Fonctions de l’Électronique json Recherche avancée

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Examen de Fonctions de l'Électronique - Modulations Numériques et Démodulation
 - 
Contexte général : Un système de communication numérique utilise la modulation BPSK pour une transmission par satellite. Le signal doit être démodulé de manière cohérente et les performances doivent être évaluées en termes de taux d'erreur binaire (TEB) et de rapport signal-sur-bruit (RSB).
Question 1 : Modulation BPSK (6 points)
Un train binaire $\\{b_k\\}$ de fréquence binaire $f_b = 10 Mb/s$ module une porteuse de fréquence $f_p = 2.4 GHz$ et d'amplitude $A_p = 2V$ en modulation BPSK.
a) Déterminer la période d'un bit et la fréquence symbolique.
b) Écrire l'expression mathématique du signal modulé BPSK pour la séquence binaire 10110101.
c) Calculer la puissance du signal BPSK avec amplitude $A_p = 2V$ sur une charge de 50Ω.
Question 2 : Récepteur cohérent et corrélation (5 points)
Le signal BPSK reçu est $r(t) = s(t) + n(t)$, où n(t) est un bruit blanc gaussien additif (AWGN) avec densité spectrale $N_0 = 10^{-12} W/Hz$.
a) Déterminer l'énergie d'un bit $E_b$ si la puissance du signal est $P_s = 0.08 W$.
b) Calculer le rapport signal-sur-bruit par bit $E_b/N_0$ en dB.
c) En utilisant la corrélation avec la porteuse locale, déterminer le signal à la sortie du corrélateur pour un bit '1' sans bruit.
Question 3 : Comparaison des modulations BPSK, QPSK et FSK (5 points)
On compare trois modulations pour le même débit $f_b = 10 Mb/s$ :
- BPSK : 1 bit/symbole
- QPSK : 2 bits/symbole
- FSK : 1 bit/symbole avec déviation $\\Delta f = 5 MHz$
a) Calculer la rapidité de modulation (symboles/s) pour chaque modulation.
b) Calculer la largeur de bande occupée par chaque modulation (en utilisant la règle de Carson pour FSK).
c) Calculer l'efficacité spectrale (bits/s/Hz) pour chaque modulation et classer-les.
Question 4 : Démodulation FSK (4 points)
Un signal FSK utilise deux fréquences : $f_1 = 2.395 GHz$ (bit 0) et $f_2 = 2.405 GHz$ (bit 1).
a) Calculer la déviation de fréquence $\\Delta f$ du signal FSK.
b) Déterminer l'indice de modulation $h$ pour $f_b = 10 Mb/s$.
c) En utilisant un discriminateur de fréquence, calculer la tension de sortie pour déterminer un bit '1' si la sensibilité du discriminateur est $K_d = 0.01 V/MHz$.
Question 5 : Taux d'erreur binaire et performances (4 points)
Pour un système BPSK en canal AWGN, le taux d'erreur binaire est donné par :
$TEB = Q\\left(\\sqrt{2\\frac{E_b}{N_0}}\\right)$
où Q(x) est la fonction de queue de la loi gaussienne.
a) Calculer le TEB pour $E_b/N_0 = 9 dB$ (utiliser Q(3) ≈ 0.00135).
b) Quelle valeur de $E_b/N_0$ est requise pour atteindre un TEB = 10^{-5} ? (utiliser Q(4.75) ≈ 10^{-5}).
c) Comparer les performances de BPSK et QPSK en termes de TEB à même $E_b/N_0$ et expliquer les différences.
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Solutions détaillées
Solution Question 1 : Modulation BPSK
a) Période d'un bit et fréquence symbolique :
La période d'un bit est l'inverse de la fréquence binaire. La fréquence symbolique représente le nombre de symboles (états) transmis par seconde.
Formule générale :
$T_b = \\frac{1}{f_b}$
Pour BPSK (1 bit = 1 symbole), la rapidité de modulation est égale à la fréquence binaire.
Remplacement des données :
$T_b = \\frac{1}{10 \\times 10^6} = 10^{-7} s$
Résultat final :
$T_b = 100 ns$
Fréquence symbolique (BPSK) :
$f_{sym} = f_b = 10 Mb/s = 10 Msymboles/s$
b) Expression mathématique du signal BPSK pour 10110101 :
Un signal BPSK encode le bit par la phase de la porteuse : phase 0 pour bit 1, phase π (180°) pour bit 0.
Expression générale :
$s(t) = A_p \\cos(2\\pi f_p t + \\phi_k)$
où $\\phi_k = 0$ pour bit 1 et $\\phi_k = \\pi$ pour bit 0.
Ou équivalemment :
$s(t) = A_p d_k \\cos(2\\pi f_p t)$
où $d_k = +1$ pour bit 1 et $d_k = -1$ pour bit 0.
Séquence 10110101 :
$d_1 = +1 (bit 1), \\quad d_2 = -1 (bit 0), \\quad d_3 = +1, \\quad d_4 = +1, \\quad d_5 = -1, \\quad d_6 = +1, \\quad d_7 = -1, \\quad d_8 = +1$
Résultat final :
$s(t) = 2 \\sum_{k=1}^{8} d_k \\cos(2\\pi \\times 2.4 \\times 10^9 \\times t) \\cdot \\text{rect}\\left(\\frac{t - kT_b}{T_b}\\right)$
où rect(x) = 1 pour 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ailleurs.
Ou plus simplement pour l'intervalle d'un bit :
$s(t) = 2 \\cos(2\\pi \\times 2.4 \\times 10^9 \\times t) \\text{ pour bit 1}$
$s(t) = -2 \\cos(2\\pi \\times 2.4 \\times 10^9 \\times t) \\text{ pour bit 0}$
c) Puissance du signal BPSK :
La puissance moyenne d'un signal sinusoïdal est $P = \\frac{A_p^2}{2R}$ où R est la charge.
Formule générale :
$P_s = \\frac{A_p^2}{2R}$
Remplacement des données :
$P_s = \\frac{2^2}{2 \\times 50} = \\frac{4}{100} = 0.04 W$
Résultat final :
$P_s = 40 mW$
Solution Question 2 : Récepteur cohérent et corrélation
a) Énergie d'un bit :
L'énergie d'un bit est la puissance moyenne multipliée par la durée d'un bit.
Formule générale :
$E_b = P_s \\times T_b = \\frac{P_s}{f_b}$
Remplacement des données :
$E_b = \\frac{0.08 W}{10 \\times 10^6 \\text{ bits/s}} = 8 \\times 10^{-9} J$
Résultat final :
$E_b = 8 nJ = 8 \\times 10^{-9} J$
b) Rapport Eb/N0 en dB :
Calcul du rapport linéaire :
$\\frac{E_b}{N_0} = \\frac{8 \\times 10^{-9}}{10^{-12}} = 8000$
Conversion en dB :
$\\left(\\frac{E_b}{N_0}\\right)_{dB} = 10 \\log_{10}(8000) = 10 \\times 3.903 = 39.03 dB$
Résultat final :
$\\frac{E_b}{N_0} = 39 dB$
c) Signal à la sortie du corrélateur pour un bit '1' sans bruit :
Le corrélateur multiplie le signal reçu par la porteuse locale et intègre sur la durée d'un bit.
Formule générale :
$z = \\int_0^{T_b} s(t) \\times c(t) dt = \\int_0^{T_b} A_p \\cos(2\\pi f_p t) \\times 2\\cos(2\\pi f_p t) dt$
Pour un bit '1' (pas de changement de phase) :
$z = 2A_p \\int_0^{T_b} \\cos^2(2\\pi f_p t) dt = 2A_p \\times \\frac{T_b}{2} = A_p T_b$
Remplacement des données :
$z = 2 \\times 100 \\times 10^{-9} = 200 \\times 10^{-9} = 200 nJ$
Résultat final :
$z = 200 \\text{ nJ} = E_b / 2 \\times \\frac{A_p^2}{P_s}$
Ou plus simplement :
$z = A_p T_b = 2 \\times 100 \\times 10^{-9} s = 2 \\times 10^{-7} V \\cdot s$
Solution Question 3 : Comparaison des modulations
a) Rapidité de modulation pour chaque modulation :
La rapidité de modulation (baud rate) = débit binaire / bits par symbole.
BPSK :
$R_{BPSK} = \\frac{f_b}{1} = \\frac{10 Mb/s}{1} = 10 Mbaud$
QPSK :
$R_{QPSK} = \\frac{f_b}{2} = \\frac{10 Mb/s}{2} = 5 Mbaud$
FSK :
$R_{FSK} = \\frac{f_b}{1} = \\frac{10 Mb/s}{1} = 10 Mbaud$
b) Largeur de bande occupée :
Pour BPSK (modulation par saut de phase) :
La bande passante est liée à la largeur du spectre du signal en bande de base, multipliée par 2 due à la modulation.
$BW_{BPSK} = 2 \\times f_b = 2 \\times 10 = 20 MHz$
Pour QPSK :
$BW_{QPSK} = 2 \\times \\frac{f_b}{2} = 2 \\times 5 = 10 MHz$
Pour FSK (règle de Carson) :
$BW_{FSK} = 2(\\Delta f + f_b) = 2(5 + 10) = 30 MHz$
c) Efficacité spectrale (bits/s/Hz) et classement :
BPSK :
$\\eta_{BPSK} = \\frac{10 Mb/s}{20 MHz} = 0.5 bits/s/Hz$
QPSK :
$\\eta_{QPSK} = \\frac{10 Mb/s}{10 MHz} = 1 bits/s/Hz$
FSK :
$\\eta_{FSK} = \\frac{10 Mb/s}{30 MHz} = 0.333 bits/s/Hz$
Classement par efficacité spectrale décroissante :
$\\eta_{QPSK} (1.0) > \\eta_{BPSK} (0.5) > \\eta_{FSK} (0.333)$
Solution Question 4 : Démodulation FSK
a) Déviation de fréquence :
La déviation est définie comme la demi-différence entre les deux fréquences.
Formule générale :
$\\Delta f = \\frac{|f_2 - f_1|}{2}$
Remplacement des données :
$\\Delta f = \\frac{|2.405 - 2.395|}{2} = \\frac{0.010}{2} = 0.005 GHz = 5 MHz$
Résultat final :
$\\Delta f = 5 MHz$
b) Indice de modulation FSK :
Formule générale :
$h = \\frac{2 \\Delta f}{f_b}$
Remplacement des données :
$h = \\frac{2 \\times 5 \\times 10^6}{10 \\times 10^6} = \\frac{10}{10} = 1$
Résultat final :
$h = 1$
Interprétation : h = 1 correspond à la limite entre FSK bande étroite et bande large. C'est optimal pour une démodulation non cohérente.
c) Tension de sortie du discriminateur pour bit '1' :
Pour détecter un bit '1', le signal est à fréquence f2 = 2.405 GHz.
Déviation par rapport à la fréquence centrale :
$f_c = \\frac{f_1 + f_2}{2} = \\frac{2.395 + 2.405}{2} = 2.400 GHz$
$\\Delta f_{inst} = f_2 - f_c = 2.405 - 2.400 = 0.005 GHz = 5 MHz$
Formule générale :
$V_{out} = K_d \\times \\Delta f_{inst}$
Remplacement des données :
$V_{out} = 0.01 \\times 5 = 0.05 V$
Résultat final :
$V_{out} = 50 mV$
Pour bit '0' :
$\\Delta f_{inst} = f_1 - f_c = 2.395 - 2.400 = -5 MHz$
$V_{out} = 0.01 \\times (-5) = -0.05 V = -50 mV$
Solution Question 5 : Taux d'erreur binaire et performances
a) Calcul du TEB pour Eb/N0 = 9 dB :
Conversion de 9 dB en linéaire :
$\\frac{E_b}{N_0}|_{lin} = 10^{9/10} = 10^{0.9} = 7.94$
Argument de la fonction Q :
$\\sqrt{2 \\times 7.94} = \\sqrt{15.88} = 3.985 \\approx 4$
Formule générale pour BPSK :
$TEB = Q\\left(\\sqrt{2\\frac{E_b}{N_0}}\\right)$
Remplacement des données (utilisant Q(4) ≈ 3.2 × 10^-5, interpolé entre Q(3) et valeurs proches) :
$TEB = Q(3.985) \\approx 3.4 \\times 10^{-5} \\approx 3 \\times 10^{-5}$
Résultat final :
$TEB \\approx 3 \\times 10^{-5}$
b) Eb/N0 requise pour TEB = 10^-5 :
On utilise la condition TEB = 10^-5 et la formule donnée.
Avec Q(4.75) ≈ 10^-5 :
$\\sqrt{2\\frac{E_b}{N_0}} = 4.75$
Calcul :
$2\\frac{E_b}{N_0} = 4.75^2 = 22.56$
$\\frac{E_b}{N_0} = \\frac{22.56}{2} = 11.28$
Conversion en dB :
$\\left(\\frac{E_b}{N_0}\\right)_{dB} = 10 \\log_{10}(11.28) = 10 \\times 1.053 = 10.53 dB$
Résultat final :
$\\frac{E_b}{N_0} \\approx 10.5 dB$
c) Comparaison BPSK vs QPSK :
Taux d'erreur binaire :
BPSK : $TEB_{BPSK} = Q\\left(\\sqrt{2\\frac{E_b}{N_0}}\\right)$
QPSK : $TEB_{QPSK} = Q\\left(\\sqrt{2\\frac{E_b}{N_0}}\\right)$ (identique en Eb/N0)
Résultat : Pour une même énergie par bit (Eb), BPSK et QPSK offrent les mêmes performances en TEB.
Cependant :
- QPSK transmet 2 bits/symbole, donc pour le même débit binaire, elle utilise une rapidité de modulation deux fois inférieure.
- QPSK occupe donc une largeur de bande deux fois inférieure pour le même débit (meilleure efficacité spectrale).
- En termes de rapport Eb/N0, elles sont équivalentes.
- En termes d'énergie par symbole Es : $E_s^{QPSK} = 2E_b^{QPSK}$ tandis que $E_s^{BPSK} = E_b^{BPSK}$, donc à Es identique, le QPSK a un TEB meilleur.
Conclusion : QPSK est supérieure à BPSK en efficacité spectrale avec les mêmes performances en TEB pour Eb/N0, ce qui en fait la modulation de choix pour les transmissions à haut débit.
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Examen de Fonctions de l'Électronique - Série 1
00 - 
Contexte général: Un système de communication radio FM professionnelle utilise une chaîne d'émission-réception complète. L'émetteur génère un signal FM à partir d'un message audio, et le récepteur utilise une boucle à verrouillage de phase (PLL) pour la démodulation. Des filtres analogiques sont utilisés pour le traitement du signal.
Question 1 (5 points): L'émetteur FM utilise une porteuse de fréquence fp = 100 MHz. Le signal modulant est une sinusoïde pure de fréquence fm = 15 kHz et d'amplitude Am = 2V. La sensibilité du modulateur FM est kf = 50 kHz/V.
a) Calculez la déviation de fréquence maximale Δf en kHz
b) Calculez l'indice de modulation β (ou mf)
c) En utilisant la règle de Carson, déterminez la largeur de bande BW du signal FM
d) Calculez le nombre de raies spectrales significatives (pour lesquelles Jn(β) > 0.01)
e) Si l'on double la fréquence du signal modulant (fm = 30 kHz) tout en gardant la même amplitude, comment évoluent β et BW?
Question 2 (5 points): Pour filtrer le signal audio avant modulation, on utilise un filtre passe-bas de Butterworth d'ordre 4 avec une fréquence de coupure fc = 20 kHz.
a) Écrivez l'expression du module au carré de la fonction de transfert |H(jω)|² d'un filtre de Butterworth d'ordre n, et calculez l'atténuation en dB à la fréquence de coupure
b) Calculez l'atténuation en dB à la fréquence f = 40 kHz (soit 2fc)
c) Calculez l'atténuation en dB à la fréquence f = 80 kHz (soit 4fc)
d) Déterminez la pente asymptotique du filtre en dB/décade
e) Si l'on souhaite une atténuation d'au moins 60 dB à f = 100 kHz, quel ordre minimal de filtre de Butterworth faut-il utiliser?
Question 3 (4 points): Le récepteur utilise une PLL pour démoduler le signal FM. Le VCO (oscillateur contrôlé en tension) a une fréquence centrale f0 = 100 MHz et une sensibilité Kvco = 200 kHz/V. Le détecteur de phase a une sensibilité Kd = 0.5 V/rad. Le filtre de boucle est un passe-bas du premier ordre avec une constante de temps τ = 10 μs.
a) Calculez le gain de boucle ouvert K = Kd × Kvco en rad/s par volt
b) Calculez la pulsation naturelle ωn de la boucle fermée, sachant que ωn = √(K/τ)
c) Calculez le coefficient d'amortissement ξ si le filtre de boucle introduit un zéro à τ2 = 5 μs, avec ξ = (ωn/2)(τ + τ2)
d) La boucle est-elle sous-amortie, critique ou sur-amortie? Justifiez.
Question 4 (4 points): On compare la modulation FM à la modulation PM. Un même signal modulant m(t) = Am×cos(2πfmt) avec Am = 1V et fm = 5 kHz est appliqué aux deux modulateurs. Pour le modulateur PM, la sensibilité est kp = 2 rad/V.
a) Calculez l'indice de modulation en PM: βPM = kp × Am
b) Pour obtenir le même indice de modulation en FM (βFM = βPM), quelle doit être la sensibilité kf du modulateur FM?
c) Si la fréquence du signal modulant passe à fm = 10 kHz (Am constant), calculez les nouveaux indices βFM et βPM
d) Expliquez pourquoi la FM et la PM réagissent différemment aux variations de fréquence du signal modulant
Question 5 (2 points): Le système utilise également une préaccentuation/désaccentuation avec une constante de temps τe = 75 μs (standard FM broadcast).
a) Calculez la fréquence de coupure f1 du circuit de préaccentuation
b) Calculez le gain de préaccentuation en dB à la fréquence f = 15 kHz, sachant que G(f) = √(1 + (f/f1)²)
c) Quel est l'intérêt de ce système pour le rapport signal/bruit?
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      "A"
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Solutions détaillées - Examen Série 1
Question 1: Modulation de fréquence (FM)
Données: fp = 100 MHz, fm = 15 kHz, Am = 2V, kf = 50 kHz/V
a) Déviation de fréquence maximale Δf:
La déviation de fréquence est proportionnelle à l'amplitude du signal modulant et à la sensibilité du modulateur:
$\\Delta f = k_f \\times A_m$
Remplacement des valeurs:
$\\Delta f = 50 \\times 10^3 \\times 2$
Calcul:
$\\Delta f = 100 \\times 10^3 \\text{ Hz} = 100 \\text{ kHz}$
Résultat: Δf = 100 kHz
b) Indice de modulation β:
L'indice de modulation FM est le rapport entre la déviation de fréquence et la fréquence du signal modulant:
$\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$
Application numérique:
$\\beta = \\frac{100 \\times 10^3}{15 \\times 10^3}$
Calcul:
$\\beta = 6.67$
Résultat: β = 6.67 (FM à large bande car β > 1)
c) Largeur de bande BW (règle de Carson):
La règle de Carson donne une approximation de la bande passante nécessaire:
$BW = 2(\\Delta f + f_m)$
Remplacement:
$BW = 2(100 + 15) \\times 10^3$
Calcul:
$BW = 2 \\times 115 \\times 10^3 = 230 \\text{ kHz}$
Résultat: BW = 230 kHz
d) Nombre de raies spectrales significatives:
Le nombre de raies significatives (de chaque côté de la porteuse) est approximativement égal à l'indice de modulation plus 1:
$n \\approx \\beta + 1$
Application numérique:
$n \\approx 6.67 + 1 = 7.67 \\approx 8$
Nombre total de raies significatives (incluant la porteuse):
$N_{total} = 2n + 1 = 2 \\times 8 + 1 = 17 \\text{ raies}$
Résultat: Environ 17 raies spectrales significatives
e) Évolution avec fm = 30 kHz:
Nouveau calcul de β (Δf reste constant car Am ne change pas):
$\\beta_{new} = \\frac{\\Delta f}{f_{m,new}} = \\frac{100}{30} = 3.33$
Nouvelle largeur de bande:
$BW_{new} = 2(\\Delta f + f_{m,new}) = 2(100 + 30) = 260 \\text{ kHz}$
Interprétation: Quand fm double, β diminue de moitié (de 6.67 à 3.33), mais BW augmente légèrement (de 230 kHz à 260 kHz) car la contribution de fm à la bande passante augmente.
Question 2: Filtre de Butterworth d'ordre 4
Données: Ordre n = 4, fc = 20 kHz
a) Expression de |H(jω)|² et atténuation à fc:
Le module au carré de la fonction de transfert d'un filtre de Butterworth d'ordre n est:
$|H(j\\omega)|^2 = \\frac{1}{1 + \\left(\\frac{\\omega}{\\omega_c}\\right)^{2n}} = \\frac{1}{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^{2n}}$
À la fréquence de coupure (f = fc):
$|H(j\\omega_c)|^2 = \\frac{1}{1 + 1^{2 \\times 4}} = \\frac{1}{2}$
L'atténuation en dB est:
$A_{dB} = -10 \\log_{10}|H|^2 = -10 \\log_{10}\\left(\\frac{1}{2}\\right) = 10 \\log_{10}(2)$
Calcul:
$A_{dB} = 10 \\times 0.301 = 3.01 \\text{ dB}$
Résultat: Atténuation à fc = 3 dB (par définition de la fréquence de coupure)
b) Atténuation à f = 40 kHz (f/fc = 2):
Application de la formule avec f/fc = 2 et n = 4:
$|H|^2 = \\frac{1}{1 + 2^{2 \\times 4}} = \\frac{1}{1 + 2^8} = \\frac{1}{1 + 256} = \\frac{1}{257}$
Atténuation en dB:
$A_{dB} = 10 \\log_{10}(257) = 10 \\times 2.41 = 24.1 \\text{ dB}$
Résultat: Atténuation à 40 kHz ≈ 24.1 dB
c) Atténuation à f = 80 kHz (f/fc = 4):
Avec f/fc = 4:
$|H|^2 = \\frac{1}{1 + 4^8} = \\frac{1}{1 + 65536} = \\frac{1}{65537}$
Atténuation en dB:
$A_{dB} = 10 \\log_{10}(65537) = 10 \\times 4.816 = 48.16 \\text{ dB}$
Résultat: Atténuation à 80 kHz ≈ 48.2 dB
d) Pente asymptotique:
La pente asymptotique d'un filtre de Butterworth est:
$\\text{Pente} = -20n \\text{ dB/décade}$
Pour n = 4:
$\\text{Pente} = -20 \\times 4 = -80 \\text{ dB/décade}$
Résultat: Pente asymptotique = -80 dB/décade (ou -24 dB/octave)
e) Ordre minimal pour 60 dB à 100 kHz:
À f = 100 kHz, le rapport f/fc = 100/20 = 5. On cherche n tel que l'atténuation soit au moins 60 dB:
$60 \\leq 10 \\log_{10}(1 + 5^{2n})$
Pour f/fc >> 1, on peut simplifier:
$60 \\approx 10 \\log_{10}(5^{2n}) = 20n \\log_{10}(5) = 20n \\times 0.699$
Résolution:
$n \\geq \\frac{60}{20 \\times 0.699} = \\frac{60}{13.98} = 4.29$
Comme n doit être entier:
$n_{min} = 5$
Résultat: Il faut un filtre de Butterworth d'ordre 5 minimum
Question 3: Boucle à verrouillage de phase (PLL)
Données: f0 = 100 MHz, Kvco = 200 kHz/V = 200×10³ Hz/V, Kd = 0.5 V/rad, τ = 10 μs
a) Gain de boucle ouverte K:
Le gain de boucle est le produit des sensibilités du détecteur de phase et du VCO:
$K = K_d \\times K_{vco}$
Conversion de Kvco en rad/s/V:
$K_{vco} = 200 \\times 10^3 \\times 2\\pi = 1.2566 \\times 10^6 \\text{ rad/s/V}$
Calcul de K:
$K = 0.5 \\times 1.2566 \\times 10^6 = 6.283 \\times 10^5 \\text{ rad/s}$
Résultat: K = 6.28 × 10⁵ rad/s (ou K = 628 krad/s)
b) Pulsation naturelle ωn:
La pulsation naturelle de la boucle fermée est:
$\\omega_n = \\sqrt{\\frac{K}{\\tau}}$
Remplacement avec τ = 10 μs = 10×10⁻⁶ s:
$\\omega_n = \\sqrt{\\frac{6.283 \\times 10^5}{10 \\times 10^{-6}}}$
Calcul:
$\\omega_n = \\sqrt{6.283 \\times 10^{10}} = 2.506 \\times 10^5 \\text{ rad/s}$
En fréquence:
$f_n = \\frac{\\omega_n}{2\\pi} = \\frac{2.506 \\times 10^5}{2\\pi} = 39.9 \\text{ kHz}$
Résultat: ωn = 2.51 × 10⁵ rad/s (fn ≈ 40 kHz)
c) Coefficient d'amortissement ξ:
Avec un zéro du filtre de boucle à τ2 = 5 μs:
$\\xi = \\frac{\\omega_n}{2}(\\tau + \\tau_2)$
Application numérique:
$\\xi = \\frac{2.506 \\times 10^5}{2} \\times (10 + 5) \\times 10^{-6}$
Calcul:
$\\xi = 1.253 \\times 10^5 \\times 15 \\times 10^{-6} = 1.88$
Résultat: ξ = 1.88
d) Type d'amortissement:
Classification selon la valeur de ξ:
- ξ < 1: système sous-amorti (oscillations)
- ξ = 1: système critique
- ξ > 1: système sur-amorti
$\\xi = 1.88 > 1$
Résultat: La boucle est sur-amortie. Elle ne présente pas d'oscillations transitoires mais sa réponse est plus lente qu'un système à amortissement critique. C'est un choix courant en pratique pour éviter les dépassements.
Question 4: Comparaison FM et PM
Données: Am = 1V, fm = 5 kHz, kp = 2 rad/V
a) Indice de modulation en PM:
En modulation de phase, l'indice est directement proportionnel à l'amplitude:
$\\beta_{PM} = k_p \\times A_m$
Application numérique:
$\\beta_{PM} = 2 \\times 1 = 2 \\text{ rad}$
Résultat: βPM = 2 rad
b) Sensibilité kf pour obtenir βFM = βPM:
En FM, l'indice de modulation est:
$\\beta_{FM} = \\frac{k_f \\times A_m}{f_m}$
Pour que βFM = βPM = 2:
$k_f = \\frac{\\beta_{FM} \\times f_m}{A_m}$
Application numérique:
$k_f = \\frac{2 \\times 5 \\times 10^3}{1} = 10 \\times 10^3 \\text{ Hz/V}$
Résultat: kf = 10 kHz/V
c) Nouveaux indices avec fm = 10 kHz:
Pour PM (indépendant de fm):
$\\beta_{PM,new} = k_p \\times A_m = 2 \\times 1 = 2 \\text{ rad}$
Pour FM (avec kf = 10 kHz/V trouvé précédemment):
$\\beta_{FM,new} = \\frac{k_f \\times A_m}{f_{m,new}} = \\frac{10 \\times 10^3 \\times 1}{10 \\times 10^3} = 1$
Résultats: βPM = 2 rad (inchangé), βFM = 1 (divisé par 2)
d) Explication de la différence FM/PM:
En PM, l'indice de modulation βPM = kp × Am ne dépend que de l'amplitude du signal modulant, pas de sa fréquence. La déviation de phase est constante quelle que soit fm.
En FM, l'indice βFM = Δf/fm = (kf × Am)/fm dépend inversement de la fréquence. Pour une même amplitude, les basses fréquences produisent un indice plus élevé que les hautes fréquences.
Relation mathématique: La PM peut être vue comme une FM où la déviation de fréquence est proportionnelle à la fréquence du modulant (préaccentuation naturelle).
Question 5: Préaccentuation/Désaccentuation
Données: τe = 75 μs
a) Fréquence de coupure f1:
La fréquence de coupure du circuit de préaccentuation est:
$f_1 = \\frac{1}{2\\pi \\tau_e}$
Application numérique:
$f_1 = \\frac{1}{2\\pi \\times 75 \\times 10^{-6}}$
Calcul:
$f_1 = \\frac{1}{4.712 \\times 10^{-4}} = 2122 \\text{ Hz}$
Résultat: f1 ≈ 2.12 kHz
b) Gain de préaccentuation à 15 kHz:
Le gain du circuit de préaccentuation est:
$G(f) = \\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_1}\\right)^2}$
À f = 15 kHz:
$G(15kHz) = \\sqrt{1 + \\left(\\frac{15000}{2122}\\right)^2} = \\sqrt{1 + 7.07^2}$
Calcul:
$G = \\sqrt{1 + 50} = \\sqrt{51} = 7.14$
En dB:
$G_{dB} = 20 \\log_{10}(7.14) = 20 \\times 0.854 = 17.1 \\text{ dB}$
Résultat: Gain à 15 kHz ≈ 17.1 dB
c) Intérêt pour le rapport signal/bruit:
La préaccentuation amplifie les hautes fréquences à l'émission, où le niveau du signal audio est généralement plus faible. À la réception, la désaccentuation atténue les hautes fréquences, ce qui réduit également le bruit de fond FM (qui est plus intense aux hautes fréquences). Le résultat net est une amélioration du rapport signal/bruit d'environ 10 à 15 dB sur l'ensemble de la bande audio, particulièrement efficace pour les signaux musicaux contenant beaucoup d'énergie dans les hautes fréquences.
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    "question": "
Examen 1 – Fonctions de l'électronique en télécommunications
Contexte général : On étudie une chaîne de transmission numérique sur porteuse radio autour de 5 MHz. La fréquence de la porteuse est générée par une PLL, le signal passe par un filtre analogique, puis subit successivement une modulation d'amplitude (pour compatibilité avec un ancien récepteur), une modulation de fréquence pour une autre liaison, et enfin une modulation numérique de type BPSK.
Les cinq questions suivantes se rapportent toutes à ce même système et doivent être traitées dans l'ordre.
Question 1 – Synthèse de fréquence par PLL
Une boucle à verrouillage de phase (PLL) est utilisée pour générer une porteuse de sortie à partir d'une référence stable de fréquence $f_{ref} = 25 \\, kHz$. La PLL est de type integer-N avec un diviseur programmable de rapport $N = 200$ dans la boucle de retour. Le VCO a une fréquence à vide (pour tension de commande nulle) de $f_0 = 4{,}9 \\, MHz$ et une sensibilité de $K_{VCO} = 50 \\, kHz/V$.
a) Calculez la fréquence de sortie verrouillée $f_{out}$ lorsque la boucle est accrochée sur la référence à 25 kHz.
b) Déterminez la tension de commande continue $V_c$ nécessaire pour faire passer le VCO de $f_0 = 4{,}9 \\, MHz$ à la fréquence verrouillée $f_{out}$ trouvée en a).
c) La tension de commande est limitée entre 0 V et 5 V. Déterminez la plage de fréquences de sortie accessible par le VCO, puis la plage de fréquences d'entrée $f_{ref}'$ (après division par N) pour lesquelles la PLL peut rester verrouillée.
Question 2 – Filtre passe-bas analogique de limitation de bande
En sortie de la PLL, on insère un filtre passe-bas RC du premier ordre pour limiter le bruit de phase et la bande du signal avant modulation. On souhaite une fréquence de coupure à $f_c = 3{,}0 \\, kHz$. On choisit un condensateur $C = 10 \\, nF$.
a) Déterminez la résistance $R$ nécessaire pour obtenir cette fréquence de coupure, en utilisant la relation d'un filtre RC du premier ordre.
b) Calculez la valeur du module de la fonction de transfert $|H(f)|$ à la fréquence $f = 10 \\, kHz$.
c) Exprimez en décibels l'atténuation du filtre à 10 kHz par rapport au gain en bande passante.
Question 3 – Modulation et démodulation d'amplitude
Le signal filtré est ensuite appliqué à un modulateur d'amplitude. La porteuse est de fréquence $f_p = 5 \\, MHz$ et de valeur efficace $V_{c} = 10 \\, V$ sur une charge résistive $R_L = 50 \\, \\Omega$. Le signal modulant est sinusoïdal de fréquence $f_m = 1 \\, kHz$ et d'amplitude maximale $V_m = 6 \\, V$. Le signal AM est de forme classique :
$v_{AM}(t) = V_c \\left(1 + m \\cos(2\\pi f_m t)\\right) \\cos(2\\pi f_p t)$
a) Calculez l'indice de modulation d'amplitude $m$.
b) Calculez la puissance de la porteuse seule $P_c$ sur la charge $R_L$, puis la puissance totale transmise $P_T$ pour cette modulation.
c) En déduire la puissance totale contenue dans les deux bandes latérales réunies.
Question 4 – Modulation de fréquence et largeur de bande
Pour une autre liaison, le même signal modulant à 1 kHz est appliqué à un modulateur de fréquence (FM) autour d'une porteuse de fréquence $f_{p,FM} = 5{,}0 \\, MHz$. La déviation de fréquence maximale est $\\Delta f = 50 \\, kHz$.
a) Calculez l'indice de modulation de fréquence $\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$.
b) En utilisant la règle de Carson, estimez la largeur de bande nécessaire $B_{FM}$ pour transmettre environ 98 % de la puissance du signal FM.
c) Comparez numériquement la largeur de bande FM trouvée en b) avec la fréquence de coupure du filtre de la Question 2 et commentez brièvement la compatibilité.
Question 5 – Modulation numérique BPSK et bande utile
Enfin, un modulateur numérique BPSK utilise la même porteuse à 5 MHz pour transmettre un flux binaire de débit $R_b = 100 \\, kbit/s$. Le signal passe ensuite par un filtre de mise en forme de type cosinus surélevé de facteur de roulis $\\alpha = 0{,}35$.
a) Donnez le débit symbole $R_s$ de la modulation BPSK et la durée symbole $T_s$ correspondante.
b) Calculez la largeur de bande théorique minimale $B_{BPSK}$ pour un canal à cosinus surélevé (bande double) en fonction de $R_s$ et $\\alpha$, puis donnez sa valeur numérique.
c) Comparez cette largeur de bande à celle obtenue pour la FM en Question 4 et discutez, en vous basant sur les résultats numériques, quel schéma (FM analogique ou BPSK numérique) utilise la bande passante la plus efficacement pour transporter l'information.
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      "A Corrige Type"
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    "correct": [
      "A"
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    "explanation": "
Solutions détaillées – Examen 1
Question 1 – Synthèse de fréquence par PLL
a) Fréquence de sortie verrouillée 
1. Formule générale :
$f_{out} = N \\times f_{ref}$
2. Remplacement des données :
$f_{out} = 200 \\times 25 \\, kHz$
3. Calcul :
$f_{out} = 200 \\times 25 \\times 10^{3} = 5{,}0 \\times 10^{6} \\, Hz$
4. Résultat final :
$f_{out} = 5{,}0 \\, MHz$
b) Tension de commande nécessaire pour atteindre 5,0 MHz
La variation de fréquence à obtenir par rapport à la fréquence à vide du VCO est :
1. Formule générale :
$\\Delta f = f_{out} - f_0$
2. Remplacement des données :
$\\Delta f = 5{,}0 \\, MHz - 4{,}9 \\, MHz$
3. Calcul :
$\\Delta f = 0{,}1 \\, MHz = 100 \\, kHz$
La sensibilité du VCO relie la variation de fréquence à la tension de commande :
1. Formule générale :
$\\Delta f = K_{VCO} \\times V_c$
2. Remplacement des données :
$100 \\, kHz = 50 \\, kHz/V \\times V_c$
3. Calcul :
$V_c = \\dfrac{100 \\, kHz}{50 \\, kHz/V} = 2 \\, V$
4. Résultat final :
$V_c = 2{,}0 \\, V$
c) Plage de fréquences accessible et plage d'entrée correspondante
Pour la tension de commande minimale et maximale :
1. Formules générales :
$f_{min} = f_0 + K_{VCO} \\times V_{c,min}$
$f_{max} = f_0 + K_{VCO} \\times V_{c,max}$
2. Remplacement des données :
$f_{min} = 4{,}9 \\, MHz + 50 \\, kHz/V \\times 0 \\, V$
$f_{max} = 4{,}9 \\, MHz + 50 \\, kHz/V \\times 5 \\, V$
3. Calcul :
$f_{min} = 4{,}9 \\, MHz$
$f_{max} = 4{,}9 \\, MHz + 250 \\, kHz = 5{,}15 \\, MHz$
4. Résultat final :
$4{,}9 \\, MHz \\leq f_{out} \\leq 5{,}15 \\, MHz$
La fréquence d'entrée (référence après division par N) est liée à la fréquence de sortie par :
1. Formule générale :
$f_{ref}' = \\dfrac{f_{out}}{N}$
2. Remplacement des bornes :
$f_{ref,min}' = \\dfrac{4{,}9 \\, MHz}{200} \\quad ; \\quad f_{ref,max}' = \\dfrac{5{,}15 \\, MHz}{200}$
3. Calcul :
$f_{ref,min}' = 24{,}5 \\, kHz$
$f_{ref,max}' = 25{,}75 \\, kHz$
4. Résultat final :
$24{,}5 \\, kHz \\leq f_{ref}' \\leq 25{,}75 \\, kHz$
Question 2 – Filtre passe-bas RC
a) Calcul de R pour obtenir 
$f_c = 3{,}0 \\, kHz$
1. Formule générale d'un filtre RC du premier ordre :
$f_c = \\dfrac{1}{2 \\pi R C}$
On isole R :
$R = \\dfrac{1}{2 \\pi f_c C}$
2. Remplacement des données :
$R = \\dfrac{1}{2 \\pi \\times 3{,}0 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-9}}$
3. Calcul :
$R = \\dfrac{1}{2 \\pi \\times 3{,}0 \\times 10^{3} \\times 10^{-8}} = \\dfrac{1}{2 \\pi \\times 3{,}0 \\times 10^{-5}}$
$R \\approx \\dfrac{1}{1{,}884 \\times 10^{-4}} \\approx 5{,}31 \\times 10^{3} \\, \\Omega$
4. Résultat final :
$R \\approx 5{,}3 \\, k\\Omega$
b) Module de 
$|H(f)|$ à 
$f = 10 \\, kHz$
1. Formule générale pour le module d'un passe-bas du premier ordre :
$|H(f)| = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 + \\left( \\dfrac{f}{f_c} \\right)^2 }}$
2. Remplacement des données :
$|H(10 \\, kHz)| = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 + \\left( \\dfrac{10{,}0 \\times 10^{3}}{3{,}0 \\times 10^{3}} \\right)^2 }}$
3. Calcul :
$\\dfrac{f}{f_c} = \\dfrac{10{,}0}{3{,}0} \\approx 3{,}333$
$\\left( \\dfrac{f}{f_c} \\right)^2 \\approx 11{,}11$
$|H(10 \\, kHz)| = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 + 11{,}11}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{12{,}11}} \\approx \\dfrac{1}{3{,}48} \\approx 0{,}287$
4. Résultat final :
$|H(10 \\, kHz)| \\approx 0{,}29$
c) Atténuation en décibels à 10 kHz
1. Formule générale :
$A_{dB} = 20 \\log_{10}(|H(f)|)$
2. Remplacement des données :
$A_{dB}(10 \\, kHz) = 20 \\log_{10}(0{,}287)$
3. Calcul :
$\\log_{10}(0{,}287) \\approx -0{,}542$
$A_{dB}(10 \\, kHz) = 20 \\times (-0{,}542) \\approx -10{,}84 \\, dB$
4. Résultat final :
$A_{dB}(10 \\, kHz) \\approx -10{,}8 \\, dB$
Question 3 – Modulation d'amplitude
a) Indice de modulation 
$m$
Pour une modulation AM de type :
$v_{AM}(t) = V_c \\left(1 + m \\cos(2\\pi f_m t)\\right) \\cos(2\\pi f_p t)$
l'indice est :
1. Formule générale :
$m = \\dfrac{V_m}{V_c}$
2. Remplacement des données :
$m = \\dfrac{6}{10}$
3. Calcul :
$m = 0{,}6$
4. Résultat final :
$m = 0{,}60$
b) Puissance de la porteuse et puissance totale
La valeur efficace de la porteuse est 
$V_c = 10 \\, V$, appliquée sur 
$R_L = 50 \\, \\Omega$.
1. Formule générale de la puissance d'une tension sinusoïdale sur une résistance :
$P_c = \\dfrac{V_c^2}{R_L}$
2. Remplacement des données :
$P_c = \\dfrac{10^2}{50}$
3. Calcul :
$P_c = \\dfrac{100}{50} = 2 \\, W$
4. Résultat final :
$P_c = 2{,}0 \\, W$
Pour un AM à une seule fréquence modulante, la puissance totale vaut :
1. Formule générale :
$P_T = P_c \\left(1 + \\dfrac{m^2}{2} \\right)$
2. Remplacement des données :
$P_T = 2 \\left(1 + \\dfrac{0{,}6^2}{2} \\right)$
3. Calcul :
$m^2 = 0{,}36$
$\\dfrac{m^2}{2} = 0{,}18$
$P_T = 2 \\times (1 + 0{,}18) = 2 \\times 1{,}18 = 2{,}36 \\, W$
4. Résultat final :
$P_T \\approx 2{,}36 \\, W$
c) Puissance totale dans les bandes latérales
1. Formule de la puissance dans les deux bandes latérales :
$P_{BL} = P_T - P_c$
2. Remplacement des données :
$P_{BL} = 2{,}36 - 2{,}0$
3. Calcul :
$P_{BL} = 0{,}36 \\, W$
4. Résultat final :
$P_{BL} = 0{,}36 \\, W$
Question 4 – Modulation de fréquence
a) Indice de modulation FM 
1. Formule générale :
$\\beta = \\dfrac{\\Delta f}{f_m}$
2. Remplacement des données :
$\\beta = \\dfrac{50 \\, kHz}{1 \\, kHz}$
3. Calcul :
$\\beta = 50$
4. Résultat final :
$\\beta = 50$
b) Largeur de bande FM par la règle de Carson
1. Formule générale (règle de Carson) :
$B_{FM} = 2 \\left( \\Delta f + f_m \\right)$
2. Remplacement des données :
$B_{FM} = 2 \\left(50 \\, kHz + 1 \\, kHz \\right)$
3. Calcul :
$B_{FM} = 2 \\times 51 \\, kHz = 102 \\, kHz$
4. Résultat final :
$B_{FM} \\approx 102 \\, kHz$
c) Comparaison avec le filtre de 3 kHz
La fréquence de coupure du filtre RC est 
$f_c = 3 \\, kHz$, très inférieure à la largeur de bande FM calculée.
1. Rapport entre bande FM et fréquence de coupure :
$\\dfrac{B_{FM}}{f_c} = \\dfrac{102 \\, kHz}{3 \\, kHz}$
2. Calcul :
$\\dfrac{B_{FM}}{f_c} = 34$
3. Interprétation (phrase, pas de calcul) : le filtre RC, s'il était placé dans le chemin RF, écrêterait la quasi-totalité du spectre FM.
4. Résultat final (numérique) :
$B_{FM} = 102 \\, kHz \\gg f_c = 3 \\, kHz$
Question 5 – BPSK et bande utile
a) Débit symbole et durée symbole
En BPSK, il y a 1 bit par symbole, donc :
1. Formules générales :
$R_s = R_b$
$T_s = \\dfrac{1}{R_s}$
2. Remplacement des données :
$R_s = 100 \\times 10^{3} \\, bit/s$
$T_s = \\dfrac{1}{100 \\times 10^{3}}$
3. Calcul :
$R_s = 100 \\, ksymb/s$
$T_s = 10^{-5} \\, s = 10 \\, \\mu s$
4. Résultat final :
$R_s = 100 \\, ksymb/s \\quad ; \\quad T_s = 10 \\, \\mu s$
b) Largeur de bande pour un cosinus surélevé
Pour un filtre cosinus surélevé en bande passante :
1. Formule générale :
$B_{BPSK} = \\dfrac{R_s}{2} (1 + \\alpha)$
2. Remplacement des données :
$B_{BPSK} = \\dfrac{100 \\times 10^3}{2} (1 + 0{,}35)$
3. Calcul :
$\\dfrac{R_s}{2} = 50 \\times 10^3$
$B_{BPSK} = 50 \\times 10^3 \\times 1{,}35 = 67{,}5 \\times 10^3 \\, Hz$
4. Résultat final :
$B_{BPSK} = 67{,}5 \\, kHz$
c) Comparaison avec la FM
On compare 
$B_{BPSK} = 67{,}5 \\, kHz$ à 
$B_{FM} = 102 \\, kHz$.
1. Formule du rapport des largeurs :
$\\dfrac{B_{FM}}{B_{BPSK}} = \\dfrac{102}{67{,}5}$
2. Calcul :
$\\dfrac{B_{FM}}{B_{BPSK}} \\approx 1{,}51$
3. Interprétation (phrase) : à débit binaire similaire, la BPSK avec filtrage adapté utilise environ 1{,}5 fois moins de bande que la FM large bande pour transporter une information équivalente.
4. Résultat numérique final :
$B_{BPSK} \\approx 67{,}5 \\, kHz < B_{FM} \\approx 102 \\, kHz$
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    "id_number": "3"
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Examen 2 – Chaîne de réception radio superhétérodyne
Contexte général : On considère un récepteur superhétérodyne large bande destiné à recevoir aussi bien des signaux AM que FM et des transmissions numériques ASK. Un synthétiseur de fréquence à PLL génère l'oscillateur local. Des filtres analogiques accordés et des démodulateurs adaptés (AM, FM, numérique) sont utilisés. Les cinq questions sont liées à cette même architecture.
Question 1 – PLL de synthèse pour l'oscillateur local
On veut recevoir une station AM de fréquence $f_{RF} = 10{,}7 \\, MHz$ avec une fréquence intermédiaire (FI) de $f_{FI} = 455 \\, kHz$. L'oscillateur local est généré par une PLL telle que $f_{OL} = f_{RF} + f_{FI}$. La fréquence de référence de la PLL est $f_{ref} = 25 \\, kHz$ et la PLL utilise un diviseur programmable entier-N de rapport $N$.
a) Calculez la fréquence de l'oscillateur local $f_{OL}$ requise pour le mélange en superhétérodyne.
b) Déterminez la valeur entière de $N$ nécessaire pour verrouiller la PLL sur cette fréquence.
c) Le VCO couvre la plage 10 MHz – 15 MHz pour une variation de tension de 0 V à 8 V. Calculez la sensibilité $K_{VCO}$ en kHz/V et la tension de commande associée à la fréquence $f_{OL}$.
Question 2 – Filtre passe-bande analogique FI
Le signal converti en fréquence intermédiaire $f_{FI} = 455 \\, kHz$ passe dans un filtre passe-bande RLC du second ordre, centré sur cette fréquence, de facteur de qualité $Q = 10$. On modélise la bande passante à -3 dB par la relation $B = \\dfrac{f_0}{Q}$.
a) Calculez la bande passante $B$ du filtre FI.
b) Déterminez les fréquences de coupure inférieure et supérieure $f_1$ et $f_2$ du filtre FI.
c) Ce filtre est utilisé pour des signaux AM dont la bande de modulation est de 5 kHz. Vérifiez si la bande passante FI est suffisante pour ne pas distordre notablement le signal AM.
Question 3 – Modulation et démodulation d'amplitude (réception)
La station AM reçue utilise une porteuse de valeur efficace $V_c = 4 \\, V$ sur la charge équivalente d'entrée du récepteur, et un indice de modulation $m = 0{,}8$. La charge équivalente vue par le démodulateur d'enveloppe est $R_L = 1 \\, k\\Omega$.
a) Calculez la puissance de la porteuse reçue $P_c$.
b) Déterminez la puissance totale du signal AM $P_T$ ainsi que la puissance dans les deux bandes latérales réunies.
c) Si le démodulateur présente une perte de conversion de 3 dB, calculez la puissance disponible en sortie (en W) pour le signal utile (bande audio).
Question 4 – Modulation angulaire FM reçue
Le même récepteur doit aussi traiter un canal FM centré sur $f_{RF,FM} = 100{,}0 \\, MHz$ avec une fréquence intermédiaire de $f_{FI,FM} = 10{,}7 \\, MHz$. L'écart de fréquence maximal du canal FM est $\\Delta f = 75 \\, kHz$ et la fréquence maximale du signal modulant audio est $f_{max} = 15 \\, kHz$.
a) Calculez l'indice de modulation FM $\\beta$ pour un signal modulant sinusoïdal à 15 kHz.
b) En utilisant la règle de Carson, estimez la largeur de bande nécessaire $B_{FM}$ pour ce canal.
c) Comparez la largeur de bande FI résultante à celle du filtre FI AM de la Question 2, et commentez pourquoi un filtre différent est nécessaire pour le traitement FM.
Question 5 – Modulation numérique ASK sur la même FI
Le récepteur doit aussi décoder une modulation numérique ASK (amplitude shift keying) transmise sur la même fréquence intermédiaire de 455 kHz, avec un débit binaire $R_b = 20 \\, kbit/s$ et un filtrage de mise en forme rectangulaire (NRZ). On suppose que la largeur de bande nécessaire autour de la porteuse ASK est approximativement $B_{ASK} \\approx R_b$.
a) Calculez la largeur de bande minimale $B_{ASK}$ autour de 455 kHz.
b) Comparez numériquement cette largeur avec la bande passante du filtre FI trouvée à la Question 2 et discutez si ce filtre peut être utilisé tel quel pour ASK.
c) En supposant que l'on conserve le même filtre FI (même B) et que l'on souhaite ne pas dépasser 80 % de sa bande passante par le signal ASK, déterminez le débit binaire maximal $R_{b,max}$ admissible.
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      "A"
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Solutions détaillées – Examen 2
Question 1 – PLL de synthèse
a) Fréquence de l'oscillateur local 
1. Formule générale du battement superhétérodyne (OL au-dessus de la RF) :
$f_{OL} = f_{RF} + f_{FI}$
2. Remplacement des données :
$f_{OL} = 10{,}7 \\, MHz + 455 \\, kHz$
3. Calcul :
$f_{OL} = 10{,}7 \\times 10^{6} + 0{,}455 \\times 10^{6} = 11{,}155 \\times 10^{6} \\, Hz$
4. Résultat final :
$f_{OL} = 11{,}155 \\, MHz$
b) Valeur du rapport N
1. Formule générale de la PLL integer-N :
$f_{OL} = N \\times f_{ref}$
On isole N :
$N = \\dfrac{f_{OL}}{f_{ref}}$
2. Remplacement des données :
$N = \\dfrac{11{,}155 \\times 10^{6}}{25 \\times 10^{3}}$
3. Calcul :
$N = \\dfrac{11{,}155 \\times 10^{6}}{2{,}5 \\times 10^{4}} = 446{,}2$
On retient l'entier le plus proche :
4. Résultat final :
$N = 446$
c) Sensibilité du VCO et tension de commande
La plage de fréquence du VCO est de 10 MHz à 15 MHz pour une variation de 0 V à 8 V.
1. Formule générale de la sensibilité :
$K_{VCO} = \\dfrac{f_{max} - f_{min}}{V_{max} - V_{min}}$
2. Remplacement des données :
$K_{VCO} = \\dfrac{15 \\times 10^{6} - 10 \\times 10^{6}}{8 - 0}$
3. Calcul :
$K_{VCO} = \\dfrac{5 \\times 10^{6}}{8} = 0{,}625 \\times 10^{6} \\, Hz/V = 625 \\, kHz/V$
4. Résultat final :
$K_{VCO} = 625 \\, kHz/V$
Pour obtenir 
$f_{OL} = 11{,}155 \\, MHz$ :
1. Formule générale :
$f_{OL} = f_{min} + K_{VCO} V_c$
2. Remplacement des données :
$11{,}155 \\times 10^{6} = 10 \\times 10^{6} + 625 \\times 10^{3} V_c$
3. Calcul :
$11{,}155 \\times 10^{6} - 10 \\times 10^{6} = 1{,}155 \\times 10^{6} \\, Hz$
$V_c = \\dfrac{1{,}155 \\times 10^{6}}{625 \\times 10^{3}} = 1{,}848$
4. Résultat final :
$V_c \\approx 1{,}85 \\, V$
Question 2 – Filtre FI passe-bande
a) Bande passante B
1. Formule générale :
$B = \\dfrac{f_0}{Q}$
2. Remplacement des données :
$B = \\dfrac{455 \\times 10^{3}}{10}$
3. Calcul :
$B = 45{,}5 \\times 10^{3} \\, Hz$
4. Résultat final :
$B = 45{,}5 \\, kHz$
b) Fréquences de coupure 
$f_1$ et 
$f_2$
On suppose un filtre symétrique :
1. Formules générales :
$f_1 = f_0 - \\dfrac{B}{2} \\quad ; \\quad f_2 = f_0 + \\dfrac{B}{2}$
2. Remplacement des données :
$f_1 = 455 \\, kHz - \\dfrac{45{,}5 \\, kHz}{2}$
$f_2 = 455 \\, kHz + \\dfrac{45{,}5 \\, kHz}{2}$
3. Calcul :
$\\dfrac{B}{2} = 22{,}75 \\, kHz$
$f_1 = 455 - 22{,}75 = 432{,}25 \\, kHz$
$f_2 = 455 + 22{,}75 = 477{,}75 \\, kHz$
4. Résultat final :
$f_1 \\approx 432{,}3 \\, kHz \\quad ; \\quad f_2 \\approx 477{,}8 \\, kHz$
c) Compatibilité avec une bande audio de 5 kHz
Pour une station AM centrée sur 
$f_0 = 455 \\, kHz$ et une bande audio de 5 kHz, chaque bande latérale s'étend de 
$f_0 - 5 \\, kHz$ à 
$f_0 + 5 \\, kHz$.
1. Largeur de bande utile AM :
$B_{AM} = 2 f_{max} = 2 \\times 5 \\, kHz = 10 \\, kHz$
2. Comparaison numérique :
$B_{FI} = 45{,}5 \\, kHz \\gg B_{AM} = 10 \\, kHz$
3. Interprétation : la bande FI est largement suffisante pour transmettre le signal AM sans distorsion de bande.
4. Résultat (condition) :
$B_{FI} \\geq B_{AM} \\Rightarrow \\text{filtre adapté pour AM}$
Question 3 – Puissance en AM reçue
a) Puissance de la porteuse 
1. Formule générale :
$P_c = \\dfrac{V_c^2}{R_L}$
2. Remplacement des données :
$P_c = \\dfrac{4^2}{1000}$
3. Calcul :
$P_c = \\dfrac{16}{1000} = 16 \\times 10^{-3} \\, W$
4. Résultat final :
$P_c = 16 \\, mW$
b) Puissance totale et puissance dans les bandes latérales
1. Formule générale :
$P_T = P_c \\left(1 + \\dfrac{m^2}{2} \\right)$
2. Remplacement des données :
$P_T = 16 \\times 10^{-3} \\left(1 + \\dfrac{0{,}8^2}{2} \\right)$
3. Calcul :
$m^2 = 0{,}64$
$\\dfrac{m^2}{2} = 0{,}32$
$P_T = 16 \\times 10^{-3} \\times 1{,}32 = 21{,}12 \\times 10^{-3} \\, W$
4. Résultat final :
$P_T \\approx 21{,}1 \\, mW$
La puissance dans les deux bandes latérales réunies est :
1. Formule :
$P_{BL} = P_T - P_c$
2. Remplacement :
$P_{BL} = 21{,}12 \\, mW - 16 \\, mW$
3. Calcul :
$P_{BL} = 5{,}12 \\, mW$
4. Résultat final :
$P_{BL} \\approx 5{,}1 \\, mW$
c) Puissance disponible après une perte de 3 dB
Une perte de 3 dB correspond à une division de la puissance par 2.
1. Formule :
$P_{out} = \\dfrac{P_{BL}}{2}$
2. Remplacement :
$P_{out} = \\dfrac{5{,}12 \\, mW}{2}$
3. Calcul :
$P_{out} = 2{,}56 \\, mW$
4. Résultat final :
$P_{out} \\approx 2{,}6 \\, mW$
Question 4 – Modulation FM reçue
a) Indice de modulation FM 
1. Formule générale :
$\\beta = \\dfrac{\\Delta f}{f_{max}}$
2. Remplacement des données :
$\\beta = \\dfrac{75 \\, kHz}{15 \\, kHz}$
3. Calcul :
$\\beta = 5$
4. Résultat final :
$\\beta = 5$
b) Largeur de bande FM (règle de Carson)
1. Formule générale :
$B_{FM} = 2 (\\Delta f + f_{max})$
2. Remplacement :
$B_{FM} = 2 (75 \\, kHz + 15 \\, kHz)$
3. Calcul :
$B_{FM} = 2 \\times 90 \\, kHz = 180 \\, kHz$
4. Résultat final :
$B_{FM} \\approx 180 \\, kHz$
c) Comparaison avec la FI AM
La FI AM a une bande passante de 45,5 kHz, alors que le canal FM nécessite 180 kHz.
1. Rapport :
$\\dfrac{B_{FM}}{B_{FI,AM}} = \\dfrac{180}{45{,}5}$
2. Calcul :
$\\dfrac{B_{FM}}{B_{FI,AM}} \\approx 3{,}96$
3. Interprétation : le filtre FI AM est environ 4 fois trop étroit pour la FM large bande.
4. Résultat (condition) :
$B_{FM} \\gg B_{FI,AM} \\Rightarrow \\text{un filtre FI différent est nécessaire pour la FM}$
Question 5 – Modulation numérique ASK
a) Largeur de bande minimale pour ASK
On suppose 
$B_{ASK} \\approx R_b$.
1. Formule :
$B_{ASK} = R_b$
2. Remplacement :
$B_{ASK} = 20 \\times 10^{3} \\, Hz$
3. Calcul :
$B_{ASK} = 20 \\, kHz$
4. Résultat final :
$B_{ASK} = 20 \\, kHz$
b) Comparaison avec la bande FI
1. Comparaison numérique :
$B_{FI} = 45{,}5 \\, kHz \\quad ; \\quad B_{ASK} = 20 \\, kHz$
2. Rapport :
$\\dfrac{B_{FI}}{B_{ASK}} = \\dfrac{45{,}5}{20} \\approx 2{,}28$
3. Interprétation : la bande FI est suffisante pour transmettre l'ASK sans distorsion majeure.
4. Résultat (condition) :
$B_{FI} \\geq B_{ASK} \\Rightarrow \\text{filtre FI utilisable pour ASK}$
c) Débit binaire maximal pour occuper au plus 80 % de B
On impose 
$B_{ASK} \\leq 0{,}8 B_{FI}$ et 
$B_{ASK} \\approx R_b$.
1. Formule générale :
$R_{b,max} = 0{,}8 B_{FI}$
2. Remplacement :
$R_{b,max} = 0{,}8 \\times 45{,}5 \\times 10^{3}$
3. Calcul :
$R_{b,max} = 36{,}4 \\times 10^{3} \\, bit/s$
4. Résultat final :
$R_{b,max} \\approx 36{,}4 \\, kbit/s$
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Examen de Fonctions de l'Électronique – Session 1
Boucle à Verrouillage de Phase (PLL) et Démodulation FM
Durée : 2h30 | 
Ce sujet traite de la conception d'un récepteur FM utilisant une boucle à verrouillage de phase (PLL) pour la démodulation. Le signal FM reçu est d'abord filtré, puis démodulé par la PLL dont la sortie alimente un filtre passe-bas de reconstruction.
Question 1 : Caractéristiques du Signal FM à Démoduler (6 points)
Une station de radio FM émet un signal modulé en fréquence avec les caractéristiques suivantes : fréquence porteuse $f_0 = 98,5 \\ MHz$, excursion en fréquence $\\Delta f = 75 \\ kHz$, et fréquence maximale du signal modulant $f_m = 15 \\ kHz$.
a) Calculer l'indice de modulation $\\beta$ du signal FM.
b) Déterminer la largeur de bande $B$ occupée par le signal FM en utilisant la règle de Carson.
c) Calculer les fréquences limites $f_{min}$ et $f_{max}$ de la bande occupée.
Question 2 : Filtre Passe-Bande d'Entrée de Type Butterworth (7 points)
Un filtre passe-bande de Butterworth d'ordre 2 (équivalent à un ordre 4 en passe-bande) est utilisé pour sélectionner le canal. La fréquence centrale est $f_c = 98,5 \\ MHz$ et la bande passante à -3 dB est $B_{3dB} = 200 \\ kHz$.
a) Calculer le facteur de qualité $Q$ du filtre.
b) Déterminer les fréquences de coupure basse $f_1$ et haute $f_2$ du filtre.
c) Calculer l'atténuation en dB à une fréquence $f = f_c + 300 \\ kHz$ (canal adjacent).
Question 3 : Conception de la PLL pour Démodulation FM (7 points)
La PLL de démodulation utilise un VCO avec une sensibilité $K_0 = 2\\pi \\times 100 \\ kHz/V$, un comparateur de phase de gain $K_d = 0,5 \\ V/rad$, et un filtre de boucle passe-bas du premier ordre avec une constante de temps $\\tau = 10 \\ \\mu s$.
a) Calculer le gain de boucle $K = K_0 \\times K_d$ en rad/s/V × V/rad = rad/s.
b) Déterminer la pulsation naturelle $\\omega_n$ de la boucle.
c) Calculer le coefficient d'amortissement $\\xi$ de la boucle.
Question 4 : Plage de Capture et de Verrouillage (5 points)
En régime établi, la PLL doit pouvoir suivre les variations de fréquence du signal FM.
a) Calculer la plage de verrouillage (lock range) $\\Delta \\omega_L$ de la PLL.
b) Calculer la plage de capture (capture range) $\\Delta \\omega_C$ sachant que $\\Delta \\omega_C = \\sqrt{2\\xi \\omega_n \\Delta \\omega_L}$ pour un filtre du premier ordre.
c) Vérifier si la PLL peut suivre l'excursion en fréquence du signal FM.
Question 5 : Filtre de Reconstruction Audio (5 points)
Le signal audio démodulé doit être filtré par un filtre passe-bas de Butterworth d'ordre 3 avec une fréquence de coupure $f_c = 15 \\ kHz$.
a) Écrire le module de la fonction de transfert normalisée $|H(j\\omega)|$ d'un filtre de Butterworth d'ordre 3.
b) Calculer l'atténuation en dB à $f = 30 \\ kHz$ (première harmonique indésirable).
c) Déterminer la fréquence à laquelle l'atténuation atteint 40 dB.
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Correction Détaillée - Examen Session 1
Question 1 : Caractéristiques du Signal FM
a) Indice de modulation β :
L'indice de modulation en FM est défini comme le rapport entre l'excursion en fréquence et la fréquence maximale du signal modulant :
$\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$
Application numérique avec Δf = 75 kHz et fm = 15 kHz :
$\\beta = \\frac{75 \\times 10^3}{15 \\times 10^3}$
Calcul :
$\\beta = \\frac{75}{15} = 5$
Résultat :
$\\boxed{\\beta = 5}$
b) Largeur de bande B (règle de Carson) :
La règle de Carson donne la bande passante contenant 98% de la puissance du signal FM :
$B = 2(\\Delta f + f_m) = 2 \\cdot f_m (\\beta + 1)$
Application numérique :
$B = 2 \\times (75 \\times 10^3 + 15 \\times 10^3)$$B = 2 \\times 90 \\times 10^3$
Résultat :
$\\boxed{B = 180 \\ kHz}$
c) Fréquences limites fmin et fmax :
$f_{min} = f_0 - \\frac{B}{2}$$f_{max} = f_0 + \\frac{B}{2}$
Application numérique avec f₀ = 98,5 MHz et B = 180 kHz :
$f_{min} = 98,5 \\times 10^6 - \\frac{180 \\times 10^3}{2} = 98,5 \\times 10^6 - 90 \\times 10^3$$f_{max} = 98,5 \\times 10^6 + 90 \\times 10^3$
Résultat :
$\\boxed{f_{min} = 98,410 \\ MHz \\quad ; \\quad f_{max} = 98,590 \\ MHz}$
Question 2 : Filtre Passe-Bande Butterworth
a) Facteur de qualité Q :
Le facteur de qualité d'un filtre passe-bande est défini par :
$Q = \\frac{f_c}{B_{3dB}}$
Application numérique avec fc = 98,5 MHz et B₃dB = 200 kHz :
$Q = \\frac{98,5 \\times 10^6}{200 \\times 10^3}$
Résultat :
$\\boxed{Q = 492,5}$
b) Fréquences de coupure f₁ et f₂ :
Pour un filtre passe-bande symétrique :
$f_1 = f_c - \\frac{B_{3dB}}{2}$$f_2 = f_c + \\frac{B_{3dB}}{2}$
Application numérique :
$f_1 = 98,5 \\times 10^6 - \\frac{200 \\times 10^3}{2} = 98,5 - 0,1 \\ MHz$$f_2 = 98,5 \\times 10^6 + \\frac{200 \\times 10^3}{2} = 98,5 + 0,1 \\ MHz$
Résultat :
$\\boxed{f_1 = 98,400 \\ MHz \\quad ; \\quad f_2 = 98,600 \\ MHz}$
c) Atténuation à f = fc + 300 kHz :
Pour un filtre passe-bande de Butterworth d'ordre n, l'atténuation hors bande suit :
$A = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + \\left(\\frac{\\Delta f}{B_{3dB}/2}\\right)^{2n}\\right]$
Avec Δf = 300 kHz, B₃dB/2 = 100 kHz, et n = 2 :
$A = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + \\left(\\frac{300}{100}\\right)^{4}\\right]$$A = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + 3^4\\right] = 10 \\cdot \\log_{10}(82)$
Résultat :
$\\boxed{A \\approx 19,1 \\ dB}$
Question 3 : Conception de la PLL
a) Gain de boucle K :
$K = K_0 \\times K_d$
Application numérique avec K₀ = 2π × 100 kHz/V et Kd = 0,5 V/rad :
$K = 2\\pi \\times 100 \\times 10^3 \\times 0,5$$K = \\pi \\times 100 \\times 10^3$
Résultat :
$\\boxed{K = 314159 \\ rad/s \\approx 3,14 \\times 10^5 \\ rad/s}$
b) Pulsation naturelle ωn :
Pour une PLL avec filtre du premier ordre :
$\\omega_n = \\sqrt{\\frac{K}{\\tau}}$
Application numérique avec K = 3,14×10⁵ rad/s et τ = 10 μs :
$\\omega_n = \\sqrt{\\frac{3,14 \\times 10^5}{10 \\times 10^{-6}}}$$\\omega_n = \\sqrt{3,14 \\times 10^{10}}$
Résultat :
$\\boxed{\\omega_n \\approx 1,77 \\times 10^5 \\ rad/s \\approx 28,2 \\ kHz}$
c) Coefficient d'amortissement ξ :
$\\xi = \\frac{1}{2}\\sqrt{K \\cdot \\tau}$
Application numérique :
$\\xi = \\frac{1}{2}\\sqrt{3,14 \\times 10^5 \\times 10 \\times 10^{-6}}$$\\xi = \\frac{1}{2}\\sqrt{3,14} = \\frac{1,77}{2}$
Résultat :
$\\boxed{\\xi \\approx 0,886}$
Question 4 : Plages de Capture et Verrouillage
a) Plage de verrouillage ΔωL :
La plage de verrouillage est égale au gain de boucle :
$\\Delta \\omega_L = K = K_0 \\times K_d$
Résultat :
$\\boxed{\\Delta \\omega_L = 3,14 \\times 10^5 \\ rad/s \\Rightarrow \\Delta f_L = 50 \\ kHz}$
b) Plage de capture ΔωC :
$\\Delta \\omega_C = \\sqrt{2\\xi \\cdot \\omega_n \\cdot \\Delta \\omega_L}$
Application numérique :
$\\Delta \\omega_C = \\sqrt{2 \\times 0,886 \\times 1,77 \\times 10^5 \\times 3,14 \\times 10^5}$$\\Delta \\omega_C = \\sqrt{9,86 \\times 10^{10}}$
Résultat :
$\\boxed{\\Delta \\omega_C \\approx 3,14 \\times 10^5 \\ rad/s \\Rightarrow \\Delta f_C \\approx 50 \\ kHz}$
c) Vérification :
L'excursion en fréquence du signal FM est Δf = 75 kHz.
La plage de verrouillage ΔfL = 50 kHz < 75 kHz.
Conclusion : La PLL ne peut pas suivre l'excursion maximale. Il faut augmenter K₀ ou Kd.
$\\boxed{\\text{Non satisfaisant : } \\Delta f_L = 50 \\ kHz < \\Delta f = 75 \\ kHz}$
Question 5 : Filtre de Reconstruction Audio
a) Module de la fonction de transfert Butterworth ordre 3 :
$|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^{2n}}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^{6}}}$
Résultat :
$\\boxed{|H(jf)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{15000}\\right)^{6}}}}$
b) Atténuation à f = 30 kHz :
$A = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^{6}\\right]$
Application numérique avec f = 30 kHz et fc = 15 kHz :
$A = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + \\left(\\frac{30000}{15000}\\right)^{6}\\right]$$A = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + 2^6\\right] = 10 \\cdot \\log_{10}(65)$
Résultat :
$\\boxed{A \\approx 18,1 \\ dB}$
c) Fréquence pour A = 40 dB :
On résout :
$40 = 10 \\cdot \\log_{10}\\left[1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^{6}\\right]$$\\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^{6} = 10^4 - 1 \\approx 10^4$$\\frac{f}{f_c} = 10^{4/6} = 10^{0,667} \\approx 4,64$$f = 4,64 \\times 15000$
Résultat :
$\\boxed{f \\approx 69,6 \\ kHz}$",
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EXAMEN - FONCTIONS DE L'ÉLECTRONIQUE AVANCÉE
 |  | 
Contexte général : Une station de radio FM utilise une boucle à verrouillage de phase (PLL) pour générer une porteuse stable à 101,5 MHz à partir d'une référence de 100 kHz. Cette porteuse est ensuite modulée en fréquence par un signal audio basse fréquence. À la réception, un démodulateur FM extrait le signal audio original. Le système complet comprend des filtres analogiques pour limiter la bande passante et supprimer les bruits.
Question 1 (4 points) : Le VCO (oscillateur commandé en tension) de la PLL a une sensibilité en fréquence de $K_0 = 2 \\text{ MHz/V}$ et une fréquence centrale $f_0 = 101,4 \\text{ MHz}$. Le comparateur de phase génère une tension d'erreur qui varie linéairement avec l'écart de phase. Lorsque la tension de contrôle du VCO est $V_c = 0,25 \\text{ V}$, calculer la fréquence de sortie $f_s$ du VCO. Déterminer l'écart fréquentiel par rapport à la fréquence désirée $f_e = 101,5 \\text{ MHz}$ et la plage de maintien (lock range) si le VCO peut accepter des tensions de contrôle entre $0 \\text{ V}$ et $3 \\text{ V}$.
Question 2 (4 points) : Un filtre passe-bas de Butterworth d'ordre 2 limite la bande passante du signal de contrôle de la PLL. La fréquence de coupure est $f_c = 10 \\text{ kHz}$. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$ en rad/s. Déterminer le gain à 3 dB et l'atténuation (en dB) à la fréquence $f = 50 \\text{ kHz}$. Justifier le choix du filtre pour éviter le bruit haute fréquence.
Question 3 (4 points) : Le signal modulant audio a une fréquence maximale $f_{max} = 15 \\text{ kHz}$ et une amplitude $A_m = 1,5 \\text{ V}$. La sensibilité fréquentielle du modulateur FM est $k_f = 75 \\text{ kHz/V}$. Calculer la déviation de fréquence maximale $\\Delta f$, l'indice de modulation FM $\\beta$, et la bande passante du signal FM en utilisant la règle de Carson $B = 2(\\Delta f + f_{max})$. Vérifier que cette bande reste compatible avec les canaux de 200 kHz disponibles.
Question 4 (4 points) : À la réception, le signal FM reçu à 101,5 MHz doit être démodulé. On utilise un discriminateur de fréquence basé sur une dérivée du signal : $y(t) = s'(t) \\times \\text{détecteur d'enveloppe}$. Le signal reçu s'écrit $s(t) = A \\cos(2\\pi f_c t + 2\\pi k_f \\int m(t) dt)$. Calculer l'expression simplifiée de la dérivée pour un signal FM à indice de modulation petit. Déterminer la tension de sortie du démodulateur si $A = 1 \\text{ mV}$ et $m(t) = 1,5 \\cos(2\\pi \\times 5 \\text{ kHz} \\times t)$.
Question 5 (4 points) : Le signal démodulé est envoyé à un amplificateur audio de gain $G = 20$ dB (soit un gain linéaire de 10), puis filtré par un filtre passe-bas actif d'ordre 1 avec fréquence de coupure $f_{cutoff} = 20 \\text{ kHz}$. Le signal comporte aussi du bruit blanc à 80 kHz. Calculer l'atténuation du bruit en dB et la tension de sortie finale si le signal en entrée du filtre est $V_{in} = 100 \\text{ mV}$.
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Solution détaillée de l'examen
Question 1 : Fréquence de sortie du VCO et plage de maintien
Données : $K_0 = 2 \\text{ MHz/V}$, $f_0 = 101,4 \\text{ MHz}$, $V_c = 0,25 \\text{ V}$, $f_e = 101,5 \\text{ MHz}$.
Formule générale du VCO :
$f_s = f_0 + K_0 \\times V_c$
Application numérique :
$f_s = 101,4 + 2 \\times 0,25 = 101,4 + 0,5$
$f_s = 101,9 \\text{ MHz}$
Écart fréquentiel :
$\\Delta f = f_s - f_e = 101,9 - 101,5 = 0,4 \\text{ MHz}$
Plage de maintien :
Tension minimale : $V_c = 0 \\text{ V} \\Rightarrow f_{min} = 101,4 \\text{ MHz}$
Tension maximale : $V_c = 3 \\text{ V} \\Rightarrow f_{max} = 101,4 + 2 \\times 3 = 101,4 + 6 = 107,4 \\text{ MHz}$
$\\text{Plage de maintien} = 107,4 - 101,4 = 6 \\text{ MHz}$
Résultat : $f_s = 101,9 \\text{ MHz}$, écart = 0,4 MHz, plage de maintien = 6 MHz
Question 2 : Filtre passe-bas de Butterworth
Données : Ordre 2, $f_c = 10 \\text{ kHz}$.
Pulsation de coupure :
$\\omega_c = 2\\pi f_c = 2\\pi \\times 10 \\times 10^3$
$\\omega_c = 6,283 \\times 10^4 \\text{ rad/s} = 62,83 \\text{ krad/s}$
Gain à la fréquence de coupure :
Par définition d'un filtre Butterworth, le gain à $f_c$ est :
$G(f_c) = -3 \\text{ dB} = 10^{-3/20} \\approx 0,707 \\text{ (linéaire)}$
Atténuation à f = 50 kHz :
Pour un filtre Butterworth d'ordre 2 :
$|H(f)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (f/f_c)^{2n}}}$ avec $n = 2$
$|H(50 \\text{ kHz})| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (50/10)^{4}}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 5^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{626}}$
$|H(50 \\text{ kHz})| = 0,0126$
$\\text{Atténuation} = 20 \\log_{10}(0,0126) = -37,99 \\text{ dB} \\approx -38 \\text{ dB}$
Justification : Le filtre d'ordre 2 offre une atténuation de 40 dB/décade, ce qui supprime efficacement les bruits haute fréquence tout en conservant le signal utile en dessous de 10 kHz (bande passante du filtre PLL).
Résultat : $\\omega_c = 62,83 \\text{ krad/s}$, gain à $f_c$ = -3 dB, atténuation à 50 kHz = -38 dB
Question 3 : Modulation FM et bande passante
Données : $f_{max} = 15 \\text{ kHz}$, $A_m = 1,5 \\text{ V}$, $k_f = 75 \\text{ kHz/V}$.
Déviation de fréquence maximale :
$\\Delta f = k_f \\times A_m = 75 \\times 1,5$
$\\Delta f = 112,5 \\text{ kHz}$
Indice de modulation FM :
$\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_{max}} = \\frac{112,5}{15}$
$\\beta = 7,5$
Bande passante selon Carson :
$B = 2(\\Delta f + f_{max}) = 2(112,5 + 15)$
$B = 2 \\times 127,5 = 255 \\text{ kHz}$
Vérification de compatibilité :
La bande disponible est 200 kHz. La bande FM calculée est 255 kHz, ce qui dépasse légèrement la limite. Deux solutions :
1. Réduire l'amplitude du signal modulant : $A_m' = A_m \\times (200/255) = 1,18 \\text{ V}$
2. Réduire la sensibilité du modulateur
Résultat : $\\Delta f = 112,5 \\text{ kHz}$, $\\beta = 7,5$, $B = 255 \\text{ kHz}$ (légèrement au-delà des 200 kHz disponibles)
Question 4 : Démodulation FM et signal de sortie
Données : $s(t) = A \\cos(\\phi(t))$ où $\\phi(t) = 2\\pi f_c t + 2\\pi k_f \\int m(t) dt$, $A = 1 \\text{ mV}$, $m(t) = 1,5 \\cos(2\\pi \\times 5 \\text{ kHz} \\times t)$.
Dérivée du signal FM :
$s'(t) = -A \\sin(\\phi(t)) \\times \\frac{d\\phi}{dt}$
$\\frac{d\\phi}{dt} = 2\\pi f_c + 2\\pi k_f m(t)$
Pour un indice de modulation petit, on peut approximer :
$s'(t) \\approx -A \\times 2\\pi k_f m(t) \\times \\sin(2\\pi f_c t)$
Détecteur d'enveloppe (extraction du signal modulant) :
$V_{out} = |A \\times 2\\pi k_f m(t)| \\approx 2\\pi k_f m(t)$
Application numérique :
$\\frac{d\\phi}{dt}|_{max} = 2\\pi k_f A_m = 2\\pi \\times 75 \\times 10^3 \\times 1,5$
$= 2\\pi \\times 112,5 \\times 10^3 = 707 \\times 10^3 \\text{ rad/s}$
$V_{out} = 2\\pi \\times 75 \\times 10^3 \\times 1,5 \\times 10^{-3} \\times \\cos(2\\pi \\times 5 \\times 10^3 t)$
$V_{out} = 706,86 \\times 1,5 \\times 10^{-3} \\cos(2\\pi \\times 5 \\times 10^3 t)$
$V_{out} \\approx 1,06 \\text{ V} \\times \\cos(2\\pi \\times 5 \\text{ kHz} \\times t)$
Résultat : Tension de sortie démodulée = 1,06 V (amplitude)
Question 5 : Filtrage du bruit et sortie finale
Données : $G = 20 \\text{ dB}$, gain linéaire = 10, $f_{cutoff} = 20 \\text{ kHz}$, $f_{bruit} = 80 \\text{ kHz}$, $V_{in} = 100 \\text{ mV}$.
Atténuation du bruit par le filtre :
Filtre passe-bas d'ordre 1, atténuation = -20 dB/décade
Rapport de fréquences : $\\frac{80}{20} = 4$ (0,602 décade)
$\\text{Atténuation} = -20 \\times \\log_{10}(4) = -20 \\times 0,602 = -12,04 \\text{ dB}$
Amplitude du bruit après filtrage :
Si la tension de bruit avant filtrage est $V_{bruit}$, après filtrage :
$V_{bruit,filtrée} = V_{bruit} \\times 10^{-12,04/20} = V_{bruit} \\times 0,251$
Tension de sortie finale du signal :
Le signal à 5 kHz passe pratiquement sans atténuation (proche de 20 kHz).
$V_{out} = G \\times V_{in} = 10 \\times 100 \\text{ mV}$
$V_{out} = 1 \\text{ V}$
Rapport signal-sur-bruit amélioré :
Le filtre améliore le rapport signal-sur-bruit de 12 dB (atténuation du bruit à 80 kHz).
Résultat : Atténuation du bruit = -12,04 dB ≈ -12 dB, tension de sortie finale = 1 V
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre passe-bas actif du second ordre est conçu avec une fréquence de coupure $f_c = 1\\,kHz$ et un facteur de qualité $Q = 0{,}707$.\n\n1. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$.\n\n2. Écrire la fonction de transfert $H(s)$ du filtre selon la forme standard de Butterworth.\n\n3. Pour un signal d'entrée de fréquence $f = 2\\,kHz$, calculer le gain exprimé en décibels.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la pulsation de coupure
\n$\\omega_c = 2 \\pi f_c = 2 \\times 3{,}1416 \\times 1\\,000 = 6\\,283\\, \\mathrm{rad/s}$\n\n
2. Fonction de transfert de Butterworth second ordre
\n$H(s) = \\frac{\\omega_c^2}{s^2 + \\frac{\\omega_c}{Q} s + \\omega_c^2}$\n\n
3. Calcul du gain pour $f = 2\\,kHz
\n$s = j \\omega = j 2 \\pi \\times 2\\,000 = j 12\\,566$\n$|H(j \\omega)| = \\frac{\\omega_c^2}{\\sqrt{(\\omega_c^2 - \\omega^2)^2 + \\left(\\frac{\\omega_c}{Q}\\omega\\right)^2}}$\n\nRemplaçons les valeurs :\n$|H(j \\omega)| = \\frac{6\\,283^2}{\\sqrt{(6\\,283^2 - 12\\,566^2)^2 + (6\\,283/0{,}707 \\times 12\\,566)^2}}$\n\nCalculons : \n$6\\,283^2 = 39\\,478, $ \n$12\\,566^2 = 157\\,912$\n\n$|H(j \\omega)| = \\frac{39\\,478}{\\sqrt{(39\\,478 - 157\\,912)^2 + (8\\,888 \\times 12\\,566)^2}}$\n$= \\frac{39\\,478}{\\sqrt{(-118\\,434)^2 + (111\\,673\\,908)^2}} = \\frac{39\\,478}{111\\,673\\,908} \\approx 3{,}54 \\times 10^{-4}$\n\n$G_{dB} = 20 \\log_{10}(3{,}54 \\times 10^{-4}) = -69{,}0\\,dB$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bande de Butterworth d'ordre 3 avec une bande passante de $\\Delta f = 200\\,Hz$ centrée sur une fréquence $f_0 = 1\\,kHz$.\n\n1. Déterminer la fréquence de coupure inférieure $f_1$ et supérieure $f_2$.\n\n2. En supposant que la fonction de transfert soit normalisée, calculer le gain à la fréquence $f_0$.\n\n3. Calculer la pulsation à la fréquence centrale $\\omega_0$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Bornes de la bande passante
\n$f_1 = f_0 - \\frac{\\Delta f}{2} = 1\\,000 - 100 = 900\\,Hz$\n$f_2 = f_0 + \\frac{\\Delta f}{2} = 1\\,000 + 100 = 1\\,100\\,Hz$\n\n
2. Gain à la fréquence centrale normalisé
\nLa réponse harmonique d'un filtre Butterworth d'ordre 3 est stable et maximale au centre de la bande :\n$|H(f_0)|^2 = \\frac{1}{2} \\Rightarrow |H(f_0)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = 0{,}707$\n\n
3. Pulsation à la fréquence centrale
\n$\\omega_0 = 2 \\pi f_0 = 2 \\times 3{,}1416 \\times 1\\,000 = 6\\,283\\, \\text{rad/s}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre passe-bas RC de premier ordre est constitué d'une résistance $ R = 1 \\text{ k}\\Omega $ et d'une capacité $ C = 0.1 \\ \\mu\\text{F} $.\n\n1) Calculez la fréquence de coupure $ f_c $ du filtre.\n2) Déterminez la fonction de transfert $ H(j\\omega) $ à la fréquence $ f = 500 \\text{ Hz} $.\n3) Calculez le gain en décibels $ G_{dB} $ à la fréquence $ f = 500 \\text{ Hz} $.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1:
1. La fréquence de coupure est donnée par la formule:
$ f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C} $
Remplacement des données:
$ f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1000 \\times 0.1 \\times 10^{-6}} $
Calcul:
$ f_c = \\frac{1}{0.000628} \\approx 1591.55 \\text{ Hz} $

Question 2:
2. La fonction de transfert du filtre passe-bas est:
$ H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\omega RC} $
Calculons $ \\omega = 2 \\pi f $ à $ f = 500 \\text{ Hz} $:
$ \\omega = 2 \\pi \\times 500 = 3141.59 \\text{ rad/s} $
Remplacement:
$ H(j3141.59) = \\frac{1}{1 + j \\times 3141.59 \\times 1000 \\times 0.1 \\times 10^{-6}} = \\frac{1}{1 + j 0.314} $

Question 3:
3. Le gain en décibels est:
$ G_{dB} = 20 \\log_{10} \\left|H(j\\omega)\\right| = 20 \\log_{10} \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\omega R C)^2}} $
Remplacement:
$ G_{dB} = 20 \\log_{10} \\frac{1}{\\sqrt{1 + 0.314^2}} = 20 \\log_{10} \\frac{1}{1.049} = 20 \\times (-0.0207) = -0.414 \\text{ dB} $
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre actif passe-haut du premier ordre utilise une résistance $ R = 5 \\text{ k}\\Omega $ et une capacité $ C = 0.01 \\ \\mu\\text{F} $. La fonction de transfert de ce filtre est donnée par:$  H(j\\omega) = \\frac{j \\omega R C}{1 + j \\omega R C} $\n\n1) Calculez la fréquence de coupure $ f_c $.\n2) Calculez la valeur de la fonction de transfert $ H(j\\omega) $ à une fréquence $ f = 2000 \\text{ Hz} $.\n3) Déterminez le gain en décibels $ G_{dB} $ à cette fréquence.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1:
1. La fréquence de coupure du filtre passe-haut:
$ f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C} $
Remplacement:
$ f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 5000 \\times 0.01 \\times 10^{-6}} $
Calcul:
$ f_c = \\frac{1}{3.14 \\times 10^{-4}} \\approx 3183.1 \\text{ Hz} $

Question 2:
2. Calculons $ \\omega = 2 \\pi f $ avec $ f = 2000 \\text{ Hz} $ :
$ \\omega = 2 \\pi \\times 2000 = 12566.37 \\text{ rad/s} $
Remplacement dans la fonction de transfert:
$ H(j12566.37) = \\frac{j \\times 12566.37 \\times 5000 \\times 0.01 \\times 10^{-6}}{1 + j \\times 12566.37 \\times 5000 \\times 0.01 \\times 10^{-6}} = \\frac{j 0.628}{1 + j 0.628} $

Question 3:
3. Module de la fonction de transfert:
$ |H(j\\omega)| = \\frac{\\omega R C}{\\sqrt{1 + (\\omega R C)^2}} $
Calcul:
$ |H(j12566.37)| = \\frac{0.628}{\\sqrt{1 + 0.628^2}} = \\frac{0.628}{1.186} = 0.529 $
Gain en décibels:
$ G_{dB} = 20 \\log_{10}(0.529) = -5.53 \\text{ dB} $
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Considérons un filtre Butterworth passe-bas du second ordre avec une fréquence de coupure $ f_c = 1 \\text{ kHz} $.\n\n1) Écrivez la fonction de transfert $ H(s) $ de ce filtre.\n2) Calculez la pulsation de coupure $ \\omega_c $.\n3) Déterminez le gain en décibels au point $ f = 2 \\text{ kHz} $.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1:
1. La fonction de transfert du filtre Butterworth du second ordre est:
$ H(s) = \\frac{1}{1 + \\sqrt{2} \\frac{s}{\\omega_c} + \\left(\\frac{s}{\\omega_c}\\right)^2} $

Question 2:
2. La pulsation de coupure est:
$ \\omega_c = 2 \\pi f_c $
Remplacement:
$ \\omega_c = 2 \\pi \\times 1000 = 6283.19 \\text{ rad/s} $

Question 3:
3. À $ f = 2000 \\text{ Hz} $, on a:$ \\omega = 2 \\pi \\times 2000 = 12566.37 $
Calculons le gain en module:
$ |H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\sqrt{2})^2 (\\frac{\\omega}{\\omega_c})^2 + (\\frac{\\omega}{\\omega_c})^4}} $
Remplacement:
$ |H(j12566.37)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\times (\\frac{12566.37}{6283.19})^2 + (\\frac{12566.37}{6283.19})^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\times 4 + 16}} = \\frac{1}{\\sqrt{25}} = 0.2 $
Gain en décibels:
$ G_{dB} = 20 \\log_{10}(0.2) = -13.98 \\text{ dB} $
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bas passif du premier ordre constitué d'une résistance \\(R=1\\,k\\Omega\\) et d'un condensateur \\(C=0,1\\,\\mu F\\).\n\n1. Calculez la fréquence de coupure \\(f_c\\) du filtre.\n2. Déterminez la fonction de transfert \\(H(j\\omega)\\) du filtre et calculez son module et sa phase à la fréquence \\(f = 2 f_c\\).\n3. Calculez l'atténuation en décibels à \\(f = 2 f_c\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. La fréquence de coupure est donnée par :
\\($f_c=\\frac{1}{2\\pi R C}$\\).
\n
Remplacement des valeurs :
\\($R=1\\times 10^3\\,\\Omega, C=0,1 \\times 10^{-6}\\,F$\\).
\n
Calcul :
\\($f_c=\\frac{1}{2\\pi \\times 10^3 \\times 0,1 \\times 10^{-6}} = \\frac{1}{2\\pi \\times 10^{-4}} = \\frac{1}{6,283 \\times 10^{-4}} \\approx 1591,55\\, \\mathrm{Hz}$\\).
\n
2. La fonction de transfert est :
\\($H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\omega R C}$\\) avec \\(\\omega = 2 \\pi f\\).
\n
À \\(f=2 f_c = 3183,1\\,\\mathrm{Hz}\\), il vient :
\\($\\omega = 2 \\pi \\times 3183.1 = 20\\,000\\,\\mathrm{rad/s}$\\).
\n
Module :
\\($|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1+(\\omega R C)^2}}$\\).
Calcul :
\\($\\omega R C = 20\\,000 \\times 10^3 \\times 0,1 \\times 10^{-6} = 2$\\).
\\($|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1+2^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} \\approx 0,447$\\).
\n
Phase :
\\($\\phi = -\\arctan(\\omega R C) = -\\arctan(2) \\approx -63,43^\\circ$\\).
\n
3. Atténuation en décibels :
\\($A_{dB} = 20 \\log_{10}(|H(j\\omega)|) = 20 \\log_{10} (0,447) \\approx -6.99\\,\\mathrm{dB}$\\).
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre actif passe-haut du premier ordre utilise un amplificateur opérationnel, une résistance \\(R=10\\,k\\Omega\\) et une capacité \\(C=0,01\\,\\mu F\\).\n\n1. Calculez la fréquence de coupure \\(f_c\\) du filtre.\n2. Écrivez la fonction de transfert \\(H(j\\omega)\\) du filtre.\n3. Déterminez le gain en tension et la phase à la fréquence \\(f = \\frac{f_c}{10}\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquence de coupure :
\\($f_c= \\frac{1}{2\\pi R C}$\\).
\n
Remplacement :
\\($R=10\\times 10^3\\,\\Omega, C=0.01 \\times 10^{-6}\\,F$\\).
\n
Calcul :
\\($f_c=\\frac{1}{2\\pi \\times 10^4 \\times 10^{-8}} = \\frac{1}{2\\pi \\times 10^{-4}} = 1591,55 \\,\\mathrm{Hz}$\\).
\n
2. Fonction de transfert du filtre passe-haut du premier ordre :
\\($H(j\\omega) = \\frac{j \\omega R C}{1 + j \\omega R C}$\\).
\n
3. À \\(f=\\frac{f_c}{10} = 159,15\\,\\mathrm{Hz}\\), calculons :
\\($\\omega = 2 \\pi \\times 159,15 = 1000 \\, \\mathrm{rad/s}$\\).
\n
Gain :
\\($|H(j\\omega)| = \\frac{\\omega R C}{\\sqrt{1 + (\\omega R C)^2}}$\\).
Calcul :
\\($\\omega R C = 1000 \\times 10^4 \\times 10^{-8} = 0,1$\\).
\\($|H(j\\omega)| = \\frac{0,1}{\\sqrt{1+0,01}} = \\frac{0,1}{1,005} = 0,0995$\\).
\n
Phase :
\\($\\phi = \\arctan\\left(\\frac{\\omega R C}{1}\\right) = \\arctan(0.1) \\approx 5,71^\\circ$\\).
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On étudie un filtre passe-bande Butterworth du second ordre avec fréquence centrale \\(f_0 = 1\\,kHz\\) et facteur de qualité \\(Q=10\\).\n\n1. Écrivez l'expression de la fonction de transfert normalisée \\(H(j\\omega)\\) du filtre Butterworth passe-bande d'ordre 2.\n2. Calculez la bande passante \\(\\Delta f = \\frac{f_0}{Q}\\).\n3. Calculez le gain maximal au centre de bande et l'atténuation à \\(f = f_0 / 2\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. La fonction de transfert normalisée d'un filtre passe-bande Butterworth d'ordre 2 est donnée par :
\\($H(j\\omega) = \\frac{H_0 \\cdot j \\frac{\\omega}{\\omega_0}}{1 + j \\frac{\\omega}{Q \\omega_0} - \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_0} \\right)^2 }$\\), où \\(\\omega_0 = 2 \\pi f_0\\).
\n
2. La bande passante est :
\\($\\Delta f = \\frac{f_0}{Q} = \\frac{1000}{10} = 100\\,\\mathrm{Hz}$\\).
\n
3. Le gain maximal au centre de bande est \\(H_0\\) (normalisation) et l'atténuation à \\(f = \\frac{f_0}{2} = 500\\,\\mathrm{Hz}\\) se calcule par
\\($\\left| H(j 2\\pi \\times 500)\\right| = \\left| \\frac{j \\frac{500}{1000}}{1 + j \\frac{500}{10\\times 1000} - \\left( \\frac{500}{1000} \\right)^2} \\right|$\\).
\n
Calcul numérique :
numérateur :
\\($|j 0.5| = 0.5$\\)
dénominateur : \\(1 + j 0.05 - 0.25 = 0.75 + j 0.05\\) donc
module:
\\($\\sqrt{0.75^2 + 0.05^2} = \\sqrt{0.5625 + 0.0025} = \\sqrt{0.565} = 0.75$\\)
Gain à \\(500\\,\\mathrm{Hz}\\) :
\\($\\frac{0.5}{0.75} = 0.6667 \\approx -3.52\\,\\mathrm{dB}$\\).
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre passe-bas du premier ordre est réalisé avec une résistance $R = 10 k\\Omega$ et une capacité $C = 10 nF$. \n\n1. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$ et la fréquence de coupure $f_c$ en hertz.
2. Déterminer la fonction de transfert complexe $H(j\\omega)$ à la pulsation de coupure et expliquer le déphasage en degrés.
3. Calculer le gain en décibels à la fréquence $f = 5 kHz$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale :
 $ \\omega_c = \\frac{1}{RC} $ et $ f_c = \\frac{\\omega_c}{2\\pi} $.
2. Remplacement :
 $ \\omega_c = \\frac{1}{10 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-9}} = 10^4 \\text{ rad/s} $
 $ f_c = \\frac{10^4}{2\\pi} \\approx 1591.55 \\text{ Hz} $.

Question 2 :
1. Fonction de transfert :
 $ H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\frac{\\omega}{\\omega_c}} $.
2. À $ \\omega = \\omega_c $, module :
 $ |H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0.707 $, déphasage :
 $ \\phi = -45^\\circ $.

Question 3 :
1. Gain en décibels à $ f = 5 kHz = 5000 Hz $ :
 $ \\omega = 2 \\pi \\times 5000 = 31415.93 \\text{ rad/s} $.
2. Calcul du module :
 $ |H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\frac{\\omega}{\\omega_c})^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\frac{31415.93}{10^4})^2}} \\approx 0.3015 $.
3. En décibels :
 $ G_{dB} = 20 \\log_{10} (0.3015) \\approx -10.42 \\text{ dB} $.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre actif passe-haut du premier ordre est réalisé avec un amplificateur opérationnel, une résistance $R=15 k\\Omega$ et un condensateur $C=5 nF$. \n\n1. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$ et la fréquence de coupure $f_c$ en hertz.
2. Écrire l'expression de la fonction de transfert de ce filtre dans le domaine complexe. 
3. Calculer le gain en décibels à la fréquence $f = 500 Hz$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale :
 $ \\omega_c = \\frac{1}{RC} $ et 
 $ f_c = \\frac{\\omega_c}{2\\pi} $.
2. Remplacement :
 $ \\omega_c = \\frac{1}{15 \\times 10^3 \\times 5 \\times 10^{-9}} = 1.333 \\times 10^4 \\text{ rad/s} $
 $ f_c = \\frac{1.333 \\times 10^4}{2\\pi} \\approx 2122.07 \\text{ Hz} $.

Question 2 :
1. Fonction de transfert :
 $ H(j\\omega) = \\frac{j \\frac{\\omega}{\\omega_c}}{1 + j \\frac{\\omega}{\\omega_c}} $.

Question 3 :
1. À $ f = 500 \\text{ Hz} $ , 
 $ \\omega = 2 \\pi \\times 500 = 3141.59 \\text{ rad/s} $.
2. Calcul du module :
 $ |H(j\\omega)| = \\frac{\\frac{\\omega}{\\omega_c}}{\\sqrt{1 + (\\frac{\\omega}{\\omega_c})^2}} = \\frac{\\frac{3141.59}{1.333 \\times 10^4}}{\\sqrt{1 + (\\frac{3141.59}{1.333 \\times 10^4})^2}} \\approx 0.2283 $.
3. Gain en décibels :
 $ G_{dB} = 20 \\log_{10} (0.2283) \\approx -12.83 \\text{ dB} $.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre passe-bande est conçu à partir des filtres passe-bas et passe-haut du second ordre. Les paramètres sont : fréquence centrale $f_0 = 1 kHz$, facteur de qualité $Q = 10$ et bande passante $\\Delta f = 100 Hz$.\n\n1. Calculer la pulsation centrale $\\omega_0$ et la bande passante en pulsation.$\n\n2. Écrire la fonction de transfert standard d'un filtre passe-bande de second ordre.\n\n3. Calculer la fréquence de coupure basse $\\omega_1$ et haute $\\omega_2$ du filtre.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Pulsation centrale :
 $ \\omega_0 = 2 \\pi f_0 = 2 \\pi \\times 1000 = 6283.19 \\text{ rad/s} $.
2. Bande passante en pulsation :
 $ \\Delta \\omega = 2 \\pi \\Delta f = 2 \\pi \\times 100 = 628.32 \\text{ rad/s} $.

Question 2 :
1. Fonction de transfert standard:
 $ H(j\\omega) = \\frac{j \\omega / \\Delta \\omega}{1 + j \\frac{\\omega}{Q \\Delta \\omega} - \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_0} \\right)^2} $.

Question 3 :
1. Fréquences de coupure:
 $ \\omega_1 = \\omega_0 - \\frac{\\Delta \\omega}{2} = 6283.19 - 314.16 = 5969.03 \\text{ rad/s} $
 $ \\omega_2 = \\omega_0 + \\frac{\\Delta \\omega}{2} = 6283.19 + 314.16 = 6597.35 \\text{ rad/s} $.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bas du premier ordre constitué d'une résistance \\( R \\) en série avec un condensateur \\( C \\) en sortie sur lequel on prélève la tension de sortie \\( V_{out} \\). La tension d'entrée est \\( V_{in} \\).

1. Déterminer la fonction de transfert \\( H(j\\omega) = \\frac{V_{out}}{V_{in}} \\).
2. Pour \\( R = 1 \\; k\\Omega \\) et \\( C = 100 \\; nF \\), calculer la fréquence de coupure \\( f_c \\).
3. Calculer le gain en décibels \\( G_{dB} \\) à la fréquence \\( f = 2 f_c \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fonction de transfert :
\n
La fonction de transfert d'un filtre passe-bas RC est :
\n
\\( H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\omega R C} \\)
\n\n
2. Fréquence de coupure :
\n
La fréquence de coupure est définie par :
\n
\\( f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C} \\)
\n
Remplacement :
\n
\\( f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1000 \\times 100 \\times 10^{-9}} = \\frac{1}{2\\pi \\times 10^{-4}} = 1591.55 \\; Hz \\)
\n\n
3. Gain en décibels à \\( f = 2 f_c = 3183.1 \\; Hz \\) :
\n
Calcul de \\( \\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 3183.1 = 20000 \\; rad/s \\)
\n
Module de la fonction de transfert :
\n
\\( |H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\omega R C)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (20000 \\times 1000 \\times 100 \\times 10^{-9})^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 4}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = 0.447 \\)
\n
Gain en décibels :
\n
\\( G_{dB} = 20 \\log_{10}(0.447) = -6.99 \\; dB \\)
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On étudie un filtre passe-bande actif du second ordre constitué d'un amplificateur opérationnel avec une fréquence centrale \\( f_0 = 1 \\; kHz \\), un facteur de qualité \\( Q = 5 \\), et un gain en bande passante \\( G = 2 \\).

1. Calculer la pulsation centrale \\( \\omega_0 = 2 \\pi f_0 \\).
2. Écrire la fonction de transfert générale \\( H(j\\omega) \\) du filtre passe-bande second ordre.
3. Calculer le gain du filtre pour \\( \\omega = \\omega_0 \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la pulsation centrale :
\n
\\( \\omega_0 = 2 \\pi f_0 = 2 \\pi \\times 1000 = 6283.19 \\; rad/s \\)
\n\n
2. Fonction de transfert du filtre passe-bande second ordre :
\n
\\( H(j\\omega) = \\frac{G j \\frac{\\omega}{\\omega_0}}{1 + j \\frac{\\omega}{Q \\omega_0} - \\left(\\frac{\\omega}{\\omega_0}\\right)^2} \\)
\n\n
3. Gain pour \\( \\omega = \\omega_0 \\) :
\n
On remplace :
\n
\\( H(j\\omega_0) = \\frac{G j}{1 + j \\frac{1}{Q} - 1} = \\frac{G j}{j \\frac{1}{Q}} = G Q \\)
\n
Calcul :
\n
\\( H(j\\omega_0) = 2 \\times 5 = 10 \\)
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre de Butterworth passe-bas du second ordre est caractérisé par une fréquence de coupure \\( f_c = 500 \\; Hz \\) et une résistance \\( R = 2 \\; k\\Omega \\).

1. Calculer la pulsation de coupure \\( \\omega_c = 2 \\pi f_c \\).
2. Déterminer la valeur de la capacité \\( C \\) pour obtenir ce filtre.
3. Calculer le gain en décibels à la fréquence \\( f = 1000 \\; Hz \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la pulsation de coupure :
\n
\\( \\omega_c = 2 \\pi f_c = 2 \\pi \\times 500 = 3141.59 \\; rad/s \\)
\n\n
2. Calcul de la capacité pour un filtre Butterworth du second ordre :
\n
La fréquence de coupure pour un filtre RC est :
\n
\\( \\omega_c = \\frac{1}{R C} \\Rightarrow C = \\frac{1}{R \\omega_c} \\)
\n
Remplacement :
\n
\\( C = \\frac{1}{2000 \\times 3141.59} = 1.59 \\times 10^{-7} \\; F = 159 \\; nF \\)
\n\n
3. Calcul du gain à \\( f=1000 \\; Hz \\) :
\n
On calcule d'abord \\( \\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 1000 = 6283.19 \\; rad/s \\)
\n
La fonction de transfert en module pour un filtre Butterworth du second ordre est :
\n
\\( |H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1+\\left(\\frac{\\omega}{\\omega_c}\\right)^4}} \\)
\n
Calcul :
\n
\\( \\frac{\\omega}{\\omega_c} = \\frac{6283.19}{3141.59} = 2 \\)
\n
Donc :
\n
\\( |H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 16}} = \\frac{1}{\\sqrt{17}} = 0.2425 \\)
\n
Gain en décibels :
\n
\\( G_{dB} = 20 \\log_{10}(0.2425) = -12.3 \\; dB \\)
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bas premier ordre passif réalisé avec une résistance $R$ et une capacité $C$. La fonction de transfert s'écrit :
\n\n$H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\omega R C}$\n\n1. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$ en fonction de $R$ et $C$.\n2. Déterminer le gain en tension à la pulsation de coupure.\n3. Calculer la phase du signal de sortie à la pulsation de coupure.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Formule pulsation de coupure :
$\\omega_c = \\frac{1}{RC}$
2. Gain en tension à \\(\\omega_c\\) :
Formule : 
$|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0.707$
3. Phase à la pulsation de coupure :
Formule : 
$\\phi = -45^\\circ$
Interprétation : À la fréquence de coupure, le signal de sortie est atténué de 3 dB et a un déphasage de -45° par rapport à l'entrée.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Pour un filtre Butterworth passe-bas du second ordre, la fonction de transfert normalisée s'écrit : \n\n$H(s) = \\frac{1}{1 + \\sqrt{2} s + s^2}$ avec $s = \\frac{j\\omega}{\\omega_c}$.\n\n1. Calculer la fréquence de coupure en rad/s lorsque $R = 1k\\Omega$ et $C = 159nF$.\n2. Déterminer le gain en tension à la fréquence de coupure.\n3. Calculer la phase du gain à cette fréquence.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la fréquence de coupure :
Formule :
$\\omega_c = \\frac{1}{RC}$
Remplacement :
$\\omega_c = \\frac{1}{1000 \\times 159 \\times 10^{-9}} = 6283.19$ rad/s
Soit 
$f_c = \\frac{\\omega_c}{2\\pi} = 1000$ Hz

2. Gain à la fréquence de coupure :
Pour un filtre Butterworth, le gain à la fréquence de coupure est :
$|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0.707$
3. Phase à la fréquence de coupure :
Formule :
$\\phi = -90^\\circ + 45^\\circ = -45^\\circ$
Interprétation : La phase induite correspond à un déphasage entre l'entrée et la sortie de -45°.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre actif passe-haut du premier ordre est conçu avec un amplificateur opérationnel, une résistance $R$ et une capacité $C$. La fonction de transfert est donnée par :\n\n$H(j\\omega) = \\frac{j \\omega R C}{1 + j \\omega R C}$.\n\n1. Calculer la fréquence de coupure en fonction de $R$ et $C$.\n2. Déterminer le gain en tension à la fréquence de coupure.\n3. Calculer la phase du signal de sortie à la pulsation de coupure.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquence de coupure :
$\\omega_c = \\frac{1}{R C}$
2. Gain en tension à la coupure :
$|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0.707$
3. Phase à la coupure :
$\\phi = +45^\\circ$
Interprétation : À la fréquence de coupure, le signal de sortie a un gain de 0.707 et un déphasage positif de +45°.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bas du premier ordre constitué d'une résistance \\(R = 10\\,k\\Omega\\) et d'une capacité \\(C = 15\\,nF\\). 1) Calculez la fréquence de coupure \\(f_c\\) de ce filtre. 2) Déterminez la fonction de transfert en module à la fréquence \\(f = 5\\,kHz\\). 3) Calculez l'atténuation en décibels à cette fréquence.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul de la fréquence de coupure \\(f_c\\)
1. Formule générale :
$f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C}$
2. Remplacement :
$f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10 \\times 10^{3} \\times 15 \\times 10^{-9}} = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1,5 \\times 10^{-4}} = \\frac{1}{9,424 \\times 10^{-4}} = 1061,03\\,Hz$
3. Résultat :
$f_c \\approx 1,06\\,kHz$
Question 2 : Fonction de transfert en module à \\(f=5\\,kHz\\)
1. Formule :
$|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^2}}$
2. Remplacement :
$|H(j2\\pi \\times 5000)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{5000}{1061,03}\\right)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 22,24}} = \\frac{1}{\\sqrt{23,24}} = 0,207$
3. Résultat :
$|H(j\\omega)| \\approx 0,207$
Question 3 : Atténuation en décibels à \\(f=5\\,kHz\\)
1. Formule :
$A_{dB} = 20 \\log_{10}(|H(j\\omega)|)$
2. Remplacement :
$A_{dB} = 20 \\log_{10}(0,207) = 20 \\times (-0,683) = -13,66\\,dB$
3. Résultat :
$A_{dB} \\approx -13,7\\,dB$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On étudie un filtre passe-haut passif du premier ordre avec une résistance \\(R = 1,5\\,k\\Omega\\) et une capacité \\(C = 0,1\\,\\mu F\\). 1) Calculez la fréquence de coupure \\(f_c\\). 2) Déterminez le module de la fonction de transfert à la fréquence \\(f=500\\,Hz\\). 3) Calculez l'atténuation en décibels à cette fréquence.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul de la fréquence de coupure \\(f_c\\)
1. Formule :
$f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C}$
2. Remplacement :
$f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1,5 \\times 10^{3} \\times 0,1 \\times 10^{-6}} = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1,5 \\times 10^{-4}} = \\frac{1}{9,424 \\times 10^{-4}} = 1061,03\\,Hz$
3. Résultat :
$f_c \\approx 1061\\,Hz$
Question 2 : Module de la fonction de transfert à \\(f=500\\,Hz\\)
1. Formule :
$|H(j\\omega)| = \\frac{\\left|j \\frac{f}{f_c}\\right|}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^2}} = \\frac{\\frac{f}{f_c}}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{f}{f_c}\\right)^2}}$
2. Calcul :
$|H(j2\\pi \\times 500)| = \\frac{\\frac{500}{1061,03}}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{500}{1061,03}\\right)^2}} = \\frac{0,471}{\\sqrt{1 + 0,222}} = \\frac{0,471}{1,10} = 0,427$
3. Résultat :
$|H(j\\omega)| \\approx 0,427$
Question 3 : Atténuation en décibels
1. Formule :
$A_{dB} = 20 \\log_{10}(|H(j\\omega)|)$
2. Calcul :
$A_{dB} = 20 \\times \\log_{10}(0,427) = 20 \\times (-0,37) = -7,4\\,dB$
3. Résultat :
$A_{dB} \\approx -7,4\\,dB$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre Butterworth passe-bande d'ordre 2 est conçu avec une fréquence centrale \\(f_0 = 10\\,kHz\\) et une bande passante \\(\\Delta f = 2\\,kHz\\). 1) Calculez les fréquences de coupure inférieure \\(f_1\\) et supérieure \\(f_2\\). 2) Déterminez la pulsation centrale \\(\\omega_0\\) et la pulsation de largeur de bande \\(\\Delta \\omega\\). 3) Calculez la fonction de transfert à la fréquence centrale en module.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul des fréquences de coupure \\(f_1\\) et \\(f_2\\)
1. Formules :
$f_1 = f_0 - \\frac{\\Delta f}{2}$
$f_2 = f_0 + \\frac{\\Delta f}{2}$
2. Remplacement :
$f_1 = 10000 - \\frac{2000}{2} = 10000 - 1000 = 9000\\,Hz$
$f_2 = 10000 + 1000 = 11000\\,Hz$
3. Résultats :
$f_1 = 9\\,kHz, \\quad f_2 = 11\\,kHz$
Question 2 : Calcul des pulsations centrales et de largeur de bande
1. Formules :
$\\omega_0 = 2 \\pi f_0, \\quad \\Delta \\omega = 2 \\pi \\Delta f$
2. Remplacement :
$\\omega_0 = 2 \\pi \\times 10000 = 62831,85 \\, rad/s$
$\\Delta \\omega = 2 \\pi \\times 2000 = 12566,37 \\, rad/s$
3. Résultats :
$\\omega_0 \\approx 6,28 \\times 10^4 \\, rad/s, \\quad \\Delta \\omega \\approx 1,26 \\times 10^4 \\, rad/s$
Question 3 : Fonction de transfert à la fréquence centrale en module
1. Pour un filtre Butterworth passe-bande de 2e ordre, le gain à la fréquence centrale est :
$|H(j\\omega_0)| = 1$
2. Conclusion :
Le filtre transmet parfaitement la fréquence centrale sans atténuation.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bas passif RC du premier ordre, avec une résistance $R$ et une capacité $C$. La fonction de transfert est définie par $H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\omega R C}$.\n\n1) Déterminer la pulsation de coupure $\\omega_c = \\frac{1}{RC}$.\n\n2) Calculer le gain en amplitude à la pulsation de coupure.
\n3) Exprimer l'atténuation en décibels à la pulsation $\\omega_c$.\n\n4) Définir la phase de la fonction de transfert en fonction de $\\omega$ et calculer la phase à $\\omega = \\omega_c$.\n\n5) Pour un circuit avec $R=1\\,k\\Omega$ et $C=100\\,nF$, calculer 
- la pulsation de coupure $\\omega_c$ en rad/s et la fréquence de coupure en Hz.
- le gain en amplitude et l'atténuation en dB à la fréquence de coupure.
- la phase du signal de sortie à la fréquence de coupure.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Pulsation de coupure :
$\\omega_c = \\frac{1}{R C}$
2. Gain à la pulsation de coupure :
$|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\omega_c R C)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$
3. Atténuation en dB :
$A_{dB} = 20 \\log_{10} \\left| H(j\\omega_c) \\right| = 20 \\log_{10} \\frac{1}{\\sqrt{2}} = -3\\, dB$
4. Phase :
$\\phi(\\omega) = - \\arctan(\\omega R C)$
À $\\omega = \\omega_c$ :
$\\phi(\\omega_c) = - \\arctan(1) = -45^\\circ$
5. Calculs numériques :
$\\omega_c = \\frac{1}{1000 \\, \\times 100 \\times 10^{-9}} = 10^4 \\, \\text{rad/s}$
Fréquence de coupure :
$f_c = \\frac{\\omega_c}{2 \\pi} = \\frac{10^4}{2 \\pi} \\approx 1591 \\, \\text{Hz}$
Gain en amplitude :
$|H(j\\omega_c)| = 0.707$
Atténuation :
$A_{dB} = -3 \\, \\text{dB}$
Phase :
$\\phi = -45^\\circ$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre passe-bas actif du second ordre de Butterworth est réalisé avec une fréquence de coupure $f_c$ et un gain statique $G_0 = 1$. Sa fonction de transfert est : $H(s) = \\frac{G_0}{1 + \\sqrt{2} \\frac{s}{\\omega_c} + \\left(\\frac{s}{\\omega_c}\\right)^2}$ où $\\omega_c = 2 \\pi f_c$.\n\n1) Établir l'expression de la fonction de transfert en régime sinusoïdal en remplaçant $s = j \\omega$.\n\n2) En déduire la formule du gain en amplitude $|H(j\\omega)|$ en fonction de $\\omega$ et $\\omega_c$.\n\n3) Calculer le gain en dB à la fréquence de coupure $\\omega = \\omega_c$.\n\n4) Pour $f_c = 1\\,kHz$, calculer numériquement 
- la pulsation de coupure $\\omega_c$.
- le gain en amplitude à 500 Hz.
5) Déterminer la phase du filtre à $\\omega = \\omega_c$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fonction de transfert :
$H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + \\sqrt{2} \\frac{j \\omega}{\\omega_c} + \\left( \\frac{j \\omega}{\\omega_c} \\right)^2}$
2. Gain en amplitude :
$|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_c} \\right)^2 + \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_c} \\right)^4}}$
3. Gain à la coupure :
À $\\omega = \\omega_c$, on a :
$|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 + 1}} = \\frac{1}{2} = 0.5$
Gain en décibels :
$20 \\log_{10}(0.5) = -6.02 \\, dB$
4. Calculs numériques :
$\\omega_c = 2 \\pi \\times 1000 = 6283.19 \\, rad/s$
Pour $f = 500 \\, Hz
$\\omega = 2 \\pi \\times 500 = 3141.59 \\, rad/s$
Gain en amplitude :
$|H(j3141.59)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\left( \\frac{3141.59}{6283.19} \\right)^2 + \\left( \\frac{3141.59}{6283.19} \\right)^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\times 0.25 + 0.0625}} = \\frac{1}{\\sqrt{1.5625}} = 0.801$
5. Phase à la coupure :
La phase de 
$H(j\\omega) = - \\arctan \\left( \\frac{\\sqrt{2} \\frac{\\omega}{\\omega_c}}{1 - \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_c} \\right)^2} \\right)$
À $\\omega = \\omega_c$, le dénominateur est nul, donc :
$\\phi = -90^\\circ$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Étude d'un filtre passe-bande Butterworth du second ordre défini par la pulsation centrale $\\omega_0$ et la bande passante $\\Delta \\omega$.\n\n1) Écrire la fonction de transfert $H(s)$ du filtre passe-bande de Butterworth en fonction de $s = j \\omega$, $\\omega_0$, et $\\Delta \\omega$.\n\n2) Déduire l'expression du gain maximal $G_{max}$ du filtre.\n\n3) Trouver l'expression de la fréquence de coupure inférieure $\\omega_1$ et supérieure $\\omega_2$ en fonction de $\\omega_0$ et $\\Delta \\omega$.\n\n4) Pour un filtre avec $\\omega_0 = 10^{4} \\, rad/s$ et $\\Delta \\omega = 2000 \\, rad/s$, calculer numériquement 
- $\\omega_1$ et $\\omega_2$.
- la bande passante en Hz.
5) Déterminer la phase du filtre à la pulsation centrale.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fonction de transfert :
$H(s) = \\frac{\\frac{\\Delta \\omega}{2} s}{s^2 + \\Delta \\omega s + \\omega_0^2}$
2. Gain maximal :
Le gain maximal est 
$G_{max} = 1$
3. Fréquences de coupure :
$\\omega_1 = \\omega_0 - \\frac{\\Delta \\omega}{2}, \\quad \\omega_2 = \\omega_0 + \\frac{\\Delta \\omega}{2}$
4. Calculs numériques :
$\\omega_1 = 10^{4} - 1000 = 9000 \\, rad/s$
$\\omega_2 = 10^{4} + 1000 = 11000 \\, rad/s$
bande passante :
$\\Delta f = \\frac{\\omega_2 - \\omega_1}{2 \\pi} = \\frac{2000}{2 \\pi} \\approx 318.3 \\, \\text{Hz}$
5. Phase au centre :
$\\phi(\\omega_0) = 0^\\circ$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre passe-bas actif du premier ordre construit autour d'un amplificateur opérationnel avec une résistance $R=10\\ k\\Omega$ et une capacité $C=10\\ nF$.\n\n1. Calculer la fréquence de coupure $f_c$ du filtre.\n2. Déterminer la fonction de transfert $H(j\\omega)$ à la fréquence de coupure.\n3. Calculer le gain en décibel à la fréquence $f=5\\ kHz$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. La fréquence de coupure est donnée par :
   1. Formule générale : $f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C}$
   2. Remplacement : $f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10\\times10^3 \\times 10\\times10^{-9}}$
   3. Calcul : $f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10^{-4}} = \\frac{1}{6{,}2832 \\times 10^{-4}} = 1591,55\\ \\textrm{Hz}$
\n   4. Résultat final : $f_c \\approx 1{,}59\\ kHz$

\n2. La fonction de transfert à la fréquence de coupure est :
   1. Formule générale : $|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$
   2. Résultat final : $|H(j\\omega_c)| = 0{,}707$

\n3. À $f = 5\\ kHz$ on calcule :
   1. Calcul de pulsation : $\\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 5000 = 31415,93\\ rad/s$
\n   2. Fonction de transfert :
   $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1+(\\omega RC)^2}}$
   3. Calcul de $\\omega RC :
   $\\omega RC = 31415,93 \\times 10\\times10^3 \\times 10\\times10^{-9} = 3{,}1416$
\n   4. Calcul gain : $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (3{,}1416)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{10}} = 0{,}3162$
\n   5. Gain en décibel :
   $G_{dB} = 20 \\log_{10}(0{,}3162) = -10\\ \\textrm{dB}$
\n   6. Résultat final : $G_{dB} = -10\\ \\textrm{dB}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Exercice 1 : Étude du filtre passe-bas RC du premier ordre\n\nOn considère un filtre passif passe-bas constitué d'une résistance $R = 1\\,k\\Omega$ et d'un condensateur $C = 100\\,nF$. La tension d'entrée est sinusoïdale de fréquence variable \\(f\\).\n\n1. Déterminer la pulsation de coupure \\(\\omega_c\\) du filtre.\n2. Calculer la fonction de transfert complexe \\(H(j\\omega)\\) à la fréquence de $f = 1.5\\,kHz$.\n3. Évaluer le gain en dB du filtre à cette fréquence et en déduire la phase de la sortie.\n\nUtilisez les formules avec les étapes détaillées à chaque calcul dans $...$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Détermination de la pulsation de coupure :
Formule générale : $\\omega_c = \\frac{1}{RC}$
Remplacement : $\\omega_c = \\frac{1}{(1 \\times 10^{3}) \\times (100 \\times 10^{-9})}$
Calcul : $\\omega_c = 10^{4}\\, rad/s$
Résultat final : $\\omega_c = 10{,}000\\, rad/s$
2. Fonction de transfert à $f=1.5\\,kHz$ :
Pulsation : $\\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 1500 = 9424.78\\, rad/s$
Formule générale : $H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j \\omega R C} = \\frac{1}{1 + j \\frac{\\omega}{\\omega_c}}$
Remplacement : $H(j 9424.78) = \\frac{1}{1 + j \\frac{9424.78}{10000}} = \\frac{1}{1 + j0.9425}$
Calcul : $|H| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 0.9425^2}} = 0.721,\\quad \\phi = -\\arctan(0.9425) = -43.0^\\circ$
Résultat final : $H(j\\omega) = 0.721 \\angle -43.0^\\circ$
3. Gain en dB :
Formule générale : $G_{dB} = 20 \\log_{10} |H(j\\omega)|$
Remplacement : $G_{dB} = 20 \\log_{10} (0.721)$
Calcul : $G_{dB} = -2.84\\, dB$
Résultat final : $Gain \\approx -2.84\\, dB, \\quad Phase = -43.0^\\circ$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Exercice 2 : Étude d’un filtre actif passe-haut du premier ordre\n\nUn filtre actif passe-haut est réalisé avec un amplificateur opérationnel, une résistance $R = 10\\,k\\Omega$ et un condensateur $C = 10\\,nF$. La fréquence de coupure est à calculer, ainsi que le gain à des fréquences spécifiques.\n\n1. Calculer la fréquence de coupure $f_c$ du filtre.\n2. Déterminer la fonction de transfert en module à la fréquence $f=500\\,Hz$.\n3. Calculer le gain en dB et la phase correspondante à cette fréquence.\n\nPrésentez les calculs en détail dans $...$ à chaque étape.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la fréquence de coupure :
Formule générale : $f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C}$
Remplacement : $f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-9}}$
Calcul : $f_c = 1591.55\\, Hz$
Résultat final : $f_c \\approx 1592\\, Hz$
2. Fonction de transfert en module à $f=500\\,Hz$ :
Pulsation : $\\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 500 = 3141.59\\, rad/s$
Formule : $|H(j\\omega)| = \\frac{\\omega R C}{\\sqrt{1 + (\\omega R C)^2}} = \\frac{\\omega / \\omega_c}{\\sqrt{1 + (\\omega / \\omega_c)^2}}$
Remplacement : $\\omega / \\omega_c = \\frac{3141.59}{2 \\pi \\times 1591.55} = \\frac{3141.59}{10000} = 0.314$
Calcul : $|H(j\\omega)| = \\frac{0.314}{\\sqrt{1 + 0.314^{2}}} = 0.298$
Résultat final : $|H(j\\omega)| = 0.298$
3. Gain en dB et phase :
Formule gain dB : $G_{dB} = 20 \\log_{10} |H(j\\omega)|$
Calcul gain : $G_{dB} = 20 \\log_{10} (0.298) = -10.5\\, dB$
Formule phase : $\\phi = \\arctan \\left( \\frac{1}{\\omega R C} \\right) = \\arctan \\left( \\frac{1}{0.314} \\right) = 72.7^\\circ$
Résultat final : $Gain = -10.5\\, dB, \\quad Phase = 72.7^\\circ$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Exercice 3 : Conception et analyse d’un filtre Butterworth passe-bas du second ordre\n\nUn filtre Butterworth passe-bas du second ordre est conçu pour une fréquence de coupure $f_c = 1\\,kHz$ avec un gain unitaire en bande passante.\n\n1. Déterminer la pulsation de coupure \\(\\omega_c\\).\n2. Calculer la fonction de transfert module \\( |H(j\\omega)| \\) au point \\(f = 1.5\\,kHz\\).\n3. Evaluer l'atténuation correspondante en dB à cette fréquence.\n\nProcédez étape par étape selon la formule du filtre Butterworth deuxième ordre : $H(j \\omega) = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_c} \\right)^{2n}}}$ où \\(n=2\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Détermination de la pulsation de coupure :
Formule générale : $\\omega_c = 2 \\pi f_c$
Remplacement : $\\omega_c = 2 \\pi \\times 1000 = 6283.19\\, rad/s$
Résultat final : $\\omega_c = 6283.19\\, rad/s$
2. Calcul du module de la fonction de transfert :
Pulsation : $\\omega = 2 \\pi \\times 1500 = 9424.78\\, rad/s$
Filtre Butterworth 2e ordre : $|H(j \\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left( \\frac{\\omega}{\\omega_c} \\right)^4 }}$
Remplacement : $|H| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + ( \\frac{9424.78}{6283.19} )^4 }} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (1.5)^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 5.0625}} = \\frac{1}{\\sqrt{6.0625}}$
Calcul : $|H| = 0.406$
Résultat final : $|H| = 0.406$
3. Atténuation en dB :
Formule : $A_{dB} = 20 \\log_{10} |H(j \\omega)|$
Remplacement : $A_{dB} = 20 \\log_{10} (0.406)$
Calcul : $A_{dB} = -7.83\\, dB$
Résultat final : $Atténuation = -7.83\\, dB$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Exercice 1 – Étude d’un filtre passe-bas actif du premier ordre\n\nUn filtre passe-bas actif du premier ordre est réalisé avec un amplificateur opérationnel, une résistance $R = 10~\\mathrm{k}\\Omega$ et une capacité $C = 10~\\mathrm{nF}$. La fonction de transfert s'écrit : $H(s) = \\frac{1}{1 + sRC}$.\n\n1. Calculer la fréquence de coupure $f_c$ du filtre.\n2. Déterminer la valeur de la fonction de transfert en amplitude à $f_c$.\n3. Calculer l’atténuation du signal pour une fréquence $f = 100~\\mathrm{kHz}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la fréquence de coupure
1. Formule : $f_c = \\frac{1}{2\\pi R C}$
2. Remplacement : $f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10 \\times 10^{3} \\times 10 \\times 10^{-9}}$
3. Calcul : $f_c = 1591.55~\\mathrm{Hz}$
4. Résultat final : $f_c = 1.59~\\mathrm{kHz}$
\n\n
2. Valeur de la fonction de transfert en amplitude à $f_c$
1. Formule : $|H(j2\\pi f_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$
2. Résultat final : $|H(j2\\pi f_c)| = 0.707$
\n\n
3. Atténuation du signal à $f = 100~\\mathrm{kHz}$
1. Calcul de la pulsation : $\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\times 100 \\times 10^3 = 6.283 \\times 10^5~\\mathrm{rad/s}$
2. Module de la fonction de transfert : $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1+(\\omega RC)^2}}$
3. Calcul : $\\omega RC = 6.283 \\times 10^5 \\times 10 \\times 10^3 \\times 10 \\times 10^{-9} = 62.83$
4. Atténuation : $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (62.83)^2}} = \\frac{1}{62.84} = 0.0159$
5. Résultat final : $|H(j100\\mathrm{kHz})| = 0.0159$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Exercice 2 – Analyse fonctionnelle d’un filtre passe-bande de Butterworth d’ordre 2\n\nUn filtre passe-bande d’ordre 2 de Butterworth possède une fréquence centrale $f_0 = 1~\\mathrm{kHz}$ et une bande passante $\\Delta f = 200~\\mathrm{Hz}$. On suppose un gain unitaire à la fréquence centrale.\n\n1. Calculer la pulsation centrale $\\omega_0$.\n2. Déterminer la pulsation de coupure basse et haute $\\omega_1$ et $\\omega_2$.\n3. Calculer la valeur de la qualité factorielle $Q = \\frac{\\omega_0}{\\Delta \\omega}$ avec $\\Delta \\omega = \\omega_2 - \\omega_1$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la pulsation centrale
1. Formule : $\\omega_0 = 2 \\pi f_0$
2. Remplacement : $\\omega_0 = 2 \\pi \\times 1000$
3. Calcul : $\\omega_0 = 6283.19~\\mathrm{rad/s}$
4. Résultat final : $\\omega_0 = 6283.19~\\mathrm{rad/s}$
\n\n
2. Pulsations de coupure basse et haute
1. Définition : $\\omega_1 = \\omega_0 - \\frac{\\Delta \\omega}{2} ; \\quad \\omega_2 = \\omega_0 + \\frac{\\Delta \\omega}{2}$
2. Calcul de $\\Delta \\omega$ : $\\Delta \\omega = 2 \\pi \\Delta f = 2 \\pi \\times 200 = 1256.64~\\mathrm{rad/s}$
3. Calculs : $\\omega_1 = 6283.19 - 628.32 = 5654.87~\\mathrm{rad/s}$, $\\omega_2 = 6283.19 + 628.32 = 6911.51~\\mathrm{rad/s}$
4. Résultats finaux : $\\omega_1 = 5654.87~\\mathrm{rad/s}, \\quad \\omega_2 = 6911.51~\\mathrm{rad/s}$
\n\n
3. Calcul de la qualité factorielle Q
1. Formule : $Q = \\frac{\\omega_0}{\\Delta \\omega}$
2. Remplacement : $Q = \\frac{6283.19}{1256.64}$
3. Calcul : $Q = 5$
4. Résultat final : $Q = 5$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Exercice 3 – Calculs de paramètres pour un filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 2\n\nOn considère un filtre passe-bas Butterworth d’ordre 2 avec fréquence de coupure $f_c = 500~\\mathrm{Hz}$.\n\n1. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$.\n2. Écrire la fonction de transfert standard du filtre Butterworth d’ordre 2.\n3. Déterminer la phase du filtre à la fréquence $f_c$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la pulsation de coupure
1. Formule : $\\omega_c = 2 \\pi f_c$
2. Remplacement : $\\omega_c = 2 \\pi \\times 500$
3. Calcul : $\\omega_c = 3141.59~\\mathrm{rad/s}$
4. Résultat final : $\\omega_c = 3141.59~\\mathrm{rad/s}$
\n\n
2. Fonction de transfert standard
La fonction de transfert du filtre passe-bas Butterworth d’ordre 2 s’écrit :
 $H(s) = \\frac{1}{1 + \\sqrt{2} \\frac{s}{\\omega_c} + \\left(\\frac{s}{\\omega_c}\\right)^2}$
3. Résultat final : $H(s) = \\frac{1}{1 + 1.414 \\frac{s}{3141.59} + \\left(\\frac{s}{3141.59}\\right)^2}$
\n\n
3. Phase du filtre à $f_c$
1. Substituer $s = j\\omega_c$
2. Évaluation de la phase : $\\phi = -\\arctan \\left( \\frac{\\sqrt{2} \\omega_c / \\omega_c}{1 - (\\omega_c/\\omega_c)^2} \\right) = -\\arctan(\\infty) = -\\frac{\\pi}{2}$
3. Résultat final : $\\phi = -90^{\\circ}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On étudie un filtre passe-bas actif du premier ordre comportant un amplificateur opérationnel, une résistance \\( R \\) et une capacité \\( C \\). La fonction de transfert est donnée par \\( H(\\mathrm{j}\\omega) = \\frac{V_{out}}{V_{in}} = \\frac{1}{1 + \\mathrm{j} \\omega R C} \\).\\n\\n1) Déterminer la fréquence de coupure \\( f_c \\) en fonction de \\( R \\) et \\( C \\).\\n\\n2) Calculer le gain en décibels \\( G_{dB} \\) à la fréquence \\( f = 2 f_c \\).\\n\\n3) Si \\( R = 10 \\text{ k}\\Omega \\) et \\( C = 10 \\text{ nF} \\), calculer \\( f_c \\) et le gain en décibels à \\( 2 f_c \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquence de coupure :
 $ f_c = \\frac{1}{2 \\pi R C} $ 
2. Gain en décibels à la fréquence \\( f = 2 f_c \\) :
 $ G_{dB} = 20 \\log_{10} \\left| H(\\mathrm{j} 2 \\omega_c) \\right| = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{1}{\\sqrt{1 + (2)^2}} \\right) = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{1}{\\sqrt{5}} \\right) \\approx -6.99 \\text{ dB} $ 
3. Calcul numérique pour \\( R = 10 \\text{ k}\\Omega \\) et \\( C = 10 \\text{ nF} \\) :
 $ f_c = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10,000 \\times 10 \\times 10^{-9}} = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10^{-4}} \\approx 1591.55 \\text{ Hz} $ 
Gain à \\( 2 f_c \\) :
 $ G_{dB} \\approx -6.99 \\text{ dB} $",
    "id_category": "2",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "On considère un filtre de Butterworth passe-bas du second ordre avec une fréquence de coupure normalisée \\( \\omega_c = 1 \\) rad/s et un gain statique \\( G_0 = 1 \\). La fonction de transfert est : \\n\\n\\( H(s) = \\frac{1}{1 + \\sqrt{2} s + s^2} \\).\\n\\n1) Déterminer l'expression du gain en fonction de la fréquence \\( \\omega \\).\\n\\n2) Calculer le gain en décibels à \\( \\omega = \\omega_c \\).\\n\\n3) Évaluer la phase du filtre à la fréquence \\( \\omega = 0.5 \\omega_c \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Gain en fonction de \\( \\omega \\) :
 $ |H(\\mathrm{j}\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\sqrt{2} \\omega)^{2} + \\omega^4}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 \\omega^2 + \\omega^4}} $ 
2. Gain en décibels à la fréquence de coupure \\( \\omega_c = 1 \\) :
 $ G_{dB} = 20 \\log_{10} \\left| H(\\mathrm{j} 1) \\right| = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{1}{\\sqrt{1 + 2 + 1}} \\right) = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{1}{2} \\right) = -6.02 \\text{ dB} $ 
3. Phase à \\( \\omega = 0.5 \\) :
 $ \\varphi(0.5) = -\\arctan \\left( \\frac{\\sqrt{2} \\times 0.5}{1 - 0.5^2} \\right) = -\\arctan \\left( \\frac{0.707}{0.75} \\right) \\approx -43.6^{\\circ} $",
    "id_category": "2",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "Filtres analogiques",
    "question": "Un filtre passe-bande actif est conçu en cascade d'un filtre passe-bas du premier ordre avec \\( R_1, C_1 \\) et d'un filtre passe-haut du premier ordre avec \\( R_2, C_2 \\). La bande passante est centrée en \\( f_0 = 1 \\text{ kHz} \\).\\n\\n1) Écrire les expressions des fréquences de coupure basse \\( f_L \\) et haute \\( f_H \\) en fonction des composants.\\n\\n2) Pour \\( R_1 = 10 \\text{ k}\\Omega, \\ C_1 = 10 \\text{ nF}, \\ R_2 = 15.9 \\text{ k}\\Omega \\) et \\( C_2 = 10 \\text{ nF} \\), calculer \\( f_L, f_H \\) et la bande passante.\\n\\n3) Déterminez la fonction de transfert approximative du filtre passe-bande en fonction de \\( f \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquences de coupure :
 $ f_L = \\frac{1}{2 \\pi R_2 C_2}, \\quad f_H = \\frac{1}{2 \\pi R_1 C_1} $ 
2. Calcul numérique :
 $ f_L = \\frac{1}{2 \\pi \\times 15,900 \\times 10 \\times 10^{-9}} = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1.59 \\times 10^{-4}} \\approx 1000 \\text{ Hz} $ $ f_H = \\frac{1}{2 \\pi \\times 10,000 \\times 10 \\times 10^{-9}} = \\frac{1}{2 \\pi \\times 1 \\times 10^{-4}} \\approx 1591.55 \\text{ Hz} $ 
Bande passante :
 $ BW = f_H - f_L = 1591.55 - 1000 = 591.55 \\text{ Hz} $ 
3. Fonction de transfert approximative :
 $ H(jf) \\approx \\frac{j f / f_L}{1 + j f / f_L} \\times \\frac{1}{1 + j f / f_H} $",
    "id_category": "2",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 2\\,\\text{kHz}$, d’amplitude $A_m = 2,4\\,\\text{V}$, module un signal porteur de fréquence $f_p = 80\\,\\text{kHz}$ et d’amplitude $A_p = 12\\,\\text{V}$ par modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM DSB-FC).\n1. Calculez l’indice de modulation AM m du montage.\n2. Déterminez les amplitudes associées à chaque composante du spectre du signal AM obtenu.\n3. Évaluez la puissance totale du signal AM transmis ainsi que celle portée par chacune de ses bandes latérales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $m = \\frac{A_m}{A_p}$
2. Remplacement : $m = \\frac{2,4}{12}$
3. Calcul : $m = 0,2$
4. Résultat final : $m = 0,20$

Question 2 :
1. Formule spectre AM : amplitude porteuse $A_p$, chaque bande latérale $(A_p \\cdot m /2)$
2. Remplacement : 
Composante porteuse : $12\\,\\text{V}$
Bande latérale supérieure (BLS) : $\\frac{12 \\times 0,2}{2} = 1,2\\,\\text{V}$
Bande latérale inférieure (BLI) : $1,2\\,\\text{V}$
3. Calcul explicite : identique à ci-dessus.
4. Résultat final : 
Porteuse : $12\\,\\text{V}$
BLS : $1,2\\,\\text{V}$
BLI : $1,2\\,\\text{V}$

Question 3 :
1. Formule puissance totale : $P_{\\text{tot}} = \\frac{A_p^2}{2R}(1 + \\frac{m^2}{2})$, bandes latérales : $P_{\\text{BL}} = \\frac{A_p^2}{4R} m^2$
2. Supposons $R = 50\\,\\Omega$ (valeur standardistic télécom).
Calcul de la puissance porteuse : $P_c = \\frac{A_p^2}{2R} = \\frac{12^2}{2 \\times 50} = \\frac{144}{100} = 1,44\\,\\text{W}$
Puissance totale : $P_{\\text{tot}} = 1,44 \\times (1 + 0,2^2/2) = 1,44 \\times (1 + 0,02) = 1,44 \\times 1,02 = 1,47\\,\\text{W}$
Puissance latérale totale : $P_{\\text{BLT}} = \\frac{144}{4 \\times 50} \\times 0,2^2 = \\frac{144}{200} \\times 0,04 = 0,72 \\times 0,04 = 0,0288\\,\\text{W}$
Par bande : $P_{\\text{BLS}} = 0,0144\\,\\text{W}$
4. Résultats finaux : 
Puissance totale : $1,47\\,\\text{W}$
Chaque bande latérale : $0,0144\\,\\text{W}$
La puissance des bandes latérales reste faible comparée à celle de la porteuse, validant l'intérêt d'utiliser une modulation efficace.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal AM DSB-SC est généré à partir d’un message $m(t) = 2\\cos(2\\pi 5\\,\\text{kHz} t)$ modulant une porteuse de fréquence $100\\,\\text{kHz}$ avec le même schéma que précédemment, mais sans composante porteuse transmise.\n1. Déterminez l’expression temporelle du signal modulé et représentez les fréquences présentes dans son spectre.\n2. Calculez la puissance moyenne transmise dans le canal, supposant une résistance de $75\\,\\Omega$.\n3. Si l’on effectue une démodulation cohérente parfaite de ce signal, quelle sera l’amplitude maximale du signal de sortie?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale DSB-SC : $s(t) = m(t)\\cos(2\\pi f_p t)$
2. Remplacement : $s(t) = 2\\cos(2\\pi 5\\,000 t)\\cos(2\\pi 100\\,000 t)$
Utilisation de la formule trigonométrique produit-une somme : $2\\cos A \\cos B = \\cos(A+B) + \\cos(A-B)$
Donc : $s(t) = \\cos[2\\pi(105\\,000)t] + \\cos[2\\pi(95\\,000)t]$
4. Résultat final : 
Temporellement : $s(t) = \\cos(2\\pi 105\\,000 t) + \\cos(2\\pi 95\\,000 t)$
Spectre : pics à $95\\,\\text{kHz}$ et $105\\,\\text{kHz}$

Question 2 :
1. Puissance DSB-SC : $P = \\frac{A^2}{2R}$ où $A = 2$
2. Remplacement : $P = \\frac{4}{2 \\times 75} = \\frac{4}{150} = 0,0267\\,\\text{W}$
3. Résultat final : $26,7\\,\\text{mW}$

Question 3 :
1. Démodulation synchrone parfaite : amplitude maximale = amplitude du message, soit $2$
2. Résultat final : amplitude max de sortie = $2$
La démodulation cohérente permet de récupérer toute l’information du message transmis.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un émetteur génère un signal AM à bande latérale unique (AMBLU) par la méthode du déphasage à partir d’un message sinusoidal de $200\\,\\text{mV}_{eff}$ à $f_m = 1,4\\,\\text{kHz}$, porteuse à $f_p = 94\\,\\text{kHz}$. Après modulation, la puissance du signal est de $1,7\\,\\text{mW}$ sur une impédance de $80\\,\\Omega$.\n1. Calculez l’amplitude crête du signal AMBLU généré.\n2. Déterminez la valeur de la puissance utile du signal AMBLU dans la bande latérale transmise.\n3. Lors de la démodulation par détecteur d’enveloppe, si 5% de la puissance est perdue sur la résistance de charge, calculez l’amplitude réelle maximale du signal de sortie.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule puissance utile AMBLU : $P = \\frac{A^2}{2R}$
2. Remplacement : $1,7 \\times 10^{-3} = \\frac{A^2}{2 \\times 80}$
3. Calcul : $A^2 = 1,7 \\times 10^{-3} \\times 160 = 0,272$; $A = \\sqrt{0,272} = 0,522\\,\\text{V}$
4. Résultat final : amplitude crête = $0,522\\,\\text{V}$

Question 2 :
1. La puissance utile dans la bande latérale transmise est égale à la puissance du signal AMBLU tout entier, pour bande latérale unique : $P_{BLU} = 1,7\\,\\text{mW}$
2. Directement : $1,7\\,\\text{mW}$
4. Résultat final : $P_{BLU} = 1,7\\,\\text{mW}$

Question 3 :
1. Puissance de sortie réelle : $P' = P_{BLU} \\times 0,95 = 1,7 \\times 0,95 = 1,615\\,\\text{mW}$
Ampleur crête de sortie : $P' = \\frac{{A'}^2}{2R} \\rightarrow A' = \\sqrt{2R P'} = \\sqrt{2 \\times 80 \\times 1,615 \\times 10^{-3}}$
2. Calcul : $2 \\times 80 \\times 1,615 \\times 10^{-3} = 0,2584$; $A' = \\sqrt{0,2584} = 0,508\\,\\text{V}$
4. Résultat final : amplitude réelle max = $0,508\\,\\text{V}$
Une faible perte d’énergie se traduit par une légère diminution de l’amplitude détectée.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal modulant $m(t) = 2 \\cos(2\\pi \\times 1\\,000\\, t)$ est appliqué à un modulateur d’amplitude dont la porteuse est $c(t) = 12 \\cos(2\\pi \\times 30\\,000\\, t)$. On réalise une modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM DSB + porteuse).

1. Déterminez l’indice de modulation $\\mu$.
2. Calculez la puissance totale du signal modulé.
3. Calculez la puissance contenue dans la porteuse et celle contenue dans chacune des bandes latérales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de l’indice de modulation $\\mu$ :
Formule générale : $\\mu = \\frac{A_m}{A_c}$
Remplacement : amplitude du signal modulant $A_m = 2$, amplitude de la porteuse $A_c = 12$
$\\mu = \\frac{2}{12}$
$\\mu = 0,1667$
Résultat final : $\\mu = 0,17$

2. Puissance totale du signal AM :
Formule générale : $P_{tot} = \\frac{A_c^2}{2R}\\left(1 + \\frac{\\mu^2}{2}\\right)$ (avec $R = 1\\ \\Omega$)
Remplacement : $A_c = 12$, $\\mu = 0,17$
$P_{tot} = \\frac{12^2}{2 \\times 1} \\left(1 + \\frac{0,17^2}{2}\\right)$
$12^2=144$, $0,17^2 = 0,0289$
$P_{tot} = 72 \\times (1 + 0,01445)$
$P_{tot} = 72\\times 1,01445 = 73,0404$
Résultat final : $P_{tot} = 73,04\\ \\mathrm{W}$

3. Puissance porteuse et bandes latérales :
Porteuse : $P_{porteuse} = \\frac{A_c^2}{2R}$
$P_{porteuse} = \\frac{144}{2} = 72\\ \\mathrm{W}$
Bande latérale (chacune) : $P_{bande} = \\frac{A_c^2}{4R}\\mu^2$
$P_{bande} = 36 \\times 0,0289 = 1,04\\ \\mathrm{W}$
Résultat final :
 $P_{porteuse} = 72\\ \\mathrm{W}$
 $P_{latérale} = 1,04\\ \\mathrm{W}$ chacune
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un système de télécommunication transmet un signal modulé en amplitude avec porteuse supprimée (AM DSB-SC). Le signal modulant est $m(t) = 3 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t)$, la porteuse est $c(t) = 15 \\cos(2\\pi \\times 80\\,000\\, t)$.

1. Déterminez la représentation spectrale du signal AM DSB-SC.
2. Calculez la puissance totale du signal modulé.
3. Déterminez la forme du signal en sortie d’un détecteur synchrone parfait.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Représentation spectrale du signal AM DSB-SC :
Le spectre comporte deux raies situées à $f_c + f_m$ et $f_c - f_m$.
$f_c = 80\\,000\\ \\mathrm{Hz}$, $f_m = 3\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
$f_1 = f_c + f_m = 83\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
$f_2 = f_c - f_m = 76\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : raies spectrales à $76\\,500\\ \\mathrm{Hz}$ et $83\\,500\\ \\mathrm{Hz}$

2. Puissance totale du signal AM DSB-SC :
Formule : $P_{tot} = \\frac{A_c^2}{4R}\\mu^2$, avec $\\mu = \\frac{A_m}{A_c}$.
$A_m = 3$, $A_c = 15$, $R = 1$
$\\mu = \\frac{3}{15} = 0,2$
$P_{tot} = \\frac{15^2}{4} \\times 0,2^2 = \\frac{225}{4} \\times 0,04 = 56,25 \\times 0,04 = 2,25\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{tot} = 2,25\\ \\mathrm{W}$

3. Forme du signal en sortie du détecteur synchrone parfait :
La démodulation synchrone restitue le signal modulant multiplié par le gain.
Résultat : $v_{demod}(t) = 3 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t)$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un transmetteur radio utilise une modulation d’amplitude à bande latérale unique générée par la méthode du déphasage. Le signal modulant est $m(t) = 2 \\cos(2\\pi \\times 2\\,000\\, t)$ et la porteuse est $c(t) = 10 \\cos(2\\pi \\times 150\\,000\\, t)$.

1. Calculez la fréquence de la bande latérale transmise en bande latérale inférieure (BLU).
2. Déterminez la puissance du signal AM BLU si l’amplitude du signal transmis est de $7\\ \\mathrm{V}$.
3. Calculez la puissance restituée après démodulation synchrone parfaite.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquence de la bande latérale transmise en BLU :
$f_c = 150\\,000\\ \\mathrm{Hz}$, $f_m = 2\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Bande latérale inférieure : $f_{BLU} = f_c - f_m = 148\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $f_{BLU} = 148\\,000\\ \\mathrm{Hz}$

2. Puissance du signal AM BLU :
Formule pour BLU : $P_{BLU} = \\frac{A_{transmis}^2}{2R}$
$A_{transmis} = 7\\ \\mathrm{V}$, $R = 1\\ \\Omega$
$P_{BLU} = \\frac{49}{2} = 24,5\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{BLU} = 24,5\\ \\mathrm{W}$

3. Puissance restituée après démodulation :
La démodulation synchrone parfaite restitue le signal modulant, donc puissance immédiate de :$P_{demod} = \\frac{A_m^2}{2R}$
$A_m = 2\\ \\mathrm{V}$, $R = 1\\ \\Omega$
$P_{demod} = \\frac{4}{2} = 2\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{demod} = 2\\ \\mathrm{W}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un système génère un signal AM double bande latérale à porteuse supprimée (DSB-SC) pour transmettre un signal multifréquence. Le schéma indique la fréquence porteuse et les fréquences du message. 1. Calculer la puissance moyenne transmise pour une tension crête d'entrée et un coefficient de modulation maximum. 2. Déduire la bande passante requise du canal pour assurer une transmission sans distorsion. 3. Calculer les puissances latérales et interpréter leur répartition.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Puissance moyenne transmise DSB-SC
1. Formule générale : $P_{DSB-SC} = \\frac{m^2 A_c^2}{4R}$
2. Remplacement : $A_c=5\\,V,\\,m=1,0$, $R=75\\,\\Omega$
$P_{DSB-SC} = \\frac{1 \\times 25}{4 \\times 75} = \\frac{25}{300} = 0,083\\,W$
4. Résultat final : $P_{DSB-SC} = 83\\,mW$

Question 2 : Bande passante requise
1. Formule générale : $B = 2 f_{max,message}$
2. Remplacement : $f_{max,message} = 12\\,kHz$
3. Calcul : $B = 2 \\times 12\\,kHz = 24\\,kHz$
4. Résultat final : $B = 24\\,kHz$

Question 3 : Puissances latérales
1. Formule : Chaque bande latérale transmet $P_{lat} = \\frac{m^2 A_c^2}{8R}$
2. Remplacement : $A_c=5\\,V,\\,m=1,\\,R=75\\,\\Omega$
3. Calcul : $P_{lat} = \\frac{25}{600} = 0,0417\\,W$
4. Résultat final : Puissance par bande : $41,7\\,mW$, total = $83,4\\,mW$, confirmé par la somme
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Une station utilise la modulation d’amplitude à bande latérale unique (AMBLU) pour transmettre efficacement l’information. Le schéma indique la fréquence centrale, la méthode de génération par déphasage et les filtres utilisés. 1. Calculer la bande passante occupée du signal transmis. 2. Déterminer l’atténuation nécessaire du filtre pour supprimer la bande indésirable à partir de ses caractéristiques. 3. Calculer la puissance utile transmise dans la bande sélectionnée, pour une tension efficace de sortie et une charge donnée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Bande passante SSB
1. Formule générale : $B_{AMBLU} = f_{max,info}$
2. Remplacement : $f_{max,info}=8\\,kHz$
3. Calcul : $B_{AMBLU} = 8\\,kHz$
4. Résultat final : $B_{AMBLU} = 8\\,kHz$

Question 2 : Atténuation du filtre
1. Formule générale : $A_{filtre} = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{V_{in}}{V_{out}} \\right)$
2. Remplacement : $V_{in}=2,60\\,V,\\,V_{out}=0,13\\,V$
3. Calcul : $A_{filtre} = 20\\log_{10}(2,60/0,13) = 20 \\log_{10}(20) \\approx 26,02\\,dB$
4. Résultat final : $A_{filtre} = 26,0\\,dB$

Question 3 : Puissance utile transmise
1. Formule : $P = \\frac{V_{rms}^2}{R}$
2. Remplacement : $V_{rms}=1,9\\,V,\\,R=45\\,\\Omega$
3. Calcul : $P = \\frac{1,9^2}{45} = \\frac{3,61}{45} = 0,080\\,W$
4. Résultat final : $P = 80,2\\,mW$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal audio de fréquence $f_m = 1{,}2\\,kHz$ et d’amplitude $A_m = 2\\,V$ module une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 80\\,kHz$ et d’amplitude $A_c = 18\\,V$ dans une structure AM à double bande latérale avec porteuse. \n- Le coefficient de modulation est réglé à $\\mu = 0{,}35$. \nQuestions intégrées :\n1) Écrivez l’expression temporelle complète du signal AM généré, en explicitant la formule.\n2) Calculez la puissance totale et la puissance de la porteuse du signal AM.\n3) Calculez l’amplitude et la puissance de chaque bande latérale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal AM
\nFormule générale : $V_{AM}(t) = A_c [1 + \\mu \\cos(2\\pi f_m t)]  \\cos(2\\pi f_c t)$
\nRemplacement : $V_{AM}(t) = 18 [1 + 0,35 \\cos(2\\pi \\times 1200 t)] \\cos(2\\pi \\times 80\\,000 t)$
\nRésultat final : $V_{AM}(t) = 18 [1 + 0,35 \\cos(2\\pi \\cdot 1200 t)] \\cos(2\\pi \\cdot 80\\,000 t)$
\n2. Puissance totale et puissance porteuse
\nFormules : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R}(1 + \\frac{\\mu^2}{2})$ et $P_{car} = \\frac{A_c^2}{2R}$ (supposons $R = 50\\,\\Omega$)
\n$P_{car} = \\frac{18^2}{2 \\times 50} = \\frac{324}{100} = 3,24\\,W$
\n$P_{AM} = 3,24 \\times (1 + \\frac{0,35^2}{2}) = 3,24 \\times (1 + 0,06125) = 3,24 \\times 1,06125$
\n$P_{AM} = 3,438\\,W$
\nRésultat final : $P_{car} = 3,24\\,W$, $P_{AM} = 3,44\\,W$
\n3. Amplitude et puissance des bandes latérales
\nFormule amplitude : $A_{lat} = \\frac{\\mu A_c}{2}$\nRemplacement : $A_{lat} = \\frac{0,35 \\times 18}{2} = 3,15\\,V$
\nFormule puissance bande latérale (une bande): $P_{lat} = P_{car} \\frac{\\mu^2}{4}$
\n$P_{lat} = 3,24 \\times \\frac{0,35^2}{4} = 3,24 \\times 0,030625 = 0,099\\,W$
\nRésultat final : $A_{lat} = 3,15\\,V$, $P_{lat} = 99\\,mW$ par bande latérale
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Une modulation d’amplitude à porteuse supprimée est utilisée pour transmettre un signal de fréquence $f_m = 4\\,kHz$ par une porteuse à $f_c = 150\\,kHz$ avec un modulateur équilibré. \n- Amplitude du signal d’information $A_m = 1,6\\,V$\n- Amplitude de la porteuse (avant suppression) $A_c = 14\\,V$\n- Le coefficient de modulation est $\\mu = 0,85$.\nQuestions intégrées :\n1) Calculez l’amplitude et l’expression spectrale des deux principales composantes du signal (bande latérale).\n2) Calculez la puissance totale transmise après suppression de porteuse ($R = 75\\,\\Omega$).\n3) Déterminez la fréquence de sortie après démodulation synchrone si la porteuse est rétablie en réception.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Amplitude et expression spectrale
\nDans AM-DSB-SC, les composantes sont sur $f_c+f_m$ et $f_c-f_m$.\nFormule amplitude: $A_{BL} = \\frac{\\mu A_c}{2}$
\nRemplacement : $A_{BL} = \\frac{0,85 \\times 14}{2} = 5,95\\,V$
\nExpression spectrale :\n- Deux pics : $f_+ = 154\\,kHz$; $f_- = 146\\,kHz$ avec amplitude 5,95\\,V
\nRésultat : band.png gauche droite à $f_c \\pm f_m$, $A_{BL} = 5,95\\,V$ par latérale
\n2. Puissance totale transmise
\nFormule : $P_{AMDSBSC} = \\frac{(\\mu A_c)^2}{4R}$
\nRemplacement : $P_{AMDSBSC} = \\frac{(0,85 \\times 14)^2}{4 \\times 75}$
\nCalcul : $(11,9)^2 = 141,6$; $P_{AMDSBSC} = \\frac{141,6}{300} = 0,472\\,W$
\nRésultat final : $P_{AMDSBSC} = 472\\,mW$
\n3. Fréquence de sortie après démodulation synchrone
\nLe démodulateur reconstitue $f_m$ après multiplication et filtrage :\nRésultat final : fréquence à la sortie :$f_{out} = f_m = 4\\,kHz$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Une transmission AM à bande latérale unique (BLU) est réalisée par la méthode du déphasage. Un signal vocal de fréquence $f_m = 2{,}4\\,kHz$ module une porteuse de fréquence $f_c = 120\\,kHz$ avec des filtres idéaux et un déphaseur parfait. \n- Amplitude message $A_m = 2,5\\,V$\n- Amplitude porteuse $A_c = 20\\,V$\n- Rendement énergétique à la réception : $\\eta = 98\\,\\%$.\nQuestions intégrées :\n1) Calculez la largeur spectrale du signal AMBLU généré.\n2) Calculez la puissance du signal BLU reçu sur une charge de $R = 125\\,\\Omega$.\n3) Après démodulation non cohérente par détecteur d’enveloppe, déterminez la plage dynamique du signal obtenu si le bruit en sortie est de 60\\,mV crête à crête.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur spectrale BLU
\nFormule BLU : $\\Delta f_{BLU} = B_m$ (\n$B_m$ = largeur du message : $f_m$)
\nRésultat final : $\\Delta f_{BLU} = 2,4\\,kHz$
\n2. Puissance du signal BLU reçu
\nFormule : $P_{BLU} = \\eta \\frac{\\mu^2 A_c^2}{4R}$ ($\\mu = 1$ maximum BLU, rendement $\\eta$)
\n$P_{BLU} = 0,98 \\times \\frac{1 \\times (20)^2}{4 \\times 125} = 0,98 \\times \\frac{400}{500}$
\n$P_{BLU} = 0,98 \\times 0,8 = 0,784\\,W$
\nRésultat final : $P_{BLU} = 784\\,mW$
\n3. Plage dynamique du signal obtenu
\nFormule : Plage dynamique $D = \\frac{A_{signal}}{A_{bruit}}$
\n$A_{signal} = A_m = 2,5\\,V$; $A_{bruit} = 60\\,mV$
\n$D = \\frac{2,5}{0,060} = 41,7$
\nRésultat final : $D = 41,7$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal modulé en amplitude est généré à partir d'un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 1,1\\,kHz$ et d'une porteuse de fréquence $f_c = 15,0\\,kHz$. Le modulateur délivre un signal AM selon $s_{AM}(t) = [A_c + A_m \\cos(2\\pi f_m t)] \\cos(2\\pi f_c t)$, où $A_c = 6,2\\,V$ et $A_m = 2,8\\,V$.\n1. Calculez le taux de modulation.ModulateurSignal modulantPorteuseAM(t)Vers charge R",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Taux de modulation : $m = \\frac{A_m}{A_c}$
Remplacement : $m = \\frac{2,8}{6,2}$
Calcul : $m = 0,452$
Résultat : $m = 45,2\\,\\%$
Question 2 :
Formule puissance totale AM : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R} (1 + \\frac{m^2}{2})$
Remplacement : $P_{AM} = \\frac{6,2^2}{2 \\times 60} (1 + \\frac{0,452^2}{2})$
$6,2^2 = 38,44$, $2 \\times 60 = 120$, $0,452^2 = 0,204$, $0,204/2=0,102$
$P_{AM} = \\frac{38,44}{120}(1+0,102)$
$38,44/120 = 0,320$, $1+0,102 = 1,102$, $0,320 \\times 1,102 = 0,353$
Résultat : $P_{AM} = 0,353\\,W$
Question 3 :
Amplitude des raies :
- Porteuse : $A_c = 6,2\\,V$
- Bande latérale supérieure : $\\frac{A_m}{2} = \\frac{2,8}{2} = 1,4\\,V$
- Bande latérale inférieure : $1,4\\,V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un système de télécommunication transmet un signal AM à double bande latérale à porteuse supprimée. Le signal modulant a une fréquence $f_m = 800\\,Hz$ et une amplitude $A_m = 1,6\\,V$. Le générateur de porteuse fournit une amplitude de $A_c = 4,0\\,V$ à la fréquence $f_c = 18,0\\,kHz$. \n1. Calculez l’expression mathématique du signal modulé AM DSB-SC.\n2. Déterminez, par analyse spectrale, les fréquences et amplitudes des composantes résultantes dans le signal.\n3. Si le signal est soumis à une démodulation cohérente parfaite, trouvez l’amplitude du signal démodulé à la sortie.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Expression mathématique :
$s(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\cdot A_c \\cos(2\\pi f_c t)$
Utilisation de la formule produit cosinus :
$\\cos(\\alpha)\\cos(\\beta) = \\frac{1}{2}[\\cos(\\alpha - \\beta) + \\cos(\\alpha + \\beta)]$
Remplacement :
$s(t) = 1,6 \\cdot 4,0 \\cdot \\cos(2\\pi f_m t)\\cos(2\\pi f_c t) = 6,4 \\cdot \\frac{1}{2}[\\cos(2\\pi (f_c - f_m) t) + \\cos(2\\pi (f_c + f_m) t)]$
$s(t) = 3,2\\,[\\cos(2\\pi 17\\,200\\,t) + \\cos(2\\pi 18\\,800\\,t)]$
Question 2 :
Analyse spectrale :
Fréquences : $f_c - f_m = 18,000 - 0,800 = 17,200\\,Hz$, $f_c + f_m = 18,800\\,Hz$
Amplitude de chaque raie : $3,2\\,V$ pour chaque.
Question 3 :
Après démodulation cohérente parfaite on retrouve l’amplitude du signal modulant : $A_m = 1,6\\,V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un oscillographe affiche un signal AM à bande latérale unique généré par la méthode du déphasage. La porteuse utilisée est de fréquence $f_c = 25,0\\,kHz$ et le signal modulant est de fréquence $f_m = 2,8\\,kHz$. L’amplitude du signal BLIU est mesurée à $V_{BLU} = 3,1\\,V$. Lors de la réception, le signal passe par un détecteur d’enveloppe ayant une résistance de charge $R = 220\\,\\Omega$ et un condensateur de $C = 4,3\\,\\mu F$.\n1. Calculez la fréquence centrale et la bande passante du signal BLU.\n2. Déterminez la constante de temps du détecteur d’enveloppe.\n3. Calculez la puissance moyenne reçue par le détecteur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Fréquence centrale BLU : $f_{BLU} = f_c + f_m = 25,0\\,kHz + 2,8\\,kHz = 27,8\\,kHz$
Bande passante (théorique BLU) : égale à celle du signal modulant : $B = f_m = 2,8\\,kHz$
Question 2 :
Constante de temps : $\\tau = RC$
Remplacement : Calcul : $\\tau = 220 \\times 4,3\\times 10^{-6} = 946\\times 10^{-6} = 0,946\\,ms$
Question 3 :
Puissance moyenne :
$P = \\frac{V_{BLU}^2}{2R}$
Remplacement : $3,1^2 = 9,61$, $2\\times220 = 440$, $9,61/440 = 0,0218\\,W$
Résultat : ",
    "id_category": "3",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 1 : Puissance et spectre d'un signal modulé en amplitude\nOn souhaite transmettre un signal audio analogique de fréquence maximale $f_m = 6\\,kHz$ par modulation d’amplitude double bande latérale avec porteuse, sur une sous-porteuse de $f_c = 100\\,kHz$.\n\nLe signal audio a une amplitude crête $A_m = 2.5\\,V$; la porteuse a une amplitude crête $A_c = 8.0\\,V$. On utilise une modulation à profondeur $m=0.82$.\n\n1. Calculez l’expression temporelle complète du signal AM obtenu.\n2. Déterminez la puissance totale du signal AM sur une charge de $R = 50\\,\\Omega$.\n3. Calculez et tracez (schéma SVG requis) la structure spectrale du signal AM, précision : fréquences et amplitudes de chaque composante.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal AM :
\nFormule générale : $s_{AM}(t) = A_c [1 + m \\cos(2\\pi f_m t)] \\cos(2\\pi f_c t)$
\nDonnées : $A_c = 8.0$, $m=0.82$, $f_m=6\\,kHz$, $f_c=100\\,kHz$
\nRemplacement : $s_{AM}(t) = 8.0 [1 + 0.82 \\cos(2\\pi \\times6\\,000 t)] \\cos(2\\pi \\times 100\\,000 t)$
\nRésultat final : $s_{AM}(t) = 8.0 [1 + 0.82 \\cos(12\\,000 \\pi t)] \\cos(200\\,000 \\pi t)$\n\n2. Puissance totale du signal AM :
\nFormule : $P_{tot} = \\frac{A_c^2}{2R}\\left(1+\\frac{m^2}{2}\\right)$
\n$A_c=8.0$, $m=0.82$, $R=50$
\nCalcul intermédiaire : $m^2/2 = 0.82^2/2 = 0.6724/2 = 0.3362$
\n$\\frac{A_c^2}{2R} = \\frac{64}{100} = 0.64$
\n$P_{tot}=0.64 \\times (1+0.3362)=0.64 \\times 1.3362 = 0.855$
\nRésultat final : $P_{tot}=0.855\\,W$\n\n3. Structure spectrale du signal AM :
\nComposantes : 
\n- Porteuse à $f_c=100\\,kHz$ amplitude $=A_c/2=4.0\\,V$\n- Bandes latérales à $f_c\\pm f_m=94,\\,106\\,kHz$ amplitude $A_c m / 4 = 8.0 \\times 0.82 /4 = 1.64\\,V$
\nRésultat final : 
\n- Fréquences : $\\{94\\,kHz,\\;100\\,kHz,\\;106\\,kHz\\}$\n- Amplitudes : Porteuse $4.0\\,V$, chaque bande latérale $1.64\\,V$\n
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 3 : Modulation à bande latérale unique et démodulation par détecteur d’enveloppe\nOn réalise un système radio AMBLU (modulation d’amplitude à bande latérale unique) pour la transmission vocale, en utilisant la méthode du déphasage.\nDonnées du montage : \n- Porteuse $f_c=325\\,kHz$\n- Bande audio utile $0.5\\,kHz\\leq f_m \\leq 14\\,kHz$\n- Amplitude crête du signal modulé AMBLU $A_{AMBLU}=1.38\\,V$\n- Charge d’antenne $R=75\\,\\Omega$\nAu niveau de la réception, un détecteur d’enveloppe non synchrone est utilisé avec une charge résistive identique.\n1. Calculez l’expression temporelle d’un signal AMBLU centré sur la bande supérieure pour $f_m=8.2\\,kHz$.\n2. Déterminez la puissance efficace à l’antenne pour $A_{AMBLU}$ donnée.\n3. Au niveau de la démodulation, calculez la tension efficace du signal audio restitué sur la charge résistive.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle AMBLU (bande supérieure,  $f_m=8.2\\,kHz$
\nPour AMBLU bande supérieure : $s_{AMBLU,BU}(t)=A_{AMBLU}\\cos[2\\pi(f_c+f_m)t]$
\nDonnées : $f_c=325,000$, $f_m=8,200$, $A_{AMBLU}=1.38$\n$f_c+f_m=333,200\\,Hz$
\nRésultat final : $s_{AMBLU,BU}(t)=1.38\\cos(666,400\\pi t)$\n\n2. Puissance efficace à l’antenne
\n$P_{eff}=\\frac{A_{AMBLU}^2}{2R}$\n$A_{AMBLU}=1.38$, $R=75$
\n$P_{eff}=1.38^2/(2\\times75)=1.9044/150=0.0127\\,W$\nRésultat : $P_{eff}=12.7\\,mW$\n\n3. Tension efficace démodulée
\nDémodulateur d’enveloppe : tension crête = amplitude crête audio\n$V_{eff}=A_{AMBLU}/\\sqrt{2}=1.38/1.414=0.976\\,V$\nRésultat : $V_{eff}=0.98\\,V$\n
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal analogique $s(t) = 3\\cos(2\\pi 4\\,\\mathrm{kHz}\\, t)$ est transmis par un système de modulation d’amplitude double bande latérale avec porteuse (AM DSB-FC). Le signal porteur utilisé est $p(t) = 10\\cos(2\\pi 40\\,\\mathrm{kHz}\\, t)$.\\n1. Calculez l’indice de modulation $m$ associé à ce signal et donnez l’expression temporelle du signal modulé.\\n2. Déterminez la puissance totale du signal AM émis.\\n3. Déterminez les fréquences présentes et les amplitudes des raies spectrales du signal AM, et tracez le schéma du spectre correspondant.",
    "svg": "cfc-fmfc+fmporteuseFréquence (Hz)",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Indice de modulation et signal AM :
Formule générale : $m = \\frac{A_m}{A_p}$
Remplacement : $A_m = 3$, $A_p = 10$
Calcul : $m = \\frac{3}{10} = 0.3$
Résultat : $m = 0.3$
Expression temporelle : $s_{AM}(t) = (1 + 0.3 \\cos(2\\pi 4000 t)) \\times 10 \\cos(2\\pi 40000 t)$

2. Puissance totale émise :
Formule : $P_{tot} = \\frac{A_p^2}{2} \\left(1 + \\frac{m^2}{2}\\right)$
Remplacement : $A_p = 10$, $m = 0.3$
Calcul intermédiaire : $\\frac{10^2}{2} = 50$, $1 + \\frac{0.09}{2} = 1.045$
$P_{tot} = 50 \\times 1.045 = 52.25~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{tot} = 52.3~\\mathrm{W}$

3. Fréquences présentes et amplitudes des raies :
La porteuse :$f_c = 40~\\mathrm{kHz}$, amplitude $10$
Bande latérale inférieure : $f_c - f_m = 36~\\mathrm{kHz}$, amplitude $\\frac{m}{2}A_p = \\frac{0.3}{2} \\times 10 = 1.5$
Bande latérale supérieure : $f_c + f_m = 44~\\mathrm{kHz}$, amplitude $1.5$
Spectre : porteuse (10) à 40~kHz, bandes latérales (1.5) à 36~kHz et 44~kHz.
Voir le schéma SVG.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal message sinusoïdal de fréquence $f_m = 5~\\mathrm{kHz}$ module une porteuse de fréquence $f_c = 120~\\mathrm{kHz}$ selon une modulation d’amplitude à double bande latérale à porteuse supprimée (DSB-SC), par un multiplicateur équilibré. Le signal porteuse a une amplitude $A_p = 14~\\mathrm{V}$ et le message une amplitude $A_m = 5~\\mathrm{V}$.\\n1. Écrivez l'expression temporelle du signal modulé (DSB-SC).\\n2. Déterminez la puissance moyenne du signal émis.\\n3. Après propagation sur un canal, le signal reçoit des bruits à 100~kHz et 125~kHz (amplitude 3~V chaque). Après démodulation synchrone, calculez la valeur efficace du signal utile détecté.",
    "svg": "c-fm (115kHz)fc+fm (125kHz)Bruit 100kHzBruit 125kHz",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle DSB-SC :
Formule : $s(t) = A_m \\cos(2\\pi f_mt) \\cdot A_p \\cos(2\\pi f_ct)$
Remplacement : $A_m = 5$, $f_m = 5,000$, $A_p = 14$, $f_c = 120,000$
On exprime :
Produit trigonométrique : $s(t) = 70 \\cos(2\\pi(f_c + f_m)t) + 70 \\cos(2\\pi(f_c - f_m)t)$
$s_{DSB-SC}(t) = 70 \\cos(2\\pi 125,000\\, t) + 70 \\cos(2\\pi 115,000\\, t)$

2. Puissance moyenne émise :
Formule : $P = \\frac{A_m^2 A_p^2}{8}$
Remplacement : $P = \\frac{5^2 \\times 14^2}{8} = \\frac{25 \\times 196}{8} = \\frac{4900}{8} = 612.5~\\mathrm{W}$
Résultat : $P = 612.5~\\mathrm{W}$

3. Signal détecté après démodulation synchrone :
Après multiplication et filtrage, le signal utile retrouve l’amplitude $\\frac{A_m}{2}$.
Valeur efficace : $V_{eff} = \\frac{A_m}{2\\sqrt{2}}$
Remplacement : $V_{eff} = \\frac{5}{2\\sqrt{2}} = \\frac{5}{2.828} = 1.77~\\mathrm{V}$
Résultat : $V_{eff} = 1.77~\\mathrm{V}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Dans une modulation d’amplitude à bande latérale unique (AMBLU), un signal rencontre une porteuse de fréquence $f_c = 20~\\mathrm{kHz}$ et un signal message de $f_m = 2~\\mathrm{kHz}$. Pour la production AMBLU, on utilise la méthode du déphasage avec un réseau de Hilbert.\\n1. Calculez la largeur spectrale du signal AMBLU obtenu pour un signal message de bande passante $B_m = 4~\\mathrm{kHz}$.\\n2. Pour une amplitude de porteuse de $A_p = 6~\\mathrm{V}$ et un message de $A_m = 3~\\mathrm{V}$, calculez la puissance moyenne du signal AMBLU.\\n3. Le signal AMBLU, après transmission, est reçu avec un affaiblissement de $-12~\\mathrm{dB}$. Calculez le niveau de puissance reçu.",
    "svg": "cB_m = 4~kHz",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur spectrale :
Pour l’AMBLU, la largeur spectrale est égale à la bande du message : $\\Delta f = B_m$
Remplacement : $B_m = 4~\\mathrm{kHz}$
Résultat : $\\Delta f = 4~\\mathrm{kHz}$

2. Puissance moyenne AMBLU :
Formule : $P_{AMBLU} = \\frac{A_p^2}{4} + \\frac{A_m^2}{8}$
Remplacement : $A_p = 6$, $A_m = 3$
$\\frac{6^2}{4} = 9$, $\\frac{9}{8} = 1.125$
$P_{AMBLU} = 9 + 1.125 = 10.125~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{AMBLU} = 10.1~\\mathrm{W}$

3. Puissance reçue après affaiblissement :
Formule : $P_{r} = P_{AMBLU} \\cdot 10^{a/10}$ ($a$ en dB négatifs)
Remplacement : $P_{r} = 10.125 \\times 10^{-12/10} = 10.125 \\times 0.0631 = 0.639~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{r} = 0.64~\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 1 — Spectre et puissance d’un signal AM à porteuse\nUn signal analogique de message $m(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t)$ avec $A_m = 2,5\\,\\mathrm{V}$ et $f_m = 2,2\\, \\mathrm{kHz}$ module une porteuse centrale de $A_c = 8\\,\\mathrm{V}$ et $f_c = 100\\,\\mathrm{kHz}$ selon le schéma classique à double bande latérale avec porteuse.\n1. Calculez la forme temporelle du signal modulé pour une modulation d’indice $\\mu = 0,80$.\n2. Calculez la puissance totale moyenne du signal AM généré (supposez une charge de $R = 50\\,\\Omega}$).\n3. Déterminez le spectre fréquentiel en précisant les amplitudes des composantes spectrales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule — Le signal AM : $s(t) = A_c [1 + \\mu \\cos(2 \\pi f_m t)] \\cos(2 \\pi f_c t)$.
2. Remplacement : $A_c = 8\\,\\mathrm{V}$, $\\mu = 0,80$, $f_m = 2,2\\,\\mathrm{kHz}$, $f_c = 100\\,\\mathrm{kHz}$
3. Calcul : $s(t) = 8 [1 + 0,8 \\cos(2 \\pi \\times 2200\\, t)] \\cos(2 \\pi \\times 100\\,000\\, t)$
4. Résultat final : $s(t) = 8 [1 + 0,8 \\cos(13\\,820\\, t)] \\cos(628\\,318\\, t)$

Question 2
1. Formule — Puissance totale : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R}[1 + \\frac{\\mu^2}{2}]$
2. Remplacement : $A_c = 8$; $\\mu = 0,80$; $R = 50$
3. Calcul : $\\frac{8^2}{2 \\times 50} [1 + \\frac{0,8^2}{2}] = \\frac{64}{100}[1 + 0,32] = 0,64 \\times 1,32 = 0,845\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{AM} = 0,85\\,\\mathrm{W}$

Question 3
1. Formule : Spectre composé de trois raies : $f_c$, $f_c + f_m$, $f_c - f_m$. Amplitudes : porteuse $A_c$, chaque bande latérale $\\frac{\\mu A_c}{2}$
2. Calcul : $A_c = 8\\,\\mathrm{V}$; $\\mu = 0,8$; Bande latérale : $0,4 \\times 8 = 3,2\\,\\mathrm{V}$
3. Fréquences : 100 kHz (porteuse), 102,2 kHz et 97,8 kHz (BLU et BLI)
4. Résultat final : Spectre = $\\{ (f_c=100\\,\\mathrm{kHz},\\, 8\\,\\mathrm{V}),\\; (f_c+f_m=102\\,{,}2\\,\\mathrm{kHz},\\, 3,2\\,\\mathrm{V}),\\; (f_c-f_m=97,{,}8\\,\\mathrm{kHz},\\, 3,2\\,\\mathrm{V}) \\}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 2 — Génération et analyse d’un signal AM à porteuse supprimée (DSB-SC)\nUn système de modulation utilise un multiplieur équilibré pour générer une modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse supprimée. À l’entrée, $m(t) = 1{,}6 \\cos(2\\pi \\times 3{,}5\\,\\mathrm{kHz}\\,t)$, $A_c = 6\\,\\mathrm{V}$, $f_c = 64\\,\\mathrm{kHz}$.\n1. Écrivez la forme temporelle mathématique complète du signal généré par modulation DSB-SC.\n2. Calculez la puissance moyenne transmise, charge de $R = 75\\,\\Omega}$.\n3. Déterminez les fréquences et amplitudes des raies spectrales principales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule — DSB-SC : $s_{DSB-SC}(t) = m(t) \\cdot A_c \\cos(\\omega_c t)$
2. Remplacement : $m(t) = 1,6 \\cos(2\\pi \\times 3,5\\,\\mathrm{kHz}\\,t)$, $A_c = 6\\,\\mathrm{V}$, $f_c = 64\\,\\mathrm{kHz}$
3. Calcul : $s(t) = 1,6 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t) \\cdot 6 \\cos(2\\pi \\times 64\\,000\\, t)$
4. Résultat final : $s(t) = 9,6 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t) \\cos(2\\pi \\times 64\\,000\\, t)$
L'identité trigonométrique donne
$s(t) = 4,8 [\\cos(2\\pi \\times 67\\,500\\,t) + \\cos(2\\pi \\times 60\\,500\\,t)]$

Question 2
1. Formule — Puissance moyenne : pour DSB-SC, $P_{DSB-SC} = \\frac{A_c^2 A_m^2}{8R}$
2. Remplacement : $A_c = 6$, $A_m = 1,6$, $R = 75$
3. Calcul : $\\frac{6^2 \\times 1,6^2}{8 \\times 75} = \\frac{36 \\times 2,56}{600} = \\frac{92,16}{600} = 0,154\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{DSB-SC} = 0,15\\,\\mathrm{W}$

Question 3
1. Formule — Raies spectrales : fréquences $f_c \\pm f_m$; amplitudes $\\frac{A_c A_m}{2}$
2. Calcul : $\\frac{6 \\times 1,6}{2} = 4,8\\,\\mathrm{V}$
3. Fréquences : 67,5 kHz et 60,5 kHz
4. Résultat final : Raies spectrales : $\\{ (f=67,5\\,\\mathrm{kHz},\\, 4,8\\,\\mathrm{V}),\\; (f=60,5\\,\\mathrm{kHz},\\, 4,8\\,\\mathrm{V}) \\}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 3 — Modulation et démodulation AMBLU (Bande latérale unique)\nUn signal message $m(t) = 3,1 \\sin(2\\pi \\times 2,95\\,\\mathrm{kHz}\\, t)$ module une porteuse de $A_c = 3\\,\\mathrm{V}$, $f_c = 120\\,\\mathrm{kHz}$ par méthode du déphasage pour obtenir une modulation AMBLU.\n1. Calculez la forme mathématique du signal AMBLU en sortie (hypothèse : BLU supérieure transmise).\n2. Calculez la puissance moyenne dans $R = 60\\,\\Omega}$ pour ce signal, en considérant l’absence de porteuse et BLU uniquement.\n3. Simulez la démodulation cohérente de ce signal, et calculez l’amplitude du message reconstitué (idéal, sans bruit).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule — BLU supérieure : $s_{BLU}(t) = A_m \\sin(2\\pi f_m t) \\cos(2\\pi f_c t) + A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\sin(2\\pi f_c t)$
Identité : $s_{BLU}(t) = A_m \\sin[2\\pi (f_c + f_m) t]$
2. Remplacement : $A_m = 3,1$, $f_m = 2,95\\,\\mathrm{kHz}$, $f_c = 120\\,\\mathrm{kHz}$
3. Calcul : $s_{BLU}(t) = 3,1 \\sin[2\\pi \\times 122,95\\,\\mathrm{kHz}\\,t]$
4. Résultat final : $s_{BLU}(t) = 3,1 \\sin(771\\,988\\,t)$

Question 2
1. Formule — Puissance BLU : $P_{BLU} = \\frac{A_m^2}{2R}$
2. Remplacement : $A_m = 3,1$, $R = 60$
3. Calcul : $P_{BLU} = \\frac{3,1^2}{2 \\times 60} = \\frac{9,61}{120} = 0,080\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{BLU} = 0,08\\,\\mathrm{W}$

Question 3
1. Formule — Démodulation synchrone : signal BLU mélange avec porteuse cosinus : $s_{dem}(t) = s_{BLU}(t) \\cdot \\cos(2\\pi f_c t)$
2. Calcul : $s_{dem}(t) = 3,1 \\sin[2\\pi (f_c + f_m) t] \\cdot \\cos(2\\pi f_c t)$
Identité trigonométrique : $\\sin(A + B) \\cos(A) = \\frac{1}{2} [\\sin(2A + B) + \\sin(B)]$
On conserve la composante basse fréquence : $\\frac{3,1}{2} \\sin(2\\pi f_m t)$.
3. Résultat final : Amplitude reconstituée $A_m/2 = 1,55\\,\\mathrm{V}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal basse fréquence $s(t) = 3\\cos(2\\pi 2000\\,t)$ est modulé en amplitude par une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 120~\\text{kHz}$ et d’amplitude $A_c = 7~\\text{V}$. Le coefficient de modulation $m = 0,6$.\n\n1) Écrivez l’équation du signal modulé en amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM) en fonction de $t$.\n2) Calculez la puissance moyenne totale du signal AM généré.\n3) Calculez la puissance présente dans chaque bande latérale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale : $V_{AM}(t) = A_c[1 + m \\cos(2 \\pi f_m t)] \\cos(2 \\pi f_c t)$
2. Remplacement des données : $V_{AM}(t) = 7 [1 + 0,6 \\cos(2\\pi\\times2000~t)] \\cos(2\\pi\\times120000~t)$
3. Aucun calcul à faire ici
4. Résultat final : $V_{AM}(t) = 7\\left[1 + 0,6 \\cos(4000\\pi t)\\right] \\cos(240000\\pi t)$
Question 2
1. Puissance AM totale : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R}\\left[1 + \\frac{m^2}{2}\\right]$
2. Remplacement : prenons $R = 50~\\Omega$ (valeur-pratique standard)
$A_c = 7~\\text{V}; m = 0,6$
$P_{AM} = \\frac{49}{100} (1 + \\frac{0,36}{2}) = 0,49 (1 + 0,18) = 0,49 \\times 1,18 = 0,5782~\\text{W}$
3. Calcul : $\\frac{7^2}{2\\times 50} = \\frac{49}{100} = 0,49;\\ \\frac{0,6^2}{2} = 0,18$
4. Résultat final : $P_{AM} \\approx 578~\\text{mW}$
Question 3
1. Puissance dans chaque bande latérale : $P_{BL} = \\frac{A_c^2 m^2}{8R}$
2. Remplacement : $P_{BL} = \\frac{49 \\times 0,36}{400} = \\frac{17,64}{400} = 0,0441~\\text{W}$
3. Calcul : $0,0441~\\text{W} = 44,1~\\text{mW}$
4. Résultat final : $P_{BL} \\approx 44,1~\\text{mW}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "On génère un signal AM à bande latérale unique (AMBLU) par la méthode du déphasage. Le message modulant $m(t) = 4\\cos(2\\pi 1500\\,t)$ est appliqué à une porteuse de fréquence $f_c = 76~\\text{kHz}$ et d’amplitude $A_c = 6~\\text{V}$.\n\n1) Écrivez l’expression du signal AMBLU dans le domaine temporel résultant par la méthode du déphasage.\n2) Calculez la puissance du signal AMBLU si la charge est $R = 47~\\Omega$.\n3) Déterminez quantitativement la bande passante nécessaire pour transmettre ce signal AMBLU.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. L’expression temporelle AMBLU obtenue (méthode du déphasage) est :$V_{AMBLU}(t) = A_c \\cos(2\\pi f_c t) \\cos(2\\pi f_m t) - A_c \\sin(2\\pi f_c t) \\sin(2\\pi f_m t)$, soit la bande latérale supérieure : $V_{AMBLU}(t) = A_c \\cos[2\\pi(f_c + f_m)t]$
2. Remplacement des données : $V_{AMBLU}(t) = 6 \\cos[2\\pi(76\\,000 + 1\\,500)t] = 6 \\cos[2\\pi 77\\,500~t]$
3. Final : $V_{AMBLU}(t) = 6 \\cos(155\\,000\\pi t)$
Question 2
1. Puissance AMBLU (tension efficace) :$P_{AMBLU} = \\frac{A_c^2}{2R}$
2. Remplacement : $P_{AMBLU} = \\frac{36}{2\\times47}$
3. Calcul : $36 / 94 = 0,383~\\text{W}$
4. Résultat final : $P_{AMBLU} \\approx 383~\\text{mW}$
Question 3
1. Bande passante nécessaire pour AMBLU : $B = f_m$
2. Remplacement : $B = 1,5~\\text{kHz}$
3. Calcul aucun complément
4. Résultat final : $B = 1,5~\\text{kHz}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal modulé AM à double bande latérale et porteuse supprimée (DSB-SC) est obtenu à partir de $m(t) = 2\\cos(2\\pi 1000\\,t)$ modulant une porteuse d’amplitude $A_c = 5~\\text{V}$ de fréquence $f_c = 41~\\text{kHz}$.\n\n1) Donnez l’expression temporelle du signal DSB-SC.\n2) Calculez la puissance moyenne transmise au travers d’une charge résistive de $R = 64~\\Omega$.\n3) Calculez la valeur maximale du signal démodulé obtenu par démodulation synchrone.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Expression du signal DSB-SC :$V_{DSB-SC}(t) = m(t) \\cdot A_c \\cos(2\\pi f_c t)$
2. Remplacement :$V_{DSB-SC}(t) = 2 \\cos(2\\pi 1000~t) \\cdot 5 \\cos(2\\pi 41~000~t)$
3. Forme développée via formules trigonométriques :$2\\cdot5 = 10$
$V_{DSB-SC}(t) = 5 [ \\cos(2 \\pi(42~000~t)) + \\cos(2 \\pi(40~000~t)) ]$
4. Résultat final :$V_{DSB-SC}(t) = 5 \\cos(84~000\\pi t) + 5 \\cos(80~000\\pi t)$
Question 2
1. Puissance moyenne DSB-SC :$P_{DSB-SC} = \\frac{A_c^2}{4R} \\, m^2$
2. Remplacement :$A_c = 5, R = 64, m = 1$ (modulation totale)
$P_{DSB-SC} = \\frac{25}{256}$
3. Calcul :$25 / 256 = 0,0977~\\text{W} = 97,7~\\text{mW}$
4. Résultat final :$P_{DSB-SC} \\approx 97,7~\\text{mW}$
Question 3
1. Démodulation synchrone : le signal retrouvé$V_{dém}(t) = m(t)A_c$
2. Valeur maximale :$|m(t)A_c|_{max} = 2 \\times 5 = 10~\\text{V}$
3. Explication :$2~\\text{V}~(amplitude~max~m(t)) \\times 5~\\text{V}$
4. Résultat final :$V_{dém,max} = 10~\\text{V}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un système de télécommunication transmet un signal analogique d’amplitude maximale $V_m = 2,4\\ \\mathrm{V}$ et de bande passante $B = 5,5\\ \\mathrm{kHz}$, avec une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 180\\ \\mathrm{kHz}$ et d’amplitude $V_c = 8,0\\ \\mathrm{V}$.\n1. Calculez l’indice de modulation en amplitude de ce système.\n2. Déterminez la puissance totale du signal AM généré.\n3. Calculez les fréquences de la bande spectrale transmise et la bande passante requise.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Indice de modulation en amplitude :
Formule : $m = \\frac{V_m}{V_c}$
Remplacement : $m = \\frac{2,4}{8,0}$
Calcul : $0,3$
Résultat final : $\\boxed{0,30}$

2. Puissance totale du signal AM :
Formule : $P_{AM} = P_c \\left[1 + \\frac{m^2}{2}\\right]$
Puissance porteuse : $P_c = \\frac{V_c^2}{2R}$ (on suppose $R = 50\\ \\Omega$ standard)
$V_c = 8,0\\ \\mathrm{V}$, $R = 50\\ \\Omega$
Calcul : $P_c = \\frac{8^2}{2\\times50} = \\frac{64}{100} = 0,64\\ \\mathrm{W}$
Remplacement AM : $P_{AM} = 0,64\\left[1 + \\frac{0,3^2}{2}\\right]$
$0,3^2 = 0,09 ; 0,09/2 = 0,045 ; 1 + 0,045 = 1,045$
$0,64 \\times 1,045 = 0,669\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{0,669\\ \\mathrm{W}}$

3. Fréquences de la bande spectrale et bande passante exigée :
Formule : $f_L = f_c - B,\\quad f_H = f_c + B$
Remplacement : $f_L = 180\\,000 - 5\\,500 = 174\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
$f_H = 180\\,000 + 5\\,500 = 185\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
Bande passante : $2B = 2 \\times 5\\,500 = 11\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $[174\\,500\\ \\mathrm{Hz},\\ 185\\,500\\ \\mathrm{Hz}]$, bande passante $\\boxed{11\\ \\mathrm{kHz}}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un modulateur d’amplitude à porteuse supprimée (DSB-SC) doit transmettre un signal de fréquence $f_s = 4,2\\ \\mathrm{kHz}$. Le générateur de porteuse est à $f_c = 105\\ \\mathrm{kHz}$ et l’amplitude initiale du signal est $A_m = 1,0\\ \\mathrm{V}$.\n1. Calculez l’expression mathématique du signal modulé à double bande latérale porteuse supprimée.\n2. Déterminez le spectre de fréquences obtenu à la sortie du modulateur et esquissez ses bornes principales.\n3. Si ce signal est envoyé sur un canal de $R = 100\\ \\Omega$, quelle est la puissance moyenne transmise si le gain du modulateur est $k = 2{,}0$ (sortie : $2A_m\\cos(2\\pi f_c t)\\cos(2\\pi f_s t)$) ?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression mathématique du signal modulé DSB-SC :
Formule générale : $s_{DSB}(t) = k A_m \\cos(2\\pi f_s t) \\cos(2\\pi f_c t)$
Remplacement : $s_{DSB}(t) = 2{,}0 \\times 1,0\\cos(2\\pi 4\\,200\\,t) \\cos(2\\pi 105\\,000\\,t)$
Développement produit en somme : $2\\cos A \\cos B = \\cos(A-B) + \\cos(A+B)$
$s_{DSB}(t) = \\cos[2\\pi(105\\,000-4\\,200)t] + \\cos[2\\pi(105\\,000+4\\,200)t]$
$s_{DSB}(t) = \\cos(2\\pi 100\\,800\\,t) + \\cos(2\\pi 109\\,200\\,t)$

2. Spectre de fréquences (bornes principales) :
Deux raies centrées autour de $f_c$ (porteuse supprimée), à $f_c-f_s = 100\\,800\\ \\mathrm{Hz}$ et $f_c+f_s = 109\\,200\\ \\mathrm{Hz}$; largeurs déterminées par le contenu spectral du signal.
Résultat : pics à $100\\,800\\ \\mathrm{Hz}$ et $109\\,200\\ \\mathrm{Hz}$.

3. Puissance moyenne transmise :
Pour un DSB-SC : $P_{moy} = \\frac{A^2}{2R}$ avec amplitude en sortie $A_{out} = kA_m$
Remplacement : $P_{moy} = \\frac{(2,0 \\times 1,0)^2}{2 \\times 100}$
$(2,0 \\times 1,0)^2 = 4,0$; $2 \\times 100 = 200$
$P_{moy} = \\frac{4,0}{200} = 0,02\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{20,0\\ \\mathrm{mW}}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Le signal utilitaire $s(t) = 2,5\\cos(2\\pi 3\\,000\\,t)$ doit être transmis en modulation d’amplitude à bande latérale unique (AMBLU) par la méthode du déphasage avec une porteuse de fréquence $f_c = 140\\ \\mathrm{kHz}$.\n1. Écrivez l’expression du signal AMBLU généré (bande latérale supérieure).\n2. Calculez la puissance du signal AMBLU si la charge de sortie est $R = 75\\ \\Omega$.\n3. Si le signal modulé AMBLU subit une atténuation linéique de $0,67\\ \\mathrm{dB/km}$ sur $8,0\\ \\mathrm{km}$, quelle sera la puissance restante à la sortie du canal ?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression du signal AMBLU (BLS) :
Formule : $s_{AMBLU}(t) = A_m \\cos[2\\pi(f_c + f_m)t]$
Remplacement : $s_{AMBLU}(t) = 2,5 \\cos[2\\pi(140\\,000 + 3\\,000)t]$
$s_{AMBLU}(t) = 2,5 \\cos(2\\pi 143\\,000\\,t)$

2. Puissance du signal AMBLU :
Formule : $P_{AMBLU} = \\frac{A^2}{2R}$
Remplacement : $P_{AMBLU} = \\frac{(2,5)^2}{2 \\times 75}$
$(2,5)^2 = 6,25$; $2 \\times 75 = 150$
$P_{AMBLU} = \\frac{6,25}{150} = 0,0417\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{41,7\\ \\mathrm{mW}}$

3. Puissance restante après atténuation :
Atténuation totale : $A_{tot} = 0,67 \\times 8 = 5,36\\ \\mathrm{dB}$
Formule : $P_{sortie} = P_{entrée} \\times 10^{-A_{tot}/10}$
Remplacement : $P_{sortie} = 0,0417 \\times 10^{-5,36/10}$
$-5,36/10 = -0,536$; $10^{-0,536} = 0,291$
$P_{sortie} = 0,0417 \\times 0,291 = 0,0121\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{12,1\\ \\mathrm{mW}}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 1 : Modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse.
Le signal à transmettre est : $m(t) = 2\\cos(2\\pi \\cdot 2\\,000\\,t)$\\;[V]. La porteuse a pour amplitude $A_c = 8\\,V$ et fréquence $f_c = 100\\,\\mathrm{kHz}$. Le signal modulé est généré par un modulateur d’indice $\\mu = 0,5$.
1. Donnez l’expression temporelle du signal modulé.
2. Calculez les puissances de la porteuse, des bandes latérales et la puissance totale du signal.
3. Calculez la tension efficace du signal modulé.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression temporelle
1. Formule générale : $s(t) = A_c[1 + \\mu\\,m_n(t)] \\cos(2\\pi f_c t)$ où $m_n(t) = \\frac{m(t)}{A_m}$, ici $m_n(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2000 t)$
2. Remplacement : $s(t) = 8[1 + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 2000 t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000 t)$
3. Résultat final : $s(t) = 8\\left[1 + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 2000\\,t)\\right]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000\\, t)$

Question 2 : Puissances
1. Formules générales :
Puissance porteuse : $P_c = \\frac{A_c^2}{2}$
Puissance bande latérale : $P_{BL} = \\frac{A_c^2 \\mu^2}{4}$
Puissance totale : $P_{tot} = P_c + 2P_{BL}$
2. Remplacement : $P_c = \\frac{8^2}{2} = 32\\,W$ ; $P_{BL} = \\frac{8^2 \\times (0,5)^2}{4} = \\frac{64 \\times 0,25}{4} = 4\\,W$
 $P_{tot} = 32 + 2 \\times 4 = 40\\,W$
3. Résultat final : $P_c = 32\\,W$, $P_{BL} = 4\\,W$, $P_{tot} = 40\\,W$

Question 3 : Tension efficace
1. Formule générale pour un AM pur : $V_{rms} = \\frac{A_c}{\\sqrt{2}} \\sqrt{1 + \\frac{\\mu^2}{2}}$
2. Remplacement : $V_{rms} = \\frac{8}{\\sqrt{2}} \\sqrt{1 + \\frac{(0,5)^2}{2}} = 5,66 \\sqrt{1+0,125} = 5,66 \\times 1,06 = 5,99\\,V$
3. Résultat final : $V_{rms} = 5,99\\,V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 2 : Modulation d’amplitude à double bande latérale à porteuse supprimée.
On module un signal $m(t) = 1,4 \\sin(2\\pi \\cdot 5\\,000\\, t)$ sur une porteuse de $f_c = 75\\,\\mathrm{kHz}$ en supprimant la porteuse.
1. Écrivez l’expression du signal modulé (DSB-SC).
2. Calculez la puissance du signal modulé si la résistance de charge est $R = 100\\,\\Omega$.
3. Déterminez la tension crête à crête modulée transmise.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression du signal modulé DSB-SC
1. Formule générale : $s_{DSB-SC}(t) = m(t) \\cos(2\\pi f_c t)$
2. Remplacement : $s_{DSB-SC}(t) = 1,4 \\sin(2\\pi \\cdot 5000\\, t) \\cos(2\\pi \\cdot 75\\,000\\, t)$
3. Résultat final : $s_{DSB-SC}(t) = 1,4 \\sin(2\\pi \\cdot 5000\\, t) \\cos(2\\pi \\cdot 75\\,000\\, t)$

Question 2 : Puissance du signal
1. Formule générale pour une sinusoïde : $P = \\frac{A^2}{2R}$ (amplitude 1,4 V)
2. Remplacement : $P = \\frac{(1,4)^2}{2 \\times 100} = \\frac{1,96}{200} = 0,0098\\,W$
3. Résultat final : $P = 9,8\\,\\mathrm{mW}$

Question 3 : Tension crête à crête
1. Formule générale : $V_{cc} = 2A$
2. Remplacement : $V_{cc} = 2 \\times 1,4 = 2,8\\,V$
3. Résultat final : $V_{cc} = 2,8\\,V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 3 : Modulation d’amplitude à bande latérale unique et démodulation cohérente.
On applique la méthode de déphasage pour générer un signal AM-BLU à partir, d’un signal message $m(t) = 3\\cos(2\\pi \\cdot 4\\,000\\, t)$ et d’une porteuse de $f_c = 60\\,\\mathrm{kHz}$.
Après transmission sur une liaison, le signal est reçu avec une atténuation de $-10\\,\\mathrm{dB}$.
1. Écrivez l’expression temporelle du signal BLU transmis (côté supérieur).
2. Calculez la fréquence de la bande latérale transmise et la fréquence de sortie après démodulation cohérente.
3. Calculez la valeur RMS du signal reçu.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression du signal AM-BLU
1. Formule générale : pour BLU haut :$s_{BLU}(t) = A_m \\cos[2\\pi(f_c+f_m)t]$
2. Remplacement : $f_m = 4000\\,\\mathrm{Hz}$, $f_c = 60\\,000\\,\\mathrm{Hz}$, $A_m = 3$
3. Expression : $s_{BLU}(t) = 3\\cos[2\\pi \\cdot 64\\,000\\, t]$
4. Résultat final : $s_{BLU}(t) = 3\\cos[2\\pi \\cdot 64\\,000\\, t]$

Question 2 : Fréquences
1. Bande latérale transmise : $f_{USB} = f_c + f_m = 60\\,000 + 4\\,000 = 64\\,000\\,\\mathrm{Hz}$
2. Après démodulation cohérente : $f_{demod} = f_m = 4\\,000\\,\\mathrm{Hz}$
3. Résultat final : bande latérale transmise $64\\,\\mathrm{kHz}$, fréquence après démodulation $4\\,\\mathrm{kHz}$

Question 3 : Valeur RMS du signal reçu
1. Atténuation : $A_{att} = 10^{-10/20}$ (en tension)
2. Valeur RMS signal reçu : $V_{rms,emit} = \\frac{A_m}{\\sqrt{2}} = \\frac{3}{1,4142} = 2,12\\,V$
3. Après atténuation : $V_{rms,rec} = 2,12 \\times 0,316 = 0,67\\,V$
4. Résultat final : $V_{rms,rec} = 0,67\\,V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 1 – Modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM DSB)\n\nUne source délivre un signal de message $m(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,kHz \\cdot t)$. Ce signal module une porteuse de fréquence $f_c = 100~kHz$ par modulation d’amplitude double bande latérale avec porteuse. Le coefficient de modulation est $k = 0,60$ et la puissance de porteuse est $P_c = 15~W$.\n\n1) Écrire l’expression temporelle du signal modulé $s(t)$.\n2) Calculer la puissance totale du signal AM émis.\n3) Déterminer l’amplitude spectrale des raies de la bande latérale et représenter le spectre en valeurs numériques.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Expression temporelle du signal modulé :
\n1. Formule générale : $s(t) = [A_c + k \\cdot m(t)] \\cos(2\\pi f_c t)$
 Posons $A_c$ l’amplitude de la porteuse, telle que $P_c = \\frac{A_c^2}{2}$\n2. Calcul de $A_c$ : $A_c = \\sqrt{2 P_c} = \\sqrt{2 \\times 15} = \\sqrt{30} = 5,477$\nDonc, $s(t) = [5,477 + 0,60 \\times 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000~t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000~t)$\n$0,60 \\times 2 = 1,20$\n$s(t) = [5,477 + 1,20 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000~t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000~t)$
\n3. Résultat final : $s(t) = [5,48 + 1,20 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000~t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000~t)$\n

\nQuestion 2 – Puissance totale du signal AM :
\n1. Formule : $P_{AM} = P_c \\left[ 1 + \\frac{k^2}{2} \\cdot \\left(\\frac{P_m}{A_m^2}\\right)\\right ]$
 Ici, le message est à amplitude constante $A_m = 2$ ; $P_m = \\frac{A_m^2}{2}$.\nDonc $P_{AM} = P_c \\left[ 1 + \\frac{k^2}{2} \\right ]$ si $m(t)$ est sinusoïdal.\n2. Remplacement : $P_{AM} = 15 \\left [ 1 + \\frac{(0,60)^2}{2} \\right ]$\n$(0,60)^2 = 0,36$; $0,36 / 2 = 0,18$; $1 + 0,18 = 1,18$; $15 \\times 1,18 = 17,7~W$
\n3. Résultat final : $P_{AM} = 17,7~W$\n

\nQuestion 3 – Raies spectrales de la bande latérale :
\n1. Formule : Les raies apparaissent à $f_c$, $f_c \\pm f_m$ et l’amplitude spectrale de la porteuse est $A_c/2$; la bande latérale est $kA_m/4$ (pour chacun).\n2. Remplacement : Porteuse $A_c/2 = 5,477/2 = 2,74$ ; Bande latérale $1,20/4 = 0,30$\n
Spectre :\n- $f = 99~kHz : 0,30$\n- $f = 100~kHz : 2,74$\n- $f = 101~kHz : 0,30$\n3. Résultat final :\n$S_{AM}(f) = [0,30 \\text{ à }99~kHz ;\\; 2,74 \\text{ à }100~kHz ;\\; 0,30 \\text{ à }101~kHz]$\nInterprétation : La modulation génère deux raies de bande latérale symétriques autour de la porteuse.\n
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 2 – Modulation d’amplitude à double bande latérale à porteuse supprimée (DSB-SC)\n\nUn générateur produit un signal de message $m(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2\\,kHz \\cdot t)$ qui module une porteuse de fréquence $f_c = 95~kHz$ par modulation d’amplitude DSB-SC. Le circuit produit un signal modulé de puissance moyenne $P_{moy} = 3~W$. On souhaite déterminer les caractéristiques spectrales et la démodulation nécessaire.\n\n1) Écrire la forme temporelle du signal DSB-SC émis\n2) Calculer la largeur de bande du spectre du signal\n3) Déterminer la tension efficace du signal modulé",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Forme temporelle du signal DSB-SC :
\n1. Formule générale : $s_{SC}(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\cdot \\cos(2\\pi f_c t)$\nUtilisons le produit trigonométrique :\n$s_{SC}(t) = \\frac{A_m}{2} \\left[\\cos(2\\pi(f_c+f_m)t) + \\cos(2\\pi(f_c-f_m)t)\\right]$\n2. Remplacement : $A_m = 1$, $f_m = 2~kHz$, $f_c = 95~kHz$
\n$s_{SC}(t) = \\cos(2\\pi 2\\,000~t) \\cos(2\\pi 95\\,000~t)$\n$= \\frac{1}{2} \\left[\\cos(2\\pi 97\\,000~t) + \\cos(2\\pi 93\\,000~t)\\right]$\n3. Résultat final :
 $s_{SC}(t) = \\frac{1}{2} \\left[\\cos(2\\pi 97\\,000~t) + \\cos(2\\pi 93\\,000~t)\\right]$\n

\nQuestion 2 – Largeur de bande du spectre :
\n1. Formule : Pour DSB-SC, la largeur de bande autour de la porteuse est $2f_m$
\n2. Remplacement : $2f_m = 2 \\times 2\\,kHz = 4~kHz$
\n3. Résultat final : $B = 4~kHz$\n

\nQuestion 3 – Tension efficace du signal modulé :
\n1. Formule : $P_{moy} = \\frac{V_{eff}^2}{R}$; posons $R = 50~\\Omega$\n$V_{eff} = \\sqrt{P_{moy} \\cdot R}$
\n2. Remplacement : $P_{moy} = 3~W$, $R = 50~\\Omega$\n$V_{eff} = \\sqrt{3 \\times 50} = \\sqrt{150} = 12,25~V$
\n3. Résultat final : $V_{eff} = 12,3~V$\nInterprétation : Un signal DSB-SC possède un spectre centré sur la porteuse sans raie en porteuse, et une tension efficace liée à la puissance de sortie.\n
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Exercice 3 – Démodulation d’un signal AM à bande latérale unique (AMBLU)\n\nUn signal AMBLU reçu à la sortie d’un système de télécommunication s’écrit :\n$s_{BLU}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 10^5 t) + 1,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1001~t) + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 999~t)$.\nLe récepteur doit reconstituer le signal de message original par une démodulation cohérente.\n\n1) Calculer la fréquence centrale et les fréquences des composantes reçues\n2) Déterminer l’expression du signal de message obtenu après démodulation cohérente\n3) Estimer la puissance du signal reconstitué si sa charge est résistive de $R = 75~\\Omega$",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Fréquence centrale et composantes :
\n1. Expression du signal : $s_{BLU}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 100000~t) + 1,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1001~t) + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 999~t)$\n2. Fréquences : Porteuse : $f_c = 100~kHz$; Bandes latérales : $f_1 = 1001~Hz$, $f_2 = 999~Hz$\n3. Résultat final : Fréquence centrale $f_c = 100~kHz$ ; composantes BLU $f_1 = 1001~Hz$ ; $f_2 = 999~Hz$\n

\nQuestion 2 – Expression du signal démodulé :
\n1. Démodulation cohérente : On multiplie par la porteuse et on filtre. Le signal obtenu après multiplication puis filtrage passe-bas :\n2. On conserve uniquement les fréquences basses :\nLa sortie est : $m_{out}(t) = 1,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t) + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t)$\nIci, décalage autour de la porteuse donc signal reconstitué : $m_{out}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t)$\n3. Résultat final : $m_{out}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t)$\n

\nQuestion 3 – Puissance du signal reconstitué :
\n1. Formule : $P = \\frac{A^2}{2R}$\n2. Remplacement : $A = 2$, $R = 75~\\Omega$\n$P = \\frac{4}{2 \\times 75} = \\frac{4}{150} = 0,0267~W$\n3. Résultat final : $P = 26,7~mW$\nInterprétation : La puissance dépend de l’amplitude finale, et la démodulation cohérente permet l’extraction exacte du signal de message.\n
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "34"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un signal à transmettre $s(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t)$ est soumis à une modulation d’amplitude avec porteuse, où $A_m = 2~V$, $f_m = 1~kHz$ et $f_c = 80~kHz$. La porteuse a une amplitude $A_c = 5~V$. On désire une profondeur de modulation de $m = 0{,}7$.
1. Écrivez l’expression mathématique du signal modulé $s_{AM}(t)$ et calculez ses principales composantes fréquentielles.
2. Déterminez la puissance totale transmise en régime AM.
3. Calculez la puissance utile dans les deux bandes latérales pour ce signal.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression du signal modulé et spectre :
Formule générale : $s_{AM}(t) = A_c [1 + m \\cos(2\\pi f_m t)] \\cos(2\\pi f_c t)$
Remplacement : $A_c = 5~V$, $m = 0{,}7$, $f_c = 80~kHz$, $f_m = 1~kHz$
Calcul : $s_{AM}(t) = 5 [1 + 0{,}7 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000\\, t)] \\cos(2\\pi 80\\,000\\, t)$
Développement (frequences) : composantes principales = $f_c$, $f_c + f_m = 81~kHz$, $f_c - f_m = 79~kHz$

2. Puissance totale transmise :
Formule : $P_{totale} = \\dfrac{A_c^2}{2R} \\left[1 + \\dfrac{m^2}{2}\\right]$
Supposons $R = 50~\\Omega$
Remplacement : $A_c = 5~V$, $m = 0{,}7$
Calcul : $P_{totale} = \\dfrac{5^2}{2 \\times 50} \\left[1 + \\dfrac{(0{,}7)^2}{2}\\right]$
\n$5^2 = 25$; $\\dfrac{25}{100} = 0{,}25$; $1 + 0{,}245 = 1{,}245$
\n$P_{totale} = 0{,}25 \\times 1{,}245 = 0{,}311~W$
Résultat final : $P_{totale} \\approx 311~mW$

3. Puissance dans les bandes latérales :
Formule : $P_{BL} = \\dfrac{A_c^2}{4R} m^2$
Remplacement : $A_c = 5~V$, $R = 50~\\Omega$, $m = 0{,}7$
Calcul : $P_{BL} = \\dfrac{25}{200} \\times (0{,}49)$
\n$\\dfrac{25}{200} = 0{,}125$; $P_{BL} = 0{,}125 \\times 0{,}49 = 0{,}0612~W$
Résultat final : $P_{BL} \\approx 61~mW$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "35"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "Un circuit de modulation d’amplitude à porteuse supprimée génère le signal $s_{DSB}(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\cos(2\\pi f_c t)$ avec $A_m = 1{,}8~V$, $f_m = 2~kHz$, $f_c = 56~kHz$. Le signal est transmis sur une impédance de $R = 75~\\Omega$.
1. Déterminez la puissance utile transmise dans chaque bande latérale.
2. Calculez la puissance totale du signal généré.
3. Vous utilisez une démodulation synchrone pour extraire le signal. Calculez-amplitude maximale du signal démodulé.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Puissance utile transmise dans chaque bande latérale :
Formule DSB : chaque BL reçoit $P_{BL} = \\dfrac{A_m^2}{8R}$
Remplacement : $A_m = 1,8~V$, $R = 75~\\Omega$
Calcul : $P_{BL} = \\dfrac{(1,8)^2}{8 \\times 75} = \\dfrac{3,24}{600} = 0,0054~W$
Résultat final : $P_{BL} = 5,4~mW$\n
2. Puissance totale du signal généré :
Formule : $P_{totale} = \\dfrac{A_m^2}{4R}$
Remplacement : $A_m = 1,8~V$, $R = 75~\\Omega$
Calcul : $P_{totale} = \\dfrac{3,24}{300} = 0,0108~W$
Résultat final : $P_{totale} = 10,8~mW$\n
3. Amplitude maximale du signal démodulé :
En démodulation synchrone, l'amplitude restituée est $A_m$.
Résultat final : $A_{demod_{max}} = 1,8~V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "36"
  },
  {
    "category": "modulation et démodulation d'amplitude",
    "question": "On transmet un signal AMBLU sur une liaison radio, le signal à transmettre est $s(t) = 0{,}9~V \\cos(2\\pi 1,7~kHz \\cdot t)$, la fréquence porteuse est $f_c = 100~kHz$. La bande passante est limitée à la seule bande latérale supérieure. La puissance du signal reçu sur une charge de $R = 60~\\Omega$ est de $P_{AMBLU} = 2,7~mW$.
1. Calculez la bande passante occupée par ce système.
2. Déterminez l’efficacité de la transmission (rapport puissance utile/puissance totale si transmission AM classique).
3. Si la démodulation est faite par méthode du déphasage, calculez la valeur du signal démodulé en amplitude maximale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Bande passante occupée :
En AMBLU, la bande passante est celle du signal modulant : $B = f_m$
Remplacement : $f_m = 1,7~kHz$
Résultat final : $B = 1,7~kHz$

2. Efficacité de la transmission :
Formule classique AM (porteur non supprimé) : $\\eta = \\dfrac{P_{BL}}{P_{totale}} = \\dfrac{m^2}{2 + m^2}$ (en %)
Supposons profondeur max classique $m = 1$.
Calcul classique AM : $\\eta_{AM} = \\dfrac{1}{2 + 1} = \\dfrac{1}{3} \\approx 33\\%$
En AMBLU : toute la puissance dans la BL : $\\eta_{AMBLU} = 100\\%$
Rapport : $\\dfrac{\\eta_{AMBLU}}{\\eta_{AM}} = \\dfrac{100}{33} = 3,03$
Résultat final : transmission AMBLU est 3 fois plus efficace que AM classique.

3. Valeur du signal démodulé en amplitude maximale :
En méthode du déphasage, l’amplitude démodulée est celle du signal modulant.
Résultat final : $A_{demod_{max}} = 0,9~V$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "37"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une boucle à verrouillage de phase (PLL) de premier ordre est utilisée pour synchroniser un oscillateur local avec un signal d’entrée de fréquence variable. Elle comporte un multplicateur de phase dont le gain est $K_p = 0{,}4~V/rad$ et un oscillateur commandé en tension (VCO) de sensibilité $K_{VCO} = 210~kHz/V$. La plage d’accrochage désirée est $\\Delta f_{acc} = 68~kHz$.\n\n1. Calculez le gain de boucle total $K$ de la PLL.\n2. Déterminez la tension maximale du signal d’erreur pour l’accrochage.\n3. Calculez la plage de poursuite dynamique de la boucle.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Gain de boucle total :
Formule générale : $K = K_p \\cdot K_{VCO}$
Remplacement : $K_p = 0{,}4~V/rad$, $K_{VCO} = 210 \\times 10^3~Hz/V$
Calcul : $K = 0{,}4 \\times 210~000 = 84~000~Hz/rad$
Résultat final : $K = 84~000~Hz/rad$

2. Tension maximale du signal d’erreur pour l’accrochage :
Formule : $V_{erreur~max} = \\dfrac{\\Delta f_{acc}}{K_{VCO}}$
Remplacement : $\\Delta f_{acc} = 68~kHz$, $K_{VCO} = 210~kHz/V$
Calcul : $V_{erreur~max} = \\dfrac{68~000}{210~000} = 0{,}324~V$
Résultat final : $V_{erreur~max} \\approx 0{,}32~V$

3. Plage de poursuite dynamique de la boucle :
Formule générale PLL 1er ordre : $\\Delta f_{poursuite} = \\dfrac{K}{2}$
Remplacement : $K = 84~000~Hz/rad$
Calcul : $\\Delta f_{poursuite} = \\dfrac{84~000}{2} = 42~000~Hz$
Résultat final : $\\Delta f_{poursuite} = 42~kHz$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une boucle PLL de deuxième ordre est constituée d’un VCO ayant une sensibilité de $K_{VCO} = 260~kHz/V$ et d’un filtre passe-bas de temps de réponse $\\tau = 0{,}8~ms$. Le gain du détecteur de phase est $K_p = 0{,}36~V/rad$.\n\n1. Calculez le gain de boucle global de cette PLL.
2. Déterminez la bande passante de la boucle.
3. Calculez le facteur d’amortissement de la boucle pour un fonctionnement critique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Gain de boucle global :
Formule : $K = K_p \\cdot K_{VCO}$
Remplacement : $K_p = 0{,}36~V/rad$, $K_{VCO} = 260~kHz/V = 260~000~Hz/V$
Calcul : $K = 0{,}36 \\times 260~000 = 93~600~Hz/rad$
Résultat final : $K = 93~600~Hz/rad$

2. Bande passante de la boucle :
Formule deuxième ordre, bande passante approximative : $B = \\sqrt{\\dfrac{K}{\\tau}}$
Remplacement : $K = 93~600$, $\\tau = 0{,}8 \\times 10^{-3}~s$
Calcul : $\\dfrac{K}{\\tau} = \\dfrac{93~600}{0{,}0008} = 117~000~000$
\n$B = \\sqrt{117~000~000} = 10~816~Hz$
Résultat final : $B \\approx 10,8~kHz$

3. Facteur d’amortissement pour fonctionnement critique :
Formule : $\\xi = \\dfrac{1}{2}$ pour réponse critique (amortissement optimal)
Résultat final : $\\xi = 0,5$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un synthétiseur de fréquence utilise une PLL avec diviseur programmable pour obtenir une fréquence de sortie $f_{out} = 8{,}64~MHz$ à partir d’une référence de $f_{ref} = 135~kHz$. Le détecteur de phase donne un signal de correction proportionnel à la différence de phase.\n\n1. Calculez le rapport du diviseur pour obtenir la fréquence demandée.
2. Déterminez la tension de commande requise au VCO si sa sensibilité est $K_{VCO} = 720~kHz/V$.
3. Calculez la fréquence réelle obtenue si la tension appliquée au VCO n'est que de $11{,}6~V$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Rapport du diviseur :
Formule PLL : $f_{out} = N \\cdot f_{ref}$
Remplacement : $f_{out} = 8{,}640~MHz = 8~640~000~Hz$, $f_{ref} = 135~000~Hz$
Calcul : $N = \\dfrac{8~640~000}{135~000} = 64$
Résultat final : $N = 64$

2. Tension de commande requise au VCO :
Formule : $V_{com} = \\dfrac{f_{out}}{K_{VCO}}$
Remplacement : $f_{out} = 8~640~000~Hz$, $K_{VCO} = 720~000~Hz/V$
Calcul : $V_{com} = \\dfrac{8~640~000}{720~000} = 12~V$
Résultat final : $V_{com} = 12~V$

3. Fréquence réelle obtenue avec $V_{VCO} = 11,6~V$ :
Formule : $f_{real} = K_{VCO} \\cdot V_{VCO}$
Remplacement : $K_{VCO} = 720~000~Hz/V$, $V_{VCO} = 11,6~V$
Calcul : $f_{real} = 720~000 \\times 11,6 = 8~352~000~Hz$
Résultat final : $f_{real} = 8,352~MHz$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 2\\,\\text{kHz}$, d’amplitude $A_m = 2,4\\,\\text{V}$, module un signal porteur de fréquence $f_p = 80\\,\\text{kHz}$ et d’amplitude $A_p = 12\\,\\text{V}$ par modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM DSB-FC).\n1. Calculez l’indice de modulation AM m du montage.\n2. Déterminez les amplitudes associées à chaque composante du spectre du signal AM obtenu.\n3. Évaluez la puissance totale du signal AM transmis ainsi que celle portée par chacune de ses bandes latérales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $m = \\frac{A_m}{A_p}$
2. Remplacement : $m = \\frac{2,4}{12}$
3. Calcul : $m = 0,2$
4. Résultat final : $m = 0,20$

Question 2 :
1. Formule spectre AM : amplitude porteuse $A_p$, chaque bande latérale $(A_p \\cdot m /2)$
2. Remplacement : 
Composante porteuse : $12\\,\\text{V}$
Bande latérale supérieure (BLS) : $\\frac{12 \\times 0,2}{2} = 1,2\\,\\text{V}$
Bande latérale inférieure (BLI) : $1,2\\,\\text{V}$
3. Calcul explicite : identique à ci-dessus.
4. Résultat final : 
Porteuse : $12\\,\\text{V}$
BLS : $1,2\\,\\text{V}$
BLI : $1,2\\,\\text{V}$

Question 3 :
1. Formule puissance totale : $P_{\\text{tot}} = \\frac{A_p^2}{2R}(1 + \\frac{m^2}{2})$, bandes latérales : $P_{\\text{BL}} = \\frac{A_p^2}{4R} m^2$
2. Supposons $R = 50\\,\\Omega$ (valeur standardistic télécom).
Calcul de la puissance porteuse : $P_c = \\frac{A_p^2}{2R} = \\frac{12^2}{2 \\times 50} = \\frac{144}{100} = 1,44\\,\\text{W}$
Puissance totale : $P_{\\text{tot}} = 1,44 \\times (1 + 0,2^2/2) = 1,44 \\times (1 + 0,02) = 1,44 \\times 1,02 = 1,47\\,\\text{W}$
Puissance latérale totale : $P_{\\text{BLT}} = \\frac{144}{4 \\times 50} \\times 0,2^2 = \\frac{144}{200} \\times 0,04 = 0,72 \\times 0,04 = 0,0288\\,\\text{W}$
Par bande : $P_{\\text{BLS}} = 0,0144\\,\\text{W}$
4. Résultats finaux : 
Puissance totale : $1,47\\,\\text{W}$
Chaque bande latérale : $0,0144\\,\\text{W}$
La puissance des bandes latérales reste faible comparée à celle de la porteuse, validant l'intérêt d'utiliser une modulation efficace.
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal AM DSB-SC est généré à partir d’un message $m(t) = 2\\cos(2\\pi 5\\,\\text{kHz} t)$ modulant une porteuse de fréquence $100\\,\\text{kHz}$ avec le même schéma que précédemment, mais sans composante porteuse transmise.\n1. Déterminez l’expression temporelle du signal modulé et représentez les fréquences présentes dans son spectre.\n2. Calculez la puissance moyenne transmise dans le canal, supposant une résistance de $75\\,\\Omega$.\n3. Si l’on effectue une démodulation cohérente parfaite de ce signal, quelle sera l’amplitude maximale du signal de sortie?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale DSB-SC : $s(t) = m(t)\\cos(2\\pi f_p t)$
2. Remplacement : $s(t) = 2\\cos(2\\pi 5\\,000 t)\\cos(2\\pi 100\\,000 t)$
Utilisation de la formule trigonométrique produit-une somme : $2\\cos A \\cos B = \\cos(A+B) + \\cos(A-B)$
Donc : $s(t) = \\cos[2\\pi(105\\,000)t] + \\cos[2\\pi(95\\,000)t]$
4. Résultat final : 
Temporellement : $s(t) = \\cos(2\\pi 105\\,000 t) + \\cos(2\\pi 95\\,000 t)$
Spectre : pics à $95\\,\\text{kHz}$ et $105\\,\\text{kHz}$

Question 2 :
1. Puissance DSB-SC : $P = \\frac{A^2}{2R}$ où $A = 2$
2. Remplacement : $P = \\frac{4}{2 \\times 75} = \\frac{4}{150} = 0,0267\\,\\text{W}$
3. Résultat final : $26,7\\,\\text{mW}$

Question 3 :
1. Démodulation synchrone parfaite : amplitude maximale = amplitude du message, soit $2$
2. Résultat final : amplitude max de sortie = $2$
La démodulation cohérente permet de récupérer toute l’information du message transmis.
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un émetteur génère un signal AM à bande latérale unique (AMBLU) par la méthode du déphasage à partir d’un message sinusoidal de $200\\,\\text{mV}_{eff}$ à $f_m = 1,4\\,\\text{kHz}$, porteuse à $f_p = 94\\,\\text{kHz}$. Après modulation, la puissance du signal est de $1,7\\,\\text{mW}$ sur une impédance de $80\\,\\Omega$.\n1. Calculez l’amplitude crête du signal AMBLU généré.\n2. Déterminez la valeur de la puissance utile du signal AMBLU dans la bande latérale transmise.\n3. Lors de la démodulation par détecteur d’enveloppe, si 5% de la puissance est perdue sur la résistance de charge, calculez l’amplitude réelle maximale du signal de sortie.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule puissance utile AMBLU : $P = \\frac{A^2}{2R}$
2. Remplacement : $1,7 \\times 10^{-3} = \\frac{A^2}{2 \\times 80}$
3. Calcul : $A^2 = 1,7 \\times 10^{-3} \\times 160 = 0,272$; $A = \\sqrt{0,272} = 0,522\\,\\text{V}$
4. Résultat final : amplitude crête = $0,522\\,\\text{V}$

Question 2 :
1. La puissance utile dans la bande latérale transmise est égale à la puissance du signal AMBLU tout entier, pour bande latérale unique : $P_{BLU} = 1,7\\,\\text{mW}$
2. Directement : $1,7\\,\\text{mW}$
4. Résultat final : $P_{BLU} = 1,7\\,\\text{mW}$

Question 3 :
1. Puissance de sortie réelle : $P' = P_{BLU} \\times 0,95 = 1,7 \\times 0,95 = 1,615\\,\\text{mW}$
Ampleur crête de sortie : $P' = \\frac{{A'}^2}{2R} \\rightarrow A' = \\sqrt{2R P'} = \\sqrt{2 \\times 80 \\times 1,615 \\times 10^{-3}}$
2. Calcul : $2 \\times 80 \\times 1,615 \\times 10^{-3} = 0,2584$; $A' = \\sqrt{0,2584} = 0,508\\,\\text{V}$
4. Résultat final : amplitude réelle max = $0,508\\,\\text{V}$
Une faible perte d’énergie se traduit par une légère diminution de l’amplitude détectée.
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal modulant $m(t) = 2 \\cos(2\\pi \\times 1\\,000\\, t)$ est appliqué à un modulateur d’amplitude dont la porteuse est $c(t) = 12 \\cos(2\\pi \\times 30\\,000\\, t)$. On réalise une modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM DSB + porteuse).

1. Déterminez l’indice de modulation $\\mu$.
2. Calculez la puissance totale du signal modulé.
3. Calculez la puissance contenue dans la porteuse et celle contenue dans chacune des bandes latérales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de l’indice de modulation $\\mu$ :
Formule générale : $\\mu = \\frac{A_m}{A_c}$
Remplacement : amplitude du signal modulant $A_m = 2$, amplitude de la porteuse $A_c = 12$
$\\mu = \\frac{2}{12}$
$\\mu = 0,1667$
Résultat final : $\\mu = 0,17$

2. Puissance totale du signal AM :
Formule générale : $P_{tot} = \\frac{A_c^2}{2R}\\left(1 + \\frac{\\mu^2}{2}\\right)$ (avec $R = 1\\ \\Omega$)
Remplacement : $A_c = 12$, $\\mu = 0,17$
$P_{tot} = \\frac{12^2}{2 \\times 1} \\left(1 + \\frac{0,17^2}{2}\\right)$
$12^2=144$, $0,17^2 = 0,0289$
$P_{tot} = 72 \\times (1 + 0,01445)$
$P_{tot} = 72\\times 1,01445 = 73,0404$
Résultat final : $P_{tot} = 73,04\\ \\mathrm{W}$

3. Puissance porteuse et bandes latérales :
Porteuse : $P_{porteuse} = \\frac{A_c^2}{2R}$
$P_{porteuse} = \\frac{144}{2} = 72\\ \\mathrm{W}$
Bande latérale (chacune) : $P_{bande} = \\frac{A_c^2}{4R}\\mu^2$
$P_{bande} = 36 \\times 0,0289 = 1,04\\ \\mathrm{W}$
Résultat final :
 $P_{porteuse} = 72\\ \\mathrm{W}$
 $P_{latérale} = 1,04\\ \\mathrm{W}$ chacune
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un système de télécommunication transmet un signal modulé en amplitude avec porteuse supprimée (AM DSB-SC). Le signal modulant est $m(t) = 3 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t)$, la porteuse est $c(t) = 15 \\cos(2\\pi \\times 80\\,000\\, t)$.

1. Déterminez la représentation spectrale du signal AM DSB-SC.
2. Calculez la puissance totale du signal modulé.
3. Déterminez la forme du signal en sortie d’un détecteur synchrone parfait.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Représentation spectrale du signal AM DSB-SC :
Le spectre comporte deux raies situées à $f_c + f_m$ et $f_c - f_m$.
$f_c = 80\\,000\\ \\mathrm{Hz}$, $f_m = 3\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
$f_1 = f_c + f_m = 83\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
$f_2 = f_c - f_m = 76\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : raies spectrales à $76\\,500\\ \\mathrm{Hz}$ et $83\\,500\\ \\mathrm{Hz}$

2. Puissance totale du signal AM DSB-SC :
Formule : $P_{tot} = \\frac{A_c^2}{4R}\\mu^2$, avec $\\mu = \\frac{A_m}{A_c}$.
$A_m = 3$, $A_c = 15$, $R = 1$
$\\mu = \\frac{3}{15} = 0,2$
$P_{tot} = \\frac{15^2}{4} \\times 0,2^2 = \\frac{225}{4} \\times 0,04 = 56,25 \\times 0,04 = 2,25\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{tot} = 2,25\\ \\mathrm{W}$

3. Forme du signal en sortie du détecteur synchrone parfait :
La démodulation synchrone restitue le signal modulant multiplié par le gain.
Résultat : $v_{demod}(t) = 3 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t)$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un transmetteur radio utilise une modulation d’amplitude à bande latérale unique générée par la méthode du déphasage. Le signal modulant est $m(t) = 2 \\cos(2\\pi \\times 2\\,000\\, t)$ et la porteuse est $c(t) = 10 \\cos(2\\pi \\times 150\\,000\\, t)$.

1. Calculez la fréquence de la bande latérale transmise en bande latérale inférieure (BLU).
2. Déterminez la puissance du signal AM BLU si l’amplitude du signal transmis est de $7\\ \\mathrm{V}$.
3. Calculez la puissance restituée après démodulation synchrone parfaite.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquence de la bande latérale transmise en BLU :
$f_c = 150\\,000\\ \\mathrm{Hz}$, $f_m = 2\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Bande latérale inférieure : $f_{BLU} = f_c - f_m = 148\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $f_{BLU} = 148\\,000\\ \\mathrm{Hz}$

2. Puissance du signal AM BLU :
Formule pour BLU : $P_{BLU} = \\frac{A_{transmis}^2}{2R}$
$A_{transmis} = 7\\ \\mathrm{V}$, $R = 1\\ \\Omega$
$P_{BLU} = \\frac{49}{2} = 24,5\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{BLU} = 24,5\\ \\mathrm{W}$

3. Puissance restituée après démodulation :
La démodulation synchrone parfaite restitue le signal modulant, donc puissance immédiate de :$P_{demod} = \\frac{A_m^2}{2R}$
$A_m = 2\\ \\mathrm{V}$, $R = 1\\ \\Omega$
$P_{demod} = \\frac{4}{2} = 2\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{demod} = 2\\ \\mathrm{W}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un système génère un signal AM double bande latérale à porteuse supprimée (DSB-SC) pour transmettre un signal multifréquence. Le schéma indique la fréquence porteuse et les fréquences du message. 1. Calculer la puissance moyenne transmise pour une tension crête d'entrée et un coefficient de modulation maximum. 2. Déduire la bande passante requise du canal pour assurer une transmission sans distorsion. 3. Calculer les puissances latérales et interpréter leur répartition.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Puissance moyenne transmise DSB-SC
1. Formule générale : $P_{DSB-SC} = \\frac{m^2 A_c^2}{4R}$
2. Remplacement : $A_c=5\\,V,\\,m=1,0$, $R=75\\,\\Omega$
$P_{DSB-SC} = \\frac{1 \\times 25}{4 \\times 75} = \\frac{25}{300} = 0,083\\,W$
4. Résultat final : $P_{DSB-SC} = 83\\,mW$

Question 2 : Bande passante requise
1. Formule générale : $B = 2 f_{max,message}$
2. Remplacement : $f_{max,message} = 12\\,kHz$
3. Calcul : $B = 2 \\times 12\\,kHz = 24\\,kHz$
4. Résultat final : $B = 24\\,kHz$

Question 3 : Puissances latérales
1. Formule : Chaque bande latérale transmet $P_{lat} = \\frac{m^2 A_c^2}{8R}$
2. Remplacement : $A_c=5\\,V,\\,m=1,\\,R=75\\,\\Omega$
3. Calcul : $P_{lat} = \\frac{25}{600} = 0,0417\\,W$
4. Résultat final : Puissance par bande : $41,7\\,mW$, total = $83,4\\,mW$, confirmé par la somme
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une station utilise la modulation d’amplitude à bande latérale unique (AMBLU) pour transmettre efficacement l’information. Le schéma indique la fréquence centrale, la méthode de génération par déphasage et les filtres utilisés. 1. Calculer la bande passante occupée du signal transmis. 2. Déterminer l’atténuation nécessaire du filtre pour supprimer la bande indésirable à partir de ses caractéristiques. 3. Calculer la puissance utile transmise dans la bande sélectionnée, pour une tension efficace de sortie et une charge donnée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Bande passante SSB
1. Formule générale : $B_{AMBLU} = f_{max,info}$
2. Remplacement : $f_{max,info}=8\\,kHz$
3. Calcul : $B_{AMBLU} = 8\\,kHz$
4. Résultat final : $B_{AMBLU} = 8\\,kHz$

Question 2 : Atténuation du filtre
1. Formule générale : $A_{filtre} = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{V_{in}}{V_{out}} \\right)$
2. Remplacement : $V_{in}=2,60\\,V,\\,V_{out}=0,13\\,V$
3. Calcul : $A_{filtre} = 20\\log_{10}(2,60/0,13) = 20 \\log_{10}(20) \\approx 26,02\\,dB$
4. Résultat final : $A_{filtre} = 26,0\\,dB$

Question 3 : Puissance utile transmise
1. Formule : $P = \\frac{V_{rms}^2}{R}$
2. Remplacement : $V_{rms}=1,9\\,V,\\,R=45\\,\\Omega$
3. Calcul : $P = \\frac{1,9^2}{45} = \\frac{3,61}{45} = 0,080\\,W$
4. Résultat final : $P = 80,2\\,mW$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal audio de fréquence $f_m = 1{,}2\\,kHz$ et d’amplitude $A_m = 2\\,V$ module une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 80\\,kHz$ et d’amplitude $A_c = 18\\,V$ dans une structure AM à double bande latérale avec porteuse. \n- Le coefficient de modulation est réglé à $\\mu = 0{,}35$. \nQuestions intégrées :\n1) Écrivez l’expression temporelle complète du signal AM généré, en explicitant la formule.\n2) Calculez la puissance totale et la puissance de la porteuse du signal AM.\n3) Calculez l’amplitude et la puissance de chaque bande latérale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal AM
\nFormule générale : $V_{AM}(t) = A_c [1 + \\mu \\cos(2\\pi f_m t)]  \\cos(2\\pi f_c t)$
\nRemplacement : $V_{AM}(t) = 18 [1 + 0,35 \\cos(2\\pi \\times 1200 t)] \\cos(2\\pi \\times 80\\,000 t)$
\nRésultat final : $V_{AM}(t) = 18 [1 + 0,35 \\cos(2\\pi \\cdot 1200 t)] \\cos(2\\pi \\cdot 80\\,000 t)$
\n2. Puissance totale et puissance porteuse
\nFormules : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R}(1 + \\frac{\\mu^2}{2})$ et $P_{car} = \\frac{A_c^2}{2R}$ (supposons $R = 50\\,\\Omega$)
\n$P_{car} = \\frac{18^2}{2 \\times 50} = \\frac{324}{100} = 3,24\\,W$
\n$P_{AM} = 3,24 \\times (1 + \\frac{0,35^2}{2}) = 3,24 \\times (1 + 0,06125) = 3,24 \\times 1,06125$
\n$P_{AM} = 3,438\\,W$
\nRésultat final : $P_{car} = 3,24\\,W$, $P_{AM} = 3,44\\,W$
\n3. Amplitude et puissance des bandes latérales
\nFormule amplitude : $A_{lat} = \\frac{\\mu A_c}{2}$\nRemplacement : $A_{lat} = \\frac{0,35 \\times 18}{2} = 3,15\\,V$
\nFormule puissance bande latérale (une bande): $P_{lat} = P_{car} \\frac{\\mu^2}{4}$
\n$P_{lat} = 3,24 \\times \\frac{0,35^2}{4} = 3,24 \\times 0,030625 = 0,099\\,W$
\nRésultat final : $A_{lat} = 3,15\\,V$, $P_{lat} = 99\\,mW$ par bande latérale
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une modulation d’amplitude à porteuse supprimée est utilisée pour transmettre un signal de fréquence $f_m = 4\\,kHz$ par une porteuse à $f_c = 150\\,kHz$ avec un modulateur équilibré. \n- Amplitude du signal d’information $A_m = 1,6\\,V$\n- Amplitude de la porteuse (avant suppression) $A_c = 14\\,V$\n- Le coefficient de modulation est $\\mu = 0,85$.\nQuestions intégrées :\n1) Calculez l’amplitude et l’expression spectrale des deux principales composantes du signal (bande latérale).\n2) Calculez la puissance totale transmise après suppression de porteuse ($R = 75\\,\\Omega$).\n3) Déterminez la fréquence de sortie après démodulation synchrone si la porteuse est rétablie en réception.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Amplitude et expression spectrale
\nDans AM-DSB-SC, les composantes sont sur $f_c+f_m$ et $f_c-f_m$.\nFormule amplitude: $A_{BL} = \\frac{\\mu A_c}{2}$
\nRemplacement : $A_{BL} = \\frac{0,85 \\times 14}{2} = 5,95\\,V$
\nExpression spectrale :\n- Deux pics : $f_+ = 154\\,kHz$; $f_- = 146\\,kHz$ avec amplitude 5,95\\,V
\nRésultat : band.png gauche droite à $f_c \\pm f_m$, $A_{BL} = 5,95\\,V$ par latérale
\n2. Puissance totale transmise
\nFormule : $P_{AMDSBSC} = \\frac{(\\mu A_c)^2}{4R}$
\nRemplacement : $P_{AMDSBSC} = \\frac{(0,85 \\times 14)^2}{4 \\times 75}$
\nCalcul : $(11,9)^2 = 141,6$; $P_{AMDSBSC} = \\frac{141,6}{300} = 0,472\\,W$
\nRésultat final : $P_{AMDSBSC} = 472\\,mW$
\n3. Fréquence de sortie après démodulation synchrone
\nLe démodulateur reconstitue $f_m$ après multiplication et filtrage :\nRésultat final : fréquence à la sortie :$f_{out} = f_m = 4\\,kHz$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une transmission AM à bande latérale unique (BLU) est réalisée par la méthode du déphasage. Un signal vocal de fréquence $f_m = 2{,}4\\,kHz$ module une porteuse de fréquence $f_c = 120\\,kHz$ avec des filtres idéaux et un déphaseur parfait. \n- Amplitude message $A_m = 2,5\\,V$\n- Amplitude porteuse $A_c = 20\\,V$\n- Rendement énergétique à la réception : $\\eta = 98\\,\\%$.\nQuestions intégrées :\n1) Calculez la largeur spectrale du signal AMBLU généré.\n2) Calculez la puissance du signal BLU reçu sur une charge de $R = 125\\,\\Omega$.\n3) Après démodulation non cohérente par détecteur d’enveloppe, déterminez la plage dynamique du signal obtenu si le bruit en sortie est de 60\\,mV crête à crête.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur spectrale BLU
\nFormule BLU : $\\Delta f_{BLU} = B_m$ (\n$B_m$ = largeur du message : $f_m$)
\nRésultat final : $\\Delta f_{BLU} = 2,4\\,kHz$
\n2. Puissance du signal BLU reçu
\nFormule : $P_{BLU} = \\eta \\frac{\\mu^2 A_c^2}{4R}$ ($\\mu = 1$ maximum BLU, rendement $\\eta$)
\n$P_{BLU} = 0,98 \\times \\frac{1 \\times (20)^2}{4 \\times 125} = 0,98 \\times \\frac{400}{500}$
\n$P_{BLU} = 0,98 \\times 0,8 = 0,784\\,W$
\nRésultat final : $P_{BLU} = 784\\,mW$
\n3. Plage dynamique du signal obtenu
\nFormule : Plage dynamique $D = \\frac{A_{signal}}{A_{bruit}}$
\n$A_{signal} = A_m = 2,5\\,V$; $A_{bruit} = 60\\,mV$
\n$D = \\frac{2,5}{0,060} = 41,7$
\nRésultat final : $D = 41,7$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal modulé en amplitude est généré à partir d'un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 1,1\\,kHz$ et d'une porteuse de fréquence $f_c = 15,0\\,kHz$. Le modulateur délivre un signal AM selon $s_{AM}(t) = [A_c + A_m \\cos(2\\pi f_m t)] \\cos(2\\pi f_c t)$, où $A_c = 6,2\\,V$ et $A_m = 2,8\\,V$.\n1. Calculez le taux de modulation.ModulateurSignal modulantPorteuseAM(t)Vers charge R",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Taux de modulation : $m = \\frac{A_m}{A_c}$
Remplacement : $m = \\frac{2,8}{6,2}$
Calcul : $m = 0,452$
Résultat : $m = 45,2\\,\\%$
Question 2 :
Formule puissance totale AM : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R} (1 + \\frac{m^2}{2})$
Remplacement : $P_{AM} = \\frac{6,2^2}{2 \\times 60} (1 + \\frac{0,452^2}{2})$
$6,2^2 = 38,44$, $2 \\times 60 = 120$, $0,452^2 = 0,204$, $0,204/2=0,102$
$P_{AM} = \\frac{38,44}{120}(1+0,102)$
$38,44/120 = 0,320$, $1+0,102 = 1,102$, $0,320 \\times 1,102 = 0,353$
Résultat : $P_{AM} = 0,353\\,W$
Question 3 :
Amplitude des raies :
- Porteuse : $A_c = 6,2\\,V$
- Bande latérale supérieure : $\\frac{A_m}{2} = \\frac{2,8}{2} = 1,4\\,V$
- Bande latérale inférieure : $1,4\\,V$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un système de télécommunication transmet un signal AM à double bande latérale à porteuse supprimée. Le signal modulant a une fréquence $f_m = 800\\,Hz$ et une amplitude $A_m = 1,6\\,V$. Le générateur de porteuse fournit une amplitude de $A_c = 4,0\\,V$ à la fréquence $f_c = 18,0\\,kHz$. \n1. Calculez l’expression mathématique du signal modulé AM DSB-SC.\n2. Déterminez, par analyse spectrale, les fréquences et amplitudes des composantes résultantes dans le signal.\n3. Si le signal est soumis à une démodulation cohérente parfaite, trouvez l’amplitude du signal démodulé à la sortie.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Expression mathématique :
$s(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\cdot A_c \\cos(2\\pi f_c t)$
Utilisation de la formule produit cosinus :
$\\cos(\\alpha)\\cos(\\beta) = \\frac{1}{2}[\\cos(\\alpha - \\beta) + \\cos(\\alpha + \\beta)]$
Remplacement :
$s(t) = 1,6 \\cdot 4,0 \\cdot \\cos(2\\pi f_m t)\\cos(2\\pi f_c t) = 6,4 \\cdot \\frac{1}{2}[\\cos(2\\pi (f_c - f_m) t) + \\cos(2\\pi (f_c + f_m) t)]$
$s(t) = 3,2\\,[\\cos(2\\pi 17\\,200\\,t) + \\cos(2\\pi 18\\,800\\,t)]$
Question 2 :
Analyse spectrale :
Fréquences : $f_c - f_m = 18,000 - 0,800 = 17,200\\,Hz$, $f_c + f_m = 18,800\\,Hz$
Amplitude de chaque raie : $3,2\\,V$ pour chaque.
Question 3 :
Après démodulation cohérente parfaite on retrouve l’amplitude du signal modulant : $A_m = 1,6\\,V$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un oscillographe affiche un signal AM à bande latérale unique généré par la méthode du déphasage. La porteuse utilisée est de fréquence $f_c = 25,0\\,kHz$ et le signal modulant est de fréquence $f_m = 2,8\\,kHz$. L’amplitude du signal BLIU est mesurée à $V_{BLU} = 3,1\\,V$. Lors de la réception, le signal passe par un détecteur d’enveloppe ayant une résistance de charge $R = 220\\,\\Omega$ et un condensateur de $C = 4,3\\,\\mu F$.\n1. Calculez la fréquence centrale et la bande passante du signal BLU.\n2. Déterminez la constante de temps du détecteur d’enveloppe.\n3. Calculez la puissance moyenne reçue par le détecteur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Fréquence centrale BLU : $f_{BLU} = f_c + f_m = 25,0\\,kHz + 2,8\\,kHz = 27,8\\,kHz$
Bande passante (théorique BLU) : égale à celle du signal modulant : $B = f_m = 2,8\\,kHz$
Question 2 :
Constante de temps : $\\tau = RC$
Remplacement : Calcul : $\\tau = 220 \\times 4,3\\times 10^{-6} = 946\\times 10^{-6} = 0,946\\,ms$
Question 3 :
Puissance moyenne :
$P = \\frac{V_{BLU}^2}{2R}$
Remplacement : $3,1^2 = 9,61$, $2\\times220 = 440$, $9,61/440 = 0,0218\\,W$
Résultat : ",
    "id_category": "4",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 1 : Puissance et spectre d'un signal modulé en amplitude\nOn souhaite transmettre un signal audio analogique de fréquence maximale $f_m = 6\\,kHz$ par modulation d’amplitude double bande latérale avec porteuse, sur une sous-porteuse de $f_c = 100\\,kHz$.\n\nLe signal audio a une amplitude crête $A_m = 2.5\\,V$; la porteuse a une amplitude crête $A_c = 8.0\\,V$. On utilise une modulation à profondeur $m=0.82$.\n\n1. Calculez l’expression temporelle complète du signal AM obtenu.\n2. Déterminez la puissance totale du signal AM sur une charge de $R = 50\\,\\Omega$.\n3. Calculez et tracez (schéma SVG requis) la structure spectrale du signal AM, précision : fréquences et amplitudes de chaque composante.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal AM :
\nFormule générale : $s_{AM}(t) = A_c [1 + m \\cos(2\\pi f_m t)] \\cos(2\\pi f_c t)$
\nDonnées : $A_c = 8.0$, $m=0.82$, $f_m=6\\,kHz$, $f_c=100\\,kHz$
\nRemplacement : $s_{AM}(t) = 8.0 [1 + 0.82 \\cos(2\\pi \\times6\\,000 t)] \\cos(2\\pi \\times 100\\,000 t)$
\nRésultat final : $s_{AM}(t) = 8.0 [1 + 0.82 \\cos(12\\,000 \\pi t)] \\cos(200\\,000 \\pi t)$\n\n2. Puissance totale du signal AM :
\nFormule : $P_{tot} = \\frac{A_c^2}{2R}\\left(1+\\frac{m^2}{2}\\right)$
\n$A_c=8.0$, $m=0.82$, $R=50$
\nCalcul intermédiaire : $m^2/2 = 0.82^2/2 = 0.6724/2 = 0.3362$
\n$\\frac{A_c^2}{2R} = \\frac{64}{100} = 0.64$
\n$P_{tot}=0.64 \\times (1+0.3362)=0.64 \\times 1.3362 = 0.855$
\nRésultat final : $P_{tot}=0.855\\,W$\n\n3. Structure spectrale du signal AM :
\nComposantes : 
\n- Porteuse à $f_c=100\\,kHz$ amplitude $=A_c/2=4.0\\,V$\n- Bandes latérales à $f_c\\pm f_m=94,\\,106\\,kHz$ amplitude $A_c m / 4 = 8.0 \\times 0.82 /4 = 1.64\\,V$
\nRésultat final : 
\n- Fréquences : $\\{94\\,kHz,\\;100\\,kHz,\\;106\\,kHz\\}$\n- Amplitudes : Porteuse $4.0\\,V$, chaque bande latérale $1.64\\,V$\n
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 3 : Modulation à bande latérale unique et démodulation par détecteur d’enveloppe\nOn réalise un système radio AMBLU (modulation d’amplitude à bande latérale unique) pour la transmission vocale, en utilisant la méthode du déphasage.\nDonnées du montage : \n- Porteuse $f_c=325\\,kHz$\n- Bande audio utile $0.5\\,kHz\\leq f_m \\leq 14\\,kHz$\n- Amplitude crête du signal modulé AMBLU $A_{AMBLU}=1.38\\,V$\n- Charge d’antenne $R=75\\,\\Omega$\nAu niveau de la réception, un détecteur d’enveloppe non synchrone est utilisé avec une charge résistive identique.\n1. Calculez l’expression temporelle d’un signal AMBLU centré sur la bande supérieure pour $f_m=8.2\\,kHz$.\n2. Déterminez la puissance efficace à l’antenne pour $A_{AMBLU}$ donnée.\n3. Au niveau de la démodulation, calculez la tension efficace du signal audio restitué sur la charge résistive.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle AMBLU (bande supérieure,  $f_m=8.2\\,kHz$
\nPour AMBLU bande supérieure : $s_{AMBLU,BU}(t)=A_{AMBLU}\\cos[2\\pi(f_c+f_m)t]$
\nDonnées : $f_c=325,000$, $f_m=8,200$, $A_{AMBLU}=1.38$\n$f_c+f_m=333,200\\,Hz$
\nRésultat final : $s_{AMBLU,BU}(t)=1.38\\cos(666,400\\pi t)$\n\n2. Puissance efficace à l’antenne
\n$P_{eff}=\\frac{A_{AMBLU}^2}{2R}$\n$A_{AMBLU}=1.38$, $R=75$
\n$P_{eff}=1.38^2/(2\\times75)=1.9044/150=0.0127\\,W$\nRésultat : $P_{eff}=12.7\\,mW$\n\n3. Tension efficace démodulée
\nDémodulateur d’enveloppe : tension crête = amplitude crête audio\n$V_{eff}=A_{AMBLU}/\\sqrt{2}=1.38/1.414=0.976\\,V$\nRésultat : $V_{eff}=0.98\\,V$\n
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal analogique $s(t) = 3\\cos(2\\pi 4\\,\\mathrm{kHz}\\, t)$ est transmis par un système de modulation d’amplitude double bande latérale avec porteuse (AM DSB-FC). Le signal porteur utilisé est $p(t) = 10\\cos(2\\pi 40\\,\\mathrm{kHz}\\, t)$.\\n1. Calculez l’indice de modulation $m$ associé à ce signal et donnez l’expression temporelle du signal modulé.\\n2. Déterminez la puissance totale du signal AM émis.\\n3. Déterminez les fréquences présentes et les amplitudes des raies spectrales du signal AM, et tracez le schéma du spectre correspondant.",
    "svg": "cfc-fmfc+fmporteuseFréquence (Hz)",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Indice de modulation et signal AM :
Formule générale : $m = \\frac{A_m}{A_p}$
Remplacement : $A_m = 3$, $A_p = 10$
Calcul : $m = \\frac{3}{10} = 0.3$
Résultat : $m = 0.3$
Expression temporelle : $s_{AM}(t) = (1 + 0.3 \\cos(2\\pi 4000 t)) \\times 10 \\cos(2\\pi 40000 t)$

2. Puissance totale émise :
Formule : $P_{tot} = \\frac{A_p^2}{2} \\left(1 + \\frac{m^2}{2}\\right)$
Remplacement : $A_p = 10$, $m = 0.3$
Calcul intermédiaire : $\\frac{10^2}{2} = 50$, $1 + \\frac{0.09}{2} = 1.045$
$P_{tot} = 50 \\times 1.045 = 52.25~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{tot} = 52.3~\\mathrm{W}$

3. Fréquences présentes et amplitudes des raies :
La porteuse :$f_c = 40~\\mathrm{kHz}$, amplitude $10$
Bande latérale inférieure : $f_c - f_m = 36~\\mathrm{kHz}$, amplitude $\\frac{m}{2}A_p = \\frac{0.3}{2} \\times 10 = 1.5$
Bande latérale supérieure : $f_c + f_m = 44~\\mathrm{kHz}$, amplitude $1.5$
Spectre : porteuse (10) à 40~kHz, bandes latérales (1.5) à 36~kHz et 44~kHz.
Voir le schéma SVG.
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal message sinusoïdal de fréquence $f_m = 5~\\mathrm{kHz}$ module une porteuse de fréquence $f_c = 120~\\mathrm{kHz}$ selon une modulation d’amplitude à double bande latérale à porteuse supprimée (DSB-SC), par un multiplicateur équilibré. Le signal porteuse a une amplitude $A_p = 14~\\mathrm{V}$ et le message une amplitude $A_m = 5~\\mathrm{V}$.\\n1. Écrivez l'expression temporelle du signal modulé (DSB-SC).\\n2. Déterminez la puissance moyenne du signal émis.\\n3. Après propagation sur un canal, le signal reçoit des bruits à 100~kHz et 125~kHz (amplitude 3~V chaque). Après démodulation synchrone, calculez la valeur efficace du signal utile détecté.",
    "svg": "c-fm (115kHz)fc+fm (125kHz)Bruit 100kHzBruit 125kHz",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle DSB-SC :
Formule : $s(t) = A_m \\cos(2\\pi f_mt) \\cdot A_p \\cos(2\\pi f_ct)$
Remplacement : $A_m = 5$, $f_m = 5,000$, $A_p = 14$, $f_c = 120,000$
On exprime :
Produit trigonométrique : $s(t) = 70 \\cos(2\\pi(f_c + f_m)t) + 70 \\cos(2\\pi(f_c - f_m)t)$
$s_{DSB-SC}(t) = 70 \\cos(2\\pi 125,000\\, t) + 70 \\cos(2\\pi 115,000\\, t)$

2. Puissance moyenne émise :
Formule : $P = \\frac{A_m^2 A_p^2}{8}$
Remplacement : $P = \\frac{5^2 \\times 14^2}{8} = \\frac{25 \\times 196}{8} = \\frac{4900}{8} = 612.5~\\mathrm{W}$
Résultat : $P = 612.5~\\mathrm{W}$

3. Signal détecté après démodulation synchrone :
Après multiplication et filtrage, le signal utile retrouve l’amplitude $\\frac{A_m}{2}$.
Valeur efficace : $V_{eff} = \\frac{A_m}{2\\sqrt{2}}$
Remplacement : $V_{eff} = \\frac{5}{2\\sqrt{2}} = \\frac{5}{2.828} = 1.77~\\mathrm{V}$
Résultat : $V_{eff} = 1.77~\\mathrm{V}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Dans une modulation d’amplitude à bande latérale unique (AMBLU), un signal rencontre une porteuse de fréquence $f_c = 20~\\mathrm{kHz}$ et un signal message de $f_m = 2~\\mathrm{kHz}$. Pour la production AMBLU, on utilise la méthode du déphasage avec un réseau de Hilbert.\\n1. Calculez la largeur spectrale du signal AMBLU obtenu pour un signal message de bande passante $B_m = 4~\\mathrm{kHz}$.\\n2. Pour une amplitude de porteuse de $A_p = 6~\\mathrm{V}$ et un message de $A_m = 3~\\mathrm{V}$, calculez la puissance moyenne du signal AMBLU.\\n3. Le signal AMBLU, après transmission, est reçu avec un affaiblissement de $-12~\\mathrm{dB}$. Calculez le niveau de puissance reçu.",
    "svg": "cB_m = 4~kHz",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur spectrale :
Pour l’AMBLU, la largeur spectrale est égale à la bande du message : $\\Delta f = B_m$
Remplacement : $B_m = 4~\\mathrm{kHz}$
Résultat : $\\Delta f = 4~\\mathrm{kHz}$

2. Puissance moyenne AMBLU :
Formule : $P_{AMBLU} = \\frac{A_p^2}{4} + \\frac{A_m^2}{8}$
Remplacement : $A_p = 6$, $A_m = 3$
$\\frac{6^2}{4} = 9$, $\\frac{9}{8} = 1.125$
$P_{AMBLU} = 9 + 1.125 = 10.125~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{AMBLU} = 10.1~\\mathrm{W}$

3. Puissance reçue après affaiblissement :
Formule : $P_{r} = P_{AMBLU} \\cdot 10^{a/10}$ ($a$ en dB négatifs)
Remplacement : $P_{r} = 10.125 \\times 10^{-12/10} = 10.125 \\times 0.0631 = 0.639~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{r} = 0.64~\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 1 — Spectre et puissance d’un signal AM à porteuse\nUn signal analogique de message $m(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t)$ avec $A_m = 2,5\\,\\mathrm{V}$ et $f_m = 2,2\\, \\mathrm{kHz}$ module une porteuse centrale de $A_c = 8\\,\\mathrm{V}$ et $f_c = 100\\,\\mathrm{kHz}$ selon le schéma classique à double bande latérale avec porteuse.\n1. Calculez la forme temporelle du signal modulé pour une modulation d’indice $\\mu = 0,80$.\n2. Calculez la puissance totale moyenne du signal AM généré (supposez une charge de $R = 50\\,\\Omega}$).\n3. Déterminez le spectre fréquentiel en précisant les amplitudes des composantes spectrales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule — Le signal AM : $s(t) = A_c [1 + \\mu \\cos(2 \\pi f_m t)] \\cos(2 \\pi f_c t)$.
2. Remplacement : $A_c = 8\\,\\mathrm{V}$, $\\mu = 0,80$, $f_m = 2,2\\,\\mathrm{kHz}$, $f_c = 100\\,\\mathrm{kHz}$
3. Calcul : $s(t) = 8 [1 + 0,8 \\cos(2 \\pi \\times 2200\\, t)] \\cos(2 \\pi \\times 100\\,000\\, t)$
4. Résultat final : $s(t) = 8 [1 + 0,8 \\cos(13\\,820\\, t)] \\cos(628\\,318\\, t)$

Question 2
1. Formule — Puissance totale : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R}[1 + \\frac{\\mu^2}{2}]$
2. Remplacement : $A_c = 8$; $\\mu = 0,80$; $R = 50$
3. Calcul : $\\frac{8^2}{2 \\times 50} [1 + \\frac{0,8^2}{2}] = \\frac{64}{100}[1 + 0,32] = 0,64 \\times 1,32 = 0,845\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{AM} = 0,85\\,\\mathrm{W}$

Question 3
1. Formule : Spectre composé de trois raies : $f_c$, $f_c + f_m$, $f_c - f_m$. Amplitudes : porteuse $A_c$, chaque bande latérale $\\frac{\\mu A_c}{2}$
2. Calcul : $A_c = 8\\,\\mathrm{V}$; $\\mu = 0,8$; Bande latérale : $0,4 \\times 8 = 3,2\\,\\mathrm{V}$
3. Fréquences : 100 kHz (porteuse), 102,2 kHz et 97,8 kHz (BLU et BLI)
4. Résultat final : Spectre = $\\{ (f_c=100\\,\\mathrm{kHz},\\, 8\\,\\mathrm{V}),\\; (f_c+f_m=102\\,{,}2\\,\\mathrm{kHz},\\, 3,2\\,\\mathrm{V}),\\; (f_c-f_m=97,{,}8\\,\\mathrm{kHz},\\, 3,2\\,\\mathrm{V}) \\}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 2 — Génération et analyse d’un signal AM à porteuse supprimée (DSB-SC)\nUn système de modulation utilise un multiplieur équilibré pour générer une modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse supprimée. À l’entrée, $m(t) = 1{,}6 \\cos(2\\pi \\times 3{,}5\\,\\mathrm{kHz}\\,t)$, $A_c = 6\\,\\mathrm{V}$, $f_c = 64\\,\\mathrm{kHz}$.\n1. Écrivez la forme temporelle mathématique complète du signal généré par modulation DSB-SC.\n2. Calculez la puissance moyenne transmise, charge de $R = 75\\,\\Omega}$.\n3. Déterminez les fréquences et amplitudes des raies spectrales principales.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule — DSB-SC : $s_{DSB-SC}(t) = m(t) \\cdot A_c \\cos(\\omega_c t)$
2. Remplacement : $m(t) = 1,6 \\cos(2\\pi \\times 3,5\\,\\mathrm{kHz}\\,t)$, $A_c = 6\\,\\mathrm{V}$, $f_c = 64\\,\\mathrm{kHz}$
3. Calcul : $s(t) = 1,6 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t) \\cdot 6 \\cos(2\\pi \\times 64\\,000\\, t)$
4. Résultat final : $s(t) = 9,6 \\cos(2\\pi \\times 3\\,500\\, t) \\cos(2\\pi \\times 64\\,000\\, t)$
L'identité trigonométrique donne
$s(t) = 4,8 [\\cos(2\\pi \\times 67\\,500\\,t) + \\cos(2\\pi \\times 60\\,500\\,t)]$

Question 2
1. Formule — Puissance moyenne : pour DSB-SC, $P_{DSB-SC} = \\frac{A_c^2 A_m^2}{8R}$
2. Remplacement : $A_c = 6$, $A_m = 1,6$, $R = 75$
3. Calcul : $\\frac{6^2 \\times 1,6^2}{8 \\times 75} = \\frac{36 \\times 2,56}{600} = \\frac{92,16}{600} = 0,154\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{DSB-SC} = 0,15\\,\\mathrm{W}$

Question 3
1. Formule — Raies spectrales : fréquences $f_c \\pm f_m$; amplitudes $\\frac{A_c A_m}{2}$
2. Calcul : $\\frac{6 \\times 1,6}{2} = 4,8\\,\\mathrm{V}$
3. Fréquences : 67,5 kHz et 60,5 kHz
4. Résultat final : Raies spectrales : $\\{ (f=67,5\\,\\mathrm{kHz},\\, 4,8\\,\\mathrm{V}),\\; (f=60,5\\,\\mathrm{kHz},\\, 4,8\\,\\mathrm{V}) \\}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 3 — Modulation et démodulation AMBLU (Bande latérale unique)\nUn signal message $m(t) = 3,1 \\sin(2\\pi \\times 2,95\\,\\mathrm{kHz}\\, t)$ module une porteuse de $A_c = 3\\,\\mathrm{V}$, $f_c = 120\\,\\mathrm{kHz}$ par méthode du déphasage pour obtenir une modulation AMBLU.\n1. Calculez la forme mathématique du signal AMBLU en sortie (hypothèse : BLU supérieure transmise).\n2. Calculez la puissance moyenne dans $R = 60\\,\\Omega}$ pour ce signal, en considérant l’absence de porteuse et BLU uniquement.\n3. Simulez la démodulation cohérente de ce signal, et calculez l’amplitude du message reconstitué (idéal, sans bruit).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule — BLU supérieure : $s_{BLU}(t) = A_m \\sin(2\\pi f_m t) \\cos(2\\pi f_c t) + A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\sin(2\\pi f_c t)$
Identité : $s_{BLU}(t) = A_m \\sin[2\\pi (f_c + f_m) t]$
2. Remplacement : $A_m = 3,1$, $f_m = 2,95\\,\\mathrm{kHz}$, $f_c = 120\\,\\mathrm{kHz}$
3. Calcul : $s_{BLU}(t) = 3,1 \\sin[2\\pi \\times 122,95\\,\\mathrm{kHz}\\,t]$
4. Résultat final : $s_{BLU}(t) = 3,1 \\sin(771\\,988\\,t)$

Question 2
1. Formule — Puissance BLU : $P_{BLU} = \\frac{A_m^2}{2R}$
2. Remplacement : $A_m = 3,1$, $R = 60$
3. Calcul : $P_{BLU} = \\frac{3,1^2}{2 \\times 60} = \\frac{9,61}{120} = 0,080\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{BLU} = 0,08\\,\\mathrm{W}$

Question 3
1. Formule — Démodulation synchrone : signal BLU mélange avec porteuse cosinus : $s_{dem}(t) = s_{BLU}(t) \\cdot \\cos(2\\pi f_c t)$
2. Calcul : $s_{dem}(t) = 3,1 \\sin[2\\pi (f_c + f_m) t] \\cdot \\cos(2\\pi f_c t)$
Identité trigonométrique : $\\sin(A + B) \\cos(A) = \\frac{1}{2} [\\sin(2A + B) + \\sin(B)]$
On conserve la composante basse fréquence : $\\frac{3,1}{2} \\sin(2\\pi f_m t)$.
3. Résultat final : Amplitude reconstituée $A_m/2 = 1,55\\,\\mathrm{V}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal basse fréquence $s(t) = 3\\cos(2\\pi 2000\\,t)$ est modulé en amplitude par une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 120~\\text{kHz}$ et d’amplitude $A_c = 7~\\text{V}$. Le coefficient de modulation $m = 0,6$.\n\n1) Écrivez l’équation du signal modulé en amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM) en fonction de $t$.\n2) Calculez la puissance moyenne totale du signal AM généré.\n3) Calculez la puissance présente dans chaque bande latérale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale : $V_{AM}(t) = A_c[1 + m \\cos(2 \\pi f_m t)] \\cos(2 \\pi f_c t)$
2. Remplacement des données : $V_{AM}(t) = 7 [1 + 0,6 \\cos(2\\pi\\times2000~t)] \\cos(2\\pi\\times120000~t)$
3. Aucun calcul à faire ici
4. Résultat final : $V_{AM}(t) = 7\\left[1 + 0,6 \\cos(4000\\pi t)\\right] \\cos(240000\\pi t)$
Question 2
1. Puissance AM totale : $P_{AM} = \\frac{A_c^2}{2R}\\left[1 + \\frac{m^2}{2}\\right]$
2. Remplacement : prenons $R = 50~\\Omega$ (valeur-pratique standard)
$A_c = 7~\\text{V}; m = 0,6$
$P_{AM} = \\frac{49}{100} (1 + \\frac{0,36}{2}) = 0,49 (1 + 0,18) = 0,49 \\times 1,18 = 0,5782~\\text{W}$
3. Calcul : $\\frac{7^2}{2\\times 50} = \\frac{49}{100} = 0,49;\\ \\frac{0,6^2}{2} = 0,18$
4. Résultat final : $P_{AM} \\approx 578~\\text{mW}$
Question 3
1. Puissance dans chaque bande latérale : $P_{BL} = \\frac{A_c^2 m^2}{8R}$
2. Remplacement : $P_{BL} = \\frac{49 \\times 0,36}{400} = \\frac{17,64}{400} = 0,0441~\\text{W}$
3. Calcul : $0,0441~\\text{W} = 44,1~\\text{mW}$
4. Résultat final : $P_{BL} \\approx 44,1~\\text{mW}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "On génère un signal AM à bande latérale unique (AMBLU) par la méthode du déphasage. Le message modulant $m(t) = 4\\cos(2\\pi 1500\\,t)$ est appliqué à une porteuse de fréquence $f_c = 76~\\text{kHz}$ et d’amplitude $A_c = 6~\\text{V}$.\n\n1) Écrivez l’expression du signal AMBLU dans le domaine temporel résultant par la méthode du déphasage.\n2) Calculez la puissance du signal AMBLU si la charge est $R = 47~\\Omega$.\n3) Déterminez quantitativement la bande passante nécessaire pour transmettre ce signal AMBLU.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. L’expression temporelle AMBLU obtenue (méthode du déphasage) est :$V_{AMBLU}(t) = A_c \\cos(2\\pi f_c t) \\cos(2\\pi f_m t) - A_c \\sin(2\\pi f_c t) \\sin(2\\pi f_m t)$, soit la bande latérale supérieure : $V_{AMBLU}(t) = A_c \\cos[2\\pi(f_c + f_m)t]$
2. Remplacement des données : $V_{AMBLU}(t) = 6 \\cos[2\\pi(76\\,000 + 1\\,500)t] = 6 \\cos[2\\pi 77\\,500~t]$
3. Final : $V_{AMBLU}(t) = 6 \\cos(155\\,000\\pi t)$
Question 2
1. Puissance AMBLU (tension efficace) :$P_{AMBLU} = \\frac{A_c^2}{2R}$
2. Remplacement : $P_{AMBLU} = \\frac{36}{2\\times47}$
3. Calcul : $36 / 94 = 0,383~\\text{W}$
4. Résultat final : $P_{AMBLU} \\approx 383~\\text{mW}$
Question 3
1. Bande passante nécessaire pour AMBLU : $B = f_m$
2. Remplacement : $B = 1,5~\\text{kHz}$
3. Calcul aucun complément
4. Résultat final : $B = 1,5~\\text{kHz}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un signal modulé AM à double bande latérale et porteuse supprimée (DSB-SC) est obtenu à partir de $m(t) = 2\\cos(2\\pi 1000\\,t)$ modulant une porteuse d’amplitude $A_c = 5~\\text{V}$ de fréquence $f_c = 41~\\text{kHz}$.\n\n1) Donnez l’expression temporelle du signal DSB-SC.\n2) Calculez la puissance moyenne transmise au travers d’une charge résistive de $R = 64~\\Omega$.\n3) Calculez la valeur maximale du signal démodulé obtenu par démodulation synchrone.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Expression du signal DSB-SC :$V_{DSB-SC}(t) = m(t) \\cdot A_c \\cos(2\\pi f_c t)$
2. Remplacement :$V_{DSB-SC}(t) = 2 \\cos(2\\pi 1000~t) \\cdot 5 \\cos(2\\pi 41~000~t)$
3. Forme développée via formules trigonométriques :$2\\cdot5 = 10$
$V_{DSB-SC}(t) = 5 [ \\cos(2 \\pi(42~000~t)) + \\cos(2 \\pi(40~000~t)) ]$
4. Résultat final :$V_{DSB-SC}(t) = 5 \\cos(84~000\\pi t) + 5 \\cos(80~000\\pi t)$
Question 2
1. Puissance moyenne DSB-SC :$P_{DSB-SC} = \\frac{A_c^2}{4R} \\, m^2$
2. Remplacement :$A_c = 5, R = 64, m = 1$ (modulation totale)
$P_{DSB-SC} = \\frac{25}{256}$
3. Calcul :$25 / 256 = 0,0977~\\text{W} = 97,7~\\text{mW}$
4. Résultat final :$P_{DSB-SC} \\approx 97,7~\\text{mW}$
Question 3
1. Démodulation synchrone : le signal retrouvé$V_{dém}(t) = m(t)A_c$
2. Valeur maximale :$|m(t)A_c|_{max} = 2 \\times 5 = 10~\\text{V}$
3. Explication :$2~\\text{V}~(amplitude~max~m(t)) \\times 5~\\text{V}$
4. Résultat final :$V_{dém,max} = 10~\\text{V}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un système de télécommunication transmet un signal analogique d’amplitude maximale $V_m = 2,4\\ \\mathrm{V}$ et de bande passante $B = 5,5\\ \\mathrm{kHz}$, avec une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 180\\ \\mathrm{kHz}$ et d’amplitude $V_c = 8,0\\ \\mathrm{V}$.\n1. Calculez l’indice de modulation en amplitude de ce système.\n2. Déterminez la puissance totale du signal AM généré.\n3. Calculez les fréquences de la bande spectrale transmise et la bande passante requise.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Indice de modulation en amplitude :
Formule : $m = \\frac{V_m}{V_c}$
Remplacement : $m = \\frac{2,4}{8,0}$
Calcul : $0,3$
Résultat final : $\\boxed{0,30}$

2. Puissance totale du signal AM :
Formule : $P_{AM} = P_c \\left[1 + \\frac{m^2}{2}\\right]$
Puissance porteuse : $P_c = \\frac{V_c^2}{2R}$ (on suppose $R = 50\\ \\Omega$ standard)
$V_c = 8,0\\ \\mathrm{V}$, $R = 50\\ \\Omega$
Calcul : $P_c = \\frac{8^2}{2\\times50} = \\frac{64}{100} = 0,64\\ \\mathrm{W}$
Remplacement AM : $P_{AM} = 0,64\\left[1 + \\frac{0,3^2}{2}\\right]$
$0,3^2 = 0,09 ; 0,09/2 = 0,045 ; 1 + 0,045 = 1,045$
$0,64 \\times 1,045 = 0,669\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{0,669\\ \\mathrm{W}}$

3. Fréquences de la bande spectrale et bande passante exigée :
Formule : $f_L = f_c - B,\\quad f_H = f_c + B$
Remplacement : $f_L = 180\\,000 - 5\\,500 = 174\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
$f_H = 180\\,000 + 5\\,500 = 185\\,500\\ \\mathrm{Hz}$
Bande passante : $2B = 2 \\times 5\\,500 = 11\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $[174\\,500\\ \\mathrm{Hz},\\ 185\\,500\\ \\mathrm{Hz}]$, bande passante $\\boxed{11\\ \\mathrm{kHz}}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un modulateur d’amplitude à porteuse supprimée (DSB-SC) doit transmettre un signal de fréquence $f_s = 4,2\\ \\mathrm{kHz}$. Le générateur de porteuse est à $f_c = 105\\ \\mathrm{kHz}$ et l’amplitude initiale du signal est $A_m = 1,0\\ \\mathrm{V}$.\n1. Calculez l’expression mathématique du signal modulé à double bande latérale porteuse supprimée.\n2. Déterminez le spectre de fréquences obtenu à la sortie du modulateur et esquissez ses bornes principales.\n3. Si ce signal est envoyé sur un canal de $R = 100\\ \\Omega$, quelle est la puissance moyenne transmise si le gain du modulateur est $k = 2{,}0$ (sortie : $2A_m\\cos(2\\pi f_c t)\\cos(2\\pi f_s t)$) ?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression mathématique du signal modulé DSB-SC :
Formule générale : $s_{DSB}(t) = k A_m \\cos(2\\pi f_s t) \\cos(2\\pi f_c t)$
Remplacement : $s_{DSB}(t) = 2{,}0 \\times 1,0\\cos(2\\pi 4\\,200\\,t) \\cos(2\\pi 105\\,000\\,t)$
Développement produit en somme : $2\\cos A \\cos B = \\cos(A-B) + \\cos(A+B)$
$s_{DSB}(t) = \\cos[2\\pi(105\\,000-4\\,200)t] + \\cos[2\\pi(105\\,000+4\\,200)t]$
$s_{DSB}(t) = \\cos(2\\pi 100\\,800\\,t) + \\cos(2\\pi 109\\,200\\,t)$

2. Spectre de fréquences (bornes principales) :
Deux raies centrées autour de $f_c$ (porteuse supprimée), à $f_c-f_s = 100\\,800\\ \\mathrm{Hz}$ et $f_c+f_s = 109\\,200\\ \\mathrm{Hz}$; largeurs déterminées par le contenu spectral du signal.
Résultat : pics à $100\\,800\\ \\mathrm{Hz}$ et $109\\,200\\ \\mathrm{Hz}$.

3. Puissance moyenne transmise :
Pour un DSB-SC : $P_{moy} = \\frac{A^2}{2R}$ avec amplitude en sortie $A_{out} = kA_m$
Remplacement : $P_{moy} = \\frac{(2,0 \\times 1,0)^2}{2 \\times 100}$
$(2,0 \\times 1,0)^2 = 4,0$; $2 \\times 100 = 200$
$P_{moy} = \\frac{4,0}{200} = 0,02\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{20,0\\ \\mathrm{mW}}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Le signal utilitaire $s(t) = 2,5\\cos(2\\pi 3\\,000\\,t)$ doit être transmis en modulation d’amplitude à bande latérale unique (AMBLU) par la méthode du déphasage avec une porteuse de fréquence $f_c = 140\\ \\mathrm{kHz}$.\n1. Écrivez l’expression du signal AMBLU généré (bande latérale supérieure).\n2. Calculez la puissance du signal AMBLU si la charge de sortie est $R = 75\\ \\Omega$.\n3. Si le signal modulé AMBLU subit une atténuation linéique de $0,67\\ \\mathrm{dB/km}$ sur $8,0\\ \\mathrm{km}$, quelle sera la puissance restante à la sortie du canal ?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression du signal AMBLU (BLS) :
Formule : $s_{AMBLU}(t) = A_m \\cos[2\\pi(f_c + f_m)t]$
Remplacement : $s_{AMBLU}(t) = 2,5 \\cos[2\\pi(140\\,000 + 3\\,000)t]$
$s_{AMBLU}(t) = 2,5 \\cos(2\\pi 143\\,000\\,t)$

2. Puissance du signal AMBLU :
Formule : $P_{AMBLU} = \\frac{A^2}{2R}$
Remplacement : $P_{AMBLU} = \\frac{(2,5)^2}{2 \\times 75}$
$(2,5)^2 = 6,25$; $2 \\times 75 = 150$
$P_{AMBLU} = \\frac{6,25}{150} = 0,0417\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{41,7\\ \\mathrm{mW}}$

3. Puissance restante après atténuation :
Atténuation totale : $A_{tot} = 0,67 \\times 8 = 5,36\\ \\mathrm{dB}$
Formule : $P_{sortie} = P_{entrée} \\times 10^{-A_{tot}/10}$
Remplacement : $P_{sortie} = 0,0417 \\times 10^{-5,36/10}$
$-5,36/10 = -0,536$; $10^{-0,536} = 0,291$
$P_{sortie} = 0,0417 \\times 0,291 = 0,0121\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{12,1\\ \\mathrm{mW}}$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 1 : Modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse.
Le signal à transmettre est : $m(t) = 2\\cos(2\\pi \\cdot 2\\,000\\,t)$\\;[V]. La porteuse a pour amplitude $A_c = 8\\,V$ et fréquence $f_c = 100\\,\\mathrm{kHz}$. Le signal modulé est généré par un modulateur d’indice $\\mu = 0,5$.
1. Donnez l’expression temporelle du signal modulé.
2. Calculez les puissances de la porteuse, des bandes latérales et la puissance totale du signal.
3. Calculez la tension efficace du signal modulé.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression temporelle
1. Formule générale : $s(t) = A_c[1 + \\mu\\,m_n(t)] \\cos(2\\pi f_c t)$ où $m_n(t) = \\frac{m(t)}{A_m}$, ici $m_n(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2000 t)$
2. Remplacement : $s(t) = 8[1 + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 2000 t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000 t)$
3. Résultat final : $s(t) = 8\\left[1 + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 2000\\,t)\\right]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000\\, t)$

Question 2 : Puissances
1. Formules générales :
Puissance porteuse : $P_c = \\frac{A_c^2}{2}$
Puissance bande latérale : $P_{BL} = \\frac{A_c^2 \\mu^2}{4}$
Puissance totale : $P_{tot} = P_c + 2P_{BL}$
2. Remplacement : $P_c = \\frac{8^2}{2} = 32\\,W$ ; $P_{BL} = \\frac{8^2 \\times (0,5)^2}{4} = \\frac{64 \\times 0,25}{4} = 4\\,W$
 $P_{tot} = 32 + 2 \\times 4 = 40\\,W$
3. Résultat final : $P_c = 32\\,W$, $P_{BL} = 4\\,W$, $P_{tot} = 40\\,W$

Question 3 : Tension efficace
1. Formule générale pour un AM pur : $V_{rms} = \\frac{A_c}{\\sqrt{2}} \\sqrt{1 + \\frac{\\mu^2}{2}}$
2. Remplacement : $V_{rms} = \\frac{8}{\\sqrt{2}} \\sqrt{1 + \\frac{(0,5)^2}{2}} = 5,66 \\sqrt{1+0,125} = 5,66 \\times 1,06 = 5,99\\,V$
3. Résultat final : $V_{rms} = 5,99\\,V$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 2 : Modulation d’amplitude à double bande latérale à porteuse supprimée.
On module un signal $m(t) = 1,4 \\sin(2\\pi \\cdot 5\\,000\\, t)$ sur une porteuse de $f_c = 75\\,\\mathrm{kHz}$ en supprimant la porteuse.
1. Écrivez l’expression du signal modulé (DSB-SC).
2. Calculez la puissance du signal modulé si la résistance de charge est $R = 100\\,\\Omega$.
3. Déterminez la tension crête à crête modulée transmise.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression du signal modulé DSB-SC
1. Formule générale : $s_{DSB-SC}(t) = m(t) \\cos(2\\pi f_c t)$
2. Remplacement : $s_{DSB-SC}(t) = 1,4 \\sin(2\\pi \\cdot 5000\\, t) \\cos(2\\pi \\cdot 75\\,000\\, t)$
3. Résultat final : $s_{DSB-SC}(t) = 1,4 \\sin(2\\pi \\cdot 5000\\, t) \\cos(2\\pi \\cdot 75\\,000\\, t)$

Question 2 : Puissance du signal
1. Formule générale pour une sinusoïde : $P = \\frac{A^2}{2R}$ (amplitude 1,4 V)
2. Remplacement : $P = \\frac{(1,4)^2}{2 \\times 100} = \\frac{1,96}{200} = 0,0098\\,W$
3. Résultat final : $P = 9,8\\,\\mathrm{mW}$

Question 3 : Tension crête à crête
1. Formule générale : $V_{cc} = 2A$
2. Remplacement : $V_{cc} = 2 \\times 1,4 = 2,8\\,V$
3. Résultat final : $V_{cc} = 2,8\\,V$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 3 : Modulation d’amplitude à bande latérale unique et démodulation cohérente.
On applique la méthode de déphasage pour générer un signal AM-BLU à partir, d’un signal message $m(t) = 3\\cos(2\\pi \\cdot 4\\,000\\, t)$ et d’une porteuse de $f_c = 60\\,\\mathrm{kHz}$.
Après transmission sur une liaison, le signal est reçu avec une atténuation de $-10\\,\\mathrm{dB}$.
1. Écrivez l’expression temporelle du signal BLU transmis (côté supérieur).
2. Calculez la fréquence de la bande latérale transmise et la fréquence de sortie après démodulation cohérente.
3. Calculez la valeur RMS du signal reçu.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression du signal AM-BLU
1. Formule générale : pour BLU haut :$s_{BLU}(t) = A_m \\cos[2\\pi(f_c+f_m)t]$
2. Remplacement : $f_m = 4000\\,\\mathrm{Hz}$, $f_c = 60\\,000\\,\\mathrm{Hz}$, $A_m = 3$
3. Expression : $s_{BLU}(t) = 3\\cos[2\\pi \\cdot 64\\,000\\, t]$
4. Résultat final : $s_{BLU}(t) = 3\\cos[2\\pi \\cdot 64\\,000\\, t]$

Question 2 : Fréquences
1. Bande latérale transmise : $f_{USB} = f_c + f_m = 60\\,000 + 4\\,000 = 64\\,000\\,\\mathrm{Hz}$
2. Après démodulation cohérente : $f_{demod} = f_m = 4\\,000\\,\\mathrm{Hz}$
3. Résultat final : bande latérale transmise $64\\,\\mathrm{kHz}$, fréquence après démodulation $4\\,\\mathrm{kHz}$

Question 3 : Valeur RMS du signal reçu
1. Atténuation : $A_{att} = 10^{-10/20}$ (en tension)
2. Valeur RMS signal reçu : $V_{rms,emit} = \\frac{A_m}{\\sqrt{2}} = \\frac{3}{1,4142} = 2,12\\,V$
3. Après atténuation : $V_{rms,rec} = 2,12 \\times 0,316 = 0,67\\,V$
4. Résultat final : $V_{rms,rec} = 0,67\\,V$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "34"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 1 – Modulation d’amplitude à double bande latérale avec porteuse (AM DSB)\n\nUne source délivre un signal de message $m(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,kHz \\cdot t)$. Ce signal module une porteuse de fréquence $f_c = 100~kHz$ par modulation d’amplitude double bande latérale avec porteuse. Le coefficient de modulation est $k = 0,60$ et la puissance de porteuse est $P_c = 15~W$.\n\n1) Écrire l’expression temporelle du signal modulé $s(t)$.\n2) Calculer la puissance totale du signal AM émis.\n3) Déterminer l’amplitude spectrale des raies de la bande latérale et représenter le spectre en valeurs numériques.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Expression temporelle du signal modulé :
\n1. Formule générale : $s(t) = [A_c + k \\cdot m(t)] \\cos(2\\pi f_c t)$
 Posons $A_c$ l’amplitude de la porteuse, telle que $P_c = \\frac{A_c^2}{2}$\n2. Calcul de $A_c$ : $A_c = \\sqrt{2 P_c} = \\sqrt{2 \\times 15} = \\sqrt{30} = 5,477$\nDonc, $s(t) = [5,477 + 0,60 \\times 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000~t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000~t)$\n$0,60 \\times 2 = 1,20$\n$s(t) = [5,477 + 1,20 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000~t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000~t)$
\n3. Résultat final : $s(t) = [5,48 + 1,20 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000~t)]\\cos(2\\pi \\cdot 100\\,000~t)$\n

\nQuestion 2 – Puissance totale du signal AM :
\n1. Formule : $P_{AM} = P_c \\left[ 1 + \\frac{k^2}{2} \\cdot \\left(\\frac{P_m}{A_m^2}\\right)\\right ]$
 Ici, le message est à amplitude constante $A_m = 2$ ; $P_m = \\frac{A_m^2}{2}$.\nDonc $P_{AM} = P_c \\left[ 1 + \\frac{k^2}{2} \\right ]$ si $m(t)$ est sinusoïdal.\n2. Remplacement : $P_{AM} = 15 \\left [ 1 + \\frac{(0,60)^2}{2} \\right ]$\n$(0,60)^2 = 0,36$; $0,36 / 2 = 0,18$; $1 + 0,18 = 1,18$; $15 \\times 1,18 = 17,7~W$
\n3. Résultat final : $P_{AM} = 17,7~W$\n

\nQuestion 3 – Raies spectrales de la bande latérale :
\n1. Formule : Les raies apparaissent à $f_c$, $f_c \\pm f_m$ et l’amplitude spectrale de la porteuse est $A_c/2$; la bande latérale est $kA_m/4$ (pour chacun).\n2. Remplacement : Porteuse $A_c/2 = 5,477/2 = 2,74$ ; Bande latérale $1,20/4 = 0,30$\n
Spectre :\n- $f = 99~kHz : 0,30$\n- $f = 100~kHz : 2,74$\n- $f = 101~kHz : 0,30$\n3. Résultat final :\n$S_{AM}(f) = [0,30 \\text{ à }99~kHz ;\\; 2,74 \\text{ à }100~kHz ;\\; 0,30 \\text{ à }101~kHz]$\nInterprétation : La modulation génère deux raies de bande latérale symétriques autour de la porteuse.\n
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "35"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 2 – Modulation d’amplitude à double bande latérale à porteuse supprimée (DSB-SC)\n\nUn générateur produit un signal de message $m(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2\\,kHz \\cdot t)$ qui module une porteuse de fréquence $f_c = 95~kHz$ par modulation d’amplitude DSB-SC. Le circuit produit un signal modulé de puissance moyenne $P_{moy} = 3~W$. On souhaite déterminer les caractéristiques spectrales et la démodulation nécessaire.\n\n1) Écrire la forme temporelle du signal DSB-SC émis\n2) Calculer la largeur de bande du spectre du signal\n3) Déterminer la tension efficace du signal modulé",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Forme temporelle du signal DSB-SC :
\n1. Formule générale : $s_{SC}(t) = A_m \\cos(2\\pi f_m t) \\cdot \\cos(2\\pi f_c t)$\nUtilisons le produit trigonométrique :\n$s_{SC}(t) = \\frac{A_m}{2} \\left[\\cos(2\\pi(f_c+f_m)t) + \\cos(2\\pi(f_c-f_m)t)\\right]$\n2. Remplacement : $A_m = 1$, $f_m = 2~kHz$, $f_c = 95~kHz$
\n$s_{SC}(t) = \\cos(2\\pi 2\\,000~t) \\cos(2\\pi 95\\,000~t)$\n$= \\frac{1}{2} \\left[\\cos(2\\pi 97\\,000~t) + \\cos(2\\pi 93\\,000~t)\\right]$\n3. Résultat final :
 $s_{SC}(t) = \\frac{1}{2} \\left[\\cos(2\\pi 97\\,000~t) + \\cos(2\\pi 93\\,000~t)\\right]$\n

\nQuestion 2 – Largeur de bande du spectre :
\n1. Formule : Pour DSB-SC, la largeur de bande autour de la porteuse est $2f_m$
\n2. Remplacement : $2f_m = 2 \\times 2\\,kHz = 4~kHz$
\n3. Résultat final : $B = 4~kHz$\n

\nQuestion 3 – Tension efficace du signal modulé :
\n1. Formule : $P_{moy} = \\frac{V_{eff}^2}{R}$; posons $R = 50~\\Omega$\n$V_{eff} = \\sqrt{P_{moy} \\cdot R}$
\n2. Remplacement : $P_{moy} = 3~W$, $R = 50~\\Omega$\n$V_{eff} = \\sqrt{3 \\times 50} = \\sqrt{150} = 12,25~V$
\n3. Résultat final : $V_{eff} = 12,3~V$\nInterprétation : Un signal DSB-SC possède un spectre centré sur la porteuse sans raie en porteuse, et une tension efficace liée à la puissance de sortie.\n
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "36"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Exercice 3 – Démodulation d’un signal AM à bande latérale unique (AMBLU)\n\nUn signal AMBLU reçu à la sortie d’un système de télécommunication s’écrit :\n$s_{BLU}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 10^5 t) + 1,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1001~t) + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 999~t)$.\nLe récepteur doit reconstituer le signal de message original par une démodulation cohérente.\n\n1) Calculer la fréquence centrale et les fréquences des composantes reçues\n2) Déterminer l’expression du signal de message obtenu après démodulation cohérente\n3) Estimer la puissance du signal reconstitué si sa charge est résistive de $R = 75~\\Omega$",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Fréquence centrale et composantes :
\n1. Expression du signal : $s_{BLU}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 100000~t) + 1,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1001~t) + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 999~t)$\n2. Fréquences : Porteuse : $f_c = 100~kHz$; Bandes latérales : $f_1 = 1001~Hz$, $f_2 = 999~Hz$\n3. Résultat final : Fréquence centrale $f_c = 100~kHz$ ; composantes BLU $f_1 = 1001~Hz$ ; $f_2 = 999~Hz$\n

\nQuestion 2 – Expression du signal démodulé :
\n1. Démodulation cohérente : On multiplie par la porteuse et on filtre. Le signal obtenu après multiplication puis filtrage passe-bas :\n2. On conserve uniquement les fréquences basses :\nLa sortie est : $m_{out}(t) = 1,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t) + 0,5 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t)$\nIci, décalage autour de la porteuse donc signal reconstitué : $m_{out}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t)$\n3. Résultat final : $m_{out}(t) = 2 \\cos(2\\pi \\cdot 1~Hz~t)$\n

\nQuestion 3 – Puissance du signal reconstitué :
\n1. Formule : $P = \\frac{A^2}{2R}$\n2. Remplacement : $A = 2$, $R = 75~\\Omega$\n$P = \\frac{4}{2 \\times 75} = \\frac{4}{150} = 0,0267~W$\n3. Résultat final : $P = 26,7~mW$\nInterprétation : La puissance dépend de l’amplitude finale, et la démodulation cohérente permet l’extraction exacte du signal de message.\n
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "37"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une boucle à verrouillage de phase (PLL) de premier ordre est utilisée pour synchroniser un oscillateur local avec un signal d’entrée de fréquence variable. Elle comporte un multplicateur de phase dont le gain est $K_p = 0{,}4~V/rad$ et un oscillateur commandé en tension (VCO) de sensibilité $K_{VCO} = 210~kHz/V$. La plage d’accrochage désirée est $\\Delta f_{acc} = 68~kHz$.\n\n1. Calculez le gain de boucle total $K$ de la PLL.\n2. Déterminez la tension maximale du signal d’erreur pour l’accrochage.\n3. Calculez la plage de poursuite dynamique de la boucle.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Gain de boucle total :
Formule générale : $K = K_p \\cdot K_{VCO}$
Remplacement : $K_p = 0{,}4~V/rad$, $K_{VCO} = 210 \\times 10^3~Hz/V$
Calcul : $K = 0{,}4 \\times 210~000 = 84~000~Hz/rad$
Résultat final : $K = 84~000~Hz/rad$

2. Tension maximale du signal d’erreur pour l’accrochage :
Formule : $V_{erreur~max} = \\dfrac{\\Delta f_{acc}}{K_{VCO}}$
Remplacement : $\\Delta f_{acc} = 68~kHz$, $K_{VCO} = 210~kHz/V$
Calcul : $V_{erreur~max} = \\dfrac{68~000}{210~000} = 0{,}324~V$
Résultat final : $V_{erreur~max} \\approx 0{,}32~V$

3. Plage de poursuite dynamique de la boucle :
Formule générale PLL 1er ordre : $\\Delta f_{poursuite} = \\dfrac{K}{2}$
Remplacement : $K = 84~000~Hz/rad$
Calcul : $\\Delta f_{poursuite} = \\dfrac{84~000}{2} = 42~000~Hz$
Résultat final : $\\Delta f_{poursuite} = 42~kHz$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "38"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Une boucle PLL de deuxième ordre est constituée d’un VCO ayant une sensibilité de $K_{VCO} = 260~kHz/V$ et d’un filtre passe-bas de temps de réponse $\\tau = 0{,}8~ms$. Le gain du détecteur de phase est $K_p = 0{,}36~V/rad$.\n\n1. Calculez le gain de boucle global de cette PLL.
2. Déterminez la bande passante de la boucle.
3. Calculez le facteur d’amortissement de la boucle pour un fonctionnement critique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Gain de boucle global :
Formule : $K = K_p \\cdot K_{VCO}$
Remplacement : $K_p = 0{,}36~V/rad$, $K_{VCO} = 260~kHz/V = 260~000~Hz/V$
Calcul : $K = 0{,}36 \\times 260~000 = 93~600~Hz/rad$
Résultat final : $K = 93~600~Hz/rad$

2. Bande passante de la boucle :
Formule deuxième ordre, bande passante approximative : $B = \\sqrt{\\dfrac{K}{\\tau}}$
Remplacement : $K = 93~600$, $\\tau = 0{,}8 \\times 10^{-3}~s$
Calcul : $\\dfrac{K}{\\tau} = \\dfrac{93~600}{0{,}0008} = 117~000~000$
\n$B = \\sqrt{117~000~000} = 10~816~Hz$
Résultat final : $B \\approx 10,8~kHz$

3. Facteur d’amortissement pour fonctionnement critique :
Formule : $\\xi = \\dfrac{1}{2}$ pour réponse critique (amortissement optimal)
Résultat final : $\\xi = 0,5$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "39"
  },
  {
    "category": "Boucle à verrouillage de phase",
    "question": "Un synthétiseur de fréquence utilise une PLL avec diviseur programmable pour obtenir une fréquence de sortie $f_{out} = 8{,}64~MHz$ à partir d’une référence de $f_{ref} = 135~kHz$. Le détecteur de phase donne un signal de correction proportionnel à la différence de phase.\n\n1. Calculez le rapport du diviseur pour obtenir la fréquence demandée.
2. Déterminez la tension de commande requise au VCO si sa sensibilité est $K_{VCO} = 720~kHz/V$.
3. Calculez la fréquence réelle obtenue si la tension appliquée au VCO n'est que de $11{,}6~V$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Rapport du diviseur :
Formule PLL : $f_{out} = N \\cdot f_{ref}$
Remplacement : $f_{out} = 8{,}640~MHz = 8~640~000~Hz$, $f_{ref} = 135~000~Hz$
Calcul : $N = \\dfrac{8~640~000}{135~000} = 64$
Résultat final : $N = 64$

2. Tension de commande requise au VCO :
Formule : $V_{com} = \\dfrac{f_{out}}{K_{VCO}}$
Remplacement : $f_{out} = 8~640~000~Hz$, $K_{VCO} = 720~000~Hz/V$
Calcul : $V_{com} = \\dfrac{8~640~000}{720~000} = 12~V$
Résultat final : $V_{com} = 12~V$

3. Fréquence réelle obtenue avec $V_{VCO} = 11,6~V$ :
Formule : $f_{real} = K_{VCO} \\cdot V_{VCO}$
Remplacement : $K_{VCO} = 720~000~Hz/V$, $V_{VCO} = 11,6~V$
Calcul : $f_{real} = 720~000 \\times 11,6 = 8~352~000~Hz$
Résultat final : $f_{real} = 8,352~MHz$
",
    "id_category": "4",
    "id_number": "40"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère une porteuse sinusoïdale de fréquence \\( f_c = 100 \\text{ MHz} \\) et amplitude constante \\( A_c \\) modulée en fréquence par un signal modulant sinusoïdal \\( m(t) = A_m \\cos(2 \\pi f_m t) \\) avec \\( f_m = 10 \\text{ kHz} \\).\\n\\n1) Écrire l'expression temporelle du signal modulé en fréquence FM. Définir l'indice de modulation \\( \\beta \\) en fonction de la déviation maximale \\( \\Delta f \\) et de \\( f_m \\).\\n\\n2) Calculer la bande passante approximative du signal FM en utilisant la règle de Carson, avec \\( \\Delta f = 5 \\text{ kHz} \\).\\n\\n3) En considérant la puissance moyenne du signal FM \\( P_{FM} = A_c^2/2 \\), calculer la puissance des composantes latérales associées au premier ordre des fonctions de Bessel \\( J_1(\\beta) \\) pour \\( \\beta = 0.5 \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal FM :
 $ s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left[ 2 \\pi f_c t + 2 \\pi \\Delta f \\int_0^t \\cos(2 \\pi f_m \\tau) d\\tau \\right] $ 
 Intégrale:
 $ \\int_0^t \\cos (2 \\pi f_m \\tau) d\\tau = \\frac{\\sin (2 \\pi f_m t)}{2 \\pi f_m} $ 
Donc :
 $ s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left[ 2 \\pi f_c t + \\frac{\\Delta f}{f_m} \\sin (2 \\pi f_m t) \\right] $ 
L'indice de modulation :
 $ \\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m} $ 
2. Bande passante approximative :
 $ B = 2 (\\Delta f + f_m) = 2 (5,000 + 10,000) = 30,000 \\text{ Hz} = 30 \\text{ kHz} $ 
3. Puissance des premiers composants latéraux :
 $ P_{sideband} = P_{FM} \\times J_1(\\beta)^2 $ 
Pour \\( \\beta = 0.5 \\), \\( J_1(0.5) \\approx 0.242 \\), donc :
 $ P_{sideband} = \\frac{A_c^2}{2} \\times (0.242)^2 = \\frac{A_c^2}{2} \\times 0.0585 = 0.0292 A_c^2 $",
    "id_category": "5",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal modulé en phase PM est obtenu en appliquant un signal modulant \\( m(t) = A_m \\cos (2 \\pi f_m t) \\) avec \\( A_m = 1 V \\) et \\( f_m = 15 \\text{ kHz} \\) à un modulateur de phase de sensibilité \\( k_p = 2 \\text{ rad/V} \\). La fréquence porteuse est \\( f_c = 50 \\text{ MHz} \\).\\n\\n1) Donner l'expression temporelle du signal PM et calculer la déviation de phase maximale \\( \\Delta \\theta \\).\\n\\n2) Calculer l'indice de modulation de phase \\( \\beta_p \\).\\n\\n3) Estimer la bande passante occupée par ce signal PM en utilisant la règle de Carson.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression du signal PM :
 $ s_{PM}(t) = A_c \\cos \\left[ 2 \\pi f_c t + k_p A_m \\cos (2 \\pi f_m t) \\right] $ 
Déviation maximale de phase :
 $ \\Delta \\theta = k_p A_m = 2 \\times 1 = 2 \\text{ radians} $ 
2. Indice de modulation :
 $ \\beta_p = \\Delta \\theta = 2 $ 
3. Bande passante selon la règle de Carson :
 $ B = 2 (\\Delta f + f_m) $ 
En PM, la déviation fréquentielle \\( \\Delta f = \\frac{\\Delta \\theta f_m}{2 \\pi} \\), donc :
 $ \\Delta f = \\frac{2 \\times 15,000}{2 \\pi} \\approx 4774 \\text{ Hz} $ 
Donc :
 $ B = 2 (4774 + 15,000) = 39,548 \\text{ Hz} \\approx 39.5 \\text{ kHz} $",
    "id_category": "5",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère un signal FM modulé avec une déviation maximale \\( \\Delta f = 10 \\text{ kHz} \\), une fréquence modulante \\( f_m = 2 \\text{ kHz} \\), et une puissance porteuse constante \\( P_c = 20 \\text{ W} \\).\\n\\n1) Calculer l'indice de modulation \\( \\beta \\).\\n\\n2) Déterminer l'énergie contenue dans la porteuse et les deux premières bandes latérales en utilisant les fonctions de Bessel pour \\( \\beta = 5 \\).\\n\\n3) Comparer la bande passante nécessaire en FM avec celle d'un signal AM de même bande passante modulant à \\( f_m = 2 \\text{ kHz} \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de l'indice de modulation :
 $ \\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m} = \\frac{10,000}{2,000} = 5 $ 
2. Puissance des composantes avec fonctions de Bessel :
 $ \\begin{cases} P_c' = P_c \\times J_0(5)^2 \\ P_{side1} = P_c \\times J_1(5)^2 \\ P_{side2} = P_c \\times J_2(5)^2 \\end{cases} $ 
Valeurs approchées :
 $ J_0(5) \\approx -0.1776, \\quad J_1(5) \\approx -0.3276, \\quad J_2(5) \\approx 0.0465 $ 
Calculs :
 $ \\begin{cases} P_c' = 20 \\times (-0.1776)^2 = 20 \\times 0.0315 = 0.63 \\text{ W} \\ P_{side1} = 20 \\times 0.1073 = 2.15 \\text{ W} \\ P_{side2} = 20 \\times 0.00216 = 0.043 \\text{ W} \\end{cases} $ 
3. Comparaison avec AM :
 $ \\text{Bande passante AM} = 2 f_m = 4,000 \\text{ Hz} 
 \\text{Bande passante FM (règle de Carson)} = 2 (\\Delta f + f_m) = 2 (10,000 + 2,000) = 24,000 \\text{ Hz} $",
    "id_category": "5",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Exercice 1 – Calcul des paramètres d’un signal modulé en fréquence (FM)\n\nUn signal porteuse de fréquence $f_c = 100~\\mathrm{MHz}$ est modulé en fréquence par un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 10~\\mathrm{kHz}$ et amplitude maximale $A_m = 5~\\mathrm{V}$. La constante de sensibilité en fréquence du modulateur est $k_f = 10~\\mathrm{kHz/V}$.\n\n1. Calculer la déviation maximale de fréquence $\\Delta f = k_f \\times A_m$.\n2. Déterminer l’indice de modulation FM $\\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m}$.\n3. Calculer la largeur de bande approximative du signal modulé selon la règle de Carson.$",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Déviation maximale de fréquence 
1. Formule : $\\Delta f = k_f \\times A_m$
2. Remplacement : $\\Delta f = 10 \\times 10^{3} \\times 5$
3. Calcul : $\\Delta f = 50 000~\\mathrm{Hz} = 50~\\mathrm{kHz}$
4. Résultat final : $\\Delta f = 50~\\mathrm{kHz}$
\n\n
2. Indice de modulation FM 
1. Formule : $\\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m}$
2. Remplacement : $\\beta_f = \\frac{50 000}{10 000}$
3. Calcul : $\\beta_f = 5$
4. Résultat final : $\\beta_f = 5$
\n\n
3. Largeur de bande selon la règle de Carson 
1. Formule : $B = 2(\\Delta f + f_m)$
2. Remplacement : $B = 2 (50 000 + 10 000)$
3. Calcul : $B = 120 000~\\mathrm{Hz} = 120~\\mathrm{kHz}$
4. Résultat final : $B = 120~\\mathrm{kHz}$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Exercice 2 – Analyse spectrale d’un signal FM avec fonctions de Bessel\n\nUn signal FM a un indice de modulation $\\beta = 2$ et une porteuse de fréquence $f_c = 1~\\mathrm{MHz}$. On veut calculer les amplitudes des principales composantes spectrales en utilisant les fonctions de Bessel de première espèce $J_n(\\beta)$.\n\n1. Calculer les valeurs de $J_0(2)$, $J_1(2)$ et $J_2(2)$.\n2. En déduire les amplitudes relatives des composantes à $f_c$, $f_c \\pm f_m$ et $f_c \\pm 2 f_m$.\n3. Calculer la puissance relative contenue dans la porteuse (ordre $n=0$).$",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Valeurs des fonctions de Bessel 
1. Formules approchées (valeurs tabulées) : $J_0(2) \\approx 0.2239, \\, J_1(2) \\approx 0.5767, \\, J_2(2) \\approx 0.3528$
2. Résultat final dans valeurs numériques données.
\n\n
2. Amplitudes relatives des composantes spectrales 
1. La composante porteuse (fréquence $f_c$) a une amplitude relative de $J_0(2) = 0.2239$.
2. Les premières bandes latérales (fréquences $f_c \\pm f_m$) ont des amplitudes relatives de $J_1(2) = 0.5767$ chacune.
3. Les secondes bandes latérales (fréquences $f_c \\pm 2 f_m$) ont des amplitudes relatives de $J_2(2) = 0.3528$.
\n\n
3. Puissance relative contenue dans la porteuse 
1. Formule générale : $P_0 = J_0^2(\\beta)$
2. Calcul : $P_0 = (0.2239)^2 = 0.0501$
3. Résultat final : $P_0 \\approx 5\\% de la puissance totale$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Exercice 3 – Calcul des paramètres d’une modulation de phase (PM) et comparaison avec FM\n\nUn signal porteuse a une amplitude maximale $A_c = 2~\\mathrm{V}$ et une fréquence porteuse $f_c = 1~\\mathrm{MHz}$. Le signal modulant est une sinusoïde de fréquence $f_m = 5~\\mathrm{kHz}$ et amplitude $A_m = 1~\\mathrm{V}$. La constante de sensibilité en phase $k_p = 0.5~\\mathrm{rad/V}$ est donnée.\n\n1. Calculer la déviation de phase maximale $\\Delta \\theta = k_p \\times A_m$.\n2. Déterminer la déviation de fréquence maximale $\\Delta f = k_p \\times A_m \\times f_m /(2 \\pi)$.\n3. Calculer la bande passante approximative de la modulation PM selon la règle de Carson.$",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Déviation de phase maximale 
1. Formule : $\\Delta \\theta = k_p \\times A_m$
2. Remplacement : $\\Delta \\theta = 0.5 \\times 1$
3. Calcul : $\\Delta \\theta = 0.5~\\mathrm{rad}$
4. Résultat final : $\\Delta \\theta = 0.5~\\mathrm{rad}$
\n\n
2. Déviation de fréquence maximale 
1. Formule : $\\Delta f = \\frac{k_p \\times A_m \\times f_m}{2 \\pi}$
2. Remplacement : $\\Delta f = \\frac{0.5 \\times 1 \\times 5000}{2 \\pi}$
3. Calcul : $\\Delta f = 398.1~\\mathrm{Hz}$
4. Résultat final : $\\Delta f = 398.1~\\mathrm{Hz}$
\n\n
3. Bande passante approximative selon Carson
1. Formule : $B = 2 (\\Delta f + f_m)$
2. Remplacement : $B = 2 (398.1 + 5000)$
3. Calcul : $B = 10 796~\\mathrm{Hz}$
4. Résultat final : $B = 10.8~\\mathrm{kHz}$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Exercice 1 : Détermination de la déviation de fréquence dans un modulateur FM\n\nUn modulateur de fréquence délivre un signal à partir d’une porteuse de fréquence $f_c = 10\\,\\text{MHz}$ modulée par un signal sinusoïdal à $f_m = 15\\,\\text{kHz}$ avec un indice de modulation FM $\\beta = 2$.\n\n1. Calculer l’excursion (déviation maximale) de fréquence $\\Delta f$.\n2. Donner l’expression temporelle du signal modulé $s_{FM}(t)$.\n3. Déterminer la largeur de bande approximative du signal selon la formule de Carson.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la déviation de fréquence :
Formule générale : $\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$
Remplacement : $\\Delta f = \\beta \\times f_m = 2 \\times 15\\times 10^{3}$
Calcul : $\\Delta f = 30,000\\,\\text{Hz}$
Résultat final : $\\Delta f = 30\\,\\text{kHz}$
2. Expression temporelle du signal FM :
Formule générale : $s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + \\beta \\sin (2 \\pi f_m t) \\right)$
Avec $A_c$ amplitude de la porteuse.
Résultat final : $s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi \\times 10^{7} t + 2 \\sin(2 \\pi \\times 15\\times 10^{3} t) \\right)$
3. Largeur de bande (formule de Carson) :
Formule générale : $B = 2 (\\Delta f + f_m)$
Remplacement : $B = 2 (30,000 + 15,000)$
Calcul : $B = 90,000\\,\\text{Hz}$
Résultat final : $B = 90\\,\\text{kHz}$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Exercice 2 : Analyse spectrale d’un signal FM avec fonctions de Bessel\n\nUn signal FM avec porteuse $f_c = 5\\,\\text{MHz}$, fréquence modulante $f_m = 1\\,\\text{kHz}$, et indice de modulation $\\beta = 4$ est étudié.\n\n1. Calculer les coefficients des premières fonctions de Bessel \\(J_0(\\beta), J_1(\\beta), J_2(\\beta)\\).\n2. Donner les amplitudes relatives des composantes spectrales correspondant à$ n=0,1,2$.\n3. Estimer la bande spectrale effective du signal FM en nombres de bandes latérales.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul des coefficients de Bessel :
Les valeurs approchées pour $\\beta = 4$ sont approchées par :
 $J_0(4) \\approx -0.3971,\\quad J_1(4) \\approx 0.0660,\\quad J_2(4) \\approx 0.3641$
2. Amplitudes relatives :
Les amplitudes sont proportionnelles aux valeurs absolues des coefficients :
 $|J_0|=0.3971,\\quad |J_1|=0.0660,\\quad |J_2|=0.3641$
Les composantes de fréquence sont donc :
porteuse (n=0) amplitude ~ 0.3971, première bande latérale (n=±1) amplitude ~0.0660, deuxième bande latérale (n=±2) amplitude ~ 0.3641.
3. Largeur de bande :
Nombre de bandes latérales estimé : 
 $n_{\\text{max}} \\approx \\beta + 1 = 5$
La bande spectrale comprend donc environ 11 composantes (de -5 à +5).
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Exercice 3 : Calculs sur modulation de phase (PM) et comparaison avec FM\n\nUn signal modulé en phase (PM) a une porteuse de fréquence $f_c = 1\\,\\text{MHz}$ modulée par un signal sinusoïdal à fréquence $f_m = 10\\,\\text{kHz}$ avec indice de modulation de phase $\\beta_p = 1.2$. La constante de sensibilité de phase est $k_p = 2\\pi \\, \\text{rad/V}$.\n\n1. Calculer la déviation de phase maximale \\(\\Delta \\theta\\).\n2. En déduire la déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f\\).\n3. Comparer les bandes passantes approximatives FM et PM selon la formule de Carson.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de la déviation de phase maximale :
Formule générale : $\\Delta \\theta = \\beta_p$
Remplacement : $\\Delta \\theta = 1.2 \\text{ rad}$
Résultat final : $\\Delta \\theta = 1.2\\,\\text{rad}$
2. Déviation de fréquence maximale :
Formule générale : $\\Delta f = \\beta_p f_m = \\Delta \\theta \\times f_m$
Remplacement : $\\Delta f = 1.2 \\times 10,000 = 12,000\\,\\text{Hz}$
Résultat final : $\\Delta f = 12\\,\\text{kHz}$
3. Comparaison des bandes passantes :
Pour FM : $B_{FM} = 2(\\Delta f + f_m) = 2(12,000 + 10,000) = 44,000\\,\\text{Hz}$
Pour PM, formule similaire : $B_{PM} \\approx 2(\\beta_p + 1) f_m = 2(1.2 + 1) \\times 10,000 = 44,000\\,\\text{Hz}$
Les deux modulations ont des bandes passantes approximativement équivalentes.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_c = 100 \\, MHz$ modulée en fréquence par un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 10 \\, kHz$ et amplitude $A_m$.\n\n1) Écrire l'expression temporelle du signal modulé en fréquence $s_{FM}(t)$ en fonction de la déviation maximale de fréquence $\\Delta f$ et de l'indice de modulation $\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$.\n\n2) Calculer la bande passante approximative du signal FM selon la formule de Carson $B_T = 2 (\\Delta f + f_m)$ pour une déviation maximale $\\Delta f = 75 \\, kHz$.\n\n3) Déterminer le nombre maximal de bandes latérales significatives dans le spectre en fonction de $\\beta$.\n\n4) Sachant que la puissance totale du signal FM est constante et égale à la puissance de la porteuse non modulée $P_c$, exprimer la puissance associée à la composante centrale et aux bandes latérales à partir des coefficients de Bessel de première espèce $J_n(\\beta)$.\n\n5) Pour $\\beta = 5$, calculer la puissance relative portée par la porteuse centrale à l'aide du coefficient $J_0(5)$ et interpréter le résultat.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle :
$s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left( 2\\pi f_c t + \\beta \\sin(2\\pi f_m t) \\right)$
où 
$\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$ est l'indice de modulation.
2. Bande passante de Carson :
$B_T = 2 (\\Delta f + f_m)$
Pour $\\Delta f = 75 \\, kHz, f_m = 10 \\, kHz$ :
$B_T = 2 (75 \\times 10^3 + 10 \\times 10^3) = 170 \\, kHz$
3. Nombre maximal de bandes latérales :
En général, le nombre de bandes latérales significatives est approximé par 
$n_{max} = \\beta + 1$
4. Puissance dans la porteuse et bandes latérales :
La puissance contenue dans la porteuse centrale est proportionnelle à 
$P_c J_0^2(\\beta)$
et dans chaque bande latérale
$P_n = P_c J_n^2(\\beta)$ avec $J_n$ les coefficients de Bessel de première espèce.
5. Pour $\\beta=5$, on a 
$J_0(5) \\approx -0.177$
Donc la puissance relative dans la porteuse centrale :
$P_c J_0^2(5) = P_c (0.177)^2 = 0.0313 P_c = 3.13\\%$
Ce résultat indique que seulement environ 3.13 % de la puissance totale du signal FM est concentrée dans la porteuse centrale à cet indice de modulation élevé.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal est modulé en phase (PM) avec une porteuse de fréquence $f_c = 1 \\, MHz$ et un signal modulant sinusoïdal de fréquence $f_m = 5 \\, kHz$. La constante de modulation de phase est $k_p = 2 \\, rad/V$, et l'amplitude du signal modulant est $A_m = 3 \\, V$.\n\n1) Écrire l'expression du signal modulé en phase $s_{PM}(t)$.\n\n2) Calculer la déviation de phase maximale $\\Delta \\theta$ et l'indice de modulation $\\beta = \\Delta \\theta$.\n\n3) Déterminer l'expression de la fréquence instantanée du signal modulé.
\n4) Donner la bande passante approximative du signal PM en fonction de $\\beta$ et $f_m$.\n\n5) Pour $k_p = 2 \\, rad/V, A_m = 3 \\, V$, et $f_m = 5 \\, kHz$, calculer numériquement 
- la déviation de phase maximale $\\Delta \\theta$.\n- L'indice de modulation $\\beta$.\n- La bande passante approximative.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression du signal modulé PM :
$s_{PM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + k_p A_m \\cos(2 \\pi f_m t) \\right)$
2. Déviation de phase maximale :
$\\Delta \\theta = k_p A_m$
Indice de modulation :
$\\beta = \\Delta \\theta = k_p A_m$
3. Fréquence instantanée :
$f_i(t) = f_c - \\frac{k_p A_m f_m}{2 \\pi} \\sin(2 \\pi f_m t)$
4. Bande passante approximative :
$B_T = 2 (\\beta + 1) f_m$
5. Calculs numériques :
$\\Delta \\theta = 2 \\times 3 = 6 \\, \\text{rad}$
$\\beta = 6$
$B_T = 2 (6 + 1) \\times 5 \\times 10^3 = 70 \\, kHz$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal FM est démodulé par un discriminateur de fréquence. La sortie du discriminateur est proportionnelle à la déviation instantanée de fréquence \\( \\Delta f(t) \\).\n\n1) Pour un signal modulant sinusoïdal $m(t) = A_m \\cos(2 \\pi f_m t)$, exprimer la déviation instantanée de fréquence.
\n2) Calculer l'expression temporelle de la sortie du discriminateur.
\n3) Déterminer la condition pour que la sortie du démodulateur soit proportionnelle au signal modulant.
\n4) Pour $k_f = 100 \\, Hz/V, A_m = 0.2 \\, V$, et $f_m = 1 \\, kHz$, calculer :
- la déviation maximale de fréquence $\\Delta f_{max}$,\n- la sortie maximale du démodulateur.
\n5) Interpréter la limite de linéarité du démodulateur FM en termes de largeur de bande du signal modulant.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Déviation instantanée :
$\\Delta f(t) = k_f A_m \\cos(2 \\pi f_m t)$
2. Sortie du discriminateur :
$v_{out}(t) = K_d \\Delta f(t) = K_d k_f A_m \\cos(2 \\pi f_m t)$
où $K_d$ est la constante du discriminateur.
3. Condition de linéarité :
La sortie est proportionnelle au signal modulant si l'indice de modulation 
$\\beta = \\frac{\\Delta f_{max}}{f_m} << 1$
4. Calculs numériques :
$\\Delta f_{max} = k_f A_m = 100 \\times 0.2 = 20 \\, Hz$
$v_{out,max} = K_d \\times 20 \\, Hz$
5. Interprétation :
Pour conserver une démodulation linéaire, la déviation de fréquence doit rester faible par rapport à la fréquence du signal modulant, ce qui limite la largeur de bande utile du signal modulant.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal porteur de fréquence \\(f_c = 100\\,MHz\\) est modulé en fréquence par un signal modulant sinusoïdal de fréquence \\(f_m = 10\\,kHz\\) avec un indice de modulation \\(\\beta = 4\\). 1) Calculez la déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f\\) du signal FM. 2) Déterminez la bande passante approximative du signal FM en utilisant la règle de Carson. 3) Calculez la puissance moyenne du signal modulé sachant que la puissance de la porteuse est \\(P_c = 10\\,W\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul de la déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f\\)
1. Formule de l'indice de modulation :
$\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$
2. Remplacement :
$\\Delta f = \\beta \\times f_m = 4 \\times 10 000 = 40 000\\,Hz = 40\\,kHz$
3. Résultat :
$\\Delta f = 40\\,kHz$
Question 2 : Calcul de la bande passante par la règle de Carson
1. Formule :
$B = 2 (\\Delta f + f_m)$
2. Remplacement :
$B = 2 (40 000 + 10 000) = 2 \\times 50 000 = 100 000\\,Hz = 100\\,kHz$
3. Résultat :
$B = 100\\,kHz$
Question 3 : Calcul de la puissance moyenne du signal modulé
1. La puissance moyenne d'une onde FM modulée reste égale à la puissance de la porteuse si l'amplitude reste constante :
$P_{FM} = P_c = 10 \\, W$
2. Conclusion :
La modulation de fréquence ne modifie pas la puissance moyenne du signal. La puissance transmises est conservée.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal est modulé en phase avec une déviation maximale de phase \\(\\Delta \\theta = 1,2\\,rad\\). La fréquence de la porteuse est \\(f_c = 5\\,MHz\\), et la fréquence du signal modulant est \\(f_m = 1\\,kHz\\). 1) Calculez l'indice de modulation de phase \\(\\beta_p\\). 2) Déterminez la déviation maximale de fréquence \\(\\Delta f\\) correspondante. 3) Calculez la bande passante approximative du signal modulé en utilisant la règle de Carson adaptée à la PM.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul de l'indice de modulation de phase \\(\\beta_p\\)
1. L'indice de modulation en phase est la déviation maximale :
$\\beta_p = \\Delta \\theta = 1,2$
2. Résultat :
$\\beta_p = 1,2\\,rad$
Question 2 : Calcul de la déviation maximale de fréquence \\(\\Delta f\\) associée
1. Formule :
$\\Delta f = f_m \\times \\beta_p = 1 000 \\times 1,2 = 1 200\\,Hz$
2. Résultat :
$\\Delta f = 1,2\\,kHz$
Question 3 : Calcul de la bande passante par la règle de Carson
1. Formule :
$B = 2 (\\Delta f + f_m) = 2 f_m (1 + \\beta_p)$
2. Remplacement :
$B = 2 \\times 1 000 \\times (1 + 1,2) = 2 000 \\times 2,2 = 4 400\\,Hz$
3. Résultat :
$B = 4,4\\,kHz$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un modulateur FM est alimenté par un signal modulant sinusoïdal de fréquence \\(f_m = 15\\,kHz\\) et amplitude \\(A_m = 2\\,V\\). Le coefficient de modulation en fréquence est \\(k_f = 75\\,Hz/V\\). 1) Calculez la déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f\\). 2) Déterminez l'indice de modulation FM \\(\\beta_f\\). 3) En déduisez la bande spectrale approximative du signal FM selon la règle de Carson.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul de la déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f\\)
1. Formule :
$\\Delta f = k_f \\times A_m$
2. Remplacement :
$\\Delta f = 75 \\times 2 = 150\\,Hz$
3. Résultat :
$\\Delta f = 150\\,Hz$
Question 2 : Calcul de l'indice de modulation FM \\(\\beta_f\\)
1. Formule :
$\\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m}$
2. Remplacement :
$\\beta_f = \\frac{150}{15000} = 0,01$
3. Résultat :
$\\beta_f = 0,01$
Question 3 : Calcul de la bande passante selon la règle de Carson
1. Formule :
$B = 2 (\\Delta f + f_m)$
2. Remplacement :
$B = 2 (150 + 15000) = 2 \\times 15150 = 30300\\,Hz = 30,3\\,kHz$
3. Résultat :
$B = 30,3\\,kHz$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère une modulation de fréquence (FM) dans laquelle la porteuse de fréquence \\(f_c = 100\\,\\text{MHz}\\) est modulée par un signal sinusoïdal de fréquence \\(f_m = 10\\,\\text{kHz}\\) et amplitude \\(A_m = 2\\,\\text{V}\\). La sensibilité en fréquence du modulateur est \\(k_f = 5 \\times 10^3\\,\\text{Hz/V}\\).\n\n1. Calculer la déviation maximale de fréquence \\(\\Delta f_{max}\\).\n2. Déterminer l'indice de modulation FM \\(\\beta = \\frac{\\Delta f_{max}}{f_m}\\).\n3. Calculer la largeur de bande approximative selon la règle de Carson \\(BW = 2(\\Delta f_{max} + f_m)\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Déviation maximale de fréquence :
Formule générale : $\\Delta f_{max} = k_f \\times A_m$
Remplacement : $\\Delta f_{max} = 5 \\times 10^3 \\times 2 = 10^4$ Hz soit 10 kHz.

2. Indice de modulation FM :
Formule : $\\beta = \\frac{\\Delta f_{max}}{f_m}$
Remplacement : $\\beta = \\frac{10^4}{10^4} = 1$

3. Largeur de bande selon la règle de Carson :
Formule : $BW = 2(\\Delta f_{max} + f_m)$
Calcul : $BW = 2 (10^4 + 10^4) = 4 \\times 10^4 = 40 \\text{ kHz}$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Une onde modulée en phase (PM) a une amplitude porteuse \\(A_c=5\\,V\\), la fréquence porteuse est \\(f_c = 1\\,\\text{GHz}\\), et la fréquence modulante est \\(f_m = 1\\,\\text{kHz}\\). La modulation implique une déviation de phase maximale \\(\\Delta \\theta = 0.1\\,\\text{rad}\\).\n\n1. Calculer l'indice de modulation de phase \\(\\beta_p\\).\n2. Déterminer la déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f_{max}\\) associée à cette modulation.\n3. Estimer la largeur de bande approximative de cette modulation en utilisant la règle de Carson.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Indice de modulation de phase :
Définition : $\\beta_p = \\Delta \\theta$
Donc $\\beta_p = 0.1$ rad.

2. Déviation de fréquence maximale :
Formule : $\\Delta f_{max} = \\beta_p \\times f_m$
Calcul : $\\Delta f_{max} = 0.1 \\times 1000 = 100$ Hz.

3. Largeur de bande approximative :
Formule (règle de Carson) : 
$BW = 2 (\\Delta f_{max} + f_m)$
Calcul : $BW = 2 (100 + 1000) = 2200$ Hz ou 2.2 kHz.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Pour un signal FM modulé avec un indice de modulation \\(\\beta = 2.5\\) et une fréquence modulante \\(f_m = 15\\,\\text{kHz}\\), on étudie le spectre en fréquence.\n\n1. Calculer la largeur de bande approximative selon la règle de Carson.\n2. Déterminer le nombre de bandes latérales significatives \\(n_{max}\\) (on prend \\(n_{max} = \\beta + 1\\)).\n3. Évaluer la puissance transmise dans la porteuse et dans les premières bandes latérales sachant que la puissance totale est \\(P_t = 10 \\text{W}\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur de bande :
Formule de Carson :
$BW = 2(\\Delta f_{max} + f_m) = 2 (\\beta f_m + f_m) = 2 f_m (\\beta + 1)$
Remplacement : $BW = 2 \\times 15,000 \\times (2.5 + 1) = 2 \\times 15,000 \\times 3.5 = 105,000$ Hz ou 105 kHz.

2. Nombre de bandes latérales importantes :
Formule :
$n_{max} = \\beta + 1 = 3.5 \\approx 4$

3. Puissance dans la porteuse et bandes latérales :
La puissance totale est divisée comme suit :
Puissance porteuse :
$P_c = P_t J_0^2(\\beta)$
Puissance bandes latérales principales :
$P_{SL} = P_t (1 - J_0^2(\\beta))$
Pour \\(\\beta=2.5\\), \\(J_0(2.5) \\approx 0.06\\), donc :
$P_c = 10 \\times 0.06^2 = 0.036$ W et 
$P_{SL} = 10 - 0.036 = 9.964$ W.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère un signal modulé en fréquence (FM) avec amplitude porteuse \\( A_c = 5 \\; V \\), fréquence porteuse \\( f_c = 100 \\; MHz \\), fréquence modulante \\( f_m = 10 \\; kHz \\) et indice de modulation FM \\( \\beta = 2.5 \\).

1. Calculer l'expression temporelle du signal modulé \\( s_{FM}(t) \\) en fonction de \\( A_c, f_c, f_m, \\beta \\).
2. Déterminer la bande passante approximative du signal FM en utilisant la règle de Carson.
3. Calculer la puissance moyenne totale du signal FM sachant que la puissance porteuse est \\( P_c = 10 \\; W \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal modulé FM :
\n
La forme générale d'un signal FM est donnée par :
\n
\\( s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + \\beta \\sin(2 \\pi f_m t) \\right) \\)
\n\n
2. Bande passante selon la règle de Carson :
\n
La bande passante approximative est :
\n
\\( B_{FM} = 2 (\\Delta f + f_m) \\)
\n
où \\( \\Delta f = \\beta f_m \\) est la déviation maximale de fréquence.
\n
Calcul :
\n
\\( \\Delta f = 2.5 \\times 10 \\times 10^{3} = 25 \\times 10^{3} = 25 \\; kHz \\)
\n
Donc :
\n
\\( B_{FM} = 2 (25 + 10) = 70 \\; kHz \\)
\n\n
3. Puissance moyenne totale :
\n
La puissance moyenne d'un signal FM est égale à la puissance porteuse :
\n
\\( P_{FM} = P_c = 10 \\; W \\)
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal modulé en phase (PM) a une amplitude de porteuse \\( A_c = 3 \\; V \\), une fréquence porteuse \\( f_c = 50 \\; MHz \\), et est modulé par un signal sinusoïdal de fréquence \\( f_m = 5 \\; kHz \\) avec un indice de modulation de phase \\( \\beta_p = 1.2 \\) rad.

1. Donner l'expression de l'onde modulée en phase \\( s_{PM}(t) \\).
2. Estimer la largeur de bande utile approximative du signal modulé.
3. Comparer la puissance moyenne du signal PM avec la puissance porteuse donnée \\( P_c = 5 \\; W \\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal modulé en phase :
\n
\\( s_{PM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + \\beta_p \\cos(2 \\pi f_m t) \\right) \\)
\n\n
2. Largeur de bande approximative :
\n
La bande de fréquence utile est approximativement :
\n
\\( B_{PM} \\approx 2 \\beta_p f_m = 2 \\times 1.2 \\times 5 \\times 10^3 = 12 \\; kHz \\times 10^3 = 12 \\; kHz \\)
\n\n
3. Puissance moyenne :
\n
La puissance moyenne du signal PM reste égale à la puissance porteuse :
\n
\\( P_{PM} = P_c = 5 \\; W \\)
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On étudie un modulateur FM avec une déviation de fréquence maximale \\( \\Delta f = 45 \\; kHz \\), une fréquence porteuse \\( f_c = 90 \\; MHz \\), et un signal modulant sinusoïdal de fréquence \\( f_m = 15 \\; kHz \\).

1. Calculer l'indice de modulation FM \\( \\beta \\).
2. En utilisant les fonctions de Bessel de première espèce, estimer l'amplitude relative de la première composante latérale \\( J_1(\\beta) \\) sachant que \\( \\beta = 3 \\).
3. Déterminer la largeur de bande efficace du signal FM selon la règle de Carson.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de l'indice de modulation FM :
\n
\\( \\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m} = \\frac{45 \\times 10^3}{15 \\times 10^3} = 3 \\)
\n\n
2. Amplitude relative de la première composante latérale :
\n
Les fonctions de Bessel de première espèce \\( J_n(\\beta) \\) donnent l'amplitude des composantes spectrales en FM.
Pour \\( \\beta = 3 \\), on trouve en tables ou approximations :
\n
\\( J_1(3) \\approx 0.339 \\)
\n\n
3. Largeur de bande efficace selon la règle de Carson :
\n
\\( B_{eff} = 2(\\Delta f + f_m) = 2(45 + 15) \\times 10^3 = 120 \\; kHz \\)
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère un signal modulé en fréquence (FM) selon l'expression:\n$ s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + \\beta_f \\sin(2 \\pi f_m t) \\right)$ où\n- $A_c = 5 V$ est l'amplitude porteuse,\n- $f_c = 100 MHz$ fréquence porteuse,\n- $f_m = 10 kHz$ fréquence du signal modulant,\n- $\\beta_f$ l'indice de modulation donné par $\\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m}$ avec $\\Delta f = 75 kHz$ déviation maximale de fréquence.\n\n1. Calculer l'indice de modulation $\\beta_f$.\n2. Déterminer la bande passante approximative du signal modulé en utilisant la règle de Carson.\n3. Calculer la puissance totale transportée par le signal FM en sachant que la puissance porteuse est $P_c = 10 W$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale :
 $ \\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m} $
2. Remplacement :
 $ \\beta_f = \\frac{75 \\times 10^3}{10 \\times 10^3} = 7.5 $
3. Résultat final :
 $ \\beta_f = 7.5 $.

Question 2 :
1. Règle de Carson pour la bande passante :
 $ B_T = 2 (\\Delta f + f_m) $.
2. Remplacement :
 $ B_T = 2 (75 \\times 10^3 + 10 \\times 10^3) = 170 \\times 10^3 \\text{ Hz} $.
3. Résultat final :
 $ B_T = 170 kHz $.

Question 3 :
1. Puissance totale du signal FM :
 en modulation FM, la puissance totale est égale à la puissance porteuse car les fonctions de Bessel répartissent la puissance.
 $ P_{total} = P_c = 10 \\text{ W} $.
2. Ceci s'explique par la conservation de l'énergie dans le signal modulé.
3. Résultat final :
 $ P_{total} = 10 \\text{ W} $.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal modulé en phase (PM) est défini par :\n$ s_{PM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + \\beta_p \\cos(2 \\pi f_m t) \\right)$, avec \n- $A_c = 3 V$,\n- $f_c = 1 MHz$,\n- $f_m = 2 kHz$,\n- $\\beta_p = 1.2$ l'indice de modulation en phase.\n\n1. Calculer la déviation de phase maximale en radians.\n2. Exprimer la fréquence instantanée et calculer la déviation de fréquence maximale.$\n3. Déterminer la largeur de bande approximative du signal modulé PM.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Déviation maximale de phase :
 $ \\Delta \\phi = \\beta_p = 1.2 \\text{ radians} $.

Question 2 :
1. Fréquence instantanée :
 $ f_i(t) = f_c - \\frac{1}{2 \\pi} \\frac{d \\theta(t)}{dt} $ avec $ \\theta(t) = \\beta_p \\cos(2 \\pi f_m t) $.
2. Dérivation :
 $ \\frac{d \\theta(t)}{dt} = -2 \\pi f_m \\beta_p \\sin(2 \\pi f_m t) $.
3. Déviation maximale de fréquence :
 $ \\Delta f = f_m \\beta_p = 2000 \\times 1.2 = 2400 \\text{ Hz} $.

Question 3 :
1. Largeur de bande approximative :
 $ B_T \\approx 2 \\Delta f + 2 f_m = 2 \\times 2400 + 2 \\times 2000 = 8800 \\text{ Hz} $.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On considère un système de modulation FM avec une porteuse $f_c = 5 MHz$, un signal modulant sinusoïdal à $f_m = 4 kHz$, et une déviation de fréquence maximale de $\\Delta f = 20 kHz$. \n\n1. Calculer l'indice de modulation $\\beta_f$.\n2. Donner l'expression de l'onde modulée en fréquence en utilisant les fonctions de Bessel de première espèce, et calculer les coefficients $J_0(\\beta_f)$, $J_1(\\beta_f)$ et $J_2(\\beta_f)$ approchés en utilisant des valeurs tabulées pour $\\beta_f = 5$.\n3. Déduire la largeur de bande utile du signal FM en appliquant la règle de Carson.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Indice de modulation :
 $ \\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m} = \\frac{20 \\times 10^3}{4 \\times 10^3} = 5 $.

Question 2 :
1. Expression du signal FM :
 $ s(t) = A_c \\sum_{n=-\\infty}^{+\\infty} J_n(\\beta_f) \\cos \\left[ 2 \\pi (f_c + n f_m) t \\right] $.
2. Valeurs approchées :
 $ J_0(5) = -0,1776, \\quad J_1(5) = -0,3276, \\quad J_2(5) = 0,0465 $ (valeurs tabulées).

Question 3 :
1. Largeur de bande à partir de la règle de Carson :
 $ B_T = 2 (\\Delta f + f_m) = 2 (20 \\times 10^{3} + 4 \\times 10^{3}) = 48 \\text{ kHz} $.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On étudie un signal modulé en fréquence (FM) par un signal sinusoïdal \\(m(t) = A_m \\cos(2 \\pi f_m t)\\) sur une porteuse de fréquence \\(f_c = 100\\,\\mathrm{MHz}\\) et amplitude porteuse \\(A_c = 1\\,V\\). Le coefficient de modulation en fréquence est \\(k_f = 5 \\times 10^4\\,\\mathrm{Hz/V}\\).\n\n1. Calculez la déviation maximale de fréquence \\(\\Delta f = k_f A_m\\).\n2. Déterminez l'indice de modulation \\(\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}\\) si la fréquence du signal modulant est \\(f_m = 10\\,\\mathrm{kHz}\\).\n3. Écrivez l'expression temporelle de l'onde modulée FM sous la forme \\(s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left(2 \\pi f_c t + \\beta \\sin(2 \\pi f_m t) \\right)\\) et décrivez les fonctions de Bessel nécessaires pour estimer le spectre du signal.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Formule générale pour la déviation maximale de fréquence :
\\($\\Delta f = k_f \\times A_m$\\).
\n
Remplacement des valeurs :
\\($k_f = 5 \\times 10^4 \\mathrm{Hz/V}, A_m = 1 V$\\).
\n
Calcul :
\\($\\Delta f = 5 \\times 10^4 \\times 1 = 5 \\times 10^4 \\mathrm{Hz} = 50\\,\\mathrm{kHz}$\\).
\n
2. L'indice de modulation est le ratio de déviation sur la fréquence modulante :
\\($\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}$\\).
\n
Avec \\(f_m = 10\\,\\mathrm{kHz}\\),
\\($\\beta = \\frac{50 \\times 10^3}{10 \\times 10^3} = 5$\\).
\n
3. L'expression temporelle du signal FM est :
\\($s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left(2 \\pi f_c t + \\beta \\sin(2 \\pi f_m t) \\right)$\\).
Le spectre du signal peut être décomposé en composantes à fréquences \\(f_c \\pm n f_m\\) avec \\(n \\in \\mathbb{Z}\\), où l'amplitude de chaque composante est donnée par les fonctions de Bessel de première espèce \\(J_n(\\beta)\\). Il s'écrit :
\n
\\($s_{FM}(t) = A_c \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} J_n(\\beta) \\cos \\left(2 \\pi (f_c + n f_m) t \\right)$\\).
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Pour un modulateur FM, la puissance totale du signal modulé est constante et égale à celle de la porteuse. On considère une porteuse de puissance \\(P_c = 10\\,\\mathrm{W}\\), un signal modulant sinusoïdal de fréquence \\(f_m = 20\\,\\mathrm{kHz}\\), une déviation de fréquence maximale \\(\\Delta f = 75\\,\\mathrm{kHz}\\) et une amplitude porteuse \\(A_c\\).\n\n1. Calculez l'indice de modulation FM \\(\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m}\\).\n2. Pour \\(\\beta = 3.75\\), calculez les puissances approximatives contenues dans la porteuse et dans la première bande latérale à l'aide des fonctions de Bessel : \\(P_0 = P_c J_0(\\beta)^2\\) et \\(P_1 = P_c J_1(\\beta)^2\\).\n3. Vérifiez que la somme \\(P_0 + 2 P_1\\) représente une part significative de la puissance totale.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de l'indice de modulation :
\\($\\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m} = \\frac{75 \\times 10^3}{20 \\times 10^3} = 3,75$\\).
\n
2. Valeurs des fonctions de Bessel pour \\(\\beta = 3,75\\) (approximation) :
\\($J_0(3,75) \\approx -0,402, \\quad J_1(3,75) \\approx 0,431$\\).
\n
Puissances dans la porteuse et première bande latérale :
\\($P_0 = P_c J_0(\\beta)^2 = 10 \\times (-0,402)^2 = 10 \\times 0,1616 = 1,616 \\,\\mathrm{W}$\\),
\\($P_1 = P_c J_1(\\beta)^2 = 10 \\times 0,431^2 = 10 \\times 0,1858 = 1,858 \\,\\mathrm{W}$\\).
\n
3. La somme des puissances significatives :
\\($P_0 + 2 P_1 = 1,616 + 2 \\times 1,858 = 1,616 + 3,716 = 5,332 \\,\\mathrm{W}$\\),
ce qui correspond à environ 53,3% de la puissance totale, confirmant que les composantes principales sont bien représentées.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Une porteuse sinusoïdale de fréquence $ f_c = 100 \\text{ MHz} $ est modulée en fréquence par un signal sinusoïdal modulant de fréquence $ f_m = 10 \\text{ kHz} $ et d'amplitude $ A_m = 2 $ V. La sensibilité du modulateur est $ k_f = 5 \\text{ kHz/V} $.\n\n1) Calculez l'excursion maximale de fréquence $ \\Delta f $ du signal modulé.\n2) Déterminez l'indice de modulation $ \\beta $.\n3) Calculez la bande passante approximative occupée par le signal modulé en utilisant la formule de Carson.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1:
1. L'excursion maximale de fréquence est donnée par:
$ \\Delta f = k_f \\times A_m $
Remplacement:
$ \\Delta f = 5 \\times 10^{3} \\times 2 = 10 \\times 10^{3} = 10\\ \\text{kHz} $

Question 2:
2. L'indice de modulation est le rapport entre l'excursion en fréquence et la fréquence modulante:
$ \\beta = \\frac{\\Delta f}{f_m} $
Remplacement:
$ \\beta = \\frac{10 \\times 10^{3}}{10 \\times 10^{3}} = 1 $

Question 3:
3. La bande passante approximative par la formule de Carson est:
$ B_T = 2(\\Delta f + f_m) $
Remplacement:
$ B_T = 2 (10\\times 10^{3} + 10\\times 10^{3}) = 2 \\times 20 \\times 10^{3} = 40 \\ \\text{kHz} $
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal modulé en phase a une fréquence porteuse $ f_c = 2 \\text{ GHz} $ et une fréquence modulante $ f_m = 1 \\text{ MHz} $. La déviation de phase maximale est $ \\Delta \\phi = 0.1 \\text{ rad} $.\n\n1) Calculez l'indice de modulation en phase $ \\beta_p $.\n2) Déterminez la déviation de fréquence équivalente $ \\Delta f $ correspondante.\n3) Utilisez la formule de Carson pour calculer la bande de fréquence occupée $ B_T $.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1:
1. L'indice de modulation de phase est simplement la déviation de phase maximale:
$ \\beta_p = \\Delta \\phi = 0.1 $

Question 2:
2. La déviation de fréquence équivalente est donnée par la relation:
$ \\Delta f = \\beta_p \\times f_m $
Remplacement:
$ \\Delta f = 0.1 \\times 1 \\times 10^{6} = 100000 \\text{ Hz} = 100 \\text{ kHz} $

Question 3:
3. La bande de fréquence occupée par le signal modulé est approximée par la formule de Carson:
$ B_T = 2(\\Delta f + f_m) $
Remplacement:
$ B_T = 2(100 \\times 10^{3} + 1 \\times 10^{6}) = 2(1.1 \\times 10^{6}) = 2.2 \\text{ MHz} $
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Une onde porteuse est modulée simultanément en phase et en fréquence. On a une déviation de fréquence maximale $ \\Delta f = 15 \\text{ kHz} $ et un indice de modulation de phase $ \\beta_p = 0.05 $. La fréquence du signal modulant est $ f_m = 5 \\text{ kHz} $.\n\n1) Calculez l'indice de modulation de fréquence $ \\beta_f $.\n2) Calculez la déviation de phase correspondante en radians.\n3) Calculez la bande passante approximative occupée par le signal en utilisant la somme des contributions.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1:
1. L'indice de modulation de fréquence est:
$ \\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m} $
Remplacement:
$ \\beta_f = \\frac{15 \\times 10^{3}}{5 \\times 10^{3}} = 3 $

Question 2:
2. La déviation de phase correspondante est:
$ \\Delta \\phi = \\beta_p \\times \\text{unit}\\,\\text{(déjà en rad)} = 0.05 \\text{ rad} $

Question 3:
3. La bande passante approximative est une somme des contributions de FM et PM. Pour FM, Bande = $ 2(\\Delta f + f_m) $ et pour PM, $ 2 (\\beta_p f_m + f_m) $. Donc:
$ B_T = 2(\\Delta f + f_m) + 2(\\beta_p f_m + f_m) $
Remplacement:
$ B_T = 2 (15 \\times 10^{3} + 5 \\times 10^{3}) + 2 (0.05 \\times 5 \\times 10^{3} + 5 \\times 10^{3}) $
Calcul:
$ B_T = 2 (20 \\times 10^{3}) + 2 (250 + 5 \\times 10^{3})  = 40 \\times 10^{3} + 2 \\times 5250 = 40 \\text{kHz} + 10.5 \\text{kHz} = 50.5 \\text{kHz} $
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "On étudie un signal modulé en fréquence selon l'équation $s_{FM}(t) = A_c \\cos \\left( 2 \\pi f_c t + \\beta_f \\sin(2 \\pi f_m t) \\right)$ avec $A_c = 5\\,V$, $f_c = 100\\,kHz$, $f_m = 1\\,kHz$ et un indice de modulation $\\beta_f = 3$.\n\n1. Calculer la déviation maximale de fréquence $\\Delta f = \\beta_f f_m$.\n\n2. Déterminer la largeur de bande approximative du signal modulé selon la formule de Carson $BW = 2(\\Delta f + f_m)$.\n\n3. Exprimer le signal $s_{FM}(t)$ en série de Fourier à l'aide des fonctions de Bessel de première espèce $J_n(\\beta_f)$ et calculer l'amplitude des trois premières composantes spectrales (porteuse et deux premières bandes latérales).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Déviation maximale de fréquence
\n$\\Delta f = \\beta_f \\times f_m$\n$\\Delta f = 3 \\times 1\\,000 = 3\\,000\\,Hz$\n\n
2. Largeur de bande du signal modulé (formule de Carson)
\n$BW = 2(\\Delta f + f_m) = 2(3\\,000 + 1\\,000) = 8\\,000\\,Hz$\n\n
3. Décomposition en série de Fourier avec fonctions de Bessel
\nLe signal peut s'écrire:\n$s_{FM}(t) = A_c \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} J_n(\\beta_f) \\cos\\left[ 2 \\pi (f_c + n f_m) t \\right]$\n\nPour $\\beta_f = 3$, les premières valeurs de $J_n(3)$ sont :\n$J_0(3) = 0{,}26 $, $J_1(3) = 0{,}34 $, $J_2(3) = 0{,}43$.\n\nAinsi, les amplitudes des composantes spectrales sont:\n$Amplitude\\ de\\ la\\ porteuse = A_c J_0(3) = 5 \\times 0{,}26 = 1{,}3\\,V$\n$Première bande latérale = A_c J_1(3) = 5 \\times 0{,}34 = 1{,}7\\,V$\n$Deuxième bande latérale = A_c J_2(3) = 5 \\times 0{,}43 = 2{,}15\\,V$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un modulateur de phase génère un signal $s_{PM}(t) = A_c \\cos \\left( 2\\pi f_c t + \\beta_p \\cos(2\\pi f_m t) \\right)$ avec $A_c = 10\\,V$, $f_c = 500\\,kHz$, $f_m = 2\\,kHz$, et un indice de modulation de phase $\\beta_p = 0{,}5$.\n\n1. Calculer la déviation maximale de phase $\\Delta \\theta = \\beta_p$.\n\n2. Déterminer la largeur de bande approximative du signal modifié selon la règle de Carson étendue $BW = 2(f_m + \\beta_p f_m)$.\n\n3. En utilisant la formule de Bessel, calculer l'amplitude de la porteuse et de la première bande latérale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Déviation maximale de phase
\n$\\Delta \\theta = \\beta_p = 0{,}5\\,\\text{rad}$\n\n
2. Largeur de bande du signal modifié
\n$BW = 2(f_m + \\beta_p f_m) = 2 \\times 2\\,000 \\times (1 + 0{,}5) = 6\\,000\\,Hz$\n\n
3. Amplitudes des composantes par fonctions de Bessel
\nPour $\\beta_p = 0{,}5$,\n$J_0(0{,}5) \\approx 0{,}938, \\quad J_1(0{,}5) \\approx 0{,}242$\n\nAmplitudes:\n$Porteuse = A_c J_0(0{,}5) = 10 \\times 0{,}938 = 9{,}38\\,V$\n$Première bande latérale = A_c J_1(0{,}5) = 10 \\times 0{,}242 = 2{,}42\\,V$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "modulations et démodulations angulaires (FM et PM)",
    "question": "Un signal FM est modulé par un signal mono-sinusoïdal de fréquence $f_m = 3\\,kHz$ avec une déviation maximale de fréquence $\\Delta f = 15\\,kHz$.\n\n1. Calculer l'indice de modulation FM $\\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m}$.\n\n2. En supposant une puissance de porteuse $P_c = 10\\,W$, calculer la puissance totale du signal FM en tenant compte uniquement des composantes de la porteuse et des deux premières bandes latérales (indices $n = 0, \\pm 1, \\pm 2$), avec les valeurs des fonctions de Bessel suivantes :
\n$J_0(\\beta_f) = 0{,}1, \\quad J_1(\\beta_f) = 0{,}5, \\quad J_2(\\beta_f) = 0{,}4$\n\n3. Trouver la largeur de bande approximative du signal selon la règle de Carson.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Calcul de l'indice de modulation FM
\n$\\beta_f = \\frac{\\Delta f}{f_m} = \\frac{15\\,000}{3\\,000} = 5$\n\n
2. Calcul de la puissance totale (porteuse + 2 premières bandes latérales)
\nLa puissance totale est la somme des puissances des composantes, proportionnelle aux carrés des amplitudes :\n$P_{tot} = P_c \\left[J_0^2(\\beta_f) + 2 J_1^2(\\beta_f) + 2 J_2^2(\\beta_f)\\right]$\n$P_{tot} = 10 \\times \\left[ 0{,}1^2 + 2 \\times 0{,}5^2 + 2 \\times 0{,}4^2 \\right]$\n$P_{tot} = 10 \\times \\left[0{,}01 + 2 \\times 0{,}25 + 2 \\times 0{,}16 \\right] = 10 \\times \\left[0{,}01 + 0{,}5 + 0{,}32 \\right] = 10 \\times 0{,}83 = 8{,}3\\,W$\n\n
3. Largeur de bande approximative (règle de Carson)
\n$BW = 2(\\Delta f + f_m) = 2(15\\,000 + 3\\,000) = 36\\,000\\,Hz$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un signal binaire NRZ est modulé en amplitude (ASK) sur une porteuse de fréquence $f_c = 60~kHz$ et d’amplitude $A_c = 4~V$. Les symboles binaires sont émis à un débit de $R_b = 8~kbps$. Le système transmet sur une charge de $R = 50~\\Omega$.\n1. Calculez la largeur de bande spectrale principale du signal modulé.\n2. Déterminez la puissance moyenne transmise pour une suite alternée <1,0,1,0...>.\n3. Calculez le rapport signal sur bruit (SNR) pour une puissance de bruit $P_b = 0{,}48~mW$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur de bande spectrale principale :
Formule générale (ASK, NRZ) : $B = R_b$
Remplacement : $R_b = 8~kbps$
Résultat final : $B = 8~kHz$

2. Puissance moyenne transmise (suite alternée) :
Formule : $P_{ASK} = \\dfrac{A_c^2}{2R} \\cdot p_1$\nPour alternance 1,0,1,0... $p_1 = 0,5$
Remplacement : $A_c = 4~V$, $R = 50~\\Omega$
Calcul : $P_{ASK} = \\dfrac{4^2}{2 \\times 50} \\times 0,5 = \\dfrac{16}{100} \\times 0,5 = 0,08~W$
Résultat final : $P_{ASK} = 80~mW$

3. Rapport signal sur bruit (SNR) :
Formule : $SNR = \\dfrac{P_{ASK}}{P_b}$
Remplacement : $P_{ASK} = 80~mW$, $P_b = 0,48~mW$
Calcul : $SNR = \\dfrac{80}{0,48} = 166,7$
Résultat final : $SNR \\approx 167$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de modulation de fréquence (FSK) transmet deux fréquences distinctes : $f_0 = 96~kHz$ et $f_1 = 112~kHz$ pour les symboles binaires 0 et 1. Le débit binaire est $R_b = 4~kbps$. La durée minimale du symbole est $T_s = 0,25~ms$.
1. Calculez la séparation de fréquences entre les deux états FSK.
2. Déterminez la largeur de bande de puissance du signal modulé.
3. Calculez la puissance moyenne transmise si chaque état est symétriquement présent, avec une amplitude de $A = 6~V$ sur une charge $R = 60~\\Omega$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Séparation de fréquences :
Formule : $\\Delta f = f_1 - f_0$
Remplacement : $f_1 = 112~kHz$, $f_0 = 96~kHz$
Calcul : $\\Delta f = 112~kHz - 96~kHz = 16~kHz$
Résultat final : $\\Delta f = 16~kHz$

2. Largeur de bande de puissance :
Formule générale pour FSK non cohérent : $B = 2\\Delta f + 2R_b$
Remplacement : $\\Delta f = 16~kHz$, $R_b = 4~kHz$
Calcul : $B = 2 \\times 16~kHz + 2 \\times 4~kHz = 32~kHz + 8~kHz = 40~kHz$
Résultat final : $B = 40~kHz$

3. Puissance moyenne transmise (états symétriques) :
Formule NRZ même amplitude (présence égale) : $P_{FSK} = \\dfrac{A^2}{2R}$
Remplacement : $A = 6~V$, $R = 60~\\Omega$
Calcul : $P_{FSK} = \\dfrac{36}{120} = 0,3~W$
Résultat final : $P_{FSK} = 300~mW$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un signal numérique est modulé en PSK sur une porteuse de fréquence $f_c = 220~kHz$ avec un débit de $R_b = 16~kbps$. Chaque symbole est envoyé sur une durée $t_s = 62,5~\\mu s$.
1. Calculez la largeur de bande spectrale de la modulation par changement de phase.
2. Déterminez le spectre de puissance pour la modulation PSK.
3. Un détecteur de phase dispose d’une amplitude de sortie maximale de $V_{max} = 7~V$. Calculez l’amplitude RMS du signal démodulé.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur de bande spectrale :
Formule générale : $B_{PSK} \\approx 2R_b$
Remplacement : $R_b = 16~kHz$
Calcul : $B_{PSK} = 2 \\times 16~kHz = 32~kHz$
Résultat final : $B_{PSK} = 32~kHz$

2. Spectre de puissance de la modulation PSK :
La densité spectrale centrée autour de $f_c$ regroupe la quasi-totalité de la puissance dans l’intervalle de largeur $2R_b$ autour de $f_c$, i.e. de 204~kHz à 236~kHz.
Résultat final : puissance répartie dans $\\Delta f = 32~kHz$ centrée sur $f_c = 220~kHz$

3. Amplitude RMS du signal démodulé :
Formule RMS : $A_{RMS} = \\dfrac{V_{max}}{\\sqrt{2}}$
Remplacement : $V_{max} = 7~V$
Calcul : $A_{RMS} = \\dfrac{7}{1,414} = 4,95~V$
Résultat final : $A_{RMS} \\approx 4,95~V$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 1 – Modulation numérique ASK et calculs spectres\n\nOn considère un système de transmission numérique utilisant la modulation d’amplitude (ASK) avec symbole binaire. Les paramètres sont :\n- Taux binaire $R_b = 300~kbps$\n- Amplitude haute $A_1 = 3~V$, amplitude basse $A_0 = 1~V$\n- Fréquence de porteuse $f_c = 1~MHz$\n\nLa suite transmise est '101'. Le canal est supposé idéal.\n\n1) Écrire la forme du signal pour '101' en ASK.\n2) Calculer la puissance moyenne transmise pour cette séquence.\n3) Déterminer la largeur de bande du signal ASK et représenter sur le schéma la densité spectrale de puissance (DSP).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Forme du signal ASK pour '101' :
\n1. Formule générale : $s(t) = A_i \\cos(2\\pi f_c t)$, où $A_i = A_1$ si le bit = 1, $A_i = A_0$ si le bit = 0.
\n2. Pour '101', chaque symbole dure $T_b = 1/R_b$\n$T_b = 1/300000 = 3,33~\\mu s$\nDonc :\n- Pour le 1er bit (1): $s_1(t) = 3 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000\\,000 t)$ pour $0 < t < 3,33~\\mu s$\n- 2e bit (0): $s_2(t) = 1 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000\\,000 t)$ pour $3,33 < t < 6,66~\\mu s$\n- 3e bit (1): $s_3(t) = 3 \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000\\,000 t)$ pour $6,66 < t < 10~\\mu s$\n3. Résultat final : successions de signaux alternés à 3~V et 1~V selon les bits.
\n$s(t) = [3, 1, 3] \\cos(2\\pi \\cdot 1\\,000\\,000 t)$ avec chaque segment de $3,33~\\mu s$\n

\nQuestion 2 – Puissance moyenne transmise :
\n1. Formule générale : $P_{moy} = \\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^N P_i$; $P_i = \\frac{A_i^2}{2}$
\n2. Remplacement : symboles ['101'] ; amplitudes [3, 1, 3]\n$P_1 = 9/2 = 4,5~W$; $P_2 = 1/2 = 0,5~W$; $P_3 = 9/2 = 4,5~W$\n$P_{moy} = (4,5 + 0,5 + 4,5)/3 = 9,5/3 = 3,17~W$\n3. Résultat final : $P_{moy} = 3,17~W$\n

\nQuestion 3 – Largeur de bande et DSP :
\n1. Largeur de bande : Pour ASK, $B_{ASK} \\approx R_b$\n$B_{ASK} = 300~kHz$
\n2. Spectre : L'échantillon affiche trois porteuses sur $f_c$ ; Le DSP est une raie centrale à $1~MHz$ avec des lobes de largeur $300~kHz$.\n3. Résultat final : Largeur totale de bande $300~kHz$ centrée sur $1~MHz$\nInterprétation : Le DSP illustre la concentration spectrale autour de la porteuse, élargie par le taux binaire.\n
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 2 – Modulation numérique FSK et démodulation\n\nUn système transmet une chaîne en modulation par déplacement de fréquence (FSK) avec les caractéristiques suivantes :\n- Taux binaire $R_b = 50~kbps$\n- Fréquences utilisées : $f_1 = 2,1~MHz$ (pour bit 1), $f_0 = 1,9~MHz$ (pour bit 0)\n- Suite transmise : 11010\n- Puissance de transmission pour chaque symbole : $6~mW$\n\n1) Donner l’expression temporelle du signal FSK correspondant à la séquence\n2) Déterminer la distance minimale entre les fréquences ($\\Delta f$) pour une orthogonalité parfaite\n3) Calculer le taux d’erreur théorique après démodulation en présence d’un rapport signal/bruit de $SNR = 22~dB$",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 – Expression temporelle du signal FSK :
\n1. Formule générale : Pour chaque bit, $s_i(t) = A \\cos(2\\pi f_i t)$, où $f_i = f_1$ si bit 1, $f_i = f_0$ si bit 0.\n$T_b = 1/R_b = 1/50000 = 20~\\mu s$\nSuite : 1 1 0 1 0\n- 1er bit (1): $s_1(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2,1\\cdot 10^6 t)$ pour $0 < t < 20~\\mu s$\n- 2e bit (1): $s_2(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2,1\\cdot 10^6 t)$ pour $20 < t < 40~\\mu s$\n- 3e bit (0): $s_3(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 1,9\\cdot 10^6 t)$ pour $40 < t < 60~\\mu s$\n- 4e bit (1): $s_4(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 2,1\\cdot 10^6 t)$ pour $60 < t < 80~\\mu s$\n- 5e bit (0): $s_5(t) = \\cos(2\\pi \\cdot 1,9\\cdot 10^6 t)$ pour $80 < t < 100~\\mu s$\n2. Rendu : alternance de segments entre deux fréquences.\n
\n3. Résultat final : successions de cosinus à $2,1~MHz$ et $1,9~MHz$ par symbole de $20~\\mu s$\n

\nQuestion 2 – Distance minimale entre les fréquences pour orthogonalité parfaite :
\n1. Formule générale : $\\Delta f = 1/(2 T_b)$ pour orthogonalité (FSK cohérente)
\n2. Remplacement : $T_b = 20~\\mu s$ ; $1/(2 \\times 20 \\times 10^{-6}) = 25~kHz$\n3. Résultat final : $\\Delta f_{min} = 25~kHz$\n

\nQuestion 3 – Taux d’erreur théorique (BER) en présence de SNR :
\n1. Formule (théorique, FSK orthogonale) : $P_b = \\frac{1}{2} \\exp\\left(-\\frac{SNR}{2}\\right)$
\n$SNR = 22~dB$\nConvertir en rapport : $SNR_{lin} = 10^{22/10} = 158,49$\n$P_b = 0,5 \\exp(-158,49/2) = 0,5 \\exp(-79,25) \\approx 0$\n2. Résultat final : $P_{b,th} \\approx 0$ (valeur négligeable; la transmission est quasiment sans erreur)\nInterprétation : Pour une SNR élevée, le taux d’erreur théorique est quasi nul, la démodulation FSK est très robuste.\n
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Dans un émetteur ASK (Amplitude Shift Keying), un bit '1' est transmis par une sinusoïde de fréquence $f_0 = 10\\,\\text{kHz}$ et d’amplitude de crête $A_1 = 9\\,\\text{V}$. Un bit '0' est transmis par la même fréquence mais amplitude de crête $A_0 = 1\\,\\text{V}$. La durée d’un symbole est $T_s = 62,5\\,\\mu\\text{s}$. La résistance de charge du canal est de $R = 75\\,\\Omega$.\n1. Calculez la puissance moyenne transmise pour un signal au rapport 1:1 de '1' et '0'.\n2. Déterminez l’écart du spectre de puissance par rapport à la porteuse analogique seule.\n3. À la réception, le filtre détecteur possède un seuil de 3\\,V. Calculez le taux d’erreur de modulation pour une séquence alternée '1'/'0', si le bruit de fond est de $v_{bruit,pic} = 2,8\\,\\text{V}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formules : $P_1 = \\frac{A_1^2}{2R}$, $P_0 = \\frac{A_0^2}{2R}$
Moyenne avec rapport 1:1 : $P_{moy} = \\frac{P_1 + P_0}{2}$
2. Remplacement : 
$P_1 = \\frac{9^2}{2 \\times 75} = \\frac{81}{150} = 0,54\\,\\text{W}$
$P_0 = \\frac{1^2}{2 \\times 75} = \\frac{1}{150} = 0,0067\\,\\text{W}$
Calcul moyenne :$P_{moy} = \\frac{0,54 + 0,0067}{2} = 0,273\\,\\text{W}$
4. Résultat final : $P_{moy} = 0,273\\,\\text{W}$

Question 2 :
1. Spectre porteuse analogique : amplitude constante $A = 9\\,\\text{V}$, donc $P_{\\text{analog}} = 0,54\\,\\text{W}$
2. ASK : alternance des amplitudes, bande de fréquence secondaire autour de $f_0$ et sidebands largeur $1/T_s = 16\\,\\text{kHz}$.
Écart de puissance transmise : $\\Delta P = P_{\\text{analog}} - P_{moy} = 0,54 - 0,273 = 0,267\\,\\text{W}$
4. Résultat : le spectre ASK occupe une bande supplémentaire et transmet moins de puissance moyenne.

Question 3 :
1. Signal reçu pour bit '1' + bruit : $9 + 2,8 = 11,8\\,\\text{V}$; pour bit '0' + bruit : $1 + 2,8 = 3,8\\,\\text{V}$
Avec seuil à $3\\,\\text{V}$ :
Pour '1' : toujours supérieur au seuil, jamais d’erreur.
Pour '0' : $3,8 > 3$, erreur systématique pour chaque bit '0'.
Taux d’erreur pour une séquence alternée = 50%
4. Résultat final : taux d’erreur de modulation = $50\\,\\%$ dans ces conditions.
Université : Toujours ajuster le seuil et filtrer le bruit pour diminuer le taux d’erreur !
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système FSK (Frequency Shift Keying) transmet des données binaires à un débit $R_b = 32\\,\\text{kbps}$ sur une fréquence porteuse de $f_0 = 150\\,\\text{kHz}$. La fréquence pour le '1' est $f_1 = 157\\,\\text{kHz}$, celle du '0' $f_2 = 143\\,\\text{kHz}$.\n1. Déterminez la largeur du spectre principal (DSP) du signal FSK.\n2. Calculez la puissance transmise pour un signal d’amplitude crête $A = 4,6\\,\\text{V}$ sur $R = 80\\,\\Omega$.\n3. Estimez le taux d’erreur binaire (BER) si la démodulation est affectée par un bruit de fond gaussien équivalent de $v_{bruit,rms} = 1,2\\,\\text{V}$, sachant que le seuil d’erreur sur la détection de fréquence est de $2\\,\\text{V}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale largeur spectrale principale : $B \\approx 2(R_b + \\Delta f)$, où $\\Delta f = f_1 - f_2 = 157\\,\\text{kHz} - 143\\,\\text{kHz} = 14\\,\\text{kHz}$
2. Remplacement : $B = 2(32\\,\\text{kHz} + 14\\,\\text{kHz}) = 2 \\times 46\\,\\text{kHz} = 92\\,\\text{kHz}$
4. Résultat final : largeur du spectre = $92\\,\\text{kHz}$

Question 2 :
1. Formule puissance moyenne : $P = \\frac{A^2}{2R}$
2. Remplacement : $P = \\frac{4,6^2}{2 \\times 80} = \\frac{21,16}{160} = 0,132\\,\\text{W}$
4. Résultat final : $P = 132\\,\\text{mW}$

Question 3 :
1. En démodulation, erreur si le bruit dépasse $2\\,\\text{V}$ rms.
Probabilité (assumée gaussienne) pour bruit > 2 V avec $\\sigma = v_{bruit,rms} = 1,2$:
Prob(transmission) $P(x>2) = 1 - \\Phi\\left(\\frac{2}{1,2}\\right) = 1 - \\Phi(1,67)$
Valeur tabulée : $\\Phi(1,67) \\approx 0,9525$
Donc BER : $P_e = 1 - 0,9525 = 0,0475 = 4,75\\,\\%$
4. Résultat final : taux d’erreur de démodulation BER = $4,75\\,\\%$
La performance FSK dépend fortement du rapport signal/bruit et de la sélectivité du filtre.
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un émetteur PSK (Phase Shift Keying) BPSK transmet des symboles via une porteuse de fréquence $f_p = 12\\,\\text{MHz}$, d'amplitude crête $6,8\\,\\text{V}$ sur un canal de $125\\,\\Omega$. La largeur de bande du système est $B = 4\\,\\text{MHz}$.\n1. Calculez la puissance moyenne transmise par le canal lors du transport d’un signal BPSK.\n2. Déterminez la distance minimale entre symboles dans le domaine de la puissance spectrale.\n3. Après démodulation, si la probabilité d’erreur binaire directe est $2 \\times 10^{-3}$ et le débit $500\\,\\text{kbps}$, combien d’erreurs sont attendues par minute de transmission?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule puissance BPSK : $P = \\frac{A^2}{2R}$
2. Remplacement : $P = \\frac{6,8^2}{2 \\times 125} = \\frac{46,24}{250} = 0,185\\,\\text{W}$
4. Résultat final : $P = 185\\,\\text{mW}$

Question 2 :
1. Distance minimale entre symboles en PSD : $\\Delta f = \\frac{1}{T_s} = \\frac{R_b}{B}$
Le débit n'est pas donné ici, mais la largeur symbolique : pour $B = 4\\,\\text{MHz}$, $\\Delta f = 4\\,\\text{MHz}$
2. Résultat : écart minimal entre symboles (PSD) = $4\\,\\text{MHz}$

Question 3 :
1. BER : $P_e = 2 \\times 10^{-3}$, débit $500\\,\\text{kbps}$, durée 1 minute : $500{,}000 \\times 60 = 30{,}000{,}000$ bits
Attendus : $E = P_e \\times N = 2 \\times 10^{-3} \\times 30{,}000{,}000 = 60{,}000$
4. Résultat final : nombre d’erreurs attendues par minute = $60{,}000$
Le contrôle d’erreur est crucial pour les modulations numériques à haut débit.
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de transmission numérique utilise la modulation d’amplitude en bande de base (ASK) avec deux niveaux d’amplitude, $A_0 = 0$ et $A_1 = 5\\ \\mathrm{V}$. Chaque symbole dure $T_b = 480\\ \\mathrm{\\mu s}$.

1. Calculez la largeur de bande principale (DSP) du signal transmis.
2. Calculez le débit binaire maximal admis sur ce canal si la bande passante du canal est limitée à $B = 1,2\\ \\mathrm{kHz}$.
3. Déterminez la puissance moyenne transmise pour une suite parfaitement équilibrée de bits (autant de \"1\" que de \"0\").",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur de bande principale (DSP) du signal :
Formule : $B_{min} = \\frac{1}{2T_b}$
Remplacement : $T_b = 480 \\ \\mathrm{\\mu s} = 480\\times 10^{-6}$
$B_{min} = \\frac{1}{2 \\times 480 \\times 10^{-6}}$
$B_{min} = \\frac{1}{960 \\times 10^{-6}}$
$B_{min} = \\frac{1}{0,00096}$
$B_{min} = 1\\ 041\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $B_{min} = 1\\ 041\\ \\mathrm{Hz}$

2. Débit binaire maximal admis :
Formule : $R_{max} = 2B$
Remplacement : $B = 1,2\\ \\mathrm{kHz} = 1\\ 200\\ \\mathrm{Hz}$
$R_{max} = 2 \\times 1\\ 200 = 2\\ 400\\ \\mathrm{bits/s}$
Résultat final : $R_{max} = 2\\ 400\\ \\mathrm{bits/s}$

3. Puissance moyenne transmise :
 $P_{moy} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{A_1^2}{R}$
Supposons $R = 1\\ \\Omega$, autant de “1” et “0”.
$P_{moy} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{25}{1} = 12,5\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{moy} = 12,5\\ \\mathrm{W}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Une transmission numérique utilise la modulation de fréquence FSK avec une fréquence porteuse $f_c = 6\\ \\mathrm{kHz}$ et un écart de fréquence $\\Delta f = 950\\ \\mathrm{Hz}$. Chaque symbole tient $T_b = 740\\ \\mathrm{\\mu s}$.

1. Calculez les fréquences utilisées pour les symboles “0” et “1”.
2. Déterminez la largeur de bande spectrale du signal transmis selon la règle de Carson.
3. Évaluez le taux d’erreur de bit (BER) maximal admissible si le rapport signal sur bruit est de $SNR = 13\\ \\mathrm{dB}$, en supposant une démodulation cohérente.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquences utilisées pour “0” et “1” :
Formule : $f_0 = f_c - \\Delta f$, $f_1 = f_c + \\Delta f$
Remplacement : $f_c = 6\\ \\mathrm{kHz}$, $\\Delta f = 950\\ \\mathrm{Hz}$
$f_0 = 6\\ 000 - 950 = 5\\ 050\\ \\mathrm{Hz}$
$f_1 = 6\\ 000 + 950 = 6\\ 950\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $f_0 = 5\\ 050\\ \\mathrm{Hz}$, $f_1 = 6\\ 950\\ \\mathrm{Hz}$

2. Largeur de bande spectrale (Carson) :
Formule : $B_{FSK} = 2\\Delta f + \\frac{1}{T_b}$
$\\frac{1}{T_b} = \\frac{1}{0,00074} = 1\\ 351\\ \\mathrm{Hz}$, $2\\Delta f = 1\\ 900\\ \\mathrm{Hz}$
$B_{FSK} = 1\\ 900 + 1\\ 351 = 3\\ 251\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $B_{FSK} = 3\\ 251\\ \\mathrm{Hz}$

3. BER maximal admissible pour $SNR = 13\\ \\mathrm{dB}$ :
Formule (FSK cohérent) : $BER = Q\\left(\\sqrt{\\frac{E_b}{N_0}}\\right)$, $SNR = 10\\log_{10} \\left(\\frac{E_b}{N_0}\\right)$.
$SNR = 13\\ \\mathrm{dB} \\implies \\frac{E_b}{N_0} = 10^{1,3} = 19,95$, $Q(\\sqrt{19,95})$
$\\sqrt{19,95} = 4,47$
Pour $Q(4,47)$ (table de fonction Q, très faible) :$BER \\approx 3,9 \\times 10^{-6}$
Résultat final : $BER_{max} = 3,9 \\times 10^{-6}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un modulateur PSK transmet des bits à un débit $R_b = 4\\ \\mathrm{kbps}$ en utilisant une porteuse de fréquence $f_c = 18\\ \\mathrm{kHz}$. Le canal possède une bande passante de $B = 5\\ \\mathrm{kHz}$. Un filtre de cosinus relevé avec un roll-off $\\alpha = 0,4$ est utilisé.

1. Calculez la largeur de bande réelle occupée par le signal en présence du roll-off.
2. Calculez la durée du symbole et de chaque bit.
3. Déterminez la puissance moyenne transmise pour un signal PSK à amplitude $A = 3\\ \\mathrm{V}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur de bande réelle occupée avec roll-off :
Formule : $B_{PSK} = (1 + \\alpha) \\frac{R_b}{2}$
Remplacement : $\\alpha = 0,4$, $R_b = 4\\ 000$
$B_{PSK} = 1,4 \\times 2\\ 000 = 2\\ 800\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $B_{PSK} = 2\\ 800\\ \\mathrm{Hz}$

2. Durée du symbole et du bit :
Pour PSK binaire, $T_{sym} = T_b = \\frac{1}{R_b}$
$T_b = \\frac{1}{4\\ 000} = 0,25\\ \\mathrm{ms}$
Résultat final : $T_{sym} = T_b = 0,25\\ \\mathrm{ms}$

3. Puissance moyenne transmise pour PSK à $A = 3\\ \\mathrm{V}$ :
 $P_{moy} = \\frac{A^2}{2R}$, supposons $R = 1\\ \\Omega$
$P_{moy} = \\frac{9}{2} = 4,5\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $P_{moy} = 4,5\\ \\mathrm{W}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de transmission utilise la modulation d’amplitude binaire (ASK) avec une porteuse de fréquence $f_c$. L’équipement doit transmettre un débit de 10 kbit/s, le schéma suivant montre le générateur ASK. 1. Calculer la bande passante requise du canal de transmission pour ASK en considérant un facteur d’élargissement spectral. 2. Déterminer la puissance moyenne du signal ASK pour un rapport cyclique de 50 % et une amplitude maximale donnée. 3. Calculer le taux d’erreurs binaire attendu à la sortie si le rapport signal à bruit (SNR) du canal est de 9 dB.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Bande passante requise
1. Formule générale : $B_{ASK} = (1 + \\alpha)R_b$, où $R_b$ est le débit binaire, $\\alpha$ facteur d'élargissement spectral.
2. Remplacement : $R_b=10\\,kbit/s$, $\\alpha=0,5$
3. Calcul : $B_{ASK} = 1,5 \\times 10\\,000 = 15\\,kHz$
4. Résultat final : $B_{ASK} = 15\\,kHz$

Question 2 : Puissance moyenne du signal ASK
1. Formule générale : $P_{moy} = \\frac{A_{max}^2}{2R} \\times ratio_{cyc}$
2. Remplacement : $A_{max}=3,6\\,V$, $R=75\\,\\Omega$, $ratio_{cyc}=0,5$
3. Calcul : $P_{moy} = \\frac{3,6^2}{2 \\times 75} \\times 0,5 = \\frac{12,96}{150}\\times0,5 = 0,0864 \\times 0,5 = 0,0432\\,W$
4. Résultat final : $P_{moy} = 43,2\\,mW$

Question 3 : Taux d’erreurs binaire attendu
1. Formule générale BPSK (approximation ASK, bruit blanc) : $P_e = Q(\\sqrt{2 \\cdot SNR_{lin}})$
2. Remplacement : $SNR_{dB}=9\\,dB$, $SNR_{lin}=10^{9/10}=7,94$
3. Calcul : $P_e = Q(\\sqrt{15,88}) = Q(3,99)$
Pour$ Q(4) \\approx 3,2\\times 10^{-5}$
4. Résultat final : $P_e \\approx 3,2 \\times 10^{-5}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Une liaison de données utilise la modulation de fréquence binaire (FSK) avec deux fréquences séparées. Le schéma montre l’émetteur, la fréquence centrale $f_0$, le déplacement de fréquence, et le filtre de réception. 1. Calculer la distance minimale entre les deux fréquences pour garantir l’orthogonalité des signaux. 2. Déduire la densité spectrale de puissance (DSP) en fonction du débit binaire. 3. Calculer la probabilité d’erreur d’un symbole pour un rapport signal à bruit (Eb/N0) donné.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Distance de fréquences (orthogonalité)
1. Formule générale : $\\Delta f_{min} = \\frac{1}{2T_b}$
2. Remplacement : $T_b=\\frac{1}{R_b}=1/12\\,000=83,3\\,\\mu s$
3. Calcul : $\\Delta f_{min} = \\frac{1}{2 \\times 83,3 \\times 10^{-6}} = 6\\,000\\,Hz$
4. Résultat final : $\\Delta f_{min} = 6,0\\,kHz$

Question 2 : DSP pour FSK
1. Formule générale : $S(f) = \\frac{E_b}{2 T_b}[ \\text{sinc}^2(\\pi(f-f_1)T_b) + \\text{sinc}^2(\\pi(f-f_2)T_b)]$
2. Remplacement : $E_b=0,8\\,\\mu J$, $T_b=83,3\\,\\mu s$, $f_1=100\\,kHz$, $f_2=106\\,kHz$
3. Calcul : Fonction dépendant de la sinc, l'expression générale donnée ci-dessus$
4. Résultat final : DSP centrée sur $f_1 = 100\\,kHz$ et $f_2=106\\,kHz$, largeur de lobe principale $12\\,kHz$

Question 3 : Probabilité d’erreur symbole
1. Formule générale : $P_e = Q(\\sqrt{\\frac{2 E_b}{N_0}})$ pour 2-FSK orthogonale
2. Remplacement : $E_b/N_0 = 7\\,dB = 10^{0,7} = 5,01$
3. Calcul : $P_e = Q(\\sqrt{2 \\times 5,01}) = Q(3,17) \\approx 7,6 \\times 10^{-4}$
4. Résultat final : $P_e = 7,6 \\times 10^{-4}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de transmission ASK binaire doit transmettre des données sur un canal de bande passante limitée. Les paramètres sont :\n- Débit binaire $R_b = 25\\,kb/s$\n- Fréquence de la porteuse $f_c = 100\\,kHz$\n- Amplitudes des deux symboles : $A_0 = 0$ et $A_1 = 10\\,V$\n- Largeur des impulsions NRZ : $T_b = 1/R_b$\nQuestions intégrées :\n1) Calculez la puissance moyenne transmise sur le canal.\n2) Déterminez le spectre de puissance théorique (fréquences principales et largeur de bande) du signal ASK généré.\n3) Une réception en présence d’un bruit blanc gaussien de densité spectrale $N_0/2 = 2 \\times 10^{-9} \\, W/Hz$ est réalisée. Calculez le rapport signal à bruit (S/B) à la sortie du détecteur pour une largeur de bande équivalente $B = 30\\,kHz$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Puissance moyenne transmise
\nFormule générale : $P_{avg} = \\frac{A_1^2}{2} \\cdot P_1$ ($P_1 = 0{,}5$ pour probabilité binaire équilibrée)
\nRemplacement : $P_{avg} = \\frac{(10)^2}{2} \\cdot 0{,}5 = \\frac{100}{2} \\times 0{,}5 = 50 \\times 0{,}5$
\n$P_{avg} = 25\\,W$
\nRésultat final : $P_{avg} = 25\\,W$
\n2. Largeur de bande et spectre
\nFormule : largeur spectrale principale (ASK NRZ) $B = R_b$, pics à $f_c$ et $f_c \\pm n R_b$
\nRemplacement : $B = 25\\,kHz$
\nLes fréquences principales sont autour de $100\\,kHz$ avec premiers lobes latéraux à $75\\,kHz$ et $125\\,kHz$. Largeur efficace : $B_{eff} = R_b = 25\\,kHz$
\nRésultat : pics à $100\\,kHz$ et largeur principale $25\\,kHz$
\n3. Rapport S/B à la sortie
\nFormule :$\\frac{S}{B} = \\frac{P_{avg}}{N_0 B}$
\nRemplacement : $\\frac{25}{2 \\times 10^{-9} \\times 30\\,000}$
\nCalcul : $2 \\times 10^{-9} \\times 30\\,000 = 6 \\times 10^{-5}$
\n$S/B = \\frac{25}{6 \\times 10^{-5}} = 416\\,667$
\nRésultat final : $\\frac{S}{B} = 4,17 \\times 10^5$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "On étudie un système de modulation d’impulsions en amplitude (PAM) utilisant une porteuse carrée de période $T = 40\\,\\mu s$, largeur d’impulsion $\\tau = 8\\,\\mu s$. L’information est échantillonnée et codée sur $n = 6$ niveaux. Le signal utile a une crête de $V_{max} = 3,5\\,V$.\nQuestions intégrées :\n1) Calculez la largeur spectrale principale du signal PAM généré.\n2) Calculez la puissance moyenne transmise si chaque impulsion atteint le maximum.\n3) Calculez la valeur du rapport crête sur moyen (crest factor) du signal PAM dans ce cas optimum.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur spectrale principale
\nFormule : $B = \\frac{1}{2 \\tau}$
\nRemplacement : $B = \\frac{1}{2 \\times 8 \\times 10^{-6}} = \\frac{1}{16 \\times 10^{-6}}$
\nCalcul : $B = 62,5\\,kHz$
\nRésultat final : $B = 62,5\\,kHz$
\n2. Puissance moyenne transmise
\nFormule : $P_{moy} = V_{max}^2 \\times \\frac{\\tau}{T}$
\nRemplacement : $P_{moy} = (3,5)^2 \\times \\frac{8}{40} = 12,25 \\times 0,2$
\n$P_{moy} = 2,45\\,W$
\nRésultat final : $P_{moy} = 2,45\\,W$
\n3. Crest factor
\nFormule : $CF = \\frac{V_{max}}{\\sqrt{P_{moy}}}$
\nRemplacement : $CF = \\frac{3,5}{\\sqrt{2,45}}$
\nCalcul : $CF = \\frac{3,5}{1,565} = 2,24$
\nRésultat final : $CF = 2,24$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de transmission par modulation d’amplitude en modulation numérique (ASK) utilise une porteuse de fréquence $f_c = 100\\,kHz$. Le débit binaire du signal transmis est $R_b = 10\\,kb/s$, et l’amplitude associée à l’état logique 1 est $A_1 = 2,8\\,V$, celle associée à 0 est $A_0 = 0\\,V$.\n1. Calculez la largeur du spectre principal (bande passante théorique minimale) du signal ASK.\n2. Déterminez la puissance moyenne transmise si le rapport cyclique des 1 est $p = 0,4$ et la transmission s’effectue sur une charge de $R = 75\\,\\Omega$.\n3. Calculez la distance minimale requise entre deux raies du spectre pour éviter l’interférence intersymboles.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Bande passante théorique minimale 
$B = R_b$
Remplacement :$B = 10\\,kb/s = 10\\,000\\,Hz$
Résultat :$B = 10\\,kHz$
Question 2 :
Puissance moyenne transmise ASK :
$P_{ASK} = \\frac{p \\cdot A_1^2}{2R}$
Remplacement :$P_{ASK} = \\frac{0,4 \\times 2,8^2}{2 \\times 75}$
$2,8^2 = 7,84$, $2 \\times 75 = 150$, $0,4 \\times 7,84 = 3,136$
$3,136 / 150 = 0,0209\\,W$
Résultat :$P_{ASK} = 20,9\\,mW$
Question 3 :
La distance minimale entre deux raies du spectre (fréquences) doit être :$\\Delta f_{min} = R_b$
Résultat :$\\Delta f_{min} = 10\\,kHz$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un émetteur transmet un signal FSK binaire utilisant $f_0 = 80\\,kHz$ pour le bit «0» et $f_1 = 120\\,kHz$ pour le bit «1». Le débit binaire utilisé est $R_b = 12\\,kb/s$, et l’amplitude de chaque sinusoïde est $A = 3,5\\,V$. L’impédance de la ligne est $R = 50\\,\\Omega$.\n1. Calculez la largeur du spectre principale (bande passante de Carson) du signal FSK.\n2. Déterminez la puissance transmise moyenne sur la charge.\n3. Au récepteur, une démodulation non cohérente nécessite un filtre passe-bande pour chaque sous-porteuse. Calculez la fréquence centrale et la largeur de chaque filtre passe-bande à -3 dB.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Bande passante principale (Carson) FSK : $B = 2\\Delta f + R_b$
Où $\\Delta f = \\frac{f_1 - f_0}{2} = \\frac{120 - 80}{2} = 20\\,kHz$
$B = 2\\times 20 + 12 = 52\\,kHz$
Question 2 :
Puissance moyenne transmise :
$P_{FSK} = \\frac{A^2}{2R}$
Remplacement : $P_{FSK} = \\frac{3,5^2}{2 \\times 50}$
$3,5^2 = 12,25$, $2 \\times 50 = 100$
$12,25 / 100 = 0,1225\\,W$
Résultat : $P_{FSK} = 122,5\\,mW$
Question 3 :
Fréquence centrale de chaque filtre :
Pour «0» : $f_c0 = 80\\,kHz$
Pour «1» : $f_c1 = 120\\,kHz$
Largeur de chaque filtre (idéalement) : égale au débit binaire : $BW = R_b = 12\\,kHz$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un modulateur de phase binaire (BPSK) émet une porteuse de fréquence $f_p = 220\\,kHz$ sur une durée de symbole $T_s = 100\\,\\mu s$. L’amplitude de la porteuse est $A_p = 1,7\\,V$. La transmission est affectée par un bruit additif AWGN de densité spectrale de puissance $N_0 = 2,8\\,x\\,10^{-8}\\,W/Hz$.\n1. Calculez la largeur du spectre (bande de base) du signal BPSK émis.\n2. Déterminez le rapport signal sur bruit (Eb/N0) pour un bit transmis.\n3. Calculez la puissance moyenne transmise sur une impédance de $R = 75\\,\\Omega$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
Bande de base BPSK : $BW = \\frac{1}{T_s}$
Remplacement : $BW = \\frac{1}{100 \\times 10^{-6}} = 10\\,kHz$
Question 2 :
Rapport signal sur bruit énergie par bit :
$E_b = \\frac{A_p^2 T_s}{2R}$
Remplacement : $E_b = \\frac{1,7^2 \\times 100\\times10^{-6}}{2\\times75}$
$1,7^2 = 2,89$, $2\\times75 = 150$, $2,89 \\times 100\\times10^{-6} = 0,000289$
$E_b = 0,000289 / 150 = 1,93\\times10^{-6}\\,J$
Alors :$\\frac{E_b}{N_0} = \\frac{1,93\\times10^{-6}}{2,8\\times10^{-8}} = 69$
Question 3 :
Puissance moyenne BPSK :$P_{BPSK} = \\frac{A_p^2}{2R}$
Remplacement : $P_{BPSK} = \\frac{1,7^2}{2\\times75}$
$2,89 / 150 = 0,0193\\,W$
Résultat : $P_{BPSK} = 19,3\\,mW$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 1 : Analyse de modulation numérique ASK (Amplitude Shift Keying)\nOn considère un système de transmission ASK binaire utilisant une porteuse de fréquence $f_c = 900\\,kHz$ et une durée de symbole $T_s = 14\\,\\mu s$. Les amplitudes logiques transmises sont $A_1 = 3.7\\,V$ (pour 1 logique), $A_0 = 0\\,V$ (pour 0 logique).\nLa chaîne transmet le mot binaire « 1101 ».\n\n1. Écrivez l’expression temporelle complète du signal ASK émis.\n2. Calculez la largeur du spectre principal (largeur de la DSP) du signal ASK pour cette durée de symbole.\n3. Déterminez la puissance moyenne transmise pour ce mot binaire, puis donnez la valeur efficace du signal ASK sur cette période.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle du signal ASK :
\nFormule générale : $s(t) = A_n \\cos(2\\pi f_c t),\\ n=1:1,0$
\nPour la séquence 1101, $T_s = 14\\times10^{-6}$, donc chaque symbole occupe une fenêtre de $[nT_s,(n+1)T_s]$.
\nExpression : 
\n$\n  s_{ASK}(t) =\n  \n    \\begin{cases}\n      3.7 \\cos(2\\pi 900{,}000\\, t), & 0 \\leq t < 14\\,\\mu s \\n      3.7 \\cos(2\\pi 900{,}000\\, t), & 14\\,\\mu s \\leq t < 28\\,\\mu s \\n      0, & 28\\,\\mu s \\leq t < 42\\,\\mu s\\n      3.7 \\cos(2\\pi 900{,}000\\, t), & 42\\,\\mu s \\leq t < 56\\,\\mu s\n    \\end{cases}\n$\n\n2. Largeur du spectre principal :
\nPour ASK sur base rectangle, largeur DSP entre les premiers zéros de sinc : $B = \\frac{2}{T_s}$
\nRemplacement : $T_s=14\\,\\mu s = 14\\times10^{-6}\\,s$\n$B=\\frac{2}{14\\times10^{-6}} = 142{,}857\\,Hz = 143\\,kHz$
\nRésultat : Largeur du spectre principal $143\\,kHz$\n\n3. Puissance moyenne et valeur efficace :
\nPuissance pour un « 1 » : $P_1 = \\frac{A_1^2}{2}= \\frac{3.7^2}{2}= 6.845\\,W$
\nSur 4 symboles, 3 sont à 1 logique : $P_{moy} = \\frac{3}{4}P_1= \\frac{3}{4} \\times 6.845 = 5.134\\,W$
\nValeur efficace sur la séquence :
\n$V_{rms} = \\sqrt{P_{moy}} = \\sqrt{5.134} = 2.27\\,V$
\nRésultat : $P_{moy} = 5.13\\,W$ ; $V_{rms}=2.27\\,V$\n
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 2 : Modulation de fréquence FSK binaire — spectre et puissance émise\nUn émetteur FSK binaire utilise les fréquences $f_0 = 250\\,kHz$ et $f_1 = 270\\,kHz$ pour coder « 0 » et « 1 » respectivement. La durée de symboles est $T_s = 8\\,\\mu s$. Chaque créneau a une amplitude constante $A = 2.9\\,V$. La séquence envoyée est : « 0110 ».\n\n1. Écrivez l’expression temporelle complète du signal FSK transmis.\n2. Déterminez la largeur du spectre principal émis (entre premiers zéros de la sin(x)/x de chaque porteuse).\n3. Calculez la puissance spectrale maximale à la fréquence centrale et la valeur efficace moyenne du signal, pour toute la séquence.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle FSK :
\n$s_{FSK}(t) = \n\\begin{cases}\n2.9 \\cos(2\\pi 250\\,000\\, t), & 0 \\leq t < 8\\,\\mu s \\n2.9 \\cos(2\\pi 270\\,000\\, t), & 8\\,\\mu s \\leq t < 24\\,\\mu s \\n2.9 \\cos(2\\pi 270\\,000\\, t), & 24\\,\\mu s \\leq t < 32\\,\\mu s \\n2.9 \\cos(2\\pi 250\\,000\\, t), & 32\\,\\mu s \\leq t < 40\\,\\mu s \n\\end{cases}\n$\n\n2. Largeur du spectre principal FSK :
\n$B = \\frac{2}{T_s} = \\frac{2}{8\\times 10^{-6}} = 250,000\\,Hz = 250\\,kHz$
\nRésultat : largeur spectrale $250\\,kHz$\n\n3. Puissance spectrale maximale et valeur efficace moyenne :
\nPour un créneau harmonique :
\n$P_{max} = \\frac{A^2}{2} = \\frac{2.9^2}{2} = 4.205\\,W$
\nValeur RMS séquence (2 bits « 1 », 2 bits « 0 ») : 
\n$P_{moy} = \\frac{4}{4}P_{max} = 4.205\\,W$
\n$V_{rms} = \\sqrt{P_{moy}} = 2.05\\,V$
\nRésultat : $P_{max} = 4.21\\,W$ ; $V_{rms} = 2.05\\,V$\n
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 3 : Modulation de phase binaire PSK et modulation d’impulsions en amplitude (PAM)\nUn émetteur utilise la modulation BPSK (Binary Phase Shift Keying) pour transmettre un mot de 3 bits « 101 » sur une porteuse $f_c = 2.3\\,MHz$ avec durée symbole $T_s = 0.8\\,\\mu s$ et amplitude $A = 4.5\\,V$. Le système PAM réalise ensuite une transmission sur la même base de temps, chaque impulsion a une largeur $w = 0.25\\,\\mu s$.\n\n1. Écrivez l’expression temporelle du signal BPSK transmis.\n2. Calculez le spectre principal du signal PAM associé, sachant la largeur d’impulsion fournie ($Sinc$, largeur principale).\n3. Évaluez la puissance moyenne transmise par impulsion PAM, puis la valeur RMS d’une impulsion.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Expression temporelle BPSK :
\n$s_{BPSK}(t) = \n\\begin{cases}\n4.5\\cos(2\\pi 2,300,000\\,t), & 0\\leq t<0.8\\,\\mu s \\n-4.5\\cos(2\\pi 2,300,000\\,t), & 0.8\\,\\mu s\\leq t<1.6\\,\\mu s \\n4.5\\cos(2\\pi 2,300,000\\,t), & 1.6\\,\\mu s\\leq t<2.4\\,\\mu s\n\\end{cases}\n$\n\n2. Largeur du spectre principal PAM :
\nPour PAM, largeur spectre principale (entre zéros de sinc) : $B = \\frac{2}{w}$
\nRemplacement : $w = 0.25\\,\\mu s = 0.25\\times 10^{-6}$\n$B = 2 / 0.25\\times10^{-6} = 8,000,000\\,Hz = 8.0\\,MHz$
\nRésultat : largeur spectre principale PAM $8.0\\,MHz$\n\n3. Puissance moyenne et valeur RMS impulsion :
\nPuissance impulsion : $P = \\frac{A^2}{w/T_s}=\\frac{(4.5)^2}{0.25/0.8}=20.25/0.3125=64.8\\,W$
\nValeur RMS impulsion : $V_{rms}=A\\sqrt{w/T_s}=4.5\\times\\sqrt{0.25/0.8}=4.5\\times0.559=2.52\\,V$
\nRésultat : Puissance impulsion $64.8\\,W$ ; $V_{rms} = 2.52\\,V$\n
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de transmission ASK (Amplitude Shift Keying) transmet des bits binaires à un débit de $R_b = 8~\\mathrm{kbits/s}$ en utilisant une porteuse de fréquence $f_c = 100~\\mathrm{kHz}$. La durée de chaque bit est $T_b$. L'amplitude de la porteuse vaut $V_{1} = 6~\\mathrm{V}$ pour un bit « 1 » et $V_{0} = 0~\\mathrm{V}$ pour un bit « 0 ».\\n1. Calculez la durée d'un bit transmis et la largeur de bande minimale nécessaire pour transmettre ce signal.\\n2. Si la séquence transmise est « 101011 », écrivez l'expression du signal ASK correspondant, puis dessinez ses valeurs.\\n3. La puissance moyenne transmise pour une séquence avec probabilité égale de 0 et 1 est demandée ; calculez-la selon les amplitudes ci-dessus.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Durée d'un bit et largeur de bande :
Formule : $T_b = \\frac{1}{R_b}$
Remplacement : $R_b = 8~\\mathrm{kbits/s} = 8{,}000~\\mathrm{bits/s}$
Calcul : $T_b = \\frac{1}{8,000} = 0.000125~\\mathrm{s} = 125~\\mathrm{\\mu s}$
Largeur de bande minimale : pour ASK NRZ, Résultat : 
2. Expression du signal ASK pour « 101011 » :
Formule : Pour « 1,0,1,0,1,1 » :
$s(t) = 6 \\cos(2\\pi 100,000 t)$ sur [0;125~\\mu s[
$s(t) = 0$ sur [125~\\mu s;250~\\mu s[
$s(t) = 6 \\cos(2\\pi 100,000 t)$ sur [250~\\mu s;375~\\mu s[, etc.
Le graphique SVG le montre : alternance blocs haut (1) et bas (0).

3. Puissance moyenne transmise :
Formule : Pour NRZ, $P_{moy} = \\frac{V_1^2}{2} \\cdot P_1$, avec $P_1 = 0.5$.
Remplacement : $P_{moy} = \\frac{6^2}{2} \\times 0.5 = \\frac{36}{2} \\times 0.5 = 18 \\times 0.5 = 9~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{moy} = 9~\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Une transmission FSK (Frequency Shift Keying) binaire utilise deux fréquences porteuses $f_0 = 30~\\mathrm{kHz}$ et $f_1 = 40~\\mathrm{kHz}$ pour coder respectivement les bits 0 et 1.\\n1. Si le débit binaire est $12~\\mathrm{kbits/s}$, calculez la largeur de bande du signal FSK.\\n2. Pour une suite binaire « 10101 », donnez l’expression du signal émis.\\n3. À la réception, le signal est détecté avec un discriminateur de fréquence dont la pente est $0.3~\\mathrm{V/kHz}$, et une fréquence reçue de $38~\\mathrm{kHz}$. Quelle est la tension de sortie du discriminateur ?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Largeur de bande FSK :
Formule (Carson simplifié) : Écart fréquentiel : $\\Delta f = \\frac{f_1 - f_0}{2} = \\frac{40 - 30}{2} = 5~\\mathrm{kHz}$
Remplacement : $B = 2 \\times 5 + 12 = 10 + 12 = 22~\\mathrm{kHz}$
Résultat : $B = 22~\\mathrm{kHz}$

2. Expression du signal pour « 10101 » :
Pour chaque bit de durée $T_b = 1/12~\\mathrm{ms} = 83.3~\\mu s$ :
« 1 » : $\\cos(2\\pi 40,000 t)$ ; « 0 » : $\\cos(2\\pi 30,000 t)$
Donc :
[0;83.3~\\mu s[ : $\\cos(2\\pi 40,000 t)$
[83.3;166.7~\\mu s[ : $\\cos(2\\pi 30,000 t)$
Dessin SVG : alternance de fréquences.

3. Sortie du discriminateur :
Formule : $V_{out} = S_{dis} \\cdot (f_{in} - f_0)$
Remplacement : $S_{dis} = 0.3~\\mathrm{V/kHz}$, $f_{in} = 38~\\mathrm{kHz}$
$V_{out} = 0.3 \\times (38 - 30) = 0.3 \\times 8 = 2.4~\\mathrm{V}$
Résultat : $V_{out} = 2.4~\\mathrm{V}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de modulation impulsionnelle en amplitude (PAM) échantillonne un signal analogique de bande $B = 4~\\mathrm{kHz}$ par des impulsions de largeur $\\tau = 2~\\mu s$.\\n1. Calculez la fréquence minimale d'échantillonnage nécessaire (théorème de Nyquist).\\n2. Déterminez la durée totale des impulsions transmises chaque seconde.\\n3. Si chaque impulsion a une puissance de crête de $P_{crête} = 18~\\mathrm{W}$, calculez la puissance moyenne totale transmise (formulez en détails selon le rapport cyclique).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Fréquence minimale d’échantillonnage :
Formule (Nyquist) : $f_{e,min} = 2 B$
Remplacement : $B = 4~\\mathrm{kHz}$
$f_{e,min} = 2 \\times 4 = 8~\\mathrm{kHz}$
Résultat : $f_{e,min} = 8~\\mathrm{kHz}$

2. Durée totale d’impulsions par seconde :
Formule : $T_{tot} = N \\tau$, où $N = f_e$
Remplacement : $N = 8,000$, $\\tau = 2~\\mu s = 2 \\times 10^{-6}~\\mathrm{s}$
$T_{tot} = 8,000 \\times 2~\\mu s = 16,000~\\mu s = 0.016~\\mathrm{s}$
Résultat : $T_{tot} = 0.016~\\mathrm{s}$

3. Puissance moyenne transmise :
Formule rapport cyclique : $P_{moy} = P_{crête} \\cdot D$ avec $D = \\frac{\\tau}{T_e} = \\tau f_e$
Remplacement : $P_{crête} = 18~\\mathrm{W}$, $D = 2~\\mu s \\times 8,000 = 0.016$
$P_{moy} = 18 \\times 0.016 = 0.288~\\mathrm{W}$
Résultat : $P_{moy} = 0.288~\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 3 — Modulation d’impulsions en amplitude et spectre de porteuse\nUne source génère des impulsions rectangulaires de largeur $\\tau = 5\\,\\mu\\mathrm{s}$ répétées à la période $T = 40\\,\\mu\\mathrm{s}$ (fréquence d'échantillonnage $f_s = 25\\,\\mathrm{kHz}$). L’amplitude de chaque impulsion est modulée selon un message analogique $x(t)$ de crête $A = 3,3\\,\\mathrm{V}$.\n1. Calculez le rapport cyclique du signal d’impulsions et exprimez la forme mathématique d’un train d’impulsions naturelles AM.\n2. Déterminez l’amplitude de la première harmonique dans le spectre de la porteuse.\n3. Calculez la densité de puissance moyenne du train d’impulsions sur une période.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule : Rapport cyclique $D = \\frac{\\tau}{T}$. Signal PAM : $s(t) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} x(nT) \\cdot p(t - nT)$ où $p(t)$ = porteuse d’impulsion de largeur $\\tau$.
2. Remplacement : $\\tau = 5\\,\\mu\\mathrm{s}$, $T = 40\\,\\mu\\mathrm{s}$, $D = 5/40 = 0,125$
Signal : $s(t) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} 3,3\\,\\mathrm{V} \\, \\cdot \\mathrm{rect}_{5\\,\\mu s}(t - n \\cdot 40\\,\\mu s)$
3. Résultat final : $D = 0,125$; voir l’expression ci-dessus pour le signal.

Question 2
1. Formule — Coefficient harmonique PAM : $C_k = A D \\textrm{sinc}(k \\pi D)$, premier harmonique $k=1$.
2. Remplacement : $A = 3,3\\,\\mathrm{V}$, $D = 0,125$, $C_1 = 3,3 \\times 0,125 \\times \\mathrm{sinc}(\\pi \\times 0,125) = 0,4125 \\times \\mathrm{sinc}(0,393)$
\n$\\mathrm{sinc}(0,393) = \\frac{\\sin(0,393)}{0,393} = 0,382$
\n$C_1 = 0,4125 \\times 0,982 = 0,405\\,\\mathrm{V}$
3. Résultat final : Amplitude harmonique ordre 1 : $C_1 = 0,40\\,\\mathrm{V}$

Question 3
1. Formule — Puissance moyenne PAM : $P = A^2 D$
2. Remplacement : $A = 3,3\\,\\mathrm{V}$, $D = 0,125$
3. Calcul : $P = (3,3)^2 \\times 0,125 = 10,89 \\times 0,125 = 1,36\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P_{moy} = 1,36\\,\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "On transmet une suite binaire par modulation d’amplitude en modulation à sauts d’amplitude (ASK) sur une porteuse de fréquence $f_c = 450\\ \\text{kHz}$ et d’amplitude crête $A_1 = 5{,}6\\ \\text{V}$ (pour un bit à 1), $A_0 = 0\\ \\text{V}$ (pour un bit à 0). La résistance de charge est $R = 100~\\Omega$. Débit binaire du signal: $R_b = 10\\ \\text{kbit/s}$.\n\n1) Calculez la puissance moyenne transmise pour une séquence comportant 60% de bits à 1.\n2) Calculez la largeur de bande du signal transmis.\n3) Calculez le rapport signal à bruit (S/B) en décibels si la puissance du bruit est $P_B = 4~\\text{mW}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale : $P_{moy} = \\frac{A_1^2}{2R}\\cdot p_1$ où $p_1 = 0,6$ (proportion de 1)
2. Remplacement : $P_{moy} = \\frac{(5,6)^2}{2\\times100}\\times 0,6$
3. Calcul : $5,6^2 = 31,36;\\ 2\\times100 = 200;$
$31,36 / 200 = 0,157;$
$0,157\\times0,6 = 0,094~\\text{W} = 94~\\text{mW}$
4. Résultat final : $P_{moy} \\approx 94~\\text{mW}$
Question 2
1. Largeur de bande émission : $B = R_b$ (ASK NRZ sans filtrage)
2. Remplacement : $B = 10~\\text{kHz}$
3. Calcul Aucun
4. Résultat final : $B = 10~\\text{kHz}$
Question 3
1. Rapport signal à bruit :$S/B = 10\\log_{10}\\left(\\frac{P_{signal}}{P_B}\\right)$
2. Remplacement : $S/B = 10\\log_{10}\\left(\\frac{0,094}{0,004}\\right)$
3. Calcul : $0,094 / 0,004 = 23,5;\\ \\log_{10}(23,5) = 1,37;\\ 10\\times1,37 = 13,7~\\text{dB}$
4. Résultat final : $S/B \\approx 13,7~\\text{dB}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système transmet des données binaires par modulation de fréquence à deux états (FSK), avec deux fréquences de porteuse $f_1 = 120~\\text{kHz}$ (pour le bit 1) et $f_0 = 90~\\text{kHz}$ (pour le bit 0). Les signaux modulés sont transmis sur une résistance de $R = 75~\\Omega$, amplitudes crête des deux signaux $A = 4{,}5~\\text{V}$. Durée de symbole $T_b = 40~\\mu\\text{s}$.\n\n1) Calculez la puissance moyenne transmise par la liaison.\n2) Calculez la largeur de bande à -3 dB du signal FSK (en supposant la règle de Carson).\n3) Lors de la démodulation FSK, si le niveau bruité du canal vaut $V_{bruit~eff} = 0,5~\\text{V}_{rms}$, calculez le rapport signal/bruit de démodulation en dB.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule puissance moyenne BFSK : $P_{moy} = \\frac{A^2}{2R}$
2. Remplacement : $P_{moy} = \\frac{4,5^2}{2\\times75}$
3. Calcul : $4,5^2 = 20,25;\\ 2\\times75 = 150;$
$20,25 / 150 = 0,135~\\text{W} = 135~\\text{mW}$
4. Résultat final : $P_{moy} = 135~\\text{mW}$
Question 2
1. Largeur de bande par Carson : $B = 2\\Delta f + \\frac{1}{T_b}$ où $\\Delta f = |f_1 - f_0| / 2 = (120 - 90)/2 = 15~\\text{kHz}$
2. Remplacement : $B = 2\\times15~\\text{kHz} + \\frac{1}{40~\\mu\\text{s}}$
3. Calcul : $2\\times15 = 30~\\text{kHz};\\ 1/40~\\mu\\text{s} = 25~\\text{kHz}$
$B = 30 + 25 = 55~\\text{kHz}$
4. Résultat final : $B = 55~\\text{kHz}$
Question 3
1. Puissance signal efficace : $V_{signal~eff} = A / \\sqrt{2} = 4,5/1,414 = 3,18\\ \\text{V}$
2. Rapport signal/bruit : $S/B~_{dB} = 20 \\log_{10} \\left(\\frac{V_{signal~eff}}{V_{bruit~eff}}\\right)$
3. Remplacement : $20\\log_{10}(3,18/0,5) = 20\\log_{10}(6,36) = 20\\times0,803 = 16,06~\\text{dB}$
4. Résultat final : $S/B_{démod} = 16,1~\\text{dB}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système numérique utilise une modulation de phase (BPSK) sur une porteuse de fréquence $f_c = 600~\\text{kHz}$. Le débit binaire est $R_b = 25~\\text{kbit/s}$, la puissance crête du signal $P_c = 90~\\text{mW}$, résistance de chargement $R = 36~\\Omega$.\n\n1) Calculez l’amplitude du signal modulé.\n2) Calculez la largeur de bande du signal BPSK transmis.\n3) Lors de la démodulation cohérente, si la puissance moyenne du bruit en sortie vaut $P_B = 1,3~\\text{mW}$, donnez le rapport signal à bruit en dB.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Puissance crête :$P_c = \\frac{A^2}{2R}$
2. Remplacement :$0,09 = \\frac{A^2}{2\\times36}$
3. Calcul :$2\\times36 = 72;\\ 0,09\\times72 = 6,48 = A^2;\\ \\sqrt{6,48} = 2,55~\\text{V}$
4. Résultat final :$A = 2,55~\\text{V}$
Question 2
1. Largeur de bande BPSK : $B = 2R_b$
2. Remplacement : $B = 2\\times25~\\text{kHz}$
3. Calcul : $B = 50~\\text{kHz}$
4. Résultat final : $B = 50~\\text{kHz}$
Question 3
1. Rapport signal/bruit dB : $S/B_{dB} = 10\\log_{10}\\left(\\frac{P_{signal}}{P_B}\\right)$
2. Remplacement : $P_{signal} = 90~\\text{mW};\\ P_B = 1,3~\\text{mW}$
3. Calcul : $90/1,3 = 69,23;\\ \\log_{10}(69,23) = 1,84;\\ 10\\times1,84 = 18,4~\\text{dB}$
4. Résultat final : $S/B_{démod} = 18,4~\\text{dB}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de téléphonie numérique utilise une modulation ASK pour transmettre des données binaires. Le débit binaire est de $R_b = 45\\ \\mathrm{kbit/s}$ et l’amplitude de la porteuse est $A_c = 9{,}6\\ \\mathrm{V}$. Pour cette modulation, la durée d'un symbole est $T_s = \\frac{1}{R_b}$.\n1. Calculez la durée d’un symbole et le nombre de symboles transmis en $4\\ \\mathrm{ms}$.\n2. Déterminez la valeur moyenne de la puissance transmise si le signal est $ASK$ non polaire (symbole '1' : $A_c$, symbole '0' : $0$, probabilité équi-probable).\n3. Calculez la largeur de bande minimale du spectre du signal ASK.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Durée d’un symbole et nombre transmis :
Formule : $T_s = \\frac{1}{R_b}$
Remplacement : $T_s = \\frac{1}{45\\,000} = 22,2\\ \\mu\\mathrm{s}$
Nombre sur $4\\ \\mathrm{ms}$ : $\\text{Nb} = \\frac{4\\times10^{-3}}{22,2\\times10^{-6}} = \\frac{4\\,000}{22,2} = 180,18$
On ne transmet pas les fractions, donc $180$ symboles
Résultat final : $\\boxed{22,2\\ \\mu\\mathrm{s}}$, $\\boxed{180}$ symboles

2. Puissance moyenne transmise :
Pour le symbole '1' : $P_1 = \\frac{A_c^2}{2R}$ ; pour le symbole '0' : $P_0 = 0$ ; probabilité équi-probable : $P_{moy} = \\frac{P_1 + P_0}{2} = \\frac{A_c^2}{4R}$
$A_c = 9,6\\ \\mathrm{V}$, $R=50\\ \\Omega$
$P_{moy} = \\frac{(9,6)^2}{4 \\times 50} = \\frac{92,16}{200} = 0,461\\ \\mathrm{W}$
Résultat final : $\\boxed{461\\ \\mathrm{mW}}$

3. Largeur de bande minimale :
Formule de Nyquist : $B_{min} = R_b$
Résultat final : $\\boxed{45\\ \\mathrm{kHz}}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un transmetteur numérique utilise la modulation FSK pour des transmissions à $R_b = 62,5\\ \\mathrm{kbit/s}$. Les fréquences de base utilisées sont $f_0 = 1,5\\ \\mathrm{MHz}$ et $f_1 = 1,9\\ \\mathrm{MHz}$.\n1. Calculez la séparation minimale en fréquence entre les deux signaux FSK et vérifiez la validité vis-à-vis du critère orthogonal.\n2. Déterminez la largeur de bande spectrale du signal FSK.\n3. Si le récepteur utilise une démodulation discriminateur, trouvez la durée de symbole nécessaire pour éviter l’interférence inter-symbole.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Séparation minimale et orthogonalité FSK :
Formule : $\\Delta f_{min} = \\frac{R_b}{2}$
Remplacement : $\\Delta f = |f_1 - f_0| = |1,900,000 - 1,500,000| = 400,000\\ \\mathrm{Hz}$
$\\frac{62,500}{2} = 31,250\\ \\mathrm{Hz}$
Validité : $400,000 > 31,250$ donc critère orthogonal établi.
Résultat final : $\\boxed{400\\ \\mathrm{kHz}}$, critère orthogonal respecté

2. Largeur de bande spectrale :
Formule (Carson, FSK non MSK) : $B_{FSK} = 2\\Delta f + R_b$
Remplacement : $B_{FSK} = 2\\times400,000 + 62,500 = 800,000 + 62,500 = 862,500\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $\\boxed{862,5\\ \\mathrm{kHz}}$

3. Durée de symbole sans interférence :
Formule : $T_s \\geq \\frac{1}{\\Delta f}$
Remplacement : $T_s \\geq \\frac{1}{400,000} = 2,5\\ \\mu\\mathrm{s}$
Résultat final : $\\boxed{2,5\\ \\mu\\mathrm{s}}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Un système de transmission numérique emploie la modulation PSK en utilisant une porteuse de fréquence $f_c = 820\\ \\mathrm{kHz}$ et un débit symbole de $R_s = 250\\ \\mathrm{kbaud}$. La phase binaire utilisée est $0\\degree$ pour '0' et $180\\degree$ pour '1'.\n1. Calculez la durée d’un symbole PSK.\n2. Déterminez la largeur de bande du signal PSK transmis selon le critère de Nyquist.\n3. Si le signal est reçu avec une atténuation de $2,8\\ \\mathrm{dB}$ et une puissance initiale de $53\\ \\mathrm{mW}$, calculez la puissance du signal reçu.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Durée d’un symbole PSK :
Formule : $T_s = \\frac{1}{R_s}$
Remplacement : $T_s = \\frac{1}{250\\,000} = 4,0\\ \\mu\\mathrm{s}$
Résultat final : $\\boxed{4,0\\ \\mu\\mathrm{s}}$

2. Largeur de bande du signal PSK :
Critère Nyquist : $B_{min} = \\frac{R_s}{2}$
Remplacement : $B_{min} = \\frac{250\\,000}{2} = 125\\,000\\ \\mathrm{Hz}$
Résultat final : $\\boxed{125\\ \\mathrm{kHz}}$

3. Puissance reçue après atténuation :
Formule : $P_{rx} = P_{tx} \\times 10^{-A/10}$
Remplacement : $P_{rx} = 53 \\times 10^{-2,8/10} = 53 \\times 10^{-0,28} = 53 \\times 0,525$
$53 \\times 0,525 = 27,8\\ \\mathrm{mW}$
Résultat final : $\\boxed{27,8\\ \\mathrm{mW}}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 1 : Modulation numérique ASK et spectre de puissance.
On transmet une séquence de bits par modulation d’amplitude (ASK). La porteuse a une fréquence $f_c = 120\\,\\mathrm{kHz}$ et une amplitude $A = 9\\,\\mathrm{V}$. Le débit binaire est $R_b = 10\\,\\mathrm{kbit/s}$. La transmission se fait en NRZ (non retour à zéro).
1. Calculez la largeur du spectre principal du signal modulé.
2. Déterminez la densité de puissance du signal transmis.
3. Calculez la puissance moyenne transmise pour une séquence de bits 1011.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Largeur du spectre principal
1. Formule générale : $B \\approx R_b$ (ASK NRZ, largeur à -3dB)
2. Remplacement : $B = 10\\,\\mathrm{kHz}$
3. Résultat final : $B = 10\\,\\mathrm{kHz}$

Question 2 : Densité de puissance
1. Formule générale : Pour un signal NRZ, $S(f) = A^2 T_b / 4,\\,\\, T_b = 1/R_b$
2. Remplacement : $T_b = 1 / (10 \\times 10^3) = 0,1\\,\\mathrm{ms}$
 $S(f) = 9^2 \\times 0,1 / 4 = 81 \\times 0,1 / 4 = 8,1 / 4 = 2,025\\,\\mathrm{V}^2\\,\\mathrm{ms}$
3. Résultat final : $S(f) = 2,03\\,\\mathrm{V}^2\\,\\mathrm{ms}$

Question 3 : Puissance moyenne séquence 1011
1. Formule générale : seulement les bits \"1\" transmettent la porteuse (amplitude = 9 V), bits \"0\" amplitude nulle.
Pour 1011, 3 sur 4 bits actifs.
 $P_{moy} = \\frac{1}{N_{tot}} \\sum_{k=1}^{N_{tot}} P_{bit_k}$ où $P_{bit1,3,4} = \\frac{A^2}{2},\\, P_{bit2} = 0$
2. Remplacement : $P_{moy} = \\frac{3 \\times 81/2}{4} = \\frac{3 \\times 40,5}{4} = \\frac{121,5}{4} = 30,38\\,\\mathrm{W}$
3. Résultat final : $P_{moy} = 30,4\\,\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 2 : Modulation numérique FSK et démodulation par détecteur de fréquence.
Un signal binaire est transmis par modulation de fréquence (FSK) avec $f_0 = 16\\,\\mathrm{kHz}$ (pour bit \"0\"), $f_1 = 24\\,\\mathrm{kHz}$ (pour bit \"1\"). La séquence est 0110, le débit binaire $R_b = 4\\,\\mathrm{kbit/s}$. La résistance de charge est $R = 120\\,\\Omega$.
1. Calculez la largeur de bande requise pour transmettre ce signal.
2. Calculez la puissance moyenne sur la charge pour cette séquence.
3. Déduisez la fréquence centrale reçue après filtrage pour la séquence 0110.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Largeur de bande requise
1. Formule générale : $B = 2\\Delta f + R_b$ (où $\\Delta f = f_1 - f_0 = 8\\,\\mathrm{kHz}$)
2. Remplacement : $B = 2 \\times 8 + 4 = 16 + 4 = 20\\,\\mathrm{kHz}$
3. Résultat final : $B = 20\\,\\mathrm{kHz}$

Question 2 : Puissance moyenne
Pour chaque bit transmission, supposons même amplitude pour chaque signaux.
1. Formule : pour onde sinusoïdale amplitude a, $P_{moy} = \\frac{a^2}{2R}$
Amplitude non donnée, posons $a = 1\\,V}$ (type FSK habituel, à ajuster selon contexte)
 $P_{moy} = \\frac{1}{2 \\cdot 120} = 0,00417\\,W$
3. Résultat final : $P_{moy} = 4,17\\,\\mathrm{mW}$

Question 3 : Fréquence centrale après filtrage
1. Séquence 0110 : deux bits à $f_1 = 24\\,\\mathrm{kHz}$, deux à $f_0 = 16\\,\\mathrm{kHz}$
2. Fréquence moyenne : $f_{central} = \\frac{2 \\times 16 + 2 \\times 24}{4} = \\frac{32 + 48}{4} = 20\\,\\mathrm{kHz}$
3. Résultat final : $f_{central} = 20\\,\\mathrm{kHz}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "modulations numériques",
    "question": "Exercice 3 : Modulation numérique PSK et modulation d'impulsions en amplitude.
Pour une transmission par modulation de phase (PSK), la porteuse est : $A_c = 3\\,V$, $f_c = 2\\,\\mathrm{MHz}$, la séquence binaire est 10 11 01 (QPSK sur 2 bits/symbole). En parallèle, un signal analogique est transmis par modulation d’impulsions en amplitude (PAM) : impulsions de largeur $\\tau = 0,18\\,\\mathrm{ms}$ répétées toutes les $T = 0,75\\,\\mathrm{ms}$.
1. Calculez les phases de la porteuse pour chaque symbole.
2. Calculez la fréquence du spectre principal du signal PAM.
3. Calculez la puissance moyenne d'une impulsion PAM d’amplitude $A = 2,5\\,\\mathrm{V}$ sur une charge $R = 75\\,\\Omega$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Phases de la porteuse QPSK
1. Formule : pour chaque symbole 2 bits :
00 → $0\\,\\mathrm{rad};$ 01 → $\\pi/2;$ 10 → $\\pi;$ 11 → $3\\pi/2;$
Symbole 1 : 10 → $\\pi$
Symbole 2 : 11 → $3\\pi/2$
Symbole 3 : 01 → $\\pi/2$
2. Résultat final : Symboles 10, 11, 01 ont respectivement $\\pi;$ $3\\pi/2;$ $\\pi/2;$

Question 2 : Fréquence du spectre principal PAM
1. Formule : $f_{PAM} = \\frac{1}{T}$
2. Remplacement : $T = 0,75\\,\\mathrm{ms} = 0,00075\\,\\mathrm{s}$
 $f_{PAM} = \\frac{1}{0,00075} = 1333\\,\\mathrm{Hz}$
3. Résultat final : $f_{PAM} = 1333\\,\\mathrm{Hz}$

Question 3 : Puissance moyenne impulsion PAM
1. Formule générale : $P_{moy} = \\frac{\\tau}{T}\\frac{A^2}{R}$
2. Remplacement : $P_{moy} = \\frac{0,18}{0,75}\\frac{2,5^2}{75} = 0,24 \\frac{6,25}{75} = 0,24 \\times 0,0833 = 0,02\\,\\mathrm{W}$
3. Résultat final : $P_{moy} = 20\\,\\mathrm{mW}$
",
    "id_category": "6",
    "id_number": "34"
  }
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