On considère l'équation différentielle du premier ordre suivante : $y' + 2y = 4e^{-x}$, où $y$ est une fonction de la variable $x$.
\n\n
Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y' + 2y = 0$. Calculer la solution générale $y_h(x)$ de cette équation homogène.
\n\n
Question 2 : Déterminer une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. Calculer explicitement $y_p(x)$.
\n\n
Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle complète $y' + 2y = 4e^{-x}$.
\n\n
Question 4 : Calculer la solution particulière qui vérifie la condition initiale $y(0) = 3$. Déterminer la constante d'intégration et donner l'expression finale de $y(x)$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
\n
On résout l'équation homogène $y' + 2y = 0$. \n1. Formule générale : L'équation homogène est de la forme $y' + ay = 0$, dont la solution est $y_h(x) = Ce^{-ax}$, où $C$ est une constante. \n2. Remplacement des données : Ici, $a = 2$. \n3. Calcul : La solution homogène est $y_h(x) = Ce^{-2x}$. \n4. Résultat final : $y_h(x) = Ce^{-2x}$, où $C \\in \\mathbb{R}$ est une constante arbitraire.
\n\n
Solution Question 2 :
\n
On cherche une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante. \n1. Formule générale : On pose $y_p(x) = C(x)e^{-2x}$, où $C(x)$ est une fonction à déterminer. En dérivant : $y_p'(x) = C'(x)e^{-2x} - 2C(x)e^{-2x}$. \n2. Remplacement dans l'équation : En substituant dans $y' + 2y = 4e^{-x}$ : \n$[C'(x)e^{-2x} - 2C(x)e^{-2x}] + 2[C(x)e^{-2x}] = 4e^{-x}$ \n$C'(x)e^{-2x} = 4e^{-x}$. \n3. Calcul : On isole $C'(x)$ : \n$C'(x) = 4e^{-x} \\cdot e^{2x} = 4e^{x}$. \nOn intègre : $C(x) = \\int 4e^{x} dx = 4e^{x} + K$. Pour la solution particulière, on prend $K = 0$ : \n$C(x) = 4e^{x}$. \n4. Résultat final : $y_p(x) = 4e^{x} \\cdot e^{-2x} = 4e^{-x}$.
\n\n
Solution Question 3 :
\n
La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière. \n1. Formule générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$. \n2. Remplacement des données : $y_h(x) = Ce^{-2x}$ et $y_p(x) = 4e^{-x}$. \n3. Calcul : $y(x) = Ce^{-2x} + 4e^{-x}$. \n4. Résultat final : La solution générale est $y(x) = Ce^{-2x} + 4e^{-x}$, où $C \\in \\mathbb{R}$.
\n\n
Solution Question 4 :
\n
On détermine la constante $C$ à partir de la condition initiale $y(0) = 3$. \n1. Formule générale : $y(0) = Ce^{-2 \\cdot 0} + 4e^{-0} = 3$. \n2. Remplacement des données : $Ce^{0} + 4e^{0} = 3$. \n3. Calcul : $C \\cdot 1 + 4 \\cdot 1 = 3$ \n$C + 4 = 3$ \n$C = -1$. \n4. Résultat final : La solution particulière est $y(x) = -e^{-2x} + 4e^{-x}$.
On considère l'équation différentielle du premier ordre : $\\frac{dy}{dx} = \\frac{x}{y}$, avec $y > 0$.
\n\n
Question 1 : Séparer les variables de l'équation différentielle et exprimer l'équation sous la forme permettant l'intégration.
\n\n
Question 2 : Intégrer les deux membres de l'équation pour obtenir la solution implicite. Calculer les intégrales $\\int y \\, dy$ et $\\int x \\, dx$.
\n\n
Question 3 : Exprimer la solution générale sous forme explicite $y(x)$ en fonction de la constante d'intégration $C$.
\n\n
Question 4 : Déterminer la solution particulière qui passe par le point $(2, 3)$, c'est-à-dire qui vérifie $y(2) = 3$. Calculer la valeur de la constante $C$ et donner l'expression finale.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
\n
On sépare les variables de l'équation $\\frac{dy}{dx} = \\frac{x}{y}$. \n1. Formule générale : On multiplie les deux membres par $y \\, dx$ pour obtenir : $y \\, dy = x \\, dx$. \n2. Remplacement des données : L'équation est maintenant sous forme séparée. \n3. Calcul : On a $y \\, dy = x \\, dx$. \n4. Résultat final : L'équation à variables séparées est $y \\, dy = x \\, dx$.
\n\n
Solution Question 2 :
\n
On intègre les deux membres de l'équation. \n1. Formule générale : $\\int y \\, dy = \\int x \\, dx$. \n2. Remplacement des données : On applique la formule d'intégration $\\int t \\, dt = \\frac{t^2}{2} + K$. \n3. Calcul : \nPour le membre de gauche : $\\int y \\, dy = \\frac{y^2}{2} + K_1$. \nPour le membre de droite : $\\int x \\, dx = \\frac{x^2}{2} + K_2$. \nEn combinant : $\\frac{y^2}{2} = \\frac{x^2}{2} + K$, où $K = K_2 - K_1$. \n4. Résultat final : La solution implicite est $\\frac{y^2}{2} = \\frac{x^2}{2} + K$, ou encore $y^2 = x^2 + 2K$.
\n\n
Solution Question 3 :
\n
On exprime la solution sous forme explicite. \n1. Formule générale : De $y^2 = x^2 + 2K$, on pose $C = 2K$ pour simplifier. \n2. Remplacement des données : $y^2 = x^2 + C$. \n3. Calcul : En prenant la racine carrée (avec $y > 0$) : $y = \\sqrt{x^2 + C}$. \n4. Résultat final : La solution générale explicite est $y(x) = \\sqrt{x^2 + C}$, où $C$ est une constante positive.
\n\n
Solution Question 4 :
\n
On détermine $C$ à partir de la condition $y(2) = 3$. \n1. Formule générale : $y(2) = \\sqrt{2^2 + C} = 3$. \n2. Remplacement des données : $\\sqrt{4 + C} = 3$. \n3. Calcul : En élevant au carré : $4 + C = 9$ \n$C = 5$. \n4. Résultat final : La solution particulière est $y(x) = \\sqrt{x^2 + 5}$.
On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $y'' - 5y' + 6y = 0$.
\n\n
Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique associée à cette équation différentielle. Calculer le discriminant $\\Delta$ de cette équation.
\n\n
Question 2 : Résoudre l'équation caractéristique et calculer les deux racines $r_1$ et $r_2$.
\n\n
Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle en utilisant les racines trouvées.
\n\n
Question 4 : Déterminer la solution particulière qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 4$. Calculer les constantes $C_1$ et $C_2$ et donner l'expression finale.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
\n
On détermine l'équation caractéristique. \n1. Formule générale : Pour une équation de la forme $y'' + ay' + by = 0$, l'équation caractéristique est $r^2 + ar + b = 0$. \n2. Remplacement des données : Ici, l'équation est $y'' - 5y' + 6y = 0$, donc $a = -5$ et $b = 6$. \n3. Calcul : L'équation caractéristique est $r^2 - 5r + 6 = 0$. \nLe discriminant est $\\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. \n4. Résultat final : L'équation caractéristique est $r^2 - 5r + 6 = 0$ avec $\\Delta = 1$.
\n\n
Solution Question 2 :
\n
On résout l'équation caractéristique. \n1. Formule générale : Les racines sont données par $r = \\frac{-a \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2}$ (ou ici $r = \\frac{5 \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2}$). \n2. Remplacement des données : $\\Delta = 1$, donc $\\sqrt{\\Delta} = 1$. \n3. Calcul : \n$r_1 = \\frac{5 + 1}{2} = \\frac{6}{2} = 3$ \n$r_2 = \\frac{5 - 1}{2} = \\frac{4}{2} = 2$. \n4. Résultat final : Les racines sont $r_1 = 3$ et $r_2 = 2$.
\n\n
Solution Question 3 :
\n
On écrit la solution générale. \n1. Formule générale : Lorsque l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, la solution générale est $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$. \n2. Remplacement des données : $r_1 = 3$ et $r_2 = 2$. \n3. Calcul : $y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}$. \n4. Résultat final : La solution générale est $y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}$, où $C_1, C_2 \\in \\mathbb{R}$.
\n\n
Solution Question 4 :
\n
On détermine les constantes avec les conditions initiales. \n1. Formule générale : On a $y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}$ et $y'(x) = 3C_1 e^{3x} + 2C_2 e^{2x}$. \n2. Remplacement des données : \nCondition 1 : $y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 1$. \nCondition 2 : $y'(0) = 3C_1 e^{0} + 2C_2 e^{0} = 3C_1 + 2C_2 = 4$. \n3. Calcul : On résout le système : \n$\\begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\\\ 3C_1 + 2C_2 = 4 \\end{cases}$ \nDe la première équation : $C_2 = 1 - C_1$. \nSubstitution dans la seconde : $3C_1 + 2(1 - C_1) = 4$ \n$3C_1 + 2 - 2C_1 = 4$ \n$C_1 = 2$. \nDonc : $C_2 = 1 - 2 = -1$. \n4. Résultat final : La solution particulière est $y(x) = 2e^{3x} - e^{2x}$.
On considère l'équation différentielle du second ordre : $y'' - 4y' + 4y = 0$.
\n\n
Question 1 : Écrire l'équation caractéristique associée et calculer son discriminant $\\Delta$.
\n\n
Question 2 : Résoudre l'équation caractéristique et montrer qu'elle admet une racine double $r_0$. Calculer la valeur de $r_0$.
\n\n
Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle sachant que pour une racine double $r_0$, la solution est de la forme $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$.
\n\n
Question 4 : Déterminer la solution particulière qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 2$ et $y'(0) = 5$. Calculer les constantes $C_1$ et $C_2$ et donner l'expression finale.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
\n
On écrit l'équation caractéristique. \n1. Formule générale : Pour $y'' + ay' + by = 0$, l'équation caractéristique est $r^2 + ar + b = 0$. \n2. Remplacement des données : Ici, $y'' - 4y' + 4y = 0$, donc $a = -4$ et $b = 4$. \n3. Calcul : L'équation caractéristique est $r^2 - 4r + 4 = 0$. \nLe discriminant est $\\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. \n4. Résultat final : L'équation caractéristique est $r^2 - 4r + 4 = 0$ avec $\\Delta = 0$.
\n\n
Solution Question 2 :
\n
On résout l'équation caractéristique. \n1. Formule générale : Lorsque $\\Delta = 0$, il y a une racine double $r_0 = \\frac{-a}{2}$. \n2. Remplacement des données : Avec $a = -4$ : $r_0 = \\frac{-(-4)}{2} = \\frac{4}{2} = 2$. \n3. Calcul : On peut aussi factoriser : $r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2 = 0$, donc $r = 2$ est racine double. \n4. Résultat final : La racine double est $r_0 = 2$.
\n\n
Solution Question 3 :
\n
On écrit la solution générale pour une racine double. \n1. Formule générale : Lorsque l'équation caractéristique a une racine double $r_0$, la solution générale est $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$. \n2. Remplacement des données : $r_0 = 2$. \n3. Calcul : $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$. \n4. Résultat final : La solution générale est $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$, où $C_1, C_2 \\in \\mathbb{R}$.
\n\n
Solution Question 4 :
\n
On détermine les constantes avec les conditions initiales. \n1. Formule générale : On a $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$. \nEn dérivant : $y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x} = [C_2 + 2C_1 + 2C_2 x]e^{2x}$. \n2. Remplacement des données : \nCondition 1 : $y(0) = (C_1 + C_2 \\cdot 0)e^{0} = C_1 = 2$. \nCondition 2 : $y'(0) = [C_2 + 2C_1 + 2C_2 \\cdot 0]e^{0} = C_2 + 2C_1 = 5$. \n3. Calcul : \nDe la première condition : $C_1 = 2$. \nSubstitution dans la seconde : $C_2 + 2(2) = 5$ \n$C_2 + 4 = 5$ \n$C_2 = 1$. \n4. Résultat final : La solution particulière est $y(x) = (2 + x)e^{2x}$.
On considère l'équation différentielle complète du second ordre : $y'' + y = 2\\cos(x)$.
\n\n
Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' + y = 0$. Déterminer l'équation caractéristique, calculer ses racines complexes et en déduire la solution générale $y_h(x)$ de l'équation homogène.
\n\n
Question 2 : Chercher une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète sous la forme $y_p(x) = Ax\\sin(x) + Bx\\cos(x)$ (forme modifiée car $\\cos(x)$ est solution de l'homogène). Calculer $y_p'(x)$ et $y_p''(x)$.
\n\n
Question 3 : Substituer $y_p$, $y_p'$ et $y_p''$ dans l'équation $y'' + y = 2\\cos(x)$ pour déterminer les valeurs de $A$ et $B$. Calculer explicitement $y_p(x)$.
\n\n
Question 4 : Écrire la solution générale $y(x)$ de l'équation complète en combinant $y_h(x)$ et $y_p(x)$. Vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle en calculant $y'' + y$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
\n
On résout l'équation homogène $y'' + y = 0$. \n1. Formule générale : L'équation caractéristique est $r^2 + 1 = 0$. \n2. Remplacement des données : $r^2 = -1$, donc $r = \\pm i$ (racines complexes). \n3. Calcul : Pour des racines complexes $r = \\alpha \\pm i\\beta$ avec $\\alpha = 0$ et $\\beta = 1$, la solution est $y_h(x) = e^{\\alpha x}(C_1\\cos(\\beta x) + C_2\\sin(\\beta x))$. \nDonc : $y_h(x) = e^{0}(C_1\\cos(x) + C_2\\sin(x)) = C_1\\cos(x) + C_2\\sin(x)$. \n4. Résultat final : La solution homogène est $y_h(x) = C_1\\cos(x) + C_2\\sin(x)$.
\n\n
Solution Question 2 :
\n
On cherche une solution particulière avec la forme modifiée. \n1. Formule générale : Comme $\\cos(x)$ est solution de l'homogène (résonance), on pose $y_p(x) = Ax\\sin(x) + Bx\\cos(x)$. \n2. Remplacement et calcul des dérivées : \n$y_p'(x) = A\\sin(x) + Ax\\cos(x) + B\\cos(x) - Bx\\sin(x)$ \n$y_p'(x) = (A + Bx)\\sin(x) + (B + Ax)\\cos(x) - Bx\\sin(x)$ \n$y_p'(x) = A\\sin(x) + Ax\\cos(x) + B\\cos(x) - Bx\\sin(x)$. \n3. Calcul de la dérivée seconde : \n$y_p''(x) = A\\cos(x) + A\\cos(x) - Ax\\sin(x) - B\\sin(x) - B\\sin(x) - Bx\\cos(x)$ \n$y_p''(x) = 2A\\cos(x) - Ax\\sin(x) - 2B\\sin(x) - Bx\\cos(x)$. \n4. Résultat final : $y_p''(x) = 2A\\cos(x) - 2B\\sin(x) - Ax\\sin(x) - Bx\\cos(x)$.
\n\n
Solution Question 3 :
\n
On substitue dans l'équation complète. \n1. Formule générale : $y_p'' + y_p = 2\\cos(x)$. \n2. Remplacement des données : \n$[2A\\cos(x) - 2B\\sin(x) - Ax\\sin(x) - Bx\\cos(x)] + [Ax\\sin(x) + Bx\\cos(x)] = 2\\cos(x)$. \n3. Calcul : Les termes en $x$ s'annulent : \n$2A\\cos(x) - 2B\\sin(x) = 2\\cos(x)$. \nPar identification des coefficients : \nCoefficient de $\\cos(x)$ : $2A = 2$, donc $A = 1$. \nCoefficient de $\\sin(x)$ : $-2B = 0$, donc $B = 0$. \n4. Résultat final : La solution particulière est $y_p(x) = x\\sin(x)$.
\n\n
Solution Question 4 :
\n
On écrit la solution générale et on vérifie. \n1. Formule générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$. \n2. Remplacement des données : $y(x) = C_1\\cos(x) + C_2\\sin(x) + x\\sin(x)$. \n3. Vérification : Calculons $y''$ : \n$y' = -C_1\\sin(x) + C_2\\cos(x) + \\sin(x) + x\\cos(x)$ \n$y'' = -C_1\\cos(x) - C_2\\sin(x) + \\cos(x) + \\cos(x) - x\\sin(x)$ \n$y'' = -C_1\\cos(x) - C_2\\sin(x) + 2\\cos(x) - x\\sin(x)$. \nAlors : $y'' + y = [-C_1\\cos(x) - C_2\\sin(x) + 2\\cos(x) - x\\sin(x)] + [C_1\\cos(x) + C_2\\sin(x) + x\\sin(x)]$ \n$y'' + y = 2\\cos(x)$. ✓ \n4. Résultat final : La solution générale est $y(x) = C_1\\cos(x) + C_2\\sin(x) + x\\sin(x)$.
4. Résultat : La solution homogène est $y_h(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t}$
Solution Question 2:
1. Formule pour solution particulière avec résonance : Comme le terme forçant $e^{-2t}$ correspond à la racine de l'équation caractéristique, nous cherchons :
Exercice 1 : Équation différentielle d'ordre 1 - Résolution par séparation des variables
On considère l'équation différentielle suivante :
$\\frac{dy}{dt} = 2ty$
avec la condition initiale $y(0) = 3$.
Question 1 : Résoudre l'équation différentielle $\\frac{dy}{dt} = 2ty$ par séparation des variables.
Question 2 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 3$ pour déterminer la constante d'intégration.
Question 3 : Calculer la valeur de $y(1)$ et $y(2)$ en utilisant la solution particulière trouvée.
Question 4 : Vérifier que la solution trouvée satisfait bien l'équation différentielle initiale en calculant $\\frac{dy}{dt}$ et en comparant avec $2ty$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Résolution par séparation des variables
Énoncé : Équation différentielle du premier ordre $\\frac{dy}{dt} = 2ty$
1. Formule générale : Pour une équation de la forme $\\frac{dy}{dt} = f(t)g(y)$, on sépare les variables :
$\\frac{dy}{g(y)} = f(t) dt$
2. Remplacement des données : Ici, $f(t) = 2t$ et $g(y) = y$, donc :
$\\frac{dy}{y} = 2t dt$
3. Calcul par intégration :
$\\int \\frac{dy}{y} = \\int 2t dt$
$\\ln|y| = t^2 + C_1$
4. Résultat final : En prenant l'exponentielle :
$|y| = e^{t^2 + C_1} = e^{C_1} \\cdot e^{t^2}$
$y(t) = C e^{t^2}$ où $C = \\pm e^{C_1}$ est une constante arbitraire.
Question 2 : Application de la condition initiale
1. Formule générale : On a trouvé $y(t) = C e^{t^2}$. En utilisant la condition initiale $y(0) = 3$ :
$y(0) = C e^{0^2} = C e^0 = C$
2. Remplacement des données :
$C = 3$
3. Calcul : Donc la solution particulière est :
$y(t) = 3 e^{t^2}$
4. Résultat final :
$y(t) = 3e^{t^2}$
Question 3 : Calcul de y(1) et y(2)
1. Formule générale : On utilise la solution $y(t) = 3e^{t^2}$
3. Amplitude d'amortissement : Le facteur $e^{-t}$ représente l'amortissement exponentiel. À $t = 0$, l'amplitude est $1$. À $t = 1$, elle décroît à $e^{-1} \\approx 0.368$.
4. Résultat final :
$y\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}e^{-\\pi/4} \\approx 0.228$ et l'amplitude d'amortissement est $e^{-t}$
Soit l'équation différentielle ordinaire du premier ordre: $\\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$. Question 1 : Vérifier que cette équation est linéaire et déterminer la solution de l'équation homogène associée.Question 2 : Calculer la solution générale de l'équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante.Question 3 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 1$ pour déterminer la constante d'intégration.Question 4 : Calculer la valeur de la solution à $t = \\ln(2)$ et interpréter le résultat physiquement.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :1. Formule générale: $\\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ est de la forme $\\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ avec $P(t)=2$ et $Q(t)=e^{-t}$, c'est une équation linéaire du premier ordre.2. Équation homogène: $\\frac{dy}{dt} + 2y = 0$.3. Résolution: $\\frac{dy}{dt} = -2y \\Rightarrow \\frac{dy}{y} = -2dt \\Rightarrow \\ln|y| = -2t + C_0$.4. Résultat: $y_h(t) = Ae^{-2t}$ où $A$ est une constante arbitraire.
Solution Question 2 :1. Formule: Méthode de variation de la constante. On pose $y(t) = A(t)e^{-2t}$.2. Calcul de la dérivée: $\\frac{dy}{dt} = A'(t)e^{-2t} - 2A(t)e^{-2t}$.3. Substitution dans l'équation: $A'(t)e^{-2t} - 2A(t)e^{-2t} + 2A(t)e^{-2t} = e^{-t}$.Simplification: $A'(t)e^{-2t} = e^{-t}$.4. $A'(t) = e^{-t+2t} = e^t \\Rightarrow A(t) = e^t + C$.Résultat général: $y(t) = (e^t + C)e^{-2t} = e^{-t} + Ce^{-2t}$.
Soit l'équation différentielle: $\\frac{d^2y}{dt^2} - 3\\frac{dy}{dt} + 2y = 0$.Question 1 : Déterminer les racines de l'équation caractéristique associée à cette équation homogène.Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation différentielle.Question 3 : Appliquer les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ pour trouver les constantes.Question 4 : Calculer $y(1)$ et vérifier que la solution vérifie l'équation différentielle originale.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Soit l'équation différentielle: $\\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 3\\sin(2t)$.Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et écrire la solution générale homogène.Question 2 : Déterminer une solution particulière de l'équation complète en utilisant la méthode des coefficients indéterminés.Question 3 : Écrire la solution générale de l'équation complète.Question 4 : Appliquer les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ pour obtenir la solution unique.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Soit l'équation différentielle: $\\frac{dy}{dt} = \\frac{y}{t}$ avec la condition initiale $y(1) = 2$.Question 1 : Vérifier que cette équation est à variables séparables.Question 2 : Séparer les variables et intégrer les deux côtés de l'équation.Question 3 : Déterminer la constante d'intégration en utilisant la condition initiale.Question 4 : Calculer $y(e)$ et vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle originale.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :1. Formule: $\\frac{dy}{dt} = \\frac{y}{t}$. Cette équation peut s'écrire $\\frac{1}{y}dy = \\frac{1}{t}dt$.2. Vérification: On peut séparer les variables en mettant tous les termes en $y$ à gauche et tous en $t$ à droite.3. Rearrangement: $\\frac{dy}{y} = \\frac{dt}{t}$.4. Conclusion: L'équation est bien à variables séparables.
Solution Question 2 :1. Formule: $\\frac{dy}{y} = \\frac{dt}{t}$.2. Intégration des deux côtés: $\\int \\frac{dy}{y} = \\int \\frac{dt}{t}$.3. Calcul: $\\ln|y| = \\ln|t| + C_0$ où $C_0$ est une constante arbitraire.4. Résultat: $|y| = e^{\\ln|t| + C_0} = e^{C_0} \\cdot |t| = K|t|$ où $K = e^{C_0} > 0$. Donc $y = Kt$ où $K$ est une constante réelle arbitraire.
Solution Question 3 :1. Formule générale: $y = Kt$.2. Condition initiale: $y(1) = 2$.3. Application: $2 = K \\cdot 1 \\Rightarrow K = 2$.4. Solution particulière: $y(t) = 2t$.
Une particule en mouvement dans un fluide visqueux obéit à l'équation différentielle du premier ordre :
$\\frac{dv}{dt} + 2v = 8$
où $v(t)$ représente la vitesse (en m/s) de la particule et $t$ le temps (en secondes). La condition initiale est $v(0) = 0$.
Question 1 : Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre en utilisant la méthode du facteur intégrant. Déterminer l'expression analytique complète de $v(t)$.
Question 2 : Calculer la vitesse de la particule aux temps $t = 1$ seconde et $t = 5$ secondes.
Question 3 : Déterminer la vitesse limite $v_{\\infty}$ lorsque $t \\to \\infty$ et interpréter physiquement ce résultat.
Question 4 : Calculer le temps $t_1$ nécessaire pour que la particule atteigne $90\\%$ de sa vitesse limite, puis déterminer la distance parcourue par la particule entre $t = 0$ et $t = t_1$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous résolvons l'équation différentielle linéaire du premier ordre $\\frac{dv}{dt} + 2v = 8$ avec la condition initiale $v(0) = 0$.
Étape 1 : Identifions la forme générale. C'est une équation linéaire du premier ordre de la forme :
Étape 2 : Comme $t \\to \\infty$, nous avons $e^{-2t} \\to 0$ :
$\\lim_{t \\to \\infty} v(t) = 4(1 - 0) = 4$
Étape 3 : Donc :
$v_{\\infty} = 4$ m/s$
Étape 4 : Interprétation physique : La vitesse limite de $4$ m/s représente la vitesse d'équilibre atteinte lorsque la force de frottement visqueux équilibre la force motrice. À cette vitesse, l'accélération devient nulle et la particule se déplace à vitesse constante.
Résultat final : $v_{\\infty} = 4$ m/s. Cela représente la vitesse terminale où les forces se compensent.
Solution Question 4 :
Nous trouvons le temps pour atteindre $90\\%$ de la vitesse limite, puis la distance parcourue.
Étape 1 : La condition pour $90\\%$ de la vitesse limite est :
Résultat final : Le temps pour atteindre $90\\%$ de la vitesse limite est $t_1 \\approx 1.15$ secondes. La distance parcourue est $x(t_1) \\approx 2.81$ mètres.
Un circuit électrique RLC (résistance, inductance, capacitance) subit un échelon de tension. Le courant $i(t)$ dans le circuit satisfait l'équation différentielle du second ordre :
$\\frac{d^2i}{dt^2} + 5\\frac{di}{dt} + 6i = 0$
avec les conditions initiales $i(0) = 1$ ampère et $\\frac{di}{dt}(0) = -2$ A/s.
Question 1 : Résoudre cette équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants en trouvant les racines de l'équation caractéristique.
Question 2 : Déterminer les constantes d'intégration en utilisant les conditions initiales, puis écrire la solution complète $i(t)$.
Question 3 : Calculer le courant à $t = 0.5$ secondes et à $t = 2$ secondes.
Question 4 : Déterminer le temps $t_m$ auquel le courant atteint son extremum (minimum ou maximum), puis calculer la valeur du courant à cet instant.
Un système mécanique avec amortissement est décrit par l'équation différentielle du second ordre :
$\\frac{d^2x}{dt^2} + 6\\frac{dx}{dt} + 9x = 0$
où $x(t)$ est le déplacement (en mètres) et $t$ le temps (en secondes). Les conditions initiales sont $x(0) = 2$ mètres et $\\frac{dx}{dt}(0) = 0$ m/s.
Question 1 : Déterminer la nature des racines de l'équation caractéristique et identifier le régime de l'amortissement (critique, sur-amorti ou sous-amorti).
Question 2 : Résoudre l'équation différentielle complètement et déterminer la fonction $x(t)$ qui satisfait les conditions initiales.
Question 3 : Calculer le déplacement aux instants $t = 0.1$ s, $t = 0.5$ s et $t = 1$ s.
Question 4 : Déterminer le déplacement maximum et le temps auquel il se produit. Vérifier si le système revient à la position d'équilibre ($x = 0$) et en combien de temps.
Étape 3 : Puisque le discriminant est égal à zéro, nous avons une racine réelle double :
$r = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2} = -3$
Étape 4 : Classification de l'amortissement : Avec $\\Delta = 0$, nous avons un amortissement critique.
Étape 5 : L'amortissement critique est l'état limite entre le régime sous-amorti et le régime sur-amorti. Le système retourne à l'équilibre sans oscillation et aussi rapidement que possible.
Résultat final : L'équation caractéristique a une racine double $r = -3$. Le système est en régime d'amortissement critique.
Solution Question 2 :
Nous résolvons l'équation différentielle avec racine double.
Étape 1 : Pour une racine double $r = -3$, la solution générale est :
Étape 7 : Le système retourne effectivement à l'équilibre $x = 0$ lorsque $t \\to \\infty$, mais cette limite n'est jamais atteinte en temps fini.
Résultat final : Le déplacement maximum est $x_{\\max} = 2$ m atteint à $t = 0$. Le système retourne asymptotiquement à l'équilibre ($x \\to 0$) sans jamais l'atteindre en temps fini.
Un système dynamique non-homogène est décrit par l'équation différentielle :
$\\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 12\\cos(2t)$
avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\\frac{dy}{dt}(0) = 0$.
Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la solution complémentaire (ou fonction homogène).
Question 2 : Déterminer une solution particulière en utilisant la méthode des coefficients indéterminés ou la variation des paramètres.
Question 3 : Écrire la solution générale et appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Exprimer la solution complète $y(t)$.
Question 4 : Calculer l'amplitude du déplacement permanent (régime permanent) et identifier la fréquence de résonance du système. Vérifier si le système est à la résonance.
",
"svg": "Équation différentielle non-homogène avec forçageÉquation : d²y/dt² + 4y = 12cos(2t)• Équation linéaire d'ordre 2 non-homogène• Terme homogène : d²y/dt² + 4y = 0• Terme de forçage : 12cos(2t)• Conditions initiales : y(0) = 0, dy/dt(0) = 0• Fréquence naturelle : ω₀ = 2 rad/sGraphique de la solution y(t) - Cas de résonance\n\n\n\n\n\n\n\n\nt (s)\ny (m)\n0\n6π\n0\n3t\n-3t\n\n\n\n\n\nEnveloppe ±3t\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous résolvons l'équation homogène associée :
$\\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 0$
Étape 1 : Formons l'équation caractéristique :
$r^2 + 4 = 0$
Étape 2 : Résolvons pour $r$ :
$r^2 = -4$
$r = \\pm 2i$
Étape 3 : Les racines sont complexes conjuguées $r = \\pm 2i$ avec $\\alpha = 0$ et $\\beta = 2$.
Étape 4 : La solution complémentaire est :
$y_h(t) = C_1 \\cos(2t) + C_2 \\sin(2t)$
Résultat final : $y_h(t) = C_1 \\cos(2t) + C_2 \\sin(2t)$.
Solution Question 2 :
Nous trouvons une solution particulière pour l'équation non-homogène.
Étape 1 : Le terme de forçage est $12\\cos(2t)$. Remarquons que la fréquence du forçage ($2$) correspond à la fréquence naturelle du système homogène.
Étape 2 : Cela indique une situation de résonance. La solution particulière prend la forme :
Étape 4 : Appliquons la condition $\\frac{dy}{dt}(0) = 0$ :
$0 = 0 + 2C_2 + 0 + 0$
$C_2 = 0$
Étape 5 : La solution complète est :
$y(t) = 3t\\sin(2t)$
Résultat final : $y(t) = 3t\\sin(2t)$.
Solution Question 4 :
Nous analysons l'amplitude du régime permanent et la résonance.
Étape 1 : L'amplitude du déplacement dans le régime permanent (ou régime transitoire croissant) est donnée par :
$A(t) = 3t$
Étape 2 : L'amplitude croît linéairement avec le temps, ce qui est caractéristique de la résonance.
Étape 3 : Identifions les fréquences. La fréquence naturelle du système homogène est :
$\\omega_0 = \\sqrt{4} = 2$ rad/s$
Étape 4 : La fréquence du forçage est extraite de $12\\cos(2t)$ :
$\\omega_f = 2$ rad/s$
Étape 5 : Comparons les fréquences :
$\\omega_f = \\omega_0 = 2$ rad/s$
Étape 6 : Puisque la fréquence du forçage est exactement égale à la fréquence naturelle du système, le système est en régime de résonance.
Étape 7 : À la résonance, l'amplitude augmente linéairement avec le temps sans limite (en l'absence d'amortissement), ce qui est reflété dans notre solution $y(t) = 3t\\sin(2t)$.
Résultat final : L'amplitude du régime permanent croît comme $A(t) = 3t$. La fréquence de résonance est $\\omega_0 = 2$ rad/s. Le système est effectivement à la résonance.
Un système thermique de refroidissement d'une pièce métallique obéit à l'équation différentielle du second ordre :
$\\frac{d^2T}{dt^2} + 3\\frac{dT}{dt} + 2T = 20$
où $T(t)$ est la température (en °C) et $t$ le temps (en minutes). Les conditions initiales sont $T(0) = 100°C$ et $\\frac{dT}{dt}(0) = -30°C/\\text{min}$.
Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la forme générale de la solution homogène.
Question 2 : Déterminer la solution particulière (solution d'équilibre) et écrire la solution générale de l'équation complète.
Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour trouver les constantes d'intégration et exprimer $T(t)$ complètement.
Question 4 : Calculer la température de la pièce à $t = 5$ minutes et $t = 10$ minutes, puis déterminer la température asymptotique (température finale d'équilibre).
",
"svg": "Système thermique : Refroidissement avec équilibreÉquation : d²T/dt² + 3·dT/dt + 2T = 20• Équation linéaire d'ordre 2 non-homogène• Terme homogène : d²T/dt² + 3·dT/dt + 2T = 0• Terme constant : 20 (source de chaleur/équilibre)• Conditions : T(0) = 100°C, dT/dt(0) = -30°C/min• Solution particulière : T_p = 10°C (équilibre)Graphique de la température T(t) - Refroidissement exponentiels\n\n\n\n\n\n\n\n\nt (min)\nT (°C)\n0\n20\n0\n100\n10\n\n\n\n\n\n\nT∞ = 10°C\n\nT(0)=100\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous résolvons l'équation homogène associée :
$\\frac{d^2T}{dt^2} + 3\\frac{dT}{dt} + 2T = 0$
Étape 1 : Formons l'équation caractéristique :
$r^2 + 3r + 2 = 0$
Étape 2 : Factorisons :
$(r + 1)(r + 2) = 0$
Étape 3 : Les racines sont :
$r_1 = -1 \\text{ et } r_2 = -2$
Étape 4 : La solution homogène générale est :
$T_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}$
Résultat final : $T_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}$.
Solution Question 2 :
Nous trouvons la solution particulière et la solution générale.
Étape 1 : Pour une équation linéaire non-homogène avec un terme constant, cherchons une solution particulière de la forme $T_p = K$ (constante).
Étape 2 : Si $T_p = K$, alors :
$\\frac{dT_p}{dt} = 0 \\text{ et } \\frac{d^2T_p}{dt^2} = 0$
Exercice 1 : Calcul de la masse d'une plaque avec densité variable
\n
On considère une plaque rectangulaire $D = [0, 3] \\times [0, 2]$ avec une densité surfacique définie par $\\rho(x,y) = 2x + 3y$ (en kg/m²).
\n\n
Question 1 : Calculer l'intégrale double $I_1 = \\iint_D \\rho(x,y) \\, dA$ où $dA = dx \\, dy$ en intégrant d'abord par rapport à $y$, puis par rapport à $x$.
\n\n
Question 2 : Décomposer l'intégrale double en deux termes séparés : $I_1 = \\iint_D 2x \\, dA + \\iint_D 3y \\, dA$. Calculer chaque terme indépendamment.
\n\n
Question 3 : On souhaite maintenant calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe des x. Calculer $I_x = \\iint_D y^2 \\rho(x,y) \\, dA$.
\n\n
Question 4 : Calculer le centroïde (centre de masse) de la plaque en utilisant $\\bar{x} = \\frac{1}{I_1} \\iint_D x \\rho(x,y) \\, dA$ et $\\bar{y} = \\frac{1}{I_1} \\iint_D y \\rho(x,y) \\, dA$.
",
"svg": "xy0302D: [0,3]×[0,2]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Intégrale double \nOn calcule $I_1 = \\iint_D (2x + 3y) \\, dA$. \n1. Formule générale : \n$I_1 = \\int_0^3 \\int_0^2 (2x + 3y) \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^2 (2x + 3y) \\, dy = [2xy + \\frac{3y^2}{2}]_0^2 = 2x(2) + \\frac{3(2)^2}{2} = 4x + 6$ \n3. Intégration par rapport à $x$ : \n$I_1 = \\int_0^3 (4x + 6) \\, dx = [2x^2 + 6x]_0^3$ \n4. Résultat final : \n$I_1 = 2(3)^2 + 6(3) = 18 + 18 = 36 \\text{ kg}$
\n\n
Question 2 : Décomposition de l'intégrale \nOn sépare l'intégrale en deux parties. \n1. Première partie : \n$\\iint_D 2x \\, dA = \\int_0^3 \\int_0^2 2x \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^2 2x \\, dy = 2x[y]_0^2 = 4x$ \n3. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^3 4x \\, dx = [2x^2]_0^3 = 18$ \n4. Deuxième partie : \n$\\iint_D 3y \\, dA = \\int_0^3 \\int_0^2 3y \\, dy \\, dx$ \n5. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^2 3y \\, dy = [\\frac{3y^2}{2}]_0^2 = 6$ \n6. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^3 6 \\, dx = [6x]_0^3 = 18$ \n7. Résultat final : \n$\\iint_D 2x \\, dA = 18 \\text{ kg} ; \\quad \\iint_D 3y \\, dA = 18 \\text{ kg}$
\n\n
Question 3 : Moment d'inertie par rapport à l'axe x \nOn calcule $I_x = \\iint_D y^2(2x + 3y) \\, dA$. \n1. Formule générale : \n$I_x = \\int_0^3 \\int_0^2 y^2(2x + 3y) \\, dy \\, dx = \\int_0^3 \\int_0^2 (2xy^2 + 3y^3) \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^2 (2xy^2 + 3y^3) \\, dy = [\\frac{2xy^3}{3} + \\frac{3y^4}{4}]_0^2 = \\frac{2x(8)}{3} + \\frac{3(16)}{4} = \\frac{16x}{3} + 12$ \n3. Intégration par rapport à $x$ : \n$I_x = \\int_0^3 (\\frac{16x}{3} + 12) \\, dx = [\\frac{8x^2}{3} + 12x]_0^3$ \n4. Résultat final : \n$I_x = \\frac{8(9)}{3} + 12(3) = 24 + 36 = 60 \\text{ kg·m}^2$
\n\n
Question 4 : Centroïde de la plaque \nOn calcule les moments statiques.
\n\n
Pour $\\bar{x}$ : \n1. Calcul de $\\iint_D x\\rho(x,y) \\, dA = \\int_0^3 \\int_0^2 x(2x + 3y) \\, dy \\, dx = \\int_0^3 \\int_0^2 (2x^2 + 3xy) \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^2 (2x^2 + 3xy) \\, dy = [2x^2y + \\frac{3xy^2}{2}]_0^2 = 4x^2 + 6x$ \n3. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^3 (4x^2 + 6x) \\, dx = [\\frac{4x^3}{3} + 3x^2]_0^3 = 36 + 27 = 63$ \n4. Centroïde : \n$\\bar{x} = \\frac{63}{36} = \\frac{7}{4} = 1{,}75$
\n\n
Pour $\\bar{y}$ : \n1. Calcul de $\\iint_D y\\rho(x,y) \\, dA = \\int_0^3 \\int_0^2 y(2x + 3y) \\, dy \\, dx = \\int_0^3 \\int_0^2 (2xy + 3y^2) \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^2 (2xy + 3y^2) \\, dy = [xy^2 + y^3]_0^2 = 4x + 8$ \n3. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^3 (4x + 8) \\, dx = [2x^2 + 8x]_0^3 = 18 + 24 = 42$ \n4. Centroïde : \n$\\bar{y} = \\frac{42}{36} = \\frac{7}{6} \\approx 1{,}167$
Exercice 2 : Volume et centre de masse d'un solide homogène
\n
On considère un solide homogène de densité constante $\\rho = 1$ occupant le domaine $D = [0, 2] \\times [0, 3] \\times [0, 1]$.
\n\n
Question 1 : Calculer le volume du solide en utilisant l'intégrale triple $V = \\iiint_D 1 \\, dV$ où $dV = dx \\, dy \\, dz$.
\n\n
Question 2 : Calculer le moment statique par rapport au plan $xy$ (i.e., $z=0$) : $M_{xy} = \\iiint_D z \\, dV$.
\n\n
Question 3 : En déduire la coordonnée $\\bar{z}$ du centre de masse du solide, définie par $\\bar{z} = \\frac{M_{xy}}{V}$.
\n\n
Question 4 : Calculer le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe des z : $I_z = \\iiint_D (x^2 + y^2) \\, dV$.
",
"svg": "xyzDz=1z=0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Calcul du volume \nOn calcule $V = \\iiint_D 1 \\, dV$. \n1. Formule générale : \n$V = \\int_0^2 \\int_0^3 \\int_0^1 dz \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $z$ : \n$\\int_0^1 dz = [z]_0^1 = 1$ \n3. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^3 1 \\, dy = [y]_0^3 = 3$ \n4. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^2 3 \\, dx = [3x]_0^2 = 6$ \n5. Résultat final : \n$V = 6 \\text{ unités}^3$
\n\n
Question 2 : Moment statique par rapport au plan xy \nOn calcule $M_{xy} = \\iiint_D z \\, dV$. \n1. Formule générale : \n$M_{xy} = \\int_0^2 \\int_0^3 \\int_0^1 z \\, dz \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $z$ : \n$\\int_0^1 z \\, dz = [\\frac{z^2}{2}]_0^1 = \\frac{1}{2}$ \n3. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^3 \\frac{1}{2} \\, dy = [\\frac{y}{2}]_0^3 = \\frac{3}{2}$ \n4. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^2 \\frac{3}{2} \\, dx = [\\frac{3x}{2}]_0^2 = 3$ \n5. Résultat final : \n$M_{xy} = 3 \\text{ unités}^4$
\n\n
Question 3 : Coordonnée du centre de masse \nOn calcule $\\bar{z} = \\frac{M_{xy}}{V}$. \n1. Formule : \n$\\bar{z} = \\frac{M_{xy}}{V}$ \n2. Remplacement : \n$\\bar{z} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}$ \n3. Interprétation : \nLe centre de masse se situe à la moitié de la hauteur du solide (ce qui est logique pour un domaine homogène). \n4. Résultat final : \n$\\bar{z} = 0{,}5 \\text{ unités}$
\n\n
Question 4 : Moment d'inertie par rapport à l'axe des z \nOn calcule $I_z = \\iiint_D (x^2 + y^2) \\, dV$. \n1. Formule générale : \n$I_z = \\int_0^2 \\int_0^3 \\int_0^1 (x^2 + y^2) \\, dz \\, dy \\, dx$ \n2. Intégration par rapport à $z$ : \n$\\int_0^1 (x^2 + y^2) \\, dz = (x^2 + y^2)[z]_0^1 = x^2 + y^2$ \n3. Intégration par rapport à $y$ : \n$\\int_0^3 (x^2 + y^2) \\, dy = [x^2 y + \\frac{y^3}{3}]_0^3 = 3x^2 + 9$ \n4. Intégration par rapport à $x$ : \n$\\int_0^2 (3x^2 + 9) \\, dx = [x^3 + 9x]_0^2 = 8 + 18 = 26$ \n5. Résultat final : \n$I_z = 26 \\text{ unités}^5$
On considère un disque $D$ de rayon $R = 2$ centré à l'origine avec une densité surfacique $\\rho(r, \\theta) = r$ (en coordonnées polaires).
\n\n
Question 1 : Exprimer l'élément d'aire $dA$ en coordonnées polaires et calculer la masse totale du disque : $M = \\iint_D r \\, dA$.
\n\n
Question 2 : Calculer le moment statique $M_x = \\iint_D r \\sin(\\theta) \\, dA$ (moment par rapport à l'axe des x).
\n\n
Question 3 : Calculer le moment d'inertie du disque par rapport à l'origine (moment polaire) : $I_O = \\iint_D r^3 \\, dA$.
\n\n
Question 4 : Calculer maintenant $I_0' = \\iint_D r^2 (1 + \\sin^2(\\theta)) \\, dA$ et en donner l'interprétation physique.
",
"svg": "rθxyR = 2",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Masse du disque \nEn coordonnées polaires, $dA = r \\, dr \\, d\\theta$ et le disque s'exprime : $0 \\leq r \\leq 2, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$. \n1. Formule générale : \n$M = \\iint_D r \\, dA = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r \\cdot r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^2 \\, dr \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $r$ : \n$\\int_0^2 r^2 \\, dr = [\\frac{r^3}{3}]_0^2 = \\frac{8}{3}$ \n3. Intégration par rapport à $\\theta$ : \n$\\int_0^{2\\pi} \\frac{8}{3} \\, d\\theta = \\frac{8}{3}[\\theta]_0^{2\\pi} = \\frac{16\\pi}{3}$ \n4. Résultat final : \n$M = \\frac{16\\pi}{3} \\approx 16{,}76 \\text{ kg}$
\n\n
Question 2 : Moment statique par rapport à l'axe des x \nOn calcule $M_x = \\iint_D r \\sin(\\theta) \\, dA$. \n1. Formule générale : \n$M_x = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r \\sin(\\theta) \\cdot r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^2 \\sin(\\theta) \\, dr \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $r$ : \n$\\int_0^2 r^2 \\, dr = \\frac{8}{3}$ \n3. Intégration par rapport à $\\theta$ : \n$\\int_0^{2\\pi} \\frac{8}{3} \\sin(\\theta) \\, d\\theta = \\frac{8}{3} [-\\cos(\\theta)]_0^{2\\pi}$ \n$= \\frac{8}{3} [-\\cos(2\\pi) + \\cos(0)] = \\frac{8}{3} [-1 + 1] = 0$ \n4. Résultat final : \n$M_x = 0$ (ce qui est normal par symétrie du disque)
\n\n
Question 3 : Moment d'inertie polaire \nOn calcule $I_O = \\iint_D r^3 \\, dA$. \n1. Formule générale : \n$I_O = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^3 \\cdot r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^4 \\, dr \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $r$ : \n$\\int_0^2 r^4 \\, dr = [\\frac{r^5}{5}]_0^2 = \\frac{32}{5}$ \n3. Intégration par rapport à $\\theta$ : \n$\\int_0^{2\\pi} \\frac{32}{5} \\, d\\theta = \\frac{32}{5}[\\theta]_0^{2\\pi} = \\frac{64\\pi}{5}$ \n4. Résultat final : \n$I_O = \\frac{64\\pi}{5} \\approx 40{,}21 \\text{ kg·m}^2$
\n\n
Question 4 : Calcul de l'intégrale généralisée \nOn calcule $I_0' = \\iint_D r^2 (1 + \\sin^2(\\theta)) \\, dA$. \n1. Formule générale : \n$I_0' = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^2 (1 + \\sin^2(\\theta)) \\cdot r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^3 (1 + \\sin^2(\\theta)) \\, dr \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $r$ : \n$\\int_0^2 r^3 \\, dr = \\frac{4}{1} \\cdot \\frac{2^4}{4} = 4$ \n3. Intégration par rapport à $\\theta$ (en deux termes) : \nPremier terme : $\\int_0^{2\\pi} 4 \\, d\\theta = 8\\pi$ \nDeuxième terme : $\\int_0^{2\\pi} 4\\sin^2(\\theta) \\, d\\theta = 4 \\int_0^{2\\pi} \\frac{1 - \\cos(2\\theta)}{2} \\, d\\theta = 2[\\theta - \\frac{\\sin(2\\theta)}{2}]_0^{2\\pi} = 4\\pi$ \n4. Résultat final : \n$I_0' = 8\\pi + 4\\pi = 12\\pi \\approx 37{,}70 \\text{ (interprétation : variation du moment d'inertie due à la distribution angulaire)}$
Exercice 5 : Volume et moment d'inertie d'une boule
\n
On considère une boule (sphère pleine) $D$ de rayon $R = 2$ avec une densité volumique $\\rho(\\rho_s, \\theta, \\phi) = \\rho_s^2$ (où $\\rho_s$ est la coordonnée radiale sphérique).
\n\n
Question 1 : En utilisant les coordonnées sphériques où $dV = \\rho_s^2 \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\theta \\, d\\phi$, calculer la masse de la boule : $M = \\iiint_D \\rho_s^2 \\, dV$.
\n\n
Question 2 : Calculer le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe des z : $I_z = \\iiint_D \\rho_s^2 \\sin^2(\\phi) \\cdot \\rho_s^2 \\, dV$.
\n\n
Question 3 : On souhaite calculer $M_z = \\iiint_D \\rho_s^3 \\cos(\\phi) \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\theta \\, d\\phi$ (moment associé à la composante z).
\n\n
Question 4 : Calculer le volume de la boule $V = \\iiint_D 1 \\, dV$ en utilisant les coordonnées sphériques.
",
"svg": "ρxzR = 2",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Masse de la boule \nEn coordonnées sphériques : $0 \\leq \\rho_s \\leq 2, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi, 0 \\leq \\phi \\leq \\pi$. \n1. Formule générale : \n$M = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^2 \\cdot \\rho_s^2 \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n$= \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^4 \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $\\rho_s$ : \n$\\int_0^2 \\rho_s^4 \\, d\\rho_s = [\\frac{\\rho_s^5}{5}]_0^2 = \\frac{32}{5}$ \n3. Intégration par rapport à $\\phi$ : \n$\\int_0^\\pi \\frac{32}{5} \\sin(\\phi) \\, d\\phi = \\frac{32}{5}[-\\cos(\\phi)]_0^\\pi = \\frac{32}{5}[-\\cos(\\pi) + \\cos(0)] = \\frac{32}{5}[1 + 1] = \\frac{64}{5}$ \n4. Intégration par rapport à $\\theta$ : \n$\\int_0^{2\\pi} \\frac{64}{5} \\, d\\theta = \\frac{64}{5} \\cdot 2\\pi = \\frac{128\\pi}{5}$ \n5. Résultat final : \n$M = \\frac{128\\pi}{5} \\approx 80{,}42$
\n\n
Question 2 : Moment d'inertie par rapport à l'axe des z \nOn calcule $I_z = \\iiint_D \\rho_s^2 \\sin^2(\\phi) \\cdot \\rho_s^2 \\, dV$. \n1. Formule générale : \n$I_z = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^2 \\sin^2(\\phi) \\cdot \\rho_s^4 \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n$= \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^6 \\sin^3(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $\\rho_s$ : \n$\\int_0^2 \\rho_s^6 \\, d\\rho_s = [\\frac{\\rho_s^7}{7}]_0^2 = \\frac{128}{7}$ \n3. Intégration par rapport à $\\phi$ : \n$\\int_0^\\pi \\sin^3(\\phi) \\, d\\phi = \\int_0^\\pi \\sin(\\phi)(1 - \\cos^2(\\phi)) \\, d\\phi$ \nSoit $u = \\cos(\\phi)$, $du = -\\sin(\\phi) d\\phi$ : \n$= \\int_1^{-1} (1 - u^2) (-du) = \\int_{-1}^1 (1 - u^2) \\, du = [u - \\frac{u^3}{3}]_{-1}^1 = (1 - \\frac{1}{3}) - (-1 + \\frac{1}{3}) = \\frac{2}{3} + \\frac{2}{3} = \\frac{4}{3}$ \n4. Intégration par rapport à $\\theta$ : \n$\\int_0^{2\\pi} \\frac{128}{7} \\cdot \\frac{4}{3} \\, d\\theta = \\frac{512}{21} \\cdot 2\\pi = \\frac{1024\\pi}{21}$ \n5. Résultat final : \n$I_z = \\frac{1024\\pi}{21} \\approx 153{,}37$
\n\n
Question 3 : Calcul du moment associé à la composante z \nOn calcule $M_z = \\iiint_D \\rho_s^3 \\cos(\\phi) \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\theta \\, d\\phi$. \n1. Formule générale : \n$M_z = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^3 \\cos(\\phi) \\sin(\\phi) \\cdot \\rho_s^2 \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n$= \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^5 \\cos(\\phi) \\sin^2(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $\\rho_s$ : \n$\\int_0^2 \\rho_s^5 \\, d\\rho_s = [\\frac{\\rho_s^6}{6}]_0^2 = \\frac{64}{6} = \\frac{32}{3}$ \n3. Intégration par rapport à $\\phi$ : \n$\\int_0^\\pi \\cos(\\phi) \\sin^2(\\phi) \\, d\\phi$ \nSoit $u = \\sin(\\phi)$, $du = \\cos(\\phi) d\\phi$ : \n$= \\int_0^0 u^2 \\, du = 0$ \n4. Résultat final : \n$M_z = 0$ (par symétrie de la sphère autour du plan équatorial)
\n\n
Question 4 : Volume de la boule \nOn calcule $V = \\iiint_D 1 \\, dV$. \n1. Formule générale : \n$V = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^\\pi \\int_0^2 \\rho_s^2 \\sin(\\phi) \\, d\\rho_s \\, d\\phi \\, d\\theta$ \n2. Intégration par rapport à $\\rho_s$ : \n$\\int_0^2 \\rho_s^2 \\, d\\rho_s = [\\frac{\\rho_s^3}{3}]_0^2 = \\frac{8}{3}$ \n3. Intégration par rapport à $\\phi$ : \n$\\int_0^\\pi \\frac{8}{3} \\sin(\\phi) \\, d\\phi = \\frac{8}{3}[-\\cos(\\phi)]_0^\\pi = \\frac{8}{3}[1 + 1] = \\frac{16}{3}$ \n4. Intégration par rapport à $\\theta$ : \n$\\int_0^{2\\pi} \\frac{16}{3} \\, d\\theta = \\frac{16}{3} \\cdot 2\\pi = \\frac{32\\pi}{3}$ \n5. Résultat final : \n$V = \\frac{32\\pi}{3} \\approx 33{,}51 \\text{ unités}^3$ (validation : formule classique $V = \\frac{4}{3}\\pi R^3 = \\frac{4}{3}\\pi (2)^3 = \\frac{32\\pi}{3}$)
Soit la région $D$ du plan délimitée par les courbes $y = x$ et $y = x^2$ dans le premier quadrant pour $0 \\leq x \\leq 1$. On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double.
Question 1: Identifier les limites d'intégration en déterminant les points d'intersection des courbes $y = x$ et $y = x^2$.
Question 2: Mettre en place l'intégrale double $\\iint_D 1 \\, dA$ (ou $\\iint_D dydx$) pour calculer l'aire de la région $D$.
Question 3: Calculer d'abord l'intégrale interne $\\int_{x^2}^{x} 1 \\, dy$ en fonction de $x$.
Question 4: Calculer l'intégrale externe $\\int_0^1 (x - x^2) \\, dx$ pour obtenir l'aire totale de la région $D$.
",
"svg": "xy00.20.40.60.81.000.20.40.60.81.0(0,0)(1,1)y = xy = x²Région D",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous identifions les points d'intersection des courbes $y = x$ et $y = x^2$.
Points d'intersection: Pour $x = 0$: $y = 0$, point $(0, 0)$ Pour $x = 1$: $y = 1$, point $(1, 1)$
Détermination de la région: Pour $0 \\leq x \\leq 1$: on compare $y = x$ et $y = x^2$ Exemple à $x = 0.5$: $y = 0.5$ (linéaire) et $y = 0.25$ (parabola) Conclusion: $x \\geq x^2$ pour $x \\in [0, 1]$, donc $x^2 \\leq y \\leq x$
Solution Question 2:
Nous mettons en place l'intégrale double pour calculer l'aire.
Formule d'aire par intégrale double: Formule: $\\text{Aire}(D) = \\iint_D 1 \\, dA$
Mise en place en coordonnées cartésiennes: Formule: $\\text{Aire}(D) = \\int_0^1 \\int_{x^2}^{x} 1 \\, dy \\, dx$
Interprétation: - Intégrale interne: intégration en $y$ de $y = x^2$ à $y = x$ pour chaque $x$ fixe - Intégrale externe: intégration en $x$ de $x = 0$ à $x = 1$
Résultat de la mise en place: Intégrale: $\\iint_D dydx = \\int_0^1 \\int_{x^2}^{x} dy \\, dx$
Solution Question 3:
Nous calculons l'intégrale interne $\\int_{x^2}^{x} 1 \\, dy$.
Formule générale: Formule: $\\int_{x^2}^{x} 1 \\, dy = [y]_{x^2}^{x}$
Évaluation: Calcul: $[y]_{x^2}^{x} = x - x^2$
Résultat de l'intégrale interne: Résultat: $\\int_{x^2}^{x} 1 \\, dy = x - x^2$
Interprétation: Pour chaque valeur de $x$ dans $[0, 1]$, la 'hauteur' de la région est $x - x^2$.
Solution Question 4:
Nous calculons l'intégrale externe pour obtenir l'aire totale.
Formule de l'intégrale externe: Formule: $\\text{Aire}(D) = \\int_0^1 (x - x^2) \\, dx$
Intégration terme à terme: Calcul: $\\int_0^1 x \\, dx - \\int_0^1 x^2 \\, dx$
Calcul du premier terme: Intégrale: $\\int_0^1 x \\, dx = \\left[\\frac{x^2}{2}\\right]_0^1 = \\frac{1}{2} - 0 = \\frac{1}{2}$
Calcul du deuxième terme: Intégrale: $\\int_0^1 x^2 \\, dx = \\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_0^1 = \\frac{1}{3} - 0 = \\frac{1}{3}$
Soit le solide $V$ défini par les inégalités $0 \\leq x \\leq 2$, $0 \\leq y \\leq 3$, et $0 \\leq z \\leq 1 + x + y$ (un prisme de base rectangulaire avec sommet incliné). On souhaite calculer le volume de ce solide.
Question 1: Identifier les limites d'intégration pour les trois variables $x$, $y$, et $z$.
Question 2: Mettre en place l'intégrale triple $\\iiint_V 1 \\, dV$ pour calculer le volume du solide.
Question 3: Calculer l'intégrale la plus interne $\\int_0^{1+x+y} 1 \\, dz$ pour obtenir une expression en fonction de $x$ et $y$.
Question 4: Calculer les intégrales successives en $y$ puis en $x$ pour obtenir le volume total du solide.
",
"svg": "y=3x=2z=1+x+yOxzySolide V0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 30 ≤ z ≤ 1+x+y",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous identifions les limites d'intégration pour les trois variables.
Limites pour $x$: Donnée: $0 \\leq x \\leq 2$ Interprétation: $x$ varie de 0 à 2
Limites pour $y$: Donnée: $0 \\leq y \\leq 3$ Interprétation: $y$ varie de 0 à 3
Limites pour $z$: Donnée: $0 \\leq z \\leq 1 + x + y$ Interprétation: $z$ varie de 0 (base du solide) à $1 + x + y$ (surface inclinée supérieure)
Résumé des limites: Limites: $0 \\leq x \\leq 2$, $0 \\leq y \\leq 3$, $0 \\leq z \\leq 1 + x + y$
Solution Question 2:
Nous mettons en place l'intégrale triple pour calculer le volume.
Formule générale du volume: Formule: $\\text{Volume}(V) = \\iiint_V 1 \\, dV$
Expression en coordonnées cartésiennes: Formule: $\\text{Volume}(V) = \\int_0^2 \\int_0^3 \\int_0^{1+x+y} 1 \\, dz \\, dy \\, dx$
Interprétation de l'ordre d'intégration: - Intégrale la plus interne (en $z$): intégration verticale pour chaque couple $(x, y)$ fixe - Intégrale du milieu (en $y$): intégration le long de la direction $y$ pour chaque $x$ fixe - Intégrale externe (en $x$): intégration le long de la direction $x$
Solution Question 3:
Nous calculons l'intégrale la plus interne en $z$.
Formule générale: Formule: $\\int_0^{1+x+y} 1 \\, dz$
Soit le domaine $D$ défini en coordonnées polaires par $0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2}$ et $0 \\leq r \\leq 2$ (un quart de disque de rayon 2). On souhaite calculer l'aire de ce domaine et le volume du solide généré par la rotation d'une surface au-dessus.
Question 1: Écrire la transformation de coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires et identifier le jacobien.
Question 2: Mettre en place l'intégrale double $\\iint_D r \\, dr \\, d\\theta$ pour calculer l'aire du domaine $D$ en coordonnées polaires.
Question 3: Calculer d'abord l'intégrale interne $\\int_0^2 r \\, dr$ en fonction de $\\theta$.
Question 4: Calculer l'intégrale externe $\\int_0^{\\pi/2} \\left(\\int_0^2 r \\, dr\\right) d\\theta$ pour obtenir l'aire totale du domaine $D$.
",
"svg": "x (cos θ)y (sin θ)θ=0θ=π/2Or=2r=2r=0Quart de disqueD: 0 ≤ θ ≤ π/2 0 ≤ r ≤ 2",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous écrivons la transformation vers coordonnées polaires et identifions le jacobien.
Transformation de coordonnées: Formules: $x = r\\cos(\\theta)$, $y = r\\sin(\\theta)$
Vérification: Vérification: L'aire d'un disque complet de rayon 2 est $\\pi r^2 = \\pi \\cdot 2^2 = 4\\pi$ L'aire d'un quart de disque est $\\frac{1}{4} \\cdot 4\\pi = \\pi$ ✓
Conclusion: L'aire du domaine $D$ (quart de disque de rayon 2) est $\\pi$ unités carrées.
Soit le solide $W$ défini par $x^2 + y^2 \\leq 4$ et $0 \\leq z \\leq 3 - \\frac{x^2 + y^2}{4}$ (un cylindre avec sommet conique). On souhaite calculer le volume en utilisant des coordonnées cylindriques.
Question 1: Identifier la transformation de coordonnées cartésiennes vers cylindriques $(r, \\theta, z)$ et déterminer le jacobien.
Question 2: Déterminer les limites d'intégration en coordonnées cylindriques pour le solide $W$.
Question 3: Mettre en place l'intégrale triple $\\iiint_W r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$ avec les limites appropriées.
Question 4: Calculer le volume en intégrant successivement en $z$, puis en $r$, puis en $\\theta$.
",
"svg": "z = 3r = 2Cône inscrit dans cylindrex² + y² ≤ 40 ≤ z ≤ 3 - (x² + y²)/4Coordonnées cylindriques: (r, θ, z)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous identifions la transformation et le jacobien en coordonnées cylindriques.
Récapitulatif des limites: Limites: $0 \\leq r \\leq 2$, $0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$, $0 \\leq z \\leq 3 - \\frac{r^2}{4}$
Solution Question 3:
Nous mettons en place l'intégrale triple.
Formule générale du volume: Formule: $\\text{Volume}(W) = \\iiint_W 1 \\, dV = \\iiint_W r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$
Expression avec limites: Formule: $\\text{Volume}(W) = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 \\int_0^{3-r^2/4} r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$
Ordre d'intégration: - Intégrale la plus interne: en $z$ de 0 à $3 - \\frac{r^2}{4}$ - Intégrale du milieu: en $r$ de 0 à 2 - Intégrale externe: en $\\theta$ de 0 à $2\\pi$
Solution Question 4:
Nous calculons le volume en intégrant successivement.
Intégration en $z$: Intégrale: $\\int_0^{3-r^2/4} r \\, dz = r[z]_0^{3-r^2/4} = r\\left(3 - \\frac{r^2}{4}\\right)$
Exercice 1 : Intégrale de Riemann et calcul d'aire sous une courbe
On considère la fonction $f(x) = x^2 + 2x$ sur l'intervalle $[0, 3]$.
Question 1 : Calculez l'intégrale de Riemann $\\int_0^3 (x^2 + 2x) \\, dx$ à l'aide d'une primitive.
Question 2 : L'aire sous la courbe $f(x)$ entre $x = 0$ et $x = 3$ correspond-elle à cette intégrale ? Justifiez numériquement en donnant la valeur de l'aire.
Question 3 : Utilisez la méthode des rectangles avec $n = 3$ sous-intervalles pour approximer cette aire. Calculez la somme de Riemann gauche.
Question 4 : Calculez l'erreur absolue entre l'approximation par rectangles et la valeur exacte de l'intégrale.
",
"svg": "Aire sous la courbe f(x) = x² + 2x sur [0,3]0123f(x)Rectangles gauches pour approximation",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Exercice 4 : Intégrale double en coordonnées polaires
Soit $D$ le disque de rayon $R = 2$ centré à l'origine.
Question 1 : Écrivez la région $D$ en coordonnées polaires avec $r$ et $\\theta$.
Question 2 : Calculez l'aire du disque en utilisant l'intégrale double en coordonnées polaires $\\iint_D r \\, dr \\, d\\theta$.
Question 3 : Calculez l'intégrale double $\\iint_D r^2 \\cos(\\theta) \\, r \\, dr \\, d\\theta$ (moment d'inertie relatif).
Question 4 : Calculez le moment de second ordre $\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dA = \\iint_D r^2 \\, r \\, dr \\, d\\theta$.
",
"svg": "Disque D en coordonnées polairesrθyx0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2πÉlément d'aire : dA = r dr dθ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Formule générale : $\\text{Aire}(D) = \\iint_D r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r \\, dr \\, d\\theta$ 2. Intégration par rapport à $r$ : $\\int_0^2 r \\, dr = [\\frac{r^2}{2}]_0^2 = \\frac{4}{2} = 2$ 3. Substitution : $\\int_0^{2\\pi} 2 \\, d\\theta$ 4. Intégration par rapport à $\\theta$ : $\\int_0^{2\\pi} 2 \\, d\\theta = [2\\theta]_0^{2\\pi} = 4\\pi$ 5. Résultat final : $\\text{Aire}(D) = 4\\pi$ unités carrées
Question 3 : Calcul de l'intégrale de r²cos(θ)
1. Formule générale : $\\iint_D r^2\\cos(\\theta) \\, r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^3\\cos(\\theta) \\, dr \\, d\\theta$ 2. Intégration par rapport à $r$ : $\\int_0^2 r^3 \\, dr = [\\frac{r^4}{4}]_0^2 = \\frac{16}{4} = 4$ 3. Substitution : $\\int_0^{2\\pi} 4\\cos(\\theta) \\, d\\theta$ 4. Intégration par rapport à $\\theta$ : $\\int_0^{2\\pi} 4\\cos(\\theta) \\, d\\theta = [4\\sin(\\theta)]_0^{2\\pi}$ $= 4\\sin(2\\pi) - 4\\sin(0) = 0$ 5. Résultat final : $\\iint_D r^2\\cos(\\theta) \\, r \\, dr \\, d\\theta = 0$
Question 4 : Moment de second ordre
1. Formule générale : $\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dA = \\iint_D r^2 \\, r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^3 \\, dr \\, d\\theta$ 2. Intégration par rapport à $r$ : $\\int_0^2 r^3 \\, dr = [\\frac{r^4}{4}]_0^2 = \\frac{16}{4} = 4$ 3. Substitution : $\\int_0^{2\\pi} 4 \\, d\\theta$ 4. Intégration par rapport à $\\theta$ : $\\int_0^{2\\pi} 4 \\, d\\theta = [4\\theta]_0^{2\\pi} = 8\\pi$ 5. Résultat final : $\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dA = 8\\pi$ unités quantitatives
Exercice 5 : Intégrale double en coordonnées cartésiennes pour un volume sous une surface
Soit le domaine $D$ défini par $0 \\leq x \\leq 2$ et $0 \\leq y \\leq 3$, et la surface $z = f(x, y) = 4 - x - y$.
Question 1 : Décrivez le domaine $D$ et l'intervalle de variation de $z$.
Question 2 : Calculez le volume sous la surface $z = 4 - x - y$ au-dessus du domaine $D$ en utilisant l'intégrale double $\\iint_D (4 - x - y) \\, dA$.
Question 4 : Calculez le volume du prisme au-dessus du domaine $D$ limité par le plan $z = 2$ (ce qui correspondrait à $\\iint_D \\max(2, 4 - x - y) - \\min(0, 4-x-y) \\, dA$).
",
"svg": "Volume sous la surface z = 4 - x - yDomaine D : [0,2] × [0,3]Surface : z = 4 - x - yVolume = ∫∫_D (4 - x - y) dA",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 5
Question 1 : Description du domaine et intervalle de z
1. Domaine : $D = \\{(x, y) : 0 \\leq x \\leq 2, 0 \\leq y \\leq 3\\}$ 2. Surface : $z = f(x, y) = 4 - x - y$ 3. Analyse de z : Pour $(x, y) \\in D$ : - En $(0, 0)$ : $z = 4$ - En $(2, 0)$ : $z = 4 - 2 = 2$ - En $(0, 3)$ : $z = 4 - 3 = 1$ - En $(2, 3)$ : $z = 4 - 2 - 3 = -1$ 4. Intervalle : $-1 \\leq z \\leq 4$ 5. Résultat final : Le plan passe par les points $(0, 0, 4)$, $(2, 0, 2)$, $(0, 3, 1)$, $(2, 3, -1)$
Question 2 : Volume sous la surface
1. Formule générale : $\\text{Volume} = \\iint_D (4 - x - y) \\, dA = \\int_0^2 \\int_0^3 (4 - x - y) \\, dy \\, dx$ 2. Intégration par rapport à $y$ : $\\int_0^3 (4 - x - y) \\, dy$ $= [(4-x)y - \\frac{y^2}{2}]_0^3 = (4-x)(3) - \\frac{9}{2}$ $= 12 - 3x - 4.5 = 7.5 - 3x$ 3. Substitution : $\\int_0^2 (7.5 - 3x) \\, dx$ 4. Intégration par rapport à $x$ : $\\int_0^2 (7.5 - 3x) \\, dx = [7.5x - \\frac{3x^2}{2}]_0^2$ $= 7.5(2) - \\frac{3(4)}{2} = 15 - 6 = 9$ 5. Résultat final : $\\text{Volume} = 9$ unités cubiques
Question 3 : Calcul de (4 - x - y)²
1. Formule générale : $\\iint_D (4 - x - y)^2 \\, dA = \\int_0^2 \\int_0^3 (4 - x - y)^2 \\, dy \\, dx$ 2. Développement : $(4 - x - y)^2 = (4-x)^2 - 2(4-x)y + y^2$ 3. Intégration par rapport à $y$ : $\\int_0^3 [(4-x)^2 - 2(4-x)y + y^2] \\, dy$ $= [(4-x)^2 y - (4-x)y^2 + \\frac{y^3}{3}]_0^3$ $= 3(4-x)^2 - 9(4-x) + 9$ 4. Expansion : $3(16 - 8x + x^2) - 9(4-x) + 9$ $= 48 - 24x + 3x^2 - 36 + 9x + 9 = 3x^2 - 15x + 21$ 5. Intégration par rapport à $x$ : $\\int_0^2 (3x^2 - 15x + 21) \\, dx$ $= [x^3 - \\frac{15x^2}{2} + 21x]_0^2$ $= 8 - 30 + 42 = 20$ 6. Résultat final : $\\iint_D (4 - x - y)^2 \\, dA = 20$
Question 4 : Volume du prisme limité par z = 2
1. Analyse de la région : On cherche le volume où $0 \\leq z \\leq \\min(2, 4-x-y)$ 2. Déterminer où $4 - x - y = 2$ : $x + y = 2$ 3. Division du domaine : - Région 1 : $x + y \\leq 2$ (où $4 - x - y \\geq 2$) - Région 2 : $x + y > 2$ (où $4 - x - y < 2$) 4. Volume région 1 : $\\iint_{D_1} 2 \\, dA$ où $D_1 = \\{(x,y) : 0 \\leq x \\leq 2, 0 \\leq y \\leq \\min(3, 2-x)\\}$ 5. Pour $0 \\leq x \\leq 2$ : $2 - x \\leq 3$, donc limite est $y = 2 - x$ $\\int_0^2 \\int_0^{2-x} 2 \\, dy \\, dx = \\int_0^2 2(2-x) \\, dx = [4x - x^2]_0^2 = 8 - 4 = 4$ 6. Volume région 2 : $\\iint_{D_2} (4-x-y) \\, dA$ où $D_2 = \\{(x,y) : 0 \\leq x \\leq 2, 2-x < y \\leq 3\\}$ Cette région n'existe que si $2 - x < 3 \\Rightarrow x > -1$, ce qui est toujours vrai pour $x \\in [0, 2]$ Mais aussi $2 - x < 3$ implique $x > -1$ (toujours), et nous devons $4 - x - y > 0$ dans cette région Pour $0 \\leq x \\leq 2$ et $y > 2 - x$, on a $4 - x - y < 2$ Calcul : $\\int_0^2 \\int_{2-x}^3 (4-x-y) \\, dy \\, dx = \\int_0^2 [(4-x)y - \\frac{y^2}{2}]_{2-x}^3 dx$ $= \\int_0^2 [(4-x)(3) - \\frac{9}{2} - (4-x)(2-x) + \\frac{(2-x)^2}{2}] dx$ $= \\int_0^2 [12 - 3x - 4.5 - (8 - 4x - 2x + x^2) + \\frac{4 - 4x + x^2}{2}] dx$ $= \\int_0^2 [7.5 - 3x - 8 + 6x - x^2 + 2 - 2x + \\frac{x^2}{2}] dx$ $= \\int_0^2 [1.5 + x - \\frac{x^2}{2}] dx = [1.5x + \\frac{x^2}{2} - \\frac{x^3}{6}]_0^2$ $= 3 + 2 - \\frac{8}{6} = 5 - 1.333 = 3.667 \\approx 3.67$ 7. Volume total : $4 + 3.67 = 7.67$ unités cubiques (arrondi)
Exercice 1 : Intégrale double sur un domaine rectangulaire et calcul d'aire
On considère la fonction $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ définie sur le domaine $D = [0, 2] \\times [0, 3]$. On souhaite calculer l'intégrale double de cette fonction sur $D$ et en déduire l'aire pondérée.
Question 1 : Calculez d'abord l'intégrale simple interne $\\int_0^3 (x^2 + 2xy + y^2) \\, dy$ en considérant $x$ comme une constante.
Question 2 : À partir du résultat de la question 1, calculez l'intégrale double $\\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \\, dx \\, dy = \\int_0^2 \\left[ \\int_0^3 (x^2 + 2xy + y^2) \\, dy \\right] dx$.
Question 3 : Calculez maintenant l'intégrale double du domaine $D$ lui-même, c'est-à-dire $\\iint_D 1 \\, dx \\, dy$ (qui donne l'aire de $D$).
Question 4 : En divisant le résultat de la question 2 par celui de la question 3, calculez la valeur moyenne de $f$ sur le domaine $D$.
",
"svg": "xy00.511.520123D = [0,2]×[0,3]Domaine rectangulaire",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Intégrale simple interne par rapport à y
1. Formule générale dans $...$ : $\\int_0^3 (x^2 + 2xy + y^2) \\, dy$
2. Remplacement des données dans $...$ : On traite $x$ comme une constante et on intègre terme par terme : $\\int_0^3 x^2 \\, dy + \\int_0^3 2xy \\, dy + \\int_0^3 y^2 \\, dy$
3. Calcul dans $...$ : $\\int_0^3 x^2 \\, dy = x^2 y \\big|_0^3 = 3x^2$ $\\int_0^3 2xy \\, dy = 2x \\cdot \\frac{y^2}{2} \\big|_0^3 = x \\cdot 9 = 9x$ $\\int_0^3 y^2 \\, dy = \\frac{y^3}{3} \\big|_0^3 = \\frac{27}{3} = 9$
Somme : $3x^2 + 9x + 9$
4. Résultat final dans $...$ : $\\int_0^3 (x^2 + 2xy + y^2) \\, dy = 3x^2 + 9x + 9$
Question 2 : Intégrale double complète
1. Formule générale dans $...$ : $\\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \\, dx \\, dy = \\int_0^2 (3x^2 + 9x + 9) \\, dx$
2. Remplacement des données dans $...$ : On intègre terme par terme : $\\int_0^2 3x^2 \\, dx + \\int_0^2 9x \\, dx + \\int_0^2 9 \\, dx$
4. Résultat final dans $...$ : $\\text{Aire}(D) = 6$ unités carrées
Question 4 : Valeur moyenne de f sur D
1. Formule générale dans $...$ : La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un domaine $D$ est : $\\bar{f} = \\frac{1}{\\text{Aire}(D)} \\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy$
Exercice 2 : Intégrale double sur un domaine triangulaire et calcul de volume
On considère la fonction $f(x, y) = x + 2y$ définie sur le domaine triangulaire $T$ délimité par les droites $y = 0$, $x = 0$ et $x + y = 2$. On souhaite calculer le volume sous la surface$z = f(x, y)$ au-dessus du domaine $T$.
Question 1 : Décrivez le domaine $T$ en déterminant ses bornes d'intégration. Pour un $x$ fixé entre 0 et 2, quelle est la plage de variation de $y$?
Question 2 : Calculez l'intégrale double $\\iint_T (x + 2y) \\, dx \\, dy$ en intégrant d'abord par rapport à $y$, puis par rapport à $x$.
Question 3 : Calculez l'aire du domaine triangulaire $T$ en évaluant $\\iint_T 1 \\, dx \\, dy$.
Question 4 : Calculez la hauteur moyenne de la surface $z = x + 2y$ au-dessus du domaine $T$.
",
"svg": "(0,0)(0,2)(2,0)x=0y=0x+y=2xy00.511.5200.511.52Domaine TDomaine triangulaire",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Description du domaine triangulaire T
1. Formule générale dans $...$ : Le domaine $T$ est délimité par les trois droites :$y = 0 \\quad (\\text{axe des abscisses})$, $x = 0 \\quad (\\text{axe des ordonnées})$, et $x + y = 2$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Pour décrire le domaine, on identifie d'abord les sommets du triangle : - Intersection de $y = 0$ et $x = 0$ : $(0, 0)$ - Intersection de $x = 0$ et $x + y = 2$ : $(0, 2)$ - Intersection de $y = 0$ et $x + y = 2$ : $(2, 0)$
3. Calcul dans $...$ : Pour un $x$ fixé dans $[0, 2]$, la variable $y$ varie de $y = 0$ (sur l'axe des abscisses) jusqu'à $y = 2 - x$ (sur la droite $x + y = 2$).
4. Résultat final dans $...$ : Le domaine $T$ se décrit comme : $T = \\{(x, y) : 0 \\leq x \\leq 2, \\, 0 \\leq y \\leq 2-x\\}$
Question 2 : Intégrale double sur le domaine triangulaire
1. Formule générale dans $...$ : $\\iint_T (x + 2y) \\, dx \\, dy = \\int_0^2 \\int_0^{2-x} (x + 2y) \\, dy \\, dx$
2. Remplacement des données dans $...$ : On intègre d'abord par rapport à $y$ : $\\int_0^{2-x} (x + 2y) \\, dy = \\left[ xy + y^2 \\right]_0^{2-x}$ $= x(2-x) + (2-x)^2 - 0$ $= 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2$ $= 4 - 2x$
3. Calcul dans $...$ : Maintenant on intègre par rapport à $x$ : $\\int_0^2 (4 - 2x) \\, dx = \\left[ 4x - x^2 \\right]_0^2$ $= 4(2) - 2^2 - 0$ $= 8 - 4 = 4$
4. Résultat final dans $...$ : $\\iint_T (x + 2y) \\, dx \\, dy = 4$
Question 3 : Aire du domaine triangulaire
1. Formule générale dans $...$ : $\\text{Aire}(T) = \\iint_T 1 \\, dx \\, dy = \\int_0^2 \\int_0^{2-x} 1 \\, dy \\, dx$
2. Remplacement des données dans $...$ : $\\int_0^{2-x} 1 \\, dy = y \\big|_0^{2-x} = 2 - x$
Exercice 3 : Intégrale triple et calcul de volume d'un parallélépipède
On considère le domaine solide $W$ défini par $W = \\{(x, y, z) : 0 \\leq x \\leq 1, \\, 0 \\leq y \\leq 2, \\, 0 \\leq z \\leq 3\\}$. On souhaite calculer le volume de ce solide et l'intégrale triple d'une fonction de densité.
Question 1 : Calculez le volume du domaine $W$ en évaluant $\\iiint_W 1 \\, dx \\, dy \\, dz$.
Question 2 : Soit $\\rho(x, y, z) = x + y + z$ la fonction de densité du solide. Calculez la masse totale du solide en évaluant $\\iiint_W (x + y + z) \\, dx \\, dy \\, dz$.
Question 3 : Calculez le centre de masse du solide en trouvant la coordonnée $\\bar{x} = \\frac{1}{M} \\iiint_W x \\rho(x, y, z) \\, dx \\, dy \\, dz$, où $M$ est la masse trouvée à la question 2.
Question 4 : Déduisez-en les deux autres coordonnées $\\bar{y}$ et $\\bar{z}$ du centre de masse pour obtenir le centre de masse complet.
",
"svg": "x ∈ [0,1]y ∈ [0,2]z ∈ [0,3]OCentre de masseDomaine W = [0,1]×[0,2]×[0,3]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Volume du domaine W
1. Formule générale dans $...$ : $V = \\iiint_W 1 \\, dx \\, dy \\, dz = \\int_0^1 \\int_0^2 \\int_0^3 1 \\, dz \\, dy \\, dx$
2. Remplacement des données dans $...$ : On intègre d'abord par rapport à $z$, puis $y$, puis $x$ : $\\int_0^3 1 \\, dz = z \\big|_0^3 = 3$
Donc :$\\bar{z} = \\frac{31{,}5}{18} = \\frac{7}{4} = 1{,}75$
4. Résultat final dans $...$ : Le centre de masse complet est : $G = \\left( \\bar{x}, \\bar{y}, \\bar{z} \\right) = \\left( \\frac{19}{36}, \\frac{10}{9}, \\frac{7}{4} \\right) \\approx (0{,}528, 1{,}111, 1{,}75)$
Exercice 4 : Intégrale double en coordonnées polaires et calcul d'aire circulaire
On considère la région circulaire $D$ définie en coordonnées cartésiennes par $D = \\{(x, y) : x^2 + y^2 \\leq 4\\}$ (disque de rayon 2 centré à l'origine). On souhaite calculer l'intégrale double en utilisant les coordonnées polaires.
Question 1 : Exprimez le domaine $D$ en coordonnées polaires $(r, \\theta)$ où $x = r \\cos(\\theta)$ et $y = r \\sin(\\theta)$.
Question 2 : Soit $f(x, y) = x^2 + y^2$. Exprimez cette fonction en coordonnées polaires et calculez l'intégrale double $\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dx \\, dy$ en utilisant le changement de variables (n'oubliez pas le jacobien $r$).
Question 3 : Calculez l'aire du domaine $D$ en évaluant $\\iint_D 1 \\, dx \\, dy$ en coordonnées polaires.
Question 4 : Calculez la valeur moyenne de $f(x, y) = x^2 + y^2$ sur le domaine $D$.
Question 1 : Expression du domaine D en coordonnées polaires
1. Formule générale dans $...$ : La transformation de coordonnées cartésiennes en polaires est : $x = r \\cos(\\theta), \\quad y = r \\sin(\\theta)$
2. Remplacement des données dans $...$ : La condition $x^2 + y^2 \\leq 4$ devient : $r^2 \\cos^2(\\theta) + r^2 \\sin^2(\\theta) \\leq 4$ $r^2 (\\cos^2(\\theta) + \\sin^2(\\theta)) \\leq 4$ $r^2 \\leq 4$
3. Calcul dans $...$ : En prenant la racine carrée (avec $r \\geq 0$) : $r \\leq 2$
4. Résultat final dans $...$ : Le domaine $D$ en coordonnées polaires s'écrit : $D = \\{(r, \\theta) : 0 \\leq r \\leq 2, \\, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi\\}$
Question 2 : Intégrale double en coordonnées polaires
1. Formule générale dans $...$ : $f(x, y) = x^2 + y^2 = r^2 \\cos^2(\\theta) + r^2 \\sin^2(\\theta) = r^2$
2. Remplacement des données dans $...$ : La formule du changement de variables avec le jacobien est : $\\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy = \\iint_D f(r \\cos(\\theta), r \\sin(\\theta)) \\cdot r \\, dr \\, d\\theta$ Donc : $\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dx \\, dy = \\iint_D r^2 \\cdot r \\, dr \\, d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r^3 \\, dr \\, d\\theta$
3. Calcul dans $...$ : On intègre d'abord par rapport à $r$ : $\\int_0^2 r^3 \\, dr = \\left[ \\frac{r^4}{4} \\right]_0^2 = \\frac{16}{4} = 4$
Ensuite par rapport à $\\theta$ : $\\int_0^{2\\pi} 4 \\, d\\theta = 4\\theta \\big|_0^{2\\pi} = 8\\pi$
4. Résultat final dans $...$ : $\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dx \\, dy = 8\\pi \\approx 25{,}1327$
Question 3 : Aire du domaine D
1. Formule générale dans $...$ : $\\text{Aire}(D) = \\iint_D 1 \\, dx \\, dy = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r \\, dr \\, d\\theta$
2. Remplacement des données dans $...$ : L'intégrale se sépare facilement : $\\int_0^2 r \\, dr = \\left[ \\frac{r^2}{2} \\right]_0^2 = 2$ $\\int_0^{2\\pi} 1 \\, d\\theta = 2\\pi$
4. Résultat final dans $...$ : $\\text{Aire}(D) = 4\\pi \\approx 12{,}5664 \\text{ unités carrées}$
Question 4 : Valeur moyenne de f sur D
1. Formule générale dans $...$ : La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $D$ est : $\\bar{f} = \\frac{1}{\\text{Aire}(D)} \\iint_D f(x, y) \\, dx \\, dy$
2. Remplacement des données dans $...$ : $\\bar{f} = \\frac{\\iint_D (x^2 + y^2) \\, dx \\, dy}{\\text{Aire}(D)} = \\frac{8\\pi}{4\\pi}$
3. Calcul dans $...$ : $\\bar{f} = \\frac{8\\pi}{4\\pi} = 2$
4. Résultat final dans $...$ : La valeur moyenne de $f(x, y) = x^2 + y^2$ sur le disque $D$ est $\\bar{f} = 2$ unités.
Exercice 5 : Intégrale triple en coordonnées cylindriques et calcul de volume
On considère le domaine solide $V$ défini en coordonnées cartésiennes par $V = \\{(x, y, z) : x^2 + y^2 \\leq 1, \\, 0 \\leq z \\leq 2\\}$ (cylindre de rayon 1 et hauteur 2). On souhaite calculer l'intégrale triple en utilisant les coordonnées cylindriques.
Question 1 : Exprimez le domaine $V$ en coordonnées cylindriques $(r, \\theta, z)$ où $x = r \\cos(\\theta)$, $y = r \\sin(\\theta)$, et $z = z$.
Question 2 : Calculez le volume du cylindre en évaluant $\\iiint_V 1 \\, dx \\, dy \\, dz$ en coordonnées cylindriques (le jacobien est $r$).
Question 3 : Soit $\\rho(x, y, z) = \\sqrt{x^2 + y^2} + z$ la densité du solide. Exprimez cette densité en coordonnées cylindriques et calculez l'intégrale triple $\\iiint_V \\rho(x, y, z) \\, dx \\, dy \\, dz$.
Question 4 : Calculez la densité moyenne du solide en divisant le résultat de la question 3 par le volume trouvé à la question 2.
Question 1 : Expression du domaine V en coordonnées cylindriques
1. Formule générale dans $...$ : La transformation de coordonnées cartésiennes en cylindriques est : $x = r \\cos(\\theta), \\quad y = r \\sin(\\theta), \\quad z = z$
2. Remplacement des données dans $...$ : La condition $x^2 + y^2 \\leq 1$ devient : $r^2 \\cos^2(\\theta) + r^2 \\sin^2(\\theta) \\leq 1$ $r^2 \\leq 1$ Donc $r \\leq 1$ (avec $r \\geq 0$).
La condition $0 \\leq z \\leq 2$ reste inchangée.
3. Calcul dans $...$ : Pour couvrir le domaine entier, $\\theta$ varie de $0$ à $2\\pi$.
4. Résultat final dans $...$ : Le domaine $V$ en coordonnées cylindriques s'écrit : $V = \\{(r, \\theta, z) : 0 \\leq r \\leq 1, \\, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi, \\, 0 \\leq z \\leq 2\\}$
Question 2 : Volume du cylindre
1. Formule générale dans $...$ : $\\text{Vol}(V) = \\iiint_V 1 \\, dx \\, dy \\, dz = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^2 r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$
2. Remplacement des données dans $...$ : On intègre d'abord par rapport à $z$ : $\\int_0^2 r \\, dz = rz \\big|_0^2 = 2r$
3. Calcul dans $...$ : Ensuite par rapport à $r$ : $\\int_0^1 2r \\, dr = 2 \\cdot \\frac{r^2}{2} \\big|_0^1 = 1$
Finalement par rapport à $\\theta$ : $\\int_0^{2\\pi} 1 \\, d\\theta = 2\\pi$
4. Résultat final dans $...$ : $\\text{Vol}(V) = 2\\pi \\text{ unités cubiques}$
Vérification par la formule géométrique : $V = \\pi r^2 h = \\pi (1)^2 (2) = 2\\pi$ ✓
Question 3 : Intégrale triple de la densité
1. Formule générale dans $...$ : La densité en coordonnées cylindriques : $\\rho(x, y, z) = \\sqrt{x^2 + y^2} + z = \\sqrt{r^2 \\cos^2(\\theta) + r^2 \\sin^2(\\theta)} + z = r + z$
2. Remplacement des données dans $...$ : $\\iiint_V (r + z) \\, dx \\, dy \\, dz = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^2 (r + z) \\cdot r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$ $= \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^2 (r^2 + rz) \\, dz \\, dr \\, d\\theta$
3. Calcul dans $...$ : Intégration par rapport à $z$ : $\\int_0^2 (r^2 + rz) \\, dz = \\left[ r^2 z + \\frac{rz^2}{2} \\right]_0^2 = 2r^2 + 2r$
Intégration par rapport à $r$ : $\\int_0^1 (2r^2 + 2r) \\, dr = \\left[ \\frac{2r^3}{3} + r^2 \\right]_0^1 = \\frac{2}{3} + 1 = \\frac{5}{3}$
Intégration par rapport à $\\theta$ : $\\int_0^{2\\pi} \\frac{5}{3} \\, d\\theta = \\frac{5}{3} \\cdot 2\\pi = \\frac{10\\pi}{3}$
4. Résultat final dans $...$ : $\\iiint_V (r + z) \\, dx \\, dy \\, dz = \\frac{10\\pi}{3} \\approx 10{,}472$
Question 4 : Densité moyenne du solide
1. Formule générale dans $...$ : La densité moyenne est : $\\bar{\\rho} = \\frac{1}{\\text{Vol}(V)} \\iiint_V \\rho(x, y, z) \\, dx \\, dy \\, dz$
2. Remplacement des données dans $...$ : $\\bar{\\rho} = \\frac{\\iiint_V (r + z) \\, dx \\, dy \\, dz}{\\text{Vol}(V)} = \\frac{\\frac{10\\pi}{3}}{2\\pi}$
Exercice 1 : Intégration par la méthode de Riemann et primitives
On considère la fonction $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ définie sur l'intervalle $[0, 2]$. On souhaite calculer l'intégrale de Riemann en utilisant des subdivisions régulières et vérifier le résultat par le calcul de primitives.
Question 1 : Calculer la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$, puis déterminer les valeurs $F(0)$ et $F(2)$.
Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\\int_0^2 (2x^2 + 3x + 1) dx$ en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral et la primitive trouvée à la question 1.
Question 3 : Approcher l'intégrale en divisant l'intervalle $[0, 2]$ en 4 sous-intervalles égaux et en utilisant la méthode des rectangles à droite (sommes de Riemann), puis comparer avec le résultat exact obtenu à la question 2.
Question 4 : Calculer l'erreur d'approximation $\\varepsilon = |I_{\\text{exact}} - I_{\\text{Riemann}}|$ et exprimer cette erreur en pourcentage.
",
"svg": "xf(x)Intégrale de Riemann - Rectangles à droiteL'aire verte représente l'approximation par la méthode des rectangles",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul de la primitive
1. Formule générale pour les primitives :
$\\int x^n dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
2. Intégration terme par terme de $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ :
Exercice 2 : Intégrale double et calcul d'aire d'une région
On considère la région $D$ définie par les contraintes $0 \\leq x \\leq 2$ et $0 \\leq y \\leq x^2$. On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double.
Question 1 : Écrire l'intégrale double $\\iint_D 1 \\, dA$ pour le calcul de l'aire, en spécifiant les limites d'intégration en $x$ et $y$.
Question 2 : Calculer l'intégrale interne $\\int_0^{x^2} 1 \\, dy$ en fonction de $x$.
Question 3 : Calculer l'intégrale externe $\\int_0^2 x^2 \\, dx$ pour obtenir l'aire totale de la région $D$.
Question 4 : Vérifier le résultat en calculant l'intégrale de la fonction constante $f(x,y) = x + y$ sur la même région $D$ en utilisant $\\iint_D (x + y) \\, dA$.
",
"svg": "xyx ∈ [0, 2]y ∈ [0, x²]Intégrale double - Région délimitée par y = x²",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 2
Question 1 : Écriture de l'intégrale double
1. Formule générale pour le calcul d'aire :
$\\text{Aire}(D) = \\iint_D 1 \\, dA = \\iint_D dA$
2. Identification des contraintes :
$0 \\leq x \\leq 2 \\quad \\text{et} \\quad 0 \\leq y \\leq x^2$
3. Écriture de l'intégrale double en coordonnées cartésiennes :
$\\text{Aire}(D) = \\int_0^2 \\int_0^{x^2} 1 \\, dy \\, dx$
ou équivalemment :
$\\text{Aire}(D) = \\int_0^2 \\int_0^{x^2} dy \\, dx$
Résultat final : $\\iint_D 1 \\, dA = \\int_0^2 \\int_0^{x^2} dy \\, dx$.
Exercice 3 : Intégrale triple et calcul de volume d'un solide
On considère le solide $S$ défini par les contraintes $0 \\leq x \\leq 1$, $0 \\leq y \\leq 2$, et $0 \\leq z \\leq xy$. On souhaite calculer le volume de ce solide.
Question 1 : Écrire l'intégrale triple $\\iiint_S 1 \\, dV$ pour le calcul du volume, en spécifiant l'ordre d'intégration et les limites.
Question 2 : Calculer l'intégrale interne $\\int_0^{xy} 1 \\, dz$ en fonction de $x$ et $y$.
Question 3 : Calculer l'intégrale du second niveau $\\int_0^2 xy \\, dy$ en fonction de $x$.
Question 4 : Calculer l'intégrale externe $\\int_0^1 2x^2 \\, dx$ pour obtenir le volume total du solide $S$.
",
"svg": "Solide 3D - Intégrale Triplexzy0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 20 ≤ z ≤ xyLa région est limitée par z = xyVolume calculé par intégration triple",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 3
Question 1 : Écriture de l'intégrale triple
1. Formule générale pour le calcul de volume :
$\\text{Volume}(S) = \\iiint_S 1 \\, dV = \\iiint_S dV$
2. Identification des contraintes :
$0 \\leq x \\leq 1, \\quad 0 \\leq y \\leq 2, \\quad 0 \\leq z \\leq xy$
3. Écriture de l'intégrale triple en coordonnées cartésiennes (intégration dans l'ordre $dz \\, dy \\, dx$) :
Exercice 4 : Intégrale double en coordonnées polaires et calcul d'aire
On considère la région circulaire $D$ définie par $x^2 + y^2 \\leq 4$ (disque de rayon 2). On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double en coordonnées polaires.
Question 1 : Convertir les contraintes cartésiennes en coordonnées polaires en utilisant les substitutions $x = r\\cos\\theta$ et $y = r\\sin\\theta$, et déterminer les limites d'intégration pour $r$ et $\\theta$.
Question 2 : Écrire l'intégrale double $\\iint_D 1 \\, dA$ en coordonnées polaires avec le jacobien $dA = r \\, dr \\, d\\theta$.
Question 3 : Calculer l'intégrale interne $\\int_0^2 r \\, dr$ en fonction de $\\theta$.
Question 4 : Calculer l'intégrale externe $\\int_0^{2\\pi} 2 \\, d\\theta$ pour obtenir l'aire totale du disque.
",
"svg": "x (r cos θ)y (r sin θ)r ∈ [0, 2]θ ∈ [0, 2π]Disque en coordonnées polaires - x² + y² ≤ 4La région verte représente le disque de rayon 2",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 4
Question 1 : Conversion en coordonnées polaires
1. Substitutions polaires :
$x = r\\cos\\theta, \\quad y = r\\sin\\theta$
2. Contrainte cartésienne :
$x^2 + y^2 \\leq 4$
3. Conversion :
$(r\\cos\\theta)^2 + (r\\sin\\theta)^2 \\leq 4$
$r^2(\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta) \\leq 4$
$r^2 \\leq 4$
$r \\leq 2$
4. Limites d'intégration :
$0 \\leq r \\leq 2 \\quad \\text{(depuis le centre du disque jusqu'à sa frontière)}$
$0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi \\quad \\text{(tour complet autour du disque)}$
Résultat final : $0 \\leq r \\leq 2, \\, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$.
Question 2 : Écriture de l'intégrale en coordonnées polaires
1. Formule générale avec jacobien :
$dA = r \\, dr \\, d\\theta$
2. Intégrale double en coordonnées polaires :
$\\iint_D 1 \\, dA = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 1 \\cdot r \\, dr \\, d\\theta$
ou équivalemment :
$\\text{Aire}(D) = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r \\, dr \\, d\\theta$
Résultat final : $\\iint_D 1 \\, dA = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 r \\, dr \\, d\\theta$.
Exercice 5 : Intégrale triple en coordonnées cylindriques et calcul de volume
On considère le solide $S$ défini par $x^2 + y^2 \\leq 1$ (cylindre de rayon 1) et $0 \\leq z \\leq 3$ (hauteur 3). On souhaite calculer le volume de ce cylindre en utilisant une intégrale triple en coordonnées cylindriques.
Question 1 : Convertir les contraintes cartésiennes en coordonnées cylindriques en utilisant les substitutions $x = r\\cos\\theta$, $y = r\\sin\\theta$, et $z = z$. Déterminer les limites d'intégration.
Question 2 : Écrire l'intégrale triple $\\iiint_S 1 \\, dV$ en coordonnées cylindriques avec le jacobien $dV = r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$.
Question 3 : Calculer l'intégrale sur $z$ : $\\int_0^3 1 \\, dz$ en fonction de $r$ et $\\theta$.
Question 4 : Calculer le volume total du cylindre en évaluant l'intégrale triple complète $\\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^3 r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$.
",
"svg": "Cylindre en coordonnées cylindriquesθzr0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ z ≤ 3r = 1h = 3Volume du cylindre calculé par intégration triple",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 5
Question 1 : Conversion en coordonnées cylindriques
1. Substitutions cylindriques :
$x = r\\cos\\theta, \\quad y = r\\sin\\theta, \\quad z = z$
2. Contrainte cartésienne pour $x^2 + y^2$ :
$x^2 + y^2 \\leq 1$
3. Conversion :
$(r\\cos\\theta)^2 + (r\\sin\\theta)^2 \\leq 1$
$r^2(\\cos^2\\theta + \\sin^2\\theta) \\leq 1$
$r^2 \\leq 1$
$r \\leq 1$
4. Limites d'intégration :
$0 \\leq r \\leq 1 \\quad \\text{(depuis le centre jusqu'au rayon du cylindre)}$
$0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi \\quad \\text{(tour complet autour du cylindre)}$
$0 \\leq z \\leq 3 \\quad \\text{(hauteur du cylindre)}$
Résultat final : $0 \\leq r \\leq 1, \\, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi, \\, 0 \\leq z \\leq 3$.
Question 2 : Écriture de l'intégrale triple en coordonnées cylindriques
1. Jacobien en coordonnées cylindriques :
$dV = r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$
2. Intégrale triple en coordonnées cylindriques :
$\\iiint_S 1 \\, dV = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^3 1 \\cdot r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$
ou équivalemment :
$\\text{Volume}(S) = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^3 r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$
Résultat final : $\\iiint_S 1 \\, dV = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 \\int_0^3 r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$.
Question 3 : Intégration sur z
1. Intégrale sur z à calculer :
$I_z = \\int_0^3 1 \\, dz$
2. Primitive de 1 par rapport à z :
$\\int 1 \\, dz = z + C$
3. Application des limites d'intégration :
$I_z = [z]_0^3 = 3 - 0 = 3$
Résultat final : $\\int_0^3 1 \\, dz = 3$.
Question 4 : Volume total du cylindre
1. Après intégration sur z, l'intégrale devient :
$\\text{Volume}(S) = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^1 3r \\, dr \\, d\\theta$
2. Intégration sur r :
$I_r = \\int_0^1 3r \\, dr = 3 \\int_0^1 r \\, dr$
Exercice 1 : Intégrales de Riemann et calcul de primitives pour des aires
On considère une région rectangulaire délimitée par deux courbes et on souhaite calculer l'aire qu'elle enferme en utilisant les intégrales de Riemann. La région est définie par $y = x^2 + 2x$ et $y = 4x + 1$ entre deux points d'intersection.
Question 1 : Trouver les points d'intersection des deux courbes $y = x^2 + 2x$ et $y = 4x + 1$ en résolvant l'équation $x^2 + 2x = 4x + 1$.
Question 2 : Déterminer laquelle des deux fonctions est au-dessus de l'autre dans l'intervalle trouvé, puis calculer l'aire de la région enserrer par ces deux courbes en intégrant $\\int_a^b [f(x) - g(x)] \\, dx$.
Question 3 : Vérifier le résultat obtenu à la question 2 en utilisant une primitive et en appliquant le théorème fondamental du calcul intégral.
Question 4 : Calculer la valeur moyenne de la fonction $h(x) = (4x + 1) - (x^2 + 2x)$ sur l'intervalle des intersections trouvées.
Résultat final : Les points d'intersection sont $P_1(1 - \\sqrt{2}, 5 - 4\\sqrt{2})$ et $P_2(1 + \\sqrt{2}, 5 + 4\\sqrt{2})$.
Question 2 : Calcul de l'aire enserée par les deux courbes
Étape 1 - Vérification : quelle courbe est au-dessus ? Testons avec $x = 1$ (point entre les deux racines) : Parabole : $y = 1 + 2 = 3$ Droite : $y = 4 + 1 = 5$ La droite est au-dessus de la parabole.
Étape 2 - Formule de l'aire : $A = \\int_{1-\\sqrt{2}}^{1+\\sqrt{2}} [(4x + 1) - (x^2 + 2x)] \\, dx$
Exercice 2 : Intégrales doubles et calcul de volume
On considère une région rectangulaire $D = [0, 2] \\times [0, 3]$ dans le plan $xy$ et une surface définie par $f(x, y) = xy + 2x^2$ au-dessus de cette région. On souhaite calculer le volume sous cette surface.
Question 1 : Calculer l'intégrale double $\\iint_D (xy + 2x^2) \\, dA$ en intégrant d'abord par rapport à $y$, puis par rapport à $x$.
Question 2 : Inverser l'ordre d'intégration et calculer $\\iint_D (xy + 2x^2) \\, dA$ en intégrant d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$. Vérifier que le résultat est identique.
Question 3 : Pour une région modifiée $D' = \\{(x, y) : 0 \\leq x \\leq 2, 0 \\leq y \\leq x\\}$, calculer $\\iint_{D'} (xy + 2x^2) \\, dA$.
Question 4 : Interpréter les résultats des questions 1 et 3 en termes de volumes et discuter de la différence entre les deux régions d'intégration.
Résultat final : $\\iint_D (xy + 2x^2) \\, dA = 25$. Les deux ordres d'intégration donnent le même résultat, confirming le théorème de Fubini.
Question 3 : Intégrale double sur région triangulaire D'
Étape 1 - Mise en place : La région $D'$ est définie par $0 \\leq x \\leq 2$ et $0 \\leq y \\leq x$. $\\iint_{D'} (xy + 2x^2) \\, dA = \\int_0^2 \\int_0^x (xy + 2x^2) \\, dy \\, dx$
Étape 2 - Intégration interne (par rapport à y) : $\\int_0^x (xy + 2x^2) \\, dy = [\\frac{xy^2}{2} + 2x^2y]_0^x$ $= \\frac{x \\cdot x^2}{2} + 2x^2 \\cdot x - 0$ $= \\frac{x^3}{2} + 2x^3$ $= \\frac{x^3 + 4x^3}{2}$ $= \\frac{5x^3}{2}$
Résultat final : $\\iint_{D'} (xy + 2x^2) \\, dA = 10$ unités cubiques.
Question 4 : Interprétation et comparaison
Interprétation des résultats :
Région D (rectangle) : Le volume sous la surface $f(x, y) = xy + 2x^2$ au-dessus du rectangle $[0,2] \\times [0,3]$ est de $25$ unités cubiques. Cette région a une aire de base égale à $2 \\times 3 = 6$ unités carrées.
Région D' (triangle) : Le volume sous la même surface au-dessus du triangle défini par $0 \\leq y \\leq x$ et $0 \\leq x \\leq 2$ est de $10$ unités cubiques. Cette région a une aire de base égale à $\\frac{1}{2} \\times 2 \\times 2 = 2$ unités carrées (triangle rectangle de base 2 et hauteur 2).
Ratio volumétrique : Le rapport des volumes est $\\frac{25}{10} = 2.5$, tandis que le rapport des aires de base est $\\frac{6}{2} = 3$. Cette différence montre que la distribution de la fonction $f(x,y)$ n'est pas uniforme : la fonction atteint des valeurs plus grandes pour les paires $(x,y)$ avec $y$ proche de 3 (comme dans la région D).
Volume moyen : Volume moyen sur D : $\\frac{25}{6} \\approx 4.17$ Volume moyen sur D' : $\\frac{10}{2} = 5$ Bien que D' soit plus petite, le volume moyen y est plus élevé, indiquant que la région triangulaire capture les valeurs plus élevées de la fonction.
Exercice 3 : Intégrales triples et calcul de volume d'un solide
On considère un solide délimité par les surfaces $z = 0$ (plan inférieur), $z = 4 - x^2 - y^2$ (paraboloïde), et le cylindre $x^2 + y^2 = 4$ dans le plan $xy$. On souhaite calculer le volume complet du solide.
Question 1 : En utilisant les coordonnées cartésiennes, mettre en place l'intégrale triple $\\iiint_V 1 \\, dV$ pour calculer le volume. Déterminer les bornes d'intégration en fonction de x, y, z.
Question 2 : Convertir l'intégrale triple en coordonnées cylindriques $(r, \\theta, z)$ et mettre en place les nouvelles bornes d'intégration.
Question 3 : Calculer le volume en coordonnées cylindriques en intégrant successivement par rapport à $z$, $r$, puis $\\theta$.
Question 4 : Vérifier le résultat en calculant le volume d'une manière alternative (par exemple, en utilisant une intégrale double de la hauteur).
Question 1 : Mise en place en coordonnées cartésiennes
Étape 1 - Domaine spatial : Le solide est délimité par :- En bas : $z = 0$ - En haut : $z = 4 - x^2 - y^2$ - Latéralement : $x^2 + y^2 \\leq 4$ (intérieur d'un cylindre de rayon 2)
Étape 3 - Bornes pour x et y : La région de base dans le plan $xy$ est un disque de rayon 2 : $-2 \\leq x \\leq 2$ $-\\sqrt{4-x^2} \\leq y \\leq \\sqrt{4-x^2}$
Résultat final : L'intégrale est mise en place avec les bornes : $-2 \\leq x \\leq 2$, $-\\sqrt{4-x^2} \\leq y \\leq \\sqrt{4-x^2}$, $0 \\leq z \\leq 4-x^2-y^2$.
Question 2 : Conversion en coordonnées cylindriques
Étape 1 - Transformation : $x = r\\cos(\\theta)$, $y = r\\sin(\\theta)$, $dV = r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$
Étape 2 - Substitution de la limite supérieure : $z = 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2$
Étape 3 - Bornes en coordonnées cylindriques : $0 \\leq r \\leq 2$ (rayon du cylindre) $0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$ (angle complet) $0 \\leq z \\leq 4 - r^2$ (hauteur variable)
Étape 4 - Intégrale en coordonnées cylindriques : $V = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 \\int_0^{4-r^2} r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$
Résultat final : L'intégrale transformée est $V = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 \\int_0^{4-r^2} r \\, dz \\, dr \\, d\\theta$.
Question 3 : Calcul du volume en coordonnées cylindriques
Étape 1 - Intégration par rapport à z : $\\int_0^{4-r^2} r \\, dz = r \\cdot [z]_0^{4-r^2} = r(4 - r^2)$
Étape 2 - Développement : $r(4 - r^2) = 4r - r^3$
Étape 3 - Intégration par rapport à r : $\\int_0^2 (4r - r^3) \\, dr = [2r^2 - \\frac{r^4}{4}]_0^2$ $= 2(4) - \\frac{16}{4} - 0$ $= 8 - 4$ $= 4$
Étape 4 - Intégration par rapport à θ : $\\int_0^{2\\pi} 4 \\, d\\theta = 4[\\theta]_0^{2\\pi} = 4 \\cdot 2\\pi = 8\\pi$
Résultat final : Le volume du solide est $V = 8\\pi \\approx 25.133$ unités cubiques.
Question 4 : Vérification par intégrale double
Étape 1 - Approche alternative (intégrale double de la hauteur) : $V = \\iint_R h(x,y) \\, dA$ où $h(x,y) = 4 - x^2 - y^2$ et $R$ est le disque $x^2 + y^2 \\leq 4$.
Étape 2 - Conversion en coordonnées polaires : $V = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^2 (4 - r^2) r \\, dr \\, d\\theta$
Résultat final : Les deux méthodes confirment que $V = 8\\pi \\approx 25.133$ unités cubiques. Cette vérification valide notre calcul précédent en montrant la cohérence des différentes approches.
Exercice 4 : Calcul d'aires avec intégrales doubles et changement de variables
On souhaite calculer l'aire d'une région $R$ délimitée par les courbes $y = \\frac{x}{2}$, $y = 2x$, et $x = 4$ dans le premier quadrant. On utilisera différentes approches pour démontrer l'équivalence.
Question 1 : Identifier les points d'intersection des trois courbes et déterminer la région R avec ses bornes.
Question 2 : Calculer l'aire de la région R en utilisant l'intégrale double $\\iint_R 1 \\, dA$ avec l'ordre d'intégration dx dy.
Question 3 : Inverser l'ordre d'intégration (dy dx) et calculer l'aire pour vérifier les résultats.
Question 4 : Utiliser un changement de variables linéaire $u = \\frac{y}{x}$, $v = x$ et calculer l'aire en utilisant le jacobien de la transformation.
Étape 1 - Intersection entre $y = \\frac{x}{2}$ et $y = 2x$ : $\\frac{x}{2} = 2x$ $\\frac{x}{2} - 2x = 0$ $\\frac{x - 4x}{2} = 0$ $x = 0 \\Rightarrow y = 0$ Point : $O(0, 0)$
Étape 2 - Intersection entre $y = \\frac{x}{2}$ et $x = 4$ : $y = \\frac{4}{2} = 2$ Point : $C(4, 2)$
Étape 3 - Intersection entre $y = 2x$ et $x = 4$ : $y = 2(4) = 8$ Point : $D(4, 8)$
Étape 4 - Description de la région R : La région R est délimitée par :- Pour $0 \\leq x \\leq 4$, la courbe inférieure est $y = \\frac{x}{2}$ et la courbe supérieure est $y = 2x$.
Résultat final : La région R est un domaine limité par $\\frac{x}{2} \\leq y \\leq 2x$ et $0 \\leq x \\leq 4$.
Question 2 : Calcul de l'aire avec l'ordre dx dy
Étape 1 - Mise en place (ordre dy dx) : D'abord intégrer par rapport à x est plus compliqué. Intégrons par rapport à y d'abord :$A = \\int_0^4 \\int_{x/2}^{2x} 1 \\, dy \\, dx$
Étape 2 - Intégration interne (par rapport à y) : $\\int_{x/2}^{2x} 1 \\, dy = [y]_{x/2}^{2x} = 2x - \\frac{x}{2} = \\frac{4x - x}{2} = \\frac{3x}{2}$
Résultat final : L'aire de la région R est $A = 12$ unités carrées.
Question 3 : Inversion de l'ordre d'intégration (dx dy)
Étape 1 - Détermination des bornes : Si on intègre d'abord par rapport à x, on doit exprimer x en fonction de y :De $y = \\frac{x}{2}$, on obtient $x = 2y$ De $y = 2x$, on obtient $x = \\frac{y}{2}$ Pour $0 \\leq y \\leq 2$, $\\frac{y}{2} \\leq x \\leq 2y$ ne s'applique qu'à partir du point d'intersection. Analysons :
Étape 2 - Région divisée : Pour $0 \\leq y \\leq 2$ : $\\frac{y}{2} \\leq x \\leq 2y$ Pour $2 < y \\leq 8$ : $\\frac{y}{2} \\leq x \\leq 4$
Étape 4 - Calcul du premier terme : $\\int_0^2 \\int_{y/2}^{2y} 1 \\, dx \\, dy = \\int_0^2 (2y - \\frac{y}{2}) \\, dy = \\int_0^2 \\frac{3y}{2} \\, dy$ $= \\frac{3}{2} [\\frac{y^2}{2}]_0^2 = \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 3$
Étape 5 - Calcul du second terme : $\\int_2^8 \\int_{y/2}^4 1 \\, dx \\, dy = \\int_2^8 (4 - \\frac{y}{2}) \\, dy$ $= [4y - \\frac{y^2}{4}]_2^8$ $= (32 - 16) - (8 - 1) = 16 - 7 = 9$
Étape 6 - Aire totale : $A = 3 + 9 = 12$
Résultat final : L'aire est confirmée : $A = 12$ unités carrées. Les deux ordres d'intégration donnent le même résultat, validant le théorème de Fubini.
Étape 4 - Transformation des bornes : En région originale : $\\frac{x}{2} \\leq y \\leq 2x$ et $0 \\leq x \\leq 4$ En coordonnées $(u, v)$ : $\\frac{1}{2} \\leq u \\leq 2$ et $0 \\leq v \\leq 4$
Étape 5 - Intégrale transformée : $A = \\iint_R 1 \\, dA = \\int_0^4 \\int_{1/2}^2 |J| \\, du \\, dv$ $= \\int_0^4 \\int_{1/2}^2 v \\, du \\, dv$
Étape 6 - Intégration interne : $\\int_{1/2}^2 v \\, du = v[u]_{1/2}^2 = v(2 - \\frac{1}{2}) = \\frac{3v}{2}$
Résultat final : Le changement de variables confirme que $A = 12$ unités carrées. Cette approche démontre l'efficacité des transformations linéaires pour simplifier les calculs d'intégrales.
Exercice 5 : Applications des intégrales multiples : Calcul de centroïde et moment d'inertie
On considère une plaque plane non uniforme occupant une région $D$ définie par $y = x^2$ et $y = 4$ avec une densité variable $\\rho(x, y) = 1 + y$. On souhaite calculer le centroïde et le moment d'inertie par rapport à l'axe des x.
Question 1 : Calculer la masse totale de la plaque en intégrant la densité sur la région D : $M = \\iint_D \\rho(x, y) \\, dA$.
Question 2 : Trouver les coordonnées du centroïde $\\bar{x}$ et $\\bar{y}$ en utilisant les formules $\\bar{x} = \\frac{1}{M} \\iint_D x \\rho(x, y) \\, dA$ et $\\bar{y} = \\frac{1}{M} \\iint_D y \\rho(x, y) \\, dA$.
Question 3 : Calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe des x en utilisant $I_x = \\iint_D y^2 \\rho(x, y) \\, dA$.
Question 4 : Calculer le rayon de giration autour de l'axe des x en utilisant la formule $k_x = \\sqrt{\\frac{I_x}{M}}$.
Étape 1 - Détermination de la région D : La région est limitée par $y = x^2$ (parabole) et $y = 4$ (droite horizontale). Points d'intersection : $x^2 = 4 \\Rightarrow x = \\pm 2$
Étape 2 - Mise en place de l'intégrale : $M = \\iint_D (1 + y) \\, dA = \\int_{-2}^{2} \\int_{x^2}^{4} (1 + y) \\, dy \\, dx$
Résultat final : La masse totale est $M = \\frac{544}{15} \\approx 36.27$ unités de masse.
Question 2 : Calcul du centroïde
Étape 1 - Calcul de $\\bar{x}$ : $\\bar{x} = \\frac{1}{M} \\iint_D x(1+y) \\, dA = \\frac{1}{M} \\int_{-2}^{2} \\int_{x^2}^{4} x(1+y) \\, dy \\, dx$L'intégrande $x(1+y)$ est impaire en x, donc par symétrie :$\\bar{x} = 0$
Étape 2 - Calcul de $\\bar{y}$ : $\\bar{y} = \\frac{1}{M} \\iint_D y(1+y) \\, dA = \\frac{1}{M} \\int_{-2}^{2} \\int_{x^2}^{4} y(1+y) \\, dy \\, dx$
Résultat final : Le rayon de giration autour de l'axe x est $k_x \\approx 3.014$ unités. Ce rayon représente la distance hypothétique par rapport à l'axe x à laquelle la masse totale de la plaque pourrait être concentrée pour produire le même moment d'inertie.
Exercice 1 : Calcul d'aire d'une région plane par intégrale double
On considère une région $D$ du plan délimitée par les courbes $y = x$, $y = 2x$ et $x = 2$. On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double.
Question 1 : Identifier la région $D$ en trouvant les points d'intersection des courbes $y = x$, $y = 2x$ et la droite $x = 2$. Représenter la région et déterminer les limites d'intégration pour l'intégrale double $\\iint_D dA$.
Question 2 : Calculer l'aire de la région $D$ en utilisant l'intégrale double $A = \\iint_D dA$. Exprimer cette intégrale sous la forme d'une intégrale itérée $A = \\int_a^b \\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} dy\\, dx$ et calculer pas à pas.
Question 3 : Vérifier le résultat en utilisant une autre description de la région (par rapport à $y$ en premier). Écrire l'intégrale sous la forme $A = \\int_c^d \\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} dx\\, dy$ et démontrer que le résultat est identique.
Question 4 : Calculer maintenant le centre de masse (centroïde) $(\\bar{x}, \\bar{y})$ de la région $D$ en utilisant les formules $\\bar{x} = \\frac{\\iint_D x\\, dA}{\\iint_D dA}$ et $\\bar{y} = \\frac{\\iint_D y\\, dA}{\\iint_D dA}$. Évaluer numériquement.
",
"svg": "yx(2,2)(2,2)(2,4)y=xy=2xx=2Région D",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : Identification de la région et limites d'intégration
Étape 1 - Points d'intersection :
Intersection de $y = x$ et $y = 2x$ :
$x = 2x \\Rightarrow x = 0 \\Rightarrow y = 0$
Point : $(0, 0)$
Intersection de $y = x$ et $x = 2$ :
$y = 2, \\quad x = 2$
Point : $(2, 2)$
Intersection de $y = 2x$ et $x = 2$ :
$y = 2(2) = 4, \\quad x = 2$
Point : $(2, 4)$
Étape 2 - Description de la région :
La région $D$ est délimitée par :
- Gauche : l'origine $(0, 0)$
- Bas : $y = x$
- Haut : $y = 2x$
- Droite : $x = 2$
Étape 3 - Limites d'intégration (par rapport à $x$ en premier) :
Pour $x \\in [0, 2]$, et pour chaque $x$ fixé, $y$ varie de $x$ à $2x$ :
$D = \\{(x, y) : 0 \\leq x \\leq 2, x \\leq y \\leq 2x\\}$
Exercice 2 : Calcul du volume d'un solide par intégrale triple
On considère un solide $S$ délimité par le paraboloïde $z = x^2 + y^2$, le plan $z = 0$ et le cylindre $x^2 + y^2 = 4$. On souhaite calculer le volume de ce solide en utilisant une intégrale triple.
Question 1 : Décrire la région $S$ en coordonnées cartésiennes et déterminer les limites d'intégration pour $x$, $y$ et $z$. Vérifier que le paraboloïde se trouve à l'intérieur du cylindre en vérifiant la cohérence des limites.
Question 2 : Calculer le volume $V$ en utilisant l'intégrale triple en coordonnées cartésiennes $V = \\iiint_S dV = \\int \\int \\int dz\\, dy\\, dx$. Effectuer l'intégration étape par étape.
Question 3 : Recalculer le volume en utilisant les coordonnées cylindriques $(r, \\theta, z)$ où $x = r\\cos\\theta, y = r\\sin\\theta$ et $dV = r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$. Montrer que le calcul en coordonnées cylindriques est plus simple.
Question 4 : Calculer la masse du solide en supposant que la densité varie selon $\\rho(x, y, z) = z$ (c'est-à-dire que la masse augmente avec la hauteur). Utiliser l'intégrale triple $M = \\iiint_S z\\, dV$ en coordonnées cylindriques.
",
"svg": "zrr=2z=4z=x²+y²CylindreSolide S : Paraboloïde dans un cylindreVue en coupe (r,z)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : Description et limites d'intégration
Étape 1 - Analyse de la région :
Le paraboloïde $z = x^2 + y^2$ est défini pour $z \\geq 0$.
Le cylindre $x^2 + y^2 = 4$ a un rayon de $r = 2$.
À la surface du cylindre ($x^2 + y^2 = 4$), la hauteur du paraboloïde est :
$z = 4$
Étape 2 - Limites en coordonnées cartésiennes :
Pour $x$ : $-2 \\leq x \\leq 2$
Pour $y$ fixé, on doit avoir $x^2 + y^2 \\leq 4$, donc :
Interprétation : Cette description est complexe en coordonnées cartésiennes, ce qui justifie l'utilisation de coordonnées cylindriques à la question 3.
Solution Question 2 : Volume en coordonnées cartésiennes
Résultat : $M = \\frac{32\\pi}{3} \\approx 33.510$ unités de masse
Interprétation : La masse du solide avec cette densité variable est approximativement de 33.51 unités de masse, ce qui est supérieur à la masse d'un solide de densité constante (qui serait $8\\pi \\approx 25.13$).
Exercice 3 : Analyse de l'intégrabilité au sens de Riemann
On considère une fonction $f(x) = \\begin{cases} \\frac{\\sin(x)}{x} & \\text{si } x \\neq 0 \\\\ 1 & \\text{si } x = 0 \\end{cases}$ sur l'intervalle $[0, \\pi]$. On souhaite vérifier que cette fonction est intégrable au sens de Riemann et calculer son intégrale.
Question 1 : Vérifier que la fonction $f(x)$ est continue sur $[0, \\pi]$ en analysant la limite $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin(x)}{x}$ et montrer que $f$ est bornée. Établir les bornes $m$ et $M$ telles que $m \\leq f(x) \\leq M$ pour tout $x \\in [0, \\pi]$.
Question 2 : Calculer l'intégrale de Riemann $\\int_0^\\pi \\frac{\\sin(x)}{x}\\, dx$ en utilisant l'intégration numérique (sommes de Riemann) avec une partition régulière en $n = 6$ intervalles. Utiliser les méthodes du point milieu, des trapèzes et de Simpson.
Question 3 : Calculer une approximation analytique de l'intégrale en utilisant le développement en série de Taylor de $\\frac{\\sin(x)}{x} = 1 - \\frac{x^2}{6} + \\frac{x^4}{120} - ...$ et intégrer terme à terme sur $[0, \\pi]$.
Question 4 : Comparer les résultats obtenus aux questions 2 et 3, et calculer les erreurs d'approximation. Utiliser la formule de Lebesgue-Riemann pour estimer l'erreur de la méthode de Simpson.
",
"svg": "f(x)xsin(x)/xSubdivision en 6 intervalles",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : Continuité et bornes
Étape 1 - Limite à l'origine :
On calcule :
$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin(x)}{x}$
En utilisant le développement de Taylor :
$\\sin(x) = x - \\frac{x^3}{6} + \\frac{x^5}{120} - ...$
Exercice 4 : Calcul de la longueur d'arc et de l'aire enclosée
On considère une courbe paramétrique $\\mathbf{r}(t) = (\\cos(t), \\sin(t), t)$ (une hélice circulaire) pour $t \\in [0, 2\\pi]$. On souhaite calculer la longueur d'arc et l'aire de la projection sur le plan $xy$.
Question 1 : Calculer la dérivée $\\frac{d\\mathbf{r}}{dt}$ et la norme $\\left\\|\\frac{d\\mathbf{r}}{dt}\\right\\|$. En déduire la longueur d'arc $L = \\int_0^{2\\pi} \\left\\|\\frac{d\\mathbf{r}}{dt}\\right\\| dt$.
Question 2 : La projection de l'hélice sur le plan $xy$ est un cercle de rayon 1. Calculer l'aire de ce disque en utilisant l'intégrale double $A = \\iint_D dA$ en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.
Question 3 : Calculer le moment d'inertie $I_z$ par rapport à l'axe $z$ en supposant une distribution de masse uniforme de densité $\\rho = 1$ sur le disque. Utiliser la formule $I_z = \\iint_D (x^2 + y^2)\\, dA$.
Question 4 : Calculer l'aire de la surface latérale de l'hélice en utilisant l'intégrale de surface $S = \\int_0^{2\\pi} \\left\\|\\frac{d\\mathbf{r}}{dt}\\right\\| dt$ (qui dans ce cas est la même que la longueur d'arc, mais que l'on peut aussi exprimer comme intégrale de surface). Comparer avec le résultat de la question 1.
",
"svg": "zρz varieProjection: cercle r=1HéliceHélice circulaire r(t)=(cos(t),sin(t),t)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Dans le cas de l'hélice, si on considère la surface latérale du cylindre circonscrit :
$S = 2\\pi \\times 2\\pi = 4\\pi^2$
Étape 4 - Comparaison :
La longueur d'arc (Question 1) : $L = 2\\pi\\sqrt{2}$
L'aire de la surface latérale : $S = 4\\pi^2$
Ces deux quantités sont différentes car elles mesurent des concepts géométriques distincts.
Résultat : $S \\approx 39.478$ unités carrées
Conclusion : L'aire de la surface latérale du cylindre contenant l'hélice est $4\\pi^2$, tandis que la longueur d'arc est $2\\pi\\sqrt{2}$. Ces résultats ne doivent pas être confondus.
Exercice 5 : Changement de variables en intégrales multiples
On considère l'intégrale double $\\iint_D (x + y)\\, dA$ où $D$ est la région du plan limitée par les droites $x = 0$, $y = 0$, $x + y = 2$ et $2x + y = 4$. On souhaite calculer cette intégrale en utilisant un changement de variables.
Question 1 : Identifier la région $D$ en trouvant les points d'intersection des droites données. Tracer la région et déterminer les limites d'intégration en coordonnées cartésiennes.
Question 2 : Calculer l'intégrale $\\iint_D (x + y)\\, dA$ directement en coordonnées cartésiennes en utilisant les limites trouvées à la question 1.
Question 3 : Effectuer le changement de variables $u = x + y$ et $v = 2x + y$ (transformation linéaire) pour simplifier la région. Calculer le Jacobien $\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}$ et déterminer la nouvelle région $D'$ dans le plan $(u,v)$.
Question 4 : Calculer l'intégrale dans le nouveau système de coordonnées $\\iint_{D'} u \\left|\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}\\right| du\\, dv$ et vérifier que le résultat est identique à celui de la question 2.
",
"svg": "yx(0,2)(0,0)(2,0)(2,2)x=0x+y=22x+y=4Région D (Quadrilatère)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : Identification de la région
Étape 1 - Intersection des droites :
Intersection de $x = 0$ et $y = 0$ :
$(0, 0)$
Intersection de $x = 0$ et $x + y = 2$ :
$y = 2, \\quad (0, 2)$
Intersection de $x = 0$ et $2x + y = 4$ :
$y = 4, \\quad (0, 4)$
Intersection de $x + y = 2$ et $2x + y = 4$ :
$2x + y - (x + y) = 4 - 2 \\Rightarrow x = 2$
$y = 2 - x = 0, \\quad (2, 0)$
Intersection de $y = 0$ et $2x + y = 4$ :
$2x = 4 \\Rightarrow x = 2, \\quad (2, 0)$
Étape 2 - Sommets du quadrilatère :
Les sommets sont : $(0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)$
Étape 3 - Limites d'intégration :
Pour $x \\in [0, 2]$ et $y \\in [0, 2]$ :
$D = \\{(x, y) : 0 \\leq x \\leq 2, 0 \\leq y \\leq 2\\}$
Interprétation : La région $D$ est un carré $[0, 2] \\times [0, 2]$.
Solution Question 2 : Intégrale en coordonnées cartésiennes
Soit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ définie sur $[1, 3]$. On souhaite calculer l'intégrale définie en utilisant la notion d'intégrale de Riemann.
Question 1: Déterminer la primitive $F(x)$ de $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en intégrant terme par terme.
Question 2: Utiliser le théorème fondamental du calcul intégral pour calculer $\\int_1^3 (3x^2 - 2x + 5) dx = F(3) - F(1)$.
Question 3: Vérifier le résultat en approximant l'intégrale par la méthode des rectangles avec $n = 4$ subdivisions de l'intervalle $[1, 3]$.
Question 4: Calculer l'erreur relative entre la valeur exacte et l'approximation par rectangles, puis analyser comment cette erreur diminuerait si on augmentait le nombre de subdivisions à $n = 8$.
",
"svg": "xf(x)x=1x=2x=3Approximation rectangulaire (n=4)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Détermination de la primitive de $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$.
Résultat: En passant de n = 4 à n = 8, l'erreur relative diminue de 16.96% à 8.70%, soit une réduction d'environ 49%. Cette diminution illustre la convergence de la méthode des rectangles vers la valeur exacte.
Soit la région $D$ limitée par les courbes $y = x$ et $y = x^2$ dans le plan.
Question 1: Déterminer les points d'intersection des courbes $y = x$ et $y = x^2$ et identifier la région $D$.
Question 2: Exprimer l'aire de la région $D$ sous la forme d'une intégrale double: $A = \\iint_D dA$ en choisissant un ordre d'intégration approprié.
Question 3: Calculer l'intégrale double pour déterminer l'aire exacte de la région $D$.
Question 4: Calculer le centre de masse (barycentre) de la région $D$ en supposant une densité uniforme $\\rho = 1$.
",
"svg": "xy(0,0)(1,1)y = xy = x²Région DRégion limitée par y = x et y = x²",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Détermination des points d'intersection et de la région D.
Étape 1: Équation des courbes $y = x$ et $y = x^2$
Étape 2: Points d'intersection Egaliser les deux expressions: $x = x^2$ $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ $x = 0 \\text{ ou } x = 1$
Étape 3: Coordonnées des points Pour $x = 0$: $y = 0 \\Rightarrow (0, 0)$ Pour $x = 1$: $y = 1 \\Rightarrow (1, 1)$
Étape 4: Identification de la région D Pour $0 \\leq x \\leq 1$: $x^2 \\leq y \\leq x$ (car $x^2 < x$ pour $0 < x < 1$) La région $D$ est limitée par $y = x^2$ en bas et $y = x$ en haut.
Solution Question 2:
Expression de l'aire comme intégrale double.
Étape 1: Formule générale $A = \\iint_D dA$
Étape 2: Description de la région en coordonnées cartésiennes $D = \\{(x, y) : 0 \\leq x \\leq 1, x^2 \\leq y \\leq x\\}$
Étape 3: Intégrale double avec ordre d'intégration dy dx $A = \\int_0^1 \\int_{x^2}^x dy\\, dx$
Étape 4: Alternative avec ordre dx dy Pour cette intégrale, l'ordre dy dx est plus simple à évaluer.
Solution Question 3:
Calcul de l'intégrale double pour l'aire.
Étape 1: Formule $A = \\int_0^1 \\int_{x^2}^x dy\\, dx$
Étape 2: Intégration intérieure par rapport à y $\\int_{x^2}^x dy = [y]_{x^2}^x = x - x^2$
Étape 3: Intégration extérieure par rapport à x $A = \\int_0^1 (x - x^2) dx$
Étape 4: Calcul de la primitive $\\int_0^1 (x - x^2) dx = \\left[\\frac{x^2}{2} - \\frac{x^3}{3}\\right]_0^1$
Étape 6: Calcul de $\\bar{y}$ $\\iint_D y\\, dA = \\int_0^1 \\int_{x^2}^x y\\, dy\\, dx$
Étape 7: Intégration par rapport à y $\\int_{x^2}^x y\\, dy = \\left[\\frac{y^2}{2}\\right]_{x^2}^x = \\frac{x^2}{2} - \\frac{x^4}{2} = \\frac{x^2 - x^4}{2}$
Étape 8: Intégration par rapport à x $\\int_0^1 \\frac{x^2 - x^4}{2} dx = \\frac{1}{2}\\left[\\frac{x^3}{3} - \\frac{x^5}{5}\\right]_0^1 = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{3} - \\frac{1}{5}\\right)$ $= \\frac{1}{2} \\times \\frac{5-3}{15} = \\frac{1}{2} \\times \\frac{2}{15} = \\frac{1}{15}$
Résultat: Les deux méthodes donnent exactement le même résultat $V = \\frac{\\pi}{2} \\approx 1.5708$ unités cubiques, confirmant l'exactitude du calcul par intégrale triple.
Soit la région $D$ définie en coordonnées polaires par $0 \\leq r \\leq 2\\cos(\\theta)$ et $-\\pi/2 \\leq \\theta \\leq \\pi/2$. Cette région représente un disque.
Question 1: Identifier la forme géométrique de la région $D$ et calculer son rayon et son centre en coordonnées cartésiennes.
Question 2: Calculer l'aire de la région $D$ en utilisant une intégrale double en coordonnées polaires: $A = \\iint_D r\\, dr\\, d\\theta$.
Question 3: Calculer le moment d'inertie par rapport à l'origine en supposant une densité uniforme $\\rho = 1$: $I_O = \\iint_D r^2 \\, dA$.
Question 4: Vérifier le résultat du moment d'inertie avec la formule $I_O = \\frac{1}{2} M R^2$ où $M$ est la masse totale et $R$ est le rayon effectif.
Étape 4: Intégration par rapport à r $\\int_0^{2\\cos(\\theta)} r\\, dr = \\left[\\frac{r^2}{2}\\right]_0^{2\\cos(\\theta)} = \\frac{(2\\cos(\\theta))^2}{2} = \\frac{4\\cos^2(\\theta)}{2} = 2\\cos^2(\\theta)$
Étape 5: Intégration par rapport à θ $A = \\int_{-\\pi/2}^{\\pi/2} 2\\cos^2(\\theta) d\\theta$
Étape 3: Intégration par rapport à r $\\int_0^{2\\cos(\\theta)} r^3\\, dr = \\left[\\frac{r^4}{4}\\right]_0^{2\\cos(\\theta)} = \\frac{(2\\cos(\\theta))^4}{4} = \\frac{16\\cos^4(\\theta)}{4} = 4\\cos^4(\\theta)$
Étape 4: Intégration par rapport à θ $I_O = \\int_{-\\pi/2}^{\\pi/2} 4\\cos^4(\\theta) d\\theta$
Remarque importante: Le résultat $\\frac{3\\pi}{2}$ de l'intégrale triple n'est pas égal à $\\frac{\\pi}{2}$. Cela s'explique par le fait que la formule $I_O = \\frac{1}{2}MR^2$ s'applique à un disque homogène centré à l'origine, alors que notre disque est centré en (1, 0). Pour un disque centré en (1, 0), le moment d'inertie par rapport à l'origine est plus grand.
Étape 5: Application du théorème des axes parallèles $I_O = I_C + M d^2$, où $d = 1$ est la distance entre le centre du disque et l'origine.
Étape 6: Moment d'inertie par rapport au centre $I_C = \\frac{1}{2}MR^2 = \\frac{1}{2} \\times \\pi \\times 1^2 = \\frac{\\pi}{2}$
Résultat: La vérification confirme que $I_O = \\frac{3\\pi}{2}$ est correct, en utilisant le théorème des axes parallèles qui tient compte du décentrage du disque par rapport à l'origine.
Soit la boule unité $B = \\{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 \\leq 1\\}$. On souhaite calculer le volume et le moment d'inertie par rapport à un axe.
Question 1: Exprimer le volume de la boule unité en utilisant une intégrale triple en coordonnées sphériques.
Question 2: Calculer l'intégrale triple pour déterminer le volume exact de la boule.
Question 3: Calculer le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe z en supposant une densité uniforme $\\rho = 1$: $I_z = \\iiint_B (x^2 + y^2) dV$.
Question 4: Vérifier le résultat avec la formule du moment d'inertie d'une sphère $I_z = \\frac{2}{5} M R^2$ où $M$ est la masse et $R = 1$ est le rayon.
Résultat: Les deux méthodes donnent exactement le même résultat $I_z = \\frac{8\\pi}{15} \\approx 1.6755$ unités de moment d'inertie. Cela confirme que le calcul par intégrale triple en coordonnées sphériques est exact et cohérent avec la formule classique du moment d'inertie d'une sphère solide homogène.
Exercice 1 : Intégrales impropres sur intervalle non borné
\n
On considère la fonction $f(x) = \\frac{1}{x^2 + 1}$ définie sur $[0, +\\infty)$. \n1. Calculez l'intégrale impropre $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{x^2+1} dx$ en utilisant la limite d'une intégrale définie. \n2. Vérifiez la convergence de cette intégrale en utilisant un critère de comparaison. \n3. Calculez l'intégrale impropre $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2+1} dx$. \n4. Trouvez l'aire sous la courbe de $f$ entre $x = 0$ et $x = +\\infty$ et interprétez le résultat géométriquement.
",
"svg": "xy0+∞Courbe de f(x) = 1/(x²+1)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Calcul de l'intégrale impropre 1. Formule générale : $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{x^2+1} dx = \\lim_{t \\to +\\infty} \\int_0^{t} \\frac{1}{x^2+1} dx$. 2. Calcul de l'intégrale définie : On sait que $\\int \\frac{1}{x^2+1} dx = \\arctan(x) + C$. 3. Application : $\\int_0^{t} \\frac{1}{x^2+1} dx = [\\arctan(x)]_0^{t} = \\arctan(t) - \\arctan(0) = \\arctan(t) - 0 = \\arctan(t)$. 4. Passage à la limite : $\\lim_{t \\to +\\infty} \\arctan(t) = \\frac{\\pi}{2}$. 5. Résultat final : $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{x^2+1} dx = \\frac{\\pi}{2}$.
Question 2 : Vérification de la convergence 1. Critère de comparaison : Pour $x \\geq 1$, on a $\\frac{1}{x^2+1} \\leq \\frac{1}{x^2}$. 2. Intégrale de référence : $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2} dx$ converge (intégrale de Riemann avec $\\alpha = 2 > 1$). 3. Calcul de l'intégrale de référence : $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2} dx = \\lim_{t \\to +\\infty} [-\\frac{1}{x}]_1^{t} = \\lim_{t \\to +\\infty} (-\\frac{1}{t} + 1) = 1$. 4. Conclusion : Puisque $0 \\leq \\frac{1}{x^2+1} \\leq \\frac{1}{x^2}$ et $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2} dx = 1$ converge, alors $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2+1} dx$ converge aussi. Par conséquent, $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{x^2+1} dx$ converge.
Exercice 2 : Intégrales impropres avec singularités
\n
On considère la fonction $g(x) = \\frac{1}{\\sqrt{x}}$ définie sur $(0, 1]$. \n1. Calculez l'intégrale impropre $\\int_0^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$ en reconnaissant la singularité à $x = 0$. \n2. Vérifiez la convergence en utilisant le critère de Riemann. \n3. Calculez l'intégrale impropre $\\int_0^{1/4} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$. \n4. Trouvez l'aire sous la courbe et comparez avec le cas de l'intervalle complet $[0,1]$.
",
"svg": "xyx=0x=1singularitéCourbe de g(x) = 1/√x",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 2 : Vérification avec critère de Riemann 1. Critère de Riemann : Pour une intégrale $\\int_a^{b} \\frac{1}{(x-a)^\\alpha} dx$ avec singularité en $a$, la convergence dépend de $\\alpha$. Elle converge si et seulement si $\\alpha < 1$. 2. Application : Ici, $\\frac{1}{\\sqrt{x}} = x^{-1/2} = \\frac{1}{(x-0)^{1/2}}$ avec singularité en $x=0$ et $\\alpha = \\frac{1}{2} < 1$. 3. Conclusion : L'intégrale converge. 4. Vérification numérique : Avec $\\alpha = 1/2 < 1$, on s'attend à convergence, confirmée par le résultat de la question 1.
On considère les deux fonctions $f(x) = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ pour $x \\geq 2$ et $h(x) = \\frac{1}{x^{1.5}}$ pour $x \\geq 1$. \n1. Calculez l'intégrale $\\int_2^{+\\infty} \\frac{1}{x(\\ln x)^2} dx$ par changement de variable. \n2. Calculez l'intégrale $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^{1.5}} dx$. \n3. Comparez les deux intégrales et décidez laquelle converge plus rapidement. \n4. Interprétez le comportement asymptotique des deux fonctions.
",
"svg": "xyx=21/(x(ln x)²)1/x^1.5Comparaison de deux intégrales impropres",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 3 : Comparaison 1. Valeurs : $\\int_2^{+\\infty} \\frac{1}{x(\\ln x)^2} dx = \\frac{1}{\\ln 2} \\approx 1.443$ et $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^{1.5}} dx = 2$. 2. Analyse : $\\frac{1}{x^{1.5}} > \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ pour suffisamment grand $x$ (car $\\ln x$ croît plus lentement que $x^{0.5}$). 3. Interprétation : $\\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ converge plus rapidement que $\\frac{1}{x^{1.5}}$ (sa valeur d'intégrale est plus petite). 4. Résultat : La fonction $f(x) = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ décroît plus vite que $h(x) = \\frac{1}{x^{1.5}}$.
Question 4 : Comportement asymptotique 1. Pour $x \\to +\\infty$ : $\\frac{1}{x(\\ln x)^2} \\to 0$ beaucoup plus vite que $\\frac{1}{x^{1.5}} \\to 0$. 2. Raison : Le logarithme croît plus lentement que n'importe quelle puissance positive. Donc $x(\\ln x)^2$ croît plus vite que $x^{1.5}$ pour grand $x$. 3. Exemple numérique : Pour $x=100$ : $f(100) = \\frac{1}{100(\\ln 100)^2} \\approx \\frac{1}{100 \\times 21.4} \\approx 0.000467$ tandis que $h(100) = \\frac{1}{100^{1.5}} \\approx 0.001$. 4. Interprétation géométrique : La courbe $y = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ s'approche de l'axe des x beaucoup plus rapidement que $y = \\frac{1}{x^{1.5}}$.
Exercice 4 : Intégrale impropre mixte (singularité et intervalle infini)
\n
On considère la fonction $f(x) = \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}}$ définie sur $(0, +\\infty)$. \n1. Analysez les deux sources de singularité : comportement en $x \\to 0^+$ et $x \\to +\\infty$. \n2. Décomposez l'intégrale en deux parties : $\\int_0^{1} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$ et $\\int_1^{+\\infty} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$. Vérifiez la convergence de chaque partie. \n3. Calculez $\\int_0^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$ et comparez avec $\\int_0^{1} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$. \n4. Estimez l'intégrale totale $\\int_0^{+\\infty} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$ en utilisant le théorème de comparaison.
",
"svg": "xyx=1x→0⁺x→+∞Courbe de f(x) = e^(-x)/√x (mixte)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Analyse des singularités 1. En $x \\to 0^+$ : $\\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} \\sim \\frac{1}{\\sqrt{x}}$ (puisque $e^{-x} \\to 1$). Singularité de type $\\frac{1}{x^{\\alpha}}$ avec $\\alpha = 1/2 < 1$, donc convergente. 2. En $x \\to +\\infty$ : $\\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} \\to 0$ très rapidement, car l'exponentielle décroissante domine le comportement. Comportement borné. 3. Conclusion : L'intégrale a une singularité en $x=0$ mais bien contrôlée, et décroît exponentiellement à l'infini.
Question 2 : Décomposition et convergence 1. Première partie : $\\int_0^{1} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$. Puisque $\\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} \\leq \\frac{1}{\\sqrt{x}}$ sur $(0,1]$ et $\\int_0^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx = 2$ converge (Question 2, Exercice 2), cette partie converge. 2. Deuxième partie : $\\int_1^{+\\infty} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$. Puisque $\\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} \\leq e^{-x}$ et $\\int_1^{+\\infty} e^{-x} dx = e^{-1}$ converge, cette partie converge aussi. 3. Conclusion : L'intégrale totale $\\int_0^{+\\infty} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx$ converge.
Question 3 : Comparaison des intégrales 1. Formule : $\\int_0^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx = 2$ (voir Exercice 2, Q1). 2. Inégalité : Sur $[0,1]$, on a $0 < e^{-x} \\leq 1$, donc $0 < \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} \\leq \\frac{1}{\\sqrt{x}}$. 3. Intégration : $\\int_0^{1} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx \\leq \\int_0^{1} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx = 2$. 4. Estimation meilleure : Puisque $e^{-x} < 1$ sur $(0,1)$, on a $\\int_0^{1} \\frac{e^{-x}}{\\sqrt{x}} dx < 2$. Une estimation plus fine donnerait une valeur proche de 1.7 à 1.9.
On considère la famille de fonctions $f_\\alpha(x) = \\frac{1}{x^\\alpha}$ définie sur $[1, +\\infty)$ où $\\alpha$ est un paramètre réel. \n1. Pour quelles valeurs de $\\alpha$ l'intégrale $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx$ converge-t-elle? Justifiez en utilisant le critère de Riemann. \n2. Calculez explicitement $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx$ en fonction de $\\alpha$ pour les cas de convergence. \n3. Déterminez les valeurs numériques pour $\\alpha = 0.5, 1, 1.5, 2$. \n4. Tracez le graphe de la fonction $I(\\alpha) = \\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx$ et identifiez le point critique $\\alpha = 1$.
",
"svg": "αI(α)α=1α=0α→+∞0.51.52Fonction I(α) = ∫[1,+∞) 1/x^α dx",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Critère de Riemann pour la convergence 1. Critère de Riemann : Pour $\\int_a^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx$ avec $a > 0$, l'intégrale converge si et seulement si $\\alpha > 1$. 2. Justification : Si $\\alpha \\leq 1$, alors $\\frac{1}{x^\\alpha} \\geq \\frac{1}{x}$ pour $x \\geq 1$. Comme $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x} dx = +\\infty$ (logarithmiquement divergente), l'intégrale diverge. 3. Si $\\alpha > 1$, alors $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx$ converge car $\\alpha > 1$ assure la convergence (critère de Riemann). 4. Point critique : $\\alpha = 1$ correspond à la limite de divergence.
Question 2 : Calcul explicite pour convergence 1. Pour $\\alpha > 1$ : $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx = \\int_1^{+\\infty} x^{-\\alpha} dx$. 2. Formule générale : $\\int_1^{+\\infty} x^{-\\alpha} dx = \\lim_{t \\to +\\infty} [\\frac{x^{-\\alpha+1}}{-\\alpha+1}]_1^{t} = \\lim_{t \\to +\\infty} (\\frac{t^{1-\\alpha}}{1-\\alpha} - \\frac{1}{1-\\alpha})$. 3. Puisque $\\alpha > 1$, on a $1-\\alpha < 0$, donc $t^{1-\\alpha} \\to 0$ quand $t \\to +\\infty$. 4. Résultat : $\\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^\\alpha} dx = \\frac{1}{\\alpha-1}$ pour $\\alpha > 1$.
Question 4 : Graphe et interprétation 1. Domaine de définition : $I(\\alpha)$ est définie pour $\\alpha > 1$. 2. Comportement asymptotique : Quand $\\alpha \\to 1^+$, $I(\\alpha) = \\frac{1}{\\alpha-1} \\to +\\infty$. Quand $\\alpha \\to +\\infty$, $I(\\alpha) = \\frac{1}{\\alpha-1} \\to 0^+$. 3. Monotonie : $\\frac{dI}{d\\alpha} = -\\frac{1}{(\\alpha-1)^2} < 0$, donc $I(\\alpha)$ est strictement décroissante sur $(1, +\\infty)$. 4. Point critique $\\alpha = 1$ : C'est le point limite où la divergence commence. Au-delà de $\\alpha = 1$, l'intégrale devient finie et décroît vers 0 à mesure que $\\alpha$ augmente. 5. Interprétation géométrique : Plus $\\alpha$ est grand, plus la courbe $y = \\frac{1}{x^\\alpha}$ décroît rapidement vers 0, rendant l'aire sous la courbe plus petite.
Question 3 : Évaluer la limite lorsque $\\epsilon \\to 0^+$.
Question 4 : Calculer et comparer avec $\\int_0^1 \\frac{1}{x^{3/4}}\\,dx$.
",
"svg": "xf(x)y = 1/√xx=0 (singularité)ε",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Analyse de la fonction : La fonction $f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{x}}$ n'est pas définie en $x = 0$. 2. La fonction tend vers $+\\infty$ lorsque $x \\to 0^+$. 3. Expression de l'intégrale impropre : $\\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx = \\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\int_\\epsilon^1 \\frac{1}{\\sqrt{x}}\\,dx$. 4. C'est une intégrale impropre avec singularité à l'extrémité gauche.
Solution Question 4 : 1. Par symétrie autour de $x = 1/2$, la seconde partie donne aussi $\\pi/2$. 2. En effet, la substitution $x = 1 - u$ transforme la seconde intégrale en la première. 3. Valeur totale : $\\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}}\\,dx = \\frac{\\pi}{2} + \\frac{\\pi}{2} = \\pi$. 4. Résultat final : $\\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}}\\,dx = \\pi$.
Question 3 : Déterminer si l'intégrale impropre converge en calculant $\\lim_{N \\to \\infty} \\int_1^{N} \\frac{1}{x^2} dx$.
Question 4 : Comparer avec l'intégrale $\\int_1^{\\infty} \\frac{1}{x^p} dx$ en fonction de $p$ et en déduire la valeur de $\\int_1^{\\infty} \\frac{1}{x^{1.5}} dx$.
",
"svg": "1yxN∞f(x)=1/x²",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Critère de convergence
Définition : Une intégrale impropre sur $[a, \\infty)$ est définie comme :
Résumé des divergences : Contrairement aux intégrales $\\int_1^{\\infty} \\frac{1}{x^p} dx$ ou $\\int_0^1 \\frac{1}{x^p} dx$ qui convergent pour $p > 1$, l'intégrale $\\int \\frac{1}{x} dx$ diverge dans les deux cas (non borné et singularité) car $p = 1$ est la frontière.
Soit l'intégrale impropre: $I = \\int_0^{+\\infty} e^{-2x} dx$. Question 1 : Vérifier que cette intégrale est convergente en étudiant le comportement de l'intégrande à l'infini. Question 2 : Calculer $I_N = \\int_0^{N} e^{-2x} dx$ pour une borne finie $N$. Question 3 : Déterminer la limite $\\lim_{N \\to +\\infty} I_N$ et conclure sur la convergence de $I$. Question 4 : Comparer cette valeur avec l'intégrale $J = \\int_0^{+\\infty} e^{-3x} dx$ en justifiant le résultat analytiquement.
",
"svg": "xf(x)e^{-2x}lim x→∞décroissance",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Formule générale: Pour vérifier la convergence, on étudie le comportement de $f(x) = e^{-2x}$ quand $x \\to +\\infty$. 2. Comportement à l'infini: $\\lim_{x \\to +\\infty} e^{-2x} = 0$ et $e^{-2x} > 0$ pour tout $x \\geq 0$. 3. Critère de comparaison: Comme $e^{-2x}$ décroît exponentiellement vers $0$, l'intégrale converge. 4. Conclusion: L'intégrale est convergente.
Soit l'intégrale impropre: $I = \\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{1-x}} dx$. Question 1 : Identifier le type de singularité et vérifier la convergence de l'intégrale. Question 2 : Calculer $I_\\epsilon = \\int_0^{1-\\epsilon} \\frac{1}{\\sqrt{1-x}} dx$ pour $\\epsilon > 0$ petit. Question 3 : Déterminer la limite $\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} I_\\epsilon$ pour obtenir la valeur de $I$. Question 4 : Vérifier le résultat en utilisant le changement de variable $u = 1 - x$ et interpréter géométriquement.
",
"svg": "x=1f(x)Singularité en x=11/√(1-x)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Formule générale: $f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x}}$ sur $[0, 1]$. 2. Analyse: Quand $x \\to 1^-$, $1 - x \\to 0^+$ donc $\\sqrt{1-x} \\to 0^+$ et $f(x) \\to +\\infty$. 3. Type de singularité: Singularité à l'extrémité droite $x = 1$. C'est une singularité de type puissance: $f(x) \\sim (1-x)^{-1/2}$. 4. Convergence: Comme l'exposant $-1/2 > -1$, l'intégrale converge.
Soit l'intégrale impropre: $I = \\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2 \\sqrt{x-1}} dx$. Question 1 : Analyser les singularités et comportement aux extrémités de l'intervalle.Question 2 : Démontrer la convergence en utilisant un critère de comparaison.Question 3 : Utiliser la substitution $u = \\sqrt{x-1}$ pour calculer l'intégrale.Question 4 : Donner la valeur finale et interpréter le résultat.
",
"svg": "x=1x→∞f(x)1/(x² √(x-1))Singularité + infini",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Formule générale: $f(x) = \\frac{1}{x^2 \\sqrt{x-1}}$ sur $[1, +\\infty)$. 2. En $x = 1$: Le facteur $\\sqrt{x-1} \\to 0^+$ quand $x \\to 1^+$, donc $f(x) \\to +\\infty$. Singularité à $x=1$. 3. Quand $x \\to +\\infty$: $f(x) \\sim \\frac{1}{x^2 \\sqrt{x}} = x^{-5/2} \\to 0$. 4. Conclusion: Singularité à gauche, décroissance rapide à droite.
Solution Question 2 : 1. Formule générale: Critère de comparaison. Pour $x$ près de $1$, $f(x) \\sim (x-1)^{-1/2}$. Pour $x$ grand, $f(x) \\sim x^{-5/2}$. 2. Comparaison locale: $\\int_1^2 (x-1)^{-1/2} dx$ converge (exponent $-1/2 > -1$). 3. Comparaison à l'infini: $\\int_2^{+\\infty} x^{-5/2} dx = \\left[ -2x^{-3/2} \\right]_2^{+\\infty} = 2 \\cdot 2^{-3/2}$ converge. 4. Conclusion: L'intégrale $I$ converge.
Solution Question 3 : 1. Formule générale: Substitution $u = \\sqrt{x-1}$, donc $x - 1 = u^2$ et $x = u^2 + 1$. 2. Remplacement: $dx = 2u du$. Quand $x = 1$, $u = 0$; quand $x = +\\infty$, $u = +\\infty$. 3. Calcul: $I = \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{(u^2+1)^2 \\cdot u} \\cdot 2u du = 2\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{(u^2+1)^2} du$. On utilise la formule: $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{(u^2+1)^2} du = \\frac{\\pi}{4}$.
Solution Question 4 : 1. Formule générale: $I = 2 \\cdot \\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\pi}{2}$. 2. Vérification: La formule $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{(u^2+1)^2} du = \\frac{\\pi}{4}$ s'obtient par résidu ou par la formule de Wallis. 3. Interprétation: Malgré les deux singularités (une en $x=1$ et le comportement à l'infini), l'intégrale converge à une valeur finie. 4. Résultat final: $I = \\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2 \\sqrt{x-1}} dx = \\frac{\\pi}{2}$.
Soit l'intégrale impropre: $I = \\int_0^1 \\ln(x) dx$. Question 1 : Analyser la singularité en $x = 0$ et étudier la convergence. Question 2 : Calculer $I_\\epsilon = \\int_\\epsilon^1 \\ln(x) dx$ pour $\\epsilon > 0$. Question 3 : Déterminer $\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} I_\\epsilon$ en utilisant l'intégration par parties.Question 4 : Utiliser le résultat pour calculer $J = \\int_0^1 x \\ln(x) dx$ et comparer.
",
"svg": "x=0x=1f(x)ln(x)Région négative",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Formule générale: $f(x) = \\ln(x)$ sur $(0, 1]$. 2. Comportement en $x = 0$: $\\ln(x) \\to -\\infty$ quand $x \\to 0^+$, mais $\\lim_{x \\to 0^+} x \\ln(x) = 0$. 3. Critère de convergence: On compare avec $x^\\alpha \\ln(x)$ pour montrer la convergence. 4. Conclusion: L'intégrale converge car $x \\ln(x) \\to 0$ quand $x \\to 0^+$, ce qui implique que $\\ln(x)$ n'est pas trop singulière.
Exercice 1 : Convergence d'une intégrale impropre sur un intervalle non borné
\n
On considère la décroissance exponentielle d'une concentration de polluant dans l'air, décrite par la fonction :
\n
$C(t) = 100 e^{-0.3t} + 50 e^{-0.1t}$
\n
où $C(t)$ est la concentration en mg/m³ et $t$ le temps en jours. On souhaite calculer la charge totale de polluant qui s'échappe de l'atmosphère pendant un temps infini.
\n\n
Question 1 : Déterminer l'intégrale impropre $\\int_0^{+\\infty} C(t) \\, dt = \\int_0^{+\\infty} (100 e^{-0.3t} + 50 e^{-0.1t}) \\, dt$ en utilisant la méthode des limites.
\n\n
Question 2 : Calculer les primitives des deux termes séparément et évaluer les limites en $+\\infty$.
\n\n
Question 3 : Vérifier la convergence de l'intégrale en étudiant le comportement asymptotique de $C(t)$ quand $t \\to +\\infty$.
\n\n
Question 4 : Interpréter le résultat physiquement et déterminer la quantité totale de polluant qui s'échappe (en mg/m³·jours).
Puisque les deux exponentielles décroissent vers 0, l'intégrale converge.
\n\n
Comportement asymptotique :
\n
La fonction $C(t) = 100 e^{-0.3t} + 50 e^{-0.1t}$ décroît exponentiellement vers 0. Le terme dominant à l'infini est $50 e^{-0.1t}$, qui décroît plus lentement que $100 e^{-0.3t}$, mais tous deux convergent vers zéro, garantissant la convergence de l'intégrale.
\n\n
Question 4 : Valeur de l'intégrale et interprétation
La quantité totale de polluant qui s'échappe de l'atmosphère pendant un temps infini est d'environ 833.33 mg/m³·jours. Cette valeur finie confirme que malgré l'intervalle d'intégration infini, le polluant se dissipe complètement grâce à son décroissance exponentielle.
Exercice 2 : Intégrale impropre avec décroissance gaussienne
\n
En théorie des probabilités et en traitement du signal, la fonction gaussienne joue un rôle central. Considérons l'intégrale :
\n
$I = \\int_0^{+\\infty} t e^{-t^2} \\, dt$
\n\n
Question 1 : Utiliser la substitution $u = t^2$ pour transformer l'intégrale impropre. Déterminer les nouvelles bornes et l'expression en fonction de $u$.
\n\n
Question 2 : Calculer l'intégrale transformée $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{2} e^{-u} \\, du$ en utilisant la définition des limites.
\n\n
Question 3 : Établir la relation entre l'intégrale originale et sa forme transformée, puis conclure sur la valeur de $I$.
\n\n
Question 4 : Calculer l'intégrale modifiée $\\int_0^{+\\infty} t^3 e^{-t^2} \\, dt$ en utilisant le même changement de variable et déterminer son rapport avec $I$.
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n\n \n \n\n \n \n Intégrale gaussienne : ∫₀^∞ t·e^(-t²) dt\n \n\n \n \n \n\n \n t\n f(t)\n\n \n \n\n \n \n\n \n \n \n Maximum\n\n \n \n \n Changement de variable : u = t²\n \n \n du = 2t dt → t dt = ½ du\n \n \n Nouvelle intégrale : ½ ∫₀^∞ e^(-u) du\n \n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2
\n\n
Question 1 : Changement de variable
\n\n
Substitution :
\n
Soit $u = t^2$
\n\n
Calcul de la différentielle :
\n
$\\frac{du}{dt} = 2t \\Rightarrow du = 2t \\, dt \\Rightarrow t \\, dt = \\frac{1}{2} du$
\n\n
Transformation des bornes :
\n
• Quand $t = 0$ : $u = 0^2 = 0$
\n
• Quand $t \\to +\\infty$ : $u \\to +\\infty$
\n\n
Nouvelle expression :
\n
$I = \\int_0^{+\\infty} t e^{-t^2} \\, dt = \\int_0^{+\\infty} e^{-u} \\cdot \\frac{1}{2} \\, du = \\frac{1}{2} \\int_0^{+\\infty} e^{-u} \\, du$
Intéressant : bien que $J$ soit l'intégrale de $t^3 e^{-t^2}$ tandis que $I$ est celle de $t e^{-t^2}$, elles ont la même valeur ! Cela est dû au changement de variable qui transforme le facteur $t^2$ en un nouveau paramètre d'intégration.
Exercice 3 : Intégrale impropre avec singularité à la borne inférieure
\n
En mécanique des fluides, l'écoulement dans une conduite de forme spéciale est décrit par :
\n
$v(x) = \\frac{k}{\\sqrt{x}}$
\n
où $v(x)$ est la vitesse en m/s et $x$ est la distance du point d'entrée en mètres. La fonction présente une singularité en $x = 0$. On souhaite calculer le débit sur l'intervalle $[0, 1]$.
\n\n
Question 1 : Montrer que l'intégrale $\\int_0^1 \\frac{k}{\\sqrt{x}} \\, dx$ est impropre et expliquer la nature de la singularité.
\n\n
Question 2 : Utiliser la méthode des limites pour évaluer $\\int_0^1 \\frac{k}{\\sqrt{x}} \\, dx = \\lim_{\\varepsilon \\to 0^+} \\int_{\\varepsilon}^1 \\frac{k}{\\sqrt{x}} \\, dx$ avec $k = 2$.
\n\n
Question 3 : Calculer la primitive de $\\frac{k}{\\sqrt{x}}$ et évaluer les bornes de l'intégrale définie.
\n\n
Question 4 : Interpréter le résultat et calculer le débit total sur $[0, 1]$ avec $k = 2$. Comparer avec l'intégrale analogue $\\int_0^1 \\frac{3}{\\sqrt{x}} \\, dx$.
L'intégrale $\\int_0^1 \\frac{k}{\\sqrt{x}} \\, dx$ est impropre car l'intégrande possède une singularité à l'une des extrémités de l'intervalle (la borne inférieure $x = 0$). La fonction diverge vers l'infini à cette extrémité.
Le débit total sur l'intervalle $[0, 1]$ est de 4 m/s (unités appropriées). Bien que la singularité à $x = 0$ rend la fonction infinie au point de départ, l'intégrale converge et prend une valeur finie.
Le ratio entre les deux intégrales est exactement le ratio entre les coefficients numériques (3/2), ce qui confirme la proportionnalité : augmenter le coefficient augmente linéairement la valeur de l'intégrale, même avec une singularité à la borne.
Exercice 4 : Intégrale impropre avec singularité à la borne supérieure
\n
En thermodynamique, on rencontre souvent des intégrales de la forme :
\n
$I = \\int_0^1 \\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \\, dx$
\n
qui représente une certaine transformation thermodynamique. Cette intégrale possède une singularité à $x = 1$.
\n\n
Question 1 : Analyser la nature de la singularité en $x = 1$ et montrer que l'intégrale est impropre.
\n\n
Question 2 : Utiliser la méthode des limites pour transformer l'intégrale : $\\int_0^1 \\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \\, dx = \\lim_{R \\to 1^-} \\int_0^R \\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \\, dx$.
\n\n
Question 3 : Calculer la primitive de $\\frac{1}{(1-x)^{2/3}}$ en utilisant le changement de variable $u = 1-x$.
\n\n
Question 4 : Évaluer la limite et déterminer la valeur de l'intégrale impropre. Vérifier la convergence et interpréter le résultat en termes physiques.
Considérons le comportement de la fonction près de $x = 1$ :
\n
$\\lim_{x \\to 1^-} \\frac{1}{(1-x)^{2/3}}$
\n\n
Quand $x \\to 1^-$, on a $1 - x \\to 0^+$, donc :
\n
$(1-x)^{2/3} \\to 0^+$
\n\n
$\\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \\to +\\infty$
\n\n
Imprêté de l'intégrale :
\n
L'intégrale $\\int_0^1 \\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \\, dx$ est impropre car l'intégrande diverge à la borne supérieure $x = 1$. C'est une singularité de type puissance.
$\\lim_{R \\to 1^-} (1-R)^{1/3} = 0^{+} \\text{ (convergence vers 0)}$
\n\n
Interprétation physique :
\n
En thermodynamique, ce résultat signifie que malgré la singularité à $x = 1$, la transformation thermodynamique représentée par cette intégrale produit une quantité finie égale à 3 unités (unités appropriées au contexte thermodynamique). Cette convergence est garantie par l'exposant $2/3 < 1$, qui est suffisamment petit pour assurer que la singularité reste intégrable.
Cette intégrale, bien que définie sur un intervalle non borné, converge. Elle apparaît dans le calcul des transformées de Fourier et des fonctions de transfert.
\n\n
Question 1 : Démontrer que cette intégrale peut être scindée en deux parties : $\\int_{-\\infty}^{0} \\frac{1}{1 + x^2} \\, dx + \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{1 + x^2} \\, dx$.
\n\n
Question 2 : Utiliser la symétrie de l'intégrande pour montrer que $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{1}{1 + x^2} \\, dx = 2 \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{1 + x^2} \\, dx$.
\n\n
Question 3 : Calculer $\\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{1 + x^2} \\, dx$ en utilisant la définition de l'intégrale impropre et la primitive arctan.
\n\n
Question 4 : Déterminer la valeur finale de $I$ et appliquer le résultat au calcul de l'intégrale généralisée $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{2}{1 + 4x^2} \\, dx$ en utilisant un changement de variable approprié.
L'intégrale sur un intervalle symétrique de $-\\infty$ à $+\\infty$ peut se scinder en deux parties utilisant un point intermédiaire quelconque. Choisissons $x = 0$ :
Le changement de variable affecte les bornes et la forme de l'intégrande, mais grâce à la parité et à la symétrie, la valeur de l'intégrale impropre reste égale à $\\pi$, indépendamment des coefficients linéaires ! Cette propriété invariante est fondamentale dans les applications du traitement du signal.
On considère l'intégrale impropre définie sur un intervalle non borné :
$I = \\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2} dx$
Cette intégrale représente l'aire sous la courbe de la fonction $f(x) = \\frac{1}{x^2}$ de $x = 1$ à l'infini.
Question 1 : Vérifier la convergence de cette intégrale impropre en calculant la limite $\\lim_{t \\to +\\infty} \\int_1^{t} \\frac{1}{x^2} dx$.
Question 2 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $I$.
Question 3 : Utiliser le test de comparaison pour analyser la convergence de l'intégrale $J = \\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2 + x} dx$ en la comparant avec $I$.
Question 4 : Calculer numériquement l'intégrale $J = \\int_1^{+\\infty} \\frac{1}{x^2 + x} dx$ en utilisant la décomposition en fractions partielles.
",
"svg": "Intégrale impropre sur intervalle non bornéFonction : f(x) = 1/x²• Intégrale : ∫₁^∞ 1/x² dx• Intervalle : [1, +∞)• Type : fonction décroissante• Limite : f(x) → 0 quand x → ∞Graphique de f(x) = 1/x² et aire sous la courbe\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nf(x)\n0\n∞\n0\n1\n\n\n\n\n\nx=1\n\n\nAire = 1\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous vérifions la convergence en calculant la limite de l'intégrale sur un intervalle borné.
Étape 1 : Décomposons l'intégrale impropre en utilisant la définition :
On considère l'intégrale impropre définie sur un intervalle borné avec singularité à l'une des extrémités :
$K = \\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$
Cette intégrale présente une singularité à la borne inférieure $x = 0$, où la fonction $f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{x}}$ n'est pas bornée.
Question 1 : Vérifier la convergence de cette intégrale impropre en calculant la limite $\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\int_{\\epsilon}^1 \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$.
Question 2 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $K$.
Question 3 : Généraliser le résultat en calculant l'intégrale $L = \\int_0^1 \\frac{1}{x^{\\alpha}} dx$ en fonction du paramètre $\\alpha$. Pour quelles valeurs de $\\alpha$ l'intégrale converge-t-elle ?
Question 4 : Appliquer ce résultat général pour évaluer numériquement $M = \\int_0^1 \\frac{1}{x^{2/3}} dx$.
",
"svg": "Intégrale impropre avec singularité à la borneFonction : f(x) = 1/√x avec singularité en x = 0• Intégrale : ∫₀¹ 1/√x dx• Intervalle : [0, 1] borné mais avec singularité• Singularité : f(x) → +∞ quand x → 0⁺• Type : intégrale impropre (deuxième espèce)Graphique de f(x) = 1/√x et aire sous la courbe\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nf(x)\n0\n1\n0\n∞\n\n\n\n\n\nAsymptote\n\n\nAire = 2\nSingularité\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous vérifions la convergence en calculant la limite avec un paramètre $\\epsilon$ approchant zéro.
Étape 1 : Décomposons l'intégrale impropre en utilisant la définition :
Étape 5 : Calculons la limite selon la valeur de $\\alpha$ :
Si $\\alpha < 1$, alors $1 - \\alpha > 0$ et $\\epsilon^{1-\\alpha} \\to 0$ quand $\\epsilon \\to 0^+$. Donc :
$L = \\frac{1}{1-\\alpha}$
Si $\\alpha > 1$, alors $1 - \\alpha < 0$ et $\\epsilon^{1-\\alpha} = \\frac{1}{\\epsilon^{\\alpha-1}} \\to +\\infty$ quand $\\epsilon \\to 0^+$. Donc :
Question 2 : Généraliser le résultat en calculant $P = \\int_0^{+\\infty} x e^{-ax} dx$ (intégrale de première espèce avec puissance).
Question 3 : À partir des résultats précédents, déduire la valeur de $Q = \\int_0^{+\\infty} x^2 e^{-ax} dx$ en utilisant les propriétés d'intégration par parties.
Question 4 : Calculer numériquement $R = \\int_0^{+\\infty} x^2 e^{-2x} dx$ en substituant $a = 2$ dans le résultat de la Question 3.
",
"svg": "Intégrales impropres exponentiellesFamilles d'intégrales : ∫₀^∞ xⁿ e^(-ax) dx• Intégrale de base : ∫₀^∞ e^(-ax) dx• Intervalle : [0, +∞) non borné• Décroissance exponentielle : f(x) → 0 rapidement• Applications : transformées de Laplace• Paramètre : a > 0 (nécessaire pour convergence)Graphiques des fonctions exponentielles et dérivées\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nf(x)\n0\n∞\n0\n1\n\n\n\n\n\ne^(-ax)\n\nx·e^(-ax)\n\nx²·e^(-ax)\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous calculons l'intégrale impropre exponentielle de base.
Étape 1 : Écrivons l'intégrale impropre comme une limite :
On considère une intégrale impropre avec singularité aux deux extrémités :
$S = \\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx$
Cette intégrale présente des singularités à $x = 0$ et $x = 1$, où le dénominateur s'annule.
Question 1 : Identifier les singularités de la fonction et vérifier la convergence en séparant l'intégrale en deux parties : $\\int_0^{1/2} \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx + \\int_{1/2}^1 \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx$.
Question 2 : Pour la première partie $\\int_0^{1/2} \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx$, utiliser la substitution $x = \\sin^2(\\theta)$ pour transformer l'intégrale en une forme plus simple.
Question 3 : En utilisant la symétrie de la fonction autour du point $x = 1/2$, montrer que $\\int_{1/2}^1 \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx = \\int_0^{1/2} \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx$.
Question 4 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $S = \\int_0^1 \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}} dx$ en combinant les résultats précédents.
",
"svg": "Intégrale impropre avec singularités aux deux extrémitésFonction : f(x) = 1/√(x(1-x)) sur [0, 1]• Intégrale : ∫₀¹ 1/√(x(1-x)) dx• Singularité en x = 0 : fonction → +∞• Singularité en x = 1 : fonction → +∞• Intervalle : [0, 1] borné mais singularités aux deux bouts• Symétrie : f(x) = f(1-x)Graphique de f(x) = 1/√(x(1-x)) avec singularités\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nf(x)\n0\n1\n0\n∞\n\n\n\n\n\n\n\nx = 1/2\n\n\nAire = π\nSingularité\nSingularité\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous identifions les singularités et vérifions la convergence.
Étape 1 : Analyons la fonction $f(x) = \\frac{1}{\\sqrt{x(1-x)}}$.
Étape 2 : Le dénominateur s'annule quand :
$x(1-x) = 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ ou } x = 1$
Cette intégrale présente une singularité en $x = 0$ et s'étend à l'infini.
Question 1 : Analyser la convergence aux deux limites. Séparera l'étude en deux parties : convergence près de $x = 0$ et convergence pour $x \\to +\\infty$.
Question 2 : Utiliser la substitution $x = u^2$ pour transformer l'intégrale et simplifier le problème.
Question 3 : Appliquer la décomposition en fractions partielles ou une autre technique pour évaluer l'intégrale transformée.
Question 4 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $T$ en combinant les résultats précédents.
",
"svg": "Intégrale impropre combinée : singularité et infiniFonction : f(x) = 1/(√x·(1+x)) sur [0, ∞)• Intégrale : ∫₀^∞ 1/(√x·(1+x)) dx• Singularité en x = 0 : 1/√x → +∞• Comportement à l'infini : 1/(x^(3/2)(1+1/x)) → 0• Type : intégrale impropre combinée• Décomposition : test en 0 et à l'infiniGraphique de f(x) = 1/(√x·(1+x)) avec singularité en x = 0\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nf(x)\n0\n∞\n0\n1\n\n\n\n\n\nSingularité\n\n\nAire = π\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 :
Nous analysons la convergence aux deux limites.
Étape 1 : Séparerons l'intégrale en deux régions :
Étape 2 : D'après la Question 3, nous avons calculé :
$\\int_0^{+\\infty} \\frac{2}{1+u^2} du = \\pi$
Étape 3 : Donc :
$T = \\pi$
Étape 4 : Vérification par analyse : La fonction décroît assez rapidement (comme $1/x^{3/2}$ pour $x$ grand) et a une singularité intégrable en $0$ (comme $1/\\sqrt{x}$), assurant la convergence.
Résultat final : $T = \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x}(1+x)} dx = \\pi$.
Exercice 1 : Étude de convergence d'une série numérique et calcul de somme
On considère la série numérique de terme général $u_n = \\frac{n^2 + 3n}{(n+1)!}$.
Question 1 : Déterminer la nature de la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert (critère du rapport).
Question 2 : Calculer la limite $\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et conclure sur la convergence absolue.
Question 3 : Sachant que la série converge, décomposer $u_n$ sous la forme $u_n = \\frac{A}{n!} + \\frac{B}{(n+1)!}$ où $A$ et $B$ sont des constantes à déterminer.
Question 4 : En utilisant la décomposition trouvée et le fait que $\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} = e$, calculer la somme exacte $S = \\sum_{n=1}^{+\\infty} u_n$.
",
"svg": "Représentation graphique de u_nnu_n13579Décroissance rapide de u_n (convergence)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 1
Question 1 : Nature de la série
Le critère de d'Alembert stipule que si $\\lim_{n \\to +\\infty} \\left|\\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right| = \\ell$, alors : - Si $\\ell < 1$, la série converge absolument - Si $\\ell > 1$, la série diverge - Si $\\ell = 1$, le critère est non concluant
Pour notre série, nous avons $u_n = \\frac{n^2 + 3n}{(n+1)!}$.
Question 2 : Calcul de la limite du rapport
Étape 1 : Expression du terme général suivant $u_{n+1} = \\frac{(n+1)^2 + 3(n+1)}{(n+2)!}$
On considère la série entière $\\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^n$ où $a_n = \\frac{2^n (n+1)}{n^2 + 4}$.
Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de d'Alembert : $\\frac{1}{R} = \\lim_{n \\to +\\infty} \\left|\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\right|$.
Question 2 : Déterminer explicitement la limite $\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n}$ et en déduire la valeur exacte de $R$.
Question 3 : Étudier la convergence de la série aux bornes de l'intervalle de convergence, c'est-à-dire pour $x = R$ et $x = -R$.
Question 4 : Pour $x = \\frac{R}{4}$, calculer une approximation de la somme $S\\left(\\frac{R}{4}\\right) = \\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n \\left(\\frac{R}{4}\\right)^n$ en utilisant les $5$ premiers termes de la série.
",
"svg": "Intervalle de convergence de la série entière0-RRZone de convergence absolueDivergenceDivergenceR/4Rayon de convergence R = 1/2Intervalle : ]-1/2, 1/2[",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 2
Question 1 : Calcul du rayon de convergence
Pour une série entière $\\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^n$, le rayon de convergence $R$ peut être calculé par la formule de d'Alembert : $\\frac{1}{R} = \\lim_{n \\to +\\infty} \\left|\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\right|$
Avec $a_n = \\frac{2^n (n+1)}{n^2 + 4}$, nous devons calculer le rapport $\\frac{a_{n+1}}{a_n}$.
Exercice 3 : Développement en série de Fourier d'une fonction périodique
Soit $f$ une fonction $2\\pi$-périodique définie sur $[-\\pi, \\pi]$ par :
$f(x) = \\begin{cases} x & \\text{si } -\\pi \\leq x < 0 \\\\ 2x & \\text{si } 0 \\leq x \\leq \\pi \\end{cases}$
Question 1 : Calculer le coefficient de Fourier $a_0$ défini par $a_0 = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) dx$.
Question 2 : Calculer les coefficients de Fourier $a_n$ pour $n \\geq 1$, définis par $a_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\cos(nx) dx$.
Question 3 : Calculer les coefficients de Fourier $b_n$ pour $n \\geq 1$, définis par $b_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\sin(nx) dx$.
Question 4 : Écrire la série de Fourier de $f$ et calculer sa valeur en $x = \\frac{\\pi}{2}$ en utilisant les $3$ premiers termes non nuls.
",
"svg": "Graphe de la fonction f(x) sur [-π, π]xy-πππ-π0y = xy = 2xFonction par morceauxf(x) = x si x ∈ [-π, 0[f(x) = 2x si x ∈ [0, π]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Étape 2 : Décomposition de l'intégrale selon la définition de $f$ $a_0 = \\frac{1}{\\pi} \\left[ \\int_{-\\pi}^{0} x dx + \\int_{0}^{\\pi} 2x dx \\right]$
Étape 3 : Calcul de $\\int_{-\\pi}^{0} x dx$ $\\int_{-\\pi}^{0} x dx = \\left[ \\frac{x^2}{2} \\right]_{-\\pi}^{0} = \\frac{0^2}{2} - \\frac{(-\\pi)^2}{2} = 0 - \\frac{\\pi^2}{2} = -\\frac{\\pi^2}{2}$
Exercice 4 : Étude de la convergence uniforme d'une série de fonctions
On considère la série de fonctions $\\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(x)$ où $f_n(x) = \\frac{x}{n^2(1 + nx^2)}$ pour $x \\in [0, 1]$.
Question 1 : Pour chaque $x \\in [0, 1]$, montrer que la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(x)$ converge en majorant $|f_n(x)|$ par une expression indépendante de $x$.
Question 2 : Calculer la norme uniforme $\\|f_n\\|_{\\infty} = \\sup_{x \\in [0,1]} |f_n(x)|$ en déterminant le maximum de $f_n$ sur $[0, 1]$.
Question 3 : En utilisant le critère de Weierstrass, montrer que la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(x)$ converge uniformément sur $[0, 1]$.
Question 4 : Calculer une valeur approchée de $S(0,5) = \\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(0,5)$ en utilisant les $10$ premiers termes et estimer l'erreur commise.
",
"svg": "Graphes de f_n(x) pour différentes valeurs de nxy00.51Légenden = 1n = 2n = 3n = 5Les fonctions f_n convergent uniformément vers 0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 4
Question 1 : Convergence ponctuelle
Étape 1 : Expression de $f_n(x)$ $f_n(x) = \\frac{x}{n^2(1 + nx^2)}$ pour $x \\in [0, 1]$
Étape 2 : Majoration de $|f_n(x)|$ Pour $x \\in [0, 1]$, on a $1 + nx^2 \\geq 1$, donc : $|f_n(x)| = \\frac{x}{n^2(1 + nx^2)} \\leq \\frac{x}{n^2 \\times 1} = \\frac{x}{n^2}$
Étape 3 : Majoration par une constante Puisque $x \\in [0, 1]$, on a $x \\leq 1$, donc : $|f_n(x)| \\leq \\frac{1}{n^2}$
Étape 4 : Convergence de la série majorante La série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann avec $\\alpha = 2 > 1$).
Conclusion : Par comparaison, pour tout $x \\in [0, 1]$, la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(x)$ converge absolument.
Question 2 : Calcul de $\\|f_n\\|_{\\infty}$
Étape 1 : Recherche du maximum de $f_n(x)$ sur $[0, 1]$ Calculons la dérivée de $f_n$ : $f_n(x) = \\frac{x}{n^2(1 + nx^2)}$
Étape 2 : Calcul de $f_n'(x)$ par la règle du quotient Posons $u(x) = x$ et $v(x) = n^2(1 + nx^2)$ Alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = n^2 \\times 2nx = 2n^3 x$
Étape 4 : Vérification que $x = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\in [0, 1]$ Pour $n \\geq 1$, on a $0 < \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leq 1$, donc le point critique est dans l'intervalle.
Étape 5 : Calcul de $f_n\\left(\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\right)$ $f_n\\left(\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\right) = \\frac{\\frac{1}{\\sqrt{n}}}{n^2\\left(1 + n \\times \\frac{1}{n}\\right)} = \\frac{\\frac{1}{\\sqrt{n}}}{n^2(1 + 1)} = \\frac{\\frac{1}{\\sqrt{n}}}{2n^2}$
Question 3 : Convergence uniforme par le critère de Weierstrass
Étape 1 : Énoncé du critère de Weierstrass Si $|f_n(x)| \\leq M_n$ pour tout $x$ et si $\\sum_{n=1}^{+\\infty} M_n$ converge, alors $\\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(x)$ converge uniformément.
Étape 2 : Choix de $M_n$ D'après la question 2, on a $\\|f_n\\|_{\\infty} = \\frac{1}{2n^{5/2}}$
Posons $M_n = \\frac{1}{2n^{5/2}}$
Étape 3 : Étude de la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} M_n$ $\\sum_{n=1}^{+\\infty} M_n = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{2n^{5/2}} = \\frac{1}{2} \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^{5/2}}$
Étape 4 : Convergence de la série C'est une série de Riemann avec $\\alpha = \\frac{5}{2} = 2,5 > 1$, donc elle converge.
Conclusion : Par le critère de Weierstrass, la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} f_n(x)$ converge uniformément sur $[0, 1]$.
Exercice 5 : Application des séries à la résolution d'une équation différentielle
On cherche à résoudre l'équation différentielle $y' - 2xy = 0$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ en utilisant une méthode de série entière. On pose $y(x) = \\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^n$.
Question 1 : En substituant $y(x) = \\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^n$ dans l'équation différentielle, montrer que $\\sum_{n=1}^{+\\infty} n a_n x^{n-1} - 2\\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^{n+1} = 0$.
Question 2 : En réindexant les sommes pour qu'elles aient le même exposant de $x$, établir la relation de récurrence $(n+1) a_{n+1} - 2 a_{n-1} = 0$ pour $n \\geq 1$, et en déduire $a_{n+1} = \\frac{2 a_{n-1}}{n+1}$.
Question 3 : En utilisant la condition initiale $y(0) = 1$, déterminer $a_0$. Puis, en utilisant le fait que le coefficient de $x^0$ doit être nul dans l'équation, déterminer $a_1$. Calculer ensuite $a_2$, $a_3$, $a_4$ et $a_5$ à l'aide de la relation de récurrence.
Question 4 : En reconnaissant le développement en série de $e^{x^2}$ (rappel : $e^u = \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{u^n}{n!}$), vérifier que $y(x) = e^{x^2}$ et calculer $y(1)$ avec une précision de $3$ décimales en utilisant les coefficients trouvés.
Étape 3 : Substitution dans $y' - 2xy = 0$ $\\sum_{n=1}^{+\\infty} n a_n x^{n-1} - 2\\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^{n+1} = 0$
Conclusion : L'équation est établie.
Question 2 : Relation de récurrence
Étape 1 : Réindexation de la première somme Posons $m = n - 1$, alors $n = m + 1$. Quand $n = 1$, $m = 0$ : $\\sum_{n=1}^{+\\infty} n a_n x^{n-1} = \\sum_{m=0}^{+\\infty} (m+1) a_{m+1} x^m$
Étape 2 : Réindexation de la deuxième somme Posons $m = n + 1$, alors $n = m - 1$. Quand $n = 0$, $m = 1$ : $\\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^{n+1} = \\sum_{m=1}^{+\\infty} a_{m-1} x^m$
Exercice 1 : Étude d'une série numérique et de ses dérivées
Considérons la série $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ où $u_n = \\frac{n}{2^n}$.
Question 1 : Appliquer le critère de D'Alembert (ratio test) pour déterminer la nature de la série $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$.
Question 2 : Calculer la somme $S = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n}{2^n}$ en utilisant la série géométrique et sa dérivée.
Question 3 : Déterminer la somme de la série $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2}{2^n}$ en utilisant le résultat de la Question 2.
Question 4 : Trouver le rayon de convergence de la série entière $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n}{2^n} x^n$.
",
"svg": "nu_n01234560.50.40.3u_n = n/2^n décroît vers 0Convergence rapide vers 0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 1
Question 1 : Critère de D'Alembert
Étape 1 : Formule du critère
On calcule $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{u_{n+1}}{u_n}$
Étape 2 : Expression de $u_{n+1}$ et $u_n$
$u_n = \\frac{n}{2^n}$ et $u_{n+1} = \\frac{n+1}{2^{n+1}}$
Considérons la suite de fonctions $(f_n)$ définie sur $[0,1]$ par $f_n(x) = \\frac{x^n}{n+1}$.
Question 1 : Déterminer la limite simple $f(x) = \\lim_{n \\to \\infty} f_n(x)$ pour chaque $x \\in [0,1]$.
Question 2 : Calculer $M_n = \\sup_{x \\in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ et en déduire si la convergence est uniforme sur $[0,1]$.
Question 3 : Calculer $\\int_0^1 f_n(x) \\, dx$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$, puis calculer $\\int_0^1 f(x) \\, dx$ et vérifier si $\\lim_{n \\to \\infty} \\int_0^1 f_n(x) \\, dx = \\int_0^1 f(x) \\, dx$.
Question 4 : Pour $x \\in [0,1)$, calculer $\\sum_{n=0}^{\\infty} f_n(x)$ et vérifier si la série converge uniformément sur $[0,1)$.
",
"svg": "xyf_0(x)f_1(x)f_2(x)limite f(x)00.510.5Suite f_n(x) = x^n/(n+1) sur [0,1]Convergence vers la fonction nulle",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
On sait que $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^{n+1}}{n+1} = -\\ln(1-x)$ pour $|x| < 1$.
Donc $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n+1} = \\frac{-\\ln(1-x)}{x}$ pour $x \\in (0,1)$.
Étape 3 : Analyse en $x = 0$
Par continuité, la somme vaut $1$ en $x = 0$ (terme constant).
Étape 4 : Convergence uniforme de la série
Pour $x = 1$, la série devient $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{n+1}$ qui diverge (série harmonique).
Pour $x \\in [0,1)$, la convergence n'est pas uniforme car la somme tend vers $+\\infty$ lorsque $x \\to 1^-$.
Résultat : La série converge simplement sur $[0,1)$ mais pas uniformément. La somme est $S(x) = \\frac{-\\ln(1-x)}{x}$ pour $x \\in (0,1)$ et $S(0) = 1$.
Exercice 3 : Série entière et son intervalle de convergence
Considérons la série entière $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n$ où $a_n = \\frac{1}{(n+1)2^n}$.
Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de Cauchy-Hadamard.
Question 2 : Déterminer l'intervalle de convergence en étudiant le comportement de la série aux points $x = -R$ et $x = R$.
Question 3 : Trouver la somme $S(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{(n+1)2^n}$ pour $|x| < R$.
Question 4 : En utilisant le résultat de la Question 3, calculer la somme de la série numérique $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}$.
",
"svg": "xS(x)-22S(x) = -2ln(1 - x/2)/x00-11Série entière de rayon R = 2Intervalle de convergence [-2, 2)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 3
Question 1 : Rayon de convergence
Étape 1 : Formule de Cauchy-Hadamard
$\\frac{1}{R} = \\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}$ avec $a_n = \\frac{1}{(n+1)2^n}$
La fonction $x^2$ est paire, $\\cos(nx)$ est paire, donc $x^2 \\cos(nx)$ est paire. La fonction $\\sin(nx)$ est impaire, donc $x^2 \\sin(nx)$ est impaire.
Exercice 5 : Série alternée et série entière associée
Considérons la série alternée $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ et la série entière $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{x^n}{n}$.
Question 1 : Vérifier que la série alternée $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ converge en appliquant le critère de Leibniz.
Question 2 : Donner une majoration du reste $R_N = \\left| S - S_N \\right|$ où $S$ est la somme totale et $S_N$ la somme partielle d'ordre $N$ de la série alternée.
Question 3 : Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{x^n}{n}$ et étudier la convergence aux points $x = -1$ et $x = 1$.
Question 4 : Sachant que la somme de la série entière est $S(x) = \\ln(1+x)$ pour $|x| < 1$, calculer la valeur de $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ et estimer l'erreur lorsqu'on approche cette somme par $S_{10}$.
",
"svg": "xS(x)S(x) = ln(1+x)0-0.5-0.2500.250.50.75Série ln(1+x) de rayon R = 1Convergence en x = 1 (série alternée)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 5
Question 1 : Critère de Leibniz
Étape 1 : Formulation du critère
La série $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} v_n$ converge si $(v_n)$ est décroissante et tend vers $0$.
Étape 2 : Vérification pour $v_n = \\frac{1}{n}$
La suite $v_n = \\frac{1}{n}$ est strictement décroissante car $\\frac{1}{n+1} < \\frac{1}{n}$ pour tout $n \\geq 1$.
Étape 3 : Limite de $v_n$
$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} = 0$
Étape 4 : Conclusion
Les deux conditions du critère de Leibniz sont satisfaites, donc la série $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ converge.
Question 2 : Majoration du reste
Étape 1 : Théorème du reste pour série alternée
Pour une série alternée vérifiant le critère de Leibniz, le reste $R_N$ vérifie :
Résultat : La somme est $\\ln 2 \\approx 0.693147$. L'approximation à l'ordre 10 donne $S_{10} \\approx 0.64563$ avec une erreur de $0.04752$, bien inférieure à la majoration $0.0909$.
Exercice 1 : Convergence de séries numériques et critères de d'Alembert
\n
Soit les trois séries suivantes à analyser :
\n\n
Question 1 : Étudier la convergence de la série $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2 + 1}{3^n \\cdot n!}$ en utilisant le critère de d'Alembert. Calculer le ratio $\\frac{a_{n+1}}{a_n}$ et déterminer sa limite.
\n\n
Question 2 : Pour la même série, calculer les trois premiers termes $a_1, a_2, a_3$ et vérifier que la série converge en comparant avec une série de référence.
\n\n
Question 3 : En utilisant le résultat de convergence, déterminer l'ordre de grandeur du reste $R_N = \\sum_{n=N+1}^{\\infty} a_n$ pour $N = 5$.
\n\n
Question 4 : Calculer la somme partielle $S_5 = \\sum_{n=1}^{5} \\frac{n^2 + 1}{3^n \\cdot n!}$ et estimer l'erreur d'approximation par rapport à la somme totale.
Exercice 2 : Suites et séries de fonctions - Convergence uniforme
\n
Soit la suite de fonctions $f_n(x) = \\frac{nx}{1 + n^2 x^2}$ définie sur $[0, 1]$.
\n\n
Question 1 : Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ en calculant $\\lim_{n \\to \\infty} f_n(x)$ pour chaque $x \\in [0,1]$. Identifier la fonction limite $f(x)$.
\n\n
Question 2 : Calculer $\\|f_n - f\\|_{\\infty} = \\sup_{x \\in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ et étudier si la convergence est uniforme.
\n\n
Question 3 : Déterminer le maximum de $f_n(x)$ sur $[0,1]$ en trouvant les points critiques. Montrer que ce maximum est atteint en $x = 1/n$.
\n\n
Question 4 : Calculer l'intégrale $\\int_0^1 f_n(x) \\, dx$ et étudier la limite de cette intégrale lorsque $n \\to \\infty$. Comparer avec $\\int_0^1 \\lim_{n \\to \\infty} f_n(x) \\, dx$.
Exercice 3 : Séries entières et rayon de convergence
\n
Considérons la série entière $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n x^n}{n \\cdot 2^n}$.
\n\n
Question 1 : Déterminer le rayon de convergence $R$ en utilisant la formule de d'Alembert : $R = \\lim_{n \\to \\infty} \\left|\\frac{a_n}{a_{n+1}}\\right|$ où $a_n = \\frac{(-1)^n}{n \\cdot 2^n}$.
\n\n
Question 2 : Étudier la convergence aux extrémités de l'intervalle $x = -R$ et $x = R$.
\n\n
Question 3 : Calculer les trois premiers coefficients et la somme partielle $S_3(x) = \\sum_{n=1}^{3} \\frac{(-1)^n x^n}{n \\cdot 2^n}$ pour $x = 1$.
\n\n
Question 4 : Déterminer la fonction $f(x)$ représentée par cette série entière en utilisant la relation $\\ln(1+u) = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n+1} u^n}{n}$ avec $u = -x/2$.
Exercice 4 : Séries de Fourier et décomposition périodique
\n
Soit la fonction 2π-périodique définie par :
\n
$f(x) = \\begin{cases} x & \\text{si } 0 < x < \\pi \\\\ 0 & \\text{si } -\\pi < x < 0 \\end{cases}$
\n\n
Question 1 : Calculer le coefficient $a_0$ de la série de Fourier en utilisant la formule : $a_0 = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\, dx$.
\n\n
Question 2 : Calculer les coefficients $a_n$ pour $n \\geq 1$ en utilisant : $a_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\cos(nx) \\, dx$.
\n\n
Question 3 : Calculer les coefficients $b_n$ pour $n \\geq 1$ en utilisant : $b_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\sin(nx) \\, dx$. Montrer en particulier que $b_n = \\frac{1}{n}$ pour tout $n \\geq 1$.
\n\n
Question 4 : Écrire la série de Fourier complète jusqu'au terme d'ordre $N = 5$ et calculer la valeur approximée au point $x = \\pi/2$.
Exercice 5 : Séries entières et fonctions analytiques
\n
Considérons la fonction $g(x) = e^{x^2}$ qui peut être développée en série entière.
\n\n
Question 1 : Écrire le développement en série entière de $e^u$ puis déduire le développement de $e^{x^2}$ en remplaçant $u$ par $x^2$.
\n\n
Question 2 : Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la formule de Cauchy-Hadamard.
\n\n
Question 3 : Calculer les quatre premiers termes du développement (jusqu'à $x^6$) et évaluer la somme partielle en $x = 0.5$.
\n\n
Question 4 : Intégrer la série terme à terme pour obtenir le développement en série de $\\int_0^x e^{t^2} \\, dt$ et calculer l'approximation de cette intégrale pour $x = 1$ en utilisant les trois premiers termes.
On considère la série numérique définie par le terme général : $u_n = \\frac{2n^2 - 1}{3^n}$ pour $n \\ge 1$.
Question 1 : Étudier la convergence de la série $\\sum u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert (Règle du quotient).
Question 2 : On souhaite calculer la somme exacte. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $f(x) = \\sum_{n=1}^{\\infty} n^2 x^n$.
Question 3 : En utilisant les dérivées successives de la série géométrique $\\sum x^n$, exprimer la fonction somme $f(x)$ pour $|x| < 1$ sous forme rationnelle.
Question 4 : En déduire la valeur exacte de la somme de la série initiale $S = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{2n^2 - 1}{3^n}$.
",
"svg": "nu_nDécroissance exponentielle 1/3^n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solutions détaillées
Question 1 : Critère de d'Alembert
1. Formule générale : Le critère de d'Alembert stipule que si $\\lim_{n \\to \\infty} \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n} \\right| = L$, la série converge si $L < 1$.
Quand $n \\to \\infty$, le terme rationnel tend vers 1 (rapport des termes de plus haut degré).
4. Résultat final :
$L = \\frac{1}{3} < 1$. Donc, la série $\\sum u_n$ converge.
Question 2 : Rayon de convergence
1. Formule générale : Pour $\\sum a_n x^n$ avec $a_n = n^2$, on utilise la règle de d'Alembert pour les séries entières : $R = \\lim_{n \\to \\infty} \\left| \\frac{a_n}{a_{n+1}} \\right|$.
2. Remplacement :
$a_n = n^2$, donc $\\frac{a_n}{a_{n+1}} = \\frac{n^2}{(n+1)^2}$.
1. Formule générale : On part de la série géométrique $\\sum_{n=0}^{\\infty} x^n = \\frac{1}{1-x}$. On dérive terme à terme.
2. Calculs successifs :
Dérivée première : $\\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} = \\frac{1}{(1-x)^2}$. Multiplication par $x$ : $\\sum_{n=1}^{\\infty} n x^n = \\frac{x}{(1-x)^2}$. Dérivée seconde de l'expression précédente : $\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{x}{(1-x)^2}\\right) = \\frac{1(1-x)^2 - x(2(1-x)(-1))}{(1-x)^4} = \\frac{1-x + 2x}{(1-x)^3} = \\frac{1+x}{(1-x)^3}$. On a donc $\\sum_{n=1}^{\\infty} n^2 x^{n-1} = \\frac{1+x}{(1-x)^3}$. Multiplication finale par $x$ : $f(x) = \\sum_{n=1}^{\\infty} n^2 x^n = x \\frac{1+x}{(1-x)^3}$.
4. Résultat final :
$f(x) = \\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$.
Question 4 : Calcul de la somme S
1. Formule générale : On décompose $S$ en utilisant la linéarité : $S = 2 \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2}{3^n} - \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{3^n}$.
2. Remplacement :
Le premier terme est $2 f(1/3)$. Le second est une série géométrique de raison $1/3$ commençant à $n=1$.
Soit la suite de fonctions $f_n : [0, 1] \\to \\mathbb{R}$ définie pour $n \\ge 1$ par : $f_n(x) = \\frac{2nx}{1 + n^2 x^4}$.
Question 1 : Déterminer la fonction limite simple $f(x) = \\lim_{n \\to \\infty} f_n(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$.
Question 2 : Pour étudier la convergence uniforme, calculer la valeur maximale $M_n = \\sup_{x \\in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ en étudiant les variations de $f_n$.
Question 4 : Comparer $\\lim_{n \\to \\infty} I_n$ et $\\int_0^1 f(x) dx$. La convergence est-elle uniforme ?
",
"svg": "xy1f_n(x) (bosse mobile)Limite f(x)=0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solutions détaillées
Question 1 : Limite simple
1. Formule générale : On fixe $x$ et on fait tendre $n$ vers l'infini.
2. Analyse des cas : Si $x = 0$ : $f_n(0) = 0$ pour tout $n$, donc $\\lim f_n(0) = 0$. Si $x \\in ]0, 1]$ : Le terme dominant au dénominateur est $n^2 x^4$.
Résolution d'une équation différentielle par série entière
On cherche la solution $y(x)$ de l'équation différentielle $(E): y'' + 4y = 0$ avec les conditions initiales $y(0)=1, y'(0)=0$, sous forme de série entière $y(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n$.
Question 1 : Établir la relation de récurrence entre les coefficients $a_{n+2}$ et $a_n$ en injectant la série dans l'équation.
Question 2 : Déterminer l'expression explicite de $a_n$ en fonction de $n$, en distinguant les cas pairs et impairs, sachant les conditions initiales.
Question 3 : Calculer le rayon de convergence $R$ de la série obtenue.
Question 4 : Identifier la fonction $y(x)$ somme de la série et vérifier qu'elle est solution.
",
"svg": "y(0)=1xyOscillateur Harmonique",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Calculer les développements limités de $e^{-x}$ et $\\sin(x)$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.
Question 2 : En déduire le polynôme de Taylor $P_3(x)$ de la fonction $f$ à l'ordre 3 en effectuant le produit des séries tronquées.
Question 3 : Utiliser ce polynôme pour calculer une valeur approchée de l'intégrale $I = \\int_0^{0.5} e^{-x} \\sin(x) dx$.
Question 4 : Calculer la valeur exacte de cette intégrale en utilisant une intégration par parties (ou les complexes) et comparer avec l'approximation.
",
"svg": "e^{-x}sin(x)Zone d'intégration [0, 0.5]x",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Exercice 1 : Série numérique - Critères de convergence et calcul de la somme
\n
On considère la série numérique $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}$.
\n\n
Question 1 : Démontrer que cette série converge en utilisant le critère de comparaison avec une série télescopique. Décomposer $\\frac{1}{n(n+1)}$ en éléments simples.
\n\n
Question 2 : Calculer la somme partielle $S_N = \\sum_{n=1}^{N} \\frac{1}{n(n+1)}$ en utilisant la décomposition obtenue à la question 1.
\n\n
Question 3 : En utilisant la limite de la somme partielle lorsque $N \\to \\infty$, déterminer la somme totale de la série $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}$.
\n\n
Question 4 : Vérifier la convergence en calculant le terme général de la série pour $n = 1, 2, 3, 4$ et démontrer que $\\lim_{n \\to \\infty} u_n = 0$.
Étape 3 - Observer que lorsque $n \\to \\infty$, le dénominateur $n(n+1) \\to \\infty$ :
\n
$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n(n+1)} = 0$
\n
Étape 4 - Conclusion :
\n
$\\lim_{n \\to \\infty} u_n = 0$
\n
Résultat : Le terme général converge vers $0$, ce qui est une condition nécessaire pour la convergence de la série. Les valeurs décroissantes des premiers termes $(0.5, 0.1667, 0.0833, 0.05, \\ldots)$ confirment cette convergence.
Exercice 3 : Série entière et rayon de convergence
\n
On considère la série entière $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n!}$.
\n\n
Question 1 : Appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
\n\n
Question 2 : Calculer le terme général $a_n = \\frac{1}{n!}$ et le rapport $\\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pour montrer que $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = 0$.
\n\n
Question 3 : En utilisant le rayon de convergence obtenu, déterminer l'intervalle de convergence de la série.
\n\n
Question 4 : Montrer que cette série représente la fonction exponentielle $e^x = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n!}$ et calculer $e^1$ en sommant les 5 premiers termes de la série.
Résultat : Cette série entière représente l'exponentielle $e^x$ et la somme des 5 premiers termes donne $e \\approx 2.7084$, ce qui est une excellente approximation de la valeur exacte $e \\approx 2.71828$.
Étape 2 - Observer que la fonction sous l'intégrale est le produit d'une fonction paire ($|x|$) et d'une fonction impaire ($\\sin(nx)$), ce qui est impair :
$f(\\pi/2) = 1$, ce qui est très proche de l'approximation $1.103$.
\n
Résultat : Les trois premiers coefficients non-nuls sont $b_1 = \\frac{4}{\\pi}$, $b_3 = \\frac{4}{3\\pi}$, $b_5 = \\frac{4}{5\\pi}$, et l'approximation de $f(\\pi/2)$ donne une valeur très proche de 1.
",
"id_category": "4",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Séries",
"question": "On considère la fonction $f(x, y) = x^2y + 3xy^2 + 2$. \n1. Calculez la limite de $f(x,y)$ en $(0, 0)$ selon les chemins $y = 0$ et $y = x$. \n2. Vérifiez la continuité de $f$ au point $(0, 0)$. \n3. Déterminez les dérivées partielles $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ à tout point $(x, y)$. \n4. À partir de ces dérivées, vérifiez la différentiabilité de $f$ au point $(1, 1)$.",
"svg": "xy(0,0)y=xy=0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Calcul de la limite selon deux chemins Formule générale : $\\lim_{(x,y) \\to (0,0)} f(x,y)$ Chemin 1, $y=0$ : $f(x,0) = x^2\\cdot 0 + 3x\\cdot 0^2 + 2 = 2$ Limite selon $y = 0$ : $\\lim_{x \\to 0} 2 = 2$ Chemin 2, $y=x$ : $f(x,x) = x^2x + 3x x^2 + 2 = x^3 + 3x^3 + 2 = 4x^3 + 2$ Limite selon $y = x$ : $\\lim_{x \\to 0} (4x^3 + 2) = 2$ Résultat final : la limite est $2$ selon ces chemins.
2. Continuité au point (0,0) Formule générale : $\\lim_{(x,y) \\to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$ Calcul : $f(0,0) = 2$ Pour tous les chemins testés, la limite est $2$. Donc $f$ est continue en $(0,0)$.
4. Différentiabilité en (1,1) Formule générale : la fonction est différentiable si les dérivées partielles existent et sont continues. Remplacement des données : $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(1,1) = 2 \\cdot 1 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1^2 = 2+3=5$, $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(1,1) = 1^2 + 6 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1+6=7$ Calcul dans $...$ : Les dérivées étant polynomiales, elles sont continues partout. Résultat final : $f$ est différentiable en $(1,1)$.
",
"id_category": "4",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Séries",
"question": "On considère la fonction $g(x, y) = e^{xy} + \\ln(x+y+1)$.\n1. Calculez la dérivée partielle de $g$ par rapport à $x$ au point $(1, 0)$.\n2. Calculez la dérivée partielle de $g$ par rapport à $y$ au point $(1, 0)$.\n3. Déterminez la différentielle totale $dg$ en $(1, 0)$ pour une variation infinitésimale de $x$ et $y$.\n4. Évaluez l'approximation linéaire de $g(x, y)$ près de $(1, 0)$ pour $x=1.01$, $y=0.02$.",
"svg": "xy(1,0)Variation locale",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Dérivée partielle par rapport à x au point (1, 0) Formule générale : $\\frac{\\partial g}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial x} [e^{xy} + \\ln(x+y+1)]$ Calcul : $\\frac{\\partial}{\\partial x} [e^{xy}] = y e^{xy}$, $\\frac{\\partial}{\\partial x} [\\ln(x+y+1)] = \\frac{1}{x+y+1}$ Au point $(1,0)$ : $y=0$, $x=1$, donc $y e^{xy} = 0$, $x+y+1=2$ Résultat : $\\frac{\\partial g}{\\partial x}(1,0) = 0 + \\frac{1}{2} = 0.5$
2. Dérivée partielle par rapport à y au point (1, 0) Formule : $\\frac{\\partial g}{\\partial y} = x e^{xy} + \\frac{1}{x+y+1}$ Au point $(1,0)$ : $x=1$, $e^{xy} = e^0=1$, $\\frac{1}{2}=0.5$ Calcul : $1 \\cdot 1 + 0.5 = 1.5$ Résultat : $\\frac{\\partial g}{\\partial y}(1,0) = 1.5$
3. Différentielle totale en (1,0) Formule : $dg = \\frac{\\partial g}{\\partial x} dx + \\frac{\\partial g}{\\partial y} dy$ Remplacement : $dg = 0.5 dx + 1.5 dy$ Interprétation : variations de $g$ pour petites variations de $x$ et $y$ près de $(1,0)$.
4. Approximation linéaire pour x=1.01 y=0.02 Formule : $g(1.01,0.02) \\approx g(1,0) + \\frac{\\partial g}{\\partial x}(1,0)\\cdot 0.01 + \\frac{\\partial g}{\\partial y}(1,0)\\cdot 0.02$ Valeur de base : $g(1,0)=e^{0}+\\ln(2)=1+0.6931=1.6931$ Calcul variation : $0.5*0.01=0.005$, $1.5*0.02=0.03$ Sommation : $1.6931+0.005+0.03=1.7281$ Résultat final : $g(1.01,0.02)\\approx 1.7281$
",
"id_category": "4",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Séries",
"question": "Soit $h(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ définie dans $\\mathbb{R}^3$. \n1. Calculez les dérivées partielles de $h$ par rapport à $x$, $y$ et $z$ au point $(1,2,3)$.\n2. Déterminez si $h$ est différentiable en ce point.\n3. Calculez l'intégrale triple de $h(x, y, z)$ sur le cube $[0,1]\\times[0,1]\\times[0,1]$.\n4. Interprétez physiquement le résultat obtenu à la question précédente.",
"svg": "zxyCube : [0,1]^3(1,2,3)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
2. Différentiabilité La fonction est polynomiale donc toutes les dérivées partielles existent et sont continues partout. Donc $h$ est différentiable en tout point de $\\mathbb{R}^3$, notamment en $(1,2,3)$.
3. Intégrale triple sur le cube [0,1]^3 Formule générale : $\\iiint_{[0,1]^3} (x^2 + y^2 + z^2) dxdy dz$ Séparation : $\\int_0^1 x^2 dx = \\frac{1}{3}$, même pour $y$ et $z$ Calcul : $\\iiint_{[0,1]^3} x^2 dx dy dz = \\frac{1}{3}\\cdot1\\cdot1 = \\frac{1}{3}$ Pareil pour les autres variables. Somme : $3\\cdot \\frac{1}{3}=1$ Résultat : $\\iiint_{[0,1]^3} h(x, y, z) dx dy dz = 1$
4. Interprétation physique Ce résultat correspond à la somme de la densité quadratique aux coordonnées $(x,y,z)$ dans le cube unité. Pour une densité du type $h$, l'intégrale triple donne la masse totale (ou l'énergie potentielle quadratique) du volume.
",
"id_category": "4",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Séries",
"question": "Considérons la fonction $f(x, y) = x^3 + 2xy + y^2$. \n1. Déterminez les points critiques de $f(x, y)$. \n2. Calculez la matrice hessienne de $f$ au point $(1, -1)$. \n3. Donnez la nature du point $(1, -1)$ (minimum, maximum ou point selle) en utilisant la hessienne. \n4. Calculez l'intégrale double de $f(x, y)$ sur le domaine rectangulaire $0 \\le x \\le 1$, $0 \\le y \\le 2$.",
"svg": "xy(1, -1)Intégrale",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Points critiques de f Formule générale : résolvez $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$ Dérivées : $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 3x^2 + 2y$, $\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 2x + 2y$ Équations à résoudre : $3x^2 + 2y = 0$ et $2x + 2y = 0$ De $2x+2y=0\\Rightarrow y=-x$ Substitution dans la première : $3x^2 + 2(-x) = 0 \\Rightarrow 3x^2 - 2x = 0 \\Rightarrow x(3x-2)=0$ D'où $x=0$ ou $x=2/3$. Pour chaque : Si $x=0$ alors $y=0$. Si $x=2/3$, $y=-2/3$ Résultat : points critiques $(0,0)$ et $(2/3, -2/3)$.
2. Matrice hessienne au point (1, -1) Formule générale : $H_f = \\begin{pmatrix} \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} \\end{pmatrix}$ Calcul : $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} = 6x$, $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} = 2$, $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2} = 2$ Au point (1,-1) : $6x=6$ Hessienne : $H_f(1,-1) = \\begin{pmatrix}6 & 2 \\\\ 2 & 2\\end{pmatrix}$
3. Nature du point (1, -1) Formule : Calculons le déterminant : 0$ Conclusion : point (1,-1) est un minimum local.
4. Intégrale double sur le domaine [0,1] x [0,2] Formule : $\\iint_{0\\leq x\\leq 1, 0\\leq y \\leq 2} (x^3 + 2xy + y^2) dx dy$ Calcul pour chaque terme : Première intégrale : $\\int_0^1 x^3 dx = \\frac{1}{4}$ Deuxième terme : $\\int_0^1 2xy dx = 2y \\int_0^1 x dx = 2y*(0.5)=y$ Troisième terme : $\\int_0^1 y^2 dx = y^2*1 = y^2$ On intègre sur y : Somme : $\\int_0^2 (\\frac{1}{4} + y + y^2) dy$ Calcul : $\\int_0^2 \\frac{1}{4} dy = 0.5$ ; $\\int_0^2 y dy = 2$; $\\int_0^2 y^2 dy = \\frac{8}{3}$ Sommation : $0.5+2+\\frac{8}{3}=0.5+2+2.6667=5.1667$ Résultat final : $5.1667$
On considère la série numérique définie par son terme général :
\n
$u_n = \\frac{n^2 + 3n}{2^n}$
\n
Question 1 : Calculer la limite du rapport $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ lorsque $n \\to +\\infty$.
\n
Question 2 : En déduire la nature de la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert.
\n
Question 3 : Calculer les trois premières sommes partielles $S_1$, $S_2$ et $S_3$ où $S_n = \\sum_{k=1}^{n} u_k$.
\n
Question 4 : En utilisant le résultat de convergence, donner un encadrement de la somme $S = \\sum_{n=1}^{+\\infty} u_n$ en calculant $S_5$ et en majorant le reste $R_5 = S - S_5$.
Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de d'Alembert.
\n
Question 2 : Déterminer l'intervalle de convergence en étudiant les cas $x = R$ et $x = -R$.
\n
Question 3 : Pour $x = 1$, calculer la somme partielle $S_4(1) = \\sum_{n=1}^{4} \\frac{n^2}{3^n}$.
\n
Question 4 : Sachant que la fonction somme $f(x) = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{n^2}{3^n} x^n$ est dérivable sur $]-R, R[$, calculer $f'(x)$ et évaluer $f'(1)$ en utilisant les quatre premiers termes de la série dérivée.
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n\n \n \n \n\n \n x\n f(x)\n\n \n \n Zone de convergence\n\n \n \n \n\n \n -R\n R\n 0\n\n \n \n\n \n Divergence\n Divergence\n\n \n \n \n\n \n Domaine de convergence de la série entière\n\n \n \n x=1\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solutions détaillées
\n\n
Solution Question 1 :
\n
Calculons le rayon de convergence avec la règle de d'Alembert.
\n\n
Étape 1 - Identification des coefficients :
\n
La série entière s'écrit $\\sum_{n=1}^{+\\infty} a_n x^n$ avec $a_n = \\frac{n^2}{3^n}$
Soit $f$ une fonction $2\\pi$-périodique définie sur $]-\\pi, \\pi]$ par :
\n
$f(x) = \\begin{cases} 0 & \\text{si } -\\pi < x \\leq 0 \\\\ x & \\text{si } 0 < x \\leq \\pi \\end{cases}$
\n
Question 1 : Calculer le coefficient $a_0$ de Fourier défini par $a_0 = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) dx$.
\n
Question 2 : Calculer les coefficients $a_n$ pour $n \\geq 1$, définis par $a_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\cos(nx) dx$.
\n
Question 3 : Calculer les coefficients $b_n$ pour $n \\geq 1$, définis par $b_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\sin(nx) dx$.
\n
Question 4 : Écrire la série de Fourier de $f$ et calculer sa somme partielle $S_2(x) = \\frac{a_0}{2} + \\sum_{n=1}^{2} [a_n \\cos(nx) + b_n \\sin(nx)]$ en $x = \\frac{\\pi}{2}$.
Soit la suite de fonctions $(f_n)$ définie sur $[0, 1]$ par :
\n
$f_n(x) = \\frac{nx}{1 + n^2x^2}$
\n
Question 1 : Pour chaque $x \\in [0, 1]$ fixé, calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} f_n(x)$ en distinguant les cas $x = 0$ et $x > 0$. En déduire la fonction limite simple $f(x)$.
\n
Question 2 : Pour chaque $n \\geq 1$, déterminer le maximum de $f_n(x)$ sur $[0, 1]$ en étudiant la dérivée $f_n'(x)$, puis calculer $M_n = \\sup_{x \\in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$.
\n
Question 3 : Calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} M_n$ et conclure sur la nature de la convergence (simple ou uniforme) de la suite $(f_n)$ vers $f$ sur $[0, 1]$.
\n
Question 4 : Calculer numériquement $f_{10}(0,5)$, $f_{50}(0,5)$ et $f_{100}(0,5)$ pour illustrer la convergence vers $f(0,5)$.
Question 1 : Pour $p = 2$, calculer l'intégrale impropre $I = \\int_{2}^{+\\infty} \\frac{1}{x(\\ln x)^2} dx$ en utilisant le changement de variable $u = \\ln x$.
\n
Question 2 : En déduire, par le critère intégral, la nature de la série $\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n(\\ln n)^2}$.
\n
Question 3 : Pour $p = 1$, calculer l'intégrale impropre $J = \\int_{2}^{A} \\frac{1}{x \\ln x} dx$ avec $A > 2$, puis étudier $\\lim_{A \\to +\\infty} J$. En déduire la nature de $\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n \\ln n}$.
\n
Question 4 : En utilisant les résultats précédents, déterminer pour quelles valeurs de $p$ la série $\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n(\\ln n)^p}$ converge. Calculer ensuite la somme partielle $S_5 = \\sum_{n=2}^{5} \\frac{1}{n(\\ln n)^2}$ pour $p = 2$.
Si $f(x) = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ est positive, continue et décroissante sur $[2, +\\infty[$, alors la série $\\sum_{n=2}^{+\\infty} f(n)$ et l'intégrale $\\int_{2}^{+\\infty} f(x) dx$ ont même nature.
\n\n
Étape 2 - Vérification des hypothèses :
\n
La fonction $f(x) = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ est bien positive, continue et décroissante sur $[2, +\\infty[$
On considère la série numérique définie par son terme général :
\n
$u_n = \\frac{n^2 + 3n}{2^n}$
\n
Question 1 : Calculer la limite du rapport $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ lorsque $n \\to +\\infty$.
\n
Question 2 : En déduire la nature de la série $\\sum_{n=1}^{+\\infty} u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert.
\n
Question 3 : Calculer les trois premières sommes partielles $S_1$, $S_2$ et $S_3$ où $S_n = \\sum_{k=1}^{n} u_k$.
\n
Question 4 : En utilisant le résultat de convergence, donner un encadrement de la somme $S = \\sum_{n=1}^{+\\infty} u_n$ en calculant $S_5$ et en majorant le reste $R_5 = S - S_5$.
Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de d'Alembert.
\n
Question 2 : Déterminer l'intervalle de convergence en étudiant les cas $x = R$ et $x = -R$.
\n
Question 3 : Pour $x = 1$, calculer la somme partielle $S_4(1) = \\sum_{n=1}^{4} \\frac{n^2}{3^n}$.
\n
Question 4 : Sachant que la fonction somme $f(x) = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{n^2}{3^n} x^n$ est dérivable sur $]-R, R[$, calculer $f'(x)$ et évaluer $f'(1)$ en utilisant les quatre premiers termes de la série dérivée.
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n\n \n \n \n\n \n x\n f(x)\n\n \n \n Zone de convergence\n\n \n \n \n\n \n -R\n R\n 0\n\n \n \n\n \n Divergence\n Divergence\n\n \n \n \n\n \n Domaine de convergence de la série entière\n\n \n ircle cx=\"375\" cy=\"130\" r=\"6\" fill=\"#dc2626\"/>\n x=1\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solutions détaillées
\n\n
Solution Question 1 :
\n
Calculons le rayon de convergence avec la règle de d'Alembert.
\n\n
Étape 1 - Identification des coefficients :
\n
La série entière s'écrit $\\sum_{n=1}^{+\\infty} a_n x^n$ avec $a_n = \\frac{n^2}{3^n}$
Soit $f$ une fonction $2\\pi$-périodique définie sur $]-\\pi, \\pi]$ par :
\n
$f(x) = \\begin{cases} 0 & \\text{si } -\\pi < x \\leq 0 \\\\ x & \\text{si } 0 < x \\leq \\pi \\end{cases}$
\n
Question 1 : Calculer le coefficient $a_0$ de Fourier défini par $a_0 = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) dx$.
\n
Question 2 : Calculer les coefficients $a_n$ pour $n \\geq 1$, définis par $a_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\cos(nx) dx$.
\n
Question 3 : Calculer les coefficients $b_n$ pour $n \\geq 1$, définis par $b_n = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(x) \\sin(nx) dx$.
\n
Question 4 : Écrire la série de Fourier de $f$ et calculer sa somme partielle $S_2(x) = \\frac{a_0}{2} + \\sum_{n=1}^{2} [a_n \\cos(nx) + b_n \\sin(nx)]$ en $x = \\frac{\\pi}{2}$.
Soit la suite de fonctions $(f_n)$ définie sur $[0, 1]$ par :
\n
$f_n(x) = \\frac{nx}{1 + n^2x^2}$
\n
Question 1 : Pour chaque $x \\in [0, 1]$ fixé, calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} f_n(x)$ en distinguant les cas $x = 0$ et $x > 0$. En déduire la fonction limite simple $f(x)$.
\n
Question 2 : Pour chaque $n \\geq 1$, déterminer le maximum de $f_n(x)$ sur $[0, 1]$ en étudiant la dérivée $f_n'(x)$, puis calculer $M_n = \\sup_{x \\in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$.
\n
Question 3 : Calculer $\\lim_{n \\to +\\infty} M_n$ et conclure sur la nature de la convergence (simple ou uniforme) de la suite $(f_n)$ vers $f$ sur $[0, 1]$.
\n
Question 4 : Calculer numériquement $f_{10}(0,5)$, $f_{50}(0,5)$ et $f_{100}(0,5)$ pour illustrer la convergence vers $f(0,5)$.
Question 1 : Pour $p = 2$, calculer l'intégrale impropre $I = \\int_{2}^{+\\infty} \\frac{1}{x(\\ln x)^2} dx$ en utilisant le changement de variable $u = \\ln x$.
\n
Question 2 : En déduire, par le critère intégral, la nature de la série $\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n(\\ln n)^2}$.
\n
Question 3 : Pour $p = 1$, calculer l'intégrale impropre $J = \\int_{2}^{A} \\frac{1}{x \\ln x} dx$ avec $A > 2$, puis étudier $\\lim_{A \\to +\\infty} J$. En déduire la nature de $\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n \\ln n}$.
\n
Question 4 : En utilisant les résultats précédents, déterminer pour quelles valeurs de $p$ la série $\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n(\\ln n)^p}$ converge. Calculer ensuite la somme partielle $S_5 = \\sum_{n=2}^{5} \\frac{1}{n(\\ln n)^2}$ pour $p = 2$.
Si $f(x) = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ est positive, continue et décroissante sur $[2, +\\infty[$, alors la série $\\sum_{n=2}^{+\\infty} f(n)$ et l'intégrale $\\int_{2}^{+\\infty} f(x) dx$ ont même nature.
\n\n
Étape 2 - Vérification des hypothèses :
\n
La fonction $f(x) = \\frac{1}{x(\\ln x)^2}$ est bien positive, continue et décroissante sur $[2, +\\infty[$
",
"id_category": "4",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 1 : Résolution d'une équation différentielle par transformation de Laplace
\n
On considère l'équation différentielle $\\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-2t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.
\n\n
Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation différentielle. Rappel : $\\mathcal{L}\\{\\frac{dy}{dt}\\}(s) = sY(s) - y(0)$ et $\\mathcal{L}\\{e^{-at}\\}(s) = \\frac{1}{s+a}$. Déterminer $Y(s)$.
\n\n
Question 2 : Décomposer $Y(s)$ en éléments simples.
\n\n
Question 3 : Appliquer la transformation de Laplace inverse pour obtenir la solution $y(t)$ de l'équation différentielle.
\n\n
Question 4 : Vérifier la solution obtenue en la substituant dans l'équation différentielle originale et en vérifiant la condition initiale.
",
"svg": "ty(t)Solution y(t)y(0)=1Laplace inverse",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Application de la transformation de Laplace \nOn applique la transformation de Laplace à l'équation $\\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-2t}$. \n1. Formule générale : \n$\\mathcal{L}\\{\\frac{dy}{dt}\\} + 3\\mathcal{L}\\{y\\} = \\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}$ \n2. Substitution des transformées : \n$sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \\frac{1}{s+2}$ \n3. Remplacement avec $y(0) = 1$ : \n$sY(s) - 1 + 3Y(s) = \\frac{1}{s+2}$ \n4. Factorisation : \n$(s+3)Y(s) = 1 + \\frac{1}{s+2} = \\frac{s+2+1}{s+2} = \\frac{s+3}{s+2}$ \n5. Résultat final : \n$Y(s) = \\frac{s+3}{(s+3)(s+2)} = \\frac{1}{s+2}$
\n\n
Question 2 : Décomposition en éléments simples \nOn cherche à décomposer $Y(s) = \\frac{1}{s+2}$. \n1. Formule générale : \nCette fraction est déjà sous forme simple avec un seul pôle en $s = -2$. \n2. Pas de décomposition supplémentaire : \n$Y(s) = \\frac{1}{s+2}$ \n3. Résultat final : \n$Y(s) = \\frac{1}{s+2} \\text{ (forme élémentaire)}$
\n\n
Question 3 : Transformation de Laplace inverse \nOn applique la transformation inverse à $Y(s) = \\frac{1}{s+2}$. \n1. Formule de base : \n$\\mathcal{L}^{-1}\\{\\frac{1}{s+a}\\} = e^{-at}$ \n2. Identification : ici $a = 2$. \n3. Application : \n$y(t) = \\mathcal{L}^{-1}\\{\\frac{1}{s+2}\\} = e^{-2t}$ \n4. Résultat final : \n$y(t) = e^{-2t}$
\n\n
Question 4 : Vérification de la solution \nVérification que $y(t) = e^{-2t}$ satisfait l'équation originale. \n1. Calcul de la dérivée : \n$\\frac{dy}{dt} = \\frac{d}{dt}(e^{-2t}) = -2e^{-2t}$ \n2. Substitution dans l'équation : \n$-2e^{-2t} + 3e^{-2t} = e^{-2t}$ \n3. Simplification : \n$e^{-2t} = e^{-2t} \\checkmark$ \n4. Vérification de la condition initiale : \n$y(0) = e^{-2(0)} = e^0 = 1 \\checkmark$ \n5. Conclusion : \nLa solution $y(t) = e^{-2t}$ est valide.
",
"id_category": "5",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 3 : Transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire
\n
On considère la fonction pulse définie par $f(t) = \\begin{cases} 1 & \\text{si} \\, |t| \\leq a \\\\ 0 & \\text{sinon} \\end{cases}$ où $a = 1$.
\n\n
Question 1 : Calculer la transformée de Fourier $\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-i\\omega t} dt$.
\n\n
Question 2 : Évaluer le résultat obtenu en Question 1 pour $\\omega = 0$ et vérifier que c'est l'intégrale de $f(t)$.
\n\n
Question 3 : Exprimer la transformée de Fourier sous la forme de la fonction sinus cardinal $\\text{sinc}(x) = \\frac{\\sin(x)}{x}$.
\n\n
Question 4 : Calculer la transformée de Fourier inverse pour vérifier que l'on retrouve $f(t)$.
",
"svg": "-aatf(t)Pulse1",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 2 : Évaluation en ω = 0 \nOn évalue la transformée de Fourier à $\\omega = 0$. \n1. Utilisation de la limite : \n$\\lim_{\\omega \\to 0} \\frac{2\\sin(\\omega)}{\\omega} = 2 \\lim_{\\omega \\to 0} \\frac{\\sin(\\omega)}{\\omega} = 2 \\times 1 = 2$ \n2. Vérification avec l'intégrale directe : \n$\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) dt = \\int_{-1}^{1} 1 \\, dt = [t]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$ \n3. Résultat final : \n$\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(0) = 2 \\checkmark$ (valeur correcte)
\n\n
Question 3 : Expression avec la fonction sinus cardinal \nOn réécrit la transformée de Fourier avec la fonction sinc. \n1. Définition : $\\text{sinc}(x) = \\frac{\\sin(x)}{x}$ \n2. Observation de la transformée : \n$\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = 2 \\cdot \\frac{\\sin(\\omega)}{\\omega}$ \n3. Réécriture : \n$\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = 2 \\cdot \\text{sinc}(\\omega)$ \n4. Résultat final : \n$\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = 2\\text{sinc}(\\omega)$
\n\n
Question 4 : Transformée de Fourier inverse \nOn applique la transformation inverse pour vérifier. \n1. Formule de l'inverse : \n$f(t) = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) e^{i\\omega t} d\\omega$ \n2. Substitution : \n$f(t) = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{2\\sin(\\omega)}{\\omega} e^{i\\omega t} d\\omega$ \n3. Simplification : \n$f(t) = \\frac{1}{\\pi} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{\\sin(\\omega)}{\\omega} e^{i\\omega t} d\\omega$ \n4. Cette intégrale, calculée correctement (par la théorie des résidus ou formules tabulées), redonne : \n$f(t) = \\begin{cases} 1 & \\text{si} \\, |t| < 1 \\\\ 0 & \\text{si} \\, |t| > 1 \\end{cases} \\checkmark$ \n5. Conclusion : \nLa transformation inverse retrouve bien la fonction d'origine (aux points de continuité).
",
"id_category": "5",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 4 : Système d'équations différentielles couplées
\n
On considère le système d'équations différentielles couplées : \n$\\begin{cases} \\frac{dx}{dt} - y = 0 \\\\ \\frac{dy}{dt} + x = 0 \\end{cases}$ \navec les conditions initiales $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$.
\n\n
Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à chaque équation du système.
\n\n
Question 2 : Résoudre le système algébrique obtenu pour déterminer $X(s)$ et $Y(s)$.
\n\n
Question 3 : Décomposer $X(s)$ et $Y(s)$ en éléments simples.
\n\n
Question 4 : Appliquer la transformation de Laplace inverse pour obtenir $x(t)$ et $y(t)$.
",
"svg": "tx(t), y(t)x(t)y(t)x(0)=1y(0)=0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Application de la transformation de Laplace \nOn applique la transformation de Laplace à chaque équation. \n1. Première équation $\\frac{dx}{dt} - y = 0$ : \n$sX(s) - x(0) - Y(s) = 0$ \n$sX(s) - 1 - Y(s) = 0$ \n$sX(s) - Y(s) = 1 \\quad (1)$ \n2. Deuxième équation $\\frac{dy}{dt} + x = 0$ : \n$sY(s) - y(0) + X(s) = 0$ \n$sY(s) + X(s) = 0 \\quad (2)$
\n\n
Question 2 : Résolution du système algébrique \nOn résout le système (1) et (2). \n1. Du système : \n$\\begin{cases} sX(s) - Y(s) = 1 \\\\ X(s) + sY(s) = 0 \\end{cases}$ \n2. De l'équation (2) : $X(s) = -sY(s)$ \n3. Substitution dans (1) : \n$s(-sY(s)) - Y(s) = 1$ \n$-s^2Y(s) - Y(s) = 1$ \n$-(s^2 + 1)Y(s) = 1$ \n$Y(s) = -\\frac{1}{s^2 + 1}$ \n4. Calcul de $X(s)$ : \n$X(s) = -sY(s) = -s \\cdot (-\\frac{1}{s^2+1}) = \\frac{s}{s^2+1}$ \n5. Résultat final : \n$X(s) = \\frac{s}{s^2+1} ; \\quad Y(s) = -\\frac{1}{s^2+1}$
\n\n
Question 3 : Décomposition en éléments simples \nLes deux fractions sont déjà sous forme élémentaire. \n1. Pour $X(s)$ : \n$X(s) = \\frac{s}{s^2+1}$ est une forme standard (numérateur = dérivée du dénominateur) \n2. Pour $Y(s)$ : \n$Y(s) = -\\frac{1}{s^2+1}$ est aussi une forme standard \n3. Résultat final : \n$X(s) = \\frac{s}{s^2+1} ; \\quad Y(s) = -\\frac{1}{s^2+1}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 5 : Convolution et réponse d'un filtre linéaire
\n
On considère une entrée $x(t) = e^{-at}$ avec $a = 1$ (pour $t \\geq 0$) et une réponse impulsionnelle $h(t) = e^{-bt}$ avec $b = 2$ (pour $t \\geq 0$).
\n\n
Question 1 : Calculer les transformées de Fourier $X(\\omega) = \\mathcal{F}\\{x(t)\\}$ et $H(\\omega) = \\mathcal{F}\\{h(t)\\}$. Rappel : $\\mathcal{F}\\{e^{-at}u(t)\\}(\\omega) = \\frac{1}{a + i\\omega}$.
\n\n
Question 2 : En utilisant le théorème de convolution (la transformée de Fourier d'une convolution est le produit des transformées), calculer $Y(\\omega) = X(\\omega) \\cdot H(\\omega)$.
\n\n
Question 3 : Décomposer $Y(\\omega)$ en éléments simples.
\n\n
Question 4 : Appliquer la transformée de Fourier inverse pour obtenir $y(t) = x(t) * h(t)$ (convolution temporelle).
",
"id_category": "5",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit la fonction $f(t) = e^{-3t}\\sin(2t)$ définie pour $t \\geq 0$. On souhaite déterminer sa transformée de Laplace et l'utiliser pour résoudre une équation différentielle.
Question 1: Rappeler la définition de la transformée de Laplace $\\mathcal{L}\\{f(t)\\}(s) = F(s)$ et identifier les formules de base pour $e^{-3t}$ et $\\sin(2t)$.
Question 2: Calculer la transformée de Laplace de $f(t) = e^{-3t}\\sin(2t)$ en utilisant la propriété de décalage fréquentiel (théorème de translation).
Question 3: Vérifier le résultat en utilisant la formule directe $\\mathcal{L}\\{e^{at}\\sin(bt)\\}(s) = \\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}$.
Question 4: Utiliser cette transformée pour résoudre l'équation différentielle $y' + 3y = \\sin(2t)$ avec condition initiale $y(0) = 0$ en appliquant la transformation de Laplace.
",
"svg": "tf(t)0123400.51f(t) = e^(-3t)sin(2t)Exponential decay",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous rappelons la définition et les formules de base.
Définition de la transformée de Laplace: Formule: $\\mathcal{L}\\{f(t)\\}(s) = F(s) = \\int_0^{\\infty} e^{-st} f(t) \\, dt$ pour $s > 0$
Formule pour $e^{-3t}$: Formule: $\\mathcal{L}\\{e^{-3t}\\}(s) = \\frac{1}{s + 3}$
Formule pour $\\sin(2t)$: Formule: $\\mathcal{L}\\{\\sin(2t)\\}(s) = \\frac{2}{s^2 + 4}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit la fonction $f(t) = \\begin{cases} 1 & \\text{si } |t| \\leq a \\\\ 0 & \\text{si } |t| > a \\end{cases}$ (fonction fenêtre rectangulaire). On souhaite déterminer sa transformée de Fourier et analyser son spectre.
Question 1: Rappeler la définition de la transformée de Fourier $\\hat{f}(\\omega) = \\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega)$ et identifier le domaine d'intégration.
Question 2: Calculer la transformée de Fourier de la fonction fenêtre rectangulaire pour $a = 1$.
Question 3: Simplifier le résultat en utilisant la fonction $\\text{sinc}(\\omega) = \\frac{\\sin(\\omega)}{\\omega}$ et déterminer les zéros du spectre.
Question 4: Calculer la largeur spectrale (bande passante à -3dB) et interpréter physiquement le résultat en termes d'étalement fréquentiel.
",
"svg": "Domaine temporeltf(t)-11a=1Domaine fréquentielω|Ĥ(ω)|-ππZéros du spectre: ω = ±πĤ(ω) = 2sinc(ω)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous rappelons la définition de la transformée de Fourier.
Définition de la transformée de Fourier: Formule: $\\hat{f}(\\omega) = \\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(t)e^{-i\\omega t} \\, dt$
Domaine d'intégration: Pour notre fonction fenêtre: $\\omega \\in \\mathbb{R}$ (toutes les fréquences) Domaine temporel: $t \\in [-a, a]$ où $a > 0$
Interprétation physique: - Le premier zéro du spectre apparaît à $\\omega = \\pi \\approx 3.14$ rad/s - La largeur de la bande principale est de $2\\pi$ rad/s - Plus la fenêtre temporelle est étroite (petit $a$), plus le spectre s'élargit (étalement fréquentiel) - Cette relation reflète le principe d'incertitude temps-fréquence
",
"id_category": "5",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Considérons un système linéaire invariant dans le temps (SLIT) décrit par la fonction de transfert $H(s) = \\frac{5}{(s+1)(s+2)}$. On souhaite analyser ce système pour une entrée $u(t) = \\cos(3t)$.
Question 1: Calculer la transformée de Laplace de l'entrée $u(t) = \\cos(3t)$.
Question 2: Déterminer la sortie $Y(s)$ du système en multipliant la fonction de transfert par la transformée de l'entrée.
Question 3: Effectuer une décomposition en fractions partielles de $Y(s)$.
Question 4: Appliquer la transformée inverse de Laplace pour obtenir la réponse temporelle $y(t)$.
",
"svg": "H(s)=5/((s+1)(s+2))u(t)y(t)Signal d'entréeu(t) = cos(3t)Signal de sortie (estimé)y(t): réponse du système",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Nous calculons la transformée de Laplace de l'entrée.
Entrée: Fonction: $u(t) = \\cos(3t)$
Formule de la transformée de Laplace du cosinus: Formule: $\\mathcal{L}\\{\\cos(bt)\\}(s) = \\frac{s}{s^2 + b^2}$
Interprétation physique: - Les termes exponentiels décroissants $e^{-t}$ et $e^{-2t}$ représentent la réponse transitoire - Les termes $\\cos(3t)$ et $\\sin(3t)$ représentent la réponse en régime permanent - Après un temps suffisant, la sortie devient essentiellement $y(t) \\approx -\\frac{7}{26}\\cos(3t) + \\frac{9}{26}\\sin(3t)$ - L'amplitude de la réponse en régime permanent est $\\sqrt{(7/26)^2 + (9/26)^2} = \\frac{\\sqrt{49+81}}{26} = \\frac{\\sqrt{130}}{26}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 1 : Transformation de Laplace et résolution d'équation différentielle du premier ordre
Soit l'équation différentielle ordinaire (EDO) : $\\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-2t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.
Question 1 : Calculez la transformée de Laplace du membre de gauche $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt} + 3y\\right\\}$ en fonction de $Y(s) = \\mathcal{L}\\{y(t)\\}$.
Question 2 : Calculez la transformée de Laplace du membre de droite $\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}$.
Question 3 : Résolvez pour $Y(s)$ en utilisant l'équation transformée et effectuez une décomposition en fractions partielles.
Question 4 : Calculez la transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ et vérifiez que $y(0) = 1$.
Question 4 : Transformée de Laplace inverse et vérification
1. Transformée inverse : $y(t) = \\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{1}{s+2}\\right\\}$ 2. Utilisation de la table : $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{1}{s-a}\\right\\} = e^{at}$ 3. Application avec $a = -2$ : $y(t) = e^{-2t}$ 4. Vérification de la condition initiale : $y(0) = e^{-2(0)} = e^0 = 1$ ✓ 5. Vérification de l'EDO : $\\frac{dy}{dt} = -2e^{-2t}$ $\\frac{dy}{dt} + 3y = -2e^{-2t} + 3e^{-2t} = e^{-2t}$ ✓ 6. Résultat final : $y(t) = e^{-2t}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 2 : Transformation de Laplace et résolution d'équation différentielle du second ordre
Considérons l'équation différentielle : $\\frac{d^2y}{dt^2} + 4\\frac{dy}{dt} + 4y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$.
Question 1 : Calculez les transformées de Laplace $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{d^2y}{dt^2}\\right\\}$, $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\}$ et $\\mathcal{L}\\{y\\}$ en fonction de $Y(s)$.
Question 2 : Écrivez l'équation algébrique transformée et résolvez pour $Y(s)$.
Question 3 : Effectuez une décomposition en fractions partielles de $Y(s)$.
Question 4 : Calculez la transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ et vérifiez les conditions initiales.
",
"svg": "EDO du second ordre avec Transformation de LaplaceÉquation originaled²y/dt² + 4dy/dt + 4y = 0y(0) = 0y'(0) = 1Transformées²Y(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = 1(s² + 4s + 4)Y(s) = 1(s+2)²Y(s) = 1Y(s) = 1/(s+2)²Transformée inverse pour obtenir y(t)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 2
Question 1 : Transformées de Laplace des dérivées
1. Transformée de la première dérivée : $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\} = sY(s) - y(0) = sY(s) - 0 = sY(s)$ 2. Transformée de la deuxième dérivée : $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{d^2y}{dt^2}\\right\\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ $= s^2Y(s) - 0 - 1 = s^2Y(s) - 1$ 3. Transformée de $y$ : $\\mathcal{L}\\{y\\} = Y(s)$ 4. Résultats finaux : $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{d^2y}{dt^2}\\right\\} = s^2Y(s) - 1$ $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\} = sY(s)$ $\\mathcal{L}\\{y\\} = Y(s)$
Question 3 : Décomposition en fractions partielles
1. Forme de $Y(s)$ : $Y(s) = \\frac{1}{(s+2)^2}$ 2. Cette forme est déjà un pôle double simple : $\\frac{1}{(s+2)^2}$ 3. Décomposition standard pour pôle double : $Y(s) = \\frac{A}{s+2} + \\frac{B}{(s+2)^2}$ 4. Calcul des coefficients : - Multiplicateur par $(s+2)^2$ : $1 = A(s+2) + B$ - Substitution $s = -2$ : $1 = A(0) + B \\Rightarrow B = 1$ - Dérivation ou limite : coefficient de $s$ est $0 = A \\Rightarrow A = 0$ 5. Résultat final : $Y(s) = \\frac{1}{(s+2)^2}$ (forme irréductible)
",
"id_category": "5",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 4 : Convolution et Transformation de Fourier
Soit $f_1(t) = e^{-|t|}$ et $f_2(t) = e^{-2|t|}$.
Question 1 : Calculez la transformée de Fourier de $f_1(t)$, c'est-à-dire $F_1(\\omega) = \\mathcal{F}\\{e^{-|t|}\\}$.
Question 2 : Calculez la transformée de Fourier de $f_2(t)$, c'est-à-dire $F_2(\\omega) = \\mathcal{F}\\{e^{-2|t|}\\}$.
Question 3 : Utilisez le théorème de convolution pour calculer la transformée de Fourier du produit de convolution $\\mathcal{F}\\{(f_1 * f_2)(t)\\} = F_1(\\omega) \\cdot F_2(\\omega)$.
Question 4 : Calculez la valeur de la convolution à $t = 0$, soit $(f_1 * f_2)(0) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f_1(\\tau) f_2(-\\tau) d\\tau$.
",
"svg": "Convolution et Transformation de FourierDomaine temporelf₁(t) = e^(-|t|)f₂(t) = e^(-2|t|)Convolution(f₁ * f₂)(t) = ∫f₁(τ)f₂(t-τ)dτDomaine fréquentielThéorème : 𝓕{f₁ * f₂} = F₁(ω) · F₂(ω)Transformation de Fourier",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 4
Question 1 : Transformée de Fourier de e^(-|t|)
1. Définition de la transformée : $F_1(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-|t|} e^{-i\\omega t} dt$ 2. Séparation selon le signe de $t$ : $F_1(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{0} e^{t} e^{-i\\omega t} dt + \\int_0^{\\infty} e^{-t} e^{-i\\omega t} dt$ 3. Simplification des exponentielles : Pour $t < 0$ : $e^{-|t|} = e^{t}$, donc $e^{t-i\\omega t} = e^{(1-i\\omega)t}$ Pour $t > 0$ : $e^{-|t|} = e^{-t}$, donc $e^{-t-i\\omega t} = e^{-(1+i\\omega)t}$ 4. Calcul des intégrales : $\\int_{-\\infty}^{0} e^{(1-i\\omega)t} dt = \\left[\\frac{e^{(1-i\\omega)t}}{1-i\\omega}\\right]_{-\\infty}^{0} = \\frac{1}{1-i\\omega}$ $\\int_0^{\\infty} e^{-(1+i\\omega)t} dt = \\left[\\frac{e^{-(1+i\\omega)t}}{-(1+i\\omega)}\\right]_0^{\\infty} = \\frac{1}{1+i\\omega}$ 5. Somme : $F_1(\\omega) = \\frac{1}{1-i\\omega} + \\frac{1}{1+i\\omega}$ 6. Regroupement : $F_1(\\omega) = \\frac{(1+i\\omega) + (1-i\\omega)}{(1-i\\omega)(1+i\\omega)} = \\frac{2}{1 + \\omega^2}$ 7. Résultat final : $F_1(\\omega) = \\frac{2}{1 + \\omega^2}$
",
"id_category": "5",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 5 : Transformation de Laplace et système d'équations différentielles
Considérons le système d'équations différentielles couplées : $\\frac{dx}{dt} = -x + y$ $\\frac{dy}{dt} = x - 2y$ avec les conditions initiales $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$.
Question 1 : Appliquez la transformation de Laplace à la première équation pour obtenir une équation algébrique en $X(s)$ et $Y(s)$.
Question 2 : Appliquez la transformation de Laplace à la deuxième équation.
Question 3 : Résolvez le système algébrique pour obtenir $X(s)$ et $Y(s)$.
Question 4 : Calculez les transformées de Laplace inverses pour obtenir $x(t)$ et $y(t)$ et vérifiez les conditions initiales.
",
"svg": "Système d'EDO et Transformation de LaplaceSystème temporeldx/dt = -x + ydy/dt = x - 2yx(0)=1, y(0)=0Système fréquentielsX(s) = -X(s) + Y(s) - 1sY(s) = X(s) - 2Y(s)(s+1)X(s) - Y(s) = -1Résolution algébriqueRègle de CramerX(s), Y(s)Transformée inversex(t), y(t)Solutions temporelles",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 5
Question 1 : Transformation de la première équation
1. Équation originale : $\\frac{dx}{dt} = -x + y$ 2. Application de la transformée de Laplace : $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dx}{dt}\\right\\} = \\mathcal{L}\\{-x\\} + \\mathcal{L}\\{y\\}$ 3. Transformée de la dérivée : $sX(s) - x(0) = -X(s) + Y(s)$ 4. Substitution de $x(0) = 1$ : $sX(s) - 1 = -X(s) + Y(s)$ 5. Regroupement : $sX(s) + X(s) - Y(s) = 1$ 6. Résultat final : $(s+1)X(s) - Y(s) = 1$
Question 2 : Transformation de la deuxième équation
1. Équation originale : $\\frac{dy}{dt} = x - 2y$ 2. Application de la transformée de Laplace : $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\} = \\mathcal{L}\\{x\\} - 2\\mathcal{L}\\{y\\}$ 3. Transformée de la dérivée : $sY(s) - y(0) = X(s) - 2Y(s)$ 4. Substitution de $y(0) = 0$ : $sY(s) = X(s) - 2Y(s)$ 5. Regroupement : $-X(s) + sY(s) + 2Y(s) = 0$ 6. Résultat final : $-X(s) + (s+2)Y(s) = 0$
",
"id_category": "5",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 1 : Transformée de Laplace d'exponentielles décalées et retour dans le domaine temporel
On considère la fonction causale $f(t)$ définie pour $t \\ge 0$ par $f(t) = e^{-2t}$, ainsi que des versions décalées dans le temps utilisant la fonction de Heaviside $u(t-a)$.
Question 1 : Calculez la transformée de Laplace $\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}(p)$, pour $p > -2$, en utilisant directement la définition de l'intégrale de Riemann impropre :$\\mathcal{L}\\{f(t)\\}(p) = \\int_0^{+\\infty} e^{-pt} f(t) \\, dt$.
Question 2 : En utilisant la propriété de la dérivation par rapport à $p$, calculez $\\mathcal{L}\\{t e^{-2t}\\}(p)$ à partir de la transformée obtenue à la question 1.
Question 3 : On définit la fonction décalée $g(t) = e^{-2(t-1)} u(t-1)$. En utilisant la propriété de translation dans le temps, calculez $\\mathcal{L}\\{g(t)\\}(p)$ en fonction de $p$.
Question 4 : On vous donne la fonction de Laplace $G(p) = \\dfrac{e^{-p}}{(p+2)^2}$. Calculez la transformée de Laplace inverse $\\mathcal{L}^{-1}\\{G(p)\\}(t)$ et exprimez la fonction temporelle obtenue en fonction de $t$ et de la fonction de Heaviside.
",
"svg": "tf(t)e^{-2t}t=1e^{-2(t-1)}u(t-1)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Calcul de $\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}(p)$
1. Formule générale dans $...$ : La définition de la transformée de Laplace est :$\\mathcal{L}\\{f(t)\\}(p) = \\int_0^{+\\infty} e^{-pt} f(t) \\, dt$. Ici, $f(t) = e^{-2t}$, donc :$\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}(p) = \\int_0^{+\\infty} e^{-pt} e^{-2t} \\, dt$.
2. Remplacement des données dans $...$ : $e^{-pt} e^{-2t} = e^{-(p+2)t}$, donc :$\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}(p) = \\int_0^{+\\infty} e^{-(p+2)t} \\, dt$.
3. Calcul dans $...$ : Pour $\\text{Re}(p+2) > 0$, on a :$\\int_0^{+\\infty} e^{-(p+2)t} \\, dt = \\left[ -\\dfrac{1}{p+2} e^{-(p+2)t} \\right]_0^{+\\infty}$. On obtient :$\\lim_{t \\to +\\infty} \\left( -\\dfrac{1}{p+2} e^{-(p+2)t} \\right) = 0$ et pour $t = 0$ :$-\\dfrac{1}{p+2} e^{0} = -\\dfrac{1}{p+2}$. Donc l'intégrale vaut :$0 - \\left( -\\dfrac{1}{p+2} \\right) = \\dfrac{1}{p+2}$.
4. Résultat final dans $...$ : $\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}(p) = \\dfrac{1}{p+2}$, pour $\\text{Re}(p) > -2$.
Question 2 : Calcul de $\\mathcal{L}\\{t e^{-2t}\\}(p)$ par dérivation
1. Formule générale dans $...$ : On utilise la propriété :$\\mathcal{L}\\{t f(t)\\}(p) = -\\dfrac{d}{dp} \\left( \\mathcal{L}\\{f(t)\\}(p) \\right)$. Ici $f(t) = e^{-2t}$, donc :$\\mathcal{L}\\{t e^{-2t}\\}(p) = -\\dfrac{d}{dp} \\left( \\dfrac{1}{p+2} \\right)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On dérive :$\\dfrac{d}{dp} \\left( \\dfrac{1}{p+2} \\right) = -\\dfrac{1}{(p+2)^2}$.
3. Calcul dans $...$ : Donc :$\\mathcal{L}\\{t e^{-2t}\\}(p) = - \\left( -\\dfrac{1}{(p+2)^2} \\right) = \\dfrac{1}{(p+2)^2}$.
4. Résultat final dans $...$ : $\\mathcal{L}\\{t e^{-2t}\\}(p) = \\dfrac{1}{(p+2)^2}$.
Question 3 : Transformée de Laplace de $g(t) = e^{-2(t-1)} u(t-1)$
1. Formule générale dans $...$ : La propriété de translation dans le temps dit : si $g(t) = f(t-a) u(t-a)$ avec $a > 0$, alors :$\\mathcal{L}\\{g(t)\\}(p) = e^{-ap} \\mathcal{L}\\{f(t)\\}(p)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Ici $a = 1$ et $f(t) = e^{-2t}$ (même fonction que précédemment). On sait que :$\\mathcal{L}\\{e^{-2t}\\}(p) = \\dfrac{1}{p+2}$. Donc :$\\mathcal{L}\\{g(t)\\}(p) = e^{-1 \\cdot p} \\cdot \\dfrac{1}{p+2}$.
3. Calcul dans $...$ : On obtient directement :$\\mathcal{L}\\{g(t)\\}(p) = \\dfrac{e^{-p}}{p+2}$.
4. Résultat final dans $...$ : $\\mathcal{L}\\{e^{-2(t-1)} u(t-1)\\}(p) = \\dfrac{e^{-p}}{p+2}$.
Question 4 : Transformée de Laplace inverse de $G(p) = \\dfrac{e^{-p}}{(p+2)^2}$
1. Formule générale dans $...$ : On reconnaît la forme d'une translation :$G(p) = e^{-p} F(p)$ avec $F(p) = \\dfrac{1}{(p+2)^2}$. Si $\\mathcal{L}\\{f(t)\\}(p) = F(p)$, alors :$\\mathcal{L}^{-1}\\{e^{-ap} F(p)\\}(t) = f(t-a) u(t-a)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On sait d'après la question 2 que :$F(p) = \\dfrac{1}{(p+2)^2} = \\mathcal{L}\\{t e^{-2t}\\}(p)$, donc :$f(t) = t e^{-2t}$. Ici $a = 1$, donc :$\\mathcal{L}^{-1}\\{G(p)\\}(t) = f(t-1) u(t-1) = (t-1) e^{-2(t-1)} u(t-1)$.
3. Calcul dans $...$ : Aucune simplification supplémentaire n'est nécessaire, on laisse sous cette forme causale.
4. Résultat final dans $...$ : $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{ \\dfrac{e^{-p}}{(p+2)^2} \\right\\}(t) = (t-1) e^{-2(t-1)} u(t-1)$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 2 : Résolution d'une équation différentielle du premier ordre par transformée de Laplace
On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre modélisant un système du premier ordre soumis à un échelon :$y'(t) + 3 y(t) = u(t)$, où $u(t)$ est la fonction de Heaviside (échelon unité). La condition initiale est $y(0) = 0$.
Question 1 : Appliquez la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle et exprimez $Y(p) = \\mathcal{L}\\{y(t)\\}(p)$ en fonction de $p$, en utilisant les formules :$\\mathcal{L}\\{y'(t)\\}(p) = p Y(p) - y(0)$ et $\\mathcal{L}\\{u(t)\\}(p) = \\dfrac{1}{p}$.
Question 2 : Résolvez l'équation algébrique en $Y(p)$ obtenue à la question 1 et mettez $Y(p)$ sous forme de somme de fractions simples.
Question 3 : Calculez la transformée de Laplace inverse de $Y(p)$ pour déterminer la solution temporelle $y(t)$ pour $t \\ge 0$.
Question 4 : Calculez numériquement les valeurs $y(1)$ et $y(5)$ en utilisant l'expression fermée trouvée, en donnant les résultats avec $4$ décimales.
",
"svg": "ty(t)0u(t)y(t)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Passage dans le domaine de Laplace
1. Formule générale dans $...$ : L'équation différentielle est :$y'(t) + 3 y(t) = u(t), \\quad y(0) = 0$. On applique la transformée de Laplace terme à terme : $\\mathcal{L}\\{y'(t)\\}(p) + 3 \\mathcal{L}\\{y(t)\\}(p) = \\mathcal{L}\\{u(t)\\}(p)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On utilise :$\\mathcal{L}\\{y'(t)\\}(p) = p Y(p) - y(0) = p Y(p)$ (car $y(0) = 0$) et $\\mathcal{L}\\{y(t)\\}(p) = Y(p)$, $\\mathcal{L}\\{u(t)\\}(p) = \\dfrac{1}{p}$. L'équation devient :$p Y(p) + 3 Y(p) = \\dfrac{1}{p}$.
3. Calcul dans $...$ : On factorise :$(p+3) Y(p) = \\dfrac{1}{p}$.
4. Résultat final dans $...$ : $Y(p) = \\dfrac{1}{p(p+3)}$.
Question 2 : Mise sous forme de fractions simples
1. Formule générale dans $...$ : On cherche $A$ et $B$ tels que :$\\dfrac{1}{p(p+3)} = \\dfrac{A}{p} + \\dfrac{B}{p+3}$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On écrit :$1 = A(p+3) + Bp$.
3. Calcul dans $...$ : On développe :$1 = Ap + 3A + Bp = (A+B)p + 3A$. On identifie les coefficients : pour $p$ :$A + B = 0$, pour la constante :$3A = 1$ donc $A = \\dfrac{1}{3}$. Alors :$B = -A = -\\dfrac{1}{3}$. Donc :$Y(p) = \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{1}{p} - \\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{1}{p+3}$.
4. Résultat final dans $...$ : $Y(p) = \\dfrac{1}{3} \\dfrac{1}{p} - \\dfrac{1}{3} \\dfrac{1}{p+3}$.
Question 3 : Transformée de Laplace inverse et solution temporelle $y(t)$
1. Formule générale dans $...$ : On utilise :$\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{ \\dfrac{1}{p} \\right\\}(t) = 1$ et $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{ \\dfrac{1}{p+a} \\right\\}(t) = e^{-at}$ pour $t \\ge 0$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On a :$Y(p) = \\dfrac{1}{3} \\dfrac{1}{p} - \\dfrac{1}{3} \\dfrac{1}{p+3}$. Donc :$y(t) = \\dfrac{1}{3} \\cdot 1 - \\dfrac{1}{3} e^{-3t}$ pour $t \\ge 0$.
3. Calcul dans $...$ : On peut écrire :$y(t) = \\dfrac{1}{3} \\left( 1 - e^{-3t} \\right)$.
4. Résultat final dans $...$ : La solution temporelle est :$y(t) = \\dfrac{1}{3} \\left( 1 - e^{-3t} \\right), \\quad t \\ge 0$.
Question 4 : Calcul numérique de $y(1)$ et $y(5)$
1. Formule générale dans $...$ : On utilise $y(t) = \\dfrac{1}{3} \\left( 1 - e^{-3t} \\right)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Pour $t = 1$ :$y(1) = \\dfrac{1}{3} \\left( 1 - e^{-3} \\right)$. Pour $t = 5$ :$y(5) = \\dfrac{1}{3} \\left( 1 - e^{-15} \\right)$.
4. Résultat final dans $...$ : $y(1) \\approx 0{,}3167$ et $y(5) \\approx 0{,}3333$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 3 : Série de Fourier d'un signal en dent de scie et approximation harmonique
On considère la fonction périodique $f(t)$ de période $2\\pi$, définie sur l'intervalle fondamental $[-\\pi, \\pi]$ par :$f(t) = t$. La fonction est prolongée périodiquement sur $\\mathbb{R}$.
Question 1 : Calculez le coefficient moyen $a_0$ de la série de Fourier de $f(t)$, défini par :$a_0 = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(t) \\, dt$.
Question 2 : Calculez les coefficients $a_n$ (coefficients des cosinus) pour $n \\ge 1$, définis par :$a_n = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(t) \\cos(nt) \\, dt$, et montrez par le calcul qu'ils sont nuls.
Question 3 : Calculez les coefficients $b_n$ (coefficients des sinus) pour $n \\ge 1$, définis par :$b_n = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(t) \\sin(nt) \\, dt$, et exprimez $b_n$ en fonction de $n$.
Question 4 : Écrivez l'approximation de $f(t)$ par la somme des $3$ premiers harmoniques ($n = 1, 2, 3$) et calculez numériquement la valeur approchée de $f(\\pi/2)$ donnée par cette approximation, avec $4$ décimales.
",
"svg": "tf(t)f(t)=t (périodique)Somme 3 harmoniques-ππ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Calcul de $a_0$
1. Formule générale dans $...$ : Pour une fonction de période $2\\pi$, le coefficient moyen est :$a_0 = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(t) \\, dt$. Ici $f(t) = t$ sur $[-\\pi, \\pi]$.
2. Remplacement des données dans $...$ : $a_0 = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} t \\, dt$.
1. Formule générale dans $...$ : Les coefficients des cosinus sont :$a_n = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(t) \\cos(nt) \\, dt = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} t \\cos(nt) \\, dt$, pour $n \\ge 1$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On remarque que $t$ est une fonction impaire et $\\cos(nt)$ est paire, donc leur produit $t \\cos(nt)$ est impair. Mais on peut aussi intégrer explicitement : $\\int_{-\\pi}^{\\pi} t \\cos(nt) \\, dt$ est l'intégrale sur un intervalle symétrique d'une fonction impaire.
3. Calcul dans $...$ : Par symétrie :$\\int_{-\\pi}^{\\pi} t \\cos(nt) \\, dt = 0$. Donc :$a_n = \\dfrac{1}{\\pi} \\cdot 0 = 0$ pour tout $n \\ge 1$.
4. Résultat final dans $...$ : $a_n = 0$ pour tout $n \\ge 1$.
Question 3 : Calcul de $b_n$
1. Formule générale dans $...$ : Les coefficients des sinus sont :$b_n = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} f(t) \\sin(nt) \\, dt = \\dfrac{1}{\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} t \\sin(nt) \\, dt$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On note que $t$ est impaire et $\\sin(nt)$ est impaire, donc $t \\sin(nt)$ est paire. On peut alors écrire :$\\int_{-\\pi}^{\\pi} t \\sin(nt) \\, dt = 2 \\int_0^{\\pi} t \\sin(nt) \\, dt$.
3. Calcul dans $...$ : On calcule :$b_n = \\dfrac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi} t \\sin(nt) \\, dt$. On intègre par parties avec :$u = t, \\; dv = \\sin(nt) \\, dt$. Alors :$du = dt, \\; v = -\\dfrac{1}{n} \\cos(nt)$. Donc :$\\int_0^{\\pi} t \\sin(nt) \\, dt = \\left[ -\\dfrac{t}{n} \\cos(nt) \\right]_0^{\\pi} + \\dfrac{1}{n} \\int_0^{\\pi} \\cos(nt) \\, dt$. On a :$\\left[ -\\dfrac{t}{n} \\cos(nt) \\right]_0^{\\pi} = -\\dfrac{\\pi}{n} \\cos(n\\pi) - 0 = -\\dfrac{\\pi}{n} (-1)^n$. Et :$\\int_0^{\\pi} \\cos(nt) \\, dt = \\left[ \\dfrac{1}{n} \\sin(nt) \\right]_0^{\\pi} = 0$. Donc :$\\int_0^{\\pi} t \\sin(nt) \\, dt = -\\dfrac{\\pi}{n} (-1)^n$. Alors :$b_n = \\dfrac{2}{\\pi} \\cdot \\left( -\\dfrac{\\pi}{n} (-1)^n \\right) = -\\dfrac{2}{n} (-1)^n$. On peut écrire :$b_n = \\dfrac{2}{n} (-1)^{n+1}$.
4. Résultat final dans $...$ : $b_n = \\dfrac{2}{n} (-1)^{n+1}, \\quad n \\ge 1$.
Question 4 : Approximation par les $3$ premiers harmoniques et valeur en $t = \\dfrac{\\pi}{2}$
1. Formule générale dans $...$ : La série de Fourier s'écrit :$f(t) \\sim \\sum_{n=1}^{+\\infty} b_n \\sin(nt) = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\dfrac{2}{n} (-1)^{n+1} \\sin(nt)$. L'approximation à $3$ harmoniques est :$f_3(t) = \\sum_{n=1}^{3} \\dfrac{2}{n} (-1)^{n+1} \\sin(nt)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On écrit explicitement :$f_3(t) = 2 \\sin(t) - \\dfrac{2}{2} \\sin(2t) + \\dfrac{2}{3} \\sin(3t)$. Soit :$f_3(t) = 2 \\sin(t) - \\sin(2t) + \\dfrac{2}{3} \\sin(3t)$. On évalue en $t = \\dfrac{\\pi}{2}$ : $\\sin\\left( \\dfrac{\\pi}{2} \\right) = 1$, $\\sin(\\pi) = 0$, $\\sin\\left( \\dfrac{3\\pi}{2} \\right) = -1$.
3. Calcul dans $...$ : $f_3\\left( \\dfrac{\\pi}{2} \\right) = 2 \\cdot 1 - 0 + \\dfrac{2}{3} (-1) = 2 - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{4}{3} \\approx 1{,}3333$. La valeur exacte de $f\\left( \\dfrac{\\pi}{2} \\right)$ est :$f\\left( \\dfrac{\\pi}{2} \\right) = \\dfrac{\\pi}{2} \\approx 1{,}5708$.
4. Résultat final dans $...$ : L'approximation par les $3$ premiers harmoniques donne :$f_3\\left( \\dfrac{\\pi}{2} \\right) \\approx 1{,}3333$, alors que la valeur exacte est $\\dfrac{\\pi}{2} \\approx 1{,}5708$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 4 : Transformée de Fourier d'une exponentielle causale et propriété de dérivation
On considère la fonction causale $f(t) = e^{-a t} u(t)$, où $a > 0$ est une constante réelle et $u(t)$ est la fonction de Heaviside. On travaille avec la transformée de Fourier définie par :$\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-i \\omega t} \\, dt$.
Question 1 : En utilisant le fait que $f(t) = 0$ pour $t < 0$, écrivez l'intégrale de Fourier de $f(t)$ comme une intégrale de $0$ à $+\\infty$, puis calculez $F(\\omega) = \\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega)$ en fonction de $a$ et $\\omega$.
Question 2 : Calculez explicitement $F(\\omega)$ pour $a = 1$ et simplifiez l'expression obtenue.
Question 3 : Calculez la transformée de Fourier de la dérivée $f'(t)$ et vérifiez la propriété :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = (i \\omega) F(\\omega) - f(0)$.
Question 4 : En prenant $a = 1$, calculez explicitement $\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega)$ à partir de la définition de $f'(t)$ et vérifiez numériquement l'égalité avec $(i \\omega) F(\\omega) - f(0)$.
",
"svg": "tf(t)0e^{-a t}u(t)ω|F(ω)1/√(a²+ω²)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Calcul de $F(\\omega) = \\mathcal{F}\\{e^{-a t} u(t)\\}(\\omega)$
1. Formule générale dans $...$ : La transformée de Fourier est définie par :$\\mathcal{F}\\{f(t)\\}(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-i \\omega t} \\, dt$. Comme $f(t) = e^{-a t} u(t)$, on a $f(t) = 0$ pour $t < 0$ et $f(t) = e^{-a t}$ pour $t \\ge 0$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Donc :$F(\\omega) = \\int_0^{+\\infty} e^{-a t} e^{-i \\omega t} \\, dt = \\int_0^{+\\infty} e^{-(a + i \\omega)t} \\, dt$.
3. Calcul dans $...$ : Pour $a > 0$, on a :$\\int_0^{+\\infty} e^{-(a + i \\omega)t} \\, dt = \\left[ -\\dfrac{1}{a + i \\omega} e^{-(a + i \\omega)t} \\right]_0^{+\\infty}$. On obtient :$\\lim_{t \\to +\\infty} e^{-(a + i \\omega)t} = 0$ (car $\\text{Re}(a + i \\omega) = a > 0$) et à $t = 0$ :$-\\dfrac{1}{a + i \\omega} e^{0} = -\\dfrac{1}{a + i \\omega}$. Donc :$F(\\omega) = 0 - \\left( -\\dfrac{1}{a + i \\omega} \\right) = \\dfrac{1}{a + i \\omega}$.
4. Résultat final dans $...$ : $F(\\omega) = \\mathcal{F}\\{e^{-a t} u(t)\\}(\\omega) = \\dfrac{1}{a + i \\omega}$, pour $a > 0$.
Question 2 : Cas particulier $a = 1$
1. Formule générale dans $...$ : On remplace simplement $a$ par $1$ dans l'expression générale.
2. Remplacement des données dans $...$ : $F(\\omega) = \\dfrac{1}{1 + i \\omega}$.
3. Calcul dans $...$ : On peut également séparer partie réelle et imaginaire :$\\dfrac{1}{1 + i \\omega} = \\dfrac{1 - i \\omega}{1 + \\omega^2}$.
4. Résultat final dans $...$ : Pour $a = 1$ :$F(\\omega) = \\dfrac{1 - i \\omega}{1 + \\omega^2}$.
Question 3 : Transformée de Fourier de $f'(t)$ (cas général)
1. Formule générale dans $...$ : La propriété formelle est :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = (i \\omega) F(\\omega) - f(0)$. On va la vérifier pour $f(t) = e^{-a t} u(t)$, $a > 0$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On calcule d'abord $f'(t)$. Pour $t > 0$, on a :$f(t) = e^{-a t}$, donc $f'(t) = -a e^{-a t}$ (et il y a une impulsion de Dirac en $0$ due à $u(t)$, ce qui est cohérent avec le terme $-f(0)$ dans la propriété).
3. Calcul dans $...$ : En utilisant la propriété abstraite :$F(\\omega) = \\dfrac{1}{a + i \\omega}$, donc :$(i \\omega) F(\\omega) - f(0) = \\dfrac{i \\omega}{a + i \\omega} - 1$. Or $f(0) = e^{0} = 1$. On peut réécrire :$\\dfrac{i \\omega}{a + i \\omega} - 1 = \\dfrac{i \\omega - (a + i \\omega)}{a + i \\omega} = \\dfrac{-a}{a + i \\omega}$.
4. Résultat final dans $...$ : On obtient :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = -\\dfrac{a}{a + i \\omega}$, ce qui est cohérent avec la transformée de $-a e^{-a t} u(t)$, et la propriété :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = (i \\omega) F(\\omega) - f(0)$ est vérifiée.
Question 4 : Vérification explicite pour $a = 1$
1. Formule générale dans $...$ : On prend $a = 1$, donc $f(t) = e^{-t} u(t)$. Pour $t > 0$ :$f'(t) = -e^{-t}$ (sans tenir compte ici de l'impulsion en $0$ qui est justement compensée par le terme $-f(0)$ dans la formule). On calcule :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = \\int_0^{+\\infty} (-e^{-t}) e^{-i \\omega t} \\, dt = - \\int_0^{+\\infty} e^{-(1 + i \\omega)t} \\, dt$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On sait d'après la question 1 que :$\\int_0^{+\\infty} e^{-(1 + i \\omega)t} \\, dt = \\dfrac{1}{1 + i \\omega}$. Donc :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = - \\dfrac{1}{1 + i \\omega}$.
3. Calcul dans $...$ : D'après la propriété :$F(\\omega) = \\dfrac{1}{1 + i \\omega}$ et $f(0) = 1$, donc :$(i \\omega) F(\\omega) - f(0) = \\dfrac{i \\omega}{1 + i \\omega} - 1$. On simplifie :$\\dfrac{i \\omega}{1 + i \\omega} - 1 = \\dfrac{i \\omega - (1 + i \\omega)}{1 + i \\omega} = \\dfrac{-1}{1 + i \\omega}$. On retrouve bien :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = - \\dfrac{1}{1 + i \\omega}$.
4. Résultat final dans $...$ : Pour $a = 1$, la propriété :$\\mathcal{F}\\{f'(t)\\}(\\omega) = (i \\omega) F(\\omega) - f(0)$ est vérifiée numériquement et algébriquement.
",
"id_category": "5",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 5 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre par transformée de Laplace (réponse à une impulsion)
On considère le système linéaire du second ordre décrit par l'équation différentielle :$y''(t) + 4 y(t) = \\delta(t)$, où $\\delta(t)$ est l'impulsion de Dirac. Les conditions initiales sont $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$.
Question 1 : Appliquez la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation et exprimez $Y(p) = \\mathcal{L}\\{y(t)\\}(p)$ en utilisant les formules :$\\mathcal{L}\\{y''(t)\\}(p) = p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0)$ et $\\mathcal{L}\\{\\delta(t)\\}(p) = 1$.
Question 2 : Résolvez l'équation algébrique en $Y(p)$ et mettez-la sous une forme que l'on puisse inverser facilement.
Question 3 : À l'aide de tables usuelles de transformées de Laplace, calculez $y(t) = \\mathcal{L}^{-1}\\{Y(p)\\}(t)$ et identifiez la nature de la réponse (sinusoïdale, exponentielle, etc.).
Question 4 : Calculez explicitement $y(t)$ pour $t = 0{,}5$ et $t = 1$, en donnant les valeurs numériques avec $4$ décimales.
",
"svg": "ty(t)0δ(t)y(t)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": " Question 1 : Passage dans le domaine de Laplace
1. Formule générale dans $...$ : L'équation différentielle est :$y''(t) + 4 y(t) = \\delta(t), \\quad y(0) = 0, \\quad y'(0) = 0$. On applique la transformée de Laplace terme à terme : $\\mathcal{L}\\{y''(t)\\}(p) + 4 \\mathcal{L}\\{y(t)\\}(p) = \\mathcal{L}\\{\\delta(t)\\}(p)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : On utilise :$\\mathcal{L}\\{y''(t)\\}(p) = p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0) = p^2 Y(p)$ (car $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$), $\\mathcal{L}\\{y(t)\\}(p) = Y(p)$ et $\\mathcal{L}\\{\\delta(t)\\}(p) = 1$. L'équation devient :$p^2 Y(p) + 4 Y(p) = 1$.
3. Calcul dans $...$ : On factorise :$(p^2 + 4) Y(p) = 1$.
4. Résultat final dans $...$ : $Y(p) = \\dfrac{1}{p^2 + 4}$.
Question 2 : Mise sous forme inversible facilement
1. Formule générale dans $...$ : On reconnaît une forme classique :$\\mathcal{L}\\{\\sin(a t)\\}(p) = \\dfrac{a}{p^2 + a^2}$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Ici :$Y(p) = \\dfrac{1}{p^2 + 4} = \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{4}{p^2 + 4}$. On écrit :$Y(p) = \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{2}{p^2 + 2^2} \\cdot 2$, mais plus simplement :$\\dfrac{2}{p^2 + 2^2}$ serait la transformée de $\\sin(2t)$. Donc :$\\dfrac{1}{p^2 + 4} = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{p^2 + 4}$.
3. Calcul dans $...$ : On identifie :$\\mathcal{L}\\{\\sin(2t)\\}(p) = \\dfrac{2}{p^2 + 4}$, donc :$Y(p) = \\dfrac{1}{2} \\mathcal{L}\\{\\sin(2t)\\}(p)$.
4. Résultat final dans $...$ : $Y(p) = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{2}{p^2 + 4} = \\dfrac{1}{2} \\mathcal{L}\\{\\sin(2t)\\}(p)$.
Question 3 : Transformée inverse et nature de la réponse
1. Formule générale dans $...$ : On utilise la linéarité de la transformée de Laplace inverse :$\\mathcal{L}^{-1}\\{c F(p)\\}(t) = c f(t)$ si $F(p) = \\mathcal{L}\\{f(t)\\}(p)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Comme :$Y(p) = \\dfrac{1}{2} \\mathcal{L}\\{\\sin(2t)\\}(p)$, on obtient :$y(t) = \\dfrac{1}{2} \\sin(2t)$ pour $t \\ge 0$.
3. Calcul dans $...$ : La solution est purement sinusoïdale de pulsation $2$, pondérée par un facteur $\\dfrac{1}{2}$. Il s'agit de la réponse impulsionnelle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $2$.
4. Résultat final dans $...$ : La solution temporelle est :$y(t) = \\dfrac{1}{2} \\sin(2t), \\quad t \\ge 0$, réponse sinusoïdale à fréquence propre.
Question 4 : Valeurs numériques de $y(0{,}5)$ et $y(1)$
1. Formule générale dans $...$ : On utilise $y(t) = \\dfrac{1}{2} \\sin(2t)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : Pour $t = 0{,}5$ :$y(0{,}5) = \\dfrac{1}{2} \\sin(2 \\cdot 0{,}5) = \\dfrac{1}{2} \\sin(1)$. Pour $t = 1$ :$y(1) = \\dfrac{1}{2} \\sin(2)$.
3. Calcul dans $...$ : Avec $\\sin(1) \\approx 0{,}8415$ et $\\sin(2) \\approx 0{,}9093$, on obtient : $y(0{,}5) \\approx \\dfrac{1}{2} \\cdot 0{,}8415 \\approx 0{,}4208$. $y(1) \\approx \\dfrac{1}{2} \\cdot 0{,}9093 \\approx 0{,}4547$.
4. Résultat final dans $...$ : $y(0{,}5) \\approx 0{,}4208$ et $y(1) \\approx 0{,}4547$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 1 : Transformation de Laplace appliquée à une équation différentielle du premier ordre
On considère l'équation différentielle $\\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$. On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace.
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace $\\mathcal{L}\\{y(t)\\} = Y(s)$ et $\\mathcal{L}\\{\\frac{dy}{dt}\\} = sY(s) - y(0)$ en utilisant la propriété de dérivation.
Question 2 : Calculer la transformée de Laplace de $e^{-t}$ : $\\mathcal{L}\\{e^{-t}\\} = \\frac{1}{s+1}$, puis appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète pour obtenir une équation algébrique en $Y(s)$.
Question 3 : Résoudre l'équation algébrique pour obtenir $Y(s)$, puis effectuer la décomposition en fractions simples.
Question 4 : Calculer la transformée de Laplace inverse $y(t) = \\mathcal{L}^{-1}\\{Y(s)\\}$ pour obtenir la solution de l'équation différentielle.
Résultat final : $y(t) = \\frac{1}{2}(e^{-t} + e^{-3t})$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 2 : Transformation de Fourier d'une fonction exponentielle amortie
On considère la fonction $f(t) = e^{-|t|}$ définie sur $\\mathbb{R}$. On souhaite calculer sa transformée de Fourier et analyser le spectre fréquentiel.
Question 1 : Calculer la transformée de Fourier $\\hat{f}(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-|t|}e^{-i\\omega t} dt$ en séparant l'intégrale pour $t < 0$ et $t > 0$.
6. Interprétation : C'est une fonction paire et réelle, décroissante avec $\\omega$.
Résultat final : $\\hat{f}(\\omega) = \\frac{2}{1+\\omega^2}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 3 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre par Laplace
On considère l'équation différentielle $\\frac{d^2y}{dt^2} + 2\\frac{dy}{dt} + y = \\sin(t)$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$. On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace.
Question 1 : Calculer les transformées de Laplace de $\\frac{d^2y}{dt^2}$ et $\\frac{dy}{dt}$ en utilisant les propriétés de dérivation avec les conditions initiales données.
Question 2 : Calculer la transformée de Laplace de $\\sin(t)$ : $\\mathcal{L}\\{\\sin(t)\\} = \\frac{1}{s^2+1}$, puis appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète.
Question 3 : Résoudre pour $Y(s)$ en obtenant $Y(s) = \\frac{s^2 + 1}{(s^2+1)(s+1)^2}$ et effectuer la décomposition en fractions partielles.
Question 4 : Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir la solution $y(t)$.
",
"svg": "Réponse temporelle y(t)ty(t)Réponse amortieFonction de forçage sin(t)tF(t)ExcitationED: y'' + 2y' + y = sin(t)Conditions: y(0) = 0, y'(0) = 1Pôles: s = -1 (double), s = ±i",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Résultat final : $y(t) = -\\frac{1}{2}\\cos(t) + \\frac{1}{2}e^{-t}(1 + 3t)$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 4 : Théorème de convolution et transformée de Fourier
On considère deux fonctions $f(t) = e^{-t}u(t)$ et $g(t) = e^{-2t}u(t)$ où $u(t)$ est la fonction échelon unitaire. On souhaite calculer leur convolution en utilisant la transformée de Fourier et le théorème de convolution.
Question 1 : Calculer les transformées de Fourier $\\hat{f}(\\omega)$ et $\\hat{g}(\\omega)$ des deux fonctions.
Question 2 : En utilisant le théorème de convolution $\\mathcal{F}\\{(f * g)(t)\\} = \\hat{f}(\\omega) \\cdot \\hat{g}(\\omega)$, calculer le produit $\\hat{f}(\\omega) \\cdot \\hat{g}(\\omega)$.
Question 3 : Décomposer le produit en fractions simples pour faciliter l'inversion.
Question 4 : Calculer la transformée de Fourier inverse pour obtenir $(f * g)(t)$.
Résultat final : $x(t) = e^{-t}(\\cos(t) + \\sin(t))$ et $y(t) = e^{-t}(1 - \\cos(t) + \\sin(t))$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 1 : Transformation de Laplace et résolution d'équation différentielle du premier ordre
On considère l'équation différentielle du premier ordre avec condition initiale : $\\frac{dy}{dt} + 2y = 4t$ avec $y(0) = 1$. On résoudra cette équation en utilisant la transformation de Laplace.
Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle. Rappel : $\\mathcal{L}\\{\\frac{dy}{dt}\\} = sY(s) - y(0)$ et $\\mathcal{L}\\{t\\} = \\frac{1}{s^2}$.
Question 2 : Résoudre l'équation transformée en $Y(s)$ et exprimer $Y(s)$ sous forme de fractions partielles.
Question 3 : Appliquer la transformation de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$. On utilisera $\\mathcal{L}^{-1}\\{\\frac{1}{s-a}\\} = e^{at}$ et les propriétés de linéarité.
Question 4 : Vérifier la solution obtenue en la substituant dans l'équation différentielle originale et en vérifiant la condition initiale.
Résultat final : La solution $y(t) = 2t - 1 + 2e^{-2t}$ satisfait à la fois l'équation différentielle et la condition initiale, validant notre approche par transformation de Laplace.
",
"id_category": "5",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 2 : Transformation de Laplace pour équation différentielle du second ordre
On considère l'équation différentielle du second ordre : $\\frac{d^2y}{dt^2} + 3\\frac{dy}{dt} + 2y = \\sin(t)$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\\frac{dy}{dt}(0) = 1$. On résoudra cette équation par transformation de Laplace.
Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation différentielle complète. Rappel : $\\mathcal{L}\\{\\frac{d^2y}{dt^2}\\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ et $\\mathcal{L}\\{\\sin(t)\\} = \\frac{1}{s^2+1}$.
Question 2 : Résoudre pour $Y(s)$ et effectuer la décomposition en fractions partielles.
Question 3 : Calculer les transformations de Laplace inverses de chaque fraction pour obtenir $y(t)$.
Question 4 : Identifier les composantes homogène et particulière de la solution et discuter du comportement asymptotique.
",
"svg": "Réponse transitoire et régime permanentt (temps)y(t)Régime transitoireRégime permanentTransitiony(0)=0",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'Exercice 2
Question 1 : Application de la transformation de Laplace
Question 4 : Composantes et comportement asymptotique
Étape 1 - Identification des composantes : Composante homogène (transitoire) : $y_h(t) = \\frac{3}{2}e^{-t} - \\frac{6}{5}e^{-2t}$ Ces termes décroissent exponentiellement vers zéro.
Composante particulière (régime permanent) : $y_p(t) = -\\frac{3}{5}\\cos(t) - \\frac{1}{5}\\sin(t)$ Cette composante oscille indéfiniment avec l'entrée sinusoïdale.
Étape 2 - Comportement asymptotique : Pour $t \\to \\infty$ : $\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = -\\frac{3}{5}\\cos(t) - \\frac{1}{5}\\sin(t)$ Le système converge vers une réponse sinusoïdale de même fréquence que l'entrée mais avec une amplitude et une phase modifiées.
Résultat final : La solution totale comprend une réponse transitoire décroissant exponentiellement et une réponse permanente sinusoïdale. Le système atteint le régime permanent après un délai d'environ 3-4 constantes de temps (ici $\\tau \\approx 1$ pour le mode dominant $e^{-t}$).
",
"id_category": "5",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 3 : Transformation de Fourier et analyse spectrale d'un signal
On considère un signal aperiodique $f(t) = e^{-|t|}$ défini pour tous les temps réels $t \\in \\mathbb{R}$. On souhaite calculer sa transformée de Fourier pour obtenir son spectre fréquentiel.
Question 1 : Calculer la transformée de Fourier directe $F(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-|t|} e^{-i\\omega t} \\, dt$ en séparant l'intégrale en deux régions : $t < 0$ et $t > 0$.
Question 2 : Simplifier l'expression de $F(\\omega)$ et montrer que le résultat est une fonction réelle paire de $\\omega$.
Question 3 : Calculer le spectre d'amplitude $|F(\\omega)|$ et le spectre de phase $\\arg(F(\\omega))$.
Question 4 : Déterminer la largeur de bande essentielle du signal (définir comme la bande où $|F(\\omega)| \\geq 0.1 \\times |F(0)|$) et calculer l'énergie totale du signal.
",
"svg": "Signal temporel vs Spectre fréquentieltf(t)f(t) = e^(-|t|)ω|F(ω)|F(0)=2Bande essentielle",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'Exercice 3
Question 1 : Transformée de Fourier directe
Étape 1 - Définition de la transformée : $F(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-|t|} e^{-i\\omega t} \\, dt$
Étape 5 - Propriétés : - La fonction est réelle pour tous les $\\omega$ - La fonction est paire : $F(-\\omega) = \\frac{2}{1 + (-\\omega)^2} = \\frac{2}{1 + \\omega^2} = F(\\omega)$ - La phase est nulle : $\\arg(F(\\omega)) = 0$ pour tous $\\omega$
Résultat final : $F(\\omega) = \\frac{2}{1 + \\omega^2}$, fonction réelle paire.
Question 3 : Spectre d'amplitude et de phase
Étape 1 - Spectre d'amplitude : $|F(\\omega)| = \\left|\\frac{2}{1 + \\omega^2}\\right| = \\frac{2}{1 + \\omega^2}$ (puisque le dénominateur est toujours positif)
Étape 3 - Spectre de phase : Puisque $F(\\omega) = \\frac{2}{1 + \\omega^2}$ est réel et positif pour tous $\\omega$ : $\\arg(F(\\omega)) = 0$ pour tous $\\omega$
Résultat final : Le spectre d'amplitude est $|F(\\omega)| = \\frac{2}{1 + \\omega^2}$ avec maximum de 2 en $\\omega = 0$, et le spectre de phase est uniformément nul.
Question 4 : Largeur de bande essentielle et énergie
Résultat final : La largeur de bande essentielle est de 6 rad/s (approximativement 0.955 Hz si converti en Hz), et l'énergie totale du signal est de 1 joule (pour une normalisation appropriée). Le théorème de Parseval confirme la conservation de l'énergie entre les domaines temporel et fréquentiel.
",
"id_category": "5",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 4 : Application de la transformation de Laplace à un système électrique
On considère un circuit RLC série alimenté par une tension d'entrée $v_{in}(t) = 10u(t)$ (échelon unitaire), avec $R = 2\\Omega$, $L = 1H$, $C = 0.5F$. Les conditions initiales sont $i(0) = 0$ et $v_C(0) = 0$. On souhaite calculer le courant $i(t)$ et la tension aux bornes du condensateur $v_C(t)$.
Question 1 : Écrire l'équation différentielle régissant le circuit en utilisant la loi de Kirchhoff des tensions : $L\\frac{di}{dt} + Ri + \\frac{q}{C} = v_{in}(t)$ où $i = \\frac{dq}{dt}$.
Question 2 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation pour obtenir l'expression du courant $I(s)$ en fonction des paramètres du circuit et de la tension d'entrée.
Question 3 : Effectuer la décomposition en fractions partielles et identifier les pôles du système.
Question 4 : Calculer la réponse temporelle $i(t)$, déterminer le débordement maximal (overshoot) et le temps de stabilisation.
",
"svg": "Circuit RLC sérieV_inR=2ΩL=1HC=0.5FGNDi(t) : réponse du courant",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'Exercice 4
Question 1 : Équation différentielle du circuit
Étape 1 - Loi de Kirchhoff des tensions : $v_L + v_R + v_C = v_{in}(t)$
Étape 4 - Équation en termes de charge : $\\frac{d^2q}{dt^2} + 2\\frac{dq}{dt} + 2q = 10$
Étape 5 - Conversion en équation du courant : $\\frac{di}{dt} + 2i + 2\\int_0^t i \\, d\\tau = 10$ Ou en dérivant : $\\frac{d^2i}{dt^2} + 2\\frac{di}{dt} + 2i = 0$ pour $t > 0$
Résultat final : L'équation différentielle est $\\frac{d^2q}{dt^2} + 2\\frac{dq}{dt} + 2q = 10$ avec $q(0) = 0$ et $\\frac{dq}{dt}(0) = 0$.
Question 2 : Transformation de Laplace et expression de I(s)
Étape 1 - Application de Laplace à l'équation du courant : Utilisons l'équation : $L\\frac{di}{dt} + Ri + \\frac{1}{C}\\int_0^t i \\, d\\tau = v_{in}(t)$
Étape 6 - Temps de stabilisation (critère 5%) : La réponse stabilise quand $5\\sqrt{2}e^{-t} < 0.05 \\times 5 = 0.25$ $e^{-t} < \\frac{0.25}{5\\sqrt{2}} \\approx 0.0354$ $-t < \\ln(0.0354) \\approx -3.34$ $t > 3.34 \\text{ s}$
Résultat final : Le courant est $i(t) = 5 - 5\\sqrt{2}e^{-t}\\cos(t + \\frac{\\pi}{4})$ ampères. Le débordement maximal (overshoot) est d'environ 36.6% avec $i_{max} \\approx 6.83$ A à $t \\approx 2.36$ s. Le temps de stabilisation (critère 5%) est d'environ 3.34 secondes.
",
"id_category": "5",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 5 : Transformation de Fourier appliquée à la convolution et filtrage
On considère un signal d'entrée $x(t) = \\sin(2\\pi t)$ (sinusoïde à 1 Hz) et une réponse impulsionnelle d'un filtre $h(t) = e^{-t}u(t)$ (exponentielle décroissante). On souhaite calculer la réponse du système et analyser son contenu fréquentiel.
Question 1 : Calculer la transformée de Fourier du signal d'entrée $X(f)$ et de la réponse impulsionnelle $H(f)$ du filtre.
Question 2 : Utiliser le théorème de convolution pour déterminer la sortie $Y(f) = X(f) \\cdot H(f)$ dans le domaine fréquentiel.
Question 3 : Calculer les transformées de Fourier inverses pour obtenir $y(t)$ en utilisant la décomposition en fractions partielles si nécessaire.
Question 4 : Analyser le gain du filtre à la fréquence du signal (1 Hz) et déterminer la phase introduite. Discuter de l'effet du filtrage sur le signal d'entrée.
",
"svg": "Convolution et filtrage : X(t) * H(t) = Y(t)tx(t)x(t) = sin(2πt)th(t)h(t) = e^(-t)u(t)ty(t)y(t) = x(t) * h(t) : Sortie filtréef (Hz)|H(f)|Réponse en fréquence du filtre",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée de l'Exercice 5
Question 1 : Transformées de Fourier de l'entrée et du filtre
Étape 1 - Transformée de Fourier du signal d'entrée : $x(t) = \\sin(2\\pi t)$
Étape 2 - Utilisation de la formule d'Euler : $\\sin(2\\pi t) = \\frac{e^{i2\\pi t} - e^{-i2\\pi t}}{2i}$
Étape 3 - Calcul de la TF : $X(f) = \\frac{1}{2i}[\\delta(f-1) - \\delta(f+1)]$ Où $\\delta$ est la fonction de Dirac.
Étape 4 - Transformée de Fourier du filtre : $h(t) = e^{-t}u(t)$
Étape 3 - Sortie temporelle : À la fréquence du signal (1 Hz), le filtre introduit : - Une atténuation de facteur 0.1538 - Un déphasage de -81.03°
Étape 4 - Signal de sortie approché : $y(t) \\approx 0.1538 \\sin(2\\pi t - 1.4137)$ Ou en termes de cosinus : $y(t) \\approx 0.1538 \\cos(2\\pi t + 0.1569)$
Résultat final : La sortie simplifiée est $y(t) \\approx 0.1538 \\sin(2\\pi t - 1.4137)$.
Étape 3 - Gain à 1 Hz : $|H(1)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 39.478}} \\approx 0.1538$ Le signal est atténué d'un facteur d'environ 6.5 (ou -16.3 dB)
Étape 4 - Interprétation : - Le filtre est un passe-bas avec fréquence de coupure ≈ 0.159 Hz - À 1 Hz, la fréquence du signal est bien au-delà de la bande passante - L'atténuation de 6.5 fois et le déphasage de -81.03° indiquent un filtrage important - Le signal de sortie est largement atténué et déphasé
Résultat final : Le filtre exponentiel atténue le signal sinusoïdal de 1 Hz d'un facteur 6.5 avec un déphasage de -81.03°. Le signal filtré devient $y(t) \\approx 0.1538 \\sin(2\\pi t - 81.03°)$, démontrant l'effet dominant du filtrage passe-bas sur les composantes fréquentielles élevées.
",
"id_category": "5",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 1 : Résolution d'une équation différentielle par transformation de Laplace
On considère l'équation différentielle $\\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$. On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace.
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace $\\mathcal{L}\\{\\frac{dy}{dt}\\}$ en fonction de $\\mathcal{L}\\{y\\} = Y(s)$ en utilisant la propriété de dérivation. Puis calculer $\\mathcal{L}\\{e^{-t}\\}$.
Question 2 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète $\\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ pour obtenir une équation algébrique en $Y(s)$. Résoudre pour $Y(s)$ en tenant compte de la condition initiale $y(0) = 1$.
Question 3 : Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles. Identifier chaque terme et exprimer $Y(s)$ sous une forme dont on connaît la transformée inverse.
Question 4 : Calculer la transformée inverse de Laplace $y(t) = \\mathcal{L}^{-1}\\{Y(s)\\}$ pour obtenir la solution complète $y(t)$. Vérifier la solution en substituant dans l'équation différentielle originale et la condition initiale.
",
"svg": "y(t)ty(0)=1Solution y(t)Domaine tÉquation diff.Domaine sÉquation alg.LaplaceInverse",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Interprétation : La solution est une décroissance exponentielle simple. Bien que la condition initiale soit $y(0) = 1$ et le terme forçant soit $e^{-t}$, la solution résultante est exactement $e^{-t}$, ce qui indique une coïncidence entre l'amortissement naturel et le terme d'entrée.
",
"id_category": "5",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 2 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre par Laplace
On considère l'équation différentielle $\\frac{d^2y}{dt^2} + 3\\frac{dy}{dt} + 2y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\\frac{dy}{dt}(0) = 1$. On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace.
Question 1 : Calculer les transformées de Laplace $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\}$ et $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{d^2y}{dt^2}\\right\\}$ en utilisant les propriétés de dérivation et les conditions initiales données.
Question 2 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète pour obtenir une équation algébrique en $Y(s)$. Résoudre pour $Y(s)$.
Question 3 : Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles et identifier les pôles de la fonction de transfert. Exprimer les résidus correspondants.
Question 4 : Calculer la transformée inverse de Laplace pour obtenir la solution $y(t)$. Vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle et les conditions initiales.
",
"svg": "Im(s)Re(s)s=-2s=-1Axe d'intégrationPlan complexe : pôles et axe de Bromwich",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Interprétation : La solution est composée de deux modes exponentiels décroissants avec des constantes de temps différentes (1 et 0.5 secondes). Le mode plus rapide $e^{-2t}$ domine initialement.
",
"id_category": "5",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 3 : Transformation de Fourier d'une fonction d'impulsion et analyse spectrale
On considère une fonction d'impulsion rectangulaire $f(t) = \\begin{cases} 1 & \\text{si } |t| \\leq a \\\\ 0 & \\text{sinon} \\end{cases}$ où $a > 0$. On souhaite calculer sa transformée de Fourier et analyser son spectre.
Question 1 : Calculer la transformée de Fourier $F(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(t) e^{-i\\omega t} dt$ de la fonction d'impulsion rectangulaire. Exprimer le résultat en fonction de $\\sin(\\omega a)$.
Question 2 : Exprimer $F(\\omega)$ sous forme normalisée utilisant la fonction $\\text{sinc}(x) = \\frac{\\sin(x)}{x}$. Calculer numériquement $|F(\\omega)|$ pour $a = 1$ et $\\omega = 0, \\pi, 2\\pi$.
Question 3 : Déterminer la largeur de bande du signal en identifiant la première fréquence d'annulation (zéro du spectre). Calculer aussi l'énergie totale du signal $E = \\int_{-\\infty}^{\\infty} |f(t)|^2 dt$ et vérifier le théorème de Parseval $E = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} |F(\\omega)|^2 d\\omega$.
Question 4 : On passe le signal $f(t)$ dans un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure $\\omega_c = \\frac{\\pi}{a}$. Calculer la transformée de Fourier du signal filtré $Y(\\omega) = H(\\omega) F(\\omega)$ où $H(\\omega)$ est la réponse fréquentielle du filtre. Calculer le signal de sortie $y(t)$.
",
"svg": "Domaine temporelf(t)ta-a 0 aDomaine fréquentiel|F(ω)|ω2aπ/aTransforméede Fourier",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Pour $|t| < a$, le résultat est proche du signal original $f(t) = 1$.
Pour $|t| > a$, il y a une oscillation (phénomène de Gibbs) qui s'attenue.
Conclusion : Le filtrage passe-bas supprime les composantes haute fréquence mais conserve la forme générale du signal rectangulaire, avec des ondulations aux bords dues au phénomène de Gibbs.
",
"id_category": "5",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 4 : Transformée de Laplace d'une onde carrée périodique
On considère une onde carrée périodique $f(t)$ de période $T = 2$ définie par $f(t) = \\begin{cases} 1 & \\text{si } 0 \\leq t < 1 \\\\ -1 & \\text{si } 1 \\leq t < 2 \\end{cases}$ et $f(t + 2) = f(t)$. On souhaite calculer sa transformée de Laplace.
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace $F_1(s)$ d'une période de la fonction (l'impulsion unitaire de hauteur 1 entre 0 et 1, puis de hauteur -1 entre 1 et 2). Utiliser la propriété de décalage temporel pour simplifier.
Question 2 : Utiliser la formule pour les fonctions périodiques $\\mathcal{L}\\{f(t)\\} = \\frac{F_1(s)}{1 - e^{-sT}}$ pour calculer la transformée de Laplace complète de l'onde carrée. Simplifier en fonction de $s$.
Question 3 : Calculer numériquement $\\mathcal{L}\\{f(t)\\}$ pour $s = 0.1, 0.5, 1$. Montrer comment la transformée varie avec $s$.
Question 4 : On applique cette onde carrée comme entrée à un système avec la fonction de transfert $H(s) = \\frac{1}{s + 1}$. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(s) = H(s) \\mathcal{L}\\{f(t)\\}$ et obtenir la réponse temporelle $y(t)$ en effectuant la décomposition en fractions partielles et la transformée inverse.
",
"svg": "Onde carrée périodiquef(t)t0123451-1Période T=2",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : Transformée de Laplace d'une période
- Un terme constant ou quasi-constant dans certains intervalles
- Une réponse exponentielle décroissante $e^{-t}$ superposée
Étape 4 - Allure générale :
Pour $t$ petit ($0 < t < 1$), où $f(t) = 1$ :
$y(t) \\approx 1 - e^{-t}$
Pour $t \\geq 1$, où $f(t) = -1$, la réponse est modifiée par la dérivée et le changement d'entrée.
Conclusion : La réponse temporelle du système est une onde oscillante qui suit approximativement l'entrée carrée, avec un lissage exponentiel dû au pôle en $s = -1$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Exercice 5 : Résolution d'une équation de diffusion thermique par transformée de Laplace
On considère l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle $\\frac{\\partial u}{\\partial t} = \\alpha \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$ avec les conditions aux limites $u(0, t) = 1$ (température constante à $x = 0$) et $u(x, t) \\to 0$ quand $x \\to \\infty$, et la condition initiale $u(x, 0) = 0$ (température initiale nulle). On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace par rapport au temps.
Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation de diffusion par rapport au temps pour obtenir une équation différentielle ordinaire en $x$. Désigner $U(x, s) = \\mathcal{L}\\{u(x, t)\\}$ et identifier les conditions aux limites transformées.
Question 2 : Résoudre l'équation différentielle ordinaire résultante $s U(x, s) = \\alpha \\frac{d^2 U}{dx^2}$ en utilisant les conditions aux limites. Donner la solution générale $U(x, s)$.
Question 3 : Calculer la transformée inverse de Laplace pour obtenir $u(x, t) = \\mathcal{L}^{-1}\\{U(x, s)\\}$. On utilisera la fonction erreur complémentaire $\\text{erfc}(z) = \\frac{2}{\\sqrt{\\pi}} \\int_z^\\infty e^{-\\eta^2} d\\eta$.
Question 4 : Vérifier la solution en substituant dans l'équation différentielle originale, les conditions aux limites et la condition initiale. Calculer numériquement $u(x, t)$ pour $\\alpha = 1$, $x = 1$ et $t = 0.1, 0.5, 1$.
",
"svg": "Diffusion thermique: u(x,t)uxu=1x→∞, u→0x=0Temps: t augmente (courbes s'adoucissent)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : Application de la transformation de Laplace
Interprétation : La température augmente progressivement avec le temps du fait de la diffusion thermique depuis la limite chaude en $x = 0$. Le profil de température s'adoucit progressivement (gradient réduit) au fur et à mesure que la chaleur se diffuse dans le domaine.
",
"id_category": "5",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit l'équation différentielle du premier ordre: $\\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$, avec la condition initiale $y(0) = 1$.
Question 1: Calculer la transformée de Laplace de chaque terme de l'équation différentielle. Utiliser les propriétés: $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\} = sY(s) - y(0)$ et $\\mathcal{L}\\{e^{-t}\\} = \\frac{1}{s+1}$.
Question 2: À partir des transformées de Laplace obtenues, établir l'équation algébrique en $Y(s)$ et résoudre pour $Y(s)$.
Question 3: Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles pour faciliter l'utilisation de la table de transformées inverses.
Question 4: Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir la solution $y(t)$ et vérifier qu'elle satisfait la condition initiale $y(0) = 1$.
",
"svg": "Équation différentielledy/dt + 2y = e^(-t)LaplaceDomaine de LaplaceÉquation algébriqueInverseSolutiony(t)ty(t)y(0)=1sY(s)Domaine temporelDomaine de Laplace",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Calcul de la transformée de Laplace de chaque terme.
Résultat: La solution de l'équation différentielle $\\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ avec $y(0) = 1$ est $y(t) = e^{-t}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit l'équation différentielle du second ordre: $\\frac{d^2y}{dt^2} + 3\\frac{dy}{dt} + 2y = 0$, avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$.
Question 1: Appliquer la transformée de Laplace à l'équation différentielle en utilisant les formules: $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{d^2y}{dt^2}\\right\\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ et $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\} = sY(s) - y(0)$.
Question 2: Établir l'équation algébrique en $Y(s)$ et résoudre pour $Y(s)$.
Question 3: Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles pour identifier les pôles.
Question 4: Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ et vérifier les conditions initiales.
",
"svg": "Re(s)Im(s)s=-1s=-2ty(t)Pôles de Y(s)Réponse temporelle y(t)",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Étape 3: Factorisation du polynôme $s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)$
Étape 4: Isolation de Y(s) $Y(s) = \\frac{1}{(s+1)(s+2)}$
Solution Question 3:
Décomposition en fractions partielles.
Étape 1: Forme à décomposer $Y(s) = \\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \\frac{A}{s+1} + \\frac{B}{s+2}$
Étape 2: Multiplication par le dénominateur $1 = A(s+2) + B(s+1)$
Étape 3: Calcul de A (poser s = -1) $1 = A(-1+2) + 0 \\Rightarrow 1 = A \\Rightarrow A = 1$
Étape 4: Calcul de B (poser s = -2) $1 = 0 + B(-2+1) \\Rightarrow 1 = -B \\Rightarrow B = -1$
Étape 5: Décomposition finale $Y(s) = \\frac{1}{s+1} - \\frac{1}{s+2}$
Solution Question 4:
Transformée de Laplace inverse et vérification.
Étape 1: Transformée inverse de chaque terme $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{1}{s+1}\\right\\} = e^{-t}$ $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{1}{s+2}\\right\\} = e^{-2t}$
Résultat: La solution de l'équation différentielle est $y(t) = e^{-t} - e^{-2t}$.
",
"id_category": "5",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit le signal $f(t) = e^{-|t|}$ défini pour $t \\in \\mathbb{R}$. On souhaite calculer sa transformée de Fourier.
Question 1: Écrire la définition de la transformée de Fourier et exprimer $F(\\omega) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(t)e^{-i\\omega t} dt$ pour la fonction donnée.
Question 2: Diviser l'intégrale en deux parties ($t < 0$ et $t > 0$) et calculer chaque intégrale en utilisant l'intégration par parties ou les formules d'intégrales exponentielles.
Question 3: Combiner les résultats pour obtenir la transformée de Fourier $F(\\omega)$ en fonction de $\\omega$.
Question 4: Calculer l'énergie du signal en utilisant le théorème de Parseval: $E = \\int_{-\\infty}^{\\infty} |f(t)|^2 dt = \\frac{1}{2\\pi}\\int_{-\\infty}^{\\infty} |F(\\omega)|^2 d\\omega$.
Résultat: La transformée de Fourier de $f(t) = e^{-|t|}$ est $F(\\omega) = \\frac{2}{1+\\omega^2}$ et l'énergie du signal est $E = 1$ joule.
",
"id_category": "5",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit l'équation de diffusion (équation de la chaleur): $\\frac{\\partial u}{\\partial t} = \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$ avec la condition initiale $u(x, 0) = e^{-x^2}$.
Question 1: Appliquer la transformée de Fourier par rapport à x pour transformer l'équation aux dérivées partielles en une équation différentielle ordinaire en $U(\\omega, t)$.
Question 2: Utiliser les propriétés de la transformée de Fourier, notamment $\\mathcal{F}\\left\\{\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}\\right\\} = -(i\\omega)^2 U(\\omega, t) = -\\omega^2 U(\\omega, t)$, pour établir l'équation ordinaire.
Question 3: Résoudre l'équation différentielle ordinaire obtenue avec la condition initiale $U(\\omega, 0) = \\mathcal{F}\\{e^{-x^2}\\} = \\sqrt{\\pi}e^{-\\omega^2/4}$.
Question 4: Appliquer la transformée de Fourier inverse pour obtenir $u(x, t)$ et vérifier qu'elle satisfait les conditions initiales.
",
"svg": "xu(x,0)u(x,0) = e^(-x²)t = 0.1t = 0.5t = 2.0ωU(ω,t)Évolution temporelleDomaine de Fourier",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Application de la transformée de Fourier par rapport à x.
Étape 2: Définition de la transformée de Fourier $U(\\omega, t) = \\mathcal{F}_x\\{u(x, t)\\} = \\int_{-\\infty}^{\\infty} u(x, t)e^{-i\\omega x} dx$
Étape 3: Application de la transformée à l'équation $\\mathcal{F}_x\\left\\{\\frac{\\partial u}{\\partial t}\\right\\} = \\mathcal{F}_x\\left\\{\\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}\\right\\}$
Étape 3: Détermination de C(ω) avec la condition initiale $U(\\omega, 0) = C(\\omega) = \\mathcal{F}\\{e^{-x^2}\\}$
Étape 4: Calcul de la transformée de Fourier de $e^{-x^2}$ $\\mathcal{F}\\{e^{-x^2}\\} = \\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2}e^{-i\\omega x} dx = \\sqrt{\\pi}e^{-\\omega^2/4}$
Étape 6: Vérification de la condition initiale $u(x, 0) = \\frac{1}{2\\sqrt{1}}e^{-x^2/1} = \\frac{1}{2}e^{-x^2}$
Remarque: Il y a une discordance (facteur 1/2). En réalité, la condition initiale correcte devrait être $u(x, 0) = e^{-x^2}$ qui correspond à $C(\\omega) = \\sqrt{\\pi}e^{-\\omega^2/4}$. Après le calcul correct, on obtient:
Résultat: La solution de l'équation de diffusion est $u(x, t) = \\frac{1}{\\sqrt{1+4t}}e^{-x^2/(1+4t)}$ et elle satisfait $u(x, 0) = e^{-x^2}$. Cette solution montre que le profil gaussien s'élargit avec le temps (diffusion).
",
"id_category": "5",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Transformation de Fourier et Transformation de Laplace ",
"question": "
Soit un circuit RL série avec une tension d'entrée $e(t) = 10\\cos(t)$, une inductance $L = 1$ H et une résistance $R = 2$ Ω. L'équation du circuit est $L\\frac{di}{dt} + Ri = e(t)$ avec la condition initiale $i(0) = 0$.
Question 1: Appliquer la transformée de Laplace à l'équation du circuit en utilisant $\\mathcal{L}\\{\\cos(t)\\} = \\frac{s}{s^2+1}$ et $\\mathcal{L}\\left\\{\\frac{di}{dt}\\right\\} = sI(s) - i(0)$.
Question 2: Établir l'équation algébrique en $I(s)$ et résoudre pour obtenir la transformée de Laplace du courant.
Question 3: Décomposer $I(s)$ en fractions partielles et identifier tous les pôles et résidus.
Question 4: Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir le courant $i(t)$ dans le domaine temporel et analyser son comportement.
",
"svg": "R=2ΩL=1H~e(t)=10cos(t)i(t)ti(t)Circuit RL avec source ACCourant i(t) en fonction du temps",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1:
Application de la transformée de Laplace.
Étape 1: Équation du circuit $L\\frac{di}{dt} + Ri = e(t)$
Étape 3: Isolation de I(s) $I(s) = \\frac{10s}{(s+2)(s^2+1)}$
Solution Question 3:
Décomposition en fractions partielles.
Étape 1: Forme générale $\\frac{10s}{(s+2)(s^2+1)} = \\frac{A}{s+2} + \\frac{Bs+C}{s^2+1}$
Étape 2: Multiplication par le dénominateur $10s = A(s^2+1) + (Bs+C)(s+2)$
Étape 3: Calcul de A (poser s = -2) $10(-2) = A(4+1) \\Rightarrow -20 = 5A \\Rightarrow A = -4$
Étape 4: Développement du côté droit $10s = A(s^2+1) + (Bs+C)(s+2)$ $10s = As^2 + A + Bs^2 + 2Bs + Cs + 2C$ $10s = (A+B)s^2 + (2B+C)s + (A+2C)$
Étape 5: Comparaison des coefficients Coefficient de $s^2$: $0 = A + B \\Rightarrow 0 = -4 + B \\Rightarrow B = 4$ Coefficient de $s$: $10 = 2B + C \\Rightarrow 10 = 8 + C \\Rightarrow C = 2$ Terme constant: $0 = A + 2C \\Rightarrow 0 = -4 + 4 ✓$
Étape 6: Décomposition finale $I(s) = \\frac{-4}{s+2} + \\frac{4s+2}{s^2+1}$
Étape 7: Séparation du deuxième terme $I(s) = \\frac{-4}{s+2} + \\frac{4s}{s^2+1} + \\frac{2}{s^2+1}$
Solution Question 4:
Transformée de Laplace inverse.
Étape 1: Transformée inverse du premier terme $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{-4}{s+2}\\right\\} = -4e^{-2t}$
Étape 2: Transformée inverse du deuxième terme $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{4s}{s^2+1}\\right\\} = 4\\cos(t)$
Étape 3: Transformée inverse du troisième terme $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{2}{s^2+1}\\right\\} = 2\\sin(t)$
Étape 8: Analyse du comportement Le terme $-4e^{-2t}$ est la réponse transitoire qui décroît exponentiellement. Les termes $4\\cos(t) + 2\\sin(t)$ forment la réponse en régime permanent.
Résultat: Le courant dans le circuit est $i(t) = -4e^{-2t} + 4\\cos(t) + 2\\sin(t)$ ampères. Le circuit présente un transitoire exponentiel décroissant suivi d'une réponse sinusoïdale d'amplitude $2\\sqrt{5} \\approx 4.47$ A en régime permanent.