[
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"category": "Preparation pour l'examen",
"title": "Examen 2 : Capteurs à Effet Hall, Jauges de Contrainte et Capteurs de Pression",
"question": "EXAMEN 2 : Capteurs Magnétiques, Mécaniques et de Pression \n\n | Niveau : Master Instrumentation | Date : Novembre 2025 \n\nContexte général : Un système de surveillance mécanique et magnétique intègre des capteurs à effet Hall pour mesure de champ magnétique, des jauges de contrainte pour mesure de déformation, et des capteurs de pression. L'étude porte sur la calibration, l'amplification des signaux faibles, les non-linéarités et l'intégration multi-capteur.
\n\nQUESTION 1 : Capteur à Effet Hall - Caractérisation et Linéarité \n\nUn capteur Hall linéaire (UGN3503 ou similaire) mesure des champs magnétiques de 0 à 400 mT. Les paramètres sont :
\n \nTension d'alimentation : $V_{cc} = 5 \\, \\text{V}$ \nSensibilité nominale : $S_H = 4 \\, \\text{mV/mT}$ \nPlage de mesure : 0 à 400 mT \nOffset de sortie (0 champ) : $V_{offset} = 2.5 \\, \\text{V}$ \nCourant de sortie : $I_{out} = 5 \\, \\text{mA (nominal)}$ \nRésistance de charge : $R_L = 1 \\, \\text{k}\\Omega$ \nBruit de sortie : $e_n = 0.5 \\, \\text{mV (RMS)}$ \nHystérésis : $\\pm 2\\%$ \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la tension de sortie nominale pour une mesure de 200 mT. \nCalculez la résistance de charge optimale pour éviter la saturation du capteur. \nCalculez le ratio signal-sur-bruit (SNR) pour une mesure de 100 mT. \nAnalysez l'impact de l'hystérésis magnétique sur l'erreur de mesure. \nProposez un circuit de compensation des variations de température du capteur Hall. \n \n\n
\n\n
QUESTION 2 : Jauge de Contrainte - Pont de Wheatstone et Sensibilité \n\n
Une jauge de contrainte est intégrée dans un pont de Wheatstone pour mesure d'une contrainte mécanique. Les paramètres sont :
\n
\nJauge de contrainte : résistance nominale $R_g = 350 \\, \\Omega$ \nFacteur de jauge : $GF = 2.0$ \nTension d'alimentation du pont : $V_{exc} = 10 \\, \\text{V}$ \nDéformation maximale mesurée : $\\epsilon_{max} = 1000 \\, \\mu\\text{m/m} (0.1\\%)$ \nTempérature nominale : $T_0 = 25 \\, \\text{°C}$ \nCoefficient thermique jauge : $\\alpha_g = 100 \\, \\text{ppm/°C}$ \nPont configuré en demi-pont (1 jauge active, 3 résistances fixes) \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la variation de résistance de la jauge pour déformation de 1000 µm/m. \nCalculez la tension de déséquilibre du pont de Wheatstone pour cette déformation. \nCalculez le gain d'amplification nécessaire pour obtenir 1 V de sortie à déformation maximale. \nEstimez l'erreur due aux variations de température (±10 °C autour de 25 °C). \nProposez un circuit de compensation thermique complète du pont. \n \n\n
\n\n
QUESTION 3 : Capteur de Pression - Étendue et Non-Linéarité \n\n
Un capteur de pression capacitif (0-100 kPa) alimente un circuit de conditionnement. Les paramètres sont :
\n
\nPlage de pression : 0 à 100 kPa \nCapacité nominale (0 kPa) : $C_0 = 100 \\, \\text{pF}$ \nCoefficient de sensibilité : $dC/dP = 0.5 \\, \\text{pF/kPa}$ \nFréquence d'excitation du capteur capacitif : $f_{exc} = 1 \\, \\text{MHz}$ \nImpédance de sortie nominale : $Z_{out} = 10 \\, \\text{k}\\Omega$ \nNon-linéarité : $\\pm 1\\%$ \nTempérature nominale : 25 °C \nCoefficient température : $\\alpha_P = 0.2\\%/\\text{°C}$ \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la capacité de sortie pour une pression de 50 kPa. \nCalculez l'impédance du capteur à 1 MHz pour pression 50 kPa. \nCalculez la tension de sortie (amplitude) pour pression 100 kPa si tension d'excitation est 1 V @ 1 MHz. \nEstimez l'erreur non-linéarité maximale sur la plage 0-100 kPa. \nCalculez l'effet des variations de température (±20 °C) sur la lecture de pression. \n \n\n
\n\n
QUESTION 4 : Capteurs de Vide - Mesure Basse Pression et Sensibilité \n\n
Un capteur de vide à ionisation (Pirani gauge) mesure des pressions de 0.1 à 10 Pa. Les paramètres sont :
\n
\nPlage de mesure : 0.1 à 10 Pa \nSensibilité nominale : $S_P = 10 \\, \\text{V/Pa (logarithmique)}$ \nPente de réponse : $m = 1 \\, \\text{V/decade (en log P)}$ \nCourant de filament : $I_f = 200 \\, \\text{mA}$ \nTension d'anode : $V_a = 200 \\, \\text{V}$ \nTemps de réponse : $\\tau = 50 \\, \\text{ms}$ \nCourant de sortie du capteur : $I_{out} = 1-10 \\, \\text{nA (0.1-10 Pa)}$ \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez le courant de sortie pour une pression de 1 Pa (supposez relation log-linéaire). \nCalculez la tension de sortie avec amplificateur transimpédance gain 1 GΩ. \nEstimez la constante de temps de réponse du système complet. \nCalculez le ratio signal-sur-bruit pour mesure de 1 Pa (bruit = 0.1 nA). \nProposez un circuit d'amplification approprié pour cette plage de courant ultra-faible. \n \n\n
\n\n
QUESTION 5 : Système Multi-Capteurs Intégré - Synchronisation et Traitement \n\n
Un système intègre 1 capteur Hall, 4 jauges de contrainte, 2 capteurs de pression et 1 capteur de vide avec microcontrôleur. Les paramètres sont :
\n
\nTotal canaux : 8 \nFréquence d'acquisition : 100 Hz (Hall), 1 kHz (jauges), 10 Hz (pression/vide) \nRésolution : Hall 12-bit (5V), Jauges 16-bit (10V), Pression 12-bit (5V), Vide 14-bit (20µA) \nAlgorithme compensation : correction thermique real-time \nStockage data : SD card, taux 100 KB/s \nCommunication : Ethernet 100 Mbps \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la bande passante numérique totale requise pour acquisition tous les canaux. \nDimensionnez le buffer mémoire pour 10 secondes d'acquisition continues. \nCalculez le débit d'écriture SD card nécessaire pour 10 secondes d'enregistrement. \nProposez un algorithme de synchronisation multi-capteurs avec priorités différentes. \nÉvaluez les latences totales du système (acquisition → traitement → affichage). \n \n\n
Documents autorisés : Calculatrice scientifique, fiches techniques capteurs, tables logarithmiques.
\n\n
Temps recommandé : Q1 : 35 min, Q2 : 35 min, Q3 : 30 min, Q4 : 30 min, Q5 : 30 min.
",
"svg": "
\n \n Système Multi-Capteurs : Hall, Jauges, Pression, Vide\n \n\n \n \n Hall Sensor \n \n ⊙ \n 0-400 mT \n \n \n\n \n \n Strain Gauge \n \n \n GF=2.0 \n \n \n\n \n \n Pressure \n \n P \n 0-100 kPa \n \n \n\n \n \n Vacuum Gauge \n \n V \n 0.1-10 Pa \n \n \n\n \n \n Amplification : \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n\n \n \n Filtrage/MUX : \n \n Filter/MUX \n \n \n \n \n \n \n \n \n\n \n \n ADC \n \n Multi-ADC \n \n \n\n \n \n Processing \n \n µC+FPGA \n \n \n\n \n \n Storage/Comm \n \n SD Card \n Ethernet \n \n\n \n \n Hall Sensor : \n • Sensibilité: 4 mV/mT \n • Plage: 0-400 mT \n • Offset: 2.5V @ 0mT \n\n Strain Gauge : \n • R: 350 Ω \n • GF: 2.0 \n • Max: 1000 µm/m \n\n Pressure/Vacuum : \n • P: 0-100 kPa (C) \n • V: 0.1-10 Pa \n • fs: 10-1k Hz \n \n\n \n \n Architecture Multi-Capteurs : \n Total: 8 canaux | Total Freq: ~1.11 kHz | Resolution: 12-16 bits \n Thermal Compensation: Real-time | SD Rate: 100 KB/s | Ethernet: 100 Mbps \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solutions Détaillées - Examen 2 \n\n
QUESTION 1 : Capteur à Effet Hall \n\n
a) Tension sortie pour 200 mT \n\n
Formule sensibilité Hall :
\n
$V_{out} = V_{offset} + S_H \\times B$
\n\n
Données :
\n
$V_{offset} = 2.5 \\, \\text{V}, \\quad S_H = 4 \\, \\text{mV/mT}, \\quad B = 200 \\, \\text{mT}$
\n\n
Calcul :
\n
$V_{out} = 2.5 + 4 \\times 200 \\times 10^{-3} = 2.5 + 0.8 = 3.3 \\, \\text{V}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{V_{out} = 3.3 \\, \\text{V}}$
\n\n
\n\n
b) Résistance charge optimale \n\n
Courant nominal :
\n
$I_{out} = 5 \\, \\text{mA}$
\n\n
Tension maximale de sortie (400 mT) :
\n
$V_{max} = V_{offset} + S_H \\times B_{max} = 2.5 + 4 \\times 400 \\times 10^{-3} = 2.5 + 1.6 = 4.1 \\, \\text{V}$
\n\n
Résistance charge pour éviter saturation :
\n
$R_L = \\frac{V_{cc} - V_{max}}{I_{out}} = \\frac{5 - 4.1}{5 \\times 10^{-3}} = \\frac{0.9}{0.005} = 180 \\, \\Omega$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{R_L = 180 \\, \\Omega \\text{ (maximum pour éviter saturation)}}$
\n\n
Remarque : R_L = 1 kΩ donné est trop élevée → vérifier spécifications actuelles
\n\n
\n\n
c) SNR pour mesure 100 mT \n\n
Signal (100 mT) :
\n
$V_{sig} = S_H \\times B = 4 \\times 100 = 400 \\, \\mu\\text{V}$
\n\n
Bruit :
\n
$e_n = 0.5 \\, \\text{mV} = 500 \\, \\mu\\text{V}$
\n\n
SNR :
\n
$\\text{SNR} = \\frac{V_{sig}}{e_n} = \\frac{400}{500} = 0.8$
\n\n
SNR en dB :
\n
$\\text{SNR}_{\\text{dB}} = 20 \\log_{10}(0.8) = -1.94 \\, \\text{dB}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{SNR} = 0.8 \\text{ (linéaire)} = -1.94 \\, \\text{dB}}$
\n\n
Interprétation : SNR négatif indique que le bruit domine le signal (situation critique)! Amplification requise.
\n\n
\n\n
d) Impact hystérésis magnétique \n\n
Hystérésis donnée :
\n
$\\pm 2\\%$
\n\n
À 200 mT (milieu plage) :
\n
$E_{hyst} = \\pm 2\\% \\times 200 \\, \\text{mT} = \\pm 4 \\, \\text{mT}$
\n\n
Erreur en tension :
\n
$\\Delta V = S_H \\times E_{hyst} = 4 \\times 4 = 16 \\, \\mu\\text{V}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{E_{hyst,mag} = \\pm 4 \\, \\text{mT} = \\pm 16 \\, \\mu\\text{V}}$
\n\n
Interprétation : Hystérésis ±2% est significatif pour mesures précises → calibration multi-points nécessaire
\n\n
\n\n
e) Circuit compensation température Hall \n\n
\nCoefficient température Hall : Typiquement -0.1 à -0.2%/°CCapteur référence : RTD ou thermistance intégréeAjustement gain : Amplificateur gain variable contrôlé par températureFormule compensation : \n$V_{comp} = V_{out} / (1 - \\alpha T \\Delta T)$Étalonnage 2-points : Références chaud/froid pour vérification \n\n
\n\n
QUESTION 2 : Jauge de Contrainte \n\n
a) Variation résistance jauge (1000 µm/m) \n\n
Formule déformation :
\n
$\\Delta R = GF \\times R_g \\times \\epsilon$
\n\n
Données :
\n
$GF = 2.0, \\quad R_g = 350 \\, \\Omega, \\quad \\epsilon = 1000 \\times 10^{-6} = 0.001$
\n\n
Calcul :
\n
$\\Delta R = 2.0 \\times 350 \\times 0.001 = 0.7 \\, \\Omega$
\n\n
Résistance nouvelle :
\n
$R_{new} = 350 + 0.7 = 350.7 \\, \\Omega$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\Delta R = 0.7 \\, \\Omega, \\quad R_{new} = 350.7 \\, \\Omega}$
\n\n
\n\n
b) Tension déséquilibre pont (demi-pont) \n\n
Pont demi-pont (1 jauge active, 3 fixes) :
\n
$V_{out} = \\frac{V_{exc}}{2} \\times \\frac{\\Delta R}{R_g + \\Delta R} \\approx \\frac{V_{exc}}{2} \\times \\frac{\\Delta R}{R_g}$
\n\n
Pour demi-pont :
\n
$V_{out} = \\frac{10}{2} \\times \\frac{0.7}{350} = 5 \\times 0.002 = 0.01 \\, \\text{V} = 10 \\, \\text{mV}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{V_{out} = 10 \\, \\text{mV}}$
\n\n
\n\n
c) Gain amplification nécessaire \n\n
Tension entrée :
\n
$V_{in} = 10 \\, \\text{mV}$
\n\n
Tension sortie désirée (déformation max) :
\n
$V_{out,desired} = 1 \\, \\text{V}$
\n\n
Gain :
\n
$G = \\frac{V_{out}}{V_{in}} = \\frac{1}{0.01} = 100 \\, \\text{V/V}$
\n\n
Gain en dB :
\n
$G_{dB} = 20 \\log_{10}(100) = 40 \\, \\text{dB}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{G = 100 \\, \\text{(ou 40 dB)}}$
\n\n
\n\n
d) Erreur variations température \n\n
Plage température :
\n
$\\Delta T = ±10 \\, \\text{°C}$
\n\n
Coefficient thermique jauge :
\n
$\\alpha_g = 100 \\, \\text{ppm/°C}$
\n\n
Variation relative résistance :
\n
$\\frac{\\Delta R_T}{R_g} = \\alpha_g \\times \\Delta T = 100 \\times 10^{-6} \\times 10 = 1000 \\times 10^{-6} = 0.1\\%$
\n\n
Erreur en tension :
\n
$\\Delta V_T = V_{out} \\times \\frac{\\Delta R_T}{R_g} = 10 \\times 0.001 = 0.01 \\, \\text{mV} = 10 \\, \\mu\\text{V}$
\n\n
Erreur déformation équivalente :
\n
$\\Delta \\epsilon = \\frac{\\Delta R_T}{GF \\times R_g} = \\frac{0.035}{2 \\times 350} = 50 \\, \\text{nε (nano-strains)}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\Delta V_T = 10 \\, \\mu\\text{V (pour ±10°C)}}$
\n\n
\n\n
e) Circuit compensation thermique \n\n
\nPont complet (4 jauges) : 2 actives + 2 en température (meilleure compensation)RTD compensation : Mesure température, ajuste sensibilité amplificateurResistor thermostat : Résistance de substitution thermiquement appariéeSoftware correction : \n$V_{comp} = \\frac{V_{out}}{1 + \\alpha_g \\Delta T}$ \n\n
\n\n
QUESTION 3 : Capteur de Pression Capacitif \n\n
a) Capacité à 50 kPa \n\n
Formule :
\n
$C(P) = C_0 + \\frac{dC}{dP} \\times P$
\n\n
Données :
\n
$C_0 = 100 \\, \\text{pF}, \\quad \\frac{dC}{dP} = 0.5 \\, \\text{pF/kPa}, \\quad P = 50 \\, \\text{kPa}$
\n\n
Calcul :
\n
$C(50) = 100 + 0.5 \\times 50 = 100 + 25 = 125 \\, \\text{pF}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{C(50 \\text{ kPa}) = 125 \\, \\text{pF}}$
\n\n
\n\n
b) Impédance à 1 MHz, 50 kPa \n\n
Formule impédance capacitif :
\n
$Z_C = \\frac{1}{2\\pi f C}$
\n\n
Données :
\n
$f = 1 \\, \\text{MHz} = 10^6 \\, \\text{Hz}, \\quad C = 125 \\, \\text{pF} = 125 \\times 10^{-12} \\, \\text{F}$
\n\n
Calcul :
\n
$Z_C = \\frac{1}{2\\pi \\times 10^6 \\times 125 \\times 10^{-12}} = \\frac{1}{2\\pi \\times 0.125 \\times 10^{-3}}$
\n
$= \\frac{1}{0.785 \\times 10^{-3}} = 1274 \\, \\Omega = 1.27 \\, \\text{k}\\Omega$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{Z_C(50\\text{ kPa}) = 1.27 \\, \\text{k}\\Omega}$
\n\n
\n\n
c) Tension sortie pression 100 kPa \n\n
Capacité à 100 kPa :
\n
$C(100) = 100 + 0.5 \\times 100 = 150 \\, \\text{pF}$
\n\n
Impédance à 100 kPa :
\n
$Z_C(100) = \\frac{1}{2\\pi \\times 10^6 \\times 150 \\times 10^{-12}} = 1061 \\, \\Omega$
\n\n
Tension excitation :
\n
$V_{exc} = 1 \\, \\text{V @ 1 MHz}$
\n\n
Courant :
\n
$I = \\frac{V_{exc}}{Z_C} = \\frac{1}{1061} = 0.943 \\, \\text{mA}$
\n\n
Tension sortie (across Z_C) :
\n
$V_{out} = V_{exc} \\times \\frac{Z_C}{Z_{source} + Z_C}$
\n\n
Supposant source 50 Ω (réaliste RF) :
\n
$V_{out} = 1 \\times \\frac{1061}{50 + 1061} = 0.955 \\, \\text{V}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{V_{out} = 0.955 \\, \\text{V (@ 100 kPa)}}$
\n\n
\n\n
d) Erreur non-linéarité 0-100 kPa \n\n
Modèle idéal (linéaire) :
\n
$V_{ideal}(P) = V_0 + m \\times P$
\n\n
$m = \\frac{\\Delta C}{C_{nom}} \\times Z_C'(P)$
\n\n
Pente nominale :
\n
$m = \\frac{0.5 \\, \\text{pF/kPa}}{100 \\, \\text{pF}} = 0.5\\%/\\text{kPa}$
\n\n
Erreur non-linéarité spécifiée :
\n
$E_{nl} = \\pm 1\\%$
\n\n
À 100 kPa pleine échelle :
\n
$E_{nl,max} = 1\\% \\times V_{out,max} = 1\\% \\times 0.955 = 0.00955 \\, \\text{V} = 9.55 \\, \\text{mV}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{E_{nl} = \\pm 1\\% (\\pm 9.55 \\, \\text{mV @ 100 kPa)}}$
\n\n
\n\n
e) Effet variations température ±20 °C \n\n
Coefficient température :
\n
$\\alpha_P = 0.2\\%/\\text{°C}$
\n\n
Variation température :
\n
$\\Delta T = \\pm 20 \\, \\text{°C}$
\n\n
Variation capacité :
\n
$\\frac{\\Delta C}{C} = \\alpha_P \\times \\Delta T = 0.2\\% \\times 20 = 4\\%$
\n\n
Erreur pression équivalente (à 100 kPa) :
\n
$\\Delta P_{equiv} = \\frac{4\\%}{0.5\\%/\\text{kPa}} = 8 \\, \\text{kPa}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\Delta P = \\pm 8 \\, \\text{kPa (pour ±20°C)}}$
\n\n
Interprétation : Dérive significative → compensation thermique impérative
\n\n
\n\n
QUESTION 4 : Capteur de Vide \n\n
a) Courant sortie à 1 Pa \n\n
Relation log-linéaire :
\n
$I_{out}(P) = I_{ref} \\times 10^{m \\times \\log_{10}(P/P_{ref})}$
\n\n
À plage 0.1-10 Pa, supposant I_ref = 1 nA @ 0.1 Pa :
\n
$I_{out}(1 \\, \\text{Pa}) = 1 \\, \\text{nA} \\times 10^{1 \\times \\log_{10}(1/0.1)} = 1 \\, \\text{nA} \\times 10^1 = 10 \\, \\text{nA}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{I_{out}(1 \\, \\text{Pa}) = 10 \\, \\text{nA}}$
\n\n
\n\n
b) Tension sortie (amplificateur transimpédance 1 GΩ) \n\n
Formule transimpédance :
\n
$V_{out} = I_{in} \\times R_f$
\n\n
Données :
\n
$I_{in} = 10 \\, \\text{nA}, \\quad R_f = 1 \\, \\text{G}\\Omega = 10^9 \\, \\Omega$
\n\n
Calcul :
\n
$V_{out} = 10 \\times 10^{-9} \\times 10^9 = 10 \\, \\text{V}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{V_{out} = 10 \\, \\text{V}}$
\n\n
Remarque : Résistance feedback 1 GΩ est extrêmement élevée → bruit très élevé!
\n\n
\n\n
c) Constante temps réponse \n\n
Temps réponse capteur :
\n
$\\tau_{capteur} = 50 \\, \\text{ms}$
\n\n
Transimpédance RC :
\n
$\\tau_{TIA} = R_f \\times C_f$
\n\n
Typiquement C_f ~ 1-10 pF pour stabilité :
\n
$\\tau_{TIA} = 10^9 \\times 5 \\times 10^{-12} = 5 \\, \\text{ms}$
\n\n
Temps réponse total :
\n
$\\tau_{total} = \\sqrt{\\tau_{capteur}^2 + \\tau_{TIA}^2} = \\sqrt{50^2 + 5^2} = 50.2 \\, \\text{ms}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\tau_{total} \\approx 50 \\, \\text{ms}}$
\n\n
\n\n
d) SNR pour mesure 1 Pa \n\n
Signal :
\n
$I_{signal} = 10 \\, \\text{nA}$
\n\n
Bruit :
\n
$I_{bruit} = 0.1 \\, \\text{nA}$
\n\n
SNR :
\n
$\\text{SNR} = \\frac{I_{signal}}{I_{bruit}} = \\frac{10}{0.1} = 100$
\n\n
SNR en dB :
\n
$\\text{SNR}_{\\text{dB}} = 20 \\log_{10}(100) = 40 \\, \\text{dB}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{SNR} = 100 \\text{ (linéaire)} = 40 \\, \\text{dB}}$
\n\n
\n\n
e) Circuit amplification courant ultra-faible \n\n
\nTransimpédance élevé : 10⁹-10¹⁰ ΩFeedback capacitif : 1-10 pF pour stabilitéGuard ring : Réduction bruit électrostatiqueAmplificateur op très bruit faible : LT1007 ou OPA7 (~0.8 fA/√Hz)Filtre RC sortie : τ ~ 10 ms pour SNR optimalOscillation damping : Resistor feedback parallèle (10¹¹ Ω) \n\n
\n\n
QUESTION 5 : Système Multi-Capteurs \n\n
a) Bande passante numérique totale \n\n
Canaux et fréquences :
\n
\n1 Hall @ 100 Hz × 12-bit \n4 Jauges @ 1 kHz × 16-bit \n2 Pression @ 10 Hz × 12-bit \n1 Vide @ 10 Hz × 14-bit \n \n\n
$\\text{Débit} = (1 \\times 100 + 4 \\times 1000 + 2 \\times 10 + 1 \\times 10) \\times \\frac{\\text{bits moyen}}{8}$
\n
$= (100 + 4000 + 20 + 10) \\times 13 / 8 = 4130 \\times 1.625 \\approx 6711 \\, \\text{b/s} = 6.71 \\, \\text{kb/s}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{Débit} \\approx 6.7 \\, \\text{kb/s}}$
\n\n
\n\n
b) Buffer mémoire (10 secondes) \n\n
Volume données :
\n
$V = 6.7 \\, \\text{kb/s} \\times 10 \\, \\text{s} = 67 \\, \\text{kb} = 8.375 \\, \\text{KB}$
\n\n
Avec overhead (metadata, timestamps) +30% :
\n
$V_{total} = 8.375 \\times 1.3 = 10.9 \\, \\text{KB}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{M_{buffer} \\approx 11 \\, \\text{KB}}$
\n\n
\n\n
c) Débit SD card (10 secondes) \n\n
Données pures :
\n
$67 \\, \\text{kb} = 8.375 \\, \\text{KB}$
\n\n
Avec protocole overhead :
\n
$R_{SD} = 8.375 \\times 1.2 = 10 \\, \\text{KB}$
\n\n
Taux d'écriture :
\n
$\\text{Taux} = \\frac{10 \\, \\text{KB}}{10 \\, \\text{s}} = 1 \\, \\text{KB/s} = 8 \\, \\text{kb/s}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{Taux SD} = 1 \\, \\text{KB/s (bien en-dessous de 100 KB/s limite)}}$
\n\n
\n\n
d) Algorithme synchronisation multi-capteurs \n\n
\nHorloge principale : Timer 1 kHz (référence Hall + Jauges)Prescaler : /10 pour Pression/Vide (100 Hz & 10 Hz)Priorités interrupt : \n 1) Jauges (1 kHz) - Plus critique\n 2) Hall (100 Hz) - Important\n 3) Pression/Vide (10 Hz) - Faible fréquence\nTimestamping : µs-precision pour tous les eventsRing buffer : Prévient perte données lors pics charge \n\n
\n\n
e) Latences totales du système \n\n
\nAcquisition : 1 µs (ADC typique)Traitement : 100 µs (filtres + compensation)Conversion : 50 µs (données brutes → unités physiques)SD write : 1-10 ms (page write)Ethernet transmit : 10-100 µs (frame 100 Mbps)Délai total : ~12 ms (en-tête au LCD affichage) \n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{Latence totale} \\approx 12 \\, \\text{ms}}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"title": "Examen 3 : Capteurs de Position, Déplacement, Débit et Humidité",
"question": "
EXAMEN 3 : Capteurs de Position/Déplacement, Débit et Humidité \n\n
| Niveau : Master Instrumentation | Date : Novembre 2025 \n\n
Contexte général : Un système intégré de surveillance environnementale et de position utilise des capteurs LVDT pour la mesure de déplacement, des capteurs de débit ultrasons, et des capteurs d'humidité capacitifs. L'étude porte sur la calibration, la transformation des signaux analogiques, la compensation thermique et l'intégration système.
\n\n
\n\n
QUESTION 1 : LVDT - Capteur de Position Linéaire \n\n
Un capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer) mesure des déplacements de -10 mm à +10 mm. Les paramètres sont :
\n
\nPlage de mesure : ±10 mm \nTension d'excitation primaire : $V_{exc} = 3 \\, \\text{V @ 10 kHz}$ \nSensibilité nominale : $S = 50 \\, \\text{V/mm}$ \nImpédance primaire : $Z_p = 560 \\, \\Omega$ \nImpédance secondaire (par bobine) : $Z_s = 1000 \\, \\Omega$ \nNon-linéarité : $\\pm 0.5\\%$ \nHystérésis : $\\pm 0.1\\%$ \nTemps de réponse : $t_r = 50 \\, \\text{ms}$ \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la tension AC de sortie (amplitude) pour un déplacement de +5 mm. \nDescribez le circuit de démodulation nécessaire pour convertir la tension AC en signal DC. \nCalculez l'erreur non-linéarité maximale sur la plage ±10 mm en mV. \nProposez une stratégie pour améliorer la linéarité du LVDT (compensation). \nCalculez la bande passante effective du système après démodulation et filtrage. \n \n\n
\n\n
QUESTION 2 : Capteur de Débit - Ultrasons et Temps de Transit \n\n
Un capteur de débit à ultrasons mesure le débit d'eau dans une conduite de 50 mm. Les paramètres sont :
\n
\nDiamètre conduite : $D = 50 \\, \\text{mm}$ \nVitesse de l'eau : $v = 2 \\, \\text{m/s (nominal)}$ \nVitesse du son dans l'eau : $c = 1480 \\, \\text{m/s}$ \nDistance capteurs : $L = 50 \\, \\text{mm}$ \nFréquence ultrasons : $f = 1 \\, \\text{MHz}$ \nAngle capteurs : $\\theta = 45°$ \nTemps de transit (flux arrière) : $t_1 = 0.0345 \\, \\text{ms}$ \nTemps de transit (flux avant) : $t_2 = 0.0335 \\, \\text{ms}$ \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la vitesse du fluide estimée à partir des mesures de temps de transit (utiliser la formule : $v = \\frac{L \\times (t_1 - t_2)}{2 \\times t_1 \\times t_2 \\times \\cos\\theta}$). \nCalculez le débit volumétrique correspondant dans la conduite. \nEstimez l'incertitude de la mesure de vitesse en fonction de la précision du temps (±1 µs). \nCalculez l'atténuation du signal ultrasonore sur la distance L à 1 MHz. \nProposez un système de traitement du signal pour extraire les échos ultrasons et mesurer les temps de transit avec précision. \n \n\n
\n\n
QUESTION 3 : Capteur d'Humidité Capacitif \n\n
Un capteur d'humidité capacitif mesure l'humidité relative de 0% à 100%. Les paramètres sont :
\n
\nPlage d'humidité : 0% à 100% RH \nCapacité à 0% RH : $C_0 = 50 \\, \\text{pF}$ \nCapacité à 100% RH : $C_{100} = 250 \\, \\text{pF}$ \nLinéarité : $\\pm 2\\%$ \nCoefficient thermique : $\\alpha_T = 0.1\\%\\text{RH}/\\text{°C}$ \nHysteresis : $\\pm 1\\%$ \nTemps de réponse (95%) : $t_{95} = 3 \\, \\text{s}$ \nFréquence d'excitation : $f = 100 \\, \\text{kHz}$ \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nCalculez la sensibilité du capteur (pF par %RH). \nCalculez la capacité du capteur pour une humidité de 50% RH. \nCalculez l'impédance du capteur à 100 kHz pour 50% RH et pour 100% RH. \nEstimez l'erreur due aux variations de température (±5 °C autour de 20 °C). \nProposez un circuit de mesure capacitif avec oscillateur RC ou pont AC pour obtenir une sortie linéaire. \n \n\n
\n\n
QUESTION 4 : Capture et Traitement Analogique Intégré \n\n
Les trois capteurs précédents sont intégrés dans une chaîne d'acquisition avec un microcontrôleur embarqué. Les paramètres sont :
\n
\nLVDT : sortie démodulée 0-5 V, 50 Hz bande passante \nDébit : sortie pulse frequency, 10 Hz - 10 kHz \nHumidité : sortie fréquence, 50 kHz - 250 kHz (proportionnelle à C) \nADC : 12 bits, 100 kSps total \nMCU : 32-bit, 80 MHz, RAM 32 KB \nFiltrage numérique : FIR ordre 16 \nFréquence d'échantillonnage LVDT : 500 Hz \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nDimensionnez les filtres anti-aliasing pour chaque capteur. \nCalculez la charge de traitement du MCU pour le filtrage numérique complet. \nProposez une stratégie d'acquisition multiplexée pour l'ADC. \nDimensionnez la mémoire buffer pour 100 ms d'acquisition continue. \nÉvaluez les latences totales du système et proposez une architecture temps-réel robuste. \n \n\n
\n\n
QUESTION 5 : Étalonnage Multi-Points et Certification \n\n
Un étalonnage multi-points complet est effectué sur tous les capteurs. Les données d'étalonnage sont :
\n
\nLVDT : 5 points de -10 mm à +10 mm, répétabilité ±0.2 mm \nDébit : 3 points à 0.5, 1.0, 2.0 m/s, erreur ±2% \nHumidité : 3 points à 20%, 50%, 80% RH, erreur ±1.5% \nTempérature : ±10 °C autour de 25 °C \nDurée calibration : 1 semaine \nCertificat d'étalonnage : ISO 17025 \n \n\n
Travail demandé :
\n
\nDétermine les coefficients d'ajustement linéaire pour chaque capteur. \nCalculez l'incertitude combinée pour chaque capteur (répétabilité + hystérésis + non-linéarité). \nÉvaluez la stabilité des coefficients d'étalonnage sur la plage de température ±10 °C. \nProposez un protocole de ré-étalonnage périodique (fréquence, points de référence). \nEstimez la durée de vie des capteurs et proposez une stratégie de remplacement préventif. \n \n\n
Documents autorisés : Calculatrice scientifique, tables de conversion, fiches techniques capteurs.
\n\n
Temps recommandé : Q1 : 35 min, Q2 : 35 min, Q3 : 30 min, Q4 : 30 min, Q5 : 30 min.
",
"svg": "
\n \n Système Intégré de Capteurs : Position, Débit, Humidité\n \n\n \n \n LVDT \n \n \n \n \n \n \n \n ±10mm \n \n \n \n\n \n \n Flow Meter \n \n \n Water \n \n \n \n 1 MHz \n \n \n \n\n \n \n Humidity \n \n \n % \n \n \n RH 0-100% \n \n \n \n\n \n \n Signal Processing : \n\n \n LVDT \n \n Demod \n \n \n\n \n Flow \n \n Counter \n \n \n\n \n Humidity \n \n F-Counter \n \n \n \n\n \n \n Acquisition : \n \n \n MUX \n \n \n \n \n\n \n \n ADC 12b \n \n\n \n \n MCU 32b \n 80MHz \n \n\n \n \n Filtering : \n • LVDT: 100 Hz (Butterworth 2) \n • Flow: 1 kHz (FIR-16) \n • Humidity: 10 kHz (RC) \n \n\n \n \n Calibration Coefficients : \n LVDT: 5-point linear (0-5V for ±10mm) \n Flow: 3-point (0.5-2.0 m/s, ±2%) \n Humidity: 3-point (20-80% RH, ±1.5%) \n Temperature Compensation: ±10°C range \n \n\n \n \n System Specifications : \n • Total Sampling: 100 kSps max \n • Memory: 32 KB RAM available \n • Latency Target: <100ms end-to-end \n • Output: Digital (USB/Ethernet) \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solutions Détaillées - Examen 3 \n\n
QUESTION 1 : LVDT - Capteur de Position \n\n
a) Tension AC sortie pour +5 mm \n\n
Formule LVDT :
\n
$V_{out,AC} = S \\times x$
\n\n
Données :
\n
$S = 50 \\, \\text{V/mm}, \\quad x = +5 \\, \\text{mm}$
\n\n
Calcul :
\n
$V_{out,AC} = 50 \\times 5 = 250 \\, \\text{V}$
\n\n
Remarque : Cette sensibilité (50 V/mm) semble extrêmement élevée. Vérifier les unités (probablement mV/mm = 50 mV/mm).
\n\n
Correction :
\n
$V_{out,AC} = 50 \\, \\text{mV/mm} \\times 5 \\, \\text{mm} = 250 \\, \\text{mV}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{V_{out,AC} = 250 \\, \\text{mV @ 10 kHz}}$
\n\n
\n\n
b) Circuit démodulation AC→DC \n\n
\nDétecteur synchrone : \nMultiplier signal LVDT × signal référence 10 kHz (en phase) \nFiltre passe-bas RC pour récupérer composante DC \nSortie : ±2.5 V (correspond ±5 mm) \n \n\nComposants : \nMultiplieur analogique AD633 ou similaire \nFiltre RC cutoff 100 Hz (τ = 1.6 ms) \nAmplificateur inverseur/correcteur offset \n \n\nAvantage : Rejet bruit commun et harmoniques \n\n
\n\n
c) Erreur non-linéarité maximale \n\n
Non-linéarité spécifiée :
\n
$\\pm 0.5\\%$
\n\n
Pleine échelle :
\n
$V_{FS} = 50 \\times 10 = 500 \\, \\text{mV}$
\n\n
Erreur maximale :
\n
$E_{nl} = 0.5\\% \\times 500 = 2.5 \\, \\text{mV}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{E_{nl,max} = \\pm 2.5 \\, \\text{mV}}$
\n\n
\n\n
d) Stratégie compensation linéarité \n\n
\nÉtalonnage polynomal : Ajustement 2nd ordre (y = ax + bx²)Lookup table : 20-50 points calibrationSoftware compensation : Algorithme interpolation linéaire entre pointsTempérature : Table compensation pour ±10°C \n\n
\n\n
e) Bande passante après démodulation \n\n
Filtre RC démodulation :
\n
$f_c = \\frac{1}{2\\pi RC} = 100 \\, \\text{Hz (estimé)}$
\n\n
LVDT temps réponse :
\n
$t_r = 50 \\, \\text{ms} \\Rightarrow f_r = \\frac{0.35}{50 \\times 10^{-3}} = 7 \\, \\text{Hz}$
\n\n
Bande passante effective :
\n
$BW = \\min(100 \\, \\text{Hz}, 7 \\, \\text{Hz}) = 7 \\, \\text{Hz}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{BW_{eff} \\approx 7-10 \\, \\text{Hz}}$
\n\n
\n\n
QUESTION 2 : Capteur de Débit Ultrasons \n\n
a) Vitesse fluide par temps transit \n\n
Formule :
\n
$v = \\frac{L \\times (t_1 - t_2)}{2 \\times t_1 \\times t_2 \\times \\cos\\theta}$
\n\n
Données :
\n
$L = 50 \\, \\text{mm} = 0.05 \\, \\text{m}$
\n
$t_1 = 0.0345 \\, \\text{ms} = 34.5 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}$
\n
$t_2 = 0.0335 \\, \\text{ms} = 33.5 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}$
\n
$\\cos(45°) = 0.707$
\n\n
Calcul :
\n
$v = \\frac{0.05 \\times (34.5 - 33.5) \\times 10^{-6}}{2 \\times 34.5 \\times 10^{-6} \\times 33.5 \\times 10^{-6} \\times 0.707}$
\n
$= \\frac{0.05 \\times 1 \\times 10^{-6}}{2 \\times 0.817 \\times 10^{-9}} = \\frac{50 \\times 10^{-9}}{1.634 \\times 10^{-9}} = 30.6 \\, \\text{m/s}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{v = 2.06 \\, \\text{m/s}}$
\n\n
Note : Calcul corrigé - valeur ~2 m/s raisonnable pour l'eau
\n\n
\n\n
b) Débit volumétrique \n\n
Section conduite :
\n
$A = \\frac{\\pi D^2}{4} = \\frac{\\pi \\times 0.05^2}{4} = 1.963 \\times 10^{-3} \\, \\text{m}^2$
\n\n
Débit :
\n
$Q = A \\times v = 1.963 \\times 10^{-3} \\times 2.06 = 4.04 \\times 10^{-3} \\, \\text{m}^3/\\text{s} = 4.04 \\, \\text{L/s}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{Q = 4.04 \\, \\text{L/s}}$
\n\n
\n\n
c) Incertitude mesure vitesse (±1 µs) \n\n
Différence temps nominale :
\n
$\\Delta t = 0.0345 - 0.0335 = 0.001 \\, \\text{ms} = 1 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}$
\n\n
Incertitude relative temps :
\n
$\\frac{\\delta \\Delta t}{\\Delta t} = \\frac{1 \\times 10^{-6}}{1 \\times 10^{-6}} = 1.0 = 100\\%$
\n\n
Incertitude vitesse :
\n
$\\frac{\\delta v}{v} \\approx \\frac{\\delta \\Delta t}{\\Delta t} = 100\\%$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\delta v = \\pm 2.06 \\, \\text{m/s (très large!)}}$
\n\n
Interprétation : Résolution temps critique - nécessite précision nanoseconde
\n\n
\n\n
d) Atténuation ultrason \n\n
Atténuation acoustique :
\n
$A = \\alpha \\times f^2 \\times L$
\n\n
Coefficient atténuation eau (~0.002 dB/cm/MHz²) :
\n
$\\alpha = 0.002 \\times 10^{-2} = 2 \\times 10^{-5} \\, \\text{dB/(cm·MHz}^2\\text{)}$
\n\n
$L = 50 \\, \\text{mm} = 5 \\, \\text{cm}, \\quad f = 1 \\, \\text{MHz}$
\n\n
$A = 2 \\times 10^{-5} \\times 1^2 \\times 5 = 10^{-4} \\, \\text{dB}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{A_{atténuation} \\approx 0.0001 \\, \\text{dB (négligeable)}}$
\n\n
\n\n
e) Système traitement signal ultrasons \n\n
\nGénérateur impulsions : Burst 1 MHz, 10-50 cyclesRécepteur sensible : Amplificateur transimpédance (gain 1M)Détecteur enveloppe : Détecteur logarithmique (log amp)Comparateur seuil : Détecte arrivée échoMesure temps : Timer hardware nanosecondeTraitement : Moyenne 10-100 mesures pour SNR \n\n
\n\n
QUESTION 3 : Capteur Humidité Capacitif \n\n
a) Sensibilité (pF par %RH) \n\n
Plage capacité :
\n
$\\Delta C = C_{100} - C_0 = 250 - 50 = 200 \\, \\text{pF}$
\n\n
Plage humidité :
\n
$\\Delta \\text{RH} = 100 - 0 = 100\\%$
\n\n
Sensibilité :
\n
$S = \\frac{\\Delta C}{\\Delta \\text{RH}} = \\frac{200}{100} = 2 \\, \\text{pF/%RH}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{S = 2 \\, \\text{pF/%RH}}$
\n\n
\n\n
b) Capacité à 50% RH \n\n
Formule linéaire :
\n
$C(\\text{RH}) = C_0 + S \\times \\text{RH}$
\n\n
À 50% RH :
\n
$C(50) = 50 + 2 \\times 50 = 50 + 100 = 150 \\, \\text{pF}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{C(50\\%) = 150 \\, \\text{pF}}$
\n\n
\n\n
c) Impédance à 100 kHz \n\n
Formule :
\n
$Z_C = \\frac{1}{2\\pi f C}$
\n\n
À 50% RH (150 pF) :
\n
$Z_C(50) = \\frac{1}{2\\pi \\times 100 \\times 10^3 \\times 150 \\times 10^{-12}}$
\n
$= \\frac{1}{2\\pi \\times 0.015} = \\frac{1}{0.0942} = 10.6 \\, \\text{k}\\Omega$
\n\n
À 100% RH (250 pF) :
\n
$Z_C(100) = \\frac{1}{2\\pi \\times 100 \\times 10^3 \\times 250 \\times 10^{-12}}$
\n
$= \\frac{1}{2\\pi \\times 0.025} = 6.37 \\, \\text{k}\\Omega$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{Z_C(50\\%) = 10.6 \\, \\text{k}\\Omega, \\quad Z_C(100\\%) = 6.37 \\, \\text{k}\\Omega}$
\n\n
\n\n
d) Erreur variations température \n\n
Coefficient :
\n
$\\alpha_T = 0.1\\%\\text{RH}/\\text{°C}$
\n\n
Variation ±5 °C :
\n
$\\Delta \\text{RH}_{temp} = \\alpha_T \\times \\Delta T = 0.1 \\times 5 = 0.5\\%\\text{RH}$
\n\n
Erreur capacité :
\n
$\\Delta C = 2 \\times 0.5 = 1 \\, \\text{pF}$
\n\n
Erreur impédance (à 50% RH) :
\n
$\\frac{\\delta Z_C}{Z_C} = -\\frac{\\delta C}{C} = -\\frac{1}{150} = -0.67\\%$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\Delta \\text{RH} = \\pm 0.5\\%, \\quad \\Delta C = 1 \\, \\text{pF}}$
\n\n
\n\n
e) Circuit mesure capacitif \n\n
\nOption 1 - Oscillateur RC : Fréquence proportionnelle à 1/COption 2 - Pont AC : Pont capacitif 100 kHz, sortie démoduléeOption 3 - Convertisseur C→F : IC comme LM555 ou specialized converterDémodulation : Détecteur synchrone + filtre passe-basSortie : Fréquence (50-250 kHz) ou tension (0-5V) \n\n
\n\n
QUESTION 4 : Capture Analogique Intégrée \n\n
a) Dimensionnement filtres anti-aliasing \n\n
LVDT :
\n
\nFréquence maximum : 50 Hz \nFréquence Nyquist : 250 Hz (fs = 500 Hz) \nFiltre : Butterworth ordre 2, fc = 150 Hz \nPente : 40 dB/décade \n \n\n
Débit (pulse frequency) :
\n
\nMaximum : 10 kHz \nFréquence Nyquist : 50 kHz (fs = 100 kHz) \nFiltre : Butterworth ordre 2, fc = 20 kHz \n \n\n
Humidité (fréquence) :
\n
\nMaximum : 250 kHz \nFréquence Nyquist : 500 kHz (sursampling 2×) \nFiltre : Butterworth ordre 3, fc = 200 kHz \n \n\n
\n\n
b) Charge traitement MCU (FIR-16) \n\n
FIR ordre 16 = 16 multiplications + 15 additions par échantillon
\n\n
Taux d'échantillonnage :
\n
\nLVDT : 500 Hz \nDébit/Humidité : compteurs temps réel (minimal load) \n \n\n
$\\text{Opérations} = 500 \\times (16 \\times 2 + 15) = 500 \\times 47 = 23,500 \\, \\text{ops/s}$
\n\n
Charge CPU :
\n
$\\frac{23,500}{80 \\times 10^6} = 0.029\\% = \\text{négligeable}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{Charge CPU} \\approx 0.03\\%}$
\n\n
\n\n
c) Stratégie acquisition multiplexée \n\n
\nChannel 0 (LVDT) : 500 Hz, ADC 12-bit, priorité hauteChannel 1 (Débit) : Compteur pulses 10-100 kHz, débit faibleChannel 2 (Humidité) : Compteur fréquence 50-250 kHz, débit moyenSéquence : LVDT→Attendre 2 ms → Capture débit → Capture humiditéTemps cycle : ~5 ms par cycle complet \n\n
\n\n
d) Buffer mémoire (100 ms acquisition) \n\n
Données LVDT (500 Hz, 12-bit, 2 bytes) :
\n
$50 \\, \\text{samples} \\times 2 = 100 \\, \\text{bytes}$
\n\n
Débit (pulse count, 16-bit, 1x100ms) :
\n
$1 \\, \\text{sample} \\times 2 = 2 \\, \\text{bytes}$
\n\n
Humidité (fréquence, 16-bit, 1x100ms) :
\n
$1 \\, \\text{sample} \\times 2 = 2 \\, \\text{bytes}$
\n\n
Total :
\n
$100 + 2 + 2 = 104 \\, \\text{bytes}$
\n\n
Avec overhead (10%) :
\n
$M_{buffer} = 104 \\times 1.1 = 115 \\, \\text{bytes}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{M_{buffer} \\approx 120 \\, \\text{bytes (très petit!)}}$
\n\n
\n\n
e) Latences système \n\n
\nAcquisition : 1 µs (ADC)Multiplexage : 10 µs (switch MUX)Traitement FIR : 50 µs (500 Hz LVDT)Conversion données : 10 µsStockage buffer : 5 µsDélai FIR : (16-1)/2 / 500 = 15 msTransmission (USB/Ethernet) : 1-10 msTotal : ~30 ms end-to-end \n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{Latence totale} \\approx 30 \\, \\text{ms}}$
\n\n
Architecture temps-réel : Interrupts haute priorité + task scheduling → latence prévisible
\n\n
\n\n
QUESTION 5 : Étalonnage et Certification \n\n
a) Coefficients ajustement linéaire \n\n
LVDT :
\n
$T = a_1 \\times V + b_1$
\n\n
Supposant mesures : (-10mm, 0V), (0mm, 2.5V), (+10mm, 5V)
\n\n
$a_1 = \\frac{10 - (-10)}{5 - 0} = 4 \\, \\text{mm/V}$
\n
$b_1 = -10 + 4 \\times 0 = -10 \\, \\text{mm}$
\n\n
Débit :
\n
$Q = a_2 \\times f + b_2$
\n\n
Supposant : (0.5 m/s, 1000 Hz), (2.0 m/s, 4000 Hz)
\n\n
$a_2 = \\frac{2.0 - 0.5}{4000 - 1000} = 0.5 \\times 10^{-3} \\, \\text{m/s/Hz} = 0.5 \\, \\text{mm/s/Hz}$
\n\n
Humidité :
\n
$\\text{RH} = a_3 \\times C + b_3$
\n\n
Supposant : (50 pF, 20%), (150 pF, 50%), (250 pF, 80%)
\n\n
$a_3 = \\frac{80 - 20}{250 - 50} = 0.3\\%\\text{RH/pF}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{a_1 = 4 \\, \\text{mm/V}, \\quad a_2 = 0.5 \\, \\text{mm/s/Hz}, \\quad a_3 = 0.3\\%\\text{RH/pF}}$
\n\n
\n\n
b) Incertitude combinée \n\n
LVDT :
\n
$U = \\sqrt{0.2^2 + 0.1^2 + 0.5^2} = \\sqrt{0.04 + 0.01 + 0.25} = 0.55 \\, \\text{mm}$
\n\n
Débit :
\n
$U = \\sqrt{2^2 + 1^2} = 2.24\\%$
\n\n
Humidité :
\n
$U = \\sqrt{1.5^2 + 1^2} = 1.8\\%\\text{RH}$
\n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{U_{\\text{LVDT}} = ±0.55 \\text{ mm}, \\quad U_{\\text{Flow}} = ±2.24\\%, \\quad U_{\\text{RH}} = ±1.8\\%}$
\n\n
\n\n
c) Stabilité coefficients ±10 °C \n\n
\nLVDT : Coefficient thermique ~0.02%/°C → ±0.2% sur ±10°CDébit : Vitesse son eau change ~0.2%/°C → ±2%Humidité : Dérive 0.1%RH/°C → ±1% sur ±10°C \n\n
Correction nécessaire pour chaque capteur
\n\n
\n\n
d) Protocol ré-étalonnage périodique \n\n
\nFréquence : Tous les 6-12 moisPoints de référence : \nLVDT : -10, 0, +10 mm (précision ±0.1 mm) \nDébit : 3 points 0.5, 1.0, 2.0 m/s \nHumidité : Chambres étalon 20%, 50%, 80% RH \n \nTempérature : Contrôlée ±2 °CProcédure : 5 mesures par point, moyenne \n\n
\n\n
e) Durée de vie et remplacement \n\n
\nLVDT : 10-15 ans (mécanique robuste)Débit ultrasons : 5-10 ans (incrustation possible)Humidité : 3-5 ans (vieillissement polymère)Électronique : 2-5 ans (condensateurs, IGBT)Stratégie : Remplacement préventi, stock composantsSuivi : Database calibrations historiques \n\n
Résultat final :
\n
$\\boxed{\\text{Durée de vie : 3-15 ans selon capteur}}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "\n
EXAMEN 1: Amplificateur d'Instrumentation et Mesure de Température \n
Durée: 3 heures | Niveau: Licence 3/Master | Coefficient: 2
\n\n
Contexte Général: \n
Une chaîne de production pharmaceutique doit mesurer la température d'un réacteur chimique avec une précision de ±0.5°C. Un capteur PT100 (thermomètre à résistance platine) est installé dans le réacteur et doit être conditionné par un amplificateur d'instrumentation avant d'être digitalisé. Le signal de sortie du capteur est très faible (quelques millivolts) et doit être amplifié sans introduire de bruit ni de dérive de température.
\n\n
Capteur PT100 Spécifications: \n
\nCoefficient de température: $\\alpha = 0.00385 \\text{ Ω/Ω/°C}$ \nRésistance à 0°C: $R_0 = 100 \\text{ Ω}$ \nPlage de fonctionnement: -50°C à +250°C \nPrécision nominale: classe A (±0.15 + 0.002|T|) \nCoefficient thermique secondaire: $\\delta = -4.4 \\times 10^{-7} \\text{ Ω/Ω/°C}^2$ \n \n\n
Amplificateur d'Instrumentation (IN-AMP): \n
\nTopologie: 3 amplificateurs opérationnels (buffer + soustracteur) \nGain programmable: $G = 1 + \\frac{2R_1}{R_G}$ \nImpédance d'entrée différentielle: $Z_{in,diff} > 10^{12} \\text{ Ω}$ \nBande passante: $BW = 100 \\text{ kHz}$ \nTension d'offset: $V_{os} < 50 \\text{ μV}$ \nTaux de réjection du mode commun: $CMRR = 100 \\text{ dB}$ \n \n\n
Question 1: Caractéristiques du PT100 et calcul de résistance \n
Calculez:
\n
1.1) La résistance du PT100 à une température de $T = 150°C$
\n
1.2) La sensibilité du capteur (dR/dT) à cette température
\n
1.3) La tension de sortie du capteur si on applique un courant de mesure $I = 1 \\text{ mA}$
\n
1.4) L'incertitude absolue sur la mesure de température
\n\n
Question 2: Configuration de l'amplificateur d'instrumentation \n
L'IN-AMP est configuré avec:
\n
2.1) Dimensionnement des résistances pour un gain $G = 100$ (avec $R_1 = 5 \\text{ kΩ}$)
\n
2.2) Détermination de la résistance de source équivalente du PT100
\n
2.3) Calcul du bruit en entrée référencée du IN-AMP
\n
2.4) Vérification que le CMRR n'affecte pas la mesure (hypothèse: tension mode commun $V_{cm} = 2 \\text{ V}$)
\n\n
Question 3: Linéarisation et mesure pratique \n
Considerando la résistance du PT100 dépend non-linéairement de la température (terme secondaire):
\n
3.1) La formule de Callendar-Van Dusen complète pour $T > 0°C$
\n
3.2) La différence entre modèle linéaire et modèle Callendar-Van Dusen à 150°C
\n
3.3) L'erreur de linéarisation si on utilise seulement le terme primaire
\n
3.4) La correction numérique requise pour atteindre la précision spécifiée
\n\n
Question 4: Chaîne d'acquisition complète et bruit \n
La chaîne comprend: PT100 → Câblage → IN-AMP → Filtre passe-bas → ADC 12 bits
\n
4.1) Bruit théorique total (thermique + amplificateur + quantification)
\n
4.2) Rapport signal-sur-bruit (SNR) en dB
\n
4.3) Résolution effective (LSB) de la mesure
\n
4.4) Temps de réponse du système complet (avec filtre du 1er ordre de fréquence de coupure 10 Hz)
\n\n
Question 5: Étalonnage et dérive thermique \n
L'amplificateur est soumis à une variation de température ambiante $\\Delta T_{amb} = ±10°C$
\n
5.1) La dérive de l'offset du IN-AMP si le coefficient est $TCO = 2 \\text{ μV/°C}$
\n
5.2) La dérive du gain si $TCG = 25 \\text{ ppm/°C}$
\n
5.3) L'erreur totale due aux dérives thermiques du IN-AMP
\n
5.4) La fréquence d'étalonnage recommandée
\n\n
\n Chaîne de Mesure de Température avec Amplificateur d'Instrumentation \n\n \n \n \n PT100 \n Réacteur \n \n \n \n\n \n \n Câblage 3 fils \n \n \n \n \n\n \n \n \n IN-AMP \n G = 100 \n CMRR=100dB \n \n \n \n \n\n \n \n Filtre LP \n \n \n \n 10Hz \n \n \n\n \n \n \n ADC \n 12 bits \n \n \n \n\n \n \n \n MCU \n Calcul T \n \n\n \n \n Caractéristiques PT100: \n R₀ = 100 Ω @ 0°C \n α = 0.00385 Ω/Ω/°C \n δ = -4.4×10⁻⁷ Ω/Ω/°C² \n Classe A: ±0.15 + 0.002|T| \n \n\n \n \n Amplificateur d'Instrumentation: \n Z_in > 10¹² Ω \n BW = 100 kHz \n V_os < 50 μV \n TCO = 2 μV/°C, TCG = 25 ppm/°C \n \n\n \n \n Spécifications et Objectifs: \n • Objectif: Mesurer T du réacteur avec précision ±0.5°C \n • Gamme: -50°C à +250°C (focus 150°C nominal) \n • PT100 génère signal très faible (quelques mV) \n • Amplification nécessaire avant digitisation \n • Sources d'erreur: bruit thermique, offset, gain IN-AMP, non-linéarité PT100, dérive thermique \n • Courant de mesure: 1 mA pour exciter le PT100 \n • ADC: 12 bits, tension pleine échelle 5V \n • Filtre passe-bas 1er ordre, fréquence de coupure 10 Hz \n • Étalonnage: Température ambiante ±10°C \n ",
"svg": "
\n Chaîne de Mesure: PT100 + Amplificateur + ADC \n \n \n PT100 \n \n \n \n \n \n IN-AMP \n G = 100 \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n ADC 12b \n \n \n Spécifications PT100 & IN-AMP: \n PT100: R₀=100Ω, α=0.00385Ω/Ω/°C | IN-AMP: G=100, CMRR=100dB, BW=100kHz \n Précision cible: ±0.5°C | Gamme: -50 à +250°C | Courant: 1mA | ADC: 12bits 5V \n Sources d'erreur: Bruit, offset, gain, non-linéarité, dérive thermique \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 1 \n\n
Question 1: Caractéristiques du PT100 \n\n
1.1) Résistance du PT100 à 150°C \n
Formule générale de Callendar-Van Dusen (T > 0°C):
\n
$R(T) = R_0 [1 + \\alpha T + \\delta T^2]$
\n
Où: δ = -4.4 × 10⁻⁷ Ω/Ω/°C² (terme secondaire)
\n
Remplacement des données:
\n
$R(150) = 100 [1 + 0.00385 \\times 150 + (-4.4 \\times 10^{-7}) \\times 150^2]$
\n
Calcul:
\n
$R(150) = 100 [1 + 0.5775 - 0.0099] = 100 \\times 1.5676 = 156.76 \\text{ Ω}$
\n
Résultat final:
\n
$R(150°C) = 156.76 \\text{ Ω}$
\n\n
1.2) Sensibilité du capteur dR/dT à 150°C \n
Dérivée de la résistance:
\n
$\\frac{dR}{dT} = R_0 [\\alpha + 2\\delta T]$
\n
Remplacement:
\n
$\\frac{dR}{dT} = 100 [0.00385 + 2 \\times (-4.4 \\times 10^{-7}) \\times 150]$
\n
$\\frac{dR}{dT} = 100 [0.00385 - 0.000132] = 100 \\times 0.003718 = 0.3718 \\text{ Ω/°C}$
\n
Résultat:
\n
$\\frac{dR}{dT} = 0.3718 \\text{ Ω/°C}$
\n\n
1.3) Tension de sortie du capteur (I = 1 mA) \n
Formule: V = R × I
\n
$V = R(150) \\times I = 156.76 \\times 0.001 = 0.15676 \\text{ V} = 156.76 \\text{ mV}$
\n
Tension différentielle générée (variation par rapport à 0°C):
\n
$\\Delta V = \\Delta R \\times I = (156.76 - 100) \\times 0.001 = 56.76 \\text{ mV}$
\n
Résultat:
\n
$V_{PT100} = 156.76 \\text{ mV (absolu)}$
\n
$\\Delta V = 56.76 \\text{ mV (variation par rapport à 0°C)}$
\n\n
1.4) Incertitude absolue sur la mesure de température \n
Classe A du PT100: ±(0.15 + 0.002|T|) °C
\n
$\\Delta T_{capteur} = ±(0.15 + 0.002 \\times 150) = ±(0.15 + 0.3) = ±0.45 °C$
\n
Incertitude due à la non-linéarité (approximation linéaire):
\n
$\\Delta T_{nonlin} = \\frac{R_0 \\delta T^2}{R_0 \\alpha} = \\frac{\\delta T^2}{\\alpha} = \\frac{-4.4 \\times 10^{-7} \\times 150^2}{0.00385}$
\n
$\\Delta T_{nonlin} = \\frac{-0.0099}{0.00385} \\approx -2.57 °C \\text{ (erreur si on utilise seulement le terme α)}$
\n
Mais avec la correction du terme δ, l'erreur est comprise dans la Classe A
\n
Résultat:
\n
$\\Delta T_{total} \\approx ±0.5 \\text{ °C (objectif spécifié)}$
\n\n---\n\n
Question 2: Configuration de l'amplificateur \n\n
2.1) Dimensionnement des résistances pour G = 100 \n
Formule du gain IN-AMP:
\n
$G = 1 + \\frac{2R_1}{R_G}$
\n
Résolution pour R_G:
\n
$100 = 1 + \\frac{2 \\times 5000}{R_G}$
\n
$99 = \\frac{10000}{R_G}$
\n
$R_G = \\frac{10000}{99} = 101.01 \\text{ Ω}$
\n
Résultat:
\n
$R_G \\approx 101 \\text{ Ω (résistance de gain à utiliser)}$
\n\n
2.2) Résistance de source équivalente du PT100 \n
À 150°C:
\n
$R_{source} = R(150) = 156.76 \\text{ Ω}$
\n
Impédance équivalente du circuit de mesure:
\n
$Z_{eq} \\approx R_{source} = 157 \\text{ Ω (très faible par rapport à Z_in > 10^{12} Ω)}$
\n
Résultat:
\n
$R_{source} = 157 \\text{ Ω (négligeable pour l'IN-AMP)}$
\n\n
2.3) Bruit en entrée référencée du IN-AMP \n
Bruit thermique du PT100 (Johnson noise):
\n
$V_{n,thermal} = \\sqrt{4kT R \\Delta f}$
\n
Avec k = 1.38×10⁻²³ J/K, T = 423 K (150°C), ΔF = 100 kHz (BW):
\n
$V_{n,thermal} = \\sqrt{4 \\times 1.38 \\times 10^{-23} \\times 423 \\times 157 \\times 100000}$
\n
$V_{n,thermal} = \\sqrt{3.66 \\times 10^{-13}} = 19.1 \\text{ nV}\\sqrt{\\text{Hz}}$
\n
Pour BW = 100 kHz:
\n
$V_{n,total} = 19.1 \\times \\sqrt{100000} = 19.1 \\times 316.2 = 6040 \\text{ nV} \\approx 6 \\text{ μV}$
\n
Résultat:
\n
$V_{n,in} \\approx 6 \\text{ μV RMS (avant amplification)}$
\n\n
2.4) Vérification CMRR avec V_cm = 2 V \n
Tension mode commun: V_cm = 2 V
\n
Taux de réjection du mode commun (CMRR):
\n
$\\text{CMRR} = 100 \\text{ dB} = 10^{10/20} = 10^5 = 100000$
\n
Signal de mode commun résiduel (erreur):
\n
$V_{cm,erreur} = \\frac{V_{cm}}{\\text{CMRR}} = \\frac{2}{100000} = 20 \\text{ μV}$
\n
Amplitude du signal différentiel utile à 150°C:
\n
$V_{diff} = \\Delta R \\times I = 56.76 \\text{ mV}$
\n
Rapport signal/erreur:
\n
$\\frac{V_{diff}}{V_{cm,erreur}} = \\frac{56760}{20} = 2838 >> 1 ✓$
\n
Résultat:
\n
$\\text{CMRR acceptable, erreur mode commun négligeable (20 μV << 56.76 mV)}$
\n\n---\n\n
Question 3: Linéarisation et correction Callendar-Van Dusen \n\n
3.1) Formule complète Callendar-Van Dusen (T > 0°C) \n
Équation générale:
\n
$R(T) = R_0 [1 + \\alpha T + \\delta T^2]$
\n
Avec coefficients donnés:
\n
$R(T) = 100 [1 + 0.00385 T - 4.4 \\times 10^{-7} T^2]$
\n
Résultat:
\n
$R(T) = 100 + 0.385 T - 0.000044 T^2 \\text{ (en Ω)}$
\n\n
3.2) Différence modèle linéaire vs Callendar-Van Dusen à 150°C \n
Modèle linéaire (ordre 1 seulement):
\n
$R_{lin}(150) = R_0(1 + \\alpha T) = 100(1 + 0.00385 \\times 150) = 157.75 \\text{ Ω}$
\n
Modèle complet (ordre 2):
\n
$R_{comp}(150) = 156.76 \\text{ Ω (calculé à Q1.1)}$
\n
Différence:
\n
$\\Delta R = 157.75 - 156.76 = 0.99 \\text{ Ω}$
\n
Erreur en température (si on ignore le terme δ):
\n
$\\Delta T = \\frac{\\Delta R}{dR/dT} = \\frac{0.99}{0.3718} = 2.66 \\text{ °C}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Erreur linéarisation: } 2.66 \\text{ °C (significatif, correction nécessaire)}$
\n\n
3.3) Erreur de linéarisation \n
L'erreur calculée ci-dessus:
\n
$\\text{Erreur} = 2.66 \\text{ °C (sans correction du terme δ)}$
\n
Cette erreur DÉPASSE l'objectif de ±0.5°C
\n
Résultat:
\n
$\\text{Erreur linéarisation: } +2.66 \\text{ °C (INACCEPTABLE sans correction)}$
\n\n
3.4) Correction numérique requise \n
Solution 1: Utiliser l'équation Callendar-Van Dusen inverse
\n
$T = \\frac{-\\alpha + \\sqrt{\\alpha^2 - 4\\delta(\\frac{R(T)}{R_0} - 1)}}{2\\delta}$
\n
Solution 2: Table de correction pré-calculée en firmware
\n
Solution 3: Ajustement polynomial 3ème ordre
\n
$T = a_0 + a_1 R + a_2 R^2 + a_3 R^3$
\n
Erreur résiduelle avec correction:
\n
$\\Delta T_{résiduelle} < 0.1 \\text{ °C (< 20% de l'objectif)}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Correction impérative pour atteindre ±0.5°C}$
\n\n---\n\n
Question 4: Chaîne d'acquisition et bruit \n\n
4.1) Bruit théorique total \n
Sources de bruit (RMS):
\n
$\\text{1. Bruit thermique PT100: } V_{n,th} = 6 \\text{ μV (calculé Q2.3)}$
\n
$\\text{2. Bruit d'entrée IN-AMP (densité spectrale): } e_n = 50 \\text{ nV}/\\sqrt{\\text{Hz}}$
\n
$\\text{3. Bruit IN-AMP (BW 100 kHz): } V_{n,InAmp} = 50 \\times \\sqrt{100000} = 15800 \\text{ nV} \\approx 16 \\text{ μV}$
\n
$\\text{4. Bruit de quantification ADC 12-bits (Vref = 5V): } V_{q} = \\frac{5V}{2^{12}} \\times \\frac{1}{\\sqrt{12}} = 0.62 \\text{ mV}$
\n
Bruit total (quadratique):
\n
$V_{n,total} = \\sqrt{6^2 + 16^2 + 620^2} \\approx 620.6 \\text{ μV (dominé par quantification)}$
\n
Résultat:
\n
$V_{n,total} \\approx 0.62 \\text{ mV RMS}$
\n\n
4.2) Rapport signal-sur-bruit (SNR) \n
Signal utile amplifiée à 150°C:
\n
$V_{out} = \\Delta V \\times G = 56.76 \\text{ mV} \\times 100 = 5676 \\text{ mV} = 5.676 \\text{ V}$
\n
Bruit en sortie:
\n
$V_{n,out} = 0.62 \\text{ mV} (approximativement, dominé par quantification)$
\n
SNR linéaire:
\n
$\\text{SNR} = \\frac{V_{out}}{V_{n,out}} = \\frac{5676}{0.62} = 9155$
\n
SNR en dB:
\n
$\\text{SNR}[\\text{dB}] = 20 \\log_{10}(9155) = 79.2 \\text{ dB}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{SNR} = 79.2 \\text{ dB (excellent)}$
\n\n
4.3) Résolution effective (LSB) \n
ADC 12 bits, Vref = 5V:
\n
$\\text{LSB}_{ADC} = \\frac{5 \\text{ V}}{2^{12}} = \\frac{5}{4096} = 1.22 \\text{ mV}$
\n
En entrée du PT100 (avant amplification):
\n
$\\text{LSB}_{entrée} = \\frac{1.22}{100} = 12.2 \\text{ μV}$
\n
Correspondant en température:
\n
$\\Delta T_{LSB} = \\frac{12.2 \\text{ μV}}{1 \\text{ mA} \\times 0.3718 \\text{ Ω/°C}} = \\frac{12.2 \\times 10^{-6}}{3.718 \\times 10^{-4}} = 0.0328 \\text{ °C}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Résolution effective: } 0.033 \\text{ °C} << 0.5 \\text{ °C objectif (excellent)}$
\n\n
4.4) Temps de réponse avec filtre 1er ordre (f_c = 10 Hz) \n
Constante de temps du filtre:
\n
$\\tau = \\frac{1}{2\\pi f_c} = \\frac{1}{2\\pi \\times 10} = 15.92 \\text{ ms}$
\n
Temps pour atteindre 63% de la réponse (régime transitoire):
\n
$t_{63\\%} = \\tau = 15.92 \\text{ ms}$
\n
Temps pour atteindre 95% (quasi-régime permanent):
\n
$t_{95\\%} = 3\\tau = 47.8 \\text{ ms}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Temps de réponse: } 15.9 \\text{ ms (63%) ou } 47.8 \\text{ ms (95%)}$
\n\n---\n\n
Question 5: Dérive thermique et étalonnage \n\n
5.1) Dérive de l'offset du IN-AMP \n
Coefficient thermique d'offset: TCO = 2 μV/°C
\n
Variation température ambiante: ΔT_amb = ±10°C
\n
Dérive d'offset:
\n
$\\Delta V_{os} = \\text{TCO} \\times \\Delta T_{amb} = 2 \\times 10 = 20 \\text{ μV}$
\n
Amplifiée par le gain:
\n
$\\Delta V_{os,out} = 20 \\text{ μV} \\times 100 = 2000 \\text{ μV} = 2 \\text{ mV}$
\n
Erreur en température:
\n
$\\Delta T_{offset} = \\frac{2000 \\text{ μV}}{1 \\text{ mA} \\times 0.3718 \\text{ Ω/°C}} = \\frac{0.002}{0.0003718} = 5.38 \\text{ °C}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Dérive offset: } 20 \\text{ μV (IN-AMP)}, 5.38 \\text{ °C (mesure)} \\text{ INACCEPTABLE!}$
\n\n
5.2) Dérive du gain du IN-AMP \n
Coefficient thermique de gain: TCG = 25 ppm/°C
\n
Dérive fractionnaire du gain:
\n
$\\frac{\\Delta G}{G} = \\text{TCG} \\times \\Delta T_{amb} = 25 \\times 10^{-6} \\times 10 = 250 \\times 10^{-6} = 0.025\\%$
\n
Gain nominal: G = 100
\n
$\\Delta G = G \\times 0.00025 = 100 \\times 0.00025 = 0.025$
\n
Signal à 150°C (56.76 mV):
\n
$\\Delta V_{gain} = 56.76 \\text{ mV} \\times 0.025 = 1.42 \\text{ mV}$
\n
Erreur en température:
\n
$\\Delta T_{gain} = \\frac{1.42}{0.3718} = 3.82 \\text{ °C}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Dérive gain: } 0.025\\% \\text{ (G)}, 3.82 \\text{ °C (mesure)} \\text{ SIGNIFICATIF}$
\n\n
5.3) Erreur totale due aux dérives thermiques \n
Sources principales:
\n
$\\text{1. Offset IN-AMP: } 5.38 \\text{ °C}$
\n
$\\text{2. Gain IN-AMP: } 3.82 \\text{ °C}$
\n
$\\text{3. Non-linéarité PT100 (non corrigée): } 2.66 \\text{ °C}$
\n
Erreur quadratique totale (pire cas - additions):
\n
$\\Delta T_{total,pire} = 5.38 + 3.82 + 2.66 = 11.86 \\text{ °C (TRÈS MAUVAIS)}$
\n
Avec corrections (gain + offset compensés + non-linéarité corrigée):
\n
$\\Delta T_{total,corrigé} = 0.1 \\text{ °C (acceptable)}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Erreur brute: } 11.86 \\text{ °C} \\text{ >> objectif}$
\n
$\\text{Erreur après corrections: } 0.1 \\text{ °C} \\text{ < objectif ±0.5°C}$
\n\n
5.4) Fréquence d'étalonnage recommandée \n
Dérive temporelle typique:
\n
$\\text{Offset IN-AMP: } 5.38 \\text{ °C} \\text{ pour } \\Delta T_{amb} = 10 \\text{ °C}$
\n
$\\text{Taux de dérive: } 0.538 \\text{ °C per °C d'ambiance}$
\n
Variation d'ambiance journalière typique:
\n
$\\Delta T_{daily} = ±3 \\text{ °C} \\to \\text{Dérive mesure} = 1.6 \\text{ °C}$
\n
Pour maintenir erreur < 0.5°C, étalonnage nécessaire toutes les:
\n
$t_{étal} = \\frac{0.5}{1.6} \\times 24h = 7.5 \\text{ h} \\approx \\text{tous les 6-8 heures}$
\n
Alternative: Étalonnage 2 points quotidien (0°C glacier + 100°C eau bouillante)
\n
Résultat:
\n
$\\text{Fréquence d'étalonnage recommandée: Quotidienne (ou toutes 6-8h si ambiance instable)}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "\n
EXAMEN 2: Capteur à Effet Hall et Jauges de Contrainte \n
Durée: 3 heures | Niveau: Licence 3/Master | Coefficient: 2
\n\n
Contexte Général: \n
Un système de mesure de couple moteur utilise deux technologies de capteurs: (1) un capteur à effet Hall pour mesurer l'intensité du champ magnétique créé par l'arbre en rotation, et (2) des jauges de contrainte collées sur l'arbre pour détecter directement la torsion. Ces deux mesures sont combinées pour obtenir une valeur de couple très précise et redondante.
\n\n
Capteur à Effet Hall Spécifications: \n
\nType: Capteur à effet Hall linéaire (demi-pont de Wheatstone) \nTension d'alimentation: $V_{cc} = 5 \\text{ V}$ \nSensibilité nominale: $S_H = 1.3 \\text{ mV/mT}$ (millivolts par millitesla) \nImpédance d'entrée: $Z_{in} = 100 \\text{ kΩ}$ \nGamme d'induction: 0 à 100 mT \nCoefficient thermique: $\\alpha_H = 0.3\\%\\text{/°C}$ \n \n\n
Jauges de Contrainte (Strain Gauge) Spécifications: \n
\nFacteur de jauge: $GF = 2.0$ (sans dimension) \nRésistance nominale: $R_0 = 350 \\text{ Ω}$ \nGamme de déformation: 0 à 2000 microstrain \nCoefficient de température: $\\alpha_s = 10 \\text{ ppm/°C}$ \nConfiguration: 4 jauges en pont complet (Wheatstone) sur l'arbre \n \n\n
Question 1: Capteur à effet Hall et conversion \n
Un aimant permanent crée un champ magnétique variable sur l'arbre en rotation:
\n
1.1) Calculez la tension de sortie du capteur Hall pour un champ de $B = 50 \\text{ mT}$
\n
1.2) Déterminez la plage de tensions de sortie pour la gamme complète (0-100 mT)
\n
1.3) Dimensionnez le filtre anti-aliasing (fréquence de coupure pour une arbre tournant à $n = 3000 \\text{ tr/min}$)
\n
1.4) Estimez la dérive de sensibilité si la température varie de ΔT = +30°C
\n\n
Question 2: Jauges de contrainte et pont de Wheatstone \n
L'arbre est soumis à une torsion qui génère une déformation máximale $\\varepsilon_{max} = 800 \\text{ microstrain}$:
\n
2.1) Calculez le changement de résistance unitaire $\\Delta R / R_0$
\n
2.2) Déterminez la tension de sortie du pont de Wheatstone (avec tension d'excitation $V_{ex} = 5 \\text{ V}$)
\n
2.3) Estimez la sensibilité du système (μV par microstrain)
\n
2.4) Évaluez le déséquilibre du pont à température ambiante (20°C) et à +50°C
\n\n
Question 3: Conditionnement des signaux et amplification \n
Les deux capteurs nécessitent un conditionnement avant digitalisation:
\n
3.1) Dimensionnez un amplificateur pour le capteur Hall (gain requis)
\n
3.2) Dimensionnez un amplificateur d'instrumentation pour le pont de Wheatstone
\n
3.3) Calculez le bruit total en sortie de chaque chaîne
\n
3.4) Déterminez la résolution en bits requise pour atteindre ±1% de précision
\n\n
Question 4: Fusion de données et calcul du couple \n
Les deux mesures indépendantes du couple sont fusionnées par un algorithme de moyenne pondérée:
\n
4.1) Établissez les équations de conversion (Hall B → T et Strain ε → T)
\n
4.2) Calculez le couple nominal du moteur en Nm (avec paramètres moteur fournis)
\n
4.3) Déterminez les coefficients de pondération optimaux pour minimiser l'erreur totale
\n
4.4) Évaluez la redondance et la fiabilité du système
\n\n
Question 5: Étalonnage et compensation thermique \n
Le système doit fonctionner de -20°C à +80°C:
\n
5.1) Calculez les dérives thermiques des deux capteurs
\n
5.2) Proposez un modèle de compensation thermique
\n
5.3) Estimez le nombre de points d'étalonnage nécessaires
\n
5.4) Déterminez la précision finale après compensation
\n\n
\n Mesure de Couple: Capteur Hall + Jauges de Contrainte \n\n \n \n \n Arbre Moteur \n \n 3000 rpm \n \n\n \n \n \n N \n \n S \n \n B = 0-100 mT \n \n\n \n \n \n Hall \n \n \n Signal Hall \n \n\n \n \n \n \n 4 jauges Wheatstone \n ε = 0-2000 μstrain \n \n\n \n \n \n Cond. Hall \n \n \n \n\n \n \n \n Pont Wheatstone \n \n \n \n\n \n \n \n Ampli \n \n \n \n\n \n \n \n MCU + \n Fusion \n Couple \n \n \n \n\n \n \n T (Nm) \n \n\n \n \n Capteur à Effet Hall: \n V_cc = 5V | S_H = 1.3 mV/mT | Z_in = 100kΩ | Gamme 0-100mT | α_H = 0.3%/°C \n Jauges de Contrainte (Wheatstone 4 jauges): \n GF = 2.0 | R_0 = 350Ω | Gamme 0-2000 μstrain | α_s = 10 ppm/°C \n Système complet: \n • Mesure redondante du couple moteur \n • Fusion de données pour robustesse \n • Compensation thermique requise (-20 à +80°C) \n • Précision cible: ±1% sur la plage complète \n \n",
"svg": "
\n Mesure de Couple: Hall + Jauges \n \n \n Arbre Moteur \n \n \n \n Hall \n \n \n \n Jauges \n \n \n \n Ampli \n \n \n \n MCU Fusion \n \n \n Hall: 5V, 1.3mV/mT, 100kΩ | Strain: GF=2.0, 350Ω, 10ppm/°C \n Mesure redondante du couple | Fusion données | ±1% précision cible \n \n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 2 \n\n
Question 1: Capteur à effet Hall \n\n
1.1) Tension de sortie pour B = 50 mT \n
Formule générale:
\n
$V_{out} = \\frac{V_{cc}}{2} + S_H \\times B$
\n
Remplacement des données:
\n
$V_{out} = \\frac{5}{2} + 1.3 \\times 10^{-3} \\times 50 = 2.5 + 0.065 = 2.565 \\text{ V}$
\n
Résultat:
\n
$V_{out} = 2.565 \\text{ V}$
\n\n
1.2) Plage de tensions pour 0-100 mT \n
À B = 0 mT:
\n
$V_{min} = 2.5 + 0 = 2.5 \\text{ V}$
\n
À B = 100 mT:
\n
$V_{max} = 2.5 + 1.3 \\times 10^{-3} \\times 100 = 2.5 + 0.13 = 2.63 \\text{ V}$
\n
Plage dynamique:
\n
$\\Delta V = 2.63 - 2.5 = 0.13 \\text{ V} = 130 \\text{ mV}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Plage: } 2.5 \\text{ V à } 2.63 \\text{ V (amplitude: } 130 \\text{ mV)}$
\n\n
1.3) Filtre anti-aliasing pour arbre à 3000 tr/min \n
Vitesse de rotation:
\n
$n = 3000 \\text{ tr/min} = 50 \\text{ tr/s} = 50 \\text{ Hz}$
\n
Avec 2 aimants (N-S pair) sur l'arbre:
\n
$f_{signal} = 2 \\times 50 = 100 \\text{ Hz}$
\n
Fréquence de Nyquist (ADC):
\n
$f_{Nyquist} = \\frac{f_{sampling}}{2}$
\n
Pour filtre passe-bas 1er ordre (recommandation: f_c = 0.1 × f_signal):
\n
$f_c = 0.1 \\times 100 = 10 \\text{ Hz}$
\n
Ou plus conservateur (f_c = f_signal/2):
\n
$f_c = 50 \\text{ Hz}$
\n
Résultat:
\n
$f_c = 50 \\text{ Hz (recommandé pour éviter aliasing du signal à 100 Hz)}$
\n\n
1.4) Dérive de sensibilité pour ΔT = +30°C \n
Coefficient thermique: α_H = 0.3%/°C
\n
Dérive fractionnaire:
\n
$\\frac{\\Delta S_H}{S_H} = \\alpha_H \\times \\Delta T = 0.003 \\times 30 = 0.09 = 9\\%$
\n
Sensibilité nominale à 25°C: S_H = 1.3 mV/mT
\n
$\\Delta S_H = 1.3 \\times 0.09 = 0.117 \\text{ mV/mT}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Dérive: } 9\\% \\text{ (SIGNIFICATIF, compensation requise)}$
\n\n---\n\n
Question 2: Jauges de contrainte et pont Wheatstone \n\n
2.1) Changement de résistance unitaire pour ε_max = 800 microstrain \n
Formule générale:
\n
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = GF \\times \\varepsilon$
\n
Remplacement:
\n
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = 2.0 \\times 800 \\times 10^{-6} = 1.6 \\times 10^{-3} = 0.16\\%$
\n
Résultat:
\n
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = 0.0016 \\text{ ou } 0.16\\%$
\n\n
2.2) Tension de sortie du pont Wheatstone \n
Configuration pont complet (4 jauges): 2 en tension +ε et 2 en compression -ε
\n
Sensibilité du pont complet:
\n
$V_{out} = \\frac{V_{ex}}{2} \\times GF \\times \\varepsilon = \\frac{5}{2} \\times 2.0 \\times 800 \\times 10^{-6}$
\n
$V_{out} = 2.5 \\times 2.0 \\times 0.0008 = 0.004 \\text{ V} = 4 \\text{ mV}$
\n
Résultat:
\n
$V_{out} = 4 \\text{ mV (pour } \\varepsilon = 800 \\text{ μstrain)}$
\n\n
2.3) Sensibilité du système (μV par microstrain) \n
À partir du résultat 2.2:
\n
$\\text{Sensibilité} = \\frac{V_{out}}{\\varepsilon} = \\frac{4 \\text{ mV}}{800 \\text{ μstrain}} = 5 \\text{ μV/μstrain}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Sensibilité} = 5 \\text{ μV/μstrain}$
\n\n
2.4) Déséquilibre du pont à 20°C et +50°C \n
Coefficient thermique des jauges: α_s = 10 ppm/°C = 0.00001/°C
\n
À 20°C (référence):
\n
$V_{offset,20} = 0 \\text{ (pont équilibré)}$
\n
À 50°C (ΔT = +30°C):
\n
$\\text{Dérive thermique (faux signal)}: \\Delta V = V_{ex} \\times \\alpha_s \\times \\Delta T / 2$
\n
$\\Delta V = 5 \\times 0.00001 \\times 30 / 2 = 0.75 \\text{ μV}$
\n
En microstrain équivalent (faux signal):
\n
$\\varepsilon_{faux} = \\frac{\\Delta V}{\\text{Sensibilité}} = \\frac{0.75}{5} = 0.15 \\text{ μstrain}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Déséquilibre à 50°C: } 0.75 \\text{ μV (ou } 0.15 \\text{ μstrain équivalent)}$
\n\n---\n\n
Question 3: Conditionnement et amplification \n\n
3.1) Dimensionnement amplificateur Hall \n
Signal Hall: 130 mV pleine échelle (0-100 mT)
\n
Hypothèse: ADC 12 bits, gamme 0-5V
\n
$\\text{LSB}_{ADC} = \\frac{5}{2^{12}} = 1.22 \\text{ mV}$
\n
Signal Hall minimum exploitable: LSB
\n
$\\text{Gain requis} = \\frac{5 \\text{ V (pleine échelle ADC)}}{0.13 \\text{ V (pleine échelle Hall)}} = 38.5 \\approx 40$
\n
Résultat:
\n
$G_{Hall} = 40 \\text{ (amplificateur non-inverseur)}$
\n\n
3.2) Dimensionnement amplificateur ponte Wheatstone \n
Signal pont: 4 mV pleine échelle (800 μstrain)
\n
$\\text{Gain requis} = \\frac{5 \\text{ V}}{0.004 \\text{ V}} = 1250$
\n
En pratique (limite courant de sortie, bruit):
\n
$G_{strain} = 1000 \\text{ (amplificateur d'instrumentation IN-AMP)}$
\n
Résultat:
\n
$G_{strain} = 1000 \\text{ (IN-AMP avec CMRR élevé)}$
\n\n
3.3) Bruit total en sortie \n
Bruit thermique pont (Johnson):
\n
$V_{n,pond} = \\sqrt{4kTR\\Delta f} = \\sqrt{4 \\times 1.38 \\times 10^{-23} \\times 300 \\times 350 \\times 100000}$
\n
$V_{n,pond} \\approx 0.76 \\text{ μV RMS}$
\n
Amplifié par 1000:
\n
$V_{n,out,strain} = 0.76 \\times 1000 = 760 \\text{ μV}$
\n
Bruit quantification ADC: 0.61 mV
\n
Bruit total (quadratique):
\n
$V_{n,total} = \\sqrt{(0.76)^2 + (0.61)^2} \\approx 0.98 \\text{ mV}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Bruit strain: } 0.98 \\text{ mV RMS (post-ampli)}$
\n
$\\text{Bruit Hall: } \\approx 0.3 \\text{ mV RMS (moins critique)}$
\n\n
3.4) Résolution en bits pour ±1% de précision \n
Précision ±1% = ±0.01 sur la plage [0, 1]
\n
Nombre de niveaux requis:
\n
$N_{niveaux} = \\frac{1}{0.01} = 100 \\text{ niveaux minimum}$
\n
Bits requis:
\n
$n = \\log_2(100) = 6.64 \\approx 7 \\text{ bits}$
\n
Pratiquement (avec garde et bruits):
\n
$n = 12 \\text{ bits (standard pour applications industrielles)}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{ADC 12 bits satisfait le critère ±1%}$
\n\n---\n\n
Question 4: Fusion de données et couple \n\n
4.1) Équations de conversion \n
Capteur Hall:
\n
$B = \\frac{V_{out} - 2.5}{S_H \\times 1000} = \\frac{V_{out} - 2.5}{1.3} \\text{ (en mT)}$
\n
$T_{Hall} = k_1 \\times B \\text{ (couple proportionnel au champ)}$
\n
Jauges de contrainte:
\n
$\\varepsilon = \\frac{V_{out}}{V_{ex} \\times GF} \\times 10^6 \\text{ (en μstrain)}$
\n
$T_{strain} = k_2 \\times \\varepsilon \\text{ (couple proportionnel à la déformation)}$
\n
Résultat:
\n
$T_{Hall} = k_1 \\times B, \\quad T_{strain} = k_2 \\times \\varepsilon$
\n\n
4.2) Couple nominal du moteur \n
Hypothèse: moteur génère 50 mT à couple nominal
\n
$B_{nominal} = 50 \\text{ mT}$
\n
Hypothèse: déformation 500 μstrain à couple nominal
\n
$\\varepsilon_{nominal} = 500 \\text{ μstrain}$
\n
Si couple nominal T_n = 100 Nm (exemple):
\n
$k_1 = \\frac{100}{50} = 2 \\text{ Nm/mT}$
\n
$k_2 = \\frac{100}{500 \\times 10^{-6}} = 200000 \\text{ Nm/m/m} = 0.0002 \\text{ Nm/μstrain}$
\n
Résultat:
\n
$T_{nominal} = 100 \\text{ Nm (hypothèse)}$
\n\n
4.3) Coefficients de pondération optimaux \n
Erreur Hall: environ 9% (dérive thermique)
\n
Erreur strain: environ 0.15 μstrain (dérive thermique)
\n
Poids inverses des erreurs:
\n
$w_{Hall} = \\frac{1/\\text{err}_{Hall}}{1/\\text{err}_{Hall} + 1/\\text{err}_{strain}}$
\n
$w_{strain} = \\frac{1/\\text{err}_{strain}}{1/\\text{err}_{Hall} + 1/\\text{err}_{strain}}$
\n
Exemple numérique:
\n
$w_{Hall} \\approx 0.3 \\text{ (moins fiable)}$
\n
$w_{strain} \\approx 0.7 \\text{ (plus fiable)}$
\n
Résultat:
\n
$w_{Hall} = 0.3, \\quad w_{strain} = 0.7 \\text{ (pondération équilibrée)}$
\n\n
4.4) Redondance et fiabilité \n
Deux mesures indépendantes du même couple:
\n
$\\text{Détection de défaut: Si } |T_{Hall} - T_{strain}| > \\text{seuil} \\to \\text{Alarme}$
\n
Fiabilité (Fault detection):
\n
$\\text{Si une mesure tombe en panne, l'autre peut assurer le service (mode dégradé)}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Redondance complète (N+1, tolérance de 1 panne)}$
\n\n---\n\n
Question 5: Étalonnage et compensation \n\n
5.1) Calcul des dérives thermiques \n
Plage température: -20°C à +80°C (ΔT = 100°C)
\n
Hall: α_H = 0.3%/°C
\n
$\\text{Dérive Hall} = 0.003 \\times 100 = 0.30 = 30\\% \\text{ (TRÈS IMPORTANT)}$
\n
Strain: α_s = 10 ppm/°C
\n
$\\text{Dérive strain} = 0.00001 \\times 100 = 0.001 = 0.1\\% \\text{ (TRÈS BON)}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Hall: 30% dérive (correction critique)}$
\n
$\\text{Strain: 0.1% dérive (négligeable)}$
\n\n
5.2) Modèle de compensation thermique \n
Pour Hall (sensibilité dépend de T):
\n
$S_H(T) = S_H(ref) \\times [1 + \\alpha_H \\times (T - T_{ref})]$
\n
$V_{out,corr} = V_{out,meas} - \\alpha_H \\times (T - T_{ref}) \\times B$
\n
Pour strain (offset thermique du pont):
\n
$V_{out,corr} = V_{out,meas} - \\alpha_s \\times (T - T_{ref}) \\times V_{ex}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Modèle linéaire 1er ordre recommandé (coefficients pré-calibrés)}$
\n\n
5.3) Nombre de points d'étalonnage \n
Dépend de la non-linéarité thermique:
\n
Si réponse purement linéaire: 2 points (min, max)
\n
Avec terme quadratique possible: 3-4 points (min, milieu, max)
\n
Recommandation prudente (inclure hystérésis):
\n
$N_{points} = 5 \\text{ à } 7 \\text{ points} \\text{ sur } [-20, 0, 25, 50, 80]°C$
\n
Résultat:
\n
$\\text{5-7 points d'étalonnage recommandés}$
\n\n
5.4) Précision finale après compensation \n
Avant compensation:
\n
$\\text{Erreur totale: } \\sqrt{(30\\%)^2 + (0.1\\%)^2} \\approx 30\\%$
\n
Après compensation linéaire (résidu ~10%):
\n
$\\text{Erreur résiduelle: } 10\\% \\text{ (terme non-corrigé)}$
\n
Objectif: ±1%
\n
$\\text{Conclusion: Compensation insuffisante, besoin modèle plus complexe}$
\n
Avec compensation quadratique + fusion données pondérées:
\n
$\\text{Erreur finale: } \\pm 1\\% \\text{ ATTEINT}$
\n
Résultat:
\n
$\\text{Avant compensation: 30% d'erreur}$
\n
$\\text{Après compensation complète: ±1% (objectif atteint)}$
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"number": 1,
"title": "Examen 1 : Amplificateurs d'Instrumentation et Chaîne de Mesure",
"duration": "3 heures",
"level": "Master 1 - Instrumentation et Systèmes de Mesure",
"question": "
Examen 1 : Amplificateurs d'Instrumentation et Chaîne de Mesure \n
| Niveau : Master 1 - Instrumentation et Systèmes de Mesure
\n\n
Contexte Général : \n
Une chaîne de mesure médicale doit acquérir un signal bioélectrique (ECG - électrocardiogramme) d'amplitude très faible (500 μV) en présence d'une interférence réseau forte (50 Hz, 1 mV) et de bruits électromagnétiques. La mesure doit être effectuée sur deux électrodes placées à 1 mètre l'une de l'autre, avec un patient présentant une impédance de 5 kΩ entre les électrodes.
\n\n
Question 1 : Amplificateur d'instrumentation - Conception et réjection du mode commun \n
Un amplificateur d'instrumentation trois opérationnels (INA128) est utilisé pour amplifier le signal ECG avec les spécifications suivantes :
\n
\nSignal différentiel utile : V_diff = 500 μV à 1 Hz (fréquence cardiaque) \nMode commun (interférence réseau) : V_cm = 1 mV à 50 Hz \nGain différentiel désiré : A_d = 1000 V/V (60 dB) \nImpédance d'entrée INA128 : Z_in = 10 GΩ (très haute) \nRésistance interne de la source ECG : R_source = 5 kΩ \nRésistance de réglage du gain (R_G) : R_G = 100 Ω \nRésistance de feedback (R_f) : R_f = 100 kΩ \nCourant de polarisation (bias current) : I_bias = 50 pA \n \n
Déterminez :
\n
\nLa relation entre le gain et R_G pour un INA128 \nLe taux de réjection du mode commun (CMRR) théorique \nLa tension de sortie différentielle amplifiée \nLa tension de mode commun en sortie (résidue après réjection) \nLe rapport signal sur bruit (SNR) en dB en sortie \n \n\n
Question 2 : Filtrage et élimination de l'interférence 50 Hz \n
Un filtre notch (coupe-bande) centré à 50 Hz est inséré après l'amplificateur d'instrumentation pour éliminer l'interférence réseau. Caractéristiques du filtre :
\n
\nTopologie : Filtre RLC série résonnant \nFréquence de résonance : f_0 = 50 Hz \nAtténuation à f_0 : A_dB = -40 dB \nLargeur de bande à -3dB : BW = 2 Hz (sélectivité haute) \nFacteur de qualité : Q = f_0 / BW \nImpédance caractéristique : Z_0 = 1 kΩ \nInductance du filtre : L = Z_0 / (2π × f_0) \n \n
Calculez :
\n
\nLe facteur de qualité Q du filtre \nLa valeur de l'inductance L et de la capacité C \nLa bande d'arrêt (-40 dB) du filtre \nL'atténuation du signal ECG utile à 1 Hz \nL'amplitude de l'interférence 50 Hz après filtrage \n \n\n
Question 3 : Conversion analogique-numérique et quantification \n
Le signal amplifié et filtré est converti en numérique par un convertisseur 16 bits. Données du convertisseur :
\n
\nPlage d'entrée (pleine échelle) : ±5 V \nRésolution : 16 bits \nTension de référence : V_ref = 5 V \nFréquence d'échantillonnage : f_s = 1000 Hz \nSignal de sortie de l'amplificateur (pire cas) : V_out_max = 0,5 V (après ampli 1000× et filtrage) \nBruit de quantification uniforme : q = LSB \nTemps de conversion : t_conv = 100 μs \n \n
Déterminez :
\n
\nLa résolution (LSB) du convertisseur \nLe nombre de niveaux de quantification représentant le signal utile \nLe rapport signal sur bruit de quantification (SNR_q) \nL'erreur absolue maximale de quantification \nLa fréquence de Nyquist minimale requise pour le signal ECG \n \n\n
Question 4 : Caractérisation du bruit et du filtrage anti-aliasing \n
Avant la numérisation, un filtre passe-bas anti-aliasing est utilisé pour prévenir l'aliasing. Paramètres :
\n
\nTopologie : Filtre Butterworth d'ordre 2 (passe-bas) \nFréquence de coupure -3dB : f_c = 200 Hz \nGain DC : A_0 = 1 V/V (0 dB) \nBruit blanc en entrée : densité spectrale B_in = 10 nV/√Hz \nImpédance source : R_s = 1 kΩ \nBruit thermique Johnson : B_Johnson = 4kT×R à T=300K \n \n
Calculez :
\n
\nLa réponse en fréquence (gain) du filtre à 200 Hz, 500 Hz, 1 kHz \nLe bruit blanc équivalent (ENB - Equivalent Noise Bandwidth) \nLa puissance de bruit en sortie du filtre anti-aliasing \nLe bruit thermique Johnson en entrée (source) \nLe bruit total (blanc + thermique) en sortie du filtre \n \n\n
Question 5 : Chaîne complète - Performance globale et étalonnage \n
Intégrez les résultats précédents pour évaluer la chaîne de mesure complète. Paramètres d'étalonnage :
\n
\nSignal ECG de référence : V_ECG,ref = 1 mV à 1 Hz (tension en entrée des électrodes) \nÉtalon de tension : V_cal = 10 mV ± 0,1% (calibration mensuelle) \nTemps d'acquisition : T_acq = 10 s (15 battements cardiaques typiques) \nDérive thermique du gain : ΔG/ΔT = ±0,1%/°C (INA128) \nStabilité court terme (1 minute) : ±0,05% \nFacteur d'incertitude du gain : k = 2 (95% de confiance) \n \n
Déterminez :
\n
\nLa tension totale en sortie de la chaîne (signal utile + résidus + bruit) \nL'incertitude globale de mesure en mV (composées) \nLe facteur de correction d'étalonnage pour compenser la dérive \nLa résolution effective de la chaîne en μV \nLes recommandations pour améliorer la précision de 10% \n ",
"svg": "
\n \n \n Chaîne de Mesure ECG Complète : Du Patient aux Données Numériques\n \n\n \n \n \n ♥ \n Patient \n\n \n \n \n \n \n + \n − \n \n\n \n \n \n Amp \n Instrumentation \n ×1000 \n\n \n \n \n\n \n \n CMRR > 100 dB \n \n\n \n \n \n Filtre \n Notch \n 50 Hz \n\n \n \n \n -40 dB @ 50Hz \n \n\n \n \n \n Filtre \n Passe-bas \n 200 Hz \n\n \n \n \n Anti-aliasing \n \n\n \n \n \n ADC \n 16 bits \n 1000 Hz \n\n \n \n\n \n \n Données \n Numériques \n LSB=153 μV \n \n\n \n \n \n μC \n Traitement \n\n \n \n \n \n\n \n \n Analyse de Bruit (Cascade Friis) \n \n\n \n \n Stage 1 \n INA128 \n G₁=1000 (60dB) \n NF₁=8dB \n\n \n \n SNR \n\n \n \n Stage 2 \n Notch 50Hz \n G₂=0.999 (-0.01dB) \n NF₂≈0dB \n\n \n \n\n \n \n Stage 3 \n Filtre AA \n G₃=1 (0dB) \n NF₃≈2dB \n\n \n NF_tot = NF₁ + (NF₂-1)/G₁ + ... \n ≈ 8 dB (dominé par INA128) \n \n\n \n \n Spectre : Entrée vs Sortie \n \n\n \n Entrée (nV): \n \n \n\n \n 1Hz \n\n \n 50Hz \n\n \n Sortie (mV): \n \n \n\n \n 1Hz \n\n \n 50Hz \n \n\n \n \n Équations Clés \n \n\n Amplificateur d'instrumentation: \n A_d = 1 + 2R_f/R_G = 1 + 2×100k/100Ω = 2001 ≈ 1000 (conf. en gain) \n CMRR = 20×log(A_d/A_cm) > 80dB (mode commun rejeté de 10⁴) \n\n Filtre Butterworth ordre 2: \n H(f) = A_0 / √(1 + (f/f_c)⁴) où f_c=200Hz \n @ 50Hz: |H| = 1/√(1 + (50/200)⁴) ≈ 0.985 (-0.13dB) \n\n Conversion ADC 16 bits: \n LSB = V_ref / 2¹⁶ = 5V / 65536 ≈ 76.3 μV \n SNR_q = 6.02×n + 1.76 = 6.02×16 + 1.76 ≈ 98 dB \n\n Cascade de Friis (bruit): \n F_tot = F₁ + (F₂-1)/G₁ + (F₃-1)/(G₁×G₂) + ... \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 1
\n\n
Question 1 : Amplificateur d'instrumentation \n\n
Étape 1 : Relation gain vs R_G
\n
Formule générale INA128 : $A_d = 1 + \\frac{2R_f}{R_G}$
\n
Remplacement : $A_d = 1 + \\frac{2 \\times 100 \\times 10^3}{100} = 1 + 2000 = 2001$
\n
Approximation gain unitaire : $A_d ≈ 1000 \\, V/V \\, \\text{(spécifié)}$
\n\n
Étape 2 : CMRR théorique
\n
Formule : $\\text{CMRR} = 20 \\log_{10}\\left(\\frac{A_d}{A_{cm}}\\right)$
\n
CMRR typique INA128 : CMRR ≈ 100 dB (spécification constructeur)
\n
Ratio réjection : $\\frac{A_d}{A_{cm}} = 10^{100/20} = 10^5 = 100.000$
\n\n
Étape 3 : Tension sortie différentielle amplifiée
\n
Formule : $V_{out,diff} = A_d \\times V_{diff} = 1000 \\times 500 \\times 10^{-6} = 0,5 \\, V$
\n\n
Étape 4 : Tension mode commun en sortie (résidu)
\n
Atténuation mode commun : $A_{cm} = \\frac{A_d}{\\text{CMRR}} = \\frac{1000}{100.000} = 0,01 \\, V/V$
\n
Tension résidu : $V_{out,cm} = A_{cm} \\times V_{cm} = 0,01 \\times 1 \\times 10^{-3} = 10 \\, \\mu V$
\n\n
Étape 5 : SNR en sortie
\n
Signal utile sortie : 0,5 V = 500 mV
\n
Bruit en sortie (interférence réseau) : 10 μV
\n
Rapport : $\\text{SNR} = 20 \\log_{10}\\left(\\frac{500 \\times 10^{-3}}{10 \\times 10^{-6}}\\right) = 20 \\log_{10}(50.000) = 94 \\, \\text{dB}$
\n\n
Résultats finaux Q1 :
\n
$A_d = 2001 (≈1000) | \\text{CMRR} = 100 \\, \\text{dB} | V_{out,diff} = 0,5 \\, \\text{V} | V_{out,cm,résidu} = 10 \\, \\mu\\text{V} | \\text{SNR} = 94 \\, \\text{dB}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Filtre notch 50 Hz \n\n
Étape 1 : Facteur de qualité
\n
Formule : $Q = \\frac{f_0}{\\text{BW}} = \\frac{50}{2} = 25$
\n\n
Étape 2 : Inductance et capacité
\n
Pour filtre RLC série résonnant : $L = \\frac{Z_0}{2\\pi f_0} = \\frac{1000}{2\\pi \\times 50} = \\frac{1000}{314,16} = 3,183 \\, \\text{H}$
\n
Capacité : $C = \\frac{1}{2\\pi f_0 Z_0} = \\frac{1}{314,16 \\times 1000} = 3,183 \\, \\mu\\text{F}$
\n
Résistance : $R = \\frac{Z_0}{Q} = \\frac{1000}{25} = 40 \\, \\Omega$
\n\n
Étape 3 : Bande d'arrêt (-40 dB)
\n
Pour atténuation -40 dB, utiliser diagramme Bode du filtre notch
\n
Approximativement : Δf(-40dB) ≈ BW / 4 × 10^(40/20) ≈ 0,5 Hz
\n
Bande d'arrêt : $f \\in [49,75 \\, \\text{Hz} ; 50,25 \\, \\text{Hz}]$
\n\n
Étape 4 : Atténuation signal ECG à 1 Hz
\n
Gain notch à 1 Hz : $|H(1 \\text{Hz})| ≈ 1 \\, V/V \\, (0 \\, \\text{dB})$
\n
Signal ECG (0,5 V) reste pratiquement inchangé
\n\n
Étape 5 : Amplitude interférence après filtrage
\n
Entrée interférence : 1 mV à 50 Hz amplifiée 1000× = 1 V
\n
Atténuation à 50 Hz : -40 dB → factor 0,01
\n
Sortie filtrée : $1 \\, \\text{V} \\times 0,01 = 10 \\, \\text{mV}$
\n\n
Résultats finaux Q2 :
\n
$Q = 25 | L = 3,183 \\, \\text{H} | C = 3,183 \\, \\mu\\text{F} | R = 40 \\, \\Omega | \\text{BW}_{-40dB} = 0,5 \\, \\text{Hz} | \\text{Atté}_{\\text{ECG}} ≈ 0 \\, \\text{dB} | \\text{Sortie}_{\\text{50Hz}} = 10 \\, \\text{mV}$
\n\n
\n\n
Question 3 : ADC 16 bits et quantification \n\n
Étape 1 : Résolution (LSB)
\n
Formule : $\\text{LSB} = \\frac{V_{\\text{ref}} \\times 2}{2^{16}} = \\frac{10}{65536} = 152,6 \\, \\mu\\text{V}$
\n\n
Étape 2 : Niveaux quantification pour signal utile
\n
Signal max à l'entrée ADC : 0,5 V (après ampli et filtrage)
\n
Nombre de niveaux : $N = \\frac{0,5}{152,6 \\times 10^{-6}} = 3276 \\, \\text{niveaux}$
\n
Bits utilisés : $\\log_2(3276) ≈ 11,7 \\, \\text{bits}$
\n\n
Étape 3 : SNR de quantification
\n
Formule : $\\text{SNR}_q = 20 \\log_{10}\\left(\\frac{V_{\\text{signal}}}{\\text{LSB}/\\sqrt{12}}\\right) = 20 \\log_{10}\\left(\\frac{0,5}{152,6 \\times 10^{-6}/\\sqrt{12}}\\right)$
\n
Calcul : $\\text{SNR}_q = 20 \\log_{10}(20.125) = 86,1 \\, \\text{dB}$
\n\n
Étape 4 : Erreur quantification max
\n
Erreur maximale : $\\text{Err}_{\\text{max}} = \\frac{\\text{LSB}}{2} = \\frac{152,6}{2} = 76,3 \\, \\mu\\text{V}$
\n\n
Étape 5 : Fréquence Nyquist
\n
Signal ECG : fondamental ~1 Hz, harmoniques jusqu'à ~100 Hz (spectre complet ~0-100 Hz)
\n
Fréquence Nyquist minimale : $f_{\\text{Nyquist}} = 2 \\times 100 = 200 \\, \\text{Hz}$
\n
Fréquence d'échantillonnage 1000 Hz >> 200 Hz (sur-échantillonnage 5×)
\n\n
Résultats finaux Q3 :
\n
$\\text{LSB} = 152,6 \\, \\mu\\text{V} | N = 3276 \\, \\text{niveaux} | \\text{SNR}_q = 86,1 \\, \\text{dB} | \\text{Err}_{\\text{max}} = 76,3 \\, \\mu\\text{V} | f_{\\text{Nyquist}} = 200 \\, \\text{Hz}$
\n\n
\n\n
Question 4 : Bruit et filtrage anti-aliasing \n\n
Étape 1 : Réponse fréquence Butterworth ordre 2
\n
Formule : $|H(f)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (f/f_c)^{2n}}} \\, \\text{où } n=2$
\n
À 200 Hz (f_c) : $|H(200)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 1}} = 0,707 \\, (-3 \\, \\text{dB})$
\n
À 500 Hz : $|H(500)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (2,5)^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 39,06}} = 0,155 \\, (-16,2 \\, \\text{dB})$
\n
À 1 kHz : $|H(1000)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (5)^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 625}} = 0,040 \\, (-27,9 \\, \\text{dB})$
\n\n
Étape 2 : ENB (Equivalent Noise Bandwidth)
\n
Pour filtre Butterworth ordre 2 : $\\text{ENB} = \\frac{\\pi}{4} \\times f_c = 0,785 \\times 200 = 157 \\, \\text{Hz}$
\n\n
Étape 3 : Bruit blanc en sortie
\n
Densité de puissance sortie : $B_{\\text{out}} = B_{\\text{in}} \\times \\sqrt{\\text{ENB}} = 10 \\times 10^{-9} \\times \\sqrt{157} = 1,254 \\, \\mu\\text{V}$
\n
Puissance bruit blanc : $P_{\\text{white}} = B_{\\text{out}}^2 = (1,254 \\times 10^{-6})^2 = 1,57 \\, \\text{nV}^2$
\n\n
Étape 4 : Bruit Johnson
\n
Formule : $B_{\\text{Johnson}} = \\sqrt{4 \\times k \\times T \\times R} = \\sqrt{4 \\times 1,38 \\times 10^{-23} \\times 300 \\times 1000}$
\n
Calcul : $B_{\\text{Johnson}} = \\sqrt{1,656 \\times 10^{-17}} = 128,7 \\, \\text{nV/}\\sqrt{\\text{Hz}}$
\n\n
Étape 5 : Bruit total
\n
Bruit Johnson sortie : $P_{\\text{Johnson}} = (128,7 \\times 10^{-9})^2 \\times \\text{ENB} = 1,657 \\times 10^{-15} \\times 157 = 2,60 \\, \\text{nV}^2$
\n
Total (quadratique) : $P_{\\text{total}} = \\sqrt{P_{\\text{white}} + P_{\\text{Johnson}}} = \\sqrt{1,57 + 2,60} = 2,04 \\, \\text{nV}$
\n\n
Résultats finaux Q4 :
\n
$|H(200Hz)| = -3 \\, \\text{dB} | |H(500Hz)| = -16,2 \\, \\text{dB} | |H(1kHz)| = -27,9 \\, \\text{dB} | \\text{ENB} = 157 \\, \\text{Hz} | P_{\\text{white}} = 1,57 \\, \\text{nV}^2 | P_{\\text{Johnson}} = 2,60 \\, \\text{nV}^2 | P_{\\text{total}} = 2,04 \\, \\text{nV}$
\n\n
\n\n
Question 5 : Chaîne complète - Performance et étalonnage \n\n
Étape 1 : Tension totale en sortie chaîne
\n
Signal utile (entrée 1 mV amplifié 1000×, après filtrage) : 1 V (minimal due à filtrage -0.13 dB at 1 Hz)
\n
Résidu interférence 50 Hz : 10 mV (après filtre notch -40 dB)
\n
Bruit total : 2.04 nV ≈ negligible
\n
Quantification : LSB = 152.6 μV (source supplémentaire de bruit ~88 μV RMS)
\n
$V_{\\text{sortie,total}} ≈ 1 \\, \\text{V (signal)} + 0,01 \\, \\text{V (résidu)} + 88 \\, \\mu\\text{V (quant.)} = 1,0109 \\, \\text{V}$
\n\n
Étape 2 : Incertitude globale composée
\n
Sources d'incertitude :
\n
• Gain amplification : ΔG = ±0,01% × 1000 = ±0,1 V/V
\n
• Étalon calibration : 0,1% × 10 mV = ±10 μV
\n
• Dérive thermique (ΔT = ±5°C) : ±0,1%/°C × 5 = ±0,5% → ±5 mV
\n
• Stabilité court terme : ±0.05% → ±0.5 mV
\n
• Quantification : ±76.3 μV
\n
• Linéarité ADC : ±LSB = ±152.6 μV
\n
$U_c = \\sqrt{(5)^2 + (0.5)^2 + (0.15)^2 + (0.15)^2 + (0.01)^2} ≈ 5,02 \\, \\text{mV}$
\n
Incertitude étendue (k=2, 95%) : $U_{\\text{expanded}} = 2 \\times 5,02 = 10,04 \\, \\text{mV}$
\n\n
Étape 3 : Facteur correction étalonnage
\n
Mesure d'étalon : $V_{\\text{measured}} = V_{\\text{reference}} + \\text{dérive (écart)}$
\n
Facteur correction : $k_{\\text{cal}} = \\frac{V_{\\text{reference}}}{V_{\\text{measured}}} = \\frac{10 \\, \\text{mV}}{10 \\, \\text{mV} \\pm 0,05 \\, \\text{mV}} ≈ 0,995$
\n
Application : $V_{\\text{corrigé}} = V_{\\text{mesuré}} \\times k_{\\text{cal}}$
\n\n
Étape 4 : Résolution effective
\n
Résolution effective chaîne : $R_{\\text{eff}} = \\sqrt{\\text{LSB}^2/12 + \\text{Bruit}^2 + \\text{Instabilité}^2}$
\n
$R_{\\text{eff}} = \\sqrt{(44)^2 + (2,04)^2 + (500)^2} ≈ 500 \\, \\mu\\text{V (limité par dérive)}$
\n\n
Étape 5 : Recommandations amélioration 10%
\n
Pour améliorer la précision de 10% (réduire incertitude de 5 mV → 4,5 mV) :
\n
• Thermostat à ±1°C (réduire dérive thermique d'un facteur 5)
\n
• Étalonnage mensuel au lieu de semestriel
\n
• Amplificateur avec CMRR > 120 dB
\n
• ADC 18 bits (réduire quantification LSB de 25%)
\n\n
Résultats finaux Q5 :
\n
$V_{\\text{total}} ≈ 1,011 \\, \\text{V} | U_c = 5,02 \\, \\text{mV} | U_{\\text{95\\%}} = 10,04 \\, \\text{mV} | k_{\\text{cal}} ≈ 0,995 | R_{\\text{eff}} ≈ 500 \\, \\mu\\text{V} | \\text{Améliorations} : \\text{thermostat + étalon + ampli/ADC meilleurs}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 2 - Capteurs et Instrumentation\n\nUn système de surveillance environnementale dans une serre agricole intègre un capteur d'humidité capacitif, un capteur à effet Hall, et un capteur de débit pour l'irrigation.\n\n1. Un capteur d'humidité capacitif a une capacité nominale $C_0 = 100~pF$ à humidité relative nulle (0% RH). À 80% RH, la capacité mesurée est $C_{80} = 180~pF$. Déterminez la sensibilité du capteur en pF/%RH et la capacité à 50% RH en supposant une relation linéaire.\n\n2. Le signal du capteur d'humidité est converti par un circuit $C-V$ avec une constante de temps $\\tau = 10~ms$. Le capteur détecte un changement d'humidité de 40% RH en $\\Delta t = 200~ms$. Calculez le temps de réponse du système en nombres de constantes de temps et déterminez si le système répond suffisamment rapidement.\n\n3. Un capteur à effet Hall mesure l'induction magnétique dans le sol. La sensibilité du capteur est $G_H = 50~mV/T$ (millivolts par Tesla). Pour une induction mesurée de 0,5 T, calculez la tension de sortie du capteur.\n\n4. Un capteur de débit à turbine mesure le débit d'eau d'irrigation. Il génère une fréquence de $f = 150~Hz$ pour un débit de 10 L/min. Déterminez la fréquence de sortie pour un débit de 25 L/min en supposant une relation proportionnelle.\n\n5. Le signal de débit est envoyé vers un amplificateur d'instrumentation avec un gain $G = 1000$ et une bande passante de $BW = 5~kHz$. Calculez la tension d'entrée maximale sans saturation si la tension de sortie est limitée à $V_{sat} = 10~V$.",
"svg": "
Serre Agricole Humidité Hall Amplif. G=1000 5 kHz Traitement Signal Débit Turbine 150 Hz DB Système de surveillance : Capteurs → Amplification → Traitement Irrigation ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\n1. Sensibilité du capteur d'humidité et capacité à 50% RH : 2. Temps de réponse du système C-V : 3. Tension de sortie du capteur à effet Hall : 4. Fréquence de sortie du capteur de débit à 25 L/min : 5. Tension d'entrée maximale sans saturation :
",
"id_category": "1",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 - Capteurs et Instrumentation\n\nUn système de positionnement précis pour une machine-outil utilise un capteur de déplacement LVDT (Linear Variable Differential Transformer), une jauge de contrainte pour la mesure de force, et un capteur de vide.\n\n1. Un LVDT a une sensibilité de $S_{LVDT} = 4~V/mm$ et une plage linéaire de $\\pm 5~mm$. Le capteur est excité par une tension alternative $V_{exc} = 10~V$ à 10 kHz. Pour un déplacement mesuré de 2,5 mm, calculez la tension de sortie.\n\n2. La tension de sortie du LVDT est envoyée vers un amplificateur d'instrumentation avec un gain réglable. La tension mesurée en sortie d'amplification est $V_{out,LVDT} = 20~V$ pour un déplacement de 2,5 mm. Calculez le gain de l'amplificateur.\n\n3. Une jauge de contrainte collée sur la structure mesure la force axiale. Elle a une résistance $R_0 = 1000~\\Omega$ et un facteur de jauge $F_g = 2,1$. Sous une force de 5000 N avec une section transversale de $A = 100~mm^2$, la contrainte est $\\sigma = 50~MPa$ et la déformation $\\varepsilon = 5 \\times 10^{-4}$. Calculez $\\Delta R$ et la variation de tension dans un pont de Wheatstone avec $V_{exc} = 5~V$.\n\n4. Un capteur de vide (pirani) mesure la pression en fonction de la convection thermique du filament chauffé. Il produit un signal 0-10 V pour une plage de pression 1-100 Pa. Pour une pression mesurée de 30 Pa, calculez la tension de sortie en supposant une relation logarithmique : $V = a \\log(P) + b$.\n\n5. Le système de positionnement doit atteindre une résolution de 0,1 mm. Le LVDT produit une tension de 0,4 V pour ce déplacement. Déterminez le nombre de bits minimum requis pour le convertisseur analogique-numérique (CAN) si la plage de conversion est $\\pm 20~V$.",
"svg": "
Machine Outil LVDT Jauge Amplif. Gain réglable ±20V CAN 12/16 bits Position 0.1 mm Capteur Vide 1-100 Pa Positionnement précis : LVDT → Amplif → Acquisition → Traitement ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\n1. Tension de sortie du LVDT pour un déplacement de 2,5 mm : 2. Gain de l'amplificateur d'instrumentation : 3. Variation de résistance et variation de tension dans un pont de Wheatstone : 4. Tension de sortie du capteur pirani pour 30 Pa : 5. Nombre de bits minimum pour le CAN :
",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 1 - Capteurs et Instrumentation\n\nUne chaîne complète d'acquisition de données pour un système de surveillance thermique et de pression dans une chaudière industrielle comprend des capteurs, un amplificateur d'instrumentation et une jauge de contrainte.\n\n1. Un capteur de température de type PT100 (résistance à 0°C : $R_0 = 100~\\Omega$) mesure la température dans la chaudière. La résistance mesurée est $R_T = 138,5~\\Omega$. Sachant que le coefficient de température est $\\alpha = 0,00385~K^{-1}$, calculez la température mesurée.\n\n2. Le signal du PT100 est envoyé vers un amplificateur d'instrumentation avec un gain $G = 100$. La tension de sortie du capteur avant amplification est $V_{in} = 50~mV$. Calculez la tension de sortie de l'amplificateur.\n\n3. Une jauge de contrainte (capteur de pression indirect) est collée sur la paroi de la chaudière. Elle a une résistance nominale $R_0 = 350~\\Omega$ et un facteur de jauge $F_g = 2,0$. Sous une pression de 10 bar, la déformation mesurée est $\\varepsilon = 0,001$. Calculez la variation de résistance $\\Delta R$ et la résistance mesurée.\n\n4. L'amplificateur d'instrumentation pour la jauge a un gain de $G_J = 500$ et une impédance d'entrée $Z_{in} = 10~M\\Omega$. La tension de sortie mesurée en sortie est $V_{out} = 2,5~V$. Calculez la tension d'entrée différentielle avant amplification.\n\n5. Un capteur de pression absolue (plage 0-16 bar) produit un signal 4-20 mA. À 10 bar, le capteur doit produire 12 mA. Calculez la sensibilité du capteur en mA/bar et déterminez le courant correspondant à 0 bar (offset).",
"svg": "
Chaudière Pression PT100 Jauge Amplificateur G=100 & 500 Traitement Signal Capteur Pression DAQ Chaîne d'acquisition : Capteurs → Amplification → Traitement → Affichage ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\n1. Calcul de la température mesurée par le PT100 : 2. Tension de sortie de l'amplificateur d'instrumentation : 3. Variation de résistance et résistance mesurée de la jauge : 4. Tension d'entrée différentielle avant amplification : 5. Sensibilité du capteur de pression et offset :
",
"id_category": "1",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 2 - Capteurs et Instrumentation\n\nUn système de surveillance environnementale dans une serre agricole intègre un capteur d'humidité capacitif, un capteur à effet Hall, et un capteur de débit pour l'irrigation.\n\n1. Un capteur d'humidité capacitif a une capacité nominale $C_0 = 100~pF$ à humidité relative nulle (0% RH). À 80% RH, la capacité mesurée est $C_{80} = 180~pF$. Déterminez la sensibilité du capteur en pF/%RH et la capacité à 50% RH en supposant une relation linéaire.\n\n2. Le signal du capteur d'humidité est converti par un circuit $C-V$ avec une constante de temps $\\tau = 10~ms$. Le capteur détecte un changement d'humidité de 40% RH en $\\Delta t = 200~ms$. Calculez le temps de réponse du système en nombres de constantes de temps et déterminez si le système répond suffisamment rapidement.\n\n3. Un capteur à effet Hall mesure l'induction magnétique dans le sol. La sensibilité du capteur est $G_H = 50~mV/T$ (millivolts par Tesla). Pour une induction mesurée de 0,5 T, calculez la tension de sortie du capteur.\n\n4. Un capteur de débit à turbine mesure le débit d'eau d'irrigation. Il génère une fréquence de $f = 150~Hz$ pour un débit de 10 L/min. Déterminez la fréquence de sortie pour un débit de 25 L/min en supposant une relation proportionnelle.\n\n5. Le signal de débit est envoyé vers un amplificateur d'instrumentation avec un gain $G = 1000$ et une bande passante de $BW = 5~kHz$. Calculez la tension d'entrée maximale sans saturation si la tension de sortie est limitée à $V_{sat} = 10~V$.",
"svg": "
Serre Agricole Humidité Hall Amplif. G=1000 5 kHz Traitement Signal Débit Turbine 150 Hz DB Système de surveillance : Capteurs → Amplification → Traitement Irrigation ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\n1. Sensibilité du capteur d'humidité et capacité à 50% RH : 2. Temps de réponse du système C-V : 3. Tension de sortie du capteur à effet Hall : 4. Fréquence de sortie du capteur de débit à 25 L/min : 5. Tension d'entrée maximale sans saturation :
",
"id_category": "1",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 - Capteurs et Instrumentation\n\nUn système de positionnement précis pour une machine-outil utilise un capteur de déplacement LVDT (Linear Variable Differential Transformer), une jauge de contrainte pour la mesure de force, et un capteur de vide.\n\n1. Un LVDT a une sensibilité de $S_{LVDT} = 4~V/mm$ et une plage linéaire de $\\pm 5~mm$. Le capteur est excité par une tension alternative $V_{exc} = 10~V$ à 10 kHz. Pour un déplacement mesuré de 2,5 mm, calculez la tension de sortie.\n\n2. La tension de sortie du LVDT est envoyée vers un amplificateur d'instrumentation avec un gain réglable. La tension mesurée en sortie d'amplification est $V_{out,LVDT} = 20~V$ pour un déplacement de 2,5 mm. Calculez le gain de l'amplificateur.\n\n3. Une jauge de contrainte collée sur la structure mesure la force axiale. Elle a une résistance $R_0 = 1000~\\Omega$ et un facteur de jauge $F_g = 2,1$. Sous une force de 5000 N avec une section transversale de $A = 100~mm^2$, la contrainte est $\\sigma = 50~MPa$ et la déformation $\\varepsilon = 5 \\times 10^{-4}$. Calculez $\\Delta R$ et la variation de tension dans un pont de Wheatstone avec $V_{exc} = 5~V$.\n\n4. Un capteur de vide (pirani) mesure la pression en fonction de la convection thermique du filament chauffé. Il produit un signal 0-10 V pour une plage de pression 1-100 Pa. Pour une pression mesurée de 30 Pa, calculez la tension de sortie en supposant une relation logarithmique : $V = a \\log(P) + b$.\n\n5. Le système de positionnement doit atteindre une résolution de 0,1 mm. Le LVDT produit une tension de 0,4 V pour ce déplacement. Déterminez le nombre de bits minimum requis pour le convertisseur analogique-numérique (CAN) si la plage de conversion est $\\pm 20~V$.",
"svg": "
Machine Outil LVDT Jauge Amplif. Gain réglable ±20V CAN 12/16 bits Position 0.1 mm Capteur Vide 1-100 Pa Positionnement précis : LVDT → Amplif → Acquisition → Traitement ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
\n1. Tension de sortie du LVDT pour un déplacement de 2,5 mm : 2. Gain de l'amplificateur d'instrumentation : 3. Variation de résistance et variation de tension dans un pont de Wheatstone : 4. Tension de sortie du capteur pirani pour 30 Pa : 5. Nombre de bits minimum pour le CAN :
",
"id_category": "1",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
EXAMEN DE CAPTEURS ET INSTRUMENTATION Session 1 — Contexte général : Une entreprise industrielle conçoit un système de surveillance thermique pour un four de traitement métallurgique. Le système utilise une sonde de température PT100, un amplificateur d'instrumentation, et un pont de Wheatstone pour conditionner le signal. L'ensemble doit mesurer des températures entre 0°C et 400°C avec une grande précision.
Question 1 (4 points) : La sonde PT100 utilisée a une résistance nominale $R_0 = 100 \\, \\Omega$ à 0°C et un coefficient de température $\\alpha = 3{,}85 \\times 10^{-3} \\, °C^{-1}$. Calculer la résistance $R_T$ de la sonde à $T = 250°C$ en utilisant l'approximation linéaire $R_T = R_0(1 + \\alpha T)$. Déterminer également la variation de résistance $\\Delta R$ par rapport à 0°C.
Question 2 (5 points) : La sonde PT100 est placée dans un pont de Wheatstone avec trois résistances fixes $R_1 = R_2 = R_3 = 100 \\, \\Omega$ et alimenté par une tension $E = 5 \\, V$. À la température $T = 250°C$, calculer la tension de déséquilibre $V_{AB}$ du pont sachant que la formule du pont est : $V_{AB} = E \\left( \\frac{R_T}{R_T + R_3} - \\frac{R_2}{R_1 + R_2} \\right)$.
Question 3 (5 points) : Le signal $V_{AB}$ est amplifié par un amplificateur d'instrumentation dont le gain est donné par $G = 1 + \\frac{2R}{R_G}$. On dispose de $R = 10 \\, k\\Omega$. Déterminer la valeur de la résistance $R_G$ nécessaire pour obtenir une tension de sortie $V_s = 4{,}5 \\, V$ à $T = 250°C$.
Question 4 (4 points) : On souhaite mesurer la contrainte mécanique sur la paroi du four à l'aide d'une jauge de contrainte. La jauge a une résistance nominale $R_j = 120 \\, \\Omega$ et un facteur de jauge $GF = 2{,}1$. Si la déformation mesurée est $\\varepsilon = 850 \\, \\mu m/m$, calculer la variation de résistance $\\Delta R_j$ de la jauge.
Question 5 (5 points) : La jauge de contrainte est montée dans un pont de Wheatstone en quart de pont avec trois résistances $R_0 = 120 \\, \\Omega$ et alimenté par $E = 10 \\, V$. En utilisant l'approximation $V_{out} \\approx \\frac{E \\cdot GF \\cdot \\varepsilon}{4}$, calculer la tension de sortie du pont. Ensuite, déterminer le gain de l'amplificateur d'instrumentation nécessaire pour obtenir une tension de sortie finale de $V_{finale} = 2 \\, V$.
",
"svg": "
Schéma du système de mesure thermique PT100 T = 250°C Pont de Wheatstone R1 R2 R3 PT100 A B Ampli Instrumentation G = 1 + 2R/Rg Sortie Vs Jauge de Contrainte Pont Quart R0 R0 R0 Rj GF = 2,1 Rj = 120 Ω E = 10 V E = 5 V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'examen Question 1 : Calcul de la résistance PT100 à 250°C Données :
Formule générale : $R_T = R_0(1 + \\alpha T)$
Application numérique : $R_T = 100 \\times (1 + 3{,}85 \\times 10^{-3} \\times 250)$
Calcul : $R_T = 100 \\times (1 + 0{,}9625) = 100 \\times 1{,}9625$
Résultat : $\\boxed{R_T = 196{,}25 \\, \\Omega}$
Variation de résistance : $\\Delta R = R_T - R_0 = 196{,}25 - 100 = \\boxed{96{,}25 \\, \\Omega}$
Question 2 : Tension de déséquilibre du pont de Wheatstone Données :
Formule générale : $V_{AB} = E \\left( \\frac{R_T}{R_T + R_3} - \\frac{R_2}{R_1 + R_2} \\right)$
Application numérique : $V_{AB} = 5 \\times \\left( \\frac{196{,}25}{196{,}25 + 100} - \\frac{100}{100 + 100} \\right)$
Calcul intermédiaire : $\\frac{196{,}25}{296{,}25} = 0{,}6624$$\\frac{100}{200} = 0{,}5$
Calcul final : $V_{AB} = 5 \\times (0{,}6624 - 0{,}5) = 5 \\times 0{,}1624$
Résultat : $\\boxed{V_{AB} = 0{,}812 \\, V}$
Question 3 : Détermination de la résistance Rg de l'amplificateur Données :
Calcul du gain nécessaire : $G = \\frac{V_s}{V_{AB}} = \\frac{4{,}5}{0{,}812}$$G = 5{,}54$
Formule du gain : $G = 1 + \\frac{2R}{R_G}$
Isoler Rg : $R_G = \\frac{2R}{G - 1}$
Application numérique : $R_G = \\frac{2 \\times 10000}{5{,}54 - 1} = \\frac{20000}{4{,}54}$
Résultat : $\\boxed{R_G = 4{,}405 \\, k\\Omega}$
Question 4 : Variation de résistance de la jauge de contrainte Données :
Formule du facteur de jauge : $GF = \\frac{\\Delta R_j / R_j}{\\varepsilon}$
Isoler ΔRj : $\\Delta R_j = GF \\times \\varepsilon \\times R_j$
Application numérique : $\\Delta R_j = 2{,}1 \\times 850 \\times 10^{-6} \\times 120$
Calcul : $\\Delta R_j = 2{,}1 \\times 0{,}102 = 0{,}2142 \\, \\Omega$
Résultat : $\\boxed{\\Delta R_j = 0{,}214 \\, \\Omega}$
Question 5 : Tension de sortie du pont et gain de l'amplificateur Données :
Formule de la tension de sortie (quart de pont) : $V_{out} = \\frac{E \\cdot GF \\cdot \\varepsilon}{4}$
Application numérique : $V_{out} = \\frac{10 \\times 2{,}1 \\times 850 \\times 10^{-6}}{4}$
Calcul : $V_{out} = \\frac{10 \\times 2{,}1 \\times 0{,}00085}{4} = \\frac{0{,}01785}{4}$
Résultat tension de sortie : $\\boxed{V_{out} = 4{,}46 \\, mV}$
Calcul du gain de l'amplificateur : $G_{amp} = \\frac{V_{finale}}{V_{out}} = \\frac{2}{0{,}00446}$
Résultat gain : $\\boxed{G_{amp} \\approx 448}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
EXAMEN DE CAPTEURS ET INSTRUMENTATION Session 2 — Contexte général : Un système de contrôle de débit pour une canalisation industrielle utilise un débitmètre électromagnétique, un capteur de pression piézorésistif, et un capteur à effet Hall pour mesurer le courant d'alimentation d'une pompe. L'ensemble est conditionné par des amplificateurs d'instrumentation pour l'acquisition de données.
Question 1 (4 points) : Le débitmètre électromagnétique fonctionne selon la loi de Faraday. La tension induite est donnée par $U = K \\cdot B \\cdot v \\cdot D$ où $K = 1$ est une constante, $B = 0{,}15 \\, T$ est l'induction magnétique, $D = 0{,}08 \\, m$ est le diamètre de la conduite. Si le débit volumique est $Q_v = 12 \\, L/s$, calculer la vitesse moyenne $v$ du fluide puis la tension $U$ générée par le capteur. Rappel : $Q_v = S \\cdot v$ avec $S = \\frac{\\pi D^2}{4}$.
Question 2 (5 points) : Le capteur de pression piézorésistif est constitué d'un pont de Wheatstone complet dont les quatre jauges ont une résistance nominale $R_0 = 350 \\, \\Omega$ et un coefficient piézorésistif $\\pi_l = 50 \\times 10^{-11} \\, Pa^{-1}$. Sous une pression de $P = 2 \\, MPa$, calculer la variation relative de résistance $\\frac{\\Delta R}{R_0}$ sachant que $\\frac{\\Delta R}{R_0} = \\pi_l \\cdot \\sigma$ avec $\\sigma = P$. En déduire la tension de sortie du pont alimenté sous $E = 12 \\, V$ en utilisant $V_{out} = E \\cdot \\frac{\\Delta R}{R_0}$.
Question 3 (5 points) : Le signal du capteur de pression (Question 2) est amplifié par un amplificateur d'instrumentation INA128 dont le gain est $G = 1 + \\frac{50 \\, k\\Omega}{R_G}$. On souhaite obtenir une tension de sortie $V_s = 5 \\, V$ pour la pression maximale de 2 MPa. Calculer la valeur de $R_G$ nécessaire. Déterminer également la sensibilité du système en $V/MPa$.
Question 4 (4 points) : Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer le courant de la pompe. La tension de Hall est donnée par $V_H = R_H \\cdot \\frac{I}{t} \\cdot B$ où $R_H = 5 \\times 10^{-4} \\, m^3/C$ est le coefficient de Hall, $t = 0{,}5 \\, mm$ est l'épaisseur du capteur, et $B = 0{,}2 \\, T$ est le champ magnétique. Si le capteur est parcouru par un courant de polarisation $I = 10 \\, mA$, calculer la tension de Hall $V_H$.
Question 5 (5 points) : Le signal du capteur à effet Hall est conditionné par un amplificateur d'instrumentation suivi d'un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure $f_c = 100 \\, Hz$. Si le gain de l'amplificateur est $G = 200$ et que le filtre a une constante de temps $\\tau = \\frac{1}{2\\pi f_c}$, calculer : (a) la tension de sortie après amplification, (b) la constante de temps $\\tau$ du filtre, (c) le temps nécessaire pour atteindre 99% de la valeur finale lors d'un échelon.
",
"svg": "
Système de contrôle de débit industriel Débitmètre Électromagn. B = 0,15 T D = 0,08 m Qv = 12 L/s Ampli Instrum. G = 1 + 50k/Rg INA128 Capteur Pression Piézorésistif Pont complet R0 = 350 Ω Capteur Hall Plaquette I I B VH = RH·I·B/t Filtre Passe-Bas fc = 100 Hz τ = 1/(2πfc) Acquisition Données CAN 12 bits ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'examen Question 1 : Calcul de la vitesse et tension du débitmètre Données :
Calcul de la section : $S = \\frac{\\pi D^2}{4} = \\frac{\\pi \\times (0{,}08)^2}{4}$$S = \\frac{\\pi \\times 0{,}0064}{4} = \\frac{0{,}02011}{4}$$S = 5{,}027 \\times 10^{-3} \\, m^2$
Calcul de la vitesse : $v = \\frac{Q_v}{S} = \\frac{0{,}012}{5{,}027 \\times 10^{-3}}$$\\boxed{v = 2{,}387 \\, m/s}$
Calcul de la tension : $U = K \\cdot B \\cdot v \\cdot D = 1 \\times 0{,}15 \\times 2{,}387 \\times 0{,}08$$\\boxed{U = 28{,}64 \\, mV}$
Question 2 : Capteur de pression piézorésistif Données :
Variation relative de résistance : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = \\pi_l \\cdot \\sigma = \\pi_l \\cdot P$$\\frac{\\Delta R}{R_0} = 50 \\times 10^{-11} \\times 2 \\times 10^6$$\\boxed{\\frac{\\Delta R}{R_0} = 1 \\times 10^{-3} = 0{,}1 \\%}$
Tension de sortie du pont : $V_{out} = E \\cdot \\frac{\\Delta R}{R_0} = 12 \\times 10^{-3}$$\\boxed{V_{out} = 12 \\, mV}$
Question 3 : Calcul de Rg et sensibilité Données :
Calcul du gain nécessaire : $G = \\frac{V_s}{V_{out}} = \\frac{5}{0{,}012}$$G = 416{,}67$
Calcul de Rg : $G = 1 + \\frac{50000}{R_G}$$R_G = \\frac{50000}{G - 1} = \\frac{50000}{415{,}67}$$\\boxed{R_G = 120{,}3 \\, \\Omega}$
Sensibilité du système : $S = \\frac{V_s}{P} = \\frac{5}{2}$$\\boxed{S = 2{,}5 \\, V/MPa}$
Question 4 : Tension du capteur à effet Hall Données :
Formule de la tension de Hall : $V_H = R_H \\cdot \\frac{I}{t} \\cdot B$
Application numérique : $V_H = 5 \\times 10^{-4} \\times \\frac{0{,}01}{5 \\times 10^{-4}} \\times 0{,}2$$V_H = 5 \\times 10^{-4} \\times 20 \\times 0{,}2$$\\boxed{V_H = 2 \\, mV}$
Question 5 : Conditionnement du signal Hall (a) Tension après amplification : $V_{amp} = G \\times V_H = 200 \\times 2 \\times 10^{-3}$$\\boxed{V_{amp} = 0{,}4 \\, V = 400 \\, mV}$
(b) Constante de temps du filtre : $\\tau = \\frac{1}{2\\pi f_c} = \\frac{1}{2\\pi \\times 100}$$\\boxed{\\tau = 1{,}59 \\, ms}$
(c) Temps pour atteindre 99% :
",
"id_category": "1",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
EXAMEN DE CAPTEURS ET INSTRUMENTATION Session 3 — Contexte général : Un robot industriel utilise un système de positionnement précis basé sur un capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer), un capteur d'humidité capacitif pour surveiller l'environnement de travail, et un thermocouple type K pour la compensation thermique. L'ensemble est interfacé via des amplificateurs d'instrumentation.
Question 1 (5 points) : Le capteur LVDT a une sensibilité $S_{LVDT} = 25 \\, mV/mm$ et une plage de mesure de $\\pm 50 \\, mm$. Le signal de sortie est donné par $V_{out} = S_{LVDT} \\cdot x$ où $x$ est le déplacement. (a) Calculer la tension de sortie pour un déplacement $x = 32{,}5 \\, mm$. (b) Si la tension mesurée est $V_{mes} = -875 \\, mV$, déterminer la position correspondante. (c) Calculer l'erreur de position si l'amplificateur introduit un offset de $2 \\, mV$.
Question 2 (5 points) : Le signal LVDT est amplifié par un amplificateur d'instrumentation AD620 dont le gain est $G = \\frac{49{,}4 \\, k\\Omega}{R_G} + 1$. On souhaite que la tension de sortie atteigne $V_s = 5 \\, V$ en fin de course ($x = 50 \\, mm$). Calculer : (a) la tension LVDT en fin de course, (b) le gain nécessaire, (c) la résistance $R_G$ à utiliser.
Question 3 (4 points) : Le capteur d'humidité capacitif a une capacité nominale $C_0 = 180 \\, pF$ à 33% HR (humidité relative) et une sensibilité $\\Delta C = 0{,}35 \\, pF/\\%HR$. La capacité varie linéairement selon $C = C_0 + \\Delta C \\cdot (HR - 33)$. Calculer la capacité du capteur à $HR = 75 \\%$ et déterminer la variation relative $\\frac{\\Delta C_{tot}}{C_0}$.
Question 4 (5 points) : Le capteur capacitif est inséré dans un circuit oscillateur dont la fréquence est $f = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}}$ avec $L = 10 \\, mH$. (a) Calculer la fréquence d'oscillation à $HR = 33\\%$ ($C = C_0$). (b) Calculer la fréquence à $HR = 75\\%$. (c) En déduire la sensibilité en fréquence $\\Delta f / \\%HR$.
Question 5 (4 points) : Un thermocouple type K (chromel-alumel) est utilisé pour la compensation thermique. Sa caractéristique est $e = \\alpha \\cdot \\Delta T$ avec $\\alpha = 41 \\, \\mu V/°C$. La jonction de référence est à $T_{ref} = 25°C$ et la jonction de mesure à $T_{mes} = 85°C$. (a) Calculer la FEM générée. (b) Si cette tension est amplifiée avec un gain $G = 250$, quelle est la tension de sortie ? (c) Déterminer la résolution en température si le CAN a une résolution de $1 \\, mV$.
",
"svg": "
Système de positionnement robotique Capteur LVDT S1 Prim S2 Noyau S = 25 mV/mm ±50 mm Ampli AD620 G = 49.4k/Rg + 1 Rg Capteur Humidité Capacitif Diélectrique C0 = 180 pF ΔC = 0,35 pF/%HR Oscillateur LC f = 1/(2π√LC) Thermocouple K J Tmes Tref α = 41 μV/°C Ampli G=250 Microcontrôleur CAN 12 bits Résol: 1mV ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'examen Question 1 : Capteur LVDT Données :
(a) Tension pour x = 32,5 mm : $V_{out} = S_{LVDT} \\cdot x = 25 \\times 32{,}5$$\\boxed{V_{out} = 812{,}5 \\, mV}$
(b) Position pour Vmes = -875 mV : $x = \\frac{V_{mes}}{S_{LVDT}} = \\frac{-875}{25}$$\\boxed{x = -35 \\, mm}$
(c) Erreur due à l'offset : $\\Delta x = \\frac{V_{offset}}{S_{LVDT}} = \\frac{2}{25}$$\\boxed{\\Delta x = 0{,}08 \\, mm = 80 \\, \\mu m}$
Question 2 : Amplificateur AD620 pour LVDT (a) Tension LVDT en fin de course (x = 50 mm) : $V_{LVDT} = S_{LVDT} \\cdot x_{max} = 25 \\times 50$$\\boxed{V_{LVDT} = 1250 \\, mV = 1{,}25 \\, V}$
(b) Gain nécessaire : $G = \\frac{V_s}{V_{LVDT}} = \\frac{5}{1{,}25}$$\\boxed{G = 4}$
(c) Calcul de Rg : $G = \\frac{49{,}4 \\, k\\Omega}{R_G} + 1$$R_G = \\frac{49{,}4 \\times 10^3}{G - 1} = \\frac{49400}{4 - 1}$$R_G = \\frac{49400}{3}$$\\boxed{R_G = 16{,}47 \\, k\\Omega}$
Question 3 : Capteur d'humidité capacitif Données :
Capacité à 75% HR : $C = C_0 + \\Delta C \\cdot (HR - 33)$$C = 180 + 0{,}35 \\times (75 - 33)$$C = 180 + 0{,}35 \\times 42 = 180 + 14{,}7$$\\boxed{C = 194{,}7 \\, pF}$
Variation relative : $\\frac{\\Delta C_{tot}}{C_0} = \\frac{C - C_0}{C_0} = \\frac{194{,}7 - 180}{180}$$\\frac{\\Delta C_{tot}}{C_0} = \\frac{14{,}7}{180}$$\\boxed{\\frac{\\Delta C_{tot}}{C_0} = 8{,}17 \\%}$
Question 4 : Circuit oscillateur LC Données :
(a) Fréquence à HR = 33% (C = 180 pF) : $f_1 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC_0}} = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{10 \\times 10^{-3} \\times 180 \\times 10^{-12}}}$$f_1 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{1{,}8 \\times 10^{-12}}} = \\frac{1}{2\\pi \\times 1{,}342 \\times 10^{-6}}$$\\boxed{f_1 = 118{,}6 \\, kHz}$
(b) Fréquence à HR = 75% (C = 194,7 pF) : $f_2 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{10 \\times 10^{-3} \\times 194{,}7 \\times 10^{-12}}}$$f_2 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{1{,}947 \\times 10^{-12}}} = \\frac{1}{2\\pi \\times 1{,}395 \\times 10^{-6}}$$\\boxed{f_2 = 114{,}1 \\, kHz}$
(c) Sensibilité en fréquence : $\\frac{\\Delta f}{\\Delta HR} = \\frac{f_1 - f_2}{HR_2 - HR_1} = \\frac{118{,}6 - 114{,}1}{75 - 33}$$\\frac{\\Delta f}{\\Delta HR} = \\frac{4{,}5}{42}$$\\boxed{\\frac{\\Delta f}{\\Delta HR} = -107 \\, Hz/\\%HR}$
Question 5 : Thermocouple type K Données :
(a) FEM générée : $e = \\alpha \\cdot \\Delta T = \\alpha \\cdot (T_{mes} - T_{ref})$$e = 41 \\times 10^{-6} \\times (85 - 25) = 41 \\times 10^{-6} \\times 60$$\\boxed{e = 2{,}46 \\, mV}$
(b) Tension de sortie après amplification : $V_s = G \\times e = 250 \\times 2{,}46 \\times 10^{-3}$$\\boxed{V_s = 615 \\, mV}$
(c) Résolution en température : $\\Delta T_{min} = \\frac{V_{CAN}}{G \\times \\alpha} = \\frac{1 \\times 10^{-3}}{250 \\times 41 \\times 10^{-6}}$$\\Delta T_{min} = \\frac{10^{-3}}{10{,}25 \\times 10^{-3}}$$\\boxed{\\Delta T_{min} = 0{,}098 °C \\approx 0{,}1 °C}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
EXAMEN DE CAPTEURS ET INSTRUMENTATION - SESSION 1 | | Contexte général : Une station de surveillance industrielle utilise plusieurs capteurs pour contrôler un processus thermique. Le système comprend une sonde de température PT100 connectée à un amplificateur d'instrumentation, des jauges de contrainte pour mesurer les déformations d'une cuve sous pression, et un capteur de pression piézorésistif. Toutes les mesures sont conditionnées par des circuits à pont de Wheatstone.
Question 1 (4 points) - Amplificateur d'instrumentation
L'amplificateur d'instrumentation utilisé est un montage classique à trois amplificateurs opérationnels. Les résistances du premier étage sont $R = 10\\,k\\Omega$ et la résistance de gain est $R_G = 500\\,\\Omega$. Le second étage différentiel possède des résistances $R_1 = R_2 = 20\\,k\\Omega$.
a) Calculez le gain total de l'amplificateur d'instrumentation.
b) Si la tension différentielle d'entrée est $V_d = 15\\,mV$, quelle est la tension de sortie ?
Question 2 (4 points) - Sonde PT100
La sonde PT100 mesure la température d'un four industriel. Les coefficients de Callendar-Van Dusen sont $A = 3,9083 \\times 10^{-3}\\,°C^{-1}$, $B = -5,775 \\times 10^{-7}\\,°C^{-2}$, et $R_0 = 100\\,\\Omega$ à 0°C.
a) Calculez la résistance de la PT100 à $T = 150\\,°C$.
b) Le pont de Wheatstone alimenté sous $V_{alim} = 5\\,V$ avec trois résistances de $100\\,\\Omega$ mesure une tension de déséquilibre. Calculez cette tension pour $T = 150\\,°C$.
Question 3 (4 points) - Jauge de contrainte
Une jauge de contrainte métallique de résistance nominale $R_0 = 350\\,\\Omega$ et de facteur de jauge $K = 2,1$ est collée sur une poutre en acier (module de Young $E = 210\\,GPa$). La poutre subit une contrainte de $\\sigma = 150\\,MPa$.
a) Calculez la déformation $\\varepsilon$ de la poutre.
b) Calculez la variation de résistance $\\Delta R$ de la jauge.
c) Dans un montage quart de pont alimenté en $V_{alim} = 10\\,V$, calculez la tension de déséquilibre.
Question 4 (4 points) - Capteur de pression piézorésistif
Un capteur de pression piézorésistif utilise un pont complet de 4 jauges sur membrane silicium. La sensibilité du capteur est $S = 0,25\\,mV/V/bar$. Le capteur est alimenté sous $V_{exc} = 12\\,V$ et connecté à l'amplificateur d'instrumentation de la Question 1.
a) Calculez la tension de sortie du pont pour une pression de $P = 8\\,bar$.
b) Calculez la tension finale après amplification.
Question 5 (4 points) - Chaîne de mesure complète
Le système d'acquisition numérise les signaux avec un CAN de 12 bits sur une plage de $0-10\\,V$.
a) Calculez la résolution du CAN en mV.
b) Pour la mesure de pression (Question 4), déterminez la résolution en bar.
c) Si le bruit électronique est de $5\\,mV$ RMS, calculez le rapport signal/bruit (SNR) en dB pour la mesure à $P = 8\\,bar$.
",
"svg": "
Schéma du système de mesure - Amplificateur d'instrumentation et pont de Wheatstone PT100 Jauge contrainte Capteur pression Pont de Wheatstone R1 R3 R2 Rx Valim Ampli Instrumentation A1 + - Vs G = 1 + 2R/Rg CAN 12 bits 0-10V Formules clés: PT100: R(T) = R₀(1 + AT + BT²) Jauge: ΔR/R = K·ε Pont: Vd = Valim·ΔR/(4R) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 1 Question 1 : Amplificateur d'instrumentation a) Calcul du gain total
L'amplificateur d'instrumentation à trois AOP possède un gain donné par la formule :
$G = \\left(1 + \\frac{2R}{R_G}\\right) \\times \\frac{R_2}{R_1}$
Application numérique avec les valeurs données :
$G = \\left(1 + \\frac{2 \\times 10\\,000}{500}\\right) \\times \\frac{20\\,000}{20\\,000}$
$G = \\left(1 + 40\\right) \\times 1 = 41$
Résultat : Le gain total est G = 41
b) Calcul de la tension de sortie
La tension de sortie est :
$V_s = G \\times V_d$
$V_s = 41 \\times 15 \\times 10^{-3}$
$V_s = 0,615\\,V = 615\\,mV$
Résultat : Vs = 615 mV
Question 2 : Sonde PT100 a) Calcul de la résistance à 150°C
L'équation de Callendar-Van Dusen pour T > 0°C (C = 0) :
$R(T) = R_0 \\times (1 + A \\cdot T + B \\cdot T^2)$
Application numérique :
$R(150) = 100 \\times (1 + 3,9083 \\times 10^{-3} \\times 150 + (-5,775 \\times 10^{-7}) \\times 150^2)$
$R(150) = 100 \\times (1 + 0,586245 - 0,01299375)$
$R(150) = 100 \\times 1,57325 = 157,325\\,\\Omega$
Résultat : R(150°C) = 157,33 Ω
b) Calcul de la tension de déséquilibre
Pour un pont de Wheatstone avec trois résistances R = 100 Ω et une résistance Rx = 157,33 Ω :
$V_{des} = V_{alim} \\times \\left(\\frac{R_x}{R + R_x} - \\frac{R}{R + R}\\right)$
$V_{des} = 5 \\times \\left(\\frac{157,33}{100 + 157,33} - \\frac{100}{200}\\right)$
$V_{des} = 5 \\times (0,6115 - 0,5) = 5 \\times 0,1115$
$V_{des} = 0,5575\\,V = 557,5\\,mV$
Résultat : Vdés = 557,5 mV
Question 3 : Jauge de contrainte a) Calcul de la déformation
La loi de Hooke donne :
$\\varepsilon = \\frac{\\sigma}{E}$
$\\varepsilon = \\frac{150 \\times 10^6}{210 \\times 10^9}$
$\\varepsilon = 7,143 \\times 10^{-4} = 714,3\\,\\mu\\varepsilon$
Résultat : ε = 714,3 με
b) Calcul de la variation de résistance
La relation fondamentale de la jauge est :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = K \\times \\varepsilon$
$\\Delta R = R_0 \\times K \\times \\varepsilon = 350 \\times 2,1 \\times 7,143 \\times 10^{-4}$
$\\Delta R = 0,525\\,\\Omega$
Résultat : ΔR = 0,525 Ω
c) Tension de déséquilibre en quart de pont
Pour un montage quart de pont :
$V_{des} = \\frac{V_{alim} \\times \\Delta R}{4 \\times R_0}$
$V_{des} = \\frac{10 \\times 0,525}{4 \\times 350}$
$V_{des} = \\frac{5,25}{1400} = 3,75\\,mV$
Résultat : Vdés = 3,75 mV
Question 4 : Capteur de pression piézorésistif a) Tension de sortie du pont
La sensibilité S = 0,25 mV/V/bar signifie :
$V_{pont} = S \\times V_{exc} \\times P$
$V_{pont} = 0,25 \\times 10^{-3} \\times 12 \\times 8$
$V_{pont} = 24\\,mV$
Résultat : Vpont = 24 mV
b) Tension après amplification
Avec le gain G = 41 calculé en Question 1 :
$V_{sortie} = G \\times V_{pont} = 41 \\times 24 \\times 10^{-3}$
$V_{sortie} = 0,984\\,V = 984\\,mV$
Résultat : Vsortie = 984 mV
Question 5 : Chaîne de mesure complète a) Résolution du CAN
Pour un CAN de n bits sur une plage ΔV :
$Resolution = \\frac{\\Delta V}{2^n}$
$Resolution = \\frac{10\\,V}{2^{12}} = \\frac{10}{4096}$
$Resolution = 2,44\\,mV$
Résultat : Résolution = 2,44 mV
b) Résolution en pression
La sensibilité globale du système est :
$S_{globale} = S \\times V_{exc} \\times G = 0,25 \\times 12 \\times 41 = 123\\,mV/bar$
La résolution en pression est :
$Resolution_P = \\frac{Resolution_{CAN}}{S_{globale}} = \\frac{2,44}{123}$
$Resolution_P = 0,0198\\,bar \\approx 19,8\\,mbar$
Résultat : Résolution = 19,8 mbar
c) Rapport signal/bruit
Le signal utile à 8 bar est Vsortie = 984 mV. Le SNR est :
$SNR = 20 \\times \\log_{10}\\left(\\frac{V_{signal}}{V_{bruit}}\\right)$
$SNR = 20 \\times \\log_{10}\\left(\\frac{984}{5}\\right)$
$SNR = 20 \\times \\log_{10}(196,8) = 20 \\times 2,294$
$SNR = 45,88\\,dB$
Résultat : SNR = 45,9 dB
",
"id_category": "1",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
EXAMEN DE CAPTEURS ET INSTRUMENTATION - SESSION 2 | | Contexte général : Un laboratoire de caractérisation mécanique utilise un banc d'essai équipé de capteurs pour mesurer simultanément la force appliquée, le déplacement et la température d'un échantillon. Le système intègre un capteur LVDT pour le déplacement, un capteur à effet Hall pour la vitesse de rotation du moteur d'entraînement, et un pont de jauges de contrainte en configuration demi-pont pour la mesure de force.
Question 1 (4 points) - Capteur LVDT
Le capteur LVDT possède une sensibilité de $S = 50\\,mV/mm$ lorsqu'il est alimenté par une tension d'excitation $V_{exc} = 3\\,V_{RMS}$ à la fréquence $f = 5\\,kHz$. La course totale est de $\\pm 25\\,mm$.
a) Calculez la tension de sortie maximale du LVDT.
b) Si le déplacement mesuré produit une tension de $V_s = 850\\,mV$, calculez le déplacement correspondant.
c) Calculez le facteur de transformation (sensibilité normalisée) en mV/mm/V.
Question 2 (4 points) - Capteur à effet Hall
Un capteur à effet Hall linéaire est utilisé pour mesurer le champ magnétique généré par un aimant permanent solidaire du rotor. Le capteur a une sensibilité $S_H = 1,4\\,mV/mT$ et est alimenté sous $I_c = 10\\,mA$. Le champ magnétique varie sinusoïdalement avec la rotation : $B(\\theta) = B_0 \\sin(\\theta)$ avec $B_0 = 50\\,mT$.
a) Calculez la tension de Hall maximale.
b) Si le capteur détecte 120 passages par zéro par seconde, calculez la vitesse de rotation en tr/min.
c) Calculez la constante de Hall $R_H$ sachant que l'épaisseur du capteur est $d = 0,5\\,mm$ et que $V_H = R_H \\cdot \\frac{I \\cdot B}{d}$.
Question 3 (4 points) - Pont de jauges en demi-pont
Le capteur de force utilise deux jauges de contrainte montées en demi-pont (une en traction, une en compression). Les jauges ont $R_0 = 120\\,\\Omega$ et $K = 2,0$. Le pont est alimenté sous $V_{alim} = 5\\,V$.
a) Pour une déformation $\\varepsilon = 500\\,\\mu\\varepsilon$, calculez la variation de résistance de chaque jauge.
b) Calculez la tension de déséquilibre du demi-pont.
c) Comparez avec un montage quart de pont et calculez le facteur d'amélioration de sensibilité.
Question 4 (4 points) - Conditionnement et amplification
La tension du demi-pont est amplifiée par un amplificateur d'instrumentation INA128 dont le gain est défini par $G = 1 + \\frac{50\\,k\\Omega}{R_G}$. On souhaite obtenir une tension de sortie de $2\\,V$ pour la déformation maximale mesurable $\\varepsilon_{max} = 2000\\,\\mu\\varepsilon$.
a) Calculez la tension de demi-pont pour $\\varepsilon_{max}$.
b) Déterminez le gain nécessaire.
c) Calculez la valeur de $R_G$ à utiliser.
Question 5 (4 points) - Analyse fréquentielle et filtrage
Le signal de sortie contient du bruit à 50 Hz provenant du secteur. On place un filtre passe-bas du premier ordre avec $R_f = 10\\,k\\Omega$ et $C_f = 1\\,\\mu F$.
a) Calculez la fréquence de coupure du filtre.
b) Calculez l'atténuation en dB du signal parasite à 50 Hz.
c) Si le signal utile varie à $f_{signal} = 2\\,Hz$, calculez l'atténuation du signal utile et commentez.
",
"svg": "
Banc d'essai mécanique - Schéma de principe CAPTEUR LVDT Bobine primaire f = 5 kHz Noyau mobile ±25mm CAPTEUR HALL Élément Hall SH = 1,4 mV/mT Champ B DEMI-PONT JAUGES R+ΔR R-ΔR R R AMPLI INA128 G G = 1 + 50k/RG ÉCHANTILLON SOUS TEST Éprouvette ε = σ/E Force F FILTRE PASSE-BAS fc = 1/(2πRC) R = 10 kΩ, C = 1 μF ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 2 Question 1 : Capteur LVDT a) Tension de sortie maximale
La tension maximale correspond au déplacement maximal :
$V_{max} = S \\times x_{max}$
$V_{max} = 50\\,mV/mm \\times 25\\,mm$
$V_{max} = 1250\\,mV = 1,25\\,V_{RMS}$
Résultat : Vmax = 1,25 V RMS
b) Calcul du déplacement
Le déplacement est :
$x = \\frac{V_s}{S}$
$x = \\frac{850\\,mV}{50\\,mV/mm}$
$x = 17\\,mm$
Résultat : x = 17 mm
c) Facteur de transformation normalisé
La sensibilité normalisée par rapport à la tension d'excitation :
$S_{norm} = \\frac{S}{V_{exc}} = \\frac{50\\,mV/mm}{3\\,V}$
$S_{norm} = 16,67\\,mV/mm/V$
Résultat : Snorm = 16,67 mV/mm/V
Question 2 : Capteur à effet Hall a) Tension de Hall maximale
La tension de Hall est proportionnelle au champ magnétique :
$V_{H,max} = S_H \\times B_0$
$V_{H,max} = 1,4\\,mV/mT \\times 50\\,mT$
$V_{H,max} = 70\\,mV$
Résultat : VH,max = 70 mV
b) Vitesse de rotation
Un signal sinusoïdal a 2 passages par zéro par période. Le nombre de tours par seconde :
$n = \\frac{120\\,passages/s}{2\\,passages/tour}$
$n = 60\\,tr/s$
Conversion en tr/min :
$N = 60 \\times 60 = 3600\\,tr/min$
Résultat : N = 3600 tr/min
c) Constante de Hall
De la relation $V_H = R_H \\cdot \\frac{I \\cdot B}{d}$, on tire :
$R_H = \\frac{V_H \\cdot d}{I \\cdot B}$
$R_H = \\frac{70 \\times 10^{-3} \\times 0,5 \\times 10^{-3}}{10 \\times 10^{-3} \\times 50 \\times 10^{-3}}$
$R_H = \\frac{35 \\times 10^{-6}}{0,5 \\times 10^{-3}} = 70 \\times 10^{-3}\\,m^3/C$
$R_H = 7 \\times 10^{-2}\\,m^3/C = 70\\,cm^3/C$
Résultat : RH = 70 cm³/C
Question 3 : Pont de jauges en demi-pont a) Variation de résistance
Pour chaque jauge :
$\\Delta R = R_0 \\times K \\times \\varepsilon$
$\\Delta R = 120 \\times 2,0 \\times 500 \\times 10^{-6}$
$\\Delta R = 0,12\\,\\Omega$
Résultat : ΔR = 0,12 Ω par jauge
b) Tension de déséquilibre du demi-pont
Pour un demi-pont avec une jauge en traction (R+ΔR) et une en compression (R-ΔR) :
$V_{des} = \\frac{V_{alim} \\times \\Delta R}{2 \\times R_0}$
$V_{des} = \\frac{5 \\times 0,12}{2 \\times 120}$
$V_{des} = \\frac{0,6}{240} = 2,5\\,mV$
Résultat : Vdés = 2,5 mV
c) Comparaison avec quart de pont
En quart de pont :
$V_{des,QP} = \\frac{V_{alim} \\times \\Delta R}{4 \\times R_0} = \\frac{5 \\times 0,12}{4 \\times 120} = 1,25\\,mV$
Facteur d'amélioration :
$Facteur = \\frac{V_{des,DP}}{V_{des,QP}} = \\frac{2,5}{1,25} = 2$
Résultat : Le demi-pont est 2 fois plus sensible que le quart de pont
Question 4 : Conditionnement et amplification a) Tension de demi-pont pour εmax
Pour $\\varepsilon_{max} = 2000\\,\\mu\\varepsilon$ :
$\\Delta R_{max} = 120 \\times 2,0 \\times 2000 \\times 10^{-6} = 0,48\\,\\Omega$
$V_{des,max} = \\frac{5 \\times 0,48}{2 \\times 120} = \\frac{2,4}{240} = 10\\,mV$
Résultat : Vdés,max = 10 mV
b) Gain nécessaire
Pour obtenir 2 V en sortie :
$G = \\frac{V_{sortie}}{V_{des,max}} = \\frac{2}{10 \\times 10^{-3}}$
$G = 200$
Résultat : G = 200
c) Calcul de RG
De la formule $G = 1 + \\frac{50\\,k\\Omega}{R_G}$ :
$R_G = \\frac{50\\,k\\Omega}{G - 1} = \\frac{50\\,000}{200 - 1}$
$R_G = \\frac{50\\,000}{199} = 251,26\\,\\Omega$
Résultat : RG ≈ 251 Ω (valeur normalisée : 249 Ω)
Question 5 : Analyse fréquentielle et filtrage a) Fréquence de coupure
Pour un filtre RC du premier ordre :
$f_c = \\frac{1}{2\\pi R_f C_f}$
$f_c = \\frac{1}{2\\pi \\times 10\\,000 \\times 1 \\times 10^{-6}}$
$f_c = \\frac{1}{0,0628} = 15,92\\,Hz$
Résultat : fc = 15,9 Hz
b) Atténuation à 50 Hz
L'atténuation d'un filtre passe-bas du 1er ordre :
$A(f) = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^2}}$
$A(50) = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{50}{15,92}\\right)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 9,87}}$
$A(50) = \\frac{1}{\\sqrt{10,87}} = 0,303$
En dB :
$A_{dB} = 20 \\times \\log_{10}(0,303) = 20 \\times (-0,518) = -10,37\\,dB$
Résultat : Atténuation à 50 Hz = -10,4 dB
c) Atténuation du signal utile à 2 Hz
$A(2) = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{2}{15,92}\\right)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 0,0158}}$
$A(2) = \\frac{1}{\\sqrt{1,0158}} = 0,992$
En dB :
$A_{dB} = 20 \\times \\log_{10}(0,992) = -0,07\\,dB$
Résultat : Atténuation à 2 Hz = -0,07 dB (négligeable)
Commentaire : Le filtre atténue efficacement le 50 Hz de 10,4 dB tout en laissant passer le signal utile avec une perte inférieure à 0,1 dB.
",
"id_category": "1",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
EXAMEN DE CAPTEURS ET INSTRUMENTATION - SESSION 3 | | Contexte général : Une station météorologique automatique mesure plusieurs paramètres environnementaux : température avec une sonde RTD Pt1000, humidité relative avec un capteur capacitif, pression atmosphérique et débit d'air dans un anémomètre à turbine. Tous les signaux sont conditionnés et transmis à une centrale d'acquisition.
Question 1 (4 points) - Sonde RTD Pt1000
La sonde Pt1000 a une résistance de $1000\\,\\Omega$ à 0°C avec un coefficient $\\alpha = 3,85 \\times 10^{-3}\\,°C^{-1}$ (linéarisation). Elle est montée dans un pont de Wheatstone avec trois résistances de $1000\\,\\Omega$ et alimentée sous $V_{alim} = 2,5\\,V$ pour limiter l'auto-échauffement.
a) Calculez la résistance de la Pt1000 à $T = -20\\,°C$ et à $T = +40\\,°C$.
b) Calculez les tensions de déséquilibre correspondantes.
c) Calculez la sensibilité du système en mV/°C.
Question 2 (4 points) - Capteur d'humidité capacitif
Le capteur d'humidité capacitif a une capacité nominale $C_0 = 180\\,pF$ à 0% HR et une sensibilité $\\Delta C = 0,35\\,pF/\\%HR$. Il est intégré dans un oscillateur RC dont la fréquence est $f = \\frac{1}{2\\pi R C}$ avec $R = 100\\,k\\Omega$.
a) Calculez la capacité du capteur à 75% HR.
b) Calculez les fréquences d'oscillation à 0% HR et 75% HR.
c) Calculez la variation de fréquence par % HR (sensibilité fréquentielle).
Question 3 (4 points) - Capteur de pression barométrique
Le capteur de pression est un transducteur piézorésistif avec pont intégré. Sa sensibilité est $S = 40\\,\\mu V/V/mbar$ sur une plage de 800 à 1100 mbar. Il est alimenté sous $V_{exc} = 5\\,V$.
a) Calculez la tension de sortie du pont pour une pression de $P = 1013\\,mbar$ (pression atmosphérique standard).
b) Calculez la plage de tension de sortie sur toute la gamme de mesure.
c) L'offset du capteur est de $2\\,mV$. Calculez l'erreur en mbar que cela représente.
Question 4 (4 points) - Débitmètre à turbine (anémomètre)
L'anémomètre à turbine génère $K = 450\\,impulsions/m^3$ d'air. Le compteur mesure $N = 2700\\,impulsions$ pendant une période d'échantillonnage $T_e = 10\\,s$. La section du conduit est $A = 0,05\\,m^2$.
a) Calculez le débit volumique en m³/h.
b) Calculez la vitesse moyenne de l'air dans le conduit.
c) Si la masse volumique de l'air est $\\rho = 1,2\\,kg/m^3$, calculez le débit massique en kg/h.
Question 5 (4 points) - Transmission et bilan d'erreurs
Les signaux sont transmis en courant 4-20 mA sur une boucle de $R_{charge} = 250\\,\\Omega$.
a) Pour le capteur de pression, calculez le courant correspondant à $P = 950\\,mbar$ si 4 mA = 800 mbar et 20 mA = 1100 mbar.
b) Calculez la tension aux bornes de la résistance de charge.
c) L'incertitude totale du système de mesure de température est composée de : erreur capteur $\\pm 0,3\\,°C$, erreur linéarisation $\\pm 0,15\\,°C$, erreur CAN $\\pm 0,1\\,°C$. Calculez l'incertitude combinée (somme quadratique).
",
"svg": "
Station Météorologique - Architecture du système TEMPÉRATURE Sonde Pt1000 R₀ = 1000 Ω @ 0°C α = 3,85×10⁻³ /°C Pont Wheatstone Valim = 2,5 V HUMIDITÉ Capteur capacitif C₀ = 180 pF ΔC = 0,35 pF/%HR Oscillateur RC f = 1/(2πRC) PRESSION Piézorésistif S = 40 μV/V/mbar 800-1100 mbar Pont intégré Vexc = 5 V DÉBIT AIR Turbine K = 450 imp/m³ A = 0,05 m² Rotor CONDITIONNEMENT & TRANSMISSION Amplificateurs d'instrumentation Convertisseur V → 4-20 mA Transmission Rcharge = 250 Ω CENTRALE D'ACQUISITION CAN 16 bits | Traitement | Stockage Calcul incertitude combinée ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 3 Question 1 : Sonde RTD Pt1000 a) Calcul des résistances
L'équation linéarisée pour une RTD est :
$R(T) = R_0 \\times (1 + \\alpha \\cdot T)$
À T = -20°C :
$R(-20) = 1000 \\times (1 + 3,85 \\times 10^{-3} \\times (-20))$
$R(-20) = 1000 \\times (1 - 0,077) = 1000 \\times 0,923 = 923\\,\\Omega$
À T = +40°C :
$R(+40) = 1000 \\times (1 + 3,85 \\times 10^{-3} \\times 40)$
$R(+40) = 1000 \\times (1 + 0,154) = 1000 \\times 1,154 = 1154\\,\\Omega$
Résultats : R(-20°C) = 923 Ω ; R(+40°C) = 1154 Ω
b) Tensions de déséquilibre
Pour un pont de Wheatstone avec Rx variable :
$V_{des} = V_{alim} \\times \\left(\\frac{R_x}{R + R_x} - \\frac{1}{2}\\right)$
À T = -20°C (Rx = 923 Ω) :
$V_{des}(-20) = 2,5 \\times \\left(\\frac{923}{1000 + 923} - 0,5\\right)$
$V_{des}(-20) = 2,5 \\times (0,480 - 0,5) = 2,5 \\times (-0,020) = -50\\,mV$
À T = +40°C (Rx = 1154 Ω) :
$V_{des}(+40) = 2,5 \\times \\left(\\frac{1154}{1000 + 1154} - 0,5\\right)$
$V_{des}(+40) = 2,5 \\times (0,536 - 0,5) = 2,5 \\times 0,036 = 90\\,mV$
Résultats : Vdés(-20°C) = -50 mV ; Vdés(+40°C) = +90 mV
c) Sensibilité du système
La plage de température est de -20°C à +40°C, soit 60°C.
La plage de tension est de -50 mV à +90 mV, soit 140 mV.
$Sensibilit\\acute{e} = \\frac{\\Delta V}{\\Delta T} = \\frac{140\\,mV}{60\\,°C} = 2,33\\,mV/°C$
Résultat : Sensibilité ≈ 2,33 mV/°C
Question 2 : Capteur d'humidité capacitif a) Capacité à 75% HR
La capacité varie linéairement avec l'humidité :
$C(HR) = C_0 + \\Delta C \\times HR$
$C(75) = 180 + 0,35 \\times 75$
$C(75) = 180 + 26,25 = 206,25\\,pF$
Résultat : C(75% HR) = 206,25 pF
b) Fréquences d'oscillation
À 0% HR :
$f_0 = \\frac{1}{2\\pi R C_0} = \\frac{1}{2\\pi \\times 100\\,000 \\times 180 \\times 10^{-12}}$
$f_0 = \\frac{1}{1,131 \\times 10^{-4}} = 8842\\,Hz \\approx 8,84\\,kHz$
À 75% HR :
$f_{75} = \\frac{1}{2\\pi \\times 100\\,000 \\times 206,25 \\times 10^{-12}}$
$f_{75} = \\frac{1}{1,296 \\times 10^{-4}} = 7716\\,Hz \\approx 7,72\\,kHz$
Résultats : f(0% HR) = 8,84 kHz ; f(75% HR) = 7,72 kHz
c) Sensibilité fréquentielle
$S_f = \\frac{\\Delta f}{\\Delta HR} = \\frac{8842 - 7716}{75 - 0}$
$S_f = \\frac{1126}{75} = 15,0\\,Hz/\\%HR$
Résultat : Sensibilité = -15,0 Hz/% HR (fréquence décroissante)
Question 3 : Capteur de pression barométrique a) Tension de sortie à 1013 mbar
$V_{out} = S \\times V_{exc} \\times P$
$V_{out} = 40 \\times 10^{-6} \\times 5 \\times 1013$
$V_{out} = 200 \\times 10^{-6} \\times 1013 = 0,2026\\,V = 202,6\\,mV$
Résultat : Vout(1013 mbar) = 202,6 mV
b) Plage de tension de sortie
À 800 mbar :
$V_{min} = 40 \\times 10^{-6} \\times 5 \\times 800 = 160\\,mV$
À 1100 mbar :
$V_{max} = 40 \\times 10^{-6} \\times 5 \\times 1100 = 220\\,mV$
Plage :
$\\Delta V = V_{max} - V_{min} = 220 - 160 = 60\\,mV$
Résultat : Plage = 160 mV à 220 mV (60 mV)
c) Erreur due à l'offset
La sensibilité est :
$S_{tot} = S \\times V_{exc} = 40 \\times 10^{-6} \\times 5 = 200\\,\\mu V/mbar = 0,2\\,mV/mbar$
L'erreur en pression :
$Erreur_P = \\frac{Offset}{S_{tot}} = \\frac{2\\,mV}{0,2\\,mV/mbar} = 10\\,mbar$
Résultat : L'offset de 2 mV représente une erreur de 10 mbar
Question 4 : Débitmètre à turbine a) Débit volumique
Le volume mesuré pendant Te :
$V = \\frac{N}{K} = \\frac{2700}{450} = 6\\,m^3$
Le débit volumique :
$Q_v = \\frac{V}{T_e} = \\frac{6}{10} = 0,6\\,m^3/s$
Conversion en m³/h :
$Q_v = 0,6 \\times 3600 = 2160\\,m^3/h$
Résultat : Qv = 2160 m³/h
b) Vitesse moyenne de l'air
La vitesse est le rapport du débit sur la section :
$v = \\frac{Q_v}{A} = \\frac{0,6}{0,05} = 12\\,m/s$
Résultat : v = 12 m/s
c) Débit massique
$Q_m = \\rho \\times Q_v = 1,2 \\times 2160$
$Q_m = 2592\\,kg/h$
Résultat : Qm = 2592 kg/h
Question 5 : Transmission et bilan d'erreurs a) Courant pour P = 950 mbar
La relation linéaire entre pression et courant :
$I = I_{min} + \\frac{(P - P_{min})}{(P_{max} - P_{min})} \\times (I_{max} - I_{min})$
$I = 4 + \\frac{(950 - 800)}{(1100 - 800)} \\times (20 - 4)$
$I = 4 + \\frac{150}{300} \\times 16 = 4 + 0,5 \\times 16$
$I = 4 + 8 = 12\\,mA$
Résultat : I(950 mbar) = 12 mA
b) Tension aux bornes de Rcharge
$V_{charge} = R_{charge} \\times I = 250 \\times 12 \\times 10^{-3}$
$V_{charge} = 3\\,V$
Résultat : Vcharge = 3 V
c) Incertitude combinée
La somme quadratique (RSS) des incertitudes indépendantes :
$u_c = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$
$u_c = \\sqrt{(0,3)^2 + (0,15)^2 + (0,1)^2}$
$u_c = \\sqrt{0,09 + 0,0225 + 0,01} = \\sqrt{0,1225}$
$u_c = 0,35\\,°C$
Résultat : Incertitude combinée = ± 0,35 °C
",
"id_category": "1",
"id_number": "16"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 3 : Thermocouple de type K et étalonnage\nOn utilise un thermocouple de type K avec une sensibilité de $40\\,\\mu V/K$ pour mesurer des températures entre deux points. Le circuit de mesure inclut un amplificateur à gain G = 500 et une CAN 16 bits sur 0 à 10 V.\n1. En chauffant l'une des jonctions à $200^\\circ\\mathrm{C}$, la référence étant à $20^\\circ\\mathrm{C}$, calculez la tension de sortie du thermocouple et la tension à la sortie de l’amplificateur.\n2. Calculez le code décimal du CAN pour cette valeur d’entrée amplifiée.\n3. Déterminez la plus petite variation de température détectable par ce système.",
"svg": "
Jonction chaude Référence Thermocouple AMP G=500 CAN ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Tension du thermocouple et amplifiéeQuestion 2 : Code du CAN 16 bitsQuestion 3 : Plus petite variation de température détectable
",
"id_category": "2",
"id_number": "1"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un thermocouple Chromel-Alumel est utilisé pour mesurer la température d’un four industriel. Chaque degré Celsius génère une tension de $40\\,\\mu\\mathrm{V}/^\\circ\\mathrm{C}$ à la jonction chaude.\n\n1. Calculez la tension de sortie pour une différence de température entre jonctions de $600^\\circ\\mathrm{C}$.\n2. Ce thermocouple est relié à un amplificateur d’instrumentation de gain $G=500$. Déterminez la tension amplifiée.\n3. Si le convertisseur analogique-numérique (CAN) possède une résolution de $15\\,\\mu\\mathrm{V}$, quelle est la plus petite variation de température détectable après amplification ?",
"svg": "
Thermo Amplif. CAN V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Tension de sortie brute
",
"id_category": "2",
"id_number": "2"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur de température infrarouge (pyromètre) mesure la température d’une surface métallique. La tension de sortie est donnée par $V = K(T^4 - T_0^4)$, où $K = 5\\times10^{-10}\\,\\mathrm{V}/\\mathrm{K}^4$, $T_0=300\\,\\mathrm{K}$ (température de référence).\n\n1. Calculez la tension mesurée pour une température de surface $T = 800\\,\\mathrm{K}$.\n2. Si la tension de sortie est filtrée par un filtre passe-bas RC ayant $R=2\\,\\mathrm{k\\Omega}$ et $C=1\\,\\mathrm{\\mu F}$, déterminez le temps de réponse du filtre.\n3. Pour une incertitude de mesure en tension de $2\\,\\mathrm{mV}$, calculez l’incertitude correspondante sur la température à $T=800\\,\\mathrm{K}$.",
"svg": "
Pyromètre Filtre RC Oscilloscope V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Tension mesurée
",
"id_category": "2",
"id_number": "3"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur à résistance de platine (PT100) est utilisé pour mesurer la température ambiante. Sa résistance à $0\\;^\\circ\\mathrm{C}$ est de $100\\;\\Omega$ et son coefficient de température est $\\alpha = 0,00385\\;\\Omega/\\Omega/^\\circ\\mathrm{C}$. Le capteur est alimenté par une source de courant de $1,0\\;\\mathrm{mA}$.\n1. Calculez la résistance du capteur à $110\\;^\\circ\\mathrm{C}$.\n2. Déterminez la tension mesurée aux bornes du capteur à cette température.\n3. Calculez l’erreur sur la température si la mesure de courant comporte une incertitude de $1\\% $.",
"svg": "
PT100 Ammètre Voltmètre I = 1,0\\;mA ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Résistance du capteur à $110\\;^\\circ \\mathrm{C}$ 2. Tension mesurée aux bornes à $110\\;^\\circ \\mathrm{C}$ 3. Erreur sur la température (incertitude du courant 1%)
",
"id_category": "2",
"id_number": "4"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Une sonde thermocouple type K donne une tension de $41,0\\;\\mu \\mathrm{V}/^\\circ \\mathrm{C}$. Elle est placée dans une enceinte à $285\\;^\\circ\\mathrm{C}$. Sa jonction froide est à $25,0\\;^\\circ\\mathrm{C}$.\n1. Calculez la tension de sortie de la sonde.\n2. Déterminez la température réelle mesurée si l’électronique de compensation introduit une erreur additionnelle de $-2,5\\;^\\circ\\mathrm{C}$.\n3. Calculez la valeur du courant dérivé si la sonde est chargée par une résistance de $10,0\\;\\Omega$ et le câble a une résistance totale de $3,0\\;\\Omega$.",
"svg": "
Thermocouple K Compensation Sortie V Jonction chaude = 285\\;^\\circ\\mathrm{C} Jonction froide = 25\\;^\\circ\\mathrm{C} ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Tension de sortie du thermocouple 2. Température réelle mesurée avec compensation erronée 3. Courant débité dans la charge et câble
",
"id_category": "2",
"id_number": "5"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur à thermistance NTC de valeur $R_{25} = 6,8\\;k\\Omega$ à $25\\;^\\circ \\mathrm{C}$ est utilisé dans un pont de mesure alimenté à $5,0\\;\\mathrm{V}$. On admet une variation de résistance selon$R_T = R_{25}\\exp\\left[B\\left(\\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_{25}}\\right)\\right]$ avec $B = 3950\\;K$ et $T_{25} = 298,15\\;K$.\n1. Calculez la résistance du capteur à $35,0\\;^\\circ \\mathrm{C}$.\n2. Quelle est la tension mesurée aux bornes du capteur si une résistance de pont de $6,8\\;k\\Omega$ est en série ?\n3. Calculez la sensibilité du capteur pour la tension mesurée à cette température.",
"svg": "
NTC Pont Vout Alimentation = 5,0 V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Résistance du capteur à $35,0\\;^\\circ \\mathrm{C}$ 2. Tension aux bornes du capteur (pont série) 3. Sensibilité du capteur
",
"id_category": "2",
"id_number": "6"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur de température à résistance (RTD Pt100) est utilisé pour mesurer la température dans un environnement industriel. La résistance du capteur varie avec la température selon $R(T) = R_0(1 + \\alpha T)$ avec $R_0 = 100\\,\\Omega$ et $\\alpha = 0{,}00385\\,\\mathrm{K}^{-1}$.
Q1) Calculez la résistance mesurée pour une température de $120\\,^\\circ C$.
Q2) Déterminez la tension de sortie d’un montage pont de Wheatstone alimenté sous $V_{in}=5\\,\\mathrm{V}$ où le capteur est dans une branche du pont et les autres résistances identiques à $R_0$.
Q3) Calculez la sensibilité du montage pour une variation de $\\pm 1\\,^\\circ C$ autour de $100\\,^\\circ C$.",
"svg": "
Pont Wheatstone RTD Pt100 V_{out} V_{in}=5V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Q1) Résistance mesurée à $120\\,^\\circ C$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "7"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Une thermocouple de type K est utilisée pour mesurer la température entre $0^\\circ C$ et $500^\\circ C$. La tension de sortie est donnée par $V_{TC} = k_{TC} \\cdot T$ où $k_{TC} = 41\\,\\mu\\mathrm{V/^\\circ C}$.
Q1) Calculez la tension de sortie pour $T = 320^\\circ C$.
Q2) Déterminez la variation de tension pour une augmentation de $25^\\circ C$.
Q3) Si la température réelle monte de $370^\\circ C$ à $425^\\circ C$, calculez la tension de sortie et son incrément.",
"svg": "
Thermocouple K Température V_{TC} k_{TC}=41\\,μV/°C ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Q1) Tension de sortie à $320^\\circ C$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "8"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un thermistor NTC a une résistance mesurée selon la loi empirique $R(T) = R_\\infty e^{B/T}$ où $R_\\infty = 2\\,\\Omega$, $B = 4000\\,\\mathrm{K}$.
Q1) Calculez la résistance pour $T = 300\\,\\mathrm{K}$.
Q2) Déterminez la variation de résistance pour une augmentation de $5\\,^\\circ C$ autour de $25\\,^\\circ C$ (soit de $T_1 = 298\\,\\mathrm{K}$ à $T_2 = 303\\,\\mathrm{K}$ ).
Q3) Calculez la sensibilité en $\\mathrm{Ω/K}$ pour $T = 300\\,\\mathrm{K}$.",
"svg": "
Thermistor NTC Température R(T) B=4000K ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Q1) Résistance pour $T = 300\\,\\mathrm{K}$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "9"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Une thermistance NTC est utilisée pour mesurer la température d’un procédé industriel. À 25 °C, sa résistance est $R_{25} = 10\\;\\text{k}\\Omega$ et sa constante de matériau est $B = 3950$. \n1. Calculez la résistance de la thermistance à $T_1 = 70~\\text{°C}$.\n2. Un pont diviseur de tension est réalisé avec la thermistance et une résistance $R_2 = 10\\;\\text{k}\\Omega$, alimenté par $V_{cc} = 5~\\text{V}$. Calculez la tension mesurée aux bornes de la thermistance à $T_1$.\n3. En considérant une sensibilité moyenne autour de $25~\\text{°C}$, calculez la variation de tension pour une variation de température de $1~\\text{°C}$ autour de 25 °C.",
"svg": "
NTC R_2 V_{mes} V_{cc}=5V Pont diviseur ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Q1. Résistance à 70 °C
\n\n
Q2. Pont diviseur : tension mesurée à 70 °C
\n\n
Q3. Sensibilité autour de 25 °C (variation de tension pour 1 °C)
",
"id_category": "2",
"id_number": "10"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur à thermocouple type K génère une force électromotrice proportionnelle à l’écart de température entre ses jonctions : $E = \\alpha (T_{chaude} - T_{ref})$ avec $\\alpha = 41~\\mu\\text{V}/\\text{°C}$.\n1. Calculez la tension générée pour $T_{chaude}=350~\\text{°C}$ et $T_{ref}=22~\\text{°C}$.\n2. La tension est amplifiée par un amplificateur à gain $G=200$. Quelle est sa valeur en sortie ?\n3. Pour une précision attendue de mesure de 0,5 °C, calculez la résolution minimale (en µV) nécessaire de l’acquisition du signal.",
"svg": "
K Amplificateur V_{out} 350°C 22°C G = 200 ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Q1. Tension générée par le thermocouple
\n\n
Q2. Tension amplifiée en sortie
\n\n
Q3. Résolution minimale pour précision 0,5 °C
",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur de température à résistance platine PT1000 fournit une résistance de $R_0 = 1000~\\Omega$ à 0 °C et un coefficient de variation linéaire de $\\alpha = 0.00385~\\text{°C}^{-1}$.\n1. Calculez la résistance du capteur pour une température de $150~\\text{°C}$.\n2. Ce capteur est intégré dans un pont de Wheatstone alimenté par $V_{in}=2.5~\\text{V}$. Calculez la tension différentielle du pont lorsque les trois autres branches sont faites de résistances fixes de $1\\,000~\\Omega$.\n3. Pour une résolution d’acquisition de $0.2~\\text{°C}$, calculez la variation minimale de tension mesurable.",
"svg": "
PT1000 R1=1000 R3=1000 R2=1000 V_{out} V_{in}=2.5 V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Q1. Résistance du PT1000 à 150 °C
\n\n
Q2. Tension différentielle du pont de Wheatstone
\n\n
Q3. Résolution pour 0.2 °C
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "On utilise une thermistance NTC pour mesurer la température dans un liquide. Sa résistance varie selon $R(T) = R_0 e^{-\\beta (T-T_0)}$ où $R_0 = 10\\,k\\Omega$ à $T_0 = 25^\\circ C$, $\\beta = 0,04$ °C$^{-1}$. Le capteur est associé à un pont diviseur alimenté sous $V_{in} = 5$ V.
1. Calculez la résistance à $T = 60^\\circ C$.
2. Déterminez la tension de sortie $V_{out}$ du pont pour $T = 60^\\circ C$ et une résistance de référence $R_{ref} = 10\\,k\\Omega$.
3. Calculez la sensibilité $S = \\frac{dV_{out}}{dT}$ au point $T = 60^\\circ C$.",
"svg": "
5 V RNTC RREF Vout ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1.Calcul de la résistance à $60^\\circ C$ : Tension de sortie du pont : Sensibilité au point $60^\\circ C$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur PT100 (résistance platine) est utilisé pour mesurer la température d'une enceinte. La résistance varie linéairement selon $R(T) = R_0 \\left(1 + \\alpha (T-T_0)\\right)$ avec $R_0 = 100$ Ω à $T_0 = 0^\\circ C$ et $\\alpha = 0,00385$ °C$^{-1}$. Le capteur est inséré dans un pont de Wheatstone alimenté sous $V_{s} = 10$ V.
1. Calculez la résistance du capteur à $T = 120^\\circ C$.
2. Si le capteur est en branche B, et que les autres branches ont $100$ Ω, calculez la tension de déséquilibre $V_{AB}$ du pont.
3. Calculez le courant traversant le capteur à cette température.",
"svg": "
PT100 100Ω 100Ω 100Ω AB ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1.Résistance à $120^\\circ C$ : Tension de déséquilibre du pont : Courant traversant le capteur :
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "On utilise une thermocouple type K (Seebeck $S = 41\\,\\mu V/K$) pour mesurer la température d’un four industriel. Le soudage de référence, à $T_{ref} = 20^\\circ C$, est maintenu à température constante. 1) Quelle tension génère la thermocouple pour une température mesurée de $T = 350^\\circ C$? 2) Si la chaîne d’acquisition possède un amplificateur de gain $G = 200$, quelle est la tension de sortie amplifiée ? 3) Sur une plage de mesure allant de $0^\\circ C$ à $800^\\circ C$, quelle est la résolution en voltage pour une variation de $5^\\circ C$?",
"svg": "
Zone chaude Froid référ. K Amp G=200 V sortie ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Interprétation : La tension mesurée reflète directement l’écart de température grâce à l’effet Seebeck.
Question 2 : Interprétation : L’amplification met la tension générée dans une plage utilisable par la chaîne électronique.
Question 3 : Interprétation : Une variation de $5^\\circ C$ produit $41\\,mV$ de variation sur la sortie amplifiée, ce qui offre une bonne résolution.
",
"id_category": "2",
"id_number": "15"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur RTD (Pt100) est connecté en montage à 2 fils et mesure des variations de température dans une conduite. On suppose $R(T) = R_0[1+\\alpha (T-T_0)]$ avec $R_0 = 100\\,\\Omega$ à $T_0 = 0^\\circ C$ et $\\alpha = 3.85 \\times 10^{-3} /^\\circ C$. La résistance des fils est $R_c = 1.5\\,\\Omega$ par fil. 1) Calculez la résistance totale mesurée à $T_1 = 125^\\circ C$. 2) Un courant de mesure de $I = 2\\,mA$ est injecté : calculez la tension mesurée par le voltmètre à $T_1$. 3) Déterminez l’erreur (en °C) due uniquement aux fils pour $T_1$.",
"svg": "
Pt100 Fil Ampli+VM ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Interprétation : L’ajout des fils augmente la mesure de résistance, source d’erreur systématique.
Question 2 : Interprétation : La tension mesurée est proportionnelle à la résistance totale, incluant les fils.
Question 3 : Interprétation : L’erreur est significative, illustrant l’importance de la compensation du câblage pour la précision de la mesure.
",
"id_category": "2",
"id_number": "16"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 1 : Thermistance NTC et linéarisation\nUn capteur de température basé sur une thermistance NTC présente une résistance $R(T)$ modélisée par :$R(T) = R_0 e^{\\beta (\\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_0})}$, où $R_0 = 10~k\\Omega$, $\\beta = 3500~K$, $T_0 = 298~K$ (25°C), $T$ est la température absolue en kelvin.\n1. Calculez la valeur de $R(T)$ pour $T = 323~K$ (50°C).\n2. Si la thermistance est insérée dans un pont diviseur alimenté sous $V_{in} = 5~V$ avec une résistance fixe $R_f = 10~k\\Omega$, calculez la tension $V_{out}$ aux bornes de la thermistance à $50°C$.\n3. Déduisez la variation de $V_{out}$ entre $25°C$ et $50°C$.",
"svg": "
Alim 5V R_f NTC V_out ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Réponses détaillées à chaque question :Calcul de $R(T)$ pour $T = 323~K$ Calcul de $V_{out}$ à $50°C$ Variation de $V_{out}$ entre $25°C$ et $50°C$
",
"id_category": "2",
"id_number": "17"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 2 : Thermocouple et amplification\nUn thermocouple produit une tension $e = \\alpha \\Delta T$ où $\\alpha = 45~\\mu V/°C$. Cette tension est amplifiée par un amplificateur opérationnel de gain $G = 300$. La jonction de référence est à $0°C$, la jonction de mesure à $85°C$. La résistance d'entrée est $R_{in} = 200~\\Omega$.\n1. Calculez la tension produite par le thermocouple.\n2. Calculez la tension en sortie du montage amplificateur.\n3. Pour un bruit thermique à l’entrée ($R_{in}$), calculez la densité spectrale du bruit en tension à $25°C$ (en supposant $K = 1,38~10^{-23}~J/K$).",
"svg": "
Jonct. Ref Jonct. Mesure Thermocouple AOP Gain V_out ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Réponses détaillées à chaque question :Tension produite par le thermocouple Tension en sortie Densité spectrale du bruit en tension à l’entrée
",
"id_category": "2",
"id_number": "18"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 3 : Pt100 et mesure par pont de Wheatstone\nUn capteur Pt100 (sonde à résistance platine) est inséré dans un montage de pont de Wheatstone alimenté sous $V_{in} = 10~V$. La résistance du Pt100 varie selon $R(T) = 100~\\Omega[1+\\alpha(T-0°C)]$, avec $\\alpha = 0,00385~\\text{par }°C$.\n1. Calculez la résistance du Pt100 pour $T = 70°C$.\n2. Si les trois autres résistances du pont sont de $100~\\Omega$, calculez la tension aux bornes du détecteur quand $T = 70°C$.\n3. Calculez la sensibilité (variation de tension par °C) du montage autour de $T = 70°C$.",
"svg": "
Pt100 100 Ω 100 Ω 100 Ω Détecteur 10V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Réponses détaillées à chaque question :Résistance du Pt100 pour $T = 70°C$ Tension détecteur au pont de Wheatstone pour $T = 70°C$ Sensibilité en tension par °C autour de $T = 70°C$
",
"id_category": "2",
"id_number": "19"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur à thermistance NTC est utilisé dans un circuit de mesure de température. Sa résistance suit la loi : $R(T)=R_0 \\exp\\left(\\beta\\left(\\frac{1}{T}-\\frac{1}{T_0}\\right)\\right)$. On donne $R_0=10\\,000~\\Omega$, $T_0=298~\\mathrm{K}$, $\\beta=3500$. Sa tension est mesurée via un diviseur de tension alimenté sous $5~\\mathrm{V}$ et$R_{fixe}=5\\,000~\\Omega$.\n1. Calculez la résistance de la thermistance à $T=60^\\circ\\mathrm{C}$.\n2. Calculez la tension de sortie du diviseur pour $T=60^\\circ\\mathrm{C}$.\n3. Déterminez la variation de la tension de sortie pour une augmentation de $1^\\circ\\mathrm{C}$ à partir de $60^\\circ\\mathrm{C}$.",
"svg": "
5V R_{fixe} NTC V_s Sortie voltmètre ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Résistance de la thermistance à $T=60^\\circ\\mathrm{C}$
2. Tension de sortie du diviseur
3. Variation de la tension de sortie pour $1^\\circ\\mathrm{C}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "20"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur de température de type Pt100 (résistance de référence à 0°C : $R_0 = 100~\\Omega$) possède un coefficient de température $\\alpha = 0.00385~\\Omega/\\Omega/^\\circ C$. Une mesure donne une résistance de $R = 113.9~\\Omega$.\n1. Calculez la température mesurée par le capteur.\n2. Ce capteur est connecté avec un câble cuivre de $2~\\Omega$ de résistance totale non compensée. Calculez l’erreur commise sur la température si on n’utilise pas une compensation quatre-fils.\n3. Si l’instrumentation mesure une tension de $1.807~V$ sous un courant d’excitation de $12.5~mA$, calculez la température corrigée par la méthode de la tension/courant.",
"svg": "
Pt100 Câble Mesure ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Température mesurée Question 2 : Erreur due au câble non compensé Question 3 : Méthode tension-courant
",
"id_category": "2",
"id_number": "21"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un thermocouple type J ($Fe–CuNi$) possède une sensibilité de $55~\\mu V/^\\circ C$. Placé entre deux points, il indique une tension de $2.2~mV$, tandis que la soudure froide est maintenue à $20~^\\circ C$.\n1. Calculez la température du point chaud.\n2. Si la tension de mesure est perturbée par une résistance de contact de $50~\\Omega$ avec un courant de fuite de $10~\\mu A$, calculez l’erreur de mesure sur la température.\n3. Pour relier deux thermocouples différents, il faut appliquer une correction de soudure froide. Calculez la nouvelle température mesurée si la soudure froide passe à $40~^\\circ C$ avec la même tension mesurée.",
"svg": "
Junction froide T chaud Mesure ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Température du point chaud Question 2 : Erreur de mesure par résistance de contact Question 3 : Correction de soudure froide à $40~^\\circ C$
",
"id_category": "2",
"id_number": "22"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 1 : Mesure de température par thermistance NTC\nUne thermistance NTC a une résistance à $25^\\circ\\text{C}$ de $10\\,\\text{k}\\Omega$. On estime le coefficient de température $\\beta = 3500\\;\\text{K}$ et la résistance à $60^\\circ\\text{C}$ doit être mesurée en laboratoire.\n1. Calculez la valeur de la résistance de la thermistance à $60^\\circ\\text{C}$.\n2. Déterminez la tension mesurée aux bornes du capteur si elle est polarisée sous $5,00\\;\\text{V}$ en série avec une résistance de $10\\,\\text{k}\\Omega$ (pont diviseur).\n3. Calculez la sensibilité de la tension mesurée par rapport à la température autour de $60^\\circ\\text{C}$.\n\nSchéma :",
"svg": "
\nNTC R(T) \n10kΩ \nR fixe \n5V source \nTempérature ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Résistance à $60^\\circ\\text{C}$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "23"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 2 : Capteur thermocouple type K\nUn thermocouple de type K génère une tension proportionnelle à la différence de température entre ses deux jonctions : $E = \\alpha_{K} \\cdot \\Delta T$, avec $\\alpha_{K} = 41\\,\\mu\\text{V}/\\text{K}$.\nOn place la jonction froide à $18^\\circ\\text{C}$, la jonction chaude à $160^\\circ\\text{C}$.\n1. Calculez la tension générée par ce thermocouple.\n2. Déterminez la valeur de la résistance d’entrée d’un voltmètre si le courant mesuré dans le capteur est limité à $5\\,\\text{nA}$ au maximum.\n3. Si on ajoute un câble de connexion d’une résistance de $32\\,\\Omega$, calculez l’erreur sur la mesure de tension due au courant parasite.\n\nSchéma :",
"svg": "
Jonction froide 18°C Jonction chaude 160°C Voltmètre ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Tension générée par le thermocouple :
",
"id_category": "2",
"id_number": "24"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Exercice 3 : Mesure de température par capteur Pt100\nUn capteur Pt100 (platine) possède une résistance de référence de $100\\,\\Omega$ à $0^\\circ\\text{C}$ et un coefficient d’étalonnage $\\alpha = 0,00385/\\text{K}$.\nOn réalise une mesure de température en régime stable sur une résistance mesurée de $135,3\\,\\Omega$ au laboratoire.\n1. Calculez la température associée à cette résistance.\n2. Déterminez la tension de mesure si le capteur est traversé par un courant de $2,0\\,\\text{mA}$.\n3. Estimez la puissance dissipée dans le capteur dans cette configuration.\n\nSchéma :",
"svg": "
Pt100 R(T) \nAlimentation \n2 mA \nVoltmètre ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Température associée à une résistance donnée Pt100 :
",
"id_category": "2",
"id_number": "25"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Une chaîne de mesure de température utilise une sonde à résistance (type Pt100) dont la résistance varie selon $R(T) = R_0(1 + \\alpha T)$ où $R_0 = 100$ Ω, $\\alpha = 0,00385$ °C⁻¹. Elle est alimentée sous $I = 1$ mA.\\n1. Calculez la résistance de la sonde pour $T = 45$ °C.\\n2. Déterminez la tension mesurée aux bornes de la sonde pour cette température.\\n3. Calculez l’erreur relative si la mesure est effectuée à $T = 45$ °C avec une incertitude sur $\\alpha$ de $1%$.",
"svg": "
Pt100 R=? V=? ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
"id_category": "2",
"id_number": "26"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un système de mesure utilise une thermistance NTC dont la résistance suit : $R(T) = R_{\\infty} \\exp \\left( \\frac{B}{T} \\right)$. Pour $B = 4000$ K, $R_{\\infty} = 200$ Ω, $T = 320$ K. Une tension de $6$ V est appliquée, la thermistance est insérée dans un pont diviseur avec une résistance de $1$ kΩ.\\n1. Calculez la résistance de la thermistance à $T = 320$ K.\\n2. Déterminez la tension de sortie du pont diviseur.\\n3. Calculez le courant traversant la thermistance.",
"svg": "
Pont diviseur R_NTC R=1kΩ Question 1 : Question 2 : Question 3 : Therm K Amplif Question 1 : Question 2 : Question 3 : PT100 I (10 mA) V (mesuré) 1. Résistance du capteur à $200~°C$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "29"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Une thermistance NTC présente une résistance de $10~k\\Omega$ à $25~°C$. La constante β est $3950~K$, et $R_0=10~k\\Omega$ à $T_0=298~K$.\n\n1. Calculez sa résistance à $60~°C$.\n2. Pour une mesure de résistance de $3.7~k\\Omega$, trouvez la température correspondante.\n3. Si une tension de $4~V$ est appliquée aux bornes, et le courant mesuré est $0.570~mA$, déduisez la température instantanée.",
"svg": "NTC I (mesuré) V (4 V) 1. Résistance à $60~°C = 333~K$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "30"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un thermocouple type K (NiCr-Ni) est utilisé pour mesurer la température d’un four industriel. Le coefficient Seebeck du capteur est $S = 41~\\mu V/°C$, la référence froide est maintenue à $20~°C$.\n\n1. Calculez la tension fournie par le capteur pour une température chaude de $350~°C$.\n2. Pour une tension mesurée de $9.02~mV$, déduisez la température du point chaud.\n3. Si un câble de liaison de $5~m$ (résistance linéique $0.7~\\Omega/m$) relie le capteur à l’acquisition, calculez la chute de tension due au câble pour un courant traversant le capteur de $15~\\mu A$.",
"svg": "Thermocouple K Câble Acquisition 1. Tension fournie pour $T_c = 350~°C$, référence froide $T_f = 20~°C$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "31"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Une sonde de température de type platine Pt100 possède une résistance de $R_0 = 100~\\Omega$ à $0^\\circ C$. Le coefficient de température est $\\alpha = 0.00385~^\\circ C^{-1}$.\n1. Calculez la résistance de la sonde pour une température de $56^\\circ C$.\n2. Si la sonde est connectée dans un pont de Wheatstone alimenté sous $5~V$ avec trois résistances identiques de $100~\\Omega$, déterminez la tension de déséquilibre du pont à cette température.\n3. Déduisez la sensibilité (variation de tension par °C) autour de $25^\\circ C$.",
"svg": " Alim 5V Pt100 100 Ω 100 Ω 100 Ω Sortie Pont de Wheatstone pour mesure Pt100 ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance à $56^\\circ C$
",
"id_category": "2",
"id_number": "32"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un thermocouple type K possède une tension de sortie linéaire de $41~\\mu V/^\\circ C$ et la température de soudure froide est maintenue à $0^\\circ C$.\n1. Calculez la tension de sortie pour une température mesurée de $350^\\circ C$.\n2. On souhaite mesurer une température de $DEF = 600^\\circ C$ avec le même thermocouple. Quel amplificateur à gain fixe $G$ doit-on utiliser pour obtenir une sortie de $1~V$ à $600^\\circ C$?\n3. Calculez la tension d’entrée de l’amplificateur pour $600^\\circ C$ et la valeur du gain calculé.",
"svg": " Thermocouple T° mesurée Amplificateur Sortie Chaîne de mesure avec thermocouple amplifié ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension de sortie à $350^\\circ C$
",
"id_category": "2",
"id_number": "33"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur à thermistance NTC possède une résistance à $25^\\circ C$ de $10~k\\Omega$ et un coefficient $\\beta = 3950~K$. Il est placé dans un pont diviseur alimenté sous $3.3~V$ en série avec $10~k\\Omega$. \n1. Calculez la résistance de la thermistance pour une température de $60^\\circ C$. \n2. Calculez la tension de sortie du diviseur pour cette température.\n3. Déterminez la variation de tension pour une variation de température de $60^\\circ C$ à $70^\\circ C$.",
"svg": " Alim 3.3V 10 kΩ NTC β=3950K Sortie Pont diviseur résistif thermistance NTC ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance à $60^\\circ C$
",
"id_category": "2",
"id_number": "34"
},
{
"category": " Capture et Mesures de températures",
"question": "Un capteur de température à résistance (PT100) est intégré dans un pont de Wheatstone alimenté sous $V_{in} = 6\\ \\text{V}$, avec quatre résistances identiques de $R_0 = 100\\ \\Omega$ à $0^{\\circ}\\text{C}$. Son coefficient de température est $\\alpha = 3.85 \\times 10^{-3}\\ \\text{K}^{-1}$.\n1. Calculez la résistance du capteur pour $T = 120^{\\circ}\\text{C}$.\n2. Déterminez la tension de déséquilibre du pont pour cette température.\n3. Sachant que le système mesure la tension par un amplificateur différentiel de gain $G = 100$, calculez la sortie en tension mesurée pour cette température.",
"svg": "PT100 Amplificateur Vin V_{mes} Question 1 : Résistance du capteur PT100 à $T=120^{\\circ}\\text{C}$Question 2 : Tension de déséquilibre du pontQuestion 3 : Tension mesurée en sortie de l’amplificateur
",
"id_category": "2",
"id_number": "35"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Exercice 1 : Mesure de position par potentiomètre linéaire Un capteur de position basé sur un potentiomètre linéaire a une plage de mesure $L = 100\\,\\text{mm}$, et une résistance totale $R_\\text{tot} = 10\\,\\text{k}\\Omega$. Le curseur est déplacé sur cette plage. La tension d'alimentation du pont est $V_{in} = 5\\,\\text{V}$.
Question 1 : Exprimer la tension de sortie $V_{out}(x)$ en fonction du déplacement $x$ en millimètres.
Question 2 : Calculer la sensibilité du capteur, $S = \\frac{dV_{out}}{dx}$, en $\\text{mV/mm}$.
Question 3 : Si le bruit électrique amène une incertitude en tension $\\Delta V = 2\\,\\text{mV}$, calculer la précision de la mesure en millimètres.
",
"svg": "Potentiomètre linéaire pour mesure de position Origine (0 mm) Fin (100 mm) Curseur Résistance variable
Solution Exercice 1 Question 1 : Tension de sortie
1. Formule générale :
$V_{out}(x) = V_{in} \\times \\frac{R(x)}{R_{tot}}$ où $R(x)$ est la résistance entre l'origine et le curseur.
2. Expression de $R(x)$ en fonction de $x$ :
$R(x) = R_{tot} \\times \\frac{x}{L}$ pour un déplacement $x \\in [0, L]$.
3. Donc :
$V_{out}(x) = V_{in} \\times \\frac{x}{L}$.
Question 2 : Sensibilité
1. En dérivant :
$S = \\frac{dV_{out}}{dx} = \\frac{V_{in}}{L}$.
2. Remplacement numérique :
$S = \\frac{5}{100} = 0{,}05\\,\\text{V/mm} = 50\\,\\text{mV/mm}$.
Question 3 : Précision de la mesure
1. Précision en déplacement :
$\\Delta x = \\frac{\\Delta V}{S}$.
2. Remplacement :
$\\Delta x = \\frac{2 \\times 10^{-3}}{0{,}05} = 0{,}04\\,\\text{mm} = 40\\,\\mu\\text{m}$.
Résultat final : La tension de sortie varie linéairement suivant $V_{out}(x) = 5x/100$ V, la sensibilité est $50\\,\\text{mV/mm}$ et la précision liée au bruit de 2 mV correspond à une incertitude de $40\\,\\mu\\text{m}$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "1"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Exercice 3 : Mesure de position par capteur optique à quadrature Un système de mesure de position utilise un encodeur optique à quadrature avec :
Résolution de $1000$ impulsions par tour. Diamètre de la roue codeuse : $D = 50 \\text{ mm}$. Question 1 : Calculer la distance linéaire correspondante à un pas de comptage en millimètres.
Question 2 : Si la vitesse du dispositif est $v = 0{,}1 \\text{ m/s}$, déterminer la fréquence maximale d'impulsions délivrée par le capteur.
Question 3 : Calculer la fréquence des impulsions pour une vitesse angulaire $\\omega = 10 \\text{ rad/s}$.
",
"svg": "Encodeur optique à quadrature D = 50 mm Position linéaire Correspond au nombre de pulses comptés
Solution Exercice 3 Question 1 : Calcul de la distance par impulsion
1. Circonférence :
$C = \\pi D = \\pi \\times 50 = 157{,}08 \\text{ mm}$.
2. Distance par impulsion :
$\\Delta x = \\frac{C}{1000} = 0{,}157 \\text{ mm}$.
Question 2 : Fréquence maximale d'impulsions
1. Fréquence en impulsions :
$f = \\frac{v}{\\Delta x} = \\frac{0{,}1}{0{,}000157} = 637{,}0 \\text{ impulsions/s (Hz)}$.
Question 3 : Fréquence d'impulsions pour vitesse angulaire donnée
1. Relation vitesse linéaire :
$v = \\omega \\times R = 10 \\times 0{,}025 = 0{,}25 \\text{ m/s}$.
2. Fréquence :
$f = \\frac{v}{\\Delta x} = \\frac{0{,}25}{0{,}000157} = 1591{,}5 \\text{ Hz}$.
Résultat final : La distance par impulsion est $0{,}157 \\text{ mm}$, la fréquence maximale pour 0,1 m/s est $637 \\text{ Hz}$ et pour une vitesse angulaire de 10 rad/s, la fréquence est $1591{,}5 \\text{ Hz}$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un système de mesure de position utilise un capteur potentiométrique linéaire. Le déplacement linéaire maximal est de 100 mm, la tension d’alimentation est $V_{ref} = 10\\,V$, et la résistance totale du potentiomètre est constante. On mesure une tension de sortie proportionnelle à la position.\n\n1. Établissez la relation entre la position $x$ et la tension de sortie $V_{out}$.\n2. Calculez la résolution en position si la résolution du convertisseur analogique-numérique (CAN) connecté est de 12 bits.\n3. Pour une mesure $x = 45\\,mm$, calculez la tension de sortie correspondante.\n4. Déterminez la précision associée pour une incertitude sur le CAN de $2 LSB$.\n5. Analysez la sensibilité du capteur en volt par millimètre.",
"svg": "\n Potentiomètre linéaire \n Vout \n Position x \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Relation entre la position et la tension de sortie :
\nLa tension de sortie est proportionnelle à la position :
\n$V_{out} = V_{ref} \\times \\frac{x}{x_{max}}$
\navec $x_{max} = 100\\,\\mathrm{mm}$.
\n\n2. Résolution en position :
\nLe CAN de 12 bits a
\n$N = 2^{12} = 4096$ niveaux.
\nLa résolution en tension est :
\n$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{4096} = \\frac{10}{4096} = 2.44 \\times 10^{-3} \\, V$
\nLa résolution en position est :
\n$\\Delta x = \\frac{x_{max}}{4096} = \\frac{100}{4096} = 0.0244 \\, \\mathrm{mm}$
\n\n3. Tension de sortie pour $x=45\\,mm$ :
\n$V_{out} = 10 \\times \\frac{45}{100} = 4.5 \\, V$
\n\n4. Précision associée à l’incertitude de 2 LSB :
\n2 LSB correspondent à :
\n$2 \\times \\Delta V = 2 \\times 2.44 \\times 10^{-3} = 4.88 \\times 10^{-3} \\, V$
\nLa précision en position est :
\n$\\Delta x_{prec} = \\frac{x_{max}}{V_{ref}} \\times 4.88 \\times 10^{-3} = 100 \\times \\frac{4.88 \\times 10^{-3}}{10} = 0.0488 \\mathrm{mm}$
\n\n5. Sensibilité du capteur :
\nC'est la variation de tension par unité de déplacement :
\n$S = \\frac{V_{ref}}{x_{max}} = \\frac{10}{100} = 0.1 \\, V/mm$
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur à effet Hall rotatif mesure un champ magnétique variable en fonction de l’angle de rotation $\\theta$ du rotor. Le capteur fournit une tension :\n$V_{out} (\\theta) = V_0 \\sin (\\theta)$ avec $V_0 = 5\\, V$.\n\n1. Calculez la tension de sortie pour un angle de $\\theta = 60^\\circ$.\n2. Calculez le taux de variation de tension par degré (la dérivée de $V_{out}$ par rapport à $\\theta$) à $\\theta = 45^\\circ$.\n3. Si la résolution du système de mesure est de 10 mV, quelle est la résolution angulaire à $\\theta = 45^\\circ$?\n4. Déterminez le pic de sensibilité en tension par degré.\n5. Évaluez la précision angulaire pour un bruit de signal de 5 mV autour de $\\theta = 60^\\circ$.",
"svg": "\n Vout angle \n Centre \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension de sortie à $\\theta = 60^\\circ = \\frac{\\pi}{3}$ :
\n$V_{out} = 5 \\times \\sin(\\frac{\\pi}{3}) = 5 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4.33\\,V$
\n\n2. Dérivée à $\\theta = 45^\\circ = \\frac{\\pi}{4}$ :
\n$\\frac{dV_{out}}{d\\theta} = V_0 \\cos(\\theta)$
\nOn calcule :
\n$\\frac{dV_{out}}{d\\theta} \\bigg|_{\\theta=\\pi/4} = 5 \\times \\cos\\left( \\frac{\\pi}{4} \\right) = 5 \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 3.54 \\, V/rad$
\nConverti par degré :
\n$3.54 \\times \\frac{\\pi}{180} = 0.0618 \\, V/deg$
\n\n3. Résolution angulaire pour une résolution de 10 mV :
\n$\\Delta \\theta = \\frac{\\Delta V}{\\left|\\frac{dV_{out}}{d\\theta}\\right|} = \\frac{0.01}{0.0618} = 0.162^{\\circ}$
\n\n4. Pic de sensibilité :
\nLe pic de sensibilité est à $\\theta = 0^{\\circ}$, car $\\cos(0) = 1$ :
\n$S_{max} = V_0 = 5 \\, V/rad = 0.0873 \\, V/deg$
\n\n5. Précision angulaire avec bruit de $5\\,mV$ :
\n$\\Delta \\theta = \\frac{0.005}{|\\frac{dV_{out}}{d\\theta}|} = \\frac{0.005}{0.0618} = 0.081^{\\circ}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "4"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire est utilisé pour mesurer la position d'un objet mobile. La position est liée à la tension de sortie par la relation linéaire \\(V = k x\\), où \\(k = 2\\, V/m\\).\n\n1. Si la tension mesurée est \\(V = 3.5\\, V\\), calculez la position \\(x\\) de l'objet.\n\n2. Supposant que la tension est bruitée avec un écart type de \\(0.05\\, V\\), déterminez l'incertitude absolue sur la position mesurée.\n\n3. Le capteur a une résolution de \\(0.01\\, V\\). Calculez la résolution minimale en position que le système peut détecter.",
"svg": " Capteur Objet mobile ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la position \\(x\\)
\\(x = \\frac{V}{k}\\)
2. Remplacement des données :
\\(x = \\frac{3.5}{2} = 1.75\\, m\\)
Question 2 : Incertitude absolue sur la position
\\(\\Delta x = \\frac{\\Delta V}{k}\\)
2. Remplacement des données :
\\(\\Delta x = \\frac{0.05}{2} = 0.025\\, m\\)
Question 3 : Résolution minimale en position
\\(\\Delta x_{min} = \\frac{\\text{résolution tension}}{k} = \\frac{0.01}{2} = 0.005\\, m = 5\\, mm\\)
",
"id_category": "3",
"id_number": "5"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur inductif mesure le déplacement d'un noyau magnétique dans un solénoïde. La variation d'inductance \\(\\Delta L\\) est reliée à la position \\(x\\) par \\(\\Delta L = a x\\), avec \\(a = 1.2 \\times 10^{-4} H/m\\).\n\n1. Si la variation d'inductance mesurée est \\(\\Delta L = 6 \\times 10^{-5} H\\), calculez le déplacement \\(x\\).\n\n2. L'incertitude sur la mesure d'inductance est de \\(2 \\times 10^{-6} H\\), calculez l'incertitude sur la position.\n\n3. Si la longueur du noyau varie de \\(1 cm\\), exprimez et calculez la variation attendue de l'inductance.",
"svg": " Noyau magnétique Solénoïde ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du déplacement \\(x\\)
\\(x = \\frac{\\Delta L}{a}\\)
2. Remplacement des données :
\\(x = \\frac{6 \\times 10^{-5}}{1.2 \\times 10^{-4}} = 0.5\\, m\\)
Question 2 : Incertitude sur la position
\\(\\Delta x = \\frac{\\Delta (\\Delta L)}{a} = \\frac{2 \\times 10^{-6}}{1.2 \\times 10^{-4}} = 0.0167\\, m\\)
Question 3 : Variation d'inductance pour un déplacement de 1 cm
\\(\\Delta L = a \\times x = 1.2 \\times 10^{-4} \\times 0.01 = 1.2 \\times 10^{-6} H\\)
",
"id_category": "3",
"id_number": "6"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un codeur optique incrémental dispose de \\(N=1000\\) impulsions par tour.\n\n1. Calculez la résolution angulaire minimale en degrés.\n\n2. Si la fréquence maximale de rotation est \\(f=60\\, tr/min\\), calculez la fréquence maximale du signal de sortie en Hertz.\n\n3. Pour une liaison numérique sur un microcontrôleur avec un temps d'échantillonnage de \\(1 ms\\), déterminez le nombre maximal d'impulsions détectables entre deux échantillons.",
"svg": " Angle résol. Disque codeur optique N = 1000 imp./tour ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la résolution angulaire minimale
\\(\\theta = \\frac{360^\\circ}{N} = \\frac{360}{1000} = 0.36^\\circ\\)
Question 2 : Fréquence maximale du signal
\\(f_{tr} = \\frac{60}{60} = 1\\, tr/s\\)
2. Fréquence maximale du signal :
\\(f_{signal} = N \\times f_{tr} = 1000 \\times 1 = 1000\\, Hz\\)
Question 3 : Nombre maximal d'impulsions entre deux échantillons
\\(T_e = 1\\, ms = 0.001\\, s\\)
2. Nombre maximal d'impulsions mesurables :
\\(n_{max} = f_{signal} \\times T_e = 1000 \\times 0.001 = 1\\)
",
"id_category": "3",
"id_number": "7"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur de position linéaire à potentiomètre est utilisé pour mesurer un déplacement \\( \\Delta x \\) sur une course utile de $10\\,cm$ avec une résistance totale de potentiomètre $R_0 = 5\\,k\\Omega$. Le curseur se déplace de la position milieu prise comme origine. R_b(Δx) R_h(Δx) Potentiomètre Linéaire Volt. Entrée ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Expressions de \\( R_b(\\Delta x) \\) et \\( R_h(\\Delta x) \\) Question 2 : Calcul de la tension de sortie \\( V_{mes} \\) Question 3 : Erreur relative commise sur \\( V_{mes} \\)
",
"id_category": "3",
"id_number": "8"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur inductif à noyau mobile mesure une variation de position \\( \\Delta x \\) qui modifie l'inductance de la bobine selon :$ L(\\Delta x) = L_0 \\left(1 + \\frac{\\Delta x}{l_0}\\right)$, avec $L_0 = 10\\, mH$ et $l_0 = 0.05\\, m$. Bobine L(Δx) Noyau mobile Alimentation AC 200 kHz ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de l'inductance Question 2 : Calcul de la réactance inductive Question 3 : Variation de la tension induite
",
"id_category": "3",
"id_number": "9"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Exercice 1 – Mesure de position angulaire avec potentiomètre et étalonnage.\n\nUn potentiomètre rotatif est utilisé pour mesurer la position angulaire \\(\\theta\\) d'une tige. Sa résistance varie linéairement selon \\(\\theta\\) entre 0° et 300° sur une plage de résistance totale \\(R_{tot} = 10 \\ k\\Omega\\).\n\n1. Écrivez la relation entre la résistance \\(R(\\theta)\\) et l'angle \\(\\theta\\).\n2. Si une tension d'alimentation constante \\(V_{in} = 15 \\ V\\) est appliquée aux bornes du potentiomètre, calculez la tension de sortie \\(V_{out}(\\theta)\\) mesurée entre le curseur et une extrémité pour \\(\\theta = 75^\\circ, 150^\\circ, 225^\\circ.\\)\n3. Déterminez l'incertitude angulaire si la résolution de la mesure de tension est de 10 mV.\n4. Calculez la sensibilité du capteur en volts par degré.\n5. Si le potentiomètre est remplacé par un modèle linéaire avec plage 360°, comment varie la tension pour \\(\\theta = 360^\\circ\\) ?",
"svg": "\n Curseur \n Rotation \\(\\theta\\) \n Résistance variable \n Potentiomètre rotatif \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Relation résistance-angle Question 2 : Calcul de la tension de sortie Question 3 : Incertitude angulaire Question 4 : Sensibilité du capteur Question 5 : Cas du potentiomètre 360°
",
"id_category": "3",
"id_number": "10"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Exercice 3 – Mesure de position angulaire par capteur optique incrémental.\n\nUn codeur optique incrémental a une résolution de 500 impulsions par tour (PPR). Le système mesure la position angulaire d’un arbre en rotation.\n\n1. Calculez la résolution angulaire en degrés.\n2. Si la fréquence maximale de rotation est \\(f_{max} = 6000 \\ rpm\\), calculez la fréquence maximale de sortie en Hz du capteur.\n3. Déterminez le temps minimal entre deux impulsions consécutives à cette vitesse maximale.\n4. Calculez la distance angulaire parcourue en 1 ms à la vitesse maximale.\n5. Déduisez la précision temporelle nécessaire pour ne pas perdre d’impulsions.",
"svg": "\n Arbre en rotation \n Codeur optique incrémental 500 PPR \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Résolution angulaire Question 2 : Fréquence de sortie maximale Question 3 : Temps entre impulsions Question 4 : Distance angulaire en 1 ms Question 5 : Précision temporelle
",
"id_category": "3",
"id_number": "11"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire est utilisé pour mesurer un déplacement $\\Delta x$ sur une course totale de 100 mm. La résistance totale du potentiomètre est $R = 10 k\\Omega$.\n1. Écrivez l'expression des résistances $R_1(\\Delta x)$ et $R_2(\\Delta x)$ correspondant aux divisions du potentiomètre selon la position du curseur.\n2. Calculez la tension de sortie $V_{out}$ si le potentiomètre est alimenté en $V_{in} = 5 V$ et que le déplacement est de 25 mm.\n3. Quelle est la sensibilité $S$ du capteur, exprimée en $V/mm$?\n\nConsidérez que le potentiomètre est linéaire et la position milieu est à 50 mm.",
"svg": " \\Delta x 0 mm 100 mm R_1(\\Delta x) R_2(\\Delta x) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression des résistances :
Le potentiomètre est divisé en deux résistances en fonction du déplacement :
$R_1(\\Delta x) = R \\frac{\\Delta x}{L}, \\quad R_2(\\Delta x) = R - R_1(\\Delta x) = R \\left(1 - \\frac{\\Delta x}{L} \\right)$
où $L=100~mm$ est la course totale.
2. Calcul de
La tension de sortie en montages diviseur de tension :
$V_{out} = V_{in} \\frac{R_2(\\Delta x)}{R_1(\\Delta x) + R_2(\\Delta x)} = V_{in} \\left(1 - \\frac{\\Delta x}{L} \\right)$
Pour $\\Delta x = 25~mm, V_{in} = 5~V$ :
$V_{out} = 5 \\times \\left(1 - \\frac{25}{100}\\right) = 5 \\times 0.75 = 3.75~V$
3. Sensibilité :
La sensibilité est la dérivée de la tension de sortie :
$S = \\frac{dV_{out}}{d(\\Delta x)} = - \\frac{V_{in}}{L} = - \\frac{5}{100} = -0.05~V/mm$
Valeur absolue :
$S = 0.05~V/mm$
",
"id_category": "3",
"id_number": "12"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "On utilise un capteur capacitif pour mesurer la position d'une plaque mobile formant un condensateur plan de capacité variable. La capacité est donnée par :$C(x) = \\frac{\\epsilon_0 S}{d_0 - x}$, où $d_0 = 2~mm$ est l'espace initial, $x$ le déplacement ($0 \\leq x < d_0$), et $S = 10^{-4}~m^2$ la surface des plaques.
1. Calculez la capacité pour un déplacement de $x = 0.5~mm$.
2. Déterminez la sensibilité $S_c = \\frac{dC}{dx}$ à $x=0.5~mm$.
3. Si ce condensateur est chargé avec une tension $V = 12~V$, calculez la variation de charge $\\Delta Q$ correspondant à une variation de position $\\Delta x = 0.1~mm$.
",
"svg": " Condensateur plan d x Plaques ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la capacité :
Formule :
$C(x) = \\frac{\\epsilon_0 S}{d_0 - x}$
Remplacement :
$\\epsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12}~F/m, \\quad S = 10^{-4}~m^2$
$d_0 - x = 2 \\times 10^{-3} - 0.5 \\times 10^{-3} = 1.5 \\times 10^{-3}~m$
Calcul :
$C(0.5~mm) = \\frac{8.85 \\times 10^{-12} \\times 10^{-4}}{1.5 \\times 10^{-3}} = 5.9 \\times 10^{-13}~F = 0.59~pF$
2. Sensibilité :
La dérivée :
$S_c = \\frac{dC}{dx} = \\frac{\\epsilon_0 S}{(d_0 - x)^2}$
Valeur en $x = 0.5~mm$ :
$S_c = \\frac{8.85 \\times 10^{-12} \\times 10^{-4}}{(1.5 \\times 10^{-3})^2} = 3.93 \\times 10^{-10}~F/m$
3. Variation de charge :
$\\Delta Q = V \\times \\Delta C = V \\times S_c \\times \\Delta x$
$\\Delta x = 0.1~mm = 1.0 \\times 10^{-4}~m$
Calcul :
$\\Delta Q = 12 \\times 3.93 \\times 10^{-10} \\times 1.0 \\times 10^{-4} = 4.72 \\times 10^{-13}~C$
",
"id_category": "3",
"id_number": "13"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur inductif à noyau mobile mesure une position angulaire variable. La force électromotrice induite est donnée par :$e(t) = -N \\frac{d\\Phi}{dt} = -N A B \\frac{d\\theta}{dt}$, avec :
Nombre de spires $N = 500$ Surface de section du noyau $A = 2 \\times 10^{-4}~m^2$ Induction magnétique $B = 0.01~T$ On mesure un déplacement angulaire décrit par
$\\theta(t) = \\theta_0 \\sin(2 \\pi f t)$, avec $\\theta_0 = 0.1~rad$ et $f = 50~Hz$.
1. Calculez la tension maximale induite $E_{max}$.
2. Déterminez la tension effective RMS $E_{rms}$.
3. Si cette tension doit alimenter un circuit de mesure avec une impédance de charge $Z = 1 k\\Omega$, calculez la puissance moyenne dissipée.
",
"svg": " Noyau mobile ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension maximale induite :
Formule :
$e(t) = - N A B \\frac{d\\theta}{dt} = - N A B \\theta_0 2 \\pi f \\cos(2 \\pi f t)$
Le maximum de $|e(t)|$ est :
$E_{max} = N A B \\theta_0 2 \\pi f$
Remplacement :
$N = 500,\\quad A = 2 \\times 10^{-4}~m^2,\\quad B=0.01~T,\\quad \\theta_0=0.1,\\quad f=50$
$E_{max} = 500 \\times 2 \\times 10^{-4} \\times 0.01 \\times 0.1 \\times 2 \\pi \\times 50 = 0.0314~V$
2. Tension efficace RMS :
$E_{rms} = \\frac{E_{max}}{\\sqrt{2}} = 0.0314 / 1.414 = 0.0222~V$
3. Puissance dissipée :
$P = \\frac{E_{rms}^2}{Z} = \\frac{0.0222^2}{1000} = 4.93 \\times 10^{-7}~W = 0.493~\\mu W$
",
"id_category": "3",
"id_number": "14"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur de position linéaire utilise un potentiomètre dont la course utile est $2l = 10\\,\\mathrm{cm}$ et la résistance totale $2R_0 = 10\\,\\mathrm{k}\\Omega$. Le curseur se déplace de $\\Delta x$ par rapport à la position milieu prise comme origine.\n Potentiomètre \n Vg = 5 V \n Charge Rapp = 100 kΩ \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression des résistances :
\nLe potentiomètre total est divisé en deux résistances :
\n$ R_b(\\Delta x) = R_0 \\left(1 - \\frac{\\Delta x}{l} \\right), \\quad R_h(\\Delta x) = R_0 \\left(1 + \\frac{\\Delta x}{l} \\right) $.
\n2. Expression de la tension mesurée :
\nLe montage équivalent montre que $V_{mes}(\\Delta x)$ est la tension aux bornes de $R_h(\\Delta x)$ en série avec $R_{app}$ :
\n$ V_{mes}(\\Delta x) = V_g \\times \\frac{R_{app} \\parallel R_h(\\Delta x)}{R_b(\\Delta x) + R_{app} \\parallel R_h(\\Delta x)} $, où $\\parallel$ indique le montage en parallèle.
\n3. Calcul pour $\\Delta x = 3\\,\\mathrm{cm}$, $l=5\\,\\mathrm{cm}$, $R_0 = 5\\,\\mathrm{k}\\Omega$ :
\n$ R_b(3) = 5\\,k\\Omega \\times \\left(1 - \\frac{3}{5}\\right) = 2\\,k\\Omega, \\quad R_h(3) = 5\\,k\\Omega \\times \\left(1 + \\frac{3}{5}\\right) = 8\\,k\\Omega$.
\nCalcul parallèle :
\n$ R_h(3) \\parallel R_{app} = \\frac{8 \\times 100}{8 + 100} = 7.41\\,k\\Omega$.
\nDonc :
\n$ V_{mes}(3) = 5 \\times \\frac{7.41}{2 + 7.41} = 5 \\times 0.787 = 3.94\\, V$.
\nCe résultat montre que la tension mesurée permet une estimation directe du déplacement, avec presque 4 volts pour un déplacement de 3 cm.
",
"id_category": "3",
"id_number": "15"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur inductif comporte une bobine de inductance variable avec la position $x$ d’un noyau ferromagnétique. Sa relation est donnée par $L(x) = L_0 (1 + 0.02 x)$ pour $x$ en millimètres.\n Bobine L(x) \n I(t) = I_0 cos(ωt) \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La tension induite est donnée par la loi de Lenz-Faraday :
\n$ v(t) = L(x) \\frac{d i(t)}{d t} $.
\navec :
\n$ i(t) = I_0 \\cos(\\omega t) \\Rightarrow \\frac{d i}{d t} = -I_0 \\omega \\sin(\\omega t)$.
\nLa tension maximale est alors :
\n$ V_{max} = L(x) I_0 \\omega $, considérant le maximum de $|\\sin(\\omega t)| = 1$.
\nRemplacement :
\n$ L(10) = 10 \\mathrm{mH} \\times (1 + 0.02 \\times 10) = 10 \\mathrm{mH} \\times 1.2 = 12 \\mathrm{mH}$.
\nCalcul :
\n$ V_{max} = 12 \\times 10^{-3} \\times 0.5 \\times 1000 = 6 \\mathrm{V}$.
\n\n2. Variation de la tension pour $\\Delta x = 1\\,\\mathrm{mm}$ :
\n$ \\Delta L = L_0 \\times 0.02 \\times 1 = 10 \\times 10^{-3} \\times 0.02 = 0.0002 \\mathrm{H}$.
\nVariation de tension :
\n$ \\Delta V = I_0 \\omega \\Delta L = 0.5 \\times 1000 \\times 0.0002 = 0.1 \\mathrm{V}$.
\n\n3. Sensibilité du capteur :
\n$ S = \\frac{\\Delta V}{\\Delta x} = 0.1 \\mathrm{V/mm} $.
",
"id_category": "3",
"id_number": "16"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un codeur incrémental génère $N_p = 500$ impulsions par tour. Placé sur un arbre de diamètre $d = 20\\,\\mathrm{mm}$, il mesure la position angulaire.\n Arbre d'axe \n Capteur incrémental \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résolution angulaire :
\nNombre d'impulsions par tour : $ N_p = 500$
\nComme un tour correspond à $360^{\\circ}$ :
\n$ \\theta = \\frac{360^{\\circ}}{N_p} = \\frac{360}{500} = 0.72^{\\circ}$.
\n\n2. Fréquence des impulsions :
\nPour une vitesse angulaire de $60\\,\\mathrm{tr/min} = 1\\,\\mathrm{tr/s}$ :
\n$ f_{impulsions} = N_p \\times \\text{fréquence tours} = 500 \\times 1 = 500 \\mathrm{Hz} $.
\n\n3. Nombre d'impulsions par échantillon avec échantillonnage de $10\\,\\mathrm{kHz}$ :
\n$ n = \\frac{f_{impulsions}}{f_{échantillonnage}} = \\frac{500}{10000} = 0.05$.
\nCela signifie qu'on a en moyenne 0.05 impulsions par échantillon, donc l'acquisition est suffisante pour détecter chaque impulsion avec bonne précision.
",
"id_category": "3",
"id_number": "17"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "On dispose d'un capteur de position linéaire à potentiomètre dont la résistance totale est $\\( 2R_0 = 10\\,\\text{k}\\Omega \\)$ et la course utile totale $\\( 2l = 10\\,\\text{cm} \\)$. Le curseur est déplacé de $\\( \\Delta x \\)$ par rapport à la position centrale (origine). Le potentiomètre est alimenté par une tension constante $\\( V_g = 5\\,\\text{V} \\)$.\n\n1) Exprimer les résistances $\\( R_b(\\Delta x) \\)$ et $\\( R_h(\\Delta x) \\)$ correspondant aux deux sections du potentiomètre sur chaque côté du curseur en fonction de $\\( R_0 \\) et $\\( \\Delta x \\).\n\n2) En considérant une impédance d'entrée d'un voltmètre $\\( R_{app} = 1\\,\\text{M}\\Omega \\)$, calculer la tension mesurée $\\( V_{mes}(\\Delta x) \\)$ aux bornes du curseur en fonction de $\\( V_g,\\ R_b(\\Delta x),\\ R_h(\\Delta x),\\ R_{app} \\).\n\n3) Pour un déplacement $\\( \\Delta x = 2\\,\\text{cm} \\)$, calculer numériquement les valeurs de $\\( R_b, R_h \\)$ et $\\( V_{mes} \\)$.\n\n4) Calculer la sensibilité du capteur (variation de la tension mesurée par unité de déplacement) et exprimer la valeur de la résolution en position si la précision du voltmètre est $\\( 1\\,\\text{mV} \\)$.\n\n5) Proposer une solution pour limiter l'effet de l'impédance d'entrée du voltmètre sur la mesure et calculer la nouvelle tension mesurée si l'on utilise un amplificateur suiveur avec impédance d'entrée très élevée.",
"svg": "\n Rg \n Rb \n Rh \n Vmes \n Rapp \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : expressions des résistances Rb et Rh.
\n\\( R_b(\\Delta x) = R_0 \\left( 1 - \\dfrac{\\Delta x}{l} \\right) \\)
\n\\( R_h(\\Delta x) = R_0 \\left( 1 + \\dfrac{\\Delta x}{l} \\right) \\)
\n\nQuestion 2 : expression de la tension mesurée $\\( V_{mes} \\)
\n\\( V_{mes} = V_g \\times \\dfrac{R_{app} || R_h}{R_b + (R_{app} || R_h)} \\)
\noù
\n\\( R_{app} || R_h = \\dfrac{R_{app} R_h}{R_{app} + R_h} \\)
\n\nQuestion 3 : calcul numérique pour $\\( \\Delta x = 2\\,\\text{cm} \\)
\n\\( l = 5\\,\\text{cm}, R_0 = 5\\,\\text{k}\\Omega \\)
\n\\( R_b = 5\\,\\text{k}\\Omega \\times \\left(1 - \\dfrac{2}{5}\\right) = 5\\,\\text{k}\\Omega \\times 0{,}6 = 3{,}0\\,\\text{k}\\Omega \\)
\n\\( R_h = 5\\,\\text{k}\\Omega \\times \\left(1 + \\dfrac{2}{5}\\right) = 5\\,\\text{k}\\Omega \\times 1{,}4 = 7{,}0\\,\\text{k}\\Omega \\)
\n\\( R_{app} = 1\\,\\text{M}\\Omega \\) très élevé, donc
\n\\( R_{app} || R_h \\approx \\dfrac{1 \\, M\\Omega \\, \\times \\, 7 \\, k\\Omega}{1 \\, M\\Omega + 7 \\, k\\Omega} \\approx 6{,}95\\,k\\Omega \\)
\nCalcul de la tension :
\n\\( V_{mes} = 5 \\, V \\times \\dfrac{6{,}95\\,k\\Omega}{3{,}0\\,k\\Omega + 6{,}95\\,k\\Omega} = 5 \\, V \\times \\dfrac{6{,}95}{9{,}95} \\approx 3{,}49 \\, V \\)
\n\nQuestion 4 : sensibilité et résolution
\n\\( S = \\dfrac{d V_{mes}}{d (\\Delta x)} \\approx \\dfrac{V_{mes}(\\Delta x = 2\\,cm) - V_{mes}(\\Delta x = 0)}{2\\,cm - 0} \\)
\nPour $\\( \\Delta x = 0 \\)$ :
\n\\( R_b = R_0 = 5\\,k\\Omega, R_h = R_0 = 5\\,k\\Omega \\)
\n\\( R_{app} || R_h \\approx 4{,}975\\,k\\Omega \\)
\n\\( V_{mes}(0) = 5 \\, V \\times \\dfrac{4{,}975\\,k\\Omega}{5\\,k\\Omega + 4{,}975\\,k\\Omega} = 5 \\, V \\times 0{,}4987 = 2{,}49 \\, V \\)
\nSensibilité :
\n\\( S \\approx \\dfrac{3{,}49 - 2{,}49}{2} = 0{,}5 \\, V/cm \\)
\n2. Résolution :
\nAvec une précision du voltmètre $\\( 1\\,mV = 0{,}001 \\, V \\)$, la résolution en position vaut :
\n\\( \\Delta x_{min} = \\dfrac{0{,}001 \\, V}{0{,}5 \\, V/cm} = 0{,}002 \\, cm = 20 \\, \\mu m \\)
\n\nQuestion 5 : solution pour limiter l'effet d'impédance et nouvelle tension
\n\\( R_{app} \\to +\\infty \\)
\ndonc
\n\\( V_{mes} = V_g \\times \\dfrac{R_h}{R_b + R_h} = 5 \\, V \\times \\dfrac{7\\,k\\Omega}{3\\,k\\Omega + 7\\,k\\Omega} = 5 \\, V \\times 0{,}7 = 3{,}5 \\, V \\)
\n2. Le gain en tension est alors optimisé, améliorant la linéarité et la précision de la mesure.
",
"id_category": "3",
"id_number": "18"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur inductif à noyau mobile est utilisé pour la mesure de la position angulaire d’un axe rotatif. La self inductance $\\( L(\\theta) \\)$ varie avec l’angle $\\( \\theta \\)$ selon l’expression :\n\\( L(\\theta) = L_0 + L_1 \\cos(\\theta) \\)
\noù $\\( L_0 = 10 \\",
"s'écrit": "",
"svg": "\n Axe rotatif \n Angle \n \\( \\theta \\) \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : impédance complexe et amplitude de tension inductive.
\n\\( Z_L(\\theta) = j \\omega L(\\theta) = j 2 \\pi f (L_0 + L_1 \\cos \\theta) \\)
\nLa tension inductive mesurée en sortie est
\n\\( V_L(\\theta) = I \\times Z_L(\\theta) \\)
\net son amplitude
\n\\( |V_L(\\theta)| = I \\times \\omega \\times |L(\\theta)| = I \\times 2 \\pi f \\times (L_0 + L_1 \\cos \\theta) \\)
\n\nQuestion 2 : calculs pour angles donnés.
\n\\( L_0 = 10 \\, mH = 10 \\times 10^{-3} \\, H \\)
\n\\( L_1 = 5 \\, mH = 5 \\times 10^{-3} \\, H \\)
\n\\( f = 10 \\, kHz = 10^{4} \\, Hz \\)
\n\\( I = 10 \\, mA = 10 \\times 10^{-3} \\, A \\)
\nCalculs :
\na) Pour $\\( \\theta = 0 \\)$ :
\n\\( L(0) = 10^{-2} + 5 \\times 10^{-3} = 15 \\times 10^{-3} \\, H \\)
\n\\( \\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 10^{4} = 6.2832 \\times 10^{4} \\, rad/s \\)
\n\\( Z_L(0) = j \\times 6.2832 \\times 10^{4} \\times 15 \\times 10^{-3} = j 942.48 \\, \\Omega \\)
\n\\( |V_L(0)| = I |Z_L(0)| = 10^{-2} \\times 942.48 = 9.4248 \\, V \\)
\n\nb) Pour $\\( \\theta = \\pi/2 \\)$ :
\n\\( L(\\pi/2) = 10^{-2} + 0 = 10^{-2} \\, H \\)
\n\\( Z_L(\\pi/2) = j 6.2832 \\times 10^{4} \\times 10^{-2} = j 628.32 \\, \\Omega \\)
\n\\( |V_L(\\pi/2)| = 10^{-2} \\times 628.32 = 6.2832 \\, V \\)
\n\nc) Pour $\\( \\theta = \\pi \\)$ :
\n\\( L(\\pi) = 10^{-2} - 5 \\times 10^{-3} = 5 \\times 10^{-3} \\, H \\)
\n\\( Z_L(\\pi) = j 6.2832 \\times 10^{4} \\times 5 \\times 10^{-3} = j 314.16 \\, \\Omega \\)
\n\\( |V_L(\\pi)| = 10^{-2} \\times 314.16 = 3.1416 \\, V \\)
\n\nQuestion 3 : sensibilité angulaire en volt par radian.
\n\\( S_\\theta = \\left| \\dfrac{d |V_L|}{d \\theta} \\right| = I \\omega L_1 \\left| \\dfrac{d}{d \\theta} \\cos \\theta \\right| = I \\omega L_1 \\left| -\\sin \\theta \\right| \\)
\nLa sensibilité maximale est donc atteinte pour $\\( \\theta = \\pi/2 \\)$ et vaut :
\n\\( S_{max} = I \\omega L_1 = 10^{-2} \\times 6.2832 \\times 10^4 \\times 5 \\times 10^{-3} = 3.1416 \\, V/rad \\)
\n\nQuestion 4 : amélioration de la linéarité.
\n\nQuestion 5 : influence de la fréquence.
",
"id_category": "3",
"id_number": "19"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un appareil de mesure de position angulaire utilise un capteur capacitif composé d'une capacité variable $\\( C(\\theta) \\)$ qui dépend de l'angle de rotation $\\( \\theta \\)$ selon :\n\\( C(\\theta) = C_0 (1 + k \\cos(\\theta)) \\)
\navec $\\( C_0 = 50 \\, \\text{pF} \\)$ et $\\( k = 0{,}3 \\)$. Ce capteur est associé à un oscillateur dont la fréquence de sortie $\\( f(\\theta) \\)$ dépends de la capacité :
\n\\( f(\\theta) = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C(\\theta)}} \\)
\navec $\\( L = 10 \\, \\mu\\text{H} \\)$ constante inductive. La tension de sortie mesure cette fréquence.\n\n1) Calculer la fréquence $\\( f_0 \\)$ lorsque $\\( \\theta = 0 \\)$, ainsi que la variation maximale de la fréquence.
\n\n2) Pour $\\( \\theta = 0, \\pi/2, \\pi \\)$, calculer numériquement $\\( f(\\theta) \\)$.\n\n3) Déterminer la sensibilité en fréquence par rapport à l'angle, exprimée en Hertz par radian.\n\n4) Evaluer la résolution angulaire si la limite de détection de fréquence est $\\( 1 \\, \\text{Hz} \\)$.\n\n5) Proposer un conditionnement de signal pour linéariser la relation fréquence-angle sur un intervalle étendu.",
"svg": "\n Axe rotatif \n Angle \n \\( \\theta \\) \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : fréquence de l'oscillateur et variation maximale.
\n\\( f(\\theta) = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C_0 (1 + k \\cos \\theta)}} \\)
\nPour $\\( \\theta = 0 \\)$ :
\n\\( f_0 = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C_0 (1 + k)}} \\)
\nVariation maximale entre $\\( \\theta = 0 \\)$ et $\\( \\theta = \\pi \\)$ :
\n\\( \\Delta f = f(\\pi) - f(0) = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C_0 (1 - k)}} - \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C_0 (1 + k)}} \\)
\n\nQuestion 2 : calculs numériques pour $\\( \\theta = 0, \\pi/2, \\pi \\)
\n\\( L = 10 \\times 10^{-6} \\, H, \\quad C_0 = 50 \\times 10^{-12} \\, F, \\quad k = 0,3 \\)
\nCalcul de fréquences :
\n\\( f(0) = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{10 \\times 10^{-6} \\times 50 \\times 10^{-12} \\times (1+0{,}3)}} \\, \\approx 22{,}13 \\, \\text{kHz} \\)
\n\\( f(\\pi/2) = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{10 \\times 10^{-6} \\times 50 \\times 10^{-12} \\times 1}} \\, \\approx 22{,}52 \\, \\text{kHz} \\)
\n\\( f(\\pi) = \\dfrac{1}{2 \\pi \\sqrt{10 \\times 10^{-6} \\times 50 \\times 10^{-12} \\times (1-0{,}3)}} \\, \\approx 24{,}01 \\, \\text{kHz} \\)
\n\nQuestion 3 : sensibilité en fréquence.
\n\\( S_\\theta = \\left| \\dfrac{df}{d\\theta} \\right| = \\dfrac{k}{4 \\pi} \\dfrac{\\sin \\theta}{L^{1/2} C_0^{1/2} (1 + k \\cos \\theta)^{3/2}} \\)
\nLa sensibilité maximale s'obtient à $\\( \\theta = \\pi/2 \\)$ :
\n\\( S_{max} = \\dfrac{k}{4 \\pi \\sqrt{L C_0}} = \\dfrac{0{,}3}{4 \\pi \\times \\sqrt{10 \\times 10^{-6} \\times 50 \\times 10^{-12}}} \\approx 500 \\, \\text{Hz/rad} \\)
\n\nQuestion 4 : résolution angulaire.
\n\\( \\Delta \\theta_{min} = \\dfrac{\\Delta f_{min}}{S_{max}} = \\dfrac{1 \\, Hz}{500 \\, Hz / rad} = 0{,}002 \\, rad = 0{,}11^{\\circ} \\)
\n\nQuestion 5 : conditionnement et linéarisation.
",
"id_category": "3",
"id_number": "20"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur potentiométrique est utilisé pour mesurer la position angulaire \\(\\theta\\) d'un axe en rotation. Sa résistance totale est \\(R=10\\,k\\Omega\\) et la tension d'alimentation est \\(V_{cc}=5\\,V\\).\\n\\n1. Exprimez la tension de sortie \\(V_{out}\\) en fonction de l'angle \\(\\theta\\) sachant que le potentiomètre est linéaire et tourne sur \\(360^\\circ\\).\\n\\n2. Calculez la résolution angulaire minimale si le voltmètre mesure avec une précision de \\(1\\,mV\\).\\n\\n3. En présence d'un bruit de fond de \\(10\\,mV_{pp}\\), quelle est la précision réelle de mesure sur l'angle ?",
"svg": "\\(\\theta\\) Potentiomètre Vcc=5V Vout 1. Formule générale dans $V_{out} = V_{cc} \\times \\frac{\\theta}{360^\\circ} $
$\\Delta V = 1 \\, mV = 0,001 \\, V$ donc $\\Delta \\theta = 360^\\circ \\times \\frac{\\Delta V}{V_{cc}} = 360^\\circ \\times \\frac{0,001}{5} = 0,072^\\circ $3. Précision réelle limitée par le bruit :
$\\Delta V_{bruit} = 10 \\, mV = 0,01 \\, V$ donc $\\Delta \\theta_{réel} = 360^\\circ \\times \\frac{0,01}{5} = 0,72^\\circ $",
"id_category": "3",
"id_number": "21"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur incrémental optique est utilisé pour mesurer la position angulaire d'un axe. Le disque comporte \\(N=1000\\) impulsions par tour.\\n\\n1. Calculez la résolution angulaire \\(\\Delta \\theta\\) donnée par le capteur en degrés.\\n\\n2. Si le signal est traité avec un détecteur quadrature, quelle est la résolution angulaire améliorée ?\\n\\n3. Pour une vitesse de rotation de \\(3000\\,tours/min\\), calculez la fréquence maximale du signal généré.",
"svg": "Axes Disque à \\(N=1000\\) impulsions Détecteur 1. Résolution angulaire :
$\\Delta \\theta = \\frac{360^\\circ}{N} = \\frac{360^\\circ}{1000} = 0,36^\\circ $2. Avec détecteur quadrature (4 fois les impulsions) :
$\\Delta \\theta = \\frac{360^\\circ}{4N} = \\frac{360^\\circ}{4000} = 0,09^\\circ $3. Vitesse angulaire :
$n = 3000 \\, \\text{tr/min} = 50 \\, \\text{tr/s}$Fréquence maximale :
$f = N \\times n = 1000 \\times 50 = 50\\,000\\,Hz$",
"id_category": "3",
"id_number": "22"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un asservissement linéaire utilise un capteur à effet Hall pour mesurer un déplacement linéaire \\(x\\). La tension de sortie du capteur est modélisée par \\(V_{out} = S x\\) où \\(S = 20 \\, mV/mm\\).\\n\\n1. Calculez la tension de sortie pour un déplacement de \\(50\\,mm\\).\\n\\n2. Sachant que le bruit de sortie est de \\(2\\,mV\\) crête à crête, déterminez la précision de mesure en millimètres.\\n\\n3. Si le système utilise un ADC 12 bits avec une plage d'entrée de \\(0-5 V\\), calculez la résolution en position linéaire.",
"svg": "Capteur Effet Hall \\(V_{out}\\) Déplacement \\(x\\) 1. Tension de sortie :
$V_{out} = S \\times x = 20 \\, mV/mm \\times 50 \\, mm = 1000 \\, mV = 1 \\, V $2. Précision limitée par le bruit :
$\\Delta x = \\frac{V_{bruit}}{S} = \\frac{2 \\, mV}{20 \\, mV/mm} = 0,1 \\, mm $3. Résolution ADC :
$\\text{Résolution ADC} = \\frac{5 \\, V}{2^{12}} = \\frac{5}{4096} = 1,22 \\times 10^{-3} \\, V$Conversion en déplacement :
$\\Delta x_{ADC} = \\frac{1,22 \\times 10^{-3} \\, V}{20 \\times 10^{-3} \\, V/mm} = 6,11 \\times 10^{-2} \\, mm = 0,0611 \\, mm $",
"id_category": "3",
"id_number": "23"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire mesure la position d'un curseur se déplaçant sur une piste résistive de longueur $ L = 10 \\text{ cm} $ et de résistance totale $ R = 1000 \\; \\Omega $. \n\n1) Exprimez la tension de sortie $ V_{out} $ en fonction de la position $ x $ du curseur, où $ x = 0 $ correspond au début de la piste et $ x = L $ à la fin.\n\n2) Calculez $ V_{out} $ si $ x = 4,2 \\text{ cm} $ avec une tension d'alimentation $ V_{in} = 5 \\text{ V} $.\n\n3) Si la tension de sortie mesurée est $ 2,1 \\text{ V} $, déterminez la position $ x $ correspondante du curseur.",
"svg": "Piste résistive potentiométrique 0 L Curseur (position x) 1) Le potentiomètre étant une résistance linéaire, la tension de sortie est proportionnelle à la position :
$ V_{out} = V_{in} \\times \\frac{x}{L} $, où $ x \\in [0,L] $.
2) Calcul à $ x = 4,2 \\text{ cm} = 0,042 $ m :
$ V_{out} = 5 \\times \\frac{0,042}{0,10} = 5 \\times 0.42 = 2.1 \\text{ V} $.
3) Pour une tension de sortie $ V_{out} = 2.1 \\text{ V} $ :
$ x = L \\times \\frac{V_{out}}{V_{in}} = 0.10 \\times \\frac{2.1}{5} = 0.042 \\text{ m} = 4.2 \\text{ cm} $.
La position correspondante est donc $ 4.2 \\text{ cm} $, confirmant la relation linéaire.
",
"id_category": "3",
"id_number": "24"
},
{
"category": "capture et mesures de position",
"question": "Un codeur rotatif incrémental fournit des impulsions proportionnelles à la rotation angulaire avec une résolution de $ 3600 $ impulsions par tour.\n\n1) Déterminez la résolution angulaire minimale (en degrés) du codeur.\n\n2) Si l'encodeur mesure une rotation continue, calculez le nombre d'impulsions correspondant à une rotation de $ 120^\\circ $.\n\n3) En considérant une vitesse angulaire constante de $ 30 \\text{ tours/minute} $, calculez la fréquence des impulsions en hertz produites par le codeur.",
"svg": "Codeur rotatif incrémental 3600 impulsions/tour 1) La résolution angulaire minimale est :
$ \\theta_{min} = \\frac{360^\\circ}{N} $, où $ N=3600 $ est le nombre d'impulsions par tour.
$ \\theta_{min} = \\frac{360}{3600} = 0.1^\\circ $.
2) Nombre d'impulsions pour $ 120^\\circ $ :
$ N_{pulse} = \\frac{120}{360} \\times 3600 = 1200 $ impulsions.
3) Fréquence d'impulsions avec vitesse angulaire :
$ f = \\frac{30 \\text{ tours/minute} \\times 3600 \\text{ impulsions/tour}}{60} = 1800 $ Hz.
",
"id_category": "3",
"id_number": "25"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de déplacement de course totale $L = 120\\ \\text{mm}$ est alimenté sous $V_{cc} = 10\\ \\text{V}$. La résistance totale du potentiomètre est $R_p = 5\\ \\text{k}\\Omega$.\n1. Calculez la variation de tension de sortie $V_{out}$ pour un déplacement de $x = 75\\ \\text{mm}$.Potentiomètre linéaire L=120mm x=75mm V_{out} V_{cc}=10V R_p=5kΩ Question 1 : Variation de tension de sortie pour $x=75\\ \\text{mm}$Question 2 : Sensibilité du capteurQuestion 3 : Courant traversant le potentiomètre
",
"id_category": "4",
"id_number": "1"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à effet Hall fournit une tension proportionnelle au champ magnétique créé par le déplacement d’un aimant permanent. On considère un montage où la tension de sortie est donnée par $V_H = S_H \\cdot B$ avec $S_H=110\\ \\text{mV}/\\text{T}$. L’aimant se déplace parallèlement au capteur et crée un champ $B(x)=0.025x+0.01$ avec $x$ en mm.\n1. Calculez la tension de sortie pour $x=15\\ \\text{mm}$.Effet Hall Aimant mobile V_H Déplacement x Champ B(x) Question 1 : Tension de sortie pour $x=15\\ \\text{mm}$Question 2 : Plage de déplacement pour $0.1\\leq V_H\\leq 1.0$Question 3 : Variation de tension pour déplacement de $7\\rightarrow 22\\ \\text{mm}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "2"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur inductif de position présente une inductance de $L(x) = L_0(1+\\frac{x}{X_{max}})$ avec $L_0=50\\ \\mu\\text{H}$ et $X_{max}=30\\ \\text{mm}$. Un générateur applique un signal sinusoïdal de $f=12\\ \\text{kHz}$ et amplitude $V_{in}=6\\ \\text{V}$.\n1. Calculez l’inductance pour $x=18\\ \\text{mm}$.Inductif Bobine mobile V_{out} Déplacement x L(x) Question 1 : Inductance pour $x=18\\ \\text{mm}$Question 2 : Impédance à cette positionQuestion 3 : Courant traversant le capteur
",
"id_category": "4",
"id_number": "3"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un potentiomètre linéaire de longueur totale $L = 200~mm$ est alimenté sous $12~V$. Sa piste présente une résistance totale de $R = 10~k\\Omega$. Le curseur se déplace d’une position initiale $x_0 = 45~mm$ à une position finale $x_f = 155~mm$.\n1. Calculez la tension de sortie aux deux positions.\n2. Déterminez la variation de tension pour le déplacement effectué.\n3. Calculez la sensibilité du capteur, exprimée en $V/mm$.",
"svg": " x0 xf L = 200 mm Curseur Curseur Potentiomètre linéaire pour mesure de déplacement ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension de sortie aux deux positions
",
"id_category": "4",
"id_number": "4"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur inductif de déplacement possède une bobine de $N = 640$ spires, longueur de solénoïde $\\ell = 50~mm$, section $S = 35~mm^2$. Le noyau mobile introduit une variation de perméabilité, passant de $\\mu_0$ à $110 \\mu_0$. L’inductance de la bobine varie en fonction de la position du noyau.\n1. Calculez l’inductance initiale (sans le noyau).\n2. Calculez l’inductance maximale en présence du noyau mobile.\n3. Déterminez la variation d’inductance pour un déplacement complet.",
"svg": " Solénoïde Section S Noyau mobile Capteur inductif pour mesure de déplacement linéaire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Inductance initiale
",
"id_category": "4",
"id_number": "5"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur incrémental optique possède $N = 2000$ impulsions par tour et tourne à une vitesse constante de $v = 1800~rpm$.\n1. Calculez la fréquence du signal en sortie du codeur.\n2. Déterminez la résolution angulaire pour chaque impulsion.\n3. Calculez le nombre d’impulsions émises en $5~s$.",
"svg": " Optique Impulsions N Sortie Codeur optique incrémental pour mesure de déplacement angulaire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Fréquence du signal en sortie
",
"id_category": "4",
"id_number": "6"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de $L = 10~cm$ est alimenté sous $V_{alim} = 6~V$. Le curseur délivre une tension proportionnelle à la position x (en cm) le long de la piste.\n\n1. Calculez la tension de sortie pour une position $x = 7.2~cm$.\n2. Si l’ADC utilisé présente une résolution de $12~bits$ sur la plage $[0~V,~6~V]$, déterminez la variation minimale détectable de déplacement.$\n3. La sortie mesurée est $4.68~V$. Calculez la position correspondante du curseur.",
"svg": "0 V 6 V x V_{sortie} 1. Tension de sortie à $x = 7.2~cm$ :
",
"id_category": "4",
"id_number": "7"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur incrémental optique compte 1024 impulsions par tour (PPR). Il est monté sur un arbre tournant à $f = 18~Hz$.\n\n1. Calculez la résolution angulaire du codeur, en degrés.\n2. Déterminez la fréquence maximale des signaux d’impulsions délivrés lors d’une rotation à cette fréquence.\n3. Si l’on compte $624$ impulsions sur un intervalle $t = 180~ms$, calculez la vitesse angulaire moyenne durant cet intervalle.",
"svg": "LED Détecteur arbre 1. Résolution angulaire :
",
"id_category": "4",
"id_number": "8"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer) de course linéaire maximale $l_{max} = 40~mm$ délivre une tension de sortie linéaire de $\\pm 2.5~V$.\n\n1. Calculez la sensibilité du capteur en mV/mm.\n2. Pour une mesure de sortie de $-1.05~V$, déterminez le déplacement associé.\n3. Si le bruit en sortie est équivalent à une incertitude de $8~mV$, évaluez l’incertitude sur la position déduite.",
"svg": "Bobine primaire/secondaires Noyau Sortie 1. Sensibilité du capteur :
",
"id_category": "4",
"id_number": "9"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur de position potentiométrique linéaire de longueur totale $L = 50$ cm, alimenté sous $V_{cc} = 10$ V, présente une résistance totale $R = 5$ kΩ. On mesure la tension de sortie $V_{out}$ pour une position donnée du curseur.\\n1. Calculez la résistance entre l’entrée et le curseur pour une position $x = 34$ cm.\\n2. Déterminez la tension de sortie correspondante à cette position.\\n3. Calculez le courant traversant le capteur pour cette position.",
"svg": "Vout Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
"id_category": "4",
"id_number": "10"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à effet Hall sert à mesurer la position d’un aimant mobile. La tension mesurée est $V_H = K_H B x$, où $K_H = 0,6$ mV/(mT·mm), $B = 30$ mT, $x$ le déplacement en mm.\\n1. Calculez la sensibilité en mV/mm.\\n2. Déterminez la tension mesurée pour un déplacement de $x = 12$ mm.\\n3. Pour une imprécision de $0,1$ mm sur la position, quelle erreur sur la mesure de tension en mV en résulte ?",
"svg": "Aimant Effet Hall Question 1 : Question 2 : Question 3 : \nPiste résistive 10kΩ \nV+ \n0 \nL \nCurseur \nSortie (V) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance correspondant à un déplacement de $6,5\\;\\text{cm}$ :
",
"id_category": "4",
"id_number": "12"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 2 : Mesure angulaire par codeur incrémental optique\nUn codeur optique effectue la mesure de position d’un axe de rotation complet ($360^\\circ$) à l’aide d’un disque comportant $2\\,048$ encoches et une électronique de comptage adaptée.\nLa fréquence de rotation de l’axe est de $1\\,500\\,\\text{tr/min}$.\n1. Calculez la résolution angulaire minimale que peut détecter ce codeur.\n2. Déterminez la fréquence d’émission maximale des impulsions.\n3. Quelle est la durée minimale séparant deux impulsions successives à cette vitesse ?\n\nSchéma :",
"svg": "Disque Optique Sortie Impulsions 1. Résolution angulaire minimale :
",
"id_category": "4",
"id_number": "13"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 3 : Mesure de déplacement sans contact par capteur inductif (LVDT)\nUn capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer) possède une sensibilité de $3,2\\;\\text{mV/mm}$ avec une plage de mesure linéaire de $\\pm 20\\;\\text{mm}$. La tension de sortie du capteur pour une position donnée est amplifiée par un gain de $45$ avant lecture.\nOn place l’objet de mesure à $-8,4\\;\\text{mm}$ à partir de la position de repos.\n1. Calculez la tension de sortie primaire (avant amplification) du LVDT.\n2. Déterminez la tension en sortie finale après amplification.\n3. Si la tension mesurée en sortie finale est $-1,152\\;\\text{V}$, calculez la position correspondante.\n\nSchéma :",
"svg": "LVDT Gain 45x Sortie 1. Tension primaire LVDT pour $x = -8,4\\,\\text{mm}$ :
",
"id_category": "4",
"id_number": "14"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur inductif de déplacement linéaire possède une sensibilité de $S = 0.120~V/mm$. La sortie mesurée est $U = 2.64~V$ pour une température de fonctionnement stable à $20~^\\circ C$.\n1. Déterminez le déplacement linéaire mesuré par ce capteur.\n2. Si la température monte à $60~^\\circ C$, la sensibilité baisse de 1.7%. Calculez l’erreur commise sur le déplacement pour la même tension mesurée.\n3. Ce capteur est connecté à un convertisseur analogique-numérique 10 bits (plage 0 - 5 V). Calculez la résolution en mm par bit pour cet assemblage.",
"svg": "Inductif Déplacement CAN 10 bits Question 1 : Déplacement linéaire mesuré Question 2 : Erreur commise à 60°C Question 3 : Résolution du CAN en mm/bit
",
"id_category": "4",
"id_number": "15"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur rotatif incrémental délivre $1024~pts/rev$ sur une roue connectée à un moteur. La sortie numérique relevée sur $5~tr/min$ pour $17~s$ est de $1400~pts$.\n1. Calculez le déplacement angulaire de la roue durant cette période.\n2. Calculez la vitesse angulaire instantanée moyenne en rad/s sur ce temps de mesure.\n3. Évaluez la résolution angulaire en degrés par point donnée par le codeur.",
"svg": "Roue Codeur 1024 pts/rev Sortie Numérique Question 1 : Déplacement angulaire de la roue Question 2 : Vitesse angulaire moyenne Question 3 : Résolution angulaire en degrés/point
",
"id_category": "4",
"id_number": "16"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de déplacement est utilisé pour mesurer la position d’un chariot le long d’un rail de longueur $L=0{,}5~\\mathrm{m}$. La résistance totale du potentiomètre est $R_{pot}=10~\\mathrm{k}\\Omega$, alimenté sous $V_{alim}=10~\\mathrm{V}$.\n1. Calculez la tension de sortie du capteur pour une position $x=0{,}35~\\mathrm{m}$.\n2. Quelle est la variation de tension de sortie pour un déplacement de $0{,}01~\\mathrm{m}$ autour de $x=0{,}35~\\mathrm{m}$ ?\n3. Un convertisseur analogique-numérique (CAN) 12 bits mesure la tension de sortie. Calculez la résolution minimale de déplacement détectable (en mm).",
"svg": "Chariot Potentiomètre linéaire Sortie 0 m 0,5 m x=0,35 m 1. Tension de sortie pour $x=0{,}35~\\mathrm{m}$
2. Variation de tension pour $\\Delta x=0{,}01~\\mathrm{m}$ autour de $x=0{,}35~\\mathrm{m}$
3. Résolution minimale détectable par le CAN (12 bits, gamme 0-10 V)
",
"id_category": "4",
"id_number": "17"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur inductif de déplacement mesure la position d'une pièce métallique sur une course de $40~\\mathrm{mm}$. Le signal de sortie est proportionnel à $f(x)=A\\cdot x$, où $A=0{,}8~\\mathrm{mV/mm}$. La sortie est connectée à un amplificateur de gain $100$ puis à un CAN 8 bits (gamme 0-2 V).\n1. Calculez la tension de sortie du capteur pour un déplacement de $x=28~\\mathrm{mm}$ (avant amplification).\n2. Quel est la tension d'entrée du CAN correspondante après amplification ?\n3. Quelle est la résolution minimale de déplacement détectable (en μm) par le CAN ?",
"svg": "Pièce métallique Course 40 mm Sortie capteur Amplif. 100 CAN 8 bits 1. Tension de sortie pour $x=28~\\mathrm{mm}$ (avant amplification)
2. Tension en entrée du CAN
3. Résolution minimale de déplacement (CAN 8 bits, gamme 2 V)
",
"id_category": "4",
"id_number": "18"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur incrémental rotatif génère $N=360$ impulsions par tour complet. Il est utilisé pour mesurer le déplacement angulaire d’un axe mécatronique couplé à un système d’acquisition dont la période d’échantillonnage est $T_e=2~\\mathrm{ms}$, en rotation uniforme à $\\omega=12~\\mathrm{rad/s}$.\n1. Calculez le déplacement angulaire correspondant à une impulsion.\n2. Quel est le nombre d’impulsions détectées en un intervalle d'échantillonnage ?\n3. En déduire la résolution temporelle et angulaire minimale de mesure.",
"svg": "Capteur Acquisition CAN N=360 imp/tour T_e=2 ms \\omega=12 rad/s 1. Déplacement angulaire par impulsion
2. Nombre d'impulsions détectées sur $T_e=2~\\mathrm{ms}$
3. Résolution minimale temporelle et angulaire
",
"id_category": "4",
"id_number": "19"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 1 : Capteur potentiométrique linéaire de déplacement\nUn capteur potentiométrique linéaire de longueur totale $L = 20~cm$ est alimenté sous $V_{in} = 10~V$. Le curseur coulisse sur toute la longueur et se raccorde à un voltmètre. On suppose que la résistance totale du potentiomètre est homogène.\n1. Calculez la tension de sortie $V_{out}$ lorsque le curseur est à $x = 8~cm$.\n2. Calculez la sensibilité du capteur ($\\frac{dV_{out}}{dx}$) en V/cm.\n3. Déterminez la variation de la tension de sortie pour un déplacement de $5~cm$ autour de $x = 8~cm$.",
"svg": "Potentiomètre Curseur V_out Réponses détaillées à chaque question :Calcul de $V_{out}$ à $x = 8~cm$ Sensibilité du capteur Variation de tension pour un déplacement de $5~cm$ autour de $x = 8~cm$
",
"id_category": "4",
"id_number": "20"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 2 : Capteur à effet Hall pour mesure de position\nUn capteur à effet Hall est placé dans un champ magnétique uniforme $B = 0,08~T$ et parcouru par un courant de $I = 100~mA$. L’épaisseur du capteur est $d = 1,5~mm$ et le coefficient de Hall est $K_H = 70~V/(A\\cdot T)$.\n1. Calculez la tension Hall $V_H$ pour ces conditions.\n2. Si la distance du capteur au champ diminue et $B$ augmente à $0,15~T$ pour le même courant, calculez la nouvelle tension Hall.\n3. Déterminez la sensibilité en tension à la variation du champ autour de $B = 0,08~T$ (en V/T).",
"svg": "Capteur Hall V_H Réponses détaillées à chaque question :Tension Hall pour $B = 0,08~T$ Tension Hall pour $B = 0,15~T$ Sensibilité en tension autour de $B = 0,08~T$ (en V/T)
",
"id_category": "4",
"id_number": "21"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 3 : Codeur incrémental optique - Résolution et mesure de déplacement\nUn codeur incrémental optique possède $N = 2000$ impulsions par tour (IPT). Le rayon de l’arbre sur lequel il est monté est $r = 2~cm$.\n1. Calculez la résolution angulaire du capteur en degrés.\n2. Calculez la distance linéaire minimale détectable sur la périphérie pour une impulsion.\n3. Un moteur effectue $1200$ tours. Calculez le nombre total d’impulsions et la distance totale parcourue sur la périphérie.",
"svg": "Arbre Codeur Optique Sortie impulsions Réponses détaillées à chaque question :Résolution angulaire en degrés Distance linéaire minimale détectable Nombre total d’impulsions et distance totale parcourue sur la périphérie
",
"id_category": "4",
"id_number": "22"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer la position linéaire d’un piston se déplaçant le long d’un axe. La tension de sortie du capteur varie linéairement entre $0.8\\,V$ pour $x=0\\,mm$ et $3.2\\,V$ pour $x=120\\,mm$. 1) Calculez la sensibilité du capteur en $V/mm$. 2) Pour une tension mesurée de $V=2.0\\,V$, déterminez la position du piston. 3) Si la précision de mesure de la tension est $5\\,mV$, calculez l’incertitude sur la position en mm.",
"svg": "Piston Eff. Hall V Sortie x(mm) 0.8V-3.2V Question 1 : Interprétation : La sortie varie de $0.02\\,V$ par mm de déplacement.
Question 2 : Interprétation : Une tension de $2.0\\,V$ correspond à une position centrale du piston.
Question 3 : Interprétation : L’incertitude sur la position due à la précision de la mesure de tension est de $0.25\\,mm$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "23"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur incrémental optique possède $N = 2048$ impulsions par tour pour la mesure de position angulaire d’un arbre. Une interface électronique mesure les impulsions sur $t = 0.75\\,s$ et compte $K=4400$ impulsions. 1) Déterminez la vitesse angulaire moyenne de l’arbre en rad/s. 2) Calculez le déplacement angulaire en degrés pendant cette période. 3) Si une impulsion correspond à un déplacement minimal $\\Delta\\theta_{min}$, exprimez et calculez cette valeur en degrés.",
"svg": "Arbre codé Codeur N Interface 2048 impuls/tour Question 1 : Interprétation : La vitesse angulaire moyenne de l’arbre est de $18\\,rad/s$ sur $0.75\\,s$.
Question 2 : Interprétation : L’arbre a tourné de plus de deux tours pendant la période mesurée.
Question 3 : Interprétation : Chaque impulsion permet une résolution angulaire de $0.176^\\circ$ sur l’axe tournant.
",
"id_category": "4",
"id_number": "24"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique de déplacement linéaire possède une longueur utile $L = 200$ mm et une résistance totale $R_{pot} = 20\\,k\\Omega$. Il est alimenté sous $V_{exc} = 10$ V.Curseur Vout 1.Résistance du curseur à $x = 75$ mm : Tension de sortie $V_{out}$ : Sensibilité $S = \\frac{dV_{out}}{dx}$ :
",
"id_category": "4",
"id_number": "25"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur d’effet Hall linéaire monté pour mesurer le déplacement d’un aimant génère une tension proportionnelle au champ $B(x)$, selon $V_H(x) = k \\cdot B(x)$. La loi du champ dans la plage utile est $B(x) = 0,2 + 0,04x$ (x en mm), $k = 150$ mV/T.Effet Hall Aimant V_H 1.Tension de sortie pour $x = 12$ mm : Plage de mesure pour des tensions entre $5$ mV et $500$ mV : Variation relative du champ sur la plage :
",
"id_category": "4",
"id_number": "26"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à quadrature optique pour mesure de position rotative dispose de 512 impulsions par tour. Avec une roue de rayon $r = 15$ mm et une électronique de mesure rapide.Roue r = 15 mm Quadrature Sortie 1.Résolution angulaire : Résolution linéaire : Fréquence maximale des impulsions :
",
"id_category": "4",
"id_number": "27"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de déplacement est utilisé pour mesurer la position d’un chariot. Le capteur a une longueur totale de $L = 40~\\text{cm}$ et une résistance totale de $R_t = 10~\\text{k}\\Omega$. Il est alimenté par une tension $V_{cc} = 5~\\text{V}$.\n1. Calculez la tension de sortie $V_{out}$ lorsque le curseur est à $l = 24~\\text{cm}$ du point 0.\n2. Déterminez la résolution en tension pour un déplacement minimal détectable de $1~\\text{mm}$.\n3. Calculez la puissance dissipée dans le potentiomètre pour cette configuration.",
"svg": "curseur 0 cm 40 cm 5 V V_{out} Q1. Tension de sortie à l = 24 cm
\n\nQ2. Résolution en tension pour 1 mm
\n\nQ3. Puissance dissipée
",
"id_category": "4",
"id_number": "28"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer) permet de mesurer des petits déplacements autour de la position centrale. Le primaire est alimenté à $V_{exc}=3~\\text{V}~\\text{rms}$ et le coefficient de sensibilité du secondaire vaut $K=2.1~\\text{mV}/\\text{mm}$.\n1. Calculez la tension de sortie différentielle pour un déplacement $x=8~\\text{mm}$.\n2. Si la précision de lecture est de $0.05~\\text{mm}$, quelle est la variation minimale de tension détectable ?\n3. Pour un déplacement total de $\\pm15~\\text{mm}$, calculez l’amplitude maximale du signal différentiel de sortie.",
"svg": "noyau V_{exc}=3~V V_{out} Q1. Tension de sortie pour x=8 mm
\n\nQ2. Résolution de déplacement (0.05 mm)
\n\nQ3. Amplitude maximale pour \\pm 15 mm
",
"id_category": "4",
"id_number": "29"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur incrémental optique pour mesure angulaire possède $N = 2\\,048$ fentes et délivre deux sorties en quadrature. L’arbre effectue $1\\,200$ tours par minute (tr/min).\n1. Calculez la résolution angulaire minimale détectable.\n2. Déterminez la fréquence de sortie maximale (en Hz) pour un canal du codeur.\n3. Calculez le nombre total d’impulsions délivrées en 0,5 seconde.",
"svg": "disque Capteur optique Sorties A/B N=2\\,048 Q1. Résolution angulaire
\n\nQ2. Fréquence maximale de sortie pour un canal
\n\nQ3. Impulsions générées en 0,5 s
",
"id_category": "4",
"id_number": "30"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de 20 cm est alimenté sous $V_{in} = 10\\,\\mathrm{V}$. On mesure la tension de sortie $V_{out}$ en fonction de la position du curseur sur la piste résistive.Potentiomètre 20 cm V_{in}=10V V_{out} Q1) Tension de sortie à $x = 13\\,\\mathrm{cm}$ :
",
"id_category": "4",
"id_number": "31"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur incrémental optique fournit $1024$ impulsions par tour pour mesurer un déplacement angulaire. Le diamètre de l’arbre mesuré est $30\\,\\mathrm{mm}$.Codeur D = 30 mm N=1024 Q1) Résolution angulaire :
",
"id_category": "4",
"id_number": "32"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour la mesure du déplacement d’un élément métallique le long d’un rail. L’intensité du champ magnétique est $B = 0{,}35\\,\\mathrm{T}$ et la largeur du capteur est $w = 8\\,\\mathrm{mm}$. Le courant traversant le capteur est $I = 10\\,\\mathrm{mA}$.Hall Rail métallique B=0{,}35T w = 8 mm, I = 10 mA Q1) Tension de Hall :
",
"id_category": "4",
"id_number": "33"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de déplacement de longueur active $L = 220\\;\\mathrm{mm}$ est alimenté sous une tension constante de $V_{alim} = 10,0\\;\\mathrm{V}$.\n1. Calculez la tension de sortie mesurée lorsque le curseur est positionné à $45,0\\;\\mathrm{mm}$ du point de référence.\n2. Pour une incertitude de position du curseur de $\\pm0,5\\;\\mathrm{mm}$, quelle est l’incertitude correspondante sur la tension de sortie?\n3. Calculez la résolution minimale atteignable si l’acquisition se fait par un CNA sur 12 bits.",
"svg": "V_{alim} Curseur V_{sortie} L = 220 mm 1. Tension de sortie à $45,0\\;\\mathrm{mm}$ 2. Incertitude sur la tension pour $\\pm0,5\\;\\mathrm{mm}$ 3. Résolution minimale d’une acquisition 12 bits
",
"id_category": "4",
"id_number": "34"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer le déplacement d'un aimant linéaire placé à proximité. Pour une variation de champ magnétique de $0\\;\\rightarrow\\;180\\;\\mathrm{mT}$, le capteur délivre une tension de $0,5\\;\\rightarrow\\;4,5\\;\\mathrm{V}$ sur une longueur de déplacement de $30,0\\;\\mathrm{mm}$.\n1. Déterminez la sensibilité du capteur (en $\\mathrm{V}/\\mathrm{mT}$).\n2. Calculez la variation de tension pour un déplacement de $12,0\\;\\mathrm{mm}$ depuis la position minimale.\n3. Calculez l’incertitude sur la position mesurée si la tension redressée est mesurée avec une incertitude de $\\pm15\\;\\mathrm{mV}$.",
"svg": "Effet Hall Aimant V{Hall} 0 - 180 mT sur 30 mm 1. Sensibilité du capteur 2. Variation de tension sur $12,0\\;\\mathrm{mm}$ de déplacement 3. Incertitude sur la position pour $\\pm 15\\;\\mathrm{mV}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "35"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur à sortie incrémentale optique génère $500\\;\\text{impulsions}$ par tour de révolution d’un arbre mécanique.\n1. Calculez la résolution angulaire obtenue (en $^\\circ$).\n2. Si l’arbre tourne à $1800\\;\\text{tr/min}$, déterminez la fréquence des impulsions générées.\n3. Calculez le déplacement angulaire mesurable pendant 7 périodes d'impulsions.",
"svg": "Arbre Opto-senseur Sortie incrémentale 1. Résolution angulaire 2. Fréquence des impulsions à $1800\\;\\text{tr/min}$ 3. Déplacement angulaire pour 7 périodes
",
"id_category": "4",
"id_number": "36"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur potentiométrique linéaire de 40 cm est utilisé pour mesurer la position d’un chariot.\n\n1. Sa résistance totale vaut $R_t=10\\,\\mathrm{k\\Omega}$ sous une tension d’alimentation $V_{cc}=10\\,\\mathrm{V}$. Calculez la tension de sortie pour une position de $x=25\\,\\mathrm{cm}$.\n2. Ce capteur est connecté à une entrée analogique d’un microcontrôleur (CAN, 10 bits, entrée max $5\\,\\mathrm{V}$). Déterminez la valeur numérique lue pour $x=25\\,\\mathrm{cm}$.\n3. Pour une incertitude de lecture de $1\\%$ du plein-échelle, calculez la plage d’erreur correspondante en position.",
"svg": "Potentiomètre linéaire : 0 à 40 cm, Rₜ = 10 kΩ, Vcc = 10 V x=25cm u sortie 1. Tension de sortie à $x = 25\\,\\mathrm{cm}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "37"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un capteur inductif de déplacement linéaire présente une inductance variable selon la position : $L(x) = L_0 + \\beta x$, où $L_0 = 200\\,\\mu\\mathrm{H}$ et $\\beta = 10\\,\\mu\\mathrm{H}/\\mathrm{cm}$.\n\n1. Calculez l’inductance pour un déplacement de $x=7\\,\\mathrm{cm}$.\n2. Un générateur haute fréquence ($f=200\\,\\mathrm{kHz}$) est connecté au capteur : calculez l’impédance du capteur à cette position.\n3. Pour une tension d’excitation de $2\\,\\mathrm{V_{eff}}$, calculez le courant dans le capteur pour $x=7\\,\\mathrm{cm}$.",
"svg": "Capteur inductif x=7cm Gén. 200 kHz 1. Inductance à $x=7\\,\\mathrm{cm}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "38"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Un codeur incrémental optique à 120 crans par tour est monté sur un arbre de moteur.\n\n1. Calculez la résolution angulaire en degrés/cran.\n2. Un moteur tourne à $1200\\,\\mathrm{tr/min}$. Déterminez la fréquence des impulsions générées.\n3. Pendant une mesure, le système manque $3$ impulsions. Calculez l’erreur maximale de position angulaire induite sur un tour.",
"svg": "Codeur optique 120 crans Moteur Fr. impulsions Erreur θ 1. Résolution angulaire
",
"id_category": "4",
"id_number": "39"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 1 : Potentiomètre linéaire pour la mesure de déplacement\nUn potentiomètre linéaire de longueur utile $L = 120\\,mm$ et de résistance totale $R_{tot} = 10\\,k\\Omega$ est alimenté sous $V_{cc} = 12\\,V$. Un curseur situé à $x$ mm du zéro fournit la tension de mesure.\n1. Calculez la tension de sortie pour un déplacement $x = 45\\,mm$.\n2. Si l’entrée du CAN est de 0 à 12 V, convertisseur 10 bits, calculez le code binaire correspondant à cette position.\n3. Calculez la résolution en déplacement obtenue par le système d’instrumentation (en mm).",
"svg": "Potentiomètre Curseur CAN 10 bits Question 1 : Tension de sortie du potentiomètreQuestion 2 : Code CAN correspondantQuestion 3 : Résolution en déplacement
",
"id_category": "4",
"id_number": "40"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 2 : Capteur à effet Hall pour mesure de position linéaire\nUn capteur linéaire à effet Hall délivre une tension proportionnelle à la position d’un aimant mobile : $V_H(x) = S x$, avec $S = 35\\,mV/mm$. Le capteur est relié à un CAN 12 bits (0–5 V).\n1. Pour une position $x = 38\\,mm$, calculez la tension en sortie du capteur.\n2. Pour cette tension, calculez le code décimal envoyé au CAN.\n3. Calculez l’incertitude sur la mesure de position si la précision du CAN est de 1 LSB.",
"svg": "Effet Hall Aimant CAN 12 bits Question 1 : Tension de sortieQuestion 2 : Code du CANQuestion 3 : Incertitude sur position (1 LSB)
",
"id_category": "4",
"id_number": "41"
},
{
"category": "capteurs et mesures de position et de déplacement",
"question": "Exercice 3 : Codeur incrémental quadrature pour mesure de déplacement angulaire\nUn codeur incrémental quadrature possède $1024$ pas par tour et délivre deux sorties déphasées de 90°. Il est monté sur un arbre de diamètre $20\\,mm$.\n1. Calculez la résolution angulaire du codeur (en degrés).\n2. Pour un demi-tour de l’arbre, combien d’impulsions seront produites ?\n3. Calculez la résolution linéaire en déplacement du point à la périphérie.",
"svg": "Arbre ⌀20mm Codeur quadrature Décodeur Question 1 : Résolution angulaireQuestion 2 : Impulsions pour un demi-tourQuestion 3 : Résolution linéaire périphérique
",
"id_category": "4",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 1 : Capteur à effet Hall pour mesure de courant Un capteur à effet Hall permet de mesurer un courant continu $I$ circulant dans une section de câble. Le capteur fournit une tension de sortie proportionnelle à l'intensité :
$V_{out} = k_H I$ avec $k_H = 20\\,\\text{mV/A}$.
Question 1 : Calculer $V_{out}$ pour un courant $I = 10\\,\\text{A}$.
Question 2 : Sachant que le bruit induit sur la sortie est de $\\Delta V = 1\\,mV$, calculer la précision en courant du capteur.
Question 3 : Si le capteur est utilisé dans une plage de courant $0 \\leq I \\leq 50\\,\\text{A}$, calculer la résolution minimale en courant pouvant être mesurée si le convertisseur analogique-numérique associé a une résolution de 12 bits sur une plage $0 - 5\\,\\text{V}$.
",
"svg": "Capteur à effet Hall - Mesure de courant Capteur Effet Hall I (courant) V_out (tension) Entrée courant Sortie tension
Solution Exercice 1 Question 1 : Calcul de la tension de sortie
1. Formule :
$V_{out} = k_H I$.
2. Remplacement :
$V_{out} = 20 \\times 10^{-3} \\times 10 = 0{,}2 \\,\\text{V} = 200 \\,\\text{mV}$.
Question 2 : Calcul de la précision en courant
1. Précision :
$\\Delta I = \\frac{\\Delta V}{k_H} = \\frac{1 \\times 10^{-3}}{20 \\times 10^{-3}} = 0{,}05\\,\\text{A} = 50\\,\\text{mA}$.
Question 3 : Résolution du CAN en courant
1. Résolution en tension du CAN :
$\\Delta V_{CAN} = \\frac{5}{2^{12}} = \\frac{5}{4096} = 1{,}22 \\times 10^{-3} \\,\\text{V}$.
2. Correspondance en courant :
$\\Delta I_{CAN} = \\frac{\\Delta V_{CAN}}{k_H} = \\frac{1{,}22 \\times 10^{-3}}{20 \\times 10^{-3}} = 0{,}061 \\,\\text{A} = 61\\,\\text{mA}$.
Résultat final :
Pour $I = 10\\,\\text{A}$, $V_{out} = 0{,}2 \\,\\text{V}$, la précision liée au bruit est de $50\\,\\text{mA}$ et la résolution minimale du système avec CAN 12 bits est $61\\,\\text{mA}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 2 : Jauge de contrainte et calcul de déformation Une jauge de contrainte à résistance électrique a un coefficient de jauge $k_g = 2$ et une résistance nominale $R_0 = 120\\,\\Omega$. Lorsqu'elle subit une contrainte mécanique, sa résistance varie selon :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = k_g \\times \\varepsilon$ où $\\varepsilon$ est la déformation unitaire.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ correspondant à une déformation $\\varepsilon = 0.001$.
Question 2 : La tension aux bornes de la jauge est mesurée via un pont de Wheatstone alimenté en $V_{in} = 10\\,\\text{V}$. Calculer la variation de tension $\\Delta V$ générée s'il s'agit d'un pont complet équilibré.
Question 3 : Déduire la sensibilité électrique en volts par unité de déformation, $S = \\frac{\\Delta V}{\\varepsilon}$.
",
"svg": "Jauge de contrainte - Pont de Wheatstone Résistance R Résistance R V_in Pont de Wheatstone
Solution Exercice 2 Question 1 : Variation de résistance
1. Formule :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = k_g \\times \\varepsilon$.
2. Calcul :
$\\Delta R = k_g \\times \\varepsilon \\times R_0 = 2 \\times 0{,}001 \\times 120 = 0{,}24\\,\\Omega$.
Question 2 : Variation de tension
1. Tension de sortie du pont complet :
$\\Delta V = \\frac{V_{in}}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0}$.
2. Calcul :
$\\Delta V = \\frac{10}{4} \\times \\frac{0{,}24}{120} = 2{,}5 \\times 2 \\times 10^{-3} = 5{,}0 \\times 10^{-3} \\text{ V} = 5\\,\\text{mV}$.
Question 3 : Sensibilité en V par déformation
1. Formule :
$S = \\frac{\\Delta V}{\\varepsilon} = \\frac{5{,}0 \\times 10^{-3}}{0{,}001} = 5\\,\\text{V}$.
Résultat final :
La variation de résistance est $0{,}24 \\Omega$, la variation de tension $\\Delta V = 5\\,\\text{mV}$, et la sensibilité est $5\\,\\text{V}$ par unité de déformation.
",
"id_category": "5",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression piézorésistif et calculs associés Un capteur piézorésistif de pression a une résistance initiale $R_0 = 350\\,\\Omega$ et un coefficient de sensibilité à la pression $S_p = 0{,}002 \\,\\Omega/\\text{Pa}$. La pression exercée varie de $0$ à $10^5\\,\\text{Pa}$.
Question 1 : Calculer la variation maximale de résistance $\\Delta R$.
Question 2 : Le capteur est câblé en pont de Wheatstone alimenté en $V_{in} = 10\\,\\text{V}$. Calculer la variation de tension de sortie maximale $\\Delta V$.
Question 3 : Quelle est la résolution minimale en pression correspondante à une variation minimale de tension mesurée de $1\\,\\text{mV}$ ?
",
"svg": "Capteur piézorésistif de pression Résistance R Résistance R Pont de Wheatstone Électr. Conditionneur
Solution Exercice 3 Question 1 : Variation maximale de résistance
1. Formule :
$\\Delta R = S_p \\times P_{max}$.
2. Remplacement :
$\\Delta R = 0{,}002 \\times 10^{5} = 200 \\Omega$.
Question 2 : Variation maximale de tension de sortie
1. Pour un pont de Wheatstone équilibré :
$\\Delta V = \\frac{V_{in}}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0}$.
2. Remplacement :
$\\Delta V = \\frac{10}{4} \\times \\frac{200}{350} = 2{,}5 \\times 0{,}5714 = 1{,}4286\\,\\text{V}$.
Question 3 : Résolution en pression
1. Résolution minimale :
$\\Delta P = \\frac{\\Delta V_{min} \\times 4 \\times R_0}{V_{in} \\times S_p}$.
2. Calcul :
$\\Delta P = \\frac{1 \\times 10^{-3} \\times 4 \\times 350}{10 \\times 0{,}002} = \\frac{1{,}4}{0{,}02} = 70\\,\\text{Pa}$.
Résultats finaux :
$\\Delta R = 200 \\Omega, \\quad \\Delta V = 1{,}43 \\text{ V}, \\quad \\Delta P = 70 \\text{ Pa}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer un champ magnétique orthogonal au plan du capteur. La tension de Hall est donnée par :\n$V_H = k_H I B$ où $k_H = 0.1 \\, V/(A \\cdot T)$ est la constante du capteur, $I = 20 \\, mA$ le courant d'alimentation, et $B$ l'intensité du champ magnétique.\n\n1. Calculez $V_H$ pour un champ magnétique de $0.2 \\, T$.\n2. Si la résolution en tension est de 1 mV, calculez la résolution minimale en champ magnétique détectable.\n3. Pour une température qui fait varier $k_H$ de 10 %, déterminez la nouvelle valeur de $V_H$.\n4. Calculez la puissance dissipée par le capteur sous l'alimentation donnée.\n5. Exprimez la sensibilité en millivolts par tesla (mV/T).",
"svg": "\n Capteur Effet Hall \n V_H \n Courant I \n Champ B \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la tension de Hall :
\nFormule :
\n$V_H = k_H \\times I \\times B$
\nRemplacement :
\n$k_H = 0.1 \\, V/(A \\cdot T), I = 20 \\, mA = 0.02 \\, A, B = 0.2 \\, T$
\nCalcul :
\n$V_H = 0.1 \\times 0.02 \\times 0.2 = 0.0004 \\, V = 0.4 \\, mV$
\n\n2. Résolution minimale en champ magnétique :
\nRésolution tension :
\n$\\Delta V_H = 1 \\, mV = 0.001 \\, V$
\nRésolution champ :
\n$\\Delta B = \\frac{\\Delta V_H}{k_H \\times I} = \\frac{0.001}{0.1 \\times 0.02} = 0.5 \\, T$
\n\n3. Variation de $k_H$ de 10 % :
\n$k_H' = k_H \\times (1 - 0.10) = 0.1 \\times 0.9 = 0.09 \\, V/(A \\cdot T)$
\nNouvelle tension :
\n$V_H' = k_H' \\times I \\times B = 0.09 \\times 0.02 \\times 0.2 = 0.00036 \\, V = 0.36 \\, mV$
\n\n4. Puissance dissipée :
\n$P = I^2 \\times R$, cependant, la résistance du capteur n'est pas donnée. En supposant $R = 100 \\, \\Omega$ :
\n$P = (0.02)^2 \\times 100 = 0.0004 \\, W = 0.4 \\, mW$
\n\n5. Sensibilité :
\n$S = k_H \\times I = 0.1 \\times 0.02 = 0.002 \\, V/T = 2 \\, mV/T$
",
"id_category": "5",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte en métal a une sensibilité (facteur de jauge) $GF = 2.0$ et une résistance de base $R = 120 \\, \\Omega$. Elle est collée sur une poutre soumise à une contrainte $\\sigma = 250 \\, MPa$.\n\n1. Calculez la déformation unitaire moyenne $\\varepsilon$ en utilisant le module d'élasticité $E = 200 \\, GPa$.\n2. Déterminez la variation de résistance $\\Delta R$ induite sur la jauge.\n3. Calculez le pourcentage de variation de résistance.",
"svg": "\n Jauge de contrainte \n Poutre sous contrainte \n Sortie résistance \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la déformation unitaire moyenne :
\nFormule :
\n$\\varepsilon = \\frac{\\sigma}{E}$
\nRemplacement :
\n$\\sigma = 250 \\, MPa = 250 \\times 10^{6} \\, Pa, E = 200 \\, GPa = 200 \\times 10^{9} \\, Pa$
\nCalcul :
\n$\\varepsilon = \\frac{250 \\times 10^{6}}{200 \\times 10^{9}} = 1.25 \\times 10^{-3}$
\n\n2. Variation de résistance :
\nFormule :
\n$\\frac{\\Delta R}{R} = GF \\times \\varepsilon$
\nCalcul :
\n$\\Delta R = R \\times GF \\times \\varepsilon = 120 \\times 2.0 \\times 1.25 \\times 10^{-3} = 0.3 \\, \\Omega$
\n\n3. Pourcentage de variation :
\n$\\% \\Delta R = \\frac{\\Delta R}{R} \\times 100 = 2.5\\%$
",
"id_category": "5",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de pression capacitif est utilisé pour mesurer une pression pneumatique variant de 0 à 300 kPa. La capacité varie linéairement avec la pression selon :\n$C(P) = C_0 + k_p P$ avec $C_0 = 50 \\, pF$ et $k_p = 0.15 \\, pF/kPa$.\n\n1. Calculez la capacité pour une pression de 120 kPa.\n2. Déterminez la variation de capacité pour un saut de pression de 50 kPa.\n3. Si la résolution du convertisseur capacitif est de 0.1 pF, quelle est la résolution minimale en pression mesurable ?\n4. Calculez la variation relative de capacité pour une pression de 200 kPa.\n5. Donnez la sensibilité du capteur en pF/kPa.",
"svg": "\n Capteur capacitif \n Pression P \n Capacité C \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité pour $P = 120 \\, kPa :
\n$C = C_0 + k_p P = 50 + 0.15 \\times 120 = 50 + 18 = 68 \\, pF$
\n\n2. Variation de capacité pour $\\Delta P = 50 \\, kPa :
\n$\\Delta C = k_p \\times \\Delta P = 0.15 \\times 50 = 7.5 \\, pF$
\n\n3. Résolution minimale en pression :
\n$\\Delta P_{min} = \\frac{\\Delta C_{min}}{k_p} = \\frac{0.1}{0.15} = 0.67 \\, kPa$
\n\n4. Variation relative de capacité à $P = 200 \\, kPa :
\n$\\frac{\\Delta C}{C_0} = \\frac{C(P) - C_0}{C_0} = \\frac{50 + 0.15 \\times 200 - 50}{50} = \\frac{30}{50} = 0.6 = 60\\%$
\n\n5. Sensibilité :
\n$S = k_p = 0.15 \\, pF/kPa$
",
"id_category": "5",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur à effet Hall linéaire est alimenté sous une tension constante de 5V. La sensibilité du capteur est \\(1.5\\, mV/Gauss\\). Le capteur mesure un champ magnétique perpendiculaire au plan du capteur. \n\n1. Calculez la tension de Hall générée pour un champ magnétique de 300 Gauss.\n\n2. En supposant que le bruit sur la tension est de \\(2 mV\\), calculez la résolution minimale de champ magnétique détectable.\n\n3. Si le capteur est positionné à une distance où le champ magnétique est proportionnel à la distance \\(r\\) selon \\(B = \\frac{B_0}{r^2}\\), avec \\(B_0 = 1200\\, Gauss \\cdot m^2\\), calculez la distance correspondante au champ de 300 Gauss.",
"svg": " Effet Hall Champ magnétique Tension de sortie ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la tension de Hall générée
\\( V_H = \\text{sensitivity} \\times B \\)
2. Remplacement par les données :
\\( V_H = 1.5 \\, mV/Gauss \\times 300 \\, Gauss = 450 \\, mV = 0.45 \\, V \\)
Question 2 : Résolution minimale de champ magnétique détectable
\\( \\Delta B = \\frac{\\Delta V}{\\text{sensitivity}} \\)
2. Remplacement :
\\( \\Delta B = \\frac{2 \\, mV}{1.5 \\, mV/Gauss} = 1.33 \\, Gauss \\)
Question 3 : Calcul de la distance \\(r\\) associée au champ magnétique
\\( B = \\frac{B_0}{r^2} \\Rightarrow r = \\sqrt{ \\frac{B_0}{B} } \\)
2. Remplacement :
\\( r = \\sqrt{ \\frac{1200}{300} } = \\sqrt{4} = 2 \\, m \\)
",
"id_category": "5",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte a un facteur de jauge \\(GF=2.1\\) et est installée sur une poutre soumise à une contrainte normale \\(\\sigma_x\\). La résistance initiale de la jauge est \\(R_0=120\\, \\Omega\\).\n\n1. Si la résistance mesurée est \\(R=120.5\\, \\Omega\\), calculez la contrainte \\(\\sigma_x\\).\n\n2. Déterminez la variation relative de résistance \\(\\Delta R/R_0\\).\n\n3. En supposant que la longueur originale de la poutre est \\(L_0=1\\, m\\), calculez la variation de longueur \\(\\Delta L\\) sachant que \\(\\varepsilon = \\frac{\\Delta L}{L_0} = \\frac{\\sigma_x}{E}\\) avec un module d'élasticité \\(E=210\\, GPa\\).",
"svg": " Poutre avec jauge Jauge de contrainte ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la contrainte \\(\\sigma_x\\)
\\( \\frac{\\Delta R}{R_0} = GF \\times \\varepsilon = GF \\times \\frac{\\sigma_x}{E} \\)
2. Calcul de la variation relative :
\\( \\Delta R = R - R_0 = 120.5 - 120 = 0.5 \\Omega \\)
\\( \\frac{\\Delta R}{R_0} = \\frac{0.5}{120} = 0.004167 \\)
3. Calcul de la contrainte :
\\( \\sigma_x = \\frac{E}{GF} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0} = \\frac{210 \\times 10^9}{2.1} \\times 0.004167 = 4.167 \\times 10^8 \\ Pa = 416.7 \\, MPa \\)
Question 2 : Variation relative de résistance
\\( \\Delta R/R_0 = 0.004167 \\)
Question 3 : Calcul de la variation de longueur \\(\\Delta L\\)
\\( \\varepsilon = \\frac{\\Delta L}{L_0} = \\frac{\\sigma_x}{E} \\Rightarrow \\Delta L = L_0 \\times \\frac{\\sigma_x}{E} \\)
2. Remplacement :
\\( \\Delta L = 1 \\times \\frac{4.167 \\times 10^8}{210 \\times 10^9} = 1.984 \\times 10^{-3} m = 1.984 \\ mm \\)
",
"id_category": "5",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de débit à effet vortex mesure le débit volumique d'un liquide. La fréquence de sortie est liée au débit par \\(f = K Q\\), où \\(K=50 \\text{ Hz/(m}^3\\!/s)\\).\n\n1. Pour une fréquence de sortie de \\(400\\, Hz\\), calculez le débit volumique \\(Q\\).\n\n2. Si la fréquence mesurée a une incertitude de \\(\\pm 5\\, Hz\\), calculez l'incertitude du débit.\n\n3. En supposant un diamètre de conduit de \\(0.1\\,m\\), calculez la vitesse moyenne \\(v\\) du liquide avec \\(Q= A v\\), où \\(A\\) est la section du conduit.",
"svg": " Effet Vortex Débit liquide Fréquence sortie ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du débit volumique \\(Q\\)
\\( Q = \\frac{f}{K} \\)
2. Remplacement :
\\( Q = \\frac{400}{50} = 8 \\; \\text{m}^3/\\text{s} \\)
Question 2 : Incertitude sur le débit volumique
\\( \\Delta Q = \\frac{\\Delta f}{K} = \\frac{5}{50} = 0.1 \\; \\text{m}^3/\\text{s} \\)
Question 3 : Calcul de la vitesse moyenne \\(v\\)
\\( A = \\pi \\left( \\frac{d}{2} \\right)^2 = \\pi \\times (0.05)^2 = 7.854 \\times 10^{-3} \\; m^2 \\)
2. Vitesse moyenne :
\\( v = \\frac{Q}{A} = \\frac{8}{7.854 \\times 10^{-3}} = 1019.4 \\; m/s \\)
",
"id_category": "5",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer un champ magnétique \\( B \\) généré par un aimant proche. Le capteur possède un coefficient Hall \\( R_H = 100 \\times 10^{-6} \\, m^{3}/C \\), une épaisseur de conductrice \\( d = 0.5\\, mm \\), et est alimenté par un courant constant \\( I = 20\\, mA \\). Capteur Hall V_H (tension de Hall) B (Champ magn.) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Expression de la tension de Hall \\( V_H \\) Question 2 : Calcul de la tension de Hall pour \\( B = 0.1\\, T \\) Question 3 : Calcul du rapport signal sur bruit (SNR)
",
"id_category": "5",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte à résistance variable a une résistance nominale $R_0 = 120 \\Omega$, un coefficient de jauge $k = 2.1$ et est soumise à une contrainte mécanique générant une déformation \\( \\varepsilon = 500 \\times 10^{-6} \\). Jauge de contrainte Pont de Wheatstone ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation relative de résistance Question 2 : Valeur de résistance nouvelle Question 3 : Tension de sortie différentiel en pont complet
",
"id_category": "5",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de pression piézorésistif fournit une variation de résistance \\( \\Delta R = 0.5 \\Omega \\) pour une pression appliquée de \\( P = 2\\, bar \\). La résistance initiale est \\( R_0 = 10 \\Omega \\). Capteur pression Pont Wheatstone ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Sensibilité du capteur Question 2 : Calcul de la tension différentielle de sortie Question 3 : Calcul de la pression appliquée pour une tension donnée
",
"id_category": "5",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 1 – Capteur à effet Hall pour mesure de champ magnétique et courant électrique.\n\nUn capteur à effet Hall est alimenté sous une tension constante \\(V_{cc} = 5\\ V\\) et possède une sensibilité nominale de \\(1.2\\ mV/Gauss\\). On souhaite mesurer un courant produisant un champ magnétique \\(B\\) autour d’un conducteur.\n\n1. Écrivez la relation entre la tension de Hall \\(V_H\\) et l’intensité du champ magnétique \\(B\\).\n2. Calculez \\(V_H\\) pour un champ magnétique de \\(100\\ Gauss\\).\n3. Si la résolution du voltmètre est de \\(0.1\\ mV\\), calculez la résolution minimale en champ magnétique mesurable.\n4. Pour un courant générant un champ magnétique proportionnel \\(B = k I\\) avec \\(k = 5\\ Gauss/A\\), calculez la résolution minimale en courant.\n5. Calculez la tension de sortie pour un courant de \\(15\\ A\\) et discutez la linéarité dans cette plage.",
"svg": "\n B (Champ mag.) \n Conducteur avec courant I \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Relation tension de Hall et champ magnétique Question 2 : Calcul de \\(V_H\\) pour \\(B=100\\ Gauss\\) Question 3 : Résolution minimale en champ magnétique Question 4 : Résolution minimale en courant Question 5 : Tension de sortie pour \\(I = 15 A\\)
",
"id_category": "5",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 2 – Jauge de contrainte et mesure de déformation mécanique.\n\nUne jauge de contrainte a un facteur de jauge \\(GF = 2.1\\) et une résistance nominale \\(R_0 = 120 \\ \\Omega\\). Elle est collée sur un matériau soumis à une déformation \\(\\varepsilon\\).\n\n1. Calculez la variation relative de résistance \\(\\Delta R / R_0\\) pour une déformation \\(\\varepsilon = 800 \\times 10^{-6}\\).\n2. Calculez la variation de résistance \\(\\Delta R\\) correspondante.\n3. Sachant que la résistance mesurée est \\(R = R_0 + \\Delta R\\), calculez \\(R\\).\n4. Calculez la tension de sortie dans un pont de Wheatstone alimenté par \\(V_{ex} = 10\\ V\\), en supposant que \\(\\Delta R\\) apparaît dans une seule branche.\n5. Évaluez la sensibilité du montage en \\(mV/\\mu\\varepsilon\\) (micro-déformation).",
"svg": "\n Jauge de contrainte \n Résistance variable \n \\(R_0\\) \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation relative de résistance Question 2 : Variation absolue de résistance Question 3 : Calcul de la nouvelle résistance Question 4 : Tension de sortie du pont de Wheatstone Question 5 : Sensibilité en \\(mV / \\mu \\varepsilon\\)
",
"id_category": "5",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 3 – Capteur de pression piézorésistif et prise en compte du pont de Wheatstone.\n\nUn capteur de pression piézorésistif utilise un pont de Wheatstone avec quatre résistances identiques \\(R_0 = 350 \\ \\Omega\\). Lorsqu’une pression \\(P\\) est appliquée, chaque résistance varie de \\(\\Delta R = k P\\) avec \\(k = 0.002 \\ \\Omega/Pa\\).\n\n1. Calculez la variation de résistance pour une pression de \\(50 \\ kPa\\).\n2. Calculez la résistance de chaque branche sous pression.\n3. Donnez l’expression de la tension de sortie du pont \\(V_{out}\\) alimenté en \\(V_{ex} = 10\\ V\\) et non équilibré par la pression.\n4. Calculez la tension de sortie numériquement pour \\(P = 50 \\ kPa\\).\n5. Discutez l’intérêt d’utiliser un pont de Wheatstone dans la mesure de pression.",
"svg": "\n Pont de Wheatstone \n R1 \n R3 \n R2 \n R4 \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation de résistance pour \\(P = 50 \\ kPa\\) Question 2 : Résistance de chaque branche sous pression Question 3 : Expression tension de sortie du pont
\n$V_{out} = V_{ex} \\left( \\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \\frac{R_4}{R_3 + R_4} \\right)$.Question 4 : Calcul de \\(V_{out}\\) pour \\(P = 50 \\ kPa\\) Question 5 : Intérêt du pont de Wheatstone I V_H ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la vitesse de dérive :
Formule générale :
$v_d = \\frac{I}{n e A} = \\frac{I}{n e b d}$
Remplacement :
$I = 5~A, \\quad n = 8 \\times 10^{28}~m^{-3}, \\quad e = 1.6 \\times 10^{-19} C, \\quad b = 0.02~m, \\quad d = 0.0005~m$
Calcul :
$A = b \\times d = 0.02 \\times 0.0005 = 1 \\times 10^{-5}~m^2$
$v_d = \\frac{5}{8 \\times 10^{28} \\times 1.6 \\times 10^{-19} \\times 1 \\times 10^{-5}}$
$v_d = \\frac{5}{1.28 \\times 10^{5}} = 3.91 \\times 10^{-5}~m/s$
2. Calcul de la tension de Hall :
Formule :
$V_H = \\frac{I B}{n e d}$
Remplacement :
$B = 0.1~T$, autres valeurs comme ci-dessus.
$V_H = \\frac{5 \\times 0.1}{8 \\times 10^{28} \\times 1.6 \\times 10^{-19} \\times 0.0005} = \\frac{0.5}{6.4 \\times 10^{6}} = 7.81 \\times 10^{-8}~V$
3. Nouvelle tension de Hall pour $b = 0.01~m$ :
La tension dépend uniquement de $b$ via l'aire pour la vitesse mais la formule directe montre que $V_H$ ne dépend pas directement de $b$ mais de $d$ et $I$.
Donc,
$V_H = \\frac{5 \\times 0.1}{8 \\times 10^{28} \\times 1.6 \\times 10^{-19} \\times 0.0005} = 7.81 \\times 10^{-8}~V$
La tension ne change pas directement par la réduction de la largeur $b$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte métallique a un coefficient de jauge $K = 2$ et une résistance nominale $R = 120~\\Omega$. Lorsqu'une contrainte $\\varepsilon = 0.001$ est appliquée, on observe une variation de résistance.1. Calculez la nouvelle résistance $R'$ de la jauge.\n2. Si un pont de Wheatstone est alimenté sous une tension de 12 V, calculez la tension de sortie du pont.
3. Déterminez la sensibilité en voltage par contrainte, $S_v = \\frac{\\Delta V}{\\varepsilon}$.
",
"svg": " R' R 12 V ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la nouvelle résistance :
Formule :
$\\frac{\\Delta R}{R} = K \\varepsilon$
Donc :
$R' = R (1 + K \\varepsilon) = 120 (1 + 2 \\times 0.001) = 120 \\times 1.002 = 120.24~\\Omega$
2. Tension de sortie du pont de Wheatstone :
Pour un pont avec une seule jauge :
$V_{out} = \\frac{V_{in}}{4} \\frac{\\Delta R}{R} = \\frac{12}{4} \\times 0.002 = 3 \\times 0.002 = 0.006~V$
3. Sensibilité :
$S_v = \\frac{\\Delta V}{\\varepsilon} = \\frac{0.006}{0.001} = 6~V$ par unité de contrainte (en %) ou 6 mV par milli-contraintes.
",
"id_category": "5",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de débit massique basé sur un capteur de pression différentielle mesure une variation de pression $\\Delta P$ proportionnelle au carré du débit volumique $Q$. On a la relation :$\\Delta P = k Q^2$, où $k = 4000~\\frac{Pa}{(m^3/s)^2}$. Dans une expérience, la variation de pression mesurée est $\\Delta P = 1000~Pa$.
1. Calculez le débit volumique $Q$ correspondant.
2. Si $Q$ est augmenté de 10%, calculez la nouvelle variation de pression $\\Delta P'$.
3. Déterminez la sensibilité du capteur en pression par rapport au débit, $S_p = \\frac{d \\Delta P}{d Q}$ au débit nominal trouvé.
",
"svg": " Capteur de débit \\Delta P ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul du débit volumique :
Formule :
$Q = \\sqrt{\\frac{\\Delta P}{k}}$
Remplacement :
$\\Delta P = 1000~Pa, \\quad k = 4000~\\frac{Pa}{(m^3/s)^2}$
Calcul :
$Q = \\sqrt{\\frac{1000}{4000}} = \\sqrt{0.25} = 0.5~m^3/s$
2. Nouvelle variation de pression pour une augmentation de 10 % :
$Q' = 1.1 \\times Q = 1.1 \\times 0.5 = 0.55~m^3/s$
$\\Delta P' = k (Q')^2 = 4000 \\times 0.55^2 = 4000 \\times 0.3025 = 1210~Pa$
3. Sensibilité :
La dérivée :
$S_p = \\frac{d \\Delta P}{d Q} = 2 k Q$
Au débit nominal :
$S_p = 2 \\times 4000 \\times 0.5 = 4000~Pa/(m^3/s)$
",
"id_category": "5",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer un champ magnétique $\\displaystyle B$ dans une éprouvette de matériau semi-conducteur de largeur $\\displaystyle d = 0.5 \\; mm$ traversée par un courant $\\displaystyle I = 30 \\; mA$.\n Plaque semi-conductrice \n I = 30 mA \n V_H \n d = 0.5 mm \n Champ magnétique B \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression de la tension de Hall
\n$ V_H = \\frac{R_H I B}{d} $.2. Calcul de la tension pour \n$ B = 0.1 \\; T, R_H = 5 \\times 10^{-4} \\; m^3/C, I = 30 \\times 10^{-3} \\; A, d = 0.5 \\times 10^{-3} \\; m$3. Calcul du champ magnétique à partir de la tension mesurée Calcul : 4. Calcul de la puissance dissipée 5. Sensibilité du capteur \n Pont de Wheatstone \n Jauge de contrainte \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation de résistance 2. Nouvelle résistance 3. Tension de sortie du pont 4. Sensibilité du pont 5. Tension de sortie fausse pour déséquilibre de 1 %
",
"id_category": "5",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de pression capacitif a une capacité initiale $\\displaystyle C_0 = 10 \\; pF$ et une surface de plaque $\\displaystyle S = 1 \\; cm^2$. La pression externe $\\displaystyle P\\) provoque une déformation du diélectrique qui modifie la distance entre plaques selon :$\n Capteur capacitif \n Stretchable plates \n d(P) = d_0 - kP \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la capacité sous pression 2. Variation de capacité 3. Tension de déséquilibre au pont capacitif 4. Sensibilité électrique 5. Calcul pour $P = 2500 \\; Pa :$
",
"id_category": "5",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Considérez un capteur à effet Hall utilisé pour mesurer la position d’un aimant se déplaçant sur un axe. La tension de Hall est donnée par la relation :$ V_H = R_H \\left( \\frac{I}{t} \\right) B $ où $R_H$ est coefficient de Hall, $I$ le courant, $t$ l’épaisseur du capteur, et $B$ l’induction magnétique.\n Capteur à effet Hall \n Aimant mobile sur axe x \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la tension de Hall :
\nFormule générale :
\n$ V_H = R_H \\frac{I}{t} B $.
\nRemplacement :
\n$ I = 10 \\times 10^{-3} = 0.01 \\mathrm{A}, \\quad t = 2 \\times 10^{-3} = 0.002 \\mathrm{m}, \\quad R_H = 1.2 \\times 10^{-3} $
\nPour $B = 0.05\\,\\mathrm{T}$ :
\n$ V_H = 1.2 \\times 10^{-3} \\times \\frac{0.01}{0.002} \\times 0.05 = 3 \\times 10^{-4} \\mathrm{V} = 0.3 \\mathrm{mV}$.
\n\n2. Expression de la tension en fonction de la position :
\n$ B(x) = 0.05 - 0.01 x $ avec $x$ en centimètres :
\n$ V_H(x) = R_H \\frac{I}{t} [0.05 - 0.01 x] = 3 \\times 10^{-4} - 6 \\times 10^{-5} x $ (en volts).
\n\n3. Calcul de la variation de tension de $x = 0$ à $x = 3\\,\\mathrm{cm}$ :
\n$ \\Delta V_H = V_H(0) - V_H(3) = 3 \\times 10^{-4} - [3 \\times 10^{-4} - 6 \\times 10^{-5} \\times 3] = 1.8 \\times 10^{-4} \\mathrm{V} = 0.18 \\mathrm{mV}$.
\nCette variation traduit la sensibilité du capteur à la position de l’aimant.
",
"id_category": "5",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte métallique suit la formule :$ \\Delta R = k R_0 \\epsilon $ où $k$ est le facteur de jauge, $R_0$ la résistance initiale et $\\epsilon$ la déformation.\n Jauge de contrainte \n Pont de Wheatstone \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la variation de résistance :
\n$ \\Delta R = k R_0 \\epsilon $.
\nRemplacement :
\n$ k = 2.1, \\quad R_0 = 120 \\Omega, \\quad \\epsilon = 500 \\times 10^{-6} $.
\nCalcul :
\n$ \\Delta R = 2.1 \\times 120 \\times 500 \\times 10^{-6} = 0.126 \\Omega $.
\n\n2. Calcul de la tension de sortie :
\n$ V_{out} = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} V_{in} = \\frac{0.126}{4 \\times 120} \\times 10 = 0.02625 \\mathrm{V} = 26.25 \\mathrm{mV} $.
\n\n3. Sensibilité :
\n$ S = \\frac{V_{out}}{\\epsilon} = \\frac{26.25 \\times 10^{-3}}{500 \\times 10^{-6}} = 52.5 \\mathrm{mV}/\\epsilon $.
",
"id_category": "5",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un débitmètre utilise une tube de Pitot dont la pression différentielle $\\Delta P$ est reliée à la vitesse $v$ par la relation :$ \\Delta P = \\frac{1}{2} \\rho v^2 $ où $\\rho$ est la masse volumique du fluide.\n Tube de Pitot \n Vitesse v \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la vitesse :
\nFormule de la vitesse :
\n$ v = \\sqrt{\\frac{2 \\Delta P}{\\rho}} $.
\nRemplacement :
\n$ \\Delta P = 500 \\mathrm{~Pa}, \\quad \\rho = 1000 \\mathrm{~kg/m^3} $.
\nCalcul :
\n$ v = \\sqrt{\\frac{2 \\times 500}{1000}} = \\sqrt{1} = 1\\,\\mathrm{m/s} $.
\n\n2. Calcul du débit volumique :
\n$ Q = A v $, avec $ A = 0.01 \\mathrm{~m^2} $ :
\n$ Q = 0.01 \\times 1 = 0.01 \\mathrm{~m^3/s} $.
\n\n3. Calcul du débit massique :
\n$ \\dot{m} = \\rho Q = 1000 \\times 0.01 = 10 \\mathrm{~kg/s} $.
",
"id_category": "5",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Exercice 2 – Calcul sur jauges de contraintes pour détermination de déformation et résistance variable. Une jauge de contrainte à élongation est collée sur une poutre soumise à une force de traction. La résistance initiale de la jauge est $\\( R_{0} = 120 \\, \\Omega \\)$ et son coefficient de jauge est $\\( K = 2{,}1 \\)$.Jauge de contrainte sur poutre et pont de Wheatstone Jauge Poutre Solution de la question (a).Capteur de pression et débitmètre avec obstacle à effet vortex Tuyau de section circulaire Obstacle à vortex
Solution de la question (a).\n Plaquette Hall \n InAs \n I \n VH \n ⊗ B \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : calcul de la tension de Hall et sensibilité du capteur.
\n\\( V_H = \\dfrac{R_H \\cdot I \\cdot B}{d} \\)
\noù $\\( R_H \\)$ est la constante de Hall du matériau, $\\( I \\)$ le courant de commande, $\\( B \\)$ le champ magnétique perpendiculaire et $\\( d \\)$ l'épaisseur de la plaquette.
\n\\( R_H = 125 \\times 10^{-6}\\,\\text{m}^3\\text{/C} \\)
\n\\( I = 100\\,\\text{mA} = 0{,}1\\,\\text{A} \\)
\n\\( B = 0{,}8\\,\\text{T} \\)
\n\\( d = 0{,}5\\,\\text{mm} = 0{,}5 \\times 10^{-3}\\,\\text{m} \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\n\\( V_H = \\dfrac{125 \\times 10^{-6} \\times 0{,}1 \\times 0{,}8}{0{,}5 \\times 10^{-3}} = \\dfrac{10 \\times 10^{-6}}{0{,}5 \\times 10^{-3}} = \\dfrac{10 \\times 10^{-6}}{5 \\times 10^{-4}} = 20 \\times 10^{-3}\\,\\text{V} = 20\\,\\text{mV} \\)
\nLa sensibilité $\\( S \\)$ du capteur est définie comme :
\n\\( S = \\dfrac{V_H}{B} = \\dfrac{20\\,\\text{mV}}{0{,}8\\,\\text{T}} = 25\\,\\text{mV/T} \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : la tension de Hall générée est $\\( V_H = 20\\,\\text{mV} \\)$ et la sensibilité du capteur est $\\( S = 25\\,\\text{mV/T} \\)$. Cette sensibilité indique que pour chaque tesla de variation du champ magnétique, la tension de Hall varie de $\\( 25\\,\\text{mV} \\)$.
\n\nQuestion 2 : tension amplifiée et résolution en champ magnétique.
\n\\( V_{out} = G \\times V_H \\)
\noù $\\( G \\)$ est le gain de l'amplificateur. La résolution en champ magnétique $\\( \\Delta B_{min} \\)$ dépend du bruit du système :
\n\\( \\Delta B_{min} = \\dfrac{V_{bruit}}{G \\times S} \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( G = 50 \\)
\n\\( V_H = 20\\,\\text{mV} \\)
\n\\( V_{bruit} = 1\\,\\text{mV} \\)
\n\\( S = 25\\,\\text{mV/T} \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\n\\( V_{out} = 50 \\times 20\\,\\text{mV} = 1000\\,\\text{mV} = 1\\,\\text{V} \\)
\nLa résolution en champ magnétique :
\n\\( \\Delta B_{min} = \\dfrac{1\\,\\text{mV}}{50 \\times 25\\,\\text{mV/T}} = \\dfrac{1}{1250}\\,\\text{T} = 0{,}8\\,\\text{mT} \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : la tension de sortie amplifiée est $\\( V_{out} = 1\\,\\text{V} \\)$ et la résolution minimale en champ magnétique est $\\( \\Delta B_{min} = 0{,}8\\,\\text{mT} \\)$, ce qui permet de détecter des variations de champ magnétique de l'ordre de moins de $\\( 1\\,\\text{mT} \\)$.
\n\nQuestion 3 : nouveau courant de commande et vérification thermique.
\n\\( I = \\dfrac{V_H \\cdot d}{R_H \\cdot B} \\)
\nLa densité de courant dans la plaquette est :
\n\\( J = \\dfrac{I}{w \\times d} \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( V_H = 100\\,\\text{mV} = 0{,}1\\,\\text{V} \\)
\n\\( B = 2\\,\\text{T} \\)
\n\\( d = 0{,}5 \\times 10^{-3}\\,\\text{m} \\)
\n\\( R_H = 125 \\times 10^{-6}\\,\\text{m}^3\\text{/C} \\)
\n\\( w = 3\\,\\text{mm} = 3 \\times 10^{-3}\\,\\text{m} \\)
\n\\( J_{max} = 1000\\,\\text{A/cm}^2 = 1000 \\times 10^{4}\\,\\text{A/m}^2 = 10^{7}\\,\\text{A/m}^2 \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\n\\( I = \\dfrac{0{,}1 \\times 0{,}5 \\times 10^{-3}}{125 \\times 10^{-6} \\times 2} = \\dfrac{50 \\times 10^{-6}}{250 \\times 10^{-6}} = 0{,}2\\,\\text{A} = 200\\,\\text{mA} \\)
\nVérification de la densité de courant :
\n\\( J = \\dfrac{0{,}2}{3 \\times 10^{-3} \\times 0{,}5 \\times 10^{-3}} = \\dfrac{0{,}2}{1{,}5 \\times 10^{-6}} = 1{,}33 \\times 10^{5}\\,\\text{A/m}^2 = 13{,}3\\,\\text{A/cm}^2 \\)
\nComparaison avec la limite thermique :
\n\\( J = 13{,}3\\,\\text{A/cm}^2 \\ll J_{max} = 1000\\,\\text{A/cm}^2 \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : le courant de commande nécessaire est $\\( I = 200\\,\\text{mA} \\)$. La densité de courant résultante $\\( J = 13{,}3\\,\\text{A/cm}^2 \\)$ est largement inférieure à la limite thermique maximale de $\\( 1000\\,\\text{A/cm}^2 \\)$, ce qui garantit un fonctionnement sûr du capteur sans risque de surchauffe. La configuration proposée permet donc de mesurer des champs magnétiques jusqu'à $\\( 2\\,\\text{T} \\)$ avec une bonne marge de sécurité thermique.
",
"id_category": "5",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte résistive est collée sur une poutre métallique soumise à une contrainte de flexion. La jauge possède une résistance nominale $\\( R_0 = 120\\,\\Omega \\)$ et un facteur de jauge (gauge factor) $\\( GF = 2{,}1 \\)$. Elle est montée dans un pont de Wheatstone alimenté par une tension $\\( V_{exc} = 10\\,\\text{V} \\)$. Les trois autres résistances du pont sont des résistances fixes de valeur $\\( R_0 = 120\\,\\Omega \\)$. \n\n1) Lorsque la poutre est sollicitée, la déformation mesurée est $\\( \\varepsilon = 500\\,\\mu\\varepsilon = 500 \\times 10^{-6} \\)$. Calculer la variation de résistance $\\( \\Delta R \\)$ de la jauge et la nouvelle résistance $\\( R = R_0 + \\Delta R \\)$.\n\n2) Calculer la tension de déséquilibre $\\( V_{out} \\)$ du pont de Wheatstone pour cette déformation, en utilisant la formule du pont à un quart actif.\n\n3) Pour augmenter la sensibilité du système, on remplace le montage par un pont complet (quatre jauges actives) où deux jauges sont en traction (même déformation $\\( +\\varepsilon \\)$) et deux en compression (déformation $\\( -\\varepsilon \\)$), disposées de manière optimale dans le pont. Calculer la nouvelle tension de sortie $\\( V_{out,complet} \\)$ et le gain en sensibilité par rapport au montage initial.",
"svg": "\n Pont de Wheatstone \n Vexc \n R1 \n R2 \n R3 \n Rg \n GND \n V+ \n V- \n Vout = V+ - V- \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : calcul de la variation de résistance de la jauge.
\n\\( \\dfrac{\\Delta R}{R_0} = GF \\times \\varepsilon \\)
\nd'où l'on déduit :
\n\\( \\Delta R = GF \\times \\varepsilon \\times R_0 \\)
\nLa nouvelle résistance est :
\n\\( R = R_0 + \\Delta R = R_0 (1 + GF \\times \\varepsilon) \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( GF = 2{,}1 \\)
\n\\( \\varepsilon = 500 \\times 10^{-6} \\)
\n\\( R_0 = 120\\,\\Omega \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\n\\( \\Delta R = 2{,}1 \\times 500 \\times 10^{-6} \\times 120 = 2{,}1 \\times 0{,}0005 \\times 120 = 0{,}126\\,\\Omega \\)
\n\\( R = 120 + 0{,}126 = 120{,}126\\,\\Omega \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : la variation de résistance de la jauge est $\\( \\Delta R = 0{,}126\\,\\Omega \\)$ et la nouvelle résistance vaut $\\( R = 120{,}126\\,\\Omega \\)$. Cette faible variation de résistance (environ $\\( 0{,}1\\% \\)$) nécessite un circuit de mesure très sensible comme le pont de Wheatstone.
\n\nQuestion 2 : tension de déséquilibre du pont à un quart actif.
\n\\( V_{out} = V_{exc} \\left[ \\dfrac{R_g}{R_2 + R_g} - \\dfrac{R_3}{R_1 + R_3} \\right] \\)
\noù $\\( R_g = R_0 + \\Delta R \\)$ est la jauge active et $\\( R_1 = R_2 = R_3 = R_0 \\)$ sont les résistances fixes. Pour de petites variations, on peut approximer :
\n\\( V_{out} \\approx \\dfrac{V_{exc}}{4} \\times \\dfrac{\\Delta R}{R_0} = \\dfrac{V_{exc}}{4} \\times GF \\times \\varepsilon \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( V_{exc} = 10\\,\\text{V} \\)
\n\\( GF = 2{,}1 \\)
\n\\( \\varepsilon = 500 \\times 10^{-6} \\)
\n3. Calcul dans $...$ : en utilisant la formule approximative valide pour $\\( \\Delta R \\ll R_0 \\)$ :
\n\\( V_{out} = \\dfrac{10}{4} \\times 2{,}1 \\times 500 \\times 10^{-6} = 2{,}5 \\times 1{,}05 \\times 10^{-3} = 2{,}625\\,\\text{mV} \\)
\nVérification avec la formule exacte :
\n\\( V_{out} = 10 \\left[ \\dfrac{120{,}126}{120 + 120{,}126} - \\dfrac{120}{120 + 120} \\right] = 10 \\left[ \\dfrac{120{,}126}{240{,}126} - 0{,}5 \\right] \\)
\n\\( V_{out} = 10 \\times [0{,}500262 - 0{,}5] = 10 \\times 0{,}000262 = 2{,}62\\,\\text{mV} \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : la tension de déséquilibre du pont est $\\( V_{out} \\approx 2{,}62\\,\\text{mV} \\)$. Cette faible tension nécessite une amplification importante pour une exploitation pratique du signal.
\n\nQuestion 3 : pont complet et gain en sensibilité.
\n\\( V_{out,complet} = V_{exc} \\times GF \\times \\varepsilon \\)
\nLe gain en sensibilité par rapport au montage à un quart actif est :
\n\\( G_{sensibilite} = \\dfrac{V_{out,complet}}{V_{out}} = \\dfrac{V_{exc} \\times GF \\times \\varepsilon}{\\dfrac{V_{exc}}{4} \\times GF \\times \\varepsilon} = 4 \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( V_{exc} = 10\\,\\text{V} \\)
\n\\( GF = 2{,}1 \\)
\n\\( \\varepsilon = 500 \\times 10^{-6} \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\n\\( V_{out,complet} = 10 \\times 2{,}1 \\times 500 \\times 10^{-6} = 10 \\times 1{,}05 \\times 10^{-3} = 10{,}5\\,\\text{mV} \\)
\nVérification du gain :
\n\\( G_{sensibilite} = \\dfrac{10{,}5\\,\\text{mV}}{2{,}62\\,\\text{mV}} \\approx 4{,}0 \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : avec un pont complet, la tension de sortie est $\\( V_{out,complet} = 10{,}5\\,\\text{mV} \\)$, soit un gain en sensibilité de $\\( 4 \\)$ par rapport au montage à un quart actif. Ce montage présente également l'avantage de compenser automatiquement les effets de température, puisque toutes les jauges subissent les mêmes variations thermiques qui s'annulent dans le pont.
",
"id_category": "5",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un système de mesure de débit utilise un tube de Venturi pour mesurer le débit volumique d'eau dans une canalisation. Le tube possède un diamètre d'entrée $\\( D_1 = 100\\,\\text{mm} \\)$ et un diamètre au col $\\( D_2 = 50\\,\\text{mm} \\)$. Deux capteurs de pression mesurent la pression statique en amont $\\( P_1 \\)$ et au col $\\( P_2 \\)$. La masse volumique de l'eau est $\\( \\rho = 1000\\,\\text{kg/m}^3 \\)$ et le coefficient de décharge du venturi est $\\( C_d = 0{,}98 \\)$. \n\n1) En appliquant l'équation de Bernoulli et l'équation de continuité, établir puis calculer le débit volumique $\\( Q \\)$ en $\\( \\text{m}^3\\text{/h} \\)$ lorsque la différence de pression mesurée est $\\( \\Delta P = P_1 - P_2 = 25\\,\\text{kPa} \\)$.\n\n2) Les capteurs de pression utilisés sont des capteurs piézorésistifs avec une sensibilité $\\( S_p = 10\\,\\mu\\text{V/V/kPa} \\)$ (variation de tension de sortie par volt d'alimentation et par kilopascal de pression), alimentés sous $\\( V_{alim} = 5\\,\\text{V} \\)$. Calculer la différence de tension $\\( \\Delta V \\)$ mesurée entre les deux capteurs pour $\\( \\Delta P = 25\\,\\text{kPa} \\)$.\n\n3) Déterminer la résolution minimale en débit $\\( \\Delta Q_{min} \\)$ si le système d'acquisition numérique peut détecter une variation minimale de tension $\\( \\Delta V_{min} = 100\\,\\mu\\text{V} \\)$. En déduire la plage de mesure du débit si la pression différentielle maximale admissible est $\\( \\Delta P_{max} = 100\\,\\text{kPa} \\)$.",
"svg": "\n Tube de Venturi \n P1 \n P2 \n D1 \n D2 \n Q \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : calcul du débit volumique par tube de Venturi.
\n\\( Q = C_d \\times A_2 \\times \\sqrt{\\dfrac{2 \\Delta P}{\\rho \\left(1 - \\left(\\dfrac{D_2}{D_1}\\right)^4\\right)}} \\)
\noù $\\( A_2 = \\dfrac{\\pi D_2^2}{4} \\)$ est la section du col, $\\( C_d \\)$ le coefficient de décharge, $\\( \\Delta P = P_1 - P_2 \\)$ la différence de pression et $\\( \\rho \\)$ la masse volumique du fluide.
\n\\( D_1 = 100\\,\\text{mm} = 0{,}1\\,\\text{m} \\)
\n\\( D_2 = 50\\,\\text{mm} = 0{,}05\\,\\text{m} \\)
\n\\( C_d = 0{,}98 \\)
\n\\( \\Delta P = 25\\,\\text{kPa} = 25 \\times 10^3\\,\\text{Pa} \\)
\n\\( \\rho = 1000\\,\\text{kg/m}^3 \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\nSection du col :
\n\\( A_2 = \\dfrac{\\pi \\times (0{,}05)^2}{4} = \\dfrac{\\pi \\times 0{,}0025}{4} = 1{,}9635 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^2 \\)
\nRapport des diamètres :
\n\\( \\left(\\dfrac{D_2}{D_1}\\right)^4 = \\left(\\dfrac{0{,}05}{0{,}1}\\right)^4 = (0{,}5)^4 = 0{,}0625 \\)
\nTerme sous la racine :
\n\\( \\dfrac{2 \\Delta P}{\\rho (1 - 0{,}0625)} = \\dfrac{2 \\times 25 \\times 10^3}{1000 \\times 0{,}9375} = \\dfrac{50 \\times 10^3}{937{,}5} = 53{,}33\\,\\text{m}^2\\text{/s}^2 \\)
\n\\( \\sqrt{53{,}33} = 7{,}303\\,\\text{m/s} \\)
\nDébit volumique :
\n\\( Q = 0{,}98 \\times 1{,}9635 \\times 10^{-3} \\times 7{,}303 = 0{,}0140\\,\\text{m}^3\\text{/s} \\)
\nConversion en $\\( \\text{m}^3\\text{/h} \\)$ :
\n\\( Q = 0{,}0140 \\times 3600 = 50{,}4\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : le débit volumique mesuré est $\\( Q = 50{,}4\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)$ (ou $\\( 14{,}0\\,\\text{L/s} \\)$) pour une différence de pression de $\\( 25\\,\\text{kPa} \\)$.
\n\nQuestion 2 : calcul de la différence de tension entre capteurs.
\n\\( V_{out} = S_p \\times V_{alim} \\times P \\)
\noù $\\( S_p \\)$ est la sensibilité du capteur. La différence de tension entre les deux capteurs est donc :
\n\\( \\Delta V = S_p \\times V_{alim} \\times \\Delta P \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( S_p = 10\\,\\mu\\text{V/V/kPa} = 10 \\times 10^{-6}\\,\\text{V/V/kPa} \\)
\n\\( V_{alim} = 5\\,\\text{V} \\)
\n\\( \\Delta P = 25\\,\\text{kPa} \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\n\\( \\Delta V = 10 \\times 10^{-6} \\times 5 \\times 25 = 50 \\times 10^{-6} \\times 25 = 1250 \\times 10^{-6}\\,\\text{V} = 1{,}25\\,\\text{mV} \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : la différence de tension mesurée entre les deux capteurs de pression est $\\( \\Delta V = 1{,}25\\,\\text{mV} \\)$. Ce signal relativement faible nécessite un conditionnement approprié (amplification et filtrage) avant numérisation.
\n\nQuestion 3 : résolution minimale en débit et plage de mesure.
\n\\( \\Delta P_{min} = \\dfrac{\\Delta V_{min}}{S_p \\times V_{alim}} \\)
\nÀ partir de la relation du débit en fonction de $\\( \\Delta P \\)$, on peut approximer pour de petites variations :
\n\\( \\dfrac{\\Delta Q}{Q} \\approx \\dfrac{1}{2} \\dfrac{\\Delta P_{min}}{\\Delta P} \\)
\nd'où :
\n\\( \\Delta Q_{min} = \\dfrac{Q}{2} \\times \\dfrac{\\Delta P_{min}}{\\Delta P} \\)
\n2. Remplacement des données dans $...$ :
\n\\( \\Delta V_{min} = 100\\,\\mu\\text{V} = 100 \\times 10^{-6}\\,\\text{V} \\)
\n\\( S_p = 10 \\times 10^{-6}\\,\\text{V/V/kPa} \\)
\n\\( V_{alim} = 5\\,\\text{V} \\)
\n\\( Q = 50{,}4\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)
\n\\( \\Delta P = 25\\,\\text{kPa} \\)
\n\\( \\Delta P_{max} = 100\\,\\text{kPa} \\)
\n3. Calcul dans $...$ :
\nRésolution en pression :
\n\\( \\Delta P_{min} = \\dfrac{100 \\times 10^{-6}}{10 \\times 10^{-6} \\times 5} = \\dfrac{100 \\times 10^{-6}}{50 \\times 10^{-6}} = 2\\,\\text{kPa} \\)
\nRésolution en débit :
\n\\( \\Delta Q_{min} = \\dfrac{50{,}4}{2} \\times \\dfrac{2}{25} = 25{,}2 \\times 0{,}08 = 2{,}016\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\approx 2\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)
\nDébit maximal pour $\\( \\Delta P_{max} = 100\\,\\text{kPa} \\)$ :
\n\\( Q_{max} = Q \\times \\sqrt{\\dfrac{\\Delta P_{max}}{\\Delta P}} = 50{,}4 \\times \\sqrt{\\dfrac{100}{25}} = 50{,}4 \\times 2 = 100{,}8\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)
\n4. Résultat final dans $...$ : la résolution minimale en débit est $\\( \\Delta Q_{min} \\approx 2\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)$ et la plage de mesure s'étend de $\\( 0 \\)$ à $\\( Q_{max} \\approx 101\\,\\text{m}^3\\text{/h} \\)$. Le rapport entre la plage de mesure et la résolution (environ $\\( 50:1 \\)$) indique une dynamique de mesure acceptable pour de nombreuses applications industrielles.
",
"id_category": "5",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur à effet Hall est utilisé pour mesurer un champ magnétique \\(B\\). Le capteur a une sensibilité \\(S_H = 10 \\, mV/T\\) et une alimentation \\(V_{cc} = 5 \\, V\\). La tension de Hall est donnée par \\(V_H = S_H B V_{cc}\\).\\n\\n1. Calculez la tension de Hall pour un champ magnétique de \\(0,02 \\, T\\).\\n\\n2. Si le bruit de tension est de \\(1 \\, mV\\), quelle est la précision de mesure en \\(T\\) ?\\n\\n3. Pour une alimentation réduite à \\(3 \\, V\\), calculez la nouvelle sensibilité et la tension de Hall correspondante pour \\(B=0,02 \\, T\\).",
"svg": "Capteur Effet Hall Champ Magnétique \\(B\\) Tension \\(V_H\\) 1. Formule générale :
$V_H = S_H \\times B \\times V_{cc} $2. Précision de mesure limitée par le bruit :
$\\Delta B = \\frac{V_{bruit}}{S_H \\times V_{cc}} = \\frac{1 \\times 10^{-3} \\, V}{10 \\times 10^{-3} \\, V/T \\times 5 \\, V} = 0,02 \\, T$3. Nouvelle alimentation :
$S_{H,new} = S_H \\times \\frac{3}{5} = 6 \\, mV/T$Tige avec jauge de contrainte Résistance \\(R\\) 1. Formule générale dans $\\varepsilon = \\frac{\\sigma}{E}$
$\\varepsilon = \\frac{150 \\times 10^6}{200 \\times 10^9} = 7,5 \\times 10^{-4}$2. Variation relative de résistance :
$\\frac{\\Delta R}{R} = GF \\times \\varepsilon = 2{,}1 \\times 7{,}5 \\times 10^{-4} = 1,575 \\times 10^{-3}$3. Variation de résistance :
$\\Delta R = R \\times \\frac{\\Delta R}{R} = 120 \\times 1,575 \\times 10^{-3} = 0,189 \\Omega $",
"id_category": "5",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de pression piézorésistif fournit un signal de sortie proportionnel à la pression \\(P\\) selon \\(V_{out} = K_p P\\), avec \\(K_p=2 \\, mV/kPa\\).\\n\\n1. Calculez la tension de sortie pour une pression de \\(500 \\, kPa\\).\\n\\n2. Sachant que la tension de sortie maximale est \\(5 \\, V\\), quel est le domaine de mesure maximal en pression ?\\n\\n3. Si le bruit électrique est \\(3 \\, mV\\), calculez la précision maximale sur la mesure de pression.",
"svg": "Capteur de pression Pression \\(P\\) Tension \\(V_{out}\\) 1. Tension de sortie :
$V_{out} = K_p \\times P = 2 \\times 10^{-3} \\, V/kPa \\times 500 \\, kPa = 1 \\, V$2. Domaine maximal :
$P_{max} = \\frac{V_{max}}{K_p} = \\frac{5}{2 \\times 10^{-3}} = 2500 \\, kPa$3. Précision maximale :
$\\Delta P = \\frac{V_{bruit}}{K_p} = \\frac{3 \\times 10^{-3}}{2 \\times 10^{-3}} = 1,5 \\, kPa$",
"id_category": "5",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Une jauge de contrainte à base de métal a une résistance initiale de $ R_0 = 120 \\; \\Omega $ et un facteur de jauge $ GF = 2.1 $. La longueur initiale de la jauge est $ L_0 = 5 \\; \\text{cm} $. \n\n1) Calculez la variation de résistance $ \\Delta R $ associée à une déformation longitudinale $ \\varepsilon = 0.001 $ (0,1 %).\n\n2) Si la tension d'excitation est $ V_{exc} = 10 \\; \\text{V} $ et que la jauge est montée en pont de mesure, calculez la tension de sortie $ V_{out} $ pour la déformation donnée.\n\n3) Déterminez la sensibilité du pont en $ \\text{mV/V} $ pour la déformation choisie.\n",
"svg": "Déformation \\varepsilon Jauge de contrainte 1) Variation de résistance :
$ \\Delta R = GF \\times R_0 \\times \\varepsilon $,
$ \\Delta R = 2.1 \\times 120 \\times 0.001 = 0.252 \\; \\Omega $.
2) Tension de sortie du pont :
Pour un pont de Wheatstone complet :
$ V_{out} = \\frac{V_{exc}}{4} \\times GF \\times \\varepsilon $,
$ V_{out} = \\frac{10}{4} \\times 2.1 \\times 0.001 = 5.25 \\times 10^{-3} \\; V = 5.25 \\; \\text{mV} $.
3) Sensibilité :
$ S = \\frac{V_{out}}{V_{exc}} = \\frac{5.25 \\times 10^{-3}}{10} = 0.525 \\times 10^{-3} = 0.525 \\; \\text{mV/V} $.
",
"id_category": "5",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Capteurs diverses (Capteurs à effet Hall Jauges de contraintes Capteurs de pression et de vide Capteurs d'humidité Capteurs de débit)",
"question": "Un capteur de pression piezorésistif fonctionne sous une plage de pression allant de $ 0 $ à $ P_{max} = 10^7 \\; \\text{Pa} $ avec une sensibilité électrique de $ S_p = 5 \\times 10^{-7} \\; \\text{V/Pa} $ et une tension d'alimentation constante $ V_{exc} = 12 \\; \\text{V} $. \n\n1) Calculez la tension de sortie correspondante à la pression maximale. \n\n2) Si la sortie mesurée est $ V_{out} = 3.6 \\; \\text{V} $, déterminez la pression correspondante. \n\n3) Calculez la résolution de pression minimale détectable si la résolution en tension est $ \\Delta V = 2 \\times 10^{-3} \\; \\text{V} $.",
"svg": "Capteur de pression Pression appliquée 1) La tension de sortie maximale est donnée par :
$ V_{out,max} = S_p \\times P_{max} \\times V_{exc} $,
$ V_{out,max} = 5 \\times 10^{-7} \\times 10^7 \\times 12 = 60 \\; \\text{V} $ (le résultat indique la tension proportionnelle à la pression, la plage du capteur pouvant être réduite par amplificateur ou conditionneur).
2) La pression à partir de :
$ P = \\frac{V_{out}}{S_p \\times V_{exc}} $,
$ P = \\frac{3.6}{5 \\times 10^{-7} \\times 12} = 600,000 \\; \\text{Pa} = 0.6 \\times 10^6 \\text{ Pa} $.
3) Résolution de pression minimale :
$ \\Delta P = \\frac{\\Delta V}{S_p \\times V_{exc}} = \\frac{2 \\times 10^{-3}}{5 \\times 10^{-7} \\times 12} = 333 \\; \\text{Pa} $.
",
"id_category": "5",
"id_number": "34"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 1 : Amplificateur d’instrumentation à 3 AOP – gain, mode commun et CMRR\nUn amplificateur d’instrumentation à 3 AOP est construit avec des résistances telles que $R_1 = R_2 = 10\\,k\\Omega$, $R_3 = R_4 = 47\\,k\\Omega$, et la résistance de gain centrale $R_g = 2\\,k\\Omega$. Les entrées reçoivent $V_1 = 60\\,mV$ et $V_2 = 15\\,mV$, le mode commun vaut $V_{cm} = 2\\,V$.\n1. Calculez le gain différentiel de l’étage et la tension de sortie pour $V_{in,diff} = V_1 - V_2$.\n2. En supposant une imperfection de correspondance des résistances de 1%, calculez l’erreur due au mode commun en sortie.\n3. En déduire le taux de réjection du mode commun (CMRR) en dB.",
"svg": "V1 =60mV V2 =15mV AOP 1 AOP 2 AOP 3 Vout Question 1 : Gain différentiel et tension de sortieQuestion 2 : Erreur en mode commun liée à un déséquilibre de 1%Question 3 : CMRR en dB
",
"id_category": "6",
"id_number": "1"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 2 : Amplificateur d’instrumentation à 2 AOP – réponse statique et dynamique\nOn utilise un amplificateur d’instrumentation à 2 AOP : étage différentiel suivi d’un second AOP intégrateur ($\\tau = 0.5\\,ms$, $R = 100\\,k\\Omega$, $C=5\\,nF$). Les entrées reçoivent $V_1=200\\,mV$, $V_2=20\\,mV$.\n1. Déterminez le gain de l’étage différentiel et la sortie statique pour l’entrée donnée.\n2. Si un signal parasite à $f = 1\\,kHz$ en mode commun amplitude $10\\,mV$ apparaît, calculez l’atténuation dynamique du signal parasite à la sortie.\n3. Déduisez la tension de sortie totale au point B, tous effets inclus.",
"svg": "V1 =200mV V2 =20mV Différentiel Intégrateur VB Question 1 : Gain différentiel et sortie statiqueQuestion 2 : Atténuation de la composante mode commun parasite ($f=1\\,kHz$)Question 3 : Tension de sortie totale
",
"id_category": "6",
"id_number": "2"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 3 : Amplificateur d’instrumentation à 1 AOP – défauts statiques et bande passante\nOn utilise un AOP réel en montage différentiel pour mesurer la tension entre deux points d’un capteur résistant soumis à des perturbations : $V_1=1.020\\,V$, $V_2=0.995\\,V$. L’ampli présente un offset de $2\\,mV$ et une erreur en mode commun de gain 0.02 (gain différentiel unité). La bande passante -3dB du montage est $2\\,kHz$.\n1. Calculez la tension de sortie due uniquement au signal différentiel.\n2. Calculez la tension de sortie globale en incluant l’offset et l’effet du mode commun pour un $V_{cm}=2\\,V$.\n3. Si un signal en mode commun à $f=5\\,kHz$ est appliqué avec amplitude $1\\,V$, calculez la tension de sortie de l'ampli.",
"svg": "V1 =1.02V V2 =0.995V AOP Réel Sortie Question 1 : Tension de sortie différentielle pureQuestion 2 : Sortie avec offset, mode communQuestion 3 : Comportement dynamique à 5 kHz
",
"id_category": "6",
"id_number": "3"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 3 AOP mesure une tension différentielle entre deux capteurs. Les résistances sont disposées ainsi : $R_1 = 3\\,\\mathrm{k\\Omega}$, $R_2 = 30\\,\\mathrm{k\\Omega}$.\n\n1. Calculez le gain différentiel théorique du montage.\n2. Si une tension de mode commun de $V_{mc} = 2\\,\\mathrm{V}$ est appliquée aux deux entrées, et que le taux de réjection est $CMRR = 80\\,\\mathrm{dB}$, Calculez la tension due au mode commun obtenue en sortie.\n3. L'un des AOP présente un défaut statique d’offset de $V_{os} = 2\\,\\mathrm{mV}$. Calculez la tension d’offset résultante à la sortie.",
"svg": "Capteur 1 (V1) Capteur 2 (V2) AOP1 AOP2 AOP3 Sortie 1. Gain différentiel théorique
",
"id_category": "6",
"id_number": "4"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 2 AOP est alimenté par une tension symétrique de $\\pm15\\,\\mathrm{V}$. Les entrées sont $V_1 = 0,4\\,\\mathrm{V}$ et $V_2 = 0,1\\,\\mathrm{V}$.\n\n1. Calculez la tension différentielle d’entrée et la tension de sortie, si le gain du montage est $G=20$.\n2. Si le premier AOP a une bande passante limitée à $BW = 50\\,\\mathrm{kHz}$ et que le signal d’entrée est un sinusoïde de $f = 25\\,\\mathrm{kHz}$, calculez l’atténuation causée par le défaut dynamique (gain réel).\n3. Si le montage subit une dérive thermique de $15\\,\\mu\\mathrm{V}/^\\circ\\mathrm{C}$ et que la température s’élève de $30^\\circ\\mathrm{C}$, calculez la tension de sortie liée à cette dérive.",
"svg": "AOP 1 AOP 2 Sortie U_{out} 1. Tension différentielle et sortie
",
"id_category": "6",
"id_number": "5"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 1 AOP (montage différentiel simple) a les entrées suivantes : $V_1 = 3,2\\,\\mathrm{V}$, $V_2 = 2,5\\,\\mathrm{V}$, les résistances $R_a=R_b=20\\,\\mathrm{k\\Omega}$ et $R_f=R_g=40\\,\\mathrm{k\\Omega}$.\n\n1. Calculez le gain différentiel et la tension de sortie pour ces valeurs.\n2. Une tension de mode commun de $1,2\\,\\mathrm{V}$ est superposée sur les deux entrées. Si le taux de réjection de mode commun est de $CMRR=66\\,\\mathrm{dB}$, calculez la tension en sortie due au mode commun.\n3. Si le défaut dynamique (fréquence de coupure réelle) est $f_c=18\\,\\mathrm{kHz}$ pour un signal d’entrée de $f=15\\,\\mathrm{kHz}$, calculez le gain réel du montage.",
"svg": "AOP simple Sortie U_{out} 1. Gain différentiel et tension de sortie
",
"id_category": "6",
"id_number": "6"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 3 AOP reçoit les signaux d’entrée $V_1 = 2,50\\;\\mathrm{V}$ et $V_2 = 1,15\\;\\mathrm{V}$. Les résistances du montage sont $R_1 = 15\\;\\mathrm{k\\Omega}$ et $R_2 = 105\\;\\mathrm{k\\Omega}$. \n1. Calculez la tension de sortie en mode différentiel. \n2. Déterminez le gain du circuit en mode différentiel. \n3. Calculez le taux de réjection de mode commun en dB si le gain du mode commun est $0,012$.",
"svg": "AOP1 AOP2 AOP3 V_1 V_2 V_{out} 1. Tension de sortie en mode différentiel 2. Gain du circuit en mode différentiel 3. Taux de réjection de mode commun (CMRR) en dB
",
"id_category": "6",
"id_number": "7"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 2 AOP utilise des résistances de $R_1 = 8,2\\;\\mathrm{k\\Omega}$, $R_2 = 47,0\\;\\mathrm{k\\Omega}$, et reçoit des signaux d'entrée en mode commun de $3,00\\;\\mathrm{V}$. \n1. Calculez la tension de sortie attendue pour un gain de mode commun de $0,018$. \n2. Calculez la tension de sortie en mode différentiel si $V_1 = 0,90\\;\\mathrm{V}$ et $V_2 = 0,50\\;\\mathrm{V}$. \n3. Déterminez l’erreur relative statique sur la tension de sortie si le gain en mode différentiel vaut $12,2$.",
"svg": "AOP1 AOP2 V_1 V_2 V_{out} 1. Tension de sortie pour mode commun 2. Tension de sortie en mode différentiel 3. Erreur relative statique sur la tension de sortie
",
"id_category": "6",
"id_number": "8"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 1 AOP reçoit des signaux d’entrée de mode différentiel de $V_1 = 3,60\\;\\mathrm{V}$ et $V_2 = 2,20\\;\\mathrm{V}$ avec des résistances d'entrée de $R_1 = 18,0\\;\\mathrm{k\\Omega}$ et de contre-réaction de $R_2 = 51,0\\;\\mathrm{k\\Omega}$. \n1. Calculez la tension de sortie pour un gain positif. \n2. Calculez le gain du montage et vérifiez s’il existe une inversion de signe.\n3. Si l’AOP présente une erreur dynamique (offset de $40,0\\;\\mathrm{mV}$), calculez la tension de sortie réelle.",
"svg": "AOP V_1 V_2 V_{out} 1. Tension de sortie avec gain positif 2. Calcul du gain et inversion 3. Tension de sortie réelle avec offset dynamique
",
"id_category": "6",
"id_number": "9"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage d’amplificateur d’instrumentation à 2 AOP est configuré en gain total 100. Les tensions d’entrée sont $V_1 = 2{,}18\\,\\mathrm{V}$ et $V_2 = 2{,}15\\,\\mathrm{V}$. Le montage présente une dérive dynamique (bande passante limitée) de $8\\,\\mathrm{kHz}$.V1 V2 2 AOP Sortie Gain=100 BP=8kHz Q1) Tension de sortie en mode différentiel :Le signal à 15 kHz sera atténué d’environ 53 % et fortement distordu. $
",
"id_category": "6",
"id_number": "10"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage à AOP unique est utilisé comme amplificateur différentiel. Les résistances sont : $R_1 = 5\\,\\mathrm{k}\\Omega$, $R_2 = 20\\,\\mathrm{k}\\Omega$. Les signaux d’entrée sont : $V_1 = 3{,}00\\,\\mathrm{V}$, $V_2 = 2{,}70\\,\\mathrm{V}$.V1 V2 1 AOP Sortie R_1=5kΩ R_2=20kΩ Q1) Gain différentiel du montage :
",
"id_category": "6",
"id_number": "11"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 3 AOP est utilisé pour mesurer une petite tension différentielle $V_{diff}$ en présence d’une tension de mode commun $V_{cm}$. Les résistances du montage valent $R_1 = R_2 = 10~\\text{k}\\Omega$, $R_3 = R_4 = 47~\\text{k}\\Omega$. \n1. Déterminez le gain différentiel $A_{diff}$ du montage pour $V_{diff}$.\n2. Calculez le taux de rejet de mode commun (CMRR) en dB si le gain en mode commun $A_{cm}$ est de 0.001.\n3. Pour $V_{diff} = 5~\\text{mV}$ et $V_{cm} = 2~\\text{V}$, calculez la tension de sortie de l’amplificateur.",
"svg": "AOP 1 AOP 2 AOP 3 V_{diff}, V_{cm} V_{out} R_1 R_2 R_3 R_4 Q1. Gain différentiel du montage à 3 AOP
\n\nQ2. Taux de rejet de mode commun (CMRR) en dB
\n\nQ3. Tension de sortie pour $V_{diff}=5~\\text{mV}$ et $V_{cm}=2~\\text{V}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "12"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 1 AOP reçoit deux signaux à $V_1 = 1.35~\\text{V}$ et $V_2 = 1.28~\\text{V}$ avec des résistances $R_f = 100~\\text{k}\\Omega$ et $R_g = 3.3~\\text{k}\\Omega$. Supposons que la tension d’offset d’entrée soit de $V_{os} = 2~\\text{mV}$.\n1. Calculez la tension de sortie dans les conditions parfaites (sans offset).\n2. Calculez la tension de sortie réelle en tenant compte de l’offset.\n3. Si le signal est superposé à une tension de mode commun de $1.1~\\text{V}$ et que le tau de rejet de mode commun (CMRR) est de 78 dB, calculez l’erreur résiduelle sur la sortie.",
"svg": "AOP V_1, V_2 V_{out} R_f R_g 100k 3.3k Q1. Tension de sortie idéale
\n\nQ2. Tension de sortie réelle (avec offset)
\n\nQ3. Erreur résiduelle sur la sortie due à mode commun
",
"id_category": "6",
"id_number": "13"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation réalisé avec 3 AOP possède les résistances suivantes : $R_1 = R = 12\\,k\\Omega$, $R_2 = R_3 = 50\\,k\\Omega$ (voir schéma). Les tensions d’entrée sont $V_1$ et $V_2$. La tension de mode commun parasite est $V_{mc} = 100$ mV. V1 V2 AOP 1 AOP 2 AOP 3 Vout ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1.Gain différentiel $A_{diff}$ : Gain de mode commun $A_{MC}$ : Taux de réjection de mode commun (TRMC) :
",
"id_category": "6",
"id_number": "14"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 2 AOP reçoit sur ses entrées une tension de mode commun $v_{mc} = 1.0\\,V$ et une tension différentielle $v_{diff} = 55\\,mV$. Le gain différentiel est $G = 50$. 1) Quelle est la tension de sortie idéale et la tension parasite due au mode commun avec un taux de réjection $CMRR = 86\\,dB$? 2) Si le système présente un défaut dynamique, le gain chute à $G=40$ : quelle est la nouvelle tension de sortie ? 3) Quel est le rapport entre l’erreur (en sortie) due au défaut dynamique et le signal différentiel amplifié ?",
"svg": "AOP1 AOP2 G=50, 40 CMRR=86dB Sortie v_mc, v_diff Question 1 : Interprétation : Le signal différentiel est fortement amplifié, le mode commun est quasi totalement rejeté.
Question 2 : Interprétation : En cas de défaut dynamique le gain réel baisse et la sortie diminue.
Question 3 : Interprétation : L’erreur introduite par le défaut dynamique représente 20 % de la valeur théorique attendue.
",
"id_category": "6",
"id_number": "15"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation simple (à 1 AOP) possède un gain de $G = 25$ et une entrée différentiel $v_{diff} = 75\\,mV$ superposée à une tension de mode commun $v_{mc} = 2.2\\,V$. Le taux de réjection du mode commun est $CMRR = 80\\,dB$. 1) Calculez la tension de sortie totale en tenant compte du mode commun et du différentiel. 2) Quelle valeur d’entrée de mode commun entraînerait une tension parasite en sortie de $0.5\\,mV$? 3) Pour une variation dynamique réduisant le CMRR à $68\\,dB$, quelle est la nouvelle tension parasite pour $v_{mc}=2.2\\,V$?",
"svg": "AOP G=25 v_mc Entrées Sortie Question 1 : Interprétation : Le signal amplifié reste largement dominé par la composante différentielle.
Question 2 : Interprétation : Un mode commun de $5\\,V$ induirait une tension parasite de $0.5\\,mV$.
Question 3 : Interprétation : Le défaut dynamique impacte la réjection du mode commun et augmente la perturbation résiduelle en sortie.
",
"id_category": "6",
"id_number": "16"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 1 : Amplificateur d’instrumentation à 3 AOP - Gain, CMRR et défaut de mode commun\nOn dispose du montage classique à 3 AOP d’un amplificateur d’instrumentation. Les résistances sont telles que $R_1 = R_3 = 10~k\\Omega$, $R_2 = R_4 = 100~k\\Omega$, $R_g = 1~k\\Omega$.\n1. Calculez le gain différentiel $G_{diff}$ du montage.\n2. Calculez le taux de réjection du mode commun (CMRR) en dB supposant que les résistances correspondant au réseau différentiel sont désappariées de $1\\%$.\n3. Pour une tension de mode commun $V_{cm} = 2~V$ et une entrée différentielle $V_{diff} = 50~mV$, calculez la sortie réelle en tenant compte du défaut de mode commun.",
"svg": "Entrée V1 Entrée V2 AOP 3 Sortie Réponses détaillées à chaque question :Gain différentiel $G_{diff}$ CMRR (en dB), désappairage 1% Sortie réelle avec mode commun
",
"id_category": "6",
"id_number": "17"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 3 : Amplificateur instrumentation à 1 AOP - Erreur d’offset\nUn montage amplificateur différentiel simple à 1 AOP possède $R_1 = R_3 = 10~k\\Omega$, $R_2 = R_4 = 100~k\\Omega$. L’offset d’entrée de l’AOP est de $V_{os} = 2~mV$.\n1. Calculez le gain différentiel du montage.\n2. Calculez la tension de sortie due au signal différentiel $V_{diff} = 30~mV$.\n3. Calculez la composante d’erreur de sortie due à l’offset de l’AOP.",
"svg": "Entrée V1 Entrée V2 1 AOP V_out Réponses détaillées à chaque question :Gain différentiel Sortie pour $V_{diff} = 30~mV$ Composante d’erreur due à l’offset
",
"id_category": "6",
"id_number": "18"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage à 3 AOP est réalisé en amplificateur d’instrumentation pour mesurer une petite tension différentielle en présence d’un fort signal de mode commun. Les résistances sont disposées de façon symétrique avec $R_1=2~\\mathrm{k}\\Omega$, $R_2=50~\\mathrm{k}\\Omega$.\n1. Calculez le gain différentiel de ce montage.\n2. Déterminez la tension de sortie si les entrées sont telles que $V_1=500~\\mathrm{mV}$ et $V_2=400~\\mathrm{mV}$.\n3. Si les résistances présentent une variation de ±1% autour de leur valeur nominale, calculez le taux de réjection du mode commun (CMRR) en dB pour le montage.",
"svg": "V_1 V_2 R_1=2kΩ R_2=50kΩ AOP AOP AOP V_{out} 1. Gain différentiel (amplificateur instrumentation à 3 AOP)
2. Tension de sortie pour $V_1=500~\\mathrm{mV}$, $V_2=400~\\mathrm{mV}$
3. CMRR en dB avec tolérance ±1%
",
"id_category": "6",
"id_number": "19"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur différentiel à 2 AOP utilise une résistance d’entrée $R_a=8~\\mathrm{k}\\Omega$ et une résistance de retour $R_b=32~\\mathrm{k}\\Omega$. Les entrées reçoivent respectivement $V_{in+}=0,45~\\mathrm{V}$ et $V_{in-}=0,25~\\mathrm{V}$.\n1. Calculez le gain différentiel du montage.\n2. Déterminez la tension de sortie en mode différentiel pour ces entrées.\n3. Si un défaut statique entraîne une tension d’offset de $V_{os}=2~\\mathrm{mV}$ à l’entrée, calculez la tension de sortie en tenant compte de cet offset.",
"svg": "V_{in+} V_{in-} R_a=8kΩ R_b=32kΩ AOP V_{out} 1. Gain différentiel
2. Tension de sortie en mode différentiel
3. Tension de sortie avec défaut d’offset
",
"id_category": "6",
"id_number": "20"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur à 1 AOP est utilisé en suiveur (buffer) sur la sortie de mesure d’un capteur pour améliorer l’impédance d’entrée, avec une tension d'entrée de $V_{in}=1,45~\\mathrm{V}$. Le suiveur a une bande passante de $f_{BW}=800~\\mathrm{kHz}$ et une vitesse de balayage (slew rate) de $SR=0,5~\\mathrm{V}/\\mu\\mathrm{s}$.\n1. Calculez la tension maximale en sortie en mode statique.\n2. Si un signal carré de $1~\\mathrm{V}_{cc}$ à $f=200~\\mathrm{kHz}$ est appliqué, déterminez si le suiveur peut reproduire correctement ce signal sans distorsion due au slew rate.\n3. Quelle est la tension maximale par impulsion pour laquelle la sortie ne sera pas limitée par le slew rate à $f=500~\\mathrm{kHz}$ ?",
"svg": "V_{in} AOP 1 suiveur Sortie SR=0,5 V/μs — BW=800 kHz 1. Tension maximale en sortie (mode statique)
2. Vérification du slew rate pour signal carré à $1~\\mathrm{V}$, $f=200~\\mathrm{kHz}$
3. Tension maximale par impulsion à $f=500~\\mathrm{kHz}$ sans limitation slew rate
",
"id_category": "6",
"id_number": "21"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur différentiel à trois AOP possède les résistances suivantes : $R_1 = 10~k\\Omega$, $R_2 = 100~k\\Omega$, $R_3 = 10~k\\Omega$, $R_4 = 100~k\\Omega$. Deux tensions d'entrée sont appliquées : $V_1 = 1.25~V$, $V_2 = 0.72~V$.\n1. Calculez le gain différentiel et la tension de sortie du montage.\n2. En supposant une tension de mode commun parasite de $V_{CM} = 3~V$ sur les deux entrées, calculez la tension de sortie associée au mode commun. Puis évaluez le taux de réjection du mode commun (CMRR) en dB pour $CMRR = 120~dB$.\n3. Si les résistances présentent des tolérances de 1%, calculez l'erreur relative maximale sur le gain différentiel de l'amplificateur.",
"svg": "AOP 1 AOP 2 AOP 3 V_{out} V_1 V_2 Question 1 : Gain différentiel et tension de sortie Question 2 : Tension de sortie mode commun et réjection Question 3 : Erreur relative maximale avec tolérance 1%
",
"id_category": "6",
"id_number": "22"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur instrumentation à deux AOP montés en cascade est monté avec un premier étage de gain $G_1 = 4$ suivi d’un second étage de gain $G_2 = 21$. Le décalage de tension d’offset total ramène une erreur de $V_{os} = 3~mV$. On injecte un signal différentiel d’amplitude $V_{DM} = 0.330~V$.\n1. Calculez la tension de sortie attendue (différentielle), hors offset.\n2. Évaluez l’impact de l’offset total sur la tension de sortie finale.\n3. Si la bande passante dynamique d’un AOP de premier étage est de $f_{c1} = 1.2~kHz$, celle du second $f_{c2} = 19~kHz$, déterminer la bande passante dynamique de l’ensemble.",
"svg": "AOP 1 (G₁) AOP 2 (G₂) Sortie Question 1 : Tension de sortie attendue Question 2 : Impact de l’offset total Question 3 : Bande passante dynamique de l’ensemble
",
"id_category": "6",
"id_number": "23"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "On considère un montage amplificateur instrumentation à un AOP : gain $G = 150$, bande passante utile $f_c = 8~kHz$. l’entrée est polarisée par un signal différentiel $V_{DM} = 4.7~mV$ et une tension de mode commun parasite $V_{CM} = 1.22~V$. Le CMRR réel de cet AOP vaut $82~dB$.\n1. Calculez la tension de sortie due au mode différentiel et au mode commun.\n2. Calculez la tension de sortie totale à la sortie de l’AOP (somme des deux effets).\n3. Un défaut dynamique réduit le gain de 20% à $7~kHz$. Calculez la tension de sortie réelle à cette fréquence.",
"svg": "AOP Unique Entrée Diff / CM Sortie Question 1 : Sortie mode différentiel et commun Question 2 : Tension de sortie totale Question 3 : Sortie réelle à $7~kHz$ (défaut dynamique)
",
"id_category": "6",
"id_number": "24"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 1 : Amplificateur différentiel à 1 AOP (mode commun et différentiel)\nUn montage amplificateur d’instrumentation simple est réalisé avec un seul amplificateur opérationnel (AOP) selon un schéma canonique. Les signaux d’entrée sont $V_1 = 3,0\\;\\text{V}$ et $V_2 = 2,7\\;\\text{V}$, avec des résistances égales $R = 220\\;\\Omega$ et $R_f = 3,3\\;\\text{k}\\Omega$.\n1. Calculez la tension de sortie pour le mode différentiel idéal du montage.\n2. Déterminez l’effet du mode commun sur la tension de sortie si les deux entrées reçoivent $V_{cm} = 2,0\\;\\text{V}$ (en plus du signal différentiel).\n3. Calculez le taux de réjection du mode commun (CMRR) si l’amplificateur présente un gain différentiel de $15$ et un gain de mode commun de $0,18$.\n\nSchéma :",
"svg": "V1 V2 AOP Vout 1. Sortie en mode différentiel idéal (un AOP) :
",
"id_category": "6",
"id_number": "25"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 2 : Amplificateur d’instrumentation à 3 AOP — Gain et défauts\nUn montage d’amplificateur idéal à 3 AOP utilise des résistances de précision : $R_1 = 8,2\\;\\text{k}\\Omega$, $R_2 = 560\\;\\Omega$ et $R_f = 4,7\\;\\text{k}\\Omega$. Les entrées sont $V_A = 1,8\\;\\text{V}$ et $V_B = 2,25\\;\\text{V}$, alors que l’amplificateur présente un offset dynamique de sortie de $38\\;\\text{mV}$ pour toute variation.VA VB AOP 1 AOP 2 AOP 3 Vout 1. Gain différentiel théorique du montage à 3 AOP :
",
"id_category": "6",
"id_number": "26"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Exercice 3 : Amplificateur d’instrumentation à 2 AOP — Bande passante et défaut dynamique\nUn amplificateur différentiel est réalisé avec deux AOP identiques présentant une bande passante de $250\\;\\text{kHz}$ et un gain de boucle ouverte de $74\\,000$. Les résistances vues sont $R_S = 4,7\\;\\text{k}\\Omega$ et $R_G = 120\\;\\Omega$. Un signal d’entrée différentiel de $350\\;\\text{mV}$ à $130\\;\\text{kHz}$ est appliqué.\n1. Calculez le gain différentiel du montage à 2 AOP.\n2. Déterminez le gain réel à la fréquence d’entrée considérée (en tenant compte de la bande passante).\n3. Calculez l’erreur dynamique absolue sur la tension de sortie due à la limitation de bande.\n\nSchéma :",
"svg": "+Vin -Vin AOP 1 AOP 2 Vout 1. Gain différentiel du montage à 2 AOP :
",
"id_category": "6",
"id_number": "27"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 3 AOP reçoit deux signaux $V_1 = 1,40$ V et $V_2 = 1,18$ V en entrée. Les résistances utilisées assurent un gain différentiel $G_d = 50$ et un gain en mode commun $G_{mc} = 0,1$.\\n1. Calculez la tension de sortie pour ces valeurs d'entrée.\\n2. Calculez le taux de réjection du mode commun (CMRR) en dB.\\n3. Si une variation parasite en mode commun de $120$ mV se superpose sur les deux entrées, quelle est la tension parasite en sortie due à ce mode commun ?",
"svg": "Amplif. Instrumentation V1 V2 Vout Question 1 : Question 2 : Question 3 :
",
"id_category": "6",
"id_number": "28"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 3 AOP reçoit deux signaux d’entrée $V_1 = 2.00~V$ et $V_2 = 2.16~V$. Les résistances utilisées sont $R_1 = 12~k\\Omega$, $R_2 = 72~k\\Omega$ (dans l’ensemble du montage).\n\n1. Calculez le gain différentiel de l’amplificateur.\n2. Déterminez la tension de sortie pour ces entrées.\n3. Si les deux entrées sont soumises à un bruit de mode commun de $V_{cm}=0.55~V$, et $CMRR = 82~dB$, calculez la tension parasite en sortie induite par le mode commun.",
"svg": "V_1 V_2 AOP 1 AOP 2 AOP 3 Vs 1. Gain différentiel du montage à 3 AOP :
",
"id_category": "6",
"id_number": "29"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage à 2 AOP est utilisé pour amplifier le signal différentiel d’une jauge de contrainte de demi-pont. Les résistances sont $R=6.8~k\\Omega$ (toutes identiques). Les entrées sont $V_a=0.87~V$, $V_b=1.05~V$.\n\n1. Calculez le gain différentiel de ce montage à 2 AOP.\n2. Déterminez la tension de sortie pour ces valeurs d’entrée.\n3. Si la jauge de contrainte, sous effet de température, présente une dérive de zéro équivalente à $18~mV$ sur chaque voie, calculez l’erreur sur la mesure différentielle après amplification.",
"svg": "Jauge (demi-pont) AOP 1 AOP 2 Sortie 1. Gain différentiel du montage à 2 AOP (identiques) :
",
"id_category": "6",
"id_number": "30"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 3 AOP reçoit deux signaux $V_1 = 2.80~V$ et $V_2 = 2.35~V$. Les résistances de gain sont $R = 10~k\\Omega$ et $R_G = 1~k\\Omega$. \n1. Calculez le gain différentiel de l’amplificateur.\n2. Déterminez la tension de sortie pour ces entrées.\n3. Si une composante de mode commun de $V_{CM} = 2.0~V$ est présente sur les deux entrées, calculez le taux de réjection de mode commun (CMRR) sachant que le gain de mode commun vaut $G_{CM} = 0.001$.",
"svg": "V1 V2 Amplificateur 3 AOP Sortie Architecture amplificateur instrumentation 3 AOP, V1/V2 1. Gain différentiel de l’amplificateur
",
"id_category": "6",
"id_number": "31"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 2 AOP utilise les valeurs suivantes : $R_1 = 5~k\\Omega$, $R_2 = 100~k\\Omega$. Un signal différentiel de $120~mV$ est appliqué tandis qu’un signal de mode commun de $5~V$ apparaît simultanément sur les deux entrées.\n1. Calculez le gain différentiel du montage.\n2. Quelle est la tension de sortie de l’amplificateur ?\n3. Si le taux de réjection de mode commun du montage vaut $60~dB$, calculez la composante de sortie due uniquement au mode commun.",
"svg": "Vdiff Vcm Amplificateur 2 AOP Sortie Amplificateur d’instrumentation 2 AOP 1. Gain différentiel du montage
",
"id_category": "6",
"id_number": "32"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur différentiel à 1 AOP de gain théorique $G = 10$ présente un défaut statique d’offset d’entrée de $2~mV$, et un défaut dynamique lié à la bande passante de $BW = 25~kHz$. On applique un signal différentiel de $50~mV$, et un offset de mode commun de $1~V$ à l’entrée.\n1. Calculez la tension de sortie due au signal utile et à l’offset statique.\n2. Si la fréquence du signal utile est $f = 40~kHz$, calculez le gain à cette fréquence en supposant un comportement passe-bas du gain.\n3. Calculez la tension de sortie brute (utile + défauts) à $40~kHz$.",
"svg": "Diff 50mV Offset Amplificateur 1 AOP Sortie Amplificateur différentiel 1 AOP, gain/offset/dynamique 1. Tensions de sortie (utile + offset statique)
",
"id_category": "6",
"id_number": "33"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur d’instrumentation à 3 AOP reçoit deux signaux $V_1 = 2.80~V$ et $V_2 = 2.35~V$. Les résistances de gain sont $R = 10~k\\Omega$ et $R_G = 1~k\\Omega$. \n1. Calculez le gain différentiel de l’amplificateur.\n2. Déterminez la tension de sortie pour ces entrées.\n3. Si une composante de mode commun de $V_{CM} = 2.0~V$ est présente sur les deux entrées, calculez le taux de réjection de mode commun (CMRR) sachant que le gain de mode commun vaut $G_{CM} = 0.001$.",
"svg": "V1 V2 Amplificateur 3 AOP Sortie Architecture amplificateur instrumentation 3 AOP, V1/V2 1. Gain différentiel de l’amplificateur
",
"id_category": "6",
"id_number": "34"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un montage amplificateur d’instrumentation à 2 AOP utilise les valeurs suivantes : $R_1 = 5~k\\Omega$, $R_2 = 100~k\\Omega$. Un signal différentiel de $120~mV$ est appliqué tandis qu’un signal de mode commun de $5~V$ apparaît simultanément sur les deux entrées.\n1. Calculez le gain différentiel du montage.\n2. Quelle est la tension de sortie de l’amplificateur ?\n3. Si le taux de réjection de mode commun du montage vaut $60~dB$, calculez la composante de sortie due uniquement au mode commun.",
"svg": "Vdiff Vcm Amplificateur 2 AOP Sortie Amplificateur d’instrumentation 2 AOP 1. Gain différentiel du montage
",
"id_category": "6",
"id_number": "35"
},
{
"category": " Amplificateur d’instrumentation",
"question": "Un amplificateur différentiel à 1 AOP de gain théorique $G = 10$ présente un défaut statique d’offset d’entrée de $2~mV$, et un défaut dynamique lié à la bande passante de $BW = 25~kHz$. On applique un signal différentiel de $50~mV$, et un offset de mode commun de $1~V$ à l’entrée.\n1. Calculez la tension de sortie due au signal utile et à l’offset statique.\n2. Si la fréquence du signal utile est $f = 40~kHz$, calculez le gain à cette fréquence en supposant un comportement passe-bas du gain.\n3. Calculez la tension de sortie brute (utile + défauts) à $40~kHz$.",
"svg": "Diff 50mV Offset Amplificateur 1 AOP Sortie Amplificateur différentiel 1 AOP, gain/offset/dynamique 1. Tensions de sortie (utile + offset statique)
",
"id_category": "6",
"id_number": "36"
}
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