Asservissements echantillonnés et regulation numerique Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (14 Exercices)
  • 1
    Contexte global : Un système de régulation de température d'un four industriel discrétisé à 10 Hz utilise un régulateur PID numérique. Le système continu a une fonction de transfert $G(p) = \frac{K_p}{p(\tau_p p + 1)}$ avec $K_p = 0,02 °\text{C}/W$ et $\tau_p = 45 \ \text{s}$ . L'objectif est d'implémenter un PID numérique avec anti-saturation, obtenir un temps de réponse ≤ 400 ms et une erreur statique nulle. Questions intégrées : Q1 : Discrétisez le système continu avec fe = 10 Hz et établissez la fonction de transfert discrète $G(z)$ . Analyser la causalité et les pôles/zéros de ce système. Q2 : Formulez l'équation du régulateur PID numérique avec structure série :...→
  • 2
    Session 1 - - Contexte général : On considère un système de positionnement d'antenne satellite dont le modèle continu est donné par la fonction de transfert : $G(s) = \frac{K}{s(1+\tau s)}$ avec $K = 2$ et $\tau = 0.5$ s. La période d'échantillonnage est $T_e = 0.1$ s. Question 1 (4 points) : Calculer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ). Donner l'expression sous forme $G(z) = \frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}$ . Question 2 (4 points) : On souhaite implémenter un régulateur PID numérique par la méthode de discrétisation d'Euler arrière. Le PID analogique est défini par $C(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)$ avec $K_p = 1.5$ , $T_i = 0.8$ s et $T_d = 0.15$ s. Déterminer...→
  • 3
    Session 2 - - Contexte général : On considère un moteur à courant continu utilisé pour l'entraînement d'un robot industriel. Le modèle d'état discret du système est donné par : $\begin{cases} x(k+1) = \Phi x(k) + \Gamma u(k) \\ y(k) = C x(k) \end{cases}$ avec $\Phi = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 \\ -0.2 & 0.8 \end{pmatrix}$ , $\Gamma = \begin{pmatrix} 0.05 \\ 0.1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ L'état $x = \begin{pmatrix} \theta \\ \omega \end{pmatrix}$ représente la position angulaire et la vitesse angulaire. La période d'échantillonnage est $T_e = 50$ ms. Question 1 (4 points) : Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}$ à partir de la représentation d'état. Identifier les pôles et zéros du système et conclure sur sa stabilité en boucle ouverte. Question 2 (5 points) : On souhaite implémenter une commande par retour d'état $u(k) = -Kx(k) + k_r r(k)$ ....→
  • 4
    Session 3 - - Contexte général : Une centrale de régulation de température d'un four industriel utilise un capteur et un actionneur numériques. Le procédé thermique est modélisé par la fonction de transfert continue avec retard pur : $G(s) = \frac{K e^{-\tau_r s}}{(1+T_1 s)(1+T_2 s)}$ avec $K = 1.5$ , $T_1 = 2$ s, $T_2 = 0.5$ s, et $\tau_r = 0.3$ s. La période d'échantillonnage est $T_e = 0.2$ s. Question 1 (4 points) : Calculer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du procédé précédé d'un BOZ. Identifier le retard discret $d$ équivalent et exprimer $G(z) = z^{-d}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}$ . Question 2 (5 points) : On utilise la méthode de Ziegler-Nichols en boucle fermée. Les essais donnent un...→
  • 5
    Examen n°1 : Systèmes discrets et fonction de transfert en z Partie 1 : Analyse et conception d'un système de contrôle échantillonné Un système analogique de fonction de transfert $G_p(s) = \frac{2}{(s+1)(s+2)}$ est commandé par un calculateur numérique avec une période d'échantillonnage Te = 0,1 s. Un bloqueur d'ordre zéro (ZOH) est placé à l'entrée du système. Les cinq questions suivantes permettent d'analyser ce système discret : Q1. Calculez la fonction de transfert discrète G(z) en utilisant la méthode de la transformation en Z avec le bloqueur d'ordre zéro. Q2. Déterminez les pôles du système discret et analysez sa stabilité selon le...→
  • 6
    Examen n°2 : Commande RST numérique et régulation prédictive Partie 2 : Synthèse d'une commande RST pour asservissement de vitesse d'une charge mécanique Un moteur DC entraîne une charge mécanique dont la fonction de transfert analogique est $G_p(s) = \frac{1}{s(s+10)}$ . Le système est commandé via une structure RST numérique avec période d'échantillonnage Te = 0,05 s. La charge doit suivre une consigne de vitesse avec erreur statique nulle et dépassement inférieur à 10 %. Les cinq questions suivantes permettent de synthétiser et analyser cette commande RST : Q1. Déterminez la fonction de transfert discrète G(z) du système avec ZOH pour Te...→
  • 7
    Soit un système de régulation de débit d'eau dans une conduite. Le processus continu possède une fonction de transfert : $H_c(p) = \frac{1}{(1+p)(1+2p)}$ . Ce système est échantillonné à la période $T_e = 0,1\,s$ . On souhaite implémenter une commande RST numérique avec les objectifs suivants : — Erreur statique nulle — Pôles dominants discrets en $z = 0,7 \pm j0,2$ — Pôle additionnel en $z = 0,5$ L'étude porte sur la modélisation discrète, la conception du correcteur RST et la vérification de performances : 1. Déterminez la fonction de transfert discrète $H(z)$ du processus continu après échantillonnage (utiliser la méthode de conservation de l'entrée). 2. Calculez les pôles et...→
  • 8
    Un processus de contrôle de température dans une cuve de réaction chimique est commandé par un régulateur PID numérique implémenté sur microcontrôleur. La période d'échantillonnage est $T_e = 0,2\,s$ . Le système continu possède la fonction de transfert : $G_p(p) = \frac{5}{(1+10p)(1+p)}$ . Le régulateur PID numérique utilise la forme positionnelle avec action intégrale accumulative : $u(k) = K_p e(k) + K_i \sum_{j=0}^{k} e(j)T_e + K_d \frac{e(k) - e(k-1)}{T_e}$ Les paramètres de synthèse sont : $K_p = 0,5$ , $K_i = 0,1$ , $K_d = 0,2$ . L'étude porte sur la réalisation numérique, les performances et la robustesse du système asservi : 1. Déterminez la fonction de transfert discrète équivalente $G_d(z)$ du processus continu. 2. Écrivez l'équation de récurrence du régulateur PID...→
  • 9
    EXAMEN D'ASSERVISSEMENTS ÉCHANTILLONNÉS ET RÉGULATION NUMÉRIQUE – SUJET 3 Contexte : Un système de contrôle numérique PID pour température de four utilise un DSP avec fréquence d'échantillonnage de 1 kHz (Te = 1 ms). On étude la discrétisation des actions PID, l'effet du temps mort, la stabilité numérique, et l'optimisation pour performances temps réel. Question 1 : Convertir un régulateur PID continu $G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$ avec K_p = 10, K_i = 5, K_d = 0.1 en régulateur PID discret équivalent utilisant méthode trapézoïdale (Tustin) avec Te = 1 ms. Exprimer les équations de récurrence complètes. Question 2 : Le système présente un...→
  • 10
    | | Contexte général : On considère un système de commande numérique de position d'un servomoteur utilisé dans un bras robotique. Le système continu est échantillonné avec une période $T_e = 0.1$ s. L'objectif est d'analyser le système discret, de synthétiser un correcteur PID numérique et d'étudier la stabilité. Question 1 (6 points) : Le procédé continu à commander est modélisé par la fonction de transfert : $G(p) = \frac{K}{p(1 + \tau p)}$ avec $K = 10$ et $\tau = 0.5$ s. Un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) est utilisé. a) Calculer la fonction de transfert échantillonnée $G(z)$ en utilisant la formule de discrétisation avec BOZ. b) Déterminer les pôles et zéros...→
  • 11
    | | Contexte général : On étudie un système de régulation de température d'une enceinte thermique commandée numériquement. Le système utilise une commande par retour d'état avec observateur. La période d'échantillonnage est $T_e = 1$ s. Question 1 (6 points) : Le procédé thermique continu est modélisé par : $G(p) = \frac{2}{(1 + 10p)(1 + 2p)}$ a) Calculer la fonction de transfert discrète $G(z)$ par la méthode des résidus (discrétisation exacte avec BOZ). b) Mettre $G(z)$ sous la forme $G(z) = \frac{b_1 z + b_0}{z^2 + a_1 z + a_0}$ et identifier les coefficients. c) Établir la représentation d'état discrète sous forme canonique commandable : $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)$ , $y(k) = C_d x(k)$ . Question 2 (6 points) : On souhaite placer les...→
  • 12
    Commande Numérique d'un Servomoteur à Courant Continu On considère un système de positionnement angulaire utilisant un servomoteur à courant continu commandé par un calculateur numérique. Le système continu est caractérisé par sa fonction de transfert et doit être régulé par différentes stratégies de commande numérique. Données du système : Fonction de transfert continue du moteur : $G(p) = \frac{K}{p(1+\tau p)}$ avec $K = 10 \text{ rad/(s·V)}$ et $\tau = 0.1 \text{ s}$ Période d'échantillonnage : $T_e = 0.05 \text{ s}$ Capteur de position : gain unitaire Bloqueur d'ordre zéro (BOZ) en sortie du calculateur Question 1 (4 points) : Calculez la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système précédé d'un bloqueur d'ordre zéro. Utilisez la...→
  • 13
    Commande par Retour d'État Numérique d'un Système de Lévitation Magnétique On étudie un système de lévitation magnétique utilisé pour le transport de matériaux sensibles. Le système est linéarisé autour d'un point de fonctionnement et commandé numériquement par retour d'état. L'objectif est de stabiliser la position verticale d'une bille métallique. Modèle d'état continu du système : $\dot{x}(t) = A_c x(t) + B_c u(t)$ $y(t) = C_c x(t)$ avec $x = \begin{pmatrix} z \ \dot{z} \end{pmatrix}$ (position et vitesse), et : $A_c = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ \omega_0^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B_c = \begin{pmatrix} 0 \ -\gamma \end{pmatrix}, \quad C_c = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ Données numériques : $\omega_0 = 10 \text{ rad/s}$ (pulsation naturelle instable) $\gamma = 50 \text{ m/(s}^2\text{·V)}$ (gain de l'actionneur) Période d'échantillonnage : $T_e = 0.01 \text{ s}$ Question 1 (4 points) : Vérifiez que le système continu est instable en analysant les valeurs propres de la matrice...→
  • 14
    Session 1 : Analyse et Commande d'un Système de Positionnement Numérique | | On considère un système de positionnement d'un bras robotique dont la fonction de transfert continue est : $G(p) = \frac{1}{p(p + 2)}$ Ce système est commandé numériquement avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.5$ s. Un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) est placé en amont du processus continu. Question 1 (4 points) : Calculer la fonction de transfert échantillonnée $G(z)$ du système précédé du bloqueur d'ordre zéro. Utiliser la méthode de décomposition en éléments simples et les tables de transformées en z. On rappelle que : $\mathcal{Z}\left\{\frac{1-e^{-aT_e}}{p(p+a)}\right\} = \frac{(1-e^{-aT_e})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-e^{-aT_e}z^{-1})}$ Question 2 (5 points) : Le système...→
• Systèmes discrets, fonction de transfert discrète, analyse des systèmes discrets (29 Exercices)
  • 1
    Régulation numérique de vitesse d'un moteur Un moteur à courant continu est asservi en vitesse par un correcteur numérique. La fonction de transfert du moteur avec son étage de puissance est $G_m(s) = \frac{10}{s(0.1s+1)}$ . Le système fonctionne avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.05$ secondes. On souhaite implémenter un correcteur PI (Proportionnel-Intégral) discret de la forme: $C(z) = K_p\left(1 + \frac{T_e}{T_i}\frac{z}{z-1}\right)$ où $K_p = 0.5$ est le gain proportionnel et $T_i = 0.2$ secondes est la constante de temps intégrale. Question 1: Calculer la fonction de transfert discrète $G_m(z)$ du moteur échantillonné avec bloqueur d'ordre zéro. On pourra utiliser la décomposition en éléments simples et les tables de transformées en Z....→
  • 2
    Analyse d'un système de régulation de niveau Un système de régulation de niveau dans un réservoir est contrôlé numériquement. Après identification et discrétisation avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ secondes, la fonction de transfert en boucle fermée du système asservi s'écrit: $H(z) = \frac{0.2z^2 + 0.15z}{z^3 - 0.8z^2 + 0.5z - 0.1}$ On souhaite analyser les performances de ce système. Question 1: Déterminer les pôles de la fonction de transfert $H(z)$ en résolvant l'équation caractéristique $z^3 - 0.8z^2 + 0.5z - 0.1 = 0$ . Analyser la stabilité du système en vérifiant que tous les pôles sont à l'intérieur du cercle unité. On pourra utiliser une méthode numérique ou factoriser si possible. Question 2: Calculer la réponse du système...→
  • 3
    Exercice 1 : Discrétisation et Analyse de Stabilité d'un Système Continu On considère un système d'asservissement de vitesse d'un moteur à courant continu. La fonction de transfert en boucle ouverte du système continu est donnée par : $G(s) = \frac{K}{s(s+a)}$ où $K = 50$ et $a = 10$ . On souhaite implémenter ce système sous forme numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ s en utilisant un bloqueur d'ordre zéro (BOZ). Question 1 : Calculer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système en utilisant la transformation par bloqueur d'ordre zéro. Rappel : $G(z) = (1-z^{-1})\mathcal{Z}\left\{\frac{G(s)}{s}\right\}$ Question 2 : Déterminer les pôles du système discret et analyser la stabilité...→
  • 4
    Exercice 2 : Synthèse d'un Correcteur Numérique PID et Analyse de Performance Un processus industriel de régulation de température est modélisé par la fonction de transfert discrète suivante, obtenue avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.05$ s : $G_p(z) = \frac{0.0238z + 0.0218}{z^2 - 1.6065z + 0.6065}$ On souhaite concevoir un correcteur PID numérique de la forme : $C(z) = K_p + K_i\frac{T_e}{2}\frac{z+1}{z-1} + K_d\frac{1}{T_e}\frac{z-1}{z}$ avec $K_p = 15$ , $K_i = 80$ , et $K_d = 0.5$ . Question 1 : Calculer l'expression complète du correcteur $C(z)$ sous forme de fraction rationnelle en $z$ . Simplifier l'expression au maximum. Question 2 : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $L(z) = C(z)G_p(z)$ et calculer numériquement la marge de gain (en dB) du...→
  • 5
    Exercice 3 : Représentation d'État Discrète et Analyse de Commandabilité Un système d'asservissement de position angulaire d'un bras robotique est décrit par la représentation d'état discrète suivante, avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.02$ s : $x(k+1) = \begin{bmatrix} 0.98 & 0.019 \ -0.095 & 0.961 \end{bmatrix} x(k) + \begin{bmatrix} 0.0002 \ 0.019 \end{bmatrix} u(k)$ $y(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(k)$ où $x_1(k)$ représente la position angulaire (en rad) et $x_2(k)$ la vitesse angulaire (en rad/s). Question 1 : Calculer les valeurs propres (pôles) du système en résolvant l'équation caractéristique $\det(A - \lambda I) = 0$ . Déterminer le module de chaque valeur propre et conclure sur la stabilité du système en boucle ouverte. Question 2 : Calculer la matrice de commandabilité $\mathcal{C} = [B \quad AB]$ et déterminer son rang. Le système est-il...→
  • 6
    Analyse d'un système de régulation numérique de température On considère un système de régulation numérique de température d'un four industriel. Le processus analogique à réguler possède une fonction de transfert en boucle ouverte donnée par : $G(s) = \frac{K}{s(s+a)}$ où $K = 10$ et $a = 2$ . Le système est commandé par un régulateur numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.5$ s. On utilise un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) en sortie du calculateur numérique. Question 1 : Fonction de transfert discrète en boucle ouverte Déterminez la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système échantillonné avec bloqueur d'ordre zéro. Utilisez la transformation en z de la fonction...→
  • 7
    Exercice 1 : Analyse d'un système d'asservissement échantillonné avec correcteur numérique On considère un système d'asservissement numérique composé d'un processus analogique de fonction de transfert $G(p) = \frac{5}{p(p+2)}$ précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) et d'un correcteur numérique. La période d'échantillonnage est $T_e = 0.1$ s. Question 1 : Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du processus échantillonné (BOZ + processus). Calculer les pôles et les zéros de cette fonction. Question 2 : On souhaite réguler ce système en boucle fermée avec retour unitaire. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H(z) = \frac{G(z)}{1+G(z)}$ et déterminer les pôles du système bouclé. Le système en...→
  • 8
    Exercice 2 : Synthèse d'un régulateur PID numérique par la méthode de Tustin On désire réguler la température d'un four industriel modélisé par la fonction de transfert continue $G(p) = \frac{K}{1+\tau p}$ avec $K = 2$ et $\tau = 5$ s. Un régulateur PID analogique de fonction de transfert $C(p) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$ a été conçu avec les paramètres $K_p = 1.5$ , $T_i = 4$ s et $T_d = 1$ s. On souhaite implémenter ce régulateur sous forme numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.2$ s en utilisant la méthode de Tustin (approximation bilinéaire). Question 1 : En utilisant la transformation de Tustin $p = \frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}$ , déterminer la fonction de transfert discrète $C(z)$ du régulateur PID numérique....→
  • 9
    Exercice 3 : Commande par retour d'état d'un système discret avec observateur On considère un système discret représenté dans l'espace d'état par les équations suivantes : $\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A}\mathbf{x}(k) + \mathbf{B}u(k)$ $y(k) = \mathbf{C}\mathbf{x}(k)$ avec les matrices : $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \ -0.2 & 0.5 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ On souhaite synthétiser une commande par retour d'état $u(k) = -\mathbf{K}\mathbf{x}(k) + r(k)$ pour placer les pôles en boucle fermée aux positions désirées $z_1 = 0.6$ et $z_2 = 0.4$ . Question 1 : Déterminer le polynôme caractéristique désiré $P_d(z) = (z-z_1)(z-z_2)$ et développer ce polynôme sous la forme $P_d(z) = z^2 + \alpha_1 z + \alpha_0$ . Calculer les coefficients $\alpha_1$ et $\alpha_0$ . Question 3 : En utilisant la formule d'Ackermann pour les systèmes discrets, calculer le vecteur de gain de retour...→
  • 10
    Un système à temps discret est modélisé par la fonction de transfert suivante : $H(z) = \frac{0,6z + 0,2}{z^2 - 0,9z + 0,2}$ . On considère une entrée échantillonnée de type échelon unitaire. 1. Calculez la réponse indicielle du système sur les trois premiers instants. 2. Déterminez le comportement à long terme de la sortie en régime permanent. 3. À partir de la réponse obtenue, calculez la valeur de l’erreur statique pour une entrée échelon.→
  • 11
    On considère un asservissement discret de position d’un moteur électrique où le capteur donne la position à chaque période d’échantillonnage. Le modèle est le suivant : $G(z) = \frac{1 - z^{-1}}{z - 0,7}$ . 1. Calculez la séquence de sortie pour une entrée impulsionnelle appliquée à k=0. 2. Déterminez si le système est stable. 3. Déduisez la réponse pour une entrée rampe discrète.→
  • 12
    Un système discret est décrit par la fonction de transfert suivante : $H(z) = \frac{0,5}{z - 0,4}$ , soumis à une commande numérique où le régulateur est un correcteur proportionnel discret de gain $K$ , soit $C(z) = K$ . On désire réguler la sortie pour suivre une consigne échelon unitaire. 1. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée du système régulé. 2. Pour $K=4$ , déterminez la stabilité du système bouclé. 3. Pour $K=2$ , calculez la valeur de l’erreur statique face à une consigne échelon.→
  • 13
    Un système d’asservissement numérique simple est composé d’un capteur, d’un convertisseur analogique-numérique (CAN) suivi d’un régulateur numérique basé sur une fonction de transfert discrète. Considérons le schéma fonctionnel suivant : 1. L’entrée du système est un signal analogique d’ordre un : $x(t) = e^{-2t}u(t)$ . 2. Ce signal est échantillonné toutes les $T = 0,25$ secondes. 3. Le capteur a un gain de $K_s = 1,5$ . 4. La sortie échantillonnée est traitée par un régulateur numérique avec la fonction de transfert discrète : $H(z) = \frac{0,4z}{z-0,6}$ . 5. À la fin, un convertisseur numérique-analogique, parfait, restitue la sortie. Questions : 1. Déterminez la forme du signal échantillonné...→
  • 14
    On considère un système de régulation numérique dont le schéma bloc est le suivant : un capteur, un CAN avec période d’échantillonnage $T = 0,1$ s, un contrôleur numérique, et un actionneur numérique. La variable d’entrée est une impulsion de Dirac : $x[k] = \delta[k]$ . Le contrôleur numérique possède la fonction de transfert suivante : $H(z) = \frac{0,3(z+0,8)}{z^2 - 0,5z +0,2}$ . La sortie du système est l’actionneur numérique, qui applique le signal traité. Questions : 1. Calculez la sortie du système $y[k]$ pour $k = 0, 1, 2$ à partir de la réponse impulsionnelle associée à $H(z)$ . 2. Trouvez la forme générale de la réponse impulsionnelle $h[k]$ pour ce système....→
  • 15
    Un système discret de régulation utilise un filtre numérique d’ordre 2. La période d’échantillonnage est $T = 0,2$ s. L’entrée est un échelon unitaire : $x[k] = u[k]$ . Le filtre numérique est donné par la fonction de transfert suivante : $H(z) = \frac{0,5(z+0,7)}{z^2 - 1,1z + 0,3}$ . La sortie est directement le signal filtré. Questions : 1. Trouvez l’expression générale de la sortie discrète $y[k]$ , à l’aide de l’équation aux différences associée à $H(z)$ . 2. Calculez la sortie pour les trois premiers instants $k = 0, 1, 2$ . 3. Analysez la stabilité du filtre numérique en déterminant la position des pôles.→
  • 16
    Un système d'asservissement numérique reçoit un signal d'entrée sous forme échantillonnée à intervalle constant $T_e$ . Le schéma d'un système à rétroaction discrète est donné ci-dessous. 1. Déterminez la fonction de transfert discrète $H(z)$ du système, où le procédé est modélisé par la fonction d'impulsion $h[n]=a^n u[n]$ . 2. Calculez la réponse du système pour une entrée échelon unitaire discrète $u[n]$ . 3. Si le système est soumis à une entrée sinusoïdale discrète $x[n]=\sin(\omega_0 n T_e)$ , calculez la première valeur sortie $y[0]$ et la deuxième $y[1]$ .→
  • 17
    Un régulateur numérique à avance pour un procédé échantillonné est représenté par ses blocs fonctionnels. 1. Déterminez la fonction de transfert du régulateur avance discret $R(z)=b_0+b_1 z^{-1}$ , puis donnez la sortie régulée $y[n]$ en fonction de l'entrée $u[n]$ . 2. Calculez la sortie du système pour une entrée impulsion discrète $\delta[n]$ avec $b_0=0.5$ et $b_1=0.3$ . 3. Si la sortie précédente atteint un maximum, à quel instant $n_\text{max}$ ce maximum est-il atteint ? Calculez la valeur du maximum.→
  • 18
    Un système asservi discret est schématisé ci-dessous avec un bloc régulateur et un capteur numérique. 1. Donnez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{bf}(z)$ sachant que le procédé est modélisé par $H_p(z)=\frac{z}{z-0.7}$ et le capteur par $H_c(z)=0.5$ . 2. Pour une entrée échantillonnée $u[n]=2$ pour tout $n \geq 0$ , calculez la sortie en régime permanent. 3. Calculez et interprétez l’erreur de régulation en régime permanent.→
  • 19
    Exercice 1 : Analyse d'un système échantillonné avec bloqueur d'ordre zéro On considère un système de régulation numérique composé d'un processus analogique de fonction de transfert $G(p) = \frac{5}{p(p+2)}$ , précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) et d'un échantillonneur de période $T_e = 0.5$ s. Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en z du système échantillonné $G(z)$ incluant le bloqueur d'ordre zéro. Utiliser la transformée en z de la fonction de transfert $G(p)$ précédée du BOZ. Question 2 : Calculer les pôles de la fonction de transfert discrète $G(z)$ et vérifier la stabilité du système en boucle ouverte. Déterminer le module de...→
  • 20
    Exercice 2 : Conception d'un correcteur numérique PI et analyse de performances Un système industriel de régulation de température est commandé numériquement avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ s. Le processus analogique est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \frac{2}{(p+1)(p+3)}$ . Un correcteur PI numérique est défini par $C(z) = K_p + K_i\frac{T_e z}{z-1}$ avec $K_p = 0.8$ et $K_i = 2$ . Question 1 : Calculer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du processus en utilisant la méthode de la transformée en z avec bloqueur d'ordre zéro. Développer numériquement et simplifier l'expression. Question 2 : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{BO}(z) = C(z) \cdot G(z)$ du système corrigé. Calculer la...→
  • 21
    Exercice 3 : Représentation d'état discrète et placement de pôles Un système discret est décrit par la représentation d'état suivante avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.2$ s : $\mathbf{x}[k+1] = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \ -0.2 & 0.6 \end{bmatrix}\mathbf{x}[k] + \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \end{bmatrix}u[k]$ $y[k] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}[k]$ On note $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \ -0.2 & 0.6 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \end{bmatrix}$ , et $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ . Question 1 : Calculer les valeurs propres de la matrice d'état $\mathbf{A}$ en résolvant l'équation caractéristique $\det(zI - \mathbf{A}) = 0$ . Vérifier la stabilité du système en boucle ouverte. Question 2 : Calculer la matrice de commandabilité $\mathcal{C} = [\mathbf{B} \quad \mathbf{AB}]$ et déterminer son rang. Calculer le déterminant de $\mathcal{C}$ pour vérifier la commandabilité complète du système. Question 3 : On souhaite placer les pôles en boucle fermée...→
  • 22
    Exercice 1 : Analyse d'un système d'asservissement échantillonné de position On considère un système d'asservissement numérique de position d'un moteur à courant continu. Le processus continu est précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) et la période d'échantillonnage est $T_e = 0.1$ s. La fonction de transfert du processus continu (moteur + charge) est donnée par : $G(s) = \frac{K}{s(s + a)}$ avec $K = 20$ et $a = 5$ . Question 1 : Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du processus précédé du bloqueur d'ordre zéro. Utiliser la transformée en Z de $G_{BOZ}(s) = \frac{1 - e^{-T_e s}}{s} \cdot G(s)$ . Question 2 : Le système est mis en boucle fermée avec un retour unitaire et...→
  • 23
    Exercice 2 : Conception d'un régulateur numérique PI pour un système thermique On souhaite réguler la température d'un four industriel à l'aide d'un régulateur numérique de type PI (Proportionnel-Intégral). Le modèle du four est donné par sa fonction de transfert continue : $G_f(s) = \frac{K_f}{1 + \tau s}$ avec $K_f = 2.5$ (gain statique sans dimension) et $\tau = 8$ s (constante de temps). La période d'échantillonnage choisie est $T_e = 2$ s. Le régulateur PI numérique a pour fonction de transfert discrète : $C(z) = K_p\left(1 + \frac{T_e}{T_i} \cdot \frac{z}{z - 1}\right)$ où $K_p$ est le gain proportionnel et $T_i$ est le temps intégral. Question 1 : Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du four précédé du...→
  • 24
    Exercice 3 : Analyse de performance d'un asservissement de vitesse par correcteur RST Un système d'asservissement de vitesse d'un moteur électrique utilise une structure de régulation RST (Régulation par Structure à Trois polynômes). La fonction de transfert discrète du moteur avec son interface de puissance, précédée d'un BOZ, est donnée par : $G(z) = \frac{b_1z + b_0}{z^2 + a_1z + a_0}$ avec les coefficients numériques : $b_1 = 0.0952$ , $b_0 = 0.0861$ , $a_1 = -1.8187$ , $a_0 = 0.8187$ . Le régulateur RST est défini par trois polynômes : $R(z)$ (action sur l'erreur), $S(z)$ (action sur la sortie) et $T(z)$ (préfiltre sur la consigne). On considère une structure simplifiée où : $R(z) = r_0$ et $S(z) = s_0 + s_1z^{-1}$...→
  • 25
    Exercice 1 : Analyse d'un système discret par la transformée en Z On considère un système d'asservissement échantillonné dont le schéma fonctionnel est représenté ci-dessous. Le système continu $G(s)$ est précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) et d'un échantillonneur de période $T_e = 0.1$ s. La fonction de transfert continue est : $G(s) = \frac{5}{s(s+2)}$ Question 1 : Déterminer la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système échantillonné-bloqué en utilisant la méthode de la transformée en Z. Calculer explicitement les pôles de $G(z)$ . Question 2 : Le système est placé en boucle fermée avec un retour unitaire. Calculer la fonction de transfert en...→
  • 26
    Exercice 2 : Contrôleur proportionnel numérique et stabilité relative Un système de régulation de température utilise un contrôleur numérique proportionnel. Le processus à contrôler a la fonction de transfert continue : $G_p(s) = \frac{10}{(s+1)(s+3)}$ Le système est échantillonné avec une période $T_e = 0.5$ s. Le contrôleur numérique a un gain $K_p$ et sa sortie est appliquée via un bloqueur d'ordre zéro. Question 1 : Déterminer la fonction de transfert discrète équivalente $G_p(z)$ du processus échantillonné-bloqué. Utiliser la méthode de décomposition en éléments simples et calculer numériquement les coefficients. Question 2 : Le système en boucle fermée avec le contrôleur proportionnel $K_p$ a pour...→
  • 27
    Exercice 3 : Discrétisation d'un régulateur PID et performances Un régulateur PID analogique est utilisé pour contrôler un moteur à courant continu. Sa fonction de transfert continue est : $C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_ds$ avec $K_p = 2$ , $K_i = 5$ , et $K_d = 0.4$ . Pour l'implémentation numérique, on utilise une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ s. Le processus à contrôler a la fonction de transfert discrète : $G(z) = \frac{0.0952z + 0.0861}{z^2 - 1.8187z + 0.8187}$ Question 1 : Discrétiser le régulateur PID en utilisant les approximations suivantes : pour la partie intégrale, méthode des rectangles (Euler avant) $\frac{1}{s} \approx \frac{T_e}{z-1}$ ; pour la partie dérivée, méthode de la différence arrière $s \approx \frac{z-1}{T_ez}$ . Calculer la fonction de transfert...→
  • 28
    Analyse d'un système échantillonné avec régulateur proportionnel On considère un système de contrôle numérique composé d'un processus continu de fonction de transfert $G(s) = \frac{2}{s(s+3)}$ associé à un bloqueur d'ordre zéro (BOZ) et un régulateur numérique proportionnel de gain $K$ . La période d'échantillonnage est $T_e = 0.1$ s. Question 1: Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte discrète $H(z)$ du système échantillonné. Utiliser la transformée en $z$ sachant que $\mathcal{Z}\{G(s)\} = (1-z^{-1})\mathcal{Z}\{\frac{G(s)}{s}\}$ . Question 2: Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $F(z) = \frac{Y(z)}{R(z)}$ du système asservi, puis déterminer les pôles du système pour $K = 1$ . Le système est-il stable? Question 3: Déterminer la...→
  • 29
    Conception d'un régulateur numérique par placement de pôles Un processus industriel est modélisé par la fonction de transfert discrète suivante: $G(z) = \frac{0.368z + 0.264}{z^2 - 1.368z + 0.368}$ On souhaite concevoir un régulateur numérique $C(z)$ de type PI discret pour placer les pôles en boucle fermée aux positions désirées $z_1 = 0.5 + 0.3j$ et $z_2 = 0.5 - 0.3j$ . Question 1: Calculer le polynôme caractéristique désiré $P_d(z)$ correspondant aux pôles spécifiés. Déterminer les coefficients $a_1$ et $a_0$ tels que $P_d(z) = z^2 + a_1z + a_0$ . Question 2: Sachant que le régulateur PI discret s'écrit $C(z) = K_p + K_i\frac{T_e z}{z-1}$ avec $T_e = 0.2$ s, déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $\Phi(z) = \frac{C(z)G(z)}{1 + C(z)G(z)}$ et identifier les coefficients du dénominateur en fonction de $K_p$...→
• Commande par régulateur PID numérique (33 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Régulateur PID Numérique - Synthèse et Analyse de Stabilité Un système d'asservissement numérique utilise un régulateur PID discret pour commander un processus de premier ordre. Le système à commander (avant échantillonnage) a la fonction de transfert analogique : $G_p(s) = \frac{K_p}{1 + \tau s}$ Gain statique : $K_p = 2$ Constante de temps : $\tau = 0.5 \text{ s}$ Période d'échantillonnage : $T_e = 0.1 \text{ s}$ Implémentation du PID numérique avec la méthode de l'Euler avant (Forward Euler) Contexte physique : Le régulateur numérique doit asservir la sortie du processus à une consigne de référence. Les paramètres du PID ont été synthétisés par la méthode de Ziegler-Nichols adaptée aux systèmes discrets....→
  • 2
    Exercice 1: Régulation PID numérique - Synthèse et discrétisation Un système asservi échantillonné utilise un régulateur PID numérique pour commander un moteur CC. L'étude porte sur la discrétisation et la synthèse du correcteur. Fonction de transfert du moteur (continu): $G_p(s) = \frac{K}{s(s+1)}$ avec $K = 10$ Périodé d'échantillonnage: $T_e = 0,1 \, \text{s}$ Régulateur PID continu: $C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s$ Paramètres PID: $K_p = 5$ , $K_i = 2$ , $K_d = 1$ Consigne: $r(t) = \text{échelon unitaire}$ Bande passante cible: $\omega_c = 2 \, \text{rad/s}$ Question 1: Discrétisation du régulateur PID continu. Calculez: (a) La fonction de transfert discrète $C(z)$ en utilisant la méthode d'Euler progressive (approximation directe) (b) Les coefficients de différences finies $k_p, k_i, k_d$ pour la forme récursive du régulateur (c) L'équation...→
  • 3
    [Exercise 2 question content with Shannon theorem, Nyquist criterion, and root locus analysis]→
  • 4
    [Exercise 3 question content with transient response, windup analysis, and disturbance rejection]→
  • 5
    Exercice 1 : Régulateur PID Numérique - Synthèse et Discrétisation Un système d'asservissement échantillonné avec régulation numérique doit contrôler la position angulaire d'un moteur électrique. Le système en boucle fermée doit avoir un temps de réponse à $5\%$ de $t_r = 0.5 \, \text{s}$ et un dépassement maximal de $D\% = 5\%$ . Le procédé à commander (moteur + charge) possède la fonction de transfert continue : $G(s) = \frac{K}{s(1 + \tau s)}$ avec $K = 10$ et $\tau = 0.1 \, \text{s}$ . Un régulateur PID continu idéal a été synthétisé avec les paramètres : $K_p = 1.5$ , $K_i = 2.0$ , et $K_d = 0.3$ . La période d'échantillonnage choisie est $T_e = 0.05 \, \text{s}$ . Question 1 : À partir du régulateur...→
  • 6
    Exercice 2 : Régulateur PID avec Anti-Windup - Gestion de l'Intégration ...→
  • 7
    Exercice 1 : Générateur synchrone à pôles lisses - Analyse de la tension générée Un générateur synchrone triphasé à pôles lisses, 400 V, 50 Hz, 10 MVA fonctionne avec les caractéristiques suivantes : Puissance apparente nominale : $S_n = 10 \text{ MVA}$ Tension nominale : $U_n = 400 \text{ V}$ Fréquence : $f = 50 \text{ Hz}$ Résistance d'induit par phase : $R_a = 0.025 \, \Omega$ Réactance de fuite d'induit : $X_l = 0.15 \, \Omega$ Réactance de synchronisme (directe) : $X_d = 1.8 \, \Omega$ Courant nominal à facteur de puissance 0.9 : $I_n = 14.43 \text{ A}$ Question 1 : Calculer la force électromotrice (FEM) générée par phase en charge nominale avec un facteur de puissance 0.9 (en retard). Question 2 : Déterminer la réactance...→
  • 8
    Exercice 2 : Machine synchrone à pôles saillants - Application de la théorie des deux réactances Un générateur synchrone triphasé à pôles saillants, sans amortisseurs, est alimenté en charge avec les paramètres suivants : Puissance nominale : $S_n = 30 \text{ MVA}$ Tension nominale : $U_n = 10 \text{ kV}$ (triphasé) Fréquence : $f = 50 \text{ Hz}$ Réactance directe (d-axis) : $X_d = 1.5 \, \Omega$ Réactance en quadrature (q-axis) : $X_q = 0.9 \, \Omega$ Résistance d'induit : $R_a = 0.01 \, \Omega$ Facteur de puissance : $\cos\phi = 0.85$ (en retard) Courant nominal : $I_n = \frac{S_n}{\sqrt{3} U_n} = \frac{30 \times 10^6}{\sqrt{3} \times 10000} = 1732 \text{ A}$ Question 1 : Décomposer le courant d'induit Ia en composantes directe (Id) et en quadrature (Iq) à partir de l'angle de charge δ = 15° et de l'angle...→
  • 9
    Exercice 3 : Moteur synchrone à aimants permanents - Démarrage, méthodes d'excitation et couplage en parallèle Un moteur synchrone à aimants permanents de surface (SPMSM) triphasé avec les caractéristiques suivantes est utilisé dans une application industrielle : Puissance nominale : $P_n = 75 \text{ kW}$ Tension nominale : $U_n = 480 \text{ V}$ (triphasé, ligne-ligne) Fréquence : $f = 60 \text{ Hz}$ Nombre de paires de pôles : $p = 3$ Vitesse synchrone nominale : $n_s = \frac{120 f}{p} = \frac{120 \times 60}{3} = 2400 \text{ rpm}$ Inductance synchrone (Ld = Lq pour SPMSM) : $L_s = 8.5 \text{ mH}$ Flux permanent des aimants : $\psi_m = 0.85 \text{ Wb}$ Résistance statorique : $R_s = 0.12 \, \Omega$ par phase Couple nominale : $T_n = 298 \text{ Nm}$ Moment d'inertie du moteur : $J_m = 2.5 \text{ kg·m}^2$ Moment d'inertie de la charge : $J_L = 5.0 \text{ kg·m}^2$...→
  • 10
    Exercice 1 : Régulateur PID Numérique par Discrétisation - Analyse de Stabilité et Réponse Dynamique Un système continu d'ordre deux représentant un processus industriel possède la fonction de transfert : $G_c(s) = \frac{K_p}{(s+1)(s+2)}$ où $K_p = 4$ est le gain du processus. On souhaite implémenter un régulateur PID continu avec les paramètres suivants : Gain proportionnel : $K_p = 1.5$ Temps intégral : $T_i = 2 \text{ s}$ Temps dérivé : $T_d = 0.5 \text{ s}$ Le système doit être échantillonné avec une période $T_e = 0.1 \text{ s}$ . Question 1 : Établissez la fonction de transfert en $z$ du processus discrétiséé $G_d(z)$ en utilisant l'approximation du bloqueur d'ordre zéro $BOZ$ . Calculez les coefficients du numérateur...→
  • 11
    Exercice 2 : Compensateur Numérique par Placement de Pôles et Gain Statique Un système de contrôle de position d'un moteur DC est modélisé par la fonction de transfert continue : $G_p(s) = \frac{1}{s(s+3)}$ Le système est échantillonné avec période $T = 0.2 \text{ s}$ . On désire un contrôleur discret qui place les pôles en boucle fermée aux positions : $z_1 = 0.5, \quad z_2 = 0.3$ et assure un gain statique unitaire. Question 1 : Calculez la fonction de transfert discrète $G_d(z)$ du processus avec bloqueur d'ordre zéro. Déterminez les coefficients du numérateur et du dénominateur exprimés en fonction de $z$ . Question 2 : En utilisant le placement de pôles,...→
  • 12
    Exercice 3 : Analyse de Robustesse et Marge de Stabilité d'un Système Asservi Échantillonné Un système de contrôle de vitesse d'un moteur utilise un régulateur PID numérique avec les paramètres : $K_p = 2, \quad T_i = 5 \text{ s}, \quad T_d = 1 \text{ s}$ Le processus du moteur est modélisé par : $G_m(s) = \frac{10}{s(s+5)}$ avec une période d'échantillonnage $T = 0.1 \text{ s}$ . On désire analyser la robustesse du système régulé. Question 1 : Calculez la marge de gain et la marge de phase du système en boucle ouverte discrète. Localisez la fréquence de traversée de Bode $\omega_c$ (en Hz) où le gain unitaire est atteint. Analysez la stabilité du système en boucle fermée. Question 2...→
  • 13
    Exercice 1 : Régulateur PID Numérique - Synthèse, Stabilité et Paramétrage On considère un système d'ordre 2 continu défini par sa fonction de transfert en boucle ouverte : $H(p) = \frac{K}{p(p+1)}$ avec $K=2$ . Ce système est commandé par un régulateur PID numérique d'équation de récurrence : $u(k) = K_p e(k) + K_i \sum_{j=0}^{k} e(j)T_e + K_d \frac{e(k)-e(k-1)}{T_e}$ , où $T_e = 0,1\ \text{s}$ est la période d'échantillonnage. La consigne est un échelon unitaire $r(k)=1\ \forall k \geq 0$ . Calculez les gains du régulateur PID par la méthode de placement de pôles en imposant une pulsation propre $\omega_n = 3\ \text{rad/s}$ et un amortissement $\zeta = 0,7$ . Déterminez les coefficients $K_p$ , $K_i$ et $K_d$ . Pour une réponse à un échelon...→
  • 14
    Exercice 2 : Synthèse PID Numérique par Méthode de Ziegler-Nichols et Compensation de Délai Un processus thermique est modélisé par $H(p) = \frac{e^{-\tau p}}{Tp+1}$ avec un délai pur $\tau = 0,2\ \text{s}$ , une constante de temps $T = 2\ \text{s}$ et un gain unitaire. Ce système est asservi par un régulateur PID numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,05\ \text{s}$ . Déterminez les paramètres du régulateur PID par la méthode de Ziegler-Nichols en fonction du point critique du système (pulsation critique $\omega_c$ et gain critique $K_c$ ). Calculez $K_p$ , $K_i$ et $K_d$ . Compensez le délai pur dans la boucle fermée et calculez le facteur de compensation $\rho$ ....→
  • 15
    Exercice 3 : Régulateur PID Numérique Adaptatif - Identification Récursive et Ajustement des Gains Un asservissement de position angulaire utilise un régulateur PID numérique adaptatif. Le système à commander possède une dynamique variable selon les conditions de charge. On utilise une identification récursive des moindres carrés (RLLS) avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,02\ \text{s}$ . Le modèle identifié est du type AR (autorégressif) : $y(k) + a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) = b_1 u(k-1)$ . À partir des mesures d'entrée-sortie collectées, identifiez les paramètres $a_1, a_2, b_1$ du modèle par la méthode RLLS avec facteur d'oubli $\lambda = 0,95$ . Estimez l'ordre de magnitude des coefficients pour une première identification. En utilisant le modèle identifié,...→
  • 16
    Exercice 1 : Synthèse et validation d'un régulateur PID numérique pour asservissement de température Un système de régulation thermique numérique doit maintenir une température à $20 °C$ dans une chambre climatisée. Le système a été modélisé en temps continu comme : Fonction de transfert : $G(s) = \frac{K_p}{(1 + s\tau_1)(1 + s\tau_2)}$ $K_p = 2$ K/W (gain statique) $\tau_1 = 150$ s, $\tau_2 = 30$ s (constantes de temps thermiques) Période d'échantillonnage : $T_e = 5$ s Erreur initiale à corriger : $e_0 = 5$ K On propose un régulateur PID numérique avec les gains : Gain proportionnel : $K_p = 0.015$ Gain intégral : $K_i = 0.0008$ Gain dérivé : $K_d = 1.2$ Question 1 : Calculez les coefficients du régulateur PID...→
  • 17
    Exercice 2 : Réglage d'un PID numérique par la méthode de Ziegler-Nichols et analyse de dépassement Un asservissement de position angulaire d'une servovalve utilise un régulateur PID numérique. Le système a été identifié avec la réponse indicielle suivante : Gain statique : $K = 4$ rad/V Temps de montée $t_r = 2$ s Dépassement initial observé : $D_1 = 12$ % Période d'oscillation libre : $T_{osc} = 8$ s Période d'échantillonnage : $T_e = 0.5$ s En utilisant la méthode de Ziegler-Nichols à partir du modèle identifié : Question 1 : Calculez les paramètres du régulateur PID ( $K_p, K_i, K_d$ ) à partir des critères de Ziegler-Nichols pour une réponse avec...→
  • 18
    Exercice 3 : Implémentation en virgule fixe et quantification d'un régulateur PID numérique Un microcontrôleur à virgule fixe 16 bits doit implémenter un régulateur PID pour un servomoteur. Les contraintes matérielles sont : Format : nombre entier signé 16 bits (−32768 à +32767) Plage de tension de commande : $-10$ V à $+10$ V Résolution de quantification : $Q = 0.0003$ V/bit Résolution du capteur de feedback : $R_s = 0.01$ rad Paramètres du régulateur PID continu : $K_p = 2, K_i = 0.5, K_d = 1$ Période d'échantillonnage : $T_e = 0.01$ s Question 1 : Calculez les facteurs d'échelle (gains de quantification) $S_p, S_i, S_d$ pour chaque terme du PID afin de maximiser la...→
  • 19
    Exercice 1 : Synthèse d'un régulateur PID numérique pour un système de premier ordre On considère un système continu de premier ordre régi par la fonction de transfert $G(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ avec $K = 2$ (gain statique) et $\tau = 0,5 \; \text{s}$ (constante de temps). Le système est commandé par un régulateur PID numérique échantillonné à la fréquence $f_e = 10 \; \text{Hz}$ (période d'échantillonnage $T_e = 0,1 \; \text{s}$ ). La consigne désirée est $y_c = 1$ (consigne échelon unitaire). Question 1 : Déterminez le modèle numérique discret du système en utilisant la transformation bilinéaire (transformation de Tustin). Calculez les coefficients de la fonction de transfert en $z$ de la forme $G(z) = \frac{b_1 z + b_0}{z^2 - a_1 z - a_0}$ . Question 2 :...→
  • 20
    Exercice 2 : Régulation numérique de la vitesse d'un moteur à courant continu Un moteur à courant continu possède pour modèle électromécanique : $\frac{d\omega}{dt} = \frac{K_t i}{J} - \frac{f}{J}\omega - \frac{C_L}{J}$ et $\frac{di}{dt} = \frac{U - K_e \omega}{L} - \frac{R}{L}i$ Les paramètres sont : inertie $J = 0,02 \; \text{kg.m}^2$ , coefficient de frottement $f = 0,1 \; \text{N.s/rad}$ , constante de couple $K_t = 0,5 \; \text{N.m/A}$ , constante de FEM $K_e = 0,5 \; \text{V.s/rad}$ , inductance $L = 0,01 \; \text{H}$ , résistance $R = 1 \; \Omega$ . Le couple de charge est $C_L = 0,2 \; \text{N.m}$ . La période d'échantillonnage est $T_e = 0,01 \; \text{s}$ . Question 1 : Déterminez le modèle d'état continu du système et calculez les matrices $A$ et $B$ du système linéarisé autour du point d'équilibre pour une consigne de vitesse $\omega_c = 100 \; \text{rad/s}$ . Question 2...→
  • 21
    Exercice 3 : Analyse de stabilité et de performance transitoire d'une boucle asservie numérique Un système d'ordre 2 en temps continu possède la fonction de transfert : $G(p) = \frac{\omega_n^2}{p^2 + 2\zeta \omega_n p + \omega_n^2}$ avec pulsation propre $\omega_n = 10 \; \text{rad/s}$ et amortissement $\zeta = 0,5$ . Le système est soumis à un régulateur PID numérique avec $T_e = 0,05 \; \text{s}$ . Le régulateur a les paramètres $K_p = 5$ , $K_i = 3$ , $K_d = 1$ . Question 1 : Discrétisez la fonction de transfert du système continu en utilisant la transformation bilinéaire. Calculez le polynôme caractéristique de la boucle fermée discrète et les pôles en $z$ . Question 2 : Analysez la stabilité numérique du système asservi...→
  • 22
    Un système de contrôle de température d'un four industriel est asservi par un régulateur PID numérique. La période d'échantillonnage est $T_e = 0{,}1\ \mathrm{s}$ . Le processus à réguler a une fonction de transfert continue approximée par $G(p) = \frac{5}{(1 + 10p)(1 + 2p)}$ . Le régulateur PID numérique est défini par ses gains : $K_p = 2$ , $K_i = 0{,}5$ , $K_d = 0{,}3$ . La consigne de température est de $100\ \mathrm{°C}$ et l'erreur initiale est $e_0 = 5\ \mathrm{°C}$ . Question 1 : Calculez l'action proportionnelle, l'action intégrale et l'action dérivée du régulateur PID numérique à l'instant $k = 1$ (première période d'échantillonnage) en supposant $e_1 = 4{,}8\ \mathrm{°C}$ . Question 2 : Déterminez la loi de commande numérique du...→
  • 23
    Un système de positionnement d'une vanne de contrôle est régi par un asservissement numérique avec un régulateur PID. La période d'échantillonnage est $T_e = 0{,}05\ \mathrm{s}$ . Le modèle du processus en temps continu est $G(p) = \frac{2}{p(1 + 0{,}5p)}$ . Les gains du régulateur PID sont : $K_p = 1{,}5$ , $K_i = 0{,}8$ , $K_d = 0{,}2$ . La position désirée est $\theta_r = 90\ \mathrm{°}$ . Aux instants $k = 0$ et $k = 1$ , les erreurs mesurées sont respectivement $e_0 = 10\ \mathrm{°}$ et $e_1 = 8{,}5\ \mathrm{°}$ . Question 1 : Calculez les trois actions du PID (proportionnelle, intégrale et dérivée) à l'instant $k = 1$ . Question 2 : Déterminez la fonction de transfert discrète du régulateur PID par approximation d'Euler...→
  • 24
    Un système de régulation de débit de fluide utilise un régulateur PID numérique. La période d'échantillonnage est $T_e = 0{,}2\ \mathrm{s}$ . La dynamique du processus peut être modélisée par $G(p) = \frac{3}{1 + 5p}$ . Les paramètres du régulateur PID sont fixés à : $K_p = 0{,}6$ , $K_i = 0{,}3$ , $K_d = 0{,}15$ . Le débit de référence est de $Q_r = 50\ \mathrm{L/min}$ . À l'instant $k = 0$ , l'erreur est $e_0 = 3\ \mathrm{L/min}$ et à l'instant $k = 1$ , elle devient $e_1 = 2{,}4\ \mathrm{L/min}$ . L'accumulation intégrale au pas précédent est $u_I(0) = 0{,}12$ . Question 1 : Calculez les composantes du PID (proportionnelle, intégrale et dérivée) à l'instant $k = 1$ . Question 2 : Déterminez la loi de récurrence...→
  • 25
    Contexte Un système de contrôle de température pour un four industriel est modélisé par une fonction de transfert continue du second ordre. La régulation doit être réalisée numériquement avec un régulateur PID discret. Les paramètres du système continu sont : $G(s) = \frac{5}{s^2 + 3s + 2}$ (fonction de transfert du procédé) Période d'échantillonnage : $T_e = 0.1 \text{ s}$ Consigne de température : $T_{ref} = 100 \text{ °C}$ Coefficient de proportionnalité : $K_p = 1.2$ Temps intégral : $T_i = 2 \text{ s}$ Temps dérivé : $T_d = 0.5 \text{ s}$ Questions Question 1 : Déterminez les pôles du système continu $G(s)$ et classifiez la stabilité du système en boucle ouverte. Calculez ensuite la réponse en régime permanent pour une entrée échelon unitaire....→
  • 26
    Contexte Un système d'asservissement de position d'un moteur électrique est commandé par un régulateur numérique. La fonction de transfert du procédé en temps continu est : $G(s) = \frac{K}{s(s + 2)}$ avec $K = 4$ Régulateur proportionnel-intégral (PI) continu : $C(s) = 2 + \frac{1}{s}$ Période d'échantillonnage : $T_e = 0.05 \text{ s}$ Zéro d'ordre zéro (ZOH) pour la reconstruction Questions Question 1 : Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte continue $H(s) = C(s) \cdot G(s)$ . Calculez les pôles et les zéros de cette fonction, puis analysez la stabilité en boucle fermée continue en utilisant le critère de Routh-Hurwitz. Question 2 : Convertissez la boucle fermée continue en un système discret équivalent. Utilisez la méthode...→
  • 27
    Contexte Un système de suivi de trajectoire pour un robot manipulateur nécessite un régulateur PID numérique. Le système en boucle ouverte est : $G(s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 4)}$ (fonction de transfert du moteur) Période d'échantillonnage : $T_e = 0.02 \text{ s}$ Spécifications désirées : Dépassement maximal : $M_p \leq 5\%$ Temps d'établissement (critère 2%) : $t_s \leq 0.5 \text{ s}$ Erreur en régime permanent pour une entrée échelon : $e_{ss} = 0 \text{ (type 1)}$ Questions Question 1 : À partir des spécifications de dépassement et de temps d'établissement, déterminez la région de placement des pôles désirés dans le plan complexe continu (bande passante approximative, facteur d'amortissement $\zeta$ , et pulsation naturelle $\omega_n$ ). Proposez une paire de pôles...→
  • 28
    Exercice 1 : Discrétisation et analyse d’un régulateur PID numérique Soit un système SISO dont la réponse impulsionnelle est donnée par $h(t) = e^{-2t}$ , commandé par un régulateur PID numérique pour une régulation de température. Le système est échantillonné à la période $T_e = 0.1$ s. Question 1 : Écrivez l’équation du PID continu et trouvez sa forme discrétisée par la méthode des différences avancées pour les paramètres suivants : $K_p = 2.0$ , $K_i = 0.5$ , $K_d = 0.3$ . Question 2 : En supposant que la consigne $y^*(k) = 20$ °C est maintenue et que la mesure à $k=0$ est $y(0) = 14$ °C, calculez $u(0)$ , $u(1)$ et $u(2)$...→
  • 29
    Exercice 2 : Synthèse et réglage d’un régulateur PID numérique sur procédé de premier ordre Un procédé industriel est modélisé par $G(s) = \frac{3}{5s+1}$ et soumis à une régulation numérique avec une période d’échantillonnage $T_e = 0.2$ s. Question 1 : Discrétisez le procédé par la méthode de l’impulsion-invariante et trouvez $G(z)$ en Z. Question 2 : Déterminez les coefficients $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ du PID discret pour obtenir une réponse temporelle critique (amortissement $\xi = 1$ , temps de réponse $t_r = 1.5$ s). Question 3 : Simulez la réponse du système à une entrée échelon de 10 unités. Calculez les trois premières réponses $y(0)$ ,...→
  • 30
    Exercice 3 : Régulation numérique PID et compensation du retard d’échantillonnage Un système à retard pur est modélisé par $G(s) = \frac{e^{-0.3s}}{s+2}$ . On souhaite le contrôler par un PID numérique avec $T_e = 0.1$ s. Question 1 : Discrétisez le modèle à retard pur en utilisant l’approximation de Padé d’ordre 1 avant la transformation Z. Donnez l’expression $G_{Padé}(s)$ . Question 2 : Trouvez l’expression de $G(z)$ en Z en utilisant la méthode d’échantillonnage exacte (développement par séries de Taylor). Question 3 : Conception d’un régulateur PID à compensation de retard : en supposant $K_p = 1$ , $K_i = 0.4$ , $K_d = 0.2$ , déterminez la loi de...→
  • 31
    Régulateur PID Numérique - Mise en Place et Vérification de Stabilité Un système d'asservissement numérique doit réguler la température d'un processus industriel. Le contrôleur PID numérique est implémenté sur un microcontrôleur avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1 \text{ s}$ . Le système continu possède la fonction de transfert : $G_p(s) = \frac{5}{(s+1)(s+2)}$ Les paramètres du régulateur PID continu sont initialement : Gain proportionnel : $K_p = 2$ Gain intégral : $K_i = 0.5 \text{ s}^{-1}$ Gain dérivé : $K_d = 0.3 \text{ s}$ Question 1 : Discrétisez le régulateur PID continu en utilisant la méthode d'Euler progressif (forward Euler) avec la période $T_e = 0.1 \text{ s}$ . Calculez : a) La fonction de transfert en $z$ du régulateur...→
  • 32
    Synthèse de Régulateur Numérique par Placement de Pôles Un système linéaire invariant dans le temps est décrit par la représentation d'état discrète suivante : $\begin{bmatrix} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0.1 \\ 0 & 0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(k)$ $y(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix}$ On souhaite placer les pôles du système en boucle fermée à $z_1 = 0.6$ et $z_2 = 0.5$ . Question 1 : Vérifiez la commandabilité du système. Calculez : a) La matrice de commandabilité $\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix}$ b) Le rang de la matrice $\mathcal{C}$ c) Déduisez si le système est commandable et justifiez Question 2 : Calculez le vecteur de rétroaction d'état $\mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}$ en utilisant la méthode de placement de pôles (ou par résolution directe). Les pôles désirés sont $z_1 = 0.6$...→
  • 33
    Synthèse d'Observateur d'État Numérique pour Estimation d'État Un système d'asservissement numérique doit estimer l'état complet $x(k) = [x_1(k) \quad x_2(k)]^T$ à partir de la mesure unique $y(k) = x_1(k)$ . La dynamique du système est : $\begin{bmatrix} x_1(k+1) \ x_2(k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \ 0 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \ x_2(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.1 \ 0.3 \end{bmatrix} u(k)$ $y(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(k) \ x_2(k) \end{bmatrix}$ L'observateur numérique proposé est de la forme : $\hat{x}(k+1) = A\hat{x}(k) + Bu(k) + L[y(k) - C\hat{x}(k)]$ où $L$ est le vecteur de gains de l'observateur. Question 1 : Vérifiez l'observabilité du système. Calculez : a) La matrice d'observabilité $\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \ CA \end{bmatrix}$ b) Le rang de cette matrice c) Déduisez si le système est observable (justifiez) Question 2 : Calculez le vecteur de gains de l'observateur $L = \begin{bmatrix} l_1 \ l_2 \end{bmatrix}$ en utilisant le placement de pôles. Les pôles désirés de l'observateur...→
• Commande RST numérique (38 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Synthèse et analyse d'une commande RST numérique d'un système asservi échantillonné On considère un système dont la fonction de transfert continue du procédé est donnée par $G(s) = \frac{5}{(s+1)(s+4)}$ . Le système est soumis à un échantillonnage périodique de période $T_e = 0{,}1\ \text{s}$ . Vous réalisez une commande RST numérique afin d'obtenir les performances souhaitées. 1. Calculez la fonction de transfert équivalente en z du procédé discretisé $G(z)$ (méthode des zéros et pôles, hypothèse zéro-order-hold). 2. Dimensionnez les polynômes R(z), S(z), T(z) pour une réponse sans dépassement et un temps de réponse à 5% inférieur à $0{,}6\ \text{s}$ . Considérez un régulateur...→
  • 2
    Exercice 2 : Réglage optimal d’un asservissement numérique par RST appliqué à un moteur à courant continu On souhaite asservir la vitesse d’un moteur à courant continu dont la dynamique, après identification, est modélisée par $G(s)=\frac{10}{0{,}5s+1}$ . Le système d’échantillonnage effectue une conversion toutes les $0{,}05\ \text{s}$ . 1. Déterminez la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système motorisé obtenue par échantillonnage à maintien d'ordre zéro (ZOH). 2. Concevez un régulateur RST numérique du premier ordre pour obtenir une constante de temps discrète équivalente de $0{,}2\ \text{s}$ . Calculez précisément les polynômes R(z), S(z), et T(z) nécessaires pour cette spécification. 3. Calculez...→
  • 3
    Exercice 3 : Synthèse numérique RST d'un correcteur pour asservissement de position par moteur pas à pas échantillonné Un moteur pas à pas est assimilé à un intégrateur pur de gain 2, soit $G(s) = \frac{2}{s}$ . Le système est échantillonné avec une période de $T_e = 0{,}2\ \text{s}$ , et une commande RST doit permettre un suivi rapide sans oscillation. 1. Déterminez la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système échantillonné à maintien d'ordre zéro. 2. Concevez un correcteur RST numérique pour une position rapide mais sans dépassement (placez le pôle en $z=0{,}5$ ). Calculez R(z) et S(z), ainsi que T(z) pour une entrée...→
  • 4
    Commande RST d'un système discret de premier ordre On considère un procédé échantillonné modélisé par la fonction de transfert discrète suivante (entrée commande $u(k)$ , sortie $y(k)$ ) : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.3}{z - 0.7}$ On souhaite concevoir un correcteur RST numérique pour assurer un suivi en référence avec une dynamique imposée. Le schéma de commande RST (à retour unitaire) est le suivant : le correcteur est défini par trois polynômes $R(z)$ , $S(z)$ et $T(z)$ , avec la loi de commande : $R(z)U(z) = T(z)R_e(z) - S(z)Y(z)$ où $R_e(z)$ est la transformée en $z$ de la référence $r(k)$ . On adopte les degrés suivants : $R(z) = r_0 + r_1 z^{-1}$ , $S(z) = 1 + s_1 z^{-1}$ ,...→
  • 5
    Conception d'un correcteur RST avec rejet de perturbation On considère un système discret décrit par la fonction de transfert entre la commande $u(k)$ et la sortie $y(k)$ : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.5z + 0.25}{z^2 - 1.3z + 0.42}$ Une perturbation additive lente $d(k)$ agit sur la sortie. On souhaite synthétiser un correcteur RST assurant à la fois une bonne dynamique de suivi et un rejet asymptotique de cette perturbation. Le schéma RST est basé sur : $R(z)U(z) = T(z)R_e(z) - S(z)Y(z)$ avec : $R(z) = 1 + r_1 z^{-1}$ , $S(z) = s_0 + s_1 z^{-1} + s_2 z^{-2}$ , $T(z) = t_0 + t_1 z^{-1} + t_2 z^{-2}$ . On impose que la dynamique en boucle fermée (en l'absence de perturbation) soit donnée par : $A_m(z) = z^2 - 1.4z + 0.49$ et que le rejet de perturbation lente...→
  • 6
    Dimensionnement d'une commande RST avec contrainte sur le temps de réponse On étudie un moteur à courant continu commandé numériquement. Après discrétisation avec un bloqueur d'ordre zéro et une période d'échantillonnage $T_e = 0.01$ s, le modèle discret (commande tension, sortie vitesse) est : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.08z^{-1}}{1 - 1.6z^{-1} + 0.64z^{-2}}$ On souhaite concevoir un correcteur RST pour respecter un temps de réponse à $5\%$ inférieur à $0.1$ s, avec un dépassement de $5\%$ environ. On adopte : $R(z) = 1 + r_1 z^{-1}$ , $S(z) = 1 + s_1 z^{-1} + s_2 z^{-2}$ , $T(z) = t_0 + t_1 z^{-1} + t_2 z^{-2}$ . On souhaite que la dynamique fermée soit équivalente à celle d'un système du second ordre continu de pulsation propre $\omega_n$ et facteur d'amortissement $\xi$ ,...→
  • 7
    Commande numérique RST multi-variable pour une chaîne de production automatisée Un processus multi-variable est modélisé en discret par : $G(z) = \frac{0.15z^2 + 0.1z + 0.05}{z^3 - 0.9z^2 + 0.42z - 0.08}$ La chaîne doit répondre rapidement à toute variation de consigne sans dépassement et assurer une entrée de type échelon et rampe. Question 1: Concevez les polynômes R(z), S(z), T(z) pour garantir la stabilité, le suivi parfait de l'échelon et de la rampe, en plaçant les pôles fermés désirés en $z = 0.6$ et $z = 0.5$ (double) : $P(z) = (z-0.6)(z-0.5)^2$ Question 2: Déterminez les coefficients des régulateurs à partir de l’équation diophantienne et vérifiez le type du système final. Question 3: Calculez la réponse du...→
  • 8
    Exercice 1 : Synthèse d'une commande RST pour un système discret d'ordre 2 On considère un système discrétisé avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,1$ s. Sa fonction de transfert est $H(z) = \frac{0,018z + 0,015}{z^2 - 1,65z + 0,7}$ . On veut réaliser une régulation RST numérique pour ce système. Question 1 : Déterminer les paramètres des polynômes $R(z)$ et $S(z)$ pour placer les pôles en boucle fermée souhaités à $z_{1,2} = 0,7 \pm 0,2j$ , en supposant une configuration à deux degrés de liberté. Question 2 : Calculer le polynôme $T(z)$ permettant d'assurer l'exactitude en échelon (suivi parfait d'un échelon d'entrée). Question 3 : Avec l'ensemble $(R,S,T)$ déterminé, calculer la réponse du...→
  • 9
    Exercice 2 : Commande RST avec annulation de zéro et optimisation du temps de réponse On étudie un procédé with la fonction de transfert discrète suivante : $H(z) = \frac{z}{z^2 - 1,2z + 0,36}$ obtenue pour $T_e = 0,2$ s. On souhaite concevoir un régulateur RST numérique tel que le système en boucle fermée présente une réponse la plus rapide possible sous contrainte d'amortissement minimal $\zeta = 0,4$ . Question 1 : Déterminer le polynôme $S(z)$ pour réaliser l’annulation du zéro du procédé dans le cas où $R(z)$ est monique et de degré 1. Question 2 : Trouver, pour une valeur d’amortissement imposée $\zeta = 0,4$ , les pôles optimaux permettant un...→
  • 10
    Exercice 3 : Synthèse RST pour le rejet de perturbation sur système à retard pur Soit un système discret représenté par $H(z) = \frac{0,03z}{z^2 - 1,6z + 0,7}$ , avec un retard d'action d’un échantillon sur la sortie. On veut réaliser une commande RST permettant le rejet total d’une perturbation sur la sortie. Question 1 : Déterminer la structure du régulateur (degré de $R(z)$ et $S(z)$ ) pour compenser le retard et formuler l’équation diophantienne associée à ce contexte. Question 2 : Pour obtenir un rejet total de perturbation (annulation du terme direct), calculer les valeurs des coefficients de $R(z)$ et $S(z)$ en considérant la contrainte...→
  • 11
    Commande RST numérique d'un moteur à courant continu Considérons un moteur à courant continu dont la fonction de transfert discrète est donnée par : $G(z) = \frac{0.5z + 0.3}{z^2 - 1.2z + 0.5}$ La période d'échantillonnage est $T_e = 0.1$ s. Vous voulez commander ce moteur à l'aide d'une structure RST numérique afin d'obtenir une dynamique imposée et une réponse sans dépassement. Question 1 : Calcul du polynôme d'objectif A(z) Déterminez le polynôme d’objectif $A(z)$ pour des pôles d’ordre 2 complexes conjugués imposés en $z_1 = 0.7 + 0.3j$ et $z_2 = 0.7 - 0.3j$ . Donnez $A(z)$ sous forme développée. Question 2 : Détermination des polynômes R et S On suppose que le polynôme T(z) = 1....→
  • 12
    Commande RST numérique d'un système de suspension active Un système mécanique de suspension active est discrétisé, sa fonction de transfert étant : $G(z) = \frac{0.8z + 0.1}{z^2 - 1.6z + 0.65}$ La spécification requiert une réponse en 2 pas échantillons sans dépassement et un temps de réglage inférieur à 1 s ( $T_e = 0.2$ s). On désire une boucle fermée réalisant cette contrainte via un régulateur RST. Question 1 : Détermination des pôles et du polynôme d’objectif Déterminez les pôles cibles pour satisfaire la rapidité souhaitée et calculez le polynôme objectif $A(z)$ correspondant. Justifiez votre choix. Question 2 : Equation diophantienne et polynômes R et S En considérant $T(z) = 1$ ,...→
  • 13
    Commande RST numérique d'un four industriel Un four industriel est modélisé en temps discrétisé par : $G(z) = \frac{0.4z + 0.05}{z^2 - 0.8z + 0.16}$ La maîtrise de la température doit présenter un temps de stabilisation en 3 pas d’échantillonnage, $T_e = 0.25$ s, sans oscillation. Vous réalisez la commande numérique par une structure RST. Question 1 : Calcul du polynôme cible d'objectif Choisissez et calculez le polynôme d’objectif $A(z)$ adapté à la stabilisation rapide, sans oscillation. Justifiez votre choix et développez le polynôme. Question 2 : Résolution de l’équation diophantienne pour R(z) et S(z) Avec $T(z) = 1,$ écrivez et résolvez l’équation diophantienne pour trouver $R(z)$ et $S(z)$ de degré minimal...→
  • 14
    Exercice 1 : Synthèse d'une commande RST numérique pour un système d'ordre 2 Un système discret est modélisé par sa fonction de transfert : $H(z) = \frac{0{,}6z + 0{,}2}{z^2 - 1{,}1z + 0{,}25}$ On souhaite réguler ce système par la méthode RST avec une structure à retour unitaire. Question 1 : Déterminer les degrés des polynômes $R(z)$ , $S(z)$ et $T(z)$ pour une structure RST minimale. Question 2 : Pour un placement des pôles fermé en $z_1 = 0{,}7$ et $z_2 = 0{,}4$ , déterminer le polynôme caractéristique fermé désiré $P(z)$ puis explicitement l'équation diophantienne à résoudre entre $R(z)$ et $S(z)$ . Question 3 : Résoudre l'équation diophantienne, calculer les coefficients de...→
  • 15
    Exercice 2 : Synthèse RST pour un système avec zéro et perturbation On considère un système échantillonné modélisé par : $H(z) = \frac{0{,}35z - 0{,}21}{z^2 - 1{,}3z + 0{,}42}$ Il est soumis à une perturbation d'entrée $d(k)$ (cf figure). On implémente une commande RST avec retour unitaire. Question 1 : Déterminer la structure des polynômes R(z), S(z), T(z) permettant une annulation du zéro du système en boucle fermée. Question 2 : Pour des pôles fermés désirés $z_1 = 0.8$ et $z_2 = 0.7$ , écrire et développer l'équation diophantienne de synthèse. Question 3 : Calculer explicitement $R(z)$ , $S(z)$ , puis déterminer $T(z)$ pour une réponse sans erreur permanente malgré une perturbation...→
  • 16
    Exercice 3 : Commande RST pour un système asservi d'ordre 1 à temps mort Le système échantillonné est décrit par $H(z) = \frac{0{,}8}{z - 0{,}6}$ On souhaite réguler par une commande RST numérique avec un placement du pôle fermé en $z_1 = 0.2$ pour accélérer la dynamique. Question 1 : Déterminer les degrés minimaux des polynômes $R(z)$ et $S(z)$ pour que le système boucle soit d'ordre 1. Question 2 : Écrire et expliciter l'équation diophantienne à résoudre, puis calculer les coefficients de $R(z)$ et $S(z)$ pour obtenir le pôle souhaité. Question 3 : Déterminer le polynôme $T(z)$ qui garantit l'absence d'erreur statique pour une entrée échelon....→
  • 17
    Un système discret est décrit par sa fonction de transfert : $G(z) = \frac{z + 0,3}{z^2 - 1,5z + 0,7}$ . On souhaite concevoir une commande numérique RST pour asservir la sortie à une consigne échelon unitaire. 1. Déterminez les polynômes R(z), S(z), et T(z) pour imposer des pôles fermés désirés à $z_1 = 0,5$ et $z_2 = 0,4$ . 2. Calculez la forme explicite de la loi de commande numérique. 3. Calculez la sortie du système échantillonné pour les trois premiers instants suite à une consigne échelon.→
  • 18
    Un système échantillonné de second ordre est modélisé par : $H(z) = \frac{0,15z + 0,05}{z^2 - 0,8z + 0,12}$ . On utilise une commande numérique RST pour obtenir un comportement rapide et sans dépassement. 1. Déterminez les pôles fermés nécessaires pour un temps de réponse court (prendre $z_1 = 0,2$ et $z_2 = 0,25$ ). 2. Calculez les polynômes de commande R(z), S(z) associés. 3. Pour une entrée échelon, calculez la sortie aux instants k=0, 1, et 2.→
  • 19
    On considère une chaîne échantillonnée régulée par un contrôleur RST : le processus est modélisé par $P(z) = \frac{z}{z - 0,6}$ . La consigne est une rampe discrète, soit $r[k] = k$ . 1. Synthétisez les polynômes R(z), S(z), T(z) pour un régime permanent sans erreur sur la rampe. 2. Calculez la valeur de la commande numérique aux instants k = 0, 1 et 2. 3. Évaluer la sortie aux mêmes instants et donner une interprétation du comportement obtenu.→
  • 20
    Un four de laboratoire est modélisé par la fonction de transfert discrète suivante : $G(z) = \frac{0,2z + 0,15}{z^2 - 1,1z + 0,25}$ . On veut réaliser une commande RST permettant d'asservir le four avec une réponse sans dépassement, la position désirée des pôles en boucle fermée étant imposée à $z_{1,2} = 0,6 \pm j0,2$ . On désire également annuler l'effet du zéro du procédé en boucle fermée. Questions : 1. Déterminez le polynôme S(z) nécessaire pour annuler le zéro de $G(z)$ . 2. Trouvez le polynôme R(z) pour imposer les pôles fermés souhaités. 3. Exprimez la boucle fermée sous forme d’un schéma bloc explicite (expression littérale du transfert en boucle fermée...→
  • 21
    Un procédé discret d’ordre 1 est représenté par la fonction de transfert : $G(z) = \frac{0,65}{z-0,55}$ . On souhaite implanter une commande numérique RST pour que la réponse du système ait un temps de réponse le plus court possible sans dépassement (pôle réel le plus rapide à l’intérieur du cercle unité), et pour que l’erreur de suivi de consigne nulle soit assurée pour un échelon. Questions : 1. Quel doit être le pôle fermé du système ? Exprimez-le et motivez votre choix avec une valeur numérique adaptée. 2. Calculez les polynômes R(z), S(z), T(z) pour un placement de pôle optimal en boucle...→
  • 22
    On considère un système échantillonné de type régulation numérique avec commande RST. 1. Étant donné le procédé discret $H_p(z)=\frac{z}{z-0.6}$ , déterminez le polynôme d'ordre minimal pour $R(z)$ afin de réaliser un placement des pôles imposé pour la boucle fermée. 2. Choisissez un schéma RST avec $S(z)=1$ et $T(z)=K$ . Calculez la valeur du gain $K$ pour garantir que la sortie suive l'entrée unité en régime permanent. 3. Pour l'entrée $u[n]=1$ et les valeurs obtenues précédemment, calculez la première valeur de la sortie $y[0]$ .→
  • 23
    Un système de commande RST numérique est utilisé pour piloter un procédé à retard d'échantillonnage modélisé par $H_p(z)=\frac{z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}$ . 1. Déterminez la structure des polynômes $R(z)$ , $S(z)$ , $T(z)$ pour un placement de pôle fermé en $z=0.6$ . 2. Calculez explicitement les coefficients des polynômes $R(z)$ et $S(z)$ pour répondre au cahier des charges ci-dessus. 3. Pour une entrée impulsion discrète $u[n]=\delta[n]$ , déduisez la sortie initiale $y[0]$ et $y[1]$ .→
  • 24
    On considère un système discret où la commande RST est utilisée pour assurer une régulation parfaite d’un procédé d’ordre deux : $H_p(z)=\frac{z^2}{z^2-1.1z+0.3}$ . 1. Déterminez le degré minimal du polynôme $R(z)$ permettant un placement de pôles fermé en $z=0.3$ . 2. Calculez le polynôme $S(z)$ associé au degré minimal trouvé. 3. Pour une impulsion d'entrée $u[n]=\delta[n]$ et $T(z)=1$ , calculez la valeur de sortie $y[2]$ du système complet.→
  • 25
    Exercice 1 : Synthèse d'une commande RST numérique - Régulation d'un moteur discret On considère un moteur modélisé par la fonction de transfert discrète : $G(z) = \frac{0.15z + 0.10}{z^2 - 1.4z + 0.49}$ La consigne échantillonnée est $r[k]$ , la sortie est $y[k]$ . Un régulateur RST est à concevoir pour atteindre une dynamique souhaitée. Question 1 : Déterminer le polynôme souhaité en boucle fermée $P_d(z) = (z-0.7)^2$ et donner sa forme développée. Question 2 : Calculer les polynômes R(z), S(z) et T(z) nécessaires en utilisant la méthode d'assignation polynomiale : $G(z)S(z) + R(z) = P_d(z)$ . On impose $S(z) = s_0$ constant. Déduire R(z) et T(z) tels que le système soit sans erreur de...→
  • 26
    Exercice 2 : Réglage et analyse de performance d'une commande RST numérique pour filtre discret On souhaite réguler un filtre numérique dont la fonction de transfert est : $H(z) = \frac{1.2z +0.5}{z^2 -0.8z + 0.16}$ Un contrôle par la structure RST doit permettre un régime dynamique rapide et un suivi parfait. Question 1 : On demande une dynamique correspondante à des pôles à $z_1 = 0.5$ et $z_2 = 0.3$ . Construire et développer le polynôme désiré en boucle fermée $P_d(z)$ . Question 2 : Adapter le contrôleur RST pour le filtre donné avec $S(z) = 1$ . Calculer les polynômes R(z), S(z), T(z) pour réaliser l'assignation souhaitée : $H(z)S(z) + R(z) = P_d(z)$ . Question...→
  • 27
    Exercice 3 : Synthèse RST pour régulation d'un procédé à retard pur discret On considère une installation industrielle modélisée par : $G(z) = 0.8 z^{-2}$ soit un retard pur de deux périodes avec gain 0.8. Question 1 : Déterminer le polynôme de boucle fermée souhaité $P_d(z) = (z-0.4)^2$ et l'ordre du régulateur RST minimal. Question 2 : Écrire la relation d'assignation polynomiale pour calculer les polynômes du régulateur RST, en indiquant sous forme générale le calcul de R(z), S(z) et T(z) pour ce type de système (retard). Question 3 : Pour l'entrée échelon unitaire $r[k]=1$ , en supposant état initial nul, calculer la réponse du...→
  • 28
    Exercice 1 : Synthèse RST d'un asservissement de position à temps discret On considère un système d’asservissement de position, dont la fonction de transfert du procédé discrétisé (avec BOZ et échantillonnage $T_e = 25~\textrm{ms}$ ), est : $G(z) = \frac{0{,}013z+0{,}011}{z^2 - 1{,}68z + 0{,}696}$ On souhaite synthétiser un régulateur RST à structure suivante : $R(z) = z^2+r_1z+r_0, \quad S(z) = s_1z+s_0, \quad T(z) = t_1z+t_0$ Le cahier des charges impose des pôles fermés souhaités en $p_1=0{,}8$ et $p_2=0{,}5$ . Question 1 : Écrire l’équation diophantienne du bouclage RST et déterminer les coefficients du polynôme caractéristiques fermés associés à ces pôles. Question 2 : Calculer les coefficients $r_1$ et $r_0$ en explicitant toute la démarche pour résoudre l’équation diophantienne....→
  • 29
    Exercice 2 : Commande RST numérique d’un système d’asservissement de vitesse d’un moteur On considère un moteur à courant continu dont la fonction de transfert discrète obtenue par identification est : $G(z) = \frac{0{,}42z + 0{,}36}{z^2 - 1{,}22z + 0{,}3}$ La structure de commande RST est la suivante : $R(z) = z^2 + r_1z + r_0, \quad S(z) = s_1z + s_0, \quad T(z) = t_0$ On souhaite placer les pôles fermés souhaités en $0{,}75$ et $0{,}6$ . Question 1 : Déterminer le polynôme caractéristique fermé cible et écrire explicitement l’équation diophantienne liée à la synthèse RST. Question 2 : Résoudre l’équation diophantienne pour obtenir les valeurs numériques de $r_1$ et $r_0$ (on prendra $S(z)=0$ pour simplification dans cet exercice). Question 3 : Calculer...→
  • 30
    Exercice 3 : Régulation RST d’un procédé à retard pur On considère un procédé échantillonné dont la fonction de transfert discrète comporte un retard : $G(z) = \frac{0,09z}{z^2 - 1,1z + 0,3}$ On souhaite réaliser une commande RST d’ordre minimal, avec : $R(z) = z + r_0, \quad S(z) = s_0$ (formes minimales), $T(z) = t_0$ L’objectif est de placer le pôle fermé désiré en $p=0,7$ (double pour performance apériodique critique). Question 1 : Écrire l’équation diophantienne adaptée et donner le polynôme caractéristique fermé cible. Question 2 : Calculer les coefficients $r_0$ et $s_0$ par identification des coefficients dans l’équation. Question 3 : Déterminer le préfiltre numérique $t_0$ pour garantir une absence d’erreur statique à une...→
  • 31
    Exercice 2 : Synthèse d’une commande RST pour un système à zéro non-minimum On considère le système discret d’asservissement défini par : $G(z) = \frac{z - 0.8}{z^2 - 1.5z + 0.7}$ à asservir en utilisant une commande RST numérique. On souhaite obtenir une dynamique fermée associée à un polynôme de référence $A_m(z) = z^2 - 1.3z + 0.42$ . Question 1 : Déterminer les polynômes $R(z)$ et $S(z)$ en résolvant explicitement l’équation diophantienne associée. Question 2 : Déterminer le polynôme $T(z)$ pour garantir la suppression de l’erreur de suivi en régime permanent pour une entrée échelon. Donner la fonction de transfert en boucle fermée. Question 3 : Si un échelon unitaire est appliqué en...→
  • 32
    Exercice 3 : Commande RST numérique d’un processus, positionnement optimal des pôles On considère le processus discret suivant : $G(z) = \frac{0.7}{z-0.4}$ On se propose de réaliser un asservissement numérique par la méthode RST pour placer le pôle fermé en $z = 0.1$ . Question 1 : Proposer et calculer explicitement les polynômes $R(z)$ et $S(z)$ pour imposer la position du pôle fermé choisi. Question 2 : Donner le polynôme $T(z)$ et la fonction de transfert fermée correspondante. Question 3 : Calculer la réponse du système fermé à une entrée impulsionnelle, en explicitant la valeur des trois premiers échantillons de sortie.→
  • 33
    Exercice 1 : Synthèse et analyse d'une commande RST numérique d'un système asservi échantillonné On considère un système dont la fonction de transfert continue du procédé est donnée par $G(s) = \frac{5}{(s+1)(s+4)}$ . Le système est soumis à un échantillonnage périodique de période $T_e = 0{,}1\ \text{s}$ . Vous réalisez une commande RST numérique afin d'obtenir les performances souhaitées. 1. Calculez la fonction de transfert équivalente en z du procédé discretisé $G(z)$ (méthode des zéros et pôles, hypothèse zéro-order-hold). 2. Dimensionnez les polynômes R(z), S(z), T(z) pour une réponse sans dépassement et un temps de réponse à 5% inférieur à $0{,}6\ \text{s}$ . Considérez un régulateur...→
  • 34
    Exercice 2 : Réglage optimal d’un asservissement numérique par RST appliqué à un moteur à courant continu On souhaite asservir la vitesse d’un moteur à courant continu dont la dynamique, après identification, est modélisée par $G(s)=\frac{10}{0{,}5s+1}$ . Le système d’échantillonnage effectue une conversion toutes les $0{,}05\ \text{s}$ . 1. Déterminez la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système motorisé obtenue par échantillonnage à maintien d'ordre zéro (ZOH). 2. Concevez un régulateur RST numérique du premier ordre pour obtenir une constante de temps discrète équivalente de $0{,}2\ \text{s}$ . Calculez précisément les polynômes R(z), S(z), et T(z) nécessaires pour cette spécification. 3. Calculez...→
  • 35
    Exercice 3 : Synthèse numérique RST d'un correcteur pour asservissement de position par moteur pas à pas échantillonné Un moteur pas à pas est assimilé à un intégrateur pur de gain 2, soit $G(s) = \frac{2}{s}$ . Le système est échantillonné avec une période de $T_e = 0{,}2\ \text{s}$ , et une commande RST doit permettre un suivi rapide sans oscillation. 1. Déterminez la fonction de transfert discrète $G(z)$ du système échantillonné à maintien d'ordre zéro. 2. Concevez un correcteur RST numérique pour une position rapide mais sans dépassement (placez le pôle en $z=0{,}5$ ). Calculez R(z) et S(z), ainsi que T(z) pour une entrée...→
  • 36
    Commande RST d'un système discret de premier ordre On considère un procédé échantillonné modélisé par la fonction de transfert discrète suivante (entrée commande $u(k)$ , sortie $y(k)$ ) : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.3}{z - 0.7}$ On souhaite concevoir un correcteur RST numérique pour assurer un suivi en référence avec une dynamique imposée. Le schéma de commande RST (à retour unitaire) est le suivant : le correcteur est défini par trois polynômes $R(z)$ , $S(z)$ et $T(z)$ , avec la loi de commande : $R(z)U(z) = T(z)R_e(z) - S(z)Y(z)$ où $R_e(z)$ est la transformée en $z$ de la référence $r(k)$ . On adopte les degrés suivants : $R(z) = r_0 + r_1 z^{-1}$ , $S(z) = 1 + s_1 z^{-1}$ ,...→
  • 37
    Conception d'un correcteur RST avec rejet de perturbation On considère un système discret décrit par la fonction de transfert entre la commande $u(k)$ et la sortie $y(k)$ : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.5z + 0.25}{z^2 - 1.3z + 0.42}$ Une perturbation additive lente $d(k)$ agit sur la sortie. On souhaite synthétiser un correcteur RST assurant à la fois une bonne dynamique de suivi et un rejet asymptotique de cette perturbation. Le schéma RST est basé sur : $R(z)U(z) = T(z)R_e(z) - S(z)Y(z)$ avec : $R(z) = 1 + r_1 z^{-1}$ , $S(z) = s_0 + s_1 z^{-1} + s_2 z^{-2}$ , $T(z) = t_0 + t_1 z^{-1} + t_2 z^{-2}$ . On impose que la dynamique en boucle fermée (en l'absence de perturbation) soit donnée par : $A_m(z) = z^2 - 1.4z + 0.49$ et que le rejet de perturbation lente...→
  • 38
    Dimensionnement d'une commande RST avec contrainte sur le temps de réponse On étudie un moteur à courant continu commandé numériquement. Après discrétisation avec un bloqueur d'ordre zéro et une période d'échantillonnage $T_e = 0.01$ s, le modèle discret (commande tension, sortie vitesse) est : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.08z^{-1}}{1 - 1.6z^{-1} + 0.64z^{-2}}$ On souhaite concevoir un correcteur RST pour respecter un temps de réponse à $5\%$ inférieur à $0.1$ s, avec un dépassement de $5\%$ environ. On adopte : $R(z) = 1 + r_1 z^{-1}$ , $S(z) = 1 + s_1 z^{-1} + s_2 z^{-2}$ , $T(z) = t_0 + t_1 z^{-1} + t_2 z^{-2}$ . On souhaite que la dynamique fermée soit équivalente à celle d'un système du second ordre continu de pulsation propre $\omega_n$ et facteur d'amortissement $\xi$ ,...→
• Commande numérique par retour d'état (29 Exercices)
  • 1
    Un système échantillonné représenté par le schéma ci-dessous possède la dynamique continue suivante : $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ avec $x(t)\in\mathbb{R}^2$ , $u(t)\in\mathbb{R}$ , $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \ -2 & -3\end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$ . On considère une période d'échantillonnage $T_e = 0{,}1$ s et un retour d'état complet : $u[k] = -K x[k]$ . 1. Déterminez la matrice d'état discrétisée $\Phi$ et le vecteur d'entrée $\Gamma$ sur la période $T_e$ . 2. Pour un placement des pôles discrets en $0{,}5\pm 0{,}2j$ , calculez le gain $K$ . 3. Calculez la réponse de l’état $x[1]$ pour l’état initial $x[0] = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$ si $u[k]$ est appliqué.→
  • 2
    Un moteur électrique débrayé peut être modélisé par : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix}0 & 1 \ 0 & -\alpha\end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix}0 \ \beta\end{bmatrix}u(t)$ On souhaite réguler sa vitesse en utilisant une commande numérique par retour d’état, avec une période d’échantillonnage $T_e=0{,}2$ s. On donne $\alpha=4$ s⁻¹ et $\beta=2$ (SI). 1. Établissez $\Phi$ et $\Gamma$ du système échantillonné. 2. Pour un placement des pôles en $0{,}6$ et $0{,}7$ , déterminez le gain $K$ de retour d’état numérique. 3. En considérant un état initial $x[0]=\begin{bmatrix}0{,}5 \ 0\end{bmatrix}$ , calculez l’état suivant $x[1]$ sous cette commande.→
  • 3
    Un système d'asservissement échantillonné est constitué d'un moteur électrique commandé par un contrôleur numérique. Le moteur peut être modélisé en temps continu par la fonction de transfert suivante : $G(s) = \frac{K_m}{s(\tau_m s + 1)}$ avec $K_m = 2 \text{ rad/V.s}$ et $\tau_m = 0,1 \text{ s}$ . Le système est échantillonné avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,05 \text{ s}$ . On desire implémenter une loi de commande par retour d'état numérique de la forme : $u(kT_e) = -K_1 x_1(kT_e) - K_2 x_2(kT_e) + r(kT_e)$ où $r(kT_e)$ est la consigne d'entrée. **Question 1 :** Discrétiser le système continu pour obtenir la représentation d'état discrète $x((k+1)T_e) = A_d x(kT_e) + B_d u(kT_e)$ . Donnez les matrices $A_d$ et $B_d$ . **Question 2 :** Calculez le gain de retour d'état $K = [K_1 \quad K_2]$ pour...→
  • 4
    Un système d'asservissement de température est constitué d'un four électrique dont on souhaite réguler la température de sortie. Le modèle thermique discrétisé du four est donné par : $\begin{pmatrix} T_1(k+1) \\ T_2(k+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,15 \\ 0,1 & 0,85 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T_1(k) \\ T_2(k) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,05 \end{pmatrix} u(k)$ avec $y(k) = [1 \quad 0] \begin{pmatrix} T_1(k) \\ T_2(k) \end{pmatrix}$ où $T_1$ et $T_2$ sont les températures (en °C) de deux zones du four, et $u(k)$ est la puissance de commande (en kW). **Question 1 :** Analysez la stabilité du système en boucle ouverte. Calculez les valeurs propres de la matrice $A$ et discutez de la stabilité (le système est stable si $|\lambda_i| < 1$ pour tous les pôles). **Question 2 :** Construisez un observateur d'état numérique ayant des pôles observateurs...→
  • 5
    Un système de position guidée pour un bras robot industriel peut être modélisé à temps discret par la représentation d'état suivante : $x(k+1) = \begin{pmatrix} 1 & 0,1 & 0,005 \ 0 & 0,9 & 0,1 \ 0 & 0 & 0,8 \end{pmatrix} x(k) + \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0,2 \end{pmatrix} u(k)$ $y(k) = [1 \quad 0 \quad 0] x(k)$ où $x_1$ est la position (rad), $x_2$ est la vitesse (rad/s), $x_3$ est l'accélération de commande (rad/s²), et $u(k)$ est la consigne d'accélération. **Question 1 :** Analysez la contrôlabilité et l'observabilité du système. Vérifiez que le système est entièrement commandable et observable, puis interprétez le sens de ces propriétés pour la commande du bras robot. **Question 2 :** Concevez un retour d'état linéaire $u(k) = N_r r(k) - K x(k)$ (où $r(k)$ est la consigne) permettant de placer les pôles du système...→
  • 6
    Système de régulation numérique d'un moteur à courant continu On considère un système d'asservissement numérique d'un moteur à courant continu avec un convertisseur numérique-analogique et un capteur de vitesse. Le système continu est modélisé par la fonction de transfert suivante : $G(s) = \frac{10}{s(s+2)}$ Le système est échantillonné avec une période $T_e = 0.1 \, \text{s}$ . On désire synthétiser un correcteur numérique par retour d'état pour stabiliser le système et obtenir les pôles désirés en $z = 0.7$ et $z = 0.8$ . Question 1 : Discrétisez le système continu pour obtenir le modèle d'état discret $(A_d, B_d, C_d, D_d)$ en utilisant l'équivalent discret avec un bloqueur d'ordre zéro. Question 2 :...→
  • 7
    Asservissement d'une position angulaire d'une charge inertielle Un système de positionnement angulaire est constitué d'un moteur pas-à-pas commandé par un contrôleur numérique. Le modèle linéarisé continu du moteur et de la charge est : $G(s) = \frac{K_m}{s(J_s + f_v)}$ où $K_m = 5 \, \text{N·m/A}$ , $J = 0.05 \, \text{kg·m}^2$ , $f_v = 0.2 \, \text{N·m·s/rad}$ . Le système est discrétisé avec $T_e = 0.05 \, \text{s}$ . Un compensateur numérique doit être conçu pour atteindre les spécifications suivantes : — Erreur de position statique inférieure à $0.01 \, \text{rad}$ pour une rampe unitaire — Dépassement inférieur à $10\%$ en échelon — Temps de régulation à $5\%$ inférieur à $0.3 \, \text{s}$ Question 1 : Calculez le modèle d'état discret du système augmenté...→
  • 8
    Asservissement de débit dans une conduite avec perturbation Un système de régulation numérique de débit dans une conduite pneumatique est soumis à une perturbation mesurable de pression amont. Le modèle du processus continu est : $G(s) = \frac{K_p}{(\tau_1 s + 1)(\tau_2 s + 1)}$ avec $K_p = 2$ , $\tau_1 = 0.2 \, \text{s}$ , $\tau_2 = 0.1 \, \text{s}$ . La perturbation entrante suit le modèle : $D(s) = \frac{K_d}{s(\tau_d s + 1)}$ avec $K_d = 0.5$ , $\tau_d = 0.15 \, \text{s}$ . Le système est échantillonné à $T_e = 0.02 \, \text{s}$ . On demande de concevoir un régulateur numérique avec intégrateur pour : — Annuler l'effet constant de la perturbation — Atteindre une bande passante supérieure à $5 \, \text{Hz}$ — Garantir une fonction de sensibilité $S(z) = \frac{1}{1 + GC}$ respectant $|S(e^{j\omega})| \leq 2$ pour $\omega \in [0, \omega_N]$...→
  • 9
    Exercice 2 : Régulation de température dans un système thermique discret Un système de chauffage est contrôlé par une commande numérique avec retour d'état. La température ambiante $T_a(t)$ et la température du système $T_s(t)$ sont les états du système. Le modèle thermique continu est : $\frac{dT_s}{dt} = -\frac{1}{RC}(T_s - T_a) + \frac{1}{C}u(t)$ $\frac{dT_a}{dt} = 0$ où $R = 10 \text{ K/W}$ , $C = 1000 \text{ J/K}$ , et $u(t)$ est la puissance fournie en watts. La période d'échantillonnage est $T_e = 1 \text{ s}$ . Question 1 : Établissez la matrice d'état discrète $\mathbf{A}_d$ et la matrice d'entrée $\mathbf{B}_d$ du système échantillonné en utilisant l'exponentielle de matrice. Question 2 : Déterminez les gains du correcteur $K_T$ et $K_a$ tels...→
  • 10
    On considère un système asservi discret représenté par l’équation d’état : $\begin{cases} x[k+1] = Ax[k] + Bu[k] \ y[k] = Cx[k] \end{cases}$ avec $A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 \ 0 & 0.4 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ et $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ . Supposons que l'on souhaite réguler ce système en utilisant une commande par retour d’état telle que $u[k] = -Kx[k]$ . 1. Calculez la matrice de gain $K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}$ pour que les pôles de la boucle fermée soient placés en $0.2$ (double racine). 2. Pour un état initial $x[0] = \begin{bmatrix} 5 \ -2 \end{bmatrix}$ , calculez $u[0]$ puis $x[1]$ . 3. Déterminez la sortie $y[1]$ .→
  • 11
    On s’intéresse à un asservissement numérique d’un système du premier ordre différentiel modélisé par : $\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = Ku(t)$ avec $\tau = 0.5\ \text{s},\ K = 2$ . On choisit une période d’échantillonnage $T_e = 0.1\ \text{s}$ , et on implémente une commande de type retour d’état numérique. 1. Déterminez, après discrétisation (méthode d’Euler avant), l’équation d’état discrète sous forme matricielle. 2. Pour un retour d’état $u[k] = -k_1x[k]$ , fixez $k_1$ pour que le temps de réponse à 5 % soit inférieur à $0.4\ \text{s}$ . 3. Pour l’état initial $x[0] = 1$ , calculez $u[0]$ et $x[1]$ .→
  • 12
    Exercice 1 : Contrôle par Retour d'État d'un Système Moteur-Charge Un système de régulation numérique doit contrôler un moteur à courant continu couplé à une charge mécanique. Le système en temps continu est décrit par les équations d'état suivantes : Données du système : Moment d'inertie : $J = 0.02 \text{ kg·m}^2$ Coefficient de frottement visqueux : $b = 0.1 \text{ N·m·s/rad}$ Constante de couple du moteur : $K_t = 0.5 \text{ N·m/A}$ Constante de force contre-électromotrice : $K_e = 0.5 \text{ V·s/rad}$ Résistance d'induit : $R = 2 \text{ Ω}$ Période d'échantillonnage : $T_e = 0.01 \text{ s}$ Le modèle d'état continu est : $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}u(t)$ $y(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t)$ où $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \omega \ i_a \end{bmatrix}$ (vitesse angulaire et courant d'induit), $u = u_a$ (tension d'induit). Questions : Question 1 : Déterminez les...→
  • 13
    Exercice 2 : Commande Numérique avec Action Intégrale pour Suivi de Référence Le système du moteur de l'exercice 1 doit être complété par une action intégrale pour éliminer l'erreur statique. On augmente le vecteur d'état en incluant l'intégrale de l'erreur de vitesse. Données du système : Même système moteur-charge qu'à l'exercice 1 Matrices discrètes (résultats de l'exercice 1) : $\mathbf{A}_d = \begin{bmatrix} 0.9471 & 0.2366 \\ -0.00237 & 0.9941 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{B}_d = \begin{bmatrix} 0.001183 \\ 0.004971 \end{bmatrix}$ Vitesse de référence : $\omega_{ref}(k) = 100 \text{ rad/s}$ (échelon appliqué à $k=0$ ) Condition initiale : $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ Vecteur d'état augmenté : $\tilde{\mathbf{x}}(k) = \begin{bmatrix} \omega(k) \\ i_a(k) \\ \epsilon_i(k) \end{bmatrix}$ où $\epsilon_i(k) = \sum_{j=0}^{k} [\omega_{ref}(j) - \omega(j)]$ Questions : Question 1 : Construisez le système augmenté en temps discret. Déterminez les matrices étendues $\tilde{\mathbf{A}}_d$...→
  • 14
    Exercice 3 : Observateur d'État pour Estimation du Courant d'Induit En pratique, seule la vitesse angulaire peut être mesurée directement par un tachymètre. Le courant d'induit ne peut pas être mesuré en temps réel (coût, encombrement). Un observateur d'état numérique est nécessaire pour reconstruire l'état complet du système à partir de la seule sortie mesurée. Données du système : Matrices discrètes du moteur (de l'exercice 1) : $\mathbf{A}_d = \begin{bmatrix} 0.9471 & 0.2366 \ -0.00237 & 0.9941 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B}_d = \begin{bmatrix} 0.001183 \ 0.004971 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ Seule la vitesse est mesurée : $y_m(k) = \omega(k) + v(k)$ avec bruit de mesure $v(k) \in [-1, 1] \text{ rad/s}$ Gain de l'observateur à concevoir : $\mathbf{L} = \begin{bmatrix} l_1 \ l_2 \end{bmatrix}$ Questions : Question 1 : Posez les équations de l'observateur d'état discret et...→
  • 15
    Exercice 1 : Synthèse d'un régulateur numérique par retour d'état On considère un système électromécanique échantillonné constitué d'un moteur à courant continu entraînant une charge inertielle. Le système continu en boucle ouverte possède la fonction de transfert suivante : $G(s) = \frac{K}{s(s+a)}$ où $K = 2 \text{ rad/(V·s²)}$ et $a = 0.5 \text{ s}^{-1}$ . Le système est commandé via un contrôleur numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.2 \text{ s}$ . On souhaite implémenter une commande par retour d'état numérique permettant d'atteindre les performances suivantes : Pôles en boucle fermée à $z_1 = 0.7$ et $z_2 = 0.5$ Élimination du gain statique de l'intégrateur Question 1 : Discrétiser le système continu en utilisant la méthode de...→
  • 16
    Exercice 3 : Implémentation pratique et effet de quantification du régulateur numérique L'implémentation du régulateur numérique sur un processeur numérique nécessite une quantification des coefficients et des calculs intermédiaires. Le système utilise une représentation en virgule fixe sur $N = 16$ bits avec $N_f = 12$ bits de fraction. Le gain de retour d'état calculé est $K_r = [0.565 \quad -1.158]$ , avec la matrice de transition discrète $\Phi = \begin{bmatrix} 1 & 0.1904 \ 0 & 0.9048 \end{bmatrix}$ et $\Gamma = \begin{bmatrix} 0.7808 \ 0.3808 \end{bmatrix}$ . Question 1 : Convertir les coefficients du régulateur (gains et matrices) en représentation quantifiée sur 16 bits avec 12 bits de fraction. Calculer l'erreur de quantification absolue et relative pour chaque coefficient. Question 2 : Avec...→
  • 17
    Exercice 1 : Analyse et Synthèse d'un Système Échantillonné en Boucle Fermée Un système électromécanique représentant un moteur à courant continu est décrit par sa représentation d'état continue suivante : $\begin{cases} \dot{x}_1(t) = x_2(t) \ \dot{x}_2(t) = -5x_2(t) + 10u(t) \ y(t) = x_1(t) \end{cases}$ Ce système est soumis à une commande numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,1 \text{ s}$ . Le contrôleur doit être implanté numériquement et utilise un retour d'état complet. Question 1 : Déterminez la représentation d'état discrète équivalente $x(k+1) = Ad \cdot x(k) + Bd \cdot u(k)$ du système après discrétisation, en utilisant un bloqueur d'ordre zéro et la période d'échantillonnage donnée. Question 2 : Vérifiez la commandabilité du système échantillonné. Construisez la matrice de commandabilité $\mathcal{C} = [B_d \quad A_d B_d]$ et vérifiez son...→
  • 18
    Exercice 2 : Estimation d'État et Observabilité dans un Système Thermique Échantillonné Un système de régulation thermique d'une enceinte de laboratoire possède la représentation d'état continue suivante : $\begin{cases} \dot{x}_1(t) = -0,2x_1(t) + 0,5u(t) \\ \dot{x}_2(t) = 0,3x_1(t) - 0,1x_2(t) \\ y(t) = x_2(t) \end{cases}$ où $x_1$ est la température intérieure (°C), $x_2$ est le flux thermique (W), $u$ est la puissance de chauffage (kW), et $y$ est la mesure du flux thermique. Le système fonctionne avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,2 \text{ s}$ . Question 1 : Discrétisez le système thermique en utilisant la matrice exponentielle. Calculez les matrices d'état discret $A_d$ et $B_d$ , ainsi que la matrice de sortie $C_d$ et $D_d$ . Question 2 :...→
  • 19
    Exercice 3 : Régulation Numérique d'une Suspension Magnétique avec Discrétisation et Réduction de Modèle Un système de suspension magnétique linéarisé autour d'un point d'équilibre est modélisé par : $\begin{cases} \dot{x}_1(t) = x_2(t) \ \dot{x}_2(t) = -20x_1(t) - 8x_2(t) + 15u(t) \ \dot{x}_3(t) = -2x_3(t) + u(t) \ y(t) = x_1(t) \end{cases}$ où $x_1$ est la position du projectile (m), $x_2$ est sa vitesse (m/s), $x_3$ est l'état du courant magnétique (A), et $u$ est la tension d'alimentation (V). Le système fonctionne avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,05 \text{ s}$ . Question 1 : Discrétisez le système complet d'ordre 3 en calculant les matrices $A_d$ (matrice $3 \times 3$ ), $B_d$ (vecteur $3 \times 1$ ), $C_d$ et $D_d$ . Utilisez l'approximation de discrétisation appropriée pour $x_3$ . Question 2...→
  • 20
    Exercice 1 : Asservissement Numérique d'un Moteur DC - Commande par Retour d'État Un système de positionnement angulaire utilise un moteur à courant continu asservi numériquement. Le moteur est commandé par un convertisseur numérique-analogique via un contrôleur numérique. Le système fonctionne avec une période d'échantillonnage $T_e = 0,01 \, \text{s}$ . Données du système : Constante de couple du moteur : $K_m = 0,5 \, \text{N·m/A}$ Constante de force contre-électromotrice : $K_e = 0,5 \, \text{V·s/rad}$ Résistance d'induit : $R_a = 1 \, \Omega$ Inductance d'induit : $L_a = 0,01 \, \text{H}$ Moment d'inertie : $J = 0,02 \, \text{kg·m}^2$ Coefficient de frottement visqueux : $f = 0,1 \, \text{N·m·s/rad}$ Question 1 : Établir la représentation d'état discrétisée du système moteur avec les variables d'état $x_1(k) = \theta(k)$ (position angulaire),...→
  • 21
    Exercice 2 : Commande Prédictive d'un Système Thermique Échantillonné par Retour d'État Un système de chauffage numérique d'une enceinte climatique nécessite une régulation de température précise. Le système utilise une période d'échantillonnage $T_e = 0,05 \, \text{s}$ . Le modèle thermique simplifié considère deux états : la température interne $T_\text{in}$ et la température de la structure thermique $T_\text{wall}$ . Données du système : Capacité thermique interne : $C_\text{in} = 500 \, \text{J/K}$ Capacité thermique de structure : $C_\text{wall} = 2000 \, \text{J/K}$ Conductance interne-structure : $G_1 = 50 \, \text{W/K}$ Conductance structure-ambiance : $G_2 = 20 \, \text{W/K}$ Gain de la résistance de chauffage : $\alpha_\text{heat} = 5000 \, \text{W/A}$ Température ambiante constante : $T_\text{amb} = 20 \, °\text{C} = 293 \, \text{K}$ Question 1 : Établir le modèle d'état discrétisé en...→
  • 22
    Exercice 3 : Asservissement d'un Bras Robotique à Articulation Simple - Synthèse Observateur-Régulateur Un bras robotique un degré de liberté (liaison pivot) est commandé numériquement pour suivre des trajectoires de position. Le système utilise une période d'échantillonnage $T_e = 0,02 \, \text{s}$ . Le capteur de position comporte un bruit de mesure important, nécessitant la conception d'un observateur d'état pour estimer la vitesse angulaire non mesurée directement. Données du système : Masse du bras : $m = 2 \, \text{kg}$ , longueur : $L = 0,5 \, \text{m}$ Moment d'inertie : $J = m L^2 / 3 = 0,1667 \, \text{kg·m}^2$ Couple moteur maximal : $\tau_\text{mot} = 10 \, \text{N·m}$ Coefficient de frottement visqueux : $b = 0,05 \, \text{N·m·s/rad}$ Gain du convertisseur D/A : $G_u = 1 \, \text{N·m/V}$ Bruit de mesure...→
  • 23
    Exercice 1 : Commande par retour d'état avec placement de pôles pour un système échantillonné Un système continu est décrit par les équations d'état suivantes : $\dot{x}(t) = A_c x(t) + B_c u(t)$ $y(t) = C x(t)$ avec les matrices : $A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B_c = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ On souhaite commander ce système par calculateur numérique avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ s. Le cahier des charges impose un amortissement $\xi = 0.7$ et une pulsation propre $\omega_n = 5$ rad/s pour le système en boucle fermée. Question 1 : Déterminer les matrices discrètes $A_d$ et $B_d$ du système échantillonné-bloqué en utilisant la relation $A_d = e^{A_c T_e}$ et $B_d = \int_0^{T_e} e^{A_c \tau} d\tau \cdot B_c$ . Question 2 : Calculer le vecteur de gains de retour d'état $K = [k_1 \quad k_2]$...→
  • 24
    Exercice 2 : Observateur d'état et principe de séparation Un processus numérique est décrit par le modèle d'état discret suivant : $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)$ $y(k) = C x(k)$ avec : $A_d = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}, \quad B_d = \begin{bmatrix} 0.1 \\ 0.2 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ Les variables d'état ne sont pas toutes mesurables. On souhaite synthétiser un observateur d'état complet pour estimer les états non mesurés, puis concevoir une commande par retour d'état basée sur les états estimés. La période d'échantillonnage est $T_e = 0.05$ s. Question 1 : Vérifier l'observabilité du système et calculer les gains de l'observateur $L = [l_1 \quad l_2]^T$ pour placer les pôles de l'observateur en $z_{obs,1} = 0.3$ et $z_{obs,2} = 0.4$ . Question 2 : Pour la commande par retour d'état estimé,...→
  • 25
    Exercice 3 : Commande Deadbeat (à réponse pile) Un système numérique d'ordre 2 est décrit par la fonction de transfert en $z$ suivante : $G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{0.05z + 0.04}{z^2 - 1.5z + 0.5}$ La période d'échantillonnage est $T_e = 0.1$ s. On souhaite concevoir un correcteur numérique $C(z)$ de type Deadbeat (réponse pile) pour que la sortie atteigne la valeur finale en un nombre minimal de périodes d'échantillonnage, avec une erreur statique nulle pour une entrée en échelon. Question 1 : Déterminer le polynôme $B^+(z)$ des zéros compensables et $B^-(z)$ des zéros non compensables du système. On considère qu'un zéro est compensable s'il se trouve dans la région définie par...→
  • 26
    Exercice 1 : Asservissement Numérique avec Retour d'État d'un Moteur DC Un moteur DC est commandé par un régulateur numérique utilisant un retour d'état. Le système en temps continu est modélisé par l'équation d'état suivante : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & -10 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 100 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1(t)$ est la position angulaire (rad) et $x_2(t)$ est la vitesse angulaire (rad/s). La période d'échantillonnage est $T_e = 0.1 \text{ s}$ . Question 1 : Discrétisez le système en temps discret en utilisant la méthode d'exponentielle matricielle. Calculez les matrices $A_d$ et $B_d$ du système discret $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)$ . Question 2 : Vérifiez la commandabilité du système discret en calculant le rang de la matrice de...→
  • 27
    Exercice 2 : Discrétisation et Stabilité d'un Système Thermique Contrôlé Un système de régulation thermique en temps continu est décrit par : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 10 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1(t)$ représente la température principale (°C) et $x_2(t)$ la température secondaire (°C). La période d'échantillonnage est $T_e = 0.05 \text{ s}$ . On souhaite implémenter un retour d'état numérique pour stabiliser le système avec des pôles en boucle fermée à $z_1 = 0.5$ et $z_2 = 0.4$ . Question 1 : Calculez les matrices discrètes $A_d$ et $B_d$ en utilisant la méthode d'exponentielle matricielle. Vérifiez la stabilité du système en temps discret en calculant les valeurs propres de $A_d$ . Question 2 : Analysez...→
  • 28
    Exercice 3 : Retour d'État Numérique et Performance d'un Système de Positionnement Un système de positionnement linéaire (élévateur) est piloté numériquement. Son modèle continu est : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -4 & -3 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1(t)$ est la position (m) et $x_2(t)$ la vitesse (m/s). La période d'échantillonnage est $T_e = 0.02 \text{ s}$ . On souhaite placer les pôles en boucle fermée discrète à $z_1 = 0.6$ et $z_2 = 0.5$ . Question 1 : Discrétisez le système continu. Calculez $A_d$ en expliquant la méthode utilisée et en montrant que les valeurs propres de $A_d$ sont strictement à l'intérieur du cercle unité. Calculez $B_d$ . Question 2 : Déterminez le gain de retour d'état...→
  • 29
    Exercice 1 : Commande par Retour d'État Discret - Placement de Pôles et Observabilité Un système d'asservissement numérique utilise une commande par retour d'état pour stabiliser un processus instable. Le système continu est représenté par l'équation d'état : $\dot{x}(t) = A_c x(t) + B_c u(t)$ $y(t) = C_c x(t)$ où la matrice d'état continue est : $A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B_c = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad C_c = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ Période d'échantillonnage : $T_e = 0.1 \text{ s}$ Pôles désirés en discret : $z_1 = 0.7 + 0.2j$ , $z_2 = 0.7 - 0.2j$ Le système doit être commandable et observable Contexte physique : Le processus est intrinsèquement instable (pôles en $s = \pm 1$ ). Une commande par retour d'état discret stabilise le système en plaçant les pôles en boucle fermée aux positions désirées. Vous devez...→

Exercice

💡

Astuce

Appui long sur le contenu pour voir rapidement le corrigé sans changer d'onglet !

💡 Corrigé (appui long)

❓ Question (appui long)

📊 Schéma

100%

Pincez pour zoomer • Double-cliquez pour réinitialiser • Échap pour fermer