- Couche 1 (polystyrène) : épaisseur $e_1 = 0.5 \\text{ mm}$, permittivité relative $\\varepsilon_{r1} = 2.6$
- Couche 2 (mica) : épaisseur $e_2 = 0.3 \\text{ mm}$, permittivité relative $\\varepsilon_{r2} = 6.0$
- Couche 3 (téflon) : épaisseur $e_3 = 0.4 \\text{ mm}$, permittivité relative $\\varepsilon_{r3} = 2.1$
On applique une tension totale $U = 300 \\text{ V}$ entre les armatures. La permittivité du vide est $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{ F/m}$.
Question 1 : Calculer la capacité équivalente $C_{eq}$ du condensateur multicouche.
Question 2 : Déterminer la charge électrique $Q$ stockée sur les armatures.
Question 3 : Calculer le champ électrique $E_i$ dans chacune des trois couches diélectriques.
Question 4 : Calculer l'énergie électrostatique $W$ stockée dans le condensateur et vérifier ce résultat en calculant l'énergie stockée dans chaque couche.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
Question 1 : Capacité équivalente
Pour un condensateur multicouche avec diélectriques en série, l'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.
Étape 1 : Formule générale pour chaque capacité
$C_i = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{ri} S}{e_i}$
Étape 2 : Pour des condensateurs en série
$\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{1}{C_1} + \\frac{1}{C_2} + \\frac{1}{C_3} = \\frac{e_1}{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{r1} S} + \\frac{e_2}{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{r2} S} + \\frac{e_3}{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{r3} S}$
$\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{1}{\\varepsilon_0 S} \\left( \\frac{e_1}{\\varepsilon_{r1}} + \\frac{e_2}{\\varepsilon_{r2}} + \\frac{e_3}{\\varepsilon_{r3}} \\right)$
Étape 3 : Conversion de la surface
$S = 50 \\text{ cm}^2 = 50 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2 = 5 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
Étape 4 : Calcul des termes
$\\frac{e_1}{\\varepsilon_{r1}} = \\frac{0.5 \\times 10^{-3}}{2.6} = 1.923 \\times 10^{-4} \\text{ m}$
$\\frac{e_2}{\\varepsilon_{r2}} = \\frac{0.3 \\times 10^{-3}}{6.0} = 5.000 \\times 10^{-5} \\text{ m}$
$\\frac{e_3}{\\varepsilon_{r3}} = \\frac{0.4 \\times 10^{-3}}{2.1} = 1.905 \\times 10^{-4} \\text{ m}$
Étape 5 : Somme
$\\sum = 1.923 \\times 10^{-4} + 5.000 \\times 10^{-5} + 1.905 \\times 10^{-4} = 4.328 \\times 10^{-4} \\text{ m}$
Étape 6 : Calcul de la capacité équivalente
$\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{4.328 \\times 10^{-4}}{8.854 \\times 10^{-12} \\times 5 \\times 10^{-3}} = \\frac{4.328 \\times 10^{-4}}{4.427 \\times 10^{-14}} = 9.777 \\times 10^{9} \\text{ F}^{-1}$
$C_{eq} = 1.023 \\times 10^{-10} \\text{ F} = 102.3 \\text{ pF}$
Résultat : La capacité équivalente du condensateur multicouche est $C_{eq} = 102.3 \\text{ pF}$.
Question 2 : Charge électrique
La charge stockée sur les armatures est déterminée par la relation fondamentale entre charge, capacité et tension.
Étape 1 : Formule générale
$Q = C_{eq} \\times U$
Étape 2 : Remplacement des valeurs
$Q = 1.023 \\times 10^{-10} \\times 300$
Étape 3 : Calcul
$Q = 3.069 \\times 10^{-8} \\text{ C}$
Résultat : La charge électrique stockée est $Q = 30.69 \\text{ nC}$. Cette charge est identique sur toutes les interfaces car les condensateurs sont en série.
Question 3 : Champ électrique dans chaque couche
Le champ électrique dans chaque couche diélectrique dépend de la charge surfacique et de la permittivité du matériau. Pour des diélectriques en série, la tension aux bornes de chaque couche diffère.
Étape 1 : Tension aux bornes de chaque couche
$U_i = \\frac{Q}{C_i} = \\frac{Q \\times e_i}{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{ri} S}$
Étape 2 : Champ électrique
$E_i = \\frac{U_i}{e_i} = \\frac{Q}{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{ri} S}$
Étape 3 : Calcul pour la couche 1 (polystyrène)
$E_1 = \\frac{3.069 \\times 10^{-8}}{8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.6 \\times 5 \\times 10^{-3}} = \\frac{3.069 \\times 10^{-8}}{1.151 \\times 10^{-13}} = 2.666 \\times 10^{5} \\text{ V/m}$
Étape 4 : Calcul pour la couche 2 (mica)
$E_2 = \\frac{3.069 \\times 10^{-8}}{8.854 \\times 10^{-12} \\times 6.0 \\times 5 \\times 10^{-3}} = \\frac{3.069 \\times 10^{-8}}{2.656 \\times 10^{-13}} = 1.155 \\times 10^{5} \\text{ V/m}$
Étape 5 : Calcul pour la couche 3 (téflon)
$E_3 = \\frac{3.069 \\times 10^{-8}}{8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.1 \\times 5 \\times 10^{-3}} = \\frac{3.069 \\times 10^{-8}}{9.297 \\times 10^{-14}} = 3.301 \\times 10^{5} \\text{ V/m}$
Vérification : $U = E_1 e_1 + E_2 e_2 + E_3 e_3 = 133.3 + 34.65 + 132.04 = 299.99 \\approx 300 \\text{ V}$
Résultat : Les champs électriques sont $E_1 = 266.6 \\text{ kV/m}$, $E_2 = 115.5 \\text{ kV/m}$, et $E_3 = 330.1 \\text{ kV/m}$. Le téflon subit le champ le plus élevé en raison de sa faible permittivité.
Question 4 : Énergie électrostatique
L'énergie stockée dans un condensateur peut être calculée globalement ou comme la somme des énergies dans chaque couche.
Étape 1 : Formule générale pour l'énergie totale
$W = \\frac{1}{2} C_{eq} U^2 = \\frac{1}{2} Q U$
Étape 2 : Calcul avec la première formule
$W = \\frac{1}{2} \\times 1.023 \\times 10^{-10} \\times (300)^2$
$W = \\frac{1}{2} \\times 1.023 \\times 10^{-10} \\times 9 \\times 10^{4} = 4.604 \\times 10^{-6} \\text{ J}$
Étape 3 : Vérification avec $W = \\frac{1}{2} Q U$
$W = \\frac{1}{2} \\times 3.069 \\times 10^{-8} \\times 300 = 4.604 \\times 10^{-6} \\text{ J}$
Étape 4 : Énergie dans chaque couche $W_i = \\frac{1}{2} \\varepsilon_0 \\varepsilon_{ri} E_i^2 V_i$ où $V_i = S \\times e_i$
$W_1 = \\frac{1}{2} \\times 8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.6 \\times (2.666 \\times 10^{5})^2 \\times 5 \\times 10^{-3} \\times 0.5 \\times 10^{-3}$
$W_1 = 2.045 \\times 10^{-6} \\text{ J}$
$W_2 = \\frac{1}{2} \\times 8.854 \\times 10^{-12} \\times 6.0 \\times (1.155 \\times 10^{5})^2 \\times 5 \\times 10^{-3} \\times 0.3 \\times 10^{-3}$
$W_2 = 0.531 \\times 10^{-6} \\text{ J}$
$W_3 = \\frac{1}{2} \\times 8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.1 \\times (3.301 \\times 10^{5})^2 \\times 5 \\times 10^{-3} \\times 0.4 \\times 10^{-3}$
$W_3 = 2.028 \\times 10^{-6} \\text{ J}$
Étape 5 : Somme des énergies
$W_{total} = W_1 + W_2 + W_3 = 2.045 + 0.531 + 2.028 = 4.604 \\times 10^{-6} \\text{ J}$
Résultat : L'énergie totale stockée est $W = 4.604 \\text{ μJ}$, confirmée par la somme des énergies individuelles. La distribution d'énergie montre que les couches à faible permittivité (polystyrène et téflon) stockent plus d'énergie.
", "id_category": "1", "id_number": "10" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Exercice 2 : Matériaux magnétiques dans un circuit magnétique toroïdal
Un circuit magnétique toroïdal est constitué de deux matériaux ferromagnétiques différents. La section du tore est circulaire avec un rayon $a = 2 \\text{ cm}$. Le circuit se compose de :
- Section 1 (fer-silicium) : longueur moyenne $l_1 = 40 \\text{ cm}$, perméabilité relative $\\mu_{r1} = 4000$
- Section 2 (ferrite) : longueur moyenne $l_2 = 20 \\text{ cm}$, perméabilité relative $\\mu_{r2} = 1500$
Un bobinage de $N = 500$ spires parcouru par un courant $I = 2.5 \\text{ A}$ entoure le tore. La perméabilité du vide est $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}$.
Question 1 : Calculer la réluctance magnétique $\\mathcal{R}_i$ de chaque section du circuit magnétique.
Question 2 : Déterminer le flux magnétique total $\\Phi$ dans le circuit.
Question 3 : Calculer l'induction magnétique $B_i$ et le champ magnétique $H_i$ dans chaque section.
Question 4 : Calculer l'inductance propre $L$ de la bobine et l'énergie magnétique $W_m$ stockée dans le circuit.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
Question 1 : Réluctance magnétique de chaque section
La réluctance magnétique est l'analogue de la résistance électrique dans les circuits magnétiques. Elle dépend de la géométrie et de la perméabilité du matériau.
Étape 1 : Formule générale de la réluctance
$\\mathcal{R} = \\frac{l}{\\mu_0 \\mu_r S}$
où $l$ est la longueur du chemin magnétique, $S$ la section transversale, $\\mu_0$ la perméabilité du vide et $\\mu_r$ la perméabilité relative.
Étape 2 : Calcul de la section transversale
$S = \\pi a^2 = \\pi \\times (2 \\times 10^{-2})^2 = \\pi \\times 4 \\times 10^{-4} = 1.257 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
Étape 3 : Réluctance de la section 1 (fer-silicium)
$\\mathcal{R}_1 = \\frac{l_1}{\\mu_0 \\mu_{r1} S} = \\frac{0.40}{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 4000 \\times 1.257 \\times 10^{-3}}$
$\\mathcal{R}_1 = \\frac{0.40}{6.325 \\times 10^{-6}} = 6.325 \\times 10^{4} \\text{ A/Wb}$
Étape 4 : Réluctance de la section 2 (ferrite)
$\\mathcal{R}_2 = \\frac{l_2}{\\mu_0 \\mu_{r2} S} = \\frac{0.20}{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1500 \\times 1.257 \\times 10^{-3}}$
$\\mathcal{R}_2 = \\frac{0.20}{2.372 \\times 10^{-6}} = 8.433 \\times 10^{4} \\text{ A/Wb}$
Étape 5 : Réluctance totale (sections en série)
$\\mathcal{R}_{total} = \\mathcal{R}_1 + \\mathcal{R}_2 = 6.325 \\times 10^{4} + 8.433 \\times 10^{4} = 1.476 \\times 10^{5} \\text{ A/Wb}$
Résultat : Les réluctances sont $\\mathcal{R}_1 = 6.325 \\times 10^{4} \\text{ A/Wb}$ et $\\mathcal{R}_2 = 8.433 \\times 10^{4} \\text{ A/Wb}$. La section ferrite présente une réluctance plus élevée malgré sa longueur plus courte, en raison de sa perméabilité relative inférieure.
Question 2 : Flux magnétique total
Le flux magnétique dans un circuit magnétique est déterminé par la force magnétomotrice et la réluctance totale, selon la loi d'Hopkinson (analogue de la loi d'Ohm).
Étape 1 : Force magnétomotrice
$\\mathcal{F} = N \\times I$
$\\mathcal{F} = 500 \\times 2.5 = 1250 \\text{ A}$
Étape 2 : Loi d'Hopkinson
$\\Phi = \\frac{\\mathcal{F}}{\\mathcal{R}_{total}}$
Étape 3 : Calcul du flux
$\\Phi = \\frac{1250}{1.476 \\times 10^{5}} = 8.469 \\times 10^{-3} \\text{ Wb}$
Résultat : Le flux magnétique total dans le circuit est $\\Phi = 8.469 \\text{ mWb}$. Ce flux est constant dans tout le circuit car il n'y a pas de fuite magnétique significative dans un tore.
Question 3 : Induction et champ magnétique dans chaque section
L'induction magnétique et le champ magnétique caractérisent l'état magnétique du matériau. Ils sont liés par la perméabilité du matériau.
Étape 1 : Induction magnétique (identique dans les deux sections car le flux est constant)
$B = \\frac{\\Phi}{S}$
$B = \\frac{8.469 \\times 10^{-3}}{1.257 \\times 10^{-3}} = 6.737 \\text{ T}$
Étape 2 : Champ magnétique dans la section 1
$H_1 = \\frac{B}{\\mu_0 \\mu_{r1}}$
$H_1 = \\frac{6.737}{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 4000} = \\frac{6.737}{5.027 \\times 10^{-3}} = 1.340 \\times 10^{3} \\text{ A/m}$
Ou par la méthode alternative :
$H_1 = \\frac{\\mathcal{F}_1}{l_1} = \\frac{\\Phi \\times \\mathcal{R}_1}{l_1} = \\frac{8.469 \\times 10^{-3} \\times 6.325 \\times 10^{4}}{0.40} = 1.338 \\times 10^{3} \\text{ A/m}$
Étape 3 : Champ magnétique dans la section 2
$H_2 = \\frac{B}{\\mu_0 \\mu_{r2}}$
$H_2 = \\frac{6.737}{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1500} = \\frac{6.737}{1.885 \\times 10^{-3}} = 3.574 \\times 10^{3} \\text{ A/m}$
Ou par la méthode alternative :
$H_2 = \\frac{\\Phi \\times \\mathcal{R}_2}{l_2} = \\frac{8.469 \\times 10^{-3} \\times 8.433 \\times 10^{4}}{0.20} = 3.571 \\times 10^{3} \\text{ A/m}$
Étape 4 : Vérification par le théorème d'Ampère
$N \\times I = H_1 l_1 + H_2 l_2 = 1.340 \\times 10^{3} \\times 0.40 + 3.574 \\times 10^{3} \\times 0.20$
$N \\times I = 536 + 714.8 = 1250.8 \\approx 1250 \\text{ A}$
Résultat : L'induction magnétique est identique dans les deux sections : $B = 6.737 \\text{ T}$. Les champs magnétiques sont $H_1 = 1.340 \\text{ kA/m}$ et $H_2 = 3.574 \\text{ kA/m}$. La ferrite nécessite un champ magnétique plus élevé pour maintenir la même induction.
Question 4 : Inductance et énergie magnétique
L'inductance caractérise la capacité d'une bobine à stocker de l'énergie magnétique. Elle dépend de la géométrie et des propriétés magnétiques du circuit.
Étape 1 : Formule de l'inductance
$L = \\frac{N \\Phi}{I} = \\frac{N^2}{\\mathcal{R}_{total}}$
Étape 2 : Calcul avec la première formule
$L = \\frac{N \\Phi}{I} = \\frac{500 \\times 8.469 \\times 10^{-3}}{2.5}$
$L = \\frac{4.235}{2.5} = 1.694 \\text{ H}$
Étape 3 : Vérification avec la deuxième formule
$L = \\frac{N^2}{\\mathcal{R}_{total}} = \\frac{(500)^2}{1.476 \\times 10^{5}} = \\frac{2.5 \\times 10^{5}}{1.476 \\times 10^{5}} = 1.694 \\text{ H}$
Étape 4 : Énergie magnétique stockée
$W_m = \\frac{1}{2} L I^2$
$W_m = \\frac{1}{2} \\times 1.694 \\times (2.5)^2 = \\frac{1}{2} \\times 1.694 \\times 6.25$
$W_m = 5.294 \\text{ J}$
Étape 5 : Vérification par méthode énergétique
$W_m = \\frac{1}{2} \\Phi \\mathcal{F} = \\frac{1}{2} \\times 8.469 \\times 10^{-3} \\times 1250 = 5.293 \\text{ J}$
Étape 6 : Énergie volumique dans chaque section
$w_i = \\frac{B^2}{2\\mu_0 \\mu_{ri}}$
$w_1 = \\frac{(6.737)^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 4000} = \\frac{45.39}{1.005 \\times 10^{-2}} = 4.517 \\times 10^{3} \\text{ J/m}^3$
$W_1 = w_1 \\times V_1 = 4.517 \\times 10^{3} \\times (1.257 \\times 10^{-3} \\times 0.40) = 2.271 \\text{ J}$
$w_2 = \\frac{(6.737)^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1500} = 1.204 \\times 10^{4} \\text{ J/m}^3$
$W_2 = w_2 \\times V_2 = 1.204 \\times 10^{4} \\times (1.257 \\times 10^{-3} \\times 0.20) = 3.026 \\text{ J}$
$W_{total} = W_1 + W_2 = 2.271 + 3.026 = 5.297 \\text{ J}$
Résultat : L'inductance de la bobine est $L = 1.694 \\text{ H}$ et l'énergie magnétique stockée est $W_m = 5.29 \\text{ J}$. La section ferrite stocke plus d'énergie volumique malgré son volume plus petit, car son champ magnétique est plus élevé.
", "id_category": "1", "id_number": "11" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Exercice 3 : Matériaux conducteurs et effet de la température
Un câble électrique de transport d'énergie est constitué d'un conducteur en cuivre de section circulaire. Les caractéristiques à $T_0 = 20°\\text{C}$ sont :
- Résistivité du cuivre : $\\rho_0 = 1.72 \\times 10^{-8} \\, \\Omega \\cdot \\text{m}$
- Coefficient de température : $\\alpha = 3.9 \\times 10^{-3} \\, \\text{K}^{-1}$
- Longueur du câble : $L = 5 \\text{ km}$
- Diamètre du conducteur : $d = 12 \\text{ mm}$
- Masse volumique du cuivre : $\\rho_{masse} = 8960 \\, \\text{kg/m}^3$
Le câble transporte un courant $I = 250 \\text{ A}$. En régime permanent, la température du conducteur atteint $T = 75°\\text{C}$.
Question 1 : Calculer la résistance du câble à $T_0 = 20°\\text{C}$ et à $T = 75°\\text{C}$.
Question 2 : Déterminer les pertes par effet Joule dans le câble à $T = 75°\\text{C}$ et la chute de tension correspondante.
Question 3 : Calculer la densité de courant $J$ dans le conducteur et vérifier si elle respecte les normes (limite recommandée : $J_{max} = 5 \\times 10^{6} \\, \\text{A/m}^2$).
Question 4 : Calculer la masse totale du conducteur en cuivre et l'énergie dissipée en $24 \\text{ heures}$ de fonctionnement.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
Question 1 : Résistance du câble aux deux températures
La résistance d'un conducteur dépend de sa géométrie (longueur et section) et de la résistivité du matériau, qui varie avec la température.
Étape 1 : Calcul de la section du conducteur
$S = \\pi \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2 = \\pi \\left(\\frac{12 \\times 10^{-3}}{2}\\right)^2 = \\pi \\times (6 \\times 10^{-3})^2$
$S = \\pi \\times 36 \\times 10^{-6} = 1.131 \\times 10^{-4} \\, \\text{m}^2$
Étape 2 : Résistance à $T_0 = 20°\\text{C}$
$R_0 = \\frac{\\rho_0 L}{S}$
$R_0 = \\frac{1.72 \\times 10^{-8} \\times 5000}{1.131 \\times 10^{-4}} = \\frac{8.6 \\times 10^{-5}}{1.131 \\times 10^{-4}}$
$R_0 = 0.7604 \\, \\Omega$
Étape 3 : Résistivité à $T = 75°\\text{C}$
La résistivité varie avec la température selon :
$\\rho(T) = \\rho_0 [1 + \\alpha (T - T_0)]$
$\\rho(75) = 1.72 \\times 10^{-8} \\times [1 + 3.9 \\times 10^{-3} \\times (75 - 20)]$
$\\rho(75) = 1.72 \\times 10^{-8} \\times [1 + 3.9 \\times 10^{-3} \\times 55]$
$\\rho(75) = 1.72 \\times 10^{-8} \\times [1 + 0.2145] = 1.72 \\times 10^{-8} \\times 1.2145$
$\\rho(75) = 2.089 \\times 10^{-8} \\, \\Omega \\cdot \\text{m}$
Étape 4 : Résistance à $T = 75°\\text{C}$
$R(75) = \\frac{\\rho(75) L}{S} = \\frac{2.089 \\times 10^{-8} \\times 5000}{1.131 \\times 10^{-4}}$
$R(75) = \\frac{1.045 \\times 10^{-4}}{1.131 \\times 10^{-4}} = 0.9236 \\, \\Omega$
Ou directement : $R(75) = R_0 \\times [1 + \\alpha (T - T_0)] = 0.7604 \\times 1.2145 = 0.9236 \\, \\Omega$
Résultat : La résistance du câble est $R_0 = 0.760 \\, \\Omega$ à $20°\\text{C}$ et $R(75) = 0.924 \\, \\Omega$ à $75°\\text{C}$. L'augmentation de $21.45\\%$ est due à l'agitation thermique accrue des atomes de cuivre qui augmente les collisions avec les électrons de conduction.
Question 2 : Pertes Joule et chute de tension
Les pertes par effet Joule représentent l'énergie électrique transformée en chaleur lors du passage du courant dans le conducteur. Elles sont responsables de l'échauffement du câble.
Étape 1 : Formule des pertes Joule
$P_{Joule} = R \\times I^2$
Étape 2 : Calcul à $T = 75°\\text{C}$
$P_{Joule} = 0.9236 \\times (250)^2$
$P_{Joule} = 0.9236 \\times 62500 = 57725 \\, \\text{W}$
$P_{Joule} = 57.73 \\, \\text{kW}$
Étape 3 : Chute de tension dans le câble
La chute de tension est la différence de potentiel entre les extrémités du câble due à sa résistance.
$\\Delta U = R \\times I$
$\\Delta U = 0.9236 \\times 250 = 230.9 \\, \\text{V}$
Étape 4 : Si la tension nominale est par exemple $U_{nom} = 20 \\, \\text{kV}$, la chute relative serait :
$\\frac{\\Delta U}{U_{nom}} = \\frac{230.9}{20000} = 0.0115 = 1.15\\%$
Résultat : Les pertes par effet Joule sont $P_{Joule} = 57.73 \\, \\text{kW}$ et la chute de tension est $\\Delta U = 230.9 \\, \\text{V}$. Ces pertes significatives justifient l'utilisation de tensions élevées pour le transport d'énergie, réduisant ainsi le courant et les pertes proportionnelles à $I^2$.
Question 3 : Densité de courant et vérification
La densité de courant caractérise l'intensité du flux d'électrons par unité de surface. Une densité trop élevée entraîne un échauffement excessif et peut endommager le conducteur.
Étape 1 : Formule de la densité de courant
$J = \\frac{I}{S}$
Étape 2 : Calcul
$J = \\frac{250}{1.131 \\times 10^{-4}} = 2.210 \\times 10^{6} \\, \\text{A/m}^2$
$J = 2.210 \\, \\text{MA/m}^2 = 2.21 \\, \\text{A/mm}^2$
Étape 3 : Comparaison avec la limite recommandée
$\\frac{J}{J_{max}} = \\frac{2.210 \\times 10^{6}}{5 \\times 10^{6}} = 0.442 = 44.2\\%$
$J < J_{max}$ donc la norme est respectée.
Étape 4 : Marge de sécurité
$\\text{Marge} = J_{max} - J = 5 \\times 10^{6} - 2.210 \\times 10^{6} = 2.79 \\times 10^{6} \\, \\text{A/m}^2$
Le courant maximal admissible serait :
$I_{max} = J_{max} \\times S = 5 \\times 10^{6} \\times 1.131 \\times 10^{-4} = 565.5 \\, \\text{A}$
Résultat : La densité de courant est $J = 2.21 \\times 10^{6} \\, \\text{A/m}^2$, ce qui représente $44.2\\%$ de la limite recommandée. Le câble fonctionne donc avec une bonne marge de sécurité, permettant d'éviter une surchauffe excessive. Le courant pourrait théoriquement atteindre $565.5 \\, \\text{A}$ avant d'atteindre la limite.
Question 4 : Masse du conducteur et énergie dissipée
La masse totale du conducteur est importante pour l'évaluation des coûts et de la charge mécanique sur les supports. L'énergie dissipée sur une période prolongée représente une perte économique significative.
Étape 1 : Volume du conducteur
$V = S \\times L = 1.131 \\times 10^{-4} \\times 5000$
$V = 0.5655 \\, \\text{m}^3$
Étape 2 : Masse du conducteur
$m = \\rho_{masse} \\times V$
$m = 8960 \\times 0.5655 = 5066.88 \\, \\text{kg}$
$m \\approx 5.067 \\, \\text{tonnes}$
Étape 3 : Énergie dissipée en 24 heures
$W = P_{Joule} \\times t$
avec $t = 24 \\, \\text{h} = 24 \\times 3600 = 86400 \\, \\text{s}$
$W = 57725 \\times 86400 = 4.987 \\times 10^{9} \\, \\text{J}$
$W = 4987 \\, \\text{MJ} = 1385.3 \\, \\text{kWh}$
Étape 4 : Coût énergétique (si tarif = $0.15 \\, \\text{€/kWh}$)
$\\text{Coût} = 1385.3 \\times 0.15 = 207.8 \\, \\text{€/jour}$
$\\text{Coût annuel} = 207.8 \\times 365 = 75847 \\, \\text{€/an}$
Étape 5 : Ratio masse/longueur (donnée technique importante)
$\\frac{m}{L} = \\frac{5066.88}{5000} = 1.013 \\, \\text{kg/m}$
Résultat : La masse totale du conducteur en cuivre est $m = 5.067 \\, \\text{tonnes}$, soit environ $1.013 \\, \\text{kg/m}$. L'énergie dissipée en $24 \\, \\text{heures}$ est $W = 1385.3 \\, \\text{kWh}$, représentant un coût annuel d'environ $75\\,847 \\, \\text{€}$ (à $0.15 \\, \\text{€/kWh}$). Ces pertes importantes justifient économiquement l'utilisation de conducteurs de section plus grande ou de tensions plus élevées pour réduire les pertes Joule.
", "id_category": "1", "id_number": "12" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Exercice 4 : Matériaux semi-conducteurs dans une jonction PN
Une diode à jonction PN est fabriquée en silicium dopé. Les caractéristiques à température ambiante $T = 300 \\, \\text{K}$ sont :
- Concentration intrinsèque : $n_i = 1.5 \\times 10^{10} \\, \\text{cm}^{-3} = 1.5 \\times 10^{16} \\, \\text{m}^{-3}$
- Zone N : dopage au phosphore $N_D = 10^{16} \\, \\text{cm}^{-3}$
- Zone P : dopage au bore $N_A = 5 \\times 10^{15} \\, \\text{cm}^{-3}$
- Tension thermique : $V_T = \\frac{kT}{q} = 26 \\, \\text{mV}$ où $k = 1.38 \\times 10^{-23} \\, \\text{J/K}$ et $q = 1.6 \\times 10^{-19} \\, \\text{C}$
- Permittivité relative du silicium : $\\varepsilon_{r} = 11.7$
La surface de la jonction est $A = 1 \\, \\text{mm}^2$ et le courant de saturation inverse est $I_S = 10^{-14} \\, \\text{A}$.
Question 1 : Calculer le potentiel de diffusion $V_{bi}$ (built-in voltage) à l'équilibre thermodynamique.
Question 2 : Déterminer la largeur de la zone de déplétion $W$ à l'équilibre (sans polarisation externe).
Question 3 : Calculer le courant direct $I_F$ pour une polarisation directe $V_F = 0.7 \\, \\text{V}$ et le courant inverse $I_R$ pour une polarisation inverse $V_R = -5 \\, \\text{V}$.
Question 4 : Calculer la résistance dynamique $r_d$ de la diode en polarisation directe à $V_F = 0.7 \\, \\text{V}$ et la capacité de la zone de déplétion $C_j$ en polarisation inverse à $V_R = -5 \\, \\text{V}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
Question 1 : Potentiel de diffusion
Le potentiel de diffusion (ou tension de jonction intégrée) est la barrière de potentiel qui s'établit naturellement à la jonction PN en l'absence de polarisation externe, résultant de la diffusion des porteurs de charge.
Étape 1 : Formule du potentiel de diffusion
$V_{bi} = V_T \\ln\\left(\\frac{N_A N_D}{n_i^2}\\right)$
où $V_T = \\frac{kT}{q}$ est la tension thermique.
Étape 2 : Conversion des concentrations en unités cohérentes
$N_A = 5 \\times 10^{15} \\, \\text{cm}^{-3} = 5 \\times 10^{21} \\, \\text{m}^{-3}$
$N_D = 10^{16} \\, \\text{cm}^{-3} = 10^{22} \\, \\text{m}^{-3}$
$n_i = 1.5 \\times 10^{16} \\, \\text{m}^{-3}$
Étape 3 : Calcul du produit $N_A N_D$
$N_A N_D = 5 \\times 10^{21} \\times 10^{22} = 5 \\times 10^{43} \\, \\text{m}^{-6}$
Étape 4 : Calcul de $n_i^2$
$n_i^2 = (1.5 \\times 10^{16})^2 = 2.25 \\times 10^{32} \\, \\text{m}^{-6}$
Étape 5 : Calcul du rapport
$\\frac{N_A N_D}{n_i^2} = \\frac{5 \\times 10^{43}}{2.25 \\times 10^{32}} = 2.222 \\times 10^{11}$
Étape 6 : Calcul du logarithme
$\\ln(2.222 \\times 10^{11}) = \\ln(2.222) + \\ln(10^{11}) = 0.798 + 11 \\times 2.303 = 0.798 + 25.333 = 26.131$
Étape 7 : Calcul du potentiel de diffusion
$V_{bi} = 26 \\times 10^{-3} \\times 26.131 = 0.6794 \\, \\text{V}$
Résultat : Le potentiel de diffusion est $V_{bi} = 0.679 \\, \\text{V}$. Cette barrière de potentiel empêche la diffusion ultérieure des porteurs majoritaires à travers la jonction à l'équilibre thermodynamique.
Question 2 : Largeur de la zone de déplétion
La zone de déplétion est une région proche de la jonction, vidée de porteurs mobiles, où subsistent uniquement les ions dopants fixes. Sa largeur dépend du dopage et du potentiel de diffusion.
Étape 1 : Formule de la largeur de déplétion
$W = \\sqrt{\\frac{2 \\varepsilon_0 \\varepsilon_r V_{bi}}{q} \\left(\\frac{1}{N_A} + \\frac{1}{N_D}\\right)}$
Étape 2 : Calcul du terme $\\frac{1}{N_A} + \\frac{1}{N_D}$
$\\frac{1}{N_A} + \\frac{1}{N_D} = \\frac{1}{5 \\times 10^{21}} + \\frac{1}{10^{22}}$
$= 2 \\times 10^{-22} + 1 \\times 10^{-22} = 3 \\times 10^{-22} \\, \\text{m}^3$
Étape 3 : Calcul de $\\varepsilon_0 \\varepsilon_r$
$\\varepsilon_0 \\varepsilon_r = 8.854 \\times 10^{-12} \\times 11.7 = 1.036 \\times 10^{-10} \\, \\text{F/m}$
Étape 4 : Calcul du terme sous la racine
$\\frac{2 \\varepsilon_0 \\varepsilon_r V_{bi}}{q} \\left(\\frac{1}{N_A} + \\frac{1}{N_D}\\right) = \\frac{2 \\times 1.036 \\times 10^{-10} \\times 0.6794}{1.6 \\times 10^{-19}} \\times 3 \\times 10^{-22}$
$= \\frac{1.408 \\times 10^{-10}}{1.6 \\times 10^{-19}} \\times 3 \\times 10^{-22} = 8.800 \\times 10^{8} \\times 3 \\times 10^{-22}$
$= 2.640 \\times 10^{-13} \\, \\text{m}^2$
Étape 5 : Calcul de la largeur
$W = \\sqrt{2.640 \\times 10^{-13}} = 5.138 \\times 10^{-7} \\, \\text{m}$
$W = 0.5138 \\, \\mu\\text{m} = 513.8 \\, \\text{nm}$
Étape 6 : Largeurs individuelles dans chaque zone
$x_p = W \\frac{N_D}{N_A + N_D} = 5.138 \\times 10^{-7} \\times \\frac{10^{22}}{5 \\times 10^{21} + 10^{22}} = 5.138 \\times 10^{-7} \\times 0.667 = 3.426 \\times 10^{-7} \\, \\text{m}$
$x_n = W \\frac{N_A}{N_A + N_D} = 5.138 \\times 10^{-7} \\times 0.333 = 1.712 \\times 10^{-7} \\, \\text{m}$
Résultat : La largeur totale de la zone de déplétion est $W = 513.8 \\, \\text{nm}$, s'étendant sur $342.6 \\, \\text{nm}$ dans la zone P (moins dopée) et $171.2 \\, \\text{nm}$ dans la zone N (plus dopée). La zone de déplétion s'étend davantage du côté le moins dopé.
Question 3 : Courants direct et inverse
Le comportement électrique de la diode est fortement asymétrique : elle conduit facilement en polarisation directe et très peu en polarisation inverse, selon l'équation de Shockley.
Étape 1 : Équation de Shockley
$I = I_S \\left(e^{\\frac{V}{nV_T}} - 1\\right)$
Pour une diode idéale, le facteur d'idéalité $n = 1$.
Étape 2 : Courant direct pour $V_F = 0.7 \\, \\text{V}$
$I_F = I_S \\left(e^{\\frac{V_F}{V_T}} - 1\\right)$
$\\frac{V_F}{V_T} = \\frac{0.7}{0.026} = 26.923$
$e^{26.923} = 4.761 \\times 10^{11}$
$I_F = 10^{-14} \\times (4.761 \\times 10^{11} - 1) \\approx 10^{-14} \\times 4.761 \\times 10^{11}$
$I_F = 4.761 \\times 10^{-3} \\, \\text{A} = 4.761 \\, \\text{mA}$
Étape 3 : Courant inverse pour $V_R = -5 \\, \\text{V}$
$I_R = I_S \\left(e^{\\frac{V_R}{V_T}} - 1\\right)$
$\\frac{V_R}{V_T} = \\frac{-5}{0.026} = -192.31$
$e^{-192.31} \\approx 0$ (extrêmement petit)
$I_R = I_S \\times (0 - 1) = -I_S = -10^{-14} \\, \\text{A}$
En valeur absolue : $|I_R| = 10^{-14} \\, \\text{A} = 10 \\, \\text{fA}$
Étape 4 : Rapport des courants
$\\frac{I_F}{|I_R|} = \\frac{4.761 \\times 10^{-3}}{10^{-14}} = 4.761 \\times 10^{11}$
Résultat : Le courant direct est $I_F = 4.76 \\, \\text{mA}$ pour $V_F = 0.7 \\, \\text{V}$, tandis que le courant inverse est $|I_R| = 10 \\, \\text{fA}$ pour $V_R = -5 \\, \\text{V}$. Le rapport des courants de $4.76 \\times 10^{11}$ démontre le caractère fortement rectificateur de la jonction PN.
Question 4 : Résistance dynamique et capacité de jonction
La résistance dynamique caractérise la réponse de la diode aux petites variations de tension en polarisation directe. La capacité de jonction représente l'effet capacitif de la zone de déplétion en polarisation inverse.
Étape 1 : Résistance dynamique
La résistance dynamique est définie comme :
$r_d = \\frac{dV}{dI} = \\frac{V_T}{I}$ (pour $V \\gg V_T$)
Étape 2 : Calcul à $V_F = 0.7 \\, \\text{V}$
$r_d = \\frac{V_T}{I_F} = \\frac{0.026}{4.761 \\times 10^{-3}}$
$r_d = 5.462 \\, \\Omega$
Vérification par dérivation directe :
$r_d = \\frac{V_T}{I_S e^{\\frac{V_F}{V_T}}} = \\frac{0.026}{10^{-14} \\times 4.761 \\times 10^{11}} = 5.462 \\, \\Omega$
Étape 3 : Capacité de la zone de déplétion en polarisation inverse
$C_j = A \\sqrt{\\frac{q \\varepsilon_0 \\varepsilon_r}{2(V_{bi} + |V_R|)} \\frac{N_A N_D}{N_A + N_D}}$
Étape 4 : Calcul de $\\frac{N_A N_D}{N_A + N_D}$
$\\frac{N_A N_D}{N_A + N_D} = \\frac{5 \\times 10^{21} \\times 10^{22}}{5 \\times 10^{21} + 10^{22}} = \\frac{5 \\times 10^{43}}{1.5 \\times 10^{22}} = 3.333 \\times 10^{21} \\, \\text{m}^{-3}$
Étape 5 : Calcul du potentiel total
$V_{bi} + |V_R| = 0.679 + 5 = 5.679 \\, \\text{V}$
Étape 6 : Calcul de la capacité
$C_j = 10^{-6} \\sqrt{\\frac{1.6 \\times 10^{-19} \\times 1.036 \\times 10^{-10}}{2 \\times 5.679} \\times 3.333 \\times 10^{21}}$
$C_j = 10^{-6} \\sqrt{\\frac{1.658 \\times 10^{-29}}{11.358} \\times 3.333 \\times 10^{21}}$
$C_j = 10^{-6} \\sqrt{1.459 \\times 10^{-30} \\times 3.333 \\times 10^{21}} = 10^{-6} \\sqrt{4.863 \\times 10^{-9}}$
$C_j = 10^{-6} \\times 6.974 \\times 10^{-5} = 6.974 \\times 10^{-11} \\, \\text{F}$
$C_j = 69.74 \\, \\text{pF}$
Étape 7 : Capacité à l'équilibre (pour comparaison)
$C_{j0} = 10^{-6} \\sqrt{\\frac{1.6 \\times 10^{-19} \\times 1.036 \\times 10^{-10}}{2 \\times 0.679} \\times 3.333 \\times 10^{21}} = 2.031 \\times 10^{-10} \\, \\text{F} = 203.1 \\, \\text{pF}$
Résultat : La résistance dynamique en polarisation directe à $V_F = 0.7 \\, \\text{V}$ est $r_d = 5.46 \\, \\Omega$, permettant une conduction facile. La capacité de jonction en polarisation inverse à $V_R = -5 \\, \\text{V}$ est $C_j = 69.7 \\, \\text{pF}$, réduite par rapport à la valeur à l'équilibre $(203.1 \\, \\text{pF})$ car la zone de déplétion s'élargit avec la polarisation inverse selon $C_j \\propto \\frac{1}{\\sqrt{V_{bi} + |V_R|}}$.
", "id_category": "1", "id_number": "13" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Exercice 5 : Matériaux isolants et rigidité diélectrique
Un transformateur haute tension utilise de l'huile minérale comme isolant liquide entre les enroulements. Les caractéristiques de l'huile à $T = 20°\\text{C}$ sont :
- Permittivité relative : $\\varepsilon_{r} = 2.2$
- Rigidité diélectrique : $E_{max} = 15 \\, \\text{kV/mm}$
- Résistivité : $\\rho = 10^{13} \\, \\Omega \\cdot \\text{m}$
- Tangente de pertes : $\\tan(\\delta) = 0.005$ à $f = 50 \\, \\text{Hz}$
L'espace entre deux électrodes planes parallèles de surface $S = 200 \\, \\text{cm}^2$ est rempli d'huile sur une épaisseur $e = 5 \\, \\text{mm}$. Le système fonctionne sous une tension efficace $U = 50 \\, \\text{kV}$ à $f = 50 \\, \\text{Hz}$.
Question 1 : Calculer le champ électrique $E$ dans l'huile et vérifier si la rigidité diélectrique est respectée (coefficient de sécurité souhaité : $k_s = 2$).
Question 2 : Déterminer la capacité $C$ du système et le courant capacitif $I_C$ qui circule à travers l'isolant.
Question 3 : Calculer la résistance d'isolement $R_{iso}$ et le courant de fuite $I_{fuite}$ à travers l'huile.
Question 4 : Calculer les pertes diélectriques $P_d$ dans l'isolant et l'angle de pertes $\\delta$ du système. Déterminer également l'énergie dissipée en $1 \\, \\text{heure}$ de fonctionnement.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
Question 1 : Champ électrique et vérification de la rigidité diélectrique
Le champ électrique dans un diélectrique soumis à une tension doit rester inférieur à la rigidité diélectrique du matériau pour éviter le claquage (breakdown). Un coefficient de sécurité est appliqué pour tenir compte des variations de qualité du matériau et des conditions de fonctionnement.
Étape 1 : Calcul du champ électrique
Pour un condensateur plan, le champ est uniforme :
$E = \\frac{U}{e}$
Étape 2 : Conversion de l'épaisseur
$e = 5 \\, \\text{mm} = 5 \\times 10^{-3} \\, \\text{m}$
Étape 3 : Calcul
$E = \\frac{50 \\times 10^{3}}{5 \\times 10^{-3}} = \\frac{50 \\times 10^{3}}{5 \\times 10^{-3}} = 10^{7} \\, \\text{V/m}$
$E = 10 \\, \\text{kV/mm}$
Étape 4 : Champ électrique maximal admissible avec coefficient de sécurité
$E_{adm} = \\frac{E_{max}}{k_s} = \\frac{15}{2} = 7.5 \\, \\text{kV/mm}$
Étape 5 : Comparaison
$E = 10 \\, \\text{kV/mm} > E_{adm} = 7.5 \\, \\text{kV/mm}$
La condition de sécurité n'est PAS respectée.
Étape 6 : Coefficient de sécurité réel
$k_{s,reel} = \\frac{E_{max}}{E} = \\frac{15}{10} = 1.5$
Étape 7 : Tension maximale admissible avec $k_s = 2$
$U_{max} = E_{adm} \\times e = 7.5 \\times 10^{6} \\times 5 \\times 10^{-3} = 37.5 \\times 10^{3} \\, \\text{V} = 37.5 \\, \\text{kV}$
Résultat : Le champ électrique dans l'huile est $E = 10 \\, \\text{kV/mm}$. Avec le coefficient de sécurité souhaité $k_s = 2$, le champ admissible serait $E_{adm} = 7.5 \\, \\text{kV/mm}$. Le système fonctionne donc avec un coefficient de sécurité réduit de $k_{s,reel} = 1.5$, ce qui présente un risque accru de claquage. La tension devrait être limitée à $U_{max} = 37.5 \\, \\text{kV}$ pour respecter $k_s = 2$.
Question 2 : Capacité et courant capacitif
Un condensateur soumis à une tension alternative est traversé par un courant capacitif déphasé de $90°$ par rapport à la tension. Ce courant ne représente pas de pertes actives dans un diélectrique parfait.
Étape 1 : Formule de la capacité
$C = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_r S}{e}$
Étape 2 : Conversion de la surface
$S = 200 \\, \\text{cm}^2 = 200 \\times 10^{-4} \\, \\text{m}^2 = 2 \\times 10^{-2} \\, \\text{m}^2$
Étape 3 : Calcul de la capacité
$C = \\frac{8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.2 \\times 2 \\times 10^{-2}}{5 \\times 10^{-3}}$
$C = \\frac{3.896 \\times 10^{-13}}{5 \\times 10^{-3}} = 7.792 \\times 10^{-11} \\, \\text{F}$
$C = 77.92 \\, \\text{pF}$
Étape 4 : Réactance capacitive
$X_C = \\frac{1}{\\omega C} = \\frac{1}{2\\pi f C}$
$X_C = \\frac{1}{2\\pi \\times 50 \\times 7.792 \\times 10^{-11}} = \\frac{1}{2.449 \\times 10^{-8}}$
$X_C = 4.084 \\times 10^{7} \\, \\Omega = 40.84 \\, \\text{M}\\Omega$
Étape 5 : Courant capacitif
$I_C = \\frac{U}{X_C} = \\omega C U = 2\\pi f C U$
$I_C = 2\\pi \\times 50 \\times 7.792 \\times 10^{-11} \\times 50 \\times 10^{3}$
$I_C = 2\\pi \\times 50 \\times 7.792 \\times 10^{-11} \\times 5 \\times 10^{4}$
$I_C = 1.224 \\times 10^{-3} \\, \\text{A} = 1.224 \\, \\text{mA}$
Résultat : La capacité du système est $C = 77.92 \\, \\text{pF}$ et le courant capacitif est $I_C = 1.224 \\, \\text{mA}$. Ce courant circule à travers le diélectrique en régime alternatif, déphasé de $90°$ en avance sur la tension.
Question 3 : Résistance d'isolement et courant de fuite
Aucun isolant n'est parfait. La résistivité finie de l'huile permet un faible courant de fuite continu, même en régime alternatif. Ce courant est en phase avec la tension et représente des pertes actives.
Étape 1 : Formule de la résistance d'isolement
$R_{iso} = \\frac{\\rho \\times e}{S}$
Étape 2 : Calcul
$R_{iso} = \\frac{10^{13} \\times 5 \\times 10^{-3}}{2 \\times 10^{-2}} = \\frac{5 \\times 10^{10}}{2 \\times 10^{-2}}$
$R_{iso} = 2.5 \\times 10^{12} \\, \\Omega = 2.5 \\, \\text{T}\\Omega$
Étape 3 : Courant de fuite
$I_{fuite} = \\frac{U}{R_{iso}}$
$I_{fuite} = \\frac{50 \\times 10^{3}}{2.5 \\times 10^{12}} = 2 \\times 10^{-8} \\, \\text{A}$
$I_{fuite} = 20 \\, \\text{nA}$
Étape 4 : Rapport des courants
$\\frac{I_C}{I_{fuite}} = \\frac{1.224 \\times 10^{-3}}{2 \\times 10^{-8}} = 6.12 \\times 10^{4}$
Le courant capacitif est environ $61\\,200$ fois plus important que le courant de fuite.
Résultat : La résistance d'isolement est $R_{iso} = 2.5 \\, \\text{T}\\Omega$ et le courant de fuite est $I_{fuite} = 20 \\, \\text{nA}$. Ce courant très faible, négligeable devant le courant capacitif, est en phase avec la tension et contribue aux pertes actives dans l'isolant.
Question 4 : Pertes diélectriques et énergie dissipée
Les pertes diélectriques résultent des phénomènes de polarisation et de conduction dans l'isolant soumis à un champ alternatif. Elles se manifestent par un échauffement du matériau.
Étape 1 : Pertes diélectriques par la tangente de pertes
$P_d = \\omega C U^2 \\tan(\\delta) = 2\\pi f C U^2 \\tan(\\delta)$
Étape 2 : Calcul
$P_d = 2\\pi \\times 50 \\times 7.792 \\times 10^{-11} \\times (50 \\times 10^{3})^2 \\times 0.005$
$P_d = 2\\pi \\times 50 \\times 7.792 \\times 10^{-11} \\times 2.5 \\times 10^{9} \\times 0.005$
$P_d = 314.16 \\times 7.792 \\times 10^{-11} \\times 1.25 \\times 10^{7}$
$P_d = 306.1 \\times 10^{-3} \\, \\text{W} = 0.3061 \\, \\text{W}$
Étape 3 : Vérification par courant et résistance équivalente
$R_{eq} = \\frac{X_C}{\\tan(\\delta)} = \\frac{4.084 \\times 10^{7}}{0.005} = 8.168 \\times 10^{9} \\, \\Omega$
$P_d = \\frac{U^2}{R_{eq}} = \\frac{(50 \\times 10^{3})^2}{8.168 \\times 10^{9}} = \\frac{2.5 \\times 10^{9}}{8.168 \\times 10^{9}} = 0.3061 \\, \\text{W}$
Étape 4 : Angle de pertes
L'angle de pertes $\\delta$ est déjà donné par $\\tan(\\delta) = 0.005$
$\\delta = \\arctan(0.005) = 0.2865° = 17.19' = 0.005 \\, \\text{rad}$
Étape 5 : Énergie dissipée en 1 heure
$W_{dissipée} = P_d \\times t$
avec $t = 1 \\, \\text{h} = 3600 \\, \\text{s}$
$W_{dissipée} = 0.3061 \\times 3600 = 1101.96 \\, \\text{J}$
$W_{dissipée} = 1.102 \\, \\text{kJ} = 0.3061 \\, \\text{Wh}$
Étape 6 : Facteur de qualité
$Q = \\frac{1}{\\tan(\\delta)} = \\frac{1}{0.005} = 200$
Étape 7 : Rapport entre pertes et puissance réactive
$P_{reactive} = \\omega C U^2 = \\frac{P_d}{\\tan(\\delta)} = \\frac{0.3061}{0.005} = 61.22 \\, \\text{VAR}$
$\\frac{P_d}{P_{reactive}} = \\tan(\\delta) = 0.005 = 0.5\\%$
Résultat : Les pertes diélectriques sont $P_d = 0.306 \\, \\text{W}$, correspondant à un angle de pertes $\\delta = 0.287°$ ou $\\tan(\\delta) = 0.005$. En $1 \\, \\text{heure}$ de fonctionnement, l'énergie dissipée est $W_{dissipée} = 1.102 \\, \\text{kJ}$. Le facteur de qualité élevé $(Q = 200)$ indique que l'huile est un bon isolant, avec seulement $0.5\\%$ de la puissance réactive convertie en pertes actives. Ces pertes, bien que faibles, contribuent à l'échauffement du transformateur et doivent être évacuées par le système de refroidissement.
", "id_category": "1", "id_number": "14" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Un condensateur plan multicouche est constitué de trois couches diélectriques différentes superposées entre deux armatures métalliques. La première couche est en mica d'épaisseur $e_1 = 0.5$ mm et de permittivité relative $\\varepsilon_{r1} = 6$. La deuxième couche est en polystyrène d'épaisseur $e_2 = 1.0$ mm et de permittivité relative $\\varepsilon_{r2} = 2.5$. La troisième couche est en téflon d'épaisseur $e_3 = 0.8$ mm et de permittivité relative $\\varepsilon_{r3} = 2.1$. Les armatures ont une surface $S = 50$ cm². La permittivité du vide est $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}$ F/m.
\n\nQuestion 1 : Calculer la capacité équivalente du condensateur multicouche sachant que les couches sont disposées en série.
\n\nQuestion 2 : Si une tension totale $U = 500$ V est appliquée entre les armatures, calculer la tension aux bornes de chaque couche diélectrique.
\n\nQuestion 3 : Calculer le champ électrique dans chaque couche diélectrique et vérifier quelle couche est la plus sollicitée électriquement.
\n\nQuestion 4 : Sachant que les rigidités diélectriques sont respectivement $E_{max1} = 200$ kV/mm pour le mica, $E_{max2} = 25$ kV/mm pour le polystyrène et $E_{max3} = 60$ kV/mm pour le téflon, déterminer la tension maximale admissible que peut supporter le condensateur avant claquage.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de la Question 1 :
\nPour un condensateur plan avec diélectriques en série, nous devons d'abord calculer la capacité de chaque couche individuellement, puis déterminer la capacité équivalente.
\n\nÉtape 1 : Formule générale de la capacité d'un condensateur plan :
\n$C = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_r S}{e}$
\n\nÉtape 2 : Conversion de la surface en m² :
\n$S = 50 \\text{ cm}^2 = 50 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2 = 5 \\times 10^{-3} \\text{ m}^2$
\n\nÉtape 3 : Calcul de la capacité de chaque couche :
\nPour le mica :
\n$C_1 = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{r1} S}{e_1} = \\frac{8.854 \\times 10^{-12} \\times 6 \\times 5 \\times 10^{-3}}{0.5 \\times 10^{-3}}$
\n$C_1 = \\frac{265.62 \\times 10^{-15}}{0.5 \\times 10^{-3}} = 531.24 \\times 10^{-12} \\text{ F} = 531.24 \\text{ pF}$
\n\nPour le polystyrène :
\n$C_2 = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{r2} S}{e_2} = \\frac{8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.5 \\times 5 \\times 10^{-3}}{1.0 \\times 10^{-3}}$
\n$C_2 = \\frac{110.675 \\times 10^{-15}}{1.0 \\times 10^{-3}} = 110.675 \\times 10^{-12} \\text{ F} = 110.68 \\text{ pF}$
\n\nPour le téflon :
\n$C_3 = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_{r3} S}{e_3} = \\frac{8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.1 \\times 5 \\times 10^{-3}}{0.8 \\times 10^{-3}}$
\n$C_3 = \\frac{92.967 \\times 10^{-15}}{0.8 \\times 10^{-3}} = 116.21 \\times 10^{-12} \\text{ F} = 116.21 \\text{ pF}$
\n\nÉtape 4 : Pour des condensateurs en série :
\n$\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{1}{C_1} + \\frac{1}{C_2} + \\frac{1}{C_3}$
\n$\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{1}{531.24} + \\frac{1}{110.68} + \\frac{1}{116.21}$
\n$\\frac{1}{C_{eq}} = 0.00188 + 0.00904 + 0.00861 = 0.01953 \\text{ pF}^{-1}$
\n$C_{eq} = \\frac{1}{0.01953} = 51.20 \\text{ pF}$
\n\nRésultat final : $C_{eq} = 51.20 \\text{ pF}$
\n\nSolution de la Question 2 :
\nDans un montage série, la charge est la même sur tous les condensateurs. Nous utilisons cette propriété pour calculer les tensions individuelles.
\n\nÉtape 1 : Calcul de la charge totale :
\n$Q = C_{eq} \\times U = 51.20 \\times 10^{-12} \\times 500$
\n$Q = 25.6 \\times 10^{-9} \\text{ C} = 25.6 \\text{ nC}$
\n\nÉtape 2 : Formule de la tension pour chaque condensateur :
\n$U_i = \\frac{Q}{C_i}$
\n\nÉtape 3 : Calcul des tensions :
\nPour le mica :
\n$U_1 = \\frac{Q}{C_1} = \\frac{25.6 \\times 10^{-9}}{531.24 \\times 10^{-12}} = 48.19 \\text{ V}$
\n\nPour le polystyrène :
\n$U_2 = \\frac{Q}{C_2} = \\frac{25.6 \\times 10^{-9}}{110.68 \\times 10^{-12}} = 231.29 \\text{ V}$
\n\nPour le téflon :
\n$U_3 = \\frac{Q}{C_3} = \\frac{25.6 \\times 10^{-9}}{116.21 \\times 10^{-12}} = 220.32 \\text{ V}$
\n\nVérification : $U_1 + U_2 + U_3 = 48.19 + 231.29 + 220.32 = 499.8 \\approx 500 \\text{ V}$
\n\nRésultats finaux : $U_1 = 48.19 \\text{ V}$, $U_2 = 231.29 \\text{ V}$, $U_3 = 220.32 \\text{ V}$
\n\nSolution de la Question 3 :
\nLe champ électrique dans un diélectrique est le rapport entre la tension et l'épaisseur de ce diélectrique.
\n\nÉtape 1 : Formule générale du champ électrique :
\n$E_i = \\frac{U_i}{e_i}$
\n\nÉtape 2 : Calcul des champs électriques :
\nPour le mica :
\n$E_1 = \\frac{U_1}{e_1} = \\frac{48.19}{0.5 \\times 10^{-3}} = 96.38 \\times 10^3 \\text{ V/m} = 96.38 \\text{ kV/m}$
\n$E_1 = 0.09638 \\text{ kV/mm}$
\n\nPour le polystyrène :
\n$E_2 = \\frac{U_2}{e_2} = \\frac{231.29}{1.0 \\times 10^{-3}} = 231.29 \\times 10^3 \\text{ V/m} = 231.29 \\text{ kV/m}$
\n$E_2 = 0.23129 \\text{ kV/mm}$
\n\nPour le téflon :
\n$E_3 = \\frac{U_3}{e_3} = \\frac{220.32}{0.8 \\times 10^{-3}} = 275.4 \\times 10^3 \\text{ V/m} = 275.4 \\text{ kV/m}$
\n$E_3 = 0.2754 \\text{ kV/mm}$
\n\nComparaison : $E_3 > E_2 > E_1$
\n\nRésultat final : La couche de téflon est la plus sollicitée électriquement avec un champ de $E_3 = 275.4 \\text{ kV/m} = 0.275 \\text{ kV/mm}$
\n\nSolution de la Question 4 :
\nLe claquage se produira dans la couche qui atteindra sa rigidité diélectrique en premier. Nous devons calculer la tension maximale admissible pour chaque couche.
\n\nÉtape 1 : Formule de la tension maximale pour chaque couche :
\n$U_{max,i} = E_{max,i} \\times e_i$
\n\nÉtape 2 : Calcul des tensions maximales admissibles :
\nPour le mica :
\n$U_{max,1} = 200 \\times 0.5 = 100 \\text{ kV} = 100000 \\text{ V}$
\n\nPour le polystyrène :
\n$U_{max,2} = 25 \\times 1.0 = 25 \\text{ kV} = 25000 \\text{ V}$
\n\nPour le téflon :
\n$U_{max,3} = 60 \\times 0.8 = 48 \\text{ kV} = 48000 \\text{ V}$
\n\nÉtape 3 : Le facteur limitant est le rapport entre la tension maximale et la tension actuelle. Nous devons trouver quel diélectrique atteindra sa limite en premier.
\n\nFacteur de sécurité pour chaque couche :
\n$k_1 = \\frac{U_{max,1}}{U_1} = \\frac{100000}{48.19} = 2075.6$
\n$k_2 = \\frac{U_{max,2}}{U_2} = \\frac{25000}{231.29} = 108.1$
\n$k_3 = \\frac{U_{max,3}}{U_3} = \\frac{48000}{220.32} = 217.9$
\n\nÉtape 4 : Le polystyrène a le facteur de sécurité le plus faible, donc c'est lui qui limitera la tension maximale.
\n$U_{max,total} = k_2 \\times U = 108.1 \\times 500 = 54050 \\text{ V}$
\n\nRésultat final : La tension maximale admissible est $U_{max} = 54.05 \\text{ kV}$. Le claquage se produira d'abord dans la couche de polystyrène.
", "id_category": "1", "id_number": "15" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Un circuit magnétique toroïdal est constitué d'un matériau ferromagnétique de perméabilité relative $\\mu_r = 2500$. Le tore a un rayon moyen $R = 15$ cm et une section circulaire de diamètre $d = 3$ cm. Un bobinage de $N = 400$ spires est enroulé uniformément autour du tore. La perméabilité du vide est $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$ H/m. Lors d'un cycle d'hystérésis complet, les mesures expérimentales ont montré que l'aire de la boucle d'hystérésis vaut $A_h = 3500$ J/m³.
\n\nQuestion 1 : Calculer l'inductance propre de la bobine lorsque le matériau est désaimanté et que la perméabilité relative est constante.
\n\nQuestion 2 : Pour créer une induction magnétique $B = 1.2$ T dans le circuit magnétique, calculer l'intensité du courant nécessaire dans la bobine.
\n\nQuestion 3 : Calculer l'énergie magnétique stockée dans le circuit pour l'induction $B = 1.2$ T.
\n\nQuestion 4 : Si le matériau est soumis à un cycle d'hystérésis complet à une fréquence $f = 50$ Hz, calculer la puissance dissipée par hystérésis dans le circuit magnétique.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de la Question 1 :
\nL'inductance propre d'une bobine toroïdale dépend de la géométrie du tore et de la perméabilité du matériau.
\n\nÉtape 1 : Formule de l'inductance d'un tore :
\n$L = \\frac{\\mu_0 \\mu_r N^2 S}{l}$
\noù $S$ est la section du tore et $l$ est la longueur moyenne de la ligne de champ.
\n\nÉtape 2 : Calcul de la section du tore :
\n$S = \\pi \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2 = \\pi \\left(\\frac{0.03}{2}\\right)^2 = \\pi \\times (0.015)^2$
\n$S = \\pi \\times 0.000225 = 7.0686 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2$
\n\nÉtape 3 : Calcul de la longueur moyenne :
\n$l = 2\\pi R = 2\\pi \\times 0.15 = 0.9425 \\text{ m}$
\n\nÉtape 4 : Substitution dans la formule de l'inductance :
\n$L = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2500 \\times 400^2 \\times 7.0686 \\times 10^{-4}}{0.9425}$
\n$L = \\frac{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2500 \\times 160000 \\times 7.0686 \\times 10^{-4}}{0.9425}$
\n$L = \\frac{1.4179 \\times 10^{2}}{0.9425} = 150.4 \\times 10^{-3} \\text{ H}$
\n\nRésultat final : $L = 150.4 \\text{ mH} = 0.1504 \\text{ H}$
\n\nSolution de la Question 2 :
\nL'intensité du champ magnétique $H$ est liée à l'induction $B$ par la perméabilité du matériau, et au courant par le théorème d'Ampère.
\n\nÉtape 1 : Relation entre $B$ et $H$ :
\n$B = \\mu_0 \\mu_r H$
\ndonc
\n$H = \\frac{B}{\\mu_0 \\mu_r}$
\n\nÉtape 2 : Calcul de $H$ :
\n$H = \\frac{1.2}{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2500}$
\n$H = \\frac{1.2}{3.1416 \\times 10^{-3}} = 381.97 \\text{ A/m}$
\n\nÉtape 3 : Application du théorème d'Ampère pour un tore :
\n$\\oint \\vec{H} \\cdot d\\vec{l} = NI$
\nSur la ligne moyenne circulaire :
\n$H \\times l = N \\times I$
\ndonc
\n$I = \\frac{H \\times l}{N}$
\n\nÉtape 4 : Calcul du courant :
\n$I = \\frac{381.97 \\times 0.9425}{400}$
\n$I = \\frac{360.01}{400} = 0.9000 \\text{ A}$
\n\nRésultat final : $I = 0.900 \\text{ A} = 900 \\text{ mA}$
\n\nSolution de la Question 3 :
\nL'énergie magnétique stockée dans un matériau magnétique dépend de l'induction et du volume du matériau.
\n\nÉtape 1 : Formule de la densité d'énergie magnétique :
\n$w = \\frac{B^2}{2\\mu_0 \\mu_r}$
\n\nÉtape 2 : Calcul de la densité d'énergie :
\n$w = \\frac{(1.2)^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2500}$
\n$w = \\frac{1.44}{2 \\times 3.1416 \\times 10^{-3}} = \\frac{1.44}{6.2832 \\times 10^{-3}}$
\n$w = 229.18 \\text{ J/m}^3$
\n\nÉtape 3 : Calcul du volume du tore :
\n$V = S \\times l = 7.0686 \\times 10^{-4} \\times 0.9425$
\n$V = 6.6622 \\times 10^{-4} \\text{ m}^3$
\n\nÉtape 4 : Calcul de l'énergie totale :
\n$W = w \\times V = 229.18 \\times 6.6622 \\times 10^{-4}$
\n$W = 0.1527 \\text{ J} = 152.7 \\text{ mJ}$
\n\nRésultat final : $W = 152.7 \\text{ mJ}$
\n\nSolution de la Question 4 :
\nLes pertes par hystérésis sont proportionnelles à l'aire de la boucle d'hystérésis, à la fréquence et au volume du matériau.
\n\nÉtape 1 : Formule des pertes par hystérésis :
\n$P_h = A_h \\times f \\times V$
\noù $A_h$ est l'aire du cycle d'hystérésis (énergie dissipée par unité de volume et par cycle), $f$ est la fréquence et $V$ est le volume.
\n\nÉtape 2 : Le volume a été calculé précédemment :
\n$V = 6.6622 \\times 10^{-4} \\text{ m}^3$
\n\nÉtape 3 : Substitution dans la formule :
\n$P_h = 3500 \\times 50 \\times 6.6622 \\times 10^{-4}$
\n$P_h = 175000 \\times 6.6622 \\times 10^{-4}$
\n$P_h = 116.59 \\text{ W}$
\n\nRésultat final : $P_h = 116.6 \\text{ W}$
\nCette puissance représente l'énergie thermique dissipée dans le matériau magnétique à chaque cycle d'aimantation-désaimantation.
", "id_category": "1", "id_number": "16" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Un câble électrique en cuivre alimente une installation industrielle. À la température de référence $T_0 = 20$ °C, le câble a une résistivité $\\rho_0 = 1.72 \\times 10^{-8}$ Ω·m et un coefficient de température $\\alpha = 3.9 \\times 10^{-3}$ K⁻¹. Le câble a une longueur $l = 250$ m et une section circulaire de diamètre $d = 8$ mm. En service, le câble transporte un courant $I = 60$ A et sa température s'élève à $T = 75$ °C.
\n\nQuestion 1 : Calculer la résistance du câble à la température de référence $T_0 = 20$ °C.
\n\nQuestion 2 : Calculer la résistance du câble à la température de service $T = 75$ °C en utilisant la loi de variation de la résistivité avec la température.
\n\nQuestion 3 : Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans le câble à la température de service, et déterminer la chute de tension aux bornes du câble.
\n\nQuestion 4 : Sachant que la capacité thermique massique du cuivre est $c = 385$ J/(kg·K) et sa masse volumique est $\\rho_{masse} = 8960$ kg/m³, calculer l'énergie thermique accumulée dans le câble lors de son échauffement de $20$ °C à $75$ °C.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de la Question 1 :
\nLa résistance d'un conducteur cylindrique dépend de sa résistivité, de sa longueur et de sa section.
\n\nÉtape 1 : Formule de la résistance :
\n$R = \\rho \\frac{l}{S}$
\n\nÉtape 2 : Calcul de la section du câble :
\n$S = \\pi \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2 = \\pi \\left(\\frac{8 \\times 10^{-3}}{2}\\right)^2$
\n$S = \\pi \\times (4 \\times 10^{-3})^2 = \\pi \\times 16 \\times 10^{-6}$
\n$S = 50.265 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2$
\n\nÉtape 3 : Calcul de la résistance à $T_0 = 20$ °C :
\n$R_0 = \\rho_0 \\frac{l}{S} = 1.72 \\times 10^{-8} \\times \\frac{250}{50.265 \\times 10^{-6}}$
\n$R_0 = 1.72 \\times 10^{-8} \\times 4.974 \\times 10^{6}$
\n$R_0 = 0.08555 \\text{ Ω}$
\n\nRésultat final : $R_0 = 85.55 \\text{ mΩ}$
\n\nSolution de la Question 2 :
\nLa résistivité et donc la résistance des conducteurs métalliques augmentent avec la température selon une loi linéaire.
\n\nÉtape 1 : Formule de variation de la résistance avec la température :
\n$R(T) = R_0 [1 + \\alpha (T - T_0)]$
\n\nÉtape 2 : Calcul de la variation de température :
\n$\\Delta T = T - T_0 = 75 - 20 = 55 \\text{ K}$
\n\nÉtape 3 : Substitution dans la formule :
\n$R(75) = 0.08555 \\times [1 + 3.9 \\times 10^{-3} \\times 55]$
\n$R(75) = 0.08555 \\times [1 + 0.2145]$
\n$R(75) = 0.08555 \\times 1.2145$
\n$R(75) = 0.1039 \\text{ Ω}$
\n\nRésultat final : $R(75°C) = 103.9 \\text{ mΩ}$
\nLa résistance a augmenté de $21.45$ % par rapport à sa valeur à $20$ °C.
\n\nSolution de la Question 3 :
\nLa puissance dissipée par effet Joule est proportionnelle au carré du courant et à la résistance du conducteur.
\n\nÉtape 1 : Formule de la puissance dissipée :
\n$P = R \\times I^2$
\n\nÉtape 2 : Calcul de la puissance à $75$ °C :
\n$P = 0.1039 \\times (60)^2$
\n$P = 0.1039 \\times 3600$
\n$P = 374.04 \\text{ W}$
\n\nÉtape 3 : Formule de la chute de tension :
\n$\\Delta U = R \\times I$
\n\nÉtape 4 : Calcul de la chute de tension :
\n$\\Delta U = 0.1039 \\times 60$
\n$\\Delta U = 6.234 \\text{ V}$
\n\nRésultats finaux : $P = 374.0 \\text{ W}$ et $\\Delta U = 6.23 \\text{ V}$
\nCette puissance est entièrement convertie en chaleur, ce qui explique l'échauffement du câble.
\n\nSolution de la Question 4 :
\nL'énergie thermique nécessaire pour élever la température d'un corps dépend de sa masse, de sa capacité thermique massique et de la variation de température.
\n\nÉtape 1 : Formule de l'énergie thermique :
\n$Q = m \\times c \\times \\Delta T$
\n\nÉtape 2 : Calcul du volume du câble :
\n$V = S \\times l = 50.265 \\times 10^{-6} \\times 250$
\n$V = 0.01257 \\text{ m}^3$
\n\nÉtape 3 : Calcul de la masse du câble :
\n$m = \\rho_{masse} \\times V = 8960 \\times 0.01257$
\n$m = 112.61 \\text{ kg}$
\n\nÉtape 4 : Calcul de la variation de température :
\n$\\Delta T = 75 - 20 = 55 \\text{ K}$
\n\nÉtape 5 : Calcul de l'énergie thermique :
\n$Q = 112.61 \\times 385 \\times 55$
\n$Q = 2.384 \\times 10^{6} \\text{ J}$
\n$Q = 2.384 \\text{ MJ}$
\n\nRésultat final : $Q = 2.38 \\text{ MJ}$
\nCette énergie représente la capacité calorifique du câble entre $20$ °C et $75$ °C. Si l'on divise cette énergie par la puissance dissipée ($374$ W), on obtient le temps nécessaire pour atteindre cette température en régime transitoire : $t = \\frac{2.384 \\times 10^6}{374} = 6374$ s $\\approx 106$ minutes.
", "id_category": "1", "id_number": "17" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Un câble haute tension est constitué d'un conducteur cylindrique en cuivre de rayon $r_1 = 1.5$ cm entouré d'un isolant en polyéthylène réticulé (PRC) de permittivité relative $\\varepsilon_r = 2.3$, lui-même enveloppé dans une gaine métallique de rayon intérieur $r_2 = 4.5$ cm. La configuration est donc celle d'un condensateur cylindrique. Le câble a une longueur $L = 10$ km et est soumis à une tension $U = 63$ kV entre le conducteur central et la gaine. La permittivité du vide est $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}$ F/m et la rigidité diélectrique du PRC est $E_{max} = 40$ kV/mm.
\n\nQuestion 1 : Calculer la capacité linéique du câble (capacité par unité de longueur), puis la capacité totale du câble.
\n\nQuestion 2 : Le champ électrique dans un condensateur cylindrique varie radialement selon la loi $E(r) = \\frac{U}{r \\ln(r_2/r_1)}$. Calculer le champ électrique maximal qui se situe à la surface du conducteur ($r = r_1$).
\n\nQuestion 3 : Vérifier si le câble fonctionne en sécurité en comparant le champ électrique maximal avec la rigidité diélectrique du matériau. Calculer le coefficient de sécurité.
\n\nQuestion 4 : Calculer l'énergie électrostatique stockée dans l'isolant du câble.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de la Question 1 :
\nLa capacité d'un condensateur cylindrique dépend logarithmiquement du rapport des rayons.
\n\nÉtape 1 : Formule de la capacité linéique d'un condensateur cylindrique :
\n$C_L = \\frac{2\\pi \\varepsilon_0 \\varepsilon_r}{\\ln(r_2/r_1)}$
\n\nÉtape 2 : Calcul du rapport des rayons :
\n$\\frac{r_2}{r_1} = \\frac{4.5}{1.5} = 3$
\n$\\ln(3) = 1.0986$
\n\nÉtape 3 : Calcul de la capacité linéique :
\n$C_L = \\frac{2\\pi \\times 8.854 \\times 10^{-12} \\times 2.3}{1.0986}$
\n$C_L = \\frac{128.06 \\times 10^{-12}}{1.0986}$
\n$C_L = 116.56 \\times 10^{-12} \\text{ F/m} = 116.56 \\text{ pF/m}$
\n\nÉtape 4 : Calcul de la capacité totale :
\n$C = C_L \\times L = 116.56 \\times 10^{-12} \\times 10000$
\n$C = 1.1656 \\times 10^{-6} \\text{ F} = 1.166 \\text{ μF}$
\n\nRésultats finaux : $C_L = 116.56 \\text{ pF/m}$ et $C = 1.166 \\text{ μF}$
\n\nSolution de la Question 2 :
\nDans un condensateur cylindrique, le champ électrique décroît avec le rayon selon une loi en $1/r$. Le maximum se trouve à la surface du conducteur central.
\n\nÉtape 1 : Formule du champ électrique radial :
\n$E(r) = \\frac{U}{r \\ln(r_2/r_1)}$
\n\nÉtape 2 : Le champ maximal est en $r = r_1$ :
\n$E_{max} = E(r_1) = \\frac{U}{r_1 \\ln(r_2/r_1)}$
\n\nÉtape 3 : Conversion de la tension en volts :
\n$U = 63 \\text{ kV} = 63000 \\text{ V}$
\n\nÉtape 4 : Conversion du rayon en mètres :
\n$r_1 = 1.5 \\text{ cm} = 0.015 \\text{ m}$
\n\nÉtape 5 : Substitution dans la formule :
\n$E_{max} = \\frac{63000}{0.015 \\times 1.0986}$
\n$E_{max} = \\frac{63000}{0.01648}$
\n$E_{max} = 3.822 \\times 10^{6} \\text{ V/m}$
\n\nÉtape 6 : Conversion en kV/mm :
\n$E_{max} = 3.822 \\times 10^{6} \\text{ V/m} = 3.822 \\text{ kV/mm}$
\n\nRésultat final : $E_{max} = 3.82 \\text{ kV/mm}$
\n\nSolution de la Question 3 :
\nPour vérifier la sécurité, nous comparons le champ électrique maximal avec la rigidité diélectrique du matériau isolant.
\n\nÉtape 1 : Comparaison des valeurs :
\nChamp électrique maximal : $E_{max} = 3.82 \\text{ kV/mm}$
\nRigidité diélectrique : $E_{rig} = 40 \\text{ kV/mm}$
\n\nÉtape 2 : Formule du coefficient de sécurité :
\n$k_s = \\frac{E_{rig}}{E_{max}}$
\n\nÉtape 3 : Calcul du coefficient de sécurité :
\n$k_s = \\frac{40}{3.82} = 10.47$
\n\nÉtape 4 : Interprétation :
\nPuisque $E_{max} < E_{rig}$ et $k_s > 1$, le câble fonctionne en toute sécurité.
\n\nRésultats finaux : Le câble est sécuritaire avec un coefficient de sécurité $k_s = 10.47$. Le champ électrique maximal représente seulement $9.55$ % de la rigidité diélectrique du matériau.
\n\nSolution de la Question 4 :
\nL'énergie électrostatique stockée dans un condensateur est proportionnelle au carré de la tension et à la capacité.
\n\nÉtape 1 : Formule de l'énergie électrostatique :
\n$W = \\frac{1}{2} C U^2$
\n\nÉtape 2 : Utilisation des valeurs calculées :
\n$C = 1.1656 \\times 10^{-6} \\text{ F}$
\n$U = 63000 \\text{ V}$
\n\nÉtape 3 : Substitution dans la formule :
\n$W = \\frac{1}{2} \\times 1.1656 \\times 10^{-6} \\times (63000)^2$
\n$W = \\frac{1}{2} \\times 1.1656 \\times 10^{-6} \\times 3.969 \\times 10^{9}$
\n$W = \\frac{1}{2} \\times 4.626 \\times 10^{3}$
\n$W = 2313 \\text{ J} = 2.313 \\text{ kJ}$
\n\nRésultat final : $W = 2.31 \\text{ kJ}$
\nCette énergie est stockée dans le champ électrique de l'isolant diélectrique. Elle représente l'énergie qui serait libérée en cas de décharge complète du câble.
", "id_category": "1", "id_number": "18" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un matériau ferromagnétique dur présente les caractéristiques suivantes :
\n- \n
- Force coercitive : $H_c = 800$ A/m \n
- Induction résiduelle : $B_r = 1.0$ T \n
- Volume magnétique : $V = 0.005$ m³ \n
Question 1 : Calculer l’énergie magnétique maximale stockée par rapport à la surface du cycle d'hystérésis, approximée à
\n$W_{max} = 4 H_c B_r$.
\nQuestion 2 : Déterminer la densité d’énergie
\n$w = \\frac{W_{max}}{V}$ en J/m³.
\nQuestion 3 : Si le matériau est utilisé dans un aimant permanent ayant rendement
\n$\\eta = 0.9$, calculer la puissance effective d’énergie stockée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Énergie magnétique maximale stockée :
\n$W_{max} = 4 H_c B_r$
\n2. Remplacement :
\n$W_{max} = 4 \\times 800 \\times 1.0 = 3200 \\text{ J}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{W_{max} = 3200 \\text{ J}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Densité d'énergie :
\n$w = \\frac{W_{max}}{V} = \\frac{3200}{0.005} = 640000 \\text{ J/m}^3$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{w = 6.4 \\times 10^5 \\text{ J/m}^3}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Puissance effective :
\n$P_{eff} = \\eta \\times W_{max} = 0.9 \\times 3200 = 2880 \\text{ J}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P_{eff} = 2880 \\text{ J}}$
", "id_category": "2", "id_number": "1" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Une tôle ferromagnétique est soumise à un champ magnétique alternatif de fréquence $60$ Hz et induction maximale
\n$B_{max} = 1.1$ T. Les pertes de Foucault sont modélisées par :
\n$P_c = k f^2 B_{max}^2$ où
\n$k = 1.5 \\times 10^{-3}$ W/(Hz²·T²).
\nQuestion 1 : Calculer la perte par effet de Foucault dans une tôle de
\n$10$ kg.
\nQuestion 2 : Si la densité volumique du matériau est
\n$\\rho = 7800$ kg/m³, déterminer la perte spécifique en W/kg.
\nQuestion 3 : Calculer la perte totale magnétique sachant que la perte par hystérésis est
\n$P_h = 3$ W/kg.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. La perte par effet de Foucault :
\n$P_c = k f^2 B_{max}^2$
\n2. Remplacement :
\n$P_c = 1.5 \\times 10^{-3} \\times 60^2 \\times 1.1^2 = 1.5 \\times 10^{-3} \\times 3600 \\times 1.21 = 6.534 \\text{ W/kg}$
\n3. Puissance dans 10 kg :
\n$P_{total\\_c} = 6.534 \\times 10 = 65.34 \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P_{total\\_c} = 65.34 \\text{ W}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Perte spécifique est :
\n$\\text{Perte spécifique} = \\frac{P_{total\\_c}}{m} = 6.534 \\text{ W/kg}$
\nSolution Question 3 :
\n1. Perte totale magnétique :
\n$P_{tot} = P_h \\times m + P_{total\\_c} = 3 \\times 10 + 65.34 = 95.34 \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P_{tot} = 95.34 \\text{ W}}$
", "id_category": "2", "id_number": "2" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un circuit magnétique fermé est constitué d’un tore de fer doux de moyenne longueur $l = 0,3~\\text{m}$ et de section $S = 5~\\text{cm}^2$. Il comporte un enroulement de $N = 500$ spires parcouru par un courant continu $I = 1,2~\\text{A}$. Le matériau a une perméabilité relative $\\mu_r = 2000$ et la perméabilité du vide est $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}~\\text{H/m}$.1. Déterminer l’intensité du champ magnétique $H$ dans le tore.2. Calculer l’induction magnétique $B$.3. Évaluer l’énergie magnétique volumique stockée dans le matériau.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Champ magnétique :
Formule :$H = \\dfrac{N I}{l}$.$H = \\dfrac{500 \\times 1,2}{0,3} = 2000~\\text{A/m}$.2. Induction magnétique :
$B = \\mu_0 \\mu_r H$.$B = 4\\pi\\times10^{-7} \\times 2000 \\times 2000 = 5,027~\\text{T}$.3. Énergie volumique :
$w = \\dfrac{1}{2}BH$.$w = 0,5 \\times 5,027 \\times 2000 = 5027~\\text{J/m}^3$.
1. Puissance dissipée :
Formule :$P = A f V$.$P = 3000 \\times 60 \\times 2\\times10^{-3} = 360~\\text{W}$.2. Perte par unité de surface :
Volume par unité de surface :$V/S = \\sigma/\\rho = 1,5/7500 = 2\\times10^{-4}~\\text{m}$.$P_S = A f (V/S) = 3000 \\times 60 \\times 2\\times10^{-4} = 36~\\text{W/m}^2$.3. Puissance spécifique (par kg) :
$P_m = \\dfrac{P}{\\rho V} = \\dfrac{360}{7500\\times2\\times10^{-3}} = 24~\\text{W/kg}$.
1. Pertes spécifiques à 50 Hz :
Formule :$P = k_h f B_m^{n}$.$P = 1,8 \\times 50 \\times (1,2)^{1,6}$.$P = 90 \\times 1,346 = 121,1~\\text{W/kg}$.2. Rapport des pertes à 100 Hz :
$\\dfrac{P_{100}}{P_{50}} = \\dfrac{100 \\times (1,2)^{1,6}}{50 \\times (1,2)^{1,6}} = 2$.3. Puissance totale dissipée :
$P_T = P_{50} \\times m = 121,1 \\times 12 = 1453~\\text{W}$.
Question 1 :
Formule : $H = \\frac{N I}{l}$
Remplacement : $H = \\frac{300 \\times 0.4}{0.30} = 400\\, A/m$
Résultat final : $H = 400\\, A/m$.
Question 2 :
Formule : $B = 0.002 \\times H$
Remplacement : $B = 0.002 \\times 400 = 0.8\\, T$
Résultat final : $B = 0.8\\, T$.
Question 3 :
Formule : $W_m = \\frac{B H S l}{2}$
Remplacement : $W_m = \\frac{0.8 \\times 400 \\times (6 \\times 10^{-4}) \\times 0.30}{2}$
Calcul : $W_m = 0.0288\\, J$
Résultat final : $W_m = 0.0288\\, J$.
Question 1 :
Formule du flux : $\\Phi = B_r S$
Remplacement : $\\Phi = 1.25 \\times 200 \\times 10^{-6}$
Calcul : $\\Phi = 2.5 \\times 10^{-4}\\, Wb$
Résultat final : $\\Phi = 2.5\\times 10^{-4}\\, Wb$.
Question 2 :
Énergie volumique (produit Boh selon la caractéristique) : $w = \\frac{1}{2} B_r H_c$
Remplacement : $w = 0.5 \\times 1.25 \\times 9\\times 10^5 = 5.625 \\times 10^5\\, J/m^3$
Résultat final : $w = 5.63\\times 10^5\\, J/m^3$.
Question 3 :
Énergie totale : $W = w S l$
Remplacement : $W = 5.625 \\times 10^5 \\times 200\\times 10^{-6} \\times 0.1$
Calcul : $W = 11.25\\, J$
Résultat final : $W = 11.25\\, J$.
Question 1 :
Énergie perdue par cycle (aire du cycle BH) : $W_h = 4 B_{max} H_{max}$
Remplacement : $W_h = 4 \\times 1.5 \\times 800 = 4800\\, J/m^3/cycle$
Résultat final : $W_h = 4800\\, J/m^3$.
Question 2 :
Puissance de perte volumique : $P_v = W_h \\times f$
Remplacement : $P_v = 4800 \\times 50 = 2.4 \\times 10^5\\, W/m^3$
Résultat final : $P_v = 2.4\\times 10^5\\, W/m^3$.
Question 3 :
Puissance totale : $P = P_v \\times V$
Remplacement : $P = 2.4 \\times 10^5 \\times 0.002 = 480\\, W$
Perte spécifique : $P_s = \\frac{P}{\\rho \\times V} = \\frac{480}{7800 \\times 0.002} = 30.8\\, W/kg$
Résultat final : $P_s = 30.8\\, W/kg$.
Exercice 1 : Calcul des pertes magnétiques en champ fixe
Un matériau ferromagnétique est soumis à un champ magnétique alternatif sinusoïdal fixe d’induction maximale $B_{max} = 1.5$ T à une fréquence $f = 50$ Hz. La densité de pertes magnétiques est donnée par :
$P = k_h f B_{max}^n + k_e f^2 B_{max}^2$
avec
$k_h = 0.01 \\text{ W/kg/Hz}, k_e = 0.002 \\text{ W/kg/Hz}^2, n = 1.6$.
Question 1 : Calculer les pertes magnétiques totales par kilogramme
Question 2 : Déterminer l’effet d’une réduction de la fréquence à 25 Hz sur les pertes totales.
Question 3 : Calculer les pertes pour une induction réduite à 1 T à 50 Hz.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Calcul des pertes magnétiques :
$P = 0.01 \\times 50 \\times 1.5^{1.6} + 0.002 \\times 50^2 \\times 1.5^2$
2. Calculs intermédiaires :
$1.5^{1.6} = e^{1.6 \\ln(1.5)} = e^{1.6 \\times 0.4055} = e^{0.6488} = 1.913$
$P = 0.01 \\times 50 \\times 1.913 + 0.002 \\times 2500 \\times 2.25 = 0.9565 + 11.25 = 12.2065 \\text{ W/kg}$
Question 2 :
1. À $f=25$ Hz :
$P = 0.01 \\times 25 \\times 1.913 + 0.002 \\times 625 \\times 2.25 = 0.4783 + 2.8125 = 3.2908 \\text{ W/kg}$
Question 3 :
1. Pour $B_{max} = 1$ T à 50 Hz :
$P = 0.01 \\times 50 \\times 1^{1.6} + 0.002 \\times 2500 \\times 1^2 = 0.5 + 5 = 5.5 \\text{ W/kg}$
", "id_category": "2", "id_number": "9" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 2 : Calcul des pertes magnétiques en champ tournant
Une tôle de fer silicium fonctionne dans un champ magnétique tournant de fréquence $f = 60$ Hz et amplitude maximale $B_{max} = 1.2$ T. Les pertes sont modélisées par la relation :
$P = a f^b B_{max}^c$
avec $a = 0.015$, $b = 1.5$, $c = 2.2$.
Question 1 : Calculer la perte magnétique totale dans la tôle pour des valeurs données.
Question 2 : Évaluer la variation des pertes si la fréquence augmente à 90 Hz.
Question 3 : Déterminer la perte si l'amplitude du champ est réduite à 1 T.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Calcul des pertes :
$P = 0.015 \\times 60^{1.5} \\times 1.2^{2.2}$
2. Calcul :
$60^{1.5} = 60 \\times \\sqrt{60} = 60 \\times 7.746 = 464.78$
$1.2^{2.2} = e^{2.2 \\ln(1.2)} = e^{2.2 \\times 0.182} = e^{0.4004} = 1.492$
$P = 0.015 \\times 464.78 \\times 1.492 = 10.41 \\text{ W/kg}$
Question 2 :
1. Pour $f = 90$ Hz :
$90^{1.5} = 90 \\times \\sqrt{90} = 90 \\times 9.4868 = 853.81$
$P = 0.015 \\times 853.81 \\times 1.492 = 19.12 \\text{ W/kg}$
Question 3 :
1. Pour $B_{max} = 1$ T :
$1^{2.2} = 1$
$P = 0.015 \\times 60^{1.5} \\times 1 = 0.015 \\times 464.78 = 6.97 \\text{ W/kg}$
", "id_category": "2", "id_number": "10" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 3 : Énergie magnétique et calcul du vecteur de Poynting dans un matériau
Un champ magnétique uniforme d’intensité maximale $B = 1.3$ T est appliqué à un matériau ferromagnétique de perméabilité relative $\\mu_r = 1200$. La perméabilité du vide est $\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$ H/m.
Question 1 : Calculer l’énergie magnétique volumique stockée dans le matériau.
Question 2 : Déterminer l’intensité du champ magnétique $H$.
Question 3 : Calculer le vecteur de Poynting
si le champ électrique appliqué au matériau est
$E = 50$ V/m et orthogonal à
$B$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. L'énergie magnétique volumique est donnée par :
$w = \\frac{B^2}{2 \\mu}$
2. La perméabilité du matériau :
$\\mu = \\mu_r \\mu_0 = 1200 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} = 1.51 \\times 10^{-3} \\text{ H/m}$
3. Calcul :
$w = \\frac{1.3^2}{2 \\times 1.51 \\times 10^{-3}} = \\frac{1.69}{3.02 \\times 10^{-3}} = 559.6 \\text{ J/m}^3$
Question 2 :
1. Calcul de l'intensité du champ magnétique :
$H = \\frac{B}{\\mu} = \\frac{1.3}{1.51 \\times 10^{-3}} = 860.9 \\text{ A/m}$
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting :
$\\overrightarrow{S} = \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{H}$
2. Négligeant le sens, le module :
$S = E \\times H = 50 \\times 860.9 = 43045 \\text{ W/m}^2$
", "id_category": "2", "id_number": "11" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 1 : Caractéristique d’aimantation d’un matériau ferromagnétique doux\n\nUn circuit magnétique constitué d’un tore en fer doux présente les caractéristiques suivantes : diamètre moyen $D_m = 0.1\\,m$, section droite $S = 2\\times10^{-4}\\,m^2$, nombre de spires $N = 500$ et courant d’excitation $I = 2\\,A$. Le matériau a une perméabilité relative moyenne $\\mu_r = 3000$.\n\n1. Calculer la valeur du champ magnétique $H$ dans le tore.\n2. Déterminer l’induction magnétique $B$ correspondante.\n3. Calculer l’énergie magnétique stockée dans le champ du matériau.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Champ magnétique : $H = \\dfrac{NI}{L}$
2. Circonférence moyenne : $L = \\pi D_m = 3.14\\times0.1 = 0.314\\,m$
3. Calcul : $H = \\dfrac{500\\times2}{0.314} = 3185\\,A/m$
4. Résultat : $H = 3.19\\times10^3\\,A/m$.
1. Induction : $B = \\mu_0 \\mu_r H$
2. Remplacement : $B = 4\\pi\\times10^{-7}\\times3000\\times3185$
3. Calcul : $B = 12.0\\,T$
4. Résultat : $B = 12.0\\,T$.
1. Énergie magnétique : $W = \\dfrac{1}{2}BHI\\dfrac{S L}{NI}$ ou $W = \\dfrac{1}{2}\\dfrac{B^2}{\\mu}V$
2. Volume : $V = SL = 2\\times10^{-4}\\times0.314 = 6.28\\times10^{-5}\\,m^3$
3. Perméabilité absolue : $\\mu = \\mu_0 \\mu_r = 4\\pi10^{-7}\\times3000 = 3.77\\times10^{-3}$
4. Calcul : $W = 0.5\\times\\dfrac{12^2}{3.77\\times10^{-3}}\\times6.28\\times10^{-5} = 1.20\\,J$
4. Résultat final : $W = 1.2\\,J$.
1. Formule : $P_h = k_h f B_m^{1.6}$
2. Remplacement : $P_h = 30\\times50\\times1.4^{1.6}$
3. Calcul : $1.4^{1.6} = 1.75$ ⇒ $P_h = 30\\times50\\times1.75 = 2625\\,W/m^3$
4. Résultat : $P_h = 2.63\\,kW/m^3$.
1. Formule : $P_F = k_F f^2 B_m^2$
2. Calcul : $P_F = 0.8\\times50^2\\times1.4^2 = 0.8\\times2500\\times1.96 = 3920\\,W/m^3$
3. Résultat : $P_F = 3.92\\,kW/m^3$.
1. Pertes totales : $P_T = (P_h + P_F)V$
2. Remplacement : $P_T = (2625 + 3920)\\times8\\times10^{-4} = 6545\\times8\\times10^{-4}$
3. Calcul : $P_T = 5.24\\,W$
4. Résultat final : $P_T = 5.2\\,W$.
1. Formule : $W_{max} = \\dfrac{B_r H_c}{4}$
2. Remplacement : $W_{max} = \\dfrac{1.2\\times950\\times10^3}{4}$
3. Calcul : $W_{max} = 285\\times10^3\\,J/m^3$
4. Résultat : $W_{max} = 285\\,kJ/m^3$.
1. Énergie totale : $W = W_{max}\\times V$
2. Conversion : $V = 12\\,cm^3 = 12\\times10^{-6}\\,m^3$
3. Calcul : $W = 285000\\times12\\times10^{-6} = 3.42\\,J$
4. Résultat : $W = 3.42\\,J$.
1. Au point d’énergie maximale (milieu linéaire de la courbe) : $B = B_r/2$ et $H = H_c/2$
2. Calcul : $B = 1.2/2 = 0.6\\,T$, $H = 950/2 = 475\\,kA/m$
3. Résultat : $B = 0.6\\,T$, $H = 475\\,kA/m$.
1. Champ magnétique H :
Formule : $H = \\frac{N I}{l}$
Remplacement : $H = \\frac{200 \\times 1.2}{0.25}$
Calcul : $H = 960$ A/m.
2. Induction magnétique B :
Formule : $B = \\mu_0 \\mu_r H$
Remplacement : $B = 4\\pi \\times10^{-7} \\times 2500 \\times 960$
Calcul : $B = 3.02$ T.
3. Énergie magnétique :
Formule : $W = \\frac{B^2}{2\\mu_0\\mu_r} \\times V$
Avec $V = S l = 6\\times10^{-4} \\times 0.25 = 1.5\\times10^{-4}$ m³.
Remplacement : $W = \\frac{3.02^2}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}\\times2500} \\times 1.5\\times10^{-4}$
Calcul : $W = 0.218$ J.
1. Énergie par cycle et par volume :
Formule : $W_c = \\oint H dB ≈ 4 B_m H_m$ (approximation pour cycle quasi-rectangulaire).
Remplacement : $W_c = 4 \\times 1 \\times 5\\times10^3 = 2\\times10^4$ J/m³.
2. Puissance par hysteresis :
Formule : $P = W_c f$
Remplacement : $P = 2\\times10^4 \\times 60 = 1.2\\times10^6$ J/m³·s = 1.2 MW/m³.
Par masse : $P_m = \\frac{P}{\\rho} = \\frac{1.2\\times10^6}{7800} = 154$ W/kg.
3. Perte à 120 Hz (Steinmetz) :
Formule : $P_2 = P_1 \\left(\\frac{f_2}{f_1}\\right)^n$
Remplacement : $P_2 = 154 \\times (\\frac{120}{60})^{1.6}$
Calcul : $P_2 = 154 \\times 3.03 = 467$ W/kg.
1. Énergie maximale :
Formule : $W_{max}/V = \\frac{1}{2}B_r H_c$ (aire du triangle B–H).
Remplacement : $W_{max}/V = 0.5 \\times 1.25 \\times 9.5\\times10^5$
Calcul : $W_{max}/V = 5.94\\times10^5$ J/m³.
2. Énergie totale :
Formule : $W_{total} = W_{max}/V \\times V$
Remplacement : $W_{total} = 5.94\\times10^5 \\times 1.2\\times10^{-4}$
Calcul : $W_{total} = 71.3$ J.
3. Puissance dissipée :
Énergie utile : $W_u = 0.3 W_{total} = 0.3 \\times 71.3 = 21.4$ J.
Pertes totales : $W_p = W_{total} - W_u = 49.9$ J.
Puissance totale dissipée : $P = W_p \\times 1000 = 4.99\\times10^4$ W = 49.9 kW.
Exercice 1 : Calcul des caractéristiques d’un matériau ferromagnétique doux
Un matériau ferromagnétique doux présente une perméabilité relative $\\mu_r = 5000$ et un champ magnétique appliqué $H = 1000\\,\\text{A/m}$. La perméabilité du vide est $\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\, \\text{H/m}$.
Question 1 : Calculer l’induction magnétique $B$ dans le matériau.
Question 2 : Déterminer l’énergie magnétique volumique stockée dans ce matériau.
Question 3 : Si le matériau a un volume $V = 0.01\\,\\text{m}^3$, calculer l’énergie magnétique total stockée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de l’induction magnétique
1. La relation :
$B = \\mu_0 \\mu_r H$
2. Remplacement :
$B = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 5000 \\times 1000 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 5 \\times 10^{6} = 4 \\pi \\times 5 \\times 10^{-1} = 6.283$
L’induction magnétique est 6.283 T.
Question 2 : Energie magnétique volumique stockée
1. L’énergie volumique est :
$w = \\frac{1}{2} B H$
2. Calcul :
$w = \\frac{1}{2} \\times 6.283 \\times 1000 = 3141.5 \\, \\text{J/m}^3$
L’énergie volumique stockée est 3141.5 J/m³.
Question 3 : Energie magnétique totale
1. Produit par le volume :
$W = w \\times V = 3141.5 \\times 0.01 = 31.415 \\, \\text{J}$
L’énergie magnétique totale stockée est 31.415 J.
", "id_category": "2", "id_number": "18" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 3 : Calcul des pertes magnétiques dans un matériau ferromagnétique doux
Un matériau ferromagnétique doux est soumis à un champ magnétique alternatif sinusoïdal de fréquence $50\\,\\text{Hz}$ avec une induction maximale $B_{max} = 1.5\\,\\text{T}$. Ses pertes magnétiques sont décrites par la loi de Steinmetz :
$P = k f^\\alpha B_{max}^\\beta$
avec $k=0.0025, \\alpha=1.5, \\beta=2.5$.
Question 1 : Calculer la puissance dissipée par kg pour $f=50\\,\\text{Hz}$ et $B_{max} =1.5\\,\\text{T}$.
Question 2 : Pour une masse de noyau $m=10\\,\\text{kg}$, calculer la puissance totale dissipée.
Question 3 : Quel est l’impact d’une réduction de l’induction à $1.0\\,\\text{T}$ sur la puissance dissipée ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la puissance dissipée par kg
1. Formule de Steinmetz :
$P = k f^{\\alpha} B_{max}^{\\beta} = 0.0025 \\times 50^{1.5} \\times 1.5^{2.5}$
2. Calcul :
$50^{1.5} = 50 \\times \\sqrt{50} = 50 \\times 7.071 = 353.55$
$1.5^{2.5} = 1.5^{2} \\times 1.5^{0.5} = 2.25 \\times 1.225 = 2.756$
3. Multiplication :
$P = 0.0025 \\times 353.55 \\times 2.756 = 2.436 \\, \\text{W/kg}$
La puissance dissipée est 2.436 W/kg.
Question 2 : Calcul de la puissance totale dissipée
$P_{tot} = P \\times m = 2.436 \\times 10 = 24.36 \\text{ W}$
La puissance totale est 24.36 W.
Question 3 : Impact de la réduction de l’induction à 1.0 T
1. Nouvelle puissance :
$P_{nouveau} = 0.0025 \\times 50^{1.5} \\times 1^{2.5} = 0.0025 \\times 353.55 \\times 1 = 0.884 \\, \\text{W/kg}$
2. Réduction :
$\\frac{2.436 - 0.884}{2.436} = 0.637 = 63.7\\%$
La puissance diminue de 63.7 % en abaissant l’induction à 1 T.
", "id_category": "2", "id_number": "19" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un aimant permanent NdFeB a une aimantation rémanente $B_r = 1.3$ T, une coercitivité intrinsèque $H_{ci} = 900$ kA/m, et un volume $V = 5 \\times 10^{-5}$ m³.Question 1 : Calculez l'énergie magnétique maximale $(BH)_{max}$ approximée par la relation
Question 2 : Calculez l'énergie magnétique totale stockée dans l'aimant.
Question 3 : En supposant un rendement magnétique de 80%, calculez la puissance dissipée par hystérésis dans l'aimant soumise à un champ alternatif de fréquence $f = 100$ Hz.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Énergie magnétique maximale :
$(BH)_{max} = \\frac{1}{4} B_r H_{ci}$
2. Remplacement :
$(BH)_{max} = \\frac{1}{4} \\times 1.3 \\times 900 \\times 10^{3} = 292.5 \\times 10^{3}$ J/m³
Question 2 :
1. Énergie magnétique totale :
$W_m = (BH)_{max} \\times V = 292.5 \\times 10^{3} \\times 5 \\times 10^{-5} = 14.625$ J
Question 3 :
1. Puissance dissipée :
$P_{h} = \\eta \\times f \\times W_m = 0.8 \\times 100 \\times 14.625 = 1170$ W
Interprétation : La puissance perdue par hystérésis est significative et doit être prise en compte dans le dimensionnement thermique des aimants permanents.
", "id_category": "2", "id_number": "20" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un matériau ferromagnétique doux est soumis à un champ tournant alternatif de fréquence $f=60$ Hz. La perte magnétique totale mesurée estpour une induction moyenne $B=1.5$ T.
Question 1 : Calculez la puissance perdue par unité de volume dans le champ tournant, en supposant que les pertes en champ fixe sont et que l'effet de champ tournant induit une augmentation de 20% des pertes totales.
Question 2 : Déterminez la densité de puissance électrique perturbatrice en W/m³ induite par le champ alternatif.
Question 3 : Calculez la puissance totale perdue dans un noyau de volume $V=0.05$ m³ et interprétez les résultats.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Pertes totales en champ tournant :
$P_{tot} = P_{fixe} \\times 1.2$
2. En remplaçant :
$P_{tot} = 100 \\times 1.2 = 120$ W/m³
Question 2 :
1. La densité de puissance électrique perturbatrice est l'augmentation :
$P_{elec} = P_{tot} - P_{fixe} = 120 - 100 = 20$ W/m³
Question 3 :
1. Puissance totale perdue :
$P = P_{tot} \\times V = 120 \\times 0.05 = 6$ W
Interprétation : Le champ tournant accroît considérablement les pertes, affectant les performances et la dissipation thermique du matériau dans les machines électriques rotatives.
", "id_category": "2", "id_number": "21" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 1 : Calcul d'énergie magnétique et densité d'énergie dans un matériau ferromagnétique
Un matériau ferromagnétique doux présente une induction magnétique maximale $B_{max} = 1,5$ T et une coercivité $H_c = 15$ A/m. La perméabilité magnétique du vide est $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$ H/m.
Question 1 : Déterminer l'énergie magnétique unitaire stockée dans le matériau au maximum d'induction.
Question 2 : Calculer la densité d'énergie magnétique totale sur un cycle d'hystérésis dont la surface vaut $A = 800$ J/m$^3.
Question 3 : Si le matériau est soumis à un champ magnétique oscillant à $50$ Hz avec une induction moyenne $B_m = 1,2$ T, calculer les pertes magnétiques totales en watts par mètre cube.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Énergie magnétique unitaire stockée
1. Énergie magnétique par unité de volume :
$w = \\frac{1}{2} \\frac{B_{max}^2}{\\mu_0}$
2. Remplacement :
$w = \\frac{1}{2} \\times \\frac{(1,5)^2}{4\\pi \\times 10^{-7}} = \\frac{1}{2} \\times \\frac{2,25}{1,2566 \\times 10^{-6}} = \\frac{1}{2} \\times 1{,}79 \\times 10^{6} = 8,96 \\times 10^{5}$ J/m
Question 2 : Densité d'énergie magnétique sur le cycle d'hystérésis
1. Surface du cycle = énergie perdue par cycle :
$A = 800$ J/m
Question 3 : Pertes magnétiques totales
1. Fréquence :
$f = 50$ Hz
2. Les pertes par unité de volume :
$P = A \\times f = 800 \\times 50 = 40000$ W/m
", "id_category": "2", "id_number": "22" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 2 : Calcul des pertes magnétiques en champ fixe et tournant
Une tôle ferromagnétique est soumise à un champ magnétique tournant uniforme de fréquence $f = 60$ Hz et une induction maximale $B = 1,2$ T. Les pertes par hystérésis sont données par :
$P_h = k_h B^{1,6} f$ où $k_h = 1,5$
Les pertes par courants de Foucault sont :
$P_c = k_c B^2 f^2$ où $k_c = 0,02$.
Question 1 : Calculer $P_h$ et $P_c$.
Question 2 : Déterminer la puissance totale perdue.
Question 3 : Si la fréquence est doublée, calculer la nouvelle puissance perdue.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des pertes par hystérésis et courants de Foucault
1. Pertes par hystérésis :
$P_h = k_h B^{1,6} f = 1,5 \\times (1,2)^{1,6} \\times 60$
Calcul :
$(1,2)^{1,6} = e^{1,6 \\ln(1,2)} = e^{1,6 \\times 0,1823} = e^{0,2917} = 1,338$
Donc :
$P_h = 1,5 \\times 1,338 \\times 60 = 120,4$ W/kg
2. Pertes par courants de Foucault :
$P_c = k_c B^2 f^2 = 0,02 \\times 1,2^2 \\times 60^2 = 0,02 \\times 1,44 \\times 3600 = 103,7$ W/kg
Question 2 : Puissance totale perdue :
$P_{tot} = P_h + P_c = 120,4 + 103,7 = 224,1$ W/kg
Question 3 : Pertes à fréquence doublée ($f' = 120$ Hz)
Calcul
$P_h' = 1,5 \\times 1,338 \\times 120 = 240,8$ W/kg
$P_c' = 0,02 \\times 1,44 \\times 120^2 = 414,7$ W/kg
$P_{tot}' = 240,8 + 414,7 = 655,5$ W/kg
", "id_category": "2", "id_number": "23" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 3 : Mesure des pertes magnétiques par méthode du cadre d’Epstein
Un échantillon de tôle magnétique de masse $m = 0,5$ kg est soumis à un champ magnétique alternatif sinusoïdal d’induction $B = 1,2$ T à une fréquence $f = 50$ Hz. La perte mesurée à l’aide du cadre d’Epstein est $P = 50$ W.
Question 1 : Calculer la densité de pertes magnétiques volumique $p_v$ (en W/m$^3$) sachant que le volume du matériau est $V = 0,00025$ m3.
Question 2 : Déduire les pertes spécifiques en watts par kilogramme $p_s$.
Question 3 : Si la fréquence augmente à 100 Hz et que les pertes augmentent proportionnellement à la fréquence, calculez les nouvelles pertes attendsues.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Densité volumique des pertes
1. Formule :
$p_v = \\frac{P}{V}$
2. Calcul :
$p_v = \\frac{50}{0,00025} = 200000$ W/m3
Question 2 : Pertes spécifiques
1. Formule :
$p_s = \\frac{P}{m} = \\frac{50}{0,5} = 100$ W/kg
Question 3 : Pertes à fréquence doublée
1. Pertes proportionnelles à la fréquence :
$P_{100Hz} = P_{50Hz} \\times \\frac{100}{50} = 50 \\times 2 = 100$ W
", "id_category": "2", "id_number": "24" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 1 : Calculs des pertes magnétiques en champ fixe
Un matériau ferromagnétique doux est soumis à un champ magnétique alternatif de fréquence $f = 50$ Hz avec une induction maximale $B_{max} = 1.5$ T. La largeur du cycle d'hystérésis est $H_c = 100$ A/m. Le volume du matériau est $V = 0.02$ m³ et la densité de pertes par hystérésis est donnée par :
$P_h = k_h f B_{max}^n, \\quad k_h = 0.01, \\quad n = 2$
Question 1 : Calculer les pertes par hystérésis totales dans le matériau.
Question 2 : Sachant que les pertes par courants de Foucault sont données par :
$P_f = k_f f^2 B_{max}^2, \\quad k_f = 0.005$
Calculer les pertes par courants de Foucault totales.
Question 3 : Déterminer les pertes magnétiques totales dans le matériau.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Calcul des pertes par hystérésis :
$P_h = k_h f B_{max}^n V$
$P_h = 0.01 \\times 50 \\times 1.5^2 \\times 0.02 = 0.01 \\times 50 \\times 2.25 \\times 0.02 = 0.0225 \\text{ W}$
Question 2 :
Calcul des pertes par courants de Foucault :
$P_f = k_f f^2 B_{max}^2 V$
$P_f = 0.005 \\times 50^2 \\times 1.5^2 \\times 0.02 = 0.005 \\times 2500 \\times 2.25 \\times 0.02 = 0.5625 \\text{ W}$
Question 3 :
Total des pertes :
$P_{tot} = P_h + P_f = 0.0225 + 0.5625 = 0.585 \\text{ W}$
Interprétation : Les pertes par courants de Foucault dominent largement dans ce cas.
", "id_category": "2", "id_number": "25" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 2 : Énergie magnétique et caractéristiques d'aimants permanents
Un aimant permanent cubique de volume $V = 10^{-4}$ m³ a une aimantation rémanente $B_r = 1.2$ T et un champ coercitif $H_c = 900$ kA/m.
Question 1 : Calculer l'énergie magnétique stockée dans l'aimant.
Question 2 : Déterminer la densité d'énergie magnétique.
Question 3 : Si l'aimant produit une force magnétique sur une pièce ferromagnétique, calculer le travail magnétique effectué pour un déplacement de 0.01 m.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
L'énergie magnétique stockée est :
$W = \\frac{1}{2 \\mu_0} B_r^2 V$
Avec
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\, \\text{H/m}$
Calcul :
$W = \\frac{1}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7}} \\times (1.2)^2 \\times 10^{-4} = \\frac{1.44 \\times 10^{-4}}{2.513 \\times 10^{-6}} = 57.3 \\; \\text{J}$
Question 2 :
Densité d'énergie :
$w = \\frac{W}{V} = \\frac{57.3}{10^{-4}} = 5.73 \\times 10^{5} \\; \\text{J/m}^3$
Question 3 :
Le travail magnétique est donné par :
$W_m = F \\times d = B_r H_c V \\times d$
Calcul :
$W_m = 1.2 \\times 9 \\times 10^{5} \\times 10^{-4} \\times 0.01 = 1.08 \\; \\text{J}$
", "id_category": "2", "id_number": "26" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 3 : Mesure des pertes magnétiques en champ tournant
Un échantillon ferromagnétique doux est soumis à un champ magnétique tournant sinusoïdal de fréquence $f = 400$ Hz avec une induction maximale $B_{max} = 1.4$ T. La densité de pertes magnétique est modélisée par :
$P_{tot} = k_h f B_{max}^n + k_f f^2 B_{max}^2 + k_{ex} f^{1.5} B_{max}^m$ où :
$k_h = 0.009, n = 1.7, k_f = 0.0045, k_{ex} = 0.001, m = 2.5$
Le volume est $V = 0.015$ m³.
Question 1 : Calculer les pertes par hystérésis.
Question 2 : Calculer les pertes par courants de Foucault.
Question 3 : Calculer les pertes par effet de piégeage (excess loss).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Les pertes par hystérésis :
$P_h = k_h f B_{max}^n V$
Calcul :
$P_h = 0.009 \\times 400 \\times 1.4^{1.7} \\times 0.015$
$1.4^{1.7} = e^{1.7 \\ln 1.4} = e^{1.7 \\times 0.3365} = e^{0.572} = 1.772$
$P_h = 0.009 \\times 400 \\times 1.772 \\times 0.015 = 0.0961 \\text{ W}$
Question 2 :
Les pertes par courants de Foucault :
$P_f = k_f f^2 B_{max}^2 V = 0.0045 \\times 400^2 \\times 1.4^2 \\times 0.015$
$P_f = 0.0045 \\times 160000 \\times 1.96 \\times 0.015 = 21.17 \\text{ W}$
Question 3 :
Les pertes par excès :
$P_{ex} = k_{ex} f^{1.5} B_{max}^m V = 0.001 \\times 400^{1.5} \\times 1.4^{2.5} \\times 0.015$
$400^{1.5} = 400 \\times 20 = 8000$
$1.4^{2.5} = e^{2.5 \\ln 1.4} = e^{2.5 \\times 0.3365} = e^{0.841} = 2.32$
$P_{ex} = 0.001 \\times 8000 \\times 2.32 \\times 0.015 = 0.278 \\text{ W}$
", "id_category": "2", "id_number": "27" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Une tôle ferromagnétique est soumise à un champ magnétique alternatif fixe de fréquence $f = 50\\text{ Hz}$ et d'induction maximale $B_{max} = 1.5\\text{ T}$. La densité de pertes totales mesurée est :
$P = k f B_{max}^2 + c f^2 B_{max}^2$, où
- $k = 0.01\\text{ W/ (Hz·T}^2)$
- $c = 4 \\times 10^{-5}\\text{ W/ (Hz}^2\\text{·T}^2)$
Question 1 : Calculez les pertes magnétiques totales $P_{tot}$ en watts.
Question 2 : Si la surface de la tôle est de $A = 0.5\\text{ m}^2$ et l'épaisseur $e = 0.5\\text{ mm}$, calculez la puissance perdue totale.
Question 3 : Déterminez l'énergie dissipée par cycle et par kilogramme de tôle (densité $\\rho = 7800\\text{ kg/m}^3$).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des pertes magnétiques totales
1. Formule :
$P = k f B_{max}^2 + c f^2 B_{max}^2$
2. Remplacement :
$P = 0.01 \\times 50 \\times (1.5)^2 + 4 \\times 10^{-5} \\times 50^2 \\times (1.5)^2$
3. Calcul :
$P = 0.01 \\times 50 \\times 2.25 + 4 \\times 10^{-5} \\times 2500 \\times 2.25 = 1.125 + 0.225 = 1.35\\text{ W/kg}$
Question 2 : Puissance perdue totale
1. Volume :
$V = A \\times e = 0.5 \\times 0.5 \\times 10^{-3} = 2.5 \\times 10^{-4} \\text{ m}^3$
2. Masse :
$m = \\rho \\times V = 7800 \\times 2.5 \\times 10^{-4} = 1.95 \\text{ kg}$
3. Puissance perdue :
$P_{tot} = P \\times m = 1.35 \\times 1.95 = 2.63 \\text{ W}$
Question 3 : Énergie dissipée par cycle et par kilogramme
1. Énergie totale :
$E = \\frac{P_{tot}}{f} = \\frac{2.63}{50} = 0.0526 \\text{ J}$
2. Énergie par kilogramme :
$e_m = \\frac{E}{m} = \\frac{0.0526}{1.95} = 0.027 \\text{ J/kg}$
", "id_category": "2", "id_number": "28" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Une tôle magnétique est soumise à un champ magnétique tournant avec induction maximale $B = 1.2\\text{ T}$ et fréquence $f = 60\\text{ Hz}$. La surface du cycle d'hystérésis est $W_h = 4000 \\ \\text{J/m}^3$.
Question 1 : Calculez la puissance de pertes dues à l'hystérésis par unité de volume.
Question 2 : Calculez la puissance totale perdue pour une tôle de volume $V = 0.001\\text{ m}^3$.
Question 3 : Déterminez la perte énergétique par cycle.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Puissance de pertes par hystérésis par unité de volume
1. Formule :
$P_h = f W_h$
2. Remplacement :
$P_h = 60 \\times 4000 = 240000 \\text{ W/m}^3$
Question 2 : Puissance totale perdue
1. Calcul :
$P_{tot} = P_h \\times V = 240000 \\times 0.001 = 240 \\text{ W}$
Question 3 : Énergie par cycle
1. Energie :
$E_{cycle} = \\frac{P_{tot}}{f} = \\frac{240}{60} = 4 \\text{ J}$
", "id_category": "2", "id_number": "29" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un échantillon de tôle ferromagnétique a un poids de $m = 5\\text{ kg}$. La puissance électrique dissipée lors d’un champ magnétique alternatif est $P = 45\\text{ W}$ à la fréquence $f = 50\\text{ Hz}$.
Question 1 : Calculez les pertes massiques en watts par kilogramme.
Question 2 : Déterminez l'énergie dissipée par cycle et par kilogramme.
Question 3 : En supposant que la fréquence double, quelle serait la nouvelle puissance dissipée si les pertes sont proportionnelles aux fréquences ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Pertes massiques
1. Formule :
$P_m = \\frac{P}{m}$
2. Calcul :
$P_m = \\frac{45}{5} = 9 \\text{ W/kg}$
Question 2 : Énergie dissipée par cycle et par kilogramme
1. Énergie par cycle :
$E = \\frac{P_m}{f} = \\frac{9}{50} = 0.18 \\text{ J/kg}$
Question 3 : Puissance dissipée à fréquence double
1. Puisque $P \\propto f$ :
$P_{nouveau} = P \\times 2 = 45 \\times 2 = 90 \\text{ W}$
", "id_category": "2", "id_number": "30" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un matériau ferromagnétique doux est soumis à un champ magnétique variable sinusoïdal de fréquence $f = 50 \\, Hz$ et d'amplitude maximale $B_{max} = 1,2 \\, T$.Question 1 : Calculer l'énergie perdue par unité de volume au cours d'un cycle d'hystérésis, sachant que l'aire du cycle d'hystérésis est $W_h = 3500 \\, J/m^3$.
Question 2 : Déterminer la puissance perdue par unité de volume en champ fixe.
Question 3 : Si le champ est tournant à la même fréquence, et que les pertes augmentent de 20%, calculer la puissance perdue en champ tournant.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Énergie perdue par cycle
L'énergie perdue par unité de volume est donnée par l'aire du cycle d'hystérésis :
$W_h = 3500 \\, J/m^3$
Question 2 : Puissance perdue en champ fixe
La puissance perdue par unité de volume est :
$P = W_h \\times f = 3500 \\times 50 = 175000 \\, W/m^3$
Question 3 : Puissance perdue en champ tournant avec augmentation de 20%
Puissance en champ tournant :
$P_{tournant} = P \\times 1.2 = 175000 \\times 1.2 = 210000 \\, W/m^3$
", "id_category": "2", "id_number": "31" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Une tôle ferromagnétique est soumise à un champ alternatif de fréquence $f = 60 \\, Hz$ et d'induction maximale $B_{max} = 1,5 \\, T$. Le matériau a une perméabilité magnétique relative $\\mu_r = 1500$, et une densité $\\rho = 7800 \\, kg/m^3$.Question 1 : Calculer la réluctance magnétique d'une barre de section $S = 0,01 \\, m^2$ et de longueur $l = 0{,}5 \\, m$.
Question 2 : Déterminer la tension induite efficace dans une bobine de $N = 500$ spires autour de cette barre.
Question 3 : Estimer les pertes totales si les pertes de courant de Foucault sont égales à $P_f = 25 \\, W$ et les pertes d'hystérésis à $P_h = 40 \\, W$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de la réluctance magnétique
La formule de la réluctance magnétique :
$\\mathcal{R} = \\frac{l}{\\mu_0 \\mu_r S}$
où :
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\, H/m$
$l = 0.5 \\, m$
$\\mu_r = 1500$
$S = 0.01 \\, m^2$
Calcul :
$\\mathcal{R} = \\frac{0.5}{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 1500 \\times 0.01} = \\frac{0.5}{1.884 \\times 10^{-8}} = 26531721 \\, A/Wb$
Question 2 : Calcul de la tension induite efficace
La tension efficace induite est :
$E = 4.44 f N B_{max} S$
Remplacement :
$E = 4.44 \\times 60 \\times 500 \\times 1.5 \\times 0.01 = 1998 \\, V$
Question 3 : Estimation des pertes totales
$P_{totale} = P_f + P_h = 25 + 40 = 65 \\, W$
", "id_category": "2", "id_number": "32" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Un aimant permanent en NdFeB a une induction maximale $B_r = 1{,}4 \\, T$ et une coercitivité $H_c = 900 \\, kA/m$. Le volume de l'aimant est $V = 5 \\times 10^{-6} \\, m^3$.Question 1 : Calculer l'énergie maximale stockée dans l'aimant.
Question 2 : Déterminer la force maximale exercée par l'aimant en champ ouvert.
Question 3 : Estimer les pertes dues à l'hystérésis si l'aimant fonctionne à une fréquence de $f = 100 \\, Hz", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de l'énergie maximale stockée
L'énergie volumique maximale est donnée par :
$U_{max} = \\frac{1}{2} B_r H_c$ avec
$B_r = 1{,}4 \\, T, \\quad H_c = 900 \\times 10^3 \\, A/m$
Donc :
$U_{max} = \\frac{1}{2} \\times 1{,}4 \\times 900 \\times 10^3 = 6,3 \\times 10^5 \\, J/m^3$
L'énergie totale stockée :
$E = U_{max} \\times V = 6,3 \\times 10^5 \\times 5 \\times 10^{-6} = 3,15 \\, J$
Question 2 : Calcul de la force maximale
La force est approximativement donnée par :
$F = \\frac{B_r^2}{2 \\mu_0} S$
On suppose une surface
$S = 1 \\times 10^{-4} \\, m^2$ (section typique).
Avec
$\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\, H/m$
Remplacement :
$F = \\frac{(1{,}4)^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7}} \\times 1 \\times 10^{-4} = \\frac{1{,}96}{2.513 \\times 10^{-6}} \\times 1 \\times 10^{-4} = 77{,}97 \\, N$
Question 3 : Estimation des pertes d'hystérésisSi l'aimant fonctionne à la fréquence
$f = 100 \\, Hz$, et que le cycle d'hystérésis donne une énergie dissipée par unité de volume
$W_h = 1000 \\, J/m^3$, alors la puissance de perte est :
$P_h = W_h \\times f \\times V = 1000 \\times 100 \\times 5 \\times 10^{-6} = 0{,}5 \\, W$
", "id_category": "2", "id_number": "33" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 1 : Calcul des pertes magnétiques totales dans un matériau ferromagnétique doux
Une tôle en acier ferromagnétique doux est soumise à un champ magnétique alternatif sinusoidal de fréquence $f = 50 \\rm Hz$ et d'induction maximale $B_{max} = 1.5 \\rm T$. Les pertes magnétiques sont décomposées en pertes par hystérésis et par courants de Foucault :
$P_{total} = P_h + P_c = k_h f B_{max}^n + k_c f^2 B_{max}^2$
Avec
$k_h = 0.005, \\quad k_c = 0.0001, \\quad n = 1.6$.
Question 1 : Calculer chacune des pertes magnétiques dans la tôle.
Question 2 : Déterminer les pertes totales par kilogramme de matériau si la masse est $m=20 \\rm kg$.
Question 3 : Si l'on passe à un champ tournant à la même fréquence et induction, et que les pertes varient avec un facteur de 1.2 par rapport au champ fixe, calculer les pertes totales dans ce cas.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des pertes par hystérésis et par courants de Foucault
1. Pertes par hystérésis :
$P_h = k_h f B_{max}^n$
2. Pertes par courants de Foucault :
$P_c = k_c f^2 B_{max}^2$
3. Remplacement :
$P_h = 0.005 \\times 50 \\times 1.5^{1.6} = 0.005 \\times 50 \\times 2.02 = 0.505$
$P_c = 0.0001 \\times 50^2 \\times 1.5^2 = 0.0001 \\times 2500 \\times 2.25 = 0.5625$
4. Résultat final :
$\\boxed{P_h = 0.505, \\quad P_c = 0.563 \\mathrm{W/kg}}$
Question 2 : Pertes totales dans la tôle
1. Formule :
$P_{total} = m (P_h + P_c)$
2. Calcul :
$P_{total} = 20 \\times (0.505 + 0.563) = 20 \\times 1.068 = 21.36 \\rm W$
3. Résultat final :
$\\boxed{P_{total} = 21.36 \\rm W}$
Question 3 : Pertes totales en champ tournant
1. Les pertes augmentent de 20 % :
$P_{total, tournant} = 1.2 \\times P_{total} = 1.2 \\times 21.36 = 25.63 \\rm W$
2. Résultat final :
$\\boxed{P_{total, tournant} = 25.63 \\rm W}$
", "id_category": "2", "id_number": "34" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 2 : Calcul des pertes magnétiques en champ fixe
Un matériau magnétique doux est soumis à un champ magnétique alternatif de champ maximal $H_{max} = 1000 \\rm A/m$ à $f = 60 \\rm Hz$. Les pertes par hystérésis sont données par :
$P_h = \\eta B_{max}^n f$
avec $\\eta = 0.002, \\quad n=1.7, \\quad B_{max} = 1.2 \\rm T$. Les pertes par courants de Foucault sont :
$P_c = c f^2 B_{max}^2$
avec $c=0.00015$.
Question 1 : Calculer les pertes totales en W/kg.
Question 2 : Si la masse de l'échantillon est de 15 kg, calculer les pertes totales en W.
Question 3 : Déterminer la puissance dissipée par unité de volume si la masse volumique est $\\rho = 7800 \\rm kg/m^3$ et le volume de $0.0015 m^3$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des pertes totales en W/kg
1. Pertes d'hystérésis :
$P_h = \\eta B_{max}^n f$
2. Pertes par courants de Foucault :
$P_c = c f^2 B_{max}^2$
3. Remplacement :
$P_h = 0.002 \\times 1.2^{1.7} \\times 60 = 0.002 \\times 1.917 \\times 60 = 0.230$
$P_c = 0.00015 \\times 60^2 \\times 1.2^2 = 0.00015 \\times 3600 \\times 1.44 = 0.777$
4. Pertes totales :
$P_total = P_h + P_c = 0.230 + 0.777 = 1.007 \\mathrm{W/kg}$
5. Résultat final :
$\\boxed{P_{total} = 1.007 \\mathrm{W/kg}}$
Question 2 : Pertes totales sur 15 kg
1. Formule :
$P = m P_{total}$
2. Calcul :
$P = 15 \\times 1.007 = 15.11 \\mathrm{W}$
3. Résultat final :
$\\boxed{P = 15.11 \\mathrm{W}}$
Question 3 : Puissance dissipée volumique
1. Formule :
$P_v = \\frac{P}{V} = \\frac{m P_{total}}{V} = \\rho P_{total}$
2. Calcul :
$P_v = 7800 \\times 1.007 = 7855 \\mathrm{W/m^3}$
3. Résultat final :
$\\boxed{P_v = 7855 \\mathrm{W/m^3}}$
", "id_category": "2", "id_number": "35" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 3 : Mesure des pertes magnétiques en champ tournant
Un dispositif de mesure permet de déterminer les pertes magnétiques en champ tournant à une fréquence $f = 400 \\rm Hz$ avec une induction maximale $B_{max} = 1.4 \\rm T$. Les pertes mesurées sont
$P_{mes} = 30 \\rm W$ pour une masse de $m = 10 \\rm kg$.
Question 1 : Calculer les pertes spécifiques en W/kg.
Question 2 : Estimer les pertes pour un champ fixe avec un facteur multiplicatif de 0.85.
Question 3 : Déduire la perte surfacique en considérant une surface de tôle de $S = 0.015 \\rm m^2$ et une épaisseur $e= 0.35 \\rm mm$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Pertes spécifiques en W/kg
1. Formule :
$P_s = \\frac{P_{mes}}{m}$
2. Calcul :
$P_s = \\frac{30}{10} = 3 \\rm W/kg$
3. Résultat final :
$\\boxed{P_s = 3 \\rm W/kg}$
Question 2 : Estimation des pertes en champ fixe
1. Facteur multiplicatif :
$P_{fixe} = 0.85 \\times P_{mes} = 0.85 \\times 30 = 25.5 \\rm W$
2. Résultat final :
$\\boxed{P_{fixe} = 25.5 \\rm W}$
Question 3 : Calcul de la perte surfacique
1. Volume de la tôle :
$V = S \\times e = 0.015 \\times 0.35 \\times 10^{-3} = 5.25 \\times 10^{-6} \\rm m^3$
2. Perte surfacique :
$P_{surf} = \\frac{P_{mes}}{V} = \\frac{30}{5.25 \\times 10^{-6}} = 5.71 \\times 10^{6} \\rm W/m^3$
3. Résultat final :
$\\boxed{P_{surf} = 5.71 \\times 10^{6} \\rm W/m^3}$
", "id_category": "2", "id_number": "36" }, { "category": "Matériaux magnétiques", "question": "Exercice 1 : Champ magnétique, aimantation et courbe B(H)\n\nUn matériau ferromagnétique doux est soumis à un champ magnétique uniforme produit par un bobinage à N = 500 spires enroulées sur un noyau torique de longueur moyenne $l = 0,25\\,\\text{m}$. Le courant traversant le bobinage est $I = 2\\,\\text{A}$, et la valeur expérimentale du flux magnétique est $\\Phi = 1,5\\times10^{-4}\\,\\text{Wb}$ pour une section transversale moyenne $S = 4\\times10^{-4}\\,\\text{m}^2$.\n\n1. Calculer l’induction magnétique $B$ dans le matériau.\n2. Déterminer le champ magnétique $H$ à l’intérieur du noyau.\n3. En déduire la perméabilité relative $\\mu_r$ du matériau.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Induction magnétique
Formule : $B = \\frac{\\Phi}{S}$
Remplacement : $B = \\frac{1,5\\times10^{-4}}{4\\times10^{-4}} = 0,375\\,\\text{T}$
Résultat : $B = 0,375\\,\\text{T}$.
2. Champ magnétique
Formule : $H = \\frac{N I}{l}$
Remplacement : $H = \\frac{500\\times2}{0,25} = 4000\\,\\text{A/m}$
Résultat : $H = 4000\\,\\text{A/m}$.
3. Perméabilité relative
Formule : $\\mu_r = \\frac{B}{\\mu_0 H}$
Remplacement : $\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}\\,\\text{H/m}$
$\\mu_r = \\frac{0,375}{4\\pi\\times10^{-7}\\times4000} = \\frac{0,375}{0,005027} = 74,6$
Résultat : $\\mu_r ≈ 75$.
1. Énergie dissipée par cycle
Formule : $W_c = 4 B_{max} H_c$ (aire approximative du cycle rectangulaire).
Remplacement : $W_c = 4\\times1,2\\times200 = 960\\,\\text{J/m}^3$
Résultat : $W_c = 960\\,\\text{J/m}^3$.
2. Puissance perdue par hystérésis
Formule : $P_h = W_c f V$
Remplacement : $P_h = 960\\times100\\times2\\times10^{-4} = 19,2\\,\\text{W}$
Résultat : $P_h = 19,2\\,\\text{W}$.
3. Puissance totale dissipée
Formule : $P_{tot} = P_h + P_F$
Remplacement : $P_{tot} = 19,2 + 1,5 = 20,7\\,\\text{W}$
Résultat : $P_{tot} = 20,7\\,\\text{W}$.
1. Énergie volumique maximale
Formule : $w_{max} = \\frac{B_r H_c}{2}$
Remplacement : $w_{max} = \\frac{1,3 \\times 900\\times10^3}{2} = 585\\times10^3\\,\\text{J/m}^3$
Résultat : $w_{max} = 585\\,\\text{kJ/m}^3$.
2. Énergie totale de l’aimant
Formule : $E = w_{max} V$ avec $V = S\\times L$
Remplacement : $E = 585\\times10^3 \\times (2,5\\times10^{-3} \\times 0,05) = 73,1\\,\\text{J}$
Résultat : $E = 73,1\\,\\text{J}$.
3. Énergie utile transférable
Formule : $E_{utile} = 0,6 E$
Remplacement : $E_{utile} = 0,6 \\times 73,1 = 43,9\\,\\text{J}$
Résultat : $E_{utile} = 43,9\\,\\text{J}$.
1. Calcul de l’induction maximale :
Formule : $B_m = \\mu_0 \\mu_r H_m$
Remplacement : $B_m = 4\\pi\\times10^{-7} \\times 3000 \\times 800$
Calcul : $B_m = 3.02 T$.
2. Densité d’énergie magnétique :
Formule : $w = \\frac{1}{2} B_m H_m$
Remplacement : $w = 0.5 \\times 3.02 \\times 800 = 1208 J/m^3$.
3. Pertes par hystérésis :
Formule : $P_h = f \\times W_h$
Remplacement : $P_h = 50 \\times 200 = 10,000 W/m^3$.
Résultat : la puissance volumique perdue est $10 kW/m^3$.
1. Champ à mi-rémanence :
Relation linéaire : $\\frac{B}{B_r} = 1 - \\frac{H}{H_c}$ donc $\\frac{0.5B_r}{B_r} = 1 - \\frac{H}{H_c}$
Résolution : $\\frac{H}{H_c} = 0.5$ → $H = 0.5H_c = 0.5 \\times 250,000 = 125,000 A/m$.
2. Énergie maximale :
Formule : $W_{max} = \\frac{B_r H_c}{4}$
Remplacement : $W_{max} = \\frac{0.43 \\times 250,000}{4} = 26,875 J/m^3$.
3. Énergie totale :
Formule : $E = W_{max} \\times V$
Remplacement : $E = 26,875 \\times 25\\times10^{-6} = 0.672 J$.
1. Pertes d’hystérésis :
Formule : $p_h = k_h f B_m^{1.6}$
Remplacement : $p_h = 40 \\times 60 \\times 1.2^{1.6}$
Calcul : $p_h = 2400 \\times 1.35 = 3240 W/m^3$.
2. Pertes de Foucault :
Formule : $p_e = k_e f^2 B_m^2$
Remplacement : $p_e = 0.3 \\times 60^2 \\times 1.44 = 0.3 \\times 3600 \\times 1.44 = 1555.2 W/m^3$.
3. Puissance totale dissipée :
Formule : $P = (p_h + p_e)V$
Remplacement : $P = (3240 + 1555.2) \\times 8×10^{-5} = 383,620×10^{-5} = 0.306 W$.
1) Capacité électrique
Formule générale : $C=\\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\dfrac{S}{e}$
Remplacement : $S=42\\ \\text{cm}^2=0,0042\\ \\text{m}^2,\\ e=2,5\\ \\text{mm}=0,0025\\ \\text{m}$, $\\varepsilon_0=8,85\\times10^{-12}\\ \\text{F/m}$, $\\varepsilon_r=3,8$
$C=8,85\\times10^{-12}\\times3,8\\times0,0042/0,0025=1,41\\times10^{-13}/0,0025=5,64\\times10^{-11}\\ \\text{F}=56,4\\ \\text{pF}$
Résultat final : $C \\approx 56,4\\ \\text{pF}$
2) Champ électrique dans le diélectrique
Formule : $E=\\dfrac{V}{e}$
Remplacement : $V=400\\ \\text{V},\\ e=0,0025\\ \\text{m}$
$E=400/0,0025=160000\\ \\text{V}/\\text{m}$
Résultat final : $E=1,6\\times10^5\\ \\text{V}/\\text{m}$
3) Charge totale et énergie emmagasinée
Charge : $Q=C\\cdot V=56,4\\times10^{-12}\\times400=2,256\\times10^{-8}\\ \\text{C}$
Énergie : $W=\\dfrac{1}{2}CV^2=\\dfrac{1}{2}\\times56,4\\times10^{-12}\\times(400)^2=0,5\\times56,4\\times160000\\times10^{-12}=4,512\\times10^{-6}\\ \\text{J}$
Résultat final : $Q=2,26\\times10^{-8}\\ \\text{C} ;\\ W=4,51\\times10^{-6}\\ \\text{J}$
2) Déterminez la tension maximale admissible pour la géométrie considérée.
3) Calculez le facteur de sécurité rapporté à la tension d'utilisation.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1) Champ maximal
La rigidité diélectrique est déjà fournie : $E_{max}=10^7\\ \\text{V}/\\text{m}$
Résultat final : $E_{max}=10^7\\ \\text{V}/\\text{m}$
2) Tension maximale admissible
Formule : $V_{max}=E_{max} \\cdot l$
Remplacement : $E_{max}=10^7\\ \\text{V}/\\text{m},\\ l=3,2\\ \\text{mm}=0,0032\\ \\text{m}$
$V_{max}=10^7\\times0,0032=32000\\ \\text{V}$
Résultat final : $V_{max}=3,2\\times10^4\\ \\text{V}$
3) Facteur de sécurité
Formule : $S=V_{max}/V$
Remplacement : $V_{max}=32000,\\ V=230$
$S=32000/230=139$
Résultat final : $S=139$
2) Déterminez l’intensité du courant de fuite traversant le matériau.
3) Calculez la densité de pertes diélectriques si la fréquence d’utilisation est $f=50\\ \\text{Hz}$ et la constante de pertes $\\tan\\delta=2,2\\times10^{-4}$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1) Résistance électrique
Formule : $R=\\rho \\dfrac{e}{S}$
Remplacement : $\\rho=8,4\\times10^{13}\\ \\Omega\\cdot\\text{m},\\ e=1,3\\ \\text{mm}=0,0013\\ \\text{m},\\ S=28\\ \\text{cm}^2=0,0028\\ \\text{m}^2$
$R=8,4\\times10^{13}\\times0,0013/0,0028=1,092\\times10^{11}/0,0028=3,9\\times10^{13}\\ \\Omega$
Résultat final : $R=3,9\\times10^{13}\\ \\Omega$
2) Courant de fuite
Formule : $I=V/R$
Remplacement : $V=600,\\ R=3,9\\times10^{13}$
$I=600/3,9\\times10^{13}=1,538\\times10^{-11}\\ \\text{A}$
Résultat final : $I=1,54\\times10^{-11}\\ \\text{A}$
3) Densité de pertes diélectriques
Formule : $w=2\\pi f\\varepsilon_0\\varepsilon_r E^2 \\tan\\delta$ (sans $\\varepsilon_r$ indiquée, supposer $\\varepsilon_r=3$). Champ : $E=V/e=600/0,0013=461538\\ \\text{V/m}$
$w=2\\pi\\times50\\times8,85\\times10^{-12}\\times3\\times(461538)^2\\times2,2\\times10^{-4}$
$2\\pi\\times50=314,16$
$(461538)^2=2,1308\\times10^{11}$
$w=314,16\\times8,85\\times10^{-12}\\times3\\times2,1308\\times10^{11}\\times2,2\\times10^{-4}$
Calcul intermédiaire :
$314,16\\times8,85\\times10^{-12}=2,782\\times10^{-9}$
$2,782\\times10^{-9}\\times3=8,346\\times10^{-9}$
$8,346\\times10^{-9}\\times2,1308\\times10^{11}=1,778\\times10^{3}$
$1,778\\times10^{3}\\times2,2\\times10^{-4}=0,392\\ \\text{W/m}^3$
Résultat final : $w=0,392\\ \\text{W/m}^3$
Q1 : Capacité électrique du panneau
1. Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{e}$
2. Données : $\\varepsilon_0 = 8,85 \\times 10^{-12}~F/m$, $\\varepsilon_r = 3,5$, $S = 40~cm^2 = 40\\times10^{-4}~m^2 = 0,004~m^2$, $e = 5~mm = 5\\times10^{-3}~m$
3. Calcul : $C = 8,85\\times10^{-12} \\times 3,5 \\times \\frac{0,004}{0,005}$
\nNu : $8,85\\times10^{-12} \\times 3,5 = 3,098\\times10^{-11}$\n$\\frac{0,004}{0,005} = 0,8$\n$C = 3,098\\times10^{-11} \\times 0,8 = 2,478\\times10^{-11}~F = 24,8~pF$
4. Résultat : Capacité $24,8~pF$.
Q2 : Résistance volumique équivalente
1. Formule : $R = \\rho \\frac{e}{S}$
2. Remplacement : $R = 2\\times10^{12} \\times \\frac{0,005}{0,004} = 2\\times10^{12} \\times 1,25 = 2,5\\times10^{12}~\\Omega$
4. Résultat : $R = 2,5\\times10^{12}~\\Omega$.
Q3 : Contrôle de la tension max
1. Champ électrique appliqué : $E_{appl} = \\frac{U}{e} = \\frac{12\\ 000}{5} = 2,4~kV/mm$
2. Rigidité de rupture : $E_{rupt} = 42~kV/mm$
3. $2,4 < 42$ donc la tension appliquée respecte la rigidité du matériau.
4. Résultat : Le diélectrique est conforme à la rigidité.
Q1 : Densité de polarisation $P$ sous tension
1. Formule : $P = \\varepsilon_0 (\\varepsilon_r - 1) E$ avec $E = U/d$
2. Remplacement : $\\varepsilon_0=8,85\\times10^{-12}~F/m$, $\\varepsilon_r=4,7$, $U=1~000~V$, $d=2\\times10^{-3}~m$
$E=\\frac{1000}{0,002}=500\\ 000~V/m$
3. Calcul : $P=8,85\\times10^{-12}\\times(4,7-1)\\times500\\ 000=8,85\\times10^{-12}\\times3,7\\times500\\ 000$\n$3,7\\times500~000=1~850~000$ ; $8,85\\times10^{-12}\\times1~850~000=1,635\\times10^{-5}~C/m^2$
4. Résultat : $P=1,64\\times10^{-5}~C/m^2$.
Q2 : Puissance dissipée par pertes diélectriques
1. Formule : $P_{pertes}=\\omega C U^2 \\tan\\delta$
2. $C=\\varepsilon_0 \\varepsilon_r S/d = 8,85\\times10^{-12}\\times4,7\\times0,0012/0,002$
Numérateur : $8,85\\times10^{-12}\\times4,7=4,1595\\times10^{-11}$; $4,1595\\times10^{-11}\\times 0,0012=4,9914\\times10^{-14}$
$C=4,9914\\times10^{-14}/0,002=2,496\\times10^{-11}~F$
Fréquence : $\\omega=2\\pi f=2\\pi\\times1,2\\times10^6=7,54\\times10^6~rad/s$
$P_{pertes}=7,54\\times10^6\\times2,50\\times10^{-11}\\times10^6\\times2,3\\times10^{-3}$
$2,50\\times10^{-11}\\times10^6=2,50\\times10^{-5}$
$7,54\\times10^6\\times2,50\\times10^{-5}=188,5$; $188,5\\times2,3\\times10^{-3}=0,433~W$
4. Résultat : Puissance dissipée : $0,433~W$.
Q3 : Rigidité diélectrique minimale
1. Formule : $E_{rupt,min}=\\frac{U}{d}=\\frac{1000}{2}=500~kV/m=0,5~kV/mm$
4. Résultat : Rigidité minimale requise : $0,5~kV/mm$.
Q1 : Contrôle rigidité diélectrique
1. Champ appliqué : $E = \\frac{U}{e} = \\frac{8\\,500}{6} = 1,42~kV/mm$
2. Rigidité minimale : $24~kV/mm$
3. $1,42 < 24$ donc conforme.
4. Résultat : La tension respecte la rigidité diélectrique.
Q2 : Résistance équivalente
1. Formule : $R = \\rho \\frac{e}{S}$
2. $\\rho=5\\times10^{11}~\\Omega.m$, $e=6\\times10^{-3}~m$, $S=30\\times10^{-4}~m^2=0,003~m^2$
3. Calcul : $R=5\\times10^{11}\\times\\frac{0,006}{0,003}=5\\times10^{11}\\times2=1\\times10^{12}~\\Omega$
4. Résultat : $R=1,0\\times10^{12}~\\Omega$.
Q3 : Puissance dissipée par pertes diélectriques
1. $C=\\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{e}$
2. $\\varepsilon_0=8,85\\times10^{-12}~F/m$, $\\varepsilon_r=5,5$, $S=0,003~m^2$, $e=0,006~m$
$8,85\\times10^{-12}\\times5,5=4,8675\\times10^{-11}$ ; $4,8675\\times10^{-11}\\times0,003=1,4603\\times10^{-13}$ ; $C=1,4603\\times10^{-13}/0,006=2,434\\times10^{-11}~F$
3. $\\omega=2\\pi f=314,16~rad/s$
$P_{pertes}=\\omega C U^2 \\tan\\delta = 314,16\\times2,434\\times10^{-11}\\times(8\\,500)^2\\times1,1\\times10^{-2}$
$2,434\\times10^{-11}\\times72,250,000=1,758\\times10^{-3}$
$314,16\\times1,758\\times10^{-3}=0,5524$; $0,5524\\times1,1\\times10^{-2}=6,08\\times10^{-3}~W=6,08~mW$
4. Résultat : Puissance dissipée $6,08~mW$.
• Q1. Calculez la capacité totale du condensateur.
• Q2. Déterminez la résistivité minimale du matériau si l'on souhaite limiter le courant de fuite à $I_{max} = 8,1~nA$ sous une tension de $V = 310~V$.
• Q3. Calculez le champ électrique maximal admissible pour un matériau de rigidité diélectrique $E_r = 84~kV/mm$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Capacité totale :
1. Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{A}{d}$
2. Remplacement : $\\varepsilon_0 = 8,85 \\times 10^{-12}~F/m ; \\varepsilon_r = 3,7 ; A = 36~cm^2 = 36 \\times 10^{-4}~m^2 ; d = 1,9~mm = 1,9 \\times 10^{-3}~m$
3. Calcul : $C = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,7 \\times \\frac{36 \\times 10^{-4}}{1,9 \\times 10^{-3}} = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,7 \\times \\frac{0,0036}{0,0019} = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,7 \\times 1,8947 = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 7,012 = 6,209 \\times 10^{-11}~F$
4. Résultat final : $C = 62,1~pF$
Q2. Résistivité minimale :
1. Courant de fuite : $I = \\frac{V}{R}$ avec $R = \\rho \\frac{d}{A}$
2. Remplacement : $V=310~V ; I=8,1~nA = 8,1 \\times 10^{-9}~A ; d=1,9 \\times 10^{-3}~m ; A=36 \\times 10^{-4}~m^2$
$R = \\frac{V}{I} = \\frac{310}{8,1 \\times 10^{-9}} = 3,827 \\times 10^{10}~\\Omega$
$\\rho = R \\frac{A}{d} = 3,827 \\times 10^{10} \\times \\frac{36 \\times 10^{-4}}{1,9 \\times 10^{-3}} = 3,827 \\times 10^{10} \\times 18,947 = 7,25 \\times 10^{11}~\\Omega\\cdot m$
4. Résultat final : $\\rho_{min} = 7,25 \\times 10^{11}~\\Omega\\cdot m$
Q3. Champ électrique maximal admissible :
1. Formule : $E_{max} = E_r$
2. Remplacement : $E_r = 84~kV/mm = 84 \\times 10^3~V/mm = 84 \\times 10^6~V/m$
4. Résultat final : $E_{max} = 84~MV/m$
• Q1. Calculez la résistance totale.
• Q2. Déterminez le courant de fuite qui circule.
• Q3. Calculez la densité de courant maximale admissible si la rigidité diélectrique de la bakélite est $E_r = 30~kV/mm$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Résistance totale :
1. Formule : $R = \\rho \\frac{L}{S}$
2. Remplacement : $\\rho = 6,2 \\times 10^{13}~\\Omega\\cdot m ; L = 1,24~m ; S = 9,5~mm^2 = 9,5 \\times 10^{-6}~m^2$
3. Calcul : $R = 6,2 \\times 10^{13} \\times \\frac{1,24}{9,5 \\times 10^{-6}} = 6,2 \\times 10^{13} \\times 130,526 = 8,093 \\times 10^{15}~\\Omega$
4. Résultat final : $R = 8,09 \\times 10^{15}~\\Omega$
Q2. Courant de fuite :
1. Formule : $I = \\frac{V}{R}$
2. Remplacement : $V=420~V ; R = 8,093 \\times 10^{15}~\\Omega$
3. Calcul : $I = \\frac{420}{8,093 \\times 10^{15}} = 5,19 \\times 10^{-14}~A$
4. Résultat final : $I = 5,19 \\times 10^{-14}~A$
Q3. Densité de courant maximale admissible :
1. Formule champ :$J_{max} = \\sigma E_{max} = \\frac{E_{max}}{\\rho}$
2. $E_{max} = 30~kV/mm = 30 \\times 10^6~V/m ; \\rho = 6,2 \\times 10^{13}~\\Omega\\cdot m$
3. Calcul :$J_{max} = \\frac{30 \\times 10^6}{6,2 \\times 10^{13}} = 4,84 \\times 10^{-7}~A/m^2$
4. Résultat final : $J_{max} = 4,84 \\times 10^{-7}~A/m^2$
1. Capacité de la plaque :
\nFormule : $C = \\varepsilon_0\\varepsilon_r \\frac{A}{e}$;\n$\\varepsilon_0 = 8.85\\times10^{-12}\\,F/m$, $A = 14\\,cm^2 = 0.0014\\,m^2$, $e = 2.5\\,mm = 0.0025\\,m$
\n$C = 8.85\\times10^{-12} \\times 4.3 \\times 0.0014 / 0.0025 = (8.85\\times10^{-12} \\times 4.3 \\times 0.56)$
\n$8.85\\times10^{-12} \\times 4.3 = 3.8055\\times10^{-11}$ ; $3.8055\\times10^{-11} \\times 0.56 = 2.131\\times10^{-11}$
\nRésultat final : $C = 21.3\\,pF$
\n2. Champ électrique moyen :
\nFormule : $E = U/e$
\n$U = 6,000\\,V$; $e = 0.0025\\,m$
\n$E = 6,000/0.0025 = 2,400,000\\,V/m = 2.4\\,MV/m$
\nRésultat final : $E = 2.4\\,MV/m$
\n3. Vérification de la tension de claquage :
\nLa tension de claquage : $U_{rupt} = E_{rupt} \\times e = 18\\,MV/m \\times 0.0025 = 0.045\\,MV = 45,000\\,V$
\nComparaison : $6,000\\,V < 45,000\\,V$ ; marge de sécurité : $45,000 - 6,000 = 39,000\\,V$
\nRésultat final : Tension appliquée largement inférieure à la tension de claquage (par $39,000\\,V$)
1. Résistance électrique volumique :
\nFormule : $R = \\rho \\frac{L}{A}$; $V = A \\times L\\rightarrow A = V/L$
\n$V = 11.4\\,cm^3 = 0.0000114\\,m^3$; $L = 28\\,mm = 0.028\\,m$
\n$A = V/L = 0.0000114 / 0.028 = 4.07\\times10^{-7}\\,m^2$
\n$R = 7.1\\times10^{12} \\frac{0.028}{4.07\\times10^{-7}} = 7.1\\times10^{12} \\times 68,798 = 4.89 \\times 10^{17}\\,\\Omega$
\nRésultat final : $R = 4.89\\times10^{17}\\,\\Omega$
\n2. Courant traversant l’isolant :
\nFormule : $I = U / R$
\n$I = 2,400 / 4.89\\times10^{17} = 4.91\\times10^{-15}\\,A$
\nRésultat final : $I = 4.91\\times10^{-15}\\,A$
\n3. Puissance dissipée par pertes diélectriques :
\nFormule : $P_{diel} = \\omega C U^2 \\tan \\delta$; $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r A / L$; $\\omega=2\\pi f$, supposons $f=50\\,Hz$
\n$A = 4.07\\times10^{-7}$; $\\varepsilon_0 =8.85\\times10^{-12}$; $\\varepsilon_r=2.8$; $L=0.028$\n$C = 8.85\\times10^{-12}\\times2.8\\times4.07\\times10^{-7}/0.028 = (8.85\\times10^{-12}\\times2.8 =2.478\\times10^{-11})\\times4.07\\times10^{-7}=1.009\\times10^{-17}/0.028=3.607\\times10^{-16}\\,F$
\n$\\omega = 2\\pi\\times50 =314.16$
\n$P_{diel} = 314.16\\times3.607\\times10^{-16}\\times(2400^2)\\times0.0035 = 314.16\\times3.607\\times10^{-16}=1.134\\times10^{-13}$; $2400^2=5,760,000$; $1.134\\times10^{-13}\\times5,760,000=6.53\\times10^{-7}$; $6.53\\times10^{-7}\\times0.0035=2.29\\times10^{-9}\\,W$
\nRésultat final : $P_{diel} = 2.29\\times10^{-9}\\,W$
Question 1 : Capacité du condensateur
1. Formule : $C=\\varepsilon_0\\varepsilon_r \\frac{S}{d}$ où $\\varepsilon_0 = 8,85\\times10^{-12}~\\mathrm{F/m}$
$S=45~\\mathrm{cm}^2=0,0045~\\mathrm{m}^2$, $d=0,002~\\mathrm{m}$, $\\varepsilon_r=4,2$
2. Calcul :$C=8,85\\times10^{-12}\\times4,2\\times\\frac{0,0045}{0,002}=3,717\\times10^{-11}\\times2,25=8,363\\times10^{-11}~\\mathrm{F}=83,6~\\mathrm{pF}$
4. Résultat final : $C=83,6~\\mathrm{pF}$
Question 2 : Densité de polarisation volumique
1. Formule : $\\vec{P}=\\varepsilon_0(\\varepsilon_r-1)\\vec{E}$; $E=\\frac{V_{max}}{d}$
2. Calcul : $E=\\frac{300}{0,002}=150,000~\\mathrm{V/m}$
$P=8,85\\times10^{-12}\\times(4,2-1)\\times150,000=8,85\\times10^{-12}\\times3,2\\times150,000$
$3,2\\times150,000=480,000$; $8,85\\times10^{-12} \\times 480,000 = 4,248\\times10^{-9}~\\mathrm{C/m}^2$
4. Résultat final : $P=4,25\\times10^{-9}~\\mathrm{C/m}^2$
Question 3 : Puissance dissipée dans le diélectrique
1. Formule : $P=\\omega C V_{eff}^2 \\tan \\delta$; $\\omega=2\\pi f=2\\times3,142\\times1,000=6,283~\\mathrm{rad/s}$
$V_{eff}=\\frac{V_{max}}{\\sqrt{2}}=300/1,414=212,2~\\mathrm{V}$
2. Calcul : $P=6,283\\times83,6\\times10^{-12}\\times (212,2^2)\\times0,004$
$212,2^2=45,052,\\;83,6\\times10^{-12}\\times45,052=3,767\\times10^{-9}$
$P=6,283\\times3,767\\times10^{-9}\\times0,004=9,466\\times10^{-11}~\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P=95~\\mathrm{pW}$
Interprétation : L’emploi d’un matériau diélectrique à faible facteur de pertes garantit une dissipation énergétique minime, même sous courants alternatifs importants.
Question 1 : Champ électrique appliqué
1. Formule : $E=\\frac{V}{d}$
2. Remplacement : $V=3~\\mathrm{V}$, $d=500~\\mu\\mathrm{m}=0,0005~\\mathrm{m}$
$E=\\frac{3}{0,0005}=6,000~\\mathrm{V/mm}$
4. Résultat final : $E=6,0~\\mathrm{V/mm}$
Question 2 : Tension maximale admissible avant claquage
1. Formule : $V_{max}=E_{rupt} \\times d$
2. Remplacement : $E_{rupt}=270~\\mathrm{kV/mm}=270,000~\\mathrm{V/mm}$, $d=0,5~\\mathrm{mm}$
$V_{max}=270,000\\times0,5=135,000~\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $V_{max}=135,000~\\mathrm{V}$
Question 3 : Rapport de sécurité
1. Formule : $R_s=\\frac{V_{max}}{V_{appl}}$
2. Remplacement : $V_{max}=135,000~\\mathrm{V}$, $V_{appl}=3~\\mathrm{V}$
$R_s=\\frac{135,000}{3}=45$
4. Résultat final : $R_s=45$
Interprétation : L’isolant présente une sécurité très élevée vis-à-vis du claquage dans ce montage ; pour des applications de puissance, il conviendrait de recalculer selon la tension réelle en service.
Question 1 : Résistance électrique équivalente
1. Formule : $R=\\rho \\frac{d}{S}$
2. Remplacement :$\\rho=3,1\\times10^{12}~\\Omega\\cdot\\mathrm{m}$, $d=0,0025~\\mathrm{m}$, $S=0,0015~\\mathrm{m}^2$
$R=3,1\\times10^{12}\\times\\frac{0,0025}{0,0015}=3,1\\times10^{12}\\times1,6667=5,167\\times10^{12}~\\Omega$
4. Résultat final : $R=5,17\\times10^{12}~\\Omega$
Question 2 : Courant de fuite à travers le diélectrique
1. Formule : $I=\\frac{V}{R}$
2. Remplacement :$V=850~\\mathrm{V}$, $R=5,167\\times10^{12}~\\Omega$
$I=\\frac{850}{5,167\\times10^{12}}=1,645\\times10^{-10}~\\mathrm{A}$
4. Résultat final : $I=164,5~\\mathrm{pA}$
Question 3 : Densité de courant de fuite
1. Formule : $J=\\frac{I}{S}$
2. Remplacement : $I=1,645\\times10^{-10}~\\mathrm{A}$, $S=0,0015~\\mathrm{m}^2$
$J=1,645\\times10^{-10}/0,0015=1,096\\times10^{-7}~\\mathrm{A/m}^2$
4. Résultat final : $J=1,10\\times10^{-7}~\\mathrm{A/m}^2$
Interprétation : Ce matériau convient à la réalisation de barrières diélectriques, le courant de fuite est extrêmement faible grâce à la très haute résistivité.
1) Capacité avec polarisation
Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}$
Conversion : $\\varepsilon_0 = 8,85 \\times 10^{-12}$ F/m ; $\\varepsilon_r = 3,1$ ; $S = 96 \\times 10^{-4}$ m² ; $d = 4,5 \\times 10^{-3}$ m
Remplacement : $C = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,1 \\times \\frac{0,0096}{0,0045}$
$\\frac{0,0096}{0,0045} = 2,133$
$C = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,1 \\times 2,133 = 5,84 \\times 10^{-11}$ F
Résultat : $58,4$ pF
2) Champ maximal et densité de polarisation
Champ : $E_{max} = \\frac{U_{max}}{d} = \\frac{19200}{0,0045} = 4,267 \\times 10^6$ V/m
Densité polarisation : $P_{max} = \\varepsilon_0 (\\varepsilon_r-1) E_{max}$
$P_{max} = 8,85 \\times 10^{-12} \\times (3,1-1) \\times 4,267 \\times 10^6$
$8,85 \\times 10^{-12} \\times 2,1 = 1,8585 \\times 10^{-11}$
$P_{max} = 1,8585 \\times 10^{-11} \\times 4,267 \\times 10^6 = 7,93 \\times 10^{-5}$ C/m²
3) Puissance des pertes diélectriques
Formule : $P_{pertes} = \\omega C U^2 \\tan \\delta$
$\\omega = 2\\pi f = 314$ rad/s
$P_{pertes} = 314 \\times 5,84 \\times 10^{-11} \\times (450)^2 \\times 0,014$
$(450)^2 = 202500$
$314 \\times 5,84 \\times 10^{-11} = 1,834 \\times 10^{-8}$
$P_{pertes} = 1,834 \\times 10^{-8} \\times 202500 \\times 0,014 = 5,188 \\times 10^{-5}$ W
Résultat : $51,9$ µW
1) Courant de fuite dans l’isolant
Formule : $R = \\rho \\frac{L}{S}$; $I = \\frac{U}{R}$
Conversion : $L = 2,5$ m ; $e = 2,7 \\times 10^{-3}$ m ; $S = 12 \\times 10^{-6}$ m²
Résistance : $R = 3,9 \\times 10^{13} \\frac{2,5}{12 \\times 10^{-6}} = 3,9 \\times 10^{13} \\times 208333 = 8,125 \\times 10^{18}$ Ω
Courant : $I = \\frac{4,800}{8,125 \\times 10^{18}} = 5,91 \\times 10^{-16}$ A
Résultat : $0,591$ fA
2) Rigidité diélectrique pour $I_{max} = 0,23 \\mu\\text{A}$
On pose $I_{max} = \\frac{U_{max}}{R}$ donc $U_{max} = I_{max} \\times R$
$U_{max} = 0,23 \\times 10^{-6} \\times 8,125 \\times 10^{18} = 1,87 \\times 10^{12}$ V
Résultat : $1,87$ TV
3) Résistance d’isolement équivalente pour $N = 18$ fils
R total en parallèle : $R_{eq} = \\frac{R}{N} = \\frac{8,125 \\times 10^{18}}{18} = 4,51 \\times 10^{17}$ Ω
Résultat : $4,51 \\times 10^{17}$ Ω
1) Capacité de l’échantillon
Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}$
Conversion : $S = 2,2 \\times 10^{-6}$ m² ; $d = 1,2 \\times 10^{-3}$ m ; $\\varepsilon_r = 4,6$
$C = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 4,6 \\times \\frac{2,2 \\times 10^{-6}}{1,2 \\times 10^{-3}}$
$\\frac{2,2 \\times 10^{-6}}{1,2 \\times 10^{-3}} = 1,833 \\times 10^{-3}$
$C = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 4,6 \\times 1,833 \\times 10^{-3}$
$8,85 \\times 10^{-12} \\times 4,6 = 4,071 \\times 10^{-11}$
$C = 4,071 \\times 10^{-11} \\times 1,833 \\times 10^{-3} = 7,468 \\times 10^{-14}$ F
Résultat : $74,7$ pF
2) Force maximale et allongement rupture
Force : $F_{max} = \\sigma_{max} \\times S = 63 \\times 10^6 \\times 2,2 \\times 10^{-6} = 138,6$ N
Allongement absolu : $\\Delta L = \\epsilon_{rup} \\times L = 0,212 \\times 148 = 31,38$ mm
Résultat : $F_{max} = 138,6$ N ; $\\Delta L = 31,4$ mm
3) Puissance totale dissipée
Volume : $V = S \\times L = 2,2 \\times 10^{-2} \\times 14,8 = 3,256 \\text{cm}^3$
Puissance totale : $P_{tot} = P_v \\times V = 44 \\times 3,256 = 143,27$ mW
Résultat : $143,3$ mW
1. Surface d’isolation et champ maximal :
\\\n1. Surface : $ S = L \\times l = 11\\ \\mathrm{cm} \\times 6\\ \\mathrm{cm} = 66\\ \\mathrm{cm}^2 = 66\\times10^{-4}\\ \\mathrm{m}^2 = 6.6\\times 10^{-3} \\mathrm{m}^2 $
\\\n2. Champ maximal admissible : $ E_{r,max} = 24\\ \\mathrm{kV/mm} $
\\\n$ E_{r,max} = 24,000\\ \\mathrm{V/mm} $
\\\n3. Résultats : $ S = 6.6\\ \\mathrm{cm}^2 ;\\ E_{r,max} = 24\\ \\mathrm{kV/mm} $
\\\n2. Champ réel et facteur de sécurité :
\\\n1. Champ réel : $ E = \\frac{U}{e} = \\frac{7,800}{0.85} = 9,176.5\\ \\mathrm{V/mm} = 9.18\\ \\mathrm{kV/mm} $
\\\n2. Facteur sécurité : $ \\frac{E_{r,max}}{E} = \\frac{24}{9.18} = 2.61 $
\\\n3. Résultat : Champ appliqué $ E = 9.18\\ \\mathrm{kV/mm} ;\\ facteur de sécurité = 2.61 $
\\\n3. Courant de fuite :
\\\n1. $ R = \\rho \\frac{e}{S} = 1.6\\cdot10^{15} \\times \\frac{0.85\\cdot10^{-3}}{6.6\\cdot10^{-3}} = 1.6\\cdot10^{15} \\times 0.1288 = 2.06\\cdot10^{14} \\Omega $
\\\n2. $ I = \\frac{U}{R} = \\frac{7,800}{2.06\\cdot10^{14}} = 3.78\\cdot10^{-11} \\mathrm{A} $
\\\n3. Résultat : $ I = 37.8\\ \\mathrm{pA} $
Question 1 : Capacité maximale avant rupture
1. Formule :$C = \\frac{\\epsilon_0\\epsilon_r S}{d}$
2. Remplacement : $S=0.016\\ \\mathrm{m}^2$, $d=1.3\\times10^{-3}\\ \\mathrm{m}$, $\\epsilon_0=8.85\\times10^{-12}\\ \\mathrm{F\\cdot m}^{-1}$, $\\epsilon_r=6.5$
\n$C = \\frac{8.85\\times10^{-12}\\times6.5\\times0.016}{1.3\\times10^{-3}} = \\frac{9.2\\times10^{-13}}{1.3\\times10^{-3}} = 7.08\\times10^{-10}\\ \\mathrm{F}=708\\ \\mathrm{pF}$
3. Résultat final :
La capacité maximale est $708\\ \\mathrm{pF}$.
\nQuestion 2 : Polarisation électrique maximale avant rupture
1. Formule : $P = \\epsilon_0 (\\epsilon_r-1) E_{rupt}$ avec $E_{rupt}=120\\ \\mathrm{kV/cm}=1.2\\times10^{7}\\ \\mathrm{V/m}$
2. $P=8.85\\times10^{-12}\\times(6.5-1)\\times1.2\\times10^7 = 8.85\\times10^{-12}\\times5.5\\times1.2\\times10^7$
\n$5.5\\times1.2\\times10^7=6.6\\times10^7$,
$8.85\\times10^{-12}\\times6.6\\times10^7=5.84\\times10^{-4}\\ \\mathrm{C/m}^2$
3. Résultat final :
Polarisation maximale : $5.84\\times10^{-4}\\ \\mathrm{C/m}^2$.
\nQuestion 3 : Densité de pertes diélectriques
1. Formule : $p = \\omega C V_0^2 \\tan\\delta$ où $\\omega=2\\pi f$
2. $\\omega=6283\\ \\mathrm{rad/s}$, $C=7.08\\times10^{-10}\\ \\mathrm{F}$, $V_0=350\\ \\mathrm{V}$, $\\tan\\delta=0.0015$
\n$p = 6283\\times7.08\\times10^{-10}\\times350^2\\times0.0015$
\n$6283\\times7.08\\times10^{-10}=4.45\\times10^{-6}$
\n$350^2=122500$
\n$p=4.45\\times10^{-6}\\times122500\\times0.0015=0.000817\\ \\mathrm{W}$
3. Résultat final :
La densité de pertes diélectriques est $0.82\\ \\mathrm{mW}$.
Question 1 : Résistance totale du barreau
1. Formule : $R=\\rho_v\\frac{l}{a\\cdot e}$
2. $l=0.18\\ m$, $a=0.012\\ m$, $e=0.0064\\ m$, $\\rho_v=2.5\\times10^{14}\\ \\Omega\\cdot m$
\n$R=2.5\\times10^{14}\\times\\frac{0.18}{0.012\\times0.0064}=2.5\\times10^{14}\\times\\frac{0.18}{7.68\\times10^{-5}}=2.5\\times10^{14}\\times2344=5.86\\times10^{17}\\ \\Omega$
3. Résultat final :
Résistance totale : $5.86\\times10^{17}\\ \\Omega$.
\nQuestion 2 : Champ maximal avant percée
1. Formule : $E_{max}=\\frac{V_{rupt}}{e}$
2. $V_{rupt}=15200\\ V$, $e=0.0064\\ m$
\n$E_{max}=\\frac{15200}{0.0064}=2.38\\times10^{6}\\ \\mathrm{V/m}$
3. Résultat final :
Champ maximal avant rupture : $2.38\\times10^6\\ \\mathrm{V/m}$.
\nQuestion 3 : Force de traction maximale
1. Formule : $F_{max}=\\sigma_{max}\\times S$ où $S=a\\times e$
2. $\\sigma_{max}=22\\times10^6\\ \\mathrm{Pa}$, $a=0.012\\ m$, $e=0.0064\\ m$
\n$S=0.012\\times0.0064=7.68\\times10^{-5}\\ m^2$
\n$F_{max}=22\\times10^6\\times7.68\\times10^{-5}=1689.6\\ N$
3. Résultat final :
Force maximale avant rupture : $1690\\ N$.
Question 1 : Capacité de la gaine
1. Formule : $C=\\frac{\\epsilon_0\\epsilon_r S}{d}$ où $S=L\\times1$m (surface per unit length pour câble cylindrique)
2. $S=2.4\\ m^2$, $d=0.0021\\ m$, $\\epsilon_0=8.85\\times10^{-12}\\ F/m$, $\\epsilon_r=3.2$
\n$C=\\frac{8.85\\times10^{-12}\\times3.2\\times2.4}{0.0021}=\\frac{6.79\\times10^{-11}}{0.0021}=3.23\\times10^{-8}\\ F=32.3\\ nF$
3. Résultat final :
Capacité totale : $32.3\\ nF$.
\nQuestion 2 : Puissance dissipée par pertes diélectriques
1. Formule : $P=\\omega C V_{eff}^2 \\tan\\delta$ où $\\omega=2\\pi f$
2. $\\omega=314.16$, $C=3.23\\times10^{-8}\\ F$, $V_{eff}=12200\\ V$, $\\tan\\delta=0.002$
\n$P=314.16\\times3.23\\times10^{-8}\\times12200^2\\times0.002$
\n$12200^2=148840000$
\n$314.16\\times3.23\\times10^{-8}=1.014\\times10^{-5}$
\n$P=1.014\\times10^{-5}\\times148840000\\times0.002=3.016\\times10^{-5}\\times148840000=4489\\ W$
3. Résultat final :
Puissance dissipée : $4.49\\ kW$.
\nQuestion 3 : Température moyenne atteinte
1. Formule : $\\Delta T = P_{dissipée/m} \\times R_{th}$ ; $P_{dissipée/m}=\\frac{4489}{2.4}=1870.4\\ W/m$
\n$\\Delta T=1870.4\\times8.4=15699\\ ^\\circ\\mathrm{C}$ (température critique : état dangereux dépassé, la gaine ne supporte pas la dissipation)
3. Résultat final :
Température moyenne atteinte : $15700\\ ^\\circ \\mathrm{C}$ (danger : dépassement sévère).
1. Capacité du condensateur
Formule générale :
$C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}$
Remplacement : $\\varepsilon_0 = 8,85 \\times 10^{-12}~\\text{F/m}$, $S = 52~\\text{cm}^2 = 0,0052~\\text{m}^2$, $d = 2,1~\\text{mm} = 0,0021~\\text{m}$
$C = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,7 \\times \\frac{0,0052}{0,0021}$
$0,0052/0,0021 = 2,476$
$8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,7 = 3,2745 \\times 10^{-11}$
$C = 3,2745 \\times 10^{-11} \\times 2,476 = 8,11 \\times 10^{-11}~\\text{F} = 81,1~\\text{pF}$
Résultat final :
$C = 81~\\text{pF}$
2. Tension maximale admissible
Formule :
$U_{max} = E_{cr} \\cdot d$
Remplacement : $E_{cr} = 38~\\text{kV/mm} = 38~000~\\text{V/mm}$ ; $d = 2,1~\\text{mm}$
$U_{max} = 38~000 \\times 2,1 = 79~800~\\text{V}$
Résultat final :
$U_{max} = 79~800~\\text{V}$
3. Densité de charge maximale admissible
Formule générale :
$\\sigma_{max} = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r E_{cr}$
Remplacement : $E_{cr} = 38~000~\\text{V/mm} = 38~000~\\text{V}/(10^{-3}~\\text{m}) = 38 \\times 10^{6}~\\text{V/m}$
$\\sigma_{max} = 8,85 \\times 10^{-12} \\times 3,7 \\times 38 \\times 10^{6}$
$3,2745 \\times 10^{-11} \\times 38 \\times 10^{6} = 1,244 \\times 10^{-3}~\\text{C/m}^2$
Résultat final :
$\\sigma_{max} = 1,24~\\text{mC/m}^2$
1. Impédance complexe du condensateur
Formule générale :
$Z = \\frac{1}{j\\omega C}$, où $\\omega = 2\\pi f$
Remplacement :$f = 1~000~\\text{Hz}$, $C = 710~\\text{pF} = 710\\times10^{-12}~\\text{F}$
$\\omega = 2\\pi \\times 1~000 = 6~283~\\text{rad/s}$
$Z = \\frac{1}{j\\times6~283\\times710\\times10^{-12}} = \\frac{1}{j\\times4,463\\times10^{-8}}$
$|Z| = \\frac{1}{4,463\\times10^{-8}} = 2,24\\times10^{7}~\\Omega$
Résultat final :
$|Z| = 22,4~\\text{M}\\Omega$
2. Puissance dissipée par pertes diélectriques
Formule générale :$P_{pertes} = V_{rms}^2 \\omega C \\tan\\delta$
Remplacement :$P_{pertes} = (820)^2 \\times 6~283 \\times 710\\times10^{-12} \\times 0,0068$
$820^2 = 672~400$
$6~283 \\times 710\\times10^{-12} = 4,463\\times10^{-8}$
$P_{pertes} = 672~400 \\times 4,463\\times10^{-8} \\times 0,0068$
$= 672~400 \\times 3,035\\times10^{-10} = 2,04\\times10^{-4}~\\text{W}$
Résultat final :
$P_{pertes} = 204~\\mu\\text{W}$
3. Courant total dans le matériau
Formule :$I_{rms} = V_{rms} \\omega C$
$I_{rms} = 820 \\times 4,463\\times10^{-8} = 3,66\\times10^{-5}~\\text{A}$
Résultat final :
$I_{rms} = 36,6~\\mu\\text{A}$
1. Courant de fuite à la tension maximale
Formule :$I = \\frac{U_{max}}{R_{iso}}$; $R_{iso} = \\rho \\frac{e}{S}$
$e = 3,7~\\text{mm} = 0,0037~\\text{m}$, $S = 48~\\text{mm}^2 = 48\\times10^{-6}~\\text{m}^2$
$R_{iso} = 3,2\\times10^{13} \\times \\frac{0,0037}{48\\times10^{-6}} = 3,2\\times10^{13} \\times 77,08 = 2,467\\times10^{15}~\\Omega$
$U_{max} = 3,9\\times10^3~\\text{V}$
$I = \\frac{3,9\\times10^3}{2,467\\times10^{15}} = 1,58\\times10^{-12}~\\text{A}$
Résultat final :
$I_{fuite} = 1,58~\\text{pA}$
2. Résistance d’isolement totale
Résultat final :
$R_{iso} = 2,47\\times10^{15}~\\Omega$
3. Champ électrique maximal admissible
Formule :$E_{max} = \\frac{U_{max}}{e}$
$E_{max} = \\frac{3,9\\times10^3}{0,0037} = 1,054\\times10^6~\\text{V/m}$
Résultat final :
$E_{max} = 1,05~\\text{MV/m}$
1. Capacité totale du condensateur.
Formule : $C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}$, $S = 60\\,\\mathrm{cm}^2 = 6.0 \\times 10^{-3}\\,\\mathrm{m}^2$, $d=1.5\\,\\mathrm{mm} = 1.5 \\times 10^{-3}\\,\\mathrm{m}$
Remplacement : $C = 8.85 \\times 10^{-12} \\times 4.2 \\times \\frac{6.0 \\times 10^{-3}}{1.5 \\times 10^{-3}}$
Calcul : $6.0 \\times 10^{-3} / 1.5 \\times 10^{-3} = 4$; $4.2 \\times 4 = 16.8$
$8.85 \\times 10^{-12} \\times 16.8 = 1.49 \\times 10^{-10}$
Résultat final : $C = 1.49 \\times 10^{-10}\\,\\mathrm{F} = 149\\,\\mathrm{pF}$
2. Densité de polarisation.
Formule : $P = \\varepsilon_0 (\\varepsilon_r - 1) E$; $E = U/d$
Remplacement : $E = 600 / 1.5 \\times 10^{-3} = 4.00 \\times 10^{5}\\,\\mathrm{V/m}$
$P = 8.85 \\times 10^{-12} (4.2-1) \\times 4.00 \\times 10^{5}$
$4.2-1 = 3.2$; $8.85 \\times 10^{-12} \\times 3.2 = 2.832 \\times 10^{-11}$; $2.832 \\times 10^{-11} \\times 4.00 \\times 10^{5} = 1.13 \\times 10^{-5}$
Résultat final : $P = 1.13 \\times 10^{-5}\\,\\mathrm{C/m}^2$
3. Intensité du courant de fuite.
Formule : $I = U / R$, $R = \\rho \\frac{d}{S}$
Remplacement : $R = 2.5 \\times 10^{13} \\times \\frac{1.5 \\times 10^{-3}}{6.0 \\times 10^{-3}} = 2.5 \\times 10^{13} \\times 0.25 = 6.25 \\times 10^{12}\\,\\Omega$
$I = 600 / 6.25 \\times 10^{12} = 9.6 \\times 10^{-11}\\,\\mathrm{A}$
Résultat final : $I = 9.6 \\times 10^{-11}\\,\\mathrm{A}$
Explication : On obtient une capacité, une polarisation et un courant de fuite typiques d’un bon isolant diélectrique sous forte tension.
1. Capacité totale du câble (cylindre coaxial).
Formule : $C = 2 \\pi \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{L}{\\ln(D_{ext}/D_{int})}$
Remplacement : $L = 220~\\mathrm{m}$ ; $D_{ext} = 72~\\mathrm{mm} = 0.072~\\mathrm{m}$ ; $D_{int} = 42~\\mathrm{mm} = 0.042~\\mathrm{m}$
$C = 2 \\pi \\times 8.85 \\times 10^{-12} \\times 3.8 \\times \\frac{220}{\\ln(0.072/0.042)}$
$\\ln(0.072/0.042) = \\ln(1.714) = 0.539$
Numerateur : $2 \\pi \\times 8.85 \\times 10^{-12} \\times 3.8 \\times 220 = 4.65 \\times 10^{-8}$
Capacité totale : $4.65 \\times 10^{-8} / 0.539 = 8.63 \\times 10^{-8}~\\mathrm{F} = 86.3~\\mathrm{nF}$
Résultat final : $C = 86.3~\\mathrm{nF}$
2. Rigidité diélectrique minimale.
Formule : $E_{max} = \\frac{U}{r \\ln(D_{ext}/D_{int})}$, en prenant $r = D_{int}/2 = 0.021~\\mathrm{m}$
Remplacement : $E_{max} = 90,000 / (0.021 \\times 0.539) = 90,000 / 0.01132 = 7.95 \\times 10^{6}~\\mathrm{V/m}$
Résultat final : $E_{max} = 7.95 \\times 10^{6}~\\mathrm{V/m}$
3. Densité de pertes diélectriques.
Formule : $p = \\omega \\varepsilon_0 \\varepsilon_r U_{eff}^2 \\tan \\delta / V$; $\\omega = 2 \\pi f$
Calcul préalable : $V = \\pi (D_{ext}^2 - D_{int}^2) / 4 \\times L$ ; $D_{ext}^2 - D_{int}^2 = 0.072^2 - 0.042^2 = 0.005184 - 0.001764 = 0.00342$ ; $V = \\pi/4 \\times 0.00342 \\times 220 = 0.592~\\mathrm{m}^3$
$\\omega = 2\\pi\\times 50 = 314~\\mathrm{rad/s}$
Numérateur : $314 \\times 8.85 \\times 10^{-12} \\times 3.8 \\times (90,000)^2 \\times 2.5 \\times 10^{-4} = 2.44 \\times 10^{-1}$
$p = 0.244 / 0.592 = 0.412~\\mathrm{W/m}^3$
Résultat final : $p = 0.412~\\mathrm{W/m}^3$
Explication : Ce câble illustre les grandeurs physico-électriques essentielles en électrotechnique des isolants modernes.
1. Décalage du niveau de Fermi :
Formule : $E_F - E_i = kT \\ln(N_D/n_i)$
Remplacement : $E_F - E_i = 8.617\\times10^{-5}\\times300\\times\\ln(5\\times10^{22}/1.5\\times10^{16})$
Calcul : $E_F - E_i = 0.0259\\times\\ln(3.33\\times10^{6}) = 0.0259\\times15.02 = 0.389 eV$.
2. Concentration en électrons :
Formule : $n \\approx N_D$ (semi-conducteur dopé fortement)
Résultat : $n = 5 \\times 10^{22} m^{-3}$.
3. Résistivité :
Formule : $\\rho = \\frac{1}{q n \\mu_n}$
Remplacement : $\\rho = \\frac{1}{1.6\\times10^{-19}\\times5\\times10^{22}\\times0.135} = 9.26\\times10^{-4} \\Omega·m$.
1. Densité de courant critique :
Formule : $J_c = J_{c0}(1 - B/B_{c2})^n$
Remplacement : $J_c = 1.5\\times10^9(1 - 3/10)^{1.5}$
Calcul : $J_c = 1.5\\times10^9(0.7)^{1.5} = 1.5\\times10^9\\times0.586 = 8.79\\times10^8 A/m^2$.
2. Courant maximal :
Formule : $I_c = J_c S$
Remplacement : $I_c = 8.79\\times10^8 \\times 2\\times10^{-6} = 1758 A$.
3. Densité d’énergie magnétique :
Formule : $w = \\frac{B^2}{2\\mu_0}$
Remplacement : $w = \\frac{3^2}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}} = \\frac{9}{2.513\\times10^{-6}} = 3.58\\times10^6 J/m^3$.
Un semi-conducteur de type silicium est dopé avec une concentration d'impuretés donneuse
\n$N_D = 10^{16}$ cm-3. La mobilité électronique est
\n$\\mu_n = 1350$ cm²/V·s, la charge élémentaire
\n$q = 1.6 \\times 10^{-19}$ C, et la largeur de la bande interdite
\n$E_g = 1.12$ eV.
\nQuestion 1 : Calculer la conductivité électrique
\n$\\sigma = q N_D \\mu_n$ du matériau dopé.
\nQuestion 2 : Déterminer la résistivité
\n$\\rho = \\frac{1}{\\sigma}$ correspondante.
\nQuestion 3 : Calculer la résistance d'une barre de matériau de dimensions
\nLongueur
\n$l = 2$ cm, section
\n$S = 0.5$ mm².
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Formule de la conductivité :
\n$\\sigma = q N_D \\mu_n$
\n2. Conversion des unités :
\n$N_D = 10^{16} \\text{ cm}^{-3} = 10^{22} \\text{ m}^{-3}$
\n$\\mu_n = 1350 \\text{ cm}^2 / \\text{V·s} = 0.135 \\text{ m}^2 / \\text{V·s}$
\n3. Calcul :
\n$\\sigma = 1.6 \\times 10^{-19} \\times 10^{22} \\times 0.135 = 2160 \\text{ S/m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\sigma = 2160 \\text{ S/m}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Calcul de la résistivité :
\n$\\rho = \\frac{1}{\\sigma} = \\frac{1}{2160} = 4.63 \\times 10^{-4} \\text{ Ω·m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\rho = 4.63 \\times 10^{-4} \\text{ Ω·m}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Calcul de la résistance :
\n$R = \\rho \\frac{l}{S}$
\navec :
\n$l = 2 \\text{ cm} = 0.02 \\text{ m}$
\n$S = 0.5 \\text{ mm}^2 = 0.5 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2$
\n2. Calcul :
\n$R = 4.63 \\times 10^{-4} \\times \\frac{0.02}{0.5 \\times 10^{-6}} = 18.52 \\text{ Ω}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{R = 18.52 \\text{ Ω}}$
", "id_category": "4", "id_number": "3" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Un supraconducteur de type YBCO présente une température critique
\n$T_c = 92$ K. Le matériau est refroidi à
\n$T = 77$ K (température de l'azote liquide). Sa résistance électrique est pratiquement nulle.
\nQuestion 1 : Calculer la densité de courant critique
\n$J_c$ si la section du fil est
\n$S = 1$ mm² et le courant maximal
\n$I_c = 100$ A.
\nQuestion 2 : Déterminer la force de Lorentz exercée par un champ magnétique
\n$B = 2$ T sur un filament parcouru par ce courant.
\nQuestion 3 : Calculer l'énergie magnétique stockée dans une bobine de inductance
\n$L = 50$ mH alimentée à ce courant critique.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Densité de courant critique :
\n$J_c = \\frac{I_c}{S}$
\n2. Conversion des unités:
\n$S = 1 \\text{ mm}^2 = 1 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2$
\n3. Calcul :
\n$J_c = \\frac{100}{1 \\times 10^{-6}} = 1 \\times 10^{8} \\text{ A/m}^2$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{J_c = 1 \\times 10^{8} \\text{ A/m}^2}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Force de Lorentz :
\n$F = I_c L B$ où
\n$L$ est la longueur du filament, supposé
\n$L = 0.1$ m par exemple.
\n2. Calcul :
\n$F = 100 \\times 0.1 \\times 2 = 20 \\text{ N}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{F = 20 \\text{ N}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Énergie magnétique stockée :
\n$W = \\frac{1}{2} L I_c^2$
\n2. Remplacement :
\n$W = \\frac{1}{2} \\times 50 \\times 10^{-3} \\times (100)^2 = 250 \\text{ J}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{W = 250 \\text{ J}}$
", "id_category": "4", "id_number": "4" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Une diode à semi-conducteur a une tension seuil
\n$V_d = 0.7$ V avec une résistance dynamique
\n$r_d = 5$ mΩ à courant nominal
\n$I_0 = 10$ A.
\nQuestion 1 : Calculer la chute de tension effective
\n$V_{eff} = V_d + r_d I_0$.
\nQuestion 2 : Déterminer la puissance dissipée
\n$P = V_{eff} I_0$ dans la diode.
\nQuestion 3 : Évaluer la résistivité électrique
\n$\\rho = R \\frac{S}{l}$ si la résistance de la jonction
\n$R = 0.05$ Ω, la section
\n$S = 4$ mm², et la longueur
\n$l = 0.2$ mm.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Chute de tension effective :
\n$V_{eff} = V_d + r_d I_0 = 0.7 + 5 \\times 10^{-3} \\times 10 = 0.7 + 0.05 = 0.75 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{V_{eff} = 0.75 \\text{ V}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Puissance dissipée :
\n$P = V_{eff} \\times I_0 = 0.75 \\times 10 = 7.5 \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P = 7.5 \\text{ W}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Conversion unités :
\n$S = 4 \\text{ mm}^2 = 4 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2, \\quad l = 0.2 \\text{ mm} = 2 \\times 10^{-4} \\text{ m}$
\n2. Résistivité :
\n$\\rho = R \\frac{S}{l} = 0.05 \\times \\frac{4 \\times 10^{-6}}{2 \\times 10^{-4}} = 1 \\times 10^{-3} \\ \\Omega \\cdot \\text{m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\rho = 1 \\times 10^{-3} \\ \\Omega \\cdot \\text{m}}$
", "id_category": "4", "id_number": "5" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "On considère un cristal de silicium pur dopé par des atomes donneurs. À 300 K, la concentration de donneurs est $N_D = 10^{16}~\\text{cm}^{-3}$ et la densité intrinsèque du silicium est $n_i = 1,5\\times10^{10}~\\text{cm}^{-3}$. La mobilité des électrons et des trous sont respectivement $\\mu_n = 1350~\\text{cm}^2/\\text{V·s}$ et $\\mu_p = 480~\\text{cm}^2/\\text{V·s}$.1. Calculer la concentration d’électrons libres $n_0$ et celle des trous majoritaires $p_0$.2. Calculer la conductivité électrique du matériau.3. Déterminer la résistivité du cristal en $\\Omega·\\text{cm}$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Concentrations :
Semiconducteur dopé N : $n_0 \\approx N_D$ et $p_0 = \\dfrac{n_i^2}{n_0}$.Remplacement : $n_0 = 10^{16}~\\text{cm}^{-3}$, $p_0 = \\dfrac{(1,5\\times10^{10})^2}{10^{16}} = 2,25\\times10^4~\\text{cm}^{-3}$.2. Conductivité :
$\\sigma = q(n_0\\mu_n + p_0\\mu_p)$ avec $q = 1,6\\times10^{-19}~\\text{C}$.$\\sigma = 1,6\\times10^{-19}[(10^{16}\\times1350) + (2,25\\times10^4\\times480)]$.$\\sigma = 1,6\\times10^{-19}(1,35\\times10^{19}) = 2,16~\\text{(\\Omega·cm)}^{-1}$.3. Résistivité :
$\\rho = \\dfrac{1}{\\sigma} = \\dfrac{1}{2,16} = 0,463~\\Omega·\\text{cm}$.
1. Courant direct :
Équation exponentielle de la diode :$I_D = I_S(e^{V_D/V_T} - 1)$.$I_D = 10^{-12}(e^{0,65/0,026} - 1) = 10^{-12}(e^{25} - 1)$.$I_D = 10^{-12}(7,2\\times10^{10}) = 7,2\\times10^{-2}~\\text{A}$.2. Dérivée du courant :
$\\dfrac{dI}{dV} = \\dfrac{I_S}{V_T} e^{V_D/V_T} = \\dfrac{10^{-12}}{0,026}\\times e^{25}$.$\\dfrac{dI}{dV} = 3,85\\times10^{-11}\\times7,2\\times10^{10} = 2,77~\\text{S}$.3. Résistance dynamique :
$r_d = \\dfrac{1}{\\dfrac{dI}{dV}} = \\dfrac{1}{2,77} = 0,36~\\Omega$.
1. Courant critique à 5 K :
$J_c(5) = J_{c0}\\left[1 - \\left(\\dfrac{5}{9,2}\\right)^2\\right] = 1,5\\times10^8 (1 - 0,295) = 1,06\\times10^8~\\text{A/m}^2$.$I_c = J_c S = 1,06\\times10^8 \\times 2\\times10^{-6} = 212~\\text{A}$.2. Densité à 8 K :
$J_c(8) = 1,5\\times10^8\\left[1 - \\left(\\dfrac{8}{9,2}\\right)^2\\right] = 1,5\\times10^8(1 - 0,757) = 3,65\\times10^7~\\text{A/m}^2$.3. Puissance dissipée :
Au-dessus de $T_c$, présentes pertes Joule : $P = I^2 R_n = 100^2 \\times 2\\times10^{-4} = 2~\\text{W}$.
Question 1 :
Formule : $n_i = \\sqrt{N_c N_v} e^{-E_g/(2kT)}$
Constante de Boltzmann : $k = 8.617\\times10^{-5}\\, eV/K$
Remplacement : $n_i = \\sqrt{2.8\\times10^{19} \\times 1.04\\times10^{19}} e^{-1.12/(2\\times8.617\\times10^{-5}\\times300)}$
Calcul : $n_i = 1.71\\times10^{19} e^{-21.68} = 1.71\\times10^{19} \\times 3.93\\times10^{-10} = 6.72\\times10^{9}\\, cm^{-3}$
Résultat final : $n_i = 6.7\\times10^{9}\\, cm^{-3}$.
Question 2 :
Formule : $\\sigma = q n_i (\\mu_n + \\mu_p)$, avec $q = 1.6\\times10^{-19}\\, C$
Remplacement : $\\sigma = 1.6\\times10^{-19} \\times 6.72\\times10^{9} \\times (1350 + 480)$
Calcul : $\\sigma = 1.6\\times10^{-19}\\times6.72\\times10^{9}\\times1830 = 1.97\\times10^{-6}\\, S/cm$
Résultat final : $\\sigma = 1.97\\times10^{-6}\\, S/cm$.
Question 3 :
Formule : $\\rho = \\frac{1}{\\sigma}$
Remplacement : $\\rho = 1 / 1.97\\times10^{-6} = 5.08\\times10^{5}\\, \\Omega·cm$
Résultat final : $\\rho = 5.1\\times10^5\\, \\Omega·cm$.
Question 1 :
Formule : $V_0 = V_T \\ln\\left(\\frac{N_A N_D}{n_i^2}\\right)$ où $V_T = \\frac{kT}{q}$
Remplacement : $V_T = \\frac{8.617\\times10^{-5}\\times300}{1} = 0.0259\\, V$
Calcul : $V_0 = 0.0259 \\ln\\left(\\frac{5\\times10^{16}\\times10^{17}}{(1.5\\times10^{10})^2}\\right) = 0.0259 \\ln(2.22\\times10^{13})$
Résultat : $V_0 = 0.0259\\times30.7 = 0.796\\, V$
Résultat final : $V_0 = 0.80\\, V$.
Question 2 :
Formule : $W = \\sqrt{\\frac{2\\varepsilon V_0}{q}\\left(\\frac{1}{N_A} + \\frac{1}{N_D}\\right)}$
Remplacement : $\\varepsilon = 11.7 \\times 8.85\\times10^{-14} = 1.035\\times10^{-12}\\, F/cm$
Calcul : $W = \\sqrt{\\frac{2 \\times 1.035\\times10^{-12} \\times 0.796}{1.6\\times10^{-19}} (\\frac{1}{5\\times10^{16}} + \\frac{1}{10^{17}})}$
Résultat : $W = \\sqrt{1.03\\times10^{7} \\times 3\\times10^{-17}} = \\sqrt{3.09\\times10^{-10}} = 1.76\\times10^{-5}\\, cm = 0.176\\, µm$
Résultat final : $W = 0.176\\, µm$.
Question 3 :
Rapport : $\\frac{x_p}{x_n} = \\frac{N_D}{N_A}$ → $\\frac{x_p}{x_n} = 2$
Décomposition : $x_p = \\frac{2}{3}W = 0.117\\, µm$, $x_n = \\frac{1}{3}W = 0.059\\, µm$.
Résultat final : $x_p = 0.117\\, µm$, $x_n = 0.059\\, µm$.
Question 1 :
Formule : $B_c(T) = B_c(0)[1 - (T/T_c)^2]$
Remplacement : $B_c(4.2) = 0.08[1 - (4.2/7.2)^2]$
Calcul : $(4.2/7.2)^2 = 0.340 → B_c(4.2) = 0.08(1 - 0.34) = 0.0528\\, T$
Résultat final : $B_c(4.2) = 0.0528\\, T$.
Question 2 :
Formule : $w_c = \\frac{B_c^2}{2 \\mu_0}$ avec $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}\\, H/m$
Remplacement : $w_c = \\frac{0.0528^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7}}$
Calcul : $w_c = \\frac{0.00279}{2.513\\times10^{-6}} = 1110\\, J/m^3$
Résultat final : $w_c = 1.11\\times10^3\\, J/m^3$.
Question 3 :
L’énergie libérée est équivalente à $w_c$ puisque le champ est annulé dans le supraconducteur.
Résultat final : à la transition, la densité volumique libérée = $1.11\\times10^3\\, J/m^3$.
Exercice 1 : Calcul des paramètres d’un semi-conducteur dopé
On considère un semi-conducteur de type n dopé avec une concentration d'atomes donneurs $N_D = 10^{16}$ cm-3. La densité intrinsèque est
$n_i = 1.5 \\times 10^{10} $ cm-3.
Question 1 : Calculer la concentration d'électrons libres $n$ et de trous libres $p$ dans ce matériau.
Question 2 : Déterminer la position du niveau de Fermi par rapport au milieu de la bande interdite sachant que :
$n = n_i e^{\\frac{E_F - E_i}{k T}}$ et
Température
$T = 300$ K, constante de Boltzmann $k = 8.617 \\times 10^{-5}$ eV/K, largeur de bande interdite $E_g = 1.12$ eV.
Question 3 : En déduire le type de semi-conducteur (intrinsèque ou extrinsèque, type n ou p).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Pour un semi-conducteur dopé de type n :
$n \\approx N_D = 10^{16} $
$p = \\frac{n_i^2}{N_D} = \\frac{(1.5 \\times 10^{10})^2}{10^{16}} = 2.25 \\times 10^4$
Question 2 :
1. Expression de la position du niveau de Fermi :
$E_F - E_i = k T \\ln \\left( \\frac{n}{n_i} \\right)$
2. Calcul :
$E_F - E_i = 8.617 \\times 10^{-5} \\times 300 \\times \\ln \\left( \\frac{10^{16}}{1.5 \\times 10^{10}}\\right) = 0.02585 \\times \\ln(6.67 \\times 10^5) = 0.02585 \\times 13.41= 0.347 \\text{ eV}$
Question 3 :
La position du niveau de Fermi est
$0.347$ eV au-dessus du niveau intrinsic, donc le semi-conducteur est extrinsèque de type n.
", "id_category": "4", "id_number": "12" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 2 : Calcul de la température critique d'un supraconducteur
Un supraconducteur métallique a une résistance électrique
$R(T) = R_0 \\left( 1 - \\frac{T}{T_c} \\right)$ pour $T < T_c$ avec :
$R_0 = 8$ mΩ, la température critique inconnue $T_c$, et
La résistance est nulle pour
$T \\leq 7.2$ K. On mesure la résistance à
$T = 4$ K qui est de
$R_4 = 2$ mΩ.
Question 1 : Déterminer la température critique $T_c$ du supraconducteur.
Question 2 : Calculer la résistance à $T=6$ K.
Question 3 : Quelle est la résistivité à 6 K si la section transversale du fil est $S = 0.1 \\, \\text{mm}^2$ et la longueur $l = 2$ m?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. À $T \\leq 7.2$ K, la résistance est nulle :
$0 = R_0 \\left( 1 - \\frac{7.2}{T_c} \\right) \\Rightarrow 1 - \\frac{7.2}{T_c} = 0 \\Rightarrow T_c = 7.2$
Question 2 :
1. Calcul à $T=6$ K :
$R(6) = 8 \\times 10^{-3} \\left(1 - \\frac{6}{7.2}\\right) = 8 \\times 10^{-3} \\times 0.1667 = 1.33 \\times 10^{-3} \\Omega$
Question 3 :
1. Calcul de la résistivité :
$\\rho = R \\times \\frac{S}{l} = 1.33 \\times 10^{-3} \\times \\frac{0.1 \\times 10^{-6}}{2} = 6.65 \\times 10^{-11} \\Omega\\cdot m$
", "id_category": "4", "id_number": "13" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 3 : Calcul de la densité de courant critique d’un supraconducteur
Un supraconducteur de type II présente une densité de courant critique
$J_c = 10^8$ A/m
La section du fil est
$S = 1$ mm2 et la longueur
$l = 50$ cm.
Question 1 : Calculer le courant maximal $I_c$ que peut supporter le fil sans perte de supraconductivité.
Question 2 : Déterminer la chute de tension sur le fil si un courant $I = 0.8 I_c$ circule avec une résistivité $\\rho = 1 \\times 10^{-12}$ Ω·m.
Question 3 : Évaluer la puissance dissipée dans le fil à ce courant.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Calcul du courant critique :
$I_c = J_c \\times S = 10^8 \\times 1 \\times 10^{-6} = 100 \\text{ A}$
Question 2 :
1. Calcul courant à 0.8 fois le critique :
$I = 0.8 \\times 100 = 80 \\text{ A}$
2. Calcul de la chute de tension :
$U = \\rho \\frac{l}{S} I = 1 \\times 10^{-12} \\times \\frac{0.5}{1 \\times 10^{-6}} \\times 80 = 4 \\times 10^{-5} \\text{ V}$
Question 3 :
1. Puissance dissipée :
$P = U I = 4 \\times 10^{-5} \\times 80 = 3.2 \\times 10^{-3} \\text{ W} = 3.2 \\text{ mW}$
", "id_category": "4", "id_number": "14" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 1 : Propriétés électriques d’un semi-conducteur intrinsèque\n\nUn échantillon de silicium pur est considéré à la température $T = 300\\,K$. L’énergie de la bande interdite est $E_g = 1.12\\,eV$ et les densités effectives d’états dans les bandes de conduction et de valence sont respectivement $N_C = 2.8\\times10^{19}\\,cm^{-3}$ et $N_V = 1.04\\times10^{19}\\,cm^{-3}$. La constante de Boltzmann vaut $k = 8.617\\times10^{-5}\\,eV/K$.\n\n1. Calculer la concentration intrinsèque en porteurs libres $n_i$.\n2. Déterminer la conductivité du silicium intrinsèque sachant que $\\mu_n = 1350\\,cm^2/V·s$ et $\\mu_p = 480\\,cm^2/V·s$.\n3. Calculer la résistivité correspondante et commenter la valeur obtenue.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule : $n_i = \\sqrt{N_C N_V} e^{-E_g/(2kT)}$
2. Remplacement : $n_i = \\sqrt{(2.8\\times10^{19})(1.04\\times10^{19})} e^{-1.12/(2\\times8.617\\times10^{-5}\\times300)}$
3. Calcul : $\\sqrt{N_C N_V} = 1.71\\times10^{19}$ et exposant $e^{-21.69} = 3.8\\times10^{-10}$
4. Résultat : $n_i = 6.5\\times10^9\\,cm^{-3}$.
1. Conductivité : $\\sigma = q n_i (\\mu_n + \\mu_p)$
2. Remplacement : $\\sigma = 1.6\\times10^{-19}\\times6.5\\times10^{9}\\times(1350 + 480)$
3. Calcul : $\\sigma = 1.9\\times10^{-6}\\,S/cm$.
1. Résistivité : $\\rho = 1/\\sigma = 5.26\\times10^5\\,\\Omega·cm$
2. Commentaire : matériau faiblement conducteur, typique d’un semi-conducteur pur.
1. En régime de dopage : $n ≈ N_D = 10^{16}\\,cm^{-3}$.
2. Application de la loi de masse d’action : $n p = n_i^2$
3. Calcul : $p = \\dfrac{n_i^2}{n} = \\dfrac{(1.5\\times10^{10})^2}{10^{16}} = 2.25\\times10^4\\,cm^{-3}$
4. Résultat : $p = 2.25\\times10^4\\,cm^{-3}$.
1. Position du niveau de Fermi : $E_F - E_i = kT \\ln(\\dfrac{n}{n_i})$
2. Remplacement : $E_F - E_i = (8.617\\times10^{-5}\\times300)\\ln(\\dfrac{10^{16}}{1.5\\times10^{10}})$
3. Calcul : $E_F - E_i = 0.0259\\ln(6.67\\times10^5) = 0.34\\,eV$.
1. Conductivité du matériau dopé : $\\sigma_d = q n \\mu_n = 1.6\\times10^{-19}\\times10^{16}\\times1350 = 2.16\\,S/cm$
2. Rapport : $\\dfrac{\\sigma_d}{\\sigma_i} = \\dfrac{2.16}{1.9\\times10^{-6}} = 1.14\\times10^6$
3. Résultat : augmentation de conductivité d’un facteur d’environ 10^6.
1. Résistance du fil : $R = \\rho_n \\dfrac{L}{S}$
2. Conversion : $S = 1.2\\,mm^2 = 1.2\\times10^{-6}\\,m^2$
3. Remplacement : $R = 1.5\\times10^{-7}\\times\\dfrac{0.25}{1.2\\times10^{-6}} = 0.0313\\,\\Omega$
4. Résultat : $R = 31.3\\,m\\Omega$.
1. Courant critique : $I_c = J_c S$
2. Remplacement : $I_c = 10^8\\times1.2\\times10^{-6} = 120\\,A$
3. Résultat : $I_c = 120\\,A$.
1. Puissance dissipée au moment de la transition : $P = I_c^2 R$
2. Remplacement : $P = 120^2\\times0.0313 = 451\\,W$
3. Résultat final : $P = 451\\,W$.
1. Concentration de porteurs :
Pour un semi-conducteur intrinsèque : $n = p = n_i$
Remplacement : $n = p = 1.45\\times10^{16}$ m⁻³.
2. Conductivité :
Formule : $\\sigma = q n (\\mu_n + \\mu_p)$
Remplacement : $\\sigma = 1.6\\times10^{-19}\\times1.45\\times10^{16}(0.135 + 0.048)$
Calcul : $\\sigma = 1.6\\times10^{-19}\\times1.45\\times10^{16}\\times0.183 = 4.25\\times10^{-4}$ S/m.
3. Résistivité :
Formule : $\\rho = \\frac{1}{\\sigma}$
Remplacement : $\\rho = \\frac{1}{4.25\\times10^{-4}} = 2353$ Ω·m.
1. Concentration en électrons :
En régime non dégénéré, $n ≈ N_D$ si $N_D >> n_i$.
Donc $n ≈ 10^{22}$ m⁻³.
2. Position du niveau de Fermi :
Formule : $E_F - E_i = kT \\ln(\\frac{n}{n_i})$
Remplacement : $kT = 0.0259$ eV, $n_i = 1.45\\times10^{16}$
Calcul : $E_F - E_i = 0.0259 \\ln(\\frac{10^{22}}{1.45\\times10^{16}})$
Résultat : $E_F - E_i = 0.0259 \\times 13.74 = 0.356$ eV au-dessus du centre de la bande interdite.
3. Concentration en trous :
Formule : $p = \\frac{n_i^2}{n}$
Remplacement : $p = \\frac{(1.45\\times10^{16})^2}{10^{22}} = 2.1\\times10^{10}$ m⁻³.
1. Courant critique :
Formule : $I_c = J_c \\pi r^2$
Remplacement : $I_c = 1.8\\times10^8 \\times 3.1416 \\times (0.5\\times10^{-3})^2$
Calcul : $I_c = 141$ A.
2. Force magnétomotrice :
Formule : $\\mathcal{F} = H L$ et $H = \\frac{B_c}{\\mu_0}$
Remplacement : $H = \\frac{9.5}{4\\pi\\times10^{-7}} = 7.56\\times10^6$ A/m.
Calcul : $\\mathcal{F} = 7.56\\times10^6 \\times 0.5 = 3.78\\times10^6$ A·tours.
3. Énergie magnétique :
Formule : $W = \\frac{B_c^2}{2\\mu_0}V$ avec $V = \\pi r^2 L$.
Remplacement : $V = 3.1416\\times(0.5\\times10^{-3})^2\\times0.5 = 3.93\\times10^{-7}$ m³.
Calcul : $W = \\frac{9.5^2}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}}\\times3.93\\times10^{-7} = 14.1$ J.
Exercice 1 : Calcul des propriétés magnétiques d'un matériau semi-conducteur magnétisé
Un semi-conducteur dopé présente une susceptibilité magnétique paramagnétique donnée par :
$\\chi_m = 2 \\times 10^{-4}$
Le champ magnétique appliqué est :
$H = 800 \\, \\text{A/m}$.
Question 1 : Calculer la magnétisation $M$ du matériau.
Question 2 : Déterminer l’induction magnétique totale $B$ dans le matériau sachant que :
$B = \\mu_0 (H + M)$ et $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}$.
Question 3 : Évaluer l’énergie magnétique volumique stockée dans ce matériau.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la magnétisation
1. La magnétisation est liée à la susceptibilité par :
$M = \\chi_m H$
2. Remplacement :
$M = 2 \\times 10^{-4} \\times 800 = 0.16 \\text{ A/m}$
La magnétisation vaut 0.16 A/m.
Question 2 : Calcul de l’induction magnétique totale
1. La formule :
$B = \\mu_0 (H + M)$
2. Remplacement :
$B = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times (800 + 0.16) = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 800.16 = 1.005 \\times 10^{-3} \\text{ T}$
L'induction magnétique est 1.005 mT.
Question 3 : Énergie magnétique volumique
1. L’énergie magnétique volumique est :
$w = \\frac{1}{2} B H = \\frac{1}{2} \\times 1.005 \\times 10^{-3} \\times 800 = 0.402 \\text{ J/m}^3$
L'énergie magnétique volumique stockée est 0.402 J/m³.
", "id_category": "4", "id_number": "21" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 2 : Calculs sur un supraconducteur de type I
Un matériau supraconducteur de type I présente une température critique $T_c = 9.3\\,\\text{K}$ et une intensité critique maximale $J_c = 1.4 \\times 10^8\\,\\text{A/m}^2$.
Question 1 : Calculer le champ critique maximal $H_c$ sachant que :
$H_c = \\frac{J_c}{2}$.
Question 2 : Déterminer la longueur de pénétration de London $\\lambda_L$ donnée par :
$\\lambda_L = 50 \\, \\text{nm}$.
Question 3 : Évaluer la profondeur d'expulsion de l'induction magnétique dans ce supraconducteur.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul du champ critique maximal
1. Formule donnée :
$H_c = \\frac{J_c}{2} = \\frac{1.4 \\times 10^8}{2} = 7.0 \\times 10^7 \\, \\text{A/m}$
Le champ critique est 7.0 × 10^7 A/m.
Question 2 : Longueur de pénétration de London
1. Valeur fournie :
$\\lambda_L = 50 \\, \\text{nm} = 50 \\times 10^{-9} \\, \\text{m}$
Longueur de pénétration = 50 nm.
Question 3 : Profondeur d'expulsion (surface de pénétration)
1. En théorie, l'induction magnétique ", "[expulsée sur une profondeur comparable à ": "
$\\delta = \\lambda_L$
La profondeur d'expulsion est donc de 50 nm.
", "id_category": "4", "id_number": "22" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 3 : Densité de courant critique et pertes dans un supraconducteur
Un fil supraconducteur présente une section $S = 2 \\, \\text{mm}^2$ et une densité de courant critique $J_c = 10^8 \\, \\text{A/m}^2$ à $T = 4.2\\, \\text{K}$. La résistance dans l’état supraconducteur est $R = 0$.
Question 1 : Calculer le courant critique maximal $I_c$.
Question 2 : Déterminer la perte d’énergie lorsque la résistance passe à $R = 10^{-6} \\, \\Omega$ sous l'effet d'une surtension.
Question 3 : Quelle est la puissance dissipée dans le cas ci-dessus avec un courant $I = 0.8 I_c$ ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul du courant critique maximal
1. Conversion :
$S = 2\\,\\text{mm}^2 = 2 \\times 10^{-6} \\, \\text{m}^2$
2. Calcul :
$I_c = J_c \\times S = 10^8 \\times 2 \\times 10^{-6} = 200\\, \\text{A}$
Le courant critique est 200 A.
Question 2 : Energie perdue lors du passage en résistance
1. La perte d’énergie pour une chute de tension donnée est :
$E = I_c^2 R t$
Considérant un intervalle de temps $t=1\\,\\text{s}$:
$E = (200)^2 \\times 10^{-6} \\times 1 = 0.04\\, \\text{J}$
L'énergie perdue est de 0.04 J.
Question 3 : Puissance dissipée pour un courant de 0.8 I_c
1. Courant :
$I = 0.8 \\times 200 = 160 \\, \\text{A}$
2. Puissance dissipée :
$P = I^2 R = (160)^2 \\times 10^{-6} = 0.0256 \\text{ W}$
La puissance dissipée est 25.6 mW.
", "id_category": "4", "id_number": "23" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "On considère un semi-conducteur de type n dopé avec une concentration d'électrons $n = 5 \\times 10^{21}$ m⁻³ et une mobilité électroniqueQuestion 1 : Calculez la conductivité électrique $\\sigma$ du matériau.
Question 2 : Déterminez la résistance électrique $R$ d'une barre semi-conductrice de section $S = 2 \\times 10^{-6}$ m² et longueur $L = 0.01$ m.
Question 3 : En supposant une variation de température $\\Delta T = 50$ °C, avec un coefficient de variation de résistivité $\\alpha = 0.004$ /°C, calculez la nouvelle résistance.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. La conductivité électrique est donnée par :
$\\sigma = q n \\mu$
avec :
– $q = 1.6 \\times 10^{-19}$ C (charge élémentaire)
– $n = 5 \\times 10^{21}$ m⁻³
– $\\mu = 0.1$ m²/(V·s)
2. Calcul :
$\\sigma = 1.6 \\times 10^{-19} \\times 5 \\times 10^{21} \\times 0.1 = 80$ S/m
Question 2 :
1. Résistance électrique :
$R = \\frac{L}{\\sigma S}$
2. Données :
$L = 0.01$ m, $S = 2 \\times 10^{-6}$ m²,
3. Calcul :
$R = \\frac{0.01}{80 \\times 2 \\times 10^{-6}} = \\frac{0.01}{1.6 \\times 10^{-4}} = 62.5$ Ω
Question 3 :
1. La nouvelle résistance :
$R_{new} = R (1 + \\alpha \\Delta T)$
2. Calcul :
$R_{new} = 62.5 \\times (1 + 0.004 \\times 50) = 62.5 \\times 1.2 = 75$ Ω
Interprétation : L'augmentation de la température accroît la résistivité du semi-conducteur, ce qui doit être pris en compte dans les applications thermiquement sensibles.
", "id_category": "4", "id_number": "24" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Une pièce supraconductrice présente une température critique $T_c = 9$ K. Elle est refroidie jusqu'à 4 K.Question 1 : Calculez le facteur de réduction de la résistance électrique par rapport à la valeur à 10 K, en supposant une transition idéale.
Question 2 : Si la densité de courant critique à 4 K est $J_c = 10^8$ A/m², calculez le courant maximal supporté par un fil de section $S = 4 \\times 10^{-6}$ m².
Question 3 : En présence d'un champ magnétique alternatif à 60 Hz induisant une perte de courant de 1%, calculez la puissance dissipée dans un fil de longueur $L = 10$ m alimenté sous une tension de 1 V.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. En dessous de la température critique $T_c$, la résistance électrique devient quasi nulle :
$R(T < T_c) \\approx 0$
2. À 10 K > $T_c$, la résistance est finie et à 4 K, proche de zéro.
3. Facteur de réduction :
$\\frac{R_{4K}}{R_{10K}} \\approx 0$
Question 2 :
1. Courant maximal :
$I_{max} = J_c \\times S = 10^8 \\times 4 \\times 10^{-6} = 400$ A
Question 3 :
1. Puissance dissipée :
$P = 0.01 \\times I_{max} \\times V = 0.01 \\times 400 \\times 1 = 4$ W
Interprétation : La supraconductivité offre des résistances quasi nulles, mais en présence de perturbations, des pertes signifiantes peuvent apparaître.
", "id_category": "4", "id_number": "25" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Une jonction semi-conductrice à barrière Schottky présente un courant de saturation $I_s = 1 \\times 10^{-12}$ A et une tension thermique $V_T = 26$ mV.Question 1 : Calculez le courant traversant la diode pour une tension appliquée de $V = 0.3$ V.
Question 2 : Déterminez la résistance dynamique de la diode au point de fonctionnement.
Question 3 : Calculez la température à laquelle la diode aurait un courant de saturation doublé, en supposant que la variation est uniquement due à la température.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Le courant dans une diode Schottky est donné par :
$I = I_s \\left(e^{\\frac{V}{V_T}} - 1\\right)$
2. Calcul :
$I = 1 \\times 10^{-12} \\left(e^{\\frac{0.3}{0.026}} - 1\\right) = 1 \\times 10^{-12} (e^{11.54} - 1) = 1 \\times 10^{-12} (1.03 \\times 10^{5}) = 1.03 \\times 10^{-7}$ A
Question 2 :
1. La résistance dynamique :
$r_d = \\frac{dV}{dI} = \\frac{V_T}{I} = \\frac{0.026}{1.03 \\times 10^{-7}} = 252,430$ Ω
Question 3 :
1. Le courant de saturation dépend de la température selon :
$I_s(T) = I_s(T_0) e^{\\frac{-E_g}{k} \\left(\\frac{1}{T} - \\frac{1}{T_0}\\right)}$
2. Pour un doublement :
$2 = e^{\\frac{-E_g}{k} \\left(\\frac{1}{T_2} - \\frac{1}{T_0}\\right)}$
3. Après logarithmation :
$\\ln 2 = \\frac{-E_g}{k} \\left(\\frac{1}{T_2} - \\frac{1}{T_0}\\right)$
4. Résolution pour $T_2$ avec
– $T_0 = 300$ K,
– énergie de bande $E_g = 1.12$ eV,
– constante Boltzmann $k = 8.617 \\times 10^{-5}$ eV/K :
$\\frac{1}{T_2} = \\frac{1}{300} - \\frac{k}{E_g} \\ln 2 = \\frac{1}{300} - \\frac{8.617 \\times 10^{-5}}{1.12} \\times 0.693 = 0.00333 - 5.33 \\times 10^{-5} = 0.00328$
$T_2 = 305$ K
Interprétation : Une faible augmentation de température influence fortement le courant de saturation, ce qui affecte la conduction de la diode.
", "id_category": "4", "id_number": "26" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 2 : Calcul des propriétés d'un supraconducteur
Un supraconducteur a une température critique $T_c = 9,2$ K. La température de fonctionnement est $T = 4,2$ K. Le champ critique à 0 K est $H_c(0) = 0,2$ T.
Question 1 : Déterminer le champ critique $H_c(T)$ à 4,2 K en utilisant la loi :
$H_c(T) = H_c(0) \\left(1 - \\left(\\frac{T}{T_c} \\right)^2 \\right)$
Question 2 : Calculer l'énergie libre de condensation par unité de volume à 4,2 K :
$E_c = \\frac{H_c^2(T)}{2 \\mu_0}$ avec $\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$ H/m.
Question 3 : Déduire la longueur de pénétration magnétique $\\lambda$ si
$\\lambda = \\sqrt{\\frac{m}{\\mu_0 n_s e^2}}$ avec
$m = 9,11 \\times 10^{-31}$ kg,
$n_s = 5 \\times 10^{28}$ m$^{-3}$ et $e = 1,6 \\times 10^{-19}$ C.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Champ critique à 4,2 K
1. Formule :
$H_c(4,2) = 0,2 \\left(1 - \\left(\\frac{4,2}{9,2}\\right)^2 \\right)$
2. Calcul :
$\\left(\\frac{4,2}{9,2}\\right)^2 = 0,208$
$H_c(4,2) = 0,2 \\times (1 - 0,208) = 0,2 \\times 0,792 = 0,1584$ T
Question 2 : Énergie libre de condensation
1. Formule :
$E_c = \\frac{H_c^2}{2 \\mu_0}$
2. Calcul :
$E_c = \\frac{(0,1584)^2}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7}} = \\frac{0,02507}{2,513 \\times 10^{-6}} = 9961$ J/m
Question 3 : Longueur de pénétration magnétique
1. Formule :
$\\lambda = \\sqrt{\\frac{9,11 \\times 10^{-31}}{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 5 \\times 10^{28} \\times (1,6 \\times 10^{-19})^2}}$
2. Calcul :
$\\lambda = \\sqrt{\\frac{9,11 \\times 10^{-31}}{2,513 \\times 10^{-6} \\times 5 \\times 10^{28} \\times 2,56 \\times 10^{-38}}}$
$= \\sqrt{\\frac{9,11 \\times 10^{-31}}{3,217 \\times 10^{-15}}} = \\sqrt{2,83 \\times 10^{-16}} = 1,68 \\times 10^{-8}$ m
", "id_category": "4", "id_number": "27" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 3 : Modélisation électrique d'un supraconducteur et pertes
Un supraconducteur est modélisé par une résistance nulle en régime supraconducteur et une inductance propre de $L_s = 1,2 \\times 10^{-7}$ H. La fréquence d'utilisation est $f = 60$ Hz. La tension efficace $U = 220$ V.
Question 1 : Calculer la réactance inductive de la bobine supraconductrice.
Question 2 : Déterminer la puissance réactive du système pour un courant efficace de $I = 5$ A.
Question 3 : En cas de perte résistive fictive de $R = 0,1$ $\\Omega$, calculer la puissance active dissipée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la réactance inductive
1. Formule :
$X_L = 2 \\pi f L_s$
2. Remplacement :
$X_L = 2 \\pi \\times 60 \\times 1,2 \\times 10^{-7} = 4,52 \\times 10^{-5}$ \\Omega
Question 2 : Puissance réactive
1. Formule :
$Q = I^2 X_L$
2. Calcul :
$Q = 5^2 \\times 4,52 \\times 10^{-5} = 0,00113$ VAR
Question 3 : Puissance active dissipée
1. Formule :
$P = I^2 R$
2. Calcul :
$P = 5^2 \\times 0,1 = 2,5$ W
", "id_category": "4", "id_number": "28" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 1 : Régulateur Proportionnel (P) - Analyse de la stabilité
Un procédé est modélisé par la fonction de transfert :
$G(p) = \\frac{6}{12 p + 1}$. On applique un régulateur proportionnel de gain
$K_p = 2$.
Question 1 : Écrire la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$.
Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie $y(t)$ en réponse à une entrée échelon unité.
Question 3 : Déterminer l'erreur statique commise par ce système régulé.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
La fonction de transfert en boucle fermée est :
$H_{cl}(p) = \\frac{K_p G(p)}{1 + K_p G(p)} = \\frac{2 \\times \\frac{6}{12 p + 1}}{1 + 2 \\times \\frac{6}{12 p + 1}} = \\frac{12}{12 p + 1 + 12} = \\frac{12}{12 p + 13}$
Question 2 :
La valeur finale de la sortie en réponse à une entrée échelon unité est donnée par le théorème de la valeur finale :
$y(\\infty) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p H_{cl}(p) \\frac{1}{p} = H_{cl}(0) = \\frac{12}{13} \\approx 0.923$
Question 3 :
L'erreur statique du système est :
$e_{ss} = 1 - y(\\infty) = 1 - 0.923 = 0.077$
", "id_category": "4", "id_number": "29" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 2 : Régulateur Proportionnel-Intégral (PI) - Analyse de la réponse
Un procédé linéaire est modélisé par :
$G(p) = \\frac{5}{15 p + 1}$. Le régulateur PI est défini par :
$G_c(p) = K_p + \\frac{K_i}{p}$ avec
$K_p = 3$ et $K_i = 0.5$.
Question 1 : Écrire la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$.
Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie pour une entrée échelon unité.
Question 3 : Déterminer le polynôme caractéristique de la boucle fermée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{cl}(p) = \\frac{G_c(p) G(p)}{1 + G_c(p) G(p)} = \\frac{\\left( 3 + \\frac{0.5}{p} \\right) \\times \\frac{5}{15 p + 1}}{1 + \\left( 3 + \\frac{0.5}{p} \\right) \\times \\frac{5}{15 p + 1}}$
En mettant au même dénominateur :
$H_{cl}(p) = \\frac{5 (3 p + 0.5)}{p (15 p + 1) + 5 (3 p + 0.5)} = \\frac{15 p + 2.5}{15 p^2 + p + 15 p + 2.5} = \\frac{15 p + 2.5}{15 p^2 + 16 p + 2.5}$
Question 2 :
Valeur finale sortie :
$\\lim_{p \\to 0} H_{cl}(p) = 1$ (le terme intégral annule l'erreur statique)
Question 3 :
Polynôme caractéristique :
$15 p^2 + 16 p + 2.5$
", "id_category": "4", "id_number": "30" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 3 : Régulateur PID classique - Analyse dynamique
Un procédé est décrit par :
$G(p) = \\frac{8}{20 p + 1}$. On utilise un régulateur PID avec :
$K_p = 2, \\quad K_i = 1, \\quad K_d = 0.5$.
Question 1 : Établir la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$.
Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie pour une entrée échelon unité.
Question 3 : Déterminer la fonction caractéristique de la boucle fermée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{cl}(p) = \\frac{G_c(p) G(p)}{1 + G_c(p) G(p)} = \\frac{\\left( 2 + \\frac{1}{p} + 0.5 p \\right) \\times \\frac{8}{20 p + 1}}{1 + \\left( 2 + \\frac{1}{p} + 0.5 p \\right) \\times \\frac{8}{20 p + 1}}$
En développant :
$H_{cl}(p) = \\frac{8 (2 p + 1 + 0.5 p^2)}{p (20 p + 1) + 8 (2 p + 1 + 0.5 p^2)} = \\frac{8 (0.5 p^2 + 2 p + 1)}{20 p^2 + p + 8 (0.5 p^2 + 2 p + 1)}$
Soit :
$H_{cl}(p) = \\frac{4 p^2 + 16 p + 8}{24 p^2 + 17 p + 8}$
Question 2 :
Valeur finale de la sortie :
$\\lim_{p \\to 0} H_{cl}(p) = 1$
Question 3 :
Polynôme caractéristique :
$24 p^2 + 17 p + 8$
", "id_category": "4", "id_number": "31" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Un semi-conducteur de silicium est dopé avec une concentration d'impuretés donneuses $N_D = 10^{21} \\text{ m}^{-3}$. La mobilité électronique est $\\mu_n = 0.135 \\text{ m}^2/\\text{V·s}$, la charge électronique $q = 1.6 \\times 10^{-19} \\text{ C}$.
Question 1 : Calculez la conductivité électrique $\\sigma$ du semi-conducteur.
Question 2 : Quelle est la résistivité $\\rho$ correspondante ?
Question 3 : Pour une pastille de longueur $L = 1 \\text{ cm}$ et de section $S = 1 \\text{ mm}^2$, calculez la résistance électrique de la pastille.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la conductivité électrique
1. Formule :
$\\sigma = q N_D \\mu_n$
2. Remplacement :
$\\sigma = 1.6 \\times 10^{-19} \\times 10^{21} \\times 0.135 = 21.6 \\text{ S/m}$
Question 2 : Calcul de la résistivité
1. Inverse de la conductivité :
$\\rho = \\frac{1}{\\sigma} = \\frac{1}{21.6} = 0.0463 \\ \\Omega \\cdot \\text{m}$
Question 3 : Résistance électrique de la pastille
1. Formule :
$R = \\rho \\frac{L}{S}$
2. Conversion des unités :
$L = 0.01 \\text{ m}, \\quad S = 1 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2$
3. Calcul :
$R = 0.0463 \\times \\frac{0.01}{1 \\times 10^{-6}} = 463 \\ \\Omega$
", "id_category": "4", "id_number": "32" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Un supraconducteur de type YBCO (Yttrium Baryum Cuivre Oxyde) a une température critique $T_c = 90\\text{ K}$. À une température de fonctionnement $T = 77\\text{ K}$, on observe l'effet Meissner avec une densité critique de courant $J_c = 3 \\times 10^8 \\text{ A/m}^2$.
Question 1 : Calculez la force de Lorentz maximale $F_m$ agissant sur un fil supraconducteur de section $S = 1 \\text{ mm}^2$ parcouru par le courant critique dans un champ magnétique $B = 5 \\text{ T}$.
Question 2 : Calculez la résistance électrique nulle du supraconducteur et la puissance dissipée pour un courant inférieur de $10\\%$ de son courant critique.
Question 3 : Déterminez la valeur du champ magnétique critique supérieur $B_{c2}$ si la longueur de pénétration magnétique $\\lambda = 150 \\text{ nm}$ et la cohérence $\\xi = 2 \\text{ nm}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la force de Lorentz maximale
1. Expression :
$F_m = J_c S B$
2. Données :
$J_c = 3 \\times 10^8 \\text{ A/m}^2, \\quad S = 1 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2, \\quad B = 5 \\text{ T}$
3. Calcul :
$F_m = 3 \\times 10^8 \\times 1 \\times 10^{-6} \\times 5 = 1500 \\text{ N}$
Question 2 : Résistance et puissance dissipée
1. Par définition, la résistance est nulle :
$R = 0$
2. Pour un courant inférieur de 10% :
$I = 0.9 I_c \\Rightarrow P = R I^2 = 0$
Question 3 : Champ magnétique critique supérieur
1. Formule :
$B_{c2} = \\frac{\\Phi_0}{2 \\pi \\xi \\lambda}$
avec
$\\Phi_0 = 2.07 \\times 10^{-15} \\text{ Wb}, \\quad \\xi = 2 \\times 10^{-9} \\text{ m}, \\quad \\lambda = 150 \\times 10^{-9} \\text{ m}$
2. Calcul :
$B_{c2} = \\frac{2.07 \\times 10^{-15}}{2 \\pi \\times 2 \\times 10^{-9} \\times 150 \\times 10^{-9}} \\approx \\frac{2.07 \\times 10^{-15}}{1.884 \\times 10^{-15}} = 1.10 \\text{ T}$
", "id_category": "4", "id_number": "33" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Considérons un semi-conducteur intrinsèque à température ambiante (300 K) avec une concentration intrinsèque de porteurs $n_i = 1.5 \\times 10^{16} \\text{ m}^{-3}$. La mobilité des électrons est $\\mu_n = 0.14 \\text{ m}^2/\\text{V·s}$ et celle des trous :
$\\mu_p = 0.05 \\text{ m}^2/\\text{V·s}$.
Question 1 : Calculez la conductivité $\\sigma$ du matériau.
Question 2 : Calculez la résistivité $\\rho$ correspondante.
Question 3 : Calculez la résistance d’un cristal de longueur $L = 0.02 \\text{ m}$ et section $S = 2 \\times 10^{-6} \\text{ m}^2$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la conductivité
1. Formule :
$\\sigma = q n_i (\\mu_n + \\mu_p)$
2. Données :
$q = 1.6 \\times 10^{-19} \\text{ C}, n_i = 1.5 \\times 10^{16} \\text{ m}^{-3}, \\mu_n = 0.14, \\mu_p = 0.05$
3. Calcul :
$\\sigma = 1.6 \\times 10^{-19} \\times 1.5 \\times 10^{16} \\times (0.14 + 0.05) = 3.36 \\times 10^{-4} \\text{ S/m}$
Question 2 : Calcul de la résistivité
1. Inverse :
$\\rho = \\frac{1}{\\sigma} = \\frac{1}{3.36 \\times 10^{-4}} = 2976 \\ \\Omega \\cdot m$
Question 3 : Résistance du cristal
1. Formule :
$R = \\rho \\frac{L}{S} = 2976 \\times \\frac{0.02}{2 \\times 10^{-6}} = 2976 \\times 10000 = 2.976 \\times 10^7 \\ \\Omega$
", "id_category": "4", "id_number": "34" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "On considère un semi-conducteur de silicium dopé avec une concentration de donneurs $N_D = 10^{16} \\, cm^{-3}$. La mobilité électronique est $\\mu_n = 1350 \\, cm^2/V\\cdot s$.Question 1 : Calculer la conductivité électrique $\\sigma$ du semi-conducteur.
Question 2 : Déterminer la résistance électrique $R$ d'une barre de ce semi-conducteur de longueur $l = 2 \\, cm$ et de section $S = 1 \\, mm^2$.
Question 3 : Si une tension $V = 5 \\, V$ est appliquée, calculer le courant traversant la bille.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de la conductivité électrique
La conductivité est donnée par la formule :
$\\sigma = q N_D \\mu_n$
avec :
$q = 1{,}6 \\times 10^{-19} \\, C$
On remplace :
$\\sigma = 1{,}6 \\times 10^{-19} \\times 10^{22} \\times 1350 \\times 10^{-4} = 2{,}16 \\, S/m$
Question 2 : Calcul de la résistance
$R = \\frac{l}{\\sigma S}$
avec
$l = 2 \\times 10^{-2} \\, m, \\quad S = 1 \\times 10^{-6} \\, m^2$
Calcul :
$R = \\frac{2 \\times 10^{-2}}{2{,}16 \\times 1 \\times 10^{-6}} = 9259 \\Omega$
Question 3 : Calcul du courant traversant la barre
Le courant est :
$I = \\frac{V}{R} = \\frac{5}{9259} = 5{,}4 \\times 10^{-4} \\, A = 0{,}54 \\, mA$
", "id_category": "4", "id_number": "35" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Un matériau supraconducteur a une température critique $T_c = 9{,}2^\\circ C$. La résistance électrique de ce matériau à $T = 12^\\circ C$ est $R_{12} = 10 \\, \\Omega$. La transition vers l'état supraconducteur provoque une chute brutale de résistance.Question 1 : Calculer la résistance électrique à $T = 4^\\circ C$ (état supraconducteur).
Question 2 : Si le courant traversant le matériau est $I = 3 \\, A$, calculer la puissance dissipée en $T = 12^\\circ C$.
Question 3 : Estimer la puissance dissipée en $T = 4^\\circ C$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Résistance en état supraconducteur
À la température inférieure à la température critique :
$T < T_c \\Rightarrow R = 0$
Cela signifie une résistance nulle :
$R_4 = 0 \\, \\Omega$
Question 2 : Puissance dissipée à
T = 12^\\circ C :
$P = R_{12} I^2 = 10 \\times 3^2 = 90 \\, W$
Question 3 : Puissance dissipée à
T = 4^\\circ C (supraconducteur) :
$P = R_4 I^2 = 0 \\times 9 = 0 \\, W$
La puissance dissipée est nulle en régime supraconducteur.
", "id_category": "4", "id_number": "36" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Un semi-conducteur a une concentration intrinsèque de porteurs $n_i = 1{,}5 \\times 10^{10} \\, cm^{-3}$ à $T = 300 \\, K$. La largeur de bande interdite est $E_g = 1{,}1 \\, eV$.Question 1 : Calculer la densité d'électrons et de trous dans le semi-conducteur non dopé.
Question 2 : Pour un dopage donor $N_D = 10^{16} \\, cm^{-3}$, calculer la densité d'électrons majoritaires.
Question 3 : Déterminer la position du niveau de Fermi dans ce cas.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Densité de porteurs intrinsèques
Pour un semi-conducteur intrinsèque :
$n = p = n_i = 1{,}5 \\times 10^{10} \\, cm^{-3}$
Question 2 : Densité d'électrons majoritaires pour dopage
En dopage donor, la densité d'électrons majoritaires est approximativement égale à la concentration de dopants :
$n \\approx N_D = 10^{16} \\, cm^{-3}$
Question 3 : Position du niveau de Fermi
Le niveau de Fermi est proche de la bande de conduction et donné par :
$E_F = E_i + k_B T \\ln \\frac{N_D}{n_i}$
avec
$k_B T = 0{,}026 \\, eV$
Calcul :
$E_F = E_i + 0{,}026 \\times \\ln \\left( \\frac{10^{16}}{1.5 \\times 10^{10}} \\right) = E_i + 0{,}026 \\times \\ln (6.67 \\times 10^5)$
$E_F = E_i + 0{,}026 \\times 13.41 = E_i + 0{,}3487 \\, eV$
Le niveau de Fermi se rapproche de la bande de conduction de 0,35 eV.
", "id_category": "4", "id_number": "37" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 1 : Calculs sur un matériau semi-conducteur
Un semi-conducteur présente une résistivité intrinsèque $\\rho_i = 1 \\Omega \\cdot m$ à une température donnée. En dopant le matériau, la concentration des porteurs libres change et la résistivité devient :
$\\rho = \\frac{1}{q (n \\mu_n + p \\mu_p)}$
où $q = 1.6 \\times 10^{-19} C$, $n = 10^{21} \\mathrm{m}^{-3}$, $p = 0$ (type N), $\\mu_n = 0.14 \\rm m^2/V.s$.
Question 1 : Calculer la résistivité du semi-conducteur dopé.
Question 2 : Déterminer la conductivité électrique.
Question 3 : Calculer la résistance électrique d'un barreau de longueur $L = 10 \\rm cm$ et de section $S = 1 \\rm mm^2$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la résistivité
1. Formule :
$\\rho = \\frac{1}{q n \\mu_n}$
2. Remplacement :
$\\rho = \\frac{1}{1.6 \\times 10^{-19} \\times 10^{21} \\times 0.14} = \\frac{1}{22.4} = 0.0446 \\Omega \\cdot m$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\rho = 0.0446 \\Omega \\cdot m}$
Question 2 : Calcul de la conductivité
1. Formule :
$\\sigma = \\frac{1}{\\rho}$
2. Calcul :
$\\sigma = \\frac{1}{0.0446} = 22.4 \\rm S/m$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\sigma = 22.4 \\rm S/m}$
Question 3 : Calcul de la résistance électrique
1. Formule :
$R = \\rho \\frac{L}{S}$
avec $L=10 \\rm cm = 0.1 \\rm m$ et $S=1 \\rm mm^2 = 1 \\times 10^{-6} \\rm m^2$.
2. Calcul :
$R = 0.0446 \\times \\frac{0.1}{1 \\times 10^{-6}} = 0.0446 \\times 10^5 = 4460 \\Omega$
3. Résultat final :
$\\boxed{R = 4.46 \\rm k\\Omega}$
", "id_category": "4", "id_number": "38" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 2 : Calculs pour un supraconducteur de type II
Un supraconducteur de type II a une température critique $T_c = 15 \\rm K$ et est soumis à un champ magnétique $B = 3 \\rm T$. La longueur de pénétration est $\\lambda = 100 \\rm nm$ et le rayon de cohérence est $\\xi = 40 \\rm nm$.
Question 1 : Calculer le paramètre de Ginzburg-Landau $\\kappa = \\frac{\\lambda}{\\xi}$.
Question 2 : Déterminer la densité critique de courant $J_c = \\frac{B_c}{\\mu_0 \\lambda}$ si la valeur critique de champ magnétique $B_c = 5 \\rm T$.
Question 3 : Calculer la résistivité électrique effective dans l'état supraconducteur en dessous de $T_c$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul du paramètre de Ginzburg-Landau
1. Formule :
$\\kappa = \\frac{\\lambda}{\\xi}$
2. Remplacement :
$\\kappa = \\frac{100 \\times 10^{-9}}{40 \\times 10^{-9}} = 2.5$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\kappa = 2.5}$
Question 2 : Calcul de la densité critique de courant
1. Formule :
$J_c = \\frac{B_c}{\\mu_0 \\lambda}$
2. Remplacement :
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}, \\quad J_c = \\frac{5}{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 100 \\times 10^{-9}}$
3. Calcul :
$J_c = \\frac{5}{1.2566 \\times 10^{-13}} = 3.98 \\times 10^{13} \\rm A/m^2$
4. Résultat final :
$\\boxed{J_c = 3.98 \\times 10^{13} \\rm A/m^2}$
Question 3 : Résistivité électrique en état supraconducteur
1. Par définition, la résistivité dans l'état supraconducteur est nulle :
$\\rho = 0$
2. Résultat final :
$\\boxed{\\rho = 0}$
", "id_category": "4", "id_number": "39" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 3 : Calcul des pertes dans un supraconducteur en régime variable
Un supraconducteur est soumis à un champ magnétique variable de fréquence $f = 60 \\rm Hz$ et de fluctuation d'induction $\\Delta B = 0.2 \\rm T$. La surface et l'épaisseur du ruban sont :
$S = 2 \\times 10^{-4} \\rm m^2, \\quad e = 0.2 \\rm mm$.
Question 1 : Calculer la perte d'énergie magnétique par cycle par unité de volume, sachant que la perte par hystérésis est donnée par :
$W_h = C B_m^{1.7}, \\quad C=0.15, \\quad B_m = \\Delta B$.
Question 2 : Déterminer la puissance dissipée dans le supraconducteur.
Question 3 : Calculer la densité de courant critique si la perte maximale acceptable est $P_{max} = 5 \\rm W$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de l'énergie perdue par cycle et unité de volume
1. Formule :
$W_h = C B_m^{1.7}$
2. Remplacement :
$W_h = 0.15 \\times (0.2)^{1.7} = 0.15 \\times 0.0641 = 0.0096 \\rm J/m^3$
3. Résultat :
$\\boxed{W_h = 0.0096 \\rm J/m^3}$
Question 2 : Puissance dissipée dans le supraconducteur
1. Le volume :
$V = S \\times e = 2 \\times 10^{-4} \\times 0.2 \\times 10^{-3} = 4 \\times 10^{-8} \\rm m^3$
2. Puissance :
$P = W_h \\times V \\times f = 0.0096 \\times 4 \\times 10^{-8} \\times 60 = 2.304 \\times 10^{-8} \\rm W$
3. Résultat :
$\\boxed{P = 2.3 \\times 10^{-8} \\rm W}$
Question 3 : Densité critique du courant
1. Si $P_{max} = 5 \\rm W$, la relation avec la densité de courant critique $J_c$ est complexe mais on peut approximer :
$J_c = \\frac{P_{max}}{B_m e S}$
2. Calcul :
$J_c = \\frac{5}{0.2 \\times 0.2 \\times 10^{-3} \\times 2 \\times 10^{-4}} = \\frac{5}{8 \\times 10^{-9}} = 6.25 \\times 10^8 \\rm A/m^2$
3. Résultat :
$\\boxed{J_c = 6.25 \\times 10^{8} \\rm A/m^2}$
", "id_category": "4", "id_number": "40" }, { "category": "Matériaux Semi-conducteurs et Supraconducteurs", "question": "Exercice 1 : Conductivité électrique d’un semi-conducteur intrinsèque\n\nOn considère un semi-conducteur intrinsèque de type silicium à la température de $T = 300\\,\\text{K}$. On donne la concentration intrinsèque $n_i = 1,5\\times10^{16}\\,\\text{m}^{-3}$, la mobilité des électrons $\\mu_n = 0,135\\,\\text{m}^2/\\text{V·s}$ et celle des trous $\\mu_p = 0,048\\,\\text{m}^2/\\text{V·s}$. La charge élémentaire vaut $e = 1,6\\times10^{-19}\\,\\text{C}$.\n\n1. Calculer la conductivité $\\sigma$ du semi-conducteur.\n2. En déduire la résistivité du matériau.\n3. Déterminer le champ électrique nécessaire pour obtenir une densité de courant de $J = 10^{-3}\\,\\text{A/m}^2$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Conductivité
Formule : $\\sigma = e n_i (\\mu_n + \\mu_p)$
Remplacement : $\\sigma = 1,6\\times10^{-19} \\times 1,5\\times10^{16} (0,135 + 0,048)$
Calcul : $\\sigma = 1,6\\times10^{-19} \\times 1,5\\times10^{16} \\times 0,183 = 4,39\\times10^{-4}\\,\\text{S/m}$
Résultat : $\\sigma = 4,4\\times10^{-4}\\,\\text{S/m}$.
2. Résistivité
Formule : $\\rho = \\frac{1}{\\sigma}$
Remplacement : $\\rho = \\frac{1}{4,39\\times10^{-4}} = 2278\\,\\Omega\\cdot\\text{m}$
Résultat : $\\rho = 2,28\\times10^3\\,\\Omega\\cdot\\text{m}$.
3. Champ électrique
Formule : $E = \\frac{J}{\\sigma}$
Remplacement : $E = \\frac{10^{-3}}{4,39\\times10^{-4}} = 2,28\\,\\text{V/m}$
Résultat : $E = 2,28\\,\\text{V/m}$.
1. Résistance du fil
Formule : $R = \\rho \\frac{L}{S}$
Remplacement : $R = 1\\times10^{-8} \\times \\frac{1}{4\\times10^{-6}} = 2,5\\times10^{-3}\\,\\Omega$
Résultat : $R = 2,5\\,\\text{m}\\Omega$.
2. Densité de courant
Formule : $J = \\frac{I}{S}$
Remplacement : $J = \\frac{10}{4\\times10^{-6}} = 2,5\\times10^{6}\\,\\text{A/m}^2$
Résultat : $J = 2,5\\times10^6\\,\\text{A/m}^2$.
3. Tension aux bornes
Formule : $V = I R$
Remplacement : $V = 10 \\times 2,5\\times10^{-3} = 0,025\\,\\text{V}$
Résultat : $V = 25\\,\\text{mV à 10 K}$.
À T < T_c, la résistance devient nulle, soit $V = 0\\,\\text{V}$ — le matériau transporte le courant sans perte Joule.
1. Décalage du niveau de Fermi :
Formule : $E_F - E_i = kT \\ln(N_D/n_i)$
Remplacement : $E_F - E_i = 8.617\\times10^{-5}\\times300\\times\\ln(5\\times10^{22}/1.5\\times10^{16})$
Calcul : $E_F - E_i = 0.0259\\times\\ln(3.33\\times10^{6}) = 0.0259\\times15.02 = 0.389 eV$.
2. Concentration en électrons :
Formule : $n \\approx N_D$ (semi-conducteur dopé fortement)
Résultat : $n = 5 \\times 10^{22} m^{-3}$.
3. Résistivité :
Formule : $\\rho = \\frac{1}{q n \\mu_n}$
Remplacement : $\\rho = \\frac{1}{1.6\\times10^{-19}\\times5\\times10^{22}\\times0.135} = 9.26\\times10^{-4} \\Omega·m$.
1. Densité de courant critique :
Formule : $J_c = J_{c0}(1 - B/B_{c2})^n$
Remplacement : $J_c = 1.5\\times10^9(1 - 3/10)^{1.5}$
Calcul : $J_c = 1.5\\times10^9(0.7)^{1.5} = 1.5\\times10^9\\times0.586 = 8.79\\times10^8 A/m^2$.
2. Courant maximal :
Formule : $I_c = J_c S$
Remplacement : $I_c = 8.79\\times10^8 \\times 2\\times10^{-6} = 1758 A$.
3. Densité d’énergie magnétique :
Formule : $w = \\frac{B^2}{2\\mu_0}$
Remplacement : $w = \\frac{3^2}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}} = \\frac{9}{2.513\\times10^{-6}} = 3.58\\times10^6 J/m^3$.