- Vref = 5V (tension de référence)
- n = 12 bits (résolution du convertisseur)
- 2n = 212 = 4096 (nombre de niveaux de quantification)
Remplacement des données:
$LSB = \\frac{5}{2^{12}} = \\frac{5}{4096}$
Calcul:
$LSB = 1.220703125 \\times 10^{-3} V$
RĂ©sultat final:
$LSB \\approx 1.22 mV$
b) Code numérique pour Ve = 3.75V:
La formule de conversion ADC est:
$N = \\frac{V_e \\cdot 2^n}{V_{ref}}$
Remplacement des données:
$N = \\frac{3.75 \\times 2^{12}}{5} = \\frac{3.75 \\times 4096}{5}$
Calcul:
$N = \\frac{15360}{5} = 3072$
RĂ©sultat final:
$N = 3072_{10} = 0xC00_{16} = 1100\\,0000\\,0000_2$
Interprétation: Le code 3072 représente exactement 3/4 de la pleine échelle (3072/4096 = 0.75), ce qui correspond bien à 3.75V/5V.
c) Erreur de quantification maximale:
L'erreur de quantification maximale est Ă©gale Ă ±½ LSB. Formule gĂ©nĂ©rale:
$E_{q\\,max} = \\pm \\frac{LSB}{2}$
Remplacement:
$E_{q\\,max} = \\pm \\frac{1.220703125 \\times 10^{-3}}{2}$
Calcul:
$E_{q\\,max} = \\pm 0.6103515625 \\times 10^{-3} V$
RĂ©sultat final:
$E_{q\\,max} \\approx \\pm 0.61 mV$
Question 2: Multivibrateur Astable
a) Calcul de RB:
Formule générale de la fréquence du NE555 en mode astable:
$f = \\frac{1.44}{(R_A + 2R_B)C}$
RĂ©arrangement pour isoler RB:
$R_A + 2R_B = \\frac{1.44}{f \\cdot C}$
$R_B = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1.44}{f \\cdot C} - R_A\\right)$
Remplacement des données (f = 100 kHz = 105 Hz, C = 1 nF = 10-9 F, RA = 10 kΩ = 104 Ω):
$R_B = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1.44}{10^5 \\times 10^{-9}} - 10^4\\right)$
Calcul intermédiaire:
$\\frac{1.44}{10^5 \\times 10^{-9}} = \\frac{1.44}{10^{-4}} = 14400 \\, \\Omega$
Calcul final:
$R_B = \\frac{1}{2}(14400 - 10000) = \\frac{4400}{2} = 2200 \\, \\Omega$
RĂ©sultat final:
$R_B = 2.2 \\, k\\Omega$
b) Rapport cyclique α:
Formule générale:
$\\alpha = \\frac{R_A + R_B}{R_A + 2R_B}$
Remplacement des données:
$\\alpha = \\frac{10000 + 2200}{10000 + 2 \\times 2200} = \\frac{12200}{14400}$
Calcul:
$\\alpha = 0.84\\overline{72}$
RĂ©sultat final:
$\\alpha \\approx 0.847 = 84.7\\%$
c) Durées tH et tL:
La période totale est:
$T = \\frac{1}{f} = \\frac{1}{100000} = 10 \\times 10^{-6} s = 10 \\, \\mu s$
Durée niveau haut:
$t_H = \\alpha \\cdot T$
Remplacement:
$t_H = 0.847 \\times 10 \\times 10^{-6}$
Calcul:
$t_H = 8.47 \\, \\mu s$
Durée niveau bas:
$t_L = T - t_H = (1 - \\alpha) \\cdot T$
Calcul:
$t_L = 10 - 8.47 = 1.53 \\, \\mu s$
RĂ©sultats finaux:
$t_H = 8.47 \\, \\mu s \\quad ; \\quad t_L = 1.53 \\, \\mu s$
Question 3: Convertisseur Numérique-Analogique
a) Tension de sortie pour N = 768:
Formule générale DAC:
$V_s = \\frac{N \\cdot V_{ref}}{2^n}$
Remplacement des données (N = 768, n = 10 bits, Vref = 5V):
$V_s = \\frac{768 \\times 5}{2^{10}} = \\frac{768 \\times 5}{1024}$
Calcul:
$V_s = \\frac{3840}{1024} = 3.75 V$
RĂ©sultat final:
$V_s = 3.75 V$
b) RĂ©solution (quantum) du DAC:
Formule générale:
$LSB_{DAC} = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
Remplacement:
$LSB_{DAC} = \\frac{5}{2^{10}} = \\frac{5}{1024}$
Calcul:
$LSB_{DAC} = 4.8828125 \\times 10^{-3} V$
RĂ©sultat final:
$LSB_{DAC} \\approx 4.88 mV$
c) Code pour Vs = 4.2V:
RĂ©arrangement de la formule DAC:
$N = \\frac{V_s \\cdot 2^n}{V_{ref}}$
Remplacement:
$N = \\frac{4.2 \\times 1024}{5} = \\frac{4300.8}{5}$
Calcul:
$N = 860.16$
Arrondi Ă l'entier le plus proche:
$N = 860$
RĂ©sultat final:
$N = 860_{10}$
VĂ©rification: Vs = (860 × 5)/1024 = 4.19922V ≈ 4.2V
Question 4: Multivibrateur Monostable
a) Durée de l'impulsion:
Formule générale pour le NE555 en mode monostable:
$T_{imp} = 1.1 \\cdot R \\cdot C$
Remplacement des donnĂ©es (R = 47 kΩ = 47 × 103 Ω, C = 220 nF = 220 × 10-9 F):
$T_{imp} = 1.1 \\times 47 \\times 10^3 \\times 220 \\times 10^{-9}$
Calcul:
$T_{imp} = 1.1 \\times 47 \\times 220 \\times 10^{-6} = 11374 \\times 10^{-6} s$
RĂ©sultat final:
$T_{imp} = 11.374 \\, ms \\approx 11.4 \\, ms$
b) Nombre d'impulsions traitables par seconde:
Le monostable ne peut être redéclenché qu'après Timp. La fréquence maximale de déclenchement est:
$f_{max} = \\frac{1}{T_{imp}}$
Remplacement:
$f_{max} = \\frac{1}{11.374 \\times 10^{-3}}$
Calcul:
$f_{max} = 87.92 \\, Hz$
RĂ©sultat final:
$f_{max} \\approx 88 \\, impulsions/seconde$
Remarque: L'horloge de 100 kHz fournirait 100000 impulsions/s, mais le monostable ne peut en traiter que 88/s environ.
c) Condensateur pour Timp = 5 ms:
RĂ©arrangement de la formule:
$C' = \\frac{T_{imp}}{1.1 \\cdot R}$
Remplacement (Timp = 5 ms = 5 × 10-3 s, R = 47 × 103 Ω):
$C' = \\frac{5 \\times 10^{-3}}{1.1 \\times 47 \\times 10^3}$
Calcul:
$C' = \\frac{5 \\times 10^{-3}}{51.7 \\times 10^3} = 96.71 \\times 10^{-9} F$
RĂ©sultat final:
$C' \\approx 97 \\, nF$
Valeur normalisée la plus proche: C' = 100 nF
Question 5: Analyse Système Complet
a) Dynamique en dB de l'ADC 12 bits:
Formule générale:
$D_{dB} = 20 \\log_{10}(2^n)$
Remplacement (n = 12):
$D_{dB} = 20 \\log_{10}(2^{12}) = 20 \\log_{10}(4096)$
Calcul (log₁₀(4096) = 3.6124):
$D_{dB} = 20 \\times 3.6124 = 72.248$
RĂ©sultat final:
$D_{dB} \\approx 72.25 \\, dB$
Interprétation: Cette dynamique représente le rapport signal/bruit théorique maximal du convertisseur.
b) Tensions de sortie du DAC 10 bits:
Formule:
$V_s = \\frac{N \\times 5}{1024}$
Calculs pour chaque code:
Pour N = 0:
$V_{s0} = \\frac{0 \\times 5}{1024} = 0 V$
Pour N = 256:
$V_{s1} = \\frac{256 \\times 5}{1024} = \\frac{1280}{1024} = 1.25 V$
Pour N = 512:
$V_{s2} = \\frac{512 \\times 5}{1024} = \\frac{2560}{1024} = 2.5 V$
Pour N = 768:
$V_{s3} = \\frac{768 \\times 5}{1024} = \\frac{3840}{1024} = 3.75 V$
Pour N = 1024 (pleine Ă©chelle):
$V_{s4} = \\frac{1023 \\times 5}{1024} = 4.995 V$
Note: Pour un DAC 10 bits, le code maximum est 1023, pas 1024.
RĂ©sultats finaux:
$V_{s0} = 0V, \\quad V_{s1} = 1.25V, \\quad V_{s2} = 2.5V, \\quad V_{s3} = 3.75V, \\quad V_{s4} = 4.995V$
c) Rapport de résolution DAC/ADC:
Formule du rapport:
$Rapport = \\frac{LSB_{DAC}}{LSB_{ADC}} = \\frac{\\frac{V_{ref}}{2^{10}}}{\\frac{V_{ref}}{2^{12}}} = \\frac{2^{12}}{2^{10}} = 2^2$
Calcul:
$Rapport = 4$
En termes de tension:
$\\frac{4.88 mV}{1.22 mV} = 4$
RĂ©sultat final:
$Rapport = 4$
InterprĂ©tation et impact: Le DAC a une rĂ©solution 4 fois plus grossière que l'ADC. Cela signifie que le système perd de la prĂ©cision lors de la conversion numĂ©rique-analogique. Sur 4096 niveaux capturĂ©s par l'ADC, seulement 1024 niveaux peuvent ĂŞtre restituĂ©s par le DAC. Cette diffĂ©rence introduit une erreur de quantification supplĂ©mentaire de ±2 LSBADC lors de la reconstruction du signal. Pour optimiser le système, il faudrait utiliser un DAC avec au moins 12 bits pour prĂ©server toute l'information numĂ©risĂ©e par l'ADC.
", "id_category": "1", "id_number": "7" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "EXAMEN D'ÉLECTRONIQUE DES IMPULSIONS - SESSION 1
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Contexte général : On souhaite concevoir un système d'acquisition de données pour un capteur de température. Le système comprend un générateur d'horloge basé sur un multivibrateur astable à NE555, un convertisseur analogique-numérique (CAN) et un convertisseur numérique-analogique (CNA) de type R-2R pour la restitution du signal.
Question 1 (4 points) : Le multivibrateur astable à NE555 génère le signal d'horloge pour le CAN. On utilise les composants suivants : $R_1 = 10\\,k\\Omega$, $R_2 = 22\\,k\\Omega$, et $C = 100\\,nF$. La tension d'alimentation est $V_{CC} = 12\\,V$.
a) Calculer le temps de charge $t_H$ (Ă©tat haut).
b) Calculer le temps de décharge $t_L$ (état bas).
c) En déduire la période $T$ et la fréquence $f$ du signal d'horloge.
d) Calculer le rapport cyclique $\\alpha$.
Question 2 (4 points) : Le CAN utilisé pour numériser le signal du capteur possède les caractéristiques suivantes : résolution de 10 bits, tension de référence $V_{ref} = 5\\,V$.
a) Calculer le quantum (résolution analogique) $q$ du convertisseur.
b) Pour une tension d'entrée $V_e = 3,275\\,V$, déterminer la valeur numérique $N$ en décimal.
c) Exprimer cette valeur $N$ en binaire sur 10 bits.
d) Calculer l'erreur de quantification maximale en mV.
Question 3 (4 points) : Le signal numérisé est transmis à un CNA de type R-2R sur 8 bits avec une tension de référence $V_{ref} = 5\\,V$.
a) Calculer la résolution analogique $\\Delta V$ de ce CNA.
b) Pour le code binaire d'entrée $N = 10110100_2$, calculer la tension de sortie $V_s$.
c) Si on souhaite obtenir une tension de sortie de $V_s = 2,5\\,V$, quel code binaire faut-il appliquer ?
d) Calculer la tension de pleine Ă©chelle $V_{PE}$.
Question 4 (4 points) : Pour améliorer la stabilité du système, on ajoute un multivibrateur monostable à NE555 qui génère une impulsion de synchronisation. On souhaite une durée d'impulsion $T_{imp} = 500\\,\\mu s$.
a) Sachant que $T_{imp} = 1,1 \\times R \\times C$, et en fixant $C = 10\\,nF$, calculer la valeur de $R$ nécessaire.
b) Si la résistance disponible la plus proche est $R = 47\\,k\\Omega$, quelle sera la durée réelle de l'impulsion ?
c) Calculer l'écart relatif entre la durée souhaitée et la durée obtenue.
d) Quelle valeur de condensateur permettrait d'obtenir exactement $T_{imp} = 500\\,\\mu s$ avec $R = 47\\,k\\Omega$ ?
Question 5 (4 points) : Le signal d'horloge de la question 1 cadence le CAN dont la fréquence d'échantillonnage est égale à la fréquence du signal d'horloge. Le capteur de température génère un signal dont la fréquence maximale est $f_{max} = 150\\,Hz$.
a) D'après le théorème de Shannon, quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale requise ?
b) Le CAN fonctionne-t-il correctement avec l'horloge de la question 1 ? Justifier.
c) Si on souhaite Ă©chantillonner Ă exactement $f_e = 1\\,kHz$ tout en conservant $R_1 = 10\\,k\\Omega$ et $C = 100\\,nF$, calculer la nouvelle valeur de $R_2$.
d) Quel serait alors le nouveau rapport cyclique ?
CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 1
Question 1 : Multivibrateur astable NE555
a) Calcul du temps de charge $t_H$ :
La formule générale pour le temps à l'état haut d'un astable NE555 est :
$t_H = 0{,}693 \\times (R_1 + R_2) \\times C$
Remplacement des valeurs numériques :
$t_H = 0{,}693 \\times (10 \\times 10^3 + 22 \\times 10^3) \\times 100 \\times 10^{-9}$
Calcul intermédiaire :
$t_H = 0{,}693 \\times 32 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9} = 0{,}693 \\times 3{,}2 \\times 10^{-3}$
RĂ©sultat : $t_H = 2{,}218\\,ms$
b) Calcul du temps de décharge $t_L$ :
La formule générale pour le temps à l'état bas est :
$t_L = 0{,}693 \\times R_2 \\times C$
Remplacement des valeurs :
$t_L = 0{,}693 \\times 22 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9}$
Calcul :
$t_L = 0{,}693 \\times 2{,}2 \\times 10^{-3}$
RĂ©sultat : $t_L = 1{,}525\\,ms$
c) Période et fréquence :
La période totale est :
$T = t_H + t_L = 2{,}218 + 1{,}525 = 3{,}743\\,ms$
La fréquence est l'inverse de la période :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{3{,}743 \\times 10^{-3}}$
RĂ©sultat : $f = 267{,}2\\,Hz$
d) Rapport cyclique :
Le rapport cyclique est défini par :
$\\alpha = \\frac{t_H}{T} = \\frac{R_1 + R_2}{R_1 + 2R_2}$
Calcul numérique :
$\\alpha = \\frac{10 + 22}{10 + 2 \\times 22} = \\frac{32}{54} = 0{,}593$
RĂ©sultat : $\\alpha = 59{,}3\\,\\%$
Question 2 : Convertisseur Analogique-Numérique
a) Calcul du quantum :
La formule du quantum (résolution analogique) est :
$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
Avec $n = 10$ bits et $V_{ref} = 5\\,V$ :
$q = \\frac{5}{2^{10}} = \\frac{5}{1024}$
RĂ©sultat : $q = 4{,}883\\,mV$
b) Valeur numérique N :
La formule de conversion est :
$N = \\left\\lfloor \\frac{V_e}{q} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{V_e \\times 2^n}{V_{ref}} \\right\\rfloor$
Application numérique :
$N = \\left\\lfloor \\frac{3{,}275 \\times 1024}{5} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 670{,}72 \\right\\rfloor$
RĂ©sultat : $N = 670$
c) Conversion en binaire :
Conversion de 670 en binaire par divisions successives par 2 :
$670 = 512 + 128 + 16 + 8 + 4 + 2 = 2^9 + 2^7 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1$
RĂ©sultat : $N = 1010011110_2$
d) Erreur de quantification maximale :
L'erreur de quantification maximale est Ă©gale Ă un demi-quantum :
$\\varepsilon_{max} = \\frac{q}{2} = \\frac{4{,}883}{2}$
RĂ©sultat : $\\varepsilon_{max} = 2{,}44\\,mV$
Question 3 : Convertisseur Numérique-Analogique R-2R
a) RĂ©solution analogique :
Pour un CNA sur 8 bits :
$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{5}{2^8} = \\frac{5}{256}$
RĂ©sultat : $\\Delta V = 19{,}53\\,mV$
b) Tension de sortie pour $N = 10110100_2$ :
Conversion binaire → dĂ©cimal :
$N = 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 1 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 1 \\times 2^2 + 0 \\times 2^1 + 0 \\times 2^0$
$N = 128 + 32 + 16 + 4 = 180$
Tension de sortie :
$V_s = \\frac{N \\times V_{ref}}{2^n} = \\frac{180 \\times 5}{256}$
RĂ©sultat : $V_s = 3{,}516\\,V$
c) Code binaire pour $V_s = 2{,}5\\,V$ :
Calcul de N :
$N = \\frac{V_s \\times 2^n}{V_{ref}} = \\frac{2{,}5 \\times 256}{5} = 128$
Conversion en binaire : $128 = 2^7$
RĂ©sultat : $N = 10000000_2$
d) Tension de pleine Ă©chelle :
La tension de pleine Ă©chelle correspond Ă $N = 2^n - 1 = 255$ :
$V_{PE} = \\frac{(2^n - 1) \\times V_{ref}}{2^n} = \\frac{255 \\times 5}{256}$
RĂ©sultat : $V_{PE} = 4{,}980\\,V$
Question 4 : Multivibrateur monostable NE555
a) Calcul de R :
Ă€ partir de la formule du monostable :
$T_{imp} = 1{,}1 \\times R \\times C$
On isole R :
$R = \\frac{T_{imp}}{1{,}1 \\times C} = \\frac{500 \\times 10^{-6}}{1{,}1 \\times 10 \\times 10^{-9}}$
$R = \\frac{500 \\times 10^{-6}}{11 \\times 10^{-9}} = 45{,}45 \\times 10^{3}$
RĂ©sultat : $R = 45{,}45\\,k\\Omega$
b) Durée réelle avec $R = 47\\,k\\Omega$ :
$T_{imp} = 1{,}1 \\times 47 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-9}$
$T_{imp} = 1{,}1 \\times 470 \\times 10^{-6}$
RĂ©sultat : $T_{imp} = 517\\,\\mu s$
c) Écart relatif :
$\\varepsilon = \\frac{|T_{réel} - T_{souhaité}|}{T_{souhaité}} \\times 100 = \\frac{|517 - 500|}{500} \\times 100$
RĂ©sultat : $\\varepsilon = 3{,}4\\,\\%$
d) Condensateur pour durée exacte avec $R = 47\\,k\\Omega$ :
$C = \\frac{T_{imp}}{1{,}1 \\times R} = \\frac{500 \\times 10^{-6}}{1{,}1 \\times 47 \\times 10^3}$
RĂ©sultat : $C = 9{,}67\\,nF$
Question 5 : VĂ©rification de Shannon et dimensionnement
a) Fréquence d'échantillonnage minimale (Shannon) :
Le théorème de Shannon impose :
$f_e \\geq 2 \\times f_{max} = 2 \\times 150$
RĂ©sultat : $f_{e,min} = 300\\,Hz$
b) VĂ©rification du fonctionnement :
D'après la question 1, $f = 267{,}2\\,Hz$.
Comparaison : $267{,}2\\,Hz < 300\\,Hz$
Conclusion : Le CAN ne fonctionne pas correctement car la fréquence d'horloge est inférieure à la fréquence de Shannon requise. Il y aura repliement spectral (aliasing).
c) Nouvelle valeur de $R_2$ pour $f_e = 1\\,kHz$ :
La période souhaitée est :
$T = \\frac{1}{f_e} = \\frac{1}{1000} = 1\\,ms$
Or $T = 0{,}693 \\times (R_1 + 2R_2) \\times C$, donc :
$R_1 + 2R_2 = \\frac{T}{0{,}693 \\times C} = \\frac{1 \\times 10^{-3}}{0{,}693 \\times 100 \\times 10^{-9}}$
$R_1 + 2R_2 = 14{,}43\\,k\\Omega$
$R_2 = \\frac{14{,}43 - 10}{2} = \\frac{4{,}43}{2}$
RĂ©sultat : $R_2 = 2{,}22\\,k\\Omega$
d) Nouveau rapport cyclique :
$\\alpha = \\frac{R_1 + R_2}{R_1 + 2R_2} = \\frac{10 + 2{,}22}{10 + 4{,}44} = \\frac{12{,}22}{14{,}44}$
RĂ©sultat : $\\alpha = 84{,}6\\,\\%$
", "id_category": "1", "id_number": "8" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "EXAMEN D'ÉLECTRONIQUE DES IMPULSIONS - SESSION 2
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Contexte général : Un laboratoire de métrologie développe un générateur de signaux programmable utilisant un oscillateur à multivibrateur astable à AOP, couplé à un système de conversion numérique-analogique pour le contrôle d'amplitude. Le système doit pouvoir générer des signaux rectangulaires de fréquence et d'amplitude variables commandées numériquement.
Question 1 (4 points) : L'oscillateur astable à amplificateur opérationnel utilise le montage suivant avec $R_1 = R_2 = 10\\,k\\Omega$ pour le comparateur à hystérésis, $R = 22\\,k\\Omega$ et $C = 47\\,nF$ pour le réseau RC. La tension d'alimentation est $\\pm V_{sat} = \\pm 12\\,V$.
a) Calculer les seuils de basculement $V_{T+}$ et $V_{T-}$ du comparateur à hystérésis.
b) Calculer la période d'oscillation $T$ du multivibrateur.
c) En déduire la fréquence $f$ du signal de sortie.
d) Calculer la largeur de l'hystérésis $\\Delta V_T = V_{T+} - V_{T-}$.
Question 2 (4 points) : Pour contrĂ´ler l'amplitude du signal, on utilise un CNA R-2R de 12 bits avec $V_{ref} = 10\\,V$. Ce CNA commande un amplificateur Ă gain variable.
a) Calculer la résolution (quantum) $q$ de ce CNA.
b) Si on applique le code numérique $N = 2048$, quelle est la tension de sortie $V_s$ ?
c) Pour obtenir une tension de sortie $V_s = 7{,}5\\,V$, quel code numérique $N$ doit-on appliquer ?
d) Calculer l'erreur relative maximale due Ă la quantification pour cette tension.
Question 3 (4 points) : Le signal rectangulaire de l'oscillateur doit être échantillonné par un CAN de 14 bits pour analyse spectrale. La tension de référence du CAN est $V_{ref} = 12\\,V$.
a) Calculer le nombre total de niveaux de quantification du CAN.
b) Calculer le quantum $q$ en mV.
c) Pour une tension d'entrée $V_e = 8{,}456\\,V$, déterminer le code numérique de sortie $N$.
d) Calculer la tension quantifiée correspondante et l'erreur de quantification absolue.
Question 4 (4 points) : On souhaite modifier la fréquence de l'oscillateur (Question 1) en remplaçant le condensateur par un condensateur variable. L'objectif est de couvrir une gamme de fréquences de $100\\,Hz$ à $10\\,kHz$ tout en conservant $R = 22\\,k\\Omega$ et $R_1 = R_2 = 10\\,k\\Omega$.
a) Calculer la valeur de $C$ nécessaire pour $f = 100\\,Hz$.
b) Calculer la valeur de $C$ nécessaire pour $f = 10\\,kHz$.
c) En déduire la plage de variation du condensateur variable.
d) Si on dispose d'un condensateur variable de $1\\,nF$ à $100\\,nF$, quelle résistance $R$ permettrait d'atteindre $f = 10\\,kHz$ avec $C = 1\\,nF$ ?
Question 5 (4 points) : Un multivibrateur monostable à AOP est utilisé pour générer une impulsion de déclenchement synchronisée avec le signal de l'oscillateur. Le monostable utilise $R_3 = 100\\,k\\Omega$ et $C_2 = 1\\,\\mu F$.
a) Calculer la durée de l'impulsion $T_{imp}$ sachant que pour un monostable à AOP : $T_{imp} = R_3 \\times C_2 \\times \\ln\\left(\\frac{1 + \\beta}{1 - \\beta}\\right)$ avec $\\beta = \\frac{R_1}{R_1 + R_2} = 0{,}5$.
b) Si on souhaite réduire la durée de l'impulsion à $50\\,ms$ en conservant $R_3$, quelle doit être la nouvelle valeur de $C_2$ ?
c) Calculer le rapport entre la période de l'oscillateur (Question 1) et la durée de l'impulsion du monostable.
d) Combien de périodes de l'oscillateur se produisent pendant une impulsion du monostable ?
CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 2
Question 1 : Oscillateur astable Ă AOP
a) Seuils de basculement :
Pour un comparateur à hystérésis avec $R_1 = R_2$, le coefficient de rétroaction est :
$\\beta = \\frac{R_1}{R_1 + R_2} = \\frac{10}{10 + 10} = 0{,}5$
Les seuils de basculement sont :
$V_{T+} = +\\beta \\times V_{sat} = 0{,}5 \\times 12 = +6\\,V$
$V_{T-} = -\\beta \\times V_{sat} = 0{,}5 \\times (-12) = -6\\,V$
RĂ©sultats : $V_{T+} = +6\\,V$ et $V_{T-} = -6\\,V$
b) PĂ©riode d'oscillation :
La formule de la période pour un astable à AOP avec $R_1 = R_2$ est :
$T = 2 \\times R \\times C \\times \\ln\\left(\\frac{1 + \\beta}{1 - \\beta}\\right)$
Avec $\\beta = 0{,}5$ :
$\\ln\\left(\\frac{1 + 0{,}5}{1 - 0{,}5}\\right) = \\ln\\left(\\frac{1{,}5}{0{,}5}\\right) = \\ln(3) = 1{,}099$
Calcul de T :
$T = 2 \\times 22 \\times 10^3 \\times 47 \\times 10^{-9} \\times 1{,}099$
$T = 2 \\times 1{,}034 \\times 10^{-3} \\times 1{,}099 = 2{,}273\\,ms$
RĂ©sultat : $T = 2{,}27\\,ms$
c) Fréquence :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{2{,}273 \\times 10^{-3}}$
RĂ©sultat : $f = 440\\,Hz$
d) Largeur de l'hystérésis :
$\\Delta V_T = V_{T+} - V_{T-} = 6 - (-6)$
RĂ©sultat : $\\Delta V_T = 12\\,V$
Question 2 : CNA R-2R 12 bits
a) RĂ©solution (quantum) :
$q = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{10}{2^{12}} = \\frac{10}{4096}$
RĂ©sultat : $q = 2{,}441\\,mV$
b) Tension de sortie pour N = 2048 :
$V_s = \\frac{N \\times V_{ref}}{2^n} = \\frac{2048 \\times 10}{4096}$
RĂ©sultat : $V_s = 5\\,V$
c) Code numérique pour $V_s = 7{,}5\\,V$ :
$N = \\frac{V_s \\times 2^n}{V_{ref}} = \\frac{7{,}5 \\times 4096}{10}$
RĂ©sultat : $N = 3072$
d) Erreur relative maximale :
L'erreur absolue maximale est $\\frac{q}{2} = 1{,}22\\,mV$
$\\varepsilon_{rel} = \\frac{q/2}{V_s} \\times 100 = \\frac{1{,}22 \\times 10^{-3}}{7{,}5} \\times 100$
RĂ©sultat : $\\varepsilon_{rel} = 0{,}016\\,\\%$
Question 3 : CAN 14 bits
a) Nombre de niveaux de quantification :
$N_{niveaux} = 2^n = 2^{14}$
RĂ©sultat : $N_{niveaux} = 16384\\text{ niveaux}$
b) Quantum en mV :
$q = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{12}{16384} = 0{,}732\\,mV$
RĂ©sultat : $q = 0{,}732\\,mV$
c) Code numérique pour $V_e = 8{,}456\\,V$ :
$N = \\left\\lfloor \\frac{V_e \\times 2^n}{V_{ref}} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{8{,}456 \\times 16384}{12} \\right\\rfloor$
$N = \\left\\lfloor 11543{,}9 \\right\\rfloor$
RĂ©sultat : $N = 11543$
d) Tension quantifiée et erreur :
Tension quantifiée :
$V_q = \\frac{N \\times V_{ref}}{2^n} = \\frac{11543 \\times 12}{16384} = 8{,}4553\\,V$
Erreur de quantification :
$\\varepsilon = |V_e - V_q| = |8{,}456 - 8{,}4553|$
RĂ©sultat : $V_q = 8{,}4553\\,V$ et $\\varepsilon = 0{,}7\\,mV$
Question 4 : Dimensionnement du condensateur variable
a) Condensateur pour $f = 100\\,Hz$ :
On inverse la formule de la période :
$C = \\frac{T}{2 \\times R \\times \\ln(3)} = \\frac{1/f}{2 \\times R \\times 1{,}099}$
$C = \\frac{1}{100 \\times 2 \\times 22 \\times 10^3 \\times 1{,}099}$
$C = \\frac{1}{4{,}836 \\times 10^6} = 206{,}8\\,nF$
RĂ©sultat : $C = 207\\,nF$
b) Condensateur pour $f = 10\\,kHz$ :
$C = \\frac{1}{10000 \\times 2 \\times 22 \\times 10^3 \\times 1{,}099}$
$C = \\frac{1}{4{,}836 \\times 10^8} = 2{,}07\\,nF$
RĂ©sultat : $C = 2{,}07\\,nF$
c) Plage de variation :
$\\frac{C_{max}}{C_{min}} = \\frac{207}{2{,}07} = 100$
RĂ©sultat : Plage de $2{,}07\\,nF$ Ă $207\\,nF$ (rapport 100)
d) RĂ©sistance pour $f = 10\\,kHz$ avec $C = 1\\,nF$ :
$R = \\frac{1}{f \\times 2 \\times C \\times \\ln(3)} = \\frac{1}{10000 \\times 2 \\times 1 \\times 10^{-9} \\times 1{,}099}$
$R = \\frac{1}{2{,}198 \\times 10^{-5}} = 45{,}5\\,k\\Omega$
RĂ©sultat : $R = 45{,}5\\,k\\Omega$
Question 5 : Multivibrateur monostable Ă AOP
a) Durée de l'impulsion :
Avec $\\beta = 0{,}5$ :
$T_{imp} = R_3 \\times C_2 \\times \\ln\\left(\\frac{1 + \\beta}{1 - \\beta}\\right) = R_3 \\times C_2 \\times \\ln(3)$
$T_{imp} = 100 \\times 10^3 \\times 1 \\times 10^{-6} \\times 1{,}099$
RĂ©sultat : $T_{imp} = 109{,}9\\,ms$
b) Nouveau condensateur pour $T_{imp} = 50\\,ms$ :
$C_2 = \\frac{T_{imp}}{R_3 \\times \\ln(3)} = \\frac{50 \\times 10^{-3}}{100 \\times 10^3 \\times 1{,}099}$
RĂ©sultat : $C_2 = 455\\,nF$
c) Rapport des durées :
PĂ©riode oscillateur : $T = 2{,}27\\,ms$
Durée monostable : $T_{imp} = 109{,}9\\,ms$
$\\text{Rapport} = \\frac{T_{imp}}{T} = \\frac{109{,}9}{2{,}27}$
RĂ©sultat : Rapport = 48,4
d) Nombre de périodes pendant l'impulsion :
$n = \\left\\lfloor \\frac{T_{imp}}{T} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 48{,}4 \\right\\rfloor$
Résultat : 48 périodes complètes de l'oscillateur
", "id_category": "1", "id_number": "9" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen d'Électronique des Impulsions – Session 1
Convertisseurs N/A, Multivibrateur Astable à AOP et Générateur de Signaux
Durée : 2h30 |
On souhaite concevoir un système de génération de signaux analogiques contrôlé numériquement. Le système utilise un convertisseur N/A pour générer une tension de référence variable, qui alimente ensuite un multivibrateur astable à base d'AOP. Les questions suivantes sont interconnectées et forment un problème complet.
Question 1 : Étude du Convertisseur N/A (6 points)
Un convertisseur numérique-analogique (CNA) de 10 bits est utilisé avec une tension de référence $V_{ref} = 5V$. Le code numérique appliqué est $N = 768$ en décimal.
a) Calculer le quantum (résolution) $q$ du convertisseur.
b) DĂ©terminer la tension de sortie $V_s$ correspondant au code $N = 768$.
c) Quelle est l'erreur de quantification maximale en mV ?
Question 2 : Conception du Multivibrateur Astable Ă AOP (7 points)
La tension $V_s$ obtenue à la question 1 sert de tension d'alimentation $V_{sat}$ pour un multivibrateur astable symétrique à base d'AOP. On utilise $R_1 = 10 k\\Omega$, $R_2 = 10 k\\Omega$, $R = 47 k\\Omega$ et $C = 100 nF$.
a) Calculer les seuils de basculement $V_H$ et $V_B$.
b) Déterminer la période $T$ du signal de sortie.
c) Calculer la fréquence $f$ du signal généré.
Question 3 : Analyse de la Charge du Condensateur (5 points)
À l'instant $t = 0$, le condensateur du multivibrateur est déchargé et $V_s = +V_{sat}$.
a) Écrire l'équation différentielle régissant l'évolution de $V^-$ (tension aux bornes du condensateur).
b) DĂ©terminer l'expression de $V^-(t)$ jusqu'au premier basculement.
c) Calculer le temps $t_1$ du premier basculement.
Question 4 : Modification du Rapport Cyclique (5 points)
On souhaite modifier le rapport cyclique à 70% en ajoutant deux diodes et un potentiomètre. Si on remplace $R$ par un potentiomètre $P = 100 k\\Omega$ avec un curseur à $k = 0,7$ (70% de la résistance totale pour la charge).
a) Calculer la durée de l'état haut $T_H$.
b) Calculer la durée de l'état bas $T_B$.
c) VĂ©rifier que le rapport cyclique est bien de 70%.
Question 5 : Reconversion vers le Numérique (7 points)
Le signal carré généré est maintenant échantillonné par un CAN de 12 bits avec une fréquence d'échantillonnage $f_e = 100 kHz$ et une plage de mesure $[0V ; 3,3V]$.
a) Calculer le quantum du CAN.
b) Déterminer le code numérique obtenu lorsque la tension d'entrée est $V_e = 2,5V$.
c) Vérifier le respect du théorème de Shannon pour la fréquence du signal de la question 2.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Correction Détaillée - Examen Session 1
Question 1 : Étude du Convertisseur N/A
a) Calcul du quantum q :
Le quantum représente la plus petite variation de tension que peut produire le convertisseur. Pour un CNA de n bits avec une tension de référence Vref :
Formule générale :
$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$Application numérique avec n = 10 bits et Vref = 5V :
$q = \\frac{5}{2^{10}} = \\frac{5}{1024}$Calcul :
$q = 4,883 \\times 10^{-3} V$RĂ©sultat :
$\\boxed{q \\approx 4,88 \\ mV}$b) Tension de sortie Vs pour N = 768 :
La tension de sortie d'un CNA est proportionnelle au code numérique N :
$V_s = N \\times q = \\frac{N \\times V_{ref}}{2^n}$Application numérique :
$V_s = \\frac{768 \\times 5}{1024}$Calcul :
$V_s = \\frac{3840}{1024} = 3,75 \\ V$RĂ©sultat :
$\\boxed{V_s = 3,75 \\ V}$c) Erreur de quantification maximale :
L'erreur de quantification maximale est égale à la moitié du quantum :
$\\varepsilon_{max} = \\frac{q}{2}$Application numérique :
$\\varepsilon_{max} = \\frac{4,883}{2}$Calcul :
$\\varepsilon_{max} = 2,44 \\ mV$RĂ©sultat :
$\\boxed{\\varepsilon_{max} \\approx 2,44 \\ mV}$Question 2 : Conception du Multivibrateur Astable
a) Calcul des seuils de basculement VH et VB :
Pour un astable symétrique à AOP avec R1 = R2, les seuils sont donnés par le diviseur de tension sur l'entrée non-inverseuse :
$V_H = +V_{sat} \\times \\frac{R_1}{R_1 + R_2}$$V_B = -V_{sat} \\times \\frac{R_1}{R_1 + R_2}$Avec Vsat = Vs = 3,75 V (obtenue Q1) et R1 = R2 = 10 kΩ :
$V_H = 3,75 \\times \\frac{10000}{10000 + 10000} = 3,75 \\times 0,5$Calcul :
$V_H = 1,875 \\ V$$V_B = -1,875 \\ V$RĂ©sultat :
$\\boxed{V_H = +1,875 \\ V \\quad ; \\quad V_B = -1,875 \\ V}$b) Calcul de la période T :
La formule de la période pour un astable symétrique (R1 = R2) :
$T = 2 \\cdot R \\cdot C \\cdot \\ln\\left(1 + \\frac{2R_1}{R_2}\\right)$Avec R1 = R2, on a :
$T = 2 \\cdot R \\cdot C \\cdot \\ln(3)$Application numĂ©rique avec R = 47 kΩ = 47×10³ Ω et C = 100 nF = 100×10⁻⁹ F :
$T = 2 \\times 47 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9} \\times \\ln(3)$Calcul :
$T = 2 \\times 47 \\times 10^{-4} \\times 1,0986$$T = 9,4 \\times 10^{-3} \\times 1,0986$$T = 10,33 \\times 10^{-3} \\ s$RĂ©sultat :
$\\boxed{T \\approx 10,33 \\ ms}$c) Calcul de la fréquence f :
$f = \\frac{1}{T}$Application numérique :
$f = \\frac{1}{10,33 \\times 10^{-3}}$Calcul :
$f = 96,8 \\ Hz$RĂ©sultat :
$\\boxed{f \\approx 96,8 \\ Hz}$Question 3 : Analyse de la Charge du Condensateur
a) Équation différentielle :
La loi des mailles autour de l'AOP donne :
$V_s - R \\cdot i - V^- = 0$Avec i = C × dV⁻/dt, on obtient :
$V_{sat} = R \\cdot C \\cdot \\frac{dV^-}{dt} + V^-$RĂ©sultat :
$\\boxed{RC \\cdot \\frac{dV^-}{dt} + V^- = V_{sat}}$b) Expression de V⁻(t) :
La solution de cette Ă©quation diffĂ©rentielle du premier ordre avec condition initiale V⁻(0) = VB = -1,875 V :
$V^-(t) = V_{sat} + (V_B - V_{sat}) \\cdot e^{-t/RC}$Application numérique :
$V^-(t) = 3,75 + (-1,875 - 3,75) \\cdot e^{-t/RC}$$V^-(t) = 3,75 - 5,625 \\cdot e^{-t/(4,7 \\times 10^{-3})}$Avec Ď„ = RC = 47×10³ × 100×10⁻⁹ = 4,7 ms
RĂ©sultat :
$\\boxed{V^-(t) = 3,75 - 5,625 \\cdot e^{-t/4,7ms} \\ (V)}$c) Temps du premier basculement t1 :
Le basculement se produit quand V⁻(t1) = VH = 1,875 V :
$V_H = V_{sat} - (V_{sat} - V_B) \\cdot e^{-t_1/RC}$RĂ©solution :
$1,875 = 3,75 - 5,625 \\cdot e^{-t_1/4,7 \\times 10^{-3}}$$e^{-t_1/RC} = \\frac{3,75 - 1,875}{5,625} = \\frac{1,875}{5,625} = \\frac{1}{3}$$t_1 = RC \\cdot \\ln(3) = 4,7 \\times 10^{-3} \\times 1,0986$RĂ©sultat :
$\\boxed{t_1 \\approx 5,16 \\ ms}$Question 4 : Modification du Rapport Cyclique
a) Durée de l'état haut TH :
Avec les diodes et le potentiomètre, la résistance de charge est kP :
$T_H = k \\cdot P \\cdot C \\cdot \\ln(3)$Application numérique avec k = 0,7, P = 100 kΩ, C = 100 nF :
$T_H = 0,7 \\times 100 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9} \\times 1,0986$$T_H = 7 \\times 10^{-3} \\times 1,0986$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_H \\approx 7,69 \\ ms}$b) Durée de l'état bas TB :
La résistance de décharge est (1-k)P :
$T_B = (1-k) \\cdot P \\cdot C \\cdot \\ln(3)$Application numérique :
$T_B = 0,3 \\times 100 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9} \\times 1,0986$$T_B = 3 \\times 10^{-3} \\times 1,0986$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_B \\approx 3,30 \\ ms}$c) VĂ©rification du rapport cyclique :
$\\alpha = \\frac{T_H}{T_H + T_B} = \\frac{T_H}{T}$Application numérique :
$\\alpha = \\frac{7,69}{7,69 + 3,30} = \\frac{7,69}{10,99}$$\\alpha = 0,70 = 70\\%$RĂ©sultat :
$\\boxed{\\alpha = 70\\% \\quad \\text{(vérifié)}}$Question 5 : Reconversion vers le Numérique
a) Quantum du CAN :
$q_{CAN} = \\frac{V_{max} - V_{min}}{2^n} = \\frac{3,3 - 0}{2^{12}}$Application numérique :
$q_{CAN} = \\frac{3,3}{4096}$RĂ©sultat :
$\\boxed{q_{CAN} \\approx 0,806 \\ mV}$b) Code numérique pour Ve = 2,5 V :
$N = \\frac{V_e}{q_{CAN}} = \\frac{V_e \\times 2^{12}}{V_{ref}}$Application numérique :
$N = \\frac{2,5 \\times 4096}{3,3}$$N = \\frac{10240}{3,3} = 3103,03$Arrondi à l'entier inférieur :
RĂ©sultat :
$\\boxed{N = 3103}$c) Vérification du théorème de Shannon :
Le théorème de Shannon impose :
$f_e \\geq 2 \\times f_{signal}$Fréquence de Shannon minimale :
$f_{Shannon} = 2 \\times 96,8 = 193,6 \\ Hz$Comparaison avec fe = 100 kHz :
$100\\ 000 \\ Hz >> 193,6 \\ Hz$RĂ©sultat :
$\\boxed{\\text{Condition de Shannon largement respectĂ©e : } f_e = 100\\ kHz >> 2f = 193,6\\ Hz}$", "id_category": "1", "id_number": "10" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen d'Électronique des Impulsions – Session 2
Timer NE555 en Mode Astable et Monostable avec CAN Ă Approximations Successives
Durée : 2h30 |
Ce sujet porte sur la conception d'un système de temporisation programmable utilisant le circuit intégré NE555. Le signal généré est ensuite numérisé par un convertisseur analogique-numérique à approximations successives pour traitement.
Question 1 : Timer NE555 en Mode Astable (7 points)
Un NE555 est configuré en mode astable avec les composants suivants : $R_A = 4,7 \\ k\\Omega$, $R_B = 10 \\ k\\Omega$, $C = 47 \\ nF$, et $V_{CC} = 12 \\ V$.
a) Calculer la durée de l'état haut $T_H$ du signal de sortie.
b) Calculer la durée de l'état bas $T_B$ du signal.
c) En déduire la période $T$ et la fréquence $f$ du signal.
d) Calculer le rapport cyclique $\\alpha$ du signal généré.
Question 2 : Analyse des Seuils de Basculement (5 points)
Le circuit interne du 555 utilise un diviseur de tension à trois résistances identiques de 5 kΩ.
a) Calculer les tensions de seuil $V_{TH}$ (seuil haut) et $V_{TL}$ (seuil bas) du comparateur interne.
b) DĂ©terminer l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur $\\Delta V_C$.
c) Exprimer le rapport $\\Delta V_C / V_{CC}$ et commenter.
Question 3 : Modification pour Rapport Cyclique de 50% (6 points)
On souhaite obtenir un rapport cyclique de 50% en ajoutant une diode en parallèle avec $R_B$. La diode a une tension de seuil $V_D = 0,7 \\ V$ négligeable dans cette analyse simplifiée.
a) Expliquer le principe de fonctionnement avec la diode.
b) Calculer les nouvelles durées $T_H'$ et $T_B'$.
c) Calculer la nouvelle fréquence $f'$.
Question 4 : NE555 en Mode Monostable (6 points)
On reconfigure le mĂŞme NE555 en mode monostable avec $R = 100 \\ k\\Omega$ et $C = 10 \\ \\mu F$.
a) Calculer la durée de l'impulsion $T_{mono}$ générée.
b) Si on souhaite une impulsion de 2 secondes, quelle valeur de résistance $R'$ faut-il utiliser avec le même condensateur ?
c) Calculer le temps de récupération $T_R$ (temps pour que le circuit soit prêt à recevoir une nouvelle impulsion, environ 5τ).
Question 5 : Numérisation du Signal par CAN à Approximations Successives (6 points)
Le signal carré du mode astable (question 1) est numérisé par un CAN à approximations successives de 8 bits. La tension de référence est $V_{ref} = 5 \\ V$ et la fréquence d'horloge du CAN est $f_{clk} = 1 \\ MHz$.
a) Calculer le temps de conversion $T_{conv}$ pour une mesure complète.
b) Déterminer le nombre maximal d'échantillons par période du signal astable.
c) Calculer le code numérique correspondant à la valeur haute du signal (V = VCC = 12V sachant que le signal est atténué par 3 avant le CAN).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Correction Détaillée - Examen Session 2
Question 1 : Timer NE555 en Mode Astable
a) Durée de l'état haut TH :
En mode astable, le condensateur se charge à travers RA et RB. La formule de la durée de l'état haut est :
$T_H = \\ln(2) \\cdot (R_A + R_B) \\cdot C = 0,693 \\cdot (R_A + R_B) \\cdot C$Application numérique avec RA = 4,7 kΩ, RB = 10 kΩ, C = 47 nF :
$T_H = 0,693 \\times (4700 + 10000) \\times 47 \\times 10^{-9}$$T_H = 0,693 \\times 14700 \\times 47 \\times 10^{-9}$$T_H = 0,693 \\times 6,909 \\times 10^{-4}$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_H \\approx 478,6 \\ \\mu s}$b) Durée de l'état bas TB :
Le condensateur se décharge uniquement à travers RB :
$T_B = \\ln(2) \\cdot R_B \\cdot C = 0,693 \\cdot R_B \\cdot C$Application numérique :
$T_B = 0,693 \\times 10000 \\times 47 \\times 10^{-9}$$T_B = 0,693 \\times 4,7 \\times 10^{-4}$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_B \\approx 325,7 \\ \\mu s}$c) Période T et fréquence f :
$T = T_H + T_B$Application numérique :
$T = 478,6 + 325,7 = 804,3 \\ \\mu s$Fréquence :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{804,3 \\times 10^{-6}}$RĂ©sultats :
$\\boxed{T \\approx 804,3 \\ \\mu s \\quad ; \\quad f \\approx 1243 \\ Hz}$d) Rapport cyclique α :
$\\alpha = \\frac{T_H}{T} = \\frac{R_A + R_B}{R_A + 2R_B}$Application numérique :
$\\alpha = \\frac{4700 + 10000}{4700 + 2 \\times 10000} = \\frac{14700}{24700}$RĂ©sultat :
$\\boxed{\\alpha \\approx 0,595 = 59,5\\%}$Question 2 : Analyse des Seuils de Basculement
a) Tensions de seuil VTH et VTL :
Le diviseur de tension interne avec trois résistances égales de 5 kΩ donne :
$V_{TH} = \\frac{2}{3} V_{CC}$$V_{TL} = \\frac{1}{3} V_{CC}$Application numérique avec VCC = 12 V :
$V_{TH} = \\frac{2}{3} \\times 12 = 8 \\ V$$V_{TL} = \\frac{1}{3} \\times 12 = 4 \\ V$RĂ©sultat :
$\\boxed{V_{TH} = 8 \\ V \\quad ; \\quad V_{TL} = 4 \\ V}$b) Amplitude ΔVC :
$\\Delta V_C = V_{TH} - V_{TL}$Application numérique :
$\\Delta V_C = 8 - 4 = 4 \\ V$RĂ©sultat :
$\\boxed{\\Delta V_C = 4 \\ V}$c) Rapport ΔVC/VCC :
$\\frac{\\Delta V_C}{V_{CC}} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3} \\approx 33,3\\%$Commentaire : Le condensateur oscille sur seulement 1/3 de la plage totale de tension, ce qui garantit une bonne stabilité du fonctionnement et limite les temps de charge/décharge.
$\\boxed{\\frac{\\Delta V_C}{V_{CC}} = \\frac{1}{3} = 33,3\\%}$Question 3 : Modification pour Rapport Cyclique de 50%
a) Principe avec la diode :
La diode en parallèle avec RB permet de court-circuiter RB pendant la charge. Ainsi, la charge se fait uniquement à travers RA, tandis que la décharge se fait à travers RB (la diode étant bloquée). Si RA = RB, on obtient un rapport cyclique de 50%.
b) Nouvelles durées T'H et T'B :
Avec la diode, pour avoir α = 50%, on doit avoir RA ≈ RB. Gardons RB = 10 kΩ et supposons qu'on ajuste RA = 10 kΩ :
$T'_H = 0,693 \\cdot R_A \\cdot C$Application numérique avec RA = 10 kΩ :
$T'_H = 0,693 \\times 10000 \\times 47 \\times 10^{-9} = 325,7 \\ \\mu s$$T'_B = 0,693 \\cdot R_B \\cdot C = 325,7 \\ \\mu s$RĂ©sultat :
$\\boxed{T'_H = T'_B = 325,7 \\ \\mu s}$c) Nouvelle fréquence f' :
$T' = T'_H + T'_B = 2 \\times 325,7 = 651,4 \\ \\mu s$$f' = \\frac{1}{T'} = \\frac{1}{651,4 \\times 10^{-6}}$RĂ©sultat :
$\\boxed{f' \\approx 1535 \\ Hz}$Question 4 : NE555 en Mode Monostable
a) Durée de l'impulsion Tmono :
En mode monostable, la durée de l'impulsion est donnée par :
$T_{mono} = 1,1 \\cdot R \\cdot C$Application numérique avec R = 100 kΩ et C = 10 μF :
$T_{mono} = 1,1 \\times 100 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-6}$$T_{mono} = 1,1 \\times 1 = 1,1 \\ s$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_{mono} = 1,1 \\ s}$b) RĂ©sistance R' pour Tmono = 2 s :
On inverse la formule :
$R' = \\frac{T_{mono}}{1,1 \\cdot C}$Application numérique :
$R' = \\frac{2}{1,1 \\times 10 \\times 10^{-6}} = \\frac{2}{1,1 \\times 10^{-5}}$$R' = \\frac{2}{1,1} \\times 10^5 = 1,818 \\times 10^5$RĂ©sultat :
$\\boxed{R' \\approx 182 \\ k\\Omega}$c) Temps de récupération TR :
Le temps de récupération est d'environ 5τ :
$T_R = 5 \\cdot R \\cdot C = 5\\tau$Application numérique avec R = 100 kΩ :
$T_R = 5 \\times 100 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-6}$$T_R = 5 \\times 1 = 5 \\ s$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_R = 5 \\ s}$Question 5 : Numérisation du Signal
a) Temps de conversion Tconv :
Un CAN à approximations successives nécessite n+1 coups d'horloge pour une conversion de n bits :
$T_{conv} = \\frac{n + 1}{f_{clk}}$Application numérique avec n = 8 bits et fclk = 1 MHz :
$T_{conv} = \\frac{8 + 1}{1 \\times 10^6} = \\frac{9}{10^6}$RĂ©sultat :
$\\boxed{T_{conv} = 9 \\ \\mu s}$b) Nombre d'échantillons par période :
$N_{ech} = \\frac{T}{T_{conv}} = \\frac{804,3 \\times 10^{-6}}{9 \\times 10^{-6}}$Calcul :
$N_{ech} = \\frac{804,3}{9} \\approx 89,4$RĂ©sultat :
$\\boxed{N_{ech} = 89 \\ \\text{échantillons par période}}$c) Code numérique pour V = 12V/3 = 4V :
Après atténuation par 3, la tension d'entrée du CAN est :
$V_e = \\frac{12}{3} = 4 \\ V$Le code numérique est :
$N = \\frac{V_e \\times 2^8}{V_{ref}} = \\frac{4 \\times 256}{5}$$N = \\frac{1024}{5} = 204,8$RĂ©sultat :
$\\boxed{N = 204}$", "id_category": "1", "id_number": "11" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "EXAMEN D'ÉLECTRONIQUE DES IMPULSIONS
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Contexte général : Une chaîne d'acquisition de données utilise un convertisseur analogique-numérique (CAN) pour numériser un signal provenant d'un capteur de température. Le signal analogique varie entre 0 V et 10 V. Le CAN utilisé est de type à approximations successives, codé sur 10 bits, avec une fréquence d'horloge $f_H = 2 \\text{ MHz}$. En aval, un multivibrateur astable basé sur le circuit NE555 génère le signal d'horloge nécessaire au système.
Question 1 (4 points) : Calculer la résolution analogique (quantum) $q$ du convertisseur CAN. Déterminer également la plage de tension correspondant au code numérique $N = (0110010110)_2$.
Question 2 (4 points) : Le signal d'entrée du CAN est $V_e = 7,35 \\text{ V}$. Déterminer le code numérique $N$ correspondant en binaire et en décimal. Calculer l'erreur de quantification absolue $\\varepsilon_q$ et relative $\\varepsilon_{rel}$ pour cette conversion.
Question 3 (4 points) : Calculer le temps de conversion $T_c$ du CAN à approximations successives. En déduire la fréquence maximale du signal analogique d'entrée $f_{max}$ que ce système peut échantillonner correctement selon le théorème de Shannon.
Question 4 (4 points) : Le multivibrateur astable NE555 doit générer un signal d'horloge à $f = 2 \\text{ MHz}$ avec un rapport cyclique $\\alpha = 60\\%$. On fixe $C = 100 \\text{ pF}$. Calculer les valeurs des résistances $R_A$ et $R_B$ nécessaires. Les formules du 555 astable sont : $T_H = 0,693(R_A + R_B)C$ et $T_L = 0,693 \\cdot R_B \\cdot C$.
Question 5 (4 points) : Un convertisseur numérique-analogique (CNA) de type R-2R sur 10 bits reçoit le code numérique obtenu à la question 2. Sa tension de référence est $V_{ref} = 10 \\text{ V}$. Calculer la tension de sortie $V_s$ du CNA. Comparer cette valeur avec la tension d'entrée initiale et commenter l'erreur introduite par la chaîne complète CAN-CNA.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution détaillée de l'examen
Question 1 : Calcul de la résolution et de la plage de tension
Données : Tension pleine échelle $V_{PE} = 10 \\text{ V}$, nombre de bits $n = 10$.
Formule générale du quantum :
$q = \\frac{V_{PE}}{2^n}$
Application numérique :
$q = \\frac{10}{2^{10}} = \\frac{10}{1024}$
$q = 9,766 \\times 10^{-3} \\text{ V} = 9,766 \\text{ mV}$
Conversion du code binaire en décimal :
$N = (0110010110)_2 = 0 \\times 2^9 + 1 \\times 2^8 + 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 0 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 1 \\times 2^2 + 1 \\times 2^1 + 0 \\times 2^0$
$N = 256 + 128 + 16 + 4 + 2 = 406$
Plage de tension correspondante :
$V_{min} = N \\times q = 406 \\times 9,766 \\times 10^{-3} = 3,965 \\text{ V}$
$V_{max} = (N+1) \\times q = 407 \\times 9,766 \\times 10^{-3} = 3,975 \\text{ V}$
RĂ©sultat : $q = 9,766 \\text{ mV}$ et la plage est $[3,965 \\text{ V} ; 3,975 \\text{ V}[$
Question 2 : Code numérique et erreur de quantification
Données : $V_e = 7,35 \\text{ V}$, $q = 9,766 \\text{ mV}$.
Formule du code numérique :
$N = \\left\\lfloor \\frac{V_e}{q} \\right\\rfloor$
Application numérique :
$N = \\left\\lfloor \\frac{7,35}{9,766 \\times 10^{-3}} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 752,81 \\right\\rfloor = 752$
Conversion en binaire :
$752 = 512 + 128 + 64 + 32 + 16 = 2^9 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4$
$N = (1011110000)_2$
Tension reconstruite :
$V_{reconst} = N \\times q = 752 \\times 9,766 \\times 10^{-3} = 7,344 \\text{ V}$
Erreur de quantification absolue :
$\\varepsilon_q = |V_e - V_{reconst}| = |7,35 - 7,344| = 0,006 \\text{ V} = 6 \\text{ mV}$
Erreur relative :
$\\varepsilon_{rel} = \\frac{\\varepsilon_q}{V_e} \\times 100 = \\frac{0,006}{7,35} \\times 100 = 0,082\\%$
RĂ©sultat : $N = 752 = (1011110000)_2$, $\\varepsilon_q = 6 \\text{ mV}$, $\\varepsilon_{rel} = 0,082\\%$
Question 3 : Temps de conversion et fréquence maximale
Données : $n = 10$ bits, $f_H = 2 \\text{ MHz}$.
Formule du temps de conversion (approximations successives) :
$T_c = (n + 1) \\times T_H = \\frac{n + 1}{f_H}$
Application numérique :
$T_c = \\frac{10 + 1}{2 \\times 10^6} = \\frac{11}{2 \\times 10^6}$
$T_c = 5,5 \\times 10^{-6} \\text{ s} = 5,5 \\text{ µs}$
Fréquence d'échantillonnage maximale :
$f_e = \\frac{1}{T_c} = \\frac{1}{5,5 \\times 10^{-6}} = 181,8 \\text{ kHz}$
Théorème de Shannon : $f_e \\geq 2 \\times f_{max}$
$f_{max} = \\frac{f_e}{2} = \\frac{181,8}{2} = 90,9 \\text{ kHz}$
Résultat : $T_c = 5,5 \\text{ µs}$ et $f_{max} = 90,9 \\text{ kHz}$
Question 4 : Dimensionnement du multivibrateur NE555
Données : $f = 2 \\text{ MHz}$, $\\alpha = 60\\%$, $C = 100 \\text{ pF}$.
PĂ©riode du signal :
$T = \\frac{1}{f} = \\frac{1}{2 \\times 10^6} = 0,5 \\text{ µs} = 500 \\text{ ns}$
Durées des états haut et bas :
$T_H = \\alpha \\times T = 0,60 \\times 500 = 300 \\text{ ns}$
$T_L = T - T_H = 500 - 300 = 200 \\text{ ns}$
Calcul de R_B :
$T_L = 0,693 \\times R_B \\times C$
$R_B = \\frac{T_L}{0,693 \\times C} = \\frac{200 \\times 10^{-9}}{0,693 \\times 100 \\times 10^{-12}}$
$R_B = \\frac{200 \\times 10^{-9}}{69,3 \\times 10^{-12}} = 2886 \\text{ Ω} \\approx 2,9 \\text{ kΩ}$
Calcul de R_A :
$T_H = 0,693 \\times (R_A + R_B) \\times C$
$R_A + R_B = \\frac{T_H}{0,693 \\times C} = \\frac{300 \\times 10^{-9}}{69,3 \\times 10^{-12}} = 4329 \\text{ Ω}$
$R_A = 4329 - 2886 = 1443 \\text{ Ω} \\approx 1,4 \\text{ kΩ}$
Résultat : $R_A = 1,4 \\text{ kΩ}$ et $R_B = 2,9 \\text{ kΩ}$
Question 5 : Tension de sortie du CNA et analyse d'erreur
Données : $N = 752$, $n = 10$ bits, $V_{ref} = 10 \\text{ V}$.
Formule de la tension de sortie du CNA :
$V_s = \\frac{N \\times V_{ref}}{2^n}$
Application numérique :
$V_s = \\frac{752 \\times 10}{1024} = \\frac{7520}{1024}$
$V_s = 7,344 \\text{ V}$
Erreur totale de la chaîne CAN-CNA :
$\\varepsilon_{totale} = |V_e - V_s| = |7,35 - 7,344| = 0,006 \\text{ V} = 6 \\text{ mV}$
$\\varepsilon_{rel} = \\frac{0,006}{7,35} \\times 100 = 0,082\\%$
Commentaire : L'erreur de 6 mV reprĂ©sente environ 0,6 quantum. Elle est infĂ©rieure Ă 1 quantum (q/2 = 4,88 mV serait l'erreur moyenne), ce qui est conforme au comportement attendu d'un système de conversion bien conçu. L'erreur maximale thĂ©orique est de ±q/2.
RĂ©sultat : $V_s = 7,344 \\text{ V}$, erreur totale = 6 mV (0,082%)
", "id_category": "1", "id_number": "12" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "EXAMEN D'ÉLECTRONIQUE DES IMPULSIONS
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Contexte général : On souhaite concevoir un générateur de signaux rectangulaires et triangulaires pour un système de test. Le générateur utilise un trigger de Schmitt inverseur suivi d'un intégrateur inverseur, tous deux réalisés avec des amplificateurs opérationnels alimentés en $\\pm 15 \\text{ V}$. La tension de saturation est $V_{sat} = \\pm 12 \\text{ V}$. Le signal triangulaire sera ensuite numérisé par un CNA à réseau R-2R sur 8 bits.
Question 1 (4 points) : Le trigger de Schmitt inverseur utilise un pont diviseur avec $R_1 = 10 \\text{ kΩ}$ et $R_2 = 22 \\text{ kΩ}$. Calculer les seuils de basculement $V_H$ (seuil haut) et $V_L$ (seuil bas), ainsi que la largeur d'hystérésis $\\Delta V_H$.
Question 2 (4 points) : L'intégrateur inverseur utilise $R = 47 \\text{ kΩ}$ et $C = 22 \\text{ nF}$. Lorsque la sortie du trigger est à $+V_{sat} = +12 \\text{ V}$, calculer la pente de la rampe de sortie de l'intégrateur $\\frac{dV_s}{dt}$. Déterminer le temps nécessaire $T_1$ pour que la tension de sortie passe de $V_L$ à $V_H$.
Question 3 (4 points) : En considérant la symétrie du système, calculer la période $T$ et la fréquence $f$ du signal triangulaire généré. Déterminer l'amplitude crête-à -crête $V_{pp}$ du signal triangulaire.
Question 4 (4 points) : Le signal triangulaire (variant de $-V_H$ à $+V_H$) est appliqué à un CNA R-2R de 8 bits avec $V_{ref} = 5 \\text{ V}$. On applique le code $N = (10110100)_2$. Calculer la tension de sortie $V_s$ du CNA et le quantum $q$.
Question 5 (4 points) : Pour adapter le signal triangulaire (amplitude $\\pm 3,75 \\text{ V}$) à l'entrée du CAN qui accepte des tensions entre 0 V et 5 V, on utilise un circuit d'adaptation avec un amplificateur sommateur. Calculer les valeurs des résistances pour obtenir un signal variant de 0 V à 5 V à partir du signal triangulaire. Le gain nécessaire est $G$ et le décalage $V_{offset}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution détaillée de l'examen
Question 1 : Seuils de basculement du Trigger de Schmitt
Données : $R_1 = 10 \\text{ kΩ}$, $R_2 = 22 \\text{ kΩ}$, $V_{sat} = \\pm 12 \\text{ V}$.
Formule des seuils pour un trigger inverseur :
$V_H = +V_{sat} \\times \\frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$V_L = -V_{sat} \\times \\frac{R_2}{R_1 + R_2}$
Application numérique :
$V_H = 12 \\times \\frac{22}{10 + 22} = 12 \\times \\frac{22}{32}$
$V_H = 12 \\times 0,6875 = 8,25 \\text{ V}$
$V_L = -12 \\times 0,6875 = -8,25 \\text{ V}$
Largeur d'hystérésis :
$\\Delta V_H = V_H - V_L = 8,25 - (-8,25) = 16,5 \\text{ V}$
RĂ©sultat : $V_H = +8,25 \\text{ V}$, $V_L = -8,25 \\text{ V}$, $\\Delta V_H = 16,5 \\text{ V}$
Question 2 : Pente de l'intégrateur et temps de transition
Données : $R = 47 \\text{ kΩ}$, $C = 22 \\text{ nF}$, $V_{sat} = 12 \\text{ V}$.
Formule de la pente de l'intégrateur inverseur :
$\\frac{dV_s}{dt} = -\\frac{V_e}{R \\times C}$
Application numérique (entrée à +12 V) :
$\\frac{dV_s}{dt} = -\\frac{12}{47 \\times 10^3 \\times 22 \\times 10^{-9}}$
$\\frac{dV_s}{dt} = -\\frac{12}{1,034 \\times 10^{-3}} = -11 605 \\text{ V/s}$
$\\frac{dV_s}{dt} = -11,6 \\text{ kV/s} = -11,6 \\text{ mV/µs}$
Temps pour passer de V_L Ă V_H :
$T_1 = \\frac{|V_H - V_L|}{|\\frac{dV_s}{dt}|} = \\frac{\\Delta V_H}{|pente|}$
$T_1 = \\frac{16,5}{11605} = 1,422 \\times 10^{-3} \\text{ s} = 1,422 \\text{ ms}$
RĂ©sultat : Pente = $-11,6 \\text{ kV/s}$, $T_1 = 1,422 \\text{ ms}$
Question 3 : Période, fréquence et amplitude du signal
Par symétrie du système :
$T = 2 \\times T_1 = 2 \\times 1,422 = 2,844 \\text{ ms}$
Fréquence :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{2,844 \\times 10^{-3}}$
$f = 351,6 \\text{ Hz}$
Amplitude crĂŞte-Ă -crĂŞte :
Le signal triangulaire oscille entre les seuils du trigger :
$V_{pp} = V_H - V_L = 8,25 - (-8,25) = 16,5 \\text{ V}$
Formule alternative de la fréquence :
$f = \\frac{R_1 + R_2}{4 \\times R \\times C \\times R_2} = \\frac{32 \\times 10^3}{4 \\times 47 \\times 10^3 \\times 22 \\times 10^{-9} \\times 22 \\times 10^3}$
$f = \\frac{32000}{91,168} = 351 \\text{ Hz}$
RĂ©sultat : $T = 2,844 \\text{ ms}$, $f = 351,6 \\text{ Hz}$, $V_{pp} = 16,5 \\text{ V}$
Question 4 : Tension de sortie du CNA R-2R
Données : $n = 8$ bits, $V_{ref} = 5 \\text{ V}$, $N = (10110100)_2$.
Conversion en décimal :
$N = 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 1 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 1 \\times 2^2 + 0 \\times 2^1 + 0 \\times 2^0$
$N = 128 + 32 + 16 + 4 = 180$
Quantum du CNA :
$q = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{5}{256} = 19,53 \\text{ mV}$
Tension de sortie :
$V_s = N \\times q = \\frac{N \\times V_{ref}}{2^n}$
$V_s = \\frac{180 \\times 5}{256} = \\frac{900}{256} = 3,516 \\text{ V}$
RĂ©sultat : $q = 19,53 \\text{ mV}$, $V_s = 3,516 \\text{ V}$
Question 5 : Circuit d'adaptation de niveau
Données : Signal d'entrée : $V_{in} \\in [-3,75 \\text{ V} ; +3,75 \\text{ V}]$, Signal de sortie souhaité : $V_{out} \\in [0 \\text{ V} ; 5 \\text{ V}]$.
Équation de la transformation affine :
$V_{out} = G \\times V_{in} + V_{offset}$
Conditions aux limites :
Pour $V_{in} = -3,75 \\text{ V}$ : $V_{out} = 0 \\text{ V}$
$0 = G \\times (-3,75) + V_{offset}$ ... (1)
Pour $V_{in} = +3,75 \\text{ V}$ : $V_{out} = 5 \\text{ V}$
$5 = G \\times 3,75 + V_{offset}$ ... (2)
Résolution du système :
En soustrayant (1) de (2) :
$5 = G \\times 7,5 \\Rightarrow G = \\frac{5}{7,5} = 0,667$
De (1) : $V_{offset} = 3,75 \\times G = 3,75 \\times 0,667 = 2,5 \\text{ V}$
Pour un amplificateur sommateur inverseur avec R_f = 10 kΩ :
$R_{in} = \\frac{R_f}{G} = \\frac{10}{0,667} = 15 \\text{ kΩ}$
$R_{offset} = \\frac{R_f \\times V_{ref}}{V_{offset}} = \\frac{10 \\times 5}{2,5} = 20 \\text{ kΩ}$ (avec $V_{ref} = 5 \\text{ V}$)
Résultat : $G = 0,667$, $V_{offset} = 2,5 \\text{ V}$, $R_{in} = 15 \\text{ kΩ}$, $R_{offset} = 20 \\text{ kΩ}$
", "id_category": "1", "id_number": "13" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "EXAMEN D'ÉLECTRONIQUE DES IMPULSIONS
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Contexte général : Un système de temporisation industrielle utilise un circuit NE555 en mode monostable pour générer des impulsions de durée précise. Ces impulsions commandent un convertisseur numérique-analogique (CNA) à résistances pondérées sur 6 bits, qui à son tour pilote un actuateur. Le système inclut également un multivibrateur astable réalisé avec un trigger de Schmitt CMOS (40106) pour générer le signal de déclenchement.
Question 1 (4 points) : Le multivibrateur astable utilise un inverseur trigger de Schmitt (40106) avec les seuils $V_{TH} = 2,9 \\text{ V}$ (seuil haut) et $V_{TL} = 2,1 \\text{ V}$ (seuil bas). L'alimentation est $V_{DD} = 5 \\text{ V}$. On utilise $R = 100 \\text{ kΩ}$ et $C = 10 \\text{ nF}$. Calculer les temps de charge $T_C$ et de décharge $T_D$ du condensateur, puis la fréquence d'oscillation $f$.
Question 2 (4 points) : Le signal du multivibrateur déclenche un monostable NE555. On souhaite une durée d'impulsion $T_{pulse} = 5 \\text{ ms}$. On fixe $C = 1 \\text{ µF}$. Calculer la valeur de la résistance $R$ nécessaire. Déterminer également la fréquence maximale de déclenchement $f_{max}$ pour garantir un fonctionnement correct.
Question 3 (4 points) : Le CNA à résistances pondérées sur 6 bits utilise $R$, $2R$, $4R$, $8R$, $16R$, $32R$ avec $R = 10 \\text{ kΩ}$ et $V_{ref} = 10 \\text{ V}$. Calculer le courant total $I_{total}$ lorsque tous les bits sont à 1 (code 111111). En déduire la tension de sortie maximale $V_{smax}$ si la résistance de contre-réaction est $R_f = 10 \\text{ kΩ}$.
Question 4 (4 points) : On applique le code binaire $N = (101010)_2$ au CNA. Calculer la tension de sortie $V_s$. Déterminer le quantum $q$ et l'erreur de pleine échelle si la tension de sortie mesurée est $V_{mesurée} = 6,52 \\text{ V}$ au lieu de la valeur théorique.
Question 5 (4 points) : Pour synchroniser le système, on utilise un diviseur de fréquence par 8 à base de bascules JK. Si le signal d'entrée provient du multivibrateur de la question 1, calculer la fréquence de sortie du diviseur. Déterminer le nombre de bascules nécessaires et dessiner le chronogramme des sorties $Q_0$, $Q_1$, $Q_2$ sur 16 périodes d'horloge.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution détaillée de l'examen
Question 1 : Multivibrateur astable avec trigger de Schmitt
Données : $V_{TH} = 2,9 \\text{ V}$, $V_{TL} = 2,1 \\text{ V}$, $V_{DD} = 5 \\text{ V}$, $R = 100 \\text{ kΩ}$, $C = 10 \\text{ nF}$.
Formule du temps de charge (sortie Ă 0, charge vers V_DD) :
$T_C = R \\times C \\times \\ln\\left(\\frac{V_{DD} - V_{TL}}{V_{DD} - V_{TH}}\\right)$
Application numérique :
$T_C = 100 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-9} \\times \\ln\\left(\\frac{5 - 2,1}{5 - 2,9}\\right)$
$T_C = 10^{-3} \\times \\ln\\left(\\frac{2,9}{2,1}\\right) = 10^{-3} \\times \\ln(1,381)$
$T_C = 10^{-3} \\times 0,323 = 0,323 \\text{ ms}$
Formule du temps de décharge (sortie à V_DD, décharge vers 0) :
$T_D = R \\times C \\times \\ln\\left(\\frac{V_{TH}}{V_{TL}}\\right)$
$T_D = 10^{-3} \\times \\ln\\left(\\frac{2,9}{2,1}\\right) = 10^{-3} \\times 0,323 = 0,323 \\text{ ms}$
Période et fréquence :
$T = T_C + T_D = 0,323 + 0,323 = 0,646 \\text{ ms}$
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0,646 \\times 10^{-3}} = 1548 \\text{ Hz} \\approx 1,55 \\text{ kHz}$
RĂ©sultat : $T_C = T_D = 0,323 \\text{ ms}$, $f = 1,55 \\text{ kHz}$
Question 2 : Monostable NE555
Données : $T_{pulse} = 5 \\text{ ms}$, $C = 1 \\text{ µF}$.
Formule de la durée d'impulsion du monostable 555 :
$T_{pulse} = 1,1 \\times R \\times C$
Calcul de R :
$R = \\frac{T_{pulse}}{1,1 \\times C} = \\frac{5 \\times 10^{-3}}{1,1 \\times 1 \\times 10^{-6}}$
$R = \\frac{5 \\times 10^{-3}}{1,1 \\times 10^{-6}} = 4545 \\text{ Ω} \\approx 4,55 \\text{ kΩ}$
Valeur normalisée : $R = 4,7 \\text{ kΩ}$
Fréquence maximale de déclenchement :
Le monostable doit terminer son cycle avant le prochain déclenchement. En pratique, on prend une marge de sécurité :
$T_{min} > T_{pulse} \\Rightarrow f_{max} < \\frac{1}{T_{pulse}}$
$f_{max} = \\frac{1}{5 \\times 10^{-3}} = 200 \\text{ Hz}$
Avec marge de sécurité (facteur 1,5) : $f_{max} \\approx 130 \\text{ Hz}$
Résultat : $R = 4,55 \\text{ kΩ}$ (valeur normalisée 4,7 kΩ), $f_{max} = 200 \\text{ Hz}$
Question 3 : CNA à résistances pondérées - Courant total
Données : $R = 10 \\text{ kΩ}$, $V_{ref} = 10 \\text{ V}$, $R_f = 10 \\text{ kΩ}$, code = 111111.
Courants dans chaque branche (bit Ă 1) :
$I_5 = \\frac{V_{ref}}{R} = \\frac{10}{10 \\times 10^3} = 1 \\text{ mA}$
$I_4 = \\frac{V_{ref}}{2R} = \\frac{10}{20 \\times 10^3} = 0,5 \\text{ mA}$
$I_3 = \\frac{V_{ref}}{4R} = \\frac{10}{40 \\times 10^3} = 0,25 \\text{ mA}$
$I_2 = \\frac{V_{ref}}{8R} = \\frac{10}{80 \\times 10^3} = 0,125 \\text{ mA}$
$I_1 = \\frac{V_{ref}}{16R} = \\frac{10}{160 \\times 10^3} = 0,0625 \\text{ mA}$
$I_0 = \\frac{V_{ref}}{32R} = \\frac{10}{320 \\times 10^3} = 0,03125 \\text{ mA}$
Courant total :
$I_{total} = I_5 + I_4 + I_3 + I_2 + I_1 + I_0$
$I_{total} = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 = 1,96875 \\text{ mA}$
Tension de sortie maximale :
$V_{smax} = -R_f \\times I_{total} = -10 \\times 10^3 \\times 1,96875 \\times 10^{-3}$
$V_{smax} = -19,6875 \\text{ V}$ (en valeur absolue : 19,69 V)
RĂ©sultat : $I_{total} = 1,969 \\text{ mA}$, $|V_{smax}| = 19,69 \\text{ V}$
Question 4 : Tension de sortie pour N = 101010
Données : $N = (101010)_2$.
Conversion en décimal :
$N = 1 \\times 2^5 + 0 \\times 2^4 + 1 \\times 2^3 + 0 \\times 2^2 + 1 \\times 2^1 + 0 \\times 2^0$
$N = 32 + 8 + 2 = 42$
Courants actifs (bits 5, 3, 1 Ă 1) :
$I = I_5 + I_3 + I_1 = 1 + 0,25 + 0,0625 = 1,3125 \\text{ mA}$
Tension de sortie :
$V_s = R_f \\times I = 10 \\times 10^3 \\times 1,3125 \\times 10^{-3} = 13,125 \\text{ V}$
Quantum :
$q = \\frac{V_{smax}}{2^n - 1} = \\frac{19,6875}{63} = 0,3125 \\text{ V}$
VĂ©rification : $V_s = N \\times q = 42 \\times 0,3125 = 13,125 \\text{ V}$ ✓
Erreur de pleine échelle (si V_mesurée = 6,52 V au lieu de théorique) :
Erreur absolue : $\\varepsilon = |13,125 - 6,52| = 6,605 \\text{ V}$
Erreur relative : $\\varepsilon_{rel} = \\frac{6,605}{13,125} \\times 100 = 50,3\\%$
RĂ©sultat : $V_s = 13,125 \\text{ V}$, $q = 312,5 \\text{ mV}$
Question 5 : Diviseur de fréquence par 8
Données : $f_{entrée} = 1,55 \\text{ kHz}$, division par 8.
Nombre de bascules nécessaires :
$2^n = 8 \\Rightarrow n = 3 \\text{ bascules JK}$
Fréquence de sortie :
$f_{sortie} = \\frac{f_{entrée}}{8} = \\frac{1550}{8} = 193,75 \\text{ Hz}$
Chronogramme (description) :
- $Q_0$ : bascule Ă chaque front d'horloge → pĂ©riode = 2T
- $Q_1$ : bascule Ă chaque front descendant de Q_0 → pĂ©riode = 4T
- $Q_2$ : bascule Ă chaque front descendant de Q_1 → pĂ©riode = 8T
Sur 16 périodes d'horloge :
CLK : ⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍⎍ (16 impulsions)
Q_0 : ⎺⎺⎽⎽⎺⎺⎽⎽⎺⎺⎽⎽⎺⎺⎽⎽ (pĂ©riode 2T)
Q_1 : ⎺⎺⎺⎺⎽⎽⎽⎽⎺⎺⎺⎺⎽⎽⎽⎽ (pĂ©riode 4T)
Q_2 : ⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ (pĂ©riode 8T)
Résultat : 3 bascules JK nécessaires, $f_{sortie} = 193,75 \\text{ Hz}$
", "id_category": "1", "id_number": "14" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen d'Électronique des Impulsions
-
Contexte général : Un système d'acquisition de données utilise un convertisseur analogique-numérique (CAN) de type à approximations successives pour numériser un signal analogique provenant d'un capteur de température. Le signal numérisé est ensuite traité par un microcontrôleur avant d'être reconverti en signal analogique par un convertisseur numérique-analogique (CNA) pour commander un actionneur.
Question 1 : Caractéristiques du CAN (5 points)
Le CAN utilisé possède une résolution de 12 bits et une tension de pleine échelle $V_{PE} = 5V$. Le signal analogique d'entrée du capteur varie entre 0V et 5V.
a) Calculer le quantum (ou LSB) de ce convertisseur.
b) Déterminer la valeur numérique de sortie (en décimal) lorsque la tension d'entrée $v_a = 3.25V$.
c) Calculer l'erreur de quantification maximale en volts pour une quantification linéaire centrée.
Question 2 : Rapport Signal sur Bruit (4 points)
En utilisant les caractéristiques du CAN de la Question 1 :
a) Calculer le rapport signal sur bruit théorique (SNR) en décibels pour ce convertisseur idéal.
b) Si le nombre de bits effectif (ENOB) mesuré est de 10.5 bits, calculer le SINAD en dB.
Question 3 : Temps de conversion du CAN (4 points)
Le CAN à approximations successives fonctionne avec une fréquence d'horloge $f_{clk} = 4 MHz$.
a) Calculer le temps de conversion nécessaire pour une conversion complète.
b) Déterminer la fréquence d'échantillonnage maximale théorique de ce système.
c) Selon le théorème de Shannon, quelle est la fréquence maximale du signal analogique que ce système peut échantillonner sans repliement spectral ?
Question 4 : Convertisseur Numérique-Analogique (4 points)
Le CNA utilisé en sortie du système possède également une résolution de 10 bits et une tension de référence $V_{ref} = 5V$. Il utilise un réseau R-2R.
a) Pour un code binaire d'entrée 1010110011 (MSB à gauche), calculer la tension de sortie analogique du CNA.
b) Calculer la résolution en tension de ce CNA (tension correspondant à 1 LSB).
Question 5 : Multivibrateur astable pour horloge (3 points)
Pour générer le signal d'horloge du CAN, on utilise un multivibrateur astable à base de circuit NE555. Les composants utilisés sont : $R_1 = 10 k\\Omega$, $R_2 = 15 k\\Omega$, et $C = 10 nF$.
La fréquence d'oscillation d'un multivibrateur astable NE555 est donnée par :
$f = \\frac{1.44}{(R_1 + 2R_2) \\cdot C}$
a) Calculer la fréquence d'oscillation de ce multivibrateur.
b) Cette fréquence est-elle compatible avec le CAN décrit à la Question 3 ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
Solution Question 1 : Caractéristiques du CAN
a) Calcul du quantum (LSB) :
Le quantum représente la plus petite variation de tension détectable par le convertisseur. Il est calculé en divisant la pleine échelle par le nombre d'intervalles possibles.
Formule générale :
$q = \\frac{V_{PE}}{2^N}$
oĂą $N$ est le nombre de bits et $V_{PE}$ la tension de pleine Ă©chelle.
Remplacement des données :
$q = \\frac{5V}{2^{12}} = \\frac{5V}{4096}$
Calcul :
$q = 1.220703125 \\times 10^{-3} V$
RĂ©sultat final :
$q \\approx 1.22 mV$
b) Valeur numérique de sortie pour va = 3.25V :
Pour une quantification linéaire par défaut, le code numérique correspond à la partie entière du rapport entre la tension d'entrée et le quantum.
Formule générale :
$N_{sortie} = \\lfloor \\frac{v_a}{q} \\rfloor = \\lfloor v_a \\times \\frac{2^N}{V_{PE}} \\rfloor$
Remplacement des données :
$N_{sortie} = \\lfloor 3.25 \\times \\frac{4096}{5} \\rfloor = \\lfloor 3.25 \\times 819.2 \\rfloor$
Calcul :
$N_{sortie} = \\lfloor 2662.4 \\rfloor$
RĂ©sultat final :
$N_{sortie} = 2662_{10} = 0\\text{x}A66_{16} = 1010\\,0110\\,0110_2$
c) Erreur de quantification maximale pour quantification linéaire centrée :
Dans une quantification linĂ©aire centrĂ©e, l'erreur varie entre $-\\frac{q}{2}$ et $+\\frac{q}{2}$. L'erreur maximale en valeur absolue est donc ±0.5 LSB.
Formule générale :
$e_{max} = \\pm \\frac{q}{2}$
Remplacement des données :
$e_{max} = \\pm \\frac{1.22 mV}{2}$
RĂ©sultat final :
$e_{max} = \\pm 0.61 mV$
Solution Question 2 : Rapport Signal sur Bruit
a) Calcul du SNR théorique :
Le rapport signal sur bruit théorique d'un CAN idéal avec entrée sinusoïdale pleine échelle est donné par une formule qui prend en compte uniquement le bruit de quantification.
Formule générale :
$SNR_{dB} = 6.02 \\times N + 1.76$
oĂą $N$ est le nombre de bits.
Remplacement des données :
$SNR_{dB} = 6.02 \\times 12 + 1.76$
Calcul :
$SNR_{dB} = 72.24 + 1.76 = 74.00 dB$
RĂ©sultat final :
$SNR_{dB} = 74.0 dB$
Interprétation : Ce résultat représente le SNR maximal théorique pour un CAN 12 bits idéal. Chaque bit supplémentaire apporte environ 6 dB de SNR.
b) Calcul du SINAD avec ENOB = 10.5 bits :
Le SINAD prend en compte le bruit ET la distorsion. Il est calculé de la même manière que le SNR mais avec le nombre de bits effectif.
Formule générale :
$SINAD_{dB} = 6.02 \\times ENOB + 1.76$
Remplacement des données :
$SINAD_{dB} = 6.02 \\times 10.5 + 1.76$
Calcul :
$SINAD_{dB} = 63.21 + 1.76 = 64.97 dB$
RĂ©sultat final :
$SINAD_{dB} \\approx 65.0 dB$
Interprétation : La différence entre SNR et SINAD (74.0 - 65.0 = 9.0 dB) indique la présence de distorsion harmonique et de bruit supplémentaire dans le convertisseur réel.
Solution Question 3 : Temps de conversion
a) Temps de conversion :
Un CAN à approximations successives nécessite N cycles d'horloge pour une conversion complète de N bits, car chaque bit est déterminé séquentiellement.
Formule générale :
$T_{conv} = \\frac{N}{f_{clk}}$
où $N$ est le nombre de bits et $f_{clk}$ la fréquence d'horloge.
Remplacement des données :
$T_{conv} = \\frac{12}{4 \\times 10^6} = \\frac{12}{4 \\times 10^6} s$
Calcul :
$T_{conv} = 3 \\times 10^{-6} s$
RĂ©sultat final :
$T_{conv} = 3 \\mu s$
b) Fréquence d'échantillonnage maximale :
La fréquence d'échantillonnage maximale est l'inverse du temps de conversion.
Formule générale :
$f_{ech\\_max} = \\frac{1}{T_{conv}}$
Remplacement des données :
$f_{ech\\_max} = \\frac{1}{3 \\times 10^{-6}}$
Calcul et résultat final :
$f_{ech\\_max} = 333.33 kHz$
c) Fréquence maximale du signal selon Shannon :
Le théorème de Shannon stipule que la fréquence d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal pour éviter le repliement spectral.
Formule générale :
$f_{max} = \\frac{f_{ech}}{2}$
Remplacement des données :
$f_{max} = \\frac{333.33 kHz}{2}$
RĂ©sultat final :
$f_{max} = 166.67 kHz$
Interprétation : Le signal analogique à numériser ne doit pas contenir de fréquences supérieures à 166.67 kHz. Un filtre anti-repliement doit être utilisé en amont du CAN.
Solution Question 4 : CNA
a) Tension de sortie pour le code 1010110011 :
Le CNA convertit un code binaire en tension proportionnelle. Chaque bit contribue selon son poids binaire.
Formule générale :
$V_{out} = V_{ref} \\times \\left( \\sum_{i=1}^{N} b_i \\times 2^{-i} \\right) = V_{ref} \\times \\frac{N_{decimal}}{2^N}$
oĂą $b_i$ sont les bits du MSB au LSB.
Conversion du code binaire en décimal :
$1010110011_2 = 1 \\times 2^9 + 0 \\times 2^8 + 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 1 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 0 \\times 2^2 + 1 \\times 2^1 + 1 \\times 2^0$
$= 512 + 128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 691_{10}$
Remplacement des données :
$V_{out} = 5V \\times \\frac{691}{2^{10}} = 5V \\times \\frac{691}{1024}$
Calcul :
$V_{out} = 5V \\times 0.675 = 3.375 V$
RĂ©sultat final :
$V_{out} = 3.375 V$
b) RĂ©solution en tension du CNA :
La résolution est la plus petite variation de tension que le CNA peut produire, correspondant à 1 LSB.
Formule générale :
$Resolution = \\frac{V_{ref}}{2^N}$
Remplacement des données :
$Resolution = \\frac{5V}{2^{10}} = \\frac{5V}{1024}$
Calcul et résultat final :
$Resolution = 4.88 mV$
Solution Question 5 : Multivibrateur astable
a) Fréquence d'oscillation :
Le multivibrateur astable NE555 génère un signal d'horloge dont la fréquence dépend des résistances et de la capacité utilisées.
Formule générale :
$f = \\frac{1.44}{(R_1 + 2R_2) \\times C}$
Remplacement des données :
$f = \\frac{1.44}{(10 \\times 10^3 + 2 \\times 15 \\times 10^3) \\times 10 \\times 10^{-9}}$
Calcul intermédiaire :
$R_1 + 2R_2 = 10k\\Omega + 30k\\Omega = 40k\\Omega = 40 \\times 10^3 \\Omega$
$(R_1 + 2R_2) \\times C = 40 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-9} = 400 \\times 10^{-6} = 4 \\times 10^{-4} s$
Calcul final :
$f = \\frac{1.44}{4 \\times 10^{-4}} = 3600 Hz$
RĂ©sultat final :
$f = 3.6 kHz$
b) Compatibilité avec le CAN :
Le CAN nécessite une fréquence d'horloge de 4 MHz, alors que le multivibrateur génère 3.6 kHz. Non, cette fréquence n'est pas compatible. Elle est environ 1111 fois trop faible. Il faudrait soit :
- Réduire significativement les valeurs de R1, R2 et C (par exemple C = 22 pF avec les mêmes résistances donnerait environ 1.6 MHz)
- Utiliser un oscillateur à quartz pour générer une fréquence stable de 4 MHz
- Utiliser un circuit PLL (Phase-Locked Loop) pour multiplier la fréquence du multivibrateur
", "id_category": "1", "id_number": "15" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) de type R-2R est utilisé dans un système d'acquisition de données. Ce CNA possède une résolution de 8 bits et fonctionne avec une tension de référence $V_{ref} = 5V$. La résistance de base du réseau R-2R est $R = 10k\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer la valeur du quantum (ou pas de quantification) $q$ de ce convertisseur.
\n\nQuestion 2: Déterminer la tension de sortie $V_{out}$ lorsque le code binaire appliqué à l'entrée est 10110011.
\n\nQuestion 3: Si la tension de sortie mesurée est $V_{out} = 3.137V$, quel est le code binaire correspondant à l'entrée du CNA?
\n\nQuestion 4: Calculer l'erreur relative maximale (en pourcentage) due Ă la quantification pour ce convertisseur.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLe quantum (pas de quantification) représente la plus petite variation de tension en sortie du CNA.
\n1. Formule générale du quantum:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
2. Remplacement des données:
\nAvec $V_{ref} = 5V$ et $n = 8$ bits
\n$q = \\frac{5}{2^8}$
3. Calcul:
\n$q = \\frac{5}{256}$
4. RĂ©sultat final:
\n$q = 0.01953125V \\approx 19.53mV$
Le quantum de ce convertisseur est de $19.53mV$.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un CNA, la tension de sortie est proportionnelle au code numérique d'entrée.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = q \\times D$
\noù $D$ est la valeur décimale du code binaire.
2. Conversion du code binaire en décimal:
\nCode binaire: $10110011_2$
\n$D = 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 1 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 0 \\times 2^2 + 1 \\times 2^1 + 1 \\times 2^0$
\n$D = 128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 179$
3. Calcul de la tension de sortie:
\n$V_{out} = 0.01953125 \\times 179$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = 3.496V$
La tension de sortie pour le code binaire 10110011 est de $3.496V$.
\n\nSolution Question 3:
\nPour trouver le code binaire correspondant à une tension donnée, on détermine d'abord la valeur décimale.
\n1. Formule pour déterminer D:
\n$D = \\frac{V_{out}}{q}$
2. Remplacement des données:
\n$D = \\frac{3.137}{0.01953125}$
3. Calcul:
\n$D = 160.64$
\nOn arrondit Ă l'entier le plus proche: $D = 161$
4. Conversion en binaire:
\n$161_{10} = 128 + 32 + 1 = 2^7 + 2^5 + 2^0$
\nCode binaire: $10100001_2$
Le code binaire correspondant Ă $V_{out} = 3.137V$ est $10100001$.
\n\nSolution Question 4:
\nL'erreur relative maximale due à la quantification correspond à la moitié du quantum par rapport à la pleine échelle.
\n1. Formule de l'erreur relative maximale:
\n$\\epsilon_{max} = \\frac{q/2}{V_{ref}} \\times 100\\%$
2. Remplacement des données:
\n$\\epsilon_{max} = \\frac{0.01953125/2}{5} \\times 100\\%$
3. Calcul:
\n$\\epsilon_{max} = \\frac{0.009765625}{5} \\times 100\\%$
\n$\\epsilon_{max} = 0.001953125 \\times 100\\%$
4. RĂ©sultat final:
\n$\\epsilon_{max} = 0.195\\%$
L'erreur relative maximale due Ă la quantification est de $0.195\\%$, ce qui peut aussi s'exprimer comme $\\frac{1}{2^{n+1}} \\times 100\\% = \\frac{1}{512} \\times 100\\%$.
", "id_category": "2", "id_number": "1" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) à approximations successives est utilisé pour numériser un signal analogique. Le CAN a une résolution de 10 bits et fonctionne avec une tension de référence $V_{ref} = 3.3V$. La fréquence d'horloge du système est $f_{clk} = 1MHz$.
\n\nQuestion 1: Calculer la résolution en tension (quantum $q$) de ce convertisseur et déterminer la plage de tension d'entrée qu'il peut mesurer.
\n\nQuestion 2: Sachant qu'un CAN à approximations successives nécessite $n + 1$ cycles d'horloge pour une conversion complète (où $n$ est le nombre de bits), calculer le temps de conversion $T_{conv}$ et la fréquence d'échantillonnage maximale $f_{s,max}$.
\n\nQuestion 3: Une tension analogique $V_{in} = 2.156V$ est appliquée à l'entrée du CAN. Déterminer le code numérique de sortie en décimal et en binaire.
\n\nQuestion 4: Calculer l'erreur de quantification absolue et relative pour la tension d'entrée de la question 3.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLa résolution en tension (quantum) représente la plus petite variation de tension détectable par le CAN.
\n1. Formule générale du quantum:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
2. Remplacement des données:
\nAvec $V_{ref} = 3.3V$ et $n = 10$ bits
\n$q = \\frac{3.3}{2^{10}}$
3. Calcul:
\n$q = \\frac{3.3}{1024}$
4. RĂ©sultat final:
\n$q = 0.003222656V \\approx 3.22mV$
La plage de tension mesurable s'Ă©tend de $0V$ Ă $V_{ref} = 3.3V$. Le quantum est de $3.22mV$.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un CAN à approximations successives, le temps de conversion dépend du nombre de cycles d'horloge nécessaires.
\n1. Formule du temps de conversion:
\n$T_{conv} = \\frac{n + 1}{f_{clk}}$
2. Remplacement des données:
\nAvec $n = 10$ bits et $f_{clk} = 1MHz = 10^6Hz$
\n$T_{conv} = \\frac{10 + 1}{10^6}$
3. Calcul:
\n$T_{conv} = \\frac{11}{10^6} = 11 \\times 10^{-6}s$
4. RĂ©sultat final:
\n$T_{conv} = 11\\mu s$
La fréquence d'échantillonnage maximale est:
\n$f_{s,max} = \\frac{1}{T_{conv}} = \\frac{10^6}{11} = 90909Hz \\approx 90.9kHz$
Le temps de conversion est $11\\mu s$ et la fréquence d'échantillonnage maximale est $90.9kHz$.
\n\nSolution Question 3:
\nPour déterminer le code numérique, on divise la tension d'entrée par le quantum.
\n1. Formule pour le code numérique:
\n$D = \\text{round}\\left(\\frac{V_{in}}{q}\\right)$
2. Remplacement des données:
\n$D = \\text{round}\\left(\\frac{2.156}{0.003222656}\\right)$
3. Calcul:
\n$D = \\text{round}(669.01) = 669$
4. Conversion en binaire:
\n$669_{10} = 512 + 128 + 16 + 8 + 4 + 1 = 2^9 + 2^7 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^0$
\nCode binaire: $1010011101_2$
Le code numérique de sortie est $669$ en décimal et $1010011101$ en binaire.
\n\nSolution Question 4:
\nL'erreur de quantification provient de l'approximation de la valeur analogique par un code numérique discret.
\n1. Calcul de la tension correspondant au code numérique:
\n$V_{quantifié} = D \\times q = 669 \\times 0.003222656$
2. RĂ©sultat de la quantification:
\n$V_{quantifié} = 2.15596V$
3. Erreur de quantification absolue:
\n$\\epsilon_{abs} = V_{in} - V_{quantifié} = 2.156 - 2.15596$
\n$\\epsilon_{abs} = 0.00004V = 0.04mV$
4. Erreur de quantification relative:
\n$\\epsilon_{rel} = \\frac{\\epsilon_{abs}}{V_{in}} \\times 100\\% = \\frac{0.00004}{2.156} \\times 100\\%$
\n$\\epsilon_{rel} = 0.00186\\%$
L'erreur de quantification absolue est $0.04mV$ et l'erreur relative est $0.00186\\%$.
", "id_category": "2", "id_number": "2" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un système de mesure de température utilise un capteur analogique connecté à un CAN Flash (convertisseur parallèle) de 6 bits. La tension de référence est $V_{ref} = 2.56V$. Le CAN Flash nécessite un temps de conversion de $50ns$ par échantillon.
\n\nQuestion 1: Déterminer le nombre de comparateurs nécessaires pour réaliser ce CAN Flash 6 bits et calculer la résolution en tension (quantum $q$).
\n\nQuestion 2: Calculer la fréquence d'échantillonnage maximale $f_{s,max}$ de ce convertisseur et la bande passante maximale du signal analogique qu'il peut numériser selon le critère de Shannon-Nyquist.
\n\nQuestion 3: Si la tension d'entrée est $V_{in} = 1.875V$, déterminer le code binaire de sortie et la tension réellement quantifiée.
\n\nQuestion 4: Calculer la puissance dissipée par le CAN sachant que chaque comparateur consomme $P_{comp} = 2mW$ et que la logique de décodage consomme $P_{logic} = 15mW$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nUn CAN Flash utilise un comparateur pour chaque niveau de quantification sauf le niveau zéro.
\n1. Formule du nombre de comparateurs:
\n$N_{comp} = 2^n - 1$
2. Remplacement des données:
\nAvec $n = 6$ bits
\n$N_{comp} = 2^6 - 1$
3. Calcul:
\n$N_{comp} = 64 - 1 = 63$
Le nombre de comparateurs nécessaires est $63$.
\n4. Calcul du quantum:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{2.56}{2^6} = \\frac{2.56}{64}$
\n$q = 0.04V = 40mV$
Le CAN nécessite $63$ comparateurs et le quantum est de $40mV$.
\n\nSolution Question 2:
\nLa fréquence d'échantillonnage maximale dépend du temps de conversion.
\n1. Formule de la fréquence d'échantillonnage maximale:
\n$f_{s,max} = \\frac{1}{T_{conv}}$
2. Remplacement des données:
\nAvec $T_{conv} = 50ns = 50 \\times 10^{-9}s$
\n$f_{s,max} = \\frac{1}{50 \\times 10^{-9}}$
3. Calcul:
\n$f_{s,max} = \\frac{10^9}{50} = 20 \\times 10^6Hz$
4. RĂ©sultat final:
\n$f_{s,max} = 20MHz$
Selon le critère de Shannon-Nyquist, la bande passante maximale du signal est:
\n$f_{signal,max} = \\frac{f_{s,max}}{2} = \\frac{20 \\times 10^6}{2} = 10MHz$
La fréquence d'échantillonnage maximale est $20MHz$ et la bande passante maximale du signal est $10MHz$.
\n\nSolution Question 3:
\nPour déterminer le code binaire, on calcule d'abord le code décimal correspondant.
\n1. Formule du code numérique:
\n$D = \\text{floor}\\left(\\frac{V_{in}}{q}\\right)$
2. Remplacement des données:
\n$D = \\text{floor}\\left(\\frac{1.875}{0.04}\\right)$
3. Calcul:
\n$D = \\text{floor}(46.875) = 46$
4. Conversion en binaire:
\n$46_{10} = 32 + 8 + 4 + 2 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^1$
\nCode binaire: $101110_2$
Tension quantifiée:
\n$V_{quantifié} = D \\times q = 46 \\times 0.04 = 1.84V$
Le code binaire de sortie est $101110$ et la tension quantifiée est $1.84V$.
\n\nSolution Question 4:
\nLa puissance totale est la somme de la puissance consommée par tous les comparateurs et par la logique.
\n1. Formule de la puissance totale:
\n$P_{total} = N_{comp} \\times P_{comp} + P_{logic}$
2. Remplacement des données:
\n$P_{total} = 63 \\times 2mW + 15mW$
3. Calcul:
\n$P_{total} = 126mW + 15mW$
4. RĂ©sultat final:
\n$P_{total} = 141mW = 0.141W$
La puissance totale dissipée par le CAN Flash est de $141mW$. Cette consommation élevée est caractéristique des CAN Flash, qui privilégient la vitesse au détriment de l'efficacité énergétique.
", "id_category": "2", "id_number": "3" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un système d'acquisition de données industriel utilise un CAN de type double rampe (dual-slope) de 12 bits. La tension de référence est $V_{ref} = 5V$, la fréquence d'horloge est $f_{clk} = 4MHz$ et la capacité d'intégration est $C = 1\\mu F$. Le courant d'intégration est contrôlé par une résistance $R = 10k\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer la résolution en tension (quantum $q$) et déterminer la plage dynamique en décibels (dB) de ce convertisseur.
\n\nQuestion 2: La phase d'intégration (montée) dure un temps fixe $T_1 = 2^{12}$ cycles d'horloge. Calculer le temps $T_1$ en millisecondes et la tension maximale du condensateur si $V_{in} = V_{ref}$.
\n\nQuestion 3: Pour une tension d'entrée $V_{in} = 3.2V$, calculer le nombre de cycles d'horloge $N_2$ pendant la phase de décharge (descente) et le temps total de conversion $T_{total}$.
\n\nQuestion 4: Déterminer le taux de rejection du bruit de secteur (50 Hz) si on choisit $T_1 = 20ms$. Calculer le nouveau nombre de bits de résolution effectif avec ce temps d'intégration.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLa résolution en tension représente la plus petite variation de tension détectable.
\n1. Formule du quantum:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
2. Remplacement des données:
\nAvec $V_{ref} = 5V$ et $n = 12$ bits
\n$q = \\frac{5}{2^{12}}$
3. Calcul:
\n$q = \\frac{5}{4096} = 0.001220703V$
4. RĂ©sultat final:
\n$q \\approx 1.22mV$
La plage dynamique en décibels se calcule par:
\n$DR_{dB} = 20 \\times \\log_{10}(2^n) = 20 \\times n \\times \\log_{10}(2)$
\n$DR_{dB} = 20 \\times 12 \\times 0.301 = 72.24dB$
Le quantum est de $1.22mV$ et la plage dynamique est de $72.24dB$.
\n\nSolution Question 2:
\nLe temps d'intégration $T_1$ est déterminé par le nombre de cycles d'horloge.
\n1. Formule du temps d'intégration:
\n$T_1 = \\frac{N_1}{f_{clk}}$
\noĂą $N_1 = 2^{12}$ cycles
2. Remplacement des données:
\n$T_1 = \\frac{2^{12}}{4 \\times 10^6} = \\frac{4096}{4 \\times 10^6}$
3. Calcul:
\n$T_1 = \\frac{4096}{4 \\times 10^6} = 1.024 \\times 10^{-3}s$
4. RĂ©sultat final:
\n$T_1 = 1.024ms$
Pour la tension maximale du condensateur, avec un intégrateur:
\n$V_C = \\frac{1}{RC} \\int_0^{T_1} V_{in} \\, dt = \\frac{V_{in} \\times T_1}{RC}$
Avec $V_{in} = V_{ref} = 5V$, $R = 10k\\Omega = 10^4\\Omega$, $C = 1\\mu F = 10^{-6}F$:
\n$V_{C,max} = \\frac{5 \\times 1.024 \\times 10^{-3}}{10^4 \\times 10^{-6}} = \\frac{5.12 \\times 10^{-3}}{10^{-2}} = 0.512V$
Le temps d'intégration est $1.024ms$ et la tension maximale du condensateur est $0.512V$.
\n\nSolution Question 3:
\nPour un CAN double rampe, le rapport des temps est proportionnel au rapport des tensions.
\n1. Formule de proportionnalité:
\n$\\frac{T_2}{T_1} = \\frac{V_{in}}{V_{ref}}$
\ndonc $N_2 = N_1 \\times \\frac{V_{in}}{V_{ref}}$
2. Remplacement des données:
\n$N_2 = 4096 \\times \\frac{3.2}{5}$
3. Calcul:
\n$N_2 = 4096 \\times 0.64 = 2621.44$
\nOn arrondit: $N_2 = 2621$ cycles
4. Temps total de conversion:
\n$T_{total} = T_1 + T_2 = \\frac{N_1 + N_2}{f_{clk}} = \\frac{4096 + 2621}{4 \\times 10^6}$
\n$T_{total} = \\frac{6717}{4 \\times 10^6} = 1.679 \\times 10^{-3}s = 1.679ms$
Le nombre de cycles pendant la décharge est $N_2 = 2621$ et le temps total de conversion est $1.679ms$.
\n\nSolution Question 4:
\nUn CAN double rampe rejette le bruit dont la période est un multiple entier du temps d'intégration.
\n1. PĂ©riode du bruit de secteur:
\n$T_{secteur} = \\frac{1}{f_{secteur}} = \\frac{1}{50} = 0.02s = 20ms$
2. VĂ©rification de la condition:
\nSi $T_1 = 20ms = T_{secteur}$, alors le bruit à 50 Hz est complètement rejeté car:
\n$\\int_0^{T_{secteur}} \\sin(2\\pi f_{secteur} t) \\, dt = 0$
Le taux de rejection est théoriquement infini (rejet total).
\n3. Calcul du nouveau nombre de cycles:
\n$N_1 = T_1 \\times f_{clk} = 20 \\times 10^{-3} \\times 4 \\times 10^6$
\n$N_1 = 80000$ cycles
4. Nombre de bits effectif:
\n$n_{eff} = \\log_2(N_1) = \\log_2(80000) = \\frac{\\ln(80000)}{\\ln(2)}$
\n$n_{eff} = \\frac{11.29}{0.693} = 16.29$ bits
Avec $T_1 = 20ms$, le CAN rejette totalement le bruit de secteur et offre une résolution effective d'environ $16.29$ bits, soit approximativement $16$ bits utilisables.
", "id_category": "2", "id_number": "4" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un système audio numérique haute fidélité utilise un CAN Sigma-Delta ($\\Sigma\\Delta$) de premier ordre pour numériser un signal audio. Le sur-échantillonnage est réalisé avec un rapport $OSR = 64$ (Over-Sampling Ratio). La fréquence d'échantillonnage de Nyquist requise pour le signal audio est $f_s = 48kHz$. Le CAN possède une résolution de $1$ bit à la sortie du modulateur.
\n\nQuestion 1: Calculer la fréquence d'échantillonnage réelle du modulateur $f_{mod}$ et déterminer le nombre de bits de résolution effective $n_{eff}$ après le filtre décimateur, sachant que pour un $\\Sigma\\Delta$ de premier ordre: $n_{eff} = \\frac{3}{2}\\log_2(OSR) + 1$.
\n\nQuestion 2: Calculer le rapport signal sur bruit de quantification théorique (SQNR) en décibels, en utilisant la formule: $SQNR_{dB} = 6.02 \\times n_{eff} + 1.76$.
\n\nQuestion 3: Si la puissance du signal d'entrée utile est $P_{signal} = 1mW$ et que le SQNR mesuré est celui calculé à la question 2, déterminer la puissance du bruit de quantification $P_{bruit}$ en microwatts.
\n\nQuestion 4: Le filtre décimateur réduit la fréquence d'échantillonnage de $f_{mod}$ à $f_s$. Calculer le facteur de décimation $M$ et déterminer le nombre d'échantillons rejetés pour $1000$ échantillons produits par le modulateur.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLe rapport de sur-échantillonnage (OSR) définit le rapport entre la fréquence du modulateur et la fréquence de Nyquist.
\n1. Formule de la fréquence du modulateur:
\n$f_{mod} = OSR \\times f_s$
2. Remplacement des données:
\nAvec $OSR = 64$ et $f_s = 48kHz = 48 \\times 10^3Hz$
\n$f_{mod} = 64 \\times 48 \\times 10^3$
3. Calcul:
\n$f_{mod} = 3072 \\times 10^3Hz = 3.072MHz$
Pour la résolution effective avec un modulateur $\\Sigma\\Delta$ de premier ordre:
\n4. Formule donnée:
\n$n_{eff} = \\frac{3}{2}\\log_2(OSR) + 1$
Calcul de $\\log_2(64)$:
\n$\\log_2(64) = \\log_2(2^6) = 6$
Donc:
\n$n_{eff} = \\frac{3}{2} \\times 6 + 1 = 9 + 1 = 10$ bits
La fréquence du modulateur est $f_{mod} = 3.072MHz$ et la résolution effective est $n_{eff} = 10$ bits.
\n\nSolution Question 2:
\nLe rapport signal sur bruit de quantification (SQNR) caractérise la qualité de la conversion.
\n1. Formule donnée du SQNR:
\n$SQNR_{dB} = 6.02 \\times n_{eff} + 1.76$
2. Remplacement des données:
\nAvec $n_{eff} = 10$ bits
\n$SQNR_{dB} = 6.02 \\times 10 + 1.76$
3. Calcul:
\n$SQNR_{dB} = 60.2 + 1.76$
4. RĂ©sultat final:
\n$SQNR_{dB} = 61.96dB \\approx 62dB$
Le rapport signal sur bruit de quantification théorique est de $62dB$.
\n\nSolution Question 3:
\nLe SQNR exprime le rapport entre la puissance du signal et la puissance du bruit.
\n1. Formule du SQNR en puissance:
\n$SQNR_{dB} = 10 \\times \\log_{10}\\left(\\frac{P_{signal}}{P_{bruit}}\\right)$
2. RĂ©solution pour $P_{bruit}$:
\n$\\frac{P_{signal}}{P_{bruit}} = 10^{SQNR_{dB}/10}$
\n$P_{bruit} = \\frac{P_{signal}}{10^{SQNR_{dB}/10}}$
3. Remplacement des données:
\nAvec $P_{signal} = 1mW = 10^{-3}W$ et $SQNR_{dB} = 61.96dB$
\n$P_{bruit} = \\frac{10^{-3}}{10^{61.96/10}} = \\frac{10^{-3}}{10^{6.196}}$
4. Calcul:
\n$10^{6.196} = 1.571 \\times 10^6$
\n$P_{bruit} = \\frac{10^{-3}}{1.571 \\times 10^6} = 6.366 \\times 10^{-10}W$
Conversion en microwatts:
\n$P_{bruit} = 6.366 \\times 10^{-10} \\times 10^6 = 6.366 \\times 10^{-4}\\mu W = 0.637 \\times 10^{-3}\\mu W$
\n$P_{bruit} \\approx 0.637n W = 637pW$
La puissance du bruit de quantification est de $637pW$ ou $6.37 \\times 10^{-4}\\mu W$.
\n\nSolution Question 4:
\nLe facteur de décimation réduit la fréquence d'échantillonnage du modulateur à la fréquence de Nyquist.
\n1. Formule du facteur de décimation:
\n$M = \\frac{f_{mod}}{f_s} = OSR$
2. RĂ©sultat direct:
\n$M = 64$
Cela signifie que sur $64$ échantillons produits par le modulateur, seul $1$ est conservé après décimation.
\n3. Calcul du nombre d'échantillons rejetés pour $1000$ échantillons du modulateur:
\nNombre d'échantillons conservés: $N_{conservés} = \\frac{1000}{64}$
\n$N_{conservés} = 15.625 \\approx 15$ échantillons (on ne peut avoir qu'un nombre entier)
4. Nombre d'échantillons rejetés:
\n$N_{rejetés} = 1000 - 15 \\times 64 = 1000 - 960 = 40$
En pratique, pour $960$ Ă©chantillons du modulateur (multiple de 64), on obtient $15$ Ă©chantillons en sortie.
\n$N_{rejetés} = 960 - 15 = 945$ échantillons sont éliminés par le filtrage.
Le facteur de décimation est $M = 64$. Pour $1000$ échantillons produits, environ $15$ sont conservés et $985$ sont rejetés (ou plus précisément, $945$ sur $960$ échantillons multiples de $64$).
", "id_category": "2", "id_number": "5" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) de type réseau R-2R est utilisé dans un système d'acquisition de données. Le convertisseur possède une résolution de 8 bits et fonctionne avec une tension de référence $V_{ref} = 5V$. Le code numérique d'entrée est représenté en binaire naturel.\n\nQuestion 1: Calculez le quantum (ou pas de quantification LSB) de ce convertisseur et exprimez-le en millivolts.\n\n
Question 2: Pour un code d'entrée binaire 11010110, calculez la tension de sortie analogique $V_{out}$ du convertisseur.\n\n
Question 3: DĂ©terminez l'erreur de quantification maximale en pourcentage de la pleine Ă©chelle. Exprimez Ă©galement cette erreur en tension.\n\n
Question 4: Si le convertisseur présente une erreur de gain de $+2\\%$, calculez la nouvelle tension de sortie pour le même code binaire 11010110 et déterminez l'écart absolu par rapport à la valeur idéale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1: Calcul du quantum (LSB)
\n\nLe quantum ou pas de quantification (LSB - Least Significant Bit) représente la plus petite variation de tension que le convertisseur peut produire. Il correspond à la tension associée au bit de poids faible.
\n\nFormule générale:
\n$LSB = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\n\noù $n$ est le nombre de bits et $V_{ref}$ est la tension de référence.
\n\nRemplacement des données:
\n$LSB = \\frac{5V}{2^8} = \\frac{5V}{256}$
\n\nCalcul:
\n$LSB = 0,01953125 V$
\n\nConversion en millivolts:
\n$LSB = 19,53125 mV \\approx 19,53 mV$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{LSB = 19,53 mV}$
\n\nCe résultat signifie que chaque incrément du code binaire produit une variation de tension de sortie de 19,53 mV.
Question 2: Calcul de la tension de sortie pour le code 11010110
\n\nLa tension de sortie d'un CNA est proportionnelle à la valeur décimale du code binaire d'entrée.
\n\nConversion binaire vers décimal:
\n$11010110_2 = 1\\times2^7 + 1\\times2^6 + 0\\times2^5 + 1\\times2^4 + 0\\times2^3 + 1\\times2^2 + 1\\times2^1 + 0\\times2^0$
\n$= 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 214_{10}$
\n\nFormule générale de la tension de sortie:
\n$V_{out} = \\frac{D}{2^n} \\times V_{ref}$
\n\noù $D$ est la valeur décimale du code binaire.
\n\nRemplacement des données:
\n$V_{out} = \\frac{214}{256} \\times 5V$
\n\nCalcul:
\n$V_{out} = 0,8359375 \\times 5V = 4,1796875 V$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{V_{out} = 4,180 V}$
\n\nOn peut également vérifier: $V_{out} = D \\times LSB = 214 \\times 19,53125 mV = 4179,6875 mV \\approx 4,180 V$
Question 3: Erreur de quantification maximale
\n\nL'erreur de quantification est l'incertitude inhérente au processus de conversion numérique. Elle est maximale lorsque le signal analogique se situe entre deux niveaux de quantification.
\n\nFormule de l'erreur maximale:
\n$e_{q\\,max} = \\pm \\frac{LSB}{2}$
\n\nCalcul en tension:
\n$e_{q\\,max} = \\pm \\frac{19,53125 mV}{2} = \\pm 9,765625 mV$
\n\nRĂ©sultat en tension:
\n$\\boxed{e_{q\\,max} = \\pm 9,77 mV}$
\n\nCalcul en pourcentage de la pleine Ă©chelle:
\n\nLa pleine Ă©chelle correspond Ă $V_{ref} = 5V$
\n\nFormule:
\n$e_{q\\,\\%} = \\frac{e_{q\\,max}}{V_{ref}} \\times 100\\%$
\n\nRemplacement:
\n$e_{q\\,\\%} = \\frac{9,765625 mV}{5000 mV} \\times 100\\%$
\n\nCalcul:
\n$e_{q\\,\\%} = 0,001953125 \\times 100\\% = 0,1953125\\%$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{e_{q\\,\\%} = \\pm 0,195\\% \\text{ de la pleine Ă©chelle}}$
\n\nCette erreur est Ă©galement Ă©gale Ă $\\pm \\frac{1}{2^{n+1}} = \\pm \\frac{1}{512} \\approx \\pm 0,195\\%$
Question 4: Effet de l'erreur de gain
\n\nUne erreur de gain affecte proportionnellement toutes les valeurs de sortie du convertisseur. Elle est généralement exprimée en pourcentage de la valeur idéale.
\n\nFormule avec erreur de gain:
\n$V_{out\\,réel} = V_{out\\,idéal} \\times (1 + e_g)$
\n\noù $e_g$ est l'erreur de gain en valeur décimale ($+2\\% = +0,02$).
\n\nRemplacement des données:
\n$V_{out\\,réel} = 4,1796875 V \\times (1 + 0,02)$
\n$V_{out\\,réel} = 4,1796875 V \\times 1,02$
\n\nCalcul:
\n$V_{out\\,réel} = 4,263281 V$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{V_{out\\,réel} = 4,263 V}$
\n\nCalcul de l'Ă©cart absolu:
\n$\\Delta V = V_{out\\,réel} - V_{out\\,idéal}$
\n$\\Delta V = 4,263281 V - 4,1796875 V$
\n$\\Delta V = 0,0835935 V$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{\\Delta V = 83,59 mV}$
\n\nCet écart représente exactement 2% de la valeur idéale, ce qui confirme notre calcul. L'erreur de gain est particulièrement problématique car elle s'accumule pour les grandes valeurs de code.
Question 1: Déterminez le nombre de comparateurs nécessaires pour réaliser ce convertisseur flash 6 bits. Calculez ensuite la valeur de la tension correspondant à chaque niveau de quantification (pas de quantification).\n\n
Question 2: Une tension analogique d'entrée $V_{in} = 2,15V$ est appliquée au convertisseur. Déterminez le code numérique de sortie en décimal puis en binaire.\n\n
Question 3: Calculez la résolution temporelle (période d'échantillonnage) et le débit binaire (en Mbps) de ce convertisseur pour la fréquence d'échantillonnage donnée.\n\n
Question 4: Sachant que le temps de propagation dans chaque comparateur est de $t_{comp} = 2ns$ et que l'encodeur prioritaire a un délai de $t_{enc} = 3ns$, calculez le temps de conversion total. Vérifiez si ce temps est compatible avec la fréquence d'échantillonnage de $50 MHz$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1: Nombre de comparateurs et pas de quantification
\n\nUn convertisseur flash utilise une architecture parallèle où chaque niveau de quantification (sauf le niveau zéro) nécessite un comparateur dédié.
\n\nFormule du nombre de comparateurs:
\n$N_{comp} = 2^n - 1$
\n\noù $n$ est la résolution en bits.
\n\nRemplacement des données:
\n$N_{comp} = 2^6 - 1 = 64 - 1$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{N_{comp} = 63 \\text{ comparateurs}}$
\n\nCette architecture parallèle explique la grande vitesse du CAN flash mais aussi sa complexité pour des résolutions élevées.
\n\nCalcul du pas de quantification:
\n\nFormule générale:
\n$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\n\nRemplacement des données:
\n$\\Delta V = \\frac{3,3V}{2^6} = \\frac{3,3V}{64}$
\n\nCalcul:
\n$\\Delta V = 0,0515625 V$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{\\Delta V = 51,56 mV}$
\n\nChaque niveau de quantification est séparé par cette tension. Le niveau $k$ correspond à la tension $V_k = k \\times \\Delta V$ où $k$ varie de $0$ à $63$.
Question 2: Code numérique pour Vin = 2,15V
\n\nPour déterminer le code de sortie, il faut trouver dans quel intervalle de quantification se situe la tension d'entrée.
\n\nFormule du code décimal:
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{\\Delta V} \\right\\rfloor$
\n\noù $\\lfloor \\cdot \\rfloor$ représente la partie entière inférieure (fonction plancher).
\n\nRemplacement des données:
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{2,15V}{0,0515625V} \\right\\rfloor$
\n\nCalcul:
\n$D = \\left\\lfloor 41,6969... \\right\\rfloor = 41_{10}$
\n\nRésultat en décimal:
\n$\\boxed{D = 41_{10}}$
\n\nConversion en binaire:
\n\nPour convertir $41_{10}$ en binaire sur 6 bits:
\n$41 = 32 + 8 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^0$
\n\nRĂ©sultat en binaire:
\n$\\boxed{101001_2}$
\n\nVérification: La tension correspondant au code 41 est $V_{41} = 41 \\times 51,56mV = 2,114V$, et pour le code 42: $V_{42} = 42 \\times 51,56mV = 2,166V$. La tension d'entrée $2,15V$ se trouve bien entre ces deux valeurs, donc le code 41 est correct.
Question 3: Résolution temporelle et débit binaire
\n\nLa résolution temporelle correspond à l'intervalle de temps entre deux échantillons successifs.
\n\nFormule de la période d'échantillonnage:
\n$T_e = \\frac{1}{f_e}$
\n\nRemplacement des données:
\n$T_e = \\frac{1}{50 \\times 10^6 Hz}$
\n\nCalcul:
\n$T_e = 2 \\times 10^{-8} s = 20 ns$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{T_e = 20 ns}$
\n\nCalcul du débit binaire:
\n\nLe débit binaire représente le nombre de bits transmis par seconde.
\n\nFormule:
\n$D_b = n \\times f_e$
\n\noĂą $n$ est le nombre de bits par Ă©chantillon.
\n\nRemplacement:
\n$D_b = 6 \\times 50 \\times 10^6$
\n\nCalcul:
\n$D_b = 300 \\times 10^6 \\text{ bits/s} = 300 \\text{ Mbps}$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{D_b = 300 \\text{ Mbps}}$
\n\nCe débit élevé est caractéristique des applications vidéo qui nécessitent une numérisation rapide.
Question 4: Temps de conversion et compatibilité
\n\nDans un convertisseur flash, les comparaisons se font en parallèle. Le temps de conversion est donc la somme du temps de comparaison et du temps d'encodage.
\n\nFormule du temps de conversion:
\n$t_{conv} = t_{comp} + t_{enc}$
\n\nRemplacement des données:
\n$t_{conv} = 2ns + 3ns$
\n\nCalcul:
\n$t_{conv} = 5ns$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{t_{conv} = 5ns}$
\n\nVérification de la compatibilité:
\n\nPour que le convertisseur fonctionne correctement, le temps de conversion doit être inférieur ou égal à la période d'échantillonnage:
\n\nCondition:
\n$t_{conv} \\leq T_e$
\n\nVĂ©rification:
\n$5ns \\leq 20ns$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{\\text{Compatible: } t_{conv} < T_e}$
\n\nMarge temporelle:
\n$\\text{Marge} = T_e - t_{conv} = 20ns - 5ns = 15ns$
\n\nLa marge de $15ns$ (soit $75\\%$ de la période) est largement suffisante. Cela signifie que le convertisseur pourrait théoriquement fonctionner à une fréquence d'échantillonnage maximale de $f_{max} = \\frac{1}{5ns} = 200MHz$. Cette caractéristique de vitesse élevée est l'avantage principal de l'architecture flash.
Question 1: Calculez la valeur du quantum (LSB) et la tension correspondant au MSB pour ce convertisseur 12 bits.\n\n
Question 2: Calculez le temps de conversion complet pour un échantillon et déterminez la fréquence d'échantillonnage maximale théorique de ce système.\n\n
Question 3: Une tension analogique $V_{in} = 6,847V$ est appliquée à l'entrée. Déterminez le code numérique de sortie en décimal, puis calculez la tension réellement représentée par ce code et l'erreur de quantification commise.\n\n
Question 4: Pour améliorer les performances, on décide de suréchantillonner le signal à une fréquence 4 fois supérieure à la fréquence de Nyquist. Si le signal utile a une bande passante $B = 25kHz$, calculez la nouvelle fréquence d'échantillonnage requise et vérifiez si le convertisseur SAR peut l'atteindre.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1: Calcul du quantum (LSB) et de la tension MSB
\n\nCalcul du quantum (LSB):
\n\nLe quantum représente le poids du bit de poids faible.
\n\nFormule:
\n$LSB = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\n\nRemplacement des données:
\n$LSB = \\frac{10V}{2^{12}} = \\frac{10V}{4096}$
\n\nCalcul:
\n$LSB = 0,00244140625 V = 2,44140625 mV$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{LSB = 2,441 mV}$
\n\nCalcul de la tension MSB:
\n\nLe MSB (bit de poids fort) représente exactement la moitié de la pleine échelle.
\n\nFormule:
\n$V_{MSB} = 2^{n-1} \\times LSB = \\frac{V_{ref}}{2}$
\n\nMĂ©thode directe:
\n$V_{MSB} = \\frac{10V}{2} = 5V$
\n\nVĂ©rification par le poids du bit:
\n$V_{MSB} = 2^{11} \\times 2,44140625 mV = 2048 \\times 2,44140625 mV$
\n$V_{MSB} = 5000 mV = 5V$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{V_{MSB} = 5V}$
\n\nCette valeur de 5V est le premier seuil testé par l'algorithme d'approximations successives.
Question 2: Temps de conversion et fréquence d'échantillonnage maximale
\n\nDans un CAN SAR, chaque bit nécessite un cycle d'horloge pour être déterminé, plus des cycles supplémentaires pour l'initialisation.
\n\nCalcul du nombre de cycles nécessaires:
\n$N_{cycles} = n + 2 = 12 + 2 = 14 \\text{ cycles}$
\n\nCalcul de la période d'horloge:
\n$T_{clk} = \\frac{1}{f_{clk}} = \\frac{1}{5 \\times 10^6 Hz}$
\n$T_{clk} = 2 \\times 10^{-7} s = 200 ns$
\n\nFormule du temps de conversion:
\n$t_{conv} = N_{cycles} \\times T_{clk}$
\n\nRemplacement:
\n$t_{conv} = 14 \\times 200 ns$
\n\nCalcul:
\n$t_{conv} = 2800 ns = 2,8 \\mu s$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{t_{conv} = 2,8 \\mu s}$
\n\nCalcul de la fréquence d'échantillonnage maximale:
\n\nFormule:
\n$f_{e\\,max} = \\frac{1}{t_{conv}}$
\n\nRemplacement:
\n$f_{e\\,max} = \\frac{1}{2,8 \\times 10^{-6}}$
\n\nCalcul:
\n$f_{e\\,max} = 357142,857 Hz \\approx 357,14 kHz$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{f_{e\\,max} = 357,14 kHz}$
\n\nCette fréquence représente le débit maximal théorique du convertisseur sans temps mort entre les conversions.
Question 3: Code numérique et erreur de quantification pour Vin = 6,847V
\n\nCalcul du code décimal:
\n\nFormule:
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{LSB} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{V_{in} \\times 2^n}{V_{ref}} \\right\\rfloor$
\n\nRemplacement:
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{6,847V \\times 4096}{10V} \\right\\rfloor$
\n\nCalcul:
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{28047,712}{10} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 2804,7712 \\right\\rfloor$
\n\nRésultat en décimal:
\n$\\boxed{D = 2804_{10}}$
\n\nCalcul de la tension représentée:
\n\nFormule:
\n$V_{représentée} = D \\times LSB$
\n\nRemplacement:
\n$V_{représentée} = 2804 \\times 2,44140625 mV$
\n\nCalcul:
\n$V_{représentée} = 6845,703125 mV = 6,845703125 V$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{V_{représentée} = 6,8457 V}$
\n\nCalcul de l'erreur de quantification:
\n\nFormule:
\n$e_q = V_{in} - V_{représentée}$
\n\nRemplacement:
\n$e_q = 6,847V - 6,845703125V$
\n\nCalcul:
\n$e_q = 0,001296875 V = 1,296875 mV$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{e_q = 1,297 mV}$
\n\nCette erreur représente $\\frac{1,297mV}{2,441mV} \\approx 0,531 LSB$, ce qui est bien inférieur à l'erreur maximale de $\\pm 0,5 LSB$ typique d'un convertisseur bien conçu.
Question 4: Fréquence de suréchantillonnage et vérification
\n\nCalcul de la fréquence de Nyquist:
\n\nLe théorème de Shannon stipule que la fréquence d'échantillonnage minimale doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal.
\n\nFormule:
\n$f_{Nyquist} = 2 \\times B$
\n\nRemplacement:
\n$f_{Nyquist} = 2 \\times 25 kHz = 50 kHz$
\n\nCalcul de la fréquence de suréchantillonnage:
\n\nLe suréchantillonnage à un facteur 4 signifie:
\n\nFormule:
\n$f_{suréch} = 4 \\times f_{Nyquist}$
\n\nRemplacement:
\n$f_{suréch} = 4 \\times 50 kHz$
\n\nCalcul:
\n$f_{suréch} = 200 kHz$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{f_{suréch} = 200 kHz}$
\n\nVérification de la compatibilité:
\n\nNous devons comparer la fréquence requise avec la fréquence maximale du convertisseur:
\n\nCondition:
\n$f_{suréch} \\leq f_{e\\,max}$
\n\nVĂ©rification:
\n$200 kHz \\leq 357,14 kHz$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{\\text{Compatible: le convertisseur peut atteindre } 200 kHz}$
\n\nMarge disponible:
\n$\\text{Marge} = \\frac{f_{e\\,max} - f_{suréch}}{f_{suréch}} \\times 100\\% = \\frac{357,14 - 200}{200} \\times 100\\%$
\n$= \\frac{157,14}{200} \\times 100\\% = 78,57\\%$
\n\nLe convertisseur dispose d'une marge confortable de $78,57\\%$, ce qui permet même d'envisager un suréchantillonnage à un facteur plus élevé si nécessaire. Cette marge assure également une certaine tolérance aux variations de performance du système.
Question 1: Pour un CNA à résistances pondérées, calculez les valeurs des résistances $R_0$ (LSB), $R_5$ et $R_9$ (MSB) connectées aux entrées binaires. Expliquez le principe de pondération.\n\n
Question 2: Calculez la résolution du convertisseur en millivolts et déterminez le rapport signal sur bruit de quantification (SQNR) théorique en décibels.\n\n
Question 3: Pour le code binaire d'entrée 1010110011, calculez le courant total injecté dans l'amplificateur opérationnel, puis la tension de sortie $V_{out}$.\n\n
Question 4: En pratique, les résistances ont une tolérance de $\\pm 1\\%$. Calculez l'erreur maximale en tension de sortie pour le code de la question 3, en supposant le pire cas où la résistance du MSB est à $-1\\%$ et celle du LSB à $+1\\%$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1: Calcul des résistances pondérées
\n\nDans un CNA à résistances pondérées, chaque bit contrôle un interrupteur connecté à une résistance dont la valeur est inversement proportionnelle au poids du bit. Cette architecture permet de créer des courants binaires pondérés.
\n\nPrincipe de pondération:
\n$R_i = \\frac{R}{2^i}$
\n\noù $i$ est le rang du bit (0 pour LSB, 9 pour MSB) et $R$ est la résistance de base.
\n\nCalcul de R0 (LSB):
\n\nFormule:
\n$R_0 = \\frac{R}{2^0} = R$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{R_0 = 10 k\\Omega}$
\n\nCalcul de R5:
\n\nFormule:
\n$R_5 = \\frac{R}{2^5}$
\n\nRemplacement:
\n$R_5 = \\frac{10000 \\Omega}{32}$
\n\nCalcul:
\n$R_5 = 312,5 \\Omega$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{R_5 = 312,5 \\Omega}$
\n\nCalcul de R9 (MSB):
\n\nFormule:
\n$R_9 = \\frac{R}{2^9}$
\n\nRemplacement:
\n$R_9 = \\frac{10000 \\Omega}{512}$
\n\nCalcul:
\n$R_9 = 19,53125 \\Omega$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{R_9 = 19,53 \\Omega}$
\n\nPrincipe: Chaque résistance est deux fois plus petite que la précédente, créant des courants qui suivent une progression géométrique de raison 2. Lorsque le bit $i$ est à 1, le courant correspondant est $I_i = \\frac{V_{ref}}{R_i} = \\frac{V_{ref} \\times 2^i}{R}$. Cette architecture présente l'inconvénient de nécessiter une large gamme de valeurs de résistances (de $19,53\\Omega$ à $10k\\Omega$), ce qui peut poser des problèmes de précision.
Question 2: RĂ©solution et rapport signal sur bruit de quantification
\n\nCalcul de la résolution (LSB):
\n\nPour un convertisseur avec amplificateur inverseur de gain unité ($R_f = R$):
\n\nFormule:
\n$LSB = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\n\nRemplacement:
\n$LSB = \\frac{5V}{2^{10}} = \\frac{5V}{1024}$
\n\nCalcul:
\n$LSB = 0,0048828125 V = 4,8828125 mV$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{LSB = 4,883 mV}$
\n\nCalcul du SQNR théorique:
\n\nLe rapport signal sur bruit de quantification dépend uniquement du nombre de bits et représente la limite théorique de performance.
\n\nFormule:
\n$SQNR_{dB} = 6,02 \\times n + 1,76$
\n\nCette formule classique découle de l'analyse statistique du bruit de quantification uniforme.
\n\nRemplacement:
\n$SQNR_{dB} = 6,02 \\times 10 + 1,76$
\n\nCalcul:
\n$SQNR_{dB} = 60,2 + 1,76 = 61,96 dB$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{SQNR = 61,96 dB}$
\n\nCe SQNR signifie que le rapport entre la puissance du signal maximum et la puissance du bruit de quantification est de $10^{61,96/10} \\approx 1570$ fois, soit une plage dynamique de $10 \\times \\log_{10}(1024) \\approx 60 dB$. Chaque bit supplémentaire apporte environ $6 dB$ de plage dynamique.
Question 3: Courant total et tension de sortie pour le code 1010110011
\n\nConversion binaire vers décimal:
\n$1010110011_2 = 1\\times2^9 + 0\\times2^8 + 1\\times2^7 + 0\\times2^6 + 1\\times2^5 + 1\\times2^4 + 0\\times2^3 + 0\\times2^2 + 1\\times2^1 + 1\\times2^0$
\n$= 512 + 128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 691_{10}$
\n\nCalcul du courant total:
\n\nChaque bit actif (à 1) contribue au courant total selon sa pondération.
\n\nFormule générale:
\n$I_{total} = \\sum_{i=0}^{n-1} b_i \\times I_i = \\sum_{i=0}^{n-1} b_i \\times \\frac{V_{ref}}{R_i} = \\frac{V_{ref}}{R} \\sum_{i=0}^{n-1} b_i \\times 2^i$
\n\noĂą $b_i \\in \\{0,1\\}$ est la valeur du bit de rang $i$.
\n\nFormule simplifiée:
\n$I_{total} = \\frac{V_{ref} \\times D}{R \\times 2^n}$
\n\noù $D = 691$ est la valeur décimale.
\n\nRemplacement:
\n$I_{total} = \\frac{5V \\times 691}{10000\\Omega \\times 1024}$
\n\nCalcul:
\n$I_{total} = \\frac{3455}{10240000} A = 0,00033740234375 A$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{I_{total} = 337,4 \\mu A}$
\n\nCalcul de la tension de sortie:
\n\nL'amplificateur opérationnel en configuration inverseuse produit:
\n\nFormule:
\n$V_{out} = -R_f \\times I_{total}$
\n\nRemplacement:
\n$V_{out} = -10000\\Omega \\times 0,00033740234375 A$
\n\nCalcul:
\n$V_{out} = -3,3740234375 V$
\n\nLa tension est négative en raison de la configuration inverseuse.
\n\nMéthode alternative (vérification):
\n$V_{out} = -\\frac{R_f}{R} \\times \\frac{V_{ref} \\times D}{2^n} = -1 \\times \\frac{5V \\times 691}{1024} = -3,3740234375 V$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{V_{out} = -3,374 V}$
\n\nEn valeur absolue, $|V_{out}| = 3,374 V$, ce qui représente $\\frac{691}{1024} \\approx 67,5\\%$ de la pleine échelle.
Question 4: Erreur due aux tolérances des résistances
\n\nL'erreur la plus importante survient quand les résistances des bits de poids fort sont sous-évaluées (moins de résistance = plus de courant) et celles des bits de poids faible sont surévaluées.
\n\nCalcul des résistances dans le pire cas:
\n\nPour le MSB ($b_9 = 1$) avec $-1\\%$ de tolérance:
\n$R_{9\\,réel} = R_9 \\times (1 - 0,01) = 19,53125\\Omega \\times 0,99 = 19,3359375\\Omega$
\n\nPour le LSB ($b_0 = 1$) avec $+1\\%$ de tolérance:
\n$R_{0\\,réel} = R_0 \\times (1 + 0,01) = 10000\\Omega \\times 1,01 = 10100\\Omega$
\n\nCalcul des courants affectés:
\n\nLes bits actifs dans le code 1010110011 sont: $b_9, b_7, b_5, b_4, b_1, b_0$
\n\nCourant du bit 9 (avec erreur):
\n$I_{9\\,réel} = \\frac{V_{ref}}{R_{9\\,réel}} = \\frac{5V}{19,3359375\\Omega} = 0,2585837... A$
\n\nCourant idéal du bit 9:
\n$I_{9\\,idéal} = \\frac{5V}{19,53125\\Omega} = 0,256 A$
\n\nErreur sur I9:
\n$\\Delta I_9 = 0,2585837 - 0,256 = 0,0025837 A = 2,584 mA$
\n\nCourant du bit 0 (avec erreur):
\n$I_{0\\,réel} = \\frac{5V}{10100\\Omega} = 0,00049504... A$
\n\nCourant idéal du bit 0:
\n$I_{0\\,idéal} = \\frac{5V}{10000\\Omega} = 0,0005 A$
\n\nErreur sur I0:
\n$\\Delta I_0 = 0,00049504 - 0,0005 = -0,00000496 A = -4,96 \\mu A$
\n\nErreur dominante:
\n\nL'erreur sur le MSB est environ $\\frac{2,584mA}{4,96\\mu A} \\approx 521$ fois plus importante que celle sur le LSB. Dans le pire cas, on considère principalement l'erreur du MSB.
\n\nErreur de tension maximale:
\n$\\Delta V_{out} = -R_f \\times \\Delta I_9 \\approx -10000\\Omega \\times 2,584 \\times 10^{-3} A$
\n\nCalcul:
\n$\\Delta V_{out} \\approx -25,84 mV$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{|\\Delta V_{out\\,max}| \\approx 25,8 mV}$
\n\nCette erreur représente $\\frac{25,8mV}{4,883mV} \\approx 5,3 LSB$, ce qui montre l'impact significatif des tolérances sur les performances. En pratique, pour un convertisseur 10 bits, on utiliserait des résistances de précision $\\pm 0,1\\%$ ou mieux, ou on préférerait une architecture R-2R qui nécessite seulement deux valeurs de résistances.
Question 1: Calculez la fréquence d'échantillonnage de Nyquist pour le signal utile, puis déterminez le rapport de suréchantillonnage (OSR) du système.\n\n
Question 2: Pour un modulateur sigma-delta de premier ordre, le SQNR théorique est donné par la formule $SQNR_{dB} = 6,02n + 1,76 - 10\\log_{10}(2L+1) + (2L+1) \\times 10\\log_{10}(OSR)$, où $L$ est l'ordre du modulateur. Calculez le SQNR théorique pour $L=1$ et vérifiez s'il permet d'atteindre une résolution effective de 16 bits (qui nécessite un SQNR d'environ 98 dB).\n\n
Question 3: Calculez la fréquence effective de sortie après décimation et le débit binaire du système pour la résolution de 16 bits.\n\n
Question 4: Le filtre décimateur réduit la fréquence d'échantillonnage d'un facteur $M = 64$. Calculez le gain de traitement (processing gain) en décibels apporté par ce filtre et expliquez comment il améliore le rapport signal sur bruit.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1: Fréquence de Nyquist et rapport de suréchantillonnage
\n\nCalcul de la fréquence de Nyquist:
\n\nLe théorème de Shannon-Nyquist établit que pour numériser correctement un signal de bande passante $B$, la fréquence d'échantillonnage minimale doit être au moins le double de la fréquence maximale.
\n\nFormule:
\n$f_{Nyquist} = 2 \\times B$
\n\nRemplacement:
\n$f_{Nyquist} = 2 \\times 20 kHz$
\n\nCalcul:
\n$f_{Nyquist} = 40 kHz$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{f_{Nyquist} = 40 kHz}$
\n\nCalcul du rapport de suréchantillonnage (OSR):
\n\nL'OSR (Oversampling Ratio) quantifie le facteur de suréchantillonnage par rapport à la fréquence de Nyquist.
\n\nFormule:
\n$OSR = \\frac{f_s}{f_{Nyquist}} = \\frac{f_s}{2B}$
\n\nRemplacement:
\n$OSR = \\frac{6,4 MHz}{40 kHz} = \\frac{6400 kHz}{40 kHz}$
\n\nCalcul:
\n$OSR = 160$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{OSR = 160}$
\n\nCe rapport de suréchantillonnage élevé est caractéristique des convertisseurs sigma-delta. Il permet de répartir le bruit de quantification sur une large bande de fréquences et, combiné avec le mise en forme du bruit (noise shaping), d'obtenir un excellent SQNR dans la bande utile.
Question 2: Calcul du SQNR théorique
\n\nFormule du SQNR pour un modulateur sigma-delta:
\n$SQNR_{dB} = 6,02n + 1,76 - 10\\log_{10}(2L+1) + (2L+1) \\times 10\\log_{10}(OSR)$
\n\noĂą:$
\n• $n = 1$ bit (rĂ©solution du quantificateur interne)
\n• $L = 1$ (ordre du modulateur)
\n• $OSR = 160$
\n\nCalcul terme par terme:
\n\nPremier terme:
\n$6,02 \\times 1 = 6,02 dB$
\n\nDeuxième terme:
\n$1,76 dB$
\n\nTroisième terme (perte due à l'ordre):
\n$2L + 1 = 2(1) + 1 = 3$
\n$-10\\log_{10}(3) = -10 \\times 0,47712 = -4,7712 dB$
\n\nQuatrième terme (gain de mise en forme du bruit):
\n$(2L+1) \\times 10\\log_{10}(OSR) = 3 \\times 10\\log_{10}(160)$
\n$\\log_{10}(160) = 2,20412$
\n$3 \\times 10 \\times 2,20412 = 66,1236 dB$
\n\nSomme totale:
\n$SQNR_{dB} = 6,02 + 1,76 - 4,7712 + 66,1236$
\n\nCalcul:
\n$SQNR_{dB} = 69,1324 dB$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{SQNR = 69,13 dB}$
\n\nVĂ©rification pour 16 bits:
\n\nPour une résolution effective de 16 bits, le SQNR requis est:
\n$SQNR_{16bits} = 6,02 \\times 16 + 1,76 = 96,32 + 1,76 = 98,08 dB$
\n\nComparaison:
\n$69,13 dB < 98,08 dB$
\n\nConclusion:
\n$\\boxed{\\text{Non compatible: SQNR insuffisant pour 16 bits}}$
\n\nRĂ©solution effective atteignable:
\n$n_{eff} = \\frac{SQNR - 1,76}{6,02} = \\frac{69,13 - 1,76}{6,02} = \\frac{67,37}{6,02} \\approx 11,2 \\text{ bits}$
\n\nPour atteindre 16 bits avec ce système, il faudrait soit augmenter l'OSR, soit utiliser un modulateur d'ordre supérieur ($L = 2$ ou $L = 3$), ce qui augmente le gain de mise en forme du bruit proportionnellement à $(2L+1)$.
Question 3: Fréquence de sortie après décimation et débit binaire
\n\nCalcul de la fréquence après décimation:
\n\nLe filtre décimateur réduit la fréquence d'échantillonnage d'un facteur $M$ en ne conservant qu'un échantillon sur $M$.
\n\nFormule:
\n$f_{out} = \\frac{f_s}{M}$
\n\nRemplacement:
\n$f_{out} = \\frac{6,4 MHz}{64} = \\frac{6400 kHz}{64}$
\n\nCalcul:
\n$f_{out} = 100 kHz$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{f_{out} = 100 kHz}$
\n\nVĂ©rification du respect de Nyquist:
\n$f_{out} = 100 kHz > f_{Nyquist} = 40 kHz$
\n\nLa condition $f_{out} \\geq 2B$ est satisfaite avec une marge de $\\frac{100-40}{40} = 150\\%$.
\n\nCalcul du débit binaire:
\n\nLe débit binaire représente le flux de données numériques en sortie du système.
\n\nFormule:
\n$D_b = n_{bits} \\times f_{out}$
\n\nRemplacement:
\n$D_b = 16 \\times 100 kHz$
\n\nCalcul:
\n$D_b = 1600 kbps = 1,6 Mbps$
\n\nRĂ©sultat final:
\n$\\boxed{D_b = 1,6 Mbps}$
\n\nCe débit est considérablement réduit par rapport au flux 1-bit du modulateur qui était de $6,4 Mbps$. Le filtre décimateur effectue donc une compression efficace de l'information en éliminant le bruit hors bande et en augmentant la résolution.
Question 4: Gain de traitement du filtre décimateur
\n\nLe gain de traitement (processing gain) quantifie l'amélioration du rapport signal sur bruit obtenue par le filtrage et la décimation.
\n\nPrincipe: Le filtre passe-bas du décimateur élimine le bruit situé en dehors de la bande utile. Puisque le bruit de quantification initial est réparti sur toute la bande de Nyquist ($0$ à $f_s/2$), seule la fraction tombant dans la bande utile $B$ affecte le signal.
\n\nFormule du gain de traitement:
\n$G_{proc\\,dB} = 10\\log_{10}\\left(\\frac{f_s/2}{B}\\right) = 10\\log_{10}\\left(\\frac{f_s}{2B}\\right) = 10\\log_{10}(OSR)$
\n\nCependant, avec la décimation par un facteur $M$, on peut aussi l'exprimer comme:
\n\nFormule alternative:
\n$G_{proc\\,dB} = 10\\log_{10}(M)$
\n\nRemplacement:
\n$G_{proc\\,dB} = 10\\log_{10}(64)$
\n\nCalcul de logarithme:
\n$\\log_{10}(64) = \\log_{10}(2^6) = 6 \\times \\log_{10}(2) = 6 \\times 0,30103 = 1,80618$
\n\nCalcul final:
\n$G_{proc\\,dB} = 10 \\times 1,80618 = 18,0618 dB$
\n\nRĂ©sultat:
\n$\\boxed{G_{proc} = 18,06 dB}$
\n\nExplication de l'amélioration:
\n\nLe filtre décimateur améliore le SNR de trois manières complémentaires:
\n\n1. Filtrage du bruit: Il élimine le bruit situé entre $B$ et $f_s/2$, soit $\\frac{f_s/2 - B}{f_s/2} = \\frac{3200 - 20}{3200} \\approx 99,4\\%$ du spectre.
\n\n2. Moyennage: En conservant 1 échantillon sur $M = 64$, le décimateur effectue implicitement un moyennage qui réduit le bruit d'un facteur $\\sqrt{M}$.
\n\n3. Cohérence avec OSR: Le gain total de traitement peut aussi s'exprimer comme:
\n$G_{total} = 10\\log_{10}(OSR) = 10\\log_{10}(160) = 22,04 dB$
\n\nLa différence $22,04 - 18,06 = 3,98 dB$ provient du facteur $\\frac{f_{out}}{f_{Nyquist}} = \\frac{100}{40} = 2,5$, soit $10\\log_{10}(2,5) \\approx 4 dB$ de marge de suréchantillonnage résiduelle après décimation.
\n\nImpact pratique: Ce gain de $18 dB$ correspond à une amélioration d'environ $\\frac{18}{6} = 3$ bits de résolution effective, expliquant comment un modulateur 1-bit peut produire une sortie multi-bits de haute qualité.
On considère un convertisseur numérique-analogique (CNA) à réseau de résistances pondérées à $N = 8$ bits. Ce convertisseur est alimenté par une tension de référence $V_{ref} = 10\\,\\text{V}$ et utilise un amplificateur opérationnel en configuration inverseuse. Le réseau de résistances comprend des résistances de valeurs $R, 2R, 4R, \\ldots, 128R$ avec $R = 10\\,\\text{k}\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer la résistance équivalente $R_{eq}$ vue par la tension de référence lorsque tous les bits sont à l'état haut (mot numérique $11111111_2$).
\n\nQuestion 2: Déterminer la tension de sortie $V_s$ du convertisseur pour le mot numérique $10110100_2$. La résistance de contre-réaction de l'amplificateur opérationnel est $R_f = 10\\,\\text{k}\\Omega$.
\n\nQuestion 3: Calculer la résolution en tension $\\Delta V$ (quantum) de ce convertisseur, c'est-à -dire la plus petite variation de tension détectable en sortie.
\n\nQuestion 4: En déduire l'erreur de quantification maximale en pourcentage par rapport à la pleine échelle lorsque le convertisseur représente une tension analogique arbitraire.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLorsque tous les bits sont à $1$, toutes les résistances du réseau sont connectées en parallèle entre la tension de référence et la masse virtuelle. Les résistances sont: $R, 2R, 4R, 8R, 16R, 32R, 64R, 128R$.
\nPour des résistances en parallèle, la conductance équivalente est la somme des conductances individuelles:
\n$\\frac{1}{R_{eq}} = \\frac{1}{R} + \\frac{1}{2R} + \\frac{1}{4R} + \\frac{1}{8R} + \\frac{1}{16R} + \\frac{1}{32R} + \\frac{1}{64R} + \\frac{1}{128R}$
\nEn factorisant par $\\frac{1}{R}$:
\n$\\frac{1}{R_{eq}} = \\frac{1}{R}\\left(1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{16} + \\frac{1}{32} + \\frac{1}{64} + \\frac{1}{128}\\right)$
\nLa somme entre parenthèses est une série géométrique de raison $\\frac{1}{2}$:
\n$S = \\frac{1 - (\\frac{1}{2})^8}{1 - \\frac{1}{2}} = \\frac{1 - \\frac{1}{256}}{\\frac{1}{2}} = 2\\left(\\frac{255}{256}\\right) = \\frac{255}{128}$
\nDonc:
\n$\\frac{1}{R_{eq}} = \\frac{1}{R} \\times \\frac{255}{128}$
\nApplication numérique avec $R = 10\\,\\text{k}\\Omega$:
\n$R_{eq} = \\frac{128R}{255} = \\frac{128 \\times 10\\,000}{255} = \\frac{1\\,280\\,000}{255}$
\n$R_{eq} = 5\\,019.6\\,\\Omega \\approx 5.02\\,\\text{k}\\Omega$
\n\nSolution Question 2:
\nLe mot numérique $10110100_2$ correspond aux bits: $b_7=1, b_6=0, b_5=1, b_4=1, b_3=0, b_2=1, b_1=0, b_0=0$.
\nPour un CNA à résistances pondérées avec amplificateur inverseur, la tension de sortie est donnée par:
\n$V_s = -R_f \\times V_{ref} \\sum_{i=0}^{7} \\frac{b_i}{2^i R}$
\nAvec $R_f = R$, on obtient:
\n$V_s = -V_{ref} \\sum_{i=0}^{7} \\frac{b_i}{2^i}$
\nCalcul de la somme pour $10110100_2$:
\n$\\sum_{i=0}^{7} \\frac{b_i}{2^i} = \\frac{1}{2^0} + \\frac{0}{2^1} + \\frac{1}{2^2} + \\frac{0}{2^3} + \\frac{1}{2^4} + \\frac{1}{2^5} + \\frac{0}{2^6} + \\frac{0}{2^7}$
\nAttention, $b_0$ est le bit de poids faible (LSB), donc pour $10110100_2$ lu de gauche Ă droite (MSB Ă LSB):
\n$\\sum = \\frac{1}{2^7} \\times 1 + \\frac{1}{2^6} \\times 0 + \\frac{1}{2^5} \\times 1 + \\frac{1}{2^4} \\times 1 + \\frac{1}{2^3} \\times 0 + \\frac{1}{2^2} \\times 1 + \\frac{1}{2^1} \\times 0 + \\frac{1}{2^0} \\times 0$
\n$\\sum = \\frac{1}{128} + \\frac{1}{32} + \\frac{1}{16} + \\frac{1}{4} = 0.0078125 + 0.03125 + 0.0625 + 0.25$
\n$\\sum = 0.3515625$
\nOu en fraction: $\\frac{180}{256} = \\frac{45}{64}$
\nApplication numérique avec $V_{ref} = 10\\,\\text{V}$:
\n$V_s = -10 \\times \\frac{180}{256} = -\\frac{1800}{256}$
\n$V_s = -7.03125\\,\\text{V} \\approx -7.03\\,\\text{V}$
\nLe signe négatif provient de la configuration inverseuse de l'amplificateur.
\n\nSolution Question 3:
\nLa résolution (quantum) correspond à la variation de tension de sortie lorsque le bit de poids faible (LSB) change d'état. C'est la plus petite tension détectable.
\nFormule générale pour un CNA de $N$ bits:
\n$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^N}$
\nAvec $N = 8$ bits et $V_{ref} = 10\\,\\text{V}$:
\n$\\Delta V = \\frac{10}{2^8} = \\frac{10}{256}$
\n$\\Delta V = 0.0390625\\,\\text{V}$
\n$\\Delta V \\approx 39.06\\,\\text{mV}$
\nCette valeur représente le quantum de tension du convertisseur.
\n\nSolution Question 4:
\nL'erreur de quantification maximale se produit lorsque la tension analogique à représenter se situe exactement à mi-chemin entre deux niveaux de quantification consécutifs. Dans ce cas, l'erreur maximale est:
\n$E_{max} = \\pm \\frac{\\Delta V}{2}$
\nAvec $\\Delta V = 39.06\\,\\text{mV}$:
\n$E_{max} = \\pm \\frac{0.0390625}{2} = \\pm 0.01953125\\,\\text{V}$
\n$E_{max} \\approx \\pm 19.53\\,\\text{mV}$
\nPour calculer l'erreur en pourcentage par rapport Ă la pleine Ă©chelle, on utilise:
\n$E_{\\%} = \\frac{E_{max}}{V_{ref}} \\times 100$
\n$E_{\\%} = \\frac{0.01953125}{10} \\times 100$
\n$E_{\\%} = 0.1953125\\,\\%$
\n$E_{\\%} \\approx 0.195\\,\\%$
\nOn peut Ă©galement exprimer cela comme $\\frac{1}{2^{N+1}} \\times 100 = \\frac{1}{512} \\times 100 \\approx 0.195\\,\\%$.
", "id_category": "2", "id_number": "11" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) de type approximations successives fonctionne avec une fréquence d'horloge $f_{clk} = 1\\,\\text{MHz}$ et possède une résolution de $N = 12$ bits. La tension de référence est $V_{ref} = 5\\,\\text{V}$ et la plage d'entrée est unipolaire $[0, V_{ref}]$. On applique à l'entrée une tension analogique constante $V_{in} = 3.247\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1: Calculer le temps de conversion total $T_{conv}$ nécessaire pour effectuer une conversion complète, sachant qu'il faut un cycle d'horloge supplémentaire pour initialiser le registre.
\n\nQuestion 2: Déterminer le code numérique de sortie $D$ (en décimal) correspondant à la tension d'entrée $V_{in} = 3.247\\,\\text{V}$, puis exprimer ce code en binaire sur $12$ bits.
\n\nQuestion 3: Calculer la tension analogique réelle $V_{quantifié}$ que représente le code numérique obtenu, puis déterminer l'erreur de quantification absolue $\\epsilon$ pour cette conversion.
\n\nQuestion 4: Si on souhaite échantillonner un signal analogique à une fréquence $f_e = 10\\,\\text{kHz}$ avec ce CAN, déterminer si cette fréquence d'échantillonnage est réalisable compte tenu du temps de conversion, et calculer le taux d'utilisation du convertisseur en pourcentage.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nDans un CAN à approximations successives, chaque bit est déterminé séquentiellement, nécessitant un cycle d'horloge par bit. Pour un convertisseur de $N$ bits, il faut $N$ cycles pour tester tous les bits, plus un cycle supplémentaire pour l'initialisation.
\nNombre total de cycles d'horloge:
\n$N_{cycles} = N + 1$
\nAvec $N = 12$ bits:
\n$N_{cycles} = 12 + 1 = 13$ cycles
\nLe temps de conversion est donné par:
\n$T_{conv} = \\frac{N_{cycles}}{f_{clk}}$
\nApplication numérique avec $f_{clk} = 1\\,\\text{MHz} = 1 \\times 10^6\\,\\text{Hz}$:
\n$T_{conv} = \\frac{13}{1 \\times 10^6} = 13 \\times 10^{-6}\\,\\text{s}$
\n$T_{conv} = 13\\,\\mu\\text{s}$
\nLe temps de conversion total est donc de $13\\,\\mu\\text{s}$.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un CAN unipolaire, la relation entre la tension d'entrée et le code numérique est:
\n$D = \\text{round}\\left(\\frac{V_{in}}{V_{ref}} \\times (2^N - 1)\\right)$
\noù $\\text{round}$ désigne l'arrondi à l'entier le plus proche (en réalité, la plupart des CAN tronquent, mais selon le contexte, on arrondit).
\nApplication numérique avec $V_{in} = 3.247\\,\\text{V}$, $V_{ref} = 5\\,\\text{V}$, et $N = 12$:
\n$D = \\text{round}\\left(\\frac{3.247}{5} \\times (2^{12} - 1)\\right)$
\n$D = \\text{round}\\left(0.6494 \\times 4095\\right)$
\n$D = \\text{round}(2659.293)$
\n$D = 2659$
\nPour convertir en binaire, on effectue des divisions successives par $2$:
\n$2659_{10} = 101001100011_2$
\nVĂ©rification: $2^{11} + 2^9 + 2^6 + 2^5 + 2^1 + 2^0 = 2048 + 512 + 64 + 32 + 2 + 1 = 2659$
\nLe code binaire sur $12$ bits est: $101001100011_2$
\n\nSolution Question 3:
\nLa tension analogique quantifiée correspondant au code numérique est calculée par la relation inverse:
\n$V_{quantifié} = \\frac{D}{2^N - 1} \\times V_{ref}$
\nAvec $D = 2659$, $N = 12$, et $V_{ref} = 5\\,\\text{V}$:
\n$V_{quantifié} = \\frac{2659}{4095} \\times 5$
\n$V_{quantifié} = 0.649328 \\times 5$
\n$V_{quantifié} = 3.24664\\,\\text{V}$
\nL'erreur de quantification absolue est la différence entre la tension d'entrée réelle et la tension quantifiée:
\n$\\epsilon = V_{in} - V_{quantifié}$
\n$\\epsilon = 3.247 - 3.24664$
\n$\\epsilon = 0.00036\\,\\text{V}$
\n$\\epsilon = 0.36\\,\\text{mV}$
\nCette erreur est bien inférieure au quantum $\\Delta V = \\frac{5}{4095} \\approx 1.22\\,\\text{mV}$, ce qui est cohérent.
\n\nSolution Question 4:
\nPour échantillonner à une fréquence $f_e$, la période d'échantillonnage doit être:
\n$T_e = \\frac{1}{f_e}$
\nAvec $f_e = 10\\,\\text{kHz} = 10 \\times 10^3\\,\\text{Hz}$:
\n$T_e = \\frac{1}{10 \\times 10^3} = 1 \\times 10^{-4}\\,\\text{s}$
\n$T_e = 100\\,\\mu\\text{s}$
\nPour que l'échantillonnage soit réalisable, il faut que:
\n$T_{conv} < T_e$
\nComparaison: $T_{conv} = 13\\,\\mu\\text{s}$ et $T_e = 100\\,\\mu\\text{s}$
\nPuisque $13\\,\\mu\\text{s} < 100\\,\\mu\\text{s}$, cette fréquence d'échantillonnage est réalisable.
\nLe taux d'utilisation du convertisseur est le rapport entre le temps de conversion et la période d'échantillonnage:
\n$\\tau_{util} = \\frac{T_{conv}}{T_e} \\times 100$
\n$\\tau_{util} = \\frac{13}{100} \\times 100$
\n$\\tau_{util} = 13\\,\\%$
\nLe convertisseur est utilisé à $13\\,\\%$ de sa capacité, laissant $87\\,\\%$ du temps disponible pour d'autres tâches ou pour le repos.
", "id_category": "2", "id_number": "12" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "On étudie un convertisseur numérique-analogique (CNA) de type réseau R-2R à $N = 10$ bits. Ce convertisseur utilise une tension de référence $V_{ref} = 3.3\\,\\text{V}$ et un amplificateur opérationnel idéal en configuration non-inverseuse avec un gain de $G = 2$. Les résistances du réseau sont $R = 20\\,\\text{k}\\Omega$ et $2R = 40\\,\\text{k}\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer la résistance équivalente $R_{eq}$ vue par la source de tension de référence du réseau R-2R (en considérant que l'entrée de l'amplificateur présente une impédance infinie).
\n\nQuestion 2: Déterminer la tension de sortie $V_s$ du convertisseur lorsque le mot numérique appliqué est $1111111111_2$ (tous les bits à $1$, pleine échelle).
\n\nQuestion 3: Pour le code numérique $0010110110_2$, calculer la tension de sortie $V_s$ et exprimer le résultat avec une précision de $0.1\\,\\text{mV}$.
\n\nQuestion 4: Calculer la consommation de puissance instantanée totale $P_{total}$ dissipée dans le réseau R-2R lorsque le convertisseur est à pleine échelle (mot $1111111111_2$), sachant que le courant total fourni par la source de référence traverse le réseau.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLe réseau R-2R possède une propriété remarquable: quelle que soit la configuration des commutateurs (bits), la résistance équivalente vue depuis la source de référence reste constante.
\nEn analysant le réseau de droite à gauche (depuis la résistance de terminaison), on constate que chaque section présente la même résistance équivalente. La résistance de terminaison $2R$ en parallèle avec la résistance série $R$ donne:
\n$R_{eq,section} = R + (2R \\parallel R) = R + \\frac{2R \\times R}{2R + R} = R + \\frac{2R}{3}$
\nCependant, pour un réseau R-2R correctement terminé, la résistance équivalente vue par la source est simplement:
\n$R_{eq} = 2R$
\nCette propriété s'établit par récurrence: si on regarde depuis la source, on voit une résistance $2R$ en série avec la parallèle de $R$ (vers le bas) et du reste du réseau (qui a une impédance équivalente $2R$). Donc:
\n$2R \\parallel (R + 2R) = 2R \\parallel 3R = \\frac{2R \\times 3R}{2R + 3R} = \\frac{6R}{5}$
\nAttendez, révisons. Pour un réseau R-2R infini ou correctement terminé:
\nLa première résistance série est $2R$, puis on a $R$ vers la masse et le reste du réseau d'impédance $Z$. On doit avoir $Z = 2R$ pour que le réseau soit équilibré.
\n$R_{eq} = 2R$
\nApplication numérique avec $R = 20\\,\\text{k}\\Omega$:
\n$R_{eq} = 2 \\times 20\\,000 = 40\\,000\\,\\Omega$
\n$R_{eq} = 40\\,\\text{k}\\Omega$
\n\nSolution Question 2:
\nPour un CNA R-2R, la tension de sortie du réseau (avant l'amplificateur) pour un mot numérique $D$ est:
\n$V_{out} = V_{ref} \\times \\frac{D}{2^N}$
\nÀ pleine échelle, tous les bits sont à $1$, donc:
\n$D = 2^N - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$
\nPour le mot $1111111111_2$:
\n$V_{out} = V_{ref} \\times \\frac{2^{10} - 1}{2^{10}} = V_{ref} \\times \\frac{1023}{1024}$
\nAvec $V_{ref} = 3.3\\,\\text{V}$:
\n$V_{out} = 3.3 \\times \\frac{1023}{1024} = 3.3 \\times 0.999023$
\n$V_{out} = 3.296777\\,\\text{V}$
\nLa tension après l'amplificateur de gain $G = 2$ est:
\n$V_s = G \\times V_{out}$
\n$V_s = 2 \\times 3.296777$
\n$V_s = 6.593554\\,\\text{V}$
\n$V_s \\approx 6.594\\,\\text{V}$
\n\nSolution Question 3:
\nLe code binaire $0010110110_2$ doit être converti en décimal. En lisant de gauche à droite (MSB à LSB):
\n$D = 0 \\times 2^9 + 0 \\times 2^8 + 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 1 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 1 \\times 2^2 + 1 \\times 2^1 + 0 \\times 2^0$
\n$D = 0 + 0 + 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0$
\n$D = 182$
\nLa tension de sortie du réseau R-2R est:
\n$V_{out} = V_{ref} \\times \\frac{D}{2^N}$
\n$V_{out} = 3.3 \\times \\frac{182}{1024}$
\n$V_{out} = 3.3 \\times 0.177734375$
\n$V_{out} = 0.58652344\\,\\text{V}$
\nAprès amplification:
\n$V_s = G \\times V_{out} = 2 \\times 0.58652344$
\n$V_s = 1.17304688\\,\\text{V}$
\nAvec une précision de $0.1\\,\\text{mV}$:
\n$V_s = 1173.0\\,\\text{mV} = 1.1730\\,\\text{V}$
\n\nSolution Question 4:
\nÀ pleine échelle, tous les bits sont connectés à $V_{ref}$. Le courant total fourni par la source de référence est:
\n$I_{total} = \\frac{V_{ref}}{R_{eq}}$
\nAvec $V_{ref} = 3.3\\,\\text{V}$ et $R_{eq} = 40\\,\\text{k}\\Omega = 40\\,000\\,\\Omega$:
\n$I_{total} = \\frac{3.3}{40\\,000} = 0.0000825\\,\\text{A}$
\n$I_{total} = 82.5\\,\\mu\\text{A}$
\nLa puissance totale dissipée dans le réseau R-2R est:
\n$P_{total} = V_{ref} \\times I_{total}$
\n$P_{total} = 3.3 \\times 82.5 \\times 10^{-6}$
\n$P_{total} = 272.25 \\times 10^{-6}\\,\\text{W}$
\n$P_{total} = 272.25\\,\\mu\\text{W}$
\nAlternativement, on peut utiliser:
\n$P_{total} = \\frac{V_{ref}^2}{R_{eq}} = \\frac{(3.3)^2}{40\\,000} = \\frac{10.89}{40\\,000} = 272.25\\,\\mu\\text{W}$
", "id_category": "2", "id_number": "13" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) de type Flash (parallèle) possède une résolution de $N = 6$ bits et fonctionne avec une tension de référence $V_{ref} = 2.5\\,\\text{V}$. Ce type de convertisseur utilise $2^N - 1$ comparateurs et un diviseur résistif pour générer les tensions de seuil.
\n\nQuestion 1: Calculer le nombre de comparateurs $n_{comp}$ nécessaires pour réaliser ce CAN Flash, ainsi que le nombre de résistances $n_{res}$ identiques requises pour le diviseur résistif de référence.
\n\nQuestion 2: Déterminer la valeur de chaque échelon de tension $\\Delta V$ entre deux seuils de comparaison consécutifs. Si chaque résistance du diviseur a une valeur $R = 1\\,\\text{k}\\Omega$, calculer le courant total $I_{div}$ traversant le diviseur résistif.
\n\nQuestion 3: Une tension d'entrée $V_{in} = 1.734\\,\\text{V}$ est appliquée au convertisseur. Déterminer le code numérique de sortie $D$ (en décimal puis en binaire) et le nombre de comparateurs $n_{actifs}$ dont la sortie est à l'état haut.
\n\nQuestion 4: Calculer la puissance totale $P_{div}$ dissipée dans le diviseur résistif, puis déterminer le temps de propagation maximal $t_{prop,max}$ si chaque comparateur introduit un délai de $t_{comp} = 2\\,\\text{ns}$ et l'encodeur de priorité ajoute $t_{enc} = 1.5\\,\\text{ns}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nUn CAN Flash de $N$ bits nécessite $2^N - 1$ comparateurs, car il doit distinguer $2^N$ niveaux différents, ce qui requiert $2^N - 1$ seuils de comparaison.
\nNombre de comparateurs:
\n$n_{comp} = 2^N - 1$
\nAvec $N = 6$:
\n$n_{comp} = 2^6 - 1 = 64 - 1$
\n$n_{comp} = 63$ comparateurs
\nPour le diviseur résistif, il faut générer $2^N - 1$ tensions de référence différentes, plus la masse et $V_{ref}$. Cela nécessite $2^N$ résistances identiques en série:
\n$n_{res} = 2^N$
\n$n_{res} = 2^6 = 64$ résistances
\n\nSolution Question 2:
\nL'échelon de tension entre deux seuils consécutifs (résolution ou quantum) est:
\n$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^N}$
\nAvec $V_{ref} = 2.5\\,\\text{V}$ et $N = 6$:
\n$\\Delta V = \\frac{2.5}{2^6} = \\frac{2.5}{64}$
\n$\\Delta V = 0.0390625\\,\\text{V}$
\n$\\Delta V = 39.0625\\,\\text{mV} \\approx 39.06\\,\\text{mV}$
\nLe diviseur résistif est constitué de $n_{res} = 64$ résistances de $R = 1\\,\\text{k}\\Omega$ en série. La résistance totale est:
\n$R_{total} = n_{res} \\times R = 64 \\times 1\\,000$
\n$R_{total} = 64\\,000\\,\\Omega = 64\\,\\text{k}\\Omega$
\nLe courant traversant le diviseur est:
\n$I_{div} = \\frac{V_{ref}}{R_{total}}$
\n$I_{div} = \\frac{2.5}{64\\,000} = 3.90625 \\times 10^{-5}\\,\\text{A}$
\n$I_{div} = 39.0625\\,\\mu\\text{A} \\approx 39.06\\,\\mu\\text{A}$
\n\nSolution Question 3:
\nPour déterminer le code numérique, on divise la tension d'entrée par le quantum et on tronque (partie entière):
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{\\Delta V} \\right\\rfloor$
\nAvec $V_{in} = 1.734\\,\\text{V}$ et $\\Delta V = 0.0390625\\,\\text{V}$:
\n$D = \\left\\lfloor \\frac{1.734}{0.0390625} \\right\\rfloor$
\n$D = \\lfloor 44.3904 \\rfloor$
\n$D = 44$
\nConversion en binaire de $44_{10}$:
\n$44 = 32 + 8 + 4 = 2^5 + 2^3 + 2^2$
\n$D = 101100_2$
\nLe nombre de comparateurs actifs (sortie à l'état haut) correspond au nombre de seuils dépassés. Si le code est $44$, cela signifie que la tension d'entrée dépasse les seuils $V_1, V_2, \\ldots, V_{44}$, donc:
\n$n_{actifs} = D = 44$ comparateurs
\nCes $44$ comparateurs ont leurs tensions de seuil inférieures à $V_{in}$.
\n\nSolution Question 4:
\nLa puissance dissipée dans le diviseur résistif est:
\n$P_{div} = V_{ref} \\times I_{div}$
\nAvec $V_{ref} = 2.5\\,\\text{V}$ et $I_{div} = 39.0625\\,\\mu\\text{A}$:
\n$P_{div} = 2.5 \\times 39.0625 \\times 10^{-6}$
\n$P_{div} = 97.65625 \\times 10^{-6}\\,\\text{W}$
\n$P_{div} = 97.66\\,\\mu\\text{W}$
\nAlternativement:
\n$P_{div} = \\frac{V_{ref}^2}{R_{total}} = \\frac{(2.5)^2}{64\\,000} = \\frac{6.25}{64\\,000} = 97.66\\,\\mu\\text{W}$
\nLe temps de propagation maximal d'un CAN Flash est la somme du délai des comparateurs (qui travaillent en parallèle, donc un seul délai compte) et du délai de l'encodeur de priorité:
\n$t_{prop,max} = t_{comp} + t_{enc}$
\nAvec $t_{comp} = 2\\,\\text{ns}$ et $t_{enc} = 1.5\\,\\text{ns}$:
\n$t_{prop,max} = 2 + 1.5$
\n$t_{prop,max} = 3.5\\,\\text{ns}$
\nC'est l'un des avantages du CAN Flash: il est extrêmement rapide car la conversion est faite en une seule étape (tous les comparateurs travaillent simultanément).
", "id_category": "2", "id_number": "14" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "On étudie un convertisseur analogique-numérique (CAN) à double rampe (dual-slope) de résolution $N = 14$ bits. Ce convertisseur utilise une tension de référence $V_{ref} = -4\\,\\text{V}$ (négative pour l'intégration), un intégrateur avec $R = 100\\,\\text{k}\\Omega$ et $C = 100\\,\\text{nF}$, et une horloge de fréquence $f_{clk} = 4\\,\\text{MHz}$. La phase d'intégration de la tension d'entrée (phase 1) dure un temps fixe $T_1$ correspondant à $2^N$ cycles d'horloge.
\n\nQuestion 1: Calculer la durée $T_1$ de la phase d'intégration de la tension d'entrée (phase montante), puis déterminer la constante de temps $\\tau$ de l'intégrateur RC.
\n\nQuestion 2: Pour une tension d'entrée $V_{in} = 2.857\\,\\text{V}$, calculer la tension de sortie $V_{int,max}$ de l'intégrateur à la fin de la phase 1 (on néglige la tension initiale et on suppose une intégration linéaire).
\n\nQuestion 3: Durant la phase 2 (désintégration), la tension de référence $V_{ref} = -4\\,\\text{V}$ est appliquée à l'intégrateur. Calculer le temps $T_2$ nécessaire pour ramener la tension de l'intégrateur à zéro, puis déterminer le nombre de cycles d'horloge $N_2$ comptés durant cette phase.
\n\nQuestion 4: Vérifier que le code numérique obtenu $D = N_2$ correspond bien à la tension d'entrée en calculant $V_{in,reconstruit}$ à partir de $D$, puis calculer l'erreur relative en pourcentage. Enfin, déterminer le temps de conversion total $T_{conv}$ pour cette mesure.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLa phase 1 dure un nombre fixe de cycles d'horloge égal à $2^N$. La durée de cette phase est:
\n$T_1 = \\frac{2^N}{f_{clk}}$
\nAvec $N = 14$ bits et $f_{clk} = 4\\,\\text{MHz} = 4 \\times 10^6\\,\\text{Hz}$:
\n$T_1 = \\frac{2^{14}}{4 \\times 10^6} = \\frac{16\\,384}{4 \\times 10^6}$
\n$T_1 = \\frac{16\\,384}{4\\,000\\,000} = 4.096 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}$
\n$T_1 = 4.096\\,\\text{ms}$
\nLa constante de temps de l'intégrateur RC est:
\n$\\tau = R \\times C$
\nAvec $R = 100\\,\\text{k}\\Omega = 100 \\times 10^3\\,\\Omega$ et $C = 100\\,\\text{nF} = 100 \\times 10^{-9}\\,\\text{F}$:
\n$\\tau = 100 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9}$
\n$\\tau = 10\\,000 \\times 10^{-6} = 10 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}$
\n$\\tau = 10\\,\\text{ms}$
\n\nSolution Question 2:
\nPour un intégrateur inverseur, la tension de sortie après un temps $t$ d'intégration d'une tension constante $V_{in}$ est:
\n$V_{int}(t) = -\\frac{1}{RC} \\int_0^t V_{in} \\, dt = -\\frac{V_{in}}{RC} \\times t = -\\frac{V_{in}}{\\tau} \\times t$
\nÀ la fin de la phase 1 ($t = T_1$):
\n$V_{int,max} = -\\frac{V_{in}}{\\tau} \\times T_1$
\nAvec $V_{in} = 2.857\\,\\text{V}$, $\\tau = 10\\,\\text{ms} = 0.01\\,\\text{s}$, et $T_1 = 4.096\\,\\text{ms} = 0.004096\\,\\text{s}$:
\n$V_{int,max} = -\\frac{2.857}{0.01} \\times 0.004096$
\n$V_{int,max} = -285.7 \\times 0.004096$
\n$V_{int,max} = -1.170227\\,\\text{V}$
\n$V_{int,max} \\approx -1.170\\,\\text{V}$
\nLe signe négatif indique que la sortie de l'intégrateur inverseur est négative pour une entrée positive.
\n\nSolution Question 3:
\nDurant la phase 2, on applique la tension de référence négative $V_{ref} = -4\\,\\text{V}$ à l'intégrateur. La tension de sortie évolue selon:
\n$V_{int}(t) = V_{int,max} - \\frac{V_{ref}}{\\tau} \\times t$
\nAvec $V_{ref} = -4\\,\\text{V}$:
\n$V_{int}(t) = V_{int,max} - \\frac{(-4)}{\\tau} \\times t = V_{int,max} + \\frac{4}{\\tau} \\times t$
\nLa tension remonte vers zéro. Le temps $T_2$ pour atteindre $V_{int} = 0$ est:
\n$0 = V_{int,max} + \\frac{4}{\\tau} \\times T_2$
\n$T_2 = -\\frac{V_{int,max} \\times \\tau}{4}$
\nAvec $V_{int,max} = -1.170227\\,\\text{V}$ et $\\tau = 0.01\\,\\text{s}$:
\n$T_2 = -\\frac{(-1.170227) \\times 0.01}{4} = \\frac{1.170227 \\times 0.01}{4}$
\n$T_2 = \\frac{0.01170227}{4} = 0.002925568\\,\\text{s}$
\n$T_2 = 2.925568\\,\\text{ms}$
\nLe nombre de cycles d'horloge comptés durant $T_2$ est:
\n$N_2 = T_2 \\times f_{clk}$
\n$N_2 = 0.002925568 \\times 4 \\times 10^6$
\n$N_2 = 11\\,702.27$
\nOn arrondit Ă l'entier le plus proche:
\n$N_2 = 11\\,702$ cycles
\n\nSolution Question 4:
\nLe principe du CAN double rampe Ă©tablit la relation:
\n$\\frac{V_{in}}{V_{ref}} = \\frac{T_2}{T_1} = \\frac{N_2}{2^N}$
\nD'oĂą:
\n$V_{in,reconstruit} = V_{ref} \\times \\frac{N_2}{2^N}$
\nAttention, $V_{ref} = -4\\,\\text{V}$, mais dans le calcul de reconstruction, on utilise la valeur absolue car $V_{in}$ est positive:
\n$V_{in,reconstruit} = |V_{ref}| \\times \\frac{N_2}{2^N} = 4 \\times \\frac{11\\,702}{16\\,384}$
\n$V_{in,reconstruit} = 4 \\times 0.714355$
\n$V_{in,reconstruit} = 2.857422\\,\\text{V}$
\nL'erreur relative est:
\n$E_{rel} = \\left|\\frac{V_{in,reconstruit} - V_{in}}{V_{in}}\\right| \\times 100$
\n$E_{rel} = \\left|\\frac{2.857422 - 2.857}{2.857}\\right| \\times 100$
\n$E_{rel} = \\left|\\frac{0.000422}{2.857}\\right| \\times 100$
\n$E_{rel} = 0.01477\\,\\%$
\n$E_{rel} \\approx 0.015\\,\\%$
\nCette faible erreur confirme la précision de la conversion.
\nLe temps de conversion total est la somme des deux phases:
\n$T_{conv} = T_1 + T_2$
\n$T_{conv} = 4.096 + 2.926$
\n$T_{conv} = 7.022\\,\\text{ms}$
\nLe CAN double rampe est relativement lent mais offre une excellente précision et un bon rejet du bruit.
", "id_category": "2", "id_number": "15" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) à réseau de résistances pondérées est utilisé dans un système d'acquisition de données. Le convertisseur possède une résolution de 8 bits et fonctionne avec une tension de référence $V_{ref} = 10\\text{ V}$. Le réseau utilise des résistances pondérées suivant la relation $R_i = R \\times 2^i$ où $i$ représente le rang du bit (de 0 à 7). La résistance de base est $R = 10\\text{ k}\\Omega$ et la résistance de contre-réaction de l'amplificateur opérationnel est $R_f = 10\\text{ k}\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer la tension de sortie $V_{out}$ lorsque le code binaire d'entrée est 10110100.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer le quantum (tension correspondant au LSB) de ce convertisseur.
\n\nQuestion 3: Calculer la valeur du courant circulant dans la résistance correspondant au bit de poids fort (MSB) lorsque ce bit est à l'état haut.
\n\nQuestion 4: Pour améliorer la précision, on souhaite obtenir une résolution de 10 bits en conservant la même tension de référence. Calculer le nouveau quantum et le rapport entre l'ancienne et la nouvelle valeur du quantum.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un CNA à résistances pondérées, la tension de sortie est donnée par la formule générale:
\n$V_{out} = -\\frac{R_f}{R} \\times V_{ref} \\times \\sum_{i=0}^{n-1} \\frac{b_i}{2^{n-1-i}}$
\noù $b_i$ représente l'état du bit $i$ (0 ou 1), $n$ est le nombre de bits, et $R_f = R$ dans notre cas.
\nLe code binaire 10110100 correspond Ă : $b_7=1, b_6=0, b_5=1, b_4=1, b_3=0, b_2=1, b_1=0, b_0=0$
\nLa valeur décimale est:
\n$N = 1\\times2^7 + 0\\times2^6 + 1\\times2^5 + 1\\times2^4 + 0\\times2^3 + 1\\times2^2 + 0\\times2^1 + 0\\times2^0$
\n$N = 128 + 32 + 16 + 4 = 180$
\nLa formule simplifiée pour la tension de sortie devient:
\n$V_{out} = -V_{ref} \\times \\frac{N}{2^n}$
\nRemplacement des données:
\n$V_{out} = -10 \\times \\frac{180}{2^8}$
\n$V_{out} = -10 \\times \\frac{180}{256}$
\nCalcul:
\n$V_{out} = -10 \\times 0.703125$
\nRĂ©sultat final:
\n$V_{out} = -7.03125\\text{ V}$
\nLe signe négatif provient de la configuration inverseur de l'amplificateur opérationnel.
\n\nSolution Question 2:
\nLe quantum (ou résolution) représente la plus petite variation de tension détectable, correspondant au LSB (Least Significant Bit). Il est donné par:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\noĂą $n$ est le nombre de bits.
\nRemplacement des données:
\n$q = \\frac{10}{2^8}$
\n$q = \\frac{10}{256}$
\nCalcul:
\n$q = 0.0390625\\text{ V}$
\nRĂ©sultat final:
\n$q = 39.0625\\text{ mV}$
\nCette valeur représente le pas de quantification du convertisseur. Chaque incrément du code numérique produit une variation de $39.0625\\text{ mV}$ en sortie.
\n\nSolution Question 3:
\nLe bit de poids fort (MSB, bit 7) est connecté à la résistance $R_7 = R = 10\\text{ k}\\Omega$. Lorsque ce bit est à l'état haut, la tension appliquée est $V_{ref}$.
\nLa formule du courant dans cette résistance est:
\n$I_{MSB} = \\frac{V_{ref}}{R_7}$
\nRemplacement des données:
\n$I_{MSB} = \\frac{10}{10 \\times 10^3}$
\n$I_{MSB} = \\frac{10}{10000}$
\nCalcul:
\n$I_{MSB} = 0.001\\text{ A}$
\nRĂ©sultat final:
\n$I_{MSB} = 1\\text{ mA}$
\nCe courant est le plus important du réseau car le MSB correspond à la plus petite résistance. Il contribue le plus significativement au courant total de sortie.
\n\nSolution Question 4:
\nPour une résolution de 10 bits avec la même tension de référence, le nouveau quantum est:
\n$q_{nouveau} = \\frac{V_{ref}}{2^{10}}$
\nRemplacement des données:
\n$q_{nouveau} = \\frac{10}{2^{10}}$
\n$q_{nouveau} = \\frac{10}{1024}$
\nCalcul:
\n$q_{nouveau} = 0.009765625\\text{ V}$
\nRĂ©sultat final:
\n$q_{nouveau} = 9.765625\\text{ mV}$
\nLe rapport entre l'ancien et le nouveau quantum est:
\n$\\text{Rapport} = \\frac{q_{ancien}}{q_{nouveau}}$
\n$\\text{Rapport} = \\frac{39.0625}{9.765625}$
\nCalcul:
\n$\\text{Rapport} = 4$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\text{Rapport} = 4$
\nCe rapport peut également être calculé directement: $\\frac{2^{10}}{2^8} = 2^2 = 4$. L'augmentation de la résolution de 2 bits divise le quantum par 4, améliorant ainsi la précision du convertisseur.
", "id_category": "2", "id_number": "16" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) de type flash est conçu pour numériser des signaux vidéo rapides. Ce convertisseur possède une résolution de 6 bits et utilise une tension de référence $V_{ref} = 3.3\\text{ V}$. Le système fonctionne avec une fréquence d'échantillonnage de $f_s = 100\\text{ MHz}$. Chaque comparateur du convertisseur a un temps de réponse de $t_{comp} = 2\\text{ ns}$ et le décodeur de priorité nécessite $t_{dec} = 3\\text{ ns}$ pour produire le code de sortie.
\n\nQuestion 1: Calculer le nombre de comparateurs nécessaires pour réaliser ce convertisseur flash 6 bits.
\n\nQuestion 2: Déterminer les tensions de seuil du premier comparateur (seuil le plus bas) et du dernier comparateur (seuil le plus élevé).
\n\nQuestion 3: Calculer le temps de conversion total $t_{conv}$ du CAN et vérifier si ce temps est compatible avec la fréquence d'échantillonnage spécifiée.
\n\nQuestion 4: Un signal analogique d'entrée de $V_{in} = 2.15\\text{ V}$ est appliqué au convertisseur. Calculer le code binaire de sortie correspondant et la valeur de l'erreur de quantification absolue.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un convertisseur flash, le nombre de comparateurs nécessaires est donné par la formule:
\n$N_{comp} = 2^n - 1$
\noù $n$ est le nombre de bits de résolution.
\nRemplacement des données:
\n$N_{comp} = 2^6 - 1$
\n$N_{comp} = 64 - 1$
\nRĂ©sultat final:
\n$N_{comp} = 63\\text{ comparateurs}$
\nCette architecture nécessite 63 comparateurs fonctionnant en parallèle, ce qui explique la vitesse élevée du convertisseur flash au détriment d'une complexité matérielle importante et d'une consommation énergétique significative.
\n\nSolution Question 2:
\nLes tensions de seuil sont espacées d'un quantum. Le quantum est:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\nRemplacement des données:
\n$q = \\frac{3.3}{2^6} = \\frac{3.3}{64}$
\n$q = 0.0515625\\text{ V}$
\nLa tension de seuil du premier comparateur (le plus bas, correspondant au LSB) est:
\n$V_{seuil,1} = \\frac{q}{2}$
\n$V_{seuil,1} = \\frac{0.0515625}{2}$
\nRĂ©sultat:
\n$V_{seuil,1} = 0.02578125\\text{ V} = 25.78\\text{ mV}$
\nLa tension de seuil du dernier comparateur (le plus élevé) est:
\n$V_{seuil,63} = V_{ref} - \\frac{q}{2}$
\n$V_{seuil,63} = 3.3 - 0.02578125$
\nRĂ©sultat final:
\n$V_{seuil,63} = 3.27421875\\text{ V}$
\nCes seuils définissent la plage de conversion du CAN, avec des intervalles réguliers de $51.5625\\text{ mV}$ entre chaque comparateur.
\n\nSolution Question 3:
\nLe temps de conversion total est la somme du temps de réponse des comparateurs et du temps de traitement du décodeur:
\n$t_{conv} = t_{comp} + t_{dec}$
\nRemplacement des données:
\n$t_{conv} = 2 + 3$
\n$t_{conv} = 5\\text{ ns}$
\nLa période d'échantillonnage correspondant à la fréquence spécifiée est:
\n$T_s = \\frac{1}{f_s}$
\n$T_s = \\frac{1}{100 \\times 10^6}$
\n$T_s = 10 \\times 10^{-9}\\text{ s} = 10\\text{ ns}$
\nVérification de compatibilité:
\n$t_{conv} < T_s$
\n$5\\text{ ns} < 10\\text{ ns}$
\nRĂ©sultat final:
\nLe temps de conversion de $5\\text{ ns}$ est compatible avec la fréquence d'échantillonnage de $100\\text{ MHz}$. Le système dispose d'une marge de $5\\text{ ns}$, ce qui représente un facteur de sécurité de $2$ et garantit le bon fonctionnement du convertisseur.
\n\nSolution Question 4:
\nLe code binaire est calculé en divisant la tension d'entrée par le quantum et en prenant la partie entière:
\n$N = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{q} \\right\\rfloor$
\nNous avons calculé précédemment: $q = 0.0515625\\text{ V}$
\nRemplacement des données:
\n$N = \\left\\lfloor \\frac{2.15}{0.0515625} \\right\\rfloor$
\n$N = \\lfloor 41.697 \\rfloor$
\n$N = 41$
\nConversion en binaire de $41_{10}$:
\n$41 = 32 + 8 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^0$
\nRĂ©sultat binaire:
\n$N_{binaire} = 101001_2$
\nL'erreur de quantification absolue est la différence entre la tension d'entrée et la tension correspondant au code numérique:
\n$V_{quantifié} = N \\times q$
\n$V_{quantifié} = 41 \\times 0.0515625$
\n$V_{quantifié} = 2.1140625\\text{ V}$
\nL'erreur de quantification est:
\n$\\varepsilon = V_{in} - V_{quantifié}$
\n$\\varepsilon = 2.15 - 2.1140625$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\varepsilon = 0.0359375\\text{ V} = 35.94\\text{ mV}$
\nCette erreur représente $69.7\\%$ du quantum, ce qui est cohérent avec une erreur de quantification maximale théorique de $\\pm q/2$.
", "id_category": "2", "id_number": "17" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur analogique-numérique à approximations successives (SAR) est utilisé dans un système de mesure industriel. Le convertisseur possède une résolution de 12 bits et fonctionne avec une tension de référence $V_{ref} = 5\\text{ V}$. Le comparateur et le CNA interne ont chacun un temps de stabilisation de $t_{stab} = 50\\text{ ns}$. La logique de contrôle nécessite $t_{logic} = 30\\text{ ns}$ par itération.
\n\nQuestion 1: Calculer le temps de conversion total $t_{conv}$ pour une conversion complète et en déduire la fréquence d'échantillonnage maximale théorique $f_{s,max}$ du système.
\n\nQuestion 2: Déterminer le quantum de ce convertisseur et calculer le rapport signal sur bruit de quantification (SQNR) théorique en décibels (dB), sachant que $\\text{SQNR}_{dB} = 6.02n + 1.76$ où $n$ est le nombre de bits.
\n\nQuestion 3: Une tension d'entrée $V_{in} = 3.742\\text{ V}$ est appliquée au convertisseur. Déterminer le code binaire final après le processus d'approximations successives et calculer la tension analogique reconstruite correspondante.
\n\nQuestion 4: En supposant que le système doit échantillonner un signal dont la fréquence maximale est $f_{signal} = 50\\text{ kHz}$, calculer la marge temporelle disponible entre deux conversions successives si on respecte le critère de Shannon-Nyquist avec un facteur de suréchantillonnage de $2.5$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nUn convertisseur SAR effectue $n$ itérations (une par bit). À chaque itération, le système doit:
\n- Stabiliser le CNA: $t_{stab}$
\n- Stabiliser le comparateur: $t_{stab}$
\n- Traiter la logique: $t_{logic}$
\nLe temps par itération est:
\n$t_{iteration} = 2 \\times t_{stab} + t_{logic}$
\nRemplacement des données:
\n$t_{iteration} = 2 \\times 50 + 30$
\n$t_{iteration} = 100 + 30 = 130\\text{ ns}$
\nLe temps de conversion total pour $n = 12$ bits est:
\n$t_{conv} = n \\times t_{iteration}$
\n$t_{conv} = 12 \\times 130$
\n$t_{conv} = 1560\\text{ ns} = 1.56\\text{ ÎĽs}$
\nLa fréquence d'échantillonnage maximale est:
\n$f_{s,max} = \\frac{1}{t_{conv}}$
\n$f_{s,max} = \\frac{1}{1.56 \\times 10^{-6}}$
\nRĂ©sultat final:
\n$f_{s,max} = 641.03\\text{ kHz} \\approx 641\\text{ kHz}$
\n\nSolution Question 2:
\nLe quantum d'un convertisseur $n$ bits est:
\n$q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$
\nRemplacement des données:
\n$q = \\frac{5}{2^{12}}$
\n$q = \\frac{5}{4096}$
\n$q = 0.001220703125\\text{ V}$
\nRĂ©sultat:
\n$q = 1.221\\text{ mV}$
\nLe rapport signal sur bruit de quantification théorique est:
\n$\\text{SQNR}_{dB} = 6.02n + 1.76$
\nRemplacement des données:
\n$\\text{SQNR}_{dB} = 6.02 \\times 12 + 1.76$
\n$\\text{SQNR}_{dB} = 72.24 + 1.76$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\text{SQNR}_{dB} = 74\\text{ dB}$
\nCette valeur représente la performance théorique du convertisseur. Chaque bit supplémentaire améliore le SQNR d'environ $6\\text{ dB}$.
\n\nSolution Question 3:
\nLe code numérique est calculé par:
\n$N = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{q} \\right\\rfloor$
\nAvec $q = 0.001220703125\\text{ V}$:
\n$N = \\left\\lfloor \\frac{3.742}{0.001220703125} \\right\\rfloor$
\n$N = \\lfloor 3065.651 \\rfloor$
\n$N = 3065$
\nConversion en binaire sur 12 bits. DĂ©composition en puissances de 2:
\n$3065 = 2048 + 1024 - 7$
\n$3065 = 2048 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 1$
\n$3065 = 2^{11} + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^0$
\nRĂ©sultat binaire:
\n$N_{binaire} = 101111111001_2$
\nLa tension analogique reconstruite est:
\n$V_{reconstruit} = N \\times q$
\n$V_{reconstruit} = 3065 \\times 0.001220703125$
\nRĂ©sultat final:
\n$V_{reconstruit} = 3.741455078125\\text{ V} \\approx 3.7415\\text{ V}$
\nL'erreur de quantification est $V_{in} - V_{reconstruit} = 3.742 - 3.7415 = 0.0005\\text{ V} = 0.5\\text{ mV}$, ce qui est inférieur à $q/2$.
\n\nSolution Question 4:
\nLe critère de Shannon-Nyquist avec suréchantillonnage impose:
\n$f_s = k \\times 2f_{signal}$
\noù $k = 2.5$ est le facteur de suréchantillonnage.
\nRemplacement des données:
\n$f_s = 2.5 \\times 2 \\times 50 \\times 10^3$
\n$f_s = 2.5 \\times 100 \\times 10^3$
\n$f_s = 250\\text{ kHz}$
\nLa période d'échantillonnage requise est:
\n$T_s = \\frac{1}{f_s}$
\n$T_s = \\frac{1}{250 \\times 10^3}$
\n$T_s = 4 \\times 10^{-6}\\text{ s} = 4\\text{ ÎĽs}$
\nLa marge temporelle entre deux conversions est:
\n$\\Delta t = T_s - t_{conv}$
\n$\\Delta t = 4 - 1.56$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\Delta t = 2.44\\text{ ÎĽs}$
\nCette marge représente $\\frac{2.44}{4} \\times 100 = 61\\%$ du temps disponible, ce qui laisse une marge confortable pour le traitement numérique des données et garantit le respect du critère d'échantillonnage.
", "id_category": "2", "id_number": "18" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un convertisseur analogique-numérique à double rampe (dual-slope ADC) est employé dans un voltmètre numérique de haute précision. Le système utilise une tension de référence $V_{ref} = -4\\text{ V}$ (négative), un condensateur d'intégration $C = 100\\text{ nF}$, et une résistance d'intégration $R = 100\\text{ k}\\Omega$. La phase de montée (intégration du signal) a une durée fixe de $T_1 = 2^{14}$ périodes d'horloge, où l'horloge fonctionne à $f_{clk} = 1\\text{ MHz}$.
\n\nQuestion 1: Calculer la constante de temps $\\tau = RC$ du circuit intégrateur et la durée réelle $t_1$ de la phase de montée en millisecondes.
\n\nQuestion 2: Une tension d'entrée inconnue $V_{in} = +2.5\\text{ V}$ est mesurée. Pendant la phase de descente (intégration de $V_{ref}$), le compteur enregistre $N_2 = 10240$ périodes d'horloge avant que la tension du condensateur revienne à zéro. Calculer la tension d'entrée mesurée $V_{mesure}$ à partir de cette information.
\n\nQuestion 3: Déterminer la résolution effective du voltmètre en nombre de bits, sachant que la résolution dépend du nombre maximal de coups comptés pendant $T_1$.
\n\nQuestion 4: Calculer le temps total de conversion $t_{total}$ pour cette mesure et en déduire le taux de conversion maximal en mesures par seconde.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLa constante de temps d'un circuit RC est donnée par:
\n$\\tau = R \\times C$
\nRemplacement des données:
\n$\\tau = 100 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-9}$
\n$\\tau = 10^5 \\times 10^{-7}$
\n$\\tau = 10^{-2}\\text{ s}$
\nRĂ©sultat:
\n$\\tau = 10\\text{ ms}$
\nLa durée de la phase de montée est calculée à partir du nombre de périodes d'horloge:
\n$t_1 = T_1 \\times T_{clk}$
\noù $T_{clk} = \\frac{1}{f_{clk}}$ est la période de l'horloge.
\n$T_{clk} = \\frac{1}{1 \\times 10^6} = 10^{-6}\\text{ s}$
\nRemplacement:
\n$t_1 = 2^{14} \\times 10^{-6}$
\n$t_1 = 16384 \\times 10^{-6}$
\n$t_1 = 0.016384\\text{ s}$
\nRĂ©sultat final:
\n$t_1 = 16.384\\text{ ms}$
\nCette constante de temps est relativement courte par rapport à la durée d'intégration, permettant une intégration linéaire efficace.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un convertisseur à double rampe, la relation entre la tension d'entrée et le nombre de coups comptés est:
\n$V_{in} = -V_{ref} \\times \\frac{N_2}{T_1}$
\nCette formule résulte du fait que les aires sous les courbes d'intégration des deux phases doivent être égales en valeur absolue.
\nRemplacement des données:
\n$V_{mesure} = -(-4) \\times \\frac{10240}{2^{14}}$
\n$V_{mesure} = 4 \\times \\frac{10240}{16384}$
\nCalcul de la fraction:
\n$\\frac{10240}{16384} = 0.625$
\nDonc:
\n$V_{mesure} = 4 \\times 0.625$
\nRĂ©sultat final:
\n$V_{mesure} = 2.5\\text{ V}$
\nCe résultat confirme la tension d'entrée spécifiée. Le convertisseur à double rampe offre l'avantage d'être insensible aux variations de $R$ et $C$, car ces composants interviennent de manière identique dans les deux phases.
\n\nSolution Question 3:
\nLa résolution effective dépend du nombre maximal de coups que le compteur peut enregistrer, qui correspond à $T_1$. La résolution en bits est:
\n$n = \\log_2(T_1)$
\nRemplacement des données:
\n$n = \\log_2(2^{14})$
\nPar propriété des logarithmes:
\n$n = 14$
\nRĂ©sultat final:
\n$n = 14\\text{ bits}$
\nLe quantum correspondant est:
\n$q = \\frac{|V_{ref}|}{2^n} = \\frac{4}{16384}$
\n$q = 0.000244140625\\text{ V}$
\n$q \\approx 0.244\\text{ mV}$
\nCette résolution de 14 bits offre une excellente précision pour un voltmètre numérique, permettant de distinguer des variations de l'ordre du quart de millivolt.
\n\nSolution Question 4:
\nLe temps total de conversion est la somme des deux phases:
\n$t_{total} = t_1 + t_2$
\noù $t_2$ est la durée de la phase de descente:
\n$t_2 = N_2 \\times T_{clk}$
\nRemplacement des données:
\n$t_2 = 10240 \\times 10^{-6}$
\n$t_2 = 0.01024\\text{ s} = 10.24\\text{ ms}$
\nLe temps total est:
\n$t_{total} = 16.384 + 10.24$
\n$t_{total} = 26.624\\text{ ms}$
\nLe taux de conversion maximal est:
\n$f_{conv} = \\frac{1}{t_{total,max}}$
\nLe temps maximal correspond Ă $N_2 = T_1 = 2^{14}$ (pleine Ă©chelle):
\n$t_{total,max} = 2 \\times t_1 = 2 \\times 16.384$
\n$t_{total,max} = 32.768\\text{ ms}$
\n$f_{conv} = \\frac{1}{32.768 \\times 10^{-3}}$
\nRĂ©sultat final:
\n$f_{conv} = 30.52\\text{ mesures/s} \\approx 30.5\\text{ mesures/s}$
\nCe taux relativement faible est typique des convertisseurs à double rampe, mais compensé par une excellente précision et un rejet efficace du bruit (particulièrement le bruit à 50/60 Hz si $T_1$ est un multiple de la période du réseau).
", "id_category": "2", "id_number": "19" }, { "category": "Les convertisseurs A/N et N/A", "question": "Un système de conversion sigma-delta ($\\Sigma\\Delta$) du premier ordre est utilisé dans un codec audio haute fidélité. Le modulateur fonctionne avec une fréquence de suréchantillonnage $f_s = 6.144\\text{ MHz}$ pour numériser un signal audio dont la bande passante maximale est $f_B = 24\\text{ kHz}$. Le système utilise une tension de référence $V_{ref} = 2.5\\text{ V}$ et produit un flux binaire 1-bit qui est ensuite décimé et filtré.
\n\nQuestion 1: Calculer le rapport de suréchantillonnage (OSR - Oversampling Ratio) du système.
\n\nQuestion 2: Pour un modulateur sigma-delta du premier ordre, le rapport signal sur bruit de quantification théorique est donné par la formule $\\text{SNR}_{dB} = 6.02 + 1.76 + 10\\log_{10}\\left(\\frac{3}{2}\\text{OSR}^3\\right)$. Calculer le SNR théorique de ce système en décibels.
\n\nQuestion 3: Déterminer la résolution effective en nombre de bits (ENOB - Effective Number of Bits) du système, sachant que $\\text{ENOB} = \\frac{\\text{SNR}_{dB} - 1.76}{6.02}$.
\n\nQuestion 4: Le filtre décimateur réduit la fréquence d'échantillonnage d'un facteur égal à l'OSR pour obtenir la fréquence de Nyquist. Calculer la fréquence d'échantillonnage finale $f_{out}$ après décimation et le débit binaire de sortie en bits par seconde si le système produit des échantillons de 16 bits après la décimation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLe rapport de suréchantillonnage (OSR) est défini comme le rapport entre la fréquence d'échantillonnage et la fréquence de Nyquist (deux fois la bande passante du signal):
\n$\\text{OSR} = \\frac{f_s}{2f_B}$
\noù $f_s$ est la fréquence de suréchantillonnage et $f_B$ est la bande passante du signal.
\nRemplacement des données:
\n$\\text{OSR} = \\frac{6.144 \\times 10^6}{2 \\times 24 \\times 10^3}$
\n$\\text{OSR} = \\frac{6.144 \\times 10^6}{48 \\times 10^3}$
\n$\\text{OSR} = \\frac{6144000}{48000}$
\nCalcul:
\n$\\text{OSR} = 128$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\text{OSR} = 128$
\nCe rapport de suréchantillonnage élevé est typique des convertisseurs sigma-delta audio, permettant d'obtenir une résolution et un SNR élevés malgré l'utilisation d'un quantificateur 1-bit.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un modulateur sigma-delta du premier ordre, le SNR théorique est:
\n$\\text{SNR}_{dB} = 6.02 + 1.76 + 10\\log_{10}\\left(\\frac{3 \\times \\text{OSR}^3}{2}\\right)$
\nCalculons d'abord l'argument du logarithme:
\n$\\frac{3 \\times \\text{OSR}^3}{2} = \\frac{3 \\times 128^3}{2}$
\n$128^3 = 128 \\times 128 \\times 128 = 2097152$
\n$\\frac{3 \\times 2097152}{2} = \\frac{6291456}{2} = 3145728$
\nLe logarithme décimal est:
\n$\\log_{10}(3145728) = 6.4977$
\nRemplacement dans la formule du SNR:
\n$\\text{SNR}_{dB} = 6.02 + 1.76 + 10 \\times 6.4977$
\n$\\text{SNR}_{dB} = 6.02 + 1.76 + 64.977$
\n$\\text{SNR}_{dB} = 72.757$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\text{SNR}_{dB} = 72.76\\text{ dB}$
\nCe SNR élevé démontre l'efficacité de la technique de mise en forme du bruit utilisée par les convertisseurs sigma-delta.
\n\nSolution Question 3:
\nLe nombre effectif de bits (ENOB) est calculé par:
\n$\\text{ENOB} = \\frac{\\text{SNR}_{dB} - 1.76}{6.02}$
\nRemplacement des données avec le SNR calculé précédemment:
\n$\\text{ENOB} = \\frac{72.76 - 1.76}{6.02}$
\n$\\text{ENOB} = \\frac{71}{6.02}$
\nCalcul:
\n$\\text{ENOB} = 11.794$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\text{ENOB} = 11.79\\text{ bits} \\approx 11.8\\text{ bits}$
\nCette résolution effective de presque 12 bits est remarquable pour un système utilisant un quantificateur 1-bit. La différence entre l'ENOB ($\\approx 12$ bits) et la sortie finale (16 bits) indique que les 4 bits supplémentaires proviennent du filtrage numérique et de la décimation, qui augmentent la résolution mais ne contribuent pas nécessairement au SNR dynamique.
\n\nSolution Question 4:
\nLa fréquence d'échantillonnage après décimation est obtenue en divisant la fréquence de suréchantillonnage par l'OSR:
\n$f_{out} = \\frac{f_s}{\\text{OSR}}$
\nRemplacement des données:
\n$f_{out} = \\frac{6.144 \\times 10^6}{128}$
\n$f_{out} = \\frac{6144000}{128}$
\nCalcul:
\n$f_{out} = 48000\\text{ Hz}$
\nRĂ©sultat:
\n$f_{out} = 48\\text{ kHz}$
\nCette fréquence correspond exactement à la fréquence de Nyquist ($2 \\times f_B = 2 \\times 24 = 48\\text{ kHz}$), ce qui est conforme au théorème d'échantillonnage.
\nLe débit binaire de sortie est:
\n$\\text{DĂ©bit} = f_{out} \\times n_{bits}$
\noĂą $n_{bits} = 16$ bits.
\nRemplacement:
\n$\\text{DĂ©bit} = 48000 \\times 16$
\n$\\text{DĂ©bit} = 768000\\text{ bits/s}$
\nRĂ©sultat final:
\n$\\text{DĂ©bit} = 768\\text{ kbps}$
\nCe dĂ©bit est standard pour l'audio numĂ©rique haute qualitĂ© (comparable Ă un CD audio qui utilise 44.1 kHz × 16 bits = 705.6 kbps). Le système offre donc une qualitĂ© audio professionnelle grâce au surĂ©chantillonnage et Ă la mise en forme du bruit du modulateur sigma-delta.
", "id_category": "2", "id_number": "20" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Exercice 2 : Analyse d’un convertisseur analogique-numĂ©rique Ă double rampe
Un convertisseur à double rampe dispose d'une tension d'entrée maximale $V_{in} = 10 \\,\\text{V}$ et d'un intervalle de comptage maximal $T_{max} = 20 \\,\\text{ms}$. La fréquence d'horloge utilisée pour la conversion est $f_{clk} = 1 \\,\\text{MHz}$.
Question 1 : Calculer la rĂ©solution temporelle (durĂ©e d’un tick) et le nombre maximal de ticks correspondant Ă $T_{max}$.
Question 2 : Déterminer la résolution en tension du convertisseur.
Question 3 : Si une tension de 3,5 V est mesurĂ©e, calculer le nombre de ticks nĂ©cessaire pendant l’intervalle de comptage.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Exercice 2
Question 1 : RĂ©solution temporelle et nombre maximal de ticks
1. RĂ©solution temporelle :
$t_{tick} = \\frac{1}{f_{clk}} = \\frac{1}{10^6} = 1\\,\\mu\\text{s}$.
2. Nombre maximal de ticks :
$N_{max} = \\frac{T_{max}}{t_{tick}} = \\frac{20 \\times 10^{-3}}{1 \\times 10^{-6}} = 20000$.
Question 2 : RĂ©solution en tension
1. RĂ©solution :
$\\Delta V = \\frac{V_{in}}{N_{max}} = \\frac{10}{20000} = 0{,}0005 \\,\\text{V} = 0{,}5 \\,\\text{mV}$.
Question 3 : Nombre de ticks pour 3,5 V
1. Calcul :
$N = \\frac{V_{mes}}{\\Delta V} = \\frac{3{,}5}{0{,}0005} = 7000$.
Résultat final : La résolution temporelle est $1 \\,\\mu\\text{s}$, le nombre maximal de ticks $20000$, et les ticks nécessaires pour $3{,}5 \\,\\text{V}$ sont $7000$.
", "id_category": "3", "id_number": "1" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Exercice 3 : Analyse d’un convertisseur numĂ©rique-analogique Ă rĂ©seau R/2R
Un convertisseur N/A à réseau R/2R est conçu avec une résolution de 8 bits et une tension d'alimentation maximale de 10 V.
Question 1 : Calculer la valeur du LSB en volts.
Question 2 : Pour une entrée numérique $D = 11001010_2$, calculer la tension de sortie analogique correspondante $V_{out}$.
Question 3 : Calculer le temps d'établissement minimal si la résistance de sortie est $R = 10\\,\\text{k}\\Omega$ et la capacité de charge $C = 100\\,\\text{pF}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Exercice 3
Question 1 : Calcul de la valeur du LSB
1. Formule :
$\\text{LSB} = \\frac{V_{max}}{2^N} = \\frac{10}{2^8} = \\frac{10}{256}$.
2. Calcul :
$\\text{LSB} = 0{,}03906\\,\\text{V} = 39{,}06\\,\\text{mV}$.
Question 2 : Conversion de la valeur binaire en tension analogique
1. Valeur binaire donnée :
$D = 11001010_2 = 202_{10}$.
2. Tension de sortie :
$V_{out} = D \\times \\text{LSB} = 202 \\times 0{,}03906 = 7{,}894\\,\\text{V}$.
Question 3 : Calcul du temps d'Ă©tablissement minimal
1. La constante de temps du circuit :
$\\tau = R \\times C = 10 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-12} = 1 \\times 10^{-6} \\,\\text{s} = 1 \\,\\mu\\text{s}$.
2. Le temps d'établissement minimal, approximé à 5 fois la constante de temps :
$t_{est} = 5 \\tau = 5 \\times 1 \\,\\mu\\text{s} = 5 \\,\\mu\\text{s}$.
RĂ©sultat final : Le LSB est de $39{,}06\\,\\text{mV}$, la tension analogique pour $D = 11001010_2$ est $7{,}894\\,\\text{V}$, et le temps d'Ă©tablissement minimal est $5 \\,\\mu\\text{s}$.
", "id_category": "3", "id_number": "2" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) à approximation successive (SAR) a une résolution de 10 bits et une plage de tension d'entrée de 0 à 5 V.\n\n1. Calculez la taille de quantification (LSB) en volts.\n2. Déterminez la tension d'entrée maximale qui donne une sortie numérique de 511 (en décimal).\n3. Si un signal analogique de 2.5 V est converti, quel sera le code numérique en décimal.\n4. Calculez l'erreur de quantification maximale pour ce convertisseur.\n5. Pour un signal analogique de 3.3 V, calculez la sortie numérique et l'erreur associée en volts.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Taille de quantification (LSB) :
\nFormule :
\n$LSB = \\frac{V_{plage}}{2^{N}} = \\frac{5}{2^{10}}$
\nCalcul :
\n$LSB = \\frac{5}{1024} = 4.88 \\times 10^{-3} \\, V$
\n\n2. Tension d'entrée maximale pour sortie 511 :
\nLe code 511 correspond Ă :
\n$V_{max} = LSB \\times 511 = 4.88 \\times 10^{-3} \\times 511 = 2.49 \\, V$
\n\n3. Code numérique pour signal 2.5 V :
\nOn divise :
\n$Code = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{LSB} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{2.5}{4.88 \\times 10^{-3}} \\right\\rfloor = 512$
\n\n4. Erreur de quantification maximale :
\n$\\pm \\frac{LSB}{2} = \\pm 2.44 \\times 10^{-3} \\, V$
\n\n5. Code numérique pour 3.3 V :
\nCalcul :
\n$Code = \\left\\lfloor \\frac{3.3}{4.88 \\times 10^{-3}} \\right\\rfloor = 676$
\nErreur en tension :
\n$V_{erreur} = 3.3 - (LSB \\times 676) = 3.3 - 3.298 = 0.002 \\, V$
", "id_category": "3", "id_number": "3" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) à réseau R-2R 8 bits a une tension de référence $V_{ref} = 10 \\, V$.\n\n1. Calculez la résolution en volts du convertisseur.\n2. Pour un code numérique de 170 (en décimal), calculez la tension analogique de sortie.\n3. Quel est le code numérique correspondant à une sortie analogique de 6.25 V ?\n4. Calculez le temps d'établissement si la constante de temps du circuit est $\\tau = 2 \\, \\mu s$.\n5. Déterminez la tension de sortie après un temps $t = 6 \\, \\mu s$ lors d'une transition d'une sortie faible à cette valeur calculée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Résolution :
\n$LSB = \\frac{V_{ref}}{2^N} = \\frac{10}{256} = 0.0391 \\, V$
\n\n2. Tension pour code 170 :
\n$V_{out} = LSB \\times Code = 0.0391 \\times 170 = 6.647 \\, V$
\n\n3. Code pour sortie 6.25 V :
\n$Code = \\frac{V_{out}}{LSB} = \\frac{6.25}{0.0391} = 159.84 \\approx 160$
\n\n4. Temps d'Ă©tablissement :
\nLa tension de sortie Ă©volue suivant :
\n$V(t) = V_{final} \\left(1 - e^{-t/\\tau}\\right)$
\n\n5. Tension Ă $t=6\\,\\mu s :
\n$V(6\\,\\mu s) = 6.25 \\times \\left(1 - e^{-6/2}\\right) = 6.25 \\times (1 - e^{-3}) = 6.25 \\times (1 - 0.0498) = 5.94 \\, V$
", "id_category": "3", "id_number": "4" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un circuit échantillonneur-bloqueur échantillonne un signal analogique de fréquence maximale 100 kHz. La constante de décharge est $\\tau = R C = 5 \\times 10^{-6} \\, s$.\n\n1. Calculez la période minimale $T_{min}$ pour un échantillonnage sans distorsion considérable (critère de Nyquist).\n2. Déterminez la fréquence d'échantillonnage minimale associée.\n3. Si la variation du signal pendant le temps de décharge ne doit pas dépasser 0.1 V, calculez la valeur maximale de l'amplitude du signal si $V_0 = 5\\, V$.\n4. Déterminez la tension de sortie du bloqueur après un temps égal à $3\\tau$ post échantillonnage.\n5. Calculez la constante de temps $\\tau$ nécessaire pour réduire la tension à moins de 1% du pic en $5 \\, \\mu s$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Période minimale (critère de Nyquist) :
\n$T_{min} = \\frac{1}{2 f_{max}} = \\frac{1}{2 \\times 100 \\times 10^{3}} = 5 \\times 10^{-6} \\, s$
\n\n2. Fréquence minimale d'échantillonnage :
\n$f_s = \\frac{1}{T_{min}} = 2 f_{max} = 200 \\, kHz$
\n\n3. Variation maximale pendant décharge :
\nLa tension décroît selon :
\n$V(t) = V_0 e^{-t/\\tau}$
\nPour $t = \\tau$,
\n$V(\\tau) = V_0 e^{-1} = V_0 / e$
\nPour une variation maximale $\\Delta V = 0.1\\,V$,
\nEt $V_0 = 5 \\, V$,
\nOn peut estimer l'amplitude maximale
\n$\\Delta V = V_0 (1 - e^{-T_{min}/\\tau}) \\approx 0.1 \\, V$
\nPar résolution ou approximation du signal.
\n\n4. Tension après $3\\tau$ :
\n$V(3 \\tau) = V_0 e^{-3} = 5 e^{-3} = 5 \\times 0.0498 = 0.249 \\, V$
\n\n5. Constante de temps pour réduction à 1% en 5 $\\mu s$ :
\nOn impose :
\n$V(t) = V_0 e^{-t/\\tau} = 0.01 V_0$
\nDonc :
\n$e^{-t/\\tau} = 0.01 \\Rightarrow -\\frac{t}{\\tau} = \\ln(0.01) \\Rightarrow \\tau = \\frac{t}{-\\ln(0.01)}$
\n\nRemplacement :
\n$\\tau = \\frac{5 \\times 10^{-6}}{4.605} = 1.085 \\times 10^{-6} \\, s$
", "id_category": "3", "id_number": "5" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) à approximmations successives (SAR) possède une résolution de 8 bits et une plage d'entrée de 0 à 5 V.\n\n1. Calculez la valeur de pas (valeur du quantum) \\(\\Delta V\\).\n\n2. Si le signal analogique d'entrée est de 3,2 V, déterminez la valeur numérique binaire fournie par le convertisseur.\n\n3. Calculez l'erreur de quantification maximale en volts.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul du pas \\(\\Delta V\\)
1. Formule générale :
\\( \\Delta V = \\frac{V_{plage}}{2^N} \\)
2. Remplacement :
\\( \\Delta V = \\frac{5}{2^8} = \\frac{5}{256} = 0.01953\\, V \\)
Question 2 : Calcul de la valeur numérique binaire
1. La valeur binaire correspond Ă :
\\( D = \\left\\lfloor \\frac{V_{entrée}}{\\Delta V} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{3.2}{0.01953} \\right\\rfloor = 163 \\)
2. En binaire, 163 correspond Ă \\(10100011_2\\).
Question 3 : Erreur de quantification maximale
1. L'erreur de quantification maximale est la moitié du pas :
\\( E_q = \\frac{\\Delta V}{2} = \\frac{0.01953}{2} = 0.00977\\, V \\)
", "id_category": "3", "id_number": "6" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) à réseau R-2R de résolution 4 bits a une tension de référence \\(V_{ref}=10 V\\).\n\n1. Calculez la résolution en volts \\(\\Delta V\\) du convertisseur.\n\n2. Déterminez la tension de sortie analogique pour une entrée numérique \\(D = 11_{10}\\).\n\n3. Calculez le temps d'établissement au régime permanent si la constante de temps \\(\\tau = 2\\,\\mu s\\).\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la résolution \\(\\Delta V\\)
1. Formule :
\\( \\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^N} \\)
2. Application :
\\( \\Delta V = \\frac{10}{2^4} = \\frac{10}{16} = 0.625 \\; V \\)
Question 2 : Calcul de la tension de sortie analogique
1. Valeur numérique décimale :
\\( D = 11 \\)
2. Tension de sortie :
\\( V_{out} = D \\times \\Delta V = 11 \\times 0.625 = 6.875 \\; V \\)
Question 3 : Calcul du temps d'Ă©tablissement
1. Temps d'Ă©tablissement Ă 5\\% :
\\( t_{s} \\approx 3 \\tau = 3 \\times 2 \\times 10^{-6} = 6 \\times 10^{-6} \\, s = 6 \\mu s \\)
", "id_category": "3", "id_number": "7" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un échantillonneur-bloqueur est utilisé avec une fréquence d'échantillonnage de 10 kHz pour numériser une grandeur analogique.\n\n1. Calculez la période d'échantillonnage \\(T_e\\).\n\n2. Si la constante de temps du circuit est \\(\\tau = 5\\, \\mu s\\), calculez le rapport de taux de décharge \\(\\frac{\\tau}{T_e}\\).\n\n3. Déterminez si le circuit satisfait au critère de conservation de l'information (\\(\\frac{\\tau}{T_e} > 10\\)).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la période d'échantillonnage \\(T_e\\)
1. Formule :
\\( T_e = \\frac{1}{f_e} \\)
2. Calcul :
\\( T_e = \\frac{1}{10 \\times 10^3} = 100 \\times 10^{-6} = 100 \\mu s \\)
Question 2 : Calcul du rapport \\(\\frac{\\tau}{T_e}\\)
1. Calcul avec \\(\\tau=5 \\mu s\\) :
\\( \\frac{\\tau}{T_e} = \\frac{5 \\mu s}{100 \\mu s} = 0.05 \\)
Question 3 : Vérification du critère de conservation d'information
1. Condition :
\\( \\frac{\\tau}{T_e} > 10 \\)
2. Conclusion :
\\(0.05 < 10\\), donc le critère n'est pas satisfait, la conservation d'information n'est pas garantie.
", "id_category": "3", "id_number": "8" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Exercice 1 – Conversion analogique-numĂ©rique par intĂ©gration simple.\n\nUn convertisseur A/N Ă intĂ©gration simple utilise un condensateur \\(C = 10 \\ nF\\) et une tension de rĂ©fĂ©rence \\(V_{ref} = 5 \\ V\\).\n\n1. Calculez la charge accumulĂ©e sur le condensateur durant la phase d'intĂ©gration pour une tension d'entrĂ©e \\(V_{in} = 3 \\ V\\) et un temps d'intĂ©gration \\(T_{int} = 100 \\ \\mu s\\).\n2. Durant la phase de dĂ©sintĂ©gration, la tension de rĂ©fĂ©rence est appliquĂ©e inversĂ©e. Calculez le temps de dĂ©sintĂ©gration \\(T_{dis}\\) si la tension opposĂ©e est constante Ă \\(V_{ref}\\).\n3. DĂ©terminez la rĂ©solution en bits pour une durĂ©e maximale de conversion \\(T_{max} = 400 \\ \\mu s\\).\n4. Calculez l’erreur de quantification si la rĂ©solution dĂ©duite est utilisĂ©e.\n5. Calculez la frĂ©quence maximale possible de conversion du convertisseur.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Charge accumulĂ©e
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nCharge accumulée :
\n2. Remplacement numérique :$Q = 10 \\times 10^{-9} \\times 3 = 3 \\times 10^{-8} \\ C$.
\n
\nQuestion 2 : Temps de désintégration \\(T_{dis}\\)
\n1. Pendant la désintégration, la charge \\(Q\\) diminue sous l'action de la tension inverse \\(V_{ref}\\) en temps proportionnel :\n$T_{dis} = \\frac{Q}{C \\times V_{ref}} T_{int} = \\frac{V_{in}}{V_{ref}} T_{int}$.
\n2. Calcul :$T_{dis} = \\frac{3}{5} \\times 100 \\times 10^{-6} = 60 \\ \\mu s$.
\n
\nQuestion 3 : RĂ©solution en bits
\n1. Le temps total de conversion :\n$T_{tot} = T_{int} + T_{dis} = 100 + 60 = 160 \\ \\mu s $.
\n2. La résolution peut être déterminée par :\n$T_{tot} \\times 2^n = T_{max} \\Rightarrow n = \\log_2{\\frac{T_{max}}{T_{tot}}}$.
\n3. Substitution :\n$n = \\log_2 \\frac{400}{160} = \\log_2 (2.5) = 1.32 \\, \\text{bits}$.
\nCeci étant incompatible avec un vrai convertisseur, on reprend la méthode avec une durée correspondante à \\(2^n < \\frac{T_{max}}{T_{tot}}\\)
\n
\nQuestion 4 : Erreur de quantification
\n1. L'erreur de quantification est donnée par :\n$E_q = \\frac{V_{ref}}{2^n}$.
\nAvec \\(n = 8\\) (proche valeur typique),\n$E_q = \\frac{5}{2^8} = 0.0195 \\ V$.
\n
\nQuestion 5 : Fréquence maximale de conversion
\n1. FrĂ©quence sportive d'Ă©chantillonnage :\n$f_{max} = \\frac{1}{T_{max}} = \\frac{1}{400 \\times 10^{-6}} = 2500 \\ Hz$.", "id_category": "3", "id_number": "9" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Exercice 2 – Convertisseur Ă approximations successives (SAR).\n\nUn convertisseur SAR possède une rĂ©solution de 10 bits, une tension de rĂ©fĂ©rence \\(V_{ref} = 5 V\\), et un temps de conversion de \\(10 \\ \\mu s\\).\n\n1. Calculez la tension correspondant Ă une unitĂ© de poids (1 LSB).\n2. DĂ©terminez la valeur numĂ©rique binaire pour une tension d'entrĂ©e \\(V_{in} = 3.2 V\\).\n3. Calculez l'erreur maximale due Ă la quantification.\n4. Quelle est la frĂ©quence maximum d'Ă©chantillonnage possible si on applique un taux de conversion double ?\n5. Calculez la tension de sortie d'un DAC R-2R 10 bits connectĂ© Ă la sortie numĂ©rique \\(1011001100\\) (binaire).\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Calcul du LSB
\n1. Formule :$LSB = \\frac{V_{ref}}{2^{n}}$.
\n2. Calcul :$LSB = \\frac{5}{2^{10}} = 0.00488 V$.
\n
\nQuestion 2 : Calcul de la valeur numérique binaire
\n1. Valeur numérique :
\n2. Valeur binaire : 656 en binaire est \\(1010010000_2\\).
\n
\nQuestion 3 : Erreur maximale quantification
\n1. L'erreur maximale correspond Ă :\n$\\pm \\frac{LSB}{2} = \\pm 0.00244 V$.
\n
\nQuestion 4 : Fréquence maximale d'échantillonnage
\n1. Avec un temps de conversion de \\(10 \\ \\mu s\\), la fréquence maximale est :\n$f_{max} = \\frac{1}{10 \\times 10^{-6}} = 100000 \\ Hz = 100 kHz$.
\n2. Si on double la vitesse :\n$f_{max, double} = 2 \\times 100 kHz = 200 kHz$.
\n
\nQuestion 5 : Tension de sortie du DAC
\n1. Conversion binaire en décimal :\n$1011001100_2 = 716$.(calcul des poids)
\n2. Tension :\n$V_{out} = LSB \\times Digital = 0.00488 \\times 716 = 3.495 V$.", "id_category": "3", "id_number": "10" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Exercice 3 – Analyse d’un convertisseur numĂ©rique-analogique R-2R et circuit Ă©chantillonneur-bloqueur.\n\nUn convertisseur N/A R-2R est alimentĂ© avec une tension de rĂ©fĂ©rence \\(V_{ref} = 10 V\\) et a une rĂ©solution de 8 bits.\n\n1. Calculez la valeur de la rĂ©sistance \\(R\\) si la rĂ©sistance Ă©quivalente totale est de \\(20 k\\Omega\\).\n2. Calculez la tension de sortie pour un mot numĂ©rique \\(D = 11001010_2\\).\n3. Calculez le temps d’Ă©tablissement si le condensateur de sortie est \\(C = 100 pF\\) et la rĂ©sistance de sortie effective est \\(R_{out} = 1 k\\Omega\\).\n4. DĂ©terminez le taux de dĂ©charge du circuit Ă©chantillonneur-bloqueur avec rĂ©sistance \\(R_b = 50 k\\Omega\\) et capacitĂ© \\(C_b = 1 nF\\).\n5. Calculez le temps maximal de maintien \\(T_m\\) si la tension doit rester stable Ă \\(\\pm 1\\%\\) pendant ce temps.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Calcul de la résistance \\(R\\)
\n1. Dans un réseau R-2R de \\(n\\) bits, la résistance équivalente est :
\n2. Pour \\(R_{eq} = 20 k\\Omega\\) :\n$R = \\frac{R_{eq}}{2} = 10 k\\Omega$.
\n
\nQuestion 2 : Tension de sortie pour \\(D = 11001010_2\\)
\n1. Conversion du mot numérique en décimal :\n$D = 1 \\times 2^7 + 1 \\times 2^6 + 0 + 0 + 1 \\times 2^3 + 0 + 1 \\times 2^1 + 0 = 128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 202$.
\n2. Calcul du LSB :\n$LSB = \\frac{V_{ref}}{2^8} = \\frac{10}{256} = 0.03906 V$.
\n3. Tension de sortie :\n$V_{out} = LSB \\times D = 0.03906 \\times 202 = 7.89 V$.
\n
\nQuestion 3 : Temps d’Ă©tablissement \\(\\tau\\)
\n1. Constante de temps :\n$\\tau = R_{out} \\times C = 1 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-12} = 100 \\ ns$.
\n
\nQuestion 4 : Taux de décharge du circuit échantillonneur-bloqueur
\n1. Constante de temps :\n$\\tau_b = R_b \\times C_b = 50 \\times 10^{3} \\times 1 \\times 10^{-9} = 50 \\ \\mu s$.
\n
\nQuestion 5 : Temps maximal de maintien \\(T_m\\)
\n1. L’Ă©quation de dĂ©charge est :\n$V(t) = V_0 e^{-t/\\tau_b}$.
\n2. Pour une variation maximale de \\(\\pm 1\\%\\),\n$0.99 V_0 = V_0 e^{-T_m/\\tau_b} \\Rightarrow T_m = -\\tau_b \\ln 0.99 = 0.01 \\times 50 = 0.5 \\ \\mu s$.", "id_category": "3", "id_number": "11" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "On considère un convertisseur analogique-numérique (CAN) à approximations successives de résolution $n = 8$ bits et une tension de référence $V_{ref} = 5~V$.\n1. Calculez la taille de la pleine échelle (pas de quantification) $\\Delta V$.\n2. Quel est le nombre maximal de niveaux quantifiés $N_{niv}$ et la plus petite variation de tension détectable.\n3. Si le signal analogique d'entrée est $V_{in} = 3.3~V$, déterminez la valeur numérique binaire associée à la sortie.\n4. En supposant une erreur de gain de 1 %, calculez la valeur maximale d'erreur sur la sortie en volts.\n5. Déterminez la résolution effective (ENOB) si le bruit de quantification est équivalent à une erreur RMS de $0.1 \\Delta V$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Taille du pas de quantification :
Formule :
$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{5}{2^8} = \\frac{5}{256}$
Calcul :
$\\Delta V = 0.01953~V = 19.53~mV$
2. Nombre maximal de niveaux :
$N_{niv} = 2^n = 256$
La plus petite variation détectable est
$\\Delta V$, calculée en 1.
3. Valeur numérique binaire pour $V_{in} = 3.3~V$ :
Calcul de l'indice :
$Indice = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{\\Delta V} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{3.3}{0.01953} \\right\\rfloor = 168$
Valeur binaire :
$168_{10} = 10101000_2$
4. Erreur maximale de gain :
$\\epsilon_{gain} = 0.01 \\times V_{in} = 0.033~V$
5. RĂ©solution effective ENOB :
Formule :
$ENOB = n - \\log_2\\left( \\frac{\\epsilon_{noise}}{\\Delta V} \\right)$
Avec
$\\epsilon_{noise} = 0.1 \\Delta V = 0.001953~V$
Calcul :
$ENOB = 8 - \\log_2(0.1) = 8 + 3.32 = 11.32$
Mais ENOB ne peut excéder la résolution nominale :
$\\Rightarrow ENOB = 8$
", "id_category": "3", "id_number": "12" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) à résistance pondérée 8 bits utilise une tension de référence $V_{ref} = 10~V$.\n1. Calculez la taille du pas de conversion en volts.\n2. Quelle tension de sortie correspond au mot binaire $11001010_2$ ?\n3. Si le temps d'établissement est $5~\\mu s$, quelle est la fréquence maximale de signal compatible ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Taille de pas :
$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{10}{256} = 0.03906~V$
2. Conversion du mot binaire :
$11001010_2 = 128 + 64 + 8 + 2 = 202$
Tension de sortie :
$V_{out} = 202 \\times \\Delta V = 202 \\times 0.03906 = 7.89~V$
3. Fréquence maximale :
$f_{max} = \\frac{1}{2 \\times t_{Ă©tablissement}} = \\frac{1}{2 \\times 5 \\times 10^{-6}} = 100~kHz$
", "id_category": "3", "id_number": "13" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un circuit échantillonneur-bloqueur possède une capacité d'entrée $C = 10~pF$ et une résistance de décharge $R = 1~k\\Omega$. On souhaite échantillonner un signal périodique avec une fréquence $f_s = 100~kHz$.\n1. Calculez la constante de temps $\\tau = RC$ du circuit.\n2. Vérifiez si le critère de décharge $t_s < 0.1 \\tau$ est respecté, considérant $t_s = \\frac{1}{f_s}$.\n3. Déterminez la charge mémorisée et la tension de sortie pour une tension d'entrée maximale $V_{in} = 5~V$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Calcul de la constante de temps :
$\\tau = R C = 1000 \\times 10 \\times 10^{-12} = 10^{-8}~s = 10~ns$
2. PĂ©riode d'Ă©chantillonnage :
$t_s = \\frac{1}{f_s} = \\frac{1}{100 \\times 10^{3}} = 10^{-5}~s = 10~\\mu s$
Comparaison :
$t_s = 10~\\mu s, \\quad 0.1 \\tau = 1~ns$
Condition
$t_s < 0.1 \\tau$ n'est pas respectée car
$10~\\mu s > 1~ns$.
3. Charge et tension :
Charge stockée :
$Q = C V_{in} = 10 \\times 10^{-12} \\times 5 = 5 \\times 10^{-11}~C$
Tension sortie idéale :
$V_{out} = V_{in} = 5~V$
", "id_category": "3", "id_number": "14" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Considérons un convertisseur analogique-numérique (CAN) à approximations successives avec une résolution de 8 bits et une plage de conversion de 0 à 5 V.1. Calculez la résolution en volts par bit du CAN.
2. Si le signal d'entrée est de 2.73 V, déterminez la valeur numérique codée par le CAN.
3. Calculez l'erreur de quantification maximale associée à ce CAN.
4. Pour un signal d'entrée maximal, calculez l'erreur relative de quantification en pourcentage.
5. Si le CAN possède une erreur de gain de 0.5 %, calculez l'impact de cette erreur sur la valeur de sortie pour un signal de 3.6 V.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. RĂ©solution du CAN
1. La résolution en volts par bit est donnée par :
$ V_{res} = \\frac{V_{plage}}{2^N - 1} $ oĂą $ N = 8 $ et $ V_{plage} = 5 \\; V$.
2. Calcul :
$ V_{res} = \\frac{5}{255} = 0.01961 \\; V/bit$.
2. Valeur numérique codée pour 2.73 V
1. Nombre de bits codés :
$ Code = \\mathrm{round}\\left( \\frac{V_{in}}{V_{res}} \\right) = \\mathrm{round}\\left(\\frac{2.73}{0.01961}\\right) = 139$.
3. Erreur de quantification maximale
1. Elle vaut : $ \\pm \\frac{V_{res}}{2} = \\pm 0.0098 \\; V$.
4. Erreur relative sur signal maximal
1. L'erreur relative est : $ \\frac{0.0098}{5} \\times 100 = 0.196 \\% $.
5. Impact erreur de gain de 0.5%
1. L'erreur de gain affecte la tension d'entrée effective :
$ \\Delta V = V_{in} \\times 0.005 = 3.6 \\times 0.005 = 0.018 \\; V $.
2. En nombre de bits : $ \\Delta Code = \\frac{0.018}{0.01961} = 0.918 \\approx 1 \\; bit$.
3. Cet écart peut entraîner une erreur d'un bit dans la sortie numérique.
1. Calculez la valeur de la tension de sortie pour un code numérique de 512.
2. Quel est le pas de quantification (résolution en volts) pour ce CNA ?
3. Calculez la tension de sortie si le code binaire est au maximum (1023).
4. Si à cause d'une erreur de décalage, une tension fixe de 20 mV est ajoutée à la sortie, calculez l'erreur relative en pourcentage pour une sortie nominale de 5 V.
5. Déterminez la précision en bits effective du CNA en considérant cette erreur de décalage.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de la tension de sortie pour le code 512
1. Formule :
$ V_{out} = V_{ref} \\times \\frac{Code}{2^N - 1} $, avec $ N = 10 $.
2. Remplacement : $ V_{out} = 10 \\times \\frac{512}{1023} = 5.005 \\; V$.
2. Pas de quantification
1. Formule : $ V_{res} = \\frac{V_{ref}}{2^N - 1} = \\frac{10}{1023} = 9.775 \\times 10^{-3} \\; V$.
3. Tension de sortie pour code maximal 1023
1. Calcul : $ V_{out max} = 10 \\times \\frac{1023}{1023} = 10 \\; V$.
4. Erreur relative due à une erreur de décalage de 20 mV
1. Erreur relative : $ \\epsilon = \\frac{0.02}{5.005} \\times 100 = 0.399 \\% $.
5. Précision effective en bits
1. Calcul : la précision effective soit $ N_{eff} = \\log_2 \\left( \\frac{V_{ref}}{V_{res} + V_{erreur}} \\right)$, où $ V_{erreur} = 0.02 $.
2. Calcul numérique : $ N_{eff} = \\log_2 \\left( \\frac{10}{9.775 \\times 10^{-3} + 0.02} \\right) = \\log_2(322.58) = 8.33 \\; bits$.
1. Calculez la constante de temps $\\tau = RC$.
2. Si l'échantillonnage se fait toutes les $\\displaystyle T_s = 10 \\; \\mu s$, calculez le taux de décharge en pourcentage du condensateur entre deux échantillons.
3. Déterminez la tension retenue après un intervalle de temps $t = 50 \\; \\mu s$ si la tension initiale $V_0 = 5 \\; V$.
4. Calculez la tension d'erreur maximale sur un signal maximal de $5 \\; V$ dû au taux de décharge.
5. En vue d'une précision de 1 %, calculez la valeur maximale admissible de la résistance de fuite équivalente.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de la constante de temps \\( \\tau \\)
1. Formule : \n$ \\tau = R \\times C $.
2. Remplacement : $ \\tau = 10 \\times 10^{6} \\times 100 \\times 10^{-12} = 1 \\times 10^{-3} \\; s = 1 \\; ms$.
2. Calcul du taux de décharge entre échantillons
1. La tension décroit comme : $ V(t) = V_0 e^{-t/\\tau} $.
2. Le taux de décharge sur un intervalle $ T_s = 10 \\times 10^{-6} \\; s $ est :
$ \\delta = 1 - e^{-T_s/\\tau} = 1 - e^{-10^{-5}/10^{-3}} = 1 - e^{-0.01} = 1 - 0.99005 = 0.00995$, soit 0.995 %.
3. Tension retenue après 50 us
1. Calcul : $ V(50 \\mu s) = 5 \\times e^{-50 \\times 10^{-6} / 10^{-3}} = 5 \\times e^{-0.05} = 5 \\times 0.9512 = 4.756 \\; V$.
4. Tension d'erreur due au taux de décharge
1. Erreur maximale : $ \\Delta V = V_0 - V(50 \\mu s) = 5 - 4.756 = 0.244 \\; V$.
5. Valeur maximale admissible de résistance de fuite pour 1% de précision
1. La précision impose : $ \\delta = 1 - e^{-T_s/\\tau} \\leq 0.01$.
2. En approximant pour petits arguments : $ \\delta \\approx \\frac{T_s}{\\tau} = \\frac{T_s}{RC} \\leq 0.01$. Donc : $ R \\geq \\frac{T_s}{0.01 \\times C} = \\frac{10 \\times 10^{-6}}{0.01 \\times 100 \\times 10^{-12}} = 10 \\; M\\Omega$.
3. Conclusion : la valeur actuelle de 10 MΩ est juste suffisante pour maintenir une précision de 1 % entre échantillons.
1) Calculez la taille de l'Ă©chelon de quantification $\\Delta V$ du CAN.
2) Pour une tension d'entrée analogique $V_{in} = 3.2\\,\\mathrm{V}$, calculez la valeur numérique convertie (en décimal).
3) Calculez l'erreur de quantification maximum en volts.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Taille de l'Ă©chelon de quantification :
\n$ \\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^{N}} $ où $N = 12$ est la résolution en bits.
\nRemplacement :
\n$ \\Delta V = \\frac{5}{2^{12}} = \\frac{5}{4096} = 0.0012207 \\mathrm{V} = 1.22 \\mathrm{mV} $.
\n\n2. Valeur numérique convertie :
\n$ V_{in} = 3.2 V $, on divise par la taille d'Ă©chelon :
\n$ \\text{Valeur numérique} = \\mathrm{round} \\left( \\frac{V_{in}}{\\Delta V} \\right) = \\mathrm{round} \\left( \\frac{3.2}{0.0012207} \\right) = 2621 $.
\n\n3. Erreur de quantification maximum :
\nElle est inférieure à la moitié de l'échelon :
\n$ E_{max} = \\frac{\\Delta V}{2} = 0.610 \\mathrm{mV} $.
", "id_category": "3", "id_number": "18" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) à réseau R/2R utilise une entrée binaire de 8 bits avec une tension d'alimentation $V_{ref} = 10\\,\\mathrm{V}$.1) Calculez la résolution en volts par bit du CNA.
2) Calculez la tension de sortie $V_{out}$ pour la valeur binaire $10110110_2$.
3) Calculez le temps d'Ă©tablissement du CNA si le temps unitaire par Ă©tape est $100\\,\\mathrm{ns}$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. RĂ©solution du CNA :
\n$ \\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^N} $ avec $N = 8$.
\nRemplacement :
\n$ \\Delta V = \\frac{10}{256} = 0.03906 \\mathrm{V} $.
\n\n2. Calcul de $V_{out}$ pour $10110110_2$ :
\nConversion binaire en décimal :
\n$ 10110110_2 = 1 \\times 2^7 + 0 \\times 2^6 + 1 \\times 2^5 + 1 \\times 2^4 + 0 \\times 2^3 + 1 \\times 2^2 + 1 \\times 2^1 + 0 \\times 2^0 = 182 $.
\nTension de sortie :
\n$ V_{out} = 182 \\times \\Delta V = 182 \\times 0.03906 = 7.11 \\mathrm{V} $.
\n\n3. Temps d'Ă©tablissement :
\nSi chaque Ă©tape demande $100\\,\\mathrm{ns}$, le temps total est :
\n$ t_s = N \\times 100 \\mathrm{ns} = 8 \\times 100 \\mathrm{ns} = 800 \\mathrm{ns} $.
", "id_category": "3", "id_number": "19" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un circuit échantillonneur-bloqueur possède une constante de temps de décharge $\\tau = R C = 100\\,\\mathrm{ns}$.1) Calculez la tension résiduelle $V_{res}$ après un temps de blocage $T_b = 300\\,\\mathrm{ns}$ si la tension initiale est $V_0 = 5\\,\\mathrm{V}$.
2) Si le signal d'entrée change toutes les $500\\,\\mathrm{ns}$, déterminez si le circuit est adéquat.
3) Calculez la fréquence maximale d'échantillonnage $f_{max}$ pour garder un $V_{res} < 0.1 V$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Tension résiduelle :
\n$ V_{res} = V_0 e^{-\\frac{T_b}{\\tau}} $.
\nRemplacement :
\n$ V_{res} = 5 e^{-\\frac{300}{100}} = 5 e^{-3} = 5 \\times 0.0498 = 0.249 \\mathrm{V} $.
\n\n2. Adéquation :
\nLe signal change toutes les 500 ns alors que le temps de blocage est 300 ns. La tension résiduelle est $0.249 V > 0.1 V$ donc inadéquate si on veut $V_{res} < 0.1 V$.
\n\n3. Fréquence maximale :
\nOn veut :
\n$ V_{res} = V_0 e^{-\\frac{1/f_{max}}{\\tau}} < 0.1 $ soit :
\n$ e^{-\\frac{1}{f_{max} \\tau}} < \\frac{0.1}{5} = 0.02 $.
\nOn prend le logarithme :
\n$ -\\frac{1}{f_{max} \\tau} < \\ln(0.02) = -3.912$ donc :
\n$ f_{max} > \\frac{1}{3.912 \\times \\tau} = \\frac{1}{3.912 \\times 100 \\times 10^{-9}} = 2.56 \\mathrm{MHz} $.
", "id_category": "3", "id_number": "20" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur analogique-numĂ©rique (CAN) Ă approximations successives (SAR) a une rĂ©solution de 10 bits et une plage d'entrĂ©e de 0 Ă 5 V.\\n\\n1. Calculez la valeur de la rĂ©solution en volts (quantification).\\n\\n2. Quelle est la tension de sortie numĂ©rique pour une entrĂ©e analogique de 3,2 V ?\\n\\n3. Si la tension d’entrĂ©e a un dĂ©calage (offset) de 50 mV, calculez l'erreur de dĂ©callage en LSB et en volts.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. RĂ©solution en volts :
$\\text{Résolution} = \\frac{V_{max} - V_{min}}{2^{n}} = \\frac{5 - 0}{2^{10}} = \\frac{5}{1024} = 4,88 \\times 10^{-3} \\, V$2. Valeur numérique binaire :
$Code = \\left\\lfloor \\frac{V_{entrée}}{\\text{Résolution}} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{3,2}{4,88 \\times 10^{-3}} \\right\\rfloor = 655$3. Erreur de décalage :
$\\text{Erreur en volts} = 50 \\times 10^{-3} \\, V = 0,05 \\, V$$\\text{Erreur en LSB} = \\frac{0,05}{4,88 \\times 10^{-3}} \\approx 10,25$
L’erreur correspond Ă plus de 10 LSB.
", "id_category": "3", "id_number": "21" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) R-2R a une résolution de 8 bits et une tension de référence \\(V_{ref} = 10\\,V\\).\\n\\n1. Calculez la valeur de l'incrément minimal de sortie (la résolution du CNA).\\n\\n2. Quelle est la tension de sortie pour un mot binaire d'entrée \\(10110100_2\\) ?\\n\\n3. Si le temps d'établissement du CNA est \\(2 \\, \\mu s\\), quelle est la fréquence maximale de conversion ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Résolution :
$\\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^n} = \\frac{10}{256} = 0,03906 \\, V$2. Conversion du mot binaire \\(10110100_2\\) en décimal :
$10110100_2 = 180_{10}$Tension de sortie :
$V_{out} = 180 \\times 0,03906 = 7,031 \\, V$3. Fréquence maximale :
$f_{max} = \\frac{1}{t_{Ă©tablissement}} = \\frac{1}{2 \\times 10^{-6}} = 500 \\, kHz$", "id_category": "3", "id_number": "22" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur Ă double rampe est conçu pour mesurer une tension d’entrĂ©e maximale de 12 V, avec une tension de rĂ©fĂ©rence de 5 V et une rĂ©solution de 12 bits.\\n\\n1. Calculez la durĂ©e maximale d’intĂ©gration \\(T_{int}\\) si le compteur fonctionne Ă 1 MHz.\\n\\n2. DĂ©terminez le nombre maximum de pas de comptage \\(N_{max}\\) correspondant Ă la rĂ©solution.\\n\\n3. Pour une tension d’entrĂ©e de 7,5 V, calculez la durĂ©e d’intĂ©gration \\(T_{mesure}\\) et le nombre de pas du compteur associĂ©.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. DurĂ©e maximale d’intĂ©gration :
$T_{int} = \\frac{2^n - 1}{f_{compteur}} = \\frac{4095}{1 \\times 10^6} = 4,095 \\, ms$2. Nombre maximum de pas:
$N_{max} = 2^{12} - 1 = 4095$3. Temps d’intĂ©gration pour \\(V_{mesure} = 7,5 V\\) :
$T_{mesure} = T_{int} \\times \\frac{V_{mesure}}{V_{max}} = 4,095 \\, ms \\times \\frac{7,5}{12} = 2,56 \\, ms$Nombre de pas comptés : $N_{compté} = N_{max} \\times \\frac{V_{mesure}}{V_{max}} = 4095 \\times \\frac{7,5}{12} = 2560$
Cela correspond à la valeur numérique mesurée.
", "id_category": "3", "id_number": "23" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur analogique-numérique (CAN) à approximations successives (SAR) a une résolution de $ N = 8 $ bits et une plage d'entrée analogique de $ V_{ref} = 5 \\text{ V} $. \n\n1) Calculez la valeur du pas de quantification $ \\Delta V $ du CAN.\n\n2) Pour un signal d'entrée $ V_{in} = 2,73 \\text{ V} $, déterminez la valeur numérique de sortie de ce CAN.\n\n3) Calculez l'erreur de quantification maximale théorique associée à ce CAN.\n\n4) Expliquez comment la résolution affecte la précision et la vitesse de conversion dans un CAN SAR.\n\n5) Si le CAN a un temps de conversion total de $ t_{conv} = 10 \\mus $, calculez la fréquence d'échantillonnage maximale possible.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1) Le pas de quantification est donné par :
$ \\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^N} $.
Remplacement :
$ \\Delta V = \\frac{5}{2^8} = \\frac{5}{256} = 0.01953 \\text{ V} $.
2) Pour un signal d'entrée de $ V_{in} = 2.73 \\text{ V} $, la sortie numérique
$ D = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}}{\\Delta V} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor \\frac{2.73}{0.01953} \\right\\rfloor = 139 $.
3) L'erreur maximale de quantification est inférieure à la moitié du pas de quantification :
$ e_{max} = \\frac{\\Delta V}{2} = 0.00977 \\text{ V} $.
4) La résolution détermine la finesse de la discrétisation des signaux analogiques en valeurs numériques, elle influe sur la précision. Une résolution élevée nécessite plus d'étapes de conversion, ce qui peut réduire la vitesse de conversion dans un CAN SAR.
5) La fréquence d'échantillonnage maximale est l'inverse du temps de conversion :
$ f_s = \\frac{1}{t_{conv}} = \\frac{1}{10 \\times 10^{-6}} = 100 \\text{ kHz} $.
", "id_category": "3", "id_number": "24" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un convertisseur numérique-analogique (CNA) utilise un réseau R-2R avec une résolution de 10 bits alimenté par une tension de référence $ V_{ref} = 10 \\text{ V} $. \n\n1) Calculez la valeur de sortie analogique maximale.\n\n2) Quelle est la valeur analogique de sortie pour une entrée numérique égale à 512 (milieu de l'échelle) ?\n\n3) Calculez le pas de sortie du CNA, et l'erreur de non-linéarité maximale supposée égale à un demi-pas.\n\n4) Expliquez l'impact du temps d'établissement de sortie sur la performance du CNA.\n\n5) En considérant un temps d'établissement de $ 1 \\; \\mu\\text{s} $, déterminez la fréquence maximale de conversion si 3 temps d'établissement sont nécessaires pour un fonctionnement correct.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1) La sortie maximale correspond à l'entrée numérique maximale
$ D_{max} = 2^{10} - 1 = 1023 $.
La valeur maximale de sortie est :
$ V_{out,max} = V_{ref} \\times \\frac{D_{max}}{2^{10} - 1} = 10 \\times 1 = 10 \\text{ V} $.
2) Pour une entrée numérique de $ D=512 $ :
$ V_{out} = 10 \\times \\frac{512}{1023} = 5.005 \\text{ V} $.
3) Le pas du CNA est :
$ \\Delta V = \\frac{V_{ref}}{2^{10} - 1} = \\frac{10}{1023} = 9.775 \\times 10^{-3} \\text{ V} $.
L'erreur maximale est donc :
$ e_{max} = \\frac{\\Delta V}{2} = 4.887 \\times 10^{-3} \\text{ V} $.
4) Le temps d'établissement limite la vitesse à laquelle la sortie peut suivre les changements d'entrée. Un temps d'établissement trop long provoque des erreurs et des distorsions dans la conversion.
5) Si 3 temps d'Ă©tablissement
$ t_{ea} = 3 \\times 1 \\mu s = 3 \\mu s $ sont nécessaires, la fréquence maximale est :
$ f_{max} = \\frac{1}{t_{ea}} = \\frac{1}{3 \\times 10^{-6}} = 333.3 \\text{ kHz} $.
", "id_category": "3", "id_number": "25" }, { "category": " Les convertisseurs A/N et N/A ", "question": "Un circuit échantillonneur-bloqueur est utilisé pour numériser un signal analogique variable entre 0 et 5 V avec une fréquence d'échantillonnage de $ 100 \\text{ kHz} $. \n\n1) Calculez la durée d'échantillonnage $ t_s $ compatible avec cette fréquence.\n\n2) Si la constante de temps de décharge du condensateur est $ \\tau = 10 \\; \\mu s $, vérifiez si le condensateur peut maintenir la tension pendant le temps d'échantillonnage.\n\n3) Déterminez la variation de tension maximale acceptable durant l'échantillonnage pour garantir une erreur inférieure à 0,5 % de la pleine échelle (5 V).\n\n4) Calculez la constante de temps minimale requise du condensateur pour respecter cette exigence.\n\n5) Expliquez l'effet d'une constante de temps trop faible sur la précision des conversions numériques.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1) La durée d'échantillonnage est l'inverse de la fréquence :
$ t_s = \\frac{1}{f_s} = \\frac{1}{100 \\times 10^{3}} = 10 \\; \\mu s $.
2) La tension sur le condensateur décroît selon :
$ V(t) = V_0 e^{-t/\\tau} $. Pour maintenir la tension pendant $ t_s $, il faut que :
$ \\frac{V_0 - V(t_s)}{V_0} \\leq 0.5\\% = 0.005 $.
Donc :
$ 1 - e^{-t_s/\\tau} \\leq 0.005 \\Rightarrow e^{-t_s/\\tau} \\geq 0.995 $.
Avec $ t_s = 10 \\mu s \\text{ et } \\tau = 10 \\mu s $ :
$ e^{-10/10} = e^{-1} = 0.3679 $, ce qui est trop faible ; donc la chute est trop importante.
3) La variation maximale acceptable en volts est :
$ \\Delta V_{max} = 0.005 \\times 5 = 0.025 \\text{ V} $.
4) On détermine la constante de temps minimale :
$ e^{-t_s/\\tau} \\geq 1 - \\frac{\\Delta V_{max}}{V_0} = 0.995 $,
$ -\\frac{t_s}{\\tau} \\geq \\ln(0.995) = -0.0050125 $,
$ \\tau \\geq \\frac{t_s}{0.0050125} = \\frac{10 \\times 10^{-6}}{0.0050125} = 1.995 \\times 10^{-3} = 1995 \\; \\mu s $.
5) Une constante de temps trop faible entraîne une chute rapide de la tension pendant l'échantillonnage, provoquant des erreurs importantes dans la valeur échantillonnée et donc une dégradation de la précision du convertisseur numérique.
", "id_category": "3", "id_number": "26" }, { "category": "Circuits Ă deux Ă©tats: Les multivibrateurs", "question": "Exercice 1 : Multivibrateur astable Ă transistors\nUn multivibrateur astable Ă transistors NPN est construit avec $R_1 = R_2 = 47\\,k\\Omega$, $C_1 = C_2 = 1\\,nF$. L’alimentation vaut $V_{CC} = 10\\,V$.\n1. Calculez la pĂ©riode d’oscillation du circuit.\n2. DĂ©terminez le rapport cyclique pour ce montage.\n3. Si l’on souhaite une frĂ©quence $f = 20\\,kHz$ avec le mĂŞme rapport cyclique, quelles valeurs de $R$ faut-il utiliser (en conservant $C_1 = C_2 = 1\\,nF$) ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : PĂ©riode d’oscillation
1. Formule : $T = 0.693 \\cdot (R_1 C_1 + R_2 C_2)$
2. $R_1 = R_2 = 47\\,000\\,\\Omega$, $C_1 = C_2 = 1 \\times 10^{-9}\\,F$
3. $T = 0.693 \\cdot [47,000 \\cdot (1 \\times 10^{-9}) + 47,000 \\cdot (1 \\times 10^{-9})]$
4. $T = 0.693 \\cdot 94,000 \\cdot 10^{-9} = 0.693 \\cdot 94 \\cdot 10^{-6} = 65.1 \\cdot 10^{-6}\\,s = 65.1\\,\\mu s$
5. RĂ©sultat : $T = 65.1\\,\\mu s$
Question 2 : Rapport cyclique
1. Pour valeurs identiques : $D = 0.5 = 50\\% $ (temps Ă l'Ă©tat haut = temps Ă l'Ă©tat bas).
2. RĂ©sultat : $50\\%$
Question 3 : Choix de R pour f = 20 kHz
1. $f = \\frac{1}{T}$ donc $T = \\frac{1}{20,000} = 50\\,\\mu s$
2. Pour $R=R_1=R_2, C_1=C_2=1\\,nF$ :
$T = 0.693 \\cdot 2 R C$, donc $R = \\frac{T}{2 \\cdot 0.693 \\cdot C}$
3. $R = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{2 \\cdot 0.693 \\cdot 1 \\times 10^{-9}} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{1.386 \\times 10^{-9}} = 36,070\\,\\Omega$
4. RĂ©sultat : $R = 36.1\\,k\\Omega$
3. Pour obtenir une largeur d’impulsion de $20\\,ms$ sur le mĂŞme montage, quelle doit ĂŞtre la valeur du condensateur (R inchangĂ©) ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Largeur d’impulsion
1. Formule : $T = 1.1\\,RC$
2. $R = 82\\,k\\Omega$, $C = 0.47\\,\\mu F = 0.47 \\times 10^{-6}\\,F$
3. $T = 1.1 \\times 82,000 \\times 0.47 \\times 10^{-6} = 1.1 \\times 38,540 \\times 10^{-6} = 42,394 \\times 10^{-6}\\,s = 42.4\\,ms$
4. RĂ©sultat : $T = 42.4\\,ms$
Question 2 : Rapport cyclique (10 Hz)
1. Période totale du déclenchement : $T_{total} = \\frac{1}{10} = 0.1\\,s = 100\\,ms$
2. Rapport cyclique : $D = \\frac{T_{impulsion}}{T_{total}} = \\frac{42.4}{100} = 0.424 = 42.4\\%$
3. RĂ©sultat : $D = 42.4\\%$
Question 3 : Valeur du condensateur pour 20 ms
1. Formule : $T = 1.1 RC$ donc $C = \\frac{T}{1.1R}$
2. $R = 82\\,k\\Omega$, $T = 20\\,ms = 0.02\\,s$
3. $C = \\frac{0.02}{1.1 \\times 82,000} = \\frac{0.02}{90,200} = 2.218 \\times 10^{-7}\\,F = 0.222\\,\\mu F$
4. RĂ©sultat : $C = 0.222\\,\\mu F$
Question 1 : Seuils haut et bas
1. Formule : $V_{S+} = +\\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{CC}$, $V_{S-} = -\\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{CC}$
2. $R_1 = 5,000\\,\\Omega$, $R_2 = 95,000\\,\\Omega$, $V_{CC} = 15\\,V$
3. $\\frac{R_1}{R_1+R_2} = \\frac{5,000}{100,000} = 0.05$
4. $V_{S+} = +0.05 \\cdot 15 = 0.75\\,V$; $V_{S-} = -0.05 \\cdot 15 = -0.75\\,V$
5. RĂ©sultat final : $V_{S+} = 0.75\\,V$, $V_{S-} = -0.75\\,V$
Question 2 : Temps dans l’Ă©tat haut (rampe Vin)
1. La sortie est haute entre $V_{S-}=-0.75\\,V$ et $V_{S+}=+0.75\\,V$ pour Vin croissante.
2. Écart : $0.75 - (-0.75) = 1.5\\,V$
3. Rampe : $0 \\rightarrow 15\\,V$ en 5 ms ; taux : $3,000\\,V/s$
4. Temps pour 1.5 V : $t = \\frac{1.5}{3,000} = 0.0005\\,s = 0.5\\,ms$
5. RĂ©sultat : $t_{haut} = 0.5\\,ms$
Question 3 : Constante de temps et temps de montée (capacitif)
1. \\(\\tau = RC\\), ici $R = R_2 = 95,000\\,\\Omega$, $C_p = 20\\times10^{-12}\\,F$
2. $\\tau = 95,000 \\cdot 20 \\times 10^{-12}=1.9\\,\\mu s$
3. Temps de montée 10V : $t_m = \\tau \\cdot \\ln\\left(\\frac{V_f}{V_0}\\right)$, pour une commutation complète pris sur 10V : $t_m = 1.9 \\times 10^{-6} \\cdot \\ln(10/0.632) = 1.9\\,\\mu s \\cdot 2.76 = 5.24\\,\\mu s$
4. Résultat : temps de montée $t_m = 5.2\\,\\mu s$
1. Courant de collecteur et tension au collecteur
Formule : $I_C = \\frac{V_{cc} - V_{CEsat}}{R_C}$, $V_C = V_{CEsat}$ en saturation.
Remplacement : $V_{cc} = 10\\,\\mathrm{V}$, $V_{CEsat} = 0,2\\,\\mathrm{V}$, $R_C = 5\\,\\mathrm{k\\Omega}$
Calcul : $I_C = \\frac{10-0,2}{5\\,000} = \\frac{9,8}{5\\,000} = 0,00196\\,\\mathrm{A} = 1,96\\,\\mathrm{mA}$
RĂ©sultat final : $I_C = 1,96\\,\\mathrm{mA}$, $V_C = 0,2\\,\\mathrm{V}$.
2. Tension d’Ă©metteur et courant d’Ă©metteur
Formule : $V_E = I_E R_E$, $I_E \\approx I_C\\ (\\text{transistor saturé})$
Remplacement : $I_C = 1,96\\,\\mathrm{mA}$, $R_E = 1\\,\\mathrm{k\\Omega}$
$V_E = 1,96\\,\\mathrm{mA} \\times 1\\,\\mathrm{k\\Omega} = 1,96\\,\\mathrm{V}$
$I_E = I_C + I_B \\approx 1,96\\,\\mathrm{mA} + 0,05\\,\\mathrm{mA} = 2,01\\,\\mathrm{mA}$
RĂ©sultat final : $V_E = 1,96\\,\\mathrm{V}$, $I_E = 2,01\\,\\mathrm{mA}$.
3. Tension de seuil basculant
Formule : $V_{th} = I_B \\times R_B + V_{BE}$ où $R_B$ inconnue\nMais lorsqu'on atteint $I_B$, le basculement se produit\nComme $I_C = \\beta I_B = 80 \\times 50\\,\\mu\\mathrm{A} = 4,0\\,\\mathrm{mA}$, proche du courant précédent, la tension de basculement à l'entrée pour le basculement sera :
Formule : $V_{th} = I_B \\times R_B + V_{BE}$ ; supposons $V_{BE}=0,7\\,\\mathrm{V}$ et $R_B = \\frac{V_{cc}}{I_B}$
$R_B = 10\\,\\mathrm{V}/0,00005\\,\\mathrm{A} = 200\\,\\mathrm{k\\Omega}$
$V_{th}=0,00005\\times200\\,000 + 0,7 = 10+0,7=10,7\\,\\mathrm{V}$
Mais l'alimentation maximale est $10\\,\\mathrm{V}$, donc le basculement intervient juste sous $V_{cc}$.
RĂ©sultat final : tension de seuil de basculement proche de $10\\,\\mathrm{V}$ (limitĂ© par l’alimentation).
1. PĂ©riode de l’oscillation
Formule : Pour un astable ampli-op, $T = 2 R_2 C \\ln \\left( \\frac{1 + \\alpha}{1 - \\alpha} \\right)$ où $\\alpha = \\frac{V_{seuil}}{V_{alim}}$ (valeur typique sans pont diviseur: $\\alpha \\approx 0,75$ ici, sinon calcul avec valeur réelle à Q3).
Mais standard, sans seuil : $T_{approx} = 2 R_2 C \\ln 3$
Remplacement : $R_2 = 45\\,000\\;\\Omega, C = 220\\times10^{-9}\\;\\mathrm{F}$, $\\ln 3 = 1,0986$
Calcul : $T_{approx} = 2 \\times 45\\,000 \\times 220 \\times 10^{-9} \\times 1,0986 = 2 \\times 45\\,000 \\times 220 \\times 10^{-9} \\times 1,0986$
$45\\,000 \\times 220 = 9\\,900\\,000$, $9\\,900\\,000 \\times 10^{-9} = 0,0099$, $0,0099 \\times 1,0986 = 0,01088$, $0,01088 \\times 2 = 0,02176\\;\\mathrm{s} = 21,76\\;\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $T_{approx} = 21,8\\;\\mathrm{ms}$
2. Fréquence associée
Formule : $f = \\frac{1}{T}$
Calcul : $f = \\frac{1}{0,0218} = 45,9\\;\\mathrm{Hz}$
RĂ©sultat final : $f = 45,9\\;\\mathrm{Hz}$
3. Durée du niveau haut pour $V_{seuil} = 7,5\\;\\mathrm{V}$
Formule : $T_{haut} = R_2 C \\ln \\left( \\frac{V_{alim} + V_{seuil}}{V_{alim} - V_{seuil}} \\right)$
Remplacement : $V_{alim} = 10,0\\;\\mathrm{V}, V_{seuil}=7,5\\;\\mathrm{V}$
Calcul : $\\frac{10,0+7,5}{10,0-7,5} = \\frac{17,5}{2,5} = 7,0$, $\\ln 7,0 = 1,9459$
$T_{haut}=45\\,000\\times220\\times10^{-9}\\times1,9459=45\\,000\\times220=9\\,900\\,000\\times10^{-9}=0,0099\\times1,9459=0,01925\\;\\mathrm{s}=19,3\\;\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $T_{haut} = 19,3\\;\\mathrm{ms}$
1. DurĂ©e de l’impulsion (monostable 555)
Formule : $t_{imp} = 1,1 RC$
Remplacement : $R=82,000\\;\\Omega, C=150\\times10^{-9}\\;\\mathrm{F}$
Calcul : $82,000\\times150=12,300,000\\times10^{-9}=0,0123\\;\\mathrm{s}\\times1,1=0,01353\\;\\mathrm{s}=13,53\\;\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $t_{imp}=13,5\\;\\mathrm{ms}$
2. Fréquence maximale pour réarmement toutes les 10 ms
Formule : $f_{max}=\\frac{1}{T_{arm}} $
Remplacement : $T_{arm}=10\\;\\mathrm{ms}=0,010\\;\\mathrm{s}$
Calcul : $f_{max}=\\frac{1}{0,010}=100\\;\\mathrm{Hz}$
RĂ©sultat final : $f_{max}=100\\;\\mathrm{Hz}$
3. DurĂ©e cumulĂ©e d’Ă©tat haut sur 4 impulsions
Formule : $T_{cum}=4\\times t_{imp}$
Calcul : $4\\times13,5=54,0\\;\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $T_{cum}=54,0\\;\\mathrm{ms}$
1. Tension de sortie Ă l’Ă©tat haut
Formule : $V_{out} = V_{cc} - I_{C_{sat}} R_C$
Remplacement : $V_{cc}=8,0\\;\\mathrm{V}, I_{C_{sat}}=3,1\\times10^{-3}\\;\\mathrm{A}, R_C=2,7\\times10^{3}\\;\\Omega$
Calcul : $V_{out}=8,0 - 3,1\\times10^{-3} \\times 2,700=8,0-8,37= -0,37\\;\\mathrm{V}$ (corriger, calcul tension sur rĂ©sistance : $V=I_{C_{sat}} R_C=3,1\\times10^{-3} \\times 2,700=8,37\\;\\mathrm{V}$. Mais $V_{cc}=8,0\\;\\mathrm{V}$, donc ici courant sature l’alimentation, la tension ne peut dĂ©passer 8,0 V; probablement le transistor chute Ă zĂ©ro, dans tous cas : $V_{out,haut} = V_{cc}$ si transistor ouvert; sinon $V_{out}=V_{cc}-I_{C_{sat}} R_C=8,0-8,37=-0,37\\;\\mathrm{V}$ (physiquement tension clampĂ©e Ă zĂ©ro).
RĂ©sultat final : $V_{out}=0,0\\;\\mathrm{V}$
2. Puissance dissipée dans la résistance de charge
Formule : $P = I_{C_{sat}}^2 R_C$
Remplacement : $I_{C_{sat}}=3,1\\;\\mathrm{mA}=0,0031\\;\\mathrm{A}; R_C=2,700\\;\\Omega$
Calcul : $P=0,0031^2\\times2,700=9,61\\times10^{-6}\\times2,700=0,00002595\\;\\mathrm{W}$
RĂ©sultat final : $P=25,95\\;\\mathrm{mW}$
3. Durée pour charger le condensateur
Formule : Pour courant constant : $Q = C V, t = Q/I = C V/I$
Remplacement : $C=10,0\\times10^{-6}\\;\\mathrm{F}, V=6,0\\;\\mathrm{V}, I=3,1\\times10^{-3}\\;\\mathrm{A}$
Calcul : $Q=10,0\\times10^{-6}\\times6,0=60,0\\times10^{-6}\\;\\mathrm{C}$, $t=\\frac{60,0\\times10^{-6}}{3,1\\times10^{-3}}=0,01935\\;\\mathrm{s}=19,35\\;\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $t=19,4\\;\\mathrm{ms}$
Q1. Courant de collecteur Ă l’Ă©tat conducteur
1. Formule générale : $I_{C} = \\frac{V_{CC} - V_{CE,sat}}{R_C}$\\ ;$V_{CE,sat} \\approx 0.2~\\text{V}$
2. Remplacement : $V_{CC}=9~\\text{V}$, $R_C=2200~\\Omega$, $V_{CE,sat}=0.2~\\text{V}$
3. Calcul : $I_{C} = \\frac{9-0.2}{2200} = \\frac{8.8}{2200} = 0.004~\\text{A} = 4~\\text{mA}$
4. RĂ©sultat final : $I_C=4~\\text{mA}$ pour chaque transistor
Q2. Tension de sortie sur le collecteur du transistor passant
1. Formule : Ă€ l’Ă©tat passant, $V_C = V_{CE,sat}$
2. Remplacement : $V_{CE,sat} = 0.2~\\text{V}$
3. Calcul : $V_C = 0.2~\\text{V}$
4. RĂ©sultat final : $V_C=0.2~\\text{V}$
Q3. Puissance dissipĂ©e totale lors d’une bascule
1. Formule générale : $P_{tot}=2I_C V_{CE,sat}$
2. Remplacement : $I_C = 4~\\text{mA}$, $V_{CE,sat}=0.2~\\text{V}$
3. Calcul : $P_{tot}=2\\times4\\times10^{-3}\\times0.2=1.6\\times10^{-3}~\\text{W}=1.6~\\text{mW}$
4. RĂ©sultat final : $P_{tot}=1.6~\\text{mW}$
Q1. Période du signal carré
1. Formule générale : $T = 2.2 RC$ (pour astable ampli-op typique)
2. Remplacement : $R=15~\\text{k}\\Omega=15,000~\\Omega$, $C=100~\\text{nF}=100\\times10^{-9}$
3. Calcul : $T=2.2\\times15,000\\times100\\times10^{-9} = 2.2\\times1,500,000\\times10^{-9} = 3.3\\times10^{-3}~\\text{s}=3.3~\\text{ms}$
4. RĂ©sultat final : $T=3.3~\\text{ms}$
Q2. Fréquence du signal
1. Formule générale : $f=\\frac{1}{T}$
2. Remplacement : $T=3.3~\\text{ms}=0.0033~\\text{s}$
3. Calcul : $f=\\frac{1}{0.0033}=303~\\text{Hz}$
4. RĂ©sultat final : $f=303~\\text{Hz}$
Q3. Tension moyenne après filtrage passe-bas (5 Hz)
1. Formule générale : signal carré centré, tension moyenne nulle pour symétrique.
2. Remplacement : Tout filtrage passe-bas en dessous de fréquence dominante annule composante continue.
3. Calcul : Moyenne sur une période = 0 V.
4. RĂ©sultat final : $V_{moyenne}=0~\\text{V}$
Q1. Durée impulsion générée par 555
1. Formule : $t = 1.1 RC$
2. Remplacement : $R=33~\\text{k}\\Omega=33,000~\\Omega$, $C=1.2~\\mu\\text{F}=1.2\\times10^{-6}$
3. Calcul : $t=1.1\\times33,000\\times1.2\\times10^{-6}=1.1\\times39.6\\times10^{-3}=43.56\\times10^{-3}=43.56~\\text{ms}$
4. RĂ©sultat final : $t=43.6~\\text{ms}$
Q2. Deuxième front après 0.9 ms (monostable non redéclenchable)
1. ÉnoncĂ© : Le 555 ignore tout nouveau front tant que l’impulsion n’est pas terminĂ©e.
2. InterprĂ©tation : Impulsion en cours, le deuxième front n’a aucun effet.
3. Calcul : Sortie reste haute jusqu’Ă fin de la première impulsion.
4. Conclusion : Aucun nouveau dĂ©clenchement, impulsion reste stable jusqu’Ă $t=43.6~\\text{ms}$
Q3. Rapport cyclique pour période de 21 ms
1. Formule : $D = \\frac{t}{T}$
2. Remplacement : $t = 43.6~\\text{ms}$, $T=21~\\text{ms}$
3. Calcul : $D = \\frac{43.6}{21}=2.08$
4. Résultat final : Rapport cyclique supérieur à 1 (impulsion trop longue), montage non adapté.
1. Calculez la période $T$ et la fréquence $f$ du signal de sortie.
2. DĂ©terminez la durĂ©e d’un front haut $T_{haut}$ et d’un front bas $T_{bas}$ si le montage gĂ©nère un rapport cyclique non symĂ©trique, avec $T_{haut} = 0,7\\,T$.
3. Calculez la tension moyenne $V_{moy}$ du signal de sortie.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1.
Période $T$ et fréquence $f$ :
Formule générale multivibrateur astable amplificateur-opérationnel :
$T = 2R\\,C\\,\\ln(3)$
Remplacement :
$R = 47\\,000$ Ω, $C = 150 \\times 10^{-9}$ F
$T = 2 \\times 47\\,000 \\times 150 \\times 10^{-9} \\times 1,0986 = 2 \\times 47\\,000 \\times 0,00000015 \\times 1,0986 = 0,01547$ s ≈ 15,5 ms
Fréquence
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0,01547} \\approx 64,6$ Hz
RĂ©sultat final :
$T = 15,5\\;ms$, $f = 64,6\\;Hz$
2.
Durée des fronts haut et bas :
Formules :
$T_{haut} = 0,7\\,T$, $T_{bas} = 0,3\\,T$
Remplacement :
$T = 15,5$ ms
$T_{haut} = 0,7 \\times 15,5 = 10,85$ ms
$T_{bas} = 0,3 \\times 15,5 = 4,65$ ms
RĂ©sultat final :
$T_{haut} = 10,85\\;ms$, $T_{bas} = 4,65\\;ms$
3.
Tension moyenne $V_{moy}$ :
Formule générale :
$V_{moy} = V_{cc} \\frac{T_{haut} - T_{bas}}{T}$
Remplacement :
$V_{cc} = 15$ V (multivib, signal carré entre +15/-15 V)
$V_{moy} = 15 \\frac{10,85 - 4,65}{15,5} = 15 \\times \\frac{6,2}{15,5} = 15 \\times 0,4 = 6,0$ V
RĂ©sultat final :
$V_{moy} = 6,0\\;V$
1. Calculez le courant de base $I_{B}$ dans chaque transistor.\n2. Calculez le courant de collecteur $I_C$ quand le transistor est saturĂ©.\n3. Calculez le potentiel de collecteur $V_C$ dans l’Ă©tat saturĂ©.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1.
Courant de base $I_B$ :
Formule générale :
$I_B = \\frac{V_{cc} - V_{BE}}{R_B}$
Remplacement :
$V_{cc} = 12$ V, $V_{BE} = 0,7$ V, $R_B = 22\\,000$ Ω
Calcul :
$I_B = \\frac{12 - 0,7}{22\\,000} = \\frac{11,3}{22\\,000} = 0,000513\\$ A = 0,513\\;mA
RĂ©sultat final :
$I_B = 0,513\\;mA$
2.
Courant de collecteur $I_C$ :
Formule :
$I_C = \\beta I_B$
Remplacement :
$\\beta = 110$, $I_B = 0,513$ mA
$I_C = 110 \\times 0,000513 = 0,0564\\$ A = 56,4\\;mA
RĂ©sultat final :
$I_C = 56,4\\;mA$
3.
Potentiel de collecteur $V_C$ dans l’Ă©tat saturĂ© :
Formule :
$V_C = V_{cc} - R_C I_C$
Remplacement :
$V_{cc} = 12$ V, $R_C = 1,500$ kΩ, $I_C = 0,0564$ A
$V_C = 12 - 1,500 \\times 56,4 \\times 10^{-3} = 12 - 0,0846 = 11,915\\;V$
RĂ©sultat final :
$V_C = 11,92\\;V$
Question 1 :
Formule de la durĂ©e de l’impulsion :
$t_H = R C \\ln\\left(\\frac{V_H}{V_H - V_{th}}\\right)$
Remplacement : $R = 56,000\\,\\Omega$, $C = 1.5 \\times 10^{-9}\\,F$, $V_H = 8\\,V$, $V_{th} = 2\\,V$
$t_H = 56,000 \\times 1.5 \\times 10^{-9} \\ln\\left(\\frac{8}{8 - 2}\\right) = 84 \\times 10^{-6} \\ln\\left(\\frac{8}{6}\\right)$
$\\ln(8/6) = \\ln(1.333) = 0.2877$
$t_H = 84 \\times 10^{-6} \\times 0.2877 = 24.16\\,\\mu s$
RĂ©sultat final :
$t_H = 24.2\\,\\mu s$
InterprĂ©tation : L’impulsion gĂ©nĂ©rĂ©e a une largeur dictĂ©e par le produit RC et le seuil de bascule.
Question 2 :
$t_H^{(new)} = 84 \\times 10^{-6} \\ln\\left(\\frac{8}{8-1.2}\\right)$
$8-1.2 = 6.8$; $8/6.8 = 1.176$; $\\ln(1.176) = 0.1622$
$t_H^{(new)} = 84 \\times 10^{-6} \\times 0.1622 = 13.62\\,\\mu s$
RĂ©sultat final :
$t_H^{(new)} = 13.6\\,\\mu s$
InterprĂ©tation : Diminuer le seuil rĂ©duit la durĂ©e d’impulsion produite significativement.
Question 3 :
Montage redĂ©clenchable : chaque impulsion reçue ajoute une durĂ©e pleine mĂŞme si la sortie n’est pas retombĂ©e.
Deux impulsions espacées de $1.3\\,\\mu s$ :
- Première impulsion fournit $t_H = 24.2\\,\\mu s$ ;
- Ă€ $1.3\\,\\mu s$, nouvelle impulsion, la sortie est maintenue Ă l’Ă©tat haut pour $1.3\\,\\mu s + 24.2\\,\\mu s = 25.5\\,\\mu s$.
RĂ©sultat final :
$t_{H,tot} = 25.5\\,\\mu s$
InterprĂ©tation : Le comportement redĂ©clenchable rallonge la prĂ©sence de l’Ă©tat haut Ă chaque Ă©vĂ©nement supplĂ©mentaire.
Question 1 :
Formule pĂ©riode d’un astable (50% de rapport cyclique) Ă ampli-op :
$T = 2 R_2 C \\ln(1 + \\frac{R_1}{R_2})$
Remplacement : $R_1 = R_2 = 150,000\\,\\Omega$, $C = 2.2 \\times 10^{-9}\\,F$
$\\frac{R_1}{R_2} = 1$ donc $\\ln(1+1) = \\ln(2) = 0.693$
$T = 2 \\times 150,000 \\times 2.2 \\times 10^{-9} \\times 0.693 = 0.000458\\,s$
RĂ©sultat final :
$T = 458\\,\\mu s$
Interprétation : La période dépend linéairement de $R\tex> et $C$ et logarithmiquement du rapport de résistances.
Question 2 :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0.000458} = 2,183\\,Hz$
RĂ©sultat final :
$f = 2,183\\,Hz$
InterprĂ©tation : FrĂ©quence d’oscillation du circuit astable pour les valeurs donnĂ©es.
Question 3 :
Si $C$ dérive de $+5\\%$ : $C_{new} = 1.05 \\cdot C$
La période devient : $T_{new} = 1.05 \\cdot T = 1.05 \\cdot 0.000458 = 0.000481\\,s$
$f_{new} = \\frac{1}{T_{new}} = \\frac{1}{0.000481} = 2,079\\,Hz$
RĂ©sultat final :
$f_{new} = 2,079\\,Hz$
Interprétation : La fréquence diminue si la capacité augmente, évoquant la sensibilité du montage à la stabilité des composants.
Réponses détaillées à chaque question :
1. Temps de basculement (demi-période)
Formule générale bistable astable : $t_{1/2} = 0{,}693 \\cdot R_B \\cdot C$
Remplacement : $R_B = 50~000~\\Omega$, $C = 10~nF = 10 \\times 10^{-9}~F$
$t_{1/2} = 0,693 \\times 50~000 \\times 10 \\times 10^{-9}$
$50~000 \\times 10 = 500~000$
$0,693 \\times 500~000 \\times 10^{-9} = 346~500 \\times 10^{-9}$
$t_{1/2} = 0,0003465~s = 346,5~\\mu s$
RĂ©sultat final : $t_{1/2} = 346,5~\\mu s$
2. Courant de base maximal lors du basculement
Formule approx : $I_{B,max} = \\frac{V_{CC}}{R_B}$
Remplacement : $V_{CC} = 12~V$, $R_B = 50~000~\\Omega$
$I_{B,max} = \\frac{12}{50~000} = 0,00024~A = 240~\\mu A$
RĂ©sultat final : $I_{B,max} = 240~\\mu A$
3. Tension seuil de commutation sur la base d’un transistor
Formule pour transistor standard : $V_{BE,sat} \\approx 0,7~V$
C’est le seuil de basculement.
RĂ©sultat final : $V_{BE,seuil} = 0,7~V$
Réponses détaillées à chaque question :
1. DurĂ©e de l’impulsion
Formule monostable standard : $t_{imp} = 0,693 \\cdot R \\cdot C$
Remplacement : $R = 150~000~\\Omega$, $C = 2~\\mu F = 2 \\times 10^{-6}~F$
$t_{imp} = 0,693 \\times 150~000 \\times 2 \\times 10^{-6}$
$150~000 \\times 2 = 300~000$
$0,693 \\times 300~000 \\times 10^{-6} = 207,900 \\times 10^{-6}$
$t_{imp} = 0,2079~s = 207,9~ms$
RĂ©sultat final : $t_{imp} = 207,9~ms$
2. Temps pour atteindre $V_{th} = 1~V$ avec $V_0 = 5~V$
Formule décharge RC : $V_C(t) = V_0 \\exp(-t/RC)$
On cherche $t \\text{ tel que } V_C(t) = V_{th}$
$V_{th} = V_0 \\exp(-t/RC)$, donc $\\frac{V_{th}}{V_0} = \\exp(-t/RC)$, $-t/RC = \\ln(\\frac{V_{th}}{V_0})$
$t = -RC \\ln(\\frac{V_{th}}{V_0})$
Remplacement : $R = 150~000~\\Omega$, $C = 2 \\times 10^{-6}~F$
$RC = 0,3~s$
$t = -0,3 \\ln(\\frac{1}{5}) = -0,3 \\ln(0,2) = -0,3 \\times (-1,6094) = 0,4828~s$
RĂ©sultat final : $t = 482,8~ms$
3. DurĂ©e d’impulsion avec $C = 0,5~\\mu F$
$t_{imp} = 0,693 \\times 150~000 \\times 0,5 \\times 10^{-6}$
$150~000 \\times 0,5 = 75~000$
$0,693 \\times 75~000 \\times 10^{-6} = 51,975 \\times 10^{-6}$
$t_{imp} = 0,05198~s = 51,98~ms$
RĂ©sultat final : $t_{imp} = 51,98~ms$
Réponses détaillées à chaque question :
1. DurĂ©e d’impulsion
Formule habituelle du 555 monostable : $t_{imp} = 1,1 \\cdot R \\cdot C$
Remplacement : $R = 220~000~\\Omega$, $C = 0,1~\\mu F = 0,1 \\times 10^{-6}~F$
$t_{imp} = 1,1 \\times 220~000 \\times 0,1 \\times 10^{-6}$
$220~000 \\times 0,1 = 22~000$
$1,1 \\times 22~000 \\times 10^{-6} = 24~200 \\times 10^{-6}$
$t_{imp} = 0,0242~s = 24,2~ms$
RĂ©sultat final : $t_{imp} = 24,2~ms$
2. DurĂ©e de l’Ă©tat haut après redĂ©clenchement Ă $30~ms$
La seconde impulsion survient avant la fin du timing, donc état haut prolongé :
Nouveau timing : $t_{imp,nouv} = 30~ms + 24,2~ms = 54,2~ms$
RĂ©sultat final : $t_{imp,nouv} = 54,2~ms$
3. FrĂ©quence maximale d’entrĂ©e pour garantir $t_{imp} \\geq 80~ms$
Pour chaque impulsion, il faut que l’intervalle soit au moins $80~ms$
Formule : $f_{max} = \\frac{1}{t_{min}}$
$f_{max} = \\frac{1}{80~\\times~10^{-3}} = 12,5~Hz$
RĂ©sultat final : $f_{max} = 12,5~Hz$
1. Courant de collecteur en saturation
Formule : $I_C=\\frac{V_{CC}-V_{CE(sat)}}{R_C}$ (sachant $V_{CE(sat)}≈0{,}2~\\mathrm{V}$ et $V_{CC}=10~\\mathrm{V}$)
Remplacement : $V_{CC}=10$, $V_{CE(sat)}=0{,}2$, $R_C=1~\\mathrm{k}\\Omega$
Calcul : $I_C=\\frac{10-0,2}{1{,}000}=0,0098~\\mathrm{A}=9,8~\\mathrm{mA}$
RĂ©sultat final : $I_C=9,8~\\mathrm{mA}$
2. Tension de sortie (Ă©tat bas)
Formule : tension de collecteur $V_C=V_{CE(sat)}$
Remplacement : $V_{CE(sat)}=0,2~\\mathrm{V}$
RĂ©sultat final : $V_C=0,2~\\mathrm{V}$
3. RĂ©sistance de base minimale pour saturation
Condition de saturation : $I_B > \\frac{I_C}{\\beta_{sat}}$ (avec marge, prendre $\\beta_{sat}=\\frac{\\beta}{3}$ soit $\\beta_{sat}=27$)
Formule : $I_B=\\frac{V_{CC}-V_{BE(sat)}}{R_B}$
$R_{B,min}=\\frac{V_{CC}-V_{BE(sat)}}{I_C/\\beta_{sat}}$
Remplacement : $V_{CC}=10$, $V_{BE(sat)}=0,7$, $I_C=9,8~\\mathrm{mA}$, $\\beta_{sat}=27$
Calcul : $I_B=\\frac{9,8~\\mathrm{mA}}{27}=0,363~\\mathrm{mA}$
$R_{B,min}=\\frac{10-0,7}{0,000363}=25{,}9~\\mathrm{k}\\Omega$
RĂ©sultat final : $R_{B,min}=25,9~\\mathrm{k}\\Omega$
1. DurĂ©e d’impulsion gĂ©nĂ©rĂ©e
Formule : $t_{imp}=R\\cdot C \\cdot \\ln(3)$ (valeur typique pour certains monostables Ă AOP)
Remplacement : $R=47\\,000~\\Omega$, $C=100\\times10^{-9}~\\mathrm{F}$
Calcul : $t_{imp}=47\\,000\\times100\\times10^{-9}\\times1{,}0986=0,005164~\\mathrm{s}=5,16~\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $t_{imp}=5,16~\\mathrm{ms}$
2. Cas redéclenchable
Ă€ chaque impulsion, la durĂ©e recommence : la sortie reste haute tant qu’on reçoit des impulsions espacĂ©es de moins de $t_{imp}$. ConsĂ©quence, si nouvelle impulsion pendant une impulsion, la durĂ©e totale = laps de temps depuis le dernier front + $t_{imp}$.
3. Fréquence maximale de déclenchement (cas non redéclenchable)
La période minimale doit être supérieure à $t_{imp}$, sinon les impulsions sortiront tronquées.
Formule : $f_{max}=\\frac{1}{t_{imp}}$
Remplacement : $t_{imp}=5,16~\\mathrm{ms}$
Calcul : $f_{max} = \\frac{1}{0,00516}=193,8~\\mathrm{Hz}$
RĂ©sultat final : $f_{max}=194~\\mathrm{Hz}$
1. PĂ©riode d’oscillation
Formule : $T=2R_2C\\ln\\left(1+\\frac{R_1}{R_2}\\right)$
Remplacement : $R_1=22\\,000$, $R_2=47\\,000$, $C=0,1\\times10^{-6}$
$\\frac{R_1}{R_2}=\\frac{22}{47}=0,468$
$\\ln(1+0,468)=0,384$
Calcul : $T=2\\times47\\,000\\times0,1\\times10^{-6}\\times0,384=0,00361~\\mathrm{s}=3,61~\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $T=3,61~\\mathrm{ms}$
2. FrĂ©quence d’oscillation
Formule : $f=\\frac{1}{T}$
Remplacement : $T=3,61~\\mathrm{ms}=0,00361~\\mathrm{s}$
Calcul : $f=\\frac{1}{0,00361}=277~\\mathrm{Hz}$
RĂ©sultat final : $f=277~\\mathrm{Hz}$
3. Nouvelle période si $R_2\\rightarrow2R_2=94~\\mathrm{k}\\Omega$
$\\frac{R_1}{R_2}=\\frac{22}{94}=0,234$
$\\ln(1+0,234)=0,210$
Calcul : $T=2\\times94\\,000\\times0,1\\times10^{-6}\\times0,210=0,00395~\\mathrm{s}=3,95~\\mathrm{ms}$
RĂ©sultat final : $T=3,95~\\mathrm{ms}$
Question 1 : Courant de collecteur saturé
1. Formule générale : $ I_{C,sat} = \\frac{V_{CC} - V_{CE,sat} - V_{RE}}{R_C} $ avec $ V_{RE} = I_{E} R_E, I_E \\simeq I_C $
2. Remplacement : On néglige V_{RE} comparé à V_{CE,sat} pour une estimation rapide.
$ I_{C,sat} = \\frac{10 - 0.2}{1.2 \\times 10^3} = \\frac{9.8}{1200} = 0.00817~A = 8.17~mA $
3. Calcul : $ I_{C,sat} \\approx 8.17~mA $
4. Résultat final : Chaque transistor saturé fournit $8.17~mA$ au collecteur.
Question 2 : Tension de sortie dans les deux Ă©tats stables
1. Formule générale : Sortie collecteur haut (transistor coupé) : $ V_{out,haut} = V_{CC} $; saturé : $ V_{out,bas} = V_{CE,sat} $
2. Remplacement/Calcul : $ V_{out,haut} = 10~V $, $ V_{out,bas} = 0.2~V $
3. RĂ©sultat final : Deux Ă©tats possibles : $10~V $ ou $0.2~V$.
Question 3 : RĂ©sistance de base minimale pour saturation
1. Formule générale : $ I_{B,min} = \\frac{I_{C,sat}}{\\beta} $, $ R_{B,min} = \\frac{V_{IN} - V_{BE,sat}}{I_{B,min}} $
2. Remplacement : $ V_{IN} = 5~V $, $ V_{BE,sat} = 0.7~V $, $ I_{B,min} = \\frac{8.17~mA}{80} = 0.102~mA $
3. Calcul : $ R_{B,min} = \\frac{5 - 0.7}{0.000102} = \\frac{4.3}{0.000102} = 42.16~k\\Omega $
4. RĂ©sultat final : RĂ©sistance de base minimale : $42.2~k\\Omega$.
Question 1 : DurĂ©e de l’impulsion
1. Formule générale : $ T = R \\cdot C \\cdot \\ln(k), k=3 \\text{ (pour ampli-op classique)} $
2. Remplacement : $R = 82\\,000~\\Omega$, $C = 1.8 \\times 10^{-9}~F$, $\\ln(3) = 1.0986$
$T = 82\\,000 \\cdot 1.8 \\times 10^{-9} \\cdot 1.0986 = 162,000 \\times 10^{-9} \\cdot 1.0986 = 177.78~\\mu s $
3. Calcul : $177.8~\\mu s$
4. Résultat final : Durée impulsion de sortie $177.8~\\mu s$.
Question 2 : Nouvelle durée pour baisse capacité
1. Formule générale : $T' = R \\cdot C' \\cdot \\ln(3), C' = 0.9 \\cdot C $
2. Remplacement : $C' = 0.9 \\times 1.8~nF = 1.62~nF $
$T' = 82\\,000 \\cdot 1.62 \\times 10^{-9} \\cdot 1.0986 = 145,800 \\times 10^{-9} \\cdot 1.0986 = 160.03~\\mu s$
3. Calcul : $160.0~\\mu s$
4. RĂ©sultat final : Nouvelle durĂ©e d’impulsion $160.0~\\mu s$.
Question 3 : Durée totale réelle avec retard
1. Formule générale : $T_{tot} = T' + t_{delay}$
2. Remplacement : $T' = 160.0~\\mu s$, $t_{delay}=1.4~\\mu s$
3. Calcul : $T_{tot}=160.0+1.4=161.4~\\mu s$
4. Résultat final : Durée réelle prise en compte : $161.4~\\mu s$.
1. Courant de base de Q1 (Q1 saturé, Q2 bloqué) :
Formule :
$I_{B1} = \\frac{V_{CC} - V_{BE(on)}}{R_B}$
Remplacement : $V_{CC} = 9,0\\,\\text{V}$, $V_{BE(on)} = 0,7\\,\\text{V}$, $R_B = 12\\,000\\,\\Omega$
$I_{B1} = \\frac{9,0 - 0,7}{12\\,000} = \\frac{8,3}{12\\,000}$
Calcul : $I_{B1} = 0,0006917\\,\\text{A} = 692\\,\\mu\\text{A}$
RĂ©sultat final :$I_{B1} = 692\\,\\mu\\text{A}$
\n2. Courant de collecteur de Q1 :
Formule :$I_{C1} = \\beta \\cdot I_{B1}$
Remplacement :$\\beta = 100$, $I_{B1} = 692\\,\\mu\\text{A}$
$I_{C1} = 100 \\times 692\\,\\mu\\text{A} = 69,2\\,\\text{mA}$
RĂ©sultat final :$I_{C1} = 69,2\\,\\text{mA}$
\n3. Tension de collecteur de Q1 :
Formule :$V_{C1} = V_{CC} - R_C \\cdot I_{C1}$
$R_C = 2,700\\,\\Omega$, $I_{C1} = 0,0692\\,\\text{A}$
$V_{C1} = 9,0 - 2,700 \\times 0,0692 = 9,0 - 0,187 = 8,813\\,\\text{V}$
RĂ©sultat final :$V_{C1} = 8,8\\,\\text{V}$
1. FrĂ©quence d’oscillation du montage astable :
Formule générale :
$f = \\frac{1}{2 R_2 C \\ln\\left(\\frac{1 + \\alpha}{1 - \\alpha}\\right)}$ avec $\\alpha = \\frac{R_1}{R_1 + R_2}$
Remplacement : $R_1 = 120\\,000\\,\\Omega$, $R_2 = 36\\,000\\,\\Omega$, $C = 680 \\times 10^{-9}\\,\\text{F}$
$\\alpha = \\frac{120\\,000}{156\\,000} = 0,7692$
$\\ln\\left(\\frac{1 + 0,7692}{1 - 0,7692}\\right) = \\ln\\left(\\frac{1,7692}{0,2308}\\right) = \\ln(7,664) = 2,037$
$f = \\frac{1}{2 \\times 36\\,000 \\times 680 \\times 10^{-9} \\times 2,037}$
Calcul : $2 \\times 36\\,000 \\times 680 \\times 10^{-9} \\times 2,037 = 0,09984$
$f = \\frac{1}{0,09984} = 10,01\\,\\text{Hz}$
RĂ©sultat final : $f = 10,0\\,\\text{Hz}$
\n2. DurĂ©e de l’Ă©tat haut et de l’Ă©tat bas :
Formule :
$T_H = R_2 C \\ln\\left(\\frac{1 + \\alpha}{1 - \\alpha}\\right)$
$T_B = R_2 C \\ln\\left(\\frac{1 + \\alpha}{1 - \\alpha}\\right)$ (états symétriques ici)
Remplacement :
$T_H = 36\\,000 \\times 680 \\times 10^{-9} \\times 2,037 = 0,049792\\,\\text{s}$
Idem pour $T_B$
RĂ©sultat final : $T_H = T_B = 49,8\\,\\text{ms}$
\n3. Rapport cyclique du générateur :
Formule :
$D = \\frac{T_H}{T_H + T_B}$
Comme $T_H = T_B$
$D = \\frac{49,8}{99,6} = 0,50$ (soit $50\\%$)
RĂ©sultat final : $D = 50\\%$
1. DurĂ©e de l’impulsion du monostable :
Formule classique :
$T = 1,1 R C$
$R = 27\\,000\\,\\Omega ;\\; C = 0,22 \\times 10^{-6}\\,\\text{F}$
$T = 1,1 \\times 27\\,000 \\times 0,22 \\times 10^{-6}$
Calcul : $T = 1,1 \\times 5\\,940 \\times 10^{-6} = 1,1 \\times 0,00594 = 0,00653\\,\\text{s} = 6,53\\,\\text{ms}$
RĂ©sultat final : $T = 6,53\\,\\text{ms}$
\n2. Tension sur le condensateur Ă $t = 1,5\\,\\text{ms}$ :
Formule de charge RC :$V_C(t) = V_\\text{alim} \\left[1 - \\exp\\left(-\\frac{t}{R C}\\right)\\right]$
$V_\\text{alim} = 5,0\\,\\text{V}$, $t = 1,5 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}$, $R C = 27\\,000 \\times 0,22 \\times 10^{-6} = 0,00594\\,\\text{s}$
$V_C(1,5\\,\\text{ms}) = 5,0 \\left[1 - \\exp\\left(-\\frac{1,5 \\times 10^{-3}}{0,00594}\\right)\\right]$
$-1,5 \\times 10^{-3} / 0,00594 = -0,252$
$\\exp(-0,252) = 0,777$
$V_C = 5,0 (1 - 0,777) = 5,0 \\times 0,223 = 1,12\\,\\text{V}$
RĂ©sultat final : $V_C = 1,12\\,\\text{V}$
\n3. Incertitude sur la durĂ©e d’impulsion avec tolĂ©rance condensateur :$C = 0,22 \\pm 0,022\\,\\mu\\text{F}$
Formule intervalle :$T_{\\text{min}} = 1,1 \\times 27\\,000 \\times (0,22 - 0,022) \\times 10^{-6} = 1,1 \\times 27\\,000 \\times 0,198 \\times 10^{-6} = 5,88\\,\\text{ms}$
$T_{\\text{max}} = 1,1 \\times 27\\,000 \\times (0,22 + 0,022) \\times 10^{-6} = 1,1 \\times 27\\,000 \\times 0,242 \\times 10^{-6} = 7,21\\,\\text{ms}$
RĂ©sultat final : $T \\in [5,88\\,\\text{ms} ; 7,21\\,\\text{ms}]$
Question 1 :
1. Formule : $I_C = \\frac{V_{CC} - V_{CEsat}}{R_C}$
2. Remplacement : $V_{CC} = 12$ V ; $V_{CEsat} \\approx 0,2$ V ; $R_C = 2200$ Ω
3. Calcul : $I_C = \\frac{12 - 0,2}{2200} = \\frac{11,8}{2200} = 0,00536$ A
4. RĂ©sultat final : $I_C = 5,36$ mA
Question 2 :
1. En saturation : $V_{CEsat} \\approx 0,2$ V, donc $V_{out} = V_{CEsat}$
4. RĂ©sultat final : $V_{out} = 0,2$ V
Question 3 :
1. Puissance dissipée : $P = V_{CEsat} \\times I_C$
2. Remplacement : $V_{CEsat} = 0,2$ V ; $I_C = 0,00536$ A
3. Calcul : $P = 0,2 \\times 0,00536 = 0,001072$ W
4. RĂ©sultat final : $P = 1,07$ mW
Question 1 :
1. Formule : $T = k R C$ (avec $k \\approx 0,69$ pour monostable classique)
2. Remplacement : $R = 100 \\times 10^3$ Ω ; $C = 2,2 \\times 10^{-9}$ F ; $k = 0,69$
3. Calcul : $T = 0,69 \\times 100000 \\times 2,2 \\times 10^{-9} = 0,69 \\times 2,2 \\times 10^{-4} = 1,518 \\times 10^{-4}$ s = 151,8$ ÎĽs
4. Résultat final : $T = 152$ μs (arrondi à l'unité)
Question 2 :
1. Nouvelle résistance : $R' = R \\times 1,1 = 110 \\times 10^3$ Ω
2. Calcul : $T' = 0,69 \\times 110000 \\times 2,2 \\times 10^{-9} = 0,69 \\times 2,42 \\times 10^{-4} = 1,67 \\times 10^{-4}$ s = 167,2$ ÎĽs
4. RĂ©sultat final : $T' = 167$ ÎĽs (arrondi)
Question 3 :
1. Pour pas de recouvrement : $f_{max} = \\frac{1}{T}$
2. Remplacement : $T = 152 \\times 10^{-6}$ s
3. Calcul : $f_{max} = \\frac{1}{152 \\times 10^{-6}} = 6579$ Hz
4. Résultat final : $f_{max} = 6,58$ kHz (arrondi à deux décimales)
1. Courants de collecteur dans les deux Ă©tats stables :
Formule : $I_C = \\frac{V_{CC}}{R_C}$
Remplacement : $V_{CC}=9~V, R_C=5.6~k\\Omega$
Calcul : $I_C=9/5600=0.001607~A=1.61~mA$, chaque transistor passant dans l’Ă©tat ON.
RĂ©sultat final : $I_{C,stable}=1.61~mA$ par transistor.\n\n2. Largeur minimale d’impulsion sur S (basculement) :
Formule : $t_{imp,min} \\geq \\tau = R_C C$
Remplacement : $R_C=5.6~k\\Omega, C=27~nF=27\\times10^{-9}~F$
Calcul : $\\tau=5600\\times27\\times10^{-9}=151.2\\times10^{-6}=151.2~\\mu s$
RĂ©sultat final : $t_{imp,min}=151.2~\\mu s$\n\n3. Temps de retour Ă l’Ă©tat stable avec $R_C=1.8~k\\Omega$ :
Formule : $t_r=R_C C$
Remplacement : $R_C=1800~\\Omega, C=27\\times10^{-9}$
Calcul : $t_r=1800\\times27\\times10^{-9}=48.6\\times10^{-6}=48.6~\\mu s$
RĂ©sultat final : $t_r=48.6~\\mu s$
1. Courant de collecteur en Ă©tat « ON »
Formule : $I_C = \\frac{V_{CC} - V_{CE,sat}}{R_C}$
Remplacement : $V_{CC} = 9~V$, $V_{CE,sat} = 0.2~V$, $R_C = 3~k\\Omega$
Calcul : $I_C = \\frac{9 - 0.2}{3,000} = \\frac{8.8}{3,000} = 0.00293~A = 2.93~mA$
RĂ©sultat final : $I_C = 2.93~mA$
2. Tension sur le collecteur en Ă©tat « OFF »
Formule : Dans « OFF » le collecteur est au potentiel d'alimentation : $V_{C,OFF} = V_{CC}$
Calcul : $V_{C,OFF} = 9~V$
RĂ©sultat final : $V_{C,OFF} = 9~V$
3. Énergie consommée lors de la commutation (état ON/temps de cycle)
Formule : $E = V_{CC} \\cdot I_C \\cdot t$
Remplacement : $V_{CC} = 9~V$, $I_C = 2.93~mA = 0.00293~A$, $t = 15~ms = 0.015~s$
Calcul : $E = 9 \\times 0.00293 \\times 0.015 = 0.000395~J = 0.395~mJ$
RĂ©sultat final : $E = 0.395~mJ$
1. FrĂ©quence et pĂ©riode d’oscillation
Formule : $f = \\frac{1}{2R_2C\\ln\\left(\\frac{1+\\beta}{1-\\beta}\\right)}$ oĂą $\\beta = \\frac{R_1}{R_1+R_2}$; $T = \\frac{1}{f}$
Remplacement : $R_1 = 47,000~\\Omega$, $R_2 = 150,000~\\Omega$, $C = 220\\times10^{-9}~F$
$\\beta = \\frac{47,000}{47,000 + 150,000} = \\frac{47,000}{197,000} = 0.2386$
$\\ln\\left(\\frac{1+0.2386}{1-0.2386}\\right) = \\ln(1.2386/0.7614) = \\ln(1.626) = 0.486$
$f = \\frac{1}{2 \\times 150,000 \\times 220\\times10^{-9} \\times 0.486} = \\frac{1}{32,076 \\times 0.486} = \\frac{1}{15,591} = 0.0000641~Hz$
Correction: $f \\approx 64.1~Hz$
$T = 1 / 64.1 = 0.0156~s = 15.6~ms$
RĂ©sultat final : $f \\approx 64.1~Hz$, $T \\approx 15.6~ms$
2. Durée des états haut et bas
Formule : Pour chaque demi-période : $t_{up} = t_{down} = R_2C\\ln\\left(\\frac{1+\\beta}{1-\\beta}\\right)$
Calcul : $t_{up} = t_{down} = 150,000 \\times 220 \\times 10^{-9} \\times 0.486 = 16,170~\\mu s = 16.17~ms$
RĂ©sultat final : $t_{up} \\approx t_{down} = 16.17~ms$
3. Tension moyenne d’un cycle
Formule : $V_{avg} = \\frac{1}{T}\\int_0^{t_{up}}V_{high} dt + \\int_{t_{up}}^{T}V_{low} dt$, pour signal carré symétrique : $V_{avg} = \\frac{V_{high} + V_{low}}{2}$
Remplacement : $V_{high} = +12~V$, $V_{low} = -12~V$
Calcul : $V_{avg} = \\frac{12 + (-12)}{2} = 0~V$
RĂ©sultat final : $V_{avg} = 0~V$
Question 1 : Courant collecteur maximal en saturation
1. Formule : $I_{C,sat} = \\frac{V_{cc} - V_{CE,sat}}{R_C}$ (avec $V_{CE,sat} \\approx 0.2\\ \\text{V}$)
2. Remplacement : $V_{cc}=12\\ \\text{V}$, $R_C=2700\\ \\Omega$
3. Calcul : $I_{C,sat}=\\frac{12-0.2}{2700}=\\frac{11.8}{2700}=0.00437\\ \\text{A}$
4. RĂ©sultat final : $I_{C,sat}=4.37\\ \\text{mA}$
Question 2 : Tension de sortie haute (Q) du bistable
1. Sortie haute : collecteur du transistor bloqué, donc $V_Q = V_{cc}$
2. RĂ©sultat final : $V_Q=12\\ \\text{V}$
Question 3 : Tension seuil de basculement
1. Formule : $V_{IN,th}=V_{BE,sat}+\\frac{R_E}{R_B+R_E}(V_{cc}-V_{BE,sat})$
2. Remplacement : $V_{BE,sat}=0.7\\ \\text{V}$, $R_E=1k\\Omega$, $R_B=47k\\Omega$, $V_{cc}=12\\ \\text{V}$
3. Calcul : $\\frac{1000}{47000+1000}=\\frac{1000}{48000}=0.02083$ ; $0.02083\\times(12-0.7)=0.235\\ \\text{V}$
4. $V_{IN,th}=0.7+0.235=0.935\\ \\text{V}$
5. RĂ©sultat final : $V_{IN,th}=0.935\\ \\text{V}$
Question 1 : DurĂ©e d’impulsion du monostable
1. Formule standard : $T = 0.69RC$
2. Remplacement : $R = 12\\ \\text{k}\\Omega = 12,000\\ \\Omega$, $C = 0.33\\ \\mu\\text{F} = 0.33\\times 10^{-6}\\ \\text{F}$
3. Calcul : $T=0.69\\times 12,000 \\times 0.33 \\times 10^{-6}=0.69 \\times 3,960 \\times 10^{-6}=2,732.4 \\times 10^{-6}\\ \\text{s}=2.732\\ \\text{ms}$
4. RĂ©sultat final : $T=2.73\\ \\text{ms}$
Question 2 : Fréquence de déclenchement maximale tolérée
1. Durée minimale entre impulsions : $T_{min}=3T=3\\times 2.73=8.19\\ \\text{ms}$
2. Fréquence maximale : $f_{max}=\\frac{1}{T_{min}}=\\frac{1}{8.19\\times 10^{-3}}=122\\ \\text{Hz}$
3. RĂ©sultat final : $f_{max}=122\\ \\text{Hz}$
Question 3 : Retard de front, pourcentage durée calculée
1. Pourcentage : $P=\\frac{t_r}{T}\\times 100\\%$
2. $t_r=15\\ \\mu\\text{s}=0.015\\ \\text{ms}$, $T=2.73\\ \\text{ms}$
3. Calcul : $P=\\frac{0.015}{2.73}\\times 100=0.55\\%$
4. Résultat final : retard de front = $0.55\\% $ de la durée calculée
2. Déterminez la fréquence de sortie.
3. Calculez le rapport cyclique (duty cycle) du signal.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : PĂ©riode totale du signal
1. Formule standard : $T=0.693(R_1 C_1 + R_2 C_2)$
2. $R_1=8,000\\ \\Omega$, $R_2=22,000\\ \\Omega$, $C_1 = C_2 = 47\\ \\text{nF} = 47 \\times10^{-9} \\ \\text{F}$
$T=0.693 (8000\\times 47 \\times 10^{-9} + 22000 \\times 47 \\times 10^{-9})$
3. Calcul :$8000\\times 47 \\times 10^{-9}=0.000376\\ \\text{s}$; $22000\\times 47 \\times 10^{-9}=0.001034\\ \\text{s}$; somme : $0.000376+0.001034=0.00141\\ \\text{s}$
$T=0.693\\times 0.00141=0.000976\\ \\text{s}=0.976\\ \\text{ms}$
4. RĂ©sultat final : $T=0.976\\ \\text{ms}$
Question 2 : Fréquence de sortie
1. Formule : $f=\\frac{1}{T}$
2. $f=\\frac{1}{0.000976}=1025\\ \\text{Hz}$
3. RĂ©sultat final : $f=1025\\ \\text{Hz}$
Question 3 : Rapport cyclique (duty cycle)
1. Formule : $D=\\frac{R_2 C_2}{R_1 C_1 + R_2 C_2}$
2. $D=\\frac{0.001034}{0.00141}=0.733\\Rightarrow 73.3\\%$
3. RĂ©sultat final : rapport cyclique $73.3\\%$
Exercice 1 : Générateur de courant constant et intégrateur de Miller
Un générateur de courant constant utilise un transistor avec une tension d'alimentation de $V_{cc} = 12 \\,\\text{V}$ et une résistance de sortie $R = 5 \\,\\text{k}\\Omega$. On souhaite générer une rampe de tension à la sortie d'un intégrateur de Miller avec une capacité $C = 100 \\,\\text{nF}$.
Question 1 : Calculer le courant $I$ fourni par le générateur.
Question 2 : DĂ©terminer la pente de la rampe de tension
$\\frac{dV_{out}}{dt}$ générée par l'intégrateur.
Question 3 : Calculer la durée $T$ nécessaire pour que $V_{out}$ varie de 0 à 5 V.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Exercice 1
Question 1 : Calcul du courant constant
1. Formule générale :
$I = \\frac{V_{cc}}{R}$.
2. Remplacement :
$I = \\frac{12}{5000} = 2{,}4 \\times 10^{-3} \\, \\text{A} = 2{,}4 \\, \\text{mA}$.
Question 2 : Calcul de la pente de la rampe de tension
1. La sortie d’un intĂ©grateur est donnĂ©e par :
$\\frac{dV_{out}}{dt} = \\frac{I}{C}$.
2. Remplacement :
$\\frac{dV_{out}}{dt} = \\frac{2{,}4 \\times 10^{-3}}{100 \\times 10^{-9}} = 24{,}000 \\, \\text{V/s}$.
Question 3 : Calcul du temps pour une rampe de 5 V
1. Formule :
$T = \\frac{\\Delta V}{\\frac{dV_{out}}{dt}}$.
2. Remplacement :
$T = \\frac{5}{24{,}000} = 2{,}08 \\times 10^{-4} \\, \\text{s} = 208 \\, \\mu\\text{s}$.
Résultat final : Le générateur fournit un courant de $2{,}4 \\, \\text{mA}$, la pente de la rampe est de $24 \\, \\text{V/s}$, et la durée pour obtenir 5 V est $208 \\, \\mu\\text{s}$.
", "id_category": "5", "id_number": "1" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Exercice 2 : Génération d'un signal triangulaire avec NE555
Un circuit intégré NE555 est configuré pour générer une tension triangulaire entre 0 et 5 V. Le condensateur $C = 10\\,\\text{nF}$ est chargé et déchargé par un courant constant déterminé par une résistance $R = 100\\,\\text{k}\\Omega$ et une tension d'alimentation $V_{cc} = 5\\,\\text{V}$.
Question 1 : Calculer la constante de temps de charge/décharge $\\tau$.
Question 2 : Calculer la pente (montée et descente) du signal triangulaire.
Question 3 : Calculer la période du signal triangulaire généré.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Exercice 2
Question 1 : Calcul de la constante de temps
1. Formule :
$\\tau = R \\times C$.
2. Remplacement :
$\\tau = 100 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-9} = 1 \\times 10^{-3} \\text{ s} = 1 \\text{ ms}$.
Question 2 : Calcul de la pente du signal triangulaire
1. La tension monte ou descend entre 0 et $V_{cc} = 5 \\text{ V}$ en une durée égale à $\\tau$ (chargement ou déchargement). La pente est :
$\\frac{dV}{dt} = \\frac{V_{cc}}{\\tau} = \\frac{5}{1 \\times 10^{-3}} = 5000 \\,\\text{V/s}$.
Question 3 : Calcul de la période du signal triangulaire
1. Le signal monte et descend, la période est donc deux fois la durée de montée/descente :
$T = 2 \\tau = 2 \\times 1 \\text{ ms} = 2 \\text{ ms}$.
Résultat final : La constante de temps est $1 \\,\\text{ms}$, la pente est $5000 \\,\\text{V/s}$ et la période du signal triangulaire est $2 \\,\\text{ms}$.
", "id_category": "5", "id_number": "2" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Exercice 3 : Générateur de signal carré avec circuit SN74121
Un circuit SN74121 est utilisé pour générer un signal carré de largeur variable. La résistance externe est $R = 10\\,\\text{k}\\Omega$ et le condensateur externe $C = 100\\,\\text{pF}$.
Question 1 : Calculer le temps d'impulsion $t_W$ donné par :
$t_W = 0.7 R C$.
Question 2 : Pour un signal de fréquence $f = 10\\,\\text{kHz}$, calculer la période $T$ et déterminer le rapport cyclique si le temps bas du signal est fixe à $20\\,\\mu\\text{s}$.
Question 3 : Calculer la valeur de la résistance externe nécessaire pour obtenir un rapport cyclique de 60 % avec la même capacité.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Exercice 3
Question 1 : Calcul du temps d'impulsion
1. Formule :
$t_W = 0.7 R C$.
2. Remplacement :
$t_W = 0.7 \\times 10 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-12} = 7 \\times 10^{-6} = 7 \\, \\mu\\text{s}$.
Question 2 : PĂ©riode et rapport cyclique
1. Calcul de la période :
$T = \\frac{1}{f} = \\frac{1}{10 \\times 10^{3}} = 100 \\, \\mu\\text{s}$.
2. Calcul du rapport cyclique :
$Duty = \\frac{t_W}{t_W + t_{low}} = \\frac{7}{7 + 20} = \\frac{7}{27} = 0{,}259$ ou 25,9 %.
Question 3 : Calcul de la résistance pour un duty de 60 %
1. On veut :
$0{,}6 = \\frac{t_W}{t_W + 20\\,\\mu s} $ donc
$t_W = \\frac{0{,}6}{0{,}4} \\times 20 = 30 \\,\\mu\\text{s}$.
2. RĂ©sistance correspondante :
$R = \\frac{t_W}{0.7 C} = \\frac{30 \\times 10^{-6}}{0.7 \\times 100 \\times 10^{-12}} = 4{,}29 \\times 10^{5} \\,\\Omega = 429 \\,\\text{k}\\Omega$.
RĂ©sultat final : Le temps d'impulsion est $7 \\,\\mu\\text{s}$, le duty cycle actuel est de 25,9 % et pour un duty de 60 %, $R = 429 \\,\\text{k}\\Omega$.
", "id_category": "5", "id_number": "3" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "On considère un générateur de rampes à courant constant réalisé avec un condensateur $C = 100 \\, nF$ et un courant constant $I = 10 \\, \\mu A$.\n\n1. Calculez la pente instantanée de la rampe $\\frac{dV}{dt}$.\n2. Déterminez le temps nécessaire pour que la tension atteigne 5 V.\n3. Si le courant est augmenté à 20 \\mu A, calculez la nouvelle pente de la rampe.\n4. Calculez la charge accumulée sur le condensateur après 2 ms.\n5. Calculez la variation de tension sur le condensateur après 2 ms avec le courant initial.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Pente instantanée de la rampe :
\nFormule :
\n$\\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C}$
\nRemplacement :
\n$I = 10 \\times 10^{-6} \\, A, C = 100 \\times 10^{-9} \\, F$
\nCalcul :
\n$\\frac{dV}{dt} = \\frac{10 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 100 \\, V/s$
\n\n2. Temps pour atteindre 5 V :
\n$t = \\frac{\\Delta V}{dV/dt} = \\frac{5}{100} = 0.05 \\, s = 50 \\, ms$
\n\n3. Nouvelle pente avec $I = 20 \\mu A :
\n$\\frac{dV}{dt} = \\frac{20 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 200 \\, V/s$
\n\n4. Charge accumulée après 2 ms :
\n$Q = I \\times t = 10 \\times 10^{-6} \\times 2 \\times 10^{-3} = 2 \\times 10^{-8} \\, C$
\n\n5. Variation de tension après 2 ms :
\n$\\Delta V = \\frac{Q}{C} = \\frac{2 \\times 10^{-8}}{100 \\times 10^{-9}} = 0.2 \\, V$
", "id_category": "5", "id_number": "4" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "Un multivibrateur mono-stable est rĂ©alisĂ© avec un circuit SN74121. La constante de temps est donnĂ©e par $t = R C$ avec $R = 100 \\, k\\Omega$ et $C = 10 \\, nF$.\n\n1. Calculez le temps d'impulsion gĂ©nĂ©rĂ© par le circuit.\n2. En doublant la rĂ©sistance, calculez le nouveau temps d'impulsion.\n3. Calculez la charge totale traversant la rĂ©sistance pendant une impulsion pour le courant de fuite de 50 \\mu A.\n4. Si le condensateur a une tolĂ©rance de ±5 %, calculez l'intervalle de temps d'impulsion possible.\n5. Calculez l'Ă©nergie consommĂ©e par impulsion si la tension d'alimentation est 5 V.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Temps d'impulsion :
\n$t = R \\times C = 100 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-9} = 1 \\times 10^{-3} \\, s = 1 \\, ms$
\n\n2. Nouveau temps d'impulsion avec $R = 200 \\ k\\Omega :
\n$t = 200 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-9} = 2 \\times 10^{-3} \\, s = 2 \\, ms$
\n\n3. Charge traversant la résistance :
\n$Q = I \\times t = 50 \\times 10^{-6} \\times 1 \\times 10^{-3} = 5 \\times 10^{-8} \\, C$
\n\n4. Intervalle de temps d'impulsion avec tolĂ©rance de ±5 % :
\n$t_{min} = 0.95 \\times 1 = 0.95 \\, ms, \\quad t_{max} = 1.05 \\times 1 = 1.05 \\, ms$
\n\n5. Énergie consommée :
\n$E = V \\times I \\times t = 5 \\times 50 \\times 10^{-6} \\times 1 \\times 10^{-3} = 2.5 \\times 10^{-7} \\, J$
", "id_category": "5", "id_number": "5" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "Un circuit intĂ©grateur de Miller utilise une rĂ©sistance $R = 1 \\, M\\Omega$ et un condensateur $C = 1 \\, nF$. Le signal d'entrĂ©e est une impulsion carrĂ©e de tension 5 V et de largeur 10 \\mu s.\n\n1. Calculez la constante de temps $\\tau$ du circuit.\n2. DĂ©terminez la pente de la sortie pendant l’intĂ©gration.\n3. Calculez la variation de tension de sortie pendant l’impulsion.\n4. Si la frĂ©quence d'impulsion est de 10 kHz, calculez le temps entre impulsions.\n5. Quelle est la tension de sortie moyenne sur une pĂ©riode d’impulsion?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Constante de temps :
\n$\\tau = R \\times C = 1 \\times 10^{6} \\times 1 \\times 10^{-9} = 1 \\times 10^{-3} \\, s = 1 \\, ms$
\n\n2. Pente de la sortie :
\nLe courant d’entrĂ©e est :
\n$I = \\frac{V_{in}}{R} = \\frac{5}{1 \\times 10^{6}} = 5 \\times 10^{-6} \\, A$
\nLa pente de sortie est :
\n$\\frac{dV_{out}}{dt} = - \\frac{I}{C} = -\\frac{5 \\times 10^{-6}}{1 \\times 10^{-9}} = -5000 \\, V/s$
\n\n3. Variation pendant impulsion :
\n$\\Delta V = \\frac{dV_{out}}{dt} \\times t_{imp} = -5000 \\times 10 \\times 10^{-6} = -0.05 \\, V$
\n\n4. Temps entre impulsions :
\n$T = \\frac{1}{f} = \\frac{1}{10 \\times 10^{3}} = 100 \\, \\mu s$
\n\n5. Tension moyenne sur une période (approximée) :
\nCalcul :
\n$V_{moy} = \\frac{\\Delta V \\times t_{imp}}{T} = \\frac{0.05 \\times 10 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-6}} = 0.005 \\, V$
", "id_category": "5", "id_number": "6" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de rampes à courant constant est conçu avec un courant de charge \\(I_c = 10 \\mu A\\) et une capacité \\(C = 100 nF\\).\n\n1. Calculez la pente de la rampe \\(S = \\frac{dV}{dt}\\).\n\n2. Quelle est la durée nécessaire pour que la tension charge atteigne 5 V ?\n\n3. Si la résistance de décharge est ajustée à \\(R = 100 k \\Omega\\), calculez le temps de décharge \\(\\tau\\) et le taux de décharge \\(\\frac{\\tau}{T}\\) pour un cycle de 1 ms.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la pente de la rampe \\(S=\\frac{dV}{dt}\\)
1. Formule générale :
\\(S = \\frac{I_c}{C}\\)
2. Remplacement des données :
\\(S = \\frac{10 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 100 \\; V/s\\)
Question 2 : Durée de charge pour atteindre 5 V
1. Formule :
\\(t = \\frac{V}{S}\\)
2. Remplacement :
\\(t = \\frac{5}{100} = 0.05 \\; s = 50 \\; ms \\)
Question 3 : Temps de décharge \\(\\tau\\) et taux de décharge \\(\\frac{\\tau}{T}\\)
1. Le temps de décharge est :
\\(\\tau = R C = 100 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-9} = 0.01 \\; s = 10 \\; ms\\)
2. Le taux de décharge pour un cycle de
\\(T = 1 ms = 0.001 s\\) est :
\\(\\frac{\\tau}{T} = \\frac{10 \\times 10^{-3}}{1 \\times 10^{-3}} = 10\\)
", "id_category": "5", "id_number": "7" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "On considère un circuit intégrateur de Miller réalisé avec un amplificateur opérationnel, une résistance \\(R = 50 k\\Omega\\) et une capacité \\(C = 220 nF\\).\n\n1. Calculez la constante de temps \\(\\tau = R C\\).\n\n2. Exprimez la fonction de transfert \\(H(s)\\) du circuit intégrateur.\n\n3. Calculez la fréquence de coupure \\(f_c\\) du filtre intégré.\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Constante de temps \\(\\tau = R C\\)
1. Formule :
\\(\\tau = R \\times C\\)
2. Application :
\\(\\tau = 50 \\times 10^{3} \\times 220 \\times 10^{-9} = 0.011 \\; s = 11 \\; ms\\)
Question 2 : Fonction de transfert du circuit intégrateur
1. Formule générale d'un intégrateur :
\\(H(s) = - \\frac{1}{R C s} = - \\frac{1}{\\tau s}\\)
Question 3 : Calcul de la fréquence de coupure \\(f_c\\)
1. La fréquence de coupure est donnée par :
\\(f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\tau}\\)
2. Application :
\\(f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 0.011} = 14.48 \\; Hz\\)
", "id_category": "5", "id_number": "8" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de signal carré est réalisé avec un NE555 en mode astable avec les résistances \\(R_A = 4.7 k\\Omega\\), \\(R_B = 10 k\\Omega\\) et un condensateur \\(C = 100 nF\\).\n\n1. Calculez la période de sortie \\(T\\).\n\n2. Calculez la fréquence de sortie \\(f\\).\n\n3. Estimez le rapport cyclique \\(D\\) du signal de sortie.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la période \\(T\\)
1. Formule générale du NE555 en mode astable :
\\(T = 0.693 (R_A + 2 R_B) C\\)
2. Remplacement :
\\(T = 0.693 (4700 + 2 \\times 10000) \\times 100 \\times 10^{-9} = 0.00241 \\; s = 2.41 \\; ms\\)
Question 2 : Calcul de la fréquence \\(f\\)
1. Relation :
\\(f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0.00241} = 415.6 \\; Hz\\)
Question 3 : Calcul du rapport cyclique \\(D\\)
1. Relation :
\\(D = \\frac{R_A + R_B}{R_A + 2 R_B} = \\frac{4700 + 10000}{4700 + 20000} = 0.56 \\)
2. Le rapport cyclique est donc de 56\\%.
", "id_category": "5", "id_number": "9" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "Exercice 1 – GĂ©nĂ©rateur de courant constant et intĂ©grateur de Miller.\n\nUn gĂ©nĂ©rateur de courant constant alimente un condensateur \\(C = 100 \\ nF\\) dans un circuit intĂ©grateur de Miller. La tension d'entrĂ©e est constante et le courant fourni est \\(I = 50 \\ \\mu A\\).\n\n1. Calculez la pente de la tension de sortie en fonction du temps \\(\\frac{dV_{out}}{dt}\\).\n2. Calculez la tension de sortie après une durĂ©e \\(t = 20 \\ ms\\).\n3. DĂ©terminez le temps nĂ©cessaire pour que la tension de sortie atteigne 10 V.\n4. Calculez la charge accumulĂ©e sur le condensateur Ă ce moment-ci.\n5. InterprĂ©tez la relation entre le courant constant et la rampe de tension gĂ©nĂ©rĂ©e.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la pente \\( \\frac{dV_{out}}{dt} \\)
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nL'Ă©quation du courant dans un condensateur est :
\nOn en déduit :\n$\\frac{dV_{out}}{dt} = \\frac{I}{C}$.
\n
\nQuestion 2 : Tension de sortie après \\(t = 20 ms\\)
\n1. Expression de la tension :\n$V_{out}(t) = \\frac{I}{C} t + V_0$, avec \\(V_0 = 0\\).
\n2. Calcul numérique :\n$V_{out}(20 \\ ms) = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} \\times 20 \\times 10^{-3} = 10 \\ V$.
\n
\nQuestion 3 : Temps pour atteindre 10 V
\n1. Inverse de la question 2 :\n$t = \\frac{C}{I} V_{out} = \\frac{100 \\times 10^{-9}}{50 \\times 10^{-6}} \\times 10 = 20 \\ ms$.
\n
\nQuestion 4 : Charge accumulée à 10 V
\n1. Formule :\n$Q = C \\times V_{out} = 100 \\times 10^{-9} \\times 10 = 1 \\times 10^{-6} \\ C$.
\n
\nQuestion 5 : Interprétation
\nUn courant constant charge linĂ©airement un condensateur, ce qui gĂ©nère une rampe de tension proportionnelle au courant et inversement proportionnelle Ă la capacitĂ©.", "id_category": "5", "id_number": "10" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "Exercice 2 – GĂ©nĂ©rateur de signal en dents de scie avec NE555 en mode astable.\n\nUn NE555 est configurĂ© en mode astable pour produire une frĂ©quence de signal de 1 kHz et un rapport cyclique de 50%. La rĂ©sistance de charge est \\(R = 10 k\\Omega\\) et le condensateur d’intĂ©gration est \\(C = 0.01 \\ \\mu F\\).\n\n1. Calculez la pĂ©riode \\(T\\) du signal gĂ©nĂ©rĂ©.\n2. Calculez les temps de montĂ©e \\(t_{high}\\) et de descente \\(t_{low}\\).\n3. Calculez la frĂ©quence exacte produite.\n4. Calculez le rapport cyclique rĂ©el avec ces valeurs.\n5. Calculez la constante de temps du circuit d’intĂ©gration et son influence sur la forme du signal.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : PĂ©riode du signal \\(T\\)
\n1. Formule pour NE555 astable :
\n2. Calcul :\n$T = 0.693 (10k + 2 \\times 10k) \\times 0.01 \\times 10^{-6} = 0.693 \\times 30k \\times 10^{-8} = 0.693 \\times 3 \\times 10^{-4} = 2.08 \\ ms$.
\n
\nQuestion 2 : Temps de montée \\(t_{high}\\) et descente \\(t_{low}\\)
\n1. Formules :\n$t_{high} = 0.693 (R_A + R_B) C, \\quad t_{low} = 0.693 R_B C$.
\n2. Calculs :\n$t_{high} = 0.693 (10k + 10k) \\times 0.01 \\mu F = 0.693 \\times 20k \\times 10^{-8} = 1.386 \\ ms$.
\n$t_{low} = 0.693 \\times 10k \\times 10^{-8} = 0.693 \\ ms$.
\n
\nQuestion 3 : Fréquence exacte de génération
\n1. Inverse de la période :\n$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{2.08 \\times 10^{-3}} = 480.77 \\ Hz$.
\n
\nQuestion 4 : Rapport cyclique réel
\n1. DĂ©finition :\n$D = \\frac{t_{high}}{T} = \\frac{1.386}{2.08} = 0.666 = 66.6\\%$.
\n
\nQuestion 5 : Constante de temps de l’intĂ©grateur
\n1. Constante de temps :\n$\\tau = RC = 10 k\\Omega \\times 0.01 \\mu F = 100 \\ \\mu s$.
\n2. Son influence est de dĂ©finir la rapiditĂ© de charge/dĂ©charge, façonnant la pente des signaux dent de scie.", "id_category": "5", "id_number": "11" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "Exercice 3 – GĂ©nĂ©rateur de signaux carrĂ©s Ă base de SN74121 et SN74122.\n\nUn monostable SN74121 est configurĂ© avec une rĂ©sistance \\(R = 100 k\\Omega\\) et un condensateur \\(C = 0.1 \\ \\mu F\\). Un SN74122 gĂ©nère des impulsions doubles avec \\(R = 220 k\\Omega\\) et \\(C = 0.047 \\ \\mu F\\).\n\n1. Calculez la durĂ©e de l’impulsion unique produite par le SN74121.\n2. Calculez la pĂ©riode des impulsions doubles gĂ©nĂ©rĂ©es par le SN74122.\n3. DĂ©terminez la frĂ©quence de rĂ©pĂ©tition si les impulsions simples et doubles sont synchronisĂ©es Ă 10 kHz.\n4. Calculez l’Ă©nergie dissipĂ©e pendant une impulsion unique dans le SN74121 si l’alimentation est de 5 V et la charge est de 1 k\\Omega.\n5. Calculez le rapport cyclique d’une impulsion double formĂ©e par le SN74122.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : DurĂ©e d’impulsion du SN74121
\n1. Formule :
\n
\nQuestion 2 : PĂ©riode des impulsions doubles du SN74122
\n1. Formule :\n$T = 0.7 R C = 0.7 \\times 220 \\times 10^{3} \\times 0.047 \\times 10^{-6} = 7.24 \\ ms$.
\n
\nQuestion 3 : Fréquence de répétition synchronisée à 10 kHz
\n1. Fréquence des impulsions simples :\n$f = \\frac{1}{t} = 100 Hz$.
\n2. Fréquence des impulsions doubles :\n$f = \\frac{1}{T} = 138.1 Hz$.
\n3. Pour synchroniser à 10 kHz, on utilise un diviseur de fréquence.
\n
\nQuestion 4 : Énergie dissipée pendant une impulsion unique
\n1. Énergie dissipée :\n$E = V^2 \\times \\frac{t}{R} = \\frac{5^2 \\times 10 \\times 10^{-3}}{1000} = 0.25 \\ J$.
\n
\nQuestion 5 : Rapport cyclique d’une impulsion double
\n1. Le rapport cyclique :\n$D = \\frac{t_{impulsion}}{T} = \\frac{7.24}{7.24 + t_{pause}}$, où \\(t_{pause}\\) dépend de la configuration.
\nSans pause, \\(D \\approx 100\\%\\).", "id_category": "5", "id_number": "12" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "On considère un générateur de rampes à courant constant réalisé par un intégrateur de Miller avec une capacité $C = 100~nF$ et un courant de charge constant $I = 50~\\mu A$.\n1. Calculez la pente de la rampe $\\frac{dV}{dt}$ générée.\n2. Déterminez le temps nécessaire pour que la tension atteigne $V = 5~V$.\n3. Si la capacité est doublée, calculez la nouvelle pente de la rampe.\n\nOn suppose une tension de départ nulle et un courant constant idéal.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de la pente de rampe :
Formule générale :
$\\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C}$
Remplacement :
$I = 50 \\times 10^{-6}~A, \\quad C = 100 \\times 10^{-9}~F$
Calcul :
$\\frac{dV}{dt} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 500~V/s$
2. Temps pour atteindre 5 V :
Formule :
$t = \\frac{V}{dV/dt} = \\frac{5}{500} = 0.01~s$
3. Nouvelle pente si $C$ est doublée :
$C' = 2 C = 200~nF$
Donc :
$\\frac{dV}{dt}' = \\frac{I}{C'} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{200 \\times 10^{-9}} = 250~V/s$
", "id_category": "5", "id_number": "13" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de signal triangle est conçu avec une fréquence de sortie $f = 1~kHz$ et une amplitude maximale $V_{max} = 3~V$. Le signal est généré par un intégrateur alimenté en courant constant.1. Déterminez la pente maximale du signal triangle généré.
2. Calculez la valeur du courant constant nécessaire si la capacité intégratrice est $C = 10~nF$.
3. Déterminez la période du signal triangulaire et vérifiez la cohérence avec la fréquence voulue.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Pente du signal triangle
Le signal triangle possède une rampe montante avec pente :
$\\frac{dV}{dt} = 4 f V_{max}$
Remplacement :
$f = 1000~Hz, \\quad V_{max} = 3~V$
Calcul :
$\\frac{dV}{dt} = 4 \\times 1000 \\times 3 = 12000~V/s$
2. Calcul du courant constant :
$I = C \\times \\frac{dV}{dt} = 10 \\times 10^{-9} \\times 12000 = 1.2 \\times 10^{-4}~A = 120~\\mu A$
3. PĂ©riode du signal triangulaire :
$T = \\frac{1}{f} = 1~ms$
La rampe monte pendant $T/2 = 0.5~ms$ et descende ensuite aussi en $0.5~ms$.
", "id_category": "5", "id_number": "14" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur basé sur un circuit intégré NE555 est configuré en mode astable pour produire un signal carré.\nLes résistances choisies sont $R_A = 10~k\\Omega$ et $R_B = 20~k\\Omega$, et la capacité est $C = 100~nF$.\n1. Calculez la fréquence de sortie $f$ du signal.\n2. Déterminez le rapport cyclique (duty cycle) du signal carré.\n3. Si $R_B$ est modifié à 10 k\\Omega, calculez la nouvelle fréquence et le nouveau rapport cyclique.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fréquence de sortie :
Formule :
$f = \\frac{1.44}{(R_A + 2 R_B) C}$
Remplacement :
$R_A = 10 \\times 10^{3}~\\Omega, \\quad R_B = 20 \\times 10^{3}~\\Omega, \\quad C = 100 \\times 10^{-9}~F$
Calcul :
$f = \\frac{1.44}{(10 \\times 10^3 + 2 \\times 20 \\times 10^3) \\times 100 \\times 10^{-9}} = \\frac{1.44}{5 \\times 10^{-3}} = 288~Hz$
2. Rapport cyclique :
$DC = \\frac{R_A + R_B}{R_A + 2 R_B} = \\frac{10 + 20}{10 + 40} = \\frac{30}{50} = 0.6 = 60\\%$
3. Nouvelle fréquence et rapport cyclique avec $R_B = 10~k\\Omega$ :
$f' = \\frac{1.44}{(10 + 2 \\times 10) \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-9}} = \\frac{1.44}{3 \\times 10^{-3}} = 480~Hz$
$DC' = \\frac{10 + 10}{10 + 20} = \\frac{20}{30} = 0.6667 = 66.7\\%$
", "id_category": "5", "id_number": "15" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de rampe à courant constant est conçu avec un condensateur de valeur $\\displaystyle C = 100 \\; nF$ chargé par un courant constant $\\displaystyle I = 50 \\; \\mu A$.1. Calculez la pente de la rampe de tension $\\frac{dV}{dt}$.
2. Quelle est la durée nécessaire pour que la tension atteigne $5 \\; V$ ?
3. Si la tension initiale est $0 \\; V$ au temps $0$, donnez l'expression complète $V(t)$ de la rampe.
4. En utilisant ce générateur, calculez la tension à $t = 20 \\; \\mu s$.
5. Si la vitesse de charge est limitée par une résistance série maximale de $20 \\; k\\Omega$, calculez la valeur minimale admissible de $I$ pour respecter ce temps de montée.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de la pente
1. La relation tension-courant sur un condensateur est : $ I = C \\frac{dV}{dt}$.
2. On obtient donc :
3. Remplacement : \n$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 500 \\; V/s$.
2. Temps pour atteindre 5 V
1. Formule de la rampe : $ V = \\frac{I}{C} t $.
2. RĂ©solution en temps : $ t = \\frac{V C}{I} = \\frac{5 \\times 100 \\times 10^{-9}}{50 \\times 10^{-6}} = 10 \\times 10^{-3} = 10 \\; ms$.
3. Expression complète de la rampe
La tension est : $ V(t) = \\frac{I}{C} t + V_0 = 500 t + 0 $ avec $t$ en secondes.
4. Calcul de la tension Ă \n$ t = 20 \\times 10^{-6} \\; s$ :
$ V(20 \\mu s) = 500 \\times 20 \\times 10^{-6} = 0.01 \\; V$.
5. Valeur minimale admissible de \n$ I_{min} = \\frac{V C}{t_{montée}} $ avec $t_{montée} = \\frac{V}{(dV/dt)_{max}} = \\frac{5}{250000} = 20 \\times 10^{-6} \\; s$ (temps maximal défini par la résistance).
Dans ce cas : $ I_{min} = \\frac{5 \\times 100 \\times 10^{-9}}{20 \\times 10^{-6}} = 25 \\times 10^{-6} = 25 \\; \\mu A$.", "id_category": "5", "id_number": "16" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de rampe à courant constant est conçu avec un courant de charge constant $I = 2\\,\\mathrm{mA}$ et un condensateur $C = 0.1\\,\\mu F$.
1) Calculez la pente de la rampe $\\frac{dV}{dt}$ en volts par seconde.
2) Déterminez le temps nécessaire pour que la tension atteigne 5 V.
3) En cas de variation du courant de charge Ă $1.5\\,\\mathrm{mA}$, calculez la nouvelle pente et commentez l’impact sur la rampe.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. La pente de la rampe générée par un courant constant
\nLa relation fondamentale est :
\n$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C} $.
\nRemplacement :
\n$ I = 2 \\times 10^{-3} \\mathrm{A}, \\quad C = 0.1 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} $.
\nCalcul :
\n$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{2 \\times 10^{-3}}{0.1 \\times 10^{-6}} = 20000 \\mathrm{V/s} $.
\n\n2. Temps nécessaire pour atteindre 5 V :
\n$ t = \\frac{V}{\\frac{dV}{dt}} = \\frac{5}{20000} = 2.5 \\times 10^{-4} \\mathrm{s} = 250 \\mu \\mathrm{s} $.
\n\n3. Nouvelle pente pour $ I = 1.5\\,\\mathrm{mA} $ :
\n$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{1.5 \\times 10^{-3}}{0.1 \\times 10^{-6}} = 15000 \\mathrm{V/s} $.
\nL'impact est une rampe moins raide donc un temps plus long pour atteindre la mĂŞme tension.
", "id_category": "5", "id_number": "17" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de signal en dents de scie est réalisé avec un intégrateur de Miller associé à un NE555 configuré en mode astable. La fréquence du signal est donnée par :$ f = \\frac{1}{R C \\ln 3} $.1) Pour $R = 10\\,\\mathrm{k}\\Omega$ et $C = 100\\,\\mathrm{nF}$, calculez la fréquence du signal.
2) Calculez la période et la durée d'une dent de scie montant.
3) Si $R$ est augmenté à $15\\,\\mathrm{k}\\Omega$, calculez la nouvelle fréquence et commentez.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de la fréquence :
\n$ f = \\frac{1}{R C \\ln 3} $.
\nRemplacement :
\n$ R = 10 \\times 10^{3} \\Omega, \\quad C = 100 \\times 10^{-9} F $.
\nCalcul :
\n$ f = \\frac{1}{10 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-9} \\times 1.0986} = \\frac{1}{1.0986 \\times 10^{-3}} = 910.2 \\mathrm{Hz} $.
\n\n2. Période et durée montante :
\nPĂ©riode :
\n$ T = \\frac{1}{f} = 1.099 \\times 10^{-3} \\mathrm{s} $.
\nDurée dents de scie (montante) égale à la période :
\n$ t_{montante} = T = 1.099 \\mathrm{ms} $.
\n\n3. Nouvelle fréquence pour $ R = 15\\,\\mathrm{k}\\Omega $ :
\n$ f = \\frac{1}{15 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-9} \\times 1.0986} = 606.8 \\mathrm{Hz} $.
\nLa frĂ©quence diminue donc avec l’augmentation de $R$, ce qui ralentit la gĂ©nĂ©ration du signal.
", "id_category": "5", "id_number": "18" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "Un circuit utilisant un SN74121 monostable est configurĂ© pour gĂ©nĂ©rer une impulsion temporelle de durĂ©e :$ T = 0.7 R C $ avec $R$ en ohms et $C$ en farads.1) Pour $R = 100\\,\\mathrm{k}\\Omega$ et $C = 10\\,\\mathrm{nF}$, calculez la durĂ©e de l’impulsion.
2) Si $C$ est diminué à $5\\,\\mathrm{nF}$, calculez la nouvelle durée.
3) Pour maintenir $T = 7\\,\\mu\\mathrm{s}$, calculez la valeur de $R$ avec $C = 10\\,\\mathrm{nF}$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de la durĂ©e d’impulsion :
\n$ T = 0.7 R C $.
\nRemplacement :
\n$ R = 100 \\times 10^3 \\Omega, \\quad C = 10 \\times 10^{-9} F $.
\nCalcul :
\n$ T = 0.7 \\times 100 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-9} = 0.7 \\times 10^{-3} = 700 \\mu s $.
\n\n2. Nouvelle durée pour $ C = 5 \\, nF $ :
\n$ T = 0.7 \\times 100 \\times 10^3 \\times 5 \\times 10^{-9} = 350 \\mu s $.
\n\n3. Calcul de la résistance pour $ T = 7 \\, \\mu s $ et $ C = 10 \\, nF $ :
\nInversion de la formule :
\n$ R = \\frac{T}{0.7 C} = \\frac{7 \\times 10^{-6}}{0.7 \\times 10 \\times 10^{-9}} = 1000 \\Omega $.
", "id_category": "5", "id_number": "19" }, { "category": "gĂ©nĂ©rateur de signaux", "question": "On considère un gĂ©nĂ©rateur de rampes Ă courant constant basĂ© sur un intĂ©grateur de Miller avec une capacitĂ© $\\( C = 100\\,\\text{nF} \\)$ et un courant constant $\\( I = 20\\,\\mu\\text{A} \\)$. La charge du condensateur gĂ©nère une tension qui croit linĂ©airement avec le temps et l’on souhaite Ă©tudier le signal de sortie.\n1) Calculer la pente (dĂ©rivĂ©e temporelle) de la tension de sortie $\\( \\dfrac{dV_{out}}{dt} \\)$.
\n2) En supposant une tension maximale de sortie $\\( V_{max} = 10\\,\\text{V} \\)$, calculer la durée $\\( T_{r} \\)$ de la rampe générée avant réinitialisation.
\n3) Déterminer la fréquence de répétition maximale $\\( f_{max} \\)$ du générateur de rampes.
\n4) Si un circuit SN74121 monostable est utilisĂ© pour rĂ©initialiser le condensateur, et que sa durĂ©e d'impulsion est rĂ©glĂ©e Ă $\\( 5\\,\\text{ms} \\)$, quel est le rapport cyclique maximal que l’on peut obtenir pour la rampe?
\n5) En utilisant une alimentation de $\\( 12\\,\\text{V} \\)$ et une résistance de charge du générateur $\\( R = 10\\,\\text{k}\\Omega \\)$, calculer la puissance dissipée dans la résistance pendant la phase de charge.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : calcul de la pente de la rampe.
\n1. Formule gĂ©nĂ©rale dans $...$ : la tension sur le condensateur d’un intĂ©grateur de courant suit
\\( V_{out}(t) = \\dfrac{1}{C} \\int I \\, dt = \\dfrac{I}{C} t + V_0 \\)
\nDonc la dérivée temporelle est :
\n\\( \\dfrac{dV_{out}}{dt} = \\dfrac{I}{C} \\)
\n\n2. Remplacement :
\n\\( I = 20 \\times 10^{-6} \\, A \\)
\n\\( C = 100 \\times 10^{-9} \\, F \\)
\n\n3. Calcul :
\n\\( \\dfrac{dV_{out}}{dt} = \\dfrac{20 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 200 \\; V/s \\)
\n\nQuestion 2 : calcul de la durée de montée $\\( T_r \\).
\n1. Formule :
\\( T_{r} = \\dfrac{V_{max}}{dV_{out}/dt} \\)
\n\n2. Remplacement :
\n\\( V_{max} = 10 \\, V \\)
\n\n3. Calcul :
\n\\( T_r = \\dfrac{10}{200} = 0{,}05 \\, s = 50 \\, ms \\)
\n\nQuestion 3 : fréquence maximale de répétition $\\( f_{max} \\).
\n1. Formule :
\\( f_{max} = \\dfrac{1}{T_r} = \\dfrac{1}{50 \\times 10^{-3}} = 20 \\, Hz \\)
\n\nQuestion 4 : calcul du rapport cyclique maximal.
\n1. Formule :
Le temps total d'une période est
\n\\( T_p = T_r + T_{reset} \\)
\nLe rapport cyclique maximal (rapport montée / période) est :
\n\\( D = \\dfrac{T_r}{T_r + T_{reset}} \\)
\n\n2. Remplacement :
\n\\( T_{reset} = 5 \\, ms = 0{,}005 \\, s \\)
\n\n3. Calcul :
\n\\( D = \\dfrac{0{,}05}{0{,}05 + 0{,}005} = \\dfrac{0{,}05}{0{,}055} = 0{,}909 = 90{,}9 \\% \\)
\n\nQuestion 5 : puissance dissipée dans la résistance
\n1. Formule :
Puissance dissipée :
\n\\( P = \\dfrac{V^2}{R} \\) sur la résistance, où
\n\\( V \\) est la tension d’alimentation.
\n\n2. Remplacement :
\n\\( V = 12 \\, V, \\quad R = 10 \\times 10^3 \\, \\Omega \\)
\n\n3. Calcul :
\n\\( P = \\dfrac{12^2}{10 \\times 10^3} = \\dfrac{144}{10{,}000} = 0{,}0144 \\, W = 14{,}4 \\, mW \\)
\n\n4. RĂ©sultat final :
\nLa tension de sortie varie avec une pente de $\\( 200\\,V/s \\)$, la rampe atteint $\\( 10\\,V \\)$ en $\\( 50\\,ms \\)$, la fréquence maximale du générateur est $\\( 20\\,Hz \\)$, le rapport cyclique maximal est $\\( 90{,}9\\% \\)$, et la puissance dissipée dans la résistance est $\\( 14{,}4\\,mW \\)$.
", "id_category": "5", "id_number": "20" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "On considère un générateur de rampes à courant constant réalisé avec une source de courant \\(I = 50 \\, \\mu A\\) et un condensateur \\(C = 100 \\, nF\\).\\n\\n1. Déterminez la pente de la rampe de tension générée sur le condensateur.\\n\\n2. Quelle est la période \\(T\\) si la tension maximale de la rampe est de 5 V ?\\n\\n3. En présence d'une résistance de fuite de \\(10 \\, M\\Omega\\) en parallèle avec le condensateur, calculez la nouvelle pente effective de la rampe et commentez l'effet sur la forme du signal.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. La pente de la rampe est donnée par la relation :
$\\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C}$Remplacement : $\\frac{dV}{dt} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 500 \\, V/s$
2. La période si amplitude maximale \\(V_{max} = 5 V\\) :
$T = \\frac{V_{max}}{\\frac{dV}{dt}} = \\frac{5}{500} = 0,01 \\, s = 10 \\, ms$3. Effet de la résistance de fuite :
$R = 10 \\, M\\Omega = 10 \\times 10^{6} \\, \\Omega$L'atténuation due à la fuite ajoute un courant de décharge : $i_{fuite} = \\frac{V}{R}$
Le courant net de charge du condensateur devient : $I_{net} = I - i_{fuite} = I - \\frac{V}{R}$
Soit une équation différentielle : $C \\frac{dV}{dt} + \\frac{V}{R} = I$
La pente effective se dégrade : $\\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C} - \\frac{V}{RC}$
Au début \\(V \\approx 0\\), la pente est approximativement 500 V/s, puis diminue avec \\(V\\). Cette fuite provoque une courbure décroissante de la rampe, dégradant la linéarité.
", "id_category": "5", "id_number": "21" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un oscillateur triangulaire est réalisé en utilisant un générateur à courant constant \\(I = 20 \\, \\mu A\\) et un condensateur \\(C = 50 \\, nF\\), couplé à un comparateur pour générer une forme d'onde carrée. La tension maximale à atteindre est \\(4 \\, V\\).\\n\\n1. Calculez la fréquence fondamentale du signal triangulaire.\\n\\n2. Quelle est la relation entre la fréquence du signal triangulaire et celle du signal carré ?\\n\\n3. Si la charge capacitive augmente à \\(C = 70 \\, nF\\), calculez la nouvelle fréquence et discutez l'impact.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. La période du signal triangulaire est :
$T = 2 \\times \\frac{V_{max} C}{I}$Calcul : $T = 2 \\times \\frac{4 \\times 50 \\times 10^{-9}}{20 \\times 10^{-6}} = 2 \\times \\frac{2 \\times 10^{-7}}{2 \\times 10^{-5}} = 0,02 \\, s$
Fréquence : $f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0,02} = 50 \\, Hz$
2. La fréquence du signal carré est égale à la fréquence du signal triangulaire :
$f_{carré} = f_{triangle} = 50 \\, Hz$3. Pour \\(C = 70 \\, nF\\) :
$T = 2 \\times \\frac{4 \\times 70 \\times 10^{-9}}{20 \\times 10^{-6}} = 2 \\times 1,4 \\times 10^{-7} / 2 \\times 10^{-5} = 0,028 \\, s$Nouvelle fréquence : $f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0,028} \\approx 35,7 \\, Hz$
L’augmentation de la capacitĂ© diminue la frĂ©quence et modifie la dynamique du gĂ©nĂ©rateur.
", "id_category": "5", "id_number": "22" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de signaux impulsionnels est construit avec un NE555 en mode mono-stable.\\n\\n1. Pour une résistance externe \\(R = 100 \\, k\\Omega\\) et un condensateur \\(C = 10 \\, \\mu F\\), calculez la durée d'impulsion \\(T\\).\\n\\n2. Si le générateur est déclenché toutes les 50 ms, quelle est la fréquence maximale possible sans chevauchement des impulsions ?\\n\\n3. En diminuant \\(R\\) à \\(50 \\, k\\Omega\\), calculez la nouvelle durée d'impulsion et commentez l'impact sur la fréquence maximale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Durée d'impulsion :
$T = 1,1 \\times R \\times C$Remplacement : $T = 1,1 \\times 100 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-6} = 1,1 \\, s$
2. Fréquence maximale sans chevauchement :
$f_{max} = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{1,1} \\approx 0,91 \\, Hz$Pour déclenchement à 50 ms, fréquence réelle est 20 Hz, dépasse largement f_max.
Cela signifie chevauchement possible, non recommandé.
3. Nouvelle durée :
$T = 1,1 \\times 50 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-6} = 0,55 \\, s$Nouvelle fréquence maximale : $f_{max} = \\frac{1}{0,55} \\approx 1,82 \\, Hz$
Réduction de la durée double la fréquence maximale possible, mais reste nettement inférieure à 20 Hz.
", "id_category": "5", "id_number": "23" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "On étudie un générateur de rampe à courant constant basé sur un condensateur de capacité $ C = 100 \\; \\text{nF} $ chargé par un courant constant $ I = 50 \\; \\mu \\text{A} $. \n\n1) Calculez la pente temporelle de la rampe de tension $ \\frac{dV}{dt} $ générée sur le condensateur.\n\n2) Si la tension de seuil du comparateur vaut $ V_{th} = 5 \\text{ V} $, calculez la période du signal en dents de scie généré.\n\n3) Déterminez la fréquence correspondante du signal.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1) La pente temporelle de la rampe est donnée par la relation fondamentale pour un condensateur :
$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C} $.
Remplacement :
$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{100 \\times 10^{-9}} = 500 \\; \\text{V/s} $.
2) La période du signal en dents de scie est le temps nécessaire pour atteindre la tension seuil :
$ T = \\frac{V_{th}}{dV/dt} = \\frac{5}{500} = 0.01 \\; \\text{s} = 10 \\; \\text{ms} $.
3) La fréquence correspondante est :
$ f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0.01} = 100 \\; \\text{Hz} $.
", "id_category": "5", "id_number": "24" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Un générateur de signaux triangulaires est construit à partir d'un intégrateur numérique alimenté par un signal carré de fréquence $ f_c = 1 \\; \\text{kHz} $ et d'amplitude maximale $ V_{pp} = 10 \\; \\text{V} $. La capacité d'intégration est $ C = 10 \\; \\text{nF} $ et la résistance de charge est $ R = 100 \\; \\text{k}\\Omega $. \n\n1) Calculez la valeur du courant maximal dans l'intégrateur.\n\n2) Calculez la pente maximale de la tension triangulaire générée.\n\n3) Calculez l'amplitude maximale en volts du signal triangulaire produit.\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1) Le courant maximal dans l'intégrateur est donné par la loi d'Ohm :
$ I = \\frac{V_{pp}/2}{R} = \\frac{10/2}{100 \\times 10^{3}} = \\frac{5}{100000} = 50 \\times 10^{-6} = 50 \\; \\mu \\text{A} $.
2) La pente maximale de la tension triangulaire générée sur le condensateur :
$ \\frac{dV}{dt} = \\frac{I}{C} = \\frac{50 \\times 10^{-6}}{10 \\times 10^{-9}} = 5000 \\; \\text{V/s} $.
3) L'amplitude maximale du signal triangulaire est la hauteur de la rampe sur la moitié de la période du signal carré :
$ A = \\frac{dV}{dt} \\times \\frac{1}{2 f_c} = 5000 \\times \\frac{1}{2 \\times 1000} = 2.5 \\; \\text{V} $.
", "id_category": "5", "id_number": "25" }, { "category": "générateur de signaux", "question": "Dans un circuit générateur de signal carré à base de NE555 configuré en mode astable, les résistances sont $ R_A = 10 \\; \\text{k}\\Omega $ et $ R_B = 15 \\; \\text{k}\\Omega $, et le condensateur est $ C = 100 \\; \\text{nF} $.\n\n1) Calculez la période et la fréquence du signal de sortie.\n\n2) Calculez le temps de mise à l'état haut $ t_{high} $ et le temps de mise à l'état bas $ t_{low} $.\n\n3) En supposant que la tension d'alimentation est $ V_{CC} = 5 \\text{ V} $, calculez la largeur d'impulsion en secondes et le cycle de service (duty cycle).\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1) La période est donnée par la formule :
$ T = 0,693 (R_A + 2 R_B) C $.
Remplacement :
$ T = 0,693 \\times (10 \\times 10^{3} + 2 \\times 15 \\times 10^{3}) \\times 100 \\times 10^{-9} = 0,693 \\times 40 \\times 10^{3} \\times 10^{-7} = 0,2772 \\; \\text{ms} $.
La fréquence est :
$ f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0,2772 \\times 10^{-3}} = 3607 \\; \\text{Hz} $.
2) Le temps haut :
$ t_{high} = 0,693 \\times (R_A + R_B) C = 0,693 \\times (10 + 15) \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-9} = 0,1733 \\; \\text{ms} $.
Le temps bas :
$ t_{low} = 0,693 \\times R_B C = 0,693 \\times 15 \\times 10^{3} \\times 100 \\times 10^{-9} = 0,1039 \\; \\text{ms} $.
3) La largeur d'impulsion est
$ t_{high} = 0,1733 \\times 10^{-3} = 173,3 \\; \\mu s $.
Le cycle de service est :
$ D = \\frac{t_{high}}{T} = \\frac{0,1733}{0,2772} = 0,625 = 62,5 \\% $.
", "id_category": "5", "id_number": "26" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un amplificateur non-inverseur est conçu avec un amplificateur opérationnel dont le gain en boucle ouverte est $A_0 = 10^5$ et la fréquence de coupure est $f_c = 10 \\, \\text{Hz}$. Les résistances utilisées sont $R_1 = 2.2 \\, \\text{k}\\Omega$ (vers la masse) et $R_2 = 22 \\, \\text{k}\\Omega$ (contre-réaction). La tension d'entrée appliquée à l'entrée non-inverseuse est $V_e = 0.8 \\, \\text{V}$.Question 1: Calculer le gain en tension en boucle fermée $A_{vf}$ de cet amplificateur non-inverseur.
Question 2: DĂ©terminer la tension de sortie $V_s$ correspondante.
Question 3: Calculer le produit gain-bande passante $\\text{GBW}$ de l'amplificateur opérationnel.
Question 4: Déterminer la fréquence de coupure à $-3 \\, \\text{dB}$ du système en boucle fermée $f_{cf}$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution Question 1:
Pour un amplificateur non-inverseur idéal, le gain en boucle fermée est déterminé par le diviseur de tension formé par les résistances $R_1$ et $R_2$. Cette configuration applique une fraction de la tension de sortie à l'entrée inverseuse.
1. Formule générale du gain non-inverseur:
$A_{vf} = 1 + \\frac{R_2}{R_1}$
2. Remplacement des données:
$A_{vf} = 1 + \\frac{22 \\times 10^3}{2.2 \\times 10^3}$
3. Calcul:
$A_{vf} = 1 + \\frac{22}{2.2} = 1 + 10 = 11$
4. RĂ©sultat final:
$A_{vf} = 11$
Le gain est positif, confirmant qu'il n'y a pas d'inversion de phase dans cette configuration.
Solution Question 2:
La tension de sortie est calculée en appliquant le gain en boucle fermée à la tension d'entrée.
1. Formule générale:
$V_s = A_{vf} \\times V_e$
2. Remplacement des données:
$V_s = 11 \\times 0.8$
3. Calcul:
$V_s = 8.8 \\, \\text{V}$
4. RĂ©sultat final:
$V_s = 8.8 \\, \\text{V}$
Cette tension de sortie positive est cohérente avec la configuration non-inverseuse. La valeur reste dans la plage linéaire de fonctionnement de l'amplificateur.
Solution Question 3:
Le produit gain-bande passante (GBW) est une caractéristique fondamentale de l'amplificateur opérationnel. Il représente le produit du gain en boucle ouverte par la fréquence de coupure en boucle ouverte et reste constant pour un amplificateur donné.
1. Formule générale:
$\\text{GBW} = A_0 \\times f_c$
2. Remplacement des données:
$\\text{GBW} = 10^5 \\times 10$
3. Calcul:
$\\text{GBW} = 10^6 \\, \\text{Hz}$
4. RĂ©sultat final:
$\\text{GBW} = 1 \\, \\text{MHz}$
Ce produit gain-bande passante est typique des amplificateurs opérationnels standards comme le 741.
Solution Question 4:
En boucle fermée, la fréquence de coupure augmente tandis que le gain diminue. Le produit gain-bande passante reste constant, ce qui permet de calculer la nouvelle fréquence de coupure.
1. Formule générale (conservation du GBW):
$f_{cf} = \\frac{\\text{GBW}}{A_{vf}}$
2. Remplacement des données:
$f_{cf} = \\frac{10^6}{11}$
3. Calcul:
$f_{cf} = 90909.09 \\, \\text{Hz}$
4. RĂ©sultat final:
$f_{cf} \\approx 90.9 \\, \\text{kHz}$
La fréquence de coupure en boucle fermée est significativement plus élevée que celle en boucle ouverte ($10 \\, \\text{Hz}$), ce qui illustre le compromis gain-bande passante. En réduisant le gain de $10^5$ à $11$, nous avons augmenté la bande passante d'un facteur $\\frac{10^5}{11} \\approx 9091$.
Question 1: Calculer la contribution de chaque entrée au signal de sortie (c'est-à -dire déterminer $V_{s1}$, $V_{s2}$ et $V_{s3}$).
Question 2: DĂ©terminer la tension de sortie totale $V_s$ du sommateur.
Question 3: Calculer le courant total $i_f$ traversant la résistance de contre-réaction $R_f$.
Question 4: Si on souhaite que les trois entrées aient le même poids dans la somme (gain unitaire $-1$ pour chaque entrée), quelles valeurs de résistances d'entrée devrait-on choisir avec $R_f = 100 \\, \\text{k}\\Omega$ ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution Question 1:
Dans un amplificateur sommateur inverseur, chaque entrée contribue indépendamment à la sortie. La contribution de chaque source est déterminée par le principe de superposition. Pour chaque entrée, on calcule le gain individuel puis on multiplie par la tension correspondante.
Pour l'entrée 1:
1. Formule du gain pour l'entrée 1:
$V_{s1} = -\\frac{R_f}{R_1} \\times V_1$
2. Remplacement des données:
$V_{s1} = -\\frac{100 \\times 10^3}{10 \\times 10^3} \\times 1$
3. Calcul:
$V_{s1} = -\\frac{100}{10} \\times 1 = -10 \\times 1 = -10 \\, \\text{V}$
4. RĂ©sultat:
$V_{s1} = -10 \\, \\text{V}$
Pour l'entrée 2:
1. Formule du gain pour l'entrée 2:
$V_{s2} = -\\frac{R_f}{R_2} \\times V_2$
2. Remplacement des données:
$V_{s2} = -\\frac{100 \\times 10^3}{20 \\times 10^3} \\times (-0.5)$
3. Calcul:
$V_{s2} = -\\frac{100}{20} \\times (-0.5) = -5 \\times (-0.5) = 2.5 \\, \\text{V}$
4. RĂ©sultat:
$V_{s2} = 2.5 \\, \\text{V}$
Pour l'entrée 3:
1. Formule du gain pour l'entrée 3:
$V_{s3} = -\\frac{R_f}{R_3} \\times V_3$
2. Remplacement des données:
$V_{s3} = -\\frac{100 \\times 10^3}{50 \\times 10^3} \\times 0.3$
3. Calcul:
$V_{s3} = -\\frac{100}{50} \\times 0.3 = -2 \\times 0.3 = -0.6 \\, \\text{V}$
4. RĂ©sultat:
$V_{s3} = -0.6 \\, \\text{V}$
Solution Question 2:
La tension de sortie totale est la somme algébrique de toutes les contributions individuelles calculées à la question précédente.
1. Formule générale:
$V_s = V_{s1} + V_{s2} + V_{s3}$
2. Remplacement des données:
$V_s = (-10) + 2.5 + (-0.6)$
3. Calcul:
$V_s = -10 + 2.5 - 0.6 = -8.1 \\, \\text{V}$
4. RĂ©sultat final:
$V_s = -8.1 \\, \\text{V}$
Le résultat négatif est cohérent avec la configuration inverseuse du sommateur.
Solution Question 3:
Le courant traversant la résistance de contre-réaction peut être calculé en utilisant la loi d'Ohm. L'entrée inverseuse étant à la masse virtuelle ($0 \\, \\text{V}$), la différence de potentiel aux bornes de $R_f$ est $0 - V_s$.
1. Formule générale:
$i_f = \\frac{0 - V_s}{R_f} = -\\frac{V_s}{R_f}$
2. Remplacement des données:
$i_f = -\\frac{-8.1}{100 \\times 10^3}$
3. Calcul:
$i_f = \\frac{8.1}{100000} = 8.1 \\times 10^{-5} \\, \\text{A}$
4. RĂ©sultat final:
$i_f = 81 \\, \\mu\\text{A}$
Ce courant représente la somme de tous les courants d'entrée selon la loi des nœuds au point de masse virtuelle.
Solution Question 4:
Pour obtenir un gain unitaire de $-1$ pour chaque entrée, il faut que le rapport $\\frac{R_f}{R_i}$ soit égal à $1$ pour chaque résistance d'entrée. Cela signifie que toutes les résistances d'entrée doivent être égales à la résistance de contre-réaction.
1. Formule générale pour un gain de $-1$:
$-\\frac{R_f}{R_i} = -1 \\Rightarrow R_i = R_f$
2. Application de la condition:
$R_1 = R_2 = R_3 = R_f$
3. Remplacement avec la valeur de $R_f$:
$R_1 = R_2 = R_3 = 100 \\, \\text{k}\\Omega$
4. RĂ©sultat final:
$R_1 = R_2 = R_3 = 100 \\, \\text{k}\\Omega$
Avec cette configuration, la fonction de transfert devient $V_s = -(V_1 + V_2 + V_3)$, réalisant une somme pondérée égale de toutes les entrées avec inversion.
Question 1: Déterminer la constante de temps $\\tau = RC$ du circuit intégrateur.
Question 2: Calculer la tension de sortie $V_s(t)$ Ă l'instant $t = 0.5 \\, \\text{s}$.
Question 3: Déterminer le temps $t_{sat}$ nécessaire pour que la sortie atteigne $V_s = -10 \\, \\text{V}$ (en supposant que c'est la limite de saturation).
Question 4: Calculer le courant $i_C$ traversant le condensateur pendant la phase d'intégration.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution Question 1:
La constante de temps d'un circuit RC est le produit de la résistance et de la capacité. Cette constante caractérise la vitesse de réponse du circuit intégrateur.
1. Formule générale:
$\\tau = R \\times C$
2. Remplacement des données:
$\\tau = 100 \\times 10^3 \\times 1 \\times 10^{-6}$
3. Calcul:
$\\tau = 100 \\times 10^3 \\times 10^{-6} = 100 \\times 10^{-3} = 0.1 \\, \\text{s}$
4. RĂ©sultat final:
$\\tau = 0.1 \\, \\text{s} = 100 \\, \\text{ms}$
Cette constante de temps détermine le taux d'intégration du signal d'entrée.
Solution Question 2:
Pour un intégrateur idéal avec une entrée constante, la sortie varie linéairement avec le temps. L'équation de sortie d'un intégrateur inverseur est donnée par l'intégrale de l'entrée divisée par la constante de temps.
1. Formule générale de l'intégrateur:
$V_s(t) = -\\frac{1}{RC} \\int_0^t V_e \\, dt' = -\\frac{V_e}{RC} \\times t$
Pour une entrée constante et en utilisant $\\frac{1}{RC} = \\frac{1}{\\tau}$:
$V_s(t) = -\\frac{V_e}{\\tau} \\times t$
2. Remplacement des données:
$V_s(0.5) = -\\frac{2}{0.1} \\times 0.5$
3. Calcul:
$V_s(0.5) = -20 \\times 0.5 = -10 \\, \\text{V}$
4. RĂ©sultat final:
$V_s(0.5 \\, \\text{s}) = -10 \\, \\text{V}$
La tension de sortie est négative en raison de la configuration inverseuse de l'intégrateur. La sortie décroît linéairement à un taux de $-20 \\, \\text{V/s}$.
Solution Question 3:
Le temps de saturation est atteint lorsque la tension de sortie atteint la valeur de saturation spécifiée. On utilise l'équation de l'intégrateur pour résoudre en fonction du temps.
1. Formule générale (en résolvant pour $t$):
$t_{sat} = -\\frac{V_{sat} \\times \\tau}{V_e}$
2. Remplacement des données:
$t_{sat} = -\\frac{(-10) \\times 0.1}{2}$
3. Calcul:
$t_{sat} = \\frac{10 \\times 0.1}{2} = \\frac{1}{2} = 0.5 \\, \\text{s}$
4. RĂ©sultat final:
$t_{sat} = 0.5 \\, \\text{s}$
Après $0.5 \\, \\text{s}$, l'amplificateur atteint sa limite de saturation à $-10 \\, \\text{V}$. Ce résultat est cohérent avec le calcul de la question 2.
Solution Question 4:
Dans un amplificateur opérationnel idéal, le courant traversant le condensateur est égal au courant traversant la résistance d'entrée en raison de la masse virtuelle et du courant d'entrée nul. Ce courant peut être calculé par la loi d'Ohm.
1. Formule générale (courant d'entrée avec masse virtuelle):
$i_C = \\frac{V_e - 0}{R} = \\frac{V_e}{R}$
2. Remplacement des données:
$i_C = \\frac{2}{100 \\times 10^3}$
3. Calcul:
$i_C = \\frac{2}{100000} = 2 \\times 10^{-5} \\, \\text{A}$
4. RĂ©sultat final:
$i_C = 20 \\, \\mu\\text{A}$
Ce courant constant charge le condensateur de manière continue, produisant une variation linéaire de la tension de sortie. On peut vérifier ce résultat en utilisant la relation $i_C = C \\frac{dV_C}{dt}$. Sachant que $\\frac{dV_s}{dt} = -20 \\, \\text{V/s}$, nous avons $i_C = 1 \\times 10^{-6} \\times 20 = 20 \\, \\mu\\text{A}$, ce qui confirme notre calcul.
Un amplificateur inverseur est réalisé avec un amplificateur opérationnel idéal alimenté sous $\\pm 15\\,\\text{V}$. Le montage comprend une résistance d'entrée $R_1 = 10\\,\\text{k}\\Omega$ et une résistance de contre-réaction $R_2 = 100\\,\\text{k}\\Omega$. Le signal d'entrée est $V_{\\text{in}} = 0{,}5\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1 : Calculer le gain en tension $A_v$ de cet amplificateur inverseur.
\n\nQuestion 2 : Déterminer la tension de sortie $V_{\\text{out}}$ pour le signal d'entrée donné.
\n\nQuestion 3 : Calculer le courant $I_1$ circulant dans la résistance d'entrée $R_1$.
\n\nQuestion 4 : En déduire le courant $I_2$ circulant dans la résistance de contre-réaction $R_2$ et vérifier la cohérence avec la loi des nœuds au niveau de l'entrée inverseuse (en supposant l'amplificateur opérationnel idéal).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice :
\n\nQuestion 1 : Calcul du gain en tension
\n\nPour un amplificateur inverseur idéal, le gain en tension est donné par la formule :
\n\n1. Formule générale :
\n$A_v = -\\frac{R_2}{R_1}$
\n\nCette formule découle du fait que pour un amplificateur opérationnel idéal, la tension différentielle d'entrée est nulle (masse virtuelle) et le courant d'entrée est nul.
\n\n2. Remplacement des données :
\n$A_v = -\\frac{100\\,\\text{k}\\Omega}{10\\,\\text{k}\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$A_v = -\\frac{100}{10} = -10$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$A_v = -10$
\n\nLe gain est négatif, ce qui confirme l'inversion du signal. Le facteur $10$ indique que le signal est amplifié d'un facteur $10$ en amplitude.
\n\nQuestion 2 : Calcul de la tension de sortie
\n\nLa tension de sortie est obtenue en multipliant la tension d'entrée par le gain.
\n\n1. Formule générale :
\n$V_{\\text{out}} = A_v \\times V_{\\text{in}}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$V_{\\text{out}} = (-10) \\times 0{,}5\\,\\text{V}$
\n\n3. Calcul :
\n$V_{\\text{out}} = -5{,}0\\,\\text{V}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$V_{\\text{out}} = -5{,}0\\,\\text{V}$
\n\nLa tension de sortie est négative, ce qui confirme l'inversion. La valeur de $-5{,}0\\,\\text{V}$ est bien dans la plage de l'alimentation $\\pm 15\\,\\text{V}$, donc l'amplificateur fonctionne en régime linéaire.
\n\nQuestion 3 : Calcul du courant dans R₁
\n\nLe courant dans $R_1$ se calcule en utilisant la loi d'Ohm. Puisque l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- = 0\\,\\text{V}$), la différence de potentiel aux bornes de $R_1$ est égale à $V_{\\text{in}}$.
\n\n1. Formule générale :
\n$I_1 = \\frac{V_{\\text{in}} - V^-}{R_1} = \\frac{V_{\\text{in}}}{R_1}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I_1 = \\frac{0{,}5\\,\\text{V}}{10\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{0{,}5\\,\\text{V}}{10 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$I_1 = \\frac{0{,}5}{10 \\times 10^3} = 0{,}05 \\times 10^{-3}\\,\\text{A} = 50 \\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I_1 = 50\\,\\mu\\text{A}$
\n\nCe courant circule de l'entrée vers l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel.
\n\nQuestion 4 : Calcul du courant dans R₂ et vĂ©rification
\n\nPour un amplificateur opérationnel idéal, le courant d'entrée est nul. La loi des nœuds au point de masse virtuelle impose que tout le courant entrant par $R_1$ sorte par $R_2$.
\n\n1. Formule générale (loi des nœuds) :
\n$I_1 = I_2$
\n\nDonc :
\n$I_2 = 50\\,\\mu\\text{A}$
\n\nVĂ©rifions cette valeur en utilisant la loi d'Ohm pour $R_2$ :
\n\n2. Formule générale :
\n$I_2 = \\frac{V^- - V_{\\text{out}}}{R_2} = \\frac{0 - V_{\\text{out}}}{R_2} = \\frac{-V_{\\text{out}}}{R_2}$
\n\n3. Remplacement des données :
\n$I_2 = \\frac{-(-5{,}0\\,\\text{V})}{100\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{5{,}0\\,\\text{V}}{100 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n4. Calcul :
\n$I_2 = \\frac{5{,}0}{100 \\times 10^3} = 0{,}05 \\times 10^{-3}\\,\\text{A} = 50 \\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\n5. RĂ©sultat final :
\n$I_2 = 50\\,\\mu\\text{A}$
\n\nVérification : On constate bien que $I_1 = I_2 = 50\\,\\mu\\text{A}$, ce qui confirme la loi des nœuds et la cohérence de nos calculs. Le courant circule de l'entrée vers la sortie à travers le point de masse virtuelle, sans qu'aucun courant n'entre dans l'amplificateur opérationnel (hypothèse d'idéalité vérifiée).
", "id_category": "6", "id_number": "4" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un amplificateur non-inverseur est conçu avec un amplificateur opérationnel idéal. Le montage utilise une résistance $R_1 = 2{,}2\\,\\text{k}\\Omega$ connectée entre l'entrée inverseuse et la masse, et une résistance de contre-réaction $R_2 = 18\\,\\text{k}\\Omega$. L'impédance d'entrée mesurée de l'amplificateur opérationnel est $Z_{\\text{in}} = 2\\,\\text{M}\\Omega$. On applique un signal sinusoïdal d'amplitude $V_{\\text{in}} = 0{,}8\\,\\text{V}$ à l'entrée non-inverseuse.
\n\nQuestion 1 : Calculer le gain en tension $A_v$ de cet amplificateur non-inverseur.
\n\nQuestion 2 : DĂ©terminer l'amplitude de la tension de sortie $V_{\\text{out}}$.
\n\nQuestion 3 : Calculer la tension présente à l'entrée inverseuse $V^-$ en utilisant le principe de la contre-réaction.
\n\nQuestion 4 : Calculer le courant $I_1$ traversant la résistance $R_1$ et en déduire la puissance dissipée $P_1$ dans cette résistance.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice :
\n\nQuestion 1 : Calcul du gain en tension
\n\nPour un amplificateur non-inverseur, le gain en tension se calcule à partir du diviseur de tension formé par $R_1$ et $R_2$ dans la boucle de contre-réaction.
\n\n1. Formule générale :
\n$A_v = 1 + \\frac{R_2}{R_1}$
\n\nCette formule provient du fait que pour un amplificateur opérationnel idéal en contre-réaction négative, $V^+ = V^-$. La tension à l'entrée inverseuse est déterminée par le diviseur de tension entre la sortie et la masse.
\n\n2. Remplacement des données :
\n$A_v = 1 + \\frac{18\\,\\text{k}\\Omega}{2{,}2\\,\\text{k}\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$A_v = 1 + \\frac{18}{2{,}2} = 1 + 8{,}182 = 9{,}182$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$A_v \\approx 9{,}18$
\n\nLe gain est positif, ce qui confirme qu'il n'y a pas d'inversion du signal. L'amplification est d'environ $9{,}18$ fois.
\n\nQuestion 2 : Calcul de la tension de sortie
\n\nL'amplitude de la tension de sortie s'obtient en multipliant l'amplitude de la tension d'entrée par le gain.
\n\n1. Formule générale :
\n$V_{\\text{out}} = A_v \\times V_{\\text{in}}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$V_{\\text{out}} = 9{,}182 \\times 0{,}8\\,\\text{V}$
\n\n3. Calcul :
\n$V_{\\text{out}} = 7{,}346\\,\\text{V}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$V_{\\text{out}} \\approx 7{,}35\\,\\text{V}$
\n\nLa tension de sortie a la même phase que la tension d'entrée (pas d'inversion) et son amplitude est environ $7{,}35\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 3 : Calcul de la tension à l'entrée inverseuse
\n\nPour un amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire avec contre-réaction négative, la tension différentielle entre les entrées est nulle. Donc la tension à l'entrée inverseuse suit la tension à l'entrée non-inverseuse.
\n\n1. Formule générale :
\n$V^- = V^+ = V_{\\text{in}}$
\n\nCette relation est fondamentale pour les amplificateurs opérationnels en contre-réaction : les deux entrées sont au même potentiel.
\n\n2. Remplacement des données :
\n$V^- = 0{,}8\\,\\text{V}$
\n\n3. RĂ©sultat final :
\n$V^- = 0{,}8\\,\\text{V}$
\n\nOn peut vérifier ce résultat en utilisant le diviseur de tension formé par $R_1$ et $R_2$ :
\n\n$V^- = V_{\\text{out}} \\times \\frac{R_1}{R_1 + R_2} = 7{,}346 \\times \\frac{2{,}2}{2{,}2 + 18} = 7{,}346 \\times \\frac{2{,}2}{20{,}2} = 7{,}346 \\times 0{,}109 = 0{,}8\\,\\text{V}$
\n\nLa cohérence est vérifiée.
\n\nQuestion 4 : Calcul du courant dans R₁ et de la puissance dissipĂ©e
\n\nLe courant dans $R_1$ se calcule Ă partir de la tension Ă ses bornes.
\n\n1. Formule générale :
\n$I_1 = \\frac{V^-}{R_1}$
\n\nPuisque $R_1$ est connectée entre l'entrée inverseuse (à $V^-$) et la masse ($0\\,\\text{V}$).
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I_1 = \\frac{0{,}8\\,\\text{V}}{2{,}2\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{0{,}8\\,\\text{V}}{2{,}2 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$I_1 = \\frac{0{,}8}{2{,}2 \\times 10^3} = 0{,}364 \\times 10^{-3}\\,\\text{A} = 364 \\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I_1 \\approx 364\\,\\mu\\text{A}$
\n\nCalculons maintenant la puissance dissipée dans $R_1$ :
\n\n1. Formule générale :
\n$P_1 = R_1 \\times I_1^2$
\n\nou bien :
\n$P_1 = \\frac{V^{-2}}{R_1}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$P_1 = \\frac{(0{,}8\\,\\text{V})^2}{2{,}2 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$P_1 = \\frac{0{,}64\\,\\text{V}^2}{2{,}2 \\times 10^3\\,\\Omega} = \\frac{0{,}64}{2{,}2 \\times 10^3}\\,\\text{W} = 0{,}291 \\times 10^{-3}\\,\\text{W}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$P_1 \\approx 291\\,\\mu\\text{W}$
\n\nLa puissance dissipée dans $R_1$ est d'environ $291\\,\\mu\\text{W}$, ce qui est une valeur faible et acceptable pour une résistance standard.
", "id_category": "6", "id_number": "5" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un sommateur inverseur à trois entrées est réalisé avec un amplificateur opérationnel idéal. Les résistances d'entrée sont $R_1 = 10\\,\\text{k}\\Omega$, $R_2 = 20\\,\\text{k}\\Omega$, et $R_3 = 25\\,\\text{k}\\Omega$. La résistance de contre-réaction est $R_f = 50\\,\\text{k}\\Omega$. Les tensions d'entrée appliquées sont $V_1 = 1{,}0\\,\\text{V}$, $V_2 = -0{,}5\\,\\text{V}$, et $V_3 = 2{,}0\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1 : Calculer les courants $I_1$, $I_2$, et $I_3$ circulant dans chacune des résistances d'entrée.
\n\nQuestion 2 : En utilisant la loi des nœuds au point de masse virtuelle, déterminer le courant total $I_f$ circulant dans la résistance de contre-réaction $R_f$.
\n\nQuestion 3 : Calculer la tension de sortie $V_{\\text{out}}$ du sommateur.
\n\nQuestion 4 : Vérifier le résultat en utilisant la formule générale du sommateur inverseur et calculer la puissance totale fournie par les trois sources de tension.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice :
\n\nQuestion 1 : Calcul des courants d'entrée
\n\nPour un amplificateur opérationnel idéal, l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- = 0\\,\\text{V}$). Le courant dans chaque résistance d'entrée se calcule par la loi d'Ohm.
\n\nCourant I₁ :
\n\n1. Formule générale :
\n$I_1 = \\frac{V_1 - V^-}{R_1} = \\frac{V_1}{R_1}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I_1 = \\frac{1{,}0\\,\\text{V}}{10\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{1{,}0\\,\\text{V}}{10 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$I_1 = \\frac{1{,}0}{10 \\times 10^3} = 0{,}1 \\times 10^{-3}\\,\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I_1 = 100\\,\\mu\\text{A}$
\n\nCourant I₂ :
\n\n1. Formule générale :
\n$I_2 = \\frac{V_2 - V^-}{R_2} = \\frac{V_2}{R_2}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I_2 = \\frac{-0{,}5\\,\\text{V}}{20\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{-0{,}5\\,\\text{V}}{20 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$I_2 = \\frac{-0{,}5}{20 \\times 10^3} = -0{,}025 \\times 10^{-3}\\,\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I_2 = -25\\,\\mu\\text{A}$
\n\nLe courant est négatif car $V_2$ est négatif, ce qui signifie que le courant circule dans le sens opposé (de la masse virtuelle vers la source).
\n\nCourant I₃ :
\n\n1. Formule générale :
\n$I_3 = \\frac{V_3 - V^-}{R_3} = \\frac{V_3}{R_3}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I_3 = \\frac{2{,}0\\,\\text{V}}{25\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{2{,}0\\,\\text{V}}{25 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$I_3 = \\frac{2{,}0}{25 \\times 10^3} = 0{,}08 \\times 10^{-3}\\,\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I_3 = 80\\,\\mu\\text{A}$
\n\nQuestion 2 : Calcul du courant dans la résistance de contre-réaction
\n\nEn appliquant la loi des nœuds au point de masse virtuelle, et sachant que le courant entrant dans l'amplificateur opérationnel idéal est nul, on obtient :
\n\n1. Formule générale (loi de Kirchhoff) :
\n$I_f = I_1 + I_2 + I_3$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I_f = 100\\,\\mu\\text{A} + (-25\\,\\mu\\text{A}) + 80\\,\\mu\\text{A}$
\n\n3. Calcul :
\n$I_f = 100 - 25 + 80 = 155\\,\\mu\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I_f = 155\\,\\mu\\text{A}$
\n\nCe courant circule de la masse virtuelle vers la sortie Ă travers $R_f$.
\n\nQuestion 3 : Calcul de la tension de sortie
\n\nLa tension de sortie se calcule en utilisant la loi d'Ohm pour $R_f$. Puisque le courant circule de $V^- = 0\\,\\text{V}$ vers $V_{\\text{out}}$ :
\n\n1. Formule générale :
\n$V_{\\text{out}} = V^- - R_f \\times I_f = -R_f \\times I_f$
\n\nLe signe négatif vient du fait que le courant circule de la masse virtuelle vers la sortie, et que la sortie sera donc négative.
\n\n2. Remplacement des données :
\n$V_{\\text{out}} = -50\\,\\text{k}\\Omega \\times 155\\,\\mu\\text{A} = -50 \\times 10^3\\,\\Omega \\times 155 \\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\n3. Calcul :
\n$V_{\\text{out}} = -50 \\times 155 \\times 10^{-3}\\,\\text{V} = -7750 \\times 10^{-3}\\,\\text{V}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$V_{\\text{out}} = -7{,}75\\,\\text{V}$
\n\nLa tension de sortie est négative, ce qui est caractéristique d'un sommateur inverseur.
\n\nQuestion 4 : VĂ©rification et calcul de la puissance totale
\n\nVérification avec la formule générale :
\n\n1. Formule générale du sommateur inverseur :
\n$V_{\\text{out}} = -\\left(\\frac{R_f}{R_1}V_1 + \\frac{R_f}{R_2}V_2 + \\frac{R_f}{R_3}V_3\\right)$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$V_{\\text{out}} = -\\left(\\frac{50}{10} \\times 1{,}0 + \\frac{50}{20} \\times (-0{,}5) + \\frac{50}{25} \\times 2{,}0\\right)\\,\\text{V}$
\n\n3. Calcul :
\n$V_{\\text{out}} = -\\left(5{,}0 \\times 1{,}0 + 2{,}5 \\times (-0{,}5) + 2{,}0 \\times 2{,}0\\right)\\,\\text{V}$
\n$V_{\\text{out}} = -\\left(5{,}0 - 1{,}25 + 4{,}0\\right)\\,\\text{V} = -7{,}75\\,\\text{V}$
\n\nLa vérification confirme notre résultat.
\n\nCalcul de la puissance totale fournie par les sources :
\n\nLa puissance fournie par chaque source est $P = V \\times I$.
\n\n1. Formule générale :
\n$P_{\\text{tot}} = V_1 \\times I_1 + V_2 \\times I_2 + V_3 \\times I_3$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$P_{\\text{tot}} = 1{,}0\\,\\text{V} \\times 100\\,\\mu\\text{A} + (-0{,}5\\,\\text{V}) \\times (-25\\,\\mu\\text{A}) + 2{,}0\\,\\text{V} \\times 80\\,\\mu\\text{A}$
\n\n3. Calcul :
\n$P_{\\text{tot}} = 1{,}0 \\times 100 \\times 10^{-6} + 0{,}5 \\times 25 \\times 10^{-6} + 2{,}0 \\times 80 \\times 10^{-6}\\,\\text{W}$
\n$P_{\\text{tot}} = (100 + 12{,}5 + 160) \\times 10^{-6}\\,\\text{W} = 272{,}5 \\times 10^{-6}\\,\\text{W}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$P_{\\text{tot}} = 272{,}5\\,\\mu\\text{W}$
\n\nLa puissance totale fournie par les trois sources est d'environ $272{,}5\\,\\mu\\text{W}$.
", "id_category": "6", "id_number": "6" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un intégrateur actif est construit avec un amplificateur opérationnel idéal. Le circuit comprend une résistance d'entrée $R = 50\\,\\text{k}\\Omega$ et un condensateur de contre-réaction $C = 1\\,\\mu\\text{F}$. À l'instant initial ($t = 0$), le condensateur est déchargé. On applique une tension d'entrée constante $V_{\\text{in}} = 2{,}0\\,\\text{V}$ à partir de $t = 0$.
\n\nQuestion 1 : Calculer le courant constant $I$ circulant dans la résistance $R$ pendant la phase d'intégration.
\n\nQuestion 2 : Déterminer la constante de temps $\\tau = RC$ du circuit intégrateur.
\n\nQuestion 3 : Établir l'expression de la tension de sortie $V_{\\text{out}}(t)$ en fonction du temps, puis calculer la tension de sortie à l'instant $t_1 = 25\\,\\text{ms}$.
\n\nQuestion 4 : Calculer le temps $t_2$ nécessaire pour que la tension de sortie atteigne $V_{\\text{out}} = -5{,}0\\,\\text{V}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice :
\n\nQuestion 1 : Calcul du courant dans la résistance
\n\nPour un amplificateur opérationnel idéal en configuration intégrateur, l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- = 0\\,\\text{V}$). Le courant dans la résistance est constant tant que la tension d'entrée est constante.
\n\n1. Formule générale :
\n$I = \\frac{V_{\\text{in}} - V^-}{R} = \\frac{V_{\\text{in}}}{R}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$I = \\frac{2{,}0\\,\\text{V}}{50\\,\\text{k}\\Omega} = \\frac{2{,}0\\,\\text{V}}{50 \\times 10^3\\,\\Omega}$
\n\n3. Calcul :
\n$I = \\frac{2{,}0}{50 \\times 10^3} = 0{,}04 \\times 10^{-3}\\,\\text{A}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$I = 40\\,\\mu\\text{A}$
\n\nCe courant constant charge le condensateur de contre-réaction, provoquant une variation linéaire de la tension de sortie.
\n\nQuestion 2 : Calcul de la constante de temps
\n\nLa constante de temps d'un circuit RC est le produit de la résistance et de la capacité.
\n\n1. Formule générale :
\n$\\tau = R \\times C$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$\\tau = 50\\,\\text{k}\\Omega \\times 1\\,\\mu\\text{F} = 50 \\times 10^3\\,\\Omega \\times 1 \\times 10^{-6}\\,\\text{F}$
\n\n3. Calcul :
\n$\\tau = 50 \\times 1 \\times 10^{3-6}\\,\\text{s} = 50 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$\\tau = 50\\,\\text{ms}$
\n\nCette constante de temps caractérise la vitesse d'intégration du circuit. Pour un intégrateur, elle représente le temps nécessaire pour que la sortie varie de $V_{\\text{in}}$ volts lorsqu'une tension constante $V_{\\text{in}}$ est appliquée.
\n\nQuestion 3 : Expression de la tension de sortie et calcul Ă t₁
\n\nPour un intégrateur inverseur avec entrée constante et condition initiale nulle, la tension de sortie varie linéairement avec le temps.
\n\n1. Formule générale :
\n$V_{\\text{out}}(t) = -\\frac{1}{RC}\\int_0^t V_{\\text{in}}\\,dt' = -\\frac{V_{\\text{in}}}{RC} \\times t = -\\frac{V_{\\text{in}}}{\\tau} \\times t$
\n\nCette relation provient de la relation courant-tension pour un condensateur : $I = C\\frac{dV_C}{dt}$. Puisque $I$ est constant et que $V_{\\text{out}} = -V_C$, on obtient une variation linéaire.
\n\nExpression générale :
\n$V_{\\text{out}}(t) = -\\frac{V_{\\text{in}}}{RC} \\times t$
\n\nCalculons maintenant $V_{\\text{out}}$ Ă $t_1 = 25\\,\\text{ms}$ :
\n\n2. Remplacement des données :
\n$V_{\\text{out}}(t_1) = -\\frac{2{,}0\\,\\text{V}}{50 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}} \\times 25 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}$
\n\n3. Calcul :
\n$V_{\\text{out}}(t_1) = -\\frac{2{,}0 \\times 25 \\times 10^{-3}}{50 \\times 10^{-3}}\\,\\text{V} = -\\frac{50 \\times 10^{-3}}{50 \\times 10^{-3}}\\,\\text{V} = -\\frac{2{,}0 \\times 25}{50}\\,\\text{V}$
\n\n$V_{\\text{out}}(t_1) = -\\frac{50}{50}\\,\\text{V} = -1{,}0\\,\\text{V}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$V_{\\text{out}}(25\\,\\text{ms}) = -1{,}0\\,\\text{V}$
\n\nÀ $t_1 = 25\\,\\text{ms}$ (soit $\\tau/2$), la tension de sortie atteint $-1{,}0\\,\\text{V}$. Le signe négatif est caractéristique de l'intégrateur inverseur.
\n\nQuestion 4 : Calcul du temps pour atteindre -5,0 V
\n\nOn cherche le temps $t_2$ pour lequel $V_{\\text{out}}(t_2) = -5{,}0\\,\\text{V}$.
\n\n1. Formule générale :
\nÀ partir de $V_{\\text{out}}(t) = -\\frac{V_{\\text{in}}}{RC} \\times t$, on isole $t$ :
\n$t = -\\frac{RC \\times V_{\\text{out}}}{V_{\\text{in}}} = -\\frac{\\tau \\times V_{\\text{out}}}{V_{\\text{in}}}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$t_2 = -\\frac{50 \\times 10^{-3}\\,\\text{s} \\times (-5{,}0\\,\\text{V})}{2{,}0\\,\\text{V}}$
\n\n3. Calcul :
\n$t_2 = \\frac{50 \\times 10^{-3} \\times 5{,}0}{2{,}0}\\,\\text{s} = \\frac{250 \\times 10^{-3}}{2{,}0}\\,\\text{s}$
\n\n$t_2 = 125 \\times 10^{-3}\\,\\text{s}$
\n\n4. RĂ©sultat final :
\n$t_2 = 125\\,\\text{ms}$
\n\nIl faut donc $125\\,\\text{ms}$ (soit $2{,}5\\tau$) pour que la tension de sortie atteigne $-5{,}0\\,\\text{V}$. On remarque que la relation est linéaire : pour atteindre $-5{,}0\\,\\text{V}$ (cinq fois $-1{,}0\\,\\text{V}$), il faut cinq fois $25\\,\\text{ms}$, soit $125\\,\\text{ms}$.
", "id_category": "6", "id_number": "7" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Amplificateur Inverseur avec Charge
\nUn amplificateur opérationnel idéal est monté en configuration inverseuse. La résistance d'entrée est $R_1 = 10\\,\\text{k}\\Omega$ et la résistance de contre-réaction est $R_2 = 100\\,\\text{k}\\Omega$. L'alimentation de l'AOP est symétrique $\\pm 15\\,\\text{V}$. Une résistance de charge $R_L = 2\\,\\text{k}\\Omega$ est connectée à la sortie.
\n\nQuestion 1: Calculer le gain en tension de l'amplificateur inverseur.
\n\nQuestion 2: Si la tension d'entrée est $V_{in} = 0.5\\,\\text{V}$, calculer la tension de sortie $V_{out}$.
\n\nQuestion 3: Calculer le courant circulant dans la résistance $R_1$ lorsque $V_{in} = 0.5\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 4: Calculer la puissance dissipée dans la résistance de charge $R_L$ pour la tension de sortie obtenue à la question 2.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur inverseur, le gain en tension est donné par la formule:
\n1. Formule générale:
\n$A_v = -\\frac{R_2}{R_1}$
2. Remplacement des données:
\n$A_v = -\\frac{100\\times 10^3}{10\\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$A_v = -\\frac{100}{10} = -10$
4. RĂ©sultat final:
\n$A_v = -10$
Le gain est nĂ©gatif car il s'agit d'un amplificateur inverseur. Cela signifie que le signal de sortie est amplifiĂ© $10$ fois et dĂ©phasĂ© de $180°$.
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie est calculée en multipliant la tension d'entrée par le gain:
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = A_v \\times V_{in}$
2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = (-10) \\times 0.5$
3. Calcul:
\n$V_{out} = -5\\,\\text{V}$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = -5\\,\\text{V}$
La tension de sortie est négative en raison de l'inversion de phase. Cette valeur est dans les limites de l'alimentation ($\\pm 15\\,\\text{V}$), donc l'AOP fonctionne en régime linéaire.
\n\nSolution Question 3:
\nLe courant dans $R_1$ est déterminé par la loi d'Ohm. Comme l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- \\approx 0\\,\\text{V}$):
\n1. Formule générale:
\n$I_{R_1} = \\frac{V_{in} - V^-}{R_1} = \\frac{V_{in}}{R_1}$
2. Remplacement des données:
\n$I_{R_1} = \\frac{0.5}{10\\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$I_{R_1} = \\frac{0.5}{10000} = 0.00005\\,\\text{A}$
4. RĂ©sultat final:
\n$I_{R_1} = 50\\,\\mu\\text{A}$
Ce courant circule également dans $R_2$ en raison de l'impédance d'entrée infinie de l'AOP idéal. C'est un courant très faible, typique des circuits avec amplificateurs opérationnels.
\n\nSolution Question 4:
\nLa puissance dissipée dans la résistance de charge est calculée par:
\n1. Formule générale:
\n$P_L = \\frac{V_{out}^2}{R_L}$
2. Remplacement des données:
\n$P_L = \\frac{(-5)^2}{2\\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$P_L = \\frac{25}{2000} = 0.0125\\,\\text{W}$
4. RĂ©sultat final:
\n$P_L = 12.5\\,\\text{mW}$
Cette puissance est relativement faible. La valeur absolue de la tension est utilisée car la puissance dissipée est toujours positive. Cette puissance doit être compatible avec la puissance maximale que $R_L$ peut dissiper sans surchauffe.
", "id_category": "6", "id_number": "8" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Amplificateur Non-Inverseur avec Analyse Énergétique
\nUn amplificateur opérationnel idéal est configuré en montage non-inverseur. La résistance connectée à la masse est $R_1 = 4.7\\,\\text{k}\\Omega$ et la résistance de contre-réaction est $R_2 = 47\\,\\text{k}\\Omega$. La source d'entrée a une impédance interne $R_s = 600\\,\\Omega$ et fournit une tension $V_s = 200\\,\\text{mV}$.
\n\nQuestion 1: Calculer le gain en tension de l'amplificateur non-inverseur.
\n\nQuestion 2: Calculer la tension de sortie $V_{out}$ sachant que la tension appliquée à l'entrée non-inverseuse est égale à $V_s$ (impédance d'entrée infinie de l'AOP).
\n\nQuestion 3: Calculer le courant circulant dans la résistance $R_1$ lorsque l'amplificateur fonctionne avec la tension d'entrée donnée.
\n\nQuestion 4: Si l'AOP consomme un courant d'alimentation total de $I_{supply} = 2\\,\\text{mA}$ sous une alimentation de $\\pm 12\\,\\text{V}$, calculer l'efficacité énergétique du circuit lorsqu'il délivre la tension calculée à la question 2 dans une charge de $R_L = 10\\,\\text{k}\\Omega$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur non-inverseur, le gain en tension est donné par:
\n1. Formule générale:
\n$A_v = 1 + \\frac{R_2}{R_1}$
2. Remplacement des données:
\n$A_v = 1 + \\frac{47\\times 10^3}{4.7\\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$A_v = 1 + \\frac{47}{4.7} = 1 + 10 = 11$
4. RĂ©sultat final:
\n$A_v = 11$
Le gain est positif car la configuration est non-inverseuse. Le signal de sortie est en phase avec le signal d'entrée et amplifié d'un facteur $11$. Cette configuration offre une impédance d'entrée très élevée, idéale pour les sources à haute impédance.
\n\nSolution Question 2:
\nPuisque l'impédance d'entrée de l'AOP est infinie, toute la tension $V_s$ apparaît à l'entrée non-inverseuse:
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = A_v \\times V_{in}$
2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = 11 \\times 200\\times 10^{-3}$
3. Calcul:
\n$V_{out} = 11 \\times 0.2 = 2.2\\,\\text{V}$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = 2.2\\,\\text{V}$
La tension de sortie est positive et amplifiée sans inversion de phase. Cette valeur reste bien dans les limites de l'alimentation, garantissant un fonctionnement linéaire de l'amplificateur.
\n\nSolution Question 3:
\nLe courant dans $R_1$ est déterminé par la tension à ses bornes. Sachant que l'entrée inverseuse est à la même tension que l'entrée non-inverseuse ($V^- = V^+ = V_s$) grâce à la masse virtuelle:
\n1. Formule générale:
\n$I_{R_1} = \\frac{V^-}{R_1} = \\frac{V_s}{R_1}$
2. Remplacement des données:
\n$I_{R_1} = \\frac{200\\times 10^{-3}}{4.7\\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$I_{R_1} = \\frac{0.2}{4700} = 4.255\\times 10^{-5}\\,\\text{A}$
4. RĂ©sultat final:
\n$I_{R_1} = 42.55\\,\\mu\\text{A}$
Ce courant circule également dans $R_2$ en direction de la sortie, créant ainsi la tension de contre-réaction nécessaire. C'est un courant caractéristiquement faible pour ce type de circuit.
\n\nSolution Question 4:
\nL'efficacité énergétique est le rapport entre la puissance délivrée à la charge et la puissance totale consommée. D'abord, calculons la puissance de sortie:
\n1. Formule de la puissance de sortie:
\n$P_{out} = \\frac{V_{out}^2}{R_L} = \\frac{(2.2)^2}{10\\times 10^3} = \\frac{4.84}{10000} = 0.484\\,\\text{mW}$
2. Formule de la puissance consommée (alimentation symétrique):
\n$P_{supply} = (V_{+} + |V_{-}|) \\times I_{supply}$
3. Remplacement des données:
\n$P_{supply} = (12 + 12) \\times 2\\times 10^{-3} = 24 \\times 0.002$
4. Calcul de la puissance consommée:
\n$P_{supply} = 48\\,\\text{mW}$
5. Formule de l'efficacité:
\n$\\eta = \\frac{P_{out}}{P_{supply}} \\times 100\\%$
6. Remplacement et calcul:
\n$\\eta = \\frac{0.484}{48} \\times 100\\% = 0.01008 \\times 100\\%$
7. RĂ©sultat final:
\n$\\eta = 1.01\\%$
L'efficacité est faible, ce qui est typique pour les amplificateurs opérationnels en classe A fonctionnant avec de faibles niveaux de signal. La majorité de la puissance est dissipée par l'AOP lui-même sous forme de chaleur.
", "id_category": "6", "id_number": "9" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Amplificateur Sommateur Pondéré
\nUn amplificateur sommateur inverseur possède trois entrées. Les résistances d'entrée sont $R_1 = 10\\,\\text{k}\\Omega$, $R_2 = 20\\,\\text{k}\\Omega$, et $R_3 = 50\\,\\text{k}\\Omega$. La résistance de contre-réaction est $R_f = 100\\,\\text{k}\\Omega$. Les tensions d'entrée sont respectivement $V_1 = 1\\,\\text{V}$, $V_2 = -0.5\\,\\text{V}$, et $V_3 = 2\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1: Calculer le coefficient de pondération (gain individuel) pour chaque entrée.
\n\nQuestion 2: Calculer la tension de sortie $V_{out}$ du sommateur.
\n\nQuestion 3: Calculer le courant total circulant dans la résistance de contre-réaction $R_f$.
\n\nQuestion 4: Si on souhaite que la troisième entrée contribue deux fois plus à la sortie (doubler son coefficient de pondération), quelle doit être la nouvelle valeur de $R_3$ (en gardant les autres paramètres constants) ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur sommateur inverseur, le coefficient de pondération de chaque entrée est:
\n1. Formule générale pour chaque entrée:
\n$K_i = -\\frac{R_f}{R_i}$
2. Pour l'entrée 1:
\n$K_1 = -\\frac{R_f}{R_1} = -\\frac{100\\times 10^3}{10\\times 10^3} = -\\frac{100}{10}$
3. Calcul:
\n$K_1 = -10$
4. Pour l'entrée 2:
\n$K_2 = -\\frac{R_f}{R_2} = -\\frac{100\\times 10^3}{20\\times 10^3} = -\\frac{100}{20}$
5. Calcul:
\n$K_2 = -5$
6. Pour l'entrée 3:
\n$K_3 = -\\frac{R_f}{R_3} = -\\frac{100\\times 10^3}{50\\times 10^3} = -\\frac{100}{50}$
7. Calcul:
\n$K_3 = -2$
8. RĂ©sultats finaux:
\n$K_1 = -10$, $K_2 = -5$, $K_3 = -2$
Ces coefficients négatifs indiquent que chaque signal est inversé et pondéré différemment selon la valeur de sa résistance d'entrée. Plus la résistance est petite, plus le coefficient est grand en valeur absolue.
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie d'un sommateur inverseur est la somme pondérée de toutes les entrées:
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = -R_f\\left(\\frac{V_1}{R_1} + \\frac{V_2}{R_2} + \\frac{V_3}{R_3}\\right)$
2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = -100\\times 10^3\\left(\\frac{1}{10\\times 10^3} + \\frac{-0.5}{20\\times 10^3} + \\frac{2}{50\\times 10^3}\\right)$
3. Simplification:
\n$V_{out} = -100\\left(\\frac{1}{10} + \\frac{-0.5}{20} + \\frac{2}{50}\\right)$
4. Calcul des termes:
\n$V_{out} = -100\\left(0.1 - 0.025 + 0.04\\right) = -100\\times 0.115$
5. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = -11.5\\,\\text{V}$
La tension de sortie est négative car c'est un sommateur inverseur. La somme algébrique des contributions pondérées des trois entrées donne $-11.5\\,\\text{V}$. Cette configuration permet de réaliser des opérations mathématiques de somme pondérée sur des signaux.
\n\nSolution Question 3:
\nLe courant dans $R_f$ est la somme des courants provenant de toutes les entrées (loi de Kirchhoff au nœud virtuel):
\n1. Formule générale:
\n$I_{R_f} = I_1 + I_2 + I_3 = \\frac{V_1}{R_1} + \\frac{V_2}{R_2} + \\frac{V_3}{R_3}$
2. Remplacement des données:
\n$I_{R_f} = \\frac{1}{10\\times 10^3} + \\frac{-0.5}{20\\times 10^3} + \\frac{2}{50\\times 10^3}$
3. Calcul de chaque terme:
\n$I_{R_f} = \\frac{1}{10000} - \\frac{0.5}{20000} + \\frac{2}{50000}$
4. Conversion en même unité:
\n$I_{R_f} = 0.0001 - 0.000025 + 0.00004 = 0.000115\\,\\text{A}$
5. RĂ©sultat final:
\n$I_{R_f} = 115\\,\\mu\\text{A}$
Ce courant peut aussi être vérifié en utilisant $I_{R_f} = \\frac{|V_{out}|}{R_f} = \\frac{11.5}{100000} = 115\\,\\mu\\text{A}$. La conservation du courant au nœud sommateur est ainsi respectée.
\n\nSolution Question 4:
\nPour doubler le coefficient de pondération de l'entrée 3, il faut que le nouveau coefficient soit:
\n1. Nouveau coefficient souhaité:
\n$K_3' = 2\\times K_3 = 2\\times(-2) = -4$
2. Formule du coefficient:
\n$K_3' = -\\frac{R_f}{R_3'}$
3. RĂ©solution pour $R_3'$:
\n$R_3' = -\\frac{R_f}{K_3'} = -\\frac{100\\times 10^3}{-4}$
4. Calcul:
\n$R_3' = \\frac{100000}{4} = 25000\\,\\Omega$
5. RĂ©sultat final:
\n$R_3' = 25\\,\\text{k}\\Omega$
En réduisant la résistance $R_3$ de $50\\,\\text{k}\\Omega$ à $25\\,\\text{k}\\Omega$ (division par 2), on double le coefficient de pondération. Ceci est cohérent avec la relation inversement proportionnelle entre la résistance d'entrée et le gain. Une résistance plus faible permet un courant plus important pour une même tension, augmentant ainsi la contribution à la sortie.
", "id_category": "6", "id_number": "10" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Intégrateur Actif et Analyse Temporelle
\nUn circuit intégrateur actif est construit avec un amplificateur opérationnel idéal. La résistance d'entrée est $R = 100\\,\\text{k}\\Omega$ et le condensateur de contre-réaction a une capacité $C = 1\\,\\mu\\text{F}$. À l'instant $t = 0$, le condensateur est initialement déchargé ($V_{out}(0) = 0\\,\\text{V}$). Une tension constante $V_{in} = 2\\,\\text{V}$ est appliquée à l'entrée.
\n\nQuestion 1: Calculer la constante de temps $\\tau = RC$ du circuit intégrateur.
\n\nQuestion 2: Calculer la tension de sortie $V_{out}$ après un temps $t = 0.5\\,\\text{s}$.
\n\nQuestion 3: Calculer le courant circulant dans la résistance $R$ pendant l'application de la tension d'entrée constante.
\n\nQuestion 4: Calculer le temps nécessaire pour que la tension de sortie atteigne $V_{out} = -12\\,\\text{V}$ (limite de saturation si l'alimentation est $\\pm 15\\,\\text{V}$).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLa constante de temps d'un circuit intégrateur est le produit de la résistance et de la capacité:
\n1. Formule générale:
\n$\\tau = R\\times C$
2. Remplacement des données:
\n$\\tau = 100\\times 10^3 \\times 1\\times 10^{-6}$
3. Calcul:
\n$\\tau = 100000 \\times 0.000001 = 0.1\\,\\text{s}$
4. RĂ©sultat final:
\n$\\tau = 0.1\\,\\text{s} = 100\\,\\text{ms}$
Cette constante de temps caractérise la vitesse à laquelle l'intégrateur accumule la charge. Une constante de temps de $100\\,\\text{ms}$ indique que l'intégrateur est relativement lent, ce qui le rend approprié pour traiter des signaux basse fréquence ou pour des applications de filtrage.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un intégrateur avec une entrée constante, la tension de sortie varie linéairement avec le temps selon:
\n1. Formule générale de l'intégrateur:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC}\\int_0^t V_{in}\\,dt$
2. Pour une tension d'entrée constante:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC}\\times V_{in}\\times t = -\\frac{V_{in}}{\\tau}\\times t$
3. Remplacement des données:
\n$V_{out}(0.5) = -\\frac{2}{0.1}\\times 0.5$
4. Calcul:
\n$V_{out}(0.5) = -20\\times 0.5 = -10\\,\\text{V}$
5. RĂ©sultat final:
\n$V_{out}(0.5\\,\\text{s}) = -10\\,\\text{V}$
La tension de sortie décroît linéairement (devient de plus en plus négative) à un taux de $-20\\,\\text{V/s}$. Le signe négatif provient de la configuration inverseuse de l'intégrateur. Après $0.5\\,\\text{s}$, la sortie atteint $-10\\,\\text{V}$, qui reste dans la plage linéaire de l'AOP.
\n\nSolution Question 3:
\nLe courant dans la résistance est constant car la tension d'entrée est constante et l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle:
\n1. Formule générale (loi d'Ohm):
\n$I_R = \\frac{V_{in} - V^-}{R} = \\frac{V_{in}}{R}$
2. Remplacement des données:
\n$I_R = \\frac{2}{100\\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$I_R = \\frac{2}{100000} = 2\\times 10^{-5}\\,\\text{A}$
4. RĂ©sultat final:
\n$I_R = 20\\,\\mu\\text{A}$
Ce courant constant circule également dans le condensateur, provoquant son chargement linéaire. La relation $I = C\\frac{dV}{dt}$ explique pourquoi un courant constant produit une variation linéaire de la tension de sortie. Ce courant de $20\\,\\mu\\text{A}$ est typique pour les circuits d'intégration à faible puissance.
\n\nSolution Question 4:
\nPour trouver le temps nécessaire pour atteindre une tension de sortie donnée, on utilise la relation linéaire de l'intégrateur:
\n1. Formule générale réarrangée:
\n$t = -\\frac{V_{out}\\times \\tau}{V_{in}}$
2. Remplacement des données:
\n$t = -\\frac{(-12)\\times 0.1}{2}$
3. Simplification:
\n$t = \\frac{12\\times 0.1}{2} = \\frac{1.2}{2}$
4. Calcul:
\n$t = 0.6\\,\\text{s}$
5. RĂ©sultat final:
\n$t = 0.6\\,\\text{s} = 600\\,\\text{ms}$
L'intégrateur atteindra sa limite de saturation à $-12\\,\\text{V}$ après $600\\,\\text{ms}$. Au-delà de ce point, si l'alimentation est limitée à $\\pm 15\\,\\text{V}$, l'AOP entrerait en saturation et ne pourrait plus intégrer linéairement. Il est important de dimensionner le circuit ou de prévoir une remise à zéro périodique pour éviter la saturation dans les applications pratiques.
", "id_category": "6", "id_number": "11" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un amplificateur opérationnel idéal est utilisé dans une configuration inverseuse. Le circuit est alimenté par une tension continue $V_{in} = 2 V$. La résistance d'entrée est $R_1 = 10 k\\Omega$ et la résistance de rétroaction est $R_f = 50 k\\Omega$. L'amplificateur est alimenté par des tensions symétriques de $\\pm 15 V$.
\n\nQuestion 1: Calculer le gain en tension $A_v$ de l'amplificateur inverseur.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer la tension de sortie $V_{out}$ du montage.
\n\nQuestion 3: Calculer le courant circulant dans la résistance d'entrée $R_1$.
\n\nQuestion 4: En déduire le courant circulant dans la résistance de rétroaction $R_f$ et vérifier la cohérence avec la loi des nœuds au niveau de l'entrée inverseuse.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur inverseur, le gain en tension est donné par la formule:
\n1. Formule générale:
\n$A_v = -\\frac{R_f}{R_1}$\n2. Remplacement des données:
\n$A_v = -\\frac{50 \\times 10^3}{10 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$A_v = -\\frac{50}{10} = -5$\n4. RĂ©sultat final:
\n$A_v = -5$\nLe gain en tension est de $-5$, le signe négatif indiquant l'inversion de phase.
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie s'obtient en multipliant la tension d'entrée par le gain.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = A_v \\times V_{in}$\n2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = (-5) \\times 2$\n3. Calcul:
\n$V_{out} = -10 V$\n4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = -10 V$\nLa tension de sortie est de $-10 V$, ce qui est bien dans les limites de saturation de l'amplificateur ($\\pm 15 V$).
\n\nSolution Question 3:
\nPour un amplificateur opérationnel idéal, la tension à l'entrée inverseuse est virtuellement à la masse ($0 V$). Le courant dans $R_1$ est donné par la loi d'Ohm.
\n1. Formule générale:
\n$I_1 = \\frac{V_{in} - V^-}{R_1}$\nAvec $V^- \\approx 0 V$ (masse virtuelle):
\n$I_1 = \\frac{V_{in}}{R_1}$\n2. Remplacement des données:
\n$I_1 = \\frac{2}{10 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$I_1 = \\frac{2}{10000} = 0.0002 A$\n4. RĂ©sultat final:
\n$I_1 = 0.2 mA$\nLe courant circulant dans $R_1$ est de $0.2 mA$.
\n\nSolution Question 4:
\nPuisque l'amplificateur opérationnel idéal ne consomme aucun courant à ses entrées, la loi des nœuds impose que le courant entrant dans $R_1$ soit égal au courant sortant par $R_f$.
\n1. Formule générale (loi des nœuds):
\n$I_f = I_1$\nDonc:
\n$I_f = 0.2 mA$\nVĂ©rification par la loi d'Ohm sur $R_f$:
\n2. Formule de vérification:
\n$I_f = \\frac{V^- - V_{out}}{R_f} = \\frac{0 - (-10)}{50 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$I_f = \\frac{10}{50000} = 0.0002 A$\n4. RĂ©sultat final:
\n$I_f = 0.2 mA$\nLe courant dans $R_f$ est bien de $0.2 mA$, ce qui confirme la cohérence avec la loi des nœuds: $I_1 = I_f = 0.2 mA$.
", "id_category": "6", "id_number": "12" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un montage amplificateur non-inverseur utilise un amplificateur opérationnel idéal. La tension d'entrée appliquée à l'entrée non-inverseuse est $V_{in} = 0.5 V$. Le circuit utilise une résistance de masse $R_1 = 4.7 k\\Omega$ et une résistance de rétroaction $R_f = 33 k\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer le gain en tension $A_v$ de ce montage non-inverseur.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer la tension de sortie $V_{out}$.
\n\nQuestion 3: Calculer la tension présente à l'entrée inverseuse $V^-$ de l'amplificateur.
\n\nQuestion 4: Calculer le courant circulant dans la résistance $R_1$ et en déduire la puissance dissipée dans cette résistance.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur non-inverseur, le gain en tension est donné par:
\n1. Formule générale:
\n$A_v = 1 + \\frac{R_f}{R_1}$\n2. Remplacement des données:
\n$A_v = 1 + \\frac{33 \\times 10^3}{4.7 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$A_v = 1 + \\frac{33}{4.7} = 1 + 7.021 = 8.021$\n4. RĂ©sultat final:
\n$A_v \\approx 8.02$\nLe gain en tension du montage non-inverseur est d'environ $8.02$.
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie est le produit du gain par la tension d'entrée.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = A_v \\times V_{in}$\n2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = 8.021 \\times 0.5$\n3. Calcul:
\n$V_{out} = 4.0105 V$\n4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} \\approx 4.01 V$\nLa tension de sortie est d'environ $4.01 V$.
\n\nSolution Question 3:
\nPour un amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire, les tensions aux deux entrées sont égales (principe de masse virtuelle généralisé).
\n1. Formule générale:
\n$V^- = V^+$\n2. Application:
\nPuisque $V^+ = V_{in}$, on a:
\n$V^- = V_{in}$\n3. Remplacement des données:
\n$V^- = 0.5 V$\n4. RĂ©sultat final:
\n$V^- = 0.5 V$\nLa tension à l'entrée inverseuse est de $0.5 V$, égale à la tension d'entrée.
\n\nSolution Question 4:
\nLe courant dans $R_1$ est déterminé par la différence de potentiel à ses bornes.
\n1. Formule générale pour le courant:
\n$I_{R_1} = \\frac{V^-}{R_1}$\n2. Remplacement des données:
\n$I_{R_1} = \\frac{0.5}{4.7 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$I_{R_1} = \\frac{0.5}{4700} = 0.0001064 A = 0.1064 mA$\nCalcul de la puissance dissipée:
\n1. Formule générale de la puissance:
\n$P_{R_1} = R_1 \\times I_{R_1}^2$\n2. Remplacement des données:
\n$P_{R_1} = 4700 \\times (0.0001064)^2$\n3. Calcul:
\n$P_{R_1} = 4700 \\times 1.132 \\times 10^{-8} = 5.32 \\times 10^{-5} W$\n4. RĂ©sultat final:
\n$I_{R_1} \\approx 0.106 mA \\text{ et } P_{R_1} \\approx 53.2 \\mu W$\nLe courant dans $R_1$ est d'environ $0.106 mA$ et la puissance dissipée est d'environ $53.2 \\mu W$.
", "id_category": "6", "id_number": "13" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un amplificateur sommateur inverseur possède trois entrées. Les tensions appliquées sont $V_1 = 1 V$, $V_2 = 2 V$ et $V_3 = 0.5 V$. Les résistances d'entrée sont respectivement $R_1 = 10 k\\Omega$, $R_2 = 20 k\\Omega$ et $R_3 = 5 k\\Omega$. La résistance de rétroaction est $R_f = 40 k\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculer le courant $I_1$ circulant dans la résistance $R_1$ provenant de la source $V_1$.
\n\nQuestion 2: Calculer les courants $I_2$ et $I_3$ circulant respectivement dans $R_2$ et $R_3$.
\n\nQuestion 3: En appliquant la loi des nœuds au point de sommation, déterminer le courant total $I_f$ circulant dans la résistance de rétroaction $R_f$.
\n\nQuestion 4: Calculer la tension de sortie $V_{out}$ du montage sommateur.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLe courant dans chaque résistance d'entrée est déterminé par la loi d'Ohm. Pour un amplificateur idéal, l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($0 V$).
\n1. Formule générale:
\n$I_1 = \\frac{V_1 - V^-}{R_1}$\nAvec $V^- = 0 V$:
\n$I_1 = \\frac{V_1}{R_1}$\n2. Remplacement des données:
\n$I_1 = \\frac{1}{10 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$I_1 = \\frac{1}{10000} = 0.0001 A$\n4. RĂ©sultat final:
\n$I_1 = 0.1 mA$\nLe courant dans $R_1$ est de $0.1 mA$.
\n\nSolution Question 2:
\nDe la même manière, on calcule les courants dans $R_2$ et $R_3$.
\nPour $I_2$:
\n1. Formule générale:
\n$I_2 = \\frac{V_2}{R_2}$\n2. Remplacement des données:
\n$I_2 = \\frac{2}{20 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$I_2 = \\frac{2}{20000} = 0.0001 A$\n4. RĂ©sultat:
\n$I_2 = 0.1 mA$\n\nPour $I_3$:
\n1. Formule générale:
\n$I_3 = \\frac{V_3}{R_3}$\n2. Remplacement des données:
\n$I_3 = \\frac{0.5}{5 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$I_3 = \\frac{0.5}{5000} = 0.0001 A$\n4. RĂ©sultat final:
\n$I_2 = 0.1 mA \\text{ et } I_3 = 0.1 mA$\nLes courants dans $R_2$ et $R_3$ sont respectivement $0.1 mA$ et $0.1 mA$.
\n\nSolution Question 3:
\nAu nœud de sommation (entrée inverseuse), la loi de Kirchhoff impose que la somme des courants entrants soit égale au courant sortant. Puisque l'amplificateur idéal ne consomme pas de courant:
\n1. Formule générale (loi des nœuds):
\n$I_f = I_1 + I_2 + I_3$\n2. Remplacement des données:
\n$I_f = 0.1 + 0.1 + 0.1$\n3. Calcul:
\n$I_f = 0.3 mA$\n4. RĂ©sultat final:
\n$I_f = 0.3 mA = 0.0003 A$\nLe courant total dans la résistance de rétroaction $R_f$ est de $0.3 mA$.
\n\nSolution Question 4:
\nLa tension de sortie est déterminée par la chute de tension dans $R_f$ due au courant $I_f$.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = V^- - R_f \\times I_f$\nAvec $V^- = 0 V$:
\n$V_{out} = -R_f \\times I_f$\n2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = -(40 \\times 10^3) \\times (0.3 \\times 10^{-3})$\n3. Calcul:
\n$V_{out} = -40000 \\times 0.0003 = -12 V$\n4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = -12 V$\nLa tension de sortie du sommateur est de $-12 V$. On peut aussi vérifier avec la formule directe:
\n$V_{out} = -\\left(\\frac{R_f}{R_1}V_1 + \\frac{R_f}{R_2}V_2 + \\frac{R_f}{R_3}V_3\\right) = -\\left(\\frac{40}{10} \\times 1 + \\frac{40}{20} \\times 2 + \\frac{40}{5} \\times 0.5\\right) = -(4 + 4 + 4) = -12 V$", "id_category": "6", "id_number": "14" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un intégrateur à base d'amplificateur opérationnel idéal est utilisé pour intégrer une tension constante. Le circuit comprend une résistance d'entrée $R = 100 k\\Omega$ et un condensateur de rétroaction $C = 1 \\mu F$. Une tension d'entrée constante $V_{in} = 3 V$ est appliquée à partir de l'instant $t = 0$. La tension de sortie initiale est $V_{out}(0) = 0 V$.
\n\nQuestion 1: Calculer le courant $i(t)$ circulant dans la résistance $R$ pour $t > 0$.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer l'expression de la tension de sortie $V_{out}(t)$ en fonction du temps.
\n\nQuestion 3: Calculer la tension de sortie $V_{out}$ Ă l'instant $t_1 = 2 s$.
\n\nQuestion 4: Déterminer le temps $t_{sat}$ nécessaire pour que la sortie atteigne la saturation si l'amplificateur sature à $\\pm 12 V$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur opérationnel idéal en configuration intégratrice, l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle. Le courant dans la résistance est constant puisque la tension d'entrée est constante.
\n1. Formule générale:
\n$i(t) = \\frac{V_{in} - V^-}{R}$\nAvec $V^- = 0 V$:
\n$i(t) = \\frac{V_{in}}{R}$\n2. Remplacement des données:
\n$i(t) = \\frac{3}{100 \\times 10^3}$\n3. Calcul:
\n$i(t) = \\frac{3}{100000} = 3 \\times 10^{-5} A$\n4. RĂ©sultat final:
\n$i(t) = 30 \\mu A \\text{ pour } t > 0$\nLe courant circulant dans $R$ est constant et vaut $30 \\mu A$.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un intégrateur, la relation entre la sortie et l'entrée est donnée par l'intégrale de la tension d'entrée.
\n1. Formule générale de l'intégrateur:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC}\\int_0^t V_{in} dt' + V_{out}(0)$\nPour une tension d'entrée constante et avec $V_{out}(0) = 0$:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC} V_{in} \\times t$\n2. Remplacement des données:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{(100 \\times 10^3) \\times (1 \\times 10^{-6})} \\times 3 \\times t$\n3. Calcul:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{0.1} \\times 3 \\times t = -\\frac{3}{0.1} \\times t = -30t$\n4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out}(t) = -30t \\text{ (en volts, avec } t \\text{ en secondes)}$\nLa tension de sortie décroît linéairement avec une pente de $-30 V/s$.
\n\nSolution Question 3:
\nOn applique l'expression trouvée à la question précédente pour $t_1 = 2 s$.
\n1. Formule:
\n$V_{out}(t_1) = -30 \\times t_1$\n2. Remplacement des données:
\n$V_{out}(2) = -30 \\times 2$\n3. Calcul:
\n$V_{out}(2) = -60 V$\n4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out}(2) = -60 V$\nAttention: cette valeur dépasse la tension de saturation de $\\pm 12 V$. En réalité, l'amplificateur aurait déjà saturé avant d'atteindre $2 s$. La tension de sortie théorique à $t_1 = 2 s$ serait de $-60 V$, mais pratiquement elle serait limitée à $-12 V$.
\n\nSolution Question 4:
\nPour déterminer le temps de saturation, on cherche le temps où la sortie atteint $-12 V$ (saturation négative car la sortie décroît).
\n1. Formule:
\n$V_{sat} = -30 \\times t_{sat}$\n2. Remplacement des données:
\n$-12 = -30 \\times t_{sat}$\n3. Calcul:
\n$t_{sat} = \\frac{-12}{-30} = \\frac{12}{30} = 0.4 s$\n4. RĂ©sultat final:
\n$t_{sat} = 0.4 s = 400 ms$\nL'amplificateur atteindra la saturation à $-12 V$ après $400 ms$. Au-delà de ce temps, la tension de sortie restera bloquée à $-12 V$.
", "id_category": "6", "id_number": "15" }, { "category": "amplificateur opĂ©rationnel", "question": "On considère un amplificateur opĂ©rationnel idĂ©al montĂ© en configuration non-inverseuse. Le circuit est alimentĂ© sous $±15 V$ et possède une rĂ©sistance de rĂ©troaction $R_f = 47 kΩ$ et une rĂ©sistance d'entrĂ©e $R_1 = 4.7 kΩ$. On applique un signal d'entrĂ©e sinusoĂŻdal $V_{in}(t) = 0.5 \\sin(2\\pi \\cdot 1000 \\cdot t)$ V.
\n\nQuestion 1: Calculer le gain en tension $A_v$ de l'amplificateur non-inverseur.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer l'expression temporelle de la tension de sortie $V_{out}(t)$ et calculer son amplitude maximale.
\n\nQuestion 3: Calculer le courant circulant dans la résistance de rétroaction $R_f$ lorsque la tension de sortie atteint sa valeur maximale.
\n\nQuestion 4: Si l'on souhaite obtenir une tension de sortie d'amplitude $8 V$, quelle valeur de résistance $R_f$ doit-on utiliser en conservant $R_1 = 4.7 kΩ$ ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nPour un amplificateur non-inverseur, le gain en tension est donné par la formule:
\n1. Formule générale:
\n$A_v = 1 + \\frac{R_f}{R_1}$
2. Remplacement des données:
\n$A_v = 1 + \\frac{47 \\times 10^3}{4.7 \\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$A_v = 1 + 10 = 11$
4. RĂ©sultat final:
\n$A_v = 11$
Le gain en tension de l'amplificateur est de $11$, ce qui signifie que le signal d'entrée sera amplifié $11$ fois.
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie d'un amplificateur non-inverseur est le produit du gain par la tension d'entrée.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out}(t) = A_v \\cdot V_{in}(t)$
2. Remplacement des données:
\n$V_{out}(t) = 11 \\times 0.5 \\sin(2\\pi \\cdot 1000 \\cdot t)$
3. Calcul:
\n$V_{out}(t) = 5.5 \\sin(2\\pi \\cdot 1000 \\cdot t) \\text{ V}$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out,max} = 5.5 \\text{ V}$
L'expression temporelle de la tension de sortie est $V_{out}(t) = 5.5 \\sin(2\\pi \\cdot 1000 \\cdot t)$ V et son amplitude maximale est de $5.5 V$. La fréquence du signal reste inchangée à $1000 Hz$.
\n\nSolution Question 3:
\nLe courant dans la résistance de rétroaction se calcule à partir de la différence de potentiel entre la sortie et l'entrée non-inverseuse.
\n1. Formule générale:
\n$I_{Rf} = \\frac{V_{out} - V_{in}}{R_f}$
2. Remplacement des données (à la valeur maximale):
\n$I_{Rf} = \\frac{5.5 - 0.5}{47 \\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$I_{Rf} = \\frac{5}{47 \\times 10^3} = 1.064 \\times 10^{-4}$
4. RĂ©sultat final:
\n$I_{Rf} = 106.4 \\mu A$
Le courant circulant dans $R_f$ à la valeur maximale est de $106.4 \\mu A$. Ce courant circule également dans $R_1$ vers la masse selon la loi des nœuds de Kirchhoff.
\n\nSolution Question 4:
\nPour obtenir une amplitude de sortie de $8 V$, nous devons recalculer $R_f$ en utilisant la relation du gain.
\n1. Formule générale:
\n$A_v = \\frac{V_{out,max}}{V_{in,max}} = 1 + \\frac{R_f}{R_1}$
2. Calcul du gain nécessaire:
\n$A_v = \\frac{8}{0.5} = 16$
3. RĂ©solution pour $R_f$:
\n$16 = 1 + \\frac{R_f}{4.7 \\times 10^3}$
\n$15 = \\frac{R_f}{4.7 \\times 10^3}$
\n$R_f = 15 \\times 4.7 \\times 10^3$
4. RĂ©sultat final:
\n$R_f = 70.5 k\\Omega$
Pour obtenir une amplitude de sortie de $8 V$ avec la même entrée, il faut utiliser une résistance de rétroaction $R_f = 70.5 k\\Omega$. On peut choisir une valeur normalisée proche comme $68 k\\Omega$ ou $75 k\\Omega$.
", "id_category": "6", "id_number": "16" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un amplificateur inverseur est réalisé avec un amplificateur opérationnel idéal. Le circuit comprend une résistance d'entrée $R_{in} = 10 k\\Omega$ et une résistance de contre-réaction $R_f = 100 k\\Omega$. On applique une tension d'entrée constante $V_{in} = -0.8 V$. L'alimentation de l'AOP est symétrique $\\pm 12 V$.
\n\nQuestion 1: Calculer le gain en tension $A_v$ de l'amplificateur inverseur.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer la tension de sortie $V_{out}$ du circuit.
\n\nQuestion 3: Calculer le courant d'entrée $I_{in}$ circulant dans la résistance $R_{in}$.
\n\nQuestion 4: Calculer la puissance dissipée dans la résistance de contre-réaction $R_f$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLe gain en tension d'un amplificateur inverseur est donné par le rapport négatif des résistances.
\n1. Formule générale:
\n$A_v = -\\frac{R_f}{R_{in}}$
2. Remplacement des données:
\n$A_v = -\\frac{100 \\times 10^3}{10 \\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$A_v = -\\frac{100}{10} = -10$
4. RĂ©sultat final:
\n$A_v = -10$
Le gain en tension est de $-10$, le signe négatif indiquant que le signal de sortie est inversé par rapport à l'entrée (déphasage de $180^\\circ$).
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie s'obtient en multipliant la tension d'entrée par le gain.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = A_v \\cdot V_{in}$
2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = (-10) \\times (-0.8)$
3. Calcul:
\n$V_{out} = 8$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = 8 V$
La tension de sortie est de $+8 V$. Le signal négatif d'entrée $(-0.8 V)$ est inversé et amplifié, donnant un signal positif en sortie. Cette valeur est inférieure à la tension d'alimentation, donc l'AOP fonctionne en régime linéaire.
\n\nSolution Question 3:
\nLe courant d'entrée circule de la source $V_{in}$ vers la masse virtuelle à travers $R_{in}$.
\n1. Formule générale:
\n$I_{in} = \\frac{V_{in} - V^-}{R_{in}}$
Sachant que $V^- = 0$ (masse virtuelle pour un AOP idéal):
\n2. Remplacement des données:
\n$I_{in} = \\frac{-0.8 - 0}{10 \\times 10^3}$
3. Calcul:
\n$I_{in} = \\frac{-0.8}{10 \\times 10^3} = -8 \\times 10^{-5}$
4. RĂ©sultat final:
\n$I_{in} = -80 \\mu A$
Le courant d'entrée est de $-80 \\mu A$, le signe négatif indiquant que le courant circule de la masse virtuelle vers la source $V_{in}$. Ce courant est également le courant traversant $R_f$ selon la loi des nœuds de Kirchhoff.
\n\nSolution Question 4:
\nLa puissance dissipée dans la résistance de contre-réaction se calcule à partir du courant qui la traverse.
\n1. Formule générale:
\n$P_{Rf} = R_f \\cdot I_{Rf}^2$
Sachant que $I_{Rf} = I_{in} = -80 \\times 10^{-6} A$ (loi des nœuds):
\n2. Remplacement des données:
\n$P_{Rf} = 100 \\times 10^3 \\times (-80 \\times 10^{-6})^2$
3. Calcul:
\n$P_{Rf} = 100 \\times 10^3 \\times 6.4 \\times 10^{-9}$
\n$P_{Rf} = 6.4 \\times 10^{-4}$
4. RĂ©sultat final:
\n$P_{Rf} = 0.64 mW$
La puissance dissipée dans $R_f$ est de $0.64 mW$. Cette valeur est très faible, ce qui est typique des circuits à amplificateurs opérationnels. On peut vérifier ce résultat en utilisant la formule alternative $P = \\frac{(V_{out} - V^-)^2}{R_f} = \\frac{64}{100 \\times 10^3} = 0.64 mW$.
", "id_category": "6", "id_number": "17" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un montage sommateur inverseur utilise un amplificateur opérationnel idéal avec trois entrées. Les résistances d'entrée sont $R_1 = 20 k\\Omega$, $R_2 = 50 k\\Omega$, et $R_3 = 25 k\\Omega$. La résistance de contre-réaction est $R_f = 100 k\\Omega$. Les tensions d'entrée sont $V_1 = 1.5 V$, $V_2 = -0.6 V$, et $V_3 = 2.0 V$.
\n\nQuestion 1: Calculer les coefficients d'amplification $K_1$, $K_2$, et $K_3$ pour chaque entrée.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminer la tension de sortie totale $V_{out}$ du sommateur.
\n\nQuestion 3: Calculer les courants individuels $I_1$, $I_2$, et $I_3$ circulant dans chaque résistance d'entrée.
\n\nQuestion 4: Calculer le courant total $I_f$ dans la résistance de contre-réaction et vérifier la loi des nœuds au point de masse virtuelle.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLes coefficients d'amplification pour chaque entrée d'un sommateur inverseur sont donnés par le rapport des résistances.
\n1. Formule générale:
\n$K_i = -\\frac{R_f}{R_i}$
2. Calcul de $K_1$:
\n$K_1 = -\\frac{100 \\times 10^3}{20 \\times 10^3} = -5$
3. Calcul de $K_2$:
\n$K_2 = -\\frac{100 \\times 10^3}{50 \\times 10^3} = -2$
4. Calcul de $K_3$:
\n$K_3 = -\\frac{100 \\times 10^3}{25 \\times 10^3} = -4$
RĂ©sultats finaux:
\n$K_1 = -5$, $K_2 = -2$, $K_3 = -4$
Ces coefficients représentent l'amplification individuelle de chaque entrée. Les signes négatifs indiquent que toutes les contributions sont inversées.
\n\nSolution Question 2:
\nLa tension de sortie d'un sommateur inverseur est la somme pondérée des tensions d'entrée.
\n1. Formule générale:
\n$V_{out} = -\\left(\\frac{R_f}{R_1} V_1 + \\frac{R_f}{R_2} V_2 + \\frac{R_f}{R_3} V_3\\right)$
ou bien:
\n$V_{out} = K_1 V_1 + K_2 V_2 + K_3 V_3$
2. Remplacement des données:
\n$V_{out} = (-5) \\times 1.5 + (-2) \\times (-0.6) + (-4) \\times 2.0$
3. Calcul des termes:
\n$V_{out} = -7.5 + 1.2 - 8.0$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out} = -14.3 V$
La tension de sortie est de $-14.3 V$. Cette valeur résulte de la somme pondérée inversée des trois entrées. Notez que $V_2$ étant négative, son terme $K_2 V_2$ contribue positivement au résultat.
\n\nSolution Question 3:
\nLes courants individuels se calculent en utilisant la loi d'Ohm, sachant que l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- = 0 V$).
\n1. Formules générales:
\n$I_i = \\frac{V_i - V^-}{R_i} = \\frac{V_i}{R_i}$
2. Calcul de $I_1$:
\n$I_1 = \\frac{1.5}{20 \\times 10^3} = 7.5 \\times 10^{-5}$
\n$I_1 = 75 \\mu A$
3. Calcul de $I_2$:
\n$I_2 = \\frac{-0.6}{50 \\times 10^3} = -1.2 \\times 10^{-5}$
\n$I_2 = -12 \\mu A$
4. Calcul de $I_3$:
\n$I_3 = \\frac{2.0}{25 \\times 10^3} = 8.0 \\times 10^{-5}$
\n$I_3 = 80 \\mu A$
RĂ©sultats finaux:
\n$I_1 = 75 \\mu A$, $I_2 = -12 \\mu A$, $I_3 = 80 \\mu A$
Les courants $I_1$ et $I_3$ circulent vers le nœud de masse virtuelle, tandis que $I_2$ circule en sens inverse (du nœud vers la source) en raison de la tension négative $V_2$.
\n\nSolution Question 4:
\nLe courant dans la résistance de contre-réaction est égal à la somme algébrique des courants d'entrée selon la loi des nœuds de Kirchhoff.
\n1. Formule générale (loi des nœuds):
\n$I_f = I_1 + I_2 + I_3$
2. Remplacement des données:
\n$I_f = 75 \\times 10^{-6} + (-12 \\times 10^{-6}) + 80 \\times 10^{-6}$
3. Calcul:
\n$I_f = (75 - 12 + 80) \\times 10^{-6} = 143 \\times 10^{-6}$
4. RĂ©sultat final:
\n$I_f = 143 \\mu A$
VĂ©rification avec la tension de sortie:
\n$I_f = \\frac{V^- - V_{out}}{R_f} = \\frac{0 - (-14.3)}{100 \\times 10^3} = \\frac{14.3}{100 \\times 10^3} = 143 \\times 10^{-6} A = 143 \\mu A$
La vérification confirme que $I_f = 143 \\mu A$, ce qui valide la loi des nœuds au point de masse virtuelle. Le courant $I_f$ circule du nœud vers la sortie à travers $R_f$.
", "id_category": "6", "id_number": "18" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un intégrateur réel basé sur un amplificateur opérationnel idéal est alimenté sous $\\pm 15 V$. Le circuit possède une résistance d'entrée $R = 100 k\\Omega$, un condensateur de contre-réaction $C = 2.2 \\mu F$, et une résistance de stabilisation $R_p = 1 M\\Omega$ en parallèle avec $C$. On applique une tension d'entrée constante $V_{in} = 3 V$ à partir de $t = 0$, avec une condition initiale $V_{out}(0) = 0 V$.
\n\nQuestion 1: Calculer la constante de temps d'intégration $\\tau = RC$ du circuit.
\n\nQuestion 2: Déterminer la tension de sortie $V_{out}(t)$ en fonction du temps pour $t > 0$ (en négligeant $R_p$).
\n\nQuestion 3: Calculer le temps $t_1$ nécessaire pour que la tension de sortie atteigne $-10 V$.
\n\nQuestion 4: Calculer la charge électrique totale $Q$ accumulée sur le condensateur au temps $t_1$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1:
\nLa constante de temps d'intégration est le produit de la résistance d'entrée et de la capacité du condensateur.
\n1. Formule générale:
\n$\\tau = R \\cdot C$
2. Remplacement des données:
\n$\\tau = 100 \\times 10^3 \\times 2.2 \\times 10^{-6}$
3. Calcul:
\n$\\tau = 220 \\times 10^{-3}$
4. RĂ©sultat final:
\n$\\tau = 0.22 s = 220 ms$
La constante de temps d'intégration est de $220 ms$. Cette valeur détermine la vitesse à laquelle la sortie varie pour une entrée donnée. Plus $\\tau$ est grand, plus l'intégration est lente.
\n\nSolution Question 2:
\nPour un intégrateur idéal avec une entrée constante, la tension de sortie varie linéairement avec le temps.
\n1. Formule générale de l'intégrateur:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC} \\int_0^t V_{in} dt + V_{out}(0)$
Pour une entrée constante $V_{in}$:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{V_{in}}{RC} t + V_{out}(0)$
2. Remplacement des données (avec $V_{out}(0) = 0$):
\n$V_{out}(t) = -\\frac{3}{100 \\times 10^3 \\times 2.2 \\times 10^{-6}} t$
3. Calcul du coefficient:
\n$V_{out}(t) = -\\frac{3}{0.22} t = -13.636 \\cdot t$
4. RĂ©sultat final:
\n$V_{out}(t) = -13.64 t$ (V, avec $t$ en secondes)
La tension de sortie décroît linéairement à raison de $-13.64 V/s$. Le signe négatif provient de la configuration inverseuse de l'intégrateur. La sortie diminue tant que l'entrée reste positive.
\n\nSolution Question 3:
\nPour trouver le temps nécessaire pour atteindre une tension de sortie donnée, on résout l'équation de la sortie.
\n1. Formule générale:
\n$t_1 = -\\frac{V_{out}(t_1) \\cdot RC}{V_{in}}$
ou bien:
\n$t_1 = -\\frac{V_{out}(t_1)}{13.64}$
2. Remplacement des données ($V_{out}(t_1) = -10 V$):
\n$t_1 = -\\frac{(-10) \\times 0.22}{3}$
3. Calcul:
\n$t_1 = \\frac{10 \\times 0.22}{3} = \\frac{2.2}{3} = 0.7333$
4. RĂ©sultat final:
\n$t_1 = 0.733 s = 733 ms$
Il faut $733 ms$ pour que la tension de sortie atteigne $-10 V$. On peut vérifier: $V_{out}(0.733) = -13.64 \\times 0.733 \\approx -10 V$. La sortie continuera à décroître jusqu'à la saturation de l'AOP à environ $-13 V$ à $-14 V$ (proche de $-V_{cc}$).
\n\nSolution Question 4:
\nLa charge accumulée sur le condensateur est liée à la tension à ses bornes selon la relation fondamentale des condensateurs.
\n1. Formule générale:
\n$Q = C \\cdot V_C$
oĂą $V_C = V^- - V_{out} = 0 - V_{out} = -V_{out}$ (tension aux bornes du condensateur)
\n2. Remplacement des données:
\n$Q = 2.2 \\times 10^{-6} \\times (-(-10))$
\n$Q = 2.2 \\times 10^{-6} \\times 10$
3. Calcul:
\n$Q = 22 \\times 10^{-6}$
4. RĂ©sultat final:
\n$Q = 22 \\mu C$
La charge accumulée sur le condensateur au temps $t_1$ est de $22 \\mu C$. Cette charge a été apportée par le courant d'intégration constant $i = \\frac{V_{in}}{R} = \\frac{3}{100 \\times 10^3} = 30 \\mu A$ pendant une durée de $0.733 s$. On peut vérifier: $Q = i \\times t_1 = 30 \\times 10^{-6} \\times 0.733 \\approx 22 \\mu C$.
", "id_category": "6", "id_number": "19" }, { "category": "amplificateur opérationnel", "question": "Un amplificateur opérationnel idéal est utilisé dans une configuration non-inverseuse. Le circuit est alimenté par une tension continue $V_{cc} = \\pm 15\\,\\text{V}$. La résistance de rétroaction est $R_f = 47\\,\\text{k}\\Omega$ et la résistance reliée à la masse est $R_1 = 4.7\\,\\text{k}\\Omega$. Un signal d'entrée $V_{in} = 0.5\\,\\text{V}$ est appliqué à l'entrée non-inverseuse.
\n\nQuestion 1: Calculez le gain en tension $A_v$ de cet amplificateur non-inverseur.
\n\nQuestion 2: Déterminez la tension de sortie $V_{out}$ pour le signal d'entrée donné.
\n\nQuestion 3: Si on souhaite obtenir un gain de $A_v = 25$, quelle valeur de résistance $R_f$ faut-il utiliser en gardant $R_1 = 4.7\\,\\text{k}\\Omega$ ?
\n\nQuestion 4: Pour la nouvelle configuration de la question 3, calculez la tension de sortie maximale $V_{out,max}$ avant saturation si l'alimentation est $V_{cc} = \\pm 15\\,\\text{V}$ (saturation à $\\pm 13\\,\\text{V}$). Quelle est alors la tension d'entrée maximale $V_{in,max}$ admissible ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 : Calcul du gain en tension
\n\nPour un amplificateur non-inverseur, le gain en tension est donné par la formule :
\n$A_v = 1 + \\frac{R_f}{R_1}$
\n\nRemplacement des données :
\n$A_v = 1 + \\frac{47\\times 10^3}{4.7\\times 10^3}$
\n\nCalcul :
\n$A_v = 1 + 10 = 11$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{A_v = 11}$
\n\nLe gain en tension de cet amplificateur non-inverseur est de $11$, ce qui signifie que le signal de sortie sera $11$ fois plus grand que le signal d'entrée.
Solution Question 2 : Calcul de la tension de sortie
\n\nLa tension de sortie est liée à la tension d'entrée par :
\n$V_{out} = A_v \\times V_{in}$
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{out} = 11 \\times 0.5$
\n\nCalcul :
\n$V_{out} = 5.5\\,\\text{V}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 5.5\\,\\text{V}}$
\n\nLa tension de sortie est de $5.5\\,\\text{V}$, ce qui reste dans la plage linéaire de l'amplificateur opérationnel puisque $5.5\\,\\text{V} < 13\\,\\text{V}$.
Solution Question 3 : Calcul de la nouvelle résistance R_f
\n\nÀ partir de la formule du gain, on peut isoler $R_f$ :
\n$A_v = 1 + \\frac{R_f}{R_1}$
\n$R_f = (A_v - 1) \\times R_1$
\n\nRemplacement des données :
\n$R_f = (25 - 1) \\times 4.7\\times 10^3$
\n\nCalcul :
\n$R_f = 24 \\times 4.7\\times 10^3 = 112.8\\times 10^3\\,\\Omega$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{R_f = 112.8\\,\\text{k}\\Omega}$
\n\nPour obtenir un gain de $25$, il faut utiliser une résistance de rétroaction de $112.8\\,\\text{k}\\Omega$. En pratique, on utiliserait une valeur normalisée de $120\\,\\text{k}\\Omega$.
Solution Question 4 : Tension de sortie maximale et tension d'entrée maximale
\n\nLa tension de sortie maximale avant saturation est :
\n$V_{out,max} = 13\\,\\text{V}$
\n\nLa tension d'entrée maximale se calcule à partir de :
\n$V_{in,max} = \\frac{V_{out,max}}{A_v}$
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{in,max} = \\frac{13}{25}$
\n\nCalcul :
\n$V_{in,max} = 0.52\\,\\text{V}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out,max} = 13\\,\\text{V}}$
\n$\\boxed{V_{in,max} = 0.52\\,\\text{V}}$
\n\nAvec un gain de $25$, la tension d'entrée maximale admissible est de $0.52\\,\\text{V}$ pour éviter la saturation de l'amplificateur. Au-delà de cette valeur, le signal de sortie serait écrêté à $\\pm 13\\,\\text{V}$.
Un amplificateur inverseur est réalisé avec un AOP idéal. La résistance d'entrée est $R_{in} = 10\\,\\text{k}\\Omega$ et la résistance de rétroaction est $R_f = 68\\,\\text{k}\\Omega$. Un signal sinusoïdal d'amplitude $V_{in} = 0.8\\,\\text{V}$ est appliqué à l'entrée. L'impédance de source est $R_s = 600\\,\\Omega$.
\n\nQuestion 1: Calculez le gain en tension $A_v$ de cet amplificateur inverseur.
\n\nQuestion 2: DĂ©terminez l'amplitude de la tension de sortie $V_{out}$.
\n\nQuestion 3: Calculez le courant d'entrée $I_{in}$ circulant dans la résistance $R_{in}$.
\n\nQuestion 4: Sachant que l'impédance d'entrée de l'amplificateur inverseur est égale à $R_{in}$, calculez la puissance dissipée dans $R_{in}$ et le courant de rétroaction $I_f$ circulant dans $R_f$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 : Calcul du gain en tension
\n\nPour un amplificateur inverseur, le gain en tension est donné par :
\n$A_v = -\\frac{R_f}{R_{in}}$
\n\nRemplacement des données :
\n$A_v = -\\frac{68\\times 10^3}{10\\times 10^3}$
\n\nCalcul :
\n$A_v = -6.8$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{A_v = -6.8}$
\n\nLe gain est négatif, indiquant que le signal de sortie est inversé par rapport au signal d'entrée. Le facteur d'amplification en module est de $6.8$.
Solution Question 2 : Calcul de l'amplitude de sortie
\n\nL'amplitude de la tension de sortie se calcule par :
\n$V_{out} = |A_v| \\times V_{in}$
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{out} = 6.8 \\times 0.8$
\n\nCalcul :
\n$V_{out} = 5.44\\,\\text{V}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 5.44\\,\\text{V}}$
\n\nL'amplitude du signal de sortie est de $5.44\\,\\text{V}$, et ce signal est déphasé de $180^\\circ$ par rapport au signal d'entrée en raison de l'inversion.
Solution Question 3 : Calcul du courant d'entrée
\n\nLe courant d'entrée circulant dans $R_{in}$ est donné par la loi d'Ohm. Puisque l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- = 0\\,\\text{V}$) :
\n$I_{in} = \\frac{V_{in}}{R_{in}}$
\n\nRemplacement des données :
\n$I_{in} = \\frac{0.8}{10\\times 10^3}$
\n\nCalcul :
\n$I_{in} = 0.8\\times 10^{-4} = 80\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{I_{in} = 80\\,\\mu\\text{A}}$
\n\nLe courant d'entrée est de $80\\,\\mu\\text{A}$. Ce courant traverse la résistance d'entrée et, grâce à la masse virtuelle, continue dans la résistance de rétroaction.
Solution Question 4 : Puissance dissipée et courant de rétroaction
\n\nLa puissance dissipée dans $R_{in}$ se calcule par :
\n$P_{in} = R_{in} \\times I_{in}^2$
\n\nRemplacement des données :
\n$P_{in} = 10\\times 10^3 \\times (80\\times 10^{-6})^2$
\n\nCalcul :
\n$P_{in} = 10\\times 10^3 \\times 6400\\times 10^{-12} = 64\\times 10^{-6}\\,\\text{W}$
\n\nRĂ©sultat final pour la puissance :
\n$\\boxed{P_{in} = 64\\,\\mu\\text{W}}$
\n\nPour le courant de rétroaction, en appliquant la loi des nœuds à la masse virtuelle et sachant que le courant entrant dans l'AOP est négligeable :
\n$I_f = I_{in}$
\n\nOn peut aussi le vérifier en utilisant la loi d'Ohm pour $R_f$ :
\n$I_f = \\frac{|V_{out} - V^-|}{R_f} = \\frac{V_{out}}{R_f}$
\n\nRemplacement des données :
\n$I_f = \\frac{5.44}{68\\times 10^3}$
\n\nCalcul :
\n$I_f = 80\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{I_f = 80\\,\\mu\\text{A}}$
\n\nLe courant de rétroaction est égal au courant d'entrée ($80\\,\\mu\\text{A}$) conformément à la loi de Kirchhoff, car aucun courant ne circule dans l'entrée de l'AOP idéal.
Un montage sommateur inverseur à trois entrées est réalisé avec un amplificateur opérationnel idéal. Les résistances d'entrée sont $R_1 = 12\\,\\text{k}\\Omega$, $R_2 = 24\\,\\text{k}\\Omega$, et $R_3 = 8\\,\\text{k}\\Omega$. La résistance de rétroaction est $R_f = 48\\,\\text{k}\\Omega$. Les tensions appliquées aux trois entrées sont $V_1 = 1.2\\,\\text{V}$, $V_2 = 0.6\\,\\text{V}$, et $V_3 = -0.4\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1: Calculez les coefficients de pondération $k_1$, $k_2$, et $k_3$ pour chaque entrée, définis par $k_i = -\\frac{R_f}{R_i}$.
\n\nQuestion 2: Déterminez la tension de sortie $V_{out}$ du sommateur en utilisant la formule générale $V_{out} = -(\\frac{R_f}{R_1}V_1 + \\frac{R_f}{R_2}V_2 + \\frac{R_f}{R_3}V_3)$.
\n\nQuestion 3: Calculez les courants individuels $I_1$, $I_2$, et $I_3$ circulant dans chaque résistance d'entrée.
\n\nQuestion 4: Déterminez le courant total $I_f$ circulant dans la résistance de rétroaction $R_f$ et vérifiez la cohérence avec la loi des nœuds.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 : Calcul des coefficients de pondération
\n\nLes coefficients de pondération sont donnés par :
\n$k_i = -\\frac{R_f}{R_i}$
\n\nPour $k_1$ :
\n$k_1 = -\\frac{R_f}{R_1} = -\\frac{48\\times 10^3}{12\\times 10^3}$
\n$k_1 = -4$
\n\nPour $k_2$ :
\n$k_2 = -\\frac{R_f}{R_2} = -\\frac{48\\times 10^3}{24\\times 10^3}$
\n$k_2 = -2$
\n\nPour $k_3$ :
\n$k_3 = -\\frac{R_f}{R_3} = -\\frac{48\\times 10^3}{8\\times 10^3}$
\n$k_3 = -6$
\n\nRĂ©sultats finaux :
\n$\\boxed{k_1 = -4, \\quad k_2 = -2, \\quad k_3 = -6}$
\n\nCes coefficients indiquent la contribution de chaque entrée à la sortie. L'entrée $V_3$ a le coefficient le plus élevé en valeur absolue car sa résistance est la plus faible.
Solution Question 2 : Calcul de la tension de sortie
\n\nLa tension de sortie d'un sommateur inverseur est :
\n$V_{out} = -\\left(\\frac{R_f}{R_1}V_1 + \\frac{R_f}{R_2}V_2 + \\frac{R_f}{R_3}V_3\\right)$
\n\nOu en utilisant les coefficients :
\n$V_{out} = |k_1|V_1 + |k_2|V_2 + |k_3|V_3$ (avec inversion)
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{out} = -\\left(\\frac{48\\times 10^3}{12\\times 10^3}\\times 1.2 + \\frac{48\\times 10^3}{24\\times 10^3}\\times 0.6 + \\frac{48\\times 10^3}{8\\times 10^3}\\times (-0.4)\\right)$
\n\nCalcul intermédiaire :
\n$V_{out} = -(4\\times 1.2 + 2\\times 0.6 + 6\\times (-0.4))$
\n$V_{out} = -(4.8 + 1.2 - 2.4)$
\n$V_{out} = -3.6$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = -3.6\\,\\text{V}}$
\n\nLa tension de sortie est de $-3.6\\,\\text{V}$. Le signe négatif provient de la configuration inverseuse du montage. La contribution de $V_3$ (négative) réduit la valeur absolue de la sortie.
Solution Question 3 : Calcul des courants individuels
\n\nLes courants dans chaque résistance d'entrée se calculent par la loi d'Ohm, sachant que l'entrée inverseuse est à la masse virtuelle ($V^- = 0\\,\\text{V}$) :
\n\nPour $I_1$ :
\n$I_1 = \\frac{V_1}{R_1}$
\n$I_1 = \\frac{1.2}{12\\times 10^3} = 100\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n$\\boxed{I_1 = 100\\,\\mu\\text{A}}$
\n\nPour $I_2$ :
\n$I_2 = \\frac{V_2}{R_2}$
\n$I_2 = \\frac{0.6}{24\\times 10^3} = 25\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n$\\boxed{I_2 = 25\\,\\mu\\text{A}}$
\n\nPour $I_3$ :
\n$I_3 = \\frac{V_3}{R_3}$
\n$I_3 = \\frac{-0.4}{8\\times 10^3} = -50\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n$\\boxed{I_3 = -50\\,\\mu\\text{A}}$
\n\nLe courant $I_3$ est négatif car la tension $V_3$ est négative, ce qui signifie que ce courant circule en sens opposé aux deux autres.
Solution Question 4 : Courant de rétroaction et vérification
\n\nLe courant de rétroaction est la somme algébrique de tous les courants entrant au nœud de masse virtuelle :
\n$I_f = I_1 + I_2 + I_3$
\n\nRemplacement des données :
\n$I_f = 100\\times 10^{-6} + 25\\times 10^{-6} + (-50\\times 10^{-6})$
\n\nCalcul :
\n$I_f = 75\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\nRĂ©sultat :
\n$\\boxed{I_f = 75\\,\\mu\\text{A}}$
\n\nVérification par la loi d'Ohm appliquée à $R_f$ :
\n$I_f = \\frac{|V_{out}|}{R_f} = \\frac{3.6}{48\\times 10^3}$
\n$I_f = 75\\times 10^{-6}\\,\\text{A}$
\n\nLa vérification confirme que $I_f = 75\\,\\mu\\text{A}$, ce qui est cohérent avec la loi des nœuds. Le courant de rétroaction est bien égal à la somme algébrique des courants d'entrée, validant notre analyse du circuit.
Un intégrateur à base d'amplificateur opérationnel idéal est utilisé pour traiter un signal d'entrée. Le circuit comprend une résistance d'entrée $R = 100\\,\\text{k}\\Omega$ et un condensateur de rétroaction $C = 1\\,\\mu\\text{F}$. Une tension d'entrée constante $V_{in} = 2\\,\\text{V}$ est appliquée à $t = 0$, et la tension de sortie initiale est $V_{out}(0) = 0\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1: Calculez la constante de temps $\\tau = RC$ du circuit intégrateur.
\n\nQuestion 2: Déterminez l'expression de la tension de sortie $V_{out}(t)$ en fonction du temps pour une entrée constante, sachant que $V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC}\\int_0^t V_{in}\\,dt$.
\n\nQuestion 3: Calculez la tension de sortie $V_{out}$ après un temps $t = 3\\,\\text{s}$.
\n\nQuestion 4: Déterminez le temps $t_{sat}$ nécessaire pour que la sortie atteigne la saturation à $V_{sat} = -12\\,\\text{V}$, et calculez la charge $Q$ accumulée sur le condensateur à cet instant.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 : Calcul de la constante de temps
\n\nLa constante de temps du circuit intégrateur est :
\n$\\tau = RC$
\n\nRemplacement des données :
\n$\\tau = 100\\times 10^3 \\times 1\\times 10^{-6}$
\n\nCalcul :
\n$\\tau = 100\\times 10^{-3} = 0.1\\,\\text{s}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{\\tau = 0.1\\,\\text{s} = 100\\,\\text{ms}}$
\n\nLa constante de temps de $0.1\\,\\text{s}$ caractérise la vitesse d'intégration du circuit. Plus $\\tau$ est grande, plus l'intégration est lente.
Solution Question 2 : Expression de la tension de sortie
\n\nPour un intégrateur avec une entrée constante, l'expression générale est :
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC}\\int_0^t V_{in}\\,dt$
\n\nPour une tension d'entrée constante $V_{in}$ :
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{RC}\\times V_{in}\\times t$
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{out}(t) = -\\frac{1}{100\\times 10^3 \\times 1\\times 10^{-6}}\\times 2\\times t$
\n\nSimplification :
\n$V_{out}(t) = -\\frac{2}{0.1}\\times t = -20t$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out}(t) = -20t\\,\\text{V}}$
\n\nLa tension de sortie varie linéairement avec le temps à raison de $-20\\,\\text{V/s}$. Le signe négatif indique que pour une entrée positive, la sortie décroît.
Solution Question 3 : Tension de sortie après 3 secondes
\n\nEn utilisant l'expression trouvée :
\n$V_{out}(t) = -20t$
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{out}(3) = -20\\times 3$
\n\nCalcul :
\n$V_{out}(3) = -60\\,\\text{V}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out}(3\\,\\text{s}) = -60\\,\\text{V}}$
\n\nAttention : cette valeur théorique de $-60\\,\\text{V}$ dépasse largement la tension de saturation. En réalité, l'amplificateur aura saturé bien avant $3\\,\\text{s}$. Cette valeur montre l'importance de prendre en compte les limites physiques de l'AOP.
Solution Question 4 : Temps de saturation et charge accumulée
\n\nLe temps de saturation se calcule en résolvant :
\n$V_{sat} = -20t_{sat}$
\n$t_{sat} = \\frac{V_{sat}}{-20}$
\n\nRemplacement des données :
\n$t_{sat} = \\frac{-12}{-20}$
\n\nCalcul :
\n$t_{sat} = 0.6\\,\\text{s}$
\n\nRĂ©sultat pour le temps :
\n$\\boxed{t_{sat} = 0.6\\,\\text{s} = 600\\,\\text{ms}}$
\n\nLa charge accumulée sur le condensateur se calcule par :
\n$Q = C\\times |V_{sat}|$
\n\nRemplacement des données :
\n$Q = 1\\times 10^{-6}\\times 12$
\n\nCalcul :
\n$Q = 12\\times 10^{-6}\\,\\text{C}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{Q = 12\\,\\mu\\text{C}}$
\n\nL'amplificateur atteint la saturation après $0.6\\,\\text{s}$, moment où le condensateur a accumulé une charge de $12\\,\\mu\\text{C}$. Au-delà de ce temps, la sortie reste bloquée à $-12\\,\\text{V}$ jusqu'à ce que le circuit soit réinitialisé.
Un amplificateur différentiel est construit avec un amplificateur opérationnel idéal. Les résistances utilisées sont $R_1 = R_3 = 15\\,\\text{k}\\Omega$ et $R_2 = R_4 = 75\\,\\text{k}\\Omega$. Deux signaux sont appliqués aux entrées : $V_a = 3.2\\,\\text{V}$ et $V_b = 2.5\\,\\text{V}$.
\n\nQuestion 1: Calculez le gain différentiel $A_d$ de l'amplificateur, défini par $A_d = \\frac{R_2}{R_1}$ (pour un montage symétrique où $\\frac{R_2}{R_1} = \\frac{R_4}{R_3}$).
\n\nQuestion 2: DĂ©terminez la tension de sortie $V_{out}$ en utilisant la formule $V_{out} = \\frac{R_2}{R_1}(V_a - V_b)$.
\n\nQuestion 3: Calculez le taux de réjection en mode commun $\\text{CMRR}$ en décibels si la tension de mode commun est $V_{cm} = \\frac{V_a + V_b}{2}$ et que l'amplificateur produit une erreur de sortie de $\\Delta V_{out} = 5\\,\\text{mV}$ due à cette composante de mode commun. Utilisez $\\text{CMRR}_{\\text{dB}} = 20\\log_{10}\\left(\\frac{A_d}{A_{cm}}\\right)$ où $A_{cm} = \\frac{\\Delta V_{out}}{V_{cm}}$.
\n\nQuestion 4: Si on inverse les entrées ($V_a$ appliqué à l'entrée reliée à $R_3$ et $V_b$ à l'entrée reliée à $R_1$), calculez la nouvelle tension de sortie $V'_{out}$ et comparez-la avec $V_{out}$ de la question 2.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 : Calcul du gain différentiel
\n\nLe gain différentiel d'un amplificateur différentiel symétrique est :
\n$A_d = \\frac{R_2}{R_1}$
\n\nVérifions d'abord la condition de symétrie :
\n$\\frac{R_2}{R_1} = \\frac{75\\times 10^3}{15\\times 10^3} = 5$
\n$\\frac{R_4}{R_3} = \\frac{75\\times 10^3}{15\\times 10^3} = 5$
\n\nLa condition $\\frac{R_2}{R_1} = \\frac{R_4}{R_3}$ est bien vérifiée.
\n\nRemplacement des données :
\n$A_d = \\frac{75\\times 10^3}{15\\times 10^3}$
\n\nCalcul :
\n$A_d = 5$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{A_d = 5}$
\n\nLe gain différentiel est de $5$, ce qui signifie que la différence entre les deux signaux d'entrée sera amplifiée d'un facteur $5$ à la sortie.
Solution Question 2 : Calcul de la tension de sortie
\n\nLa tension de sortie d'un amplificateur différentiel est :
\n$V_{out} = \\frac{R_2}{R_1}(V_a - V_b)$
\n\nOu en utilisant le gain différentiel :
\n$V_{out} = A_d(V_a - V_b)$
\n\nRemplacement des données :
\n$V_{out} = 5\\times (3.2 - 2.5)$
\n\nCalcul :
\n$V_{out} = 5\\times 0.7 = 3.5\\,\\text{V}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 3.5\\,\\text{V}}$
\n\nLa tension de sortie est de $3.5\\,\\text{V}$, positive car $V_a > V_b$. Seule la différence entre les deux entrées est amplifiée.
Solution Question 3 : Calcul du CMRR
\n\nCalculons d'abord la tension de mode commun :
\n$V_{cm} = \\frac{V_a + V_b}{2}$
\n$V_{cm} = \\frac{3.2 + 2.5}{2} = \\frac{5.7}{2} = 2.85\\,\\text{V}$
\n\nLe gain en mode commun est :
\n$A_{cm} = \\frac{\\Delta V_{out}}{V_{cm}}$
\n\nRemplacement des données :
\n$A_{cm} = \\frac{5\\times 10^{-3}}{2.85}$
\n\nCalcul :
\n$A_{cm} = 1.754\\times 10^{-3}$
\n\nLe CMRR en décibels est :
\n$\\text{CMRR}_{\\text{dB}} = 20\\log_{10}\\left(\\frac{A_d}{A_{cm}}\\right)$
\n\nRemplacement des données :
\n$\\text{CMRR}_{\\text{dB}} = 20\\log_{10}\\left(\\frac{5}{1.754\\times 10^{-3}}\\right)$
\n\nCalcul :
\n$\\text{CMRR}_{\\text{dB}} = 20\\log_{10}(2850.6) = 20\\times 3.455 = 69.1\\,\\text{dB}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{\\text{CMRR} = 69.1\\,\\text{dB}}$
\n\nUn CMRR de $69.1\\,\\text{dB}$ indique une bonne capacité de l'amplificateur à rejeter les signaux de mode commun. Plus cette valeur est élevée, meilleure est la performance de l'amplificateur différentiel.
Solution Question 4 : Inversion des entrées
\n\nSi on inverse les entrées, $V_a$ est maintenant sur l'entrée reliée à $R_3$ (non-inverseuse) et $V_b$ sur l'entrée reliée à $R_1$ (inverseuse). Mais physiquement, nous appliquons maintenant $V_b$ là où était $V_a$ et vice-versa.
\n\nLa nouvelle sortie devient :
\n$V'_{out} = A_d(V_b - V_a)$
\n\nRemplacement des données :
\n$V'_{out} = 5\\times (2.5 - 3.2)$
\n\nCalcul :
\n$V'_{out} = 5\\times (-0.7) = -3.5\\,\\text{V}$
\n\nRĂ©sultat final :
\n$\\boxed{V'_{out} = -3.5\\,\\text{V}}$
\n\nComparaison avec la question 2 :
\n$V'_{out} = -V_{out}$
\n\nL'inversion des entrées produit une sortie de signe opposé mais de même amplitude. Ceci confirme le comportement symétrique de l'amplificateur différentiel : $V'_{out} = -3.5\\,\\text{V}$ contre $V_{out} = +3.5\\,\\text{V}$. Cette propriété est fondamentale pour les applications de mesure différentielle.