Guides d’ondes

Guides d’ondes (25 Exercices)
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  Exercice 2 : Propagation en mode TM₀₁ dans un guide d'onde cylindrique Un guide d'onde cylindrique en aluminium est utilisé dans un système de transmission hyperfréquence fonctionnant en mode TM₀₁ (dominant pour les modes transverses magnétiques). Le guide a un rayon interne $a = 15 \text{ mm}$ . La fréquence de fonctionnement est $f = 6 \text{ GHz}$ . Le diélectrique de remplissage est l'air avec $\varepsilon_r = 1$ et $\mu_r = 1$ . Pour le mode TM₀₁ dans un guide cylindrique, le nombre d'onde de coupure est donné par : $k_c = \frac{p'_{01}}{a}$ où $p'_{01} = 2.405$ est la première racine zéro de la dérivée de la fonction de Bessel $J_0(x)$ . L'équation de dispersion...→
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  Exercice 3 : Propagation optique en fibre monomode avec atténuation et dispersion chromatique Une liaison optique longue distance utilise une fibre monomode standard (SMF-28) pour interconnecter deux nœuds de réseau séparés de $L = 80 \text{ km}$ . La fibre fonctionne à une longueur d'onde centrale $\lambda_0 = 1550 \text{ nm}$ (fenêtre C). L'atténuation de la fibre est $\alpha = 0.20 \text{ dB/km}$ . La dispersion chromatique de la fibre est $D = 17 \text{ ps/(nm·km)}$ . Un signal DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing) contenant plusieurs canaux est transmis dans la fibre. Le spectre du signal contient des longueurs d'onde allant de $\lambda_1 = 1545 \text{ nm}$ à $\lambda_2 = 1555 \text{ nm}$ , avec un espacement entre canaux de $\Delta\lambda = 0.8 \text{ nm}$ . Le signal...→
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  Exercice 1 : Analyse de Propagation dans un Guide d'Onde Rectangulaire en Mode TE10 Un guide d'onde rectangulaire en cuivre est utilisé pour la transmission de signaux hyperfréquence dans une application de communication satellite. Les dimensions internes du guide sont : Largeur : $a = 22.86 \text{ mm}$ (largeur suivant l'axe x) Hauteur : $b = 10.16 \text{ mm}$ (hauteur suivant l'axe y) Le guide fonctionne dans le mode fondamental TE₁₀ (mode transverse électrique, indices m=1, n=0). La fréquence de fonctionnement est $f = 10 \text{ GHz}$ . La permittivité du vide est $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ , la perméabilité $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$ , et la vitesse de la lumière $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ . Le remplissage du guide est...→
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  Exercice 2 : Analyse d'un Guide Cylindrique Coaxial - Mode TEM et Modes Supérieurs Un câble coaxial utilisé en télécommunication a les caractéristiques géométriques suivantes : Rayon du conducteur interne : $a = 1.5 \text{ mm}$ Rayon du conducteur externe : $b = 5.0 \text{ mm}$ Isolant diélectrique : polyéthylène avec $\varepsilon_r = 2.25$ , $\mu_r = 1$ Le câble est utilisé pour des applications hyperfréquence à la fréquence $f = 1 \text{ GHz}$ . On considère une conductivité infinie des parois (idéal). Question 1 : Calculez la fréquence de coupure du premier mode supérieur TE₁₁ en géométrie cylindrique. Déterminez le rapport entre cette fréquence et celle de fonctionnement (1 GHz). Vérifiez que seul le mode...→
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  Exercice 3 : Analyse de Propagation dans une Fibre Optique Monomode Standard Une fibre optique monomode standard (SMF-28) est déployée pour une liaison de communication longue distance. Les caractéristiques optiques sont : Longueur d'onde de fonctionnement : $\lambda = 1550 \text{ nm}$ (bande C) Dispersion chromatique : $D = 17 \text{ ps/(nm·km)}$ à 1550 nm Atténuation : $\alpha = 0.19 \text{ dB/km}$ Paramètre de couplage non linéaire : $\gamma = 1.27 \text{ W}^{-1}\text{km}^{-1}$ Diamètre du champ modal : $MFD = 10.4 \text{ μm}$ La fibre a une longueur $L = 100 \text{ km}$ . Une impulsion Gaussienne avec une durée initiale $T_0 = 10 \text{ ps}$ et une puissance crête $P_0 = 1 \text{ W}$ est injectée dans la fibre. Question 1 : Calculez l'élargissement temporel de l'impulsion dû à la dispersion...→
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  Exercice 1 : Guide d'ondes rectangulaire - Modes TM et équation de dispersion Un guide d'ondes rectangulaire avec les dimensions $a = 22.86 \text{ mm}$ et $b = 10.16 \text{ mm}$ est utilisé pour transmettre des ondes électromagnétiques aux hyperfréquences. On s'intéresse au mode $TM_{11}$ (transverse magnétique, premier mode hybride dans les deux directions). La fréquence d'opération est $f = 10 \text{ GHz}$ . Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_{c,11}$ du mode $TM_{11}$ en utilisant les dimensions du guide. Vérifiez que le mode peut se propager à $f = 10 \text{ GHz}$ . Question 2 : Calculez la constante de propagation $\beta$ (nombre d'onde selon la direction de propagation z) et la vitesse...→
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  Exercice 2 : Guide d'ondes cylindrique - Mode TE11 et caractéristiques de propagation Un guide d'ondes cylindrique avec rayon $a = 15 \text{ mm}$ est utilisé pour la transmission d'ondes hyperfréquences. On s'intéresse au premier mode hybride $TE_{11}$ (transverse électrique, mode fondamental pour les guides cylindriques). La fréquence d'opération est $f = 12 \text{ GHz}$ . Question 1 : Calculez la fréquence de coupure $f_{c,11}$ du mode $TE_{11}$ en utilisant les propriétés des fonctions de Bessel. Vérifiez que le mode peut se propager à $12 \text{ GHz}$ . Question 2 : Calculez la constante de propagation $\beta$ et la vitesse de groupe $v_g$ du mode $TE_{11}$ à $12 \text{ GHz}$ . Déterminez...→
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  Exercice 3 : Fibre optique - Propagation, atténuation et dispersion chromatique Une fibre optique monomode de type SMF-28 (Standard Single Mode Fiber) est utilisée pour la transmission longue distance. Les paramètres de la fibre sont : Longueur : $L = 50 \text{ km}$ Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.4682$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.4662$ Diamètre du cœur : $2a = 8.2 \text{ μm}$ Atténuation à $1550 \text{ nm}$ : $\alpha = 0.2 \text{ dB/km}$ Dispersion chromatique à $1550 \text{ nm}$ : $D = 17 \text{ ps/(nm·km)}$ Largeur spectrale de la source : $\Delta \lambda = 0.5 \text{ nm}$ Question 1 : Calculez l'ouverture numérique (NA) de la fibre, l'angle d'acceptance maximal, et vérifiez que la fibre est monomode à la longueur...→
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  Exercice 1 : Guide d'Ondes Rectangulaire - Analyse des Modes TE et Équation de Dispersion Un guide d'ondes rectangulaire en cuivre est utilisé pour transporter des signaux hyperfréquences. Le guide a des dimensions $a = 20$ mm (largeur) et $b = 10$ mm (hauteur). L'ingénieur responsable doit analyser les modes de propagation supportés et calculer les paramètres critiques pour le mode TE₁₀, qui est le mode fondamental dominants dans ce type de guide. Données du guide d'ondes : Largeur du guide : $a = 20$ mm $= 0.02$ m Hauteur du guide : $b = 10$ mm $= 0.01$ m Fréquence de fonctionnement : $f = 12$ GHz $= 12 \times 10^9$ Hz Mode d'analyse...→
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  Exercice 2 : Guide d'Ondes Cylindrique - Modes TM et Constantes de Propagation Un système de transmission micro-ondes utilise un guide d'ondes cylindrique (cavité résonante) de rayon $a = 15$ mm pour amplifier et traiter des signaux. Le guide cylindrique supporte différents modes TM (modes transverses magnétiques). L'équipe technique doit déterminer les caractéristiques de propagation du mode TM₁₁ à la fréquence de fonctionnement. Données du guide cylindrique : Rayon du guide : $a = 15$ mm $= 0.015$ m Fréquence de fonctionnement : $f = 15$ GHz $= 15 \times 10^9$ Hz Mode d'analyse : TM₁₁ (m=1, n=1) Vitesse de propagation : $c = 3 \times 10^8$ m/s Zéro de la fonction Bessel $J_m$...→
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  Exercice 1 : Guide d'Onde Rectangulaire - Modes TE et Équation de Dispersion Un guide d'onde rectangulaire air-rempli possède les dimensions suivantes : Largeur (dimension a) : $a = 22.86 \text{ mm}$ Hauteur (dimension b) : $b = 10.16 \text{ mm}$ Perméabilité relative : $\mu_r = 1$ (air) Permittivité relative : $\varepsilon_r = 1$ (air) Le guide fonctionne à la fréquence de $f = 9.375 \text{ GHz}$ en mode TE₁₀ (mode fondamental). La vitesse de la lumière dans le vide est $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ . Les paramètres du mode TE₁₀ sont définis par : Fréquence de coupure : $f_c = \frac{c}{2a} \sqrt{m^2 + n^2 / (b/a)^2}$ pour le mode TE_{mn} $ Constante de propagation : $ \beta = \sqrt{k^2 - k_c^2} $ où $ k = 2\pi f / c $ et $ k_c...→
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  Exercice 2 : Guide d'Onde Cylindrique - Modes TE et TM avec Décomposition Un guide d'onde cylindrique homogène air-rempli possède les paramètres : Rayon du guide : $a = 7.5 \text{ mm}$ Fréquence de fonctionnement : $f = 15 \text{ GHz}$ Vitesse de la lumière : $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ Perméabilité relative : $\mu_r = 1, \varepsilon_r = 1$ (air) Le guide supporte plusieurs modes. Pour le mode TE₁₁, la fréquence de coupure est donnée par : $f_{c,\text{TE}_{mn}} = \frac{c}{2\pi a} \chi'_{mn}$ où $\chi'_{mn}$ est la m-ième racine de la dérivée de la fonction de Bessel $J_n(x)$ . Pour le mode TE₁₁ : $\chi'_{11} = 1.841$ et pour TM₀₁ : $\chi_{01} = 2.405$ . Question 1 : Calculez la fréquence de coupure du mode...→
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  Exercice 3 : Fibre Optique Monomode - Dispersion Chromatique et Atténuation Une fibre optique monomode standard (SMF-28) est utilisée pour une liaison de communication longue distance. Les paramètres sont : Longueur de la fibre : $L = 50 \text{ km}$ Longueur d'onde de la source : $\lambda_0 = 1550 \text{ nm}$ (bande C) Atténuation de la fibre : $\alpha = 0.2 \text{ dB/km}$ Dispersion chromatique : $D = 17 \text{ ps/(nm·km)}$ (typique pour SMF-28 à 1550 nm) Largeur spectrale source : $\Delta\lambda = 0.5 \text{ nm}$ Vitesse de la lumière : $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ Puissance d'entrée : $P_{\text{in}} = 10 \text{ dBm}$ Question 1 : Calculez l'atténuation totale en dB sur la liaison de 50 km. Déterminez la puissance de sortie en dBm et en mW....→
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  Exercice 1 : Analyse d'un guide d'ondes rectangulaire - Modes TE et équation de dispersion Un guide d'ondes rectangulaire de dimensions $a = 48 \text{ mm}$ (largeur) et $b = 24 \text{ mm}$ (hauteur) est utilisé pour transmettre des signaux dans la bande X ( $f = 10 \text{ GHz}$ ). Le guide d'ondes fonctionne avec le mode fondamental $TE_{10}$ . L'objectif est d'analyser les propriétés de propagation du mode, déterminer si la transmission est possible, et calculer les paramètres caractéristiques du guide. Données physiques et géométriques : - Dimensions du guide : $a = 48 \text{ mm}, \quad b = 24 \text{ mm}$ - Fréquence de fonctionnement : $f = 10 \text{ GHz}$ - Milieu de remplissage : air ( $\mu_r = 1, \quad \epsilon_r = 1$ ) - Vitesse de...→
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  Exercice 3 : Fibre optique monomode - Dispersions et atténuation Une fibre optique monomode est utilisée dans un système de télécommunications longue distance. La fibre a un cœur de diamètre $d = 8 \text{ μm}$ , un indice de réfraction du cœur $n_1 = 1.4779$ et du revêtement $n_2 = 1.4697$ . La longueur de la fibre est $L = 50 \text{ km}$ . Un signal modulé à la fréquence $f = 193.1 \text{ THz}$ (longueur d'onde $\lambda = 1.55 \text{ μm}$ , bande C des télécommunications) est transmis à travers cette fibre. Question 1 : Pour une fibre optique monomode, calculez : 1. Le paramètre V (paramètre de normalisation) défini par : $V = \frac{\pi d}{\lambda} \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \frac{\pi d}{\lambda} NA$ où $NA$ est l'ouverture numérique. Vérifiez...→
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  Exercice 1 : Guide d'Ondes Rectangulaire - Modes TE et Équation de Dispersion Un système de transmission utilise un guide d'ondes rectangulaire pour acheminer des ondes électromagnétiques sur longue distance. Le guide possède des dimensions internes $a = 50$ mm et $b = 25$ mm. Le milieu de remplissage est l'air (permittivité relative $\epsilon_r = 1$ , perméabilité relative $\mu_r = 1$ ). Des mesures d'atténuation et de propagation doivent être effectuées pour différents modes de transmission. Paramètres du système : Fréquence de fonctionnement : $f = 6$ GHz Mode de transmission initial : $TE_{10}$ (mode fondamental) Vitesse de la lumière : $c = 3 \times 10^8$ m/s Impédance caractéristique du guide : $Z_g$...→
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  Exercice 2 : Guide d'Ondes Cylindrique - Mode Dominant et Analyse Complète Un système de radar opère avec un guide d'ondes cylindrique rempli d'air pour transmiser des signaux radiofréquence. Le guide possède un rayon interne $a = 10$ mm. Le système fonctionne au mode dominant TE₁₁ à une fréquence $f = 15$ GHz. Paramètres du système : Rayon du guide : $a = 10$ mm Fréquence de fonctionnement : $f = 15$ GHz Vitesse de la lumière : $c = 3 \times 10^8$ m/s Première racine de la fonction de Bessel (mode TE₁₁) : $p'_{11} \approx 1.841$ Mode TE₁₁ pour les modes d'ordre supérieur Formules pour guide cylindrique : Fréquence de coupure TE :...→
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  Exercice 3 : Fibre Optique - Propagation, Dispersion Chromatique et Atténuation Un système de communication optique longue distance utilise une fibre optique monomode pour transmettre des données à $f = 193.1$ THz (longueur d'onde $\lambda = 1550$ nm). La fibre a une longueur $L = 100$ km. Le système doit analyser la propagation, les pertes et la dispersion chromatique qui limitent la performance. Paramètres de la fibre : Longueur d'onde : $\lambda = 1550$ nm (région C, zéro dispersion matériau) Longueur de la fibre : $L = 100$ km Indice de réfraction effectif : $n_{eff} = 1.468$ Coefficient d'atténuation : $\alpha = 0.2$ dB/km Dispersion chromatique : $D = 0$ ps/(nm·km) (région zéro dispersion) Pente de...→
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  Exercice 1 : Analyse complète d'un guide d'ondes rectangulaire fonctionnant en mode TE₁₀ Un guide d'ondes rectangulaire en cuivre est utilisé pour transmettre des signaux hyperfréquences dans une station de communication par satellite. Les dimensions du guide sont : largeur $a = 22.86 \text{ mm}$ et hauteur $b = 10.16 \text{ mm}$ . Le guide est rempli d'air ( $\mu_r = 1, \varepsilon_r = 1$ ). On opère principalement en mode TE₁₀ (mode fondamental). Pour ce guide, les équations de dispersion sont définies par : $\beta^2 + \kappa_c^2 = \omega^2 \mu_0 \varepsilon_0$ où $\beta$ est la constante de propagation, $\kappa_c$ est le nombre d'onde critique, $\omega$ est la pulsation. Le nombre d'onde critique pour le mode TE₁₀ est :...→
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  Exercice 2 : Analyse du guide d'ondes cylindrique pour transmission hyperfréquence et modes dominants Un guide d'ondes cylindrique creux en or (conductivité très élevée) est utilisé dans un accélérateur de particules. Le guide a un rayon $a = 15 \text{ mm}$ et il est rempli d'air. On opère principalement en mode TM₀₁ pour optimiser le transfert d'énergie. Pour un guide cylindrique, l'équation caractéristique pour les modes TM est donnée par les zéros de la fonction de Bessel : $J_m'(u) = 0$ où $u$ est le paramètre caractéristique et $J_m'$ est la dérivée de la fonction de Bessel. Pour le mode TM₀₁, le premier zéro est $u_{01} = 2.405$ ....→
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  Exercice 3 : Propagation dans les fibres optiques - Atténuation, dispersion chromatique et effets non linéaires Un opérateur de télécommunications déploie une liaison optique undersea (sous-marine) utilisant des fibres optiques monomodes standard (SMF-28). La liaison doit couvrir une distance de $L = 100 \text{ km}$ . Le signal est transmis à une longueur d'onde $\lambda = 1550 \text{ nm}$ (bande C) avec une puissance d'entrée $P_{in} = 0 \text{ dBm}$ et une largeur de bande $\Delta f = 100 \text{ GHz}$ . Pour la fibre SMF-28, les paramètres sont : Coefficient d'atténuation : $\alpha = 0.2 \text{ dB/km}$ Coefficient de dispersion chromatique : $D = 17 \text{ ps/(nm·km)}$ Pente de dispersion : $S = 0.055 \text{ ps/(nm}^2\text{·km)}$ Coefficient non linéaire : $\gamma = 1.3 \text{ W}^{-1}\text{km}^{-1}$ Aire effective : $A_{eff} = 80 \text{ μm}^2$ Question 1 :...→
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  Guide d'onde rectangulaire - Propagation du mode TE₁₀ Un guide d'onde rectangulaire en cuivre de dimensions $a = 22.86 \text{ mm}$ (largeur) et $b = 10.16 \text{ mm}$ (hauteur) est utilisé pour transmettre un signal micro-onde. Le guide fonctionne à une fréquence $f = 10 \text{ GHz}$ en propagant le mode fondamental TE₁₀. La permittivité relative du diélectrique intérieur (air) est $\varepsilon_r = 1.0$ et la perméabilité relative est $\mu_r = 1.0$ . Les parois du guide sont en cuivre avec une conductivité $\sigma = 5.8 \times 10^7 \text{ S/m}$ . Question 1 : Calculer la fréquence de coupure $f_c$ du mode TE₁₀, puis déterminer si le mode peut se propager à la fréquence $f = 10 \text{ GHz}$ . Calculer également la constante de propagation...→
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  Fibre optique monomode - Dispersion chromatique et PMD Une fibre optique monomode (SMF-28) de longueur $L = 80 \text{ km}$ est utilisée pour une transmission de données à haut débit. La fibre opère à une longueur d'onde centrale $\lambda_0 = 1550 \text{ nm}$ (bande C) avec une largeur spectrale du signal $\Delta\lambda = 0.8 \text{ nm}$ . La dispersion chromatique de la fibre à cette longueur d'onde est $D = 16 \text{ ps/(nm·km)}$ . Le coefficient de dispersion du matériau est $D_m = 20 \text{ ps/(nm·km)}$ et le coefficient de dispersion du guide d'onde est $D_w = -4 \text{ ps/(nm·km)}$ . La fibre a une perte linéaire $\alpha = 0.2 \text{ dB/km}$ , et l'indice de réfraction du cœur est $n = 1.48$ . Question 1 : Calculer la dispersion...→
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  Guide d'onde rectangulaire en mode TE - Analyse de propagation et adaptation d'impédance Un guide d'onde rectangulaire en cuivre de dimensions $a = 40\text{ mm}$ (largeur) et $b = 20\text{ mm}$ (hauteur) est utilisé pour la transmission d'un signal hyperfréquence à la fréquence $f = 12\text{ GHz}$ . Le guide fonctionne en mode TE₁₀ et transmet de l'énergie électromagnétique dans un milieu diélectrique de perméabilité relative $\mu_r = 1$ et permittivité relative $\varepsilon_r = 1$ (air). On considère la célérité de la lumière dans le vide $c = 3 \times 10^8\text{ m/s}$ , et la perméabilité magnétique du vide $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H/m}$ . Question 1 : Calculer la fréquence de coupure $f_c$ du mode TE₁₀ pour ce guide d'onde rectangulaire....→
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  Fibre optique monomode - Analyse de la dispersion chromatique et de l'atténuation Une fibre optique monomode (SMF) de longueur $L = 80\text{ km}$ est utilisée pour une transmission de données haut débit à la longueur d'onde $\lambda = 1550\text{ nm}$ (bande C). La fibre présente les caractéristiques suivantes : Diamètre du cœur : $2a = 8\text{ μm}$ (rayon $a = 4\text{ μm}$ ) Indice de réfraction du cœur : $n_1 = 1.450$ Indice de réfraction de la gaine : $n_2 = 1.445$ Coefficient d'atténuation : $\alpha = 0.20\text{ dB/km}$ Dispersion chromatique : $D = 17\text{ ps/(nm·km)}$ (à $1550\text{ nm}$ ) PMD (Polarization Mode Dispersion) : $D_{PMD} = 0.05\text{ ps}/\sqrt{\text{km}}$ Un signal modulé avec une largeur spectrale de $\Delta \lambda = 0.8\text{ nm}$ est transmis dans cette fibre. Question 1 :...→

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