Commande optimale Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (9 Exercices)
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    Examen 3 : Commande Optimale en Temps Minimal - Principe du Maximum de Pontryagin Un robot industriel doit transférer une charge entre deux positions en temps minimum. Le système peut être modélisé comme un intégrateur double soumis à une force de commande saturée : $\ddot{q}(t) = u(t)$ où la position est q(t), la vitesse est $\dot{q}(t)$ , et u(t) est limité à $|u(t)| \leq u_{\max} = 10 \text{ N/kg}$ . Les conditions aux limites sont : • État initial : $q(0) = 0, \dot{q}(0) = 0$ (position et vitesse nulles) • État final : $q(T) = 10 \text{ m}, \dot{q}(T) = 0$ (immobilité à la cible) • Temps de transfert : T est **libre** (à minimiser) L'objectif est de trouver...→
  • 2
    | | Contexte général : On considère un système de positionnement de précision pour une application industrielle. Le système est modélisé par un double intégrateur perturbé. L'objectif est de concevoir une commande LQR optimale puis d'étendre l'analyse à un régulateur LQG en présence de bruit. Question 1 (4 points) - Modélisation et Commandabilité Le système de positionnement est décrit par l'équation différentielle : $\ddot{x} = u$ où $x$ est la position et $u$ est la force de commande. a) Mettre le système sous forme d'état avec le vecteur d'état $X = [x_1, x_2]^T = [x, \dot{x}]^T$ . Donner les matrices $A$ et $B$ . b) Vérifier que le...→
  • 3
    | | Contexte général : On étudie la commande en temps minimal d'un système mécanique simple (chariot sur rails). L'objectif est d'amener le système d'un état initial à l'origine en un temps minimum avec une commande bornée. Question 1 (4 points) - Formulation du Problème de Temps Minimal Le système est décrit par : $\dot{x}_1 = x_2, \quad \dot{x}_2 = u$ avec la contrainte $|u| \leq 1$ . L'objectif est de transférer le système de l'état initial $X_0 = [4, 0]^T$ à l'origine $X_f = [0, 0]^T$ en temps minimal. a) Écrire le Hamiltonien $H$ du problème avec le critère $J = \int_0^{t_f} 1 \, dt = t_f$ . b) Écrire les équations adjointes (co-état) $\dot{\lambda}_1$ et $\dot{\lambda}_2$ . c) En...→
  • 4
    Examen 1 : Commande Linéaire Quadratique (LQ) et Régulation d'État | Coefficient : 4 | Un système de contrôle de position d'une charge suspendue par un câble est modélisé par un système linéaire temps-invariant. L'objectif est de concevoir un régulateur optimal pour stabiliser le système tout en minimisant l'énergie de commande. Question 1 : Analyse du système linéaire et stabilité (6 points) Le système est décrit par les équations d'état : $\dot{x}_1(t) = x_2(t)$ $\dot{x}_2(t) = -2x_1(t) - x_2(t) + u(t)$ où $x_1(t)$ est la position, $x_2(t)$ est la vitesse, et $u(t)$ est la force de commande. a) Écrire le système sous forme matricielle $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u$ et calculer les...→
  • 5
    Examen 2 : Commande Linéaire Quadratique Gaussienne (LQG) | Coefficient : 4 | Un système de surveillance thermique dans un bâtiment intelligent doit maintenir une température cible malgré des perturbations aléatoires et des mesures bruitées. Le système doit être commandé par un régulateur LQG combinant un observateur de Kalman et un correcteur optimal. Question 1 : Modèle du système avec perturbations et bruits (6 points) Le système thermique est décrit par : $\dot{x}(t) = -0.1 x(t) + u(t) + w(t)$ $y(t) = x(t) + v(t)$ où $x(t)$ est la température, $u(t)$ est la commande (puissance de chauffage), $w(t)$ est une perturbation Gaussienne de variance $\sigma_w^2 = 0.01$ , et $v(t)$ est le bruit...→
  • 6
    Examen 3 : Commande Optimale en Temps Minimal | Coefficient : 4 | Un système mécanique de positionnement rapide (robot manipulateur) doit atteindre un objectif en temps minimal avec une commande limitée. L'objectif est de concevoir une stratégie de commande en temps minimal (temps optimal) respectant les contraintes de limitation. Question 1 : Formulation du problème temps-optimal et Hamiltonien (7 points) Le système mécanique est modélisé par : $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = u, \quad |u| \leq 1$ avec des conditions initiales $\mathbf{x}(0) = [0, 0]^T$ et conditions finales $\mathbf{x}_f = [10, 0]^T$ . a) Formuler le problème optimal en temps minimal en définissant l'indice de performance, le Hamiltonien et les conditions nécessaires de...→
  • 7
    | | Contexte général : On considère un système mécanique masse-ressort-amortisseur dont la dynamique est décrite par le modèle d'état suivant : $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ L'objectif est de concevoir une commande optimale pour stabiliser ce système tout en minimisant un critère quadratique. Question 1 (Analyse préliminaire et commandabilité) : a) Calculer les valeurs propres de la matrice $A$ et analyser la stabilité du système en boucle ouverte. b) Construire la matrice de commandabilité $\mathcal{C} = [B \quad AB]$ et vérifier si le système est commandable. c) Déterminer la forme canonique de commande du système. d) Calculer la matrice de transition $e^{At}$ pour...→
  • 8
    | | Contexte général : On considère un système linéaire perturbé par du bruit, décrit par : $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t)$ $y(t) = Cx(t) + v(t)$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -4 & -5 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 2 \end{pmatrix}$ , $G = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ Les bruits $w(t)$ et $v(t)$ sont des bruits blancs gaussiens de covariances $W = 0.5$ et $V = 0.1$ . Question 1 (Observabilité et filtre de Kalman) : a) Vérifier l'observabilité du système en construisant la matrice $\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \ CA \end{pmatrix}$ . b) Écrire l'équation algébrique de Riccati pour l'estimation (filtre de Kalman). c) Résoudre cette équation pour trouver la matrice de covariance d'estimation $\Sigma$ . d) Calculer le gain de Kalman $L = \Sigma C^T V^{-1}$ . Question 2 (Équations du filtre de...→
  • 9
    Examen 3 de commande optimale : Commande optimale en temps minimal (bang-bang). On considere un systeme mecanique simple (double integrateur) decrit par : dx1/dt = x2 dx2/dt = u ou x1 est la position, x2 est la vitesse et u est la force de commande bornee : |u| <= U_max = 1 N. L objectif est de transferer le systeme de l etat initial x(0) = [x1(0), x2(0)]^T = [2, 1]^T a l origine x_f = [0, 0]^T en temps minimal. Question 1 : Ecrire le Hamiltonien du probleme de commande optimale en temps minimal. Montrer que la commande optimale...→
• Commande optimale en temps minimal (17 Exercices)
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    Exercice 2 : Temps minimal avec contrainte d’énergie - Système 2D On considère un système linéaire continu à deux états $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}$ et une entrée unique $u$ avec les matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \ -4 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . Le coût est $J = \int_0^{\infty} (x^T Q x + r u^2) dt$ avec $Q = \begin{pmatrix} 4 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $r = 1$ . a) Établissez l’équation ARE et résolvez-la pour trouver une matrice P symétrique et définie positive. b) Déduisez le gain optimal K et l’équation dynamique en boucle fermée A_cl, puis donnez les valeurs propres de A_cl. c) Vérifiez que la solution est bien stabilisante et commentez l’influence des éléments de Q sur le placement des pôles.→
  • 2
    Exercice 3 : Commande en temps minimal - Approche multi-objectifs Un système électrique linéarisé est décrit par $\dot{x} = A x + B u$ avec $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}$ et une entrée unique $u$ . Le coût combine énergie et précision : $J = \int_0^{\infty} (x^T Q x + u^2) dt$ avec $Q = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , et $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ -5 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . a) Résolvez ARE et trouvez P symétrique et définie positive. Présentez les valeurs numériques. b) Déduisez K et A_cl, puis calculez les valeurs propres de A_cl et discutez de la stabilité et du régime transitoire. c) Montrez comment la modification de Q influence le placement des pôles et donnez une interprétation pratique pour des réglages en ingénierie électrique....→
  • 3
    Troisième exercice sur la commande en temps minimal pour un système électrique discret : un système discret $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)$ avec $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}$ , $A_d = \begin{pmatrix} 1.1 & 0.2 \ 0.0 & 0.9 \end{pmatrix}$ , $B_d = \begin{pmatrix} 0 \ 0.1 \end{pmatrix}$ , et coût discret $J = \sum_{k=0}^{\infty} (x(k)^T Q x(k) + u(k)^T R u(k))$ avec $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = 0.5$ . 1. Écrire l’équation de Riccati discrète et préciser les conditions de convergence vers une matrice P réelle et symétrique. 2. Déterminer le gain discret optimal $K_d = (R + B_d^T P B_d)^{-1} B_d^T P A_d$ et écrire la loi de contrôle $u(k) = -K_d x(k)$ . 3. Calculer les valeurs propres de la matrice fermée $A_{cl} = A_d - B_d K_d$ et vérifier la stabilité en boucle fermée.→
  • 4
    Exercice 1 : Commande optimale en temps minimal pour un système électrique linéaire discret. Le système est décrit en espace d'état discret par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ et $y_k = C x_k$ , avec $x_k = \begin{pmatrix} x_{1k} \ x_{2k} \ x_{3k} \end{pmatrix}$ , $u_k$ l’entrée scalaire et $y_k$ la sortie scalaire. Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 & 0 \ 0 & 0.95 & 0.05 \ 0 & 0 & 0.98 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Le coût à minimiser sur un horizon infini est : $J = \sum_{k=0}^{\infty} (x_k^T Q x_k + R u_k^2)$ avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0.5 & 0 \ 0 & 0 & 0.2 \end{pmatrix}$ et $R = 0.1$ . 1. Établissez la condition nécessaire pour l’optimalité en temps discret et écrivez l’équation de Riccati discrète associée pour la matrice $P$ . 2. Donnez l’expression du gain de retour d’état $K = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A$ et précisez les matrices utilisées. 3. Déterminez les valeurs propres...→
  • 5
    Exercice 2 : Commande optimale en temps minimal pour un réseau RC discret. Le système est décrit par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , avec $x_k = \begin{pmatrix} v_k \\ i_k \end{pmatrix}$ représentant une tension et un courant dans un filtre. $A = \begin{pmatrix} 0.9 & -0.2 \\ 0.3 & 0.95 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \end{pmatrix}$ et la sortie $y_k = C x_k$ avec $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Le coût est $J = \sum_{k=0}^{\infty} (x_k^T Q x_k + R u_k^2)$ , $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ , $R = 0.05$ . 1. Écrire l’équation de Riccati discrète et donner l’expression du gain $K$ pour le contrôle en temps minimal. 2. Calculer $P$ et $K$ en supposant une solution numérique approchée et donner les valeurs des pôles de $A - B K$ . 3. Vérifier la stabilité en montrant que les valeurs propres de $A_{cl}$ ont des...→
  • 6
    Exercice 3 : Commande en temps minimal pour un système DC-DC boost en écriture discrète. Modèle en espace d’état : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , avec $x_k = \begin{pmatrix} v_k \ i_Lk \end{pmatrix}$ et $u_k$ le rapport cyclique discretisé. Matrices : $A = \begin{pmatrix} 1.0 & -0.2 \ 0.4 & 0.9 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ 0.5 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ et coût $Q = \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = 0.2$ . 1. Rédigez l’équation de Riccati discrète et donnez le gain $K$ pour le contrôle en temps minimal. 2. Calculez P et K numériquement et donnez les pôles de $A - B K$ pour évaluer la stabilité. 3. Discutez des implications de la stabilité pour la régulation de la tension de sortie.→
  • 7
    Exercice 1 — Commande optimale en temps minimal dans un système électrique multivariable. On modélise le système par une dynamique linéaire continue $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ , avec la sortie $y(t) = C x(t)$ . L’objectif est de minimiser le temps nécessaire pour atteindre une zone cible tout en respectant un coût énergétique. Les matrices sont données par : $A = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.2 \ -1.0 & -0.3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0.8 \ 0.2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}.$ Question 1 : Déterminer le gain de contrôle optimal $K$ et la loi de commande $u(t) = -K x(t)$ qui minimise le coût en temps minimal $J = \int_{0}^{T} (x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t)) dt$ sous l’horizon $T$ inconnu mais lorsque la solution converge vers une stabilité sous une discrétisation standard (méthode du potentiel ou Riccati). Utiliser...→
  • 8
    Exercice 2 — Optimisation en temps minimal avec contraintes et échantillonnage. Un système électrique multivariable est modélisé en temps continu puis échantillonné pour une mise en œuvre numérique en temps minimal. Les matrices du modèle continu sont $A_c = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -0.4 \end{pmatrix}, B_c = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}. $ Question 1 : Discrétisation avec pas d’échantillonnage dt = 0.05 et calcul des matrices discretisées $A$ , $B$ pour le système $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ . Question 2 : Trouver la loi de commande optimale $K$ minimisant $J = \sum_{k=0}^{N} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k)$ avec $Q = \mathrm{diag}(1, 2)$ et $R = 0.3$ , horizon $N = 40$ . Fournir le calcul pas-à-pas et le résultat numérique. Question 3 : Décrire un schéma d’estimation des états par observateur...→
  • 9
    Troisième exercice sur la commande en temps minimal pour un système linéaire continu avec coût total minimal et objectif de franchir une frontière d’état rapidement. Le modèle est donné par $\dot{x}(t) = F x(t) + G u(t)$ avec $F = \begin{pmatrix}0 & 1 \ -1 & -1\end{pmatrix}$ , $G = \begin{pmatrix}0 \ 1\end{pmatrix}$ . Le coût est $J = \int_{0}^{T} (x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t)) dt$ avec $Q = \begin{pmatrix}2 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$ , $R = 1$ , et l’état initial $x(0) = \begin{pmatrix}2 \ -0.5\end{pmatrix}$ . Déterminer les contrôles $u(t)$ et le temps optimal $T$ qui amènent le système à l’origine tout en minimisant J, en procédant uniquement par des substitutions et calculs numériques explicites, et interpréter le résultat sur la régulation et les efforts de commande.→
  • 10
    Exercice 1 : Commande optimale en temps minimal (temps minimal) pour un système linéaire discret Dans le cadre d’un système électrique linéaire discret, on cherche à minimiser le temps pour atteindre un état souhaité tout en respectant une pénalité sur l’effort de contrôle. Le système est décrit par : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ $y_k = C x_k$ avec les matrices ci-dessous : $A = \begin{pmatrix} 1.1 & -0.3 \ 0.2 & 0.95 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0.05 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ Objectif : déterminer la séquence de commandes jusqu’à l’atteinte d’un état cible $x^{\star} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix}$ avec un horizon mobile et minimiser le nombre d’étapes tout en maintenant $|u_k| \le 1$ et $J = \sum_{k=0}^{N-1} ( x_k^{\top} Q x_k + u_k^{\top} R u_k )$ où $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = (0.5)$ . Considérez que le coût est évalué par rapport à l’état...→
  • 11
    Exercice 1 : Commande optimale en temps minimal pour un système en espace d'états Considérez un système linéaire en forme standard $\dot{x} = A x + B u$ avec $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}$ et une entrée unique $u$ . On souhaite réaliser une commande en temps minimal qui respecte une contrainte d’amplitude sur l’entrée et minimise le temps nécessaire pour atteindre un état cible $x_f = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$ depuis l’état initial $x(0) = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$ . Le système est donné par $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . 1) Établissez la forme quadratique à minimiser pour un contrôle en temps minimal sous contrainte d’entrée et écrivez clairement les conditions du problème. 2) Déduisez les conditions d’optimalité en utilisant...→
  • 12
    Exercice 2 : Commande optimale en temps minimal pour un système électrique discret Considérez un système discret en espace d’états $x_{k+1} = A_d x_k + B_d u_k$ avec $x_k = \begin{pmatrix} x_{1k} \ x_{2k} \end{pmatrix}$ et coût minimal sur horizon fini N sous contrainte d’entrée $|u_k| \leq u_{max}$ , avec $u_{max} = 1.5$ . Données : $A_d = \begin{pmatrix} 1.0 & 0.2 \ 0 & 0.98 \end{pmatrix}$ , $B_d = \begin{pmatrix} 0 \ 0.1 \end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = 1$ et horizon $N = 10$ . 1) Écrivez la dynamique discrète et le coût à minimiser sur l’horizon fini. 2) Décrivez l’algorithme numérique (Riccati discrète) pour obtenir la loi de contrôle optimale $u_k = -K_k x_k$ , et indiquez comment gérer la saturation $|u_k| \leq u_{max}$ . 3) Donnez les valeurs des gains $K_k$ à chaque pas pour les premiers...→
  • 13
    Exercice 1 – Commande optimale en temps minimal Dans un système électrique linéaire discreté, on cherche à commander l'état d’un réseau simple pour atteindre un état désiré en un temps minimal tout en minimisant l’effort de commande. On modélise le système par une représentation espace d'état $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ , avec $x(t) \in \mathbb{R}^2$ , $u(t) \in \mathbb{R}$ , et sorties non utilisées ici. La dynamique et la fonction coût sont données par : $A = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.0 \ -2.0 & -0.5 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0.0 \ 1.0 \end{pmatrix},$ Objectif : atteindre $x_f = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ à partir de l’état initial $x(0) = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$ en un temps minimal $T$ tout en minimisant le coût $J = \int_0^T (x(t)^T Q x(t) + r u(t)^2) \mathrm{d}t$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $r = 0.5$ . Question 1 (Calcul)** :...→
  • 14
    Exercice 2 – Optimisation temporelle dans un réseau RLC Un réseau électrique en chaîne est modélisé par un arbre de Campbell avec deux mailles et trois nœuds. L’objectif est de minimiser l’énergie consommée par l’action de commande sur un actionneur de tension $u(t)$ afin d’amener le système à un état cible dans un temps donné. Les équations d’état discrétisées sur un pas $Δt$ sont : $x_{k+1} = A_d x_k + B_d u_k$ , avec $x_k = [i_L1, i_L2, v_C]^{T}$ et les matrices $A_d$ et $B_d$ dépendantes des valeurs de composantes R, L et C, ainsi que du pas de temps. Le coût est : $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^T Q x_k + r u_k^2)$ , avec $Q = diag(1,1,0)$ et $r = 0.2$ ....→
  • 15
    Exercice 3 – Contrôle en temps minimal avec contraintes Considérons un système dynamique linéaire en temps continu avec contrat d’énergie et contrainte de commande sur l’amplitude de l’entrée. Le système est : $\dot{x} = A x + B u$ , avec $x ∈ R^2$ , $u ∈ R$ . Données : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix},$ Objectifs : atteindre $x_f = [1; 0]$ en $T = 3$ s tout en respectant $|u(t)| ≤ u_{max} = 2$ et minimiser le coût $J = \int_0^T (x^T Q x + r u^2) dt$ , avec $Q = I_2$ , $r = 0.1$ . Question 1 (Calcul)** : Établissez le problème d’optimalité en temps continu avec contraintes sur l’entrée et expliquez comment les souveraintés robusteres peuvent être intégrées dans la formulation (par exemple en utilisant une méthode de programmation quadratique...→
  • 16
    Exercice 1 : Commande optimale en temps minimal dans un réseau électrique linéaire Dans un système électrique linéaire, on cherche à acheminer une grandeur d’entrée u(t) vers une sortie y(t) avec contraintes de coût et de temps. On modélise le système par un état noté x(t) et une dynamique linéaire continue. Les questions suivantes s’inscrivent dans une même lignée logique, et chaque calcul s’appuie sur les données données ci-dessous. $\dot{x}(t) = -a x(t) + b u(t), \quad y(t) = c x(t)$ Paramètres : $a = 2.0, \quad b = 1.5, \quad c = 1.0$ . Objectif : minimiser le temps nécessaire pour que la sortie y atteigne une référence $y_{ref} = 3.0$ et rester dans une plage de sécurité pendant tout le trajet,...→
  • 17
    Exercice 1 : Commande optimale en temps minimal – Élaboration et résolution intégré Dans le cadre d’un problème de contrôle optimal en engagement rapides pour un système électrique linéaire, on modélise le système par un véhicule dynamique à deux états x1 et x2 avec commande u et coût à minimiser sur un horizon fini. Le système en espace d’état est donné par : $\dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B u, \quad \mathbf{y} = C \mathbf{x}$ Avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -4 & -3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}.$ Le coût à minimiser est donné par : $J = \int_{0}^{T} (\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} + R u^2) \; dt, \quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ R = 1.$ On considère une condition initiale $\mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ et un horizon fini $ T = 2$ . Questions intégrées et interconnectées (3 questions calculatoires sans question conceptuelle pure) : -...→
• Commande Linéaire Quadratique (8 Exercices)
  • 1
    Considérons un système de suspension active d'un véhicule modélisé par les équations d'état suivantes : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -100 & -20 & 80 & 10 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 40 & 5 & -50 & -8 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 20 \ 0 \ -15 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1$ est le déplacement de la masse suspendue, $x_2$ sa vitesse, $x_3$ le déplacement de la roue et $x_4$ sa vitesse. Le système est soumis à un bruit blanc gaussien $w(t)$ de matrice de covariance $Q_w = 0.01 I_4$ . Les mesures sont données par $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} x(t) + v(t)$ avec un bruit de mesure $v(t)$ de covariance $R_v = 0.001 I_2$ . 1. Calculer le gain optimal du régulateur LQR pour minimiser le critère $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ avec $Q = \text{diag}(100, 10, 50, 5)$ et $R = 1$ . Pour simplifier, résoudre l'équation de Riccati en régime permanent avec la solution...→
  • 2
    Un drone quadricoptère est contrôlé en altitude par un système LQG. La dynamique linéarisée autour du point d'équilibre est donnée par : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{bmatrix} u(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} w(t)$ où $x_1$ est l'altitude, $x_2$ la vitesse verticale, $x_3$ la poussée normalisée, et $w(t)$ représente les perturbations de vent avec $E[w(t)w^T(\tau)] = 0.05\delta(t-\tau)$ . Les mesures disponibles sont $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} x(t) + v(t)$ avec $E[v(t)v^T(\tau)] = 0.002 I_2 \delta(t-\tau)$ . 1. Pour un critère LQR avec $Q = \begin{bmatrix} 50 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R = 0.1$ , calculer le gain de retour d'état optimal. Utiliser la solution de Riccati $P = \begin{bmatrix} 7.07 & 2.24 & 0.71 \\ 2.24 & 2.24 & 1.12 \\ 0.71 & 1.12 & 1.41 \end{bmatrix}$ . 2. Calculer le gain du filtre de Kalman stationnaire avec la solution $\Pi = \begin{bmatrix} 0.001 & 0.0005 & 0 \\ 0.0005 & 0.002 & 0.0001 \\ 0 & 0.0001 & 0.005 \end{bmatrix}$ . Déterminer les valeurs numériques de la matrice $L$ ....→
  • 3
    Un bras robotique flexible est modélisé par le système suivant : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -25 & -1 & 10 & 0.5 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 5 & 0.2 & -15 & -0.8 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 2 \ 0 \ -1 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1, x_3$ représentent les positions angulaires et $x_2, x_4$ les vitesses angulaires. Le système est soumis à des perturbations de couple avec $Q_w = 0.001 I_4$ . Les capteurs fournissent $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} x(t) + v(t)$ avec $R_v = \text{diag}(0.0001, 0.0001, 0.0004)$ . 1. Calculer le gain LQR optimal pour $Q = \text{diag}(100, 1, 100, 1)$ et $R = 0.01$ . Utiliser la solution de Riccati : $P = \begin{bmatrix} 20 & 2 & -8 & -0.4 \ 2 & 1 & -1.6 & -0.2 \ -8 & -1.6 & 16 & 1.2 \ -0.4 & -0.2 & 1.2 & 0.8 \end{bmatrix}$ . 2. Déterminer le gain de Kalman optimal en utilisant la solution $\Pi = \begin{bmatrix} 0.00008 & 0.00002 & 0.00004 & 0.00001 \ 0.00002 & 0.00012 & 0.00001 & 0.00003 \ 0.00004 & 0.00001 & 0.00009 & 0.00002 \ 0.00001 & 0.00003 & 0.00002 & 0.00015 \end{bmatrix}$ . 3. Pour le système LQG complet, calculer l'indice de performance de la séparation $\eta = \frac{J_{LQG}}{J_{LQR}}$ , où $J_{LQR} = \text{tr}(P Q_w)$ est le coût avec information parfaite et $J_{LQG} = J_{LQR} + \text{tr}(P B R^{-1} B^T \Pi)$ est...→
  • 4
    Un système de suspension active d'un véhicule est modélisé par l'équation d'état suivante : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -25 & -4 \end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix}u(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}w(t)$ , où $x_1$ représente le déplacement vertical (en mètres), $x_2$ la vitesse (en m/s), $u$ la force de commande (en N) et $w$ un bruit blanc gaussien de variance $\sigma_w^2 = 0.01$ . La mesure est donnée par $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}x(t) + v(t)$ avec $v$ un bruit de mesure de variance $\sigma_v^2 = 0.001$ . Question 1: Calculer le gain optimal du régulateur LQR pour les matrices de pondération $Q = \begin{bmatrix} 100 & 0 \ 0 & 10 \end{bmatrix}$ et $R = 1$ . Déterminer d'abord la solution $P$ de l'équation de Riccati algébrique. Question 2: Calculer le gain de Kalman $L$ pour l'estimateur...→
  • 5
    Un drone quadricoptère est contrôlé par un système LQG pour maintenir son altitude. Le modèle linéarisé autour du point d'équilibre est : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -10 & -5 \end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}u(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \end{bmatrix}w(t)$ , où $x_1$ est l'altitude (m), $x_2$ la vitesse verticale (m/s), $x_3$ l'accélération (m/s²). Les mesures sont $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix} v_1(t) \\ v_2(t) \end{bmatrix}$ avec $\text{cov}(v) = \begin{bmatrix} 0.01 & 0 \\ 0 & 0.04 \end{bmatrix}$ . Question 1: Pour un critère LQR avec $Q = \begin{bmatrix} 50 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ et $R = 2$ , calculer la matrice de Riccati $P$ en régime permanent en utilisant la méthode itérative jusqu'à convergence (3 itérations). Question 2: Déterminer le gain de Kalman stationnaire $L$ pour le bruit de processus de covariance $W = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.01 & 0.02 \\ 0 & 0.02 & 0.04 \end{bmatrix}$ et calculer l'erreur de covariance d'estimation en régime permanent. Question...→
  • 6
    Un bras robotique flexible est modélisé par le système suivant : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -16 & -2 & 4 & 0.5 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 4 & 0.5 & -9 & -1.5 \end{bmatrix}x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ 0.5 \end{bmatrix}u(t) + Gw(t)$ où $x_1, x_3$ sont les positions angulaires (rad), $x_2, x_4$ les vitesses (rad/s). La matrice de bruit est $G = \begin{bmatrix} 0 \ 0.1 \ 0 \ 0.05 \end{bmatrix}$ avec $E[w(t)w^T(\tau)] = 0.04\delta(t-\tau)$ . Les mesures disponibles sont $y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x + v$ avec $\text{cov}(v) = 0.01I_2$ . Question 1: Pour le critère LQR avec $Q = \text{diag}(25, 4, 16, 1)$ et $R = 0.5$ , calculer le gain de retour d'état optimal $K$ en utilisant la décomposition spectrale de la matrice hamiltonienne associée. Question 2: Calculer la bande passante du filtre de Kalman en déterminant les valeurs propres de $(A - LC)$ où $L$ est le gain de Kalman optimal, sachant que la matrice de covariance...→
  • 7
    Un système linéaire est décrit par les équations d'état suivantes : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} u(t)$ , $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(t)$ . Le système est soumis à un bruit de processus $w(t)$ de covariance $Q = 0.01 I_2$ et un bruit de mesure $v(t)$ de covariance $R = 0.1$ . On souhaite concevoir un régulateur LQG avec les matrices de pondération $Q_c = \begin{bmatrix} 10 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R_c = 1$ . Question 1: Calculer le gain optimal du régulateur LQR en résolvant l'équation de Riccati algébrique $A^T P + P A - P B R_c^{-1} B^T P + Q_c = 0$ . Déterminer la matrice $P$ et le gain $K$ . Question 2: Calculer le gain de Kalman $L$ pour l'estimateur d'état optimal en résolvant l'équation de Riccati duale $A \Sigma + \Sigma A^T - \Sigma C^T R^{-1} C \Sigma + Q = 0$ . Déterminer...→
  • 8
    Un pendule inversé sur chariot est modélisé par le système linéarisé : $\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -0.98 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 24.5 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2.5 \end{bmatrix} u$ , où $x = [x_c, \dot{x}_c, \theta, \dot{\theta}]^T$ représente la position du chariot, sa vitesse, l'angle du pendule et sa vitesse angulaire. Le système est perturbé par un bruit blanc gaussien de covariance $Q_w = \text{diag}(0.001, 0.01, 0.001, 0.01)$ . La mesure disponible est $y = [x_c, \theta]^T$ avec un bruit de covariance $R_v = \text{diag}(0.05, 0.02)$ . Question 1: Calculer la commandabilité et l'observabilité du système. Déterminer le rang des matrices de commandabilité $\mathcal{C} = [B, AB, A^2B, A^3B]$ et d'observabilité $\mathcal{O} = [C^T, A^TC^T, (A^2)^TC^T, (A^3)^TC^T]^T$ . Question 2: Pour un critère LQ avec $Q_{LQ} = \text{diag}(100, 10, 500, 10)$ et $R_{LQ} = 1$ , calculer le gain de retour d'état optimal $K$ en utilisant l'approximation itérative de...→
• Commande Linéaire Quadratique (33 Exercices)
  • 1
    Un système de suspension active d'un véhicule est modélisé par le système d'état suivant : $\dot{x} = Ax + Bu$ avec $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -1200 & -80 & 600 & 40 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 300 & 20 & -450 & -30 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \ 50 \ 0 \ -35 \end{bmatrix}$ . Les états représentent $x = [z_1 \quad \dot{z}_1 \quad z_2 \quad \dot{z}_2]^T$ où $z_1$ est le déplacement de la masse suspendue et $z_2$ celui de la masse non suspendue. La commande $u$ est la force de l'actionneur. Question 1 : Calculer le critère de coût quadratique $J = \int_0^{0.5} (x^T Q x + u^T R u) dt$ pour la trajectoire d'état initial $x_0 = [0.02 \quad 0 \quad 0.01 \quad 0]^T$ avec $Q = \text{diag}(10000, 100, 5000, 50)$ , $R = 0.01$ et une commande constante $u(t) = -250$ sur l'intervalle $[0, 0.5]$ secondes. Question 2 : Déterminer la matrice de gain optimal $K$ du régulateur LQR en résolvant l'équation algébrique de Riccati $A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q = 0$ ....→
  • 2
    Un drone quadricoptère est contrôlé pour suivre une trajectoire horizontale. Le modèle linéarisé autour du point d'équilibre est donné par : $\dot{x} = Ax + Bu$ avec $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9.81 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 15 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 20 \end{bmatrix}$ . Les états sont $x = [x \quad \dot{x} \quad \theta \quad \dot{\theta} \quad y \quad \dot{y}]^T$ représentant position horizontale, vitesse, angle de tangage, vitesse angulaire, position latérale et vitesse latérale. Les commandes sont $u = [u_1 \quad u_2]^T$ . Question 1 : Calculer la matrice de contrôlabilité $\mathcal{C}$ du système et déterminer son rang. Vérifier si le système est complètement contrôlable. Calculer le déterminant de la sous-matrice $4 \times 4$ formée par les colonnes correspondant aux états $[x \quad \dot{x} \quad \theta \quad \dot{\theta}]$ . Question 2 : Pour le sous-système longitudinal (états $x_1 = [x \quad \dot{x} \quad \theta \quad \dot{\theta}]^T$ ), déterminer la...→
  • 3
    Un robot manipulateur à deux degrés de liberté est utilisé pour le positionnement précis. Le modèle linéarisé autour d'une configuration nominale donne : $\ddot{q} = M^{-1}(\tau - C\dot{q} - Gq)$ où $M = \begin{bmatrix} 2.5 & 0.8 \ 0.8 & 1.2 \end{bmatrix}$ kg·m², $C = \begin{bmatrix} 3 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$ N·m·s/rad, $G = \begin{bmatrix} 50 & 10 \ 10 & 30 \end{bmatrix}$ N·m/rad. Les variables $q = [q_1 \quad q_2]^T$ sont les angles articulaires et $\tau = [\tau_1 \quad \tau_2]^T$ les couples moteurs. Question 1 : Mettre le système sous forme d'état standard avec $x = [q_1 \quad q_2 \quad \dot{q}_1 \quad \dot{q}_2]^T$ et calculer les matrices $A$ et $B$ . Déterminer numériquement $M^{-1}$ et les coefficients de la matrice $A$ . Question 2 : Pour une régulation LQR avec horizon infini, calculer le gain optimal $K$ en utilisant les matrices de pondération $Q = \text{diag}(1000, 1000, 10, 10)$ et $R = \text{diag}(0.1, 0.1)$ . Utiliser...→
  • 4
    Un système de lévitation magnétique est modélisé par les équations d'état $\dot{x} = Ax + Bu$ avec $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 980 & 0 & -49 \ 0 & 0 & -25 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 25 \end{bmatrix}$ . Les états sont $x = [h \quad \dot{h} \quad i]^T$ où $h$ est la hauteur en mètres, $\dot{h}$ la vitesse verticale en m/s et $i$ le courant dans l'électroaimant en ampères. Question 1 : Calculer les valeurs propres du système en boucle ouverte et déterminer la stabilité. Calculer ensuite la matrice de contrôlabilité $\mathcal{C} = [B \quad AB \quad A^2B]$ et vérifier que le système est complètement contrôlable en calculant son déterminant. Question 2 : Pour un régulateur LQR avec $Q = \begin{bmatrix} 10000 & 0 & 0 \ 0 & 100 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R = 0.01$ , la solution de l'équation de Riccati donne $P = \begin{bmatrix} 1414.2 & 144.3 & -141.4 \ 144.3 & 14.9 & -14.4 \ -141.4 & -14.4 & 15.2 \end{bmatrix}$ . Calculer le...→
  • 5
    Un pendule inversé sur chariot mobile est contrôlé pour maintenir l'équilibre vertical. Le système linéarisé s'écrit $\dot{x} = Ax + Bu$ avec $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0.1 & -2.94 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0.2 & 29.4 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ . Les états sont $x = [p \quad \dot{p} \quad \theta \quad \dot{\theta}]^T$ avec $p$ position du chariot (m), $\theta$ angle du pendule (rad). Question 1 : Déterminer la matrice de Gramian de contrôlabilité $W_c(T)$ sur l'intervalle $[0, T]$ avec $T = 0.5$ s en utilisant l'approximation $e^{At} \approx I + At + \frac{(At)^2}{2}$ . Calculer ensuite la valeur minimale de l'énergie de contrôle pour transférer le système de $x_0 = [0 \quad 0 \quad 0.1 \quad 0]^T$ à l'origine. Question 2 : Pour la commande LQR avec $Q = \text{diag}(100, 1, 1000, 10)$ et $R = 0.1$ , utiliser la méthode de résolution itérative de Riccati. Effectuer $2$ itérations en...→
  • 6
    Un système de positionnement d'antenne satellite utilise deux moteurs pour contrôler l'azimut et l'élévation. Le modèle découplé donne : $\dot{x} = Ax + Bu$ avec $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -5 & -2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & -8 & -3 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 10 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 15 \end{bmatrix}$ . Les états sont $x = [\theta_a \quad \dot{\theta}_a \quad \theta_e \quad \dot{\theta}_e]^T$ représentant azimut, vitesse azimutale, élévation et vitesse d'élévation en radians. Question 1 : Calculer les matrices de gain LQR optimal $K_1$ et $K_2$ pour chaque sous-système découplé avec $Q_1 = \begin{bmatrix} 100 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $Q_2 = \begin{bmatrix} 200 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$ et $R_1 = R_2 = 0.1$ . Utiliser les solutions de Riccati $P_1 = \begin{bmatrix} 14.14 & 1.41 \ 1.41 & 0.71 \end{bmatrix}$ et $P_2 = \begin{bmatrix} 16.33 & 1.36 \ 1.36 & 0.57 \end{bmatrix}$ . Question 2 : Pour un suivi de trajectoire avec $\theta_{a,ref} = 0.5\sin(0.5t)$ rad et $\theta_{e,ref} = 0.3\cos(0.5t)$ rad, calculer les commandes $u_1(t)$ et $u_2(t)$ à $t = \pi$ s. L'état mesuré est $x(\pi) = [0 \quad -0.25 \quad -0.3 \quad 0.15]^T$ ....→
  • 7
    Un système de positionnement angulaire d'une antenne satellite est modélisé par l'équation d'état suivante : $\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}u$ , avec $y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}x$ . L'objectif est de concevoir une commande optimale LQR pour minimiser le critère $J = \int_0^{\infty} (x^TQx + Ru^2)dt$ avec $Q = \begin{bmatrix} 10 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R = 0.5$ . 1. Calculer la matrice de Riccati stationnaire $P$ en résolvant l'équation algébrique de Riccati $A^TP + PA - PBR^{-1}B^TP + Q = 0$ . 2. Déterminer le gain optimal de retour d'état $K$ et la loi de commande optimale $u^*$ . 3. Calculer les pôles en boucle fermée du système et vérifier sa stabilité.→
  • 8
    Un pendule inversé sur chariot mobile est contrôlé par une commande LQR. Le système linéarisé autour du point d'équilibre instable a pour matrices : $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 20.6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -0.5 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0.25 \end{bmatrix}$ . Les matrices de pondération sont $Q = diag(100, 10, 50, 5)$ et $R = 1$ . 1. Calculer la valeur du critère optimal $J^*$ pour une condition initiale $x_0 = \begin{bmatrix} 0.1 & 0 & 0.2 & 0 \end{bmatrix}^T$ , sachant que la matrice de Riccati est $P = \begin{bmatrix} 141.4 & 34.5 & 70.7 & 28.3 \\ 34.5 & 9.8 & 17.3 & 6.9 \\ 70.7 & 17.3 & 47.1 & 14.1 \\ 28.3 & 6.9 & 14.1 & 6.6 \end{bmatrix}$ . 2. Déterminer l'énergie de commande initiale $u^2(0)$ et la puissance instantanée dissipée $P_{inst}(0) = u^2(0)R$ . 3. Calculer le temps de réponse approximatif du système en boucle fermée, sachant que les valeurs propres de $A - BK$ sont $\lambda_1 = -8.2$ , $\lambda_2 = -5.1$ , $\lambda_3,4 = -2.3 \pm j1.5$ ....→
  • 9
    Un drone quadricoptère en vol stationnaire est stabilisé par une commande LQR. Le modèle linéarisé pour le contrôle d'altitude a pour représentation d'état : $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & -0.5 & 9.81 \ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 10 \end{bmatrix}$ , où les états sont $x = [z, \dot{z}, \theta]^T$ (altitude, vitesse verticale, angle de tangage). Les matrices de pondération sont $Q = \begin{bmatrix} 25 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R = 2$ . 1. Calculer le gain de retour d'état optimal $K$ sachant que la solution de l'équation de Riccati est $P = \begin{bmatrix} 8.944 & 7.071 & 0.981 \ 7.071 & 6.325 & 0.871 \ 0.981 & 0.871 & 0.316 \end{bmatrix}$ . 2. Déterminer la constante de temps dominante du système bouclé et le dépassement maximal pour une consigne en échelon d'altitude de $1$ mètre. 3. Calculer l'effort de commande maximal $u_{max}$ nécessaire pour...→
  • 10
    Un système mécanique de positionnement de précision est modélisé par les équations d'état suivantes : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} u(t)$ , où $x_1$ représente la position en mètres et $x_2$ la vitesse en m/s. Le critère de performance à minimiser est $J = \int_0^{\infty} (x^T Q x + R u^2) dt$ avec $Q = \begin{bmatrix} 100 & 0 \ 0 & 10 \end{bmatrix}$ et $R = 0.5$ . Question 1 : Calculez la matrice de Riccati $P$ en régime permanent en résolvant l'équation algébrique de Riccati $A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q = 0$ . Utilisez la forme $P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix}$ et déterminez les valeurs numériques de tous les éléments. Question 2 : Déterminez le gain optimal de retour d'état $K = R^{-1}B^T P$ et calculez les valeurs propres du système en boucle fermée $A_{BF} = A - BK$ . Question...→
  • 11
    Un drone quadricoptère est contrôlé en altitude selon le modèle linéarisé : $\ddot{z}(t) + 4\dot{z}(t) + 3z(t) = 2u(t)$ , où $z$ est l'altitude en mètres et $u$ la commande de poussée. En représentation d'état avec $x_1 = z$ et $x_2 = \dot{z}$ , on obtient $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ . Le problème de commande optimale sur horizon fini $T = 5$ secondes utilise $Q = \begin{bmatrix} 50 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ , $R = 1$ et $S = \begin{bmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ . Question 1 : Calculez la solution de l'équation différentielle de Riccati à $t = 4.5$ secondes, sachant que $P(5) = S$ . Utilisez l'équation $-\dot{P}(t) = A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q$ avec un pas d'intégration $\Delta t = 0.5$ et la méthode d'Euler inverse. Question 2 : Pour l'état $x(4.5) = \begin{bmatrix} 1.5 \\ 0.5 \end{bmatrix}$ , calculez le gain de retour...→
  • 12
    Un bras robotique à deux degrés de liberté est modélisé par le système découplé : $\ddot{\theta}_1 + 2\dot{\theta}_1 = u_1$ et $\ddot{\theta}_2 + 3\dot{\theta}_2 = u_2$ , où $\theta_1, \theta_2$ sont les angles articulaires en radians. En posant $x = [\theta_1, \dot{\theta}_1, \theta_2, \dot{\theta}_2]^T$ , le système global a pour matrices $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . Pour un problème LQR avec $Q = \text{diag}(80, 20, 60, 15)$ et $R = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$ . Question 1 : En exploitant la structure découplée du système, calculez séparément les sous-matrices $P_1$ et $P_2$ de la matrice de Riccati pour chaque sous-système, puis assemblez la matrice complète $P$ de dimension $4 \times 4$ . Question 2 : Calculez la matrice de gain optimal $K$ de dimension $2 \times 4$ et déterminez...→
  • 13
    Un système de suspension magnétique d'un train à lévitation est modélisé par l'équation d'état suivante : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ -2 & -3 & -1 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1$ représente la position verticale (en mm), $x_2$ la vitesse (en mm/s) et $x_3$ l'accélération (en mm/s²). Le système doit minimiser le critère quadratique $J = \int_0^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) dt$ avec $Q = \begin{bmatrix} 100 & 0 & 0 \ 0 & 10 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R = 0.1$ . Question 1: Calculez la matrice de Riccati $P$ en résolvant l'équation algébrique de Riccati $A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q = 0$ . Déterminez uniquement les éléments $P_{11}$ , $P_{22}$ et $P_{33}$ de la matrice symétrique. Question 2: En utilisant la matrice $P$ obtenue avec $P_{11} = 31.62$ , $P_{12} = 10.49$ , $P_{13} = 3.16$ , $P_{22} = 14.14$ , $P_{23} = 4.47$ et $P_{33} = 7.07$ , calculez le...→
  • 14
    Un robot manipulateur à deux degrés de liberté est contrôlé par un régulateur linéaire quadratique. Le modèle linéarisé autour du point d'équilibre est donné par : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -4 & 2 & -0.5 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & -0.5 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1$ et $x_2$ représentent les angles des articulations en radians, $x_3$ et $x_4$ leurs vitesses angulaires en rad/s. Les matrices de pondération sont $Q = \text{diag}(50, 50, 5, 5)$ et $R = \begin{bmatrix} 0.2 & 0 \\ 0 & 0.2 \end{bmatrix}$ . Question 1: Pour la solution de Riccati donnée $P = \begin{bmatrix} 22.36 & 0 & 7.07 & 0 \\ 0 & 22.36 & 0 & 7.07 \\ 7.07 & 0 & 4.47 & 0 \\ 0 & 7.07 & 0 & 4.47 \end{bmatrix}$ , calculez les valeurs propres en boucle fermée du système $A_{cl} = A - BK$ où $K = R^{-1}B^T P$ . Déterminez uniquement les parties réelles des deux premières valeurs propres. Question 2: Avec un horizon de temps fini $T = 10$ secondes et les...→
  • 15
    Un drone quadricoptère est stabilisé en vol stationnaire par un contrôleur LQR. Le modèle linéarisé pour le contrôle de l'altitude et de l'angle de tangage est : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -9.81 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0.5 \ 0 & 0 \ 2 & 0 \end{bmatrix} u(t)$ où $x_1$ est l'altitude (m), $x_2$ la vitesse verticale (m/s), $x_3$ l'angle de tangage (rad) et $x_4$ la vitesse angulaire de tangage (rad/s). Le système utilise $Q = \begin{bmatrix} 200 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 20 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 100 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ et $R = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . Question 1: Avec la matrice de Riccati $P = \begin{bmatrix} 44.72 & 14.14 & 0 & 0 \ 14.14 & 9.95 & -6.32 & -1.41 \ 0 & -6.32 & 15.81 & 5.00 \ 0 & -1.41 & 5.00 & 2.24 \end{bmatrix}$ , calculez le gain de retour d'état $K$ et déterminez la poussée totale $u_1$ nécessaire pour maintenir une altitude de référence de $x_1 = 10$ m avec les autres états à zéro. Question 2: Pour une...→
  • 16
    Exercice 1 : Commande linéaire quadratique pour un moteur DC Considérez un moteur DC modélisé par le système linéaire invariant dans le temps : $\dot{x} = A x + B u$ où $x = \begin{pmatrix} \theta \ \dot{\theta} \end{pmatrix}$ représente l'angle de rotation et sa dérivée, avec les matrices : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -\frac{1}{J} & -\frac{b}{J} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ \frac{K_t}{J R_a} \end{pmatrix}$ et les paramètres numériques $J = 0.01 \, \mathrm{kg \cdot m^2}$ , $b = 0.1 \, \mathrm{N \cdot m \cdot s}$ , $K_t = 0.01 \, \mathrm{N \cdot m / A}$ , $R_a = 1 \, \Omega}$ . Les matrices de pondération pour le critère quadratique infini sont $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = 1$ . 1. Résolvez l'équation de Riccati algébrique (ARE) $A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$ pour obtenir la matrice $P$ . 2. Calculez la matrice de gain $K = R^{-1} B^T P$ . 3. Déterminez les valeurs propres du système fermé $A - B K$ .→
  • 17
    Exercice 2 : Commande LQ pour un circuit RLC série Modélisez un circuit RLC série en équations d'état : $\dot{x} = A x + B u$ où $x = \begin{pmatrix} i \\ v_c \end{pmatrix}$ (courant et tension du condensateur), $u = v_s$ (tension source), avec : $A = \begin{pmatrix} -\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{pmatrix}$ Paramètres : $L = 1 \, \mathrm{H}$ , $R = 1 \, \Omega}$ , $C = 1 \, \mathrm{F}$ . Matrices de coût : $Q = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = 0.1$ . 1. Résolvez l'ARE pour la matrice $P$ . 2. Calculez le gain $K$ . 3. Évaluez la valeur du coût pour une condition initiale $x(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , via $J = x(0)^T P x(0)$ .→
  • 18
    Exercice 1 : Commande Linéaire Quadratique pour un moteur électrique Considérez un système de commande pour un moteur DC simple en ingénierie électrique, modélisé par l'équation d'état linéaire : $\dot{x} = A x + B u$ $y = C x$ où $x = \begin{bmatrix} \omega \ i \end{bmatrix}$ représente la vitesse angulaire $\omega$ (en rad/s) et le courant $i$ (en A), $u$ est la tension d'entrée (en V). Les matrices sont : $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ . La fonction de coût quadratique est $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ , avec $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ et $R = 1$ . Le schéma du système est représenté ci-dessous : 1. Calculez la matrice de Riccati algébrique $P$ en résolvant l'équation $A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$ . 2. Déterminez le...→
  • 19
    Exercice 1 : Commande linéaire quadratique pour un moteur DC Dans le cadre de l'ingénierie électrique, considérez un moteur DC modélisé par le système linéarisé suivant autour d'un point de fonctionnement, avec équations d'état : $\dot{x} = A x + B u$ où $x = \begin{pmatrix} i_a \ \omega \end{pmatrix}$ représente le courant d'armature $i_a$ (en A) et la vitesse angulaire $\omega$ (en rad/s), $u$ est la tension d'entrée (en V). Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} -10 & -1 \ 1 & -0.5 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ . Le critère de coût quadratique infini est $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 10 \end{pmatrix}$ et $R = 1$ . Cette formulation vise à minimiser l'énergie tout en maintenant une vitesse stable. Les questions suivantes s'enchaînent pour concevoir la...→
  • 20
    Dans le cadre de la commande optimale linéaire quadratique (LQR) appliquée à un moteur à courant continu en ingénierie électrique, considérez un modèle d'état linéarisé autour du point de fonctionnement nominal. Les équations d'état sont : $\dot{x} = A x + B u$ où $x = \begin{pmatrix} \theta \ \dot{\theta} \end{pmatrix}$ représente l'angle de rotation $\theta$ et sa dérivée, et $u$ est la tension d'alimentation. Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -10 & -5 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 2 \end{pmatrix}$ . La fonction de coût quadratique est $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = 1$ . Le schéma du système est représenté ci-dessous (moteur avec boucle de commande LQR). 1. Résolvez l'équation d'Algebre de Riccati pour trouver la matrice $P$ solution de...→
  • 21
    Pour un convertisseur DC-DC buck en ingénierie électrique sous commande LQR, le modèle discretisé (période d'échantillonnage $T_s = 0.01$ s) est $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)$ , avec $x = \begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix}$ (courant d'inductance et tension de condensateur), et $u$ le rapport cyclique. Les matrices discrètes sont approximées par : $A_d = \begin{pmatrix} 0.95 & 0.02 \\ -0.03 & 0.98 \end{pmatrix}$ , $B_d = \begin{pmatrix} 0.05 \\ -0.01 \end{pmatrix}$ . La fonction de coût discrète est $J = \sum_{k=0}^\infty (x^T Q x + u^T R u)$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = 0.1$ . Le schéma du convertisseur avec régulateur LQR est illustré ci-dessous. 1. Résolvez l'équation de Riccati discrète pour obtenir $P$ via $P = A_d^T P A_d + Q - A_d^T P B_d (R + B_d^T P B_d)^{-1} B_d^T P A_d$ . 2. Calculez le gain discret $K_d = (R + B_d^T P B_d)^{-1} B_d^T P A_d$ . 3. Évaluez la matrice fermée $A_{cl} = A_d - B_d K_d$ et calculez ses valeurs propres pour vérifier...→
  • 22
    En commande optimale LQR pour un système multivariable de deux moteurs synchrones couplés en ingénierie électrique (par exemple, pour un entraînement robotique), le modèle continu est $\dot{x} = A x + B u$ , avec $x = \begin{pmatrix} \omega_1 \ \omega_2 \ i_1 \ i_2 \end{pmatrix}$ (vitesses et courants), $u = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix}$ . Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} -1 & 0.5 & 1 & 0 \ 0.5 & -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & -3 & 0 \ 0 & -2 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Fonction de coût $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ , $Q = \diag(1,1,10,10)$ , $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Le schéma des moteurs couplés avec LQR est montré ci-dessous. 1. Résolvez l'équation de Riccati $A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$ pour $P$ (4x4). 2. Calculez la matrice de gain $K = R^{-1} B^T P$ (2x4). 3. Vérifiez la stabilité en calculant les valeurs propres de $A - B K$ .→
  • 23
    Considérez un système de commande optimale pour un moteur à courant continu (MCC) modélisé en espace d'état pour le contrôle de position. Le système est décrit par les équations : $\dot{x} = A x + B u$ où $x = \begin{pmatrix} \theta \ \dot{\theta} \ i \end{pmatrix}$ représente l'angle de rotation $\theta$ (en radians), la vitesse angulaire $\dot{\theta}$ (en rad/s) et le courant $i$ (en A), et $u$ est la tension d'entrée (en V). Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & -1.5 & 10 \ 0 & -0.1 & -20 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . La fonction de coût quadratique à minimiser est : $J = \int_{0}^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) \, dt$ avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0.1 \end{pmatrix}$ et $R = 1$ . 1. Résolvez l'équation de Riccati algébrique pour obtenir la matrice $P$ du régulateur LQR. 2. Calculez la matrice de...→
  • 24
    Exercice sur la commande LQR pour un système de suspension active électromagnétique modélisé par deux masses connectées (représentant châssis et roue). Le modèle en espace d'état est : $\dot{x} = A x + B u$ où $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \dot{x_1} \\ x_2 \\ \dot{x_2} \end{pmatrix}$ , avec $x_1, x_2$ positions (en m), vitesses correspondantes, et $u$ force de commande (en N). Matrices : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Fonction de coût : $J = \int_{0}^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) \, dt, \quad Q = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R = 0.01$ . 1. Résolvez l'équation de Riccati pour la matrice $P$ . 2. Calculez le gain $K$ pour $u = -K x$ . 3. Évaluez la matrice $A - B K$ et calculez sa trace pour analyser la somme des pôles.→
  • 25
    Commande LQR pour un convertisseur DC-DC buck en régime continu, modélisé linéairement autour du point de fonctionnement. État $x = \begin{pmatrix} v_o \ i_L \end{pmatrix}$ , avec $v_o$ tension sortie (V), $i_L$ courant inductance (A), $u$ rapport cyclique (adimensionnel). Matrices : $A = \begin{pmatrix} -1/RC & 1/C \ -1/L & -R_{on}/L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -50 & 20 \ -10 & -2 \end{pmatrix}$ (avec $R=0.02 \Omega, C=100 \mu F, L=1 mH, R_{on}=0.1 \Omega$ ), $B = \begin{pmatrix} 0 \ V_{in}/L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 1000 \end{pmatrix}$ . Coût : $J = \int_{0}^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) \, dt, \quad Q = \begin{pmatrix} 100 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R = 0.1$ . 1. Résolvez pour $P$ via équation de Riccati. 2. Obtenez $K$ du LQR. 3. Calculez les gains de boucle fermée et vérifiez les pôles de $A - B K$ .→
  • 26
    Exercice 1 : Commande optimale linéaire quadratique - conception et calculs Dans le cadre d'un système électrique linéaire discret, on cherche une politique de contrôle linéaire quadratique qui minimise l'énergie consommée tout en rapprochant l'état désiré. Considérez un système d'état discret à temps normalisé par intervalles de détection $k$ avec $x_k$ l'état et $u_k$ l'action. Le modèle est donné par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , avec $A$ et $B$ matrices réelles compatibles, et la métrique coût (au pas) $J = x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k$ , où $Q ≥ 0$ et $R > 0$ sont des matrices données. On suppose un horizon fini de longueur $N$ . On pose les questions suivantes :...→
  • 27
    Exercice 2 : Commande optimale linéaire quadratique – changement de horizon et stabilisation Soit un système continu discret représenté par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec coût $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) + x_N^T Q_f x_N$ . On suppose que $Q ≥ 0$ , $R > 0$ et que la fonction coût est bien définie pour l’horizon fini $N$ . On pose les questions : $Question 1 :$ Donnez l’équation de Riccati rétrograde et l’expression du gain optimal $K_k$ à chaque instant. $Question 2 :$ Si l’horizon est prolongé par une étape et que $N → ∞$ , discutez les conditions de stabilisation et donnez l’expression du gain en régime stationnaire $K$ . $Question 3 :$ Considérez les matrices $A = \begin{pmatrix}1.1 & 0.1 \\ 0 & 0.95\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}0.5 \\ 0.2\end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ,...→
  • 28
    Exercice 3 : Commande optimale – coups d’œil numériques et vérifications On considère un système linéaire discret $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec coût standard et horizon fini $N = 6$ . Les matrices données pour l’exercice 3 sont : $A = \begin{pmatrix}0.95 & 0.02 \ 0.01 & 0.97\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}0.4 \ 0.1\end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$ , $R = [1]$ , et $Q_f = \begin{pmatrix}2 & 0 \ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Potez les questions suivantes : $Question 1 :$ Calculez numériquement les matrices $P_k$ et les gains $K_k$ pour k = 5, 4, 3, 2, 1, 0 en utilisant la rétroaction quadratique pour l’horizon fini. $Question 2 :$ Vérifiez que le gain $K_0$ stabilise le système lorsque les états initiaux $x_0$ prennent les valeurs $(1, 0)^\top$ et $(0, 1)^\top$ . $Question 3 :$ Comparez...→
  • 29
    Exercice 1 — Commande optimale et Quadratique linéaire (LQR) dans un système électrique multi-variables. Considérons un système linéaire discret-time décrit par l’équation d’état $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ et la sortie $y_k = C x_k$ , avec les matrices données ci-dessous. Le but est de déterminer une loi de commande linéaire optimale qui minimise un coût quadratique sur une fenêtre finie et d’analyser les implications pour la stabilisation et la performance du système. Les matrices sont donnés comme suit : $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \ -0.3 & 0.95 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0.05 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}. $ Question 1 : Calculer la matrice de gain de rétroaction optimale $K$ qui minimise le coût $J = \sum_{k=0}^{N} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k)$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = 0.1$ , pour une horizon...→
  • 30
    Dans un cadre d’ingénierie électrique, on considère un système de commande optimale linéaire quadratique appliqué à un réseau électrique discret. Le problème consiste à minimiser une coût intégré sur un horizon discret en contrôlant l’entrée $u_k$ et en observant l’état $x_k$ du système pour k = 0,1,2,3,3. Les équations d’évolution sont données par un modèle d’état linéaire: $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec $A = \begin{pmatrix}0.9 & 0.1 \ -0.2 & 0.95\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}0.1 \ 0.05\end{pmatrix}$ . Le coût à minimiser est $J = \sum_{k=0}^3 (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) $ avec $Q = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}, R = [0.5]$ . Considérant des conditions de départ $x_0 = \begin{pmatrix}2 \ -1\end{pmatrix}$ , calculez, étape par étape, la suite des états $x_k$ et des actions $u_k$ qui minimisent $J$ en appliquant une approche déterministe en ligne...→
  • 31
    Un second exercice porte sur la commande optimale quadratique dans un cadre continu, modélisé par une chaîne d’états linéaire en temps continu. Le système est décrit par $ \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ avec $A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ , et le coût à minimiser est $J = \int_{0}^{\infty} (x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t)) dt$ avec $Q = I, R = 1$ . Si l’état initial est $x(0) = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ , trouvez la loi de retour optimal sous forme de gain de rétroaction $u(t) = -K x(t)$ et calculez les valeurs propres associées à la stabilité.→
  • 32
    Troisième exercice sur la commande optimale linéaire quadratique dans un cadre électrique discret, en mettant l’accent sur l’effort de calcul et l’interprétation physique. Considérons un modèle d’état discret $x_{k+1} = F x_k + G u_k$ avec $F = \begin{pmatrix}0.95 & 0.05 \ 0.02 & 0.90\end{pmatrix}, G = \begin{pmatrix}0.05 \ 0.1\end{pmatrix}$ , et un coût $J = \sum_{k=0}^2 (x_k^T Q x_k + u_k^2)$ avec $Q = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$ . L’état initial est $x_0 = \begin{pmatrix}0 \ 1\end{pmatrix}$ . Déterminer, par une approche purement calculatoire, les valeurs optimales $x_1, x_2$ et $u_0, u_1$ qui minimisent $J$ , en explicitant chaque étape de substitution et chacune des décisions numériques. Fournir les résultats sous forme numérique et interpréter le comportement du système clos par rapport à l’objectif de coût.→
  • 33
    Exercice 2 : Commande optimale avec contraintes et dynamique linéaire Un système dynamique discret décrit par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec $A = \begin{pmatrix} 1.1 & 0.2 \\ 0 & 0.95 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0.5 \end{pmatrix}$ La fonction objectif est quadratique sans termes quadratiques croisés : $J = \sum_{k=0}^{N-1} ( x_k^{\top} Q x_k + u_k^{\top} R u_k ) + x_N^{\top} Q_f x_N$ avec $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad Q_f = \begin{pmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad R = (0.5)$ On impose une contrainte sur l’entrée : $|u_k| \le 1$ pour tout k. 1) Calculer la rétroaction optimale u_k = -K_k x_k sous contrainte quand cela est possible, sinon décrire la procédure d’approximation par projection et donner K_k pour le cas non contraint sur l’horizon N = 3. 2) Avec x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.5 \end{pmatrix}, déterminer les trajectoires x_k et u_k pour k = 0,1,2. 3) Discuter l’influence...→
• Commande Linéaire Quadratique Gaussienne (19 Exercices)
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    Exercice 2 : Commande linéaire quadratique gaussienne – CQGG dans un maillage électrique On considère une dynamique linéaire continue $\dot{x} = A x + B u$ avec coût $J = \int_0^{T} (x^{\top} Q x + u^{\top} R u) dt$ , et matrices $A = \begin{pmatrix} -0.2 & 2.0 \ -1.0 & -0.3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.0 \ 1.0 \end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = [0.5]$ , horizon $T = 5$ , et état initial $x(0) = \begin{pmatrix} 0.5 \ -0.5 \end{pmatrix}$ . Trouvez les gains de commande et les trajectoires associées en utilisant une approche numérique pas-à-pas sans écrire l’algorithme complet.→
  • 2
    Exercice 1: Commande optimale linéaire quadratique gaussienne (LQG) — approche calculatoire intégrée Considérons un système dynamique linéaire discret‑temps décrit par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec $x_k \in \mathbb{R}^2$ et $u_k \in \mathbb{R}$ . Le coût à minimiser sur un horizon fini $N$ est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^{\top} Q x_k + r u_k^2) + x_N^{\top} S x_N$ . On vous donne : $A = \begin{pmatrix} 1.1 & 0.2 \ 0 & 0.95 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0.05 \end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}, r = 0.5, S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}, N = 3.$ a) Écrivez les équations de Riccati discrètes pour déterminer la loi de contrôle optimale $u_k = -K_k x_k$ et le gain $K_k$ pour $k = 0,1,2$ . b) Calculez numériquement les gains $K_0, K_1, K_2$ et le coût optimal minimal associé à $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$ , $ N = 3$ . c) Indiquez le vecteur d’état prévisible $x_3$ et le coût minimal $J^*$ obtenu par récursion backward.→
  • 3
    Exercice 2: Commande optimale linéaire quadratique gaussienne — cas continu Considérons un système continu‑temps décrit par $\dot{x} = A x + B u$ avec $x ∈ R^2$ , $u ∈ R$ . Le coût est $J = \int_0^{\infty} (x^{\top} Q x + r u^2) dt$ et les matrices sont: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, Q = I, r = 1$ . a) Trouvez la matrice de Riccati algébrique continue (CARE) et le gain de stabilisation $K$ tel que $u = -K x$ stabilise le système. b) Donnez les valeurs numériques de $P$ et $K$ résolues numériquement. c) Vérifiez que le système fermé est asymptotiquement stable et donnez la forme de la solution analytique asymptotique pour $x(t)$ à partir d’un état initial $x(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .→
  • 4
    Exercice 3: Commande optimale gaussienne — simulation et coût sur horizon Soit un système linéaire discret‑temps $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec $x_k ∈ R^2$ , $u_k ∈ R$ , et coût littéral $J = E[\sum_{k=0}^{N-1} (x_k^{\top} Q x_k + r u_k^2) + x_N^{\top} S x_N]$ sous entrée gaussienne $u_k = -K_k x_k + w_k$ , où $w_k ∼ N(0, \Sigma_w)$ . Données: $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.4 \ 0.1 & 0.95 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0.2 \ 0.1 \end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}, r = 1, S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}, N = 4, \Sigma_w = \begin{pmatrix} 0.05 & 0 \ 0 & 0.05 \end{pmatrix}$ . a) Écrivez les équations pour la mise à jour de $P_k$ et le calcul du gain $K_k$ dans le cadre standard LQG, en déplacement vers une forme quadratique robuste face au bruit. b) Calculez numériquement les gains $K_0, K_1, K_2, K_3$ et donnez l’estimation du coût espéré $J$ sur l’horizon N = 4 pour $x_0 = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \end{pmatrix}$ . c) Exposez la stratégie de génération de trajectoire et donnez...→
  • 5
    Dans le cadre de la commande linéaire quadratique (LQR) appliquée à un moteur à courant continu en ingénierie électrique, considérez un système d'état linéarisé autour du point de fonctionnement nominal. Les équations d'état sont données par $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ , où $x = \begin{pmatrix} i(t) \ \omega(t) \end{pmatrix}$ représente le courant $i(t)$ (en A) et la vitesse angulaire $\omega(t)$ (en rad/s), et $u(t)$ est la tension d'entrée (en V). Les matrices sont $A = \begin{pmatrix} -0.1 & -1.0 \ 0.5 & -2.0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1.0 \ 0.0 \end{pmatrix}$ . La matrice de sortie est $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour mesurer $\omega(t)$ . La fonction de coût quadratique est $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 10 \end{pmatrix}$ et $R = 1$ . 1. Calculez la matrice de Riccati $P$ en résolvant...→
  • 6
    Pour la partie estimation d'état dans la commande LQG d'un système de conversion d'énergie électrique (convertisseur DC-DC), le modèle est $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) + G w(t)$ , $y(t) = C x(t) + v(t)$ , où $x = \begin{pmatrix} v_c(t) \\ i_L(t) \end{pmatrix}$ (tension condensateur en V, courant inductance en A), $u(t)$ commande (devoir cyclique), $w(t)$ bruit de processus, $v(t)$ bruit de mesure. Matrices : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0.2 \\ -50 & -10 \end{pmatrix}$ (avec $C=5$ F, $L=0.02$ H, $R=0.1$ \Omega), $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 50 \end{pmatrix}$ , $G = \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Les covariances sont $E[w w^T] = Q_n = 0.01 I$ , $E[v^2] = R_n = 0.001$ . Temps d'échantillonnage $T=0.01$ s pour discrétisation. 1. Calculez les matrices discrètes $A_d$ , $B_d$ , $G_d$ en utilisant l'approximation exacte pour petite $T$ . 2. Déterminez la matrice de gain de...→
  • 7
    Dans une application LQG complète pour le contrôle d'un système de puissance électrique (générateur synchrone simplifié), le modèle combine LQR et Kalman. États $x = \begin{pmatrix} \delta(t) \ \omega(t) \end{pmatrix}$ (angle en rad, vitesse déviation en rad/s), entrée $u(t)$ (tension de champ en V), sortie $y(t) = \omega(t)$ . Matrices continues : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -10 & -5 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $G = \begin{pmatrix} 0.05 \ 0.1 \end{pmatrix}$ . Pour LQR : $Q = \begin{pmatrix} 100 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R=0.1$ . Pour Kalman : $Q_n = \begin{pmatrix} 0.001 & 0 \ 0 & 0.01 \end{pmatrix}$ , $R_n=0.0001$ . Discrétisation avec $T=0.1$ s. 1. Calculez le gain LQR $K$ et la matrice en boucle fermée discrète $A_{cl}$ . 2. Calculez le gain Kalman $L$ pour l'estimateur. 3. Évaluez la performance LQG en calculant...→
  • 8
    Exercice 2 – Commande optimale linéaire quadratique gaussienne appliquée à un véhicule à roulettes On modèle le système par état $x_k$ représentant la position et la vitesse sur une ligne droite: $x_k = \begin{pmatrix}p_k \\ v_k\end{pmatrix}$ , avec dynamique $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , où $A = \begin{pmatrix}1 & dt \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}0 \\ dt\end{pmatrix}$ et le pas discret $dt = 0.1$ . Le coût est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^\top Q x_k + u_k^2) + x_N^\top P x_N$ avec $Q = \begin{pmatrix}1 & 0.2 \\ 0.2 & 0.5\end{pmatrix}$ , $P = Q$ , et contrainte $u_k \in [ -1.0, 1.0 ]$ pour tout $k$ . Initialisation $x_0 = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$ et horizon $N = 4$ . 1. Calculez les entrées optimales $u_0, u_1, u_2, u_3$ et les états correspondants $x_1, x_2, x_3, x_4$ en respectant les contraintes; montrez les étapes essentielles et le raisonnement numérique. 2. Donnez la valeur du coût minimal $J^*$...→
  • 9
    Exercice 3 – Commande optimale linéaire quadratique gaussienne dans un réseau électrique ci-dessous On considère un petit réseau électrique avec trois nœuds et deux lignes interconnectées; l’état représente les tensions nodales linéarisées $V_k = (V_1, V_2, V_3)^T$ et l’action $u_k$ correspond à l’ajustement de la génération sur le nœud 2. La dynamique est décrite par $V_{k+1} = A V_k + B u_k$ avec $A = \begin{pmatrix}0.98 & 0.01 & 0 \ 0.01 & 0.97 & 0.02 \ 0 & 0.02 & 0.99\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}0 \ 1 \ -1\end{pmatrix}$ , et $dt$ implicite dans les coefficients. Le coût est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (V_k^\top Q V_k + u_k^2) + V_N^\top P V_N$ avec $Q = \begin{pmatrix}1.5 & 0.3 & 0 \ 0.3 & 1.0 & 0.1 \ 0 & 0.1 & 0.8\end{pmatrix}$ , $P = Q$ , et contrainte $u_k \in [-0.8, 0.8]$ pour tout $k$ . Initialisation $V_0 = \begin{pmatrix}1.0 \ -0.5 \ 0.2\end{pmatrix}$ , horizon $N = 3$ . 1. Déterminer les entrées optimales $u_0, u_1, u_2$ et les tensions $V_1, V_2, V_3$ associées, en respectant les contraintes...→
  • 10
    Exercice 1 : Commande optimale et LQG simplifiée dans un système électrique linéaire Considérons un système dynamique linéaire discret en temps à deux états et deux entrées, modélisé par les équations d’état suivantes : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ $y_k = C x_k$ avec $A = \begin{pmatrix} 1.1 & 0.4 \ 0.0 & 0.95 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \ 0 & 0.3 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . On cherche une loi de contrôle linéaire de la forme $u_k = -K x_k$ qui minimisera la fonction quadratique infinie de performance suivante sur l’horizon infini : $J = \sum_{k=0}^{\infty} ( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k )$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . 1) Déterminez la matrice de gain optimal $K$ en utilisant la méthode de l’itération de Riccati discrète et en supposant que le problème est sans contrainte...→
  • 11
    Exercice 2 : Optimalité quadratique gaussienne dans un contrôleur continu et bruité Considérons un système continu en temps avec deux états et deux entrées, décrit par $\dot{x} = A x + B u + E w$ , $y = C x + v$ , avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $E = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = [1]$ , $W_w = \sigma_w^2$ , $W_v = \sigma_v^2$ (en tant que puissances de bruit). 1) Écrivez l’équation de Riccati continue associée à la commande linéaire quadratique gaussienne (LQG) et donnez l’expression du gain optimal $K$ lorsque le système est stabilisable et détectable. 2) Déduisez l’expression du coût attendu sous régime stationnaire pour une entrée de type $u = -K \hat{x}$ où $\hat{x}$ est l’estimation de...→
  • 12
    Exercice 1 – Commande optimale et commande linéaire quadratique gaussienne (LQG) Considez un système dynamique linéaire discret autour d’un point d’équilibre et décrivez-le par les équations d’état $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ et la sortie $y_k = C x_k + D u_k$ . On cherche à minimiser le coût quadratique $J = ∑_{k=0}^{N} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k)$ sous une contrainte de dynamique donnée et avec des matrices $A, B, C, D, Q, R$ fournies ci‑dessous. On suppose que le système est contrôlable et que les matrices sont réelles, symétriques positives où nécessaire. Question 1.1 : Écrire l’expression du coût cumulatif et préciser les dimensions de chaque matrice. Question 1.2 : Déduire la forme de l’équation de Riccati discrète qui définit la...→
  • 13
    Exercice 2 – Commande optimale et coût quadratique dans un système continu‑temps (dynamique linéaire) et bruit gaussien Considérez le système continu‑temps décrit par $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) + w(t)$ , avec $w(t)\sim N(0,\Sigma_w)$ , et la sortie $y(t) = C x(t) + v(t)$ avec $v(t)\sim N(0,\Sigma_v)$ . Le but est de minimiser le critère de coût continu $J = \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} (x^T Q x + u^T R u) dt \right]$ sous des conditions de stabilité et de robustesse. Question 2.1 : Formuler l’équation de Riccati continuelle associée à l’estimation et au contrôle (LQG) et préciser les conditions de stabilités requises pour les matrices $Q, R, A, B$ . Question 2.2 : Supposons $Q = I, R = I, A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , et l’estimation parfaite (aucun bruit). Calculez le gain de contrôle optimal $K = R^{-1} B^T P$ où...→
  • 14
    Exercice 3 – Optimisation de commande linéaire quadratique avec contraintes et régularisation Modélisez un système cartésien simple par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ avec des contraintes sur l’entrée $u_k \in \mathcal{U} = \{ u \mid \|u\|_1 \le u_{max} \}$ et une matrice de coût $J = \sum_{k=0}^{N} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) + \lambda \|u_k\|_1$ . On suppose que $Q$ et $R$ sont positives définies et que $\lambda > 0$ est une pénalité de régularisation. Question 3.1 : Proposer une reformulation quadratique avec contrainte linéaire en forme d’optimisation dynamique et expliciter les dimensions. Question 3.2 : Convenez d’un choix numérique pour $A = \begin{bmatrix}0.7 & 0.2 \ 0.0 & 0.9\end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix}0.1 \ 0.0\end{bmatrix}$ , $Q = I_2$ , $R = 0.5 I_1$ , $u_{max} = 1$ , $N = 3$ , et $\lambda = 0.2$ . Calculez une solution numérique optimale en utilisant une méthode itérative...→
  • 15
    Exercice 2 – Chartes et commandes linéaires quadratiques gaussiennes réelles. Considérons un système continu en temps $ \dot{x} = A x + B u + w$ et $y = C x + v$ , avec $Q = diag(2, 1)$ , $R = 1$ , et $W = 0.01 I$ , $V = 0.05$ . Le but est d’obtenir les lois de commande optimales pour une période finie $0 \le t \le T$ avec un coût $J = \int_0^T (x^T Q x + u^T R u) dt$ et une condition initiale $x(0) = x_0$ . Les matrices données: $A = \begin{bmatrix} -0.3 & 4.0 \ -0.5 & -0.1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0.1 \ 0.05 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}.$ 1. Établir la forme de la rétroaction optimale en temps continu $u(t) = -K(t) x(t)$ sous horizon fini et écrire la Riccati continu $-\dot{P}(t) = P A + A^T P - P B R^{-1} B^T P + Q$ avec $P(T) = 0$ puis résoudre symboliquement jusqu’à $t = 0$ pour obtenir $K(t) = R^{-1} B^T P(t)$ . 2. Exprimer la solution analytique de x(t) en fonction des...→
  • 16
    Exercice 3 – Commande LQ avec contrainte sur l’entrée et estimation. Considérons un système linéaire continu en temps: $\dot{x} = A x + B u + w$ , $y = C x + v$ , avec $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ . Le coût est $J = \int_0^T (x^T Q x + u^T R u) dt$ avec $Q = diag(3, 1)$ , $R = 1$ , et les bruits $W = 0.02 I$ , $V = 0.05$ . L’entrée est contrainte par $-1 \le u \le 1$ . On suppose que l’estimation est nécessaire et que l’observateur est un filtre de Kalman agissant parallèlement au problème de contrôle optimal sur l’horizon $0 \le t \le T$ . 1. Formuler le problème de contrôle optimal sous contrainte d’entrée et démontrer comment intégrer la contrainte en utilisant une méthode quadratique avec projection sur...→
  • 17
    Exercice 1 : Conception d'un régulateur LQR pour un moteur DC Considérez un moteur DC modélisé par le système linéaire invariant dans le temps : $\dot{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & -a \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \ b \end{pmatrix} u, \quad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x,$ où $x = \begin{pmatrix} \theta \ \dot{\theta} \end{pmatrix}$ représente l'angle de rotation et sa dérivée (en rad et rad/s), $a = 1.5 \, \text{s}^{-1}$ , $b = 2 \, \text{A}^{-1} \text{s}^{-2}$ , et $u$ est la tension d'entrée (en V). La matrice de pondération d'état est $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0.1 \end{pmatrix}$ , et celle du contrôle est $R = 1$ . Question 1 (Calculatoire) : Résolvez l'équation de Riccati algébrique pour obtenir la matrice $P$ solution, puis calculez le gain optimal $K$ du régulateur LQR. Question 2 (Basée sur des calculs) : À partir du...→
  • 18
    Exercice 2 : Filtre de Kalman pour l'estimation d'état dans un circuit RLC Modélisez un circuit RLC série par le système : $\dot{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L} \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \ \frac{1}{L} \end{pmatrix} u + w, \quad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x + v,$ où $x = \begin{pmatrix} q \ i \end{pmatrix}$ (charge en C, courant en A), $L = 1 \, \text{H}$ , $C = 0.25 \, \text{F}$ , $R = 0.5 \, \Omega$ , $u = 10 \, \text{V}$ constant. Le bruit de processus a covariance $Q = \begin{pmatrix} 0.1 & 0 \ 0 & 0.01 \end{pmatrix}$ , et le bruit de mesure $v \sim \mathcal{N}(0, R = 0.05)$ . Question 1 (Calculatoire) : Calculez les matrices du filtre de Kalman stationnaire $K_f$ en résolvant l'équation de Riccati pour la covariance d'erreur $P$ . Question 2 (Basée sur des calculs) : À partir de $K_f$ , déterminez les pôles du filtre et analysez leur placement par...→
  • 19
    Exercice 3 : Système LQG complet pour un convertisseur DC-DC Pour un convertisseur buck modélisé linéairement autour du point de fonctionnement : $\dot{x} = \begin{pmatrix} -0.1 & 0 \ 1 & -10 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0.1 \ 0 \end{pmatrix} u + w, \quad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x + v,$ où $x = \begin{pmatrix} v_o \ i_L \end{pmatrix}$ (tension sortie en V, courant inductance en A), $u$ rapport cyclique (sans unité). Pour LQR : $Q = \begin{pmatrix} 10 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = 0.01$ . Pour Kalman : $Q_n = \begin{pmatrix} 0.01 & 0 \ 0 & 0.001 \end{pmatrix}$ , $R_n = 0.1$ . Question 1 (Calculatoire) : Calculez le gain LQR $K$ via la solution de Riccati $P_{LQR}$ , puis le gain Kalman $L$ via $P_{Kalman}$ . Question 2 (Basée sur des calculs) : Déterminez les pôles du régulateur et du filtre séparément, puis ceux du système LQG en boucle fermée...→

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