Diagnostic des systemes Recherche avancée

Preparation pour l'examen (13 Exercices)

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  Examen 2 : Génération de Résidus par Observateurs d'État | Coefficient : 4 | Un système de surveillance de motor électrique utilise un observateur d'état pour détecter les anomalies. L'objectif est de générer des résidus robustes pour identifier les défauts de capteur, d'actionneur ou du système. Question 1 : Conception d'un observateur d'état Luenberger (7 points) Le système de motor est modélisé par : $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u$ $\mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x}$ avec $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ a) Vérifier que le système est observable en calculant le rang de la matrice d'observabilité $\mathcal{O} = [\mathbf{C}^T, \mathbf{A}^T\mathbf{C}^T]^T$ . b) Concevoir un observateur Luenberger avec poles désirés en $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -3$ . Calculer le gain de...→
• 2
  Examen 3 : Génération de Résidus par Espace de Parité | Coefficient : 4 | Un système de diagnostic pour un processus industriel utilise la méthode d'espace de parité pour générer des résidus robustes. L'objectif est de détecter et isoler les défauts sans construire d'observateurs explicites. Question 1 : Fondamentaux de l'espace de parité (7 points) Considérons le système discret : $\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_k + \mathbf{B}u_k + \mathbf{E}f_k$ $\mathbf{y}_k = \mathbf{C}\mathbf{x}_k + \mathbf{D}u_k + \mathbf{F}f_k$ où $\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^2$ , $\mathbf{u}_k \in \mathbb{R}^1$ , $\mathbf{f}_k \in \mathbb{R}^1$ (défaut), $\mathbf{y}_k \in \mathbb{R}^1$ . a) Écrire la relation de parité en format observateur (observer format) pour $N = 2$ pas de temps. b) Calculer la matrice de parité $\mathbf{H}$ et le vecteur de parité...→
• 3
  Examen 1 : Diagnostic par Identification Paramétrique et Génération de Résidus Structurés Un système d'irrigation agricole doit être diagnostiqué pour détecter les pannes de pompes et capteurs. Le système est composé d'une pompe centrifuge actionnée par un moteur DC, d'un réservoir avec un capteur de débit et d'un capteur de pression. Le modèle dynamique du système en régime permanent s'écrit : $Q(t) = K_p \cdot u(t) - K_f \cdot P(t)$ $\frac{dP}{dt} = K_c Q(t) - K_l$ où : • Q(t) : débit volumétrique (m³/s) • P(t) : pression en sortie (bar) • u(t) : tension moteur (V) • Kp = 0,05 : gain de la pompe (m³/s·V) • Kf = 0,1 : coefficient...→
• 4
  Examen 2 : Génération de Résidus par Observateurs d'État pour la Détection de Défauts Un moteur électrique asynchrone triphasé doit être diagnostiqué pour détecter les défauts de roulements et les court-circuits de bobinage. Le système est modélisé par un état comprenant les courants de phase et la position rotorique. Le modèle linéarisé en variables d'état est : $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ff(t)$ $y(t) = Cx(t) + v(t)$ où : • x(t) ∈ ℝ⁴ : état (courants iₐ, iᵦ et position angulaire θ, vitesse ω) • u(t) ∈ ℝ³ : entrées (tensions triphasées) • f(t) ∈ ℝ² : défauts (court-circuit bobinage fc, charge roulement fl) • y(t) ∈ ℝ³...→
• 5
  Examen 3 : Génération de Résidus par Espace de Parité et Analyse Structurelle Complète Un système de purification d'eau utilise trois réservoirs interconnectés pour filtration progressive. Le système dispose de trois débitmètres et doit détecter les fuites ou blocages. Le modèle en temps discret est : $x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) + Ff(k)$ $y(k) = Cx(k) + v(k)$ où x = [h₁, h₂, h₃]ᵀ (niveaux d'eau), u = q_in (débit d'entrée), y = [q₁, q₂, q₃]ᵀ (débits mesurés), f = [f₁, f₂]ᵀ (fuites). Les matrices sont : $A = \begin{bmatrix} 0,9 & 0 & 0 \ 0,05 & 0,8 & 0 \ 0 & 0,05 & 0,7 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $F = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0,5 & 0,5 \end{bmatrix}$ L'espace de parité fournit une approche géométrique pour générer les résidus sans explicitement estimer l'état. Question 1 : Formulation du problème...→
• 6
  | | Contexte général : On considère un système hydraulique de contrôle de niveau dans un réservoir industriel. Le système peut être sujet à des défauts capteur, actionneur ou paramétrique. L'objectif est de concevoir un système de diagnostic basé sur un observateur d'état pour la génération de résidus. Question 1 (4 points) - Modélisation du Système Le système de niveau est décrit par le modèle d'état suivant : $\dot{x} = Ax + Bu + E_f f_a$ $y = Cx + F_f f_s$ avec $A = \begin{pmatrix} -0.5 & 0 \ 0.5 & -1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ où $x = [h_1, h_2]^T$ sont les niveaux des deux réservoirs, $f_a$ est un défaut actionneur et $f_s$ est un défaut capteur. a) Vérifier que le système...→
• 7
  | | Contexte général : On considère un moteur électrique dont les paramètres peuvent varier en raison de l'usure ou de défauts. Le diagnostic par identification paramétrique est utilisé pour détecter ces variations. Le modèle du moteur est utilisé pour estimer les paramètres en ligne. Question 1 (4 points) - Modèle Paramétrique du Moteur Le moteur DC est décrit par l'équation différentielle : $L\frac{di}{dt} + Ri = u - K_e\omega$ avec $L = 0.01 \text{ H}$ , $R = 2 \text{ }\Omega$ , $K_e = 0.1 \text{ V/(rad/s)}$ nominaux. a) Écrire le modèle sous forme de régression linéaire $y(t) = \phi^T(t)\theta$ pour l'estimation de $\theta = [R, K_e]^T$ . b) Si on échantillonne à $T_e = 1 \text{ ms}$ , discrétiser le modèle pour obtenir la forme...→
• 8
  | | Contexte général : On considère un système hydraulique à deux réservoirs couplés dont le modèle d'état linéarisé est donné par : $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + E_a f_a(t)$ $y(t) = Cx(t) + E_c f_c(t)$ avec $A = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.2 \ 0.3 & -0.4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Les vecteurs $f_a(t)$ et $f_c(t)$ représentent respectivement les défauts actionneurs et capteurs, avec $E_a = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ et $E_c = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ . Question 1 (Analyse préliminaire et observabilité) : a) Calculer les valeurs propres de la matrice $A$ et vérifier la stabilité du système en boucle ouverte. b) Construire la matrice d'observabilité $\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \ CA \end{pmatrix}$ et vérifier si le système est observable. c) Déterminer le rang de la matrice d'observabilité étendue incluant les défauts $\mathcal{O}_f = \begin{pmatrix} C & E_c \ CA & CE_a \end{pmatrix}$ ....→
• 9
  | | Contexte général : On considère un système électromécanique modélisé par : $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ $y(t) = Cx(t)$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ On souhaite diagnostiquer les défauts en utilisant l'approche par espace de parité. Question 1 (Analyse du système et redondance analytique) : a) Calculer les valeurs propres de $A$ et vérifier la stabilité du système. b) Déterminer la matrice d'observabilité $\mathcal{O}$ d'ordre $s = 2$ définie par $\mathcal{O}_2 = \begin{pmatrix} C \ CA \end{pmatrix}$ . c) Calculer le rang de $\mathcal{O}_2$ et conclure sur l'observabilité avec 2 mesures sur un horizon de 2. d) Construire la matrice d'observabilité étendue $\mathcal{O}_3$ en ajoutant $CA^2$ . Question 2 (Construction de...→
• 10
  Examen 1 de diagnostic des systemes : Generation de residus par observateurs d etat. On considere un systeme lineaire invariant dans le temps decrit par le modele d etat suivant : dx/dt = Ax + Bu + E_a f_a y = Cx + D_s f_s avec A = [[-2, 1], [0, -3]], B = [[1], [1]], C = [[1, 0], [0, 1]], E_a = [[1], [0]] et D_s = [[0], [1]]. Le vecteur d etat est x = [x_1, x_2]^T, u est la commande scalaire, y = [y_1, y_2]^T est le vecteur de mesure, f_a represente un defaut actionneur et...→
• 11
  Examen 2 de diagnostic des systemes : Generation de residus par espace de parite. On considere un systeme discret lineaire invariant dans le temps decrit par : x(k+1) = A x(k) + B u(k) y(k) = C x(k) avec A = [[0.8, 0.1], [0, 0.9]], B = [[1], [0.5]] et C = [[1, 0]]. L objectif est de concevoir un generateur de residus base sur l espace de parite pour detecter les defauts. Question 1 : Construire la matrice d observabilite etendue O_s sur un horizon s = 2 (utilisant les instants k, k-1, k-2). Ecrire la relation de parite...→
• 12
  Examen de Diagnostic des Systèmes - Série 1 - École d'Ingénieurs en Automatique Consignes: Justifiez toutes les réponses. Les calculatrices sont autorisées. Montrez les étapes de calcul. Un système de moteur électrique à courant continu est équipé de capteurs pour le diagnostic de défauts. Le système nominal et ses paramètres de fonctionnement doivent être identifiés, puis des résidus générés par observateurs d'état seront utilisés pour détecter les anomalies. Question 1: Modélisation du système moteur - Identification paramétrique (6 points) Un moteur à courant continu est modélisé par les équations dynamiques: $\frac{di}{dt} = -\frac{R}{L}i - \frac{K_e}{L}\omega + \frac{1}{L}u$ $\frac{d\omega}{dt} = \frac{K_t}{J}i - \frac{f}{J}\omega$ où $i$ est le courant (A), $\omega$ la...→
• 13
  EXAMEN DE DIAGNOSTIC DES SYSTÈMES - Session 1 | | Contexte général : On considère un système hydraulique constitué de deux réservoirs couplés. Le système est modélisé par les équations d'état suivantes : $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + E_a f_a(t)$ $y(t) = Cx(t) + E_s f_s(t)$ Avec les matrices : $A = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.2 \ 0.2 & -0.4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $E_a = \begin{pmatrix} 0.5 \ 0 \end{pmatrix}, \quad E_s = \begin{pmatrix} 0.1 \ 0 \end{pmatrix}$ où $x(t) = [x_1(t), x_2(t)]^T$ représente les niveaux dans les réservoirs, $u(t)$ le débit d'entrée, $f_a(t)$ un défaut actionneur et $f_s(t)$ un défaut capteur. Question 1 (Identification Paramétrique - 4 points) : On souhaite identifier les paramètres du système en utilisant la méthode des moindres carrés récursifs. À l'instant $k=5$ , on dispose des estimations suivantes : $\hat{\theta}(4) = \begin{pmatrix} -0.48 \ 0.18 \end{pmatrix}, \quad P(4) = \begin{pmatrix} 0.12 & 0.02 \ 0.02 & 0.08 \end{pmatrix}$ La nouvelle mesure donne...→

Génération de Résidus par observateurs d’état (20 Exercices)

• 1
  Exercice 3 : Génération de résidus structurés pour diagnostic robuste aux incertitudes Un système mécanique d'entraînement est décrit par : $\dot{x}(t) = A x(t) + E_{\Delta} \delta(t) + E_f f(t)$ $y(t) = C x(t)$ où $\delta(t)$ représente les incertitudes du modèle (perturbations non mesurées). $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -10 & -3 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $E_f = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad E_{\Delta} = \begin{bmatrix} 0 \ 0{,}5 \end{bmatrix}$ On conçoit deux observateurs avec gains : $L_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}, \quad L_2 = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix}$ Les résidus structurés sont définis comme : $r_i(t) = y(t) - C \hat{x}_i(t)$ Question 1 : Calculez les dynamiques des observateurs et les erreurs d'estimation $e_i(t) = x(t) - \hat{x}_i(t)$ en régime établi pour incertitude $\delta(t) = 0{,}2$ (constante) et défaut nul. Question 2 : Déduisez la sensibilité des résidus aux incertitudes : $S_{r_i,\Delta} = \frac{\partial r_i(\infty)}{\partial \delta}$ . Calculez la sensibilité au défaut $S_{r_i,f} = \frac{\partial r_i(\infty)}{\partial f}$ . Question 3 : Pour une incertitude $\delta = 0{,}2$...→
• 2
  Exercice 1 : Conception d'un observateur d'état et génération de résidus pour diagnostic de défauts capteur Un système de contrôle de température d'un réacteur chimique est décrit par : $A = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.2 \ 0.1 & -0.3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = 0$ où l'état $x_1$ représente la température du réacteur et $x_2$ sa dérivée. Une perturbation exogène $w(t)$ affecte la dynamique. Un observateur de Luenberger doit être conçu pour générer des résidus diagnostiquant les défauts capteur. Question 1 : Calculez le gain de l'observateur $L$ tel que les pôles de l'observateur (A-LC) soient placés à $\{-1, -2\}$ . Vérifiez que le système est observable. Question 2 : Pour une entrée constante $u(t) = 5$ et...→
• 3
  Exercice 3 : Observateur adaptatif pour diagnostic avec compensation de perturbations Un système de surveillance de vibration dans un roulement contient une perturbation inconnue bornée : $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -100 & -10 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad C = [1~0], \quad D = 0$ La perturbation $w(t)$ affecte le système : $\dot{x} = Ax + Bu + Ew$ où $E = [0~1]^T$ et $|w(t)| \leq 0.1$ . Question 1 : Calculez un gain d'observateur $L$ pour pôles placés à $\{-20, -30\}$ . Puis, concevez un observateur de perturbation augmentant l'état avec une estimation $\hat{w}$ supposant une perturbation lentement variable (pôle intégrateur). Question 2 : Pour une perturbation réelle $w(t) = 0.08 \sin(2\pi \cdot 5 \cdot t)~\text{(5 Hz)}$ , calculez le résidu de sortie $r(t) = y(t) - \hat{y}(t)$ avec et sans compensation de perturbation aux instants $t = 0, 0.1, 0.2~s$ . Question 3...→
• 4
  Exercice 1 – Génération de résidus par observateur d'état pour diagnostic d'un système de thermorégulation On considère un système de thermorégulation d'une enceinte thermique modélisé par le système linéaire suivant : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.05 \ 0 & -0.2 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0.8 \ 0.5 \end{bmatrix} u(t)$ $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(t)$ où $x_1$ est la température de l'enceinte (°C), $x_2$ est la température du capteur (°C), $u(t)$ est la puissance de chauffage (W), et $y(t)$ est la mesure de température. On souhaite concevoir un observateur d'état pour diagnostiquer les défauts du système. L'observateur prend la forme : $\dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + L(y(t) - \hat{y}(t))$ $\hat{y}(t) = C\hat{x}(t)$ Les résidus sont définis comme : $r(t) = y(t) - \hat{y}(t)$ Question 1 — Conception de l'observateur et calcul du gain L 1....→
• 5
  Exercice 2 – Diagnostic d'un système électromécanique par observateur en cascade Un système électromécanique comprenant un moteur électrique couplé à une charge mécanique est modélisé par : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} -5 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & 0.5 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u(t)$ $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} x(t)$ où $x_1$ est le courant moteur (A), $x_2$ est la vitesse angulaire (rad/s), $x_3$ est la charge mécanique (N·m), $u(t)$ est la tension appliquée (V), $y_1$ est le courant mesuré et $y_2$ est la charge mesurée. Question 1 — Conception d'un observateur avec reconfiguration pour défaillance capteur 1. Calculer le gain L de l'observateur pour avoir des pôles à $-15$ , $-12$ , $-10$ . 2. Évaluer l'observabilité du système à...→
• 6
  Exercice 3 – Diagnostic par observateurs multiples et fusion de résidus On considère un système hydraulique d'actuation composé de trois vérins commandés indépendamment : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & -1.5 & 0 \ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} u(t)$ $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} x(t)$ où $x_i$ est la position du vérin i, $u_i$ est la commande (pression), et $y_i$ est la position mesurée. Chaque vérin est équipé d'un capteur de position. Question 1 — Conception d'observateurs MIMO découplés 1. Concevoir trois observateurs indépendants pour les trois vérins (approche SISO par diagonal). 2. Calculer les gains pour que chaque observateur ait un pôle à $-5$ . 3. Calculer les résidus individuels $r_i = y_i - \hat{y}_i$ pour chaque vérin. Question 2 — Fusion...→
• 7
  Exercice 1 : Génération de résidus par observateur d'état pour détection de défaut capteur On considère un système linéaire décrivant un processus thermique d'ordre 3 : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \ 0 & -3 & 1 \ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} u(t) + \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \ 0 \end{bmatrix} d(t)$ $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} x(t) + f(t)$ où $d(t)$ est une perturbation inconnue, $f(t)$ est un défaut potentiel capteur (supposé nul initialement). Données : Matrice gain de l'observateur de Luenberger : $L = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \ 2 \end{bmatrix}$ Entrée de commande : $u(t) = 1$ (constant) Mesures à l'instant t=1 s : $y_1(1) = 2.5$ , $y_2(1) = 1.8$ Perturbation externe : $d(t) = 0.2 \sin(t)$ Question 1 : Construire l'observateur d'état de Luenberger pour ce système. Calculer la matrice de dynamique de l'observateur $\hat{A} = A - LC$ et analyser sa stabilité via les valeurs propres. Question...→
• 8
  Exercice 2 : Diagnostic de panne moteur par analyse de résidus structurés Un moteur électrique triphasé est modélisé par un système linéaire 4ème ordre : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -10 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & -15 & -3 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u(t) + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} f(t)$ $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} x(t)$ où $f_1, f_2$ représentent deux défauts potentiels (roulement usé, déséquilibre mécanique). Paramètres : Entrée : $u(t) = 5$ V (constant) Mesures bruitées : $y_1(t) = 2 + e_1(t), y_2(t) = 3 + e_2(t)$ où $e_i \sim \mathcal{N}(0, 0.1^2)$ Deux observateurs : $L_1 = [1; 0.5; 0.2; 0.3]$ et $L_2 = [0.3; 1; 0.5; 0.2]$ Question 1 : Concevoir deux observateurs structurés générant respectivement deux vecteurs de résidus $r_1(t)$ et $r_2(t)$ sensibles à des défauts différents. Calculer les matrices de sensibilité défaut-résidu pour chaque observateur. Question 2 : À partir de signaux de mesure synthétiques correspondant à un défaut...→
• 9
  Exercice 3 : Détection et isolation de défaut actionneur par banc d'observateurs Un système robotique (bras 2-DOF) est sujet à des défauts d'actionneurs : $\dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ -5 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & -3 & -0.5 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} (u(t) + f(t))$ $y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} x(t)$ où $f_1, f_2$ sont les défauts d'actionneurs (perte de gain). Plan diagnostic : Observateur global (OG) : $L_{OG} = [0.2; 0.1; 0.3; 0.2]^T$ Observateur dédié actionneur 1 (OA1) : $L_{OA1} = [0.5; 0.3; 0; 0]^T$ Observateur dédié actionneur 2 (OA2) : $L_{OA2} = [0; 0; 0.6; 0.4]^T$ Question 1 : Concevoir le banc de trois observateurs. Pour chaque observateur i, calculer la matrice dynamique fermée $A_i - L_i C$ et vérifier la stabilité. Question 2 : Générer les vecteurs de résidus $r_{OG}, r_{OA1}, r_{OA2}$ en injectant séquentiellement des défauts constants : $f_1 = 0.2$ (pendant 3-6 s),...→
• 10
  Exercice 1 : Génération de résidus par observateur d'état pour détection de défauts dans un système de première ordre Un système de surveillance d'un processus thermique est modélisé par une équation différentielle de premier ordre décrivant l'évolution de la température d'un fluide en circulation. Le système nominal sans défaut est donné par : $\dot{x}(t) = -2x(t) + 3u(t)$ $y(t) = x(t)$ où $x(t)$ est la température du fluide (en °C), $u(t)$ est le débit de chauffage (en kW), et $y(t)$ est la température mesurée par un capteur. Un observateur d'état est conçu pour générer une estimation de l'état noté $\hat{x}(t)$ et détecter les défauts éventuels du...→
• 11
  Exercice 2 : Diagnostic de défauts dans un système d'ordre deux par observateur avec évaluation du résidu Un système d'asservissement de position d'un moteur électrique est modélisé par deux équations différentielles couplées. En l'absence de défaut, le système est : $\dot{x}_1(t) = x_2(t)$ $\dot{x}_2(t) = -4x_1(t) - 3x_2(t) + 2u(t)$ $y(t) = x_1(t)$ où $x_1(t)$ est la position angulaire (rad), $x_2(t)$ est la vitesse angulaire (rad/s), $u(t)$ est le couple appliqué (N·m). Un observateur d'état est conçu pour surveiller le système et générer des résidus permettant de détecter un défaut dans le capteur de position. L'observateur est défini par : $\dot{\hat{x}}_1 = \hat{x}_2 + l_1(y - \hat{x}_1)$ $\dot{\hat{x}}_2 = -4\hat{x}_1 - 3\hat{x}_2 + 2u + l_2(y - \hat{x}_1)$ Les conditions initiales et paramètres sont : Position...→
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  Exercice 3 : Diagnostic multivariable avec observateur multi-sorties et résidus découplés pour système MIMO Un système de drainage d'eau dans une installation industrielle comprend deux réservoirs interconnectés, modélisé par un système linéaire multivariable (MIMO) d'ordre deux : $\dot{x}_1(t) = -x_1(t) + x_2(t) + u_1(t)$ $\dot{x}_2(t) = x_1(t) - 2x_2(t) + u_2(t)$ $y_1(t) = x_1(t)$ $y_2(t) = x_2(t)$ où $x_1, x_2$ sont les niveaux d'eau dans les deux réservoirs (m), $u_1, u_2$ sont les débits entrants (m³/s), $y_1, y_2$ sont les mesures de niveau (m). Un observateur multi-sorties est utilisé pour détecter des fuites ou défauts de capteur. L'observateur est défini par : $\dot{\hat{x}}_1 = -\hat{x}_1 + \hat{x}_2 + u_1 + l_1(y_1 - \hat{x}_1) + l_2(y_2 - \hat{x}_2)$ $\dot{\hat{x}}_2 = \hat{x}_1 - 2\hat{x}_2 + u_2 + l_3(y_1 - \hat{x}_1) + l_4(y_2 - \hat{x}_2)$ Conditions initiales et paramètres : Niveaux initiaux : $x_1(0) = 1.0$ m, $x_2(0) = 0.8$ m Observateur initial :...→
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  Un système linéaire à trois états : $\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -4 & -5 & -6 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u$ , $y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} x$ On veut concevoir une stratégie de diagnostic basée sur l’analyse des résidus. Le défaut à détecter est un changement de dynamique sous la forme d’un saut d’état sur x₃. 1. Construisez l’observateur d’état, donnez les équations dynamiques couplées générant le résidu pour une mesure de sortie unique. 2. Calculez les gains de l’observateur pour des pôles à {-8,-9,-10} et écrivez l’expression du résidu en présence d’un saut x₃(t₁)=x₃(t₁)+A. 3. Donnez le profil temporel du résidu et la méthode pour isoler le défaut (amplitude et temps de convergence), en explicitant la...→
• 14
  Génération de résidus par observateur d'état pour la détection de défauts de capteurs On considère un système linéaire instationnaire représentant un processus industriel : $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \ 0 & -2 & 1 \ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ Le système possède 3 états et 2 sorties. Un observateur d'état est synthétisé avec des gains $L = \begin{bmatrix} 2 \ 1.5 \ 1 \end{bmatrix}$ pour les pôles $\lambda = \{-4, -5, -6\}$ . Le résidu de diagnostic est défini par $r(t) = y(t) - C\hat{x}(t)$ où $\hat{x}(t)$ est l'état estimé. L'observateur reçoit une entrée défaillante (capteur Y₂) à partir de t = 2s avec un biais additionnel de $\Delta y_2 = 0.5~\text{V}$ . Question 1 : Écrire les équations complètes de l'observateur d'état $\dot{\hat{x}} = (A - LC)\hat{x} + Bu + Ly$ . Calculer la matrice de dynamique de l'observateur $A_o = A - LC$...→
• 15
  Diagnostic de défauts actuateurs par analyse structurelle des résidus Un système de contrôle dynamique d'un moteur thermique est modélisé par : $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -10 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ Le système possède 2 états (vitesse du moteur et accélération) et 1 entrée de commande. Un observateur de Luenberger est conçu avec un gain $L = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ pour placer les pôles en {-2, -5}. Le résidu est généré par $r(t) = y(t) - C\hat{x}(t)$ . On souhaite diagnostiquer deux types de défauts : (D1) un biais additif sur l'entrée de commande u ( $\Delta u = -0.3$ ) et (D2) un biais de capteur de sortie ( $\Delta y = 0.4$ ). Question 1 : Vérifier que l'observateur de Luenberger...→
• 16
  Exercice 2 : Diagnostic multi-résidus et isolation de défauts Un système de diagnostic utilise trois observateurs (résidus généralisés) pour détecter et isoler les défauts. Le système est décrit par : Matrice d'état : $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$ Matrice de commande : $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ Matrice de sortie : $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (MIMO 2×2) Trois sources de défaut : défaut capteur 1 ( $f_1$ ), défaut capteur 2 ( $f_2$ ), défaut actionneur ( $f_u$ ) Matrice de défaut capteur 1 : $B_{f1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ Matrice de défaut capteur 2 : $B_{f2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ Matrice de défaut actionneur : $B_{fu} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \end{bmatrix}$ Question 1 : Concevoir trois observateurs (OBS1, OBS2, OBS3) avec des gains...→
• 17
  Exercice 3 : Diagnostic robuste avec filtrage des perturbations externes Un système de diagnostic doit fonctionner en présence de perturbations (bruit, incertitudes). Le système augmenté inclut des entrées de perturbation : Matrice d'état : $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix}$ Matrice de commande : $B = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$ Matrice de perturbation : $E = \begin{bmatrix} 0.1 \ 0.2 \end{bmatrix}$ Matrice de sortie : $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ Matrice de défaut : $B_d = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ Perturbation externe : $w(t) = 0.1 \sin(2\pi t)~\text{V}$ Défaut constant : $d(t) = 0.5~\text{V pour }t \geq 2~\text{s}$ Question 1 : Concevoir un observateur robuste avec un gain de filtrage $L$ choisi pour minimiser l'effet de la perturbation tout en conservant la sensibilité au défaut. Calculer le gain optimal et analyser la séparation défaut-perturbation (FDI...→
• 18
  Exercice 1 : Conception d'un observateur d'état pour la détection de défauts par résidus Un système de diagnostic doit détecter des défauts dans un processus industriel. Le système nominal est décrit par : $\dot{x} = \begin{pmatrix}-2 & 1\0 & -3\end{pmatrix}x + \begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix}u$ $y = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}x$ La sortie mesurée est soumise au bruit blanc de variance $\sigma^2 = 0.01$ . On conçoit un observateur pour générer les résidus de diagnostic. Question 1 : Calculez la matrice de gain de l'observateur $L$ pour placer les pôles de l'observateur en $-4$ et $-5$ . Écrivez la dynamique complète de l'observateur et sa structure. Question 2 : Définissez le résidu comme $r(t) = y(t) - \hat{y}(t)$ où $\hat{y}(t)$ est la...→
• 19
  Exercice 2 : Détection de défaut capteur par analyse des résidus multi-canaux Un système de diagnostic doit détecter des défauts capteurs multiples. Le système nominal est décrit par : $\dot{x} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-6 & -11 & -6\end{pmatrix}x + \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}u$ $y = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}x$ (deux capteurs) Un défaut capteur additif est modélisé par $y_{mesurée} = y + f_s(t)$ où $f_s(t)$ est le défaut. Question 1 : Concevoir deux observateurs indépendants (un pour chaque capteur) avec des matrices de gain $L_1$ et $L_2$ pour placer les pôles en $-3, -4, -5$ dans les deux cas. Calculez les gains correspondants. Question 2 : Définissez les résidus structurés $r_1(t) = y_1(t) - \hat{y}_{1,1}(t)$ et $r_2(t) = y_2(t) - \hat{y}_{2,2}(t)$ . Dérivez la matrice de sensibilité du système de diagnostic pour...→
• 20
  Exercice 3 : Génération de résidus pour la détection de défaut de capteur – Observateur à dynamique rapide Un procédé industriel critique est modélisé par : $A = \begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & -8 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ La variable de sortie $y = x_1 + x_2$ . Pour la sûreté, on utilise un observateur d’état à dynamique rapide : $\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + B u + L(y - C\hat{x})$ Un défaut (biais) de capteur survient à $t_d = 0.4 \mathrm{~s}$ modifiant la sortie : $y(t) \to y(t) + \Delta y,\ \Delta y = 2\mathrm{~V}$ pour $t > t_d$ Question 1 : Calculer la matrice d’observabilité et vérifier que le système est observable. Donner l’expression du résidu. Question 2 : Choisir un gain d’observateur $L$ pour placer ses pôles à $\{-20, -30\}$ . Écrire les équations dynamiques complètes et...→

Générations de Résidus par espace de parité (32 Exercices)

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  Exercice 1 : Détection de défauts capteurs dans un système thermique On considère un système thermique de régulation de température dans un réacteur chimique. Le système est modélisé par l'équation d'état discrète suivante : $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$ $y(k) = C x(k) + f_s(k)$ où $x(k) \in \mathbb{R}^2$ est le vecteur d'état représentant les températures dans deux zones du réacteur, $u(k) \in \mathbb{R}$ est la puissance de chauffage appliquée, $y(k) \in \mathbb{R}^2$ est le vecteur de mesures des deux capteurs de température, et $f_s(k)$ représente le vecteur de défauts capteurs. Les matrices du système sont données par : $A = \begin{bmatrix} 0.85 & 0.10 \ 0.15 & 0.80 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0.20 \ 0.25 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ On souhaite construire un générateur de résidus basé sur l'espace de parité d'ordre $s = 2$ pour...→
• 2
  Exercice 2 : Détection et isolation de défauts actionneurs dans un système robotique Un bras robotique à deux articulations est commandé par deux actionneurs (moteurs électriques). Le modèle discret linéarisé autour d'un point de fonctionnement est donné par : $x(k+1) = A x(k) + B u(k) + B f_a(k)$ $y(k) = C x(k)$ où $x(k) \in \mathbb{R}^4$ représente les positions et vitesses angulaires des deux articulations, $u(k) \in \mathbb{R}^2$ sont les couples de commande des deux actionneurs, $y(k) \in \mathbb{R}^2$ sont les mesures de position angulaire, et $f_a(k) \in \mathbb{R}^2$ représente les défauts actionneurs (perte d'efficacité ou blocage). Les matrices du système sont : $A = \begin{bmatrix} 1 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 0.85 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0.005 & 0 \\ 0.1 & 0 \\ 0 & 0.005 \\ 0 & 0.12 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ On souhaite concevoir deux générateurs de résidus structurés basés sur l'espace de parité avec $s = 1$...→
• 3
  Exercice 3 : Résidus robustes pour système MIMO avec incertitudes paramétriques Un système de régulation thermique multi-zones dans un bâtiment intelligent est modélisé par le système MIMO discret suivant : $x(k+1) = (A + \Delta A) x(k) + B u(k)$ $y(k) = C x(k) + f_s(k)$ où $x(k) \in \mathbb{R}^3$ représente les températures dans trois zones thermiques, $u(k) \in \mathbb{R}^2$ sont les puissances de chauffage de deux unités de traitement d'air, $y(k) \in \mathbb{R}^3$ sont les mesures des trois capteurs de température, et $f_s(k) \in \mathbb{R}^3$ représente les défauts capteurs. La matrice $\Delta A$ représente les incertitudes paramétriques dues aux variations des propriétés thermiques du bâtiment. Les matrices nominales sont : $A = \begin{bmatrix} 0.80 & 0.12 & 0.05 \ 0.10 & 0.75 & 0.08 \ 0.06 & 0.10 & 0.82 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0.30 & 0.10 \ 0.15 & 0.35 \ 0.10 & 0.20 \end{bmatrix}, \quad C = I_3$ L'incertitude paramétrique est bornée : $\|\Delta A\|_\infty \leq 0.05$ . On souhaite concevoir un...→
• 4
  Exercice 1 : Génération de résidus par espace de parité pour la détection de défauts capteurs On considère un système linéaire invariant dans le temps décrit par les équations d'état suivantes : $\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$ $y(t) = C x(t)$ où les matrices du système sont données par : $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ 0 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ Le système est discrétisé avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ s. On souhaite générer des résidus pour détecter un défaut sur le capteur $y_1$ en utilisant l'approche par espace de parité avec un horizon temporel $s = 2$ . Question 1 : Calculez les matrices discrètes $A_d$ et $B_d$ du système en utilisant l'approximation d'Euler : $A_d = I + T_e A$ et $B_d = T_e B$ ....→
• 5
  Exercice 2 : Détection et isolation de défauts actionneurs par redondance analytique Un système de contrôle thermique est modélisé par le système linéaire discret suivant : $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k) + E_d f_a(k)$ $y(k) = C x(k)$ où $x(k) \in \mathbb{R}^3$ représente le vecteur d'état (températures de trois zones), $u(k) \in \mathbb{R}^2$ le vecteur de commande (puissances de chauffage), $y(k) \in \mathbb{R}^2$ les mesures de température, et $f_a(k)$ représente un défaut actionneur. Les matrices du système sont : $A_d = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.1 & 0 \\ 0.05 & 0.85 & 0.05 \\ 0 & 0.1 & 0.88 \end{bmatrix}, \quad B_d = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.3 \\ 0 & 0.4 \end{bmatrix}$ $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad E_d = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.3 \\ 0 & 0.4 \end{bmatrix}$ On considère un horizon temporel $s = 1$ pour la génération de résidus. Question 1 : Établissez l'équation de parité en formant le vecteur étendu des sorties $\bar{Y}(k) = \begin{bmatrix} y(k) \\ y(k+1) \end{bmatrix}$ en fonction de $x(k)$ , $u(k)$ , $u(k-1)$ et...→
• 6
  Exercice 3 : Isolation de défauts multiples par génération de résidus structurés Un système de positionnement à deux axes est décrit par le modèle discret suivant : $x(k+1) = A_d x(k) + B_d u(k)$ $y(k) = C x(k) + D_f f_s(k)$ où $x(k) = \begin{bmatrix} x_1(k) \ x_2(k) \ v_1(k) \ v_2(k) \end{bmatrix}$ représente les positions et vitesses des deux axes, $u(k) = \begin{bmatrix} u_1(k) \ u_2(k) \end{bmatrix}$ les commandes, $y(k) = \begin{bmatrix} y_1(k) \ y_2(k) \ y_3(k) \end{bmatrix}$ les mesures de trois capteurs, et $f_s(k) = \begin{bmatrix} f_{s1}(k) \ f_{s2}(k) \ f_{s3}(k) \end{bmatrix}$ les défauts capteurs. Les matrices sont : $A_d = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0.1 \ 0 & 0 & 0.95 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0.95 \end{bmatrix}, \quad B_d = \begin{bmatrix} 0.005 & 0 \ 0 & 0.005 \ 0.1 & 0 \ 0 & 0.1 \end{bmatrix}$ $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad D_f = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ On souhaite concevoir un schéma d'isolation de défauts utilisant trois résidus structurés avec un horizon $s = 1$ . Question 1 : Établissez l'équation de parité étendue en formant $\bar{Y}(k) = \begin{bmatrix} y(k) \ y(k+1) \end{bmatrix}$ . Calculez les matrices $\bar{C}$ , $\bar{D}_f$ et $\bar{T}_u$ telles que $\bar{Y}(k) = \bar{C} x(k) + \bar{T}_u u(k) + \bar{D}_f \bar{F}_s(k)$ ,...→
• 7
  Contexte du système On considère un système industriel de mesure de température dans un réacteur chimique équipé de trois capteurs redondants. Le système est décrit par l'équation de mesure suivante : $\mathbf{y}(k) = \mathbf{C} \mathbf{x}(k) + \mathbf{F}_y \mathbf{f}(k)$ où : $\mathbf{y}(k) = \begin{bmatrix} y_1(k) \ y_2(k) \ y_3(k) \end{bmatrix}$ est le vecteur de mesures des trois capteurs $\mathbf{x}(k) \in \mathbb{R}$ est la température réelle du réacteur (variable d'état) $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ est la matrice d'observation $\mathbf{F}_y = \mathbf{I}_3$ est la matrice identité de dimension 3 $\mathbf{f}(k) = \begin{bmatrix} f_1(k) \ f_2(k) \ f_3(k) \end{bmatrix}$ représente les défauts additifs des capteurs À l'instant $k = 50$ , les mesures suivantes sont enregistrées : $\mathbf{y}(50) = \begin{bmatrix} 85.2 \ 78.5 \ 84.8 \end{bmatrix}$ °C Question 1 : Construction de la matrice de parité Déterminer la matrice de parité $\mathbf{W}$ de...→
• 8
  Contexte du système On considère un système de contrôle de position linéaire discrétisé décrit par le modèle d'état suivant : $\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A} \mathbf{x}(k) + \mathbf{B} u(k) + \mathbf{F}_x f_a(k)$ $y(k) = \mathbf{C} \mathbf{x}(k)$ avec : $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.1 \\ 0 & 0.85 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.15 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ $\mathbf{F}_x = \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.15 \end{bmatrix}$ (matrice de distribution du défaut actionneur) $\mathbf{x}(k) = \begin{bmatrix} x_1(k) \\ x_2(k) \end{bmatrix}$ est le vecteur d'état (position et vitesse) $u(k)$ est la commande de l'actionneur $f_a(k)$ est le défaut additif de l'actionneur $y(k)$ est la mesure de position On utilise une fenêtre d'observation de longueur $l = 2$ pour générer les résidus. Les données suivantes sont collectées : À $k = 10$ : $y(10) = 2.45$ , $u(10) = 1.0$ À $k = 11$ : $y(11) = 3.12$ , $u(11) = 1.2$ À $k = 12$ : $y(12) = 3.68$ , $u(12) = 0.8$ Question...→
• 9
  Contexte du système On considère un système électrique de distribution d'énergie surveillé par quatre capteurs (tension et courant) et contrôlé par deux actionneurs. Le modèle linéarisé est : $\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A} \mathbf{x}(k) + \mathbf{B} \mathbf{u}(k) + \mathbf{F}_a \mathbf{f}_a(k)$ $\mathbf{y}(k) = \mathbf{C} \mathbf{x}(k) + \mathbf{F}_s \mathbf{f}_s(k)$ avec : $\mathbf{x}(k) \in \mathbb{R}^3$ : vecteur d'état $\mathbf{u}(k) = \begin{bmatrix} u_1(k) \ u_2(k) \end{bmatrix}$ : commandes des deux actionneurs $\mathbf{y}(k) = \begin{bmatrix} y_1(k) \ y_2(k) \ y_3(k) \ y_4(k) \end{bmatrix}$ : mesures des quatre capteurs $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ : matrice d'observation $\mathbf{F}_s = \mathbf{I}_4$ : matrice de distribution des défauts capteurs $\mathbf{f}_a(k) = \begin{bmatrix} f_{a1}(k) \ f_{a2}(k) \end{bmatrix}$ : défauts actionneurs $\mathbf{f}_s(k) = \begin{bmatrix} f_{s1}(k) \ f_{s2}(k) \ f_{s3}(k) \ f_{s4}(k) \end{bmatrix}$ : défauts capteurs On génère un banc de résidus structurés. À l'instant $k = 100$ , les résidus suivants sont mesurés : $\mathbf{r}(100) = \begin{bmatrix} 0.05 \ 3.24 \ -0.12 \end{bmatrix}$ La matrice de signature théorique pour les défauts capteurs est : $\mathbf{S}_s = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ où chaque...→
• 10
  Exercice 1 : Génération de résidus pour la détection de défauts capteurs On considère un système linéaire invariant dans le temps décrit par les équations suivantes : $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$ $y(k) = C x(k)$ où : $A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \ 0.1 & 0.9 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}$ Le système dispose de trois capteurs mesurant les sorties. On souhaite appliquer la méthode de l'espace de parité pour détecter et isoler d'éventuels défauts capteurs. On considère une profondeur temporelle $s = 2$ . Question 1 : Construire la matrice d'observabilité étendue $H_{s,0}$ et le vecteur de sorties étendues $Y_s(k)$ pour la profondeur $s = 2$ . Question 2 : Déterminer le vecteur de parité $w$ orthogonal à...→
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  Exercice 2 : Isolation de défauts actionneurs par espace de parité Un système de contrôle d'attitude pour satellite est modélisé par : $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$ $y(k) = C x(k)$ avec : $A = \begin{bmatrix} 1 & 0.1 & 0 \\ 0 & 1 & 0.1 \\ 0 & 0 & 0.95 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0.05 & 0 \\ 0 & 0.08 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ Le système dispose de deux actionneurs (propulseurs) et deux capteurs de position angulaire. On souhaite détecter et isoler les défauts actionneurs par la méthode de l'espace de parité avec une fenêtre temporelle de profondeur $s = 3$ . Question 1 : Calculer la matrice de Toeplitz $H_{s,s}$ associée aux entrées pour $s = 3$ . Cette matrice relie le vecteur d'entrées étendues $U_s(k)$ aux sorties. Détailler le calcul des termes $CB$ , $CAB$...→
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  Exercice 3 : Résidus structurés pour isolation de défauts multi-capteurs Un système de surveillance d'un processus industriel est décrit par : $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$ $y(k) = C x(k)$ avec : $A = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.15 \ -0.1 & 0.85 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0.5 \ 0.3 \end{bmatrix}$ , $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0.6 & 0.4 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix}$ Le système dispose de quatre capteurs redondants. On souhaite générer des résidus structurés permettant l'isolation de défauts individuels des capteurs en utilisant l'approche de l'espace de parité avec $s = 2$ . Question 1 : Calculer la matrice d'observabilité étendue $H_{s,0}$ pour $s = 2$ et déterminer son rang. En déduire la dimension de l'espace de parité et calculer explicitement deux vecteurs de parité linéairement indépendants $w^{(1)}$ et $w^{(2)}$ . Question 2 : Construire...→
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  Exercice 1 : Diagnostic d'un système de contrôle de température par redondance analytique Un système de contrôle de température d'un réacteur thermique est équipé de trois capteurs de température $T_1$ , $T_2$ et $T_3$ mesurant la même grandeur physique. Le système fonctionne avec une redondance analytique basée sur la notion d'espace de parité. Les équations de parité générées à partir des capteurs sont : Équation 1 : $r_1 = T_1 - T_2$ Équation 2 : $r_2 = T_2 - T_3$ Équation 3 : $r_3 = T_1 - T_3$ En fonctionnement nominal sans défaut, les résidus sont nuls avec une tolérance de $\pm 0.5 \, °C$ . Données mesurées lors d'une séquence de test : À...→
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  Exercice 2 : Détection et isolation de défauts dans un système de positionnement Un système de positionnement d'une machine-outil utilise quatre encodeurs de position $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ et $X_4$ pour mesurer le déplacement sur l'axe X. Le système emploie un schéma de redondance analytique avec quatre équations de parité indépendantes. Les équations de parité pour cet ensemble redondant sont : $r_1 = X_1 - X_2$ $r_2 = X_2 - X_3$ $r_3 = X_3 - X_4$ $r_4 = X_1 - X_4$ En fonctionnement normal, la tolérance sur les résidus est $\pm 0.8 \, \text{mm}$ . Pendant un test de diagnostic, on mesure les positions suivantes : Mesures lors du test : Mesure 1 (état nominal initial) : $X_1 = 100.0 \, \text{mm}$ ,...→
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  Exercice 3 : Diagnostic de vibrations par redondance analytique et estimation de l'accélération vraie Un système de surveillance de vibrations d'une pompe centrifuge utilise cinq accéléromètres ( $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ ) montés en redondance analytique complète. Ces capteurs mesurent l'accélération verticale du carter de la pompe en $\text{m/s}^2$ . Le système génère les résidus de parité suivants : $r_1 = A_1 - A_2$ $r_2 = A_2 - A_3$ $r_3 = A_3 - A_4$ $r_4 = A_4 - A_5$ $r_5 = (A_1 + A_3 + A_5) - (A_2 + A_4)$ (résidu global pondéré) La tolérance sur les résidus est de $\pm 0.15 \, \text{m/s}^2$ . Lors d'une campagne de diagnostic, deux mesures sont effectuées : Mesure dans les conditions normales (État sain) : $A_1 = 2.50 \, \text{m/s}^2$ ,...→
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  Exercice 1: Conception d'un Espace de Parité pour un Système Thermique Vous êtes chargé de concevoir un système de diagnostic pour un processus thermique industriel commandé par un actionneur de chauffage et équipé de trois capteurs de température. Le système linéarisé autour d'un point de fonctionnement est décrit par le modèle suivant en temps continu: Modèle du système: Équation d'état: $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ef(t)$ Équation de sortie: $y(t) = Cx(t) + Du(t) + Gf(t)$ Avec les matrices suivantes: $A = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.2 \ 0.1 & -0.3 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 1.5 \ 0.8 \end{bmatrix}$ $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}$ , $D = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$ $E = \begin{bmatrix} 0.3 \ 0.1 \end{bmatrix}$ , $G = \begin{bmatrix} 0.2 \ 0.1 \ 0.15 \end{bmatrix}$ Le nombre de capteurs est $n_y = 3$ et le nombre d'entrées est $n_u = 1$ . Questions: Question 1.1: Déterminez le nombre de vecteurs de...→
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  Exercice 2: Localisation de Défauts dans un Système d'Entraînement Électromécanique Un système d'entraînement électromécanique composé d'un moteur électrique, d'une transmission mécanique et d'un capteur de vitesse est étudié pour la détection et la localisation de défauts capteur et actionneur. Le modèle linéarisé est: Modèle du système discret (période d'échantillonnage T e = 0.1 s): $\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A}_d \mathbf{x}(k) + \mathbf{B}_d \mathbf{u}(k) + \mathbf{E}_d \mathbf{f}(k)$ $\mathbf{y}(k) = \mathbf{C}_d \mathbf{x}(k) + \mathbf{D}_d \mathbf{u}(k) + \mathbf{G}_d \mathbf{f}(k)$ avec: $\mathbf{A}_d = \begin{bmatrix} 0.95 & 0.08 \\ 0 & 0.92 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{B}_d = \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.10 \end{bmatrix}$ $\mathbf{C}_d = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{D}_d = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\mathbf{E}_d = \begin{bmatrix} 0.02 \\ 0.05 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{G}_d = \begin{bmatrix} 0.15 \\ 0.08 \\ 0.12 \end{bmatrix}$ où $\mathbf{f}(k)$ représente le vecteur des défauts (actionneur et capteur). Questions: Question 2.1: Déterminez tous les vecteurs de parité indépendants pour ce système discret. Écrivez la structure complète de la matrice de parité $\mathbf{H}_d$...→
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  Exercice 3: Isolation de Défauts Multiples par Signature de Résidus Un système de contrôle de débit de fluide dans un circuit hydraulique est équipé de deux capteurs de pression, d'un capteur de débit et d'un actionneur de pompe. Le système permet de détecter et isoler les défauts spécifiques grâce à une banque de générateurs d'espace de parité. Le modèle linéarisé du système est: Modèle du système continu: $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \sum_{i=1}^{3} \mathbf{E}_i f_i(t)$ $\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) + \sum_{i=1}^{3} \mathbf{G}_i f_i(t)$ où les défauts sont: $f_1(t)$ = défaut actionneur, $f_2(t)$ = défaut capteur 1, $f_3(t)$ = défaut capteur 2. Matrices du système: $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 & 0.2 \ 0 & -0.8 & 0.1 \ 0.3 & 0.2 & -0.6 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \ 0.3 \end{bmatrix}$ $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0.5 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{D} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$ $\mathbf{E}_1 = \begin{bmatrix} 0.8 \ 0.4 \ 0.2 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{E}_2 = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$ ,...→
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  Exercice 1 : Diagnostic d'un système de contrôle de moteur DC par redondance analytique Un système de contrôle moteur courant continu comporte trois capteurs redondants pour mesurer la vitesse angulaire. Modèle du système : $\frac{d\omega}{dt} = -\frac{K_f}{J}\omega + \frac{K_t}{J}i$ $\frac{di}{dt} = -\frac{R}{L}i - \frac{K_e}{L}\omega + \frac{V}{L}$ Paramètres: $J = 0.05$ kg·m², $K_f = 0.1$ N·m·s/rad, $K_t = 0.2$ N·m/A, $K_e = 0.2$ V·s/rad, $R = 2$ Ω, $L = 0.01$ H Mesures: $\omega_1 = 100$ rad/s, $\omega_2 = 101.5$ rad/s, $\omega_3 = 99.8$ rad/s, $i = 8$ A, $V = 24$ V Question 1: Calculez les trois résidus de parité définis par: $r_1 = \omega_1 - \frac{1}{3}(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3)$ $r_2 = \omega_2 - \frac{1}{3}(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3)$ $r_3 = \omega_3 - \frac{1}{3}(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3)$ Question 2: Déterminez quel capteur est défaillant avec le seuil $\delta_{th} = 1.2$ rad/s. Question 3: Calculez l'accélération angulaire avec les deux capteurs valides: $\dot{\omega} = -\frac{K_f}{J}\omega + \frac{K_t}{J}i$→
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  Exercice 2: Système Hydraulique Équation d'état: $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{C}(K_v U - K_p P)$ Paramètres: $C = 2 \times 10^{-4}$ m³/Pa, $K_v = 1.5 \times 10^{-4}$ m³/(s·V), $K_p = 3 \times 10^{-3}$ m³/(s·Pa), $U = 10$ V Mesures: $P_1 = 250$ bar, $P_2 = 251$ bar, $P_3 = 248$ bar, $P_4 = 300$ bar Question 1: Calculez la pression en régime permanent: $P_{ss} = \frac{K_v U}{K_p}$ Question 2: Calculez résidus et détectez défaut avec $\delta_{th} = 8$ bar Question 3: Calculez pression robuste et temps de réponse $\tau = -\frac{C}{K_p}$→
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  Exercice 3: Positionnement Robuste Modèle cinématique: $x_{est}[k+1] = x_{est}[k] + T_e v[k]$ Paramètres: $T_e = 0.1$ s, $x_0 = 0$ m À k=10: $x_{est}[10] = 5$ m, $v[10] = 5$ m/s À k=11: $x_1[11] = 5.5$ m, $x_2[11] = 5.45$ m, $v[11] = 5.2$ m/s Question 1: Calculez position estimée: $x_{est}[11] = x_{est}[10] + T_e v[10]$ Question 2: Générez résidus et détectez défauts avec $\delta = 0.1$ m Question 3: Fusion robuste et correction vitesse→
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  Exercice 1 : Espace de parité et détection de défaut capteur Un système de régulation de température composé de trois capteurs redondants mesure la température d'une chambre thermique. Les trois capteurs $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ doivent, en fonctionnement nominal sans défaut, satisfaire une relation de redondance analytique basée sur un modèle thermique linéaire. L'équation de parité établie entre les trois mesures est : $p_0 = 0.5T_1 - 0.3T_2 - 0.2T_3$ En fonctionnement normal, ce résidu de parité doit être égal à zéro. Cependant, la présence de bruits de mesure affecte les capteurs, et un défaut affecte l'un des capteurs de manière additive. Question 1 :...→
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  Exercice 2 : Espace de parité et isolation de défaut actionneur Un système de positionnement hydraulique contrôlé utilise deux actionneurs redondants pour générer une force et deux capteurs de position pour la rétroaction. Le modèle physique du système relie la commande d'entrée $u_1, u_2$ (tensions de commande en volts), la force de sortie $F$ (en newtons), et la position mesurée $x_m$ (en millimètres). Le système est décrit par deux équations de contrainte redondantes : $C_1 : F = k_1 u_1 + k_2 u_2$ , où $k_1 = 50 N/V$ et $k_2 = 50 N/V$ $C_2 : x_m = \frac{F}{m} \times t^2 / 2 + x_0$ , où $m = 2 kg$ est la masse, $t = 2 s$ est le temps écoulé, et $x_0 = 10 mm$ est la position initiale Question 1 :...→
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  Exercice 1: Système de contrôle thermique avec redondance analytique Un système de chauffage industriel est équipé de trois capteurs de température pour assurer la redondance. Le système est modélisé par les équations d'état suivantes: Équations d'état du système: $\dot{x}_1 = -0.5x_1 + 0.3u$ $\dot{x}_2 = -0.2x_1 - 0.4x_2 + 0.2u$ Équations de mesure: $y_1 = x_1 + n_1$ $y_2 = x_2 + n_2$ $y_3 = 0.5x_1 + 0.5x_2 + n_3$ où $x_1$ et $x_2$ sont les états du système, $u$ est l'entrée de commande, $y_1, y_2, y_3$ sont les sorties mesurées, et $n_i$ représentent les bruits de mesure. Question 1: Déterminez la matrice de parité $P$ de dimension $1 \times 3$ qui génère un résidu à partir des trois mesures. Le résidu doit être indépendant de l'état du...→
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  Exercice 2: Détection et isolation de défauts actionneurs par espace de parité généralisé Un système mécanique de positionnement linéaire est gouverné par les équations dynamiques suivantes: $\ddot{q} + 2\dot{q} + 5q = u_1 + u_2$ où $q$ est la position, $u_1$ et $u_2$ sont les forces appliquées par deux actionneurs redondants, avec des mesures de position et de vitesse: $y_1 = q$ $y_2 = \dot{q}$ Le système est discrétisé avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1 \, s$ . Les matrices d'état discrétisées sont: $A_d = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.1 \\ -0.5 & 0.8 \end{bmatrix}, \quad B_d = \begin{bmatrix} 0 \\ 0.1 \end{bmatrix}, \quad C_d = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ Question 1: Calculez le noyau de la matrice $O_2 = C_d A_d$ (observabilité au pas 2) et déduisez-en une relation de parité statique. Vérifiez que cette relation génère un résidu nul en régime nominal...→
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  Exercice 3: Système hybride avec détection multiples défauts par analyse de résidus généralisés Un procédé chimique est décrit par un système d'équations différentielles modélisant deux réacteurs couplés: $\dot{c}_1 = -k_1 c_1 + \frac{q_{in}}{V_1}(c_{in} - c_1) + \frac{q_{12}}{V_1}c_2 + f_1(t)$ $\dot{c}_2 = -k_2 c_2 + \frac{q_{12}}{V_1}c_1 - \frac{q_{12}}{V_2}c_2 + f_2(t)$ où $c_1, c_2$ sont les concentrations, $q_{in} = 10 \, L/min$ , $q_{12} = 5 \, L/min$ , $V_1 = 100 \, L$ , $V_2 = 50 \, L$ , $k_1 = 0.1 \, min^{-1}$ , $k_2 = 0.2 \, min^{-1}$ , $c_{in} = 10 \, mol/L$ , et $f_1(t), f_2(t)$ représentent les défauts additifs. Les mesures sont: $y_1 = c_1$ , $y_2 = c_2$ , avec des capteurs continus. Question 1: Calculez l'état d'équilibre du système nominal ( $f_1 = f_2 = 0$ ) en résolvant $\dot{c}_1 = \dot{c}_2 = 0$ . Linéarisez le système autour de cet équilibre et calculez la matrice jacobienne $J$ . Déduisez-en les matrices d'état continu $A, B, C$...→
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  Exercice 1 : Diagnostic d'un système de positionnement avec redondance analytique Un système de positionnement industriel comprend trois actionneurs linéaires indépendants commandant la position d'une plate-forme. Le système est équipé de trois capteurs de position redondants mesurant la position globale de la plate-forme selon trois directions orthogonales. Les équations de redondance analytique du système sont données par : Équation d'espace de parité 1 : $p_1 = x_1 - x_2$ Équation d'espace de parité 2 : $p_2 = x_1 + x_2 - 2x_3$ Équation d'espace de parité 3 : $p_3 = x_1 + x_3$ où $x_1, x_2, x_3$ sont les mesures des trois capteurs de position en millimètres. Données du système en fonctionnement normal : Capteur 1...→
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  Exercice 2 : Diagnostic d'un système multi-capteurs thermiques par espaces de parité Un réacteur chimique est équipé de quatre thermocouples redondants mesurant la température en quatre zones différentes du réacteur. Pour diagnostiquer les défauts capteurs, quatre équations de parité linéairement indépendantes ont été établies à partir du modèle de redondance analytique : Équation de parité 1 : $r_1 = T_1 - T_2$ Équation de parité 2 : $r_2 = T_2 - T_3$ Équation de parité 3 : $r_3 = T_3 - T_4$ Équation de parité 4 : $r_4 = T_1 - T_4 - (T_2 - T_3)$ où $T_1, T_2, T_3, T_4$ sont les températures mesurées en degrés Celsius aux quatre capteurs. Données nominales du système : Thermocouple 1 : $T_1 = 150 \text{ °C}$ Thermocouple 2 :...→
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  Exercice 3 : Diagnostic d'un système de positionnement 2D par surredondance analytique Une plate-forme de positionnement précis (machine à mesurer tridimensionnelle réduite à 2D) utilise cinq capteurs linéaires pour déterminer la position $(x, y)$ de l'outil. Ces cinq capteurs fournissent une mesure surredondante, permettant non seulement la détection mais aussi l'isolation et l'élimination (masquage) des défauts capteurs. Les équations de parité sont : Équation 1 : $r_1 = s_1 - x$ Équation 2 : $r_2 = s_2 - y$ Équation 3 : $r_3 = s_3 - x - y$ Équation 4 : $r_4 = s_4 - x$ Équation 5 : $r_5 = s_5 - y$ où $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5$ sont les mesures des cinq capteurs en micromètres, et $(x, y)$ sont les vraies positions calculées par...→
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  Exercice 1 : Diagnostic d'un moteur à courant continu par espace de parité Un système de commande de moteur DC pour une application industrielle est équipé de capteurs de vitesse, de courant et de tension. Le modèle du système est donné par les équations d'état suivantes : Le moteur DC est décrit par : Équation électrique : $\frac{di(t)}{dt} = \frac{1}{L}(u(t) - R \cdot i(t) - k_e \cdot \omega(t))$ Équation mécanique : $J \cdot \frac{d\omega(t)}{dt} = k_m \cdot i(t) - f \cdot \omega(t) - T_l(t)$ Sorties mesurées : $y_1(t) = i(t)$ (courant), $y_2(t) = \omega(t)$ (vitesse), $y_3(t) = u(t)$ (tension appliquée) Données du système : $R = 2 \ \Omega$ (résistance d'armature) $L = 0.1 \ H$ (inductance d'armature) $J = 0.02 \ kg \cdot m^2$ (moment d'inertie) $k_e = 0.1 \ V \cdot s/rad$ (constante de force électromotrice) $k_m = 0.1 \ N \cdot m/A$ (constante de couple) $f = 0.05 \ N \cdot m \cdot s/rad$ (coefficient de frottement visqueux) État...→
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  Exercice 2 : Diagnostic d'un système hydraulique par espace de parité Un système hydraulique de commande de position utilise une valve proportionnelle et deux capteurs de pression. Le système est régi par : Équation de débit : $Q(t) = K_v \cdot x(t) \cdot \sqrt{P_{in} - P_{out}(t)}$ Équation de charge : $C \cdot \frac{dP_{out}(t)}{dt} = Q(t) - Q_{leak}(t)$ Équation de fuite : $Q_{leak}(t) = K_l \cdot P_{out}(t)$ Sorties mesurées : $y_1(t) = P_{in}(t)$ (pression entrée), $y_2(t) = P_{out}(t)$ (pression sortie), $y_3(t) = x(t)$ (position de valve) Données du système : $K_v = 0.05 \ m^3/(s \cdot m \cdot \sqrt{Pa})$ (gain de valve) $K_l = 2 \times 10^{-7} \ m^3/(s \cdot Pa)$ (coefficient de fuite) $C = 5 \times 10^{-6} \ m^3/Pa$ (compliance de la chambre) $P_{in} = 200 \ bar = 2 \times 10^7 \ Pa$ (pression d'alimentation constante) État du système en régime permanent stable : $x(t) = 0.02 \ m$ (ouverture de valve constante) $\frac{dP_{out}(t)}{dt} = 0$ (régime permanent) $\Delta P = P_{in} - P_{out,ss} = 150 \ bar$ Question...→
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  Exercice 3 : Diagnostic multimodal d'un système de suspension active par redondance analytique Un système de suspension active pour véhicule automobile utilise un amortisseur commandé électriquement et plusieurs capteurs. Le système est décrit par : Équation de la masse non suspendue : $m_u \cdot \frac{d^2z_u(t)}{dt^2} = F_c(t) + k_s \cdot [z_s(t) - z_u(t)] - c_s \cdot [v_s(t) - v_u(t)]$ Équation de la masse suspendue : $m_s \cdot \frac{d^2z_s(t)}{dt^2} = -F_c(t) - k_s \cdot [z_s(t) - z_u(t)] + c_s \cdot [v_s(t) - v_u(t)]$ Entrée perturbatrice (route) : $z_{road}(t) = z_u(t) + z_{rel}(t)$ Sorties mesurées : $y_1(t) = z_s(t)$ (position suspendue), $y_2(t) = v_s(t)$ (vitesse suspendue), $y_3(t) = a_s(t) = \frac{d^2z_s}{dt^2}$ (accélération suspendue) Données du système : $m_s = 350 \ kg$ (masse suspendue) $m_u = 50 \ kg$ (masse non suspendue) $k_s = 25000 \ N/m$ (raideur de suspension) $c_s = 3000 \ N \cdot s/m$ (amortissement de suspension) État nominal du système : Vitesses initiales : $v_s(t=0) = 0$ , $v_u(t=0) = 0$ Positions initiales :...→

Diagnostic par identification paramétrique (29 Exercices)

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  Exercice 2: Identification ARMA d'un Système de Batterie Électrique par Moindres Carrés Ordinaires Un système de gestion de batterie (BMS - Battery Management System) pour véhicule électrique est équipé de capteurs de tension, courant et température. La capacité résiduelle de la batterie est modélisée par un processus ARMA(1,1) pour diagnostiquer l'usure et les défaillances prématurées. Modèle du système: La tension terminale $V(k)$ mesurée à chaque instant d'échantillonnage peut être modélisée par: $V(k) = a_1 V(k-1) + e(k) + b_1 e(k-1)$ où $V(k)$ est la tension mesurée en volts, $e(k)$ est le bruit blanc, et les paramètres $a_1$ , $b_1$ sont à identifier. Données collectées en laboratoire: N =...→
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  Exercice 3: Diagnostic Multi-Défauts d'un Compresseur Air par Identification ARMA Multi-Paramètres Un compresseur d'air industriel est équipé d'un système de diagnostic avancé utilisant l'identification ARMA pour détecter et classifier les défauts (fuite, encrassement de filtre, usure des paliers). La pression de sortie $P(k)$ mesurée en bar est modélisée par un processus ARMA(2,2) complexe. Modèle du système: $P(k) = a_1 P(k-1) + a_2 P(k-2) + e(k) + b_1 e(k-1) + b_2 e(k-2)$ où $P(k)$ est la pression en bar, $e(k)$ est le bruit blanc avec $\sigma_e^2 = 0.09$ bar². Données mesurées (État nominal - sans défaut): Fréquence d'échantillonnage: $f_e = 10$ Hz, N = 600 échantillons (60 secondes) Statistiques calculées: • ACF: $\rho(1) = 0.78$ , $\rho(2) = 0.54$ , $\rho(3) = 0.32$ • PACF:...→
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  Exercice 1 : Diagnostic d’un filtre RC par identification ARMA Un système de filtrage RC est modélisé par un processus ARMA d’ordre (1,1). La sortie mesurée du système est notée $y[k]$ et l’entrée $u[k]$ . Le modèle ARMA retenu s’écrit : $y[k] + a_1 y[k-1] = b_0 u[k] + b_1 u[k-1] + e[k]$ Avec les mesures : $u[1] = 1.0$ $u[2] = 0.5$ $y[0] = 0.0$ , $y[1] = 0.8$ $y[2] = 0.62$ On suppose qu’au pas courant $k=2$ , on veut estimer les paramètres du modèle en utilisant la méthode des moindres carrés. Question 1 : Écrivez le système d’équations linéaires à résoudre pour identifier $a_1$ , $b_0$ et $b_1$ à partir des mesures disponibles. Question 2 : Résolvez ce...→
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  Exercice 2 : Identification ARMA sur vibrateur mécanique Un vibreur mécanique est modélisé comme un ARMA(2,1). L’entrée $u[k]$ et la sortie $y[k]$ sont mesurées : $u[0]=0$ , $u[1]=1$ , $u[2]=0$ , $u[3]=2$ $y[0]=0$ , $y[1]=1$ , $y[2]=1.6$ , $y[3]=2.36$ Le modèle ARMA(2,1) s’écrit : $y[k] + a_1 y[k-1] + a_2 y[k-2] = b_0 u[k] + b_1 u[k-1] + e[k]$ Question 1 : Donnez explicitement le système d’équations à résoudre pour identifier $a_1$ , $a_2$ , $b_0$ , $b_1$ . Question 2 : Déterminez numériquement ces coefficients à l’aide des mesures. Question 3 : Avec ces paramètres, calculez le résidu d’identification $e[3]$ . Testez la détection de défaut avec $\delta_{th} = 0.03$ .→
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  Exercice 3 : Diagnostic ARMA sur process thermique Un procédé thermique suit le modèle ARMA(1,2) : $y[k] + a_1 y[k-1] = b_0 u[k] + b_1 u[k-1] + b_2 u[k-2] + e[k]$ $u[0]=1$ , $u[1]=2$ , $u[2]=1$ , $u[3]=1.5$ $y[0]=0$ , $y[1]=1.2$ , $y[2]=2.4$ , $y[3]=2.7$ Question 1 : Formulez le système d’équations permettant d’identifier $a_1$ , $b_0$ , $b_1$ et $b_2$ à l’aide des mesures disponibles. Question 2 : Résolvez numériquement ce système et donnez les valeurs des paramètres. Question 3 : Calculez le résidu d’identification $e[3]$ , puis concluez sur la présence éventuelle d’un défaut avec seuil $\delta_{th} = 0.04$ .→
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  Exercice 1 : Identification ARMA et détection de défaut dans un procédé thermique On considère un processus thermique où la température de sortie $y(k)$ est mesurée à chaque instant $k$ . Le système est modélisé, en conditions nominales, par un modèle ARMA(2,1) : $y(k) + a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) = b_0 u(k) + b_1 u(k-1) + e(k) + c_1 e(k-1)$ où $u(k)$ est l'entrée, $e(k)$ un bruit blanc de moyenne nulle, et $y(k)$ la sortie observée. Le système fonctionne avec les entrées suivantes : $u(0) = 10$ , $u(1) = 12$ , $u(2) = 13$ et fournit les sorties : $y(0) = 18.5$ , $y(1) = 20.1$ , $y(2) = 21.7$ . On suppose que $e(1) = 0.2$ et $e(2) = 0.1$ . Question 1 : En supposant que $a_1 = -1.3$ , $a_2 = 0.42$ ,...→
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  Exercice 1: Diagnostic d'un système ARMA par identification paramétrique Un procédé industriel est modélisé par un modèle ARMA d'ordre 2: $y(t) - a_1 y(t-1) - a_2 y(t-2) = b_0 u(t) + b_1 u(t-1) + e(t)$ Les entrées et sorties mesurées sont : $u(0) = 1.2$ , $u(1) = 1.5$ , $u(2) = 1.7$ , $y(0) = 2.1$ , $y(1) = 2.7$ , $y(2) = 3.2$ . Question 1 : Estimez les paramètres $a_1$ , $a_2$ , $b_0$ , et $b_1$ par la méthode des moindres carrés sur ces données. Question 2 : En supposant que le système présente un défaut à $t = 3$ , où l'entrée devient $u(3) = 2.0$ et la sortie mesurée $y(3) = 4.9$ , estimez le résidu $e(3)$ en utilisant les paramètres identifiés précédemment. Analysez la présence...→
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  Exercice 2: Identification paramétrique ARMA appliquée à un moteur électrique La tension de sortie d'un moteur est modélisée par un modèle ARMA : $v(t) - a_1 v(t-1) = b_0 i(t) + e(t)$ On dispose des valeurs suivantes : $i(0) = 0.8$ , $v(0) = 3.0$ , $i(1) = 1.0$ , $v(1) = 4.1$ , $i(2) = 1.2$ , $v(2) = 5.3$ . Question 1: Déterminez le paramètre $a_1$ et $b_0$ par identification linéaire sur ces mesures. Question 2: À $t=3$ , le courant appliqué devient $i(3) = 1.5$ et la tension mesurée $v(3) = 6.5$ . Calculez le résidu $e(3)$ et indiquez s'il est suffisamment significatif pour signaler un défaut. Question 3: Si un bruit blanc de mesure de variance $\sigma^2 = 0.02$ est ajouté, proposez...→
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  Exercice 3: Détection paramétrique ARMA dans une chaîne de production automatisée Une chaîne utilise un modèle ARMA pour la pression de sortie $p(t)$ , dépendant de l'entrée du compresseur $s(t)$ : $p(t) - a_1 p(t-1) - a_2 p(t-2) = b_0 s(t) + e(t)$ Les valeurs mesurées sont : $s(0) = 3.0$ , $p(0) = 6.0$ , $s(1) = 3.4$ , $p(1) = 7.2$ , $s(2) = 3.8$ , $p(2) = 8.3$ . Question 1: Identifiez les paramètres $a_1$ , $a_2$ , $b_0$ à partir des mesures pour la chaîne de production. Question 2: À $t=3$ , une perturbation apparaît: $s(3) = 4.1$ , $p(3) = 9.9$ . Calculez le résidu $e(3)$ et analysez le diagnostic. Question 3: Si le système est ensuite soumis à $s(4)=4.3$ , $p(4)=11.0$ ,...→
• 11
  Exercice 1 : Identification ARMA pour la détection précoce de défaut capteur Un système mécanique rotatif est équipé d'un capteur de vibration. Le signal de vibration est modélisé par un modèle ARMA (AutoRegressive Moving Average). En fonctionnement normal, le signal suit le modèle ARMA(2,1) défini par : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + e(k) + b_1 e(k-1)$ où $y(k)$ est le signal de vibration à l'instant $k$ , $e(k)$ est le bruit blanc gaussien, et $a_1, a_2, b_1$ sont les paramètres du modèle. Paramètres nominaux du système en bon état : Paramètre autorégressif 1 : $a_1 = 0.75$ Paramètre autorégressif 2 : $a_2 = -0.20$ Paramètre moyenne mobile : $b_1 = 0.30$ Variance du bruit blanc :...→
• 12
  Exercice 2 : Identification ARMA progressive pour diagnostic de dégradation progressive Un système acoustique d'une machine industrielle est modélisé par un processus ARMA(1,2) : $y(k) = a_1 y(k-1) + e(k) + b_1 e(k-1) + b_2 e(k-2)$ Le signal acoustique est enregistré lors de trois phases de fonctionnement : phase initiale (saine), phase intermédiaire, et phase avancée (dégradée). À chaque phase, on réalise une identification ARMA. Paramètres identifiés à chaque phase : Phase 1 (état sain) : $a_1^{(1)} = 0.85, b_1^{(1)} = 0.40, b_2^{(1)} = 0.15$ Phase 2 (dégradation partielle) : $a_1^{(2)} = 0.92, b_1^{(2)} = 0.55, b_2^{(2)} = 0.20$ Phase 3 (dégradation avancée) : $a_1^{(3)} = 0.98, b_1^{(3)} = 0.70, b_2^{(3)} = 0.25$ Mesures du signal aux trois derniers instants : Phase 2 : $y(1) = 1.2 \text{ mV}, y(2) = 0.9 \text{ mV}$ Résidus précédents : $e(0) = 0.05 \text{ mV}, e(1) = 0.03 \text{ mV}$ Résidu courant estimé : $e(2) = 0.08 \text{ mV}$ Question...→
• 13
  Exercice 3 : Identification ARMA adaptative avec algorithme de moindres carrés récursif Un système hydraulique est équipé d'un capteur de pression. Le signal de pression suit un modèle ARMA(2,1) qui évolue lentement dans le temps. Pour détecter les changements paramétriques en temps réel, on emploie un algorithme des moindres carrés récursif avec factor d'oubli. $y(k) = a_1(k) y(k-1) + a_2(k) y(k-2) + e(k) + b_1(k) e(k-1)$ L'algorithme récursif met à jour les paramètres selon : $\hat{\theta}(k) = \hat{\theta}(k-1) + K(k) \cdot e_p(k)$ où $K(k)$ est le gain de Kalman et $e_p(k) = y(k) - \hat{y}(k|k-1)$ est l'erreur de prédiction. Conditions initiales à l'instant k=2 : Paramètres estimés : $\hat{\theta}(2) = [a_1(2), a_2(2), b_1(2)]^T = [0.80, -0.25, 0.35]^T$ Mesures antérieures : $y(0) = 2.5 \text{ bar}, y(1) = 3.1 \text{ bar}$ Résidu précédent : $e(1) = 0.12 \text{ bar}$ Mesure courante : $y(2) = 3.5 \text{ bar}$...→
• 14
  Exercice 1 : Identification paramétrique d'un système de chauffage Un banc d'essai de chauffage d'air soufflé est piloté par une entrée de puissance électrique $u(k)$ et la température d'air en sortie $y(k)$ est mesurée à chaque échantillon avec un pas $T_e = 1$ minute. On suppose que le comportement dynamique du système est modélisé par un modèle ARMA(1,1) : $y(k) + a_1\, y(k-1) = b_0\, u(k) + b_1\, u(k-1) + e(k) + c_1\, e(k-1)$ On applique au système la séquence $u(0)=0$ , $u(1)=2$ , $u(2)=2$ , $u(3)=0$ , $u(4)=0$ . On observe $y(0)=20$ (°C), $y(1)=22$ , $y(2)=24.4$ , $y(3)=25.2$ , $y(4)=23.8$ . Supposez $a_1=-0.5$ , $c_1=0.2$ . Question 1 : Estimez les coefficients $b_0$ et $b_1$...→
• 15
  Exercice 2 : Détection de défaut sur un système vibratoire Un banc de test pour surveiller l'état d'un arbre de transmission est modélisé par un système ARMA(2,1) suivant : $y(k) + a_1\, y(k-1) + a_2\, y(k-2) = b_0\, u(k) + e(k) + c_1 e(k-1)$ Les mesures d'entrée $u(k)$ sont constantes : $u(k)=0.5$ pour $k \geq 0$ . On observe pour $k = 0, 1, 2, 3$ : $y(0)=0$ , $y(1)=0.7$ , $y(2)=1.12$ , $y(3)=1.08$ On suppose $a_1 = -1.1$ , $a_2 = 0.18$ , $c_1=-0.6$ Question 1 : Calculez le gain d'entrée $b_0$ à l'aide des données pour $k=2$ et $k=3$ , en supposant que les résidus sont nuls. Question 2 : Calculez le résidu $e(3)$ avec le paramètre trouvé. Question 3 : Calculez le...→
• 16
  Exercice 3 : Détection de défaut sur moteur asynchrone via identification ARMA On considère la mesure de vitesse $y(k)$ d'un moteur asynchrone alimenté par un variateur, modélisé par : $y(k) + a_1 y(k-1) = b_1 u(k-1) + e(k) + c_1 e(k-1)$ Le variateur envoie : $u(0)=0$ , $u(1)=12$ , $u(2)=10$ Vitesse mesurée : $y(0)=0$ , $y(1)=2.5$ , $y(2)=3.9$ $a_1 = -0.42$ , $c_1=0.09$ Question 1 : Estimez le paramètre $b_1$ à partir des mesures à $k=2$ . Question 2 : Calculez le résidu $e(2)$ pour $k=2$ . Question 3 : Si à $k=3$ la mesure donne $y(3) = 1.8$ , calculez $e(3)$ et déterminez la présence de défaut si $T_h = 1.3$ .→
• 17
  Exercice 1 : Diagnostic par Identification Paramétrique ARMA - Système Moteur DC Un système moteur à courant continu de puissance nominale $P_n = 500 W$ est soumis à un protocole de diagnostic basé sur l'identification paramétrique ARMA. Le moteur fonctionne à vitesse nominale $\Omega_n = 1500 \text{ tr/min}$ et présente une résistance d'induit $R_a = 2.5 \, \Omega$ . Pour détecter les défauts potentiels (usure des balais, désalignement mécanique), on applique une tension de test et on mesure la réponse du courant statorique. Les données expérimentales collectées sur $N = 500$ échantillons à la fréquence $f_e = 1000 \text{ Hz}$ montrent des variations du courant autour d'une valeur moyenne de $I_{moy} = 15 \text{ A}$ . L'analyse préliminaire révèle un écart-type...→
• 18
  Exercice 2 : Diagnostic ARMA d'un Convertisseur Électronique - Onduleur Multiniveaux Un onduleur multiniveaux triphasé destiné à l'alimentation d'une charge inductive (charge moteur) fonctionne à une fréquence de modulation $f_m = 10 \text{ kHz}$ . Le système est diagnostiqué par identification ARMA du courant de ligne pour détecter les défauts d'interrupteurs de puissance (blocage de transistor ou court-circuit de diode). La tension d'entrée est $U_{dc} = 400 \text{ V}$ , la fréquence fondamentale du réseau est $f = 50 \text{ Hz}$ , et le courant de charge nominal est $I_n = 20 \text{ A}$ . Les mesures du courant de ligne sont effectuées à $f_e = 50 \text{ kHz}$ sur une fenêtre de $N = 2000$ échantillons. Modèle ARMA identifié pour l'onduleur...→
• 19
  Exercice 3 : Diagnostic ARMA d'un Système de Transmission par Engrenage - Détection de Fissure Dentaire Un réducteur d'engrenage hélicoïdal destiné à la transmission de puissance dans une application industrielle (vitesse nominale $N_1 = 1500 \text{ tr/min}$ , couple nominale $C_n = 500 \text{ N·m}$ ) est soumis à un diagnostic par analyse ARMA du signal de vibration de l'arbre primaire. Les données sont acquises à une fréquence d'échantillonnage $f_e = 10 \text{ kHz}$ avec une fenêtre temporelle de $N = 1500$ échantillons. Contexte physique : Les engrenages hélicoïdaux génèrent un signal de vibration périodique dont la fréquence caractéristique est la fréquence d'engrènement (Gear Mesh Frequency, GMF) : $f_{GMF} = Z_1 \times f_r = Z_1 \times \frac{N_1}{60}$ où $Z_1 = 19$ dents est le...→
• 20
  Exercice 1 : Diagnostic de défaut par identification ARMA d'une transmission mécanique Une transmission mécanique d'un système d'entraînement rotatif présente des anomalies de vibration. Pour diagnostiquer ces défauts, on utilise un modèle ARMA pour identifier les paramètres du système sain et les comparer avec le système défaillant. Données du système : Signal d'accélération vibratoire enregistré : $y(k)$ Fréquence d'échantillonnage : $F_e = 10 \text{ kHz}$ Nombre d'échantillons : $N = 4096$ Modèle ARMA(2,2) proposé pour le système Question 1 : Le modèle ARMA(2,2) du système sain s'écrit : $y(k) = -a_1 y(k-1) - a_2 y(k-2) + e(k) + b_1 e(k-1) + b_2 e(k-2)$ À partir de l'enregistrement du signal sain, on a obtenu par la méthode des moindres carrés les...→
• 21
  Exercice 2 : Diagnostic ARMA d'un défaut de roulement par analyse de la réponse en fréquence ...→
• 22
  Exercice 3 : Diagnostic par prédiction d'erreur et estimation du bruit de défaut ...→
• 23
  Exercice 1 : Identification paramétrique d'un système électromécanique par modèle ARMA Un système de diagnostic pour un moteur électrique industriel est étudié. Le système fonctionne normalement avec des paramètres nominaux. On utilise la méthode d'identification paramétrique basée sur le modèle ARMA pour détecter des défauts potentiels. Les données collectées du capteur de vibration sont analysées selon le modèle ARMA suivant : $y(k) = -a_1 y(k-1) - a_2 y(k-2) + b_0 e(k) + b_1 e(k-1)$ où $y(k)$ représente la réponse du système au temps discret $k$ , $e(k)$ est le signal d'entrée (bruit blanc avec variance $\sigma_e^2 = 0.25$ ), et les coefficients $a_1, a_2, b_0, b_1$ sont les paramètres à identifier. Lors d'un fonctionnement normal, on a...→
• 24
  Exercice 2 : Identification paramétrique d'un système thermique avec détection de défaut par énergie Un système de chauffage électrique industriel utilise la thérapie ARMA pour diagnostiquer le fonctionnement de l'échangeur thermique. Le système est modélisé par l'équation différentielle suivante, discrétisée selon un pas d'échantillonnage $T_s = 0.1 \text{ s}$ : $y(k) + a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) = b_0 u(k) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2)$ où $y(k)$ est la température de sortie (en °C), $u(k)$ est la tension d'entrée (en V), et les paramètres $a_1, a_2, b_0, b_1, b_2$ doivent être identifiés. En régime nominal, on observe les données suivantes sur quatre périodes d'échantillonnage : $y(0) = 25.0$ , $y(1) = 28.5$ , $y(2) = 32.1$ , $y(3) = 35.8$ $u(0) = 5.0$ , $u(1) = 6.5$ , $u(2) = 7.0$ , $u(3) = 8.5$ Les paramètres de...→
• 25
  Exercice 3 : Diagnostic multi-paramétrique de défauts couplés dans un système électromécanique Un système mécanique complexe (transmission, engrenages, roulements) est équipé d'un capteur de vibration. Le diagnostic utilise un modèle ARMA bidimensionnel pour détecter les défauts couplés. Le système est décrit par deux équations couplées : $y_1(k) = -c_1 y_1(k-1) - c_2 y_2(k-1) + d_1 e_1(k) + d_2 e_1(k-1)$ $y_2(k) = -c_3 y_1(k-1) - c_4 y_2(k-1) + d_3 e_2(k) + d_4 e_2(k-1)$ où $y_1(k)$ et $y_2(k)$ représentent respectivement les vibrations horizontales et verticales du système, $e_1(k)$ et $e_2(k)$ sont les excitations d'entrée (bruits blancs indépendants). Les données collectées sur trois pas d'échantillonnage sont : $y_1(0) = 0.2 \text{ mm}$ , $y_1(1) = 0.35 \text{ mm}$ , $y_1(2) = -0.15 \text{ mm}$ $y_2(0) = 0.15 \text{ mm}$ , $y_2(1) = 0.28 \text{ mm}$ , $y_2(2) = -0.10 \text{ mm}$ $e_1(1) = 0.1$ , $e_1(2) = -0.08$ $e_2(1) = 0.12$ , $e_2(2) = -0.06$ Les paramètres de la...→
• 26
  Exercice 2 : Identification paramétrique ARMA pour diagnostic vibratoire Un système de surveillance vibratoire d'une machine tournante (pompe centrifuge) utilise un capteur accélérométrique et identifie les états de santé par modélisation ARMA(3,2). En fonctionnement normal, les signaux d'accélération $a(k)$ (en m/s²) sont modélisés par : $a(k) = 1.25a(k-1) - 0.48a(k-2) + 0.12a(k-3) + n(k) + 0.62n(k-1) + 0.18n(k-2)$ où $n(k)$ est le bruit blanc de variance $\sigma_n^2 = 0.09$ m²/s⁴, et la vitesse de rotation est $\omega = 1500$ tr/min, donnant une fréquence de passage d'aubes $f_{BPF} = 25$ Hz. La période d'échantillonnage est $T_e = 0.01$ s (fréquence d'échantillonnage $f_s = 100$ Hz). Lors du diagnostic, une dégradation de roulement est suspecte, et le modèle identifié présente les paramètres : $\phi_1 = 1.18$ ,...→
• 27
  Exercice 1 : Diagnostic par Identification Paramétrique ARMA - Défaut de Roulement Contexte : Un système de surveillance vibratoire d'une machine tournante utilise un modèle ARMA pour détecter les défauts de roulement. Le signal vibratoire mesuré suit un processus ARMA(2,1) dont les paramètres évoluent avec l'état du système. Énoncé des Questions : Question 1 : Estimation des Paramètres Autorégressifs Le signal vibratoire x(n) mesuré à l'échelle d'un roulement sain subit une autocorrélation. Les mesures des trois premiers coefficients d'autocorrélation sont respectivement : $r(0) = 1.0$ , $r(1) = 0.75$ , et $r(2) = 0.45$ . En supposant un modèle autorégressif AR(2) de la forme $x(n) = a_1 x(n-1) + a_2 x(n-2) + e(n)$ ,...→
• 28
  Exercice 2 : Diagnostic Comparatif ARMA - Détection de Défaut de Denture d'Engrenage Contexte : Un système d'engrenage en exploitation subit une dégradation progressive. Des mesures vibratoires sont effectuées mensuellement. Deux modèles ARMA concurrents sont identifiés : ARMA(2,2) pour le système sain et ARMA(3,1) pour le système dégradé. Énoncé des Questions : Question 1 : Identification des Paramètres ARMA(2,2) pour l'État Nominal Pour le système sain, les mesures d'autocorrélation jusqu'à lag 3 sont : $r(0) = 1.0$ , $r(1) = 0.68$ , $r(2) = 0.32$ , $r(3) = -0.15$ . Un modèle ARMA(2,2) est proposé avec la structure $x(n) - a_1 x(n-1) - a_2 x(n-2) = e(n) + b_1 e(n-1) + b_2 e(n-2)$ . En utilisant les équations de Yule-Walker étendues, déterminez...→
• 29
  Exercice 3 : Diagnostic Multi-Fréquentiel ARMA - Détection de Cavitation en Pompe Contexte : Une pompe centrifuge opère sous charge variable. Un défaut de cavitation est suspecté. L'analyse vibratoire s'effectue par identification ARMA dans trois bandes fréquentielles simultanément : basse fréquence (BF : 0-100 Hz), moyenne fréquence (MF : 100-500 Hz) et haute fréquence (HF : 500-2000 Hz). Énoncé des Questions : Question 1 : Identification ARMA Parallèle dans la Bande MF et Calcul de l'Énergie Diagnostique Dans la bande MF, le signal filtré présente les autocorrélations : $r(0) = 1.0$ , $r(1) = 0.64$ , $r(2) = 0.28$ . Un modèle ARMA(1,1) est utilisé :...→

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