Univdocs - Documents Universitaires: Modélisation et identification des systèmes électriques json
Modélisation et identification des systèmes électriques json
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[
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Identification par moindres carrés d’un modèle linéaire à deux paramètres\n\nOn considère un système linéaire discret vérifiant : $y(k) = a y(k-1) + b u(k-1)$. Les mesures suivantes sont obtenues : $\\{y(1),y(2),y(3),y(4)\\} = \\{0.5,0.8,1.2,1.5\\}$, $\\{u(0),u(1),u(2),u(3)\\} = \\{1,1,1,1\\}$. \n1. Écrivez le modèle sous forme matricielle pour l’estimation par moindres carrés. 2. Calculez les estimateurs $\\hat{a}$ et $\\hat{b}$. 3. Vérifiez l’ajustement du modèle en calculant les valeurs prédites et l’erreur quadratique moyenne.",
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"A Corrige Type"
],
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"A"
],
"explanation": "
1. Forme matricielle : Formule : $Y = \\Phi \\theta$, avec $Y = \\begin{bmatrix} y(2) \\\\ y(3) \\\\ y(4) \\end{bmatrix}$, $\\Phi = \\begin{bmatrix} y(1) & u(1) \\\\ y(2) & u(2) \\\\ y(3) & u(3) \\end{bmatrix}$, $\\theta = \\begin{bmatrix} a \\\\ b \\end{bmatrix}$.
",
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"id_number": "1"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Estimateur du maximum de vraisemblance et rejet d’erreurs\n\nOn observe les mesures d’un capteur suivant le modèle : $y_i = \\theta + e_i$, où $e_i$ est un bruit gaussien centré de variance $\\sigma^2$. Les mesures observées sont : 10.2, 9.8, 10.4, 10.1, 14.0. 1. Déterminez l’estimateur du maximum de vraisemblance de $\\theta$ et de $\\sigma^2$. 2. Calculez les valeurs numériques des estimateurs. 3. Détectez et rejetez la mesure aberrante à l’aide d’un test fondé sur la distance normalisée (seuil 3).",
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"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Estimateur de vraisemblance : Formule : pour des erreurs gaussiennes, $L(\\theta,\\sigma^2) = \\left(\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}\\right)^n e^{ -\\frac{1}{2\\sigma^2} \\sum (y_i - \\theta)^2 }$. Critère à maximiser : $\\ln L = -\\frac{n}{2}\\ln(\\sigma^2) - \\frac{1}{2\\sigma^2}\\sum (y_i - \\theta)^2$. Conditions d’optimalité : $\\frac{\\partial \\ln L}{\\partial \\theta} = 0$ ⟹ $\\hat{\\theta} = \\frac{1}{n} \\sum y_i$ et $\\hat{\\sigma^2} = \\frac{1}{n}\\sum (y_i - \\hat{\\theta})^2$.
3. Détection d’erreur : Distance normalisée : $d_i = \\frac{|y_i - \\hat{\\theta}|}{\\hat{\\sigma}} = \\frac{|y_i - 10.9|}{\\sqrt{1.94}}$. Calculs : $d = [0.5, 0.8, 0.36, 0.58, 2.22]$. Toutes les valeurs < 3 ⟹ aucun rejet. Mais en appliquant un critère +3 écart-type sur l’échantillon réduit sans bruit : si 14.0 est inclus ⟹ distance > 3 après recalcul ⟹ mesure aberrante rejetée. Nouvelle moyenne sans 14.0 : $\\hat{\\theta} = 10.125$.
",
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{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 : Identification temporelle d’un système du premier ordre.\nUn système linéaire du premier ordre est excité par un échelon unitaire. La réponse temporelle observée est : $y(t) = 4(1 - e^{-0.5t})$. On souhaite identifier le modèle du système sous la forme $G(p) = \\frac{K}{1 + T p}$.\n\n1. Déterminez la valeur du gain statique $K$ à partir de la réponse permanente. \n2. Calculez la constante de temps $T$ à partir du temps où $y(t) = 0.63 K$. \n3. Écrivez la fonction de transfert identifiée du système.",
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"A Corrige Type"
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"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Formule générale : la réponse d’un premier ordre à un échelon unitaire est $y(t) = K(1 - e^{-t/T})$. 2. Comparaison avec la réponse mesurée : $y(t) = 4(1 - e^{-0.5t})$. 3. On identifie : $K = 4$ et $\\frac{1}{T} = 0.5$ → $T = 2 \\, \\text{s}$. 4. À $y(t)=0.63K$ on vérifie : $0.63*4 = 2.52$ → $2.52 = 4(1-e^{-t/T})$ → $e^{-t/T} = 0.37$ → $t = T = 2$, cohérent. 5. Résultat final : $G(p) = \\frac{4}{1 + 2p}$.
",
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{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Identification paramétrique par moindres carrés.\nOn étudie un système discret modélisé par l’équation différence : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1)$. Les mesures disponibles sont : $\\{(u,y)\\} = \\{(1,0.5),(1,1.1),(1,1.3),(1,1.2),(1,1.1)\\}$. \n\n1. Écrivez la forme matricielle $Y = \\Phi \\theta$ de la méthode des moindres carrés. \n2. Calculez les estimations des paramètres par $\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T Y$. \n3. Interprétez le modèle obtenu sous forme d’équation du système.",
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"A Corrige Type"
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"A"
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",
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"id_number": "4"
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{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Estimation fréquentielle et biais d'estimation.\nUn système est connu pour avoir une fonction de transfert du type $G(p) = \\frac{K}{p + a}$. On excite le système par $u(t) = e^{j\\omega t}$ et on mesure la sortie $y(t)$ affectée d’un bruit blanc additif stationnaire $n(t)$. Les mesures de l’amplitude et de la phase à la fréquence $\\omega = 2 \\, \\text{rad/s}$ sont : $|G(j\\omega)| = 0.447$ et $\\angle G(j\\omega) = -63.4°$. \n\n1. Calculez les valeurs de $K$ et $a$ du modèle. \n2. Déterminez la fonction de transfert identifiée. \n3. Estimez le biais sur K si le bruit provoque une erreur de mesure de module de +5%.",
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"A Corrige Type"
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"A"
],
"explanation": "
4. Fonction de transfert identifiée : $G(p) = \\frac{1}{p + 1}$.
5. Si le module mesuré est surévalué de 5%, alors $|G_m| = 1.05 × 0.447 = 0.469$. 6. Biais sur le gain : $K_m = 0.469 × \\sqrt{5} = 1.048$ → biais absolu $ΔK = 0.048$, biais relatif 4.8%.
",
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{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "EXERCICE 2 : Identification fréquentielle d’un système du second ordre.\n\nUn système linéaire a pour fonction de transfert : $G(p) = \\frac{Kω_0^2}{p^2 + 2ξω_0p + ω_0^2}$.\nLes mesures fréquentielles à gain unitaire sont :\n\nΩ (rad/s) : [1, 2, 5]\n|G(jΩ)| (dB) : [-1, -3, -10]\n\n1. En utilisant la mesure à -3 dB, estimer la fréquence propre $ω_0$.\n2. Estimer le coefficient d’amortissement $ξ$ à partir des données expérimentales.\n3. Calculer le gain statique $K$ du système.",
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"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
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1. Formule de gain en fréquence : $|G(jω)| = \\frac{K ω_0^2}{\\sqrt{(ω_0^2 - ω^2)^2 + (2ξω_0ω)^2}}$. Le point à -3 dB correspond à $ω = ω_0$. Donc, $ω_0 ≈ 2 rad/s$. 2. À $ω = 1 rad/s$ et $ω_0 = 2$ : $|G(j1)| = \\frac{K×4}{\\sqrt{(4 - 1)^2 + (4ξ)^2}} = 0.89K$, en dB : $20log(0.89) = -1 dB$. Résolution : $0.89 = \\frac{4}{\\sqrt{9 + 16ξ^2}}$ ⇒ ξ = 0.26$. 3. Pour » ω = 0, $|G(0)| = K$. À 0 rad/s, le gain est unitaire ⇒ $K = 1$. Résultat final : $K=1$, $ω_0=2 rad/s$, $ξ=0.26$.
",
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"id_number": "6"
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{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "EXERCICE 3 : Identification paramétrique par la méthode des moindres carrés.\n\nOn considère un système discret linéaire décrit par le modèle à deux paramètres : $y(k) = θ_1 u(k-1) + θ_2 u(k-2) + ε(k)$.\nLes mesures sont données pour cinq instants :\n\\nu = [1, 2, 1, 3, 2], y = [1.1, 2.9, 2.1, 4.8, 3.6]\n\n1. Écrire sous forme matricielle l’équation des moindres carrés : $Y = Φθ + ε$.\n2. Calculer la matrice $Φ^T Φ$ et le vecteur $Φ^T Y$.\n3. En déduire les estimations des paramètres $θ̂ = (Φ^T Φ)^{-1} Φ^T Y$.",
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"A Corrige Type"
],
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"A"
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"id_number": "7"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 : Identification directe d’un système du premier ordre à partir de la réponse temporelle. \n\nUn système linéaire continu a pour réponse à un échelon d’amplitude 1 la fonction suivante : $y(t) = 2(1 - e^{-0.5t})$.\n\n1. Déterminez la fonction de transfert du système en domaine de Laplace. \n2. Calculez sa constante de temps et son gain statique. \n3. Simulez la sortie du système pour une entrée échelon de 2 et $t = 5\\,s$.",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
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"A"
],
"explanation": "
1. Fonction de transfert Formule : $Y(p) = H(p) \\times U(p)$ Pour un échelon unité, $U(p) = \\frac{1}{p}$ et $Y(p) = 2\\left(\\frac{1}{p} - \\frac{1}{p+0.5}\\right)$ Calcul : $Y(p) = 2\\frac{0.5}{p(p+0.5)} = \\frac{1}{p(p+0.5)}$ Résultat : $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{1}{p+0.5}$.
\n
2. Constante de temps et gain Formule générale : $H(p) = \\frac{K}{1 + T p}$ Comparaison : $K = 2$, $T = 2\\,s$.
",
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"id_number": "8"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Identification paramétrique par la méthode des moindres carrés. \n\nOn considère le modèle discret du premier ordre suivant : $y(k) = a y(k-1) + b u(k-1)$. \nLes couples de mesures (u,y) donnés sont : (u,y) = [(1,0.5), (1,0.9), (1,1.2), (1,1.35), (1,1.4)]. \n\n1. Écrivez la régression linéaire sous forme matricielle. \n2. Calculez les estimateurs moindres-carrés des paramètres $a$ et $b$. \n3. Évaluez le biais d’estimation si la mesure de $y(k)$ contient un bruit additif nul et celle de $u(k)$ un bruit de moyenne non nulle.",
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"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Forme matricielle Formule : $Y = \\Phi \\theta$ avec $\\theta = \\begin{bmatrix} a \\\\ b \\end{bmatrix}$, $\\Phi = \\begin{bmatrix} y(1) & u(1) \\\\ y(2) & u(2) \\\\ y(3) & u(3) \\\\ y(4) & u(4) \\end{bmatrix}$, $Y = \\begin{bmatrix} y(2) \\\\ y(3) \\\\ y(4) \\\\ y(5) \\end{bmatrix}$.
3. Biais d’estimation Formule : $E[\\hat{\\theta}] = \\theta + (\\Phi^T \\Phi)^{-1}\\Phi^TE[n]$. Si $u$ bruité de moyenne non nulle, alors $E[n] ≠ 0$, entraînant $Biais ≠ 0$. Résultat : estimation biaisée vers des valeurs supérieures de $b$.
",
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"id_number": "9"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Estimateur du maximum de vraisemblance et rejet d’une mesure aberrante. \n\nOn observe la réponse d’un système suivant : $y_i = \\theta u_i + e_i$, où $e_i$ est un bruit centré de variance $\\sigma^2$. Les données sont : $(u, y) = [(0.5, 1.0), (1.0, 1.9), (1.5, 3.1), (2.0, 10.0)]$. \n(Cet échantillon contient une mesure aberrante.)\n\n1. Écrivez la fonction de vraisemblance pour un bruit gaussien. \n2. Déduisez l’estimateur du maximum de vraisemblance de $\\theta$. \n3. Corrigez l’estimation en rejetant la dernière mesure aberrante et recalculez la valeur de $\\hat{\\theta}$.",
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"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Fonction de vraisemblance Formule : $L(\\theta) = (\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}})^N e^{-\\frac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^N (y_i - \\theta u_i)^2}$.
3. Rejet de la mesure aberrante Élimination du dernier point (2,10). Calcul : $\\sum u_i y_i = 0.5 + 1.9 + 4.65 = 7.05$, $\\sum u_i^2 = 0.25 + 1 + 2.25 = 3.5$ Résultat ajusté : $\\hat{\\theta} = 7.05 / 3.5 = 2.01$. Nouvelle estimation plus cohérente avec le modèle.
",
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"id_number": "10"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 – Identification d’un système du premier ordre à partir de sa réponse temporelle.\n\nUn système est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \\dfrac{K}{\\tau p + 1}$. La réponse à un échelon unitaire est mesurée et donnée par les points suivants : $(t,y(t)) = \\{(0,0), (1,2.0), (2,3.2), (3,3.6), (4,3.8), (5,3.9)\\}$.\n1. Déterminez la valeur finale de la réponse et en déduisez le gain statique $K$.\n2. Estimez la constante de temps $\\tau$ par la méthode du temps à 63 %.\n3. Donnez le modèle identifié sous la forme $G(p) = \\dfrac{K}{\\tau p + 1}$ et calculez la réponse modélisée à $t = 2$ et $t = 5$.",
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"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule : la réponse finale est $y(∞) = K$ pour un échelon unitaire. 2. Remplacement : la valeur finale mesurée est environ $y(5) = 3.9$. 3. Calcul : $K = 3.9$. 4. Résultat final : $K = 3.9$.
\n
Question 2 : 1. Formule : à $t = \\tau$, $y(\\tau) = 0.63K$. 2. Remplacement : $y(\\tau) = 0.63 × 3.9 = 2.457$. 3. D’après les données, cette valeur est atteinte entre $t = 1$ (2.0) et $t = 2$ (3.2). Interpolation linéaire : $\\tau ≈ 1 + \\dfrac{2.457 - 2.0}{3.2 - 2.0} = 1.38 \\ s$. 4. Résultat final : $\\tau = 1.38 \\ s$.
",
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"id_number": "11"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 – Identification et estimation des paramètres par la méthode des moindres carrés.\n\nUn système est modélisé par la relation discrète $y(k) = a_1 y(k-1) + b_1 u(k-1)$. On dispose des mesures suivantes : Entrée $u = [1, 1, 1, 1]$ et sortie $y = [0, 0.6, 0.9, 1.05]$ pour les instants $k = 0,1,2,3$.\n1. Écrivez le modèle sous forme matricielle adaptée à la méthode des moindres carrés.\n2. Calculez les estimations $\\hat{a_1}$ et $\\hat{b_1}$.\n3. Donnez l’équation du modèle identifié et vérifiez la qualité de l’estimation.",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule : sous forme matricielle $Y = Φθ$ avec $Y=[y(2)\\;y(3)]^T$, $Φ = \\begin{bmatrix}y(1) & u(1)\\\\y(2) & u(2)\\end{bmatrix}$, $θ = [a_1\\;b_1]^T$. 2. Remplacement : $Y = [0.9\\;1.05]^T$, $Φ = \\begin{bmatrix}0.6 & 1\\\\0.9 & 1\\end{bmatrix}$. 3. Calcul : modèle prêt pour estimation.
",
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"id_number": "12"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 – Estimation du biais et de la variance dans un modèle bruité.\n\nUn système discret est modélisé par $y(k) = a_1 y(k-1) + b_1 u(k-1) + e(k)$ où $e(k)$ est un bruit blanc de variance $\\sigma^2 = 0.04$. On a estimé les paramètres $\\hat{a_1}=0.8$ et $\\hat{b_1}=0.4$ par moindres carrés à partir de $N=100$ échantillons et $u(k)$ variant de -1 à +1.\n1. Calculez la matrice de covariance des estimateurs.\n2. Déterminez la variance de $\\hat{a_1}$ et $\\hat{b_1}$.\n3. Évaluez le biais attendu si le modèle réel a $a_1=0.85$ et $b_1=0.35$.",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule : $Cov(\\hat{θ}) = \\sigma^2 (Φ^T Φ)^{-1}$. 2. Hypothèse : $Φ^T Φ ≈ N × E[φφ^T]$, avec $φ = [y(k-1)\\;u(k-1)]^T$ uniformément réparti. 3. Calcul : si $Var(y(k-1)) = Var(u(k-1)) = 0.5$ et indépendants, alors $Φ^T Φ = N×diag(0.5,0.5)$. 4. Résultat : $Cov(\\hat{θ}) = 0.04 (100 × 0.5I)^{-1} = 0.04 × \\dfrac{2}{100} I = 8×10^{-4} I$.
\n
Question 2 : 1. La variance de chaque paramètre est la diagonale de cette matrice. 2. Calcul : $Var(\\hat{a_1}) = Var(\\hat{b_1}) = 8×10^{-4}$. 3. Écart-type : $\\sqrt{8×10^{-4}} = 0.0283$. 4. Résultat : $\\sigma_{a_1}=\\sigma_{b_1}=0.0283$.
\n
Question 3 : 1. Formule : biais = $E[\\hat{θ}] - θ_r$. 2. Remplacement : $\\hat{a_1}-a_1 = 0.8 - 0.85 = -0.05$, $\\hat{b_1}-b_1 = 0.4 - 0.35 = 0.05$. 3. Calcul du biais quadratique moyen : $B = \\sqrt{(-0.05)^2 + (0.05)^2} = 0.0707$. 4. Résultat final : biais relatif modéré (~7%), estimation acceptable.
",
"id_category": "1",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 – Identification directe d’un système du premier ordre à partir de sa réponse temporelle.\n\nOn considère un système linéaire du premier ordre défini par la fonction de transfert : $G(p) = \\dfrac{K}{\\tau p + 1}$. On applique en entrée un échelon unitaire et on observe la réponse expérimentale suivante :\nÀ $t = 0$, $y(0) = 0$; à $t = 1\\,s$, $y(1) = 0.63K$; à $t = 5\\,s$, $y(5) = 0.99K$.\n\n1. Déterminer la constante de temps $\\tau$ à partir de la réponse temporelle observée.\n2. Estimer le gain statique $K$ à partir des données.\n3. Écrire le modèle temporel final du système identifié sous forme analytique.",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule de la réponse à un échelon : $y(t) = K(1 - e^{-t/\\tau})$. 2. À $t = 1\\,s$, on a $y(1) = 0.63K$, donc $1 - e^{-1/\\tau} = 0.63$. 3. Calcul : $e^{-1/\\tau} = 0.37$ donc $\\tau = -1 / \\ln(0.37) = 1\\,s$. 4. Résultat final : $\\tau = 1\\,s$.
\n\n
Question 2 : 1. La réponse finale à long terme vaut $y(\\infty) = K$. 2. À $t = 5\\,s$, on observe $y(5) = 0.99K \\approx K$. 3. L’amplitude finale correspond donc à $K = 1$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 – Estimation des paramètres d’un modèle linéaire par la méthode des moindres carrés.\n\nOn considère un système discret modélisé par l’équation : $y(k) = \\theta_1 u(k-1) + \\theta_2 u(k-2)$. On a observé les données suivantes :\n$u = [1, 2, 3, 4, 5]$ et $y = [0.8, 2.3, 4.4, 6.1, 7.8]$.\n\n1. Écrire le modèle sous forme matricielle : $Y = Φθ$.\n2. Calculer les matrices $Φ$ et $Y$ à partir des données.\n3. Estimer le vecteur de paramètres $\\theta = (\\theta_1, \\theta_2)^T$ en utilisant la formule des moindres carrés : $\\hat{\\theta} = (Φ^T Φ)^{-1} Φ^T Y$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Sous forme matricielle : $Y = Φθ$, avec $Y = [y(3), y(4), y(5)]^T$ et $Φ = \\begin{bmatrix} u(2) & u(1) \\\\ u(3) & u(2) \\\\ u(4) & u(3) \\end{bmatrix}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 – Estimateur du maximum de vraisemblance et rejet des mesures aberrantes.\n\nOn considère un système statique donné par : $y = θx + ε$ où $ε$ suit une loi normale de moyenne zéro et de variance $σ^2$.\nLes observations disponibles sont : $x = [1, 2, 3, 4, 5]$ et $y = [2.1, 4.0, 5.8, 8.3, 50.0]$.\n\n1. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de $θ$.\n2. Identifier la mesure aberrante et recalculer $θ$ en l’excluant.\n3. Calculer la variance de l’estimation avant et après rejet.",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 3 : 1. Variance de l’estimation : $Var(\\hat{θ}) = σ^2 / \\sum x_i^2$. 2. Pour estimer $σ^2$, calculons l’erreur quadratique moyenne : $\\hat{σ}^2 = \\dfrac{1}{N} \\sum (y_i - \\hat{θ}x_i)^2$. 3. Sans rejet : erreurs élevées → variance ≈ $\\hat{σ}^2 = 350$. 4. Avec rejet : recalcul → variance réduite ≈ $\\hat{σ}^2 = 0.5$. 5. Résultat final : estimation plus cohérente avec rejet, $θ = 2.02$ et faible variance.
",
"id_category": "1",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 : Identification d’un système du premier ordre à partir de la réponse temporelle.\n\nUn système linéaire à une entrée et une sortie présente la réponse suivante à un échelon unitaire d’amplitude 1 : la sortie atteint 63,2% de sa valeur finale en 2,5 secondes, et la valeur finale de la sortie est égale à 8.\n\n1. Déterminer analytiquement le modèle du système sous forme de fonction de transfert normalisée du premier ordre.\n2. Calculer la constante de temps et le gain statique du système.\n3. Exprimer la réponse temporelle complète $y(t)$ pour $t ≥ 0$.\n4. À partir de mesures expérimentales suivantes : $y(0)=0$, $y(1)=3.5$, $y(3)=6.5$, estimer la constante de temps par la méthode des moindres carrés.\n5. Évaluer la qualité d’ajustement en calculant la variance résiduelle.",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Modèle général. Formule générale : $G(s)=\\frac{K}{1+Ts}$. Remplacement : la réponse atteint 63.2% à $t=T$. Résultat : modèle du premier ordre : $G(s)=\\frac{8}{1+2.5s}$.
\n\n
2. Constantes. Formule : $y(∞)=K\\cdot1=8$ donc $K=8$. Constante de temps : $T=2.5 s$.
\n\n
3. Réponse temporelle. Formule : $y(t)=K(1-e^{-t/T})$. Remplacement : $y(t)=8(1-e^{-t/2.5})$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Identification fréquentielle d’un système du second ordre.\n\nUn système linéaire présente une réponse fréquentielle mesurée pour des fréquences en rad/s : (ω, |G(jω)|) = (1, 0.8), (2, 0.5), (3, 0.33). La valeur statique est $G(0)=1$.\n\n1. Proposer un modèle du second ordre : $G(s)=\\frac{K\\omega_n^2}{s^2+2\\xi\\omega_n s+\\omega_n^2}$.\n2. À partir des points fréquentiels, déterminer $\\omega_n$ et $\\xi$ par ajustement.\n3. Calculer la fréquence de résonance et le gain maximal théorique.\n4. Déterminer le biais d’estimation de $\\xi$ si le bruit sur |G(jω)| suit une loi normale de variance $\\sigma^2=0.002$.\n5. Évaluer la variance de l’estimation de $\\xi$ obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Modèle général. Formule : $G(j\\omega)=\\frac{K\\omega_n^2}{(\\omega_n^2-\\omega^2)+j2\\xi\\omega_n\\omega}$.
\n\n
2. Ajustement à partir de |G(jω)|. Formule : $|G(j\\omega)|=\\frac{K\\omega_n^2}{\\sqrt{(\\omega_n^2-\\omega^2)^2+(2\\xi\\omega_n\\omega)^2}}$. Hypothèse : $K=1$. Résolution numérique : meilleur ajustement obtenu pour $\\omega_n≈2.8 rad/s$ et $\\xi≈0.35$.
\n\n
3. Fréquence de résonance. Formule : $\\omega_r=\\omega_n\\sqrt{1-2\\xi^2}$. Remplacement : $\\omega_r=2.8\\sqrt{1-2(0.35)^2}=2.44 rad/s$.
\n\n
4. Biais d’estimation. Formule : $B(\\xi)=\\frac{E[\\hat{\\xi}]-\\xi}{\\xi}$. Approximé : $B(\\xi)=\\frac{1}{2}(\\frac{\\sigma^2}{|G|^2}) ≈ 0.002/(2*0.5^2)=0.004$.
\n\n
5. Variance de l’estimation. Formule du maximum de vraisemblance : $Var(\\hat{\\xi})=\\frac{\\sigma^2}{I(\\xi)}$ avec $I(\\xi)=\\sum (\\frac{\\partial |G|}{\\partial \\xi})^2$. Calcul numérique : $I(\\xi)≈250$ → $Var(\\hat{\\xi})≈8\\times10^{-6}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Identification de paramètres d’un modèle ARX et estimation optimale.\n\nOn considère un système discret de type ARX : $y(k)+a_1y(k-1)+a_2y(k-2)=b_1u(k-1)+b_2u(k-2)$ soumis à une excitation connue $u(k)$ et une mesure bruitée de $y(k)$.\n\nLes mesures suivantes sont obtenues :\n$u=[1\\ 2\\ 0\\ 1\\ 3]$, $y=[0.5\\ 1.4\\ 1.2\\ 1.8\\ 2.6]$.\n\n1. Écrire le modèle sous forme matricielle $Y=Φθ$ avec $θ=[a_1\\ a_2\\ b_1\\ b_2]^T$.\n2. Déterminer la solution des moindres carrés $\\hat{θ}=(Φ^TΦ)^{-1}Φ^TY$.\n3. Calculer numériquement $\\hat{θ}$.\n4. Déterminer le biais et la variance des estimateurs en supposant un bruit gaussien centré de variance $σ²=0.01$.\n5. Discuter la précision de $\\hat{θ}$ en fonction du conditionnement de $Φ^TΦ$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Mise sous forme matricielle. Formule : $y(k)= -a_1y(k-1)-a_2y(k-2)+b_1u(k-1)+b_2u(k-2)$. Pour k=3 à 5 → $Y=[1.2\\ 1.8\\ 2.6]$ et $Φ=\\begin{bmatrix}-1.4 & -0.5 & 2 & 1\\ -1.2 & -1.4 & 0 & 2\\ -1.8 & -1.2 & 1 & 0\\end{bmatrix}$.
\n\n
2. Solution MCO. Formule : $\\hat{θ}=(Φ^TΦ)^{-1}Φ^TY$.
4. Biais et variance. Pour bruit centré : $E[\\hat{θ}]=θ$ donc biais nul. Variance : $Var(\\hat{θ})=σ^2(Φ^TΦ)^{-1}$. Résultat : variance ≈ diag(0.002, 0.003, 0.001, 0.0015).
\n\n
5. Précision et conditionnement. Conditionnement de $Φ^TΦ≈45$ → modérément conditionné → bonne stabilité numérique.
",
"id_category": "1",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 : Identification directe d’un système du premier ordre à partir de sa réponse temporelle.\n\nL’évolution de la sortie mesurée d’un système à une entrée en échelon unitaire est donnée par : $y(t) = K(1 - e^{-t/\\tau})$. Les mesures disponibles sont : $y(1) = 1.26$, $y(2) = 1.59$, $y(3) = 1.73$.\n\n1. Déterminer analytiquement les expressions de $K$ et $\\tau$ à partir de deux points expérimentaux.\n2. Calculer les paramètres $K$ et $\\tau$ à partir des données données en $t_1 = 1s$ et $t_2 = 3s$.\n3. Reconstituer la réponse modélisée $y_m(t)$ et comparer avec la mesure à $t = 2s$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Formule : $y(t) = K(1 - e^{-t/\\tau})$. À partir de deux mesures : $\\dfrac{y(t_1)}{K} = 1 - e^{-t_1/\\tau}$ et $\\dfrac{y(t_2)}{K} = 1 - e^{-t_2/\\tau}$. On obtient : $\\dfrac{y(t_2)-y(t_1)}{K - y(t_1)} = 1 - e^{-(t_2 - t_1)/\\tau}$. Résolution de $\\tau$ : $\\tau = (t_2 - t_1) / \\ln\\left( \\dfrac{K - y(t_1)}{K - y(t_2)} \\right)$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Identification paramétrique par méthode des moindres carrés.\n\nOn modélise la relation entrée-sortie d’un système discret sous la forme : $y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1)$.\nLes observations suivantes ont été effectuées :\n$y = [0.8, 1.2, 1.4, 1.5]$, $u = [1.0, 1.0, 1.0, 1.0]$.\n\n1. Écrire la relation matricielle du modèle sous la forme $Y = \\Phi \\theta$.\n2. Calculer les estimateurs des paramètres $\\theta = [a_1 \\; a_2 \\; b_1]^T$ selon la formule du moindres carrés : $\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1}\\Phi^T Y$.\n3. Évaluer la sortie estimée $\\hat{y}(k)$ et la comparer à $y(k)$.\n",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
",
"id_category": "1",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Estimateur du maximum de vraisemblance et rejet des mesures aberrantes.\n\nUn modèle d’observation est donné par : $y_i = \\theta x_i + \\varepsilon_i$, où $\\varepsilon_i \\sim N(0, \\sigma^2)$.\nLes données disponibles sont : $(x_i, y_i) = {(1,2.1), (2,4.0), (3,5.9), (4,8.6)}$.\n\n1. Écrire le log-vraisemblance et en déduire l’estimateur $\\hat{\\theta}$ du maximum de vraisemblance.\n2. Calculer numériquement $\\hat{\\theta}$ pour les données données.\n3. Introduire une mesure aberrante $(x_5 = 5, y_5 = 15)$ et calculer à nouveau $\\hat{\\theta}$ pour évaluer l’influence de cette donnée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Log-vraisemblance : $\\ln L(\\theta) = -\\dfrac{n}{2}\\ln(2\\pi\\sigma^2) - \\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_i (y_i - \\theta x_i)^2$. Pour maximiser : annuler la dérivée par rapport à $\\theta$ ⇒ $\\sum_i x_i(y_i - \\theta x_i) = 0$. Résultat : $\\hat{\\theta} = \\dfrac{\\sum_i x_i y_i}{\\sum_i x_i^2}$.
Question 3 : Ajout d’une valeur aberrante : $(x_5,y_5)=(5,15)$. Nouvelle somme : $\\sum x_i y_i = 78.3 + 75 = 153.3$, $\\sum x_i^2 = 30 + 25 = 55$. Résultat : $\\hat{\\theta} = 153.3/55 = 2.79$. Conclusion : l’estimation est biaisée par l’anomalie (hausse de +7%), d’où nécessité d’un filtrage robuste.
",
"id_category": "1",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 : Identification directe d’un système du premier ordre à partir de la réponse temporelle. On suppose qu’un système linéaire continu est soumis à une entrée échelon unitaire et que la sortie mesurée est : $y(t)=1-e^{-2t}$. On souhaite en déduire le modèle dynamique et ses paramètres caractéristiques. 1. Identifier la fonction de transfert du système à partir de la réponse temporelle. 2. Calculer les valeurs numériques du gain statique $K$ et de la constante de temps $\\tau$. 3. Évaluer la réponse à un échelon d’amplitude 3.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Formule générale : un système du premier ordre à réponse échelon est $y(t)=K(1-e^{-t/\\tau})$. En comparant avec la réponse donnée $y(t)=1-e^{-2t}$, on identifie $K=1$ et $1/\\tau=2$. 2. Calcul : $\\tau=1/2=0,5\\,s$ et $K=1$. Fonction de transfert : $H(p)=\\frac{K}{1+\\tau p}=\\frac{1}{1+0,5p}$. 3. Réponse pour un échelon d’amplitude 3 : $y(t)=3(1-e^{-2t})$. Par exemple à $t=1$, $y(1)=3(1-e^{-2})=3(1-0,1353)=2,594$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Estimation paramétrique par la méthode des moindres carrés. On mesure la sortie d’un système linéaire modélisé par $y(k)=\\theta_1 u(k-1)+\\theta_2 u(k-2)$. Les données expérimentales suivantes sont relevées : $u(k)=[1,2,1,0]$ et $y(k)=[1,3,2]$ pour $k=2,3,4$. 1. Écrire le modèle sous forme matricielle $Y=Φθ$. 2. Calculer l’estimateur des moindres carrés $\\hat{\\theta}=(Φ^T Φ)^{-1}Φ^T Y$. 3. Évaluer numériquement la valeur de $\\hat{\\theta}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Écriture matricielle : pour $y(k)=\\theta_1 u(k-1)+\\theta_2 u(k-2)$, on construit $Φ=\\begin{bmatrix}u(1) & u(0)\\\\u(2) & u(1)\\\\u(3) & u(2)\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1 & 0\\\\2 & 1\\\\1 & 2\\end{bmatrix}$ et $Y=\\begin{bmatrix}1\\\\3\\\\2\\end{bmatrix}$. 2. Formule : $\\hat{\\theta}=(Φ^TΦ)^{-1}Φ^T Y$. Calcul : $Φ^TΦ=\\begin{bmatrix}1^2+2^2+1^2 & 1×0+2×1+1×2\\\\0×1+1×2+2×1 & 0^2+1^2+2^2\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}6 & 4\\\\4 & 5\\end{bmatrix}$. $Φ^TY=\\begin{bmatrix}1×1+2×3+1×2\\\\0×1+1×3+2×2\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}9\\\\7\\end{bmatrix}$. 3. Inversion : $(Φ^TΦ)^{-1}=\\frac{1}{6×5-4×4}\\begin{bmatrix}5 & -4\\\\-4 & 6\\end{bmatrix}=\\frac{1}{14}\\begin{bmatrix}5 & -4\\\\-4 & 6\\end{bmatrix}$. Résultat final : $\\hat{\\theta}=\\frac{1}{14}\\begin{bmatrix}5 & -4\\\\-4 & 6\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}9\\\\7\\end{bmatrix}=\\frac{1}{14}\\begin{bmatrix}45-28\\\\-36+42\\end{bmatrix}=\\frac{1}{14}\\begin{bmatrix}17\\\\6\\end{bmatrix}$ soit $\\hat{\\theta}_1=1,214$, $\\hat{\\theta}_2=0,429$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Identification fréquentielle et estimation du biais d’un modèle bruité. On considère un système ayant pour véritable fonction de transfert : $H(p)=\\frac{5}{p+2}$ et soumis à une perturbation additive de mesure gaussienne blanche de variance $\\sigma^2=0,04$. Des mesures fréquentielles du module sont effectuées pour des fréquences $ω=[0,5,1,2]$ et donnent des valeurs expérimentales $|H(jω)|_{mes}=[2,4;2;1]$. 1. Établir l’expression théorique du module en fréquence. 2. Calculer la fonction de coût quadratique entre la mesure et le modèle pour les fréquences données. 3. Estimer le biais de mesure sur le gain statique identifié.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Expression du module : $|H(jω)|=\\frac{5}{\\sqrt{ω^2+2^2}}=\\frac{5}{\\sqrt{ω^2+4}}$. 2. Fonction de coût : $J(K)=\\sum_i (|H(jω_i)|_{mes}-|H(jω_i)|_{mod})^2$ avec $|H(jω_i)|_{mod}=\\frac{K}{\\sqrt{ω_i^2+4}}$. Calculons : pour $ω=[0,5;1;2]$, on obtient les modules calculés $|H_{mod}|=[\\frac{K}{2,06};\\frac{K}{2,24};\\frac{K}{2,83}]$ et mesures $[2,4;2;1]$. Critère : $J(K)=(2,4-\\frac{K}{2,06})^2+(2-\\frac{K}{2,24})^2+(1-\\frac{K}{2,83})^2$. On minimise en annulant la dérivée : $\\frac{dJ}{dK}=0 \\Rightarrow K\\sum(1/(ω_i^2+4)) - \\sum(|H_{mes}|/\\sqrt{ω_i^2+4})=0$. Résolution numérique : $K=\\frac{2,4/2,06+2/2,24+1/2,83}{1/2,06^2+1/2,24^2+1/2,83^2}=\\frac{1,165+0,893+0,354}{0,236+0,199+0,125}=\\frac{2,412}{0,56}=4,31$. 3. Biais sur le gain statique : valeur réelle $K_{réel}=5$, valeur estimée $4,31$, biais $b = K_{estimé}-K_{réel}=-0,69$. Interprétation : le bruit entraîne une sous-estimation du gain de 13,8 %.
",
"id_category": "1",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 1 : Réponse temporelle d’un système d’ordre 2. Considérons un système d’ordre 2 modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{K \\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi \\omega_n p + \\omega_n^2}$, où $K = 2$, $\\omega_n = 5 \\text{ rad/s}$ et $\\xi = 0{,}3$. Une entrée en échelon unitaire est appliquée au système. \n1. Déterminez analytiquement la réponse temporelle du système.EntréeSystème H(p)Sortie",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule générale : $c(t) = 1 - \\dfrac{1}{\\sqrt{1 - \\xi^2}} e^{-\\xi \\omega_n t} \\sin(\\omega_d t + \\phi)$ où $\\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1 - \\xi^2}$ et $\\phi = \\arccos(\\xi)$. 2. Remplacement des données : $\\omega_d = 5 \\sqrt{1 - 0{,}3^2} = 4{,}77 \\text{ rad/s}$, $\\phi = \\arccos(0{,}3) = 1{,}266 \\text{ rad}$ 3. Calcul numérique : $c(t) = 1 - 1{,}048 e^{-1{,}5 t} \\sin(4{,}77 t + 1{,}266)$ 4. Résultat final : la réponse temporelle du système est $c(t) = 1 - 1{,}048 e^{-1{,}5 t} \\sin(4{,}77 t + 1{,}266)$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 2 : Identification directe d’un système du premier ordre. On applique une entrée en échelon unitaire à un système inconnu d’ordre 1 : $y(t) = K(1 - e^{-t/\\tau})$. On obtient les mesures suivantes : pour $t = 0{,}5\\text{ s}$, $y = 1{,}2$ ; pour $t = 1\\text{ s}$, $y = 1{,}8$ ; la valeur finale mesurée est $y_f = 2{,}0$. \n1. Déterminez le gain statique $K$. \n2. Déduisez la constante de temps $\\tau$. \n3. Calculez la sortie du modèle à $t = 2\\text{ s}$ et comparez à la mesure réelle.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule : pour $t \\to \\infty$, $y_f = K$ 2. Remplacement : $y_f = 2{,}0$ donc $K = 2{,}0$ 3. Résultat : $K = 2{,}0$.
Question 3 : 1. Formule : $y(2) = K(1 - e^{-2/\\tau})$ 2. Remplacement : $y(2) = 2(1 - e^{-2/0{,}545})$ 3. Calcul : $e^{-3{,}67} = 0{,}025$ donc $y(2) = 2(0{,}975) = 1{,}95$ 4. Résultat : $y(2) = 1{,}95$, très proche de la mesure réelle. Le modèle est bien ajusté.
",
"id_category": "1",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Exercice 3 : Méthode des moindres carrés et estimation optimale. On cherche à estimer les paramètres $\\theta_1$ et $\\theta_2$ du modèle linéaire $y = \\theta_1 x_1 + \\theta_2 x_2$ à partir des mesures suivantes : $(x_1, x_2, y)$ = {(1,2,5), (2,1,6), (3,4,15)}. \n1. Exprimez le modèle sous forme matricielle. \n2. Calculez l’estimateur des moindres carrés. \n3. Déduisez la variance de l’estimation supposée avec $\\sigma^2 = 0{,}5$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule matricielle : $Y = X\\Theta$ avec $Y = \\begin{bmatrix}5\\6\\15\\end{bmatrix}$, $X = \\begin{bmatrix}1 & 2\\2 & 1\\3 & 4\\end{bmatrix}$ et $\\Theta = \\begin{bmatrix}\\theta_1\\theta_2\\end{bmatrix}$.
Question 3 : 1. Formule : $\\mathrm{Var}(\\hat{\\Theta}) = \\sigma^2 (X^T X)^{-1}$ 2. Remplacement : $\\mathrm{Var}(\\hat{\\Theta}) = 0{,}5 \\times \\dfrac{1}{38} \\begin{bmatrix}21 & -16\\-16 & 14\\end{bmatrix}$ 3. Calcul : $\\mathrm{Var}(\\hat{\\Theta}) = \\begin{bmatrix}0{,}276 & -0{,}211\\-0{,}211 & 0{,}184\\end{bmatrix}$ 4. Résultat : variance de $\\hat{\\Theta}$ est bien définie, les coefficients sont estimés de manière fiable.
",
"id_category": "1",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "On considère un système dynamique linéaire du premier ordre décrit par la relation suivante : $y(t) = K (1 - e^{-t/\\tau}) u(t)$ où $K=3$ est le gain statique, $\\tau=2 s$ la constante de temps et $u(t)$ une entrée échelon unité. Question $1$ : En utilisant la réponse temporelle fournie, déterminer la valeur de $y(t)$ à $t=3 s$. Question $2$ : Identifier le paramètre $\\tau$ à partir de la mesure que $y(3 s) = 1,9$. Question $3$ : En supposant que $K$ est inconnu, proposer et calculer une méthode d'estimation linéaire de $K$ en utilisant la méthode des moindres carrés sur les données suivantes : $t = [1, 2, 3, 4], y(t) = [1.2, 2.1, 2.5, 2.8]$ avec une entrée échelon unité.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question $1$ : calcul de $y(3)$. 1. Formule générale dans $...$ : $y(t) = K (1 - e^{-t/\\tau})$. 2. Remplacement dans $...$ : avec $K=3$, $\\tau=2$ et $t=3$. 3. Calcul dans $...$ : $y(3) = 3 \\times (1 - e^{-3/2}) = 3 (1 - e^{-1.5})$ et $e^{-1.5} \\approx 0.2231$, donc $y(3) = 3 (1 - 0.2231) = 3 \\times 0.7769 = 2.3307$.$...$ : $y(3) \\approx 2.33$.
Question $2$ : identification de $\\tau$ par inversion. 1. Formule générale dans $...$ : résoudre $y(t) = K (1 - e^{-t/\\tau})$ pour $\\tau$ avec $y(3) = 1.9$ et $K=3$. 2. Remplacement dans $...$ : $1.9 = 3 (1 - e^{-3/\\tau}) \\Rightarrow e^{-3/\\tau} = 1 - \\frac{1.9}{3} = 0.3667$. 3. Calcul dans $...$ : prendre le logarithme népérien, $-\\frac{3}{\\tau} = \\ln(0.3667) \\approx -1.003$.$...$ : $\\tau = 3 / 1.003 \\approx 2.99 s$.
Question $3$ : estimation par moindres carrés de $K$. 1. Formule générale dans $...$ : modèle linéaire :
\\[ y(t) = K (1 - e^{-t/\\tau}) \\Rightarrow y(t) = K \\phi(t) \\]
avec $\\phi(t) = 1 - e^{-t/2}$ (avec $\\tau=2$ donné). 2. Remplacement dans $...$ : on dispose des données :
$...$ : $K = 6.163 / 1.9055 \\approx 3.23$.",
"id_category": "1",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Un système est modélisé par la fonction de transfert suivante : $H(s) = \\frac{b}{s + a}$ avec $a>0$ et $b>0$. On a effectué une expérience d'entrée-sortie en échelon unité et obtenu les mesures temporelles suivantes :
Temps (s) : $[1, 2, 3, 4]$ et Sortie :
$[1.1, 1.9, 2.4, 2.7]$. Question $1$ : estimer les paramètres $a$ et $b$ en utilisant la méthode des moindres carrés linéarisée par transformation logarithmique. Question $2$ : calculer le biais et la variance de l'estimation en supposant un bruit d'estimation gaussien blanc de variance connue $\\sigma^2 = 0.04$. Question $3$ : proposer un estimateur du maximum de vraisemblance pour le système et écrire la fonction de vraisemblance correspondante.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question $1$ : estimation des paramètres par moindres carrés. 1. Formule générale dans $...$ : on linearise en posant $y(t) = \\frac{b}{a} (1 - e^{-a t})$ et en transformant pour isoler $a$ et $b$. 2. Remplacement dans $...$ : appliquer la transformation logarithmique sur la réponse temporelle. 3. Calcul dans $...$ : méthode utilisant $z(t) = 1 - \\frac{a}{b} y(t)$ et log en fonction de $a t$.$...$ : valeurs estimées de $a, b$ obtenues via régression linéaire sur les données transformées.
Question $2$ : calcul du biais et de la variance. 1. Formule générale dans $...$ : biais donné par l'écart attendu entre estimateur et vrai paramètre, variance par \\sigma^2 estimée via matrice de Fisher. 2. Remplacement dans $...$ : calcul basé sur la matrice d'information et bruit gaussien blanc. 3. Calcul dans $...$ : faut dériver la fonction de vraisemblance et calculer les moments.$...$ : biais nul pour estimateur sans biais, variance estimée explicitement.
Question $3$ : estimateur du maximum de vraisemblance. 1. Formule générale dans $...$ : vraisemblance $L(\\theta) = \\prod_i \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi \\sigma^2}} e^{-\\frac{(y_i - \\hat{y}_i(\\theta))^2}{2 \\sigma^2}}$. 2. Remplacement dans $...$ : écriture avec $\\hat{y}_i(\\theta) = \\frac{b}{s+a}$. 3. Calcul dans $...$ : maximiser cette fonction pour estimer $a, b$.$...$ : formulation du problème d'optimisation comme résolution d'un système d'équations.
",
"id_category": "1",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Un système d'ordre 2 est modélisé par :$ y(t) + a_1 \\dot{y}(t) + a_0 y(t) = b u(t)$. Question $1$ : à partir d'une série temporelle de mesures entrée-sortie, écrire le modèle linéaire par rapport aux paramètres inconnus $a_1, a_0, b$. Question $2$ : écrire la forme matricielle de la méthode des moindres carrés pour l'estimation des paramètres, en considérant $n$ mesures. Question $3$ : calculer la solution optimale pour $n=4$ avec les données :
Entrée $u = [1, 2, 1, 0]$ et sortie $y = [2.3, 4.1, 3.9, 2.0]$ et valeurs initiales inconnues des paramètres.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question $1$ : modèle linéaire par rapport aux paramètres. 1. Formule générale dans $...$ : réécrire l'équation différentielle sous forme $y(t) = -a_1 \\dot{y}(t) - a_0 y(t) + b u(t)$. 2. Remplacement dans $...$ : données d'observation $(u_i, y_i)$ pour i = 1,..., n. 3. Calcul dans $...$ : définir le vecteur des paramètres $\\theta = \\begin{bmatrix} a_1 \\ a_0 \\ b \\end{bmatrix}$ et matrice $\\Phi$ avec colonnes correspondantes à $\\dot{y}(t), y(t), u(t)$.$...$ : relation linéaire $Y = \\Phi \\theta$ à utiliser pour la méthode des moindres carrés.
Question $2$ : forme matricielle de la méthode. 1. Formule générale dans $...$ : solution des moindres carrés $\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T Y$. 2. Remplacement dans $...$ : construction matricielle avec les données de $n$ mesures. 3. Calcul dans $...$ : calculer $\\Phi^T \\Phi$, $\\Phi^T Y$, et appliquer l'inverse.$...$ : matrice paramètre estimée optimale.
Question $3$ : calcul avec les données numérales. 1. Formule générale dans $...$ : entrer les données numériques, différencier ou approximer $\\dot{y}(t)$. 2. Remplacement dans $...$ : données $u=[1,2,1,0]$, $y=[2.3,4.1,3.9,2.0]$, approximateur de $\\dot{y}(t)$ par différences finies. 3. Calcul dans $...$ : calculer $\\hat{\\theta}$ via les formules des moindres carrés.$...$ : paramètres estimés $\\hat{a}_1, \\hat{a}_0, \\hat{b}$ numériques.
",
"id_category": "1",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Un système de premier ordre est soumis à un échelon unitaire $\\(u(t) = 1(t)\\)$ et on mesure la réponse temporelle sortie $\\(y(t)\\)$ à des instants réguliers $\\(t = 1, 2, 3, 4, 5\\,\\mathrm{s}\\) avec les valeurs suivantes : $\\(y = [0{,}5, 0{,}8, 0{,}9, 0{,}95, 0{,}98]\\)$. \n\nQuestion 1 :\nModéliser le système par la fonction de transfert $\\(G(s) = \\dfrac{K}{\\tau s + 1}\\)$. Estimer les paramètres $\\(K\\)$ et $\\(\\tau\\)$ par une méthode directe à partir de la réponse temporelle. Utilisez la formule de la réponse indicielle : $\\(y(t) = K \\left(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}}\\right)\\)$. \n\nQuestion 2 :\nReprésenter la fonction matricielle de régression et écrire sous forme matricielle la méthode des moindres carrés pour estimer $\\(K\\) et $\\(\\tau\\)$. \nCalculez la solution optimale vectorielle selon la méthode des moindres carrés. \n\nQuestion 3 :\nÉvaluez le biais et la variance de l'estimation obtenue sachant que la variance du bruit de mesure est $\\(\\sigma^2 = 0{,}01\\)$. Proposez un estimateur du maximum de vraisemblance et discutez de son avantage par rapport à l'estimateur des moindres carrés.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 \nOn donne la fonction de transfert modélisant un système : $\\(G(s) = \\dfrac{K}{\\tau s + 1}\\)$. \nLa réponse indicielle est $\\(y(t) = K \\left(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}}\\right)\\)$. \n1. Formule générale dans $...$ : \nÀ $\\(t_i\\)$, $\\(y_i = K (1 - e^{-t_i / \\tau})\\)$. \nOn cherche $\\(K, \\tau\\)$ qui minimisent l'écart avec les mesures. \n2. Remplacement avec données : $\\(t = [1, 2, 3, 4, 5]\\)$ et $\\(y = [0{,}5, 0{,}8, 0{,}9, 0{,}95, 0{,}98]\\)$. \n3. Estimation directe : Par essais successifs (ex : à $\\(t=5\\)$, $\\(y(5) \\approx K(1 - e^{-5/\\tau})\\approx 0{,}98\\)$ de valeur proche de $\\(K\\)$. \nOn peut approximer $\\(K \\approx 1\\)$. \n4. On calcule alors $\\(\\tau\\) en posant $\\(y(1) = 0{,}5 = K(1 - e^{-1/\\tau})\\) d'où $\\(e^{-1/\\tau} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\\)$ et donc $\\(-\\frac{1}{\\tau} = \\ln(0{,}5)\\)$ soit $\\(\\tau = -\\frac{1}{\\ln(0.5)} \\approx 1{,}44\\,s\\)$. \n5. Résultat final : $\\(K \\approx 1\\), $\\(\\tau \\approx 1{,}44\\,s\\)$. \n Question 2 \n1. Formule matricielle de régression : On linéarise en posant $\\(\\theta = [K, \\alpha]^\\top\\) avec $\\(\\alpha = e^{-1/\\tau}\\)$. \nOn écrit $\\(y_i = K(1 - \\alpha^{t_i})\\)$ ou $\\(y_i = K - K \\alpha^{t_i}\\)$. \n2. On pose la matrice $\\(\\Phi = \\begin{bmatrix} 1 - \\alpha^{t_1} & 0 \\ 1 - \\alpha^{t_2} & 0 \\ ... \\end{bmatrix}\\)$ mais pour simplifier, on procède différemment en approchant comme : $\\(y_i = \\phi_i \\theta\\)$ avec $\\(\\phi_i = [1 - e^{-t_i / \\tau}, 0]\\)$. \n3. Méthode des moindres carrés : La solution est $\\(\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T y\\)$. \n4. Calcul numérique (exemple) donne $\\(K \\approx 0{,}98, \\tau \\approx 1{,}46\\)$. \n5. Résultat final : estimation raffinée par moindres carrés donne des valeurs proches de la méthode directe.
Question 3 \n1. Biais et variance : Le biais est nul si le modèle est correct et le bruit est sans biais. La variance de l'estimateur est proportionnelle à $\\(\\sigma^2 (\\Phi^T \\Phi)^{-1}\\)$. \n2. Estimateur du maximum de vraisemblance : Sous hypothèse de bruit Gaussien blanc, il coïncide avec les moindres carrés, donc même solution. 3. Avantage : Le MLE permet d'incorporer des hypothèses supplémentaires sur le bruit et donc améliorer l'estimation si ces hypothèses sont exactes. 4. Résultat final : Le MLE est optimal pour un bruit Gaussian et apporte une meilleure estimation si le modèle est bien spécifié.
",
"id_category": "1",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "On étudie un système linéaire avec fonction de transfert paramétrique : $\\(G(s, \\theta) = \\dfrac{b_1 s + b_0}{s^2 + a_1 s + a_0}\\)$, où $\\(\\theta = [b_1, b_0, a_1, a_0]^\\top\\)$. On dispose d'un jeu de mesures temporelles $\\((u(t), y(t))\\)$. \n\nQuestion 1 :\nÉcrire la relation linéaire entre les paramètres $\\(\\theta\\)$ et la sortie mesuree dans un modèle linéaire par rapport aux paramètres (regression linéaire). \n\nQuestion 2 :\nEn utilisant la méthode des moindres carrés, écrire la formulation matricielle permettant d'estimer $\\(\\theta\\)$. Calculez la solution optimale$\\(\\hat{\\theta}\\)$ à partir d’un ensemble hypothétique de données (précisez un exemple numérique). \n\nQuestion 3 :\nExpliquez le biais d’estimation résultant et calculez la variance de l’estimateur sous hypothèse de bruit additif blanc avec variance connue $\\(\\sigma^2\\)$.\nProposez une méthode pour rejeter les mesures aberrantes et ajuster le modèle robustement. ",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 \nOn exprime le modèle linéaire paramétré par : $y(t) = -a_1 y(t-1) - a_0 y(t-2) + b_1 u(t-1) + b_0 u(t-2) + e(t)\\)$, où $\\(e(t)\\)$ est un bruit blanc. \n1. Relation linéaire dans $...$ : \nLa sortie peut être exprimée comme $\\(y(t) = \\phi(t)^\\top \\theta + e(t)\\)$, où $\\(\\phi(t) = [-y(t-1), -y(t-2), u(t-1), u(t-2)]^\\top\\)$ et $\\(\\theta = [a_1, a_0, b_1, b_0]^\\top\\)$. \n2. Résultat final : cette formulation permet d'utiliser la régression linéaire classique.
Question 2 \n1. Formule matricielle dans $...$ : \nOn collecte $\\(N\\)$ mesures en vectorisant $\\(y\\)$ et $\\(\\Phi\\) la matrice de régression formée des vecteurs $\\(\\phi(t)\\)$ : $\\(y = \\Phi \\theta + e\\)$. \n2. La solution des moindres carrés s'écrit : $\\(\\hat{\\theta} = (\\Phi^\\top \\Phi)^{-1} \\Phi^\\top y\\)$. \n3. Exemple numérique hypothétique : Supposons $\\(\\Phi\\) et $\\(y\\) connus, on calcule $\\(\\hat{\\theta}\\) par multiplication matricielle.
Question 3 \n1. Biais d'estimation : Le biais est nul si le bruit est blanc avec moyenne nulle et le modèle est correct. \n2. Variance : La variance est donnée par $\\(\\sigma^2 (\\Phi^\\top \\Phi)^{-1}\\)$. \n3. Rejet des mesures aberrantes : On peut utiliser des méthodes robustes comme les estimateurs M ou la détection par résidus. \n4. Résultat final : Des méthodes robustes améliorent l'identification en présence de données aberrantes.
",
"id_category": "1",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Modélisation et identification des systèmes",
"question": "Un système linéaire est soumis à une excitation sinusoïdale de fréquence variable. La réponse est mesurée en amplitude $\\(A(\\omega)\\)$ et phase $\\(\\phi(\\omega)\\)$. On veut identifier une fonction de transfert paramétrique : $\\(G(j\\omega, \\theta) = \\dfrac{\\theta_0}{1 + j \\omega \\theta_1}\\)$, avec $\\(\\theta = [\\theta_0, \\theta_1]^\\top\\)$. \n\nQuestion 1 :\nÉcrire la relation entre les mesures $\\(A(\\omega_i), \\phi(\\omega_i)\\)$ et le modèle paramétré, et définir la fonction de coût à minimiser. \n\nQuestion 2 :\nDéterminer la forme matricielle du problème et la méthode des moindres carrés pour résoudre l’identification. \n\nQuestion 3 :\nCalculer une solution estimée en prenant un jeu de données fictives de mesures (préciser les valeurs) et interpréter la qualité de l’estimation en termes de biais et variance.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 \nOn a le modèle $\\(G(j\\omega, \\theta) = \\dfrac{\\theta_0}{1 + j \\omega \\theta_1}\\)$. \nLes mesures sont l'amplitude $\\(A(\\omega_i) = |G(j\\omega_i, \\theta)|\\)$ et la phase $\\(\\phi(\\omega_i) = \\arg{G(j\\omega_i, \\theta)}\\)$. \n1. Relation : $\\(A(\\omega_i) = \\dfrac{\\theta_0}{\\sqrt{1 + (\\omega_i \\theta_1)^2}}\\), $\\(\\phi(\\omega_i) = - \\arctan(\\omega_i \\theta_1)\\)$. \n2. La fonction de coût à minimiser est la somme des carrés des écarts entre mesures et modèle : $\\(J(\\theta) = \\sum_{i} \\left( A_i - \\hat{A}(\\omega_i, \\theta) \\right)^2 + \\sum_i \\left( \\phi_i - \\hat{\\phi}(\\omega_i, \\theta) \\right)^2\\)$. \n3. Résultat final : la minimisation se fait par optimisation numérique.
Question 2 \n1. Forme matricielle : On linéarise le modèle dans le voisinage des paramètres connus pour obtenir une relation affine en $\\(\\theta\\)$. \n2. La méthode des moindres carrés s'applique à la relation affine : $\\(Y = \\Phi \\theta + e\\)$, où $\\(Y\\)$ contient les mesures et $\\(\\Phi\\)$ la matrice de régression. \n3. Résolution selon $\\(\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T Y\\)$.
Question 3 \n1. Exemple avec valeurs (exemple fictif) :Pour $\\(\\omega = [1, 2, 3]\\)$, mesures $\\(A = [0{,}9, 0{,}7, 0{,}5]\\)$ et $\\(\\phi = [-45^\\circ, -63^\\circ, -72^\\circ]\\)$. \n2. Estimation numérique : estimons $\\(\\hat{\\theta_0} = 1{,}0\\)$ et $\\(\\hat{\\theta_1} = 1{,}5\\)$. \n3. Analyse qualité : biais faible, variance dépendant de la mesure du bruit. 4. Résultat final : la méthode est efficace pour des mesures propres et bruit blanc.
Modélisation d'un Filtre Passe-Bas RC et Analyse Fréquentielle
Un filtre passe-bas du premier ordre est constitué d'une résistance $R = 10 \\, \\text{k}\\Omega$ et d'un condensateur $C = 100 \\, \\text{nF}$ montés en série. Le signal d'entrée $v_e(t)$ est appliqué aux bornes de l'ensemble RC, et le signal de sortie $v_s(t)$ est prélevé aux bornes du condensateur.
Question 1: Établir la fonction de transfert $H(j\\omega) = \\frac{V_s(j\\omega)}{V_e(j\\omega)}$ du filtre en représentation complexe. Déterminer la fréquence de coupure $f_c$ du filtre en Hz.
Question 2: Pour une fréquence d'entrée $f_1 = 500 \\, \\text{Hz}$, calculer le module $|H(j\\omega_1)|$ et la phase $\\varphi(\\omega_1)$ de la fonction de transfert. Exprimer le module en décibels (dB).
Question 3: Si le signal d'entrée est $v_e(t) = 5\\cos(2\\pi \\cdot 500 \\cdot t)$ V, déterminer l'expression temporelle complète du signal de sortie $v_s(t)$ en utilisant les résultats de la question 2.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1
Question 1: Fonction de transfert et fréquence de coupure
Étape 1: Établissement de la fonction de transfert
En représentation complexe, l'impédance de la résistance est $Z_R = R$ et l'impédance du condensateur est $Z_C = \\frac{1}{j\\omega C}$.
Les deux composants forment un diviseur de tension. La tension de sortie est prélevée aux bornes du condensateur, donc:
Résultat: À $f_1 = 500 \\, \\text{Hz}$, le module est $|H(j\\omega_1)| = 0.3033$ soit $-10.36 \\, \\text{dB}$, et la phase est $\\varphi(\\omega_1) = -72.34^\\circ$.
Question 3: Expression temporelle du signal de sortie
Étape 1: Identification des paramètres du signal d'entrée
Le signal d'entrée est $v_e(t) = 5\\cos(2\\pi \\cdot 500 \\cdot t) = 5\\cos(\\omega_1 t)$ V.
Résultat: L'expression temporelle du signal de sortie est $v_s(t) = 1.517\\cos(1000\\pi t - 1.263) \\, \\text{V}$, où $t$ est en secondes. L'amplitude est réduite à environ 30% de l'amplitude d'entrée et le signal est déphasé de $-72.34^\\circ$.
Modélisation d'un Transistor Bipolaire en Régime de Petits Signaux
Un transistor bipolaire NPN est polarisé en régime actif avec un courant de collecteur au repos $I_{C0} = 2 \\, \\text{mA}$. La température de fonctionnement est $T = 300 \\, \\text{K}$. Le gain en courant du transistor est $\\beta = 150$. On rappelle que la tension thermique est donnée par $V_T = \\frac{kT}{q}$ où $k = 1.38 \\times 10^{-23} \\, \\text{J/K}$ est la constante de Boltzmann et $q = 1.6 \\times 10^{-19} \\, \\text{C}$ est la charge élémentaire.
Question 1: Calculer la tension thermique $V_T$ à la température de fonctionnement, puis déterminer la transconductance $g_m$ du transistor en régime de petits signaux sachant que $g_m = \\frac{I_{C0}}{V_T}$.
Question 2: En utilisant le modèle hybride-$\\pi$ du transistor, déterminer la résistance d'entrée dynamique $r_{\\pi} = \\frac{\\beta}{g_m}$ et la résistance de sortie $r_o$ sachant que l'effet Early est caractérisé par une tension $V_A = 100 \\, \\text{V}$ et que $r_o = \\frac{V_A}{I_{C0}}$.
Question 3: Le transistor est utilisé dans un étage amplificateur avec une résistance de charge $R_C = 2.2 \\, \\text{k}\\Omega$ connectée au collecteur. En négligeant $r_o$ devant $R_C$, calculer le gain en tension en petits signaux $A_v = \\frac{v_s}{v_e}$ de l'étage, sachant que $A_v = -g_m R_C$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Interprétation: La tension thermique à $300 \\, \\text{K}$ (environ $27^\\circ\\text{C}$) est approximativement $26 \\, \\text{mV}$. Cette valeur est fondamentale pour la modélisation des jonctions PN et des transistors bipolaires.
Interprétation: La transconductance représente la sensibilité du courant de collecteur aux variations de la tension base-émetteur. Une valeur de $77.3 \\, \\text{mS}$ signifie qu'une variation de $1 \\, \\text{mV}$ de $v_{be}$ entraîne une variation de $77.3 \\, \\mu\\text{A}$ du courant $i_c$.
Question 2: Résistances dynamiques du modèle hybride-π
Étape 1: Calcul de la résistance d'entrée dynamique $r_{\\pi}$
Interprétation: La résistance $r_{\\pi}$ représente la résistance dynamique vue entre la base et l'émetteur en régime de petits signaux. Elle est directement liée au gain en courant $\\beta$ et inversement proportionnelle à la transconductance.
Étape 2: Calcul de la résistance de sortie $r_o$
Formule générale:
$r_o = \\frac{V_A}{I_{C0}}$
Remplacement des données:
$r_o = \\frac{100}{2 \\times 10^{-3}}$
Calcul:
$r_o = \\frac{100}{0.002} = 50000 \\, \\Omega$
Résultat:
$r_o = 50 \\, \\text{k}\\Omega$
Interprétation: La résistance $r_o$ modélise l'effet Early, qui traduit la légère dépendance du courant de collecteur à la tension collecteur-émetteur. Une valeur élevée de $r_o$ (ici $50 \\, \\text{k}\\Omega$) indique que le transistor se comporte presque comme une source de courant idéale.
Question 3: Gain en tension de l'étage amplificateur
Étape 1: Hypothèses et formule du gain
En négligeant $r_o$ devant $R_C$ (ce qui est justifié car $50 \\, \\text{k}\\Omega \\gg 2.2 \\, \\text{k}\\Omega$), le gain en tension en petits signaux est donné par:
Formule générale:
$A_v = -g_m R_C$
Le signe négatif indique que l'amplificateur est inverseur (la tension de sortie est en opposition de phase avec la tension d'entrée).
Interprétation: Le gain en tension de l'étage est $A_v = -170$, ce qui signifie que le signal de sortie a une amplitude $170$ fois supérieure à celle du signal d'entrée, mais avec une phase inversée (déphasage de $180^\\circ$). Ce gain important est caractéristique d'un étage amplificateur à émetteur commun.
Vérification de cohérence:
Le gain peut aussi s'exprimer comme $A_v = -\\frac{\\beta R_C}{r_{\\pi}}$:
Analyse Complète d'un Circuit RLC Série en Régime Sinusoïdal
Un circuit RLC série est constitué d'une résistance $R = 50 \\, \\Omega$, d'une inductance $L = 20 \\, \\text{mH}$ et d'un condensateur $C = 10 \\, \\mu\\text{F}$. Le circuit est alimenté par une source de tension sinusoïdale $v(t) = V_m \\cos(\\omega t)$ avec $V_m = 10 \\, \\text{V}$.
Question 1: Déterminer la fréquence de résonance $f_0$ du circuit, puis calculer l'impédance complexe totale $Z(j\\omega)$ du circuit en fonction de la pulsation $\\omega$. Calculer l'impédance à la résonance $Z(j\\omega_0)$.
Question 2: Calculer le facteur de qualité $Q$ du circuit sachant que $Q = \\frac{1}{R}\\sqrt{\\frac{L}{C}}$. En déduire la bande passante $\\Delta f$ du circuit à $-3 \\, \\text{dB}$ en utilisant la relation $\\Delta f = \\frac{f_0}{Q}$.
Question 3: À la fréquence de résonance $f_0$, calculer le courant maximal $I_m$ circulant dans le circuit, puis déterminer la tension maximale $V_{L,m}$ aux bornes de l'inductance. Commenter le résultat en le comparant à la tension d'alimentation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3
Question 1: Fréquence de résonance et impédance
Étape 1: Calcul de la fréquence de résonance $f_0$
La fréquence de résonance d'un circuit RLC série est donnée par:
Résultat: La fréquence de résonance est $f_0 \\approx 356 \\, \\text{Hz}$.
Étape 2: Impédance complexe du circuit
L'impédance totale d'un circuit RLC série est:
Formule générale:
$Z(j\\omega) = R + j\\omega L + \\frac{1}{j\\omega C} = R + j\\left(\\omega L - \\frac{1}{\\omega C}\\right)$
Cette expression peut s'écrire:
$Z(j\\omega) = R + jX(\\omega)$
où $X(\\omega) = \\omega L - \\frac{1}{\\omega C}$ est la réactance totale.
Étape 3: Impédance à la résonance
À la résonance, la pulsation est $\\omega_0 = 2\\pi f_0$. À cette pulsation, la réactance inductive $\\omega_0 L$ est exactement égale à la réactance capacitive $\\frac{1}{\\omega_0 C}$, donc:
$X(\\omega_0) = \\omega_0 L - \\frac{1}{\\omega_0 C} = 0$
Par conséquent:
$Z(j\\omega_0) = R = 50 \\, \\Omega$
Résultat: À la résonance, l'impédance du circuit est purement résistive et vaut $Z(j\\omega_0) = 50 \\, \\Omega$. C'est la valeur minimale de l'impédance du circuit.
Résultat: Le facteur de qualité est $Q \\approx 0.894$.
Interprétation: Un facteur de qualité inférieur à $1$ indique que le circuit est fortement amorti. La résonance sera peu marquée et la courbe de réponse en fréquence sera large.
Étape 2: Calcul de la bande passante $\\Delta f$
Formule générale:
$\\Delta f = \\frac{f_0}{Q}$
Remplacement des données:
$\\Delta f = \\frac{355.9}{0.8944}$
Calcul:
$\\Delta f = 398.0 \\, \\text{Hz}$
Résultat: La bande passante à $-3 \\, \\text{dB}$ est $\\Delta f \\approx 398 \\, \\text{Hz}$.
Interprétation: La bande passante est large (comparable à la fréquence de résonance elle-même), ce qui confirme que le circuit est peu sélectif. Les fréquences comprises entre environ $157 \\, \\text{Hz}$ et $555 \\, \\text{Hz}$ seront transmises avec une atténuation inférieure à $3 \\, \\text{dB}$.
Question 3: Courant et tension à la résonance
Étape 1: Calcul du courant maximal à la résonance
À la résonance, l'impédance est minimale et vaut $Z(j\\omega_0) = R$. Le courant maximal est donc:
Résultat: La tension maximale aux bornes de l'inductance est $V_{L,m} \\approx 8.95 \\, \\text{V}$.
Étape 3: Commentaire et interprétation
La tension aux bornes de l'inductance $V_{L,m} = 8.95 \\, \\text{V}$ est inférieure mais comparable à la tension d'alimentation $V_m = 10 \\, \\text{V}$. On peut montrer que:
Pour un circuit avec un facteur de qualité $Q > 1$, on observe le phénomène de surtension: les tensions aux bornes de $L$ et $C$ peuvent dépasser largement la tension d'alimentation (elles sont en opposition de phase et se compensent). Ici, avec $Q < 1$, ce phénomène est atténué, mais la tension aux bornes de l'inductance représente tout de même $89.5\\%$ de la tension d'alimentation.
Vérification: De même, la tension aux bornes du condensateur est $V_{C,m} = \\frac{I_m}{\\omega_0 C} = \\frac{0.2}{2236.2 \\times 10 \\times 10^{-6}} = 8.945 \\, \\text{V}$, ce qui confirme que $V_{L,m} = V_{C,m}$ à la résonance.
On considère un circuit RLC série constitué par une résistance $R = 50\\ \\Omega$, une inductance $L = 200\\ \\text{mH}$ et un condensateur $C = 100\\ \\mu\\text{F}$, parcouru par un courant imposé par une source de tension sinusoïdale $v(t) = 10\\cos(100\\pi t)$.
Question 1: Modéliser le circuit en écrivant l’équation différentielle caractéristique entre la tension $v(t)$ et le courant $i(t)$. Exprimez la fonction de transfert du circuit en notation de Laplace.
Question 2: Calculez l’amplitude du courant de régime permanent $i(t)$. Donnez la valeur exacte et le déphasage entre la tension et le courant.
Question 3: Déterminez l’énergie maximale stockée dans le condensateur en régime permanent.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Formule générale : $v(t) = R i(t) + L \\frac{di(t)}{dt} + \\frac{1}{C} \\int i(t) dt$ En Laplace : $V(s) = R I(s) + L s I(s) + \\frac{1}{C s} I(s)$ Fonction de transfert : $\\frac{I(s)}{V(s)} = \\frac{1}{R + Ls + \\frac{1}{Cs}}$
4. Résultat final : Amplitude $0.17\\ \\text{A}$, déphasage $-31.8^\\circ$.
Solution Question 3 : 1. Formule générale : énergie max dans le condensateur : $E_{C,max} = \\frac{1}{2} C V_{C,max}^2$ Mais $V_C(t) = \\frac{1}{C}\\int i(t)dt$. À la résonance ou en régime sinusoïdal, $V_{C,rms} = \\frac{I_m}{\\omega C}$. L’amplitude max du courant :
On réalise une expérience de décharge sur un circuit formé d’un condensateur de capacité inconnue $C$ et d’une résistance $R=100\\ \\Omega$. On charge d’abord le condensateur à une tension initiale $V_0 = 5\\ V$. On observe expérimentalement que la tension aux bornes du condensateur tombe à $V_1 = 1\\ V$ après un temps $t_1=2.0\\ \\text{ms}$.
Question 1: Modéliser l’équation différentielle de décharge du condensateur et exprimez la solution analytique $v_C(t)$.
Question 2: Identifiez la valeur de la capacité $C$ à partir de la mesure expérimentale effectuée. Donnez la méthode de calcul complète.
Question 3: Calculez l’énergie dissipée dans la résistance pendant toute la durée de la décharge.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Question 1 : 1. Formule générale : l’équation différentielle pour la décharge du condensateur dans un RC : $R\\frac{dQ}{dt} + \\frac{Q}{C} = 0$ Ou en tension : $\\frac{dv_C}{dt} + \\frac{1}{RC}v_C = 0$ Solution analytique : $v_C(t) = V_0\\exp\\left(-\\frac{t}{RC}\\right)$
Exercice 1 : Modélisation et identification d'une inductance réelle en régime sinusoïdal
\n
On considère une bobine réelle utilisée dans un filtre passe-bas. Cette bobine présente une inductance $L$ et une résistance série $R_s$ modélisant les pertes dans le conducteur. Pour identifier ces paramètres, on réalise des mesures en régime sinusoïdal.
\n
On applique à la bobine une tension sinusoïdale $v(t) = V_m \\cos(\\omega t)$ avec $V_m = 10$ V et $f = 1000$ Hz. On mesure un courant $i(t) = I_m \\cos(\\omega t - \\varphi)$ avec $I_m = 0,8$ A et un déphasage $\\varphi = 38°$.
\n
Question 1 : Calculer l'impédance complexe $Z$ de la bobine sous forme polaire puis rectangulaire. En déduire les valeurs de la résistance série $R_s$ et de l'inductance $L$.
\n
Question 2 : Calculer la puissance active $P$, la puissance réactive $Q$ et la puissance apparente $S$ dissipées par cette bobine réelle. En déduire le facteur de puissance $\\cos(\\varphi)$.
\n
Question 3 : On souhaite utiliser cette bobine dans un circuit résonnant série avec un condensateur $C = 10$ µF. Calculer la fréquence de résonance $f_0$ du circuit $RLC$ série ainsi formé, puis déterminer le facteur de qualité $Q_0$ à cette fréquence.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 1
\n\n
Question 1 : Calcul de l'impédance complexe et identification des paramètres
\n\n
Étape 1 : Formule générale de l'impédance
\n
L'impédance complexe est définie par le rapport tension/courant en représentation complexe :
Interprétation : Le facteur de qualité faible ($Q_0 \\approx 1,12$) indique que le circuit est fortement amorti en raison de la résistance série relativement élevée de la bobine. La bande passante sera donc large autour de la fréquence de résonance.
Exercice 2 : Modélisation et caractérisation d'un transistor MOSFET en régime de commutation
\n
On étudie un transistor MOSFET de puissance utilisé dans un convertisseur DC-DC. Le transistor est caractérisé par une résistance à l'état passant $R_{DS(on)}$, une capacité grille-source $C_{gs}$ et une capacité grille-drain $C_{gd}$. Pour identifier ces paramètres, on réalise des mesures en régime statique et dynamique.
\n
En régime statique, avec $V_{GS} = 10$ V et $I_D = 5$ A, on mesure une chute de tension $V_{DS} = 0,25$ V. En régime dynamique, lors d'une commutation, on mesure un temps de montée du courant $t_r = 80$ ns avec une résistance de grille $R_g = 10$ Ω et une tension de commande $V_{cmd} = 12$ V.
\n
Question 1 : À partir de la mesure statique, calculer la résistance drain-source à l'état passant $R_{DS(on)}$. En déduire la puissance dissipée $P_{cond}$ par conduction dans le MOSFET lorsqu'il conduit un courant $I_D = 5$ A.
\n
Question 2 : Sachant que le temps de montée du courant est lié à la charge de la capacité d'entrée par $t_r \\approx 2,2 R_g C_{iss}$ où $C_{iss} = C_{gs} + C_{gd}$, calculer la capacité d'entrée totale $C_{iss}$.
\n
Question 3 : Lors d'une commutation à la fréquence $f_{sw} = 100$ kHz avec des temps de commutation $t_{on} = t_{off} = 100$ ns, calculer l'énergie dissipée par commutation $E_{sw}$ sachant que la tension commutée est $V_{DC} = 48$ V et le courant commuté $I_D = 5$ A. En déduire la puissance totale dissipée $P_{tot}$ dans le transistor (conduction + commutation) avec un rapport cyclique $\\alpha = 0,6$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 2
\n\n
Question 1 : Calcul de R_DS(on) et puissance de conduction
\n\n
Étape 1 : Formule générale de la résistance à l'état passant
\n
En régime statique, lorsque le MOSFET est complètement passant, la loi d'Ohm s'applique :
- La puissance de conduction (active uniquement pendant le temps de conduction) :
\n
$P_{cond\\_moy} = P_{cond} \\times \\alpha$
\n
- La puissance de commutation (à chaque cycle) :
\n
$P_{tot} = P_{cond} \\times \\alpha + P_{sw}$
\n\n
Étape 7 : Calcul de la puissance totale
\n
Avec $\\alpha = 0,6$ :
\n
$P_{tot} = 1,25 \\times 0,6 + 2,4$
\n
$P_{tot} = 0,75 + 2,4 = 3,15$ W
\n\n
Résultat final :
\n
$E_{sw} = 24 \\text{ }\\mu\\text{J par commutation}$
\n
$P_{sw} = 2,4 \\text{ W}$
\n
$P_{tot} = 3,15 \\text{ W}$
\n\n
Interprétation : On constate que les pertes par commutation ($2,4$ W) sont dominantes par rapport aux pertes par conduction moyennes ($0,75$ W). Pour réduire les pertes totales, il serait pertinent d'optimiser les temps de commutation en réduisant $R_g$ ou en utilisant un driver plus performant.
Exercice 3 : Modélisation et analyse d'un circuit RC actif avec amplificateur opérationnel
\n
On étudie un filtre actif passe-bas du premier ordre réalisé avec un amplificateur opérationnel idéal. Le circuit comprend une résistance d'entrée $R_1 = 10$ kΩ, une résistance de contre-réaction $R_2 = 47$ kΩ, et un condensateur $C = 100$ nF monté en parallèle avec $R_2$.
\n
L'amplificateur opérationnel est considéré idéal (impédance d'entrée infinie, impédance de sortie nulle, gain en boucle ouverte infini). On applique une tension d'entrée sinusoïdale $v_e(t)$ de fréquence variable.
\n
Question 1 : Établir la fonction de transfert complexe $H(j\\omega) = \\frac{V_s(j\\omega)}{V_e(j\\omega)}$ du circuit. Calculer le gain statique $H_0$ (à basse fréquence) et identifier la fréquence de coupure $f_c$.
\n
Question 2 : Calculer le module $|H(j\\omega)|$ et la phase $\\varphi(\\omega)$ de la fonction de transfert à la fréquence $f = 100$ Hz. Exprimer le gain en décibels.
\n
Question 3 : On souhaite modifier le circuit pour obtenir une fréquence de coupure $f_c' = 500$ Hz tout en conservant le même gain statique. Calculer la nouvelle valeur de la capacité $C'$ nécessaire (en gardant $R_1$ et $R_2$ inchangés).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 3
\n\n
Question 1 : Fonction de transfert, gain statique et fréquence de coupure
\n\n
Étape 1 : Analyse du circuit et établissement de la fonction de transfert
\n
Pour un amplificateur opérationnel idéal en configuration inverseuse avec impédance $Z_1$ en entrée et $Z_2$ en contre-réaction :
Interprétation : Pour augmenter la fréquence de coupure d'un facteur $\\approx 14,76$ (de $33,87$ Hz à $500$ Hz), il faut réduire la capacité du même facteur. En pratique, on choisirait une valeur normalisée, par exemple $C' = 6,8$ nF (série E12) ou $6,7$ nF si disponible.
Modélisation d'un circuit RLC série avec source de tension
On considère un circuit électrique composé d'une résistance $R = 100 \\, \\Omega$, d'une inductance $L = 50 \\, \\text{mH}$ et d'un condensateur $C = 10 \\, \\mu\\text{F}$ montés en série et alimentés par une source de tension $v_s(t) = 220\\sqrt{2}\\sin(\\omega t)$ où $\\omega = 314 \\, \\text{rad/s}$. L'objectif est de modéliser ce système et d'analyser son comportement en régime sinusoïdal permanent.
Question 1 : Impédance complexe totale du circuit
Calculez l'impédance complexe totale $Z_{\\text{total}}$ du circuit RLC série. Exprimez le résultat sous forme rectangulaire $Z = R_{\\text{eq}} + jX_{\\text{eq}}$ puis sous forme polaire $Z = |Z|\\angle\\theta$.
Question 2 : Courant complexe et courant instantané
Déterminez le courant complexe $\\underline{I}$ circulant dans le circuit en utilisant la loi d'Ohm généralisée. Calculez ensuite le courant instantané $i(t)$ et déterminez sa valeur efficace $I_{\\text{eff}}$.
Question 3 : Puissances active, réactive et apparente
Calculez la puissance active $P$, la puissance réactive $Q$, et la puissance apparente $S$ consommées par le circuit. Déduisez le facteur de puissance $\\cos(\\phi)$ du système.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 1
Question 1 : Impédance complexe totale du circuit
Étape 1 : Formule générale
Pour un circuit RLC série, l'impédance totale est :
$Z_{\\text{total}} = R + jL\\omega + \\frac{1}{jC\\omega} = R + j\\left(L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}\\right)$
Question 2 : Courant complexe et courant instantané
Étape 1 : Formule générale
La tension de source en notation complexe (on prend $v_s(t) = 220\\sqrt{2}\\sin(\\omega t)$, donc $V_s = 220\\angle -90^\\circ$ V car sinus = cosinus décalé de $-90^\\circ$) :
Modélisation d'un transistor bipolaire en régime dynamique
On étudie un amplificateur à transistor bipolaire NPN (BJT) en configuration émetteur commun. Le transistor fonctionne en régime de petits signaux autour d'un point de polarisation donné par $I_{CQ} = 2 \\, \\text{mA}$ et $V_{CEQ} = 6 \\, \\text{V}$. Les paramètres du modèle hybride-$\\pi$ sont : $\\beta = 150$, $V_T = 26 \\, \\text{mV}$ (tension thermique à température ambiante), $r_o = 50 \\, \\text{k}\\Omega$ (résistance de sortie Early). La charge de l'amplificateur est $R_C = 2.2 \\, \\text{k}\\Omega$.
Question 1 : Paramètres du modèle petit signal
Calculez la transconductance $g_m$, la résistance d'entrée $r_{\\pi}$ et la résistance dynamique d'émetteur $r_e$ du transistor au point de polarisation donné.
Question 2 : Gain en tension à vide
Déterminez le gain en tension à vide $A_v = \\frac{v_o}{v_i}$ de l'amplificateur en négligeant d'abord $r_o$, puis en le prenant en compte. Comparez les deux résultats.
Question 3 : Impédance de sortie
Calculez l'impédance de sortie $Z_o$ de l'amplificateur vue du collecteur en tenant compte de $r_o$ et $R_C$ en parallèle.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Modélisation d'un transformateur réel en régime permanent
Un transformateur monophasé de puissance nominale $S_n = 5 \\, \\text{kVA}$ présente les caractéristiques suivantes : rapport de transformation à vide $m = \\frac{N_2}{N_1} = 0.4$, résistance primaire $R_1 = 0.8 \\, \\Omega$, résistance secondaire $R_2 = 0.15 \\, \\Omega$, réactance de fuite primaire $X_1 = 1.2 \\, \\Omega$, réactance de fuite secondaire $X_2 = 0.2 \\, \\Omega$. La tension primaire nominale est $V_1 = 230 \\, \\text{V}$. Le transformateur alimente une charge résistive $R_{\\text{charge}} = 4 \\, \\Omega$ connectée au secondaire.
Question 1 : Impédances ramenées au primaire
Calculez l'impédance de la charge $Z_{\\text{charge}}$ ramenée au primaire, puis déterminez l'impédance équivalente totale $Z_{\\text{eq}}$ du transformateur vue du primaire (incluant $R_1$, $X_1$, et les éléments du secondaire ramenés au primaire).
Question 2 : Courant primaire et secondaire
Calculez le courant primaire $I_1$ lorsque le transformateur fonctionne sous tension nominale $V_1 = 230 \\, \\text{V}$. Déduisez-en le courant secondaire $I_2$ circulant dans la charge.
Question 3 : Chute de tension et rendement
Calculez la tension secondaire réelle $V_2$ aux bornes de la charge, puis déterminez le rendement $\\eta$ du transformateur défini par :
Le rendement de $93.5\\%$ indique que $6.5\\%$ de la puissance est dissipée dans les résistances internes du transformateur.
",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace $V_s = 220\\text{ V}$ et de fréquence $f = 50\\text{ Hz}$. Les composants du circuit sont : une résistance $R = 10\\text{ }\\Omega$, une inductance $L = 50\\text{ mH}$, et une capacité $C = 100\\text{ }\\mu\\text{F}$.
1. Calculez l'impédance complexe totale du circuit et déterminez son module et son argument. 2. Calculez le courant efficace circulant dans le circuit ainsi que le déphasage entre tension et courant. 3. Déterminez la puissance active, réactive et apparente consommées par le circuit.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Impédance complexe totale 1. Formule générale : L'impédance complexe d'un circuit RLC série est donnée par : $Z = R + j\\omega L + \\frac{1}{j\\omega C} = R + j\\left(\\omega L - \\frac{1}{\\omega C}\\right)$ où $\\omega = 2\\pi f$ est la pulsation angulaire.
Question 2 : Courant efficace et déphasage 1. Formule générale : Le courant efficace dans un circuit série est : $I = \\frac{V_s}{|Z|}$ Le déphasage entre tension et courant correspond à l'argument de l'impédance.
2. Remplacement des données : $I = \\frac{220}{18,97} = 11,60\\text{ A}$ Le déphasage est $\\varphi = -58,16^\\circ$
3. Interprétation : Le signe négatif indique que le courant est en avance sur la tension, ce qui est caractéristique d'un circuit à dominante capacitive (car $X_C > X_L$).
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Un transistor bipolaire NPN fonctionne en régime dynamique petit signal autour d'un point de repos. Les paramètres du point de polarisation sont : $I_C = 2\\text{ mA}$, $V_{CE} = 5\\text{ V}$. La température est $T = 300\\text{ K}$. On utilise le modèle hybride-$\\pi$ avec $\\beta = 100$ et $V_A = 100\\text{ V}$ (tension d'Early).
1. Calculez les paramètres du modèle petit signal : la transconductance $g_m$, la résistance d'entrée $r_{\\pi}$, et la résistance de sortie $r_o$. 2. Le transistor est monté en émetteur commun avec une résistance de charge $R_L = 2\\text{ k}\\Omega$. Calculez le gain en tension à vide et en charge. 3. Déterminez l'impédance d'entrée du montage si une résistance de base $R_B = 10\\text{ k}\\Omega$ est connectée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Paramètres du modèle petit signal 1. Formules générales : La transconductance : $g_m = \\frac{I_C}{V_T}$ où $V_T = \\frac{kT}{q}$ est la tension thermique. La résistance d'entrée : $r_{\\pi} = \\frac{\\beta}{g_m}$ La résistance de sortie : $r_o = \\frac{V_A}{I_C}$
Question 2 : Gain en tension 1. Formules générales : Le gain en tension à vide (sans charge) : $A_{v0} = -g_m \\times r_o$ Le gain en tension en charge : $A_v = -g_m \\times (r_o \\parallel R_L)$ où $r_o \\parallel R_L = \\frac{r_o \\times R_L}{r_o + R_L}$
3. Interprétation : Le gain à vide est très élevé en raison de la résistance de sortie importante. En charge, le gain diminue significativement.
4. Résultat final : $A_{v0} = -3846$, $A_v = -147,9$
\n\n
Question 3 : Impédance d'entrée du montage 1. Formule générale : L'impédance d'entrée du montage émetteur commun avec résistance de base est : $Z_{in} = R_B \\parallel r_{\\pi} = \\frac{R_B \\times r_{\\pi}}{R_B + r_{\\pi}}$
3. Interprétation : L'impédance d'entrée est dominée par $r_{\\pi}$ car $R_B$ est beaucoup plus grande. Cela permet un bon transfert de signal depuis la source.
4. Résultat final : $Z_{in} = 1,15\\text{ k}\\Omega$
",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Un filtre passe-bas passif du premier ordre est constitué d'une résistance $R = 1\\text{ k}\\Omega$ et d'une capacité $C = 159\\text{ nF}$. On applique à l'entrée un signal carré de fréquence $f_{in} = 500\\text{ Hz}$ et d'amplitude crête-à-crête $V_{pp} = 10\\text{ V}$.
1. Calculez la fréquence de coupure du filtre et déterminez son comportement à la fréquence d'entrée. 2. Déterminez le gain en décibels et le déphasage à la fréquence $f_{in}$. 3. Calculez l'amplitude du fondamental en sortie sachant que le signal carré peut être décomposé en série de Fourier avec un fondamental d'amplitude $\\frac{4V_{pp}}{2\\pi}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Fréquence de coupure et comportement 1. Formule générale : La fréquence de coupure d'un filtre RC passe-bas est donnée par : $f_c = \\frac{1}{2\\pi RC}$
3. Comportement à $f_{in} = 500\\text{ Hz}$ : Puisque $f_{in} < f_c$, le signal se trouve dans la bande passante du filtre. Le filtre atténue modérément le signal.
4. Résultat final : $f_c = 1\\text{ kHz}$, le signal est dans la zone de transition.
\n\n
Question 2 : Gain en dB et déphasage 1. Formules générales : La fonction de transfert d'un filtre RC passe-bas : $H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j\\omega RC}$ Le module : $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\omega RC)^2}}$ Le gain en dB : $G_{dB} = 20\\log_{10}(|H|)$ Le déphasage : $\\phi = -\\arctan(\\omega RC)$
Question 3 : Amplitude du fondamental en sortie 1. Formule générale : L'amplitude du fondamental à l'entrée est : $V_{1,in} = \\frac{4V_{pp}}{2\\pi}$ L'amplitude en sortie : $V_{1,out} = V_{1,in} \\times |H(j\\omega)|$
3. Interprétation : Le filtre atténue légèrement le fondamental du signal carré. Les harmoniques de fréquences plus élevées seront davantage atténuées, conduisant à une forme d'onde plus sinusoïdale en sortie.
4. Résultat final : $V_{1,out} = 5,69\\text{ V}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Un condensateur électrolytique est utilisé dans un circuit de filtrage. On souhaite modéliser ce composant passif en tenant compte de ses imperfections.\n\nLe condensateur a une capacité nominale $C = 470 \\mu F$ et présente une résistance série équivalente (ESR) $R_{ESR} = 0,12 \\Omega$. Le circuit est alimenté par une source de tension sinusoïdale $v(t) = 24\\sin(2\\pi f t)$ avec $f = 100 Hz$.\n\nQuestions :\n1. Calculez l'impédance complexe totale $Z_C$ du condensateur réel (incluant l'ESR) à la fréquence $f = 100 Hz$.\n2. Déterminez le courant complexe $\\underline{I}$ circulant dans le condensateur lorsqu'il est soumis à la tension $v(t)$.\n3. Calculez la puissance dissipée $P_{ESR}$ dans la résistance série équivalente.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 Le condensateur réel est modélisé par une résistance série $R_{ESR}$ en série avec une capacité idéale $C$. 1. Formule générale de l'impédance complexe : $Z_C = R_{ESR} + \\frac{1}{j\\omega C}$ où $\\omega = 2\\pi f$ 2. Remplacement des données : $\\omega = 2\\pi \\times 100 = 628,32 rad/s$ $C = 470 \\times 10^{-6} F$ $R_{ESR} = 0,12 \\Omega$ $Z_C = 0,12 + \\frac{1}{j \\times 628,32 \\times 470 \\times 10^{-6}}$ 3. Calcul de la réactance capacitive : $X_C = \\frac{1}{\\omega C} = \\frac{1}{628,32 \\times 470 \\times 10^{-6}} = \\frac{1}{0,2953} = 3,386 \\Omega$ $Z_C = 0,12 - j3,386 \\Omega$ Module : $|Z_C| = \\sqrt{0,12^2 + 3,386^2} = \\sqrt{0,0144 + 11,465} = \\sqrt{11,479} = 3,388 \\Omega$ 4. Résultat final : $Z_C = 0,12 - j3,386 \\Omega$ et $|Z_C| = 3,388 \\Omega$
Question 2 Le courant complexe est donné par la loi d'Ohm généralisée. 1. Formule générale : $\\underline{I} = \\frac{\\underline{V}}{Z_C}$ 2. Remplacement des données : La tension $v(t) = 24\\sin(2\\pi f t)$ a une amplitude de $V_m = 24 V$ En notation complexe (convention sinus) : $\\underline{V} = -j24 V$ ou en valeur efficace $V_{eff} = \\frac{24}{\\sqrt{2}} = 16,97 V$ Utilisons l'amplitude : $\\underline{V} = -j24 V$ $\\underline{I} = \\frac{-j24}{0,12 - j3,386}$ 3. Calcul en multipliant par le conjugué : $\\underline{I} = \\frac{-j24(0,12 + j3,386)}{(0,12 - j3,386)(0,12 + j3,386)} = \\frac{-j24(0,12 + j3,386)}{0,0144 + 11,465}$ $\\underline{I} = \\frac{-j24(0,12 + j3,386)}{11,479} = \\frac{-j2,88 - j^2 81,264}{11,479} = \\frac{81,264 - j2,88}{11,479}$ $\\underline{I} = 7,08 - j0,251 A$ 4. Résultat final : $\\underline{I} = 7,08 - j0,251 A$ avec $|I| = 7,084 A$
Question 3 La puissance dissipée dans l'ESR est donnée par l'effet Joule. 1. Formule générale : $P_{ESR} = R_{ESR} \\times I_{eff}^2$ 2. Remplacement des données : Courant efficace : $I_{eff} = \\frac{|I|}{\\sqrt{2}} = \\frac{7,084}{\\sqrt{2}} = 5,01 A$ $P_{ESR} = 0,12 \\times (5,01)^2$ 3. Calcul : $P_{ESR} = 0,12 \\times 25,1 = 3,012 W$ 4. Résultat final : $P_{ESR} = 3,01 W$ Cette puissance représente les pertes thermiques dans le condensateur réel.
",
"id_category": "2",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Un transistor bipolaire NPN (composant actif) fonctionne en régime de petits signaux dans un amplificateur. Le point de repos est caractérisé par un courant de collecteur $I_{C0} = 2 mA$ et une tension collecteur-émetteur $V_{CE0} = 6 V$.\n\nLes paramètres du modèle hybride-$\\pi$ sont : gain en courant $\\beta = 150$, tension thermique $V_T = 26 mV$, résistance de sortie $r_o = 50 k\\Omega$, et résistance de base $r_{bb'} = 100 \\Omega$.\n\nQuestions :\n1. Calculez la transconductance $g_m$ du transistor au point de repos.\n2. Déterminez la résistance d'entrée dynamique $r_{\\pi}$ (résistance base-émetteur en petits signaux).\n3. Calculez le gain en tension $A_v = \\frac{v_{ce}}{v_{be}}$ si le transistor est chargé par une résistance $R_C = 2,2 k\\Omega$ (en négligeant $r_{bb'}$ pour ce calcul).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 La transconductance représente la sensibilité du courant de collecteur aux variations de tension base-émetteur. 1. Formule générale : $g_m = \\frac{I_{C0}}{V_T}$ où $V_T$ est la tension thermique ($V_T = \\frac{kT}{q} \\approx 26 mV$ à température ambiante). 2. Remplacement des données : $I_{C0} = 2 mA = 2 \\times 10^{-3} A$ $V_T = 26 mV = 26 \\times 10^{-3} V$ $g_m = \\frac{2 \\times 10^{-3}}{26 \\times 10^{-3}}$ 3. Calcul : $g_m = \\frac{2}{26} = 0,0769 S = 76,9 mS$ 4. Résultat final : $g_m = 76,9 mS$
Question 2 La résistance d'entrée dynamique relie les variations de courant et tension de base. 1. Formule générale : $r_{\\pi} = \\frac{\\beta}{g_m}$ Cette relation découle de $i_b = \\frac{i_c}{\\beta}$ et $v_{be} = \\frac{i_c}{g_m}$ 2. Remplacement des données : $\\beta = 150$ $g_m = 76,9 \\times 10^{-3} S$ $r_{\\pi} = \\frac{150}{76,9 \\times 10^{-3}}$ 3. Calcul : $r_{\\pi} = \\frac{150}{0,0769} = 1950,6 \\Omega$ 4. Résultat final : $r_{\\pi} = 1,95 k\\Omega$
Question 3 Le gain en tension en petits signaux est calculé à partir du modèle équivalent. 1. Formule générale : $A_v = \\frac{v_{ce}}{v_{be}} = -g_m(R_C \\parallel r_o)$ Le signe négatif indique un déphasage de $180^\\circ$ 2. Remplacement des données : $R_C = 2,2 k\\Omega = 2200 \\Omega$ $r_o = 50 k\\Omega = 50000 \\Omega$ $g_m = 76,9 \\times 10^{-3} S$ Calcul de la résistance équivalente : $R_C \\parallel r_o = \\frac{R_C \\times r_o}{R_C + r_o} = \\frac{2200 \\times 50000}{2200 + 50000}$ 3. Calcul : $R_C \\parallel r_o = \\frac{110000000}{52200} = 2107,3 \\Omega$ $A_v = -76,9 \\times 10^{-3} \\times 2107,3 = -162,1$ 4. Résultat final : $A_v = -162,1$ Le gain en tension est de $162,1$ avec inversion de phase.
",
"id_category": "2",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative. Ce circuit de base est caractérisé par une résistance $R = 15 \\Omega$, une inductance $L = 50 mH$, et une capacité $C = 100 \\mu F$.\n\nLa source de tension appliquée est $v(t) = 50\\cos(\\omega t)$ avec une pulsation $\\omega = 500 rad/s$.\n\nQuestions :\n1. Calculez l'impédance complexe totale $Z_{tot}$ du circuit RLC série à la pulsation $\\omega = 500 rad/s$.\n2. Déterminez le courant complexe $\\underline{I}$ circulant dans le circuit et son déphasage $\\phi$ par rapport à la tension d'alimentation.\n3. Calculez la puissance active $P$, la puissance réactive $Q$, et le facteur de puissance $\\cos(\\phi)$ du circuit.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
On considère un circuit RC série soumis à une tension d'entrée $u_e(t)=10 \\, \\text{V}$. Le condensateur initial est déchargé. Les paramètres du circuit sont : résistance $R=1000 \\, \\Omega$, capacité $C=100 \\, \\mu F$. 1. Établissez l'équation différentielle gouvernant le circuit RC et déterminez la constante de temps $\\tau$. 2. Calculez la tension aux bornes du condensateur $u_c(t)$ pour $t=0.2 \\, \\text{s}$. 3. Déduisez le courant traversant le circuit à cet instant $t=0.2 \\, \\text{s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: 1. Formule générale dans $...$ Pour un circuit RC série, la loi de Kirchhoff donne : $u_e(t)=u_R(t)+u_c(t)=R i(t)+u_c(t)$. Avec $i(t)=C \\frac{du_c}{dt}$, on obtient : $u_e(t)=RC \\frac{du_c}{dt}+u_c(t)$. 2. Remplacement des données dans $...$ $R=1000 \\, \\Omega$, $C=100 \\times 10^{-6} \\, \\text{F}$. La constante de temps est : $\\tau=RC=1000 \\times 100 \\times 10^{-6}=0.1 \\, \\text{s}$. 3. Calcul dans $...$ L'équation différentielle devient : $\\frac{du_c}{dt}+\\frac{u_c}{\\tau}=\\frac{u_e}{\\tau}$. Avec $u_e=10 \\, \\text{V}$ et $\\tau=0.1 \\, \\text{s}$ : $\\frac{du_c}{dt}+10 u_c=100$.$...$ L'équation différentielle est $\\frac{du_c}{dt}+10 u_c=100$ et la constante de temps est $\\tau=0.1 \\, \\text{s}$.
Question 2: 1. Formule générale dans $...$ La solution de l'équation différentielle RC avec condition initiale $u_c(0)=0$ est : $u_c(t)=u_e(1-e^{-t/\\tau})$. 2. Remplacement des données dans $...$ $u_e=10 \\, \\text{V}$, $\\tau=0.1 \\, \\text{s}$, $t=0.2 \\, \\text{s}$. 3. Calcul dans $...$ $u_c(0.2)=10(1-e^{-0.2/0.1})=10(1-e^{-2})$. Avec $e^{-2} \\approx 0.1353$ : $u_c(0.2)=10(1-0.1353)=10 \\times 0.8647=8.647 \\, \\text{V}$.$...$ La tension aux bornes du condensateur à $t=0.2 \\, \\text{s}$ est $u_c(0.2) \\approx 8.65 \\, \\text{V}$.
Question 3: 1. Formule générale dans $...$ Le courant dans le circuit RC est donné par : $i(t)=C \\frac{du_c}{dt}$. 2. Remplacement des données dans $...$ De $u_c(t)=u_e(1-e^{-t/\\tau})$, on déduit : $\\frac{du_c}{dt}=\\frac{u_e}{\\tau} e^{-t/\\tau}$. Donc : $i(t)=C \\frac{u_e}{\\tau} e^{-t/\\tau}=\\frac{u_e}{R} e^{-t/\\tau}$. 3. Calcul dans $...$ À $t=0.2 \\, \\text{s}$ : $i(0.2)=\\frac{10}{1000} e^{-0.2/0.1}=0.01 \\times e^{-2}=0.01 \\times 0.1353=0.001353 \\, \\text{A}$.$...$ Le courant traversant le circuit à $t=0.2 \\, \\text{s}$ est $i(0.2) \\approx 1.35 \\, \\text{mA}$.
Un circuit RL série est alimenté par une tension d'entrée $u_e(t)=24 \\, \\text{V}$ appliquée à $t=0$. Les composants sont : inductance $L=2 \\, \\text{H}$, résistance $R=8 \\, \\Omega$. Le courant initial est nul : $i(0)=0$. 1. Établissez l'équation différentielle du circuit RL et calculez la constante de temps $\\tau$ ainsi que le courant en régime permanent $i_{\\infty}$. 2. Déterminez l'expression du courant $i(t)$ en fonction du temps. 3. Calculez la tension aux bornes de l'inductance $u_L(t)$ à l'instant $t=0.5 \\, \\text{s}$.
",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: 1. Formule générale dans $...$ Pour un circuit RL série, la loi de Kirchhoff donne : $u_e(t)=u_R(t)+u_L(t)=R i(t)+L \\frac{di}{dt}$. 2. Remplacement des données dans $...$ $L=2 \\, \\text{H}$, $R=8 \\, \\Omega$, $u_e=24 \\, \\text{V}$. 3. Calcul dans $...$ La constante de temps est : $\\tau=\\frac{L}{R}=\\frac{2}{8}=0.25 \\, \\text{s}$. Le courant en régime permanent (à $t \\to \\infty$) : $i_{\\infty}=\\frac{u_e}{R}=\\frac{24}{8}=3 \\, \\text{A}$. L'équation différentielle est : $L \\frac{di}{dt}+R i=u_e$, soit $\\frac{di}{dt}+\\frac{R}{L} i=\\frac{u_e}{L}$.$...$ $\\tau=0.25 \\, \\text{s}$, $i_{\\infty}=3 \\, \\text{A}$.
Question 2: 1. Formule générale dans $...$ La solution générale de l'équation $\\frac{di}{dt}+\\frac{R}{L} i=\\frac{u_e}{L}$ est : $i(t)=i_{\\infty}+A e^{-t/\\tau}$. 2. Remplacement des données dans $...$ Avec condition initiale $i(0)=0$ : $0=i_{\\infty}+A \\Rightarrow A=-i_{\\infty}$. 3. Calcul dans $...$ $i(t)=i_{\\infty}(1-e^{-t/\\tau})=3(1-e^{-t/0.25})=3(1-e^{-4t})$.$...$ Le courant est donné par : $i(t)=3(1-e^{-4t}) \\, \\text{A}$.
Question 3: 1. Formule générale dans $...$ La tension aux bornes de l'inductance : $u_L(t)=L \\frac{di}{dt}$. 2. Remplacement des données dans $...$ De $i(t)=3(1-e^{-4t})$, on déduit : $\\frac{di}{dt}=3 \\times 4 e^{-4t}=12 e^{-4t}$. Donc : $u_L(t)=L \\frac{di}{dt}=2 \\times 12 e^{-4t}=24 e^{-4t} \\, \\text{V}$. 3. Calcul dans $...$ À $t=0.5 \\, \\text{s}$ : $u_L(0.5)=24 e^{-4 \\times 0.5}=24 e^{-2}=24 \\times 0.1353=3.247 \\, \\text{V}$.$...$ La tension aux bornes de l'inductance à $t=0.5 \\, \\text{s}$ est $u_L(0.5) \\approx 3.25 \\, \\text{V}$.
On considère un circuit RLC série soumis à une tension d'entrée échelon $u_e(t)=50 \\, \\text{V}$ pour $t \\geq 0$. Le circuit ne contient initialement aucune charge. Les paramètres sont : résistance $R=10 \\, \\Omega$, inductance $L=1 \\, \\text{H}$, capacité $C=100 \\, \\mu F$. 1. Établissez l'équation différentielle du circuit RLC et calculez la pulsation naturelle $\\omega_0$, le facteur d'amortissement $\\zeta$, et précisez le régime de réponse. 2. Déterminez l'expression de la tension aux bornes du condensateur $u_c(t)$. 3. Calculez la valeur de $u_c(t)$ au temps $t=0.5 \\, \\text{s}$.
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: 1. Formule générale dans $...$ Pour le circuit RLC série : $u_e(t)=R i(t)+L \\frac{di}{dt}+u_c(t)$ avec $i(t)=C \\frac{du_c}{dt}$. Cela donne l'équation différentielle : $L C \\frac{d^2 u_c}{dt^2}+R C \\frac{du_c}{dt}+u_c=u_e$. 2. Remplacement des données dans $...$ $L=1 \\, \\text{H}$, $C=100 \\times 10^{-6} \\, \\text{F}$, $R=10 \\, \\Omega$, $u_e=50 \\, \\text{V}$. 3. Calcul dans $...$ Pulsation naturelle : $\\omega_0=\\frac{1}{\\sqrt{LC}}=\\frac{1}{\\sqrt{1 \\times 100 \\times 10^{-6}}}=\\frac{1}{0.01}=100 \\, \\text{rad/s}$. Facteur d'amortissement : $\\zeta=\\frac{R}{2} \\sqrt{\\frac{C}{L}}=\\frac{10}{2} \\sqrt{\\frac{100 \\times 10^{-6}}{1}}=5 \\times 0.01=0.05$. Comme $\\zeta < 1$, le régime est sous-amorti (oscillatoire).$...$ $\\omega_0=100 \\, \\text{rad/s}$, $\\zeta=0.05$, régime sous-amorti.
Question 2: 1. Formule générale dans $...$ Pour un régime sous-amorti, la solution est : $u_c(t)=u_e \\left(1-e^{-\\zeta \\omega_0 t} \\left(\\cos(\\omega_d t)+\\frac{\\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}} \\sin(\\omega_d t)\\right)\\right)$ où $\\omega_d=\\omega_0 \\sqrt{1-\\zeta^2}$. 2. Remplacement des données dans $...$ $\\omega_d=100 \\sqrt{1-0.05^2}=100 \\sqrt{0.9975} \\approx 99.875 \\, \\text{rad/s}$. $\\zeta \\omega_0=0.05 \\times 100=5 \\, \\text{s}^{-1}$. $\\frac{\\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}=\\frac{0.05}{0.99875} \\approx 0.05$. 3. Calcul dans $...$ $u_c(t)=50 \\left(1-e^{-5t}(\\cos(99.875 t)+0.05 \\sin(99.875 t))\\right) \\, \\text{V}$.$...$ $u_c(t)=50 \\left(1-e^{-5t}(\\cos(99.875 t)+0.05 \\sin(99.875 t))\\right) \\, \\text{V}$.
Question 3: 1. Formule générale dans $...$ Substituer $t=0.5 \\, \\text{s}$ dans l'expression de $u_c(t)$. 2. Remplacement des données dans $...$ $e^{-5 \\times 0.5}=e^{-2.5} \\approx 0.0821$. $\\omega_d t=99.875 \\times 0.5=49.9375 \\, \\text{rad}$. $\\cos(49.9375) \\approx -0.258$, $\\sin(49.9375) \\approx 0.966$. 3. Calcul dans $...$ $u_c(0.5)=50 \\left(1-0.0821(-0.258+0.05 \\times 0.966)\\right)$ $=50(1-0.0821(-0.258+0.0483))$ $=50(1-0.0821 \\times (-0.2097))$ $=50(1+0.0172)=50 \\times 1.0172=50.86 \\, \\text{V}$.$...$ La tension aux bornes du condensateur à $t=0.5 \\, \\text{s}$ est $u_c(0.5) \\approx 50.86 \\, \\text{V}$.
Exercice 1 : Modélisation d'un circuit RC passif et identification de ses paramètres
On considère un circuit électrique composé d'une résistance $R = 2.2 \\text{ k}\\Omega$ en série avec un condensateur $C = 100 \\text{ nF}$. Ce circuit est soumis à une tension d'entrée échelon $u_e(t) = 5 \\text{ V}$ appliquée à $t = 0$.
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert du circuit RC du premier ordre $H(p) = \\frac{U_s(p)}{U_e(p)}$ où $U_s(p)$ est la tension de sortie mesurée aux bornes du condensateur. Calculer la pulsation naturelle $\\omega_0$ et la constante de temps $\\tau$.
Question 2 : Calculer la réponse temporelle $u_s(t)$ du circuit à l'échelon de tension. Déterminer le temps d'établissement à 5% (temps pour atteindre 95% de la valeur finale).
Question 3 : En pratique, on mesure la tension de sortie $u_s(t)$ via un oscilloscope numérique avec une fréquence d'échantillonnage $f_e = 10 \\text{ kHz}$. Calculer les valeurs discrètes de la sortie aux instants $t = 0, \\tau, 2\\tau, 3\\tau$ et vérifier la cohérence avec la théorie continue.
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"A Corrige Type"
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"A"
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Solution Exercice 1
Question 1 : Fonction de transfert et paramètres du circuit
1. Formule générale pour un circuit RC passif (tension mesurée aux bornes du condensateur) :
Exercice 2 : Modélisation d'un circuit RL actif avec source de tension contrôlée
On considère un circuit électrique comprenant une résistance $R = 10 \\text{ } \\Omega$, une inductance $L = 50 \\text{ } mH$, et une source de tension contrôlée en courant (convertisseur à transistor). Le circuit est excité par une tension d'entrée échelon $u_e(t) = 12 \\text{ } V$ appliquée pour $t \\geq 0$.
Question 1 : Établir la fonction de transfert du circuit RL $H(p) = \\frac{I(p)}{U_e(p)}$ où $I(p)$ est le courant dans la bobine. Déterminer la constante de temps $\\tau$, la pulsation naturelle $\\omega_0$ et le coefficient d'amortissement. Classifier le système.
Question 2 : Calculer la réponse transitoire du courant $i(t)$ pour une tension d'entrée échelon. Déterminer le courant en régime permanent et le temps d'établissement à 5%.
Question 3 : On effectue une identification paramétrique du système en mesurant le courant à différents instants. Calculer les valeurs du courant discrétisé aux temps $t = 0, \\frac{\\tau}{2}, \\tau, 2\\tau$ pour une fréquence d'échantillonnage $f_e = 1 \\text{ } kHz$, puis établir la différence entre les valeurs discrètes et les valeurs théoriques continues.
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"A Corrige Type"
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"A"
],
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Solution Exercice 2
Question 1 : Fonction de transfert et paramètres du circuit RL
1. Formule générale pour un circuit RL (loi de Kirchhoff) :
Exercice 1 : Modélisation et identification des paramètres d'une bobine réelle
Une bobine réelle, constituée d'un enroulement cuivre sur un noyau ferromagnétique, est soumise à une tension sinusoïdale $v(t) = 230\\sqrt{2}\\sin(2\\pi f t)$ avec $f = 50~\\textrm{Hz}$. La mesure du courant en régime établi donne $i(t) = 15\\sqrt{2}\\sin(2\\pi f t - \\varphi)$ où $\\varphi = 60^\\circ$. La résistance DCR (résistance en courant continu) mesurée à l'ohmmètre est $R_{DC} = 8~\\Omega$. On constate que le courant efficace maximal admissible est $I_{\\max} = 20~\\textrm{A}$.
Question 1 : À partir des mesures de tension et courant efficaces, calculer l'impédance complexe $Z$ de la bobine et en déduire l'inductance $L$ équivalente de l'enroulement.
Question 2 : En considérant que la bobine présente des pertes ferriques modélisables par une résistance $R_f$ en parallèle avec l'inductance idéale, déterminer les paramètres $R_f$ et $L$ du modèle équivalent série-parallèle. Justifier le choix du modèle.
Question 3 : Calculer la puissance réactive $Q$, la puissance active $P$ et le facteur de qualité $Q_f$ de la bobine. En déduire si la bobine peut fonctionner à courant nominal $I_{\\max}$ sans dépassement de la température limite estimée à $\\Delta T_{max} = 80~\\textrm{K}$ (résistivité thermique estimée $R_{th} = 0{,}5~\\textrm{K/W}$).
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"A Corrige Type"
],
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"A"
],
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Solution de l'exercice 1
Question 1 : Impédance complexe et inductance
Étape 1 : Formule générale
Pour une charge alimentée en tension sinusoïdale, l'impédance complexe est :
Le modèle série-parallèle considère une inductance avec résistance DCR en série, complétée par une résistance parallèle modélisant les pertes ferriques :
Étape 2 : Calcul de la résistance série équivalente
En régime DCR, la résistance mesurée à l'ohmmètre est $R_{DC} = 8~\\Omega$, mais cette valeur diffère de celle calculée (7,67 Ω) à cause des pertes ferriques. On ajuste le modèle en supposant que la résistance observée est la combinaison des deux.
Pour simplifier, on considère que $R_{DC, mesuré} = 8~\\Omega$ représente la résistance cuivre réelle.
Étape 3 : Identification de R_f
La résistance équivalente en charge est :
$R_{eq} = Z\\cos(\\varphi) = 7{,}67~\\Omega$
Ceci représente la résistance apparente du circuit série-parallèle. La relation est :
Justification : Le modèle série-parallèle permet de distinguer les pertes cuivre (résistance série) des pertes ferriques (résistance parallèle), ce qui est essentiel pour une identification précise.
$\\boxed{\\Delta T = 1600~\\textrm{K} > \\Delta T_{max} = 80~\\textrm{K}}$
Conclusion : La bobine ne peut PAS fonctionner à courant nominal sans risque de surchauffe. Un système de refroidissement ou une limitation du courant est nécessaire.
Exercice 3 : Modélisation d'un circuit RL-RC couplé et analyse transitoire
Un circuit électrique comprend deux branches en parallèle : une branche RL avec inductance $L_1 = 50~\\textrm{mH}$ et résistance $R_1 = 100~\\Omega$, et une branche RC avec résistance $R_2 = 200~\\Omega$ et condensateur $C = 10~\\mu\\textrm{F}$. Le circuit est alimenté par une source de tension continue $V_0 = 24~\\textrm{V}$. Initialement, l'inductance est sans courant et le condensateur est déchargé.
Question 1 : Déterminer l'impédance équivalente complexe du circuit en régime alternatif sinusoïdal $v(t) = 24\\sqrt{2}\\sin(\\omega t)$ pour trois fréquences : $f_1 = 0~\\textrm{Hz}$ (régime continu), $f_2 = 100~\\textrm{Hz}$ et $f_3 = 10~\\textrm{kHz}$. Calculer l'impédance totale et le déphasage pour chaque fréquence.
Question 2 : Pour le régime continu ($f = 0$), calculer les courants dans chaque branche et la puissance consommée totale. Vérifier que la bobine se comporte comme un court-circuit et le condensateur comme un circuit ouvert.
Question 3 : En appliquant une tension échelon $v(t) = 24~\\textrm{V}~(t \\geq 0)$, établir les équations différentielles pour chaque branche et calculer les expressions du courant transitoire $i_1(t)$ dans la branche RL et $i_2(t)$ dans la branche RC. Déterminer les constantes de temps et vérifier la continuité des conditions initiales.
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"A Corrige Type"
],
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"A"
],
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Solution de l'exercice 3
Question 1 : Impédance équivalente à trois fréquences
Étape 1 : Formule générale pour circuits parallèles
Pour deux impédances en parallèle :
$Z_{eq} = \\frac{Z_1 \\times Z_2}{Z_1 + Z_2}$
où $Z_1 = R_1 + j\\omega L_1$ (branche RL) et $Z_2 = R_2 + \\frac{1}{j\\omega C}$ (branche RC)
Étape 2 : Cas f₁ = 0 Hz (régime continu)
À $f = 0$, on a $\\omega = 0$ :
$Z_1(f=0) = R_1 = 100~\\Omega$ (l'inductance devient un fil)
Exercice 1 : Identification paramétrique d'un circuit RC série et analyse de sa réponse fréquentielle
On considère un circuit RC série alimenté par une source de tension sinusoïdale. Le circuit est composé d'une résistance inconnue $R$ et d'une capacité $C = 10 \\text{ µF}$. Lors d'une expérience d'identification, on applique une tension d'entrée $v_e(t) = 10\\sin(\\omega t)$ volts à différentes fréquences, et on mesure la tension de sortie aux bornes du condensateur. À la fréquence $f = 50 \\text{ Hz}$, on mesure une amplitude de sortie $v_s = 7.5 \\text{ V}$ avec un déphasage $\\phi = -45°$. Question 1 : À partir de ces mesures expérimentales, déterminer la valeur de la résistance $R$ du circuit en utilisant la relation entre le déphasage, l'impédance totale et les éléments du circuit. Question 2 : Calculer la fonction de transfert complexe $H(j\\omega) = \\frac{V_s(j\\omega)}{V_e(j\\omega)}$ du circuit. Déterminez ensuite le gain en décibels à $f = 50 \\text{ Hz}$ et la fréquence de coupure $f_c$ à $-3 \\text{ dB}$. Question 3 : Pour un signal d'entrée impulsionnel $v_e(t) = \\delta(t)$ (impulsion de Dirac), déterminer la réponse temporelle du circuit $v_s(t)$ et calculer l'énergie dissipée dans la résistance sur l'intervalle $t \\in [0, \\infty)$.
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"A Corrige Type"
],
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"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 1
Question 1 : Détermination de la résistance R
Étape 1 : Formule générale pour le déphasage dans un circuit RC série
Pour un circuit RC série soumis à une tension sinusoïdale, le déphasage entre la tension de sortie (aux bornes du condensateur) et la tension d'entrée est donné par :
Exercice 2 : Modélisation d'un circuit RL-D (inductance, résistance et diode) en régime transitoire
Un circuit inductif comportant une résistance et une diode est alimenté par une tension continue. Le circuit comprend : une source de tension $V_0 = 12 \\text{ V}$, une résistance $R = 4 \\text{ Ω}$, une inductance $L = 50 \\text{ mH}$, et une diode de roue libre idéale en parallèle avec l'inductance. À $t = 0$, on ferme l'interrupteur K pour alimenter le circuit. Question 1 : Déterminer l'équation différentielle régissant le courant $i(t)$ durant la phase de montée (quand la diode est bloquée, $t \\in [0, t_s]$) et calculer le temps $t_s$ auquel le courant atteint sa valeur de régime permanent $I_{ss}$. Question 2 : Pour la phase de décroissance du courant (après l'ouverture de l'interrupteur à $t = t_s$), montrer que la diode se met à conduire et déterminer l'équation du courant $i(t)$ dans cette phase. Calculer le temps caractéristique $\\tau_2$ de cette décroissance. Question 3 : Calculer l'énergie totale dissipée dans la résistance R durant les deux phases (montée et descente) jusqu'à l'extinction complète du courant.
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
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"A"
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"explanation": "
Solution complète de l'exercice 2
Question 1 : Équation différentielle phase montée et temps $t_s$
Étape 1 : Formule générale – Loi de Kirchhoff phase 1
Durant la phase de montée (diode bloquée), le circuit comporte la source $V_0$, la résistance $R$ et l'inductance $L$ en série. Par la loi de Kirchhoff en tension :
$V_0 = Ri(t) + L\\frac{di}{dt}$
Réarrangement :
$L\\frac{di}{dt} + Ri = V_0$
Cette est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
Étape 2 : Solution de l'équation différentielle
Solution générale (homogène + particulière) :
$i(t) = \\frac{V_0}{R} + Ae^{-Rt/L}$
Conditions initiales : à $t = 0$, $i(0) = 0$ (le courant ne peut pas changer instantanément dans une inductance) :
$0 = \\frac{V_0}{R} + A \\quad \\Rightarrow \\quad A = -\\frac{V_0}{R}$
Donc :
$i(t) = \\frac{V_0}{R}(1 - e^{-Rt/L})$
Étape 3 : Remplacement des données et courant régime permanent
Le temps $t_s$ correspond au moment où le courant atteint (théoriquement) sa valeur asymptotique. En pratique, on considère que le régime permanent est atteint après un temps égal à $5\\tau_1$ (à 99,3 % de la valeur finale) :
Temps caractéristique : $\\tau_1 = 12.5 \\text{ ms}$
Question 2 : Phase décroissance et diode conductrice
Étape 1 : Analyse de la phase décroissance – Diode conduit
À $t = t_s$, l'interrupteur K s'ouvre. Le courant, qui était à 3 A, tendrait à continuer par inertie (inductance). La diode en parallèle avec L se met à conduire (inverse-biaisée dans la phase montée, elle devient directe-biaisée). Supposant une diode idéale (tension directe = 0), le circuit se réduit à une boucle fermée L-R via la diode.
Équation de Kirchhoff pour la phase décroissance :
$0 = Ri(t) + L\\frac{di}{dt}$
ou :
$L\\frac{di}{dt} + Ri = 0$
Étape 2 : Solution de l'équation décroissance
Équation homogène :
$\\frac{di}{dt} = -\\frac{R}{L}i$
Solution :
$i(t) = I_0 e^{-Rt/L}$
où $I_0$ est le courant initial au début de la phase décroissance. Comme le courant ne peut pas changer instantanément dans une inductance :
$I_0 = I_{ss} = 3 \\text{ A}$
Donc :
$i_2(t) = 3e^{-Rt/L} = 3e^{-80t'}$
où $t' = t - t_s$ est le temps depuis le début de la phase décroissance (ou l'on redéfinit $t = 0$ au moment de l'ouverture).
Exercice 3 : Modélisation d'un amplificateur opérationnel en régime linéaire – Analyse d'un circuit intégrateur
On considère un amplificateur opérationnel (AOP) idéal alimenté à $\\pm 15 \\text{ V}$, fonctionnant en boucle fermée avec une configuration intégratrice inversée. Le circuit comprend une résistance d'entrée $R_{in} = 10 \\text{ kΩ}$ et une capacité de rétroaction $C_f = 100 \\text{ nF}$. À $t = 0$, le condensateur de rétroaction est déchargé et un signal d'entrée $v_e(t) = 0.5 \\text{ V}$ (échelon constant) est appliqué. Question 1 : Établir l'équation différentielle du circuit et déterminer la fonction de transfert $H(s) = \\frac{V_s(s)}{V_e(s)}$. Calculer la pente de montée de la sortie (slew rate effectif) en V/s et le temps que met la sortie pour atteindre une amplitude de $\\pm 10 \\text{ V}$. Question 2 : Pour un signal d'entrée triangulaire défini par $v_e(t) = 2|t - 1| - 2$ volts entre $t = 0$ et $t = 2$ s (période = 2 s), tracez analytiquement la sortie $v_s(t)$ et calculez les extrema (valeurs maximales et minimales) atteints durant un cycle complet. Expliquez le phénomène de saturation en cas de dépassement. Question 3 : Calculer l'énergie dissipée dans la résistance $R_{in}$ pendant une durée de 1 seconde avec le signal d'entrée de la Question 1, et déterminer la constante de temps théorique $\\tau$ du circuit ainsi que la fréquence de coupure $f_c$ (si on considère une résistance d'entrée et une inductance parasitaire).
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"choices": [
"A Corrige Type"
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"A"
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Solution complète de l'exercice 3
Question 1 : Équation différentielle, fonction de transfert et slew rate
Étape 1 : Formule générale – Loi de Kirchhoff en entrée de l'AOP
Pour un AOP idéal en régime linéaire, les tensions aux entrées sont égales ($V_+ = V_-$). L'entrée positive est au potentiel de masse (GND), donc $V_- = 0$. La loi de Kirchhoff au nœud d'entrée inverseuse donne :
$i_{in} + i_f = 0$
où $i_{in}$ est le courant d'entrée et $i_f$ le courant de rétroaction dans $C_f$.
Une fois saturée à $V_s = 15 \\text{ V}$ (ou -15 V), la sortie de l'AOP ne peut plus changer. Le condensateur de rétroaction se charge à la tension de saturation et se maintient à cette valeur tant que le signal d'entrée reste du même signe.
Pour une sortie régulée : après saturation, $\\frac{dV_s}{dt} = 0$ en théorie, mais en pratique le circuit reste saturé.
Étape 4 : Extrema durant un cycle
Maximum théorique : $V_s^{max} = +15 \\text{ V}$ (saturation positive)
Fréquence de coupure : $f_c \\approx 159.2 \\text{ Hz}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Exercice 1 : Modélisation et analyse d'un circuit RL-RC combiné avec identification des paramètres\n\nOn considère un circuit électrique constitué d'une source de tension continue $E = 12\\ \\text{V}$, d'une résistance $R_1 = 4\\ \\Omega$, d'une inductance $L = 0{,}5\\ \\text{H}$, d'une résistance $R_2 = 6\\ \\Omega$, et d'un condensateur $C = 100\\ \\mu\\text{F}$ disposés en configuration série-parallèle. L'inductance est en série avec $R_1$, cette branche est en parallèle avec la série $R_2$-C. On souhaite modéliser ce circuit et identifier ses constantes de temps.\n\n1. Déterminez l'impédance équivalente $Z_{\\text{eq}}(\\omega)$ du circuit complet en fonction de la pulsation $\\omega$. Calculez sa valeur numérique à la fréquence $f = 50\\ \\text{Hz}$.\n2. Identifiez les deux constantes de temps du système : $\\tau_1$ pour la branche RL et $\\tau_2$ pour la branche RC. Calculez les fréquences de coupure $f_c$ correspondantes.\n3. Calculez le courant total fourni par la source en régime permanent (c'est-à-dire lorsque $\\omega \\to 0$) et le courant maximal en basses fréquences pour $\\omega = 1\\ \\text{rad/s}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Impédance équivalente du circuit
Formule générale : $Z_{\\text{eq}}(\\omega) = \\frac{Z_1(\\omega) \\cdot Z_2(\\omega)}{Z_1(\\omega) + Z_2(\\omega)}$
où $Z_1(\\omega)$ est l'impédance de la branche RL et $Z_2(\\omega)$ est l'impédance de la branche RC.
Branche 1 (R₁ et L en série) : $Z_1(\\omega) = R_1 + j\\omega L = 4 + j\\omega \\cdot 0{,}5$
Branche 2 (R₂ et C en série) : $Z_2(\\omega) = R_2 + \\frac{1}{j\\omega C} = 6 - \\frac{j}{\\omega \\cdot 100 \\times 10^{-6}} = 6 - \\frac{j}{\\omega \\cdot 10^{-4}}$
Remplacement des données à $f = 50\\ \\text{Hz}$, donc $\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\cdot 50 = 314{,}16\\ \\text{rad/s}$ :
",
"id_category": "2",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Modélisation des systèmes électriques",
"question": "Exercice 2 : Identification des paramètres d'un transformateur et modélisation du circuit équivalent\n\nOn considère un transformateur monophasé de puissance nominale $S_n = 5\\ \\text{kVA}$, présenté avec une tension primaire $V_1 = 220\\ \\text{V}$ et une tension secondaire $V_2 = 110\\ \\text{V}$ à vide. Au cours d'un essai en court-circuit au secondaire, on mesure : tension primaire $V_{1cc} = 44\\ \\text{V}$, courant primaire $I_{1cc} = 20\\ \\text{A}$, puissance absorbée $P_{cc} = 600\\ \\text{W}$. Le rapport de transformation nominal est noté $m = V_1 / V_2 = 2$.\n\n1. Calculez le rapport de transformation réel $m_{\\text{réel}}$ et vérifiez sa conformité avec la spécification nominale. Déterminez également les résistances ramenées : $R_1$ (primaire) et $R_{2p}$ (secondaire ramené au primaire).\n2. À partir de l'essai en court-circuit, calculez l'inductance de fuite ramenée au primaire $L_{\\text{fuite}}(\\text{primaire})$. Exprimez cette inductance en termes d'impédance à $f = 50\\ \\text{Hz}$.\n3. Calculez le courant secondaire à la charge nominale $S_n$ en considérant une charge purement résistive. Déduisez-en la chute de tension relative $\\Delta V_r \\%$ au secondaire.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Rapport de transformation et résistances
Formule générale pour le rapport de transformation : $m = \\frac{V_1}{V_2}$
Remplacement des données : $m_{\\text{réel}} = \\frac{220}{110} = 2$
Ce rapport est conforme à la spécification nominale.$ ✓$
Pour les résistances de court-circuit, on utilise la puissance active mesurée : $P_{cc} = I_{1cc}^2 (R_1 + R_{2p})$
où $R_{2p}$ est la résistance ramenée au primaire ($R_{2p} = m^2 R_2$).
En général, pour un transformateur bien équilibré :$R_1 \\approx R_{2p}$ (hypothèse classique de répartition équilibrée). Donc : $R_1 = R_{2p} = \\frac{1{,}5}{2} = 0{,}75\\ \\Omega$
Note : En charge, les réactances jouent aussi un rôle ; pour une charge purement résistive, on néglige ici l'effet de la réactance de fuite (hypothèse simplifiée).
Au secondaire (ramené à vide, avant la charge), la tension nominale est $V_2 = 110\\ \\text{V}$. La chute rapportée au secondaire (en équivalent) : $\\Delta V_{r}\\ \\% = \\frac{\\Delta V_1 / m}{V_2} \\times 100 = \\frac{34{,}10 / 2}{110} \\times 100 \\approx 15{,}5\\ \\%$
Modélisation d'un circuit RC série avec identification paramétrique
On considère un circuit électrique composé d'une résistance $R = 2.2 \\, \\text{k}\\Omega$ en série avec un condensateur $C = 10 \\, \\mu\\text{F}$. Le circuit est alimenté par une source de tension continue de $E = 12 \\, \\text{V}$ à partir du temps $t = 0$. Le condensateur est initialement déchargé.
Question 1 : Écrire l'équation différentielle gouvernant la tension aux bornes du condensateur $u_c(t)$ et déterminer la constante de temps $\\tau$ du circuit. Montrer que cette constante dépend uniquement de $R$ et $C$. Calculer sa valeur numérique en secondes.
Question 2 : En utilisant la solution générale de l'équation différentielle du premier ordre avec les conditions initiales appropriées, déterminer l'expression analytique de la tension $u_c(t)$ aux bornes du condensateur en fonction du temps. Puis calculer les valeurs numériques de $u_c(t)$ pour les instants $t = \\tau$, $t = 2\\tau$ et $t = 5\\tau$.
Question 3 : À partir de la tension du condensateur $u_c(t)$ obtenue à la question 2, déterminer l'expression du courant $i(t)$ traversant le circuit. Calculer numériquement le courant initial $i(0)$, le courant au temps $t = \\tau$, et vérifier la cohérence avec le comportement physique attendu du circuit (courant tendant vers zéro).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Équation différentielle et constante de temps
1. Formule générale dans $...$
On applique la loi de Kirchhoff au circuit RC série :
$E = u_R(t) + u_c(t) = R i(t) + u_c(t)$
Le courant est relié à la tension du condensateur par :
$i(t) = C \\frac{du_c(t)}{dt}$
On substitue cette expression dans la loi de Kirchhoff :
$E = RC \\frac{du_c(t)}{dt} + u_c(t)$
En réarrangeant, l'équation différentielle s'écrit :
Cette valeur coincide avec le résultat obtenu, confirmant la cohérence.
De plus, lorsque $t \\to \\infty$, $i(t) \\to 0$, ce qui est physiquement attendu puisque le condensateur chargé ne laisse plus passer de courant continu.
La décroissance exponentielle du courant (de 5.45 mA à 2.00 mA après une constante de temps) confirme que le circuit se comporte correctement : au départ, le condensateur se charge rapidement (fort courant), puis le courant diminue asymptotiquement vers zéro.
Modélisation d'un circuit RL avec source de tension sinusoïdale
On considère un circuit RL série alimenté par une source de tension sinusoïdale $e(t) = E_m \\sin(\\omega t)$ où $E_m = 100 \\, \\text{V}$ et $\\omega = 2\\pi f$ avec $f = 50 \\, \\text{Hz}$. La bobine a une inductance $L = 0.5 \\, \\text{H}$ et la résistance série est $R = 10 \\, \\Omega$. À $t = 0$, le courant initial est $i(0) = 0$.
Question 1 : Écrire l'équation différentielle du circuit RL série soumis à une tension sinusoïdale. Déterminer l'impédance complexe $\\mathbf{Z}(j\\omega)$ et son module $|Z|$ en fonction de $R$, $L$ et $\\omega$. Calculer numériquement le module de l'impédance ainsi que l'angle de phase $\\phi$ pour la fréquence donnée.
Question 2 : En régime permanent sinusoïdal, écrire l'expression du courant complexe $\\mathbf{I}(j\\omega)$ et en déduire l'expression analytique du courant instantané $i_p(t)$ (réponse permanente). Calculer la valeur efficace du courant et sa phase par rapport à la tension d'entrée.
Question 3 : On ajoute un condensateur de capacité $C = 63.7 \\, \\mu\\text{F}$ en série avec la résistance et l'inductance du circuit précédent, créant ainsi un circuit RLC série. Déterminer la fréquence de résonance $f_0$ et l'impédance totale $Z_{\\text{RLC}}(j\\omega_0)$ à la résonance. Vérifier le caractère résistif du circuit à cette fréquence.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Équation différentielle, impédance complexe et phase
1. Formule générale dans $...$
Pour un circuit RL série alimenté par une source sinusoïdale $e(t) = E_m \\sin(\\omega t)$, la loi de Kirchhoff s'écrit :
$e(t) = u_R(t) + u_L(t) = R i(t) + L \\frac{di(t)}{dt}$
En utilisant la notation complexe, où $\\mathbf{E} = E_m e^{j(\\omega t + \\pi/2)}$ (décalage de phase car $\\sin = \\cos(\\omega t - \\pi/2)$), l'équation devient :
$L \\frac{d\\mathbf{I}}{dt} + R \\mathbf{I} = \\mathbf{E}$
L'impédance complexe est définie par :
$\\mathbf{Z}(j\\omega) = R + j\\omega L$
et son module est :
$|Z(j\\omega)| = \\sqrt{R^2 + (\\omega L)^2}$
L'angle de phase entre le courant et la tension est :
$i_p(t) = 0.636 \\sin(314.16 t - 1.505) \\, \\text{A}$
Le courant est en retard de phase par rapport à la tension d'une quantité égale à $\\phi = 86.35°$. Cela signifie que le courant atteint son maximum environ 86.35° après que la tension atteigne le sien, ce qui est caractéristique d'un circuit inductif.
Vérification du caractère résistif : À la résonance, la réactance inductive $\\omega_0 L$ et la réactance capacitive $1/(\\omega_0 C)$ sont égales en magnitude, de sorte que la partie imaginaire de l'impédance s'annule. Le circuit n'oppose donc que la résistance R à la circulation du courant, ce qui confirme le caractère purement résistif du circuit RLC à sa fréquence de résonance.
Modélisation d'un transistor bipolaire en régime petit signal
On considère un transistor bipolaire à jonction (BJT) de type NPN fonctionnant en régime d'amplification linéaire (classe A). Le transistor présente les paramètres suivants en petit signal : gain en courant $\\beta = 100$, résistance dynamique base-émetteur $r_{be} = 2.5 \\, \\text{k}\\Omega$, résistance de sortie $r_o = 50 \\, \\text{k}\\Omega$. Le circuit de polarisation comprend une résistance de charge $R_c = 2 \\, \\text{k}\\Omega$ connectée au collecteur. Une résistance de source $R_s = 1 \\, \\text{k}\\Omega$ alimente la base du transistor via un signal petit signal $v_{in}(t)$.
Question 1 : En utilisant le modèle en $\\pi$ hybride pour petit signal, établir l'expression de la résistance d'entrée $R_{\\text{in}}$ en fonction de $\\beta$, $r_{be}$ et $R_c$. Calculer numériquement cette résistance.
Question 2 : Écrire l'expression du gain en tension $A_v = \\frac{v_{out}}{v_{in}}$ en fonction de $\\beta$, $R_s$, $R_c$, $r_{be}$ et $r_o$. Calculer numériquement le gain en tension (en V/V et en dB).
Question 3 : Un condensateur de découplage $C_e = 100 \\, \\mu\\text{F}$ est ajouté entre l'émetteur et la masse (court-circuit en alternatif). Déterminer le nouveau gain en tension $A_{v,e}$ avec ce condensateur d'émetteur et comparer-le au gain obtenu à la question 2. Expliquer physiquement pourquoi l'introduction de ce condensateur modifie le gain.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Résistance d'entrée en régime petit signal
1. Formule générale dans $...$
En utilisant le modèle $\\pi$-hybride pour petit signal, la résistance d'entrée vue par la base du transistor (sans charge externe directement liée à la résistance de charge) est :
$R_{\\text{in}} = r_{be} + (\\beta + 1)R_E$
cependant, sans résistance d'émetteur externe (seule la masse en DC est présente), on considère :
où $r_e$ est la résistance dynamique d'émetteur. Dans le cas sans condensateur d'émetteur et sans résistance d'émetteur explicite, on utilise une approximation simple de la résistance d'entrée du transistor seul :
En pratique, une relation couramment employée est :
$R_{\\text{in}} = r_{be} + \\beta \\cdot r_e$
où $r_e = \\frac{V_T}{I_E} \\approx \\frac{25 \\, \\text{mV}}{I_E}$ (résistance thermique d'émetteur). Alternativement, en tenant compte du modèle $\\pi$-hybride hybride simplifié pour petit signal avec feedback :
Question 3 : Impact du condensateur d'émetteur sur le gain
1. Formule générale dans $...$
L'introduction d'un condensateur de découplage $C_e$ entre l'émetteur et la masse court-circuite la résistance d'émetteur en régime petit signal (alternatif), tout en maintenant la polarisation en continu. Cela élimine la dégénérescence d'émetteur.
Sans condensateur d'émetteur (et sans résistance d'émetteur externe dans ce cas), le gain est limité par le effet d'émetteur inhérent au transistor. Avec le condensateur, le gain est maximisé.
Avec l'hypothèse d'un condensateur bien dimensionné (fréquence basse de coupure très inférieure à la fréquence de fonctionnement), l'émetteur est effectivement à masse en petit signal. La dégénérescence d'émetteur est supprimée, d'où :
Remarque physique : En réalité, si une résistance d'émetteur externe $R_E$ était présente (ce qui n'est pas le cas ici), le condensateur $C_e$ la court-circuiterait en petit signal, supprimant la dégénérescence et augmentant considérablement le gain. Puisqu'il n'y a pas de $R_E$ externe dans cet exercice, l'effet du condensateur est minimal en terme de gain global (il affecte surtout l'impédance de sortie et la stabilité). Cependant, le condensateur maintient la polarisation en continu sans affecter le signal alternatif, ce qui est l'avantage principal.
$\\boxed{A_v \\approx A_{v,e} \\quad \\text{(pratiquement identique, car pas de } R_E \\text{ externe)}}$
Interprétation physique : La présence du condensateur d'émetteur $C_e$ court-circuite effectivement la dégénérescence d'émetteur en régime petit signal (AC). Sans résistance d'émetteur explicite dans ce circuit, l'effet est moins apparent que dans les configurations classiques. Néanmoins, le condensateur remplit un rôle crucial :
- En continu (DC), il bloque tout courant, laissant l'émetteur se polariser librement.
- En alternatif (AC), il force l'émetteur à potentiel quasi-constant, éliminant la contreréaction locale qui limiterait le gain.
Cette configuration est typique des étages amplificateurs où l'on souhaite maximiser le gain en éliminant la dégénérescence tout en maintenant une polarisation stable.
Modélisation d'un circuit RC série - Analyse temporelle et fréquentielle
On considère un circuit RC série composé d'une résistance $R = 10 \\, k\\Omega$ et d'un condensateur $C = 100 \\, nF$. Le circuit est alimenté par une tension en échelon $e(t) = E_0 \\cdot u(t)$ avec $E_0 = 12 \\, V$, où $u(t)$ est la fonction échelon unitaire de Heaviside.
Question 1 : Établir l'équation différentielle régissant la tension $v_C(t)$ aux bornes du condensateur, puis déterminer la constante de temps $\\tau$ du circuit. Calculer numériquement la valeur de $\\tau$.
Question 2 : Sachant que le condensateur est initialement déchargé ($v_C(0) = 0$), résoudre l'équation différentielle pour obtenir l'expression analytique de $v_C(t)$. Calculer la valeur de $v_C(t)$ à l'instant $t_1 = 2\\tau$.
Question 3 : Déterminer la fonction de transfert $H(j\\omega)$ du circuit en régime harmonique, où $H(j\\omega) = \\frac{V_C(j\\omega)}{E(j\\omega)}$. Calculer le module $|H(j\\omega)|$ et la phase $\\varphi(\\omega)$ à la fréquence de coupure $\\omega_c = \\frac{1}{\\tau}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
Question 1 : Équation différentielle et constante de temps
En appliquant la loi des mailles au circuit RC série, on obtient :
$e(t) = v_R(t) + v_C(t)$
où $v_R(t) = R \\cdot i(t)$ est la tension aux bornes de la résistance et $i(t) = C \\frac{dv_C(t)}{dt}$ est le courant dans le circuit (relation constitutive du condensateur).
En substituant, on a :
$e(t) = R \\cdot C \\frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t)$
L'équation différentielle du premier ordre régissant $v_C(t)$ s'écrit donc :
$\\boxed{RC \\frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = e(t)}$
La constante de temps du circuit est définie par :
$\\varphi(\\omega_c) = -\\frac{\\pi}{4} \\, rad = -45^\\circ$
Résultat final pour la phase :
$\\boxed{\\varphi(\\omega_c) = -45^\\circ}$
Interprétation : À la fréquence de coupure, le signal de sortie est atténué de $3 \\, dB$ (car $20\\log(0.707) \\approx -3 \\, dB$) et déphasé de $-45^\\circ$ par rapport au signal d'entrée.
Modélisation d'un amplificateur opérationnel en régime linéaire - Configuration inverseur
On étudie un amplificateur opérationnel idéal monté en configuration inverseur. Le circuit est constitué d'une résistance d'entrée $R_1 = 2.2 \\, k\\Omega$ et d'une résistance de contre-réaction $R_2 = 22 \\, k\\Omega$. L'entrée du circuit reçoit un signal sinusoïdal $v_e(t) = V_m \\sin(\\omega t)$ avec $V_m = 500 \\, mV$ et $f = 1 \\, kHz$.
Question 1 : En considérant l'amplificateur opérationnel comme idéal (impédance d'entrée infinie, impédance de sortie nulle, gain différentiel infini), établir l'expression du gain en tension $A_v = \\frac{v_s}{v_e}$ de ce montage inverseur. Calculer numériquement la valeur de $A_v$.
Question 2 : Calculer l'amplitude de la tension de sortie $V_{s,max}$ et déterminer l'expression temporelle complète de $v_s(t)$. Calculer également le déphasage $\\Delta\\phi$ entre la sortie et l'entrée.
Question 3 : Déterminer le courant d'entrée $i_e$ circulant dans la résistance $R_1$ à l'instant $t = 0$ (en supposant $\\omega t = 0$). Calculer ensuite la puissance instantanée $p_e(0)$ fournie par la source à cet instant.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
Question 1 : Gain en tension de l'amplificateur inverseur
Pour un amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire, on applique les règles fondamentales :
Interprétation : Le gain en tension est de $-10$, ce qui signifie que le signal de sortie a une amplitude $10$ fois supérieure à l'entrée, avec une inversion de phase de $180^\\circ$.
Question 2 : Amplitude de sortie et expression temporelle
L'amplitude de la tension de sortie est donnée par :
La puissance instantanée fournie par la source est :
$p_e(t) = v_e(t) \\times i_e(t)$
À $t = 0$ :
$p_e(0) = v_e(0) \\times i_e(0) = 0 \\times 0$
Calcul :
$p_e(0) = 0 \\, W$
Résultat final :
$\\boxed{p_e(0) = 0 \\, W}$
Interprétation : À l'instant $t = 0$, le signal sinusoïdal passe par zéro, donc aucune puissance n'est transférée à cet instant précis. La puissance instantanée varie de manière sinusoïdale au cours du temps, avec une valeur moyenne non nulle.
",
"id_category": "2",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"question": "On considère un système électrique du premier ordre dont on souhaite identifier les paramètres via une méthode des moindres carrés non récursive. Le système est décrit par :\n$y(t) = \\theta_1 u(t) + \\theta_2 \\dot{u}(t)$\nOn dispose de mesures discrètisées à $T_e = 0{,}01$ s sur 5 instants. Les données suivantes ont été enregistrées :\n- $u[0] = 1{,}0$, $u[1] = 1{,}5$, $u[2] = 2{,}0$, $u[3] = 2{,}5$, $u[4] = 3{,}0$\n- $y[0] = 1{,}2$, $y[1] = 1{,}9$, $y[2] = 2{,}7$, $y[3] = 3{,}4$, $y[4] = 4{,}2$\n\n1. Construisez la matrice de régression $\\Phi$ et le vecteur des observations $Y$ pour cette identification non récursive.\n2. Calculez les paramètres $\\theta_1$ et $\\theta_2$ par la méthode des moindres carrés : $\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T Y$.\n3. Calculez l'erreur de reconstruction $\\varepsilon_i$ pour chaque instant et la norme quadratique totale $J = \\sum_{i=0}^{4} \\varepsilon_i^2$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 3 : 1. Formule : Mise à jour $\\hat{\\theta}[2] = \\hat{\\theta}[1] + K[2] \\varepsilon[2]$ 2. Calcul : $\\hat{\\theta}[2] = \\begin{bmatrix}0{,}0180 \\\\ 0 \\\\ 0{,}1798\\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix}0{,}0632 \\\\ 0{,}0356 \\\\ 0{,}6404\\end{bmatrix} \\times 0{,}0670$ $\\hat{\\theta}[2] = \\begin{bmatrix}0{,}0180 + 0{,}00424 \\\\ 0 + 0{,}00239 \\\\ 0{,}1798 + 0{,}0429\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}0{,}0222 \\\\ 0{,}0024 \\\\ 0{,}2227\\end{bmatrix}$ 3. Mise à jour de P[2] : $P[2] = (I - K[2] \\phi[2]^T) P[1]$ (calcul matriciel complet) Après opération : $P[2] \\approx \\begin{bmatrix}999{,}94 & -0{,}12 & -99{,}83 \\\\ -0{,}12 & 999{,}99 & -0{,}04 \\\\ -99{,}83 & -0{,}04 & -0{,}43\\end{bmatrix}$ 4. Prédiction à $k=3$ : $\\phi[3] = [y[2]\\ y[1]\\ u[2]]^T = [0{,}25\\ 0{,}18\\ 1]^T$ $\\hat{y}[3] = \\phi[3]^T \\hat{\\theta}[2] = [0{,}25\\ 0{,}18\\ 1] \\begin{bmatrix}0{,}0222 \\\\ 0{,}0024 \\\\ 0{,}2227\\end{bmatrix}$ $\\hat{y}[3] = 0{,}25 \\times 0{,}0222 + 0{,}18 \\times 0{,}0024 + 1 \\times 0{,}2227 = 0{,}00555 + 0{,}000432 + 0{,}2227 = 0{,}2287$ 5. Résultat : $\\hat{\\theta}[2] = \\begin{bmatrix}0{,}0222 \\\\ 0{,}0024 \\\\ 0{,}2227\\end{bmatrix}$, $\\hat{y}[3] = 0{,}2287$",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"question": "Un système électrique d'ordre deux modélisant un circuit RL-C est soumis à une excitation d'entrée et génère une séquence de mesures de sortie. On souhaite identifier les paramètres du système en utilisant la méthode des moindres carrés récursive (RLS - Recursive Least Squares). Le modèle ARX (AutoRegressive with eXogenous input) à identifier est :\n\n$y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2) + e(k)$\n\noù $y(k)$ est la sortie mesurée, $u(k)$ est l'entrée appliquée, et $e(k)$ est le bruit d'identification. Les mesures disponibles sont :\n\n$y(k) = [1,2 \\quad 2,1 \\quad 3,5 \\quad 4,8 \\quad 5,9] \\text{ pour } k = 0,1,2,3,4$\n$u(k) = [1,0 \\quad 1,5 \\quad 2,0 \\quad 1,8 \\quad 2,2] \\text{ pour } k = 0,1,2,3,4$\n\n**Question 1 :** Initialiser l'algorithme RLS avec une matrice de covariance $P(0) = 1000 \\cdot I_4$ et un vecteur de paramètres initial $\\hat{\\theta}(0) = [0 \\quad 0 \\quad 0 \\quad 0]^T$. Calculez le vecteur de régression $\\phi(2)$ et l'estimation des paramètres $\\hat{\\theta}(2)$ après deux itérations de l'algorithme RLS en utilisant le facteur d'oubli $\\lambda = 0,98$.\n\n**Question 2 :** Continuez l'algorithme RLS jusqu'à $k = 4$ et calculez la matrice de covariance $P(4)$ et l'estimation finale $\\hat{\\theta}(4)$. Interprétez les résultats en termes de convergence et de précision.\n\n**Question 3 :** En utilisant les paramètres identifiés $\\hat{\\theta}(4)$, calculez la prédiction un pas en avant pour $k = 5$. Comparez cette prédiction avec une valeur réelle supposée $y(5) = 6,5$ et évaluez l'erreur de prédiction. Discutez de la performance de l'identification.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Analyse de convergence : Les paramètres montrent une convergence progressive. Les valeurs de covariance diminuent, indiquant une meilleure confiance dans les estimations. Les paramètres AR négatifs et les paramètres MA positifs sont physiquement cohérents avec un système stable et causal.
\n\n
Question 3 : Prédiction un pas en avant et évaluation de performance
\n\n
Première étape : Prédire $y(5)$ en utilisant le modèle identifié.
Analyse de performance : L'erreur de prédiction est très importante (162,5%), indiquant une performance insuffisante du modèle identifié. Cette divergence significative peut être due à :
\n\n
\n
Un nombre insuffisant d'échantillons d'apprentissage (seulement 5 points)
\n
La présence significative de bruit ou de dynamiques non modélisées
\n
Une non-linéarité importante du système qui n'est pas capturée par le modèle ARX linéaire
\n
Des conditions initiales différentes
\n
\n\n
Pour améliorer l'identification, il faudrait : augmenter le nombre d'échantillons de données, améliorer le rapport signal-sur-bruit, ou considérer un modèle d'ordre supérieur ou non-linéaire.
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"question": "On désire identifier les paramètres d'une fonction de transfert discrète d'un système thermique représentant la température d'une chambre climatisée. La méthode des moindres carrés non-récursive (LS - Least Squares) est employée. Le modèle ARMA (AutoRegressive Moving Average) à identifier est :\n\n$y(k) = c_1 y(k-1) + d_1 u(k-1) + d_2 u(k-2)$\n\nLes mesures collectées sur 6 instants d'échantillonnage sont :\n\n$y = [20,5 \\quad 22,3 \\quad 24,1 \\quad 25,8 \\quad 27,2 \\quad 28,5] \\text{ (°C)}$\n$u = [30 \\quad 35 \\quad 40 \\quad 42 \\quad 45 \\quad 48] \\text{ (% consigne)}$\n\n**Question 1 :** Construisez la matrice de régression $\\Phi$ et le vecteur des mesures $\\mathbf{y}$ pour l'identification LS. Justifiez le nombre de lignes et colonnes de ces matrices en relation avec le nombre de mesures disponibles.\n\n**Question 2 :** Calculez l'estimation des paramètres $\\hat{\\theta}_{LS} = [c_1 \\quad d_1 \\quad d_2]^T$ en utilisant l'équation normale $\\hat{\\theta}_{LS} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T \\mathbf{y}$. Déterminez également la matrice de covariance des paramètres estimés.\n\n**Question 3 :** Évaluez la qualité de l'identification en calculant le coefficient de détermination $R^2$, la somme des carrés des résidus (SSR), et la somme des carrés totale (SST). Analysez les résultats en termes de convergence et de validation du modèle identifié.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE - EXERCICE 2 : Identification LS Non-Récursive
\n\n
Question 1 : Construction de la matrice de régression et du vecteur de mesure
\n\n
Première étape : Comprendre la structure du modèle.
\n\n
Le modèle est : $y(k) = c_1 y(k-1) + d_1 u(k-1) + d_2 u(k-2)$
\n\n
Pour appliquer la méthode LS, nous avons besoin que $k \\geq 2$ (pour avoir $u(k-2)$ disponible).
Justification : La matrice $\\Phi$ est de dimension 4 × 3 car nous avons 4 équations indépendantes (issues des 6 mesures) et 3 paramètres inconnus. Le vecteur $\\mathbf{y}$ contient les 4 valeurs de sortie correspondantes (de $k = 2$ à $k = 5$).
\n\n
Question 2 : Calcul de l'estimation LS des paramètres
Question 3 : Évaluation de la qualité d'identification
\n\n
Première étape : Calcul résidus et performance.
\n\n
$SSR = 38,789$, $SST = 10,7$, $R^2 = -2,626$
\n\n
Analyse : Le coefficient négatif indique un mauvais ajustement du modèle aux données disponibles.
",
"id_category": "3",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"question": "Un système électromécanique d'entraînement (variateur de vitesse) est soumis à une séquence de commande d'entrée et produit une séquence de mesures de sortie (vitesse de rotation). On souhaite comparer l'identification récursive (RLS) et non-récursive (LS) sur le même ensemble de données. Le modèle NARX (Non-linear AutoRegressive with eXogenous input) simplifié est :\n\n$y(k) = \\alpha y(k-1)(1 - y(k-1)) + \\beta u(k-1) + e(k)$\n\nPour simplifier, on considère une approche linéarisée :\n\n$y(k) \\approx a_1 y(k-1) + a_2 y(k-1)^2 + b_1 u(k-1)$\n\nLes données collectées sur 7 points sont :\n\n$y = [1,0 \\quad 2,5 \\quad 3,8 \\quad 4,6 \\quad 5,1 \\quad 5,3 \\quad 5,4] \\text{ (tr/min × 100)}$\n$u = [2,0 \\quad 4,0 \\quad 6,0 \\quad 5,5 \\quad 5,0 \\quad 4,5 \\quad 4,0] \\text{ (V)}$\n\n**Question 1 :** Appliquez l'algorithme RLS avec un facteur d'oubli $\\lambda = 0,95$ pour identifier les trois paramètres $\\hat{\\theta} = [a_1 \\quad a_2 \\quad b_1]^T$. Effectuez au moins trois itérations et commentez la convergence des paramètres estimés.\n\n**Question 2 :** Utilisez la méthode LS non-récursive pour identifier les mêmes paramètres en traitant l'ensemble des 7 points simultanément. Construisez la matrice de régression et calculez l'estimation globale $\\hat{\\theta}_{LS}$.\n\n**Question 3 :** Comparez les résultats des deux méthodes (RLS vs LS) en termes de convergence, de variance des paramètres estimés, et d'applicabilité. Discutez des avantages et des inconvénients de chaque approche pour ce système d'entraînement électromécanique.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE - EXERCICE 3 : Comparaison RLS vs LS
\n\n
This exercise compares both RLS and LS methods on the same electromechanical system identification problem with NARX model...
\n\n
Question 1 : Identification RLS
\n
RLS algorithm applied with $\\lambda = 0,95$ over 3+ iterations, showing progressive parameter convergence...
Conclusion : Pour ce système électromécanique non-linéaire, RLS convient mieux aux applications temps réel, tandis que LS est préféré pour précision maximale avec données complètes.
On souhaite estimer les paramètres $\\theta_1$ et $\\theta_2$ par la méthode des moindres carrés récursifs.
Question 1 : Écrivez la structure matricielle du problème d'identification à partir des données fournies.
Question 2 : Effectuez les calculs du premier pas de l'algorithme RLS (avec $P_0 = 100 I$, $\\theta_0 = [0 \\quad 0]^T$) et donnez $\\theta_1$ estimé et $P_1$ après la première itération.
Question 3 : Réalisez l'étape suivante avec les nouvelles données ($y(2), u(2)$) pour obtenir $\\theta_2$ estimé et $P_2$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
",
"id_category": "3",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"title": "Exercice 2: Identification non récursive par méthode des moindres carrés",
"question": "
Identification non récursive d'un système d'excitation synchrone
Un système électrique d'excitation synchrone est décrit par :
$y(k) = a_1 y(k-1) + b_1 u(k-1)$
On dispose des mesures suivantes pour $k = 1, 2, 3, 4$ :
$y(0) = 2.0$, $u(0) = 3.0$
$y(1) = 3.1$, $u(1) = 3.2$
$y(2) = 5.2$, $u(2) = 3.1$
$y(3) = 6.1$, $u(3) = 3.3$
Le bruit de mesure est négligeable. On souhaite déterminer $a_1$ et $b_1$ par une identification non récursive (méthode de moindres carrés classiques).
Question 1 : Formulez le problème matriciel général pour cette identification.
Question 2 : Calculez explicitement les matrices à partir des données et exprimez la solution analytique pour $a_1$ et $b_1$.
Question 3 : Réalisez le calcul numérique pour obtenir $a_1$ et $b_1$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Formule générale du problème matriciel : $y = X\\theta$, avec $y = [y(1)\\\\ y(2)\\\\ y(3)\\\\ y(4)]$, $X = [[y(0)\\ u(0)]; [y(1)\\ u(1)]; [y(2)\\ u(2)]; [y(3)\\ u(3)]]$, $\\theta = [a_1\\\\ b_1]$. Résultat final : $y = X\\theta$
Question 3 : Calcul : $X^T X = \\begin{bmatrix} 2.0^2+3.1^2+5.2^2+6.1^2 & 2.0\\times3.0+3.1\\times3.2+5.2\\times3.1+6.1\\times3.3\\\\ 2.0\\times3.0+3.1\\times3.2+5.2\\times3.1+6.1\\times3.3 & 3.0^2+3.2^2+3.1^2+3.3^2 \\end{bmatrix}$ $= \\begin{bmatrix} 2.0^2+3.1^2+5.2^2+6.1^2 & 6.0+9.92+16.12+20.13\\\\ 6.0+9.92+16.12+20.13 & 9.0+10.24+9.61+10.89\\end{bmatrix}$ Calcul du vecteur $X^T y$ et application de $\\theta = ...$. Application numérique, les valeurs finales sont : $a_1 = 0.91, \\ b_1 = 0.62$
",
"id_category": "3",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"title": "Exercice 3: Identification numérique d'un filtre électrique par l'algorithme de Kalman",
"question": "
Identification d'un filtre RC en présence de bruit via l'algorithme de Kalman
Un filtre RC discret est modélisé par l'équation :
$y(k) = a \\, y(k-1) + b \\, u(k-1) + w(k)$
où $w(k)$ est un bruit blanc gaussien de variance $Q = 0.01$, et la mesure $y_m(k) = y(k) + v(k)$ avec $v(k)$ bruit blanc gaussien de variance $R = 0.02$. On dispose des mesures :
$u(0) = 1.0$, $y_m(1) = 0.95$
$u(1) = 0.8$, $y_m(2) = 0.83$
$u(2) = 0.7$, $y_m(3) = 0.72$
Question 1 : Écrivez la structure d'état du système pour le modèle d'identification et les variables à estimer.
Question 2 : Calculez la première itération de l'algorithme de Kalman pour estimer $\\hat{x}_1, P_1$ à partir de l'initialisation $\\hat{x}_0 = 0$, $P_0 = 1$.
Question 3 : Effectuez la deuxième itération pour obtenir $\\hat{x}_2$, $P_2$ et interprétez le résultat.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Structure d'état et identification à réaliser Formule : $x(k) = a x(k-1) + b u(k-1) + w(k)$ $y_m(k) = x(k) + v(k)$ Variables à estimer: $x_k$, bruit process $w(k)$, bruit mesure $v(k)$ Paramètres: $a$, $b$, covariances $Q,R$ Résultat final: Structure d'observation (state-space Kalman)
Question 2 : En supposant $a_1$ connu ($a_1 = 0.6$), appliquez la méthode récursive de la moyenne glissante (RLS) pour estimer $b_0$ et $b_1$ sur les trois points de mesure.
Question 3 : Calculez l’erreur quadratique moyenne sur l’identification du filtre en utilisant vos estimations précédentes. Interprétez ce résultat en termes de qualité de l’identification.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Interprétation : L'identification est parfaite sur les deux points utilisés, mais elle doit être validée sur plus de données pour conclure à la robustesse du modèle.
Interprétation : La variance de l’erreur reste modérée, traduisant une identification acceptable mais améliorable avec plus d’itérations ou un modèle plus riche.
",
"id_category": "3",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"question": "On souhaite identifier en ligne les paramètres d'un filtre RLC série en utilisant l'algorithme des moindres carrés récursif (RLS). Le système est gouverné par :$i(t) = \\frac{V(t)}{R + j\\omega L + \\frac{1}{j\\omega C}}$. Après discrétisation, on obtient le modèle :$i[k] = \\theta_1 v[k] + \\theta_2 i[k-1]$ où $\\theta_1 = \\frac{T_e}{L}$ et $\\theta_2 = -\\frac{RT_e}{L}$. On dispose des mesures suivantes : $\\begin{array}{|c|c|c|c|} \\hline k & v[k] & i[k] & i[k-1] \\\\ \\hline 1 & 10 & 1.2 & 0 \\\\ 2 & 12 & 1.8 & 1.2 \\\\ 3 & 15 & 2.4 & 1.8 \\\\ 4 & 18 & 3.1 & 2.4 \\\\ \\hline \\end{array}$ avec $T_e = 0.01\\ \\text{s}$.
1. En utilisant l'algorithme RLS avec une matrice de covariance initiale $P[0] = 100I$, calculez les estimées $\\hat{\\theta}_1[1]$ et $\\hat{\\theta}_2[1]$ après la première itération, puis $\\hat{\\theta}_1[2]$ et $\\hat{\\theta}_2[2]$ après la deuxième itération. 2. Comparez les estimées récursives avec une estimation par moindres carrés non-récursive sur les deux premières mesures. 3. Calculez l'erreur de prédiction à l'itération $k=3$ et vérifiez la convergence de l'algorithme. ",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Exercice 1 : Identification d’un Système RC par la Méthode des Moindres Carrés Non Récursive
On souhaite identifier les paramètres d'un circuit RC série inconnu à partir de mesures de la tension d'entrée $u(t)$ et de la tension de sortie $y(t)$ lors d’une excitation en échelon. Les mesures discrètes $N=4$ sont relevées toutes les $T_e = 0,1\\ \\text{s}$:
k
u(k)
y(k)
0
5.0
0.0
1
5.0
2.6
2
5.0
4.1
3
5.0
4.7
Question 1 : Écrivez le modèle discret d’un système RC par récurrence d’état et explicitez les paramètres à identifier.
Question 2 : Formulez le problème sous forme matricielle pour appliquer la méthode des moindres carrés non récursive. Calculez les paramètres du modèle $y(k+1) = a_1 y(k) + b_0 u(k)$ par ajustement aux données. (Utilisez tous les couples de mesures fournis).
Question 3 : À partir des coefficients identifiés $a_1$ et $b_0$, retrouvez les valeurs du temps de relaxation $\\tau$ et du gain statique $K_{stat}$ du circuit RC. Interprétez physiquement ces résultats.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule générale : $y(k+1) = a_1 y(k) + b_0 u(k)$ 2. On souhaite identifier $a_1$ et $b_0$ à partir des mesures.
Question 3 : Pour un système RC, $a_1 = e^{-T_e/\\tau}$ et $b_0=K_{stat}(1-a_1)$ Étape 1 : $\\tau = -\\frac{T_e}{\\ln a_1}$ $\\tau = -\\frac{0.1}{\\ln 0.519} = -\\frac{0.1}{-0.655} = 0.153 \\, \\text{s}$ Étape 2 : $K_{stat} = \\frac{b_0}{1-a_1} = \\frac{0.528}{1-0.519}=\\frac{0.528}{0.481}=1.098$ Résultat final : $\\boxed{\\tau=0.153\\,\\text{s}\\qquad K_{stat}=1.10}$ Interprétation : Le circuit présente une constante de temps de 0.153 s (temps de montée rapide), et un gain statique de 1.10 (amplification modérée en régime établi).",
"id_category": "3",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"question": "
Exercice 2 : Méthode des Moindres Carrés Récursive sur Système d’Induction
On considère un moteur d’induction pour lequel on veut estimer en ligne le coefficient de frottement inconnu $b$, à partir de mesures de la vitesse de rotation $\\omega(k)$ et du couple appliqué $T_m(k)$. Le modèle différentiel discret s’écrit : $\\omega(k+1) = a_1 \\omega(k) + b_0 T_m(k)$, où $a_1\\in\\mathbb{R}, b_0\\in\\mathbb{R}$. On dispose de la séquence de mesures suivantes, relevées à T_e=0,05 s :
k
T_m(k)
ω(k)
0
3.0
0.0
1
3.0
1.1
2
4.0
2.3
3
4.0
3.4
Question 1 : Initialisez l’algorithme des moindres carrés récursifs (RLS) avec une estimation initiale $\\hat{\\theta}(0)=\\begin{bmatrix}0\\\\0\\end{bmatrix}$ et une matrice de covariance initiale $P(0)=100 I$. Calculez la première itération complète (mise à jour) pour les données $k=0$.
Question 2 : Réalisez la deuxième itération de RLS pour $k=1$ et $k=2$ (précisez le calcul de chaque gain, mise à jour des estimations de paramètres et covariance). Présentez les valeurs de $\\hat{a}_1$ et $\\hat{b}_0$ à chaque étape.
Question 3 : En déduire la valeur estimée du coefficient de frottement $b$ sachant que $J=0,06\\,\\text{kg·m}^2$ et que $a_1=1-T_e\\frac{b}{J}$. Interprétez le sens physique du paramètre obtenu.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Formule générale RLS : mise à jour après chaque nouvel échantillon 1. $\\hat{\\theta}(k) = \\begin{bmatrix} \\hat{a}_1(k) \\\\ \\hat{b}_0(k) \\end{bmatrix}$ 2. $\\phi(k) = \\begin{bmatrix} \\omega(k) \\\\ T_m(k) \\end{bmatrix}$, $y(k+1)$ l'observation à l’instant suivant. 3. Gain de Kalman : $K(k) = \\frac{P(k) \\phi(k)}{1 + \\phi(k)^T P(k) \\phi(k)}$ 4. Mise à jour des paramètres : $\\hat{\\theta}(k+1) = \\hat{\\theta}(k) + K(k) [y(k+1) - \\phi(k)^T \\hat{\\theta}(k)]$ 5. Mise à jour de la covariance : $P(k+1) = P(k) - K(k) \\phi(k)^T P(k)$ Initialisation : $\\hat{\\theta}(0) = \\begin{bmatrix}0\\\\0\\end{bmatrix}$ et $P(0)=100I=\\begin{bmatrix}100&0\\\\0&100\\end{bmatrix}$ k=0 : $\\phi(0)=\\begin{bmatrix} 0 \\\\ 3 \\end{bmatrix}$, $y(1)=1.1$ $S_0 = 1+\\phi(0)^T P(0) \\phi(0)=1+0*100*0+3*100*3=1+900=901$ $K(0)=\\frac{P(0)\\phi(0)}{S_0}=\\frac{1}{901}\\begin{bmatrix}100*0\\\\100*3\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0\\\\0.333\\end{bmatrix}$ Mise à jour paramètre : $\\hat{\\theta}(1)=\\hat{\\theta}(0)+K(0)[1.1-0]=\\begin{bmatrix}0\\\\0\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}0\\\\0.333\\end{bmatrix}*1.1=\\begin{bmatrix}0\\\\0.366\\end{bmatrix}$ Nouvelle covariance : $P(1) = P(0)-K(0)\\phi(0)^T P(0)$ $K(0)\\phi(0)^T = \\begin{bmatrix}0\\\\0.333\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}0 & 3\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0&0\\\\0&0.999\\end{bmatrix}$, donc $P(1)=\\begin{bmatrix}100&0\\\\0&100\\end{bmatrix}-\\begin{bmatrix}0&0\\\\0&0.999*100\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}100&0\\\\0&0.1\\end{bmatrix}$
Question 3 : $a_1=1-T_e\\frac{b}{J} \\implies b=J\\frac{1-a_1}{T_e}$ $\\hat{a}_1(3)\\approx 0.946$, $J=0.06\\;\\mathrm{kg·m}^2$, $T_e=0.05\\;\\mathrm{s}$ $b=0.06\\frac{1-0.946}{0.05}=0.06\\frac{0.054}{0.05}=0.06 * 1.08 = 0.0648\\,\\text{N·m·s/rad}$ Résultat final : $\\boxed{b=0.0648\\; \\text{N·m·s/rad}}$ Interprétation : Le paramètre estimé de frottement dynamique indique une résistance modérée aux variations de vitesse dans le moteur. Cette valeur sera utile pour une commande robuste funtion de la dynamique réelle.
Exercice 3 : Identification Fréquentielle par Méthode de Pem Least Squares sur Système RLC
On excite un système RLC parallèle inconnu par un signal sinusoïdal discret $u(k) = A_{sin} \\sin(\\Omega_0 k)$, $A_{sin}=1$ et $\\Omega_0=0.2\\pi$. On mesure la sortie $y(k)$ sur N=5 points : [0.00, 0.69, 0.95, 0.59, 0.04] Question 1 : Représentez le système par un modèle ARX d’ordre 2,2 : $y(k)+a_1y(k-1)+a_2y(k-2)=b_1u(k-1)+b_2u(k-2)$. Écrivez sous forme matricielle l’équation de régression pour les points observés (donnez la matrice $\\Phi$ et le vecteur $Y$ d’ajustement).
Question 2 : Appliquez la méthode du moindres carrés (Pem Least Squares) pour calculer $a_1$, $a_2$, $b_1$ et $b_2$ à partir des mesures fournies. Calculez la réponse libre du système pour $k\\geq 5$ avec les paramètres identifiés.
Question 3 : À partir des paramètres identifiés, déduisez la fréquence propre numérique $\\omega_n$ et le facteur d’amortissement $\\zeta$ du modèle. Commentez la nature dynamique (oscillatoire/suramortie) du système identifié.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 3 : Pôle du modèle : $z^2 + a_1 z + a_2 = 0$ $z_{1,2} = \\frac{-a_1 ± \\sqrt{a_1^2 - 4 a_2}}{2}$ Avec nos valeurs : $z^2 + 0.04 z - 0.97 = 0$ $\\Delta=0.04^2-4*(-0.97)=0.0016+3.88=3.8816$ $z_{1,2}=\\frac{-0.04\\pm1.97}{2}\\approx0.965,-1.005$ La pulsation propre : $\\omega_n=\\arccos(0.965)=0.264\\,\\text{rad/sample}$ Le facteur d’amortissement : $\\zeta=\\frac{-a_1}{2\\sqrt{-a_2}}=\\frac{-0.04}{2\\times0.9848}=-0.0203$ Nature : La racine est proche du cercle unité, le système est faiblement amorti, oscillatoire et quasi-résonant.
Exercice 1 : Identification récursive d’un système d’ordre 1
Une machine électrique peut être modélisée par une équation linéaire discrète d’ordre 1 :
$y(k) = a y(k-1) + b u(k-1)$
On mesure la sortie pour k = 1 à 5, ainsi que l’entrée :
k
$u(k)$
$y(k)$
1
2.0
1.2
2
2.5
2.0
3
2.7
2.7
4
3.0
3.6
5
3.2
4.4
Question 1 : Initialiser l’algorithme de moindres carrés récursif : donner les valeurs initiales du paramètre estimé $\\theta_0 = [a_0\\quad b_0]^T$ et de la matrice de covariance $P_0$ avec $\\theta_0 = [0\\quad 0]^T$ et $P_0 = 100 I$.
Question 2 : Calculer les estimations des paramètres $\\hat{a}_k$ et $\\hat{b}_k$ à la date k = 3 en appliquant l’algorithme de moindres carrés récursifs. Utiliser un facteur d’oubli $\\lambda = 1$.
Question 3 : Prédire la sortie $y(6)$ en utilisant les paramètres estimés à k=5.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Initialisation des paramètres Formule générale : $\\theta_0 = [a_0\\quad b_0]^T $, $ P_0 = 100 I$ Remplacement : $\\theta_0 = [0\\quad 0]^T $, $ P_0 = \\begin{bmatrix} 100 & 0 \\ 0 & 100 \\end{bmatrix}$ Calcul : on pose les deux paramètres à zéro et la matrice de covariance à 100 pour chaque dimension Résultat final : $\\theta_0 = [0\\quad 0]^T$, $P_0 = \\begin{bmatrix} 100 & 0 \\ 0 & 100 \\end{bmatrix}$
Question 1 : Écrire le système sous forme matricielle $Y = \\Phi \\theta$ où $\\theta = [a_1\\quad a_2\\quad b_1\\quad b_2]^T$.
Question 2 : Résoudre numériquement le problème des moindres carrés $\\theta = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T Y$ pour obtenir les estimations des paramètres.
Question 3 : Calculer la sortie estimée $\\hat{y}(7)$ en utilisant les paramètres identifiés.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Exercice 2 : Identification d'un Filtre Électrique RLC par Méthode Non Récursive avec Validation de Modèle
Un filtre électrique passe-bas d'ordre 2 est constitué d'une résistance $R$, d'une inductance $L$ et d'une capacité $C$ en série. Le système est supposé posséder la représentation d'état suivante en continu :
où $u(t)$ est la tension d'entrée (V), $y(t)$ est la tension à travers la capacité (V), et $x_2(t)$ est le courant (A). Après discrétisation avec $T_e = 0,02 \\text{ s}$, les données expérimentales suivantes ont été collectées :
Question 1 : Appliquez la méthode des moindres carrés linéaires (LS) non récursive pour estimer les 4 paramètres du modèle ARMA. Construisez la matrice de régression $\\Phi$ (taille $14 \\times 4$ en utilisant les données k = 2 à k = 15) et le vecteur de sortie correspondant. Calculez l'estimation $\\hat{\\theta}_{LS} = [\\hat{a}_1 \\quad \\hat{a}_2 \\quad \\hat{b}_1 \\quad \\hat{b}_2]^T$ en utilisant la formule normale des moindres carrés.
Question 2 : Validez le modèle identifié en calculant les résidus de prédiction sur l'ensemble des données (k = 2 à k = 15). Calculez l'erreur quadratique moyenne (EQM), le coefficient de détermination $R^2$, et la somme des carrés des résidus (SCR). Testez l'autorisabilité du modèle par le test de Ljung-Box sur les résidus (calculez la statistique de test pour un ordre de décalage m = 4).
Question 3 : À partir des paramètres identifiés, retrouvez les paramètres électriques du circuit RLC (R, L, C) en effectuant la correspondance inverse entre le modèle discret et le modèle continu. Vérifiez la réalisabilité physique des valeurs obtenues et calculez les caractéristiques du filtre (fréquence de coupure, facteur d'amortissement, bande passante).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Pour $m = 4$, le seuil critique à $\\alpha = 0.05$ est $\\chi^2_{4,0.05} = 9.488$. Puisque $Q_{LB} = 11.31 > 9.488$, il existe une faible corrélation résiduelle, mais le modèle reste valide.
Question 3 : Récupération des paramètres RLC
Correspondance entre modèle discret et continu :
Pour un système RLC continu discrétisé :
$G(s) = \\frac{1}{LCs^2 + Rs + 1}$
Avec $T_e = 0.02$ s, les pôles continus sont $s = \\frac{-R \\pm \\sqrt{R^2 - 4LC}}{2LC}$.
Le modèle discret obtenu $G(z) = \\frac{0.4567z^{-1} + 0.3821z^{-2}}{1 + 0.8234z^{-1} - 0.1452z^{-2}}$ correspond à :
Vérification physique : Les valeurs sont réalistes pour un filtre passe-bas électrique d'ordre 2. La résonance est faiblement amortie ($\\zeta < 0.7$), ce qui est typique des circuits RLC de qualité modérée.
Exercice 1 : Estimation des paramètres d'une charge RLC par identification récursive
Une charge électrique RLC série alimentée par un générateur de tension est analysée pour identification de ses paramètres. On souhaite modéliser la dynamique par :
$V(k) = R \\cdot I(k) + L \\cdot \\frac{I(k) - I(k-1)}{T_e} + \\frac{1}{C} \\int_0^{t_k} I(\\tau) d\\tau$
Période d'échantillonnage : $T_e = 0,01 \\, \\text{s}$
Question 1 : Écrire l’équation sous la forme linéaire $y(k) = \\phi^T(k) \\theta + e(k)$, préciser les régressors $\\phi(k)$ et le vecteur paramètres $\\theta$ dans ce cas discret.
Question 2 : Utiliser l’algorithme du moindres carrés récursifs (RLS) avec $\\lambda = 1$, matrice d’initialisation $P_0 = 10^3 I$, $\\theta_0 = [0, 0, 0]^T$, pour calculer $\\theta_2$ à partir des deux premiers échantillons.
Question 3 : Vérifier la pertinence du modèle obtenu en calculant le résidu de la troisième mesure. Interpréter le résultat.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule générale : $V(k) = R I(k) + L \\frac{I(k)-I(k-1)}{T_e} + \\frac{1}{C} S(k)$, où $S(k) = \\sum_{i=0}^k I(i) T_e$ 2. Mise sous forme $y(k) = \\phi^T(k) \\theta + e(k)$ : $y(k) = V(k)$, $\\phi(k) = [I(k), \\frac{I(k)-I(k-1)}{T_e}, S(k)]^T$, $\\theta = [R, L, \\frac{1}{C}]^T$ 3. Calcul explicite pour chaque échantillon : $S(1) = I(0)T_e + I(1)T_e = (1+2) \\times 0,01 = 0,03\\,A\\cdot s$; $S(2)=S(1)+I(2)T_e=0,03+2.5 \\times 0,01=0,055\\,A\\cdot s$ 4. Résultat final : $y(1)=V(1), \\phi(1) = [2, (2-1)/0,01, 0,03]^T, \\theta=[R, L, 1/C]^T$
Question 3 : 1. Formule du résidu : $e(3)=V(3)-\\phi^T(3)\\theta_2$ Pour $k=3$ : $V(3) = 14$, $\\phi(3) = [2.5, 0, 0.08]$ (car $I(3)-I(2)=0$), $S(3) = S(2)+2.5\\times0.01=0.055+0.025=0.08$ 2. Remplacement des données et calcul : $\\phi^T(3)\\theta_2 = 2.5\\times0.00462+0\\times0.2311+0.08\\times0.000071\\approx 0.01155+0+0.00000568=0.01156$ $e(3)=14-0.01156=13.988$ 3. Interprétation : Le résidu est très élevé : le modèle linéarisé simple ne représente pas correctement la dynamique, sans doute à cause de coefficients nombreux, d'un échantillonnage trop court ou de la sous-excitation du système.
Exercice 2 : Identification non récursive d'un système de filtre RC par moindres carrés
Un filtre passe-bas RC est soumis à une excitation créneau pour en estimer les paramètres. On relève les mesures d’entrée $u(k)$ et sortie $y(k)$ à chaque $T_e = 0,05\\,\\text{s}$ :
$u = [1, 1, 0, 0]$, $y = [0, 0.36, 0.62, 0.51]$
Question 1 : Écrire la relation de récurrence discrète reliant $y(k+1)$, $y(k)$, $u(k)$ et le paramètre $a$ issu de la discrétisation du filtre RC : $y(k+1) = a y(k) + b u(k)$ (exprimer $a = e^{-T_e/RC}$ et $b$ en fonction de $a$).
Question 2 : Développer le problème d'identification non récursive des paramètres $a, b$ par moindres carrés classique, sous la forme matricielle $Y = \\Phi \\theta + E$. Donner explicitement $\\Phi$ et $Y$ pour ces mesures.
Question 3 : Résoudre numériquement le problème pour ces données et retrouver $RC$ (approché à 10-2) en inversant $a = e^{-T_e/RC}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : 1. Formule générale d’un RC continu : $\\tau \\frac{dy}{dt} + y = u$, $\\tau=RC$ 2. Discrétisation Euler avant, $T_e$ : $y(k+1) = a y(k) + b u(k)$ avec $a = e^{-T_e/RC}$, $b = 1 - a$ 3. Résultat final : $y(k+1) = a y(k) + (1-a) u(k)$
Exercice 3 : Identification structurelle de modèle ARX d’un moteur pas à pas – méthodes de moindres carrés et identification récursive
Les mesures d’identification d’un moteur pas à pas donnent la suite d’entrée $u(k)$ (commande tension) et de vitesse $y(k)$ (sortie), échantillonnage $T_e=0,02\\,\\text{s}$.
Question 1 : Écrire le modèle sous forme régressive $y(k+1)=\\varphi^T(k)\\theta$ en précisant $\\varphi(k)$ et $\\theta$, et construire la matrice $\\Phi$ et le vecteur des sorties $Y$ pour $k=1,2,3$.
Question 2 : Calculer la solution moindres carrés classique pour les paramètres, puis fournir l’algorithme du moindres carrés récursif (RLS) (formules générales)
Exercice 1 : Identification d'un système électrique du premier ordre par méthode récursive (Moindres carrés récursifs)
Un système électrique RC est commandé par une tension d'entrée $u(k)$ et sa tension de sortie $y(k)$ est mesurée à chaque instant d'échantillonnage $T_e = 0.5$ s. Le modèle de sortie auto-régressive avec entrée externe (ARX) d'ordre 1 est :
$y(k) = a_1 y(k-1) + b_0 u(k) + e(k)$
où $e(k)$ est l'erreur de modélisation supposée blanche de moyenne nulle. Les mesures obtenues lors d'une expérience d'identification sont présentées dans le tableau suivant :
k
u(k)
y(k) [V]
0
0
0
1
5
1.2
2
5
2.1
3
5
2.7
4
5
3.2
5
5
3.6
Question 1 : Utiliser l'algorithme des moindres carrés récursifs (MCR) pour identifier les paramètres $a_1$ et $b_0$ du modèle ARX. Effectuer les calculs pour les trois premiers pas (k=1, 2, 3) en utilisant l'initialisation $\\hat{\\theta}(0) = [0, 0]^T$ et $P(0) = \\lambda^{-1} I$ avec $\\lambda = 1$ et $I = \\begin{bmatrix} 10^6 & 0 \\ 0 & 10^6 \\end{bmatrix}$. Présenter l'algorithme d'actualisation : $\\hat{\\theta}(k) = \\hat{\\theta}(k-1) + K(k)\\epsilon(k)$ où $K(k) = \\frac{P(k-1)\\phi(k)}{\\lambda + \\phi(k)^T P(k-1)\\phi(k)}$.
Question 2 : À partir des valeurs obtenues après la totalité des mesures (k=1 à 5), calculer les résidus d'estimation $\\epsilon(k) = y(k) - \\hat{y}(k|k-1)$ pour chaque instant, puis évaluer la qualité de l'identification en calculant l'erreur quadratique moyenne (EQM) et le coefficient de détermination $R^2$.
Question 3 : Déterminer les caractéristiques temporelles du système identifié : calculer la constante de temps $\\tau$ et le temps de réponse à $5\\%$ ($t_{5\\%}$) sachant que pour un système du premier ordre, $\\tau = -\\frac{T_e}{\\ln(a_1)}$ et que $a_1 = e^{-T_e/\\tau}$. Comparer également la valeur stationnaire théorique $y_\\infty = \\frac{b_0}{1-a_1} u$ avec celle observée expérimentalement.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 1
Question 1 : Application de l'algorithme des moindres carrés récursifs (MCR)
$y_{\\infty,théorique} = K_s \\times u = 0.436 \\times 5 = 2.18$ V
Valeur observée expérimentalement à $k=5$ :
$y(5) = 3.6$ V
La différence $\\Delta y = 3.6 - 2.18 = 1.42$ V suggère que le système n'a pas complètement stabilisé après 5 mesures ou que le modèle du 1er ordre est sous-estimé.
Exercice 2 : Identification d'un système électromécanique du second ordre par méthode non-récursive
Un moteur électrique asynchrone équipé d'une charge mécanique est modélisé par un système ARMA (Auto-Régressive Moving Average) du second ordre. Les mesures de vitesse angulaire $\\omega(k)$ en réponse à un signal de commande $i_c(k)$ (courant de commande) sont obtenues avec une période d'échantillonnage $T_e = 0.1$ s. Le modèle ARMA est :
Question 1 : Utiliser la méthode des moindres carrés non-récursifs (MCNR) pour estimer les paramètres du modèle ARMA. Construire la matrice de régression $\\Phi$ et le vecteur de mesures $y$, puis résoudre le système normal $\\hat{\\theta} = (\\Phi^T \\Phi)^{-1} \\Phi^T y$ en négligeant le terme du bruit MA ($c_1 e(k-1) \\approx 0$) pour simplifier le calcul. Interpréter les valeurs obtenues pour les coefficients $a_1$ et $a_2$.
Question 2 : Calculer les pôles du système en boucle ouverte identifié en déterminant les racines du polynôme caractéristique $A(z^{-1}) = 1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}$. Évaluer la stabilité du système identifié en vérifiant que tous les pôles sont situés à l'intérieur du cercle unité ($|z| < 1$). Calculer également les fréquences propres $f_0$ associées aux pôles complexes conjugués.
Question 3 : À partir des paramètres estimés, déterminer la réponse stationnaire du système pour une entrée échelon de courant $i_c = 3$ A en calculant $\\omega_{ss} = \\frac{b_1}{1 - a_1 - a_2} \\times i_c$. Comparer avec la valeur observée en régime permanent (k=6) et évaluer l'adéquation du modèle. Calculer également la réponse transitoire en déterminant le nombre d'échantillons nécessaires pour que la vitesse converge vers la valeur stationnaire avec une tolérance de $\\pm 5\\%$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 2
Question 1 : Application de la méthode des moindres carrés non-récursifs (MCNR)
Étape 1.1 : Construction de la matrice de régression Φ
La matrice de régression est construite à partir des données, en utilisant les valeurs passées de la sortie et l'entrée retardée. Pour chaque instant k = 2 à 6, on forme une ligne de la matrice :
Interprétation : Le coefficient $\\hat{a}_1 = 1.456$ positive et supérieur à 1 indique une dynamique de second ordre avec un mode oscillatoire. Le coefficient $\\hat{a}_2 = -0.489$ négatif contribue à la stabilité. Le coefficient $\\hat{b}_1 = 0.625$ représente le gain de transmission du courant de commande.
Question 2 : Calcul des pôles et vérification de stabilité
L'écart important suggère que le système n'a pas atteint le régime permanent après 6 instants ou que le modèle a besoin d'une meilleure identification.
Étape 3.3 : Analyse du régime transitoire
La réponse du système du second ordre peut être approchée par :
Exercice 3 : Identification hybride d'un système thermique par méthodes récursive et non-récursive comparées
Un système de contrôle thermique d'une enceinte chauffée est commandé par une puissance de chauffage $P(k)$ en watts. La température de l'air intérieur $T(k)$ en degrés Celsius est mesurée à chaque instant d'échantillonnage $T_e = 2$ s. Le modèle dynamique discret supposé du premier ordre avec retard d = 1 est :
$T(k) = a T(k-1) + b P(k-d) + e(k)$
Les mesures obtenues sont :
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P(k) [W]
0
100
100
100
150
150
150
200
200
T(k) [°C]
20
22.4
24.3
25.7
27.8
29.2
30.2
32.0
33.3
Question 1 : Appliquer simultanément les deux méthodes d'identification : (a) Méthode récursive (MCR) avec initialisation $\\hat{\\theta}(0) = [0.5, 0.01]^T$ et $P(0) = 100 I$ (facteur d'oubli $\\lambda = 0.99$), en calculant les trois premières itérations (k=2, 3, 4).(b) Méthode non-récursive (MCNR) en utilisant toutes les données (k=2 à 8) pour résoudre le système normal. Comparer les estimées obtenues à partir des deux méthodes et interpréter les écarts.
Question 2 : Évaluer la qualité de l'identification pour chaque méthode en calculant l'erreur quadratique moyenne (EQM), le coefficient de détermination ($R^2$), et la somme des carrés des résidus (SSR). Calculer également le facteur d'amplification de bruit (FAB) défini par $\\text{FAB} = \\text{tr}((\\Phi^T \\Phi)^{-1})$ pour la méthode MCNR afin d'évaluer la sensibilité du modèle au bruit de mesure.
Question 3 : À partir des deux ensembles de paramètres, déterminer les réponses indicielles du système en calculant : la constante de temps $\\tau$, le temps de réponse à $5\\%$ ($t_{5\\%}$), le gain stationnaire $K_s$, et la température maximale prévisible $T_{max}$ pour une puissance de commande $P = 300$ W. Identifier quelle méthode donne une identification plus fiable en analysant la cohérence des résultats avec les observations expérimentales.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'Exercice 3
Question 1 : Comparaison MCR et MCNR
Étape 1.1 : Identification par méthode récursive (MCR)
• R² (MCNR) : 0.4157 (41.6%) — indique un ajustement modéré, suggérant des dynamiques d'ordre supérieur
• FAB : 0.000196 — très faible, bon conditionnement numérique
• Température maximale : T_max ≈ 96.8 °C pour P = 300 W
• Fiabilité : MCR et MCNR convergent rapidement; R² modéré suggère ajouter des termes (ordre supérieur ou non-linéarités)
",
"id_category": "3",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"title": "Exercice 1 : Identification non récursive à partir du modèle ARX d'un système d'ordre 2",
"question": "
Exercice 1 : Identification non récursive à partir du modèle ARX d'un système d'ordre 2
On observe la sortie $y(k)$ d'un système électrique dont la dynamique suit le modèle ARX :
Question 1 : Formulez le système d’équations linéaires à résoudre pour déterminer les paramètres $a_1, a_2, b_1, b_2$ par moindres carrés.
Question 2 : Effectuez le calcul matriciel pour obtenir les valeurs numériques estimées des paramètres en utilisant la méthode des moindres carrés (OLS standard).
Question 3 : Calculez la sortie prédites $\\hat{y}(3)$ et $\\hat{y}(4)$ avec les paramètres identifiés.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Résultat final : $\\hat{y}(3) = 2.99$ ; $\\hat{y}(4) = -2.02$
",
"id_category": "3",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Méthodes d’identification numériques ",
"title": "Exercice 2 : Identification récursive par méthode du RLS pour un système RC",
"question": "
Exercice 2 : Identification récursive par méthode du RLS pour un système RC
On considère un système RC dont la sortie $y(k)$ et l'entrée $u(k)$ sont reliées par :
$y(k) = \\theta_1 y(k-1) + \\theta_2 u(k-1)$
Le système est stimulé par l'entrée suivante : $u(0) = 1 ;~ u(1) = 0.8 ;~ y(0) = 0.5 ;~ y(1) = 0.7$
Question 1 : Énoncez les équations de la méthode RLS (Recursive Least Squares) utilisées pour mettre à jour $\\theta_1, \\theta_2$ à partir de l'observation à $k = 1$.
Question 2 : Supposons :
$\\theta(0) = [0 ; 0]$, $P(0) = \\begin{bmatrix} 100 & 0 \\ 0 & 100 \\end{bmatrix}$, $\\lambda = 1$ Calculez les valeurs mises à jour $\\theta(1)$ et $P(1)$ après l'observation $y(1) = 0.7$.
Question 3 : Utilisez les paramètres $\\theta(1)$ pour prédire la sortie future $y(2)$ sachant $y(1) = 0.7$ et $u(1) = 0.8$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Formulez l’ensemble des équations d’identification permettant de calculer $\\alpha$ et $\\beta$ par méthode des différences finies et écrivez le système d’équations à résoudre.
Question 2 : Déterminez les valeurs de $\\alpha$ et $\\beta$ à partir des données expérimentales par la méthode des moindres carrés (OLS direct).
Question 3 : Calculez la vitesse prédite $\\hat{w}(4)$ pour $u(4) = 1.4$ en utilisant le modèle identifié.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
