Commande de robots de manipulation Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (11 Exercices)
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    Session 2 - - Contexte : On étudie un robot manipulateur 3R (trois articulations rotoïdes) dans l'espace 3D utilisé pour des tâches de manipulation industrielle. Le robot doit suivre une trajectoire cartésienne complexe en respectant des contraintes d'accélération et de vitesse. Les données géométriques suivent les paramètres DH standard. Question 1 (4 points) - Matrice jacobienne et singularités : a) Définir la matrice jacobienne analytique et la matrice jacobienne géométrique pour le robot 3R. b) Pour une configuration donnée $\theta = (\theta_1, \theta_2, \theta_3)^T$ , établir l'expression générale du jacobien. c) Identifier les configurations singulières et expliquer leurs implications pour le contrôle. d) Calculer...→
  • 2
    Session 3 - - Contexte : On considère un robot SCARA (Selective Compliant Arm for Robotic Assembly) utilisé pour des tâches d'assemblage. Le robot doit effectuer une séquence complexe : approche d'objet, saisie, transport, et pose. On analyse les aspects cinématiques, dynamiques et de contrôle. Question 1 (4 points) - Cinématique du SCARA : Un robot SCARA à 4 DDL (deux articulations horizontales rotoïdes + une verticale prismatique + rotation du poignet) a pour paramètres DH : Joint θᵢ ou dᵢ aᵢ dᵢ ou θᵢ αᵢ 1 θ₁ L₁=0.3m 0 0 2 θ₂ L₂=0.25m 0 0 3 0 0 d₃...→
  • 3
    Examen n°1 : Modélisation et cinématique d'un robot manipulateur anthropomorphe Partie 1 : Analyse cinématique complète d'un bras robot à 3 degrés de liberté Un robot manipulateur anthropomorphe possède 3 articulations rotoïdes (axes Z). Les paramètres DH sont : a₁ = 0,5 m, d₁ = 0,2 m, a₂ = 0,4 m, a₃ = 0,3 m. Les angles articulaires actuels sont θ₁ = 30°, θ₂ = 45°, θ₃ = -20°. Les cinq questions suivantes permettent d'analyser la cinématique directe et inverse du robot : Q1. Calculez la position et l'orientation de l'effecteur en utilisant la cinématique directe basée sur les matrices...→
  • 4
    Examen n°3 : Commande dynamique et contrôle en temps réel d'un robot manipulateur Partie 3 : Synthèse des lois de commande pour suivi de trajectoire robuste Un robot 2-DDL doit suivre une trajectoire de consigne générée par un polynôme d'ordre 5. Les masses articulaires sont m₁ = 5 kg, m₂ = 3 kg. Les inerties J₁ = 0,5 kg·m², J₂ = 0,2 kg·m². Une loi de commande PD classique est d'abord testée. Les cinq questions suivantes permettent de concevoir et d'optimiser la commande : Q1. Déterminez les gains PD (Kp, Kd) pour le premier articulation en utilisant la méthode de...→
  • 5
    On considère la génération d'une trajectoire pour un manipulateur 2-DoF effectuant une tâche complexe : passage d'un point A (position de repos) vers un point B (zone de travail) en contournant un obstacle cylindrique fixe dans l'environnement. Le système doit maximiser la vitesse de transit tout en garantissant une distance minimale de sécurité vis-à-vis de l'obstacle. Paramètres de la tâche : — Point A (repos) : $(x_A, y_A) = (0,8\,m, 0\,m)$ — Point B (zone travail) : $(x_B, y_B) = (0,2\,m, 0,6\,m)$ — Obstacle cylindrique : centre en $(0,5\,m, 0,3\,m)$ , rayon $r_{obs} = 0,15\,m$ — Distance minimale de sécurité : $d_{min} = 0,05\,m$ — Longueurs robot : $L_1 = 0,5\,m, L_2 = 0,3\,m$ — Vitesse maximale articulaire...→
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    EXAMEN COMMANDE DE ROBOTS DE MANIPULATION – SUJET 1 Contexte : Un robot manipulateur anthropomorphe à 6 degrés de liberté (6-DDL) est utilisé pour des tâches d'assemblage de précision. Le robot possède 3 articulations rotoïdes au niveau du bras et 3 articulations rotoïdes au niveau du poignet (configuration RRR-RRR). On analyse la modélisation cinématique, la génération de trajectoire, et la commande dans l'espace opérationnel. Question 1 : Le robot possède les longueurs de lien suivantes : a₁ = 0.3 m, a₂ = 0.4 m, a₃ = 0.2 m. Les variables articulaires initiales sont θ₁ = 0°, θ₂ = 30°, θ₃...→
  • 7
    | | Contexte général : On étudie un robot manipulateur planaire à 2 degrés de liberté (2 DDL) de type RR utilisé pour des opérations de pick-and-place. Les deux segments ont des longueurs $L_1 = 0.4$ m et $L_2 = 0.3$ m. Les masses sont $m_1 = 5$ kg et $m_2 = 3$ kg, concentrées au centre de chaque segment. L'objectif est de modéliser le robot, générer une trajectoire et concevoir une commande appropriée. Question 1 (6 points) : Modélisation géométrique directe et inverse du robot RR planaire. a) Établir le modèle géométrique direct (MGD) donnant la position de l'effecteur $(x, y)$ en fonction des angles articulaires $(q_1, q_2)$ ....→
  • 8
    | | Contexte général : On étudie un robot SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm) à 4 DDL utilisé pour l'assemblage de composants électroniques. Les paramètres sont : $L_1 = 0.35$ m, $L_2 = 0.25$ m, course verticale $d_3^{max} = 0.15$ m, et rotation finale $q_4$ . L'objectif est la modélisation par convention de Denavit-Hartenberg et la génération de trajectoires dans l'espace opérationnel. Question 1 (6 points) : Modélisation par convention de Denavit-Hartenberg (DH). a) Établir le tableau des paramètres DH pour le robot SCARA 4 DDL avec les articulations : rotation $q_1$ , rotation $q_2$ , translation $d_3$ , rotation $q_4$ . b) Calculer les...→
  • 9
    Modélisation et Commande d'un Robot Manipulateur Plan à 2 DDL On étudie un robot manipulateur planaire à deux degrés de liberté (2R) utilisé pour des opérations de pick-and-place. L'objectif est de modéliser la cinématique, générer une trajectoire et concevoir la commande. Caractéristiques du robot : Longueur du premier segment : $L_1 = 0.4 \text{ m}$ Longueur du second segment : $L_2 = 0.3 \text{ m}$ Masse du premier segment : $m_1 = 5 \text{ kg}$ Masse du second segment : $m_2 = 3 \text{ kg}$ Moment d'inertie segment 1 : $I_1 = 0.067 \text{ kg·m}^2$ Moment d'inertie segment 2 : $I_2 = 0.023 \text{ kg·m}^2$ Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \text{ m/s}^2$ Question 1 (4 points) : Établissez les paramètres de Denavit-Hartenberg (DH) du robot et construisez...→
  • 10
    Commande par Couple Calculé d'un Robot SCARA On étudie un robot SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm) à 3 degrés de liberté utilisé pour l'assemblage électronique. L'objectif est de concevoir une commande dynamique par couple calculé. Caractéristiques du robot SCARA : Premier bras : $L_1 = 0.35 \text{ m}$ , $m_1 = 4 \text{ kg}$ Second bras : $L_2 = 0.30 \text{ m}$ , $m_2 = 3 \text{ kg}$ Axe vertical (prismatique) : course $d_3 \in [0, 0.2] \text{ m}$ , $m_3 = 1.5 \text{ kg}$ Moments d'inertie : $I_1 = 0.041 \text{ kg·m}^2$ , $I_2 = 0.023 \text{ kg·m}^2$ Frottements visqueux : $f_v = 0.5 \text{ N·m·s/rad}$ Question 1 (4 points) : Établissez les paramètres DH du robot SCARA (2 rotations + 1 translation). Calculez la matrice de transformation homogène $T_0^3$ donnant la pose de l'effecteur....→
  • 11
    Session 1 : Modélisation Géométrique d'un Robot Manipulateur | | On considère un robot manipulateur à 3 degrés de liberté (3 DDL) de type RRR (trois articulations rotoïdes) dont les paramètres géométriques sont définis selon la convention de Denavit-Hartenberg modifiée : Articulation i $\alpha_{i-1}$ (rad) $a_{i-1}$ (m) $d_i$ (m) $\theta_i$ (rad) 1 0 0 $d_1 = 0.5$ $q_1$ 2 $\pi/2$ 0 0 $q_2$ 3 0 $a_2 = 0.4$ 0 $q_3$ Outil 0 $a_3 = 0.3$ 0 0 Question 1 (4 points) - Matrices de transformation homogène : a) Écrire la matrice de transformation homogène générale ${}^{i-1}T_i$ selon la convention de Denavit-Hartenberg. b) Calculer les matrices ${}^{0}T_1$ ,...→
• Modélisation d’un robot manipulateur (21 Exercices)
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    Exercice 2 : Robot manipulateur – modélisation dynamique avec cinématique- Contexte : un manipulateur planar à deux liens aborde des équations cinématiques et dynamiques. Les longueurs des bras sont $ l1 = 1.0 m $ , $ l2 = 0.8 m $ , et les masses associées donnent un modèle dynamique simplifié en temps discret : $ q_{k+1} = q_k + T_s v_k $ , $ v_{k+1} = v_k + M(q_k)^{-1} (\tau_k - C(q_k, v_k) v_k - G(q_k)) T_s $ , où $ q_k = [\theta_1^k \; \theta_2^k]^T $ , $ v_k = [\dot{\theta}_1^k \; \dot{\theta}_2^k]^T $ , $ \tau_k = [\tau_1^k \; \tau_2^k]^T $ sont les couples joints, et $ M, C, G $ sont les matrices inertielle, coriolis et de gravité simplifiées. Le coût sur horizon N = 3 est $ J = \sum_{k=0}^{N-1} ( q_k^T Q q_k + v_k^T R v_k + \tau_k^T S \tau_k ) + q_N^T Q_f q_N $ avec $ Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}, R = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \ 0 & 0.5 \end{pmatrix}, S = \begin{pmatrix} 0.1 & 0 \ 0 & 0.1 \end{pmatrix}, Q_f = Q .$ 1. Démontrer étape par étape le calcul des gains K_k et P_k via la rétroaction de Riccati discrète...→
  • 2
    Exercice 2 : Commande adaptative – gains préprogrammés et modèle Étudions une structure adaptative où le système est décrit par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec $A$ et $B$ connus et une référence $r_k$ à suivre. Le régulateur adaptatif procède par gains préprogrammés et par écart paramétrique : $u_k = K_r r_k + K_x x_k$ , où $K_r$ et $K_x$ sont ajustés pour minimiser un coût quadratique $J = \sum (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k)$ sur horizon fini $N$ . Données: $A = \begin{pmatrix} 1.0 & 0.2 \ 0 & 0.95 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0.05 \end{pmatrix}$ , $Q = I$ , $R = 0.5$ , $N = 3$ , et $r_k = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ . a) Donnez les équations de Riccati associées à la solution optimale et les gains $K_k$ sous forme matricielle en rétropropagation. b) Décrivez une...→
  • 3
    Considérons un robot manipulateur plan plan de deux degrés de liberté (2R) utilisé en ingénierie électrique pour des tâches d'assemblage précis. Les paramètres cinématiques sont : longueur du premier lien $l_1 = 0.5$ m, longueur du second lien $l_2 = 0.4$ m. Les angles articulaires sont $\theta_1 = 30^\circ$ et $\theta_2 = 45^\circ$ . La position de l'effecteur final est déterminée par le modèle cinématique direct. 1. Calculez les coordonnées cartésiennes $(x, y)$ de l'effecteur final en utilisant les transformations homogènes. 2. Déterminez la matrice jacobienne $J(\theta)$ et la vitesse linéaire de l'effecteur $\dot{p} = J \dot{\theta}$ pour $\dot{\theta_1} = 0.1$ rad/s et $\dot{\theta_2} = 0.2$ rad/s. 3. Calculez le déterminant de la jacobienne pour évaluer...→
  • 4
    Pour un robot manipulateur SCARA simplifié à deux liens en ingénierie électrique, utilisé pour le pick-and-place, le modèle dynamique est dérivé via Lagrange. Les paramètres sont : masse du premier lien $m_1 = 2$ kg à $l_{c1} = 0.25$ m du joint 1, inertie $I_1 = 0.1$ kg m² ; masse du second $m_2 = 1.5$ kg à $l_{c2} = 0.2$ m du joint 2, $I_2 = 0.05$ kg m² ; $l_1 = 0.5$ m, $l_2 = 0.3$ m. Angles $\theta_1(t) = 0.5 t$ rad, $\theta_2(t) = 0.2 t$ rad, vitesses $\dot{\theta_1} = 0.5$ rad/s, $\dot{\theta_2} = 0.2$ rad/s, accélérations $\\ddot{\theta_1} = 0$ , $\\ddot{\theta_2} = 0$ à t=1 s. 1. Calculez les matrices d'inertie $M(\theta)$ et de Coriolis $C(\theta, \dot{\theta})$ à cette instant. 2. Déterminez le vecteur gravitationnel $G(\theta)$ en...→
  • 5
    Exercice 2 : Optimisation et identifications en commande de robot On considère un robot manipulator avec champ d’action réduit et on cherche à coder une politique de commande adaptative en continu pour optimiser une fonction coût J = ∑ ( e^T Q e + u^T R u ), où e est l’erreur d’orientation et u les actions sur les degrés de liberté. Le système dynamique est modélisé par: ẋ = A x + B u, y = C x, avec x ∈ R^2, u ∈ R^1 et y ∈ R^1. On suppose une linearisation autour d’un point et on cherche...→
  • 6
    Exercice 3 : Structure adaptative et stabilité pour un robot manipulateur Étant donné un robot à deux degrés, on souhaite implémenter une régulation adaptative indirecte avec identification du modèle et update des paramètres. Le modèle d’espace d’états est donné par ẋ = A x + B u, y = C x, et le régulateur est décrit par une loi u = -K(θ) x où K dépend des paramètres adaptatifs θ. Le modèle de référence est fabriqué autour d’un point et les signaux d’excitation assurent la convergence. 1) Écrivez les règles d’identification par gradient pour mettre à jour θ et montrer...→
  • 7
    Exercice 3 – Commande adaptative par modèle de référence pour un système RC linéarisé en 2 caractères. On considère un système discret $x_{k+1} = a x_k + b u_k$ , $y_k = c x_k$ , et l’objectif est de suivre une référence $y_{ref}(k) = sin(0.2 k)$ . Le contrôleur est MRAC avec une architecture directe: $u_k = -K(k) x_k$ où $K(k) = [k_1(k), k_2(k)]$ et les paramètres évoluent selon $\dot{θ} = -Γ Φ^T e$ avec $θ = [k_1, k_2]^T$ et e = y - y_ref. 1. Écrire l’architecture MRAC directe et préciser le régressor $Φ_k$ utilisé pour la mise à jour. Donner l’expression explicite de l’erreur e_k et le calcul de y_hat_k. 2. Écrire la loi de mise à jour des paramètres et l’intégration discrète...→
  • 8
    Exercice 1 : Modélisation cinématique directe d'un robot planulaire à 2 degrés de liberté Considérez un robot manipulateur planulaire à 2 articulations rotatives avec longueurs de maillons $l_1 = 0.5 \, \text{m}$ , $l_2 = 0.4 \, \text{m}$ . Les angles articulaires sont $\theta_1 = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \, \text{rad}$ , $\theta_2 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \, \text{rad}$ . Le repère de base est fixé à l'origine, et le robot opère dans le plan xy. Question 1 (Calculatoire) : Calculez les coordonnées du centre de masse du premier maillon et la position du point de contact du deuxième maillon. Question 2 (Basée sur des calculs) : À partir des positions obtenues, déterminez la matrice jacobienne géométrique au niveau de l'effecteur...→
  • 9
    Exercice 2 : Cinématique inverse et jacobienne pour un robot SCARA simplifié à 2 DOF Un robot SCARA planulaire à 2 DOF a $l_1 = 0.6 \, \text{m}$ , $l_2 = 0.3 \, \text{m}$ . La position désirée de l'effecteur est $(x_d, y_d) = (0.7, 0.2) \, \text{m}$ . Les solutions inverses possibles sont considérées, en choisissant la configuration coude haut. Question 1 (Calculatoire) : Calculez les angles articulaires $\theta_1$ et $\theta_2$ via la cinématique inverse. Question 2 (Basée sur des calculs) : À partir des angles obtenus, déterminez la position vérifiée de l'effecteur et la trace de la jacobienne. Question 3 (Basée sur des calculs) : Calculez les vitesses articulaires requises pour une...→
  • 10
    Exercice 2 : Commande adaptative pour un manipulateur – MRAC et IDA/ARX appliqués Ce troisième exercice traite d’un système de robotique où des méthodes de commande adaptative sont comparées et appliquées à un manipulateur avec cinématique simple et dynamique associée. Les questions s’enchaînent pour former une étude calculatoire cohérente. 1) Mise en forme des équations: considérons le modèle cinématique linéaire autour d’un état initial et le modèle dynamique $τ = M(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} + G(q)$ . Donnez les grandeurs $q, \dot{q}, \ddot{q}$ et déterminez les conditions d’équilibre pour une référence constante $q_ref$ avec entrée torques $τ$ . 2) Mise en œuvre MRAC indirecte: proposez une structure IDA/ARX où...→
  • 11
    Exercice 1 — Modélisation d’un robot manipulateur: modèle cinématique et dynamique Ce problème intègre 5 questions liées et porte sur la modélisation (cinématique et dynamique) d’un robot manipulateur à deux joints rotatifs, en combinant calculs et interprétation. Toutes les expressions mathématiques doivent être écrites entre les balises $...$ . 1) Calculateur — cinématique directe: Considérons un bras robotiques à deux joints avec longueurs $L_1$ et $L_2$ . Le modèle cinématique direct est $x = L_1 cos(θ_1) + L_2 cos(θ_1 + θ_2)$ , $y = L_1 sin(θ_1) + L_2 sin(θ_1 + θ_2)$ . Donnez les valeurs numériques $L_1 = 0.5 \, m$ , $L_2 = 0.4 \, m$ et les angles $θ_1 = 30^{\circ}, θ_2 = 45^{\circ}$ et calculez $x$ et $y$ en mètres. 2) Calculateur — jacobienne: Déterminez la...→
  • 12
    Exercice 1 : Modélisation cinématique directe d'un manipulateur planaire à 2 degrés de liberté. Considérons un robot manipulateur planaire à deux articulations rotatives (2R), avec longueurs de liens $l_1 = 0.5 \, \mathrm{m}$ et $l_2 = 0.4 \, \mathrm{m}$ . Les angles articulaires sont $\theta_1 = 30^\circ$ et $\theta_2 = 45^\circ$ . Le système est modélisé en coordonnées cartésiennes pour la position de l'effecteur final. Le schéma du manipulateur est représenté ci-dessous. Manipulateur planaire 2R O l1 l2 P θ1 θ2 1. Calculez les coordonnées cartésiennes $(x, y)$ de l'effecteur final en utilisant la cinématique directe. 2. Déterminez la matrice de Jacobienne géométrique $J(\theta)$ pour les vitesses et calculez la vitesse linéaire de...→
  • 13
    Exercice 2 : Modélisation dynamique par Lagrange d'un manipulateur 2R. Pour le même manipulateur planaire 2R avec $l_1 = 0.5 \, \mathrm{m}$ , $l_2 = 0.4 \, \mathrm{m}$ , masses uniformes $m_1 = 2 \, \mathrm{kg}$ , $m_2 = 1.5 \, \mathrm{kg}$ , moments d'inertie $I_1 = 0.1 \, \mathrm{kg \cdot m^2}$ , $I_2 = 0.05 \, \mathrm{kg \cdot m^2}$ par rapport aux centres de masse (à mi-lien). Les angles sont $\theta_1, \theta_2$ , vitesses $\dot{\theta_1}, \dot{\theta_2}$ . Le schéma dynamique est représenté ci-dessous. Modèle dynamique 2R Joint 1 m1 Joint 2 m2 Effecteur τ1, τ2 1. Calculez les éléments de la matrice d'inertie $M(\theta)$ en utilisant l'équation de Lagrange. 2. Déterminez les termes de Coriolis et de gravité $C(\theta, \dot{\theta}) \dot{\theta} + G(\theta)$ pour $g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2}$ , $\theta_1 = 30^\circ$ , $\theta_2 = 45^\circ$ , $\dot{\theta_1} = 1 \, \mathrm{rad/s}$ , $\dot{\theta_2} = 0.5 \, \mathrm{rad/s}$ ....→
  • 14
    Exercice 3 : Modélisation cinématique inverse et Jacobienne pour un manipulateur 2R. Pour le manipulateur 2R avec $l_1 = 0.5 \, \mathrm{m}$ , $l_2 = 0.4 \, \mathrm{m}$ , une position désirée de l'effecteur est $(x_d, y_d) = (0.6, 0.3) \, \mathrm{m}$ . Calculez les angles articulaires via cinématique inverse, puis la Jacobienne et les vitesses inverses pour $\dot{x}_d = 0.2 \, \mathrm{m/s}$ , $\dot{y}_d = 0.1 \, \mathrm{m/s}$ . Le schéma est le même que précédemment. Cinématique inverse 2R O l1 l2 Pd 1. Calculez les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ via la cinématique inverse (solution coudé intérieur). 2. Déterminez la Jacobienne $J(\theta)$ aux angles calculés et vérifiez son rang. 3. Calculez les vitesses articulaires $\dot{\theta}$ via l'inverse de Jacobienne pour les...→
  • 15
    Exercice 1: Modélisation et commande d’un robot manipulateur - cadre continu Un robot manipulateur planar à deux degrés de liberté est décrit par les équations cinématiques et dynamiques ci-après. Le modèle cinématique (courant) est donné par $q = [\theta_1, \theta_2]^T$ , et le modèle dynamique simplifié en forme vecteur-État est: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -a x_1 - b x_2 + k u$ avec $x_1 = \theta_1$ , $x_2 = \dot{\theta}_1$ , et l’entrée $u$ agit sur le premier joint via une couple effective. Le modèle de référence (MR) est supposé linéaire autour d’un point d’opération et est donné par: $\dot{x}_m = A_m x_m + B_m r$ $y_m = C_m x_m$ où $A_m = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}$ , $B_m = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ , $C_m = I_2$ , et $r$ est la référence de position angulaire des...→
  • 16
    Exercice 2: Cinématique et dynamique d’un robot manipulateur à 2 articulations - cadre calculatoire Considérons un robot planar à deux articulations articulées par les angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) . Le modèle cinématique est donné par la fonction de transformation directe: $x = f(\theta_1, \theta_2)$ , et le modèle dynamique simplifié en forme équationnel est $M(\theta) \ddot{\theta} + C(\theta,\dot{\theta}) \dot{\theta} + G(\theta) = \tau$ , où $\theta = [\theta_1, \theta_2]^T$ , $\tau = [\tau_1, \tau_2]^T$ est le couple appliqué. On considère une approximation linéaire autour d’un point d’opération pour obtenir une représentation d’état-space: $\dot{x} = A x + B u$ , $y = C x$ avec $x = [\theta_1, \dot{\theta}_1, \theta_2, \dot{\theta}_2]^T$ , et des matrices exemplaires $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \ -0.5 & -0.1 & 0.2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0.2 & 0 & -0.6 & -0.1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $C = I_4$ et $r = [1, 0.5, 1, 0.5]^T$ . La commande adaptative indirecte avec identification du...→
  • 17
    Exercice 1 : Modélisation cinématique et dynamique d’un manipulateur Considérons un robot manipulateur planar à deux degrés de liberté (2R) avec deux joints rotatifs. Le comportement cinématique est décrit par les coordonnées articulaires $q = [\theta_1 \; \theta_2]^T$ , et les positions opérationnelles de l’effort appliqué en bout de bras par $u = [\tau_1 \; \tau_2]^T$ . Le modèle cinématique de pozition est donné par $p = f(q)$ et le modèle dynamique simplifié (Euler-Lagrange) est $M(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} + G(q) = u$ , avec la matrice d’inertie $M(q)$ , le terme centripète-Coriolis $C(q, \dot{q})$ et le terme gravitaire $G(q)$ . On suppose des conditions initiales $q(0) = [0,0]^T$ , $\dot{q}(0) = [0,0]^T$ et que l’objectif est d’amener le robot vers une...→
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    Exercice 2 : Conditionnement cinématique pour la stabilité numérique Un robot manipulateur à trois degrés de liberté est décrit par le modèle cinématique $p = f(q)$ et le jacobien $J(q) = \partial f / \partial q$ . Le contrôle est effectué via une régulation en vitesse $\dot{q} = -K J(q)^+ (f(q) - p_{ref})$ , où $q ∈ ℝ^3$ , $p_{ref} ∈ ℝ^3$ , et $J(q)^+$ est la pseudo-inverse de $J$ . On suppose que l’objectif est d’amener $f(q) vers $ p_ref $ tout en garantissant la stabilité numérique, c’est-à-dire que la condition de coercivité de $ J^T J $ est satisfaite pendant la trajectoire. 1) Établir l’expression de l’erreur d’attente $ e_p = p - p_ref $ et dériver l’équation de dynamique virtuelle associée à la régulation en vitesse. 2) Donner la condition nécessaire sur le Jacobien pour assurer que $ V = 1/2 e_p^T e_p $ est strictement décroissant le long des trajectoires sous la loi de contrôle, et interpréter le rôle du choix de $ K $ dans cette propriété. 3) Considérer que l’on introduit une régularisation numérique par addition d’un petit bruit $ \epsilon I $ à $ J^T J $ afin d’éviter des singularités. Décrire comment cela affecte la stabilité et proposer une valeur d’exemple pour $ \epsilon $ en fonction de $ K $ pour garantir la robustesse.→
  • 19
    Exercice 2 — Modélisation et dérivation du cadre du robot manipulé (cinématique directe et inverse) Un bras robotique à deux joints en configuration plane est défini par deux liens length $l_1$ et $l_2$ avec angles joints $\theta_1$ et $\theta_2$ . La cinématique directe est donnée par $x = l_1 cos(\theta_1) + l_2 cos(\theta_1 + \theta_2)$ , $y = l_1 sin(\theta_1) + l_2 sin(\theta_1 + \theta_2)$ . 1) Calculer les jacobiennes $J_v = \partial [x,y]^T / \partial [\theta_1, \theta_2]^T$ et donner les expressions des dérivées $\dot{x}, \dot{y}$ en fonction de $\dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2$ . 2) Déduire les expressions pour la cinématique inverse: trouver $\theta_1$ , $\theta_2$ en fonction de $x$ , $y$ pour la configuration donnée et discuter des ambiguïtés (méthode et conditions de déverrouillage). 3) Supposons...→
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    Exercice 1 – Modélisation et cinématique d’un robot manipulateur Dans ce travail, on s’intéresse à la modélisation cinématique et dynamique d’un bras manipulatoré à deux joints planaires. Les grandeurs sont en unités SI et les angles sont mesurés en radians. Considérer les données suivantes : Rappel : la posture du bras est décrite par la configuration $\mathbf{q} = \begin{pmatrix} \theta_1 \ \theta_2 \end{pmatrix}$ , et la position cartésienne de l’effecteur est $\mathbf{p} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \ l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix}$ . Paramètres : $l_1 = 0.5 m$ , $l_2 = 0.3 m$ . Le système est décrit par le modèle cinématique direct et la vitesse du charriot est donnée par la matrice jacobienne $\mathbf{J}(\mathbf{q}) = \begin{pmatrix} -l_1 \sin \theta_1 - l_2 \sin(\theta_1+\theta_2) & -l_2 \sin(\theta_1+\theta_2) \ l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos(\theta_1+\theta_2) & l_2 \cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix}$ et $\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{J}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}$ . On demande de...→
  • 21
    Exercice 2 – Cinématique inverse et contraintes diélectriques simulées Deuxième exercice porte sur la cinématique inverse et l’analyse des contraintes d’un manipulateur à deux degrés de liberté. Données : $l_1 = 0.6 m$ , $l_2 = 0.4 m$ . On cherche les angles qui placent l’effecteur à une position donnée $\mathbf{p} = (x, y)$ avec $x = 0.5 m$ , $y = 0.5 m$ et on impose une orientation finale souhaitée $\phi = \arctan2(y, x)$ . Le bras est posé comme dans l’exercice précédent avec les mêmes notations. Les équations retour au domaine cartésien donnent : $x = l_1 cos θ_1 + l_2 cos(θ_1 + θ_2)$ , $y = l_1 sin θ_1 + l_2 sin(θ_1 + θ_2)$ . On demande une résolution purement calculatoire en 5 questions qui suivent une progression logique et qui ne contiennent...→
• Génération de trajectoire (45 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Génération de trajectoire pour robots de manipulation – méthodes de base et interpolations Dans un cadre de robotique industrielle, on considère un robot manipulateur à deux degrés de liberté opéré dans l’espace articulaire. Le modèle cinématique est linéarisé autour d’un point de fonctionnement et l’espace d’état discret est : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , où $x_k ∈ R^2$ représente les angles articulaires et $u_k ∈ R^2$ les vitesses de commande des moteurs. Le coût sur un horizon N est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) + x_N^T P x_N$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ . Les matrices d’état et de contrôle sont données par : $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 \ -0.3 & 0.95 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.05 & 0 \ 0 & 0.05 \end{pmatrix}$ . Le but...→
  • 2
    Exercice 3 : Trajectoire prévisible par profils d’accélération et commandes par interpolations Dans ce cadre, un robot manipulateur 2-DOF doit atteindre une configuration finale depuis une configuration initiale. Le modèle est linéarisé et discret : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , avec $x_k ∈ R^2$ , $u_k ∈ R^2$ . Le coût est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) + x_N^T P x_N$ avec $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = I$ et $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ . Données : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0.2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.1 & 0 \ 0 & 0.1 \end{pmatrix}$ , horizon N = 5. a) Écrivez l’ARE discrète associée et donnez une solution symbolique P_symm qui garantit la stabilité et la positivité de P. b) Déduisez le gain K et la dynamique A_cl ; calculez les valeurs propres de A_cl et...→
  • 3
    Dans le cadre de la génération de trajectoires pour des robots de manipulation, on étudie trois méthodes fondamentales : génération point à point (PA), génération par profils d’accélération et génération par profils de vitesse, puis interpolation en espace articulaire et cartésien. On suppose un robot à deux degrés de liberté avec états $x = \begin{pmatrix} \theta_1 \ \theta_2 \ \dot{\theta}_1 \ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix}$ et entrée $u = \begin{pmatrix} \tau_1 \ \tau_2 \end{pmatrix}$ (moments appliqués). Le modèle linéarisé autour d’un point opérationnel est $\dot{x} = A x + B u$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ -\frac{k_1}{I_1} & 0 & -\frac{b_1}{I_1} & 0 \ 0 & -\frac{k_2}{I_2} & 0 & -\frac{b_2}{I_2} \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ \frac{1}{I_1} & 0 \ 0 & \frac{1}{I_2} \end{pmatrix}$ . La trajectoire souhaitée est une commande point à point entre deux configurations $x_0$ et $x_f$ dans un horizon discret $N$ . Le coût est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (\Delta x(k)^T Q \Delta x(k) + \Delta u(k)^T R \Delta u(k))$ avec $Q = \operatorname{diag}(100, 100, 1, 1)$ et...→
  • 4
    Exercice 1 — Génération de trajectoires en robotique: profil d’accélération et interpolation point à point. On considère un robot manipulant en espace joint et en espace cartésien. Le modèle linéarisé en espace joint est $\dot{q}(t) = A q(t) + B u(t)$ , où $q ∈ ℝ^2$ représente les angles des articulations et $u ∈ ℝ^2$ les commandes des moteurs. La sortie est $y = C q$ avec $C = [I_2]$ . Les matrices sont $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{pmatrix},$ et $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . On s’intéresse à la génération de trajectoires point à point entre deux configurations initiale et finale en utilisant trois méthodes: (i) profil d’accélération uniforme, (ii) profil de vitesse (rampe), (iii) interpolation dans l’espace cartésien après transformation des...→
  • 5
    Exercice 2 — Optimisation et planification de trajectoires avec contraintes. On considère un robot à deux degrés de liberté et on cherche à planifier une trajectoire point à point en espace joint et en espace cartésien. Le système est modélisé par $\dot{q} = A q + B u$ avec $q ∈ ℝ^2$ , $u ∈ ℝ^2$ , et $y = C q$ . Les matrices sont $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ , $C = [I_2]$ , et les points cible dans l’espace joints $q_a = (0.0, 0.0)$ , $q_b = (1.0, 0.5)$ . L’objectif est de minimiser l’effort et le temps de trajet tout en respectant les contraintes $|u_i| ≤ 1$ et $|q_i| ≤ 2$ . Question 1 : Discrétiser le modèle avec dt = 0.05 et...→
  • 6
    Exercice 1 : Génération de trajectoires et boucles de commande pour robots de manipulation Dans le cadre d’un robot de manipulation articulated, le problème est de générer une trajectoire point à point dans l’espace articulaire en utilisant des profils d’accélération et de vitesse. On considère un modèle discret en espace d’état simple pour une articulation unique (angle θ et vitesse ω) décrit par : $\theta_{k+1} = \theta_k + T \omega_k$ $\omega_{k+1} = \omega_k + T u_k$ avec l’angle final souhaité $\theta^* = 1.5 \text{ rad} $ et une vitesse finale nulle $\omega_N = 0$ . Le pas de temps est $T = 0.1 \text{s}$ . Le coût à minimiser sur un horizon $N = 4$ est défini par : $J = \sum_{k=0}^{N-1} ( (\theta_k - \theta^*)^2 + 0.5 \omega_k^2 + 0.1 u_k^2 ) + (\theta_N - \theta^*)^2 $ Contraintes :...→
  • 7
    Exercice 2 : Génération de trajectoires par profil d’accélération et profil de vitesse On modélise un robot à deux articulations (angles q1, q2) utilisateur par un système discret linéaire avec état x = [q1, q2, dq1, dq2]^T et entrée u = [τ1, τ2]^T. Le modèle en espace d’état discret est : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , avec des matrices données par : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.01 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0.01 \\ 0 & 0 & 0.99 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.98 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 \end{pmatrix}$ Objectif : générer une trajectoire point à point entre l’état initial x0 = [0,0,0,0]^T et l’état final xf = [\pi/4, \pi/6, 0, 0]^T en horizon N = 5 en utilisant un profil d’accélération puis un profil de vitesse et en...→
  • 8
    Exercice 3 : Interpolation et génération de mouvement dans l’espace cartésien Supposons une pince robotisée dont la tête gravite au-dessus d’un plan en coordonnées cartésiennes (x, y). Le système est décrit en espace cartésien par : $[x_{k+1}, y_{k+1}]^T = [x_k, y_k]^T + T [v_x^k, v_y^k]^T$ et la vitesse est contrôlée par un vecteur d’action $u_k = [a_x, a_y]^T$ , avec des profils d’accélération et de vitesse pour atteindre une cible $(x^*, y^*) = (0.8, 0.6)$ en horizon N = 4. Les contraintes sont |u_k| <= 1 et |x|,|y| <= 2. Coût : $J = \sum_{k=0}^{N-1} ( (x_k - x^*)^2 + (y_k - y^*)^2 + \rho (a_x^2 + a_y^2) ) + (x_N - x^*)^2 + (y_N - y^*)^2 $ avec $\rho = 0.2$ . 1) Décrire les trois approches pour générer des trajectoires (point à point avec profil, interpolation par spline linéaire, et...→
  • 9
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point dans l'espace articulaire pour un robot manipulateur à 2 degrés de liberté Dans le cadre du contrôle d'un robot manipulateur à deux articulations rotatives pour des tâches d'assemblage électrique, on génère une trajectoire point à point dans l'espace articulaire en utilisant la méthode de base polynomiale cubique. Les positions articulaires initiales sont $q_i = [0, 0]^T$ rad, finales $q_f = [\pi/2, \pi/3]^T$ rad, avec un temps total de mouvement $T = 2$ s. La trajectoire est définie par $q(t) = q_i + (q_f - q_i) \left( 3 \left( \frac{t}{T} \right)^2 - 2 \left( \frac{t}{T} \right)^3 \right)$ pour assurer des vitesses nulles aux extrémités. Le schéma du robot à 2 DOF est représenté ci-dessous : Joint 1...→
  • 10
    Exercice 2 : Génération de mouvement point à point avec profil d'accélération dans l'espace cartésien pour un robot SCARA Pour un robot SCARA utilisé en inspection de circuits électroniques, on génère une trajectoire point à point dans l'espace cartésien avec un profil d'accélération trapézoïdal. La position initiale est $p_i = (0.5, 0)^T$ m, finale $p_f = (0.7, 0.3)^T$ m, distance $d = \sqrt{(0.2)^2 + (0.3)^2} = 0.3606$ m. Accélération max $a_{max} = 0.5$ m/s², vitesse max $v_{max} = 0.8$ m/s, temps total calculé en fonction du profil. Le profil divise le mouvement en phases : accélération (0 à $t_1$ ), vitesse constante ( $t_1$ à $t_2$ ), décélération ( $t_2$ à $T$ ). Le schéma du...→
  • 11
    Exercice 1 : Génération de trajectoire - profil d'accélération et espace cartésien On modélise un bras robotique planar à deux joints révoluts, avec état $x = [\theta_1, \theta_2, \dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2]^T$ et entrée $u = [\tau_1, \tau_2]^T$ (torques des axes). Le modèle en espace d'états est donné par $\dot{x} = A x + B u$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & -0.5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -0.5 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . La trajectoire cible est celle qui amène $x$ à l’origine $x_f = 0$ en horizon fini $N = 4$ , sous les contraintes d’effort $|\tau_i| \leq \tau_{\max}$ avec $\tau_{\max} = 2$ et coût quadratique $J = \sum_{k=0}^{N-1} x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k$ , où $Q = \begin{pmatrix} 100 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 100 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0.5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix}, \quad R = I_2.$ 1) Ecrivez la dynamique discrète correspondante et le coût à minimiser sur l’horizon fini : $J$ . 2) Déduisez la loi de contrôle optimale en...→
  • 12
    Exercice 2 : Génération de trajectoire en espace cartésien et profil d’accélération Un robot planar à deux joints a pour variables cartésiennes $p = [x, y]^T$ , et l’espace d’états est modélisé par $\dot{p} = J(\theta) \dot{\theta}$ avec $\theta = [\theta_1, \theta_2]^T$ et $J$ la matrice jacobienne dépendant des angles. Les commandes sont les torques $u = [\tau_1, \tau_2]^T$ agissant sur les joints et l’objectif est d’atteindre une position cartésienne cible $p_f = [0.5, 0.5]^T$ à l’instant final $t_f$ sous contraintes d’accélération jointes et vitesse. Paramètres : masse et inertie unitaires simplifiés, $J(\theta) = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.0 \ 1.0 & -0.5 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , et coût $J = \int_0^{t_f} ( \|p - p_f\|^2 + \|u\|^2 ) dt$ . 1) Donnez les équations d’espace d’états en forme théorie et la relation entre l’espace articulaire...→
  • 13
    Exercice 1 – Génération de trajectoires et boucles de commande pour robots de manipulation Un bras robotique planar à deux degrés de liberté est modélisé en espace d’état par $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = u_1$ , où $x_1$ est la position angulaire du joint 1, $x_2$ la vitesse angulaire du joint 1, et $u_1$ est la commande torque appliquée au joint 1. On considère les variables articu­lées $q = [x_1, x_2]^T$ et leur dérivées. L’objectif est de générer une trajectoire point à point dans l’espace articulaire $q$ de $q_0 = [0; 0]$ à $q_f = [\pi/2; 0]$ en horizon $T = 2.0\ \text{s}$ en utilisant une interpolation par profil d’accélération, puis par profil de vitesse,...→
  • 14
    Exercice 2 – Génération de trajectoires dans l’espace cartésien pour manipulation Un robot manipulateur 2-DOF est modélisé par les équations inertiels en coordonnées cartésiennes pour une trajectoire point à point: $\ddot{x} = M(x)^{-1} (u - C(x,\dot{x}) - G(x))$ , où $x = [x, y]^T$ décrit la position du second isocentre, et $u$ est le vecteur de forces appliquées sur les deux axes. Le but est de générer une trajectoire qui passe par $[x, y] = [0.5, 0.3]$ à l’instant $T = 1.5$ s depuis l’origine $(x(0), y(0)) = (0,0)$ sous contrainte d’activation des joints et des limites de vitesse. Le coût est $J = \int_0^T (\|[x; y]\|^2 + \lambda_1 \|\dot{x}\|^2 + \lambda_2 \|\dot{y}\|^2 + \lambda_u \|u\|^2) dt$ avec $\lambda_1 = 0.4$ , $\lambda_2 = 0.4$ , $\lambda_u = 0.1$ , et la dynamique linéarisée autour de la trajectoire est...→
  • 15
    Exercice 3 – Interpolation et profils de mouvement pour manipulation en espace cartésien Un manipulateur 2-DoF doit générer une trajectoire de point à point de (0,0) à (0.7, 0.4) en horizon $T = 3.0$ s en utilisant une interpolation par profil de vitesse et un coût pondéré pour les positions et les efforts. Le modèle est donné en espace cartésien par $\ddot{x} = K_p (x_d(t) - x) + K_v (\dot{x}_d(t) - \dot{x}) + B u$ , avec $x = [x, y]^T$ , $x_d(t)$ la trajectoire désirée, et $u$ la commande de couple sur les deux axes. Le coût est $J = \int_0^T ( \|x - x_d\|^2 + \lambda_1 \|\dot{x} - \dot{x}_d\|^2 + \lambda_u \|u\|^2 ) dt$ avec $\lambda_1 = 0.3$ , $\lambda_u = 0.2$ et $K_p, K_v$ matrices positives. Question 1 (Calcul)** : Ecrivez la forme des trajectoires $x(t)$...→
  • 16
    Exercice 2: Génération de trajectoires et profils d’interpolation dans l’espace articulaire et l’espace cartésien pour un robot à deux articulations. Le système est décrit par les équations d’Euler–Lagrange dans l’espace articulaire avec coordonnées jointes q = [q1, q2]^T et dynamique simplifiée : M(q) q̈ + C(q, q̇) q̇ + g(q) = τ, où τ = [τ1, τ2]^T est le couple actuatoriel. On modélise une réduction linéarisée autour d’un point de référence et on utilise une méthode d’interpolation pour générer une trajectoire point à point de q entre q0 = [0, 0] et qf = [π/4, π/6] en 3 segments avec...→
  • 17
    Exercice 3 : Planification de trajectoire avec interpolation spatiale – profil de vitesse et orientation Un robot mobile dans le plan 2D doit passer de P0 = [0,0] à P1 = [1.0, 0.8] en cartésien et en orientation, en utilisant une interpolation par profil de vitesse et d’orientation. La vitesse scalaire v(t) est limitée par $|v(t)| ≤ 0.8 m/s$ et l’angle de tête est limité par $|\omega(t)| ≤ 0.5 rad/s$ . Le temps total est T = 3.0 s et le profil d’accélération est supposé triangulaire: accélération constante durant une phase, puis décroissance à zéro. L’objectif est de minorer l’énergie $J = \int_{0}^{T} (v(t)^2 + \omega(t)^2) dt$ tout en garantissant que la...→
  • 18
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point à profil de vitesse dans l'espace articulaire Un robot manipulateur 6 axes doit exécuter un mouvement point à point entre deux configurations articulaires. La position initiale est $q_i = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$ rad et la position finale est $q_f = \begin{bmatrix} \pi/2 \ \pi/4 \ -\pi/3 \ \pi/6 \ -\pi/4 \ \pi/2 \end{bmatrix}$ rad. La durée totale du mouvement est $T = 4$ s. On utilise une trajectoire de type trapézoïdale avec profil de vitesse (accélération constante, vitesse constante, décélération constante). Les paramètres du mouvement sont : – Vitesse articulaire maximale : $\dot{q}_{max} = 0,5$ rad/s pour tous les axes – Accélération maximale : $\ddot{q}_{max} = 0,3$ rad/s² Question 1 : Pour chaque axe, calculer...→
  • 19
    Exercice 2 : Génération de trajectoire par interpolation dans l'espace articulaire avec polynôme cubique Un robot 3 axes doit réaliser un mouvement point à point dont les conditions sont : – Position initiale : $q_i = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ rad à t = 0 s avec vitesses initiales $\dot{q}_i = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ rad/s – Position finale : $q_f = \begin{bmatrix} 1,5 \\ -0,8 \\ 2,0 \end{bmatrix}$ rad à t = T = 5 s avec vitesses finales $\dot{q}_f = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ rad/s On utilise une interpolation polynomiale cubique pour chaque axe : $q_j(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$ Question 1 : Déterminer les coefficients du polynôme cubique $a_0, a_1, a_2, a_3$ pour chaque axe en utilisant les conditions aux limites (positions et vitesses). Écrire les polynômes...→
  • 20
    Exercice 3 : Génération de trajectoire dans l'espace cartésien avec interpolation linéaire et courbes de transition Un robot manipulateur doit exécuter une tâche dans l'espace cartésien qui consiste à passer par trois points de pose successifs. Les données de pose (position + orientation) sont : – Point 1 (initial) : $P_1 = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.2 \ 0.3 \end{bmatrix}$ m, orientation donnée par matrice de rotation $R_1$ (identité pour simplifier) – Point 2 (intermédiaire) : $P_2 = \begin{bmatrix} 0.6 \ 0.4 \ 0.5 \end{bmatrix}$ m – Point 3 (final) : $P_3 = \begin{bmatrix} 0.4 \ 0.1 \ 0.2 \end{bmatrix}$ m Les durées de parcours sont : – Segment 1→2 : T_{12} = 3 s – Segment 2→3 : T_{23} = 2 s On utilise...→
  • 21
    Exercice 3 : Génération de mouvement dans l'espace cartésien avec interpolation linéaire et arrondis circulaires Un robot de manipulation dispose d'un effecteur devant suivre une trajectoire définie par trois points dans l'espace cartésien (approche approx. linéaire entre points avec arrondis) : Point A : $P_A = \begin{bmatrix} 0{,}5 \ 0{,}3 \ 0{,}2 \end{bmatrix}$ m Point B : $P_B = \begin{bmatrix} 0{,}8 \ 0{,}5 \ 0{,}1 \end{bmatrix}$ m Point C : $P_C = \begin{bmatrix} 1{,}0 \ 0{,}2 \ 0{,}4 \end{bmatrix}$ m La vitesse maximale est $v_{max} = 0{,}2\ \text{m/s}$ et le rayon d'arrondi aux points de passage est $R = 0{,}05\ \text{m}$ . Question 1 : Calculez les distances euclidennes $d_{AB}$ et $d_{BC}$ , puis les temps de parcours pour un mouvement linéaire entre A et B, puis entre B et...→
  • 22
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point avec profil d'accélération trapézoïdal dans l'espace articulaire Un robot manipulateur de soudage doit effectuer un mouvement point à point entre deux configurations articulaires : Position initiale : $q_i = [0°~0°~0°]^T$ Position finale : $q_f = [180°~90°~45°]^T$ Vitesse maximale admissible : $v_{max} = 60°/s$ pour tous les axes Accélération maximale : $a_{max} = 120°/s^2$ Durée maximale tolérée : $T_{max} = 5~s$ On suppose un profil trapézoïdal de vitesse unique, le même pour tous les axes (mouvement synchronisé). Question 1 : Calculez la position $\Delta q$ à parcourir sur chaque axe et identifiez l'axe critique (celui ayant la plus grande distance). Déterminez le profil...→
  • 23
    Exercice 2 : Génération de trajectoire avec profil de vitesse S-curve (profil de jerk borné) dans l'espace articulaire Le même robot de soudage (Exercice 1) doit exécuter un mouvement avec des contraintes de jerk plus strictes pour réduire les vibrations : Position initiale : $q_i = [0°~0°~0°]^T$ Position finale : $q_f = [180°~90°~45°]^tex> Vitesse maximale : $ v_{max} = 60°/s $ Accélération maximale : $ a_{max} = 120°/s^2 $ Jerk maximal : $ j_{max} = 240°/s^3 $ On utilise un profil de vitesse S-curve (sept phases) plutôt que trapézoïdal. Question 1 : Calculez les durées des sept phases du profil S-curve : $ t_{1a}, t_{1b}, t_2, t_{3a}, t_{3b} $ (temps d'accélération et décélération avec jerk, temps à jerk nul, etc.). Vérifiez que le temps total est inférieur à 5 s. Question 2 : Pour l'axe critique (axe 1), établissez les expressions analytiques de la position, vitesse et accélération pour chaque phase du profil S-curve. Question 3 : Calculez et comparez les jerk maxima, accélérations maxima et vitesses maximales atteintes dans le profil S-curve par rapport au profil trapézoïdal de l'Exercice 1. Quelle est la réduction du jerk?→
  • 24
    Exercice 3 : Génération de trajectoire par interpolation dans l'espace cartésien Un robot manipulateur doit réaliser une tâche de soudage linéaire passant par trois points de contrôle définis en coordonnées cartésiennes : Point initial P₀ = [100~50~200]ᵀ mm Point intermédiaire P₁ = [200~100~150]ᵀ mm Point final P₂ = [300~50~100]ᵀ mm Durée totale T = 4 s Vitesse linéaire maximale : v_max = 100 mm/s On utilise une interpolation polynomiale par splines cubiques dans l'espace cartésien. Question 1 : Calculez les coefficients de trois polynômes cubiques $P_0(t), P_1(t), P_2(t)$ interpolant respectivement entre P₀→P₁ (durée t₀ = 2 s) et P₁→P₂ (durée t₁ =...→
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    Exercice 1 – Génération de trajectoire point à point en espace articulaire : profil de vitesse trapézoïdale Un robot manipulateur SCARA 2-DDL doit effectuer un mouvement point à point entre deux configurations articulaires. La configuration initiale est $q_i = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ rad et la configuration finale est $q_f = \begin{bmatrix} \pi/2 \ -\pi/4 \end{bmatrix}$ rad. Le mouvement doit être réalisé en respectant les contraintes suivantes : - Accélération maximale admissible : $a_{max} = 2\;\text{rad/s}^2$ pour chaque articulation - Vitesse maximale admissible : $v_{max} = 1.5\;\text{rad/s}$ pour chaque articulation - Temps de mouvement global requis : $T_{total} = 4\;\text{s}$ On utilise une stratégie de génération de trajectoire à profil de vitesse trapézoïdale synchronisé (tous les joints...→
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    Exercice 2 – Génération de trajectoire par interpolation polynomiale dans l'espace articulaire Un robot industriel 3-DDL doit réaliser une tâche de manipulation requérant le passage par trois positions articulaires intermédiaires. Les positions de passage (waypoints) sont définies comme suit : - Position 0 (initiale) : $q_0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ rad - Position 1 (intermédiaire 1) : $q_1 = \begin{bmatrix} \pi/4 \\ \pi/6 \\ \pi/3 \end{bmatrix}$ rad - Position 2 (intermédiaire 2) : $q_2 = \begin{bmatrix} \pi/2 \\ \pi/3 \\ 2\pi/3 \end{bmatrix}$ rad - Position 3 (finale) : $q_3 = \begin{bmatrix} 3\pi/4 \\ \pi/2 \\ \pi \end{bmatrix}$ rad On souhaite générer la trajectoire par interpolation polynomiale cubique entre chaque paire de waypoints consécutifs. Les vitesses aux waypoints doivent être nulles (conditions aux limites). Question 1 — Paramétrage du...→
  • 27
    Exercice 3 – Génération de trajectoire en espace cartésien avec interpolation et inverse cinématique Un robot 2-DDL en configuration plan doit se déplacer d'une pose initiale cartésienne $P_0 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ m à une pose finale $P_f = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.866 \end{bmatrix}$ m (coordonnées X, Y du repère de base). Les longueurs des segments du robot sont $L_1 = 0.5\;\text{m}$ et $L_2 = 0.5\;\text{m}$ . On envisage une interpolation linéaire en espace cartésien avec conversion en espace articulaire par inverse cinématique. La durée totale du mouvement est $T = 2\;\text{s}$ , et on considère une loi de mouvement à profil de vitesse trapézoïdal avec accélération maximale $a_{max} = 0.5\;\text{m/s}^2$ . Question 1 — Interpolation linéaire cartésienne...→
  • 28
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point en espace articulaire avec profil d'accélération trapézoïdal Un robot manipulateur 2 degrés de liberté doit effectuer un mouvement d'un point initial à un point final. Les données du mouvement sont : Position articulaire initiale : $q_i = \begin{pmatrix} 10^{\circ} \ 20^{\circ} \end{pmatrix}$ Position articulaire finale : $q_f = \begin{pmatrix} 90^{\circ} \ 110^{\circ} \end{pmatrix}$ Accélération maximale admissible : $a_{max} = 100$ °/s² Vitesse maximale admissible : $v_{max} = 60$ °/s Durée totale du mouvement : $T = 3$ secondes On utilise un profil de vitesse trapézoïdal symétrique. Question 1 : Pour l'articulation 1, calculer les phases de mouvement (accélération, vitesse constante, décélération) du profil trapézoïdal. Déterminer les temps des transitions...→
  • 29
    Exercice 2 : Génération de trajectoire en espace cartésien par interpolation linéaire Un robot doit déplacer son effecteur (end-effector) d'une position cartésienne initiale à une position finale. Les données sont : Position cartésienne initiale : $P_i = \begin{pmatrix} 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ m Position cartésienne finale : $P_f = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.2 \\ 0.8 \end{pmatrix}$ m Orientation initiale (matrice de rotation) : $R_i = I$ (identité) Orientation finale (rotation de 90° autour de l'axe z) : $R_f = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Temps total du mouvement : $T = 2$ secondes Profil de mouvement : linéaire en position, interpolation linéaire sphérique (SLERP) pour rotation Question 1 : Calculer la trajectoire linéaire en position $P(t)$ pour $0 \leq t \leq T$ . Déterminer les vitesses cartésiennes $\dot{P}(t)$...→
  • 30
    Exercice 3 : Génération de trajectoire avec profil polynômial cubique et implémentation de boucle de commande Un robot manipulateur doit effectuer un mouvement point à point commandé par un profil polynômial cubique pour garantir continuité de la vitesse et de l'accélération aux extrémités. Les paramètres sont : Position initiale : $q_i = 0$ rad Position finale : $q_f = \pi / 2$ rad (90°) Vitesse initiale et finale : $\dot{q}_i = \dot{q}_f = 0$ rad/s Durée totale : $T = 2$ s Fréquence de boucle fermée : $f = 100$ Hz (période $\Delta t = 0.01$ s) Question 1 : Formuler la trajectoire polynômiale cubique $q(t)$ qui respecte les quatre conditions aux limites (position et vitesse initiales...→
  • 31
    Exercice 2 : Génération de mouvement par interpolation spline cubique en espace articulaire Un robot manipulateur 3-DOF doit suivre un chemin défini par trois points de passage (waypoints) dans l'espace articulaire : Point 1 (t=0 s) : $q_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ Point 2 (t=5 s) : $q_2 = \begin{bmatrix} \pi/2 \\ \pi/4 \\ \pi/6 \end{bmatrix}$ Point 3 (t=10 s) : $q_3 = \begin{bmatrix} \pi \\ \pi/2 \\ \pi/3 \end{bmatrix}$ On utilise une interpolation par spline cubique (polynôme degré 3) pour assurer la continuité de position, vitesse et accélération entre les segments. Question 1 : Construire les polynômes spline cubiques pour le joint 1 reliant les points de passage successifs. Déterminer les coefficients des deux splines $q_{1,1}(t)$ (de t=0 à...→
  • 32
    Exercice 3 : Génération de trajectoire en espace cartésien avec transformation des coordonnées Un bras robot 3-DOF (RRR) doit accomplir une tâche de soudage reliant deux points dans l'espace 3D : Point de départ (effecteur) : $P_i = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.2 \ 0.8 \end{bmatrix}$ (m) Point d'arrivée : $P_f = \begin{bmatrix} 0.6 \ 0.5 \ 0.9 \end{bmatrix}$ (m) Paramètres du bras : Longueurs des segments : $L_1 = 0.3$ m, $L_2 = 0.25$ m, $L_3 = 0.1$ m Modèle de géométrie : cinématique directe T = DH_1 × DH_2 × DH_3 Vitesse linéaire maximale de l'effecteur : $v_{max} = 0.1$ m/s Question 1 : Calculer les positions articulaires initiale $q_i$ et finale $q_f$ correspondant respectivement aux points $P_i$ et $P_f$ par cinématique inverse....→
  • 33
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point avec profil de vitesse trapezoïdal dans l'espace articulaire Un robot industriel de type bras articulé doit effectuer un mouvement point à point entre deux positions articulaires initiale et finale. Les spécifications de ce mouvement sont : Position articulaire initiale : $q_0 = 10$ rad Position articulaire finale : $q_f = 80$ rad Vitesse maximale : $v_{max} = 15$ rad/s Accélération maximale : $a_{max} = 8$ rad/s² Décélération maximale : $d_{max} = 8$ rad/s² La trajectoire suit un profil de vitesse trapezoïdal dans l'espace articulaire avec trois phases : accélération, vitesse constante, décélération. Question 1 : Calculer la distance totale à parcourir...→
  • 34
    Exercice 2 : Génération de trajectoire dans l'espace cartésien avec interpolation linéaire Un robot manipulateur 6 DDL doit effectuer un mouvement d'outil dans l'espace cartésien entre deux positions. Les positions cartésiennes d'intérêt sont : Position initiale : $P_0 = [300, 200, 100]^T$ mm (coordonnées xyz) Position finale : $P_f = [500, 350, 150]^T$ mm Vitesse linéaire de l'outil : $v = 50$ mm/s (constante) La trajectoire doit être générée en ligne droite (interpolation linéaire) dans l'espace cartésien, avec calcul de la longueur du chemin et discrétisation temporelle. Question 1 : Calculer la distance euclidienne entre les deux positions et déterminer le vecteur direction unitaire de la trajectoire. Calculer la durée...→
  • 35
    Un robot manipulateur à deux articulations doit déplacer son outil de la position initiale $\theta_{1i} = 12^\circ$ , $\theta_{2i} = 24^\circ$ vers la position finale $\theta_{1f} = 68^\circ$ , $\theta_{2f} = 83^\circ$ en utilisant la méthode de base du mouvement point à point dans l’espace articulaire (profil trapézoïdal de vitesse). La durée totale du mouvement est imposée à $T = 2,8~\mathrm{s}$ , et la vitesse maximale admissible par articulation est $\dot{\theta}_{max} = 60^\circ/s$ . 1. Déterminez les équations du profil de vitesse pour chaque articulation, puis calculez la durée réelle de chaque phase (accélération, constance, décélération). 2. Calculez l’accélération maximale exigée pour chaque articulation pour respecter la contrainte de temps imposée. 3....→
  • 36
    Un robot manipulateur à trois articulations doit réaliser une trajectoire complexe en espace articulaire par interpolation linéaire avec synchronisation en temps pour chaque articulation. Les positions initiales et finales sont : $\theta_{1i}=18^\circ$ , $\theta_{1f}=144^\circ$ $\theta_{2i}=14^\circ$ , $\theta_{2f}=93^\circ$ $\theta_{3i}=25^\circ$ , $\theta_{3f}=105^\circ$ La durée totale doit être identique pour chaque articulation. Les vitesses maximales admissibles sont : $\dot{\theta}_{1max}=48^\circ/s$ , $\dot{\theta}_{2max}=36^\circ/s$ , $\dot{\theta}_{3max}=46^\circ/s$ 1. Calculez la durée minimale de la trajectoire en synchronisation complète. 2. Déterminez la vitesse requise pour chaque articulation et exprimez la loi linéaire de mouvement pour chacune. 3. Donnez la trajectoire cartésienne du point outil, supposant une configuration plane et des...→
  • 37
    Génération de trajectoire cartésienne par interpolation polynomiale Le point terminal d’un robot (TCP) doit suivre une trajectoire cartésienne de $P_0 = (0.3, 0.2, 0.1)~\text{m}$ à $P_f = (0.7, 0.5, 0.3)~\text{m}$ en $T = 2~\text{s}$ , avec conditions initiales et finales nulles sur les vitesses et accélérations sur chaque axe. On propose d’utiliser une interpolation polynomiale cubique séparée sur chacun des axes. Écrire le système d’équations permettant de déterminer les coefficients pour chaque axe de la trajectoire cubique $X(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$ , et donner l’expression générale sur $[0, T]$ . Calculer explicitement les coefficients pour l’axe X. Donner $X(t)$ pour $t \in [0, 2]$ . Faire de même pour Y et Z. Évaluer la position, vitesse et...→
  • 38
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point avec profil de vitesse trapézoïdal en espace articulaire Un robot de manipulation possède un bras avec trois articulations. On souhaite générer une trajectoire point à point de l'articulation 1 (joint 1) avec un profil de vitesse trapézoïdal. Position initiale : $q_i = 0~\text{rad}$ Position finale : $q_f = \pi~\text{rad}$ Vitesse maximale (plateau) : $v_{max} = 0.5~\text{rad/s}$ Accélération et décélération : $a = 0.2~\text{rad/s}^2$ Fréquence d'échantillonnage : $f_e = 100~\text{Hz}~(\Delta t = 0.01~\text{s})$ Question 1 : Calculer le temps d'accélération $t_1$ , le temps du plateau à vitesse maximale $t_2$ , et le temps de décélération $t_3$ pour un profil trapézoïdal de vitesse. Question 2...→
  • 39
    Exercice 2 : Génération de trajectoire par interpolation polynomiale dans l'espace articulaire Un robot manipulateur doit suivre une trajectoire définie par trois points de passage (via points) dans l'espace articulaire (joint 2). On utilise une interpolation polynomiale par segments cubiques (spline cubique) pour assurer la continuité des positions, vitesses et accélérations. Point 1 (initial) : $q_0 = 0~\text{rad},~\dot{q}_0 = 0~\text{rad/s}$ Point 2 (via point) : $q_1 = 1~\text{rad},~t_1 = 2~\text{s}$ Point 3 (final) : $q_2 = 2~\text{rad},~\dot{q}_f = 0~\text{rad/s},~t_f = 4~\text{s}$ Conditions de continuité : Vitesse et accélération nulles aux points initial et final Question 1 : Déterminer les coefficients polynomiaux $a_i, b_i, c_i, d_i$ des deux segments cubiques (0-1) et (1-2) en utilisant les conditions aux...→
  • 40
    Exercice 3 : Génération de trajectoire point à point dans l'espace cartésien avec cinématique inverse Un robot manipulateur RRR (3 articulations rotoïdes) doit déplacer son effecteur d'une position initiale à une position finale dans l'espace cartésien. Les calculs doivent intégrer la cinématique inverse pour les profils de vitesse trapézoïdaux. Longueurs des bras : $L_1 = 0.5~\text{m}, L_2 = 0.4~\text{m}, L_3 = 0.3~\text{m}$ Position initiale cartésienne : $\mathbf{P}_i = \begin{bmatrix} 0.7 \ 0.3 \ 0 \end{bmatrix}~\text{m}$ (x, y, z) Position finale cartésienne : $\mathbf{P}_f = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.6 \ 0.2 \end{bmatrix}~\text{m}$ Accélération maximale : $a_{max} = 0.1~\text{m/s}^2$ Vitesse maximale : $v_{max} = 0.3~\text{m/s}$ Question 1 : Calculer la distance cartésienne à parcourir et les durées des phases du profil trapézoïdal en espace cartésien. Question 2 : Générer les...→
  • 41
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point avec profil d'accélération trapézoïdal en espace articulaire Un robot manipulateur 2 degrés de liberté doit passer d'une position initiale à une position finale. Les données suivantes sont connues : Position initiale articulaire : $q_i = [0 \ \ 0]^T$ rad Position finale articulaire : $q_f = [\pi/2 \ \ \pi/3]^T$ rad Accélération maximale admissible : $a_{max} = 2$ rad/s² Vitesse maximale admissible : $v_{max} = 1$ rad/s Durée totale du mouvement : $T = 4$ s Question 1 : Pour l'articulation 1, calculez les phases du profil de vitesse trapézoïdal (phase d'accélération, phase de vitesse constante, phase de décélération), ainsi que les temps correspondants et les distances...→
  • 42
    Exercice 2 : Génération de trajectoire avec profil de vitesse en espace cartésien Un effecteur de robot doit se déplacer d'un point initial à un point final dans l'espace cartésien. Les données sont : Position initiale cartésienne : $P_i = [0 \ \ 0 \ \ 0.5]^T$ m (en coordonnées XYZ) Position finale cartésienne : $P_f = [0.4 \ \ 0.3 \ \ 0.5]^T$ m Vitesse maximale : $v_{max} = 0.2$ m/s Accélération maximale : $a_{max} = 0.1$ m/s² Durée du mouvement : $T = 5$ s Question 1 : Calculez la distance euclidienne entre les deux points et la vitesse moyenne requise pour atteindre la destination en $T = 5$ s. Question 2 : Déterminez les phases du profil de vitesse en espace...→
  • 43
    Exercice 3 : Synchronisation de trajectoires articulaires et interpolation polynomiale cubique Un robot collaboratif à 3 articulations doit effectuer un mouvement point à point. Les données suivantes sont disponibles : Positions initiales articulaires : $q_i = [0 \ \ 0 \ \ 0]^T$ rad Positions finales articulaires : $q_f = [\pi/4 \ \ \pi/6 \ \ \pi/3]^T$ rad Vitesses initiales et finales : $\dot{q}_i = \dot{q}_f = [0 \ \ 0 \ \ 0]^T$ rad/s Durée du mouvement : $T = 3$ s Question 1 : Pour chaque articulation, déterminez les coefficients d'une interpolation polynomiale cubique $q_j(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$ en satisfaisant les conditions initiales et finales de position et de vitesse. Question 2 : Calculez les positions et les vitesses de chaque articulation aux temps $t = 0.5$ s, $t = 1.5$ s et...→
  • 44
    Exercice 1 : Génération de trajectoire point à point en espace articulaire – Méthode de base et profils d'accélération Un robot manipulateur à un seul degré de liberté doit déplacer son articulation d'une position initiale $q_i = 15\degree$ à une position finale $q_f = 90\degree$ en un temps total $T = 2.5\text{ s}$ . On dispose des contraintes suivantes : La vitesse maximale admissible de l'articulation est $\dot{q}_{max} = 70\degree/\text{s}$ L’accélération maximale admissible est $\ddot{q}_{max} = 300\degree/\text{s}^2$ On souhaite comparer trois stratégies de génération de mouvement point à point dans l’espace articulaire : Méthode à vitesse constante (profil rectangulaire) Méthode à profil d’accélération trapézoïdal Méthode à profil de vitesse sinusoidale Question...→
  • 45
    Exercice 2 : Génération de mouvement par interpolation en espace articulaire et cartésien Un robot manipulateur à deux degrés de liberté doit déplacer son effecteur à partir du point $P_i = (q_{1i}, q_{2i}) = (25\degree, 45\degree)$ vers le point $P_f = (q_{1f}, q_{2f}) = (70\degree, 90\degree)$ dans un temps $T = 3\text{ s}$ . L’accélération maximale admissible pour chaque articulation est $\ddot{q}_{max} = 200\degree/\text{s}^2$ . L’effecteur doit suivre une trajectoire interpolée en espace articulaire (interpolation linéaire) et, ensuite, une trajectoire linéaire en espace cartésien entre les deux positions : Longueur de bras 1 : $L_1 = 0.7\text{ m}$ Longueur de bras 2 : $L_2 = 0.4\text{ m}$ Question 1 : Calculer les expressions temporelles des mouvements par interpolation linéaire pour les deux articulations...→
• Commande d’un manipulateur (7 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 – Commande dynamique par mode glissant (SMC) pour robot manipulateur Dans ce problème, on étudie la commande dynamique par mode glissant d’un manipulateur planar à deux degrés de liberté. Le modèle dynamique réduit du bras est donné par $\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}$ où $\mathbf{q} = [\theta_1,\theta_2]^\top$ , $\mathbf{M}(\mathbf{q})$ est la matrice d’inertie, $\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$ contient les termes deCoriolis et $\mathbf{g}(\mathbf{q})$ les forces gravitationnelles. Les paramètres du modèle et les gains de la loi de commande sont choisis pour obtenir une dynamique d’erreur en forme d’équation robuste et glissante. Données numériques: $\mathbf{M}(\mathbf{q}) = \begin{pmatrix} 2 & 0.5 \ 0.5 & 1.5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = \begin{pmatrix} 0 & -0.8 \ 0.8 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \begin{pmatrix} 9.81 \sin \theta_1 \ 9.81 \sin(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix}$ , et l’action de contrôle est $\boldsymbol{\tau} = -\mathbf{K}_v \dot{\mathbf{q}} - \mathbf{K}_s \mathbf{sgn}(\mathbf{s})$ avec la surface glissante $\mathbf{s} = \mathbf{q} - \mathbf{q}_d$ et...→
  • 2
    Exercice 1 — Commande des robots: dynamique et mode glissant Ce problème intègre 5 questions liées et porte sur la commande de robots manipulators en dynamique et en mode glissant. Toutes les expressions mathématiques doivent être écrites entre les balises $...$ . 1) Calculateur — modèle dynamique simplifié: Considérons un manipulateur planar à deux joints avec matrices d’inertie diagonales $I_1$ et $I_2$ , et couple moteur $τ = [τ_1, τ_2]^T$ . Donnez les valeurs numériques suivantes: $I_1 = 0.6 \, kg·m^2$ , $I_2 = 0.4 \, kg·m^2$ , et positions angulaires $θ_1 = 0.5 \, rad$ , $θ_2 = 0.3 \, rad$ , puis calculez les couples nécessaires pour accélérations $¨θ_1 = 0.8 \, rad/s^2$ , $¨θ_2 = 0.5 \, rad/s^2$ en utilisant le modèle simplifié $τ = M(θ)¨θ$...→
  • 3
    Exercice 2 — Commande des robots: mode glissant et commande par modèle Ce troisième exercice regroupe 5 questions sur la commande robuste et le glissant, en restant strictly sur les aspects de calcul. 1) Calculateur — conception ruche glissante: Donnez l’expression de la surface de glissement et calculez-la pour $˙θ = [0.4, -0.2]^T$ et $θ = [0.9, 0.4]^T$ avec $λ = 1.2$ et $θ_d = [1.1, 0.5]^T$ . 2) Calculateur — assignation des gains: Proposez une calibration des gains $K_p$ et $K_d$ pour stabiliser une erreur d’attache dans un regime discret, et donnez les valeurs numériques pour un horizon de 5 pas. 3) Calculateur — convergence et PE: Donnez les conditions...→
  • 4
    Considérez un robot manipulateur à deux degrés de liberté (2R) dans le plan horizontal, avec des liens de longueurs $l_1 = 1$ m et $l_2 = 1$ m, et des masses uniformes $m_1 = 2$ kg et $m_2 = 1$ kg. Les positions articulaires sont notées $q_1$ et $q_2$ , et les vitesses $\dot{q}_1$ , $\dot{q}_2$ . L'exercice porte sur la commande dynamique de ce robot pour suivre une trajectoire donnée. Question 1 : Calculez la matrice d'inertie $M(q)$ du robot à la position $q = [\pi/4, \pi/4]^T$ . Fournissez les éléments $M_{11}$ , $M_{12}$ , $M_{21}$ et $M_{22}$ . Question 2 : À partir de la matrice d'inertie obtenue, déterminez...→
  • 5
    Pour un robot manipulateur à trois degrés de liberté (3R) sphérique, avec liens de longueurs $l_1 = 0.5$ m, $l_2 = 0.4$ m, $l_3 = 0.3$ m, et masses $m_1 = 3$ kg, $m_2 = 2$ kg, $m_3 = 1$ kg, analysez la commande dynamique en présence de charges variables. Les coordonnées jointives sont $q = [q_1, q_2, q_3]^T$ . Question 1 : Déterminez les éléments de la matrice de Christoffel $\Gamma_{ijk}$ pour les termes coriolis à $q = [0, \pi/2, 0]^T$ , en calculant spécifiquement $\Gamma_{123}$ , $\Gamma_{213}$ et $\Gamma_{312}$ . Question 2 : Calculez le vecteur des forces centrifuges et coriolis $h(q, \dot{q}) = C(q, \dot{q}) \dot{q}$ à $\dot{q} = [0.5, 1, 0.5]^T$ rad/s, en utilisant les $\Gamma$ obtenus et en supposant inerties diagonales simplifiées. Question 3...→
  • 6
    Étudiez la commande par mode glissant pour un robot manipulateur à deux degrés de liberté avec dynamique non linéaire, paramétrée par $M(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} + g(q) = \tau + d(t)$ , où $d(t)$ est une perturbation bornée $|d| \leq 0.1$ Nm. Position de référence $q_d = [\pi/2, 0]^T$ , $\dot{q}_d = 0$ , $\ddot{q}_d = 0$ . Utilisez une surface de glissement $s = \dot{e} + \Lambda e$ avec $\Lambda = 5 I$ , $e = q - q_d$ . Question 1 : À l'instant initial $t=0$ , avec $q(0) = [\pi/2 + 0.1, 0.1]^T$ , $\dot{q}(0) = [0, 0]^T$ , calculez la surface de glissement initiale $s(0)$ et vérifiez sa norme. Question 2 : Déterminez le gain de commande glissante $K$ tel que $\tau = M (\ddot{q}_d - \Lambda \dot{e} - K \sgn(s)) - C \dot{q} - g$ , en choisissant $K$ pour garantir $s \dot{s} \leq -\eta |s|$ avec $\eta = 0.5$ , et calculez...→
  • 7
    Examinez un robot manipulateur SCARA à deux degrés de liberté translationnels et rotationnels, avec inerties $I_1 = 0.5$ kg·m², $I_2 = 0.3$ kg·m², masses $m_1 = 4$ kg, $m_2 = 2$ kg, et couplage via $l = 0.6$ m. La dynamique est $M(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} = \tau$ . Concentrez-vous sur la commande dynamique pour une trajectoire circulaire. Question 1 : Calculez la matrice d'inertie $M(q)$ à la configuration $q = [0.5, \pi/3]^T$ m et rad, en dérivant les éléments $M_{11}$ , $M_{12}$ , $M_{21}$ , $M_{22}$ tenant compte du couplage inertiel. Question 2 : À partir de $M(q)$ , déterminez les termes coriolis $C(q, \dot{q})$ à $\dot{q} = [0.2, 1]^T$ m/s et rad/s, et calculez $C(q, \dot{q}) \dot{q}$ pour compenser dans la loi...→
• Commande des robots (25 Exercices)
  • 1
    Exercice 2 : Commande par mode glissant d'un robot SCARA avec frottement Un robot SCARA (Selective Compliance Articulated Robot Arm) possède trois articulations. La dynamique incluant le frottement de Coulomb est modélisée par : $\tau_i = I_i \ddot{q}_i + b_i \dot{q}_i + F_{c,i} \text{sgn}(\dot{q}_i) + G_i(\mathbf{q})$ où $I_i$ est l'inertie, $b_i$ l'amortissement visqueux, $F_{c,i}$ le frottement de Coulomb, et $G_i$ le couple gravitationnel. Les paramètres sont : $I_1 = 1.5 \text{ kg·m}^2, I_2 = 0.8 \text{ kg·m}^2, I_3 = 0.3 \text{ kg·m}^2$ , $b_1 = 0.15 \text{ N·m·s/rad}, b_2 = 0.08 \text{ N·m·s/rad}, b_3 = 0.04 \text{ N·m·s/rad}$ , $F_{c,1} = 2.5 \text{ N·m}, F_{c,2} = 1.8 \text{ N·m}, F_{c,3} = 0.9 \text{ N·m}$ . Question 1 : Pour une trajectoire désirée $q_{i,d}(t) = A_i \sin(\omega t + \phi_i)$ avec $A_1 = 1.0 \text{ rad}, \omega = 0.8 \text{ rad/s}, \phi_1 = 0; A_2 = 0.8 \text{ rad}, \phi_2 = \pi/4; A_3 = 0.5 \text{ rad}, \phi_3 = -\pi/3$ , définissez la surface de glissement robuste $s_i = e_i + \alpha_i \dot{e}_i + \beta_i \int_0^t e_i(\tau) d\tau$ avec $\alpha_1 = 0.3, \beta_1 = 0.1; \alpha_2 = 0.4, \beta_2 = 0.15; \alpha_3 = 0.5, \beta_3 = 0.2$ . Calculez $s_i(t)$ et $\dot{s}_i(t)$ pour $t = 0, 0.5, 1.0 \text{ s}$ en supposant les conditions initiales $e_1(0) = 0.1, e_2(0) = -0.08, e_3(0) = 0.06$ rad, $\dot{e}_1(0) = 0.2, \dot{e}_2(0) = -0.15, \dot{e}_3(0) = 0.1$ rad/s. Question 2...→
  • 2
    Exercice 1 : Commande Dynamique d'un Robot Manipulateur 2-DOF Un robot manipulateur plan à deux degrés de liberté (2-DOF) possède la dynamique suivante décrite par les équations de Lagrange : $\tau_1 = (m_1 L_1^2 + m_2(L_1^2 + L_2^2 + 2L_1 L_2 \cos(q_2)))\ddot{q}_1 + (m_2(L_2^2 + L_1 L_2 \cos(q_2)))\ddot{q}_2 - 2m_2 L_1 L_2 \sin(q_2)\dot{q}_1\dot{q}_2 - m_2 L_1 L_2 \sin(q_2)\dot{q}_2^2$ $\tau_2 = (m_2(L_2^2 + L_1 L_2 \cos(q_2)))\ddot{q}_1 + m_2 L_2^2 \ddot{q}_2 + m_2 L_1 L_2 \sin(q_2)\dot{q}_1^2$ où $q_1, q_2$ sont les angles articulaires (en rad), $\tau_1, \tau_2$ les couples moteurs (en N·m), $m_1 = 2\text{ kg}$ , $m_2 = 1.5\text{ kg}$ , $L_1 = 0.5\text{ m}$ , $L_2 = 0.4\text{ m}$ . Le système opère avec un horizon de contrôle de $0.01\text{ s}$ . Question 1 : En supposant les vitesses nulles à un instant donné ( $\dot{q}_1 = \dot{q}_2 = 0$ ) et les accélérations souhaitées $\ddot{q}_1^{ref} = 2\text{ rad/s}^2$ et $\ddot{q}_2^{ref} = -1\text{ rad/s}^2$ , avec $q_2 = 45°$ (position intermédiaire), calculer les couples moteurs $\tau_1$ et $\tau_2$ nécessaires...→
  • 3
    Exercice 2 : Commande par Mode Glissant d'un Robot à 1 DDL Un robot manipulateur à 1 degré de liberté (articulation rotoïde simple) est équipé d'un moteur électrique. La dynamique simplifiée du système est donnée par : $\ddot{q} = -a \dot{q} - b \sin(q) + c u$ où $q$ est l'angle articulaire (rad), $u$ est le couple moteur normalisé (adimensionnel, $-1 \leq u \leq 1$ ), et les paramètres sont : • Coefficient d'amortissement : $a = 0.5 \, s^{-1}$ • Coefficient gravitationnel : $b = 2 \, rad/s^2$ • Coefficient de commande : $c = 10 \, rad/s^2$ On souhaite asservir le système à un angle de référence $q_r = \pi/6 \, rad$ en utilisant une commande par mode glissant. La surface de glissement est définie par :...→
  • 4
    Exercice 3 : Analyse Comparative entre Commande Dynamique et Mode Glissant pour un Robot à 2 DDL Soit un robot manipulateur planaire à 2 degrés de liberté avec la dynamique suivante : $M(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} + g(q) = \tau$ où la matrice d'inertie et les termes de couplage sont : $M(q) = \begin{pmatrix} m_1 + 2m_2 c_2 & m_2 L_1 c_2 \ m_2 L_1 c_2 & m_2 \end{pmatrix}$ avec $m_1 = 3 \, kg \cdot m^2$ , $m_2 = 1.5 \, kg \cdot m$ , $L_1 = 0.6 \, m$ , et $c_2 = \cos(q_2)$ . La trajectoire désirée est une spirale planaire définie par : $q_{d1}(t) = 0.5 \sin(0.2 t), \quad q_{d2}(t) = 0.3 \cos(0.2 t)$ Les paramètres de commande disponibles sont : • Gains de la commande dynamique : $K_P = \text{diag}(50, 40)$ , $K_D = \text{diag}(10, 8)$ • Paramètres du mode glissant : $\lambda = 1.2, K = 3$ Question 1 : Calculer les couples de référence $\tau_d(t)$ requises...→
  • 5
    Exercice 1 : Commande dynamique d'un robot 2-DDL avec calcul du couple de contrôle Un robot manipulateur plan à deux degrés de liberté a pour équation dynamique : Équation de Lagrange : $M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + G(q) = \tau$ Matrice d'inertie : $M(q) = \begin{pmatrix} m_1 l_1^2 + m_2(l_1^2 + 2l_1 l_2 \cos(q_2)) & m_2 l_2(l_1 \cos(q_2) + l_2) \ m_2 l_2(l_1 \cos(q_2) + l_2) & m_2 l_2^2 \end{pmatrix}$ Paramètres du robot : $m_1 = 2 \text{ kg}, m_2 = 1.5 \text{ kg}, l_1 = 0.5 \text{ m}, l_2 = 0.4 \text{ m}, g = 9.81 \text{ m/s}^2$ Vecteur de gravité : $G(q) = \begin{pmatrix} (m_1 l_1/2 + m_2 l_1)g\sin(q_1 + q_2) + m_2 l_2 g \sin(q_1) \ m_2 l_2 g \sin(q_1 + q_2) \end{pmatrix}$ Question 1 : À un instant donné, le robot se trouve à la configuration $q_1 = \pi/4 \text{ rad}, q_2 = \pi/6 \text{ rad}$ avec vitesses articulaires $\dot{q}_1 = 0.5 \text{ rad/s}, \dot{q}_2 = 0.3 \text{ rad/s}$ et accélérations souhaitées $\ddot{q}_{d1} = 2 \text{ rad/s}^2, \ddot{q}_{d2} = 1.5 \text{ rad/s}^2$ . Calculer la matrice d'inertie M(q) à cette configuration. Question 2 : Déterminer le vecteur de gravité G(q) à la même configuration et calculer les couples de gravité pour chaque...→
  • 6
    Exercice 2 : Commande par mode glissant d'un manipulateur 1-DDL avec surface de glissement Un robot manipulateur à un seul degré de liberté effectue une trajectoire de suivi de position. La dynamique est donnée par : Équation dynamique : $I\ddot{q} + f\dot{q} + mgl\sin(q) = \tau$ Paramètres : moment d'inertie $I = 0.5 \text{ kg·m}^2$ , coefficient de frottement visqueux $f = 0.2 \text{ N·s/rad}$ , masse $m = 2 \text{ kg}$ , longueur $l = 0.3 \text{ m}$ , $g = 9.81 \text{ m/s}^2$ Position désirée : $q_d(t) = 0.5\sin(0.5t) \text{ rad}$ Erreur de position : $e_q(t) = q(t) - q_d(t)$ Surface de glissement : $s(t) = \dot{e}_q(t) + \lambda e_q(t)$ avec $\lambda = 2 \text{ rad/s}$ Question 1 : À l'instant $t = 1 \text{ s}$ , on mesure $q(1) = 0.35 \text{ rad}, \dot{q}(1) = 0.18 \text{ rad/s}$ . Calculer la surface de glissement $s(1)$ ainsi que sa dérivée $\dot{s}(1)$ . Question 2...→
  • 7
    Exercice 3 : Commande dynamique inverse avec compensation de perturbations pour robot planaire Un robot manipulateur plan 2-DDL opère en présence de perturbations externes. La dynamique en boucle fermée avec commande dynamique est : Équation : $M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + G(q) + \Delta_d = \tau$ Dynamique inverse nominale : $\tau_0 = M_n(q)\ddot{q}_d + C_n(q,\dot{q})\dot{q} + G_n(q)$ Matrices nominales connues : $M_n(q) = \text{diag}(2, 1.5)$ , $C_n(q,\dot{q})\dot{q} = \begin{pmatrix} 0.1\dot{q}_1 \ 0.08\dot{q}_2 \end{pmatrix}$ Vecteur de gravité nominal : $G_n(q) = \begin{pmatrix} 3.5\sin(q_1) \ 2.1\sin(q_1+q_2) \end{pmatrix}$ Perturbations : $\Delta_d = \begin{pmatrix} 0.3 \ -0.2 \end{pmatrix} \text{ N·m}$ Trajectoire désirée : $q_d = \begin{pmatrix} 0.6 \ 0.4 \end{pmatrix} \text{ rad}, \dot{q}_d = \begin{pmatrix} 0.4 \ 0.3 \end{pmatrix} \text{ rad/s}, \ddot{q}_d = \begin{pmatrix} 0.2 \ 0.15 \end{pmatrix} \text{ rad/s}^2$ Gains de compensation d'erreur : $K_p = \text{diag}(12, 10)$ , $K_d = \text{diag}(6, 5)$ Question 1 : À la configuration désirée $q = q_d = \begin{pmatrix} 0.6 \ 0.4 \end{pmatrix}$ rad avec $\dot{q} = \dot{q}_d$ et erreurs $e_q = \begin{pmatrix} 0.02 \ -0.01 \end{pmatrix}$ rad, $\dot{e}_q = \begin{pmatrix} 0.01 \ 0 \end{pmatrix}$ rad/s, calculer le couple de commande dynamique inverse nominale $\tau_0$ . Question 2 :...→
  • 8
    Exercice 2 : Commande par mode glissant d'une articulation rotoïde avec perturbations Une articulation rotoïde d'un robot manipulateur est modélisée par : Équation dynamique : $I\ddot{q} + f_v\dot{q} + \tau_g + d(t) = \tau$ Moment d'inertie : $I = 0.2 \, \text{kg.m}^2$ Coefficient de frottement visqueux : $f_v = 0.1 \, \text{N.m.s/rad}$ Couple gravitaire (fonction non linéaire) : $\tau_g = 5\sin(q) \, \text{N.m}$ Perturbation bornée : $|d(t)| \leq 0.5 \, \text{N.m}$ On souhaite utiliser une commande par mode glissant pour que l'articulation suive une trajectoire de référence $q_d(t)$ avec une surface de glissement définie par : $s(t) = \dot{e}(t) + \lambda e(t)$ où $e(t) = q_d(t) - q(t)$ est l'erreur de position et $\lambda = 2 \, \text{rad}^{-1}$ est le paramètre de convergence. Questions : Pour une trajectoire de référence $q_d(t) = \frac{\pi}{6}\sin(0.5t) \, \text{rad}$ , calculer la vitesse et l'accélération...→
  • 9
    Exercice 3 : Planification de trajectoire avec contrôle de commande par mode glissant adaptatif Un manipulateur 3-DOF effectue une tâche d'assemblage. Chaque articulation $i$ suit la dynamique : $\tau_i = I_i\ddot{q}_i + b_i\dot{q}_i + \tau_{g,i}(q_i) + d_i(t)$ Paramètres : $I_1 = 0.15 \, \text{kg.m}^2, I_2 = 0.10 \, \text{kg.m}^2, I_3 = 0.05 \, \text{kg.m}^2$ Frottements : $b_1 = 0.08, b_2 = 0.06, b_3 = 0.04 \, \text{N.m.s/rad}$ Couples gravitaires approximés : $\tau_{g,1} \approx 2\sin(q_1), \tau_{g,2} \approx 1.5\sin(q_2), \tau_{g,3} \approx 0.8\sin(q_3) \, \text{N.m}$ Perturbations inconnues bornées : $|d_i(t)| \leq \Delta_i$ avec $\Delta_1 = 0.4, \Delta_2 = 0.3, \Delta_3 = 0.2 \, \text{N.m}$ Une trajectoire polynomiale cubique est planifiée pour passer du point initial $q_i(0) = 0$ au point final $q_i(T) = \frac{\pi}{3}$ en temps $T = 2 \, \text{s}$ avec vitesses initiale et finale nulles. Questions : Établir les coefficients du polynôme cubique $q_i(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$ pour chaque articulation et calculer les valeurs de position, vitesse et accélération à $t = 1 \, \text{s}$ . Concevoir une commande par...→
  • 10
    Exercice 1 : Commande dynamique d'un robot manipulateur 2-DDL - Calcul du couple nécessaire et compensation de la dynamique Un robot de manipulation à deux degrés de liberté (2-DDL) est composé de deux bras rigides articulés. Les caractéristiques du système sont : Paramètres du robot : Longueur du premier bras : $L_1 = 0.5\text{ m}$ Longueur du deuxième bras : $L_2 = 0.4\text{ m}$ Masse du premier bras : $m_1 = 2\text{ kg}$ Masse du deuxième bras : $m_2 = 1.5\text{ kg}$ Moment d'inertie du bras 1 autour de son articulation : $I_1 = 0.15\text{ kg·m}^2$ Moment d'inertie du bras 2 autour de son articulation : $I_2 = 0.08\text{ kg·m}^2$ Accélération gravitationnelle : $g = 10\text{ m/s}^2$ Le centre de masse...→
  • 11
    Exercice 2 : Synthèse d'un contrôleur par mode glissant pour un manipulateur 1-DDL Considérons un robot manipulateur simplifié à un seul degré de liberté (1-DDL) dont la dynamique est décrite par : $\ddot{q} + 2\dot{q} + 5q = u$ où $q$ est la position angulaire, $\dot{q}$ la vitesse angulaire, $u$ est le couple de commande, et les coefficients $2$ et $5$ représentent respectivement l'amortissement et la rigidité du système. Trajectoire de référence : On désire que le robot suive une trajectoire de référence définie par : $q_d(t) = 1 - e^{-t} \text{ (m ou rad)}$ $\dot{q}_d(t) = e^{-t} \text{ (m/s ou rad/s)}$ $\ddot{q}_d(t) = -e^{-t} \text{ (m/s}^2\text{ ou rad/s}^2\text{)}$ À l'instant $t = 0\text{ s}$ , le système part de $q(0) = 0$ et $\dot{q}(0) = 0$ . On utilise une surface de...→
  • 12
    Commande dynamique d'un bras robot à deux articulations Considérons un bras robot planaire à deux articulations avec les paramètres suivants : Longueurs des segments : $l_1 = 0.5 \text{ m}, l_2 = 0.3 \text{ m}$ Masses : $m_1 = 2 \text{ kg}, m_2 = 1.5 \text{ kg}$ Moments d'inertie : $I_1 = 0.1 \text{ kg} \cdot \text{m}^2, I_2 = 0.05 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$ Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \text{ m/s}^2$ Le modèle dynamique du robot est : $\tau = D(q) \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \dot{q} + G(q)$ où $\tau$ est le vecteur de couples articulaires, $D(q)$ est la matrice d'inertie, $C(q, \dot{q})$ est la matrice de Coriolis-centrifuge, et $G(q)$ est le vecteur de gravité. Question 1 : Calculer le vecteur de gravité $G(q)$ pour une configuration où $q = \begin{pmatrix} 30° \ 45° \end{pmatrix}$ . Question 2 : Calculer les éléments diagonaux de la matrice d'inertie $D(q)$ pour cette...→
  • 13
    Commande par mode glissant d'un robot manipulateur Soit un robot à une articulation piloté par un moteur avec les équations de mouvement : $I \ddot{q} + f_v \dot{q} + \tau_g = \tau_m$ où : $I = 1.2 \text{ kg·m}^2$ : moment d'inertie $f_v = 0.8 \text{ N·s/rad}$ : coefficient de frottement visqueux $\tau_g = 5 \sin(q)$ : couple de gravité (dépendant de la position) $\tau_m$ : couple moteur (commande) Le contrôleur par mode glissant utilise la surface de glissement : $s(t) = \dot{e}(t) + \lambda e(t)$ où $e(t) = q_d(t) - q(t)$ est l'erreur de position, $q_d(t)$ étant la trajectoire désirée. Question 1 : Pour une trajectoire désirée $q_d(t) = 2 \sin(0.5 t)$ rad et une position actuelle $q = 1.5$ rad à $t = 1$ s avec $\dot{q} = 0.3$ rad/s, calculer la surface de glissement $s(t)$...→
  • 14
    Commande dynamique d'un robot à trois articulations avec suivi de trajectoire Un robot industriel à trois articulations doit suivre une trajectoire circulaire dans le plan horizontal. Les paramètres du système sont : Masses des segments : $m_1 = 3 \text{ kg}, m_2 = 2 \text{ kg}, m_3 = 1 \text{ kg}$ Longueurs : $l_1 = 0.6 \text{ m}, l_2 = 0.4 \text{ m}, l_3 = 0.2 \text{ m}$ Moments d'inertie locaux : $I_1 = 0.15 \text{ kg·m}^2, I_2 = 0.08 \text{ kg·m}^2, I_3 = 0.03 \text{ kg·m}^2$ La trajectoire désirée en l'espace cartésien est : $x_d(t) = 0.8 + 0.3 \cos(0.5 t) \text{ m}, \quad y_d(t) = 0.6 + 0.3 \sin(0.5 t) \text{ m}$ À l'instant $t = 2$ s, la configuration est : $q = \begin{pmatrix} 20° \ 30° \ 15° \end{pmatrix}$ et $\dot{q} = \begin{pmatrix} 0.2 \ 0.15 \ 0.1 \end{pmatrix} \text{ rad/s}$ . Question 1 : Calculer les trajectoires désirées en angle ( $q_d$ ) en fonction de la position cartésienne. (Utiliser la cinématique inverse linéarisée autour d'une configuration nominale). Question 2 : Calculer la matrice jacobienne...→
  • 15
    Exercice 1 : Synthèse d'une commande dynamique pour un robot manipulateur plan Un robot manipulateur plan à deux liaisons rotoïdes est utilisé pour des tâches de soudage de précision. Le robot est décrit par sa dynamique non-linéaire obtenue par la méthode de Lagrange. L'objectif est de concevoir une loi de commande dynamique assurant le suivi de trajectoires déterminées pour les articulations. Modèle dynamique du robot : $\tau_1 = (m_1 l_{c1}^2 + m_2 l_1^2 + I_1) \ddot{q}_1 + (m_2 l_1 l_{c2} \cos(q_2)) \ddot{q}_2 - (m_2 l_1 l_{c2} \sin(q_2)) \dot{q}_2^2 + (m_1 l_{c1} + m_2 l_1) g \cos(q_1)$ $\tau_2 = (m_2 l_{c2}^2 + I_2) \ddot{q}_2 + (m_2 l_1 l_{c2} \cos(q_2)) \ddot{q}_1 + (m_1 l_{c1} + m_2 l_1) g \cos(q_1 + q_2)$ Données numériques du robot : Masses des segments : $m_1 = 3.5 \text{ kg}, m_2 = 2.0 \text{ kg}$ Longueurs des segments : $l_1 = 0.5 \text{ m}, l_2 = 0.4 \text{ m}$ Positions des centres de masse : $l_{c1} = 0.25 \text{ m}, l_{c2} = 0.20 \text{ m}$ Moments d'inertie des segments : $I_1 = 0.15 \text{ kg} \cdot \text{m}^2, I_2 = 0.08 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$ Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$...→
  • 16
    Exercice 2 : Synthèse de contrôleurs par mode glissant pour un bras robotique 3 articulations Un bras robotique à trois articulations rotoïdes est commandé en utilisant des contrôleurs par mode glissant pour assurer une robustesse élevée face aux incertitudes de modèle et aux perturbations externes. La dynamique du robot est donnée sous forme simplifiée supposant une masse équivalente par articulation. Modèle dynamique simplifié du robot : $m_i \ddot{q}_i + b_i \dot{q}_i + k_i q_i = \tau_i + d_i(t)$ où $d_i(t)$ représente les perturbations. Paramètres du système : Masses équivalentes : $m_1 = 2.5 \text{ kg}, m_2 = 1.8 \text{ kg}, m_3 = 1.0 \text{ kg}$ Amortissements : $b_1 = 0.8 \text{ N} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-1}, b_2 = 0.6 \text{ N} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-1}, b_3 = 0.4 \text{ N} \cdot \text{s} \cdot \text{m}^{-1}$ Rigidités articulaires : $k_1 = 1.5 \text{ N} \cdot \text{m} \cdot \text{rad}^{-1}, k_2 = 1.2 \text{ N} \cdot \text{m} \cdot \text{rad}^{-1}, k_3 = 0.8 \text{ N} \cdot \text{m} \cdot \text{rad}^{-1}$ Perturbations bornées : $|d_i(t)| \leq D_i$ avec $D_1 = 2.0 \text{ N} \cdot \text{m}, D_2 = 1.5 \text{ N} \cdot \text{m}, D_3 = 1.0 \text{ N} \cdot \text{m}$ Trajectoires de référence : $q_{1d}(t) = \sin(0.5t) \text{ rad}, q_{2d}(t) = 0.5\cos(t) \text{ rad}, q_{3d}(t) = 0.3\sin(2t) \text{ rad}$ Instant d'analyse...→
  • 17
    Exercice 1 : Commande dynamique d'un robot manipulateur à deux articulations Un robot manipulateur plan à deux articulations rotatives doit saisir et déplacer des pièces sur une chaîne de montage. Le système est contrôlé par deux moteurs qui génèrent les couples appliqués aux articulations. La dynamique du robot est décrite par le modèle Lagrangien standard. Paramètres du robot : Longueurs des segments : $L_1 = 0.4$ m, $L_2 = 0.3$ m Masses : $m_1 = 2$ kg, $m_2 = 1.5$ kg Moments d'inertie au centre de masse : $I_1 = 0.05$ kg·m², $I_2 = 0.03$ kg·m² Distance du centre de masse par rapport à l'articulation : $d_1 = 0.2$ m, $d_2 = 0.15$ m Accélération gravitationnelle...→
  • 18
    Exercice 2 : Conception d'une loi de commande par mode glissant pour un robot manipulateur Un robot manipulateur une articulation (système SISO) effectue une tâche de positionnement de précision. Une perturbation externe (frottements non-modélisés, incertitudes paramétriques) affecte la dynamique du système. Une stratégie de commande par mode glissant est mise en place pour assurer la robustesse et la précision du suivi de trajectoire. Paramètres du système : Modèle nominal de l'articulation : $m = 0.8$ kg·m², $b = 0.1$ N·m·s/rad, $k = 0$ (aucune raideur) Incertitude paramétrique : $\Delta m = \pm 0.1$ kg·m² (variation de masse), $\Delta b = \pm 0.02$ N·m·s/rad Perturbation externe bornée : $d(t)$ telle que $|d(t)| \leq 0.5$ N·m Trajectoire désirée...→
  • 19
    Exercice 3 : Synthèse multi-articulations de commande par mode glissant robuste Un robot manipulateur à trois articulations (3-DOF) effectue une tâche d'assemblage précis. Chaque articulation est contrôlée par une boucle de mode glissant décentralisée. Le couplage dynamique entre les articulations introduit des perturbations inter-articulations qui doivent être rejetées par la commande robuste. Paramètres de chaque articulation i (i = 1, 2, 3) : Inertie : $m_1 = 0.6$ kg·m², $m_2 = 0.4$ kg·m², $m_3 = 0.2$ kg·m² Amortissement : $b_1 = 0.08$ N·m·s/rad, $b_2 = 0.05$ N·m·s/rad, $b_3 = 0.03$ N·m·s/rad Trajectoire désirée commune : $\theta_{d,i}(t) = A\sin(\omega t + \phi_i)$ Paramètres : $A = 0.5$ rad, $\omega = 0.3$ rad/s, $\phi_1 = 0°, \phi_2 = 60°, \phi_3 = 120° Perturbation de couplage bornée (dynamique croisée) : $ d_i(t) \leq 0.3 $ Nm pour chaque articulation Coefficients de surface : $ \lambda_i = 1.5 $ s⁻¹ pour toutes les articulations Gains de robustesse : $ \eta_1...→
  • 20
    Exercice 1 : Commande dynamique d'un robot manipulateur plan à deux articulations Un robot manipulateur plan dispose de deux articulations rotoïdes commandées par des moteurs électriques. L'objectif est de réaliser une trajectoire circulaire dans l'espace opérationnel. Le système est soumis à des frottements visqueux et à une charge variable. Pour maîtriser la dynamique du robot, une commande dynamique complète doit être synthétisée. Les paramètres du robot sont : $m_1 = 2 \text{ kg}, \quad m_2 = 1 \text{ kg}$ (masses des deux segments) $l_1 = 0,5 \text{ m}, \quad l_2 = 0,3 \text{ m}$ (longueurs des segments) $I_1 = 0,04 \text{ kg·m}^2, \quad I_2 = 0,01 \text{ kg·m}^2$ (moments d'inertie) $b_1 = 0,2 \text{ N·m·s/rad}, \quad b_2 = 0,1 \text{ N·m·s/rad}$ (coefficients de frottement visqueux) La dynamique du robot est donnée par : $\tau = M(\theta)\ddot{\theta} + C(\theta, \dot{\theta})\dot{\theta} + G(\theta) + F_f$ où $\tau$ sont les couples moteurs,...→
  • 21
    Exercice 2 : Commande par mode glissant d'un actionneur linéaire pour un système de positionnement haute précision Un système de positionnement utilisant un actionneur linéaire électromécanique doit maintenir une charge à une position précise malgré les perturbations externes et les incertitudes paramétriques. La commande par mode glissant est choisie pour sa robustesse. Le système est modélisé par une représentation d'état du second ordre. L'équation du mouvement de l'actionneur est : $\ddot{x} + c\dot{x} + kx = u + d(t)$ où $x$ est la position linéaire de l'actionneur, $u$ est la force de commande, et $d(t)$ est la perturbation externe (charge variable). Paramètres du système : $c = 5 \text{ N·s/m} \quad \text{(coefficient d'amortissement)}$ $k = 20 \text{ N/m} \quad \text{(raideur effective)}$ $D_{max} = 10 \text{ N} \quad \text{(perturbation maximale})$...→
  • 22
    Exercice 3 : Conception d'un contrôleur hybride combinant commande dynamique et mode glissant pour un manipulateur à charge variable Un robot manipulateur doit accomplir une tâche d'insertion précise tout en transportant une charge qui varie de manière imprévisible (par exemple, lors du chargement ou du déchargement). L'objectif est de concevoir un contrôleur hybride qui combine la commande dynamique pour le suivi de trajectoire nominale et le mode glissant pour gérer les perturbations et les incertitudes paramétriques. Le système est modélisé par : $M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + G(q) = \tau + \Delta M(q)\ddot{q}_d + \Delta f(q,\dot{q})$ où $\Delta M(q)$ représente les erreurs d'inertie, et $\Delta f(q,\dot{q})$ représente les erreurs de friction non modélisées. Paramètres :...→
  • 23
    Exercice 1 : Commande dynamique d'un robot manipulateur à deux articulations Un robot de manipulation à deux articulations rotoïdes est modélisé par son équation dynamique : $M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = \tau$ où $q = \begin{bmatrix} q_1 \ q_2 \end{bmatrix}$ est le vecteur des positions articulaires, $\tau = \begin{bmatrix} \tau_1 \ \tau_2 \end{bmatrix}$ est le vecteur des couples moteurs. Les matrices et vecteurs du système sont : $M(q) = \begin{bmatrix} m_1 + m_2 + 2m_2 l_1 \cos(q_2) & m_2 l_2 + m_2 l_1 \cos(q_2) \ m_2 l_2 + m_2 l_1 \cos(q_2) & m_2 l_2 \end{bmatrix}$ avec $m_1 = 2 \text{ kg}, m_2 = 1.5 \text{ kg}, l_1 = 0.8 \text{ m}, l_2 = 0.6 \text{ m}, g = 9.81 \text{ m/s}^2$ $C(q,\dot{q})\dot{q} = \begin{bmatrix} -m_2 l_1 \sin(q_2) \dot{q}_2 (2\dot{q}_1 + \dot{q}_2) \ m_2 l_1 \sin(q_2) \dot{q}_1^2 \end{bmatrix}$ $g(q) = \begin{bmatrix} (m_1 l_1 + m_2 (l_1 + l_2)) g \cos(q_1) + m_2 l_2 g \cos(q_1 + q_2) \ m_2 l_2 g \cos(q_1 + q_2) \end{bmatrix}$ On souhaite appliquer une commande dynamique pour suivre une trajectoire désirée $q_d(t)$ . À l'instant $t = 0$ , le robot se trouve à la position $q(0) = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.3 \end{bmatrix} \text{ rad}$ avec une vitesse $\dot{q}(0) = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \text{ rad/s}$ . La trajectoire désirée est $q_d(t) = \begin{bmatrix} 1.0 \ 0.8 \end{bmatrix} \text{ rad}$ (position constante). Question 1 : Évaluer la matrice de masse...→
  • 24
    Exercice 2 : Commande par mode glissant d'un robot à articulation simple Un robot manipulateur uniaxial (1 degré de liberté) est régi par l'équation dynamique : $I \ddot{q} + b \dot{q} + \tau_{gravity} = \tau$ où $I = 0.5 \text{ kg m}^2$ est le moment d'inertie, $b = 0.2 \text{ N m s/rad}$ est le coefficient de friction visqueuse, $\tau_{gravity}$ est le couple de gravité dépendant de la position, et $\tau$ est le couple moteur. On souhaite implémenter une loi de commande par mode glissant (SMC - Sliding Mode Control) pour faire converger le robot vers une trajectoire désirée $q_d(t) = \sin(t)$ . La surface de glissement est définie par : $s(t) = \dot{e}(t) + \lambda e(t)$ où $e(t) = q_d(t) - q(t)$ est l'erreur de position et $\lambda = 2 \text{ s}^{-1}$ est...→
  • 25
    Exercice 3 : Analyse de robustesse d'une commande par mode glissant en présence de perturbations Un robot manipulateur est soumis à des perturbations externes (vibrations de l'environnement, variations de charge) modélisées par une perturbation additive $\Delta(t)$ sur la dynamique : $m \ddot{q} + c \dot{q} + k q = \tau + \Delta(t)$ où $m = 1.2 \text{ kg}$ est la masse équivalente, $c = 0.5 \text{ N s/m}$ est l'amortissement, $k = 0.3 \text{ N/m}$ est la raideur de rappel, $\tau$ est le couple de commande, et $\Delta(t)$ est une perturbation bornée avec $|\Delta(t)| \leq \Delta_{max} = 2 \text{ N m}$ . La surface de glissement choisie est : $s(t) = \dot{e}(t) + \alpha e(t)$ où $\alpha = 1.5 \text{ s}^{-1}$ . La trajectoire désirée est $q_d(t) = 0.5 \cos(\pi t)$ . À l'instant $t = 0.2 \text{ s}$ , les états mesurés sont : $q(0.2) = 0.25 \text{ m}, \quad \dot{q}(0.2) = 0.3 \text{ m/s}$ La perturbation...→

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