Commande predictive et adaptative Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (16 Exercices)
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    Session 1 - - Contexte : On considère la régulation d'un réacteur chimique avec un système de chauffage électrique. Le système doit suivre une trajectoire de consigne tout en respectant des contraintes physiques (limitations d'énergie, variation maximale de commande, limites de température). On utilise la commande prédictive (MPC) pour synthétiser un contrôleur efficace. Question 1 (4 points) - Modèle discret et prédiction : Le système continu du réacteur est modélisé par : $\frac{dy(t)}{dt} = -2y(t) + 3u(t)$ avec période d'échantillonnage $T_e = 0.1\,s$ . a) Établir le modèle discret de type $y(k+1) = ay(k) + bu(k)$ en utilisant la discrétisation d'Euler. b) Calculer les coefficients a et b. c) Écrire...→
  • 2
    Session 1 - - Contexte : On considère le contrôle d'un moteur DC avec friction variable et inertie incertaine. Le système doit s'adapter en temps réel aux variations de paramètres. On utilise une commande adaptative par modèle de référence (MRAC) avec ajustement des gains de feedback par la méthode du gradient. Question 1 (4 points) - Modèle adaptatif et modèle de référence : Système réel (moteur DC) : $\dot{x}(t) = -a x(t) + b u(t)$ avec paramètres incertains $a \in [0.5, 1.5]\,s^{-1}, b \in [1, 3]\,V^{-1}s^{-1}$ . a) Définir un modèle de référence de première ordre désiré : $\dot{x}_m(t) = -a_m x_m(t) + b_m r(t)$ avec $a_m = 1\,s^{-1}, b_m = 1\,V^{-1}s^{-1}$ . b) Concevoir une loi de commande adaptative : $u(t) = \theta_1(t) x(t) + \theta_2(t) r(t)$ c) Déterminer...→
  • 3
    Session 1 - - Contexte : Un système industriel complexe (réacteur chimique multivariable avec retards) doit être contrôlé. On compare deux approches: MPC avec modèle nominal et contrôle adaptatif pour gérer les variations de paramètres. L'objectif est de sélectionner la meilleure stratégie selon les contraintes. Question 1 (4 points) - Analyse comparative des architectures : Système MIMO 2×2 avec matrice de transfert : $G(s) = \begin{pmatrix} \frac{1}{s+1} & \frac{0.5}{s+2} \ \frac{0.5}{s+3} & \frac{1}{s+1} \end{pmatrix} \cdot e^{-0.2s}$ a) Identifier les caractéristiques du système : ordre, couplages, retard. b) Analyser l'applicabilité de MPC vs commande adaptative. c) Évaluer la complexité de chaque approche (dimensions des problèmes, temps de calcul). d) Proposer une architecture hybride...→
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    Examen n°1 : Commande prédictive MPC (Model Predictive Control) appliquée à un système thermique Partie 1 : Synthèse et optimisation d'une commande prédictive pour asservissement de température Un système de chauffage d'eau doit maintenir une température de consigne de 60°C. Le système est modélisé par une fonction de transfert $G(s) = \frac{2}{(10s+1)(5s+1)}$ . La température ambiante est 20°C. Les contraintes sont : température maximale 80°C, débit maximal 100% (4 kW), variation de débit limitée à 50%/s. Les cinq questions permettent de synthétiser et d'analyser la MPC : Q1. Discrétisez le système avec une période d'échantillonnage Te = 1 s et établissez le...→
  • 5
    Examen n°3 : Commande adaptative appliquée à système variable – Algorithme MRAC et gradient Partie 3 : Synthèse adaptive pour suivi de trajectoire avec paramètres incertains Un système mécanique d'entraînement linéaire possède des paramètres incertains : inertie m ∈ [80, 120] kg, frottement f ∈ [100, 200] N/m. Équation : $m \ddot{x} + f \dot{x} = F$ . Un modèle de référence désiré : $m_m \ddot{x}_m + f_m \dot{x}_m = F_m$ avec m_m = 100 kg, f_m = 150 N/m. Les cinq questions permettent de concevoir l'adaptateur : Q1. Établissez le modèle d'erreur de suivi en fonction des paramètres incertains (m, f). Q2. Proposez une loi d'adaptation basée sur la règle de...→
  • 6
    On considère un système de régulation de température d'une cuve de réaction commandée par commande prédictive modèle (MPC). Le système est un processus du premier ordre perturbé : $y(k+1) = 0,9\,y(k) + 0,1\,u(k) + d(k)$ où $y(k)$ est la température mesurée, $u(k)$ est la commande d'entrée (0-100%), $d(k)$ est une perturbation mesurable, et $k$ est l'indice temps discret (période d'échantillonnage Te = 1 s). Horizons de prédiction : — Horizon de prédiction : $N_p = 5$ pas — Horizon de commande : $N_c = 2$ pas — Constante de pondération d'erreur : $Q = 1$ (erreur de suivi) — Constante de pondération commande : $R = 0,01$ (effort de commande) Contraintes : — Amplitude...→
  • 7
    On considère un système dont le modèle présente des incertitudes paramétriques ou des variations en temps réel. Le système à commander est : $\dot{y}(t) = -a\,y(t) + b\,u(t)$ où le gain $b$ est connu et égal à 1, mais le paramètre de viscosité $a$ est incertain et varie lentement : $a(t) \in [0,5, 1,5]\,s^{-1}$ (nominal $a = 1$ ). Le système doit suivre un modèle de référence idéal : $\dot{y}_m(t) = -a_m\,y_m(t) + b_m\,r(t)$ avec $a_m = 1\,s^{-1}$ , $b_m = 1$ , et $r(t)$ consigne sinusoïdale : $r(t) = 5\sin(0,5\pi t)$ . Structure MRAC : — Gain adaptatif : $\theta_1(t)$ (paramètre à adapter) — Loi d'adaptation : règle du gradient avec vitesse d'apprentissage $\Gamma = 1$ — Signal de mesure :...→
  • 8
    On considère la fusion des deux approches : un système MPC whose model coefficients are adapted in real-time based on measurements. Le processus est un tandem système d'ordre 2 : $y(k+1) = a_1(k)\,y(k) + a_2(k)\,y(k-1) + b\,u(k) + d(k)$ Les coefficients $a_1(k), a_2(k)$ varient lentement (0,3 ≤ a_1 ≤ 0,8 ; -0,3 ≤ a_2 ≤ 0,1). Le système est un électromoteur avec frottement non-linéaire. Paramètre nominal : $a_1^{nom} = 0,6, a_2^{nom} = -0,1, b = 0,2$ . Structure : MPC avec horizons (Np=4, Nc=2) + adaptation recursive (least-squares RLS) des coefficients a_1, a_2. Données : — Période échantillonnage Te = 0,1 s — Poids MPC : Q=1, R=0,01 — Gain oubli RLS : λ = 0,95 (recursive...→
  • 9
    EXAMEN COMMANDE PRÉDICTIVE ET COMMANDE ADAPTATIVE – SUJET 1 Contexte : Un système de régulation de débit d'eau dans un canal industriel doit maintenir un débit constant malgré les variations de charge (variations de section du canal, variations de pente). Le débit mesuré est y(k), la commande est l'ouverture de la vanne u(k). On utilise une commande prédictive (MPC) combinée avec adaptation des paramètres du modèle. Question 1 : Établir le modèle prédictif d'ordre 2 du système débit-vanne : y(k) + a₁y(k-1) + a₂y(k-2) = b₀u(k-1) + b₁u(k-2) + e(k). À partir de données historiques, identifier les paramètres : a₁=-1.5,...→
  • 10
    EXAMEN COMMANDE PRÉDICTIVE ET COMMANDE ADAPTATIVE – SUJET 2 Contexte : Un réacteur chimique batch doit maintenir une température constante pour assurer une réaction chimique optimale. La température est contrôlée par une serpentin de refroidissement. Le système est non-linéaire avec délai de transport et inertie thermique variable. On utilise une commande prédictive non-linéaire (NMPC) combinée avec identification en ligne du délai et des paramètres thermiques. Question 1 : Établir le modèle thermique non-linéaire du réacteur batch : dT/dt = (P_in - αU(T-T_ext) - λ*h_r(T))/C_th, où P_in est puissance de réaction (fonction T), αU coefficient échange thermique, h_r(T) taux réaction (non-linéaire),...→
  • 11
    Commande Prédictive Généralisée (GPC) d'un Procédé Thermique On étudie un procédé thermique industriel modélisé par une fonction de transfert discrète. L'objectif est de concevoir une commande prédictive généralisée et d'analyser ses performances. Modèle du procédé (CARIMA) : $A(q^{-1})y(k) = B(q^{-1})u(k-1) + \frac{C(q^{-1})}{\Delta}e(k)$ avec : $A(q^{-1}) = 1 - 1.5q^{-1} + 0.7q^{-2}$ $B(q^{-1}) = 0.5 + 0.3q^{-1}$ $C(q^{-1}) = 1$ $\Delta = 1 - q^{-1}$ (opérateur différence) Période d'échantillonnage : $T_e = 1 \text{ s}$ Question 1 (4 points) : Calculez les pôles du système en boucle ouverte et analysez sa stabilité. Déterminez le gain statique du procédé. Écrivez l'équation de prédiction de la sortie à l'instant $k+j$ sous la forme $\hat{y}(k+j|k) = G_j(q^{-1})\Delta u(k+j-1) + F_j(q^{-1})y(k)$ . Question 2 (4 points) : On choisit les horizons suivants : $N_1 = 1$ ,...→
  • 12
    Commande Adaptative à Modèle de Référence (MRAC) On étudie un système du premier ordre dont les paramètres sont inconnus ou variables. L'objectif est de concevoir une commande adaptative permettant au système de suivre un modèle de référence. Système à commander : $G_p(s) = \frac{K_p}{\tau_p s + 1}$ avec $K_p$ et $\tau_p$ inconnus. Les valeurs nominales sont $K_p^0 = 2$ , $\tau_p^0 = 1 \text{ s}$ . Modèle de référence souhaité : $G_m(s) = \frac{K_m}{\tau_m s + 1} = \frac{1}{0.5s + 1}$ Question 1 (4 points) : Établissez la structure de commande MRAC avec un correcteur proportionnel $u(t) = \theta(t) \cdot r(t)$ où $\theta(t)$ est le gain adaptatif. Montrez que pour une adaptation parfaite, on doit avoir $\theta^* = K_m / K_p$ . Calculez $\theta^*$ pour les valeurs nominales....→
  • 13
    Régulateur Auto-Ajustable (STR) et Commande à Variance Minimale On étudie un système dynamique dont les paramètres varient lentement dans le temps. L'objectif est de concevoir un régulateur auto-ajustable combinant identification en ligne et commande à variance minimale. Modèle ARX du système : $y(k) = -a_1 y(k-1) - a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2) + e(k)$ Valeurs initiales : $a_1 = -1.5$ , $a_2 = 0.7$ , $b_1 = 1.0$ , $b_2 = 0.5$ Question 1 (4 points) : Écrivez le modèle ARX sous forme de régression linéaire $y(k) = \phi^T(k-1)\theta + e(k)$ . Identifiez le vecteur de régression $\phi(k-1)$ et le vecteur de paramètres $\theta$ . Pour les données : $y(k-1)=2, y(k-2)=1.5, u(k-1)=1, u(k-2)=0.8$ , calculez la prédiction $\hat{y}(k)$ . Question 2 (4 points) : Implémentez l'algorithme...→
  • 14
    Session 1 : Commande Prédictive Généralisée (GPC) | | On considère un système discret décrit par le modèle CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average) : $A(q^{-1})y(k) = B(q^{-1})u(k-1) + \frac{C(q^{-1})}{\Delta}e(k)$ Avec les polynômes : $A(q^{-1}) = 1 - 1.5q^{-1} + 0.7q^{-2}$ $B(q^{-1}) = 0.5 + 0.3q^{-1}$ $C(q^{-1}) = 1$ où $\Delta = 1 - q^{-1}$ est l'opérateur de différence et $q^{-1}$ l'opérateur retard. Question 1 (4 points) - Équation de prédiction : a) Calculer le polynôme $\tilde{A}(q^{-1}) = A(q^{-1})\Delta$ . b) Pour un horizon de prédiction $j = 1$ , résoudre l'équation diophantienne : $1 = E_1(q^{-1})\tilde{A}(q^{-1}) + q^{-1}F_1(q^{-1})$ où $\deg(E_1) = 0$ et $\deg(F_1) = \deg(\tilde{A}) - 1$ . Question 2 (5 points) - Prédiction optimale : a) Exprimer la prédiction à $j$ pas $\hat{y}(k+j|k)$ en fonction des entrées passées et futures et...→
  • 15
    Session 2 : Commande Adaptative à Modèle de Référence (MRAC) | | On considère un système du premier ordre avec un paramètre inconnu : $\dot{y}(t) = -a \cdot y(t) + b \cdot u(t)$ où $a > 0$ et $b > 0$ sont des paramètres inconnus. Les valeurs nominales sont $a^* = 2$ et $b^* = 3$ . Le modèle de référence désiré est : $\dot{y}_m(t) = -a_m \cdot y_m(t) + b_m \cdot r(t)$ avec $a_m = 4$ et $b_m = 4$ (constante de temps $\tau_m = 0.25\,s$ ). Question 1 (4 points) - Structure de commande : On utilise une loi de commande adaptative de la forme : $u(t) = \theta_1(t) \cdot r(t) + \theta_2(t) \cdot y(t)$ a) Exprimer la dynamique en boucle fermée $\dot{y}$ en fonction de $\theta_1, \theta_2, r, y$ . b) Déterminer les valeurs idéales $\theta_1^*$ et $\theta_2^*$...→
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    Session 3 : Identification et Régulateur Auto-Ajustable (STR) | | On considère un système discret dont le modèle est : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + e(k)$ Les paramètres vrais sont $a_1 = 1.5, a_2 = -0.7, b_1 = 1.0$ . On dispose des mesures suivantes : k 1 2 3 4 5 y(k) 0 0 1.0 2.5 3.05 u(k) 1 1 1 1 1 Question 1 (4 points) - Estimation par moindres carrés (batch) : a) Écrire le modèle sous forme de régression $y(k) = \phi^T(k)\theta$ et identifier le vecteur de régression $\phi(k)$ et le vecteur de paramètres $\theta$ . b) Construire les matrices $\Phi$ et $\mathbf{Y}$ pour les données de k = 3 à...→
• Commande Prédictive (31 Exercices)
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    Exercice 1 : Commande Prédictive d'un Système Linéaire avec Contraintes On considère un système linéaire discret décrit par l'équation d'état suivante : $x(k+1) = 0.8x(k) + 0.5u(k)$ $y(k) = x(k)$ où $x(k)$ est l'état du système, $u(k)$ l'entrée de commande et $y(k)$ la sortie à l'instant $k$ . On souhaite concevoir un contrôleur prédictif (MPC) avec les paramètres suivants : Horizon de prédiction : $N_p = 3$ Horizon de commande : $N_c = 2$ Fonction coût quadratique : $J = \sum_{i=1}^{N_p} q(y(k+i) - r)^2 + \sum_{i=0}^{N_c-1} \rho (\Delta u(k+i))^2$ Poids : $q = 1$ , $\rho = 0.1$ Consigne : $r = 10$ État initial : $x(0) = 2$ Contrainte sur l'incrément de commande : $|\Delta u(k)| \leq 3$ Question 1 : Calculer les prédictions de sortie $y(k+1)$ , $y(k+2)$ et...→
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    Exercice 2 : Commande Prédictive d'un Processus Thermique Un four industriel est modélisé par un système du premier ordre avec retard. Sa fonction de transfert en temps continu est : $G(s) = \frac{K e^{-\theta s}}{\tau s + 1}$ où $K = 2.5$ (gain statique), $\tau = 50$ s (constante de temps), $\theta = 10$ s (retard pur). Le système est échantillonné avec une période $T_e = 5$ s. En utilisant l'approximation du premier ordre de Padé pour le retard $e^{-\theta s} \approx \frac{1 - \frac{\theta s}{2}}{1 + \frac{\theta s}{2}}$ et la transformation de Tustin (bilinéaire) $s = \frac{2}{T_e}\frac{z-1}{z+1}$ , on obtient le modèle discret suivant : $G(z) = \frac{b_1z^{-1} + b_2z^{-2}}{1 + a_1z^{-1} + a_2z^{-2}}$ Avec les paramètres calculés : $a_1 = -1.727$ , $a_2 = 0.735$ , $b_1 = 0.0876$ , $b_2 = 0.0657$ . On veut concevoir un MPC avec...→
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    Exercice 3 : Formulation Espace d'États pour la Commande Prédictive On considère un système mécanique masse-ressort-amortisseur modélisé en temps continu par : $m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F(t)$ où $m = 2$ kg (masse), $c = 5$ N·s/m (coefficient d'amortissement), $k = 20$ N/m (raideur du ressort), $F(t)$ est la force appliquée en Newton, et $x(t)$ est la position en mètres. La représentation d'état continue est : $\dot{X}(t) = A_c X(t) + B_c u(t)$ $y(t) = C X(t)$ avec $X = \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix}$ , $A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -10 & -2.5 \end{bmatrix}$ , $B_c = \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ , et $u(t) = F(t)$ . Le système est discrétisé avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.2$ s en utilisant la méthode exacte : $A = e^{A_c T_e}$ et $B = (\int_0^{T_e} e^{A_c \tau} d\tau) B_c$ , ce qui donne : $A = \begin{bmatrix} 0.8187 & 0.1627 \\ -1.627 & 0.4934 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0.0163 \\ 0.1627 \end{bmatrix}$ On veut implémenter...→
  • 4
    Exercice 4 : Optimisation du Temps de Réponse en Commande Prédictive Un moteur électrique à courant continu est modélisé par la fonction de transfert entre la tension d'alimentation et la vitesse de rotation : $G(s) = \frac{\omega(s)}{V(s)} = \frac{K}{(Js + b)(Ls + R) + K_e K_t}$ Après identification, on obtient le modèle simplifié du second ordre : $G(s) = \frac{15}{s^2 + 8s + 12}$ où $\omega$ est la vitesse en rad/s et $V$ la tension en volts. Le système est discrétisé avec $T_e = 0.1$ s par la méthode de Tustin, donnant : $G(z) = \frac{0.0577z + 0.0549}{z^2 - 1.4524z + 0.5488}$ En forme d'équation aux différences : $\omega(k) = 1.4524\omega(k-1) - 0.5488\omega(k-2) + 0.0577V(k-1) + 0.0549V(k-2)$ On conçoit un MPC avec paramètres : $N_p = 3$ , $N_c = 1$ , fonction coût : $J = \sum_{i=1}^{N_p} \alpha_i (\omega(k+i) - \omega_{ref})^2 + \beta V^2(k)$ avec poids variables...→
  • 5
    Exercice 5 : Commande Prédictive avec Contraintes sur la Trajectoire Un bras robotique à un degré de liberté est contrôlé en position angulaire. Le modèle dynamique simplifié en temps discret est : $\theta(k+1) = a_1\theta(k) + a_2\theta(k-1) + b_1\tau(k) + b_2\tau(k-1)$ où $\theta$ est l'angle en radians et $\tau$ le couple appliqué en N·m. Après identification expérimentale avec $T_e = 0.05$ s, on obtient : $a_1 = 1.6$ , $a_2 = -0.64$ , $b_1 = 0.012$ , $b_2 = 0.008$ . On conçoit un MPC avec horizon de prédiction $N_p = 4$ , horizon de commande $N_c = 2$ , et fonction coût : $J = \sum_{i=1}^{N_p} w_i(\theta(k+i) - \theta_d(k+i))^2 + \sum_{j=0}^{N_c-1} \mu(\Delta\tau(k+j))^2$ avec : $w_1 = w_2 = 1$ , $w_3 = w_4 = 2$ (poids croissants pour forcer la convergence), $\mu = 0.5$ . La trajectoire désirée est...→
  • 6
    Exercice 1 : Synthèse d'une loi de commande prédictive pour un système thermique On considère un système de chauffage d'un four industriel dont la dynamique thermique peut être modélisée par l'équation discrète suivante : $x(k+1) = 0.85x(k) + 0.12u(k)$ où $x(k)$ représente la température du four en °C à l'instant $k$ , et $u(k)$ est la puissance de chauffage appliquée en kW. On souhaite concevoir un contrôleur prédictif avec un horizon de prédiction $N_p = 3$ et un horizon de contrôle $N_c = 2$ . La fonction de coût quadratique à minimiser est donnée par : $J = \sum_{j=1}^{N_p} (r(k+j) - \hat{x}(k+j|k))^2 + \lambda \sum_{j=0}^{N_c-1} u(k+j)^2$ avec $\lambda = 0.1$ le coefficient de pondération de l'effort de commande. Question...→
  • 7
    Exercice 2 : Commande prédictive d'un moteur électrique avec contraintes Un moteur à courant continu est utilisé pour contrôler la vitesse de rotation d'une machine industrielle. Le modèle discret en espace d'état est donné par : $\begin{bmatrix} \omega(k+1) \\ i(k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.92 & 0.15 \\ 0 & 0.78 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega(k) \\ i(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.02 \\ 0.25 \end{bmatrix} v(k)$ où $\omega(k)$ est la vitesse angulaire en rad/s, $i(k)$ est le courant d'armature en A, et $v(k)$ est la tension appliquée en V. Le contrôleur prédictif est conçu avec un horizon de prédiction $N_p = 2$ . L'état actuel est $\omega(0) = 10$ rad/s et $i(0) = 2$ A. La tension de commande est soumise à la contrainte $|v(k)| \leq 50$ V. Question 1 : Calculez les prédictions d'état $\omega(1)$ ,...→
  • 8
    Exercice 3 : Optimisation de trajectoire avec horizon glissant Un chariot mobile se déplace sur un rail horizontal selon la dynamique discrète suivante : $\begin{cases} x(k+1) = x(k) + T \cdot v(k) \\ v(k+1) = v(k) + T \cdot a(k) \end{cases}$ où $x(k)$ est la position en mètres, $v(k)$ est la vitesse en m/s, $a(k)$ est l'accélération de commande en m/s $^2$ , et $T = 0.5$ s est la période d'échantillonnage. À l'instant initial, le chariot est à $x(0) = 0$ m avec une vitesse $v(0) = 2$ m/s. L'objectif est d'atteindre la position cible $x_{ref} = 15$ m avec une vitesse finale nulle en minimisant l'énergie de commande. On utilise un horizon de prédiction $N = 3$ et la fonction de coût : $J = 10(x(3) - 15)^2 + 8v(3)^2 + \sum_{j=0}^{2} (0.2a(j)^2)$...→
  • 9
    Exercice 4 : Commande prédictive d'un réacteur chimique avec dynamique non-linéarisée Un réacteur chimique exothermique est modélisé par une linéarisation autour d'un point de fonctionnement. Les variables d'état sont la concentration $C(k)$ en mol/L et la température $T(k)$ en K. Le modèle discret est : $\begin{bmatrix} C(k+1) \\ T(k+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.88 & -0.05 \\ 0.12 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C(k) \\ T(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.15 \\ 0.08 \end{bmatrix} u(k)$ où $u(k)$ est le débit de réactif entrant en L/min. L'état initial est $C(0) = 2$ mol/L et $T(0) = 350$ K. On souhaite atteindre $C_{ref} = 3.5$ mol/L et $T_{ref} = 360$ K à l'horizon $N_p = 2$ avec une commande constante $u(0) = u(1) = u$ . La fonction de coût est : $J = 15(C(2) - 3.5)^2 + 10(T(2) - 360)^2 + 0.3u^2$ Question 1 : Calculez les prédictions $C(1)$ , $T(1)$ , $C(2)$ et...→
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    Exercice 5 : Stabilité et coût cumulé d'une commande prédictive itérative Un système de régulation de niveau dans un réservoir est modélisé par l'équation discrète : $h(k+1) = 0.82h(k) + 0.28q(k)$ où $h(k)$ est le niveau d'eau en mètres et $q(k)$ est le débit de pompage en m $^3$ /s. Le niveau initial est $h(0) = 1.5$ m et l'objectif est $h_{ref} = 5$ m. On utilise un contrôleur MPC avec horizon $N = 1$ (un seul pas de prédiction) et fonction de coût : $J(k) = (h(k+1) - 5)^2 + 0.1q(k)^2$ À chaque itération $k$ , on calcule $q^*(k)$ optimale, on l'applique, puis on recalcule pour le pas suivant. Question 1 : Pour l'instant initial...→
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    Exercice 1 : Commande Prédictive Basée sur un Modèle d'État On considère un système linéaire discret décrit par le modèle d'état suivant : $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$ $y(k) = C x(k)$ avec $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.1 \\ 0 & 0.9 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0.5 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ L'état initial du système est $x(0) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ . On souhaite mettre en œuvre une commande prédictive avec un horizon de prédiction $N_p = 3$ et un horizon de commande $N_c = 2$ . Question 1 : Calculer les prédictions de l'état $x(k+1)$ , $x(k+2)$ , et $x(k+3)$ en fonction de l'état $x(k)$ et des commandes futures $u(k)$ , $u(k+1)$ , et $u(k+2)$ . Question 2 : En déduire les prédictions de la sortie $y(k+1)$ ,...→
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    Exercice 2 : Commande Prédictive Généralisée (GPC) avec Modèle CARIMA On considère un processus décrit par un modèle CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average) : $A(q^{-1}) y(k) = B(q^{-1}) u(k-1) + \frac{C(q^{-1})}{\Delta} e(k)$ où $\Delta = 1 - q^{-1}$ est l'opérateur de différence, et : $A(q^{-1}) = 1 - 1.5q^{-1} + 0.5q^{-2}$ $B(q^{-1}) = 0.5q^{-1} + 0.3q^{-2}$ $C(q^{-1}) = 1$ On souhaite implémenter une GPC avec un horizon de prédiction $N_1 = 1$ , $N_2 = 3$ et un horizon de commande $N_u = 2$ . Le paramètre de pondération est $\lambda = 0.5$ . Question 1 : Calculer le polynôme $\bar{A}(q^{-1}) = A(q^{-1}) \Delta$ . Déterminer ses coefficients explicites. Question 2 : Pour l'horizon $j = 1$ , résoudre l'équation diophantienne $1 = E_1(q^{-1}) \bar{A}(q^{-1}) + q^{-1} F_1(q^{-1})$ pour obtenir les polynômes $E_1(q^{-1})$ et $F_1(q^{-1})$ . Donner leurs coefficients numériques. Question...→
  • 13
    Exercice 3 : Optimisation avec Contraintes en Commande Prédictive Un système thermique est modélisé par la fonction de transfert discrète : $G(z) = \frac{0.4z^{-1} + 0.25z^{-2}}{1 - 0.7z^{-1}}$ avec une période d'échantillonnage $T_e = 1$ seconde. On applique une commande prédictive avec horizon de prédiction $N_p = 4$ et horizon de commande $N_c = 3$ . La sortie actuelle est $y(k) = 15$ °C et la commande précédente est $u(k-1) = 2$ . Les contraintes physiques sont : $0 \leq u(k+i) \leq 8$ pour $i = 0, 1, 2$ $|\Delta u(k+i)| \leq 2$ pour $i = 0, 1, 2$ La consigne de température est $r = 25$ °C et le paramètre de pondération est $\lambda = 0.2$ . Question 1 : Déterminer la représentation d'état du système en utilisant la forme canonique contrôlable. Calculer les...→
  • 14
    Exercice 4 : Dynamic Matrix Control (DMC) avec Modèle de Réponse Indicielle Un processus industriel est caractérisé par sa réponse indicielle échantillonnée : $\{s_i\}_{i=1}^{8} = \{0.3, 0.8, 1.5, 2.3, 3.0, 3.5, 3.8, 4.0\}$ où $s_i$ représente la sortie à l'instant $i$ pour un échelon unitaire de commande appliqué à $t = 0$ . Le système atteint son régime permanent à $s_{\infty} = 4.0$ . On implémente un contrôleur DMC avec les paramètres suivants : - Horizon de modèle : $N = 8$ - Horizon de prédiction : $P = 5$ - Horizon de commande : $M = 3$ - Pondération : $\lambda = 0.3$ L'état actuel du système est : sortie $y(k) = 2.5$ , et les trois dernières commandes sont $u(k-1) = 1.2$ ,...→
  • 15
    Contrôle prédictif d'un système thermique On considère un système de chauffage industriel modélisé par l'équation d'état discrète suivante : $x(k+1) = 0.85 x(k) + 0.12 u(k)$ où $x(k)$ représente la température en °C à l'instant $k$ , et $u(k)$ est la puissance de chauffage en kW. La période d'échantillonnage est $T_e = 1$ minute. À l'instant initial $k=0$ , la température est $x(0) = 18$ °C. On applique une commande prédictive avec un horizon de prédiction $N_p = 4$ . La séquence de commande prévue est : $u(0) = 5$ kW, $u(1) = 4.5$ kW, $u(2) = 4$ kW, $u(3) = 3.5$ kW. Question 1 : Calculer la prédiction de température $x(1)$ à l'instant $k=1$ . Question 2 : Calculer...→
  • 16
    Optimisation de la fonction coût en commande prédictive Un système de régulation de niveau dans un réservoir est modélisé par : $y(k+1) = 0.9 y(k) + 0.15 u(k)$ où $y(k)$ est le niveau d'eau en mètres et $u(k)$ est le débit d'entrée en $\text{m}^3/\text{min}$ . La consigne de niveau est $y_{ref} = 2.5$ m. L'état initial est $y(0) = 1.8$ m. On utilise un contrôleur prédictif avec horizon $N_p = 3$ et la fonction coût quadratique suivante : $J = \sum_{i=1}^{N_p} \left[ q(y(i) - y_{ref})^2 + r u^2(i-1) \right]$ avec $q = 10$ et $r = 0.5$ . On teste la séquence de commande : $u(0) = 6$ $\text{m}^3/\text{min}$ , $u(1) = 5$ $\text{m}^3/\text{min}$ , $u(2) = 4$ $\text{m}^3/\text{min}$ . Question 1 : Calculer les prédictions de sortie $y(1)$ , $y(2)$ et...→
  • 17
    Dimensionnement des horizons en MPC Un moteur électrique asservi en vitesse est modélisé par la fonction de transfert discrète suivante : $\omega(k+1) = 0.7 \omega(k) + 0.25 V(k)$ où $\omega(k)$ est la vitesse angulaire en rad/s et $V(k)$ est la tension d'alimentation en Volts. L'état initial est $\omega(0) = 5$ rad/s et la vitesse de consigne est $\omega_{ref} = 12$ rad/s. On utilise une commande prédictive avec horizon de prédiction $N_p = 4$ et horizon de commande $N_c = 2$ . Pour $k \geq N_c$ , la commande reste constante : $V(k) = V(N_c - 1)$ . On teste : $V(0) = 15$ V, $V(1) = 12$ V. Question 1 : Calculer les prédictions de vitesse $\omega(1)$ et $\omega(2)$ en utilisant les commandes de...→
  • 18
    Gestion des contraintes en commande prédictive Un système de positionnement linéaire est modélisé par : $p(k+1) = p(k) + 0.8 v(k)$ $v(k+1) = 0.6 v(k) + 0.3 F(k)$ où $p(k)$ est la position en mètres, $v(k)$ est la vitesse en m/s, et $F(k)$ est la force appliquée en Newtons. Les conditions initiales sont $p(0) = 2$ m et $v(0) = 0.5$ m/s. Le système est soumis à des contraintes : $|F(k)| \leq 10$ N et $v(k) \leq 3$ m/s. On planifie la séquence : $F(0) = 8$ N, $F(1) = 9$ N, $F(2) = 7$ N. Question 1 : Calculer $v(1)$ et $p(1)$ après application de $F(0)$ . Vérifier que les contraintes sont respectées. Question 2 : Calculer $v(2)$ et $p(2)$ après application de $F(1)$ ....→
  • 19
    Commande prédictive d'un système à deux entrées - deux sorties Un système industriel MIMO (Multiple Input Multiple Output) est décrit par les équations couplées : $x_1(k+1) = 0.8 x_1(k) + 0.1 x_2(k) + 0.2 u_1(k)$ $x_2(k+1) = 0.15 x_1(k) + 0.7 x_2(k) + 0.25 u_2(k)$ où $x_1(k)$ et $x_2(k)$ sont les états du système, et $u_1(k)$ , $u_2(k)$ sont les commandes. Les conditions initiales sont $x_1(0) = 3$ et $x_2(0) = 2$ . On applique un contrôleur prédictif avec horizon $N_p = 2$ . Les séquences de commande sont : $u_1(0) = 5$ , $u_1(1) = 4$ et $u_2(0) = 6$ , $u_2(1) = 5$ . Question 1 : Calculer les prédictions $x_1(1)$ et $x_2(1)$ après application des commandes $u_1(0)$ et $u_2(0)$ . Question 2 : Calculer les prédictions $x_1(2)$ et $x_2(2)$...→
  • 20
    Exercice 2 : Filtrage prédictif et commande – filtre actif optique On modélise un système électrique avec un filtre actif optique par le modèle d’état $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ et $y_k = C x_k$ , où $x_k = [ v_o(k) \, i_L(k) ]^T$ et $u_k$ est la commande appliquée au modulateur. Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \ -0.1 & 0.95 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0.0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ Coût : $Q = diag(2, 1)$ , $R = 0.5$ . 1. Résolvez ARE discrète $A^T P A - A^T P B (R^{-1}) B^T P A + Q = 0$ et trouvez $P$ . 2. Calculez $K = (R^{-1}) B^T P$ et donnez la loi de commande $u = -K x$ . 3. Donnez les pôles du système fermé $A - B K$ et discutez de la stabilité par rapport au bruit de mesure. Filtre actif u x Contrôleur -K x→
  • 21
    Dans le cadre de la commande prédictive (MPC) appliquée à un filtre actif électronique, on considère un système continu linéaire décrit par $\dot{x} = A x + B u$ avec $x = \begin{pmatrix} v_C \ i_L \ y \ z \end{pmatrix}$ représentant les états du filtre et $u$ l’entrée de commande. Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -\frac{1}{RC} & -\frac{1}{C} & 0 & 0 \ 0 & 0 & -\alpha & 0 \ 0 & 0 & 0 & -\beta \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . La fonction objectif en MPC sur horizon finite N est $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x(k)^T Q x(k) + u(k)^T R u(k)) + x(N)^T P_f x(N)$ , avec $Q = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ , $R = 0.5$ et $P_f = \begin{pmatrix} 20 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ . 1. Écrivez le problème MPC sous forme matricielle et indiquez les dimensions des matrices impliquées sur l’horizon N. 2. Donnez l’expression du coût quadratique sous forme compacte et écrivez les conditions de premier ordre pour l’optimalité en termes...→
  • 22
    Pour un réseau électrique simulé avec commande prédictive sur 3 états et 2 entrées, modélisé par $\dot{x} = A x + B u$ , avec $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}$ , et $u = \begin{pmatrix} u_1 \ u_2 \end{pmatrix}$ . Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ -2 & -3 & 1 \ 0 & -1 & -4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . La fonction coût est $J = \int_0^{\infty} (x^T Q x + u^T R u) dt$ avec $Q = \mathrm{diag}(1, 2, 3)$ et $R = I_2$ . 1. Formulez l’équation de Riccati continue associée et écrivez $K = R^{-1} B^T P$ avec $P$ la solution de $A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$ . 2. Supposons que $P = \begin{pmatrix} 2 & 0.2 & 0 \ 0.2 & 3 & 0.1 \ 0 & 0.1 & 4 \end{pmatrix}$ , calculez $K$ et écrivez la loi de commande $u = -K x$ . 3. Donnez les valeurs propres de la matrice fermée $A - B K$ et discutez rapidement de la stabilité et de l’atténuation envisagée des modes dans le spectre.→
  • 23
    Exercice 1 :Commande prédictive pour un système RLC discret. Considérons un filtre actif RLC en schéma discret avec état x_k représentant les tensions et courants pertinents, et entrée u_k correspondant à une commande de générateur. Le modèle en espace d'état discret est : $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , $y_k = C x_k$ avec $x_k = \begin{pmatrix} v_k \ i_L,k \ q_k \end{pmatrix}$ , $u_k$ l’entrée de commande et $y_k$ la sortie mesurée d’intérêt. Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.1 & 0 \ 0 & 0.95 & 0.05 \ 0 & 0 & 0.98 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Le coût à minimiser sur horizon infini est : $J = \sum_{k=0}^{\infty} (x_k^T Q x_k + R u_k^2)$ avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0.5 & 0 \ 0 & 0 & 0.2 \end{pmatrix}$ et $R = 0.1$ . 1. Écrivez l’équation de Riccati discrète et donnez l’expression du gain $K$ pour le contrôle en temps minimal ( $u_k = -K x_k$ )....→
  • 24
    Exercice 2 :Commande prédictive pour un réseau RC discret en topologie résonante. Le système est décrit par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ , avec $x_k = \begin{pmatrix} v_k \\ i_k \\ \phi_k \end{pmatrix}$ représentant une tension, un courant et une variable d’état déphasé, et $u_k$ l’entrée. Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 0.85 & 0.10 & 0 \\ -0.05 & 0.90 & 0.08 \\ 0 & 0.05 & 0.97 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0.15 \\ 0.05 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Le coût est $J = \sum_{k=0}^{\infty} (x_k^T Q x_k + R u_k^2)$ avec $Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 \end{pmatrix}$ et $R = 0.05$ . 1. Écrivez l’équation de Riccati discrète et donnez l’expression du gain $K$ pour le contrôle $u_k = -K x_k$ . 2. Obtenez $P$ et $K$ numériquement et donnez les pôles de $A - B K$ afin de démontrer la stabilité en boucle. 3. Comparez la stabilité et discutez l’impact du gain prédictif sur la rapidité de la régulation....→
  • 25
    Exercice 1 : Commande prédictive - planification en temps réel On modélise un système linéaire en espace d'états $\dot{x} = A x + B u$ avec $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}$ et une entrée unique $u$ . Le but est d’optimiser une séquence de contrôle sur un horizon fini N en minimisant un coût quadratique et en respectant une contrainte sur les états et l’entrée. Les matrices données sont : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ -2 & -3 & 1 \ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ \ 1 \end{pmatrix}$ et les pondérations $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$ , $R = 1$ . On fixe l’horizon fin $N = 3$ et les bornes sur l’entrée $-1 \leq u_k \leq 1$ pour tout $k$ . 1) Écrivez le coût total à minimiser sur l’horizon $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) + x_N^T P x_N$ , avec $P$ une matrice...→
  • 26
    Exercice 1 – Commande prédictive en électronique On considère un système linéaire discreté représentant un filtre actif programmable. Le modèle d’état est donné par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ et la sortie mesurée est $y_k = C x_k$ , avec $x_k ∈ R^2$ , $u_k ∈ R$ . Les matrices sont : $A = \begin{pmatrix} 1.1 & 0.4 \ 0.2 & 0.9 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.5 \ 1.0 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Objectif : atteindre $x_f = \begin{pmatrix} 0.0 \ 0.0 \end{pmatrix}$ en N = 6 pas tout en minimisant le coût $J = \sum_{k=0}^{N-1} (x_k^T Q x_k + r u_k^2)$ avec $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $r = 0.2$ . Question 1 (Calcul)** : Écrivez l’expression de la commande prédictive en temps discret pour horizon N et donnez la forme du problème quadratique à minimiser en termes des variables d’optimisation $u_0,...,u_{N-1}$ et des...→
  • 27
    Exercice 2 – Prévision et filtres prédictifs dans un filtre actif On modélise un filtre actif simple où l’état suit $x_{k+1} = A x_k + B u_k + E w_k$ avec $w_k$ bruit blanc, et la sortie $y_k = C x_k$ . Supposons $A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \ -0.1 & 0.95 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.4 \ 0.6 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $E = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0.0 \end{pmatrix}$ , et $w_k$ est un bruit gaussien de moyenne nulle et variance $Q_w$ . Objectif : minimiser $J = \sum_{k=0}^{N-1} (y_k^2 + r u_k^2)$ sur horizon N = 20 avec $r = 0.5$ en utilisant une stratégie prédictive > horizon fixé et en supposant que l’entrée de référence est nulle. Question 1 (Calcul)** : Écrivez les équations de prévision et la formulation du problème prédictif sous forme standard (État prévisionnel...→
  • 28
    Exercice 1 : Commande prédictive en électronique et systèmes linéaires Dans ce problème, on considère un système linéaire contrôlé par prédiction, où l’objectif est de faire suivre une référence sur un horizon fini tout en respectant les contraintes du système. Le modèle discret est donné par $x_{k+1} = A x_k + B u_k$ et la sortie $y_k = C x_k$ . On suppose un horizon de prédiction N = 3 et l’objectif est d’atteindre $y_{ref} = [1.5, 2.0, 2.5]^T$ sur les 3 pas, avec des bornes d’entrée $|u_k| ≤ 2$ et des bornes d’état $|x_k| ≤ 3$ . Le système est initialisé par $x_0 = [0,0]^T$ , et les matrices sont $A = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.1 \ 0 & 0.95 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.3 \end{bmatrix}, C = I_2$ . 1) Déterminer, pour cet horizon, une...→
  • 29
    Exercice 2 : Commande prédictive sur un filtre actif du premier ordre Modèle discret: $x_{k+1} = a x_k + b u_k$ , $y_k = x_k$ , avec $a = 0.9, b = 0.5$ . Objectif: suivre $y_{ref} = 1.0$ sur horizon N = 2 avec $|u_k| ≤ 1.5$ et $|x_k| ≤ 2.0$ . Initialisation $x_0 = 0$ . 1) Calculer les commandes $u_0, u_1$ qui minimisent $J = \sum_{k=0}^{1} (y_k - y_{ref})^2 + \lambda \sum_{k=0}^{1} u_k^2$ avec $\lambda = 0.2$ , sous les contraintes. Montrer les calculs intermédiaires et donner les valeurs exactes. 2) Déterminer les trajectoires $x_1, x_2$ et sorties $y_1, y_2$ correspondantes et vérifier les contraintes. Calculer $\sum_{k=0}^{1} u_k^2$ et comparer à $U_{max}^2 = 2.25$ . 3) Donner l’expression de la fonction coût et expliquer l’impact du choix de l’horizon N = 2 sur la précision...→
  • 30
    Exercice 2 : Commande prédictive avec contraintes pour un convertisseur DC-DC En ingénierie électrique, un convertisseur buck est contrôlé par MPC pour réguler la tension de sortie. Le modèle discret est $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$ , avec $x(k) = \begin{pmatrix} i_L(k) \\ v_C(k) \end{pmatrix}$ (courant d'inductance et tension de condensateur), $u(k) = d(k)$ (rapport cyclique, 0 ≤ d ≤ 1). Matrices : $A = \begin{pmatrix} 0.9 & -0.05 \\ 0.05 & 0.98 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $T_s = 0.01$ s. Horizon $N_p = 5$ , $N_c = 2$ . Coût $J = \sum_{i=1}^{5} (v_C(k+i|k) - 12)^2 + 0.05 \sum_{i=1}^{2} u(k+i-1)^2$ , avec contrainte $0 \leq u(k+i) \leq 1$ . État initial $x(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix}$ A et V. Le schéma du convertisseur est : Vin Switch L C Vout a) Prédisez $x(1|0)$ et $v_C(1|0)$ pour $d(0) = 0.6$ . b) Calculez la matrice Hessian $H = 2 (\Phi^T Q \Phi + R)$...→
  • 31
    Exercice 3 : Commande prédictive multivariable pour un système couplé Pour un système électrique couplé comme deux actionneurs en parallèle, le modèle MIMO discret est $X(k+1) = A X(k) + B U(k)$ , avec $X(k) = \begin{pmatrix} x_1(k) \ x_2(k) \end{pmatrix}$ , $U(k) = \begin{pmatrix} u_1(k) \ u_2(k) \end{pmatrix}$ . Matrices : $A = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 \ 0.3 & 0.7 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.1 \ 0.2 & 0.5 \end{pmatrix}$ , $T_s = 0.05$ s. Horizon $N_p = 8$ , $N_c = 4$ . Coût $J = \sum_{i=1}^{8} \| Y(k+i|k) - R \|^2_Q + \| \Delta U \|^2_R$ , avec $Q = I_2$ par pas, $R = 0.2 I_8$ , référence $R = \begin{pmatrix} 10 \ 15 \end{pmatrix}$ . État initial $X(0) = \begin{pmatrix} 5 \ 3 \end{pmatrix}$ , sortie $Y(k) = C X(k)$ , $C = I_2$ . Schéma du système couplé : Actionneur 1 u1 x1 Actionneur 2 u2 x2 couplage MPC MIMO a) Calculez $X(1|0)$ pour $U(0) = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$ . b) Formez la matrice étendue $\bar{A}$ pour l'horizon de prédiction et calculez...→
• Commande adaptative (20 Exercices)
  • 1
    On considère un système du premier ordre dont le paramètre $a$ est inconnu. Le modèle de référence est donné par $\dot{x}_m = -a_m x_m + b_m r$ avec $a_m = 2$ , $b_m = 2$ . Le système réel est décrit par $\dot{x} = -a x + b u$ où $b = 1$ est connu et $a$ est inconnu. On utilise une loi de commande adaptative $u = \theta_1 r + \theta_2 x$ avec une loi d'adaptation basée sur Lyapunov. Question 1: Déterminer l'erreur de poursuite $e = x - x_m$ et établir son équation différentielle en fonction de $a$ , $\theta_1$ , $\theta_2$ , $a_m$ , $b_m$ et $r$ . Question 2: Calculer les valeurs idéales $\theta_1^*$ et $\theta_2^*$ qui annulent l'erreur pour $a = 3$ . Question 3:...→
  • 2
    Un processus industriel est modélisé par la fonction de transfert discrète suivante: $G(z^{-1}) = \frac{b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$ On utilise la méthode des moindres carrés récursifs (MCR) pour estimer les paramètres. À l'instant $k = 10$ , on a les données suivantes: vecteur de régression $\phi(10) = [−0.8, 0.3, 1.2, −0.5]^T$ , matrice de covariance $P(9) = 0.1 I_4$ (où $I_4$ est la matrice identité $4 \times 4$ ), mesure de sortie $y(10) = 2.5$ , et estimation précédente $\hat{\theta}(9) = [0.6, −0.2, 1.5, −0.3]^T$ où $\hat{\theta} = [a_1, a_2, b_1, b_2]^T$ . Le facteur d'oubli est $\lambda = 0.98$ . Question 1: Calculer le gain de Kalman $K(10)$ en utilisant la formule $K(10) = \frac{P(9)\phi(10)}{\lambda + \phi^T(10)P(9)\phi(10)}$ . Question 2: Déterminer l'erreur de prédiction $\varepsilon(10) = y(10) - \phi^T(10)\hat{\theta}(9)$ numériquement. Question 3: Calculer la nouvelle estimation des paramètres...→
  • 3
    On considère un système du second ordre décrit par l'équation différentielle: $\ddot{y}(t) + a_1\dot{y}(t) + a_2 y(t) = b_0 u(t)$ où les paramètres $a_1$ , $a_2$ et $b_0$ sont inconnus mais on sait que $b_0 \neq 0$ . On désire placer les pôles en boucle fermée aux positions $s_1 = -3 + 2j$ et $s_2 = -3 - 2j$ . À l'instant $t = 5$ s, les estimations des paramètres sont $\hat{a}_1(5) = 4$ , $\hat{a}_2(5) = 5$ , $\hat{b}_0(5) = 2$ . On utilise une loi de commande par retour d'état $u = -k_1 y - k_2 \dot{y} + k_r r$ où $r$ est la référence. Question 1: Déterminer le polynôme caractéristique désiré $P_d(s) = (s - s_1)(s - s_2)$ et le mettre sous forme canonique $s^2 + \alpha_1 s + \alpha_2$ . Question 2: Établir le polynôme caractéristique en boucle fermée en fonction de...→
  • 4
    Soit un système non linéaire décrit par: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -\theta_1 x_1 - \theta_2 x_2 + u$ où $\theta_1 > 0$ et $\theta_2 > 0$ sont des paramètres inconnus. On utilise une approche de commande adaptative directe avec la loi de commande $u = \hat{\theta}_1 x_1 + \hat{\theta}_2 x_2 - k x_2$ où $k = 5$ est un gain positif fixe. La fonction de Lyapunov candidate est donnée par: $V(x, \tilde{\theta}) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 + \frac{1}{2\gamma_1}\tilde{\theta}_1^2 + \frac{1}{2\gamma_2}\tilde{\theta}_2^2$ où $\tilde{\theta}_i = \hat{\theta}_i - \theta_i$ sont les erreurs d'estimation, et $\gamma_1 = 2$ , $\gamma_2 = 3$ sont les gains d'adaptation. Question 1: Calculer $\dot{V}$ en fonction de $x_1$ , $x_2$ , $\tilde{\theta}_1$ , $\tilde{\theta}_2$ , $\dot{\hat{\theta}}_1$ et $\dot{\hat{\theta}}_2$ . Question 2: Déterminer les lois d'adaptation $\dot{\hat{\theta}}_1$ et $\dot{\hat{\theta}}_2$ qui garantissent $\dot{V} \leq -kx_2^2$ . Question 3: À l'instant $t_0$ , les...→
  • 5
    Un système SISO (Single-Input Single-Output) est modélisé par l'équation aux différences: $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2)$ On utilise un algorithme du gradient normalisé pour estimer les paramètres. Le vecteur de paramètres est $\theta = [a_1, a_2, b_1, b_2]^T$ et le vecteur de régression est $\phi(k) = [y(k-1), y(k-2), u(k-1), u(k-2)]^T$ . L'algorithme d'estimation est donné par: $\hat{\theta}(k) = \hat{\theta}(k-1) + \frac{\mu \phi(k) e(k)}{\beta + ||\phi(k)||^2}$ où $e(k) = y(k) - \phi^T(k)\hat{\theta}(k-1)$ est l'erreur de prédiction, $\mu = 0.8$ est le pas d'adaptation, et $\beta = 0.5$ est le paramètre de normalisation. À l'instant $k = 15$ , on a: $y(14) = 2.3$ , $y(13) = 1.8$ , $u(14) = 1.0$ , $u(13) = 0.7$ , $y(15) = 3.1$ , et $\hat{\theta}(14) = [0.5, 0.3, 0.9, 0.4]^T$ . Question 1: Construire le vecteur de régression $\phi(15)$ et calculer sa norme au carré $||\phi(15)||^2$ . Question 2: Calculer l'erreur...→
  • 6
    Exercice 1 : Commande Adaptative par Modèle de Référence (MRAC) On considère un système du premier ordre dont le comportement dynamique est décrit par l'équation différentielle suivante : $\dot{y}(t) = -a y(t) + b u(t)$ où $a = 2$ et $b = 5$ sont des paramètres inconnus du système. On souhaite concevoir une commande adaptative par modèle de référence (MRAC) pour que le système suive un modèle de référence défini par : $\dot{y}_m(t) = -a_m y_m(t) + b_m r(t)$ avec $a_m = 3$ , $b_m = 3$ , et $r(t) = 1$ (consigne constante). La loi de commande adaptative est donnée par : $u(t) = \theta_1(t) r(t) - \theta_2(t) y(t)$ Les lois d'adaptation basées sur la règle du gradient avec $\gamma_1 = 0.5$ et $\gamma_2 = 0.8$ sont : $\dot{\theta}_1(t) = -\gamma_1 e(t) r(t)$ $\dot{\theta}_2(t) = \gamma_2 e(t) y(t)$ où...→
  • 7
    Exercice 2 : Régulateur Auto-Ajustable (Self-Tuning Regulator) On considère un processus industriel du second ordre dont la fonction de transfert discrète est : $G(z^{-1}) = \frac{y(k)}{u(k)} = \frac{b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$ où les paramètres réels sont $a_1 = -1.5$ , $a_2 = 0.7$ , $b_1 = 1.0$ , $b_2 = 0.5$ . Le modèle ARMAX utilisé pour l'identification est : $y(k) = -a_1 y(k-1) - a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2) + e(k)$ où $e(k)$ est le bruit blanc. On utilise la méthode des moindres carrés récursifs (RLS) avec un facteur d'oubli $\lambda = 0.95$ . À l'instant $k = 10$ , on dispose des mesures suivantes : $y(10) = 3.2$ , $y(9) = 2.8$ , $y(8) = 2.5$ , $u(9) = 1.5$ , $u(8) = 1.2$ . Le vecteur de paramètres estimés à $k = 9$ est : $\hat{\theta}(9) = [-1.4, 0.65, 0.95, 0.48]^T$ La matrice de...→
  • 8
    Exercice 3 : Placement de Pôles Adaptatif On considère un système linéaire du second ordre dont la fonction de transfert en boucle ouverte est : $H(s) = \frac{K_p}{s(s + p)}$ où $K_p = 8$ est le gain du processus et $p = 4$ est un paramètre inconnu. On souhaite concevoir un régulateur adaptatif pour placer les pôles en boucle fermée aux positions désirées $s_1 = -5 + 3j$ et $s_2 = -5 - 3j$ . Le régulateur PI adaptatif a la structure : $C(s) = K_{p\_ctrl}\left(1 + \frac{1}{T_i s}\right)$ La fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire devient : $G_{BF}(s) = \frac{K_p K_{p\_ctrl}(T_i s + 1)}{T_i s^3 + p T_i s^2 + K_p K_{p\_ctrl} T_i s + K_p K_{p\_ctrl}}$ Le polynôme caractéristique désiré correspondant aux pôles choisis est : $P_d(s) = (s - s_1)(s - s_2)(s - s_3)$ où $s_3 = -10$ est un pôle réel supplémentaire choisi...→
  • 9
    Exercice 4 : Commande Adaptative Basée sur Lyapunov On considère un système non linéaire du premier ordre avec incertitude paramétrique : $\dot{x}(t) = -a x(t) + b u(t)$ où $x(t)$ est l'état du système, $u(t)$ est la commande, $a = 3$ est connu, et $b$ est un paramètre inconnu avec une valeur réelle $b_{réel} = 2.5$ . L'objectif est de faire suivre à $x(t)$ une trajectoire de référence $x_r(t)$ définie par : $\dot{x}_r(t) = -a x_r(t) + a r(t)$ , où $r(t) = 2$ est la consigne constante. On définit l'erreur de poursuite : $e(t) = x(t) - x_r(t)$ La loi de commande adaptative proposée est : $u(t) = \frac{1}{\hat{b}(t)}[-k e(t) + a r(t)]$ , où $k = 5$ est un gain de retour et $\hat{b}(t)$ est l'estimation adaptative de...→
  • 10
    Exercice 5 : Algorithme du Gradient pour Identification Adaptative On considère un système linéaire discret représenté par le modèle ARX (AutoRegressive with eXogenous input) : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2)$ où les paramètres réels sont $a_1 = 0.8$ , $a_2 = -0.3$ , $b_1 = 0.6$ , $b_2 = 0.4$ . On utilise l'algorithme du gradient pour identifier ces paramètres. Le vecteur de paramètres est défini comme : $\theta = [a_1, a_2, b_1, b_2]^T$ Le vecteur de régression est : $\phi(k) = [y(k-1), y(k-2), u(k-1), u(k-2)]^T$ L'algorithme du gradient s'écrit : $\theta(k) = \theta(k-1) + \mu \phi(k) \epsilon(k)$ , où $\mu = 0.05$ est le pas d'adaptation et $\epsilon(k) = y(k) - \hat{y}(k) = y(k) - \phi^T(k)\theta(k-1)$ est l'erreur de prédiction. À l'instant $k = 15$ , on mesure : $y(15) = 2.4$ , $y(14) = 2.1$ , $y(13) = 1.9$ , $u(14) = 1.0$ , $u(13) = 0.8$ ....→
  • 11
    Exercice 1 : Commande Adaptative par Modèle de Référence (MRAC) On considère un système du premier ordre dont la fonction de transfert est donnée par : $G(s) = \frac{k_p}{s + a}$ où $k_p = 5$ est le gain du processus et $a = 2$ est un paramètre inconnu. On souhaite que le système suive un modèle de référence : $G_m(s) = \frac{k_m}{s + a_m}$ avec $k_m = 10$ et $a_m = 5$ . La loi de commande adaptative est définie par : $u(t) = \theta_1(t) r(t) - \theta_2(t) y(t)$ où $r(t)$ est le signal de référence et $y(t)$ est la sortie du système. Les lois d'adaptation des paramètres sont basées sur la règle du MIT avec un taux d'adaptation $\gamma = 0.8$ . Question...→
  • 12
    Exercice 2 : Régulateur Auto-Ajustable avec Estimation Récursive On considère un système discret du second ordre décrit par l'équation aux différences : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2)$ Les paramètres réels du système sont : $a_1 = 1.2$ , $a_2 = -0.4$ , $b_1 = 0.5$ , $b_2 = 0.3$ . On utilise l'algorithme des moindres carrés récursifs (RLS) pour estimer ces paramètres avec un facteur d'oubli $\lambda = 0.98$ . À l'instant $k = 10$ , on a les mesures suivantes : $y(9) = 2.5$ , $y(8) = 2.1$ , $u(9) = 1.0$ , $u(8) = 0.8$ , et la sortie mesurée $y(10) = 3.2$ . Le vecteur de régression est défini par : $\phi(k) = [y(k-1), y(k-2), u(k-1), u(k-2)]^T$ Le vecteur des paramètres estimés à $k = 9$ est : $\hat{\theta}(9) = [1.15, -0.35, 0.48, 0.28]^T$ La...→
  • 13
    Exercice 3 : Stabilité de Lyapunov dans les Systèmes Adaptatifs On considère un système linéaire du premier ordre avec un paramètre inconnu : $\dot{x}(t) = -a x(t) + b u(t)$ où $x(t)$ est l'état du système, $u(t)$ est l'entrée de commande, $a = 3$ est connu, et $b$ est le paramètre inconnu à estimer (valeur réelle $b = 2$ ). On définit l'erreur d'estimation comme $\tilde{b}(t) = b - \hat{b}(t)$ où $\hat{b}(t)$ est l'estimation de $b$ . La loi de commande adaptative est : $u(t) = -\frac{\hat{b}(t)}{b^*} k x(t)$ avec $k = 5$ et $b^* = 1$ (valeur nominale). La fonction de Lyapunov candidate est : $V(x, \tilde{b}) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2\gamma} \tilde{b}^2$ où $\gamma = 0.5$ est le gain d'adaptation. À l'instant $t = 1\,\text{s}$ , on a : $x(1) = 0.8$ ,...→
  • 14
    Exercice 4 : Placement de Pôles Adaptatif avec Retour d'État On considère un système linéaire du second ordre décrit par la représentation d'état : $\dot{x}_1(t) = x_2(t)$ $\dot{x}_2(t) = -a_1 x_1(t) - a_2 x_2(t) + b u(t)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les états, $u$ est l'entrée de commande. Les paramètres nominaux sont : $a_1 = 4$ , $a_2 = 3$ , $b = 2$ . On souhaite placer les pôles en boucle fermée aux positions $s_1 = -5$ et $s_2 = -6$ en utilisant un retour d'état de la forme : $u(t) = -k_1 x_1(t) - k_2 x_2(t) + k_r r(t)$ où $r(t)$ est la référence et $k_r$ est le gain de précommande. Le polynôme caractéristique désiré est : $P_d(s) = (s - s_1)(s - s_2) = s^2 + 11s + 30$ À l'instant $t = 3\,\text{s}$ , l'état du système est $x_1(3) = 0.5$ ,...→
  • 15
    Exercice 5 : Identification Adaptative avec Persistance d'Excitation On considère un système SISO (Single Input Single Output) dont la fonction de transfert en temps continu est approximée par un modèle du premier ordre : $G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$ où $K$ est le gain statique et $\tau$ est la constante de temps. Pour identifier ces paramètres, on applique un signal d'entrée échelon d'amplitude $u_0 = 5$ à $t = 0$ . La réponse du système est mesurée à différents instants. On a mesuré : À $t_1 = 0.5\,\text{s}$ : $y(t_1) = 3.16$ À $t_2 = 1.0\,\text{s}$ : $y(t_2) = 4.32$ En régime permanent ( $t \to \infty$ ) : $y_{\infty} = 6.0$ La réponse indicielle du système du premier ordre...→
  • 16
    Exercice 1 : Commande Adaptative par Modèle de Référence (MRAC) On considère un système du premier ordre dont le gain $K_p$ est inconnu et variable. Le système est décrit par la fonction de transfert : $G(s) = \frac{K_p}{s + 2}$ On souhaite concevoir une commande adaptative par modèle de référence pour que le système suive un modèle de référence : $G_m(s) = \frac{4}{s + 4}$ La loi de commande adaptative est de la forme : $u(t) = \theta(t) r(t) - k(t) y(t)$ , où $r(t)$ est la consigne et $y(t)$ la sortie du système. Question 1 : Sachant que $K_p = 8$ , calculer la valeur idéale du paramètre de contrôle direct $\theta^*$ qui permet d'obtenir...→
  • 17
    Exercice 2 : Régulateur Auto-Ajustable (Self-Tuning Regulator) On considère un processus industriel du second ordre modélisé par l'équation aux différences suivante : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2)$ où les paramètres réels sont $a_1 = 1.2$ , $a_2 = -0.4$ , $b_1 = 0.5$ , $b_2 = 0.3$ . On utilise la méthode des moindres carrés récursifs (RLS) pour estimer ces paramètres. À l'instant $k = 10$ , on a les valeurs suivantes : $\hat{a}_1(10) = 1.15$ , $\hat{a}_2(10) = -0.38$ , $\hat{b}_1(10) = 0.48$ , $\hat{b}_2(10) = 0.28$ Les mesures à l'instant $k = 10$ sont : $y(10) = 5.2$ , $y(9) = 4.8$ , $y(8) = 4.5$ , $u(9) = 2.0$ , $u(8) = 1.8$ . Question 1 : Calculer le vecteur de régression $\phi(10)$ et la prédiction de sortie $\hat{y}(10)$ en utilisant...→
  • 18
    Exercice 3 : Observateur Adaptatif pour l'Estimation d'État Soit un système linéaire dont la dynamique est partiellement connue : $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ $y(t) = C x(t)$ où $x \in \mathbb{R}^2$ est l'état, avec : $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 \\ \omega_n^2 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ Le paramètre $\omega_n = 5 \, \text{rad/s}$ est connu, mais le coefficient d'amortissement $\zeta$ est inconnu et doit être estimé. On utilise un observateur adaptatif avec gain $L = [l_1, \, l_2]^T = [10, \, 25]^T$ . À l'instant $t = 2 \, \text{s}$ , on a les mesures suivantes : $y(2) = 1.5$ , $\hat{x}(2) = [1.2, \, 0.8]^T$ (état estimé), $u(2) = 0.5$ , et l'estimation du coefficient est $\hat{\zeta}(2) = 0.6$ . Question 1 : Calculer l'erreur d'observation $e_y(2) = y(2) - C\hat{x}(2)$ . Question 2 : En utilisant la matrice $A$ avec $\omega_n = 5$ et...→
  • 19
    Exercice 4 : Stabilité et Fonction de Lyapunov en Commande Adaptative On considère un système non linéaire avec un paramètre inconnu $\theta$ : $\dot{x} = -x + \theta \sin(t)$ où $x$ est l'état du système. On suppose que le paramètre réel est $\theta^* = 2.5$ . On utilise une loi de commande adaptative avec une loi d'adaptation basée sur une fonction de Lyapunov. La fonction de Lyapunov candidate est : $V(x, \tilde{\theta}) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2\gamma}\tilde{\theta}^2$ où $\tilde{\theta} = \hat{\theta} - \theta^*$ est l'erreur de paramètre et $\gamma = 0.8$ est le taux d'adaptation. À l'instant $t = 3 \, \text{s}$ , on a : $x(3) = 1.4$ , $\hat{\theta}(3) = 2.0$ , et $\sin(3) = 0.141$ (valeur numérique de $\sin(3 \, \text{rad})$ ). Question 1 : Calculer l'erreur de...→
  • 20
    Exercice 5 : Commande Adaptative par Gradient avec Retard Un système dynamique avec retard est modélisé par : $y(t) = K \, u(t - \tau)$ où $K$ est le gain statique inconnu à estimer et $\tau = 0.5 \, \text{s}$ est le retard connu. L'objectif est de suivre une trajectoire de référence $y_r(t)$ . On utilise une loi de commande adaptative : $u(t) = \frac{1}{\hat{K}(t)} y_r(t + \tau)$ et une loi d'adaptation par gradient : $\dot{\hat{K}}(t) = -\gamma \, e(t) \, u(t - \tau)$ où $e(t) = y(t) - y_r(t)$ est l'erreur de poursuite et $\gamma = 1.5$ est le taux d'apprentissage. À l'instant $t = 4 \, \text{s}$ , on a les mesures suivantes : $y(4) = 8.2$ , $y_r(4) = 7.5$ , $u(3.5) = 3.0$ (commande retardée), $\hat{K}(4) = 2.8$ , et $y_r(4.5) = 8.0$ (référence future pour $t + \tau$ ). Question...→
  • 1
    Exercice 2 : Commande adaptative indirecte — identification et commande On analyse un système continu linéarisé décrit par $\dot{x} = A(\theta) x + B u$ où $\theta \in \mathbb{R}^p$ est un vecteur de paramètres à estimer. Le schéma adaptatif indirecte se compose d’un identificateur et d’un régulateur qui applique $u = -K x$ , où $K = R^{-1} B^{\top} P A(\hat{\theta})$ et $P$ est la solution d’une CARE discrète associée au modèle estimé. Données: $A(\theta) = A_0 + \sum_i \theta_i A_i$ , $R = I$ , $P_0 = I$ , horizon $N = 6$ , et bruit négligeable pour la partie estimation. a) Écrivez les équations d’identification fondées sur la méthode des moindres carrés récursifs (RLS) pour estimer $\theta$ et décrivez la condition d’excitation persistante nécessaire. b) Montrez...→
  • 2
    Dans le cadre de la commande adaptative directe à modèle de référence (MRAC) appliquée à un moteur électrique en ingénierie électrique, considérez un système linéaire de premier ordre $\dot{x}(t) = a x(t) + b u(t)$ , où $a = -1$ (stable) et $b$ est inconnu mais borné entre 0.5 et 2. Le modèle de référence est $\dot{x}_m(t) = -2 x_m(t) + u_m(t)$ , avec $x_m(0) = 1$ , $u_m(t) = 0$ pour $t > 0$ . La loi de commande adaptative est $u(t) = \hat{\theta}(t) x(t)$ , où $\hat{\theta}(t)$ est le paramètre adapté selon la loi $\dot{\hat{\theta}} = -\gamma e(t) x(t)$ , avec $e(t) = x(t) - x_m(t)$ , $\gamma = 1$ , $\hat{\theta}(0) = 1$ . 1. Calculez la solution analytique de $x_m(t)$ et l'équation différentielle fermée pour $e(t)$ en termes de $\tilde{\theta}(t) = \theta - \hat{\theta}(t)$ ,...→
  • 3
    Pour une commande adaptative indirecte avec identification du modèle via moindres carrés récursifs (RLS) dans un système de régulation de tension DC en ingénierie électrique, le modèle discret est $x(k+1) = a x(k) + b u(k)$ , avec $T=0.1$ s, mais $a$ et $b$ inconnus. L'identificateur utilise $\hat{\phi}(k) = [x(k), u(k)]^T$ , $\theta = [a, b]^T$ , loi RLS : $\hat{\theta}(k+1) = \hat{\theta}(k) + K(k+1) (x(k+1) - \hat{\phi}^T(k) \hat{\theta}(k))$ , $K(k+1) = P(k) \hat{\phi}(k+1) / (\lambda + \hat{\phi}^T(k+1) P(k) \hat{\phi}(k+1))$ , $P(k+1) = (P(k) - K(k+1) \hat{\phi}^T(k+1) P(k)) / \lambda$ , avec $\lambda = 0.95$ , $P(0) = 10 I$ , $\hat{\theta}(0) = [0.9, 0.1]^T$ . Données : $x(0)=1$ , séquence u(k)=1 pour k=0 à 10, vraies $a=0.8$ , $b=0.2$ . 1. Calculez $\hat{\theta}(1)$ , $P(1)$ et l'erreur de prédiction à k=1. 2. Itérez jusqu'à k=5 et calculez la matrice de covariance finale $P(5)$ et...→
  • 4
    Examinez la stabilité et robustesse d'un schéma adaptatif avec gains préprogrammés pour un système électrique instable $\dot{x}(t) = 1.5 x(t) + u(t)$ + perturbation $d(t) = 0.1 \sin(3 t)$ , en ingénierie électrique. Les gains préprogrammés sont $K_i(t)$ pour i=1,2,3 sur intervalles [0,2], [2,4], [4,\infty), avec $K_1 = -2$ , $K_2 = -3$ , $K_3 = -4$ . La loi est $u(t) = -K(t) x(t)$ , $x(0)=1$ . Pour robustification, ajoutez un terme $-\sigma |x| u$ avec $\sigma=0.05$ . 1. Calculez la matrice en boucle fermée pour chaque intervalle et les valeurs propres pour évaluer la stabilité. 2. Résolvez analytiquement $x(t)$ sur [0,4] s sans robustification et calculez $\int_0^4 x^2(t) dt$ en incluant la perturbation. 3. Avec robustification, approximez $x(t)$ à t=10...→
  • 5
    Exercice 1 : Commande adaptative directe avec modèle de référence — approche continue Considérons un système linéaire continu décrit par l’équation d’état $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ et une sortie $y(t) = C x(t)$ , où $x ∈ R^2$ , $u ∈ R$ et $y ∈ R$ . L’objectif est de rapprocher la sortie du vecteur de référence $y_r(t)$ en utilisant une commande adaptative directe avec modèle de référence. On choisit un régulateur à gains adaptatifs tels que $u(t) = \theta^T(t) \phi(x(t))$ avec $\phi(x) = [x_1, x_2, y]^T$ et $\theta ∈ R^3$ . Le modèle de référence est décrit par $\dot{x}_m = A_m x_m + B_m r$ et $y_m = C_m x_m$ où $r(t) = y_r(t)$ . On suppose que le système est stabilisable et que les signaux de référence sont persistants exciter...→
  • 6
    Exercice 2 : Commande adaptative indirecte avec identification en temps réel On considère un système de premier ordre $\dot{x}(t) = a x(t) + b u(t)$ avec sortie $y(t) = x(t)$ . L’objectif est d’estimer le paramètre inconnu $a$ par une identification par gradients et d’utiliser une commande adaptative indirecte fondée sur le modèle estimé. On suppose une loi de commande linéaire $u(t) = -\hat{k}(t) y(t)$ et un modèle de référence simple $\dot{x}_m = a_m x_m + b_m r$ , $y_m = x_m$ avec $r = y_r$ . Le système est stabilisable et l’excitation persiste est satisfaite par le signal de référence. 1) Écrivez les équations d’identification par gradient pour $a$ sous forme $\dot{\hat{a}} = \gamma e y$ où $e = y - y_m$ , et $\hat{b}$ pour compléter l’identification...→
  • 7
    Exercice 1 – Commande adaptative directe par modèle de référence en électronique. On considère un système linéaire continu en temps $\dot{x} = A x + B u$ avec sortie $y = C x$ . Le système réel est paramétré par des inconnu $\theta$ apparaissant dans le modèle: $\dot{x} = A x + B u + B_\theta \theta$ et $y = C x$ . L’objectif est de suivre une référence $y_{ref}(t)$ en utilisant une loi de commande adaptative directe par modèle de référence (MRAC) continue et une loi de mise à jour des paramètres par gradient. On prend $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \ -2 & -3\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}, C = [1 \; 0], B_\theta = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$ , et la référence $y_{ref}(t) = \sin(t)$ . Le schéma est non dégradé et l’erreur est définie par $e = y - y_{ref}$ . On suppose que les paramètres...→
  • 8
    Exercice 2 – Commande adaptative indirecte avec identification du modèle pour un système RC modèleé. On considère un système discret $x_{k+1} = a x_k + b u_k$ avec sortie $y_k = c x_k$ . Le but est d’estimer les paramètres $θ = [a, b, c]^T$ et d’appliquer une commande adaptative indirecte où le régulateur est calculé en utilisant un modèle interne et une identification en moindres carrés. On prend $x_0 = 0.5$ , $u_k = 0$ , et les valeurs vraies $a = 1.2$ , $b = 0.8$ , $c = 2.0$ . L’espace d’observation est limité et l’échantillonnage est à $5 Hz$ . La matrice d’observation est $H = [1]$ et le bruit de mesure $v_k ~ N(0, 0.01)$ . Le processus a un bruit w_k ~ N(0,...→
  • 9
    Exercice 1 : Commande adaptative directe à modèle de référence pour un moteur DC Considérez un moteur DC linéarisé modélisé par $\dot{x} = a x + b u$ , avec $a = -2 \, \text{s}^{-1}$ , $b = 1.5 \, \text{A}^{-1} \text{s}^{-1}$ (paramètres nominaux incertains). La commande adaptative directe MRAC utilise un modèle de référence $\dot{x}_m = -1 x_m + r$ , où $r = 1$ est la référence constante. La loi d'adaptation est $\dot{\hat{\theta}} = -\gamma e \phi$ avec $\gamma = 0.1$ , $e = x - x_m$ , $\phi = x$ , et la commande $u = \hat{\theta} r$ . Question 1 (Calculatoire) : Calculez les gains initiaux $\hat{\theta}(0) = 1$ et l'erreur initiale $e(0)$ pour $x(0) = 0$ . Question 2 (Basée sur des calculs) : À partir de l'erreur, déterminez l'évolution de $\hat{\theta}(t)$ à $t = 1 \, \text{s}$ en résolvant...→
  • 10
    Exercice 1 : Commande à gains préprogrammés pour un système linéaire paramétré. Considérons un système électrique linéaire variant, modélisé par l'équation différentielle $\dot{x}(t) = a(\theta) x(t) + b(\theta) u(t)$ , où $\theta$ est un paramètre mesurable variant linéairement de 1 à 3, avec $a(\theta) = -\theta$ et $b(\theta) = \theta + 1$ . La commande à gains préprogrammés est $u(t) = -k(\theta) x(t)$ , où $k(\theta)$ est choisi pour placer le pôle à $-2$ indépendamment de $\theta$ . Le schéma de la boucle de commande est illustré ci-dessous. Commande à gains préprogrammés x(t) k(θ) Système u(t) θ 1. Calculez le gain $k(\theta)$ en fonction de $\theta$ pour assurer le placement du pôle à $-2$ ....→
  • 11
    Exercice 2 : Commande adaptative directe à modèle de référence (MRAC directe). Pour un système électrique de premier ordre $\dot{x} = a x + b u$ avec $a = -1$ , $b = 1$ , la commande adaptative directe MRAC est $u = \frac{\hat{\theta}}{b_0} ( -k x + r )$ , où $b_0 = 1$ est nominal, $r(t)$ est la référence, et $\hat{\theta}$ s'adapte via $\dot{\hat{\theta}} = -\gamma e x$ avec $\gamma = 1$ , $e = x - x_m$ , et le modèle de référence $\dot{x}_m = -2 x_m + r$ . Initialement $\hat{\theta}(0) = 0$ , $x(0) = 0$ , $x_m(0) = 0$ , $r(t) = 1$ (échelon). Le schéma de la structure adaptative directe est représenté ci-dessous. MRAC Directe r(t) Modèle xm Plante x θ̂ / b0 u(t) Adaptateur e 1. Calculez la solution stationnaire de $x_m(t)$ pour $r(t) = 1$ ....→
  • 12
    Exercice 1: Commande adaptative directe à modèle de référence (MRAC) - cadre continu appliqué à une dynamique électrique linéaire Une plante électrique décrite par le modèle continu en entrée-sortie est donnée par $\dot{x} = Ax + Bu$ avec $A = \begin{pmatrix}-0.5 & 0.3 \ 0 & -0.8\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1 \ 0.5\end{pmatrix}$ . Le modèle de référence est $\dot{x}_m = A_m x_m + B_m r$ avec $A_m = \begin{pmatrix}-0.6 & 0.25 \ 0 & -0.9\end{pmatrix}$ et $B_m = \begin{pmatrix}0.8 \ 0.6\end{pmatrix}$ , et la sortie est $y = C x$ avec $C = I_2$ . La loi de contrôle adaptative directe est $u = \hat{K}_r r + \hat{K}_e e$ , où $e = x - x_m$ et les gains adaptatifs suivent $\dot{\hat{K}}_r = -\gamma_r e^T P B_m^T C$ , $\dot{\hat{K}}_e = -\gamma_e e^T P C$ avec $\gamma_r = 0.2$ , $\gamma_e = 0.1$ , et $P$ la matrice de Pareto associée à la régularisation (supposée constante et égale à $P = I_2$ dans le calcul)....→
  • 13
    Exercice 2: Structure adaptative indirecte avec identification du modèle Soit un système électrique continu linéaire décrit par l’équation d’état $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ et la sortie $y(t) = C x(t)$ . On suppose que le régulateur adaptatif indirecte identifie le modèle par les paramètres $\hat{A}, \hat{B}$ et applique une loi de commande basée sur le modèle prédit : $u(t) = -K \hat{x}(t) + r(t)$ , où $K$ est un gain d’état et $\hat{x}(t)$ est l’estimation d’état obtenue par un observateur utilisant le modèle identifié. L’identification se fait par moindres carrés récursifs avec régularisation et demande l’excitation persistante des stimuli d’entrée. 1) Établir l’erreur d’identification $e_A(t) = A - \hat{A}$ et $e_B(t) = B - \hat{B}$ et décrire la forme de...→
  • 14
    Exercice 3: Stabilité et robustesse d’un schéma adaptatif continu Considérons un régulateur adaptatif continu pour un système linéaire à deux entrées et deux sorties (MIMO) décrit par $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ , $y(t) = C x(t)$ , avec $x ∈ ℝ^2$ , $u ∈ ℝ^2$ et $y ∈ ℝ^2$ . Le schéma adaptatif utilise une loi de commande directe avec gains adaptatifs $\hat{K}(t) ∈ ℝ^{2×2}$ et commande $u(t) = -\hat{K}(t) x(t) + r(t)$ , où $r(t)$ est une référence lente. Les paramètres $\hat{K}(t)$ évoluent selon une loi de type gradient projecté sur l’ensemble borné $Θ$ et sous excitation persistante de la régularité des états. 1) Écrire l’expression de l’erreur de régulation $e(t) = y(t) - r(t)$ et dériver l’expression de l’énergie d’erreur $V(t) = e(t)^T P e(t) + Tr(\tilde{K}(t)^T \Gamma^{-1} \tilde{K}(t))$...→
  • 15
    Exercice 1 — Commande adaptative directe et identification Un système continu linéaire de dimension 2 est décrit par l’équation d’état $\dot{x} = A x + B u$ avec $x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$ , et la sortie $y = C x$ avec $C = I$ . Le régulateur adaptatif direct vise à faire suivre une référence $r(t) = [r_1(t) \ r_2(t)]^T$ en utilisant une loi de commande du type $u = K_x(t) x + K_r(t) r$ , où les gains adaptatifs $K_x(t)$ et $K_r(t)$ évoluent selon l’algorithme de gradient modifié $ \dot{K} = -\gamma \phi(x,r) e^T$ , avec l’erreur d’état $e = x - x_m$ et la mémoire modèle $x_m$ qui évolue comme $\dot{x}_m = A_m x_m + B_m r$ où $A_m = A$ , $B_m = B$ et $ \phi(x,r) = [x^T, r^T]^T$ . Dans ce contexte, réaliser les calculs suivants. 1) Écrire l’expression du signal d’erreur...→
  • 16
    Exercice 3 — Structure adaptative continue et stabilité (Comblement et robustesse) Un système linéaire continu est donné par $\dot{x} = A x + B u$ avec $A = \begin{bmatrix} -4 & 2 \ -1 & -3 \end{bmatrix}$ , et la structure adaptative directe continue avec remédiation robuste applique une loi de contrôle $u = -K x + v(t)$ où $K = [k_1 \ k_2]$ et $v(t)$ est une fonction de correction pour renforcer la stabilité lorsque des perturbations apparaissent $\Delta A(t) = [\delta a_{ij}(t)]$ . On suppose une intégrale d’erreur choisie $V = x^T P x + \tilde{K}^T \Gamma \tilde{K}$ avec $P > 0$ et $\tilde{K} = K - K^\ast$ où $K^\ast$ est le gain idéal. 3 questions purement calculatoires interdépendantes suivent. 1) Écrire les conditions de stabilité en termes des matrices et déduire les expressions de la dérivée temporelle $\dot{V}$ en utilisant...→
  • 17
    Exercice 2 – Identification et stabilité dans la commande adaptative indirecte On aborde une commande adaptative indirecte où l’identification du modèle est réalisée par moindres carrés récursifs (MRR). Le système physique est donné par l’équation d’état continu : $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u$ avec $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.2 \ -1.1 & -0.4 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ , et la sortie mesurée $y = [1\ 0] \mathbf{x}$ . Le modèle de référence s’écrit : $\dot{\mathbf{x}}_m = \mathbf{A}_m \mathbf{x}_m + \mathbf{B}_m r$ avec $\mathbf{A}_m = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix}$ et $\mathbf{B}_m = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . L’identification utilise MRR sur la forme paramétrique $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(\hat{\theta})\mathbf{x} + \mathbf{B}(\hat{\theta})u$ où les paramètres $\hat{\theta}$ paramètrent les matrices. On suppose une structure simple où $\hat{\theta} = [\theta_1,\theta_2]^\top$ et : $\mathbf{A}(\hat{\theta}) = \begin{pmatrix} -\theta_1 & 1 \ -\theta_2 & -0.4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}(\hat{\theta}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ Le régulateur applique une loi d’identification par gradient et la stabilité de l’identificateur...→

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