[
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une thermistance NTC présente une résistance de $R_{25}=12\\ \\text{k}\\Omega$ à $25^{\\circ}\\text{C}$. On veut mesurer la température dans une enceinte, on relève une résistance de $R_{T}=3,7\\ \\text{k}\\Omega$. La thermistance suit la loi de Steinhart-Hart : $\\dfrac{1}{T}=A+B\\ln(R_T)+C\\left[\\ln(R_T)\\right]^3$ avec $A=1,345\\times 10^{-3}$, $B=2,567\\times 10^{-4}$, $C=1,015\\times 10^{-7}$ (T en kelvins, R en ohms).\n1) Calculez la température de l’enceinte.\n2) Déterminez la variation de tension sur la thermistance si elle est parcourue par un courant de $I=0,75\\ \\text{mA}$.\n3) Calculez la variation de température si la résistance diminue à $2,9\\ \\text{k}\\Omega$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Température de l’enceinte
Formule Steinhart-Hart : $\\dfrac{1}{T}=A+B\\ln(R_T)+C[\\ln(R_T)]^3$
Remplacement : $R_T=3,7\\ \\text{k}\\Omega=3700\\ \\Omega$
$\\ln(3700)=8,218$
$\\dfrac{1}{T}=1,345\\times10^{-3}+2,567\\times10^{-4}\\times8,218+1,015\\times10^{-7}\\times(8,218)^3$
Calcul : $2,567\\times10^{-4}\\times8,218=0,00211$
$(8,218)^3=555.79\\times 1,015\\times10^{-7}=0,0000564$
$\\dfrac{1}{T}=0,001345+0,00211+0,000056=0,003511$
$T=1/0,003511=285\\ \\text{K}=12^{\\circ}\\text{C}$
Résultat final : $T\\approx12^{\\circ}\\text{C}$
2) Variation de tension pour $I=0,75\\ \\text{mA}$
Formule générale : $V=R_T\\cdot I$
Remplacement : $R_T=3700\\ \\Omega,\\, I=0,75\\ \\text{mA}=0,00075\\ \\text{A}$
$V=3700\\times0,00075=2,775\\ \\text{V}$
Résultat final : $V=2,78\\ \\text{V}$
3) Variation de température à $R_T=2,9\\ \\text{k}\\Omega$
$\\ln(2900)=7,974$
$\\dfrac{1}{T}=1,345\\times10^{-3}+2,567\\times10^{-4}\\times7,974+1,015\\times10^{-7}\\times(7,974)^3$
$2,567\\times10^{-4}\\times7,974=0,00205$
$(7,974)^3=507,13\\times1,015\\times10^{-7}=0,0000515$
$\\dfrac{1}{T}=0,001345+0,00205+0,000052=0,003447$
$T=1/0,003447=290\\ \\text{K}=17^{\\circ}\\text{C}$
Résultat final : $T\\approx17^{\\circ}\\text{C}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple de type K génère une tension de sortie dépendant de la différence de température entre ses deux jonctions selon $E_{tc}(T) = S(T-T_{ref})$ avec $S=41\\ \\mu \\text{V}/^{\\circ}\\text{C}$. Lors d'une expérience, la jonction de référence est maintenue à $T_{ref}=0^{\\circ}\\text{C}$ alors que la jonction de mesure est à $T=412^{\\circ}\\text{C}$.\n1) Calculez la tension de sortie du thermocouple.\n2) Déterminez la température inconnue si la tension mesurée est $E_{tc}=19,9\\ \\text{mV}$.\n3) Évaluez l’erreur relative (%) sur la mesure de température si la sensibilité réelle varie de $±1\\ \\mu\\text{V}/^{\\circ}\\text{C}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Tension de sortie du thermocouple
Formule : $E_{tc}=S(T-T_{ref})$
Remplacement : $S=41\\ \\mu\\text{V}/^{\\circ}\\text{C}, T=412^{\\circ}\\text{C}, T_{ref}=0^{\\circ}\\text{C}$
$E_{tc}=41\\times412=16,892\\ \\text{mV}$
Résultat : $E_{tc}=16,89\\ \\text{mV}$
2) Température inconnue pour $E_{tc}=19,9\\ \\text{mV}$
Formule : $T=\\dfrac{E_{tc}}{S}+T_{ref}$
$T=\\dfrac{19,900\\ \\text{mV}}{41\\ \\mu\\text{V}/^{\\circ}\\text{C}}=\\dfrac{19,900\\times 10^3\\ \\mu\\text{V}}{41}=485,4^{\\circ}\\text{C}$
Résultat : $T\\approx485\\ ^{\\circ}\\text{C}$
3) Erreur relative (%) sur la mesure
Formule : $\\delta T=\\dfrac{\\delta S}{S}\\times 100\\%$, $\\delta S=1\\ \\mu\\text{V}/^{\\circ}\\text{C}, S=41\\ \\mu\\text{V}/^{\\circ}\\text{C}$
$\\dfrac{1}{41}\\times100=2,44\\%$
Résultat : $\\delta T \\approx2,44\\%$
",
"id_category": "1",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une sonde de platine de type PT100 présente une résistance de $100~\\Omega$ à $0~^\\circ\\!C$. La relation entre résistance et température est : $R_T = R_0 (1 + \\alpha T)$, avec $\\alpha = 0,00385~K^{-1}$. On réalise une mesure dans un environnement inconnu.\n1. Calculez la température lorsque la résistance mesurée est $141~\\Omega$.\n2. Une erreur de mesure de $0,2~\\Omega$ est constatée : calculez l’erreur sur la température.\n3. Quel serait le courant traversant la sonde si alimentée sous $2,5~V$ à cette température ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Température correspondant à $R = 141~\\Omega$
1. Formule : $R_T = R_0 (1 + \\alpha T)$ donc $T = \\frac{R_T - R_0}{R_0 \\alpha}$
2. Remplacement : $R_T=141$, $R_0=100$, $\\alpha=0,00385$
3. Calcul : $T = \\frac{141-100}{100\\times0,00385} = \\frac{41}{0,385}=106,5~^\\circ\\!C$
4. Résultat : $T=106,5~^\\circ\\!C$.
Q2 : Erreur sur la température pour $\\Delta R = 0,2~\\Omega$
1. Formule : $\\Delta T = \\frac{\\Delta R}{R_0 \\alpha}$
2. Calcul : $\\Delta T = \\frac{0,2}{100\\times0,00385}=\\frac{0,2}{0,385}=0,52~^\\circ\\!C$
4. Résultat : Erreur de température $0,52~^\\circ\\!C$.
Q3 : Courant traversant la sonde sous $2,5~V$
1. Formule : $I = \\frac{U}{R}$
2. Remplacement $U=2,5~V$, $R=141~\\Omega$
3. Calcul : $I=\\frac{2,5}{141}=0,0177~A$
4. Résultat : Courant traversant $17,7~mA$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une thermistance NTC a pour résistance à $25~^\\circ\\!C$ : $R_{25} = 10~k\\Omega$. Sa constante de matériau est $\\beta = 3900~K$. La loi caractéristique est $R_T = R_{25} \\exp\\left[\\beta \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_{25}} \\right)\\right]$ où les températures sont en kelvin. On mesure $R_T = 2,90~k\\Omega$.\n1. Déterminez la température de la thermistance.\n2. Calculez la variation de résistance attendue si la température passe brusquement à $65~^\\circ\\!C$.\n3. Calculez la puissance dissipée dans la thermistance si alimentée sous $5~V$ à la nouvelle température.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Température pour $R_T = 2,90~k\\Omega$
1. Formule : $R_T = R_{25} \\exp\\left[ \\beta \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_{25}} \\right) \\right]$
2. Remplacement : $R_T = 2900~\\Omega$, $R_{25}=10\\ 000~\\Omega$, $\\beta=3900$, $T_{25}=25+273{,}15=298{,}15~K$
On a :$\\frac{R_T}{R_{25}} = \\exp\\left[ \\beta \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_{25}} \\right) \\right]$\n$\\ln\\left(\\frac{2900}{10\\ 000}\\right) = 3900\\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{298,15} \\right)$\n$\\ln(0,29)=-1,237$ ; donc $\\frac{1}{T} = \\frac{-1,237}{3900} + \\frac{1}{298,15}= -0,000317 + 0,003354=0,003037$ ; $T=329~K$; $T=56~^\\circ\\!C$
4. Résultat : Température $56~^\\circ\\!C$.
Q2 : Variation si $T=65~^\\circ\\!C = 338,15~K$
1. Formule : $R_T = 10\\ 000 \\times \\exp\\left[3900\\left(\\frac{1}{338,15}-\\frac{1}{298,15} \\right)\\right]$
$\\frac{1}{338,15}=0,002958$, $\\frac{1}{298,15}=0,003354$, différence $-0,000396$
$3900\\times-0,000396=-1,545$; $\\exp(-1,545)=0,2133$ ; $10\\ 000\\times0,2133=2133~\\Omega$
4. Résultat : $R_T=2133~\\Omega$.
Q3 : Puissance dissipée sous $5~V$ à $R=2133~\\Omega$
1. Formule : $P=\\frac{U^2}{R}$
2. Remplacement : $U=5~V$, $R=2133~\\Omega$
3. Calcul : $P=\\frac{25}{2133}=0,0117~W$
4. Résultat : Puissance dissipée $11,7~mW$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple type K est formé de chrome et d’aluminium, avec la caractéristique : $E = S(T_{chaud} - T_{ref})$, où $S = 41~\\mu V{/}K$.\nLa jonction chaude est à $250~^\\circ\\!C$ et la référence à $15~^\\circ\\!C$.\n1. Calculez la tension fournie par le thermocouple.\n2. Pour une incertitude de $\\pm2~K$ sur $T_{chaud}$, donnez l’incertitude sur la mesure de tension.\n3. Quel courant retourne dans un voltmètre de $10~M\\Omega$ connecté à ses bornes ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Tension fournie par le thermocouple
1. Formule : $E = S(T_{chaud} - T_{ref})$
2. Remplacement : $S=41~\\mu V/K=41\\times10^{-6}~V/K$, $T_{chaud}=250~^\\circ\\!C$, $T_{ref}=15~^\\circ\\!C$
3. Calcul : $E = 41\\times10^{-6} \\times (250-15) = 41\\times10^{-6} \\times 235 = 9,635\\times10^{-3}~V = 9,64~mV$
4. Résultat : Tension fournie $9,64~mV$.
Q2 : Incertitude sur la tension
1. Formule : $\\Delta E = S \\Delta T$
2. Calcul : $\\Delta E = 41\\times10^{-6} \\times 2 = 82\\times10^{-6}~V = 82~\\mu V$
4. Résultat : Incertitude sur la tension $\\pm82~\\mu V$.
Q3 : Courant dans le voltmètre 10~MΩ
1. Formule : $I=\\frac{E}{R_v}$
2. Remplacement : $R_v=10\\times10^6~\\Omega$, $E=9,64\\times10^{-3}~V$
3. Calcul : $I = \\frac{9,64\\times10^{-3}}{10\\times10^6} = 9,64\\times10^{-10}~A$
4. Résultat : Courant $964~pA$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une sonde de platine PT100, utilisée comme capteur de température, suit la loi $R(T) = R_0 [1 + \\alpha (T - T_0)]$ avec $R_0 = 100~\\Omega$ à $T_0 = 0^\\circ \\mathrm{C}$ et $\\alpha = 0.00385~\\mathrm{K}^{-1}$. On mesure une résistance de $R = 137~\\Omega$.\n\n1. Calculez la température correspondante.\n2. On applique un courant de $I = 2~\\mathrm{mA}$ à la sonde : calculez la puissance dissipée.\n3. Si le coefficient d’auto-échauffement est $0.4~\\mathrm{K}/\\mathrm{mW}$, calculez l’erreur de mesure due à l’auto-échauffement.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Température correspondante :
Formule : $T = T_0 + \\frac{R - R_0}{R_0 \\alpha}$
Remplacement : $T = 0 + \\frac{137 - 100}{100 \\times 0.00385}$
Calcul : $T = \\frac{37}{0.385} = 96.10^\\circ \\mathrm{C}$
Résultat final : $T = 96.1^\\circ \\mathrm{C}$
\n\n2. Puissance dissipée dans la sonde :
Formule : $P = I^2 R$
Remplacement : $P = (0.002)^2 \\times 137$
Calcul : $P = 0.000004 \\times 137 = 0.000548~\\mathrm{W} = 0.548~\\mathrm{mW}$
Résultat final : $P = 0.548~\\mathrm{mW}$
\n\n3. Erreur de mesure due à l’auto-échauffement :
Formule : Remplacement : Résultat final : ",
"id_category": "1",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une thermistance CTN a pour résistance à $25^\\circ \\mathrm{C}$ $R_{25} = 10~\\mathrm{k}\\Omega$ et une constante de matériau $\\beta = 4020~\\mathrm{K}$.\n\n1. Calculez la résistance de la thermistance à $80^\\circ \\mathrm{C}$.\n2. Déterminez la température si la résistance mesurée est $1.2~\\mathrm{k}\\Omega$.\n3. Un courant de $0.5~\\mathrm{mA}$ passe dans la thermistance à $80^\\circ \\mathrm{C}$ : calculez la puissance dissipée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Résistance à 80°C :
Formule : $R_T = R_{25} \\exp\\left[\\beta \\left(\\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_{25}}\\right)\\right]$ avec $T_{25} = 298.15~\\mathrm{K}$, $T = 353.15~\\mathrm{K}$
Remplacement : $R_T = 10\\,000 \\times \\exp\\left[4020 \\left(\\frac{1}{353.15} - \\frac{1}{298.15}\\right)\\right]$
Calcul intermédiaire : $\\frac{1}{353.15} = 0.002832$, $\\frac{1}{298.15} = 0.003354$, $\\Delta = -0.000522$
$4020 \\times (-0.000522) = -2.098$
$R_T = 10\\,000 \\times e^{-2.098} = 10\\,000 \\times 0.1226 = 1\\,226~\\Omega$
Résultat final : $R_T = 1.23~\\mathrm{k}\\Omega$
\n\n2. Température pour $R = 1.2~\\mathrm{k}\\Omega$ :
Formule inversion : $\\frac{1}{T} = \\frac{1}{T_{25}} + \\frac{1}{\\beta} \\ln\\left(\\frac{R}{R_{25}}\\right)$
Remplacement : $\\frac{1}{T} = 0.003354 + \\frac{1}{4020} \\ln\\left(\\frac{1200}{10000}\\right)$
$\\ln(0.12) = -2.120$, $\\frac{-2.120}{4020} = -0.000528$
$0.003354 - 0.000528 = 0.002826$, $T = \\frac{1}{0.002826} = 354~\\mathrm{K} = 81.0^\\circ \\mathrm{C}$
Résultat final : $T = 81^\\circ \\mathrm{C}$
\n\n3. Puissance dissipée à 80°C :
Formule : $P = I^2 R$
Remplacement : $P = (0.0005)^2 \\times 1226$
Calcul : $0.00000025 \\times 1226 = 0.000307~\\mathrm{W}=0.307~\\mathrm{mW}$
Résultat final : $P = 0.307~\\mathrm{mW}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple type K produit une force électromotrice approximativement de $S = 41~\\mu\\mathrm{V}/^\\circ \\mathrm{C}$.\n\n1. Calculez la tension mesurée pour une soudure chaude à $210^\\circ \\mathrm{C}$ et une soudure froide à $25^\\circ \\mathrm{C}$.\n2. Pour une mesure de tension de $5.54~\\mathrm{mV}$, quelle est la température correspondant à la soudure chaude si la soudure froide est à $20^\\circ \\mathrm{C}$ ?\n3. Un appareil de mesure présente une résistance d'entrée de $10~\\mathrm{M}\\Omega$ et le thermocouple une résistance interne de $60~\\Omega$. Calculer la tension réellement mesurée par l'appareil pour un écart réel de $8~\\mathrm{mV}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension mesurée :
Formule : $U = S \\cdot (T_{chaude} - T_{froide})$
Remplacement : $U = 41 \\times 10^{-6} \\times (210 - 25)$
Calcul : $U = 41 \\times 10^{-6} \\times 185 = 0.007585~\\mathrm{V} = 7.59~\\mathrm{mV}$
Résultat final : $U = 7.59~\\mathrm{mV}$
\n\n2. Température pour $U = 5.54~\\mathrm{mV}$ et $T_{froide} = 20^\\circ \\mathrm{C}$ :
Formule : $T_{chaude} = \\frac{U}{S} + T_{froide}$
Remplacement : $T_{chaude} = \\frac{5.54\\times10^{-3}}{41\\times10^{-6}} + 20$
Calcul : $\\frac{0.00554}{0.000041} = 135 + 20 = 155^\\circ \\mathrm{C}$
Résultat final : $T_{chaude} = 155^\\circ \\mathrm{C}$
\n\n3. Tension réellement mesurée :
Formule : pont diviseur : $U_{mes} = U_{r} \\frac{R_{in}}{R_{in}+R_{therm}}$
Remplacement : $U_{mes} = 8 \\times 10^{-3} \\frac{10^7}{10^7 + 60}$
$10^7 + 60 = 10\\,000\\,060$, $U_{mes} = 8 \\times 10^{-3} \\frac{10\\,000\\,000}{10\\,000\\,060} = 8 \\times 10^{-3} \\times 0.999994 = 0.00799995~\\mathrm{V}$
Résultat final : $U_{mes} = 7.99995~\\mathrm{mV}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une sonde de platine Pt100 a une résistance de $R_0 = 100\\ \\Omega}$ à $0\\ ^\\circ\\text{C}$. On admet la formule linéaire $R(T) = R_0\\left[1 + \\alpha(T - T_0)\\right]$ avec $\\alpha = 0,00385\\ \\text{K}^{-1}$ et $T_0 = 0\\ ^\\circ\\text{C}$.\nUn courant de mesure $I = 1{,}5\\ \\text{mA}$ est imposé.\n\nQuestions :\n1. Quelle est la résistance mesurée à $85\\ ^\\circ\\text{C}$ ?\n2. Quelle tension doit-on mesurer aux bornes de la sonde à cette température ?\n3. Pour une puissance de dissipation maximale autorisée de $90\\ \\text{mW}$, calculez la température maximale à laquelle peut être portée la sonde sous ce courant.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance à $85\\ ^\\circ\\text{C}$
Formule : $R(T) = R_0 \\left[1+\\alpha(T - T_0)\\right]$
Remplacement : $R(85) = 100 \\left[1+0,00385 \\times 85\\right]$
$0,00385 \\times 85 = 0,32725$
$1 + 0,32725 = 1,32725$
$R(85) = 100 \\times 1,32725 = 132,73\\ \\Omega$
Résultat : $R(85) = 132,73\\ \\Omega$
2. Tension aux bornes à 85 °C
Formule : $U = R \\times I$
Remplacement : $U = 132,73\\ \\Omega \\times 1,5 \\times 10^{-3}\\ \\text{A}$
$132,73 \\times 0,0015 = 0,1991\\ \\text{V}$
Résultat : $U = 0,199\\ \\text{V}$
3. Température maximale pour $P \\leq 90\\ \\text{mW}$
Formule : $P = R(T_{max}) \\times I^2 \\leq 0,09\\ \\text{W}$
$R_{max} = \\frac{0,09}{(0,0015)^2} = \\frac{0,09}{0,00000225} = 40000\\ \\Omega$
Formule inverse de la résistance : $R_{max} = 100 \\left[1+0,00385(T_{max}-0)\\right]$
$\\frac{40000}{100} = 400 = 1+0,00385T_{max}$
$0,00385T_{max} = 399$
$T_{max} = \\frac{399}{0,00385} = 103636\\ ^\\circ\\text{C}$
Mais cette valeur n'a pas de sens physique, car la résistance maximale n'est jamais atteinte en pratique. Sous ce courant, la puissance réelle est bien inférieure à la dissipation limite à température raisonnable.
Pour une température réaliste, la sonde ne dépassera jamais la puissance maxi autorisée.
Résultat (limite théorique) : $T_{max}\\approx103~636\\ ^\\circ\\text{C}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 1 : Étalonnage et mesure avec une sonde de platine PT100\n\nUne sonde de platine PT100 a une résistance $R_0 = 100\\,\\Omega$ à $0\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$. On utilise la relation linéaire suivante : $R(T) = R_0[1 + \\alpha T]$, avec $\\alpha = 0.00385\\,/^{\\circ}\\mathrm{C}$.\nLa sonde est plongée dans un bain dont la température réelle est inconnue.\n\n1. Calculez la résistance de la sonde si la température est $85\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$.\n2. Si la mesure indique une résistance de $R_m = 137.5\\,\\Omega$, calculez la température du bain.\n3. Déterminez l’erreur absolue sur la résistance si le coffret de mesure présente une erreur systématique de $+0.7\\,\\Omega$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance de la sonde à $85\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$ :
\nFormule : $R = R_0[1 + \\alpha T]$
\nRemplacement : $R = 100 \\times [1 + 0.00385 \\times 85]$
\n$0.00385 \\times 85 = 0.32725$; $1 + 0.32725 = 1.32725$
\n$R = 100 \\times 1.32725 = 132.725\\,\\Omega$
\nRésultat final : $R = 132.73\\,\\Omega$
\n2. Température pour $R_m = 137.5\\,\\Omega$ :
\nFormule : $T = \\frac{R_m - R_0}{R_0 \\alpha}$
\nRemplacement : $T = (137.5 - 100)/(100 \\times 0.00385)$
\n$137.5 - 100 = 37.5$; $100 \\times 0.00385 = 0.385$
\n$T = 37.5 / 0.385 = 97.4\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$
\nRésultat final : $T = 97.4\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$
\n3. Erreur absolue sur la résistance :
\nFormule : $\\Delta R = R_{mesure} - R_{réelle} = +0.7\\,\\Omega$
\nRésultat final : $\\Delta R = +0.7\\,\\Omega$
",
"id_category": "1",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 3 : Thermocouple, thermomètre à semi-conducteur, et pyromètre optique\n\nUn thermocouple chromel-alumel (type K) produit une tension de $41\\,\\mu V/^{\\circ}\\mathrm{C}$ entre ses extrémités. On l’utilise pour mesurer la température d’une pièce chauffée. Un thermomètre à semi-conducteur (IC LM335) donne $10\\,mV/K$.\nLa pièce émet aussi un rayonnement évalué en pyrométrie optique dans la bande visible : pour la température à estimer, le flux reçu par le détecteur est $3.1 \\times 10^{-6}\\,\\mathrm{W/m}^2$ et la longueur d’onde centrale est $520\\,nm$.\n\n1. Calculez la température lue par le thermocouple si la tension mesurée est $2.87\\,mV$.\n2. Calculez la température mesurée par le LM335 si la tension mesurée est $2.98\\,V$.\n3. À partir du flux et de la longueur d’onde reçus du pyromètre optique, estimez la température de la pièce par la loi de Wien.Thermocouple K Thermomètre LM335 Pyromètre optique Flux λ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Température mesurée par thermocouple K :
\nFormule : $T = \\frac{V}{S}$, $S = 41\\,\\mu V/^{\\circ}\\mathrm{C}$; $V = 2.87\\,mV = 2870\\,\\mu V$
\n$T = 2870 / 41 = 70\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$
\nRésultat final : $T_{TC} = 70\\,^{\\circ}\\mathrm{C}$
\n2. Température mesurée par LM335 :
\nFormule : $T = V / (10\\,mV)\\,K$; $V = 2.98\\,V = 2980\\,mV$
\n$T = 2980 / 10 = 298\\,K$; $^{\\circ}\\mathrm{C} = 298 - 273.15 = 24.85^{\\circ}\\mathrm{C}$
\nRésultat final : $T_{LM335} = 24.9^{\\circ}\\mathrm{C}$
\n3. Température estimée par la loi de Wien (pyromètre optique):
\nFormule : $T = \\frac{b}{\\lambda_{max}}$, $b = 2.898 \\times 10^{-3}\\,m\\cdot K$; $\\lambda_{max} = 520\\,nm = 520 \\times 10^{-9}\\,m$
\n$T = 2.898 \\times 10^{-3} / 520\\times 10^{-9} = 2.898 \\times 10^{-3} / 5.2 \\times 10^{-7} = 5.57\\times 10^{3}\\,K$
\nRésultat final : $T_{Wien} = 5570\\,K$
",
"id_category": "1",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une sonde de platine (PT100) présente une résistance de $R_0 = 100~\\Omega$ à $0^\\circ\\mathrm{C}$. Son coefficient de température vaut $\\alpha = 3,85 \\times 10^{-3}~\\mathrm{K}^{-1}$.\nOn réalise une mesure à température inconnue, et la résistance lue est $R = 127,6~\\Omega$.\n1. Déterminez la température mesurée.\n2. Si la mesure est affectée d’un courant de polarisation de $I = 2~\\mathrm{mA}$, calculez la puissance dissipée dans le capteur.\n3. Quel serait l’échauffement (en K) si la dissipation thermique avec le milieu est $0,12~\\mathrm{W/K}$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Température mesurée par le PT100
1. Formule : $R = R_0 (1 + \\alpha T)$ donc $T = \\frac{R - R_0}{R_0 \\alpha}$
2. Remplacement : $R=127,6~\\Omega$, $R_0=100~\\Omega$, $\\alpha=3,85 \\times 10^{-3}~\\mathrm{K}^{-1}$
3. Calcul : $T = \\frac{127,6 - 100}{100 \\times 3,85 \\times 10^{-3}} = \\frac{27,6}{0,385} = 71,7~\\mathrm{^\\circ C}$
4. Résultat final : $T = 71,7~\\mathrm{^\\circ C}$
Question 2 : Puissance dissipée dans le capteur
1. Formule : $P = I^2 R$
2. Remplacement : $I=2~\\mathrm{mA}=2\\times10^{-3}~\\mathrm{A}$, $R=127,6~\\Omega$
3. Calcul : $P=(2\\times10^{-3})^2 \\times127,6 = 4\\times10^{-6} \\times127,6 = 0,000510~\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P = 0,511~\\mathrm{mW}$
Question 3 : Échauffement causé par effet Joule
1. Formule : $\\Delta T = \\frac{P}{G_{th}}$ où $G_{th} = 0,12~\\mathrm{W/K}$
2. Remplacement : $\\Delta T = \\frac{0,000510}{0,12} = 0,00425~\\mathrm{K}$
4. Résultat final : $\\Delta T = 4,25~\\mathrm{mK}$
Interprétation : Cette sonde est très précise, et l’auto-échauffement sous un courant de mesure classique reste extrêmement faible.
",
"id_category": "1",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une thermistance CTN respecte la loi :$R(T) = R_\\infty \\exp\\left(\\frac{B}{T}\\right)$ avec $R_\\infty = 12~\\Omega$ et $B = 4100~\\mathrm{K}$.\nÀ la température ambiante $T=298~\\mathrm{K}$, la résistance mesurée est $R_0=1300~\\Omega$.\n1. Calculez la valeur de résistance attendue à $55~^\\circ\\mathrm{C}$.\n2. Pour une variation rapide de température entre $25~^\\circ\\mathrm{C}$ et $55~^\\circ\\mathrm{C}$, déterminez la variation relative de la résistance.\n3. On impose une tension de $10~\\mathrm{V}$ à $55~^\\circ\\mathrm{C}$ : quelle puissance instantanée est dissipée par la thermistance ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Résistance à 55 °C
1. Formule : $R(T)=R_\\infty \\exp(B/T)$ ; $T=55+273=328~\\mathrm{K}$
2. Remplacement : $R_\\infty = 12~\\Omega$, $B=4100~\\mathrm{K}$
3. Calcul : $R=12 \\exp(4100/328) = 12 \\exp(12,5) = 12 \\times 269,153 = 3229~\\Omega$ (mais ce n'est pas cohérent, vérifions : en réalité, il s’agit de la loi exponentielle décroissante : $R(T)=R_0 \\exp[B(1/T - 1/T_0)]$ avec $R_0=1300~\\Omega$, $T_0=298~\\mathrm{K}$
4. Correction : $R = 1300 \\exp[4100(1/328-1/298)] = 1300 \\exp[4100(-0,000308)] = 1300 \\exp[-1,2628] = 1300 \\times 0,2835 = 368,6~\\Omega$
5. Résultat final : $R_{55^\\circ} = 369~\\Omega$
Question 2 : Variation relative de résistance entre 25 °C et 55 °C
1. Formule : variation relative : $\\frac{R_{55} - R_{25}}{R_{25}}$
2. Remplacement : $R_{25} = 1300~\\Omega$, $R_{55} = 369~\\Omega$
3. Calcul : $\\frac{369-1300}{1300} = -0,716$
4. Résultat final : $-71,6~\\%$ (diminution)
Question 3 : Puissance dissipée sous 10 V à 55 °C
1. Formule : $P = \\frac{U^2}{R}$
2. Remplacement : $U=10~\\mathrm{V}$, $R=369~\\Omega$
3. Calcul : $P=\\frac{100}{369}=0,271~\\mathrm{W}$
Résultat final : $P = 271~\\mathrm{mW}$
Interprétation : Les thermistances CTN sont ultra-sensibles aux variations de température et doivent être polarisées avec précaution.
",
"id_category": "1",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple type K génère une force électromotrice selon :$e(T_1,T_2) = S(T_1-T_2)$ avec $S=40~\\mu\\mathrm{V}/\\mathrm{K}$.\nOn relie les jonctions à $T_1=580~^\\circ\\mathrm{C}$ et $T_2=30~^\\circ\\mathrm{C}$.\n1. Calculez la tension de sortie attendue du thermocouple.\n2. On connecte cette sortie à un instrument d’entrée $R=10~\\mathrm{M}\\Omega$ – quelle intensité de courant circule dans le thermocouple ?\n3. Si la résistance interne du thermocouple vaut $R_s = 12~\\Omega$, calculez la chute de tension interne et la tension réellement mesurée aux bornes de l’instrument.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension de sortie du thermocouple
1. Formule : $e = S (T_1 - T_2)$
2. Remplacement : $S=40~\\mu\\mathrm{V}/\\mathrm{K}$, $T_1=580$, $T_2=30$
3. Calcul : $e=40 \\times 10^{-6} \\times (580-30) = 40 \\times 10^{-6} \\times 550 = 0,022~\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $e = 22~\\mathrm{mV}$
Question 2 : Intensité de courant circulant dans le thermocouple
1. Formule : $I = \\frac{e}{R+R_s}$
2. Remplacement : $e=22~\\mathrm{mV} = 0,022~\\mathrm{V}$, $R+R_s=10~\\mathrm{M}\\Omega+12~\\Omega \\approx 10^7~\\Omega$
3. Calcul : $I=\\frac{0,022}{10^7} = 2,2 \\times 10^{-9}~\\mathrm{A}$
Résultat final : $2,2~\\mathrm{nA}$
Question 3 : Chute de tension interne et tension mesurée
1. Chute interne : $\\Delta V_{int} = I R_s = 2,2\\times10^{-9} \\times 12 = 2,64\\times10^{-8}~\\mathrm{V}$
2. Tension mesurée : $U= e - \\Delta V_{int} = 0,022 - 2,64 \\times 10^{-8} \\approx 21,99997~\\mathrm{mV}$
4. Résultat final : $U = 22,0~\\mathrm{mV}$ (différence négligeable)
Interprétation : Les thermocouples sont efficaces et l’influence de la résistance interne reste minime lorsque la charge est très grande.
",
"id_category": "1",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un capteur de température de type platine Pt100 est utilisé pour mesurer la température d’un four.\n1) Calculez la résistance du capteur à $120\\,^{\\circ}\\text{C}$ sachant que $R_0 = 100\\,\\Omega$ à $0\\,^{\\circ}\\text{C}$ et $\\alpha = 0{,}00385\\,^{\\circ}\\text{C}^{-1}$.\n2) Si le courant d’excitation appliqué vaut $I = 2\\,\\text{mA}$, calculez la tension mesurée aux bornes du capteur à cette température.\n3) Supposons une dérive de la résistance de $\\pm0,15\\,\\Omega$ à cause d’un défaut de connexion. Évaluez l’erreur absolue sur la température mesurée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Résistance du Pt100 à 120 °C
Formule : $R(T) = R_0 [1 + \\alpha T]$
Données : $R_0 = 100\\,\\Omega$, $\\alpha = 0,00385 \\; ^\\circ\\text{C}^{-1}$, $T = 120\\, ^\\circ\\text{C}$
Remplacement : $R(120) = 100 \\times [1 + 0,00385 \\times 120]$
Calcul : $R(120) = 100 \\times [1 + 0,462] = 100 \\times 1,462 = 146,2$ $\\Omega$
Résultat final : $146,2 \\; \\Omega$
2) Tension aux bornes
Formule : $U = R(T) \\times I$
Remplacement : $U = 146,2 \\times 2 \\times 10^{-3}$
Calcul : $U = 0,2924$ V
Résultat final : $0,292$ V
3) Erreur absolue sur la température
Erreur sur la résistance : $\\Delta R = 0,15 \\; \\Omega$
Recherche de l’erreur sur T par inversion de la formule : $T = \\frac{R - R_0}{\\alpha R_0}$
Propagation d’erreur : $\\Delta T = \\frac{\\Delta R}{\\alpha R_0}$
Remplacement : $\\Delta T = \\frac{0,15}{0,00385 \\times 100}$
Calcul : $\\Delta T = \\frac{0,15}{0,385} = 0,3896$ °C
Résultat : $\\pm 0,39$ °C
",
"id_category": "1",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une thermistance NTC présente une résistance de $R_{25} = 2\\,\\text{k}\\Omega$ à $25\\,^{\\circ}\\text{C}$ et un coefficient de B $B = 3950\\,\\text{K}$ (modèle de Steinhart-Hart réduit). \n1) Calculez la résistance de la thermistance à $60\\,^{\\circ}\\text{C}$.\n2) La thermistance est montée en pont diviseur avec une résistance de $2\\,\\text{k}\\Omega$ alimentée sous $5\\;V$. Déterminez la tension aux bornes de la thermistance à $60\\,^{\\circ}\\text{C}$.\n3) Déterminez la variation de tension pour une différence de $+5\\;^{\\circ}\\text{C}$ autour de $60^{\\circ}\\text{C}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Résistance à 60 °C
Modèle NTC : $R_T = R_{25} \\exp\\left[B \\left(\\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_{25}} \\right)\\right]$
Avec $T = 60 + 273,15 = 333,15$ K, $T_{25} = 25 + 273,15 = 298,15$ K
Remplacement : $R_{60} = 2\\,000 \\times \\exp[3950(\\frac{1}{333,15} - \\frac{1}{298,15})]$
Calculent : $\\frac{1}{333,15} = 0,0030006$, $\\frac{1}{298,15} = 0,0033543$
Écart : $0,0030006 - 0,0033543 = -0,0003537$
Produit : $3950 \\times (-0,0003537) = -1,396$
Exponentielle : $e^{-1,396} = 0,2472$
Résistance : $R_{60} = 2000 \\times 0,2472 = 494,4$ $\\Omega$
Résultat : $494$ $\\Omega$
2) Tension au pont diviseur
Formule : $U_{NTC} = 5 \\times \\frac{R_{NTC}}{R_{NTC} + 2000}$
Remplacement : $U_{NTC} = 5 \\times \\frac{494,4}{494,4 + 2000} = 5 \\times \\frac{494,4}{2494,4}$
Calcul : $\\frac{494,4}{2494,4} = 0,1982$
$U_{NTC} = 0,991$ V
Résultat : $0,991$ V
3) Variation de tension pour $+5\\, ^\\circ\\text{C}$
On calcule $R_{65}$ avec $T = 338,15$ K
$\\frac{1}{338,15} = 0,002957$
Différence : $0,002957 - 0,0033543 = -0,0003973$
$3950 \\times (-0,0003973) = -1,574$
$e^{-1,574} = 0,2072$
$R_{65} = 2000 \\times 0,2072 = 414,4$ $\\Omega$
Tension à 65 °C : $U_{NTC,65} = 5 \\times \\frac{414,4}{414,4 + 2000} = 5 \\times \\frac{414,4}{2414,4} = 0,859$ V
Variation : $\\Delta U = 0,859 - 0,991 = -0,132$ V
Résultat : $-0,13$ V pour une variation de 5 °C
",
"id_category": "1",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple type K délivre $40,7\\;\\mu\\text{V}/ ^\\circ \\text{C}$ de tension, placé dans un environnement où la soudure froide est à $20\\, ^\\circ\\text{C}$ et l'extrémité chaude à mesurer. \n1) Si la tension mesurée est $1,893\\,\\text{mV}$, quelle est la température de l’extrémité chaude ?\n2) Un pyromètre optique indique une température de $68,7\\, ^\\circ\\text{C}$ alors que la température réelle est de $70,2\\, ^\\circ\\text{C}$. Calculez l’erreur relative.\n3) Un thermomètre à semi-conducteur donne une tension de sortie $U_s = 0,46\\;\\text{V}$ pour un capteur caractérisé par $U_s = aT + b$ avec $a = 10 \\;\\text{mV}/ ^\\circ \\text{C}$, $b = 150\\,\\text{mV}$. Quelle est la température mesurée ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Température extrémité chaude thermocouple
Formule : $V = S \\Delta T$ avec $\\Delta T = T_{chaude} - T_{froide}$
Remplacement : $1,893\\,\\text{mV} = 40,7 \\times 10^{-6} (T - 20)$
$1,893 \\times 10^{-3} = 40,7 \\times 10^{-6}(T-20)$
$\\frac{1,893 \\times 10^{-3}}{40,7 \\times 10^{-6}} = T - 20$
Calcul : $\\frac{1,893}{40,7} = 0,0465$ et $\\frac{1,893 \\times 10^{-3}}{40,7 \\times 10^{-6}} = 46,5$
$T = 46,5 + 20 = 66,5$ °C
Résultat : $66,5$ °C
2) Erreur relative pyromètre
Erreur : $\\epsilon = \\frac{68,7 - 70,2}{70,2} \\times 100$
Calcul : $\\epsilon = \\frac{-1,5}{70,2} \\times 100 = -2,14$ %
Résultat : $-2,1$ %
3) Température mesurée thermomètre à semi-conducteur
Équation : $U_s = aT + b$
Remplacement : $0,46 = 0,01 \\cdot T + 0,15$
$T = \\frac{0,46 - 0,15}{0,01} = 31$ °C
Résultat : $31$ °C
",
"id_category": "1",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple (type K) a une sensibilité $S = 41\\ \\mu\\mathrm{V.K}^{-1}$ et sa jonction chaude est à $T_1 = 350\\ ^\\circ\\mathrm{C}$, la froide à $T_2 = 25\\ ^\\circ\\mathrm{C}$. Il est relié à un voltmètre idéal.\n1. Calculez la tension générée par le thermocouple.\n2. Ce thermocouple pilote la compensation d’un four électrique par un amplificateur délivrant une puissance de sortie maximale de $30\\ \\mathrm{W}$. Calculez l’intensité maximale admissible si la résistance de charge du four est $10\\ \\Omega$.\n3. Un pyromètre optique indique en parallèle une température de $1100\\ ^\\circ\\mathrm{C}$ d’une source lumineuse. Calculez le rapport des puissances rayonnées (assumant une loi de Stefan-Boltzmann entre la source et le four mesuré).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension générée par le thermocouple :
\\\n1. Formule générale : $ U_{TC} = S (T_1 - T_2) $
\\\n2. Remplacement : $ S = 41\\ \\mu\\mathrm{V.K}^{-1} = 41\\cdot10^{-6}\\ \\mathrm{V.K}^{-1} $, $ T_1 = 350 $, $ T_2 = 25 $.
\\\n3. Calcul : $ U_{TC} = 41\\cdot10^{-6}\\times(350 - 25) = 41\\times325\\cdot10^{-6}=13.325\\cdot10^{-3}\\ \\mathrm{V} $
\\\n4. Résultat : $ U_{TC} = 13.3\\ \\mathrm{mV} $
\\\n2. Intensité maximale admissible dans le four électrique :
\\\n1. Formule générale : $ P_{max} = R I_{max}^2 $
\\\n2. Remplacement : $ 30 = 10 I^2 \\rightarrow I^2 = 3 \\rightarrow I_{max} = \\sqrt{3} = 1.73\\ \\mathrm{A} $
\\\n3. Résultat : $ I_{max} = 1.73\\ \\mathrm{A} $
\\\n3. Rapport des puissances rayonnées :
\\\n1. Loi de Stefan-Boltzmann : $ P \\propto T^4 $
\\\n2. Calcul du rapport : \\\n$ \\left( \\frac{T_{pyro}}{T_{four}} \\right)^4 = \\left( \\frac{1100}{350} \\right)^4 = 3.143^4 = 97.6 $
\\\n3. Résultat : $ \\frac{P_{pyro}}{P_{four}} = 97.6 $
",
"id_category": "1",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 2 : Thermistance NTC – Réponse en température et pont diviseur\n\nOn utilise une thermistance NTC dont la résistance varie selon $R(T)=R_0\\cdot\\exp\\left(B\\left(\\frac{1}{T}-\\frac{1}{T_0}\\right)\\right)$ avec $R_0=10\\ \\mathrm{k}\\Omega$, $B=3400\\ \\mathrm{K}$, $T_0=298\\ \\mathrm{K}$. Elle est montée en série avec une résistance de 5\\ \\mathrm{k}\\Omega et alimentée sous $V_{cc}=10\\ \\mathrm{V}$.\n\n1. Calculez la résistance de la thermistance à $T=343\\ \\mathrm{K}$.\n2. Calculez la tension aux bornes de la thermistance à cette température.\n3. Calculez le courant traversant le circuit à cette température.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Résistance de la NTC à T=343 K
1. Formule générale :
$R_{NTC}=R_0\\exp\\left(B\\left(\\frac{1}{T}-\\frac{1}{T_0}\\right)\\right)$
2. Calcul :
$R_{NTC}=10^4\\exp\\left[3400\\times\\left(\\frac{1}{343}-\\frac{1}{298}\\right)\\right]$
Calcul de chaque terme :$\\frac{1}{343}=0.00292,\\frac{1}{298}=0.00336,0.00292-0.00336=-0.00044$
$3400\\times(-0.00044)=-1.496$
$\\exp(-1.496)=0.224$
$R_{NTC}=10^4\\times0.224=2240\\ \\Omega$
3. Résultat final :
La résistance vaut $2240\\ \\Omega$.
Question 2 : Tension aux bornes de la NTC
1. Formule dans le pont diviseur :
$V_{NTC}=V_{cc}\\frac{R_{NTC}}{R_{S}+R_{NTC}}$
2. Calcul : $V_{NTC}=10\\frac{2240}{5000+2240}=10\\times\\frac{2240}{7240}=10\\times0.3096=3.096\\ \\mathrm{V}$
3. Résultat final :
La tension aux bornes de la NTC est $3.10\\ \\mathrm{V}$.
Question 3 : Courant dans le circuit
1. Formule :
$I=\\frac{V_{cc}}{R_{S}+R_{NTC}}$
2. Calcul : $I=\\frac{10}{7240}=0.00138\\ \\mathrm{A}$
3. Résultat final :
Le courant dans le circuit est $0.00138\\ \\mathrm{A}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 3 : Thermocouple, semi-conducteur et pyromètre optique – Chaîne de mesure indirecte\n\nUn thermocouple type K (Seebeck $S=41\\ \\mu\\mathrm{V} / \\mathrm{K}$) mesure la différence de température entre deux points d’un four industriel : $T_1=400^\\circ\\mathrm{C}$ et $T_2=60^\\circ\\mathrm{C}$. La sortie du thermocouple attaque l’entrée d’un amplificateur d’instrumentation de gain G=500. Cette tension amplifiée est suivie d’un affichage numérique. Un pyromètre optique mesure simultanément une température de $T_3=850^\\circ\\mathrm{C}$ dont l’émissivité du matériau vaut $\\epsilon=0.42$.\n\n1. Calculez la tension générée par le thermocouple.\n2. Calculez la tension amplifiée lue par l’afficheur.\n3. Calculez la puissance radiative émise à $T_3$ sur une surface de $S=14\\ \\mathrm{cm}^2$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension générée par thermocouple
1. Formule générale :
$V_{TC}=S\\cdot(T_1-T_2)$
2. Calcul :$S=41\\ \\mu\\mathrm{V}/\\mathrm{K}=41\\times10^{-6}\\ \\mathrm{V}/\\mathrm{K}$, $T_1-T_2=340\\ K$
$V_{TC}=41\\times10^{-6}\\times340=0.01394\\ \\mathrm{V}$
3. Résultat final :
La tension générée est $0.01394\\ \\mathrm{V}$.
Question 2 : Tension amplifiée lue par afficheur
1. Formule :
$V_{out}=G\\cdot V_{TC}$
2. Calcul :$V_{out}=500\\times0.01394=6.97\\ \\mathrm{V}$
3. Résultat :
La tension affichée est $6.97\\ \\mathrm{V}$.
Question 3 : Puissance radiative du pyromètre
1. Formule générale loi de Stefan-Boltzmann :
$P=\\epsilon\\sigma S T^4$, $\\sigma=5.67\\times10^{-8}\\ \\mathrm{W.m}^{-2}\\mathrm{.K}^{-4}$, $S=0.0014\\ m^2$, $T_3=850^\\circ\\mathrm{C}=1123\\ K$
2. Calcul :$P=0.42\\times5.67\\times10^{-8}\\times0.0014\\times(1123)^4$
$(1123^4=1.597\\times10^{12})$
$P=0.42\\times5.67\\times10^{-8}\\times0.0014\\times1.597\\times10^{12}$
$P=0.42\\times5.67\\times0.0014\\times1.597\\times10^{4}$
$P=0.42\\times5.67\\times0.0014\\times15970=0.42\\times5.67\\times22.358=0.42\\times126.77=53.24$
4. Résultat final :
La puissance radiative est $53.2\\ \\mathrm{W}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une sonde de platine PT100 est utilisée pour la mesure de la température dans une enceinte industrielle. À la température ambiante, sa résistance est $R_0 = 100~\\Omega$ à $T_0 = 0~\\text{°C}$. La variation de sa résistance en fonction de la température est donnée par $R(T) = R_0(1 + \\alpha T)$ avec $\\alpha = 0{,}00385~\\text{°C}^{-1}$. On applique une tension de $V = 10~\\text{V}$ aux bornes d'un pont de Wheatstone comportant la sonde. \n\n1. Calculez la résistance de la sonde pour $T = 120~\\text{°C}$.\n2. Calculez le courant traversant la sonde à cette température.\n3. Calculez la puissance dissipée par effet Joule dans la sonde.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la résistance de la sonde à 120 °C
Formule générale :
$R(T) = R_0 (1 + \\alpha T)$
Remplacement des données :
$R(120) = 100\\,(1+0{,}00385\\times 120)$
Calcul :
$0{,}00385 \\times 120 = 0{,}462$
$R(120) = 100\\,(1+0{,}462) = 100 \\times 1{,}462 = 146{,}2~\\Omega$
Résultat final :
$R(120~\\text{°C}) = 146{,}2~\\Omega$
2. Calcul du courant traversant la sonde à 120 °C
Formule générale (Loi d'Ohm):
$I = \\frac{V}{R}$
Remplacement :
$I = \\frac{10}{146{,}2}$
Calcul :
$I \\approx 0{,}0684~\\text{A}$
Résultat final :
$I = 68,4~\\text{mA}$
3. Calcul de la puissance dissipée par effet Joule
Formule générale :
$P = R(T) \\cdot I^2$
Remplacement :
$P = 146{,}2 \\times (0{,}0684)^2$
$ (0{,}0684)^2 = 0{,}004682$
$P = 146{,}2 \\times 0{,}004682 \\approx 0{,}684~\\text{W}$
Résultat final :
$P \\approx 684~\\text{mW}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une thermistance NTC a une résistance de $R_{NTC}(25~\\text{°C}) = 10~\\text{k}\\Omega$ et un coefficient de température $\\beta = 3500~\\text{K}$. La loi d’évolution est $R(T) = R_0 \\exp\\left[\\beta \\left(\\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_0} \\right)\\right]$ avec $T$ en kelvin. Un générateur de tension continue $V = 5~\\text{V}$ alimente la thermistance.\n\n1. Calculez la résistance de la thermistance à $60~\\text{°C}$.\n2. Calculez le courant traversant la thermistance à cette température.\n3. Déterminez la puissance dissipée pour cette température.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance de la thermistance à 60 °C
Formule générale :
$R(T) = R_0 \\exp \\left[\\beta \\left( \\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_0} \\right) \\right]$
$T_0 = 25~\\text{°C} = 298~\\text{K}, T = 60~\\text{°C} = 333~\\text{K}$
Remplacement :
$R(333) = 10{,}000 \\times \\exp\\left[3500\\,(\\frac{1}{333} - \\frac{1}{298})\\right]$
$\\frac{1}{333} = 0{,}003003; \\frac{1}{298} = 0{,}003356$
$\\Delta = 0{,}003003 - 0{,}003356 = -0{,}000353$
$3500 \\times -0{,}000353 = -1{,}235$
$R(333) = 10{,}000 \\times \\exp(-1{,}235)$
$\\exp(-1{,}235) \\approx 0{,}2911$
$R(333) \\approx 2{,}911~\\text{k}\\Omega$
Résultat final :
$R(60~\\text{°C}) = 2{,}91~\\text{k}\\Omega$
2. Courant traversant la thermistance à cette température
Formule générale :
$I = \\frac{V}{R}$
Remplacement :
$I = \\frac{5}{2911}$
Calcul :
$I = 0{,}001717~\\text{A} = 1{,}72~\\text{mA}$
Résultat final :
$I = 1{,}72~\\text{mA}$
3. Puissance dissipée pour cette température
Formule générale :
$P = R \\cdot I^2$
Remplacement :
$P = 2911 \\times (0{,}001717)^2$
$(0{,}001717)^2 = 0{,}00000295$
$P = 2911 \\times 0{,}00000295 \\approx 0{,}00858~\\text{W}$
Résultat final :
$P = 8,58~\\text{mW}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple de type K (chromel-alumel) est utilisé pour mesurer la température des gaz d’échappement d’un moteur. La tension thermoelectrique générée s'exprime par $E = S(T_{chaud} - T_{froid})$ où $S = 41~\\mu\\text{V}/\\text{°C}$. Le fil chaud est à $T_{chaud} = 524~\\text{°C}$ et le fil froid à $T_{froid} = 33~\\text{°C}$. La résistance globale du thermocouple est $R = 25~\\Omega$.\n\n1. Calculez la tension générée par le thermocouple.\n2. Si on relie le thermocouple à un voltmètre d’impédance infinie, calculez le courant mesuré par le voltmètre.\n3. Calculez la puissance maximale fournie par le thermocouple si l'impédance de charge est optimisée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension générée par le thermocouple
Formule générale :
$E = S (T_{chaud} - T_{froid})$
Remplacement :
$E = 41~\\mu\\text{V}/\\text{°C} \\times (524 - 33)$
$524 - 33 = 491$
$E = 41 \\times 491 = 20131~\\mu\\text{V}$
$20131~\\mu\\text{V} = 20,131~\\text{mV}$
Résultat final :
$E = 20,13~\\text{mV}$
2. Courant mesuré par le voltmètre (impédance infinie)
Formule générale :
$I = \\frac{E}{R_{tot}} $
Remplacement :
$I = \\frac{0{,}020131}{25}$
Calcul :
$I = 0{,}000805~\\text{A} = 0,805~\\text{mA}$
Attention : pour une impédance infinie, aucun courant ne circule :
$I = 0~\\text{A}$
Résultat final effectif :
$I = 0~\\text{A}$
3. Puissance maximale fournie (charge optimisée)
Formule générale (charge = résistance interne):
$P_{max} = \\frac{E^2}{4 R}$
Remplacement :
$P_{max} = \\frac{(0{,}020131)^2}{4 \\times 25}$
$(0{,}020131)^2 = 0{,}000405269$
$4 \\times 25 = 100$
$P_{max} = \\frac{0{,}000405269}{100} = 0{,}00000405269~\\text{W}$
$P_{max} = 4,05~\\mu\\text{W}$
Résultat final :
$P_{max} = 4,05~\\mu\\text{W}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 1 : Sonde de platine (PT100) en pont de Wheatstone\n\nUne sonde de platine PT100 est utilisée dans un montage en pont de Wheatstone alimenté par une tension $V_{al} = 5{,}0\\ \\mathrm{V}$. À une température de référence $T_{ref} = 0\\ ^\\circ\\mathrm{C}$, la résistance de la sonde vaut $R_{ref} = 100\\ \\Omega$. Son coefficient de température est $\\alpha = 0,00385\\ \\mathrm{K}^{-1}$. Les autres résistances du pont sont équilibrées à $100\\ \\Omega$.\n Le fil mesure $L = 1,50\\ \\mathrm{m}$ avec une résistivité de connexion de $\\rho = 2{,}4\\times 10^{-8}\\ \\Omega\\ \\mathrm{m}$ et une section de $S = 0,5\\ \\mathrm{mm^2}$. La température atteint $T = 85\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.\n\n1. Calculez la résistance de la sonde à $85\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.\n2. Calculez la résistance totale des fils de connexion.\n3. Calculez la tension différentielle de sortie du pont de Wheatstone à cette température.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance de la sonde à $85\\ ^\\circ\\mathrm{C}$
Formule générale : $R(T) = R_{ref} (1 + \\alpha \\Delta T)$
Remplacement : $R(85) = 100 \\times (1 + 0,00385 \\times 85)$
Calcul : $R(85) = 100 \\times (1 + 0,32725) = 100 \\times 1,32725 = 132,73\\ \\Omega$
Résultat : $R(85) = 132,73\\ \\Omega$
\n2. Résistance totale des fils de connexion
Formule générale : $R_{fil} = \\rho \\dfrac{L}{S}$
Remplacement : $S = 0,5\\ \\mathrm{mm^2} = 0,5 \\times 10^{-6}\\ \\mathrm{m^2}$
$R_{fil} = 2,4 \\times 10^{-8} \\dfrac{1,50}{0,5 \\times 10^{-6}}$
Calcul : $R_{fil} = 2,4 \\times 10^{-8} \\times \\dfrac{1,50}{0,5 \\times 10^{-6}} = 2,4 \\times 10^{-8} \\times 3 \\times 10^{6} = 0,072\\ \\Omega$
Résultat pour 2 fils : $R_{tot,fil} = 2 \\times 0,072 = 0,144\\ \\Omega$
\n3. Tension différentielle de sortie du pont
Formule : Pour un pont déséquilibré avec $R_1 = R_{ref,fils}$ et $R_2 = R_{ref}$ à gauche, $V_{out} = V_{al} \\dfrac{\\left(\\dfrac{R_1}{R_1 + R_2} - \\dfrac{R_3}{R_3 + R_4}\\right)}{1}$ avec $R_1 = 132,87\\ \\Omega$, $R_2 = 100\\ \\Omega$, $R_3 = 100\\ \\Omega$, $R_4 = 100\\ \\Omega$
Remplacement : $V_{out} = 5{,}0 \\left[\\dfrac{132,87}{232,87} - \\dfrac{100}{200}\\right]$
Calcul : $\\dfrac{132,87}{232,87} \\approx 0,5707$ ; $\\dfrac{100}{200} = 0,5$
$V_{out} = 5,0 \\times (0,5707 - 0,5) = 5,0 \\times 0,0707 = 0,353\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $V_{out} = 0,353\\ \\mathrm{V}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 2 : Thermistance NTC et circuit de linéarisation\n\nUne thermistance NTC possède une résistance à $25\\ ^\\circ\\mathrm{C}$ de $R_{25} = 10\\ \\mathrm{k\\Omega}$, son coefficient beta est $\\beta = 3500\\ \\mathrm{K}$. On la place dans un circuit série avec une résistance de linéarisation $R_{L} = 6,8\\ \\mathrm{k\\Omega}$ alimenté sous $5,0\\ \\mathrm{V}$. La température passe de $25\\ ^\\circ\\mathrm{C}$ à $55\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.\n\n1. Calculez la résistance de la thermistance à $55\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.\n2. Déterminez le courant dans le circuit à cette température.\n3. Calculez la tension aux bornes de la thermistance pour $T = 55\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance de la thermistance à $55\\ ^\\circ\\mathrm{C}$
Formule NTC : $R(T) = R_{25} \\exp\\left[\\beta\\left(\\dfrac{1}{T} - \\dfrac{1}{T_{25}}\\right)\\right]$ (T en K)
Remplacement : $T = 328,15\\ \\mathrm{K}$, $T_{25} = 298,15\\ \\mathrm{K}$
Calcul de l’exposant : $\\dfrac{1}{328,15} - \\dfrac{1}{298,15} \\approx 0,003047 - 0,003354 = -0,000307$
$R(55) = 10 \\times 10^3 \\exp[3500\\times(-0,000307)] = 10 \\times 10^3 \\exp[-1,0739] = 10.000 \\times 0,3416 = 3416\\ \\Omega$
Résultat : $R_{NTC,55} = 3416\\ \\Omega$
\n2. Courant dans le circuit
Formule générale : $I = \\dfrac{V}{R_L + R_{NTC,55}}$
Remplacement : $I = \\dfrac{5,0}{6800 + 3416} = \\dfrac{5,0}{10216}$
Calcul : $I = 0,000489\\ \\mathrm{A}$
Résultat : $I = 489\\ \\mathrm{\\mu A}$
\n3. Tension aux bornes de la thermistance
Formule : $U_{NTC} = I\\times R_{NTC,55}$
Remplacement : $U_{NTC} = 0,000489 \\times 3416 = 1,672\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $U_{NTC} = 1,67\\ \\mathrm{V}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Exercice 3 : Thermocouple et puissance mesurée par pyromètre\n\nUn thermocouple type K ($S_{th} = 41\\ \\mu\\mathrm{V.K}^{-1}$) mesure la température d’une surface chaude supposée à $420\\ ^\\circ\\mathrm{C}$ alors que la jonction froide est à $20\\ ^\\circ\\mathrm{C}$. La résistance du thermocouple est $r = 85\\ \\Omega$.\n Un pyromètre optique de coefficient $C = 8,5 \\times 10^{-9} \\ \\mathrm{W/K^{4}}$ reçoit un signal de puissance de la même surface, dont l’aire est $A = 9,0\\ \\mathrm{cm^2}$.\n\n1. Calculez la tension générée par le thermocouple.\n2. Calculez l’intensité traversant un voltmètre de résistance $R_v = 1,0\\ \\mathrm{k\\Omega}$ placé aux bornes du thermocouple.\n3. Calculez la puissance rayonnée par la surface et la température mesurée si le signal détecté est $P = 158\\ \\mathrm{mW}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension générée par le thermocouple
Formule générale : $e_{th} = S_{th}\\times (T_{chaude} - T_{froide})$
Remplacement : $e_{th} = 41 \\times 10^{-6} \\times (420 - 20)$
Calcul : $e_{th} = 41 \\times 10^{-6} \\times 400 = 16,4 \\times 10^{-3}\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $e_{th} = 16,4\\ \\mathrm{mV}$
\n2. Intensité traversant le voltmètre
Formule générale : $I = \\dfrac{e_{th}}{R_v + r}$
Remplacement : $I = \\dfrac{16,4\\times 10^{-3}}{1000 + 85}$
Calcul : $I = \\dfrac{16,4\\times 10^{-3}}{1085} = 1,51 \\times 10^{-5}\\ \\mathrm{A}$
Résultat : $I = 15,1\\ \\mu\\mathrm{A}$
\n3. Puissance rayonnée et température mesurée par le pyromètre
Formule : Puissance théorique : $P = C \\times A \\times T^4$.
Remplacement : $A = 9,0\\ \\mathrm{cm^2} = 9,0 \\times 10^{-4}\\ \\mathrm{m^2}$, $P = 158\\ \\mathrm{mW} = 0,158\\ \\mathrm{W}$
Recherche de $T :$ $T^4 = \\dfrac{P}{C\\times A}$
Calcul : $T^4 = \\dfrac{0,158}{8,5 \\times 10^{-9} \\times 9,0 \\times 10^{-4}}$
$T^4 = \\dfrac{0,158}{7,65 \\times 10^{-12}} = 2,07 \\times 10^{10}$
$T = (2,07 \\times 10^{10})^{1/4} = 400,9\\ \\mathrm{K}$
Résultat : Température mesurée $T = 401\\ \\mathrm{K} = 127,9\\ ^\\circ\\mathrm{C}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Une sonde de platine type PT100 de résistance nominale $R_0 = 100\\;\\Omega$ à $T_0 = 0\\;°C$ est utilisée dans une centrale thermique. Le coefficient de température est $\\alpha = 3,85 \\times 10^{-3}\\;°C^{-1}$. On place la sonde dans un circuit de mesure en pont de Wheatstone alimenté sous une tension $V_{al} = 10\\;V$.
1. Calculez la résistance de la sonde lorsqu'elle est à $115\\;°C$.
2. Calculez la tension de déséquilibre du pont de Wheatstone à cette température.
3. Estimez la puissance dissipée par la sonde dans ces conditions de mesure.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Résistance de la sonde à $115\\;°C$.
1. Formule générale : $R_T = R_0 (1 + \\alpha (T - T_0))$
2. Remplacement : $R_T = 100 \\times (1 + 3,85\\times10^{-3}\\times 115)$
3. Calcul : $R_T = 100 \\times (1 + 0,44275) = 100 \\times 1,44275 = 144,275\\;\\Omega$
4. Résultat final : $\\boxed{144,3\\;\\Omega}$
Question 2 : Tension de déséquilibre.
1. Formule générale (pont de Wheatstone déséquilibré) : $V_{ab} = V_{al} \\frac{R_2}{R_1 + R_2} - V_{al} \\frac{R_4}{R_3 + R_4}$
Ici, supposons $R_1 = R_3 = 100\\;\\Omega$ et $R_2 = R_T$, $R_4 = 100\\;\\Omega$
2. Remplacement : $V_{ab} = 10 \\frac{144,275}{100+144,275} - 10 \\frac{100}{100+100}$
3. Calcul : $V_{ab} = 10 \\times 0,59037 - 10 \\times 0,5 = 5,9037 - 5 = 0,9037\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{0,90\\;V}$
Question 3 : Puissance dissipée.
1. Formule générale : $P = \\frac{U^2}{R}$, ici $P_{sonde} = \\frac{V_{sonde}^2}{R_T}$
Si la tension aux bornes de la branche est $V_{branche} = V_{al}$, alors
2. Remplacement : $P = \\frac{(10)^2}{144,275}= \\frac{100}{144,275}$
3. Calcul : $P = 0,693\\;W$
4. Résultat final : $\\boxed{0,69\\;W}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Les capteurs de température",
"question": "Un thermocouple chromel-alumel est utilisé pour mesurer la température d’un four. L’extrémité chaude est placée dans le four, l’extrémité froide est maintenue à $0\\;°C$. La force électromotrice mesurée est $E=29,5\\;mV$. Le coefficient d’étalonnage du thermocouple est $S=41,0\\;\\mu V/°C$.
1. Calculez la température mesurée par le thermocouple.
2. Si la résistance totale du circuit retour est $12,5\\;\\Omega$ et le courant généré $i=0,8\\;mA$, calculez la chute de tension parasite.
3. On souhaite réaliser la même mesure à distance, mais en utilisant un câble compensé de $14\\;m$ de cuivre de $\\rho=1,7\\times 10^{-8}\\;\\Omega\\cdot m$ et d’un diamètre de $0,6\\;mm$.
Calculez l’erreur thermique engendrée, en supposant une différence de température de $4,0\\;°C$ à chaque extrémité du câble.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Température mesurée.
1. Formule générale : $E = S \\Delta T$, donc $\\Delta T = \\frac{E}{S}$
2. Remplacement : $\\Delta T = \\frac{29,5\\;10^{-3}\\;V}{41,0\\;10^{-6}\\;V/°C}$
3. Calcul : $\\Delta T = 719,5\\;°C$
4. Résultat final : $\\boxed{719,5\\;°C}$
Question 2 : Chute de tension parasite.
1. Formule générale : $U_{par}=i R$
2. Remplacement : $U_{par}=0,8\\times 10^{-3} \\times 12,5$
3. Calcul : $U_{par}=0,01\\;V = 10\\;mV$
4. Résultat final : $\\boxed{10\\;mV}$
Question 3 : Erreur thermique par effet câble.
1. Formule : Résistance du câble : $R_{câble}=\\rho \\frac{l}{S}$, $S=\\pi d^2/4$
2. Remplacement : $S=\\pi\\times(0,6\\times10^{-3})^2/4=2,827\\times10^{-7}\\;m^2$, $R_{câble}=1,7\\times10^{-8}\\times\\frac{14}{2,827\\times10^{-7}}=0,84\\;\\Omega$
Le courant parasite, $i=E/R_{câble}=29,5\\times10^{-3}/0,84=0,035\\;A$, mais pour erreur thermique due à$\\Delta T = 4,0\\;°C$ extrémités, EMF parasite : $E_{err}=S\\times\\Delta T=41,0\\times 10^{-6}\\times4,0=164\\mu V=0,164\\;mV$
4. Résultat final : $\\boxed{0,164\\;mV}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "28"
},
{
"question": "On utilise une photorésistance pour mesurer un éclairement variable. Le capteur présente une résistance dépendant de l’éclairement selon la loi :$R(L) = R_0 \\left(\\dfrac{L_0}{L}\\right)^{\\alpha}$, avec $R_0 = 10~\\text{k}\\Omega$, $L_0 = 100~\\text{lx}$ et $\\alpha = 0,7$.Le capteur est monté en pont diviseur avec une résistance fixe $R_f = 5~\\text{k}\\Omega$ alimentée sous une tension $V_{cc} = 12~\\text{V}$.1. Déterminer la tension de sortie $V_s$ en fonction de l’éclairement $L$.2. Calculer $V_s$ pour $L = 50~\\text{lx}$ et $L = 400~\\text{lx}$.3. Déterminer la sensibilité $S = \\dfrac{dV_s}{dL}$ à $L = 100~\\text{lx}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression de Vs :
Formule du pont diviseur : $V_s = V_{cc} \\dfrac{R_f}{R(L) + R_f}$.
Substitution de $R(L)$ :$V_s = 12 \\dfrac{5\\,000}{10\\,000 \\left(\\dfrac{100}{L}\\right)^{0,7} + 5\\,000}$.2. Calculs numériques :
Pour $L = 50~\\text{lx}$ :$R(50) = 10\\,000 \\left(\\dfrac{100}{50}\\right)^{0,7} = 10\\,000 (2^{0,7}) = 16\\,200~\\Omega$.$V_s = 12 \\dfrac{5\\,000}{16\\,200 + 5\\,000} = 12 \\times 0,236 = 2,83~\\text{V}$.Pour $L = 400~\\text{lx}$ :$R(400) = 10\\,000 \\left(\\dfrac{100}{400}\\right)^{0,7} = 10\\,000 (0,25^{0,7}) = 3\\,000~\\Omega$.$V_s = 12 \\dfrac{5\\,000}{3\\,000 + 5\\,000} = 12 \\times 0,625 = 7,50~\\text{V}$.3. Sensibilité à L=100~lx :
$S = \\dfrac{dV_s}{dL} = \\dfrac{d}{dL}\\left[12 \\dfrac{5\\,000}{10\\,000(100/L)^{0,7} + 5\\,000}\\right]$.Après dérivation et évaluation à $L=100$ :$S = 12\\times5\\,000 \\times 10\\,000 \\times 0,7(100)^{-0,7}(100)^{-1}/(15\\,000)^2 ≈ 0,0109~\\text{V/lx}$.
"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "On utilise une photodiode silicium polarisée en inverse sous $V_d = 5~\\text{V}$, exposée à un éclairement $L = 2~\\text{mW/cm}^2$ sur une surface de $A = 0,1~\\text{cm}^2$. La sensibilité spectrale du capteur est $R_\\lambda = 0,45~\\text{A/W}$. 1. Déterminer le courant photoélectrique généré $I_p$. 2. Calculer la tension de sortie $V_s$ obtenue en plaçant une résistance de charge $R_L = 50~\\text{k}\\Omega$ entre l’anode et la masse. 3. Évaluer la variation du courant photoélectrique si l’éclairement augmente de 50%.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul du courant photoélectrique :
Formule :$I_p = R_\\lambda P_{inc}$ où $P_{inc} = L A$.Remplacement :$P_{inc} = 2\\times10^{-3}\\times0,1 = 2\\times10^{-4}~\\text{W}$.$I_p = 0,45\\times2\\times10^{-4} = 9,0\\times10^{-5}~\\text{A} = 90~\\mu\\text{A}$.2. Tension de sortie :
$V_s = I_p R_L = 9,0\\times10^{-5}\\times50\\,000 = 4,5~\\text{V}$.3. Si L augmente de 50% :
$L' = 1,5L \\Rightarrow I'_p = 1,5I_p = 135~\\mu\\text{A}$.$\\Delta I = I'_p - I_p = 45~\\mu\\text{A}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Un phototransistor en configuration émetteur commun présente un gain en courant $\\beta = 100$. Son courant de base photo-induit est $I_{ph} = 2~\\mu\\text{A}$. La résistance de collecteur est $R_C = 2~\\text{k}\\Omega$ et la tension d’alimentation $V_{CC} = 10~\\text{V}$.1. Déterminer le courant de collecteur $I_C$.2. Calculer la tension de sortie au collecteur $V_C$.3. Si l’éclairement augmente de 30%, calculer la nouvelle tension de sortie et la variation correspondante.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Courant de collecteur :
Formule :$I_C = \\beta I_{ph}$.Remplacement :$I_C = 100\\times2\\times10^{-6} = 2,0\\times10^{-4}~\\text{A} = 0,2~\\text{mA}$.2. Tension de collecteur :
$V_C = V_{CC} - I_C R_C$.$V_C = 10 - (0,2\\times10^{-3})(2\\times10^3) = 9,6~\\text{V}$.3. Si l’éclairement augmente de 30% :
$I'_{ph} = 1,3 I_{ph} = 2,6~\\mu\\text{A}$.$I'_C = 100\\times2,6\\times10^{-6} = 0,26~\\text{mA}$.$V'_C = 10 - 0,26\\times10^{-3}\\times2\\times10^3 = 9,48~\\text{V}$.Variation :$\\Delta V = 9,6 - 9,48 = 0,12~\\text{V}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Une photorésistance (LDR) est utilisée dans un montage de mesure d’éclairement. Sa résistance suit la loi $R = R_0 \\left(\\frac{E}{E_0}\\right)^{-\\alpha}$, où $R_0 = 10\\, k\\Omega$ pour $E_0 = 10\\, lx$ et $\\alpha = 0.7$. Elle est placée dans un pont diviseur de tension alimenté sous $V_{cc} = 12\\, V$ avec une résistance fixe $R_f = 10\\, k\\Omega$ connectée en série.\n1. Calculer la valeur de $R$ lorsque $E = 100\\, lx$.\n2. Déterminer la tension de sortie $V_s$ du pont diviseur.\n3. Calculer la variation relative $\\frac{\\Delta V_s}{\\Delta E}$ et interpréter sa signification pour la sensibilité du capteur.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $R = R_0 \\left(\\frac{E}{E_0}\\right)^{-\\alpha}$
Remplacement : $R = 10\\,000 \\left(\\frac{100}{10}\\right)^{-0.7}$
Calcul : $R = 10\\,000 \\times (10)^{-0.7} = 10\\,000 / 5.012 = 1995\\, \\Omega$
Résultat final : $R = 2.0\\, k\\Omega$.
\nQuestion 2 :
Formule : $V_s = V_{cc} \\frac{R_f}{R + R_f}$
Remplacement : $V_s = 12 \\times \\frac{10\\,000}{1995 + 10\\,000} = 12 \\times 0.833 = 9.996\\, V$
Résultat final : $V_s \\approx 10.0\\, V$.
\nQuestion 3 :
Variation relative : $\\frac{dV_s}{dE} = \\frac{dV_s}{dR} \\cdot \\frac{dR}{dE}$
Formule 1 : $\\frac{dV_s}{dR} = -V_{cc} \\frac{R_f}{(R+R_f)^2}$
Formule 2 : $\\frac{dR}{dE} = -\\alpha R_0 \\frac{E_0^{\\alpha}}{E^{\\alpha+1}}$
Remplacement et simplification : $\\frac{\\Delta V_s}{\\Delta E} \\approx 0.035\\, V/lx$
Résultat final : Le capteur présente une sensibilité de $35\\, mV/lx$ dans cette zone.
",
"id_category": "2",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Une photodiode est utilisée en mode photoconducteur. Lorsque la puissance optique incidente est $P = 200\\, \\mu W$, la longueur d’onde $\\lambda = 850\\, nm$, et la responsivité $R = 0.6\\, A/W$.\n1. Calculer le courant photo-généré $I_p$.\n2. Si la photodiode est polarisée sous $V_D = 10\\, V$ avec une résistance de charge $R_L = 1\\, k\\Omega$, déterminer la tension de sortie.\n3. Calculer le bruit de courant thermique associé à $R_L$ pour une bande passante de $B = 10\\, kHz$ à température ambiante.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $I_p = R \\times P$
Remplacement : $I_p = 0.6 \\times 200 \\times 10^{-6}$
Calcul : $I_p = 120 \\times 10^{-6} = 120\\, \\mu A$
Résultat final : $I_p = 120\\, \\mu A$.
\nQuestion 2 :
Formule : $V_s = I_p \\times R_L$
Remplacement : $V_s = 120\\times10^{-6} \\times 1000 = 0.12\\, V$
Résultat final : $V_s = 0.12\\, V$.
\nQuestion 3 :
Formule du bruit thermique : $i_n = \\sqrt{\\frac{4 k T B}{R_L}}$
Remplacement : $i_n = \\sqrt{\\frac{4 \\times 1.38 \\times 10^{-23} \\times 300 \\times 10^4}{1000}}$
Calcul : $i_n = \\sqrt{1.656 \\times 10^{-14}} = 1.29 \\times 10^{-7} A = 0.129\\, \\mu A$
Résultat final : $i_n = 0.129\\, \\mu A$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Un phototransistor est utilisé dans un montage amplificateur pour la détection d’un faisceau lumineux. Le courant de base est généré par un flux lumineux de puissance $P = 50\\, \\mu W$ à $\\lambda = 800\\, nm$, la responsivité du matériau est $R = 0.5\\, A/W$ et le gain du transistor est $\\beta = 100$. La résistance de charge est $R_c = 2\\, k\\Omega$ et l’alimentation vaut $V_{CC} = 10\\, V$.\n1. Calculer le courant photo de base $I_b$.\n2. Déterminer le courant collecteur total $I_c$.\n3. Calculer la tension de sortie $V_s$ du phototransistor.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $I_b = R \\times P$
Remplacement : $I_b = 0.5 \\times 50 \\times 10^{-6} = 25 \\times 10^{-6}\\, A$
Résultat final : $I_b = 25\\, \\mu A$.
\nQuestion 2 :
Formule : $I_c = \\beta \\times I_b$
Remplacement : $I_c = 100 \\times 25 \\times 10^{-6} = 2.5 \\times 10^{-3}\\, A$
Résultat final : $I_c = 2.5\\, mA$.
\nQuestion 3 :
Formule : $V_s = V_{CC} - I_c R_c$
Remplacement : $V_s = 10 - (2.5 \\times 10^{-3} \\times 2000) = 10 - 5 = 5\\, V$
Résultat final : $V_s = 5\\, V$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Caractérisation d'une photorésistance sous différentes intensités lumineuses
Une photorésistance est soumise à une intensité lumineuse variable. Sa résistance dépend inversement de la luminosité selon :
$R = \\frac{K}{L}$
avec $L$ l'intensité lumineuse (en lux) et $K = 5000$ Ω·lux.
Question 1 : Calculer la résistance $R$ pour une intensité lumineuse $L = 200$ lux.
Question 2 : Déterminer la variation de la résistance lorsque la luminosité augmente de $50$ %, à partir du point précédent.
Question 3 : Si la photorésistance est connectée en série avec une résistance fixe de $10$ kΩ alimentée par une tension $V_s = 12$ V, calculer la tension aux bornes de la photorésistance avec $L = 200$ lux.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Utilisation de la relation :
$R = \\frac{K}{L}$
2. Calcul :
$R = \\frac{5000}{200} = 25 \\Omega$
Question 2 :
1. Nouvelle intensité :
$L_{new} = 1.5 \\times 200 = 300 \\text{ lux}$
2. Nouvelle résistance :
$R_{new} = \\frac{5000}{300} = 16.67 \\Omega$
3. Variation relative :
$\\Delta R = \\frac{R - R_{new}}{R} = \\frac{25 - 16.67}{25} = 0.333 = 33.3 \\%$
Question 3 :
1. Tension aux bornes de la photorésistance :
Le montage est un diviseur de tension :
$V_{ph} = V_s \\times \\frac{R}{R + R_f}$
avec $R_f = 10 \\times 10^3 = 10,000 \\Omega$ et $R = 25 \\Omega$ :
$V_{ph} = 12 \\times \\frac{25}{25 + 10000} = 12 \\times \\frac{25}{10025} = 0.03 \\text{ V}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Analyse de phototransistor en circuit amplificateur
Un phototransistor présente un courant d'éclairement $I_{ph} = 10$ µA sous une illumination donnée. Le gain en courant est $\\beta = 150$. Le courant de fuite dans l'obscurité est $I_{dark} = 0.5$ µA.
La phototransistor est polarisé sous une tension $V_{ce} = 5$ V avec une résistance de charge $R_c = 1$ kΩ en sortie.
Question 1 : Calculer le courant total collecteur $I_c$.
Question 2 : Déterminer la tension de sortie $V_{out}$ aux bornes de $R_c$.
Question 3 : Calculer la puissance électrique consommée dans la résistance de charge.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Le courant total collecteur :
$I_c = \\beta I_{ph} + I_{dark} = 150 \\times 10 \\times 10^{-6} + 0.5 \\times 10^{-6} = 1.5 \\times 10^{-3} + 0.5 \\times 10^{-6} = 1.5005 \\times 10^{-3} \\text{ A}$
Question 2 :
1. La tension aux bornes de la résistance de charge :
$V_{out} = R_c \\times I_c = 1000 \\times 1.5005 \\times 10^{-3} = 1.5005 \\text{ V}$
Question 3 :
1. La puissance dissipée dans
$R_c$ est :
$P = V_{out} \\times I_c = 1.5005 \\times 1.5005 \\times 10^{-3} = 2.2515 \\times 10^{-3} \\text{ W} = 2.25 \\text{ mW}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Grandeurs photométriques et éclairement d’un capteur\n\nUn capteur photométrique est placé à une distance $d = 2\\,m$ d’une source lumineuse ponctuelle d’intensité lumineuse $I = 150\\,cd$. La surface active du capteur est de $A = 4\\,cm^2$ et il est orienté perpendiculairement à la direction de la lumière.\n\n1. Calculer l’éclairement reçu par le capteur.\n2. Calculer le flux lumineux total reçu par le capteur.\n3. Déterminer la variation d’éclairement si la distance double (soit $d' = 4\\,m$).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $E = \\dfrac{I}{d^2}$
2. Remplacement : $E = \\dfrac{150}{(2)^2}$
3. Calcul : $E = 37.5\\,lx$
4. Résultat final : $E = 37.5\\,lx$
\n1. Formule : $\\Phi = E \\times A$
2. Conversion : $A = 4\\,cm^2 = 4\\times10^{-4}\\,m^2$
3. Remplacement : $\\Phi = 37.5 \\times 4\\times10^{-4}$
4. Calcul : $\\Phi = 0.015\\,lm$
\n1. Nouvelle distance : $E' = \\dfrac{I}{(4)^2}$
2. Calcul : $E' = \\dfrac{150}{16} = 9.375\\,lx$
3. Variation : $\\dfrac{E'}{E} = \\left(\\dfrac{d}{d'}\\right)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
4. Résultat final : éclairement divisé par 4.
",
"id_category": "2",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Réponse d’une photorésistance\n\nUne photorésistance a une résistance qui varie selon la loi $R = kE^{-\\alpha}$ avec $k = 5000\\,\\Omega \\cdot lx^{\\alpha}$ et $\\alpha = 0.7$. Elle est insérée dans un pont diviseur alimenté par une tension d'entrée $V_{in} = 10\\,V$ avec une résistance fixe $R_1 = 10\\,k\\Omega$.\n\n1. Calculer la résistance de la photorésistance pour un éclairement $E = 100\\,lx$.\n2. Déterminer la tension de sortie du pont diviseur $V_{out}$.\n3. Déterminer la variation de $V_{out}$ lorsque l’éclairement passe à $E = 400\\,lx$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $R = kE^{-\\alpha}$
2. Remplacement : $R = 5000\\times100^{-0.7}$
3. Calcul : $R = 5000\\times0.0199 = 99.5\\,\\Omega$
4. Résultat final : $R = 99.5\\,\\Omega$
\n1. Pont diviseur : $V_{out} = V_{in} \\dfrac{R}{R + R_1}$
2. Remplacement : $V_{out} = 10 \\dfrac{99.5}{99.5 + 10000}$
3. Calcul : $V_{out} = 10 \\times 0.0099 = 0.099\\,V$
\n1. Nouveau E : $R' = 5000 \\times 400^{-0.7}$
2. Calcul : $R' = 5000\\times 0.0083 = 41.5\\,\\Omega$
3. $V'_{out} = 10 \\times \\dfrac{41.5}{41.5 + 10000} = 0.041\\,V$
4. Variation : $\\Delta V = V'_{out} - V_{out} = -0.058\\,V$ → tension décroît avec l’éclairement.
",
"id_category": "2",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Photodiode en régime photoconducteur\n\nOn considère une photodiode de surface sensible $A = 1\\,cm^2$ fonctionnant sous tension inverse $V = 5\\,V$. Le flux lumineux reçu est $\\Phi = 500\\,\\mu W$ d’une longueur d’onde $\\lambda = 800\\,nm$. Le rendement quantique de la photodiode est $\\eta = 0.8$.\n\n1. Calculer le nombre de photons incidents par seconde sur la surface sensible.\n2. Déterminer le courant photocourant généré par la photodiode.\n3. Calculer la résistance dynamique équivalente associée à ce photocourant.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $E_{photon} = \\dfrac{hc}{\\lambda}$
2. Constantes : $h = 6.626\\times10^{-34}\\,J·s$, $c = 3\\times10^8\\,m/s$, $\\lambda = 800\\times10^{-9}\\,m$
3. Calcul : $E_{photon} = \\dfrac{6.626\\times10^{-34}\\times3\\times10^8}{8\\times10^{-7}} = 2.48\\times10^{-19}\\,J$
4. Nombre de photons : $N = \\dfrac{\\Phi}{E_{photon}} = \\dfrac{5\\times10^{-4}}{2.48\\times10^{-19}} = 2.02\\times10^{15}\\,photons/s$.
\n1. Photocourant : $I_{ph} = \\eta q N$
2. Remplacement : $I_{ph} = 0.8\\times1.6\\times10^{-19}\\times2.02\\times10^{15}$
3. Calcul : $I_{ph} = 2.59\\times10^{-4}\\,A$
4. Résultat : $I_{ph} = 259\\,\\mu A$
\n1. Résistance dynamique : $R_d = \\dfrac{V}{I_{ph}}$
2. Remplacement : $R_d = \\dfrac{5}{2.59\\times10^{-4}} = 19305\\,\\Omega$
3. Résultat final : $R_d = 19.3\\,k\\Omega$
",
"id_category": "2",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Calculs photométriques et conversion entre les grandeurs lumineuses.\n\nUne source lumineuse émet une puissance radiante de $P_r = 2$ W à une longueur d’onde de $\\lambda = 550$ nm (maximum de sensibilité de l’œil humain).\n\n1. Calculez le flux lumineux $\\Phi_v$ associé en utilisant l’efficacité lumineuse à 550 nm : $K_m = 683$ lm/W.\n2. Déterminez l’éclairement lumineux $E_v$ sur une surface plane de $S = 0.1$ m² située à une distance de $r = 2$ m, la source étant ponctuelle et isotrope.\n3. Calculez la luminance de cette source si sa surface apparente vaut $A = 5\\times10^{-4}$ m².",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Flux lumineux :
Formule : $\\Phi_v = K_m P_r V(\\lambda)$ avec $V(550\\,\\text{nm}) = 1$.
Remplacement : $\\Phi_v = 683 \\times 2 \\times 1$
Calcul : $\\Phi_v = 1366$ lm.
\n2. Éclairement lumineux :
Formule isotrope : $E_v = \\frac{\\Phi_v}{4\\pi r^2}$
Remplacement : $E_v = \\frac{1366}{4\\pi\\times2^2}$
Calcul : $E_v = 27.2$ lux.
\n3. Luminance :
Formule : $L_v = \\frac{\\Phi_v}{\\pi A}$
Remplacement : $L_v = \\frac{1366}{3.1416\\times5\\times10^{-4}}$
Calcul : $L_v = 8.7\\times10^5$ cd/m².
",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Caractérisation d’une photorésistance sous illumination variable.\n\nUne photorésistance a une résistance d’obscurité de $R_{noir} = 2\\times10^5$ Ω et une résistance sous un éclairement $E_v = 100$ lux égale à $R_{lum} = 5\\times10^3$ Ω.\n\nOn suppose une loi empirique : $R(E_v) = kE_v^{-n}$.\n\n1. Déterminez les constantes $k$ et $n$ à partir des données fournies.\n2. Calculez la résistance quand $E_v = 400$ lux.\n3. Déterminez le courant traversant la photorésistance lorsqu’elle est reliée à une tension $U = 12$ V sous cet éclairement.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Détermination de k et n :
Formule : $R_1 = kE_1^{-n}$ et $R_2 = kE_2^{-n}$
Ratio : $\\frac{R_1}{R_2} = (\\frac{E_2}{E_1})^n$
Remplacement : $\\frac{2\\times10^5}{5\\times10^3} = (\\frac{100}{1})^n$
Calcul : $40 = 100^n ⇒ n = \\frac{\\log(40)}{\\log(100)} = 0.8$.
Constante k : $k = R_2 E_2^{n} = 5\\times10^3 \\times 100^{0.8} = 3.15\\times10^5$.
\n2. Résistance pour E_v = 400 lux :
Formule : $R = kE_v^{-n}$
Remplacement : $R = 3.15\\times10^5 \\times 400^{-0.8}$
Calcul : $R = 1180$ Ω.
\n3. Courant sous U = 12 V :
Formule : $I = \\frac{U}{R}$
Remplacement : $I = \\frac{12}{1180}$
Calcul : $I = 0.0102$ A ou 10.2 mA.
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Étude d’un phototransistor dans un montage collecteur commun.\n\nUn phototransistor est polarisé sous une tension d’alimentation $V_{CC} = 10$ V à travers une résistance de collecteur $R_C = 1$ kΩ.\n\nSous un flux lumineux d’intensité $Φ_v = 800$ lm, le courant de base photo-induit est $I_B = 20$ µA. Le gain en courant du transistor est $β = 100$.\n\n1. Calculez le courant collecteur $I_C$ et le courant total dans le circuit.\n2. Déterminez la tension collecteur-émetteur $V_{CE}$.\n3. Évaluez la variation de la tension de sortie si le flux lumineux est doublé.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul des courants :
Formule : $I_C = β I_B$
Remplacement : $I_C = 100\\times20\\times10^{-6} = 2\\times10^{-3}$ A.
Courant total : $I = I_C = 2$ mA.
\n2. Tension collecteur-émetteur :
Formule : $V_{CE} = V_{CC} - I_C R_C$
Remplacement : $V_{CE} = 10 - 2\\times10^{-3}\\times1000$
Calcul : $V_{CE} = 8$ V.
\n3. Variation avec flux doublé :
Le courant de base devient $I'_B = 40$ µA, donc $I'_C = 100 \\times 40\\times10^{-6} = 4\\times10^{-3}$ A.
Tension : $V'_{CE} = 10 - 4\\times10^{-3}\\times1000 = 6$ V.
Variation : $ΔV = V_{CE} - V'_{CE} = 2$ V.
",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Calculs sur une photodiode en mode photoconductif
Une photodiode fonctionne en polarisation inverse avec une tension $V_b = 5\\,\\text{V}$ et génère un photocourant proportionnel à l'intensité lumineuse incidente $L = 2\\,\\text{mW/cm}^2$. Le coefficient de conversion photoélectrique est $R_p = 0.6\\,\\text{A/W}$.
Question 1 : Calculer le photocourant généré pour cette intensité lumineuse.
Question 2 : Déterminer la puissance électrique délivrée par la photodiode sur une charge $R = 1\\,\\text{k}\\Omega$.
Question 3 : Calculer la tension aux bornes de la charge et le rendement système.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du photocourant
1. La puissance lumineuse incidente sur la photodiode est :
$P = L \\times A$
On considère une surface de photodiode $A = 1\\, \\text{cm}^2$ pour simplifier.
2. Le photocourant est donné par :
$I_{ph} = R_p \\times P = 0.6 \\times 2 \\times 10^{-3} = 1.2 \\times 10^{-3} \\, \\text{A} = 1.2 \\text{mA}$
Question 2 : Puissance délivrée à la charge
1. Résistance $R = 1000\\, \\Omega$, donc :
$P = I_{ph}^2 \\times R = (1.2 \\times 10^{-3})^2 \\times 1000 = 1.44 \\times 10^{-3} \\, \\text{W} = 1.44\\, \\text{mW}$
Question 3 : Tension aux bornes et rendement
1. Tension :
$V = I_{ph} \\times R = 1.2 \\times 10^{-3} \\times 1000 = 1.2 \\, \\text{V}$
2. Rendement approximatif :
Considérant la puissance lumineuse incidente totale
$\\eta = \\frac{P_{électrique}}{P_{lumineux}} = \\frac{1.44 \\times 10^{-3}}{2 \\times 10^{-3}} = 0.72 = 72\\%$
La tension délivrée est 1.2 V et le rendement du système est 72 %.
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Phototransistor à gain amplifié
Un phototransistor NPN génère un photocourant $I_{ph} = 5\\,\\mu\\text{A}$ sous une intensité lumineuse donnée. Le gain en courant du transistor est $\\beta = 200$. La photorésistance dans ce cas est négligeable.
Question 1 : Calculer le courant collecteur total du phototransistor.
Question 2 : Déterminer la puissance maximale dissipée dans le transistor si la tension collecteur-émetteur est $V_{CE} = 10\\,\\text{V}$.
Question 3 : Si la lumière diminue de moitié, calculer la nouvelle valeur du courant collecteur et la puissance dissipée.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du courant collecteur total
1. Le courant collecteur est la somme du photocourant amplifié :
$I_c = \\beta I_{ph} = 200 \\times 5 \\times 10^{-6} = 1 \\times 10^{-3} \\, \\text{A} = 1 \\text{mA}$
Le courant collecteur est 1 mA.
Question 2 : Puissance dissipée maximale dans le transistor
1. Puissance :
$P = V_{CE} \\times I_c = 10 \\times 1 \\times 10^{-3} = 0.01 \\, \\text{W} = 10 \\, \\text{mW}$
La puissance maximale dissipée est 10 mW.
Question 3 : Effet de la diminution de la lumière
1. Nouvelle intensité lumineuse :
$I_{ph2} = \\frac{I_{ph}}{2} = 2.5 \\times 10^{-6} \\, \\text{A}$
2. Nouveau courant collecteur :
$I_{c2} = \\beta I_{ph2} = 200 \\times 2.5 \\times 10^{-6} = 5 \\times 10^{-4} \\, \\text{A} = 0.5 \\, \\text{mA}$
3. Nouvelle puissance dissipée :
$P_2 = V_{CE} \\times I_{c2} = 10 \\times 5 \\times 10^{-4} = 5 \\times 10^{-3} \\, \\text{W} = 5 \\, \\text{mW}$
Le courant collecteur est réduit à 0.5 mA et la puissance dissipée à 5 mW.
",
"id_category": "2",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Un phototransistor reçoit une lumière monochromatique d'intensité lumineuse $\\Phi = 1.2 \\times 10^{-3}$ W/m² à une longueur d'onde $\\lambda = 650$ nm.
Question 1 : Calculez le nombre de photons incidents par seconde sur une surface sensible de $S = 1$ mm².
Question 2 : En supposant un rendement quantique externe de $\\eta = 0.7$, calculez le courant photocourant généré $I_{ph}$.
Question 3 : Si le phototransistor a un gain en courant $\\beta = 100$, calculez le courant collecteur total $I_C$ et déterminez la tension aux bornes d'une résistance de charge $R_L = 10$ kΩ connectée en série.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Calcul de l'énergie d'un photon :
$E_p = \\frac{hc}{\\lambda}$, où :
– $h = 6.626 \\times 10^{-34}$ J·s (constante de Planck)
– $c = 3 \\times 10^8$ m/s (vitesse de la lumière)
– $\\lambda = 650 \\times 10^{-9}$ m
2. Remplacement numérique :
$E_p = \\frac{6.626 \\times 10^{-34} \\times 3 \\times 10^8}{650 \\times 10^{-9}} = 3.056 \\times 10^{-19}$ J
3. Calcul du nombre de photons incidents par seconde :
$n = \\frac{\\Phi \\times S}{E_p}$, avec
– $\\Phi = 1.2 \\times 10^{-3}$ W/m²
– $S = 1 \\times 10^{-6}$ m²
$n = \\frac{1.2 \\times 10^{-3} \\times 1 \\times 10^{-6}}{3.056 \\times 10^{-19}} = 3.93 \\times 10^{9}$ photons/s
Question 2 :
1. Le courant photocourant généré est proportionnel au nombre de photons absorbés et au rendement quantique :
$I_{ph} = e \\times \\eta \\times n$, où
– $e = 1.6 \\times 10^{-19}$ C (charge élémentaire)
– $\\eta = 0.7$
$I_{ph} = 1.6 \\times 10^{-19} \\times 0.7 \\times 3.93 \\times 10^{9} = 4.40 \\times 10^{-10}$ A
Question 3 :
1. Le courant collecteur total est amplifié par le gain en courant :
$I_C = \\beta \\times I_{ph} = 100 \\times 4.40 \\times 10^{-10} = 4.40 \\times 10^{-8}$ A
2. La tension aux bornes de la résistance de charge :
$V_{R_L} = I_C \\times R_L = 4.40 \\times 10^{-8} \\times 10 \\times 10^{3} = 4.40 \\times 10^{-4}$ V = 0.44 mV
Interprétation : Malgré un courant de phototransistor faible, le gain en courant et la forte résistance de charge permettent d'obtenir une tension détectable qui peut être traitée dans un circuit électronique.
",
"id_category": "2",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Une photodiode PIN est éclairée par une lumière d'intensité $\\Phi = 5 \\times 10^{-4}$ W/m² avec une surface photosensible de $S = 2$ mm².
Question 1 : Calculez la puissance reçue par la diode.
Question 2 : Sachant que le courant de saturation est négligeable, calculez le courant photocourant généré si l'efficacité quantique externe est $\\eta = 0.85$.
Question 3 : Déduisez la tension aux bornes d'une résistance de charge $R = 5$ kΩ dans le circuit de la photodiode.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Calcul de la puissance reçue :
$P = \\Phi \\times S = 5 \\times 10^{-4} \\times 2 \\times 10^{-6} = 1 \\times 10^{-9}$ W
Question 2 :
1. Calcul du courant photocourant :
$I_{ph} = e \\times \\eta \\times \\frac{P}{E_p}$, où
– $e = 1.6 \\times 10^{-19}$ C
– $E_p = \\frac{hc}{\\lambda}$ (énergie d'un photon à longueur d'onde
supposée
$\\lambda = 600 \\times 10^{-9}$ m)
2. Calcul :
$E_p = \\frac{6.626 \\times 10^{-34} \\times 3 \\times 10^8}{600 \\times 10^{-9}} = 3.31 \\times 10^{-19}$ J
$I_{ph} = 1.6 \\times 10^{-19} \\times 0.85 \\times \\frac{1 \\times 10^{-9}}{3.31 \\times 10^{-19}} = 4.10 \\times 10^{-10}$ A
Question 3 :
1. Tension aux bornes de la résistance :
$V_R = I_{ph} \\times R = 4.10 \\times 10^{-10} \\times 5 \\times 10^{3} = 2.05 \\times 10^{-6}$ V = 2.05 \\mu V
Interprétation : Le signal obtenu étant très faible, il nécessite un préamplificateur pour traitement ultérieur dans le système électronique.
",
"id_category": "2",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Un photorésistor a une résistance lumineuse qui décroît selon la relation :
Question 1 : En présence d'une illumination $L = 500$ lux, calculez la résistance électrique.Question 2 : Calculez la puissance dissipée par une tension d'alimentation $V = 5$ V appliquée en série avec une résistance de 2 kΩ.Question 3 : Calculez la variation relative de la résistance lorsque l'illumination passe de 500 lux à 1000 lux.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. La résistance lumineuse est donnée par la relation :
$R = R_0 \\left(\\frac{L_0}{L}\\right)^\\gamma$, avec
– $R_0 = 10\\textrm{k}\\Omega$ à $L_0 = 100$ lux
– $\\gamma = 0.7$
2. Calcul pour $L = 500$ lux :
$R = 10 \\times 10^{3} \\times \\left(\\frac{100}{500}\\right)^{0.7} = 10 \\times 10^{3} \\times 0.263 = 2630$ Ω
Question 2 :
1. Le circuit est en série, la résistance totale :
$R_{tot} = R + 2\\textrm{k}\\Omega = 2630 + 2000 = 4630$ Ω
2. Le courant :
$I = \\frac{V}{R_{tot}} = \\frac{5}{4630} = 1.08 \\times 10^{-3}$ A
3. La puissance dissipée dans le photorésistor :
$P = I^2 R = (1.08 \\times 10^{-3})^2 \\times 2630 = 3.07 \\times 10^{-3}$ W
Question 3 :
1. Résistance à $L = 1000$ lux :
$R_{1000} = 10 \\times 10^{3} \\times \\left(\\frac{100}{1000}\\right)^{0.7} = 10 \\times 10^{3} \\times 0.126 = 1260$ Ω
2. Variation relative :
$\\Delta R_{rel} = \\frac{R_{500} - R_{1000}}{R_{500}} = \\frac{2630 - 1260}{2630} = 0.52$
Interprétation : La photorésistance diminue fortement avec l'intensité lumineuse, ici de 52% en doublant la luminosité, ce qui peut être utilisé pour la mesure d'éclairement.
",
"id_category": "2",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice : Analyse et caractérisation d’un photorécepteur
Une photodiode en silicium est utilisée dans une condition où elle reçoit une illumination de flux lumineux mesurant une intensité de $I_{lum} = 10 \\mu\\text{W/cm}^2$. La surface active du détecteur est $S_{det} = 1 \\text{mm}^2$. La caractéristique de la photodiode indique une réponse linéaire dans une gamme de courants photocircuitants allant jusqu’à $I_{ph} = 1 \\text{mA}$.
Question 1 : Calculer le courant photocircuitant en sortie de la diode dans cette condition d’éclairement, en donnant également la sensibilité en A/W.
Question 2 : En supposant une résistance de charge de $R_{load} = 10 \\text{k}\\Omega$, calculer la tension de sortie approximmative sous illumination.
Question 3 : Déduire la sensibilité en volts par lux si le flux lumineux est uniformément réparti et en déduire la réponse en volts par unité de flux lumineux dans les conditions données.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du courant photocircuitant
1. La sensibilité de la photodiode est :
$S = \\frac{I_{ph}}{\\Phi}$ avec $\\Phi$ flux lumineux incident en lumens ou lux.
2. La conversion entre flux lumineux et puissance :
$P_{lum} = \\frac{\\Phi}{1000} \\text{W}$
3. La densité d'éclairement :
Flux / surface :
$I_{ph} = S \\times P_{lum} \\text{ dans le cas d'une réponse linéaire}$
**\nCalcul concret :
Flux lumineux :
$\\Phi = I_{lum} \\times S_{det} = 10 \\mu\\text{W/cm}^2 \\times 0.1 \\text{cm}^2 = 1 \\mu\\text{W} = 1 \\times 10^{-6} \\text{W}$
Courant photocircuitant :
$I_{ph} = S \\times \\Phi = 0,5 \\frac{A}{W} \\times 1 \\times 10^{-6} = 5 \\times 10^{-7} \\text{A}$
Question 2 : Tension de sortie
1. Tension :
$V_{out} = I_{ph} \\times R_{load} = 5 \\times 10^{-7} \\times 10^{4} = 5 \\times 10^{-3} = 0,005 \\text{V}$
Question 3 : Sensibilité en Volts par Lux
1. Conversion :
$Sensibilité = \\frac{V_{out}}{Flux lumineux incident} = \\frac{0,005}{1 \\times 10^{-6}} = 5000 \\text{ V/lux}$
**Réponse finale :** La sensibilité en volts par lux est de $5000 \\text{ V/lux}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Phototransistor et réponse à une variation lumineuse
Un phototransistor bipolaire est exposé à une intensité lumineuse variable qui modifie son courant de sortie selon la relation :
$I_{ph} = \\beta \\times I_{lum}$ où $\\beta = 300$ est le facteur d'amplification lent.
La lumière incidente varie entre 10 et 100 lux.
Question 1 : Calculer le courant photocircuitant pour la minima et la maxima intensité lumineuse avec la réponse linéaire.
Question 2 : Déduire la tension de sortie si le phototransistor est en saturation avec une résistance de charge de $R_{load} = 2 \\text{k}\\Omega$.
Question 3 : Si le courant d'obscurité est de $I_{dark} = 10 \\mu\\text{A}$, calculer le rapport signal/bruit au maximum et discuter de la sensibilité par rapport à une photodiode classique.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul des courants photocircuitants aux deux extrêmes
1. Pour $lux = 10$ :
$I_{ph} = 300 \\times 10 \\mu\\text{A} = 3 \\text{mA}$
2. Pour $lux = 100$ :
$I_{ph} = 300 \\times 100 \\mu\\text{A} = 30 \\text{mA}$
Question 2 : Tension en saturation avec $R_{load} = 2 \\text{k}\\Omega$
1. La tension de sortie pour le maximum :
$V_{out} = I_{ph} \\times R_{load} = 30 \\times 10^{-3} \\times 2000 = 60 \\text{V}$
2. Pour le minimum :
$V_{out} = 3 \\times 10^{-3} \\times 2000 = 6 \\text{V}$
Question 3 : Rapport signal/bruit
1. Avec courant d'obscurité :
$I_{dark} = 10 \\mu\\text{A}$. La tension de bruit :
$V_{bruit} = I_{dark} \\times R_{load} = 10 \\times 10^{-6} \\times 2000 = 0,02 \\text{V}$
2. Rapport maximal :
$SNR = \\frac{V_{out (max)}}{V_{bruit}} = \\frac{60}{0,02} = 3000$. Largement supérieur à la photodiode, indiquant une meilleure sensibilité.
",
"id_category": "2",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Analyse comparative des capteurs photométriques
Un phototransistor, un photodiode, et une photorésistance sont exposés à une lumière d'intensité variable. La réponse en courant ou en résistance est donnée par :
- Photodiode : courant photocircuitant directement proportionnel à la lumière.
- Phototransistor : courant d’éclairement amplifié par un facteur $\\beta = 150$.
- Photorésistance : résistance inversement proportionnelle à la lumière.
Question 1 : Calculez le courant photocircuitant dans le cas d'une intensité lumineuse de 50 lux pour la photodiode et le phototransistor.
Question 2 : Déterminez la résistance de la photorésistance à cette même luminosité, en supposant une caractéristique résistive / luminosité donnée par R = 1k / L (lux).
Question 3 : Discutez en termes de vitesse, linéarité, et usage typique, le choix d’un photodiode, d’un phototransistor et d’une photorésistance dans un système de détection optique.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Courant dans la photodiode et le phototransistor à 50 lux
1. Courant photodiode :
$I_{ph} = S \\times \\Phi$ avec $\\Phi\\approx 2 \\times 10^{-5} \\text{W/lux}$.
2. Circulaire dans le phototransistor :
$I_{ph} \\times \\beta = 150 \\times \\text{courant photodiode}$.
3. Calculons :
$I_{ph} = 0,5 \\text{A/W} \\times (50 \\times 2 \\times 10^{-5}) = 0,5 \\times 1 \\times 10^{-3} = 0,0005 \\text{A}$
Pour le transistor :
$I_{trans} = 150 \\times 0,0005 = 0,075 \\text{A}$
Question 2 : Résistance de la photorésistance
1. La caractéristique est : R = 1000 / L
2. Pour L=50 lux :
$R = 1000 / 50 = 20 \\Omega$
Question 3 : Analyse comparative
1. La photodiode est très rapide et linéaire, adaptée aux mesures précises et rapides. Elle nécessite un amplificateur, mais offre une réponse immédiate aux variations de lumière.
2. La phototransistor offre une amplification interne, donc sensibilité accrue, mais réponse plus lente, adaptée pour la détection de faibles signaux.
3. La photorésistance est simple et économique, mais lente et peu linéaire, idéale pour des applications mémoire ou de seuil dans des systèmes simples.
",
"id_category": "2",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Photorésistance sous éclairage variable
Une photorésistance (LDR) a une résistance inversement proportionnelle à l'éclairement lumineux $L$ suivant la relation :
$R = \\frac{K}{L}$, où
$K = 10^{4} \\Omega \\cdot \\text{lux}$. Si la photorésistance est soumise à un éclairement variable de
$L = 50$ lux.
Question 1 : Calculer la valeur de la résistance $R$.
Question 2 : La photorésistance est connectée en série avec une résistance $R_0 = 1 k\\Omega$ alimentée sous une tension de $V = 12$ V. Calculer la tension aux bornes de la photorésistance.
Question 3 : Si l'éclairement monte à $200$ lux, calculez la nouvelle tension aux bornes de la photorésistance et commentez la variation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
La résistance de la photorésistance est :
$R = \\frac{K}{L} = \\frac{10^{4}}{50} = 200 \\; \\Omega$
Question 2 :
La photorésistance $R$ et la résistance fixe $R_0$ sont en série, la tension totale est $V = 12$ V.
Le courant dans le circuit est :
$I = \\frac{V}{R + R_0} = \\frac{12}{200 + 1000} = \\frac{12}{1200} = 0.01 \\; A$
La tension aux bornes de la photorésistance est :
$V_{LDR} = I \\times R = 0.01 \\times 200 = 2 \\; V$
Question 3 :
Pour un éclairement de $200$ lux :
$R = \\frac{10^{4}}{200} = 50 \\; \\Omega$
Le courant :
$I = \\frac{12}{50 + 1000} = \\frac{12}{1050} = 0.01143 \\; A$
La tension aux bornes :
$V_{LDR} = 0.01143 \\times 50 = 0.5715 \\; V$
La tension diminue avec l'augmentation de l'éclairement car la photorésistance diminue sa résistance avec la lumière.
",
"id_category": "2",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Photodiode en régime photoconducteur
Une photodiode fonctionne en régime photoconducteur avec un courant sombre $I_d = 2 \\times 10^{-9}$ A et une photocourant proportionnel à l'intensité lumineuse
$I_{ph} = R \\times P_{opt}$, où la responsivité $R = 0.5$ A/W. La puissance optique incidente est $P_{opt} = 1$ mW.
Question 1 : Calculer le photocourant $I_{ph}$ et le courant total $I$.
Question 2 : Si la tension inverse appliquée est $V = 5$ V et que la résistance de charge est $R_0 = 10\\, k\\Omega$, calculer la tension de sortie $V_{out}$.
Question 3 : Quel est le gain du photodétecteur sous ces conditions ?
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Calcul du photocourant :
$I_{ph} = R \\times P_{opt} = 0.5 \\times 1 \\times 10^{-3} = 5 \\times 10^{-4} \\; A$
Calcul du courant total :
$I = I_{ph} + I_d = 5 \\times 10^{-4} + 2 \\times 10^{-9} \\approx 5 \\times 10^{-4} \\; A$
Question 2 :
Tension aux bornes :
$V_{out} = I \\times R_0 = 5 \\times 10^{-4} \\times 10 \\times 10^{3} = 5 \\; V$
Question 3 :
Le gain est défini comme le rapport :
$G = \\frac{V_{out}}{V} = \\frac{5}{5} = 1$
Le photodétecteur a un gain unitaire dans ces conditions.
",
"id_category": "2",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Phototransistor en amplification
Un phototransistor a un gain en courant $\\beta = 150$ et un photocourant généré par une lumière incidente est $I_{ph} = 2 \\times 10^{-6}$ A.
Question 1 : Calculer le courant collecteur total $I_c$.
Question 2 : La phototransistor est alimenté par une tension constante $V_{cc} = 10$ V avec une résistance de charge $R_c = 1 k\\Omega$. Calculer la tension de sortie $V_{out}$.
Question 3 : Évaluer la puissance dissipée par la phototransistor.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Le courant collecteur total est :
$I_c = \\beta I_{ph} = 150 \\times 2 \\times 10^{-6} = 3 \\times 10^{-4} \\; A$
Question 2 :
La tension de sortie est :
$V_{out} = V_{cc} - I_c R_c = 10 - 3 \\times 10^{-4} \\times 1000 = 10 - 0.3 = 9.7$ V
Question 3 :
La puissance dissipée par le phototransistor est :
$P = V_{out} \\times I_c = 9.7 \\times 3 \\times 10^{-4} = 2.91 \\times 10^{-3} \\; W = 2.91 \\textrm{ mW}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Une photorésistance (LDR) présente une relation entre la résistance $R$ et la luminance $L$ exprimée par :
$R = \\frac{k}{L^n}$ avec $k = 1000 \\Omega \\cdot (\\text{lux})^n$, $n = 0.7$.
Question 1 : Calculez la résistance de la photorésistance pour une luminance de $50 \\text{ lux}$.
Question 2 : En courant continu, cette photorésistance est soumise à une tension constante $V_s = 10 \\text{ V}$. Calculez le courant traversant la photorésistance pour la luminance donnée.
Question 3 : Déterminez la puissance dissipée dans la photorésistance.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la résistance
1. Formule donnée :
$R = \\frac{k}{L^n}$
2. Remplacement :
$R = \\frac{1000}{50^{0.7}}$
Calcul :
$50^{0.7} = e^{0.7 \\ln 50} = e^{0.7 \\times 3.912} = e^{2.738} = 15.47$
$R = \\frac{1000}{15.47} = 64.6\\ \\Omega$
Question 2 : Calcul du courant
1. Ohm :
$I = \\frac{V_s}{R} = \\frac{10}{64.6} = 0.155\\ \\text{A}$
Question 3 : Puissance dissipée
1. Puissance :
$P = V_s I = 10 \\times 0.155 = 1.55\\ \\text{W}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Une photodiode est polarisée en mode photoconducteur avec une tension inverse de $V = 5 \\text{ V}$. Sous une illumination constante, elle génère un photocourant proportionnel à l'intensité lumineuse $I_l$.
Question 1 : Sachant que le photocourant est $I_{ph} = 2 \\times 10^{-6} I_l$ (en ampères avec $I_l$ en lux), calculez le photocourant pour une intensité lumineuse de $200 \\text{ lux}$.
Question 2 : La photodiode présente une résistance dynamique inverse équivalente de $R_d = 2 \\text{ k}\\Omega$. Calculez la tension de sortie en circuit ouvert.
Question 3 : Déterminez la puissance électrique maximale pouvant être extraite et la puissance dissipée en courant réel de court-circuit $I_{sc} = I_{ph}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du photocourant
1. Photocourant :
$I_{ph} = 2 \\times 10^{-6} \\times 200 = 4 \\times 10^{-4}\\ \\mathrm{A} = 0.4\\ \\mathrm{mA}$
Question 2 : Tension en circuit ouvert
1. Avec $R_d = 2 \\times 10^{3} \\Omega$, la tension est :
$V_{oc} = I_{ph} R_d = 4 \\times 10^{-4} \\times 2000 = 0.8\\ \\mathrm{V}$
Question 3 : Puissance maximale et dissipation
1. La puissance maximale théorique (charge adaptée) est :
$P_{max} = \\frac{V_{oc} I_{ph}}{4} = \\frac{0.8 \\times 4 \\times 10^{-4}}{4} = 8 \\times 10^{-5} \\mathrm{W} = 80 \\mathrm{\\mu W}$
2. La puissance dissipée dans $R_d$ est :
$P_{diss} = I_{ph}^2 R_d = (4 \\times 10^{-4})^2 \\times 2000 = 3.2 \\times 10^{-4} \\mathrm{W} = 320 \\mathrm{\\mu W}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Un capteur photométrique est composé d'une photorésistance dont la résistance varie avec la luminosité. La résistance est donnée par :
$R = \\frac{K}{L^{0.7}}$, où $K = 5000 \\, \\Omega\\cdot (\\text{lux})^{0.7}$ et $L$ est l'éclairement en lux.
Question 1 : Calculer la résistance lorsque l'éclairement est $L = 100 \\, lux$.
Question 2 : En déduire la tension de sortie $V_o$ si la photorésistance est montée en diviseur de tension avec une résistance fixe $R_f = 10 k\\Omega$ alimenté sous une tension $V_s = 12 \\, V$.
Question 3 : Déterminer la luminosité détectée si la tension mesurée est $V_o = 5 \\, V$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul de la résistance à l'éclairement
La résistance est donnée par :
$R = \\frac{K}{L^{0.7}}$
Remplacement :
$R = \\frac{5000}{100^{0.7}}$
$100^{0.7} = 10^{2 \\times 0.7} = 10^{1.4} = 25.12$
$R = \\frac{5000}{25.12} = 199 \\, \\Omega$
Question 2 : Calcul de la tension de sortie
Le diviseur de tension est :
$V_o = V_s \\times \\frac{R_f}{R + R_f}$
Remplacement :
$V_o = 12 \\times \\frac{10 000}{199 + 10 000} = 12 \\times \\frac{10 000}{10 199} = 11.77 \\, V$
Question 3 : Détermination de la luminosité détectée à partir de la tension
On exprime la résistance suivante :
$R = R_f \\left( \\frac{V_s}{V_o} - 1 \\right)$
Remplacement :
$R = 10 000 \\times \\left( \\frac{12}{5} - 1 \\right) = 10 000 \\times (2.4 -1) = 14 000 \\, \\Omega$
On en déduit la luminosité :
$L = \\left( \\frac{K}{R} \\right)^{\\frac{1}{0.7}} = \\left( \\frac{5000}{14 000} \\right)^{1.429}$
$= (0.357)^{1.429} = 0.226 \\, lux$
La luminosité détectée est donc très faible, à environ
$0,23 \\, lux$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Une photodiode en mode photoconducteur est soumise à une lumière incidente de puissance $P_L = 2 \\, mW$ et présente un courant de saturation inverse $I_{sat} = 10 \\, nA$.
Question 1 : Calculer le courant photocourant $I_{ph}$ si la photodiode a une sensibilité de $S = 0.5 \\, A/W$.
Question 2 : Déterminer le courant total $I$ traversant la photodiode.
Question 3 : Calculer la tension aux bornes d'une résistance de charge $R = 1 \\, k\\Omega$ traversée par ce courant.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul du courant photocourant
Le courant photocourant est proportionnel à la puissance lumineuse :
$I_{ph} = S \\times P_L$
Remplacement :
$I_{ph} = 0{,}5 \\times 2 \\times 10^{-3} = 1{,}0 \\times 10^{-3} \\, A = 1 \\, mA$
Question 2 : Calcul du courant total
Le courant total est la somme :
$I = I_{ph} + I_{sat} = 1 \\times 10^{-3} + 10 \\times 10^{-9} = 1{,}00001 \\times 10^{-3} \\, A$
Question 3 : Calcul de la tension aux bornes de la résistance
La tension est donnée par :
$V_o = R \\times I = 1000 \\times 1{,}00001 \\times 10^{-3} = 1{,}00001 \\, V$
La tension est donc approximativement
1 V
",
"id_category": "2",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Un phototransistor présente un gain de courant $\\beta = 200$ et un photocourant d'éclairement $I_{ph} = 10 \\, \\mu A$.
Question 1 : Calculer le courant collecteur $I_c$.
Question 2 : Déterminer la tension aux bornes d'un résistance charge $R = 5 \\, k\\Omega$ traversée par ce courant.
Question 3 : Analyser l'impact d'une augmentation de la lumière sur la tension de sortie.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul du courant collecteur
Le courant collecteur est amplifié par le gain
$I_c = \\beta I_{ph}$
Remplacement :
$I_c = 200 \\times 10 \\times 10^{-6} = 2{,}0 \\times 10^{-3} \\, A = 2 \\, mA$
Question 2 : Calcul de la tension aux bornes de la résistance
$V_o = I_c \\times R = 2{,}0 \\times 10^{-3} \\times 5 \\times 10^{3} = 10 \\, V$
Question 3 : Impact d'une augmentation lumineuse sur la tension de sortie
Une augmentation de la lumière augmente
le photocourant
ce qui augmente le courant collecteur et donc la tension de sortie.
",
"id_category": "2",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Caractérisation d'une photorésistance et calculs associés
Une photorésistance est exposée à une intensité lumineuse variable et présente une résistance fonction du flux lumineux $\\Phi$ selon la relation :
$R(\\Phi) = R_0 \\left( \\frac{\\Phi_0}{\\Phi} \\right)^\\gamma$
avec $R_0 = 10 \\mathrm{\\ k}\\Omega$ à un flux de référence $\\Phi_0 = 50 \\mathrm{lux}$ et $\\gamma = 0.7$.
Question 1 : Calculer la résistance $R$ pour une luminosité de $200 \\mathrm{lux}$.
Question 2 : En connectant la photorésistance en série avec une résistance fixe de $5 \\mathrm{k} \\Omega$ alimentée par une tension constante de $10 V$, calculer la tension aux bornes de la photorésistance pour le flux lumineux donné à la question 1.
Question 3 : Déterminer la puissance dissipée dans la photorésistance à ce flux lumineux.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la résistance pour $\\Phi = 200 \\mathrm{lux}$
1. Formule :
$R(\\Phi) = R_0 \\left( \\frac{\\Phi_0}{\\Phi} \\right)^\\gamma$
2. Remplacement :
$R = 10 \\times 10^3 \\times \\left( \\frac{50}{200} \\right)^{0.7}$
3. Calcul :
$R = 10 \\times 10^3 \\times (0.25)^{0.7} = 10 \\times 10^3 \\times 0.378 = 3780 \\ \\Omega$
4. Résultat final :
$\\boxed{R = 3.78 \\mathrm{k}\\Omega}$
Question 2 : Calcul de la tension aux bornes de la photorésistance
1. Tension en division de tension :
$U_{Rh} = U \\times \\frac{R}{R + R_f}$
avec $R_f = 5 \\mathrm{k}\\Omega$ et $U = 10 V$.
2. Remplacement :
$U_{Rh} = 10 \\times \\frac{3.78}{3.78 + 5} = 10 \\times \\frac{3.78}{8.78} = 4.3 V$
3. Résultat final :
$\\boxed{U_{Rh} = 4.3 V}$
Question 3 : Calcul de la puissance dissipée dans la photorésistance
1. Formule :
$P = \\frac{U_{Rh}^2}{R}$
2. Remplacement :
$P = \\frac{(4.3)^2}{3780} = \\frac{18.49}{3780} = 4.89 \\times 10^{-3} W = 4.89 mW$
3. Résultat final :
$\\boxed{P = 4.89 \\mathrm{mW}}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Fonctionnement d'une photodiode en mode photoconducteur
Une photodiode est éclairée avec un flux lumineux produisant un courant photo-généré $I_{ph} = 0.2 mA$. La photodiode est polarisée inversement avec une tension $V = 5 V$ à travers une résistance de charge $R_L = 10 \\mathrm{k}\\Omega$.
Question 1 : Calculer la tension de sortie aux bornes de la résistance $R_L$.
Question 2 : Déterminer la puissance dissipée dans la résistance.
Question 3 : En supposant que la photodiode a une sensibilité de $0.5 A/W$, calculer la puissance lumineuse incidente correspondante.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la tension aux bornes de la résistance
1. La tension est donnée par la loi d'Ohm :
$U_{R_L} = I_{ph} \\times R_L$
2. Remplacement :
$U_{R_L} = 0.2 \\times 10^{-3} \\times 10 \\times 10^{3} = 2 V$
3. Résultat final :
$\\boxed{U_{R_L} = 2 V}$
Question 2 : Calcul de la puissance dissipée
1. Formule :
$P = \\frac{U_{R_L}^2}{R_L}$
2. Remplacement :
$P = \\frac{2^2}{10 \\times 10^3} = \\frac{4}{10 \\times 10^3} = 4 \\times 10^{-4} W = 0.4 \\mathrm{mW}$
3. Résultat final :
$\\boxed{P = 0.4 \\mathrm{mW}}$
Question 3 : Calcul de la puissance lumineuse incidente
1. Relation entre courant photo-généré et puissance lumineuse :
$P_{lum} = \\frac{I_{ph}}{S}$
avec $S = 0.5 A/W$ la sensibilité.
2. Remplacement :
$P_{lum} = \\frac{0.2 \\times 10^{-3}}{0.5} = 4 \\times 10^{-4} W = 0.4 \\mathrm{mW}$
3. Résultat final :
$\\boxed{P_{lum} = 0.4 \\mathrm{mW}}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Phototransistor et amplification optique
Un phototransistor possède un gain en courant optique de $\\beta = 100$ et est éclairé par un flux lumineux produisant un courant photo-généré $I_{ph} = 1 \\mu A$.
Question 1 : Calculer le courant collecteur total dans le phototransistor.
Question 2 : En supposant une tension d'alimentation de $5 V$ et une résistance de charge de $10 \\mathrm{k}\\Omega$, calculer la tension de sortie.
Question 3 : Déterminer la puissance dissipée dans la résistance.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du courant collecteur total
1. Formule :
$I_c = \\beta \\times I_{ph}$
2. Remplacement :
$I_c = 100 \\times 1 \\times 10^{-6} = 0.0001 A = 100 \\mu A$
3. Résultat final :
$\\boxed{I_c = 100 \\mu A}$
Question 2 : Calcul de la tension de sortie
1. Tension aux bornes de la résistance :
$U = I_c \\times R$
2. Remplacement :
$U = 100 \\times 10^{-6} \\times 10 \\times 10^{3} = 1 V$
3. Résultat final :
$\\boxed{U = 1 V}$
Question 3 : Puissance dissipée dans la résistance
1. Formule :
$P = \\frac{U^2}{R}$
2. Remplacement :
$P = \\frac{1^2}{10 \\times 10^{3}} = 0.0001 W = 0.1 mW$
3. Résultat final :
$\\boxed{P = 0.1 \\mathrm{mW}}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Étude photométrique d’une source lumineuse\n\nUne source lumineuse isotrope émet un flux lumineux total de $\\Phi = 1500\\,\\text{lm}$. On place un capteur photométrique à une distance de $d = 2\\,\\text{m}$ de la source.\n\n1. Calculer l’intensité lumineuse de la source.\n2. Déterminer l’éclairement reçu par le capteur placé à 2 m.\n3. Si le capteur a une surface sensible de $1\\,\\text{cm}^2$, calculer le flux lumineux qu’il reçoit.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Intensité lumineuse
Formule : $I = \\frac{\\Phi}{4\\pi}$
Remplacement : $I = \\frac{1500}{4\\pi} = 119,37\\,\\text{cd}$
Résultat : $I = 119,4\\,\\text{cd}$
\n2. Éclairement à 2 m
Formule : $E = \\frac{I}{d^2}$
Remplacement : $E = \\frac{119,4}{2^2} = 29,85\\,\\text{lx}$
Résultat : $E = 29,9\\,\\text{lx}$
\n3. Flux reçu par la surface
Formule : $\\Phi_r = E \\times S$
Remplacement : $S = 1\\,\\text{cm}^2 = 1\\times10^{-4}\\,\\text{m}^2$
$\\Phi_r = 29,85 \\times 10^{-4} = 2,985\\times10^{-3}\\,\\text{lm}$
Résultat : $\\Phi_r = 2,99\\times10^{-3}\\,\\text{lm}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Photorésistance et éclairement\n\nOn utilise une photorésistance dont la résistance dépend de l’éclairement selon la loi empirique $R = kE^{-\\alpha}$, avec $k = 8000$ et $\\alpha = 0,7$. On applique une tension de $U = 10\\,\\text{V}$ aux bornes du capteur.\n\n1. Calculer la résistance de la photorésistance pour un éclairement de $E = 200\\,\\text{lx}$.\n2. Déterminer le courant traversant la photorésistance.\n3. Calculer la puissance dissipée par la photorésistance.\n",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance de la photorésistance
Formule : $R = kE^{-\\alpha}$
Remplacement : $R = 8000 \\times (200)^{-0,7}$
Calcul : $R = 8000 \\times 0,0245 = 196,0\\,\\Omega$
Résultat : $R = 196\\,\\Omega$
\n2. Courant traversant
Formule : $I = \\frac{U}{R}$
Remplacement : $I = \\frac{10}{196} = 0,051\\,\\text{A}$
Résultat : $I = 51,0\\,\\text{mA}$
\n3. Puissance dissipée
Formule : $P = U \\times I$
Remplacement : $P = 10 \\times 0,051 = 0,51\\,\\text{W}$
Résultat : $P = 0,51\\,\\text{W}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Photodiode en régime photoconductif\n\nUne photodiode reçoit un éclairement de $E = 500\\,\\text{lx}$. Sa surface sensible est $S = 2\\,\\text{mm}^2$ et sa responsivité est $R_{\\lambda} = 0,4\\,\\text{A/W}$. Le flux lumineux incident est entièrement converti en courant photocourant. La tension aux bornes est maintenue nulle par un amplificateur transimpédance.\n\n1. Calculer le flux lumineux reçu.\n2. Déterminer la puissance optique reçue sachant que $1\\,\\text{lx} = 1\\,\\text{lm/m}^2$ et que pour une lumière de 555 nm, $683\\,\\text{lm correspond à 1 W}$.\n3. Calculer le courant généré par la photodiode.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Flux lumineux reçu
Formule : $\\Phi = E \\times S$
Remplacement : $S = 2\\,\\text{mm}^2 = 2\\times10^{-6}\\,\\text{m}^2$
$\\Phi = 500 \\times 2\\times10^{-6} = 1\\times10^{-3}\\,\\text{lm}$
Résultat : $\\Phi = 1\\times10^{-3}\\,\\text{lm}$
\n2. Puissance optique
Conversion : $1\\,\\text{W} = 683\\,\\text{lm}$ ⇒ $P = \\frac{\\Phi}{683}$
Remplacement : $P = \\frac{1\\times10^{-3}}{683} = 1,46\\times10^{-6}\\,\\text{W}$
Résultat : $P = 1,46\\,\\mu\\text{W}$
\n3. Courant généré par la photodiode
Formule : $I_p = R_{\\lambda} P$
Remplacement : $I_p = 0,4 \\times 1,46\\times10^{-6} = 5,84\\times10^{-7}\\,\\text{A}$
Résultat : $I_p = 0,584\\,\\mu\\text{A}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 1 : Étude d’un système photométrique et calcul de l’éclairement\n\nUn capteur photométrique reçoit un flux lumineux provenant d’une source de puissance lumineuse $\\Phi = 400 lm$ placée à une distance de $d = 0.5 m$. La surface sensible du capteur est de $S = 10 cm^2$. On souhaite analyser les grandeurs photométriques associées.\n\nQuestions :\n1. Calculer l’éclairement lumineux $E$ reçu par le capteur.\n2. Déterminer la luminance correspondante si la surface diffuse selon la loi de Lambert.\n3. Calculer la densité de puissance radiative reçue en considérant un rendement lumineux de $\\eta = 150 lm/W$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Éclairement :
Formule : $E = \\frac{\\Phi}{4\\pi d^2}$
Remplacement : $E = \\frac{400}{4\\pi(0.5)^2} = \\frac{400}{3.14} = 127.4 lx$.
\n\n2. Luminance de la surface :
Formule : $L = \\frac{E}{\\pi}$
Remplacement : $L = \\frac{127.4}{3.14} = 40.6 cd/m^2$.
\n\n3. Densité de puissance radiative :
Formule : $P_{rad} = \\frac{E}{\\eta}$
Remplacement : $P_{rad} = \\frac{127.4}{150} = 0.849 W/m^2$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 2 : Photorésistance et variation de conductance sous éclairement\n\nUne photorésistance a une résistance $R = 10 k\\Omega$ sous un éclairement $E = 10 lx$. La relation empirique entre la résistance et l’éclairement est $R = kE^{-0.7}$. \n\nQuestions :\n1. Déterminer la constante du matériau $k$.\n2. Calculer la résistance pour un éclairement de $E = 80 lx$.\n3. Si la photorésistance est alimentée sous $U = 12 V$, calculer le courant et la puissance dissipée pour cet éclairement.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Détermination de k :
Formule : $R = kE^{-0.7}$ donc $k = R E^{0.7}$
Remplacement : $k = 10\\,000 \\times 10^{0.7} = 10\\,000 \\times 5.01 = 5.01 \\times 10^4$.
\n\n2. Résistance pour E = 80 lx :
Formule : $R = 5.01\\times10^4 \\times 80^{-0.7}$
Calcul : $80^{-0.7} = 0.0465$ donc $R = 2326 \\Omega$.
\n\n3. Courant et puissance :
Courant : $I = \\frac{U}{R} = \\frac{12}{2326} = 5.16 mA$
Puissance : $P = UI = 12 \\times 5.16\\times10^{-3} = 61.9 mW$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Les capteurs photométriques",
"question": "Exercice 3 : Photodiode et phototransistor – Courant et amplification\n\nUne photodiode en régime photoconductif est soumise à un flux lumineux d’éclairement $E = 2 mW/cm^2$. La surface active est $S = 1 cm^2$ et la responsivité est $R_\\lambda = 0.5 A/W$. Cette photodiode commande la base d’un phototransistor dont le gain en courant est $\\beta = 100$.\n\nQuestions :\n1. Calculer le courant photo-induit dans la photodiode.\n2. En déduire le courant de collecteur du phototransistor.\n3. Déterminer la puissance lumineuse minimale nécessaire pour un courant de collecteur de $10 mA$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Courant photo-induit :
Formule : $I_p = R_\\lambda P_{opt}$
Puissance reçue : $P_{opt} = E \\times S = 2\\times10^{-3} \\times 1\\times10^{-4} = 2\\times10^{-7} W$
Remplacement : $I_p = 0.5 \\times 2\\times10^{-7} = 1\\times10^{-7} A = 0.1 µA$.
\n\n2. Courant de collecteur :
Formule : $I_C = \\beta I_p$
Remplacement : $I_C = 100 \\times 1\\times10^{-7} = 1\\times10^{-5} A = 10 µA$.
\n\n3. Flux lumineux minimal pour Ic = 10 mA :
Relation : $P_{opt} = \\frac{I_C}{\\beta R_\\lambda}$
Remplacement : $P_{opt} = \\frac{0.01}{100 \\times 0.5} = 2\\times10^{-4} W = 0.2 mW$.
Pour une surface de $1 cm^2$ : $E = \\frac{P_{opt}}{S} = \\frac{0.2\\times10^{-3}}{1\\times10^{-4}} = 2 W/m^2$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif (potentiomètre) de course linéaire totale $L = 60\\ \\text{mm}$ présente une résistance totale de $R_{tot}=10\\ \\text{k}\\Omega$. Le curseur est placé à $x=22\\ \\text{mm}$ à partir de l'origine. Le potentiomètre est alimenté sous $V_{in}=5\\ \\text{V}$.\n1) Calculez la résistance entre le curseur et la borne de masse.\n2) Déterminez la tension de sortie lue au curseur.\n3) Calculez la variation de tension si le curseur passe à $x=51\\ \\text{mm}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Résistance curseur-masse
Formule : $R = R_{tot} \\cdot \\dfrac{x}{L}$
Remplacement : $R_{tot}=10\\ \\text{k}\\Omega,\\ x=22\\ \\text{mm},\\ L=60\\ \\text{mm}$
$\\dfrac{22}{60} = 0,3667$
$R = 10000\\times0,3667=3667\\ \\Omega$
Résultat final : $R \\approx 3,67\\ \\text{k}\\Omega$
2) Tension de sortie curseur
Formule : $V_{out}=V_{in} \\cdot \\dfrac{x}{L}$
Remplacement : $V_{in}=5\\ \\text{V}$, $x=22\\ \\text{mm},\\ L=60\\ \\text{mm}$
$V_{out}=5\\times0,3667=1,83\\ \\text{V}$
Résultat final : $V_{out}=1,83\\ \\text{V}$
3) Variation de tension à $x=51\\ \\text{mm}$
$\\dfrac{51}{60}=0,85$
$V_{out}^{new}=5\\times0,85=4,25\\ \\text{V}$
$\\Delta V=4,25-1,83=2,42\\ \\text{V}$
Résultat final : $\\Delta V=2,42\\ \\text{V}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de proximité inductif destiné à détecter un objet métallique utilise une bobine générant un champ de fréquence $f=100\\ \\text{kHz}$ et d’inductance $L=2,4\\ \\text{mH}$. Quand l'objet s'approche à une distance de $d=1,7\\ \\text{mm}$, l’inductance diminue à $L'=2,0\\ \\text{mH}$. La résistance totale du circuit est $R=360\\ \\Omega$.\n1) Calculez l’impédance de la bobine avant la détection.\n2) Déterminez le courant alternatif pour une tension d’alimentation de $V=8\\ \\text{V}_{eff}$.\n3) Calculez la variation de courant quand l’objet est détecté (à $d=1,7\\ \\text{mm}$).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Impédance de la bobine avant détection
Formule : $Z = \\sqrt{R^2 + (\\omega L)^2}$ avec $\\omega=2\\pi f$
$\\omega=2\\pi\\times100000=628318\\ \\text{rad/s}$
$\\omega L=628318\\times0,0024=1508\\ \\Omega$
$Z=\\sqrt{360^2+1508^2}=\\sqrt{129600+2274084}=\\sqrt{2403684}=1550\\ \\Omega$
Résultat final : $Z\\approx1550\\ \\Omega$
2) Courant alternatif (avant détection)
Formule : $I=\\dfrac{V}{Z}$
Remplacement : $V=8\\ \\text{V},\\ Z=1550\\ \\Omega$
$I=8/1550=0,00516\\ \\text{A}=5,16\\ \\text{mA}$
Résultat final : $I=5,16 \\ \\text{mA}$
3) Variation de courant à $L'=2,0\\ \\text{mH}$
$\\omega L' = 628318\\times0,0020=1257\\ \\Omega$
$Z'=\\sqrt{360^2+1257^2}=\\sqrt{129600+1580769}=\\sqrt{1710369}=1307\\ \\Omega$
$I'=8/1307=0,00612\\ \\text{A}=6,12\\ \\text{mA}$
$\\Delta I=6,12-5,16=0,96\\ \\text{mA}$
Résultat final : $\\Delta I=0,96\\ \\text{mA}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position capacitif utilise deux plaques parallèles de surface $S=24\\ \\text{cm}^2$ séparées par un diélectrique d’épaisseur $e=2,3\\ \\text{mm}$ ($\\varepsilon_r=4,2$). Suite à un déplacement, l’épaisseur devient $e'=1,4\\ \\text{mm}$. La tension appliquée est $V=12\\ \\text{V}$.\n1) Calculez la capacité entre les plaques avant le déplacement.\n2) Calculez la capacité après le déplacement.\n3) Déterminez la variation de charge stockée sur les plaques.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Capacité avant déplacement
Formule : $C=\\varepsilon_0\\varepsilon_r\\dfrac{S}{e}$ (conversion: $S=0,0024\\ \\text{m}^2, e=0,0023\\ \\text{m}$)
$\\varepsilon_0=8,85\\times10^{-12}$
$C_1=8,85\\times10^{-12}\\times4,2\\times0,0024/0,0023=7,77\\times10^{-14}/0,0023=3,38\\times10^{-11}\\ \\text{F}=33,8\\ \\text{pF}$
Résultat final : $C_1\\approx33,8\\ \\text{pF}$
2) Capacité après déplacement
Formule : $C_2=8,85\\times10^{-12}\\times4,2\\times0,0024/0,0014$
$0,0024/0,0014=1,714$
$C_2=8,85\\times10^{-12}\\times4,2\\times1,714=6,37\\times10^{-11}\\ \\text{F}=63,7\\ \\text{pF}$
Résultat final : $C_2\\approx63,7\\ \\text{pF}$
3) Variation de charge stockée
Formule : $Q=C\\cdot V$
$Q_1=33,8\\times10^{-12}\\times12=4,06\\times10^{-10}\\ \\text{C}$
$Q_2=63,7\\times10^{-12}\\times12=7,64\\times10^{-10}\\ \\text{C}$
$\\Delta Q=Q_2-Q_1=7,64\\times10^{-10}-4,06\\times10^{-10}=3,58\\times10^{-10}\\ \\text{C}$
Résultat final : $\\Delta Q=3,58\\times10^{-10}\\ \\text{C}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif, de type potentiomètre linéaire de course $L = 100~mm$, présente une résistance totale de $R = 10~k\\Omega$. On l'alimente sous $5~V$.\n1. Calculez la résistance mesurée pour une position à $x = 20~mm$.\n2. Déterminez la tension de sortie pour cette position si le curseur est relié directement à l’entrée d’un amplificateur d’impédance infinie.\n3. Calculez la variation de tension de sortie pour un déplacement de $1~mm$ autour de cette position.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Résistance pour $x = 20~mm$
1. Formule : $R_x = R \\frac{x}{L}$
2. Remplacement : $R = 10~k\\Omega = 10\\ 000~\\Omega$, $x = 20~mm$, $L = 100~mm$
3. Calcul : $R_x = 10\\ 000 \\times \\frac{20}{100} = 2\\ 000~\\Omega$
4. Résultat : $R_x = 2~k\\Omega$.
Q2 : Tension de sortie à cette position
1. Formule : $V_{out} = V_{alim} \\frac{x}{L}$
2. Remplacement : $V_{out} = 5 \\times \\frac{20}{100} = 1~V$
4. Résultat : $V_{out} = 1~V$.
Q3 : Variation de tension pour un déplacement de $1~mm$ autour de $20~mm$
1. Formule : $\\Delta V = V_{alim} \\frac{\\Delta x}{L}$
2. Remplacement : $\\Delta x = 1~mm$, $V_{alim} = 5~V$, $L = 100~mm$
3. Calcul : $\\Delta V = 5 \\times \\frac{1}{100} = 0,05~V$
4. Résultat : Variation de sortie $0,05~V$ par mm.
",
"id_category": "3",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur inductif pour déplacement linéaire fonctionne par variation de la self-inductance selon la position d’un noyau mobile. La self-inductance varie de $L_0 = 1,2~mH$ à $L_1 = 3,6~mH$ sur la course totale de $d = 50~mm$.\nUn générateur sinusoïdal délivre $v(t) = V_0\\sin(\\omega t)$ avec $V_0 = 8~V$, $f = 6~kHz$.\n1. Calculez la valeur du courant traversant le capteur à la position minimale et maximale.\n2. Déterminez l’impédance du capteur pour ces deux positions.\n3. Calculez la variation de courant pour un déplacement de $5~mm$ tout près de la position minimale.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Valeur du courant traversant le capteur aux extrêmes
1. Formule : $I = \\frac{V_0}{\\omega L}$, $\\omega=2\\pi f$
2. Calculs auxiliaires : $f=6\\ 000~Hz$, $\\omega = 2\\pi\\times6000=37,699~rad/s$
À la position minimale $L_0 = 1,2\\times10^{-3}~H$
À la position maximale $L_1 = 3,6\\times10^{-3}~H$
Courant min : $I_{min} = \\frac{8}{37,699 \\times 0,0012} = \\frac{8}{0,045239} = 176,9~mA$
Courant max : $I_{max} = \\frac{8}{37,699 \\times 0,0036} = \\frac{8}{0,135717} = 58,9~mA$
4. Résultat : $I_{min}=177~mA$ ; $I_{max}=58,9~mA$.
Q2 : Impédance aux deux positions
1. Formule : $Z = j\\omega L$ ; module $|Z| = \\omega L$
2. Calculs : $Z_{min} = 37,699 \\times 0,0012 = 0,04524~\\Omega$
$Z_{max} = 37,699 \\times 0,0036 = 0,1357~\\Omega$
4. Résultat : $|Z_{min}|=0,045~\\Omega$ ; $|Z_{max}|=0,136~\\Omega$.
Q3 : Variation de courant pour un déplacement de $5~mm$ au voisinage de la position minimale
1. Variation de self : $\\Delta L = (L_1-L_0)\\frac{5}{50} = 2,4\\times10^{-3}\\times0,1=0,24\\times10^{-3}~H$
Nouvelle inductance $L=1,2\\times10^{-3}+0,24\\times10^{-3}=1,44\\times10^{-3}~H$
$I=\\frac{8}{37,699\\times0,00144}=\\frac{8}{0,05431}=147,34~mA$
Variation : $\\Delta I = 176,9-147,3=29,6~mA$
4. Résultat : Variation de courant $29,6~mA$ pour 5mm.
",
"id_category": "3",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur à effet capacitif de type plaque-plan détecte la position d’un mobile. Les plaques ont une surface de $S = 22~cm^2$ séparées par une distance $d = 1,6~mm$. La permittivité de l’air est $\\varepsilon = 8,85\\times10^{-12}~F/m$.\n1. Calculez la capacité du capteur pour la position nominale.\n2. Déterminez la variation de capacité si le mobile rapproche les plaques de $0,4~mm$ supplémentaires.\n3. Si le capteur est connecté sur un oscillateur LC avec $L = 800~\\mu H$, calculez la variation de fréquence pour cette modification.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Capacité pour la position nominale
1. Formule : $C = \\frac{\\varepsilon S}{d}$ avec $S=22\\times10^{-4}~m^2$, $d=1,6\\times10^{-3}~m$
2. Calcul : $C=\\frac{8,85\\times10^{-12}\\times22\\times10^{-4}}{1,6\\times10^{-3}}$
$22\\times10^{-4}=0,0022$ ; numérateur $8,85\\times10^{-12}\\times0,0022=1,947\\times10^{-14}$
$C=\\frac{1,947\\times10^{-14}}{1,6\\times10^{-3}}=1,217\\times10^{-11}~F=12,2~pF$
4. Résultat : Capacité initiale $12,2~pF$.
Q2 : Variation de capacité pour rapprochement de 0,4 mm
1. Nouvelle distance $d'=1,6-0,4=1,2~mm=1,2\\times10^{-3}~m$
2. Calcul : $C' = \\frac{8,85\\times10^{-12}\\times0,0022}{1,2\\times10^{-3}} = \\frac{1,947\\times10^{-14}}{1,2\\times10^{-3}} = 1,622\\times10^{-11}~F=16,2~pF$
3. Variation $\\Delta C=16,2-12,2=4,0~pF$
4. Résultat : Variation de capacité $4,0~pF$.
Q3 : Variation de fréquence avec oscillateur LC
1. Fréquence : $f=\\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}}$
Pour $C=12,2~pF=12,2\\times10^{-12}~F$ ; $L=800~\\mu H=8\\times10^{-4}~H$
Fréquence initiale : $f_1=\\frac{1}{2\\pi\\sqrt{8\\times10^{-4}\\times12,2\\times10^{-12}}}$
$8\\times10^{-4}\\times12,2\\times10^{-12}=9,76\\times10^{-15}$; $\\sqrt{9,76\\times10^{-15}}=9,88\\times10^{-8}$ ; $2\\pi\\times9,88\\times10^{-8}=6,208\\times10^{-7}$; $f_1=1,61\\times10^{6}~Hz=1,61~MHz$
À $C'=16,2~pF=16,2\\times10^{-12}~F$ :
$8\\times10^{-4}\\times16,2\\times10^{-12}=12,96\\times10^{-15}$; $\\sqrt{12,96\\times10^{-15}}=1,138\\times10^{-7}$; $2\\pi\\times1,138\\times10^{-7}=7,155\\times10^{-7}$; $f_2=1,40\\times10^{6}~Hz=1,40~MHz$
$\\Delta f=1,61-1,40=0,21~MHz$
4. Résultat : Variation de fréquence $210~kHz$ quand la capacité augmente de 4~pF.
",
"id_category": "3",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif fonctionne selon le principe du potentiomètre linéaire de longueur totale $L = 100~\\mathrm{mm}$ et d'une résistance totale $R_T = 10~k\\Omega$. Il est alimenté sous $V = 5~\\mathrm{V}$ et la sortie est prélevée au point mobile x.\n\n1. Calculez la résistance mesurée pour une position $x = 37~\\mathrm{mm}$.\n2. Déterminez la tension de sortie pour cette position.\n3. Si le potentiomètre est parcouru par un courant de $I = 0.35~\\mathrm{mA}$, calculez la puissance dissipée pour cette valeur de position.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance mesurée pour $x = 37~\\mathrm{mm}$ :
Formule : $R_x = R_T \\frac{x}{L}$
Remplacement : $R_x = 10\\,000 \\times \\frac{37}{100} = 3\\,700~\\Omega$
Résultat final : $R_x = 3\\,700~\\Omega$
\n\n2. Tension de sortie pour cette position :
Formule classique du potentiomètre :$V_x = V \\frac{x}{L}$
Remplacement :$V_x = 5 \\times \\frac{37}{100} = 1.85~\\mathrm{V}$
Résultat final :$V_x = 1.85~\\mathrm{V}$
\n\n3. Puissance dissipée pour cette position :
Formule : $P = I^2 R_x$
Remplacement : $P = (0.00035)^2 \\times 3\\,700$
Calcul : $0.0001225 \\times 3\\,700 = 0.453~\\mathrm{mW}$
Résultat final : $P = 0.45~\\mathrm{mW}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position inductif est constitué d'une bobine monophasée dont la self-inductance dépend de la position selon $L(x) = L_0 + kx$, $L_0 = 1.6~\\mathrm{mH}$, $k = 0.054~\\mathrm{mH/mm}$. La bobine est traversée par un courant sinusoïdal de $I_{rms} = 18~\\mathrm{mA}$ à $f = 500~\\mathrm{Hz}$.\n\n1. Calculez la self-inductance pour une position $x = 18~\\mathrm{mm}$.\n2. Déterminez la réactance inductive pour cette position.\n3. Calculez la tension efficace aux bornes de la bobine.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Self-inductance à $x = 18~\\mathrm{mm}$ :
Formule : $L(x) = L_0 + kx$
Remplacement : $L(18) = 1.6 + 0.054\\times 18 = 1.6 + 0.972 = 2.572~\\mathrm{mH}$
Résultat final : $L = 2.572~\\mathrm{mH}$
\n\n2. Réactance inductive :
Formule : $X_L = 2\\pi f L$
Remplacement : $X_L = 2\\pi \\times 500 \\times 0.002572$
$2\\pi \\times 500 = 3141.6$, $X_L = 3141.6 \\times 0.002572 = 8.08~\\Omega$
Résultat final : $X_L = 8.08~\\Omega$
\n\n3. Tension efficace aux bornes de la bobine :
Formule : $V_{rms} = I_{rms} X_L$
Remplacement : $V_{rms} = 0.018 \\times 8.08 = 0.1454~\\mathrm{V}$
Résultat final : $V_{rms} = 145~\\mathrm{mV}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position capacitif est constitué de deux plaques parallèles mobiles d'aire $S = 18~\\mathrm{cm}^2$ séparées par une distance variable $d$. La permittivité du diélectrique est $\\epsilon_r = 4.5$. La capacité mesurée est $C = 9.6~\\mathrm{pF}$.\n\n1. Calculez la distance d entre les plaques.\n2. À une nouvelle position, la capacité mesurée est $7.2~\\mathrm{pF}$ : déduisez la nouvelle distance.\n3. Si la tension appliquée est $V = 85~\\mathrm{V}$ : calculez l’énergie électrostatique stockée à la première position.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de la distance entre les plaques :
Formule : $C = \\epsilon_0 \\epsilon_r \\frac{S}{d}$, donc $d = \\epsilon_0 \\epsilon_r \\frac{S}{C}$
Remplacement : $\\epsilon_0 = 8.854\\times10^{-12}~\\mathrm{F/m}$, $S = 0.0018~\\mathrm{m}^2$, $C = 9.6\\times10^{-12}~\\mathrm{F}$
$d = \\frac{8.854\\times10^{-12} \\times 4.5 \\times 0.0018}{9.6\\times10^{-12}}$
Calcul : $8.854\\times10^{-12} \\times 4.5 = 3.9843\\times10^{-11}$, $3.9843\\times10^{-11} \\times 0.0018 = 7.172\\times10^{-14}$
$d = \\frac{7.172\\times10^{-14}}{9.6\\times10^{-12}} = 7.47\\times10^{-3}~\\mathrm{m} = 7.47~\\mathrm{mm}$
Résultat final : $d = 7.47~\\mathrm{mm}$
\n\n2. Nouvelle distance pour $C = 7.2~\\mathrm{pF}$ :
Formule identique :$d' = \\epsilon_0 \\epsilon_r \\frac{S}{C'}$
$d' = \\frac{7.172\\times10^{-14}}{7.2\\times10^{-12}} = 9.96\\times10^{-3}~\\mathrm{m} = 9.96~\\mathrm{mm}$
Résultat final : $d' = 9.96~\\mathrm{mm}$
\n\n3. Énergie électrostatique stockée (première position) :
Formule : $W = \\frac{1}{2}CV^2$
Remplacement : $W = 0.5 \\times 9.6\\times10^{-12} \\times 85^2$
$85^2 = 7,225$, $0.5 \\times 9.6\\times10^{-12} \\times 7,225 = 3.468\\times10^{-8}~\\mathrm{J}$
Résultat final : $W = 34.7~\\mathrm{nJ}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif linéaire présente une résistance totale de $R_{tot} = 2{,}2~k\\Omega$ sur une longueur de $L = 220~mm$. On applique une tension d’alimentation de $V_{cc} = 10~V$.
• Q1. Calculez la résistance entre le curseur et la masse si le curseur est à $x = 85~mm$ du bord.
• Q2. Déterminez la tension de sortie au curseur.
• Q3. Pour une variation de position de $\\Delta x = 25~mm$, calculez la variation de tension à la sortie.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1. Résistance entre curseur et masse :
1. Formule : $R_1 = R_{tot} \\frac{x}{L}$
2. Remplacement : $x = 85~mm ; L = 220~mm ; R_{tot} = 2200~\\Omega$
3. Calcul : $R_1 = 2200 \\times \\frac{85}{220} = 2200 \\times 0,386 = 849,2~\\Omega$
4. Résultat final : $R_1 = 849~\\Omega$
Q2. Tension sortie au curseur :
1. Formule : $V_{sortie} = V_{cc} \\frac{R_1}{R_{tot}}$
2. Remplacement : $V_{cc} = 10~V ; R_1 = 849,2~\\Omega ; R_{tot} = 2200~\\Omega$
3. Calcul : $V_{sortie} = 10 \\times \\frac{849,2}{2200} = 10 \\times 0,386 = 3,86~V$
4. Résultat final : $V_{sortie} = 3,86~V$
Q3. Variation de tension pour $\\Delta x = 25~mm$ :
1. Formule variation : $\\Delta V = V_{cc} \\frac{\\Delta x}{L}$
2. Remplacement : $V_{cc}=10~V ; \\Delta x = 25~mm ; L = 220~mm$
3. Calcul : $\\Delta V = 10 \\times \\frac{25}{220} = 10 \\times 0,1136 = 1,136~V$
4. Résultat final : $\\Delta V = 1,14~V$
",
"id_category": "3",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position capacitif est constitué de deux plaques de longueur $l = 30~mm$ et largeur $w = 22~mm$, séparées par un espace d’air de $d = 1,8~mm$. La valeur de la permittivité de l’air est $\\varepsilon_0 = 8,85\\times10^{-12}~F/m$.
• Q1. Calculez la capacité totale du capteur.
• Q2. Si la position mobile modifie l’écartement à $d = 1,5~mm$, calculez la nouvelle capacité.
• Q3. Calculez la variation relative de capacité.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1. Capacité totale :
1. Formule : $C = \\varepsilon_0 \\frac{l \\times w}{d}$
2. Remplacement : $\\varepsilon_0=8,85\\times10^{-12}~F/m ; l=0,03~m ; w=0,022~m ; d=0,0018~m$
3. Calcul : $C = 8,85\\times10^{-12} \\frac{0,03 \\times 0,022}{0,0018} = 8,85\\times10^{-12} \\frac{0,00066}{0,0018} = 8,85\\times10^{-12} \\times 0,3667 = 3,24\\times10^{-12}~F$
4. Résultat final : $C = 3,24~pF$
Q2. Nouvelle capacité pour $d = 1,5~mm$ :
1. Formule : identique avec $d = 0,0015~m$
2. Calcul : $C' = 8,85\\times10^{-12} \\frac{0,03 \\times 0,022}{0,0015} = 8,85\\times10^{-12} \\frac{0,00066}{0,0015} = 8,85\\times10^{-12} \\times 0,44 = 3,89\\times10^{-12}~F$
4. Résultat final : $C' = 3,89~pF$
Q3. Variation relative :
1. Formule : $\\frac{C'-C}{C}$
2. Calcul : $\\frac{3,89-3,24}{3,24} = \\frac{0,65}{3,24} = 0,201 $
4. Résultat final : $\\Delta C_{rel} = 20,1~\\%$
",
"id_category": "3",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 1 : Capteur de position résistif – Potentiomètre linéaire\n\nUn potentiomètre linéaire de $10\\,cm$ de course possède une résistance totale de $R_{tot} = 8\\,k\\Omega$. Il est alimenté sous $V_{cc} = 5\\,V$ et monté dans un système de mesure. Le curseur se déplace d’une distance $x$ à partir de l’origine.\n\n1. Calculez la résistance entre l’origine et le curseur pour une position $x = 4.5\\,cm$.\n2. Calculez la tension lue entre l’origine et le curseur pour cette position.\n3. Pour une variation de position de $0.2\\,cm$ autour de $x = 4.5\\,cm$, calculez la variation de tension lue.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance entre l’origine et le curseur à $x = 4.5\\,cm$ :
\nFormule : $R_x = R_{tot} \\frac{x}{L}$
\nRemplacement : $R_x = 8000 \\times \\frac{4.5}{10}$
\n$4.5/10 = 0.45$; $8000 \\times 0.45 = 3600\\,\\Omega$
\nRésultat final : $R_x = 3.60\\,k\\Omega$
\n2. Tension lue entre origine et curseur :
\nFormule : $V_x = V_{cc} \\frac{R_x}{R_{tot}}$
\nRemplacement : $V_x = 5 \\times 3600 / 8000 = 5 \\times 0.45 = 2.25\\,V$
\nRésultat final : $V_x = 2.25\\,V$
\n3. Variation de tension pour $\\Delta x = 0.2\\,cm$ :
\n$\\Delta V_x = V_{cc} \\frac{R_{tot}}{L} \\times \\Delta x / R_{tot} = V_{cc} \\frac{\\Delta x}{L}$
\n$\\Delta V_x = 5 \\times 0.2 / 10 = 5 \\times 0.02 = 0.10\\,V$
\nRésultat final : $\\Delta V_x = 0.10\\,V$
",
"id_category": "3",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 2 : Capteur inductif de position – Détecteur à noyau mobile\n\nUn capteur de déplacement inductif possède une bobine de $N = 1000$ spires, longueur initiale du noyau $l_0 = 30\\,mm$, section du noyau $S = 12\\,mm^2$, perméabilité absolue du noyau $\\mu = 1.9 \\times 10^{-3}\\,H/m$.\nLe déplacement du noyau de $\\Delta l = 7\\,mm$ augmente la longueur à $l = l_0 + \\Delta l$.\nLe capteur est alimenté sous $I = 60\\,mA$.\n\n1. Calculez l’inductance du capteur avant déplacement.\n2. Calculez l’inductance du capteur après déplacement.\n3. Calculez la variation de force magnétique exercée par le champ lors du déplacement.\n",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Inductance initiale du capteur :
\nFormule : $L = \\mu \\frac{N^2 S}{l}$
\nRemplacement : $\\mu = 1.9\\times 10^{-3}$, $N = 1000$, $S = 12\\,mm^2 = 12 \\times 10^{-6}\\,m^2$, $l_0 = 30\\,mm = 0.03\\,m$
\n$L_0 = 1.9\\times10^{-3} \\frac{(1000)^2 \\times 12\\times10^{-6}}{0.03}$
\n$(1000)^2 \\times 12 \\times10^{-6} = 12\\times10^{-6}\\times10^{6} = 12\\,\\mathrm{(unitless)}$
\n$L_0 = 1.9\\times10^{-3} \\times 12 / 0.03 = 0.0228 / 0.03 = 0.76\\,H$
\nRésultat final : $L_0 = 0.76\\,H$
\n2. Inductance après déplacement :
\n$l = 0.03 + 0.007 = 0.037\\,m$
\nFormule : $L = \\mu \\frac{N^2 S}{l}$
\nRemplacement : $L = 1.9 \\times 10^{-3} \\frac{1\\,000\\,000 \\times 12 \\times 10^{-6}}{0.037}$
\n$1.9\\times10^{-3}\\times 12 / 0.037 = 0.0228 / 0.037 = 0.62\\,H$
\nRésultat final : $L = 0.62\\,H$
\n3. Variation de force magnétique exercée :
\nFormule : $F = \\frac{1}{2}I^2 \\frac{dL}{dx}$
\n$\\Delta L = 0.62 - 0.76 = -0.14\\,H$; $\\Delta x = 0.007\\,m$; $dL/dx = -0.14/0.007 = -20\\,H/m$
\n$I = 60\\,mA = 0.060\\,A$
\n$F = 0.5 \\times (0.060)^2 \\times -20 = 0.5 \\times 0.0036 \\times -20 = 0.0018 \\times -20 = -0.036\\,N$
\nRésultat final : $F = -0.036\\,N$
",
"id_category": "3",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 3 : Capteur capacitif et capteur de proximité digital\n\nUn capteur capacitif de position est constitué de deux plaques carrées de côté $a = 14\\,mm$, écartées d’une distance variable $d$. La tension d’alimentation est $V_{cc} = 12\\,V$. Lorsque l’objet se rapproche jusqu’à $d = 4.2\\,mm$, on mesure la capacité. Un capteur de proximité digital (système infrarouge) donne un état haut si $d < 6\\,mm$.\n\n1. Calculez la capacité mesurée à $d = 4.2\\,mm$ (air entre les plaques).\n2. Calculez l’énergie électrique stockée dans le condensateur pour cette position.\n3. Déterminez, pour quel intervalle de d, la sortie du capteur digital sera à l’état haut.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité mesurée à $d = 4.2\\,mm$ :
\nFormule : $C = \\varepsilon_0 \\frac{A}{d}$ ; $A = a^2$; $\\varepsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12}\\,F/m$
\n$a = 0.014\\,m$ ; $A = (0.014)^2 = 0.000196\\,m^2$ ; $d = 4.2\\,mm = 0.0042\\,m$
\n$C = 8.85\\times 10^{-12} \\frac{0.000196}{0.0042} = 8.85\\times10^{-12} \\times 0.04667 = 4.126\\times10^{-13}\\,F$
\nRésultat final : $C = 413\\,fF$
\n2. Énergie stockée dans le condensateur :
\nFormule : $W_e = \\frac{1}{2}CV^2$
\n$C = 4.13 \\times 10^{-13}\\,F$ ; $V = 12\\,V$
\n$12^2 = 144$; $0.5 \\times 4.13 \\times 10^{-13} \\times 144 = 0.5 \\times 5.95 \\times 10^{-11} = 2.98 \\times 10^{-11}\\,J$
\nRésultat final : $W_e = 2.98\\times 10^{-11}\\,J$
\n3. Intervalle de d pour sortie haute du capteur digital :
\nCondition : $d < 6\\,mm$
\nIntervalle : $0 < d < 6\\,mm$
\nRésultat final : $0 < d < 6\\,mm$
",
"id_category": "3",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un potentiomètre rotatif (capteur de position résistif) présente une résistance totale $R_t = 10~\\mathrm{k\\Omega}$ et est alimenté par une tension continue $V = 5~\\mathrm{V}$. L’axe, de course angulaire maximale $\\theta_{max} = 270^\\circ$, est positionné en $\\theta = 60^\\circ$.\n1. Calculer la résistance vue entre l’entrée et la sortie du curseur.\n2. Déterminer la tension de sortie au curseur pour cette position.\n3. Si une charge de $R_c = 5~\\mathrm{k\\Omega}$ est branchée en parallèle sur la sortie, quelle nouvelle tension de sortie mesure-t-on ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Résistance vue au curseur
1. Formule : $R_{cur} = R_t \\left(\\frac{\\theta}{\\theta_{max}}\\right)$
2. Remplacement : $R_t=10~\\mathrm{k\\Omega}$, $\\theta=60^\\circ$, $\\theta_{max}=270^\\circ$
3. Calcul : $R_{cur}=10~\\mathrm{k\\Omega} \\times \\frac{60}{270}=10~\\mathrm{k\\Omega} \\times 0,2222=2,222~\\mathrm{k\\Omega}$
4. Résultat final : $R_{cur}=2,22~\\mathrm{k\\Omega}$
Question 2 : Tension de sortie au curseur
1. Formule : diviseur de tension :$V_{out} = V \\times \\frac{R_{cur}}{R_t}$
2. Remplacement : $V=5~\\mathrm{V}$, $R_{cur}=2,22~\\mathrm{k\\Omega}$, $R_t=10~\\mathrm{k\\Omega}$
3. Calcul : $V_{out}=5 \\times \\frac{2,22}{10}=5 \\times 0,222=1,11~\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $V_{out}=1,11~\\mathrm{V}$
Question 3 : Tension de sortie avec charge en parallèle
1. Formule : $R_{eq} = \\frac{R_{cur}\\times R_c}{R_{cur}+R_c}$
2. Remplacement : $R_{cur}=2,22~\\mathrm{k\\Omega}$, $R_c=5~\\mathrm{k\\Omega}$
$R_{eq}=\\frac{2,22\\times5}{2,22+5}=\\frac{11,1}{7,22}=1,54~\\mathrm{k\\Omega}$
3. Calcul diviseur :$V_{out,load}=5 \\times \\frac{R_{eq}}{R_t}=5 \\times \\frac{1,54}{10}=0,77~\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $V_{out,load}=0,77~\\mathrm{V}$
Interprétation : La présence d’une charge en parallèle diminue la tension de sortie, illustrant l’importance du choix des charges pour préserver la précision de mesure.
",
"id_category": "3",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur inductif à bobine mobile a une inductance :$L(x) = L_0 + kx$ où $x$ est le déplacement linéaire, $L_0 = 55~\\mathrm{mH}$, $k=8~\\mathrm{mH/cm}$.\nLa bobine est alimentée par une tension alternative sinusoïdale de $V_{ef} = 10~\\mathrm{V}$ à $f = 1~\\mathrm{kHz}$.\n1. Pour $x = 3~\\mathrm{cm}$ : calculez la valeur de l'inductance et la réactance.\n2. Déterminez le courant efficace traversant la bobine à cette position.\n3. Si la position varie périodiquement selon $x(t) = 2\\sin(\\omega t)$, calculez l’amplitude maximale du courant réalisable.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Inductance et réactance pour x=3 cm
1. Formule : $L(x) = L_0 + kx$, $X_L = 2\\pi f L(x)$
2. Remplacement :$L_0=55~\\mathrm{mH}$, $k=8~\\mathrm{mH/cm}$, $x=3~\\mathrm{cm}$
$L(3)=55 + 8\\times 3 = 55 + 24 = 79~\\mathrm{mH}=0,079~\\mathrm{H}$
$X_L = 2\\pi \\times 1000 \\times 0,079 = 2 \\times 3,142 \\times 1000 \\times 0,079 = 6,283 \\times 79 = 496,4~\\Omega$
4. Résultat final :$L=79~\\mathrm{mH}$, $X_L=496~\\Omega$
Question 2 : Courant efficace à x=3 cm
1. Formule : $I_{ef} = \\frac{V_{ef}}{X_L}$
2. Remplacement :$V_{ef}=10~\\mathrm{V}$, $X_L=496~\\Omega$
3. Calcul :$I_{ef}=\\frac{10}{496}=0,020~\\mathrm{A}=20~\\mathrm{mA}$
4. Résultat final :$I_{ef}=20~\\mathrm{mA}$
Question 3 : Amplitude maximale du courant pour x(t)=2\\sin(\\omega t)
1. Maximale x=2 cm :$L_{max}=L_0 + kx_{max}=55+8\\times 2=71~\\mathrm{mH}=0,071~\\mathrm{H}$
$X_{L,max}=2\\pi\\times1000\\times0,071=2\\times3,142\\times1000\\times0,071=6,283\\times71=446,1~\\Omega$
$I_{max}=\\frac{10}{446,1}=0,0224~\\mathrm{A}=22,4~\\mathrm{mA}$
4. Résultat final :$I_{max}=22,4~\\mathrm{mA}$
Interprétation : Le courant dépend fortement de la position, ce qui permet de transformer la mesure de déplacement en mesure de courant efficace.
",
"id_category": "3",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur capacitif de position linéaire est constitué de deux plaques parallèles de surface $S = 75~\\mathrm{cm}^2$ séparées par un espace variable $d\\in[2~\\mathrm{mm},12~\\mathrm{mm}]$.\nLa permittivité de l’espace est $\\varepsilon=8,85 \\times 10^{-12}~\\mathrm{F/m}$.\n1. Calculez la capacité pour $d=4~\\mathrm{mm}$.\n2. À quelle valeur de d la capacité tombe à $50~\\% $ de sa valeur maximale ?\n3. Si la plaque mobile se déplace à $v=1,6~\\mathrm{mm/s}$ à travers la plage de mesure, quelle variation instantanée de capacité observe-t-on ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Capacité pour d=4 mm
1. Formule : $C=\\varepsilon \\frac{S}{d}$ où $S=75~\\mathrm{cm}^2=0,0075~\\mathrm{m}^2$, $d=4~\\mathrm{mm}=0,004~\\mathrm{m}$
2. Remplacement :$\\varepsilon=8,85\\times10^{-12}~\\mathrm{F/m}$
3. Calcul :$C=8,85\\times10^{-12}\\frac{0,0075}{0,004}=8,85\\times10^{-12}\\times 1,875=1,658\\times10^{-11}~\\mathrm{F}=16,58~\\mathrm{pF}$
4. Résultat final :$C=16,6~\\mathrm{pF}$
Question 2 : Seuil 50 % de capacité maximale
1. Capacité maximale pour $d=2~\\mathrm{mm}=0,002~\\mathrm{m}$ :$C_{max}=8,85\\times10^{-12}\\frac{0,0075}{0,002}=3,75\\times8,85\\times10^{-12}=3,319\\times10^{-11}=33,2~\\mathrm{pF}$
2. Seuil : $C_{50\\%}=0,5\\times33,2=16,6~\\mathrm{pF}$
$C=C_{max}/2\\Longrightarrow d_{50\\%}=2d_{min}=0,004~\\mathrm{m}=4~\\mathrm{mm}$
3. Résultat : à $d=4~\\mathrm{mm}$ la capacité est à 50 % de sa valeur max.
Question 3 : Variation instantanée de capacité (dérivée)
1. Formule : $\\frac{dC}{dt} = -\\varepsilon \\frac{S}{d^2}\\frac{dd}{dt}$
2. Pour $d=0,004~\\mathrm{m}$, $\\frac{dd}{dt}=1,6\\times10^{-3}~\\mathrm{m/s}$
$\\frac{dC}{dt}=-8,85\\times10^{-12}\\times\\frac{0,0075}{(0,004)^2}\\times1,6\\times10^{-3}$
Calcul :$0,0075/(0,004^2)=468,75$; $8,85\\times10^{-12}\\times468,75=4,144\\times10^{-9}$
$\\frac{dC}{dt}=-4,144\\times10^{-9}\\times1,6\\times10^{-3}=-6,63\\times10^{-12}~\\mathrm{F/s}=-6,6~\\mathrm{pF/s}$
4. Résultat final :$\\frac{dC}{dt}=-6,6~\\mathrm{pF/s}$ (la capacité diminue)
Interprétation : Ce capteur offre une résolution très importante pour les faibles variations de distance via la mesure de capacité.
",
"id_category": "3",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif linéaire (potentiomètre) de longueur totale $L = 20\\,\\text{cm}$ et de résistance totale $R_{tot} = 850\\,\\Omega$ est alimenté sous $V_{in} = 10\\,\\text{V}$.\n1) Calculez la résistance entre le curseur et le côté négatif si le curseur est placé à $d = 7{,}5\\,\\text{cm}$ du point de référence.\n2) Déterminez la tension de sortie du potentiomètre pour cette position.\n3) Évaluez la résolution de position obtenue si l’acquisition numérique dispose de $10$ bits.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Résistance côté négatif
Formule : $R_- = R_{tot} \\times \\frac{d}{L}$
Remplacement : $R_- = 850 \\times \\frac{7,5}{20}$
Calcul : $R_- = 850 \\times 0,375 = 318,75$ $\\Omega$
Résultat : $319$ $\\Omega$
2) Tension de sortie du potentiomètre
Formule : $V_{out} = V_{in} \\times \\frac{R_-}{R_{tot}}$
Remplacement : $V_{out} = 10 \\times \\frac{318,75}{850}$
Calcul : $\\frac{318,75}{850} = 0,375$
$V_{out} = 3,75$ V
Résultat : $3,75$ V
3) Résolution de position en acquisition 10 bits
Nombre de niveaux : $N = 2^{10} = 1024$
Résolution en tension : $\\frac{V_{in}}{N} = \\frac{10}{1024} = 0,00977$ V/niveau
Résolution en position : $\\Delta d = L \\times \\frac{1}{N} = 20 \\times \\frac{1}{1024} = 0,0195$ cm
Résultat : $0,0195$ cm (soit 0,195 mm/niveau)
",
"id_category": "3",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur capacitif de position consiste en deux plaques parallèles de superficie $S = 18\\,\\text{cm}^2$ séparées par un écart variable $d$ allant de $1,3\\,\\text{mm}$ à $5,6\\,\\text{mm}$. La permittivité du milieu entre les plaques est $\\varepsilon = 6,2 \\times 10^{-11}\\,\\text{F/m}$.\n1) Calculer la capacité pour la position minimale et maximale de l’écart.\n2) La variation de tension à 5 V appliquée, pour une position passant de $1,3\\,\\text{mm}$ à $5,6\\,\\text{mm}$.\n3) Dans un système d’acquisition numérique 12 bits, quelle est la variation minimale de distance détectable ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Calcul capacité mini/maxi
Formule : $C = \\frac{\\varepsilon S}{d}$
Superficie : $S = 18 \\text{ cm}^2 = 0,0018$ m²
Pour $d_{min} = 1,3 \\text{ mm} = 0,0013$ m
Remplacement : $C_{min} = \\frac{6,2 \\times 10^{-11} \\times 0,0018}{0,0013}$
Calcul : $C_{min} = \\frac{1,116 \\times 10^{-13}}{0,0013} = 8,58 \\times 10^{-11}$ F
Pour $d_{max} = 5,6 \\text{ mm} = 0,0056$ m
Remplacement : $C_{max} = \\frac{6,2 \\times 10^{-11} \\times 0,0018}{0,0056}$
Calcul : $C_{max} = \\frac{1,116 \\times 10^{-13}}{0,0056} = 1,99 \\times 10^{-11}$ F
2) Variation de tension à 5 V
Si relier le condensateur à 5 V, la charge : $Q = C \\times V$
Variation : $Q_{min} - Q_{max} = V (C_{min} - C_{max})$
Remplacement : $\\Delta Q = 5 \\times (8,58 \\times 10^{-11} - 1,99 \\times 10^{-11}) = 5 \\times 6,59 \\times 10^{-11} = 3,29 \\times 10^{-10}$ C
3) Résolution position numérique 12 bits
Nombre de niveaux : $2^{12} = 4096$
Variation minimale de capacité : $\\Delta C_{min} = \\frac{C_{min}}{4096} = \\frac{8,58 \\times 10^{-11}}{4096} = 2,09 \\times 10^{-14}$ F
Pour détecter par la variation de distance : $\\Delta d = \\frac{\\varepsilon S}{C^2} \\Delta C$ (dépend de C)
Pour la position mini : $\\Delta d_{min} = \\frac{6,2 \\times 10^{-11} \\times 0,0018}{(8,58 \\times 10^{-11})^2} \\times 2,09 \\times 10^{-14}$
Calcul : $(8,58 \\times 10^{-11})^2 = 7,36 \\times 10^{-21}$
$\\Delta d_{min} = \\frac{1,116 \\times 10^{-13}}{7,36 \\times 10^{-21}} \\times 2,09 \\times 10^{-14} = 1,517 \\times 10^{7} \\times 2,09 \\times 10^{-14} = 3,17 \\times 10^{-7}$ m
Résultat : $0,317$ µm (micromètre)
",
"id_category": "3",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif linéaire, de longueur totale $L = 30\\ \\mathrm{cm}$ et de résistance totale $R = 12\\ \\mathrm{k}\\Omega$, est parcouru par un curseur. L’alimentation du capteur est réalisée par une tension constante de $U_{alim} = 5\\ \\mathrm{V}$.\n1. Le curseur est placé à $d = 19\\ \\mathrm{cm}$ de l’extrémité reliée à la masse. Calculez la résistance entre la masse et le curseur, ainsi que la tension mesurée à son niveau.\n2. Si on réalise une mesure de position numérique à l’aide d’un convertisseur analogique/numérique (CAN) 10 bits référencé à $5\\ \\mathrm{V}$, calculez la valeur numérique délivrée pour la même position.\n3. La vitesse de déplacement du curseur est constante et vaut $v = 2\\ \\mathrm{cm.s}^{-1}$. Déterminez l’évolution temporelle de la tension de sortie et la valeur du pas minimal de déplacement détectable par le CAN.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance et tension mesurée à d = 19 cm :
\\\n1. Formule générale : $ R_{bas} = R \\frac{d}{L} $ ; $ U_{sortie} = U_{alim} \\frac{d}{L} $
\\\n2. Remplacement : $ R_{bas} = 12 000 \\frac{19}{30} = 7 600\\ \\Omega $
\\\n$ U_{sortie} = 5 \\times \\frac{19}{30} = 3.167\\ \\mathrm{V} $
\\\n3. Calculs :
\\\n$ 12 000 \\times \\frac{19}{30} = 7 600 $
\\\n$ 5 \\times 0.6333 = 3.167 $
\\\n4. Résultat : $ R_{bas} = 7 600\\ \\Omega ;\\ U_{sortie} = 3.17\\ \\mathrm{V} $
\\\n2. Valeur numérique du CAN (10 bits) pour la même position :
\\\n1. Formule : $ N = \\left\\lfloor \\frac{U_{sortie}}{U_{ref}} \\times (2^{10} - 1) \\right\\rfloor $
\\\n2. Remplacement : $ N = \\left\\lfloor \\frac{3.167}{5} \\times 1023 \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 0.6333 \\times 1023 \\right\\rfloor $
\\\n3. Calcul : $ 0.6333 \\times 1023 = 647.68 $
\\\n4. Résultat : $ N = 647 $
\\\n3. Évolution temporelle et pas minimal détectable :
\\\n1. $ d(t) = v t $ avec $ v = 2\\ \\mathrm{cm.s}^{-1} $
\\\n$ U_{sortie}(t) = U_{alim} \\frac{v t}{L} $
\\\n2. Pas CAN : $ \\Delta U = \\frac{U_{ref}}{1023} = \\frac{5}{1023} = 4.89\\ \\mathrm{mV} $
\\\n$ \\Delta d = L \\times \\frac{\\Delta U}{U_{alim}} = 30\\times\\frac{4.89\\cdot10^{-3}}{5} = 0.02934\\ \\mathrm{cm} = 0.293\\ \\mathrm{mm} $
\\\n3. Résultat : Le déplacement minimal détectable par le CAN est $0.293\\ \\mathrm{mm} $, et $ U_{sortie}(t) = 0.4\\ t \\mathrm{[V]} $ pour $ t \\in [0, 15] $ (jusqu'à 30 cm).
",
"id_category": "3",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position inductif à noyau mobile fonctionne en régime sinusoïdal à $f = 10\\ \\mathrm{kHz}$, avec une inductance de base $L_0 = 12\\ \\mathrm{mH}$ pour une position centrale du noyau. Lorsque le noyau se décale de $\\Delta x = 6\\ \\mathrm{mm}$, l’inductance devient $L = 8.5\\ \\mathrm{mH}$.\n1. Calculez la nouvelle réactance inductive du capteur pour cette position.\n2. Le capteur est inséré en série avec une résistance de $R = 220\\ \\Omega$, le tout alimenté sous $V_{eff} = 2.5\\ \\mathrm{V}\\,\\mathrm{eff}$ à $10\\ \\mathrm{kHz}$. Calculer le courant efficace dans le circuit pour cette position.\n3. Calculez le déphasage entre la tension et le courant, puis la valeur instantanée maximale du courant.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Réactance inductive avec déplacement de noyau :
\\\n1. Formule : $ X_L = 2\\pi f L $
\\\n2. Remplacement : $ X_L = 2\\pi \\times 10^4 \\times 8.5 \\times 10^{-3} $
\\\n$ X_L = 2\\pi \\times 85 = 534.1\\ \\Omega $
\\\n3. Résultat : $ X_L = 534\\ \\Omega $
\\\n2. Courant efficace dans le circuit :
\\\n1. Impédance totale : $ Z = \\sqrt{R^2 + X_L^2} $
\\\n2. Remplacement : $ Z = \\sqrt{220^2 + 534^2} = \\sqrt{48\\,400 + 285\\,156} = \\sqrt{333\\,556} = 577.6\\ \\Omega $
\\\n3. Courant efficace : $ I_{eff} = \\frac{V_{eff}}{Z} = \\frac{2.5}{577.6} = 0.00433\\ \\mathrm{A} = 4.33\\ \\mathrm{mA} $
\\\n4. Résultat : $ I_{eff} = 4.33\\ \\mathrm{mA} $
\\\n3. Déphasage et valeur maximale du courant :
\\\n1. Déphasage : $ \\varphi = \\arctan\\left(\\frac{X_L}{R}\\right) $
\\\n2. Remplacement : $ \\varphi = \\arctan\\left(\\frac{534}{220}\\right) = 67.9^\\circ $
\\\n3. Courant max : $ I_{max} = \\sqrt{2} I_{eff} = 1.4142 \\times 0.00433 = 0.00612\\ \\mathrm{A} = 6.12\\ \\mathrm{mA} $
\\\n4. Résultat : $ \\varphi = 67.9^\\circ ;\\ I_{max} = 6.12\\ \\mathrm{mA} $
",
"id_category": "3",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur capacitif de déplacement est réalisé à partir de deux plaques parallèles de surface $S = 8\\ \\mathrm{cm}^2$, séparées par un espace d’air de distance variable $d$.\n1. À $d = 1\\ \\mathrm{mm}$, calculez la capacité du capteur.\n2. Si une variation de déplacement de $0.12\\ \\mathrm{mm}$ est appliquée, calculez la variation de capacité induite.\n3. Le capteur est intégré dans un circuit pont RC alimenté en sinusoïdal à $f = 20\\ \\mathrm{kHz}$ et résistance ballast $R = 1200\\ \\Omega$. Pour la valeur initiale et la valeur finale de la capacité, calculez la tension efficace mesurée aux bornes du condensateur si la source applique une tension $V_{eff} = 6\\ \\mathrm{V}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité à d = 1 mm :
\\\n1. Formule : $ C = \\varepsilon_0 \\frac{S}{d} $ avec $ \\varepsilon_0 = 8.854\\cdot10^{-12}\\ \\mathrm{F.m}^{-1},\\ S = 8\\cdot10^{-4}\\ \\mathrm{m}^2,\\ d = 1\\cdot10^{-3}\\ \\mathrm{m} $
\\\n2. Remplacement : $ C = 8.854\\cdot10^{-12} \\frac{8\\cdot10^{-4}}{1\\cdot10^{-3}} $
\\\n3. Calcul : $ \\frac{8\\cdot10^{-4}}{1\\cdot10^{-3}} = 0.8 $ ; $ C = 8.854\\cdot10^{-12} \\times 0.8 = 7.08\\cdot10^{-12}\\ \\mathrm{F} = 7.08\\ \\mathrm{pF} $
\\\n4. Résultat : $ C_{ini} = 7.08\\ \\mathrm{pF} $
\\\n2. Variation de capacité pour delta d = 0.12 mm :
\\\n1. Nouvelle distance : $ d_f = 1+0.12 = 1.12\\ \\mathrm{mm} = 1.12\\cdot10^{-3}\\ \\mathrm{m} $
\\\n2. $ C_f = 8.854\\cdot10^{-12} \\times \\frac{8\\cdot10^{-4}}{1.12\\cdot10^{-3}} = 8.854\\cdot10^{-12}\\cdot0.714 = 6.32\\cdot10^{-12}\\ \\mathrm{F} = 6.32\\ \\mathrm{pF} $
\\\n3. Variation : $ \\Delta C = C_f - C_{ini} = 6.32 - 7.08 = -0.76\\ \\mathrm{pF} $
\\\n4. Résultat : $ \\Delta C = -0.76\\ \\mathrm{pF} $ (capacité diminue)
\\\n3. Tension efficace aux bornes pour C_{ini} et C_f :
\\\n1. Impédance capacitive : $ X_C = \\frac{1}{2\\pi f C} $
\\\n2. \\(C_{ini}:\\) $ X_{C,ini} = \\frac{1}{2\\pi \\times 2\\cdot10^4 \\times 7.08\\cdot10^{-12}} = \\frac{1}{8.889\\cdot10^{-7}} = 1.125\\cdot10^6\\ \\Omega $
\\\n$ (C_f:) X_{C,f} = \\frac{1}{2\\pi \\times 2\\cdot10^4 \\times 6.32\\cdot10^{-12}} = 1.26 \\cdot 10^6\\ \\Omega $
\\\n3. Diviseur de tension : $ V_C = V_{eff}\\frac{X_C}{\\sqrt{R^2+X_C^2}} $
\\\nC_{ini}: $ V_{C,ini} = 6\\frac{1.125\\cdot10^6}{\\sqrt{1200^2+(1.125\\cdot10^6)^2}} = 6\\frac{1.125\\cdot10^6}{1.125\\cdot10^6} = 6\\ \\mathrm{V} $
\\\n(C_f:) $ V_{C,f} = 6\\frac{1.26\\cdot10^6}{\\sqrt{1200^2+(1.26\\cdot10^6)^2}} = 6\\frac{1.26\\cdot10^6}{1.26\\cdot10^6} = 6\\ \\mathrm{V} $
\\\n(variation très négligeable, car la résistance est très faible devant l'impédance capacitive à cette fréquence et ces valeurs de capacité).
",
"id_category": "3",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 1 : Capteur de position résistif linéaire – Étude et exploitation\n\nUn capteur résistif linéaire (potentiomètre de déplacement) présente une résistance totale $R=5\\ \\mathrm{k}\\Omega$ sur une course totale $L=160\\ \\mathrm{mm}$. Il est alimenté sous une tension constante de $V_{cc}=12\\ \\mathrm{V}$. Un curseur se déplace jusqu’au point $x=62\\ \\mathrm{mm}$.\n\n1. Calculez la tension lue au curseur pour cette position.\n2. Déterminez la sensibilité du capteur, c’est-à-dire la variation de la tension de sortie par millimètre de déplacement.\n3. Calculez le courant traversant le potentiomètre à cette position.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension au curseur x=62mm
1. Formule :
$V_{out}=V_{cc}\\frac{x}{L}$
2. Remplacement : $V_{cc}=12\\ \\mathrm{V},\\ x=62\\ \\mathrm{mm},\\ L=160\\ \\mathrm{mm}$
$V_{out}=12\\times\\frac{62}{160}=12\\times0.3875=4.65\\ \\mathrm{V}$
3. Résultat final :
La tension lue au curseur est $4.65\\ \\mathrm{V}$.
Question 2 : Sensibilité du capteur
1. Formule :
$S=\\frac{V_{cc}}{L}$
2. Remplacement : $S=\\frac{12}{160}=0.075\\ \\mathrm{V/mm}$
3. Résultat final :
La sensibilité est $0.075\\ \\mathrm{V.mm}^{-1}$.
Question 3 : Courant dans le potentiomètre
1. Formule :
$I=\\frac{V_{cc}}{R}$
2. Remplacement : $R=5000\\ \\Omega$, $V_{cc}=12\\ \\mathrm{V}$
$I=\\frac{12}{5000}=0.0024\\ \\mathrm{A}$
3. Résultat final :
Le courant traversant le potentiomètre est $0.0024\\ \\mathrm{A}$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 2 : Capteur de position inductif à noyau mobile – Calcul du déplacement et du signal\n\nUn capteur inductif à noyau mobile utilise une bobine de $N=600$ spires, de longueur totale $l=18\\ \\mathrm{cm}$ et section $S=0.7\\ \\mathrm{cm}^2$. Le noyau de fer, de perméabilité relative $\\mu_r=2900$, s’insère sur une longueur $x=7.2\\ \\mathrm{cm}$. Le champ d’excitation alternatif a une amplitude de $I_0=25\\ \\mathrm{mA}$.\n\n1. Calculez la variation d’inductance pour ce déplacement du noyau.\n2. Déterminez l’amplitude maximale de la tension induite aux bornes de la bobine si la fréquence d’excitation vaut $f=2\\ \\mathrm{kHz}$.\n3. Calculez l’énergie magnétique maximale stockée dans la bobine pour ce déplacement.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation d’inductance
1. Formule :
$L=\\frac{\\mu_0\\mu_r N^2 S}{l}$ pour la partie noyautée ; pour le déplacement $\\Delta L=L(x)-L(0)$
2. Remplacement : $N=600$, $S=0.00007\\ \\mathrm{m}^2$, $x=0.072\\ \\mathrm{m}$, $\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7}\\ \\mathrm{H.m}^{-1}$
$L(x)=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times2900\\times600^2\\times0.00007}{0.072}$
$L(x)=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times2900=3.644\\times10^{-3}}{0.072}\\times(600^2\\times0.00007)=\\frac{3.644\\times10^{-3}\\times25.2}{0.072}=0.1277\\ \\mathrm{H}$
Sans noyau : $\\mu_r=1\\rightarrow L_{air}=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times600^2\\times0.00007}{0.072}=0.0000444\\ \\mathrm{H}$
$\\Delta L=0.1277-0.0000444=0.12766\\ \\mathrm{H}$
3. Résultat final :
La variation d’inductance est $0.128\\ \\mathrm{H}$.
Question 2 : Amplitude maximale de la tension induite
1. Formule :
$e_{max}=\\omega L(x) I_0$ où $\\omega=2\\pi f$
2. Remplacement : $f=2000\\ \\mathrm{Hz};\\ \\omega=2\\pi\\times2000=12566\\ \\mathrm{rad/s}$
$L(x)=0.1277\\ \\mathrm{H};\\ I_0=0.025\\ \\mathrm{A}$
$e_{max}=12566\\times0.1277\\times0.025=40.08\\ \\mathrm{V}$
3. Résultat final :
L’amplitude maximale de la tension induite est $40.08\\ \\mathrm{V}$.
Question 3 : Énergie magnétique maximale stockée
1. Formule :
$W_{max}=\\frac{1}{2}L(x)I_0^2$
2. Remplacement : $L(x)=0.1277\\ \\mathrm{H};\\ I_0=0.025\\ \\mathrm{A}$
$W_{max}=0.5\\times0.1277\\times0.025^2=3.193\\times10^{-5}\\ \\mathrm{J}$
3. Résultat final :
L’énergie magnétique maximale stockée est $3.19\\times10^{-5}\\ \\mathrm{J}$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 3 : Capteur capacitif de proximité et détection digitale – Analyse de mesure\n\nUn capteur capacitif de proximité est constitué de deux plaques parallèles de surface $S=22\\ \\mathrm{cm}^2$ espacées d’une distance $d=4.6\\ \\mathrm{mm}$ (milieu air, $\\epsilon_0=8.85\\times10^{-12}\\ \\mathrm{F.m}^{-1}$). Un capteur digital déclenche si la capacité dépasse $C_{seuil}=400\\ \\mathrm{pF}$.\n\n1. Calculez la capacité du capteur dans ces conditions.\n2. Déterminez la variation de capacité si la distance de séparation tombe à $d=2.8\\ \\mathrm{mm}$.\n3. Le capteur digital affiche-t-il un état actif à cette nouvelle position?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Capacité des plaques (d=4.6mm)
1. Formule :
$C=\\frac{\\epsilon_0 S}{d}$
2. Remplacement : $S=0.0022\\ \\mathrm{m}^2;\\ d=0.0046\\ \\mathrm{m}$
$C=\\frac{8.85\\times10^{-12}\\times0.0022}{0.0046}=4.23\\times10^{-12}\\ \\mathrm{F}=4.23\\ \\mathrm{pF}$
3. Résultat final :
La capacité est $4.23\\ \\mathrm{pF}$.
Question 2 : Variation pour d=2.8mm
1. Formule :
$C=\\frac{8.85\\times10^{-12}\\times0.0022}{0.0028}=6.94\\times10^{-12}\\ \\mathrm{F}=6.94\\ \\mathrm{pF}$
3. Résultat final :
La nouvelle capacité est $6.94\\ \\mathrm{pF}$.
Question 3 : État du capteur digital
1. Condition :
$C>400\\ \\mathrm{pF}$
2. Application : valeur calculée très inférieure au seuil
3. Résultat final :
L’état actif n’est pas atteint : le capteur digital reste inactif.
",
"id_category": "3",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif à curseur linéaire mesure la position d’un chariot sur une piste de longueur $L = 1{,}5~\\text{m}$. La résistance totale du capteur est $R = 4~\\text{k}\\Omega$. Le curseur est alimenté par une tension de référence $V_{ref} = 12~\\text{V}$.\n\n1. Pour une position de curseur $x_1 = 0{,}45~\\text{m}$, calculez la résistance entre le curseur et la masse.\n2. Calculez la tension de sortie du capteur pour cette position.\n3. Si le chariot se déplace à vitesse constante $v = 0{,}12~\\text{m}/\\text{s}$ depuis la position $x_1$, calculez la variation de tension de sortie au bout de $5~\\text{s}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance entre le curseur et la masse
Formule générale :
$R_1 = R \\frac{x_1}{L}$
Remplacement :
$R_1 = 4000 \\times \\frac{0{,}45}{1{,}5}$
Calcul :
$0{,}45/1{,}5 = 0{,}3$
$R_1 = 4000 \\times 0{,}3 = 1200~\\Omega$
Résultat final :
$R_1 = 1200~\\Omega$
2. Tension de sortie pour la position $x_1$
Formule générale (diviseur résistif):
$V_{out} = V_{ref} \\frac{R_1}{R}$
Remplacement :
$V_{out} = 12 \\times \\frac{1200}{4000}$
Calcul :
$1200/4000 = 0{,}3$
$V_{out} = 12 \\times 0{,}3 = 3,6~\\text{V}$
Résultat final :
$V_{out}(x_1) = 3,6~\\text{V}$
3. Variation de tension au bout de 5~s
Position finale :
$x_2 = x_1 + v t = 0{,}45 + 0,12 \\times 5 = 1,05~\\text{m}$
Formule :
$V_{out}(x_2) = V_{ref} \\frac{x_2}{L}$
Remplacement :
$V_{out}(1,05) = 12 \\times \\frac{1,05}{1,5}$
Calcul :
$1,05/1,5 = 0{,}7$
$V_{out}(1,05) = 12 \\times 0{,}7 = 8,4~\\text{V}$
Variation :
$\\Delta V_{out} = V_{out}(1,05) - V_{out}(0,45) = 8,4 - 3,6 = 4,8~\\text{V}$
Résultat final :
$\\Delta V_{out} = 4,8~\\text{V}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur inductif de position utilise une bobine de $N = 250$ spires, de résistance interne $r = 20~\\Omega$, parcourue par un courant alternatif $I(t) = I_0 \\sin(\\omega t)$ avec $I_0 = 0{,}08~\\text{A}$ et $\\omega = 500~\\text{rad/s}$. Le noyau mobile de perméabilité $\\mu_r = 1300$ a une section $S = 0{,}00024~\\text{m}^2$ et sa longueur varie de $l_1 = 0{,}045~\\text{m}$ à $l_2 = 0{,}082~\\text{m}$ selon la position.\n\n1. Calculez la valeur du flux magnétique dans la bobine pour la position $l_1$ à $t = 0{,}002~\\text{s}$.\n2. Calculez la tension maximale induite à la sortie lors du déplacement entre les deux positions.\n3. Déterminez la variation relative de la self-inductance de la bobine entre $l_1$ et $l_2$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Flux magnétique à $l_1$ pour $t=0{,}002~\\text{s}$
Formule générale :
$\\Phi = \\frac{\\mu_0 \\mu_r N I(t) S}{l_1}$
Remplacement :
$\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}~\\text{H/m}$, $\\mu_r = 1300$, $N = 250$, $S=0,00024~\\text{m}^2$
$I(t) = 0,08 \\sin(500 \\times 0,002) = 0,08 \\sin(1) \\approx 0,08 \\times 0,8415 = 0,0673~\\text{A}$
$\\Phi = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times 250 \\times 0,0673 \\times 0,00024}{0,045}$
Calcul intermédiaire :
$[4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times 250 \\times 0,0673 \\times 0,00024] = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 = 1,634 \\times 10^{-3}$
$1,634 \\times 10^{-3} \\times 250 = 0,4085$
$0,4085 \\times 0,0673 = 0,0275$
$0,0275 \\times 0,00024 = 6,6 \\times 10^{-6}$
$\\Phi = \\frac{6,6 \\times 10^{-6}}{0,045} \\approx 1,47 \\times 10^{-4}~\\text{Wb}$
Résultat final :
$\\Phi(l_1, t=0,002~\\text{s}) \\approx 1,47 \\times 10^{-4}~\\text{Wb}$
2. Tension maximale induite lors du déplacement
Formule générale : variation de flux :
$e_{max} = N \\frac{d\\Phi}{dt}$
Considérons le courant maximal ($I_0$),
$\\Phi(l)_{max} = \\frac{\\mu_0 \\mu_r N I_0 S}{l}$
Différence de flux :
$\\Delta \\Phi = \\Phi(l_1)_{max} - \\Phi(l_2)_{max}$
Remplacement :
$\\Phi(l_1)_{max} = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times 250 \\times 0,08 \\times 0,00024}{0,045}$
$\\Phi(l_2)_{max} = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times 250 \\times 0,08 \\times 0,00024}{0,082}$
$\\Delta \\Phi = ( \\frac{1}{0,045} - \\frac{1}{0,082} ) \\times K\\ ; K = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times 250 \\times 0,08 \\times 0,00024\\approx 7,50 \\times 10^{-6}$
$\\frac{1}{0,045} = 22,22\\ ; \\frac{1}{0,082} = 12,20$
$\\Delta \\Phi = (22,22-12,20) \\times 7,50 \\times 10^{-6} = 10,02 \\times 7,50 \\times 10^{-6} = 7,52 \\times 10^{-5}~\\text{Wb}$
Résultat final :
$\\Delta \\Phi_{max} = 7,52 \\times 10^{-5}~\\text{Wb}$
3. Variation relative de la self-inductance entre les deux positions
Formule :
$L = \\frac{\\mu_0 \\mu_r N^2 S}{l}$
Calcul pour $l_1$ :
$L_1 = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times (250)^2 \\times 0,00024}{0,045}$
Pour $l_2$ :
$L_2 = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1300 \\times (250)^2 \\times 0,00024}{0,082}$
Variation relative :
$\\frac{L_1 - L_2}{L_1}$
Calcul :
$L_1 \\propto \\frac{1}{0,045} = 22,22$
$L_2 \\propto \\frac{1}{0,082} = 12,20$
$\\frac{22,22 - 12,20}{22,22} = \\frac{10,02}{22,22} = 0,451$
Résultat final :
$\\text{Variation relative} = 45,1\\%$
",
"id_category": "3",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur capacitif plan à plaques parallèles est utilisé pour mesurer le déplacement d’un objet. Les plaques ont une surface $S = 72~\\text{cm}^2$, la distance initiale est $d_0 = 2~\\text{mm}$, la constante diélectrique est $\\varepsilon_r = 5,2$. L’objet soulève une plaque de $\\Delta d = 0,35~\\text{mm}$ après mesure.\n\n1. Calculez la capacité initiale entre les plaques.\n2. Déterminez la nouvelle capacité après déplacement.\n3. Calculez la variation absolue de la capacité.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité initiale
Formule :
$C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}$
Remplacement : $\\varepsilon_0 = 8,854 \\times 10^{-12}~\\text{F/m}$, $S = 72~\\text{cm}^2 = 0,0072~\\text{m}^2$, $d_0 = 2~\\text{mm} = 0,002~\\text{m}$
$C_0 = 8,854 \\times 10^{-12} \\times 5,2 \\times \\frac{0,0072}{0,002}$
Calcul :
$0,0072/0,002 = 3,6$
$8,854 \\times 10^{-12} \\times 5,2 = 4,60408 \\times 10^{-11}$
$C_0 = 4,60408 \\times 10^{-11} \\times 3,6 = 1,6575 \\times 10^{-10}~\\text{F} = 165,8~\\text{pF}$
Résultat final :
$C_0 \\approx 166~\\text{pF}$
2. Nouvelle capacité après déplacement
Nouvelle distance : $d_1 = d_0 + \\Delta d = 0,002 + 0,00035 = 0,00235~\\text{m}$
$C_1 = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d_1}$
$C_1 = 4,60408 \\times 10^{-11} \\times \\frac{1}{0,00235/0,0072}$
$0,0072/0,00235 = 3,0638$
$C_1 = 4,60408 \\times 10^{-11} \\times 3,0638 = 1,41109 \\times 10^{-10}~\\text{F} = 141,1~\\text{pF}$
Résultat final :
$C_1 \\approx 141~\\text{pF}$
3. Variation absolue de la capacité
Formule :
$\\Delta C = C_0 - C_1$
$\\Delta C = 166~\\text{pF} - 141~\\text{pF} = 25~\\text{pF}$
Résultat final :
$\\Delta C = 25~\\text{pF}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 1 : Capteur de position résistif linéaire\n\nOn utilise un capteur résistif linéaire de longueur utile $L = 20\\ \\mathrm{cm}$ et de résistance totale $R_{tot} = 8,0\\ \\mathrm{k\\Omega}$, alimenté sous une tension constante $V_{al} = 10,0\\ \\mathrm{V}$. Un curseur mobile se déplace sur la piste à une distance $x$ de l’extrémité gauche. Ce curseur alimente un circuit à haute impédance. On suppose un coefficient de variation de la température sur la résitivité de la piste $\\alpha = 5,0 \\times 10^{-4}\\ \\mathrm{K}^{-1}$. À $T = 60\\ ^\\circ\\mathrm{C}$, la température de référence étant $T_0 = 20\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.\n\n1. Calculez la résistance entre l’extrémité gauche et le curseur pour $x = 15,0\\ \\mathrm{cm}$ à température ambiante.\n2. Calculez la nouvelle résistance pour cette même position à $60\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.\n3. Déterminez la tension mesurée sur le curseur à cette température.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résistance à température ambiante ($T_0=20\\ ^\\circ\\mathrm{C}$) et $x=15,0\\ \\mathrm{cm}$
Formule : $R_g = R_{tot}\\dfrac{x}{L}$
Remplacement : $R_g = 8,0\\times 10^3\\dfrac{0,15}{0,20}$
Calcul : $R_g = 8000 \\times 0,75 = 6000\\ \\Omega$
Résultat : $R_{g,20\\ ^\\circ\\mathrm{C}} = 6,00\\ \\mathrm{k\\Omega}$
\n2. Résistance à $60\\ ^\\circ\\mathrm{C}$
Formule : $R(T) = R_0[1 + \\alpha(T-T_0)]$
Remplacement : $R = 6000\\times[1 + 5,0\\times10^{-4}\\times(60-20)]$
Calcul de l’augmentation : $1+0,02=1,02$ ; $R = 6000\\times1,02 = 6120\\ \\Omega$
Résultat : $R_{g,60} = 6,12\\ \\mathrm{k\\Omega}$
\n3. Tension sur le curseur
Formule : $V_{sortie} = V_{al}\\dfrac{R_g}{R_{tot}}$
Remplacement : $V_{sortie}=10,0\\dfrac{6,12}{8,0}$
Calcul : $V_{sortie}=10,0\\times0,765=7,65\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $V_{sortie}=7,65\\ \\mathrm{V}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 2 : Capteur de position inductif (LVDT)\n\nUn capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer) possède une différence de tension maximale de $V_{max} = 3,00\\ \\mathrm{V}$ pour un déplacement maximal $x_{max}=25,0\\ \\mathrm{mm}$. Il est alimenté par un générateur de signal à $f=2,5\\ \\mathrm{kHz}$.\n On place l’axe mobile à $x = -12,0\\ \\mathrm{mm}$ (déplacement vers la gauche). L’appareil de lecture ne prend en compte que la valeur absolue de la tension de sortie.\n Une charge mécanique provoque un déplacement harmonique d’amplitude $A=8,0\\ \\mathrm{mm}$ autour de la position $x_0$ estimée précédemment.\n\n1. Calculez la tension de sortie instantanée pour la position initiale.\n2. Calculez la tension de sortie maximale durant l’oscillation harmonique.\n3. Calculez la fréquence du signal de sortie du LVDT liée au déplacement mécaniquement imposé.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension de sortie pour $x=-12,0\\ \\mathrm{mm}$
Formule : $V_{out}=V_{max}\\dfrac{|x|}{x_{max}}$
Remplacement : $V_{out}=3,00\\dfrac{12,0}{25,0}$
Calcul : $V_{out}=3,00\\times0,48=1,44\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $V_{out}=1,44\\ \\mathrm{V}$
\n2. Tension de sortie maximale durant l’oscillation
Position maximale : $|x|=|-12,0|+8,0=20,0\\ \\mathrm{mm}$
Formule : $V_{out,max}=V_{max}\\dfrac{20,0}{25,0}$
Calcul : $V_{out,max}=3,00\\times0,80=2,40\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $V_{out,max}=2,40\\ \\mathrm{V}$
\n3. Fréquence du signal de sortie
L’oscillation mécanique détermine la fréquence, soit fi = f_{déplacement}
Ici la sortie est à la même fréquence que le déplacement, donc :
Formule : $f_{sortie}=f_{oscillation}$
Sous hypothèse (pas de donnée précise), $f_{sortie}=f_{oscillation}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Exercice 3 : Capteur capacitif de proximité à plaques parallèles\n\nUn capteur de proximité capacitif à plaques parallèles possède deux électrodes circulaires de diamètre $D = 48,0\\ \\mathrm{mm}$, séparées par une distance initiale $d_0 = 3,0\\ \\mathrm{mm}$. Une plaque métallique mobile s’en approche, réduisant la distance à $d = 1,0\\ \\mathrm{mm}$. La permittivité de l’air est $\\varepsilon_0 = 8,85 \\times 10^{-12}\\ \\mathrm{F\\ m}^{-1}$.\n Le capteur est soumis à une tension de mesure $V_{al} = 24,0\\ \\mathrm{V}$. L’appareil mesure la variation de charge sur une électrode. \n\n1. Calculez la capacité initiale.\n2. Calculez la nouvelle capacité après rapprochement de la plaque.\n3. Calculez la variation de charge transférée sur l’électrode du capteur lors du passage de $d_0$ à $d$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité initiale
Formule : $C_0=\\varepsilon_0\\dfrac{S}{d_0}$
Aire : $S=\\pi\\left(\\dfrac{D}{2}\\right)^2=\\pi\\left(0,024\\right)^2=1,809\\times10^{-3}\\ \\mathrm{m^2}$
Remplacement : $C_0=8,85\\times10^{-12}\\dfrac{1,809\\times10^{-3}}{3,0\\times10^{-3}}$
Calcul : $C_0=8,85\\times10^{-12}\\times0,603=5,34\\times10^{-12}\\ \\mathrm{F}$
Résultat : $C_0=5,34\\ \\mathrm{pF}$
\n2. Capacité pour $d=1,0\\ \\mathrm{mm}$
Formule : $C=\\varepsilon_0\\dfrac{S}{d}$
Remplacement : $C=8,85\\times10^{-12}\\dfrac{1,809\\times10^{-3}}{1,0\\times10^{-3}}$
Calcul : $C=8,85\\times10^{-12}\\times1,809=1,60\\times10^{-11}\\ \\mathrm{F}$
Résultat : $C=16,0\\ \\mathrm{pF}$
\n3. Variation de charge transférée
Formule : $\\Delta Q = V_{al}(C - C_0)$
Remplacement : $\\Delta Q = 24,0\\times(16,0-5,34)\\times10^{-12}$
Calcul : $\\Delta Q = 24,0\\times10,66\\times10^{-12} = 256\\times10^{-12}\\ \\mathrm{C}$
Résultat : $\\Delta Q = 256\\ \\mathrm{pC}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur de position résistif de type potentiométrique est utilisé pour mesurer le déplacement linéaire d’un chariot. Le potentiomètre a une longueur totale de piste $L=160\\;mm$ et une résistance totale $R_{pot}=9,0\\;k\\Omega$. Il est alimenté sous une tension constante $V_{al}=5,0\\;V$.
1. Calculez la résistance mesurée lorsque le curseur est à $x=98\\;mm$.
2. Déterminez la tension de sortie du curseur à cette position.
3. Calculez la résolution du capteur en tension si la position minimale détectable est $\\Delta x_{min}=1,2\\;mm$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Résistance mesurée.
1. Formule générale : $R_{x} = R_{pot} \\times \\frac{x}{L}$
2. Remplacement : $R_{x} = 9000 \\times \\frac{98}{160}$
3. Calcul : $R_x = 9000 \\times 0,6125 = 5512,5\\;\\Omega$
4. Résultat final : $\\boxed{5513\\;\\Omega}$
Question 2 : Tension de sortie.
1. Formule générale : $V_{out} = V_{al} \\times \\frac{x}{L}$
2. Remplacement : $V_{out} = 5\\;V \\times \\frac{98}{160}$
3. Calcul : $V_{out} = 5\\times 0,6125 = 3,0625\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{3,06\\;V}$
Question 3 : Résolution du capteur.
1. Formule générale : $\\Delta V_{min} = V_{al} \\times \\frac{\\Delta x_{min}}{L}$
2. Remplacement : $\\Delta V_{min} = 5 \\times \\frac{1,2}{160}$
3. Calcul : $\\Delta V_{min} = 5 \\times 0,0075 = 0,0375\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{37,5\\;mV}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur inductif de déplacement mesure la distance d’un objet métallique mobile situé face à une bobine de $N=850$ spires, de longueur $l=28\\;mm$ et de section $S=14\\;mm^2$. La perméabilité magnétique du fer est $\\mu=1,2\\times10^{-3}\\;H/m$.
1. Calculez l’inductance de la bobine lorsque le noyau est complètement inséré.
2. Si la variation de position induit une chute de $8,7\\;mm$ du noyau, calculez la nouvelle inductance.
3. Déterminez la variation de la tension induite dans la bobine lors du déplacement si le courant de mesure est $I=0,15\\;A$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Inductance avec noyau inséré.
1. Formule générale : $L = \\mu \\frac{N^2 S}{l}$
2. Remplacement : $L = 1,2\\times10^{-3} \\times \\frac{(850)^2\\times 14\\times10^{-6}}{0,028}$
3. Calcul : $(850)^2=722500$, $722500\\times14\\times10^{-6}=10,115$, $L=1,2\\times10^{-3}\\times\\frac{10,115}{0,028}=1,2\\times10^{-3}\\times361,96=0,434\\;H$
4. Résultat final : $\\boxed{0,434\\;H}$
Question 2 : Nouvelle inductance.
1. Formule générale similaire, avec $l_{eff}=l-8,7\\;mm=19,3\\;mm=0,0193\\;m$
2. Remplacement : $L = 1,2\\times10^{-3}\\times\\frac{10,115}{0,0193}$
3. Calcul : $10,115/0,0193=524,36$, $L=1,2\\times10^{-3}\\times524,36=0,629\\;H$
4. Résultat final : $\\boxed{0,629\\;H}$
Question 3 : Variation de la tension induite.
1. Formule : $\\Delta U = I \\Delta L \\frac{dI}{dt}$, pour déplacement rapide on prend $\\Delta U = I \\frac{\\Delta L}{\\Delta t}$
Supposons $\\Delta t=0,2\\;s$
2. Remplacement : $\\Delta U = 0,15 \\times (0,629-0,434)/0,2$
3. Calcul : $\\Delta U = 0,15 \\times 0,195/0,2=0,02925/0,2=0,146\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{146\\;mV}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Les capteurs de position",
"question": "Un capteur capacitif de position plan mesure la distance entre deux plaques, l’une fixe et l’autre mobile. Les plaques sont carrées de côté $a=83\\;mm$, séparées par une distance variable $d$ allant de $0,5\\;mm$ à $3,5\\;mm$. La permittivité diélectrique de l’air est $\\varepsilon=8,85\\times10^{-12}\\;F/m$.
1. Calculez la capacité pour $d=0,5\\;mm$.
2. Calculez la capacité pour $d=3,5\\;mm$.
3. Déterminez la variation de tension sur la capacité lorsque la distance augmente de $0,5\\;mm$ à $3,5\\;mm$, si elle est alimentée avec une charge constante de $Q=2,1\\;\\mu C$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Capacité à $d=0,5\\;mm$.
1. Formule générale : $C = \\varepsilon \\frac{S}{d}$, $S=a^2$
2. Remplacement : $S = (0,083)^2 = 0,006889\\;m^2$, $d = 0,5\\;mm = 5\\times10^{-4}\\;m$
3. Calcul : $C = 8,85\\times10^{-12} \\times \\frac{0,006889}{5\\times10^{-4}} = 8,85\\times10^{-12}\\times 13,778=1,219\\times10^{-10}\\;F$
4. Résultat final : $\\boxed{122\\;pF}$
Question 2 : Capacité à $d=3,5\\;mm$.
1. Formule générale identique.
2. Remplacement : $d = 3,5\\;mm = 3,5\\times10^{-3}\\;m$
3. Calcul : $C = 8,85\\times10^{-12}\\times\\frac{0,006889}{3,5\\times10^{-3}} = 8,85\\times10^{-12}\\times 1,9683 = 1,74\\times10^{-11}\\;F$
4. Résultat final : $\\boxed{17,4\\;pF}$
Question 3 : Variation de tension sur la capacité.
1. Formule générale : $V = \\frac{Q}{C}$
2. Remplacement : $Q = 2,1\\times10^{-6}\\;C$, pour $C_{0,5}=122\\;pF=1,22\\times10^{-10}\\;F$, $V_1=\\frac{2,1\\times10^{-6}}{1,22\\times10^{-10}}=17213\\;V$
Pour $C_{3,5}=17,4\\;pF=1,74\\times10^{-11}\\;F$, $V_2=\\frac{2,1\\times10^{-6}}{1,74\\times10^{-11}}=120689\\;V$
Variation $\\Delta V = V_2-V_1=120689-17213=103476\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{103\\;kV}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de force à jauge de contrainte est constitué d'un pont de Wheatstone avec quatre jauges identiques connectées en configuration en pont complet.
\nChaque jauge a un coefficient de jauge $k = 2.1$, une résistance nominale $R = 350$ Ω et subit une déformation $\\epsilon = 600 \\times 10^{-6}$.
\nQuestion 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ pour chaque jauge.
\nQuestion 2 : Déterminer la tension de sortie $V_{out}$ du pont pour une tension d'alimentation $V_{in} = 10$ V.
\nQuestion 3 : Évaluer la sensibilité du capteur
\n$S = \\frac{d V_{out}}{d \\epsilon}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Variation de résistance par jauge :
\n$\\Delta R = k R \\epsilon$
\n2. Remplacement :
\n$\\Delta R = 2.1 \\times 350 \\times 600 \\times 10^{-6} = 0.441 \\ \\Omega$
\nRésultat :
\n$\\boxed{\\Delta R = 0.441 \\ \\Omega}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Pour un pont complet :
\n$V_{out} = \\frac{V_{in}}{4} \\frac{\\Delta R}{R}$
\n2. Remplacement :
\n$V_{out} = \\frac{10}{4} \\times \\frac{0.441}{350} = 0.00315 \\text{ V} = 3.15 \\text{ mV}$
\nRésultat :
\n$\\boxed{V_{out} = 3.15 \\text{ mV}}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. Sensibilité :
\n$S = \\frac{d V_{out}}{d \\epsilon} = \\frac{V_{in}}{4} k$
\n2. Calcul :
\n$S = \\frac{10}{4} \\times 2.1 = 5.25 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{S = 5.25 \\text{ V}}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de pression capacitif est composé d'un condensateur parallèle dont l'écart entre les plaques varie avec la pression appliquée :
\nCapacité à pression nulle : $C_0 = 100$ pF, constante de permittivité $\\epsilon = 8.85 \\times 10^{-12}$ F/m, surface des plaques
\n$S = 1 \\times 10^{-4}$ m2, et distance initiale entre plaques
\n$d_0 = 1$ mm.
\nQuestion 1 : Calculer la capacité $C$ à une pression appliquée qui diminue la distance à $d = 0.8$ mm.
\nQuestion 2 : Déterminer la variation de capacité relative $\\frac{\\Delta C}{C_0}$.
\nQuestion 3 : Si le condensateur est connecté dans un pont de Wheatstone avec une tension d'alimentation $V_{in} = 12$ V, calculer la tension de sortie simplifiée pour $\\Delta C \\ll C_0$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Question 1 :
\n1. La capacité d'un condensateur plan :
\n$C = \\epsilon \\frac{S}{d}$
\n2. Remplacement des données :
\n$C = 8.85 \\times 10^{-12} \\times \\frac{1 \\times 10^{-4}}{0.8 \\times 10^{-3}} = 1.10625 \\times 10^{-12} \\text{ F} = 110.63 \\text{ pF}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{C = 110.63 \\text{ pF}}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Variation relative :
\n$\\frac{\\Delta C}{C_0} = \\frac{C - C_0}{C_0} = \\frac{110.63 - 100}{100} = 0.1063$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\frac{\\Delta C}{C_0} = 0.1063}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. Pour un pont de Wheatstone, la tension de sortie est (approx) :
\n$V_{out} = V_{in} \\times \\frac{\\Delta C}{4 C_0}$
\n2. Remplacement :
\n$V_{out} = 12 \\times \\frac{0.1063}{4} = 0.319 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 0.319 \\text{ V}}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de déformation est constitué d’un pont de Wheatstone comportant quatre jauges identiques de résistance nominale $R = 120~\\Omega$, montées de manière à compenser les effets thermiques. Le pont est alimenté sous une tension $V_{cc} = 10~\\text{V}$. Le facteur de jauge est $F = 2,1$.Deux jauges sont placées sur une poutre soumise à une traction générant une déformation longitudinale $\\varepsilon_L = 500~\\mu\\text{m/m}$, et les deux autres sur la face opposée subissant une compression de même intensité.1. Calculer la variation de résistance des jauges soumises à la traction et à la compression.2. Déterminer la tension différentielle de sortie du pont de jauges.3. Calculer la sensibilité du pont (en mV/V) par rapport à la déformation.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation de résistance :
Formule générale :$\\dfrac{\\Delta R}{R} = F \\varepsilon$.
Remplacement :Pour tension :$\\Delta R_t = 120 \\times 2,1 \\times 500\\times10^{-6} = 0,126~\\Omega$.Pour compression :$\\Delta R_c = -0,126~\\Omega$.2. Tension de sortie :
Pont complet, sortie différentielle :$\\dfrac{V_s}{V_{cc}} = \\dfrac{1}{4} F (\\varepsilon_t - \\varepsilon_c) = \\dfrac{1}{4}\\times2,1(500\\times10^{-6} - (-500\\times10^{-6}))$.Calcul :$\\dfrac{V_s}{10} = 1,05\\times10^{-3}, \\quad V_s = 10\\times1,05\\times10^{-3} = 10,5~\\text{mV}$.3. Sensibilité :
$S = \\dfrac{V_s/V_{cc}}{\\varepsilon} = \\dfrac{1,05\\times10^{-3}}{500\\times10^{-6}} = 2,1~\\text{mV/V/µm/m}$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Une jauge de contrainte dont la résistance initiale est $R = 350~\\Omega$ est collée sur un axe soumis à une force $F$ provoquant une tension mécanique dans le matériau. Le module d’Young de l’acier est $E = 200~\\text{GPa}$, la section de l’axe est circulaire de diamètre $D = 10~\\text{mm}$. Le facteur de jauge est $F_g = 2,2$.1. Établir la relation entre la variation de résistance $\\Delta R$ et la force appliquée $F$.2. Calculer $\\Delta R$ pour $F = 500~\\text{N}$.3. Déterminer la tension de sortie du pont de mesure alimenté sous $V_{cc} = 8~\\text{V}$ avec une seule jauge active.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Relation générale :
La contrainte mécanique est $\\sigma = \\dfrac{F}{S}$ avec $S = \\dfrac{\\pi D^2}{4}$.Déformation : $\\varepsilon = \\dfrac{\\sigma}{E} = \\dfrac{F}{ES}$.Variation de résistance :$\\dfrac{\\Delta R}{R} = F_g \\varepsilon = F_g \\dfrac{F}{E S}$.Relation finale :$\\Delta R = R F_g \\dfrac{F}{E S}$.2. Application numérique :
$S = \\dfrac{\\pi (0,01)^2}{4} = 7,85\\times10^{-5}~\\text{m}^2$.$\\Delta R = 350 \\times 2,2 \\times \\dfrac{500}{200\\times10^9 \\times 7,85\\times10^{-5}} = 9,8\\times10^{-3}~\\Omega$.3. Tension de sortie du pont :
$V_s = \\dfrac{V_{cc}}{4} \\dfrac{\\Delta R}{R} = 8 \\times \\dfrac{1}{4}\\times\\dfrac{9,8\\times10^{-3}}{350} = 56~\\mu\\text{V}$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de pression est constitué d’un diaphragme circulaire de rayon $a = 5~\\text{mm}$ et d’épaisseur $e = 200~\\mu\\text{m}$ muni de jauges intégrées. Le module d’Young du silicium est $E = 1,7\\times10^{11}~\\text{Pa}$, le coefficient de Poisson $\\nu = 0,28$, et le facteur de jauge $F_g = 100$. La pression appliquée au centre du diaphragme est $P = 100~\\text{kPa}$.1. Calculer la contrainte maximale au centre du diaphragme.2. En déduire la variation relative de résistance d’une jauge placée au centre.3. Estimer la tension de sortie du pont de jauges alimenté sous $V_{cc} = 5~\\text{V}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Contrainte au centre :
Formule :$\\sigma_{max} = \\dfrac{3(1+\\nu)}{8} \\dfrac{Pa^2}{e^2}$.Remplacement :$\\sigma_{max} = \\dfrac{3(1+0,28)}{8}\\dfrac{100\\times10^3\\times(5\\times10^{-3})^2}{(200\\times10^{-6})^2}$.Calcul :$\\sigma_{max} = 0,48 \\times \\dfrac{100\\times10^3\\times25\\times10^{-6}}{4\\times10^{-8}} = 0,48 \\times 6,25\\times10^{7} = 3,0\\times10^{7}~\\text{Pa}$.2. Déformation et variation de résistance :
$\\varepsilon = \\dfrac{\\sigma}{E} = \\dfrac{3,0\\times10^{7}}{1,7\\times10^{11}} = 1,76\\times10^{-4}$.$\\dfrac{\\Delta R}{R} = F_g \\varepsilon = 100 \\times 1,76\\times10^{-4} = 1,76\\times10^{-2}$.3. Tension de sortie :
$V_s = \\dfrac{V_{cc}}{4} \\dfrac{\\Delta R}{R} = 5\\times\\dfrac{1}{4}\\times1,76\\times10^{-2} = 0,022~\\text{V} = 22~\\text{mV}$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de déformation est constitué d’une jauge de contrainte collée sur une poutre métallique soumise à une traction. La jauge a une résistance nominale $R_0 = 120\\, \\Omega$ et un facteur de jauge $GF = 2.1$. La contrainte appliquée provoque une déformation unitaire $\\varepsilon = 500\\, \\mu m/m$. La jauge fait partie d’un pont de Wheatstone symétrique alimenté par $V_{cc} = 5\\, V$.\n1. Calculer la variation de résistance de la jauge.\n2. Déterminer la tension différentielle de sortie du pont de Wheatstone.$\n3. Calculer la sensibilité en tension du système en mV/µm/m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $\\Delta R = R_0 \\times GF \\times \\varepsilon$
Remplacement : $\\Delta R = 120 \\times 2.1 \\times 500 \\times 10^{-6}$
Calcul : $\\Delta R = 0.126\\, \\Omega$
Résultat final : $\\Delta R = 0.126\\, \\Omega$.
\nQuestion 2 :
Sortie du pont (une jauge active) : $V_s = \\frac{V_{cc}}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplacement : $V_s = \\frac{5}{4} \\times \\frac{0.126}{120}$
Calcul : $V_s = 0.0013125\\, V$
Résultat final : $V_s = 1.31\\, mV$.
\nQuestion 3 :
Sensibilité : $S = \\frac{V_s}{\\varepsilon}$
Remplacement : $S = \\frac{1.31 \\times 10^{-3}}{500}$
Calcul : $S = 2.62 \\times 10^{-6} = 2.62\\, mV/\\mu m/m$
Résultat final : $S = 2.62\\, mV/\\mu m/m$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de force à jauges de contrainte est monté en pont complet de Wheatstone pour mesurer une charge. La force appliquée sur la structure provoque une déformation équivalente de $\\varepsilon = 700\\, \\mu m/m$. Chaque jauge a $R_0 = 350\\, \\Omega$ et $GF = 2.2$. Le pont est alimenté par $V_{cc} = 10\\, V$.\n1. Calculer la variation de résistance d’une jauge tendue et d’une jauge comprimée.\n2. Déterminer la tension de sortie différentielle du pont complet.\n3. En déduire la sensibilité globale du capteur en mV/V par µm/m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $\\Delta R = R_0 \\times GF \\times \\varepsilon$
Remplacement : $\\Delta R = 350 \\times 2.2 \\times 700 \\times 10^{-6}$
Calcul : $\\Delta R = 0.539\\, \\Omega$
Pour une jauge tendue : $R_t = 350 + 0.539 = 350.539\\, \\Omega$; pour une jauge comprimée : $R_c = 350 - 0.539 = 349.461\\, \\Omega$.
\nQuestion 2 :
Formule du pont complet : $V_s = V_{cc} \\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplacement : $V_s = 10 \\times \\frac{0.539}{350}$
Calcul : $V_s = 0.0154\\, V$
Résultat final : $V_s = 15.4\\, mV$.
\nQuestion 3 :
Sensibilité : $S = \\frac{V_s}{V_{cc} \\cdot \\varepsilon}$
Remplacement : $S = \\frac{15.4 \\times 10^{-3}}{10 \\times 700} = 2.2 \\times 10^{-6}\\, V/V/\\mu m/m$
Résultat final : $S = 2.2\\, mV/V/\\mu m/m$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de pression à base de jauge piézorésistive est alimenté par $V_{cc} = 5\\, V$. La membrane déformable provoque une contrainte équivalente donnant une variation de résistance de $\\pm 1.2\\, \\Omega$ autour de $R_0 = 350\\, \\Omega$ pour une pleine échelle de $P_{max} = 100\\, kPa$. \n1. Calculer le déséquilibre de tension du pont à pleine échelle.\n2. Déterminer la sensibilité du capteur en mV/kPa.\n3. Si la tension de sortie mesurée est $V_s = 7.5\\, mV$, déterminer la pression correspondante.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $V_s = \\frac{V_{cc}}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplacement : $V_s = \\frac{5}{4} \\times \\frac{1.2}{350}$
Calcul : $V_s = 0.00429\\, V$
Résultat final : $V_s = 4.29\\, mV$.
\nQuestion 2 :
Formule : $S = \\frac{V_s}{P_{max}}$
Remplacement : $S = \\frac{4.29 \\times 10^{-3}}{100\\,000}$
Calcul : $S = 4.29 \\times 10^{-8}\\, V/Pa = 0.0429\\, mV/kPa$
Résultat final : $S = 0.0429\\, mV/kPa$.
\nQuestion 3 :
Formule : $P = \\frac{V_s}{S}$
Remplacement : $P = \\frac{7.5}{0.0429} = 175\\, kPa$ (mais la pleine échelle est 100, donc 7.5 indique 175% → besoin de recalibrage)
Résultat final : $P = 175\\, kPa$ (surestimation de mesure → recalibration nécessaire).
",
"id_category": "4",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Caractérisation d'un capteur de déformation à jauge de contrainte
Une jauge de contrainte a un coefficient de sensibilité $k = 2$ et une résistance initiale $R_0 = 120$ Ω. Elle est collée sur une pièce soumise à une déformation longitudinale $\\varepsilon = 500 \\times 10^{-6}$.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ de la jauge sous cette déformation.
Question 2 : Si la jauge est connectée dans un pont de Wheatstone alimenté en $V_s = 10$ V, calculer la tension de sortie $V_{out}$ du pont en négligeant la température et autres variations.
Question 3 : Déterminer la sensibilité en $\\frac{V_{out}}{\\varepsilon}$ du système pont-jauge.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. La variation de résistance est donnée par :
$\\Delta R = k R_0 \\varepsilon$
2. Calcul :
$\\Delta R = 2 \\times 120 \\times 500 \\times 10^{-6} = 0.12 \\Omega$
Question 2 :
1. Pour un pont de Wheatstone alimenté en tension $V_s$ avec une petite variation $\\Delta R$, la tension de sortie est :
$V_{out} = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} V_s$
2. Calcul :
$V_{out} = \\frac{0.12}{4 \\times 120} \\times 10 = 0.025 \\text{ V} = 25 \\text{ mV}$
Question 3 :
1. La sensibilité est :
$\\frac{V_{out}}{\\varepsilon} = \\frac{0.025}{500 \\times 10^{-6}} = 50 \\text{ V}$
par unité de déformation.
",
"id_category": "4",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Mesure de la force à l'aide d'un capteur piézorésistif
Un capteur piézorésistif est utilisé pour mesurer une force appliquée sur un solide. La résistance du capteur varie selon :
$R = R_0 (1 + s F)$
où $R_0 = 500$ Ω, $s = 2 \\times 10^{-4}$ N-1 est la sensibilité, et $F$ la force appliquée.
Question 1 : Calculer la résistance pour une force $F = 100$ N.
Question 2 : Le capteur est placé en pont de Wheatstone alimenté en $V_s = 15$ V. Calculer la tension aux bornes du pont pour cette force.
Question 3 : Si la mesure doit être précise à $0.1$ N, déterminer la résolution en tension minimale que le système d'acquisition doit détecter.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Calcul de la résistance :
$R = 500 (1 + 2 \\times 10^{-4} \\times 100) = 500 (1 + 0.02) = 510 \\Omega$
Question 2 :
1. Variation de résistance :
$\\Delta R = 510 - 500 = 10 \\Omega$
2. Tension de sortie du pont :
$V_{out} = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} V_s = \\frac{10}{4 \\times 500} \\times 15 = 0.075 \\text{ V}$
Question 3 :
1. Résolution en résistance pour $0.1$ N :
$\\Delta R_{min} = s R_0 \\Delta F = 2 \\times 10^{-4} \\times 500 \\times 0.1 = 0.01 \\Omega$
2. Résolution minimale en tension :
$\\Delta V_{min} = \\frac{\\Delta R_{min}}{4 R_0} V_s = \\frac{0.01}{4 \\times 500} \\times 15 = 7.5 \\times 10^{-5} \\text{ V} = 75 \\mu V$
",
"id_category": "4",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression à membrane et jauges extensométriques
Un capteur de pression à membrane utilise 4 jauges extensométriques en pont de Wheatstone. La pression appliquée est $P = 3$ MPa et la constante de calibration du pont est $K = 2 \\times 10^{-3} \\text{ V/MPa}$. La tension d'alimentation du pont est $V_s = 12$ V.
Question 1 : Calculer la tension de sortie $V_{out}$ du pont sous cette pression.
Question 2 : Déterminer la déformation moyenne $\\varepsilon$ dans la membrane si le coefficient de jauge est $k_g = 2.1$ et la résistance initiale des jauges $R_0 = 120$ Ω.
Question 3 : Calculer la variation de résistance liée à la déformation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. La tension de sortie est donnée par :
$V_{out} = K \\times P = 2 \\times 10^{-3} \\times 3 \\times 10^{6} = 6 \\text{ V}$
Question 2 :
1. Relation entre la déformation et la variation de résistance :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = k_g \\varepsilon$
2. La tension de sortie du pont étant liée à $\\Delta R$ :
$\\Rightarrow V_{out} = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} V_s = \\frac{k_g \\varepsilon R_0}{4 R_0} V_s = \\frac{k_g \\varepsilon V_s}{4}$
3. D'où :
$\\varepsilon = \\frac{4 V_{out}}{k_g V_s} = \\frac{4 \\times 6}{2.1 \\times 12} = 0.95<\\times 10^{-1}$
Question 3 :
1. Variation de résistance :
$\\Delta R = k_g \\varepsilon R_0 = 2.1 \\times 0.095 \\times 120 = 23.94 \\Omega$
",
"id_category": "4",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Jauge de déformation sur poutre en flexion\n\nUne jauge de contrainte collée sur une poutre soumise à une flexion mesure une déformation longitudinale de $\\varepsilon = 500\\,\\mu m/m$ (micro-déformation). Le facteur de jauge est $GF = 2.1$ et la jauge est intégrée dans un quart de pont de Wheatstone alimenté sous $V_{in} = 10\\,V$.\n\n1. Calculer la variation relative de résistance $\\dfrac{\\Delta R}{R}$ de la jauge.\n2. Déterminer la variation de tension de sortie $V_{out}$ du pont de Wheatstone.\n3. Calculer la contrainte mécanique correspondant à cette déformation dans un matériau d’acier de module d’Young $E = 210\\,GPa$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $\\dfrac{\\Delta R}{R} = GF \\times \\varepsilon$
2. Remplacement : $\\dfrac{\\Delta R}{R} = 2.1 \\times 500\\times10^{-6}$
3. Calcul : $\\dfrac{\\Delta R}{R} = 1.05\\times10^{-3}$
4. Résultat : $\\dfrac{\\Delta R}{R} = 0.105\\%$
\n1. Tension de sortie du quart de pont : $V_{out} = \\dfrac{V_{in}}{4} \\dfrac{\\Delta R}{R}$
2. Remplacement : $V_{out} = \\dfrac{10}{4} \\times 1.05\\times10^{-3}$
3. Calcul : $V_{out} = 2.625\\,mV$
\n1. Loi de Hooke : $\\sigma = E \\times \\varepsilon$
2. Remplacement : $\\sigma = 210\\times10^9 \\times 500\\times10^{-6}$
3. Calcul : $\\sigma = 105\\,MPa$
4. Résultat : contrainte longitudinale $\\sigma = 105\\,MPa$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Capteur de force à jauges en demi-pont\n\nUn capteur de force est constitué de deux jauges montées en demi-pont : une en traction et l’autre en compression. Chaque jauge présente une résistance nominale $R = 120\\,\\Omega$ et un facteur de jauge $GF = 2.1$. Sous une force de $F = 200\\,N$, la poutre de mesure subit une déformation moyenne de $\\varepsilon = 300\\,\\mu m/m$. La tension d’alimentation du pont est $V_{in} = 5\\,V$.\n\n1. Calculer la variation de résistance de chaque jauge.\n2. Déterminer la tension de sortie du demi-pont.\n3. Si la même poutre est doublée de rigidité (déformation divisée par 2), calculer la nouvelle tension de sortie.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $\\Delta R = R \\times GF \\times \\varepsilon$
2. Remplacement : $\\Delta R = 120 \\times 2.1 \\times 300\\times10^{-6}$
3. Calcul : $\\Delta R = 0.0756\\,\\Omega$
4. Résultat : chaque jauge varie de ±0.0756 \\Omega (une augmente, l’autre diminue).
\n1. Tension demi-pont : $V_{out} = \\dfrac{V_{in}}{2} \\dfrac{\\Delta R}{R}$ (car effet double)
2. Remplacement : $V_{out} = \\dfrac{5}{2} \\times \\dfrac{0.0756}{120}$
3. Calcul : $V_{out} = 1.575\\,mV$
\n1. Déformation divisée par 2 : $\\varepsilon' = 150\\,\\mu m/m$
2. $\\Delta R' = 120 \\times 2.1 \\times 150\\times10^{-6} = 0.0378\\,\\Omega$
3. $V'_{out} = \\dfrac{5}{2} \\times \\dfrac{0.0378}{120} = 0.787\\,mV$
4. Résultat : $V'_{out} = 0.787\\,mV$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression à membrane piézorésistive\n\nUn capteur de pression utilise une membrane carrée de silicium sur laquelle sont déposées quatre jauges piézorésistives formant un pont complet. Sous une pression $P = 100\\,kPa$, la déformation correspondante est $\\varepsilon = 200\\,\\mu m/m$. Chaque jauge a une résistance nominale $R = 350\\,\\Omega$ et un facteur de jauge $GF = 2.2$. La tension d’alimentation du pont est $V_{in} = 10\\,V$.\n\n1. Calculer la variation de résistance de chaque jauge.\n2. Calculer la tension de sortie du pont complet.\n3. En déduire la sensibilité du capteur en $\\mu V/kPa$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $\\Delta R = R \\times GF \\times \\varepsilon$
2. Remplacement : $\\Delta R = 350 \\times 2.2 \\times 200\\times10^{-6}$
3. Calcul : $\\Delta R = 0.154\\,\\Omega$
4. J1, J3 en traction : +0.154 $\\Omega$, J2, J4 en compression : -0.154 $\\Omega$.
\n1. Tension pont complet : $V_{out} = V_{in} \\times \\dfrac{\\Delta R}{R}$
2. Remplacement : $V_{out} = 10 \\times \\dfrac{0.154}{350}$
3. Calcul : $V_{out} = 4.4\\,mV$
4. Résultat : sortie différentielle $V_{out} = 4.4\\,mV$.
\n1. Sensibilité : $S = \\dfrac{V_{out}}{P}$
2. Remplacement : $S = \\dfrac{4.4\\times10^{-3}}{100\\times10^3}$
3. Calcul : $S = 4.4\\times10^{-8}\\,V/Pa$
4. Conversion : $S = 44\\,\\mu V/kPa$.
Résultat final : sensibilité du capteur $S = 44\\,\\mu V/kPa$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Mesure de déformation par jauge de contrainte.\n\nUne jauge de contrainte métallique est collée sur une poutre en acier soumise à une traction. Ses caractéristiques sont : facteur de jauge $K = 2.1$, résistance nominale $R_0 = 120$ Ω. La poutre est soumise à une contrainte correspondant à une déformation unitaire $\\varepsilon = 500 \\times 10^{-6}$ (microdéformation).\n\n1. Calculez la variation relative de résistance $\\frac{\\Delta R}{R_0}$.\n2. Déterminez la variation absolue de résistance $\\Delta R$.\n3. La jauge est insérée dans un quart de pont de Wheatstone alimenté sous une tension $V_{in} = 5$ V. Calculez la tension de sortie du pont.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation relative de résistance :
Formule : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = K \\varepsilon$
Remplacement : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = 2.1 \\times 500 \\times 10^{-6}$
Calcul : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = 0.00105$.
\n2. Variation absolue :
Formule : $\\Delta R = R_0 \\times \\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplacement : $\\Delta R = 120 \\times 0.00105$
Calcul : $\\Delta R = 0.126$ Ω.
\n3. Tension de sortie du pont :
Pour un quart de pont : $V_s = \\frac{1}{4} V_{in} \\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplacement : $V_s = \\frac{1}{4}\\times 5 \\times 0.00105$
Calcul : $V_s = 1.31 \\times 10^{-3}$ V = 1.31 mV.
",
"id_category": "4",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Capteur de force piézorésistif.\n\nUn capteur piézorésistif est constitué d’une membrane circulaire de rayon $a = 5$ mm et d’épaisseur $e = 0.2$ mm. Le module d’Young du silicium est $E = 170$ GPa et le coefficient de Poisson $\\nu = 0.28$.\nLa déformation maximale au centre de la membrane soumise à une pression $p$ est donnée par : $\\varepsilon = \\frac{3(1 - \\nu^2)p a^2}{8 E e^2}$.\n\n1. Calculez la déformation pour une pression $p = 10^5$ Pa.\n2. En supposant un facteur de jauge $K = 100$ et une résistance initiale $R_0 = 1$ kΩ, déterminez la variation absolue de résistance.
\n3. Si la tension d’alimentation du pont est $V_{in} = 10$ V et qu’une seule jauge est active, calculez la tension de sortie du pont.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Déformation maximale :
Formule : $\\varepsilon = \\frac{3(1 - \\nu^2)p a^2}{8 E e^2}$
Remplacement : $\\varepsilon = \\frac{3(1 - 0.28^2)\\times10^5\\times(5\\times10^{-3})^2}{8\\times170\\times10^9\\times(0.2\\times10^{-3})^2}$
Calcul : $\\varepsilon = 1.64\\times10^{-5}$.
\n2. Variation de résistance :
Formule : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = K\\varepsilon$
Remplacement : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = 100\\times1.64\\times10^{-5} = 1.64\\times10^{-3}$
Calcul : $\\Delta R = 1000\\times1.64\\times10^{-3} = 1.64$ Ω.
\n3. Tension de sortie du pont :
Formule : $V_s = \\frac{1}{4}V_{in}\\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplacement : $V_s = 0.25\\times10\\times1.64\\times10^{-3}$
Calcul : $V_s = 4.1\\times10^{-3}$ V = 4.1 mV.
",
"id_category": "4",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression capacitif.\n\nUn capteur de pression capacitif est constitué de deux plaques parallèles, dont une est déformable. À pression nulle, l’entrefer est $d_0 = 0.2$ mm, la surface active $S = 1\\text{ cm}^2$ et la tension d’excitation $V = 5$ V. Sous une pression $p$, la plaque mobile se déplace d’une distance $\\Delta d = \\frac{p k}{E}$ avec $k = 2\\times10^{-6}$ m/Pa et $E = 2\\times10^{10}$ Pa.\nLe condensateur est donné par $C = \\frac{\\varepsilon_0 S}{d}$.\n\n1. Calculez la variation d’épaisseur $\\Delta d$ pour une pression $p = 5\\times10^5$ Pa.\n2. Déterminez la nouvelle capacité du capteur.3. Calculez la variation de tension différentielle d’un pont capacitif équilibré à l’origine, supposant $\\frac{\\Delta V}{V} = \\frac{\\Delta C}{C}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation d’épaisseur :
Formule : $\\Delta d = \\frac{p k}{E}$
Remplacement : $\\Delta d = \\frac{5\\times10^5\\times2\\times10^{-6}}{2\\times10^{10}}$
Calcul : $\\Delta d = 5\\times10^{-11}$ m (négligeable mais calculée pour cohérence).
\n2. Nouvelle capacité :
Formule : $C = \\frac{\\varepsilon_0 S}{d_0 - \\Delta d}$
Remplacement : $C = \\frac{8.854\\times10^{-12}\\times1\\times10^{-4}}{2\\times10^{-4} - 5\\times10^{-11}}$
Calcul : $C = 4.43\\times10^{-12}$ F = 4.43 pF.
\n3. Variation de tension du pont :
Formule : $\\frac{\\Delta V}{V} = \\frac{\\Delta C}{C} ≈ \\frac{C - C_0}{C_0}$
Capacité à l’origine : $C_0 = \\frac{8.854\\times10^{-12}\\times10^{-4}}{2\\times10^{-4}} = 4.427\\times10^{-12}$ F
Variation relative : $\\frac{\\Delta C}{C_0} = \\frac{4.43 - 4.427}{4.427} = 6.8\\times10^{-4}$
Tension différentielle : $\\Delta V = 5\\times6.8\\times10^{-4} = 3.4\\times10^{-3}$ V = 3.4 mV.
",
"id_category": "4",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Calculs sur un capteur de déformation à jauge
Une jauge de déformation est collée sur une poutre soumise à une contrainte mécanique. Le facteur de jauge est $GF=2.1$. La résistance initiale de la jauge est $R_0=120\\,\\Omega$. La déformation mesurée est $\\varepsilon=500\\times10^{-6}$.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ de la jauge.
Question 2 : Déterminer la nouvelle résistance $R$ de la jauge sous contrainte.
Question 3 : Si la jauge est insérée dans un pont de Wheatstone alimenté sous une tension $V_{in}=10\\,\\text{V}$, calculer la tension de sortie $V_{out}$ du pont.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la variation de résistance
1. La formule :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = GF \\times \\varepsilon$
2. Remplacement :
$\\Delta R = R_0 \\times GF \\times \\varepsilon = 120 \\times 2.1 \\times 500 \\times 10^{-6} = 0.126\\,\\Omega$
3. Résultat :
La variation de résistance est 0.126 \\Omega.
Question 2 : Nouvelle résistance sous contrainte
$R = R_0 + \\Delta R = 120 + 0.126 = 120.126\\, \\Omega$
La nouvelle résistance est 120.126 \\Omega.
Question 3 : Tension de sortie du pont de Wheatstone
1. Dans un pont de Wheatstone équilibré et pour de petites variations :
$V_{out} = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} V_{in}$
2. Remplacement :
$V_{out} = \\frac{0.126}{4 \\times 120} \\times 10 = \\frac{0.126}{480} \\times 10 = 0.002625 \\text{ V} = 2.625 \\text{ mV}$
La tension de sortie du pont est de 2.625 mV.
",
"id_category": "4",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Étude d’une photodiode intégrée dans un circuit
Une photodiode génère un photocourant proportionnel à l’intensité lumineuse incidente. Pour une intensité lumineuse de $L = 5\\,\\text{mW/cm}^2$, le photocourant est $I_{ph} = 2\\,\\text{mA}$. La photodiode est connectée en série avec une résistance de charge $R = 500\\,\\Omega$ sous une tension d’alimentation $V_{cc} = 10\\,\\text{V}$.
Question 1 : Calculer la tension aux bornes de la résistance quand la photodiode est alimentée.
Question 2 : Déterminer la puissance dissipée par la résistance.
Question 3 : Calculer la puissance électrique fournie par la photodiode au circuit.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension aux bornes de la résistance
$V_R = I_{ph} \\times R = 2 \\times 10^{-3} \\times 500 = 1\\, \\text{V}$
La tension aux bornes de la résistance est 1 V.
Question 2 : Puissance dissipée par la résistance
$P_R = I_{ph}^2 \\times R = (2 \\times 10^{-3})^2 \\times 500 = 2 \\times 10^{-3}\\, \\text{W}$
La puissance dissipée par la résistance est 2 mW.
Question 3 : Puissance électrique fournie par la photodiode
$P_{ph} = V_R \\times I_{ph} = 1 \\times 2 \\times 10^{-3} = 2 \\times 10^{-3}\\, \\text{W}$
La puissance fournie par la photodiode est 2 mW.
",
"id_category": "4",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Calculs sur un phototransistor NPN
Un phototransistor génère un photocourant $I_{ph} = 10\\,\\mu\\text{A}$ sous une lumière incidente. Son gain en courant est $\\beta = 150$. La tension collecteur-émetteur est $V_{CE} = 12\\,\\text{V}$.
Question 1 : Calculer le courant collecteur total.
Question 2 : Déterminer la puissance dissipée dans le phototransistor.
Question 3 : Si l’intensité lumineuse diminue de moitié, calculer le nouveau courant collecteur et la puissance dissipée.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du courant collecteur total
$I_c = \\beta \\times I_{ph} = 150 \\times 10 \\times 10^{-6} = 0.0015\\, \\text{A} = 1.5\\, \\text{mA}$
Le courant collecteur est 1.5 mA.
Question 2 : Puissance dissipée dans le phototransistor
$P = V_{CE} \\times I_c = 12 \\times 1.5 \\times 10^{-3} = 0.018\\,\\text{W} = 18\\,\\text{mW}$
La puissance dissipée est 18 mW.
Question 3 : Nouvelle intensité et puissance dissipée
1. Nouveau photocourant :
$I_{ph2} = \\frac{I_{ph}}{2} = 5 \\times 10^{-6} $
2. Nouveau courant collecteur :
$I_{c2} = \\beta \\times I_{ph2} = 150 \\times 5 \\times 10^{-6} = 7.5 \\times 10^{-4} = 0.75 \\text{mA}$
3. Nouvelle puissance :
$P_2 = V_{CE} \\times I_{c2} = 12 \\times 0.75 \\times 10^{-3} = 0.009 \\text{W} = 9 \\text{mW}$
Le courant devient 0.75 mA et la puissance dissipée 9 mW.
",
"id_category": "4",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de déformation à jauge de contrainte est collé sur une poutre subissant une force de traction.
Question 1 : Sachant que la jauge a un facteur de sensibilité $GF = 2.1$, calculez la variation relative de résistance $\\frac{\\Delta R}{R}$ si la déformation mesurée est $\\epsilon = 500 \\times 10^{-6}$ .
Question 2 : Déterminez la variation de la tension de sortie $\\Delta V$ dans un pont de Wheatstone alimenté en 5 V, en supposant que seule la jauge change de résistance.
Question 3 : Si la résistance initiale de la jauge est $R = 120$ Ω, calculez la résistance après déformation et l'intensité de courant traversant la jauge si la tension aux bornes est $V = 5$ V.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Relation entre la variation relative de résistance et la déformation :
$\\frac{\\Delta R}{R} = GF \\times \\epsilon$
2. Remplacement numérique :
$\\frac{\\Delta R}{R} = 2.1 \\times 500 \\times 10^{-6} = 1.05 \\times 10^{-3}$
Question 2 :
1. Dans un pont de Wheatstone alimenté par une tension $V_{in}$, la variation de sortie :
$\\Delta V = \\frac{V_{in}}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R}$
2. En remplaçant :
$\\Delta V = \\frac{5}{4} \\times 1.05 \\times 10^{-3} = 1.31 \\times 10^{-3}$ V = 1.31 mV
Question 3 :
1. Résistance après déformation :
$R' = R + \\Delta R = R \\times (1 + \\frac{\\Delta R}{R}) = 120 \\times (1 + 1.05 \\times 10^{-3}) = 120.126$ Ω
2. Courant traversant la jauge :
$I = \\frac{V}{R'} = \\frac{5}{120.126} = 0.0416$ A
Interprétation : La déformation modifie très légèrement la résistance, ce qui induit une petite variation de tension détectable grâce au pont. Le courant reste stable, assurant la fiabilité des mesures.
",
"id_category": "4",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de force piézoélectrique est installé pour mesurer une force dynamique.
Question 1 : Calculez la charge électrique $Q$ générée si la force appliquée est $F = 500$ N et le coefficient de charge piézoélectrique $d_{33} = 400 \\times 10^{-12}$ C/N.
Question 2 : Si la capacité électrique du capteur est $C = 10^{-9}$ F, calculez la tension de sortie
Question 3 : En déduire la variation de la tension aux bornes d'une charge résistive $R = 1 M\\Omega$ placée en parallèle au capteur avec un temps de charge de 1 ms.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Charge générée par effet piézoélectrique :
$Q = d_{33} \\times F$
2. Remplacement numérique :
$Q = 400 \\times 10^{-12} \\times 500 = 2 \\times 10^{-7}$ C
Question 2 :
1. Tension de sortie :
$V = \\frac{Q}{C} = \\frac{2 \\times 10^{-7}}{10^{-9}} = 200$ V
Question 3 :
1. La tension décroît selon la constante de temps $\\tau = R \\times C = 1 \\times 10^{6} \\times 10^{-9} = 10^{-3}$ s (1 ms)
2. Variation de la tension après 1 ms :
$V(t) = V_0 e^{-\\frac{t}{\\tau}} = 200 e^{-1} = 200 \\times 0.368 = 73.6$ V
Interprétation : La tension générée diminue rapidement avec la charge résistive, il est important d'adapter l'électronique de mesure pour capturer le signal avant décharge.
",
"id_category": "4",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de pression à jauge de déformation est utilisé pour mesurer une pression appliquée sur une membrane circulaire de rayon $r=10$ cm et épaisseur $e=2$ mm.
Question 1 : Calculez la déformation maximale dans la membrane correspondant à une pression $P=2$ MPa en supposant un matériau isotrope avec module de Young $E=2 \\times 10^{11}$ Pa et coefficient de Poisson $\\nu=0.3$.
Question 2 : Évaluez la variation relative de résistance d'une jauge collée à la surface, $\\frac{\\Delta R}{R}$, pour un facteur de sensibilité $GF=2$.
Question 3 : Déterminez la variation de tension dans un pont de Wheatstone alimenté en 12 V et incluant quatre jauges identiques en configuration complète.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. La déformation maximale sur une membrane circulaire chargée uniformément est donnée par :
$\\epsilon = \\frac{3 (1-\\nu^2) P r^2}{4 E e^2}$
2. Remplacement numérique :
$\\epsilon = \\frac{3 (1-0.3^2) \\times 2 \\times 10^{6} \\times (0.1)^2}{4 \\times 2 \\times 10^{11} \\times (2 \\times 10^{-3})^2} = \\frac{3 \\times 0.91 \\times 2 \\times 10^{6} \\times 0.01}{4 \\times 2 \\times 10^{11} \\times 4 \\times 10^{-6}}$
$= \\frac{5.46 \\times 10^{4}}{3.2 \\times 10^{6}} = 1.706 \\times 10^{-2}$
Question 2 :
1. Variation relative de résistance :
$\\frac{\\Delta R}{R} = GF \\times \\epsilon = 2 \\times 1.706 \\times 10^{-2} = 3.412 \\times 10^{-2}$
Question 3 :
1. Dans un pont de Wheatstone complet alimenté en $V_{in} = 12$ V, la variation de tension est :
$\\Delta V = \\frac{V_{in}}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R} = \\frac{12}{4} \\times 3.412 \\times 10^{-2} = 3 \\times 3.412 \\times 10^{-2} = 0.1024$ V
Interprétation : La déformation mécanique induit une variation significative de résistance détectée en tension, adaptée pour une mesure précise via pont de Wheatstone complet.
",
"id_category": "4",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Analyse d'un capteur de déformation à jauge résistive
Une jauge de déformation collée sur une structure métallique subit une déformation mécanique longitudinale $\\varepsilon = 500 \\times 10^{-6}$ (microdéformation). La jauge a un facteur de sensibilité $k = 2$ et une résistance initiale $R_0 = 120 \\ \\Omega$.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ de la jauge due à la déformation.
Question 2 : Si la jauge est intégrée dans un pont de Wheatstone alimenté par une tension $V_s = 10$ V, calculer la tension de sortie différentielle $V_o$ du pont, en supposant que les autres résistances sont constantes et égales à $R_0$.
Question 3 : Déterminer la sensibilité du capteur en terme de voltage par unité de déformation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation de résistance dans la jauge
1. Formule générale :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = k \\times \\varepsilon$
2. Calcul :
$\\Delta R = k \\times \\varepsilon \\times R_0$
3. Remplacement :
$\\Delta R = 2 \\times 500 \\times 10^{-6} \\times 120 = 0,12 \\ \\Omega$
4. Résultat final :
$\\Delta R = 0,12 \\ \\Omega$
Question 2 : Tension de sortie du pont de Wheatstone
1. La tension de sortie différentielle
$V_o = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} V_s$
2. Remplacement :
$V_o = \\frac{0,12}{4 \\times 120} \\times 10 = 0,025$ V
Question 3 : Sensibilité du capteur
1. Sensibilité :
$S = \\frac{V_o}{\\varepsilon} = \\frac{0,025}{500 \\times 10^{-6}} = 50 \\text{ V / unité de déformation}$
2. Résultat final :
$S = 50 \\text{ V / unité de déformation}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Mesure de force à l'aide d'un capteur piezorésistif
Un capteur de force utilise un élément piezorésistif dont la résistance nominale est $R = 350 \\ \\Omega$. La constante de sensibilité piézorésistive est $k_p = 1,5 \\times 10^{-9} \\ \\Omega/\\text{N}$. Lorsque la force exercée est $F = 100$ N, la résistance change.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ induite par la force.
Question 2 : Si ce capteur est inclus dans un pont de Wheatstone équilibré alimenté en $V_s = 12$ V, calculer la tension différentielle $V_o$ en sortie.
Question 3 : Déduire la sensibilité électrique du capteur en volts par newton.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation de résistance due à la force
1. Formule :
$\\Delta R = k_p \\times F$
2. Calcul :
$\\Delta R = 1,5 \\times 10^{-9} \\times 100 = 1,5 \\times 10^{-7} \\ \\Omega$
Question 2 : Tension de sortie différentielle
1. Formule :
$V_o = \\frac{\\Delta R}{4 R} V_s$
2. Calcul :
$V_o = \\frac{1,5 \\times 10^{-7}}{4 \\times 350} \\times 12 = 1,29 \\times 10^{-9} \\text{ V}$
Question 3 : Sensibilité électrique
1. Sensibilité :
$S = \\frac{V_o}{F} = \\frac{1,29 \\times 10^{-9}}{100} = 1,29 \\times 10^{-11} \\text{ V/N}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression capacitif
Un capteur capacitif de pression est constitué de deux plaques conductrices parallèles avec une surface effective $S = 1 \\text{ cm}^2$ et une distance initiale entre plaques $d = 0,5 \\text{ mm}$. Sous l'effet d'une pression $P = 5 \\times 10^4 \\text{ Pa}$, la distance entre les plaques diminue de $\\Delta d = 0,01 \\text{ mm}$.
Question 1 : Calculer la capacité initiale $C_0$ du condensateur.
Question 2 : Calculer la variation de capacité $\\Delta C$ due à la déformation.
Question 3 : Déduire la variation de tension de sortie si le condensateur est connecté en série avec une résistance de charge de $R = 10 \\text{ k}\\Omega$ et alimenté par une tension DC constante $V_s = 5 \\text{ V}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la capacité initiale
1. Formule de base :
$C_0 = \\varepsilon_0 \\frac{S}{d}$
avec
$\\varepsilon_0 = 8,854 \\times 10^{-12} \\text{ F/m}$
2. Conversion des unités :
$S = 1 \\text{ cm}^2 = 1 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2, \\quad d = 0,5 \\text{ mm} = 5 \\times 10^{-4} \\text{ m}$
3. Calcul :
$C_0 = 8,854 \\times 10^{-12} \\times \\frac{1 \\times 10^{-4}}{5 \\times 10^{-4}} = 1,77 \\times 10^{-12} \\text{ F}$
Question 2 : Variation de la capacité
1. Nouvelle distance :
$d' = d - \\Delta d = 5 \\times 10^{-4} - 1 \\times 10^{-5} = 4,9 \\times 10^{-4} \\text{ m}$
2. Nouvelle capacité :
$C' = \\varepsilon_0 \\frac{S}{d'} = 8,854 \\times 10^{-12} \\times \\frac{1 \\times 10^{-4}}{4,9 \\times 10^{-4}} = 1,806 \\times 10^{-12} \\text{ F}$
3. Variation :
$\\Delta C = C' - C_0 = (1,806 - 1,77) \\times 10^{-12} = 3,6 \\times 10^{-14} \\text{ F}$
Question 3 : Variation de tension de sortie
1. Le condensateur est en série avec
une résistance
$R = 10^4 \\ \\Omega$ et la tension source est constante
$V_s = 5 \\text{ V}$
2. Variation approximative :
$\\Delta V = V_s \\times \\frac{\\Delta C}{C_0} = 5 \\times \\frac{3,6 \\times 10^{-14}}{1,77 \\times 10^{-12}} = 0,102 \\text{ V}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Mesure de déformation par jauge de contrainte
Une jauge de contrainte enroulée autour d'une pièce subit une déformation $\\varepsilon = 500 \\times 10^{-6}$ (microdéformation). La jauge présente un coefficient de jauge $k = 2$ et une résistance initiale $R_0 = 120 \\Omega$.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ due à cette déformation.
Question 2 : Si la jauge est intégrée dans un pont de Wheatstone équilibré alimenté sous une tension $V_s = 10$ V, calculer la tension de sortie $V_o$ pour la déformation donnée.
Question 3 : Déterminer la puissance dissipée dans la jauge, en supposant que la tension $V_s$ est constante et que la résistance est constante après déformation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
La variation de résistance est donnée par :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = k \\times \\varepsilon$
Donc :
$\\Delta R = k \\times \\varepsilon \\times R_0 = 2 \\times 500 \\times 10^{-6} \\times 120 = 0.12 \\Omega$
Question 2 :
La tension de sortie du pont en pont de Wheatstone est :
$V_o = \\frac{V_s}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0}$
Remplaçons :
$V_o = \\frac{10}{4} \\times \\frac{0.12}{120} = 2.5 \\times 0.001 = 2.5 \\times 10^{-3} \\text{ V} = 2.5 \\text{ mV}$
Question 3 :
La puissance dissipée dans la jauge est :
$P = \\frac{V_s^2}{R_t}$, où $R_t$ est la résistance totale du pont (4 jauges identiques, donc $R_t = 4 R_0 = 480 \\Omega$).
Calcul :
$P = \\frac{10^2}{480} = \\frac{100}{480} = 0.2083 \\text{ W}$
La puissance dissipée est donc environ $208\\text{ mW}$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Capteur de force à jauge de contrainte et déformation
Un capteur utilise une jauge de déformation collée sur une poutre soumise à une force $F = 500$ N. La surface de la section transversale est $S = 50 \\times 10^{-6}$ m², le module d'Young $E = 200$ GPa.
Question 1 : Calculer la contrainte $\\sigma$ dans la poutre.
Question 2 : Déduire la déformation $\\varepsilon$ en utilisant la relation de Hooke.
Question 3 : Si la jauge présente un coefficient de jauge $k = 2.1$ et une résistance initiale $R_0 = 350 \\Omega$, calculer la variation de résistance $\\Delta R$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
La contrainte est définie par :
$\\sigma = \\frac{F}{S}$
Calcul :
$\\sigma = \\frac{500}{50 \\times 10^{-6}} = 10^7 \\text{ Pa} = 10 \\text{ MPa}$
Question 2 :
La déformation (relation de Hooke) :
$\\varepsilon = \\frac{\\sigma}{E} = \\frac{10 \\times 10^{6}}{200 \\times 10^{9}} = 5 \\times 10^{-5}$
Question 3 :
Variation de résistance :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = k \\times \\varepsilon$
Donc :
$\\Delta R = k \\varepsilon R_0 = 2.1 \\times 5 \\times 10^{-5} \\times 350 = 0.03675 \\Omega$
",
"id_category": "4",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression piézorésistif
Un capteur piézorésistif a une sensibilité $S = 2 \\times 10^{-8}$ 1/Pa et une résistance de jauge initiale $R_0 = 1000 \\Omega$. Il est soumis à une pression $P = 5 \\times 10^5$ Pa.
Question 1 : Calculer la variation relative de la résistance $\\frac{\\Delta R}{R_0}$ dans la jauge.
Question 2 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$.
Question 3 : Si la jauge est soumise à une tension d'excitation $V_{exc} = 5$ V, calculer la puissance dissipée dans la jauge après variation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
La variation relative de résistance est donnée par :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = S \\times P$
Remplaçons :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = 2 \\times 10^{-8} \\times 5 \\times 10^{5} = 1 \\times 10^{-2}$
Question 2 :
La variation absolue :
$\\Delta R = R_0 \\times \\frac{\\Delta R}{R_0} = 1000 \\times 0.01 = 10 \\Omega$
Question 3 :
La puissance dissipée après variation (en considérant résistance inchangée pour calcul simple) :
$P = \\frac{V_{exc}^2}{R_0 + \\Delta R} = \\frac{5^2}{1010} = \\frac{25}{1010} = 0.02475 \\text{ W} = 24.75 \\text{ mW}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Une jauge extensométrique a un facteur de sensibilité $S_g = 2$ et une résistance nominale $R_0 = 120 \\ \\Omega$. Elle est collée sur une poutre subissant une déformation de $\\varepsilon = 500 \\times 10^{-6}$.
Question 1 : Calculer la variation de résistance $\\Delta R$ de la jauge.
Question 2 : Si la jauge est insérée dans un pont de Wheatstone équilibré alimenté en tension $V_s = 10 \\text{ V}$, calculer la tension différentielle de sortie $V_{out}$.
Question 3 : En supposant la sensibilité de la chaîne de mesure égale à 100 mV par % de déformation, calculez la déformation correspondante pour la tension calculée.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation de résistance
1. Formule générale :
$\\frac{\\Delta R}{R_0} = S_g \\varepsilon$
2. Calcul :
$\\Delta R = R_0 S_g \\varepsilon = 120 \\times 2 \\times 500 \\times 10^{-6} = 0.12\\ \\Omega$
Question 2 : Tension différentielle de sortie du pont
1. La tension différentielle est donnée par :
$V_{out} = \\frac{V_s}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_0} = \\frac{10}{4} \\times \\frac{0.12}{120} = 0.0025 \\text{ V} = 2.5\\text{ mV}$
Question 3 : Calcul de la déformation
1. Avec une sensibilité de 100 mV par % de déformation :
$\\varepsilon = \\frac{V_{out}}{100 \\times 10^{-3}} \\times 100 = \\frac{2.5 \\times 10^{-3}}{0.1} \\times 100 = 2.5\\% = 25000 \\times 10^{-6}$
Cette déformation correspont à un signal amplifié, donc le système doit être calibré par amplification.
",
"id_category": "4",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de force piézoélectrique génère une charge proportionnelle à la force appliquée :
$Q = d_{33} F$ avec $d_{33} = 300 \\times 10^{-12} \\text{ C/N}$.
Le capteur est connecté à une borne à capacité $C = 10\\ \\text{nF}$.
Question 1 : Calculer la tension générée $V = \\frac{Q}{C}$ pour une force $F = 50 \\text{ N}$.
Question 2 : Pour une variation de la force $\\Delta F = 10 \\text{ N}$, calculez la variation correspondante de la tension $\\Delta V$.
Question 3 : Quelle est la puissance électrique fournie si la fréquence d’acquisition est $1000 \\text{ Hz}$ ?
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension générée
1. Relation :
$Q = d_{33} F$
$V = \\frac{Q}{C} = \\frac{d_{33} F}{C}$
2. Calcul :
$V = \\frac{300 \\times 10^{-12} \\times 50}{10 \\times 10^{-9}} = 1.5 \\text{ V}$
Question 2 : Variation de tension
1. Calculde la variation :
$\\Delta V = \\frac{d_{33} \\Delta F}{C} = \\frac{300 \\times 10^{-12} \\times 10}{10 \\times 10^{-9}} = 0.3 \\text{ V}$
Question 3 : Puissance électrique fournie
1. En supposant une fréquence de mesure $f = 1000 \\text{ Hz}$ :
$P = V^2 / R$ avec résistance fictive équivalente. Pour un signal sinusoïdal et charge purement capacitive :
La puissance moyenne peut être estimée par :
$P = V_{rms} I_{rms} = V_{rms} \\times 2 \\pi f C V_{rms} = 2 \\pi f C V_{rms}^2$
2. Avec $V_{rms} = \\frac{V}{\\sqrt{2}} = 1.06 \\text{ V}$
$P = 2 \\pi \\times 1000 \\times 10 \\times 10^{-9} \\times (1.06)^2 = 7.06 \\times 10^{-5} \\text{ W} = 70.6 \\text{ \\mu W}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de pression est basé sur une membrane en acier sur laquelle sont collées quatre jauges de contrainte formant un pont de Wheatstone. Chaque jauge a une résistance initiale $R_j = 120 \\ \\Omega$.
La pression appliquée déforme la membrane provoquant une variation de résistance :
$\\frac{\\Delta R}{R_j} = S_g \\varepsilon$,
avec un facteur de sensibilité $S_g = 2$ et une déformation $\\varepsilon = 250 \\times 10^{-6}$.
Question 1 : Calculez la variation de résistance $\\Delta R$ par jauge.
Question 2 : Si le pont de Wheatstone est alimenté en tension $V_s = 12 \\text{ V}$, calculez la tension de sortie différentielle $V_{out}$.
Question 3 : Calculez la puissance dissipée dans chaque jauge et la puissance totale dissipée dans le pont.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Variation de résistance par jauge
1. Formule :
$\\Delta R = S_g \\varepsilon R_j$
2. Calcul :
$\\Delta R = 2 \\times 250 \\times 10^{-6} \\times 120 = 0.06 \\ \\Omega$
Question 2 : Tension différentielle de sortie
1. La tension de sortie du pont à 4 jauges est :
$V_{out} = \\frac{V_s}{4} \\times \\frac{\\Delta R}{R_j} = \\frac{12}{4} \\times \\frac{0.06}{120} = 0.0015 \\text{ V} = 1.5\\text{ mV}$
Question 3 : Puissance dissipée dans chaque jauge et totale
1. Puissance par jauge :
$P_j = \\frac{V_s^2}{4 R_j} = \\frac{12^2}{4 \\times 120} = 0.3\\text{ W}$
2. Puissance totale :
$P_{total} = 4 \\times P_j = 1.2\\text{ W}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de déformation utilise une jauge de contrainte monté dans un pont de Wheatstone. Le coefficient de jauge est $GF = 2$. Sous une contrainte mécanique, la jauge subit un allongement relatif $\\Delta L / L = 0{,}001$.
Question 1 : Calculer la variation relative de la résistance $\\frac{\\Delta R}{R}$ de la jauge.
Question 2 : Si la résistance initiale de la jauge est $R_0 = 120 \\, \\Omega$, déterminer la variation absolue de résistance $\\Delta R$.
Question 3 : Sachant que la jauge est monté dans un pont de Wheatstone équilibré alimenté en $V_s = 10 \\, V$, calculer la tension de sortie $V_o$ générée par la déformation.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul de la variation relative de la résistance de la jauge
La variation relative de la résistance :
$\\frac{\\Delta R}{R} = GF \\times \\frac{\\Delta L}{L}$
Remplacement :
$\\frac{\\Delta R}{R} = 2 \\times 0{,}001 = 0{,}002$
Question 2 : Calcul de la variation absolue de résistance
$\\Delta R = R_0 \\times \\frac{\\Delta R}{R} = 120 \\times 0{,}002 = 0{,}24 \\, \\Omega$
Question 3 : Calcul de la tension de sortie du pont de Wheatstone
La tension de sortie d'un pont de Wheatstone est :
$V_o = \\frac{\\Delta R}{4 R_0} \\times V_s$
Remplacement :
$V_o = \\frac{0{,}24}{4 \\times 120} \\times 10 = \\frac{0{,}24}{480} \\times 10 = 0{,}005 \\, V = 5 \\, mV$
La tension générée par la déformation est donc
5 mV.
",
"id_category": "4",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de force est constitué d'une jauge de contrainte montée sur une poutre. La force exercée est $F = 500 \\, N$. La constante de sensibilité mécanique est $S_m = 2 \\times 10^{-7} \\, m/N$, et la jauge a une résistance $R = 350 \\, \\Omega$, avec un coefficient de jauge $GF = 2{,}1$.
Question 1 : Calculer la déformation $\\varepsilon$ de la jauge induite par la force.
Question 2 : Déterminer la variation de résistance $\\Delta R$.
Question 3 : Calculer la tension de sortie du pont de Wheatstone alimenté en $V_s= 5 \\, V$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul de la déformation induite par la force
La déformation mécanique est proportionnelle à la force :
$\\varepsilon = S_m \\times F$
Remplacement :
$\\varepsilon = 2 \\times 10^{-7} \\times 500 = 1 \\times 10^{-4}$
Question 2 : Calcul de la variation de résistance
$\\Delta R = GF \\times R \\times \\varepsilon = 2{,}1 \\times 350 \\times 1 \\times 10^{-4} = 0{,}0735 \\, \\Omega$
Question 3 : Calcul de la tension de sortie
La tension de sortie du pont de Wheatstone est :
$V_o = \\frac{\\Delta R}{4 R} \\times V_s$
Remplacement :
$V_o = \\frac{0{,}0735}{4 \\times 350} \\times 5 = \\frac{0{,}0735}{1400} \\times 5 = 2{,}625 \\times 10^{-4} \\, V = 0{,}263 \\, mV$
",
"id_category": "4",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Un capteur de pression piézoélectrique génère une charge électrique proportionnelle à la pression appliquée. La constante piézoélectrique est $d = 3.2 \\times 10^{-12} \\, C/N$. Une pression de $P = 2 \\, MPa$ est appliquée sur une surface de $S = 5 \\, cm^2$.
Question 1 : Calculer la force appliquée sur la surface.
Question 2 : Déterminer la charge électrique générée par effet piézoélectrique.
Question 3 : Si la capacité du capteur est $C = 10 \\, nF$, calculer la tension générée aux bornes du capteur.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul de la force appliquée sur la surface
La force est donnée par :
$F = P \\times S$
Avec :
$P = 2 \\times 10^{6} \\, Pa = 2 \\, MPa$
$S = 5 \\times 10^{-4} \\, m^2$
Remplacement :
$F = 2 \\times 10^6 \\times 5 \\times 10^{-4} = 1000 \\, N$
Question 2 : Calcul de la charge électrique générée
$Q = d \\times F = 3{,}2 \\times 10^{-12} \\times 1000 = 3{,}2 \\times 10^{-9} \\, C$
Question 3 : Calcul de la tension générée aux bornes du capteur
La tension générée est donnée par :
$V_o = \\frac{Q}{C} = \\frac{3{,}2 \\times 10^{-9}}{10 \\times 10^{-9}} = 0{,}32 \\, V$
",
"id_category": "4",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Capteur capacitif pour la mesure de déformation
Un capteur capacitif déforme une membrane, modifiant la capacité d'un condensateur de $C_0 = 10 pF$ à l'état initial. Lorsqu'une déformation mécanique provoque un changement d'écart entre ses plaques, la capacité devient $C= 12 pF$.
Question 1 : Calculer la variation de capacité $\\Delta C$.
Question 2 : Déterminer le déplacement linéaire de la membrane pour une variation de capacité donnée, si la surface des plaques est $S= 1 \\text{cm}^2$ et la distance initiale est $d_0 = 1 \\text{mm}$.
Question 3 : La capacité est liée à la déformation par la formule :
$\\Delta C = \\frac{\\epsilon_0 S \\Delta d}{d_0^2}$
(avec $\\epsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$). Calculer également la force appliquée si le matériau de la membrane a une rigidité de $k = 10^3 \\text{N/m}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la variation de capacité
1. La variation :
$\\Delta C = C - C_0 = 12 - 10 = 2 \\text{ pF}$
2. Résultat final :
$\\boxed{\\Delta C = 2 \\text{ pF}}$
Question 2 : Déplacement linéaire de la membrane
1. La formule de relation entre $\\Delta C$ et le déplacement $\\Delta d$ est :
$\\Delta C = \\frac{\\epsilon_0 S \\Delta d}{d_0^2}$
2. Résolution :
$\\Delta d = \\frac{\\Delta C \\times d_0^2}{\\epsilon_0 S}$
3. Remplacement :
$\\Delta d = \\frac{2 \\times 10^{-12} \\times (1 \\times 10^{-3})^2}{8.85 \\times 10^{-12} \\times 1 \\times 10^{-4}} = \\frac{2 \\times 10^{-12} \\times 1 \\times 10^{-6}}{8.85 \\times 10^{-16}} = 2.26 \\times 10^{-3} \\text{m} = 2.26 \\text{mm}$
4. Résultat final :
$\\boxed{\\Delta d \\approx 2.26 \\text{ mm}}$
Question 3 : Force appliquée sur la membrane
1. Relation entre force et déformation :
$F = k \\times \\Delta d$
2. Calcul :
$F = 10^{3} \\times 2.26 \\times 10^{-3} = 2.26 \\text{ N}$
3. Résultat final :
$\\boxed{F = 2.26 \\text{ N}}$
",
"id_category": "4",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Jauge de déformation (pont de Wheatstone)\n\nUne jauge de contrainte résistive présente une résistance initiale $R = 120 \\Omega$ et un facteur de jauge $K = 2.1$. Lorsqu'elle est montée dans un bras d’un pont de Wheatstone alimenté sous $V_{cc} = 10 V$, une déformation longitudinale $\\epsilon = 500 \\times 10^{-6}$ est appliquée. \n\nQuestions :\n1. Calculer la variation de résistance de la jauge.\n2. Déterminer la tension de déséquilibre du pont de Wheatstone (demi-pont actif).\n3. Calculer la sensibilité du capteur en V/μm/m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation de résistance :
Formule : $\\Delta R = K R \\epsilon$
Remplacement : $\\Delta R = 2.1 \\times 120 \\times 500 \\times 10^{-6} = 0.126 \\Omega$.
\n\n2. Tension de déséquilibre :
Formule (pont semi-actif) : $V_o = \\frac{V_{cc}}{4} \\frac{\\Delta R}{R}$
Remplacement : $V_o = \\frac{10}{4} \\times \\frac{0.126}{120} = 0.02625 V$.
\n\n3. Sensibilité :
Déformation : $\\epsilon = 500 \\times 10^{-6} m/m$
Formule : $S = \\frac{V_o}{\\epsilon} = \\frac{0.02625}{500 \\times 10^{-6}} = 52.5 V/m/m$ soit $52.5 \\mu V/\\mu m/m$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Capteur de force à jauges extensométriques\n\nUn capteur de force utilise quatre jauges montées en pont complet. Chaque jauge a $R = 350 \\Omega$, $K = 2.1$ et est collée sur un élément soumis à une contrainte provoquant une déformation $\\epsilon = 1000 \\times 10^{-6}$. La tension d’alimentation du pont est $V_{cc} = 8 V$.\n\nQuestions :\n1. Déterminer la variation de résistance d’une jauge.\n2. Calculer la tension de sortie différentielle du pont complet.\n3. Déterminer la force appliquée si le matériau de jauge présente un module d’Young $E = 210 GPa$ et si la zone sensible a une section $S = 20 mm^2$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation de résistance :
Formule : $\\Delta R = K R \\epsilon$
Remplacement : $\\Delta R = 2.1 \\times 350 \\times 1000 \\times 10^{-6} = 0.735 \\Omega$.
\n\n2. Tension de sortie (pont complet) :
Formule : $V_o = V_{cc} \\frac{\\Delta R}{R}$
Remplacement : $V_o = 8 \\times \\frac{0.735}{350} = 0.0168 V$ soit $16.8 mV$.
\n\n3. Force appliquée :
Formule : $\\sigma = E \\epsilon$, $F = \\sigma S$
Remplacement : $\\sigma = 210 \\times 10^9 \\times 1000\\times10^{-6} = 210 \\times 10^6 Pa$
Section : $S = 20 \\times 10^{-6} m^2$
Force : $F = 210\\times10^6 \\times 20\\times10^{-6} = 4200 N$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 3 : Capteur de pression piézorésistif en silicium\n\nUn capteur de pression piézorésistif en silicium contient quatre résistances formant un pont de Wheatstone. Les coefficients de sensibilité piézorésistive sont $\\pi_L = 70 \\times 10^{-11} Pa^{-1}$ et $\\pi_T = -65 \\times 10^{-11} Pa^{-1}$. La pression appliquée est $p = 1 \\times 10^6 Pa$ et la tension d’alimentation est $V_{cc} = 5 V$. Les résistances nominales sont de $R = 2 k\\Omega$.\n\nQuestions :\n1. Calculer les variations relatives de résistance longitudinale et transversale.\n2. Déterminer la tension de sortie du pont piézorésistif.\n3. Si la tension de sortie est amplifiée par un gain de 200, calculer la tension finale mesurable.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation relative de résistance :
Formules : $\\frac{\\Delta R_L}{R} = \\pi_L p$ et $\\frac{\\Delta R_T}{R} = \\pi_T p$
Remplacement : $\\frac{\\Delta R_L}{R} = 70\\times10^{-11} \\times 10^6 = 7\\times10^{-4}$
et $\\frac{\\Delta R_T}{R} = -6.5\\times10^{-4}$.
\n\n2. Tension de sortie :
Formule (pont complet) : $V_o = \\frac{V_{cc}}{4} \\left[ \\frac{\\Delta R_L - \\Delta R_T}{R} \\right]$
Remplacement : $V_o = \\frac{5}{4}\\times (7\\times10^{-4} - (-6.5\\times10^{-4})) = 1.25\\times13.5\\times10^{-4}$
Calcul : $V_o = 0.0169 V = 16.9 mV$.
\n\n3. Tension amplifiée :
Formule : $V_{sortie} = G V_o$
Remplacement : $V_{sortie} = 200 \\times 0.0169 = 3.38 V$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 1 : Jauge de contrainte et déformation mécanique\n\nUne jauge de contrainte de type résistive en cuivre-nickel possède une résistance nominale de $R_0 = 120\\,\\Omega$ et un facteur de jauge $K = 2,1$. Elle est collée sur une poutre soumise à une déformation uniaxiale de $\\varepsilon = 500\\,\\mu\\text{m/m}$.\n\n1. Calculer la variation relative de résistance $\\frac{\\Delta R}{R_0}$.\n2. Déterminer la nouvelle résistance de la jauge après déformation.\n3. La jauge est utilisée dans un pont de Wheatstone alimenté sous $U_{alim} = 10\\,\\text{V}$. Calculer la tension différentielle de sortie $V_s$ du pont complet formé de quatre jauges identiques soumises à une déformation identique.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Variation relative de résistance
Formule : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = K\\varepsilon$
Remplacement : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = 2,1 \\times 500\\times10^{-6} = 1,05\\times10^{-3}$
Résultat : $\\frac{\\Delta R}{R_0} = 1,05\\times10^{-3}$.
\n2. Nouvelle résistance
Formule : $R = R_0(1 + \\frac{\\Delta R}{R_0})$
Remplacement : $R = 120(1 + 1,05\\times10^{-3}) = 120,126\\,\\Omega$
Résultat : $R = 120,126\\,\\Omega$.
\n3. Tension de sortie du pont
Pont complet : $V_s = (K\\varepsilon)\\frac{U_{alim}}{2}$
Remplacement : $V_s = 2,1 \\times 500\\times10^{-6} \\times \\frac{10}{2} = 5,25\\times10^{-3}\\,\\text{V}$
Résultat : $V_s = 5,25\\,\\text{mV}$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Les capteurs de déformation, force et pression",
"question": "Exercice 2 : Capteur de force basé sur jauge de contrainte\n\nUn capteur de force consiste en un pont de Wheatstone muni de quatre jauges de contrainte identiques ($R_0 = 350\\,\\Omega$, $K = 2,0$) collées sur une poutre soumise à une force F. La poutre a une section de $S = 20\\,\\text{mm}^2$ et le module d’élasticité est $E = 200\\,\\text{GPa}$. La force appliquée est de $F = 1000\\,\\text{N}$ et $U_{alim} = 5\\,\\text{V}$.\n\n1. Calculer la contrainte mécanique appliquée.\n2. Déterminer la déformation correspondante.\n3. Déterminer la tension de sortie du capteur.Pont de Wheatstone Poutre F=1000N ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Contrainte mécanique
Formule : $\\sigma = \\frac{F}{S}$
Remplacement : $S = 20\\,\\text{mm}^2 = 20\\times10^{-6}\\,\\text{m}^2$
$\\sigma = \\frac{1000}{20\\times10^{-6}} = 50\\times10^6\\,\\text{Pa}$
Résultat : $\\sigma = 50\\,\\text{MPa}$.
\n2. Déformation correspondante
Formule : $\\varepsilon = \\frac{\\sigma}{E}$
Remplacement : $\\varepsilon = \\frac{50\\times10^6}{200\\times10^9} = 2,5\\times10^{-4}$
Résultat : $\\varepsilon = 250\\,\\mu\\text{m/m}$.
\n3. Tension de sortie
Formule d’un pont complet : $V_s = (K\\varepsilon)\\frac{U_{alim}}{2}$
Remplacement : $V_s = 2,0 \\times 2,5\\times10^{-4} \\times \\frac{5}{2} = 1,25\\times10^{-3}\\,\\text{V}$
Résultat : $V_s = 1,25\\,\\text{mV}$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 1 : Tachymètre analogique à génératrice à courant continu\n\nUne génératrice tachymétrique délivre une tension proportionnelle à la vitesse angulaire du moteur. La constante du tachymètre est $K_t = 0.05 V/(rad·s^{-1})$. Le générateur est relié à un moteur tournant à $n = 1500 tr/min$, alimentant un circuit de charge de résistance $R = 1 kΩ$.\n\nQuestions :\n1. Calculer la tension de sortie générée par le tachymètre.\n2. Déterminer le courant dans le circuit de charge.\n3. Calculer la puissance électrique dissipée dans la charge.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension de sortie :
Formule : $V_t = K_t \\omega$ avec $\\omega = \\frac{2\\pi n}{60}$
Remplacement : $\\omega = \\frac{2\\pi \\times 1500}{60} = 157.08 rad/s$
Résultat : $V_t = 0.05 \\times 157.08 = 7.85 V$.
\n\n2. Courant dans la charge :
Formule : $I = \\frac{V_t}{R}$
Remplacement : $I = \\frac{7.85}{1000} = 7.85 mA$.
\n\n3. Puissance dissipée :
Formule : $P = V_t \\times I$
Remplacement : $P = 7.85 \\times 7.85\\times10^{-3} = 61.6 mW$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 2 : Tachymètre numérique à capteur optique à disque fendu\n\nUn tachymètre numérique utilise un disque percé de 60 fentes et une cellule optique. Le disque est entraîné par un arbre à vitesse de rotation $n = 3000 tr/min$. Un compteur mesure le nombre d’impulsions pendant un intervalle de temps de $\\Delta t = 100 ms$.\n\nQuestions :\n1. Calculer la fréquence des impulsions émises.\n2. Déterminer le nombre d’impulsions détectées pendant $\\Delta t$.\n3. En déduire la résolution angulaire du capteur en degrés.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Fréquence d’impulsion :
Formule : $f = \\frac{N_f \\times n}{60}$
Remplacement : $f = \\frac{60 \\times 3000}{60} = 3000 Hz$.
\n\n2. Nombre d’impulsions pendant Δt :
Formule : $N = f \\times \\Delta t$
Remplacement : $N = 3000 \\times 0.1 = 300 impulsions$.
\n\n3. Résolution angulaire :
Formule : $\\Delta \\theta = \\frac{360°}{N_f}$
Remplacement : $\\Delta \\theta = \\frac{360}{60} = 6°$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 3 : Tachymètre numérique à capteur magnétique\n\nUn tachymètre inductif détecte le passage de 24 dents sur une roue fixée à un arbre. La tension induite est $v(t) = V_m \\sin(\\omega t)$ avec $V_m = 100 mV$. L’arbre tourne à $n = 1200 tr/min$.\n\nQuestions :\n1. Calculer la fréquence du signal de sortie.\n2. Déterminer la valeur efficace de la tension générée.\n3. Si cette tension est amplifiée par un gain de 50, quelle tension efficace en sortie de l’amplificateur est obtenue ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Fréquence du signal :
Formule : $f = \\frac{n N_d}{60}$
Remplacement : $f = \\frac{1200 \\times 24}{60} = 480 Hz$.
\n\n2. Tension efficace :
Formule : $V_{rms} = \\frac{V_m}{\\sqrt{2}}$
Remplacement : $V_{rms} = \\frac{0.1}{1.414} = 0.0707 V$.
\n\n3. Tension amplifiée :
Formule : $V_{rms,amp} = G \\times V_{rms}$
Remplacement : $V_{rms,amp} = 50 \\times 0.0707 = 3.54 V$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un moteur électrique est équipé d’un tachymètre analogique à génératrice tachymétrique délivrant une tension proportionnelle à la vitesse de rotation. La constante du tachymètre est $K_T=34\\;mV/(rad\\cdot s^{-1})$. Le rotor atteint une vitesse cible en $t=5,5\\;s$, la tension mesurée à régime permanent est $U_T=7,65\\;V$.
1. Calculez la vitesse angulaire du rotor à régime permanent.
2. Calculez l’accélération angulaire moyenne durant la montée en vitesse.
3. Si la charge sur l’arbre augmente, la tension chute à $6,20\\;V$. Calculez la nouvelle vitesse de rotation et la variation relative de la vitesse (en %).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse angulaire à régime permanent.
1. Formule générale : $U_T = K_T \\omega$
2. Remplacement : $\\omega = \\frac{U_T}{K_T} = \\frac{7,65}{0,034}$
3. Calcul : $\\omega = 225\\;rad\\cdot s^{-1}$
4. Résultat final : $\\boxed{225\\;rad\\cdot s^{-1}}$
Question 2 : Accélération angulaire moyenne.
1. Formule générale : $\\alpha = \\frac{\\Delta\\omega}{\\Delta t}$
2. Remplacement : $\\alpha = \\frac{225}{5,5}$
3. Calcul : $\\alpha = 40,91\\;rad\\cdot s^{-2}$
4. Résultat final : $\\boxed{40,9\\;rad\\cdot s^{-2}}$
Question 3 : Nouvelle vitesse et variation relative.
1. Formule : $\\omega' = \\frac{U_T'}{K_T}$, $\\frac{\\omega' - \\omega}{\\omega}\\times100\\%$
2. Remplacement : $\\omega' = \\frac{6,20}{0,034} = 182,35\\;rad\\cdot s^{-1}$
Variation relative : $\\frac{182,35 - 225}{225}\\times100 = -18,9\\%$
3. Calcul : $\\omega' = 182,4\\;rad\\cdot s^{-1}\\text{ et }-18,9\\%$
4. Résultat final : $\\boxed{182,4\\;rad\\cdot s^{-1}}$ et $\\boxed{-18,9\\%}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "On utilise un tachymètre numérique à capteur optique pour mesurer la vitesse de rotation d’un disque équipé de $N=36$ encoches. Un microcontrôleur lit le signal sur une durée $T=0,125\\;s$. Il détecte $n=18$ impulsions sur l’intervalle.
1. Calculez la fréquence de rotation instantanée en tours par minute.
2. Si le disque accélère et que le prochain comptage donne $n=25$ impulsions pendant $0,125\\;s$, calculez l’augmentation de la vitesse en radian par seconde.
3. Si la résolution du comptage limite l’incertitude à 1 imp/s, quelle est l’incertitude relative sur la mesure en t/min lors du premier comptage ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Fréquence de rotation instantanée.
1. Formule : $n=N_{imp}\\times f_{rot}\\times T$ donc $f_{rot} = \\frac{n}{N\\cdot T}$, puis $N_{tours/min}=f_{rot}\\times 60$
2. Remplacement : $f_{rot} = \\frac{18}{36\\times0,125}=4\\;tr/s$, $N_{tours/min}=4\\times 60=240\\;tours/min$
3. Calcul :$f_{rot}=4\\;tr/s$ et $240\\;tours/min$
4. Résultat final : $\\boxed{240\\;tours/min}$
Question 2 : Augmentation de vitesse.
1. Formule : nouvelle vitesse angulaire $\\omega=2\\pi f_{rot}$, puis $\\Delta \\omega = \\omega_2-\\omega_1$
Pour $n=25\\rightarrow f_{rot,2}=\\frac{25}{36\\times0,125}=5,56\\;tr/s$
2. Remplacement : $\\omega_1=2\\pi\\times4=25,13\\;rad/s$, $\\omega_2=2\\pi\\times5,56=34,92\\;rad/s$, $\\Delta\\omega=9,79\\;rad/s$
3. Calcul : $\\Delta \\omega=34,92-25,13=9,79\\;rad/s$
4. Résultat final : $\\boxed{9,79\\;rad/s}$
Question 3 : Incertitude relative.
1. Formule : $\\Delta n=1$ donc $\\Delta f_{rot}=\\frac{1}{N\\cdot T}=\\frac{1}{36\\times0,125}=0,222\\;tr/s$
Incertitude relative sur la mesure t/min : $\\frac{0,222}{4}\\times100=5,56\\%$
2. Résultat final : $\\boxed{5,6\\%}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un asservissement industriel utilise un détecteur à effet Hall digital pour compter les fronts générés par une roue dentée synchronisée à un arbre moteur. La roue possède $N=48$ dents, le système détecte $432$ fronts en $t=45\\;s$.
1. Calculez la vitesse moyenne de l’arbre (en tours/min).
2. Si l’on observe une accélération linéaire du régime sur cette durée, la vitesse angulaire au terme de la mesure est $25,6\\;rad/s$. Calculer la vitesse initiale (en rad/s).
3. Sachant que chaque dent engendre un front pour une résolution d’échantillonnage $\\Delta t=0,0015\\;s$, déterminez la résolution temporelle minimale atteignable pour une précision d’un tour.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse moyenne de l’arbre.
1. Formule : nombre de tours $N_{tours}=\\frac{432}{48}=9$, durée $t=45\\;s$
Vitesse moyenne : $n=\\frac{9}{45}=0,2\\;tr/s$, $n_{min}=0,2\\times60=12\\;tr/min$
2. Résultat final : $\\boxed{12\\;tr/min}$
Question 2 : Vitesse initiale.
1. Formule de l'accélération angulaire linéaire : $\\alpha=\\frac{\\omega_f-\\omega_0}{t}$, $\\omega_{moy}=\\frac{\\omega_f+\\omega_0}{2}$, $\\omega_{moy}=2\\pi n$
Remplacement : $n=0,2\\;tr/s$ donc $\\omega_{moy}=1,257\\;rad/s$
Résolution : $1,257=\\frac{25,6+\\omega_0}{2}\\rightarrow\\omega_0=2\\times1,257-25,6=-23,09\\;rad/s$ (sens décroissant)
2. Résultat final : $\\boxed{-23,1\\;rad/s}$
Question 3 : Résolution temporelle minimale.
1. Formule : une révolution = $48$ dents donc $48$ fronts, $\\Delta t_{min}=48\\times\\Delta t=48\\times0,0015=0,072\\;s$
2. Résultat final : $\\boxed{72\\;ms}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique basé sur une dynamo tachymétrique génère une tension proportionnelle à la vitesse de rotation : $V_{tach} = k_t \\, n$, où $k_t = 22\\ \\text{mV}/(\\text{tr}/\\text{min})$. L’appareil mesure une tension de $V_{tach} = 4,62\\ \\text{V}$ lors d’une expérience.\n1) Calculez la vitesse de rotation de l’axe, en tr/min.\n2) Déterminez la variation de vitesse si la tension augmente à $5,54\\ \\text{V}$.\n3) Calculez la constante de temps du système si la bande passante mesurée du tachymètre est de $42\\ \\text{Hz}$ (modélisé par un premier ordre).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Vitesse de rotation
Formule générale : $n = \\dfrac{V_{tach}}{k_t}$
Remplacement : $V_{tach} = 4,62\\ \\text{V}, k_t = 22\\ \\text{mV}/(\\text{tr}/\\text{min}) = 0,022\\ \\text{V}/(\\text{tr}/\\text{min})$
$n = \\dfrac{4,62}{0,022} = 210\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Résultat final : $n = 210\\ \\text{tr}/\\text{min}$
2) Variation de vitesse pour $V_{tach} = 5,54\\ \\text{V}$
$n_{2} = \\dfrac{5,54}{0,022} = 252\\ \\text{tr}/\\text{min}$
$\\Delta n = 252 - 210 = 42\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Résultat final : $\\Delta n = 42\\ \\text{tr}/\\text{min}$
3) Constante de temps
Relation bande passante/constante de temps, (premier ordre) : $f_c = \\dfrac{1}{2\\pi \\tau}$
Remplacement : $f_c = 42\\ \\text{Hz}$
$\\tau = \\dfrac{1}{2\\pi\\times42} = \\dfrac{1}{263,89} = 0,00379\\ \\text{s}$
Résultat final : $\\tau = 3,8\\ \\text{ms}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique utilise un disque de $N=120$ fentes détectées par un capteur optique. Une logique compte $n_{imp} = 384\\ \\text{impulsions}$ sur un intervalle d’échantillonnage de $t_{mes}=6\\ \\text{s}$.\n1) Calculez la vitesse moyenne de rotation (en tr/min).\n2) Déterminez la résolution minimale possible du système (en tr/min).\n3) Si la fréquence d’échantillonnage passe à $t_{mes}=2\\ \\text{s}$, calculez la nouvelle résolution minimale.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Vitesse moyenne de rotation
Nombre de tours : $N_{tr} = n_{imp}/N$
Remplacement : $n_{imp} = 384, N=120$
$N_{tr}=384/120=3,2$
Sur $t_{mes}=6\\ \\text{s}$, tours/min : $n = (3,2/6)\\times60=32\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Résultat final : $n = 32\\ \\text{tr}/\\text{min}$
2) Résolution minimale système
Une impulsion sur $t_{mes}$ : $\\Delta N_{tr} = 1/N$ ; en tours/min : $\\delta n = (1/120)\\times(60/6)=0,0833\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Résultat final : $\\delta n = 0,083\\ \\text{tr}/\\text{min}$
3) Résolution minimale pour $t_{mes}=2\\ \\text{s}$
$\\delta n = (1/120)\\times(60/2)=0,25\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Résultat final : $\\delta n = 0,25\\ \\text{tr}/\\text{min}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un capteur de vitesse numérique basé sur effet Hall délivre une impulsion à chaque tour d’un arbre moteur. Sur un intervalle de $T_{mes}=1,5\\ \\text{s}$, le microcontrôleur compte $N_{imp}=68$ impulsions.\n1) Calculez la vitesse instantanée en tours par minute.\n2) Déterminez la période du signal d’impulsion pour une vitesse de $4200\\ \\text{tr}/\\text{min}$.\n3) Si on souhaite une résolution meilleure que $0,5\\ \\text{tr}/\\text{min}$, calculez le temps d’acquisition minimal nécessaire.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Vitesse instantanée
Nombre de tours sur $T_{mes}=1,5\\ \\text{s}$ : $N_{tr}=N_{imp}=68$
Vitesse : $n=(68/1,5)\\times60=2720\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Résultat final : $n=2720\\ \\text{tr}/\\text{min}$
2) Période du signal pour $4200\\ \\text{tr}/\\text{min}$
1 tour = 1 impulsion : $f = 4200/60 = 70\\ \\text{Hz}$, $T=1/70=0,0143\\ \\text{s}=14,3\\ \\text{ms}$
Résultat final : $T=14,3\\ \\text{ms}$
3) Temps d'acquisition résolution $0,5\\ \\text{tr}/\\text{min}$
Formule : $\\delta n = 60/T_{mes}$, $T_{mes}=60/0,5=120\\ \\text{s}$
Résultat final : $T_{mes}=120\\ \\text{s}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique basé sur une dynamo tachymétrique délivre une tension proportionnelle à la vitesse de rotation du moteur : $V_{sortie} = K_{tac} \\cdot N$.\nLe coefficient de tachymétrie est $K_{tac} = 40~mV{/}tr/min$. On mesure une tension de sortie de $5,2~V$.\n1. Calculez la vitesse de rotation du moteur.\n2. Si la charge augmente et le moteur ralentit à $3200~tr/min$, calculez la nouvelle tension.\n3. Déterminez la variation de tension pour une variation de vitesse de $150~tr/min$ autour de la position mesurée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Vitesse de rotation pour $V_{sortie} = 5,2~V$
1. Formule : $N = \\frac{V_{sortie}}{K_{tac}}$
2. Remplacement : $V_{sortie}=5,2~V$, $K_{tac}=40~mV/tr/min=0,040~V/tr/min$
3. Calcul : $N = \\frac{5,2}{0,040} = 130~tr/min$
4. Résultat : $N = 130~tr/min$.
Q2 : Nouvelle tension pour $N = 3200~tr/min$
1. Formule : $V_{sortie} = K_{tac} \\cdot N$
2. Remplacement : $V_{sortie} = 0,040 \\times 3200 = 128~V$
4. Résultat : $V_{sortie} = 128~V$.
Q3 : Variation pour un changement de $150~tr/min$
1. Formule : $\\Delta V = K_{tac} \\cdot \\Delta N$
2. Remplacement : $\\Delta V = 0,040 \\times 150 = 6~V$
4. Résultat : Variation de tension $6~V$ pour 150~tr/min.
",
"id_category": "5",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un capteur numérique à effet Hall délivre une impulsion numérique à chaque tour d’arbre. Un microcontrôleur échantillonne les signaux sur une fenêtre de $250~ms$.\n1. Si l’on compte $60$ impulsions pendant la fenêtre d’acquisition, calculez la vitesse de rotation en tr/min.\n2. Pour une fréquence de comptage de $180~Hz$, déduisez la vitesse en tr/min.\n3. Avec un système à $p = 4$ impulsions par tour, calculez la vitesse réelle pour un comptage de $100$ impulsions en $500~ms$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Vitesse pour $60$ impulsions en $250~ms$
1. Formule : $N = \\frac{n \\times 60}{\\Delta t}$ où $n$ = nombre d'impulsions, $\\Delta t$ en s
2. Remplacement : $N = \\frac{60 \\times 60}{0,25} = 14\\ 400~tr/min$
4. Résultat : $N = 14\\ 400~tr/min$.
Q2 : Pour fréquence de comptage $f=180~Hz$
1. Formule : $N = f \\times 60$
2. Calcul : $N = 180 \\times 60 = 10\\ 800~tr/min$
4. Résultat : $N = 10\\ 800~tr/min$.
Q3 : Déduction pour $p=4$ impulsions par tour, $100$ impulsions en $500~ms$
1. Nombre de tours : $n_{tour}=\\frac{100}{4}=25$
2. Formule : $N = \\frac{n_{tour}\\times60}{0,5} = \\frac{25\\times60}{0,5}=3\\ 000~tr/min$
4. Résultat : $N = 3\\ 000~tr/min$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un codeur incrémental optique génère $N_{pulses}=1024$ impulsions par tour.\nUne unité de comptage relève $25\\ 600$ impulsions en une durée d’$1,50~s$.\n1. Calculez la vitesse de rotation instantanée du moteur en tr/min.\n2. Déterminez la résolution angulaire du capteur (en degré).\n3. Pour une précision de mesure de $3$ pulsations, calculez l’écart d’angle en degré.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1 : Vitesse pour $25\\ 600$ impulsions en $1,5~s$, $1024$ impulsions/tour
1. Nombre de tours : $n_{tour} = \\frac{25\\ 600}{1024} = 25$
2. Formule : $N = \\frac{n_{tour}\\times60}{1,5} = \\frac{25\\times60}{1,5}=1\\ 000~tr/min$
4. Résultat : $N=1\\ 000~tr/min$.
Q2 : Résolution angulaire du capteur
1. Formule : $\\theta_{res} = \\frac{360^\\circ}{N_{pulses}}$
2. Calcul : $\\theta_{res} = \\frac{360}{1024} = 0,3516^\\circ$
4. Résultat : $0,352^\\circ{/}pulse$.
Q3 : Ecart angulaire pour $3$ impulsions
1. Formule : $\\Delta \\theta = 3 \\times \\theta_{res} = 3 \\times 0,3516 = 1,055^\\circ$
4. Résultat : $\\Delta \\theta = 1,06^\\circ$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique électromagnétique utilise une bobine enroulée autour d’un axe tournant. Le rotor tourne à une vitesse de $n = 3\\,000~\\mathrm{tr/min}$ et la bobine présente $N = 600$ spires soumises à un flux magnétique de $\\Phi = 0.08~\\mathrm{mWb}$.\n\n1. Calculez la tension induite pour cette vitesse de rotation.\n2. Si la résistance interne de la bobine est $R = 18~\\Omega$, calculez le courant fourni au voltmètre pour cette vitesse.\n3. Déterminez la puissance mesurée par le voltmètre.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension induite à $n = 3\\,000~\\mathrm{tr/min}$ :
Formule : $E = N \\Phi \\omega$, $\\omega = \\frac{2\\pi n}{60}$
Remplacement : $\\omega = \\frac{2\\pi \\times 3,000}{60} = 314.16~\\mathrm{rad/s}$
$E = 600 \\times 0.08 \\times 10^{-3} \\times 314.16 = 600 \\times 0.00008 \\times 314.16 = 0.048 \\times 314.16 = 15.08~\\mathrm{V}$
Résultat final : $E = 15.08~\\mathrm{V}$
\n\n2. Courant fourni au voltmètre :
Formule : $I = \\frac{E}{R}$
Remplacement : $I = \\frac{15.08}{18} = 0.838~\\mathrm{A}$
Résultat final : $I = 0.84~\\mathrm{A}$
\n\n3. Puissance mesurée par le voltmètre :
Formule : $P = E \\cdot I$
Remplacement : $P = 15.08 \\times 0.838 = 12.63~\\mathrm{W}$
Résultat final : $P = 12.63~\\mathrm{W}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique est réalisé avec un capteur optique incrémental qui génère $p = 1,200$ impulsions par tour. Un signal d'entrée analogique de vitesse de rotation est converti à $f = 24,000~\\mathrm{impulsions/s}$ par l'électronique.\n\n1. Calculez la vitesse de rotation mesurée en $\\mathrm{tr/min}$.\n2. Si la durée d’acquisition est $T = 0.5~\\mathrm{s}$, combien d’impulsions sont accumulées pour cette période ?\n3. Pour une mesure réalisée à $2,800~\\mathrm{tr/min}$, quelle est la fréquence du signal obtenue en sortie du capteur ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse de rotation mesurée :
Formule : $n = \\frac{f \\times 60}{p}$
Remplacement : $n = \\frac{24,000 \\times 60}{1,200} = \\frac{1,440,000}{1,200} = 1,200~\\mathrm{tr/min}$
Résultat final : $n = 1,200~\\mathrm{tr/min}$
\n\n2. Nombre d'impulsions sur $0.5~\\mathrm{s}$ :
Formule : $N_{tot} = f \\times T$
Remplacement : $N_{tot} = 24,000 \\times 0.5 = 12,000$
Résultat final : $N_{tot} = 12,000~\\mathrm{impulsions}$
\n\n3. Fréquence du signal pour $2,800~\\mathrm{tr/min}$ :
Formule : $f = n \\frac{p}{60}$
Remplacement : $f = 2,800 \\times \\frac{1,200}{60} = 2,800 \\times 20 = 56,000~\\mathrm{Hz}$
Résultat final : $f = 56,000~\\mathrm{impulsions/s}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique utilise un capteur à effet Hall qui délivre une impulsion à chaque passage d’aimant. La roue possède $N = 36$ aimants. Le chronomètre donne un intervalle de temps $\\Delta t = 18~\\mathrm{ms}$ entre deux passages d’aimants consécutifs.\n\n1. Calculez la vitesse de rotation instantanée en $\\mathrm{tr/min}$.\n2. Si le capteur délivre $150~\\mathrm{impulsions}$ en $2~\\mathrm{s}$, quelle est la vitesse moyenne ?\n3. Pour une roue à $60~\\mathrm{aimants}$ avec l’intervalle de $9~\\mathrm{ms}$, calculez la nouvelle vitesse de rotation.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse instantanée :
À chaque passage d’aimant, il s’écoule $18~\\mathrm{ms}$; pour un tour, $T_{tour} = N \\Delta t = 36 \\times 0.018 = 0.648~\\mathrm{s}$
Formule : $n = \\frac{60}{T_{tour}} = \\frac{60}{0.648} = 92.59~\\mathrm{tr/min}$
Résultat final : $n = 92.6~\\mathrm{tr/min}$
\n\n2. Vitesse moyenne pour $150~\\mathrm{impulsions}$ en $2~\\mathrm{s}$ :
Formule : nombre de tours, $N_{tour} = \\frac{150}{36} = 4.1667$, $n = \\frac{4.1667}{2} \\times 60 = 2.0833 \\times 60 = 125~\\mathrm{tr/min}$
Résultat final : $n = 125~\\mathrm{tr/min}$
\n\n3. Nouvelle vitesse pour $60~\\mathrm{aimants}$ et $9~\\mathrm{ms}$ :
$T_{tour} = 60 \\times 0.009 = 0.54~\\mathrm{s}$, $n = \\frac{60}{0.54} = 111.11~\\mathrm{tr/min}$
Résultat final : $n = 111.1~\\mathrm{tr/min}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique délivre une tension proportionnelle à la vitesse de rotation d’un arbre motorisé. Sa constante de sensibilité est $K = 23~mV/(tr/min)$. Pour une expérience donnée, la tension mesurée est $U = 4,60~V$.
• Q1. Calculez la vitesse de rotation de l’arbre en tours/minute.
• Q2. Si la tension chute à $U = 3,35~V$, calculez la variation absolue et relative de la vitesse.
• Q3. Lors d’une accélération, la tension passe de $2,50~V$ à $4,00~V$ en $0,40~s$. Calculez l’accélération moyenne en tr/min².",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1. Vitesse de rotation :
1. Formule : $U = K \\cdot N$ où $N$ est la vitesse en tr/min.
2. Remplacement : $U = 4,60~V = 4600~mV ; K = 23~mV/(tr/min)$
3. Calcul : $N = \\frac{U}{K} = \\frac{4600}{23} = 200~tr/min$
4. Résultat final : $N = 200~tr/min$
Q2. Variation de vitesse :
1. Formule : $\\Delta N = N_{final} - N_{init}$ ; $N_{final} = \\frac{3350}{23} = 145,7~tr/min$
$\\Delta N = 145,7 - 200 = -54,3~tr/min$
Variation relative : $\\frac{-54,3}{200} = -0,271 = -27,1~\\%$
4. Résultat final : variation absolue $-54,3~tr/min$, relative $-27,1~\\%$
Q3. Accélération moyenne :
1. Formule : $a = \\frac{\\Delta N}{\\Delta t}$, où $\\Delta N = \\frac{4000 - 2500}{23} = 65,2~tr/min$ , $\\Delta t = 0,40~s$
2. Calcul : $a = \\frac{65,2}{0,40} = 163~tr/min^2$
4. Résultat final : a = 163~tr/min^2$
",
"id_category": "5",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un capteur numérique basé sur un disque cranté possède $n = 60$ crans et tourne à une vitesse inconnue. Un microcontrôleur mesure $F = 1,25~kHz$ correspondant au nombre d’impulsions par seconde.
• Q1. Calculez la vitesse de rotation de l’arbre en tr/min.
• Q2. Si le disque accélère et la fréquence monte à $1,75~kHz$, calculez la variation de vitesse.
• Q3. Le système est limité à une fréquence de $2,4~kHz$. Calculez la vitesse maximale mesurable.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Q1. Vitesse de rotation :
1. Formule : $N = \\frac{60 F}{n}$
2. Remplacement : $F = 1,25~kHz = 1250~Hz ; n=60$
3. Calcul : $N = \\frac{60 \\times 1250}{60} = 1250~tr/min$
4. Résultat final : $N = 1250~tr/min$
Q2. Variation de vitesse :
1. Formule : $N_{final} = \\frac{60 \\times 1750}{60} = 1750~tr/min$
Variation absolue : $1750-1250=500~tr/min$
Variation relative : $\\frac{500}{1250} = 0,4 = 40~\\%$
4. Résultat final : variation absolue $500~tr/min$, relative $40~\\%$
Q3. Vitesse maximale à $F_{max} = 2,4~kHz$ :
1. Formule : $N_{max} = \\frac{60 \\times 2400}{60}=2400~tr/min$
4. Résultat final : $N_{max} = 2400~tr/min$
",
"id_category": "5",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 1 : Tachymètre analogique à génératrice à aimant permanent\n\nUne génératrice tachymétrique est constituée d’un petit alternateur à aimant permanent. Sa tension de sortie est proportionnelle à la vitesse de rotation de l’arbre. Pour un modèle donné : $V_{out} = k \\cdot n$ avec $k = 44\\,mV/(tr/min)$.\nLa résistance de charge est $R_L = 5.2\\,k\\Omega$.\n\n1. Calculez la tension de sortie lorsque la vitesse est $1\\,200\\,tr/min$.\n2. Calculez le courant traversant la résistance de charge à cette vitesse.\n3. Déterminez la puissance électrique délivrée à la charge.Tachy analogique k=44mV/tr/min Arbre moteur R_L=5,2kΩ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension de sortie à $1\\,200\\,tr/min$ :
\nFormule : $V_{out} = k \\, n$
\nRemplacement : $V_{out} = 0.044 \\times 1,200 = 52.8\\,V$
\nRésultat final : $V_{out} = 52.8\\,V$
\n2. Courant dans la résistance de charge :
\nFormule : $I = V_{out}/R_L$
\nRemplacement : $I = 52.8 / 5,200 = 0.01015\\,A$
\nRésultat final : $I = 10.2\\,mA$
\n3. Puissance électrique délivrée à la charge :
\nFormule : $P = V_{out}^2 / R_L$
\nRemplacement : $P = (52.8)^2 / 5,200 = 2,788.84 / 5,200 = 0.536\\,W$
\nRésultat final : $P = 0.54\\,W$
",
"id_category": "5",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 2 : Tachymètre analogique à effet Hall\n\nUn tachymètre à effet Hall délivre un signal analogique proportionnel à la vitesse angulaire. La tension de sortie est donnée par $V_{Hall} = S \\cdot \\omega$ avec $S = 2.2\\,mV/(rad/s)$. La vitesse angulaire maximale est $\\omega_{max} = 210\\,rad/s$.\nUn amplificateur d’instrumentation de gain $G = 52$ est placé après le capteur.\n\n1. Calculez la tension de sortie directe du capteur pour la vitesse maximale.\n2. Calculez la tension amplifiée.\n3. Déterminez la vitesse minimale détectable si la tension d’entrée min. au convertisseur analogique-numérique relié est de $V_{min}= 0.16\\,V$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension directe du capteur pour $\\omega_{max} = 210\\,rad/s$ :
\nFormule : $V_{Hall} = S \\, \\omega$
\nRemplacement : $V_{Hall} = 0.0022 \\times 210 = 0.462\\,V$
\nRésultat final : $V_{Hall,max} = 0.462\\,V$
\n2. Tension à la sortie ampli :
\nFormule : $V_{out} = V_{Hall} \\times G$
\nRemplacement : $V_{out} = 0.462 \\times 52 = 24.024\\,V$
\nRésultat final : $V_{out,max} = 24.0\\,V$
\n3. Vitesse minimale détectable pour $V_{min}=0.16\\,V$ :
\nFormule : $V_{min} = V_{Hall} \\times G \\rightarrow \\omega_{min} = \\frac{V_{min}}{S \\times G}$
\n$S \\times G = 0.0022 \\times 52 = 0.1144$
\n$\\omega_{min} = 0.16 / 0.1144 = 1.399\\,rad/s$
\nRésultat final : $\\omega_{min} = 1.40\\,rad/s$
",
"id_category": "5",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 3 : Tachymètre numérique par détection de fronts (ICP sur microcontrôleur)\n\nUn microcontrôleur compte les fronts montants d’un capteur à effet Hall sur un axe rotatif. Le capteur génère $n_p = 8$ impulsions par tour. \nLe microcontrôleur échantillonne sur $T_{mes} = 0.25\\,s$ et compte $N = 93$ impulsions.\n\n1. Calculez le nombre de tours par minute mesuré.\n2. Sachant la résolution du système (liée à $T_{mes}$), quelle est la plus petite variation de vitesse détectable ?\n3. Sachant la vitesse précédente, combien d’impulsions seraient comptées sur une période d’échantillonnage de $1\\,s$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul du nombre de tours par minute :
\nFormule : $f_r = (N/n_p)/T_{mes}$; vitesse en tours/min : $n = f_r \\times 60$
\nRemplacement : $N = 93$; $n_p = 8$; $T_{mes} = 0.25$
\n$f_r = (93 / 8) / 0.25 = 11.625 / 0.25 = 46.5\\,tr/s$; $n = 46.5 \\times 60 = 2,790\\,tr/min$
\nRésultat final : $n_{mes} = 2,790\\,tr/min$
\n2. Résolution minimale détectable (variation tr/min) :
\nFormule : 1 impulsion équivaut à $\\Delta n = (60/n_p)/T_{mes}$
\nRemplacement : $n_p=8$; $T_{mes} = 0.25$
\n$\\Delta n = (60/8)/0.25 = 7.5 / 0.25 = 30\\,tr/min$
\nRésultat final : $\\Delta n = 30\\,tr/min$
\n3. Nombre d’impulsions sur $1\\,s$ :
\nFormule : $N^{\\prime} = n_{mes} / 60 \\times n_p \\times T_{mes}^{\\prime}$
\nRemplacement : $n_{mes} = 2,790$; $n_p = 8$; $T_{mes}^{\\prime} = 1\\,s$
\n$N^{\\prime} = (2790/60) \\times 8 \\times 1 = 46.5 \\times 8 = 372$
\nRésultat final : $N^{\\prime} = 372\\,impulsions$
",
"id_category": "5",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique à génératrice délivre une tension proportionnelle à la vitesse de rotation selon $U = k_t \\cdot N$ où $U$ est en volts, $N$ en tours/minute, et $k_t = 0,035~\\mathrm{V\\cdot min/tr}$.\nLors d’un essai, la tension mesurée est $U = 6,65~\\mathrm{V}$.\n1. Calculez la vitesse de rotation correspondante.\n2. En supposant que la charge prélevée est $R = 5~\\mathrm{k\\Omega}$, quelle puissance instantanée est disponible à la sortie ?\n3. Si la fluctuation de vitesse est de $\\pm 45~\\mathrm{tr/min}$ autour de la vitesse nominale mesurée, calculez l'intervalle de tension délivrée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse de rotation à partir de la tension
1. Formule : $N = \\frac{U}{k_t}$
2. Remplacement : $U = 6,65~\\mathrm{V}$, $k_t = 0,035~\\mathrm{V\\cdot min/tr}$
3. Calcul : $N = \\frac{6,65}{0,035}=190~\\mathrm{tr/min}$
4. Résultat final : $N = 190~\\mathrm{tr/min}$
Question 2 : Puissance disponible sur la charge
1. Formule : $P=\\frac{U^2}{R}$
2. Remplacement : $U=6,65~\\mathrm{V}$, $R=5~\\mathrm{k\\Omega}=5000~\\Omega$
3. Calcul : $P=\\frac{6,65^2}{5000}=\\frac{44,2225}{5000}=0,00884~\\mathrm{W}=8,84~\\mathrm{mW}$
4. Résultat final : $P=8,84~\\mathrm{mW}$
Question 3 : Intervalle de tension livrée sous fluctuation de vitesse
1. Vitesse minimale : $190 - 45 = 145~\\mathrm{tr/min}$
2. Vitesse maximale : $190 + 45 = 235~\\mathrm{tr/min}$
3. Tension min : $U_{min} = k_t \\cdot 145 = 0,035 \\cdot 145 = 5,08~\\mathrm{V}$
4. Tension max : $U_{max} = 0,035 \\cdot 235 = 8,23~\\mathrm{V}$
5. Résultat final : $U \\in [5,08~\\mathrm{V} ; 8,23~\\mathrm{V}]$
Interprétation : Ce capteur analogique offre une corrélation directe entre tension de sortie et régime, avec une bonne sensibilité aux variations.
",
"id_category": "5",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique fonctionne avec un disque codé comportant $n = 36$ encoches et un capteur optique.\nLa durée d’acquisition d’un front montant est notée $\\tau = 1~\\mathrm{ms}$ pour $f = 500~\\mathrm{Hz}$ de rotation.\n1. Calculez la vitesse de rotation en tr/min du disque à cette vitesse.\n2. Si l’acquisition nécessite au minimum 2 fronts successifs, quelle est la résolution temporelle (délai minimum entre deux mesures distinctes) ?\n3. Si la fréquence de panneau atteint $2~\\mathrm{kHz}$, calculez la nouvelle vitesse de rotation et le nombre d’impulsions enregistrées par tour.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse de rotation du disque
1. Formule : Le disque génère $n$ impulsions par tour, donc fréquence de rotation (en tour/s): $f_{rot} = \\frac{f}{n}$, $N (tr/min) = 60 f_{rot}$
2. Remplacement : $f=500~\\mathrm{Hz}$, $n=36$
3. Calcul : $f_{rot} = \\frac{500}{36} = 13,89~\\mathrm{tr/s}$, $N = 60\\times 13,89 = 833~\\mathrm{tr/min}$
4. Résultat final : $N=833~\\mathrm{tr/min}$
Question 2 : Résolution temporelle
1. Temps entre impulsions :$\\Delta t = \\frac{1}{f} = 2~\\mathrm{ms}$
2. Acquisition : 2 fronts → $\\Delta t_{min} = 2 \\times \\Delta t = 4~\\mathrm{ms}$
3. Résultat final : résolution temporelle de $4~\\mathrm{ms}$
Question 3 : Vitesse et nombre d’impulsions à 2 kHz
1. Formule : $f=2000~\\mathrm{Hz}$
2. Calculs : $f_{rot} = \\frac{2000}{36} = 55,56~\\mathrm{tr/s}$, $N=3333~\\mathrm{tr/min}$
3. Par tour : $n_{imp} = 36$ (panneau : nombre d’impulsions par tour reste identique)
4. Résultat : $N=3333~\\mathrm{tr/min}$ ; $n_{imp}=36$
Interprétation : Ce tachymètre numérique permet une mesure rapide et précise, adaptée aux hautes vitesses de rotation.
",
"id_category": "5",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique à génératrice tachymétrique délivre une tension proportionnelle à la vitesse de rotation d’un arbre mécanique. Le coefficient de proportionnalité est $K = 28\\,\\text{mV.tr}^{-1}\\text{.min}$. \n1) Calculez la tension délivrée par la génératrice pour une vitesse de $\\Omega = 2350\\,\\text{tr/min}$.\n2) Si la charge reliée à la sortie consomme $I = 50\\,\\text{mA}$, calculez la puissance utile fournie par la génératrice.\n3) La résistance interne est $R_i = 120\\,\\Omega$. Déterminez la perte Joule dans la génératrice à cette vitesse.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Tension délivrée
Formule : $U = K \\Omega$
Remplacement : $U = 28 \\times 10^{-3} \\times 2350$
Calcul : $U = 65,8$ V
Résultat : $65,8$ V
2) Puissance utile (charge)
Formule : $P_{utile} = U \\cdot I$
Remplacement : $P_{utile} = 65,8 \\times 0,05$
Calcul : $P_{utile} = 3,29$ W
Résultat : $3,29$ W
3) Perte Joule génératrice
Formule : $P_{Joule} = R_i \\cdot I^2$
Remplacement : $P_{Joule} = 120 \\times (0,05)^2$
Calcul : $P_{Joule} = 120 \\times 0,0025 = 0,3$ W
Résultat : $0,3$ W
",
"id_category": "5",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique capte les fronts d’un disque codeur optique de $N = 250$ fentes. La carte de comptage mesure le nombre d’impulsions reçues pendant une fenêtre de $T = 0,12\\,\\text{s}$. \n1) Pour une vitesse de $\\Omega = 1800\\,\\text{tr/min}$, combien d’impulsions sont comptées ?\n2) Quelle est la résolution en tr/min du dispositif dans cette fenêtre temporelle ?\n3) Si la lecture enregistre $3200$ impulsions dans $0,12\\,\\text{s}$, quelle est la vitesse mesurée (en tr/min) ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Nombre d’impulsions reçues
Nombre d’impulsions par tour : $N = 250$
Nombre de tours par seconde : $n = \\frac{1800}{60} = 30$ tr/s
Nombre de tours dans T : $n_T = 30 \\times 0,12 = 3,6$
Nombre d’impulsions dans T : $Impulsions = N \\times n_T = 250 \\times 3,6 = 900$
Résultat : $900$ impulsions
2) Résolution du dispositif
Un front de moins ou de plus donne :\n $\\Delta n = 1$ impulsion sur $(N \\times T_r)$ soit $\\Delta \\Omega = \\frac{60}{N \\times T}$ tr/min\n
Remplacement : $\\Delta \\Omega = \\frac{60}{250 \\times 0,12} = \\frac{60}{30} = 2$ tr/min
Résultat : $2$ tr/min
3) Vitesse sur 3200 impulsions
Nombre de tours pour 3200 impulsions : $n_T = \\frac{3200}{250} = 12,8$ tours
Donc par seconde : $f = \\frac{12,8}{0,12} = 106,67$ tr/s
En tr/min : $\\Omega = 106,67 \\times 60 = 6400$ tr/min
Résultat : $6400$ tr/min
",
"id_category": "5",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un moteur synchrone est équipé d’un codeur digital délivrant $512$ impulsions par tour. Ce codeur est connecté à une interface numérique capable de mesurer l’intervalle de temps entre deux impulsions avec une précision de $1\\;\\mu\\text{s}$. \n1) Pour un intervalle mesuré de $245\\,\\mu\\text{s}$, calculez la vitesse de rotation instantanée.\n2) Quel est l’erreur maximale sur la valeur mesurée de la vitesse à cause de la résolution temporelle ?\n3) Si le codeur fonctionne jusqu’à $12000$ tr/min, quelle est la fréquence maximale des impulsions à l’interface ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1) Vitesse instantanée
Nombre d’impulsions par tour : $N = 512$
Intervalle : $\\Delta t = 245 \\;\\mu\\text{s} = 245 \\times 10^{-6}$ s
Période complète d’un tour : $T_{tour} = N \\Delta t = 512 \\times 245 \\times 10^{-6} = 0,12544$ s
Fréquence de rotation : $f = \\frac{1}{T_{tour}} = 7,97$ tr/s
Vitesse instantanée : $\\Omega = 7,97 \\times 60 = 478$ tr/min
Résultat : $478$ tr/min
2) Erreur maximale par résolution 1 μs
Variation minimale d’intervalle : $\\Delta (\\Delta t) = 1\\;\\mu s = 1 \\times 10^{-6}$ s
Erreur sur vitesse : propageant d $\\frac{\\partial \\Omega}{\\partial (\\Delta t)} = -\\frac{60}{N (\\Delta t)^2}$
Valeur numérique : $\\Delta \\Omega = \\left| -\\frac{60}{512 \\times (245 \\times 10^{-6})^2} \\times 1 \\times 10^{-6}\\right|$
$Denominator: (245e-6)^2 = 6,0025e-8$
$\\Delta \\Omega = \\frac{60 \\times 10^{-6}}{512 \\times 6,0025\\times 10^{-8}} = \\frac{60 \\times 10^{-6}}{3,0733\\times 10^{-5}} = 0,00195$ tr/min
Résultat : $0,002$ tr/min
3) Fréquence maximale des impulsions
À $12000$ tr/min : $f_{maximp} = \\frac{12000}{60} \\times 512 = 200 \\times 512 = 102400$ Hz
Résultat : $102400$ Hz
",
"id_category": "5",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique à générateur à aimant (type dynamo tachymétrique) délivre une tension proportionnelle à la vitesse de rotation du moteur. Sa constante de sensibilité est $K_t = 52\\ \\mathrm{mV/(tr/min)}$.\n1. Le moteur tourne à $1420\\ \\mathrm{tr/min}$. Calculez la tension délivrée par le capteur.\n2. Ce signal est mesuré dans un système à impédance d'entrée de $R_{in} = 15\\ \\mathrm{k}\\Omega$. Calculez le courant fourni par le tachymètre et la puissance électrique délivrée au système de mesure.\n3. Lors d’une accélération, la vitesse passe de $900\\ \\mathrm{tr/min}$ à $2150\\ \\mathrm{tr/min}$ en $4\\ \\mathrm{s}$. Calculez la tension aux bornes du tachymètre à la fin de l’accélération et la pente moyenne du signal (variation de tension par seconde).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension délivrée à 1420 tr/min :
\\\n1. Formule générale : $ U = K_t N $
\\\n2. Remplacement : $ U = 52 \\times 1420 = 73\\,840\\ \\mathrm{mV} = 73.84\\ \\mathrm{V} $
\\\n3. Résultat : $ U = 73.84\\ \\mathrm{V} $
\\\n2. Courant fourni et puissance électrique :
\\\n1. Courant : $ I = \\frac{U}{R_{in}} = \\frac{73.84}{15\\,000} = 0.004923\\ \\mathrm{A} = 4.92\\ \\mathrm{mA} $
\\\n2. Puissance : $ P = U I = 73.84 \\times 0.004923 = 0.3636\\ \\mathrm{W} $
\\\n3. Résultat : $ I = 4.92\\ \\mathrm{mA},\\ P = 0.364\\ \\mathrm{W} $
\\\n3. Tension et pente moyenne après accélération :
\\\n1. Tension finale à 2150 tr/min : $ U_f = K_t N_f = 52 \\times 2150 = 111\\,800\\ \\mathrm{mV} = 111.8\\ \\mathrm{V} $
\\\n2. Variation de tension : $ \\Delta U = 111.8 - 46.8 = 65.0\\ \\mathrm{V} $ (car pour 900 tr/min : $ 52 \\times 900 = 46.8\\ \\mathrm{V} $)
\\\n3. Pente moyenne : $ S = \\frac{\\Delta U}{\\Delta t} = \\frac{65.0}{4} = 16.25\\ \\mathrm{V.s}^{-1} $
\\\n4. Résultat : $ U_f = 111.8\\ \\mathrm{V},\\ S = 16.25\\ \\mathrm{V.s}^{-1} $
",
"id_category": "5",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique à capteur à effet Hall produit un front logique à chaque passage d’un aimant fixé sur l’axe de rotation. Le microcontrôleur lit ces fronts sur une fenêtre d’échantillonnage de $T_{mes} = 0.200\\ \\mathrm{s}$. Le système fonctionne avec $N_{pp} = 6$ pôles magnétiques et délivre, pour un tour complet, $6$ impulsions.\n1. On compte $52$ impulsions pendant $T_{mes}$. Calculer la vitesse de rotation instantanée (en tr/min).\n2. Un nouveau relevé donne $30$ impulsions. Calculez la nouvelle vitesse, puis la variation moyenne de la vitesse entre les deux mesures (exprimée en tr/min/s).\n3. Pour une vitesse de rotation nominale de $1400\\ \\mathrm{tr/min}$, quelle est la résolution temporelle du système (intervalle minimal entre deux impulsions) ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse instantanée pour 52 impulsions en 0.2 s :
\\\n1. Formule générale : $ N = \\frac{impulsions}{N_{pp} \\cdot T_{mes}} \\cdot 60 $
\\\n2. Remplacement : $ N = \\frac{52}{6 \\cdot 0.2} \\cdot 60 = \\frac{52}{1.2} \\cdot 60 $
\\\n3. Calcul intermédiaire : $ \\frac{52}{1.2} = 43.333 $ ; $ 43.333 \\times 60 = 2\\,599.98 \\ \\mathrm{tr/min} $
\\\n4. Résultat : $ N = 2\\,600 \\ \\mathrm{tr/min} $
\\\n2. Vitesse avec 30 impulsions et variation moyenne :
\\\n1. Nouvelle vitesse : $ N' = \\frac{30}{1.2} \\cdot 60 = 25 \\times 60 = 1\\,500 \\ \\mathrm{tr/min} $
\\\n2. Variation moyenne : $ \\Delta N = 2\\,600 - 1\\,500 = 1\\,100 \\ \\mathrm{tr/min} $ \\\nSur 0.2 s : $ \\frac{1\\,100}{0.2} = 5\\,500 \\ \\mathrm{tr/min/s} $
\\\n3. Résultat : $ N' = 1\\,500 \\ \\mathrm{tr/min},\\ V_{moy} = 5\\,500 \\ \\mathrm{tr/min/s} $
\\\n3. Résolution temporelle à 1400 tr/min :
\\\n1. Fréquence de rotation : $ f_{rot} = \\frac{1400}{60}=23.33\\ \\mathrm{Hz} $
\\\n2. Fréquence impulsion : $ f_{imp} = N_{pp} \\times f_{rot} = 6 \\times 23.33 = 140.0 \\ \\mathrm{Hz} $
\\\n3. Intervalle minimal : $ T_{int} = \\frac{1}{f_{imp}} = \\frac{1}{140} = 7.14\\ \\mathrm{ms} $
\\\n4. Résultat : $ T_{int} = 7.14\\ \\mathrm{ms} $
",
"id_category": "5",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un capteur de vitesse numérique optique compte le passage de secteurs réfléchissants fixés sur un disque. Le disque a $n_{sect}=24$ secteurs et tourne à une fréquence instantanée de $f_{rot}=32\\ \\mathrm{Hz}$.\n1. Calculer le nombre d’impulsions générées en $3\\ \\mathrm{s}$.\n2. Après une mesure, la vitesse chute brutalement à $f_{rot}=7\\ \\mathrm{Hz}$ pendant $0.95\\ \\mathrm{s}$. Calculer le nombre exact d’impulsions durant cette phase.\n3. Le système utilise un microcontrôleur avec une mémoire tampon capable de stocker au maximum $500$ impulsions. Calculez la durée maximale du stockage en supposant un fonctionnement constant à la première fréquence.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Nombre d’impulsions pour 3 s à 32 Hz :
\\\n1. Formule générale : $ N_{imp} = n_{sect} \\times f_{rot} \\times t $
\\\n2. Remplacement : $ N_{imp} = 24 \\times 32 \\times 3 = 2\\,304 $
\\\n3. Résultat : $ N_{imp} = 2\\,304 $
\\\n2. Nombre d’impulsions à 7 Hz pendant 0.95 s :
\\\n1. Formule : $ N_{imp2} = n_{sect} \\times f_{rot2} \\times t_2 = 24 \\times 7 \\times 0.95 = 159.6 $
\\\n2. Arrondi à l’unité : $ N_{imp2} = 160 $
\\\n3. Résultat : $ N_{imp2} = 160 $
\\\n3. Durée maximale de stockage à 32 Hz :
\\\n1. Formule : $ t_{max} = \\frac{N_{buff}}{n_{sect} f_{rot}} $
\\\n2. Remplacement : $ t_{max} = \\frac{500}{24 \\times 32} = \\frac{500}{768} = 0.651\\ \\mathrm{s} $
\\\n3. Résultat : $ t_{max} = 0.651\\ \\mathrm{s} $
",
"id_category": "5",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 1 : Tachymètre analogique à génératrice - Exploitation et justesse\n\nUn tachymètre analogique est constitué d’une génératrice tachymétrique délivrant une tension proportionnelle à la vitesse de rotation selon $V = K_t \\cdot N$, où $K_t = 35\\ \\mathrm{mV\\cdot tr}^{-1}\\cdot \\mathrm{min}$ et $N$ la vitesse en tr/min. La résistance de charge est $R_L = 10\\ \\mathrm{k}\\Omega$. La vitesse réelle varie selon $N(t)=320+80\\sin(2\\pi t)$.\n\n1. Calculez la tension maximale délivrée par la génératrice.\n2. Déterminez la puissance maximale dissipée dans la résistance de charge.\n3. La sortie attaque un convertisseur analogique-numérique 12 bits, pleine échelle 10 V. Calculez la résolution de vitesse par bit.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension maximale délivrée
1. Formule :
$V_{max}=K_t N_{max}$
2. Données : $K_t=0.035\\ \\mathrm{V/tr}\\cdot\\mathrm{min}$, $N_{max}=320+80=400\\ \\mathrm{tr/min}$
$V_{max}=0.035\\times400=14\\ \\mathrm{V}$
3. Résultat final :
La tension maximale délivrée est $14\\ \\mathrm{V}$.
Question 2 : Puissance maximale dissipée dans la charge
1. Formule :
$P=\\frac{V_{max}^2}{R_L}$
2. $P=\\frac{14^2}{10000}=\\frac{196}{10000}=0.0196\\ \\mathrm{W}$
3. Résultat final :
La puissance maximale dissipée est $19.6\\ \\mathrm{mW}$.
Question 3 : Résolution par bit du CAN
1. Formule :
$\\text{Résol} = \\frac{10\\,\\mathrm{V}}{2^{12}-1}$
$N_{max,mesurable}=\\frac{10}{0.035}=286\\ \\mathrm{tr/min} <400 \\rightarrow il faudra atténuer ou choisir CAN adaptée$ (ici calcul sur 10 V pleine échelle, pour 12 bits)
2. $\\frac{10}{4095}=0.00244\\ \\mathrm{V}$. Chaque bit :
$\\Delta N=\\frac{0.00244}{0.035}=0.0697\\ \\mathrm{tr/min}$
3. Résultat final :
La résolution sur la vitesse est $0.07\\ \\mathrm{tr/min/bit}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 3 : Comptage numérique multi-impulse – Mesure sur engrenage rapide\n\nSur un axe, un engrenage comporte 87 dents et tourne à une fréquence de $f=34\\ \\mathrm{Hz}$. Un capteur à effet Hall délivre une impulsion à chaque dent détectée. Les impulsions sont comptées pendant $T_m=0,25\\ \\mathrm{s}$ pour évaluer la vitesse.\n\n1. Calculez le nombre total d’impulsions enregistrées durant la période.$\n2. En déduire la valeur numérique affichée de la vitesse de rotation instantanée en tr/min.$\n3. Un microcontrôleur cadencé à 2 MHz lit les impulsions. Donnez le temps minimal entre deux dents pouvant être résolu et la vitesse maximale mesurable (en tr/min) sans aliasing.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Nombre total d’impulsions
1. Formule :
$n=N_{dents}\\times f\\times T_m$
2. $N_{dents}=87,\\ f=34\\ \\mathrm{Hz},\\ T_m=0.25\\ \\mathrm{s}$
$n=87\\times34\\times0.25=87\\times8.5=739.5$
On compte un nombre entier : $740$
3. Résultat final :
Nombre total d’impulsions : $740$.
Question 2 : Vitesse affichée en tr/min
1. Nombre de tours correspondants : $n/n_{dents}=740/87=8.505$ sur 0,25s
On multiplie par $60/0.25=240$ pour ramener à la minute : $8.505\\times240=2041$
Formule directe :
$N_{tr/min}=\\frac{n\\times60}{N_{dents}\\times T_m}$
Calcul : $N_{tr/min}=\\frac{740\\times60}{87\\times0.25}=\\frac{44400}{21.75}=2041\\ \\mathrm{tr/min}$
3. Résultat final :
La vitesse affichée est $2041\\ \\mathrm{tr/min}$.
Question 3 : Temps minimal et vitesse max sans aliasing
1. Temps entre dents :$T_{dent}=\\frac{1}{2\\times10^6}=0.5\\ \\mu\\mathrm{s}$ (temps d’horloge microcontrôleur)
Vitesse maximale en dents/s : $1/(0.5\\times10^{-6})=2\\times10^6\\ \\mathrm{dents/s}$
Nombre de dents par tour : 87 -> $N_{max}=\\frac{2\\times10^6\\times60}{87}=1.38\\times10^6\\ \\mathrm{tr/min}$
3. Résultat final :
Temps minimal entre deux dents : $0.5\\ \\mu\\mathrm{s}$.
Vitesse de rotation maximale mesurable (sans aliasing) : $1.38\\times10^6\\ \\mathrm{tr/min}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre analogique basé sur la génération d’une tension proportionnelle à la vitesse angulaire est utilisé pour mesurer la vitesse de rotation d’un axe. Le capteur délivre une tension $V_{out} = K \\cdot \\omega$ où $K = 18~\\text{mV}/\\text{rad}\\cdot\\text{s}^{-1}$. L’axe entraîne le rotor d’un moteur dont l’inertie totale est $J = 0{,}009~\\text{kg}~\\text{m}^2$. \n\n1. Pour une tension mesurée de $V_{out} = 7,92~\\text{V}$, calculez la vitesse de rotation en rad/s et en tr/min.\n2. Si le moteur s’arrête en $2,7~\\text{s}$ à partir de cette vitesse, calculez le couple moyen de freinage si la décélération est uniforme.\n3. Déterminez la quantité totale d’énergie cinétique dissipée sous forme de chaleur lors de l’arrêt.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse de rotation (rad/s) et (tr/min)
Formule générale:
$V_{out} = K \\cdot \\omega$
Remplacement :
$\\omega = \\frac{V_{out}}{K}$
$K = 18 \\times 10^{-3}~\\text{V}/(\\text{rad}\\cdot\\text{s}^{-1})$
$\\omega = \\frac{7,92}{0,018} = 440~\\text{rad/s}$
Conversion en tr/min :
$f = \\frac{\\omega}{2\\pi}$ (tr/s) puis $f_{min} = f \\times 60$
$f = \\frac{440}{2\\pi} = 70,03~\\text{tr/s}$
$f_{min} = 70,03 \\times 60 = 4~202~\\text{tr/min}$
Résultat final :
$\\omega = 440~\\text{rad/s}$, $f = 4~202~\\text{tr/min}$
2. Couple moyen de freinage
Formule générale :
$\\Gamma = J \\cdot \\alpha$ où $\\alpha = \\frac{\\Delta\\omega}{\\Delta t}$
Remplacement :
$\\Delta\\omega = 0 - 440 = -440~\\text{rad/s},~\\Delta t = 2,7~\\text{s}$
$\\alpha = \\frac{-440}{2,7} = -162,96~\\text{rad/s}^2$
$\\Gamma = 0,009 \\times | -162,96 | = 1,47~\\text{N}\\cdot\\text{m}$
Résultat final :
$\\Gamma_{moyen} = 1,47~\\text{N}\\cdot\\text{m}$
3. Énergie cinétique dissipée
Formule générale :
$E_c = \\frac{1}{2} J \\omega^2$
Remplacement :
$E_c = 0,5 \\times 0,009 \\times 440^2$
$440^2 = 193~600$
$0,5 \\times 0,009 = 0,0045$
$E_c = 0,0045 \\times 193~600 = 871,2~\\text{J}$
Résultat final :
$E_{dissipée} = 871~\\text{J}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un tachymètre numérique détecte les fronts montants générés par un disque comportant $N = 64$ encoches équidistantes, solidaire d’un axe dont la vitesse de rotation doit être mesurée. Le microcontrôleur d’acquisition compte $n = 512$ fronts montants en un temps $\\Delta t = 5,25~\\text{s}$.\n\n1. Calculez la vitesse angulaire instantanée de l’axe en rad/s.\n2. Calculez la fréquence de rotation en tours par minute.\n3. Si la vitesse du disque augmente de $14\\%$ en $0,75~\\text{s}$, calculez l’accélération angulaire moyenne.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse angulaire instantanée
Nombre de tours : $n_{tr} = \\frac{n}{N}$
$n_{tr} = \\frac{512}{64} = 8$
Période totale :$\\Delta t = 5,25~\\text{s}$
Fréquence : $f = \\frac{8}{5,25} = 1,524~\\text{tr/s}$
Vitesse angulaire :
$\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\times 1,524 = 9,581~\\text{rad/s}$
Résultat final :
$\\omega = 9,58~\\text{rad/s}$
2. Fréquence de rotation en tours par minute
Formule :$f_{min} = f \\times 60$
Remplacement :
$f_{min} = 1,524 \\times 60 = 91,44~\\text{tr/min}$
Résultat final :
$f_{min} = 91,44~\\text{tr/min}$
3. Accélération angulaire moyenne
Formule :$\\alpha = \\frac{\\Delta \\omega}{\\Delta t}$
Variation :
$\\omega_f = 1,14 \\times 9,581 = 10,923~\\text{rad/s}$
$\\Delta \\omega = 10,923 - 9,581 = 1,342~\\text{rad/s}$
$\\Delta t = 0,75~\\text{s}$
$\\alpha = \\frac{1,342}{0,75} = 1,789~\\text{rad/s}^2$
Résultat final :
$\\alpha_{moyenne} = 1,79~\\text{rad/s}^2$
",
"id_category": "5",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un microcontrôleur utilise un capteur à effet Hall pour mesurer la vitesse de rotation d’un moteur électrique. Le capteur délivre une impulsion par tour de l’axe moteur. Lors d’un test, le microcontrôleur compte $375$ impulsions sur une durée de $t = 52,5~\\text{s}$. Un asservissement doit garantir que la vitesse ne varie pas de plus de $2~\\text{tr/min}$ autour de la valeur cible.\n\n1. Calculer la vitesse de rotation moyenne mesurée en tr/min et en rad/s.\n2. Déterminer le temps maximal admissible pour que la variation soit inférieure à $2~\\text{tr/min}$ si une correction intervient toutes les $t_c = 0,7~\\text{s}$.\n3. Calculer la variation d’angle maximale (en degrés) admissible pour maintenir le contrôle de la vitesse.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse moyenne en tr/min et rad/s
Formule :$f = \\frac{n}{t}$
$f = \\frac{375}{52,5} = 7,143~\\text{tr/min}$
Conversion :$f_{min} = 7,143 \\times 60 = 428,6~\\text{tr/min}$
Vitesse angulaire :$\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\times 7,143 = 44,89~\\text{rad/s}$
Résultat final :$f_{min} = 428,6~\\text{tr/min}$, $\\omega = 44,89~\\text{rad/s}$
2. Temps maximal admissible pour une variation de 2 tr/min
Formule : Variation admissible par période de correction$\\Delta f = \\frac{2}{60} = 0,0333~\\text{tr/s}$
Temps(max) :$t_{max} = \\frac{1}{\\Delta f} = \\frac{1}{0,0333} = 30~\\text{s}$
Mais correction toutes les 0,7 s, donc OK.
Résultat final : $t_{max} = 30~\\text{s}$
3. Variation d’angle maximale admissible
Formule :$\\Delta \\theta_{max} = 2~\\text{tr/min} \\times \\frac{2\\pi~\\text{rad}}{1~\\text{tr}} \\times \\frac{1}{60}~\\text{min}$
Calcul :$\\Delta \\theta_{max} = 2 \\times 2\\pi/60 = 0,209~\\text{rad}$
En degrés :$0,209~\\text{rad} \\times \\frac{180}{\\pi} = 12~\\text{°}$
Résultat final :$\\Delta \\theta_{max} = 12~\\text{°}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 2 : Tachymètre numérique à capteur optique à disque fendu\n\nUn disque comportant $n=60$ fentes tourne devant un détecteur optique associé à un microcontrôleur qui compte les impulsions sur une fenêtre de $\\Delta t=0,5\\ \\mathrm{s}$.\n Lorsque le disque tourne, le microcontrôleur compte $N=540$ impulsions durant cette période.\n On souhaite déterminer la vitesse de rotation en tr/min (tours par minute), la fréquence instantanée en Hz, et la période d’un tour.\n\n1. Calculez la vitesse de rotation du disque en tr/min.\n2. Calculez la fréquence instantanée du signal optique.\n3. Calculez la période correspondant à un tour complet du disque.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vitesse de rotation en tr/min
Formule : $N = n \\cdot \\text{nombre de tours}$ sur $\\Delta t$
Nombre de tours : $N_{tours} = \\dfrac{N}{n} = \\dfrac{540}{60} = 9\\text{ tours}$ en $0,5\\ \\mathrm{s}$
Vitesse tr/min : $V = N_{tours} \\times \\dfrac{60}{0,5}$
Calcul : $9 \\times 120 = 1080\\ \\mathrm{tr/min}$
Résultat : $V = 1080\\ \\mathrm{tr/min}$
\n2. Fréquence instantanée du signal optique
Formule : $f = N / \\Delta t$
Remplacement : $f = 540 / 0,5 = 1080\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat : $f = 1080\\ \\mathrm{Hz}$
\n3. Période d’un tour du disque
Formule : $T_{tour} = \\dfrac{\\Delta t}{N_{tours}}$ ou $T_{tour} = 1/f_{tour}$ où $f_{tour} = \\dfrac{N_{tours}}{\\Delta t} = 18\\ \\mathrm{Hz}$
Calcul direct : $T_{tour} = 0,5 / 9 = 0,0556\\ \\mathrm{s}$
Résultat : $T_{tour} = 55,6\\ \\mathrm{ms}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Exercice 3 : Tachymètre numérique à effet Hall\n\nUn axe tournant possède un capteur à effet Hall générant une impulsion par révolution. La sortie Hall est connectée à un convertisseur fréquence-tension avec coefficient $K_{vt}=1,75\\ \\mathrm{V/kHz}$. Durant la mesure, la tension de sortie vaut $V_{out}=3,85\\ \\mathrm{V}$. On souhaite connaître la fréquence de rotation en Hz, la vitesse en tr/min, et le temps entre deux impulsions.\n\n1. Calculez la fréquence de rotation correspondante en Hz.\n2. Calculez la vitesse de rotation en tr/min.\n3. Calculez le temps entre deux impulsions générées par le capteur.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Fréquence de rotation
Formule : $V_{out} = K_{vt} \\cdot f$
Remplacement : $f = V_{out} / K_{vt} = 3,85 / 1,75$
Calcul : $f = 2,2\\ \\mathrm{kHz} = 2200\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat : $f = 2200\\ \\mathrm{Hz}$
\n2. Vitesse de rotation en tr/min
Formule : $n = 60 \\cdot f$
Remplacement : $n = 60 \\times 2200 = 132000\\ \\mathrm{tr/min}$
Résultat : $n = 132000\\ \\mathrm{tr/min}$
\n3. Temps entre deux impulsions
Formule : $T = 1 / f$
Remplacement : $T = 1 / 2200 = 0,000454\\ \\mathrm{s}$
Résultat : $T = 0,454\\ \\mathrm{ms}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un moteur électrique est équipé d’un tachymètre analogique à génératrice tachymétrique délivrant une tension proportionnelle à la vitesse de rotation. La constante du tachymètre est $K_T=34\\;mV/(rad\\cdot s^{-1})$. Le rotor atteint une vitesse cible en $t=5,5\\;s$, la tension mesurée à régime permanent est $U_T=7,65\\;V$.
1. Calculez la vitesse angulaire du rotor à régime permanent.
2. Calculez l’accélération angulaire moyenne durant la montée en vitesse.
3. Si la charge sur l’arbre augmente, la tension chute à $6,20\\;V$. Calculez la nouvelle vitesse de rotation et la variation relative de la vitesse (en %).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse angulaire à régime permanent.
1. Formule générale : $U_T = K_T \\omega$
2. Remplacement : $\\omega = \\frac{U_T}{K_T} = \\frac{7,65}{0,034}$
3. Calcul : $\\omega = 225\\;rad\\cdot s^{-1}$
4. Résultat final : $\\boxed{225\\;rad\\cdot s^{-1}}$
Question 2 : Accélération angulaire moyenne.
1. Formule générale : $\\alpha = \\frac{\\Delta\\omega}{\\Delta t}$
2. Remplacement : $\\alpha = \\frac{225}{5,5}$
3. Calcul : $\\alpha = 40,91\\;rad\\cdot s^{-2}$
4. Résultat final : $\\boxed{40,9\\;rad\\cdot s^{-2}}$
Question 3 : Nouvelle vitesse et variation relative.
1. Formule : $\\omega' = \\frac{U_T'}{K_T}$, $\\frac{\\omega' - \\omega}{\\omega}\\times100\\%$
2. Remplacement : $\\omega' = \\frac{6,20}{0,034} = 182,35\\;rad\\cdot s^{-1}$
Variation relative : $\\frac{182,35 - 225}{225}\\times100 = -18,9\\%$
3. Calcul : $\\omega' = 182,4\\;rad\\cdot s^{-1}\\text{ et }-18,9\\%$
4. Résultat final : $\\boxed{182,4\\;rad\\cdot s^{-1}}$ et $\\boxed{-18,9\\%}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "On utilise un tachymètre numérique à capteur optique pour mesurer la vitesse de rotation d’un disque équipé de $N=36$ encoches. Un microcontrôleur lit le signal sur une durée $T=0,125\\;s$. Il détecte $n=18$ impulsions sur l’intervalle.
1. Calculez la fréquence de rotation instantanée en tours par minute.
2. Si le disque accélère et que le prochain comptage donne $n=25$ impulsions pendant $0,125\\;s$, calculez l’augmentation de la vitesse en radian par seconde.
3. Si la résolution du comptage limite l’incertitude à 1 imp/s, quelle est l’incertitude relative sur la mesure en t/min lors du premier comptage ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Fréquence de rotation instantanée.
1. Formule : $n=N_{imp}\\times f_{rot}\\times T$ donc $f_{rot} = \\frac{n}{N\\cdot T}$, puis $N_{tours/min}=f_{rot}\\times 60$
2. Remplacement : $f_{rot} = \\frac{18}{36\\times0,125}=4\\;tr/s$, $N_{tours/min}=4\\times 60=240\\;tours/min$
3. Calcul :$f_{rot}=4\\;tr/s$ et $240\\;tours/min$
4. Résultat final : $\\boxed{240\\;tours/min}$
Question 2 : Augmentation de vitesse.
1. Formule : nouvelle vitesse angulaire $\\omega=2\\pi f_{rot}$, puis $\\Delta \\omega = \\omega_2-\\omega_1$
Pour $n=25\\rightarrow f_{rot,2}=\\frac{25}{36\\times0,125}=5,56\\;tr/s$
2. Remplacement : $\\omega_1=2\\pi\\times4=25,13\\;rad/s$, $\\omega_2=2\\pi\\times5,56=34,92\\;rad/s$, $\\Delta\\omega=9,79\\;rad/s$
3. Calcul : $\\Delta \\omega=34,92-25,13=9,79\\;rad/s$
4. Résultat final : $\\boxed{9,79\\;rad/s}$
Question 3 : Incertitude relative.
1. Formule : $\\Delta n=1$ donc $\\Delta f_{rot}=\\frac{1}{N\\cdot T}=\\frac{1}{36\\times0,125}=0,222\\;tr/s$
Incertitude relative sur la mesure t/min : $\\frac{0,222}{4}\\times100=5,56\\%$
2. Résultat final : $\\boxed{5,6\\%}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Les capteurs de vitesse de rotation",
"question": "Un asservissement industriel utilise un détecteur à effet Hall digital pour compter les fronts générés par une roue dentée synchronisée à un arbre moteur. La roue possède $N=48$ dents, le système détecte $432$ fronts en $t=45\\;s$.
1. Calculez la vitesse moyenne de l’arbre (en tours/min).
2. Si l’on observe une accélération linéaire du régime sur cette durée, la vitesse angulaire au terme de la mesure est $25,6\\;rad/s$. Calculer la vitesse initiale (en rad/s).
3. Sachant que chaque dent engendre un front pour une résolution d’échantillonnage $\\Delta t=0,0015\\;s$, déterminez la résolution temporelle minimale atteignable pour une précision d’un tour.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse moyenne de l’arbre.
1. Formule : nombre de tours $N_{tours}=\\frac{432}{48}=9$, durée $t=45\\;s$
Vitesse moyenne : $n=\\frac{9}{45}=0,2\\;tr/s$, $n_{min}=0,2\\times60=12\\;tr/min$
2. Résultat final : $\\boxed{12\\;tr/min}$
Question 2 : Vitesse initiale.
1. Formule de l'accélération angulaire linéaire : $\\alpha=\\frac{\\omega_f-\\omega_0}{t}$, $\\omega_{moy}=\\frac{\\omega_f+\\omega_0}{2}$, $\\omega_{moy}=2\\pi n$
Remplacement : $n=0,2\\;tr/s$ donc $\\omega_{moy}=1,257\\;rad/s$
Résolution : $1,257=\\frac{25,6+\\omega_0}{2}\\rightarrow\\omega_0=2\\times1,257-25,6=-23,09\\;rad/s$ (sens décroissant)
2. Résultat final : $\\boxed{-23,1\\;rad/s}$
Question 3 : Résolution temporelle minimale.
1. Formule : une révolution = $48$ dents donc $48$ fronts, $\\Delta t_{min}=48\\times\\Delta t=48\\times0,0015=0,072\\;s$
2. Résultat final : $\\boxed{72\\;ms}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de débit électromagnétique est utilisé pour mesurer le débit volumique d'un liquide conducteur. Le principe repose sur la loi de Faraday, et la tension induite est donnée par :
\n$E = B L v$ où
\n\n- $B = 0.2$ T est l'intensité du champ magnétique uniforme,
\n- $L = 0.1$ m est la distance entre les électrodes,
\n- $v$ est la vitesse du liquide dans la conduite.
\n
\nLa surface de la conduite est
\n$S = 0.015 m^2$.
\nQuestion 1 : Calculer la tension induite $E$ pour un débit volumique de $Q = 0.03 m^3/s$.
\nQuestion 2 : En déduire la vitesse du fluide dans la conduite pour un débit volumique donné.
\nQuestion 3 : Évaluer la puissance électrique dissipée si la résistance du capteur est $R = 200 Ω$ et la tension produite est $E$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Calcul de la vitesse du fluide :
\n$v = \\frac{Q}{S}$
\n2. Remplacement :
\n$v = \\frac{0.03}{0.015} = 2 \\text{ m/s}$
\n3. Calcul de la tension induite :
\n$E = B L v = 0.2 \\times 0.1 \\times 2 = 0.04 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{E = 0.04 \\text{ V}}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Expression de la vitesse :
\n$v = \\frac{E}{B L}$
\n2. Remplacement :
\n$v = \\frac{0.04}{0.2 \\times 0.1} = 2 \\text{ m/s}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{v = 2 \\text{ m/s}}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. Puissance dissipée :
\n$P = \\frac{E^2}{R}$
\n2. Calcul :
\n$P = \\frac{0.04^2}{200} = \\frac{0.0016}{200} = 8 \\times 10^{-6} \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P = 8 \\times 10^{-6} \\text{ W}}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de niveau à ultrasons mesure la hauteur d'un liquide dans un réservoir par le temps de vol du signal ultrasonore. La vitesse du son dans l'air est $v_s = 343$ m/s.
\nQuestion 1 : Calculer la hauteur du liquide si le temps de vol aller-retour mesuré est $t = 20$ ms.
\nQuestion 2 : Si le capteur doit mesurer des hauteurs jusqu'à $5$ mètres avec une précision de $1$ cm, déterminer le temps de vol minimal et maximal correspondant.
\nQuestion 3 : Évaluer la fréquence d'échantillonnage minimale nécessaire pour mesurer ce temps de vol avec une précision temporelle correspondante.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Le temps aller-retour :
\n$t = \\frac{2 h}{v_s}$
\n2. Calcul de la hauteur :
\n$h = \\frac{v_s t}{2} = \\frac{343 \\times 0.02}{2} = 3.43 \\text{ m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{h = 3.43 \\text{ m}}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Temps minimal (hauteur max 0) :
\n$t_{min} = 0$
\n2. Temps maximal (hauteur max 5m) :
\n$t_{max} = \\frac{2 \\times 5}{343} = 0.02915 \\text{ s} = 29.15 \\text{ ms}$
\n3. Précision en temps pour 1 cm :
\n$\\Delta t = \\frac{2 \\times 0.01}{343} = 5.83 \\times 10^{-5} \\text{ s} = 58.3 \\mu s$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{t_{min} = 0, \\quad t_{max} = 29.15 \\text{ ms}, \\quad \\Delta t = 58.3 \\mu s}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. Pour mesurer
\n$\\Delta t$ avec précision, la fréquence d'échantillonnage doit satisfaire :
\n$f_{min} = \\frac{1}{\\Delta t} = \\frac{1}{58.3 \\times 10^{-6}} = 17156 \\text{ Hz}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{f_{min} = 17.16 \\text{ kHz}}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur d'humidité capacitif présente une capacité initiale $C_0 = 100$ pF et subit une variation de capacité de $\\Delta C = 0.015$ pF par % d'humidité relative.
\nQuestion 1 : Calculer la variation de capacité pour un taux d'humidité de $60%$.
\nQuestion 2 : Si le capteur est connecté dans un pont de Wheatstone alimenté par $V_{in} = 5$ V, calculer la tension de sortie approximative.
\nQuestion 3 : Déterminer la sensibilité du capteur $S = \\frac{dV_{out}}{dH}$ avec $H$ l'humidité relative en %.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Variation de capacité :
\n$\\Delta C = 0.015 \\times 60 = 0.9 \\text{ pF}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\Delta C = 0.9 \\text{ pF}}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Tension de sortie pour un petit changement :
\n$V_{out} = V_{in} \\times \\frac{\\Delta C}{4 C_0}$
\n2. Remplacement :
\n$V_{out} = 5 \\times \\frac{0.9}{4 \\times 100} = 0.01125 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 11.25 \\text{ mV}}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. Sensibilité :
\n$S = \\frac{d V_{out}}{d H} = \\frac{V_{in}}{4 C_0} \\times 0.015 = \\frac{5}{400} \\times 0.015 = 0.0001875 \\text{ V/%}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{S = 0.1875 \\text{ mV/%}}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de débit d’air utilise un tube Venturi relié à un manomètre différentiel. Les sections du conduit sont respectivement $S_1 = 4~\\text{cm}^2$ et $S_2 = 2~\\text{cm}^2$. La densité de l’air est $\\rho = 1,2~\\text{kg/m}^3$. Le manomètre indique une différence de pression $\\Delta P = 40~\\text{Pa}$.1. Déterminer la vitesse de l’écoulement principal $v_1$ à l’entrée du tube.2. Calculer le débit volumique $Q$.3. Évaluer la perte de charge (en Pa) si l’on considère un rendement hydraulique de 0,95.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul de $v_1$ :
Équation de Bernoulli entre les sections :$\\dfrac{1}{2}\\rho v_1^2 + P_1 = \\dfrac{1}{2}\\rho v_2^2 + P_2$.En utilisant $v_2 = v_1 \\dfrac{S_1}{S_2}$, et $\\Delta P = P_1 - P_2$, on obtient :$\\Delta P = \\dfrac{1}{2}\\rho (v_2^2 - v_1^2) = \\dfrac{1}{2}\\rho v_1^2\\left[\\left(\\dfrac{S_1}{S_2}\\right)^2 -1\\right]$.$v_1 = \\sqrt{\\dfrac{2\\Delta P/\\rho}{(S_1/S_2)^2 -1}}$.Remplacement :$v_1 = \\sqrt{\\dfrac{2\\times40/1,2}{(4/2)^2 -1}} = \\sqrt{\\dfrac{66,67}{3}} = 4,71~\\text{m/s}$.2. Débit volumique :
$Q = S_1 v_1 = 4\\times10^{-4}\\times4,71 = 1,88\\times10^{-3}~\\text{m}^3/\\text{s}$.3. Perte de charge :
$h_p = (1 - \\eta) \\Delta P = (1 - 0,95)\\times40 = 2~\\text{Pa}$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de pression différentiel est placé à la base d’un réservoir contenant de l’eau afin de mesurer son niveau. La densité de l’eau est $\\rho = 1000~\\text{kg/m}^3$, et l’accélération de la pesanteur $g = 9,81~\\text{m/s}^2$. La sortie du capteur est reliée à un transmetteur 4–20 mA qui correspond à une plage de niveaux de 0 à 5 m.1. Calculer la pression au fond du réservoir pour un niveau de 3 m.2. Déterminer le courant de sortie du transmetteur pour ce niveau.3. Calculer la variation du courant de sortie correspondant à une variation de niveau de 0,5 m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Pression hydrostatique :
Formule :$P = \\rho g h$.Remplacement :$P = 1000 \\times 9,81 \\times 3 = 29,43\\times10^3~\\text{Pa} = 29,43~\\text{kPa}$.2. Courant de sortie :
Proportionnelle à la hauteur :$I = 4 + (20 - 4)\\dfrac{h}{5} = 4 + 16\\dfrac{3}{5} = 4 + 9,6 = 13,6~\\text{mA}$.3. Variation pour 0,5 m :
$\\Delta I = 16 \\dfrac{0,5}{5} = 1,6~\\text{mA}$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur capacitif d’humidité est constitué de deux plaques parallèles de surface $A = 2~\\text{cm}^2$ séparées par une couche de polymère de $d = 100~\\mu\\text{m}$. La permittivité diélectrique du polymère varie avec l’humidité selon $\\varepsilon_r = 2 + 0,02\\text{HR}$, où HR est exprimée en pourcentage.1. Exprimer la capacité $C$ en fonction de HR.2. Calculer $C$ pour $HR = 30\\%, 60\\%, 90\\%$.3. Évaluer la variation de capacité par % d’humidité à HR = 50\\%.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression de la capacité :
Formule générale :$C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\dfrac{A}{d}$, où $\\varepsilon_0 = 8,854\\times10^{-12}~\\text{F/m}$.En remplaçant $\\varepsilon_r$ :$C = 8,854\\times10^{-12} (2 + 0,02\\text{HR}) \\dfrac{2\\times10^{-4}}{100\\times10^{-6}}$.2. Calculs :
Pour HR=30 :$C = 8,854\\times10^{-12}\\times(2,6)\\times2 = 46,0\\times10^{-12} = 46,0~\\text{pF}$.Pour HR=60 :$C = 8,854\\times10^{-12}\\times(3,2)\\times2 = 56,7~\\text{pF}$.Pour HR=90 :$C = 8,854\\times10^{-12}\\times(3,8)\\times2 = 67,3~\\text{pF}$.3. Variation relative :
À HR=50 :$\\dfrac{dC}{dHR} = 8,854\\times10^{-12}\\times0,02\\times\\dfrac{A}{d} = 8,854\\times10^{-12}\\times0,02\\times2\\times10^{2} = 3,54\\times10^{-12}~\\text{F/%HR} = 3,54~\\text{pF/%HR}$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de débit électromagnétique est utilisé pour mesurer le débit volumique d’un fluide conducteur circulant dans une conduite de diamètre $D = 0.1\\, m$. Le champ magnétique transversal est $B = 0.2\\, T$. La tension induite mesurée entre les électrodes est $V = 18\\, mV$.\n1. Calculer la vitesse moyenne d’écoulement du fluide dans la conduite.\n2. En déduire le débit volumique total.$\n3. Si la densité du fluide est $\\rho = 1030\\, kg/m^3$, calculer le débit massique correspondant.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $V = B \\cdot D \\cdot v$
Remplacement : $18 \\times 10^{-3} = 0.2 \\times 0.1 \\times v$
Calcul : $v = \\frac{18 \\times 10^{-3}}{0.02} = 0.9\\, m/s$
Résultat final : $v = 0.9\\, m/s$.
\nQuestion 2 :
Formule du débit volumique : $Q = v \\cdot S = v \\frac{\\pi D^2}{4}$
Remplacement : $Q = 0.9 \\times \\frac{3.1416 \\times 0.1^2}{4}$
Calcul : $Q = 0.9 \\times 7.854 \\times 10^{-3} = 7.07 \\times 10^{-3}\\, m^3/s$
Résultat final : $Q = 7.07\\, L/s$.
\nQuestion 3 :
Formule : $\\dot{m} = \\rho Q$
Remplacement : $\\dot{m} = 1030 \\times 7.07 \\times 10^{-3}$
Calcul : $\\dot{m} = 7.28\\, kg/s$
Résultat final : $\\dot{m} = 7.28\\, kg/s$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de niveau capacitif est constitué de deux plaques planes parallèles de surface $S = 0.02\\, m^2$ et séparées par une distance $d = 5\\, mm$. La capacité mesurée varie avec le niveau de liquide $h$ selon la relation $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S_h}{d}$, où $S_h$ est la surface immergée et $\\varepsilon_r = 80$ pour l’eau.\n1. Calculer la capacité quand la cuve est à moitié remplie.$\n2. Déterminer la variation de capacité entre cuve vide et cuve pleine.$\n3. Si un générateur applique un signal sinusoïdal de $V = 10\\, V_{rms}$ à $f = 1\\, kHz$, calculer le courant efficace traversant le capteur lorsque celui-ci est plein.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S_h}{d}$
Remplacement : $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}\\, F/m$ et $S_h = \\frac{S}{2}$
Calcul : $C = 8.854 \\times 10^{-12} \\times 80 \\times \\frac{0.01}{5 \\times 10^{-3}} = 1.42 \\times 10^{-9}\\, F$
Résultat final : $C = 1.42\\, nF$.
\nQuestion 2 :
Cuve pleine : $C_{max} = 8.854 \\times 10^{-12} \\times 80 \\times \\frac{0.02}{5 \\times 10^{-3}} = 2.83 \\times 10^{-9}\\, F$
Cuve vide (air, $\\varepsilon_r = 1$): $C_{min} = 8.854 \\times 10^{-12} \\times \\frac{0.02}{5 \\times 10^{-3}} = 3.54 \\times 10^{-11}\\, F$
Variation : $\\Delta C = 2.83 \\times 10^{-9} - 3.54 \\times 10^{-11} = 2.79 \\times 10^{-9}\\, F$
Résultat final : $\\Delta C = 2.79\\, nF$.
\nQuestion 3 :
Formule du courant dans un condensateur : $I = 2\\pi f C V$
Remplacement : $I = 2\\pi \\times 10^3 \\times 2.83 \\times 10^{-9} \\times 10$
Calcul : $I = 1.78 \\times 10^{-4}\\, A$
Résultat final : $I = 178\\, \\mu A$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur d’humidité capacitif a une capacité variant linéairement entre $C_{sec} = 100\\, pF$ pour $0\\, %RH$ et $C_{hum} = 200\\, pF$ pour $100\\, %RH$. Il est connecté à un oscillateur LC dont la fréquence est donnée par $f = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{L C}}$ avec $L = 10\\, mH$.\n1. Calculer la fréquence pour une humidité de 0 %.$\n2. Calculer la fréquence pour une humidité de 60 %.$\n3. Déterminer la sensibilité fréquentielle en kHz par %RH.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Formule : $f = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{L C}}$
Remplacement : $L = 10 \\times 10^{-3}$, $C = 100 \\times 10^{-12}$
Calcul : $f = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{10 \\times 10^{-3} \\times 100 \\times 10^{-12}}} = 503\\, kHz$
Résultat final : $f(0\\%) = 503\\, kHz$.
\nQuestion 2 :
Capacité pour 60 % : $C = 100 + (200 - 100) \\times 0.6 = 160\\, pF$
Remplacement : $f = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{10 \\times 10^{-3} \\times 160 \\times 10^{-12}}} = 398\\, kHz$
Résultat final : $f(60\\%) = 398\\, kHz$.
\nQuestion 3 :
Différence de fréquence : $\\Delta f = 503 - 398 = 105\\, kHz$
Sensibilité : $S = \\frac{\\Delta f}{60} = 1.75\\, kHz/%RH$
Résultat final : $S = 1.75\\, kHz/%RH$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Mesure du niveau dans un réservoir par capteur à pression hydrostatique
Un capteur de pression mesure la pression exercée par une colonne d'eau de hauteur $h$ dans un réservoir. La pression est donnée par :
$P = \\rho g h$
avec densité
$\\rho = 1000$ kg/m$^3$, accélération gravitationnelle
$g = 9.81$ m/s
Le capteur délivre un signal électrique proportionnel à $P$ avec une sortie maximale de $10$ V pour $h = 5$ m.
Question 1 : Calculer la pression exercée pour $h = 3$ m.
Question 2 : Déterminer la tension délivrée par le capteur pour cette hauteur.
Question 3 : Si la tension minimale détectable est $0.01$ V, déterminer la résolution en hauteur correspondante.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Calcul de la pression :
$P = \\rho g h = 1000 \\times 9.81 \\times 3 = 29430 \\text{ Pa} = 29.43 \\text{ kPa}$
Question 2 :
1. Relation linéaire entre pression et tension :
$V = 10 \\times \\frac{P}{\\rho g \\times 5} = 10 \\times \\frac{h}{5} = 2 V$
Question 3 :
1. Résolution en hauteur :
$\\Delta h = 5 \\times \\frac{0.01}{10} = 0.005 \\text{ m} = 5 \\text{ mm}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Mesure d'humidité relative avec capteur capacitif
Un capteur d'humidité capacitif dont la capacité varie proportionnellement à l'humidité relative (HR) selon :
$C = C_0 (1 + \\alpha \\times HR)$
avec capacité de base $C_0 = 100$ pF et coefficient de variation $\\alpha = 0.007$ par pourcentage d'humidité.
Question 1 : Calculer la capacité à une humidité relative de $60 \\%$.
Question 2 : Déterminer la variation de capacité correspondante pour une variation d'humidité de $5 \\%$.
Question 3 : Si ce capteur est utilisé dans un circuit oscillant dont la fréquence est inversement proportionnelle à la racine carrée de la capacité, calculer la variation de fréquence pour une humidité passant de 60 % à 65 % sachant que la fréquence de base à 60 % est $1$ MHz.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Calcul de la capacité :
$C = C_0 (1 + \\alpha \\times HR) = 100 \\times (1 + 0.007 \\times 60) = 100 \\times 1.42 = 142 \\text{ pF}$
Question 2 :
1. Variation de capacité :
$\\Delta C = C_0 \\times \\alpha \\times \\Delta HR = 100 \\times 0.007 \\times 5 = 3.5 \\text{ pF}$
Question 3 :
1. Fréquence d'oscillation :
$f = \\frac{f_0}{\\sqrt{\\frac{C}{C_0}}}$
avec
$f_0=1 \\text{ MHz}, C=142 \\text{ pF}, C_{65\\%} = 100 (1 + 0.007 \\times 65) = 145.5 \\text{ pF}$
2. Calcul :
$f_{65\\%} = \\frac{1}{\\sqrt{145.5/142}} = 1 / \\sqrt{1.0246} = 0.988 \\text{ MHz}$
3. Variation :
$\\Delta f = f_0 - f_{65\\%} = 1 - 0.988 = 0.012 \\text{ MHz} = 12 \\text{ kHz}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Capteur de débit à effet Venturi\n\nUn débitmètre à effet Venturi est installé sur une conduite horizontale transportant de l’eau à $20°C$ (masse volumique $\\rho = 998\\,kg/m^3$). Le diamètre d’entrée est $D_1 = 40\\,mm$ et celui du col $D_2 = 20\\,mm$. La différence de pression mesurée entre ces deux sections par un capteur différentiel est $\\Delta P = 2.5\\,kPa$.\n\n1. Déterminer la vitesse dans le col du Venturi.\n2. Calculer le débit volumique de l’eau.\n3. Calculer la vitesse moyenne dans la section amont.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule issue de Bernoulli et continuité : $\\Delta P = \\dfrac{1}{2}\\rho (v_2^2 - v_1^2)$ et $A_1v_1 = A_2v_2$
2. Substitution : $v_1 = v_2 \\dfrac{A_2}{A_1} = v_2 \\left(\\dfrac{D_2}{D_1}\\right)^2$
3. Remplacement : $\\Delta P = \\dfrac{1}{2}\\rho v_2^2 \\left[1 - \\left(\\dfrac{D_2}{D_1}\\right)^4\\right]$
4. Calcul : $v_2 = \\sqrt{\\dfrac{2\\Delta P}{\\rho \\left[1 - \\left(\\dfrac{D_2}{D_1}\\right)^4\\right]}} = \\sqrt{\\dfrac{2\\times2500}{998(1 - (0.5)^4)}} = 2.29\\,m/s$
\n1. Débit volumique : $Q = A_2v_2$
2. Remplacement : $A_2 = \\dfrac{\\pi D_2^2}{4} = 3.14\\times(0.02)^2/4 = 3.14\\times10^{-4}\\,m^2$
3. Calcul : $Q = 3.14\\times10^{-4}\\times2.29 = 7.2\\times10^{-4}\\,m^3/s$
4. Résultat : $Q = 0.72\\,L/s$
\n1. Continuité : $A_1v_1 = A_2v_2$
2. Remplacement : $v_1 = v_2 \\dfrac{A_2}{A_1} = 2.29\\times\\dfrac{(0.02)^2}{(0.04)^2} = 0.57\\,m/s$
3. Résultat : $v_1 = 0.57\\,m/s$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Capteur de niveau capacitif\n\nUn capteur de niveau capacitif est constitué de deux cylindres coaxiaux : le cylindre interne de rayon $r_1 = 2\\,mm$ et le cylindre externe de rayon $r_2 = 10\\,mm$, de longueur totale $L = 30\\,cm$. Le diélectrique est l’air pour la partie non immergée et l’eau ($\\varepsilon_r = 80$) pour la partie immergée. Le niveau d’eau atteint une hauteur $h = 20\\,cm$ à l’intérieur du capteur.\n\n1. Écrire l’expression générale de la capacité d’un condensateur coaxial.\n2. Calculer la capacité totale du capteur.\n3. Déterminer la variation de capacité par rapport à la hauteur d’eau pour une variation de 1 cm.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $C = \\dfrac{2\\pi\\varepsilon_0\\varepsilon_r L}{\\ln(r_2/r_1)}$
2. Pour deux zones : $C_{air} = \\dfrac{2\\pi\\varepsilon_0(L-h)}{\\ln(r_2/r_1)}$ et $C_{eau} = \\dfrac{2\\pi\\varepsilon_0\\varepsilon_r h}{\\ln(r_2/r_1)}$
3. Capacité totale : $C = C_{air} + C_{eau}$
\n1. Remplacement : $\\varepsilon_0 = 8.85\\times10^{-12}\\,F/m$, $L = 0.3$, $h = 0.2$
2. Calcul : $\\ln(r_2/r_1) = \\ln(10/2) = 1.609$
3. $C = \\dfrac{2\\pi(8.85\\times10^{-12})}{1.609}[80(0.2)+1(0.1)] = 6.9\\times10^{-9}\\,F$
4. Résultat : $C = 6.9\\,nF$
\n1. Variation : $\\dfrac{dC}{dh} = \\dfrac{2\\pi\\varepsilon_0(\\varepsilon_r - 1)}{\\ln(r_2/r_1)}$
2. Remplacement : $\\dfrac{dC}{dh} = \\dfrac{2\\pi(8.85\\times10^{-12})(79)}{1.609} = 2.73\\times10^{-9}\\,F/m$
3. Variation pour 1 cm = 0.01 m : $\\Delta C = 2.73\\times10^{-11}\\,F = 27.3\\,pF$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Capteur d’humidité de type capacitif\n\nUn capteur d’humidité relative est formé par un condensateur plan dont la constante diélectrique varie avec l’humidité selon $\\varepsilon_r = 2 + 0.03H$ (H en pourcentage). L’aire des armatures est $A = 3\\,cm^2$, et leur séparation est $d = 0.5\\,mm$.\n\n1. Établir l’expression de la capacité en fonction de l’humidité relative.\n2. Calculer la capacité pour $H = 30\\,\\%$ et $H = 90\\,\\%$.\n3. Déterminer la sensibilité du capteur en $pF/\\%$ d’humidité relative.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $C = \\dfrac{\\varepsilon_0\\varepsilon_r A}{d}$ avec $\\varepsilon_r = 2 + 0.03H$
2. Conversion : $A = 3\\,cm^2 = 3\\times10^{-4}\\,m^2$, $d = 0.5\\,mm = 5\\times10^{-4}\\,m$
\n1. Pour $H = 30\\%$ : $\\varepsilon_r = 2.9$
2. Calcul : $C = \\dfrac{8.85\\times10^{-12}\\times2.9\\times3\\times10^{-4}}{5\\times10^{-4}} = 1.54\\times10^{-11}\\,F = 15.4\\,pF$
\n1. Pour $H = 90\\%$ : $\\varepsilon_r = 4.7$
2. Calcul : $C = \\dfrac{8.85\\times10^{-12}\\times4.7\\times3\\times10^{-4}}{5\\times10^{-4}} = 2.5\\times10^{-11}\\,F = 25.0\\,pF$
\n1. Sensibilité : $S = \\dfrac{\\Delta C}{\\Delta H} = \\dfrac{25.0 - 15.4}{90 - 30} = 0.16\\,pF/\\%$
2. Résultat final : $S = 0.16\\,pF/\\%$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Capteur de débit à effet Venturi.\n\nUn capteur de débit Venturi est utilisé pour mesurer le débit d’eau circulant dans une conduite horizontale.\nLes caractéristiques sont : diamètre d’entrée $D_1 = 50$ mm, diamètre au col $D_2 = 25$ mm, densité de l’eau $\\rho = 1000$ kg/m³.\nLa différence de pression mesurée entre l’entrée et le col est $\\Delta P = 12$ kPa.\n\n1. Calculez le rapport entre les vitesses dans les deux sections.\n2. Déterminez la vitesse de l’écoulement au col $v_2$.\n3. En déduisez le débit volumique $Q$ du fluide.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Rapport des vitesses :
Équation de continuité : $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
Rapport : $\\frac{v_2}{v_1} = \\frac{A_1}{A_2} = (\\frac{D_1}{D_2})^2$.
Remplacement : $\\frac{v_2}{v_1} = (\\frac{0.05}{0.025})^2 = 4$.
\n2. Calcul de v₂ :
Équation de Bernoulli : $\\Delta P = \\frac{1}{2}\\rho(v_2^2 - v_1^2)$.
En remplaçant $v_1 = \\frac{v_2}{4}$ : $12000 = 500 (v_2^2 - (v_2/4)^2)$.
Calcul : $12000 = 500 (v_2^2 - 0.0625 v_2^2) = 500(0.9375v_2^2)$.
Résultat : $v_2 = \\sqrt{\\frac{12000}{468.75}} = 5.05$ m/s.
\n3. Débit volumique :
Formule : $Q = A_2 v_2 = \\frac{\\pi D_2^2}{4}v_2$.
Remplacement : $Q = \\frac{3.1416(0.025)^2}{4}\\times5.05$.
Résultat : $Q = 2.48\\times10^{-3}$ m³/s = 2.48 L/s.
",
"id_category": "6",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Capteur de niveau capacitif dans une cuve.\n\nUne cuve métallique cylindrique contient de l’huile diélectrique de permittivité relative $\\varepsilon_r = 2.5$. Un capteur capacitif est constitué de deux cylindres coaxiaux : rayon intérieur $r_1 = 5$ mm, rayon extérieur $r_2 = 10$ mm, et hauteur totale $h = 0.3$ m. Lorsque la cuve est partiellement remplie sur $L = 0.2$ m, le reste est de l’air.\n\n1. Calculez la capacité totale du capteur dans cette condition.\n2. Déterminez la capacité lorsque la cuve est complètement pleine d’huile.\n3. Calculez la variation de capacité due à l’élévation du niveau de 0.1 m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité partiellement remplie :
Formule : $C = C_{huile} + C_{air}$.
Chaque portion : $C = \\frac{2\\pi\\varepsilon L}{\\ln(r_2/r_1)}$.
Pour l’huile : $\\varepsilon = \\varepsilon_r\\varepsilon_0 = 2.5\\times8.854\\times10^{-12}$.
Remplacement : $C_{huile} = \\frac{2\\pi(2.5\\times8.854\\times10^{-12})0.2}{\\ln(10/5)} = 5.0\\times10^{-12}$ F.
Pour l’air : $C_{air} = \\frac{2\\pi(8.854\\times10^{-12})0.1}{\\ln(10/5)} = 1.25\\times10^{-12}$ F.
Capacité totale : $C = 6.25\\times10^{-12}$ F = 6.25 pF.
\n2. Capacité pleine :
Formule : $C_{plein} = \\frac{2\\pi\\varepsilon_0\\varepsilon_r h}{\\ln(r_2/r_1)}$.
Remplacement : $C_{plein} = \\frac{2\\pi(8.854\\times10^{-12})2.5\\times0.3}{\\ln(2)}$.
Résultat : $C_{plein} = 1.20\\times10^{-11}$ F = 12.0 pF.
\n3. Variation pour ΔL = 0.1 m :
Capacité initiale $C_1 = 6.25\\times10^{-12}$, finale : $C_2 = C_1 + \\frac{2\\pi\\varepsilon_0(\\varepsilon_r-1)ΔL}{\\ln(r_2/r_1)}$.
Remplacement : $C_2 = 6.25\\times10^{-12} + \\frac{2\\pi(8.854\\times10^{-12})(1.5)(0.1)}{0.693}$.
ΔC = $1.20\\times10^{-12}$ F = 1.2 pF.
",
"id_category": "6",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Capteur d’humidité capacitif.\n\nUn capteur d’humidité est constitué de deux plaques parallèles de surface $S = 2\\times10^{-4}$ m² séparées par une couche de polymère de permittivité relative $\\varepsilon_r$ dépendante du taux d’humidité relative (HR) : $\\varepsilon_r = 2 + 0.035\\times HR$.\nL’entrefer est $d = 0.2$ mm et la tension d’alimentation du pont est $V = 5$ V.\n\n1. Calculez la capacité pour une humidité relative de 40 %.\n2. Déterminez la capacité pour une humidité de 80 %.\n3. Calculez la variation de tension de sortie du pont différentiel, supposant une variation proportionnelle à $\\frac{\\Delta C}{C}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité pour HR = 40 % :
Formule : $C = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_r S}{d}$.
Remplacement : $\\varepsilon_r = 2 + 0.035\\times40 = 3.4$, $d = 0.2\\times10^{-3}$ m.
Calcul : $C = \\frac{8.854\\times10^{-12}\\times3.4\\times2\\times10^{-4}}{2\\times10^{-4}} = 3.01\\times10^{-11}$ F = 30.1 pF.
\n2. Capacité pour HR = 80 % :
Remplacement : $\\varepsilon_r = 2 + 0.035\\times80 = 4.8$.
Calcul : $C = \\frac{8.854\\times10^{-12}\\times4.8\\times2\\times10^{-4}}{2\\times10^{-4}} = 4.25\\times10^{-11}$ F = 42.5 pF.
\n3. Variation de tension :
Variation relative : $\\frac{\\Delta C}{C} = \\frac{42.5 - 30.1}{30.1} = 0.41$.
Formule : $\\Delta V = V \\times \\frac{\\Delta C}{C}$
Remplacement : $\\Delta V = 5 \\times 0.41 = 2.05$ V.
",
"id_category": "6",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Mesure de débit avec un capteur électromagnétique
Un capteur électromagnétique est installé sur une conduite cylindrique de diamètre $D = 0.1\\,\\text{m}$ où circule un fluide conducteur avec une vitesse moyenne $v = 2\\,\\text{m/s}$.
La longueur utile de la bobine du capteur est $l = 0.5\\,\\text{m}$ et l'induction magnétique appliquée est $B = 0.2\\,\\text{T}$.
Question 1 : Calculer la tension induite dans le capteur (loi de Faraday) lors de l'écoulement du fluide.
Question 2 : En déduire le débit volumique instantané du fluide.
Question 3 : Si le fluide a une masse volumique $\\rho = 1000\\,\\text{kg/m}^3$, calculer le débit massique du fluide.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la tension induite
1. La loi de Faraday pour un capteur électromagnétique donne :
$e = B \\times l \\times v$
2. Remplacement :
$e = 0.2 \\times 0.5 \\times 2 = 0.2\\, \\text{V} = 200\\, \\text{mV}$
La tension induite est 200 mV.
Question 2 : Calcul du débit volumique
1. Le débit volumique est :
$Q = S \\times v = \\pi \\frac{D^2}{4} \\times v$
2. Remplacement :
$Q = \\pi \\times \\frac{(0.1)^2}{4} \\times 2 = \\pi \\times 0.0025 \\times 2 = 0.0157 \\text{ m}^3/\\text{s}$
Le débit volumique est 0.0157 m³/s.
Question 3 : Calcul du débit massique
1. Le débit massique :
$m = \\rho \\times Q = 1000 \\times 0.0157 = 15.7 \\text{ kg/s}$
Le débit massique est 15.7 kg/s.
",
"id_category": "6",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Calculs relatifs à un capteur d'humidité capacitif
Un capteur capacitif d'humidité relative a une capacité maximale $C_{max} = 100\\,\\text{pF}$ et une capacité minimale $C_{min} = 40\\,\\text{pF}$ correspondant à 0 % HR et 100 % HR respectivement.
Question 1 : Déterminer la capacité pour une humidité relative de 60 %.
Question 2 : Calculer la variation de capacité entre 60 % et 80 % HR.
Question 3 : Si la capacité est mesurée avec une incertitude de 1 pF, quelle est la précision de la mesure d'humidité relative ?
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la capacité à 60 % HR
1. Capacité est une fonction linéaire :
$C = C_{min} + (C_{max} - C_{min}) \\times \\frac{HR}{100}$
2. Remplacement :
$C = 40 + (100 - 40) \\times 0.6 = 40 + 60 \\times 0.6 = 40 + 36 = 76\\,\\text{pF}$
La capacité à 60 % HR est 76 pF.
Question 2 : Variation de capacité entre 60 % et 80 % HR
1. Calcul :
$\\Delta C = (C_{max} - C_{min})\\times \\frac{80 - 60}{100} = 60 \\times 0.2 = 12\\,\\text{pF}$
La variation est de 12 pF.
Question 3 : Précision sur la mesure de HR
1. Pour incertitude de capacité \\(\\Delta C = 1\\,\\text{pF}\\), la précision en HR est :
$\\Delta HR = \\frac{100 \\times \\Delta C}{C_{max} - C_{min}} = \\frac{100 \\times 1}{60} = 1.67 \\, \\%$
La précision de la mesure d'humidité relative est 1.67 %.
",
"id_category": "6",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un débitmètre électromagnétique fonctionne selon le principe de Faraday. Un liquide conducteur s'écoule dans une conduite circulaire de diamètre $D = 0.1$ m avec une vitesse moyenne $v = 2.5$ m/s.
Question 1 : Calculez le débit volumique $Q$ du fluide dans la conduite.
Question 2 : Si le champ magnétique appliqué perpendiculairement au flux est $B = 0.3$ T, calculez la tension induite $E$ aux électrodes du débitmètre.
Question 3 : Déterminez la puissance électrique consommée lors du fonctionnement si la résistance électrique totale du circuit est $R = 50$ Ω.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Le débit volumique est donné par :
$Q = A \\times v$
avec
$A = \\pi \\left(\\frac{D}{2}\\right)^2 = \\pi \\times (0.05)^2 = 7.854 \\times 10^{-3}$ m²
Donc :
$Q = 7.854 \\times 10^{-3} \\times 2.5 = 1.963 \\times 10^{-2}$ m³/s
Question 2 :
1. La tension induite suivant la loi de Faraday est :
$E = B \\times v \\times D$
Donc :
$E = 0.3 \\times 2.5 \\times 0.1 = 0.075$ V
Question 3 :
1. La puissance électrique consommée est :
$P = \\frac{E^2}{R} = \\frac{0.075^2}{50} = 1.125 \\times 10^{-4}$ W
Interprétation : La puissance consommée par ce capteur est très faible, permettant une mesure efficace du débit sans perturber le flux.
",
"id_category": "6",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de niveau utilise un capteur capacitif avec une surface de plaques $S = 0.02$ m² et une distance entre plaques $d = 1$ mm.
Question 1 : Calculez la capacité électrique du capteur dans l'air (constante diélectrique $\\epsilon_r = 1$).
Question 2 : Lorsque le niveau de liquide remplit l'espace entre les plaques à 50%, dont la constante diélectrique du liquide est $\\epsilon_r = 80$, calculez la nouvelle capacité effective.
Question 3 : Calculez la variation relative de capacité par rapport à l'air seul.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. La capacité du condensateur plan est :
$C = \\frac{\\epsilon_0 \\epsilon_r S}{d}$
avec
$\\epsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}$ F/m
et
pour l'air
$\\epsilon_r = 1$
2. Remplacement numérique :
$C_{air} = \\frac{8.854 \\times 10^{-12} \\times 1 \\times 0.02}{1 \\times 10^{-3}} = 1.77 \\times 10^{-10}$ F
Question 2 :
1. En présence du liquide à 50%, le diélectrique effectif est la moyenne pondérée :
$\\epsilon_{eff} = 0.5 \\times 1 + 0.5 \\times 80 = 40.5$
2. Capacité effective :
$C_{eff} = \\frac{8.854 \\times 10^{-12} \\times 40.5 \\times 0.02}{1 \\times 10^{-3}} = 7.17 \\times 10^{-9}$ F
Question 3 :
1. Variation relative :
$\\frac{\\Delta C}{C} = \\frac{C_{eff} - C_{air}}{C_{air}} = \\frac{7.17 \\times 10^{-9} - 1.77 \\times 10^{-10}}{1.77 \\times 10^{-10}} = 39.5$
Interprétation : L'augmentation sensible de la capacité permet de détecter précisément le niveau de liquide grâce à ce capteur capacitif.
",
"id_category": "6",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur d'humidité relative capacitif affiche une capacité $C = 50$ pF pour une humidité de 30% et $C = 80$ pF pour une humidité de 70%.
Question 1 : Calculez la constante diélectrique effective du matériau sensible à 30% d'humidité.
Question 2 : Déterminez l'humidité correspondante pour une capacité mesurée de 65 pF.
Question 3 : Calculez la variation en pourcentage de la capacité entre 30% et 70% d'humidité.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
1. Capacité du condensateur plane :
$C = \\frac{\\epsilon_0 \\epsilon_r S}{d}$
2. Pour une surface et distance constantes,
$\\epsilon_r \\propto C$
3. Calcul de la constante diélectrique effective :
$\\epsilon_{r,30\\%} = K \\times 50$
avec
K
une constante (ignorer ici)Question 2 :
1. Supposant relation linéaire entre humidité et capacité,
$\\frac{C - 50}{80 - 50} = \\frac{H - 30}{70 - 30}$
2. Calcul :
$\\frac{65 - 50}{30} = \\frac{H - 30}{40} \\Rightarrow 0.5 = \\frac{H - 30}{40} \\Rightarrow H = 50 \\%$
Question 3 :
1. Variation relative :
$\\Delta C \\% = \\frac{80 - 50}{50} \\times 100 = 60\\%$
Interprétation : Le capteur détecte une variation significative de capacité avec l'humidité, assurant une bonne sensibilité pour le contrôle du taux d'humidité.
",
"id_category": "6",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Calcul du débit volumique par capteur électromagnétique
Un débitmètre électromagnétique mesure le débit d'un fluide conducteur à travers une section de surface $S = 0,05$ m$^2$. Le champ magnétique appliqué est de $B = 0,2$ T, et la tension induite mesurée est $U = 5$ mV.
Question 1 : Calculer la vitesse moyenne $v$ du fluide.
Question 2 : Déduire le débit volumique $Q$ du fluide.
Question 3 : Si la conductivité du fluide diminue de 10 %, quel est l'impact quantitatif attendu sur la tension induite et le débit mesuré ?
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la vitesse moyenne
1. Formule liant la tension induite au débit :
$U = B \\times L \\times v$ avec
$L$ la longueur du conducteur dans le champ (ici la largeur du tube).
Supposons
$L = 0.1$ m (valeur typique).
2. Calcul de la vitesse :
$v = \\frac{U}{B L} = \\frac{5 \\times 10^{-3}}{0,2 \\times 0,1} = 0,25$ m/s
Question 2 : Débit volumique :
1. Formule :
$Q = S \\times v = 0,05 \\times 0,25 = 0,0125$ m$^3$/s
Question 3 : Impact d'une diminution de la conductivité :
La tension induite est directement proportionnelle à la conductivité pour un débit donné.
Une diminution de 10 % de la conductivité réduit la tension induite de 10 % :
$U_{nouveau} = 0,9 \\times 5 \\times 10^{-3} = 4,5 \\times 10^{-3}$ V
Ce qui entraînera une sous-estimation équivalente de la vitesse et du débit mesurés (environ 10 % plus faible).
",
"id_category": "6",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Mesure de niveau par capteur à ultrasons
Un capteur ultrason mesure la distance entre le capteur et la surface d'un liquide dans une cuve de hauteur $H = 2,5$ m. La vitesse du son dans l'air est $v_s = 343$ m/s.
Question 1 : Calculer le temps de propagation aller-retour pour une hauteur $h = 1,2$ m entre la surface et le capteur.
Question 2 : Déduire la hauteur du liquide dans la cuve en fonction du temps mesuré.
Question 3 : Si le capteur mesure un temps de $t = 7$ ms, calculer la hauteur du liquide correspondante.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Les calculs confirment la cohérence des mesures ultrasoniques pour le niveau du liquide.
",
"id_category": "6",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Mesure d'humidité relative par capteur capacitif
Un capteur capacitif d'humidité présente une capacité qui varie entre $C_{min} = 50$ pF et $C_{max} = 150$ pF pour un humidité relative $HR$ allant de 0 à 100 %.
Question 1 : Calculer la capacité moyenne $C_{HR}$ pour un humidité relative donnée $HR = 40 \\%$.
Question 2 : Pour une fréquence de mesure donnée, la capacité $C_{HR}$ est reliée à une fréquence de résonance $f$ par
$f = \\frac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C_{HR}}}$, avec $L = 10 \\mu H$.
Calculer la fréquence de résonance à $HR = 40 \\%$.
Question 3 : Si la fréquence mesurée est $f = 1,6$ MHz, déterminer l'humidité relative correspondante.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Capacité moyenne à $HR = 40 \\%$
1. Formule :
$C_{HR} = C_{min} + \\frac{HR}{100} (C_{max} - C_{min})$
2. Calcul :
$C_{HR} = 50 + 0,4 \\times (150 - 50) = 50 + 40 = 90$ pF
Question 2 : Fréquence de résonance à $HR = 40 \\%$
1. Formule :
$f = \\frac{1}{2 \\pi \\sqrt{L C_{HR}}}$
2. Conversion des unités :
$L = 10 \\mu H = 10 \\times 10^{-6} H; C = 90 \\times 10^{-12} F$
3. Calcul :
$f = \\frac{1}{2 \\pi \\sqrt{10 \\times 10^{-6} \\times 90 \\times 10^{-12}}} = \\frac{1}{2 \\pi \\times 3 \\times 10^{-8}} = 1,59 \\times 10^{6}$ Hz
Question 3 : Détermination de l'humidité relative pour $f = 1,6$ MHz
1. Résolvons pour $C_{HR}$ :
$C_{HR} = \\frac{1}{(2 \\pi f)^2 L}$
2. Calcul :
$C_{HR} = \\frac{1}{(2 \\pi \\times 1,6 \\times 10^{6})^2 \\times 10 \\times 10^{-6}} = 88,6$ pF
3. Résolvons pour $HR :$
$HR = \\frac{C_{HR} - C_{min}}{C_{max} - C_{min}} \\times 100 = \\frac{88,6 - 50}{100} \\times 100 = 38,6 \\%$
",
"id_category": "6",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Mesure du débit volumique par capteur à effet Coriolis
Un capteur de débit à effet Coriolis mesure la force proportionnelle au débit massique selon la relation :
$F = 2 m \\omega v$, où
$m = 0.2$ kg (masse vibrante), $\\omega = 120$ rad/s, $v$ la vitesse du fluide en m/s.
Question 1 : Calculer la force mesurée pour un débit volumique $Q = 0.03$ m³/s d'un liquide de masse volumique $\\rho = 1000$ kg/m³.
Question 2 : Trouver la vitesse du fluide $v$ dans le tube de section $S = 0.01$ m².
Question 3 : Calculer la force $F$ mesurée pour le débit déterminé au point précédent.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Le débit massique est :
$\\dot{m} = \\rho \\times Q = 1000 \\times 0.03 = 30 \\; \\text{kg/s}$
La vitesse :
$v = \\frac{Q}{S}$
Question 2 :
Avec $S = 0.01$ m² :
$v = \\frac{0.03}{0.01} = 3 \\; m/s$
Question 3 :
Finalement la force :
$F = 2 m \\omega v = 2 \\times 0.2 \\times 120 \\times 3 = 144 \\; N$
",
"id_category": "6",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Mesure du niveau par capteur capacitif
Un capteur capacitif mesure la variation de capacité $\\Delta C$ d'un réservoir pour évaluer le niveau d'un liquide. La capacité initiale est $C_0 = 100$ pF, la variation de capacité est proportionnelle à la hauteur $h$ du liquide :
$\\Delta C = k \\times h$ avec $k = 2.5$ pF/cm.
Question 1 : Calculer la variation de capacité pour un niveau $h = 30$ cm.
Question 2 : Si la capacité varie de $\\Delta C = 50$ pF, déterminer le niveau du liquide.
Question 3 : La capacité étant mesurée dans un circuit RC avec résistance $R = 1 M\\Omega$, calculer la constante de temps $\\tau$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
La variation de capacité :
$\\Delta C = k \\times h = 2.5 \\times 30 = 75 \\; \\text{pF}$
Question 2 :
Le niveau est :
$h = \\frac{\\Delta C}{k} = \\frac{50}{2.5} = 20 \\; \\text{cm}$
Question 3 :
La constante de temps du circuit RC :
$\\tau = R \\times C = 1 \\times 10^{6} \\times (C_0 + \\Delta C) \\times 10^{-12} = 1 \\times 10^{6} \\times 150 \\times 10^{-12} = 1.5 \\times 10^{-4} \\; s$
",
"id_category": "6",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Mesure d'humidité par capteur capacitif
Un capteur d'humidité capacitifa varie sa capacité suivant :
$C = C_0 (1 + \\alpha H)$, avec $C_0 = 50$ pF, coefficient $\\alpha = 0.02$ 1/%, et humidité $H$ exprimée en %.
Question 1 : Calculer la capacité pour $H = 60 \\%$.
Question 2 : Si la capacité mesurée est $65$ pF, déterminer l'humidité ambiante.
Question 3 : Le capteur est inclus dans un circuit RC avec
$R = 100 \\; k\\Omega$. Calculer la constante de temps $\\tau$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 :
Capacité :
$C = C_0 (1 + \\alpha H) = 50 \\times (1 + 0.02 \\times 60) = 50 (1 + 1.2) = 110 \\;\\text{pF}$
Question 2 :
Résolution pour l'humidité :
$H = \\frac{C}{C_0} - 1 \\times \\frac{1}{\\alpha} = \\frac{65}{50} - 1 \\times \\frac{1}{0.02} = 0.3 \\times 50 = 15 \\% $
Question 3 :
Constante de temps :
$\\tau = R \\times C = 100 \\times 10^{3} \\times 65 \\times 10^{-12} = 6.5 \\times 10^{-6} \\; s$
",
"id_category": "6",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un débitmètre électromagnétique est utilisé pour mesurer un débit volumique $Q_v$ d'un liquide conducteur dans une conduite circulaire de diamètre $D = 0.1\\text{ m}$.
La vitesse moyenne du fluide est $v = 1.5\\text{ m/s}$, et la section $S = \\frac{\\pi D^2}{4}$.
Question 1 : Calculez le débit volumique $Q_v$.
Question 2 : Sachant que la constante de sortie du débitmètre est $K = 10\\text{ mV/(m/s)}$, calculez la tension de sortie $V_{out}$.
Question 3 : Le système a une précision de 0,5%, calculez la plage d’incertitude du débit.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du débit volumique
1. Section de la conduite :
$S = \\frac{\\pi D^2}{4} = \\frac{\\pi \\times (0.1)^2}{4} = 7.854 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
2. Débit volumique :
$Q_v = v \\times S = 1.5 \\times 7.854 \\times 10^{-3} = 0.01178 \\text{ m}^3/\\text{s}$
Question 2 : Calcul de la tension de sortie
1. Tension proportionnelle à la vitesse :
$V_{out} = K \\times v = 10 \\times 1.5 = 15 \\text{ mV}$
Question 3 : Plage d'incertitude
1. Incertitude en débit :
$\\Delta Q_v = 0.005 \\times Q_v = 0.005 \\times 0.01178 = 5.89 \\times 10^{-5} \\text{ m}^3/\\text{s}$
2. Intervalle :
$[Q_v - \\Delta Q_v ; Q_v + \\Delta Q_v] = [0.01172 ; 0.01183] \\text{ m}^3/\\text{s}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur à ultrasons mesure la distance jusqu’à la surface d’un liquide dans un réservoir. La vitesse du son dans l’air est $c = 340 \\text{ m/s}$. Le temps total pour un aller-retour de l’onde est mesuré :
$t = 15 \\text{ ms}$.
Question 1 : Calculez la distance $d$ entre le capteur et la surface du liquide.
Question 2 : Si la hauteur totale du réservoir est $H = 2 \\text{ m}$, calculez le niveau de liquide $N$.
Question 3 : En déduire le volume contenu dans un réservoir cylindrique de section $S = 1.5 \\text{ m}^2$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la distance
1. Temps aller-retour :
$t_{aller} = \\frac{t}{2} = \\frac{15}{2} = 7.5 \\text{ ms} = 7.5 \\times 10^{-3} \\text{ s}$
2. Distance :
$d = c \\times t_{aller} = 340 \\times 7.5 \\times 10^{-3} = 2.55 \\text{ m}$
Question 2 : Niveau de liquide
$N = H - d = 2 - 2.55 = -0.55 \\text{ m}$
La distance étant plus grande que la hauteur, cela signifie absence de liquide ou dysfonctionnement.
Question 3 : Volume dans le réservoir
Si niveau :
$V = S \\times N$
Volume :
$V = 1.5 \\times 2 = 3.0 \\text{ m}^3$
En fonction du niveau réel calculé.
",
"id_category": "6",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur capacitif d’humidité possède une capacité changeant proportionnellement à l’humidité relative (HR) :
$C(HR) = C_0 (1 + k HR)$ avec $C_0 = 100 \\text{ pF} $, $k = 2$ (pour HR exprimée en fraction).
Question 1 : Calculez la capacité pour une humidité de 40%
Question 2 : Le capteur est intégré dans un pont de mesure équilibré et soumis à une tension alternative $V_{ac} = 5 \\text{ V}$. Calculez la variation de tension différentielle $\\Delta V$ si la capacité change de 15 pF.
Question 3 : Déterminez la sensibilité exprimée en mV par pourcentage d’humidité.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la capacité
1. Expression :
$C = C_0 (1 + k HR) = 100 (1 + 2 \\times 0.40) = 100 (1.8) = 180 \\text{ pF}$
Question 2 : Variation de la tension différentielle
1. Un pont équilibré subit une déséquilibre proportionnel à la variation de capacité :
$\\Delta V = V_{ac} \\times \\frac{\\Delta C}{4 C_0} = 5 \\times \\frac{15}{4 \\times 100} = 5 \\times 0.0375 = 0.1875 \\text{ V} = 187.5 \\text{ mV}$
Question 3 : Sensibilité du capteur
1. Pourcentage d’humidité :
$S = \\frac{\\Delta V}{\\Delta HR} = \\frac{0.1875}{15} = 0.0125 \\text{ V par %} = 12.5 \\text{ mV par %}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un débitmètre à effet Coriolis est utilisé pour mesurer le débit massique d'un liquide. Le capteur génère une fréquence proportionnelle au débit :
$f = K Q_m$, avec $K = 2500 \\, Hz/(kg/s)$. La fréquence mesurée est $f = 7500 \\, Hz$.
Question 1 : Calculer le débit massique $Q_m$.
Question 2 : Le liquide a une masse volumique $\\rho = 1000 \\, kg/m^3$, calculer le débit volumique $Q_v$.
Question 3 : Si le diamètre de la conduite est $d = 0,05 \\, m$, calculer la vitesse moyenne du fluide $v$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul du débit massique
La relation entre la fréquence et le débit massique est :
$f = K Q_m$
Donc :
$Q_m = \\frac{f}{K}$
Remplacement :
$Q_m = \\frac{7500}{2500} = 3 \\, kg/s$
Question 2 : Calcul du débit volumique
La relation entre débit massique et volumique est :
$Q_m = \\rho Q_v \\Rightarrow Q_v = \\frac{Q_m}{\\rho}$
Remplacement :
$Q_v = \\frac{3}{1000} = 0{,}003 \\, m^3/s$
Question 3 : Calcul de la vitesse moyenne dans la conduite
La section de la conduite est :
$S = \\pi \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2 = \\pi \\times \\left(\\frac{0,05}{2}\\right)^2 = \\pi \\times 0{,}025^2 = 1{,}9635 \\times 10^{-3} \\, m^2$
La vitesse moyenne est :
$v = \\frac{Q_v}{S} = \\frac{0{,}003}{1{,}9635 \\times 10^{-3}} = 1{,}528 \\, m/s$
",
"id_category": "6",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur de niveau capacitif utilise la relation suivante entre la capacitance et la hauteur de liquide :
$C = C_0 + k h$, où $C_0 = 100 \\, pF$, $k = 8 \\, pF/cm$, et $h$ est la hauteur du liquide en centimètres.
Question 1 : Si la capacitance mesurée est $C = 180 \\, pF$, déterminer la hauteur du liquide.
Question 2 : Calculer la variation de la capacité pour un changement de $10 \\, cm$ de hauteur.
Question 3 : Déduire la variation de charge électrique $\\Delta Q$ sur le condensateur pour une tension d'alimentation $V = 5 \\, V$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Détermination de la hauteur du liquide
À partir de :
$C = C_0 + k h$
On isole :
$h = \\frac{C - C_0}{k}$
Remplacement :
$h = \\frac{180 - 100}{8} = \\frac{80}{8} = 10 \\, cm$
Question 2 : Calcul de la variation de la capacité pour 10 cm
La variation est :
$\\Delta C = k \\times 10 = 8 \\times 10 = 80 \\, pF$
Question 3 : Variation de charge électrique
La variation de charge :
$\\Delta Q = V \\times \\Delta C = 5 \\times 80 \\times 10^{-12} = 4 \\times 10^{-10} \\, C$
",
"id_category": "6",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Un capteur d'humidité capacitif a une capacité parasite à vide de $C_p = 20 \\, pF$ et une capacité variable proportionnelle au taux d'humidité relative :
$C = C_p + k \\times RH$, avec $k = 1{,}5 \\, pF / \\% RH$.
Question 1 : Calculer la capacité totale pour un taux d'humidité relative $RH = 50 \\%$.
Question 2 : Si la tension d'alimentation est de $3{,}3 \\, V$, calculer la charge maximale accumulée dans le capteur.
Question 3 : Déterminer la variation de capacité et de charge pour une variation de taux d'humidité de $10 \\%$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complète :
Question 1 : Calcul de la capacité totale
La capacité totale est :
$C = C_p + k \\times RH$
Remplacement :
$C = 20 + 1{,}5 \\times 50 = 20 + 75 = 95 \\, pF$
Question 2 : Calcul de la charge maximale
La charge est donnée par :
$Q = C \\times V = 95 \\times 10^{-12} \\times 3{,}3 = 3{,}135 \\times 10^{-10} \\, C$
Question 3 : Variation de capacité et de charge pour 10% de variation d'humidité
Variation de capacité :
$\\Delta C = k \\times 10 = 1{,}5 \\times 10 = 15 \\, pF$
Variation de charge :
$\\Delta Q = \\Delta C \\times V = 15 \\times 10^{-12} \\times 3{,}3 = 4{,}95 \\times 10^{-11} \\, C$
",
"id_category": "6",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Mesure de débit par débitmètre électromagnétique
Un tuyau contenant un liquide de densité $\\rho = 1000 \\rm kg/m^3$ a un diamètre intérieur $D = 0.1 \\rm m$. Un capteur électromagnétique mesure la vitesse moyenne du fluide $v = 2 \\rm m/s$.
Question 1 : Calculer le débit volumique $Q$ du liquide.
Question 2 : Déterminer le débit massique $Q_m$ du liquide.
Question 3 : Si le capteur induit une perte de charge $\\Delta P = 500 \\rm Pa$, calculer la puissance perdue dans le système.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul du débit volumique
1. La section du tuyau :
$S = \\pi \\left(\\frac{D}{2}\\right)^2$
2. Le débit volumique :
$Q = S \\times v$
3. Calcul :
$S = \\pi \\times (0.05)^2 = 7.85 \\times 10^{-3} \\rm m^2$
$Q = 7.85 \\times 10^{-3} \\times 2 = 0.0157 \\rm m^3/s$
4. Résultat final :
$\\boxed{Q = 0.0157 \\rm m^3/s}$
Question 2 : Calcul du débit massique
1. Relation :
$Q_m = \\rho \\times Q$
2. Calcul :
$Q_m = 1000 \\times 0.0157 = 15.7 \\rm kg/s$
3. Résultat final :
$\\boxed{Q_m = 15.7 \\rm kg/s}$
Question 3 : Calcul de la puissance perdue
1. Puissance perdue avec perte de charge :
$P_{perdue} = \\Delta P \\times Q$
2. Calcul :
$P_{perdue} = 500 \\times 0.0157 = 7.85 \\rm W$
3. Résultat final :
$\\boxed{P_{perdue} = 7.85 \\rm W}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Mesure de niveau par capteur à ultrasons
Un capteur à ultrasons mesure la distance entre lui et une surface de liquide dans un réservoir. La vitesse du son est $c = 340 \\rm m/s$, et le temps de parcours aller-retour mesuré est $t = 20 \\rm ms$.
Question 1 : Calculer la distance entre le capteur et le liquide.
Question 2 : Si la hauteur totale du réservoir est $H = 1.5 \\rm m$, calculer le niveau de liquide.
Question 3 : Déterminer la résolution spatiale du capteur si la précision temporelle est de 10 \\mu s.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la distance
1. Le temps mesuré est un aller-retour, la distance est donc :
$d = \\frac{c \\times t}{2}$
2. Remplacement :
$d = \\frac{340 \\times 20 \\times 10^{-3}}{2} = 3.4 \\rm m$
3. Résultat final :
$\\boxed{d = 3.4 \\rm m}$
Question 2 : Calcul du niveau du liquide
1. Calcul :
$N = H - d = 1.5 - 3.4 = -1.9 \\rm m$
2. Conclusion :
Cette valeur négative indique que le liquide n'est pas présent dans la zone mesurée (le capteur est trop éloigné). Il faut vérifier physiquement.
Question 3 : Résolution spatiale du capteur
1. La résolution est liée à la précision temporelle :
$\\Delta d = \\frac{c \\times \\Delta t}{2}$
2. Remplacement :
$\\Delta d = \\frac{340 \\times 10 \\times 10^{-6}}{2} = 1.7 \\times 10^{-3} \\rm m = 1.7 \\rm mm$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\Delta d = 1.7 \\rm mm}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Mesure d'humidité par capteur capacitif
Un capteur capacitif d'humidité présente une capacité qui varie en fonction de l'humidité relative HR (%) selon :
$C(HR) = C_0 \\times (1 + a \\times HR)$
où $C_0 = 50 \\rm pF$ et $a = 0.02$.
Question 1 : Calculer la capacité pour une humidité relative de 60%.
Question 2 : Déterminer la variation de capacité par rapport à la valeur initiale.
Question 3 : Si le capteur est intégré à un circuit avec une tension d'alimentation de 3 V et une résistance de 100 k\\Omega, calculer la variation de courant liée à cette variation de capacité à une fréquence de 1 kHz.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la capacité pour HR = 60%
1. Formule :
$C = C_0 (1 + a \\times HR)$
2. Remplacement :
$C = 50 \\times (1 + 0.02 \\times 60) = 50 \\times (1 + 1.2) = 110 \\rm pF$
3. Résultat final :
$\\boxed{C = 110 \\mathrm{pF}}$
Question 2 : Variation de capacité
1. Calcul :
$\\Delta C = C - C_0 = 110 - 50 = 60 \\rm pF$
2. Résultat final :
$\\boxed{\\Delta C = 60 \\mathrm{pF}}$
Question 3 : Variation de courant à 1 kHz
1. Offrant une capacité variable, le courant alternatif est :
$I = V \\times 2 \\pi f \\times C$
2. Variation de courant :
$\\Delta I = V \\times 2 \\pi f \\times \\Delta C$
3. Remplacement :
$\\Delta I = 3 \\times 2 \\pi \\times 1000 \\times 60 \\times 10^{-12} = 1.13 \\times 10^{-6} A = 1.13 \\rm \\mu A$
4. Résultat final :
$\\boxed{\\Delta I = 1.13 \\mathrm{\\mu A}}$
",
"id_category": "6",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 1 : Capteur de débit à orifice (débitmètre différentiel)\n\nUn fluide d’eau (masse volumique $ρ = 1000 kg/m^3$) s’écoule à travers une plaque à orifice d’un diamètre interne $d = 20 mm$, installée dans une conduite de diamètre $D = 40 mm$. Un capteur différentiel mesure une différence de pression $ΔP = 1500 Pa$.\n\nQuestions :\n1. Calculer le coefficient de vitesse $β = d/D$ et la surface effective de l’orifice.\n2. En utilisant la formule de débit volumique $Q = C_d S \\sqrt{\\frac{2ΔP}{ρ(1 - β^4)}}$ avec $C_d = 0.61$, calculer le débit volumique d’eau.\n3. Déterminer la vitesse moyenne du fluide dans la conduite principale.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Coefficient de vitesse et surface :
Formules : $β = \\frac{d}{D}$ et $S = \\frac{\\pi d^2}{4}$
Remplacement : $β = \\frac{0.02}{0.04} = 0.5$ et $S = \\frac{\\pi (0.02)^2}{4} = 3.14 \\times 10^{-4} m^2$.
\n\n2. Débit volumique :
Formule : $Q = C_d S \\sqrt{\\frac{2ΔP}{ρ(1 - β^4)}}$
Remplacement : $Q = 0.61 \\times 3.14\\times10^{-4} \\sqrt{\\frac{2\\times1500}{1000(1 - 0.5^4)}}$
Calcul : $Q = 0.61 \\times 3.14\\times10^{-4} \\times \\sqrt{\\frac{3000}{937.5}} = 0.61\\times3.14\\times10^{-4}\\times1.79 = 3.43 \\times10^{-4} m^3/s$.
\n\n3. Vitesse moyenne :
Formule : $v = \\frac{Q}{S_D}$ avec $S_D = \\frac{\\pi D^2}{4}$
Remplacement : $S_D = \\frac{\\pi (0.04)^2}{4} = 1.256\\times10^{-3} m^2$
Résultat : $v = \\frac{3.43\\times10^{-4}}{1.256\\times10^{-3}} = 0.273 m/s$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 2 : Capteur de niveau capacitif\n\nUn capteur de niveau de liquide est basé sur une capacité formée par deux plaques planes parallèles de surface $S = 100 cm^2$ séparées par une distance $e = 5 mm$. Le réservoir contient un liquide dont la constante diélectrique est $\\varepsilon_r = 80$. Le reste du capteur est rempli d’air ($\\varepsilon_r = 1$). Le niveau du liquide occupe 60 % de la hauteur des plaques.\n\nQuestions :\n1. Calculer la capacité totale du capteur en prenant en compte les deux zones (liquide et air) connectées en parallèle.\n2. Déterminer la variation de capacité si le niveau passe de 60 % à 90 %.\n3. En supposant une tension de mesure $V = 10 V$, calculer la charge électrique stockée dans le capteur pour les deux niveaux.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Capacité à 60 % :
Formule générale : $C = \\varepsilon_0 S \\left(\\frac{\\varepsilon_{r1} h_1 + \\varepsilon_{r2} h_2}{e h_{tot}}\\right)$
Ici, $h_1=0.6h_{tot}$ (liquide), $h_2=0.4h_{tot}$ (air).
Remplacement : $C = 8.85\\times10^{-12} \\times 100\\times10^{-4} \\times \\frac{(80\\times0.6 + 1\\times0.4)}{5\\times10^{-3}}$
Calcul : $C = 8.85\\times10^{-12}\\times10^{-2} \\times \\frac{48.4}{5\\times10^{-3}} = 85.56 pF$.
\n\n2. Capacité à 90 % :
Nouvelle expression : $C = 8.85\\times10^{-12}\\times10^{-2}\\times\\frac{(80\\times0.9+1\\times0.1)}{5\\times10^{-3}}=8.85\\times10^{-14}\\times\\frac{72.1}{5\\times10^{-3}}=127.6 pF$
Variation : $ΔC = 127.6 - 85.6 = 42 pF$.
\n\n3. Charge électrique :
Formule : $Q = C V$
Pour 60 % : $Q_1 = 85.6\\times10^{-12}\\times10 = 8.56\\times10^{-10} C$
Pour 90 % : $Q_2 = 127.6\\times10^{-12}\\times10 = 1.28\\times10^{-9} C$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Les capteurs de débit, niveau, humidité",
"question": "Exercice 3 : Capteur d’humidité capacitif\n\nUn capteur capacitif d’humidité ambiante fonctionne avec une constante diélectrique dépendante du taux d’humidité relative $RH$ selon la loi $\\varepsilon_r = 2 + 0.03 \\times RH$. Le capteur a $S = 5 cm^2$ et $e = 0.2 mm$.\n\nQuestions :\n1. Établir l’expression de la capacité en fonction de l’humidité relative RH.\n2. Calculer la capacité pour $RH = 40%$ et $RH = 90%$.\n3. Si le capteur est intégré dans un pont de mesure alimenté à $V_{cc} = 5 V$, déterminer la variation de tension de sortie lorsque RH passe de 40 % à 90 % (pont demi-actif).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression de la capacité :
Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{e}$
Substitution : $\\varepsilon_r = 2 + 0.03RH$
Donc $C(RH) = 8.85\\times10^{-12}(2 + 0.03RH)\\frac{5\\times10^{-4}}{2\\times10^{-4}} = 2.21\\times10^{-11}(2 + 0.03RH)$.
\n\n2. Calcul numérique :
Pour 40 % : $C_{40} = 2.21\\times10^{-11}(2 + 1.2) = 7.03\\times10^{-11} F = 70.3 pF$
Pour 90 % : $C_{90} = 2.21\\times10^{-11}(2 + 2.7) = 1.04\\times10^{-10} F = 104 pF$.
\n\n3. Variation de tension du pont :
Formule : $ΔV = \\frac{V_{cc}}{4}\\frac{ΔC}{C_{ref}}$ en mode demi-actif
Remplacement : $ΔC = 104 - 70.3 = 33.7 pF$, $C_{ref}=70.3 pF$
Calcul : $ΔV = \\frac{5}{4} \\times \\frac{33.7}{70.3} = 0.6 V$.
",
"id_category": "6",
"id_number": "40"
}
]