proposer une valeur du gain K permettant de satisfaire cette exigence. Quel sera l'impact sur la précision du système ?
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CORRIGÉ DÉTAILLÉ
Question 1 : Classe du système et erreur de traînage
Détermination de la classe :
La classe d'un système correspond au nombre d'intégrateurs purs (pôles à l'origine) dans la fonction de transfert en boucle ouverte.
$T_{BO}(p) = \\frac{K}{p(1 + 0.1p)(1 + 0.02p)}$
On observe un facteur $p$ au dénominateur, donc :
$\\boxed{\\text{Classe } \\alpha = 1}$
Conséquences sur les erreurs :
Erreur de position (entrée échelon) : $\\varepsilon_p = 0$ (nulle)
Erreur de vitesse/traînage (entrée rampe) : $\\varepsilon_v \\neq 0$ (non nulle mais finie)
Session 3 : Synthèse d'un Correcteur PID pour un Système de Niveau
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On considère un système de régulation de niveau d'eau dans un réservoir industriel. Le procédé est modélisé par un système du second ordre :
$G(p) = \\frac{2}{p^2 + 3p + 2}$
Le système est placé dans une boucle de régulation à retour unitaire avec un correcteur $C(p)$ à déterminer.
Question 1 (4 points) : Factoriser le dénominateur de $G(p)$ et identifier les pôles du système en boucle ouverte. Décomposer $G(p)$ en éléments simples. Le système en boucle ouverte est-il stable ? Justifier.
Question 2 (5 points) : On utilise d'abord un correcteur proportionnel $C(p) = K_p$. Écrire la fonction de transfert en boucle fermée $T_{BF}(p)$. En utilisant le critère de Routh-Hurwitz, déterminer la plage de valeurs de $K_p$ assurant la stabilité du système en boucle fermée.
Question 3 (5 points) : Pour $K_p = 4$, calculer les paramètres caractéristiques du système en boucle fermée : pulsation propre non amortie $\\omega_n$, coefficient d'amortissement $\\xi$, temps de réponse à 5% $t_{r5\\%}$, et dépassement $D\\%$.
Question 4 (3 points) : On souhaite améliorer les performances avec un correcteur PID de la forme :
En utilisant la méthode de compensation des pôles, proposer les valeurs de $T_i$ et $T_d$ permettant de simplifier la fonction de transfert en boucle ouverte.
Question 5 (3 points) : Avec le correcteur PID déterminé à la question 4 et $K_p = 5$, calculer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée et déterminer son temps de réponse à 5%. Comparer avec les performances obtenues à la question 3.
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CORRIGÉ DÉTAILLÉ
Question 1 : Factorisation et stabilité en boucle ouverte
Examen 1 : Analyse de la précision et stabilité d’un asservissement linéaire (Système SISO moteur DC)
Durée : 3 heures | Niveau : Licence 3 / Master 1
Un système linéaire asservi pilote la vitesse d’un moteur à courant continu par un régulateur proportionnel-intégral (PI). On souhaite garantir la précision, réduire l’erreur statique et maximiser la stabilité vis-à-vis des perturbations et du temps de réponse.
Données communes :
Fonction de transfert du moteur : $G(p) = \\frac{K}{Tp+1}$
Question 1 : Modélisation de la boucle fermée complète
Établissez la fonction de transfert en boucle fermée du système complet avec retour unitaire.
Question 2 : Calcul de la précision et erreur statique
Déduisez l’erreur statique pour une entrée échelon de vitesse et calculez le gain intégral $K_i$ nécessaire pour une erreur nulle.
Question 3 : Stabilité et réponse temporelle (temps de montée, dépassement)
Analysez la stabilité du système pour $K_p=0.6$, $K_i=4.0$. Calculez le temps de montée, le temps de réponse à 5%, et le dépassement maximal.
Question 4 : Influence d’une perturbation de charge
Une charge supplémentaire $\\Delta m = 0.8 \\,\\text{kg}$ est ajoutée soudainement. Calculez l’effet sur la constante de temps, la réponse, et proposez comment adapter le régulateur pour compenser.
Question 5 : Optimisation du régulateur PI pour robustesse et performance
Déterminez les valeurs optimales de $K_p$ et $K_i$ pour garantir une marge de gain >10 dB et un temps de réponse < 0.25 s.
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SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 1
Question 1 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. Nouvelle masse: $m'=4.0\\,\\text{kg}$\r\n2. Nouvelle constante de temps: $T' = T\\times\\frac{m'}{m}=0.15\\times \\frac{4.0}{3.2}=0.1875\\,\\text{s}$\r\n3. Effet: ralentissement de la réponse\r\n4. Adapter: augmenter $K_p$, $K_i$ proportionnellement\r\n
Question 5 : Optimisation du PI
1. Marge de gain >10dB: $K_p\\leq\\frac{1.8}{K}\\approx1.5$\r\n2. Temps de réponse: $t_r<0.25s\\to \\omega_n>7.2\\,\\text{rad/s}$\r\n3. Optimisation: $K_p=1.0$, $K_i=8.0$\r\n
Résultat final:
$K_p=1.0,\\;K_i=8.0$; marge de gain>10dB, $t_r=0.25s$",
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"category": "Preparation pour l'examen",
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Examen 2 : Systèmes asservis linéaires et stabilité des processus thermiques
Durée : 3 heures | Niveau : Licence 3 / Master 1
Un four électrique industriel est piloté par un asservissement de température (linéaire), utilisant un modèle bloc linéaire et un correcteur PID. L’objectif est la précision de suivi de consigne malgré les perturbations thermiques et les délais internes.
Données communes :
Fonction de transfert du four : $G(p)=\\frac{2}{5p+1}$
Consigne : $T_{ref}=180 \\text{°C}$
Température initiale : $T_0=20 \\text{°C}$
Régulateur PID : $C(p)=K_p+\\frac{K_i}{p}+K_d p$
Question 1 : Modélisation complète de la chaîne asservie
Donnez la fonction de transfert en boucle fermée avec feedback unitaire.
Question 2 : Calcul de la précision et erreur statique
Calculez l’erreur statique pour une entrée échelon de consigne, trouvez $K_i$ pour éliminer toute erreur permanente.
Question 3 : Analyse de la stabilité et indice de robustesse
Pour $K_p=3$, $K_i=4$, $K_d=0$, calculer les pôles, la marge de phase et la réponse indicielle.
Question 4 : Influence d’un retard de diffusion thermique
Un délai $\\tau=0.8 \\text{ s}$ est introduit. Recalculez la fonction de transfert, l’effet sur la stabilité et la réponse temporelle.
Question 5 : Optimisation du PID pour minimiser le temps de montée et le dépassement
Choisissez $K_p$, $K_i$, $K_d$ minimisant le temps de montée sous 1.2s et dépassement < 3%.
