Mathematique pour l'ingenieur Recherche avancée

• raisonnement mathématique (35 Exercices)
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    On étudie l'irrationalité de certains nombres réels. Question 1: Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel, c'est-à-dire $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient $2q^2 = p^2$ . Pour $q = 3$ , calculer $p^2$ et en déduire $p$ . Question 2: Avec la valeur de $p$ trouvée à la question précédente, vérifier que $p$ est pair en écrivant $p = 2k$ . Calculer la valeur de $k$ . Puis calculer $(2k)^2$ et vérifier l'équation $2q^2 = 4k^2$ avec $q = 3$ . Question 3: De l'équation $2q^2 = 4k^2$ , déduire que $q^2 = 2k^2$ . Calculer numériquement $k^2$ avec la valeur de $k$ trouvée...→
  • 2
    On examine diverses propriétés mathématiques et on cherche à les réfuter par des contre-exemples calculés. Question 1: Considérons la proposition: « Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $n^2 + n + 41$ est un nombre premier ». Calculer $n^2 + n + 41$ pour $n = 1, 2, 3$ et vérifier si ces nombres sont premiers. Question 2: Calculer $n^2 + n + 41$ pour $n = 40$ et $n = 41$ . Factoriser ces résultats pour trouver un contre-exemple à la proposition. Question 3: On propose que « Si $a^2 = b^2$ alors $a = b$ ». Prendre $a = 5$ et $b = -5$ . Calculer $a^2$ et $b^2$ et montrer que c'est un contre-exemple. Question 4: Considérons la proposition: « Pour tous réels $x$ et $y$ ,...→
  • 3
    Exercice 1 : Étude d'une suite par raisonnement direct On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \frac{3u_n + 4}{u_n + 2}$ . Question 1 : Calculer les valeurs de $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ . Arrondir à $10^{-3}$ près si nécessaire. Question 2 : On pose $v_n = u_n - 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Montrer par raisonnement direct que $v_{n+1} = \frac{v_n}{u_n + 2}$ , puis calculer $v_0$ , $v_1$ et $v_2$ . Question 3 : En utilisant le fait que $u_n > 0$ pour tout $n$ , démontrer par raisonnement direct que $|v_{n+1}| \leq \frac{|v_n|}{2}$ . En déduire la valeur numérique de $|v_3|$ en utilisant cette majoration. Question...→
  • 4
    Exercice 2 : Divisibilité et congruences Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse à la proposition : « Si $n^2$ est divisible par 3, alors $n$ est divisible par 3 ». Question 1 : Calculer les valeurs de $n^2 \mod 3$ pour $n = 7$ , $n = 12$ et $n = 18$ . Pour chaque cas, déterminer si $n^2$ est divisible par 3. Question 2 : Par contraposition, on considère : « Si $n$ n'est pas divisible par 3, alors $n^2$ n'est pas divisible par 3 ». Sachant que tout entier non divisible par 3 s'écrit $n = 3k + r$ avec $r \in \{1, 2\}$ , calculer $n^2 \mod 3$ pour $n = 3k + 1$ et $n = 3k + 2$ avec $k = 5$ ....→
  • 5
    Exercice 3 : Irrationalité et équations On souhaite démontrer que $\sqrt{5}$ est irrationnel en raisonnant par l'absurde. Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient $5q^2 = p^2$ . Calculer $p^2$ pour $q = 3$ , puis déterminer si $p$ peut être un entier. Question 2 : Si $p^2 = 5q^2$ , alors $p^2$ est divisible par 5. Montrer que $p$ doit être divisible par 5 en posant $p = 5m$ . Calculer $p^2$ pour $m = 2$ et vérifier la relation avec $q$ . Question 3 : En substituant $p = 5m$ dans $5q^2 = p^2$ , on obtient $5q^2 = 25m^2$ ,...→
  • 6
    Exercice 4 : Réfutation de propositions On considère plusieurs propositions mathématiques. Pour les réfuter, il suffit de trouver un contre-exemple. Question 1 : Proposition P1 : « Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a $n^2 + n + 41$ est un nombre premier ». Calculer les valeurs de $n^2 + n + 41$ pour $n = 1$ , $n = 5$ et $n = 40$ . Pour chaque valeur, déterminer si le résultat est premier. Question 2 : Proposition P2 : « Pour tous réels $x$ et $y$ , si $x^2 = y^2$ alors $x = y$ ». Calculer $x^2$ et $y^2$ pour $x = 7$ et $y = -7$ , puis vérifier si la conclusion $x = y$ est vraie. Question 3 : Proposition...→
  • 7
    Exercice 5 : Démonstration par récurrence avec calculs On considère la formule $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ . Question 1 : Initialisation : Vérifier la formule pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ en calculant explicitement $S_n$ par sommation directe et par la formule proposée. Question 2 : Hérédité : On suppose que la formule est vraie au rang $n$ . Calculer $S_{n+1}$ en utilisant $S_{n+1} = S_n + (n+1)^2$ pour $n = 4$ (en utilisant le résultat de $S_4$ obtenu par la formule). Question 3 : Montrer que $S_{n+1} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$ peut s'écrire sous la forme $\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ . Effectuer les calculs algébriques détaillés avec $n = 4$ pour vérifier numériquement. Question...→
  • 8
    Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = 3u_n - 4$ . Question 1: Calculer les trois premiers termes $u_1$ , $u_2$ , et $u_3$ de cette suite. Question 2: On conjecture que $u_n = 2 \cdot 3^n - 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Vérifier cette formule en calculant directement $u_4$ par la relation de récurrence et en utilisant la formule conjecturée. Question 3: En utilisant la formule $u_n = 2 \cdot 3^n - 2$ , calculer $u_{10}$ et déterminer le plus petit entier $n_0$ tel que $u_{n_0} > 10000$ . Question 4: Calculer la somme $S_5 = \sum_{k=0}^{5} u_k$ en utilisant la formule explicite trouvée.→
  • 9
    On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*$ . On souhaite démontrer par contraposition que si $a^2 + b^2$ est pair, alors $a$ et $b$ ont la même parité. Question 1: Calculer $a^2 + b^2$ pour les couples $(a, b) = (3, 4)$ , $(5, 7)$ , $(2, 6)$ et $(4, 9)$ . Déterminer la parité de chaque résultat et la parité de $a$ et $b$ dans chaque cas. Question 2: Par contraposition, on doit montrer que si $a$ et $b$ sont de parités différentes, alors $a^2 + b^2$ est impair. Considérons $a = 2m + 1$ (impair) et $b = 2n$ (pair). Calculer $a^2$ , $b^2$ et $a^2 + b^2$ en fonction de $m$ et $n$ . Question...→
  • 10
    On souhaite démontrer par l'absurde que $\sqrt{3}$ est irrationnel. Supposons par l'absurde que $\sqrt{3}$ est rationnel, c'est-à-dire $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers premiers entre eux avec $q \neq 0$ . Question 1: En élevant au carré l'égalité $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ , montrer que $p^2 = 3q^2$ . Calculer $p^2$ et $3q^2$ pour $p = 6$ et $q = 2$ , puis vérifier si cette égalité est satisfaite. Question 2: De $p^2 = 3q^2$ , on déduit que $3$ divise $p^2$ . On peut donc écrire $p = 3k$ pour un certain entier $k$ . Calculer $p^2$ en fonction de $k$ , puis en déduire une expression de $q^2$ en fonction de...→
  • 11
    On considère la proposition suivante: "Pour toute fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable, si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$ , alors $f$ est strictement croissante sur $[a, b]$ ." Nous allons réfuter cette proposition par un contre-exemple. Question 1: Soit $f(x) = x^3$ sur l'intervalle $[-2, 2]$ . Calculer $f'(x)$ , puis évaluer $f'(0)$ , $f'(-1)$ , et $f'(1)$ . Question 2: Calculer les valeurs $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ , et $f(2)$ . Vérifier que $f$ est strictement croissante en comparant ces valeurs. Question 3: Considérons maintenant $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ sur $[0, 3]$ . Calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x) = 3(x-1)^2$ . Évaluer $g'(0)$ , $g'(1)$ , $g'(2)$ ,...→
  • 12
    Exercice 1 : Raisonnement direct et propriétés arithmétiques Soit $n$ un entier naturel quelconque. On considère l'expression $A(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$ . Question 1 : En utilisant un raisonnement direct, démontrez que $A(n)$ est divisible par $6$ pour tout entier naturel $n$ . Pour cela, factorisez complètement $A(n)$ et analysez la divisibilité de chaque facteur. Question 2 : Calculez $A(5)$ et vérifiez directement que le résultat est bien divisible par $6$ . Décomposez le résultat en produit de facteurs premiers. Question 3 : Soit $B(n) = A(n+1) - A(n)$ . Calculez et simplifiez l'expression de $B(n)$ en développant les termes. Question 4 : En utilisant le résultat...→
  • 13
    Exercice 2 : Raisonnement par contraposition et inégalités Considérons la proposition suivante : "Pour tous réels $x$ et $y$ , si $x^2 + y^2 Question 1 : Énoncez la contraposée de cette proposition. Démontrez ensuite cette contraposée en considérant le cas où $ |x| \geq 2 $. Calculez la valeur minimale de $ x^2 $ dans ce cas. Question 2 : Vérifiez numériquement la contraposée en prenant $ x = 2.5 $ et $ y = 0.5 $. Calculez $ x^2 + y^2 $ et comparez avec $ 2 $. Question 3 : Soit maintenant la proposition : "Si $ xy > 4 $ et $ x > 0 $, alors $ y > \frac{4}{x} $". Calculez la contraposée et vérifiez-la numériquement avec $ x = 3 $ et $ y = 1 $. Question 4 : En reprenant les résultats précédents, calculez pour quelles valeurs de $ x $ (avec $ x > 0 $) on a $ x \cdot \frac{4}{x} = 4 $, et déterminez si le point $ (x, \frac{4}{x}) $ avec $ x = 2 $ satisfait $ xy > 4 $.→
  • 14
    Exercice 3 : Raisonnement par l'absurde et irrationalité On souhaite démontrer par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel. Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{5}$ est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux tels que $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ . En élevant au carré cette égalité, montrez que $5q^2 = p^2$ . Calculez cette relation pour $q = 3$ et $p = 6$ pour illustrer numériquement. Question 2 : De l'égalité $5q^2 = p^2$ , déduisez que $p^2$ est divisible par $5$ . En utilisant le lemme "si $5 \mid p^2$ alors $5 \mid p$ ", posons $p = 5k$ . Calculez $p^2$ en fonction de $k$ et montrez que $5q^2 = 25k^2$ ....→
  • 15
    Exercice 4 : Raisonnement par récurrence et sommes On considère la somme $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1)$ . Question 1 : Calculez $S_1$ , $S_2$ , et $S_3$ directement en développant les termes. Vérifiez que ces valeurs satisfont la formule proposée $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ . Question 2 : Initialisation : Démontrez que la formule $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ est vraie pour $n = 1$ en calculant les deux membres de l'égalité. Question 3 : Hérédité : Supposons que la formule est vraie au rang $n$ , c'est-à-dire $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ . Calculez $S_{n+1}$ en utilisant la relation $S_{n+1} = S_n + (n+1)(n+2)$ . Développez et simplifiez pour montrer que $S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$ . Question 4 : Appliquez la formule...→
  • 16
    Exercice 5 : Raisonnement combiné - Direct, contraposition et récurrence Soit la suite définie par $u_0 = 2$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour tout $n \geq 0$ . Question 1 : Calculez les cinq premiers termes de la suite : $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , et $u_4$ . Observez le comportement de la suite. Question 2 : On conjecture que $u_n = 5 \cdot 2^n - 3$ pour tout $n \geq 0$ . Vérifiez cette formule pour $n = 0, 1, 2$ en calculant les deux membres de l'égalité. Question 3 : Démontrez par récurrence que $u_n = 5 \cdot 2^n - 3$ pour tout $n \geq 0$ . Effectuez l'initialisation pour $n = 0$ , puis montrez l'hérédité en calculant...→
  • 17
    Exercice 1 : Propriétés de divisibilité par raisonnement direct Soit $n$ un entier naturel. On considère l'expression $E(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$ . Question 1 : Calculez $E(5)$ et vérifiez que le résultat est divisible par 6. Question 2 : Factorisez complètement l'expression $E(n)$ et démontrez par raisonnement direct que $E(n)$ est divisible par 6 pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Question 3 : Soit $F(n) = 2n^3 + 6n^2 + 4n$ . Calculez $F(7)$ et déterminez le reste de la division de $F(7)$ par 12. Question 4 : En utilisant la factorisation de $E(n)$ obtenue à la question 2, démontrez que $F(n) = 2E(n)$ est divisible par 12 pour tout $n \in \mathbb{N}$ .→
  • 18
    Exercice 2 : Démonstrations par contraposition On considère des propositions concernant les entiers naturels. Question 1 : Soit $n = 143$ . Calculez $n^2$ et déterminez si $n^2$ est pair ou impair. Question 2 : Démontrez par contraposition que : « Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ». Pour cela, montrez que si $n$ est impair (soit $n = 2k+1$ avec $k \in \mathbb{N}$ ), alors $n^2$ est impair. Calculez $(2k+1)^2$ et développez complètement. Question 3 : Soit $a = 17$ et $b = 23$ . Calculez $ab$ et vérifiez si $ab$ est divisible par 4. Question 4 : Démontrez par contraposition que : « Si $ab$ est...→
  • 19
    Exercice 3 : Irrationalité et raisonnement par l'absurde On souhaite démontrer que certains nombres sont irrationnels. Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est rationnel. Alors il existe deux entiers premiers entre eux $p$ et $q$ (avec $q \neq 0$ ) tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ . Calculez $2q^2$ pour $q = 5$ et exprimez $p^2$ en fonction de $q$ à partir de l'équation $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ . Question 2 : En élevant au carré l'équation $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ , montrez que $p^2 = 2q^2$ . Déduisez-en que $p^2$ est pair. En utilisant le résultat de l'exercice 2 (si $p^2$ est pair alors $p$ est pair), écrivez $p = 2k$ pour un certain...→
  • 20
    Exercice 4 : Réfutation de propositions par contre-exemple On considère plusieurs propositions qu'il faut infirmer en trouvant des contre-exemples. Question 1 : Proposition P1 : « Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , si $n$ est premier, alors $n$ est impair ». Testez cette proposition pour $n = 2$ . Calculez le reste de la division de $2$ par $2$ et déterminez si $2$ est premier. Question 2 : Proposition P2 : « Pour tous $a, b \in \mathbb{N}^*$ , si $a^2 + b^2$ est premier, alors $a = 1$ ou $b = 1$ ». Testez cette proposition avec $a = 2$ et $b = 3$ . Calculez $a^2 + b^2$ et déterminez si ce nombre est premier en testant...→
  • 21
    Exercice 5 : Démonstrations par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la formule de la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls. Question 1 : Soit $S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \sum_{k=1}^{n} k$ . On conjecture que $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ . Vérifiez l'initialisation pour $n = 1$ et $n = 5$ . Calculez $S_1$ et $\frac{1(1+1)}{2}$ , puis $S_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$ et $\frac{5(5+1)}{2}$ . Question 2 : Hypothèse de récurrence : supposons que pour un certain $n = k$ (avec $k \geq 1$ ), la formule est vraie, c'est-à-dire $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$ . Calculez $S_{k+1}$ en fonction de $S_k$ (écrivez $S_{k+1} = S_k + (k+1)$ ), puis remplacez $S_k$ par $\frac{k(k+1)}{2}$ . Question 3 : À partir de l'expression $S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$ , mettez $(k+1)$...→
  • 22
    Exercice 1 : Propriétés des suites arithmétiques et géométriques Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 5$ . On considère également une suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$ . Question 1 : Calculer le terme général $u_n$ de la suite arithmétique, puis déterminer la valeur de $u_{10}$ . Question 2 : Calculer le terme général $v_n$ de la suite géométrique, puis déterminer la valeur de $v_7$ . Question 3 : Calculer la somme $S_{15} = \sum_{k=0}^{14} u_k$ des 15 premiers termes de la suite arithmétique. Question 4 : Calculer la somme $T_6 = \sum_{k=0}^{5} v_k$ des...→
  • 23
    Exercice 2 : Applications de la contraposition en analyse On considère une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5$ . Pour démontrer certaines propriétés par contraposition, nous allons étudier cette fonction et ses dérivées. Question 1 : Calculer la dérivée première $f'(x)$ de la fonction $f(x)$ , puis déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ , puis évaluer $f''(0)$ et $f''(2)$ pour étudier la concavité aux points critiques. Question 3 : Calculer les valeurs de la fonction aux points critiques : $f(0)$ et $f(2)$ . Question 4 : En utilisant le résultat...→
  • 24
    Exercice 3 : Analyse des limites et continuité Soit la fonction $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ . Pour étudier le comportement de cette fonction, nous allons effectuer plusieurs calculs. Question 1 : Simplifier l'expression de $g(x)$ en factorisant le numérateur, puis calculer la limite $\lim_{x \to 2} g(x)$ . Question 2 : Soit $h(x) = \frac{3x^2 + 5x - 2}{x + 2}$ . Calculer $h(-2)$ si elle est définie, sinon calculer $\lim_{x \to -2} h(x)$ en factorisant le numérateur. Question 3 : Calculer la dérivée de la forme simplifiée de $g(x)$ obtenue à la question 1, notée $g'(x)$ , puis évaluer $g'(3)$ . Question 4 : Calculer l'intégrale définie $I = \int_0^1 (x + 2) dx$ où $x + 2$ est la forme simplifiée...→
  • 25
    Exercice 4 : Vérification de propriétés par le calcul On souhaite vérifier si certaines propriétés sont vraies ou fausses en calculant des exemples spécifiques. Considérons les nombres $a = 7$ , $b = 3$ , $c = 5$ , et $d = 2$ . Question 1 : Calculer $(a + b)^2$ et $a^2 + b^2$ , puis déterminer leur différence $\Delta_1 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ . Question 2 : Calculer $\sqrt{a^2 + b^2}$ et $a + b$ , puis déterminer leur différence $\Delta_2 = (a + b) - \sqrt{a^2 + b^2}$ . Question 3 : Calculer $\frac{a + c}{b + d}$ et $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ , puis déterminer leur différence $\Delta_3 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d}$ . Question 4 : Calculer $(a - b)(c - d)$ et $ac - bd$ , puis déterminer leur différence $\Delta_4 = (a - b)(c - d) - (ac - bd)$ .→
  • 26
    Exercice 5 : Sommes et produits par récurrence On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on a $S_n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Pour cela, nous allons vérifier plusieurs étapes calculatoires. Question 1 : Vérifier l'initialisation pour $n = 1$ : calculer $S_1$ directement et vérifier que $S_1 = \frac{1(1+1)}{2}$ . Question 2 : Supposons la propriété vraie au rang $n = 5$ . Calculer $S_5 = \sum_{k=1}^{5} k$ en utilisant la formule, puis vérifier en calculant directement $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ . Question 3 : En supposant que $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ pour $n = 5$ , calculer $S_6 = S_5 + 6$ en utilisant cette hypothèse, puis vérifier que le résultat correspond à $\frac{6(6+1)}{2}$ . Question 4 :...→
  • 27
    Exercice 1 : Raisonnement direct sur les suites arithmétiques On considère une suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$ . On s'intéresse aux propriétés de cette suite et à la somme de ses termes. Question 1 : En utilisant un raisonnement direct, calculer explicitement le terme général $u_n$ de la suite, puis déterminer la valeur de $u_{15}$ . Question 2 : En déduire directement la somme $S_{15} = \sum_{k=0}^{15} u_k$ des 16 premiers termes de la suite. Question 3 : Calculer la différence $D = u_{20} - u_{10}$ et montrer directement que cette différence ne dépend que de la raison $r$ et du nombre...→
  • 28
    Exercice 2 : Raisonnement par contraposition sur la divisibilité On considère un entier naturel $n \geq 2$ et on étudie des propriétés de divisibilité par contraposition. Question 1 : En utilisant la contraposition, démontrer que si $n^2$ est divisible par 3, alors $n$ est divisible par 3. Appliquer ce résultat pour déterminer si $n = 126$ vérifie cette propriété en calculant $n^2$ modulo 3. Question 2 : Pour $n = 7$ , calculer $n^3 - n$ et montrer que le résultat est divisible par 6 en effectuant la division euclidienne. Question 3 : En utilisant la contraposition de l'implication « Si $n$ est pair, alors $n^2$ est divisible...→
  • 29
    Exercice 3 : Raisonnement par l'absurde sur les nombres irrationnels On étudie des propriétés de nombres en utilisant le raisonnement par l'absurde. Considérons $\alpha = \sqrt{2}$ . Question 1 : Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ où $p = 4$ et $q = 3$ sont premiers entre eux. Calculer $\left(\frac{p}{q}\right)^2$ et vérifier si cette égalité $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2$ est satisfaite. Question 2 : Soit $x = 3 + 2\sqrt{2}$ . Calculer $x^2$ en développant l'expression complètement. Question 3 : En utilisant le résultat précédent, calculer $y = x^2 - 6x$ pour $x = 3 + 2\sqrt{2}$ et simplifier l'expression. Question 4 : Pour vérifier numériquement nos calculs, en utilisant l'approximation $\sqrt{2} \approx 1.414$ ,...→
  • 30
    Exercice 4 : Raisonnement par contre-exemple sur les inégalités On étudie plusieurs propositions mathématiques et on utilise des contre-exemples pour infirmer certaines affirmations. Question 1 : Considérons la proposition : « Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $n^2 + n + 1$ est un nombre premier ». Calculer $n^2 + n + 1$ pour $n = 5$ et déterminer si ce nombre est premier en testant sa divisibilité. Question 2 : Soit la proposition : « Pour tous réels $a$ et $b$ , si $a^2 = b^2$ alors $a = b$ ». Prendre $a = 5$ et $b = -5$ , calculer $a^2$ et $b^2$ , puis vérifier si l'implication est vraie. Question 3 : Considérons la proposition...→
  • 31
    Exercice 5 : Raisonnement par récurrence sur les sommes et produits On utilise le principe de récurrence pour démontrer des formules et effectuer des calculs. Question 1 : On veut démontrer par récurrence que $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Vérifier l'initialisation pour $n = 1$ en calculant les deux membres de l'égalité. Question 2 : Pour l'hérédité, supposons que la formule est vraie au rang $n = 5$ , c'est-à-dire $\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5 \times 6}{2}$ . Calculer cette somme, puis vérifier qu'au rang $n = 6$ , on a bien $\sum_{k=1}^{6} k = \frac{6 \times 7}{2}$ en utilisant $\sum_{k=1}^{6} k = \sum_{k=1}^{5} k + 6$ . Question 3 : On considère maintenant $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Calculer $\sum_{k=1}^{4} k^2$ directement (en calculant $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ ), puis vérifier avec...→
  • 32
    Exercice 1 : Propriétés de divisibilité et parité (Raisonnement direct) On considère deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n = 2k + 1$ et $m = 2p + 1$ où $k, p \in \mathbb{N}$ . Question 1 : Calculer $n^2$ en fonction de $k$ et démontrer par raisonnement direct que $n^2$ est impair. Déterminer la valeur numérique pour $k = 3$ . Question 2 : Calculer le produit $n \times m$ en fonction de $k$ et $p$ . Démontrer que ce produit est impair. Calculer numériquement pour $k = 3$ et $p = 5$ . Question 3 : Calculer $n^2 + m^2$ en fonction de $k$ et $p$ . Démontrer que cette somme est paire. Évaluer pour $k = 3$ et...→
  • 33
    Exercice 2 : Propriétés des fonctions et contraposée (Raisonnement par contraposition) Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction définie par $f(x) = 3x + 5$ . On souhaite démontrer par contraposition que : "Si $f(a) \neq f(b)$ , alors $a \neq b$ ". Question 1 : Énoncer la contraposée de la proposition initiale. Calculer $f(a) - f(b)$ lorsque $a = b$ . Question 2 : En utilisant la contraposée, calculer $f(4) - f(4)$ et interpréter le résultat pour la démonstration. Question 3 : Soit maintenant $g(x) = x^2 - 2x + 3$ . Calculer $g(2)$ et $g(-1)$ . Déterminer si la contraposée s'applique ici. Question 4 : Pour la fonction $h(x) = 2x^3 + x$ , calculer $h(2) - h(1)$ puis $h(1) - h(2)$ . Vérifier que si $h(a) \neq h(b)$ , alors...→
  • 34
    Exercice 3 : Irrationalité et raisonnement par l'absurde On souhaite démontrer par l'absurde que $\sqrt{5}$ est irrationnel. On suppose par l'absurde que $\sqrt{5}$ est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux ( $\gcd(p, q) = 1$ ) tels que $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ . Question 1 : Élever l'égalité $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ au carré et exprimer $p^2$ en fonction de $q^2$ . Calculer numériquement pour $q = 2$ la valeur de $p^2$ . Question 2 : À partir de $p^2 = 5q^2$ , déduire que $p^2$ est divisible par $5$ . Calculer $p^2 \mod 5$ pour vérifier. Si $p^2$ est divisible par $5$ , montrer que $p$ est aussi...→
  • 35
    Exercice 4 : Réfutation de propositions par contre-exemples On considère les propositions suivantes que l'on souhaite réfuter par des contre-exemples calculés. Proposition A : "Pour tous entiers $n \geq 1$ , le nombre $n^2 + n + 41$ est premier." Proposition B : "Pour tous réels $x$ et $y$ , si $x^2 = y^2$ , alors $x = y$ ." Question 1 : Calculer $f(n) = n^2 + n + 41$ pour $n = 1, 2, 3$ . Vérifier si ces valeurs sont premières. Puis calculer $f(40)$ et $f(41)$ et déterminer si ces nombres sont premiers en calculant leur factorisation. Question 2 : Pour la Proposition B, calculer $x^2$ et $y^2$ pour $x = 3$ et $y = -3$ . Vérifier si $x^2 = y^2$ et...→
• Intégrales simples et multiples (40 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Calcul de la masse d'une plaque avec densité variable On considère une plaque rectangulaire $D = [0, 3] \times [0, 2]$ avec une densité surfacique définie par $\rho(x,y) = 2x + 3y$ (en kg/m²). Question 1 : Calculer l'intégrale double $I_1 = \iint_D \rho(x,y) \, dA$ où $dA = dx \, dy$ en intégrant d'abord par rapport à $y$ , puis par rapport à $x$ . Question 2 : Décomposer l'intégrale double en deux termes séparés : $I_1 = \iint_D 2x \, dA + \iint_D 3y \, dA$ . Calculer chaque terme indépendamment. Question 3 : On souhaite maintenant calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe des x. Calculer $I_x = \iint_D y^2 \rho(x,y) \, dA$ . Question 4 : Calculer le centroïde (centre de masse) de la plaque en utilisant...→
  • 2
    Exercice 2 : Volume et centre de masse d'un solide homogène On considère un solide homogène de densité constante $\rho = 1$ occupant le domaine $D = [0, 2] \times [0, 3] \times [0, 1]$ . Question 1 : Calculer le volume du solide en utilisant l'intégrale triple $V = \iiint_D 1 \, dV$ où $dV = dx \, dy \, dz$ . Question 2 : Calculer le moment statique par rapport au plan $xy$ (i.e., $z=0$ ) : $M_{xy} = \iiint_D z \, dV$ . Question 3 : En déduire la coordonnée $\bar{z}$ du centre de masse du solide, définie par $\bar{z} = \frac{M_{xy}}{V}$ . Question 4 : Calculer le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe des z : $I_z = \iiint_D (x^2 + y^2) \, dV$ .→
  • 3
    Exercice 3 : Aire et moment d'inertie d'un disque On considère un disque $D$ de rayon $R = 2$ centré à l'origine avec une densité surfacique $\rho(r, \theta) = r$ (en coordonnées polaires). Question 1 : Exprimer l'élément d'aire $dA$ en coordonnées polaires et calculer la masse totale du disque : $M = \iint_D r \, dA$ . Question 2 : Calculer le moment statique $M_x = \iint_D r \sin(\theta) \, dA$ (moment par rapport à l'axe des x). Question 3 : Calculer le moment d'inertie du disque par rapport à l'origine (moment polaire) : $I_O = \iint_D r^3 \, dA$ . Question 4 : Calculer maintenant $I_0' = \iint_D r^2 (1 + \sin^2(\theta)) \, dA$ et en donner l'interprétation physique.→
  • 4
    Exercice 4 : Volume et centre de masse d'un cylindre On considère un cylindre $D$ de rayon $a = 2$ , de hauteur $h = 3$ et de densité surfacique latérale (par hauteur) $\rho(r, \theta, z) = r + z$ . Question 1 : Exprimer l'élément de volume $dV$ en coordonnées cylindriques et calculer la masse du cylindre : $M = \iiint_D (r + z) \, dV$ . Question 2 : Calculer le moment statique par rapport au plan de base $z = 0$ : $M_z = \iiint_D z(r + z) \, dV$ . Question 3 : En déduire l'ordonnée du centre de masse $\bar{z} = \frac{M_z}{M}$ . Question 4 : Calculer le moment d'inertie du cylindre par rapport à son axe (axe des z) : $I_z = \iiint_D r^2(r + z) \, dV$ ....→
  • 5
    Exercice 5 : Volume et moment d'inertie d'une boule On considère une boule (sphère pleine) $D$ de rayon $R = 2$ avec une densité volumique $\rho(\rho_s, \theta, \phi) = \rho_s^2$ (où $\rho_s$ est la coordonnée radiale sphérique). Question 1 : En utilisant les coordonnées sphériques où $dV = \rho_s^2 \sin(\phi) \, d\rho_s \, d\theta \, d\phi$ , calculer la masse de la boule : $M = \iiint_D \rho_s^2 \, dV$ . Question 2 : Calculer le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe des z : $I_z = \iiint_D \rho_s^2 \sin^2(\phi) \cdot \rho_s^2 \, dV$ . Question 3 : On souhaite calculer $M_z = \iiint_D \rho_s^3 \cos(\phi) \sin(\phi) \, d\rho_s \, d\theta \, d\phi$ (moment associé à la composante z). Question 4 : Calculer le volume de la boule $V = \iiint_D 1 \, dV$ en utilisant les coordonnées sphériques.→
  • 6
    Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ définie sur l'intervalle $[0, 5]$ . On souhaite étudier cette fonction et calculer son intégrale de Riemann. Question 1: Déterminer les primitives (antidérivées) de $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et vérifier le résultat en dérivant. Question 2: Calculer l'intégrale définie $\int_0^5 (x^2 - 4x + 3) \, dx$ en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral. Question 3: Interpréter géométriquement ce résultat en identifiant les régions où la fonction est positive et négative sur $[0, 5]$ . Question 4: Calculer l'aire algébrique (compte tenu des signes) et l'aire géométrique totale (valeur absolue) entre la courbe et l'axe des abscisses.→
  • 7
    Soit la région $D$ du plan délimitée par les courbes $y = x$ et $y = x^2$ dans le premier quadrant pour $0 \leq x \leq 1$ . On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double. Question 1: Identifier les limites d'intégration en déterminant les points d'intersection des courbes $y = x$ et $y = x^2$ . Question 2: Mettre en place l'intégrale double $\iint_D 1 \, dA$ (ou $\iint_D dydx$ ) pour calculer l'aire de la région $D$ . Question 3: Calculer d'abord l'intégrale interne $\int_{x^2}^{x} 1 \, dy$ en fonction de $x$ . Question 4: Calculer l'intégrale externe $\int_0^1 (x - x^2) \, dx$ pour obtenir l'aire totale de la région $D$ .→
  • 8
    Soit le solide $V$ défini par les inégalités $0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 3$ , et $0 \leq z \leq 1 + x + y$ (un prisme de base rectangulaire avec sommet incliné). On souhaite calculer le volume de ce solide. Question 1: Identifier les limites d'intégration pour les trois variables $x$ , $y$ , et $z$ . Question 2: Mettre en place l'intégrale triple $\iiint_V 1 \, dV$ pour calculer le volume du solide. Question 3: Calculer l'intégrale la plus interne $\int_0^{1+x+y} 1 \, dz$ pour obtenir une expression en fonction de $x$ et $y$ . Question 4: Calculer les intégrales successives en $y$ puis en $x$ pour obtenir le volume total du solide.→
  • 9
    Soit le domaine $D$ défini en coordonnées polaires par $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ et $0 \leq r \leq 2$ (un quart de disque de rayon 2). On souhaite calculer l'aire de ce domaine et le volume du solide généré par la rotation d'une surface au-dessus. Question 1: Écrire la transformation de coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires et identifier le jacobien. Question 2: Mettre en place l'intégrale double $\iint_D r \, dr \, d\theta$ pour calculer l'aire du domaine $D$ en coordonnées polaires. Question 3: Calculer d'abord l'intégrale interne $\int_0^2 r \, dr$ en fonction de $\theta$ . Question 4: Calculer l'intégrale externe $\int_0^{\pi/2} \left(\int_0^2 r \, dr\right) d\theta$ pour obtenir l'aire totale du domaine $D$ .→
  • 10
    Soit le solide $W$ défini par $x^2 + y^2 \leq 4$ et $0 \leq z \leq 3 - \frac{x^2 + y^2}{4}$ (un cylindre avec sommet conique). On souhaite calculer le volume en utilisant des coordonnées cylindriques. Question 1: Identifier la transformation de coordonnées cartésiennes vers cylindriques $(r, \theta, z)$ et déterminer le jacobien. Question 2: Déterminer les limites d'intégration en coordonnées cylindriques pour le solide $W$ . Question 3: Mettre en place l'intégrale triple $\iiint_W r \, dr \, d\theta \, dz$ avec les limites appropriées. Question 4: Calculer le volume en intégrant successivement en $z$ , puis en $r$ , puis en $\theta$ .→
  • 11
    Exercice 1 : Intégrale de Riemann et calcul d'aire sous une courbe On considère la fonction $f(x) = x^2 + 2x$ sur l'intervalle $[0, 3]$ . Question 1 : Calculez l'intégrale de Riemann $\int_0^3 (x^2 + 2x) \, dx$ à l'aide d'une primitive. Question 2 : L'aire sous la courbe $f(x)$ entre $x = 0$ et $x = 3$ correspond-elle à cette intégrale ? Justifiez numériquement en donnant la valeur de l'aire. Question 3 : Utilisez la méthode des rectangles avec $n = 3$ sous-intervalles pour approximer cette aire. Calculez la somme de Riemann gauche. Question 4 : Calculez l'erreur absolue entre l'approximation par rectangles et la valeur exacte de l'intégrale.→
  • 12
    Exercice 2 : Intégrale double et calcul d'aire d'une région plane Soit la région $D$ délimitée par $y = x$ , $y = x^2$ et les droites $x = 0$ , $x = 1$ . Question 1 : Décrivez la région $D$ en déterminant les limites d'intégration pour l'intégrale double. Question 2 : Calculez l'aire de la région $D$ en utilisant l'intégrale double $\iint_D 1 \, dA$ . Question 3 : Calculez maintenant $\iint_D (x + y) \, dA$ pour obtenir le moment d'ordre 1. Question 4 : Déterminez le centre de masse (centroïde) de la région $D$ avec densité uniforme.→
  • 13
    Exercice 3 : Intégrale triple et calcul de volume Soit la région solide $V$ définie par $0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq y \leq 1$ , $0 \leq z \leq 3$ . Question 1 : Écrivez l'intégrale triple pour calculer le volume de $V$ . Question 2 : Calculez le volume en utilisant l'intégrale triple $\iiint_V 1 \, dV$ . Question 3 : Calculez maintenant $\iiint_V (2x + y + z) \, dV$ . Question 4 : En déduire le centre de masse du solide $V$ avec densité uniforme.→
  • 14
    Exercice 4 : Intégrale double en coordonnées polaires Soit $D$ le disque de rayon $R = 2$ centré à l'origine. Question 1 : Écrivez la région $D$ en coordonnées polaires avec $r$ et $\theta$ . Question 2 : Calculez l'aire du disque en utilisant l'intégrale double en coordonnées polaires $\iint_D r \, dr \, d\theta$ . Question 3 : Calculez l'intégrale double $\iint_D r^2 \cos(\theta) \, r \, dr \, d\theta$ (moment d'inertie relatif). Question 4 : Calculez le moment de second ordre $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \iint_D r^2 \, r \, dr \, d\theta$ .→
  • 15
    Exercice 5 : Intégrale double en coordonnées cartésiennes pour un volume sous une surface Soit le domaine $D$ défini par $0 \leq x \leq 2$ et $0 \leq y \leq 3$ , et la surface $z = f(x, y) = 4 - x - y$ . Question 1 : Décrivez le domaine $D$ et l'intervalle de variation de $z$ . Question 2 : Calculez le volume sous la surface $z = 4 - x - y$ au-dessus du domaine $D$ en utilisant l'intégrale double $\iint_D (4 - x - y) \, dA$ . Question 3 : Calculez $\iint_D (4 - x - y)^2 \, dA$ . Question 4 : Calculez le volume du prisme au-dessus du domaine $D$ limité par le plan $z = 2$ (ce qui correspondrait à $\iint_D \max(2, 4 - x - y) - \min(0, 4-x-y) \, dA$ ).→
  • 16
    Exercice 1 : Intégrale double sur un domaine rectangulaire et calcul d'aire On considère la fonction $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ définie sur le domaine $D = [0, 2] \times [0, 3]$ . On souhaite calculer l'intégrale double de cette fonction sur $D$ et en déduire l'aire pondérée. Question 1 : Calculez d'abord l'intégrale simple interne $\int_0^3 (x^2 + 2xy + y^2) \, dy$ en considérant $x$ comme une constante. Question 2 : À partir du résultat de la question 1, calculez l'intégrale double $\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \, dx \, dy = \int_0^2 \left[ \int_0^3 (x^2 + 2xy + y^2) \, dy \right] dx$ . Question 3 : Calculez maintenant l'intégrale double du domaine $D$ lui-même, c'est-à-dire $\iint_D 1 \, dx \, dy$ (qui donne l'aire de $D$ ). Question 4 : En divisant le résultat de la question 2 par...→
  • 17
    Exercice 2 : Intégrale double sur un domaine triangulaire et calcul de volume On considère la fonction $f(x, y) = x + 2y$ définie sur le domaine triangulaire $T$ délimité par les droites $y = 0$ , $x = 0$ et $x + y = 2$ . On souhaite calculer le volume sous la surface $z = f(x, y)$ au-dessus du domaine $T$ . Question 1 : Décrivez le domaine $T$ en déterminant ses bornes d'intégration. Pour un $x$ fixé entre 0 et 2, quelle est la plage de variation de $y$ ? Question 2 : Calculez l'intégrale double $\iint_T (x + 2y) \, dx \, dy$ en intégrant d'abord par rapport à $y$ , puis par rapport à $x$ . Question 3...→
  • 18
    Exercice 3 : Intégrale triple et calcul de volume d'un parallélépipède On considère le domaine solide $W$ défini par $W = \{(x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 2, \, 0 \leq z \leq 3\}$ . On souhaite calculer le volume de ce solide et l'intégrale triple d'une fonction de densité. Question 1 : Calculez le volume du domaine $W$ en évaluant $\iiint_W 1 \, dx \, dy \, dz$ . Question 2 : Soit $\rho(x, y, z) = x + y + z$ la fonction de densité du solide. Calculez la masse totale du solide en évaluant $\iiint_W (x + y + z) \, dx \, dy \, dz$ . Question 3 : Calculez le centre de masse du solide en trouvant la coordonnée $\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_W x \rho(x, y, z) \, dx \, dy \, dz$ , où $M$ est la masse trouvée à la question 2. Question 4 : Déduisez-en...→
  • 19
    Exercice 4 : Intégrale double en coordonnées polaires et calcul d'aire circulaire On considère la région circulaire $D$ définie en coordonnées cartésiennes par $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 4\}$ (disque de rayon 2 centré à l'origine). On souhaite calculer l'intégrale double en utilisant les coordonnées polaires. Question 1 : Exprimez le domaine $D$ en coordonnées polaires $(r, \theta)$ où $x = r \cos(\theta)$ et $y = r \sin(\theta)$ . Question 2 : Soit $f(x, y) = x^2 + y^2$ . Exprimez cette fonction en coordonnées polaires et calculez l'intégrale double $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ en utilisant le changement de variables (n'oubliez pas le jacobien $r$ ). Question 3 : Calculez l'aire du domaine $D$ en évaluant $\iint_D 1 \, dx \, dy$ en coordonnées polaires....→
  • 20
    Exercice 5 : Intégrale triple en coordonnées cylindriques et calcul de volume On considère le domaine solide $V$ défini en coordonnées cartésiennes par $V = \{(x, y, z) : x^2 + y^2 \leq 1, \, 0 \leq z \leq 2\}$ (cylindre de rayon 1 et hauteur 2). On souhaite calculer l'intégrale triple en utilisant les coordonnées cylindriques. Question 1 : Exprimez le domaine $V$ en coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ où $x = r \cos(\theta)$ , $y = r \sin(\theta)$ , et $z = z$ . Question 2 : Calculez le volume du cylindre en évaluant $\iiint_V 1 \, dx \, dy \, dz$ en coordonnées cylindriques (le jacobien est $r$ ). Question 3 : Soit $\rho(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2} + z$ la densité du solide. Exprimez cette densité en coordonnées cylindriques et calculez l'intégrale triple $\iiint_V \rho(x, y, z) \, dx \, dy \, dz$ ....→
  • 21
    Exercice 1 : Intégration par la méthode de Riemann et primitives On considère la fonction $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ définie sur l'intervalle $[0, 2]$ . On souhaite calculer l'intégrale de Riemann en utilisant des subdivisions régulières et vérifier le résultat par le calcul de primitives. Question 1 : Calculer la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ , puis déterminer les valeurs $F(0)$ et $F(2)$ . Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^2 (2x^2 + 3x + 1) dx$ en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral et la primitive trouvée à la question 1. Question 3 : Approcher l'intégrale en divisant l'intervalle $[0, 2]$ en 4 sous-intervalles égaux et en utilisant...→
  • 22
    Exercice 2 : Intégrale double et calcul d'aire d'une région On considère la région $D$ définie par les contraintes $0 \leq x \leq 2$ et $0 \leq y \leq x^2$ . On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double. Question 1 : Écrire l'intégrale double $\iint_D 1 \, dA$ pour le calcul de l'aire, en spécifiant les limites d'intégration en $x$ et $y$ . Question 2 : Calculer l'intégrale interne $\int_0^{x^2} 1 \, dy$ en fonction de $x$ . Question 3 : Calculer l'intégrale externe $\int_0^2 x^2 \, dx$ pour obtenir l'aire totale de la région $D$ . Question 4 : Vérifier le résultat en calculant l'intégrale de la fonction constante $f(x,y) = x + y$ sur...→
  • 23
    Exercice 3 : Intégrale triple et calcul de volume d'un solide On considère le solide $S$ défini par les contraintes $0 \leq x \leq 1$ , $0 \leq y \leq 2$ , et $0 \leq z \leq xy$ . On souhaite calculer le volume de ce solide. Question 1 : Écrire l'intégrale triple $\iiint_S 1 \, dV$ pour le calcul du volume, en spécifiant l'ordre d'intégration et les limites. Question 2 : Calculer l'intégrale interne $\int_0^{xy} 1 \, dz$ en fonction de $x$ et $y$ . Question 3 : Calculer l'intégrale du second niveau $\int_0^2 xy \, dy$ en fonction de $x$ . Question 4 : Calculer l'intégrale externe $\int_0^1 2x^2 \, dx$ pour obtenir le volume total du solide $S$ .→
  • 24
    Exercice 4 : Intégrale double en coordonnées polaires et calcul d'aire On considère la région circulaire $D$ définie par $x^2 + y^2 \leq 4$ (disque de rayon 2). On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double en coordonnées polaires. Question 1 : Convertir les contraintes cartésiennes en coordonnées polaires en utilisant les substitutions $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$ , et déterminer les limites d'intégration pour $r$ et $\theta$ . Question 2 : Écrire l'intégrale double $\iint_D 1 \, dA$ en coordonnées polaires avec le jacobien $dA = r \, dr \, d\theta$ . Question 3 : Calculer l'intégrale interne $\int_0^2 r \, dr$ en fonction de $\theta$ . Question 4 : Calculer l'intégrale externe...→
  • 25
    Exercice 5 : Intégrale triple en coordonnées cylindriques et calcul de volume On considère le solide $S$ défini par $x^2 + y^2 \leq 1$ (cylindre de rayon 1) et $0 \leq z \leq 3$ (hauteur 3). On souhaite calculer le volume de ce cylindre en utilisant une intégrale triple en coordonnées cylindriques. Question 1 : Convertir les contraintes cartésiennes en coordonnées cylindriques en utilisant les substitutions $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , et $z = z$ . Déterminer les limites d'intégration. Question 2 : Écrire l'intégrale triple $\iiint_S 1 \, dV$ en coordonnées cylindriques avec le jacobien $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ . Question 3 : Calculer l'intégrale sur $z$ : $\int_0^3 1 \, dz$ en fonction de $r$ et $\theta$ ....→
  • 26
    Exercice 1 : Intégrales de Riemann et calcul de primitives pour des aires On considère une région rectangulaire délimitée par deux courbes et on souhaite calculer l'aire qu'elle enferme en utilisant les intégrales de Riemann. La région est définie par $y = x^2 + 2x$ et $y = 4x + 1$ entre deux points d'intersection. Question 1 : Trouver les points d'intersection des deux courbes $y = x^2 + 2x$ et $y = 4x + 1$ en résolvant l'équation $x^2 + 2x = 4x + 1$ . Question 2 : Déterminer laquelle des deux fonctions est au-dessus de l'autre dans l'intervalle trouvé, puis calculer l'aire de la région enserrer par ces deux courbes en intégrant $\int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$ . Question 3 : Vérifier le...→
  • 27
    Exercice 2 : Intégrales doubles et calcul de volume On considère une région rectangulaire $D = [0, 2] \times [0, 3]$ dans le plan $xy$ et une surface définie par $f(x, y) = xy + 2x^2$ au-dessus de cette région. On souhaite calculer le volume sous cette surface. Question 1 : Calculer l'intégrale double $\iint_D (xy + 2x^2) \, dA$ en intégrant d'abord par rapport à $y$ , puis par rapport à $x$ . Question 2 : Inverser l'ordre d'intégration et calculer $\iint_D (xy + 2x^2) \, dA$ en intégrant d'abord par rapport à $x$ , puis par rapport à $y$ . Vérifier que le résultat est identique. Question 3 : Pour une région modifiée $D' = \{(x, y) : 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\}$ , calculer $\iint_{D'} (xy + 2x^2) \, dA$ . Question...→
  • 28
    Exercice 3 : Intégrales triples et calcul de volume d'un solide On considère un solide délimité par les surfaces $z = 0$ (plan inférieur), $z = 4 - x^2 - y^2$ (paraboloïde), et le cylindre $x^2 + y^2 = 4$ dans le plan $xy$ . On souhaite calculer le volume complet du solide. Question 1 : En utilisant les coordonnées cartésiennes, mettre en place l'intégrale triple $\iiint_V 1 \, dV$ pour calculer le volume. Déterminer les bornes d'intégration en fonction de x, y, z. Question 2 : Convertir l'intégrale triple en coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ et mettre en place les nouvelles bornes d'intégration. Question 3 : Calculer le volume en coordonnées cylindriques en intégrant successivement par...→
  • 29
    Exercice 4 : Calcul d'aires avec intégrales doubles et changement de variables On souhaite calculer l'aire d'une région $R$ délimitée par les courbes $y = \frac{x}{2}$ , $y = 2x$ , et $x = 4$ dans le premier quadrant. On utilisera différentes approches pour démontrer l'équivalence. Question 1 : Identifier les points d'intersection des trois courbes et déterminer la région R avec ses bornes. Question 2 : Calculer l'aire de la région R en utilisant l'intégrale double $\iint_R 1 \, dA$ avec l'ordre d'intégration dx dy. Question 3 : Inverser l'ordre d'intégration (dy dx) et calculer l'aire pour vérifier les résultats. Question 4 : Utiliser un changement de variables...→
  • 30
    Exercice 5 : Applications des intégrales multiples : Calcul de centroïde et moment d'inertie On considère une plaque plane non uniforme occupant une région $D$ définie par $y = x^2$ et $y = 4$ avec une densité variable $\rho(x, y) = 1 + y$ . On souhaite calculer le centroïde et le moment d'inertie par rapport à l'axe des x. Question 1 : Calculer la masse totale de la plaque en intégrant la densité sur la région D : $M = \iint_D \rho(x, y) \, dA$ . Question 2 : Trouver les coordonnées du centroïde $\bar{x}$ et $\bar{y}$ en utilisant les formules $\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \rho(x, y) \, dA$ et $\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \rho(x, y) \, dA$ . Question 3 : Calculer le moment d'inertie par rapport...→
  • 31
    Exercice 1 : Calcul d'aire d'une région plane par intégrale double On considère une région $D$ du plan délimitée par les courbes $y = x$ , $y = 2x$ et $x = 2$ . On souhaite calculer l'aire de cette région en utilisant une intégrale double. Question 1 : Identifier la région $D$ en trouvant les points d'intersection des courbes $y = x$ , $y = 2x$ et la droite $x = 2$ . Représenter la région et déterminer les limites d'intégration pour l'intégrale double $\iint_D dA$ . Question 2 : Calculer l'aire de la région $D$ en utilisant l'intégrale double $A = \iint_D dA$ . Exprimer cette intégrale sous la forme d'une intégrale itérée $A = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} dy\, dx$...→
  • 32
    Exercice 2 : Calcul du volume d'un solide par intégrale triple On considère un solide $S$ délimité par le paraboloïde $z = x^2 + y^2$ , le plan $z = 0$ et le cylindre $x^2 + y^2 = 4$ . On souhaite calculer le volume de ce solide en utilisant une intégrale triple. Question 1 : Décrire la région $S$ en coordonnées cartésiennes et déterminer les limites d'intégration pour $x$ , $y$ et $z$ . Vérifier que le paraboloïde se trouve à l'intérieur du cylindre en vérifiant la cohérence des limites. Question 2 : Calculer le volume $V$ en utilisant l'intégrale triple en coordonnées cartésiennes $V = \iiint_S dV = \int \int \int dz\, dy\, dx$ . Effectuer l'intégration étape...→
  • 33
    Exercice 3 : Analyse de l'intégrabilité au sens de Riemann On considère une fonction $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ sur l'intervalle $[0, \pi]$ . On souhaite vérifier que cette fonction est intégrable au sens de Riemann et calculer son intégrale. Question 1 : Vérifier que la fonction $f(x)$ est continue sur $[0, \pi]$ en analysant la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ et montrer que $f$ est bornée. Établir les bornes $m$ et $M$ telles que $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in [0, \pi]$ . Question 2 : Calculer l'intégrale de Riemann $\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}\, dx$ en utilisant l'intégration numérique (sommes de Riemann) avec une partition régulière en $n = 6$ intervalles. Utiliser les méthodes du point milieu, des...→
  • 34
    Exercice 4 : Calcul de la longueur d'arc et de l'aire enclosée On considère une courbe paramétrique $\mathbf{r}(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$ (une hélice circulaire) pour $t \in [0, 2\pi]$ . On souhaite calculer la longueur d'arc et l'aire de la projection sur le plan $xy$ . Question 1 : Calculer la dérivée $\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ et la norme $\left\|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\|$ . En déduire la longueur d'arc $L = \int_0^{2\pi} \left\|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\| dt$ . Question 2 : La projection de l'hélice sur le plan $xy$ est un cercle de rayon 1. Calculer l'aire de ce disque en utilisant l'intégrale double $A = \iint_D dA$ en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires. Question 3 : Calculer le moment d'inertie...→
  • 35
    Exercice 5 : Changement de variables en intégrales multiples On considère l'intégrale double $\iint_D (x + y)\, dA$ où $D$ est la région du plan limitée par les droites $x = 0$ , $y = 0$ , $x + y = 2$ et $2x + y = 4$ . On souhaite calculer cette intégrale en utilisant un changement de variables. Question 1 : Identifier la région $D$ en trouvant les points d'intersection des droites données. Tracer la région et déterminer les limites d'intégration en coordonnées cartésiennes. Question 2 : Calculer l'intégrale $\iint_D (x + y)\, dA$ directement en coordonnées cartésiennes en utilisant les limites trouvées à la question 1. Question 3 : Effectuer le changement de variables $u = x + y$ et $v = 2x + y$...→
  • 36
    Soit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ définie sur $[1, 3]$ . On souhaite calculer l'intégrale définie en utilisant la notion d'intégrale de Riemann. Question 1: Déterminer la primitive $F(x)$ de $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en intégrant terme par terme. Question 2: Utiliser le théorème fondamental du calcul intégral pour calculer $\int_1^3 (3x^2 - 2x + 5) dx = F(3) - F(1)$ . Question 3: Vérifier le résultat en approximant l'intégrale par la méthode des rectangles avec $n = 4$ subdivisions de l'intervalle $[1, 3]$ . Question 4: Calculer l'erreur relative entre la valeur exacte et l'approximation par rectangles, puis analyser comment cette erreur diminuerait si on augmentait le nombre de subdivisions à $n = 8$ .→
  • 37
    Soit la région $D$ limitée par les courbes $y = x$ et $y = x^2$ dans le plan. Question 1: Déterminer les points d'intersection des courbes $y = x$ et $y = x^2$ et identifier la région $D$ . Question 2: Exprimer l'aire de la région $D$ sous la forme d'une intégrale double: $A = \iint_D dA$ en choisissant un ordre d'intégration approprié. Question 3: Calculer l'intégrale double pour déterminer l'aire exacte de la région $D$ . Question 4: Calculer le centre de masse (barycentre) de la région $D$ en supposant une densité uniforme $\rho = 1$ .→
  • 38
    Soit le solide $V$ défini par $0 \leq z \leq 1 - x^2 - y^2$ et $x^2 + y^2 \leq 1$ . Ce solide est un paraboloïde limité par le disque unité. Question 1: Exprimer le volume du solide $V$ sous la forme d'une intégrale triple en coordonnées cartésiennes. Question 2: Transformer l'intégrale triple en coordonnées cylindriques en identifiant les bornes appropriées. Question 3: Calculer l'intégrale triple en coordonnées cylindriques pour déterminer le volume du paraboloïde. Question 4: Vérifier le résultat en comparant avec la formule du volume d'un paraboloïde $V = \frac{\pi h R^2}{2}$ où $h = 1$ et $R = 1$ .→
  • 39
    Soit la région $D$ définie en coordonnées polaires par $0 \leq r \leq 2\cos(\theta)$ et $-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$ . Cette région représente un disque. Question 1: Identifier la forme géométrique de la région $D$ et calculer son rayon et son centre en coordonnées cartésiennes. Question 2: Calculer l'aire de la région $D$ en utilisant une intégrale double en coordonnées polaires: $A = \iint_D r\, dr\, d\theta$ . Question 3: Calculer le moment d'inertie par rapport à l'origine en supposant une densité uniforme $\rho = 1$ : $I_O = \iint_D r^2 \, dA$ . Question 4: Vérifier le résultat du moment d'inertie avec la formule $I_O = \frac{1}{2} M R^2$ où $M$ est la masse totale et $R$ est le rayon effectif.→
  • 40
    Soit la boule unité $B = \{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\}$ . On souhaite calculer le volume et le moment d'inertie par rapport à un axe. Question 1: Exprimer le volume de la boule unité en utilisant une intégrale triple en coordonnées sphériques. Question 2: Calculer l'intégrale triple pour déterminer le volume exact de la boule. Question 3: Calculer le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe z en supposant une densité uniforme $\rho = 1$ : $I_z = \iiint_B (x^2 + y^2) dV$ . Question 4: Vérifier le résultat avec la formule du moment d'inertie d'une sphère $I_z = \frac{2}{5} M R^2$ où $M$ est la masse et $R = 1$ est le rayon.→
• Intégrales impropres (33 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Intégrales impropres sur intervalle non borné On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ définie sur $[0, +\infty)$ . 1. Calculez l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$ en utilisant la limite d'une intégrale définie. 2. Vérifiez la convergence de cette intégrale en utilisant un critère de comparaison. 3. Calculez l'intégrale impropre $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$ . 4. Trouvez l'aire sous la courbe de $f$ entre $x = 0$ et $x = +\infty$ et interprétez le résultat géométriquement.→
  • 2
    Exercice 2 : Intégrales impropres avec singularités On considère la fonction $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ définie sur $(0, 1]$ . 1. Calculez l'intégrale impropre $\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ en reconnaissant la singularité à $x = 0$ . 2. Vérifiez la convergence en utilisant le critère de Riemann. 3. Calculez l'intégrale impropre $\int_0^{1/4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ . 4. Trouvez l'aire sous la courbe et comparez avec le cas de l'intervalle complet $[0,1]$ .→
  • 3
    Exercice 3 : Comparaison d'intégrales impropres On considère les deux fonctions $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^2}$ pour $x \geq 2$ et $h(x) = \frac{1}{x^{1.5}}$ pour $x \geq 1$ . 1. Calculez l'intégrale $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^2} dx$ par changement de variable. 2. Calculez l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1.5}} dx$ . 3. Comparez les deux intégrales et décidez laquelle converge plus rapidement. 4. Interprétez le comportement asymptotique des deux fonctions.→
  • 4
    Exercice 4 : Intégrale impropre mixte (singularité et intervalle infini) On considère la fonction $f(x) = \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}$ définie sur $(0, +\infty)$ . 1. Analysez les deux sources de singularité : comportement en $x \to 0^+$ et $x \to +\infty$ . 2. Décomposez l'intégrale en deux parties : $\int_0^{1} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ et $\int_1^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ . Vérifiez la convergence de chaque partie. 3. Calculez $\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ et comparez avec $\int_0^{1} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ . 4. Estimez l'intégrale totale $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$ en utilisant le théorème de comparaison.→
  • 5
    Exercice 5 : Intégrale impropre avec paramètre On considère la famille de fonctions $f_\alpha(x) = \frac{1}{x^\alpha}$ définie sur $[1, +\infty)$ où $\alpha$ est un paramètre réel. 1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge-t-elle? Justifiez en utilisant le critère de Riemann. 2. Calculez explicitement $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ en fonction de $\alpha$ pour les cas de convergence. 3. Déterminez les valeurs numériques pour $\alpha = 0.5, 1, 1.5, 2$ . 4. Tracez le graphe de la fonction $I(\alpha) = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ et identifiez le point critique $\alpha = 1$ .→
  • 6
    On considère l'intégrale impropre : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ . Question 1 : Exprimer cette intégrale impropre comme une limite d'intégrales propres. Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx$ en fonction de $t$ . Question 3 : Évaluer la limite lorsque $t \to +\infty$ et déterminer la convergence. Question 4 : Comparer avec $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3}\,dx$ et calculer cette dernière intégrale.→
  • 7
    On considère l'intégrale impropre : $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ . Question 1 : Justifier que cette intégrale est impropre et exprimer la comme une limite. Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_\epsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ pour $\epsilon > 0$ . Question 3 : Évaluer la limite lorsque $\epsilon \to 0^+$ . Question 4 : Calculer et comparer avec $\int_0^1 \frac{1}{x^{3/4}}\,dx$ .→
  • 8
    On considère l'intégrale impropre : $\int_0^{+\infty} e^{-ax}\,dx$ où $a > 0$ . Question 1 : Exprimer cette intégrale impropre comme une limite. Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^{t} e^{-ax}\,dx$ en fonction de $t$ et $a$ . Question 3 : Évaluer la limite lorsque $t \to +\infty$ . Question 4 : Calculer $\int_0^{+\infty} x e^{-x}\,dx$ en utilisant l'intégration par parties.→
  • 9
    On considère l'intégrale impropre : $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ . Question 1 : Justifier que cette intégrale a des singularités aux deux extrémités et l'exprimer comme une somme de deux limites. Question 2 : Calculer $\int_{\epsilon}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ en utilisant la substitution $x = \sin^2(\theta)$ . Question 3 : Évaluer la limite lorsque $\epsilon \to 0^+$ . Question 4 : Calculer $\int_{1/2}^{1-\epsilon} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$ et en déduire la valeur totale.→
  • 10
    On considère les intégrales impropres : $I_1 = \int_1^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^2}\,dx$ et $I_2 = \int_1^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx$ . Question 1 : Montrer que $I_1$ converge absolument en comparant avec une intégrale convergente. Question 2 : Évaluer $\left|\int_1^{t} \frac{\sin(x)}{x^2}\,dx\right|$ et montrer la convergence de $I_1$ . Question 3 : Pour $I_2$ , utiliser l'intégration par parties pour écrire $\int_1^{t} \frac{\sin(x)}{x}\,dx$ . Question 4 : Déterminer si $I_2$ converge et comparer les convergences de $I_1$ et $I_2$ .→
  • 11
    Considérons l'intégrale impropre définie sur un intervalle non borné : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ Question 1: Écrire l'intégrale impropre à l'aide de la limite. Question 2: Calculer l'intégrale primitive $\int \frac{1}{x^2} dx$ . Question 3: Évaluer la limite et déterminer la convergence ou la divergence de l'intégrale. Question 4: Calculer la valeur numérique de l'intégrale convergente.→
  • 12
    Étudions l'intégrale impropre d'une fonction infinie à une extrémité : $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ Question 1: Identifier le point singulier de l'intégrande et écrire l'intégrale impropre à l'aide de la limite. Question 2: Calculer la primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ . Question 3: Évaluer l'intégrale impropre en utilisant la limite. Question 4: Déterminer la convergence et donner la valeur de l'intégrale.→
  • 13
    Considérons l'intégrale impropre : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ où $p$ est un paramètre réel. Question 1: Calculer l'intégrale en fonction de $p$ pour $p \ne 1$ . Question 2: Établir le critère de convergence en fonction de la valeur de $p$ . Question 3: Traiter le cas particulier $p = 1$ . Question 4: Calculer numériquement l'intégrale pour $p = \frac{3}{2}$ et vérifier la convergence.→
  • 14
    Étudions l'intégrale impropre avec singularité à une extrémité : $\int_0^1 \frac{1}{(1-x)^q} dx$ où $q$ est un paramètre réel. Question 1: Identifier la singularité et écrire l'intégrale impropre avec limite. Question 2: Calculer l'intégrale pour $q \ne 1$ . Question 3: Établir le critère de convergence en fonction de $q$ . Question 4: Calculer l'intégrale pour $q = \frac{1}{3}$ et déterminer si elle converge.→
  • 15
    Exercice 1 : Intégrale impropre sur un intervalle non borné On considère l'intégrale impropre suivante : $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$ Question 1 : Établir le critère de convergence en utilisant la limite d'une intégrale définie. Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_1^{N} \frac{1}{x^2} dx$ pour $N > 1$ . Question 3 : Déterminer si l'intégrale impropre converge en calculant $\lim_{N \to \infty} \int_1^{N} \frac{1}{x^2} dx$ . Question 4 : Comparer avec l'intégrale $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ en fonction de $p$ et en déduire la valeur de $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{1.5}} dx$ .→
  • 16
    Exercice 2 : Intégrale impropre avec fonction exponentielle On considère l'intégrale impropre : $\int_0^{\infty} e^{-3t} dt$ Question 1 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^{M} e^{-3t} dt$ où $M > 0$ . Question 2 : Étudier le comportement de $e^{-3t}$ quand $t \to \infty$ et en déduire la convergence. Question 3 : Déterminer la valeur de l'intégrale impropre $\int_0^{\infty} e^{-3t} dt$ . Question 4 : Généraliser le résultat en calculant $\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} dt$ où $\lambda > 0$ et vérifier votre formule.→
  • 17
    Exercice 3 : Intégrale impropre d'une fonction infinie à une extrémité On considère l'intégrale impropre : $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ Cette intégrale présente une singularité en $x = 0$ . Question 1 : Justifier que cette intégrale est impropre en analysant le comportement de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ près de $x = 0$ . Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_{\epsilon}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ où $\epsilon > 0$ . Question 3 : Déterminer la valeur de l'intégrale impropre en calculant $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ . Question 4 : Comparer avec $\int_0^1 x^{-p} dx$ pour différentes valeurs de $p$ et déterminer la convergence de $\int_0^1 \frac{1}{x^{0.7}} dx$ .→
  • 18
    Exercice 4 : Intégrale impropre mixte - Singularité interne On considère l'intégrale impropre : $\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{|x-1|}} dx$ Cette intégrale présente une singularité au point intérieur $x = 1$ . Question 1 : Analyser la singularité en $x = 1$ et justifier pourquoi cette intégrale est impropre. Question 2 : Décomposer l'intégrale en deux parties au point de singularité : $\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{|x-1|}} dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx + \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx$ Question 3 : Calculer chacune des deux intégrales impropres séparément. Question 4 : Déterminer la valeur totale de l'intégrale en additionnant les résultats.→
  • 19
    Exercice 5 : Intégrales impropres avec divergence On considère les deux intégrales impropres suivantes : $I_1 = \int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx \quad \text{et} \quad I_2 = \int_0^1 \frac{1}{x} dx$ Question 1 : Calculer $\int_1^{N} \frac{1}{x} dx$ en fonction de $N$ . Question 2 : Étudier la convergence de $I_1 = \int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx$ en passant à la limite. Question 3 : Calculer $\int_{\epsilon}^1 \frac{1}{x} dx$ en fonction de $\epsilon > 0$ . Question 4 : Étudier la convergence de $I_2 = \int_0^1 \frac{1}{x} dx$ en passant à la limite et déterminer si cette intégrale diverge.→
  • 20
    Soit l'intégrale impropre: $I = \int_0^{+\infty} e^{-2x} dx$ . Question 1 : Vérifier que cette intégrale est convergente en étudiant le comportement de l'intégrande à l'infini. Question 2 : Calculer $I_N = \int_0^{N} e^{-2x} dx$ pour une borne finie $N$ . Question 3 : Déterminer la limite $\lim_{N \to +\infty} I_N$ et conclure sur la convergence de $I$ . Question 4 : Comparer cette valeur avec l'intégrale $J = \int_0^{+\infty} e^{-3x} dx$ en justifiant le résultat analytiquement.→
  • 21
    Soit l'intégrale impropre: $I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ . Question 1 : Identifier le type de singularité et vérifier la convergence de l'intégrale. Question 2 : Calculer $I_\epsilon = \int_0^{1-\epsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$ pour $\epsilon > 0$ petit. Question 3 : Déterminer la limite $\lim_{\epsilon \to 0^+} I_\epsilon$ pour obtenir la valeur de $I$ . Question 4 : Vérifier le résultat en utilisant le changement de variable $u = 1 - x$ et interpréter géométriquement.→
  • 22
    Soit l'intégrale impropre: $I = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x-1}} dx$ . Question 1 : Analyser les singularités et comportement aux extrémités de l'intervalle. Question 2 : Démontrer la convergence en utilisant un critère de comparaison. Question 3 : Utiliser la substitution $u = \sqrt{x-1}$ pour calculer l'intégrale. Question 4 : Donner la valeur finale et interpréter le résultat.→
  • 23
    Soit l'intégrale impropre: $I = \int_0^1 \ln(x) dx$ . Question 1 : Analyser la singularité en $x = 0$ et étudier la convergence. Question 2 : Calculer $I_\epsilon = \int_\epsilon^1 \ln(x) dx$ pour $\epsilon > 0$ . Question 3 : Déterminer $\lim_{\epsilon \to 0^+} I_\epsilon$ en utilisant l'intégration par parties. Question 4 : Utiliser le résultat pour calculer $J = \int_0^1 x \ln(x) dx$ et comparer.→
  • 24
    Exercice 1 : Convergence d'une intégrale impropre sur un intervalle non borné On considère la décroissance exponentielle d'une concentration de polluant dans l'air, décrite par la fonction : $C(t) = 100 e^{-0.3t} + 50 e^{-0.1t}$ où $C(t)$ est la concentration en mg/m³ et $t$ le temps en jours. On souhaite calculer la charge totale de polluant qui s'échappe de l'atmosphère pendant un temps infini. Question 1 : Déterminer l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty} C(t) \, dt = \int_0^{+\infty} (100 e^{-0.3t} + 50 e^{-0.1t}) \, dt$ en utilisant la méthode des limites. Question 2 : Calculer les primitives des deux termes séparément et évaluer les limites en $+\infty$ . Question 3 : Vérifier la convergence de l'intégrale en étudiant le comportement...→
  • 25
    Exercice 2 : Intégrale impropre avec décroissance gaussienne En théorie des probabilités et en traitement du signal, la fonction gaussienne joue un rôle central. Considérons l'intégrale : $I = \int_0^{+\infty} t e^{-t^2} \, dt$ Question 1 : Utiliser la substitution $u = t^2$ pour transformer l'intégrale impropre. Déterminer les nouvelles bornes et l'expression en fonction de $u$ . Question 2 : Calculer l'intégrale transformée $\int_0^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-u} \, du$ en utilisant la définition des limites. Question 3 : Établir la relation entre l'intégrale originale et sa forme transformée, puis conclure sur la valeur de $I$ . Question 4 : Calculer l'intégrale modifiée $\int_0^{+\infty} t^3 e^{-t^2} \, dt$ en utilisant le même changement de variable et déterminer...→
  • 26
    Exercice 3 : Intégrale impropre avec singularité à la borne inférieure En mécanique des fluides, l'écoulement dans une conduite de forme spéciale est décrit par : $v(x) = \frac{k}{\sqrt{x}}$ où $v(x)$ est la vitesse en m/s et $x$ est la distance du point d'entrée en mètres. La fonction présente une singularité en $x = 0$ . On souhaite calculer le débit sur l'intervalle $[0, 1]$ . Question 1 : Montrer que l'intégrale $\int_0^1 \frac{k}{\sqrt{x}} \, dx$ est impropre et expliquer la nature de la singularité. Question 2 : Utiliser la méthode des limites pour évaluer $\int_0^1 \frac{k}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 \frac{k}{\sqrt{x}} \, dx$ avec $k = 2$ . Question 3 : Calculer la primitive de $\frac{k}{\sqrt{x}}$ et...→
  • 27
    Exercice 4 : Intégrale impropre avec singularité à la borne supérieure En thermodynamique, on rencontre souvent des intégrales de la forme : $I = \int_0^1 \frac{1}{(1-x)^{2/3}} \, dx$ qui représente une certaine transformation thermodynamique. Cette intégrale possède une singularité à $x = 1$ . Question 1 : Analyser la nature de la singularité en $x = 1$ et montrer que l'intégrale est impropre. Question 2 : Utiliser la méthode des limites pour transformer l'intégrale : $\int_0^1 \frac{1}{(1-x)^{2/3}} \, dx = \lim_{R \to 1^-} \int_0^R \frac{1}{(1-x)^{2/3}} \, dx$ . Question 3 : Calculer la primitive de $\frac{1}{(1-x)^{2/3}}$ en utilisant le changement de variable $u = 1-x$ . Question 4 : Évaluer la limite et déterminer la valeur de l'intégrale impropre. Vérifier la convergence...→
  • 28
    Exercice 5 : Intégrale impropre combiant deux singularités En théorie du traitement du signal, on rencontre l'intégrale : $I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ Cette intégrale, bien que définie sur un intervalle non borné, converge. Elle apparaît dans le calcul des transformées de Fourier et des fonctions de transfert. Question 1 : Démontrer que cette intégrale peut être scindée en deux parties : $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1 + x^2} \, dx + \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ . Question 2 : Utiliser la symétrie de l'intégrande pour montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ . Question 3 : Calculer $\int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ en utilisant la définition de l'intégrale impropre et la primitive arctan. Question 4 : Déterminer la valeur finale de $I$ et appliquer...→
  • 29
    On considère l'intégrale impropre définie sur un intervalle non borné : $I = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ Cette intégrale représente l'aire sous la courbe de la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2}$ de $x = 1$ à l'infini. Question 1 : Vérifier la convergence de cette intégrale impropre en calculant la limite $\lim_{t \to +\infty} \int_1^{t} \frac{1}{x^2} dx$ . Question 2 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $I$ . Question 3 : Utiliser le test de comparaison pour analyser la convergence de l'intégrale $J = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 + x} dx$ en la comparant avec $I$ . Question 4 : Calculer numériquement l'intégrale $J = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 + x} dx$ en utilisant la décomposition en fractions partielles.→
  • 30
    On considère l'intégrale impropre définie sur un intervalle borné avec singularité à l'une des extrémités : $K = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ Cette intégrale présente une singularité à la borne inférieure $x = 0$ , où la fonction $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ n'est pas bornée. Question 1 : Vérifier la convergence de cette intégrale impropre en calculant la limite $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ . Question 2 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $K$ . Question 3 : Généraliser le résultat en calculant l'intégrale $L = \int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ en fonction du paramètre $\alpha$ . Pour quelles valeurs de $\alpha$ l'intégrale converge-t-elle ? Question 4 : Appliquer ce résultat général pour évaluer numériquement $M = \int_0^1 \frac{1}{x^{2/3}} dx$ .→
  • 31
    On considère une intégrale impropre de première espèce à comportement exponentiel : $N = \int_0^{+\infty} e^{-ax} dx$ où $a > 0$ est un paramètre strictement positif. Cette intégrale est fondamentale en théorie des probabilités et en physique. Question 1 : Calculer l'intégrale impropre $N = \int_0^{+\infty} e^{-ax} dx$ en utilisant la limite $\lim_{t \to +\infty} \int_0^{t} e^{-ax} dx$ . Question 2 : Généraliser le résultat en calculant $P = \int_0^{+\infty} x e^{-ax} dx$ (intégrale de première espèce avec puissance). Question 3 : À partir des résultats précédents, déduire la valeur de $Q = \int_0^{+\infty} x^2 e^{-ax} dx$ en utilisant les propriétés d'intégration par parties. Question 4 : Calculer numériquement $R = \int_0^{+\infty} x^2 e^{-2x} dx$ en substituant $a = 2$ dans le résultat de la Question 3.→
  • 32
    On considère une intégrale impropre avec singularité aux deux extrémités : $S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ Cette intégrale présente des singularités à $x = 0$ et $x = 1$ , où le dénominateur s'annule. Question 1 : Identifier les singularités de la fonction et vérifier la convergence en séparant l'intégrale en deux parties : $\int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx + \int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ . Question 2 : Pour la première partie $\int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ , utiliser la substitution $x = \sin^2(\theta)$ pour transformer l'intégrale en une forme plus simple. Question 3 : En utilisant la symétrie de la fonction autour du point $x = 1/2$ , montrer que $\int_{1/2}^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx = \int_0^{1/2} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ . Question 4 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ en...→
  • 33
    On considère une intégrale impropre combinant un intervalle non borné et une singularité : $T = \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ Cette intégrale présente une singularité en $x = 0$ et s'étend à l'infini. Question 1 : Analyser la convergence aux deux limites. Séparera l'étude en deux parties : convergence près de $x = 0$ et convergence pour $x \to +\infty$ . Question 2 : Utiliser la substitution $x = u^2$ pour transformer l'intégrale et simplifier le problème. Question 3 : Appliquer la décomposition en fractions partielles ou une autre technique pour évaluer l'intégrale transformée. Question 4 : Calculer la valeur exacte de l'intégrale impropre $T$ en combinant les résultats précédents.→
• Séries (39 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Étude de convergence d'une série numérique et calcul de somme On considère la série numérique de terme général $u_n = \frac{n^2 + 3n}{(n+1)!}$ . Question 1 : Déterminer la nature de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert (critère du rapport). Question 2 : Calculer la limite $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ et conclure sur la convergence absolue. Question 3 : Sachant que la série converge, décomposer $u_n$ sous la forme $u_n = \frac{A}{n!} + \frac{B}{(n+1)!}$ où $A$ et $B$ sont des constantes à déterminer. Question 4 : En utilisant la décomposition trouvée et le fait que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e$ , calculer la somme exacte $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ .→
  • 2
    Exercice 2 : Étude d'une série entière On considère la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ où $a_n = \frac{2^n (n+1)}{n^2 + 4}$ . Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de d'Alembert : $\frac{1}{R} = \lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ . Question 2 : Déterminer explicitement la limite $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ et en déduire la valeur exacte de $R$ . Question 3 : Étudier la convergence de la série aux bornes de l'intervalle de convergence, c'est-à-dire pour $x = R$ et $x = -R$ . Question 4 : Pour $x = \frac{R}{4}$ , calculer une approximation de la somme $S\left(\frac{R}{4}\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \left(\frac{R}{4}\right)^n$ en utilisant les $5$ premiers termes de la série.→
  • 3
    Exercice 3 : Développement en série de Fourier d'une fonction périodique Soit $f$ une fonction $2\pi$ -périodique définie sur $[-\pi, \pi]$ par : $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } -\pi \leq x Question 1 : Calculer le coefficient de Fourier $ a_0 $ défini par $ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx $. Question 2 : Calculer les coefficients de Fourier $ a_n $ pour $ n \geq 1 $, définis par $ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx $. Question 3 : Calculer les coefficients de Fourier $ b_n $ pour $ n \geq 1 $, définis par $ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx $. Question 4 : Écrire la série de Fourier de $ f $ et calculer sa valeur en $ x = \frac{\pi}{2} $ en utilisant les $ 3 $ premiers termes non nuls.→
  • 4
    Exercice 4 : Étude de la convergence uniforme d'une série de fonctions On considère la série de fonctions $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ où $f_n(x) = \frac{x}{n^2(1 + nx^2)}$ pour $x \in [0, 1]$ . Question 1 : Pour chaque $x \in [0, 1]$ , montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ converge en majorant $|f_n(x)|$ par une expression indépendante de $x$ . Question 2 : Calculer la norme uniforme $\|f_n\|_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)|$ en déterminant le maximum de $f_n$ sur $[0, 1]$ . Question 3 : En utilisant le critère de Weierstrass, montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ converge uniformément sur $[0, 1]$ . Question 4 : Calculer une valeur approchée de $S(0,5) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(0,5)$ en utilisant les $10$ premiers termes et estimer...→
  • 5
    Exercice 5 : Application des séries à la résolution d'une équation différentielle On cherche à résoudre l'équation différentielle $y' - 2xy = 0$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ en utilisant une méthode de série entière. On pose $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ . Question 1 : En substituant $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ dans l'équation différentielle, montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} - 2\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+1} = 0$ . Question 2 : En réindexant les sommes pour qu'elles aient le même exposant de $x$ , établir la relation de récurrence $(n+1) a_{n+1} - 2 a_{n-1} = 0$ pour $n \geq 1$ , et en déduire $a_{n+1} = \frac{2 a_{n-1}}{n+1}$ . Question 3 : En utilisant la condition initiale $y(0) = 1$ , déterminer $a_0$ . Puis, en utilisant le fait que le coefficient de...→
  • 6
    Exercice 1 : Étude d'une série numérique et de ses dérivées Considérons la série $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ où $u_n = \frac{n}{2^n}$ . Question 1 : Appliquer le critère de D'Alembert (ratio test) pour déterminer la nature de la série $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ . Question 2 : Calculer la somme $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ en utilisant la série géométrique et sa dérivée. Question 3 : Déterminer la somme de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ en utilisant le résultat de la Question 2. Question 4 : Trouver le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} x^n$ .→
  • 7
    Exercice 2 : Convergence d'une suite de fonctions Considérons la suite de fonctions $(f_n)$ définie sur $[0,1]$ par $f_n(x) = \frac{x^n}{n+1}$ . Question 1 : Déterminer la limite simple $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ pour chaque $x \in [0,1]$ . Question 2 : Calculer $M_n = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ et en déduire si la convergence est uniforme sur $[0,1]$ . Question 3 : Calculer $\int_0^1 f_n(x) \, dx$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , puis calculer $\int_0^1 f(x) \, dx$ et vérifier si $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx$ . Question 4 : Pour $x \in [0,1)$ , calculer $\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$ et vérifier si la série converge uniformément sur $[0,1)$ .→
  • 8
    Exercice 3 : Série entière et son intervalle de convergence Considérons la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ où $a_n = \frac{1}{(n+1)2^n}$ . Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de Cauchy-Hadamard. Question 2 : Déterminer l'intervalle de convergence en étudiant le comportement de la série aux points $x = -R$ et $x = R$ . Question 3 : Trouver la somme $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)2^n}$ pour $|x| Question 4 : En utilisant le résultat de la Question 3, calculer la somme de la série numérique $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)2^{n+1}} $.→
  • 9
    Exercice 4 : Série de Fourier d'une fonction périodique Considérons la fonction $2\pi$ -périodique $f$ définie sur $[-\pi, \pi]$ par $f(x) = x^2$ . Question 1 : Calculer les coefficients de Fourier $a_0$ , $a_n$ (pour $n \geq 1$ ) et $b_n$ (pour $n \geq 1$ ) de la fonction $f$ . Question 2 : Écrire la série de Fourier $S_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$ de la fonction $f$ . Question 3 : En utilisant le théorème de Dirichlet, évaluer la série de Fourier aux points $x = 0$ et $x = \pi$ . Question 4 : En appliquant l'identité de Parseval, calculer la somme de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ .→
  • 10
    Exercice 5 : Série alternée et série entière associée Considérons la série alternée $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ et la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$ . Question 1 : Vérifier que la série alternée $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ converge en appliquant le critère de Leibniz. Question 2 : Donner une majoration du reste $R_N = \left| S - S_N \right|$ où $S$ est la somme totale et $S_N$ la somme partielle d'ordre $N$ de la série alternée. Question 3 : Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$ et étudier la convergence aux points $x = -1$ et $x = 1$ . Question 4 : Sachant que la somme de la série entière est $S(x) = \ln(1+x)$ pour...→
  • 11
    Exercice 1 : Convergence de séries numériques et critères de d'Alembert Soit les trois séries suivantes à analyser : Question 1 : Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{3^n \cdot n!}$ en utilisant le critère de d'Alembert. Calculer le ratio $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ et déterminer sa limite. Question 2 : Pour la même série, calculer les trois premiers termes $a_1, a_2, a_3$ et vérifier que la série converge en comparant avec une série de référence. Question 3 : En utilisant le résultat de convergence, déterminer l'ordre de grandeur du reste $R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n$ pour $N = 5$ . Question 4 : Calculer la somme partielle $S_5 = \sum_{n=1}^{5} \frac{n^2 + 1}{3^n \cdot n!}$ et estimer l'erreur d'approximation...→
  • 12
    Exercice 2 : Suites et séries de fonctions - Convergence uniforme Soit la suite de fonctions $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2}$ définie sur $[0, 1]$ . Question 1 : Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ en calculant $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ pour chaque $x \in [0,1]$ . Identifier la fonction limite $f(x)$ . Question 2 : Calculer $\|f_n - f\|_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ et étudier si la convergence est uniforme. Question 3 : Déterminer le maximum de $f_n(x)$ sur $[0,1]$ en trouvant les points critiques. Montrer que ce maximum est atteint en $x = 1/n$ . Question 4 : Calculer l'intégrale $\int_0^1 f_n(x) \, dx$ et étudier la limite de cette intégrale lorsque $n \to \infty$ . Comparer avec $\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx$ ....→
  • 13
    Exercice 3 : Séries entières et rayon de convergence Considérons la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n \cdot 2^n}$ . Question 1 : Déterminer le rayon de convergence $R$ en utilisant la formule de d'Alembert : $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ où $a_n = \frac{(-1)^n}{n \cdot 2^n}$ . Question 2 : Étudier la convergence aux extrémités de l'intervalle $x = -R$ et $x = R$ . Question 3 : Calculer les trois premiers coefficients et la somme partielle $S_3(x) = \sum_{n=1}^{3} \frac{(-1)^n x^n}{n \cdot 2^n}$ pour $x = 1$ . Question 4 : Déterminer la fonction $f(x)$ représentée par cette série entière en utilisant la relation $\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} u^n}{n}$ avec $u = -x/2$ .→
  • 14
    Exercice 4 : Séries de Fourier et décomposition périodique Soit la fonction 2π-périodique définie par : $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 Question 1 : Calculer le coefficient $ a_0 $ de la série de Fourier en utilisant la formule : $ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx $. Question 2 : Calculer les coefficients $ a_n $ pour $ n \geq 1 $ en utilisant : $ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx $. Question 3 : Calculer les coefficients $ b_n $ pour $ n \geq 1 $ en utilisant : $ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx $. Montrer en particulier que $ b_n = \frac{1}{n} $ pour tout $ n \geq 1 $. Question 4 : Écrire la série de Fourier complète jusqu'au terme d'ordre $ N = 5 $ et calculer la valeur approximée au point $ x = \pi/2 $.→
  • 15
    Exercice 5 : Séries entières et fonctions analytiques Considérons la fonction $g(x) = e^{x^2}$ qui peut être développée en série entière. Question 1 : Écrire le développement en série entière de $e^u$ puis déduire le développement de $e^{x^2}$ en remplaçant $u$ par $x^2$ . Question 2 : Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la formule de Cauchy-Hadamard. Question 3 : Calculer les quatre premiers termes du développement (jusqu'à $x^6$ ) et évaluer la somme partielle en $x = 0.5$ . Question 4 : Intégrer la série terme à terme pour obtenir le développement en série de $\int_0^x e^{t^2} \, dt$ et...→
  • 16
    Analyse de convergence et calcul de somme On considère la série numérique définie par le terme général : $u_n = \frac{2n^2 - 1}{3^n}$ pour $n \ge 1$ . Question 1 : Étudier la convergence de la série $\sum u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert (Règle du quotient). Question 2 : On souhaite calculer la somme exacte. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$ . Question 3 : En utilisant les dérivées successives de la série géométrique $\sum x^n$ , exprimer la fonction somme $f(x)$ pour $|x| Question 4 : En déduire la valeur exacte de la somme de la série initiale $ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 - 1}{3^n} $.→
  • 17
    Convergence d'une suite de fonctions Soit la suite de fonctions $f_n : [0, 1] \to \mathbb{R}$ définie pour $n \ge 1$ par : $f_n(x) = \frac{2nx}{1 + n^2 x^4}$ . Question 1 : Déterminer la fonction limite simple $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$ . Question 2 : Pour étudier la convergence uniforme, calculer la valeur maximale $M_n = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ en étudiant les variations de $f_n$ . Question 3 : Calculer l'intégrale $I_n = \int_0^1 f_n(x) dx$ . Question 4 : Comparer $\lim_{n \to \infty} I_n$ et $\int_0^1 f(x) dx$ . La convergence est-elle uniforme ?→
  • 18
    Résolution d'une équation différentielle par série entière On cherche la solution $y(x)$ de l'équation différentielle $(E): y'' + 4y = 0$ avec les conditions initiales $y(0)=1, y'(0)=0$ , sous forme de série entière $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ . Question 1 : Établir la relation de récurrence entre les coefficients $a_{n+2}$ et $a_n$ en injectant la série dans l'équation. Question 2 : Déterminer l'expression explicite de $a_n$ en fonction de $n$ , en distinguant les cas pairs et impairs, sachant les conditions initiales. Question 3 : Calculer le rayon de convergence $R$ de la série obtenue. Question 4 : Identifier la fonction $y(x)$ somme de la série et vérifier qu'elle...→
  • 19
    Décomposition en série de Fourier d'un signal triangulaire Soit la fonction $f$ $2\pi$ -périodique définie sur $[-\pi, \pi]$ par $f(x) = |x|$ . Question 1 : Calculer le coefficient $a_0$ de la série de Fourier. Question 2 : Montrer que les coefficients $b_n$ sont nuls et calculer les coefficients $a_n$ pour $n \ge 1$ en utilisant une intégration par parties. Question 3 : Écrire la série de Fourier $S_f(x)$ et évaluer cette série en $x = 0$ . Question 4 : En utilisant l'égalité obtenue en $x=0$ , calculer la somme de la série numérique $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}$ .→
  • 20
    Approximation d'intégrale par polynôme de Taylor Soit la fonction $f(x) = e^{-x} \sin(x)$ . Question 1 : Calculer les développements limités de $e^{-x}$ et $\sin(x)$ à l'ordre 3 au voisinage de 0. Question 2 : En déduire le polynôme de Taylor $P_3(x)$ de la fonction $f$ à l'ordre 3 en effectuant le produit des séries tronquées. Question 3 : Utiliser ce polynôme pour calculer une valeur approchée de l'intégrale $I = \int_0^{0.5} e^{-x} \sin(x) dx$ . Question 4 : Calculer la valeur exacte de cette intégrale en utilisant une intégration par parties (ou les complexes) et comparer avec l'approximation.→
  • 21
    Exercice 1 : Série numérique - Critères de convergence et calcul de la somme On considère la série numérique $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ . Question 1 : Démontrer que cette série converge en utilisant le critère de comparaison avec une série télescopique. Décomposer $\frac{1}{n(n+1)}$ en éléments simples. Question 2 : Calculer la somme partielle $S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)}$ en utilisant la décomposition obtenue à la question 1. Question 3 : En utilisant la limite de la somme partielle lorsque $N \to \infty$ , déterminer la somme totale de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ . Question 4 : Vérifier la convergence en calculant le terme général de la série pour $n = 1, 2, 3, 4$...→
  • 22
    Exercice 2 : Suite de fonctions et convergence uniforme On considère la suite de fonctions $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2}$ définie sur $[0, 1]$ . Question 1 : Calculer la limite ponctuelle $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ pour chaque $x \in [0, 1]$ . Question 2 : Calculer le maximum de $|f_n(x) - f(x)|$ sur $[0, 1]$ en trouvant d'abord $\frac{d}{dx}|f_n(x) - f(x)|$ . Question 3 : En utilisant la formule $\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ , déterminer si la suite converge uniformément vers $f(x)$ sur $[0, 1]$ . Question 4 : Évaluer la suite $f_n(x)$ pour $n = 1, 2, 5$ aux points $x = 0, 0.5, 1$ pour observer la convergence.→
  • 23
    Exercice 3 : Série entière et rayon de convergence On considère la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ . Question 1 : Appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière. Question 2 : Calculer le terme général $a_n = \frac{1}{n!}$ et le rapport $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pour montrer que $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0$ . Question 3 : En utilisant le rayon de convergence obtenu, déterminer l'intervalle de convergence de la série. Question 4 : Montrer que cette série représente la fonction exponentielle $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ et calculer $e^1$ en sommant les 5 premiers termes de la série.→
  • 24
    Exercice 4 : Série de Fourier - Calcul des coefficients On considère la fonction périodique $f(x) = |x|$ définie sur $[-\pi, \pi]$ avec période $2\pi$ . Question 1 : Vérifier que $f(x)$ est une fonction paire et calculer le coefficient de Fourier $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$ . Question 2 : Calculer les coefficients de Fourier $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$ pour $n \geq 1$ . Question 3 : Vérifier que les coefficients $b_n = 0$ car $f(x)$ est paire, puis écrire la série de Fourier de $f(x)$ . Question 4 : Évaluer $f(0)$ , $f(\pi/2)$ , et $f(\pi)$ et vérifier que la série de Fourier converge vers ces valeurs aux points d'évaluation.→
  • 25
    Exercice 5 : Série de Fourier - Analyse spectrale et convergence ponctuelle On considère la fonction $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 Question 1 : Vérifier que $ f(x) $ est une fonction impaire et calculer $ a_0 = 0 $, puis vérifier que $ a_n = 0 $ pour tout $ n \geq 1 $. Question 2 : Calculer les coefficients de Fourier $ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx $ pour $ n \geq 1 $. Question 3 : Écrire la série de Fourier de $ f(x) $ et montrer qu'elle converge en série de sinus. Question 4 : Évaluer les trois premiers coefficients non-nuls $ b_1, b_3, b_5 $ et calculer la valeur approchée de $ f(\pi/2) $ en utilisant ces termes.→
  • 26
    On considère la fonction $f(x, y) = x^2y + 3xy^2 + 2$ . 1. Calculez la limite de $f(x,y)$ en $(0, 0)$ selon les chemins $y = 0$ et $y = x$ . 2. Vérifiez la continuité de $f$ au point $(0, 0)$ . 3. Déterminez les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ à tout point $(x, y)$ . 4. À partir de ces dérivées, vérifiez la différentiabilité de $f$ au point $(1, 1)$ .→
  • 27
    On considère la fonction $g(x, y) = e^{xy} + \ln(x+y+1)$ . 1. Calculez la dérivée partielle de $g$ par rapport à $x$ au point $(1, 0)$ . 2. Calculez la dérivée partielle de $g$ par rapport à $y$ au point $(1, 0)$ . 3. Déterminez la différentielle totale $dg$ en $(1, 0)$ pour une variation infinitésimale de $x$ et $y$ . 4. Évaluez l'approximation linéaire de $g(x, y)$ près de $(1, 0)$ pour $x=1.01$ , $y=0.02$ .→
  • 28
    Soit $h(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ définie dans $\mathbb{R}^3$ . 1. Calculez les dérivées partielles de $h$ par rapport à $x$ , $y$ et $z$ au point $(1,2,3)$ . 2. Déterminez si $h$ est différentiable en ce point. 3. Calculez l'intégrale triple de $h(x, y, z)$ sur le cube $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$ . 4. Interprétez physiquement le résultat obtenu à la question précédente.→
  • 29
    Considérons la fonction $f(x, y) = x^3 + 2xy + y^2$ . 1. Déterminez les points critiques de $f(x, y)$ . 2. Calculez la matrice hessienne de $f$ au point $(1, -1)$ . 3. Donnez la nature du point $(1, -1)$ (minimum, maximum ou point selle) en utilisant la hessienne. 4. Calculez l'intégrale double de $f(x, y)$ sur le domaine rectangulaire $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ .→
  • 30
    Exercice 1 : Étude complète d'une série numérique On considère la série numérique définie par son terme général : $u_n = \frac{n^2 + 3n}{2^n}$ Question 1 : Calculer la limite du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ lorsque $n \to +\infty$ . Question 2 : En déduire la nature de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert. Question 3 : Calculer les trois premières sommes partielles $S_1$ , $S_2$ et $S_3$ où $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$ . Question 4 : En utilisant le résultat de convergence, donner un encadrement de la somme $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ en calculant $S_5$ et en majorant le reste $R_5 = S - S_5$ .→
  • 31
    Exercice 2 : Étude d'une série entière On considère la série entière définie par : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n} x^n$ Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de d'Alembert. Question 2 : Déterminer l'intervalle de convergence en étudiant les cas $x = R$ et $x = -R$ . Question 3 : Pour $x = 1$ , calculer la somme partielle $S_4(1) = \sum_{n=1}^{4} \frac{n^2}{3^n}$ . Question 4 : Sachant que la fonction somme $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n} x^n$ est dérivable sur $]-R, R[$ , calculer $f'(x)$ et évaluer $f'(1)$ en utilisant les quatre premiers termes de la série dérivée.→
  • 32
    Exercice 3 : Développement en série de Fourier Soit $f$ une fonction $2\pi$ -périodique définie sur $]-\pi, \pi]$ par : $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } -\pi Question 1 : Calculer le coefficient $ a_0 $ de Fourier défini par $ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx $. Question 2 : Calculer les coefficients $ a_n $ pour $ n \geq 1 $, définis par $ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx $. Question 3 : Calculer les coefficients $ b_n $ pour $ n \geq 1 $, définis par $ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx $. Question 4 : Écrire la série de Fourier de $ f $ et calculer sa somme partielle $ S_2(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{2} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] $ en $ x = \frac{\pi}{2} $.→
  • 33
    Exercice 4 : Étude de convergence uniforme Soit la suite de fonctions $(f_n)$ définie sur $[0, 1]$ par : $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2}$ Question 1 : Pour chaque $x \in [0, 1]$ fixé, calculer $\lim_{n \to +\infty} f_n(x)$ en distinguant les cas $x = 0$ et $x > 0$ . En déduire la fonction limite simple $f(x)$ . Question 2 : Pour chaque $n \geq 1$ , déterminer le maximum de $f_n(x)$ sur $[0, 1]$ en étudiant la dérivée $f_n'(x)$ , puis calculer $M_n = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ . Question 3 : Calculer $\lim_{n \to +\infty} M_n$ et conclure sur la nature de la convergence (simple ou uniforme) de la suite $(f_n)$ vers $f$ sur $[0, 1]$ . Question 4 : Calculer numériquement $f_{10}(0,5)$ ,...→
  • 34
    Exercice 5 : Application du critère intégral On considère la série numérique : $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ où $p \in \mathbb{R}$ est un paramètre. Question 1 : Pour $p = 2$ , calculer l'intégrale impropre $I = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^2} dx$ en utilisant le changement de variable $u = \ln x$ . Question 2 : En déduire, par le critère intégral, la nature de la série $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2}$ . Question 3 : Pour $p = 1$ , calculer l'intégrale impropre $J = \int_{2}^{A} \frac{1}{x \ln x} dx$ avec $A > 2$ , puis étudier $\lim_{A \to +\infty} J$ . En déduire la nature de $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n}$ . Question 4 : En utilisant les résultats précédents, déterminer pour quelles valeurs de $p$ la série $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ converge. Calculer ensuite la somme partielle...→
  • 35
    Exercice 1 : Étude complète d'une série numérique On considère la série numérique définie par son terme général : $u_n = \frac{n^2 + 3n}{2^n}$ Question 1 : Calculer la limite du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ lorsque $n \to +\infty$ . Question 2 : En déduire la nature de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ en utilisant le critère de d'Alembert. Question 3 : Calculer les trois premières sommes partielles $S_1$ , $S_2$ et $S_3$ où $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$ . Question 4 : En utilisant le résultat de convergence, donner un encadrement de la somme $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ en calculant $S_5$ et en majorant le reste $R_5 = S - S_5$ .→
  • 36
    Exercice 2 : Étude d'une série entière On considère la série entière définie par : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n} x^n$ Question 1 : Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière en utilisant la règle de d'Alembert. Question 2 : Déterminer l'intervalle de convergence en étudiant les cas $x = R$ et $x = -R$ . Question 3 : Pour $x = 1$ , calculer la somme partielle $S_4(1) = \sum_{n=1}^{4} \frac{n^2}{3^n}$ . Question 4 : Sachant que la fonction somme $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n} x^n$ est dérivable sur $]-R, R[$ , calculer $f'(x)$ et évaluer $f'(1)$ en utilisant les quatre premiers termes de la série dérivée.→
  • 37
    Exercice 3 : Développement en série de Fourier Soit $f$ une fonction $2\pi$ -périodique définie sur $]-\pi, \pi]$ par : $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } -\pi Question 1 : Calculer le coefficient $ a_0 $ de Fourier défini par $ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx $. Question 2 : Calculer les coefficients $ a_n $ pour $ n \geq 1 $, définis par $ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx $. Question 3 : Calculer les coefficients $ b_n $ pour $ n \geq 1 $, définis par $ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx $. Question 4 : Écrire la série de Fourier de $ f $ et calculer sa somme partielle $ S_2(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{2} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] $ en $ x = \frac{\pi}{2} $.→
  • 38
    Exercice 4 : Étude de convergence uniforme Soit la suite de fonctions $(f_n)$ définie sur $[0, 1]$ par : $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2}$ Question 1 : Pour chaque $x \in [0, 1]$ fixé, calculer $\lim_{n \to +\infty} f_n(x)$ en distinguant les cas $x = 0$ et $x > 0$ . En déduire la fonction limite simple $f(x)$ . Question 2 : Pour chaque $n \geq 1$ , déterminer le maximum de $f_n(x)$ sur $[0, 1]$ en étudiant la dérivée $f_n'(x)$ , puis calculer $M_n = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|$ . Question 3 : Calculer $\lim_{n \to +\infty} M_n$ et conclure sur la nature de la convergence (simple ou uniforme) de la suite $(f_n)$ vers $f$ sur $[0, 1]$ . Question 4 : Calculer numériquement $f_{10}(0,5)$ ,...→
  • 39
    Exercice 5 : Application du critère intégral On considère la série numérique : $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ où $p \in \mathbb{R}$ est un paramètre. Question 1 : Pour $p = 2$ , calculer l'intégrale impropre $I = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^2} dx$ en utilisant le changement de variable $u = \ln x$ . Question 2 : En déduire, par le critère intégral, la nature de la série $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2}$ . Question 3 : Pour $p = 1$ , calculer l'intégrale impropre $J = \int_{2}^{A} \frac{1}{x \ln x} dx$ avec $A > 2$ , puis étudier $\lim_{A \to +\infty} J$ . En déduire la nature de $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n}$ . Question 4 : En utilisant les résultats précédents, déterminer pour quelles valeurs de $p$ la série $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ converge. Calculer ensuite la somme partielle...→
• Transformation de Fourier et Transformation de Laplace (37 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Résolution d'une équation différentielle par transformation de Laplace On considère l'équation différentielle $\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-2t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation différentielle. Rappel : $\mathcal{L}\{\frac{dy}{dt}\}(s) = sY(s) - y(0)$ et $\mathcal{L}\{e^{-at}\}(s) = \frac{1}{s+a}$ . Déterminer $Y(s)$ . Question 2 : Décomposer $Y(s)$ en éléments simples. Question 3 : Appliquer la transformation de Laplace inverse pour obtenir la solution $y(t)$ de l'équation différentielle. Question 4 : Vérifier la solution obtenue en la substituant dans l'équation différentielle originale et en vérifiant la condition initiale.→
  • 2
    Exercice 3 : Transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire On considère la fonction pulse définie par $f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si} \, |t| \leq a \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$ où $a = 1$ . Question 1 : Calculer la transformée de Fourier $\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$ . Question 2 : Évaluer le résultat obtenu en Question 1 pour $\omega = 0$ et vérifier que c'est l'intégrale de $f(t)$ . Question 3 : Exprimer la transformée de Fourier sous la forme de la fonction sinus cardinal $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ . Question 4 : Calculer la transformée de Fourier inverse pour vérifier que l'on retrouve $f(t)$ .→
  • 3
    Exercice 4 : Système d'équations différentielles couplées On considère le système d'équations différentielles couplées : $\begin{cases} \frac{dx}{dt} - y = 0 \\ \frac{dy}{dt} + x = 0 \end{cases}$ avec les conditions initiales $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$ . Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à chaque équation du système. Question 2 : Résoudre le système algébrique obtenu pour déterminer $X(s)$ et $Y(s)$ . Question 3 : Décomposer $X(s)$ et $Y(s)$ en éléments simples. Question 4 : Appliquer la transformation de Laplace inverse pour obtenir $x(t)$ et $y(t)$ .→
  • 4
    Exercice 5 : Convolution et réponse d'un filtre linéaire On considère une entrée $x(t) = e^{-at}$ avec $a = 1$ (pour $t \geq 0$ ) et une réponse impulsionnelle $h(t) = e^{-bt}$ avec $b = 2$ (pour $t \geq 0$ ). Question 1 : Calculer les transformées de Fourier $X(\omega) = \mathcal{F}\{x(t)\}$ et $H(\omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ . Rappel : $\mathcal{F}\{e^{-at}u(t)\}(\omega) = \frac{1}{a + i\omega}$ . Question 2 : En utilisant le théorème de convolution (la transformée de Fourier d'une convolution est le produit des transformées), calculer $Y(\omega) = X(\omega) \cdot H(\omega)$ . Question 3 : Décomposer $Y(\omega)$ en éléments simples. Question 4 : Appliquer la transformée de Fourier inverse pour obtenir $y(t) = x(t) * h(t)$ (convolution temporelle).→
  • 5
    Soit la fonction $f(t) = e^{-3t}\sin(2t)$ définie pour $t \geq 0$ . On souhaite déterminer sa transformée de Laplace et l'utiliser pour résoudre une équation différentielle. Question 1: Rappeler la définition de la transformée de Laplace $\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s)$ et identifier les formules de base pour $e^{-3t}$ et $\sin(2t)$ . Question 2: Calculer la transformée de Laplace de $f(t) = e^{-3t}\sin(2t)$ en utilisant la propriété de décalage fréquentiel (théorème de translation). Question 3: Vérifier le résultat en utilisant la formule directe $\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s) = \frac{b}{(s-a)^2 + b^2}$ . Question 4: Utiliser cette transformée pour résoudre l'équation différentielle $y' + 3y = \sin(2t)$ avec condition initiale $y(0) = 0$ en appliquant la transformation de Laplace.→
  • 6
    Soit la fonction $f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } |t| \leq a \\ 0 & \text{si } |t| > a \end{cases}$ (fonction fenêtre rectangulaire). On souhaite déterminer sa transformée de Fourier et analyser son spectre. Question 1: Rappeler la définition de la transformée de Fourier $\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)$ et identifier le domaine d'intégration. Question 2: Calculer la transformée de Fourier de la fonction fenêtre rectangulaire pour $a = 1$ . Question 3: Simplifier le résultat en utilisant la fonction $\text{sinc}(\omega) = \frac{\sin(\omega)}{\omega}$ et déterminer les zéros du spectre. Question 4: Calculer la largeur spectrale (bande passante à -3dB) et interpréter physiquement le résultat en termes d'étalement fréquentiel.→
  • 7
    Considérons un système linéaire invariant dans le temps (SLIT) décrit par la fonction de transfert $H(s) = \frac{5}{(s+1)(s+2)}$ . On souhaite analyser ce système pour une entrée $u(t) = \cos(3t)$ . Question 1: Calculer la transformée de Laplace de l'entrée $u(t) = \cos(3t)$ . Question 2: Déterminer la sortie $Y(s)$ du système en multipliant la fonction de transfert par la transformée de l'entrée. Question 3: Effectuer une décomposition en fractions partielles de $Y(s)$ . Question 4: Appliquer la transformée inverse de Laplace pour obtenir la réponse temporelle $y(t)$ .→
  • 8
    Exercice 1 : Transformation de Laplace et résolution d'équation différentielle du premier ordre Soit l'équation différentielle ordinaire (EDO) : $\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-2t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1 : Calculez la transformée de Laplace du membre de gauche $\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dt} + 3y\right\}$ en fonction de $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$ . Question 2 : Calculez la transformée de Laplace du membre de droite $\mathcal{L}\{e^{-2t}\}$ . Question 3 : Résolvez pour $Y(s)$ en utilisant l'équation transformée et effectuez une décomposition en fractions partielles. Question 4 : Calculez la transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ et vérifiez que $y(0) = 1$ .→
  • 9
    Exercice 2 : Transformation de Laplace et résolution d'équation différentielle du second ordre Considérons l'équation différentielle : $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . Question 1 : Calculez les transformées de Laplace $\mathcal{L}\left\{\frac{d^2y}{dt^2}\right\}$ , $\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dt}\right\}$ et $\mathcal{L}\{y\}$ en fonction de $Y(s)$ . Question 2 : Écrivez l'équation algébrique transformée et résolvez pour $Y(s)$ . Question 3 : Effectuez une décomposition en fractions partielles de $Y(s)$ . Question 4 : Calculez la transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ et vérifiez les conditions initiales.→
  • 10
    Exercice 3 : Transformation de Fourier et analyse spectrale Soit la fonction $f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si} \ |t| Question 1 : Calculez la transformée de Fourier continue $ F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt $. Question 2 : Montrez que la transformée peut s'exprimer comme $ F(\omega) = \frac{2\sin(a\omega)}{\omega} $ (sinc fonction). Question 3 : Calculez la transformée de Fourier à la fréquence $ \omega = \pi/a $ et interprétez le résultat. Question 4 : Pour $ a = 1 $, calculez $ F(0) $, $ F(\pi) $, et $ F(2\pi) $.→
  • 11
    Exercice 4 : Convolution et Transformation de Fourier Soit $f_1(t) = e^{-|t|}$ et $f_2(t) = e^{-2|t|}$ . Question 1 : Calculez la transformée de Fourier de $f_1(t)$ , c'est-à-dire $F_1(\omega) = \mathcal{F}\{e^{-|t|}\}$ . Question 2 : Calculez la transformée de Fourier de $f_2(t)$ , c'est-à-dire $F_2(\omega) = \mathcal{F}\{e^{-2|t|}\}$ . Question 3 : Utilisez le théorème de convolution pour calculer la transformée de Fourier du produit de convolution $\mathcal{F}\{(f_1 * f_2)(t)\} = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)$ . Question 4 : Calculez la valeur de la convolution à $t = 0$ , soit $(f_1 * f_2)(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(-\tau) d\tau$ .→
  • 12
    Exercice 5 : Transformation de Laplace et système d'équations différentielles Considérons le système d'équations différentielles couplées : $\frac{dx}{dt} = -x + y$ $\frac{dy}{dt} = x - 2y$ avec les conditions initiales $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$ . Question 1 : Appliquez la transformation de Laplace à la première équation pour obtenir une équation algébrique en $X(s)$ et $Y(s)$ . Question 2 : Appliquez la transformation de Laplace à la deuxième équation. Question 3 : Résolvez le système algébrique pour obtenir $X(s)$ et $Y(s)$ . Question 4 : Calculez les transformées de Laplace inverses pour obtenir $x(t)$ et $y(t)$ et vérifiez les conditions initiales.→
  • 13
    Exercice 1 : Transformée de Laplace d'exponentielles décalées et retour dans le domaine temporel On considère la fonction causale $f(t)$ définie pour $t \ge 0$ par $f(t) = e^{-2t}$ , ainsi que des versions décalées dans le temps utilisant la fonction de Heaviside $u(t-a)$ . Question 1 : Calculez la transformée de Laplace $\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(p)$ , pour $p > -2$ , en utilisant directement la définition de l'intégrale de Riemann impropre : $\mathcal{L}\{f(t)\}(p) = \int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t) \, dt$ . Question 2 : En utilisant la propriété de la dérivation par rapport à $p$ , calculez $\mathcal{L}\{t e^{-2t}\}(p)$ à partir de la transformée obtenue à la question 1. Question 3 : On définit la...→
  • 14
    Exercice 2 : Résolution d'une équation différentielle du premier ordre par transformée de Laplace On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre modélisant un système du premier ordre soumis à un échelon : $y'(t) + 3 y(t) = u(t)$ , où $u(t)$ est la fonction de Heaviside (échelon unité). La condition initiale est $y(0) = 0$ . Question 1 : Appliquez la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle et exprimez $Y(p) = \mathcal{L}\{y(t)\}(p)$ en fonction de $p$ , en utilisant les formules : $\mathcal{L}\{y'(t)\}(p) = p Y(p) - y(0)$ et $\mathcal{L}\{u(t)\}(p) = \dfrac{1}{p}$ . Question 2 : Résolvez l'équation algébrique en $Y(p)$ obtenue à la question 1 et mettez $Y(p)$ sous forme de...→
  • 15
    Exercice 3 : Série de Fourier d'un signal en dent de scie et approximation harmonique On considère la fonction périodique $f(t)$ de période $2\pi$ , définie sur l'intervalle fondamental $[-\pi, \pi]$ par : $f(t) = t$ . La fonction est prolongée périodiquement sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculez le coefficient moyen $a_0$ de la série de Fourier de $f(t)$ , défini par : $a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt$ . Question 2 : Calculez les coefficients $a_n$ (coefficients des cosinus) pour $n \ge 1$ , définis par : $a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt$ , et montrez par le calcul qu'ils sont nuls. Question 3 : Calculez les coefficients $b_n$ (coefficients des sinus) pour...→
  • 16
    Exercice 4 : Transformée de Fourier d'une exponentielle causale et propriété de dérivation On considère la fonction causale $f(t) = e^{-a t} u(t)$ , où $a > 0$ est une constante réelle et $u(t)$ est la fonction de Heaviside. On travaille avec la transformée de Fourier définie par : $\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} \, dt$ . Question 1 : En utilisant le fait que $f(t) = 0$ pour $t Question 2 : Calculez explicitement $ F(\omega) $ pour $ a = 1 $ et simplifiez l'expression obtenue. Question 3 : Calculez la transformée de Fourier de la dérivée $ f'(t) $ et vérifiez la propriété :$ \mathcal{F}\{f'(t)\}(\omega) = (i \omega) F(\omega) - f(0) $. Question 4 : En prenant $ a = 1 $, calculez explicitement $ \mathcal{F}\{f'(t)\}(\omega) $ à partir de la définition de $ f'(t) $ et vérifiez numériquement l'égalité avec $ (i \omega) F(\omega) - f(0) $.→
  • 17
    Exercice 5 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre par transformée de Laplace (réponse à une impulsion) On considère le système linéaire du second ordre décrit par l'équation différentielle : $y''(t) + 4 y(t) = \delta(t)$ , où $\delta(t)$ est l'impulsion de Dirac. Les conditions initiales sont $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ . Question 1 : Appliquez la transformée de Laplace aux deux membres de l'équation et exprimez $Y(p) = \mathcal{L}\{y(t)\}(p)$ en utilisant les formules : $\mathcal{L}\{y''(t)\}(p) = p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0)$ et $\mathcal{L}\{\delta(t)\}(p) = 1$ . Question 2 : Résolvez l'équation algébrique en $Y(p)$ et mettez-la sous une forme que l'on puisse inverser facilement. Question 3 : À l'aide de tables usuelles de transformées...→
  • 18
    Exercice 1 : Transformation de Laplace appliquée à une équation différentielle du premier ordre On considère l'équation différentielle $\frac{dy}{dt} + 3y = e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace. Question 1 : Calculer la transformée de Laplace $\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$ et $\mathcal{L}\{\frac{dy}{dt}\} = sY(s) - y(0)$ en utilisant la propriété de dérivation. Question 2 : Calculer la transformée de Laplace de $e^{-t}$ : $\mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1}$ , puis appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète pour obtenir une équation algébrique en $Y(s)$ . Question 3 : Résoudre l'équation algébrique pour obtenir $Y(s)$ , puis effectuer la décomposition en fractions simples....→
  • 19
    Exercice 2 : Transformation de Fourier d'une fonction exponentielle amortie On considère la fonction $f(t) = e^{-|t|}$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite calculer sa transformée de Fourier et analyser le spectre fréquentiel. Question 1 : Calculer la transformée de Fourier $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|t|}e^{-i\omega t} dt$ en séparant l'intégrale pour $t 0$ . Question 2 : Pour $t > 0$ , calculer l'intégrale $\int_0^{\infty} e^{-t}e^{-i\omega t} dt = \int_0^{\infty} e^{-(1+i\omega)t} dt$ . Question 3 : Pour $t Question 4 : Combiner les deux résultats pour obtenir la transformée de Fourier complète $ \hat{f}(\omega) $ et simplifier l'expression.→
  • 20
    Exercice 3 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre par Laplace On considère l'équation différentielle $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + y = \sin(t)$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace. Question 1 : Calculer les transformées de Laplace de $\frac{d^2y}{dt^2}$ et $\frac{dy}{dt}$ en utilisant les propriétés de dérivation avec les conditions initiales données. Question 2 : Calculer la transformée de Laplace de $\sin(t)$ : $\mathcal{L}\{\sin(t)\} = \frac{1}{s^2+1}$ , puis appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète. Question 3 : Résoudre pour $Y(s)$ en obtenant $Y(s) = \frac{s^2 + 1}{(s^2+1)(s+1)^2}$ et effectuer la décomposition en fractions partielles. Question 4 :...→
  • 21
    Exercice 4 : Théorème de convolution et transformée de Fourier On considère deux fonctions $f(t) = e^{-t}u(t)$ et $g(t) = e^{-2t}u(t)$ où $u(t)$ est la fonction échelon unitaire. On souhaite calculer leur convolution en utilisant la transformée de Fourier et le théorème de convolution. Question 1 : Calculer les transformées de Fourier $\hat{f}(\omega)$ et $\hat{g}(\omega)$ des deux fonctions. Question 2 : En utilisant le théorème de convolution $\mathcal{F}\{(f * g)(t)\} = \hat{f}(\omega) \cdot \hat{g}(\omega)$ , calculer le produit $\hat{f}(\omega) \cdot \hat{g}(\omega)$ . Question 3 : Décomposer le produit en fractions simples pour faciliter l'inversion. Question 4 : Calculer la transformée de Fourier inverse pour obtenir $(f * g)(t)$ .→
  • 22
    Exercice 5 : Résolution d'un système d'équations différentielles par Laplace On considère le système d'équations différentielles : $\begin{cases} \frac{dx}{dt} + x + y = e^{-t} \ \frac{dy}{dt} - x + y = 0 \end{cases}$ avec les conditions initiales $x(0) = 1$ et $y(0) = 0$ . On souhaite résoudre ce système en utilisant la transformation de Laplace. Question 1 : Appliquer la transformée de Laplace à chaque équation du système pour obtenir deux équations algébriques en $X(s)$ et $Y(s)$ . Question 2 : Calculer le déterminant de la matrice des coefficients et résoudre pour $X(s)$ en utilisant la règle de Cramer. Question 3 : Résoudre pour $Y(s)$ en utilisant la même méthode, puis effectuer les décompositions en fractions partielles pour...→
  • 23
    Exercice 1 : Transformation de Laplace et résolution d'équation différentielle du premier ordre On considère l'équation différentielle du premier ordre avec condition initiale : $\frac{dy}{dt} + 2y = 4t$ avec $y(0) = 1$ . On résoudra cette équation en utilisant la transformation de Laplace. Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle. Rappel : $\mathcal{L}\{\frac{dy}{dt}\} = sY(s) - y(0)$ et $\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}$ . Question 2 : Résoudre l'équation transformée en $Y(s)$ et exprimer $Y(s)$ sous forme de fractions partielles. Question 3 : Appliquer la transformation de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ . On utilisera $\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-a}\} = e^{at}$ et les propriétés de linéarité. Question 4 : Vérifier la...→
  • 24
    Exercice 2 : Transformation de Laplace pour équation différentielle du second ordre On considère l'équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = \sin(t)$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 1$ . On résoudra cette équation par transformation de Laplace. Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation différentielle complète. Rappel : $\mathcal{L}\{\frac{d^2y}{dt^2}\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ et $\mathcal{L}\{\sin(t)\} = \frac{1}{s^2+1}$ . Question 2 : Résoudre pour $Y(s)$ et effectuer la décomposition en fractions partielles. Question 3 : Calculer les transformations de Laplace inverses de chaque fraction pour obtenir $y(t)$ . Question 4 : Identifier les composantes homogène et particulière de la solution et discuter du comportement...→
  • 25
    Exercice 3 : Transformation de Fourier et analyse spectrale d'un signal On considère un signal aperiodique $f(t) = e^{-|t|}$ défini pour tous les temps réels $t \in \mathbb{R}$ . On souhaite calculer sa transformée de Fourier pour obtenir son spectre fréquentiel. Question 1 : Calculer la transformée de Fourier directe $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|t|} e^{-i\omega t} \, dt$ en séparant l'intégrale en deux régions : $t 0$ . Question 2 : Simplifier l'expression de $F(\omega)$ et montrer que le résultat est une fonction réelle paire de $\omega$ . Question 3 : Calculer le spectre d'amplitude $|F(\omega)|$ et le spectre de phase $\arg(F(\omega))$ . Question 4 : Déterminer la largeur de bande essentielle...→
  • 26
    Exercice 4 : Application de la transformation de Laplace à un système électrique On considère un circuit RLC série alimenté par une tension d'entrée $v_{in}(t) = 10u(t)$ (échelon unitaire), avec $R = 2\Omega$ , $L = 1H$ , $C = 0.5F$ . Les conditions initiales sont $i(0) = 0$ et $v_C(0) = 0$ . On souhaite calculer le courant $i(t)$ et la tension aux bornes du condensateur $v_C(t)$ . Question 1 : Écrire l'équation différentielle régissant le circuit en utilisant la loi de Kirchhoff des tensions : $L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = v_{in}(t)$ où $i = \frac{dq}{dt}$ . Question 2 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation pour obtenir l'expression du courant $I(s)$ en fonction des paramètres du...→
  • 27
    Exercice 5 : Transformation de Fourier appliquée à la convolution et filtrage On considère un signal d'entrée $x(t) = \sin(2\pi t)$ (sinusoïde à 1 Hz) et une réponse impulsionnelle d'un filtre $h(t) = e^{-t}u(t)$ (exponentielle décroissante). On souhaite calculer la réponse du système et analyser son contenu fréquentiel. Question 1 : Calculer la transformée de Fourier du signal d'entrée $X(f)$ et de la réponse impulsionnelle $H(f)$ du filtre. Question 2 : Utiliser le théorème de convolution pour déterminer la sortie $Y(f) = X(f) \cdot H(f)$ dans le domaine fréquentiel. Question 3 : Calculer les transformées de Fourier inverses pour obtenir $y(t)$ en utilisant la décomposition en fractions partielles si...→
  • 28
    Exercice 1 : Résolution d'une équation différentielle par transformation de Laplace On considère l'équation différentielle $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace. Question 1 : Calculer la transformée de Laplace $\mathcal{L}\{\frac{dy}{dt}\}$ en fonction de $\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$ en utilisant la propriété de dérivation. Puis calculer $\mathcal{L}\{e^{-t}\}$ . Question 2 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ pour obtenir une équation algébrique en $Y(s)$ . Résoudre pour $Y(s)$ en tenant compte de la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 3 : Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles. Identifier chaque terme et...→
  • 29
    Exercice 2 : Résolution d'une équation différentielle du second ordre par Laplace On considère l'équation différentielle $\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 1$ . On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace. Question 1 : Calculer les transformées de Laplace $\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dt}\right\}$ et $\mathcal{L}\left\{\frac{d^2y}{dt^2}\right\}$ en utilisant les propriétés de dérivation et les conditions initiales données. Question 2 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation complète pour obtenir une équation algébrique en $Y(s)$ . Résoudre pour $Y(s)$ . Question 3 : Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles et identifier les pôles de la fonction de transfert. Exprimer les...→
  • 30
    Exercice 3 : Transformation de Fourier d'une fonction d'impulsion et analyse spectrale On considère une fonction d'impulsion rectangulaire $f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } |t| \leq a \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$ où $a > 0$ . On souhaite calculer sa transformée de Fourier et analyser son spectre. Question 1 : Calculer la transformée de Fourier $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$ de la fonction d'impulsion rectangulaire. Exprimer le résultat en fonction de $\sin(\omega a)$ . Question 2 : Exprimer $F(\omega)$ sous forme normalisée utilisant la fonction $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ . Calculer numériquement $|F(\omega)|$ pour $a = 1$ et $\omega = 0, \pi, 2\pi$ . Question 3 : Déterminer la largeur de bande du signal en identifiant la première fréquence d'annulation (zéro du spectre). Calculer aussi l'énergie totale du...→
  • 31
    Exercice 4 : Transformée de Laplace d'une onde carrée périodique On considère une onde carrée périodique $f(t)$ de période $T = 2$ définie par $f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 \leq t Question 1 : Calculer la transformée de Laplace $ F_1(s) $ d'une période de la fonction (l'impulsion unitaire de hauteur 1 entre 0 et 1, puis de hauteur -1 entre 1 et 2). Utiliser la propriété de décalage temporel pour simplifier. Question 2 : Utiliser la formule pour les fonctions périodiques $ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{F_1(s)}{1 - e^{-sT}} $ pour calculer la transformée de Laplace complète de l'onde carrée. Simplifier en fonction de $ s $. Question 3 : Calculer numériquement $ \mathcal{L}\{f(t)\} $ pour $ s = 0.1, 0.5, 1 $. Montrer comment la transformée varie avec $ s $. Question 4 : On applique cette onde carrée comme entrée à un système avec la fonction de transfert $ H(s) = \frac{1}{s + 1} $. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $ Y(s) = H(s) \mathcal{L}\{f(t)\} $ et obtenir la réponse temporelle $ y(t) $ en effectuant la décomposition en fractions partielles et la transformée inverse.→
  • 32
    Exercice 5 : Résolution d'une équation de diffusion thermique par transformée de Laplace On considère l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ avec les conditions aux limites $u(0, t) = 1$ (température constante à $x = 0$ ) et $u(x, t) \to 0$ quand $x \to \infty$ , et la condition initiale $u(x, 0) = 0$ (température initiale nulle). On souhaite résoudre cette équation en utilisant la transformation de Laplace par rapport au temps. Question 1 : Appliquer la transformation de Laplace à l'équation de diffusion par rapport au temps pour obtenir une équation différentielle ordinaire en $x$ . Désigner $U(x, s) = \mathcal{L}\{u(x, t)\}$ et identifier les conditions aux limites transformées. Question 2 : Résoudre l'équation différentielle...→
  • 33
    Soit l'équation différentielle du premier ordre: $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ , avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1: Calculer la transformée de Laplace de chaque terme de l'équation différentielle. Utiliser les propriétés: $\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dt}\right\} = sY(s) - y(0)$ et $\mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1}$ . Question 2: À partir des transformées de Laplace obtenues, établir l'équation algébrique en $Y(s)$ et résoudre pour $Y(s)$ . Question 3: Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles pour faciliter l'utilisation de la table de transformées inverses. Question 4: Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir la solution $y(t)$ et vérifier qu'elle satisfait la condition initiale $y(0) = 1$ .→
  • 34
    Soit l'équation différentielle du second ordre: $\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$ , avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . Question 1: Appliquer la transformée de Laplace à l'équation différentielle en utilisant les formules: $\mathcal{L}\left\{\frac{d^2y}{dt^2}\right\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ et $\mathcal{L}\left\{\frac{dy}{dt}\right\} = sY(s) - y(0)$ . Question 2: Établir l'équation algébrique en $Y(s)$ et résoudre pour $Y(s)$ . Question 3: Décomposer $Y(s)$ en fractions partielles pour identifier les pôles. Question 4: Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir $y(t)$ et vérifier les conditions initiales.→
  • 35
    Soit le signal $f(t) = e^{-|t|}$ défini pour $t \in \mathbb{R}$ . On souhaite calculer sa transformée de Fourier. Question 1: Écrire la définition de la transformée de Fourier et exprimer $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$ pour la fonction donnée. Question 2: Diviser l'intégrale en deux parties ( $t 0$ ) et calculer chaque intégrale en utilisant l'intégration par parties ou les formules d'intégrales exponentielles. Question 3: Combiner les résultats pour obtenir la transformée de Fourier $F(\omega)$ en fonction de $\omega$ . Question 4: Calculer l'énergie du signal en utilisant le théorème de Parseval: $E = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$ .→
  • 36
    Soit l'équation de diffusion (équation de la chaleur): $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ avec la condition initiale $u(x, 0) = e^{-x^2}$ . Question 1: Appliquer la transformée de Fourier par rapport à x pour transformer l'équation aux dérivées partielles en une équation différentielle ordinaire en $U(\omega, t)$ . Question 2: Utiliser les propriétés de la transformée de Fourier, notamment $\mathcal{F}\left\{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right\} = -(i\omega)^2 U(\omega, t) = -\omega^2 U(\omega, t)$ , pour établir l'équation ordinaire. Question 3: Résoudre l'équation différentielle ordinaire obtenue avec la condition initiale $U(\omega, 0) = \mathcal{F}\{e^{-x^2}\} = \sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ . Question 4: Appliquer la transformée de Fourier inverse pour obtenir $u(x, t)$ et vérifier qu'elle satisfait les conditions initiales.→
  • 37
    Soit un circuit RL série avec une tension d'entrée $e(t) = 10\cos(t)$ , une inductance $L = 1$ H et une résistance $R = 2$ Ω. L'équation du circuit est $L\frac{di}{dt} + Ri = e(t)$ avec la condition initiale $i(0) = 0$ . Question 1: Appliquer la transformée de Laplace à l'équation du circuit en utilisant $\mathcal{L}\{\cos(t)\} = \frac{s}{s^2+1}$ et $\mathcal{L}\left\{\frac{di}{dt}\right\} = sI(s) - i(0)$ . Question 2: Établir l'équation algébrique en $I(s)$ et résoudre pour obtenir la transformée de Laplace du courant. Question 3: Décomposer $I(s)$ en fractions partielles et identifier tous les pôles et résidus. Question 4: Calculer la transformée de Laplace inverse pour obtenir le courant $i(t)$ dans le domaine temporel et analyser son comportement....→
• Les ensembles, les relations et les applications (26 Exercices)
  • 1
    Soit l'ensemble universel $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ et les sous-ensembles $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ , et $C = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ . Question 1: Déterminer $A \cap B$ , $B \cap C$ , $A \cup C$ , et $(A \cup B) \cap C$ . Question 2: Calculer le cardinal de l'ensemble $A \triangle B$ (différence symétrique), défini par $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ , puis calculer $|A \triangle C|$ . Question 3: Déterminer le complémentaire de $A \cap B$ dans $U$ , noté $\overline{A \cap B}$ , puis vérifier la loi de De Morgan en calculant $\overline{A} \cup \overline{B}$ . Question 4: Soit $D = A \times B$ le produit cartésien de $A$ et $B$ . Calculer $|D|$ et donner trois éléments distincts de $D$ .→
  • 2
    Soit $E = \mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par: $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \equiv 0 \pmod{5}$ Question 1: Vérifier que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence en calculant explicitement pour les couples $(7, 12)$ , $(12, 7)$ , $(7, 7)$ , et $(7, 17)$ si la relation est satisfaite. Question 2: Déterminer la classe d'équivalence de $0$ , notée $\overline{0}$ , puis calculer $\overline{3}$ et vérifier que $\overline{3} = \overline{8}$ . Question 3: Calculer le nombre d'éléments de l'ensemble $\{-10, -9, -8, ..., 9, 10\}$ qui appartiennent à la classe $\overline{2}$ . Question 4: Soit $E/\mathcal{R}$ l'ensemble quotient. Déterminer $|E/\mathcal{R}|$ et calculer $\overline{1} + \overline{3}$ dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ , puis $\overline{2} \times \overline{4}$ .→
  • 3
    Soit $E = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par: $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \text{ divise } y$ (noté $x | y$ ) Question 1: Calculer le nombre de couples $(x, y)$ tels que $x \mathcal{R} y$ en vérifiant systématiquement toutes les divisions possibles dans $E \times E$ . Donner explicitement tous ces couples. Question 2: Pour le sous-ensemble $A = \{2, 6, 18\}$ , déterminer si $A$ admet un majorant dans $E$ , puis calculer $\sup(A)$ (borne supérieure) et $\max(A)$ (maximum) si ils existent. Question 3: Pour le sous-ensemble $B = \{6, 9\}$ , calculer l'ensemble des majorants de $B$ dans $E$ , puis déterminer $\inf(B)$ (borne inférieure). Question 4: Calculer la longueur de la plus longue chaîne dans $(E, \mathcal{R})$ ,...→
  • 4
    Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x + 3$ , et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2 - 4$ . Question 1: Pour la fonction $f$ , calculer $f(5)$ , $f(-2)$ , puis résoudre $f(x) = 13$ pour déterminer l'antécédent de $13$ . Vérifier ensuite si $f$ est injective en montrant que $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ . Question 2: Pour la fonction $g$ , calculer $g(3)$ , $g(-3)$ , et $g(0)$ . Vérifier si $g$ est injective en testant si $g(2) = g(-2)$ . Question 3: Soit $A = [1, 4]$ et calculer l'image directe $f(A)$ en déterminant $f(1)$ et $f(4)$ . Puis calculer l'image réciproque $f^{-1}(B)$ où $B = [7, 11]$ en résolvant $f(x) = 7$ et $f(x) = 11$ . Question 4: Calculer...→
  • 5
    Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ , $A = \{x \in E \mid x \text{ est pair}\}$ , $B = \{x \in E \mid x \leq 6\}$ et $C = \{x \in E \mid x \text{ est premier}\}$ . Question 1: Déterminer explicitement les ensembles $A$ , $B$ et $C$ , puis calculer $|A|$ , $|B|$ et $|C|$ . Question 2: Calculer $A \cap B$ , $A \cup C$ et $B \setminus C$ . Déterminer leurs cardinaux respectifs. Question 3: Calculer $\overline{A}$ (le complémentaire de $A$ dans $E$ ), puis déterminer $(A \cup B) \cap C$ et son cardinal. Question 4: Vérifier la formule du crible : $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$ en calculant explicitement chaque terme.→
  • 6
    On considère l'ensemble $E = \mathbb{Z}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie par: pour tous $x, y \in \mathbb{Z}$ , $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x - y \equiv 0 \pmod{5}$ . Question 1: Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence en vérifiant les trois propriétés (réflexivité, symétrie, transitivité). Pour chaque propriété, effectuer les calculs nécessaires avec des éléments génériques. Question 2: Déterminer explicitement les classes d'équivalence $\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ modulo $5$ . Pour chaque classe, donner au moins $5$ éléments. Question 3: Calculer le nombre d'éléments de l'ensemble $A = \{-12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23\}$ qui appartiennent à la classe $\overline{3}$ . Vérifier explicitement pour chaque élément. Question 4: Soit $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -20 \leq x \leq 20\}$ . Calculer le...→
  • 7
    Soit $E = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par: $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x$ divise $y$ (noté $x \mid y$ ). Question 1: Vérifier que $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre en démontrant par calcul la réflexivité, l'antisymétrie et la transitivité pour des éléments génériques de $E$ . Question 2: Déterminer tous les couples $(x, y)$ de $E \times E$ tels que $x \mathcal{R} y$ avec $x \neq y$ . Calculer le nombre total de tels couples. Question 3: Pour chaque élément de $E$ , calculer le nombre de ses diviseurs dans $E$ (y compris lui-même) et le nombre de ses multiples dans $E$ (y compris lui-même). Question...→
  • 8
    Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x + 3$ , $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ définie par $g(x) = x^2$ , et $h: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ définie par $h(x) = x^2$ . Question 1: Pour l'application $f$ , montrer par le calcul qu'elle est injective en résolvant $f(x_1) = f(x_2)$ , puis montrer qu'elle est surjective en résolvant $f(x) = y$ pour tout $y \in \mathbb{R}$ . Conclure sur la bijectivité et calculer $f^{-1}(y)$ . Question 2: Pour l'application $g$ , vérifier l'injectivité en testant $g(-2)$ et $g(2)$ . Ensuite, montrer par calcul que $g$ n'est pas surjective en cherchant les antécédents de $y = -1$ . Question 3: Pour l'application $h$ , montrer par le calcul qu'elle est injective sur $\mathbb{R}^+$ en...→
  • 9
    Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ un ensemble et $f : E \rightarrow E$ une application définie par $f(x) = 2x \mod 7$ . Soit également les sous-ensembles $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{2, 4, 6\}$ de $E$ . Question 1: Calculer l'image directe $f(A)$ de l'ensemble $A$ par l'application $f$ . Question 2: Déterminer l'image réciproque $f^{-1}(B)$ de l'ensemble $B$ par l'application $f$ . Question 3: Calculer le cardinal de l'ensemble $f(A) \cap f^{-1}(B)$ . Question 4: En utilisant les résultats précédents, déterminer si l'application $f$ est injective, surjective ou bijective. Justifier par le calcul du cardinal de l'image $\text{Im}(f)$ et la vérification de l'injectivité.→
  • 10
    Soit $E = \{a, b, c, d\}$ un ensemble et $\mathcal{R}$ une relation sur $E$ définie par sa matrice: $M_{\mathcal{R}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ où les lignes et colonnes correspondent respectivement à $a, b, c, d$ . Question 1: Calculer la matrice $M_{\mathcal{R}^2}$ de la relation composée $\mathcal{R} \circ \mathcal{R}$ (produit matriciel booléen). Question 2: Vérifier si $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence en calculant le nombre de propriétés satisfaites (réflexivité, symétrie, transitivité) parmi $3$ . Question 3: Déterminer le nombre de classes d'équivalence distinctes si $\mathcal{R}$ est modifiée en $\mathcal{R}'$ en ajoutant les paires $(c,a)$ et $(a,c)$ . Calculer le cardinal de chaque classe. Question 4: Calculer le nombre total de relations d'équivalence possibles...→
  • 11
    Soit $E = \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ et l'application $g: E \rightarrow E$ définie par $g(x) = 3x + 5 \mod 10$ . Soit également $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ l'ensemble des nombres pairs de $E$ et $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ l'ensemble des nombres impairs. Question 1: Calculer l'image directe $g(A)$ et déterminer son cardinal $|g(A)|$ . Question 2: Calculer l'ensemble $C = g^{-1}(g(A))$ et vérifier si $A \subseteq C$ en calculant $|A \cap C|$ . Question 3: Déterminer le noyau de l'application $\ker(g) = \{(x,y) \in E \times E : g(x) = g(y)\}$ et calculer le nombre de paires $(x,y)$ avec $x Question 4: En utilisant le résultat du noyau, calculer le cardinal de l'image $ |\text{Im}(g)| $ puis déduire le degré moyen de surjectivité défini par $ \frac{|E|}{|\text{Im}(g)|} $.→
  • 12
    Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ et $\leq$ une relation d'ordre partiel sur $E$ définie par: $x \leq y$ si et seulement si $x$ divise $y$ (relation de divisibilité). Question 1: Construire l'ensemble $P$ de toutes les paires ordonnées $(x,y)$ vérifiant $x \leq y$ avec $x \neq y$ , puis calculer le cardinal $|P|$ . Question 2: Pour le sous-ensemble $S = \{2, 4, 5\}$ , déterminer l'ensemble des majorants de $S$ dans $E$ et calculer le nombre de ces majorants. Question 3: Calculer le nombre de chaînes maximales dans le diagramme de Hasse de $(E, \leq)$ en énumérant toutes les chaînes de longueur maximale de $1$ à un multiple de $5$ . Question 4:...→
  • 13
    Soit $E = \{0, 1, 2, 3\}$ et $F = \{a, b, c\}$ deux ensembles. Considérons l'application $h: E \rightarrow F$ définie par: $h(0) = a, h(1) = b, h(2) = b, h(3) = c$ . Question 1: Calculer le nombre de fibres non vides de $h$ (c'est-à-dire le nombre d'images réciproques distinctes et non vides), puis déterminer le cardinal de chaque fibre $h^{-1}(\{y\})$ pour tout $y \in F$ . Question 2: Soit $A_1 = \{0, 1\}$ et $A_2 = \{2, 3\}$ . Calculer $h(A_1) \cup h(A_2)$ et $h(A_1 \cup A_2)$ , puis vérifier l'égalité en calculant $|h(A_1) \cup h(A_2)| - |h(A_1 \cup A_2)|$ . Question 3: Pour l'ensemble $B = \{a, c\} \subseteq F$ , calculer $h^{-1}(B)$ puis l'image directe $h(h^{-1}(B))$ . Déterminer le cardinal de $B \setminus h(h^{-1}(B))$ . Question 4: Calculer le nombre total d'applications de $E$ dans $F$ ayant exactement $2$ fibres non vides...→
  • 14
    Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ , $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ et $C = \{2, 4, 6, 8\}$ trois sous-ensembles de $E$ . Question 1 : Calculer le cardinal de l'ensemble $(A \cup B) \cap C$ . Question 2 : Déterminer le cardinal de l'ensemble $\mathcal{P}(A \cap B \cap C)$ où $\mathcal{P}$ désigne l'ensemble des parties. Question 3 : Calculer le nombre d'applications distinctes de $A \cap B \cap C$ dans $\{0, 1\}$ . Question 4 : Sachant que $|A \Delta B| = |(A \setminus B) \cup (B \setminus A)|$ , calculer $|A \Delta B|$ puis en déduire $|(A \Delta B) \cap C|$ .→
  • 15
    Soit $E = \mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs et $n = 5$ . On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $E$ par : pour tous $x, y \in E$ , $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \equiv 0 \pmod{n}$ (c'est-à-dire $n$ divise $x - y$ ). Question 1 : Déterminer les éléments de la classe d'équivalence $\overline{3}$ qui sont compris entre $-10$ et $20$ , puis calculer le cardinal de cet ensemble. Question 2 : Calculer le nombre total de classes d'équivalence distinctes de $E/\mathcal{R}$ (l'ensemble quotient). Question 3 : Pour la classe $\overline{0}$ , déterminer combien d'éléments de cette classe appartiennent à l'intervalle $[0, 25]$ , puis calculer leur somme. Question 4 : Calculer le nombre d'applications $f: E/\mathcal{R} \to \{0, 1, 2\}$...→
  • 16
    Soit $A = \{2, 3, 6, 12, 24\}$ et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $A$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x$ divise $y$ (noté $x | y$ ). Cette relation est une relation d'ordre partiel. Question 1 : Calculer le nombre total de couples $(x, y) \in A \times A$ tels que $x \mathcal{R} y$ (c'est-à-dire le nombre d'éléments de la relation $\mathcal{R}$ ). Question 2 : Déterminer le nombre de chaînes de longueur $3$ dans cet ordre partiel, c'est-à-dire le nombre de triplets $(a, b, c)$ avec $a, b, c \in A$ distincts tels que $a | b$ et $b | c$ . Question 3 : Pour l'élément $x = 6$ , calculer le cardinal de l'ensemble des majorants de $x$ dans $A$ (éléments $y \in A$ tels que $x \mathcal{R} y$ )....→
  • 17
    Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 3x - 5$ , $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}$ définie par $g(x) = x^2$ , et $h: [0, 10] \to \mathbb{R}$ définie par $h(x) = 2x + 1$ . Question 1 : Pour l'application $f$ , calculer les antécédents de $y = 7$ , puis déterminer le nombre total d'antécédents. Question 2 : Pour l'application $g$ , déterminer le cardinal de l'ensemble $g^{-1}(\{4\})$ (l'image réciproque de $\{4\}$ ). Question 3 : Pour l'application $h$ , calculer le cardinal de l'image $h([2, 5])$ sachant que $[2, 5] \subset [0, 10]$ , puis déterminer si cet ensemble image est un intervalle et préciser ses bornes. Question 4 : Soit $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{a, b\}$ . Calculer le nombre d'applications injectives possibles de $A$...→
  • 18
    Exercice 1 : Opérations sur les ensembles et cardinal Soit l'ensemble universel $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ . On considère les sous-ensembles suivants : $A = \{x \in U \mid x \text{ est pair}\}$ $B = \{x \in U \mid x \leq 5\}$ $C = \{x \in U \mid x \text{ est premier}\}$ Question 1 : Déterminer explicitement les ensembles $A$ , $B$ et $C$ , puis calculer $\text{Card}(A)$ , $\text{Card}(B)$ et $\text{Card}(C)$ . Question 2 : Calculer $A \cap B$ , $A \cup C$ et $B \setminus A$ . Déterminer ensuite $\text{Card}(A \cap B)$ , $\text{Card}(A \cup C)$ et $\text{Card}(B \setminus A)$ . Question 3 : Calculer le complément de $A$ dans $U$ , noté $\overline{A}$ ou $A^c$ . Vérifier ensuite que $\text{Card}(A) + \text{Card}(A^c) = \text{Card}(U)$ . Question 4 : Calculer $(A \cup B) \cap C$ et $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ . Vérifier la loi de distributivité de l'intersection par rapport...→
  • 19
    Exercice 2 : Relations d'équivalence et classes d'équivalence Soit l'ensemble $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ . On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $E$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \equiv y \pmod{3}$ Autrement dit, $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x$ et $y$ ont le même reste dans la division par $3$ . Question 1 : Déterminer tous les couples $(x, y)$ tels que $x \mathcal{R} y$ avec $x \leq y$ et $x, y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Calculer le nombre total de ces couples. Question 2 : Déterminer la classe d'équivalence de $0$ , notée $\overline{0}$ ou $[0]$ , la classe d'équivalence de $1$ , notée $\overline{1}$ , et la classe d'équivalence de $2$ , notée $\overline{2}$ . Calculer...→
  • 20
    Exercice 3 : Relations d'ordre et éléments particuliers Soit l'ensemble $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\}$ et la relation $\mathcal{R}$ sur $A$ définie par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \text{ divise } y$ On note $x \mid y$ si $x$ divise $y$ . Question 1 : Déterminer tous les diviseurs de $18$ dans l'ensemble $A$ , c'est-à-dire tous les éléments $x \in A$ tels que $x \mid 18$ . Calculer le nombre de ces diviseurs. Question 2 : Pour l'élément $12$ , déterminer tous ses diviseurs dans $A$ (éléments $x$ tels que $x \mid 12$ ) et tous ses multiples dans $A$ (éléments $y$ tels que $12 \mid y$ ). Calculer le nombre total d'éléments en relation avec $12$ . Question 3...→
  • 21
    Exercice 4 : Applications et leurs propriétés Soit les ensembles $E = \{1, 2, 3, 4\}$ et $F = \{a, b, c\}$ . On définit les applications suivantes : $f: E \rightarrow F$ définie par : $f(1) = a$ , $f(2) = b$ , $f(3) = c$ , $f(4) = b$ $g: E \rightarrow F$ définie par : $g(1) = a$ , $g(2) = a$ , $g(3) = a$ , $g(4) = a$ Question 1 : Pour l'application $f$ , déterminer l'image directe de $A = \{1, 3\}$ , notée $f(A)$ , et l'image réciproque de $B = \{b, c\}$ , notée $f^{-1}(B)$ . Calculer $\text{Card}(f(A))$ et $\text{Card}(f^{-1}(B))$ . Question 2 : Pour l'application $f$ , déterminer si $f$ est injective en vérifiant si pour tous $x_1, x_2 \in E$ avec $x_1 \neq x_2$ , on a $f(x_1) \neq f(x_2)$ . Calculer le nombre...→
  • 22
    Soit l'ensemble universel $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ , et trois sous-ensembles définis comme suit : $A = \{x \in U \mid x \text{ est pair}\}$ $B = \{x \in U \mid x \leq 6\}$ $C = \{x \in U \mid x \text{ est un multiple de 3}\}$ Question 1 : Déterminer explicitement les ensembles $A$ , $B$ et $C$ , puis calculer leurs cardinaux respectifs $|A|$ , $|B|$ et $|C|$ . Question 2 : Calculer les ensembles $A \cap B$ , $A \cup C$ , et $(A \cap B) \cup C$ . Déterminer ensuite le cardinal de $(A \cap B) \cup C$ . Question 3 : Calculer le complémentaire de $A$ dans $U$ , noté $\overline{A}$ (ou $A^c$ ), puis déterminer l'ensemble $\overline{A} \cap (B \cup C)$ et son cardinal. Question 4 : En utilisant le principe d'inclusion-exclusion, calculer le cardinal de $A \cup B \cup C$ , c'est-à-dire $|A \cup B \cup C|$ , en...→
  • 23
    On considère l'ensemble $E = \mathbb{Z}$ (l'ensemble des entiers relatifs) et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x - y \equiv 0 \pmod{5}$ Autrement dit, $x$ est en relation avec $y$ si leur différence est divisible par $5$ . Question 1 : Déterminer si les paires suivantes sont en relation : $(7, 12)$ , $(15, -5)$ , et $(-3, 8)$ . Pour chaque paire $(a, b)$ , calculer $a - b$ et vérifier si le résultat est divisible par $5$ . Question 2 : Déterminer explicitement la classe d'équivalence de $0$ , notée $\overline{0}$ ou $[0]$ , et la classe d'équivalence de $2$ , notée $\overline{2}$ ou $[2]$ . Donner au...→
  • 24
    Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ , l'ensemble des diviseurs positifs de $24$ , et la relation $\mathcal{R}$ définie sur $E$ par : $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x \text{ divise } y$ On note $x \mid y$ lorsque $x$ divise $y$ . Question 1 : Vérifier que la relation $\mathcal{R}$ est une relation d'ordre en calculant et vérifiant trois exemples concrets pour chacune des trois propriétés suivantes : Réflexivité : vérifier pour $x = 2, 6, 12$ Antisymétrie : vérifier pour les paires $(2, 4)$ et $(4, 2)$ Transitivité : vérifier pour $2 \mid 6$ et $6 \mid 12$ Question 2 : Déterminer tous les éléments minimaux et tous les éléments maximaux de $(E, \mathcal{R})$ . Pour chaque candidat potentiel, vérifier qu'aucun autre élément ne...→
  • 25
    Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x - 3$ , et $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2$ . Question 1 : Pour l'application $f$ , démontrer qu'elle est injective en résolvant l'équation $f(x_1) = f(x_2)$ pour $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ . Ensuite, démontrer qu'elle est surjective en résolvant l'équation $f(x) = y$ pour un $y$ quelconque dans $\mathbb{R}$ et en exprimant $x$ en fonction de $y$ . Question 2 : Pour l'application $g$ , vérifier si elle est injective en testant si $g(-2) = g(2)$ . Calculer ces deux valeurs. Ensuite, vérifier si elle est surjective en cherchant s'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $g(x) = -4$ . Résoudre l'équation $x^2 = -4$ dans $\mathbb{R}$ . Question 3 : Calculer...→
  • 26
    Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 + 1$ . Question 1 : Calculer l'image directe de l'ensemble $A = [-2, 1]$ par $f$ , c'est-à-dire $f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$ . Pour cela, déterminer le minimum et le maximum de $f(x)$ sur $[-2, 1]$ en évaluant $f$ aux points critiques et aux bornes : calculer $f(-2)$ , $f(0)$ , et $f(1)$ . Question 2 : Calculer l'image réciproque de l'ensemble $B = [1, 5]$ par $f$ , c'est-à-dire $f^{-1}(B) = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in B\}$ . Résoudre les inéquations $1 \leq x^2 + 1 \leq 5$ , soit $0 \leq x^2 \leq 4$ , et déterminer l'ensemble des $x$ qui satisfont ces conditions. Question 3 : Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = 2x - 1$ . Calculer la composée $f \circ g$ et $g \circ f$ . Pour...→
• Les fonctions (38 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Étude d'une fonction rationnelle avec limite et continuité Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ définie sur son domaine de définition. Question 1 : Déterminer le domaine de définition de $f(x)$ et calculer les limites de $f(x)$ aux bornes du domaine. Question 2 : Calculer $\lim_{x \to 2} f(x)$ en levant l'indétermination. Question 3 : Déterminer si $f$ peut être prolongée par continuité en $x = 2$ . Si oui, donner la valeur du prolongement $\tilde{f}(2)$ . Question 4 : Calculer la dérivée $\tilde{f}'(2)$ de la fonction prolongée en utilisant la définition de la dérivée.→
  • 2
    Exercice 2 : Analyse d'une fonction logarithmique et exponentielle composée Soit la fonction $g(x) = \ln(e^{2x} + e^x - 2)$ définie sur un domaine à déterminer. Question 1 : Déterminer le domaine de définition $D_g$ de la fonction $g(x)$ en résolvant l'inéquation $e^{2x} + e^x - 2 > 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ et simplifier l'expression obtenue en factorisant le numérateur. Question 3 : Résoudre l'équation $g'(x) = 0$ pour trouver les points critiques de $g$ . Question 4 : Calculer $g''(0)$ où $g''$ est la dérivée seconde de $g$ , et déterminer la nature du point critique trouvé à la question 3.→
  • 3
    Exercice 3 : Étude d'une fonction avec puissance et continuité Soit la fonction $h(x) = (x^2 + 1)^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{2}{3}}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculer $h(0)$ , $h(1)$ , et $h(8)$ en donnant les résultats sous forme exacte puis sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près. Question 2 : Calculer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}^*$ (ensemble des réels non nuls). Question 3 : Étudier la dérivabilité de $h$ en $x = 0$ en calculant les dérivées à droite et à gauche : $h'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{h(x) - h(0)}{x}$ et $h'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{h(x) - h(0)}{x}$ . Question 4 : Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ pour $x > 0$ et calculer la valeur exacte de $x_0$...→
  • 4
    Exercice 4 : Fonctions hyperboliques et équations On considère la fonction hyperbolique $f(x) = \cosh(2x) - 3\sinh(x)$ où $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ . Question 1 : Exprimer $f(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$ , puis simplifier l'expression. Question 2 : Résoudre l'équation $f(x) = 0$ en posant $t = e^x$ et en résolvant l'équation du second degré obtenue. Question 3 : Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant les dérivées des fonctions hyperboliques : $\cosh'(x) = \sinh(x)$ et $\sinh'(x) = \cosh(x)$ . Question 4 : Vérifier que $x_1$ (la solution positive trouvée à la question 2) est un extremum local en calculant $f'(x_1)$ et en étudiant le signe de $f'(x)$ au voisinage de...→
  • 5
    Exercice 5 : Fonction trigonométrique inverse et équation Soit la fonction $k(x) = \arctan(2x) + \arctan\left(\frac{1}{1-x^2}\right)$ définie sur un domaine à déterminer. Question 1 : Déterminer le domaine de définition $D_k$ de la fonction $k(x)$ en tenant compte des conditions d'existence de chaque terme. Question 2 : Calculer $k'(x)$ en utilisant la formule de dérivation : $\left[\arctan(u)\right]' = \frac{u'}{1+u^2}$ . Question 3 : Calculer les valeurs particulières $k(0)$ et $k\left(\frac{1}{2}\right)$ en utilisant les propriétés des fonctions arctan. Question 4 : Résoudre l'équation $k'(x) = 0$ et déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $k$ admet un extremum.→
  • 6
    Étude complète d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par : $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ Question 1 : Déterminer les limites de $f(x)$ aux bornes de son domaine de définition : $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et étudier son signe. Déterminer les points critiques éventuels. Question 3 : En déduire le tableau de variations complet de $f$ en précisant les valeurs de $f$ aux points critiques. Question 4 : Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0 = 0$ .→
  • 7
    Fonctions exponentielles et logarithmiques On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x \ln(x) - 2x + 3$ Question 1 : Calculer les limites $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ . Pour la première limite, on pourra utiliser le fait que $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Question 2 : Déterminer la dérivée $g'(x)$ puis résoudre l'équation $g'(x) = 0$ pour trouver les points critiques. Étudier le signe de $g'(x)$ . Question 3 : Calculer la valeur exacte de $g$ au point critique trouvé à la question 2, puis donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. Question 4 : On pose $h(x) = e^{g(x)}$ . Calculer $h'(x)$ et déterminer $h'(1)$ .→
  • 8
    Fonctions trigonométriques et leurs propriétés On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin(2x) + 2\cos(x)$ Question 1 : Démontrer que $f$ est périodique de période $T = 2\pi$ . Calculer $f(0)$ et $f(\pi)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $f'(x) = 2(\cos(2x) - \sin(x))$ . Question 3 : Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ sur l'intervalle $[0, \pi]$ en posant $u = \cos(x)$ et en utilisant la relation $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ . Question 4 : Calculer les valeurs exactes de $f$ aux points critiques trouvés dans la question 3. On donnera les résultats sous forme de racines carrées.→
  • 9
    Fonctions hyperboliques et leurs applications On rappelle que les fonctions hyperboliques sont définies par : $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi(x) = \cosh(2x) - 3\sinh(x)$ Question 1 : Démontrer l'identité fondamentale $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ en utilisant les définitions exponentielles. Question 2 : Calculer les dérivées de $\cosh(x)$ et $\sinh(x)$ , puis en déduire $\varphi'(x)$ . Question 3 : Exprimer $\varphi(x)$ uniquement en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$ . Simplifier au maximum. Question 4 : Calculer $\varphi(0)$ et $\varphi(\ln(2))$ . Donner les valeurs exactes puis les valeurs approchées à $10^{-2}$ près.→
  • 10
    Fonctions puissances et fonctions inverses On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x^{\frac{3}{2}} - 4x + 5\sqrt{x}$ Question 1 : Réécrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = ax^{\frac{3}{2}} + bx + cx^{\frac{1}{2}}$ en identifiant $a$ , $b$ et $c$ . Calculer $f(1)$ et $f(4)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ en utilisant la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Simplifier en écrivant tous les termes avec des exposants rationnels. Question 3 : Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ en posant $u = \sqrt{x}$ , ce qui transforme l'équation en équation polynomiale du second degré en $u$ . Question 4 : Soit $g$ la fonction réciproque de $h(x) = x^3$ pour $x > 0$ . Déterminer $g(x)$ ,...→
  • 11
    Étude d'une fonction rationnelle : Limite et continuité Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ . Question 1 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-2$ . Question 3 : Déterminer si la fonction $f$ peut être prolongée par continuité en $x = 2$ . Si oui, donner la valeur du prolongement $\tilde{f}(2)$ . Question 4 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.→
  • 12
    Dérivabilité et différentiabilité d'une fonction puissance Soit la fonction $g(x) = x^{\frac{5}{3}} - 4x^{\frac{2}{3}}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculer la dérivée $g'(x)$ de la fonction $g$ pour $x \neq 0$ en utilisant la formule de dérivation des fonctions puissance. Question 2 : Étudier la dérivabilité de $g$ en $x = 0$ en calculant la limite du taux d'accroissement $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ . Question 3 : Déterminer les points critiques de $g$ (où $g'(x) = 0$ ) et calculer leurs coordonnées exactes. Question 4 : Calculer la valeur de la dérivée seconde $g''(x)$ en $x = 8$ pour analyser la concavité de la fonction en ce point.→
  • 13
    Fonctions logarithmique et exponentielle : Équations et optimisation On considère la fonction $h(x) = x \ln(x) - 2x$ définie sur $]0, +\infty[$ . Question 1 : Calculer la dérivée $h'(x)$ en appliquant la règle de dérivation du produit et des fonctions logarithmiques. Question 2 : Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ pour trouver le point d'extremum de $h$ . Donner la solution exacte sous forme exponentielle. Question 3 : Calculer la valeur minimale de $h$ , c'est-à-dire $h(x_0)$ où $x_0$ est la solution trouvée à la Question 2. Question 4 : Résoudre l'équation $h(x) = 0$ et exprimer la solution en fonction de $e$ .→
  • 14
    Fonctions hyperboliques : Identités et équations On rappelle les définitions : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Question 1 : Démontrer l'identité fondamentale $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ en développant les expressions. Question 2 : Calculer la dérivée de $f(x) = \sinh(3x^2 + 1)$ en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Question 3 : Résoudre l'équation $\cosh(x) = 2$ . Exprimer les solutions en fonction du logarithme népérien. Question 4 : Calculer la valeur de $\tanh(\ln(3))$ où $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ . Simplifier le résultat sous forme de fraction.→
  • 15
    Fonctions trigonométriques et fonctions inverses Soit la fonction $k(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)$ définie sur $\mathbb{R}$ . Question 1 : Calculer la dérivée $k'(x)$ en utilisant la règle de dérivation de la fonction arcsinus et la règle de dérivation en chaîne. Question 2 : Simplifier l'expression de $k'(x)$ obtenue à la Question 1 et montrer que $k'(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ . Question 3 : En déduire que $k(x) = \arctan(x) + C$ où $C$ est une constante. Déterminer la valeur de $C$ en calculant $k(0)$ . Question 4 : Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)$ en utilisant les relations trigonométriques.→
  • 16
    Exercice 1 : Étude complète d'une fonction définie par morceaux Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$ Question 1 : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ en utilisant le développement limité de $e^{2x}$ au voisinage de $0$ . Question 2 : Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $x = 0$ . Question 3 : Pour la valeur de $a$ trouvée, calculer $f'(x)$ pour $x \neq 0$ en utilisant la règle du quotient. Question 4 : Calculer la dérivée à droite en $0$ , notée $f'_d(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ , et vérifier si $f$ est dérivable en $0$ .→
  • 17
    Exercice 2 : Étude d'une fonction logarithmique composée On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x^2 \ln(x) - x^2$ Question 1 : Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ en utilisant le changement de variable $t = \ln(x)$ et les limites de référence. Question 2 : Déterminer la dérivée $g'(x)$ en appliquant les règles de dérivation du produit et de la fonction logarithmique. Question 3 : Résoudre l'équation $g'(x) = 0$ et dresser le tableau de variations de $g$ en déterminant le signe de $g'(x)$ . Question 4 : Calculer la valeur minimale de $g$ et déterminer l'équation de la tangente au point correspondant...→
  • 18
    Exercice 3 : Analyse d'une fonction exponentielle-puissance Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^*_+$ par : $h(x) = x^3 e^{-x}$ Question 1 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ en utilisant la croissance comparée des fonctions puissance et exponentielle, puis déterminer $\lim_{x \to 0^+} h(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $h'(x)$ en utilisant la règle de dérivation d'un produit, puis factoriser l'expression obtenue. Question 3 : Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ et calculer les valeurs exactes de $h$ aux points critiques, en déduire la valeur maximale de $h$ . Question 4 : Calculer la dérivée seconde $h''(x)$ et déterminer la nature du point critique trouvé en question 3 en utilisant...→
  • 19
    Exercice 4 : Étude de fonctions trigonométriques et leurs inverses On considère la fonction $k$ définie sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ par : $k(x) = x \sin(x) + \cos(x)$ Question 1 : Calculer $k(0)$ , $k(\frac{\pi}{2})$ , et $k(-\frac{\pi}{2})$ , puis déterminer si la fonction est paire ou impaire en vérifiant si $k(-x) = k(x)$ ou $k(-x) = -k(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $k'(x)$ en utilisant les formules de dérivation du produit et des fonctions trigonométriques, puis simplifier l'expression obtenue. Question 3 : Résoudre l'équation $k'(x) = 0$ sur l'intervalle $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ et établir le tableau de variations complet de $k$ . Question 4 : Calculer l'aire $A$ sous la courbe de...→
  • 20
    Exercice 1 : Étude de limite et continuité d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ pour $x \neq 2$ et $x \neq -2$ Question 1 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-2$ . Question 3 : Pour que $f$ soit continue en $x = 2$ , déterminer la valeur $f(2)$ qu'il faut définir. Question 4 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et déterminer l'asymptote horizontale éventuelle.→
  • 21
    Exercice 2 : Étude de la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ Question 1 : Calculer la dérivée $g'(x)$ pour $x \neq 0$ . Question 2 : Calculer le taux d'accroissement de $g$ en $x = 0$ , puis déterminer si $g$ est dérivable en $0$ en calculant $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ . Question 3 : Si $g$ est dérivable en $0$ , déterminer la valeur de $g'(0)$ . Question 4 : La dérivée $g'$ est-elle continue en $x = 0$ ? Calculer $\lim_{x \to 0} g'(x)$ et comparer avec $g'(0)$ .→
  • 22
    Exercice 3 : Résolution d'équations et inéquations avec ln et exp On considère l'équation différentielle et les problèmes associés suivants : Question 1 : Résoudre l'équation : $\ln(x^2 - 3x + 3) = 0$ . Question 2 : Résoudre l'inéquation : $e^{2x} - 5e^x + 6 \leq 0$ . Question 3 : Soit $h(x) = x - 1 - \ln(x)$ pour $x > 0$ . Calculer $h'(x)$ et étudier les variations de $h$ . Question 4 : En déduire le signe de $h(x)$ et résoudre l'inéquation $\ln(x) \leq x - 1$ .→
  • 23
    Exercice 4 : Étude des fonctions hyperboliques et leurs dérivées On rappelle que les fonctions hyperboliques sont définies par : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ Question 1 : Démontrer l'identité hyperbolique fondamentale : $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ . Question 2 : Calculer les dérivées de $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$ . Question 3 : Calculer la dérivée de $f(x) = \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ et simplifier le résultat. Question 4 : Résoudre l'équation $\cosh(x) = \frac{5}{4}$ en exprimant la solution en fonction de $\ln$ .→
  • 24
    Exercice 1 : Étude complète d'une fonction rationnelle On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par : $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}$ Question 1 : Calculer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2^-$ , $2^+$ et $+\infty$ . Question 2 : Déterminer si la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $x = 2$ . Si oui, calculer la valeur de ce prolongement. Question 3 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Question 4 : Déterminer les points critiques de $f$ en résolvant $f'(x) = 0$ , puis calculer les valeurs de $f$ en ces points.→
  • 25
    Exercice 2 : Analyse d'une fonction combinant exponentielle et logarithme Soit la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x \ln(x) - e^x + 2x$ Question 1 : Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ . On rappelle que $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $g'(x) = \ln(x) + 3 - e^x$ . Question 3 : Calculer $g'(1)$ et $g(1)$ , puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $x = 1$ . Question 4 : Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to +\infty$ . Déterminer quel terme domine le comportement asymptotique.→
  • 26
    Exercice 3 : Étude comparative des fonctions sinus hyperbolique et sinus On considère les fonctions $h$ et $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $k(x) = \sin(x)$ Question 1 : Calculer les dérivées $h'(x)$ et $k'(x)$ . Vérifier que $h'(x) = \cosh(x)$ où $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Question 2 : Calculer $h(0)$ , $h'(0)$ , $k(0)$ et $k'(0)$ . En déduire les équations des tangentes aux courbes de $h$ et $k$ au point d'abscisse $x = 0$ . Question 3 : Montrer que $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ en développant cette expression. Question 4 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh(x)}{e^x}$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh(x)}{x}$ .→
  • 27
    Exercice 4 : Étude d'une fonction composée avec logarithme et fonction inverse Soit la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = \ln\left(\frac{1}{x}\right) + \sqrt{x}$ Question 1 : Simplifier l'expression de $f(x)$ en utilisant les propriétés du logarithme, puis calculer $f(1)$ et $f(e^2)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et la mettre sous la forme d'une seule fraction. Question 3 : Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour déterminer les points critiques de $f$ . Calculer la valeur exacte du point critique $x_0$ . Question 4 : Calculer $f(x_0)$ où $x_0$ est le point critique trouvé à la question précédente....→
  • 28
    Exercice 5 : Optimisation d'une fonction puissance avec contrainte On considère une boîte cylindrique de rayon $r$ et de hauteur $h$ , avec $r > 0$ et $h > 0$ . Le volume est imposé : $V = \pi r^2 h = 1000$ cm³. La surface totale est : $S(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ Question 1 : Exprimer $h$ en fonction de $r$ à partir de la contrainte du volume, puis exprimer $S$ comme une fonction d'une seule variable $S(r)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $S'(r)$ et la mettre sous la forme d'une seule fraction. Question 3 : Résoudre l'équation $S'(r) = 0$ pour trouver le rayon optimal $r_0$ qui minimise la surface. Exprimer...→
  • 29
    Exercice 1 : Analyse d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x^2 - 4}$ définie sur son domaine de définition. Question 1 : Déterminer le domaine de définition de $f$ et calculer les limites aux bornes du domaine : $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ , $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ , $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ , et $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ . Question 2 : Étudier la continuité de $f$ sur son domaine et déterminer la nature des discontinuités éventuelles. Question 3 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et déterminer son signe sur chaque intervalle du domaine de définition. Question 4 : En utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer les extrema...→
  • 30
    Exercice 2 : Étude d'une fonction logarithmico-exponentielle On considère la fonction $g(x) = x \ln(x) - e^x + 2x$ définie sur $]0, +\infty[$ . Question 1 : Calculer les limites $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ . Pour la limite en $0^+$ , utiliser le fait que $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $g'(x) = \ln(x) + 3 - e^x$ . Étudier ensuite le signe de $g'(x)$ sur $]0, +\infty[$ . Question 3 : Calculer la dérivée seconde $g''(x)$ et déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $g$ . Identifier les points d'inflexion éventuels. Question 4 : Sachant que $g(x)$ admet un maximum en un...→
  • 31
    Exercice 3 : Analyse d'une fonction mixte hyperbolique-trigonométrique Soit la fonction $h(x) = \sinh(x) - 2\sin(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ , où $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ est la fonction sinus hyperbolique. Question 1 : Démontrer que $h$ est une fonction impaire et calculer $h(0)$ , $h'(0)$ , et $h''(0)$ . En déduire le comportement de $h$ au voisinage de $x = 0$ . Question 2 : Calculer la dérivée $h'(x)$ et montrer qu'elle s'écrit $h'(x) = \cosh(x) - 2\cos(x)$ où $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Étudier le signe de $h'(x)$ sur $[0, \pi]$ sachant que $\cosh(x) \geq 1$ pour tout $x$ . Question 3 : Calculer $h''(x)$ et déterminer les points où $h''(x) = 0$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$ . Calculer les valeurs...→
  • 32
    Exercice 4 : Optimisation avec fonctions puissance et inverse Une entreprise produit $x$ unités d'un produit. Le coût total de production est modélisé par $C(x) = 100 + 50x + x^2$ (en euros) et le prix de vente unitaire est donné par $p(x) = \frac{200}{x^{0.5}} + 10$ (en euros). On définit le revenu total $R(x) = x \cdot p(x)$ et le profit $P(x) = R(x) - C(x)$ . Question 1 : Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$ et calculer la dérivée $R'(x)$ . Déterminer pour quelle valeur de $x$ le revenu marginal $R'(x)$ s'annule. Question 2 : Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$ et calculer $P'(x)$ . Résoudre l'équation $P'(x) = 0$ pour trouver la quantité optimale de production $x_{opt}$...→
  • 33
    Exercice 5 : Modèle de croissance avec fonctions composées La population d'une colonie de bactéries est modélisée par la fonction $N(t) = 1000 e^{0.5t} \ln(1 + t)$ où $t$ est le temps en heures ( $t \geq 0$ ) et $N(t)$ le nombre de bactéries. Question 1 : Calculer $N(0)$ , $N(1)$ , et $N(2)$ . Interpréter ces résultats dans le contexte du problème. Vérifier que la fonction est bien définie sur $[0, +\infty[$ . Question 2 : Calculer la dérivée $N'(t)$ en utilisant la règle du produit. Montrer que $N'(t) = 1000 e^{0.5t} \left[0.5\ln(1+t) + \frac{1}{1+t}\right]$ et étudier le signe de $N'(t)$ sur $[0, +\infty[$ . Question 3 : Le taux de croissance relatif est...→
  • 34
    Exercice 1 : Étude d'une fonction rationnelle Soit la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ définie sur son domaine de définition. Question 1 : Déterminer le domaine de définition de $f(x)$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ par valeurs supérieures, c'est-à-dire $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ . Question 3 : Calculer les limites aux bornes du domaine : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Question 4 : La fonction $f(x)$ peut-elle être prolongée par continuité en $x = 2$ ? Si oui, déterminer la valeur du prolongement.→
  • 35
    Exercice 2 : Étude de la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux Soit la fonction $g(x)$ définie par : $g(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$ Question 1 : Montrer que $g$ est continue en $x = 0$ en calculant $\lim_{x \to 0} g(x)$ . Question 2 : Calculer la dérivée $g'(x)$ pour $x \neq 0$ en utilisant la règle de dérivation du produit. Question 3 : Déterminer si $g$ est dérivable en $x = 0$ en calculant $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ . Question 4 : Si $g$ est dérivable en $x = 0$ , déterminer si $g'$ est continue en $x = 0$ en calculant $\lim_{x \to 0} g'(x)$ .→
  • 36
    Exercice 3 : Résolution d'équations et optimisation On considère la fonction $h(x) = x e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}^+$ . Question 1 : Calculer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h$ et déterminer son signe sur $\mathbb{R}^+$ . Question 2 : Déterminer les coordonnées du point où $h(x)$ atteint son maximum sur $\mathbb{R}^+$ et calculer la valeur maximale. Question 3 : Résoudre l'équation $h(x) = \frac{1}{e}$ , c'est-à-dire trouver toutes les valeurs de $x$ telles que $x e^{-x} = \frac{1}{e}$ . Question 4 : Calculer l'aire sous la courbe de $h(x)$ entre $x = 0$ et $x = 2$ en évaluant $\int_0^2 x e^{-x} dx$ par intégration par parties.→
  • 37
    Exercice 4 : Étude des fonctions hyperboliques Les fonctions hyperboliques sont définies par : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ et $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ . Question 1 : Démontrer l'identité hyperbolique fondamentale : $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Question 2 : Calculer les dérivées de $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$ , puis en déduire la dérivée de $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ . Question 3 : Résoudre l'équation $\cosh(x) = 3$ en exprimant les solutions sous forme logarithmique. Question 4 : Calculer la limite $\lim_{x \to +\infty} \tanh(x)$ en utilisant les définitions des fonctions hyperboliques.→
  • 38
    Exercice 5 : Fonctions trigonométriques et leurs inverses On considère la fonction $f(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ pour $x > 0$ . Question 1 : Calculer la dérivée de $\arctan(x)$ en utilisant la dérivée de la fonction inverse. Question 2 : Déterminer la dérivée de $f(x)$ et montrer que $f(x)$ est constante sur $]0, +\infty[$ . Question 3 : Calculer $f(1)$ et en déduire la valeur de $f(x)$ pour tout $x > 0$ . Question 4 : En utilisant le résultat précédent, résoudre l'équation $\arctan(2) + \arctan(3) = \arctan(y)$ en trouvant la valeur exacte de $y$ .→
• Développement limité (40 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Développement limité en 0 On considère la fonction $f(x) = e^{2x} \cos(x)$ . Question 1 : Déterminer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $e^{2x}$ . Question 2 : Déterminer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $\cos(x)$ . Question 3 : En déduire le développement limité à l’ordre 2 en 0 de $f(x)$ . Question 4 : Donner une estimation de l’erreur commise lorsqu’on approche $f(x)$ par son développement limité à l’ordre 2 pour $x = 0{,}1$ (en valeur absolue).→
  • 2
    Exercice 2 : Application aux composée de fonctions Soit $g(x) = \ln(1 + x^2)$ et $h(x) = \sin(g(x))$ . Question 1 : Développer à l’ordre 3 en 0 $g(x)$ . Question 2 : En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $h(x)$ à l’aide du développement de $\sin(y)$ en 0. Question 3 : Calculer l’approximation de $h(0{,}2)$ en utilisant le DL obtenu. Question 4 : Estimer l’erreur commise (en valeur absolue) en comparant à la valeur réelle pour $x = 0{,}2$ .→
  • 3
    Exercice 3 : Développement limité en $x = 1$ Soit $f(x) = \sqrt{x}$ . Question 1 : Calculer le développement limité à l’ordre 3 en $x = 1$ de $f(x)$ . Question 2 : En déduire une approximation de $\sqrt{1{,}2}$ via ce développement limité. Question 3 : Calculer l’erreur absolue commise en utilisant cette approximation. Question 4 : Calculer le développement limité à l’ordre 2 en $x = 1$ de $g(x) = \sqrt[3]{x}$ et en déduire une estimation de $\sqrt[3]{1{,}2}$ .→
  • 4
    Exercice 4 : Développement limité d’une fonction trigonométrique composée Considérons la fonction $f(x) = \sin(2x) \exp(x)$ . Question 1 : Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $\sin(2x)$ . Question 2 : Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $\exp(x)$ . Question 3 : En déduire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $f(x)$ . Question 4 : Utiliser ce développement pour approximer $f(0{,}2)$ , puis évaluer l’erreur absolue par rapport à la valeur exacte.→
  • 5
    Exercice 5 : Estimation de l’erreur sur un développement limité Soit la fonction $f(x) = \ln(1 + x)$ . Question 1 : Écrire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de $\ln(1 + x)$ . Question 2 : Calculer $f(0{,}2)$ à l’aide du développement trouvé. Question 3 : Calculer l’erreur réelle sur cette approximation. Question 4 : Utiliser le reste intégral de Taylor pour majorer l’erreur absolue sur l’approximation de $f(0{,}2)$ par son développement limité à l’ordre 3.→
  • 6
    Soit la fonction $f(x) = e^x$ . On souhaite déterminer le développement limité de $f$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 4$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $f'(x)$ , $f''(x)$ , $f'''(x)$ , et $f^{(4)}(x)$ de la fonction $f(x) = e^x$ . Question 2: Évaluer chacune de ces dérivées en $x = 0$ , c'est-à-dire calculer $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ , et $f^{(4)}(0)$ . Question 3: En utilisant la formule de Taylor-Maclaurin $f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + o(x^4)$ , écrire le développement limité de $e^x$ à l'ordre 4. Question 4: Utiliser ce développement limité pour calculer une approximation de $e^{0.1}$ en gardant tous les termes jusqu'à...→
  • 7
    Soit la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ . On souhaite déterminer le développement limité de $g$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 5$ . Question 1: Calculer les cinq premières dérivées $g'(x)$ , $g''(x)$ , $g'''(x)$ , $g^{(4)}(x)$ , et $g^{(5)}(x)$ de la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ . Question 2: Évaluer ces dérivées en $x = 0$ , c'est-à-dire calculer $g(0)$ , $g'(0)$ , $g''(0)$ , $g'''(0)$ , $g^{(4)}(0)$ , et $g^{(5)}(0)$ . Question 3: En utilisant la formule de Taylor-Maclaurin, écrire le développement limité de $\ln(1 + x)$ à l'ordre 5 en calculant chaque coefficient $\frac{g^{(k)}(0)}{k!}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Question 4: Utiliser ce développement limité pour calculer une...→
  • 8
    Soit la fonction $h(x) = \cos(x)$ . On souhaite déterminer le développement limité de $h$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 6$ . Question 1: Calculer les six premières dérivées de $h(x) = \cos(x)$ , c'est-à-dire $h^{(k)}(x)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Question 2: Évaluer toutes ces dérivées en $x = 0$ , en notant que les dérivées de $\cos(x)$ suivent un motif périodique. Question 3: En utilisant la formule de Taylor, construire le développement limité de $\cos(x)$ à l'ordre 6 en calculant les coefficients $\frac{h^{(k)}(0)}{k!}$ pour chaque terme. Question 4: Utiliser ce développement limité pour calculer une approximation de $\cos(0.5)$ en gardant tous les termes jusqu'à l'ordre...→
  • 9
    Soit la fonction $f(x) = e^{-x^2}$ . On souhaite déterminer le développement limité de $f$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 6$ . Question 1: En utilisant le développement limité connu de $e^u$ à l'ordre 3 (soit $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ ), exprimer le développement limité de $e^{-x^2}$ en remplaçant $u$ par $-x^2$ . Question 2: Calculer et simplifier les puissances de $-x^2$ pour obtenir les premiers termes du développement, notamment $(-x^2)^2 = x^4$ et $(-x^2)^3 = -x^6$ . Question 3: Écrire le développement limité complet de $e^{-x^2}$ à l'ordre 6 en combinant tous les termes et en mettant en évidence les puissances paires de $x$ . Question 4:...→
  • 10
    Soit la fonction $p(x) = \sin(x) - x$ . On souhaite étudier le comportement local de $p$ au voisinage de $x = 0$ en utilisant le développement limité. Question 1: Utiliser le développement limité connu de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)$ pour obtenir le développement limité de $p(x) = \sin(x) - x$ à l'ordre 7. Question 2: En mettant en facteur le premier terme non nul du développement limité de $p(x)$ , montrer que $p(x) = -\frac{x^3}{6}\left(1 + \frac{x^2}{20} - \frac{x^4}{168} + o(x^4)\right)$ . Question 3: Calculer les trois premières dérivées $p'(x)$ , $p''(x)$ , et $p'''(x)$ et évaluer ces dérivées en $x = 0$ pour confirmer que le développement limité commençe au terme en $x^3$ . Question 4: Utiliser le développement limité pour...→
  • 11
    Exercice 1 : Développement limité de l'exponentielle On considère la fonction $f(x) = e^{2x}$ étudiée au voisinage de $x_0 = 0$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 3 de $e^{2x}$ en $x = 0$ . Question 2 : Utilisez ce développement limité pour calculer une approximation de $e^{0.2}$ à l'ordre 3. Donnez la valeur approchée obtenue. Question 3 : Calculez l'erreur absolue commise par ce développement limité par rapport à la valeur exacte de $e^{0.2}$ (donnez la valeur avec 5 décimales). Question 4 : Déterminez à l'ordre 3 le développement limité de la fonction $g(x) = x \, e^{2x}$ au voisinage de $0$ .→
  • 12
    Exercice 2 : Développement limité du logarithme Soit la fonction $f(x) = \ln(1+x^2)$ étudiée au voisinage de $x_0 = 0$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 3 de $\ln(1+x^2)$ en $x = 0$ . Question 2 : Utilisez ce développement limité pour calculer une approximation de $\ln(1+0.04)$ à l'ordre 3. Question 3 : En posant $g(x) = \frac{\ln(1+x^2)}{x}$ , développez à l'ordre 2 la fonction $g(x)$ autour de 0 (hors 0). Question 4 : Calculez la limite de $g(x)$ en $x \to 0$ à l'aide du DL précédent.→
  • 13
    Exercice 3 : Développement limité de la fonction trigonométrique On considère $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$ étudiée autour de $x = 0$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 2 de $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ au voisinage de 0. Question 2 : Utilisez ce développement pour approximer $\sin(\frac{\pi}{6} + 0.05)$ à l'ordre 2. Question 3 : Calculez l’erreur absolue entre la valeur approchée et la valeur exacte arrondie à 5 décimales. Question 4 : Donnez le développement limité à l'ordre 2 de $g(x) = x\sin(x + \frac{\pi}{6})$ autour de 0.→
  • 14
    Exercice 4 : Développement limité du cosinus et composition Soit $f(x) = \cos(3x)$ . Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 4 de $\cos(3x)$ en $x = 0$ . Question 2 : Utilisez ce DL pour calculer une approximation de $\cos(0.09)$ à l'ordre 4. Question 3 : Soit $g(x) = \cos(3x^2)$ . Donnez le DL à l'ordre 2 de $g(x)$ autour de $0$ . Question 4 : Approximez $\cos(3\times0.03^2)$ à l'aide du DL précédent et donnez le résultat arrondi à 5 décimales.→
  • 15
    Exercice 5 : Développement limité d'une fonction composée et inverse Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1-x}\,$ étudiée pour $|x| Question 1 : Donnez le développement limité à l'ordre 3 de $ f(x) $ au voisinage de $ x = 0 $. Question 2 : Utilisez ce développement limité pour approximer $ \frac{1}{1-0.1} $ à l'ordre 3 et comparez avec la valeur exacte (arrondie à 4 décimales). Question 3 : Développez à l'ordre 3 la fonction $ g(x) = \frac{x}{1-x} $ au voisinage de $ 0 $. Question 4 : Utilisez ce DL pour approximer $ g(0.05) $ à l'ordre 3.→
  • 16
    Exercice 1 : Développement limité de $e^x$ au voisinage de $0$ et approximation numérique On considère la fonction $f(x) = e^x$ , définie sur $\mathbb{R}$ . On s'intéresse à son développement limité au voisinage de $0$ et à des applications numériques. Question 1 : Calculez le développement limité de $f(x) = e^x$ à l'ordre $4$ au voisinage de $0$ (polynôme de Taylor d'ordre $4$ en $0$ ). Question 2 : À partir du développement limité obtenu à la question 1, calculez une approximation numérique de $e^{0{,}1}$ (en remplaçant $x$ par $0{,}1$ ) en détaillant toutes les étapes de calcul. Question 3 : En utilisant...→
  • 17
    Exercice 2 : Développements limités de $\ln(1+x)$ et combinaison pour approcher $\ln(3)$ On considère les fonctions $f(x) = \ln(1+x)$ et $g(x) = \ln(1-x)$ , définies pour $|x| Question 1 : Calculez le développement limité de $ f(x) = \ln(1+x) $ à l'ordre $ 3 $ au voisinage de $ 0 $. Question 2 : Calculez le développement limité de $ g(x) = \ln(1-x) $ à l'ordre $ 3 $ au voisinage de $ 0 $. Question 3 : À partir des résultats précédents, déduisez le développement limité de $ h(x) = \ln \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) $ à l'ordre $ 3 $ au voisinage de $ 0 $ et simplifiez l'expression. Question 4 : En utilisant le développement limité de $ h(x) $, donnez une approximation numérique de $ \ln(3) $ en prenant $ x = 0{,}5 $, puis calculez la valeur approchée obtenue.→
  • 18
    Exercice 3 : Développements limités de $\sqrt{1+x}$ , $(1+x)^2$ et produit de fonctions On considère les fonctions $f(x) = \sqrt{1+x}$ et $g(x) = (1+x)^2$ , définies pour $x > -1$ . On définit ensuite $h(x) = f(x) \cdot g(x) = \sqrt{1+x} \,(1+x)^2$ . Question 1 : Calculez le développement limité de $f(x) = \sqrt{1+x}$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ . Question 2 : Calculez le développement limité de $g(x) = (1+x)^2$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ . Question 3 : À partir des résultats précédents, déduisez le développement limité de $h(x) = \sqrt{1+x} \, (1+x)^2$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ en effectuant le produit des polynômes. Question 4 : En utilisant le développement limité de...→
  • 19
    Exercice 4 : Développement limité de $\ln(x)$ au voisinage de $1$ et approximations numériques On considère la fonction $f(x) = \ln(x)$ , définie sur $\mathbb{R}_+^*$ . On étudie son développement limité au voisinage de $1$ . Question 1 : Calculez les dérivées d’ordre $1$ , $2$ et $3$ de $f(x) = \ln(x)$ , puis leurs valeurs en $x = 1$ . Question 2 : À partir des dérivées calculées, déterminez le polynôme de Taylor de degré $3$ de $\ln(x)$ au voisinage de $1$ , c’est-à-dire le développement limité de $\ln(x)$ à l’ordre $3$ en $1$ . Question 3 : En utilisant ce polynôme de Taylor, donnez...→
  • 20
    Exercice 5 : Développements limités de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ et calcul d’un quotient de fonctions On considère les fonctions trigonométriques $\sin(x)$ et $\cos(x)$ au voisinage de $0$ . On étudie également la fonction $h(x) = \sin(x) - x \cos(x)$ . Question 1 : Calculez le développement limité de $\sin(x)$ à l’ordre $5$ au voisinage de $0$ . Question 2 : Calculez le développement limité de $\cos(x)$ à l’ordre $4$ au voisinage de $0$ . Question 3 : En utilisant les résultats précédents, déduisez le développement limité de $h(x) = \sin(x) - x \cos(x)$ à l’ordre $4$ au voisinage de $0$ . Question 4 : À partir du développement limité de...→
  • 21
    Exercice 1 : Développement limité d'une fonction exponentielle Soit la fonction $f(x) = e^{2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ en utilisant la formule de Taylor. Question 1 : Calculer les dérivées successives $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ et $f^{(4)}(0)$ de la fonction $f(x) = e^{2x}$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_4(f)$ de $f(x)$ à l'ordre 4 au voisinage de $x = 0$ sous la forme $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + o(x^4)$ , en calculant chaque coefficient $a_k$ . Question 3 : Calculer la valeur approchée de $f(0.1)$ en utilisant le développement...→
  • 22
    Exercice 2 : Développement limité et étude de convergence Soit la fonction $g(x) = \sin(3x)$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ et analyser ses propriétés. Question 1 : Calculer les dérivées successives $g(0)$ , $g'(0)$ , $g''(0)$ , $g'''(0)$ , $g^{(4)}(0)$ et $g^{(5)}(0)$ de la fonction $g(x) = \sin(3x)$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_5(g)$ de $g(x)$ à l'ordre 5 au voisinage de $x = 0$ sous la forme $g(x) = b_1 x + b_3 x^3 + b_5 x^5 + o(x^5)$ , en calculant les coefficients non nuls. Question 3 : Calculer une approximation de $g(\pi/18)$ en utilisant le développement...→
  • 23
    Exercice 3 : Développement limité et application à l'analyse d'erreur Soit la fonction $h(x) = \ln(1 + 2x)$ définie pour $x > -1/2$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ et l'utiliser pour l'approximation. Question 1 : Calculer les dérivées successives $h(0)$ , $h'(0)$ , $h''(0)$ , $h'''(0)$ et $h^{(4)}(0)$ de la fonction $h(x) = \ln(1 + 2x)$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_4(h)$ de $h(x)$ à l'ordre 4 au voisinage de $x = 0$ sous la forme $h(x) = c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + o(x^4)$ , en calculant chaque coefficient. Question 3 : Calculer une approximation de $\ln(1.1)$ en utilisant le développement limité avec $x = 0.05$ ,...→
  • 24
    Exercice 4 : Développement limité et applications numériques Soit la fonction $p(x) = \sqrt{1 + x}$ définie pour $x \geq -1$ . On souhaite obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ et l'utiliser pour des calculs. Question 1 : Calculer les dérivées successives $p(0)$ , $p'(0)$ , $p''(0)$ , $p'''(0)$ et $p^{(4)}(0)$ de la fonction $p(x) = (1 + x)^{1/2}$ . Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $DL_4(p)$ de $p(x)$ à l'ordre 4 au voisinage de $x = 0$ , en calculant les coefficients $d_0, d_1, d_2, d_3, d_4$ . Question 3 : Calculer une approximation de $\sqrt{1.08}$ en utilisant le développement limité avec $x = 0.08$ , puis donner...→
  • 25
    Exercice 5 : Développement limité et analyse de comportement asymptotique Soit la fonction $q(x) = \frac{1}{1 - x}$ définie pour $|x| Question 1 : Calculer les dérivées successives $ q(0) $, $ q'(0) $, $ q''(0) $, $ q'''(0) $ et $ q^{(4)}(0) $ de la fonction $ q(x) = (1 - x)^{-1} $. Question 2 : En utilisant la formule de Taylor, établir le développement limité $ DL_4(q) $ de $ q(x) $ à l'ordre 4 au voisinage de $ x = 0 $ sous la forme $ q(x) = e_0 + e_1 x + e_2 x^2 + e_3 x^3 + e_4 x^4 + o(x^4) $. Question 3 : Calculer une approximation de $ \frac{1}{0.9} $ en utilisant le développement limité avec $ x = 0.1 $, puis comparer avec la valeur exacte $ \frac{1}{0.9} = 1.\overline{1} $. Question 4 : Calculer le reste $ |R_4(0.1)| $ en utilisant $ |R_4(x)| \leq \frac{M}{5!}|x|^5 $ où $ M $ majore $ |q^{(5)}(\xi)| $ pour $ \xi \in [0, 0.1] $.→
  • 26
    Exercice 1 : Développement limité d'une fonction exponentielle On considère la fonction $f(x) = e^{2x}$ et on souhaite obtenir son développement limité autour du point $x_0 = 0$ à différents ordres. Question 1 : En utilisant la formule de Taylor pour $f(x) = e^{2x}$ , calculer le développement limité à l'ordre 2 autour de $x = 0$ . On rappelle que $f(0) = 1$ . Question 2 : À partir du développement limité d'ordre 2 obtenu à la question précédente, calculer la valeur approchée de $e^{2 \times 0.1}$ et comparer avec la valeur exacte $e^{0.2}$ en utilisant l'approximation $e^{0.2} \approx 1.2214$ . Question 3 : Prolonger le développement limité à l'ordre 4 autour de...→
  • 27
    Exercice 2 : Développement limité d'une fonction logarithmique On considère la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ et on étudie son développement limité autour du point $x_0 = 0$ pour des applications pratiques. Question 1 : Calculer les trois premières dérivées de $g(x) = \ln(1 + x)$ , puis déterminer le développement limité à l'ordre 3 autour de $x = 0$ . Question 2 : En utilisant le développement limité d'ordre 3 obtenu, calculer une valeur approchée de $\ln(1.05)$ en posant $x = 0.05$ , puis comparer avec la valeur exacte $\ln(1.05) \approx 0.04879$ . Question 3 : Estimer l'erreur d'approximation du développement d'ordre 3 en utilisant le terme de reste $R_3(x) = -\frac{x^4}{4(1+\xi)^4}$ où $0 Question 4 : Utiliser le développement limité de $ \ln(1 +...→
  • 28
    Exercice 3 : Développement limité d'une fonction trigonométrique On étudie le développement limité de la fonction $h(x) = \sin(x)$ et ses applications numériques pour des angles proches de zéro. Question 1 : Calculer les quatre premières dérivées de $\sin(x)$ à l'ordre 0, puis en déduire le développement limité à l'ordre 5 autour de $x = 0$ . Question 2 : En utilisant le développement limité d'ordre 5, calculer une valeur approchée de $\sin(0.3)$ (angle en radians) et la comparer avec la valeur exacte $\sin(0.3) \approx 0.29552$ . Question 3 : Pour la même fonction $\sin(x)$ , calculer le développement limité à l'ordre 7 en déterminant le...→
  • 29
    Exercice 4 : Développement limité d'une fonction composée On étudie le développement limité de la fonction composée $f(x) = e^{\sin(x)}$ en combinant les développements de l'exponentielle et du sinus. Question 1 : En utilisant le développement $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ et $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + O(u^4)$ , calculer le développement limité de $e^{\sin(x)}$ à l'ordre 3 autour de $x = 0$ . Question 2 : Calculer la valeur approchée de $e^{\sin(0.2)}$ en utilisant le développement d'ordre 3 obtenu à la question précédente. Question 3 : Prolonger le calcul du développement limité de $e^{\sin(x)}$ à l'ordre 5 en tenant compte des termes d'ordre supérieur du développement du sinus. Question 4 : Recalculer...→
  • 30
    Exercice 5 : Développement limité et étude de limite d'une fonction fractionnaire On utilise les développements limités pour calculer des limites de fonctions fractionnaires complexes qui se présentent sous la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . Question 1 : Calculer le développement limité à l'ordre 3 de la fonction $p(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ autour de $x = 0$ en utilisant le développement de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ . Question 2 : En déduire la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ en expliquant comment le développement limité permet de lever l'indétermination. Question 3 : Calculer le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $q(x) = \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ en utilisant le développement de l'exponentielle. Question 4 : Déterminer...→
  • 31
    Exercice 1 : Analyse de la fonction exponentielle par développement limité Soit la fonction $f(x) = e^x$ . On souhaite déterminer son développement limité au voisinage de $x_0 = 0$ à différents ordres et analyser l'erreur d'approximation. Question 1 : Calculer les dérivées successives $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ et $f'''(0)$ de la fonction $f(x) = e^x$ . Déterminer le développement limité de $e^x$ au voisinage de $x = 0$ à l'ordre $n = 3$ en utilisant la formule de Taylor. Question 2 : En utilisant le développement limité obtenu à la question 1, calculer la valeur approchée de $e^{0.5}$ avec le développement d'ordre 3. Exprimer le résultat sous forme...→
  • 32
    Exercice 2 : Étude de la fonction sinus par développement limité Soit la fonction $f(x) = \sin(x)$ . On désire obtenir son développement limité au voisinage de $x_0 = 0$ et analyser son comportement pour des petites valeurs de $x$ . Question 1 : Calculer les dérivées successives $f^{(k)}(0)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ de la fonction $f(x) = \sin(x)$ . Déterminer le développement limité de $\sin(x)$ à l'ordre $n = 5$ en utilisant la formule de Taylor au voisinage de $x = 0$ . Question 2 : Utiliser le développement limité obtenu pour calculer l'approximation de $\sin(0.1)$ et $\sin(0.3)$ . Exprimer les résultats en fractions et en décimales, puis comparer avec les...→
  • 33
    Exercice 3 : Approximation de la fonction logarithme par développement limité Soit la fonction $f(x) = \ln(1 + x)$ . On souhaite obtenir son développement limité autour de $x_0 = 0$ et analyser la précision de l'approximation pour différentes valeurs de $x$ . Question 1 : Calculer les dérivées successives $f^{(k)}(0)$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ de la fonction $f(x) = \ln(1 + x)$ . Déterminer le développement limité de $\ln(1 + x)$ à l'ordre $n = 4$ en utilisant la formule de Taylor au voisinage de $x = 0$ . Question 2 : Utiliser le développement limité pour calculer l'approximation de $\ln(1.2)$ , $\ln(1.5)$ et $\ln(2)$ . Exprimer chaque résultat en fractions et en décimales à 6 chiffres...→
  • 34
    Exercice 4 : Étude de la fonction racine carrée par développement limité Soit la fonction $f(x) = \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2}$ . On désire obtenir son développement limité au voisinage de $x = 0$ en utilisant la formule binomiale généralisée. Question 1 : Utiliser la formule de Taylor avec $\alpha = \frac{1}{2}$ pour calculer les dérivées successives $f^{(k)}(0)$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ de la fonction $f(x) = (1 + x)^{1/2}$ . Déterminer le développement limité de $\sqrt{1 + x}$ à l'ordre $n = 3$ . Question 2 : Utiliser le développement limité pour calculer les approximations de $\sqrt{1.1}$ , $\sqrt{1.2}$ et $\sqrt{1.5}$ . Exprimer chaque résultat en fractions et en décimales. Comparer avec les valeurs exactes et calculer les...→
  • 35
    Exercice 5 : Étude des limites et formes indéterminées via développements limités On souhaite déterminer les limites de plusieurs fonctions en utilisant les développements limités pour lever les indéterminations. Question 1 : Calculer la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$ en utilisant le développement limité de $\sin(x)$ à l'ordre approprié. Montrer tous les termes du développement et interpréter le résultat. Question 2 : Déterminer la limite $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}$ en utilisant le développement limité de $e^x$ . Calculer le coefficient dominant au numérateur et la limite. Question 3 : Calculer la limite $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$ en développant $\ln(1 + x)$ à l'ordre suffisant. Exprimer chaque terme du développement. Question 4...→
  • 36
    Soit la fonction $f(x) = e^{2x}$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ et $f^{(4)}(0)$ de la fonction $f(x) = e^{2x}$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 4 de $f(x) = e^{2x}$ au voisinage de $x = 0$ en utilisant la formule de Taylor. Écrire $e^{2x} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + o(x^4)$ où $a_i$ sont les coefficients à calculer. Question 3: Utiliser le développement limité trouvé pour calculer une approximation numérique de $e^{0.2}$ en remplaçant $x = 0.1$ dans le développement. Calculer successivement les contributions de chaque terme. Question 4: Estimer l'erreur d'approximation en comparant la valeur exacte $e^{0.2} \approx 1.2214$ avec l'approximation obtenue. Calculer le...→
  • 37
    Soit la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $g'(0)$ , $g''(0)$ , $g'''(0)$ et $g^{(4)}(0)$ de la fonction $g(x) = \ln(1 + x)$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 4 de $g(x) = \ln(1 + x)$ au voisinage de $x = 0$ . Exprimer le résultat sous la forme $\ln(1 + x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 + b_4 x^4 + o(x^4)$ . Question 3: Utiliser ce développement pour estimer $\ln(1.05)$ en remplaçant $x = 0.05$ . Calculer successivement chaque terme de la série. Question 4: Comparer l'approximation obtenue avec la valeur exacte $\ln(1.05) \approx 0.04879$ . Calculer l'erreur relative en pourcentage et analyser la précision du développement.→
  • 38
    Soit la fonction $h(x) = \sin(x)$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $h'(0)$ , $h''(0)$ , $h'''(0)$ et $h^{(4)}(0)$ et $h^{(5)}(0)$ de la fonction $h(x) = \sin(x)$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 5 de $h(x) = \sin(x)$ au voisinage de $x = 0$ . Exprimer le résultat sous la forme $\sin(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + c_5 x^5 + o(x^5)$ . Question 3: Utiliser ce développement pour estimer $\sin(\pi/6)$ où $\pi/6 \approx 0.5236$ . Calculer les contributions successives et obtenir une approximation. Question 4: Comparer l'approximation avec la valeur exacte $\sin(\pi/6) = 0.5$ . Calculer l'erreur absolue et analyser pourquoi cette erreur est plus grande que dans les exercices précédents.→
  • 39
    Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1-x}$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: Calculer les dérivées successives $f'(0)$ , $f''(0)$ , $f'''(0)$ , $f^{(4)}(0)$ et $f^{(5)}(0)$ de la fonction $f(x) = \frac{1}{1-x}$ . Question 2: Déterminer le développement limité d'ordre 5 de $f(x) = \frac{1}{1-x}$ au voisinage de $x = 0$ . Exprimer sous la forme $\frac{1}{1-x} = d_0 + d_1 x + d_2 x^2 + d_3 x^3 + d_4 x^4 + d_5 x^5 + o(x^5)$ . Question 3: Utiliser ce développement pour estimer $\frac{1}{1-0.1} = \frac{1}{0.9}$ . Calculer les contributions de chaque terme et obtenir une approximation. Question 4: Comparer avec la valeur exacte $\frac{1}{0.9} = 1.1111...$ . Calculer l'erreur absolue et relative. Puis examiner comment le développement se comporterait pour $x = 0.2$ et $x = 0.5$ .→
  • 40
    Soit la fonction $p(x) = e^{\sin(x)}$ définie au voisinage de $x = 0$ . Question 1: En utilisant les développements limités connus de $\sin(x)$ et $e^u$ , déterminer le développement limité d'ordre 3 de $p(x) = e^{\sin(x)}$ . Procéder étape par étape en composant les deux développements. Question 2: Calculer explicitement les coefficients du développement $e^{\sin(x)} = e_0 + e_1 x + e_2 x^2 + e_3 x^3 + o(x^3)$ en utilisant le produit de Cauchy. Question 3: Utiliser ce développement limité pour estimer $e^{\sin(0.1)}$ . Calculer numériquement chaque terme du développement et obtenir une approximation d'ordre 3. Question 4: Comparer l'approximation obtenue avec la valeur numérique exacte $e^{\sin(0.1)} \approx 1.10526$ . Calculer l'erreur absolue et discuter du domaine de validité du...→
• Algèbre linéaire (24 Exercices)
  • 1
    Exercice 2 : Espaces vectoriels et dimension Soit $V$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 à coefficients réels. 1. Vérifiez que $V$ est un espace vectoriel pour l'addition et la multiplication par un scalaire. 2. Donnez une base explicite de $V$ et calculez sa dimension. 3. Exprimez le polynôme $P(X) = 3 - 2X + X^2$ dans la base canonique. 4. Vérifiez si les polynômes $Q_1(X) = X^2 + 1$ , $Q_2(X) = X$ , $Q_3(X) = X^2 - X$ sont linéairement indépendants.→
  • 2
    Exercice 3 : Application linéaire, noyau et image On considère $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x + 2y, y - z)$ . 1. Calculez $f(1, 0, 2)$ et $f(0, 1, -1)$ . 2. Déterminez le noyau de $f$ . 3. Déterminez l'image de $f$ . 4. Calculez le rang de $f$ .→
  • 3
    Soit \( E = \mathbb{R}^2 \) muni de l'addition vectorielle habituelle et de la multiplication par un scalaire. On considère les vecteurs \( \vec{u} = (2, 3) \) et \( \vec{v} = (-1, 4) \) . Question 1 : Calculer leur somme : $\vec{u} + \vec{v}$ . Question 2 : Calculer la combinaison linéaire $3\vec{u} - 2\vec{v}$ . Question 3 : Montrer la distributivité : calculer $2(\vec{u} + 3\vec{v})$ . Question 4 : Calculer le vecteur opposé de $\vec{u} + \vec{v}$ et vérifier sa somme avec $\vec{u} + \vec{v}$ .→
  • 4
    On considère les vecteurs de \( \mathbb{R}^3 \) : $\vec{a} = (1, 2, -1)$ , $\vec{b} = (2, 1, 0)$ et $\vec{c} = (0, 1, 1)$ . Question 1 : Déterminer si $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ sont linéairement indépendants. Question 2 : Trouver une base du sous-espace $F = \text{Vect}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ . Question 3 : Calculer la dimension de $F$ . Question 4 : Exprimer $(3, 7, 2)$ comme combinaison linéaire de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ si possible.→
  • 5
    On considère l'ensemble $W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ . Question 1 : Montrer que $W$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et proposer une famille génératrice composée de 2 vecteurs. Question 2 : Trouver une base de $W$ et en déduire sa dimension. Question 3 : Exprimer $(2, -3, 1)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base trouvée s'il appartient à $W$ . Question 4 : Calculer les coordonnées du symétrique de $(5, -2, -3)$ par rapport à $W$ dans $\mathbb{R}^3$ .→
  • 6
    On considère l’application linéaire $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (x + 2y, 3x - y)$ . Question 1 : Calculer l’image de $(2, 1)$ et $(-1, 4)$ . Question 2 : Déterminer une équation cartésienne du noyau de $f$ . Question 3 : Calculer le rang de $f$ . Question 4 : En déduire une base de l’image de $f$ .→
  • 7
    Soit $g: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ l’application définie par $g(x, y, z) = (x - y + 2z, 2x + 3y - z)$ . Question 1 : Déterminer le noyau de $g$ . Question 2 : Calculer la dimension du noyau. Question 3 : Trouver une base de l’image de $g$ . Question 4 : Calculer le rang de $g$ et vérifier le théorème du rang.→
  • 8
    Considérons l'ensemble $V = \mathbb{R}^3$ muni de l'addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire usuelles. Soient les vecteurs $u = (1, 2, -1)$ , $v = (0, -1, 2)$ et $w = (2, 3, 1)$ . Question 1: Vérifier si $u, v$ et $w$ sont linéairement indépendants. Question 2: Exprimer le vecteur $t = (3, 5, 0)$ comme combinaison linéaire de $u, v$ et $w$ si possible. Question 3: Former une base de $V$ à partir de $u, v$ et $w$ , puis déterminer la dimension de $V$ . Question 4: Calculer la coordonnée du vecteur $p = (1, 0, 3)$ dans cette base.→
  • 9
    Soit l'espace vectoriel $F = \mathbb{R}^2$ et soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}$ . Définissons l'application linéaire $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ par $f(X) = AX + B$ . Question 1: Calculer $f\left(\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\right)$ . Question 2: Déterminer l'ensemble des points fixes de $f$ par le calcul. Question 3: Calculer le noyau de l'application linéaire associée $g(X) = AX$ , puis donner une base de ce noyau. Question 4: Calculer le rang de $g$ et en déduire le rang de $f$ .→
  • 10
    Dans l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}^4$ , soient $v_1 = (1, 0, 1, 2)$ , $v_2 = (2, 1, 0, 0)$ et $v_3 = (0, 1, -1, 1)$ . Question 1: Calculer le sous-espace vectoriel $F = \text{Vect}(v_1, v_2, v_3)$ et déterminer sa dimension. Question 2: Déterminer une base de $F$ par la méthode de Gauss. Question 3: Trouver $\dim E/F$ (le codimension de $F$ dans $E$ ). Question 4: Pour $w = (3, 2, 0, 2)$ , déterminer s'il appartient à $F$ par le calcul explicite, et s'il y appartient donner ses coordonnées dans la base de $F$ .→
  • 11
    Soit l'espace vectoriel $V = \mathbb{R}_3[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Soit $f:V \to V$ définie par $f(P)(X) = P(X+1) - P(X)$ . Question 1: Calculer $f(X^3)$ . Question 2: Calculer le noyau de $f$ . Question 3: Trouver une base et la dimension de l'image de $f$ . Question 4: Calculer le rang de $f$ .→
  • 12
    Soit $E = \mathbb{R}^3$ et l'application linéaire $f:E \to E$ définie par $f(x,y,z) = (2x - y + z, x + y, y - z)$ . Question 1: Calculer la matrice de $f$ dans la base canonique. Question 2: Calculer le noyau de $f$ et exhiber une base du noyau. Question 3: Calculer l'image de $f$ et donner une base de l'image. Question 4: Calculer le rang de $f$ et vérifier le théorème du rang.→
  • 13
    Soit $\mathbb{R}^3$ l'espace vectoriel réel standard muni de la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ . On définit l'application $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ par sa matrice représentative dans la base canonique : $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ Cette application est linéaire et représente une transformation géométrique dans l'espace tridimensionnel. Question 1 : Calculer l'image du vecteur $v = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$ par l'application $f$ , c'est-à-dire déterminer $f(v)$ . Question 2 : Déterminer le noyau $\ker(f)$ en résolvant l'équation $f(x) = 0$ où $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}$ , puis calculer la dimension de $\ker(f)$ . Question 3 : Utiliser le théorème du rang pour calculer la dimension de l'image $\text{Im}(f)$ et vérifier la relation $\dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(\mathbb{R}^3)$ . Question 4 :...→
  • 14
    Soit $E = \mathbb{R}^2$ l'espace vectoriel des couples de nombres réels. On définit l'application $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ par : $g(x, y) = (x + y, 2x - y, x + 3y)$ Cette application est linéaire et représente une injection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$ . Question 1 : Écrire la matrice représentative $A$ de l'application $g$ par rapport aux bases canoniques de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ , puis déterminer les dimensions des espaces de départ et d'arrivée. Question 2 : Calculer le noyau $\ker(g)$ et déterminer la dimension du noyau. L'application $g$ est-elle injective ? Question 3 : Déterminer le rang de $g$ en réduisant la matrice $A$ à la forme échelonnée, puis vérifier le théorème du...→
  • 15
    Soit $V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + 2y - z = 0\}$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ défini par une équation linéaire. On définit l'application $h: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ par : $h(x, y, z) = x + 2y - z$ L'objectif est de comprendre la structure du sous-espace $V$ et sa relation avec l'application $h$ . Question 1 : Montrer que $h$ est une application linéaire et écrire sa matrice représentative dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}$ . Question 2 : Déterminer une base de $V = \ker(h)$ en exprimant les solutions générales de l'équation $x + 2y - z = 0$ , puis calculer la dimension de $V$ . Question 3 : Calculer le rang de $h$ et utiliser le théorème du rang pour vérifier que...→
  • 16
    Soit $\mathbb{R}^2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus $2$ à coefficients réels. Cet espace admet une base naturelle $\mathcal{B} = \{1, X, X^2\}$ . On définit l'application $\phi: \mathbb{R}^2[X] \to \mathbb{R}^3$ par : $\phi(P) = (P(0), P(1), P(2))$ où $P(0)$ , $P(1)$ , et $P(2)$ sont les valeurs du polynôme aux points $0, 1, 2$ respectivement. Question 1 : Montrer que $\phi$ est une application linéaire en vérifiant les propriétés de linéarité. Question 2 : Déterminer la matrice $A$ représentative de $\phi$ par rapport aux bases canoniques de $\mathbb{R}^2[X]$ et $\mathbb{R}^3$ . Question 3 : Calculer le noyau $\ker(\phi)$ , déterminer sa dimension, et en donner une base. Question 4 :...→
  • 17
    Soit $E = \mathbb{R}^4$ l'espace vectoriel réel de dimension $4$ . On définit l'application $\psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ par sa matrice représentative : $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ L'objectif est de déterminer les propriétés fondamentales de cette application. Question 1 : Calculer l'image du vecteur $w = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ par l'application $\psi$ , c'est-à-dire déterminer $\psi(w)$ . Question 2 : Déterminer le noyau $\ker(\psi)$ en résolvant l'équation $Bx = 0$ et calculer sa dimension. Question 3 : Réduire la matrice $B$ à la forme échelonnée et déterminer le rang de $\psi$ . Question 4 : Vérifier le théorème du rang en calculant $\dim(\ker(\psi)) + \text{rg}(\psi)$ et comparer avec $\dim(\mathbb{R}^4)$ . Déterminer également si $\psi$ est surjective....→
  • 18
    Soit l'ensemble $G = \mathbb{Z}_7$ muni de l'opération $\oplus$ définie par $a \oplus b = (a + 3b) \bmod 7$ . Question 1 : Montrer que $\oplus$ est une loi de composition interne sur $G$ en calculant explicitement quelques exemples. Question 2 : Déterminer pour $a = 4$ et $b = 5$ la valeur de $a \oplus b$ et $b \oplus a$ . Question 3 : Calculer $((2 \oplus 6) \oplus 3)$ et comparer avec $(2 \oplus (6 \oplus 3))$ . Question 4 : Pour l'élément $a = 5$ , existe-t-il un neutre pour $\oplus$ ? Calculer $a \oplus e$ et $e \oplus a$ pour $e \in G$ et en déduire (calcul explicite).→
  • 19
    Soit $V = \mathbb{R}^3$ et les vecteurs $u = (1, 2, 0)$ , $v = (0, 1, 3)$ , $w = (1, 0, 3)$ . Question 1 : Montrer que $(u,v,w)$ est une famille génératrice de $V$ en résolvant un système linéaire. Question 2 : Les vecteurs sont-ils linéairement indépendants ? Calculez le déterminant correspondant. Question 3 : Si $z = (2,1,3)$ , exprimer $z$ comme combinaison linéaire de $u, v, w$ par calcul direct. Question 4 : Trouver une base $B'$ contenant $u$ et composée de vecteurs à coordonnées entières, et calculer sa matrice de passage vers la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .→
  • 20
    Soit $F$ l'ensemble de tous les triplets $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ tels que $x - 2y + z = 0$ et $3x + y - z = 0$ . Question 1 : Déterminer une base de $F$ par résolution du système linéaire. Question 2 : Calculer la dimension de $F$ . Question 3 : Exprimer tous les éléments de $F$ sous forme vectorielle explicite. Question 4 : Pour $w = (1, 1, 1)$ , déterminer si $w \in F$ , calculant et expliquant clairement.→
  • 21
    Exercice 1 : Loi de composition interne sur un ensemble On considère l'ensemble $E = \mathbb{R}^2$ muni de la loi de composition interne $\star$ définie par : $(x_1, y_1) \star (x_2, y_2) = (x_1 + x_2 + 1, y_1 + y_2 - 2)$ Question 1 : Montrer que la loi $\star$ est associative en vérifiant que pour tous $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3) \in E$ , on a $[(a_1, b_1) \star (a_2, b_2)] \star (a_3, b_3) = (a_1, b_1) \star [(a_2, b_2) \star (a_3, b_3)]$ . Question 2 : Déterminer l'élément neutre $e = (e_x, e_y)$ de la loi $\star$ en résolvant le système $(x, y) \star (e_x, e_y) = (x, y)$ pour tout $(x, y) \in E$ . Question 3 : Pour un élément $(x, y) \in E$ , déterminer son symétrique $(x', y')$ tel que $(x, y) \star (x', y') = e$ , où $e$ est l'élément neutre trouvé en Question 2. Question 4 : Soit l'élément $u = (2, 3)$ . Calculer...→
  • 22
    Exercice 2 : Sous-espace vectoriel et base Soit $E = \mathbb{R}^4$ et considérons le sous-ensemble $F$ défini par : $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + 2y - z = 0 \text{ et } y + t = 0\}$ Question 1 : Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ en vérifiant que pour tous vecteurs $u = (x_1, y_1, z_1, t_1), v = (x_2, y_2, z_2, t_2) \in F$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ , on a $u + v \in F$ et $\lambda u \in F$ . Question 2 : Déterminer une représentation paramétrique de $F$ en exprimant les vecteurs de $F$ en fonction de paramètres libres. En déduire deux vecteurs $v_1$ et $v_2$ qui engendrent $F$ . Question 3 : Vérifier que les vecteurs $v_1$ et $v_2$ trouvés en Question 2 sont linéairement indépendants en résolvant l'équation $\alpha v_1 + \beta v_2 = 0$...→
  • 23
    Exercice 3 : Application linéaire et représentation matricielle Soit $f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire définie par : $f(x, y, z) = (2x + y - z, x - y + 3z, -x + 2y + z)$ Question 1 : Déterminer la matrice $A$ de l'application linéaire $f$ dans la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ de $\mathbb{R}^3$ en calculant $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ . Question 2 : Calculer l'image du vecteur $v = (1, 2, -1)$ par l'application $f$ en utilisant le produit matriciel $A \cdot v$ , où $A$ est la matrice trouvée en Question 1. Question 3 : Calculer la composée $f \circ f$ en déterminant la matrice $A^2 = A \times A$ . Vérifier le résultat en calculant $f(f(1, 0, 0))$ . Question 4 : Soit $g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ définie par $g(x, y, z) = (x + y, 2x - z, y + z)$ . Déterminer la matrice $B$ de $g$...→
  • 24
    Exercice 4 : Noyau, image et rang d'une application linéaire Soit $\varphi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est : $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ Question 1 : Déterminer le noyau $\text{Ker}(\varphi)$ en résolvant le système homogène $M \cdot X = 0$ , où $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix}$ . Réduire la matrice $M$ sous forme échelonnée et exprimer les solutions en fonction de paramètres libres. Question 2 : Donner une base du noyau $\text{Ker}(\varphi)$ à partir de la forme paramétrique trouvée en Question 1, puis calculer $\dim(\text{Ker}(\varphi))$ . Question 3 : Déterminer le rang de $\varphi$ en comptant le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée...→
• Matrices et déterminants et Systèmes d’équations linéaires (37 Exercices)
  • 1
    Exercice 3 : Résolution d'un système linéaire par la méthode de Cramer On considère le système linéaire à trois inconnues $x$ , $y$ , $z$ : $\begin{cases}2x - y + z = 1\ 3x + y - 2z = 4\ x + 2y + z = 2\end{cases}$ On note $A$ la matrice des coefficients et $X = (x,y,z)^T$ , $B = (1,4,2)^T$ . Question 1 : Écrire explicitement la matrice $A$ et calculer son déterminant $\Delta = \det(A)$ . Question 2 : Calculer les déterminants $\Delta_x$ , $\Delta_y$ et $\Delta_z$ obtenus en remplaçant respectivement la première, la deuxième et la troisième colonne de $A$ par le vecteur $B$ . Question 3 : En déduire, à l'aide de la méthode de Cramer, les valeurs de $x$ ,...→
  • 2
    Exercice 4 : Résolution d'un système par la matrice inverse On considère la matrice carrée $A$ de taille $3 \times 3$ : $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}$ et le vecteur colonne $B = (5,7,4)^T$ . On étudie le système linéaire $A X = B$ avec $X = (x,y,z)^T$ . Question 1 : Calculer le déterminant $\det(A)$ et vérifier que la matrice $A$ est inversible. Question 2 : Calculer explicitement la matrice inverse $A^{-1}$ par la méthode de Gauss-Jordan (opérations élémentaires sur lignes). Question 3 : Utiliser la relation $X = A^{-1} B$ pour calculer les composantes $x$ , $y$ et $z$ . Question 4 : En utilisant la matrice inverse trouvée, résoudre également le système $A Y = C$...→
  • 3
    Exercice 5 : Résolution d'un système par la méthode de Gauss et étude de l'ensemble des solutions On considère le système linéaire à trois inconnues $x$ , $y$ , $z$ : $\begin{cases}x + y + z = 2\ 2x + 3y + z = 5\ 3x + 4y + 2z = 7\end{cases}$ On note $A$ la matrice des coefficients et $B = (2,5,7)^T$ . Question 1 : Écrire la matrice augmentée $(A\,|\,B)$ et la réduire par la méthode de Gauss (échelonnement) jusqu'à obtenir une forme échelonnée. Question 2 : Déterminer le rang de $A$ et le rang de la matrice augmentée $(A\,|\,B)$ à partir de la forme échelonnée. Question 3 : En déduire s'il existe une solution unique, aucune solution ou une...→
  • 4
    Exercice 1 : Matrice d'une application linéaire et rang On considère l'application linéaire $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie, pour tout vecteur $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ , par : $T(x,y,z) = (2x - y + z,\; x + 3y - 2z)$ . On note $\mathcal{E} = (e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{F} = (f_1,f_2)$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ . Question 1 : Déterminer la matrice $A$ de $T$ dans les bases canoniques $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ , c'est‑à‑dire telle que pour tout vecteur colonne $X$ de coordonnées de $(x,y,z)$ dans $\mathcal{E}$ , on ait $[T(X)]_{\mathcal{F}} = A X$ . Question 2 : Calculer explicitement $T(1,2,-1)$ en utilisant la matrice $A$ trouvée à la question 1. Question 3 : Soit la base $\mathcal{E}' = (u_1,u_2,u_3)$ de...→
  • 5
    Exercice 2 : Application linéaire définie par une matrice 3×3 On considère la matrice $B$ de taille $3 \times 3$ : $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ . On définit l'application linéaire $u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ associée à $B$ dans la base canonique, c'est‑à‑dire pour tout vecteur colonne $X$ : $[u(X)] = B X$ . Question 1 : Calculer les images par $u$ des vecteurs de la base canonique $e_1 = (1,0,0),\; e_2 = (0,1,0),\; e_3 = (0,0,1)$ . Question 2 : Calculer $u(2,-1,3)$ en utilisant un produit matrice‑vecteur. Question 3 : Déterminer le noyau de $u$ en résolvant le système linéaire homogène $B X = 0$ et donner une base de ce noyau. Question 4 : Calculer le déterminant de $B$ , puis...→
  • 6
    Exercice 3 : Matrice de passage et matrice d'une application dans une nouvelle base On considère l'application linéaire $S : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par : $S(x,y) = (3x + y,\; 2x - y)$ . Dans la base canonique $\mathcal{B} = (e_1,e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ , la matrice de $S$ est donc : $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ . On introduit une nouvelle base $\mathcal{B}' = (v_1,v_2)$ de $\mathbb{R}^2$ définie par : $v_1 = (1,1),\; v_2 = (1,-1)$ . Question 1 : Déterminer la matrice de passage $P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$ , dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ . Question 2 : Calculer la matrice inverse $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}^{-1}$ . Question 3 : Calculer la matrice $M'$ de $S$ dans la base de départ...→
  • 7
    Exercice 4 : Système linéaire sous-déterminé et description de l'ensemble des solutions On considère le système linéaire de $3$ équations à $4$ inconnues : $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + 0x_3 + x_4 = 2 \\ -x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \end{cases}$ . On note $X = (x_1,x_2,x_3,x_4)^T$ . Question 1 : Écrire la matrice augmentée du système et la réduire par la méthode de Gauss jusqu'à une forme échelonnée. Question 2 : En déduire les relations liant les inconnues et exprimer les solutions en fonction de paramètres libres. Question 3 : Donner une écriture vectorielle de l'ensemble des solutions sous la forme $X = X_0 + \lambda U + \mu V$ , en précisant $X_0, U, V$ . Question 4 : Déterminer la dimension de l'ensemble des solutions...→
  • 8
    Exercice 5 : Comparaison des méthodes de résolution d’un système linéaire 3×3 On considère le système linéaire suivant à $3$ inconnues : $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \ 2x - y + 3z = 1 \ -x + 3y + 2z = 4 \end{cases}$ . On note $X = (x,y,z)^T$ et la matrice des coefficients : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3 \ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix},\; b = \begin{pmatrix} 3 \ 1 \ 4 \end{pmatrix}$ . Question 1 : Résoudre le système par la méthode de Cramer : calculer $\det(A)$ , puis $\det(A_x), \det(A_y), \det(A_z)$ et en déduire $x, y, z$ . Question 2 : Résoudre le système en calculant la matrice inverse $A^{-1}$ , puis $X = A^{-1} b$ . Question 3 : Résoudre le système en appliquant la méthode de Gauss (élimination) sur la matrice augmentée $[A|b]$ . Question 4 : Vérifier par un calcul explicite...→
  • 9
    Exercice 1 : Matrice associée à une application linéaire et passage de base On considère l'application linéaire $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x + 3y, x - y)$ . On note $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ et $\mathcal{B}' = (e_1', e_2')$ la base définie par $e_1' = e_1 + e_2$ , $e_2' = e_1 - e_2$ . 1. Déterminer la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ . 2. Calculer la matrice de passage $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ . 3. Déterminer la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}'$ . 4. Vérifier la relation $A' = P^{-1} A P$ pour les matrices trouvées.→
  • 10
    Exercice 2 : Système linéaire à 3 inconnues et méthode de résolution On considère le système suivant : $\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z &=& 3\\ 2x - y + z &=& 2 \\ x + 2y - z &=& 0 \end{array}\right.$ 1. Écrire le système sous forme matricielle $AX = B$ . 2. Calculer le déterminant de la matrice $A$ . 3. Résoudre le système par la méthode de Cramer. 4. Résoudre le système par la méthode de la matrice inverse.→
  • 11
    Exercice 3 : Changement de base et matrice de passage dans un espace tridimensionnel On considère l'espace $\mathbb{R}^3$ avec la base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ et la base $\mathcal{B}' = (u_1, u_2, u_3)$ définie par : $u_1 = e_1 + e_2$ , $u_2 = e_2 + e_3$ , $u_3 = e_1 - e_3$ . 1. Exprimer la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ . 2. Calculer le déterminant de la matrice de passage $P$ . 3. Donner la matrice inverse $P^{-1}$ explicitement. 4. Retrouver les vecteurs de la base $\mathcal{B}$ en fonction de $u_1, u_2, u_3$ .→
  • 12
    Exercice 4 : Étude d'un système non homogène par Gauss Considérons le système linéaire suivant : $\left\{\begin{array}{rcl} x + 2y + 3z &=& 1\\ 2x + 3y + z &=& 2 \\ 3x + y + 2z &=& 3 \end{array}\right.$ 1. Écrire la matrice augmentée du système. 2. Réduire la matrice par la méthode de Gauss (échelonner). 3. Résoudre complètement le système (toutes les étapes). 4. Interpréter le nombre de solutions du système et donner la solution explicitement.→
  • 13
    Exercice 5 : Méthode matricielle d'étude de solution et combinatoire On considère l'application linéaire $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ associée à la matrice $B = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\-1 & 0 & 2\2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ . Soit le système $BX = C$ avec $C = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}$ . 1. Vérifier si la matrice est inversible (calcul de $\det(B)$ ). 2. Si $\det(B) \neq 0$ , donner la solution unique pour $X$ en fonction de $a, b, c$ . 3. Pour $a = 2, b = 1, c = -1$ , calculer explicitement la solution. 4. Si $c = k a + m b$ (relation linéaire), exprimer la condition sur $k, m$ pour que le système ait une solution unique.→
  • 14
    Matrice associée à une application linéaire et calcul du déterminant Soit l'application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par : $f(x, y, z) = (2x + y - z, x - y + 3z, 3x + 2y + z)$ Question 1 : Déterminer la matrice $A$ associée à l'application linéaire $f$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ . Question 2 : Calculer le déterminant de la matrice $A$ en utilisant la méthode de développement selon la première ligne. Question 3 : La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, calculer $A^{-1}$ en utilisant la formule avec la comatrice. Question 4 : Résoudre le système linéaire $Ax = b$ où $b = \begin{pmatrix} 5 \ 0 \ 9 \end{pmatrix}$ en utilisant la matrice inverse trouvée à la Question 3.→
  • 15
    Changement de base et matrice de passage Soit deux bases de $\mathbb{R}^2$ : Base canonique $B = \{e_1, e_2\}$ où $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Base $B' = \{u_1, u_2\}$ où $u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ Question 1 : Déterminer la matrice de passage $P$ de la base $B'$ vers la base $B$ . Question 2 : Calculer le déterminant de $P$ et vérifier que $P$ est inversible. Calculer $P^{-1}$ (matrice de passage de $B$ vers $B'$ ). Question 3 : Soit un vecteur $v$ dont les coordonnées dans la base $B$ sont $[v]_B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Calculer les coordonnées $[v]_{B'}$ de $v$ dans la base $B'$ . Question 4 : Vérifier que $v = 3u_1 - u_2$ en utilisant...→
  • 16
    Résolution par la méthode de Cramer Soit le système linéaire d'équations : $\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - 2y + 3z = 1 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$ Question 1 : Écrire le système sous forme matricielle $Ax = b$ et déterminer la matrice $A$ et le vecteur $b$ . Question 2 : Calculer le déterminant $\Delta = \det(A)$ en utilisant la méthode de développement selon la première colonne. Question 3 : Déterminer les déterminants $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ en remplaçant successivement chaque colonne de $A$ par le vecteur $b$ . Question 4 : Appliquer la formule de Cramer pour calculer $x, y, z$ en utilisant les déterminants trouvés aux questions précédentes.→
  • 17
    Résolution par la méthode de Gauss Soit le système linéaire d'équations : $\begin{cases} 3x + 2y - z = 8 \\ 2x - y + 2z = 5 \\ x + y + z = 5 \end{cases}$ Question 1 : Écrire la matrice augmentée $[A|b]$ du système et effectuer des opérations élémentaires pour obtenir une matrice triangulaire supérieure (Élimination progressive). Question 2 : Continuer les opérations élémentaires pour transformer la matrice triangulaire supérieure en matrice échelonnée réduite (Remontée). Question 3 : À partir de la matrice échelonnée réduite, déterminer les solutions $x, y, z$ du système. Question 4 : Vérifier que la solution trouvée satisfait les trois équations du système original.→
  • 18
    Application linéaire, matrice de passage et résolution matricielle Considérons l'application linéaire $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $T(x, y) = (3x - 2y, x + 2y)$ . Deux bases sont définies : Base canonique $B = \{e_1, e_2\}$ où $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ Base $B' = \{v_1, v_2\}$ où $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$ Question 1 : Déterminer la matrice $[T]_B$ représentant l'application linéaire $T$ dans la base canonique $B$ . Question 2 : Déterminer la matrice de passage $P$ de la base $B'$ vers la base $B$ , puis calculer $P^{-1}$ . Question 3 : Calculer la matrice $[T]_{B'} = P^{-1}[T]_B P$ représentant l'application linéaire dans la base $B'$ . Question 4 : En utilisant $[T]_{B'}$ , calculer l'image du vecteur $w = v_1 + v_2$ (exprimé d'abord dans la...→
  • 19
    Exercice 1 – Matrice associée à une application linéaire et changement de base On considère l'application linéaire $T$ de $R^3$ dans $R^3$ définie par : $T(x, y, z) = (2x - y + z, x + 3y - 2z, -x + 4y + z)$ On note $B = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $R^3$ , où $e_1 = (1, 0, 0)$ , $e_2 = (0, 1, 0)$ , $e_3 = (0, 0, 1)$ . On considère une autre base $B' = (v_1, v_2, v_3)$ définie par : $v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (0, 1, 1), v_3 = (1, 0, 1)$ Question 1 : Calculer la matrice $A$ de l'application linéaire $T$ dans la base canonique $B$ , c'est-à-dire la matrice telle que pour tout vecteur $X_B$ de coordonnées dans la base $B$ , on ait $T(X)_B = A X_B$ . Question 2 : Former la matrice de passage $P_{B' → B}$ dont les...→
  • 20
    Exercice 2 – Résolution d'un système linéaire par la méthode de Cramer On considère le système linéaire suivant en trois inconnues $x, y, z$ : $2x - y + 3z = 5$ $-x + 4y - z = 2$ $3x + y + 2z = 4$ On note $A$ la matrice des coefficients et $X = (x, y, z)^T$ , $B = (5, 2, 4)^T$ de sorte que $A X = B$ . Question 1 : Écrire explicitement la matrice des coefficients $A$ et calculer son déterminant $D = det(A)$ . Question 2 : Former les matrices $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ obtenues en remplaçant respectivement la première, la deuxième puis la troisième colonne de $A$ par le vecteur second membre $B$ . Calculer les déterminants $D_1 = det(A_1)$ , $D_2 = det(A_2)$ , $D_3 = det(A_3)$ . Question...→
  • 21
    Exercice 3 – Résolution d'un système linéaire par la matrice inverse On considère la matrice carrée $A$ d'ordre $3$ et le vecteur colonne $B$ donnés par : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ On souhaite résoudre le système linéaire $A X = B$ en utilisant la matrice inverse de $A$ . Question 1 : Calculer le déterminant $det(A)$ et vérifier que la matrice $A$ est inversible. Question 2 : Calculer la matrice inverse $A^{-1}$ en utilisant la méthode des cofacteurs (matrice adjointe, puis division par le déterminant). Question 3 : En déduire la solution exacte du système $A X = B$ sous la forme $X = (x, y, z)^T = A^{-1} B$ . Question 4 : Vérifier la...→
  • 22
    Exercice 4 – Résolution par la méthode de Gauss et étude de l'ensemble des solutions On considère le système linéaire suivant en trois inconnues $x, y, z$ : $x + 2y - z = 1$ $2x + 4y - 2z = 2$ $-x - 2y + z = -1$ On associe à ce système la matrice augmentée $[A | B]$ . Question 1 : Écrire la matrice augmentée $[A | B]$ correspondant au système. Question 2 : Appliquer la méthode d'élimination de Gauss pour transformer la matrice augmentée en une matrice échelonnée. Écrire explicitement les opérations élémentaires sur les lignes. Question 3 : En déduire l'expression de l'ensemble des solutions du système sous forme paramétrée (par exemple en fonction d'un paramètre libre). Question 4...→
  • 23
    Exercice 5 – Système dépendant d'un paramètre et méthode de Cramer (étude de l'ensemble des solutions) On considère le système linéaire en deux inconnues $x, y$ dépendant d'un paramètre réel $a$ : $(a - 1)x + y = 2$ $2x + (a + 1)y = 3$ On note $A(a)$ la matrice des coefficients et $B = (2, 3)^T$ . Question 1 : Écrire la matrice $A(a)$ et calculer son déterminant $D(a) = det(A(a))$ en fonction de $a$ . Question 2 : Étudier les valeurs de $a$ pour lesquelles le système admet : - une solution unique, - aucune solution, - une infinité de solutions. Question 3 : Pour $a = 2$ , résoudre explicitement le système en utilisant la méthode...→
  • 24
    Exercice 1 : Matrices et application linéaire - Résolution par méthode de Cramer Soit l'application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par sa matrice associée dans la base canonique : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \ 1 & 3 & 1 \ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ On souhaite résoudre le système linéaire $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ où $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \ 7 \ 5 \end{pmatrix}$ . Question 1 : Calculer le déterminant $\det(A)$ de la matrice associée à l'application linéaire $f$ . Question 2 : Résoudre le système linéaire $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ en utilisant la méthode de Cramer. Calculer $x_1$ , $x_2$ , et $x_3$ . Question 3 : Vérifier la solution trouvée en effectuant le produit matriciel $A\mathbf{x}$ avec le vecteur solution obtenu. Question 4 : Déterminer si l'image...→
  • 25
    Exercice 3 : Résolution par méthode de Gauss - Élimination Considérons le système linéaire d'ordre 4 associé à une matrice augmentée : $\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 & 8 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & -2 & 1 & 13 \\ 1 & 3 & 1 & -2 & 10 \end{array}\right)$ Question 1 : Effectuer l'élimination progressive (descente) pour réduire le système à une forme triangulaire supérieure. Question 2 : À partir du système triangulaire, effectuer la remontée pour déterminer les valeurs de $x_4$ , $x_3$ , $x_2$ , et $x_1$ . Question 3 : Calculer le déterminant de la matrice $A$ à partir de la forme triangulaire obtenue. Question 4 : Vérifier que la solution obtenue satisfait les deux premières équations du système original.→
  • 26
    Exercice 4 : Changement de base et matrice de passage Soit l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ muni de deux bases : Base $B_1 = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$ canonique avec $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Base $B_2 = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ où $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ Soit l'application linéaire $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x + y, x + 2y)$ . Question 1 : Déterminer la matrice de passage $P$ de la base $B_1$ à la base $B_2$ et calculer son inverse $P^{-1}$ . Question 2 : Écrire la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique $B_1$ . Question 3 : Calculer la matrice $A'$ de $f$ dans la base $B_2$ en utilisant la formule de changement de base :...→
  • 27
    Exercice 5 : Étude complète d'un système linéaire - Analyse et résolution Soit le système linéaire paramétré d'ordre 3 : $\begin{cases} (1+\lambda)x + y - z = 1 \ x + (1+\lambda)y + z = 1 \ x + y + (1+\lambda)z = 1 \end{cases}$ où $\lambda$ est un paramètre réel. Question 1 : Écrire la matrice augmentée du système et calculer le déterminant de la matrice des coefficients en fonction de $\lambda$ . Question 2 : Déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles le système admet une solution unique, puis résoudre le système pour $\lambda = 2$ . Question 3 : Analyser le système pour les valeurs particulières de $\lambda$ où le déterminant s'annule et déterminer le nombre et la nature des solutions. Question 4...→
  • 28
    Exercice 1 : Matrices associées à une application linéaire Soit l'application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par : $f(x, y, z) = (2x - y + 3z, x + 2y - z)$ On considère les bases canoniques $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ pour $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{B}' = \{e_1', e_2'\}$ pour $\mathbb{R}^2$ . Question 1 : Déterminer la matrice $A$ associée à l'application linéaire $f$ dans les bases canoniques en calculant $f(e_1)$ , $f(e_2)$ et $f(e_3)$ . Question 2 : Vérifier que le vecteur $v = (1, 1, 1)^T$ appartient au noyau de $f$ en calculant $f(v)$ . Question 3 : Déterminer l'image de $f$ en exprimant le rang de la matrice $A$ et en trouvant une base de $\text{Im}(f)$ . Question 4 : En utilisant le...→
  • 29
    Exercice 2 : Résolution par la méthode de Cramer Soit le système linéaire suivant : $\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x - y + 2z = 3 \\ 3x + 2y + z = 12 \end{cases}$ Question 1 : Écrire le système sous forme matricielle $AX = B$ en identifiant la matrice $A$ , le vecteur des inconnues $X$ et le vecteur des constantes $B$ . Question 2 : Calculer le déterminant $\det(A)$ de la matrice des coefficients en utilisant la méthode de développement par rapport à la première ligne. Question 3 : Appliquer la méthode de Cramer pour calculer $x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}$ où $A_x$ est la matrice obtenue en remplaçant la première colonne de $A$ par $B$ . Question 4 : Résoudre complètement...→
  • 30
    Exercice 3 : Résolution par la méthode de Gauss (élimination) Considérons le système linéaire suivant : $\begin{cases} 3x + 2y + z = 11 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$ Question 1 : Mettre en place la matrice augmentée $[A | B]$ du système et effectuer les opérations élémentaires pour obtenir la forme triangulaire supérieure. Question 2 : À partir de la forme triangulaire, identifier les pivots et vérifier que le système admet une solution unique. Question 3 : Effectuer la remontée (rétro-substitution) pour trouver les valeurs de $z$ , $y$ et $x$ en partant de la dernière équation. Question 4 : Vérifier que la solution trouvée satisfait chaque équation du système original et exprimer...→
  • 31
    Exercice 4 : Changement de base et matrices de passage On considère deux bases de $\mathbb{R}^2$ : la base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2\}$ où $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , et une base $\mathcal{B}' = \{v_1, v_2\}$ où : $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Question 1 : Construire la matrice de passage $P$ de la base $\mathcal{B}$ vers la base $\mathcal{B}'$ en exprimant les vecteurs $v_1$ et $v_2$ dans la base canonique. Question 2 : Calculer le déterminant de $P$ et montrer que $P$ est inversible, puis calculer la matrice inverse $P^{-1}$ . Question 3 : Soit le vecteur $u = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ exprimé dans la base $\mathcal{B}$ . Déterminer ses coordonnées $[u]_{\mathcal{B}'}$ dans...→
  • 32
    Exercice 5 : Résolution par la méthode de la matrice inverse On considère le système linéaire : $\begin{cases} 4x + 3y - z = 2 \ 2x + 2y + z = 1 \ x - y + 2z = 3 \end{cases}$ Question 1 : Écrire le système sous la forme matricielle $AX = B$ en identifiant clairement les matrices $A$ , $X$ et $B$ . Question 2 : Calculer le déterminant de $A$ et vérifier que $A$ est inversible. Justifier pourquoi le système admet une unique solution. Question 3 : Calculer la matrice inverse $A^{-1}$ en utilisant la méthode des cofacteurs, puis vérifier que $AA^{-1} = I$ . Question 4 : Résoudre le système en calculant $X = A^{-1}B$ et vérifier la solution en substituant dans le système original....→
  • 33
    Exercice 1 : Analyse d'un système d'équations linéaires par méthodes matricielles Une entreprise de fabrication produit trois types de produits A, B et C. Les contraintes de production sont modélisées par le système linéaire suivant : $\begin{cases} 2x + 3y + z = 14 \ x + 2y + 3z = 11 \ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$ où $x$ , $y$ et $z$ représentent respectivement les quantités de produits A, B et C à fabriquer. Question 1 : Écrire le système sous forme matricielle $AX = B$ , où $A$ est la matrice des coefficients, $X$ le vecteur des inconnues et $B$ le vecteur des constantes. Calculer le déterminant de $A$ et interpréter le résultat quant à l'existence et l'unicité de la...→
  • 34
    Exercice 2 : Changement de base et matrices de passage Soit un espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ muni de sa base canonique $\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ où $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . On considère une nouvelle base $\mathcal{B}' = \{v_1, v_2, v_3\}$ où : $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Question 1 : Vérifier que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$ en calculant le déterminant de la matrice $P$ formée par les colonnes $v_1, v_2, v_3$ . Que représente cette matrice $P$ ? Question 2 : Calculer la matrice de passage $P^{-1}$ de la base $\mathcal{B}'$ vers la base $\mathcal{B}$ . Utiliser pour cela la méthode de la matrice adjointe. Question 3 : Soit un...→
  • 35
    Exercice 3 : Étude paramétrique d'un système linéaire On considère le système d'équations linéaires dépendant du paramètre $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\begin{cases} \lambda x + y + z = 1 \\ x + \lambda y + z = \lambda \\ x + y + \lambda z = \lambda^2 \end{cases}$ Question 1 : Écrire le système sous forme matricielle $A(\lambda)X = B(\lambda)$ et calculer le déterminant $\det(A(\lambda))$ en fonction de $\lambda$ . Pour quelles valeurs de $\lambda$ le système admet-il une solution unique? Question 2 : Pour $\lambda = 1$ , résoudre le système en utilisant la méthode de Gauss. Caractériser l'ensemble des solutions. Question 3 : Pour $\lambda = -2$ , discuter l'existence des solutions. Utiliser le théorème de Rouché-Capelli en calculant le rang de la matrice augmentée $(A(\lambda) | B(\lambda))$ et le rang de $A(\lambda)$ ....→
  • 36
    Exercice 4 : Étude d'une application linéaire par représentation matricielle Soit $\mathbb{R}^3$ muni de sa base canonique. On définit l'application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ par : $f(x, y, z) = (2x + y - z, x + 3y + z, x + 2y + 2z)$ Question 1 : Déterminer la matrice $M$ associée à l'application linéaire $f$ dans la base canonique. Calculer $\det(M)$ et interpréter le résultat. L'application $f$ est-elle bijective? Question 2 : Déterminer le noyau $\ker(f)$ en résolvant l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ par réduction de Gauss. Quelle est la dimension du noyau? Question 3 : Déterminer l'image $\text{Im}(f)$ en analysant les colonnes de la matrice $M$ . Vérifier le théorème du rang : $\dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(\mathbb{R}^3)$ . Question 4 : Résoudre l'équation...→
  • 37
    Exercice 5 : Système linéaire surdéterminé et méthode de Gauss-Jordan Une entreprise d'ingénierie doit résoudre un système décrivant les équilibres de flux dans un réseau de distribution : $\begin{cases} 3x + 2y - z + 2w = 12 \ 2x + 4y + z - w = 8 \ x - y + 2z + 3w = 5 \ 4x + 6y + 0z + w = 15 \end{cases}$ Question 1 : Écrire le système sous forme matricielle augmentée et effectuer la réduction de Gauss pour obtenir la matrice échelonnée ligne réduite (forme de Jordan). Identifier les pivots et les variables libres. Question 2 : Analyser la compatibilité du système en utilisant le théorème de Rouché-Capelli. Calculer le rang de la matrice des coefficients et le rang de la matrice augmentée. Question 3 : Exprimer la solution générale en fonction...→
• Les intégrale (38 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Analyse d'une réponse impulsionnelle Dans l'étude d'un système dynamique, on considère la fonction rationnelle définie par $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 7}{(x-2)(x^2 + 1)}$ . On cherche à déterminer sa primitive pour calculer l'énergie du système. Question 1 : Effectuer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ . Déterminer les coefficients réels $A, B$$ , et $C$ tels que $f(x) = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$ . Question 2 : À l'aide des coefficients trouvés, calculer l'intégrale indéfinie $I_1(x) = \int f(x) dx$ . Utiliser la linéarité de l'intégrale. Question 3 : On considère maintenant l'intégrale définie $J = \int_{3}^{4} f(x) dx$ . Calculer la valeur exacte de $J$ en utilisant la primitive trouvée....→
  • 2
    Exercice 3 : Puissance instantanée en courant alternatif On étudie la fonction $p(x) = \sin^3(x) \cos^2(x)$ , représentant une modulation de puissance. Question 1 : Transformer l'expression $\sin^3(x)$ pour faire apparaître $\sin(x)$ et des termes en $\cos(x)$ (utiliser $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ ). En déduire une nouvelle écriture de $p(x)$ sous la forme $f(\cos(x)) \sin(x)$ . Question 2 : Calculer l'intégrale indéfinie $L(x) = \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx$ en effectuant le changement de variable $u = \cos(x)$ . Question 3 : On considère l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}]$ . Calculer l'intégrale définie $M = \int_{0}^{\pi/2} p(x) dx$ . Question 4 : On souhaite calculer $N = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) p(x) dx$ . Simplifier $\sin(2x)$ en $2\sin(x)\cos(x)$ et exprimer l'intégrande uniquement en fonction de $u = \cos(x)$ pour calculer cette...→
  • 3
    Exercice 4 : Calcul de travail sur une distance infinie On considère la fonction force $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ définie pour $x \geq 1$ . Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $F(x) = \int \frac{\ln(x)}{x^2} dx$ en procédant par intégration par parties. Question 2 : On souhaite calculer le travail fourni entre $x=1$ et $x=b$ . Exprimer $W(b) = \int_{1}^{b} f(x) dx$ en fonction de $b$ . Question 3 : Calculer la limite du travail $W(b)$ lorsque $b \to +\infty$ . L'intégrale impropre converge-t-elle ? Question 4 : Calculer l'intégrale $\int_{1}^{e} x f(x) dx$ . Simplifier l'expression de $x f(x)$ au préalable.→
  • 4
    Exercice 5 : Centre de gravité d'une plaque parabolique Soit une plaque délimitée par la parabole $y = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses $y = 0$ . Question 1 : Déterminer les racines du polynôme $P(x) = 4 - x^2$ pour trouver les bornes d'intégration $a$ et $b$ . Question 2 : Calculer l'aire de la surface $A = \int_{a}^{b} (4 - x^2) dx$ . Question 3 : Pour trouver l'ordonnée du centre de gravité $y_G$ , on doit d'abord calculer le moment $M_x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ . Développer le polynôme $(4-x^2)^2$ puis calculer l'intégrale. Question 4 : En déduire $y_G = \frac{M_x}{A}$ . Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.→
  • 5
    Soit la fonction $f(x) = 3x^2 + 2\cos(x) - \frac{5}{x}$ . On souhaite déterminer l'intégrale indéfinie de cette fonction en utilisant les propriétés de linéarité et les formules d'intégration de base. Question 1: Calculer l'intégrale indéfinie $\int (3x^2) \, dx$ en utilisant la formule $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \neq -1$ . Question 2: Calculer l'intégrale indéfinie $\int 2\cos(x) \, dx$ en utilisant la formule fondamentale $\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$ . Question 3: Calculer l'intégrale indéfinie $\int -\frac{5}{x} \, dx$ en reconnaissant que $\frac{1}{x} = x^{-1}$ et en utilisant la formule $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ . Question 4: En utilisant la propriété de linéarité des intégrales, combiner les trois résultats précédents pour déterminer $\int (3x^2 + 2\cos(x) - \frac{5}{x}) \, dx$ et vérifier le résultat en dérivant.→
  • 6
    Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{5x + 3}{(x+1)(x+2)}$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie en utilisant la décomposition en fractions partielles. Question 1: Décomposer la fraction rationnelle $\frac{5x + 3}{(x+1)(x+2)}$ en fractions partielles de la forme $\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$ . Question 2: Déterminer les constantes $A$ et $B$ en utilisant la méthode du recouvrement (ou en résolvant un système d'équations). Question 3: Calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{5x + 3}{(x+1)(x+2)} \, dx$ en intégrant chaque fraction partielle. Question 4: Vérifier le résultat en dérivant l'antidérivée obtenue et confirmer qu'on retrouve la fonction originale.→
  • 7
    Soit la fonction $f(x) = e^{2x}\sin(x) + 4e^{-x}\cos(3x)$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie en utilisant les techniques d'intégration appropriées. Question 1: Calculer l'intégrale indéfinie $\int e^{2x}\sin(x) \, dx$ en utilisant l'intégration par parties à deux reprises (ou la formule directe). Question 2: Calculer l'intégrale indéfinie $\int 4e^{-x}\cos(3x) \, dx$ en utilisant une technique appropriée pour les produits de fonctions exponentielles et trigonométriques. Question 3: En utilisant la linéarité des intégrales, combiner les résultats des questions 1 et 2 pour déterminer $\int (e^{2x}\sin(x) + 4e^{-x}\cos(3x)) \, dx$ . Question 4: Vérifier le résultat en dérivant l'antidérivée obtenue pour confirmer qu'on retrouve la fonction originale.→
  • 8
    Soit la fonction $f(x) = (3x^3 - 2x^2 + x - 5)\cos(2x)$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie en utilisant l'intégration par parties et les techniques polynomiales. Question 1: Calculer l'intégrale indéfinie $\int x\cos(2x) \, dx$ en utilisant l'intégration par parties une fois. Question 2: Calculer l'intégrale indéfinie $\int x^2\cos(2x) \, dx$ en utilisant l'intégration par parties deux fois consécutives. Question 3: En déduire une méthode pour calculer $\int (3x^3 - 2x^2 + x - 5)\cos(2x) \, dx$ en appliquant l'intégration par parties itérée aux termes polynomiaux. Question 4: Calculer la primitive complète et vérifier le résultat en dérivant.→
  • 9
    On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ sur l'intervalle $[0, 1]$ . On souhaite calculer l'intégrale définie de cette fonction et explorer ses applications géométriques. Question 1: Déterminer l'antidérivée (primitive) de $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ en reconnaissant la dérivée de la fonction arctangente. Question 2: Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral. Question 3: Interpréter géométriquement le résultat en lien avec l'aire sous la courbe et l'angle arctangente (relation avec $\tan(\theta)$ ). Question 4: Généraliser le résultat en calculant $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ et vérifier que le résultat correspond à $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ .→
  • 10
    Exercice 1 : Intégrale indéfinie des fonctions rationnelles On considère la fonction $f(x) = \frac{5x^2 + 3x + 2}{x + 1}$ . Question 1 : Effectuez la division euclidienne du numérateur par le dénominateur et décomposez $f(x)$ sous la forme $f(x) = Q(x) + \frac{R(x)}{x+1}$ . Question 2 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int f(x) \, dx = \int \left(Q(x) + \frac{R(x)}{x+1}\right) dx$ . Question 3 : Vérifiez votre résultat en dérivant la primitive obtenue. Question 4 : Calculez l'intégrale définie $\int_0^1 f(x) \, dx$ .→
  • 11
    Exercice 2 : Intégration des fonctions exponentielles Considérons la fonction $g(x) = e^{3x} + 2xe^{x^2}$ . Question 1 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int e^{3x} \, dx$ en utilisant la propriété de linéarité. Question 2 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int 2xe^{x^2} \, dx$ en effectuant un changement de variable approprié. Question 3 : Déduisez-en la primitive de $g(x)$ . Question 4 : Calculez l'intégrale définie $\int_0^1 g(x) \, dx$ et arrondissez le résultat à 4 décimales.→
  • 12
    Exercice 3 : Intégration des fonctions trigonométriques Soit $h(x) = 3\sin(2x) + 4\cos(x)$ à intégrer sur un intervalle donné. Question 1 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int 3\sin(2x) \, dx$ en utilisant la substitution appropriée. Question 2 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int 4\cos(x) \, dx$ . Question 3 : Déterminez la primitive complète $H(x)$ de $h(x)$ . Question 4 : Évaluez l'intégrale définie $\int_0^{\pi} h(x) \, dx$ .→
  • 13
    Exercice 4 : Intégration des polynômes et fractions On considère la fonction $p(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 5x - 1}{x^2}$ . Question 1 : Décomposez $p(x)$ en somme de monômes (simplifiez les fractions). Question 2 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int p(x) \, dx$ . Question 3 : Vérifiez votre résultat en dérivant la primitive. Question 4 : Calculez $\int_1^2 p(x) \, dx$ .→
  • 14
    Exercice 5 : Intégration par parties et combinaison Soit la fonction $f(x) = x e^{2x} + x^2 \sin(x)$ à intégrer sur un domaine donné. Question 1 : Calculez $\int x e^{2x} \, dx$ en utilisant l'intégration par parties avec $u = x$ et $dv = e^{2x} dx$ . Question 2 : Calculez $\int x^2 \sin(x) \, dx$ en appliquant deux fois l'intégration par parties. Question 3 : Déduisez la primitive de $f(x)$ . Question 4 : Évaluez $\int_0^{\pi/2} f(x) \, dx$ .→
  • 15
    Exercice 1 : Intégration de fonctions rationnelles et calcul d'aires On considère la fonction $f(x) = \frac{3x^2 + 5x + 1}{x + 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . On souhaite intégrer cette fonction et calculer l'aire sous sa courbe. Question 1 : Effectuez la division euclidienne du polynôme $3x^2 + 5x + 1$ par $x + 1$ pour exprimer $f(x)$ sous la forme $f(x) = Q(x) + \frac{R}{x+1}$ , où $Q(x)$ est le quotient et $R$ est le reste. Question 2 : À partir de la décomposition obtenue à la question 1, calculez l'intégrale indéfinie $\int f(x) \, dx$ . Question 3 : En utilisant la primitive obtenue à la question 2, calculez l'intégrale définie $\int_0^2 f(x) \, dx$ . Question 4 : Donnez une...→
  • 16
    Exercice 2 : Intégration de fonctions exponentielles et trigonométriques On considère la fonction $g(x) = e^{2x} \sin(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie puis son intégrale définie. Question 1 : Pour intégrer $g(x) = e^{2x} \sin(x)$ , on utilise l'intégration par parties. Posez $u = \sin(x)$ et $dv = e^{2x} dx$ . Calculez $du$ et $v$ . Question 2 : Appliquez la formule d'intégration par parties $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ et montrez que vous obtenez une deuxième intégrale $\int e^{2x} \cos(x) \, dx$ . Appliquez à nouveau l'intégration par parties à cette deuxième intégrale. Question 3 : À partir de l'équation obtenue à la question 2, résolvez pour $\int e^{2x} \sin(x) \, dx$ en exprimant le résultat comme...→
  • 17
    Exercice 3 : Intégration de polynômes et calcul de volumes On considère la fonction polynomiale $p(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite calculer plusieurs intégrales et utiliser le résultat pour calculer un volume de révolution. Question 1 : Calculez l'intégrale indéfinie $\int p(x) \, dx$ en intégrant chaque terme du polynôme. Question 2 : En utilisant la primitive obtenue à la question 1, calculez l'intégrale définie $\int_1^3 p(x) \, dx$ . Question 3 : On considère maintenant le volume engendré par la rotation du graphe de $p(x)$ autour de l'axe des abscisses entre $x = 1$ et $x = 2$ . Le volume est donné par $V = \pi \int_1^2 [p(x)]^2 \, dx$ . Calculez $[p(x)]^2$...→
  • 18
    Exercice 4 : Intégration par substitution (changement de variable) On considère l'intégrale $\int_0^1 \frac{2x \, dx}{\sqrt{1+x^2}}$ . On souhaite calculer cette intégrale en effectuant un changement de variable. Question 1 : En posant $u = 1 + x^2$ , calculez $du$ en fonction de $dx$ et exprimez $x \, dx$ en fonction de $du$ . Question 2 : Transformez l'intégrale $\int_0^1 \frac{2x \, dx}{\sqrt{1+x^2}}$ en fonction de la variable $u$ . N'oubliez pas de modifier les bornes d'intégration. Question 3 : Calculez l'intégrale transformée $\int \frac{2 \, du}{2\sqrt{u}}$ (ou sa forme simplifiée). Question 4 : Évaluez l'intégrale définie en remplaçant les bornes et exprimez le résultat final.→
  • 19
    Exercice 5 : Intégrales impropres et convergence On considère l'intégrale impropre $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$ , où $p$ est un paramètre réel. On souhaite déterminer pour quelles valeurs de $p$ cette intégrale converge. Question 1 : Pour $p \neq 1$ , calculez l'intégrale définie $\int_1^A \frac{dx}{x^p}$ où $A > 1$ est une borne finie. Question 2 : Étudiez la limite lorsque $A \to +\infty$ de l'intégrale calculée à la question 1, selon les valeurs de $p$ . Question 3 : Calculez numériquement l'intégrale $\int_1^{10} \frac{dx}{x^{1{,}5}}$ et comparez avec le cas limite. Question 4 : Pour $p = 2$ , calculez $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ et exprimez le résultat exact.→
  • 20
    Exercice 1 : Intégration de polynômes et utilisation des propriétés linéaires On considère la fonction $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite déterminer ses primitives en utilisant les propriétés de l'intégrale indéfinie. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int (3x^4) dx$ et $\int (-5x^2) dx$ , puis calculer l'intégrale indéfinie $\int (7x - 2) dx$ . Question 2 : En utilisant la linéarité de l'intégrale, calculer $F(x) = \int (3x^4 - 5x^2 + 7x - 2) dx$ et déterminer la primitive générale en ajoutant la constante d'intégration. Question 3 : Vérifier le résultat en calculant la dérivée $F'(x)$ de la primitive trouvée et en contrôlant qu'elle égale $f(x)$ . Question 4 : Déterminer la primitive particulière $F(x)$ vérifiant...→
  • 21
    Exercice 2 : Décomposition en éléments simples et intégration Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{5x + 3}{(x + 1)(x - 2)}$ définie pour $x \neq -1, 2$ . On souhaite intégrer cette fonction en effectuant sa décomposition en éléments simples. Question 1 : Décomposer la fraction rationnelle $\frac{5x + 3}{(x + 1)(x - 2)}$ sous la forme $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$ en calculant les constantes $A$ et $B$ . Question 2 : Vérifier la décomposition obtenue à la question 1 en effectuant l'addition des fractions et en contrôlant que le numérateur égale $5x + 3$ . Question 3 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{5x + 3}{(x + 1)(x - 2)} dx$ en utilisant la décomposition trouvée et les intégrales de fonctions logarithmiques. Question 4 : Déterminer la primitive particulière...→
  • 22
    Exercice 3 : Calcul d'intégrales avec exponentielles et fonctions trigonométriques Soit les deux fonctions $f(x) = e^{3x}\cos(2x)$ et $g(x) = e^{2x}\sin(x)$ définies sur $\mathbb{R}$ . On souhaite déterminer leurs primitives en utilisant des techniques d'intégration. Question 1 : Calculer les intégrales simples $\int e^{3x} dx$ et $\int \cos(2x) dx$ en utilisant les formules directes. Question 2 : Calculer l'intégrale $I = \int e^{3x}\cos(2x) dx$ en utilisant la méthode d'intégration par parties répétée ou la méthode complexe avec les exponentielles complexes. Question 3 : Calculer l'intégrale $J = \int e^{2x}\sin(x) dx$ en utilisant une méthode similaire. Question 4 : Vérifier les résultats obtenus en calculant les dérivées des primitives trouvées.→
  • 23
    Exercice 4 : Intégrales définie d'une fonction polynomiale avec application géométrique Soit le polynôme $p(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ défini sur $\mathbb{R}$ . On souhaite calculer l'aire sous la courbe et entre la courbe et l'axe des abscisses sur différents intervalles. Question 1 : Déterminer les racines du polynôme $p(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ en factorisant, puis calculer les intervalles où le polynôme est positif ou négatif. Question 2 : Calculer la primitive $P(x)$ du polynôme $p(x)$ et évaluer $P(0)$ , $P(1)$ , $P(3)$ et $P(4)$ . Question 3 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 p(x) dx$ en utilisant la primitive calculée à la question 2, puis déterminer si cette valeur...→
  • 24
    Exercice 5 : Intégrale définie avec changement de variable et applications Soit la fonction $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ définie sur $\mathbb{R}$ . On souhaite calculer l'intégrale définie sur un intervalle donné en utilisant un changement de variable approprié. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ en effectuant le changement de variable $u = x^2 + 1$ . Question 2 : Vérifier le résultat obtenu en calculant la dérivée de la primitive trouvée. Question 3 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ en utilisant la primitive calculée à la question 1 et en appliquant la formule de Newton-Leibniz. Question 4 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 \sqrt{x^2 + 1} dx$ (extension) ou comparer le résultat...→
  • 25
    Exercice 1 : Intégration des fonctions polynomiales et rationnelles On considère une fonction polynomiale $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ que nous allons intégrer successivement sous différentes formes, puis on étudie une décomposition en fractions partielles. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) \, dx$ en utilisant les propriétés de linéarité de l'intégrale et la formule $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ . Question 2 : Vérifier le résultat de la question 1 en dérivant l'antidérivée obtenue et comparer avec la fonction originale. Question 3 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{5x + 7}{(x+1)(x+2)} \, dx$ en décomposant d'abord la fraction rationnelle en fractions partielles. Question 4 : En utilisant la primitive obtenue à la question 3, calculer...→
  • 26
    Exercice 2 : Intégration des fonctions exponentielles et trigonométriques On considère une fonction composée combinant des termes exponentiels et trigonométriques. L'objectif est de calculer successivement des intégrales indéfinies et définies. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int (4e^{2x} + 3\sin(x)) \, dx$ en utilisant les formules standards d'intégration des exponentielles et fonctions trigonométriques. Question 2 : Pour la même fonction, calculer l'intégrale indéfinie $\int (2\cos(3x) - 5e^{-x}) \, dx$ . Question 3 : Évaluer l'intégrale définie $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 4e^{2x} \cos(x) \, dx$ en utilisant l'intégration par parties successivement ou une méthode efficace. Question 4 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 (e^x + \sin(\pi x)) \, dx$ et interpréter le résultat géométriquement en termes d'aire sous la courbe.→
  • 27
    Exercice 3 : Intégration de fonctions rationnelles complexes On étudie l'intégration de fractions rationnelles plus complexes avec des racines répétées et des polynômes irréductibles au dénominateur. Question 1 : Décomposer en fractions partielles la fonction $\frac{x^2 + 2x + 3}{(x-1)^2(x+2)}$ et calculer les constantes d'intégration. Question 2 : À partir de la décomposition obtenue, calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{x^2 + 2x + 3}{(x-1)^2(x+2)} \, dx$ . Question 3 : En utilisant une autre approche, décomposer et intégrer $\int \frac{2x + 5}{x^2 + 4} \, dx$ . Question 4 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^2 \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \, dx$ en effectuant une division polynomiale d'abord, puis en intégrant le résultat.→
  • 28
    Exercice 4 : Intégrales définies et théorème fondamental du calcul On étudie diverses applications du théorème fondamental du calcul et des techniques d'intégration pour résoudre des problèmes de calcul d'aires et de volumes. Question 1 : Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe $y = \sqrt{x}$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 4$ en intégrant $\int_0^4 \sqrt{x} \, dx$ . Question 2 : Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = 3x^2$ sur l'intervalle $[1, 3]$ en utilisant la formule $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$ . Question 3 : Calculer le volume du solide de révolution généré par la rotation autour de l'axe des $x$ de...→
  • 29
    Exercice 5 : Intégration par parties et intégrales complexes On étudie des techniques avancées d'intégration, notamment l'intégration par parties appliquée à des fonctions mixtes combinant polynômes, exponentielles et fonctions trigonométriques. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int x e^{3x} \, dx$ en utilisant l'intégration par parties avec $u = x$ et $dv = e^{3x} \, dx$ . Question 2 : Appliquer l'intégration par parties à $\int x \sin(2x) \, dx$ en choisissant approprié $u$ et $dv$ . Question 3 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^{\pi} x \cos(x) \, dx$ en utilisant les résultats de la technique d'intégration par parties. Question 4 : En utilisant l'intégration par parties deux fois successivement, calculer l'intégrale indéfinie $\int x^2 e^x \, dx$ et exprimer le résultat final....→
  • 30
    Exercice 1 : Décomposition en fractions partielles et intégration On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie en utilisant la méthode de décomposition en fractions partielles. Question 1 : Décomposer la fraction rationnelle $f(x) = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}$ en éléments simples de la forme $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ . Déterminer les constantes $A$ et $B$ par la méthode des résidus ou par identification. Question 2 : En utilisant la décomposition obtenue à la question 1, calculer l'intégrale indéfinie $\int f(x)\, dx = \int \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}\, dx$ . Exprimer le résultat sous la forme $C \ln|x + 1| + D \ln|x + 2| + K$ . Question 3 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}\, dx$ en utilisant le résultat de la question...→
  • 31
    Exercice 2 : Intégrales mixtes exponentielles-trigonométriques On considère l'intégrale $\int e^{2x} \sin(3x)\, dx$ . On souhaite calculer cette intégrale en utilisant la méthode d'intégration par parties répétée ou la méthode complexe. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $I = \int e^{2x} \sin(3x)\, dx$ en utilisant la méthode d'intégration par parties deux fois. À chaque étape, identifier clairement $u$ , $dv$ , $du$ et $v$ . Question 2 : À partir de la relation d'intégration par parties, établir une équation pour $I$ qui permet de résoudre directement pour $I$ . Exprimer le résultat sous la forme $I = \frac{e^{2x}(a \sin(3x) + b \cos(3x))}{c} + K$ . Question 3 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^{\pi/3} e^{2x} \sin(3x)\, dx$ en utilisant la formule...→
  • 32
    Exercice 3 : Intégrales de polynômes et combinaisons linéaires On considère la fonction polynomiale $P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 4$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie, puis des intégrales définies sur différents intervalles. Question 1 : Calculer l'intégrale indéfinie $\int P(x)\, dx = \int (3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 4)\, dx$ . Utiliser la linéarité de l'intégrale et la formule des puissances. Exprimer le résultat sous la forme d'une combinaison linéaire de monômes. Question 2 : Calculer l'intégrale définie $\int_0^2 P(x)\, dx$ en utilisant la primitive obtenue à la question 1. Évaluer numériquement le résultat et exprimer-le également en fractions. Question 3 : Calculer l'intégrale définie $\int_{-1}^1 P(x)\, dx$ sur un intervalle symétrique autour de zéro. Analyser les termes...→
  • 33
    Exercice 4 : Calcul d'aires entre courbes et intégration définie On considère deux fonctions $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = 3x$ . On souhaite déterminer l'aire comprise entre ces deux courbes sur un intervalle donné. Question 1 : Déterminer les points d'intersection des deux courbes en résolvant l'équation $f(x) = g(x)$ c'est-à-dire $x^2 + 1 = 3x$ . Exprimer les solutions sous forme exacte et calculer leurs valeurs numériques. Question 2 : Sur l'intervalle défini par les points d'intersection, déterminer laquelle des deux fonctions est la plus grande. Calculer l'intégrale $\int [g(x) - f(x)]\, dx$ sur cet intervalle pour obtenir l'aire exacte entre les courbes. Question 3 : Calculer numériquement l'aire exacte obtenue à...→
  • 34
    Exercice 5 : Étude de convergence des intégrales impropres On considère l'intégrale impropre $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\, dx$ où $p$ est un paramètre réel. On souhaite déterminer pour quelles valeurs de $p$ cette intégrale converge. Question 1 : Calculer la primitive de $\frac{1}{x^p}$ pour différentes valeurs de $p$ . Distinguer les cas $p = 1$ , $p \neq 1$ . Exprimer les résultats en fonction de $p$ . Question 2 : Calculer l'intégrale impropre $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^p}\, dx$ pour les cas $p > 1$ , $p = 1$ , et $p Question 3 : Appliquer les résultats précédents pour calculer $ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}}\, dx $ et $ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^{1/2}}\, dx $. Évaluer numériquement ces intégrales et interpréter la convergence. Question 4 : En utilisant le critère de comparaison, déterminer la convergence de $ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\, dx $ en comparant avec $ \frac{1}{x^2} $. Calculer numériquement cette intégrale en utilisant l'approximation $ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\, dx \approx \int_1^{M} \frac{1}{x^2...→
  • 35
    Soit la fonction $f(x) = \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3}$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie. Question 1: Décomposer la fraction $\frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3}$ en éléments simples. Factoriser d'abord le dénominateur et déterminer les constantes $A$ et $B$ de la décomposition. Question 2: En utilisant la décomposition en éléments simples, calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx$ . Question 3: Vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue et vérifier qu'elle redonne la fonction $f(x)$ . Question 4: Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx$ en utilisant la primitive trouvée aux questions précédentes.→
  • 36
    Soit la fonction $p(x) = (2x + 1)^5$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie en utilisant une substitution. Question 1: Calculer $\int (2x + 1)^5 dx$ en utilisant la substitution $u = 2x + 1$ . Déterminer $du$ et transformer l'intégrale. Question 2: Après la substitution, développer le calcul et revenir à la variable $x$ pour obtenir la primitive. Question 3: Vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue. Question 4: Calculer l'intégrale définie $\int_{-1/2}^{1/2} (2x + 1)^5 dx$ en utilisant la primitive trouvée.→
  • 37
    Soit la fonction $f(x) = \sin^2(x)$ . On souhaite calculer son intégrale indéfinie en utilisant des identités trigonométriques. Question 1: En utilisant l'identité $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ , exprimer l'intégrale à calculer. Question 2: Calculer $\int \sin^2(x) dx$ en intégrant chaque terme séparément. Question 3: Calculer l'intégrale définie $\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) dx$ en utilisant la primitive trouvée. Question 4: Vérifier numériquement que le résultat est cohérent en le comparant avec l'approximation numérique de l'intégrale définie.→
  • 38
    Soit la fonction $h(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ définie sur $[0, 1]$ . On souhaite calculer l'intégrale définie pour déterminer une aire. Question 1: Calculer l'intégrale indéfinie $\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$ en utilisant la substitution $x = \sinh(t)$ ou en reconnaissant la fonction inverse hyperbolique. Question 2: Exprimer le résultat en fonction du logarithme: la primitive est $\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) + C$ . Question 3: Calculer l'intégrale définie $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$ en utilisant la primitive trouvée. Question 4: Interpréter géométriquement ce résultat comme l'aire sous la courbe $y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ entre $x = 0$ et $x = 1$ . Comparer avec des approximations numériques.→
• Les équations différentielles (59 Exercices)
  • 1
    On considère l'équation différentielle ordinaire d'ordre 1 : $\frac{dy}{dt} = 2ty$ avec la condition initiale $y(0) = 3$ . Question 1 : Séparer les variables et intégrer chaque côté de l'équation. Question 2 : Déterminer la constante d'intégration en utilisant la condition initiale $y(0) = 3$ . Question 3 : Écrire la solution générale $y(t)$ . Question 4 : Calculer la valeur de $y(1)$ et $y(-1)$ .→
  • 2
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 1 : $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ . Question 1 : Identifier le facteur intégrant $\mu(x)$ pour cette équation linéaire de la forme $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ . Question 2 : Multiplier l'équation par le facteur intégrant et reconnaître la dérivée du produit. Question 3 : Intégrer pour obtenir la solution générale. Question 4 : Utiliser la condition initiale et calculer $y(2)$ et $y(3)$ .→
  • 3
    Résoudre l'équation différentielle du second ordre : $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 4$ . Question 1 : Former et résoudre l'équation caractéristique associée. Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation homogène. Question 3 : Utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Question 4 : Exprimer la solution particulière et calculer $y(1)$ et $y(2)$ .→
  • 4
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 2 non homogène : $y'' + 4y = 8x$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 2$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' + 4y = 0$ . Question 2 : Trouver une solution particulière en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 3 : Écrire la solution générale et appliquer les conditions initiales. Question 4 : Exprimer la solution et calculer $y(\pi/2)$ et $y(\pi)$ .→
  • 5
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 2 non homogène : $y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' - 3y' + 2y = 0$ . Question 2 : Chercher une solution particulière en supposant $y_p = Ae^{3x}$ . Question 3 : Trouver les constantes $C_1$ et $C_2$ à partir des conditions initiales. Question 4 : Calculer la solution finale et évaluer $y(0.5)$ et $y(1)$ .→
  • 6
    On considère l'équation différentielle du premier ordre suivante : $y' + 2y = 4e^{-x}$ , où $y$ est une fonction de la variable $x$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y' + 2y = 0$ . Calculer la solution générale $y_h(x)$ de cette équation homogène. Question 2 : Déterminer une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. Calculer explicitement $y_p(x)$ . Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle complète $y' + 2y = 4e^{-x}$ . Question 4 : Calculer la solution particulière qui vérifie la condition initiale $y(0) = 3$ . Déterminer la constante d'intégration et donner l'expression finale...→
  • 7
    On considère l'équation différentielle du premier ordre : $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ , avec $y > 0$ . Question 1 : Séparer les variables de l'équation différentielle et exprimer l'équation sous la forme permettant l'intégration. Question 2 : Intégrer les deux membres de l'équation pour obtenir la solution implicite. Calculer les intégrales $\int y \, dy$ et $\int x \, dx$ . Question 3 : Exprimer la solution générale sous forme explicite $y(x)$ en fonction de la constante d'intégration $C$ . Question 4 : Déterminer la solution particulière qui passe par le point $(2, 3)$ , c'est-à-dire qui vérifie $y(2) = 3$ . Calculer la valeur de la constante $C$ et donner l'expression finale....→
  • 8
    On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $y'' - 5y' + 6y = 0$ . Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique associée à cette équation différentielle. Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Question 2 : Résoudre l'équation caractéristique et calculer les deux racines $r_1$ et $r_2$ . Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle en utilisant les racines trouvées. Question 4 : Déterminer la solution particulière qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 4$ . Calculer les constantes $C_1$ et $C_2$ et donner l'expression finale.→
  • 9
    On considère l'équation différentielle du second ordre : $y'' - 4y' + 4y = 0$ . Question 1 : Écrire l'équation caractéristique associée et calculer son discriminant $\Delta$ . Question 2 : Résoudre l'équation caractéristique et montrer qu'elle admet une racine double $r_0$ . Calculer la valeur de $r_0$ . Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle sachant que pour une racine double $r_0$ , la solution est de la forme $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$ . Question 4 : Déterminer la solution particulière qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 2$ et $y'(0) = 5$ . Calculer les constantes $C_1$ et $C_2$ et donner l'expression finale.→
  • 10
    On considère l'équation différentielle complète du second ordre : $y'' + y = 2\cos(x)$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' + y = 0$ . Déterminer l'équation caractéristique, calculer ses racines complexes et en déduire la solution générale $y_h(x)$ de l'équation homogène. Question 2 : Chercher une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète sous la forme $y_p(x) = Ax\sin(x) + Bx\cos(x)$ (forme modifiée car $\cos(x)$ est solution de l'homogène). Calculer $y_p'(x)$ et $y_p''(x)$ . Question 3 : Substituer $y_p$ , $y_p'$ et $y_p''$ dans l'équation $y'' + y = 2\cos(x)$ pour déterminer les valeurs de $A$ et $B$ . Calculer explicitement $y_p(x)$ . Question 4 : Écrire la solution générale $y(x)$ de l'équation...→
  • 11
    Considérons l'équation différentielle ordinaire du premier ordre : $\frac{dy}{dt} + 2y = 4e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1: Déterminer la solution générale homogène de cette équation. Question 2: Trouver une solution particulière de l'équation complète par la méthode de variation de la constante. Question 3: Calculer la solution générale complète de l'équation différentielle. Question 4: Appliquer la condition initiale et donner la solution particulière satisfaisant $y(0)=1$ .→
  • 12
    Considérons l'équation différentielle du premier ordre non linéaire : $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + 1}$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ . Question 1: Vérifier que cette équation est exacte ou à variables séparables. Question 2: Résoudre l'équation différentielle. Question 3: Appliquer la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration. Question 4: Exprimer la solution sous forme explicite $y=f(x)$ et vérifier votre solution.→
  • 13
    Considérons l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$ . Question 1: Former et résoudre l'équation caractéristique. Question 2: Écrire la solution générale homogène. Question 3: Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes. Question 4: Exprimer la solution particulière complète.→
  • 14
    Considérons l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants non homogène : $y'' + 4y' + 4y = e^{-2t}$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . Question 1: Résoudre l'équation homogène associée et identifier le type de racines de l'équation caractéristique. Question 2: Trouver une solution particulière de l'équation complète par la méthode des coefficients indéterminés. Question 3: Écrire la solution générale complète et appliquer les conditions initiales. Question 4: Donner la solution particulière finale.→
  • 15
    Exercice 1 : Équation différentielle d'ordre 1 - Résolution par séparation des variables On considère l'équation différentielle suivante : $\frac{dy}{dt} = 2ty$ avec la condition initiale $y(0) = 3$ . Question 1 : Résoudre l'équation différentielle $\frac{dy}{dt} = 2ty$ par séparation des variables. Question 2 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 3$ pour déterminer la constante d'intégration. Question 3 : Calculer la valeur de $y(1)$ et $y(2)$ en utilisant la solution particulière trouvée. Question 4 : Vérifier que la solution trouvée satisfait bien l'équation différentielle initiale en calculant $\frac{dy}{dt}$ et en comparant avec $2ty$ .→
  • 16
    Exercice 2 : Équation différentielle linéaire d'ordre 1 On considère l'équation différentielle suivante : $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1 : Déterminer le facteur intégrant $\mu(t)$ de l'équation différentielle linéaire. Question 2 : Multiplier l'équation par le facteur intégrant et résoudre la forme exacte résultante. Question 3 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 1$ pour trouver la solution particulière. Question 4 : Calculer $y(\ln 2)$ et étudier le comportement asymptotique de $y(t)$ lorsque $t \to \infty$ .→
  • 17
    Exercice 3 : Équation différentielle d'ordre 2 - Résolution avec racines réelles distinctes On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $\frac{d^2y}{dt^2} - 5\frac{dy}{dt} + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 2$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 4$ . Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique et calculer ses racines. Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation homogène. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Question 4 : Calculer $y(1)$ et vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle.→
  • 18
    Exercice 4 : Équation différentielle d'ordre 2 avec racines complexes On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 5y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 0$ . Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique et calculer les racines complexes. Question 2 : Écrire la solution générale en termes de cosinus et sinus amortis. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes. Question 4 : Calculer $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et identifier l'amplitude d'amortissement.→
  • 19
    Exercice 5 : Équation différentielle d'ordre 2 non-homogène - Méthode des coefficients indéterminés On considère l'équation différentielle du second ordre non-homogène : $\frac{d^2y}{dt^2} - 3\frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t}$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 1$ . Question 1 : Trouver la solution générale de l'équation homogène associée. Question 2 : Trouver une solution particulière de l'équation non-homogène en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes de la solution générale complète. Question 4 : Calculer $y(1)$ avec la solution complète.→
  • 20
    Soit l'équation différentielle ordinaire du premier ordre: $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ . Question 1 : Vérifier que cette équation est linéaire et déterminer la solution de l'équation homogène associée. Question 2 : Calculer la solution générale de l'équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. Question 3 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 1$ pour déterminer la constante d'intégration. Question 4 : Calculer la valeur de la solution à $t = \ln(2)$ et interpréter le résultat physiquement.→
  • 21
    Soit l'équation différentielle: $\frac{d^2y}{dt^2} - 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$ . Question 1 : Déterminer les racines de l'équation caractéristique associée à cette équation homogène. Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation différentielle. Question 3 : Appliquer les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ pour trouver les constantes. Question 4 : Calculer $y(1)$ et vérifier que la solution vérifie l'équation différentielle originale.→
  • 22
    Soit l'équation différentielle: $\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 3\sin(2t)$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et écrire la solution générale homogène. Question 2 : Déterminer une solution particulière de l'équation complète en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 3 : Écrire la solution générale de l'équation complète. Question 4 : Appliquer les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ pour obtenir la solution unique.→
  • 23
    Soit l'équation différentielle: $\frac{dy}{dt} = \frac{y}{t}$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ . Question 1 : Vérifier que cette équation est à variables séparables. Question 2 : Séparer les variables et intégrer les deux côtés de l'équation. Question 3 : Déterminer la constante d'intégration en utilisant la condition initiale. Question 4 : Calculer $y(e)$ et vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle originale.→
  • 24
    Exercice 1 : Résolution d'une équation différentielle d'ordre 1 avec conditions initiales Un circuit électrique contient une résistance $R = 100 \, \Omega$ et une inductance $L = 0.5 \, \text{H}$ . On applique une tension $U(t) = 12 \, \text{V}$ (constante). L'équation différentielle régissant le courant $i(t)$ dans le circuit est : $L \frac{di}{dt} + Ri = U(t)$ Question 1 : Écrire l'équation différentielle sous sa forme standard et identifier son type (linéaire ou non-linéaire, homogène ou non-homogène). Question 2 : Résoudre l'équation homogène associée $\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = 0$ et déterminer la solution homogène $i_h(t)$ . Question 3 : Trouver une solution particulière $i_p(t)$ de l'équation complète en supposant une solution constante pour $t \to \infty$ . Question 4 : Déterminer...→
  • 25
    Exercice 3 : Oscillation libre amortie d'une masse-ressort Un système masse-ressort avec amortissement est décrit par l'équation : $m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = 0$ où $m = 1 \, \text{kg}$ (masse), $c = 2 \, \text{N·s·m}^{-1}$ (coefficient d'amortissement), et $k = 1 \, \text{N·m}^{-1}$ (constante du ressort). Question 1 : Écrire l'équation sous forme canonique en divisant par $m$ et identifier les coefficients. Question 2 : Déterminer l'équation caractéristique associée et calculer ses racines. Question 3 : En fonction de la nature des racines, écrire la forme générale de la solution $x(t)$ et identifier le type d'amortissement. Question 4 : Appliquer les conditions initiales $x(0) = 1 \, \text{m}$ et $\frac{dx}{dt}(0) = 0 \, \text{m·s}^{-1}$ , puis calculer le déplacement $x(1)$ à $t = 1 \, \text{s}$ .→
  • 26
    Exercice 4 : Oscillation forcée d'une poutre Une poutre cantilever est soumise à une force externe périodique. L'équation du mouvement est : $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 3y = 6 \cos(2t)$ où $y(t)$ représente la déflexion en mètres. Question 1 : Identifier les caractéristiques de cette équation (ordre, linéarité, homogénéité). Question 2 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la solution complémentaire $y_h(t)$ . Question 3 : Trouver une solution particulière $y_p(t)$ de la forme $y_p(t) = A \cos(2t) + B \sin(2t)$ en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 4 : Déterminer la solution générale $y(t)$ et appliquer les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 0$ , puis calculer $y(t = 2)$ .→
  • 27
    Exercice 5 : Système prédateur-proie Le modèle de Lotka-Volterra décrit la dynamique entre une population de proies et de prédateurs : $\frac{dp}{dt} = ap - bpq$ $\frac{dq}{dt} = -cq + dpq$ où $p(t)$ est le nombre de proies, $q(t)$ le nombre de prédateurs, et les paramètres sont : $a = 0.1$ , $b = 0.002$ , $c = 0.1$ , $d = 0.00002$ (en unités appropriées). Question 1 : Identifier les points d'équilibre du système en résolvant $\frac{dp}{dt} = 0$ et $\frac{dq}{dt} = 0$ simultanément. Question 2 : Interpréter physiquement le point d'équilibre non-trivial $(p^*, q^*)$ trouvé en Question 1. Question 3 : Avec les conditions initiales $p(0) = 50000$ proies et $q(0) = 3000$ prédateurs, intégrer numériquement le système sur $0 \leq t \leq 100$ (unités de temps)...→
  • 28
    Une particule en mouvement dans un fluide visqueux obéit à l'équation différentielle du premier ordre : $\frac{dv}{dt} + 2v = 8$ où $v(t)$ représente la vitesse (en m/s) de la particule et $t$ le temps (en secondes). La condition initiale est $v(0) = 0$ . Question 1 : Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre en utilisant la méthode du facteur intégrant. Déterminer l'expression analytique complète de $v(t)$ . Question 2 : Calculer la vitesse de la particule aux temps $t = 1$ seconde et $t = 5$ secondes. Question 3 : Déterminer la vitesse limite $v_{\infty}$ lorsque $t \to \infty$ et interpréter physiquement ce résultat. Question 4 : Calculer le temps...→
  • 29
    Un circuit électrique RLC (résistance, inductance, capacitance) subit un échelon de tension. Le courant $i(t)$ dans le circuit satisfait l'équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2i}{dt^2} + 5\frac{di}{dt} + 6i = 0$ avec les conditions initiales $i(0) = 1$ ampère et $\frac{di}{dt}(0) = -2$ A/s. Question 1 : Résoudre cette équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants en trouvant les racines de l'équation caractéristique. Question 2 : Déterminer les constantes d'intégration en utilisant les conditions initiales, puis écrire la solution complète $i(t)$ . Question 3 : Calculer le courant à $t = 0.5$ secondes et à $t = 2$ secondes. Question 4 : Déterminer le temps $t_m$ auquel le courant atteint...→
  • 30
    Un système dynamique non-homogène est décrit par l'équation différentielle : $\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 12\cos(2t)$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 0$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la solution complémentaire (ou fonction homogène). Question 2 : Déterminer une solution particulière en utilisant la méthode des coefficients indéterminés ou la variation des paramètres. Question 3 : Écrire la solution générale et appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Exprimer la solution complète $y(t)$ . Question 4 : Calculer l'amplitude du déplacement permanent (régime permanent) et identifier la fréquence de résonance du système. Vérifier si le système est à...→
  • 31
    Un système thermique de refroidissement d'une pièce métallique obéit à l'équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2T}{dt^2} + 3\frac{dT}{dt} + 2T = 20$ où $T(t)$ est la température (en °C) et $t$ le temps (en minutes). Les conditions initiales sont $T(0) = 100°C$ et $\frac{dT}{dt}(0) = -30°C/\text{min}$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la forme générale de la solution homogène. Question 2 : Déterminer la solution particulière (solution d'équilibre) et écrire la solution générale de l'équation complète. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour trouver les constantes d'intégration et exprimer $T(t)$ complètement. Question 4 : Calculer la température de la pièce à $t = 5$ minutes et...→
  • 32
    On considère l'équation différentielle ordinaire d'ordre 1 : $\frac{dy}{dt} = 2ty$ avec la condition initiale $y(0) = 3$ . Question 1 : Séparer les variables et intégrer chaque côté de l'équation. Question 2 : Déterminer la constante d'intégration en utilisant la condition initiale $y(0) = 3$ . Question 3 : Écrire la solution générale $y(t)$ . Question 4 : Calculer la valeur de $y(1)$ et $y(-1)$ .→
  • 33
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 1 : $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ . Question 1 : Identifier le facteur intégrant $\mu(x)$ pour cette équation linéaire de la forme $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ . Question 2 : Multiplier l'équation par le facteur intégrant et reconnaître la dérivée du produit. Question 3 : Intégrer pour obtenir la solution générale. Question 4 : Utiliser la condition initiale et calculer $y(2)$ et $y(3)$ .→
  • 34
    Résoudre l'équation différentielle du second ordre : $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 4$ . Question 1 : Former et résoudre l'équation caractéristique associée. Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation homogène. Question 3 : Utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Question 4 : Exprimer la solution particulière et calculer $y(1)$ et $y(2)$ .→
  • 35
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 2 non homogène : $y'' + 4y = 8x$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 2$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' + 4y = 0$ . Question 2 : Trouver une solution particulière en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 3 : Écrire la solution générale et appliquer les conditions initiales. Question 4 : Exprimer la solution et calculer $y(\pi/2)$ et $y(\pi)$ .→
  • 36
    Résoudre l'équation différentielle d'ordre 2 non homogène : $y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' - 3y' + 2y = 0$ . Question 2 : Chercher une solution particulière en supposant $y_p = Ae^{3x}$ . Question 3 : Trouver les constantes $C_1$ et $C_2$ à partir des conditions initiales. Question 4 : Calculer la solution finale et évaluer $y(0.5)$ et $y(1)$ .→
  • 37
    On considère l'équation différentielle du premier ordre suivante : $y' + 2y = 4e^{-x}$ , où $y$ est une fonction de la variable $x$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y' + 2y = 0$ . Calculer la solution générale $y_h(x)$ de cette équation homogène. Question 2 : Déterminer une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. Calculer explicitement $y_p(x)$ . Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle complète $y' + 2y = 4e^{-x}$ . Question 4 : Calculer la solution particulière qui vérifie la condition initiale $y(0) = 3$ . Déterminer la constante d'intégration et donner l'expression finale...→
  • 38
    On considère l'équation différentielle du premier ordre : $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ , avec $y > 0$ . Question 1 : Séparer les variables de l'équation différentielle et exprimer l'équation sous la forme permettant l'intégration. Question 2 : Intégrer les deux membres de l'équation pour obtenir la solution implicite. Calculer les intégrales $\int y \, dy$ et $\int x \, dx$ . Question 3 : Exprimer la solution générale sous forme explicite $y(x)$ en fonction de la constante d'intégration $C$ . Question 4 : Déterminer la solution particulière qui passe par le point $(2, 3)$ , c'est-à-dire qui vérifie $y(2) = 3$ . Calculer la valeur de la constante $C$ et donner l'expression finale....→
  • 39
    On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $y'' - 5y' + 6y = 0$ . Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique associée à cette équation différentielle. Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Question 2 : Résoudre l'équation caractéristique et calculer les deux racines $r_1$ et $r_2$ . Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle en utilisant les racines trouvées. Question 4 : Déterminer la solution particulière qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 4$ . Calculer les constantes $C_1$ et $C_2$ et donner l'expression finale.→
  • 40
    On considère l'équation différentielle du second ordre : $y'' - 4y' + 4y = 0$ . Question 1 : Écrire l'équation caractéristique associée et calculer son discriminant $\Delta$ . Question 2 : Résoudre l'équation caractéristique et montrer qu'elle admet une racine double $r_0$ . Calculer la valeur de $r_0$ . Question 3 : En déduire la solution générale $y(x)$ de l'équation différentielle sachant que pour une racine double $r_0$ , la solution est de la forme $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$ . Question 4 : Déterminer la solution particulière qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 2$ et $y'(0) = 5$ . Calculer les constantes $C_1$ et $C_2$ et donner l'expression finale.→
  • 41
    On considère l'équation différentielle complète du second ordre : $y'' + y = 2\cos(x)$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée $y'' + y = 0$ . Déterminer l'équation caractéristique, calculer ses racines complexes et en déduire la solution générale $y_h(x)$ de l'équation homogène. Question 2 : Chercher une solution particulière $y_p(x)$ de l'équation complète sous la forme $y_p(x) = Ax\sin(x) + Bx\cos(x)$ (forme modifiée car $\cos(x)$ est solution de l'homogène). Calculer $y_p'(x)$ et $y_p''(x)$ . Question 3 : Substituer $y_p$ , $y_p'$ et $y_p''$ dans l'équation $y'' + y = 2\cos(x)$ pour déterminer les valeurs de $A$ et $B$ . Calculer explicitement $y_p(x)$ . Question 4 : Écrire la solution générale $y(x)$ de l'équation...→
  • 42
    Considérons l'équation différentielle ordinaire du premier ordre : $\frac{dy}{dt} + 2y = 4e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1: Déterminer la solution générale homogène de cette équation. Question 2: Trouver une solution particulière de l'équation complète par la méthode de variation de la constante. Question 3: Calculer la solution générale complète de l'équation différentielle. Question 4: Appliquer la condition initiale et donner la solution particulière satisfaisant $y(0)=1$ .→
  • 43
    Considérons l'équation différentielle du premier ordre non linéaire : $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + 1}$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ . Question 1: Vérifier que cette équation est exacte ou à variables séparables. Question 2: Résoudre l'équation différentielle. Question 3: Appliquer la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration. Question 4: Exprimer la solution sous forme explicite $y=f(x)$ et vérifier votre solution.→
  • 44
    Considérons l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$ . Question 1: Former et résoudre l'équation caractéristique. Question 2: Écrire la solution générale homogène. Question 3: Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes. Question 4: Exprimer la solution particulière complète.→
  • 45
    Considérons l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants non homogène : $y'' + 4y' + 4y = e^{-2t}$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ . Question 1: Résoudre l'équation homogène associée et identifier le type de racines de l'équation caractéristique. Question 2: Trouver une solution particulière de l'équation complète par la méthode des coefficients indéterminés. Question 3: Écrire la solution générale complète et appliquer les conditions initiales. Question 4: Donner la solution particulière finale.→
  • 46
    Exercice 1 : Équation différentielle d'ordre 1 - Résolution par séparation des variables On considère l'équation différentielle suivante : $\frac{dy}{dt} = 2ty$ avec la condition initiale $y(0) = 3$ . Question 1 : Résoudre l'équation différentielle $\frac{dy}{dt} = 2ty$ par séparation des variables. Question 2 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 3$ pour déterminer la constante d'intégration. Question 3 : Calculer la valeur de $y(1)$ et $y(2)$ en utilisant la solution particulière trouvée. Question 4 : Vérifier que la solution trouvée satisfait bien l'équation différentielle initiale en calculant $\frac{dy}{dt}$ et en comparant avec $2ty$ .→
  • 47
    Exercice 2 : Équation différentielle linéaire d'ordre 1 On considère l'équation différentielle suivante : $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ . Question 1 : Déterminer le facteur intégrant $\mu(t)$ de l'équation différentielle linéaire. Question 2 : Multiplier l'équation par le facteur intégrant et résoudre la forme exacte résultante. Question 3 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 1$ pour trouver la solution particulière. Question 4 : Calculer $y(\ln 2)$ et étudier le comportement asymptotique de $y(t)$ lorsque $t \to \infty$ .→
  • 48
    Exercice 3 : Équation différentielle d'ordre 2 - Résolution avec racines réelles distinctes On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $\frac{d^2y}{dt^2} - 5\frac{dy}{dt} + 6y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 2$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 4$ . Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique et calculer ses racines. Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation homogène. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Question 4 : Calculer $y(1)$ et vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle.→
  • 49
    Exercice 4 : Équation différentielle d'ordre 2 avec racines complexes On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants : $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + 5y = 0$ avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 0$ . Question 1 : Déterminer l'équation caractéristique et calculer les racines complexes. Question 2 : Écrire la solution générale en termes de cosinus et sinus amortis. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes. Question 4 : Calculer $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et identifier l'amplitude d'amortissement.→
  • 50
    Exercice 5 : Équation différentielle d'ordre 2 non-homogène - Méthode des coefficients indéterminés On considère l'équation différentielle du second ordre non-homogène : $\frac{d^2y}{dt^2} - 3\frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t}$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 1$ . Question 1 : Trouver la solution générale de l'équation homogène associée. Question 2 : Trouver une solution particulière de l'équation non-homogène en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes de la solution générale complète. Question 4 : Calculer $y(1)$ avec la solution complète.→
  • 51
    Soit l'équation différentielle ordinaire du premier ordre: $\frac{dy}{dt} + 2y = e^{-t}$ . Question 1 : Vérifier que cette équation est linéaire et déterminer la solution de l'équation homogène associée. Question 2 : Calculer la solution générale de l'équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. Question 3 : Appliquer la condition initiale $y(0) = 1$ pour déterminer la constante d'intégration. Question 4 : Calculer la valeur de la solution à $t = \ln(2)$ et interpréter le résultat physiquement.→
  • 52
    Soit l'équation différentielle: $\frac{d^2y}{dt^2} - 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$ . Question 1 : Déterminer les racines de l'équation caractéristique associée à cette équation homogène. Question 2 : Écrire la solution générale de l'équation différentielle. Question 3 : Appliquer les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ pour trouver les constantes. Question 4 : Calculer $y(1)$ et vérifier que la solution vérifie l'équation différentielle originale.→
  • 53
    Soit l'équation différentielle: $\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 3\sin(2t)$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et écrire la solution générale homogène. Question 2 : Déterminer une solution particulière de l'équation complète en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Question 3 : Écrire la solution générale de l'équation complète. Question 4 : Appliquer les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$ pour obtenir la solution unique.→
  • 54
    Soit l'équation différentielle: $\frac{dy}{dt} = \frac{y}{t}$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ . Question 1 : Vérifier que cette équation est à variables séparables. Question 2 : Séparer les variables et intégrer les deux côtés de l'équation. Question 3 : Déterminer la constante d'intégration en utilisant la condition initiale. Question 4 : Calculer $y(e)$ et vérifier que la solution satisfait l'équation différentielle originale.→
  • 55
    Une particule en mouvement dans un fluide visqueux obéit à l'équation différentielle du premier ordre : $\frac{dv}{dt} + 2v = 8$ où $v(t)$ représente la vitesse (en m/s) de la particule et $t$ le temps (en secondes). La condition initiale est $v(0) = 0$ . Question 1 : Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre en utilisant la méthode du facteur intégrant. Déterminer l'expression analytique complète de $v(t)$ . Question 2 : Calculer la vitesse de la particule aux temps $t = 1$ seconde et $t = 5$ secondes. Question 3 : Déterminer la vitesse limite $v_{\infty}$ lorsque $t \to \infty$ et interpréter physiquement ce résultat. Question 4 : Calculer le temps...→
  • 56
    Un circuit électrique RLC (résistance, inductance, capacitance) subit un échelon de tension. Le courant $i(t)$ dans le circuit satisfait l'équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2i}{dt^2} + 5\frac{di}{dt} + 6i = 0$ avec les conditions initiales $i(0) = 1$ ampère et $\frac{di}{dt}(0) = -2$ A/s. Question 1 : Résoudre cette équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants en trouvant les racines de l'équation caractéristique. Question 2 : Déterminer les constantes d'intégration en utilisant les conditions initiales, puis écrire la solution complète $i(t)$ . Question 3 : Calculer le courant à $t = 0.5$ secondes et à $t = 2$ secondes. Question 4 : Déterminer le temps $t_m$ auquel le courant atteint...→
  • 57
    Un système mécanique avec amortissement est décrit par l'équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$ où $x(t)$ est le déplacement (en mètres) et $t$ le temps (en secondes). Les conditions initiales sont $x(0) = 2$ mètres et $\frac{dx}{dt}(0) = 0$ m/s. Question 1 : Déterminer la nature des racines de l'équation caractéristique et identifier le régime de l'amortissement (critique, sur-amorti ou sous-amorti). Question 2 : Résoudre l'équation différentielle complètement et déterminer la fonction $x(t)$ qui satisfait les conditions initiales. Question 3 : Calculer le déplacement aux instants $t = 0.1$ s, $t = 0.5$ s et $t = 1$ s. Question 4 : Déterminer le déplacement maximum et le temps...→
  • 58
    Un système dynamique non-homogène est décrit par l'équation différentielle : $\frac{d^2y}{dt^2} + 4y = 12\cos(2t)$ avec les conditions initiales $y(0) = 0$ et $\frac{dy}{dt}(0) = 0$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la solution complémentaire (ou fonction homogène). Question 2 : Déterminer une solution particulière en utilisant la méthode des coefficients indéterminés ou la variation des paramètres. Question 3 : Écrire la solution générale et appliquer les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration. Exprimer la solution complète $y(t)$ . Question 4 : Calculer l'amplitude du déplacement permanent (régime permanent) et identifier la fréquence de résonance du système. Vérifier si le système est à...→
  • 59
    Un système thermique de refroidissement d'une pièce métallique obéit à l'équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2T}{dt^2} + 3\frac{dT}{dt} + 2T = 20$ où $T(t)$ est la température (en °C) et $t$ le temps (en minutes). Les conditions initiales sont $T(0) = 100°C$ et $\frac{dT}{dt}(0) = -30°C/\text{min}$ . Question 1 : Résoudre l'équation homogène associée et déterminer la forme générale de la solution homogène. Question 2 : Déterminer la solution particulière (solution d'équilibre) et écrire la solution générale de l'équation complète. Question 3 : Appliquer les conditions initiales pour trouver les constantes d'intégration et exprimer $T(t)$ complètement. Question 4 : Calculer la température de la pièce à $t = 5$ minutes et...→
• Les fonctions à plusieurs variables (36 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Étude de limite et continuité d'une fonction de deux variables Soit la fonction $f(x,y)$ définie par : $f(x,y) = \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ $f(0,0) = 0$ Question 1 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de l'axe $x$ (c'est-à-dire $y = 0$ ). Question 2 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de l'axe $y$ (c'est-à-dire $x = 0$ ). Question 3 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de la droite $y = x$ . Question 4 : En utilisant les coordonnées polaires $x = r\cos(\theta)$ et $y = r\sin(\theta)$ , calculer $\lim_{r \to 0} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta))$...→
  • 2
    Exercice 2 : Calcul des dérivées partielles et application au gradient Soit la fonction $f(x,y) = x^2y + xy^2 - 3x + 2y$ définie sur $\mathbb{R}^2$ . Question 1 : Calculer les dérivées partielles du premier ordre $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ en tout point $(x,y)$ . Question 2 : Calculer les dérivées partielles du second ordre $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ , $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ , et $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ . Question 3 : Déterminer les points critiques de $f$ en résolvant le système $\nabla f = \vec{0}$ , c'est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ . Question 4 : Au point critique trouvé en Question 3, calculer la matrice Hessienne $H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$ et son déterminant $\det(H)$ .→
  • 3
    Exercice 3 : Différentiabilité et approximation linéaire Soit la fonction $f(x,y) = e^{x} \cos(y) + xy$ définie sur $\mathbb{R}^2$ . Question 1 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ pour tout point $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ . Question 2 : Vérifier que $f$ est différentiable en $(0,0)$ et calculer la différentielle $df_{(0,0)}(h,k)$ où $(h,k)$ représente un incrément. Question 3 : Déterminer l'approximation linéaire (développement de Taylor au premier ordre) de $f(x,y)$ au voisinage du point $(0,0)$ , c'est-à-dire calculer $L(x,y) = f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \cdot y$ . Question 4 : Utiliser l'approximation linéaire trouvée en Question 3 pour estimer la valeur de $f(0.1, 0.2)$ et calculer l'erreur absolue $|f(0.1, 0.2) - L(0.1, 0.2)|$ .→
  • 4
    Exercice 4 : Calcul d'intégrale double sur un domaine rectangulaire Soit le domaine $D = [0, 2] \times [1, 3]$ dans le plan $xy$ . Question 1 : Calculer l'intégrale double $\iint_D (x^2 + 2y) \, dx \, dy$ en intégrant d'abord par rapport à $x$ , puis par rapport à $y$ . Question 2 : Vérifier le résultat en inversant l'ordre d'intégration, c'est-à-dire calculer $\iint_D (x^2 + 2y) \, dy \, dx$ . Question 3 : Calculer l'aire du domaine $D$ en utilisant l'intégrale $\iint_D 1 \, dx \, dy$ . Question 4 : Calculer la valeur moyenne de la fonction $f(x,y) = x^2 + 2y$ sur le domaine $D$ en utilisant la formule $f_{moy} = \frac{1}{\text{Aire}(D)} \iint_D f(x,y) \, dx \, dy$ .→
  • 5
    Exercice 5 : Calcul d'intégrale triple et applications Soit le domaine $E$ défini par $E = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3\}$ . Question 1 : Calculer l'intégrale triple $\iiint_E xyz \, dx \, dy \, dz$ . Question 2 : Calculer le volume du domaine $E$ en utilisant l'intégrale $\iiint_E 1 \, dx \, dy \, dz$ . Question 3 : Soit la densité de masse $\rho(x,y,z) = x + y + z$ définie sur $E$ . Calculer la masse totale $M = \iiint_E \rho(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iiint_E (x + y + z) \, dx \, dy \, dz$ . Question 4 : Calculer la coordonnée $\bar{x}$ du centre de masse du solide $E$ avec la densité $\rho(x,y,z) = x + y + z$ en utilisant la formule $\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_E x \cdot \rho(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$ , où $M$ est la masse calculée en Question 3.→
  • 6
    Étude d'une fonction à deux variables Soit la fonction $f(x,y)$ définie par : $f(x,y) = \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ $f(0,0) = 0$ Question 1 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de l'axe $y = 0$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de la droite $y = x$ . Question 3 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de la courbe $y = x^2$ . Question 4 : En utilisant les coordonnées polaires $x = r\cos(\theta)$ et $y = r\sin(\theta)$ , déterminer si $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ existe et conclure sur la continuité de $f$ en...→
  • 7
    Analyse d'une fonction thermique La température en un point $(x,y)$ d'une plaque métallique est donnée par : $T(x,y) = 100e^{-x^2-y^2} + 20$ où $T$ est en degrés Celsius et $x, y$ sont en mètres. Question 1 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial T}{\partial x}$ et $\frac{\partial T}{\partial y}$ au point $(x,y)$ quelconque. Question 2 : Évaluer numériquement le gradient $\nabla T$ au point $P(0.5, 0.5)$ . Question 3 : Calculer la dérivée directionnelle de $T$ au point $P(0.5, 0.5)$ dans la direction du vecteur $\vec{u} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ . Question 4 : Déterminer la direction et la valeur maximale de la dérivée directionnelle au point $P(0.5, 0.5)$ . Dans quelle direction la température augmente-t-elle le plus...→
  • 8
    Surface et approximation linéaire Considérons la surface $S$ définie par l'équation : $z = f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2 + 3x - 2y + 5$ Question 1 : Calculer les dérivées partielles premières $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ au point $A(1, 2)$ . Question 2 : Déterminer l'équation du plan tangent à la surface $S$ au point $M_0(1, 2, f(1,2))$ . Question 3 : Utiliser l'approximation linéaire (différentielle totale) pour estimer la valeur de $f(1.1, 2.05)$ . Question 4 : Calculer la valeur exacte de $f(1.1, 2.05)$ et déterminer l'erreur absolue de l'approximation linéaire.→
  • 9
    Calcul d'aire et de volume par intégration double Soit le domaine $D$ dans le plan $xy$ défini par : $D = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 2, \, x^2 \leq y \leq 4\}$ et la fonction $f(x,y) = x + 2y$ . Question 1 : Représenter le domaine $D$ et calculer son aire en utilisant une intégrale double : $A = \iint_D 1 \, dA$ . Question 2 : Calculer l'intégrale double $\iint_D (x + 2y) \, dA$ en utilisant l'ordre d'intégration $dy \, dx$ . Question 3 : Inverser l'ordre d'intégration et réécrire l'intégrale sous la forme $\int \int \, dx \, dy$ en déterminant les nouvelles bornes. Question 4 : Calculer l'intégrale avec le nouvel ordre d'intégration et vérifier que le résultat est identique à celui de la question 2.→
  • 10
    Volume et masse d'un solide de révolution Soit le solide $E$ défini en coordonnées cartésiennes par : $E = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 \leq 4, \, 0 \leq z \leq 3 - \sqrt{x^2 + y^2}\}$ La densité du solide est donnée par $\rho(x,y,z) = x^2 + y^2$ (en kg/m³). Question 1 : Convertir la description du solide $E$ en coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ et déterminer les bornes d'intégration. Question 2 : Calculer le volume du solide $E$ en utilisant l'intégrale triple : $V = \iiint_E 1 \, dV$ . Question 3 : Calculer la masse totale du solide en utilisant l'intégrale : $M = \iiint_E \rho(x,y,z) \, dV$ . Question 4 : Déterminer la position du centre de masse selon l'axe $z$ en calculant : $\bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_E z \rho(x,y,z) \, dV$ .→
  • 11
    Étude d'une fonction à plusieurs variables On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ par : $f(x,y) = \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2}$ On pose $f(0,0) = 0$ . Question 1: Calculer les limites de $f(x,y)$ lorsque $(x,y) \to (0,0)$ le long des axes $y = 0$ et $x = 0$ . Question 2: Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y) \to (0,0)$ le long de la droite $y = x$ . En déduire si $f$ est continue en $(0,0)$ . Question 3: Sachant que $f$ est continue en $(0,0)$ , calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)$ . Question 4: Calculer les dérivées partielles en $(0,0)$ à l'aide de la définition, c'est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$ .→
  • 12
    Différentiabilité et plan tangent Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $g(x,y) = x^2y + 2xy^2 - 3x + 4y$ Question 1: Calculer le gradient $\nabla g(1,2)$ de la fonction $g$ au point $(1,2)$ . Question 2: Vérifier que $g$ est différentiable en $(1,2)$ et écrire l'équation du plan tangent à la surface $z = g(x,y)$ au point $(1,2,g(1,2))$ . Question 3: Calculer la dérivée directionnelle de $g$ au point $(1,2)$ dans la direction du vecteur $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$ . Question 4: Utiliser l'approximation linéaire (différentielle) pour estimer la valeur de $g(1.1, 2.05)$ à partir des informations obtenues en $(1,2)$ .→
  • 13
    Intégrale double avec changement de variables On souhaite calculer l'intégrale double suivante sur le domaine $D$ : $I = \iint_D (x^2 + y^2) \, dx\,dy$ où $D$ est le domaine du plan défini par $x^2 + y^2 \leq 4$ , $x \geq 0$ et $y \geq 0$ (quart de disque de rayon $2$ dans le premier quadrant). Question 1: Écrire l'intégrale $I$ en coordonnées cartésiennes avec les bornes explicites pour $x$ et $y$ . Question 2: Effectuer le changement de variables en coordonnées polaires $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ . Calculer le jacobien de cette transformation $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}$ . Question 3: Réécrire l'intégrale $I$ en coordonnées polaires avec les nouvelles bornes pour $r$ et $\theta$ . Question 4:...→
  • 14
    Intégrale triple et calcul de volume On considère le solide $E$ de $\mathbb{R}^3$ défini par les inégalités: $E = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 \leq 1, \, 0 \leq z \leq 4 - x^2 - y^2\}$ Ce solide est délimité par un paraboloïde au-dessus d'un disque de rayon $1$ . Question 1: Calculer le volume $V$ du solide $E$ en écrivant l'intégrale triple appropriée en coordonnées cartésiennes. Question 2: Effectuer le changement de variables en coordonnées cylindriques $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , $z = z$ . Réécrire l'intégrale du volume avec les nouvelles bornes. Question 3: Calculer le volume $V$ en coordonnées cylindriques. Question 4: Calculer la masse $M$ du solide si la densité est donnée par $\rho(x,y,z) = z$ (en utilisant les...→
  • 15
    Exercice 1 : Étude d'une fonction à deux variables Soit la fonction $f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0) = 0$ . Question 1 : Calculer les limites suivantes : a) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ en suivant le chemin $y = mx$ b) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ en suivant le chemin $y = x^2$ Question 2 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ en utilisant la définition. Question 3 : Pour $(x,y) \neq (0,0)$ , calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ . Question 4 : Calculer l'intégrale double $\iint_D f(x,y) \, dA$ où $D = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$ .→
  • 16
    Exercice 2 : Différentiabilité et plan tangent Soit la fonction $g(x,y) = x^3 + 2xy^2 - 3y^3$ définie sur $\mathbb{R}^2$ . Question 1 : Calculer le gradient $\nabla g(x,y)$ en un point quelconque $(x,y)$ , puis évaluer $\nabla g(1,1)$ . Question 2 : Déterminer l'équation du plan tangent à la surface $z = g(x,y)$ au point $(1, 1, g(1,1))$ . Question 3 : Calculer la dérivée directionnelle de $g$ au point $(1,1)$ dans la direction du vecteur $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ . Question 4 : Calculer l'intégrale double $\iint_R g(x,y) \, dA$ où $R = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$ .→
  • 17
    Exercice 3 : Intégrale double en coordonnées polaires Considérons le domaine $D$ délimité par le cercle $x^2 + y^2 = 4$ et soit $h(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Question 1 : Convertir les coordonnées cartésiennes $(x,y)$ en coordonnées polaires $(r,\theta)$ et exprimer $h(x,y)$ en coordonnées polaires. Déterminer aussi les limites d'intégration pour le domaine $D$ . Question 2 : Calculer l'intégrale double $\iint_D h(x,y) \, dA$ en utilisant les coordonnées polaires. Question 3 : Calculer l'intégrale double $\iint_D xy \, dA$ sur le domaine $D$ en coordonnées polaires. Question 4 : Calculer le volume sous la surface $z = 4 - x^2 - y^2$ au-dessus du domaine $D$ .→
  • 18
    Exercice 4 : Intégrale triple et volume Soit le domaine $E$ défini par $E = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq z \leq 2-x-y\}$ . Question 1 : Calculer le volume du domaine $E$ en utilisant l'intégrale triple $V = \iiint_E 1 \, dV$ . Question 2 : Calculer l'intégrale triple $\iiint_E z \, dV$ sur le domaine $E$ . Question 3 : Calculer l'intégrale triple $\iiint_E xyz \, dV$ . Question 4 : Calculer la masse du solide $E$ si la densité est donnée par $\rho(x,y,z) = x + y + z$ .→
  • 19
    Exercice 5 : Dérivées partielles d'ordre supérieur et extrema Soit la fonction $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ définie sur $\mathbb{R}^2$ . Question 1 : Calculer toutes les dérivées partielles du second ordre de $F$ : $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}$ , $\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$ , $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}$ , et $\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}$ . Vérifier le théorème de Schwarz. Question 2 : Déterminer les points critiques de $F$ en résolvant le système $\nabla F = (0,0)$ . Question 3 : Pour chaque point critique trouvé, calculer le déterminant de la matrice hessienne $H = \begin{pmatrix} F_{xx} & F_{xy} \ F_{yx} & F_{yy} \end{pmatrix}$ et classifier le point (minimum, maximum, ou point selle). Question 4 : Calculer l'intégrale double $\iint_R F(x,y) \, dA$ où $R = \{(x,y) : -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\}$ .→
  • 20
    Énoncé de l'exercice Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ par : $f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ On se propose d'étudier le comportement de cette fonction au voisinage de l'origine. Question 1 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de la droite $y = mx$ où $m$ est un paramètre réel. Question 2 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de la parabole $y = x^2$ . Question 3 : En utilisant les coordonnées polaires $x = r\cos(\theta)$ et $y = r\sin(\theta)$ , déterminer $\lim_{r \to 0} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta))$ . Question 4 : En déduire si la fonction $f$ peut être prolongée par continuité...→
  • 21
    Énoncé de l'exercice Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $f(x,y) = x^3y^2 - 2xy^3 + e^{xy}$ On considère le point $A(1,2)$ . Question 1 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ de la fonction $f$ en tout point $(x,y)$ . Question 2 : Évaluer le gradient $\nabla f$ au point $A(1,2)$ et donner sa norme $\|\nabla f(A)\|$ . Question 3 : Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ au point $A(1,2)$ dans la direction du vecteur $\vec{u} = (3,4)$ . Normaliser d'abord le vecteur directeur. Question 4 : Calculer le taux de variation maximal de $f$ au point $A(1,2)$ et indiquer dans quelle direction il est atteint....→
  • 22
    Énoncé de l'exercice Soit la surface $S$ d'équation $z = f(x,y)$ où : $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - xy + 3x - 4y + 5$ On considère le point $P_0(1, -1)$ du plan $xy$ . Question 1 : Calculer la valeur de $f$ au point $P_0(1, -1)$ et déterminer les coordonnées du point $M_0$ correspondant sur la surface $S$ . Question 2 : Calculer la différentielle $df$ de la fonction $f$ au point $P_0(1, -1)$ . Donner l'expression générale puis l'application numérique. Question 3 : Déterminer l'équation du plan tangent $\Pi$ à la surface $S$ au point $M_0$ . Écrire l'équation sous la forme $z = ax + by + c$ . Question 4 : Utiliser l'approximation linéaire (plan tangent) pour estimer...→
  • 23
    Énoncé de l'exercice On considère le domaine $D$ du plan $xy$ défini par : $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq x \leq 2, \, x^2 \leq y \leq 4\}$ On souhaite calculer l'intégrale double : $I = \iint_D (x + 2y) \, dA$ Question 1 : Représenter graphiquement le domaine $D$ et déterminer les bornes d'intégration pour calculer $I$ en coordonnées cartésiennes. Écrire l'intégrale itérée correspondante. Question 2 : Calculer l'intégrale $I = \int_0^2 \int_{x^2}^4 (x + 2y) \, dy \, dx$ en effectuant d'abord l'intégration par rapport à $y$ , puis par rapport à $x$ . Question 3 : Calculer l'aire $A(D)$ du domaine $D$ à l'aide d'une intégrale double. Question 4 : En déduire la valeur moyenne de la fonction $f(x,y) = x + 2y$ sur le domaine $D$ en utilisant la formule...→
  • 24
    Exercice 1 : Limite et continuité d'une fonction à deux variables Soit la fonction $f$ définie par : $f(x,y) = \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0) = 0$ Question 1 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de l'axe $x$ (c'est-à-dire $y = 0$ ). Question 2 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de l'axe $y$ (c'est-à-dire $x = 0$ ). Question 3 : Calculer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ le long de la droite $y = x$ . Question 4 : En utilisant les coordonnées polaires $x = r\cos(\theta)$ et $y = r\sin(\theta)$ , montrer que la...→
  • 25
    Exercice 2 : Dérivées partielles et plan tangent Soit la fonction $f(x,y) = x^2y + y^3 - 2x$ définie sur $\mathbb{R}^2$ . On considère le point $A(1, 2)$ . Question 1 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ en un point quelconque $(x,y)$ . Question 2 : Évaluer les dérivées partielles au point $A(1, 2)$ pour obtenir $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)$ . Question 3 : Calculer la valeur de la fonction au point $A$ , c'est-à-dire $f(1,2)$ . Question 4 : Déterminer l'équation du plan tangent à la surface $z = f(x,y)$ au point $(1, 2, f(1,2))$ en utilisant la formule $z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y - y_0)$ .→
  • 26
    Exercice 3 : Différentiabilité et approximation linéaire Soit la fonction $f(x,y) = e^{xy} \cos(x)$ . On s'intéresse au comportement de cette fonction au voisinage du point $P\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ . Question 1 : Calculer $f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ . Question 2 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ , puis évaluer $\frac{\partial f}{\partial x}\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ . Question 3 : Écrire la différentielle $df$ de $f$ au point $P\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ sous la forme $df = \frac{\partial f}{\partial x}\left(0, \frac{\pi}{2}\right) dx + \frac{\partial f}{\partial y}\left(0, \frac{\pi}{2}\right) dy$ . Question 4 : Utiliser l'approximation linéaire $f(x,y) \approx f\left(0, \frac{\pi}{2}\right) + df$ pour estimer la valeur de $f(0.1, 1.6)$ sachant que $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$ .→
  • 27
    Exercice 4 : Intégrale double et changement de variables On considère le domaine $D$ délimité par les courbes $y = x^2$ , $y = 0$ , $x = 0$ , et $x = 2$ . On souhaite calculer l'intégrale double $I = \iint_D (x + 2y) \, dA$ . Question 1 : Représenter le domaine $D$ et déterminer les bornes d'intégration en écrivant $D$ sous la forme $\{(x,y) : a \leq x \leq b, \, g(x) \leq y \leq h(x)\}$ . Question 2 : Écrire l'intégrale double $I$ sous forme itérée avec les bornes trouvées : $I = \int_a^b \int_{g(x)}^{h(x)} (x + 2y) \, dy \, dx$ . Question 3 : Calculer l'intégrale intérieure $\int_{g(x)}^{h(x)} (x + 2y) \, dy$ en fonction de $x$ . Question 4 : Calculer l'intégrale extérieure pour obtenir la valeur finale de $I$ .→
  • 28
    Exercice 5 : Intégrale triple en coordonnées cylindriques On considère le solide $E$ délimité par le cylindre $x^2 + y^2 = 4$ , le plan $z = 0$ , et le plan $z = 3$ . On souhaite calculer l'intégrale triple $I = \iiint_E z\sqrt{x^2 + y^2} \, dV$ en utilisant les coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ définies par $x = r\cos(\theta)$ , $y = r\sin(\theta)$ , et l'élément de volume $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ . Question 1 : Exprimer le domaine $E$ en coordonnées cylindriques en déterminant les bornes pour $r$ , $\theta$ , et $z$ . Question 2 : Exprimer l'intégrande $z\sqrt{x^2 + y^2}$ en coordonnées cylindriques et écrire l'intégrale triple sous forme itérée avec l'élément de volume $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ . Question 3 : Calculer...→
  • 29
    On considère la fonction $f(x, y) = x^2y + 3xy^2 + 2$ . 1. Calculez la limite de $f(x,y)$ en $(0, 0)$ selon les chemins $y = 0$ et $y = x$ . 2. Vérifiez la continuité de $f$ au point $(0, 0)$ . 3. Déterminez les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ à tout point $(x, y)$ . 4. À partir de ces dérivées, vérifiez la différentiabilité de $f$ au point $(1, 1)$ .→
  • 30
    On considère la fonction $g(x, y) = e^{xy} + \ln(x+y+1)$ . 1. Calculez la dérivée partielle de $g$ par rapport à $x$ au point $(1, 0)$ . 2. Calculez la dérivée partielle de $g$ par rapport à $y$ au point $(1, 0)$ . 3. Déterminez la différentielle totale $dg$ en $(1, 0)$ pour une variation infinitésimale de $x$ et $y$ . 4. Évaluez l'approximation linéaire de $g(x, y)$ près de $(1, 0)$ pour $x=1.01$ , $y=0.02$ .→
  • 31
    Soit $h(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ définie dans $\mathbb{R}^3$ . 1. Calculez les dérivées partielles de $h$ par rapport à $x$ , $y$ et $z$ au point $(1,2,3)$ . 2. Déterminez si $h$ est différentiable en ce point. 3. Calculez l'intégrale triple de $h(x, y, z)$ sur le cube $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$ . 4. Interprétez physiquement le résultat obtenu à la question précédente.→
  • 32
    Considérons la fonction $f(x, y) = x^3 + 2xy + y^2$ . 1. Déterminez les points critiques de $f(x, y)$ . 2. Calculez la matrice hessienne de $f$ au point $(1, -1)$ . 3. Donnez la nature du point $(1, -1)$ (minimum, maximum ou point selle) en utilisant la hessienne. 4. Calculez l'intégrale double de $f(x, y)$ sur le domaine rectangulaire $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ .→
  • 33
    Exercice 1 : Étude de la continuité d'une fonction en un point Soit la fonction $f$ définie par : $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3 y - xy^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \ 0 & \text{si } (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ Question 1 : Calculer la limite de $f(x, y)$ lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ le long de la droite $y = mx$ où $m \in \mathbb{R}$ . Question 2 : Calculer la limite de $f(x, y)$ lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ le long de la parabole $y = x^2$ . Question 3 : En utilisant les coordonnées polaires $x = r\cos(\theta)$ , $y = r\sin(\theta)$ , calculer $\lim_{r \to 0^+} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta))$ . Question 4 : Déterminer si la fonction $f$ est continue en $(0, 0)$ . Justifier votre réponse par un calcul rigoureux.→
  • 34
    Exercice 2 : Surface et plan tangent On considère la surface $S$ d'équation $z = f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 6y + 10$ et le point $A(1, 2, f(1, 2))$ sur cette surface. Question 1 : Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(1, 2)$ . Question 2 : Calculer la valeur exacte de $f(1, 2)$ pour déterminer les coordonnées complètes du point $A$ . Question 3 : Déterminer l'équation cartésienne du plan tangent $\mathcal{P}$ à la surface $S$ au point $A$ . Question 4 : Calculer la distance du point $B(0, 0, 5)$ au plan tangent $\mathcal{P}$ en utilisant la formule de la distance d'un point à un plan.→
  • 35
    Exercice 3 : Différentiabilité et direction de plus grande pente Soit la fonction $g(x, y) = e^{x^2-y^2} \cos(xy)$ définie sur $\mathbb{R}^2$ . On étudie cette fonction au point $P_0(1, 0)$ . Question 1 : Calculer $\frac{\partial g}{\partial x}(x, y)$ et $\frac{\partial g}{\partial y}(x, y)$ , puis évaluer ces dérivées au point $(1, 0)$ . Question 2 : Calculer le gradient $\nabla g(1, 0)$ et déterminer sa norme $\|\nabla g(1, 0)\|$ . Question 3 : Déterminer le vecteur unitaire $\vec{u}$ dans la direction de la plus grande croissance de $g$ au point $(1, 0)$ . Question 4 : Calculer la dérivée directionnelle de $g$ au point $(1, 0)$ dans la direction du vecteur $\vec{v} = (3, 4)$ .→
  • 36
    Exercice 4 : Calcul d'intégrale double en coordonnées polaires On considère le domaine $D$ délimité par le cercle $x^2 + y^2 = 4$ dans le premier quadrant ( $x \geq 0$ , $y \geq 0$ ). On souhaite calculer l'intégrale $I = \iint_D (x^2 + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} \, dx\,dy$ . Question 1 : Déterminer les bornes d'intégration en coordonnées polaires : $r \in [r_{\min}, r_{\max}]$ et $\theta \in [\theta_{\min}, \theta_{\max}]$ . Question 2 : Exprimer l'intégrale $I$ en coordonnées polaires en utilisant la substitution $x = r\cos(\theta)$ , $y = r\sin(\theta)$ et le jacobien associé. Question 3 : Calculer l'intégrale par rapport à $r$ : $\int_{0}^{2} r^4 \, dr$ . Question 4 : Calculer l'intégrale complète $I = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} r^4 \, dr\, d\theta$ et donner la valeur numérique exacte.→

Exercice

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