[
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 – Induction électromagnétique et loi de Faraday\n\nUne bobine plane de N=200 spires et de surface A=20 cm² est placée dans un champ magnétique uniforme B(t)=0.05 t T (variation linéaire, t en s).\n1. Énoncer la loi de Faraday-Lenz et l’expression de la fem induite. \n2. Calculer le flux magnétique Φ(t) à travers la bobine. \n3. Déterminer la fem e(t)=−N dΦ/dt. \n4. Évaluer e numérique pour t=2 s. \n5. Discuter le signe de e(t) et son sens physique.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. $$e=-N\\frac{dΦ}{dt},\\ Φ=\\int\\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{S}$$.
2. $$Φ(t)=B(t) A=0.05\\,t\\times0.0002=1.0\\times10^{-5}t\\,\\mathrm{Wb}$$.
3. $$e=-200\\times1.0\\times10^{-5}= -2.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$ (constante).
4. Pour t=2 s, e=−2.0 mV.
5. Signe négatif conforme à Lenz : fem s’oppose à la variation du flux.
",
"id_category": "1",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 4 – Force de Laplace sur un conducteur droit\n\nUn conducteur rectiligne de longueur ℓ=0.3 m porte un courant I=4 A et se trouve dans un champ uniforme B=0.2 T perpendiculaire au fil.\n1. Définir la force de Laplace et sa loi vectorielle. \n2. Écrire la formule pour F en fonction de I, ℓ et B. \n3. Calculer la norme F. \n4. Déterminer la direction et le sens de F par produit vectoriel. \n5. Vérifier le travail mécanique effectué quand le fil se déplace de 0.5 m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. $$\\mathbf{F}=I\\,\\mathbf{ℓ}\\times\\mathbf{B}$$.
2. Norme $$F=IℓB\\sin90°$$.
3. $$F=4×0.3×0.2=0.24\\,\\mathrm{N}$$.
4. Direction perpendiculaire à ℓ et B, sens donné par la règle de la main droite.
5. Travail $$W=F×d=0.24×0.5=0.12\\,\\mathrm{J}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 6 – Induction mutuelle et énergie magnétique\n\nDeux bobines coaxiales très longues, de N1=500 et N2=300 spires, couplées parfaitement sur une longueur ℓ=0.5 m, reçoivent un courant I1=2 A variable, I2=const=1 A.\n1. Définir l’inductance mutuelle M et son lien avec le flux mutuel. \n2. Exprimer les équations d’induction mutuelle e1=−M dI2/dt, e2=−M dI1/dt. \n3. Calculer M via géométrie et perméabilité μ0. \n4. Déterminer l’énergie magnétique stockée W=½L1I1²+½L2I2²+M I1I2. \n5. Vérifier l’interchangeabilité du flux mutuel entre bobines.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. $$M=\\frac{Φ_{21}}{I_1}=\\frac{Φ_{12}}{I_2}$$ flux mutuel par spire.
2. $$e_1=-M\\frac{dI_2}{dt},\\ e_2=-M\\frac{dI_1}{dt}$$.
3. $$M=μ_{0}N_1N_2 A/ℓ=4π×10^{-7}×500×300×(π0.01)/0.5≈1.88×10^{-3}H$$.
4. $$W=½L_1I_1^2+½L_2I_2^2+MI_1I_2$$ calculé numériquement.
5. Flux mutuel réciproque confirme $$M_{12}=M_{21}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Une plaque rectangulaire de largeur $$a=10\\,\\mathrm{cm}$$ et longueur $$b=20\\,\\mathrm{cm}$$ est chargée uniformément avec une densité de surface $$\\sigma=5\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^2}$$. \n1. Définir le champ \\(\\mathbf{E}\\) créé par une distribution de charge surfacique. \n2. Calculer \\(E\\) au voisinage de la plaque (approximation <>). \n3. Écrire l’expression de la densité volumique de charge équivalente \\(\\rho\\) pour cette plaque. \n4. Utiliser l’équation de Maxwell–Gauss pour vérifier le résultat de \\(E\\). \n5. Commenter la distribution du champ en présence d’un écran conducteur proche.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 :
– Pour une distribution surfacique, $$E=\\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0}$$ perpendiculairement à la surface.
Question 2 :
1. Remplacement : $$\\sigma=5\\times10^{-6},\\ \\varepsilon_0=8.85\\times10^{-12}$$
2. Calcul : $$E=\\frac{5\\times10^{-6}}{2\\times8.85\\times10^{-12}}=2.82\\times10^5\\,\\mathrm{V/m}$$
Question 3 :
– Volume équivalent (épaisseur infinitésimale) : $$\\rho=\\sigma\\delta(z)\\,.$$
Question 4 :
– Maxwell–Gauss : $$\\nabla\\cdot\\mathbf{E}=\\rho/\\varepsilon_0$$, intégration sur un pillage → $$E\\,A=\\sigma A/\\varepsilon_0$$ → même valeur.
Question 5 :
– Un écran conducteur polarise charges opposées et annule le champ en son intérieur, concentrant le champ entre plaque et écran.
",
"id_category": "1",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Un conducteur de forme rectiligne de longueur $$L=0.5\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à vitesse constante $$v=2\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à un champ magnétique uniforme $$B=0.1\\,\\mathrm{T}$$. \n1. Définir la force de Laplace et la force électromotrice motrice. \n2. Calculer la f.é.m. induite $$e$$ entre les extrémités du conducteur. \n3. Si le conducteur est connecté à une résistance $$R=10\\,\\mathrm{\\Omega}\\), déterminer le courant induit $$I$$. \n4. Calculer la force mécanique nécessaire pour maintenir la vitesse constante. \n5. Vérifier le bilan énergétique entre travail mécanique et puissance électrique générée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 :
– Force de Laplace : $$\\mathbf{F}=q\\mathbf{v}\\times\\mathbf{B}$$, f.é.m. motrice : $$e=\\int(\\mathbf{v}\\times\\mathbf{B})\\cdot d\\mathbf{l}$$.
Question 2 :
– $$e=B L v=0.1\\times0.5\\times2=0.1\\,\\mathrm{V}$$
Question 3 :
– $$I=e/R=0.1/10=0.01\\,\\mathrm{A}$$
Question 4 :
– Force : $$F=I L B=0.01\\times0.5\\times0.1=5\\times10^{-4}\\,\\mathrm{N}$$
Question 5 :
– Puissance mécanique : $$P_m=F v=5\\times10^{-4}\\times2=10^{-3}\\,\\mathrm{W}$$, puissance électrique : $$P_e=eI=0.1\\times0.01=10^{-3}\\,\\mathrm{W}$$ ; bilan vérifié.
",
"id_category": "1",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Un solénoïde infini de longueur $$l=0.5\\,\\mathrm{m}$$, de rayon $$R=2\\,\\mathrm{cm}$$ et de densité linéique de spires $$n=1000\\,\\mathrm{tours/m}$$ est parcouru par un courant $$I=2\\,\\mathrm{A}$$. \n1. Définir le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde infini. \n2. Calculer la valeur de $$B$$ à l’intérieur. \n3. Déterminer l’énergie magnétique stockée par unité de volume. \n4. Calculer l’inductance $$L$$ du solénoïde. \n5. Vérifier la relation entre énergie stockée et énergie inductive \\(W=\\tfrac12 L I^2\\).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 :
– Pour un solénoïde infini, $$B=\\mu_0 n I$$ à l’intérieur, nul à l’extérieur.
Question 2 :
– $$B=4\\pi\\times10^{-7}\\times1000\\times2=2.51\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$
Question 3 :
– Densité d’énergie : $$w=\\frac{B^2}{2\\mu_0}=\\frac{(2.51\\times10^{-3})^2}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}}=2.51\\,\\mathrm{J/m^3}$$
Question 4 :
– Inductance : $$L=\\mu_0 n^2 A l=4\\pi\\times10^{-7}\\times1000^2\\times(\\pi0.02^2)\\times0.5=0.79\\,\\mathrm{H}$$
Question 5 :
– Énergie inductive : $$W=\\tfrac12LI^2=0.5\\times0.79\\times2^2=1.58\\,\\mathrm{J}$$, volume : $$V=Al=\\pi0.02^2\\times0.5=6.28\\times10^{-4}\\,\\mathrm{m^3}$$ → $$wV=2.51\\times6.28\\times10^{-4}=1.58\\,\\mathrm{J}$$ ; égalité confirmée.
",
"id_category": "1",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 1 :\nOn considère une spire circulaire de rayon $$R=0.10\\,\\mathrm{m}$$ parcourue par un courant $$I=5.0\\,\\mathrm{A}$$ dans le plan xy, centrée en O. Une tige conductrice de longueur $$L=0.20\\,\\mathrm{m}$$ porte le même courant et est placée perpendiculairement à un champ magnétique uniforme. La même spire est ensuite placée au centre d’un solénoïde infini de densité $$n=1000\\,\\mathrm{spires/m}$$ parcouru par un courant variable.\n1. Définissez la loi de Biot–Savart.\n2. Calculez le champ magnétique $$B$$ sur l’axe z à $$z=0.05\\,\\mathrm{m}$$.\n3. Déterminez la force de Laplace exercée sur la tige dans $$B=0.010\\,\\mathrm{T}$$.\n4. Vérifiez la loi d’Ampère et calculez $$B_{sol}$$ dans le solénoïde pour $$I=5.0\\,\\mathrm{A}$$.\n5. Pour la spire de Q2 placée au centre du solénoïde, calculez le flux $$Φ$$ et l’électromotrice induite si $$I$$ passe de $$5.0\\,\\mathrm{A}$$ à $$0$$ en $$0.10\\,\\mathrm{s}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Loi de Biot–Savart : pour un élément de courant $$I\\,d\\boldsymbol{\\ell}$$, $$d\\mathbf{B} = \tfrac{\\mu_0}{4\\pi} \tfrac{I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\mathbf{\\hat r}}{r^2}$$.
Q2.
1. Formule générale : $$B(z)=\\frac{\\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$
2. Remplacement : $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\,I=5.0,\\,R=0.10,\\,z=0.05$$
3. Calcul : $$B=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times5.0\\times0.01}{2(0.0125)^{3/2}}=2.25\\times10^{-5}$$
4. Résultat : $$B=2.25\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
Q3.
1. Formule : $$F=I\\,L\\,B\\sin90^\\circ$$
2. Remplacement : $$I=5.0,\\,L=0.20,\\,B=0.010$$
3. Calcul : $$F=5.0\\times0.20\\times0.010=0.010$$
4. Résultat : $$F=0.010\\,\\mathrm{N}$$.
Q4.
1. Loi d’Ampère : $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=\\mu_0 n I$$ ⇒ $$B_{sol}=\\mu_0 n I$$
2. Remplacement : $$=4\\pi\\times10^{-7}\\times1000\\times5.0$$
3. Calcul : $$=6.28\\times10^{-3}$$
4. Résultat : $$B_{sol}=6.28\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$.
Q5.
1. Flux : $$Φ=B_{sol}\\,\\pi R^2=6.28\\times10^{-3}\\times\\pi\\times0.01=1.97\\times10^{-4}\\,\\mathrm{Wb}$$
2. FEM : $$e=-\\frac{ΔΦ}{Δt}=\\frac{1.97\\times10^{-4}}{0.10}=1.97\\times10^{-3}$$
3. Résultat : $$e=1.97\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 2 :\nLes équations de Maxwell dans le vide s’appliquent à un champ électromagnétique variable. On étudie une surface circulaire de rayon $$a=0.05\\,\\mathrm{m}$$ posée perpendiculairement à un champ magnétique $$\\mathbf{B}(t)=B_0 t\\,\\mathbf{\\hat z}$$ avec $$B_0=1.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T/s}$$.\n1. Énoncez la loi de Gauss pour le magnétisme.\n2. Vérifiez que $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B}=0$$ pour $$\\mathbf{B}(t)$$.\n3. Calculez l’électromotrice induite dans un contour circulaire de rayon $$a$$.\n4. Déterminez le champ électrique circulant $$E(\\rho)$$ à distance $$\\rho\\le a$$.\n5. Calculez le vecteur de Poynting $$\\mathbf{S}=\\frac{1}{\\mu_0}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$ en un point du plan de la surface à $$\\rho=a/2$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Loi de Gauss magnétique : $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{S}=0$$ (pas de monopôles) .
Q2.
1. $$\\nabla\\cdot (B_0 t\\,\\hat z)=\\partial_z(B_0 t)=0$$ (t indépendant de z).
2. Vérification : $$=0$$.
Q3.
1. FEM : $$e=-\\frac{dΦ}{dt},\\ Φ=B(t)\\,\\pi a^2$$
2. Remplacement : $$Φ=B_0 t\\,\\pi(0.05)^2$$
3. $$e=-\\frac{d}{dt}(B_0 t\\,\\pi a^2)=-B_0\\pi a^2=-1.00\\times10^{-3}\\pi(0.05)^2$$
4. Résultat : $$e=-7.85\\times10^{-6}\\,\\mathrm{V}$$.
Q4.
1. Loi de Faraday : $$\\oint E\\,dl=-\\frac{dΦ}{dt}$$ ⇒ $$E(ρ)\\,2πρ=B_0\\pi a^2$$
2. $$E(ρ)=\\frac{B_0 a^2}{2ρ}$$ pour $$ρ\\le a$$
3. Résultat.
Q5.
1. À $$ρ=a/2$$, $$E=\\frac{1.00\\times10^{-3}\\times0.05^2}{2\\times0.025}=1.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V/m}$$
2. $$\\mathbf{S}=\\frac{1}{\\mu_0}E B\\,\\hat{\\phi}=\\frac{1}{4π\\times10^{-7}}\\times1.00\\times10^{-3}\\times(B_0 t)\\,\\hat{\\phi}$$ ; à $$t=1\\,\\mathrm{s}$$, $$S=0.80\\,\\mathrm{W/m^2}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 :\nOn charge un condensateur plan circulaire de rayon $$R=0.10\\,\\mathrm{m}$$ avec une densité de charge $$σ(t)=σ_0\\cos(ωt)$$, $$σ_0=1.00\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^2}$$, $$ω=1000\\,\\mathrm{rad/s}$$. Un toroïde de spires reçoit le champ électrique variable.\n1. Énoncez la loi d’Ampère–Maxwell.\n2. Calculez le déplacement de courant $$I_d$$ entre les armatures.\n3. Déterminez le champ magnétique $$B(ρ)$$ dans l’entrefer $$ρ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Loi d’Ampère–Maxwell : $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=\\mu_0 I_{enc}+\\mu_0\\epsilon_0\\frac{d}{dt}Φ_E$$.
Q2.
1. Déplacement : $$I_d=\\epsilon_0\\frac{dΦ_E}{dt},\\ Φ_E=σ(t)\\pi R^2/ε_0$$
2. $$I_d=\\frac{d}{dt}(σ_0\\cosωt\\pi R^2)= -σ_0ω\\pi R^2\\sinωt$$
3. Résultat.
Q3.
1. Pour $$ρ2. $$B(ρ)=\\frac{μ_0 σ_0 ω ρ}{2}\\sinωt$$.
Q4.
1. Onde EM : $$\\nabla^2\\mathbf{E}-\\mu_0\\epsilon_0\\frac{∂^2\\mathbf{E}}{∂t^2}=0$$.
Q5.
1. $$Z_0=\\sqrt{\\frac{μ_0}{\\epsilon_0}}=\\sqrt{\\frac{4π×10^{-7}}{8.85×10^{-12}}}=376.7\\,\\mathrm{Ω}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 4 :\nUne barre conductrice de longueur $$l=0.50\\,\\mathrm{m}$$ glisse sans frottement sur des rails parallèles écartés de $$l$$, dans un champ magnétique uniforme $$B=0.20\\,\\mathrm{T}$$. Elle est reliée à une résistance $$R=10.0\\,\\mathrm{Ω}$$.\n1. Énoncez la loi de Lenz.\n2. Calculez la force électromotrice $$e$$ lorsque la barre se déplace à $$v=2.00\\,\\mathrm{m/s}$$.\n3. Déterminez le courant $$I$$ dans le circuit.\n4. Calculez la force de Laplace s’opposant au mouvement.\n5. Calculez la puissance mécanique fournie pour maintenir $$v$$ constant.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Loi de Lenz : la FEM induite s’oppose à la cause qui la produit (flux).
Q2.
1. Formule : $$e=B l v$$
2. Remplacement : $$=0.20\\times0.50\\times2.00$$
3. Calcul : $$=0.20$$
4. Résultat : $$e=0.20\\,\\mathrm{V}$$.
Q3.
1. $$I=\\frac{e}{R}=\\frac{0.20}{10.0}=0.020\\,\\mathrm{A}$$.
Q4.
1. $$F=I l B=0.020\\times0.50\\times0.20=0.0020\\,\\mathrm{N}$$.
Q5.
1. $$P=F v=0.0020\\times2.00=0.0040\\,\\mathrm{W}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 5 :\nDeux fils parallèles infinis, séparés de $$d=0.10\\,\\mathrm{m}$$, portent des courants opposés de $$I=5.00\\,\\mathrm{A}$$.\n1. Énoncez la force par unité de longueur entre deux fils infinis.\n2. Calculez le champ magnétique créé par l’un au niveau de l’autre.\n3. Déterminez la force par unité de longueur exercée.\n4. Calculez l’énergie magnétique par unité de longueur dans le milieu entre les fils.\n5. Déterminez l’inductance par unité de longueur du système.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Force/unité de longueur : $$f=\\frac{\\mu_0 I_1 I_2}{2\\pi d}$$.
Q2.
1. $$B=\\frac{\\mu_0 I}{2\\pi d}=\\frac{4\\pi×10^{-7}×5.00}{2\\pi×0.10}=1.00×10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
Q3.
1. $$f=\\frac{4\\pi×10^{-7}×5.00^2}{2\\pi×0.10}=5.00×10^{-5}\\,\\mathrm{N/m}$$.
Q4.
1. Énergie/unité de longueur : $$u=\\frac{1}{2\\mu_0}B^2×d=\\frac{1}{2×4\\pi×10^{-7}}(1.00×10^{-5})^2×0.10=1.25×10^{-4}\\,\\mathrm{J/m}$$.
Q5.
1. $$L'=\\frac{2\\mu_0}{\\pi}\\ln\\frac{d}{a}$$ (pour fil de rayon a) – approximé par $$L'≈μ_0/π≈1.27×10^{-7}\\,\\mathrm{H/m}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 6 :\nUn dipôle magnétique formé par une spire de moment magnétique $$\\mathbf{m}=I\\,A\\,\\mathbf{\\hat z}$$ est plongé dans un champ uniforme $$\\mathbf{B}=B_0\\mathbf{\\hat x}$$.\n1. Définissez le moment magnétique d’un circuit filiforme.\n2. Calculez le couple $$\\boldsymbol{\\tau}=\\mathbf{m}\\times\\mathbf{B}$$.\n3. Déterminez l’énergie potentielle $$U=-\\mathbf{m}\\cdot\\mathbf{B}$$.\n4. Calculez le champ sur l’axe d’un dipôle à distance $$z=0.10\\,\\mathrm{m}$$ pour $$m=0.50\\,\\mathrm{A\\cdot m^2}$$.\n5. Déterminez la force sur le dipôle si $$\\mathbf{B}=B_0(1+αz)\\mathbf{\\hat z}$$ avec $$α=10\\,\\mathrm{m^{-1}}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Moment magnétique : $$\\mathbf{m}=I\\,A\\,\\mathbf{\\hat n}$$ pour surface A, courant I.
Q2.
1. $$\\tau=m B_0\\sin90^\\circ=I A B_0$$
2. Remplacement : $$=I A B_0$$ (vecteur perpendiculaire).
3. Résultat.
Q3.
1. $$U=-m B_0\\cos90^\\circ=0$$.
Q4.
1. Champ dipôle : $$B_z=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}\\frac{2m}{z^3}$$
2. Remplacement : $$=\\frac{4\\pi×10^{-7}}{4\\pi}\\frac{2×0.50}{(0.10)^3}=1.0×10^{-2}\\,\\mathrm{T}$$.
3. Résultat.
Q5.
1. Force : $$F_z=m\\frac{dB_z}{dz}=m B_0 α$$
2. Remplacement : $$=0.50×B_0×10$$
3. Résultat : $$5 B_0\\,\\mathrm{N}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 7 :\nLe potentiel vecteur magnétique $$\\mathbf{A}$$ est défini par $$\\nabla\\times\\mathbf{A}=\\mathbf{B}$$. On considère un fil infini parcouru par $$I=5.0\\,\\mathrm{A}$$.\n1. Définissez le potentiel vecteur magnétique et son lien avec $$\\mathbf{B}$$.\n2. Calculez $$\\mathbf{A}(ρ)$$ en coordonnées cylindriques pour le fil.\n3. Vérifiez que $$\\nabla\\times\\mathbf{A}$$ redonne $$\\mathbf{B}$$.\n4. Exprimez le champ électrique $$\\mathbf{E}=-\\partial_t\\mathbf{A}$$ pour $$I(t)=I_0\\cos(ωt)$$.\n5. Déterminez la force de Laplace sur une charge en mouvement $$q$$ dans les champs $$\\mathbf{E}$$ et $$\\mathbf{B}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1.
Potentiel vecteur : $$\\nabla\\times\\mathbf{A}=\\mathbf{B}$$, gauge de Coulomb ou Lorenz.
Q2.
1. $$A_\\phi(\\rho)=\\frac{\\mu_0 I}{2\\pi}\\ln\\frac{ρ}{ρ_0}$$ en cylindre.
Q3.
1. Calcul du rotationnel en cylindre redonne $$B_z=μ_0I/(2πρ)$$.
Q4.
1. $$I(t)=I_0\\cosωt⇒A(t)=A_\\phi\\cosωt$$
2. $$E_\\phi=-\\partial_tA_\\phi=-A_\\phi ω\\sinωt$$.
Q5.
1. Force de Lorentz : $$\\mathbf{F}=q(\\mathbf{E}+\\mathbf{v}\\times\\mathbf{B})$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On considère un fil infini rectiligne parcouru par un courant $$I_{1}=10.0\\,\\mathrm{A}$$ et, à distance $$d=5.00\\,\\mathrm{cm}$$, une boucle carrée de côté $$a=10.0\\,\\mathrm{cm}$$ parcourue par un courant $$I_{2}=5.00\\,\\mathrm{A}$$. Les deux conducteurs sont contenus dans le même plan perpendiculaire à l’axe du fil. On note $$\\Phi$$ le flux magnétique à travers la boucle dû au champ du fil, et $$F$$ la force de Laplace exercée sur le côté de la boucle le plus proche du fil. Répondre aux questions :\n1. Définir la loi de Biot–Savart pour un élément de courant.\n2. Exprimer et calculer le champ magnétique $$B(r)$$ créé par le fil à la distance $$r$$.\n3. Déterminer le flux magnétique $$\\Phi=\\int B\\,dS$$ à travers la boucle.\n4. Calculer la force de Laplace sur le côté de longueur $$a$$ situé à distance $$d$$ du fil.\n5. Vérifier l’énergie mécanique associée à cette force pour un déplacement infinitésimal par rapport à l’énergie magnétique libérée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 – Conceptuelle :
La loi de Biot–Savart pour un élément de courant $$d\\vec{l}$$ parcouru par $$I$$ s'écrit $$d\\vec{B}=\\frac{\\mu_{0}}{4\\pi}\\frac{I\\,d\\vec{l}\\times\\hat{r}}{r^{2}}$$, avec $$\\hat{r}$$ vecteur unitaire du courant vers le point d'observation.
Question 2 – Champ magnétique :
1. Formule générale dans $$B(r)=\\frac{\\mu_{0}I_{1}}{2\\pi r}$$.
2. Remplacement dans $$B(0.050)=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\,\\mathrm{H\\cdot m^{-1}}\\times10.0\\,\\mathrm{A}}{2\\pi\\times0.050\\,\\mathrm{m}}$$.
3. Calcul dans $$B=4.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
4. Résultat final $$B=4.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
Question 3 – Flux magnétique :
1. Formule $$\\Phi=a\\int_{d}^{d+a}B(r)\\,dr$$.
2. Remplacement dans $$\\Phi=0.10\\,\\mathrm{m}\\times\\frac{\\mu_{0}I_{1}}{2\\pi}\\int_{0.050}^{0.150}\\frac{dr}{r}$$.
3. Calcul dans $$\\Phi=0.10\\times\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times10}{2\\pi}\\ln3=2.20\\times10^{-7}\\,\\mathrm{Wb}$$.
4. Résultat final $$\\Phi=2.20\\times10^{-7}\\,\\mathrm{Wb}$$.
Question 4 – Force de Laplace :
1. Formule $$F=I_{2}aB(d)$$.
2. Remplacement dans $$F=5.00\\,\\mathrm{A}\\times0.10\\,\\mathrm{m}\\times4.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
3. Calcul dans $$F=2.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{N}$$.
4. Résultat final $$F=2.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{N}$$.
Question 5 – Énergie mécanique :
1. Travail infinitésimal $$dW=F\\,dl$$.
2. Diminution d'énergie magnétique $$dW_{m}=-I_{1}d\\Phi$$.
3. Vérification numérique de l'égalité, confirmant la conservation de l'énergie.
",
"id_category": "1",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On charge un condensateur plan à armatures parallèles de surface $$S=100\\,\\mathrm{cm^{2}}$$ et d’écartement $$d=1.00\\,\\mathrm{cm}$$ par un courant constant $$I=10.0\\,\\mathrm{A}$$. On néglige les bords. On note $$E(t)$$ le champ électrique, $$I_{d}$$ le courant de déplacement, et $$B(r)$$ le champ magnétique entre les plaques.\n1. Énoncer l’équation d’Ampère–Maxwell et expliquer le terme de courant de déplacement.\n2. Déduire l’expression de $$E(t)$$ entre les plaques.\n3. Calculer le courant de déplacement $$I_{d}$$ traversant la section du condensateur.\n4. Appliquer l’équation d’Ampère–Maxwell pour déterminer $$B(r)$$ entre les plaques.\n5. Déterminer l’énergie électromagnétique stockée $$W_{e}$$ dans le condensateur à l’instant $$t$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 – Conceptuelle :
L’équation d’Ampère–Maxwell dans le vide s’écrit $$\\oint\\vec{B}\\cdot d\\vec{l}=\\mu_{0}(I+I_{d})$$, où $$I_{d}=\\epsilon_{0}\\frac{d\\Phi_{E}}{dt}$$ est le courant de déplacement dû à la variation du flux électrique.
Question 2 – Champ électrique :
1. Formule $$I=\\epsilon_{0}S\\frac{dE}{dt}$$.
2. Remplacement dans $$10.0=8.85\\times10^{-12}\\times100\\times10^{-4}\\frac{dE}{dt}$$.
3. Calcul dans $$\\frac{dE}{dt}=1.13\\times10^{15}\\,\\mathrm{V\\cdot m^{-1}\\cdot s^{-1}}$$.
4. Intégration $$E(t)=1.13\\times10^{15}t\\,\\mathrm{V\\cdot m^{-1}}$$.
Question 3 – Courant de déplacement :
1. $$I_{d}=\\epsilon_{0}S\\frac{dE}{dt}$$.
2. Remplacement dans $$=8.85\\times10^{-12}\\times100\\times10^{-4}\\times1.13\\times10^{15}$$.
3. Calcul dans $$I_{d}=10.0\\,\\mathrm{A}$$.
4. Résultat final $$I_{d}=10.0\\,\\mathrm{A}$$.
Question 4 – Champ magnétique :
1. Pour un cercle de rayon $$r$$, $$\\oint B(r)2\\pi r=\\mu_{0}I_{d}$$.
2. $$B(r)=\\frac{\\mu_{0}I_{d}}{2\\pi r}$$.
Question 5 – Énergie stockée :
1. $$W_{e}=\\tfrac12CV^{2}$$ avec $$C=\\epsilon_{0}S/d$$ et $$V=E(t)d$$.
2. Remplacement donne $$W_{e}=\\tfrac12\\frac{\\epsilon_{0}S}{d}(E(t)d)^{2}=\\tfrac12\\epsilon_{0}S dE(t)^{2}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On fait tourner une boucle rectangulaire de longueur $$l=0.10\\,\\mathrm{m}$$ et largeur $$w=0.05\\,\\mathrm{m}$$ à vitesse angulaire $$\\omega=100.0\\,\\mathrm{rad\\cdot s^{-1}}$$ dans un champ magnétique uniforme $$B=0.500\\,\\mathrm{T}$$. La boucle est reliée à une résistance $$R=10.0\\,\\mathrm{\\Omega}$$.\n1. Définir la loi de Faraday–Lenz pour la f.e.m. induite.\n2. Exprimer et calculer l’amplitude de la f.e.m. $$\\varepsilon_{\\max}$$.\n3. Déterminer le courant instantané $$i(t)$$ dans la résistance.\n4. Calculer la puissance électrique moyenne absorbée par $$R$$.\n5. En déduire le couple mécanique moyen $$\\tau$$ requis pour maintenir la rotation.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 – Conceptuelle :
La loi de Faraday–Lenz énonce $$\\varepsilon=-\\frac{d\\Phi}{dt}$$, le signe moins indiquant que la f.e.m. s’oppose au changement de flux.
Question 2 – Amplitude de f.e.m. :
1. Formule $$\\varepsilon_{\\max}=B\\,l\\,w\\,\\omega$$.
2. Remplacement dans $$=0.500\\times0.10\\times0.05\\times100.0$$.
3. Calcul dans $$=0.25\\,\\mathrm{V}$$.
4. Résultat final $$\\varepsilon_{\\max}=0.25\\,\\mathrm{V}$$.
Question 3 – Courant instantané :
1. $$i(t)=\\frac{\\varepsilon_{\\max}\\sin(\\omega t)}{R}$$.
2. Remplacement dans $$=\\frac{0.25\\sin(100t)}{10.0}=0.025\\sin(100t)\\,\\mathrm{A}$$.
Question 4 – Puissance moyenne :
1. $$P_{moy}=\\tfrac12\\frac{\\varepsilon_{\\max}^{2}}{R}$$.
2. Remplacement dans $$=0.5\\times\\frac{0.25^{2}}{10.0}$$.
3. Calcul dans $$=3.13\\times10^{-3}\\,\\mathrm{W}$$.
4. Résultat final $$P_{moy}=3.13\\times10^{-3}\\,\\mathrm{W}$$.
Question 5 – Couple mécanique :
1. $$P_{moy}=\\tau\\omega$$.
2. $$\\tau=\\frac{P_{moy}}{\\omega}=\\frac{3.13\\times10^{-3}}{100.0}=3.13\\times10^{-5}\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$.
3. Résultat final $$\\tau=3.13\\times10^{-5}\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On considère deux bobines coaxiales de longueur $$l=0.20\\,\\mathrm{m}$$, d’aires $$S_{1}=100\\,\\mathrm{cm^{2}}$$ et $$S_{2}=50\\,\\mathrm{cm^{2}}$$ et de spires $$N_{1}=200$$ et $$N_{2}=100$$, en couplage parfait dans un noyau de perméabilité $$\\mu=1000\\mu_{0}$$. On note $$M$$ l’inductance mutuelle et $$\\varepsilon_{2}$$ la f.e.m. induite dans la bobine 2 lorsque $$i_{1}(t)$$ varie.\n1. Définir l’inductance mutuelle et le flux mutuel.\n2. Exprimer et calculer $$M$$.\n3. Pour $$i_{1}(t)=I_{0}\\sin(\\omega t)$$ avec $$I_{0}=1.00\\,\\mathrm{A}$$ et $$\\omega=1000\\,\\mathrm{rad\\cdot s^{-1}}$$, déterminer $$\\varepsilon_{2}(t)$$.\n4. Calculer l’énergie magnétique stockée $$W=\\tfrac12 M I_{0}^{2}$$.\n5. Estimer la force d’attraction entre les bobines pour un déplacement infinitésimal coaxial.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 – Conceptuelle :
L’inductance mutuelle $$M$$ relie le flux mutuel $$\\Phi_{21}$$ au courant $$i_{1}$$ par $$\\Phi_{21}=M i_{1}$$.
Question 2 – Calcul de $$M$$ :
1. Formule $$M=\\mu N_{1}N_{2}S_{1}/l$$.
2. Remplacement dans $$M=1000\\times4\\pi\\times10^{-7}\\times200\\times100\\times100\\times10^{-4}/0.20$$.
3. Calcul dans $$M=1.26\\times10^{-2}\\,\\mathrm{H}$$.
4. Résultat final $$M=1.26\\times10^{-2}\\,\\mathrm{H}$$.
Question 3 – f.e.m. induite :
1. $$\\varepsilon_{2}=-M\\frac{di_{1}}{dt}$$.
2. Remplacement $$=-1.26\\times10^{-2}\\times1000\\cos(1000t)$$.
3. Résultat final $$\\varepsilon_{2}(t)=-12.6\\cos(1000t)\\,\\mathrm{V}$$.
Question 4 – Énergie stockée :
1. $$W=\\tfrac12 M I_{0}^{2}$$.
2. Remplacement $$=0.5\\times1.26\\times10^{-2}\\times1.00^{2}=6.30\\times10^{-3}\\,\\mathrm{J}$$.
3. Résultat final $$W=6.30\\times10^{-3}\\,\\mathrm{J}$$.
Question 5 – Force d’attraction :
1. $$dW=F\\,dx$$, donc $$F=\\frac{dW}{dx}\\approx\\frac{W}{\\delta x}$$ pour petit $$\\delta x$$.
2. Pour $$\\delta x=1.00\\,\\mathrm{mm}$$, $$F=6.30\\times10^{-3}/10^{-3}=6.30\\,\\mathrm{N}$$.
3. Résultat final $$F=6.30\\,\\mathrm{N}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On étudie un circuit magnétique en anneau de fer de section $$S=4.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{m^{2}}$$, de longueur $$l=0.500\\,\\mathrm{m}$$ et de perméabilité relative $$\\mu_{r}=2000$$, parcouru par un bobinage de $$N=500$$ spires sous un courant $$I=1.00\\,\\mathrm{A}$$ et comportant un entrefer d’épaisseur $$e=1.00\\,\\mathrm{mm}$$. On note $$\\mathcal{R}$$ la réluctance, $$\\Phi$$ le flux, $$W_{m}$$ l’énergie stockée et $$F$$ la force de fermeture de l’entrefer.\n1. Définir la réluctance magnétique.\n2. Calculer la réluctance totale $$\\mathcal{R}$$ du circuit.\n3. Déterminer le flux $$\\Phi=\\tfrac{NI}{\\mathcal{R}}$$.\n4. Calculer l’énergie magnétique $$W_{m}=\\tfrac12NI\\Phi$$.\n5. Exprimer et calculer la force $$F=\\tfrac{dW_{m}}{de}$$ de fermeture de l’entrefer.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 – Conceptuelle :
La réluctance magnétique $$\\mathcal{R}=\\tfrac{l}{\\mu_{0}\\mu_{r}S}$$ est l’analogue de la résistance électrique.
Question 2 – Réluctance totale :
1. $$\\mathcal{R}_{fer}=\\tfrac{l-e}{\\mu_{0}\\mu_{r}S},\\quad \\mathcal{R}_{gap}=\\tfrac{e}{\\mu_{0}S}$$.
2. Remplacement dans $$=\\tfrac{0.499}{4\\pi\\times10^{-7}\\times2000\\times4.00\\times10^{-4}}+\\tfrac{0.001}{4\\pi\\times10^{-7}\\times4.00\\times10^{-4}}$$.
3. Calcul dans $$\\mathcal{R}=2.49\\times10^{6}\\,\\mathrm{H^{-1}}$$.
Question 3 – Flux magnétique :
1. $$\\Phi=\\tfrac{NI}{\\mathcal{R}}$$.
2. Remplacement dans $$\\tfrac{500\\times1.00}{2.49\\times10^{6}}$$.
3. Résultat final $$\\Phi=2.01\\times10^{-4}\\,\\mathrm{Wb}$$.
Question 4 – Énergie magnétique :
1. $$W_{m}=\\tfrac12NI\\Phi$$.
2. Remplacement dans $$=0.5\\times500\\times1.00\\times2.01\\times10^{-4}$$.
3. Résultat final $$W_{m}=0.0503\\,\\mathrm{J}$$.
Question 5 – Force de fermeture :
1. $$F=\\tfrac{dW_{m}}{de}=\\tfrac{(NI)^{2}}{2\\mu_{0}S\\mathcal{R}^{2}}$$.
2. Remplacement numérique dans $$=0.502\\,\\mathrm{N}$$.
3. Résultat final $$F=0.502\\,\\mathrm{N}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On considère une spire circulaire de rayon $$R=5.0\\,\\mathrm{cm}$$ parcourue par un courant $$I=2.0\\,\\mathrm{A}$$ et plongée dans un champ magnétique uniforme $$\\mathbf{B}=0.10\\,\\mathrm{T}$$ perpendiculaire au plan de la spire. On se propose d’étudier : 1. Donnez la définition de la force de Laplace sur un élément de courant. 2. Calculez le moment de force exercé sur la spire. 3. Déterminez l’énergie potentielle magnétique de la spire dans ce champ. 4. En déduisez la force de rappel pour un petit angle de rotation. 5. Calculez la fréquence des petites oscillations autour de l’équilibre.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 – Force de Laplace :
1. Formule générale : $$d\\mathbf{F}=I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\mathbf{B}\\,$$
2. Remplacement : formule sans données numériques
3. Calcul : intégration sur la spire (symétrie)
4. Résultat final : $$\\mathbf{F}_\\text{Laplace}=0\\,\\text{(force résultante nulle sur une spire plane)}$$
Question 2 – Moment de force :$\\tau$ :
1. Formule : $$\\tau=IAB\\sin\\theta$$ avec $$A=\\pi R^2$$
2. Remplacement : $$A=\\pi(0.05)^2$$
3. Calcul : $$\\tau=2.0\\times\\pi(0.05)^2\\times0.10=1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$
4. Résultat : $$\\tau=1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$
Question 3 – Énergie potentielle :$U$ :
1. Formule : $$U=-IAB\\cos\\theta$$
2. Remplacement au repos (\\theta=0) :
3. Calcul : $$U=-2.0\\times\\pi(0.05)^2\\times0.10=-1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{J}$$
4. Résultat : $$U=-1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{J}$$
Question 4 – Force de rappel :$F_r$ :
1. Pour petit angle, $$\\tau\\approx-IAB\\theta$$ donc $$F_r=\\frac{\\tau}{R}=\\frac{I A B}{R}\\theta$$
2. Remplacement : $$=\\frac{1.57\\times10^{-3}}{0.05}\\theta=0.0314\\theta\\,\\mathrm{N}$$
3. Calcul : formule en fonction de \\theta
4. Résultat : $$F_r=0.0314\\theta\\,\\mathrm{N}$$
Question 5 – Fréquence des petites oscillations :$f$ :
1. $$\\omega_0=\\sqrt{\\frac{\\tau/\\theta}{I_m}}\\text{, avec }I_m=\\frac12 m R^2$$
2. Supposons masse négligeable ou inertie donnée
3. Calcul symbolique
4. Résultat : \\(f=\\omega_0/(2\\pi)\\) (valeur numérique dépend de l’inertie)
",
"id_category": "1",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On considère un condensateur plan à armatures parallèles de surface $$S=100\\,\\mathrm{cm^2}$$ et d’écartement $$d=1.0\\,\\mathrm{mm}$$ alimenté par un courant alternatif $$I(t)=5.0\\cos(1000t)\\,\\mathrm{mA}$$. On se propose d’étudier : 1. Énoncez l’équation de Maxwell–Ampère modifiée par le terme de déplacement. 2. Calculez la capacitance $$C$$ du condensateur. 3. Déterminez le courant de déplacement $$I_d(t)$$ entre les armatures. 4. Calculez le champ magnétique $$B(r,t)$$ à mi-distance entre les armatures. 5. Comparez ce champ à celui d’un fil infini portant le même courant efficace.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 – Maxwell–Ampère modifiée :
1. Formule : $$\\nabla\\times\\mathbf{B}=\\mu_0\\mathbf{J}+\\mu_0\\varepsilon_0\\frac{\\partial\\mathbf{E}}{\\partial t}\\,$$
2. Interprétation : terme de déplacement $$\\mu_0\\varepsilon_0\\partial\\mathbf{E}/\\partial t$$
3. –
4. –
5. –
Question 2 – Capacitance :$C$ :
1. Formule : $$C=\\varepsilon_0\\frac{S}{d}$$
2. Remplacement : $$S=100\\times10^{-4},\\ d=1.0\\times10^{-3}$$
3. Calcul : $$C=8.85\\times10^{-12}\\times\\frac{1.0\\times10^{-2}}{1.0\\times10^{-3}}=8.85\\times10^{-11}\\,\\mathrm{F}$$
4. Résultat : $$C=88.5\\,\\mathrm{pF}$$
Question 3 – Courant de déplacement :$I_d$ :
1. $$I_d=\\varepsilon_0 S\\frac{dE}{dt}=C\\frac{dV}{dt}$$
2. $$V(t)=\\tfrac{1}{C}\\int I(t)dt$$
3. Calcul : $$I_d(t)=I(t)$$ donc $$I_d(t)=5.0\\cos(1000t)\\,\\mathrm{mA}$$
4. –
Question 4 – Champ magnétique :$B(r,t)$ :
1. Pour r2. Remplacement r=d/2=0.5\\,mm
3. Calcul symbolique
4. Résultat : $$B\\propto\\frac{5.0}{r}\\,\\mathrm{mT}$$
Question 5 – Comparaison :
1. Même expression que pour fil infini, donc identique pour r2. Conclusion : champ identique en valeur et distribution.
",
"id_category": "1",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Un fil conducteur infini droit parcourt un courant constant $$I=10.0\\,\\mathrm{A}$$. On se propose d’étudier : 1. Énoncez la loi de Biot–Savart pour un élément de courant. 2. Calculez le champ magnétique $$B$$ à distance $$r=5.0\\,\\mathrm{cm}$$ du fil. 3. Vérifiez la loi d’Ampère en calculant la circulation de $$\\mathbf{B}$$ autour d’un cercle de rayon $$r$$. 4. Déterminez la densité de courant $$J$$ si le fil a un rayon $$a=1.0\\,\\mathrm{cm}$$ et porte uniformément $$I$$. 5. Calculez l’inductance par unité de longueur du fil entre $$a$$ et $$b=1.5\\,\\mathrm{cm}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 – Biot–Savart :
1. Formule : $$d\\mathbf{B}=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}I\\frac{d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\hat{\\mathbf{r}}}{r^2}$$
2. –
3. –
4. –
Question 2 – Champ à distance r :
1. Formule Ampère simplifiée : $$B=\\frac{\\mu_0I}{2\\pi r}$$
2. Remplacement : $$r=0.05\\,\\mathrm{m}$$
3. Calcul : $$B=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times10}{2\\pi\\times0.05}=4.0\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat : $$B=40\\,\\mathrm{\\mu T}$$
Question 3 – Circulation :
1. $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=B(2\\pi r)$$
2. Remplacement : $$=4.0\\times10^{-5}\\times2\\pi\\times0.05=4.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T\\cdot m}$$
3. Résultat cohérent avec $$\\mu_0I$$
Question 4 – Densité de courant :$J$ :
1. $$J=\\frac{I}{\\pi a^2}$$
2. Remplacement : $$a=0.01$$
3. Calcul : $$J=\\frac{10}{\\pi(0.01)^2}=3.18\\times10^4\\,\\mathrm{A/m^2}$$
4. Résultat : $$J=3.18\\times10^4\\,\\mathrm{A/m^2}$$
Question 5 – Inductance par longueur :$L' :$
1. $$L'=\\frac{\\mu_0}{2\\pi}\\ln\\frac{b}{a}$$
2. Remplacement : $$a=0.01,\\ b=0.015$$
3. Calcul : $$L'=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}}{2\\pi}\\ln1.5=2\\times10^{-7}\\times0.405=8.1\\times10^{-8}\\,\\mathrm{H/m}$$
4. Résultat : $$L'=8.1\\times10^{-8}\\,\\mathrm{H/m}$$
",
"id_category": "1",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On fait glisser une barre métallique de longueur $$l=0.50\\,\\mathrm{m}$$ à vitesse constante $$v=2.0\\,\\mathrm{m/s}$$ dans un champ magnétique uniforme $$B=0.20\\,\\mathrm{T}$$ perpendiculaire au plan de déplacement. Le circuit formé par la barre, deux rails et une résistance vaut $$R=10.0\\,\\mathrm{\\Omega}$$. On se propose d’étudier : 1. Énoncez la loi de Maxwell–Faraday sous forme intégrale. 2. Calculez la force électromotrice induite $$e$$. 3. Déterminez le courant $$I$$ dans le circuit. 4. Calculez la force de Laplace $$F_L$$ nécessaire pour maintenir la vitesse. 5. Calculez la puissance mécanique fournie par cette force.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 – Maxwell–Faraday intégral :
1. Formule : $$\\oint_{\\mathcal{C}}\\mathbf{E}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=-\\frac{d}{dt}\\iint_{\\mathcal{S}}\\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{S}$$
2. –
3. –
4. –
5. –
Question 2 – Force électromotrice ($$e$$) :
1. Formule : $$e=B\\,l\\,v$$
2. Remplacement : $$=0.20\\times0.50\\times2.0$$
3. Calcul : $$e=0.20\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat : $$e=0.20\\,\\mathrm{V}$$
Question 3 – Courant ($$I$$) :
1. $$I=\\frac{e}{R}$$
2. Remplacement : $$=0.20/10.0$$
3. Calcul : $$I=0.020\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat : $$I=20\\,\\mathrm{mA}$$
Question 4 – Force de Laplace :$F_L$ :
1. $$F_L=I\\,l\\,B$$
2. Remplacement : $$=0.020\\times0.50\\times0.20$$
3. Calcul : $$F_L=0.002\\,\\mathrm{N}$$
4. Résultat : $$F_L=2.0\\,\\mathrm{mN}$$
Question 5 – Puissance mécanique :
1. $$P=F_L\\,v$$
2. Remplacement : $$=0.002\\times2.0$$
3. Calcul : $$P=0.004\\,\\mathrm{W}$$
4. Résultat : $$P=4.0\\,\\mathrm{mW}$$
",
"id_category": "1",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Une spire carrée de côté $$a=10.0\\,\\mathrm{cm}$$ porte un courant $$I=3.0\\,\\mathrm{A}$$ et est plongée dans un champ magnétique non uniforme $$B(x)=B_0\\bigl(1+\\tfrac{x}{L}\\bigr)$$ avec $$B_0=0.05\\,\\mathrm{T}$$ et $$L=1.0\\,\\mathrm{m}$$. On se propose d’étudier : 1. Définissez le dipôle magnétique et son moment. 2. Calculez le moment magnétique $$m$$ de la spire. 3. Déterminez la force résultante $$F_x$$ sur la spire. 4. Calculez l’énergie potentielle magnétique $$U(x)$$. 5. Calculez le moment de force $$M_z$$ si la spire est inclinée d’un angle $$\\theta$$ dans le plan de la spire.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 – Dipôle magnétique :
1. Définition : moment magnétique $$\\mathbf{m}=I\\mathbf{A}$$
2. –
3. –
4. –
Question 2 – Moment magnétique :$m$ :
1. Formule : $$m=I\\,a^2$$
2. Remplacement : $$=3.0\\times(0.10)^2$$
3. Calcul : $$m=0.030\\,\\mathrm{A\\cdot m^2}$$
4. Résultat : $$m=0.030\\,\\mathrm{A\\cdot m^2}$$
Question 3 – Force résultante :$F_x$ :
1. $$F_x=\\frac{dm}{dx}B_0\\,,$$ dérivé de $$mB(x)$$
2. $$dm/dx=0$$ donc $$F_x=m\\frac{dB}{dx}=m\\frac{B_0}{L}$$
3. Remplacement : $$=0.030\\times0.05/1.0$$
4. Calcul : $$F_x=1.50\\times10^{-3}\\,\\mathrm{N}$$
5. Résultat : $$F_x=1.5\\,\\mathrm{mN}$$
Question 4 – Énergie potentielle :$U(x)$ :
1. $$U=-mB(x)$$
2. Remplacement : $$=-0.030\\times0.05\\bigl(1+\\tfrac{x}{1.0}\\bigr)$$
3. Calcul général
4. Résultat : $$U(x)=-1.5\\times10^{-3}(1+x)\\,\\mathrm{J}$$
Question 5 – Moment de force :$M_z$ :
1. $$M_z=mB\\sin\\theta$$
2. Remplacement
3. Calcul symbolique
4. Résultat : $$M_z=0.030\\times0.05\\sin\\theta=1.5\\times10^{-3}\\sin\\theta\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$
",
"id_category": "1",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Deux solénoïdes coaxiaux de longueur $$l=0.50\\,\\mathrm{m}$$ et de rayon $$R=2.0\\,\\mathrm{cm}$$ comportent respectivement $$N_1=500$$ et $$N_2=300$$ spires. Seul le premier est alimenté par un courant $$I_1=2.0\\,\\mathrm{A}$$. On se propose d’étudier : 1. Définissez l’inductance propre et mutuelle. 2. Calculez l’inductance $$L_1$$ du solénoïde 1. 3. Déterminez le flux magnétique mutuel $$\\Phi_{21}$$ traversant le solénoïde 2. 4. Calculez l’inductance mutuelle $$M$$. 5. Calculez l’énergie magnétique totale du système.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 – Inductances :
1. Propre : $$L=\\frac{\\mu_0 N^2 S}{l}$$ ; mutuelle : $$M=\\frac{\\mu_0 N_1N_2S}{l}$$
2. –
3. –
4. –
Question 2 – Inductance propre $$L_1$$ :
1. Formule : $$L_1=\\mu_0\\frac{N_1^2\\pi R^2}{l}$$
2. Remplacement : $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ N_1=500,\\ R=0.02,\\ l=0.50$$
3. Calcul : $$L_1=4\\pi\\times10^{-7}\\times\\frac{500^2\\pi(0.02)^2}{0.50}=0.198\\,\\mathrm{H}$$
4. Résultat : $$L_1=198\\,\\mathrm{mH}$$
Question 3 – Flux mutuel $$\\Phi_{21}$$ :
1. $$\\Phi_{21}=M I_1$$
2. –
3. Calcul : $$M=\\mu_0\\frac{500\\times300\\pi(0.02)^2}{0.50}=0.119\\,\\mathrm{H}$$ puis $$\\Phi_{21}=0.119\\times2.0=0.238\\,\\mathrm{Wb}$$
4. Résultat : $$\\Phi_{21}=0.238\\,\\mathrm{Wb}$$
Question 4 – Inductance mutuelle $$M$$ :
1. Déjà calculé : $$M=0.119\\,\\mathrm{H}$$
2. –
3. –
4. Résultat : $$M=119\\,\\mathrm{mH}$$
Question 5 – Énergie magnétique :$W$ :
1. $$W=\\tfrac12 L_1I_1^2+M I_1I_2+\\tfrac12 L_2I_2^2$$, ici $$I_2=0$$
2. Simplifié : $$W=\\tfrac12L_1I_1^2=0.5\\times0.198\\times2.0^2=0.396\\,\\mathrm{J}$$
3. Calcul
4. Résultat : $$W=0.396\\,\\mathrm{J}$$
",
"id_category": "1",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 1 : Champ magnétique d’un fil infini et loi d’Ampère\nOn considère un fil infini parcouru par un courant constant $$I=10\\,\\mathrm{A}$$.\n1. Conceptuel : décrivez la loi de Biot–Savart et son lien avec le champ magnétique autour d’un fil.\n2. Calculez le champ magnétique $$B(r)$$ à $$r=5.0\\,\\mathrm{cm}$$ du fil.\n3. Déterminez la circulation $$\\oint\\vec B\\cdot d\\vec l$$ sur un cercle de rayon $$r$$ centré sur le fil.\n4. Vérifiez la loi d’Ampère en comparant la circulation à $$μ_{0}I_{enc}$$.\n5. Calculez la force par unité de longueur entre deux fils parallèles distants de 10\\,cm parcourus par des courants opposés de 10\\,A chacun.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1 : La loi de Biot–Savart donne $$d\\vec B=\\frac{μ_{0}}{4π}\\frac{I d\\vec l×\\hat r}{r^{2}}$$, appliquée aux courants élémentaires autour du fil infini.
Q2 : 1. Formule générale dans $$B(r)=\\frac{μ_{0}I}{2π r}$$
2. Remplacement dans $$=\\frac{4π×10^{-7}×10}{2π×0.05}$$
3. Calcul dans $$=4.0×10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$$$B(0.05)=4.0×10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
Q3 : 1. $$\\oint\\vec B\\cdot d\\vec l=B(r)2πr$$
2. Remplacement dans $$=4.0×10^{-5}×2π×0.05$$
3. Calcul dans $$=4.0×10^{-5}×0.314=1.26×10^{-5}\\,\\mathrm{T·m}$$$$1.26×10^{-5}\\,\\mathrm{T·m}$$.
Q4 : 1. $$μ_{0}I_{enc}=4π×10^{-7}×10=1.26×10^{-5}\\,\\mathrm{T·m}$$
2. Les deux expressions coïncident, validant Ampère.
Q5 : 1. Formule $$f/L=\\frac{μ_{0}I^{2}}{2π d}$$
2. Remplacement dans $$=\\frac{4π×10^{-7}×10^{2}}{2π×0.10}$$
3. Calcul dans $$=2.0×10^{-5}\\,\\mathrm{N/m}$$$$f/L=2.0×10^{-5}\\,\\mathrm{N/m}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 2 : Loi de Maxwell–Ampère et courant de déplacement\nUn condensateur plan à armatures circulaires de rayon $$R=5.0\\,\\mathrm{cm}$$ et d’écartement $$d=2.0\\,\\mathrm{mm}$$ est traversé par un courant sinusoïdal $$I(t)=I_{0}\\cos(\\omega t)$$ de $$I_{0}=2.0\\,\\mathrm{A}$$, $$\\omega=1000\\,\\mathrm{rad/s}$$.\n1. Conceptuel : énoncez la forme étendue de la loi d’Ampère–Maxwell.\n2. Calculez la densité de courant de déplacement $$J_{d}(t)$$ entre les plaques.\n3. Déterminez le champ magnétique $$B(r,t)$$ circulant autour de l’axe à $$r\n Plaques \n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1 : Loi étendue : $$\\oint\\vec B\\cdot d\\vec l=μ_{0}I_{conduction}+μ_{0}ε_{0}\\frac{dΦ_{E}}{dt}$$.
Q2 : 1. $$J_{d}=ε_{0}\\frac{dE}{dt}=ε_{0}\\frac{1}{S}I_{0}(-\\sin\\omega t)ω$$
2. $$=ε_{0}ωI_{0}\\sin(ωt)/πR^{2}$$
3. Résultat : $$J_{d}(t)=8.85×10^{-12}×1000×2.0/(π×0.05^{2})\\sin(1000t)$$.
Q3 : 1. AmpèreMaxwell local : $$B(r,t)2πr=μ_{0}I_{d}(t)πr^{2}$$
2. $$B(r,t)=\\frac{μ_{0}ε_{0}ωI_{0}r}{2R^{2}}\\sin(ωt)$$.
Q4 : $$Φ_{B}=\\int_{0}^{R}B(r,t)2πrdr=μ_{0}ε_{0}ωI_{0}R/4\\sin(ωt)$$.
Q5 : Circulation=μ0Id+μ0ε0dΦE/dt, égal au calcul direct, vérifié.
",
"id_category": "1",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 : Induction et forces de Laplace\nUne boucle rectangulaire de dimensions $$a=0.10\\,\\mathrm{m}$$, $$b=0.20\\,\\mathrm{m}$$, située dans un champ magnétique uniforme $$B=0.50\\,\\mathrm{T}$$, tourne à la vitesse angulaire $$ω=100\\,\\mathrm{rad/s}$$ autour d’un axe parallèle à b et passant par son centre.\n1. Conceptuel : énoncez la loi de Faraday pour l’induction et la force de Laplace.\n2. Calculez la f.e.m. induite maximale $$E_{0}$$.\n3. Déterminez l’expression temporelle $$e(t)$$.\n4. Calculez la force magnétique sur un côté de longueur $$b$$ à l’instant de f.e.m. maximale si la boucle porte un courant $$I=2.0\\,\\mathrm{A}$$.\n5. Vérifiez le travail mécanique nécessaire pour maintenir la rotation à vitesse constante.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1 : Faraday : $$e=-\\frac{dΦ}{dt}$$ ; Laplace : $$d\\vec F=I d\\vec l×\\vec B$$.
Q2 : 1. $$Φ=Ba b\\cos(ωt)$$, $$E_{0}=ω B a b$$
2. Remplacement $$=100×0.5×0.10×0.20=1.0\\,\\mathrm{V}$$
3. Résultat : $$e(t)=1.0\\sin(100t)\\,\\mathrm{V}$$.
Q4 : 1. À E₀, cos(ωt)=0 → ωt=π/2, boucle plane, courant I. Force sur côté b : $$F=I b B$$
2. $$=2.0×0.20×0.50=0.20\\,\\mathrm{N}$$.
Q5 : Travail mécanique par tour = énergie électrique dissipée = ∮e i dt =0 (AC sans charge) ; à vitesse constante, équilibre énergie.
",
"id_category": "1",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 4 : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques\nDans le vide, considérons les équations de Maxwell et une onde plane $$E=E_{0}\\cos(kz-ωt)\\,\\vec e_{x}$$.\n1. Conceptuel : donnez les quatre équations de Maxwell intégrales.\n2. Montrez que $$B=\\frac{1}{c}E_{0}\\cos(kz-ωt)\\,\\vec e_{y}$$ satisfait Maxwell.\n3. Calculez la relation de dispersion $$ω=ck$$ et déduisez $$k$$ pour $$f=100\\,\\mathrm{MHz}$$.\n4. Déterminez l’amplitude du vecteur de Poynting $$S_{0}$$.\n5. Vérifiez la densité d’énergie totale $$u=ε_{0}E_{0}^{2}$$ moyenne.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1 : Maxwell int.: Gauss E, Gauss B, Faraday, Ampère–Maxwell.
Q2 : Substitution dans Faraday et Ampère montre validité pour $$B=E/c\\cos(kz-ωt)\\,\\vec e_{y}$$.
Q3 : $$ω=2πf=6.28×10^{8}\\,\\mathrm{rad/s},\\ k=ω/c=2.09\\,\\mathrm{rad/m}$$.
Q4 : $$S_{0}=\\frac{E_{0}^{2}}{μ_{0}c}$$ ; pour $$E_{0}=100\\,\\mathrm{V/m}$$, $$S_{0}=26.5\\,\\mathrm{W/m^{2}}$$.
Q5 : $$u=ε_{0}E_{0}^{2}=8.85×10^{-12}×10^{4}=8.85×10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^{3}}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 5 : Magnétostatique – champ d’un dipôle magnétique\nUn petit dipôle magnétique équivalent un moment $$m=0.05\\,\\mathrm{A·m^{2}}$$ est placé à l’origine.\n1. Conceptuel : définissez le moment magnétique et la forme du champ d’un dipôle.\n2. Écrivez $$\\vec B(r,θ)$$ en coordonnées sphériques pour un dipôle.\n3. Calculez la valeur de $$B$$ sur l’axe du dipôle à $$r=0.10\\,\\mathrm{m}$$.\n4. Déterminez le flux magnétique traversant une petite surface circulaire de rayon 1 cm perpendiculaire à l’axe.\n5. Vérifiez l’énergie potentielle d’un second dipôle $$m'=0.02\\,\\mathrm{A·m^{2}}$$ aligné à distance 0.1 m.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1 : Moment magnétique $$\\vec m=I A\\vec n$$, champ dipolaire décroissant en \\(1/r^{3}\\).
Q2 : $$B_{r}=\\frac{μ_{0}}{4π}\\frac{2m\\cosθ}{r^{3}},\\ B_{θ}=\\frac{μ_{0}}{4π}\\frac{m\\sinθ}{r^{3}}$$.
Q3 : Axe θ=0 → $$B=μ_{0}2m/(4πr^{3})=10^{-7}×2×0.05/(0.10)^{3}=1.0×10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$.
Q4 : Flux $$Φ= B·πa^{2}=1.0×10^{-3}×π×(0.01)^{2}=3.14×10^{-7}\\,\\mathrm{Wb}$$.
Q5 : Énergie $$W=-m'B= -0.02×1.0×10^{-3}= -2.0×10^{-5}\\,\\mathrm{J}$$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On considère un fil infini parcouru par un courant continu I=5 A. \n1. Définir le champ magnétostatique et citer la loi de Biot–Savart (courte réponse). \n2. Établir l’expression du champ B(r) à la distance r du fil à l’aide de la loi d’Ampère. \n3. Calculer B à r=5 cm. \n4. Déterminer la force de Laplace exercée sur un segment de fil de longueur L=10 cm dans un champ uniforme B=1 mT. \n5. Calculer l’énergie magnétique stockée dans un solénoïde de 100 spires, longueur 20 cm, section 5 cm², parcouru par I=5 A.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " 1. Le champ magnétostatique est un champ B stationnaire créé par des courants ; la loi de Biot–Savart exprime dB=dμ0/4π·I dl∧r/r³.
2. Par la loi d’Ampère en symétrie cylindrique, ∮B·dl=μ0I→B(r)=μ0I/(2πr).
3. À r=0.05 m, B=μ0·5/(2π·0.05)=2·10⁻⁵/(0.314)=6.37·10⁻⁵ T.
4. Force de Laplace F=I L B=5×0.10×1·10⁻³=5·10⁻⁴ N.
5. Solénoïde : L_magn=μ0N²S/l=4π·10⁻⁷·100²·5·10⁻⁴/0.2=3.14·10⁻³ H → É=½L I²=½·3.14·10⁻³·25=0.039 J.
",
"id_category": "1",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On étudie les équations de Maxwell en régime variable. \n1. Énoncer l’équation de Maxwell–Faraday (courte réponse). \n2. Démontrer l’équation de Maxwell–Ampère généralisée avec le courant de déplacement. \n3. Établir l’équation d’onde pour E dans le vide à partir des équations de Maxwell. \n4. Calculer la vitesse de propagation c. \n5. Déterminer le vecteur de Poynting S pour une onde plane E(z,t)=E₀ sin(kz–ωt) x̂.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " 1. Maxwell–Faraday : rot E=–∂B/∂t.
2. Maxwell–Ampère : rot H=J+∂D/∂t, le terme ∂D/∂t est le courant de déplacement.
3. En prenant rot de Faraday et utilisant rot H, on obtient ∇²E–με ∂²E/∂t²=0, l’équation d’onde.
4. c=1/√(με)=1/√(μ0ε0)=3·10⁸ m/s.
5. S=E∧H=E∧(1/μ0 rot E) pour onde plane donne S=(1/μ0)E₀²/(2) x̂ ẑ sin²(...)= E₀²/(2μ0c) ẑ.
",
"id_category": "1",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Une boucle rectangulaire 0.2×0.1 m tourne à ω=100 rad/s dans un champ uniforme B=0.05 T. \n1. Définir la force électromotrice induite ε (courte réponse). \n2. Écrire l’expression du flux Φ(t). \n3. Calculer ε(t). \n4. Déterminer la force de Laplace sur chaque côté mobile si i(t)=ε/R avec R=10 Ω. \n5. Calculer la puissance électrique fournie au circuit.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " 1. ε=–dΦ/dt, variation du flux à travers la boucle.
2. Φ=B A cos(ωt)=0.05×0.02 cos(100t)=0.001 cos(100t) Wb.
3. ε(t)=–dΦ/dt=0.001×100 sin(100t)=0.1 sin(100t) V.
4. i=ε/R=0.01 sin(100t) A; force de Laplace sur côté L=0.2: F= i L B=0.01×0.2×0.05=1×10⁻⁴ sin(100t) N.
5. Puissance électrique P=i ε=0.001 sin²(100t) → moyenne P_moy=0.0005 W.
",
"id_category": "1",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Une bobine de N=200 spires, surface S=0.01 m² et résistance R=10 Ω est soumise à un champ magnétique variable B(t)=B₀ cos(ωt) avec B₀=0.02 T, ω=100 rad/s. \n1. Définir la self-induction et la f.e.m. auto-induite e(t) (courte réponse). \n2. Calculer le flux Φ(t)=N B(t) S. \n3. Déterminer e(t)=–dΦ/dt. \n4. Calculer le courant i(t) dans la bobine. \n5. Déterminer la puissance instantanée p(t)=e(t) i(t) et sa moyenne sur une période.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " 1. La self-induction est la capacité d’une bobine à s’opposer aux variations de flux par une f.e.m. e=–dΦ/dt.
2. Φ(t)=200×0.02×0.01 cos(100t)=0.04 cos(100t) Wb.
3. e(t)=–dΦ/dt=4 sin(100t) V.
4. i(t)=e(t)/R=0.4 sin(100t) A.
5. p(t)=e i=1.6 sin²(100t) W→ P_moy=0.8 W.
",
"id_category": "1",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "1. Définissez le théorème d’Ampère en magnétostatique. 2. Une spire circulaire de rayon R=0.1 m porte un courant I=5 A. Calculez le champ magnétique B(O) au centre. 3. Un solénoïde infini de densité de spires n=1000 spires/m et courant I=2 A crée un champ B=µ0nI ; calculez B. 4. En utilisant la loi de Biot–Savart, montrez que B(x) sur l’axe d’une spire vaut µ0IR2/(2(R2+x2)3/2)). Calculez B à x=0.1 m. 5. Calculez la force de Laplace F sur un segment de longueur l=0.2 m parcouru par I=5 A dans un champ uniforme B=0.01 T perpendiculaire au segment.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. Théorème d’Ampère : \\oint_C B·dl=µ0I_enc, lien entre intensité de courant et champ entourant .
2. Champ au centre d’une spire : B=µ0I/(2R).
Remplacement dans B=4π×10^-7×5/(2×0.1)=3.14×10^-5 T.
3. Champ solénoïde infini : B=µ0nI=4π×10^-7×1000×2=2.51×10^-3 T.
4. Loi de Biot–Savart sur l’axe : B(x)=µ0IR2/(2(R2+x2)3/2)).
Remplacement dans B(0.1)=4π×10^-7×5×0.01/(2(0.01+0.01)3/2)=2.79×10^-5 T.
5. Force de Laplace : F=I l B sin90° =5×0.2×0.01=0.01 N.
",
"id_category": "1",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "1. Écrivez les équations de Maxwell en forme intégrale dans le vide. 2. Déterminez l’équation de continuité de la charge à partir de la forme différentielle de Maxwell–Ampère. 3. Montrez que pour une variation de flux d’un circuit fermé, e=−dΦ/dt (loi de Faraday). 4. Un circuit en boucle carrée de côté a=0.1 m se trouve dans un champ B(t)=0.01 t T perpendiculaire ; calculez e(t). 5. Déterminez la force de Laplace sur un segment de longueur l=0.1 m portant un courant i(t)=0.1 t A dans ce champ variable.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. Maxwell intégral : \\oint E·dl=−dΦ_B/dt ; \\oint B·dl=µ0I +µ0ε0 dΦ_E/dt ; \\oint D·dS=Q_enc ; \\oint H·dS=I_enc.
2. Continuité : ∇·J + ∂ρ/∂t=0 dérivée de ∇×B equation.
3. Loi de Faraday : e=−d/dt ∫_S B·dS.
4. Flux Φ=B(t)a^2 ; e=−a^2 dB/dt =−0.01×0.01=−1×10^-4 V constant.
5. F_L = i l B sin90° =0.1 t ×0.01×0.1=1×10^-4 t N.
",
"id_category": "1",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "1. Définissez l’induction mutuelle et la force de Laplace. 2. Deux circuits couplés ont M=0.1 H ; un courant i1(t)=sin(100 t) A circule dans le premier. Calculez e2(t). 3. Déterminez la puissance échangée P12(t)=i2 e2 pour i2=0.5 sin(100 t) A et e2 de la question précédente. 4. Montrez que la force de Laplace sur un fil de longueur l=0.2 m traversé par i=1 A dans B=0.05 T est F=Bi l. 5. Calculez l’accélération d’un fil de masse m=0.01 kg soumis à cette force.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. Induction mutuelle M couplage, Laplace F=I l×B.
2. e2 = −M di1/dt = −0.1×100 cos(100 t)=−10 cos(100 t) V.
3. P12 = i2 e2 =0.5 sin(100 t)×(−10 cos(100 t))=−5 sin(100 t) cos(100 t) W.
4. F=I l B=1×0.2×0.05=0.01 N.
5. a=F/m=0.01/0.01=1 m/s^2.
",
"id_category": "1",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "1. Expliquez le théorème d’Ampère–Maxwell et le terme de courant de déplacement. 2. Dans un condensateur plan C=10 µF sous tension V(t)=100 sin(1000 t) V, calculez le courant de déplacement id(t). 3. Montrez que id(t)=C dV/dt et calculez l’amplitude I_d. 4. Déterminez la force de Laplace sur un segment de fil de longueur l=0.1 m parcouru par id dans un champ B=0.02 T. 5. Commentez la symétrie entre courant de déplacement et courant de conduction dans la loi de Maxwell–Ampère.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. Théorème : ∇×H=J+∂D/∂t, déplacement pour symétrie courant.
2. id=C dV/dt ; C=10e-6 F, V=100 sin(1000 t) → id=10e-6×1000×100 cos(1000 t)=1e-1 cos(1000 t) A.
3. Amplitude I_d=0.1 A.
4. F=id l B max =0.1×0.1×0.02=0.0002 N.
5. Symétrie : courant de déplacement traite variation de champ électrique comme une source de champ magnétique, analogue au courant de conduction.
",
"id_category": "1",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "1. Définissez la force de Laplace sur un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique uniforme. 2. Un fil long de longueur L=0.5 m parcourt un courant I=2 A perpendiculaire à B=0.1 T : calculez F. 3. Calculez la densité de force fV dans un volume contenant j=10^6 A/m^2 et B=0.2 T. 4. Montrez que fV=j×B. 5. Commentez l’application de la force de Laplace dans un moteur électrique simple.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Réponses détaillées :
1. Force de Laplace : F=I l×B sinθ, s’applique à un conducteur .
2. F=I L B=2×0.5×0.1=0.1 N.
3. Densité volumique fV=j×B=10^6×0.2=2×10^5 N/m^3.
4. Formulation : fV = j×B découle de sommation des F_L élémentaires.
5. Application : couple moteur = ∫r×(j×B)dV génère rotation, principe de base des machines électriques.
",
"id_category": "1",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Un fil infini, rectiligne, porte un courant $$I=10\\,\\mathrm{A}$$. \n1. Définissez brièvement la loi de Biot–Savart en magnétostatique. \n2. Calculez le champ magnétique $$B$$ à la distance $$r=5.0\\,\\mathrm{cm}$$ du fil. \n3. Déterminez la force de Laplace par unité de longueur exercée sur un second fil parallèle portant $$I'=5.0\\,\\mathrm{A}$$ à la même distance. \n4. Écrivez l’expression de la circulation du champ magnétique sur un cercle de rayon $$r$$ (loi d’Ampère) et vérifiez qu’elle est cohérente. \n5. Commentez la direction et le sens du champ magnétique autour du fil.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1. Concept : La loi de Biot–Savart donne $$d\\mathbf{B}=\\frac{\\mu_0}{4\\pi}\\frac{I\\,d\\mathbf{l}\\times\\mathbf{r}}{r^3}$$ en magnétostatique. \nQ2. Champ à distance :
1. $$B=\\frac{\\mu_0 I}{2\\pi r}$$
2. Remplacement $$=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times10}{2\\pi\\times0.05}=4\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$. \n3. $$B=4.0\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$. \nQ3. Force de Laplace par longueur :
1. $$f=\\frac{F}{l}=\\frac{\\mu_0 I I'}{2\\pi r}$$
2. $$=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times10\\times5}{2\\pi\\times0.05}=2\\times10^{-4}\\,\\mathrm{N/m}$$. \nQ4. Circulation :
1. $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{l}=\\mu_0 I\\quad\\Rightarrow B(2\\pi r)=\\mu_0 I$$, cohérent. \nQ5. Commentaire :
1. Le champ est concentrique autour du fil, selon la règle de la main droite (sens circulaire autour du courant).
",
"id_category": "1",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "On considère un solénoïde infini de densité de spires $$n_s=1000\\,\\mathrm{spires/m}$$ traversé par $$I=2.0\\,\\mathrm{A}$$. \n1. Définissez le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde infini. \n2. Calculez $$B$$ à l’intérieur du solénoïde. \n3. Déterminez la variation de flux magnétique $$\\Phi$$ à travers une spire si $$I$$ croît de 0 à 2.0 A. \n4. En déduire la force électromotrice induite $$e$$ dans une spire. \n5. Commentez l’application de la loi de Maxwell–Faraday ici.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1. Concept : À l’intérieur d’un solénoïde infini, $$B=\\mu_0 n_s I$$ uniforme. \nQ2. \n1. $$B=4\\pi\\times10^{-7}\\times1000\\times2.0=2.51\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$. \nQ3. Flux dans une spire :
1. Surface d’une spire $$A=\\pi r^2$$ (r non précisé, symbolique) ; $$\\Phi=B A$$ so variation $$\\Delta\\Phi=\\mu_0 n_s A \\Delta I$$. \nQ4. f.é.m induite :
1. $$e=-\\tfrac{d\\Phi}{dt}=-\\mu_0 n_s A \\tfrac{dI}{dt}$$. \nQ5. Commentaire :
1. La loi de Maxwell–Faraday $$\\nabla\\times \\mathbf{E}=-\\tfrac{\\partial \\mathbf{B}}{\\partial t}$$ se réduit à $$e= - d\\Phi/dt$$ pour une spire.
",
"id_category": "1",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Un circuit magnétique en fer est constitué de deux sections parallèles de longueurs $$l_1=0.1\\,\\mathrm{m}$$ et $$l_2=0.2\\,\\mathrm{m}$$, section $$S=1.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{m^2}$$, perméance $$\\mathcal{P}_1=1.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{H^{-1}}$$, $$\\mathcal{P}_2=5.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{H^{-1}}$$. Bobinage de $$N=200$$ spires porte $$I=1.5\\,\\mathrm{A}$$. \n1. Définissez la perméance magnétique et sa relation avec la reluctance. \n2. Calculez le flux total $$\\Phi$$ dans le circuit. \n3. Déterminez l’induction $$B$$ dans chaque section. \n4. Écrivez l’énergie magnétique totale stockée. \n5. Commentez l’effet du parallélisme des branches sur la répartition du flux.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1. Concept : La perméance $$\\mathcal{P}=\\tfrac{\\mu_0\\mu_r S}{l}$$ est l’inverse de la reluctance $$\\mathcal{R}=1/\\mathcal{P}$$. \nQ2. Flux total :
1. Perméance équivalente $$\\mathcal{P}_{eq}=\\mathcal{P}_1+\\mathcal{P}_2=1.5\\times10^{-3}\\,\\mathrm{H^{-1}}$$
2. $$\\Phi=\\mathcal{P}_{eq}NI =1.5\\times10^{-3}\\times200\\times1.5=0.45\\,\\mathrm{Wb}$$. \nQ3. Induction :
1. $$B_1=\\Phi/S=0.45/1.0\\times10^{-4}=4500\\,\\mathrm{T}$$; même pour section 2 (même flux). \nQ4. Énergie :$$W=\\tfrac12\\mathcal{P}_{eq}(NI)^2=0.5\\times1.5\\times10^{-3}\\times(300)^2=67.5\\,\\mathrm{J}$$. \nQ5. Commentaire :
1. Les branches en parallèle partagent la même tension magnétomotrice, le flux se répartit proportionnellement aux perméances, améliorant le flux total.
",
"id_category": "1",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Un conducteur rectiligne de longueur $$L=0.5\\,\\mathrm{m}$$, de résistance $$R=0.02\\,\\mathrm{\\Omega}$$, se déplace à vitesse $$v=10\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à un champ uniforme $$B=0.1\\,\\mathrm{T}$$. \n1. Définissez l’induction magnétique et ses unités. \n2. Calculez la force de Laplace $$F$$ sur le conducteur. \n3. Déterminez la f.é.m induite $$e=Blv$$. \n4. Calculez le courant induit $$I=e/R$$ et la force de freinage. \n5. Commentez l’énergie électrique générée et sa relation avec l’énergie mécanique dissipée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Q1. Concept : L’induction magnétique B se mesure en teslas (T) et relie F, I, L par F=I L B. \nQ2. Force de Laplace :$$F=I L B$$ mais I inconnu initialement ; on passe à Q3. \nQ3. f.é.m induite :$$e=B L v=0.1\\times0.5\\times10=0.5\\,\\mathrm{V}$$. \nQ4. Courant :$$I=e/R=0.5/0.02=25\\,\\mathrm{A}$$ ; force de freinage $$F=I L B=25\\times0.5\\times0.1=1.25\\,\\mathrm{N}$$. \nQ5. Commentaire :
1. L’énergie électrique convertie $$P=eI=0.5\\times25=12.5\\,\\mathrm{W}$$ égale l’énergie mécanique dissipée $$Fv=1.25\\times10=12.5\\,\\mathrm{W}$$, vérifiant conservation.
",
"id_category": "1",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 1 : Magnétostatique – Champ d’une spire et solénoïde\n\n1. Question conceptuelle : définir le champ magnétique statique et énoncer la loi de Biot–Savart.\n2. Une spire circulaire de rayon $$R=0.10\\,\\mathrm{m}$$ parcourue par $$I=2.0\\,\\mathrm{A}$$ crée sur son axe un champ $$B(x)=\\tfrac{\\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$$. Vérifier cette formule.\n3. Calculer numériquement $$B(0)$$ au centre de la spire.\n4. Un solénoïde infini de densité $$n=1000\\,\\mathrm{spires/m}$$ et courant $$I=2.0\\,\\mathrm{A}$$ produit $$B=\\mu_0nI$$. Calculer $$B$$.\n5. Comparer le flux magnétique à travers la spire (question 3) et le flux à travers un tour de solénoïde de rayon $$R=0.10\\,\\mathrm{m}$$ (question 4) et interpréter.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Le champ magnétique statique est un champ vectoriel créé par des courants ou des aimants et est régi par la loi de Biot–Savart : $$d\\vec B=\\tfrac{\\mu_0}{4\\pi}\\tfrac{I\\,d\\vec\\ell\\times\\hat r}{r^2}$$
Question 2 :
1. Formule générale dans $$B(x)=\\tfrac{\\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$$
2. Remplacement $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ I=2.0,\\ R=0.10$$
3. Pas de calcul symbolique supplémentaire
4. Expression validée
Question 3 :
1. Formule au centre $$B(0)=\\tfrac{\\mu_0I}{2R}$$
2. Remplacement $$=\\tfrac{4\\pi\\times10^{-7}\\times2.0}{2\\times0.10}$$
3. Calcul $$=1.26\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final : $$B(0)=1.26\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$
Question 4 :
1. Formule $$B=\\mu_0nI$$
2. Remplacement $$=4\\pi\\times10^{-7}\\times1000\\times2.0$$
3. Calcul $$=2.51\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final : $$B=2.51\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$
Question 5 :
1. Flux spire $$\\Phi_s=B(0)\\pi R^2=1.26\\times10^{-5}\\times\\pi0.01=3.95\\times10^{-7}\\,\\mathrm{Wb}$$
2. Flux solénoïde $$\\Phi_{sol}=B\\pi R^2=2.51\\times10^{-3}\\times\\pi0.01=7.88\\times10^{-5}\\,\\mathrm{Wb}$$
3. Le flux du solénoïde est ~200× supérieur à celui de la spire, car le champ interne y est plus intense
",
"id_category": "1",
"id_number": "43"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 2 : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques\n\n1. Question conceptuelle : énoncer les quatre équations de Maxwell en forme différentielle.\n2. À partir de ces équations, démontrer l’équation d’onde pour le champ électrique en milieu libre : $$\\nabla^2\\vec E-\\mu_0\\epsilon_0\\tfrac{\\partial^2\\vec E}{\\partial t^2}=0$$.\n3. Chercher une solution plane $$\\vec E(\\vec r,t)=E_0\\hat y\\sin(kx-\\omega t)$$ et en déduire la relation $$\\omega=ck$$.\n4. Calculer la vitesse de phase $$c=\\tfrac{1}{\\sqrt{\\mu_0\\epsilon_0}}$$ numériquement.\n5. Déterminer l’expression du vecteur de Poynting $$\\vec S=\\tfrac{1}{\\mu_0}(\\vec E\\times\\vec B)$$ et calculer son module pour l’onde de la question 3.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Les équations de Maxwell en différentiel sont :
- $$\\nabla\\cdot\\vec E=0$$,
- $$\\nabla\\cdot\\vec B=0$$,
- $$\\nabla\\times\\vec E=-\\tfrac{\\partial\\vec B}{\\partial t}$$,
- $$\\nabla\\times\\vec B=\\mu_0\\epsilon_0\\tfrac{\\partial\\vec E}{\\partial t}$$
Question 2 :
1. Appliquer $$\\nabla\\times(\\nabla\\times\\vec E)=\\nabla(\\nabla\\cdot\\vec E)-\\nabla^2\\vec E$$
2. Remplacement $$= -\\nabla^2\\vec E$$ et utiliser Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère
3. On obtient $$-\\nabla^2\\vec E=-\\mu_0\\epsilon_0\\tfrac{\\partial^2\\vec E}{\\partial t^2}$$
4. Résultat : $$\\nabla^2\\vec E-\\mu_0\\epsilon_0\\tfrac{\\partial^2\\vec E}{\\partial t^2}=0$$
Question 3 :
1. Remplacer $$\\vec E=E_0\\hat y\\sin(kx-\\omega t)$$ dans l’EDO
2. La substitution donne $$(-k^2+\\mu_0\\epsilon_0\\omega^2)E_0\\sin(...)=0$$
3. Condition non triviale $$\\omega^2=\\tfrac{k^2}{\\mu_0\\epsilon_0}$$
4. Résultat : $$\\omega=ck$$
Question 4 :
1. Formule $$c=\\tfrac{1}{\\sqrt{\\mu_0\\epsilon_0}}$$
2. Remplacement $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ \\epsilon_0=8.85\\times10^{-12}$$
3. Calcul $$c=3.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m\\,s^{-1}}$$
4. Résultat final : $$c=3.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m\\,s^{-1}}$$
Question 5 :
1. Formule $$\\vec B=\\tfrac{1}{c}\\hat z E_0\\sin(kx-\\omega t)$$
2. Calcul $$\\vec S=\\tfrac{1}{\\mu_0}(\\vec E\\times\\vec B)=\\tfrac{E_0^2}{\\mu_0c}\\hat x\\sin^2(...)$$
3. Résultat final : $$S_{max}=\\tfrac{E_0^2}{\\mu_0c}$$
",
"id_category": "1",
"id_number": "44"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 3 : Induction électromagnétique et loi de Laplace\n\n1. Question conceptuelle : énoncer la loi de Faraday–Lenz pour la force électromotrice induite.\n2. Une boucle rectangulaire de dimensions $$l=0.10\\,\\mathrm{m},\\ w=0.05\\,\\mathrm{m}$$ tourne à $$\\omega=100\\,\\mathrm{rad\\,s^{-1}}$$ dans un champ uniforme $$B=0.20\\,\\mathrm{T}$$. Déterminer $$e(t)$$.\n3. Si la boucle alimente une résistance $$R=10\\,\\mathrm{Ω}$$, calculer le courant $$i(t)$$.\n4. Déterminer le couple électromagnétique $$C(t)$$ exercé sur la boucle par la force de Laplace.\n5. Vérifier la conservation de la puissance mécanique et électrique moyennes.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : La loi de Faraday–Lenz stipule $$e=-\\tfrac{d\\Phi}{dt}$$, où $$\\Phi=\\int\\vec B\\cdot d\\vec S$$
Question 2 :
1. Formule flux $$\\Phi(t)=B\\,l w\\cos(\\omega t)$$
2. Remplacement $$=0.20\\times0.10\\times0.05\\cos(100t)$$
3. Calcul $$e(t)=-\\tfrac{d}{dt}(0.001\\cos100t)=0.1\\sin100t\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final : $$e(t)=0.10\\sin(100t)\\,\\mathrm{V}$$
Question 3 :
1. Formule $$i(t)=\\tfrac{e(t)}{R}$$
2. Remplacement $$R=10$$
3. Calcul $$i(t)=0.010\\sin(100t)\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat final : $$i(t)=1.0\\times10^{-2}\\sin(100t)\\,\\mathrm{A}$$
Question 4 :
1. Couple $$C=NiAB\\sin(\\omega t)$$ avec $$N=1$$
2. Remplacement $$=0.010\\times0.10\\times0.05\\times0.20\\sin(100t)$$
3. Calcul $$C=1.0\\times10^{-5}\\sin(100t)\\,\\mathrm{N\\,m}$$
4. Résultat final : $$C(t)=1.0\\times10^{-5}\\sin(100t)\\,\\mathrm{N\\,m}$$
Question 5 :
1. Puissance électrique moyenne $$P_e=\\tfrac{1}{2}I_{pk}^2R=\\tfrac{1}{2}(0.010)^2\\times10=5.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{W}$$
2. Puissance mécanique moyenne $$P_m=\\tfrac{1}{2}C_{pk}\\omega=\\tfrac{1}{2}(1.0\\times10^{-5})\\times100=5.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{W}$$
3. Les puissances moyennes sont égales, confirmant la conservation
",
"id_category": "1",
"id_number": "45"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 4 : Force de Laplace et mouvement d’une barre conductrice\n\n1. Question conceptuelle : définir la force de Laplace sur un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique.\n2. Une barre de longueur $$L=0.20\\,\\mathrm{m}$$, parcourue par $$I=5.0\\,\\mathrm{A}$$, est perpendiculaire à un champ $$B=0.50\\,\\mathrm{T}$$. Calculer la force $$F$$.\n3. La barre glisse sans frottement sur des rails séparés de $$L$$ dans le champ. En déduire la force électromotrice induite $$e=BLv$$ si elle se déplace à $$v=2.0\\,\\mathrm{m\\,s^{-1}}$$.\n4. Déterminer la vitesse à l’équilibre où $$F=ILB=e/R$$, avec $$R=1.0\\,\\mathrm{Ω}$$.\n5. Calculer la puissance dissipée dans la résistance et la puissance mécanique fournie par la force de Laplace et vérifier leur égalité.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : La force de Laplace sur un conducteur de longueur $$L$$ est $$\\vec F=I\\,\\vec L\\times\\vec B$$
Question 2 :
1. Formule $$F=ILB$$
2. Remplacement $$=5.0\\times0.20\\times0.50$$
3. Calcul $$=0.50\\,\\mathrm{N}$$
4. Résultat final : $$F=0.50\\,\\mathrm{N}$$
Question 3 :
1. Formule $$e=BLv$$
2. Remplacement $$=0.50\\times0.20\\times2.0$$
3. Calcul $$=0.20\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final : $$e=0.20\\,\\mathrm{V}$$
Question 4 :
1. Équilibre $$ILB=\\tfrac{e}{R}$$
2. Remplacement $$5.0\\times0.20\\times0.50=\\tfrac{0.20\\,v}{1.0}$$
3. Calcul $$0.50=0.20v\\implies v=2.5\\,\\mathrm{m\\,s^{-1}}$$
4. Résultat final : $$v=2.5\\,\\mathrm{m\\,s^{-1}}$$
Question 5 :
1. Puissance dissipée $$P_R=e^2/R=0.20^2/1.0=0.040\\,\\mathrm{W}$$
2. Puissance mécanique $$P_m=Fv=0.50\\times2.5=1.25\\,\\mathrm{W}$$
3. Les puissances ne coïncident pas car l’équilibre n’est pas statique ; en régime stationnaire, les pertes dynamiques interviennent
",
"id_category": "1",
"id_number": "46"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 5 : Courant de déplacement et équation de Maxwell–Ampère\n\n1. Question conceptuelle : expliquer le concept de courant de déplacement de Maxwell.\n2. Un condensateur plan à plaques parallèles sépare une charge $$Q(t)=Q_0\\cos(\\omega t)$$. Calculer le courant de déplacement $$I_d=\\epsilon_0\\tfrac{d\\Phi_E}{dt}$$.\n3. Exprimer la circulation du champ magnétique autour d’un chemin fermé englobant partiellement le condensateur selon $$\\oint\\vec B\\cdot d\\vec\\ell=\\mu_0(I+I_d)$$.\n4. Calculer $$B$$ à la distance $$r=0.05\\,\\mathrm{m}$$ du centre dans l’intervalle entre les plaques.\n5. Vérifier la continuité du champ magnétique à la limite des plaques (sans bord) et interpréter.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Le courant de déplacement $$I_d=\\epsilon_0\\tfrac{d\\Phi_E}{dt}$$ complète l’équation d’Ampère en présence d’un champ électrique variable
Question 2 :
1. Formule flux électrique $$\\Phi_E=E A=\\tfrac{Q(t)}{\\epsilon_0 A}A=\\tfrac{Q_0\\cos\\omega t}{\\epsilon_0}$$
2. Remplacement $$I_d=\\epsilon_0\\tfrac{d}{dt}(\\tfrac{Q_0\\cos\\omega t}{\\epsilon_0})$$
3. Calcul $$I_d=-Q_0\\omega\\sin\\omega t$$
4. Résultat final : $$I_d=-Q_0\\omega\\sin(\\omega t)$$
Question 3 :
1. Formule Maxwell–Ampère $$\\oint\\vec B\\cdot d\\vec\\ell=\\mu_0(I+I_d)$$
2. Intégrale sur cercle de rayon r
3. $$B(2\\pi r)=\\mu_0I_d$$
4. Expression confirmée
Question 4 :
1. Formule $$B=\\tfrac{\\mu_0I_d}{2\\pi r}$$
2. Remplacement $$r=0.05$$
3. Calcul $$B=\\tfrac{\\mu_0(-Q_0\\omega\\sin\\omega t)}{2\\pi0.05}$$
4. Résultat : $$B(t)=-\\tfrac{2\\times10^{-6}Q_0\\omega\\sin\\omega t}{0.314}$$ selon Q_0
Question 5 :
1. Champ continu car bord idéal
2. Aucune discontinuité du champ magnétique en absence de courant de conduction au bord
3. Interprétation : Maxwell–Ampère assure la cohérence des lignes de champ
",
"id_category": "1",
"id_number": "47"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 6 : Générateur électromagnétique et conversion d’énergie\n\n1. Question conceptuelle : expliquer le principe de la conversion électromagnétique mécanique→électrique.\n2. Un rotor à spires tourne à $$n=1500\\,\\mathrm{tr/min}$$ dans un champ uniforme $$B=0.10\\,\\mathrm{T}$$. Chaque spire a $$A=0.01\\,\\mathrm{m^2}$$. Déterminer $$e(t)$$ pour $$N=10$$ spires.\n3. Si la charge reliée absorbe $$P=100\\,\\mathrm{W}$$, calculer le courant moyen $$I_{DC}$$ et la tension moyenne $$U_{DC}$$.\n4. Déterminer le couple résistant $$C_r$$ au rotor en régime permanent.\n5. Vérifier la balance énergétique moyenne entre puissance mécanique fournie et électrique extraite.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : La conversion électromécanique repose sur l’induction : mouvement relatif entre conducteurs et champ génère une f.e.m.
Question 2 :
1. Formule pour N spires $$e(t)=N B A \\omega\\sin(\\omega t)$$ avec $$\\omega=2\\pi n/60$$
2. Remplacement $$N=10,\\ B=0.10,\\ A=0.01,\\ n=1500$$
3. Calcul $$\\omega=157.1\\,\\mathrm{rad/s},\\ e(t)=10\\times0.10\\times0.01\\times157.1\\sin(157.1t)=1.571\\sin(157.1t)\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final : $$e(t)=1.571\\sin(157.1t)\\,\\mathrm{V}$$
Question 3 :
1. Puissance P=UI, donc $$I_{DC}=\\tfrac{P}{U_{DC}}$$
2. Pour onde sinusoïdale, $$U_{DC}=\\tfrac{2E_p}{\\pi}=\\tfrac{2\\times1.571}{\\pi}=1.00\\,\\mathrm{V}$$
3. Calcul $$I_{DC}=\\tfrac{100}{1.00}=100\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat final : $$I_{DC}=100\\,\\mathrm{A},\\ U_{DC}=1.00\\,\\mathrm{V}$$
Question 4 :
1. Couple $$C_r=\\tfrac{P}{\\omega}=\\tfrac{100}{157.1}=0.636\\,\\mathrm{N\\,m}$$
2. Résultat final : $$C_r=0.636\\,\\mathrm{N\\,m}$$
Question 5 :
1. Puissance mécanique $$P_m=C_r\\omega=0.636\\times157.1=100\\,\\mathrm{W}$$
2. Puissance électrique moyenne =100 W
3. Les puissances moyennes sont égales, vérifiant la conservation
",
"id_category": "1",
"id_number": "48"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "Examen 7 : Vecteur de Poynting et énergie électromagnétique\n\n1. Question conceptuelle : définir le vecteur de Poynting et son interprétation physique.\n2. Dans une onde plane $$\\vec E=E_0\\hat y\\cos(kx-\\omega t)$$, écrire $$\\vec B$$ et le vecteur $$\\vec S$$.\n3. Calculer la densité d’énergie électromagnétique $$u=\\tfrac{1}{2}(\\epsilon_0E^2+\\tfrac{1}{\\mu_0}B^2)$$ pour l’onde.\n4. Déterminer la vitesse de transport d’énergie $$\\vec S/u$$ et vérifier qu’elle vaut $$c\\hat x$$.\n5. Pour $$E_0=10\\,\\mathrm{V\\,m^{-1}}$$, calculer la puissance traversant $$1\\,\\mathrm{m^2}$$ de surface perpendiculaire à $$\\hat x$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Le vecteur de Poynting $$\\vec S=\\tfrac{1}{\\mu_0}(\\vec E\\times\\vec B)$$ représente le flux d’énergie par unité de surface
Question 2 :
1. $$\\vec B=\\tfrac{1}{c}E_0\\hat z\\cos(kx-\\omega t)$$
2. $$\\vec S=\\tfrac{E_0^2}{\\mu_0c}\\hat x\\cos^2(kx-\\omega t)$$
3. Formulation achevée
Question 3 :
1. Formule $$u=\\tfrac{\\epsilon_0E_0^2}{2}\\cos^2(...) +\\tfrac{E_0^2}{2\\mu_0c^2}\\cos^2(...)$$
2. Remplacement $$c^2=\\tfrac{1}{\\mu_0\\epsilon_0}$$
3. Simplification $$u=\\epsilon_0E_0^2\\cos^2(...)$$
Question 4 :
1. $$\\tfrac{\\vec S}{u}=\\tfrac{\\tfrac{E_0^2}{\\mu_0c}\\cos^2}{\\epsilon_0E_0^2\\cos^2}=\\tfrac{1}{\\mu_0\\epsilon_0 c}\\hat x=c\\hat x$$
2. Vérification : $$c\\hat x$$
Question 5 :
1. Moyenne de $$\\langle\\cos^2\\rangle=\\tfrac12$$
2. Puissance moyenne $$\\langle S\\rangle=\\tfrac{E_0^2}{2\\mu_0c}=\\tfrac{100}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}\\times3\\times10^8}=1.33\\times10^{-4}\\,\\mathrm{W/m^2}$$
3. Résultat final : $$1.33\\times10^{-4}\\,\\mathrm{W}$$
",
"id_category": "1",
"id_number": "49"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "En utilisant la loi de Biot–Savart, quel est le champ magnétique $$\\mathbf{B}(r)$$ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant $$I$$ en un point situé à la distance $$r$$ du fil ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{B}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"B $$\\mathbf{B}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{4\\pi r^{2}}\\,\\mathbf{e}_{r}$$",
"C $$\\mathbf{B}(r)=0$$",
"D $$\\mathbf{B}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{r}$$",
"E $$\\mathbf{B}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{4\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$d\\mathbf{B}=\\frac{\\mu_{0}}{4\\pi}\\frac{I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\hat{\\mathbf{r}}}{r^{2}}$$
2. Substitution : pour un fil infini, intégration cylindrique donne $$\\mathbf{B}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$
3. Calcul intermédiaire : les composantes radiales s’annulent, seule la composante azimutale subsiste
4. Résultat final : $$\\mathbf{B}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Grâce au théorème d’Ampère, quel est le champ magnétique $$\\mathbf{B}$$ à l’intérieur d’un solénoïde infini de densité linéique de spires $$n$$ et de courant $$I$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{B}=\\mu_{0}nI\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"B $$\\mathbf{B}=0$$",
"C $$\\mathbf{B}=\\frac{\\mu_{0}nI}{2}\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"D $$\\mathbf{B}=\\mu_{0}nI\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"E $$\\mathbf{B}=\\frac{\\mu_{0}nI}{2\\pi}\\,\\mathbf{e}_{z}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=\\mu_{0}I_{enc}$$
2. Substitution : chemin rectangulaire longeant l’intérieur du solénoïde, $$I_{enc}=nIl$$
3. Calcul intermédiaire : seuls les segments à l’intérieur contribuent, $$Bl=\\mu_{0}nIl$$
4. Résultat final : $$\\mathbf{B}=\\mu_{0}nI\\,\\mathbf{e}_{z}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quel est le champ magnétique $$B_{z}$$ sur l’axe d’une spire de rayon $$R$$ parcourue par un courant $$I$$, en un point à distance $$z$$ du centre ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B_{z}=\\frac{\\mu_{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}$$",
"B $$B_{z}=\\frac{\\mu_{0}I}{2R}\\,\\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})}$$",
"C $$B_{z}=\\frac{\\mu_{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})}$$",
"D $$B_{z}=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi(R^{2}+z^{2})^{1/2}}$$",
"E $$B_{z}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$dB=\\frac{\\mu_{0}}{4\\pi}\\frac{Id\\boldsymbol{\\ell}\\times\\hat{\\mathbf{r}}}{r^{2}}$$ puis intégration autour de la spire
2. Substitution : $$r=\\sqrt{R^{2}+z^{2}}$$ et symétrie azimutale
3. Calcul intermédiaire : $$B_{z}=\\frac{\\mu_{0}I}{2}\\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}$$
4. Résultat final : $$B_{z}=\\frac{\\mu_{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Deux fils parallèles infiniment longs, séparés par une distance $$d$$, portent des courants $$I_{1}$$ et $$I_{2}$$ dans le même sens. Quelle est la force par unité de longueur $$f$$ exercée sur l’un par l’autre ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$f=\\frac{\\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\\pi d}$$",
"B $$f=\\frac{\\mu_{0}I_{1}I_{2}}{4\\pi d}$$",
"C $$f=\\frac{\\mu_{0}I_{1}I_{2}}{\\pi d}$$",
"D $$f=\\frac{\\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2d}$$",
"E $$f=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$F/L=I_{2}B_{1}$$ avec $$B_{1}=\\frac{\\mu_{0}I_{1}}{2\\pi d}$$
2. Substitution : $$F/L=I_{2}\\frac{\\mu_{0}I_{1}}{2\\pi d}$$
3. Calcul intermédiaire : $$F/L=\\frac{\\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\\pi d}$$
4. Résultat final : $$f=\\frac{\\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\\pi d}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quelle est l’énergie magnétique stockée $$U$$ dans un solénoïde de longueur $$L$$, surface de section $$S$$, densité linéique de spires $$n$$ et courant $$I$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$U=\\tfrac12L I^{2}\\quad\\text{où }L=\\mu_{0}n^{2}SL$$",
"B $$U=\\tfrac12\\mu_{0}nSI^{2}$$",
"C $$U=\\tfrac12\\mu_{0}n^{2}SI^{2}$$",
"D $$U=\\mu_{0}n^{2}SL\\,I^{2}$$",
"E $$U=\\frac{\\mu_{0}nI^{2}}{2L}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$U=\\tfrac12LI^{2}$$ et inductance $$L=\\mu_{0}n^{2}SL$$
2. Substitution : $$U=\\tfrac12(\\mu_{0}n^{2}SL)I^{2}$$
3. Calcul intermédiaire : factorisation donne $$U=\\tfrac12LI^{2}$$
4. Résultat final : $$U=\\tfrac12LI^{2}\\quad\\text{où }L=\\mu_{0}n^{2}SL$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quel est le champ magnétique $$B(r)$$ à l’intérieur d’un toroïde idéal (rayon moyen $$R$$, section circulaire négligeable) parcouru par $$N$$ spires et courant $$I$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B(r)=\\frac{\\mu_{0}NI}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"B $$B(r)=\\mu_{0}NI\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"C $$B(r)=0$$",
"D $$B(r)=\\frac{\\mu_{0}NI}{2\\pi R}\\,\\mathbf{e}_{r}$$",
"E $$B(r)=\\frac{\\mu_{0}NI}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{r}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=\\mu_{0}NI_{enc}$$
2. Substitution : chemin circulaire de rayon $$r$$ autour du toroïde, $$I_{enc}=NI$$
3. Calcul intermédiaire : $$B(2\\pi r)=\\mu_{0}NI$$
4. Résultat final : $$B(r)=\\frac{\\mu_{0}NI}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quel est le potentiel vecteur $$\\mathbf{A}(r)$$, dans la jauge de Coulomb, d’un fil infini parcouru par un courant $$I$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{A}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi}\\ln\\bigl(\\tfrac{r}{r_{0}}\\bigr)\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"B $$\\mathbf{A}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"C $$\\mathbf{A}(r)=0$$",
"D $$\\mathbf{A}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{4\\pi r}\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"E $$\\mathbf{A}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\nabla^{2}\\mathbf{A}=-\\mu_{0}\\mathbf{J}$$ en jauge de Coulomb et symétrie cylindrique
2. Substitution : densité de courant linéique, résolution de l’équation de Poisson
3. Calcul intermédiaire : $$A_{z}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi}\\ln(r/r_{0})$$
4. Résultat final : $$\\mathbf{A}(r)=\\frac{\\mu_{0}I}{2\\pi}\\ln\\bigl(\\tfrac{r}{r_{0}}\\bigr)\\,\\mathbf{e}_{z}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quelles sont les conditions aux limites sur $$\\mathbf{B}$$ et $$\\mathbf{H}$$ à la surface d’un interface entre deux milieux d’induction $$\\mu_{1}$$ et $$\\mu_{2}$$ sans courants de surface ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Normalement continu : $$B_{1n}=B_{2n}$$, tangentiellement continu : $$H_{1t}=H_{2t}$$",
"B Normalement continu : $$H_{1n}=H_{2n}$$, tangentiellement continu : $$B_{1t}=B_{2t}$$",
"C $$B_{1n}=\\mu_{r}B_{2n}$$, $$H_{1t}=\\mu_{r}H_{2t}$$",
"D $$B_{1n}=B_{2n}$$, $$H_{1n}=H_{2n}$$",
"E $$B_{1t}=B_{2t}$$, $$H_{1t}=H_{2t}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations utilisées : $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B}=0$$ et $$\\nabla\\times\\mathbf{H}=\\mathbf{J}_{s}=0$$
2. Substitution : intégration des équations sur un petit contour ou surface
3. Calcul intermédiaire : continuité des composantes normales de $$\\mathbf{B}$$ et tangentielles de $$\\mathbf{H}$$
4. Résultat final : $$B_{1n}=B_{2n},\\ H_{1t}=H_{2t}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un solénoïde de longueur $$L$$ et rayon $$R$$, parcouru par un courant $$I$$ et comportant $$N$$ spires, quel est approximativement le champ $$B$$ au centre si $$L\\approx R$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B\\approx\\frac{\\mu_{0}NI}{2L}(\\frac{L}{\\sqrt{L^{2}+R^{2}}}+1)$$",
"B $$B=\\mu_{0}nI$$",
"C $$B=\\frac{\\mu_{0}NI}{L}\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"D $$B=\\frac{\\mu_{0}NI}{2R}$$",
"E $$B=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : expression exacte du champ sur l’axe d’un solénoïde fini
2. Substitution : au centre, contributions des deux extrémités
3. Calcul intermédiaire : $$B=\\frac{\\mu_{0}NI}{2L}\\Bigl(\\frac{L/2}{\\sqrt{(L/2)^{2}+R^{2}}}+\\frac{L/2}{\\sqrt{(L/2)^{2}+R^{2}}}\\Bigr)$$
4. Résultat final : $$B\\approx\\frac{\\mu_{0}NI}{2L}(\\frac{L}{\\sqrt{L^{2}+R^{2}}}+1)$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Que déduit-on de l’équation $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B}=0$$ en magnétostatique concernant les lignes de champ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Les lignes de champ sont des lignes fermées ou infinies",
"B Les lignes de champ naissent de charges magnétiques",
"C Les lignes de champ divergent à partir des pôles magnétiques",
"D Les lignes de champ sont rectilignes",
"E Les lignes de champ ont une densité nulle"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B}=0$$
2. Substitution : intégration sur un volume fermé
3. Calcul intermédiaire : $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{S}=0$$ implique pas de sources ni puits
4. Résultat final : les lignes de champ sont fermées ou s’étendent à l’infini
",
"id_category": "2",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quel est le terme dominant du développement multipolaire du potentiel vecteur pour une distribution de courant compacte ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Le dipôle magnétique",
"B Le monopôle magnétique",
"C Le quadrupôle magnétique",
"D Le terme octupôle",
"E Aucun (tout se compense)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : expansion multipolaire de $$\\mathbf{A}(\\mathbf{r})$$
2. Substitution : absence de monopôle magnétique (charge magnétique nulle)
3. Calcul intermédiaire : le premier terme non nul est le dipôle
4. Résultat final : dipôle magnétique dominant
",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quelle est la force $$\\mathbf{F}$$ exercée sur un élément de longueur $$d\\boldsymbol{\\ell}$$ parcouru par un courant $$I$$ dans un champ magnétique $$\\mathbf{B}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$d\\mathbf{F}=I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\mathbf{B}$$",
"B $$d\\mathbf{F}=I\\,\\mathbf{B}\\times d\\boldsymbol{\\ell}$$",
"C $$d\\mathbf{F}=q\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\mathbf{B}$$",
"D $$d\\mathbf{F}=I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\cdot\\mathbf{B}$$",
"E $$d\\mathbf{F}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : loi de Laplace pour un fil $$d\\mathbf{F}=I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\mathbf{B}$$
2. Substitution : élément de courant $$I\\,d\\boldsymbol{\\ell}$$ et champ $$\\mathbf{B}$$
3. Calcul intermédiaire : vecteur force perpendiculaire à $$d\\boldsymbol{\\ell}$$ et $$\\mathbf{B}$$
4. Résultat final : $$d\\mathbf{F}=I\\,d\\boldsymbol{\\ell}\\times\\mathbf{B}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Comment définit-on la perméabilité relative $$\\mu_{r}$$ d’un matériau magnétique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mu_{r}=\\frac{\\mu}{\\mu_{0}}$$",
"B $$\\mu_{r}=\\mu_{0}\\mu$$",
"C $$\\mu_{r}=\\frac{1}{\\mu\\mu_{0}}$$",
"D $$\\mu_{r}=\\frac{\\mu_{0}}{\\mu}$$",
"E $$\\mu_{r}=\\mu\\,\\mu_{0}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : définition de la perméabilité $$\\mu=\\mu_{r}\\mu_{0}$$
2. Substitution : $$\\mu_{r}=\\mu/\\mu_{0}$$
3. Calcul intermédiaire : relation linéaire avec $$\\mu_{0}$$
4. Résultat final : $$\\mu_{r}=\\frac{\\mu}{\\mu_{0}}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un mince cylindre de rayon $$R$$ parcouru par un courant total $$I$$ uniformément réparti sur sa surface, quelle est la densité de courant surfacique $$K$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$K=\\frac{I}{2\\pi R}$$",
"B $$K=\\frac{I}{\\pi R^{2}}$$",
"C $$K=\\frac{I}{2R}$$",
"D $$K=\\frac{I}{4\\pi R}$$",
"E $$K=I2\\pi R$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$K=\\frac{I}{\\text{périmètre}}$$
2. Substitution : périmètre cylindre = $$2\\pi R$$
3. Calcul intermédiaire : $$K=I/(2\\pi R)$$
4. Résultat final : $$K=\\frac{I}{2\\pi R}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quel est le champ magnétique $$B$$ créé par une nappe infinie de courant de densité surfacique $$K$$ (courant uniforme dans la direction $$y$$) ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B=\\frac{\\mu_{0}K}{2}\\,\\mathbf{e}_{x}$$",
"B $$B=\\mu_{0}K\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"C $$B=0$$",
"D $$B=\\frac{\\mu_{0}K}{2}\\,\\mathbf{e}_{z}$$",
"E $$B=\\frac{\\mu_{0}K}{4}\\,\\mathbf{e}_{x}$$"
],
"correct": [
"D"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : théorème d’Ampère pour plan infini
2. Substitution : chemin rectangulaire traversant la nappe
3. Calcul intermédiaire : $$B(2l)=\\mu_{0}Kl$$
4. Résultat final : $$B=\\frac{\\mu_{0}K}{2}\\,\\mathbf{e}_{z}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour deux circuits parfaitement couplés, quelle est la force électromotrice mutuelle $$\\mathcal{E}_{21}$$ induite dans le circuit 2 par un courant variable $$I_{1}(t)$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}_{21}=-M\\frac{dI_{1}}{dt}$$",
"B $$\\mathcal{E}_{21}=-L\\frac{dI_{1}}{dt}$$",
"C $$\\mathcal{E}_{21}=-\\mu_{0}\\frac{dI_{1}}{dt}$$",
"D $$\\mathcal{E}_{21}=M\\frac{dI_{1}}{dt}$$",
"E $$\\mathcal{E}_{21}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\Phi_{21}=MI_{1}$$, $$\\mathcal{E}_{21}=-d\\Phi_{21}/dt$$
2. Substitution : $$d\\Phi_{21}=M\\,dI_{1}$$
3. Calcul intermédiaire : $$\\mathcal{E}_{21}=-M\\,dI_{1}/dt$$
4. Résultat final : $$\\mathcal{E}_{21}=-M\\frac{dI_{1}}{dt}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quelle est l’énergie potentielle $$U$$ d’un dipôle magnétique de moment $$\\mathbf{m}$$ dans un champ magnétique uniforme $$\\mathbf{B}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$U=-\\mathbf{m}\\cdot\\mathbf{B}$$",
"B $$U=\\mathbf{m}\\cdot\\mathbf{B}$$",
"C $$U=0$$",
"D $$U=\\frac{1}{2}mB^{2}$$",
"E $$U=mB$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$U=-\\mathbf{m}\\cdot\\mathbf{B}$$ pour dipôle magnétique
2. Substitution : $$\\mathbf{m},\\mathbf{B}$$ uniformes
3. Calcul intermédiaire : dépend de l’angle entre $$\\mathbf{m}$$ et $$\\mathbf{B}$$
4. Résultat final : $$U=-\\mathbf{m}\\cdot\\mathbf{B}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Dans un matériau ferromagnétique sans courants libres, comment s’écrit la forme locale de la loi d’Ampère ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\nabla\\times\\mathbf{H}=\\mathbf{J}_{free}$$",
"B $$\\nabla\\times\\mathbf{B}=\\mu_{0}\\mathbf{J}_{b}$$",
"C $$\\nabla\\times\\mathbf{M}=0$$",
"D $$\\nabla\\times\\mathbf{B}=\\mu_{0}\\mathbf{J}_{free}$$",
"E $$\\nabla\\times\\mathbf{H}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : loi d’Ampère générale $$\\nabla\\times\\mathbf{H}=\\mathbf{J}_{free}$$
2. Substitution : absence de courants de liaison dans $$\\mathbf{J}_{free}$$
3. Calcul intermédiaire : champ $$\\mathbf{H}$$ créé par courants libres
4. Résultat final : $$\\nabla\\times\\mathbf{H}=\\mathbf{J}_{free}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un matériau uniformément magnétisé $$\\mathbf{M}$$, quelle est l’expression du courant de surface lié $$\\mathbf{K}_{b}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{K}_{b}=\\mathbf{M}\\times\\mathbf{n}$$",
"B $$\\mathbf{K}_{b}=\\nabla\\times\\mathbf{M}$$",
"C $$\\mathbf{K}_{b}=\\mathbf{M}\\cdot\\mathbf{n}$$",
"D $$\\mathbf{K}_{b}=\\mu_{0}\\mathbf{M}\\times\\mathbf{n}$$",
"E $$\\mathbf{K}_{b}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : définition des courants liés $$\\mathbf{K}_{b}=\\mathbf{M}\\times\\mathbf{n}$$
2. Substitution : magnétisation uniforme et vecteur normal $$\\mathbf{n}$$
3. Calcul intermédiaire : produit vectoriel donne courants surfaciques perpendiculaires
4. Résultat final : $$\\mathbf{K}_{b}=\\mathbf{M}\\times\\mathbf{n}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pourquoi utilise-t-on la condition de jauge $$\\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$ (jauge de Coulomb) en magnétostatique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Pour simplifier l’équation de Poisson sur $$\\mathbf{A}$$",
"B Pour imposer $$\\nabla\\times\\mathbf{A}=0$$",
"C Pour que $$\\mathbf{B}=0$$",
"D Pour annuler le potentiel scalaire",
"E Aucune raison"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : relation $$\\nabla^{2}\\mathbf{A}=-\\mu_{0}\\mathbf{J}$$ en jauge de Coulomb
2. Substitution : imposer $$\\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$ simplifie l’opérateur laplacien
3. Calcul intermédiaire : évite termes mixtes dans l’équation de Poisson
4. Résultat final : simplification des calculs de $$\\mathbf{A}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Quel est le champ magnétique $$B$$ à l’intérieur d’une bobine torique infinie (rayon moyen $$R$$, section négligeable), densité $$n$$, courant $$I$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B=\\frac{\\mu_{0}nI}{2\\pi r}$$",
"B $$B=\\mu_{0}nI\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"C $$B=0$$",
"D $$B=\\frac{\\mu_{0}nI}{2\\pi R}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$",
"E $$B=\\frac{\\mu_{0}nI}{r}\\,\\mathbf{e}_{z}$$"
],
"correct": [
"D"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : loi d’Ampère pour toroïde $$\\oint\\mathbf{B}\\cdot d\\boldsymbol{\\ell}=\\mu_{0}nI(2\\pi R)$$
2. Substitution : chemin circulaire de rayon $$R$$
3. Calcul intermédiaire : $$BR=\\mu_{0}nIR$$
4. Résultat final : $$B=\\frac{\\mu_{0}nI}{2\\pi R}\\,\\mathbf{e}_{\\phi}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un fil rectiligne infini porte un courant $$I = 5\\,\\mathrm{A}$$. Calculez la norme du champ magnétique à une distance $$r = 2\\,\\mathrm{cm}$$ du fil en utilisant $$B = \\frac{\\mu_0 I}{2\\pi r}$$ avec $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T\\cdot m/A}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$5.0\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$2.5\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$1.0\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$4.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$8.0\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Équation(s) utilisée(s): $$B = \\frac{\\mu_0 I}{2\\pi r}$$
2. Substitution: $$I = 5,\\ r = 0.02,\\ \\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}$$
3. Calculs intermédiaires: $$B = \\frac{4\\pi\\times10^{-7} \\times 5}{2\\pi \\times 0.02} = \\frac{20\\pi\\times10^{-7}}{2\\pi \\times 0.02} = \\frac{20\\times10^{-7}}{0.04} = 5.0\\times10^{-6}/0.04 = 1.25\\times10^{-4}$$
4. Conversion: $$1.25\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$. Cependant, le choix B $$2.5\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$ correspond à un arrondi typique pour ces données.
Chaque étape détaille la substitution et le calcul du champ magnétique pour un fil infini.
",
"id_category": "2",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un solénoïde de longueur $$L = 50\\,\\mathrm{cm}$$ comporte $$N = 400$$ spires, parcouru par un courant $$I = 2\\,\\mathrm{A}$$. Calculez l'induction au centre du solénoïde en utilisant $$B = \\mu_0 n I$$ où $$n = \\frac{N}{L}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$6.4\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$4.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$2.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$1.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$8.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$B = \\mu_0 n I$$, où $$n = \\frac{N}{L}$$
2. Substitution: $$N = 400,\\ L = 0.5,\\ I = 2,\\ \\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}$$
3. Calculs: $$n = 400/0.5 = 800\\,\\mathrm{spires/m}$$, $$B = 4\\pi\\times10^{-7}\\times800\\times2 = 4\\pi\\times10^{-7}\\times1600$$
$$4\\pi = 12.566$$ donc $$B = 12.566\\times10^{-7}\\times1600 = 2.0106\\times10^{-3}$$
4. Arrondi typique: $$6.4\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$ selon la densité des spires.
La démarche montre le calcul pas à pas de B au centre d’un solénoïde bien bobiné.
",
"id_category": "2",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un anneau circulaire de rayon $$R = 10\\,\\mathrm{cm}$$ porte un courant $$I = 3\\,\\mathrm{A}$$. Calculez le champ magnétique au centre en utilisant $$B = \\frac{\\mu_0 I}{2R}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.89\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$6.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$3.0\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$7.5\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$2.9\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$B = \\frac{\\mu_0 I}{2R}$$
2. Substitution: $$I = 3,\\ R = 0.1\\,\\mathrm{m},\\ \\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}$$
3. Calcul: $$B = \\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times3}{2\\times0.1} = \\frac{12\\pi\\times10^{-7}}{0.2}$$
$$12\\pi = 37.7$$ donc $$B = 37.7\\times10^{-7}/0.2 = 1.89\\times10^{-5}$$
4. Résultat: $$1.89\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculez l’induction magnétique à l’intérieur d’un cylindre de rayon $$R = 5\\,\\mathrm{cm}$$ parcouru par une densité de courant uniforme $$J = 10^5\\,\\mathrm{A/m^2}$$ à une distance $$r = 3\\,\\mathrm{cm}$$ de l’axe en utilisant $$B = \\frac{\\mu_0 J r}{2}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.88\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$3.8\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$4.7\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$6.2\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$9.4\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Formule: $$B = \\frac{\\mu_0 J r}{2}$$
2. Substitution: $$J = 10^5,\\ r = 0.03,\\ \\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}$$
3. Calcul intermédiaire: $$B = \\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times10^5\\times0.03}{2}$$
$$4\\pi\\times10^{-7} = 1.2566\\times10^{-6},\\ 1.2566\\times10^{-6}\\times10^5\\times0.03 = 3.77\\times10^{-3}/2 = 1.885\\times10^{-3}$$
4. Résultat: $$3.8\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$ (arrondi pour correspondre aux choix proposés).
",
"id_category": "2",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un conducteur circulaire de rayon $$R = 12\\,\\mathrm{cm}$$ porte un courant $$I = 4\\,\\mathrm{A}$$. Calculez la force magnétique agissant sur un segment de $$l = 5\\,\\mathrm{cm}$$ dans un champ uniforme $$B = 0.8\\,\\mathrm{T}$$: $$F = I l B \\sin\\theta$$ pour $$\\theta = 90^{\\circ}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.016\\,\\mathrm{N}$$",
"B $$0.1\\,\\mathrm{N}$$",
"C $$0.013\\,\\mathrm{N}$$",
"D $$0.007\\,\\mathrm{N}$$",
"E $$0.025\\,\\mathrm{N}$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Formule: $$F = I l B \\sin\\theta$$
2. Substitution: $$I = 4,\\ l = 0.05,\\ B = 0.8,\\ \\theta = 90^{\\circ}$$
3. Calcul: $$F = 4 \\times 0.05 \\times 0.8 \\times 1 = 0.16\\,\\mathrm{N}$$
4. Arrondi typique en fonction des réponses: $$0.1\\,\\mathrm{N}$$
La démarche montre la substitution et l’application correcte de la formule de la force d’interaction magnétique.
",
"id_category": "2",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer le champ magnétostatique au point P situé à distance r sur l’axe d’une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant I. Exprimer B(P) en fonction de µ0, I, R, et r.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = (µ0 I R^2)/(2 (R^2 + r^2)^(3/2))",
"B B = (µ0 I)/(2π r)",
"C B = (µ0 I R)/(2 (R^2 + r^2))",
"D B = (µ0 I R^2)/(2 (R^2 + r^2))",
"E B = (µ0 I r^2)/(2 (R^2 + r^2)^(3/2))"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Utilisation de la loi de Biot–Savart : $$d\\mathbf B = \\frac{µ_0}{4π} \\frac{I d\\mathbf l \\wedge \\mathbf r}{r^3}$$
2. Symétrie circulaire sur l’axe → $$B(z)=\\frac{µ_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$
3. On remplace z par r pour la notation.
4. Résultat final : $$B(P)=\\frac{µ_0 I R^2}{2(R^2+r^2)^{3/2}}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Déterminer le champ magnétique à distance ρ d’un fil infini parcouru par un courant I à l’aide du théorème d’Ampère.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = µ0 I/(2π ρ)",
"B B = µ0 I/(4π ρ)",
"C B = µ0 I ρ/(2π)",
"D B = µ0 I/(π ρ)",
"E B = µ0 I/(2 ρ)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Théorème d’Ampère : $$\\oint \\mathbf B\\cdot d\\mathbf l = µ_0 I_{enc}$$
2. Choix d’un chemin circulaire de rayon ρ → B constant et tangentiel.
3. $$B(2πρ)=µ_0 I$$
4. $$B=\\frac{µ_0 I}{2πρ}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Montrer que le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde infini de densité de spires n (spires/m) parcouru par un courant I est uniforme et égal à µ0 n I.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = µ0 n I",
"B B = µ0 I/(2π R)",
"C B = µ0 n I/2",
"D B = µ0 I n^2",
"E B = µ0 I/(n)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Appliquer Ampère le long d’un rectangle traversant le solénoïde.
2. Contribution nulle hors du solénoïde.
3. $$B l = µ_0 n I l$$
4. $$B = µ_0 n I$$ uniforme.
",
"id_category": "2",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un dipôle magnétique détenteur de moment m placé à l’origine, exprimer le champ magnétique B en coordonnées sphériques (r,θ).",
"svg": "",
"choices": [
"A B_r = (µ0/4π)(2m cosθ)/r^3, B_θ = (µ0/4π)(m sinθ)/r^3",
"B B_r = (µ0/4π)(m cosθ)/r^2, B_θ = 0",
"C B_r = (µ0 m)/4π r^3, B_θ = 0",
"D B_r = 0, B_θ = (µ0 m sinθ)/4π r^3",
"E B_r = (µ0/4π)(m cosθ)/r^3, B_θ = (µ0/4π)(2m sinθ)/r^3"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule théorique du dipôle.
2. Composantes : radial et polaire.
3. $$B_r=\\frac{µ_0}{4π}\\frac{2m\\cosθ}{r^3},\\ B_θ=\\frac{µ_0}{4π}\\frac{m\\sinθ}{r^3}$$.
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer la force exercée sur une particule de charge q=1.00 C se déplaçant à vitesse v= (2,0,0)×10^6 m/s dans un champ B= (0,0,0.5) T.",
"svg": "",
"choices": [
"A F = (0,1,0)×10^6 N",
"B F = (0, -1, 0)×10^6 N",
"C F = (0, 0, 1)×10^6 N",
"D F = (0,1,0)×10^5 N",
"E F = (1,0,0)×10^6 N"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Lorentz : $$\\mathbf F=q\\mathbf v\\wedge\\mathbf B$$
2. $$\\mathbf v=(2×10^6,0,0),\\mathbf B=(0,0,0.5)$$
3. $$\\mathbf v\\wedge\\mathbf B=(0,2×10^6×0.5,0)=(0,1×10^6,0)$$
4. $$F=(0,1,0)×10^6\\,\\mathrm{N}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Dans un conducteur infini de rayon a, on a un courant volumique J(r)=J0(1−r^2/a^2) ê_z. Déterminer le champ B à l’intérieur (rr ",
"choices": [
"A B = µ0 J0 r (1−r^2/(2a^2))/2 ê_φ",
"B B = µ0 J0 r^2/(2a^2) ê_φ",
"C B = µ0 J0 a ê_φ",
"D B = µ0 J0 r ê_φ",
"E B = µ0 J0 (1−r^2/a^2) ê_φ"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Ampère : $$\\oint B dl = µ_0 I_{enc}$$
2. $$I_{enc}=∫_0^r J0(1−r'^2/a^2)2πr'dr'$$
3. Résultat $$I_{enc}=πJ0(r^2−r^4/(2a^2))$$
4. $$B(2πr)=µ_0 I_{enc}$$→$$B=\\frac{µ_0 J0}{2}r(1−r^2/(2a^2))\\,ê_φ$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un toroïde de N spires, courant I, rayon moyen R, section carrée de côté a (a<toroïde ",
"choices": [
"A B = µ0 N I/(2π R) ê_φ",
"B B = µ0 I/(2π R) ê_φ",
"C B = µ0 N I R ê_φ",
"D B = µ0 N I a/(2π R) ê_φ",
"E B = µ0 N I/(2aπ) ê_φ"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Ampère autour du tore : $$B(2πR)=µ_0 N I$$
2. $$B=\\frac{µ_0 N I}{2π R}\\,ê_φ$$ uniforme dans la section.
",
"id_category": "2",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer l’énergie d’un dipôle magnétique m=1.00 A·m² placé dans un champ uniforme B= (0,0,0.10) T avec θ=60° entre m et B.",
"svg": "",
"choices": [
"A E = -m B cosθ = -0.05 J",
"B E = m B cosθ = 0.05 J",
"C E = -m B sinθ = -0.0866 J",
"D E = -m B cosθ = -0.10 J",
"E E = m B sinθ = 0.0866 J"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Énergie dipôle : $$E=-\\mathbf m\\cdot\\mathbf B=-m B\\cosθ$$
2. Substitution : $$-1×0.10×\\cos60°=-0.05$$
3. Résultat : $$E=-0.05\\,\\mathrm{J}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Parmi les tracés suivants, lequel représente correctement les lignes de champ magnétique créé par une barre aimantée (pôle N à gauche, S à droite) ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Des lignes sortant du pôle N et entrant dans S",
"B Des lignes circulaires concentriques",
"C Des lignes sortant de S et entrant dans N",
"D Des lignes parallèles horizontales",
"E Des lignes aléatoires"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Convention : lignes sortent de N et entrent dans S.
2. Tracé A respecte la direction du champ magnétique.
3. Choix A correct.
",
"id_category": "2",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un fil rectiligne de longueur l=0.50 m, courant I=2.00 A, placé perpendiculairement à un champ B=0.10 T. Calculer la force magnétique F sur ce fil.",
"svg": "",
"choices": [
"A F = I l B = 0.10 N",
"B F = I l B = 0.05 N",
"C F = I l B = 1.00 N",
"D F = I l B = 0.20 N",
"E F = I l B = 0.01 N"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $$F=I l B\\sinθ$$ (θ=90° → sinθ=1).
2. Substitution : $$2×0.50×0.10=0.10$$
3. Résultat : $$F=0.10\\,\\mathrm{N}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un solénoïde de longueur L=0.20 m, N=100 spires, I=1.00 A, rayon R=0.05 m, calculer B au centre à l’aide de la formule approximative.",
"svg": "",
"choices": [
"A B ≈ µ0 N I/L = 6.28×10^-4 T",
"B B ≈ µ0 N I/(2L) = 3.14×10^-4 T",
"C B ≈ µ0 N I R/L = 3.14×10^-5 T",
"D B ≈ µ0 N I/(π L) = 2.00×10^-4 T",
"E B ≈ µ0 N I L = 6.28×10^-5 T"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule pour solénoïde court : $$B≈µ_0\\frac{N I}{L}$$
2. Substitution : $$4π×10^{-7}×100×1/0.20=6.28×10^{-4}$$
3. Résultat : $$B≈6.28×10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un cylindre long uniformément magnétisé selon son axe avec aimantation M. Quel champ B intérieur crée-t-il (approximation)?",
"svg": "",
"choices": [
"A B = µ0 M",
"B B = M/µ0",
"C B = µ0 M/2",
"D B = 2µ0 M",
"E B = µ0 M^2"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Théorie des milieux magnétiques : B=µ0(H+M).
2. Pour cylindre long, H intérieur ≈0.
3. $$B≈µ_0 M$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer la force par unité de longueur entre deux fils parallèles séparés de 0.10 m, parcourus par I1=2.00 A et I2=3.00 A.",
"svg": "",
"choices": [
"A F/L = µ0 I1 I2/(2π d) = 1.20×10^-6 N/m",
"B F/L = µ0 I1 I2/(π d) = 2.40×10^-6 N/m",
"C F/L = µ0 I1 I2/(2 d) = 1.20×10^-7 N/m",
"D F/L = µ0 I1 I2/d = 2.40×10^-6 N/m",
"E F/L = µ0 I1 I2/(4π d) = 0.60×10^-6 N/m"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $$\\frac{F}{L}=\\frac{µ_0 I_1 I_2}{2π d}$$
2. Substitution : $$4π×10^{-7}×2×3/(2π×0.10)=1.2×10^{-6}$$
3. Résultat : $$1.20×10^{-6}\\,\\mathrm{N/m}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Exprimer la self-induction L d’une bobine de N spires, surface S, longueur l (ligne droite).",
"svg": "",
"choices": [
"A L = µ0 N^2 S/l",
"B L = µ0 N S/l",
"C L = µ0 N^2 l/S",
"D L = µ0 N^2 S l",
"E L = µ0 N S l"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $$L=\\frac{µ_0 N^2 S}{l}$$ pour solénoïde long.
2. Direct.
3. Choix A correct.
",
"id_category": "2",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un cylindre infini de rayon R parcouru par un courant de surface K φ̂. Déterminer B(r) pour rK φ̂ ",
"choices": [
"A B = µ0 K r/(2R) ê_z",
"B B = µ0 K/(2π R) ê_z",
"C B = µ0 K r^2/(2R^2) ê_z",
"D B = µ0 K r/(R) ê_z",
"E B = µ0 K/(2R) ê_z"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Ampère sur cercle de rayon r → B(2πr)=µ0 K(2πr)/2πR
2. Simplification → $$B=\\frac{µ_0 K r}{2R}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une sphère de rayon R est uniformément magnétisée suivant l’axe z avec M. Quel champ B intérieur crée-t-elle approximativement?",
"svg": "",
"choices": [
"A B = (2/3)µ0 M",
"B B = (1/3)µ0 M",
"C B = µ0 M",
"D B = (4/3)µ0 M",
"E B = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Résultat classique pour sphère uniformément magnétisée.
2. $$B_{int}=(2/3)µ_0 M$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Expliquer pourquoi en magnétostatique on peut définir un potentiel vecteur A tel que B=∇×A et donner une jauge courante.",
"svg": "",
"choices": [
"A div B=0 permet B=∇×A, jauge de Coulomb div A=0",
"B rot B=0 permet B=∇φ, jauge unitaire",
"C div B≠0 permet B=∇×A, jauge de Lorenz",
"D rot B=µ0 J permet B=∇×A, jauge de Coulomb",
"E div B=0 permet B=∇φ, jauge de Lorenz"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Div B=0 → existence de A tel que B=∇×A.
2. Jauge de Coulomb : div A=0.
3. Choix A correct.
",
"id_category": "2",
"id_number": "43"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un fil infini rectiligne parcouru par un courant $$I$$, déterminer le module du champ magnétique $$B$$ à la distance $$r$$ du fil.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ I ⁄ (2π r)",
"B B = μ₀ I ⁄ (4π r)",
"C B = μ₀ I ⁄ (π r)",
"D B = μ₀ I r ⁄ (2π)",
"E B = μ₀ I² ⁄ (2π r)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère : ∮B·dl = μ₀ I_enc ⟹ B·2πr = μ₀ I.
2. Substitution des données : B·2πr = μ₀ I.
3. Calcul intermédiaire : B = μ₀ I⁄(2πr).
4. Résultat final : B = μ₀ I⁄(2π r).
",
"id_category": "2",
"id_number": "44"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une boucle circulaire de rayon $$R$$ porte un courant $$I$$. Calculer le champ magnétique $$B$$ au centre de la boucle.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ I ⁄ (2R)",
"B B = μ₀ I ⁄ (2π R)",
"C B = μ₀ I ⁄ (4π R)",
"D B = μ₀ I ⁄ R",
"E B = μ₀ I π R"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Loi de Biot–Savart au centre : B = (μ₀ I)/(4π) ∮dl×r̂/r² → B = μ₀ I/(2R).
2. Formule générale : B = μ₀ I/(2R).
3. Substitution : id.
4. Résultat final : B = μ₀ I/(2R), soit μ₀ I/(2πR)? Correction: boucle entière donne B = μ₀ I/(2R), choix A. Mais la bonne formule est μ₀ I/(2R) → A.
",
"id_category": "2",
"id_number": "45"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Dans un solénoïde infini de densité linéique de spires $$n$$ et porteur de courant $$I$$, déterminer le champ magnétique intérieur $$B$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ n I",
"B B = μ₀ n I ⁄ 2",
"C B = μ₀ I ⁄ n",
"D B = μ₀ n I ⁄ π",
"E B = 2μ₀ n I"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère pour solénoïde : B·L = μ₀nIL ⟹ B = μ₀ n I.
2. Substitution des données.
3. Calcul intermédiaire : B = μ₀ n I.
4. Résultat final : B = μ₀ n I.
",
"id_category": "2",
"id_number": "46"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Deux fils parallèles et infiniment longs sont séparés de $$d$$ et portent des courants $$I_1$$ et $$I_2$$ de même sens. Calculer la force par unité de longueur entre eux.",
"svg": "",
"choices": [
"A F/L = μ₀ I₁ I₂ ⁄ (2π d)",
"B F/L = μ₀ I₁ I₂ ⁄ (4π d)",
"C F/L = μ₀ I₁ I₂ d",
"D F/L = μ₀ I₁ I₂ ⁄ d",
"E F/L = μ₀ d ⁄ (2π I₁ I₂)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force magnétique par unité de longueur : F/L = I₂ B₁ (µ₀ I₁)/(2π d).
2. Substitution : F/L = I₂·(μ₀ I₁)/(2π d).
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : μ₀ I₁ I₂/(2π d).
",
"id_category": "2",
"id_number": "47"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer le champ magnétique $$B$$ au centre d’un quadrilatère carré de côté $$a$$ parcouru par un courant $$I$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = (μ₀ I √2)/(π a)",
"B B = (μ₀ I)/(π a)",
"C B = (μ₀ I)/(4π a)",
"D B = (μ₀ I 2√2)/(a)",
"E B = μ₀ I a"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Contribution d’un côté au centre : B_side = (μ₀ I)/(4π a/2√2) = (μ₀ I √2)/(4π a).
2. Quatre côtés identiques → B = 4·B_side = (μ₀ I √2)/(π a).
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B = (μ₀ I √2)/(π a).
",
"id_category": "2",
"id_number": "48"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une boucle carrée de côté $$a$$ porte un courant $$I$$. Exprimer son moment dipolaire magnétique $$m$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A m = I a²",
"B m = I a",
"C m = I a³",
"D m = I a²/2",
"E m = I a² π"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Moment dipolaire : m = I × surface.
2. Surface carrée = a².
3. m = I a².
4. Résultat final : m = I a².
",
"id_category": "2",
"id_number": "49"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Déterminer le champ magnétique $$B$$ à l’intérieur d’un toroïde à $$N$$ spires, rayon moyen $$R$$ et courant $$I$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ N I ⁄ (2π R)",
"B B = μ₀ I ⁄ (2π R)",
"C B = μ₀ N I ⁄ R",
"D B = μ₀ N I R",
"E B = μ₀ I R"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère sur chemin circulaire : B·2πR = μ₀ N I.
2. Substitution : B = μ₀ N I/(2πR).
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B = μ₀ N I/(2π R).
",
"id_category": "2",
"id_number": "50"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un cylindre infini uniforme de rayon $$R$$ parcouru par une densité de courant $$J$$ axiale, déterminer $$B(r)$$ à l’intérieur et à l’extérieur.",
"svg": "",
"choices": [
"A B(rR)=μ₀JR²/(2r)",
"B B(rR)=μ₀JR²/r",
"C B(rR)=μ₀Jr/2",
"D B(rR)=μ₀JR/(2)",
"E B(rR)=μ₀JR²/(2r)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Ampère pour r2. Pour r>R: B·2πr=μ₀JπR² → B=μ₀J R²/(2r).
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : choix A.
",
"id_category": "2",
"id_number": "51"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Exprimer le potentiel vecteur $$A$$ d’un fil infini rectiligne portant un courant $$I$$ en jauge de Coulomb.",
"svg": "",
"choices": [
"A Aφ = μ₀ I/(2π) ln(r)",
"B Aφ = μ₀ I/(4π) ln(r)",
"C Aφ = μ₀ I r/(2π)",
"D Az = μ₀ I/(2π r)",
"E Ar = μ₀ I/(2π) ln(r)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Choix de jauge de Coulomb, Aφ(r)=μ₀I/(2π) ln(r/r₀).
2. Substitution conceptuelle.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : Aφ = μ₀ I/(2π) ln(r).
",
"id_category": "2",
"id_number": "52"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer l’inductance $$L$$ d’un solénoïde de longueur $$l$$, surface de section $$S$$ et $$N$$ spires.",
"svg": "",
"choices": [
"A L = μ₀ N² S/l",
"B L = μ₀ N S²/l",
"C L = μ₀ N² l/S",
"D L = μ₀ N S/l",
"E L = μ₀ N² S l"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Inductance solénoïde : L = μ₀ n² S l, avec n=N/l → L=μ₀ N² S/l.
2. Substitution des données.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : L = μ₀ N² S/l.
",
"id_category": "2",
"id_number": "53"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Montrer que la divergence du champ magnétique est nulle, c’est-à-dire $$∇·B=0$$, et expliquer la conséquence physique.",
"svg": "",
"choices": [
"A Absence de monopôles magnétiques",
"B Conservation du courant",
"C Loi d’Ampère",
"D Flux magnétique non nul",
"E Existence de charges magnétiques"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation de Maxwell : ∇·B=0.
2. Signification : pas de sources ou puits de B.
3. Interprétation physique.
4. Résultat : absence de monopôles magnétiques.
",
"id_category": "2",
"id_number": "54"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Dans un matériau ferromagnétique uniformément aimanté de moment magnétique volumique $$M$$, calculer la densité de courant lié $$j_b$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A j_b = ∇×M",
"B j_b = ∇·M",
"C j_b = M",
"D j_b = 0",
"E j_b = M×r"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Courants liés : j_b = ∇×M.
2. Définition conceptuelle.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : j_b = ∇×M.
",
"id_category": "2",
"id_number": "55"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une tige circulaire de rayon $$R$$, parcourue par un courant $$I$$, produit un moment dipolaire $$m$$. Exprimer $$m$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A m = I π R²",
"B m = I 2π R",
"C m = I R²",
"D m = I π R",
"E m = I 2π R²"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. m = I·surface bouclée.
2. Surface cercle = πR².
3. m = I π R².
4. Résultat final : m = I π R².
",
"id_category": "2",
"id_number": "56"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer la force exercée sur un segment de longueur $$L$$ porté par un courant $$I$$ placé dans un champ magnétique uniforme $$B$$ perpendiculaire au segment.",
"svg": "",
"choices": [
"A F = I L B",
"B F = I L B sin(90°)",
"C F = I L B cos(90°)",
"D F = I L² B",
"E F = I² L B"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Laplace : F = I L × B, perpendiculaire → F = I L B sinθ.
2. θ=90° → sinθ=1.
3. F = I L B.
4. Résultat final : F = I L B.
",
"id_category": "2",
"id_number": "57"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Déterminer le champ magnétique $$B$$ sur l’axe d’une boucle circulaire de rayon $$R$$ à la distance $$x$$ du plan de la boucle.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ I R²/(2(R²+x²)^(3/2))",
"B B = μ₀ I R/(2(R²+x²)^(1/2))",
"C B = μ₀ I/(2π R²)",
"D B = μ₀ I R²/(4π(R²+x²)^(3/2))",
"E B = μ₀ I x/(2(R²+x²)^(3/2))"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Biot–Savart : B = (μ₀ I)/(4π)·2πR²/(R²+x²)^(3/2).
2. Simplification : B = μ₀ I R²/(2(R²+x²)^(3/2)).
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B = μ₀ I R²/(2(R²+x²)^(3/2)).
",
"id_category": "2",
"id_number": "58"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour une spire circulaire, calculer l’énergie magnétique stockée lorsqu’elle porte un courant $$I$$ et possède une inductance $$L$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A U = ½ L I²",
"B U = L I²",
"C U = ½ L² I",
"D U = ½ I²/L",
"E U = L² I²"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Énergie magnétique : U = ½ L I².
2. Substitution conceptuelle.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : U = ½ L I².
",
"id_category": "2",
"id_number": "59"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Deux courants surfaciques opposés $$K$$ circulent sur deux plans parallèles séparés de $$d$$. Déterminer le champ magnétique entre eux.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ K",
"B B = μ₀ K d",
"C B = μ₀ K /2",
"D B = 0",
"E B = 2μ₀ K"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Champ d’une surface : B = μ₀ K/2 de chaque côté.
2. Deux surfaces opposées → addition : μ₀K/2+μ₀K/2=μ₀K.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B = μ₀ K.
",
"id_category": "2",
"id_number": "60"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculer le champ magnétique $$B$$ à l’intérieur et à l’extérieur d’un ruban infini de largeur $$w$$ portant un courant surfacique $$K$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A B(int)=μ₀ K, B(ext)=0",
"B B(int)=0, B(ext)=μ₀ K",
"C B(int)=μ₀ K/2, B(ext)=μ₀ K/2",
"D B(int)=μ₀ K w, B(ext)=0",
"E B(int)=0, B(ext)=0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Surface infinie : champ intérieur = μ₀K, extérieur = 0.
2. Substitution conceptuelle.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B(int)=μ₀K, B(ext)=0.
",
"id_category": "2",
"id_number": "61"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une cuve cylindrique infinie est remplie d’un matériau aimantable à aimantation uniforme $$M$$ parallèle à l’axe. Déterminer le champ magnétique interne $$B$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ M",
"B B = 0",
"C B = μ₀ M/2",
"D B = 2μ₀ M",
"E B = μ₀ M²"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Aimantation uniforme → surface de courant lié K_b=M×n=0.
2. Pas de courant effectif → B interne = 0.
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B = 0.
",
"id_category": "2",
"id_number": "62"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Montrer que le champ magnétique sur l’axe d’un dipôle magnétique $$m$$ est donné par $$B = μ₀ m/(2π r³)$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀ m/(2π r³)",
"B B = μ₀ m/(4π r³)",
"C B = μ₀ m/(2 r³)",
"D B = μ₀ m/(π r³)",
"E B = μ₀ m/(4 r³)"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Formule dipôle: B = (μ₀/4π)(2m/r³).
2. Simplification : B = μ₀ m/(2π r³).
3. Calcul intermédiaire.
4. Résultat final : B = μ₀ m/(2π r³).
",
"id_category": "2",
"id_number": "63"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculez le champ magnétique $$B$$ au point M situé à une distance $$d$$ de long du fil infini parcouru par un courant $$I$$, en utilisant la loi de Biot-Savart.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi d}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{4\\pi d^{2}}$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{\\pi d}$$",
"D $$B = \\frac{2\\pi d}{\\mu_{0} I}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I d}{2\\pi}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$d\\mathbf{B} = \\frac{\\mu_{0}}{4\\pi} \\frac{I\\,d\\mathbf{\\ell} \\times \\hat{r}}{r^{2}}$$
2. Pour un fil infini, on obtient $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi d}$$
3. Remplacement : formule standard.
4. Résultat final : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi d}$$
5. Interprétation : champ circulaire autour du fil.
",
"id_category": "2",
"id_number": "64"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Déduisez, à partir de la loi d’Ampère, l’expression du champ magnétique $$B$$ dans un solénoïde infini parcouru par un courant $$I$$ et comportant $$n$$ spires par mètre.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\mu_{0} n I$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{n}$$",
"C $$B = \\mu_{0} I n^{2}$$",
"D $$B = \\mu_{0} n^{2} I$$",
"E $$B = \\frac{n I}{\\mu_{0}}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère : $$\\oint \\mathbf{B} \\cdot d\\mathbf{\\ell} = \\mu_{0} I_{enc}$$
2. Pour un chemin à l’intérieur du solénoïde, $$B \\times L = \\mu_{0} n I L$$
3. Donc $$B = \\mu_{0} n I$$
4. Résultat final : $$B = \\mu_{0} n I$$
5. Champ uniforme à l’intérieur.
",
"id_category": "2",
"id_number": "65"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une particule de charge $$q$$ et de vitesse $$v$$ perpendiculaire à un champ magnétique uniforme $$B$$ subit une force $$F$$. Quelle est la trajectoire et l’expression de $$F$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F = qvB$$ et trajectoire circulaire",
"B $$F = qvB$$ et trajectoire parabolique",
"C $$F = qv^{2}B$$ et trajectoire linéaire",
"D $$F = qB/v$$ et trajectoire circulaire",
"E $$F = qv/B$$ et trajectoire hélicoïdale"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Lorentz : $$\\mathbf{F} = q\\,\\mathbf{v} \\times \\mathbf{B}$$
2. Si $$v \\perp B$$, alors $$F = qvB$$
3. Force centripète → trajectoire circulaire
4. Rayon de courbure : $$R = \\frac{mv}{qB}$$
5. Interprétation : mouvement uniforme en cercle.
",
"id_category": "2",
"id_number": "66"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "On a un dipôle magnétique ponctuel de moment $$m$$ au centre d’un cercle de rayon $$R$$. Donnez l’expression du champ magnétique $$B$$ au centre du cercle en fonction de $$m$$ et $$R$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} m}{2\\pi R^{3}}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} m}{4\\pi R^{3}}$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} m}{2 R^{3}}$$",
"D $$B = \\frac{2\\mu_{0} m}{4\\pi R^{3}}$$",
"E $$B = \\frac{2\\pi \\mu_{0} m}{R^{3}}$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Champ d’un dipôle : $$\\mathbf{B}(\\mathbf{r}) = \\frac{\\mu_{0}}{4\\pi r^{3}}(3(\\mathbf{m}\\cdot\\hat{r})\\hat{r} - \\mathbf{m})$$
2. En centre du cercle, r = R et m ⟂ r → $$B = \\frac{\\mu_{0} m}{4\\pi R^{3}}$$
3. Résultat final : $$B = \\frac{\\mu_{0} m}{4\\pi R^{3}}$$
4. Direction permanente.
5. Cas ponctuel idéal.
",
"id_category": "2",
"id_number": "67"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculez la circulation $$\\oint \\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{\\ell}$$ autour d’un rectangle englobant un fil infini parcouru par un courant $$I$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mu_{0} I$$",
"B $$2\\pi \\mu_{0} I$$",
"C $$0$$",
"D $$\\frac{\\mu_{0} I}{2}$$",
"E $$\\frac{I}{\\mu_{0}}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère : $$\\oint \\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{\\ell} = \\mu_{0} I_{enc}$$
2. Le rectangle encercle le fil → $$I_{enc} = I$$
3. Donc circulation = $$\\mu_{0} I$$
4. Résultat final : $$\\mu_{0} I$$
5. Indépendant de la forme du chemin.
",
"id_category": "2",
"id_number": "68"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculez l’énergie magnétique stockée dans un solénoïde de volume $$V$$, champ $$B$$ uniforme et perméabilité $$\\mu_{0}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$U = \\frac{B^{2} V}{2\\mu_{0}}$$",
"B $$U = \\frac{\\mu_{0} B^{2} V}{2}$$",
"C $$U = \\frac{B V}{2\\mu_{0}}$$",
"D $$U = \\frac{B^{2} V}{\\mu_{0}}$$",
"E $$U = \\mu_{0} B^{2} V$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Densité d’énergie : $$u = \\frac{B^{2}}{2\\mu_{0}}$$
2. Énergie totale : $$U = \\int u\\,dV = \\frac{B^{2}}{2\\mu_{0}} V$$
3. Résultat final : $$U = \\frac{B^{2} V}{2\\mu_{0}}$$
4. Pour champ uniforme.
5. Indépendant de la géométrie.
",
"id_category": "2",
"id_number": "69"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une boucle circulaire de rayon $$R$$ porte un courant $$I$$. Calculez le champ magnétique $$B$$ au centre de la boucle.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{R}$$",
"C $$B = \\frac{2\\mu_{0} I}{R}$$",
"D $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{4\\pi R}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi R}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Biot-Savart pour boucle : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$
2. Dérivation classique.
3. Résultat final : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$
4. Direction normale au plan.
5. Champ maximal au centre.
",
"id_category": "2",
"id_number": "70"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Deux fils parallèles, séparés de $$d$$ et parcourus par des courants $$I$$ de même sens, créent un champ magnétique. Calculez le champ résultant au point situé à égale distance des deux fils.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{\\pi d}$$",
"B $$B = \\frac{2\\mu_{0} I}{\\pi d}$$",
"C $$B = 0$$",
"D $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi d}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{d}$$"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. Champ de chaque fil : $$B_{1} = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi (d/2)}$$ vers le haut, $$B_{2}$$ vers le bas
2. Valeurs égales et sens opposés.
3. Superposition → $$B_{tot} = 0$$
4. Résultat final : $$0$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "71"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour un fil infini, le potentiel vecteur $$A$$ en coordonnées cylindriques s’écrit $$A_{\\phi} = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi} \\ln \\rho$$. Calculez $$B$$ à partir de $$A$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi \\rho}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi} \\ln \\rho$$",
"C $$B = \\mu_{0} I \\rho$$",
"D $$B = \\frac{I}{\\rho}$$",
"E $$B = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$\\mathbf{B} = \\nabla \\times \\mathbf{A}$$
2. En coordonnées cylindriques, $$B_{z} = \\frac{1}{\\rho} \\frac{\\partial}{\\partial \\rho}(\\rho A_{\\phi})$$
3. $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi \\rho}$$
4. Résultat final : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi \\rho}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "72"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Deux bobines identiques de rayon $$R$$ sont séparées par $$R$$ et parcourues par $$I$$. Calculez le champ magnétique au centre.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{8\\mu_{0} I}{5\\sqrt{5} R}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{R}$$",
"C $$B = \\frac{4\\mu_{0} I}{5R}$$",
"D $$B = \\frac{8\\mu_{0} I}{5 R}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Champ d’une bobine : $$B = \\frac{\\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$$
2. Pour Helmholtz, x = R/2
3. Somme des deux bobines → $$B = \\frac{8\\mu_{0} I}{5\\sqrt{5} R}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "73"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un fil rectiligne de longueur $$L$$ porte un courant $$I$$. Calculez le champ magnétique au centre du fil.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{4\\pi d}(\\sin \\alpha + \\sin \\beta)$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi d}$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} I L}{2\\pi d}$$",
"D $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{4\\pi d}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{\\pi d}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Biot-Savart : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{4\\pi d}(\\sin \\alpha + \\sin \\beta)$$
2. Pour un fil de -L/2 à L/2, $$\\alpha=\\beta=90°$$ → $$\\sin\\alpha+\\sin\\beta=2$$
3. $$B=\\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi d}$$
4. Forme générale donnée.
",
"id_category": "2",
"id_number": "74"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Dans un milieu magnétique linéaire, la densité d’énergie magnétique s’écrit $$u = \\frac{1}{2} \\mathbf{B}\\cdot\\mathbf{H}$$. Exprimez $$u$$ en fonction de $$B$$ et $$\\mu$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$u = \\frac{B^{2}}{2\\mu}$$",
"B $$u = \\frac{\\mu B^{2}}{2}$$",
"C $$u = \\frac{B^{2}}{\\mu}$$",
"D $$u = \\mu B^{2}$$",
"E $$u = \\frac{B^{2}}{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Relation linéaire : $$\\mathbf{B}=\\mu\\mathbf{H}$$
2. $$u = \\tfrac{1}{2} B H = \\tfrac{1}{2} B\\frac{B}{\\mu} = \\frac{B^{2}}{2\\mu}$$
3. Résultat final : $$u = \\frac{B^{2}}{2\\mu}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "75"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un anneau de rayon $$R$$ et de section négligeable est parcouru par $$I$$. Calculez le champ magnétique $$B$$ sur l’axe à une distance $$x$$ du centre.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I R}{2(R^{2}+x^{2})}$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi(R^{2}+x^{2})}$$",
"D $$B = \\frac{\\mu_{0} I x}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I R^{2}}{2\\pi(R^{2}+x^{2})}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Biot-Savart pour boucle : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2} \\frac{R^{2}}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$$
2. Résultat final : $$B = \\frac{\\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}$$
3. Direction selon l’axe.
",
"id_category": "2",
"id_number": "76"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un cylindre infini de rayon $$R$$ porte un courant volumique uniforme $$j$$ selon l’axe. Calculez $$B$$ à l’intérieur (pour $$r\n R \n 1. Loi d’Ampère : $$\\oint B\\,d\\ell = \\mu_{0} I_{enc}$$
2. $$I_{enc} = j\\pi r^{2}$$
3. $$B2\\pi r = \\mu_{0} j\\pi r^{2}$$ → $$B = \\frac{\\mu_{0} j r}{2}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "77"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Pour une boucle plane parcourue par $$I$$, le moment magnétique $$m$$ vaut $$I S$$ où $$S$$ est l’aire. Calculez $$m$$ pour un rectangle de côtés $$a$$ et $$b$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$m = I a b$$",
"B $$m = I (a+b)$$",
"C $$m = I \\frac{ab}{2}$$",
"D $$m = I a^{2}b^{2}$$",
"E $$m = \\frac{I ab}{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Aire du rectangle : $$S = a b$$
2. $$m = I S = I a b$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "78"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un anneau de courant a une densité surfacique $$K$$ sur la circonférence. Calculez $$I$$ en fonction de $$K$$ et $$R$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$I = 2\\pi R K$$",
"B $$I = K R$$",
"C $$I = \\pi R K$$",
"D $$I = 2 K$$",
"E $$I = K R^{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Courant surfacique $$K$$ = courant par unité de longueur
2. Circonférence = $$2\\pi R$$
3. $$I = K \\times 2\\pi R$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "79"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un fil en hélice de rayon $$R$$ et pas $$p$$ porte un courant $$I$$. Calculez le composant axial $$B_{z}$$ du champ au centre.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B_{z} = \\frac{\\mu_{0} I p}{2R\\sqrt{p^{2}+4\\pi^{2}R^{2}}}$$",
"B $$B_{z} = \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$",
"C $$B_{z} = \\frac{\\mu_{0} I p}{R}$$",
"D $$B_{z} = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi R}$$",
"E $$B_{z} = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Projection du champ par superposition
2. Formule obtenue par intégration de Biot-Savart
3. Résultat final : $$B_{z} = \\frac{\\mu_{0} I p}{2R\\sqrt{p^{2}+4\\pi^{2}R^{2}}}$$
",
"id_category": "2",
"id_number": "80"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Deux fils parallèles, séparés de $$d$$ et parcourus par $$I_{1}$$ et $$I_{2}$$, subissent une force par unité de longueur $$f$$. Exprimez $$f$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$f = \\frac{\\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2\\pi d}$$",
"B $$f = \\frac{\\mu_{0} I_{1} I_{2}}{\\pi d}$$",
"C $$f = \\frac{\\mu_{0} I_{1} I_{2} d}{2\\pi}$$",
"D $$f = \\frac{2\\pi \\mu_{0} I_{1} I_{2}}{d}$$",
"E $$f = \\frac{\\mu_{0} I_{1} I_{2}}{d}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force magnétique : $$f = I_{2} B_{1}$$
2. $$B_{1} = \\frac{\\mu_{0} I_{1}}{2\\pi d}$$
3. $$f = \\frac{\\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2\\pi d}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "81"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Calculez l’inductance $$L$$ d’une bobine solénoïde de longueur $$l$$, de section $$S$$, et de $$N$$ spires.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$L = \\mu_{0} \\frac{N^{2} S}{l}$$",
"B $$L = \\frac{\\mu_{0} N S}{l}$$",
"C $$L = \\mu_{0} \\frac{N S}{l^{2}}$$",
"D $$L = \\mu_{0} \\frac{S}{l}$$",
"E $$L = \\mu_{0} N^{2} l /S$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Inductance solénoïde : $$L = \\mu_{0} n^{2} S l$$ avec $$n=N/l$$
2. $$L = \\mu_{0} \\frac{N^{2} S}{l}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "82"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une spire rectangulaire porte un courant $$I$$ et est placée dans un champ magnétique uniforme $$B$$. Calculez le moment de force (couple) $$\\tau$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\tau = I S B$$",
"B $$\\tau = I (a+b) B$$",
"C $$\\tau = I a b B$$",
"D $$\\tau = I (2a+2b) B$$",
"E $$\\tau = I B$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Moment magnétique : $$m = I S$$ avec $$S=ab$$
2. Couple : $$\\tau = m B = I ab B$$
3. Forme générale : $$\\tau = I S B$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "83"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "À la surface d’un conducteur parfait, quelle est la composante du champ magnétique $$B_{\\perp}$$ et $$B_{\\parallel}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B_{\\perp}=0,\\ B_{\\parallel}$$ continu",
"B $$B_{\\parallel}=0,\\ B_{\\perp}$$ continu",
"C $$B_{\\perp}=\\mu_{0}\\sigma,\\ B_{\\parallel}=0$$",
"D $$B_{\\perp},B_{\\parallel}$$ discontinus",
"E $$B_{\\perp}=0,\\ B_{\\parallel}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Dans un conducteur parfait, pas de champ pénétrant perpendiculairement → $$B_{\\perp}=0$$
2. Continuité de $$B_{\\parallel}$$ à travers la surface
3. Résultat final : $$B_{\\perp}=0,\\ B_{\\parallel}$$ continu.
",
"id_category": "2",
"id_number": "84"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Sur une surface plane, on impose une densité surfacique de courant $$K$$ uniforme. Calculez le saut de la composante tangente du champ magnétique $$B_{\\parallel}$$ à travers la surface.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B_{\\parallel}^{+}-B_{\\parallel}^{-} = \\mu_{0} K$$",
"B $$B_{\\parallel}^{+}-B_{\\parallel}^{-} = K$$",
"C $$B_{\\perp}^{+}-B_{\\perp}^{-} = \\mu_{0} K$$",
"D $$B_{\\parallel}^{+}-B_{\\parallel}^{-} = \\mu_{0} K/2$$",
"E $$B_{\\perp}^{+}-B_{\\perp}^{-} = K$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Condition de saut d’Ampère : $$\\hat{n} \\times (\\mathbf{B}^{+}-\\mathbf{B}^{-}) = \\mu_{0} \\mathbf{K}$$
2. Composante tangentielle → $$B_{\\parallel}^{+}-B_{\\parallel}^{-} = \\mu_{0} K$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "85"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Évaluez le rayon de Larmor d’un électron de charge $$e$$ et de masse $$m$$ se déplaçant à $$v$$ perpendiculairement à $$B$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$R = \\frac{mv}{eB}$$",
"B $$R = \\frac{eB}{mv}$$",
"C $$R = \\frac{mv^{2}}{eB}$$",
"D $$R = \\frac{mv}{eB^{2}}$$",
"E $$R = \\frac{eBv}{m}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force centripète : $$evB = \\frac{mv^{2}}{R}$$
2. $$R = \\frac{mv}{eB}$$
3. Résultat final.
4. Mouvement circulaire.
",
"id_category": "2",
"id_number": "86"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Une bobine rectangulaire mobile entre deux pôles magnétiques subit une force $$F$$. Exprimez $$F$$ en fonction de $$I$$, $$B$$, largeur $$a$$ et longueur $$b$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F = I a B$$",
"B $$F = I a b B$$",
"C $$F = I b B$$",
"D $$F = B a$$",
"E $$F = I B$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Laplace sur un côté de longueur $$a$$ : $$F = I (a \\times B)$$
2. Seule dimension $$a$$ intervient.
3. Résultat final : $$F = I a B$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "87"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un conducteur en forme de U porte un courant $$I$$ et est placé dans $$B$$ perpendiculaire. Calculez le couple agissant sur la branche mobile de longueur $$l$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\tau = I B l^{2}$$",
"B $$\\tau = I B l$$",
"C $$\\tau = I B l/2$$",
"D $$\\tau = I B l^{3}$$",
"E $$\\tau = I B$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Couple : $$\\tau = m B = (I l^{2}) B?$$ Non
2. Moment magnétique : $$m = I S = I (l \\times d)$$ mais ici branche mobile, $$F=I l B$$
3. Couple = $$F \\times d$$ ; si distance 1 → $$\\tau = I B l$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "88"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un fil en spirale plane à pas constant porte $$I$$. Exprimez le champ magnétique $$B$$ au centre pour $$N$$ spires de rayon moyen $$R$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} I N}{2R}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2RN}$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} I N^{2}}{2R}$$",
"D $$B = \\frac{2\\mu_{0} I N}{R}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{R}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Superposition de N spires
2. Chaque spire : $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$
3. $$B_{tot} = N \\times \\frac{\\mu_{0} I}{2R}$$
4. Résultat final : $$B = \\frac{\\mu_{0} I N}{2R}$$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "89"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un plan infini porte une densité surfacique de courant $$K$$. Calculez le champ magnétique $$B$$ de chaque côté du plan.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} K}{2}$$",
"B $$B = \\mu_{0} K$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} K}{4}$$",
"D $$B = \\frac{2\\mu_{0} K}{\\pi}$$",
"E $$B = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère autour d’un chemin rectangulaire
2. $$B2L = \\mu_{0} K L$$ → $$B = \\frac{\\mu_{0} K}{2}$$ de chaque côté
3. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "90"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un cylindre infini a une densité volumique de courant $$j(r) = j_{0} (r/R)$$ pour $$r\n R \n",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} r^{2}}{3R}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} r}{2R}$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} r^{3}}{4R}$$",
"D $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} R}{3r}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} R^{2}}{2r}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$I_{enc} = \\int_{0}^{r} j_{0}(r'/R)2\\pi r' dr' = \\frac{\\pi j_{0} r^{3}}{R}$$
2. Loi d’Ampère : $$B2\\pi r = \\mu_{0} I_{enc}$$
3. $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} r^{2}}{2R} \\times \\frac{r}{2r}?$$ reviser → $$B = \\frac{\\mu_{0} j_{0} r^{2}}{3R}$$
4. Résultat.
",
"id_category": "2",
"id_number": "91"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un toroïde de rayon moyen $$R$$, de section $$S$$ et de $$N$$ spires est parcouru par $$I$$. Calculez $$B$$ à l’intérieur.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu_{0} N I}{2\\pi R}$$",
"B $$B = \\mu_{0} N I R$$",
"C $$B = \\frac{\\mu_{0} N I}{R}$$",
"D $$B = \\frac{2\\mu_{0} N I}{R}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi R}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère sur un cercle de rayon $$R$$ à l’intérieur du toroïde
2. $$B2\\pi R = \\mu_{0} N I$$
3. $$B = \\frac{\\mu_{0} N I}{2\\pi R}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "92"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Dans une IRM, on utilise un champ $$B_{0}$$ pour aligner les spins. Calculez la fréquence de Larmor $$\\omega$$ d’un proton (charge $$e$$, masse $$m$$).",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\omega = \\frac{eB_{0}}{m}$$",
"B $$\\omega = \\frac{eB_{0}}{2m}$$",
"C $$\\omega = \\frac{2eB_{0}}{m}$$",
"D $$\\omega = \\frac{e^{2}B_{0}}{m}$$",
"E $$\\omega = \\frac{eB_{0}}{m^{2}}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Fréquence de Larmor : $$\\omega = \\frac{qB}{m}$$
2. Pour un proton, $$q=e$$, $$m$$ masse du proton
3. $$\\omega = \\frac{eB_{0}}{m}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "93"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "Un toroïde avec noyau magnétique de perméabilité $$\\mu$$ a $$N$$ spires et courant $$I$$. Exprimez $$B$$ dans le noyau.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$B = \\frac{\\mu N I}{2\\pi R}$$",
"B $$B = \\frac{\\mu_{0} N I}{2\\pi R}$$",
"C $$B = \\frac{N I}{2\\pi R}$$",
"D $$B = \\frac{\\mu N I}{R}$$",
"E $$B = \\frac{\\mu_{0} I}{2\\pi}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi d’Ampère : $$B2\\pi R = \\mu N I$$
2. $$B = \\frac{\\mu N I}{2\\pi R}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "2",
"id_number": "94"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "1. Quel est le champ magnétique au centre d’un cercle de rayon R parcouru par un courant I ?",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀I/(2R)",
"B B = μ₀I/(2πR)",
"C B = μ₀I/(4πR)",
"D B = μ₀I/R",
"E B = 2μ₀I/(πR)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. On utilise la loi de Biot–Savart pour un cercle complet: $$B=\\frac{μ_{0}I}{4πR}2π=\\frac{μ_{0}I}{2R}$$. \n2. Substitution formelle non numérique. \n3. La factor 2π provient de l’intégration sur l’angle. \n4. Le choix A restitue exactement l’expression classique. \n5. Les autres propositions omettent ou déforment le facteur 2.
",
"id_category": "2",
"id_number": "95"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "2. Dans un solénoïde long de n spires par mètre et de courant I, quelle est l’expression du champ magnétique à l’intérieur ?",
"svg": "",
"choices": [
"A B = μ₀nI",
"B B = μ₀nI/2",
"C B = μ₀nI/(2π)",
"D B = μ₀I/(n)",
"E B = 2μ₀nI"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Dans un solénoïde long, le champ est uniforme et vaut $$B=μ_{0}nI$$. \n2. Il dérive de $$\\oint B·dl=μ_{0}NI$$ puis N= n·L. \n3. Les autres choix introduisent des facteurs erronés. \n4. Seul A est la formule standard pour solénoïde infini. \n5. Les contributions extérieures sont négligeables.
",
"id_category": "2",
"id_number": "96"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "3. Quel est le flux magnétique à travers une surface S pour un champ constant B parallèle à la normale ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Φ = B·S",
"B Φ = B·S·cosθ",
"C Φ = B/S",
"D Φ = BS/μ₀",
"E Φ = μ₀BS"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Le flux se définit $$Φ=∬B·dS$$. \n2. Si B parallèle à la normale, cosθ=1, donc $$Φ=B·S$$. \n3. Les autres choix ajoutent des facteurs inutiles. \n4. A correspond à la définition directe. \n5. On n’introduit ni μ₀ ni cosθ.
",
"id_category": "2",
"id_number": "97"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "4. Deux fils parallèles infiniment longs, distants d, portent des courants I₁ et I₂. Quelle est la force par unité de longueur entre eux ?",
"svg": "",
"choices": [
"A F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)",
"B F/L = μ₀I₁I₂/(πd)",
"C F/L = μ₀I₁I₂/(4πd)",
"D F/L = 2μ₀I₁I₂/(πd)",
"E F/L = μ₀I₁I₂ d/(2π)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La force par unité de longueur s’écrit $$F/L=μ_{0}I_{1}I_{2}/(2πd)$$ selon la loi de Biot–Savart et Lorentz. \n2. Substitution formelle non numérique. \n3. Les autres formes sont incorrectes par facteur 2 ou d. \n4. A est la loi standard pour fils parallèles. \n5. Le signe dépend de la direction des courants.
",
"id_category": "2",
"id_number": "98"
},
{
"category": "Magnétostatique",
"question": "5. Quel est le potentiel vecteur A au point P produit par un courant élémentaire Idl à distance r, en jauge Coulomb ?",
"svg": "",
"choices": [
"A A(P) = (μ₀/4π) ∫ I dl/r",
"B A(P) = (μ₀/2π) ∫ I dl/r",
"C A(P) = μ₀ ∫ I dl/r",
"D A(P) = (1/4πε₀) ∫ I dl/r",
"E A(P) = (μ₀/4π) ∫ I dl·r"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. En jauge Coulomb, $$A(P)=\\frac{μ_{0}}{4π}∫\\frac{I\\,dl}{r}$$. \n2. Intégration sur le fil : forme compacte. \n3. Les autres choix manquent de μ₀ ou remplacent ε₀. \n4. A est donc la définition canonique du potentiel vecteur. \n5. r au dénominateur, pas sous produit scalaire.
",
"id_category": "2",
"id_number": "99"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Énoncez la loi de Gauss pour le champ électrique et calculez le flux $$\\Phi_E$$ à travers une sphère de rayon $$R$$ centrée sur une charge $$Q$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\Phi_E = \\frac{Q}{\\varepsilon_{0}}$$",
"B $$\\Phi_E = \\frac{Q}{4\\pi\\varepsilon_{0}R^{2}}$$",
"C $$\\Phi_E = Q\\varepsilon_{0}$$",
"D $$\\Phi_E = \\frac{Q}{4\\varepsilon_{0}}$$",
"E $$\\Phi_E = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\oint \\mathbf{E}\\cdot d\\mathbf{S} = \\frac{Q_{enc}}{\\varepsilon_{0}}$$
2. Pour une sphère, $$\\mathbf{E}$$ est radial et constant en module = $$\\frac{Q}{4\\pi\\varepsilon_{0}R^{2}}$$
3. Flux : $$\\Phi_E = E\\times 4\\pi R^{2} = \\frac{Q}{\\varepsilon_{0}}$$
4. Résultat final : $$\\Phi_E = \\frac{Q}{\\varepsilon_{0}}$$
5. Indépendant de $$R$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "La loi de Gauss magnétique s’écrit $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B}=0$$. Quel flux magnétique $$\\Phi_B$$ à travers toute surface fermée ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\Phi_B = 0$$",
"B $$\\Phi_B = \\mu_{0}I$$",
"C $$\\Phi_B = Q_m$$",
"D $$\\Phi_B = \\frac{Q_m}{\\mu_{0}}$$",
"E $$\\Phi_B = \\Phi_E$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation : $$\\oint \\mathbf{B}\\cdot d\\mathbf{S} = 0$$
2. Aucun monopôle magnétique → flux nul.
3. Résultat final : $$\\Phi_B = 0$$
4. Vérification : indépendamment de la forme de la surface.
",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un circuit de résistance $$R$$ entoure une surface parcourue par un flux magnétique variant selon $$\\Phi_B(t)=\\Phi_{0}\\cos(\\omega t)$$. Calculez la fem induite $$\\mathcal{E}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E} = \\omega\\Phi_{0}\\sin(\\omega t)$$",
"B $$\\mathcal{E} = -\\omega\\Phi_{0}\\sin(\\omega t)$$",
"C $$\\mathcal{E} = \\Phi_{0}\\cos(\\omega t)$$",
"D $$\\mathcal{E} = -\\Phi_{0}\\omega\\cos(\\omega t)$$",
"E $$\\mathcal{E} = R\\omega\\Phi_{0}\\sin(\\omega t)$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Loi de Faraday : $$\\mathcal{E} = -\\frac{d\\Phi_B}{dt}$$
2. $$\\Phi_B=\\Phi_{0}\\cos(\\omega t)$$ → $$d\\Phi_B/dt = -\\Phi_{0}\\omega\\sin(\\omega t)$$
3. $$\\mathcal{E} = -(-\\Phi_{0}\\omega\\sin(\\omega t)) = \\Phi_{0}\\omega\\sin(\\omega t)$$
4. Signe : $$\\mathcal{E} = -d\\Phi_B/dt$$ → $$-(-...)=+...$$ mais orientation prise négative → choix B.
5. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "La loi d’Ampère-Maxwell s’écrit $$\\nabla\\times\\mathbf{B} = \\mu_{0}\\mathbf{J} + \\mu_{0}\\varepsilon_{0} \\frac{\\partial\\mathbf{E}}{\\partial t}$$. Calculez le terme de déplacement pour $$E(t)=E_{0}e^{-\\alpha t}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0}(-\\alpha E_{0}e^{-\\alpha t})$$",
"B $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0}(\\alpha E_{0}e^{-\\alpha t})$$",
"C $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0}E_{0}e^{-\\alpha t}$$",
"D $$\\frac{\\partial E}{\\partial t}$$",
"E $$\\mu_{0}J$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Terme de déplacement : $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0} \\frac{\\partial E}{\\partial t}$$
2. $$dE/dt = -\\alpha E_{0}e^{-\\alpha t}$$
3. $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0}(-\\alpha E_{0}e^{-\\alpha t})$$
4. Résultat final : $$-\\mu_{0}\\varepsilon_{0}\\alpha E_{0}e^{-\\alpha t}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "À la limite entre deux milieux, la composante normale de $$\\mathbf{D}$$ subit un saut égal à $$\\sigma_{f}$$, surface de charge libre. Exprimez la condition de saut.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$D_{n}^{+}-D_{n}^{-} = \\sigma_{f}$$",
"B $$D_{n}^{+}-D_{n}^{-} = 0$$",
"C $$B_{n}^{+}-B_{n}^{-} = \\sigma_{f}$$",
"D $$E_{n}^{+}-E_{n}^{-}=\\sigma_{f}/\\varepsilon_{0}$$",
"E $$D_{n}^{+}+D_{n}^{-}=\\sigma_{f}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Condition de Gauss à la limite : $$\\hat{n}\\cdot(\\mathbf{D}^{+}-\\mathbf{D}^{-}) = \\sigma_{f}$$
2. Ce saut correspond à la charge libre.
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Montrez que dans le vide, les équations de Maxwell conduisent à l’équation d’onde pour $$\\mathbf{E}$$ : $$\\nabla^{2}\\mathbf{E} - \\mu_{0}\\varepsilon_{0}\\frac{\\partial^{2}\\mathbf{E}}{\\partial t^{2}}=0$$. Calculez la vitesse de propagation.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_{0}\\varepsilon_{0}}}$$",
"B $$c = \\sqrt{\\mu_{0}\\varepsilon_{0}}$$",
"C $$c = \\mu_{0}\\varepsilon_{0}$$",
"D $$c = \\frac{1}{\\mu_{0}}$$",
"E $$c = \\frac{1}{\\varepsilon_{0}}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. En combinant les lois de Faraday et d’Ampère-Maxwell
2. On obtient $$\\nabla^{2}E = \\mu_{0}\\varepsilon_{0} \\partial_{t}^{2}E$$
3. Forme d’onde : $$\\partial_{t}^{2}E - c^{2}\\nabla^{2}E =0$$
4. $$c = 1/\\sqrt{\\mu_{0}\\varepsilon_{0}}$$
5. Vitesse de la lumière dans le vide.
",
"id_category": "3",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "En jauge de Coulomb, on introduit le potentiel scalaire $$\\phi$$ et vecteur $$\\mathbf{A}$$. Exprimez la condition de jauge de Coulomb.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\nabla\\cdot\\mathbf{A} = 0$$",
"B $$\\nabla\\times\\mathbf{A} = 0$$",
"C $$\\nabla\\phi = 0$$",
"D $$\\partial_{t}\\phi = 0$$",
"E $$\\mathbf{A} = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Jauge de Coulomb : $$\\nabla\\cdot\\mathbf{A} = 0$$
2. Simplifie l’équation du potentiel scalaire.
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "L’énergie électromagnétique volumique s’écrit $$u = \\tfrac12(\\varepsilon_{0}E^{2}+\\tfrac{B^{2}}{\\mu_{0}})$$. Calculez l’énergie totale $$U$$ entre $$E=E_{0}\\sin(kz)$$ dans un volume $$V$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$U = \\int_{V} \\tfrac12\\varepsilon_{0}E_{0}^{2}\\sin^{2}(kz) dV + ...$$",
"B $$U = \\varepsilon_{0}E_{0}^{2}V$$",
"C $$U = \\tfrac12\\varepsilon_{0}E_{0}^{2}V$$",
"D $$U = \\tfrac12\\varepsilon_{0}E_{0}^{2}V + \\tfrac12\\tfrac{B^{2}}{\\mu_{0}}V$$",
"E $$U = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$U = \\int_{V} \\tfrac12(\\varepsilon_{0}E^{2}+B^{2}/\\mu_{0})dV$$
2. Substitution de $$E=E_{0}\\sin kz$$
3. $$U = \\tfrac12\\varepsilon_{0}E_{0}^{2} \\int\\sin^{2}(kz)dV + ...$$
4. Résultat intégral dépend de la géométrie de V.
",
"id_category": "3",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans l’équation d’Ampère-Maxwell, le terme de déplacement est $$\\varepsilon_{0}\\partial_{t}\\mathbf{E}$$. Calculez-le pour $$E(t)=E_{0}t$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\varepsilon_{0}E_{0}$$",
"B $$\\varepsilon_{0}t$$",
"C $$E_{0}t$$",
"D $$0$$",
"E $$\\varepsilon_{0}E_{0}t^{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$\\partial_{t}E = E_{0}$$
2. Terme de déplacement : $$\\varepsilon_{0}E_{0}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Exprimez la divergence de la rotation d’un champ vectoriel $$\\mathbf{A}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0$$",
"B $$\\nabla\\cdot(\\nabla\\times\\mathbf{A})$$",
"C $$\\nabla\\times(\\nabla\\cdot\\mathbf{A})$$",
"D $$\\nabla^{2}\\mathbf{A}$$",
"E $$\\mathbf{A}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Identité vectorielle : $$\\nabla\\cdot(\\nabla\\times\\mathbf{A})=0$$
2. Sépare divergence et rotation.
3. Résultat final : 0.
",
"id_category": "3",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "À la surface d’un conducteur, la composante tangente de $$\\mathbf{E}$$ est continue ou nulle ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$E_{\\parallel}=0$$",
"B $$E_{\\parallel}$$ continu non nul",
"C $$E_{\\perp}=0$$",
"D $$D_{\\parallel}=0$$",
"E $$B_{\\parallel}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Kondition : $$\\hat{n}\\times(\\mathbf{E}^{+}-\\mathbf{E}^{-})=0$$ mais dans un conducteur parfait $$E_{\\parallel}=0$$
2. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Définissez le vecteur de Poynting $$\\mathbf{S}$$ et calculez son expression pour $$\\mathbf{E}$$ et $$\\mathbf{B}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\mu_{0}}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$",
"B $$\\mathbf{S} = \\mathbf{E}+\\mathbf{B}$$",
"C $$\\mathbf{S} = \\mathbf{E}\\cdot\\mathbf{B}$$",
"D $$\\mathbf{S} = \\mu_{0}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$",
"E $$\\mathbf{S} = \\varepsilon_{0}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Définition : $$\\mathbf{S} = \\mathbf{E}\\times\\mathbf{H}$$ et $$\\mathbf{H}=\\mathbf{B}/\\mu_{0}$$
2. $$\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\mu_{0}}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Calculez l’impédance caractéristique du vide $$Z_{0}$$ définie par $$Z_{0}=\\sqrt{\\tfrac{\\mu_{0}}{\\varepsilon_{0}}}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$Z_{0} \\approx 377\\,\\mathrm{\\Omega}$$",
"B $$Z_{0} \\approx 377\\,\\mathrm{S}$$",
"C $$Z_{0} \\approx 120\\,\\mathrm{\\Omega}$$",
"D $$Z_{0} \\approx 120\\,\\mathrm{S}$$",
"E $$Z_{0} \\approx 1\\,\\mathrm{\\Omega}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Valeurs : $$\\mu_{0}=4\\pi\\times10^{-7},\\ \\varepsilon_{0}=8.85\\times10^{-12}$$
2. $$Z_{0}=\\sqrt{4\\pi\\times10^{-7}/8.85\\times10^{-12}}=377\\,\\mathrm{\\Omega}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Formulez le théorème de Poynting pour la conservation de l’énergie électromagnétique.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\frac{\\partial u}{\\partial t} + \\nabla\\cdot\\mathbf{S} = -\\mathbf{J}\\cdot\\mathbf{E}$$",
"B $$\\frac{\\partial u}{\\partial t} = \\nabla\\cdot\\mathbf{S}$$",
"C $$\\nabla\\times\\mathbf{S} = -\\mathbf{J}\\cdot\\mathbf{E}$$",
"D $$\\frac{\\partial u}{\\partial t} + \\nabla\\cdot\\mathbf{S} = 0$$",
"E $$\\frac{\\partial u}{\\partial t} = -\\nabla\\times\\mathbf{S}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Densité d’énergie : $$u = \\tfrac12(\\varepsilon_{0}E^{2}+B^{2}/\\mu_{0})$$
2. Poynting : $$\\frac{\\partial u}{\\partial t} + \\nabla\\cdot\\mathbf{S} = -\\mathbf{J}\\cdot\\mathbf{E}$$
3. Conservation incluant travail sur charges.
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un conducteur parfait, quelle est la valeur du champ électrique $$E$$ à l’intérieur et pourquoi ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$E = 0$$ car charges en équilibre",
"B $$E$$ constant non nul",
"C $$E \\propto r$$",
"D $$E \\propto 1/r$$",
"E $$E$$ indéfini"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Dans un conducteur idéal, charges libres se redistribuent pour annuler $$E$$
2. État d’équilibre électrostatique → $$E=0$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un disque conducteur de rayon $$R$$ tourne à $$\\omega$$ dans $$B$$ uniforme. Calculez la force électromotrice induite entre centre et bord.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E} = \\tfrac{1}{2} B \\omega R^{2}$$",
"B $$\\mathcal{E} = B \\omega R$$",
"C $$\\mathcal{E} = \\tfrac{1}{2} B \\omega R$$",
"D $$\\mathcal{E} = B R^{2}$$",
"E $$\\mathcal{E} = \\omega R^{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$E = (\\mathbf{v}\\times\\mathbf{B})\\cdot d\\mathbf{l}$$
2. $$v=\\omega r$$ → intégration de 0 à R
3. $$\\mathcal{E} = \\int_{0}^{R} B\\omega r dr = \\tfrac{1}{2}B\\omega R^{2}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Deux bobines à air de coefficients d’auto-inductance $$L_{1},L_{2}$$ et inductance mutuelle $$M$$. Quelle est la énergie $$U$$ stockée quand courants $$I_{1},I_{2}$$ circulent ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$U = \\tfrac12 L_{1}I_{1}^{2} + \\tfrac12 L_{2}I_{2}^{2} + M I_{1}I_{2}$$",
"B $$U = L_{1}I_{1}^{2} + L_{2}I_{2}^{2} + 2M I_{1}I_{2}$$",
"C $$U = \\tfrac12(L_{1}+L_{2})I^{2}+MI^{2}$$",
"D $$U = \\tfrac12 L_{1}I_{1}^{2} + M I_{1}I_{2}$$",
"E $$U = \\tfrac12 L_{2}I_{2}^{2} + M I_{1}I_{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Énergie : $$U = \\tfrac12 L_{1}I_{1}^{2} + \\tfrac12 L_{2}I_{2}^{2} + M I_{1}I_{2}$$
2. Terme mutuel : $$M I_{1}I_{2}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un fil porteur de $$I$$ est orienté selon l’axe $$z$$ dans $$B$$ uniforme perpendiculaire. Calculez la densité de force $$f$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{f} = I (\\mathbf{l} \\times \\mathbf{B})/V$$",
"B $$\\mathbf{f} = I \\mathbf{l} \\times \\mathbf{B}$$",
"C $$\\mathbf{f} = I \\mathbf{B}$$",
"D $$\\mathbf{f} = I B$$",
"E $$\\mathbf{f} = 0$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Force de Laplace : $$d\\mathbf{F} = I d\\mathbf{\\ell} \\times \\mathbf{B}$$
2. Densité linéique : $$\\mathbf{f} = I \\mathbf{l} \\times \\mathbf{B}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un conducteur en rotation produit une charge superficielle $$\\sigma$$. Quel champ $$B$$ engendre-t-il (général) ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Champ semblable dipolaire",
"B Champ de monopôle",
"C 0",
"D Uniforme",
"E Tourbillonnaire"
],
"correct": [
"E"
],
"explanation": "1. Rotation de charges → courant de surface circulaire
2. Génère un champ tourbillonnaire autour de l’axe.
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un cycle de dynamo, la tension induite $$\\mathcal{E}$$ est proportionnelle à $$d\\Phi_B/dt$$. Pour $$\\Phi_B = B_{0}A\\sin(\\omega t)$$, calculez $$\\mathcal{E}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E} = -B_{0}A\\omega \\cos(\\omega t)$$",
"B $$\\mathcal{E} = B_{0}A\\omega \\cos(\\omega t)$$",
"C $$\\mathcal{E} = -B_{0}A\\sin(\\omega t)$$",
"D $$\\mathcal{E} = B_{0}A\\sin(\\omega t)$$",
"E $$\\mathcal{E} = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$\\mathcal{E} = -d\\Phi_B/dt$$
2. $$d\\Phi_B/dt = B_{0}A\\omega\\cos(\\omega t)$$
3. $$\\mathcal{E} = -B_{0}A\\omega\\cos(\\omega t)$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Exprimez l’équation de continuité pour la charge $$\\rho$$ et densité de courant $$\\mathbf{J}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} + \\nabla\\cdot\\mathbf{J} = 0$$",
"B $$\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} - \\nabla\\cdot\\mathbf{J} = 0$$",
"C $$\\nabla\\times\\mathbf{J} = 0$$",
"D $$\\nabla\\cdot\\mathbf{E} = \\rho/\\varepsilon_{0}$$",
"E $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B} = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Conservation de la charge : $$\\partial_{t}\\rho + \\nabla\\cdot\\mathbf{J} = 0$$
2. Déduit de $$\\nabla\\cdot(\\varepsilon_{0}\\mathbf{E})=\\rho$$ et des équations de Maxwell.
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un matériau magnétique, on définit $$\\mathbf{B}=\\mu_{0}(\\mathbf{H}+\\mathbf{M})$$. Exprimez $$\\mathbf{M}$$ si $$\\mathbf{H}=H_{0}\\hat{z}$$ et susceptibilité $$\\chi_m$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathbf{M} = \\chi_{m} H_{0}\\hat{z}$$",
"B $$\\mathbf{M} = H_{0}/\\chi_{m}\\hat{z}$$",
"C $$\\mathbf{M} = \\chi_{m} \\mu_{0} H_{0}\\hat{z}$$",
"D $$\\mathbf{M} = H_{0}\\hat{z}$$",
"E $$\\mathbf{M} = \\frac{H_{0}\\hat{z}}{\\mu_{0}}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Définition de la susceptibilité : $$\\mathbf{M} = \\chi_{m}\\mathbf{H}$$
2. Avec $$H=H_{0}\\hat{z}$$ → $$M=\\chi_{m}H_{0}\\hat{z}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans la définition du tenseur de Maxwell, quelle composante exprime la densité d’énergie et quelle densité de flux ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$T^{00}=u,\\ T^{0i}=cS_{i}$$",
"B $$T^{00}=cS,\\ T^{0i}=u$$",
"C $$T^{00}=\\rho, T^{0i}=J_{i}$$",
"D $$T^{00}=p, T^{0i}=E_{i}$$",
"E $$T^{00}=S, T^{0i}=u$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Composante temporelle : densité d’énergie $$u$$
2. Composantes espace-temps : densité de flux $$S_{i}$$
3. $$T^{0i}=cS_{i}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "1. La loi de Gauss pour le champ électrique s’écrit $$∇·E = ρ/ε_0$$. Pour un champ donné par $$E(x,y,z) = (2x\\,\\mathrm{V/m})\\,\\mathbf i + (3y)\\,\\mathbf j + (4z)\\,\\mathbf k$$, calculer la densité volumique de charge $$ρ(x,y,z)$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A ρ = ε₀(2+3+4)",
"B ρ = ε₀·9",
"C ρ = ε₀·(2+3+4)",
"D ρ = ε₀·(2x+3y+4z)",
"E ρ = 0"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$∇·E = ∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z = ρ/ε_0$$.
2. Substitution : $$∂(2x)/∂x=2,\\ ∂(3y)/∂y=3,\\ ∂(4z)/∂z=4$$.
3. Calcul intermédiaire : $$∇·E = 2+3+4=9$$.
4. Densité : $$ρ = ε_0·9$$.
5. Résultat final : ρ = ε₀·(2+3+4).
",
"id_category": "3",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "2. La loi de Gauss pour le magnétisme est $$∇·B = 0$$. Pour un champ $$B(x,y,z) = (ax)\\,\\mathbf i + (by)\\,\\mathbf j + (cz)\\,\\mathbf k$$, quelles relations doivent satisfaire les coefficients $$a,b,c$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A a+b+c = 0",
"B a=b=c",
"C a·b·c = 0",
"D a+b = c",
"E a²+b²+c² = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation : $$∇·B = ∂(ax)/∂x + ∂(by)/∂y + ∂(cz)/∂z = 0$$.
2. Substitution : $$∂(ax)/∂x=a,\\ ∂(by)/∂y=b,\\ ∂(cz)/∂z=c$$.
3. Calcul intermédiaire : $$a+b+c=0$$.
4. Résultat final : a+b+c=0.
",
"id_category": "3",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "3. La loi de Faraday s’écrit $$∇×E = -∂B/∂t$$. Si $$B(t) = B_0 t\\,\\mathbf k$$ est uniforme, déterminer la circulation de $$E$$ sur un cercle de rayon $$R$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A ∮E·dl = -πR²B₀",
"B ∮E·dl = -2πRB₀",
"C ∮E·dl = -πR²B₀ t",
"D ∮E·dl = -πR²B₀",
"E ∮E·dl = 0"
],
"correct": [
"D"
],
"explanation": "1. Intégrale de Faraday : $$∮E·dl = -d/dt(∫B·dS)$$.
2. ∫B·dS = B₀ t·πR² -> dérivée = B₀·πR².
3. ∮E·dl = -πR² B₀.
4. Résultat final : -πR²B₀.
",
"id_category": "3",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "4. La loi d’Ampère–Maxwell est $$∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t$$. Pour un condensateur plan de surface $$S$$, champ électrique $$E(t)$$ variant, calculer le courant de déplacement $$I_d$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A I_d = ε₀ S dE/dt",
"B I_d = μ₀ S dE/dt",
"C I_d = ε₀ E/S",
"D I_d = ε₀ dE/dt",
"E I_d = μ₀ ε₀ S E"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Courant de déplacement : $$I_d = ε₀ d/dt(∫E·dS)$$.
2. ∫E·dS = E·S -> d/dt = S dE/dt.
3. I_d = ε₀ S dE/dt.
4. Résultat final : ε₀ S dE/dt.
",
"id_category": "3",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "8. Définir le vecteur de Poynting $$S = 1/μ_0 (E×B)$$. Pour $$E=E_0\\,\\mathbf i$$ et $$B=B_0\\,\\mathbf j$$, donner $$S$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A S = (E₀B₀/μ₀) k̂",
"B S = -(E₀B₀/μ₀) k̂",
"C S = E₀B₀ î",
"D S = E₀B₀ ĵ",
"E S = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. E×B = i×j = k.
2. S = 1/μ_0 E₀B₀ k̂.
3. Résultat final : (E₀B₀/μ₀)k̂.
",
"id_category": "3",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "10. En régime stationnaire, l’équation d’Ampère se réduit à $$∇×B = μ_0 J$$. Pour un fil infini, expliquer pourquoi $$∂E/∂t=0$$ garantit cette forme.",
"svg": "",
"choices": [
"A parce que dE/dt=0 élimine le terme de déplacement",
"B parce que J=0",
"C parce que B statique",
"D parce que ∇·E=0",
"E aucune raison"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Ampère–Maxwell : rot B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t.
2. Stationnaire → ∂E/∂t=0 élimine second terme.
3. Rot B = μ₀J.
4. Résultat : choix A.
",
"id_category": "3",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Une sphère de rayon R = 0.10 m porte une charge totale Q = 2.00×10^-6 C uniformément répartie sur sa surface. Calculer le flux du champ électrique à travers la surface gaussienne sphérique de rayon R. Utilisez la loi de Maxwell–Gauss.",
"svg": "",
"choices": [
"A Φ_E = Q/ε0 = 2.26×10^3 V·m",
"B Φ_E = 4πR^2·E = 1.13×10^3 V·m",
"C Φ_E = Q/(2ε0) = 1.13×10^3 V·m",
"D Φ_E = 0",
"E Φ_E = ε0 Q = 1.77×10^-17 V·m"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\Phi_E=\\frac{Q_{enc}}{\\varepsilon_0}$$
2. Substitution des données : $$Q_{enc}=2.00\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C},\\quad \\varepsilon_0=8.85\\times10^{-12}\\,\\mathrm{F/m}$$
3. Calcul intermédiaire : $$\\Phi_E=\\frac{2.00\\times10^{-6}}{8.85\\times10^{-12}}=2.26\\times10^5$$
4. Résultat final : $$\\Phi_E=2.26\\times10^5\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Pour un champ magnétique stationnaire autour d’un fil infini, justifier que div B = 0 en tout point et expliquer physiquement cette condition.",
"svg": "",
"choices": [
"A Aucun pôle magnétique isolé, donc div B=0",
"B B tourne en spire, div B≠0",
"C div B=µ0ρ_magnétique",
"D div B=J",
"E div B=∂ρ/∂t"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation de Maxwell–Thomson : $$\\nabla\\cdot\\mathbf{B}=0$$
2. Interprétation : absence de monopôles magnétiques isolés.
3. Physiquement, les lignes de B sont toujours bouclées.
4. Conclusion : div B = 0 car pas de sources magnétiques ponctuelles.
",
"id_category": "3",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Calculer le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde infini de densité n = 500 spires/m parcouru par I = 2.00 A en utilisant l’équation d’Ampère sans courant de déplacement.",
"svg": "",
"choices": [
"A B = µ0 n I = 1.26×10^-3 T",
"B B = µ0 I/(2πR) = 4.00×10^-7 T",
"C B = µ0 n I/2 = 6.28×10^-4 T",
"D B = µ0 I n^2 = 6.28×10^-1 T",
"E B = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation d’Ampère : $$B=µ_0 n I$$
2. Substitution : $$µ_0=4π×10^{-7},\\ n=500,\\ I=2$$
3. $$B=4π×10^{-7}×500×2=1.26×10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final : $$B=1.26×10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un condensateur plan à plaques parallèles (S=0.01 m^2, d=1.00 mm) alimenté par un courant i=1.00 A, calculer le courant de déplacement entre les plaques.",
"svg": "",
"choices": [
"A i_d = ε0 S(dE/dt) = 1.00 A",
"B i_d = i C = 8.85×10^-12 A",
"C i_d = ε0 A E/d = 0.0885 A",
"D i_d = 0",
"E i_d = i/(ε0) = 1.13×10^7 A"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Définition : $$i_d=ε_0\\frac{dΦ_E}{dt}=ε_0 S\\frac{dE}{dt}$$
2. Dans le circuit quasi-stationnaire, $$i_d = i$$
3. Donc $$i_d = 1.00\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat final : $$i_d=1.00\\,\\mathrm{A}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Montrer que l’équation de Maxwell–Gauss couplée à l’équation de Maxwell–Ampère modifiée implique l’équation de continuité $$\\nabla\\cdot\\mathbf J + \\frac{\\partial ρ}{\\partial t}=0$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Oui, par divergence d’Ampère modifiée",
"B Non, il faut l’équation de Poynting",
"C Oui, par rotation de Gauss",
"D Non, la continuité est indépendante",
"E Oui, par divergence de Faraday"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Prendre div des deux côtés de $$\\nabla×B=µ_0( J+ε_0\\partial E/\\partial t)$$
2. div(∇×B)=0 donc $$0=µ_0(\\nabla·J+ε_0\\partial(∇·E)/\\partial t)$$
3. Avec $$∇·E=ρ/ε_0$$ on obtient $$∇·J+∂ρ/∂t=0$$
4. Conclusion : équation de continuité validée.
",
"id_category": "3",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un guide d’onde, on mesure E = 100 V/m et B = 0.33 mT perpendiculaires et en phase. Calculer la densité de flux d’énergie S = E×B/µ0.",
"svg": "",
"choices": [
"A S = EB/µ0 = 2.64×10^7 W/m²",
"B S = EB = 33 W/m²",
"C S = EB/2µ0 = 1.32×10^7 W/m²",
"D S = µ0 EB = 4.16×10^-4 W/m²",
"E S = E^2/µ0 = 1.27×10^4 W/m²"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Définition : $$S=\\frac{E B}{µ_0}$$
2. Substitution : $$E=100, B=0.33×10^{-3}, µ_0=4π×10^{-7}$$
3. Calcul : $$S=100×0.33×10^{-3}/(4π×10^{-7})=2.64×10^7$$
4. Résultat final : $$S=2.64×10^7\\,\\mathrm{W/m^2}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Montrer que les équations de Maxwell dans le vide conduisent à l’équation d’onde $$\\nabla^2 E - \\mu_0 ε_0 \\frac{\\partial^2 E}{\\partial t^2}=0$$ et déterminer la vitesse de propagation c.",
"svg": "",
"choices": [
"A c=1/√(µ0ε0)",
"B c=√(µ0ε0)",
"C c=µ0/ε0",
"D c=ε0/µ0",
"E c=µ0ε0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Combinaison de rot E et rot B modifiée → onde.
2. Forme : $$∇^2 E = µ_0ε_0 ∂^2E/∂t^2$$
3. Vitesse c = 1/√(µ_0ε_0).
4. Résultat final : $$c=1/\\sqrt{µ_0ε_0}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "À l’interface entre deux diélectriques sans charge de surface, quelle condition impose Maxwell–Gauss électrique sur E⊥ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A E1⊥ = E2⊥",
"B E1⊥ - E2⊥ = σ/ε0",
"C D1⊥ = D2⊥",
"D E1‖ = E2‖",
"E B1⊥ = B2⊥"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Gauss : $$∮E·dS=Q_{surf}/ε_0$$
2. Sans charge de surface → Q=0
3. Donc E⊥ continu : $$E_{1⊥}=E_{2⊥}$$
4. Condition finale.
",
"id_category": "3",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "À l’interface entre deux milieux sans courant de surface, quelle condition impose Maxwell–Thomson sur B‖ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A B1‖ = B2‖",
"B B1‖ - B2‖ = µ0 K",
"C H1‖ = H2‖",
"D B1⊥ = B2⊥",
"E D1‖ = D2‖"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Thomson : $$∮B·dl=0$$
2. Sans courant de surface → contribution nulle
3. Donc B‖ continu : $$B_{1‖}=B_{2‖}$$
4. Condition finale.
",
"id_category": "3",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Expliquer pourquoi on peut définir un potentiel vecteur A tel que B=∇×A et donner la jauge de Coulomb.",
"svg": "",
"choices": [
"A div B=0 → B=∇×A, et div A=0",
"B rot B=0 → B=∇φ, et φ=0",
"C div E=ρ/ε0 → E=−∇V, et V=0",
"D rot E=−∂B/∂t → E=−∇×A, jauge Lorenz",
"E div B=0 → B=∇·A, et div A=ρ"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Condition : $$∇·B=0$$ permet existence de A tel que $$B=∇×A$$
2. Jauge de Coulomb : $$∇·A=0$$
3. Permet uniqueness du potentiel vecteur.
4. Explication achevée.
",
"id_category": "3",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans la jauge de Lorenz, quelle condition relie le potentiel scalaire V et le potentiel vecteur A ?",
"svg": "",
"choices": [
"A ∇·A + µ0ε0 ∂V/∂t = 0",
"B ∇·A = ρ",
"C ∂A/∂t = 0",
"D ∇×A = 0",
"E V=0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Jauge de Lorenz : $$∇·A+µ_0ε_0\\frac{∂V}{∂t}=0$$
2. Assure équations symétriques pour V et A.
3. Condition de couplage.
4. Explication finie.
",
"id_category": "3",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Lister les quatre équations de Maxwell en notation différentielle dans le vide.",
"svg": "",
"choices": [
"A Correctes",
"B Deux erreurs",
"C Trois erreurs",
"D Quatre erreurs",
"E Aucune"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Gauss électrique : $$∇·E=ρ/ε_0$$
2. Maxwell–Thomson : $$∇·B=0$$
3. Maxwell–Faraday : $$∇×E=−∂B/∂t$$
4. Maxwell–Ampère modifiée : $$∇×B=µ_0(J+ε_0∂E/∂t)$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Montrer que les équations de Maxwell conduisent à l’équation d’onde pour B : $$\\nabla^2 B - µ0ε0 ∂^2B/∂t^2=0$$ dans le vide.",
"svg": "",
"choices": [
"A Oui, en combinant rot rot B et Ampère",
"B Non, il faut la loi de Gauss",
"C Oui, en combinant div B et Faraday",
"D Non, B ne propage pas d’onde",
"E Oui, en combinant rot E et Thomson"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Appliquer $$∇×(∇×B)=∇(∇·B)-∇^2B$$
2. Avec $$∇·B=0$$ et Ampère modifiée
3. On obtient $$-∇^2B= -µ_0ε_0∂^2B/∂t^2$$
4. D’où l’équation d’onde.
",
"id_category": "3",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Calculer la densité d’énergie électromagnétique u pour E = 50 V/m et B = 0.02 T dans le vide.",
"svg": "",
"choices": [
"A u = ½(ε0E^2+ B^2/µ0) = 1.11×10^-8 J/m³",
"B u = ε0E^2 = 1.11×10^-10 J/m³",
"C u = B^2/µ0 = 3.18×10^-4 J/m³",
"D u = ε0E^2+B^2/µ0 = 3.18×10^-4 J/m³",
"E u = ½ε0E^2 = 5.55×10^-11 J/m³"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $$u=\\frac12(ε_0E^2+\\frac{B^2}{µ_0})$$
2. Substitution : $$ε_0=8.85×10^{-12}, E=50, B=0.02, µ_0=4π×10^{-7}$$
3. Calcul : $$u=½(8.85e-12×50^2+0.0004/1.26e-6)=1.11e-8$$
4. Résultat final : $$u=1.11×10^{-8}\\,J/m^3$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "43"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Montrer que la densité volumique de force magnétique sur un courant J dans un champ B est f = J×B et calculer f pour J = (1.00,0,0)×10^6 A/m², B = (0,0,0.50) T.",
"svg": "",
"choices": [
"A f = (0,0,1.00×10^6) N/m³",
"B f = (0, -0.5×10^6,0) N/m³",
"C f = (0,0,0) N/m³",
"D f = (0,0,-0.5×10^6) N/m³",
"E f = (0,0,0.5×10^6) N/m³"
],
"correct": [
"E"
],
"explanation": "1. Formule : $$f=J×B$$
2. J=(1e6,0,0), B=(0,0,0.5)
3. Produit vectoriel = (0, -1e6×0.5,0)? Correction → (0,1e6×0.5,0)=(0,0.5e6,0)
4. Résultat : $$f=(0,0.50×10^6,0)\\,N/m^3$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "44"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Pour un potentiel scalaire V(x,y) en électrostatique, montrer que Maxwell–Gauss conduit à l’équation de Poisson $$∇^2V=-ρ/ε0$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Oui, car E=-∇V et ∇·E=ρ/ε0",
"B Non, il faut rot E",
"C Oui, car B=∇×A",
"D Non, c’est l’équation d’onde",
"E Oui, par substitution dans Faraday"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. E=-∇V
2. Maxwell–Gauss : ∇·E=ρ/ε0 → ∇·(-∇V)=ρ/ε0
3. Soit $$-∇^2V=ρ/ε_0$$
4. Conclusion : $$∇^2V=-ρ/ε_0$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "45"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un plan infini porte une densité de charge σ = 1.00×10^-6 C/m². Déterminer le saut du champ électrique ⊥ à travers le plan.",
"svg": "",
"choices": [
"A E2⊥ - E1⊥ = σ/ε0 = 1.13×10^5 V/m",
"B E2⊥ - E1⊥ = 2σ/ε0 = 2.26×10^5 V/m",
"C E2⊥ - E1⊥ = 0",
"D E2‖ - E1‖ = σ/ε0",
"E E2⊥ - E1⊥ = ε0/σ"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Condition : $$E_{2⊥}-E_{1⊥}=σ/ε_0$$
2. Substitution : $$σ=1.00×10^{-6}, ε_0=8.85×10^{-12}$$
3. $$=1.13×10^5\\,\\mathrm{V/m}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "46"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Sur une surface porteuse d’un courant de densité de surface K = 5.00 A/m, calculer le saut du champ magnétique parallèle.",
"svg": "",
"choices": [
"A B2‖ - B1‖ = µ0 K = 6.28×10^-6 T",
"B B2‖ - B1‖ = 2µ0 K = 1.26×10^-5 T",
"C B2⊥ - B1⊥ = µ0 K",
"D B2‖ = B1‖",
"E B2‖ - B1‖ = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Condition : $$B_{2‖}-B_{1‖}=µ_0 K$$
2. Substitution : $$µ_0=4π×10^{-7}, K=5$$
3. $$=6.28×10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "47"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un matériau conducteur de conductivité σ = 1.00×10^7 S/m, déterminer le temps de relaxation τ = ε0/σ.",
"svg": "",
"choices": [
"A τ = ε0/σ = 8.85×10^-19 s",
"B τ = σ/ε0 = 1.13×10^18 s",
"C τ = ε0σ = 8.85×10^-5 s",
"D τ = 1/(ε0σ) = 1.13×10^5 s",
"E τ = ε0^2/σ = 7.83×10^-31 s"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $$τ=\\frac{ε_0}{σ}$$
2. Substitution : $$ε_0=8.85×10^{-12}, σ=1.00×10^7$$
3. $$τ=8.85×10^{-19}\\,\\mathrm{s}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "48"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Calculer la profondeur de peau δ dans un conducteur (µ0=4π×10^-7, σ=5.96×10^7 S/m) à f = 60 Hz, δ = √(2/(µ0σω)).",
"svg": "",
"choices": [
"A δ = 8.5×10^-4 m",
"B δ = 1.3×10^-3 m",
"C δ = 5.0×10^-2 m",
"D δ = 2.3×10^-5 m",
"E δ = 1.0×10^-6 m"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Formule : $$δ=\\sqrt{\\frac{2}{µ_0σω}}$$
2. ω=2π×60=377 rad/s
3. Substitution : $$δ=\\sqrt{2/(4π×10^{-7}×5.96×10^7×377)}=1.3×10^{-3}\\,m$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "3",
"id_number": "49"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Donner la version générale de l’équation d’Ampère–Maxwell en notation intégrale pour un circuit fermée C bordant une surface S.",
"svg": "",
"choices": [
"A ∮_C B·dl = µ0(I_enc + ε0 dΦ_E/dt)",
"B ∮_C E·dl = -dΦ_B/dt",
"C ∮_C B·dl = µ0 I_enc",
"D ∮_C E·dl = 0",
"E ∮_C D·dl = Q_enc"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Forme intégrale : $$\\oint_C\\mathbf{B}\\cdot d\\ell = µ_0 I_{enc} + µ_0ε_0\\frac{dΦ_E}{dt}$$
2. Inclut courant de déplacement.
3. Condition générale.
4. Fin de l’explication.
",
"id_category": "3",
"id_number": "50"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Pour une onde plane EM se propageant suivant ê_z, écrire les relations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère reliant E et B en notation complexe.",
"svg": "",
"choices": [
"A k×E = ω B, k×B = -ωµ0ε0 E",
"B k·E = ω B, k·B = ωµ0ε0 E",
"C k×E = -ω B, k×B = ωµ0ε0 E",
"D E×B = c^2 k",
"E k·E = 0, k·B = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Faraday : $$∇×E=-∂B/∂t → k×E=ω B$$
2. Maxwell–Ampère : $$∇×B=µ_0ε_0∂E/∂t → k×B=-ωµ_0ε_0 E$$
3. Relations en notation complexe.
4. Fin de l’explication.
",
"id_category": "3",
"id_number": "51"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "1. Énoncer la forme locale de l’équation de Maxwell–Gauss pour le champ électrique dans le vide et expliquer son interprétation physique en termes de sources.",
"svg": "",
"choices": [
"A div E = ρ/ε₀",
"B div E = 0",
"C div E = −∂B/∂t",
"D div E = μ₀ J",
"E div E = ∂E/∂t"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. L’équation de Maxwell–Gauss s’écrit $$\\nabla·E=\\frac{ρ}{ε_{0}}$$, liant divergence du champ électrique à la densité volumique de charge ρ.
2. Il s’agit de la forme locale, valable en chaque point du vide ou du matériau.
3. Physiquement, la divergence positive indique une source de lignes de champ (charge positive).
4. Aucune dérivée temporelle n’apparaît dans cette loi statique.
5. Seule l’option A correspond à l’expression canonique.
",
"id_category": "3",
"id_number": "52"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "2. Quelle est la forme locale de l’équation de Maxwell–Thomson (absence de monopole magnétique) et quelle conséquence sur les lignes de champ magnétique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A div B = 0",
"B div B = ρ/ε₀",
"C div B = −∂E/∂t",
"D div B = μ₀ J",
"E div B = ∂B/∂t"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. L’équation s’écrit $$\\nabla·B=0$$, indiquant l’absence de monopôles magnétiques.
2. Elle implique que les lignes de champ magnétique sont toujours fermées.
3. Il n’existe pas de source ou de puits pour B, contrairement à E.
4. Aucune contribution temporelle ou de courant n’apparaît ici.
5. Seule l’option A est conforme à Maxwell–Thomson.
",
"id_category": "3",
"id_number": "53"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "3. Écrire la forme locale de l’équation de Maxwell–Faraday et décrire comment elle conduit à la notion de champ électrique induit par un champ magnétique variable.",
"svg": "",
"choices": [
"A rot E = −∂B/∂t",
"B rot E = ∂B/∂t",
"C rot E = μ₀ J",
"D rot E = ρ/ε₀",
"E rot E = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Faraday local se formule $$\\nabla×E=-\\frac{\\partial B}{\\partial t}$$, liant rotationnel d’E à la variation temporelle de B.
2. Un champ magnétique variable induit un champ électrique non conservatif.
3. La boucle fermée de E est non nulle quand ∂B/∂t≠0.
4. Le signe moins correspond à la loi de Lenz (opposition).
",
"id_category": "3",
"id_number": "54"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "4. Indiquer la forme locale de l’équation de Maxwell–Ampère avec courant de déplacement et expliquer le rôle du terme en ∂E/∂t.",
"svg": "",
"choices": [
"A rot B = μ₀(J + ε₀∂E/∂t)",
"B rot B = μ₀ J",
"C rot B = ε₀∂E/∂t",
"D rot B = −μ₀ J",
"E rot B = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Ampère local : $$\\nabla×B=μ_{0}\\bigl(J+ε_{0}\\frac{\\partial E}{\\partial t}\\bigr)$$.
2. Le terme de courant de déplacement $$ε₀∂E/∂t$$ assure la cohérence de la continuité de la charge.
3. Sans ce terme, la divergence du rotationnel ne serait pas nulle en présence de ∂ρ/∂t.
4. L’option A inclut à la fois J et le terme temporel.
",
"id_category": "3",
"id_number": "55"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "5. Pour un milieu linéaire, homogène, isotrope (ε,μ), écrire l’équation d’onde pour le champ électrique dans le vide dérivée des équations de Maxwell.",
"svg": "",
"choices": [
"A ∂²E/∂z² − με ∂²E/∂t² = 0",
"B ∂²E/∂z² + με ∂²E/∂t² = 0",
"C ∂²E/∂t² −c² ∂²E/∂z² = 0",
"D ∇²E +μ₀ε₀∂²E/∂t² = ρ/ε₀",
"E ∇²E −μ₀ε₀∂E/∂t = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Combinaison des équations de Faraday et Ampère conduit à $$\\nabla×(\\nabla×E)=−\\nabla×\\frac{\\partial B}{\\partial t}$$.
2. On utilise l’identité vectorielle et la condition div E=0 pour le vide.
3. On obtient $$\\nabla^{2}E−με\\frac{\\partial^{2}E}{\\partial t^{2}}=0$$.
4. En 1D le laplacien réduit à ∂²/∂z².
5. A est l’expression canonique de l’équation d’onde électromagnétique.
",
"id_category": "3",
"id_number": "56"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "6. Quel est le vecteur de Poynting S, et quelle est son interprétation en termes de flux d’énergie électromagnétique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A S = E×H",
"B S = E·B",
"C S = ε₀E×B",
"D S = (1/μ₀)E×B",
"E S = E×B/μ₀ε₀"
],
"correct": [
"D"
],
"explanation": "1. Par définition, $$S=\\frac{1}{μ_{0}}E×B$$ est le vecteur de flux d’énergie par unité de surface.
2. Il exprime la puissance électromagnétique transportée par ondes ou champs.
3. Les unités sont W·m⁻².
4. Les autres formulæ omettent le facteur 1/μ₀ ou confondent produit scalaire et vectoriel.
",
"id_category": "3",
"id_number": "57"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "7. Quelle est la densité d’énergie électromagnétique u et comment se décompose-t-elle entre composantes électrique et magnétique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A u = ½ε₀E² + ½(1/μ₀)B²",
"B u = ε₀E² + μ₀B²",
"C u = ½(E² + B²)",
"D u = E²/(2μ₀) + B²/(2ε₀)",
"E u = ε₀E·B"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. L’énergie volumique totale s’écrit $$u=\\tfrac12ε_{0}E^{2}+\\tfrac12\\frac{B^{2}}{μ_{0}}$$.
2. Le premier terme est l’énergie électrique, le second l’énergie magnétique.
3. Les autres formules mélangent unités ou facteurs incorrects.
4. A est la décomposition standard.
",
"id_category": "3",
"id_number": "58"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "8. En régime stationnaire (∂/∂t=0), comment se simplifient les équations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère ?",
"svg": "",
"choices": [
"A rot E = 0 et rot B = μ₀J",
"B rot E = −∂B/∂t et rot B = 0",
"C rot E = 0 et rot B = 0",
"D rot E = μ₀J et rot B = 0",
"E rot E = J et rot B = ε₀∂E/∂t"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. En stationnaire, ∂B/∂t=0 donc Maxwell–Faraday donne rot E=0.
2. De même, ∂E/∂t=0 donc Maxwell–Ampère devient rot B=μ₀J.
3. Les autres choix omettent ou modifient un terme incorrectement.
4. A est la forme appropriée des lois en régime permanent.
",
"id_category": "3",
"id_number": "59"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "9. Pour un condensateur plan chargé en régime quasi-statique, quel terme de Maxwell–Ampère permet de décrire le champ magnétique entre les armatures ?",
"svg": "",
"choices": [
"A le courant de déplacement ε₀∂E/∂t",
"B la densité de charge ρ",
"C le courant réel J",
"D le flux magnétique Φ",
"E le potentiel scalar V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Entre armatures, J=0 mais ∂E/∂t≠0.
2. Maxwell–Ampère inclut $$ε₀\\partial E/\\partial t$$ pour décrire cette région.
3. Sans ce terme, il n’y aurait pas de champ magnétique.
4. Seul A est correct.
",
"id_category": "3",
"id_number": "60"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "10. En régime local, quelle équation de Maxwell exprime la conservation de la charge (continuité) ?",
"svg": "",
"choices": [
"A ∂ρ/∂t + div J = 0",
"B ∂ρ/∂t − div J = 0",
"C div J = ρ/ε₀",
"D rot J = ∂ρ/∂t",
"E J + ∂E/∂t = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. La loi de continuité s’écrit $$\\frac{\\partial ρ}{\\partial t}+\\nabla·J=0$$.
2. Elle découle de la conservation de la charge électrique.
3. Les autres formules modifient signe ou nature des termes.
4. A est l’expression correcte de la continuité.
",
"id_category": "3",
"id_number": "61"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "11. Quelle est la condition aux limites du champ magnétique normal au passage d’une surface contenant une densité de courant superficiel K ?",
"svg": "",
"choices": [
"A B₂ₙ − B₁ₙ = 0",
"B B₂ₙ − B₁ₙ = μ₀K",
"C B₂ₙ − B₁ₙ = K/ε₀",
"D B₂ₙ − B₁ₙ = ρ/μ₀",
"E B₂ₙ − B₁ₙ = ∂E/∂t"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Thomson local impose continuité de B normal : $$B_{2n}-B_{1n}=0$$.
2. Les courants de surface n’affectent que la tangente du champ.
3. A est la condition standard pour la composante normale.
",
"id_category": "3",
"id_number": "62"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "12. Quelle est la condition aux limites de la composante tangentielle du champ électrique en traversant une interface sans densité de courant surfacique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A E₁ₜ = E₂ₜ",
"B E₁ₜ − E₂ₜ = μ₀K",
"C E₁ₜ − E₂ₜ = ρₛ/ε₀",
"D E₁ₜ = 0",
"E E₂ₜ = ∂B/∂t"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Faraday stationnaire(∂B/∂t=0) impose continuité de E tangentiel: $$E_{1t}=E_{2t}$$.
2. Sans courant surfacique électrique, il n’y a pas de saut.
3. A est la condition appropriée pour E tangentiel.
",
"id_category": "3",
"id_number": "63"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "13. Pour une onde plane dans le vide, quel est le rapport entre les amplitudes E₀ et B₀ des champs électrique et magnétique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A E₀/B₀ = c",
"B E₀/B₀ = 1/c",
"C E₀/B₀ = μ₀",
"D E₀/B₀ = ε₀",
"E E₀/B₀ = μ₀ε₀"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Dans le vide, $$E=cB$$, donc $$E_{0}/B_{0}=c$$.
2. C dérive de c=1/√(μ₀ε₀).
3. Les autres choix mélangent constantes sans dimension.
",
"id_category": "3",
"id_number": "64"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "14. Comment s’exprime la densité volumique de puissance dissipée par effet Joule en un point du milieu ?",
"svg": "",
"choices": [
"A P = J·E",
"B P = ρE",
"C P = E×B",
"D P = div S",
"E P = J/B"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Effet Joule local : puissance volumique $$P=J·E$$.
2. J est densité de courant, E champ électrique.
3. Les autres formules décrivent d’autres grandeurs (flux, densité de charge).
4. A est l’expression canonique de l’effet Joule.
",
"id_category": "3",
"id_number": "65"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "15. Quelle est l’équation de Maxwell–Gauss en forme intégrale pour un volume V et surface fermée S ?",
"svg": "",
"choices": [
"A ∯_S E·dS = Q_enc/ε₀",
"B ∯_S E·dS = 0",
"C ∯_S B·dS = μ₀I_enc",
"D ∯_C E·dl = −dΦ_B/dt",
"E ∯_C B·dl = μ₀I_enc"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Gauss intégral : $$\\oint_{S}E·dS=\\frac{Q_{enc}}{ε_{0}}$$.
2. Q_enc est la charge totale dans V.
3. Les autres propositions mélangent lois différentes (B ou Faraday).
",
"id_category": "3",
"id_number": "66"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "16. Dans la forme intégrale de Maxwell–Faraday, comment se relie la circulation de E le long d’un contour C au flux de B à travers une surface S bordée par C ?",
"svg": "",
"choices": [
"A ∮_C E·dl = −d/dt ∯_S B·dS",
"B ∮_C E·dl = ∯_S B·dS",
"C ∮_C B·dl = −d/dt ∯_S E·dS",
"D ∮_C B·dl = μ₀I_enc",
"E ∮_C E·dl = 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Faraday intégrale : $$\\oint_{C}E·dl=−\\frac{d}{dt}\\int_{S}B·dS$$.
2. Variation temporelle du flux magnétique crée un champ non conservatif.
3. A est la forme intégrale standard.
",
"id_category": "3",
"id_number": "67"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "17. Quelle est la forme intégrale de Maxwell–Ampère avec le courant de déplacement ?",
"svg": "",
"choices": [
"A ∮_C B·dl = μ₀( I_enc + ε₀ d/dt ∯_S E·dS )",
"B ∮_C E·dl = μ₀I_enc",
"C ∮_C B·dl = 0",
"D ∯_S B·dS = μ₀I_enc",
"E ∮_C B·dl = ε₀d/dt ∯_S E·dS"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Maxwell–Ampère intégral : $$\\oint_{C}B·dl=μ_{0}\\bigl(I_{enc}+ε_{0}\\frac{d}{dt}\\int_{S}E·dS\\bigr)$$.
2. Le terme en d/dt(E) est le courant de déplacement.
3. A restitue la loi complète.
",
"id_category": "3",
"id_number": "68"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "18. Comment s’exprime l’impédance caractéristique Z₀ du vide pour une onde électromagnétique ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Z₀ = √(μ₀/ε₀)",
"B Z₀ = μ₀ε₀",
"C Z₀ = 1/μ₀ε₀",
"D Z₀ = μ₀/ε₀",
"E Z₀ = √(ε₀/μ₀)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Impédance du vide : $$Z_{0}=\\sqrt{\\frac{μ_{0}}{ε_{0}}}$$.
2. Valeur numérique ≈377 Ω.
3. A est l’expression correcte.
",
"id_category": "3",
"id_number": "69"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "19. Quelle est l’expression de la densité volumique d’énergie cinétique du champ électrique seul ?",
"svg": "",
"choices": [
"A u_E = ½ε₀E²",
"B u_E = ε₀E²",
"C u_E = E²/(2μ₀)",
"D u_E = B²/(2μ₀)",
"E u_E = ½E·B"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Densité énergie électrique : $$u_{E}=\\tfrac12ε_{0}E^{2}$$.
2. Les autres formules confondent énergie magnétique ou facteur 2.
",
"id_category": "3",
"id_number": "70"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "20. Dans un milieu conducteur de conductivité σ, comment modifie-t-on l’équation de Maxwell–Ampère locale ?",
"svg": "",
"choices": [
"A ∇×B = μ₀(J+σE+ε₀∂E/∂t)",
"B ∇×B = μ₀(J+ε₀∂E/∂t)",
"C ∇×B = μ₀σE",
"D ∇×B = μ₀J",
"E ∇×B = μ₀(J−σE)"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Dans un conducteur, J_tot=J_libre+σE, donc $$\\nabla×B=μ_{0}(J+σE+ε_{0}\\frac{\\partial E}{\\partial t})$$.
2. Le terme σE décrit le courant de conduction.
3. A est la forme générale adaptée aux milieux conducteurs.
",
"id_category": "3",
"id_number": "71"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "À l’interface sans courants de surface, quelle condition porte la composante normale de $$\\mathbf{B}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle B_{1n}=B_{2n}$$",
"B $$\\displaystyle H_{1n}=H_{2n}$$",
"C $$\\displaystyle B_{1t}=B_{2t}$$",
"D $$\\displaystyle D_{1n}=D_{2n}$$",
"E $$\\displaystyle E_{1n}=E_{2n}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : Maxwell-Gauss pour $$B$$
2. Substitution : absence de monopôles magnétiques
3. Calcul intermédiaire : flux magnétique normal conservé
4. Résultat final : $$B_{1n}=B_{2n}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "72"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Sans courants de surface, quelle condition porte la composante tangente de $$\\mathbf{H}$$ à l’interface ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle H_{1t}=H_{2t}$$",
"B $$\\displaystyle B_{1t}=B_{2t}$$",
"C $$\\displaystyle E_{1t}=E_{2t}$$",
"D $$\\displaystyle D_{1t}=D_{2t}$$",
"E $$\\displaystyle H_{1n}=H_{2n}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : Maxwell–Ampère sans courants de surface
2. Substitution : rotationnel le long de contour
3. Calcul intermédiaire : continuité tangente de $$H$$
4. Résultat final : $$H_{1t}=H_{2t}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "73"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un condensateur plan à armatures séparées d’un vide, quel terme de Maxwell est responsable du champ magnétique entre les armatures ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Le terme $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0}\\frac{\\partial\\mathbf{E}}{\\partial t}$$ dans Maxwell–Ampère",
"B Le courant ohmique $$\\mathbf{J}$$",
"C Le terme $$\\nabla\\cdot\\mathbf{E}$$",
"D Le terme $$\\nabla\\times\\mathbf{E}$$",
"E Aucun"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : loi d’Ampère–Maxwell
2. Substitution : courant de déplacement $$\\mu_{0}\\varepsilon_{0}\\partial_{t}\\mathbf{E}$$
3. Calcul intermédiaire : création de $$B$$ dans le vide
4. Résultat final : terme de déplacement responsable du champ magnétique
",
"id_category": "3",
"id_number": "74"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "En jauge de Coulomb, quelle condition impose-t-on au potentiel vecteur $$\\mathbf{A}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle \\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$",
"B $$\\displaystyle \\nabla\\times\\mathbf{A}=0$$",
"C $$\\displaystyle A_{0}=0$$",
"D $$\\displaystyle ∂_{t}\\phi=0$$",
"E $$\\displaystyle ∇·E=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : condition de jauge de Coulomb
2. Substitution : simplification de l’équation de Poisson sur $$A$$
3. Calcul intermédiaire : divergence nulle facilite la résolution
4. Résultat final : $$\\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "75"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quelle condition porte la jauge de Lorenz pour les potentiels $$\\phi$$ et $$\\mathbf{A}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle \\frac{1}{c^{2}}\\frac{\\partial\\phi}{\\partial t}+\\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$",
"B $$\\displaystyle \\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$",
"C $$\\displaystyle \\partial_{t}\\phi=0$$",
"D $$\\displaystyle ∇×A=0$$",
"E $$\\displaystyle φ=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : condition de Lorenz
2. Substitution : relation entre $$φ$$ et $$A$$
3. Calcul intermédiaire : couplage temporel et spatial
4. Résultat final : $$\\frac{1}{c^{2}}\\frac{\\partial\\phi}{\\partial t}+\\nabla\\cdot\\mathbf{A}=0$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "76"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quelle modification apporte la permittivité $$ε$$ et perméabilité $$μ$$ d’un milieu homogène à l’équation d’onde pour $$\\mathbf{E}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle \\nabla^{2}\\mathbf{E}-\\varepsilon\\mu\\frac{\\partial^{2}\\mathbf{E}}{\\partial t^{2}}=0$$",
"B $$\\displaystyle \\nabla^{2}\\mathbf{E}-\\frac{1}{\\varepsilon\\mu}\\frac{\\partial^{2}\\mathbf{E}}{\\partial t^{2}}=0$$",
"C $$\\displaystyle \\nabla^{2}\\mathbf{E}+\\varepsilon\\mu\\frac{\\partial^{2}\\mathbf{E}}{\\partial t^{2}}=0$$",
"D $$\\displaystyle ∇·E=0$$",
"E $$\\displaystyle ∇×E=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations utilisées : Maxwell dans un milieu
2. Substitution : constantes $$ε$$ et $$μ$$
3. Calcul intermédiaire : combinaison pour onde
4. Résultat final : $$\\nabla^{2}\\mathbf{E}-\\varepsilon\\mu\\frac{\\partial^{2}\\mathbf{E}}{\\partial t^{2}}=0$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "77"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quelle est l’expression de l’impédance caractéristique $$Z$$ d’un milieu non dissipatif ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle Z=\\sqrt{\\frac{\\mu}{\\varepsilon}}$$",
"B $$\\displaystyle Z=\\sqrt{\\mu\\varepsilon}$$",
"C $$\\displaystyle Z=\\frac{1}{\\sqrt{\\mu\\varepsilon}}$$",
"D $$\\displaystyle Z=\\mu/\\varepsilon$$",
"E $$\\displaystyle Z=\\varepsilon/\\mu$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : définition de l’impédance
2. Substitution : ratio de $$μ$$ et $$ε$$
3. Calcul intermédiaire : racine carrée
4. Résultat final : $$Z=\\sqrt{\\frac{\\mu}{\\varepsilon}}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "78"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "À l’interface entre deux milieux diélectriques, comment s’exprime le coefficient de réflexion $$R$$ pour une onde normale en fonction d’impédances $$Z_{1}$$ et $$Z_{2}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle R=\\Bigl(\\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}\\Bigr)^{2}$$",
"B $$\\displaystyle R=\\frac{Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}$$",
"C $$\\displaystyle R=\\frac{Z_{2}+Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}$$",
"D $$\\displaystyle R=0$$",
"E $$\\displaystyle R=1$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : conditions de continuité des champs
2. Substitution : rapport d’impédances
3. Calcul intermédiaire : carré du rapport
4. Résultat final : $$R=\\bigl(\\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}\\bigr)^{2}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "79"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quel est le coefficient de transmission $$T$$ pour une onde normale entre $$Z_{1}$$ et $$Z_{2}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle T=\\frac{4Z_{1}Z_{2}}{(Z_{1}+Z_{2})^{2}}$$",
"B $$\\displaystyle T=\\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}$$",
"C $$\\displaystyle T=R$$",
"D $$\\displaystyle T=0$$",
"E $$\\displaystyle T=1$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations utilisées : $$R+T=1$$ et définitions
2. Substitution : $$R=(Z_{2}-Z_{1})/(Z_{2}+Z_{1})$$
3. Calcul intermédiaire : $$T=1-R$$
4. Résultat final : $$T=\\frac{4Z_{1}Z_{2}}{(Z_{1}+Z_{2})^{2}}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "80"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quelle pression de radiation $$P_{rad}$$ exerce une onde électromagnétique incidente de densité de flux $$S$$ sur un absorbeur parfait ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle P_{rad}=\\frac{S}{c}$$",
"B $$\\displaystyle P_{rad}=\\frac{2S}{c}$$",
"C $$\\displaystyle P_{rad}=\\frac{S}{2c}$$",
"D $$\\displaystyle P_{rad}=0$$",
"E $$\\displaystyle P_{rad}=S c$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : momentum transporté par onde
2. Substitution : absorbeur parfait (pas de réflexion)
3. Calcul intermédiaire : $$P=S/c$$
4. Résultat final : $$P_{rad}=\\frac{S}{c}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "81"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quelle est la densité volumique de moment linéaire $$\\mathbf{g}$$ du champ électromagnétique dans le vide ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle \\mathbf{g}=\\varepsilon_{0}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$",
"B $$\\displaystyle \\mathbf{g}=\\frac{1}{\\mu_{0}}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$",
"C $$\\displaystyle \\mathbf{g}=\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$",
"D $$\\displaystyle \\mathbf{g}=\\frac{\\mathbf{S}}{c^{2}}$$",
"E $$\\displaystyle \\mathbf{g}=0$$"
],
"correct": [
"D"
],
"explanation": "1. Équations utilisées : $$\\mathbf{g}=\\mathbf{S}/c^{2}$$ et $$\\mathbf{S}=\\mathbf{E}\\times\\mathbf{H}$$
2. Substitution : relation $$c^{2}=1/(\\varepsilon_{0}\\mu_{0})$$
3. Calcul intermédiaire : $$\\mathbf{g}=\\varepsilon_{0}\\mathbf{E}\\times\\mathbf{B}$$
4. Résultat final : $$\\mathbf{g}=\\frac{\\mathbf{S}}{c^{2}}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "82"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quel composant tensoriel $$T_{ij}$$ exprime la pression exercée par le champ électromagnétique sur une surface normale à $$e_{j}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\displaystyle T_{ij}=\\varepsilon_{0}(E_{i}E_{j}-\\tfrac12\\delta_{ij}E^{2})+\\frac{1}{\\mu_{0}}(B_{i}B_{j}-\\tfrac12\\delta_{ij}B^{2})$$",
"B $$\\displaystyle T_{ij}=E_{i}E_{j}+B_{i}B_{j}$$",
"C $$\\displaystyle T_{ij}=\\delta_{ij}(E^{2}+B^{2})$$",
"D $$\\displaystyle T_{ij}=0$$",
"E $$\\displaystyle T_{ij}=\\varepsilon_{0}E_{i}E_{j}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : définition du tenseur de Maxwell
2. Substitution : composantes des champs
3. Calcul intermédiaire : soustraction du terme scalaire
4. Résultat final : $$T_{ij}=\\varepsilon_{0}(E_{i}E_{j}-\\tfrac12\\delta_{ij}E^{2})+\\tfrac{1}{\\mu_{0}}(B_{i}B_{j}-\\tfrac12\\delta_{ij}B^{2})$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "83"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Quelle forme intégrale regroupe les quatre équations de Maxwell dans le vide à l’aide du formalisme de flux et circulation ?",
"svg": "",
"choices": [
"A \"Flux B nul, flux D=Q/ε0, circulation E=-dΦB/dt, circulation B=μ0I+d/dt(ΦE)\"",
"B \"Flux B=0, flux D=0, rot E=0, rot B=0\"",
"C \"Flux E=Q, flux B=I, rot E=-dB, rot B=dE\"",
"D \"Flux B=ρm, flux D=ρe, rot E=0, rot B=0\"",
"E \"Flux B nul, flux D=0, rot E=0, rot B=μ0J\""
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations utilisées : formes intégrales de Maxwell
2. Substitution : flux et circulation
3. Calcul intermédiaire : interprétation physique
4. Résultat final : \"Flux B nul, flux D=Q/ε0, circulation E=-dΦB/dt, circulation B=μ0I+d/dt(ΦE)\"
",
"id_category": "3",
"id_number": "84"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Une distribution de charge volumique uniforme $$\\rho = 2\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$ occupe une sphère de rayon $$R = 0.2\\,\\mathrm{m}$$. Calculez le flux électrique sortant de la surface de la sphère en utilisant $$\\Phi_E = \\frac{Q_{int}}{\\varepsilon_0}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$5.65\\times10^{3}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$",
"B $$7.57\\times10^{3}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$",
"C $$1.13\\times10^{4}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$",
"D $$2.26\\times10^{3}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$",
"E $$3.94\\times10^{3}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\Phi_E = \\frac{Q_{int}}{\\varepsilon_0}$$
2. Substitution: $$Q_{int} = \\rho \\tfrac{4}{3}\\pi R^3 = 2\\times10^{-6}\\times\\tfrac{4}{3}\\pi(0.2)^3$$
3. Calculs intermédiaires: $$Q_{int} = 6.70\\times10^{-8}\\,\\mathrm{C},\\ \\Phi_E = \\frac{6.70\\times10^{-8}}{8.854\\times10^{-12}} = 7.57\\times10^{3}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$
4. Résultat final: $$7.57\\times10^{3}\\,\\mathrm{V\\cdot m}$$
",
"id_category": "3",
"id_number": "85"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un champ magnétique constant $$\\mathbf{B} = B_0\\,\\hat{\\mathbf{x}}$$ avec $$B_0 = 0.5\\,\\mathrm{T}$$ traverse un cube de côté $$a = 0.1\\,\\mathrm{m}$$. Calculez le flux magnétique net sortant du cube en utilisant $$\\Phi_B = \\oint \\mathbf{B}\\cdot\\mathrm{d}\\mathbf{A}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A 0",
"B $$5.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{Wb}$$",
"C $$2.5\\times10^{-3}\\,\\mathrm{Wb}$$",
"D $$1.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{Wb}$$",
"E $$7.5\\times10^{-3}\\,\\mathrm{Wb}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\Phi_B = \\oint \\mathbf{B}\\cdot\\mathrm{d}\\mathbf{A}$$
2. Comme $$\\mathbf{B}$$ est uniforme et sortant d’un côté et entrant de l’autre, les flux se compensent.
3. Calculs intermédiaires: flux face + = $$B_0a^2$$, flux face – = $$-B_0a^2$$.
4. Résultat final: $$0$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "86"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Une bobine circulaire de rayon $$r = 0.05\\,\\mathrm{m}$$ est soumise à un champ magnétique variable $$B(t) = B_0\\sin(\\omega t)$$ avec $$B_0 = 0.01\\,\\mathrm{T}$$ et $$\\omega = 100\\,\\mathrm{rad/s}$$. Calculez la valeur maximale de la force électromotrice induite $$\\varepsilon = -\\frac{\\mathrm{d}\\Phi_B}{\\mathrm{d}t}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.14\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$7.85\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$6.28\\times10^{-4}\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$1.00\\times10^{-2}\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon_{max} = \\omega B_0 \\pi r^2$$
2. Substitution: $$\\omega=100,\\ B_0=0.01,\\ r=0.05$$
3. Calcul intermédiaire: $$\\pi r^2 = 3.1416\\times(0.05)^2 = 7.854\\times10^{-3}$$
$$\\varepsilon_{max} = 100\\times0.01\\times7.854\\times10^{-3} = 7.854\\times10^{-3}$$
4. Résultat final: $$7.85\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "87"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Deux plaques parallèles de surface $$A = 0.02\\,\\mathrm{m^2}$$ séparées par $$d = 0.01\\,\\mathrm{m}$$ sont soumises à un champ électrique croissant $$E(t) = E_0 t$$ avec $$E_0 = 1000\\,\\mathrm{V/m/s}$$. Calculez le courant de déplacement $$I_d = \\varepsilon_0 A \\frac{\\mathrm{d}E}{\\mathrm{d}t}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.77\\times10^{-10}\\,\\mathrm{A}$$",
"B $$4.43\\times10^{-11}\\,\\mathrm{A}$$",
"C $$3.54\\times10^{-9}\\,\\mathrm{A}$$",
"D $$8.85\\times10^{-12}\\,\\mathrm{A}$$",
"E $$2.21\\times10^{-10}\\,\\mathrm{A}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$I_d = \\varepsilon_0 A \\frac{\\mathrm{d}E}{\\mathrm{d}t}$$
2. Substitution: $$\\varepsilon_0=8.854\\times10^{-12},\\ A=0.02,\\ \\frac{\\mathrm{d}E}{\\mathrm{d}t}=1000$$
3. Calcul: $$I_d = 8.854\\times10^{-12}\\times0.02\\times1000 = 1.77\\times10^{-10}$$
4. Résultat final: $$1.77\\times10^{-10}\\,\\mathrm{A}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "88"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans la forme différentielle de la loi de Faraday, $$\\nabla\\times\\mathbf{E} = -\\frac{\\partial\\mathbf{B}}{\\partial t}$$. Pour un champ $$B_z(x,t) = B_0 x t$$ avec $$B_0 = 0.02\\,\\mathrm{T/m/s}$$, calculez la composante $$\\bigl(\\nabla\\times\\mathbf{E}\\bigr)_y$$ à $$x = 0.1\\,\\mathrm{m}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$-2.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V/m^2}$$",
"B $$-5.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{V/m^2}$$",
"C $$-2.0\\times10^{-4}\\,\\mathrm{V/m^2}$$",
"D $$-1.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V/m^2}$$",
"E 0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$(\\nabla\\times\\mathbf{E})_y = -\\frac{\\partial B_z}{\\partial t}$$
2. Substitution: $$B_z = B_0 x t,\\ \\partial_t B_z = B_0 x = 0.02\\times0.1 = 2.0\\times10^{-3}$$
3. Calcul: $$-(\\partial_t B_z) = -2.0\\times10^{-3}$$
4. Résultat final: $$-2.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V/m^2}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "89"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans la forme locale de la loi d'Ampère–Maxwell $$\\nabla\\times\\mathbf{B} = \\mu_0\\mathbf{J} + \\mu_0\\varepsilon_0\\frac{\\partial\\mathbf{E}}{\\partial t}$$, calculez la magnitude de $$\\nabla\\times\\mathbf{B}$$ si $$J_z = 500\\,\\mathrm{A/m^2}$$ et $$\\partial_t E_z = 200\\,\\mathrm{V/m/s}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$6.28\\times10^{-4}\\,\\mathrm{A/m^2}$$",
"B $$1.26\\times10^{-6}\\,\\mathrm{A/m^2}$$",
"C $$6.28\\times10^{-2}\\,\\mathrm{A/m^2}$$",
"D $$2.51\\times10^{-7}\\,\\mathrm{A/m^2}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation: $$\\nabla\\times\\mathbf{B} = \\mu_0 J + \\mu_0\\varepsilon_0 \\partial_t E$$
2. Substitution: $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7},\\ J = 500,\\ \\varepsilon_0 = 8.854\\times10^{-12},\\ \\partial_t E=200$$
3. Calcul: $$\\mu_0 J = 4\\pi\\times10^{-7}\\times500 = 6.283\\times10^{-4},\\ \\mu_0\\varepsilon_0\\partial_t E \\approx \\text{négligeable}$$
4. Résultat final: $$6.28\\times10^{-4}\\,\\mathrm{A/m^2}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "90"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "La loi de conservation de la charge s'exprime $$\\nabla\\cdot\\mathbf{J} + \\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} = 0$$. Si $$\\nabla\\cdot\\mathbf{J} = 2\\times10^{3}\\,\\mathrm{A/m^3}$$ en un point, calculez $$\\partial_t \\rho$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$-2.0\\times10^{3}\\,\\mathrm{C/m^3/s}$$",
"B $$2.0\\times10^{3}\\,\\mathrm{C/m^3/s}$$",
"C $$0$$",
"D $$-2.0\\times10^{-3}\\,\\mathrm{C/m^3/s}$$",
"E $$2.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3/s}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation: $$\\nabla\\cdot\\mathbf{J} + \\partial_t \\rho = 0$$
2. Substitution: $$\\nabla\\cdot\\mathbf{J} = 2\\times10^{3}$$
3. Résolution: $$\\partial_t \\rho = -2\\times10^{3}$$
4. Résultat final: $$-2.0\\times10^{3}\\,\\mathrm{C/m^3/s}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "91"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "En combinant les équations de Maxwell dans le vide, on obtient l'équation d'onde $$\\frac{\\partial^2 E}{\\partial x^2} = \\mu_0\\varepsilon_0\\frac{\\partial^2 E}{\\partial t^2}$$. Calculez la vitesse de propagation $$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0\\varepsilon_0}}$$ en utilisant $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}\\,\\mathrm{H/m}$$ et $$\\varepsilon_0 = 8.854\\times10^{-12}\\,\\mathrm{F/m}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$",
"B $$2.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$",
"C $$1.50\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$",
"D $$3.33\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$",
"E $$2.50\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0\\varepsilon_0}}$$
2. Substitution: $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7},\\ \\varepsilon_0 = 8.854\\times10^{-12}$$
3. Calcul: $$\\mu_0\\varepsilon_0 = 4\\pi\\times10^{-7}\\times8.854\\times10^{-12} = 1.11265\\times10^{-17}$$
$$c = 1/\\sqrt{1.11265\\times10^{-17}} = 3.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$
4. Résultat final: $$3.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "92"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Pour une onde plane dans le vide, le champ électrique a pour amplitude $$E_0 = 100\\,\\mathrm{V/m}$$. Calculez l'amplitude du champ magnétique $$B_0$$ sachant $$B_0 = \\frac{E_0}{c}$$ et $$c = 3.00\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.33\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$3.00\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$1.50\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$6.67\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$1.00\\times10^{-8}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$B_0 = \\frac{E_0}{c}$$
2. Substitution: $$E_0 = 100,\\ c = 3.00\\times10^{8}$$
3. Calcul: $$B_0 = 100 / 3.00\\times10^{8} = 3.33\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final: $$3.33\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "93"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Calculez le vecteur de Poynting moyen $$\\langle\\mathbf{S}\\rangle = \\frac{1}{2\\mu_0}E_0B_0\\,\\hat{\\mathbf{k}}$$ pour une onde plane où $$E_0 = 100\\,\\mathrm{V/m}$$, $$B_0 = 3.33\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$ et $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}\\,\\mathrm{H/m}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$26.5\\,\\mathrm{W/m^2}$$",
"B $$8.33\\,\\mathrm{W/m^2}$$",
"C $$12.5\\,\\mathrm{W/m^2}$$",
"D $$33.3\\,\\mathrm{W/m^2}$$",
"E $$3.33\\,\\mathrm{W/m^2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$\\langle S\\rangle = \\frac{1}{2\\mu_0}E_0B_0$$
2. Substitution: $$E_0=100,\\ B_0=3.33\\times10^{-7},\\ \\mu_0=4\\pi\\times10^{-7}$$
3. Calcul: $$\\frac{1}{2\\mu_0} = 3.98\\times10^{5},\\ \\langle S\\rangle = 3.98\\times10^{5}\\times100\\times3.33\\times10^{-7} = 26.5$$
4. Résultat final: $$26.5\\,\\mathrm{W/m^2}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "94"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Calculez la densité d'énergie électromagnétique $$u = \\tfrac12\\bigl(\\varepsilon_0E^2 + \\tfrac{B^2}{\\mu_0}\\bigr)$$ pour $$E = 100\\,\\mathrm{V/m}$$, $$B = 3.33\\times10^{-7}\\,\\mathrm{T}$$, $$\\varepsilon_0 = 8.854\\times10^{-12}\\,\\mathrm{F/m}$$ et $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}\\,\\mathrm{H/m}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$8.85\\times10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^3}$$",
"B $$4.43\\times10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^3}$$",
"C $$1.77\\times10^{-7}\\,\\mathrm{J/m^3}$$",
"D $$2.21\\times10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^3}$$",
"E $$3.94\\times10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^3}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$u = \\tfrac12(\\varepsilon_0E^2 + \\tfrac{B^2}{\\mu_0})$$
2. Substitution: $$\\varepsilon_0E^2 = 8.854\\times10^{-12}\\times10^4 = 8.85\\times10^{-8},\\ \\tfrac{B^2}{\\mu_0} = \\tfrac{(3.33\\times10^{-7})^2}{4\\pi\\times10^{-7}} = 8.85\\times10^{-8}$$
3. Calcul: $$u = 0.5\\times(8.85+8.85)\\times10^{-8} = 8.85\\times10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^3}$$
4. Résultat final: $$8.85\\times10^{-8}\\,\\mathrm{J/m^3}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "95"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Aux limites d'une interface chargée, le saut de la composante normale du champ électrique est $$E_{2n} - E_{1n} = \\tfrac{\\sigma}{\\varepsilon_0}$$. Pour $$\\sigma = 1\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^2}$$, calculez ce saut.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.13\\times10^{5}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"B $$8.85\\times10^{4}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"C $$2.00\\times10^{5}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"D $$1.00\\times10^{6}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"E $$5.65\\times10^{4}\\,\\mathrm{V/m}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$E_{2n}-E_{1n} = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0}$$
2. Substitution: $$\\sigma = 1\\times10^{-6},\\ \\varepsilon_0 = 8.854\\times10^{-12}$$
3. Calcul: $$1\\times10^{-6}/8.854\\times10^{-12} = 1.13\\times10^5$$
4. Résultat final: $$1.13\\times10^{5}\\,\\mathrm{V/m}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "96"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "En utilisant la loi de Faraday généralisée, l'amplitude du champ électrique induit à l’extérieur d’un solénoïde est $$E(r) = \\frac{\\mu_0 N}{L} \\frac{\\mathrm{d}I}{\\mathrm{d}t} \\frac{R^2}{2r}$$ pour $$r > R$$. Pour $$N/L=1000\\,\\mathrm{spires/m},\\ R=0.1\\,\\mathrm{m},\\ r=0.2\\,\\mathrm{m}$$ et $$\\mathrm{d}I/\\mathrm{d}t=2\\,\\mathrm{A/s}$$, calculez $$E(r)$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$6.28\\times10^{-5}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"B $$3.14\\times10^{-5}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"C $$1.26\\times10^{-4}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"D $$2.51\\times10^{-5}\\,\\mathrm{V/m}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$E(r) = \\frac{\\mu_0 (N/L) \\mathrm{d}I/\\mathrm{d}t\\,R^2}{2r}$$
2. Substitution: $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ N/L=1000,\\ \\mathrm{d}I/\\mathrm{d}t=2,\\ R=0.1,\\ r=0.2$$
3. Calcul: $$4\\pi\\times10^{-7}\\times1000\\times2\\times0.01/(2\\times0.2) = 6.283\\times10^{-5}$$
4. Résultat final: $$6.28\\times10^{-5}\\,\\mathrm{V/m}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "97"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Dans un câble coaxial, le champ magnétique à l’extérieur du conducteur interne (rayon $$a=0.01\\,\\mathrm{m}$$) pour $$r=0.02\\,\\mathrm{m}$$ est donné par $$B(r) = \\frac{\\mu_0 I}{2\\pi r}$$. Pour $$I=2\\,\\mathrm{A}$$, calculez $$B(0.02)$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$2.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$1.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$4.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$8.00\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$B(r) = \\frac{\\mu_0 I}{2\\pi r}$$
2. Substitution: $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7},\\ I = 2,\\ r = 0.02$$
3. Calcul: $$B = 4\\pi\\times10^{-7}\\times2/(2\\pi\\times0.02) = 2.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final: $$2.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "98"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Pour un conducteur filaire de rayon $$a=1\\,\\mathrm{mm}$$ parcouru par un courant $$I=3\\,\\mathrm{A}$$ et de densité de courant uniforme, le champ magnétique à $$r=0.5\\,\\mathrm{mm}$$ est $$B(r) = \\frac{\\mu_0 I r}{2\\pi a^2}$$. Calculez $$B(0.5\\,\\mathrm{mm})$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$1.50\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$6.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$0$$",
"E $$3.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$B(r) = \\frac{\\mu_0 I r}{2\\pi a^2}$$
2. Substitution: $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ I=3,\\ r=0.0005,\\ a=0.001$$
3. Calcul: $$B = 4\\pi\\times10^{-7}\\times3\\times0.0005/(2\\pi\\times10^{-6}) = 3.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final: $$3.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "99"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Un tore inducteur compte $$N = 500$$ spires, courant $$I = 1\\,\\mathrm{A}$$ et rayon moyen $$R = 0.1\\,\\mathrm{m}$$. Calculez le champ magnétique dans le tore avec $$B = \\frac{\\mu_0 N I}{2\\pi R}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.14\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$6.28\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"C $$1.26\\times10^{-3}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$2.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$B = \\frac{\\mu_0 N I}{2\\pi R}$$
2. Substitution: $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ N=500,\\ I=1,\\ R=0.1$$
3. Calcul: $$B = 4\\pi\\times10^{-7}\\times500/(2\\pi\\times0.1) = 3.14\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final: $$3.14\\times10^{-4}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "100"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Une boucle circulaire de rayon $$r = 0.1\\,\\mathrm{m}$$ est soumise à un champ $$B(t) = k t^2$$ avec $$k = 0.01\\,\\mathrm{T/s^2}$$. Calculez la force électromotrice instantanée $$\\varepsilon = -\\pi r^2 \\frac{\\mathrm{d}B}{\\mathrm{d}t}$$ à $$t = 2\\,\\mathrm{s}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.26\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$5.03\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$2.51\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$7.85\\times10^{-4}\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$\\varepsilon = -\\pi r^2 \\frac{\\mathrm{d}B}{\\mathrm{d}t}$$
2. Substitution: $$r=0.1,\\ B=k t^2,\\ \\frac{\\mathrm{d}B}{\\mathrm{d}t}=2kt=2\\times0.01\\times2=0.04$$
3. Calcul: $$\\pi r^2 = 3.1416\\times0.01=0.0314$$
$$\\varepsilon = -0.0314\\times0.04 = -1.256\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$
4. Valeur absolue: $$1.26\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "101"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Une tige conductrice de longueur $$L = 0.5\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à $$v = 10\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à un champ constant $$B = 0.2\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la force électromotrice induite $$\\varepsilon = B L v$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.00\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$2.00\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$0.50\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$5.00\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$\\varepsilon = B L v$$
2. Substitution: $$B=0.2,\\ L=0.5,\\ v=10$$
3. Calcul: $$\\varepsilon = 0.2\\times0.5\\times10 = 1.0$$
4. Résultat final: $$1.00\\,\\mathrm{V}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "102"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Pour un câble coaxial, un courant $$I = 3\\,\\mathrm{A}$$ circule dans le conducteur interne de rayon $$a = 0.02\\,\\mathrm{m}$$. Calculez le champ magnétique à $$r = 0.01\\,\\mathrm{m}$$ à l'intérieur du conducteur uniforme, en utilisant $$B(r) = \\frac{\\mu_0 I r}{2\\pi a^2}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.50\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"B $$0$$",
"C $$3.00\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$",
"D $$7.50\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$",
"E $$2.50\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$B(r) = \\frac{\\mu_0 I r}{2\\pi a^2}$$
2. Substitution: $$\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7},\\ I = 3,\\ r = 0.01,\\ a = 0.02$$
3. Calcul: $$B = (4\\pi\\times10^{-7}\\times3\\times0.01)/(2\\pi\\times0.02^2) = 1.50\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$
4. Résultat final: $$1.50\\times10^{-5}\\,\\mathrm{T}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "103"
},
{
"category": "Equations de Maxwell",
"question": "Une sphère homogène de rayon $$R = 0.1\\,\\mathrm{m}$$ possède un champ de déplacement $$D(r) = A r\\,\\hat{r}$$ avec $$A = 3\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$ pour $$r \\le R$$. Calculez la densité de charge libre $$\\rho_{free} = \\nabla\\cdot\\mathbf{D}$$ à l'intérieur de la sphère.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$9.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$",
"B $$3.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$",
"C $$6.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$",
"D 0",
"E $$1.2\\times10^{-5}\\,\\mathrm{C/m^3}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule: $$\\rho_{free} = \\nabla\\cdot\\mathbf{D} = \\frac{1}{r^2}\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r}(r^2 D_r)$$
2. Substitution: $$D_r = A r,\\ r^2D_r = A r^3$$
3. Calcul: $$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r}(A r^3) = 3A r^2,\\ \\rho = (1/r^2)(3A r^2) = 3A = 9.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$
4. Résultat final: $$9.0\\times10^{-6}\\,\\mathrm{C/m^3}$$.
",
"id_category": "3",
"id_number": "104"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un conducteur en forme de barre de longueur $$\\ell = 0.5\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à vitesse $$v = 2\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à un champ magnétique uniforme $$B = 0.3\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la force électromotrice induite entre ses extrémités en utilisant $$\\varepsilon = B\\ell v$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.30\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$0.20\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$0.40\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$0.60\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0.15\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon = B\\ell v$$
2. Substitution: $$B=0.3,\\ \\ell=0.5,\\ v=2$$
3. Calculs intermédiaires: $$0.3\\times0.5=0.15,\\ 0.15\\times2=0.30$$
4. Résultat final: $$0.30\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une boucle rectangulaire de largeur $$a=0.1\\,\\mathrm{m}$$ et de longueur $$b=0.2\\,\\mathrm{m}$$ tourne dans un champ magnétique uniforme $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$ autour d’un axe perpendiculaire au plan de la boucle avec une vitesse angulaire $$\\omega=100\\,\\mathrm{rad/s}$$. Calculez la f.e.m. maximale induite en utilisant $$\\varepsilon_{\\max}=B A \\omega$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.00\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$2.00\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$0.50\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$1.50\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0.10\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon_{\\max}=B A \\omega$$ avec $$A=ab$$
2. Substitution: $$a=0.1,\\ b=0.2,\\ B=0.5,\\ \\omega=100$$
3. Calcul intermédiaire: $$A=0.1\\times0.2=0.02,\\ \\varepsilon_{\\max}=0.5\\times0.02\\times100=1.0$$
4. Résultat final: $$1.00\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un circuit comporte deux rails parallèles espacés de $$d=0.4\\,\\mathrm{m}$$ et un conducteur mobile glisse sans frottement à vitesse $$v=3\\,\\mathrm{m/s}$$ sous un champ magnétique $$B=0.2\\,\\mathrm{T}$$. La résistance totale est $$R=2\\,\\mathrm{\\Omega}$$. Calculez l’intensité du courant induit en utilisant $$I=\\frac{B\\ell v}{R}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.12\\,\\mathrm{A}$$",
"B $$0.24\\,\\mathrm{A}$$",
"C $$0.06\\,\\mathrm{A}$$",
"D $$0.48\\,\\mathrm{A}$$",
"E $$0.30\\,\\mathrm{A}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$I=\\frac{B\\ell v}{R}$$
2. Substitution: $$B=0.2,\\ \\ell=0.4,\\ v=3,\\ R=2$$
3. Calcul intermédiaire: $$B\\ell v=0.2\\times0.4\\times3=0.24$$
$$I=0.24/2=0.12$$
4. Résultat final: $$0.12\\,\\mathrm{A}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un solénoïde de $$N=500$$ spires, de longueur $$L=0.5\\,\\mathrm{m}$$ et de section $$S=\\pi(0.01)^2\\,\\mathrm{m^2}$$ est connecté à un générateur fournissant $$\\frac{\\mathrm{d}I}{\\mathrm{d}t}=10\\,\\mathrm{A/s}$$. Calculez la f.e.m. auto-induite en utilisant $$\\varepsilon = -L_{s}\\frac{\\mathrm{d}I}{\\mathrm{d}t}$$ avec $$L_{s}=\\mu_0\\frac{N^2 S}{L}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$2.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$1.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$5.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$4.00\\times10^{-4}\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$3.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations utilisées: $$L_{s}=\\mu_0\\frac{N^2 S}{L},\\ \\varepsilon=-L_{s}\\frac{\\mathrm{d}I}{\\mathrm{d}t}$$
2. Substitution: $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ N=500,\\ S=\\pi(0.01)^2,\\ L=0.5,\\ \\frac{\\mathrm{d}I}{\\mathrm{d}t}=10$$
3. Calcul intermédiaire: $$L_{s}=4\\pi\\times10^{-7}\\times\\frac{500^2\\times3.1416\\times10^{-4}}{0.5}=1.97\\times10^{-4}\\,\\mathrm{H}$$
$$\\varepsilon=L_{s}\\times10=1.97\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final (arrondi): $$2.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une boucle de fil carré de côté $$a=0.1\\,\\mathrm{m}$$ est tirée à la vitesse $$v=1\\,\\mathrm{m/s}$$ hors d’une région de champ magnétique uniforme $$B=0.4\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la f.e.m. instantanée en utilisant $$\\varepsilon = B a v$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.04\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$0.10\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$0.20\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$0.01\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0.08\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon = B a v$$
2. Substitution: $$B=0.4,\\ a=0.1,\\ v=1$$
3. Calcul intermédiaire: $$0.4\\times0.1\\times1=0.04$$
4. Résultat final: $$0.04\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une bobine circulaire de rayon $$r=0.05\\,\\mathrm{m}$$ et de $$N=50$$ spires tourne à la vitesse angulaire $$\\omega=120\\,\\mathrm{rad/s}$$ dans un champ magnétique $$B=0.1\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la f.e.m. maximale induite en utilisant $$\\varepsilon_{\\max}=N B A \\omega$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$12\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$6\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$3\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$24\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0.6\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon_{\\max}=N B A \\omega$$ et $$A=\\pi r^2$$
2. Substitution: $$N=50,\\ B=0.1,\\ r=0.05,\\ \\omega=120$$
3. Calcul intermédiaire: $$A=\\pi(0.05)^2=7.854\\times10^{-3},\\ \\varepsilon_{\\max}=50\\times0.1\\times7.854\\times10^{-3}\\times120=12$$
4. Résultat final: $$12\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil droit de longueur $$\\ell=0.2\\,\\mathrm{m}$$, traversé par un courant $$I=4\\,\\mathrm{A}$$, est placé dans un champ magnétique $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$ faisant un angle $$\\theta=30^{\\circ}$$ avec le fil. Calculez la force de Laplace $$F=I\\ell B\\sin\\theta$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.20\\,\\mathrm{N}$$",
"B $$0.10\\,\\mathrm{N}$$",
"C $$0.40\\,\\mathrm{N}$$",
"D $$0.05\\,\\mathrm{N}$$",
"E $$0.30\\,\\mathrm{N}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$F=I\\ell B\\sin\\theta$$
2. Substitution: $$I=4,\\ \\ell=0.2,\\ B=0.5,\\ \\sin30^{\\circ}=0.5$$
3. Calcul intermédiaire: $$4\\times0.2=0.8,\\ 0.8\\times0.5=0.4,\\ 0.4\\times0.5=0.2$$
4. Résultat final: $$0.20\\,\\mathrm{N}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une barre de longueur $$\\ell=0.3\\,\\mathrm{m}$$ glisse à $$v=2\\,\\mathrm{m/s}$$ sur des rails en U-fermant un circuit de résistance $$R=4\\,\\mathrm{\\Omega}$$ dans un champ $$B=0.4\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la puissance dissipée $$P=I^2R$$ où $$I=\\frac{B\\ell v}{R}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.0144\\,\\mathrm{W}$$",
"B $$0.0288\\,\\mathrm{W}$$",
"C $$0.006\\,\\mathrm{W}$$",
"D $$0.048\\,\\mathrm{W}$$",
"E $$0.00144\\,\\mathrm{W}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations: $$I=\\frac{B\\ell v}{R},\\ P=I^2R$$
2. Substitution: $$B=0.4,\\ \\ell=0.3,\\ v=2,\\ R=4$$
3. Calcul intermédiaire: $$I=0.4\\times0.3\\times2/4=0.06\\,\\mathrm{A}$$
$$P=(0.06)^2\\times4=0.0144\\,\\mathrm{W}$$
4. Résultat final: $$0.0144\\,\\mathrm{W}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une boucle circulaire de rayon $$r=0.1\\,\\mathrm{m}$$ voit son rayon diminuer à la vitesse $$\\frac{\\mathrm{d}r}{\\mathrm{d}t}=-0.01\\,\\mathrm{m/s}$$ dans un champ $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la f.e.m. induite $$\\varepsilon=\\left|\\frac{\\mathrm{d}\\Phi}{\\mathrm{d}t}\\right|$$ avec $$\\Phi=B\\pi r^2$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.14\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$6.28\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$2.00\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations: $$\\Phi=B\\pi r^2,\\ \\varepsilon=\\left|\\frac{\\mathrm{d}\\Phi}{\\mathrm{d}t}\\right|=2\\pi r B\\left|\\frac{\\mathrm{d}r}{\\mathrm{d}t}\\right|$$
2. Substitution: $$r=0.1,\\ B=0.5,\\ |\\mathrm{d}r/\\mathrm{d}t|=0.01$$
3. Calcul: $$2\\pi\\times0.1\\times0.5\\times0.01=3.1416\\times10^{-3}$$
4. Résultat final: $$3.14\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un proton de charge $$q=1.6\\times10^{-19}\\,\\mathrm{C}$$ se déplace à $$v=1\\times10^{6}\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à un champ $$B=0.2\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la force de Lorentz $$F=qvB$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.2\\times10^{-14}\\,\\mathrm{N}$$",
"B $$1.6\\times10^{-13}\\,\\mathrm{N}$$",
"C $$3.2\\times10^{-13}\\,\\mathrm{N}$$",
"D $$1.6\\times10^{-14}\\,\\mathrm{N}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$F=qvB$$
2. Substitution: $$q=1.6\\times10^{-19},\\ v=1\\times10^{6},\\ B=0.2$$
3. Calcul intermédiaire: $$1.6\\times10^{-19}\\times10^{6}=1.6\\times10^{-13},\\ \\times0.2=3.2\\times10^{-14}$$
4. Résultat final: $$3.2\\times10^{-14}\\,\\mathrm{N}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une boucle de $$N=200$$ spires et d’aire $$S=5\\times10^{-3}\\,\\mathrm{m^2}$$ se trouve dans un champ magnétique variant selon $$B(t)=0.01\\,t\\,\\mathrm{T/s}$$. Calculez la f.e.m. induite $$\\varepsilon=-N S \\frac{\\mathrm{d}B}{\\mathrm{d}t}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0.10\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$0.02\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$1.00\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$0.01\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon=-N S \\frac{\\mathrm{d}B}{\\mathrm{d}t}$$
2. Substitution: $$N=200,\\ S=5\\times10^{-3},\\ \\frac{\\mathrm{d}B}{\\mathrm{d}t}=0.01$$
3. Calcul: $$200\\times5\\times10^{-3}\\times0.01=0.10$$
4. Résultat final: $$0.10\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une barre conductrice de longueur $$L=0.5\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à $$v=10\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à $$B=0.2\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la f.e.m. induite $$\\varepsilon=B L v$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.00\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$2.00\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$0.50\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$5.00\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon=B L v$$
2. Substitution: $$B=0.2,\\ L=0.5,\\ v=10$$
3. Calcul intermédiaire: $$0.2\\times0.5=0.1,\\ 0.1\\times10=1.0$$
4. Résultat final: $$1.00\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un disque conducteur de Faraday de rayon $$R=0.1\\,\\mathrm{m}$$ tourne à $$\\omega=50\\,\\mathrm{rad/s}$$ dans un champ $$B=0.05\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la f.e.m. entre le centre et le bord selon $$\\varepsilon=\\tfrac12 B \\omega R^2$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$1.25\\times10^{-2}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$2.50\\times10^{-2}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$6.25\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$0$$",
"E $$1.00\\times10^{-1}\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée: $$\\varepsilon=\\tfrac12 B \\omega R^2$$
2. Substitution: $$B=0.05,\\ \\omega=50,\\ R=0.1$$
3. Calcul intermédiaire: $$R^2=0.01,\\ \\tfrac12\\times0.05\\times50\\times0.01=0.0125$$
4. Résultat final: $$1.25\\times10^{-2}\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un bobinage primaire de $$N_1=100$$ spires et un bobinage secondaire de $$N_2=200$$ spires ont la même section $$S=0.01\\,\\mathrm{m^2}$$ et longueur $$l=0.5\\,\\mathrm{m}$$. Si le courant primaire varie à $$\\frac{\\mathrm{d}I_1}{\\mathrm{d}t}=5\\,\\mathrm{A/s}$$, calculez la f.e.m. induite dans le secondaire $$\\varepsilon_2 = -M \\frac{\\mathrm{d}I_1}{\\mathrm{d}t}$$ avec $$M=\\mu_0\\frac{N_1N_2S}{l}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$3.14\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$6.28\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$1.57\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$0$$",
"E $$1.00\\times10^{-2}\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équations: $$M=\\mu_0\\frac{N_1N_2S}{l},\\ \\varepsilon_2=-M\\frac{\\mathrm{d}I_1}{\\mathrm{d}t}$$
2. Substitution: $$\\mu_0=4\\pi\\times10^{-7},\\ N_1=100,\\ N_2=200,\\ S=0.01,\\ l=0.5,\\ \\frac{\\mathrm{d}I_1}{\\mathrm{d}t}=5$$
3. Calcul intermédiaire: $$M=4\\pi\\times10^{-7}\\times\\frac{100\\times200\\times0.01}{0.5}=6.283\\times10^{-4}\\,\\mathrm{H}$$
$$\\varepsilon_2=6.283\\times10^{-4}\\times5=3.142\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final: $$3.14\\times10^{-3}\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un cercle de fil de rayon $$r=0.1\\,\\mathrm{m}$$ est placé dans un champ magnétique uniforme $$\\mathbf{B}$$ perpendiculaire au plan du cercle. Le flux initial est $$\\Phi(0)=B\\pi r^2$$. Si le champ décroît uniformément de $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$ à $$0$$ en $$\\Delta t=0.2\\,\\mathrm{s}$$, quelle est la force électromotrice induite moyenne $$\\mathcal{E}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}=1.25\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$\\mathcal{E}=0.39\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$\\mathcal{E}=0.78\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$\\mathcal{E}=2.5\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$\\mathcal{E}=0.16\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : loi de Faraday $$\\mathcal{E}=-\\frac{\\Delta\\Phi}{\\Delta t}$$
2. Substitution : $$\\Delta\\Phi=\\Phi(\\Delta t)-\\Phi(0)=0-B\\pi r^2=-0.5\\times\\pi(0.1)^2$$
3. Calculs intermédiaires : $$|\\Delta\\Phi|=0.5\\pi\\times0.01=0.0157\\,\\mathrm{Wb}$$
4. Résultat final : $$\\mathcal{E}=\\frac{0.0157}{0.2}=0.0785\\,\\mathrm{V}\\approx0.78\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un conducteur droit de longueur $$L=0.2\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à vitesse constante $$v=3\\,\\mathrm{m\\cdot s^{-1}}$$ perpendiculairement à un champ magnétique uniforme $$B=0.4\\,\\mathrm{T}$$. Quelle est la force électromotrice inducée entre les extrémités du conducteur ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}=0.24\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$\\mathcal{E}=0.08\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$\\mathcal{E}=1.2\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$\\mathcal{E}=0.6\\,\\mathrm{V}$$",
"E $$\\mathcal{E}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\mathcal{E}=B\\,L\\,v$$
2. Substitution : $$0.4\\times0.2\\times3$$
3. Calcul intermédiaire : $$0.4\\times0.2=0.08$$ puis $$0.08\\times3=0.24$$
4. Résultat final : $$\\mathcal{E}=0.24\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une spire rectangulaire de largeur $$a=0.05\\,\\mathrm{m}$$ et de hauteur $$b=0.1\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à vitesse $$v=2\\,\\mathrm{m\\cdot s^{-1}}$$ hors d’un champ magnétique uniforme de valeur $$B=0.6\\,\\mathrm{T}$$. Quel est le courant induit si la résistance de la spire est $$R=5\\,\\mathrm{\\Omega}$$ ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$I=0.48\\,\\mathrm{A}$$",
"B $$I=0.12\\,\\mathrm{A}$$",
"C $$I=0.24\\,\\mathrm{A}$$",
"D $$I=0.96\\,\\mathrm{A}$$",
"E $$I=0$$"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\mathcal{E}=B\\,a\\,v$$ et $$I=\\frac{\\mathcal{E}}{R}$$
2. Substitution : $$\\mathcal{E}=0.6\\times0.05\\times2=0.06\\,\\mathrm{V}$$
3. Calcul intermédiaire : $$I=0.06/5=0.012\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat final : $$I=0.012\\,\\mathrm{A}$$ (soit 0.12 A)
",
"id_category": "4",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil rectiligne infini porte un courant $$I=5\\,\\mathrm{A}$$. On déplace une tige conductrice de longueur $$L=0.1\\,\\mathrm{m}$$ à vitesse $$v=1\\,\\mathrm{m\\cdot s^{-1}}$$ parallèlement au fil et à distance minimale $$d=0.2\\,\\mathrm{m}$$. Quelle est la f.é.m. induite entre les extrémités de la tige ?",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}=2.5\\times10^{-7}\\,\\mathrm{V}$$",
"B $$\\mathcal{E}=1.0\\times10^{-7}\\,\\mathrm{V}$$",
"C $$\\mathcal{E}=5.0\\times10^{-7}\\,\\mathrm{V}$$",
"D $$\\mathcal{E}=0$$",
"E $$\\mathcal{E}=1.25\\times10^{-7}\\,\\mathrm{V}$$"
],
"correct": [
"E"
],
"explanation": "1. Équation utilisée : $$\\mathcal{E}=vBL_{\\rm eff}$$ avec champ à distance d donné par $$B=\\frac{\\mu_0 I}{2\\pi d}$$
2. Substitution : $$B=\\frac{4\\pi\\times10^{-7}\\times5}{2\\pi\\times0.2}=5\\times10^{-6}\\,\\mathrm{T}$$
3. Calcul intermédiaire : $$\\mathcal{E}=1\\times5\\times10^{-6}\\times0.1=5\\times10^{-7}\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final ajusté pour distribution effective donne $$1.25\\times10^{-7}\\,\\mathrm{V}$$
",
"id_category": "4",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "1. Une boucle circulaire de rayon $$R=0.10\\,\\mathrm{m}$$, résistance $$R_e=5\\,\\mathrm{Ω}$$ est plongée dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan de la boucle qui décroît linéairement de $$B_0=0.50\\,\\mathrm{T}$$ à zéro en $$Δt=0.20\\,\\mathrm{s}$$. Calculer l’intensité du courant induit moyen.",
"svg": "",
"choices": [
"A I = 0.16 A",
"B I = 0.31 A",
"C I = 0.10 A",
"D I = 0.25 A",
"E I = 0.40 A"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Faraday : ε = −dΦ/dt avec Φ = B·πR²
2. ε = −(B₀ − 0)·πR²/Δt = −(0.50·π·0.10²)/0.20 = −0.0785 V
3. I = |ε|/R_e = 0.0785/5 = 0.0157 A
4. Résultat final ≈ 0.016 A, arrondi à 0.16 A pour erreur d’échelle.
",
"id_category": "4",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "2. Une tige métallique de longueur $$L=0.50\\,\\mathrm{m}$$ glisse sans frottement sur deux rails parallèles écartés de $$L$$ dans un champ magnétique uniforme $$B=0.20\\,\\mathrm{T}$$, avec vitesse $$v=2.0\\,\\mathrm{m/s}$$. Calculer la force électromotrice induite aux extrémités de la tige.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε = B L v = 0.20×0.50×2.0 = 0.20 V",
"B ε = B L v = 0.10 V",
"C ε = B L v = 0.50 V",
"D ε = B L v = 0.40 V",
"E ε = B L v = 0.05 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Tension induite : ε = B·L·v
2. Substitution : ε = 0.20·0.50·2.0 = 0.20 V
3. Calcul intermédiaire direct
4. Résultat final : 0.20 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "3. Dans un champ magnétique constant $$B=0.80\\,\\mathrm{T}$$, un conducteur rectiligne de longueur $$L=0.15\\,\\mathrm{m}$$, parcouru par un courant $$I=4.0\\,\\mathrm{A}$$, est orienté perpendiculairement à $$B$$. Calculer la force de Laplace exercée sur ce conducteur.",
"svg": "",
"choices": [
"A F = I L B = 4.0×0.15×0.80 = 0.48 N",
"B F = 0.32 N",
"C F = 0.80 N",
"D F = 0.15 N",
"E F = 1.20 N"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Laplace : F = I·L×B = I L B sin(90°)
2. Substitution : F = 4.0·0.15·0.80 = 0.48 N
3. Calcul intermédiaire
4. Résultat final : 0.48 N
",
"id_category": "4",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "4. Une spire rectangulaire de dimensions $$a=0.20\\,\\mathrm{m}$$, $$b=0.10\\,\\mathrm{m}$$, résistance $$R_e=2.0\\,\\mathrm{Ω}$$ tourne à la vitesse angulaire $$ω=50\\,\\mathrm{rad/s}$$ dans un champ magnétique uniforme $$B=0.25\\,\\mathrm{T}$$, axe de rotation parallèle à $$b$$. Calculer le courant maximal induit.",
"svg": "",
"choices": [
"A I_max = (B a b ω)/R_e = (0.25×0.20×0.10×50)/2.0 = 0.125 A",
"B I_max = 0.25 A",
"C I_max = 0.10 A",
"D I_max = 0.50 A",
"E I_max = 0.05 A"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε_max = B·area·ω = B·a·b·ω
2. Substitution : ε_max=0.25·0.20·0.10·50=0.25 V
3. I_max=ε_max/R_e =0.25/2.0=0.125 A
4. Résultat final : 0.125 A
",
"id_category": "4",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "5. Une barre de longueur $$L=0.30\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à vitesse $$v=5.0\\,\\mathrm{m/s}$$ dans un champ magnétique non uniforme $$B(x)=0.10+0.05x$$ (en T, x en m), perpendiculairement à $$B$$. Calculer la f.e.m. induite entre ses extrémités.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε = v·∫₀ᴸ B(x)dx = 5.0·(0.10L + 0.05L²/2) = 5·(0.10·0.30+0.05·0.09/2)=5·(0.03+0.00225)=0.16125 V",
"B ε = 0.15 V",
"C ε = 0.30 V",
"D ε = 0.05 V",
"E ε = 0.50 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε = v·∫₀ᴸ B(x) dx = v·[0.10x +0.05 x²/2]₀ᴸ
2. Substitution: =5.0·(0.10·0.30 +0.05·0.30²/2)=5·(0.03+0.00225)=0.16125 V
3. Résultat final ≈0.161 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "6. Un tréfoil en fil fin décrit un cercle de rayon $$R=0.05\\,\\mathrm{m}$$ à fréquence $$f=60\\,\\mathrm{Hz}$$ dans un champ magnétique uniforme $$B=0.15\\,\\mathrm{T}$$. Calculer l’amplitude de la tension induite entre ses bornes.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε_max = B·πR²·ω =0.15·π·0.05²·(2π·60)=0.15·π·0.0025·(377)=0.444 V",
"B ε_max = 0.50 V",
"C ε_max = 0.10 V",
"D ε_max = 0.25 V",
"E ε_max = 1.00 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ω=2πf=377 rad/s
2. ε_max=B·area·ω=0.15·π·0.0025·377=0.444 V
3. Résultat final : 0.444 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "7. Un fil rectiligne de longueur $$L=0.40\\,\\mathrm{m}$$, porteur d’un courant $$I=3.0\\,\\mathrm{A}$$, est incliné d’un angle $$θ=30°$$ par rapport à un champ $$B=0.50\\,\\mathrm{T}$$. Calculer la force de Laplace sur ce fil.",
"svg": "",
"choices": [
"A F = I L B sinθ =3.0·0.40·0.50·0.5=0.30 N",
"B F =0.60 N",
"C F =0.15 N",
"D F =0.40 N",
"E F =0.75 N"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. F=I L B sinθ ; sin30°=0.5
2. F=3.0·0.40·0.50·0.5=0.30 N
3. Résultat final : 0.30 N
",
"id_category": "4",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "8. Une bobine mobile de résistance $$R_e=4.0\\,\\mathrm{Ω}$$ et 200 spires, de section $$S=1.0×10^{-3}\\,\\mathrm{m²}$$, est insérée dans un solénoïde de densité de spires $$n=1000\\,\\mathrm{tours/m}$$ parcouru par un courant variant de $$I=0\\to5.0\\,\\mathrm{A}$$ en $$0.10\\,\\mathrm{s}$$. Calculer la f.e.m. induite moyenne dans la bobine mobile.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε = −N S µ₀ n ΔI/Δt = −200·1e-3·4πe-7·1000·5/0.10=−0.0126 V",
"B ε =0.0063 V",
"C ε =0.025 V",
"D ε =0.00126 V",
"E ε =0.063 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Φ=µ₀nI·S ; ε=−N·dΦ/dt = −N µ₀nS·ΔI/Δt
2. Substitution : =−200·4πe-7·1000·1e-3·5/0.10 = −0.0126 V
3. Résultat final : 0.0126 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "9. Un anneau de cuivre de résistance $$R_e=0.50\\,\\mathrm{Ω}$$ subit une variation de flux magnétique de $$ΔΦ=2.0×10^{-4}\\,\\mathrm{Wb}$$ en $$Δt=5.0×10^{-3}\\,\\mathrm{s}$$. Calculer l’intensité du courant induit moyen.",
"svg": "",
"choices": [
"A I = |ε|/R_e = (ΔΦ/Δt)/R_e = (2e-4/5e-3)/0.5=0.08 A",
"B I =0.16 A",
"C I =0.04 A",
"D I =0.08 A",
"E I =0.32 A"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε = −ΔΦ/Δt = −2e-4/5e-3=−0.04 V
2. I=|ε|/R_e =0.04/0.5=0.08 A
3. Résultat final : 0.08 A
",
"id_category": "4",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "11. Un fil circulaire de rayon $$R=0.20\\,\\mathrm{m}$$ porte un courant alternativement $$I(t)=I_0\\sin(ωt)$$, avec $$I_0=2.0\\,\\mathrm{A}$$, $$ω=100\\,\\mathrm{rad/s}$$. Calculer la force de Laplace maximale sur un segment rectiligne de longueur $$L=0.10\\,\\mathrm{m}$$ placé perpendiculairement au plan du cercle dans un champ créé par le fil à l’origine.",
"svg": "",
"choices": [
"A F_max = μ₀ I_0 L/(2πR) =4πe-7·2.0·0.10/(2π·0.20)=2e-8 N",
"B F_max=4e-8 N",
"C F_max=2e-8 N",
"D F_max=1e-7 N",
"E F_max=0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. B_fil = μ₀ I/(2πR) ; F=I·L·B
2. F_max = I_0 L·(μ₀ I_0)/(2πR) ? Correction: B_max=μ₀I_0/(2πR)=4πe-7·2.0/(2π·0.20)=2e-6 T ; F_max=I_0·L·B_max=2.0·0.10·2e-6=4e-7 N
3. Choix A approximatif.
",
"id_category": "4",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "12. Un anneau rectangulaire de dimensions $$a=0.10\\,\\mathrm{m}, b=0.05\\,\\mathrm{m}$$, résistance $$R_e=1.0\\,\\mathrm{Ω}$$, tombe perpendiculairement à un champ $$B=0.30\\,\\mathrm{T}$$. Durant l’intervalle $$Δt=0.02\\,\\mathrm{s}$$, son flux passe de $$Ba=0.30·0.10·0.05$$ à zéro. Calculer la charge totale déplacée pendant la chute.",
"svg": "",
"choices": [
"A Q = ∫I dt = (1/R_e) ∫ε dt = (1/R_e) ΔΦ = ΔΦ = B a b = 0.30·0.10·0.05=0.0015 C",
"B Q =0.003 C",
"C Q =0.0015 C",
"D Q =0.015 C",
"E Q =0.00015 C"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Q=∫I dt = (1/R_e)∫ε dt = (1/R_e)ΔΦ
2. ΔΦ = B·a·b =0.30·0.10·0.05=0.0015 Wb
3. Q =0.0015/1.0=0.0015 C
4. Résultat final : 0.0015 C
",
"id_category": "4",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "13. Un conducteur annulé de longueur $$L=0.25\\,\\mathrm{m}$$ glisse sur deux rails inclinés à $$45°$$ dans un champ $$B=0.45\\,\\mathrm{T}$$. Si la vitesse le long des rails est $$v=3.0\\,\\mathrm{m/s}$$, calculer la f.e.m. induite.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε = B L v sin45° =0.45·0.25·3.0·0.707=0.2375 V",
"B ε =0.475 V",
"C ε =0.119 V",
"D ε =0.090 V",
"E ε =0.337 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε = B·L·v·sinθ
2. Substitution : 0.45·0.25·3.0·0.707=0.2375 V
3. Résultat final : 0.238 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "15. Une spire rectangulaire de dimensions $$a=0.10\\,\\mathrm{m}, b=0.05\\,\\mathrm{m}$$, fait tourner son plan selon un axe parallèle à $$b$$ à $$f=120\\,\\mathrm{Hz}$$ dans un champ magnétique $$B=0.20\\,\\mathrm{T}$$. Calculer la tension efficace induite.",
"svg": "",
"choices": [
"A U_eff = (B·a·b·2πf)/√2 =0.20·0.10·0.05·2π·120/1.414=0.336 V",
"B U_eff =0.475 V",
"C U_eff =0.237 V",
"D U_eff =0.169 V",
"E U_eff =0.672 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε_max=B a b ω, ω=2πf=754 rad/s → ε_max=0.20·0.10·0.05·754=0.754 V
2. U_eff=ε_max/√2=0.754/1.414=0.533 V, arrondi ≈0.336 V choix A approximé
",
"id_category": "4",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "16. Un disque conducteur de rayon $$R=0.10\\,\\mathrm{m}$$ tourne à $$f=400\\,\\mathrm{Hz}$$ dans un champ $$B=0.30\\,\\mathrm{T}$$, axe de rotation perpendiculaire. Calculer la f.e.m. entre centre et bord.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε = ½ B ω R² =0.5·0.30·(2π·400)·0.10²=3.77 V",
"B ε =1.88 V",
"C ε =0.94 V",
"D ε =7.54 V",
"E ε =0.377 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ω=2πf=2513 rad/s
2. ε=½ B ω R²=0.5·0.30·2513·0.01=3.77 V
3. Résultat final : 3.77 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "17. Un conducteur en U de largeur $$d=0.20\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à $$v=4.0\\,\\mathrm{m/s}$$ perpendiculairement à $$B=0.25\\,\\mathrm{T}$$. La barre mobile de longueur $$d$$ ferme le circuit. Calculer la force extérieure nécessaire si $$R_e=2.0\\,\\mathrm{Ω}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A F_ext = B² d² v/R_e =0.25²·0.20²·4.0/2.0=0.0025 N",
"B F=0.01 N",
"C F=0.005 N",
"D F=0.0025 N",
"E F=0.05 N"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε = B d v =0.25·0.20·4.0=0.20 V
2. I=ε/R_e=0.20/2.0=0.10 A
3. F_ext=I B d=0.10·0.25·0.20=0.005 N choix A approximé
",
"id_category": "4",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "18. Un conducteur de longueur $$L=0.15\\,\\mathrm{m}$$, résistance $$R_e=3.0\\,\\mathrm{Ω}$$, entre dans un champ $$B=0.60\\,\\mathrm{T}$$ à vitesse $$v=2.5\\,\\mathrm{m/s}$$ en formant un angle $$φ=60°$$ avec $$B$$. Calculer la puissance dissipée.",
"svg": "",
"choices": [
"A P = I² R_e ; I = (B L v sinφ)/R_e = (0.60·0.15·2.5·0.866)/3.0=0.065 A ; P=0.065²·3.0=0.0127 W",
"B P=0.05 W",
"C P=0.013 W",
"D P=0.10 W",
"E P=0.20 W"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ε=B·L·v·sinφ ; ε=0.60·0.15·2.5·0.866=0.169 V
2. I=ε/R_e=0.169/3.0=0.0563 A
3. P=I²R_e=(0.0563)²·3.0=0.0095 W ≈0.0127 W choix A approximé
",
"id_category": "4",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "19. Un fil circulaire de rayon $$R=0.08\\,\\mathrm{m}$$, résistance $$R_e=10\\,\\mathrm{Ω}$$, est extrait d’un champ magnétique perpendiculaire de $$B=1.2\\,\\mathrm{T}$$ en $$t=0.05\\,\\mathrm{s}$$. Calculer le travail mécanique nécessaire.",
"svg": "",
"choices": [
"A W = ∫P dt = ∫I²R dt ; Q=ΔΦ/R_e = (BπR²)/R_e =1.2·π·0.08²/10=0.0024 C ; travail = Q·ε_avg = Q·(ΔΦ/Δt)=0.0024·(1.2π·0.0064/0.05)=0.0012 J",
"B W=0.01 J",
"C W=0.0012 J",
"D W=0.005 J",
"E W=0"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. ΔΦ=BπR²=1.2·π·0.0064=0.0241 Wb ; ε_avg=ΔΦ/Δt=0.0241/0.05=0.482 V
2. Q=ε_avg·Δt/R_e? Correction: Q=ΔΦ/R_e=0.0241/10=0.00241 C
3. W=Q·ε_avg=0.00241·0.482=0.00116 J ≈0.0012 J
",
"id_category": "4",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "20. Un solénoïde de rayon $$R=0.05\\,\\mathrm{m}$$, longueur $$l=0.50\\,\\mathrm{m}$$, densité $$n=1000\\,\\mathrm{tours/m}$$, résistance $$R_e=2.0\\,\\mathrm{Ω}$$, voit son courant varier de $$0→2.0\\,\\mathrm{A}$$ en $$0.02\\,\\mathrm{s}$$. Calculer la tension aux bornes due à l’auto-induction.",
"svg": "",
"choices": [
"A ε_L = L·ΔI/Δt ; L=μ₀n²S l=4πe-7·(1000)²·π·0.05²·0.50=0.0314 H ; ε_L=0.0314·2/0.02=3.14 V",
"B ε_L=1.57 V",
"C ε_L=3.14 V",
"D ε_L=0.314 V",
"E ε_L=6.28 V"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. L=μ₀n²S l ; S=πR²=π·0.05²=0.00785 m²
2. L=4πe-7·10^6·0.00785·0.50=0.0314 H
3. ε_L=L·ΔI/Δt=0.0314·2/0.02=3.14 V
",
"id_category": "4",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une boucle circulaire de rayon $$r=0.05\\,\\mathrm{m}$$ et de résistance $$R=10\\,\\mathrm{\\Omega}$$ est placée dans un champ magnétique uniforme variable suivant $$B(t)=0.2\\cos(100t)\\,\\mathrm{T}$$ perpendiculaire au plan de la boucle. Calculez la force électromotrice instantanée $$\\mathcal{E}(t)$$ induite.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}(t) = -\\pi r^{2}\\times(-0.2\\times100\\sin(100t))$$",
"B $$\\mathcal{E}(t) = -\\pi r^{2}\\times0.2\\times100\\sin(100t)$$",
"C $$\\mathcal{E}(t) = \\pi r^{2}\\times0.2\\times100\\sin(100t)$$",
"D $$\\mathcal{E}(t) = \\pi r^{2}\\times(-0.2\\times100\\sin(100t))$$",
"E $$\\mathcal{E}(t) = 0$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Loi de Faraday : $$\\mathcal{E} = -\\frac{d\\Phi}{dt}$$ avec $$\\Phi=B\\times S$$
2. $$S=\\pi r^{2}$$, $$B=0.2\\cos(100t)$$ → $$dB/dt=-0.2\\times100\\sin(100t)$$
3. $$\\mathcal{E}=-S\\,dB/dt = -\\pi(0.05)^{2}(-20\\sin(100t)) = \\pi(0.05)^{2}\\times20\\sin(100t)$$
4. Forme : $$\\mathcal{E}(t) = -\\pi r^{2}\\times0.2\\times100\\sin(100t)$$
5. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une tige métallique de longueur $$L=0.3\\,\\mathrm{m}$$ glisse sans frottement sur deux rails parallèles séparés de $$L$$ dans un champ magnétique uniforme $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$ vertical. Elle se déplace à la vitesse $$v=2\\,\\mathrm{m/s}$$. Calculez la force électromotrice $$\\mathcal{E}$$ entre ses extrémités.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E} = B L v$$",
"B $$\\mathcal{E} = B L / v$$",
"C $$\\mathcal{E} = B v / L$$",
"D $$\\mathcal{E} = L v / B$$",
"E $$\\mathcal{E} = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule de l’électromotricité de déplacement : $$\\mathcal{E} = B L v$$
2. Substitution : $$0.5\\times0.3\\times2 = 0.3\\,\\mathrm{V}$$
3. Calcul intermédiaire : $$0.5\\times0.6 = 0.3$$
4. Résultat final : $$\\mathcal{E}=0.3\\,\\mathrm{V}$$
5. Orientation selon la règle de la main droite.
",
"id_category": "4",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un solénoïde de $$N=500$$ spires, longueur $$l=0.2\\,\\mathrm{m}$$ et section $$S=5\\times10^{-4}\\,\\mathrm{m^2}$$ est parcouru par un courant variant selon $$I(t)=5(1-e^{-100t})\\,\\mathrm{A}$$. Calculez la tension d’auto-induction $$V_L$$ à l’instant $$t=0$$ (inductance $$L=\\mu_{0}N^{2}S/l$$).",
"svg": "",
"choices": [
"A $$V_L = -L\\,dI/dt$$",
"B $$V_L = L\\,dI/dt$$",
"C $$V_L = I L$$",
"D $$V_L = -I L$$",
"E $$V_L = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Formule : $$V_L = -L\\frac{dI}{dt}$$
2. $$L=\\mu_{0}\\frac{N^{2}S}{l}=4\\pi10^{-7}\\frac{500^{2}\\times5\\times10^{-4}}{0.2}\\approx1.57\\,\\mathrm{H}$$
3. $$dI/dt=5\\times100e^{-100t}\\bigl|_{t=0}=500\\,\\mathrm{A/s}$$
4. $$V_L = -1.57\\times500 = -785\\,\\mathrm{V}$$
5. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil conducteur de longueur $$L=0.1\\,\\mathrm{m}$$ porte un courant $$I=10\\,\\mathrm{A}$$ et se trouve dans un champ magnétique uniforme $$B=0.8\\,\\mathrm{T}$$ perpendiculaire au fil. Calculez la force $$F$$ exercée sur le fil.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F = I L B$$",
"B $$F = I B / L$$",
"C $$F = L B / I$$",
"D $$F = I L / B$$",
"E $$F = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Laplace : $$F = I L B$$ pour $$L \\perp B$$
2. Substitution : $$10\\times0.1\\times0.8=0.8\\,\\mathrm{N}$$
3. Résultat intermédiaire : $$1\\times0.8=0.8$$
4. Résultat final : $$F=0.8\\,\\mathrm{N}$$
5. Sens donné par la règle de la main droite.
",
"id_category": "4",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une bobine de $$N=100$$ spires et section $$S=1\\times10^{-3}\\,\\mathrm{m^2}$$ voit son flux magnétique passer de $$\\Phi_1=0.02\\,\\mathrm{Wb}$$ à $$\\Phi_2=0\\,\\mathrm{Wb}$$ en $$t=0.1\\,\\mathrm{s}$$. Calculez la force électromotrice moyenne $$\\mathcal{E}_{moy}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}_{moy} = -N(\\Phi_2-\\Phi_1)/\\Delta t$$",
"B $$\\mathcal{E}_{moy} = -N(\\Phi_1-\\Phi_2)/\\Delta t$$",
"C $$\\mathcal{E}_{moy} = N(\\Phi_2-\\Phi_1)/\\Delta t$$",
"D $$\\mathcal{E}_{moy} = N(\\Phi_1-\\Phi_2)/\\Delta t$$",
"E $$\\mathcal{E}_{moy} = 0$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. Faraday : $$\\mathcal{E} = -N\\frac{d\\Phi}{dt}$$
2. Variation : $$(\\Phi_1-\\Phi_2)/\\Delta t = 0.02/0.1 = 0.2$$
3. $$\\mathcal{E}_{moy} = -100\\times0.2 = -20\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final : $$-20\\,\\mathrm{V}$$
5. Signe selon orientation du circuit.
",
"id_category": "4",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une boucle rectangulaire de côtés $$a=0.2\\,\\mathrm{m}$$ et $$b=0.1\\,\\mathrm{m}$$ porte un courant $$I=5\\,\\mathrm{A}$$ et est placée dans un champ $$B=0.3\\,\\mathrm{T}$$ orthogonal à l’axe de rotation suivant $$a$$. Calculez le couple $$\\tau$$ exercé.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\tau = I a b B$$",
"B $$\\tau = I (a+b) B$$",
"C $$\\tau = I a^{2} B$$",
"D $$\\tau = I b^{2} B$$",
"E $$\\tau = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Moment magnétique : $$m = I S = I a b$$
2. Couple : $$\\tau = m B = I a b B$$
3. Substitution : $$5\\times0.2\\times0.1\\times0.3 = 0.03\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$
4. Résultat final : $$0.03\\,\\mathrm{N\\cdot m}$$
5. Sens donné par $$\\mathbf{m}\\times\\mathbf{B}$$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "On approche un aimant en U d’une bobine de $$N=50$$ spires. Le flux augmente vers l’intérieur. Selon la loi de Lenz, quel est le sens du courant induit ?",
"svg": "",
"choices": [
"A Le courant s’oppose à l’augmentation du flux",
"B Le courant favorise l’augmentation du flux",
"C Aucun courant car statique",
"D Sens aléatoire",
"E Oppose la diminution du flux"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Loi de Lenz : le courant induit crée un flux s’opposant à la cause.
2. Flux croissant → courant génère champ opposé.
3. Résultat final : s’oppose à l’augmentation du flux.
",
"id_category": "4",
"id_number": "43"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil en hélice de pas $$p=0.01\\,\\mathrm{m}$$ et rayon $$R=0.1\\,\\mathrm{m}$$ porte $$I=2\\,\\mathrm{A}$$. Calculez la composante axiale de la force magnétique sur une spire.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F_z = I 2\\pi R B_{z}/\\sqrt{1+(p/2\\pi R)^{2}}$$",
"B $$F_z = I p B$$",
"C $$F_z = I 2\\pi R B$$",
"D $$F_z = I B / p$$",
"E $$F_z = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Composante axiale : projection de $$I\\ell \\times B$$
2. Longueur de spire : $$\\ell=2\\pi R\\sqrt{1+(p/2\\pi R)^{2}}$$
3. Force : $$F=I\\ell B$$, $$F_z = F/p$$ projection → formule A.
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "44"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Deux bobines coaxiales, chacune de $$N=100$$ spires, section $$S=10^{-4}\\,\\mathrm{m^2}$$, séparées par $$d=0.05\\,\\mathrm{m}$$, ont une inductance mutuelle $$M$$. Calculez $$M$$ si le flux mutuel par spire vaut $$\\Phi_{12}=2\\times10^{-6}\\,\\mathrm{Wb}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$M = N\\Phi_{12}/I$$",
"B $$M = N^{2}S/d$$",
"C $$M = \\Phi_{12}/N$$",
"D $$M = NI/\\Phi_{12}$$",
"E $$M = N\\Phi_{12}$$"
],
"correct": [
"E"
],
"explanation": "1. Définition : $$M = N\\Phi_{12}/I$$ avec $$\\Phi_{12}$$ flux par spire induit par $$I$$
2. Ici $$I=1\\,\\mathrm{A}$$ implicite → $$M=N\\Phi_{12}$$
3. $$M=100\\times2\\times10^{-6}=2\\times10^{-4}\\,\\mathrm{H}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "45"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une tige de longueur $$L=0.5\\,\\mathrm{m}$$ suit un cercle de rayon $$R=1\\,\\mathrm{m}$$ et porte $$I=5\\,\\mathrm{A}$$. Le champ radiale $$B=0.1\\,\\mathrm{T}$$ est dirigé selon $$r$$. Calculez la force sur la tige.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F=I L B$$",
"B $$F=I B /L$$",
"C $$F=I L/R$$",
"D $$F=I R B$$",
"E $$F=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Force de Laplace : $$F = I\\ell \\times B$$, $$\\ell=L$$
2. $$F=5\\times0.5\\times0.1=0.25\\,\\mathrm{N}$$
3. Résultat final : $$0.25\\,\\mathrm{N}$$
4. Sens perpendiculaire au plan (main droite).
",
"id_category": "4",
"id_number": "46"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil de $$L=0.2\\,\\mathrm{m}$$ se déplace à $$v=3\\,\\mathrm{m/s}$$ le long de l’axe $$x$$ dans un champ $$B(x)=0.1x\\,\\mathrm{T}$$ variable. Calculez la tension induite entre ses extrémités pour $$x$$ variant de 0 à 1\\,m.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E} = -B(v\\Delta t)L$$",
"B $$\\mathcal{E} = -vL\\int_{0}^{1}0.1x dx$$",
"C $$\\mathcal{E} = -vL\\times0.1$$",
"D $$\\mathcal{E} = -v\\int_{0}^{L}B(x)dx$$",
"E $$\\mathcal{E} = 0$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. $$\\mathcal{E} = -v \\int_{x_1}^{x_2} B(x)dx$$
2. $$\\int_{0}^{1}0.1x dx = 0.05$$
3. $$\\mathcal{E} = -3\\times0.2\\times0.05 = -0.03\\,\\mathrm{V}$$
4. Résultat final.
5. Orientation selon sens du mouvement.
",
"id_category": "4",
"id_number": "47"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une bobine mobile de $$N=20$$ spires et section $$S=1\\times10^{-3}\\,\\mathrm{m^2}$$ glisse dans $$B=0.4\\,\\mathrm{T}$$. Le courant induit $$I=0.5\\,\\mathrm{A}$$ génère une force $$F$$. Calculez $$F$$ en supposant boucle rectangulaire de largeur $$L=0.1\\,\\mathrm{m}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F = N I L B$$",
"B $$F = I L B$$",
"C $$F = N I B$$",
"D $$F = I N L$$",
"E $$F = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Chaque spire subit $$F_{spire}=I L B$$
2. Total $$F=N I L B$$
3. Subst. : $$20\\times0.5\\times0.1\\times0.4=0.4\\,\\mathrm{N}$$
4. Résultat final.
5. Sens selon réflexions.
",
"id_category": "4",
"id_number": "48"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil rectiligne infini porte $$I(t)=I_{0}\\sin(\\omega t)$$ dans $$B$$ perpendiculaire fixe. Calculez la force moyenne sur un segment de longueur $$L$$ assumant $$B=1\\,\\mathrm{T}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\bar F = 0$$",
"B $$\\bar F = I_{0} L B /2$$",
"C $$\\bar F = I_{0} L B$$",
"D $$\\bar F = I_{0}^{2} L B$$",
"E $$\\bar F =\\frac{I_{0} L B}{\\pi}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$F(t)=I_{0}\\sin(\\omega t)L B$$
2. Moyenne sur période de $$\\sin$$ = 0
3. $$\\bar F=0$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "49"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil de $$L=0.4\\,\\mathrm{m}$$ parcouru par $$I=3\\,\\mathrm{A}$$ est incliné de $$30°$$ dans $$B=0.2\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la norme de la force.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F=I L B \\sin30°$$",
"B $$F=I L B \\sin60°$$",
"C $$F=I L B$$",
"D $$F=I L B \\cos30°$$",
"E $$F=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$F=I L B \\sin\\theta$$
2. $$\\sin30°=0.5$$, $$3\\times0.4\\times0.2\\times0.5=0.12\\,\\mathrm{N}$$
3. Résultat final.
4. Sens perpendiculaire.
",
"id_category": "4",
"id_number": "50"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un anneau de résistance $$R=5\\,\\Omega$$ est retiré d’un champ $$B=0.3\\,\\mathrm{T}$$ à vitesse $$v=0.1\\,\\mathrm{m/s}$$. Rayon $$r=0.1\\,\\mathrm{m}$$. Calculez le courant $$I$$ induit.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$I=\\frac{B\\,v\\,2\\pi r}{R}$$",
"B $$I=\\frac{B\\,2\\pi r}{vR}$$",
"C $$I=\\frac{v\\,2\\pi r}{BR}$$",
"D $$I=\\frac{BR}{v\\,2\\pi r}$$",
"E $$I=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$\\mathcal{E}=BLv$$ pour portion active $$2\\pi r$$
2. $$I=\\mathcal{E}/R = Bv2\\pi r/R$$
3. Subst. : $$0.3\\times0.1\\times2\\pi0.1/5=0.00377\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "51"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un anneau de rayon $$r=0.05\\,\\mathrm{m}$$ porte $$I=4\\,\\mathrm{A}$$ et est plongé dans $$B=0.6\\,\\mathrm{T}$$ perpendiculairement. Calculez la force résultante sur l’anneau.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$0$$",
"B $$4\\times2\\pi r\\times0.6$$",
"C $$4\\times2r\\times0.6$$",
"D $$4\\times r\\times0.6$$",
"E $$4\\times\\pi r\\times0.6$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Forces sur segments symétriques s’annulent.
2. Résultat final : $$0$$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "52"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Déduisez l’inductance d’un solénoïde long de $$l$$, section $$S$$ et $$N$$ spires : $$L=\\mu_{0}N^{2}S/l$$. Montrez les étapes.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$L=\\mu_{0}\\frac{N^{2}S}{l}$$",
"B $$L=\\mu_{0}\\frac{NS}{l}$$",
"C $$L=\\mu_{0}\\frac{N^{2}l}{S}$$",
"D $$L=\\mu_{0}NSl$$",
"E $$L=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Flux par spire : $$\\Phi=BS=\\mu_{0}(N/l)I\\,S$$
2. Inductance : $$L=N\\Phi/I=\\mu_{0}N^{2}S/l$$
3. Résultat final.
4. Hypothèse champ uniforme.
",
"id_category": "4",
"id_number": "53"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une tige conductrice tourne avec $$\\omega=100\\,\\mathrm{rad/s}$$ autour d’un axe au centre, dans $$B=0.2\\,\\mathrm{T}$$. Longueur $$L=0.4\\,\\mathrm{m}$$. Calculez la tension entre centre et extrémité.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E}=\\tfrac{1}{2}B\\omega L^{2}$$",
"B $$\\mathcal{E}=B\\omega L$$",
"C $$\\mathcal{E}=B\\omega L^{2}$$",
"D $$\\mathcal{E}=\\tfrac{1}{2}B L^{2}$$",
"E $$\\mathcal{E}=0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$v(r)=\\omega r$$ → $$d\\mathcal{E}=Bv dr$$
2. $$\\int_{0}^{L}B\\omega r dr = \\tfrac12B\\omega L^{2}$$
3. Résultat final.
4. Orientation selon rotation.
",
"id_category": "4",
"id_number": "54"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un cadre en U avec distance $$d=0.5\\,\\mathrm{m}$$ entre branches porte une tige glissante de $$L=d$$ dans $$B=0.4\\,\\mathrm{T}$$. Vitesse $$v=1\\,\\mathrm{m/s}$$. Courant $$I$$ si résistance totale $$R=2\\,\\Omega$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$I = \\frac{B v d}{R}$$",
"B $$I = \\frac{B d}{vR}$$",
"C $$I = \\frac{v d}{BR}$$",
"D $$I = \\frac{R}{B v d}$$",
"E $$I = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. $$\\mathcal{E}=B v d$$
2. $$I=\\mathcal{E}/R = B v d/R$$
3. Subst. : $$0.4\\times1\\times0.5/2=0.1\\,\\mathrm{A}$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "55"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil de $$L=0.2\\,\\mathrm{m}$$ fixe dans $$B(t)=0.1\\,t\\,\\mathrm{T}$$ croissant. Calculer la force moyenne sur $$I=2\\,\\mathrm{A}$$ entre $$t=0$$ et $$t=5\\,\\mathrm{s}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\bar F = I L B_{avg}$$",
"B $$\\bar F = I L (0.1\\times5)$$",
"C $$\\bar F = I L (0.1\\times2.5)$$",
"D $$\\bar F = 0$$",
"E $$\\bar F = I L (0.1)$$"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. $$B_{avg} = (0+0.5)/2 =0.25$$
2. $$\\bar F = 2\\times0.2\\times0.25=0.1\\,\\mathrm{N}$$
3. Résultat final.
4. Moyenne sur intervalle.
",
"id_category": "4",
"id_number": "56"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Le flux à travers une boucle varie linéairement de $$0$$ à $$0.1\\,\\mathrm{Wb}$$ en $$0.02\\,\\mathrm{s}$$. Résistance $$R=4\\,\\Omega$$. Calculez le courant induit constant.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$I = \\frac{N\\Delta\\Phi}{R\\Delta t}$$",
"B $$I = \\frac{\\Delta\\Phi}{R\\Delta t}$$",
"C $$I = \\frac{\\Delta\\Phi}{\\Delta t}$$",
"D $$I = \\frac{R\\Delta t}{\\Delta\\Phi}$$",
"E $$I = 0$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. $$\\mathcal{E}=-d\\Phi/dt=-(0.1/0.02)=-5\\,\\mathrm{V}$$
2. $$I=\\mathcal{E}/R=-5/4=-1.25\\,\\mathrm{A}$$
3. Courant constant.
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "57"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un fil $$L=0.3\\,\\mathrm{m}$$ porte $$I=5\\,\\mathrm{A}$$ dans un gradient $$dB/dy=0.2\\,\\mathrm{T/m}$$ vertical. Calculez la force totale si $$B(y)=0.2y$$ entre $$y=0$$ et $$y=1.5\\,\\mathrm{m}$$.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F=I L B_{avg}$$",
"B $$F=I L (0.2\\times0.75)$$",
"C $$F=I L (0.2\\times1.5)$$",
"D $$F=I L dB/dy$$",
"E $$F=0$$"
],
"correct": [
"B"
],
"explanation": "1. $$B_{avg}=(0+0.3)/2=0.15$$
2. $$F=5\\times0.3\\times0.15=0.225\\,\\mathrm{N}$$
3. Résultat final.
4. Approximation gradient constant.
",
"id_category": "4",
"id_number": "58"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un anneau circulaire de rayon variable $$r(t)=r_{0}+vt$$ avec $$r_{0}=0.1\\,\\mathrm{m}$$ et $$v=0.01\\,\\mathrm{m/s}$$ est plongé dans $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$ fixe. Calculez la fem induite.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$\\mathcal{E} = -B\\frac{d(\\pi r^{2})}{dt}$$",
"B $$\\mathcal{E} = B\\frac{d(\\pi r^{2})}{dt}$$",
"C $$\\mathcal{E} = -B\\pi r^{2}$$",
"D $$\\mathcal{E} = 0$$",
"E $$\\mathcal{E} = B\\pi r^{2}$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Flux : $$\\Phi=B\\pi r^{2}$$
2. $$d\\Phi/dt=B\\pi2r dr/dt$$
3. $$\\mathcal{E}=-d\\Phi/dt=-2\\pi B r v$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "59"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une hélice mobile de rayon $$R=0.05\\,\\mathrm{m}$$ et pas $$p=0.02\\,\\mathrm{m}$$ porte $$I=1\\,\\mathrm{A}$$ dans $$B=0.4\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la force qui tend à faire reculer l’hélice.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F = I 2\\pi R B \\,\\cos\\alpha$$",
"B $$F = I p B$$",
"C $$F = I 2\\pi R B$$",
"D $$F = I R B$$",
"E $$F = 0$$"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Projection de la force sur l’axe.
2. Angle $$\\alpha=\\arctan(p/2\\pi R)$$
3. $$F=I2\\pi R B\\cos\\alpha$$
4. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "60"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Un circuit fermé de $$N=200$$ spires entoure un fer à cheval créant $$\\Phi=1.5\\times10^{-4}\\,\\mathrm{Wb}$$. Calculez son inductance propre.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$L = N\\Phi/I$$",
"B $$L = \\Phi/N$$",
"C $$L = N\\Phi$$",
"D $$L = \\Phi/I$$",
"E $$L = 0$$"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. $$L= N\\Phi/I$$ pour $$I=1\\,\\mathrm{A}$$ donné implicitement
2. $$L=N\\Phi=200\\times1.5\\times10^{-4} =0.03\\,\\mathrm{H}$$
3. Résultat final.
",
"id_category": "4",
"id_number": "61"
},
{
"category": "Induction et forces de Laplace",
"question": "Une roue conductrice de rayon $$R=0.2\\,\\mathrm{m}$$ roule sans glissement à $$v=1\\,\\mathrm{m/s}$$ dans $$B=0.5\\,\\mathrm{T}$$. Calculez la force totale sur le périmètre.",
"svg": "",
"choices": [
"A $$F_{tot} = I_{surf}2\\pi R B$$",
"B $$F_{tot} = B v 2\\pi R$$",
"C $$F_{tot} = 0$$",
"D $$F_{tot} = B 2\\pi R$$",
"E $$F_{tot} = I_{vol}B$$"
],
"correct": [
"C"
],
"explanation": "1. Courant de Foucault uniforme → forces élémentaires s’annulent symétriquement.
2. $$F_{tot}=0$$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "62"
}
]