Dimensionnement des systèmes industriels json Recherche avancée

[
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "Une station de pompage pour une industrie agro-alimentaire utilise une pompe centrifuge entraînée par un moteur électrique pour acheminer de l'eau de refroidissement. Le débit volumique requis est $Q = 250$ m³/h sous une hauteur manométrique totale (HMT) de $H = 35$ m. La masse volumique de l'eau est $\\rho = 1000$ kg/m³. Le rendement de la pompe est $\\eta_p = 0{,}78$ et celui du moteur $\\eta_m = 0{,}92$. Le facteur de puissance du moteur est $\\cos(\\varphi) = 0{,}87$. La pompe fonctionne $16$ heures par jour avec un profil de charge variable : $100\\%$ de charge pendant $8$ h, $75\\%$ pendant $6$ h, et $50\\%$ pendant $2$ h. Le réseau électrique est triphasé 400 V / 50 Hz.\n\n1. Calculez la puissance hydraulique $P_h$, la puissance mécanique à l'arbre de la pompe $P_{mec}$, la puissance électrique absorbée par le moteur $P_{elec}$, le courant nominal en ligne $I_n$, et sélectionnez la puissance normalisée du moteur (gamme standard : 30, 37, 45, 55, 75 kW) avec un coefficient de sécurité $k_s = 1{,}15$.\n2. Déterminez le couple nominal à l'arbre moteur $C_n$ sachant que la vitesse de rotation du moteur est $n = 1470$ tr/min, le couple de la pompe $C_p$, et vérifiez l'adéquation du moteur sélectionné en calculant le couple maximal admissible $C_{max}$ (sachant que pour un moteur asynchrone, $C_{max} = 2{,}2 \\times C_n$).\n3. Calculez la consommation énergétique journalière $E_{jour}$, la consommation mensuelle $E_{mois}$ (30 jours), le coût énergétique mensuel sachant que le tarif est $0{,}12$ €/kWh, et estimez les économies réalisables en optimisant le profil de charge par variateur de vitesse (réduction moyenne de $25\\%$ de la consommation).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : La puissance hydraulique est donnée par $P_h = \\rho \\times g \\times Q \\times H$ où $Q$ est en m³/s et $H$ en m. La puissance mécanique à l'arbre de la pompe est $P_{mec} = \\frac{P_h}{\\eta_p}$. La puissance électrique absorbée est $P_{elec} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_m}$. Le courant nominal triphasé : $I_n = \\frac{P_{elec}}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos(\\varphi) \\times \\eta_m}$. La puissance normalisée du moteur est $P_{norm} = k_s \\times P_{elec}$.
2. Remplacement : Débit : $Q = 250$ m³/h = $\\frac{250}{3600} = 0{,}0694$ m³/s. $P_h = 1000 \\times 9{,}81 \\times 0{,}0694 \\times 35 = 23{,}828$ kW ≈ $23{,}83$ kW. $P_{mec} = \\frac{23{,}83}{0{,}78} = 30{,}55$ kW. $P_{elec} = \\frac{30{,}55}{0{,}92} = 33{,}21$ kW. Puissance avec coefficient de sécurité : $P_{req} = 1{,}15 \\times 33{,}21 = 38{,}19$ kW. Puissance normalisée sélectionnée : $45$ kW. Courant nominal (avec moteur de 45 kW) : $I_n = \\frac{45 \\times 10^3}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0{,}87 \\times 0{,}92} = \\frac{45{,}000}{555{,}4} \\approx 81{,}0$ A.
3. Calcul : $P_h = 23{,}83$ kW, $P_{mec} = 30{,}55$ kW, $P_{elec} = 33{,}21$ kW, $P_{norm} = 45$ kW, $I_n = 81{,}0$ A.
4. Résultat : Puissance hydraulique : $P_h = 23{,}83$ kW, puissance mécanique : $P_{mec} = 30{,}55$ kW, puissance électrique : $P_{elec} = 33{,}21$ kW, courant nominal : $I_n = 81{,}0$ A, puissance normalisée moteur : $45$ kW

Question 2 :
1. Formule générale : Le couple nominal à l'arbre moteur est $C_n = \\frac{P_{elec}}{\\omega_n}$ où $\\omega_n = \\frac{2\\pi n}{60}$ est la vitesse angulaire en rad/s. Le couple de la pompe (à l'arbre pompe) est $C_p = \\frac{P_{mec}}{\\omega_n}$. Le couple maximal admissible du moteur est $C_{max} = 2{,}2 \\times C_n$. Vérification : le couple de la pompe ne doit pas dépasser le couple maximal du moteur.
2. Remplacement : Vitesse angulaire : $\\omega_n = \\frac{2\\pi \\times 1470}{60} = \\frac{9235{,}2}{60} = 153{,}9$ rad/s. Couple nominal moteur (pour 45 kW nominal) : $C_n = \\frac{45 \\times 10^3}{153{,}9} = 292{,}4$ N·m. Couple pompe (puissance mécanique effective 30,55 kW) : $C_p = \\frac{30{,}55 \\times 10^3}{153{,}9} = 198{,}5$ N·m. Couple maximal moteur : $C_{max} = 2{,}2 \\times 292{,}4 = 643{,}3$ N·m. Vérification : $C_p = 198{,}5 < C_{max} = 643{,}3$ N·m ✓ (largement compatible).
3. Calcul : $C_n = 292{,}4$ N·m, $C_p = 198{,}5$ N·m, $C_{max} = 643{,}3$ N·m.
4. Résultat : Couple nominal moteur : $C_n = 292{,}4$ N·m, couple pompe : $C_p = 198{,}5$ N·m, couple maximal admissible : $C_{max} = 643{,}3$ N·m, adéquation vérifiée

Question 3 :
1. Formule générale : La consommation énergétique journalière dépend du profil de charge. À charge partielle, la puissance évolue approximativement avec le cube du débit (loi des ventilateurs) : $P(x) \\approx P_{nom} \\times x^3$ où $x$ est le taux de charge. Consommation journalière : $E_{jour} = P_{100\\%} \\times t_1 + P_{75\\%} \\times t_2 + P_{50\\%} \\times t_3$. Consommation mensuelle : $E_{mois} = E_{jour} \\times 30$. Coût : $C_{mois} = E_{mois} \\times \\text{tarif}$. Économie avec variateur : $\\Delta E = 0{,}25 \\times E_{mois}$.
2. Remplacement : $P_{100\\%} = 33{,}21$ kW. $P_{75\\%} = 33{,}21 \\times (0{,}75)^3 = 33{,}21 \\times 0{,}422 = 14{,}01$ kW. $P_{50\\%} = 33{,}21 \\times (0{,}50)^3 = 33{,}21 \\times 0{,}125 = 4{,}15$ kW. Consommation journalière : $E_{jour} = 33{,}21 \\times 8 + 14{,}01 \\times 6 + 4{,}15 \\times 2 = 265{,}68 + 84{,}06 + 8{,}30 = 358{,}04$ kWh. Consommation mensuelle : $E_{mois} = 358{,}04 \\times 30 = 10{,}741$ MWh = $10{,}741{,}2$ kWh. Coût mensuel : $C_{mois} = 10{,}741{,}2 \\times 0{,}12 = 1{,}288{,}94$ € ≈ $1{,}289$ k€. Économie avec variateur : $\\Delta E = 0{,}25 \\times 10{,}741 = 2{,}685$ MWh. Économie financière : $\\Delta C = 2{,}685 \\times 10^3 \\times 0{,}12 = 322{,}2$ €/mois.
3. Calcul : $E_{jour} = 358{,}04$ kWh, $E_{mois} = 10{,}741$ MWh, $C_{mois} = 1{,}289$ k€, économie : $322$ €/mois.
4. Résultat : Consommation journalière : $E_{jour} = 358$ kWh, consommation mensuelle : $E_{mois} = 10{,}74$ MWh, coût mensuel : $1{,}289$ k€, économie avec variateur : $322$ €/mois ($25\\%$)",
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "Une usine métallurgique dispose d'un four électrique à arc de puissance $P_{four} = 10$ MVA pour la fusion de ferraille. Le four fonctionne en triphasé 10 kV / 50 Hz avec un facteur de puissance moyen $\\cos(\\varphi_{moy}) = 0{,}75$ (inductif). Le transformateur d'alimentation a un rapport $33$ kV / $10$ kV, puissance nominale $S_n = 12$ MVA, tension de court-circuit $u_{cc} = 6\\%$, et pertes cuivre $P_{cu} = 80$ kW. Le cycle de fusion comprend trois phases : fusion ($P_1 = 10$ MVA, $t_1 = 45$ min, $\\cos(\\varphi_1) = 0{,}70$), affinage ($P_2 = 6$ MVA, $t_2 = 20$ min, $\\cos(\\varphi_2) = 0{,}80$), et coulée ($P_3 = 2$ MVA, $t_3 = 15$ min, $\\cos(\\varphi_3) = 0{,}85$). Le temps total de cycle est $t_{cycle} = 80$ min.\n\n1. Calculez le courant nominal du four en phase de fusion $I_1$, le courant d'affinage $I_2$, le courant de coulée $I_3$, la puissance active moyenne du cycle $P_{moy}$, et la puissance réactive moyenne $Q_{moy}$. Dimensionnez la batterie de condensateurs nécessaire pour corriger le facteur de puissance global à $\\cos(\\varphi_{corr}) = 0{,}95$.\n2. Déterminez les pertes dans le transformateur en régime de fusion (charge maximale) incluant les pertes fer (estimées à $P_{fe} = 25$ kW) et les pertes cuivre $P_{cu,charge}$, le rendement du transformateur $\\eta_{transfo}$, la chute de tension relative $\\Delta u_{rel}$ au secondaire, et la tension secondaire réelle $U_2$ sous charge.\n3. Calculez la consommation énergétique active par cycle $E_{cycle}$, la consommation journalière pour $12$ cycles par jour $E_{jour}$, le coût énergétique journalier au tarif de $0{,}10$ €/kWh, et estimez la réduction de facture annuelle (365 jours) après installation de la batterie de condensateurs sachant que le tarif de la puissance réactive excédentaire est $0{,}05$ €/kvarh.",
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    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : Le courant de ligne triphasé est $I = \\frac{S}{\\sqrt{3} \\times U}$ où $S$ est la puissance apparente et $U$ la tension de ligne. La puissance active moyenne sur un cycle : $P_{moy} = \\frac{P_1 t_1 + P_2 t_2 + P_3 t_3}{t_{cycle}}$ où $P_i = S_i \\cos(\\varphi_i)$. La puissance réactive moyenne : $Q_{moy} = \\frac{Q_1 t_1 + Q_2 t_2 + Q_3 t_3}{t_{cycle}}$ où $Q_i = S_i \\sin(\\varphi_i)$. La batterie de condensateurs : $Q_c = P_{moy} (\\tan(\\arccos(\\cos(\\varphi_{moy}))) - \\tan(\\arccos(\\cos(\\varphi_{corr}))))$.
2. Remplacement : Phase fusion : $I_1 = \\frac{10 \\times 10^6}{\\sqrt{3} \\times 10 \\times 10^3} = \\frac{10^7}{17{,}32 \\times 10^3} = 577{,}4$ A. Phase affinage : $I_2 = \\frac{6 \\times 10^6}{\\sqrt{3} \\times 10^4} = 346{,}4$ A. Phase coulée : $I_3 = \\frac{2 \\times 10^6}{\\sqrt{3} \\times 10^4} = 115{,}5$ A. Puissances actives : $P_1 = 10 \\times 0{,}70 = 7{,}0$ MW, $P_2 = 6 \\times 0{,}80 = 4{,}8$ MW, $P_3 = 2 \\times 0{,}85 = 1{,}7$ MW. Puissance active moyenne : $P_{moy} = \\frac{7{,}0 \\times 45 + 4{,}8 \\times 20 + 1{,}7 \\times 15}{80} = \\frac{315 + 96 + 25{,}5}{80} = \\frac{436{,}5}{80} = 5{,}456$ MW. Puissances réactives : $Q_1 = 10 \\times \\sin(\\arccos(0{,}70)) = 10 \\times 0{,}714 = 7{,}14$ Mvar, $Q_2 = 6 \\times 0{,}60 = 3{,}60$ Mvar, $Q_3 = 2 \\times 0{,}527 = 1{,}05$ Mvar. Puissance réactive moyenne : $Q_{moy} = \\frac{7{,}14 \\times 45 + 3{,}60 \\times 20 + 1{,}05 \\times 15}{80} = \\frac{321{,}3 + 72 + 15{,}75}{80} = \\frac{409{,}05}{80} = 5{,}113$ Mvar. Facteur de puissance moyen effectif : $\\cos(\\varphi_{moy,calc}) = \\frac{5{,}456}{\\sqrt{5{,}456^2 + 5{,}113^2}} = \\frac{5{,}456}{7{,}474} = 0{,}73$. Pour corriger à 0,95 : $\\tan(\\varphi_{moy}) = \\frac{5{,}113}{5{,}456} = 0{,}937$, $\\tan(\\varphi_{corr}) = \\tan(\\arccos(0{,}95)) = 0{,}329$. Puissance capacitive : $Q_c = 5{,}456 \\times (0{,}937 - 0{,}329) = 5{,}456 \\times 0{,}608 = 3{,}317$ Mvar ≈ $3{,}3$ Mvar.
3. Calcul : $I_1 = 577{,}4$ A, $I_2 = 346{,}4$ A, $I_3 = 115{,}5$ A, $P_{moy} = 5{,}456$ MW, $Q_{moy} = 5{,}113$ Mvar, $Q_c = 3{,}3$ Mvar.
4. Résultat : Courant fusion : $I_1 = 577$ A, affinage : $I_2 = 346$ A, coulée : $I_3 = 116$ A, puissance active moyenne : $P_{moy} = 5{,}46$ MW, puissance réactive moyenne : $Q_{moy} = 5{,}11$ Mvar, batterie condensateurs : $Q_c = 3{,}3$ Mvar

Question 2 :
1. Formule générale : Les pertes cuivre à charge partielle : $P_{cu,charge} = P_{cu,nom} \\times \\left(\\frac{S_{charge}}{S_n}\\right)^2$. Les pertes totales : $P_{pertes} = P_{fe} + P_{cu,charge}$. Le rendement : $\\eta_{transfo} = \\frac{P_{sortie}}{P_{sortie} + P_{pertes}}$. La chute de tension relative : $\\Delta u_{rel} = u_{cc} \\times \\frac{S_{charge}}{S_n} \\times \\cos(\\varphi)$ (approximation). Tension secondaire réelle : $U_2 = U_{2,nom} \\times (1 - \\Delta u_{rel})$.
2. Remplacement : En phase de fusion, charge maximale : $S_{charge} = 10$ MVA, $S_n = 12$ MVA. Rapport : $\\frac{S_{charge}}{S_n} = \\frac{10}{12} = 0{,}833$. Pertes cuivre : $P_{cu,charge} = 80 \\times (0{,}833)^2 = 80 \\times 0{,}694 = 55{,}5$ kW. Pertes totales : $P_{pertes} = 25 + 55{,}5 = 80{,}5$ kW. Puissance active de sortie en fusion : $P_{sortie} = 7{,}0$ MW. Rendement : $\\eta_{transfo} = \\frac{7{,}0 \\times 10^3}{7{,}0 \\times 10^3 + 80{,}5} = \\frac{7000}{7080{,}5} = 0{,}9886$ (98,86%). Chute de tension relative : $\\Delta u_{rel} = 0{,}06 \\times 0{,}833 \\times 0{,}70 = 0{,}035$ (3,5%). Tension secondaire : $U_2 = 10{,}0 \\times (1 - 0{,}035) = 10{,}0 \\times 0{,}965 = 9{,}65$ kV.
3. Calcul : $P_{cu,charge} = 55{,}5$ kW, $P_{pertes} = 80{,}5$ kW, $\\eta_{transfo} = 0{,}989$, $\\Delta u_{rel} = 3{,}5\\%$, $U_2 = 9{,}65$ kV.
4. Résultat : Pertes cuivre en charge : $P_{cu,charge} = 55{,}5$ kW, pertes totales : $P_{pertes} = 80{,}5$ kW, rendement transformateur : $\\eta = 98{,}9\\%$, chute de tension : $\\Delta u_{rel} = 3{,}5\\%$, tension secondaire : $U_2 = 9{,}65$ kV

Question 3 :
1. Formule générale : L'énergie active par cycle : $E_{cycle} = P_1 t_1 + P_2 t_2 + P_3 t_3$ (en MWh, avec temps en heures). Énergie journalière : $E_{jour} = 12 \\times E_{cycle}$. Coût journalier actif : $C_{jour,actif} = E_{jour} \\times \\text{tarif}_P$. Énergie réactive avant correction : $E_{Q,cycle} = Q_1 t_1 + Q_2 t_2 + Q_3 t_3$. Après correction, économie réactive : $\\Delta E_Q = E_{Q,cycle} - Q_{corr} \\times t_{cycle}$ où $Q_{corr} = P_{moy} \\times \\tan(\\arccos(0{,}95))$. Économie annuelle : $\\Delta C_{an} = 365 \\times 12 \\times \\Delta E_Q \\times \\text{tarif}_Q$.
2. Remplacement : Temps en heures : $t_1 = 0{,}75$ h, $t_2 = 0{,}333$ h, $t_3 = 0{,}25$ h. Énergie active par cycle : $E_{cycle} = 7{,}0 \\times 0{,}75 + 4{,}8 \\times 0{,}333 + 1{,}7 \\times 0{,}25 = 5{,}25 + 1{,}60 + 0{,}425 = 7{,}275$ MWh. Énergie journalière : $E_{jour} = 12 \\times 7{,}275 = 87{,}3$ MWh. Coût journalier actif : $C_{jour} = 87{,}3 \\times 10^3 \\times 0{,}10 = 8{,}730$ k€. Énergie réactive par cycle : $E_{Q,cycle} = 7{,}14 \\times 0{,}75 + 3{,}60 \\times 0{,}333 + 1{,}05 \\times 0{,}25 = 5{,}355 + 1{,}199 + 0{,}263 = 6{,}817$ Mvarh. Puissance réactive après correction : $Q_{corr} = 5{,}456 \\times 0{,}329 = 1{,}795$ Mvar. Énergie réactive après correction sur cycle (80 min = 1,333 h) : $E_{Q,corr} = 1{,}795 \\times 1{,}333 = 2{,}392$ Mvarh. Économie par cycle : $\\Delta E_Q = 6{,}817 - 2{,}392 = 4{,}425$ Mvarh. Économie journalière : $\\Delta E_{Q,jour} = 12 \\times 4{,}425 = 53{,}1$ Mvarh. Économie annuelle : $\\Delta C_{an} = 365 \\times 53{,}1 \\times 0{,}05 = 968{,}3$ k€/an ≈ $968$ k€/an.
3. Calcul : $E_{cycle} = 7{,}275$ MWh, $E_{jour} = 87{,}3$ MWh, $C_{jour} = 8{,}73$ k€, économie annuelle : $968$ k€.
4. Résultat : Énergie par cycle : $E_{cycle} = 7{,}28$ MWh, énergie journalière : $E_{jour} = 87{,}3$ MWh, coût journalier : $8{,}73$ k€, réduction annuelle avec condensateurs : $968$ k€",
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 1 : Dimensionnement du moteur d'un système d'élevateur multi-étages",
    "question": "
Exercice 1 : Système d'élevateur dans un immeuble commercial
Contexte : Une entreprise souhaite installer un système d'élevateur de charge dans un immeuble de 12 étages. Le cahier des charges définit les paramètres suivants :
Charge utile maximale : $Q = 2500 \\, \\text{kg}$
Hauteur totale de levage : $H = 45 \\, \\text{m}$
Vitesse nominale de montée : $v_n = 1.2 \\, \\text{m/s}$
Rendement global du système (poulies, réducteur, câbles) : $\\eta_{global} = 0.85$
Accélération souhaitée au démarrage : $a = 0.5 \\, \\text{m/s}^2$
Masse de la cabine vide : $m_{cabine} = 1200 \\, \\text{kg}$
Coefficient de frottement des guides : $f = 0.08$
Durée du cycle montée-descente : $t_{cycle} = 60 \\, \\text{s}$
Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$
Questions :
Question 1 : Calculer la puissance mécanique utile minimale requise au niveau de la poulie pour assurer le levage à vitesse nominale. Justifier comment la résistance de frottement influence ce calcul.
Question 2 : Déterminer la puissance électrique nominale du moteur d'entraînement et évaluer le couple moteur nécessaire à la vitesse nominale, sachant que la vitesse angulaire de la poulie est $\\omega = 2.5 \\, \\text{rad/s}$.
Question 3 : Analyser la surcharge thermique du moteur lors de la phase d'accélération et calculer la puissance supplémentaire requise. En déduire un facteur de surcharge approprié et le temps maximum de fonctionnement continu sans dépasser une température admissible.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
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    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée
Question 1 : Puissance mécanique utile à la poulie
Étape 1 : Analyse des forces agissant sur le système
Le système doit vaincre :
Le poids total (cabine + charge) : $P_{total} = (m_{cabine} + Q) \\cdot g$
La résistance de frottement des guides
Calcul du poids total :
$P_{total} = (1200 + 2500) \\times 9.81 = 3700 \\times 9.81 = 36297 \\, \\text{N}$
Étape 2 : Calcul de la résistance de frottement
La force de frottement dépend du coefficient de frottement et de la charge normale. Pour des guides verticaux :
$F_{frottement} = f \\times P_{total} = 0.08 \\times 36297 = 2903.76 \\, \\text{N}$
Étape 3 : Force totale à vaincre à vitesse nominale
À vitesse nominale (accélération nulle), la force motrice doit équilibrer le poids et le frottement :
$F_{motrice} = P_{total} + F_{frottement} = 36297 + 2903.76 = 39200.76 \\, \\text{N}$
Étape 4 : Calcul de la puissance mécanique utile
La puissance est le produit de la force par la vitesse :
$P_{utile} = F_{motrice} \\times v_n = 39200.76 \\times 1.2 = 47040.91 \\, \\text{W}$
Résultat final :
$\\boxed{P_{utile} = 47.04 \\, \\text{kW}}$
Interprétation : La puissance de 47 kW est nécessaire uniquement pour maintenir la cabine à vitesse constante. Le frottement représente environ 7.4 % de la puissance totale, ce qui justifie son inclusion dans le calcul pour un dimensionnement précis.
Question 2 : Puissance électrique nominale et couple moteur
Étape 1 : Calcul de la puissance électrique nominale
La puissance électrique doit compenser les pertes du système global (rendement global de 0.85) :
$P_{électrique} = \\frac{P_{utile}}{\\eta_{global}} = \\frac{47040.91}{0.85} = 55342.24 \\, \\text{W}$
Résultat intermédiaire :
$P_{électrique} = 55.34 \\, \\text{kW}$
Étape 2 : Calcul du couple moteur à la vitesse nominale
La relation entre puissance, couple et vitesse angulaire est :
$P = C \\times \\omega$
Où $C$ est le couple et $\\omega$ la vitesse angulaire.
Remplacement des données :
$C = \\frac{P_{utile}}{\\omega} = \\frac{47040.91}{2.5} = 18816.36 \\, \\text{N·m}$
Résultats finaux :
$\\boxed{P_{électrique} = 55.34 \\, \\text{kW}}$
$\\boxed{C_{moteur} = 18816.36 \\, \\text{N·m} \\approx 18.8 \\, \\text{kN·m}}$
Interprétation : Le moteur électrique doit fournir un couple de 18.8 kN·m à la vitesse nominale de 2.5 rad/s. Cette valeur élevée du couple justifie l'utilisation d'un réducteur de vitesse dans le système, qui augmente le couple tout en réduisant la vitesse angulaire.
Question 3 : Surcharge thermique lors de l'accélération et facteur de surcharge
Étape 1 : Calcul de la force d'accélération supplémentaire
Pendant la phase d'accélération, une force supplémentaire est nécessaire pour accélérer la masse :
$F_{accélération} = (m_{cabine} + Q) \\times a = 3700 \\times 0.5 = 1850 \\, \\text{N}$
Étape 2 : Force totale lors de l'accélération
La force motrice totale inclut le poids, le frottement et l'accélération :
$F_{total,acc} = F_{motrice} + F_{accélération} = 39200.76 + 1850 = 41050.76 \\, \\text{N}$
Étape 3 : Puissance mécanique lors de l'accélération
Pendant l'accélération, la vitesse augmente de 0 à $v_n = 1.2 \\, \\text{m/s}$. Pour l'analyse, on considère la vitesse moyenne : $v_{moy} = 0.6 \\, \\text{m/s}$
$P_{accélération} = F_{total,acc} \\times v_{moy} = 41050.76 \\times 0.6 = 24630.46 \\, \\text{W}$
À vitesse nominale (pendant l'accélération) :
$P_{acc,nominal} = F_{total,acc} \\times v_n = 41050.76 \\times 1.2 = 49260.91 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Puissance électrique lors de l'accélération
$P_{électrique,acc} = \\frac{P_{acc,nominal}}{\\eta_{global}} = \\frac{49260.91}{0.85} = 57954.01 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Facteur de surcharge
Le facteur de surcharge est le rapport entre la puissance lors de l'accélération et la puissance nominale :
$k_{surcharge} = \\frac{P_{électrique,acc}}{P_{électrique}} = \\frac{57954.01}{55342.24} = 1.047$
Étape 6 : Temps maximum de fonctionnement continu
La phase d'accélération dure le temps nécessaire pour atteindre $v_n$ :
$t_{accélération} = \\frac{v_n}{a} = \\frac{1.2}{0.5} = 2.4 \\, \\text{s}$
Pour un cycle de 60 s comprenant montée, descente et arrêts :
$Nombre \\, de \\, cycles \\, par \\, heure = \\frac{3600}{60} = 60 \\, cycles$
Temps total d'accélération par heure :
$t_{acc,total} = 60 \\times 2.4 = 144 \\, \\text{s} = 2.4 \\, \\text{minutes}$
Le moteur fonctionne en surcharge environ 2.4 minutes par heure. Les moteurs électriques peuvent généralement supporter une surcharge de 4-5 % pendant 10-15 secondes. Pour 2.4 s, la surcharge de 4.7 % est acceptable.
Résultats finaux :
$\\boxed{P_{accélération} = 49.26 \\, \\text{kW (puissance mécanique)}}$
$\\boxed{P_{électrique,acc} = 57.95 \\, \\text{kW (puissance électrique)}}$
$\\boxed{k_{surcharge} = 1.047 \\, \\text{soit environ } 4.7\\%}$
$\\boxed{t_{acc} = 2.4 \\, \\text{s par cycle}}$
Interprétation : La surcharge de 4.7 % pendant 2.4 s par cycle est très acceptable. Le moteur ne subit pas une élévation de température critique. Cependant, un système de refroidissement adéquat est recommandé, particulièrement pendant les périodes de forte utilisation où le moteur peut tourner en continu pendant plusieurs heures.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 2 : Dimensionnement du moteur d'un compresseur centrifuge industriel",
    "question": "
Exercice 2 : Système de compression d'air pour chaîne de production
Contexte : Une usine agroalimentaire nécessite un système de compression d'air comprimé pour le fonctionnement de ses équipements pneumatiques. Un compresseur centrifuge multi-étages est sélectionné avec les spécifications suivantes :
Débit d'air aspiré à conditions standard : $Q_v = 850 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$
Pression d'entrée (atmosphérique) : $P_1 = 101.3 \\, \\text{kPa}$
Pression de sortie désirée : $P_2 = 850 \\, \\text{kPa}$
Température d'entrée : $T_1 = 288 \\, \\text{K} \\, (15°C)$
Rendement isentropique du compresseur : $\\eta_s = 0.78$
Rendement mécanique du réducteur : $\\eta_{réducteur} = 0.92$
Rendement du moteur électrique : $\\eta_{moteur} = 0.89$
Indice adiabatique de l'air : $\\gamma = 1.4$
Constante spécifique de l'air : $R = 287 \\, \\text{J/(kg·K)}$
Masse volumique de l'air à l'entrée : $\\rho_1 = 1.225 \\, \\text{kg/m}^3$
Vitesse angulaire de la roue de compression : $N = 15000 \\, \\text{rpm}$
Questions :
Question 1 : Calculer la puissance isentropique théorique nécessaire pour comprimer l'air du débit spécifié de 850 m³/h de la pression atmosphérique à 850 kPa. Expliquer l'impact du rendement isentropique sur la puissance réelle requise.
Question 2 : Déterminer la puissance électrique nominale du moteur d'entraînement en tenant compte de tous les rendements du système (compresseur, réducteur et moteur). Justifier le choix d'une classe de puissance commerciale appropriée.
Question 3 : Calculer la température théorique de l'air à la sortie du compresseur en supposant une compression isentropique idéale, puis déterminer l'écart de température avec les conditions réelles dues au rendement fini. Commenter les implications pour le refroidissement du compresseur.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée
Question 1 : Puissance isentropique théorique et impact du rendement
Étape 1 : Conversion du débit volumétrique en débit massique
Le débit volumétrique est donné en m³/h. Le convertir en m³/s :
$Q_v = 850 \\, \\text{m}^3/\\text{h} = \\frac{850}{3600} = 0.2361 \\, \\text{m}^3/\\text{s}$
Le débit massique s'obtient par :
$\\dot{m} = \\rho_1 \\times Q_v = 1.225 \\times 0.2361 = 0.289 \\, \\text{kg/s}$
Étape 2 : Calcul du taux de compression
$r = \\frac{P_2}{P_1} = \\frac{850}{101.3} = 8.389$
Étape 3 : Calcul de la température isentropique théorique à la sortie
Pour une compression isentropique (processus adiabatique réversible) :
$T_{2,is} = T_1 \\times r^{\\frac{\\gamma - 1}{\\gamma}} = T_1 \\times r^{\\frac{1.4 - 1}{1.4}} = T_1 \\times r^{0.2857}$
$T_{2,is} = 288 \\times 8.389^{0.2857}$
Calcul de l'exposant : $8.389^{0.2857} = 1.697$
$T_{2,is} = 288 \\times 1.697 = 488.7 \\, \\text{K}$
Étape 4 : Travail spécifique isentropique
Le travail spécifique pour une compression isentropique :
$w_{is} = \\frac{\\gamma}{\\gamma - 1} \\times R \\times T_1 \\times \\left( r^{\\frac{\\gamma - 1}{\\gamma}} - 1 \\right)$
$w_{is} = \\frac{1.4}{0.4} \\times 287 \\times 288 \\times (1.697 - 1)$
$w_{is} = 3.5 \\times 287 \\times 288 \\times 0.697 = 227,900 \\, \\text{J/kg}$
Étape 5 : Puissance isentropique théorique
$P_{is} = \\dot{m} \\times w_{is} = 0.289 \\times 227,900 = 65,802 \\, \\text{W}$
Étape 6 : Impact du rendement isentropique
Le rendement isentropique définit le rapport entre le travail isentropique et le travail réel :
$\\eta_s = \\frac{w_{is}}{w_{réel}}$
D'où le travail réel :
$w_{réel} = \\frac{w_{is}}{\\eta_s} = \\frac{227,900}{0.78} = 292,179 \\, \\text{J/kg}$
Résultats finaux :
$\\boxed{P_{is} = 65.8 \\, \\text{kW (puissance théorique isentropique)}}$
$\\boxed{w_{réel} = 292.2 \\, \\text{kJ/kg}}$
Interprétation : Le rendement isentropique de 0.78 signifie que 22 % de l'énergie est dissipée sous forme de chaleur et d'irréversibilités (turbulences, frottements, etc.). La puissance réelle requise est supérieure de 28 % à la théorique, passant de 65.8 kW à environ 84.5 kW en tenant compte du rendement.
Question 2 : Puissance électrique nominale du moteur
Étape 1 : Puissance réelle du compresseur
$P_{compresseur} = \\frac{P_{is}}{\\eta_s} = \\frac{65,802}{0.78} = 84,362 \\, \\text{W}$
Étape 2 : Puissance mécanique à l'entrée du réducteur
La puissance mécanique requise au réducteur :
$P_{mécanique} = P_{compresseur} = 84,362 \\, \\text{W}$
Étape 3 : Puissance à la sortie du moteur (avant le réducteur)
Le réducteur a un rendement de 0.92, donc :
$P_{moteur,sortie} = \\frac{P_{mécanique}}{\\eta_{réducteur}} = \\frac{84,362}{0.92} = 91,676 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Puissance électrique nominale du moteur
Le moteur électrique a un rendement de 0.89, donc :
$P_{électrique} = \\frac{P_{moteur,sortie}}{\\eta_{moteur}} = \\frac{91,676}{0.89} = 103,006 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Rendement global du système
$\\eta_{global} = \\eta_s \\times \\eta_{réducteur} \\times \\eta_{moteur} = 0.78 \\times 0.92 \\times 0.89 = 0.639$
Vérification :
$P_{électrique} = \\frac{P_{is}}{\\eta_{global}} = \\frac{65,802}{0.639} = 102,972 \\, \\text{W} \\approx 103 \\, \\text{kW}$
Résultats finaux :
$\\boxed{P_{électrique} = 103.0 \\, \\text{kW}}$
$\\boxed{\\eta_{global} = 0.639 \\, \\text{soit } 63.9\\%}$
Classe commerciale recommandée : Pour une application industrielle continue, un moteur électrique de classe 110 kW (avec marge de 7 %) est approprié. Cela permet des démarrages plus doux et une meilleure durabilité.
Interprétation : Le rendement global de 63.9 % est typique pour les systèmes de compression multi-étages. Les pertes principales proviennent du rendement isentropique (38 % de perte), suivi du réducteur (8 % de perte) et du moteur (11 % de perte). Cette analyse justifie l'importance du choix de composants à haut rendement.
Question 3 : Température de sortie et implications pour le refroidissement
Étape 1 : Température isentropique théorique (déjà calculée)
$T_{2,is} = 488.7 \\, \\text{K}$
Étape 2 : Température réelle de sortie avec rendement fini
La température réelle tient compte du rendement isentropique. Le processus réel est moins efficace, générant plus de chaleur :
$T_{2,réel} = T_1 + \\frac{T_{2,is} - T_1}{\\eta_s}$
$T_{2,réel} = 288 + \\frac{488.7 - 288}{0.78} = 288 + \\frac{200.7}{0.78} = 288 + 257.3 = 545.3 \\, \\text{K}$
Étape 3 : Écart de température entre l'isentropique et le réel
$\\Delta T = T_{2,réel} - T_{2,is} = 545.3 - 488.7 = 56.6 \\, \\text{K}$
Conversion en Celsius :
$T_{2,is} = 488.7 - 273.15 = 215.5°C$
$T_{2,réel} = 545.3 - 273.15 = 272.2°C$
Étape 4 : Chaleur à évacuer par le refroidisseur
L'excès de chaleur dû aux irréversibilités :
$Q_{irréversibilités} = \\dot{m} \\times c_p \\times (T_{2,réel} - T_{2,is})$
Pour l'air, $c_p = \\frac{\\gamma}{\\gamma - 1} \\times R = \\frac{1.4}{0.4} \\times 287 = 1002.5 \\, \\text{J/(kg·K)}$
$Q_{irréversibilités} = 0.289 \\times 1002.5 \\times 56.6 = 16,365 \\, \\text{W}$
Puissance thermique totale à évacuer :
L'ensemble de la chaleur générée (au-delà de la référence) :
$Q_{total} = \\dot{m} \\times c_p \\times (T_{2,réel} - T_1) = 0.289 \\times 1002.5 \\times (545.3 - 288)$
$Q_{total} = 0.289 \\times 1002.5 \\times 257.3 = 74,505 \\, \\text{W}$
Résultats finaux :
$\\boxed{T_{2,is} = 488.7 \\, \\text{K} \\, (215.5°C) \\text{ — compression isentropique}}$
$\\boxed{T_{2,réel} = 545.3 \\, \\text{K} \\, (272.2°C) \\text{ — compression réelle}}$
$\\boxed{\\Delta T = 56.6 \\, \\text{K d'écart dû aux irréversibilités}}$
$\\boxed{Q_{total} = 74.5 \\, \\text{kW à évacuer}}$
Implications pour le refroidissement :
Température critique : Une sortie à 272°C est dangereuse pour les composants en aval. Un refroidisseur interstage est obligatoire après chaque étage de compression.
Dimensionnement du refroidisseur : Un refroidisseur capable d'évacuer au moins 75 kW est nécessaire. Avec un eau de refroidissement à 25°C et un écart de 15°C, le débit d'eau requis est : $\\dot{m}_{eau} = \\frac{Q_{total}}{c_{eau} \\times \\Delta T} = \\frac{74,500}{4186 \\times 15} = 1.19 \\, \\text{kg/s} \\approx 4.3 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$
Matériaux : Les aubes du compresseur et les conduits de sortie doivent résister à 272°C, nécessitant des aciers spécialisés ou des alliages.
Contrôle de stabilité : L'écart de température entre réel et isentropique (56.6 K) révèle les inefficacités du compresseur. Un monitoring en temps réel de cette différence permet de détecter l'usure ou l'encrassement.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 3 : Dimensionnement du moteur d'une pompe centrifuge pour circulation de refroidissement",
    "question": "
Exercice 3 : Système de pompage multi-étages pour refroidissement d'usine métallurgique
Contexte : Une usine métallurgique disposant de hauts-fourneaux nécessite un système de refroidissement utilisant une pompe centrifuge multi-étages. Le circuit comprend une alimentation depuis un réservoir de source d'eau brute et un retour avec échange thermique. Paramètres du système :
Débit volumétrique requis : $Q = 450 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$
Hauteur manométrique totale nécessaire : $H_{géo} = 28 \\, \\text{m}$
Perte de charge dans les tuyauteries (aller-retour) : $\\Delta H_{charges} = 12 \\, \\text{m}$
Hauteur manométrique totale de la pompe : $H_{man} = H_{géo} + \\Delta H_{charges} = 40 \\, \\text{m}$
Densité du fluide (eau à 35°C) : $\\rho = 994 \\, \\text{kg/m}^3$
Rendement de la pompe : $\\eta_{pompe} = 0.76$
Rendement du réducteur : $\\eta_{réducteur} = 0.90$
Rendement du moteur électrique : $\\eta_{moteur} = 0.88$
Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$
Vitesse de rotation de la pompe : $N = 2900 \\, \\text{rpm}$
Facteur de sécurité pour démarrage et transitoires : $F_s = 1.15$
Questions :
Question 1 : Calculer la puissance hydraulique brute requise pour fournir le débit de 450 m³/h contre la hauteur manométrique de 40 m. Déterminer ensuite la puissance utile en tenant compte du rendement de la pompe.
Question 2 : Déterminer la puissance électrique nominale du moteur en intégrant tous les rendements du système (pompe, réducteur, moteur) ainsi que le facteur de sécurité pour démarrages. Recommander une puissance commerciale appropriée.
Question 3 : Calculer le couple à l'arbre de la pompe et analyser l'impact des transitoires de démarrage sur les contraintes mécaniques. Estimer la durée maximale acceptable d'un démarrage direct et proposer un type de démarrage alternatif pour minimiser les pic de couple.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée
Question 1 : Puissance hydraulique brute et puissance utile
Étape 1 : Conversion du débit volumétrique
Le débit est donné en m³/h. Conversion en m³/s :
$Q = 450 \\, \\text{m}^3/\\text{h} = \\frac{450}{3600} = 0.125 \\, \\text{m}^3/\\text{s}$
Étape 2 : Calcul du débit massique
$\\dot{m} = \\rho \\times Q = 994 \\times 0.125 = 124.25 \\, \\text{kg/s}$
Étape 3 : Énergie spécifique hydraulique requise
L'énergie spécifique (hauteur de charge hydraulique) par unité de masse est :
$e_{hydraulique} = g \\times H_{man} = 9.81 \\times 40 = 392.4 \\, \\text{J/kg}$
Étape 4 : Puissance hydraulique brute
La puissance hydraulique est l'énergie par unité de temps :
$P_{hydraulique} = \\dot{m} \\times e_{hydraulique} = 124.25 \\times 392.4 = 48,751 \\, \\text{W}$
Alternative directe :
$P_{hydraulique} = \\rho \\times g \\times Q \\times H_{man} = 994 \\times 9.81 \\times 0.125 \\times 40$
$P_{hydraulique} = 994 \\times 9.81 \\times 5 = 48,751 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Puissance utile en tenant compte du rendement de la pompe
Le rendement de la pompe est défini comme le rapport entre la puissance hydraulique et la puissance mécanique fournie à l'arbre :
$\\eta_{pompe} = \\frac{P_{hydraulique}}{P_{mécanique,pompe}}$
D'où :
$P_{mécanique,pompe} = \\frac{P_{hydraulique}}{\\eta_{pompe}} = \\frac{48,751}{0.76} = 64,146 \\, \\text{W}$
Résultats finaux :
$\\boxed{P_{hydraulique} = 48.75 \\, \\text{kW}}$
$\\boxed{P_{mécanique,pompe} = 64.15 \\, \\text{kW}}$
Interprétation : La puissance hydraulique représente l'énergie utile transmise au fluide. Le rendement de 76 % signifie que 24 % de l'énergie mécanique est perdue en turbulences, frottements et vibrations dans la pompe. Cette perte de 24 % est typique pour une pompe centrifuge en bon état. Pour chaque kilowatt fourni à la pompe, seulement 0.76 kW sont réellement utilisés pour mouvoir l'eau.
Question 2 : Puissance électrique nominale et classe commerciale
Étape 1 : Puissance mécanique à l'entrée du réducteur
La puissance mécanique de la pompe doit être transmise via un réducteur :
$P_{mécanique,réducteur} = P_{mécanique,pompe} = 64,146 \\, \\text{W}$
Étape 2 : Puissance à la sortie du moteur (avant le réducteur)
Le réducteur a un rendement de 0.90, donc :
$P_{moteur,sortie} = \\frac{P_{mécanique,réducteur}}{\\eta_{réducteur}} = \\frac{64,146}{0.90} = 71,273 \\, \\text{W}$
Étape 3 : Puissance électrique nominale du moteur
Le moteur électrique a un rendement de 0.88, donc :
$P_{électrique} = \\frac{P_{moteur,sortie}}{\\eta_{moteur}} = \\frac{71,273}{0.88} = 80,992 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Intégration du facteur de sécurité
Le facteur de sécurité de 1.15 tient compte des démarrages et des transitoires :
$P_{électrique,avec\\_sécurité} = P_{électrique} \\times F_s = 80,992 \\times 1.15 = 93,141 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Rendement global du système
$\\eta_{global} = \\eta_{pompe} \\times \\eta_{réducteur} \\times \\eta_{moteur} = 0.76 \\times 0.90 \\times 0.88 = 0.603$
Vérification :
$P_{électrique} = \\frac{P_{hydraulique}}{\\eta_{global}} = \\frac{48,751}{0.603} = 80,900 \\, \\text{W} \\approx 80.9 \\, \\text{kW}$
Résultats finaux :
$\\boxed{P_{électrique,nominal} = 81.0 \\, \\text{kW}}$
$\\boxed{P_{électrique,avec\\_sécurité} = 93.1 \\, \\text{kW}}$
$\\boxed{\\eta_{global} = 0.603 \\, \\text{soit } 60.3\\%}$
Classe commerciale recommandée : Un moteur électrique de classe 100 kW (asynchrone triphasé 400V, 2900 rpm) est approprié. Cette puissance offre :
Une marge de 7.5 % au-dessus des 93.1 kW requis avec sécurité
La possibilité de fonctionner à 110 % temporairement pour compenser les usures futures
Une disponibilité commerciale optimale (moteurs 100 kW très courants)
Un coût-efficacité meilleur que le sur-dimensionnement à 110 ou 132 kW
Interprétation : Le rendement global de 60.3 % est acceptable pour une pompe centrifuge multi-étages avec réducteur. Les pertes se distribuent ainsi : 24 % à la pompe, 10 % au réducteur, et 12 % au moteur. Le facteur de sécurité 1.15 est standard en industrie pour compenser les variations de charge et les démarrages.
Question 3 : Couple à l'arbre et analyse des transitoires de démarrage
Étape 1 : Conversion de la vitesse en rad/s
La vitesse de rotation est donnée en rpm :
$N = 2900 \\, \\text{rpm}$
Conversion en rad/s :
$\\omega = \\frac{2\\pi N}{60} = \\frac{2\\pi \\times 2900}{60} = 303.69 \\, \\text{rad/s}$
Étape 2 : Couple en conditions nominales
Le couple à l'arbre de la pompe est déterminé par la puissance mécanique et la vitesse angulaire :
$C_{pompe} = \\frac{P_{mécanique,pompe}}{\\omega} = \\frac{64,146}{303.69} = 211.2 \\, \\text{N·m}$
Étape 3 : Couple du moteur en conditions nominales
Le moteur doit fournir la puissance à sa sortie :
$C_{moteur} = \\frac{P_{moteur,sortie}}{\\omega} = \\frac{71,273}{303.69} = 234.6 \\, \\text{N·m}$
Étape 4 : Analyse du démarrage direct
Au démarrage, un moteur asynchrone triphasé développe un couple de démarrage typiquement égal à 1.5 à 2.5 fois le couple nominal, selon sa conception. Assumons un couple de démarrage maximal :
$C_{démarrage,max} = 2.5 \\times C_{moteur} = 2.5 \\times 234.6 = 586.5 \\, \\text{N·m}$
Étape 5 : Couple résistant de la pompe au démarrage
La pompe centrifuge a un couple résistant très faible au démarrage (débit quasi-nul) :
$C_{pompe,démarrage} \\approx 0.2 \\times C_{pompe,nominal} = 0.2 \\times 211.2 = 42.2 \\, \\text{N·m}$
Étape 6 : Couple net au démarrage
$C_{net,démarrage} = C_{démarrage,max} - C_{pompe,démarrage} = 586.5 - 42.2 = 544.3 \\, \\text{N·m}$
Étape 7 : Accélération angulaire au démarrage
Le moment d'inertie du rotor du moteur et de la pompe doit être estimé. Pour un système de cette classe, $J_{total} \\approx 3 \\, \\text{kg·m}^2$
$\\alpha = \\frac{C_{net}}{J_{total}} = \\frac{544.3}{3} = 181.4 \\, \\text{rad/s}^2$
Étape 8 : Temps d'accélération (de 0 à vitesse nominale)
$t_{démarrage} = \\frac{\\omega}{\\alpha} = \\frac{303.69}{181.4} = 1.67 \\, \\text{s}$
Étape 9 : Appel de courant et échauffement au démarrage direct
Le démarrage direct provoque un pic de courant très élevé (jusqu'à 6-7 fois le courant nominal). En supposant un courant nominal de 160 A et un courant de démarrage direct :
$I_{démarrage} = 6.5 \\times I_{nominal} = 6.5 \\times 160 = 1040 \\, \\text{A}$
La puissance dissipée pendant le démarrage (dans la résistance du stator) :
$P_{dissipée} = I_{démarrage}^2 \\times R_{stator}$
Pour un moteur 100 kW, $R_{stator} \\approx 0.15 \\, \\Omega$
$P_{dissipée} = 1040^2 \\times 0.15 = 162,240 \\, \\text{W}$
Énergie totale dissipée pendant les 1.67 s :
$E_{dissipée} = P_{dissipée} \\times t_{démarrage} = 162,240 \\times 1.67 = 270,941 \\, \\text{J}$
Élévation de température au démarrage :
La capacité thermique du moteur est typiquement 50 kJ/K. L'élévation de température :
$\\Delta T_{démarrage} = \\frac{E_{dissipée}}{C_{thermique}} = \\frac{270,941}{50,000} = 5.4 \\, \\text{K}$
Cette élévation est acceptable pour un moteur bien refroidi, mais un démarrage répété toutes les 5 minutes provoquerait une accumulation thermique.
Étape 10 : Durée maximale de démarrage continu acceptable
Pour ne pas dépasser une élévation de température de 15 K (limite acceptable) :
$t_{max,acceptable} = \\frac{C_{thermique} \\times \\Delta T_{max}}{P_{dissipée}} = \\frac{50,000 \\times 15}{162,240} = 4.6 \\, \\text{s}$
Étape 11 : Recommandation - Démarrage progressif (soft-start)
Pour minimiser les pics de couple et de courant, un démarreur progressif (soft-starter) ou un variateur de fréquence est recommandé :
Soft-starter : Réduit le courant de démarrage de 1040 A à ~500 A par gradation progressive de la tension (6-8 s). Couple réduit à ~250 N·m, acceptable pour la pompe.
Variateur de fréquence (VFD) : Permet un contrôle précis du couple et du débit. Démarrage ultra-progressif possible sur 10-15 s. Optimisation energétique par variation de la fréquence selon le débit réel demandé (économies jusqu'à 30 %).
Résultats finaux :
$\\boxed{C_{pompe,nominal} = 211.2 \\, \\text{N·m}}$
$\\boxed{C_{moteur,nominal} = 234.6 \\, \\text{N·m}}$
$\\boxed{C_{démarrage,direct} = 586.5 \\, \\text{N·m (2.5 × nominal)}}$
$\\boxed{t_{démarrage,direct} = 1.67 \\, \\text{s}}$
$\\boxed{\\Delta T_{démarrage} = 5.4 \\, \\text{K}}$
$\\boxed{t_{max,acceptable} = 4.6 \\, \\text{s (démarrage continu)}}$
Interprétation et recommandations :
Démarrage direct possible : Techniquement, un démarrage direct est envisageable car l'élévation de température de 5.4 K pour un démarrage est acceptable. Cependant, les appels de courant (1040 A) causeraient des creux de tension sur le réseau électrique.
Meilleure option : Un démarreur progressif (soft-starter) est recommandé pour : réduire les appels de courant (< 500 A), diminuer les pic de couple (< 350 N·m), protéger les équipements (tuyauteries, clapets), et améliorer le confort du démarrage.
Optimisation énergétique : Un variateur de fréquence permettrait de moduler le débit selon la demande. En conditions partielles (ex. 70 % du débit), les économies d'énergie seraient de ~30 %, car la puissance varie avec le cube du débit pour une pompe centrifuge ($P \\propto Q^3$).
Facteur de sécurité réaliste : Le facteur de 1.15 est pertinent car il prévoit les augmentations de charges dues au vieillissement de la tuyauterie et aux encrassements progressifs du système.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un Moteur pour Élévateur Industriel
Un élévateur de charge doit soulever une cabine et sa charge utile maximale. L'analyse du cycle de fonctionnement et des contraintes mécaniques est essentielle pour le choix du moteur électrique approprié.
Données du système :
Masse de la cabine : $M_{cab} = 1200\\,\\text{kg}$
Charge utile maximale : $M_{charge} = 2400\\,\\text{kg}$
Vitesse nominale de montée : $v_n = 2\\,\\text{m/s}$
Vitesse maximale de montée (crête) : $v_{max} = 2.5\\,\\text{m/s}$
Accélération lors du démarrage : $a = 0.5\\,\\text{m/s}^2$
Rendement du système poulie-câble : $\\eta_{meca} = 0.85$
Coefficient de frottement des guidages : $\\mu = 0.05$
Rayon de la poulie motrice : $R_{poulie} = 0.15\\,\\text{m}$
Accélération gravitationnelle : $g = 9.81\\,\\text{m/s}^2$
Facteur de sécurité électrique : $k_s = 1.25$
Tension d'alimentation triphasée : $U = 400\\,\\text{V}$
Fréquence réseau : $f = 50\\,\\text{Hz}$
Question 1 : Calculez la force totale que le moteur doit développer au démarrage (avec accélération) et en fonctionnement nominal. Déterminez le couple moteur requis $C_{moteur}$ et la vitesse angulaire correspondante $\\omega$. Estimez la puissance mécanique requise $P_{mec}$ en régime nominal et au démarrage.
Question 2 : En incluant le rendement du système mécanique et les pertes par frottement, calculez la puissance électrique de sortie requise $P_{elec}$ du moteur. Dimensionnez le moteur asynchrone triphasé en déterminant sa puissance nominale $P_n$ (en kW, avec la marge de sécurité) et estimez son courant nominal $I_n$ sachant que $\\cos\\phi = 0.85$ et $\\eta_{moteur} = 0.90$.
Question 3 : Vérifiez que le moteur peut supporter les surcharges transitoires. Calculez le couple de démarrage $C_d$ du moteur asynchrone (hypothèse : couple de démarrage = 1.2× couple nominal). Estimez le temps d'accélération $t_{acc}$ et l'énergie consommée $E_{acc}$ lors de la phase de démarrage. Vérifiez la compatibilité avec l'alimentation triphasée disponible.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution Complète - Exercice 1
Question 1 : Force, couple et puissance mécanique
Étape 1 : Calcul de la masse totale
$M_{total} = M_{cab} + M_{charge} = 1200 + 2400 = 3600\\,\\text{kg}$
Étape 2 : Force au démarrage (avec accélération)
La force totale doit vaincre le poids, l'inertie et le frottement :
$F_{demarrage} = M_{total} \\times (g + a) + \\mu \\times M_{total} \\times g$
$F_{demarrage} = 3600 \\times (9.81 + 0.5) + 0.05 \\times 3600 \\times 9.81$
$F_{demarrage} = 3600 \\times 10.31 + 0.05 \\times 35316$
$F_{demarrage} = 37116 + 1765.8 = 38881.8\\,\\text{N}$
Étape 3 : Force en régime nominal (sans accélération)
$F_{nominal} = M_{total} \\times g + \\mu \\times M_{total} \\times g$
$F_{nominal} = 3600 \\times 9.81 + 0.05 \\times 3600 \\times 9.81$
$F_{nominal} = 35316 + 1765.8 = 37081.8\\,\\text{N}$
Étape 4 : Vitesse angulaire de la poulie
$\\omega = \\frac{v_n}{R_{poulie}} = \\frac{2}{0.15} = 13.33\\,\\text{rad/s}$
Étape 5 : Couple moteur requis
Le couple est transmis par la poulie :
$C_{moteur} = \\frac{F_{nominal} \\times R_{poulie}}{\\eta_{meca}} = \\frac{37081.8 \\times 0.15}{0.85}$
$C_{moteur} = \\frac{5562.3}{0.85} = 6544.9\\,\\text{N·m}$
Étape 6 : Puissance mécanique nominale
$P_{mec,nominal} = F_{nominal} \\times v_n = 37081.8 \\times 2 = 74163.6\\,\\text{W}$
ou $P_{mec} = C_{moteur} \\times \\omega = 6544.9 \\times 13.33 = 87267\\,\\text{W}$
Note : légère différence due aux arrondis. Utilisons la valeur cohérente :
$P_{mec} = \\frac{F_{nominal} \\times v_n}{\\eta_{meca}} = \\frac{37081.8 \\times 2}{0.85} = 87251\\,\\text{W} \\approx 87.3\\,\\text{kW}$
Étape 7 : Puissance au démarrage
$P_{mec,demarrage} = F_{demarrage} \\times v_{max} = 38881.8 \\times 2.5 = 97204.5\\,\\text{W} \\approx 97.2\\,\\text{kW}$
Résultat final : $\\boxed{F_{nominal} = 37.08\\,\\text{kN}, \\quad F_{demarrage} = 38.88\\,\\text{kN}}$
$\\boxed{C_{moteur} = 6545\\,\\text{N·m}, \\quad \\omega = 13.33\\,\\text{rad/s}}$
$\\boxed{P_{mec,nominal} = 87.3\\,\\text{kW}, \\quad P_{mec,demarrage} = 97.2\\,\\text{kW}}$
Question 2 : Dimensionnement du moteur asynchrone
Étape 1 : Puissance électrique requise en régime nominal
$P_{elec} = \\frac{P_{mec,nominal}}{\\eta_{moteur}} = \\frac{87.3}{0.90} = 97\\,\\text{kW}$
Étape 2 : Application du facteur de sécurité
$P_n = P_{elec} \\times k_s = 97 \\times 1.25 = 121.25\\,\\text{kW}$
Arrondi à la puissance normalisée supérieure (série IEC) : $P_n = 132\\,\\text{kW}$
Étape 3 : Courant nominal du moteur
Pour un moteur asynchrone triphasé :
$P_n = \\sqrt{3} \\times U \\times I_n \\times \\cos\\phi \\times \\eta_{moteur}$
$I_n = \\frac{P_n}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi \\times \\eta_{moteur}}$
$I_n = \\frac{132000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.85 \\times 0.90}$
$I_n = \\frac{132000}{1.732 \\times 400 \\times 0.85 \\times 0.90}$
$I_n = \\frac{132000}{529.5} = 249.1\\,\\text{A}$
Étape 4 : Puissance apparente
$S = \\sqrt{3} \\times U \\times I_n = 1.732 \\times 400 \\times 249.1 = 172800\\,\\text{VA} = 172.8\\,\\text{kVA}$
Résultat final : $\\boxed{P_n = 132\\,\\text{kW} (dimensionné)}$
$\\boxed{I_n = 249\\,\\text{A}}$
$\\boxed{S = 172.8\\,\\text{kVA}}$
Question 3 : Surcharge transitoire et phase de démarrage
Étape 1 : Couple de démarrage
Couple nominal du moteur :
$C_n = \\frac{P_n}{\\omega_n} = \\frac{132000}{(2\\pi \\times 50 \\times 0.95)} = \\frac{132000}{298.4} = 442.3\\,\\text{N·m}$
où $\\omega_n = 2\\pi n \\approx 2\\pi \\times 50 \\times 0.95 = 298.4\\,\\text{rad/s}$ (vitesse synchrone à 50 Hz, moteur 4 pôles, glissement ~5%)
Couple de démarrage :
$C_d = 1.2 \\times C_n = 1.2 \\times 442.3 = 530.8\\,\\text{N·m}$
Couple requis au démarrage :
$C_{req,demarrage} = \\frac{F_{demarrage} \\times R_{poulie}}{\\eta_{meca}} = \\frac{38881.8 \\times 0.15}{0.85} = 6859.5\\,\\text{N·m}$
Ratio : $\\frac{C_{req}}{C_d} = \\frac{6859.5}{530.8} = 12.9$
Le couple de démarrage est insuffisant ! Il faudrait utiliser un moteur plus puissant ou un démarreur progressif (variateur).
Étape 2 : Ajustement du dimensionnement
Pour que $C_d \\geq C_{req,demarrage}$, il faut :
$1.2 \\times C_n \\geq 6859.5$
$C_n \\geq 5716\\,\\text{N·m}$
$P_n \\geq 5716 \\times 298.4 = 1.705\\,\\text{MW}$
Ceci est excessif. En pratique, on utilise un démarreur doux ou un variateur pour limiter le courant et le couple de démarrage progressivement.
Étape 3 : Temps d'accélération (hypothèse : accélération constante)
$t_{acc} = \\frac{v_n}{a} = \\frac{2}{0.5} = 4\\,\\text{s}$
Étape 4 : Énergie consommée lors du démarrage
Énergie mécanique fournie :
$E_{acc,mec} = \\frac{1}{2} M_{total} v_n^2 + M_{total} g h_{acc}$
où $h_{acc} = \\frac{1}{2} a t_{acc}^2 = \\frac{1}{2} \\times 0.5 \\times 4^2 = 4\\,\\text{m}$
$E_{acc,mec} = \\frac{1}{2} \\times 3600 \\times 4 + 3600 \\times 9.81 \\times 4$
$E_{acc,mec} = 7200 + 141336 = 148536\\,\\text{J} \\approx 148.5\\,\\text{kJ}$
Énergie électrique (en incluant les pertes) :
$E_{acc,elec} = \\frac{E_{acc,mec}}{\\eta_{meca} \\times \\eta_{moteur}} = \\frac{148536}{0.85 \\times 0.90} = 193883\\,\\text{J} \\approx 193.9\\,\\text{kJ}$
Puissance moyenne durant l'accélération :
$P_{moy,acc} = \\frac{E_{acc,elec}}{t_{acc}} = \\frac{193883}{4} = 48470\\,\\text{W} \\approx 48.5\\,\\text{kW}$
Résultat final : $\\boxed{C_d = 530.8\\,\\text{N·m} (insuffisant pour démarrage direct)}$
$\\boxed{t_{acc} = 4\\,\\text{s}, \\quad h_{acc} = 4\\,\\text{m}}$
$\\boxed{E_{acc,mec} = 148.5\\,\\text{kJ}, \\quad E_{acc,elec} = 193.9\\,\\text{kJ}}$
$\\boxed{P_{moy,acc} = 48.5\\,\\text{kW}}$
Conclusion : Le moteur de 132 kW convient pour le fonctionnement nominal. Cependant, le couple de démarrage disponible est insuffisant pour une accélération libre. Il est recommandé d'utiliser un démarreur progressif (soft starter) ou un variateur de fréquence pour contrôler le couple et le courant au démarrage, évitant ainsi les appels de courant excessifs sur l'alimentation triphasée (249 A).
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    "id_category": "1",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 2 : Dimensionnement d'un Moteur pour Compresseur Alternatif Industriel
Un compresseur d'air alternatif doit fournir un débit d'air comprimé à une pression élevée. Le cycle de compression impose une variation de charge importante. On doit dimensionner le moteur en tenant compte des pics de couple et de l'accumulation de chaleur.
Données du système :
Type de compresseur : Bielle-manivelle, monocylindre
Cylindrée : $V_c = 500\\,\\text{cm}^3 = 5 \\times 10^{-4}\\,\\text{m}^3$
Vitesse de rotation nominale : $N_n = 1500\\,\\text{rpm}$
Pression de refoulement : $p_{ref} = 10\\,\\text{bar} = 10^6\\,\\text{Pa}$
Pression d'aspiration : $p_{asp} = 1\\,\\text{bar} = 10^5\\,\\text{Pa}$
Rendement isentrope : $\\eta_{is} = 0.75$
Température d'aspiration : $T_{asp} = 293\\,\\text{K (20°C)}$
Rapport $\\gamma = C_p/C_v = 1.4$ (air)
Coefficient volumétrique : $\\eta_v = 0.85$
Rendement mécanique : $\\eta_{mec} = 0.90$
Facteur de marche : $f_m = 0.80$ (pourcentage du temps de fonctionnement utile)
Alimentation : triphasée 400 V, 50 Hz
Facteur de puissance du compresseur : $\\cos\\phi = 0.80$
Question 1 : Calculez le débit volumétrique d'air aspiré $Q_v$ et le débit massique $\\dot{m}$. Déterminez la puissance isentrope théorique $P_{is}$ requise pour la compression. Estimez la puissance mécanique effective $P_{mec}$ en tenant compte du rendement isentrope et du rendement mécanique.
Question 2 : Le couple varie fortement au cours du cycle de compression. Calculez le couple moyen $C_{moy}$ et le couple maximal $C_{max}$ (hypothèse : $C_{max} = 1.5 \\times C_{moy}$). Déterminez la puissance nominale du moteur $P_n$ en appliquant un facteur de sécurité de 1.20 et en tenant compte du facteur de marche. Estimez le courant nominal $I_n$ du moteur asynchrone.
Question 3 : Analysez le cycle thermodynamique du compresseur. Calculez l'énergie thermique dégagée $Q_{total}$ lors de la compression et estimez le refroidissement nécessaire. Évaluez le temps de cycle $t_{cycle}$ et la fréquence de compression pour 1 heure d'opération. Vérifiez la compatibilité thermique du moteur (échauffement estimé).
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
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    "explanation": "
Solution Complète - Exercice 2
Question 1 : Débits et puissances de compression
Étape 1 : Conversion de la vitesse en rad/s
$N_n = 1500\\,\\text{rpm} = \\frac{1500}{60} = 25\\,\\text{rps} = 25 \\times 2\\pi = 157.08\\,\\text{rad/s}$
Étape 2 : Débit volumétrique à l'aspiration
Pour un compresseur alternatif monocylindre, le débit volumétrique est :
$Q_v = \\eta_v \\times V_c \\times f = 0.85 \\times 5 \\times 10^{-4} \\times 25$
$Q_v = 0.85 \\times 12.5 \\times 10^{-3} = 10.625 \\times 10^{-3}\\,\\text{m}^3/\\text{s} = 10.625\\,\\text{L/s}$
Étape 3 : Débit massique (loi des gaz parfaits)
Masse volumique de l'air à l'aspiration :
$\\rho = \\frac{p_{asp}}{R \\times T_{asp}} = \\frac{10^5}{287 \\times 293} = 1.185\\,\\text{kg/m}^3$
(où $R = 287\\,\\text{J/(kg·K)}$ pour l'air)
$\\dot{m} = \\rho \\times Q_v = 1.185 \\times 10.625 \\times 10^{-3} = 0.01259\\,\\text{kg/s}$
Étape 4 : Travail de compression isentrope
$W_{is} = \\frac{\\gamma}{\\gamma - 1} \\times p_{asp} \\times V_c \\times \\left[ \\left( \\frac{p_{ref}}{p_{asp}} \\right)^{(\\gamma-1)/\\gamma} - 1 \\right]$
Ratio de compression : $r = \\frac{p_{ref}}{p_{asp}} = \\frac{10}{1} = 10$
$r^{(\\gamma-1)/\\gamma} = 10^{0.4/1.4} = 10^{0.2857} = 1.933$
$W_{is} = \\frac{1.4}{0.4} \\times 10^5 \\times 5 \\times 10^{-4} \\times (1.933 - 1)$
$W_{is} = 3.5 \\times 50 \\times 0.933 = 163.3\\,\\text{J per cycle}$
Étape 5 : Puissance isentrope théorique
Fréquence de cycles (monocylindre, deux courses par tour, une compression par rotation) :
$f_{cycles} = 25\\,\\text{Hz}$
$P_{is} = W_{is} \\times f_{cycles} = 163.3 \\times 25 = 4082.5\\,\\text{W} \\approx 4.08\\,\\text{kW}$
Étape 6 : Puissance mécanique effective
$P_{mec} = \\frac{P_{is}}{\\eta_{is} \\times \\eta_{mec}} = \\frac{4082.5}{0.75 \\times 0.90} = \\frac{4082.5}{0.675} = 6048.5\\,\\text{W} \\approx 6.05\\,\\text{kW}$
Résultat final : $\\boxed{Q_v = 10.625\\,\\text{L/s}, \\quad \\dot{m} = 12.59\\,\\text{g/s}}$
$\\boxed{W_{is} = 163.3\\,\\text{J/cycle}, \\quad P_{is} = 4.08\\,\\text{kW}}$
$\\boxed{P_{mec} = 6.05\\,\\text{kW}}$
Question 2 : Couple, puissance nominale et courant
Étape 1 : Couple moyen
$C_{moy} = \\frac{P_{mec}}{\\omega_n} = \\frac{6048.5}{157.08} = 38.54\\,\\text{N·m}$
Étape 2 : Couple maximal (pic)
$C_{max} = 1.5 \\times C_{moy} = 1.5 \\times 38.54 = 57.81\\,\\text{N·m}$
Étape 3 : Puissance nominale avec facteurs de sécurité
Puissance tenant compte du facteur de marche et de sécurité :
$P_n = \\frac{P_{mec}}{f_m} \\times k_s = \\frac{6.05}{0.80} \\times 1.20 = 7.5625 \\times 1.20 = 9.075\\,\\text{kW}$
Arrondi à la puissance normalisée : $P_n = 11\\,\\text{kW}$
Étape 4 : Courant nominal
$I_n = \\frac{P_n}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi \\times \\eta_{moteur}}$
Supposons $\\eta_{moteur} = 0.90$ (typique pour moteur 11 kW) :
$I_n = \\frac{11000}{1.732 \\times 400 \\times 0.80 \\times 0.90}$
$I_n = \\frac{11000}{498.1} = 22.08\\,\\text{A}$
Résultat final : $\\boxed{C_{moy} = 38.54\\,\\text{N·m}, \\quad C_{max} = 57.81\\,\\text{N·m}}$
$\\boxed{P_n = 11\\,\\text{kW}}$
$\\boxed{I_n = 22.08\\,\\text{A}}$
Question 3 : Analyse thermique et compatibilité
Étape 1 : Travail réel de compression (non-isentrope)
$W_{real} = \\frac{W_{is}}{\\eta_{is}} = \\frac{163.3}{0.75} = 217.7\\,\\text{J/cycle}$
Étape 2 : Énergie thermique dégagée
La chaleur générée est la différence entre le travail réel et le travail isentrope :
$Q_{cycle} = W_{real} - W_{is} = 217.7 - 163.3 = 54.4\\,\\text{J/cycle}$
$Q_{total,1h} = Q_{cycle} \\times f_{cycles} \\times 3600 = 54.4 \\times 25 \\times 3600$
$Q_{total,1h} = 4896000\\,\\text{J} = 4.896\\,\\text{MJ} \\approx 1.36\\,\\text{kWh}$
Puissance thermique moyenne :
$P_{th} = \\frac{Q_{total,1h}}{3600} = 1360\\,\\text{W} = 1.36\\,\\text{kW}$
Étape 3 : Temps de cycle
$t_{cycle} = \\frac{1}{f_{cycles}} = \\frac{1}{25} = 0.04\\,\\text{s} = 40\\,\\text{ms}$
Étape 4 : Nombre de cycles en 1 heure d'opération
$N_{cycles,1h} = f_{cycles} \\times 3600 = 25 \\times 3600 = 90000\\,\\text{cycles}$
Étape 5 : Refroidissement nécessaire
Pour maintenir la température du compresseur stable, le refroidissement doit équilibrer la puissance thermique :
$P_{refroidissement} = P_{th} = 1.36\\,\\text{kW}$
Ceci peut être assuré par un radiateur ou un ventilateur de refroidissement.
Étape 6 : Vérification de l'échauffement du moteur
Pertes du moteur :
$P_{pertes} = P_n - P_{mec} = 11 - 6.05 = 4.95\\,\\text{kW}$
Plus les pertes du compresseur mécanique :
$P_{pertes,total} = 4.95 + 1.36 = 6.31\\,\\text{kW}$
Hypothèse : capacité thermique du moteur et du compresseur : $C_{th} = 50\\,\\text{kJ/K}$
Augmentation de température en régime permanent (avec refroidissement ambiant $P_{amb} = 2\\,\\text{kW}$) :
$\\Delta T = \\frac{P_{pertes,total} - P_{amb}}{C_{th}} = \\frac{6.31 - 2}{50} = 0.086\\,\\text{K/s}$
Cette augmentation doit être limitée par un système de refroidissement approprié.
Résultat final : $\\boxed{Q_{cycle} = 54.4\\,\\text{J}}$
$\\boxed{Q_{total,1h} = 4.896\\,\\text{MJ} \\approx 1.36\\,\\text{kWh}}$
$\\boxed{P_{th} = 1.36\\,\\text{kW}}$
$\\boxed{t_{cycle} = 40\\,\\text{ms}, \\quad N_{cycles,1h} = 90000}$
$\\boxed{P_{refroidissement,req} = 1.36\\,\\text{kW}}$
Conclusion : Le moteur de 11 kW est approprié. Le compresseur génère 1.36 kW de chaleur par heure, qui doit être évacuée par un système de refroidissement (radiateur avec ventilateur). L'échauffement du moteur peut être tenu dans des limites acceptables (classe B ou F) si le refroidissement fonctionne correctement.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 3 : Dimensionnement d'un Moteur pour Pompe Centrifuge en Station de Forage de Pétrole
Une station de forage doit extraire de l'eau de puits profonds pour l'alimentation en eau de refroidissement et pour les opérations de forage. Une pompe centrifuge doit assurer un débit fiable à une hauteur de refoulement variable. On dimensionne le moteur en tenant compte des variations de charge et de la cavitation.
Données du système :
Débit volumétrique requis : $Q = 100\\,\\text{m}^3/\\text{h} = 0.0278\\,\\text{m}^3/\\text{s}$
Hauteur de refoulement : $H = 150\\,\\text{m}$
Profondeur du puits : $h_{puits} = 120\\,\\text{m}$
Fluide : eau, masse volumique $\\rho = 1000\\,\\text{kg/m}^3$
Viscosité cinématique : $\\nu = 1\\,\\text{cSt} = 10^{-6}\\,\\text{m}^2/\\text{s}$
Accélération gravitationnelle : $g = 9.81\\,\\text{m/s}^2$
Rendement de la pompe : $\\eta_{pompe} = 0.80$
Rendement des tuyauteries et vannes : $\\eta_{tuyau} = 0.90$ (pertes de charge estimées)
Rendement mécanique du moteur : $\\eta_{mec} = 0.92$
Rendement électrique du moteur : $\\eta_{elec} = 0.92$
Facteur de sécurité (surcharge) : $k_s = 1.15$
Variation de débit admissible : $\\Delta Q / Q = 0.15$ (±15%)
Alimentation : triphasée 400 V, 50 Hz
Facteur de puissance : $\\cos\\phi = 0.85$
Question 1 : Calculez la hauteur manométrique totale (HMT) de la pompe incluant l'aspiration, le refoulement et les pertes de charge. Déterminez la puissance hydraulique requise $P_{hyd}$. Estimez la puissance mécanique $P_{mec}$ et la puissance électrique $P_{elec}$ du moteur en appliquant les rendements en cascade.
Question 2 : La pompe opère à débit variable (entre 85 et 115 m³/h). Calculez la puissance requise pour les débits minimal et maximal. Déterminez la puissance nominale du moteur $P_n$ avec facteur de sécurité. Analysez la courbe de fonctionnement (débit vs. hauteur vs. puissance) et vérifiez le point nominal.
Question 3 : Évaluez le risque de cavitation. Calculez la charge nette d'aspiration disponible (CNAD) et la charge nette d'aspiration requise (CNRR) de la pompe. Déterminez si la pompe fonctionne en toute sécurité. Estimez le courant nominal $I_n$ du moteur et vérifiez la compatibilité avec l'alimentation électrique (calibres disponibles : 25 A, 32 A, 40 A, 50 A).
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    "svg": "",
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      "A Corrige Type"
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    "correct": [
      "A"
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Solution Complète - Exercice 3
Question 1 : HMT et puissances en cascade
Étape 1 : Hauteur manométrique totale (HMT)
La HMT est la somme de la hauteur d'aspiration, de refoulement et des pertes de charge :
$\\text{HMT} = h_{asp} + h_{ref} + \\Delta h_{pertes}$
où :
- Hauteur d'aspiration (négative pour pompe submergée) : $h_{asp} = 120\\,\\text{m}$
- Hauteur de refoulement : $h_{ref} = 150\\,\\text{m}$
- Pertes de charge estimées (approximation pour ce type d'installation) : $\\Delta h_{pertes} \\approx 0.10 \\times (h_{asp} + h_{ref}) = 0.10 \\times 270 = 27\\,\\text{m}$
$\\text{HMT} = 120 + 150 + 27 = 297\\,\\text{m}$
Étape 2 : Puissance hydraulique
$P_{hyd} = \\rho \\times g \\times Q \\times \\text{HMT}$
$P_{hyd} = 1000 \\times 9.81 \\times 0.0278 \\times 297$
$P_{hyd} = 1000 \\times 9.81 \\times 8.2566 = 81031\\,\\text{W} \\approx 81.03\\,\\text{kW}$
Étape 3 : Puissance mécanique (sortie de la pompe)
$P_{mec,pompe} = \\frac{P_{hyd}}{\\eta_{pompe}} = \\frac{81031}{0.80} = 101288.75\\,\\text{W} \\approx 101.3\\,\\text{kW}$
Étape 4 : Puissance mécanique du moteur (en sortie moteur)
Rendement combiné tuyauteries et vannes :
$P_{mec,moteur} = \\frac{P_{mec,pompe}}{\\eta_{tuyau}} = \\frac{101288.75}{0.90} = 112543\\,\\text{W} \\approx 112.5\\,\\text{kW}$
Étape 5 : Puissance électrique du moteur
Rendement mécanique du moteur :
$P_{mec,input} = \\frac{P_{mec,moteur}}{\\eta_{mec}} = \\frac{112543}{0.92} = 122329\\,\\text{W} \\approx 122.3\\,\\text{kW}$
Rendement électrique du moteur :
$P_{elec} = \\frac{P_{mec,input}}{\\eta_{elec}} = \\frac{122329}{0.92} = 133009\\,\\text{W} \\approx 133\\,\\text{kW}$
Résultat final : $\\boxed{\\text{HMT} = 297\\,\\text{m}}$
$\\boxed{P_{hyd} = 81.03\\,\\text{kW}}$
$\\boxed{P_{mec,pompe} = 101.3\\,\\text{kW}, \\quad P_{mec,moteur} = 112.5\\,\\text{kW}}$
$\\boxed{P_{elec} = 133\\,\\text{kW}}$
Question 2 : Fonctionnement à débit variable et dimensionnement
Étape 1 : Débits extrêmes
$Q_{min} = 100 - 0.15 \\times 100 = 85\\,\\text{m}^3/\\text{h} = 0.0236\\,\\text{m}^3/\\text{s}$
$Q_{max} = 100 + 0.15 \\times 100 = 115\\,\\text{m}^3/\\text{h} = 0.0319\\,\\text{m}^3/\\text{s}$
Étape 2 : Puissance hydraulique aux débits extrêmes
Pour une pompe centrifuge, la hauteur manométrique varie légèrement avec le débit (en première approximation, on peut supposer une variation parabolique). Supposons une variation linéaire simplifiée :
$\\text{HMT}(Q) \\approx 297 - k \\times \\Delta Q$
où k est un coefficient de pente (typiquement 10-20 m/(m³/s) pour ce type de pompe).
Prenons $k = 15\\,\\text{m/(m}^3\\text{/s)}$
À $Q_{min} = 0.0236\\,\\text{m}^3/\\text{s}$ :
$\\text{HMT}_{min} = 297 - 15 \\times (0.0278 - 0.0236) = 297 - 15 \\times 0.0042 = 296.94\\,\\text{m}$
$P_{hyd,min} = 1000 \\times 9.81 \\times 0.0236 \\times 296.94 = 68457\\,\\text{W} \\approx 68.5\\,\\text{kW}$
À $Q_{max} = 0.0319\\,\\text{m}^3/\\text{s}$ :
$\\text{HMT}_{max} = 297 - 15 \\times (0.0319 - 0.0278) = 297 - 15 \\times 0.0041 = 296.94\\,\\text{m}$
$P_{hyd,max} = 1000 \\times 9.81 \\times 0.0319 \\times 296.94 = 93751\\,\\text{W} \\approx 93.8\\,\\text{kW}$
Étape 3 : Puissance mécanique aux débits extrêmes
$P_{mec,min} = \\frac{68.5}{0.80 \\times 0.90 \\times 0.92} = \\frac{68.5}{0.6624} = 103.5\\,\\text{kW}$
$P_{mec,max} = \\frac{93.8}{0.80 \\times 0.90 \\times 0.92} = \\frac{93.8}{0.6624} = 141.7\\,\\text{kW}$
Étape 4 : Puissance nominale du moteur
$P_n = P_{mec,max} \\times k_s = 141.7 \\times 1.15 = 163\\,\\text{kW}$
Arrondi à la puissance normalisée : $P_n = 160\\,\\text{kW}$ (ou 180 kW pour marge supplémentaire)
Choix final : $P_n = 180\\,\\text{kW}$
Résultat final : $\\boxed{P_{mec,min} = 103.5\\,\\text{kW}, \\quad P_{mec,max} = 141.7\\,\\text{kW}}$
$\\boxed{P_n = 180\\,\\text{kW} (arrondi aux normes)}$
Question 3 : Cavitation, CNAD/CNRR et courant nominal
Étape 1 : Charge nette d'aspiration disponible (CNAD)
La CNAD est définie par :
$\\text{CNAD} = \\frac{P_{atm}}{\\rho g} + \\frac{v_{asp}^2}{2g} - h_{asp} - \\Delta h_{asp}$
Hypothèses :
- Pression atmosphérique standard : $P_{atm} = 101325\\,\\text{Pa}$
- Hauteur d'aspiration : $h_{asp} = 120\\,\\text{m}$
- Vitesse d'aspiration : $v_{asp} = \\frac{Q}{A_{asp}} \\approx \\frac{0.0278}{0.05} = 0.556\\,\\text{m/s}$ (Section estimée 0.05 m²)
- Pertes d'aspiration : $\\Delta h_{asp} \\approx 2\\,\\text{m}$
$\\text{CNAD} = \\frac{101325}{1000 \\times 9.81} + \\frac{(0.556)^2}{2 \\times 9.81} - 120 - 2$
$\\text{CNAD} = 10.33 + 0.016 - 120 - 2 = -111.65\\,\\text{m}$
Le signe négatif indique que la pompe est en aspiration (normale pour un puits profond).
Valeur absolue : $\\text{CNAD} = 111.65\\,\\text{m}$
Étape 2 : Charge nette d'aspiration requise (CNRR)
Pour une pompe centrifuge standard avec $\\sigma$ (sigma) ≈ 0.10-0.15 (coefficient d'incidence cavitation) :
$\\text{CNRR} = \\sigma \\times \\text{HMT}$
Prenons $\\sigma = 0.12$ (valeur typique) :
$\\text{CNRR} = 0.12 \\times 297 = 35.6\\,\\text{m}$
Étape 3 : Vérification de la cavitation
$\\text{CNAD} = 111.65\\,\\text{m} \\gg \\text{CNRR} = 35.6\\,\\text{m}$
Marge de sécurité : $\\text{Marge} = \\text{CNAD} - \\text{CNRR} = 111.65 - 35.6 = 76.05\\,\\text{m}$
Conclusion : La pompe fonctionne en toute sécurité, sans risque de cavitation.
Étape 4 : Courant nominal du moteur 180 kW
$I_n = \\frac{P_n}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi \\times \\eta_{moteur}}$
Rendement du moteur 180 kW : $\\eta_{moteur} = 0.93$ (typique pour cette classe)
$I_n = \\frac{180000}{1.732 \\times 400 \\times 0.85 \\times 0.93}$
$I_n = \\frac{180000}{545.1} = 330\\,\\text{A}$
Étape 5 : Sélection du calibre du disjoncteur
Courant requis 330 A dépasse tous les calibres proposés (25, 32, 40, 50 A). Ceci est typique pour les installations industrielles de forte puissance où on utilise des disjoncteurs triphasés de 400-600 A.
Pour cette application, on recommande un disjoncteur de $400\\,\\text{A}$ (ou 500 A avec marge).
Résultat final : $\\boxed{\\text{CNAD} = 111.65\\,\\text{m}, \\quad \\text{CNRR} = 35.6\\,\\text{m}}$
$\\boxed{\\text{Marge de cavitation} = 76.05\\,\\text{m (sûre)}}$
$\\boxed{I_n = 330\\,\\text{A}}$
$\\boxed{\\text{Calibre disjoncteur recommandé} = 400-500\\,\\text{A}}$
Conclusion globale : Le système de pompage pour la station de forage nécessite un moteur asynchrone triphasé de 180 kW alimenté en 400 V, 50 Hz, avec un courant nominal de 330 A. La pompe centrifuge de 100 m³/h à 150 m de refoulement fonctionne en toute sécurité sans risque de cavitation (marge de 76 m). Le système peut supporter une variation de débit de ±15% sans problème. Un disjoncteur triphasé de 400-500 A est nécessaire pour protéger l'installation.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un moteur pour monte-charge industriel
Une installation de monte-charge destinée à lever des matériaux dans une usine doit être dimensionnée. Les caractéristiques de la charge et du système sont :
Charge utile maximale : $M = 2000 \\text{ kg}$
Masse du système de guidage et poulies : $m_{sys} = 300 \\text{ kg}$
Vitesse nominale de levage : $v = 0.5 \\text{ m/s}$
Accélération désirée : $a = 0.1 \\text{ m/s}^2$
Rendement global de transmission : $\\eta_{trans} = 0.85$
Coefficient de frottement des guides : $\\mu = 0.05$
Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \\text{ m/s}^2$
Tension dans le câble (rapport de sécurité) : $k_s = 1.3$
Question 1 : Calculer la force totale requise lors du levage $F_{tot}$ en tenant compte de la charge utile, de la masse du système et du frottement. Déterminer la puissance mécanique nécessaire $P_{mec}$ en régime nominal et en accélération $P_{acc}$.
Question 2 : En considérant le rendement de transmission, calculer la puissance électrique que doit fournir le moteur $P_{elec}$. Déterminer les caractéristiques nominales du moteur : puissance nominale $P_{nom}$, couple nominal $C_{nom}$ (en supposant une vitesse moteur de $n = 1500 \\text{ tr/min}$), et le courant nominal $I_{nom}$ (tension réseau triphasée $U = 400 \\text{ V}$, facteur de puissance $\\cos\\varphi = 0.88$).
Question 3 : Calculer l'énergie consommée pour soulever la charge sur une hauteur $h = 15 \\text{ m}$ $W_{total}$, et estimer le temps de cycle complet (montée + descente) $t_{cycle}$. Évaluer la puissance thermique dissipée dans les frottements $P_{frot}$ et justifier le choix du type de moteur (moteur asynchrone triphasé standard ou moteur à rotor bobiné).
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Forces et puissances mécaniques requises
Étape 1 - Formule générale :
$F_{poids} = (M + m_{sys}) \\cdot g$
$F_{frot} = \\mu \\cdot (M + m_{sys}) \\cdot g \\cdot 2$ (deux brins de câble)
$F_{acc} = (M + m_{sys}) \\cdot a$
$F_{tot} = F_{poids} + F_{frot} + F_{acc}$
$P_{mec,nom} = F_{tot} \\cdot v$
$P_{acc} = (F_{poids} + F_{frot} + F_{acc,max}) \\cdot v$
Étape 2 - Remplacement des données :
$M = 2000 \\text{ kg}, m_{sys} = 300 \\text{ kg}, v = 0.5 \\text{ m/s}, a = 0.1 \\text{ m/s}^2, g = 9.81 \\text{ m/s}^2, \\mu = 0.05$
Étape 3 - Calcul :
$F_{poids} = (2000 + 300) \\times 9.81 = 2300 \\times 9.81 = 22563 \\text{ N}$
$F_{frot} = 0.05 \\times 2300 \\times 9.81 \\times 2 = 0.05 \\times 45126 = 2256.3 \\text{ N}$
$F_{acc} = 2300 \\times 0.1 = 230 \\text{ N}$
$F_{tot} = 22563 + 2256.3 + 230 = 25049.3 \\text{ N}$
$P_{mec,nom} = 25049.3 \\times 0.5 = 12524.65 \\text{ W} ≈ 12.5 \\text{ kW}$
$P_{acc} = (22563 + 2256.3 + 230) \\times 0.5 = 12524.65 \\text{ W}$
Étape 4 - Résultat final :
$F_{tot} = 25049.3 \\text{ N}$
$P_{mec,nom} = 12.5 \\text{ kW}$
$P_{acc} = 12.5 \\text{ kW}$
Question 2 : Puissance électrique et caractéristiques du moteur
Étape 1 - Formule générale :
$P_{elec} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_{trans}}$
$P_{nom} = P_{elec} \\times k_s \\text{ (coefficient de sécurité)}$
$\\omega = \\frac{2\\pi n}{60}$
$C_{nom} = \\frac{P_{nom}}{\\omega}$
$I_{nom} = \\frac{P_{nom}}{\\sqrt{3} U \\cos\\varphi \\eta_{mot}}$
Étape 2 - Remplacement des données :
$P_{mec} = 12525 \\text{ W}, \\eta_{trans} = 0.85, k_s = 1.3, n = 1500 \\text{ tr/min}, U = 400 \\text{ V}, \\cos\\varphi = 0.88, \\eta_{mot} ≈ 0.92$
Étape 3 - Calcul :
$P_{elec} = \\frac{12525}{0.85} = 14735.3 \\text{ W}$
$P_{nom} = 14735.3 \\times 1.3 = 19145.9 \\text{ W} ≈ 22 \\text{ kW}$ (choix commercial : 22 kW)
$\\omega = \\frac{2\\pi \\times 1500}{60} = 157.08 \\text{ rad/s}$
$C_{nom} = \\frac{22000}{157.08} = 140.1 \\text{ N·m}$
$I_{nom} = \\frac{22000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.88 \\times 0.92} = \\frac{22000}{562.8} = 39.1 \\text{ A}$
Étape 4 - Résultat final :
$P_{elec} = 14.7 \\text{ kW}$
$P_{nom} = 22 \\text{ kW}$
$C_{nom} = 140.1 \\text{ N·m}$
$I_{nom} = 39.1 \\text{ A}$
Question 3 : Énergie consommée et analyse thermique
Étape 1 - Formule générale :
$W_{total} = F_{tot} \\times h$
$t_{montee} = \\frac{h}{v}$
$t_{descente} = \\frac{h}{v}$ (vitesse régulée)
$t_{cycle} = t_{montee} + t_{descente}$
$P_{frot} = F_{frot} \\times v$
Étape 2 - Remplacement des données :
$F_{tot} = 25049.3 \\text{ N}, F_{frot} = 2256.3 \\text{ N}, h = 15 \\text{ m}, v = 0.5 \\text{ m/s}$
Étape 3 - Calcul :
$W_{total} = 25049.3 \\times 15 = 375739.5 \\text{ J} ≈ 0.104 \\text{ kWh}$
$t_{montee} = \\frac{15}{0.5} = 30 \\text{ s}$
$t_{descente} = 30 \\text{ s}$
$t_{cycle} = 60 \\text{ s}$
$P_{frot} = 2256.3 \\times 0.5 = 1128.15 \\text{ W}$
En descente, l'énergie potentielle est dissipée par les freins/amortisseurs. La puissance thermique à évacuer : $P_{therm} = (M + m_{sys}) \\times g \\times v = 2300 \\times 9.81 \\times 0.5 = 11281.5 \\text{ W}$
Étape 4 - Résultat final :
$W_{total} = 0.104 \\text{ kWh}$
$t_{cycle} = 60 \\text{ s}$
$P_{frot} = 1.128 \\text{ kW}$
Recommandation : Moteur asynchrone triphasé 22 kW, 1500 tr/min, classe IE3 avec réducteur à engrenages et frein de sécurité pour contrôler la descente.
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    "id_number": "9"
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 2 : Dimensionnement d'un moteur pour compresseur d'air centrifuge
Un compresseur d'air centrifuge destiné à une installation industrielle doit être dimensionné. Les caractéristiques du système sont :
Débit volumétrique requis : $Q = 1200 \\text{ m}^3/\\text{h}$
Pression d'entrée : $P_1 = 101.325 \\text{ kPa (atmosphérique)}$
Pression de sortie : $P_2 = 500 \\text{ kPa}$
Ratio de compression : $r = P_2/P_1$
Rendement isentropique du compresseur : $\\eta_{is} = 0.82$
Rendement mécanique de transmission : $\\eta_{trans} = 0.95$
Température d'entrée : $T_1 = 20 °\\text{C} = 293 \\text{ K}$
Indice polytropique de l'air : $\\gamma = 1.4$
Constante spécifique de l'air : $R = 287 \\text{ J/(kg·K)}$
Vitesse moteur nominale : $n = 3000 \\text{ tr/min}$
Question 1 : Calculer la température isentropique théorique en sortie $T_{2,is}$, la température réelle en sortie $T_2$, et l'énergie spécifique isentropique requise $h_{is}$ et réelle $h_{real}$.
Question 2 : Déterminer le débit massique $\\dot{m}$ du compresseur, la puissance isentropique $P_{is}$, et la puissance réelle absorbée $P_{real}$ en tenant compte des pertes de transmission.
Question 3 : Calculer le couple nominal du moteur $C_{nom}$, le courant nominal $I_{nom}$ (tension réseau $U = 400 \\text{ V}$, facteur de puissance $\\cos\\varphi = 0.85$, rendement moteur $\\eta_{mot} = 0.93$), et évaluer l'échauffement de l'air après compression $\\Delta T$.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
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Question 1 : Températures et énergies spécifiques
Étape 1 - Formule générale :
$r = \\frac{P_2}{P_1}$
$T_{2,is} = T_1 \\cdot r^{\\frac{\\gamma - 1}{\\gamma}}$
$T_2 = T_1 + \\frac{T_{2,is} - T_1}{\\eta_{is}}$
$h_{is} = c_p (T_{2,is} - T_1)$ où $c_p = \\frac{\\gamma R}{\\gamma - 1}$
$h_{real} = \\frac{h_{is}}{\\eta_{is}}$
Étape 2 - Remplacement des données :
$P_1 = 101.325 \\text{ kPa}, P_2 = 500 \\text{ kPa}, T_1 = 293 \\text{ K}, \\gamma = 1.4, R = 287 \\text{ J/(kg·K)}, \\eta_{is} = 0.82$
Étape 3 - Calcul :
$r = \\frac{500}{101.325} = 4.933$
$T_{2,is} = 293 \\times 4.933^{\\frac{0.4}{1.4}} = 293 \\times 4.933^{0.2857} = 293 \\times 1.635 = 478.7 \\text{ K}$
$T_2 = 293 + \\frac{478.7 - 293}{0.82} = 293 + \\frac{185.7}{0.82} = 293 + 226.6 = 519.6 \\text{ K}$
$c_p = \\frac{1.4 \\times 287}{0.4} = \\frac{401.8}{0.4} = 1004.5 \\text{ J/(kg·K)}$
$h_{is} = 1004.5 \\times (478.7 - 293) = 1004.5 \\times 185.7 = 186635.7 \\text{ J/kg}$
$h_{real} = \\frac{186635.7}{0.82} = 227604.0 \\text{ J/kg}$
Étape 4 - Résultat final :
$T_{2,is} = 478.7 \\text{ K} ≈ 205.5 °\\text{C}$
$T_2 = 519.6 \\text{ K} ≈ 246.4 °\\text{C}$
$h_{is} = 186.6 \\text{ kJ/kg}$
$h_{real} = 227.6 \\text{ kJ/kg}$
Question 2 : Débit massique et puissances
Étape 1 - Formule générale :
$\\rho_1 = \\frac{P_1}{R T_1}$
$\\dot{m} = \\rho_1 \\times Q$
$P_{is} = \\dot{m} \\times h_{is}$
$P_{real} = \\dot{m} \\times h_{real}$
$P_{moteur} = \\frac{P_{real}}{\\eta_{trans}}$
Étape 2 - Remplacement des données :
$Q = 1200 \\text{ m}^3/\\text{h} = \\frac{1200}{3600} = 0.333 \\text{ m}^3/\\text{s}$
Étape 3 - Calcul :
$\\rho_1 = \\frac{101325}{287 \\times 293} = \\frac{101325}{84091} = 1.206 \\text{ kg/m}^3$
$\\dot{m} = 1.206 \\times 0.333 = 0.402 \\text{ kg/s}$
$P_{is} = 0.402 \\times 186600 = 74971 \\text{ W}$
$P_{real} = 0.402 \\times 227600 = 91473 \\text{ W}$
$P_{moteur} = \\frac{91473}{0.95} = 96345 \\text{ W} ≈ 110 \\text{ kW}$ (choix commercial)
Étape 4 - Résultat final :
$\\dot{m} = 0.402 \\text{ kg/s}$
$P_{is} = 74.97 \\text{ kW}$
$P_{real} = 91.47 \\text{ kW}$
$P_{moteur} = 110 \\text{ kW}$ (nominal)
Question 3 : Couple nominal, courant et échauffement
Étape 1 - Formule générale :
$\\omega = \\frac{2\\pi n}{60}$
$C_{nom} = \\frac{P_{moteur}}{\\omega}$
$I_{nom} = \\frac{P_{moteur}}{\\sqrt{3} U \\cos\\varphi \\eta_{mot}}$
$\\Delta T = T_2 - T_1$
Étape 2 - Remplacement des données :
$P_{moteur} = 110000 \\text{ W}, n = 3000 \\text{ tr/min}, U = 400 \\text{ V}, \\cos\\varphi = 0.85, \\eta_{mot} = 0.93$
Étape 3 - Calcul :
$\\omega = \\frac{2\\pi \\times 3000}{60} = 314.16 \\text{ rad/s}$
$C_{nom} = \\frac{110000}{314.16} = 350.1 \\text{ N·m}$
$I_{nom} = \\frac{110000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.85 \\times 0.93} = \\frac{110000}{619.2} = 177.6 \\text{ A}$
$\\Delta T = 519.6 - 293 = 226.6 \\text{ K} = 226.6 °\\text{C}$
Étape 4 - Résultat final :
$C_{nom} = 350.1 \\text{ N·m}$
$I_{nom} = 177.6 \\text{ A}$
$\\Delta T = 226.6 °\\text{C}$
Note : Un système de refroidissement de l'air comprimé est recommandé après le compresseur.
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    "id_number": "10"
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    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 3 : Dimensionnement d'un moteur pour ventilateur centrifuge en industrie agro-alimentaire
Une installation de ventilation dans une usine agro-alimentaire utilise un ventilateur centrifuge pour assurer le refroidissement et la circulation d'air. Les caractéristiques du système sont :
Débit d'air nominal : $Q = 5000 \\text{ m}^3/\\text{h}$
Densité de l'air : $\\rho = 1.2 \\text{ kg/m}^3$
Pression totale développée par le ventilateur : $\\Delta P = 800 \\text{ Pa}$
Rendement global du ventilateur : $\\eta_{vent} = 0.78$
Rendement mécanique de transmission (courroies) : $\\eta_{trans} = 0.92$
Vitesse nominale du moteur : $n = 2800 \\text{ tr/min}$
Facteur de sécurité : $k_s = 1.15$
Coefficient de correction pour conditions d'altitude : $k_{alt} = 0.95$
Tension réseau triphasée : $U = 400 \\text{ V}$
Facteur de puissance : $\\cos\\varphi = 0.87$
Question 1 : Calculer la puissance mécanique utile requise par le ventilateur $P_{vent}$ en fonction du débit et de la pression. Déterminer la puissance d'entrée mécanique nécessaire $P_{mec,in}$ en tenant compte du rendement du ventilateur.
Question 2 : Calculer la puissance électrique requise du moteur $P_{elec}$ en incluant les pertes de transmission et le facteur de sécurité. Déterminer le couple nominal du moteur $C_{nom}$, le courant nominal $I_{nom}$ (rendement moteur $\\eta_{mot} = 0.91$), et la puissance nominale finale du moteur $P_{nom,final}$.
Question 3 : Évaluer la consommation énergétique annuelle $W_{annuel}$ (en supposant un fonctionnement 20 heures/jour, 300 jours/an), calculer la dépense énergétique annuelle $D_{annuel}$ (tarif : $0.11 \\text{ €/kWh}$, surcharge de 15% en conditions de température élevée), et estimer le bruit généré par le ventilateur $L_p$ (en dB, en utilisant la corrélation pour ce type de ventilateur).
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
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Question 1 : Puissances utile et d'entrée du ventilateur
Étape 1 - Formule générale :
$Q_{vol} = \\frac{Q}{3600}$ (conversion de m³/h en m³/s)
$\\dot{m} = \\rho \\times Q_{vol}$
$P_{vent,util} = \\Delta P \\times Q_{vol}$
$P_{mec,in} = \\frac{P_{vent,util}}{\\eta_{vent}}$
Étape 2 - Remplacement des données :
$Q = 5000 \\text{ m}^3/\\text{h}, \\rho = 1.2 \\text{ kg/m}^3, \\Delta P = 800 \\text{ Pa}, \\eta_{vent} = 0.78$
Étape 3 - Calcul :
$Q_{vol} = \\frac{5000}{3600} = 1.389 \\text{ m}^3/\\text{s}$
$\\dot{m} = 1.2 \\times 1.389 = 1.667 \\text{ kg/s}$
$P_{vent,util} = 800 \\times 1.389 = 1111.2 \\text{ W}$
$P_{mec,in} = \\frac{1111.2}{0.78} = 1425.1 \\text{ W}$
Étape 4 - Résultat final :
$P_{vent,util} = 1.111 \\text{ kW}$
$P_{mec,in} = 1.425 \\text{ kW}$
Question 2 : Puissance électrique et caractéristiques du moteur
Étape 1 - Formule générale :
$P_{mec,out} = \\frac{P_{mec,in}}{\\eta_{trans}}$
$P_{nom,brut} = P_{mec,out} \\times k_s \\times k_{alt}$
$P_{elec} = \\frac{P_{nom,brut}}{\\eta_{mot}}$
$\\omega = \\frac{2\\pi n}{60}$
$C_{nom} = \\frac{P_{nom,brut}}{\\omega}$
$I_{nom} = \\frac{P_{elec}}{\\sqrt{3} U \\cos\\varphi}$
Étape 2 - Remplacement des données :
$P_{mec,in} = 1425.1 \\text{ W}, \\eta_{trans} = 0.92, k_s = 1.15, k_{alt} = 0.95, n = 2800 \\text{ tr/min}, U = 400 \\text{ V}, \\cos\\varphi = 0.87, \\eta_{mot} = 0.91$
Étape 3 - Calcul :
$P_{mec,out} = \\frac{1425.1}{0.92} = 1549.0 \\text{ W}$
$P_{nom,brut} = 1549.0 \\times 1.15 \\times 0.95 = 1699.0 \\text{ W}$
$P_{elec} = \\frac{1699.0}{0.91} = 1867.0 \\text{ W}$
Choix commercial : moteur $P_{nom,final} = 2.2 \\text{ kW}$
$\\omega = \\frac{2\\pi \\times 2800}{60} = 293.2 \\text{ rad/s}$
$C_{nom} = \\frac{1867.0}{293.2} = 6.37 \\text{ N·m}$
$I_{nom} = \\frac{2200}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.87} = \\frac{2200}{603.2} = 3.65 \\text{ A}$
Étape 4 - Résultat final :
$P_{elec} = 1.867 \\text{ kW}$
$P_{nom,final} = 2.2 \\text{ kW}$
$C_{nom} = 6.37 \\text{ N·m}$
$I_{nom} = 3.65 \\text{ A}$
Question 3 : Consommation énergétique annuelle et bruit
Étape 1 - Formule générale :
$t_{annuel} = 20 \\times 300 = 6000 \\text{ h/an}$
$W_{annuel} = P_{nom,final} \\times t_{annuel}$
$W_{augmente} = W_{annuel} \\times (1 + 0.15)$
$D_{annuel} = W_{augmente} \\times 0.11 \\text{ €/kWh}$
$L_p = 10 \\log_{10}\\left(\\frac{P_{elec}}{10^{-12}}\\right) + 74$
Étape 2 - Remplacement des données :
$P_{nom,final} = 2.2 \\text{ kW}, P_{elec} = 1867 \\text{ W} = 1.867 \\text{ kW}$
Étape 3 - Calcul :
$W_{annuel} = 2.2 \\times 6000 = 13200 \\text{ kWh/an}$
$W_{augmente} = 13200 \\times 1.15 = 15180 \\text{ kWh/an}$
$D_{annuel} = 15180 \\times 0.11 = 1669.8 \\text{ €/an}$
$L_p = 10 \\log_{10}\\left(\\frac{1867}{10^{-12}}\\right) + 74 = 10 \\log_{10}(1.867 \\times 10^{15}) + 74$
$= 10 \\times (15 + \\log_{10}(1.867)) + 74 = 10 \\times (15 + 0.271) + 74 = 152.71 + 74 = 226.71 \\text{ dB}$
Note : Recalibrage avec formule adaptée aux ventilateurs : $L_p = 10 \\log_{10}(Q \\times \\Delta P) + C ≈ 10 \\log_{10}(1.389 \\times 800) + 60 ≈ 77.4 \\text{ dB}$
Étape 4 - Résultat final :
$W_{annuel} = 13200 \\text{ kWh/an}$
$D_{annuel} = 1669.8 \\text{ €/an}$
$L_p ≈ 77.4 \\text{ dB (acceptable pour cadre industriel)}$
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    "id_category": "1",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un Moteur pour Élévateur - Calcul de la Puissance, Couple et Sélection du Moteur
Une entreprise de bâtiment doit installer un élévateur (monte-charge) pour transporter des matériaux de construction sur un chantier. Les spécifications fonctionnelles et les contraintes de sécurité imposent un dimensionnement rigoureux du moteur électrique.
Charge nominale à élever : $m = 2500 \\, \\text{kg}$
Vitesse de remontée : $v = 1 \\, \\text{m/s}$
Diamètre de la poulie de traction : $D = 400 \\, \\text{mm}$
Rendement du système mécanique (câbles, poulies, réducteur) : $\\eta_{mec} = 0,85$
Accélération à démarrage : $a = 0,2 \\, \\text{m/s}^2$ (limité pour le confort et la sécurité)
Facteur de sécurité pour surcharges transitoires : $k_{sur} = 1,5$
Rendement estimé du moteur électrique : $\\eta_{mot} = 0,88$
Tension d'alimentation triphasée disponible : $U = 400 \\, \\text{V}$
Facteur de puissance nominal du moteur : $\\cos \\phi = 0,87$
Accélération gravitationnelle : $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$
Question 1 : Calculer la force de traction requise pour élever la charge à vitesse constante. En déduire la puissance mécanique nécessaire à la sortie du moteur, puis la puissance électrique minimale requise en tenant compte des rendements. Appliquer le facteur de sécurité pour les surcharges.
Question 2 : Déterminer le couple moteur nécessaire. Calculer la vitesse de rotation du moteur sachant que la poulie de traction doit tourner à une vitesse compatible avec la vitesse de remontée. Exprimer le couple en fonction de la puissance et de la vitesse de rotation.
Question 3 : Analyser les contraintes mécaniques lors du démarrage avec accélération. Calculer la puissance supplémentaire requise lors de la phase d'accélération. Évaluer le courant de démarrage et vérifier la compatibilité avec l'installation électrique (disjoncteur, câbles). Proposer un calibrage du moteur commercial.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solutions Détaillées
Question 1 : Puissance Requise et Application du Facteur de Sécurité
Étape 1 : Force de traction à vitesse constante
Pour élever une charge à vitesse constante, la force de traction doit équilibrer le poids :
$F = m \\cdot g = 2500 \\times 10 = 25 \\, 000 \\, \\text{N}$
Étape 2 : Puissance mécanique à la sortie du réducteur
La puissance mécanique est le produit de la force et de la vitesse :
$P_{mec} = F \\times v = 25 \\, 000 \\times 1 = 25 \\, 000 \\, \\text{W} = 25 \\, \\text{kW}$
Étape 3 : Puissance à la sortie du moteur (avant réducteur)
En tenant compte du rendement du système mécanique :
$P_{mot,out} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_{mec}} = \\frac{25 \\, 000}{0,85} = 29 \\, 412 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Puissance électrique requise
En tenant compte du rendement du moteur :
$P_{elec} = \\frac{P_{mot,out}}{\\eta_{mot}} = \\frac{29 \\, 412}{0,88} = 33 \\, 423 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Application du facteur de sécurité pour surcharges
$P_{elec,design} = P_{elec} \\times k_{sur} = 33 \\, 423 \\times 1,5 = 50 \\, 135 \\, \\text{W} \\approx 50 \\, \\text{kW}$
Étape 6 : Résultat final
• Force de traction : $F = 25 \\, \\text{kN}$
• Puissance mécanique : $P_{mec} = 25 \\, \\text{kW}$
• Puissance électrique nominale : $P_{elec} = 33,4 \\, \\text{kW}$
• Puissance de dimensionnement (avec sécurité) : $P_{design} = 50 \\, \\text{kW}$
• Sélection commerciale : Moteur de $55 \\, \\text{kW}$ (classe standard supérieure)
Question 2 : Couple Moteur et Vitesse de Rotation
Étape 1 : Vitesse de rotation de la poulie
La poulie doit transmettre la charge à une vitesse linéaire de 1 m/s. La relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire :
$v = \\omega \\times r = \\omega \\times \\frac{D}{2}$
où $r = 0,2 \\, \\text{m}$ est le rayon de la poulie.
$\\omega_{poulie} = \\frac{v \\times 2}{D} = \\frac{1 \\times 2}{0,4} = 5 \\, \\text{rad/s}$
En tours par minute :
$N_{poulie} = \\frac{\\omega_{poulie} \\times 60}{2\\pi} = \\frac{5 \\times 60}{6,283} = 47,7 \\, \\text{tr/min}$
Étape 2 : Vitesse de rotation du moteur
Un moteur asynchrone triphasé à 4 pôles tourne approximativement à 1500 tr/min à vide. Pour obtenir 47,7 tr/min à la poulie, un réducteur de rapport est nécessaire :
$k_{reduction} = \\frac{N_{moteur}}{N_{poulie}} = \\frac{1500}{47,7} = 31,4$
(Réducteur commercial : rapport 30 ou 35)
Étape 3 : Couple à la sortie du moteur
Le couple moteur est :
$C_{mot} = \\frac{P_{mot,out}}{\\omega_{mot}}$
où $\\omega_{mot} = \\frac{2\\pi N_{mot}}{60} = \\frac{2\\pi \\times 1500}{60} = 157,1 \\, \\text{rad/s}$
$C_{mot} = \\frac{29 \\, 412}{157,1} = 187,2 \\, \\text{N·m}$
Étape 4 : Couple à la sortie du réducteur (à la poulie)
$C_{poulie} = C_{mot} \\times k_{reduction} \\times \\eta_{mec} = 187,2 \\times 31,4 \\times 0,85 = 5018 \\, \\text{N·m}$
Vérification : $F = \\frac{C_{poulie}}{r} = \\frac{5018}{0,2} = 25 \\, 090 \\, \\text{N} \\approx 25 \\, \\text{kN}$ ✓
Résultat final :
• Vitesse de rotation du moteur : $N_{mot} = 1500 \\, \\text{tr/min}$
• Couple moteur : $C_{mot} = 187,2 \\, \\text{N·m}$
• Rapport de réduction requis : $k_{red} \\approx 31,4$ (sélectionner 30 ou 35 commercial)
Question 3 : Puissance en Phase d'Accélération et Vérification Électrique
Étape 1 : Force supplémentaire lors de l'accélération
Lors de l'accélération à $a = 0,2 \\, \\text{m/s}^2$, une force supplémentaire est requise :
$F_{acc} = m \\times a = 2500 \\times 0,2 = 500 \\, \\text{N}$
Force totale pendant l'accélération :
$F_{total} = F + F_{acc} = 25 \\, 000 + 500 = 25 \\, 500 \\, \\text{N}$
Étape 2 : Puissance supplémentaire en phase d'accélération
La puissance moyenne pendant l'accélération (en supposant que la vitesse augmente de 0 à 1 m/s en temps $t_{acc}$) :
$t_{acc} = \\frac{v}{a} = \\frac{1}{0,2} = 5 \\, \\text{s}$
Vitesse moyenne pendant l'accélération : $v_{moy} = 0,5 \\, \\text{m/s}$
$P_{acc} = F_{total} \\times v_{moy} = 25 \\, 500 \\times 0,5 = 12 \\, 750 \\, \\text{W}$
Puissance moteur pendant l'accélération :
$P_{mot,acc} = \\frac{P_{acc}}{\\eta_{mec} \\times \\eta_{mot}} = \\frac{12 \\, 750}{0,85 \\times 0,88} = 17 \\, 045 \\, \\text{W}$
Étape 3 : Puissance totale maximale (crête pendant accélération)
À la fin de la phase d'accélération, la charge atteint 1 m/s avec la force accélérante :
$P_{max} = (F + F_{acc}) \\times v \\times \\frac{1}{\\eta_{mec} \\times \\eta_{mot}} = 25 \\, 500 \\times 1 \\times \\frac{1}{0,85 \\times 0,88}$
$P_{max} = 34 \\, 090 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Courant de démarrage
Le courant du moteur en régime nominal :
$I_{nom} = \\frac{P_{design}}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos \\phi} = \\frac{50 \\, 000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0,87}$
$I_{nom} = \\frac{50 \\, 000}{602,6} = 83 \\, \\text{A}$
Courant de démarrage (moteur asynchrone, approximativement 4-6 fois le nominal) :
$I_{dem} \\approx 5 \\times I_{nom} = 5 \\times 83 = 415 \\, \\text{A}$
Étape 5 : Vérification de l'installation électrique
• Disjoncteur : Doit supporter $415 \\, \\text{A}$ en démarrage. Sélectionner un disjoncteur tripolaire $C \\text{ ou } D, 630 \\, \\text{A}$
• Câble : Section minimale calculée par $S = \\frac{I \\times L}{k \\times \\Delta U} = \\frac{83 \\times 50}{52 \\times 0,04 \\times 400}$ (perte max 4 %). Résultat : $S \\geq 50 \\, \\text{mm}^2$ (cuivre)
Résultat final :
• Force lors de l'accélération : $F_{total} = 25 \\, 500 \\, \\text{N}$
• Puissance crête (fin d'accélération) : $P_{max} = 34 \\, \\text{kW}$
• Courant nominal : $I_{nom} = 83 \\, \\text{A}$
• Courant de démarrage : $I_{dem} \\approx 415 \\, \\text{A}$
• Sélection disjoncteur : $630 \\, \\text{A}$, courbe D (induction)
• Sélection câble : $4 \\times 50 \\, \\text{mm}^2$ cuivre (4 pour neutre)
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    "id_category": "1",
    "id_number": "12"
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 2 : Dimensionnement d'une Pompe Centrifuge - Sélection du Moteur pour Application Industrielle
Une usine agro-alimentaire doit installer une pompe centrifuge pour l'évacuation d'eaux usées vers une station de traitement. La pompe doit fonctionner en régime continu. L'étude du dimensionnement nécessite l'analyse des besoins hydrauliques et du moteur approprié.
Débit volumique requis : $Q = 100 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$
Hauteur de refoulement : $H = 25 \\, \\text{m}$
Densité du fluide transporté : $\\rho = 1000 \\, \\text{kg/m}^3$
Accélération gravitationnelle : $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$
Rendement de la pompe centrifuge : $\\eta_{pompe} = 0,78$
Rendement de la transmission mécanique (accouplements, paliers) : $\\eta_{trans} = 0,95$
Rendement du moteur électrique sélectionné : $\\eta_{mot} = 0,89$
Vitesse de rotation nominale du moteur : $N_{mot} = 1500 \\, \\text{tr/min}$
Tension triphasée disponible : $U = 400 \\, \\text{V}$
Facteur de puissance : $\\cos \\phi = 0,88$
Coefficient de surcharge pour démarrage progressif : $k_{sur} = 1,1$
Question 1 : Calculer la puissance hydraulique nécessaire pour assurer le débit et la hauteur de refoulement. En déduire la puissance mécanique requise en sortie du moteur, puis la puissance électrique nominale à sélectionner, en tenant compte de tous les rendements et du facteur de surcharge.
Question 2 : Déterminer le couple nominal que doit fournir le moteur à la pompe. Calculer la puissance absorbée à la vitesse nominale. Vérifier la cohérence entre le débit souhaité et la vitesse de rotation du moteur.
Question 3 : Analyser l'impact d'une augmentation de la hauteur de refoulement à 30 m en raison de travaux sur la canalisation d'évacuation. Recalculer la puissance requise et évaluer si le moteur sélectionné demeure adéquat ou s'il doit être remplacé. Proposer des mesures d'adaptation (modulation du débit, changement de moteur, etc.).
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
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Solutions Détaillées
Question 1 : Puissance Hydraulique et Dimensionnement du Moteur
Étape 1 : Conversion du débit volumique en débit massique
Débit volumique : $Q = 100 \\, \\text{m}^3/\\text{h} = \\frac{100}{3600} = 0,02778 \\, \\text{m}^3/\\text{s}$
Débit massique :
$\\dot{m} = \\rho \\times Q = 1000 \\times 0,02778 = 27,78 \\, \\text{kg/s}$
Étape 2 : Puissance hydraulique
La puissance hydraulique est le travail contre la gravité pour élever le fluide à la hauteur H :
$P_{hyd} = \\dot{m} \\times g \\times H = 27,78 \\times 10 \\times 25 = 6945 \\, \\text{W} \\approx 6,95 \\, \\text{kW}$
Étape 3 : Puissance utile en sortie de pompe
En tenant compte du rendement de la pompe :
$P_{pompe} = \\frac{P_{hyd}}{\\eta_{pompe}} = \\frac{6945}{0,78} = 8906 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Puissance mécanique requise à la sortie du moteur
En tenant compte des pertes de transmission :
$P_{mec} = \\frac{P_{pompe}}{\\eta_{trans}} = \\frac{8906}{0,95} = 9375 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Puissance électrique nominale
En tenant compte du rendement du moteur :
$P_{elec,nom} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_{mot}} = \\frac{9375}{0,89} = 10 \\, 528 \\, \\text{W}$
Étape 6 : Puissance de dimensionnement avec surcharge
$P_{design} = P_{elec,nom} \\times k_{sur} = 10 \\, 528 \\times 1,1 = 11 \\, 581 \\, \\text{W} \\approx 11,6 \\, \\text{kW}$
Résultat final :
• Puissance hydraulique : $P_{hyd} = 6,95 \\, \\text{kW}$
• Puissance pompe : $P_{pompe} = 8,91 \\, \\text{kW}$
• Puissance électrique nominale : $P_{elec,nom} = 10,53 \\, \\text{kW}$
• Puissance de sélection : $P_{design} = 11,6 \\, \\text{kW}$
• Moteur commercial à sélectionner : $15 \\, \\text{kW}$ (classe standard supérieure)
Question 2 : Couple Nominal et Vérification de Cohérence
Étape 1 : Calcul du couple nominal du moteur
Le couple est lié à la puissance par la relation :
$C = \\frac{P_{mec} \\times 60}{2\\pi N_{mot}}$
avec $N_{mot} = 1500 \\, \\text{tr/min}$
$C = \\frac{9375 \\times 60}{2\\pi \\times 1500} = \\frac{562 \\, 500}{9425} = 59,69 \\, \\text{N·m}$
Étape 2 : Puissance absorbée à vitesse nominale
La puissance absorbée (électrique) à vitesse nominale :
$P_{abs} = \\frac{C \\times 2\\pi N_{mot}}{60} = \\frac{59,69 \\times 2\\pi \\times 1500}{60} = 9375 \\, \\text{W}$
Courant électrique :
$I = \\frac{P_{abs}}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos \\phi \\times \\eta_{mot}} = \\frac{9375}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0,88 \\times 0,89}$
$I = \\frac{9375}{549,5} = 17,06 \\, \\text{A}$
Étape 3 : Vérification de cohérence - Relation débit/vitesse
Pour une pompe centrifuge, le débit volumique est généralement linéairement proportionnel à la vitesse de rotation (à charge constante). À 1500 tr/min, la pompe fournit 100 m³/h. La cohérence est vérifiée par la spécification du constructeur de pompe.
Coefficient : $k_Q = \\frac{Q}{N_{mot}} = \\frac{100}{1500} = 0,0667 \\, \\text{m}^3/(\\text{h}·\\text{tr/min})$
Résultat final :
• Couple nominal : $C = 59,7 \\, \\text{N·m}$
• Puissance absorbée : $P_{abs} = 9,38 \\, \\text{kW}$
• Courant nominal : $I = 17,06 \\, \\text{A}$
• Cohérence débit/vitesse : Vérifiée (relation linéaire standard)
Question 3 : Impact de l'Augmentation de Hauteur et Adaptation
Étape 1 : Nouvelle hauteur de refoulement
$H' = 30 \\, \\text{m}$ (au lieu de 25 m)
Étape 2 : Nouvelle puissance hydraulique
$P_{hyd}' = \\dot{m} \\times g \\times H' = 27,78 \\times 10 \\times 30 = 8334 \\, \\text{W}$
Augmentation : $\\frac{P_{hyd}'}{P_{hyd}} = \\frac{8334}{6945} = 1,20 \\, (\\text{soit } 20\\%)$
Étape 3 : Nouvelle puissance électrique requise
$P_{elec,nom}' = \\frac{P_{hyd}'}{\\eta_{pompe} \\times \\eta_{trans} \\times \\eta_{mot}} = \\frac{8334}{0,78 \\times 0,95 \\times 0,89}$
$P_{elec,nom}' = \\frac{8334}{0,66} = 12 \\, 627 \\, \\text{W}$
Avec surcharge :
$P_{design}' = 12 \\, 627 \\times 1,1 = 13 \\, 890 \\, \\text{W} \\approx 13,9 \\, \\text{kW}$
Étape 4 : Comparaison avec moteur sélectionné (15 kW)
Le moteur de 15 kW initialement sélectionné peut couvrir la nouvelle charge ($13,9 \\, \\text{kW} < 15 \\, \\text{kW}$).
Marge disponible : $\\frac{15 - 13,9}{15} \\times 100 = 7,3\\%$
Étape 5 : Mesures d'adaptation
Option 1 (Recommandée) : Maintenir le moteur 15 kW. Le système fonctionne à 92,7 % de sa capacité, ce qui est acceptable pour une fiabilité à long terme.
Option 2 : Réduire le débit. Si la hauteur supplémentaire est nécessaire, moduler le débit selon :
$Q_{reduit} = Q \\times \\frac{P_{disponible}}{P_{demandee}} = 100 \\times \\frac{15}{13,9} = 107,9 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$
Le débit pourrait même augmenter légèrement (107,9 vs 100 m³/h) à la même charge moteur. Cela suppose une augmentation de la charge hydraulique avec débit constant.
Option 3 : Installer un convertisseur de fréquence (VFD) pour adapter la vitesse selon la charge réelle. Cela optimise la consommation énergétique.
Résultat final :
• Nouvelle puissance hydraulique : $P_{hyd}' = 8,33 \\, \\text{kW}$
• Nouvelle puissance électrique : $P_{elec,nom}' = 12,63 \\, \\text{kW}$
• Puissance de design (H=30 m) : $13,9 \\, \\text{kW}$
• Adéquation moteur 15 kW : Acceptable (marge 7,3 %)
• Débit maximum à H=30 m : $Q_{max} = 107,9 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$
• Recommandation : Maintenir moteur 15 kW + installer VFD pour optimisation énergétique future
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    "id_number": "13"
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 3 : Dimensionnement d'un Moteur pour Compresseur d'Air Industriel - Analyse Énergétique et Coûts d'Exploitation
Une station de forage pétrolier doit installer un compresseur d'air pour alimenter les outils pneumatiques et les équipements de contrôle. L'étude demande un dimensionnement complet du moteur avec analyse des coûts d'exploitation long terme.
Débit d'air requis : $D = 500 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$ (conditions atmosphériques normales)
Pression de refoulement : $P_{ref} = 10 \\, \\text{bar}$
Pression atmosphérique : $P_{atm} = 1 \\, \\text{bar}$
Rendement du compresseur (isentrope) : $\\eta_{comp} = 0,75$
Indice polytropique de l'air : $\\gamma = 1,4$
Constante de l'air : $R = 287 \\, \\text{J/(kg·K)}$
Température d'entrée : $T_0 = 293 \\, \\text{K} (20 \\, °\\text{C})$
Masse volumique de l'air à l'entrée : $\\rho_0 = 1,2 \\, \\text{kg/m}^3$
Rendement de la transmission mécanique : $\\eta_{trans} = 0,96$
Rendement moteur : $\\eta_{mot} = 0,91$
Facteur de surcharge (cycles de démarrage) : $k_{sur} = 1,15$
Prix de l'électricité : $c_e = 0,12 \\, \\text{€/kWh}$
Durée d'exploitation annuelle : $t_{year} = 8000 \\, \\text{h/an}$
Question 1 : Calculer la puissance isentrope requise pour la compression de l'air. En déduire la puissance réelle (polytrope) et la puissance électrique nominale du moteur. Appliquer le facteur de surcharge et sélectionner un moteur commercial.
Question 2 : Déterminer le couple de sortie du moteur et les contraintes de démarrage. Analyser l'impact du régime de charge partielle (70 % du débit nominal) sur la puissance consommée et le rendement global du système.
Question 3 : Évaluer le coût annuel d'exploitation électrique du compresseur en mode nominal et en mode à 70 %. Calculer les économies potentielles en cas d'installation d'un entraînement à vitesse variable (VFD) qui adapterait le débit à la demande réelle. Proposer un bilan économique sur 5 ans.
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      "A Corrige Type"
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      "A"
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Solutions Détaillées
Question 1 : Puissance Isentrope, Polytrope et Puissance Électrique
Étape 1 : Débit massique d'air
$\\dot{m} = \\rho_0 \\times D = 1,2 \\times \\frac{500}{3600} = 0,1667 \\, \\text{kg/s}$
Étape 2 : Puissance isentrope (théorique)
La puissance isentrope pour comprimer un gaz parfait est :
$P_{iso} = \\dot{m} \\times R \\times T_0 \\times \\frac{\\gamma - 1}{\\gamma} \\times \\left[ \\left(\\frac{P_{ref}}{P_{atm}}\\right)^{\\frac{\\gamma-1}{\\gamma}} - 1 \\right]$
Avec les données :
$\\frac{\\gamma - 1}{\\gamma} = \\frac{0,4}{1,4} = 0,2857$
$\\frac{P_{ref}}{P_{atm}} = \\frac{10}{1} = 10$
$10^{0,2857} = 1,933$
$P_{iso} = 0,1667 \\times 287 \\times 293 \\times 0,2857 \\times (1,933 - 1)$
$P_{iso} = 0,1667 \\times 287 \\times 293 \\times 0,2857 \\times 0,933 = 4128 \\, \\text{W}$
Étape 3 : Puissance polytrope réelle
En tenant compte du rendement isentrope du compresseur :
$P_{real} = \\frac{P_{iso}}{\\eta_{comp}} = \\frac{4128}{0,75} = 5504 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Puissance mécanique en sortie du moteur
En tenant compte du rendement de transmission :
$P_{mec} = \\frac{P_{real}}{\\eta_{trans}} = \\frac{5504}{0,96} = 5733 \\, \\text{W}$
Étape 5 : Puissance électrique nominale
En tenant compte du rendement du moteur :
$P_{elec,nom} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_{mot}} = \\frac{5733}{0,91} = 6301 \\, \\text{W}$
Étape 6 : Puissance de dimensionnement avec surcharge
$P_{design} = P_{elec,nom} \\times k_{sur} = 6301 \\times 1,15 = 7246 \\, \\text{W} \\approx 7,25 \\, \\text{kW}$
Résultat final :
• Puissance isentrope : $P_{iso} = 4,13 \\, \\text{kW}$
• Puissance réelle (polytrope) : $P_{real} = 5,50 \\, \\text{kW}$
• Puissance électrique nominale : $P_{elec,nom} = 6,30 \\, \\text{kW}$
• Puissance de dimensionnement : $P_{design} = 7,25 \\, \\text{kW}$
• Moteur à sélectionner : $7,5 \\, \\text{kW}$ (classe standard)
Question 2 : Couple Moteur, Démarrage et Régime Charge Partielle
Étape 1 : Couple de sortie nominal (1500 tr/min)
$C = \\frac{P_{mec} \\times 60}{2\\pi N_{mot}} = \\frac{5733 \\times 60}{2\\pi \\times 1500} = \\frac{343 \\, 980}{9425} = 36,5 \\, \\text{N·m}$
Étape 2 : Courant de démarrage
Courant nominal :
$I_{nom} = \\frac{P_{elec,nom}}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos \\phi \\times \\eta_{mot}}$
Avec $U = 400 \\, \\text{V}$, $\\cos \\phi = 0,87$ (compresseur), $\\eta_{mot} = 0,91$ :
$I_{nom} = \\frac{6301}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0,87 \\times 0,91} = \\frac{6301}{549,6} = 11,5 \\, \\text{A}$
Courant de démarrage (direct ~5-6× nominal) :
$I_{dem} \\approx 5,5 \\times I_{nom} = 5,5 \\times 11,5 = 63 \\, \\text{A}$
Étape 3 : Régime charge partielle à 70 % du débit
À 70 % du débit, la pression reste approximativement constante (caractéristique des compresseurs). Le débit et la puissance consommée sont reliés par :
$\\frac{P_{70\\%}}{P_{nom}} \\approx 0,7 \\times \\text{(correction non linéaire)}$
Pour un compresseur volumétrique, la puissance est approximativement linéaire avec le débit en charge partielle :
$P_{70\\%} \\approx 0,70 \\times P_{elec,nom} = 0,70 \\times 6301 = 4411 \\, \\text{W}$
Rendement global à charge partielle :
$\\eta_{global,70\\%} = \\frac{P_{iso} \\times 0,70}{P_{70\\%}} = \\frac{4128 \\times 0,70}{4411} = 0,654 \\, (\\text{65,4}\\%)$
Comparaison avec rendement nominal :
$\\eta_{global,100\\%} = \\frac{P_{iso}}{P_{elec,nom}} = \\frac{4128}{6301} = 0,655 \\, (\\text{65,5}\\%)$
Le rendement reste pratiquement inchangé (comportement linéaire favorable).
Résultat final :
• Couple nominal : $C = 36,5 \\, \\text{N·m}$
• Courant nominal : $I_{nom} = 11,5 \\, \\text{A}$
• Courant démarrage : $I_{dem} \\approx 63 \\, \\text{A}$
• Puissance à 70 % débit : $P_{70\\%} = 4,41 \\, \\text{kW}$
• Rendement à 70 % : $65,4\\%$ (inchangé, système efficace)
Question 3 : Coûts Annuels et Analyse Économique VFD
Étape 1 : Coût annuel nominal (100 % débit, 8000 h/an)
$\\text{Coût}_{100\\%} = P_{elec,nom} \\times t_{year} \\times c_e = 6,301 \\times 8000 \\times 0,12 = 6049 \\, \\text{€/an}$
Étape 2 : Coût annuel à 70 % débit
$\\text{Coût}_{70\\%} = P_{70\\%} \\times t_{year} \\times c_e = 4,411 \\times 8000 \\times 0,12 = 4235 \\, \\text{€/an}$
Économie directe : $6049 - 4235 = 1814 \\, \\text{€/an}$
Étape 3 : Impact d'un VFD (entraînement à vitesse variable)
Avec VFD, la puissance varie comme le cube de la vitesse (pour débit variable) :
$P_{VFD} \\propto \\left(\\frac{N}{N_{nom}}\\right)^3 \\times P_{nom}$
À 70 % de débit (70 % de vitesse) :
$P_{VFD,70\\%} = (0,70)^3 \\times P_{elec,nom} = 0,343 \\times 6301 = 2161 \\, \\text{W}$
Coût avec VFD à 70 % :
$\\text{Coût}_{VFD,70\\%} = 2,161 \\times 8000 \\times 0,12 = 2074 \\, \\text{€/an}$
Étape 4 : Hypothèse d'exploitation réaliste
Supposons que le compresseur fonctionne :
• 40 % du temps à 100 % de charge : $0,40 \\times 8000 = 3200 \\, \\text{h}$
• 60 % du temps à 70 % de charge : $0,60 \\times 8000 = 4800 \\, \\text{h}$
Étape 5 : Coût annuel moyen (sans VFD)
$\\text{Coût}_{moyen} = (0,40 \\times 6049) + (0,60 \\times 4235) = 2420 + 2541 = 4961 \\, \\text{€/an}$
Étape 6 : Coût annuel avec VFD
Puissance moyenne avec VFD :
$P_{VFD,moy} = (0,40 \\times 6301) + (0,60 \\times (0,70)^3 \\times 6301)$
$P_{VFD,moy} = (0,40 \\times 6301) + (0,60 \\times 2161) = 2520 + 1297 = 3817 \\, \\text{W}$
$\\text{Coût}_{VFD} = 3,817 \\times 8000 \\times 0,12 = 3665 \\, \\text{€/an}$
Économie annuelle avec VFD : $4961 - 3665 = 1296 \\, \\text{€/an}$
Étape 7 : Analyse économique sur 5 ans
Coût du VFD (équipement, installation, mise en service) : $C_{VFD} \\approx 3000 \\, \\text{€}$ (estimation)
Économies cumulées sur 5 ans : $1296 \\times 5 = 6480 \\, \\text{€}$
Bilan net (5 ans) : $6480 - 3000 = 3480 \\, \\text{€}$
Période de retour sur investissement (ROI) : $\\frac{3000}{1296} = 2,3 \\, \\text{ans}$
Résultat final :
• Coût annuel 100 % (sans VFD) : $6049 \\, \\text{€/an}$
• Coût annuel 70 % débit (sans VFD) : $4235 \\, \\text{€/an}$
• Coût moyen annuel réaliste (sans VFD) : $4961 \\, \\text{€/an}$
• Coût moyen annuel avec VFD : $3665 \\, \\text{€/an}$
• Économie annuelle (VFD) : $1296 \\, \\text{€/an}$
• Bilan net sur 5 ans : $+3480 \\, \\text{€}$ (rentable)
• Période de retour : $2,3 \\, \\text{ans}$
• Recommandation : Installation d'un VFD fortement recommandée pour optimisation énergétique et rentabilité garantie
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    "id_number": "14"
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un moteur asynchrone triphasé pour un système de monte-charge industriel
Une installation de monte-charge doit soulever une charge de $m = 2500$ kg à une hauteur $h = 30$ m en un temps $t = 120$ s. Le système utilise un tambour d'enroulement de diamètre $d = 0.8$ m accouplé directement à un moteur asynchrone triphasé. Les paramètres de fonctionnement sont :
Accélération phase 1 (0 à 20 s) : mouvement accéléré uniformément
Phase 2 (20 à 100 s) : mouvement à vitesse constante
Phase 3 (100 à 120 s) : décélération uniformément jusqu'à l'arrêt
Rendement global du système mécanique (réducteur + transmission) : $\\eta_m = 0.92$
Rendement du moteur asynchrone : $\\eta_{moteur} = 0.88$
Facteur de service (coefficient d'utilisation) : $K_s = 1.2$
Coefficient de sécurité pour surcharge : $K_{surcharge} = 1.15$
Tension d'alimentation réseau triphasé : $U = 400$ V
Fréquence : $f = 50$ Hz
Rapport de réduction du réducteur : $r = 25$
Accélération de la pesanteur : $g = 9.81$ m/s²
Question 1 : Calculer la vitesse linéaire requise du câble, la vitesse angulaire du tambour, et la vitesse de rotation du moteur (en tr/min). Déterminer la puissance mécanique nécessaire à chaque phase du mouvement (accélération, vitesse constante, décélération), puis calculer la puissance moyenne requise pendant le cycle complet.
Question 2 : En tenant compte du rendement du moteur et du système mécanique, calculer la puissance électrique absorbée à partir du réseau lors de chaque phase. Déterminer la puissance nominale du moteur à installer en appliquant le coefficient de service et le coefficient de sécurité. Calculer le courant de ligne nominal et le courant au démarrage (en prenant $I_{dém}/I_n = 6$).
Question 3 : Dimensionner le câble d'acier pour le monte-charge sachant que la limite élastique du câble est $\\sigma_{lim} = 1770$ MPa avec un facteur de sécurité de 5 pour le câble. Calculer le diamètre minimal du câble. Estimer également l'énergie totale consommée par le système sur un cycle complet de monte-charge (en kWh), en tenant compte des pertes du moteur et du système mécanique.
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      "A Corrige Type"
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    "correct": [
      "A"
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Solution complète de l'Exercice 1
Question 1 : Vitesses, puissances mécaniques et puissance moyenne
Étape 1.1 : Calcul de la vitesse linéaire requise du câble
La distance totale à parcourir est $h = 30$ m en $t = 120$ s. Cependant, le mouvement n'est pas uniforme (3 phases). Analysons le profil :
En phase 2 (vitesse constante), la distance parcourue est :
$\\Delta h_2 = h - \\Delta h_1 - \\Delta h_3$
où $\\Delta h_1 = \\Delta h_3$ par symétrie (accélération et décélération identiques).
Distance en accélération (phase 1, 0-20 s) :
$\\Delta h_1 = \\frac{1}{2} a t_1^2 = \\frac{1}{2} a (20)^2 = 200a$
Distance en décélération (phase 3, 100-120 s) :
$\\Delta h_3 = v_{max} \\times 20 - \\frac{1}{2} a (20)^2 = 20 v_{max} - 200a$
Distance en vitesse constante (phase 2, 20-100 s) :
$\\Delta h_2 = v_{max} \\times 80$
Bilan des distances :
$200a + 80 v_{max} + 20 v_{max} - 200a = 30 \\Rightarrow 100 v_{max} = 30$
$v_{max} = 0.3$ m/s
Accélération :
$a = \\frac{v_{max}}{20} = \\frac{0.3}{20} = 0.015$ m/s²
Étape 1.2 : Vitesse angulaire du tambour
La vitesse angulaire du tambour (rayon = 0.4 m) :
$\\omega_{tambour} = \\frac{v}{r_{tambour}} = \\frac{0.3}{0.4} = 0.75$ rad/s
En tr/min :
$N_{tambour} = \\frac{\\omega_{tambour} \\times 60}{2\\pi} = \\frac{0.75 \\times 60}{2\\pi} = 7.16$ tr/min
Étape 1.3 : Vitesse de rotation du moteur
Compte tenu du rapport de réduction $r = 25$ :
$N_{moteur} = N_{tambour} \\times r = 7.16 \\times 25 = 179$ tr/min
En rad/s :
$\\omega_{moteur} = \\frac{N_{moteur} \\times 2\\pi}{60} = \\frac{179 \\times 2\\pi}{60} = 18.7$ rad/s
Étape 1.4 : Puissance mécanique en phase 1 (accélération)
Force totale (poids + accélération) :
$F_1 = m(g + a) = 2500(9.81 + 0.015) = 2500 \\times 9.825 = 24562.5$ N
Puissance en accélération (variable) :
$P_{mec,1}(t) = F_1 \\times v(t) = 24562.5 \\times (0.015 \\times t)$
À t = 0 : $P_{mec,1} = 0$ W
À t = 20 s : $P_{mec,1} = 24562.5 \\times 0.3 = 7368.75$ W ≈ 7.37 kW
Puissance moyenne en phase 1 :
$P_{mec,1,moy} = \\frac{1}{2} \\times P_{mec,1}(t=20) = \\frac{7.37}{2} = 3.68$ kW
Étape 1.5 : Puissance mécanique en phase 2 (vitesse constante)
Force en vitesse constante (poids uniquement) :
$F_2 = m \\times g = 2500 \\times 9.81 = 24525$ N
Puissance constante :
$P_{mec,2} = F_2 \\times v_{max} = 24525 \\times 0.3 = 7357.5$ W ≈ 7.36 kW
Étape 1.6 : Puissance mécanique en phase 3 (décélération)
Force de décélération :
$F_3 = m(g - a) = 2500(9.81 - 0.015) = 2500 \\times 9.795 = 24487.5$ N
Puissance moyenne en décélération :
$P_{mec,3,moy} = \\frac{1}{2} \\times F_3 \\times v_{max} = \\frac{1}{2} \\times 24487.5 \\times 0.3 = 3.67$ kW
Étape 1.7 : Puissance moyenne sur le cycle complet
$P_{mec,moy} = \\frac{P_{mec,1,moy} \\times 20 + P_{mec,2} \\times 80 + P_{mec,3,moy} \\times 20}{120}$
$= \\frac{3.68 \\times 20 + 7.36 \\times 80 + 3.67 \\times 20}{120}$
$= \\frac{73.6 + 588.8 + 73.4}{120} = \\frac{735.8}{120} = 6.13$ kW
Résultats Question 1 :
• Vitesse linéaire du câble : $v_{max} = 0.3$ m/s
• Vitesse angulaire du tambour : $\\omega_{tambour} = 0.75$ rad/s = 7.16 tr/min
• Vitesse de rotation du moteur : $N_{moteur} = 179$ tr/min = 18.7 rad/s
• Puissance mécanique phase 1 (moyenne) : $P_{mec,1,moy} = 3.68$ kW
• Puissance mécanique phase 2 : $P_{mec,2} = 7.36$ kW
• Puissance mécanique phase 3 (moyenne) : $P_{mec,3,moy} = 3.67$ kW
• Puissance mécanique moyenne du cycle : $P_{mec,moy} = 6.13$ kW
Question 2 : Puissance électrique, puissance nominale et courants
Étape 2.1 : Puissance électrique requise aux différentes phases
En tenant compte du rendement du système mécanique ($\\eta_m = 0.92$) et du moteur ($\\eta_{moteur} = 0.88$) :
Rendement total :
$\\eta_{total} = \\eta_m \\times \\eta_{moteur} = 0.92 \\times 0.88 = 0.8096$
Puissance électrique phase 1 :
$P_{elec,1} = \\frac{P_{mec,1,moy}}{\\eta_{total}} = \\frac{3.68}{0.8096} = 4.54$ kW
Puissance électrique phase 2 :
$P_{elec,2} = \\frac{P_{mec,2}}{\\eta_{total}} = \\frac{7.36}{0.8096} = 9.09$ kW
Puissance électrique phase 3 :
$P_{elec,3} = \\frac{P_{mec,3,moy}}{\\eta_{total}} = \\frac{3.67}{0.8096} = 4.53$ kW
Étape 2.2 : Puissance nominale du moteur (dimensionnement)
La puissance maximale requise est en phase 2. En appliquant le coefficient de service $K_s = 1.2$ et le coefficient de sécurité $K_{surcharge} = 1.15$ :
$P_{nominale} = P_{elec,2} \\times K_s \\times K_{surcharge} = 9.09 \\times 1.2 \\times 1.15 = 12.54$ kW
On choisit un moteur standard de $P_{nominale} = 15$ kW (cote normalisée supérieure).
Étape 2.3 : Courant nominal du moteur
Pour un moteur triphasé :
$P = \\sqrt{3} \\times U \\times I_n \\times \\cos\\phi$
Avec $U = 400$ V, rendement 0.88 implique $\\cos\\phi ≈ 0.85$ :
$I_n = \\frac{P}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi} = \\frac{15000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.85}$
$= \\frac{15000}{692.8} = 21.6$ A
Étape 2.4 : Courant de démarrage
Avec le rapport $I_{dém}/I_n = 6$ :
$I_{dém} = 6 \\times I_n = 6 \\times 21.6 = 129.6$ A
Résultats Question 2 :
• Puissance électrique phase 1 : $P_{elec,1} = 4.54$ kW
• Puissance électrique phase 2 : $P_{elec,2} = 9.09$ kW
• Puissance électrique phase 3 : $P_{elec,3} = 4.53$ kW
• Puissance nominale moteur : $P_{nominale} = 15$ kW
• Courant nominal : $I_n = 21.6$ A
• Courant de démarrage : $I_{dém} = 129.6$ A
Question 3 : Dimensionnement du câble et énergie consommée
Étape 3.1 : Calcul du diamètre minimal du câble
Charge maximale sur le câble (accélération) :
$T_{max} = m(g + a) = 24562.5$ N
Contrainte admissible avec facteur de sécurité 5 :
$\\sigma_{adm} = \\frac{\\sigma_{lim}}{5} = \\frac{1770}{5} = 354$ MPa
Section du câble :
$A = \\frac{T_{max}}{\\sigma_{adm}} = \\frac{24562.5}{354 \\times 10^6} = 6.935 \\times 10^{-5}$ m² = 69.35 mm²
Diamètre du câble (pour section circulaire) :
$d_{cable} = \\sqrt{\\frac{4A}{\\pi}} = \\sqrt{\\frac{4 \\times 69.35 \\times 10^{-6}}{\\pi}} = \\sqrt{8.828 \\times 10^{-5}} = 9.4$ mm
On choisit un câble standard de $d = 10$ mm.
Étape 3.2 : Énergie totale consommée sur un cycle
Énergie en phase 1 :
$E_1 = P_{elec,1,moy} \\times t_1 = 4.54 \\times 20 = 90.8$ kJ = 0.0252 kWh
Énergie en phase 2 :
$E_2 = P_{elec,2} \\times t_2 = 9.09 \\times 80 = 727.2$ kJ = 0.2020 kWh
Énergie en phase 3 :
$E_3 = P_{elec,3,moy} \\times t_3 = 4.53 \\times 20 = 90.6$ kJ = 0.0252 kWh
Énergie totale :
$E_{total} = E_1 + E_2 + E_3 = 0.0252 + 0.2020 + 0.0252 = 0.2524$ kWh ≈ 0.25 kWh
Résultats Question 3 :
• Diamètre minimal du câble : $d_{cable} = 9.4$ mm (choix standard : 10 mm)
• Énergie consommée phase 1 : $E_1 = 0.0252$ kWh
• Énergie consommée phase 2 : $E_2 = 0.2020$ kWh
• Énergie consommée phase 3 : $E_3 = 0.0252$ kWh
• Énergie totale du cycle : $E_{total} = 0.25$ kWh
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    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
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Exercice 2 : Dimensionnement d'un moteur électrique pour compresseur rotatif d'air comprimé en installation industrielle
Une usine de fabrication de pièces pneumatiques nécessite un compresseur d'air capable de fournir un débit d'air comprimé de $Q = 150$ m³/h à une pression de $P = 8$ bar. Le compresseur est un compresseur rotatif à vis entraîné par un moteur électrique asynchrone triphasé. Les caractéristiques du système sont :
Débit volumique requis : $Q = 150$ m³/h = 0.0417$ m³/s
Pression de refoulement : $P_{ref} = 8$ bar = $8 \\times 10^5$ Pa
Pression d'admission (atmosphérique) : $P_{atm} = 1$ bar = 10^5$ Pa
Température ambiante : $T_0 = 20°C$ ($T = 293$ K)
Humidité relative : $HR = 60\\%$
Facteur polytropique de compression : $n = 1.3$
Rendement isentropique du compresseur : $\\eta_{is} = 0.75$
Rendement mécanique du compresseur (frottements) : $\\eta_{mec} = 0.88$
Rendement du moteur asynchrone : $\\eta_{moteur} = 0.87$
Facteur d'utilisation : $K_u = 1.1$
Tension réseau triphasé : $U = 400$ V
Fréquence : $f = 50$ Hz
On souhaite dimensionner le moteur, les câbles d'alimentation et évaluer la consommation énergétique mensuelle.
Question 1 : Calculer le travail polytropique de compression (puissance isentropique théorique), puis la puissance réelle absorbée par le compresseur en tenant compte du rendement isentropique et du rendement mécanique. Déterminer la puissance électrique requise au moteur (en kW). Estimer la température de sortie de l'air comprimé en sortie du compresseur.
Question 2 : Dimensionner le moteur asynchrone en appliquant le coefficient d'utilisation. Calculer le courant nominal du moteur triphasé (en supposant $\\cos\\phi = 0.84$), le courant de démarrage (rapport $I_{dém}/I_n = 5.5$), et vérifier la chute de tension dans les câbles d'alimentation si la distance entre la source et le moteur est $L = 50$ m (section câble à déterminer).
Question 3 : Calculer la consommation d'énergie mensuelle du compresseur en supposant un fonctionnement de 8 heures par jour, 25 jours par mois, avec un rendement global de 75%. Déterminer le coût mensuel d'électricité (prix unitaire $0.15$ €/kWh). Proposer un dimensionnement du système de refroidissement du moteur pour évacuer les pertes thermiques.
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      "A Corrige Type"
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      "A"
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Solution complète de l'Exercice 2
Question 1 : Puissances de compression et température de sortie
Étape 1.1 : Travail isentropique théorique de compression
Pour un processus polytropique, le travail théorique isentropique est :
$W_{is} = Q \\times P_{atm} \\times \\frac{n}{n-1} \\left[ \\left(\\frac{P_{ref}}{P_{atm}}\\right)^{(n-1)/n} - 1 \\right]$
Avec les valeurs :
$Q = 0.0417$ m³/s
$P_{atm} = 10^5$ Pa
$n = 1.3$
$\\frac{P_{ref}}{P_{atm}} = \\frac{8 \\times 10^5}{10^5} = 8$
$\\frac{n-1}{n} = \\frac{0.3}{1.3} = 0.2308$
$\\left(\\frac{P_{ref}}{P_{atm}}\\right)^{(n-1)/n} = 8^{0.2308} = 1.784$
$W_{is} = 0.0417 \\times 10^5 \\times \\frac{1.3}{0.3} \\times (1.784 - 1)$
$= 0.0417 \\times 10^5 \\times 4.333 \\times 0.784$
$= 4170 \\times 4.333 \\times 0.784 = 14148$ W ≈ 14.15 kW
Étape 1.2 : Puissance réelle absorbée par le compresseur
En tenant compte des rendements isentropique et mécanique :
$W_{réel} = \\frac{W_{is}}{\\eta_{is} \\times \\eta_{mec}} = \\frac{14.15}{0.75 \\times 0.88}$
$= \\frac{14.15}{0.66} = 21.44$ kW
Étape 1.3 : Puissance électrique requise au moteur
$P_{elec} = \\frac{W_{réel}}{\\eta_{moteur}} = \\frac{21.44}{0.87} = 24.65$ kW
Étape 1.4 : Température de sortie du compresseur
Pour un processus polytropique :
$T_2 = T_1 \\left(\\frac{P_{ref}}{P_{atm}}\\right)^{(n-1)/n} = 293 \\times 8^{0.2308}$
$= 293 \\times 1.784 = 522.6$ K = 249.6°C
Résultats Question 1 :
• Travail isentropique théorique : $W_{is} = 14.15$ kW
• Puissance réelle du compresseur : $W_{réel} = 21.44$ kW
• Puissance électrique moteur : $P_{elec} = 24.65$ kW
• Température de sortie air comprimé : $T_2 = 522.6$ K (249.6°C)
Question 2 : Dimensionnement moteur, courants et câbles
Étape 2.1 : Puissance nominale avec facteur d'utilisation
$P_{nominale} = P_{elec} \\times K_u = 24.65 \\times 1.1 = 27.11$ kW
On choisit un moteur standard de $P_{nominale} = 30$ kW.
Étape 2.2 : Courant nominal du moteur triphasé
$P = \\sqrt{3} \\times U \\times I_n \\times \\cos\\phi$
$I_n = \\frac{P}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi} = \\frac{30000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.84}$
$= \\frac{30000}{583.1} = 51.5$ A
Étape 2.3 : Courant de démarrage
$I_{dém} = 5.5 \\times I_n = 5.5 \\times 51.5 = 283.2$ A
Étape 2.4 : Section du câble d'alimentation
Pour une chute de tension acceptable (< 3%), en triphasé :
$\\Delta U = \\sqrt{3} \\times I_n \\times L \\times \\frac{\\rho}{S}$
où $\\rho = 0.018$ Ω·mm²/m (cuivre), $L = 50$ m.
Limite de chute de tension :
$\\Delta U_{max} = 0.03 \\times U = 0.03 \\times 400 = 12$ V
Section nécessaire :
$S = \\frac{\\sqrt{3} \\times I_n \\times L \\times \\rho}{\\Delta U_{max}} = \\frac{1.732 \\times 51.5 \\times 50 \\times 0.018}{12}$
$= \\frac{80.1}{12} = 6.68$ mm²
On choisit un câble standard de $S = 10$ mm² (section commerciale supérieure).
Étape 2.5 : Vérification de la chute de tension réelle
$\\Delta U_{réel} = \\frac{\\sqrt{3} \\times I_n \\times L \\times \\rho}{S} = \\frac{80.1}{10} = 8$ V ≈ 2% (acceptable)
Résultats Question 2 :
• Puissance nominale moteur : $P_{nominale} = 30$ kW
• Courant nominal : $I_n = 51.5$ A
• Courant de démarrage : $I_{dém} = 283.2$ A
• Section câble : $S = 10$ mm²
• Chute de tension réelle : $\\Delta U = 8$ V (2%, acceptable)
Question 3 : Consommation énergétique et système de refroidissement
Étape 3.1 : Consommation mensuelle d'énergie
Heures de fonctionnement par mois :
$t_{mois} = 8 \\times 25 = 200$ heures
Rendement global système (y compris pertes moteur) :
$\\eta_{global} = 0.75$
Puissance absorbée réelle moyenne :
$P_{moyenne} = P_{elec} = 24.65$ kW (considérée constante)
Énergie électrique consommée :
$E_{elec} = P_{moyenne} \\times t_{mois} = 24.65 \\times 200 = 4930$ kWh
Étape 3.2 : Coût mensuel d'électricité
$Coût = E_{elec} \\times Tarif = 4930 \\times 0.15 = 739.5$ €/mois
Étape 3.3 : Pertes thermiques du moteur
Pertes totales du moteur :
$P_{pertes} = P_{elec} \\times (1 - \\eta_{moteur}) = 24.65 \\times (1 - 0.87) = 24.65 \\times 0.13 = 3.2$ kW
Additionnellement, pertes du compresseur :
$P_{pertes,comp} = W_{réel} - W_{is} = 21.44 - 14.15 = 7.29$ kW
Chaleur totale générée :
$Q_{total} = P_{pertes} + P_{pertes,comp} + \\text{chaleur de compression rejetée}$
$≈ 3.2 + 7.29 + (T_2 - T_1) \\times Q \\times \\rho_{air} \\times c_p$
où $c_p ≈ 1005$ J/(kg·K) pour l'air.
Débit massique :
$\\dot{m} = \\rho_{air} \\times Q = 1.2 \\times 0.0417 = 0.050$ kg/s
$Q_{compression} = \\dot{m} \\times c_p \\times (T_2 - T_1) = 0.050 \\times 1005 \\times (522.6 - 293)$
$= 0.050 \\times 1005 \\times 229.6 = 11.55$ kW
Chaleur totale à évacuer :
$Q_{total} ≈ 3.2 + 7.29 + 11.55 = 22.04$ kW
Étape 3.4 : Dimensionnement du refroidisseur
Pour un refroidisseur à air, avec différence de température $\\Delta T = 10°C$ entre l'air comprimé et l'air ambiant :
$P_{refroid} = Q_{total} = 22.04$ kW
Débit d'air de refroidissement nécessaire :
$V_{refroid} = \\frac{Q_{total}}{\\rho \\times c_p \\times \\Delta T} = \\frac{22040}{1.2 \\times 1005 \\times 10} = \\frac{22040}{12060} = 1.83$ m³/s ≈ 6600 m³/h
Résultats Question 3 :
• Consommation mensuelle : $E_{elec} = 4930$ kWh
• Coût mensuel d'électricité : $Coût = 739.5$ €
• Pertes moteur : $P_{pertes,moteur} = 3.2$ kW
• Chaleur de compression : $Q_{compression} = 11.55$ kW
• Chaleur totale à évacuer : $Q_{total} = 22.04$ kW
• Capacité refroidisseur requise : $P_{refroid} = 22.04$ kW
• Débit d'air de refroidissement : $V_{refroid} = 6600$ m³/h
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    "id_category": "1",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 3 : Dimensionnement d'un moteur d'entraînement pour pompe centrifuge en station de forage pétrolier offshore
Une station de forage pétrolier offshore utilise une pompe centrifuge pour transférer le pétrole brut du puits vers les réservoirs de stockage. La pompe est entraînée par un moteur électrique asynchrone triphasé situé sur une plateforme. Les conditions de fonctionnement sont :
Débit volumique requis : $Q = 200$ m³/h
Hauteur manométrique totale : $H = 80$ m
Masse volumique du pétrole brut : $\\rho = 850$ kg/m³
Viscosité cinématique : $\\nu = 25 \\times 10^{-6}$ m²/s
Accélération de la pesanteur : $g = 9.81$ m/s²
Rendement hydraulique de la pompe : $\\eta_h = 0.82$
Rendement volumétrique de la pompe : $\\eta_v = 0.95$
Rendement mécanique du groupe motopompe : $\\eta_{m} = 0.90$
Rendement du moteur électrique : $\\eta_{moteur} = 0.89$
Coefficient de service (offshore, environnement difficile) : $K_s = 1.25$
Tension réseau triphasé : $U = 690$ V (haute tension locale)
Fréquence : $f = 50$ Hz
Durée fonctionnement : $t_{jour} = 20$ h/jour
On souhaite dimensionner le moteur, vérifier les contraintes thermiques et évaluer les coûts énergétiques annuels.
Question 1 : Calculer la puissance hydraulique requise par la pompe centrifuge en tenant compte du débit et de la hauteur manométrique totale. Déterminer la puissance mécanique réelle consommée par la pompe (puissance à l'arbre moteur) en incluant les rendements hydraulique et volumétrique. Calculer la puissance électrique absorbée du réseau en intégrant le rendement du moteur.
Question 2 : Dimensionner le moteur en appliquant le coefficient de service lié à l'environnement difficile (offshore). Calculer le courant nominal et le courant de démarrage du moteur ($I_{dém}/I_n = 6$). Vérifier la tenue thermique du moteur en estimant les pertes thermiques et en proposant un système de refroidissement adapté à l'environnement salin offshore.
Question 3 : Estimer la consommation d'énergie annuelle de la pompe (en supposant un fonctionnement 365 jours/an). Calculer le coût annuel d'électricité (tarif offshore : $0.22$ €/kWh). Évaluer l'impact de la température ambiante sur le rendement du moteur (coefficient $\\alpha = 0.005$ K⁻¹) si la température au site offshore peut atteindre 40°C (par rapport à une référence de 20°C).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution complète de l'Exercice 3
Question 1 : Puissances hydraulique, mécanique et électrique
Étape 1.1 : Puissance hydraulique théorique
La puissance hydraulique est définie par :
$P_{hyd} = \\rho \\times g \\times Q \\times H$
où :
$\\rho = 850$ kg/m³ (masse volumique du pétrole brut)
$g = 9.81$ m/s²
$Q = 200 \\text{ m}^3/\\text{h} = \\frac{200}{3600} = 0.0556$ m³/s
$H = 80$ m
$P_{hyd} = 850 \\times 9.81 \\times 0.0556 \\times 80$
$= 850 \\times 9.81 \\times 4.448 = 37088$ W ≈ 37.09 kW
Étape 1.2 : Puissance mécanique réelle à l'arbre moteur
En tenant compte du rendement hydraulique et volumétrique :
$P_{arbre} = \\frac{P_{hyd}}{\\eta_h \\times \\eta_v} = \\frac{37.09}{0.82 \\times 0.95}$
$= \\frac{37.09}{0.779} = 47.62$ kW
Étape 1.3 : Rendement mécanique du groupe motopompe
La puissance mécanique incluant les frottements internes :
$P_{mec} = \\frac{P_{arbre}}{\\eta_m} = \\frac{47.62}{0.90} = 52.91$ kW
Étape 1.4 : Puissance électrique absorbée du réseau
En incluant le rendement du moteur électrique :
$P_{elec} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_{moteur}} = \\frac{52.91}{0.89} = 59.45$ kW
Résultats Question 1 :
• Puissance hydraulique théorique : $P_{hyd} = 37.09$ kW
• Puissance à l'arbre moteur : $P_{arbre} = 47.62$ kW
• Puissance mécanique réelle : $P_{mec} = 52.91$ kW
• Puissance électrique absorbée : $P_{elec} = 59.45$ kW
Question 2 : Dimensionnement moteur et contraintes thermiques
Étape 2.1 : Puissance nominale avec coefficient de service
Puissance nominale requise :
$P_{nominale} = P_{elec} \\times K_s = 59.45 \\times 1.25 = 74.31$ kW
On choisit un moteur standard de $P_{nominale} = 75$ kW.
Étape 2.2 : Courant nominal du moteur triphasé
Pour un moteur triphasé à 690 V :
$P = \\sqrt{3} \\times U \\times I_n \\times \\cos\\phi$
Avec $\\cos\\phi ≈ 0.88$ (rendement 89% implique déphasage) :
$I_n = \\frac{P}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi} = \\frac{75000}{\\sqrt{3} \\times 690 \\times 0.88}$
$= \\frac{75000}{1053.8} = 71.2$ A
Étape 2.3 : Courant de démarrage
$I_{dém} = 6 \\times I_n = 6 \\times 71.2 = 427.2$ A
Étape 2.4 : Pertes thermiques du moteur
Pertes totales du moteur :
$P_{pertes} = P_{elec} \\times (1 - \\eta_{moteur}) = 59.45 \\times (1 - 0.89) = 59.45 \\times 0.11 = 6.54$ kW
Étape 2.5 : Dimensionnement système de refroidissement
En environnement salin offshore, un refroidisseur air-eau avec circulation forcée est recommandé. La capacité thermique requise :
$Q_{refroid} = P_{pertes} = 6.54$ kW
Avec une différence de température $\\Delta T = 15°C$ (augmentation admissible) :
$\\dot{m}_{eau} \\times c_p \\times \\Delta T = Q_{refroid}$
$\\dot{m}_{eau} = \\frac{6540}{4186 \\times 15} = \\frac{6540}{62790} = 0.104$ kg/s ≈ 0.1 m³/h
Pompe de circulation pour refroidissement : débit ~10 m³/h, pression ~1 bar.
Résultats Question 2 :
• Puissance nominale moteur : $P_{nominale} = 75$ kW
• Courant nominal : $I_n = 71.2$ A
• Courant de démarrage : $I_{dém} = 427.2$ A
• Pertes thermiques moteur : $P_{pertes} = 6.54$ kW
• Capacité refroidisseur requise : $Q_{refroid} = 6.54$ kW
• Débit d'eau de refroidissement : $\\dot{m}_{eau} = 0.104$ kg/s (~10 m³/h)
Question 3 : Consommation annuelle et impact température
Étape 3.1 : Consommation d'énergie annuelle
Fonctionnement :
$t_{annuel} = 365 \\times 20 = 7300$ h/an
Énergie électrique consommée :
$E_{annuel} = P_{elec} \\times t_{annuel} = 59.45 \\times 7300 = 433,885$ kWh/an
Étape 3.2 : Coût annuel d'électricité
$Coût_{annuel} = E_{annuel} \\times Tarif = 433885 \\times 0.22 = 95,454$ €/an
Étape 3.3 : Impact de la température sur le rendement
Rendement moteur à température de référence (20°C) : $\\eta_{ref} = 0.89$
Rendement corrigé à température T = 40°C :
$\\eta_{T} = \\eta_{ref} \\times [1 - \\alpha(T - T_{ref})]$
$= 0.89 \\times [1 - 0.005(40 - 20)]$
$= 0.89 \\times [1 - 0.1] = 0.89 \\times 0.9 = 0.801$
Réduction de rendement :
$\\Delta\\eta = 0.89 - 0.801 = 0.089 = 8.9\\%$
Étape 3.4 : Puissance électrique augmentée à température élevée
$P_{elec,40°C} = P_{mec} / \\eta_T = 52.91 / 0.801 = 66.05$ kW
Augmentation de consommation :
$\\Delta P = 66.05 - 59.45 = 6.6$ kW
Surcoût annuel :
$\\Delta Coût = \\Delta P \\times t_{annuel} \\times Tarif = 6.6 \\times 7300 \\times 0.22 = 10594$ €/an
Résultats Question 3 :
• Consommation annuelle : $E_{annuel} = 433,885$ kWh
• Coût annuel (T = 20°C) : $Coût_{annuel} = 95,454$ €
• Rendement moteur à 40°C : $\\eta_{40°C} = 0.801$ (réduction de 8.9%)
• Puissance électrique à 40°C : $P_{elec,40°C} = 66.05$ kW
• Surcoût annuel à 40°C : $\\Delta Coût = 10,594$ €/an
• Consommation supplémentaire à 40°C : $\\Delta E = 6.6 \\times 7300 = 48,180$ kWh/an
• Recommandation : Un système de refroidissement performant est essentiel pour maintenir les rendements à des niveaux acceptables en environnement chaud et salin offshore.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 1 : Dimensionnement d'un moteur pour monte-charge d'hôpital",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un moteur pour monte-charge d'hôpital
Un monte-charge doit élever une charge utile de $m_{charge} = 2000 \\text{ kg}$ (lits de patients) à une hauteur $h = 15 \\text{ m}$ en $t_{montée} = 30 \\text{ s}$. Le système comprend un moteur électrique actionnant un tambour de diamètre $D_{tambour} = 0.8 \\text{ m}$ via un réducteur. La masse propre de la cabine et du mécanisme est $m_{cabine} = 1500 \\text{ kg}$. Les frottements mécaniques représentent une force $F_{friction} = 5 \\text{ kN}$. On considère un rendement global du système $\\eta_{global} = 0.85$ et un coefficient de sécurité $k_s = 1.3$.
Question 1 : Calculez la puissance mécanique requise $P_{mec}$ pour le cycle de montée (charge + cabine + frottement), puis la puissance moteur nécessaire $P_{moteur}$ en tenant compte du rendement global.
Question 2 : Déterminez la vitesse de rotation du tambour $\\omega_{tambour}$ en régime de montée, le couple moteur $C_{moteur}$ requis, et le couple thermique équivalent $C_{eq}$ en supposant un facteur de surcharge de $S = 1.2$ pendant le démarrage (durée $t_d = 5 \\text{ s}$).
Question 3 : Sélectionnez un moteur triphasé asynchrone normalisé (puissance nominale et caractéristiques) pour satisfaire les contraintes. Calculez le glissement $s$ du moteur à charge nominale, et déterminez le temps de chauffage admissible $t_{chauffage}$ selon la classe thermique F ($\\Delta T_{max} = 110 \\text{ K}$) pour une température ambiante $T_{amb} = 25°\\text{C}$.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Réponses détaillées à chaque question :
Question 1 : Puissance mécanique et puissance moteur
Formule générale pour la puissance de levage :
$P_{mec} = P_{levage} + P_{friction}$
où $P_{levage} = (m_{charge} + m_{cabine}) \\times g \\times v_{montée}$ et $v_{montée} = h / t_{montée}$.
Calcul de la vitesse de montée :
$v_{montée} = \\frac{15}{30} = 0.5 \\text{ m/s}$
Calcul de la masse totale à soulever :
$m_{total} = m_{charge} + m_{cabine} = 2000 + 1500 = 3500 \\text{ kg}$
Puissance de levage :
$P_{levage} = 3500 \\times 9.81 \\times 0.5 = 17157.5 \\text{ W} = 17.16 \\text{ kW}$
Puissance due aux frottements :
$P_{friction} = F_{friction} \\times v_{montée} = 5000 \\times 0.5 = 2500 \\text{ W} = 2.5 \\text{ kW}$
Puissance mécanique totale :
$P_{mec} = 17.16 + 2.5 = 19.66 \\text{ kW}$
Puissance moteur avec rendement :
$P_{moteur} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_{global}} = \\frac{19.66}{0.85} = 23.13 \\text{ kW}$
Avec le coefficient de sécurité $k_s = 1.3$ :
$P_{moteur,sécurisée} = P_{moteur} \\times k_s = 23.13 \\times 1.3 = 30.07 \\text{ kW}$
Résultat final :
$P_{mec} = 19.66 \\text{ kW} \\quad ; \\quad P_{moteur} = 23.13 \\text{ kW} \\quad ; \\quad P_{moteur,sécurisée} = 30.07 \\text{ kW}$
Question 2 : Vitesse, couple moteur et couple équivalent
Vitesse linéaire du câble (égale à la vitesse de montée) :
$v_{cable} = v_{montée} = 0.5 \\text{ m/s}$
Vitesse de rotation du tambour :
$\\omega_{tambour} = \\frac{2 \\times v_{cable}}{D_{tambour}} = \\frac{2 \\times 0.5}{0.8} = 1.25 \\text{ rad/s}$
En tours par minute :
$n_{tambour} = \\frac{\\omega_{tambour} \\times 60}{2\\pi} = \\frac{1.25 \\times 60}{2\\pi} = 11.94 \\text{ tr/min}$
Couple à la sortie du réducteur (tambour) :
$C_{tambour} = \\frac{P_{mec}}{\\omega_{tambour}} = \\frac{19660}{1.25} = 15728 \\text{ N·m}$
Couple moteur en tenant compte du réducteur (rapport $r \\approx 1/\\eta_{réducteur}$ pour transmission) :
$C_{moteur} = \\frac{P_{moteur}}{\\omega_{moteur}}$
Supposons une vitesse synchrone $n_s = 1500 \\text{ tr/min}$ (4 pôles, 50 Hz) :
$\\omega_{moteur} = \\frac{1500 \\times 2\\pi}{60} = 157.08 \\text{ rad/s}$
$C_{moteur} = \\frac{23130}{157.08} = 147.3 \\text{ N·m}$
Couple thermique équivalent (considérant le démarrage) :
$C_{eq} = \\sqrt{\\frac{C_{moteur}^2 \\times t_{montée} + (C_{moteur} \\times S)^2 \\times t_d}{t_{montée} + t_d}}$
$C_{eq} = \\sqrt{\\frac{147.3^2 \\times 30 + (147.3 \\times 1.2)^2 \\times 5}{30 + 5}}$
$= \\sqrt{\\frac{651315 + 463248}{35}} = \\sqrt{\\frac{1114563}{35}} = \\sqrt{31844} = 178.5 \\text{ N·m}$
Résultat final :
$\\omega_{tambour} = 1.25 \\text{ rad/s} \\quad ; \\quad n_{tambour} = 11.94 \\text{ tr/min} \\quad ; \\quad C_{moteur} = 147.3 \\text{ N·m} \\quad ; \\quad C_{eq} = 178.5 \\text{ N·m}$
Question 3 : Sélection moteur, glissement et chauffage
Sélection d'un moteur normalisé triphasé asynchrone 400/690 V, 50 Hz :
$\\text{Moteur : 30 kW, 4 pôles, n_s = 1500 \\text{ tr/min}}$
Glissement du moteur à charge nominale (hypothèse : moteur fonctionne près de la charge nominale) :
$s = \\frac{n_s - n_r}{n_s}$
Pour un moteur de cette classe, le glissement est typiquement $s \\approx 0.03$ à $0.05$.
À charge nominale :
$n_r = n_s(1 - s) = 1500 \\times (1 - 0.04) = 1500 \\times 0.96 = 1440 \\text{ tr/min}$
$s = \\frac{1500 - 1440}{1500} = \\frac{60}{1500} = 0.04 = 4\\%$
Pertes Joule du rotor :
$P_{J,rotor} = P_{moteur} \\times s = 30 \\times 0.04 = 1.2 \\text{ kW}$
Pour la classe F, température maximale admissible :
$T_{max} = T_{amb} + \\Delta T_{max} = 25 + 110 = 135 \\text{ °C}$
Température d'échauffement :
$\\Delta T(t) = \\Delta T_{max} \\times (1 - e^{-t/\\tau_{th}})$
où $\\tau_{th}$ est la constante de temps thermique. Pour un moteur de cette puissance, $\\tau_{th} \\approx 40 \\text{ min}$.
Temps pour atteindre 95 % de l'échauffement maximal :
$t_{95\\%} = -\\tau_{th} \\ln(0.05) = 40 \\times 2.996 = 119.8 \\text{ min}$
Temps de chauffage admissible (régime intermittent S3 : 20 min ON, 20 min OFF) :
$t_{chauffage,admissible} = \\frac{\\Delta T_{max}^2 \\times \\tau_{th}}{P_{loss}} \\approx 120 \\text{ minutes (continu)}$
Pour un cycle de monte-charge de 30s montée + 30s descente + 20s repos (cycle S5), le chauffage reste acceptable.
Résultat final :
$\\text{Moteur sélectionné : 30 kW triphasé asynchrone, 4 pôles, 1500 tr/min (400V 50Hz)}$
$s = 4\\% \\quad ; \\quad n_r = 1440 \\text{ tr/min} \\quad ; \\quad t_{chauffage,admissible} \\approx 120 \\text{ minutes}$
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    "id_category": "1",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 3 : Dimensionnement d'un four électrique résistif pour industrie agro-alimentaire",
    "question": "
Exercice 3 : Dimensionnement d'un four électrique résistif pour industrie agro-alimentaire
Un four de séchage pour industrie agro-alimentaire doit chauffer une charge utile de $m_{charge} = 1000 \\text{ kg}$ (grain humide) de la température initiale $T_i = 20°\\text{C}$ à la température finale $T_f = 120°\\text{C}$ en $t_{chauffage} = 4 \\text{ heures}$. La chaleur massique moyenne du grain est $c = 1.8 \\text{ kJ/(kg·K)}$, et les pertes thermiques par rayonnement et conduction représentent $\\Phi_{perte} = 15 \\text{ kW}$ (constante). Les résistances chauffantes sont en alliage nichrome avec une résistivité $\\rho = 1 \\times 10^{-6} \\text{ Ω·m}$, un diamètre $d = 3 \\text{ mm}$, et une longueur $\\ell = 50 \\text{ m}$. La tension d'alimentation triphasée est $V = 400 \\text{ V}$.
Question 1 : Calculez l'énergie thermique requise pour chauffer la charge $Q_{charge}$, l'énergie totale à fournir $Q_{total}$ incluant les pertes, et la puissance moyenne du four $P_{moy}$.
Question 2 : Déterminez la résistance des éléments chauffants $R_{filament}$, le courant nominal $I_{nominal}$ dans chaque phase (connexion triangle équilibré), et la température à la surface des résistances $T_{surf}$ sachant que le flux radiatif maximal est $q = 80 \\text{ W/cm}^2$.
Question 3 : Calculez le nombre total d'éléments chauffants requis $N_{elements}$ pour atteindre la puissance nominale, et vérifiez la stabilité thermique en déterminant le coefficient de température $\\alpha$ de la résistivité et les variations de résistance $\\Delta R/R$ avec la température.
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    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
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    "explanation": "
Réponses détaillées à chaque question :
Question 1 : Énergies thermiques et puissance moyenne
Formule générale de l'énergie pour chauffer la charge :
$Q_{charge} = m_{charge} \\times c \\times \\Delta T$
où $\\Delta T = T_f - T_i = 120 - 20 = 100 \\text{ K}$.
Remplacement des données :
$Q_{charge} = 1000 \\times 1.8 \\times 100 = 180,000 \\text{ kJ} = 180 \\text{ MJ}$
Énergie due aux pertes thermiques (puissance constante) :
$Q_{perte} = \\Phi_{perte} \\times t_{chauffage} = 15 \\times (4 \\times 3600) = 15 \\times 14400 = 216,000 \\text{ kJ} = 216 \\text{ MJ}$
Énergie totale à fournir :
$Q_{total} = Q_{charge} + Q_{perte} = 180 + 216 = 396 \\text{ MJ}$
Puissance moyenne du four :
$P_{moy} = \\frac{Q_{total}}{t_{chauffage}} = \\frac{396 \\times 10^6}{4 \\times 3600} = \\frac{396 \\times 10^6}{14400} = 27,500 \\text{ W} = 27.5 \\text{ kW}$
Résultat final :
$Q_{charge} = 180 \\text{ MJ} \\quad ; \\quad Q_{perte} = 216 \\text{ MJ} \\quad ; \\quad Q_{total} = 396 \\text{ MJ} \\quad ; \\quad P_{moy} = 27.5 \\text{ kW}$
Question 2 : Résistance chauffante, courant et température
Résistance d'un filament de nichrome :
$R_{filament} = \\rho \\times \\frac{\\ell}{A}$
où $A = \\pi \\times (d/2)^2 = \\pi \\times (0.0015)^2 = 7.069 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2$.
$R_{filament} = 1 \\times 10^{-6} \\times \\frac{50}{7.069 \\times 10^{-6}} = \\frac{50}{7.069} = 7.07 \\text{ Ω}$
Pour une connexion en triangle équilibré (3 phases), si la puissance totale est $P = 27500 \\text{ W}$ :
$P = \\sqrt{3} \\times V \\times I \\times \\cos\\phi$
En supposant un facteur de puissance proche de 1 (charge résistive) :
$I = \\frac{P}{\\sqrt{3} \\times V} = \\frac{27500}{1.732 \\times 400} = \\frac{27500}{692.8} = 39.7 \\text{ A}$
Par phase (connexion triangle) : $I_{phase} = I = 39.7 \\text{ A}$
Puissance dissipée par filament :
$P_{filament} = I_{phase}^2 \\times R_{filament} = (39.7)^2 \\times 7.07 = 1576 \\times 7.07 = 11,142 \\text{ W}$
Flux surfacique du filament :
$q = \\frac{P_{filament}}{A_{surf}} = \\frac{11142}{\\pi \\times d \\times \\ell} = \\frac{11142}{\\pi \\times 0.003 \\times 50}$
$= \\frac{11142}{0.4712} = 23,640 \\text{ W/m}^2 = 2.364 \\text{ W/cm}^2$
Température de surface (loi de Stefan-Boltzmann pour le rayonnement) :
$q = \\sigma \\times (T_{surf}^4 - T_{amb}^4)$
où $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{ W/(m}^2\\text{·K}^4)$, $T_{amb} = 293 \\text{ K}$.
$2364 = 5.67 \\times 10^{-8} \\times (T_{surf}^4 - 293^4)$
$T_{surf}^4 = \\frac{2364}{5.67 \\times 10^{-8}} + 293^4 = 4.169 \\times 10^7 + 7.378 \\times 10^8 ≈ 7.795 \\times 10^8$
$T_{surf} = (7.795 \\times 10^8)^{0.25} ≈ 1045 \\text{ K} ≈ 772°\\text{C}$
Résultat final :
$R_{filament} = 7.07 \\text{ Ω} \\quad ; \\quad I_{nominal} = 39.7 \\text{ A (par phase)} \\quad ; \\quad T_{surf} ≈ 772°\\text{C}$
Question 3 : Nombre d'éléments et stabilité thermique
Nombre de filaments identiques en parallèle pour atteindre la puissance nominale :
$N_{elements} = \\frac{P_{moy}}{P_{filament}} = \\frac{27500}{11142} = 2.47 ≈ 3 \\text{ éléments}$
Coefficient de température de la résistivité du nichrome (typique) :
$\\alpha \\approx 0.0004 \\text{ K}^{-1}$
Variation de résistance avec la température :
$R(T) = R_0 \\times [1 + \\alpha \\times (T - T_0)]$
À température de surface $T_{surf} = 1045 \\text{ K}$ (référence $T_0 = 293 \\text{ K}$) :
$\\frac{\\Delta R}{R} = \\alpha \\times \\Delta T = 0.0004 \\times (1045 - 293) = 0.0004 \\times 752 = 0.301 = 30.1\\%$
La résistance augmente de 30.1 % entre l'ambiante et la température de service. Ceci affecte le courant :
$\\frac{\\Delta I}{I} ≈ -\\frac{\\Delta R}{R} = -30.1\\%$
Pour maintenir la puissance (dans un circuit à tension constante), le courant décroît de 30.1 %, ce qui réduit la puissance dissipée. Un régulateur de puissance est recommandé.
Résultat final :
$N_{elements} = 3 \\text{ résistances en parallèle} \\quad ; \\quad \\alpha = 0.0004 \\text{ K}^{-1}$
$\\frac{\\Delta R}{R} = 30.1\\% \\quad ; \\quad \\text{Régulation recommandée pour stabilité thermique}$
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    "id_category": "1",
    "id_number": "19"
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  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un Moteur Asynchrone pour Élévateur de Charge - Calcul de la Puissance et Sélection
Une entreprise de construction doit installer un système d'élévateur de charge pour un chantier. Le système comprend :
Charge totale à élever : $m = 5000 \\text{ kg}$
Hauteur maximale : $H = 80 \\text{ m}$
Vitesse d'élévation : $v = 2 \\text{ m/s}$
Rendement du système mécanique (poulies, câbles) : $\\eta_{mech} = 0.85$
Rendement du moteur asynchrone : $\\eta_{motor} = 0.92$
Facteur de service (duty cycle) : $S_f = 1.15$ (démarrages fréquents)
Accélération admise : $a = 0.5 \\text{ m/s}^2$
Tension disponible : $U = 400 \\text{ V (tri-phasé)}$
Fréquence réseau : $f = 50 \\text{ Hz}$
Facteur de puissance visé : $\\cos\\varphi = 0.85$
Contexte physique : L'élévateur doit supporter une charge importante avec une vitesse d'élévation constante, tout en gérant les phases d'accélération et de déceleration. Le moteur doit être surdimensionné pour les cycles répétés de démarrage. Vous devez calculer la puissance mécanique requise, la puissance électrique du moteur, sélectionner un moteur standard, et vérifier les conditions d'exploitation.
Question 1 : Calculer la puissance mécanique requise pour élever la charge à vitesse constante $P_{mech,nom}$, puis la puissance pendant la phase d'accélération $P_{acc}$. Déterminer la puissance mécanique maximale $P_{mech,max}$ et la puissance électrique requise du moteur $P_{elec}$ en tenant compte des rendements et du facteur de service.
Question 2 : Sélectionner un moteur asynchrone standard dans la gamme IEC (puissances disponibles : 3, 4, 5.5, 7.5, 11, 15, 18.5, 22 kW). Calculer le courant nominal du moteur $I_n$ et déterminer la section de câble d'alimentation requise (basée sur une densité maximale de courant $J = 5 \\text{ A/mm}^2$ en distribution industrielle).
Question 3 : Calculer le temps d'accélération $t_{acc}$ et analyser l'impact du couple de démarrage sur le dimensionnement. Déterminer le courant de démarrage $I_{dem}$ en supposant un rapport $I_{dem}/I_n = 5$ et évaluer si un démarreur progressif (soft-starter) est nécessaire pour limiter les appels de courant.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Puissance mécanique et électrique requise
Étape 1 - Puissance mécanique à vitesse constante :
La puissance pour élever une charge à vitesse constante est :
$P_{mech,nom} = m \\times g \\times v = 5000 \\times 9.81 \\times 2 = 98100 \\text{ W} = 98.1 \\text{ kW}$
Étape 2 - Puissance pendant la phase d'accélération :
Pendant l'accélération, le moteur doit fournir une force supplémentaire :
$F_{acc} = m \\times (g + a) = 5000 \\times (9.81 + 0.5) = 5000 \\times 10.31 = 51550 \\text{ N}$
Puissance d'accélération :
$P_{acc} = F_{acc} \\times v_{moy} = 51550 \\times 1 = 51550 \\text{ W} = 51.55 \\text{ kW}$
(en supposant vitesse moyenne de 1 m/s pendant l'accélération)
Étape 3 - Puissance mécanique maximale :
$P_{mech,max} = \\max(P_{mech,nom}, P_{acc}) = 98.1 \\text{ kW}$
Étape 4 - Puissance électrique requise :
En tenant compte des rendements et du facteur de service :
$P_{elec} = \\frac{P_{mech,max}}{\\eta_{mech} \\times \\eta_{motor}} \\times S_f = \\frac{98.1}{0.85 \\times 0.92} \\times 1.15$
$= \\frac{98.1}{0.782} \\times 1.15 = 125.4 \\times 1.15 = 144.2 \\text{ kW}$
Résultat final :
$P_{mech,nom} = 98.1 \\text{ kW}$
$P_{acc} = 51.55 \\text{ kW}$
$P_{mech,max} = 98.1 \\text{ kW}$
$P_{elec} = 144.2 \\text{ kW}$
Interprétation : La puissance électrique requise est de 144.2 kW, ce qui dépasse largement les capacités individuelles des moteurs standards. Un moteur de 160 kW devrait être sélectionné. Alternativement, deux moteurs de 75 kW ou trois moteurs de 55 kW pourraient fonctionner en parallèle.
---
Question 2 : Sélection moteur et section câble
Étape 1 - Sélection moteur :
Puissance électrique requise : 144.2 kW
Moteur standard disponible le plus proche : $P_n = 160 \\text{ kW}$
Étape 2 - Courant nominal du moteur :
Pour un moteur tri-phasé :
$P_n = \\sqrt{3} \\times U \\times I_n \\times \\cos\\varphi \\times \\eta_{motor}$
$160 \\times 10^3 = 1.732 \\times 400 \\times I_n \\times 0.85 \\times 0.92$
$160000 = 540.4 \\times I_n$
$I_n = \\frac{160000}{540.4} = 296 \\text{ A}$
Étape 3 - Section câble :
Avec une densité maximale de courant $J = 5 \\text{ A/mm}^2$ :
$S = \\frac{I_n}{J} = \\frac{296}{5} = 59.2 \\text{ mm}^2$
Section normalisée disponible : $S = 70 \\text{ mm}^2$ (câble 4 × 70 mm² pour tri-phasé)
Résultat final :
$P_n = 160 \\text{ kW (moteur sélectionné)}$
$I_n = 296 \\text{ A}$
$S_{cable} = 70 \\text{ mm}^2 \\text{ (4 conducteurs × 70 mm²)}$
Interprétation : Un moteur asynchrone de 160 kW est approprié pour cette application. Le courant nominal de 296 A nécessite un câble de section 70 mm² pour chaque phase et neutre, ce qui est une taille importante mais standard en distribution industrielle.
---
Question 3 : Temps d'accélération et courant de démarrage
Étape 1 - Calcul du temps d'accélération :
Avec une accélération constante $a = 0.5 \\text{ m/s}^2$ et vitesse finale $v_f = 2 \\text{ m/s}$ :
$t_{acc} = \\frac{v_f}{a} = \\frac{2}{0.5} = 4 \\text{ s}$
Étape 2 - Couple de démarrage :
Le couple moteur à l'accélération doit surmonter le couple de charge et fournir l'accélération :
$T_{dem} = m \\times (g + a) \\times r$
où $r$ est le rayon de la poulie. Sans connaissance de $r$, on utilise la puissance :
$T_{dem} = \\frac{P_{acc}}{\\omega_{moy}} \\approx 1.5 \\times T_{nom}$
Étape 3 - Courant de démarrage :
Avec un rapport $I_{dem}/I_n = 5$ (typique pour moteurs asynchrones):
$I_{dem} = 5 \\times I_n = 5 \\times 296 = 1480 \\text{ A}$
Étape 4 - Évaluation du démarreur progressif :
Le courant de démarrage de 1480 A est très élevé et peut causer :
• Chute de tension sur le réseau : $\\Delta U = I_{dem} \\times R_{ligne}$
• Surcharge du disjoncteur principal
• Perturbations sur les autres charges connectées
Un démarreur progressif (soft-starter) ou un démarreur étoile-triangle est recommandé pour limiter le courant initial.
Résultat final :
$t_{acc} = 4 \\text{ s}$
$I_{dem} = 1480 \\text{ A (sans limitation)}$
$\\frac{I_{dem}}{U_n} = \\frac{1480}{400} = 3.7 \\text{ (très élevé)}$
$\\text{Soft-starter REQUIS pour limiter le courant à environ 2-3 × I_n}$
Interprétation : Le temps d'accélération de 4 secondes est raisonnable. Cependant, le courant de démarrage de 1480 A est extrêmement élevé et nécessiterait un démarreur progressif. Avec un soft-starter, le courant peut être limité à environ 600-900 A, réduisant l'impact sur le réseau tout en maintenant l'accélération requise.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 2 : Dimensionnement d'un Compresseur Centrifuge Industriel - Calcul de Puissance et Point de Fonctionnement
Une usine doit installer un compresseur centrifuge pour alimenter en air comprimé les outils pneumatiques et les processus industriels. Le système comprend :
Débit d'air requis : $Q = 500 \\text{ m}^3/\\text{h}$ (conditions normales)
Pression d'air en sortie : $P_{out} = 8 \\text{ bar} (0.8 \\text{ MPa})$
Pression atmosphérique d'aspiration : $P_{in} = 1 \\text{ bar}$
Température de l'air : $T = 25 \\text{ °C} = 298 \\text{ K}$
Rendement isentropique du compresseur : $\\eta_s = 0.80$
Rendement mécanique : $\\eta_{mech} = 0.95$
Coefficient d'air (indice polytropique) : $\\gamma = 1.4$
Constante gaz (air) : $R = 287 \\text{ J/(kg·K)}$
Facteur de sécurité : $f_s = 1.2$
Contexte physique : Un compresseur centrifuge comprime l'air d'une pression basse à une pression élevée, nécessitant une puissance importante. La puissance dépend du débit, du taux de compression, et des rendements. Vous devez calculer la masse volumique de l'air, la puissance d'échange thermodynamique, la puissance réelle du moteur, et sélectionner un moteur approprié.
Question 1 : Calculer la masse volumique de l'air à l'aspiration $\\rho_{in}$ et déterminer le débit massique $\\dot{m}$. Calculer le travail isentropique de compression $W_s$ et le travail polytropique réel $W_r$ en utilisant les coefficients thermodynamiques donnés.
Question 2 : Calculer la puissance théorique du compresseur $P_{th}$, puis la puissance à l'axe du compresseur $P_{comp}$ en tenant compte du rendement mécanique. Déterminer la puissance électrique requise du moteur $P_{motor}$ avec le facteur de sécurité et sélectionner un moteur asynchrone dans la gamme IEC.
Question 3 : Analyser le fonctionnement du compresseur en point nominal et déterminer les conditions en sortie (température $T_{out}$, densité $\\rho_{out}$). Vérifier la stabilité de fonctionnement en calculant la limite de surge (débit critique minimum) et évaluer la nécessité d'une soupape anti-surge.
",
    "svg": "
Température de sortie :$T_{out} = T_1 \\times (P_2/P_1)^{(n-1)/(n \\gamma)}$où n est l'indice polytropique réelPoint de Fonctionnement NominalDébit (m³/h)Pression (bar)Courbe compresseurPoint nominal(Q=500 m³/h, P=8 bar)02505007500510",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Densité d'air et travaux de compression
Étape 1 - Masse volumique à l'aspiration :
Utilisant la loi des gaz parfaits :
$\\rho_{in} = \\frac{P_{in}}{R \\times T} = \\frac{100000}{287 \\times 298} = \\frac{100000}{85526} = 1.169 \\text{ kg/m}^3$
Étape 2 - Débit massique :
Conversion du débit volumétrique en kg/s :
$\\dot{m} = \\rho_{in} \\times Q_{vol} = 1.169 \\times \\frac{500}{3600} = 1.169 \\times 0.1389 = 0.1624 \\text{ kg/s}$
Étape 3 - Travail isentropique de compression :
Avec taux de compression $r = P_{out}/P_{in} = 8/1 = 8$ :
$W_s = \\frac{\\gamma R T}{\\gamma - 1} \\left[r^{(\\gamma-1)/\\gamma} - 1\\right]$
$= \\frac{1.4 \\times 287 \\times 298}{0.4} \\left[8^{0.4/1.4} - 1\\right]$
$= \\frac{401200 \\times 298}{0.4} \\left[8^{0.2857} - 1\\right]$
$= 299000 \\times (1.741 - 1) = 299000 \\times 0.741 = 221559 \\text{ J/kg}$
Étape 4 - Travail polytropique réel :
$W_r = \\frac{W_s}{\\eta_s} = \\frac{221559}{0.80} = 276949 \\text{ J/kg}$
Résultat final :
$\\rho_{in} = 1.169 \\text{ kg/m}^3$
$\\dot{m} = 0.1624 \\text{ kg/s}$
$W_s = 221.6 \\text{ kJ/kg}$
$W_r = 276.9 \\text{ kJ/kg}$
Interprétation : Le travail polytropique réel (276.9 kJ/kg) est supérieur au travail isentropique (221.6 kJ/kg) du fait de l'inefficacité du compresseur (η_s=0.80). Cette différence représente l'énergie perdue en chaleur et friction.
---
Question 2 : Puissance moteur et sélection
Étape 1 - Puissance théorique du compresseur :
$P_{th} = \\dot{m} \\times W_r = 0.1624 \\times 276949 = 44963 \\text{ W} = 45.0 \\text{ kW}$
Étape 2 - Puissance à l'axe du compresseur :
$P_{comp} = \\frac{P_{th}}{\\eta_{mech}} = \\frac{45000}{0.95} = 47368 \\text{ W} = 47.4 \\text{ kW}$
Étape 3 - Puissance électrique requise du moteur :
$P_{motor} = P_{comp} \\times f_s = 47.4 \\times 1.2 = 56.8 \\text{ kW}$
Étape 4 - Sélection moteur IEC :
Puissance moteur requise : 56.8 kW
Moteur standard disponible le plus proche : $P_n = 55 \\text{ kW}$ (légèrement sous-dimensionné) ou $P_n = 75 \\text{ kW}$ (recommandé)
Recommandation : $P_n = 75 \\text{ kW}$ pour assurer une marge de sécurité
Résultat final :
$P_{th} = 45.0 \\text{ kW}$
$P_{comp} = 47.4 \\text{ kW}$
$P_{motor} = 56.8 \\text{ kW}$
$P_n = 75 \\text{ kW (moteur sélectionné)}$
Interprétation : Un moteur asynchrone de 75 kW est sélectionné pour assurer une marge de sécurité (rapport P_n/P_required = 1.32). Cela permet une surcharge à court terme et une réserve pour l'usure future du compresseur.
---
Question 3 : Fonctionnement en point nominal et stabilité
Étape 1 - Température de sortie :
Avec un indice polytropique réel n ≈ 1.35 (entre 1.4 isentropique et 1.0 isotherme) :
$T_{out} = T_{in} \\times (P_{out}/P_{in})^{(n-1)/(n \\gamma)}$
$= 298 \\times 8^{(1.35-1)/(1.35 \\times 1.4)}$
$= 298 \\times 8^{0.35/1.89}$
$= 298 \\times 8^{0.1852} = 298 \\times 1.524 = 454.2 \\text{ K} = 181.2 \\text{ °C}$
Étape 2 - Densité en sortie :
$\\rho_{out} = \\rho_{in} \\times \\frac{P_{out}}{P_{in}} \\times \\frac{T_{in}}{T_{out}} = 1.169 \\times 8 \\times \\frac{298}{454.2}$
$= 9.352 \\times 0.6562 = 6.14 \\text{ kg/m}^3$
Étape 3 - Limite de surge (débit critique minimum) :
La limite de surge est typiquement 60-70% du débit nominal pour un compresseur centrifuge :
$Q_{surge,min} = 0.65 \\times Q_{nom} = 0.65 \\times 500 = 325 \\text{ m}^3/\\text{h}$
Étape 4 - Évaluation de la nécessité d'une soupape anti-surge :
Une soupape anti-surge est recommandée car :
• Le compresseur centrifuge est sensible au surge (instabilité)
• Les conditions de fonctionnement à débit réduit peuvent survenir
• La protection contre le surge assure la longévité du compresseur
Résultat final :
$T_{out} = 454.2 \\text{ K} = 181.2 \\text{ °C}$
$\\rho_{out} = 6.14 \\text{ kg/m}^3$
$Q_{surge,min} \\approx 325 \\text{ m}^3/\\text{h}$
$\\text{Soupape anti-surge RECOMMANDÉE pour maintenir la stabilité}$
Interprétation : La température de sortie très élevée (181°C) nécessite un refroidissement interétage ou un système de refroidissement de la sortie. Une soupape anti-surge avec recirculation vers l'aspiration est recommandée pour protéger le compresseur en cas de fonctionnement à débit réduit.
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    "id_category": "1",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 1 : Dimensionnement d'un système de levage - Ascenseur et monte-charge industriel
Un monte-charge industriel doit transporter une charge maximale $m_c = 5000 \\text{ kg}$ à une hauteur $h = 30 \\text{ m}$ en un temps $t_m = 60 \\text{ s}$. Le système dispose d'une poulie de diamètre $d_p = 0.8 \\text{ m}$, d'une masse des éléments mobiles $m_m = 1500 \\text{ kg}$, d'un coefficient de frottement des paliers $\\mu_f = 0.05$, et d'une accélération requise $a = 0.5 \\text{ m/s}^2$.
Question 1 : Calculez la force totale nécessaire au levage en régime permanent et en phase d'accélération. Déterminez la puissance mécanique requise à la sortie du moteur et la vitesse de rotation de la poulie.
Question 2 : En considérant un rendement global du système de transmission $\\eta = 0.92$ et un rendement du moteur asynchrone triphasé $\\eta_m = 0.88$, calculez la puissance électrique nominale requise du moteur, le courant de ligne nominal à $U = 400 \\text{ V}$ et $\\cos\\varphi = 0.85$.
Question 3 : Le moteur choisi a une puissance de $P_n = 100 \\text{ kW}$ et un couple nominal $C_n = 1200 \\text{ N·m}$. Vérifiez que le moteur peut assurer l'accélération initiale en calculant le couple de démarrage requis, le courant de démarrage direct (multiplicateur $k_d = 6$) et le temps d'accélération. Proposez un système de démarrage adapté.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée Exercice 1
Question 1 : Forces et puissance mécanique requises
Force gravitationnelle de la charge :
$F_g = (m_c + m_m) g = (5000 + 1500) \\times 9.81$
Calcul :
$F_g = 6500 \\times 9.81 = 63765 \\text{ N}$
Force de frottement des paliers :
$F_f = \\mu_f \\times F_g = 0.05 \\times 63765$
Calcul :
$F_f = 3188.25 \\text{ N}$
Force totale en régime permanent (sans accélération) :
$F_\\text{perm} = F_g + F_f = 63765 + 3188.25$
Calcul :
$F_\\text{perm} = 66953.25 \\text{ N}$
Force totale en phase d'accélération :
$F_\\text{accel} = F_\\text{perm} + (m_c + m_m) a = 66953.25 + 6500 \\times 0.5$
Calcul :
$F_\\text{accel} = 66953.25 + 3250 = 70203.25 \\text{ N}$
Vitesse moyenne de levage :
$v_m = \\frac{h}{t_m} = \\frac{30}{60}$
Calcul :
$v_m = 0.5 \\text{ m/s}$
Puissance mécanique en régime permanent :
$P_\\text{mec,perm} = F_\\text{perm} \\times v_m = 66953.25 \\times 0.5$
Calcul :
$P_\\text{mec,perm} = 33476.63 \\text{ W} = 33.48 \\text{ kW}$
Puissance mécanique en phase d'accélération :
$P_\\text{mec,accel} = F_\\text{accel} \\times v_m = 70203.25 \\times 0.5$
Calcul :
$P_\\text{mec,accel} = 35101.63 \\text{ W} = 35.10 \\text{ kW}$
Vitesse de rotation de la poulie :
$\\omega = \\frac{v_m}{r_p} = \\frac{v_m}{d_p/2} = \\frac{2v_m}{d_p} = \\frac{2 \\times 0.5}{0.8}$
Calcul :
$\\omega = 1.25 \\text{ rad/s}$
Fréquence de rotation :
$N = \\frac{\\omega \\times 60}{2\\pi} = \\frac{1.25 \\times 60}{6.283}$
Calcul :
$N = 11.94 \\text{ tr/min}$
Résultat Question 1 : $F_\\text{perm} = 66953.25 \\text{ N}$, $F_\\text{accel} = 70203.25 \\text{ N}$, $P_\\text{mec,accel} = 35.10 \\text{ kW}$, $\\omega = 1.25 \\text{ rad/s}$, $N = 11.94 \\text{ tr/min}$
Question 2 : Puissance électrique, courant nominal et dimensionnement du moteur
Puissance mécanique nominale requise (avec marge) :
$P_\\text{mec,nom} = P_\\text{mec,accel} \\times 1.1 = 35.10 \\times 1.1$
Calcul :
$P_\\text{mec,nom} = 38.61 \\text{ kW}$
Puissance électrique à l'entrée du système de transmission :
$P_\\text{trans} = \\frac{P_\\text{mec,nom}}{\\eta} = \\frac{38.61}{0.92}$
Calcul :
$P_\\text{trans} = 41.97 \\text{ kW}$
Puissance électrique nominale du moteur :
$P_\\text{elec} = \\frac{P_\\text{trans}}{\\eta_m} = \\frac{41.97}{0.88}$
Calcul :
$P_\\text{elec} = 47.69 \\text{ kW}$
Puissance apparente :
$S = \\frac{P_\\text{elec}}{\\cos\\varphi} = \\frac{47.69}{0.85}$
Calcul :
$S = 56.11 \\text{ kVA}$
Courant nominal de ligne (triphasé) :
$I_n = \\frac{S}{\\sqrt{3} \\times U} = \\frac{56.11 \\times 10^3}{1.732 \\times 400}$
Calcul :
$I_n = \\frac{56110}{692.8} = 81.0 \\text{ A}$
Résultat Question 2 : $P_\\text{elec} = 47.69 \\text{ kW}$, $S = 56.11 \\text{ kVA}$, $I_n = 81.0 \\text{ A}$
Question 3 : Vérification du démarrage et système adapté
Couple mécanique requis à la poulie :
$C_\\text{mec} = F_\\text{accel} \\times \\frac{d_p}{2} = 70203.25 \\times \\frac{0.8}{2}$
Calcul :
$C_\\text{mec} = 70203.25 \\times 0.4 = 28081.3 \\text{ N·m}$
Rapport de réduction (démultiplication) :
$r = \\frac{C_\\text{mec}}{C_n} = \\frac{28081.3}{1200}$
Calcul :
$r = 23.4$
Vitesse moteur requise :
$N_\\text{mot} = N \\times r = 11.94 \\times 23.4$
Calcul :
$N_\\text{mot} = 279.4 \\text{ tr/min}$
Moteur choisi : $P_n = 100 \\text{ kW}$ (surdimensionné, ok pour sécurité)
Couple de démarrage requis (couple de démarrage) :
$C_\\text{dem} = \\frac{P_\\text{elec} \\times 1.1}{\\omega_\\text{dem}} = \\frac{47.69 \\times 10^3 \\times 1.1}{2\\pi \\times N_\\text{dem}/60}$
À basse vitesse, approximation :
$C_\\text{dem,min} = \\frac{C_n \\times P_n}{P_\\text{elec}} \\times k_\\text{surcharge}$
$C_\\text{dem,min} = \\frac{1200 \\times 100}{47.69} \\times 1.3 = 3273 \\text{ N·m}$
Vérification : Le moteur de 100 kW peut fournir ce couple au démarrage.
Courant de démarrage direct :
$I_\\text{dem} = k_d \\times I_n = 6 \\times 81.0$
Calcul :
$I_\\text{dem} = 486 \\text{ A}$
Temps d'accélération (rampe linéaire) :
$t_\\text{acc} = \\frac{v_m}{a} = \\frac{0.5}{0.5}$
Calcul :
$t_\\text{acc} = 1 \\text{ s}$
Système de démarrage adapté :
$\\text{Démarrage étoile-triangle (Y-Δ) avec temporisation : } t_Y = 5-10 \\text{ s}$
Courant réduit en démarrage Y :
$I_\\text{dem,Y} = \\frac{I_\\text{dem}}{\\sqrt{3}} = \\frac{486}{1.732}$
Calcul :
$I_\\text{dem,Y} = 280.6 \\text{ A}$
Autre option : Variateur de fréquence (VFD) permettant un démarrage progressif et un contrôle de vitesse continu.
Résultat Question 3 : $C_\\text{mec} = 28081.3 \\text{ N·m}$, $r = 23.4$, $N_\\text{mot} = 279.4 \\text{ tr/min}$, $I_\\text{dem} = 486 \\text{ A}$, $I_\\text{dem,Y} = 280.6 \\text{ A}$, $t_\\text{acc} = 1 \\text{ s}$, $\\text{Démarrage recommandé : Y-Δ ou VFD}$
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 2 : Dimensionnement d'un système de pompage centrifuge pour irrigation agricole
Une pompe centrifuge doit fournir un débit $Q = 150 \\text{ m}^3\\text{/h}$ avec une hauteur de refoulement $H = 45 \\text{ m}$, alimentée par un moteur asynchrone triphasé. La densité du liquide est $\\rho = 1000 \\text{ kg/m}^3$, l'accélération gravitationnelle $g = 9.81 \\text{ m/s}^2$, rendement de la pompe $\\eta_p = 0.78$, rendement du moteur $\\eta_m = 0.85$, tension d'alimentation $U = 400 \\text{ V}$ triphasé, $\\cos\\varphi = 0.82$, fréquence $f = 50 \\text{ Hz}$.
Question 1 : Calculez la puissance hydraulique utile de la pompe, la hauteur manométrique totale effective en tenant compte des pertes de charge en tuyauterie (perte linéaire $\\Delta H_\\text{lin} = 3.5 \\text{ m}$ et singularités $\\Delta H_\\text{sing} = 2 \\text{ m}$), puis déduisez la puissance mécanique à la sortie du moteur.
Question 2 : Déterminez la puissance électrique nominale du moteur, le courant de ligne nominal et la vitesse de synchronisme. En supposant un glissement $g = 0.04$ (4 %), calculez la vitesse réelle du moteur et le couple nominal.
Question 3 : Le diamètre de la roue motrice du variateur de vitesse (poulie ou pignon) est $d_1 = 0.3 \\text{ m}$ et doit entraîner une pompe avec diamètre $d_2 = 0.15 \\text{ m}$. Calculez le rapport de transmission, la vitesse de la pompe, la puissance transmise et vérifiez le dimensionnement en surcharge à $120\\%$ du débit nominal.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée Exercice 2
Question 1 : Puissance hydraulique et puissance mécanique
Conversion du débit :
$Q = 150 \\text{ m}^3\\text{/h} = \\frac{150}{3600} = 0.0417 \\text{ m}^3\\text{/s}$
Hauteur manométrique totale (HMT) :
$\\text{HMT} = H + \\Delta H_\\text{lin} + \\Delta H_\\text{sing} = 45 + 3.5 + 2$
Calcul :
$\\text{HMT} = 50.5 \\text{ m}$
Puissance hydraulique théorique :
$P_\\text{hydr} = \\rho \\times g \\times Q \\times \\text{HMT} = 1000 \\times 9.81 \\times 0.0417 \\times 50.5$
Calcul :
$P_\\text{hydr} = 20694 \\text{ W} = 20.69 \\text{ kW}$
Puissance mécanique à la sortie du moteur (compte du rendement pompe) :
$P_\\text{mec} = \\frac{P_\\text{hydr}}{\\eta_p} = \\frac{20.69}{0.78}$
Calcul :
$P_\\text{mec} = 26.53 \\text{ kW}$
Résultat Question 1 : $\\text{HMT} = 50.5 \\text{ m}$, $P_\\text{hydr} = 20.69 \\text{ kW}$, $P_\\text{mec} = 26.53 \\text{ kW}$
Question 2 : Puissance électrique, courant et vitesse du moteur
Puissance électrique nominale :
$P_\\text{elec} = \\frac{P_\\text{mec}}{\\eta_m} = \\frac{26.53}{0.85}$
Calcul :
$P_\\text{elec} = 31.21 \\text{ kW}$
Puissance apparente :
$S = \\frac{P_\\text{elec}}{\\cos\\varphi} = \\frac{31.21}{0.82}$
Calcul :
$S = 38.06 \\text{ kVA}$
Courant nominal (triphasé) :
$I_n = \\frac{S}{\\sqrt{3} \\times U} = \\frac{38.06 \\times 10^3}{1.732 \\times 400}$
Calcul :
$I_n = \\frac{38060}{692.8} = 54.93 \\text{ A}$
Nombre de paires de pôles : 1 (pour moteur 4-pôles) ou 2 (pour 2-pôles)
Supposons 4-pôles (2 paires de pôles) :
Vitesse de synchronisme :
$N_s = \\frac{120 \\times f}{p} = \\frac{120 \\times 50}{2}$
Calcul :
$N_s = 3000 \\text{ tr/min}$
Vitesse réelle (avec glissement) :
$N = N_s \\times (1 - g) = 3000 \\times (1 - 0.04)$
Calcul :
$N = 3000 \\times 0.96 = 2880 \\text{ tr/min}$
Vitesse angulaire :
$\\omega = \\frac{2\\pi N}{60} = \\frac{2\\pi \\times 2880}{60}$
Calcul :
$\\omega = 301.6 \\text{ rad/s}$
Couple nominal :
$C_n = \\frac{P_\\text{mec}}{\\omega} = \\frac{26.53 \\times 10^3}{301.6}$
Calcul :
$C_n = 88.0 \\text{ N·m}$
Résultat Question 2 : $P_\\text{elec} = 31.21 \\text{ kW}$, $I_n = 54.93 \\text{ A}$, $N_s = 3000 \\text{ tr/min}$, $N = 2880 \\text{ tr/min}$, $C_n = 88.0 \\text{ N·m}$
Question 3 : Rapport de transmission et vérification en surcharge
Rapport de transmission :
$r = \\frac{d_1}{d_2} = \\frac{0.3}{0.15}$
Calcul :
$r = 2$
Vitesse de la pompe :
$N_\\text{pompe} = \\frac{N}{r} = \\frac{2880}{2}$
Calcul :
$N_\\text{pompe} = 1440 \\text{ tr/min}$
Couple à la pompe :
$C_\\text{pompe} = C_n \\times r = 88.0 \\times 2$
Calcul :
$C_\\text{pompe} = 176.0 \\text{ N·m}$
Puissance transmise à la pompe :
$P_\\text{pompe} = \\frac{2\\pi \\times N_\\text{pompe} \\times C_\\text{pompe}}{60} = \\frac{2\\pi \\times 1440 \\times 176.0}{60}$
Calcul :
$P_\\text{pompe} = 26.53 \\text{ kW}$
Surcharge à 120 % du débit :
$Q_\\text{max} = 1.2 \\times Q = 1.2 \\times 150 = 180 \\text{ m}^3\\text{/h}$
$P_\\text{hydr,max} = 1.2 \\times P_\\text{hydr} = 1.2 \\times 20.69 = 24.83 \\text{ kW}$
Puissance mécanique en surcharge :
$P_\\text{mec,max} = \\frac{P_\\text{hydr,max}}{\\eta_p} = \\frac{24.83}{0.78}$
Calcul :
$P_\\text{mec,max} = 31.83 \\text{ kW}$
Courant en surcharge :
$I_\\text{max} = I_n \\times \\frac{P_\\text{mec,max}}{P_\\text{mec}} = 54.93 \\times \\frac{31.83}{26.53}$
Calcul :
$I_\\text{max} = 65.88 \\text{ A}$
Vérification : Le moteur de 31.21 kW peut supporter 31.83 kW en surcharge courte durée (environ 2% d'augmentation acceptable).
Résultat Question 3 : $r = 2$, $N_\\text{pompe} = 1440 \\text{ tr/min}$, $C_\\text{pompe} = 176.0 \\text{ N·m}$, $P_\\text{pompe} = 26.53 \\text{ kW}$, $P_\\text{mec,max} = 31.83 \\text{ kW}$, $I_\\text{max} = 65.88 \\text{ A}$, $\\text{Dimensionnement ok en surcharge}$
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "
Exercice 3 : Dimensionnement d'un four électrique par résistance pour industrie métallurgique
Un four électrique de traitement thermique doit chauffer $m = 200 \\text{ kg}$ de matière (acier) de la température initiale $\\theta_1 = 20 \\text{ °C}$ à la température finale $\\theta_2 = 1200 \\text{ °C}$ en un temps $t = 3 \\text{ h} = 10800 \\text{ s}$. La chaleur massique de l'acier est $c = 460 \\text{ J/(kg·K)}$, les pertes thermiques représentent $p = 15\\%$ de l'énergie fournie, l'isolation a une résistance thermique $R_\\text{th} = 0.08 \\text{ K/W}$.
Question 1 : Calculez l'énergie thermique nécessaire pour élever la température de la matière, les pertes thermiques totales, et la puissance thermique moyenne requise du four.
Question 2 : En supposant une efficacité des résistances électriques $\\eta_r = 0.96$ et une tension d'alimentation triphasée $U = 400 \\text{ V}$, calculez la puissance électrique nominale du four, le courant de ligne nominal, et la résistance totale équivalente des éléments chauffants.
Question 3 : Le four utilise trois résistances identiques connectées en configuration triangle. Vérifiez le dimensionnement en calculant la puissance de chaque résistance, le courant dans chaque résistance, et la tension aux bornes de chaque élément. Proposez un système de commande graduée (disjoncteur de puissance, contacteur et thermostat).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée Exercice 3
Question 1 : Énergie thermique et puissance moyenne
Élévation de température :
$\\Delta\\theta = \\theta_2 - \\theta_1 = 1200 - 20$
Calcul :
$\\Delta\\theta = 1180 \\text{ K (ou °C)}$
Énergie thermique pour élever la température de la matière (sans pertes) :
$Q_\\text{mat} = m \\times c \\times \\Delta\\theta = 200 \\times 460 \\times 1180$
Calcul :
$Q_\\text{mat} = 108.56 \\times 10^6 \\text{ J} = 108.56 \\text{ MJ}$
Pertes thermiques (15 % de l'énergie fournie) :
Si $Q_\\text{fournie} = Q_\\text{mat} + Q_\\text{pertes}$ et $Q_\\text{pertes} = 0.15 \\times Q_\\text{fournie}$ :
$Q_\\text{fournie} = Q_\\text{mat} + 0.15 \\times Q_\\text{fournie}$
$0.85 \\times Q_\\text{fournie} = Q_\\text{mat}$
$Q_\\text{fournie} = \\frac{Q_\\text{mat}}{0.85} = \\frac{108.56}{0.85}$
Calcul :
$Q_\\text{fournie} = 127.71 \\text{ MJ}$
Pertes thermiques :
$Q_\\text{pertes} = 0.15 \\times Q_\\text{fournie} = 0.15 \\times 127.71$
Calcul :
$Q_\\text{pertes} = 19.16 \\text{ MJ}$
Puissance thermique moyenne requise :
$P_\\text{th,moy} = \\frac{Q_\\text{fournie}}{t} = \\frac{127.71 \\times 10^6}{10800}$
Calcul :
$P_\\text{th,moy} = 11826 \\text{ W} = 11.83 \\text{ kW}$
Résultat Question 1 : $Q_\\text{mat} = 108.56 \\text{ MJ}$, $Q_\\text{pertes} = 19.16 \\text{ MJ}$, $Q_\\text{fournie} = 127.71 \\text{ MJ}$, $P_\\text{th,moy} = 11.83 \\text{ kW}$
Question 2 : Puissance électrique, courant et résistance équivalente
Puissance électrique nominale du four :
$P_\\text{elec} = \\frac{P_\\text{th,moy}}{\\eta_r} = \\frac{11.83 \\times 10^3}{0.96}$
Calcul :
$P_\\text{elec} = 12327 \\text{ W} = 12.33 \\text{ kW}$
Pour un four triphasé à résistances pures, facteur de puissance $\\cos\\varphi = 1$, puissance apparente = puissance active :
$S = P_\\text{elec} = 12.33 \\text{ kVA}$
Courant nominal (triphasé) :
$I_n = \\frac{P_\\text{elec}}{\\sqrt{3} \\times U} = \\frac{12327}{1.732 \\times 400}$
Calcul :
$I_n = \\frac{12327}{692.8} = 17.80 \\text{ A}$
Résistance équivalente totale des résistances (connexion triangle) :
En triangle, chaque résistance est soumise à la tension composée $U = 400 \\text{ V}$
$P_\\text{elec} = \\frac{3 \\times U^2}{R_\\text{eq,phase}}$
où $R_\\text{eq,phase}$ est la résistance de chaque branche en triangle.
$R_\\text{eq,phase} = \\frac{3 \\times U^2}{P_\\text{elec}} = \\frac{3 \\times 400^2}{12327}$
Calcul :
$R_\\text{eq,phase} = \\frac{3 \\times 160000}{12327} = \\frac{480000}{12327} = 38.93 \\text{ Ω}$
Résultat Question 2 : $P_\\text{elec} = 12.33 \\text{ kW}$, $I_n = 17.80 \\text{ A}$, $R_\\text{eq,phase} = 38.93 \\text{ Ω}$
Question 3 : Dimensionnement des résistances et vérification
Configuration triangle avec trois résistances identiques :
Chaque résistance est connectée entre deux phases.
Tension aux bornes de chaque résistance (tension composée) :
$U_\\text{phase} = U = 400 \\text{ V}$
Puissance de chaque résistance :
$P_\\text{phase} = \\frac{P_\\text{elec}}{3} = \\frac{12327}{3}$
Calcul :
$P_\\text{phase} = 4109 \\text{ W}$
Résistance de chaque élément :
$R = \\frac{U_\\text{phase}^2}{P_\\text{phase}} = \\frac{400^2}{4109}$
Calcul :
$R = \\frac{160000}{4109} = 38.93 \\text{ Ω}$
Courant dans chaque résistance :
$I_\\text{phase} = \\frac{U_\\text{phase}}{R} = \\frac{400}{38.93}$
Calcul :
$I_\\text{phase} = 10.27 \\text{ A}$
Courant de ligne (relation triangle) :
$I_n = \\sqrt{3} \\times I_\\text{phase} = 1.732 \\times 10.27$
Calcul :
$I_n = 17.80 \\text{ A}$ (vérifié)
Vérification de la puissance :
$P_\\text{elec} = 3 \\times U_\\text{phase} \\times I_\\text{phase} = 3 \\times 400 \\times 10.27$
Calcul :
$P_\\text{elec} = 12324 \\text{ W} \\approx 12.33 \\text{ kW}$ (vérifié)
Système de commande proposé :
1. $\\text{Disjoncteur différentiel 30 mA + Disjoncteur magnéto-thermique 400 A}$
2. $\\text{Contacteur tripolaire 400 A avec bobine 230 V monophasé}$
3. $\\text{Thermostat électronique : gamme 20-1200°C, précision ±10°C}$
4. $\\text{Gradateur (variateur de puissance) : action progressive jusqu'à 100%, puis commande on-off}$
5. $\\text{Sonde thermique (thermocouple type K) dans la chambre de four}$
Résultat Question 3 : $P_\\text{phase} = 4109 \\text{ W}$, $R = 38.93 \\text{ Ω}$, $I_\\text{phase} = 10.27 \\text{ A}$, $I_n = 17.80 \\text{ A}$, $U_\\text{phase} = 400 \\text{ V}$, $\\text{Système : Disjoncteur 400A + Contacteur + Thermostat + Gradateur + Sonde}$
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 1: Dimensionnement d'un moteur asynchrone pour monte-charge industriel",
    "question": "
Sélection et dimensionnement d'un moteur électrique pour système de levage
Un monte-charge industriel doit soulever une charge utile $m = 2500 \\, \\text{kg}$ à une vitesse constante $v = 0.5 \\, \\text{m/s}$. Le système utilise un tambour de diamètre $D_{tambour} = 0.4 \\, \\text{m}$ et un réducteur de vitesse avec rapport de réduction $r = 20$. L'accélération doit être réalisée en $t_{acc} = 5 \\, \\text{s}$ depuis l'arrêt jusqu'à la vitesse nominale.
Les pertes de frottement et de résistance sont estimées à $20\\%$ de la charge. Le facteur de sécurité est $f_s = 1.3$. Le moteur sélectionné est un moteur asynchrone triphasé $400 \\, \\text{V} - 50 \\, \\text{Hz}$ avec rendement $\\eta_m = 0.88$, et le réducteur a un rendement $\\eta_r = 0.92$.
Question 1 : Calculez la puissance mécanique requise au tambour en régime de levage permanent et la puissance électrique nominale du moteur en tenant compte de tous les rendements.
Question 2 : Déterminez le couple nominal du moteur et la vitesse de rotation du moteur en tours par minute, sachant que le moteur asynchrone a un glissement $s = 0.04$ et que la fréquence de synchronisme est $f_s = 50 \\, \\text{Hz}$.
Question 3 : Estimez la puissance d'accélération requise pendant la phase de démarrage et vérifiez que le moteur sélectionné peut assurer l'accélération imposée.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Puissance mécanique et puissance électrique nominale
Étape 1 : Formule générale
Puissance mécanique de levage (charge + pertes) :
$P_{mec,charge} = m g v$
Puissance totale mécanique (avec pertes) :
$P_{mec,total} = P_{mec,charge} \\times (1 + k_{pertes})$
où $k_{pertes} = 0.20$
Puissance au tambour avec facteur de sécurité :
$P_{tambour} = P_{mec,total} \\times f_s$
Puissance électrique nominale du moteur :
$P_{elec} = \\frac{P_{tambour}}{\\eta_m \\times \\eta_r}$
Étape 2 : Remplacement des données
Masse : $m = 2500 \\, \\text{kg}$
Vitesse : $v = 0.5 \\, \\text{m/s}$
Accélération gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$
Puissance de levage (sans pertes) :
$P_{mec,charge} = 2500 \\times 9.81 \\times 0.5 = 12262.5 \\, \\text{W}$
Étape 3 : Calcul complet
Puissance avec pertes (20%) :
$P_{mec,total} = 12262.5 \\times (1 + 0.20) = 12262.5 \\times 1.20 = 14715 \\, \\text{W}$
Puissance avec facteur de sécurité :
$P_{tambour} = 14715 \\times 1.3 = 19129.5 \\, \\text{W}$
Puissance électrique du moteur :
$P_{elec} = \\frac{19129.5}{0.88 \\times 0.92} = \\frac{19129.5}{0.8096} = 23631 \\, \\text{W} = 23.63 \\, \\text{kW}$
Résultat final :
Puissance de levage pur : $P_{mec,charge} = 12.26 \\, \\text{kW}$
Puissance mécanique totale : $P_{mec,total} = 14.71 \\, \\text{kW}$
Puissance au tambour (avec sécurité) : $P_{tambour} = 19.13 \\, \\text{kW}$
Puissance électrique nominale du moteur : $P_{elec} = 23.63 \\, \\text{kW}$ (moteur standard 22 ou 30 kW à sélectionner)
Question 2 : Couple nominal et vitesse de rotation
Étape 1 : Formule générale
Couple au tambour :
$C_{tambour} = \\frac{P_{tambour}}{\\omega_{tambour}}$
où $\\omega_{tambour} = \\frac{\\pi D v}{(D/2)^2} = \\frac{2\\pi v}{D}$ ou directement $\\omega = \\frac{2\\pi n}{60}$
Vitesse de synchronisme :
$n_s = \\frac{60 f_s}{p}$ où $p$ est nombre de paires de pôles
Vitesse du rotor :
$n_m = n_s (1 - s)$
Couple du moteur :
$C_m = \\frac{P_{elec}}{\\omega_m}$
Étape 2 : Remplacement des données
Diamètre tambour : $D = 0.4 \\, \\text{m}$
Vitesse linéaire : $v = 0.5 \\, \\text{m/s}$
Vitesse angulaire du tambour :
$\\omega_{tambour} = \\frac{2\\pi v}{D} = \\frac{2\\pi \\times 0.5}{0.4} = \\frac{\\pi}{0.4} = 7.854 \\, \\text{rad/s}$
Couple au tambour :
$C_{tambour} = \\frac{19129.5}{7.854} = 2435.7 \\, \\text{N.m}$
Couple moteur (avec rendements) :
$C_m = \\frac{C_{tambour} \\times r}{\\eta_r} = \\frac{2435.7 \\times 20}{0.92} = 52950 \\, \\text{N.m}$
Étape 3 : Calcul de la vitesse
Pour un moteur asynchrone standard 4 pôles (p=2) :
$n_s = \\frac{60 \\times 50}{2} = 1500 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse du rotor avec glissement s = 0.04 :
$n_m = 1500 \\times (1 - 0.04) = 1500 \\times 0.96 = 1440 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse angulaire du moteur :
$\\omega_m = \\frac{2\\pi n_m}{60} = \\frac{2\\pi \\times 1440}{60} = 150.8 \\, \\text{rad/s}$
Couple moteur (vérification) :
$C_m = \\frac{23631}{150.8} = 156.7 \\, \\text{N.m}$
Résultat final :
Vitesse de synchronisme : $n_s = 1500 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse du rotor moteur : $n_m = 1440 \\, \\text{tr/min}$
Couple nominal du moteur : $C_m = 156.7 \\, \\text{N.m}$
Couple au tambour : $C_{tambour} = 2435.7 \\, \\text{N.m}$
Question 3 : Puissance d'accélération et vérification
Étape 1 : Formule générale
Pendant la phase d'accélération, le moteur doit fournir :
1. La puissance pour lever la charge (constante)
2. La puissance pour accélérer le système
Puissance d'accélération (énergie cinétique) :
$P_{acc} = \\frac{d E_c}{dt} = \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{1}{2}m_{eq}v^2\\right)$
où $m_{eq}$ est la masse équivalente du système en rotation
Couple d'accélération :
$C_{acc} = I \\alpha = \\frac{I \\times \\omega}{t_{acc}}$
où $I$ est le moment d'inertie équivalent
Étape 2 : Remplacement des données
Accélération linéaire :
$a = \\frac{v}{t_{acc}} = \\frac{0.5}{5} = 0.1 \\, \\text{m/s}^2$
Puissance d'accélération de la charge :
$P_{acc,charge} = m \\times a \\times v_{moyen} = 2500 \\times 0.1 \\times \\frac{0.5}{2}$
$P_{acc,charge} = 2500 \\times 0.1 \\times 0.25 = 62.5 \\, \\text{kW}$
(Note : cette est la moyenne de la puissance durant l'accélération)
Étape 3 : Calcul complet
Puissance totale moyenne durant accélération :
$P_{acc,total} = P_{mec,charge} + P_{acc,charge} = 12.26 + 62.5 = 74.76 \\, \\text{kW}$
Puissance électrique moyenne requise :
$P_{elec,acc} = \\frac{P_{acc,total}}{\\eta_m \\times \\eta_r} = \\frac{74.76}{0.88 \\times 0.92} = \\frac{74.76}{0.8096} = 92.3 \\, \\text{kW}$
Rapport puissance accélération / puissance nominale :
$\\frac{P_{elec,acc}}{P_{elec,nom}} = \\frac{92.3}{23.63} = 3.91$
Ce ratio indique que le moteur n'est PAS capable de fournir cette puissance en continu.
Cependant, pour une accélération courte (5s), l'échauffement limite est acceptable.
Le moteur standard 30 kW avec surcharge temporaire est approprié.
Résultat final :
Puissance d'accélération moyenne requise : $P_{acc,total} = 74.76 \\, \\text{kW}$
Puissance électrique moyenne durant accélération : $P_{elec,acc} = 92.3 \\, \\text{kW}$
Ratio de surcharge : $3.91 \\times P_{nom}$ (acceptable en transitoire 5s)
Conclusion : Moteur 30 kW standard recommandé avec démarreur progressif
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 2: Dimensionnement d'un moteur pour compresseur industriel avec transmission par courroie",
    "question": "
Sélection d'un moteur électrique pour système de compression d'air
Un compresseur d'air centrifuge utilisé dans une station de forage pétrolier doit fournir un débit volumique $Q = 150 \\, \\text{m}^3/\\text{h}$ à une pression de refoulement $P_2 = 8 \\, \\text{bar}$ (pression d'entrée $P_1 = 1 \\, \\text{bar}$). Le compresseur est couplé au moteur par une transmission par courroie avec rendement $\\eta_{courroie} = 0.95$.
Les caractéristiques du compresseur sont : coefficient isentropique $\\gamma = 1.4$, rendement isentropique $\\eta_s = 0.78$, et rendement mécanique $\\eta_{mec} = 0.92$. Le moteur électrique asynchrone triphasé $400 \\, \\text{V} - 50 \\, \\text{Hz}$ a un rendement $\\eta_m = 0.91$ et fonctionne avec un glissement $s = 0.03$.
Question 1 : Calculez la puissance isentropique requise par le compresseur (travail théorique de compression) et la puissance réelle absorbée par le compresseur.
Question 2 : Déterminez la puissance électrique nominale du moteur et la vitesse de rotation en tours par minute sachant que le moteur a 6 pôles.
Question 3 : Estimez le couple nominal du moteur et le rapport de transmission (diamètres des poulies) pour synchroniser le compresseur si ce dernier doit tourner à $3000 \\, \\text{tr/min}$ à sa vitesse optimale.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Puissance isentropique et puissance réelle du compresseur
Étape 1 : Formule générale
Travail isentropique (théorique) par unité de masse :
$w_s = \\frac{\\gamma}{\\gamma - 1} R T_1 \\left[\\left(\\frac{P_2}{P_1}\\right)^{\\frac{\\gamma-1}{\\gamma}} - 1\\right]$
ou approximé pour gaz parfait :
$w_s = \\frac{\\gamma}{\\gamma - 1} P_1 v_1 \\left[\\left(\\frac{P_2}{P_1}\\right)^{\\frac{\\gamma-1}{\\gamma}} - 1\\right]$
Puissance isentropique :
$P_s = \\dot{m} w_s = \\rho Q w_s$
où $\\dot{m}$ est le débit massique $\\dot{m} = \\rho Q$
Puissance réelle :
$P_{comp,real} = \\frac{P_s}{\\eta_s \\times \\eta_{mec}}$
Étape 2 : Remplacement des données
Débit volumique : $Q = 150 \\, \\text{m}^3/\\text{h} = \\frac{150}{3600} = 0.04167 \\, \\text{m}^3/\\text{s}$
Pression d'entrée : $P_1 = 1 \\, \\text{bar} = 100000 \\, \\text{Pa}$
Pression de refoulement : $P_2 = 8 \\, \\text{bar} = 800000 \\, \\text{Pa}$
Rapport de compression : $\\frac{P_2}{P_1} = 8$
Masse volumique de l'air (à 1 bar, 20°C) : $\\rho = 1.2 \\, \\text{kg/m}^3$
Débit massique :
$\\dot{m} = \\rho Q = 1.2 \\times 0.04167 = 0.05 \\, \\text{kg/s}$
Coefficient isentropique : $\\gamma = 1.4$
Étape 3 : Calcul du travail isentropique
Exposant : $\\frac{\\gamma-1}{\\gamma} = \\frac{0.4}{1.4} = 0.2857$
Rapport de pression élevé à l'exposant :
$\\left(\\frac{P_2}{P_1}\\right)^{0.2857} = 8^{0.2857} = 1.741$
Travail isentropique massique :
$w_s = \\frac{1.4}{0.4} \\times 100000 \\times \\frac{1}{1.2} \\times (1.741 - 1)$
$w_s = 3.5 \\times \\frac{100000}{1.2} \\times 0.741$
$w_s = 3.5 \\times 83333.33 \\times 0.741 = 216112 \\, \\text{J/kg}$
Puissance isentropique :
$P_s = 0.05 \\times 216112 = 10805.6 \\, \\text{W} = 10.81 \\, \\text{kW}$
Puissance réelle du compresseur :
$P_{comp,real} = \\frac{P_s}{\\eta_s \\times \\eta_{mec}} = \\frac{10.81}{0.78 \\times 0.92} = \\frac{10.81}{0.7176} = 15.07 \\, \\text{kW}$
Résultat final :
Travail isentropique : $w_s = 216.1 \\, \\text{kJ/kg}$
Puissance isentropique : $P_s = 10.81 \\, \\text{kW}$
Puissance réelle du compresseur : $P_{comp,real} = 15.07 \\, \\text{kW}$
Question 2 : Puissance électrique du moteur et vitesse de rotation
Étape 1 : Formule générale
Puissance requise au moteur :
$P_{motor} = \\frac{P_{comp,real}}{\\eta_{courroie}}$
Vitesse de synchronisme (moteur 6 pôles) :
$n_s = \\frac{60 f}{p} = \\frac{60 \\times 50}{3}$
où p=3 paires de pôles pour 6 pôles
Vitesse du rotor avec glissement :
$n_m = n_s (1 - s)$
Étape 2 : Remplacement des données
Puissance du compresseur : $P_{comp,real} = 15.07 \\, \\text{kW}$
Rendement courroie : $\\eta_{courroie} = 0.95$
Puissance au moteur :
$P_{motor} = \\frac{15.07}{0.95} = 15.86 \\, \\text{kW}$
Puissance électrique nominale (avec rendement moteur) :
$P_{elec} = \\frac{P_{motor}}{\\eta_m} = \\frac{15.86}{0.91} = 17.43 \\, \\text{kW}$
Étape 3 : Calcul de la vitesse
Nombre de paires de pôles : $p = 3$ (6 pôles total)
Fréquence : $f = 50 \\, \\text{Hz}$
Vitesse de synchronisme :
$n_s = \\frac{60 \\times 50}{3} = 1000 \\, \\text{tr/min}$
Glissement : $s = 0.03$
Vitesse du rotor :
$n_m = 1000 \\times (1 - 0.03) = 1000 \\times 0.97 = 970 \\, \\text{tr/min}$
Résultat final :
Puissance électrique nominale du moteur : $P_{elec} = 17.43 \\, \\text{kW}$ (standard 18.5 ou 22 kW)
Vitesse de synchronisme : $n_s = 1000 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse de rotation du moteur : $n_m = 970 \\, \\text{tr/min}$
Question 3 : Couple nominale et rapport de transmission
Étape 1 : Formule générale
Couple nominal du moteur :
$C_m = \\frac{P_{motor}}{\\omega_m} = \\frac{P_{motor} \\times 60}{2\\pi n_m}$
Rapport de transmission par courroie :
$k = \\frac{n_m}{n_{comp}} = \\frac{D_2}{D_1}$
où $D_1$ est le diamètre de la poulie moteur et $D_2$ celle du compresseur
Étape 2 : Remplacement des données
Puissance au moteur : $P_{motor} = 15.86 \\, \\text{kW} = 15860 \\, \\text{W}$
Vitesse moteur : $n_m = 970 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse compresseur : $n_{comp} = 3000 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse angulaire moteur :
$\\omega_m = \\frac{2\\pi n_m}{60} = \\frac{2\\pi \\times 970}{60} = 101.6 \\, \\text{rad/s}$
Étape 3 : Calcul du couple et rapport
Couple moteur :
$C_m = \\frac{15860}{101.6} = 156.1 \\, \\text{N.m}$
Rapport de transmission (courroie) :
$k = \\frac{n_m}{n_{comp}} = \\frac{970}{3000} = 0.323$
Rapport diamètres des poulies :
$\\frac{D_2}{D_1} = 0.323$
Exemple : si $D_1 = 200 \\, \\text{mm}$, alors $D_2 = 200 \\times 0.323 = 64.6 \\, \\text{mm}$
Résultat final :
Couple nominal du moteur : $C_m = 156.1 \\, \\text{N.m}$
Rapport de transmission courroie : $k = 0.323$
Ratio poulies : $\\frac{D_2}{D_1} = 0.323$ (ex : $D_1 = 200\\,\\text{mm}$, $D_2 = 64.6\\,\\text{mm}$)
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "title": "Exercice 3: Dimensionnement d'un moteur pour broyeur industriel avec démarrage en douceur",
    "question": "
Sélection d'un moteur électrique pour broyeur de minerai avec système de démarrage progressif
Un broyeur industrial pour traitement de minerai doit délivrer une puissance mécanique $P_{mec} = 45 \\, \\text{kW}$ pour broyer des pierres et minerais. Le système fonctionne en continu $24/24$ heures. Le moteur asynchrone triphasé $400 \\, \\text{V} - 50 \\, \\text{Hz}$ a un rendement $\\eta_m = 0.90$, avec $4$ pôles et glissement nominal $s = 0.05$.
Un démarreur progressif électronique (soft-starter) limite le courant de démarrage à $3 \\times I_{nominal}$ et allonge le temps de démarrage à $t_{dem} = 30 \\, \\text{s}$. Durant le démarrage, la tension est réduite progressivement de 20% à 100% de sa valeur nominale.
Question 1 : Calculez la puissance électrique nominale du moteur et le courant de démarrage sans limiteur, puis avec le soft-starter.
Question 2 : Déterminez la vitesse de rotation du moteur en charges nominale et estimez le couple nominal.
Question 3 : Calculez l'énergie thermique dissipée durant la phase de démarrage progressif (30s) et estimez l'échauffement supplémentaire du moteur.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Puissance électrique et courants de démarrage
Étape 1 : Formule générale
Puissance électrique nominale du moteur :
$P_{elec} = \\frac{P_{mec}}{\\eta_m}$
Courant électrique nominal (triphasé) :
$I_n = \\frac{P_{elec}}{\\sqrt{3} \\times U \\times \\cos\\phi}$
où $\\cos\\phi$ est le facteur de puissance (≈0.85 pour moteur asynchrone)
Courant de démarrage direct (Y/Delta) :
$I_{dem,direct} ≈ 5 \\times I_n \\text{ à } 7 \\times I_n$
Courant avec soft-starter :
$I_{dem,soft} = 3 \\times I_n$
Étape 2 : Remplacement des données
Puissance mécanique : $P_{mec} = 45 \\, \\text{kW}$
Rendement moteur : $\\eta_m = 0.90$
Tension nominale : $U = 400 \\, \\text{V}$
Puissance électrique nominale :
$P_{elec} = \\frac{45}{0.90} = 50 \\, \\text{kW}$
Étape 3 : Calcul des courants
Facteur de puissance moteur asynchrone : $\\cos\\phi = 0.85$
Courant nominal :
$I_n = \\frac{50000}{\\sqrt{3} \\times 400 \\times 0.85} = \\frac{50000}{587.4} = 85.1 \\, \\text{A}$
Courant de démarrage direct (estimé) :
$I_{dem,direct} = 6 \\times I_n = 6 \\times 85.1 = 510.6 \\, \\text{A}$
Courant de démarrage avec soft-starter :
$I_{dem,soft} = 3 \\times I_n = 3 \\times 85.1 = 255.3 \\, \\text{A}$
Réduction de courant :
$\\text{Réduction} = \\frac{510.6 - 255.3}{510.6} \\times 100\\% = 50\\%$
Résultat final :
Puissance électrique nominale : $P_{elec} = 50 \\, \\text{kW}$
Courant nominal du moteur : $I_n = 85.1 \\, \\text{A}$
Courant de démarrage direct (non limité) : $I_{dem,direct} ≈ 510.6 \\, \\text{A}$
Courant de démarrage avec soft-starter : $I_{dem,soft} = 255.3 \\, \\text{A}$
Réduction : $50\\%$ du courant de crête
Question 2 : Vitesse de rotation et couple nominal
Étape 1 : Formule générale
Vitesse de synchronisme (moteur 4 pôles = 2 paires de pôles) :
$n_s = \\frac{60 f}{p} = \\frac{60 \\times 50}{2}$
Vitesse du rotor avec glissement :
$n_m = n_s (1 - s)$
Couple nominal :
$C_m = \\frac{P_{mec}}{\\omega_m} = \\frac{P_{mec} \\times 60}{2\\pi n_m}$
Étape 2 : Remplacement des données
Fréquence : $f = 50 \\, \\text{Hz}$
Nombre de paires de pôles : $p = 2$ (4 pôles total)
Glissement nominal : $s = 0.05$
Étape 3 : Calcul
Vitesse de synchronisme :
$n_s = \\frac{60 \\times 50}{2} = 1500 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse du rotor :
$n_m = 1500 \\times (1 - 0.05) = 1500 \\times 0.95 = 1425 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse angulaire :
$\\omega_m = \\frac{2\\pi n_m}{60} = \\frac{2\\pi \\times 1425}{60} = 149.2 \\, \\text{rad/s}$
Couple mécanique :
$C_m = \\frac{45000}{149.2} = 301.5 \\, \\text{N.m}$
ou :
$C_m = \\frac{45000 \\times 60}{2\\pi \\times 1425} = \\frac{2700000}{8952.6} = 301.5 \\, \\text{N.m}$
Résultat final :
Vitesse de synchronisme : $n_s = 1500 \\, \\text{tr/min}$
Vitesse de rotation nominale : $n_m = 1425 \\, \\text{tr/min}$
Couple nominal : $C_m = 301.5 \\, \\text{N.m}$
Question 3 : Énergie thermique et échauffement durant le démarrage
Étape 1 : Formule générale
Durant le démarrage progressif, l'énergie dissipée en chaleur est :
$Q = \\int_0^{t_{dem}} (P_{elec,entree} - P_{mec,utile}) \\, dt$
Approximation : puissance d'entrée moyenne durant démarrage :
$P_{elec,moy} = \\frac{1}{t_{dem}} \\int_0^{t_{dem}} P_{elec}(t) \\, dt$
Avec tension qui augmente linéairement de 20% à 100% :
$V(t) = 0.20 U + (0.80 U) \\frac{t}{t_{dem}}$
Puissance proportionnelle à $V^2 I$ (courant limité à 3In)
Étape 2 : Remplacement des données
Tension initiale : $V_0 = 0.20 \\times 400 = 80 \\, \\text{V}$
Tension finale : $V_f = 400 \\, \\text{V}$
Courant limité : $I_{soft} = 3 \\times 85.1 = 255.3 \\, \\text{A}$
Temps de démarrage : $t_{dem} = 30 \\, \\text{s}$
Puissance mécanique en démarrage (proche de zéro initialement, atteint 45 kW en fin)
Puissance moyenne mécanique durant démarrage :
$P_{mec,moy} ≈ \\frac{45}{2} = 22.5 \\, \\text{kW}$ (approximation linéaire)
Étape 3 : Calcul de l'énergie dissipée
Tension moyenne durant démarrage :
$V_{moy} = 0.20 \\times 400 + 0.80 \\times 400 \\times 0.5 = 80 + 160 = 240 \\, \\text{V}$
Puissance électrique moyenne :
$P_{elec,moy} = \\sqrt{3} \\times V_{moy} \\times I_{soft} \\times \\cos\\phi$
$P_{elec,moy} = 1.732 \\times 240 \\times 255.3 \\times 0.85 = 90.1 \\, \\text{kW}$
Puissance de chauffage moyenne :
$P_{chauf,moy} = P_{elec,moy} - P_{mec,moy} = 90.1 - 22.5 = 67.6 \\, \\text{kW}$
Énergie thermique dissipée en 30s :
$Q = P_{chauf,moy} \\times t_{dem} = 67.6 \\times 10^3 \\times 30 = 2028000 \\, \\text{J} = 2.028 \\, \\text{MJ}$
ou en kWh :
$Q = 67.6 \\times \\frac{30}{3600} = 0.563 \\, \\text{kWh}$
Échauffement du moteur :
Masse estimée du moteur (45 kW) : $m ≈ 500 \\, \\text{kg}$
Capacité thermique spécifique (acier/cuivre mélange) : $c ≈ 500 \\, \\text{J/(kg.K)}$
Élévation de température (sans refroidissement) :
$\\Delta T = \\frac{Q}{m \\times c} = \\frac{2028000}{500 \\times 500} = \\frac{2028000}{250000} = 8.11 \\, \\text{K}$
Avec refroidissement par ventilation (coefficient d'échange h), élévation réelle ≈ 3-5 K
Résultat final :
Puissance électrique moyenne durant démarrage : $P_{elec,moy} = 90.1 \\, \\text{kW}$
Puissance thermique moyenne dissipée : $P_{chauf,moy} = 67.6 \\, \\text{kW}$
Énergie thermique totale (30s) : $Q = 2.028 \\, \\text{MJ}$ = $0.563 \\, \\text{kWh}$
Élévation de température (théorique, sans ventilation) : $\\Delta T = 8.11 \\, \\text{K}$
Élévation réelle avec ventilation : $\\Delta T_{real} ≈ 3-5 \\, \\text{K}$
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Choix et dimensionnement des moteurs électriques",
    "question": "Une station de forage pétrolier doit dimensionner un système de pompage pour extraire le pétrole brut jusqu'à la surface. La profondeur du puits est $h = 500 \\text{ m}$, et le débit requis est $Q_v = 150 \\text{ m}^3/\\text{h}$. La densité du pétrole brut est $\\rho = 850 \\text{ kg/m}^3$, et la pression de refoulement est $P_{ref} = 25 \\text{ bar}$. La pompe centrifuge utilisée a un rendement $\\eta_p = 0,78$, et le moteur électrique asynchrone a un rendement $\\eta_{mot} = 0,90$. La tension d'alimentation est triphasée $V = 380 \\text{ V}$, la fréquence est $f = 50 \\text{ Hz}$, et le facteur de puissance initial est $\\cos\\phi = 0,80$. Le moteur fonctionne à $n = 1500 \\text{ tr/min}$ (moteur 4 pôles) avec un cycle de marche $t_{marche} = 6 \\text{ h/jour}$ et $t_{arrêt} = 18 \\text{ h/jour}$.\n\n**Question 1 :** Calculez la hauteur manométrique totale $H_{mt}$ de la pompe, la puissance hydraulique requise $P_h$, puis la puissance mécanique à fournir par le moteur $P_m$ et la puissance électrique $P_e$. Déterminez le courant nominal du moteur $I_n$ et estimez les pertes totales du système.\n\n**Question 2 :** Analysez le comportement transitoire de la pompe lors du démarrage du moteur. Calculez le couple de démarrage requis $T_{d}$ en fonction de la charge, le moment d'inertie équivalent $J_{eq}$ (estimé pour le groupe pompe-moteur), et le temps d'accélération $t_{acc}$. Évaluez l'énergie de coup de bélier $E_{CB}$ générée lors d'une fermeture rapide de la vanne de refoulement et le surtension correspondante $\\Delta P_{surge}$.\n\n**Question 3 :** Calculez la consommation énergétique quotidienne $E_{quotidienne}$ et annuelle $E_{annuelle}$ du système de pompage. Estimez le coût opérationnel annuel en supposant un tarif d'électricité $Tarif = 0,14 \\text{ €/kWh}$. Déterminez également le temps de retour sur investissement (ROI) pour l'installation d'un variateur de fréquence (VFD) réduisant les pertes d'environ $\\Delta\\eta = 5\\%$, avec un coût initial du VFD de $C_{VFD} = 8000 \\text{ €}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE - EXERCICE 2 : Station de Forage Pétrolier
\n\n
Question 1 : Puissances et courant nominal
\n\n
Première étape : Calculer la hauteur manométrique totale.
\n\n
$H_{mt} = h + \\frac{P_{ref}}{\\rho g} = 500 + \\frac{25 \\times 10^5}{850 \\times 9,81}$\n
$H_{mt} = 500 + \\frac{2500000}{8338,5} = 500 + 299,9 = 799,9 \\text{ m} \\approx 800 \\text{ m}$
\n\n
Deuxième étape : Calculer la puissance hydraulique.
\n\n
Débit massique :
\n
$\\dot{m} = \\rho \\times Q_v = 850 \\times \\frac{150}{3600} = 850 \\times 0,04167 = 35,4 \\text{ kg/s}$
\n\n
Puissance hydraulique :
\n
$P_h = \\dot{m} \\times g \\times H_{mt} = 35,4 \\times 9,81 \\times 800 = 277,2 \\text{ kW}$
\n\n
Troisième étape : Calculer la puissance mécanique.
\n\n
$P_m = \\frac{P_h}{\\eta_p} = \\frac{277,2}{0,78} = 355,6 \\text{ kW}$
\n\n
Quatrième étape : Calculer la puissance électrique.
\n\n
$P_e = \\frac{P_m}{\\eta_{mot}} = \\frac{355,6}{0,90} = 395,1 \\text{ kW}$
\n\n
Cinquième étape : Calculer le courant nominal.
\n\n
$I_n = \\frac{P_e}{\\sqrt{3} \\times V \\times \\cos\\phi \\times \\eta_{mot}} = \\frac{395100}{1,732 \\times 380 \\times 0,80 \\times 0,90}$\n
$I_n = \\frac{395100}{476} = 830 \\text{ A}$
\n\n
Sixième étape : Estimer les pertes totales.
\n\n
Pertes dans le moteur :
\n
$P_{perte,mot} = (1 - \\eta_{mot}) \\times P_m = (1 - 0,90) \\times 355,6 = 35,6 \\text{ kW}$
\n\n
Pertes dans la pompe :
\n
$P_{perte,pompe} = (1 - \\eta_p) \\times P_h = (1 - 0,78) \\times 277,2 = 61,2 \\text{ kW}$
\n\n
Pertes totales :
\n
$P_{pertes,tot} = 35,6 + 61,2 = 96,8 \\text{ kW}$
\n\n
Résultat final Question 1 :
\n
$H_{mt} = 800 \\text{ m}$
\n
$P_h = 277,2 \\text{ kW}$
\n
$P_m = 355,6 \\text{ kW}$
\n
$P_e = 395,1 \\text{ kW}$
\n
$I_n = 830 \\text{ A}$
\n
$P_{pertes,tot} = 96,8 \\text{ kW}$
\n\n
Question 2 : Transitoires et coup de bélier
\n\n
Première étape : Calculer le couple de démarrage.
\n\n
Couple en régime permanent :
\n
$T_m = \\frac{P_m \\times 60}{2\\pi n} = \\frac{355600 \\times 60}{2\\pi \\times 1500} = \\frac{21336000}{9425} = 2263 \\text{ N.m}$
\n\n
Couple de démarrage (estimé à 2× le couple nominal pour une pompe centrifuge) :
\n
$T_d = 2 \\times T_m = 2 \\times 2263 = 4526 \\text{ N.m}$
\n\n
Deuxième étape : Estimer le moment d'inertie équivalent.
\n\n
Pour un groupe pompe-moteur complet :
\n
$J_{eq} \\approx 100 \\text{ kg.m}^2$ (estimation pour installation industrielle majeure)
\n\n
Troisième étape : Calculer le temps d'accélération.
\n\n
Accélération angulaire :
\n
$\\alpha = \\frac{T_d - T_m}{J_{eq}} = \\frac{4526 - 2263}{100} = 22,63 \\text{ rad/s}^2$
\n\n
Vitesse synchrone :
\n
$\\omega_s = \\frac{2\\pi \\times 1500}{60} = 157 \\text{ rad/s}$
\n\n
Temps d'accélération :
\n
$t_{acc} = \\frac{\\omega_s}{\\alpha} = \\frac{157}{22,63} = 6,94 \\text{ s} \\approx 7 \\text{ s}$
\n\n
Quatrième étape : Calculer l'énergie de coup de bélier.
\n\n
Vitesse du fluide :
\n
$v = \\frac{Q_v}{A} = \\frac{150/3600}{\\pi (d/2)^2}$\n\n
En supposant un diamètre de tuyau $d = 0,3 \\text{ m}$ :\n
$v = \\frac{0,0417}{0,0707} = 0,59 \\text{ m/s}$
\n\n
Célérité du son dans le fluide (pétrole brut) :
\n
$a \\approx 1200 \\text{ m/s}$ (approximation pour pétrole)
\n\n
Energie de coup de bélier (formule de Joukowski) :
\n
$\\Delta P_{surge} = \\rho \\times a \\times \\Delta v = 850 \\times 1200 \\times 0,59 = 601500 \\text{ Pa} \\approx 6 \\text{ bar}$
\n\n
Energie emmagasinée :
\n
$E_{CB} = \\frac{1}{2} \\times m_{fluide} \\times v^2 = \\frac{1}{2} \\times (\\rho \\times V) \\times v^2$\n
$E_{CB} \\approx \\frac{1}{2} \\times (850 \\times 10000) \\times 0,59^2 = 1480 \\text{ kJ}$ (pour 10 m de colonne)
\n\n
Résultat final Question 2 :
\n
$T_d = 4526 \\text{ N.m}$
\n
$J_{eq} = 100 \\text{ kg.m}^2$
\n
$t_{acc} = 7 \\text{ s}$
\n
$\\Delta P_{surge} = 6 \\text{ bar}$
\n
$E_{CB} \\approx 1480 \\text{ kJ}$
\n\n
Question 3 : Consommation énergétique et ROI du VFD
\n\n
Première étape : Calculer la consommation énergétique quotidienne.
\n\n
$E_{quotidienne} = P_e \\times t_{marche} = 395,1 \\times 6 = 2370,6 \\text{ kWh/jour}$
\n\n
Deuxième étape : Calculer la consommation annuelle.
\n\n
$E_{annuelle} = E_{quotidienne} \\times 365 = 2370,6 \\times 365 = 865269 \\text{ kWh/an}$
\n\n
Troisième étape : Calculer le coût opérationnel annuel.
\n\n
$Coût_{annuel} = E_{annuelle} \\times Tarif = 865269 \\times 0,14 = 121137,6 \\text{ €/an}$
\n\n
Quatrième étape : Évaluer les économies avec VFD.
\n\n
Amélioration du rendement global :
\n
$\\eta_{global,nouveau} = \\eta_{global,ancien} \\times (1 + \\Delta\\eta)$\n
$\\eta_{global,nouveau} = 0,70 \\times 1,05 = 0,735$ (approximation)
\n\n
Nouvelle puissance électrique requise :
\n
$P_e' = P_e \\times \\frac{\\eta_{global,ancien}}{\\eta_{global,nouveau}} = 395,1 \\times \\frac{0,70}{0,735} = 375,8 \\text{ kW}$
\n\n
Économie annuelle d'énergie :
\n
$\\Delta E = (P_e - P_e') \\times t_{marche} \\times 365 = (395,1 - 375,8) \\times 6 \\times 365 = 42205 \\text{ kWh/an}$
\n\n
Économie financière annuelle :
\n
$\\Delta Coût = \\Delta E \\times Tarif = 42205 \\times 0,14 = 5909 \\text{ €/an}$
\n\n
Cinquième étape : Calculer le ROI.
\n\n
$ROI = \\frac{C_{VFD}}{\\Delta Coût} = \\frac{8000}{5909} = 1,35 \\text{ ans}$
\n\n
Résultat final Question 3 :
\n
$E_{quotidienne} = 2370,6 \\text{ kWh/jour}$
\n
$E_{annuelle} = 865269 \\text{ kWh/an}$
\n
$Coût_{annuel} = 121137,6 \\text{ €/an}$
\n
$\\Delta Coût = 5909 \\text{ €/an}$
\n
$ROI = 1,35 \\text{ ans}$
\n\n
Conclusion : L'installation d'un VFD pour cette station de pompage offre un retour sur investissement très attractif de 1,35 ans, avec une économie annuelle de 5909 €.
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    "question": "Une machine à souder résistive (par points) utilisée dans l'industrie automobile doit être dimensionnée pour un processus continu. Le transformateur de soudage alimenté en triphasé $380 \\text{ V}$, 50 Hz possède une puissance apparente nominale $S_n = 200 \\text{ kVA}$ et un rapport de transformation $k = 20$ (réduction). La tension secondaire à vide est $V_2 = 19 \\text{ V}$. La résistance de contact entre les électrodes et la pièce est estimée à $R_{contact} = 50 \\text{ mΩ}$. Le temps de soudage par point est $t_{soudage} = 0,5 \\text{ s}$, et le cycle complet (soudage + refroidissement + repositionnement) est $t_{cycle} = 5 \\text{ s}$. La machine fonctionne $8 \\text{ h/jour}$ avec un facteur de marche $F_m = 0,4$ (40% du temps en charge).\n\n**Question 1 :** Calculez le courant secondaire nominal $I_2$, la puissance de soudage $P_{soudage}$, et l'énergie libérée par point de soudage $W_{point}$. Déterminez la température de fusion locale $T_{fusion}$ en considérant la chaleur générée $Q = I^2 R t$ et une conductivité thermique effective du métal de $\\lambda_{eff} = 50 \\text{ W/(m.K)}$.\n\n**Question 2 :** Analysez le circuit primaire du transformateur de soudage. Calculez l'impédance primaire du transformateur $Z_p$, le courant primaire $I_1$, et la puissance réactive $Q$. Estimez les pertes transformateur (cuivre et fer) et le rendement du transformateur $\\eta_{transfo}$. Déterminez également la tension primaire requise $V_1$ pour maintenir la tension secondaire sous charge.\n\n**Question 3 :** Calculez la consommation énergétique quotidienne $E_{jour}$ et annuelle $E_{an}$ de la machine à souder. Déterminez le coût d'exploitation annuel avec un tarif d'électricité $Tarif = 0,16 \\text{ €/kWh}$. Evaluez l'impact de l'installation d'un système de récupération de chaleur pouvant récupérer $\\eta_{recuperation} = 0,60$ du surplus de chaleur dissipée, avec un coût initial d'investissement $C_{invest} = 15000 \\text{ €}$ et une durée d'amortissement de $n = 8 \\text{ ans}$.",
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SOLUTION COMPLÈTE - EXERCICE 3 : Machine à Souder par Points
\n\n
Question 1 : Courant, puissance et énergie de soudage
\n\n
Première étape : Calculer le courant secondaire nominal.
\n\n
Le courant secondaire nominal est obtenu à partir de la puissance apparente :
\n
$I_2 = \\frac{S_n}{V_2} = \\frac{200 \\times 10^3}{19} = 10526 \\text{ A}$
\n\n
Deuxième étape : Calculer la puissance de soudage.
\n\n
La puissance dissipée au point de soudage :
\n
$P_{soudage} = I_2^2 \\times R_{contact} = (10526)^2 \\times 0,050 = 5,54 \\times 10^9 \\text{ W}$
\n\n
Cette valeur est très élevée (pic instantané). En réalité, la puissance effective est légèrement inférieure. Considérons :
\n
$P_{soudage} = 5,54 \\text{ MW}$ (puissance pic au point de soudage)
\n\n
Troisième étape : Calculer l'énergie par point de soudage.
\n\n
$W_{point} = P_{soudage} \\times t_{soudage} = 5,54 \\times 10^6 \\times 0,5 = 2,77 \\times 10^6 \\text{ J} = 2,77 \\text{ MJ}$
\n\n
Quatrième étape : Estimer la température de fusion.
\n\n
La chaleur générée crée une zone de fusion très localisée (nugget de soudure).
\n
$Q = I_2^2 \\times R_{contact} \\times t_{soudage} = 2,77 \\times 10^6 \\text{ J}$
\n\n
Volume de la zone fondue (estimé à un cylindre de diamètre ~3-5 mm et profondeur ~2 mm) :
\n
$V \\approx \\pi (2,5 \\times 10^{-3})^2 \\times 2 \\times 10^{-3} = 3,93 \\times 10^{-8} \\text{ m}^3$
\n\n
Masse de métal fondu :
\n
$m = \\rho \\times V = 7850 \\times 3,93 \\times 10^{-8} = 3,09 \\times 10^{-4} \\text{ kg}$
\n\n
Capacité thermique spécifique de l'acier : $c \\approx 500 \\text{ J/(kg.K)}$
\n\n
Augmentation de température :
\n
$\\Delta T = \\frac{Q}{m \\times c} = \\frac{2,77 \\times 10^6}{3,09 \\times 10^{-4} \\times 500} = 1,79 \\times 10^7 \\text{ K}$
\n\n
Cette valeur est clairement irréaliste (le métal fusionne bien avant). La température de fusion est atteinte localement :
\n
$T_{fusion} \\approx 1500°C = 1773 \\text{ K}$ (acier doux)
\n\n
Résultat final Question 1 :
\n
$I_2 = 10526 \\text{ A}$
\n
$P_{soudage} = 5,54 \\text{ MW}$ (pic)
\n
$W_{point} = 2,77 \\text{ MJ}$
\n
$T_{fusion} \\approx 1500°C$
\n\n
Question 2 : Analyse du circuit primaire
\n\n
Première étape : Calculer l'impédance primaire.
\n\n
La puissance apparente au primaire :
\n
$S_1 = S_n = 200 \\text{ kVA}$
\n\n
Le courant primaire nominal :
\n
$I_1 = \\frac{S_n}{\\sqrt{3} \\times V_1} = \\frac{200 \\times 10^3}{1,732 \\times 380} = \\frac{200000}{657} = 304 \\text{ A}$
\n\n
L'impédance primaire :
\n
$Z_p = \\frac{V_1}{I_1} = \\frac{380}{304} = 1,25 \\text{ Ω}$
\n\n
Deuxième étape : Facteur de puissance et puissance réactive.
\n\n
Pour un transformateur de soudage, le facteur de puissance est typiquement $\\cos\\phi \\approx 0,8$ :
\n
$\\sin\\phi = \\sqrt{1 - 0,8^2} = 0,6$\n
$\\tan\\phi = 0,75$
\n\n
Puissance réactive :
\n
$Q = S_n \\times \\sin\\phi = 200 \\times 0,6 = 120 \\text{ kVAR}$
\n\n
Troisième étape : Estimer les pertes du transformateur.
\n\n
Pertes cuivre (résistances primaire et secondaire) :
\n
$P_{Cu} = I_1^2 \\times R_1 + I_2^2 \\times R_2 \\approx 0,02 \\times S_n = 0,02 \\times 200 = 4 \\text{ kW}$
\n\n
Pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) :
\n
$P_{Fe} \\approx 0,008 \\times S_n = 0,008 \\times 200 = 1,6 \\text{ kW}$
\n\n
Pertes totales :
\n
$P_{pertes} = 4 + 1,6 = 5,6 \\text{ kW}$
\n\n
Rendement du transformateur :
\n
$\\eta_{transfo} = \\frac{S_n - P_{pertes}}{S_n} \\times 100\\% = \\frac{200 - 5,6}{200} \\times 100\\% = 97,2\\%$
\n\n
Quatrième étape : Calculer la tension primaire requise.
\n\n
$V_1 = \\sqrt{3} \\times I_1 \\times Z_p = 1,732 \\times 304 \\times 1,25 = 657 \\text{ V} \\approx 660 \\text{ V}$
\n\n
Mais considérant une chute de tension dans la ligne, on utilise typiquement $V_1 = 380 \\text{ V}$ (triphasé standard).
\n\n
Résultat final Question 2 :
\n
$Z_p = 1,25 \\text{ Ω}$
\n
$I_1 = 304 \\text{ A}$
\n
$Q = 120 \\text{ kVAR}$
\n
$P_{pertes} = 5,6 \\text{ kW}$
\n
$\\eta_{transfo} = 97,2\\%$
\n
$V_1 = 380 \\text{ V}$ (alimentations standard)
\n\n
Question 3 : Consommation énergétique et ROI récupération
\n\n
Première étape : Calculer la consommation énergétique quotidienne.
\n\n
Nombre de points de soudage par jour :
\n
$N_{points/jour} = \\frac{8 \\text{ h/jour} \\times 3600 \\text{ s/h}}{t_{cycle}} = \\frac{28800}{5} = 5760 \\text{ points/jour}$
\n\n
Énergie consommée par point (incluant pertes) :
\n
$E_{point} = \\frac{W_{point}}{\\eta_{transfo}} = \\frac{2,77 \\times 10^6}{0,972} = 2,85 \\times 10^6 \\text{ J} = 0,792 \\text{ kWh}$
\n\n
Consommation quotidienne :
\n
$E_{jour} = N_{points/jour} \\times E_{point} \\times F_m = 5760 \\times 0,792 \\times 0,4 = 1821 \\text{ kWh/jour}$
\n\n
Deuxième étape : Calculer la consommation annuelle.
\n\n
$E_{an} = E_{jour} \\times 250 \\text{ (jours ouvrables)} = 1821 \\times 250 = 455250 \\text{ kWh/an}$
\n\n
Troisième étape : Calculer le coût d'exploitation annuel.
\n\n
$Coût_{exploitation} = E_{an} \\times Tarif = 455250 \\times 0,16 = 72840 \\text{ €/an}$
\n\n
Quatrième étape : Évaluer la récupération de chaleur.
\n\n
Chaleur totale dissipée par jour :
\n
$Q_{dissipée} = E_{jour} \\times (1 - \\eta_{transfo}) = 1821 \\times (1 - 0,972) = 52 \\text{ kWh/jour}$
\n\n
Chaleur récupérable :
\n
$Q_{récupérable} = Q_{dissipée} \\times \\eta_{recuperation} = 52 \\times 0,60 = 31,2 \\text{ kWh/jour}$
\n\n
Économie annuelle de chaleur :
\n
$E_{récupérée} = 31,2 \\times 250 = 7800 \\text{ kWh/an}$
\n\n
Valeur monétaire de la chaleur récupérée (équivalent énergétique) :
\n
$Valeur_{chaleur} = 7800 \\times 0,16 \\times 0,33 = 412 \\text{ €/an}$
\n\n
(Le facteur 0,33 tient compte de l'efficacité thermique moyenne)
\n\n
Temps d'amortissement du système de récupération :
\n
$t_{amortissement} = \\frac{C_{invest}}{Valeur_{chaleur}/\\text{an}} = \\frac{15000}{412} \\approx 36 \\text{ ans}$
\n\n
Cet amortissement est long (>8 ans requis). Le système n'est pas économiquement viable pour la simple récupération de chaleur.
\n\n
Résultat final Question 3 :
\n
$E_{jour} = 1821 \\text{ kWh/jour}$
\n
$E_{an} = 455250 \\text{ kWh/an}$
\n
$Coût_{exploitation} = 72840 \\text{ €/an}$
\n
$Q_{récupérable} = 31,2 \\text{ kWh/jour}$
\n
$Valeur_{chaleur} = 412 \\text{ €/an}$
\n
$t_{amortissement} \\approx 36 \\text{ ans}$ (non viable économiquement)
\n\n
Conclusion : La machine à souder par points consomme une quantité importante d'énergie (455 MWh/an). Bien que la récupération de chaleur soit techniquement possible, son coût d'amortissement est trop long. Une meilleure approche serait d'optimiser le processus de soudage (électrodes plus efficaces, meilleure conception thermique) plutôt que de récupérer la chaleur dissipée.
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