[
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Oscillateur harmonique couplé avec excitation sinusoïdale
\n
Un système mécanique est constitué de deux disques de moments d'inertie $I_1 = 0.5\\,\\text{kg·m}^2$ et $I_2 = 0.8\\,\\text{kg·m}^2$ reliés par un arbre de torsion de raideur $k_t = 200\\,\\text{N·m/rad}$. Le disque $I_1$ est fixé au bâti par un ressort de torsion de raideur $k_1 = 150\\,\\text{N·m/rad}$, et le disque $I_2$ est soumis à un couple harmonique $M(t) = M_0\\sin(\\omega t)$ avec $M_0 = 25\\,\\text{N·m}$. Les angles de rotation sont notés $\\theta_1$ et $\\theta_2$.
\n\n
Question 1 : Établissez les équations du mouvement et calculez les fréquences naturelles $f_1$ et $f_2$ du système en Hz.
\n\n
Question 2 : Pour une fréquence d'excitation $\\omega = 12\\,\\text{rad/s}$, déterminez les amplitudes angulaires $\\Theta_1$ et $\\Theta_2$ en degrés.
\n\n
Question 3 : Calculez le rapport des amplitudes $\\Theta_2/\\Theta_1$ en fonction de la fréquence d'excitation, puis tracez son comportement aux fréquences $\\omega = 5, 10, 15, 20\\,\\text{rad/s}$.
\n\n
Question 4 : Déterminez l'énergie cinétique maximale du système lorsque $\\omega = 8\\,\\text{rad/s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2
\n\n
Question 1 : Équations du mouvement et fréquences naturelles
\n\n
Les équations du mouvement par la méthode de Lagrange sont :
",
"id_category": "1",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Bâtiment à deux étages sous excitation sismique
\n
Un modèle simplifié d'un bâtiment à deux étages est représenté par deux masses $m_1 = 5000\\,\\text{kg}$ (premier étage) et $m_2 = 4000\\,\\text{kg}$ (deuxième étage), reliées par des colonnes de rigidité équivalente $k_1 = 2 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$ (entre le sol et le premier étage) et $k_2 = 1.5 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$ (entre les deux étages). Le sol subit une accélération harmonique $a_g(t) = A_g\\cos(\\omega t)$ avec $A_g = 2\\,\\text{m/s}^2$.
\n\n
Question 1 : Déterminez les périodes propres $T_1$ et $T_2$ du bâtiment en secondes.
\n\n
Question 2 : Pour une fréquence d'excitation sismique de $\\omega = 20\\,\\text{rad/s}$, calculez les déplacements relatifs maximaux $X_1$ et $X_2$ par rapport au sol.
\n\n
Question 3 : Déterminez les forces de cisaillement à la base du bâtiment $V_0$ et entre les deux étages $V_1$ pour cette même excitation.
\n\n
Question 4 : Calculez le facteur d'amplification dynamique $\\beta$ du deuxième étage, défini comme le rapport entre l'accélération absolue du deuxième étage et l'accélération du sol.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
",
"id_category": "1",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Système de suspension de véhicule à deux degrés de liberté
\n
Un modèle simplifié de suspension automobile comporte une masse suspendue (caisse) $m_c = 1200\\,\\text{kg}$ et une masse non suspendue (roue et essieu) $m_r = 80\\,\\text{kg}$. La suspension a une raideur $k_s = 20000\\,\\text{N/m}$ et le pneu une raideur $k_t = 180000\\,\\text{N/m}$. Le véhicule roule sur une route sinusoïdale d'amplitude $Y_0 = 0.03\\,\\text{m}$ avec une longueur d'onde $\\lambda = 5\\,\\text{m}$ à une vitesse $v = 15\\,\\text{m/s}$.
\n\n
Question 1 : Déterminez la pulsation d'excitation $\\omega$ et les fréquences naturelles $f_1$ et $f_2$ du système.
\n\n
Question 2 : Calculez les amplitudes de déplacement vertical de la masse suspendue $Z_c$ et de la masse non suspendue $Z_r$.
\n\n
Question 3 : Déterminez la déflexion maximale de la suspension $\\Delta z_{max} = |Z_c - Z_r|$ et vérifiez si elle dépasse la limite de $0.08\\,\\text{m}$.
\n\n
Question 4 : Calculez la force maximale transmise à la caisse par la suspension et l'accélération verticale maximale subie par les passagers.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 4
\n\n
Question 1 : Pulsation d'excitation et fréquences naturelles
où $g = 9.81\\,\\text{m/s}^2$. Cette accélération est faible et confortable pour les passagers.
",
"id_category": "1",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système masse-ressort à deux degrés de liberté avec force harmonique
\n
On considère un système mécanique constitué de deux masses $m_1 = 2$ kg et $m_2 = 3$ kg reliées par des ressorts de raideurs $k_1 = 500$ N/m, $k_2 = 800$ N/m et $k_3 = 600$ N/m. La masse $m_1$ est soumise à une force extérieure harmonique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50$ N. Le système est sans amortissement.
Question 1 : Déterminez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système en rad/s.
\n\n
Question 2 : Calculez les rapports d'amplitude des modes propres $r_1 = \\frac{x_2}{x_1}$ pour chaque mode.
\n\n
Question 3 : Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 15$ rad/s, calculez l'amplitude de déplacement $X_1$ de la masse $m_1$ en régime permanent (en mm).
\n\n
Question 4 : Déterminez l'amplitude de déplacement $X_2$ de la masse $m_2$ pour la même pulsation d'excitation (en mm).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Calcul des pulsations propres
\n\n
Les pulsations propres sont obtenues en résolvant l'équation caractéristique du système libre. La matrice de masse est $[M] = \\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\end{bmatrix}$ et la matrice de raideur est $[K] = \\begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \\end{bmatrix}$.
\n\n
Étape 1 : Formulation de la matrice dynamique
\n
L'équation caractéristique est $\\det([K] - \\omega^2[M]) = 0$
Le signe négatif indique que les masses oscillent en opposition de phase dans le second mode.
\n\n
Question 3 : Amplitude de déplacement $X_1$ pour $\\omega = 15$ rad/s
\n\n
En régime permanent, la solution est de la forme $x_i(t) = X_i \\cos(\\omega t)$. En substituant dans les équations du mouvement, on obtient un système algébrique.
\n\n
Étape 1 : Système d'équations en régime forcé
\n
$[(k_1+k_2) - m_1\\omega^2]X_1 - k_2 X_2 = F_0$
\n
$-k_2 X_1 + [(k_2+k_3) - m_2\\omega^2]X_2 = 0$
\n\n
Étape 2 : Remplacement des données pour $\\omega = 15$ rad/s
\n
$[1300 - 2(15)^2]X_1 - 800 X_2 = 50$
\n
$[1300 - 2(225)]X_1 - 800 X_2 = 50$
\n
$850 X_1 - 800 X_2 = 50$ ... (1)
\n\n
$-800 X_1 + [1400 - 3(15)^2]X_2 = 0$
\n
$-800 X_1 + [1400 - 3(225)]X_2 = 0$
\n
$-800 X_1 + 725 X_2 = 0$ ... (2)
\n\n
Étape 3 : Résolution par substitution
\n
De l'équation (2) : $X_2 = \\frac{800}{725}X_1 = 1.103 X_1$
L'amplitude est $|X_1| = 1.543 \\text{ m} = 1543 \\text{ mm}$. Le signe négatif indique un déphasage de $180°$ avec la force appliquée, ce qui est normal lorsque la pulsation d'excitation est proche d'une résonance.
La masse $m_2$ a une amplitude de vibration légèrement supérieure à celle de $m_1$, et les deux masses oscillent en phase (même signe de déplacement) pour cette pulsation d'excitation.
",
"id_category": "1",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Système avec amortissement visqueux et excitation harmonique
\n
Un système mécanique à deux degrés de liberté est constitué de deux masses $m_1 = 5$ kg et $m_2 = 4$ kg, reliées par des ressorts de raideurs $k_1 = 1000$ N/m et $k_2 = 1200$ N/m. Le système possède deux amortisseurs visqueux de coefficients $c_1 = 20$ N·s/m et $c_2 = 15$ N·s/m. Une force harmonique $F(t) = F_0 \\sin(\\omega t)$ avec $F_0 = 80$ N est appliquée sur la masse $m_2$.
Les coefficients d'amortissement réduits nécessitent de calculer les amortissements modaux. Pour un système à deux degrés de liberté, on utilise une approximation basée sur les modes découplés.
\n\n
Étape 1 : Formule de l'amortissement critique pour chaque mode
\n
L'amortissement critique modal est $c_{cr,i} = 2\\sqrt{k_i m_i}$ où les paramètres sont les masses et raideurs modales généralisées.
Étape 2 : Amplitude relative (approximation en phase)
\n
Pour simplifier, on peut estimer $|X_1 - X_2| \\approx |X_2| - |X_1| = 0.1886 - 0.1488 = 0.0398$ m
\n
(Une analyse de phase complète donnerait une valeur plus précise)
\n\n
Étape 3 : Calcul de la puissance moyenne
\n
$P = \\frac{1}{2}c_2\\omega^2|X_1 - X_2|^2$
\n
$P = \\frac{1}{2}(15)(12)^2(0.0398)^2$
\n
$P = \\frac{1}{2}(15)(144)(0.001584)$
\n
$P = 1.71 \\text{ W}$
\n\n
Cette puissance représente l'énergie dissipée sous forme de chaleur par l'amortisseur $c_2$ en raison du mouvement relatif entre les deux masses.
",
"id_category": "1",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Bâtiment à deux étages sous excitation sismique
\n
Un modèle simplifié d'un bâtiment à deux étages est représenté par deux masses $m_1 = 8000$ kg (premier étage) et $m_2 = 6000$ kg (deuxième étage). Les raideurs des étages sont $k_1 = 4 \\times 10^6$ N/m et $k_2 = 3 \\times 10^6$ N/m. Le bâtiment est soumis à une excitation sismique du sol modélisée par $x_0(t) = A_0 \\sin(\\omega t)$ avec $A_0 = 0.05$ m.
\n\n
Les déplacements absolus des étages sont $y_1$ et $y_2$. Les déplacements relatifs au sol sont $x_1 = y_1 - x_0$ et $x_2 = y_2 - x_0$. Les équations du mouvement relatives au sol sont :
Le deuxième étage subit une amplitude de déplacement presque double de celle du premier étage, ce qui est typique d'une réponse près de la première fréquence de résonance.
\n\n
Question 4 : Force maximale sur le premier étage (cisaillement à la base)
\n\n
La force de cisaillement à la base est la force totale exercée par le premier étage sur les fondations.
\n\n
Étape 1 : Formule de la force de cisaillement
\n
La force à la base est $F_{base} = k_1 X_1$, qui représente la force de rappel élastique du premier étage.
Cette force représente la charge sismique maximale que les colonnes du premier étage doivent supporter lors de l'excitation à $2.5$ Hz. C'est une valeur critique pour le dimensionnement parasismique de la structure.
",
"id_category": "1",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Système avec couplage élastique et excitation à balourds
\n
Deux rotors de masses $m_1 = 10$ kg et $m_2 = 8$ kg sont montés sur un même arbre élastique. Le premier rotor est équilibré, tandis que le second possède un balourd (masse excentrique) de $m_e = 0.2$ kg à une distance $e = 0.08$ m de son centre. Les raideurs des supports sont $k_1 = 2500$ N/m et $k_2 = 2000$ N/m, et la raideur de couplage de l'arbre est $k_c = 3000$ N/m.
\n\n
Le système tourne à une vitesse angulaire $\\Omega$. La force centrifuge générée par le balourd est $F(t) = m_e e \\Omega^2 \\cos(\\Omega t)$.
L'amplitude est $|X_2| = 3.69 \\text{ mm}$. Le système vibre au-delà de la seconde résonance, où l'amplitude est relativement modérée.
\n\n
Question 4 : Force dynamique transmise au support du rotor 2
\n\n
La force transmise au support est la force élastique exercée par le ressort $k_2$.
\n\n
Étape 1 : Formule de la force transmise
\n
La force dynamique maximale transmise est $F_{trans} = k_2 |X_2|$
\n\n
Étape 2 : Substitution des valeurs
\n
$F_{trans} = k_2 |X_2| = (2000)(0.003687)$
\n\n
Étape 3 : Calcul
\n
$F_{trans} = 7.374 \\text{ N}$
\n\n
Étape 4 : Résultat final
\n
$F_{trans} = 7.37 \\text{ N}$
\n\n
Cette force représente la charge dynamique transmise au support. Elle est relativement faible car la vitesse de rotation $\\Omega = 40$ rad/s est bien au-delà de la seconde vitesse critique, dans une zone où l'isolation vibratoire est efficace. Le rotor déséquilibré génère des vibrations, mais le système se comporte de manière à limiter la transmission au bâti.
",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Suspension de véhicule à deux degrés de liberté
\n
Un modèle simplifié de suspension de véhicule est constitué d'une masse suspendue (caisse) $m_2 = 300$ kg et d'une masse non suspendue (roue et essieu) $m_1 = 40$ kg. La suspension a une raideur $k_2 = 20000$ N/m et un coefficient d'amortissement $c = 1500$ N·s/m. Le pneumatique a une raideur $k_1 = 180000$ N/m. Le véhicule roule sur une route sinusoïdale d'amplitude $h_0 = 0.03$ m avec une longueur d'onde $\\lambda = 6$ m à une vitesse $v = 20$ m/s.
\n\n
Les équations du mouvement par rapport au profil de la route $h(t) = h_0 \\sin(\\omega t)$ sont :
où $\\omega = \\frac{2\\pi v}{\\lambda}$ est la pulsation d'excitation.
\n\n
Question 1 : Calculez la pulsation d'excitation $\\omega$ due au profil de la route (en rad/s).
\n\n
Question 2 : Déterminez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non amorti (en rad/s).
\n\n
Question 3 : Calculez l'amplitude de déplacement de la caisse $X_2$ pour cette vitesse de circulation (en mm).
\n\n
Question 4 : Déterminez l'accélération maximale de la caisse $a_{2,max}$ (en m/s²) et évaluez le confort (comparez à $g = 9.81$ m/s²).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Calcul de la pulsation d'excitation
\n\n
La pulsation d'excitation dépend de la vitesse du véhicule et de la longueur d'onde de la route.
\n\n
Étape 1 : Formule de la pulsation d'excitation
\n
Lorsqu'un véhicule se déplace à vitesse $v$ sur un profil sinusoïdal de longueur d'onde $\\lambda$, la fréquence de rencontre avec les ondulations est $f = \\frac{v}{\\lambda}$, d'où la pulsation :
\n
$\\omega = 2\\pi f = \\frac{2\\pi v}{\\lambda}$
\n\n
Étape 2 : Substitution des valeurs
\n
$\\omega = \\frac{2\\pi \\times 20}{6}$
\n\n
Étape 3 : Calcul
\n
$\\omega = \\frac{40\\pi}{6} = \\frac{125.66}{6}$
\n\n
Étape 4 : Résultat final
\n
$\\omega = 20.94 \\text{ rad/s}$
\n\n
Cette pulsation correspond à une fréquence de $f = \\frac{20.94}{2\\pi} = 3.33$ Hz.
\n\n
Question 2 : Calcul des pulsations propres du système non amorti
\n\n
Pour le système non amorti, on considère uniquement les matrices de masse et de raideur.
La première pulsation propre $(7.74$ rad/s) correspond au mode de \"pompage\" où la caisse et la roue bougent en phase. La seconde $(70.76$ rad/s) correspond au mode de \"débattement\" où elles bougent en opposition.
\n\n
Question 3 : Amplitude de déplacement de la caisse $X_2$
\n\n
Le calcul avec amortissement nécessite l'utilisation de la méthode des impédances complexes.
\n\n
Étape 1 : Réécriture des équations en forme matricielle
\n
En régime harmonique, on utilise $[Z(\\omega)] = -\\omega^2[M] + j\\omega[C] + [K]$
Le rapport à la gravité est : $\\frac{a_{2,max}}{g} = \\frac{3.75}{9.81} = 0.382 = 38.2\\%$ de g
\n\n
Interprétation : Une accélération de $3.75$ m/s² représente environ $38\\%$ de l'accélération gravitationnelle. Selon les normes ISO 2631 sur le confort vibratoire, cette valeur est à la limite du \"relativement inconfortable\" pour une exposition prolongée. La suspension remplit correctement son rôle en atténuant les vibrations de la route, mais à cette vitesse sur ce profil routier, le confort est moyen. Pour améliorer le confort, on pourrait augmenter l'amortissement ou optimiser les raideurs de la suspension.
",
"id_category": "1",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système masses-ressorts avec excitation harmonique
On considère un système mécanique constitué de deux masses $m_1 = 2\\,\\text{kg}$ et $m_2 = 3\\,\\text{kg}$ reliées entre elles et à des supports fixes par trois ressorts de raideurs respectives $k_1 = 1000\\,\\text{N/m}$, $k_2 = 1500\\,\\text{N/m}$ et $k_3 = 800\\,\\text{N/m}$. La masse $m_1$ est soumise à une force excitatrice harmonique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50\\,\\text{N}$. On néglige tous les amortissements. Les déplacements $x_1$ et $x_2$ sont mesurés à partir des positions d'équilibre respectives.
Question 1 : Établir les équations différentielles du mouvement du système et déterminer les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non amorti.
Question 2 : Calculer les amplitudes de vibration $X_1$ et $X_2$ en régime permanent lorsque la fréquence d'excitation est $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$.
Question 3 : Déterminer les fréquences de résonance du système et calculer le rapport $\\frac{X_2}{X_1}$ à ces fréquences.
Question 4 : Calculer l'énergie cinétique totale du système en régime permanent pour $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Équations du mouvement et pulsations propres
Pour établir les équations du mouvement, appliquons le principe fondamental de la dynamique à chaque masse.
Pour la masse $m_1$ :
Les forces agissant sont : la force du ressort $k_1$ ($-k_1 x_1$), la force du ressort $k_2$ reliant les deux masses ($k_2(x_2 - x_1)$), et la force excitatrice $F_0\\cos(\\omega t)$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Absorbeur dynamique de vibrations
Un système principal de masse $M = 100\\,\\text{kg}$ est monté sur un ressort de raideur $K = 40000\\,\\text{N/m}$ et soumis à une force harmonique $F(t) = F_0\\cos(\\Omega t)$ avec $F_0 = 200\\,\\text{N}$. Pour réduire les vibrations, on installe un absorbeur dynamique constitué d'une masse $m = 10\\,\\text{kg}$ reliée à la masse principale par un ressort de raideur $k$ à déterminer. On note $X$ le déplacement de la masse principale et $x$ le déplacement de l'absorbeur. Les amortissements sont négligeables.
Question 1 : Établir les équations du mouvement du système couplé et exprimer la matrice de raideur et la matrice de masse.
Question 2 : La fréquence d'excitation est fixée à $\\Omega = 20\\,\\text{rad/s}$. Déterminer la valeur optimale de $k$ qui permet d'annuler l'amplitude de vibration de la masse principale ($X = 0$).
Question 3 : Avec la valeur de $k$ trouvée en Question 2, calculer l'amplitude de vibration $x_0$ de l'absorbeur en régime permanent.
Question 4 : Calculer la force maximale transmise par le ressort de raideur $k$ reliant les deux masses, et déterminer le pourcentage de réduction de l'amplitude de la masse principale par rapport au système sans absorbeur.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Équations du mouvement et matrices
Appliquons le principe fondamental de la dynamique aux deux masses.
Pour la masse principale $M$ :
Les forces agissant sont : la force du ressort principal ($-KX$), la force du ressort de l'absorbeur ($k(x-X)$), et la force excitatrice ($F_0\\cos(\\Omega t)$).
L'absorbeur dynamique élimine complètement les vibrations de la masse principale lorsqu'il est accordé sur la fréquence d'excitation.
",
"id_category": "1",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Modèle de suspension automobile à deux degrés de liberté
Un modèle simplifié de suspension automobile comporte une masse suspendue (caisse) $m_c = 400\\,\\text{kg}$ et une masse non suspendue (roue + essieu) $m_r = 50\\,\\text{kg}$. La suspension est modélisée par un ressort de raideur $k_s = 20000\\,\\text{N/m}$ et le pneu par un ressort de raideur $k_p = 200000\\,\\text{N/m}$. Le véhicule roule sur une route sinusoïdale d'équation $y(t) = y_0\\cos(\\omega t)$ avec $y_0 = 0.03\\,\\text{m}$ (amplitude des bosses). On note $z_c$ le déplacement vertical de la caisse et $z_r$ celui de la roue, mesurés par rapport à une référence fixe.
Question 1 : Établir les équations du mouvement du système en fonction de $z_c$, $z_r$ et $y(t)$. Déterminer les pulsations propres du système.
Question 2 : Le véhicule roule à une vitesse telle que $\\omega = 10\\,\\text{rad/s}$. Calculer les amplitudes de vibration $Z_c$ et $Z_r$ de la caisse et de la roue en régime permanent.
Question 3 : Déterminer l'accélération verticale maximale subie par la caisse pour $\\omega = 10\\,\\text{rad/s}$.
Question 4 : Calculer la force dynamique maximale transmise au sol par le pneu. Comparer avec le poids de l'ensemble du véhicule.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Équations du mouvement et pulsations propres
Pour la masse de la caisse $m_c$ :
La force agissant est celle du ressort de suspension : $k_s(z_r - z_c)$
$m_c\\ddot{z}_c = k_s(z_r - z_c)$
$m_c\\ddot{z}_c + k_s z_c - k_s z_r = 0$
Pour la masse de la roue $m_r$ :
Les forces agissant sont : la force du ressort de suspension ($k_s(z_c - z_r)$) et la force du pneu ($k_p(y - z_r)$)
La force dynamique représente environ $20.3\\%$ du poids du véhicule.
",
"id_category": "1",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Bâtiment à deux étages sous excitation sismique
Un bâtiment simplifié à deux étages est modélisé par deux masses concentrées $m_1 = 80000\\,\\text{kg}$ (premier étage) et $m_2 = 60000\\,\\text{kg}$ (second étage). La rigidité latérale du premier étage est $k_1 = 3 \\times 10^7\\,\\text{N/m}$ et celle du second étage est $k_2 = 2 \\times 10^7\\,\\text{N/m}$. Le bâtiment est soumis à une accélération sismique horizontale du sol $a_s(t) = a_0\\cos(\\Omega t)$ avec $a_0 = 2\\,\\text{m/s}^2$. On note $u_1$ et $u_2$ les déplacements horizontaux relatifs des deux étages par rapport au sol.
Question 1 : Établir les équations du mouvement en termes de déplacements relatifs $u_1$ et $u_2$. Déterminer les fréquences propres du bâtiment en $\\text{Hz}$.
Question 2 : La fréquence d'excitation sismique est $f = 0.8\\,\\text{Hz}$ (soit $\\Omega = 2\\pi f$). Calculer les amplitudes de déplacement relatif $U_1$ et $U_2$ des deux étages.
Question 3 : Calculer la force de cisaillement maximale à la base du bâtiment (dans le premier étage).
Question 4 : Déterminer le déplacement inter-étage maximal $\\Delta u_{max} = |u_2 - u_1|_{max}$ et vérifier s'il respecte la limite réglementaire de $1\\%$ de la hauteur d'étage (hauteur d'étage : $h = 3\\,\\text{m}$).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 4
Question 1 : Équations du mouvement et fréquences propres
En utilisant les déplacements relatifs par rapport au sol, les équations deviennent :
Pour l'étage 1 (masse $m_1$) :
Forces : ressort du premier étage ($-k_1 u_1$), ressort du second étage ($k_2(u_2 - u_1)$), et force d'inertie due à l'accélération du sol ($-m_1 a_s$).
Le déplacement inter-étage $\\Delta u_{max} = 7.4\\,\\text{mm}$ est inférieur à la limite de $30\\,\\text{mm}$, donc conforme à la réglementation.
",
"id_category": "1",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Système de pendules couplés avec excitation périodique
Deux pendules identiques de longueur $L = 1\\,\\text{m}$ et de masse $m = 5\\,\\text{kg}$ sont suspendus à un support horizontal mobile qui oscille horizontalement selon $x_s(t) = A\\cos(\\omega t)$ avec $A = 0.05\\,\\text{m}$. Les deux pendules sont couplés par un ressort de torsion de constante $C = 10\\,\\text{N·m/rad}$ fixé à mi-hauteur. On note $\\theta_1$ et $\\theta_2$ les angles d'oscillation des deux pendules par rapport à la verticale (petits angles). L'accélération gravitationnelle est $g = 9.81\\,\\text{m/s}^2$.
Question 1 : En utilisant l'approximation des petits angles, établir les équations linéarisées du mouvement. Calculer les pulsations propres du système couplé.
Question 2 : Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 2.5\\,\\text{rad/s}$, déterminer les amplitudes angulaires $\\Theta_1$ et $\\Theta_2$ en régime permanent.
Question 3 : Calculer l'énergie potentielle élastique maximale stockée dans le ressort de couplage pour $\\omega = 2.5\\,\\text{rad/s}$.
Question 4 : Déterminer la pulsation d'excitation $\\omega_{crit}$ pour laquelle les deux pendules oscillent en phase avec la même amplitude. Calculer cette amplitude commune pour $\\omega = \\omega_{crit}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 5
Question 1 : Équations linéarisées et pulsations propres
Pour un pendule simple avec support mobile, l'équation du mouvement en petits angles devient :
(Le facteur $\\frac{1}{2}$ vient du fait que le ressort est à mi-hauteur)
Avec $\\Theta_1 = \\Theta_2$, nous avons :
$\\theta_1 - \\theta_2 = 0$
Donc : $E_{pot,max} = 0\\,\\text{J}$
Les deux pendules oscillent en phase avec la même amplitude, donc il n'y a pas de déformation du ressort.
Question 4 : Pulsation critique et amplitude commune
Pour que les deux pendules oscillent en phase avec la même amplitude, le mode propre correspondant est le mode symétrique ($\\omega_1 = 3.132\\,\\text{rad/s}$).
La condition est que l'excitation corresponde à ce mode :
À la résonance exacte ($\\omega = \\omega_{crit} = 3.132\\,\\text{rad/s}$), l'amplitude devient théoriquement infinie en l'absence d'amortissement.
",
"id_category": "1",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système de deux masses couplées sous excitation harmonique
On considère un système mécanique constitué de deux masses $m_1 = 2\\,\\text{kg}$ et $m_2 = 3\\,\\text{kg}$ reliées par des ressorts et soumises à une force excitatrice harmonique. La masse $m_1$ est reliée à un support fixe par un ressort de raideur $k_1 = 500\\,\\text{N/m}$, les deux masses sont reliées entre elles par un ressort de raideur $k_2 = 300\\,\\text{N/m}$, et la masse $m_2$ est reliée à un autre support fixe par un ressort de raideur $k_3 = 400\\,\\text{N/m}$. Une force excitatrice $F(t) = F_0\\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50\\,\\text{N}$ et $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$ est appliquée sur la masse $m_1$. On néglige tout amortissement.
Question 1 : Déterminez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non amorti en l'absence de force excitatrice.
Question 2 : Calculez les amplitudes $X_1$ et $X_2$ des oscillations forcées des deux masses en régime permanent sous l'excitation donnée.
Question 3 : Déterminez l'énergie cinétique maximale du système en régime permanent.
Question 4 : Calculez le déphasage entre le mouvement de la masse $m_1$ et la force excitatrice, ainsi que le déphasage entre les mouvements des deux masses.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 1
Question 1 : Détermination des pulsations propres
Pour un système à deux degrés de liberté, les pulsations propres sont obtenues en résolvant l'équation caractéristique issue des équations du mouvement. Les équations du mouvement sans amortissement ni excitation sont :
Question 2 : Calcul des amplitudes en régime permanent
En régime permanent, les solutions sont de la forme $x_1(t) = X_1\\cos(\\omega t)$ et $x_2(t) = X_2\\cos(\\omega t)$. En substituant dans les équations du mouvement :
$(-m_1\\omega^2 + k_1 + k_2)X_1 - k_2X_2 = F_0$
$-k_2X_1 + (-m_2\\omega^2 + k_2 + k_3)X_2 = 0$
Avec $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$, calculons les coefficients :
Les vitesses sont $\\dot{x}_1 = -\\omega X_1\\sin(\\omega t)$ et $\\dot{x}_2 = -\\omega X_2\\sin(\\omega t)$. L'énergie cinétique est maximale quand $\\sin(\\omega t) = \\pm 1$ :
Comme le système est non amorti et que les amplitudes $X_1$ et $X_2$ sont négatives, il existe un déphasage de $\\pi$ radians ($180^\\circ$) entre la force excitatrice et le mouvement de $m_1$. Les deux masses oscillent en phase car le rapport $X_2/X_1 = 12$ est positif.
$\\phi_{F-m_1} = \\pi\\,\\text{rad} = 180^\\circ$
$\\phi_{m_2-m_1} = 0\\,\\text{rad} = 0^\\circ$
",
"id_category": "1",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Absorbeur dynamique de vibrations
Un système principal de masse $M = 100\\,\\text{kg}$ et de raideur $K = 40000\\,\\text{N/m}$ est soumis à une force périodique $F(t) = F_0\\sin(\\omega t)$ avec $F_0 = 200\\,\\text{N}$ et $\\omega = 20\\,\\text{rad/s}$. Pour réduire les vibrations, on lui adjoint un absorbeur dynamique constitué d'une masse $m = 10\\,\\text{kg}$ reliée à la masse principale par un ressort de raideur $k$. On considère le système sans amortissement. Les déplacements $x_1$ (masse principale) et $x_2$ (absorbeur) sont mesurés par rapport aux positions d'équilibre.
Question 1 : Calculez la raideur $k$ de l'absorbeur pour que la masse principale reste immobile ($X_1 = 0$) lorsque la fréquence d'excitation est $\\omega = 20\\,\\text{rad/s}$.
Question 2 : Avec la valeur de $k$ trouvée, calculez l'amplitude $X_2$ du mouvement de l'absorbeur en régime permanent.
Question 3 : Déterminez les deux pulsations propres du système couplé (masse principale + absorbeur) avec la valeur de $k$ calculée.
Question 4 : Calculez la force maximale exercée par le ressort de l'absorbeur sur la masse principale en régime permanent et comparez-la à la force excitatrice.
",
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"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 2
Question 1 : Calcul de la raideur k de l'absorbeur
En régime permanent, les solutions sont $x_1 = X_1\\sin(\\omega t)$ et $x_2 = X_2\\sin(\\omega t)$. Substitution :
$(-M\\omega^2 + K + k)X_1 - kX_2 = F_0$
$-kX_1 + (k - m\\omega^2)X_2 = 0$
Pour que $X_1 = 0$, il faut que la force nette sur la masse principale soit nulle. De la deuxième équation, si $X_1 \\neq 0$ :
$X_2 = \\frac{kX_1}{k - m\\omega^2}$
Pour $X_1 = 0$, la condition est obtenue en analysant directement : l'absorbeur doit avoir sa pulsation propre égale à la pulsation d'excitation. La pulsation propre de l'absorbeur seul est :
$\\omega_a = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
Pour annuler $X_1$, on impose :
$\\omega_a = \\omega$
$\\sqrt{\\frac{k}{m}} = 20$
$\\frac{k}{m} = 400$
$k = 400m = 400 \\times 10$
$k = 4000\\,\\text{N/m}$
Question 2 : Amplitude X₂ de l'absorbeur
Avec $k = 4000\\,\\text{N/m}$ et $X_1 = 0$, la première équation devient :
Cette force est exactement égale à l'amplitude de la force excitatrice $F_0 = 200\\,\\text{N}$. L'absorbeur compense totalement la force externe appliquée sur la masse principale, d'où l'immobilité de celle-ci.
",
"id_category": "1",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Bâtiment à deux étages sous excitation sismique
On modélise un bâtiment à deux étages comme un système à deux degrés de liberté. Chaque étage a une masse $m = 5000\\,\\text{kg}$. La rigidité de la structure entre le sol et le premier étage est $k_1 = 2 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$, et entre les deux étages est $k_2 = 1.5 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$. Le bâtiment subit une excitation sismique à sa base modélisée par un déplacement horizontal $x_0(t) = A_0\\sin(\\omega t)$ avec $A_0 = 0.02\\,\\text{m}$ et $\\omega = 8\\,\\text{rad/s}$. On note $x_1$ et $x_2$ les déplacements absolus des premier et deuxième étages respectivement.
Question 1 : Établissez les équations du mouvement en termes de déplacements relatifs $y_1 = x_1 - x_0$ et $y_2 = x_2 - x_0$, puis déterminez les pulsations propres du système.
Question 2 : Calculez les amplitudes $Y_1$ et $Y_2$ des déplacements relatifs des deux étages en régime permanent.
Question 3 : Déterminez la force maximale exercée par le deuxième étage sur le premier étage.
Question 4 : Calculez le déplacement absolu maximal du deuxième étage et comparez-le à l'amplitude de l'excitation de base.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 3
Question 1 : Équations du mouvement et pulsations propres
Les équations du mouvement en déplacements absolus sont :
En termes de déplacements relatifs $y_1 = x_1 - x_0$ et $y_2 = x_2 - x_0$, on a $\\ddot{y}_1 = \\ddot{x}_1 - \\ddot{x}_0$ et $\\ddot{y}_2 = \\ddot{x}_2 - \\ddot{x}_0$, avec $\\ddot{x}_0 = -\\omega^2 A_0\\sin(\\omega t)$. Les équations deviennent :
En régime permanent, $y_1 = Y_1\\sin(\\omega t)$ et $y_2 = Y_2\\sin(\\omega t)$. Le second membre est $F_{\\text{eff}} = m\\omega^2 A_0 = 5000 \\times 64 \\times 0.02 = 6400\\,\\text{N}$. Les équations algébriques sont :
Le déplacement maximal du deuxième étage est $40\\,\\text{mm}$, soit le double de l'amplitude de l'excitation de base $A_0 = 20\\,\\text{mm}$. Il y a donc une amplification dynamique du mouvement.
",
"id_category": "1",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Pendules couplés sous excitation périodique
Deux pendules simples identiques de longueur $L = 1\\,\\text{m}$ et de masse ponctuelle $m = 0.5\\,\\text{kg}$ sont suspendus côte à côte et couplés par un ressort horizontal de raideur $k = 20\\,\\text{N/m}$ fixé à mi-hauteur ($L/2$) des pendules. Le point de suspension du premier pendule est soumis à un mouvement horizontal $d(t) = D_0\\cos(\\omega t)$ avec $D_0 = 0.05\\,\\text{m}$ et $\\omega = 2.5\\,\\text{rad/s}$. On note $\\theta_1$ et $\\theta_2$ les angles des pendules par rapport à la verticale (petites oscillations, $\\sin\\theta \\approx \\theta$). On prend $g = 10\\,\\text{m/s}^2$.
Question 1 : Établissez les équations linéarisées du mouvement et déterminez les pulsations propres du système couplé en l'absence d'excitation.
Question 2 : Calculez les amplitudes angulaires $\\Theta_1$ et $\\Theta_2$ en régime permanent sous l'excitation donnée.
Question 3 : Déterminez l'énergie potentielle élastique maximale stockée dans le ressort de couplage.
Question 4 : Calculez la puissance instantanée fournie par la force d'inertie d'entraînement au premier pendule à l'instant $t = \\pi/\\omega$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'exercice 4
Question 1 : Équations linéarisées et pulsations propres
Pour de petites oscillations, l'équation d'un pendule simple devient linéaire. Le ressort exerce une force horizontale $F_r = k \\times \\text{(élongation)}$ à mi-hauteur. L'élongation du ressort est approximativement $\\frac{L}{2}(\\theta_2 - \\theta_1)$ pour de petits angles. Le moment de cette force par rapport au pivot pour chaque pendule est :
Pour le premier pendule avec point de suspension mobile, l'accélération horizontale du pivot est $\\ddot{d} = -\\omega^2 D_0\\cos(\\omega t)$, créant une force d'inertie apparente $-m\\ddot{d}$ dans le référentiel du pivot. Les équations du mouvement sont :
L'élongation du ressort est $\\Delta x = \\frac{L}{2}(\\theta_2 - \\theta_1) = 0.5(\\Theta_2 - \\Theta_1)\\cos(\\omega t)$. L'énergie potentielle élastique est :
La force d'inertie d'entraînement horizontale est $F_{\\text{ent}} = -m\\ddot{d} = m\\omega^2 D_0\\cos(\\omega t)$. La vitesse horizontale du premier pendule (approximation petits angles) est $v_1 \\approx L\\dot{\\theta}_1 = -L\\omega\\Theta_1\\sin(\\omega t)$. La puissance instantanée est :
À cet instant, la vitesse du pendule est nulle, donc la puissance instantanée est nulle.
",
"id_category": "1",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système masses-ressorts couplés sous excitation harmonique
\n
On considère un système mécanique constitué de deux masses $m_1 = 2\\,\\text{kg}$ et $m_2 = 3\\,\\text{kg}$ reliées par des ressorts de raideurs $k_1 = 500\\,\\text{N/m}$, $k_2 = 300\\,\\text{N/m}$ et $k_3 = 400\\,\\text{N/m}$. La masse $m_1$ est soumise à une force d'excitation harmonique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50\\,\\text{N}$. On néglige les frottements. Les déplacements $x_1(t)$ et $x_2(t)$ sont mesurés à partir des positions d'équilibre.
\n\n
Question 1 : Établir les équations du mouvement du système et les mettre sous forme matricielle. Déterminer la matrice de masse $[M]$ et la matrice de raideur $[K]$.
\n\n
Question 2 : Calculer les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non amorti et non excité, ainsi que les modes propres normalisés.
\n\n
Question 3 : Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$, déterminer les amplitudes complexes des déplacements $X_1$ et $X_2$ en régime permanent.
\n\n
Question 4 : Calculer la puissance moyenne fournie par la force extérieure au système pour $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1
\n\n
Question 1 : Équations du mouvement et forme matricielle
\n\n
Étape 1 : Analyse des forces \nPour la masse $m_1$ : Le ressort $k_1$ exerce une force $-k_1 x_1$, le ressort $k_2$ exerce une force $k_2(x_2 - x_1)$, et la force extérieure est $F_0\\cos(\\omega t)$.
\n\n
Pour la masse $m_2$ : Le ressort $k_2$ exerce une force $-k_2(x_2 - x_1)$ et le ressort $k_3$ exerce une force $-k_3 x_2$.
\n\n
Étape 2 : Équations différentielles \nAppliquons le principe fondamental de la dynamique :
Explication : En l'absence d'amortissement, la puissance moyenne fournie est nulle car l'énergie oscille entre l'énergie cinétique et potentielle sans dissipation.
\n\n$\\boxed{P_{\\text{moy}} = 0\\,\\text{W}}$",
"id_category": "1",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Oscillations forcées d'un bâtiment à deux étages
\n
Un modèle simplifié d'un bâtiment à deux étages est représenté par deux masses $m_1 = 10000\\,\\text{kg}$ (premier étage) et $m_2 = 8000\\,\\text{kg}$ (deuxième étage). La rigidité des colonnes du premier étage est $k_1 = 2 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$ et celle du deuxième étage est $k_2 = 1.5 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$. Le bâtiment est soumis à une excitation sismique de la base modélisée par $y(t) = Y_0\\sin(\\omega t)$ avec $Y_0 = 0.05\\,\\text{m}$. On introduit un coefficient d'amortissement visqueux $c = 5000\\,\\text{N·s/m}$ entre les deux étages.
\n\n
Question 1 : Établir les équations du mouvement en termes des déplacements absolus $z_1$ et $z_2$ des étages. Puis, exprimer ces équations en fonction des déplacements relatifs à la base $x_1 = z_1 - y$ et $x_2 = z_2 - y$.
\n\n
Question 2 : Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 20\\,\\text{rad/s}$, calculer les amplitudes des déplacements relatifs $X_1$ et $X_2$ en négligeant l'amortissement.
\n\n
Question 3 : Calculer le facteur d'amplification dynamique $\\beta_1 = X_1/Y_0$ et $\\beta_2 = X_2/Y_0$ pour $\\omega = 20\\,\\text{rad/s}$.
\n\n
Question 4 : En tenant compte de l'amortissement $c = 5000\\,\\text{N·s/m}$, calculer les nouvelles amplitudes $X_1$ et $X_2$ pour $\\omega = 20\\,\\text{rad/s}$ en utilisant la méthode des impédances complexes.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2
\n\n
Question 1 : Équations du mouvement
\n\n
Étape 1 : Équations en déplacements absolus \nPour l'étage $1$, la force de rappel est $-k_1(z_1 - y)$, la force de l'étage supérieur est $k_2(z_2 - z_1)$, et la force d'amortissement est $c(\\dot{z}_2 - \\dot{z}_1)$ :
Interprétation : Le deuxième étage subit une amplification dynamique plus importante que le premier, ce qui est typique des structures à plusieurs étages.
Étape 1 : Méthode des impédances complexes \nAvec $c = 5000\\,\\text{N·s/m}$, on utilise les impédances complexes. Pour une excitation $e^{j\\omega t}$, on pose $\\tilde{X}_1$ et $\\tilde{X}_2$ complexes.
Conclusion : L'amortissement réduit significativement les amplitudes de vibration, passant de $71.4\\,\\text{mm}$ à $22.9\\,\\text{mm}$ pour le premier étage.
",
"id_category": "1",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Système de suspension de véhicule à deux degrés de liberté
\n
On modélise un système de suspension de véhicule simplifié avec une masse suspendue $m_s = 350\\,\\text{kg}$ (caisse) et une masse non suspendue $m_u = 40\\,\\text{kg}$ (roue). La suspension a une raideur $k_s = 18000\\,\\text{N/m}$ et un amortissement $c_s = 1200\\,\\text{N·s/m}$. Le pneu est modélisé par une raideur $k_t = 180000\\,\\text{N/m}$. La route présente un profil sinusoïdal $z_r(t) = z_0\\sin(\\omega t)$ avec $z_0 = 0.02\\,\\text{m}$. On note $z_u$ le déplacement vertical de la roue et $z_s$ celui de la caisse.
\n\n
Question 1 : Établir les équations du mouvement du système en fonction des déplacements absolus $z_u$ et $z_s$, puis exprimer ces équations en fonction des déplacements relatifs $x_u = z_u - z_r$ et $x_s = z_s - z_r$.
\n\n
Question 2 : Pour une vitesse du véhicule $v = 72\\,\\text{km/h}$ sur une route de longueur d'onde $\\lambda = 6\\,\\text{m}$, calculer la pulsation d'excitation $\\omega$ et déterminer les amplitudes complexes $\\tilde{X}_u$ et $\\tilde{X}_s$ des déplacements relatifs.
\n\n
Question 3 : Calculer l'accélération maximale de la caisse $|\\ddot{z}_s|_{\\text{max}}$ et le confort relatif défini par $CR = |\\ddot{z}_s|_{\\text{max}}/g$ où $g = 9.81\\,\\text{m/s}^2$.
\n\n
Question 4 : Déterminer la force dynamique maximale transmise au pneu $F_{\\text{pneu,max}}$ et vérifier qu'elle ne dépasse pas $50\\%$ du poids statique de l'ensemble du véhicule.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3
\n\n
Question 1 : Équations du mouvement
\n\n
Étape 1 : Équations en déplacements absolus \nPour la masse non suspendue $m_u$ (roue) :
\n\n
Forces appliquées : force du pneu $-k_t(z_u - z_r)$, force de suspension $k_s(z_s - z_u)$, force d'amortissement $c_s(\\dot{z}_s - \\dot{z}_u)$ :
Interprétation : Un confort relatif de $1.895$ signifie que l'accélération subie est environ $1.9$ fois l'accélération gravitationnelle, ce qui peut être inconfortable pour les passagers.
Vérification : La force dynamique représente $87\\%$ du poids statique, ce qui dépasse le seuil de $50\\%$. Cela indique que pour cette condition de route et cette vitesse, il y a un risque de perte momentanée de contact entre le pneu et la route, ce qui est dangereux.
\n\n
Résultat final :
\n$\\boxed{F_{\\text{pneu,max}} = 3330\\,\\text{N} = 87\\% \\text{ du poids statique} > 50\\% \\text{ (non conforme)}}$",
"id_category": "1",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Absorber dynamique de vibrations (Dynamic Vibration Absorber)
\n
Un système principal constitué d'une masse $m_1 = 100\\,\\text{kg}$ et d'un ressort de raideur $k_1 = 40000\\,\\text{N/m}$ est soumis à une force d'excitation harmonique $F(t) = F_0\\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 500\\,\\text{N}$. Pour réduire les vibrations, on ajoute un absorbeur dynamique (masse $m_2 = 10\\,\\text{kg}$, ressort $k_2$ à déterminer) fixé à la masse principale. On néglige l'amortissement dans un premier temps.
\n\n
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ du système principal sans absorbeur et déterminer l'amplitude de vibration $X_1$ pour une excitation à $\\omega = \\omega_0$ (résonance).
\n\n
Question 2 : Pour éliminer les vibrations de la masse principale à la pulsation $\\omega = \\omega_0$, déterminer la raideur optimale $k_2$ de l'absorbeur dynamique et calculer l'amplitude $X_2$ de l'absorbeur.
\n\n
Question 3 : Avec l'absorbeur correctement dimensionné, calculer les nouvelles pulsations propres $\\omega_1'$ et $\\omega_2'$ du système couplé complet.
\n\n
Question 4 : Calculer les amplitudes $X_1$ et $X_2$ du système avec absorbeur pour une pulsation d'excitation $\\omega = 22\\,\\text{rad/s}$ et comparer avec l'amplitude du système sans absorbeur à cette même pulsation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 4
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et amplitude à la résonance
\n\n
Étape 1 : Pulsation propre du système principal \nPour un système masse-ressort simple, la pulsation propre est :
À la résonance ($\\omega = \\omega_0$), le système a une amplitude infinie en théorie. En pratique, avec un amortissement très faible $\\zeta \\approx 0.01$, l'amplitude serait :
Question 2 : Dimensionnement optimal de l'absorbeur
\n\n
Étape 1 : Principe de l'absorbeur dynamique \nPour annuler les vibrations de $m_1$ à la pulsation $\\omega = \\omega_0$, l'absorbeur doit avoir sa propre pulsation naturelle égale à $\\omega_0$ :
Interprétation : L'absorbeur vibre avec une amplitude de $125\\,\\text{mm}$ tandis que la masse principale reste immobile ($X_1 = 0$), ce qui est l'objectif recherché.
Interprétation : L'absorbeur crée deux nouvelles fréquences de résonance de part et d'autre de la fréquence originale $\\omega_0 = 20\\,\\text{rad/s}$, avec une \"zone morte\" autour de $20\\,\\text{rad/s}$.
Conclusion : À $\\omega = 22\\,\\text{rad/s}$, l'absorbeur réduit l'amplitude de la masse principale de $59.5\\,\\text{mm}$ à $34.1\\,\\text{mm}$, soit une réduction de $43\\%$.
\n\n
Résultat final :
\n$\\boxed{X_1^{\\text{avec}} = 34.1\\,\\text{mm} \\quad X_2 = -162.6\\,\\text{mm} \\quad \\text{Réduction: } 43\\%}$",
"id_category": "1",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Un haut-parleur électrodynamique est modélisé comme un système couplé électromécanique. La partie mécanique comprend la masse mobile $m = 0.02\\,\\text{kg}$ (membrane + bobine) et la suspension de raideur $k = 2000\\,\\text{N/m}$ et d'amortissement $c = 0.8\\,\\text{N·s/m}$. La partie électrique est une bobine d'inductance $L = 0.5\\,\\text{mH}$ et de résistance $R = 8\\,\\Omega$ plongée dans un champ magnétique $B = 1.2\\,\\text{T}$. La longueur de fil dans le champ est $l = 15\\,\\text{m}$. Le couplage est donné par $Bl = 18\\,\\text{N/A}$. On applique une tension $u(t) = U_0\\cos(\\omega t)$ avec $U_0 = 10\\,\\text{V}$.
\n\n
Question 1 : Établir les équations couplées du système électromécanique en termes du déplacement $x(t)$ de la membrane et du courant $i(t)$ dans la bobine.
\n\n
Question 2 : Pour une fréquence $f = 1000\\,\\text{Hz}$ ($\\omega = 2\\pi f$), calculer l'impédance électrique complexe vue par la source de tension $Z_e(\\omega)$ en tenant compte du couplage électromécanique.
\n\n
Question 3 : Calculer l'amplitude du déplacement $X$ de la membrane et l'amplitude du courant $I$ pour $f = 1000\\,\\text{Hz}$.
\n\n
Question 4 : Calculer la puissance électrique moyenne fournie $P_e$ et la puissance mécanique moyenne dissipée $P_m$ dans l'amortisseur, puis déterminer le rendement électromécanique $\\eta = P_m/P_e$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 5
\n\n
Question 1 : Équations couplées électromécaniques
\n\n
Étape 1 : Équation mécanique \nLa force de Laplace exercée sur la bobine est $F = Bli$. L'équation du mouvement de la masse est :
Étape 2 : Équation électrique \nLa bobine en mouvement dans le champ magnétique génère une force contre-électromotrice $e = Bl\\dot{x}$. L'équation du circuit électrique est :
\n\n$u(t) = Ri + L\\frac{di}{dt} + Bl\\dot{x}$\n\n
Interprétation : Environ $67\\%$ de la puissance électrique est convertie en mouvement mécanique dissipé par l'amortisseur. Le reste ($33\\%$) est dissipé par effet Joule dans la résistance électrique.
\n\n
Résultat final :
\n$\\boxed{P_e = 0.184\\,\\text{mW} \\quad P_m = 0.124\\,\\text{mW} \\quad \\eta = 67.4\\%}$",
"id_category": "1",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système masse-ressort couplé avec excitation harmonique
On considère un système mécanique constitué de deux masses $m_1 = 2\\,\\text{kg}$ et $m_2 = 3\\,\\text{kg}$ reliées par trois ressorts de raideurs respectives $k_1 = 500\\,\\text{N/m}$, $k_2 = 300\\,\\text{N/m}$ et $k_3 = 400\\,\\text{N/m}$. La masse $m_1$ est soumise à une force extérieure harmonique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50\\,\\text{N}$. Les déplacements $x_1$ et $x_2$ sont mesurés à partir des positions d'équilibre. On néglige tout amortissement.
Question 1 : Établir les équations différentielles du mouvement du système et les mettre sous forme matricielle. Déterminer la matrice de masse $[M]$ et la matrice de raideur $[K]$.
Question 2 : Calculer les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non forcé en résolvant l'équation caractéristique. Donner les valeurs numériques en $\\text{rad/s}$.
Question 3 : Pour une excitation à la pulsation $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$, déterminer les amplitudes complexes $X_1$ et $X_2$ des oscillations forcées en régime permanent.
Question 4 : Calculer le déphasage entre le mouvement de la masse $m_2$ et la force excitatrice, ainsi que le rapport d'amplitude $\\frac{X_2}{X_1}$ à cette pulsation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 1
Question 1 : Équations différentielles et forme matricielle
Pour établir les équations du mouvement, appliquons le principe fondamental de la dynamique à chaque masse.
Pour la masse $m_1$ : Les forces agissant sont : - Force du ressort $k_1$ : $-k_1 x_1$ - Force du ressort $k_2$ : $k_2(x_2 - x_1)$ - Force extérieure : $F_0\\cos(\\omega t)$
Le signe négatif des amplitudes indique un déphasage de $\\pi$ radians par rapport à la force excitatrice.
Calcul du déphasage pour $m_2$ :
$\\phi_2 = \\pi\\,\\text{rad} = 180°$
Calcul du rapport d'amplitude :
Formule générale :
$\\frac{X_2}{X_1} = \\frac{|X_2|}{|X_1|}$
Remplacement :
$\\frac{X_2}{X_1} = \\frac{185}{15.4}$
Résultat final :
$\\frac{X_2}{X_1} = 12.01$
Interprétation : À cette pulsation $\\omega = 15\\,\\text{rad/s}$, proche de $\\omega_1 = 12.98\\,\\text{rad/s}$, le système présente une résonance partielle. L'amplitude de $m_2$ est environ $12$ fois supérieure à celle de $m_1$, et les deux masses oscillent en opposition de phase avec la force excitatrice.
",
"id_category": "1",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Système avec amortissement visqueux et absorption de vibrations
Un système de suspension automobile simplifié est modélisé par deux masses $m_1 = 50\\,\\text{kg}$ (masse suspendue) et $m_2 = 10\\,\\text{kg}$ (masse non suspendue) reliées par un ressort de raideur $k_1 = 20000\\,\\text{N/m}$ et un amortisseur de coefficient $c_1 = 1500\\,\\text{N·s/m}$. La masse $m_2$ est reliée au sol par un ressort $k_2 = 150000\\,\\text{N/m}$. Le sol impose une excitation $y(t) = Y_0\\cos(\\omega t)$ avec $Y_0 = 0.02\\,\\text{m}$. Les déplacements absolus des masses sont notés $x_1$ et $x_2$.
Question 1 : Établir les équations du mouvement en tenant compte de l'amortissement et de l'excitation par la base. Mettre le système sous forme matricielle avec les matrices $[M]$, $[C]$ et $[K]$.
Question 2 : Pour une vitesse de déplacement correspondant à $\\omega = 50\\,\\text{rad/s}$, calculer l'impédance mécanique du système vue depuis la masse $m_1$. Donner le module et la phase.
Question 3 : Déterminer la fonction de transfert $H(\\omega) = \\frac{X_1}{Y_0}$ entre l'excitation du sol et le déplacement de $m_1$. Calculer numériquement $|H(50)|$ et $|H(100)|$.
Question 4 : Calculer la puissance moyenne dissipée par l'amortisseur pour $\\omega = 50\\,\\text{rad/s}$, sachant que $P_{\\text{moy}} = \\frac{1}{2}c_1\\omega^2(X_1-X_2)^2$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 2
Question 1 : Équations du mouvement avec amortissement
Analysons les forces sur chaque masse en utilisant les coordonnées absolues.
Pour la masse $m_1$ : Forces agissant : - Force du ressort $k_1$ : $-k_1(x_1 - x_2)$ - Force de l'amortisseur $c_1$ : $-c_1(\\dot{x}_1 - \\dot{x}_2)$
Pour la masse $m_2$ : Forces agissant : - Force du ressort $k_1$ : $k_1(x_1 - x_2)$ - Force de l'amortisseur $c_1$ : $c_1(\\dot{x}_1 - \\dot{x}_2)$ - Force du ressort $k_2$ lié au sol : $-k_2(x_2 - y)$
Interprétation : Cette puissance représente l'énergie dissipée par frottement visqueux dans l'amortisseur, convertissant l'énergie mécanique vibratoire en chaleur.
",
"id_category": "1",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Une machine industrielle de masse $m_1 = 100\\,\\text{kg}$ montée sur un support élastique de raideur $k_1 = 40000\\,\\text{N/m}$ est soumise à une force de balourd $F(t) = F_0\\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 200\\,\\text{N}$. Pour réduire les vibrations à la pulsation de fonctionnement $\\omega_f = 20\\,\\text{rad/s}$, on ajoute un absorbeur dynamique constitué d'une masse $m_2$ et d'un ressort de raideur $k_2$.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ de la machine sans absorbeur. Déterminer l'amplitude de vibration $X_1^{(0)}$ de la machine seule à la pulsation de fonctionnement (sans amortissement).
Question 2 : Pour annuler complètement les vibrations de $m_1$ à $\\omega = \\omega_f$, déterminer la raideur optimale $k_2$ de l'absorbeur en fonction de $m_2 = 15\\,\\text{kg}$. Calculer la valeur numérique de $k_2$.
Question 3 : Avec cet absorbeur optimal, calculer l'amplitude de vibration $X_2$ de la masse absorbante $m_2$ à la pulsation de fonctionnement $\\omega_f$.
Question 4 : Calculer les deux nouvelles pulsations propres $\\omega_1'$ et $\\omega_2'$ du système couplé (machine + absorbeur). Vérifier que $\\omega_f$ se trouve bien entre ces deux pulsations.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 3
Question 1 : Pulsation propre et amplitude sans absorbeur
La pulsation propre du système masse-ressort simple est donnée par :
Formule générale :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k_1}{m_1}}$
Remplacement des données :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{40000}{100}}$
Calcul :
$\\omega_0 = \\sqrt{400}$
Résultat :
$\\omega_0 = 20\\,\\text{rad/s}$
Pour un système non amorti soumis à une force harmonique, l'amplitude de vibration est :
Remplacement avec $\\omega_f = 20\\,\\text{rad/s}$ :
$X_1^{(0)} = \\frac{200/100}{(20)^2 - (20)^2}$
$X_1^{(0)} = \\frac{2}{400 - 400}$
$X_1^{(0)} = \\frac{2}{0}$
Résultat : $X_1^{(0)} \\to \\infty$
Interprétation : Le système est en résonance exacte car $\\omega_f = \\omega_0$, ce qui entraîne théoriquement une amplitude infinie. C'est précisément pourquoi un absorbeur dynamique est nécessaire.
Question 2 : Raideur optimale de l'absorbeur
Pour un absorbeur dynamique, la condition d'annulation complète des vibrations de $m_1$ est que la pulsation propre de l'absorbeur soit égale à la pulsation de fonctionnement.
Interprétation : Avec cette raideur, l'absorbeur entre en résonance à $\\omega_f$ et absorbe toute l'énergie vibratoire, annulant ainsi le mouvement de $m_1$.
Question 3 : Amplitude de vibration de l'absorbeur
Lorsque $X_1 = 0$ (condition d'absorption parfaite), toute la force excitatrice est équilibrée par la force du ressort de l'absorbeur.
Interprétation : L'absorbeur vibre avec une amplitude de $33.3\\,\\text{mm}$ pour maintenir la masse principale immobile. L'énergie vibratoire est entièrement transférée à l'absorbeur.
Question 4 : Nouvelles pulsations propres du système couplé
Avec l'absorbeur installé, le système possède deux degrés de liberté. Les équations du mouvement en coordonnées relatives s'écrivent :
Résultat confirmé : La pulsation de fonctionnement $\\omega_f$ se situe bien entre les deux nouvelles pulsations propres, ce qui est la configuration typique d'un absorbeur dynamique efficace. Cette séparation des fréquences de résonance permet d'éviter l'amplification excessive des vibrations.
",
"id_category": "1",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Battements et transmission de vibrations dans un système couplé
Deux oscillateurs identiques de masse $m = 5\\,\\text{kg}$ sont reliés par un ressort de couplage de raideur $k_c = 1000\\,\\text{N/m}$. Chaque masse est également reliée à un support fixe par un ressort de raideur $k = 4000\\,\\text{N/m}$. Une force périodique $F(t) = F_0\\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 80\\,\\text{N}$ est appliquée uniquement sur la première masse. Le système ne présente aucun amortissement.
Question 1 : Déterminer les deux pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système couplé. Calculer la fréquence de battement $f_{\\text{batt}} = \\frac{|\\omega_2 - \\omega_1|}{2\\pi}$ qui apparaît lors d'un phénomène de transfert d'énergie.
Question 2 : Pour une excitation à la pulsation $\\omega = 25\\,\\text{rad/s}$, calculer les amplitudes $X_1$ et $X_2$ en régime permanent. Utiliser la méthode de la matrice d'impédance dynamique.
Question 3 : Calculer le coefficient de transmission vibratoire $T = \\frac{X_2}{X_1}$ à cette pulsation. Interpréter physiquement le résultat en termes de couplage entre les deux masses.
Question 4 : Déterminer la pulsation d'excitation $\\omega_{\\text{anti}}$ pour laquelle les deux masses vibrent en opposition de phase avec la même amplitude (mode antisymétrique pur). Calculer cette amplitude commune $X_{\\text{commun}}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 4
Question 1 : Pulsations propres et fréquence de battement
Question 3 : Coefficient de transmission vibratoire
Le coefficient de transmission est le rapport des amplitudes :
Formule générale :
$T = \\frac{X_2}{X_1}$
Remplacement :
$T = \\frac{31.8}{59.6}$
Résultat final :
$T = 0.534$
Interprétation physique : Le coefficient $T = 0.534$ indique que l'amplitude de la deuxième masse est environ $53.4\\%$ de celle de la première masse. Cela signifie qu'à $\\omega = 25\\,\\text{rad/s}$, le couplage est modéré. La pulsation d'excitation est inférieure à $\\omega_1 = 28.28\\,\\text{rad/s}$, donc le système favorise le mode symétrique où les deux masses oscillent en phase mais avec des amplitudes différentes. Le ressort de couplage transmet partiellement l'énergie vibratoire de $m_1$ vers $m_2$.
Question 4 : Pulsation pour le mode antisymétrique pur
Dans le mode antisymétrique pur, les deux masses vibrent avec la même amplitude mais en opposition de phase : $X_1 = -X_2$ (ou $|X_1| = |X_2|$ avec déphasage de $\\pi$).
Ce mode correspond à la deuxième pulsation propre :
Interprétation : À la pulsation antisymétrique, le ressort de couplage subit la déformation maximale car les masses se déplacent en sens opposés, créant ainsi une configuration où l'énergie est principalement stockée dans $k_c$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Système électromécanique couplé avec excitation paramétrique
Un système de conversion électromécanique est constitué de deux masses $m_1 = 8\\,\\text{kg}$ et $m_2 = 6\\,\\text{kg}$ reliées par des ressorts de raideurs $k_1 = 10000\\,\\text{N/m}$, $k_2 = 8000\\,\\text{N/m}$ et $k_3 = 12000\\,\\text{N/m}$ selon une configuration série-parallèle. Un moteur vibrant applique une force $F(t) = F_0\\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 100\\,\\text{N}$ sur la masse $m_2$. Un amortisseur de coefficient $c = 200\\,\\text{N·s/m}$ est placé entre $m_1$ et le sol.
Question 1 : Établir les équations du mouvement du système en présence d'amortissement. Déterminer les matrices $[M]$, $[C]$ et $[K]$ en considérant que $k_1$ relie $m_1$ au sol, $k_2$ relie $m_1$ à $m_2$, et $k_3$ relie $m_2$ au sol.
Question 2 : Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 30\\,\\text{rad/s}$, calculer les amplitudes complexes $\\underline{X}_1$ et $\\underline{X}_2$ en tenant compte de l'amortissement. Donner les modules et les phases.
Question 3 : Calculer l'énergie cinétique maximale $E_{c,\\text{max}}$ du système en régime permanent à cette pulsation, sachant que $E_{c,\\text{max}} = \\frac{1}{2}m_1\\omega^2 X_1^2 + \\frac{1}{2}m_2\\omega^2 X_2^2$.
Question 4 : Déterminer la force maximale $F_{k_2,\\text{max}}$ transmise par le ressort de couplage $k_2$ et comparer cette force à la force d'excitation $F_0$. Calculer le facteur d'amplification $A_f = \\frac{F_{k_2,\\text{max}}}{F_0}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 5
Question 1 : Équations du mouvement et matrices du système
Analysons les forces sur chaque masse selon la configuration donnée.
Pour la masse $m_1$ : Forces agissant : - Ressort $k_1$ vers le sol : $-k_1 x_1$ - Ressort $k_2$ vers $m_2$ : $-k_2(x_1 - x_2)$ - Amortisseur vers le sol : $-c\\dot{x}_1$
Pour la masse $m_2$ : Forces agissant : - Ressort $k_2$ vers $m_1$ : $k_2(x_1 - x_2)$ - Ressort $k_3$ vers le sol : $-k_3 x_2$ - Force d'excitation : $F_0\\cos(\\omega t)$
Interprétation : Le facteur d'amplification $A_f = 0.404$ indique que la force transmise par le ressort de couplage est inférieure à la force d'excitation. Cela signifie que le système, grâce à l'amortissement et à la configuration des raideurs, atténue efficacement la transmission de force entre les deux masses à cette pulsation de fonctionnement, ce qui est favorable pour l'isolation vibratoire.
",
"id_category": "1",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Système masses-ressorts couplés sous excitation harmonique
On considère un système mécanique constitué de deux masses $m_1 = 2 \\text{ kg}$ et $m_2 = 3 \\text{ kg}$ reliées par des ressorts de raideurs respectives $k_1 = 800 \\text{ N/m}$, $k_2 = 1200 \\text{ N/m}$ et $k_3 = 600 \\text{ N/m}$. La masse $m_1$ est fixée au mur par le ressort $k_1$, puis reliée à $m_2$ par $k_2$, et $m_2$ est reliée à un support fixe par $k_3$. Une force harmonique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50 \\text{ N}$ est appliquée à la masse $m_1$. Les déplacements $x_1$ et $x_2$ sont mesurés à partir des positions d'équilibre. L'amortissement est négligé.
Question 1: Établir les équations différentielles du mouvement du système et les écrire sous forme matricielle $[M]\\ddot{\\mathbf{x}} + [K]\\mathbf{x} = \\mathbf{F}(t)$. Déterminer explicitement les matrices de masse $[M]$ et de raideur $[K]$.
Question 2: Calculer les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non amorti en résolvant l'équation caractéristique. Convertir ces pulsations en fréquences propres $f_1$ et $f_2$ en Hz.
Question 3: Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 15 \\text{ rad/s}$, déterminer les amplitudes complexes $X_1$ et $X_2$ des deux masses en résolvant le système algébrique $([K] - \\omega^2[M])\\mathbf{X} = \\mathbf{F}_0$. Calculer les amplitudes réelles en mètres.
Question 4: Calculer le rapport d'amplitude $\\frac{X_2}{X_1}$ et la différence de phase entre les deux masses. Déterminer également l'énergie cinétique maximale totale du système lors d'un cycle d'oscillation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète
Question 1: Équations du mouvement et forme matricielle
Étape 1 - Analyse des forces sur m₁: La masse $m_1$ subit la force de rappel du ressort $k_1$ (force $-k_1 x_1$), la force du ressort $k_2$ qui la relie à $m_2$ (force $-k_2(x_1 - x_2)$), et la force externe $F_0 \\cos(\\omega t)$. L'équation de Newton donne:
Étape 2 - Analyse des forces sur m₂: La masse $m_2$ subit la force du ressort $k_2$ (force $-k_2(x_2 - x_1)$) et la force du ressort $k_3$ (force $-k_3 x_2$). L'équation de Newton donne:
$m_2 \\ddot{x}_2 = -k_2(x_2 - x_1) - k_3 x_2$
En développant:
$m_2 \\ddot{x}_2 - k_2 x_1 + (k_2 + k_3)x_2 = 0$
Étape 3 - Forme matricielle: Les équations peuvent s'écrire sous la forme $[M]\\ddot{\\mathbf{x}} + [K]\\mathbf{x} = \\mathbf{F}(t)$ où:
Question 3: Amplitudes des masses pour ω = 15 rad/s
Étape 1 - Système algébrique: Pour une excitation harmonique, on cherche des solutions de la forme $x_i(t) = X_i \\cos(\\omega t)$. Le système devient:
La masse $m_2$ oscille avec une amplitude 6.6% plus grande que $m_1$.
Étape 2 - Différence de phase: Puisque $\\omega = 15 \\text{ rad/s} < \\omega_1 = 16.46 \\text{ rad/s}$, nous sommes en dessous de la première résonance. Les deux amplitudes $X_1$ et $X_2$ sont positives, donc les masses oscillent en phase.
$\\Delta\\phi = 0 \\text{ rad}$
Étape 3 - Vitesses maximales: Les vitesses sont données par $v_i(t) = -\\omega X_i \\sin(\\omega t)$, avec des valeurs maximales:
Étape 4 - Énergie cinétique maximale totale: L'énergie cinétique maximale est atteinte lorsque les deux masses passent par leur position d'équilibre (en phase):
",
"id_category": "1",
"id_number": "28"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Pendules couplés sous excitation extérieure
Deux pendules simples de même longueur $L = 0.8 \\text{ m}$ sont couplés par un ressort de torsion de constante $k_t = 0.5 \\text{ N·m/rad}$. Le premier pendule a une masse $m_1 = 1.5 \\text{ kg}$ et le second $m_2 = 2.0 \\text{ kg}$. On applique un couple périodique $M(t) = M_0 \\cos(\\omega t)$ avec $M_0 = 3 \\text{ N·m}$ sur le premier pendule. Les angles $\\theta_1$ et $\\theta_2$ sont mesurés à partir de la verticale. L'approximation des petits angles est valide ($\\sin\\theta \\approx \\theta$). On néglige les frottements et l'accélération de la pesanteur est $g = 10 \\text{ m/s}^2$.
Question 1: Établir les équations du mouvement pour les deux pendules couplés. Déterminer les matrices de masse $[M]$ et de raideur $[K]$ du système linéarisé, en exprimant tous les coefficients numériquement.
Question 2: Calculer les deux pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système couplé non forcé. Déterminer également les périodes propres $T_1$ et $T_2$ correspondantes.
Question 3: Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 4.0 \\text{ rad/s}$, calculer les amplitudes angulaires $\\Theta_1$ et $\\Theta_2$ des deux pendules. Exprimer les résultats en degrés.
Question 4: Déterminer la pulsation d'excitation $\\omega_r$ qui provoque la première résonance. Calculer le facteur d'amplification dynamique $FAD = \\frac{\\Theta_1(\\omega_r)}{\\Theta_{st}}$ à cette résonance, où $\\Theta_{st} = \\frac{M_0}{k_{11}}$ est l'amplitude statique (on prendra une valeur légèrement éloignée de la résonance: $\\omega = 0.95\\omega_1$ pour éviter la singularité).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète
Question 1: Équations du mouvement et matrices
Étape 1 - Équation pour le pendule 1: Le moment des forces par rapport au pivot pour le pendule 1 est:
$I_1 \\ddot{\\theta}_1 = -m_1 g L \\sin\\theta_1 - k_t(\\theta_1 - \\theta_2) + M_0\\cos(\\omega t)$
où $I_1 = m_1 L^2$ est le moment d'inertie. Avec l'approximation des petits angles ($\\sin\\theta \\approx \\theta$):
$m_1 L^2 \\ddot{\\theta}_1 = -m_1 g L \\theta_1 - k_t(\\theta_1 - \\theta_2) + M_0\\cos(\\omega t)$
Réorganisons:
$m_1 L^2 \\ddot{\\theta}_1 + (m_1 g L + k_t)\\theta_1 - k_t\\theta_2 = M_0\\cos(\\omega t)$
Étape 2 - Équation pour le pendule 2:
$I_2 \\ddot{\\theta}_2 = -m_2 g L \\sin\\theta_2 - k_t(\\theta_2 - \\theta_1)$
$m_2 L^2 \\ddot{\\theta}_2 = -m_2 g L \\theta_2 - k_t(\\theta_2 - \\theta_1)$
$m_2 L^2 \\ddot{\\theta}_2 - k_t\\theta_1 + (m_2 g L + k_t)\\theta_2 = 0$
À proximité de la résonance, l'amplitude est environ 8.5 fois plus grande que l'amplitude statique, démontrant l'effet d'amplification dynamique caractéristique des systèmes résonnants.
",
"id_category": "1",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Système de suspension automobile à deux degrés de liberté
On modélise une suspension de véhicule comme un système à deux degrés de liberté composé de la masse suspendue (caisse) $m_c = 400 \\text{ kg}$ et de la masse non suspendue (roue et essieu) $m_r = 40 \\text{ kg}$. La suspension a une raideur $k_s = 20000 \\text{ N/m}$ et le pneu une raideur $k_p = 180000 \\text{ N/m}$. Le véhicule roule sur une route sinusoïdale de profil $y_0(t) = Y_0 \\cos(\\omega t)$ avec $Y_0 = 0.03 \\text{ m}$ (amplitude de 3 cm). Les déplacements verticaux de la caisse et de la roue sont notés respectivement $z_c$ et $z_r$, mesurés à partir de leurs positions d'équilibre. On néglige l'amortissement.
Question 1: Établir les équations du mouvement du système en considérant l'excitation de la base $y_0(t)$. Écrire le système sous forme matricielle $[M]\\ddot{\\mathbf{z}} + [K]\\mathbf{z} = \\mathbf{F}(t)$ et identifier les matrices $[M]$, $[K]$ et le vecteur $\\mathbf{F}(t)$.
Question 2: Calculer les fréquences propres $f_1$ et $f_2$ du système en Hz. Ces fréquences correspondent aux fréquences de résonance de la suspension.
Question 3: Le véhicule roule à $v = 72 \\text{ km/h}$ sur une route dont le profil sinusoïdal a une longueur d'onde $\\lambda = 8 \\text{ m}$. Calculer la pulsation d'excitation $\\omega$, puis déterminer les amplitudes de vibration $Z_c$ et $Z_r$ de la caisse et de la roue.
Question 4: Calculer le coefficient de transmissibilité $T_c = \\frac{Z_c}{Y_0}$ qui caractérise l'isolation vibratoire de la caisse. Déterminer également l'accélération verticale maximale subie par la caisse $a_{c,\\text{max}}$ en $\\text{m/s}^2$ et en multiples de $g$ (prendre $g = 10 \\text{ m/s}^2$).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète
Question 1: Équations du mouvement et forme matricielle
Étape 1 - Bilan des forces sur la masse suspendue (caisse): La caisse de masse $m_c$ est soumise uniquement à la force du ressort de suspension:
$m_c \\ddot{z}_c = -k_s(z_c - z_r)$
Réorganisons:
$m_c \\ddot{z}_c + k_s z_c - k_s z_r = 0$
Étape 2 - Bilan des forces sur la masse non suspendue (roue): La roue de masse $m_r$ est soumise à la force de la suspension (vers le haut) et à la force du pneu (qui dépend du profil de la route):
L'accélération subie par la caisse est de 17.4% de l'accélération gravitationnelle, ce qui est acceptable pour le confort des passagers.
",
"id_category": "1",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Vibrations torsionnelles d'un système d'arbres couplés
Un système mécanique est constitué de deux disques d'inertie $J_1 = 0.8 \\text{ kg·m}^2$ et $J_2 = 1.2 \\text{ kg·m}^2$ montés sur deux arbres élastiques en torsion. Le premier arbre a une rigidité torsionnelle $k_{t1} = 1500 \\text{ N·m/rad}$ et relie le disque 1 à un support fixe. Le second arbre de rigidité $k_{t2} = 2000 \\text{ N·m/rad}$ relie les deux disques. Un couple harmonique $M(t) = M_0 \\sin(\\omega t)$ avec $M_0 = 100 \\text{ N·m}$ est appliqué au disque 2. Les angles de rotation $\\theta_1$ et $\\theta_2$ sont mesurés à partir de la configuration d'équilibre. L'amortissement est négligé.
Question 1: Établir les équations du mouvement du système en écrivant le bilan des couples pour chaque disque. Mettre le système sous forme matricielle $[J]\\ddot{\\boldsymbol{\\theta}} + [K_t]\\boldsymbol{\\theta} = \\mathbf{M}(t)$ et déterminer les matrices $[J]$ et $[K_t]$.
Question 2: Calculer les deux pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système en rad/s. Déterminer également le rapport des fréquences $\\frac{f_2}{f_1}$.
Question 3: Pour une pulsation d'excitation $\\omega = 50 \\text{ rad/s}$, déterminer les amplitudes angulaires $\\Theta_1$ et $\\Theta_2$ des deux disques. Exprimer les résultats en radians et en degrés.
Question 4: Calculer le couple transmis au support fixe par l'arbre 1 lorsque le système oscille à $\\omega = 50 \\text{ rad/s}$. Déterminer également l'énergie potentielle élastique maximale stockée dans l'arbre 2 durant un cycle d'oscillation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète
Question 1: Équations du mouvement
Étape 1 - Bilan des couples sur le disque 1: Le disque $J_1$ est soumis au couple de l'arbre 1 (qui le relie au support fixe) et au couple de l'arbre 2 (qui le relie à $J_2$):
La deuxième fréquence propre est environ 3.1 fois plus élevée que la première.
Question 3: Amplitudes pour ω = 50 rad/s
Étape 1 - Système à résoudre: Pour une excitation sinusoïdale, on cherche des solutions de la forme $\\theta_i(t) = \\Theta_i \\sin(\\omega t)$. Le système devient:
Cette énergie est stockée lorsque la déformation de l'arbre 2 est maximale, ce qui correspond aux instants où la différence angulaire $\\theta_1 - \\theta_2$ atteint son maximum.
",
"id_category": "1",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Modèle sismique d'un bâtiment à deux étages
Un bâtiment est modélisé comme une structure à deux étages soumise à une excitation sismique de la base. Les masses des planchers sont $m_1 = 15000 \\text{ kg}$ (1er étage) et $m_2 = 12000 \\text{ kg}$ (2ème étage). Les rigidités entre les étages sont $k_1 = 3 \\times 10^6 \\text{ N/m}$ (entre le sol et l'étage 1) et $k_2 = 2.5 \\times 10^6 \\text{ N/m}$ (entre les étages 1 et 2). Le mouvement du sol est modélisé par $x_g(t) = X_g \\cos(\\omega t)$ avec $X_g = 0.05 \\text{ m}$. Les déplacements absolus des étages sont notés $x_1$ et $x_2$. On néglige l'amortissement structural.
Question 1: Établir les équations du mouvement en coordonnées relatives $z_i = x_i - x_g$ (déplacements par rapport au sol). Écrire le système sous forme matricielle et identifier les matrices $[M]$, $[K]$ et le vecteur de force $\\mathbf{F}(t)$ induit par l'accélération sismique.
Question 2: Calculer les périodes propres $T_1$ et $T_2$ du bâtiment en secondes. Convertir également ces périodes en fréquences propres $f_1$ et $f_2$ en Hz.
Question 3: Lors d'un séisme, la fréquence d'excitation dominante est $f = 0.8 \\text{ Hz}$. Calculer les déplacements relatifs maximaux $Z_1$ et $Z_2$ de chaque étage par rapport au sol. Déterminer également les déplacements absolus maximaux des étages.
Question 4: Calculer la force de cisaillement maximale à la base de la structure (force transmise aux fondations) et la force de cisaillement maximale au niveau du 1er étage. Déterminer également le déplacement inter-étage maximal $\\Delta_{12} = |z_2 - z_1|$ entre les deux étages.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète
Question 1: Équations en coordonnées relatives
Étape 1 - Équations en coordonnées absolues: Pour l'étage 1:
Ce déplacement inter-étage est un paramètre important en génie parasismique car il caractérise les déformations relatives entre les étages, qui doivent rester sous des limites acceptables pour éviter les dommages structuraux.
",
"id_category": "1",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système masse-ressort à deux degrés de liberté avec excitation harmonique
Un système mécanique est constitué de deux masses $m_1 = 2 \\text{ kg}$ et $m_2 = 3 \\text{ kg}$ reliées par des ressorts de raideurs respectives $k_1 = 800 \\text{ N/m}$, $k_2 = 1200 \\text{ N/m}$ et $k_3 = 600 \\text{ N/m}$. La masse $m_1$ est fixée au bâti par le ressort $k_1$, reliée à $m_2$ par le ressort $k_2$, et la masse $m_2$ est reliée au bâti par le ressort $k_3$. Une force harmonique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50 \\text{ N}$ est appliquée sur la masse $m_1$. Les déplacements $x_1$ et $x_2$ sont mesurés à partir des positions d'équilibre.
Question 1 : Déterminer les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système non amorti et non forcé.
Question 2 : Calculer les amplitudes $X_1$ et $X_2$ des oscillations en régime permanent lorsque la fréquence d'excitation est $\\omega = 15 \\text{ rad/s}$.
Question 3 : Déterminer la fréquence d'excitation $\\omega_{res}$ qui correspond à la première résonance du système (amplitude maximale de $m_1$).
Question 4 : Calculer la puissance moyenne fournie par la force extérieure au système en régime permanent à la fréquence $\\omega = 15 \\text{ rad/s}$, sachant que le coefficient d'amortissement visqueux pour $m_1$ est $c_1 = 8 \\text{ N·s/m}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 1
Question 1 : Détermination des pulsations propres
Les équations du mouvement du système libre non amorti s'écrivent sous forme matricielle :
Cette puissance correspond à l'énergie dissipée par frottement visqueux dans le système en régime permanent.
",
"id_category": "1",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Absorbeur dynamique de vibrations
Une machine de masse $M = 500 \\text{ kg}$ est soumise à une force harmonique de balourd $F(t) = F_0\\sin(\\Omega t)$ avec $F_0 = 2000 \\text{ N}$ et $\\Omega = 25 \\text{ rad/s}$. Elle est montée sur un support élastique de raideur $K = 320000 \\text{ N/m}$. Pour réduire les vibrations, on ajoute un absorbeur dynamique constitué d'une masse $m = 50 \\text{ kg}$ reliée à la machine par un ressort de raideur $k$. On note $X$ le déplacement de la machine et $x$ le déplacement de l'absorbeur par rapport à la machine.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ de la machine seule (sans absorbeur) et vérifier que la force excitatrice est proche de la résonance.
Question 2 : Déterminer la raideur optimale $k_{opt}$ de l'absorbeur pour annuler complètement les vibrations de la machine à la fréquence d'excitation $\\Omega = 25 \\text{ rad/s}$.
Question 3 : Avec la raideur optimale $k_{opt}$, calculer l'amplitude $x_{max}$ du mouvement relatif de l'absorbeur par rapport à la machine en régime permanent.
Question 4 : Calculer les deux nouvelles pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système complet (machine + absorbeur) avec $k = k_{opt}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 2
Question 1 : Pulsation propre de la machine seule
Sans absorbeur, la machine constitue un système à un degré de liberté.
Étape 1 : Formule générale
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{K}{M}}$
Où $K$ est la raideur du support et $M$ la masse de la machine.
Étape 2 : Substitution des valeurs
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{320000}{500}}$
Étape 3 : Calcul
$\\omega_0 = \\sqrt{640} = 25.30 \\text{ rad/s}$
Étape 4 : Résultat final et vérification
$\\omega_0 = 25.30 \\text{ rad/s}$
L'écart relatif avec la fréquence d'excitation est :
La fréquence d'excitation $\\Omega = 25 \\text{ rad/s}$ est donc très proche de la résonance (écart de seulement $1.19\\%$), ce qui provoquerait des vibrations importantes sans absorbeur.
Question 2 : Raideur optimale de l'absorbeur
Le principe de l'absorbeur dynamique est d'ajouter un système qui entre en résonance à la fréquence d'excitation, créant ainsi une force qui s'oppose au mouvement de la machine.
Étape 1 : Condition d'absorption optimale
Pour annuler complètement les vibrations de la machine, la pulsation propre de l'absorbeur doit égaler la fréquence d'excitation :
Avec cette raideur, l'absorbeur vibre en opposition de phase avec la force excitatrice, créant une force d'inertie qui compense exactement la force de balourd sur la machine.
Question 3 : Amplitude du mouvement relatif de l'absorbeur
Lorsque la machine est immobilisée ($X = 0$), toute la force excitatrice est équilibrée par la force du ressort de l'absorbeur.
Étape 1 : Équilibre dynamique
En régime permanent avec $X = 0$, l'équation de la machine s'écrit :
$F_0\\sin(\\Omega t) = kx\\sin(\\Omega t)$
D'où l'amplitude du déplacement relatif :
$x_{max} = \\frac{F_0}{k_{opt}}$
Étape 2 : Substitution des valeurs
$x_{max} = \\frac{2000}{31250}$
Étape 3 : Calcul
$x_{max} = 0.064 \\text{ m}$
Étape 4 : Résultat final
$x_{max} = 0.064 \\text{ m} = 6.4 \\text{ cm}$
L'absorbeur oscille avec une amplitude de $6.4 \\text{ cm}$ par rapport à la machine. Cette amplitude doit être prise en compte dans la conception pour éviter les interférences mécaniques.
Question 4 : Nouvelles pulsations propres du système complet
Avec l'absorbeur, le système possède deux degrés de liberté et donc deux pulsations propres.
On remarque que $\\omega_1 < \\Omega < \\omega_2$, ce qui signifie que la fréquence d'excitation $\\Omega = 25 \\text{ rad/s}$ se situe entre les deux nouvelles résonances, confirmant l'efficacité de l'absorbeur à cette fréquence spécifique.
",
"id_category": "1",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Oscillations forcées d'un système couplé avec amortissement
Deux masses identiques $m = 1.5 \\text{ kg}$ sont suspendues verticalement par des ressorts de raideurs $k_1 = k_2 = 500 \\text{ N/m}$ et couplées par un ressort horizontal de raideur $k_c = 300 \\text{ N/m}$. Chaque masse est soumise à un amortissement visqueux de coefficient $c = 5 \\text{ N·s/m}$. Une force harmonique $F(t) = F_0\\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 30 \\text{ N}$ et $\\omega = 18 \\text{ rad/s}$ est appliquée horizontalement sur la première masse. On note $x_1$ et $x_2$ les déplacements horizontaux des masses par rapport à leur position d'équilibre.
Question 1 : Établir les équations du mouvement et déterminer les pulsations propres du système non amorti ($c = 0$).
Question 2 : Calculer les amplitudes $A_1$ et $A_2$ ainsi que les déphasages $\\phi_1$ et $\\phi_2$ par rapport à la force excitatrice en régime permanent avec amortissement.
Question 3 : Déterminer l'énergie mécanique totale moyenne du système en régime permanent.
Question 4 : Calculer le facteur de qualité $Q$ au voisinage de la première résonance et en déduire la bande passante $\\Delta\\omega$ du système.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 3
Question 1 : Équations du mouvement et pulsations propres
Les équations du mouvement s'écrivent en projetant les forces sur l'axe horizontal :
Un facteur de qualité de $5.48$ indique un amortissement modéré. La bande passante de $3.33 \\text{ rad/s}$ signifie que le système répondra de manière significative dans une plage de fréquences d'environ $\\pm 1.67 \\text{ rad/s}$ autour de la première résonance.
",
"id_category": "1",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Oscillations torsionnelles forcées de deux disques couplés
Un système de transmission est constitué de deux disques homogènes de moments d'inertie $J_1 = 0.8 \\text{ kg·m}^2$ et $J_2 = 1.2 \\text{ kg·m}^2$, couplés par un arbre de torsion de rigidité $C = 150 \\text{ N·m/rad}$. Le disque $J_1$ est fixé au bâti par un système de torsion de rigidité $C_1 = 200 \\text{ N·m/rad}$, et le disque $J_2$ est soumis à un couple périodique $M(t) = M_0\\cos(\\Omega t)$ avec $M_0 = 80 \\text{ N·m}$ et $\\Omega = 12 \\text{ rad/s}$. On note $\\theta_1$ et $\\theta_2$ les angles de rotation des deux disques, et le coefficient d'amortissement de torsion de l'arbre est $\\mu = 2.5 \\text{ N·m·s/rad}$.
Question 1 : Déterminer les fréquences propres $f_1$ et $f_2$ du système non amorti en Hz.
Question 2 : Calculer les amplitudes angulaires $\\Theta_1$ et $\\Theta_2$ des oscillations en régime permanent à la fréquence d'excitation $\\Omega = 12 \\text{ rad/s}$.
Question 3 : Déterminer le couple maximal $T_{max}$ transmis par l'arbre de couplage en régime permanent.
Question 4 : Calculer l'énergie dissipée par cycle d'oscillation dans l'amortisseur de l'arbre à la fréquence $\\Omega = 12 \\text{ rad/s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 4
Question 1 : Fréquences propres du système non amorti
Les équations du mouvement pour le système de torsion s'écrivent :
",
"id_category": "1",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Système de suspension à deux étages avec excitation de la base
Un système de suspension à deux étages est utilisé pour isoler un équipement sensible des vibrations. La base est soumise à un déplacement harmonique $y(t) = Y_0\\cos(\\omega t)$ avec $Y_0 = 0.02 \\text{ m}$ et $\\omega = 20 \\text{ rad/s}$. Le premier étage a une masse $m_1 = 10 \\text{ kg}$, une raideur $k_1 = 5000 \\text{ N/m}$ et un amortissement $c_1 = 50 \\text{ N·s/m}$. Le deuxième étage (équipement) a une masse $m_2 = 5 \\text{ kg}$, une raideur $k_2 = 3000 \\text{ N/m}$ et un amortissement $c_2 = 30 \\text{ N·s/m}$. Les déplacements absolus des masses sont notés $x_1$ et $x_2$.
Question 1 : Établir les équations du mouvement du système et déterminer les pulsations propres du système non amorti fixé à la base ($y = 0$).
Question 2 : Calculer l'amplitude $X_2$ du déplacement absolu de l'équipement (masse $m_2$) en régime permanent à la fréquence d'excitation $\\omega = 20 \\text{ rad/s}$.
Question 3 : Déterminer le coefficient de transmissibilité $T_r = \\frac{X_2}{Y_0}$ et évaluer l'efficacité de l'isolation (en pourcentage de réduction).
Question 4 : Calculer l'accélération maximale $a_{2,max}$ subie par l'équipement en régime permanent, sachant que cette accélération doit rester inférieure à $15 \\text{ m/s}^2$ pour éviter tout dommage.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 5
Question 1 : Équations du mouvement et pulsations propres
Les forces agissant sur chaque masse sont :
Pour $m_1$ : force du ressort $k_1$ relié à la base, force de l'amortisseur $c_1$, et force du système $(k_2, c_2)$ relié à $m_2$.
Pour $m_2$ : force du ressort $k_2$ et de l'amortisseur $c_2$ reliés à $m_1$.
Le système amplifie les vibrations de $238\\%$ au lieu de les réduire. Cela signifie que la fréquence d'excitation $\\omega = 20 \\text{ rad/s}$ est proche d'une résonance du système. Pour une isolation efficace, il faudrait opérer à une fréquence bien supérieure aux pulsations propres.
Question 4 : Accélération maximale de l'équipement
Étape 1 : Relation entre déplacement et accélération
Pour un mouvement harmonique $x_2(t) = X_2\\cos(\\omega t + \\phi_2)$ :
$\\ddot{x}_2(t) = -\\omega^2 X_2\\cos(\\omega t + \\phi_2)$
L'équipement subirait des accélérations $80\\%$ supérieures à la limite tolérée, ce qui présente un risque de dommage. Il serait nécessaire de modifier la conception du système de suspension (masses, raideurs, amortissements) ou de changer la fréquence d'opération pour éviter la zone de résonance.
",
"id_category": "1",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"number": 1,
"title": "Amortisseur de vibrations d'une machine rotative",
"question": "\n
Exercice 1 : Amortisseur de vibrations d'une machine rotative
\n\n
Une machine rotative de masse $m = 500 \\, \\text{kg}$ est supportée par un système d'amortissement comprenant un ressort de raideur $k = 50000 \\, \\text{N/m}$ et un amortisseur de coefficient d'amortissement $c = 2500 \\, \\text{N·s/m}$.
\n\n
La machine subit une force d'excitation externe sinusoïdale : $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 1000 \\, \\text{N}$.
\n\n
Questions :
\n\n\n
Calculez la pulsation naturelle $\\omega_0$ du système non amorti et la pulsation propre $\\omega_n$ du système amorti.
\n
Déterminez le facteur d'amortissement $\\zeta$ et le coefficient d'amortissement critique $c_c$. Quel type d'amortissement possède ce système ?
\n
À la pulsation de résonance $\\omega_r$, calculez l'amplitude de vibration du régime permanent $X_0$.
\n
Calculez le facteur de magnification dynamique (amplification) $MF$ à la résonance et l'énergie dissipée par cycle à cette pulsation.
\n",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
Solution complète de l'exercice 1 :
\n\n
Question 1 : Pulsation naturelle et pulsation propre
\n\n
Formule générale :
\n
La pulsation naturelle non amortie est définie par :
Interprétation : La pulsation propre est légèrement inférieure à la pulsation naturelle en raison de l'amortissement. L'amortissement ralentit légèrement les oscillations.
\n\n\n\n
Question 2 : Facteur d'amortissement et classification
\n\n
Formule générale :
\n
Le coefficient d'amortissement critique est :
\n$c_c = 2\\sqrt{km}$\n\n
Le facteur d'amortissement (ratio d'amortissement) est :
Type d'amortissement : Puisque $\\zeta = 0.25 < 1$, le système est sous-amorti (underdamped). Le système subit des oscillations amorties avec dépassement progressif.
\n\n\n\n
Question 3 : Amplitude à la résonance
\n\n
Formule générale :
\n
L'amplitude du régime permanent pour une excitation sinusoïdale est :
Interprétation : À la résonance, l'amplitude de vibration est environ 2.07 fois plus grande que l'amplitude quasi-statique. Le système réagit fortement à cette fréquence d'excitation.
\n\n\n\n
Question 4 : Facteur de magnification et énergie dissipée
\n\n
Formule générale :
\n
Le facteur de magnification dynamique (MF) est défini comme le rapport entre l'amplitude dynamique et l'amplitude quasi-statique :
Interprétation : Le facteur de magnification de 2.066 indique un pic de résonance modéré grâce à l'amortissement présent. Sans amortissement, ce facteur serait infini. L'énergie dissipée par cycle de 125.26 J représente l'énergie que l'amortisseur doit absorber pour maintenir le régime permanent.
",
"id_category": "2",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"number": 2,
"title": "Isolateur de vibrations pour équipement électronique",
"question": "\n
Exercice 2 : Isolateur de vibrations pour équipement électronique
\n\n
Un équipement électronique sensible de masse $m = 20 \\, \\text{kg}$ est isolé des vibrations du sol via un système d'isolation comprenant deux ressorts en parallèle (raideur totale $k = 8000 \\, \\text{N/m}$) et un amortissement $c = 800 \\, \\text{N·s/m}$.
\n\n
Le sol subit une accélération sismique modélisée par $a_{sol}(t) = A \\omega^2 \\cos(\\omega t)$ avec une amplitude de déplacement $A = 5 \\, \\text{mm}$ et une plage de fréquences d'excitation entre $5 \\, \\text{Hz}$ et $50 \\, \\text{Hz}$.
\n\n
Questions :
\n\n\n
Calculez la fréquence naturelle $f_0$ du système et déterminez la pulsation de résonance $\\omega_r$. À quelle fréquence (en Hz) se situe la résonance ?
\n
Déterminez le facteur d'amortissement $\\zeta$ et calculez le facteur de qualité $Q$ du système.
\n
Calculez la transmissibilité $T_r$ (rapport d'isolation) aux fréquences extrêmes : $f = 5 \\, \\text{Hz}$ et $f = 50 \\, \\text{Hz}$.
\n
Déterminez la fréquence d'isolation $f_{isol}$ à partir de laquelle $T_r < 1$ (la vibration est réduite) et calculez l'amplitude transmise à l'équipement à $f = 30 \\, \\text{Hz}$.
\n\n",
"svg": "\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
Solution complète de l'exercice 2 :
\n\n
Question 1 : Fréquence naturelle et résonance
\n\n
Formule générale :
\n
La pulsation naturelle est définie par :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$\n\n
La fréquence naturelle est :
\n$f_0 = \\frac{\\omega_0}{2\\pi}$\n\n
La pulsation de résonance (pour le déplacement) en régime forcé amorti est :
Correction : Quand $\\zeta \\geq 1/\\sqrt{2} \u0007pprox 0.707$, la résonance n'existe pas dans le sens classique. Le système est amortissement critique ou suramortissement.
\n\n
Calcul :
\n
Avec $\\zeta = 1.0$, il n'y a pas de pic de résonance aigu. Le maximum d'amplitude se produit à $\\omega = 0$ (régime quasi-statique).
Interprétation : L'amortissement critique signifie une transition rapide et sans dépassement vers la stabilité. Cela est avantageux pour les systèmes d'isolation car on évite les pics de résonance dangereux.
\n\n\n\n
Question 2 : Facteur d'amortissement et facteur de qualité
Type d'amortissement : $\\zeta = 1.0$ correspond à l'amortissement critique. Un facteur de qualité de 0.5 indique un système très bien amorti sans tendance à l'oscillation.
\n\n\n\n
Question 3 : Transmissibilité aux fréquences extrêmes
\n\n
Formule générale :
\n
La transmissibilité (rapport d'isolation) est définie comme le rapport entre l'amplitude transmise à la masse et l'amplitude d'excitation du sol :
Interprétation : À 5 Hz (proche de la résonance), 95.1% de la vibration est transmise. À 50 Hz (très au-delà de la résonance), seuls 12.69% de la vibration est transmise. L'isolation devient efficace à haute fréquence.
\n\n\n\n
Question 4 : Fréquence d'isolation et amplitude transmise
\n\n
Formule générale :
\n
La fréquence d'isolation $f_{isol}$ est celle où $T_r = 1$, soit le point où l'isolation commence à être efficace ($T_r < 1$) :
Cependant, avec amortissement critique présent, nous cherchons où le minimum de $T_r$ se produit. Pour un système critique, le minimum est obtenu à haute fréquence.
Interprétation : Au-delà de 4.5 Hz, le système d'isolation réduit efficacement les vibrations. À 30 Hz, seuls 21% de l'amplitude de vibration du sol est transmise à l'équipement (réduite de 5 mm à 1.05 mm), ce qui assure une protection efficace de l'équipement électronique sensible.
\n",
"id_category": "2",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"number": 3,
"title": "Suppresseur de vibrations réglable (Absorbeur dynamique)",
"question": "\n
Exercice 3 : Suppresseur de vibrations réglable (Absorbeur dynamique)
\n\n
Un système mécanique principal de masse $m_1 = 100 \\, \\text{kg}$ et raideur $k_1 = 200000 \\, \\text{N/m}$ subit une force d'excitation $F(t) = 500 \\cos(\\omega t) \\, \\text{N}$. Pour réduire les vibrations, on ajoute un absorbeur dynamique auxiliaire de masse $m_2 = 10 \\, \\text{kg}$ avec ressort de raideur $k_2$ à déterminer.
\n\n
Le système principal sans absorbeur possède un facteur d'amortissement $\\zeta_1 = 0.1$ (amortissement léger).
\n\n
Questions :
\n\n\n
Calculez la pulsation naturelle $\\omega_1$ du système principal et la fréquence d'excitation en Hz si $\\omega = \\omega_1$.
\n
Pour obtenir une annulation de vibration à la résonance (absorbeur idéal sans amortissement), déterminez la raideur $k_2$ et la pulsation naturelle $\\omega_2$ de l'absorbeur. Quel est le rapport des masses $\\mu = m_2/m_1$ ?
\n
Avec cet absorbeur (sans amortissement), calculez l'amplitude de vibration du système principal à la résonance initiale $\\omega_1$ et à une fréquence $50\\%$ au-dessus $\\omega = 1.5 \\omega_1$.
\n
On ajoute un amortissement à l'absorbeur : $c_2 = 500 \\, \\text{N·s/m}$. Calculez le facteur de qualité $Q_2$ de l'absorbeur et l'efficacité de suppression de vibration (réduction en pourcentage) à $\\omega = \\omega_1$.
\n\n",
"svg": "\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
Solution complète de l'exercice 3 :
\n\n
Question 1 : Pulsation naturelle du système principal
\n\n
Formule générale :
\n
La pulsation naturelle du système principal (sans absorbeur) est :
Interprétation : Le système principal résonne à 7.12 Hz. Une excitation à cette fréquence provoquera des vibrations amplifiées.
\n\n\n\n
Question 2 : Paramètres de l'absorbeur dynamique idéal
\n\n
Formule générale :
\n
Pour un absorbeur dynamique idéal (sans amortissement, aussi appelé absorbeur de Frahm), l'annulation de vibration est obtenue quand la pulsation naturelle de l'absorbeur égale la pulsation d'excitation :
Interprétation : L'absorbeur doit avoir exactement la même pulsation naturelle que le système principal pour créer une résonance antiphase qui annule les vibrations. Le rapport de masse de 0.1 (10% de la masse principale) est classique pour les absorbeurs.
\n\n\n\n
Question 3 : Amplitudes avec absorbeur idéal
\n\n
Formule générale :
\n
Avec un absorbeur dynamique idéal, l'amplitude de vibration du système principal en régime forcé est :
Expression plus complexe impliquant les deux degrés de liberté.
\n\n
Remplacement des données :
\n
À $\\omega = \\omega_1$ avec absorbeur :
\n\n
Dans le système couplé avec absorbeur idéal, le calcul complet utilise la matrice de rigidité dynamique. Le résultat classique pour l'amplitude à la résonance avec absorbeur et faible amortissement est :
Interprétation : Avec l'absorbeur, la vibration à la résonance initiale est drastiquement réduite de l'amplitude théorique beaucoup plus grande à seulement 12.5 mm (résidu dû à l'amortissement). À 1.5 fois la résonance, l'amplitude diminue davantage en raison du comportement de masse.
\n\n\n\n
Question 4 : Absorbeur amorti et efficacité
\n\n
Formule générale :
\n
Le coefficient d'amortissement critique de l'absorbeur est :
Interprétation : L'absorbeur avec amortissement offre une efficacité de 36%, ce qui signifie que les vibrations du système principal sont réduites de 36% à la résonance. Le facteur de qualité de 0.894 indique un amortissement modéré de l'absorbeur. Bien que la réduction absolue soit moins spectaculaire qu'avec un absorbeur purement résonant idéal, l'amortissement fournit une protection plus large sur une plage de fréquences et évite les instabilités de l'absorbeur idéal.
\n",
"id_category": "2",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"number": 4,
"title": "Analyse fréquentielle d'une structure bâtiment",
"question": "\n
Exercice 4 : Analyse fréquentielle d'une structure bâtiment
\n\n
Un bâtiment de plusieurs étages peut être modélisé comme une structure mécanique avec une masse équivalente concentrée $m = 50000 \\, \\text{kg}$, une raideur latérale (flexion) $k = 1000000 \\, \\text{N/m}$, et un facteur d'amortissement $\\zeta = 0.05$ (amortissement de 5%).
\n\n
La structure subit une excitation sismique modélisée par un spectre de réponse fourni par la norme parasismique. La force d'excitation s'écrit $F(t) = F_0 \\sin(\\omega t + \\phi)$ avec $F_0 = 200000 \\, \\text{N}$ et déphasage $\\phi = 0$.
\n\n
Questions :
\n\n\n
Calculez la période naturelle $T_0$ et la fréquence naturelle $f_0$ de la structure. À quelle plage de fréquence sismique (en Hz) la structure résonne-t-elle ?
\n
Déterminez l'amplitude de la réponse dynamique $X_0$ au régime permanent et le déphasage $\\phi_{resp}$ entre l'excitation et la réponse si l'excitation se produit à $\\omega = 0.8 \\omega_0$.
\n
Calculez la contrainte maximale dans la structure si le moment fléchissant à la base est $M(t) = EI \\cdot \\kappa(t)$ où $E = 30 \\, \\text{GPa}$, $I = 0.5 \\, \\text{m}^4$ (moment d'inertie), et la courbure $\\kappa = X_0 / L^2$ avec $L = 10 \\, \\text{m}$ (hauteur). Utilisez $\\sigma = \\frac{M \\cdot y}{I}$ avec $y = 0.5 \\, \\text{m}$ (distance neutre).
\n
Estimez l'amortissement optimal $\\zeta_{opt}$ qui minimiserait la résonance à $\\omega_r = \\omega_0$, et calculez le facteur d'amortissement critique $c_c$ et l'amortissement réel $c$ de la structure.
\n\n",
"svg": "\n",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
Solution complète de l'exercice 4 :
\n\n
Question 1 : Période naturelle et fréquence naturelle
Interprétation : La structure a une période naturelle d'environ 1.41 secondes, correspondant à une fréquence de 0.71 Hz. C'est une fréquence caractéristique pour un bâtiment de plusieurs étages. À cette fréquence, le bâtiment résonne avec les tremblements de terre de même période.
\n\n\n\n
Question 2 : Réponse dynamique à $\\omega = 0.8 \\omega_0$
\n\n
Formule générale :
\n
Pour une excitation sinusoïdale, l'amplitude de la réponse en régime permanent est :
Interprétation : À une fréquence 20% en dessous de la résonance, l'amplitude est 2.71 fois plus grande que l'amplitude quasi-statique. Le déphasage de 12.53° montre que la structure répond légèrement en avance par rapport à l'excitation (car $r < 1$).
\n\n\n\n
Question 3 : Contrainte maximale dans la structure
\n\n
Formule générale :
\n
Le moment fléchissant à la base en fonction du déplacement est :
\n$M = EI \\kappa = EI \\frac{X_0}{L^2}$\n\n
La contrainte de flexion maximale (au point de distance $y$ de l'axe neutre) est :
\n$\\sigma = \\frac{M y}{I} = \\frac{EI \\kappa y}{I} = E \\kappa y = E \\frac{X_0 y}{L^2}$\n\n
Remplacement des données :
\n
Utilisons $X_0 = 0.542 \\, \\text{m}$ obtenu à la question 2 :
Interprétation : La contrainte maximale de flexion dans la structure est 81.3 MPa, ce qui est une valeur raisonnable pour une structure bâtiment en acier ou béton armé. Cette contrainte est inférieure aux limites élastiques typiques (250-400 MPa pour l'acier), indiquant que la structure résiste bien à cette excitation sismique.
\n\n\n\n
Question 4 : Amortissement optimal et coefficient d'amortissement
\n\n
Formule générale :
\n
Pour minimiser la réponse dynamique à la résonance exacte ($\\omega = \\omega_0$), l'amortissement optimal dépend du contexte. Pour un système à un degré de liberté sous excitation de force constante à la résonance, l'amortissement optimal classique est approximativement :
\n$\\zeta_{opt} \u0007pprox 0.2 \\text{ à } 0.3 \\, (\\text{selon le critère de minimisation})$\n\n
Cependant, pour les structures, on utilise souvent $\\zeta = 0.05$ (5%) comme amortissement standard en raison du comportement réel des matériaux.
Amortissement optimal pour minimiser l'amplification à la résonance :
\n
Pour un système à un degré de liberté, si on cherche à minimiser le facteur de magnification à la résonance (c.-à-d., le pic du diagramme de Bode), l'amortissement optimal est généralement :
\n$\\zeta_{opt} = 0.1 \\, \\text{à} \\, 0.15$\n\n
avec la stratégie commune $\\zeta_{opt} \u0007pprox 0.1$ pour les structures civiles.
Interprétation : L'amortissement actuel de 5% est relativement faible pour une structure. Un amortissement de 10% doublerait la dissipation d'énergie, réduisant significativement les pics de résonance. Cependant, augmenter l'amortissement au-delà d'une certaine limite peut compliquer la conception et augmenter les coûts. L'amortissement de 5% est un bon compromis pour les structures passives, tandis qu'un contrôle actif serait nécessaire pour atteindre 10-15% d'amortissement efficace sans surcharger la structure.
\n",
"id_category": "2",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"number": 5,
"title": "Suspension de véhicule avec contrôle semi-actif",
"question": "\n
Exercice 5 : Suspension de véhicule avec contrôle semi-actif
\n\n
Un système de suspension de véhicule est modélisé comme une oscillation forcée du type « quart-de-voiture ». La masse du quart du véhicule est $m_v = 300 \\, \\text{kg}$, la raideur du pneu est $k_p = 150000 \\, \\text{N/m}$, la raideur de la suspension est $k_s = 30000 \\, \\text{N/m}$. Le coefficient d'amortissement de la suspension est $c_s = 3000 \\, \\text{N·s/m}$.
\n\n
Le profil du sol sinusoïdal impose une excitation verticale : $z_{sol}(t) = Z_0 \\sin(\\omega t)$ avec $Z_0 = 50 \\, \\text{mm}$ et fréquences d'excitation variant de $1 \\, \\text{Hz}$ à $20 \\, \\text{Hz}$.
\n\n
Questions :
\n\n\n
Calculez la pulsation naturelle non amortie $\\omega_0$ et amortie $\\omega_n$ du système, ainsi que le facteur d'amortissement $\\zeta$. Déterminez le type d'amortissement (sous-amorti, critique, ou suramortissement).
\n
À la fréquence de résonance, calculez l'amplitude des vibrations du véhicule $X_{veh}$ et l'amplitude de l'accélération $a_{veh}$.
\n
Calculez la force transmise au châssis $F_{transmise}$ (force d'appui) en fonction de la pulsation d'excitation. Évaluez cette force à $f = 1 \\, \\text{Hz}$, à la résonance, et à $f = 20 \\, \\text{Hz}$.
\n
On ajoute un contrôle semi-actif qui ajuste $c_s$ à $2 c_s = 6000 \\, \\text{N·s/m}$ lors de la résonance. Calculez le nouveau facteur d'amortissement $\\zeta'$, le facteur de qualité $Q'$, et l'amplitude réduite $X'_{veh}(\\omega_r)$. Quel pourcentage de réduction d'amplitude est obtenu ?
\n",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "\n
Solution complète de l'exercice 5 :
\n\n
Question 1 : Pulsations et type d'amortissement
\n\n
Formule générale :
\n
Pour un système masse-ressort-amortisseur simple (modèle quart-de-voiture), la pulsation naturelle non amortie est :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$\n\n
où la raideur équivalente est la somme en série-parallèle des ressorts. En première approximation (en négligeant le couplage tire-suspension) :
\n$k_{eq} = k_s \\, \\text{(suspension domine à courte période)}$\n\n
Type d'amortissement : Avec $\\zeta = 0.5$, le système est sous-amorti (underdamped). Il présentera des oscillations amorties avec un dépassement transitoire et une résonance prononcée.
\n\n\n\n
Question 2 : Amplitude à la résonance
\n\n
Formule générale :
\n
L'amplitude de vibration du véhicule en régime permanent pour une excitation de déplacement du sol $z_{sol}(t) = Z_0 \\sin(\\omega t)$ est :
Interprétation : À la résonance, l'amplitude de vibration du véhicule est 57.7 mm, ce qui est supérieur aux 50 mm d'excitation du sol. L'accélération correspondante de 2.885 m/s² est environ 0.29 g, ce qui est perceptible mais acceptable pour le confort des passagers (le seuil de confort est typiquement autour de 0.5 m/s²).
\n\n\n\n
Question 3 : Force transmise au châssis
\n\n
Formule générale :
\n
La force transmise au châssis (force d'appui totale) comprend la force du ressort et de l'amortisseur :
Interprétation : La force transmise au châssis augmente près de la résonance (2121 N au lieu de 1500 N en quasi-statique, soit 41% d'amplification). À haute fréquence (20 Hz), la suspension isole bien et la force transmise chute drastiquement à 120 N (isolation très efficace). La suspension fonctionne donc bien pour les hautes fréquences mais présente un pic à la résonance.
\n\n\n\n
Question 4 : Effet du contrôle semi-actif
\n\n
Formule générale :
\n
Avec l'augmentation de l'amortissement à $c'_s = 2 c_s = 6000 \\, \\text{N·s/m}$ :
Avec amortissement critique, la pulsation de résonance n'existe pas au sens classique (pas de pic aigu). L'amplitude maximale se produit à basse fréquence :
Interprétation : Le contrôle semi-actif qui double l'amortissement crée un système critiquement amorti. Ce changement élimine le pic de résonance aigu et donne une réponse plus plate. Bien que la réduction d'amplitude spécifique semble modeste (3.1%), l'avantage majeur est l'élimination du dépassement transitoire et la stabilisation rapide de la réponse. En pratique, cela améliore grandement le confort des passagers en éliminant les oscillations désagréables. De plus, à d'autres fréquences (notamment en transitoire), les bénéfices du contrôle semi-actif sont plus importants.
",
"id_category": "2",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Un système masse-ressort-amortisseur est soumis à une force d'excitation harmonique. La masse $m = 5$ kg est attachée à un ressort de raideur $k = 2000$ N/m et à un amortisseur de coefficient $c = 50$ N·s/m. Une force extérieure $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 100$ N est appliquée au système.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ du système non amorti et le coefficient d'amortissement $\\xi$.
Question 2 : Déterminer l'amplitude du régime permanent $X$ lorsque la fréquence d'excitation est $\\omega = 15$ rad/s.
Question 3 : Calculer la pulsation de résonance $\\omega_r$ et l'amplitude maximale $X_{max}$ à la résonance.
Question 4 : Déterminer le déphasage $\\phi$ entre la force d'excitation et le déplacement pour $\\omega = 15$ rad/s et $\\omega = \\omega_r$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul de la pulsation propre et du coefficient d'amortissement
Étape 1 : La pulsation propre du système non amorti est donnée par :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
Étape 2 : Remplacement des valeurs numériques :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{2000}{5}}$
Étape 3 : Calcul :
$\\omega_0 = \\sqrt{400} = 20 \\text{ rad/s}$
Étape 4 : Le coefficient d'amortissement est défini par :
Résultat : $\\phi(\\omega=15) = 40,6°$ et $\\phi(\\omega_r) = 75,0°$. Le déplacement est en retard sur la force. À la résonance exacte ($r=1$), $\\phi = 90°$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Circuit RLC série soumis à une tension alternative
Un circuit RLC série est alimenté par une tension alternative $e(t) = E_0 \\cos(\\omega t)$ avec $E_0 = 50$ V. Les composants ont les caractéristiques suivantes : résistance $R = 10$ Ω, inductance $L = 0,1$ H, et capacité $C = 100$ μF. Ce circuit est l'analogue électrique d'un oscillateur mécanique forcé.
Question 1 : Calculer la fréquence propre $f_0$ du circuit et le facteur de qualité $Q$.
Question 2 : Déterminer l'amplitude du courant $I$ en régime permanent pour une fréquence d'excitation $f = 120$ Hz.
Question 3 : Calculer la fréquence de résonance en courant $f_r$ et l'amplitude maximale du courant $I_{max}$.
Question 4 : Déterminer les puissances active $P$, réactive $Q_r$ et apparente $S$ à la fréquence $f = 120$ Hz.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Fréquence propre et facteur de qualité
Étape 1 : La pulsation propre du circuit RLC est :
Interprétation : Le courant à la résonance est $Q = 3,162$ fois plus grand que le courant qui circulerait dans $R$ seule sous $E_0$, montrant l'amplification résonante.
Question 4 : Puissances active, réactive et apparente
Étape 1 : La puissance apparente est :
$S = \\frac{E_0 I}{2}$
où le facteur $1/2$ vient des valeurs d'amplitude. En utilisant les valeurs efficaces : $S = E_{eff} I_{eff}$ avec $E_{eff} = E_0/\\sqrt{2}$ et $I_{eff} = I/\\sqrt{2}$.
Résultat : $P = 3,15$ W, $Q_r = 19,59$ VAR (inductive), $S = 19,84$ VA. Le facteur de puissance faible $(0,159)$ indique que le circuit fonctionne loin de la résonance.
",
"id_category": "2",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Système avec balourd tournant
Une machine de masse totale $M = 150$ kg est supportée par un système de suspension équivalent à un ressort de raideur $k = 180000$ N/m et un amortisseur de coefficient $c = 1800$ N·s/m. La machine contient un rotor avec un balourd (masse excentrée) de masse $m_0 = 2$ kg à une distance $e = 0,05$ m de l'axe de rotation. Le rotor tourne à une vitesse angulaire variable $\\omega$.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ du système et le coefficient d'amortissement $\\xi$.
Question 2 : Déterminer l'amplitude des vibrations $X$ lorsque le rotor tourne à $N = 1200$ tr/min.
Question 3 : Calculer la vitesse de rotation critique $N_c$ (en tr/min) correspondant à la résonance et l'amplitude maximale $X_{max}$.
Question 4 : Déterminer la force transmise au sol $F_T$ et le coefficient de transmissibilité $T_R$ à $N = 1200$ tr/min.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Pulsation propre et coefficient d'amortissement
Interprétation : À cette vitesse supérieure à la vitesse critique, l'amplitude est relativement faible malgré le balourd important.
Question 3 : Vitesse critique et amplitude maximale
Étape 1 : Pour un système avec balourd, l'amplitude maximale se produit à une fréquence légèrement différente de $\\omega_0$. Cependant, pour les calculs pratiques avec $\\xi$ faible, on utilise :
Résultat : $F_T = 207,61$ N et $T_R = 0,131 = 13,1\\%$. Au-delà de la résonance, le système isole bien la base des vibrations.
",
"id_category": "2",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Isolation vibratoire d'une fondation
Un équipement sensible de masse $m = 80$ kg doit être isolé des vibrations du sol. On utilise des supports élastiques de raideur totale $k = 160000$ N/m et d'amortissement $c = 400$ N·s/m. Le sol subit une vibration harmonique de déplacement $y(t) = Y_0 \\cos(\\omega t)$ avec $Y_0 = 2$ mm.
Question 1 : Calculer la fréquence naturelle $f_n$ du système d'isolation et le coefficient d'amortissement réduit $\\xi$.
Question 2 : Déterminer l'amplitude du mouvement absolu de l'équipement $X$ lorsque la fréquence d'excitation est $f = 15$ Hz.
Question 3 : Calculer le coefficient de transmissibilité en déplacement $T_D$ pour $f = 15$ Hz et $f = 30$ Hz.
Question 4 : Déterminer la fréquence minimale $f_{min}$ à partir de laquelle le système assure une isolation efficace ($T_D < 1$) et calculer $T_D$ à cette fréquence.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 4
Question 1 : Fréquence naturelle et coefficient d'amortissement
Étape 8 : En pratique, pour une isolation significative, on prend $r > 2$, soit :
$f > 2 \\times 7,12 = 14,24 \\text{ Hz}$
Résultat : La fréquence limite théorique est $f_{min} = 10,07$ Hz avec $T_D = 1,0$. Pour une isolation pratique efficace ($T_D < 0,5$), on recommande $f > 14,24$ Hz.
",
"id_category": "2",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Système à excitation paramétrique
Un pendule inversé de longueur $L = 0,8$ m et de masse $m = 3$ kg est monté sur un support qui vibre verticalement selon $y(t) = A\\cos(\\omega t)$ avec $A = 0,01$ m. Le système est équivalent à un oscillateur forcé avec une raideur effective $k_{eff} = \\frac{mg}{L}$ modulée par l'excitation. L'amortissement est caractérisé par $c = 0,8$ N·s·m/rad.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ des petites oscillations du pendule et le coefficient d'amortissement $\\xi$.
Question 2 : Déterminer l'amplitude angulaire $\\Theta$ des oscillations forcées lorsque la fréquence d'excitation est $\\omega = 5$ rad/s, sachant que la force généralisée effective est $Q_0 = \\frac{mgA}{L}$.
Question 3 : Calculer la puissance moyenne $P_{moy}$ dissipée par l'amortissement à $\\omega = 5$ rad/s.
Question 4 : Déterminer la bande passante $\\Delta\\omega$ du système (largeur à $-3$ dB) et les pulsations de coupure $\\omega_1$ et $\\omega_2$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 5
Question 1 : Pulsation propre et coefficient d'amortissement
Étape 1 : Pour un pendule, la pulsation propre des petites oscillations est :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{g}{L}}$
où $g = 9,81$ m/s² est l'accélération gravitationnelle.
Résultat : $\\Theta = 0,01491$ rad $= 0,854°$. L'amplitude est légèrement réduite par rapport à l'angle statique car le système opère au-delà de la résonance.
Question 3 : Puissance moyenne dissipée
Étape 1 : La puissance moyenne dissipée par l'amortissement est :
Interprétation : La puissance dissipée est faible en raison du faible amortissement. Elle peut aussi être calculée par $P_{moy} = \\frac{1}{2}Q_0\\omega\\Theta\\sin(\\phi)$ où $\\phi$ est le déphasage.
Question 4 : Bande passante et pulsations de coupure
Étape 1 : Pour un oscillateur faiblement amorti, la bande passante à $-3$ dB (où l'amplitude est réduite de $1/\\sqrt{2}$ par rapport au maximum) est :
$\\Delta\\omega = 2\\xi\\omega_0$
Étape 2 : Remplacement des valeurs :
$\\Delta\\omega = 2 \\times 0,0476 \\times 3,502$
Étape 3 : Calcul :
$\\Delta\\omega = 0,333 \\text{ rad/s}$
Étape 4 : Les pulsations de coupure sont approximativement (pour $\\xi \\ll 1$) :
Ce qui est cohérent avec $Q = \\frac{1}{2\\xi} = \\frac{1}{2 \\times 0,0476} = 10,50$
Résultat : $\\Delta\\omega = 0,333$ rad/s, $\\omega_1 = 3,335$ rad/s, $\\omega_2 = 3,669$ rad/s. La bande passante étroite reflète le faible amortissement et la forte sélectivité en fréquence.
",
"id_category": "2",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "Un oscillateur torsionnel à disque de moment d’inertie $J = 0.3~\\text{kg} \\cdot \\text{m}^2$ est suspendu à un fil de torsion de constante $K = 1.5~\\text{N}\\cdot\\text{m}/\\text{rad}$ avec un amortissement visqueux de coefficient $\\gamma = 0.12~\\text{kg} \\cdot \\text{m}^2/\\text{s}$, soumis à une excitation de couple $M(t) = M_0 \\cos(\\omega t)$.\n\n1. Écrivez l’équation différentielle de l’oscillation forcée et donnez l’expression de l’amplitude de la rotation stationnaire. 2. Pour $\\omega = \\omega_0$, exprimez l’amplitude maximale et calculez-la pour $M_0 = 0.45~\\text{N}\\cdot\\text{m}$. 3. Pour $\\omega = 2~\\text{rad/s}$, calculez l’amplitude et la phase du mouvement. 4. Calculez la puissance moyenne fournie au système en régime forcé stationnaire pour $\\omega = 2~\\text{rad/s}$.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "Un système masse-ressort amorti horizontal de masse $m = 1.2~\\text{kg}$ et de raideur $k = 50~\\text{N}/\\text{m}$ subit une excitation externe périodique $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 10~\\text{N}$. L’amortissement est de coefficient $\\gamma = 0.25~\\text{kg}/\\text{s}$.\n\n1. Déduisez la formule de l’amplitude en régime forcé stationnaire et calculez numériquement l’amplitude pour $\\omega = 3~\\text{rad/s}$.\n2. Déterminez la pulsation propre du système et l’amplitude maximale.\n3. Pour une fréquence $\\omega$ telle que l’amplitude soit égale à 60% de la valeur maximale, calculez cette fréquence.\n4. Calculez la force de rappel maximale exercée par le ressort pour l’amplitude maximale.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
3. Fréquence pour amplitude à 60% de $A_{max}$ : $A(\\omega) = 0.60 \\times A_{max} = 3.72~\\text{m}$ Posons : $\\sqrt{(k - m \\omega^2)^2 + (\\gamma \\omega)^2} = \\dfrac{F_0}{3.72} = 2.688$ $(k - m \\omega^2)^2 + (\\gamma \\omega)^2 = 7.229$ Essais numériques, typiquement $\\omega \\approx 7.1~\\text{rad/s}$
4. Force de rappel maximale : Formule : $F_{rappel,max} = k A_{max}$ $F_{rappel,max} = 50 \\times 6.20 = 310~\\text{N}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"id": 1,
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Résonance d'un système masse-ressort amorti
\n
Un système masse-ressort amorti est excité par une force harmonique. La masse $m = 2 \\, \\text{kg}$ est attachée à un ressort de raideur $k = 800 \\, \\text{N/m}$. Le coefficient d'amortissement est $c = 40 \\, \\text{N·s/m}$. Le système est soumis à une force excitatrice $F(t) = 150 \\cos(\\omega t) \\, \\text{N}$.
\n\n
Question 1 :
\n
Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du système non amorti et la pulsation propre amortie $\\omega_d$.
\n\n
Question 2 :
\n
Déterminez le facteur d'amortissement $\\zeta$ et l'amortissement critique $c_c$. Précisez le type d'amortissement (sous-amorti, critique ou sur-amorti).
\n\n
Question 3 :
\n
À la résonance (lorsque $\\omega = \\omega_0$), calculez l'amplitude de l'oscillation forcée en régime permanent $X_0$.
\n\n
Question 4 :
\n
Pour la pulsation d'excitation $\\omega = 18 \\, \\text{rad/s}$, calculez l'amplitude $X(\\omega)$ et la phase $\\phi$ de la réponse. Comparez avec l'amplitude à la résonance.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et pulsation amortie
Conclusion : À ω = 18 rad/s, l'amplitude est 20.4 cm, supérieure à celle obtenue à la résonance exacte (18.75 cm) car le pic de résonance est légèrement décalé en raison de l'amortissement.
",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"id": 2,
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Isolement des vibrations et transmissibilité
\n
Un moteur électrique de masse $m = 50 \\, \\text{kg}$ est monté sur une plate-forme isolante avec des ressorts de rigidité totale $k = 50 \\, \\text{kN/m}$ et un amortisseur de coefficient $c = 5 \\, \\text{kN·s/m}$. Le moteur produit une force d'excitation à la fréquence $f = 10 \\, \\text{Hz}$ avec une amplitude $F_0 = 2000 \\, \\text{N}$.
\n\n
Question 1 :
\n
Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du système et la pulsation d'excitation $\\omega$. Déduis la pulsation réduite $r = \\omega/\\omega_0$.
\n\n
Question 2 :
\n
Calculez le facteur d'amortissement $\\zeta$ et vérifiez que le système est sous-amorti.
\n\n
Question 3 :
\n
Calculez l'amplitude de vibration du moteur en régime permanent $X$.
\n\n
Question 4 :
\n
Déterminez la transmissibilité $T_r$ et la force transmise à la fondation $F_{trans}$. Quel pourcentage de la force est transmise ?
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et pulsation réduite
Puisque $\\zeta = 1.581 > 1$, le système est sur-amorti. L'amortissement fourni est plus important que nécessaire, ce qui signifie peu ou pas d'oscillation.
\n\n
Question 3 : Amplitude de vibration en régime permanent
Conclusion : Malgré l'amortissement élevé, environ 92% de la force est transmise à la fondation car le système est sur-amorti et fonctionne au-delà de la fréquence de résonance.
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"id": 3,
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Résonance d'amplitude et d'accélération
\n
Un système mécanique composé d'une masse $m = 10 \\, \\text{kg}$, d'un ressort $k = 1000 \\, \\text{N/m}$ et d'un amortisseur $c = 100 \\, \\text{N·s/m}$ est excité par une force $F(t) = 500 \\cos(\\omega t) \\, \\text{N}$.
\n\n
Question 1 :
\n
Calculez la pulsation propre $\\omega_0$, le facteur d'amortissement $\\zeta$ et la pulsation de résonance d'amplitude $\\omega_{res,X}$.
\n\n
Question 2 :
\n
À la pulsation $\\omega = \\omega_0$, calculez l'amplitude de déplacement $X$ et l'amplitude de vélocité $V = \\omega X$.
\n\n
Question 3 :
\n
Déterminez la pulsation de résonance d'accélération $\\omega_{res,A}$ et l'amplitude d'accélération correspondante $A_{max}$.
\n\n
Question 4 :
\n
Tracez la réponse fréquentielle en amplitude (dB) pour les pulsations $\\omega = 0, \\omega_0/2, \\omega_0, 1.5\\omega_0, 2\\omega_0$ et interpréter les résultats.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsations caractéristiques et facteur d'amortissement
Interprétation : Le système montre une légère amplification autour de $\\omega_0/\\sqrt{2}$ en raison de l'amortissement modéré. Au-delà de $2\\omega_0$, l'amplitude décroît rapidement, ce qui est caractéristique d'un filtre passe-bas mécanique.
",
"id_category": "2",
"id_number": "15"
},
{
"id": 4,
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Excitation de base et transmissibilité aux appuis
\n
Une structure bâtiment est soumise à une excitation sismique à sa base. La structure (modélisée comme une masse) a une masse $m = 100 \\, \\text{kg}$, elle repose sur un système d'isolation sismique avec une rigidité $k = 200 \\, \\text{kN/m}$ et un amortissement $c = 20 \\, \\text{kN·s/m}$. Le mouvement de base est $x_b(t) = 0.05 \\sin(\\omega t) \\, \\text{m}$ (amplitude $0.05 \\, \\text{m}$).
\n\n
Question 1 :
\n
Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et le facteur d'amortissement $\\zeta$ du système d'isolation.
\n\n
Question 2 :
\n
Pour une excitation à $\\omega = 20 \\, \\text{rad/s}$, calculez l'amplitude de déplacement de la masse par rapport au sol $X$ et la transmissibilité de déplacement $T_d$.
\n\n
Question 3 :
\n
Calculez la force d'inertie maximale sur la structure $F_{inertie}$ et la force transmise à la fondation $F_{fondation}$.
\n\n
Question 4 :
\n
Si la fréquence d'excitation augmente à $f = 5 \\, \\text{Hz}$, comment change la transmissibilité ? Quel type de filtre se comporte cette structure et pourquoi l'isolation est-elle efficace à haute fréquence ?
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et facteur d'amortissement
La transmissibilité augmente légèrement (1.036 vs 1.038), mais reste très proche.
\n
Type de filtre : Cette structure fonctionne comme un filtre passe-bas. Pour les basses fréquences ($\\omega < \\omega_0$), la transmissibilité dépasse 1, ce qui signifie une amplification. Pour les hautes fréquences ($\\omega > \\sqrt{2} \\omega_0$), la transmissibilité devient inférieure à 1, assurant une isolation efficace.
\n
Efficacité de l'isolation : À haute fréquence, l'inertie de la masse domine sur la rigidité du ressort. Le système se comporte comme une masse suspendue, atténuant les vibrations haute fréquence. C'est le principe fondamental de l'isolation parasismique moderne.
",
"id_category": "2",
"id_number": "16"
},
{
"id": 5,
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Amplitude et phase d'oscillations forcées avec harmoniques multiples
\n
Un système masse-ressort-amortisseur avec $m = 5 \\, \\text{kg}$, $k = 2000 \\, \\text{N/m}$ et $c = 80 \\, \\text{N·s/m}$ est soumis à une excitation périodique complexe composée de deux harmoniques : $F(t) = 400 \\cos(20t) + 200 \\cos(60t) \\, \\text{N}$.
\n\n
Question 1 :
\n
Calculez la pulsation propre $\\omega_0$, le facteur d'amortissement $\\zeta$ et analysez le type d'amortissement.
\n\n
Question 2 :
\n
Pour la première harmonique à $\\omega_1 = 20 \\, \\text{rad/s}$, calculez l'amplitude $X_1$ et la phase $\\phi_1$ de la réponse.
\n\n
Question 3 :
\n
Pour la deuxième harmonique à $\\omega_2 = 60 \\, \\text{rad/s}$, calculez l'amplitude $X_2$ et la phase $\\phi_2$. Comparez l'importance relative des deux contributions.
\n\n
Question 4 :
\n
Tracez l'allure de la réponse temporelle instantanée $x(t)$ en régime permanent et identifiez la fréquence dominante de la réponse. Calculez l'amplitude maximale instantanée $x_{max}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et facteur d'amortissement
Conclusion : Le système répond fortement à la première harmonique (à la résonance) avec une amplitude de 25 cm. La deuxième harmonique à 60 rad/s produit une oscillation négligeable d'environ 1.2 cm. La réponse globale est dominée par une oscillation lente à 3.18 Hz avec une petite ondulation à 9.55 Hz. C'est une signature typique d'une résonance sélective où le système filtre les fréquences proches de sa pulsation propre.
",
"id_category": "2",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"exerciseNumber": 1,
"title": "Oscillateur amorti soumis à une excitation sinusoïdale",
"question": "
Un système mécanique composé d'une masse $m = 2 \\ \\text{kg}$ attachée à un ressort de raideur $k = 800 \\ \\text{N/m}$ et amortisseur de coefficient $c = 20 \\ \\text{N·s/m}$ est soumis à une force d'excitation sinusoïdale $F(t) = F_0 \\cos(\\omega t)$ avec $F_0 = 50 \\ \\text{N}$.
Question 1 : Calculez la fréquence propre du système $\\omega_0$ en rad/s et la fréquence propre amortie $\\omega_d$ en rad/s.
Question 2 : Pour une fréquence d'excitation $\\omega = 15 \\ \\text{rad/s}$, déterminez l'amplitude de la réponse stationnaire $X_0$ en mètres et le déphasage $\\phi$ en degrés.
Question 3 : Calculez la fréquence de résonance en amplitude $\\omega_{res}$ et l'amplitude maximale à la résonance $X_{max}$ en mètres.
Question 4 : Déterminez la bande passante (fréquences pour lesquelles $X(\\omega) \\geq X_{max}/\\sqrt{2}$) en rad/s et en Hz.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION DÉTAILLÉE
Question 1 : Fréquence propre et fréquence propre amortie
Résultats Question 4 : $\\Delta\\omega = 2.5 \\ \\text{rad/s}$ et $\\Delta f = 0.398 \\ \\text{Hz}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"exerciseNumber": 2,
"title": "Isolation vibratoire d'une machine tournante",
"question": "
Une machine tournante de masse $M = 50 \\ \\text{kg}$ est montée sur une base élastique. Le système comporte des ressorts de raideur totale $K = 5000 \\ \\text{N/m}$ et un amortissement de coefficient $C = 200 \\ \\text{N·s/m}$. La machine génère une force d'excitation due au balourd de $F_0 = 150 \\ \\text{N}$ à une vitesse de rotation de $n = 1800 \\ \\text{tr/min}$.
Question 1 : Convertissez la vitesse de rotation en rad/s et calculez la fréquence d'excitation angulaire $\\omega_e$. Déterminez la fréquence propre $\\omega_n$ et le rapport de fréquence $r = \\omega_e/\\omega_n$.
Question 2 : Calculez l'amplitude de déplacement en régime permanent $X$ en millimètres et l'angle de déphasage $\\psi$ en degrés.
Question 3 : Déterminez le coefficient de transmission $T_r$ (ratio entre la force transmise et la force appliquée) et la force transmise à la fondation $F_{trans}$ en Newtons.
Question 4 : Calculez le taux d'isolation $I = (1 - T_r) \\times 100\\%$ en pourcentage et expliquez si le système assure une isolation efficace pour les fréquences d'exploitation.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION DÉTAILLÉE
Question 1 : Conversion de vitesse et paramètres du système
Interprétation : Un taux d'isolation de 97.85% signifie que le système transmet seulement 2.15% de la force d'excitation à la fondation. C'est une isolation très efficace.
Explication supplémentaire : Puisque le rapport de fréquence $r = 18.84 \\gg 1$, nous sommes bien au-delà de la fréquence de résonance $(r > \\sqrt{2})$. Dans cette région, l'isolation vibratoire fonctionne très efficacement. La force transmise est fortement atténuée, ce qui signifie que la machine tournante sera bien isolée des vibrations transmises à la structure de support.
Résultats Question 4 : $I = 97.85\\%$ - L'isolation est très efficace pour les fréquences d'exploitation.
",
"id_category": "2",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"exerciseNumber": 3,
"title": "Résonance d'une structure de bâtiment",
"question": "
Une structure de bâtiment modélisée comme un système à un degré de liberté a une masse totale $m = 100 \\ \\text{kg}$, une raideur structurelle $k = 10000 \\ \\text{N/m}$, et un amortissement critique de $c_c = 894 \\ \\text{N·s/m}$. La structure est excitée par une force d'excitation $F(t) = F_0 \\sin(\\omega t)$ où $F_0 = 200 \\ \\text{N}$.
Question 1 : Calculez la fréquence propre non amortie $f_0$ en Hz et le pourcentage d'amortissement critique $\\xi\\%$ si l'amortissement réel est $c = 100 \\ \\text{N·s/m}$.
Question 2 : Détermine l'amplitude à la résonance $X_{res}$ en mm pour $\\omega = \\omega_0$ et l'amplitude pour une fréquence de $f = 5 \\ \\text{Hz}$ (soit $\\omega = 2\\pi f = 31.42 \\ \\text{rad/s}$).
Question 3 : Calculez le facteur de qualité $Q$ de la résonance et déterminez les fréquences de demi-puissance $f_1$ et $f_2$ en Hz pour lesquelles l'amplitude est $X_{res}/\\sqrt{2}$.
Question 4 : Déterminez la bande passante en Hz et le rapport d'amplification dynamique $\\text{DAF}$ à la résonance par rapport au déplacement statique $X_{stat}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION DÉTAILLÉE
Question 1 : Fréquence propre et pourcentage d'amortissement critique
Résultats Question 4 : $\\Delta f = 0.730 \\ \\text{Hz}$ et $\\text{DAF} = 4.47$
",
"id_category": "2",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"exerciseNumber": 4,
"title": "Amortisseur dynamique auxiliaire (TMD)",
"question": "
Un système principal de masse $M = 1000 \\ \\text{kg}$ avec raideur $K = 100000 \\ \\text{N/m}$ et amortissement $\\gamma = 0.05$ est équipé d'un amortisseur de masse accordée (TMD). La masse de l'amortisseur est $m = 50 \\ \\text{kg}$ et sa raideur est $k = 5000 \\ \\text{N/m}$. Le système est excité par une force $F(t) = 100 \\cos(\\omega t) \\ \\text{N}$.
Question 1 : Calculez la fréquence propre du système principal $f_0$ en Hz et celle de l'amortisseur $f_d$ en Hz. Vérifiez que l'amortisseur est bien accordé sur la fréquence du système principal.
Question 2 : Pour une fréquence d'excitation $\\omega = \\omega_0 = 2\\pi f_0$ (à la résonance du système principal), calculez l'amplitude du système principal avec TMD en millimètres et comparez-la avec l'amplitude sans TMD (amortisseur bloqué).
Question 3 : Déterminez la fréquence d'anti-résonance $f_{anti}$ introduite par le TMD et expliquez son importance pour le contrôle des vibrations.
Question 4 : Calculez l'efficacité du TMD en termes de réduction de l'amplitude en pourcentage pour une large gamme de fréquences incluant une fréquence de $\\omega = 1.1 \\times \\omega_0$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION DÉTAILLÉE
Question 1 : Fréquences propres et vérification d'accord
Pour un TMD optimalement accordé à la résonance du système principal, l'amplitude du système principal est fortement réduite. Utilisant la théorie de l'absorption dynamique :
Pour une meilleure estimation avec amortissement :
$X_{avec TMD} \\approx 1.2 \\ \\text{mm}$ (réduction de 88%)
Résultats Question 2 : Sans TMD : $X = 10 \\ \\text{mm}$, Avec TMD : $X \\approx 1.2 \\ \\text{mm}$
Question 3 : Fréquence d'anti-résonance
La fréquence d'anti-résonance introduite par le TMD correspond à la fréquence à laquelle l'amplitude du système principal s'annule (théoriquement). Pour un système avec TMD accordé, cette fréquence est :
Résultats Question 4 : Efficacité du TMD à $f = 1.751 \\ \\text{Hz}$ : $\\eta \\approx 40.8\\%$
",
"id_category": "2",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Oscillations forcées d'un système à un degré de liberté",
"exerciseNumber": 5,
"title": "Sismique et isolement base : analyse d'une structure parasismique",
"question": "
Un bâtiment de masse $m = 3000 \\ \\text{kg}$ repose sur un système d'isolement parasismique composé de ressorts élastomères de raideur totale $k = 75000 \\ \\text{N/m}$ et d'amortisseurs fournissant un coefficient d'amortissement $c = 15000 \\ \\text{N·s/m}$. Le bâtiment est soumis à une accélération sismique modélisée par $\\ddot{x}_g(t) = 0.2g \\sin(\\omega_s t)$ avec $g = 9.81 \\ \\text{m/s}^2$ et $\\omega_s = 4 \\ \\text{rad/s}$.
Question 1 : Calculez la fréquence propre du système isolé $\\omega_0$ en rad/s et convertissez-la en Hz. Déterminez le ratio d'isolation $\\beta = \\omega_s/\\omega_0$ et identifiez le régime d'isolation.
Question 2 : Calculez l'accélération absolue maximale du bâtiment en régime stationnaire et comparez-la avec l'accélération du sol $a_g = 0.2g \\ \\text{m/s}^2$.
Question 3 : Déterminez le déplacement relatif du bâtiment par rapport au sol $x_{rel}(t)$ en millimètres et la force de cisaillement maximale à la base $V_{max}$ en Newtons.
Question 4 : Calculez la réduction d'accélération en pourcentage et évaluez l'efficacité du système d'isolement parasismique pour la gamme de fréquences sismiques de $0.5 \\ \\text{à} \\ 3 \\ \\text{Hz}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION DÉTAILLÉE
Question 1 : Fréquence propre, ratio d'isolation et régime
Identification du régime : Puisque $\\beta = 0.8 < 1$, le système fonctionne en régime de quasi-résonance, proche mais pas au-delà de la fréquence de résonance. Cela signifie que la réduction d'accélération n'est pas optimale à cette fréquence sismique.
Remarque : L'amplification est due au fait que le système fonctionne près de sa fréquence de résonance ($\\beta \\approx 1$). Pour un isolement efficace, il faudrait que $\\beta > \\sqrt{2}$.
Question 3 : Déplacement relatif et force de cisaillement maximale
Le déplacement relatif maximal du bâtiment par rapport au sol :
Résultats Question 4 : À $f = 4 \\ \\text{Hz}$ (fréquence d'excitation) : amplification de 46%. Pour $f = 3 \\ \\text{Hz}$ : réduction de 69%. Le système assure une isolation efficace pour les fréquences supérieures à 1.5 Hz (au-delà de la résonance isolée).
",
"id_category": "2",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"exercise_number": 1,
"title": "Oscillateur mécanique simple avec masse-ressort",
"question": "Exercice 1 : Oscillateur mécanique simple avec masse-ressort
Un système masse-ressort horizontal est composé d'une masse $m = 2 \\text{ kg}$ attachée à un ressort de raideur $k = 128 \\text{ N/m}$. Le frottement est négligeable. À l'instant initial $t = 0$, la masse est écartée de sa position d'équilibre d'une amplitude $x_0 = 0,1 \\text{ m}$ puis lâchée sans vitesse initiale.
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du système et sa période d'oscillation $T$.
Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ et déterminez la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$ atteinte par la masse lors de son oscillation.
Question 3 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{totale}}$ du système. Vérifiez que cette énergie se partage équitablement entre énergie cinétique et potentielle lorsque la masse passe à la position $x = \\frac{x_0}{\\sqrt{2}}$.
Question 4 : Déterminez le temps $t_1$ mis par la masse pour parcourir la distance entre $x = x_0$ et $x = \\frac{x_0}{2}$ pour la première fois.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE
Question 1 : Pulsation propre et période La pulsation propre d'un oscillateur masse-ressort est donnée par : $\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
Question 2 : Équation du mouvement et vitesse maximale Pour un système initialement écarté à $x_0$ avec vitesse nulle, l'équation du mouvement est : $x(t) = x_0 \\cos(\\omega_0 t) = 0,1 \\cos(8t) \\text{ m}$
La vitesse est la dérivée de la position : $v(t) = \\frac{dx}{dt} = -x_0 \\omega_0 \\sin(\\omega_0 t) = -0,8 \\sin(8t) \\text{ m/s}$
La vitesse maximale occur lors que $|\\sin(8t)| = 1$ : $v_{\\text{max}} = x_0 \\omega_0 = 0,1 \\times 8 = 0,8 \\text{ m/s}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"exercise_number": 2,
"title": "Oscillateur électrique RLC en régime libre",
"question": "Exercice 2 : Oscillateur électrique RLC en régime libre
Un circuit RLC série en régime libre est composé d'une inductance $L = 0,5 \\text{ H}$, une résistance $R = 10 \\text{ Ω}$, et une capacité $C = 40 \\text{ μF} = 40 \\times 10^{-6} \\text{ F}$. À $t = 0$, le condensateur est chargé avec une tension initiale $U_0 = 100 \\text{ V}$ et il n'y a pas de courant initial.
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du circuit et le coefficient d'amortissement $\\gamma$. Déterminez si le régime est sous-amorti, critique ou sur-amorti.
Question 2 : Écrivez l'expression complète de la tension $u(t)$ aux bornes du condensateur et calculez la tension au temps $t = 0,05 \\text{ s}$.
Question 3 : Déterminez le courant $i(t)$ dans le circuit et calculez le courant maximal $i_{\\text{max}}$. À quel instant $t_{\\text{max}}$ ce courant maximal est-il atteint?
Question 4 : Calculez l'énergie dissipée $E_{\\text{dissipée}}$ par la résistance lors des trois premiers cycles (approximativement jusqu'à $t = 0,3 \\text{ s}$). Vérifiez que l'énergie totale initiale est conservée.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE
Question 1 : Pulsation propre et coefficient d'amortissement La pulsation propre d'un circuit LC est : $\\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}} = \\frac{1}{\\sqrt{0,5 \\times 40 \\times 10^{-6}}} = \\frac{1}{\\sqrt{20 \\times 10^{-6}}} = \\frac{1}{4,472 \\times 10^{-3}} = 223,6 \\text{ rad/s}$
Le coefficient d'amortissement est : $\\gamma = \\frac{R}{2L} = \\frac{10}{2 \\times 0,5} = \\frac{10}{1} = 10 \\text{ s}^{-1}$
Comparaison : $\\gamma = 10 \\text{ s}^{-1}$ et $\\omega_0 = 223,6 \\text{ rad/s}$ Comme $\\gamma < \\omega_0$, le régime est sous-amorti.
Question 3 : Courant dans le circuit Le courant est défini par $i = C \\frac{du}{dt}$. Pour un régime sous-amorti : $i(t) = \\frac{U_0}{L} e^{-\\gamma t} \\sin(\\omega_d t)$
En remplaçant les valeurs : $i(t) = \\frac{100}{0,5} e^{-10t} \\sin(223,6 t) = 200 e^{-10t} \\sin(223,6 t) \\text{ A}$
Le courant maximal occur lors du premier maximum, lorsque $e^{-10t}$ et $\\sin(223,6 t)$ ont leur effet maximum combiné. Pour le premier maximum approximé : $t_{\\text{max}} \\approx \\frac{\\pi}{2\\omega_d} = \\frac{\\pi}{2 \\times 223,6} \\approx 0,00703 \\text{ s}$
Question 4 : Énergie dissipée et conservation L'énergie initiale stockée dans le condensateur est : $E_0 = \\frac{1}{2}CU_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 40 \\times 10^{-6} \\times (100)^2 = 0,2 \\text{ J}$
L'énergie dissipée dans la résistance jusqu'au temps $t$ est : $E_{\\text{dissipée}}(t) = \\int_0^t i^2(t') R \\, dt' = \\int_0^t [200 e^{-10t'} \\sin(223,6 t')]^2 \\times 10 \\, dt'$
Pour les trois premiers cycles (environ $t \\approx 0,3 \\text{ s}$, puisque $T \\approx 0,028 \\text{ s}$) : En raison de l'atténuation exponentielle rapide, presque toute l'énergie est dissipée après environ $t = 0,5 \\text{ s}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"exercise_number": 3,
"title": "Pendule simple en petites oscillations",
"question": "Exercice 3 : Pendule simple en petites oscillations
Un pendule simple est constitué d'une masse $m = 0,5 \\text{ kg}$ suspendue à un fil inextensible de longueur $L = 1 \\text{ m}$. Le frottement de l'air est négligeable. Le pendule effectue des petites oscillations (approximation linéaire valide). À $t = 0$, le pendule est écarté d'un angle $\\theta_0 = 0,15 \\text{ rad}$ (environ $8,6°$) puis lâché sans vitesse initiale.
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période $T$ du pendule. Comparez cette période avec celle d'un pendule simple sans approximation en calculant l'erreur commise.
Question 2 : Écrivez l'équation angulaire $\\theta(t)$ du mouvement et déterminez la vitesse angulaire maximale $\\dot{\\theta}_{\\text{max}}$ et la vitesse linéaire maximale $v_{\\text{max}}$ de la masse.
Question 3 : Calculez l'accélération angulaire $\\ddot{\\theta}(t)$ et trouvez l'accélération tangentielle maximale $a_{\\text{tang,max}}$ de la masse lors de son oscillation.
Question 4 : Déterminez les énergies cinétique maximale $E_{c,\\text{max}}$ et potentielle maximale $E_{p,\\text{max}}$ du pendule. Montrez qu'elles sont égales (principe d'équipartition de l'énergie).",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE
Question 1 : Pulsation propre et période Pour un pendule simple en petites oscillations, la pulsation propre est : $\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{g}{L}} = \\sqrt{\\frac{9,8}{1}} = \\sqrt{9,8} \\approx 3,13 \\text{ rad/s}$
La période d'oscillation est : $T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{2\\pi}{3,13} \\approx 2,006 \\text{ s}$
Comparaison avec la formule exacte (formule elliptique): Pour $\\theta_0 = 0,15 \\text{ rad} \\approx 8,6°$, la correction au premier ordre est : $T_{\\text{exact}} \\approx T_0 \\left(1 + \\frac{\\theta_0^2}{16}\\right) = T_0 \\left(1 + \\frac{(0,15)^2}{16}\\right) = T_0 (1 + 0,00141) \\approx 2,009 \\text{ s}$
Question 4 : Énergies cinétique et potentielle En petites oscillations, l'énergie potentielle (par rapport à la position d'équilibre) est : $E_p = mgh = mgL(1 - \\cos\\theta) \\approx \\frac{1}{2}mgL\\theta^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"exercise_number": 4,
"title": "Oscillations amorties : amortisseur mécanique",
"question": "Exercice 4 : Oscillations amorties - Amortisseur mécanique
Un système de suspension automobile est modélisé par une masse $m = 50 \\text{ kg}$ (quart du véhicule) montée sur un ressort de raideur $k = 12500 \\text{ N/m}$ et un amortisseur de coefficient d'amortissement $c = 500 \\text{ N·s/m}$. À $t = 0$, la masse est écartée verticalement de $x_0 = 0,1 \\text{ m}$ et lâchée sans vitesse initiale. On prendra $g = 10 \\text{ m/s}^2$.
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$, le coefficient d'amortissement $\\gamma$, et la pulsation amortie $\\omega_d$. Déterminez le facteur de qualité $Q$ du système.
Question 2 : Écrivez l'équation complète $x(t)$ du mouvement de la masse et calculez le déplacement à $t = 1 \\text{ s}$.
Question 3 : Déterminez l'amplitude maximale du déplacement et l'instant $t_1$ auquel le premier extremum après le lâchage est atteint.
Question 4 : Calculez le décrément logarithmique $\\delta$ et vérifiez que le rapport d'amplitude entre deux maxima consécutifs est $e^{-\\delta}$. En déduire le nombre de cycles $N$ nécessaire pour que l'amplitude soit réduite à $5\\%$ de sa valeur initiale.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE
Question 1 : Pulsation propre, amortissement et facteur de qualité La pulsation propre du système : $\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{12500}{50}} = \\sqrt{250} \\approx 15,81 \\text{ rad/s}$
Question 2 : Équation du mouvement et déplacement à t = 1 s Pour un système sous-amorti avec conditions initiales $x(0) = x_0 = 0,1 \\text{ m}$ et $\\dot{x}(0) = 0$ : $x(t) = x_0 e^{-\\gamma t} \\left[\\cos(\\omega_d t) + \\frac{\\gamma}{\\omega_d}\\sin(\\omega_d t)\\right]$
Question 4 : Décrément logarithmique et atténuation Le décrément logarithmique est : $\\delta = \\frac{2\\pi\\gamma}{\\omega_d} = \\frac{2\\pi \\times 5}{15} = \\frac{10\\pi}{15} = \\frac{2\\pi}{3} \\approx 2,094$
Le rapport d'amplitude entre deux maxima consécutifs est : $e^{-\\delta} = e^{-2,094} \\approx 0,123$
Cela signifie que chaque amplitude suivante est $12,3\\%$ de la précédente, ou $87,7\\%$ est perdu à chaque cycle.
Pour que l'amplitude soit réduite à $5\\%$ de sa valeur initiale : $0,1 \\times (e^{-\\delta})^N = 0,05$ $(e^{-\\delta})^N = 0,05 / 0,1 = 0,5$ $N \\ln(e^{-\\delta}) = \\ln(0,5)$ $N \\times (-\\delta) = \\ln(0,5)$ $N = \\frac{\\ln(0,5)}{-\\delta} = \\frac{-0,693}{-2,094} \\approx 0,331$
Puisque $N$ doit être entier, après le 1er cycle (N=1), l'amplitude est réduite à $12,3\\%$ de sa valeur initiale, ce qui est déjà inférieur à $5\\%$ après légèrement plus d'un cycle complet. Précisément : $N = \\frac{\\ln(2)}{2,094} \\approx 0,33$ cycles, soit environ $0,33 \\times T$ où $T = \\frac{2\\pi}{\\omega_d} \\approx 0,419 \\text{ s}$.
Résultat 4 : $\\delta \\approx 2,094$, $e^{-\\delta} \\approx 0,123$, environ $N \\approx 0,33$ cycles nécessaires pour une atténuation à $5\\%$
",
"id_category": "1",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"exercise_number": 5,
"title": "Oscillateur paramétrique : balançoire excitée",
"question": "Exercice 5 : Oscillateur paramétrique - Balançoire excitée
Une balançoire peut être modélisée comme un pendule de longueur effective $L = 2,4 \\text{ m}$ et de masse $m = 30 \\text{ kg}$. La personne qui se balance pompe régulièrement son poids (sans modifier la longueur du pendule), ce qui est modélisé par une variation périodique de la position d'équilibre. On considère des oscillations libres avec amortissement faible : coefficient d'amortissement $\\gamma = 0,15 \\text{ s}^{-1}$. À $t = 0$, la balançoire est écartée d'un angle $\\theta_0 = 0,2 \\text{ rad}$ et lâchée sans vitesse initiale. On prendra $g = 10 \\text{ m/s}^2$.
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$, la pulsation amortie $\\omega_d$, et le temps de relaxation $\\tau$ (temps pour que l'amplitude soit divisée par $e$).
Question 2 : Écrivez l'équation angulaire $\\theta(t)$ du mouvement de la balançoire et déterminez l'angle maximal $\\theta_{\\text{max}}(t)$ en fonction du temps. Calculez l'angle à $t = 5 \\text{ s}$.
Question 3 : Calculez l'énergie mécanique initiale $E_0$ du système et déterminez le temps $t_{1/2}$ auquel l'énergie aura diminué de moitié. Comparez avec $\\tau$ et interprétez le résultat.
Question 4 : Déterminez la vitesse linéaire maximale $v_{\\text{max}}(t)$ de la personne lors des trois premiers cycles. Quelle est la distance totale parcourue le long de l'arc de balançoire pendant $10 \\text{ s}$ d'oscillations libres amorties?",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE
Question 1 : Pulsation propre, amortie et temps de relaxation La pulsation propre d'une balançoire en petites oscillations : $\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{g}{L}} = \\sqrt{\\frac{10}{2,4}} = \\sqrt{4,167} \\approx 2,041 \\text{ rad/s}$
Interprétation : L'énergie décroît deux fois plus vite que l'amplitude (facteur $e^{-2\\gamma t}$ vs $e^{-\\gamma t}$), donc la demi-vie énergétique est $\\frac{\\tau}{2} \\ln(2) \\approx 0,347 \\tau$.
Distance totale parcourue en 10 s : Pour chaque cycle, l'arc parcouru est approximativement $4 \\times \\theta_0(t) \\times L$ (4 parcours de l'amplitude). Mais avec amortissement, on doit intégrer : $s = \\int_0^{10} L |\\dot{\\theta}(t)| \\, dt$
Approximation par cycles : $s \\approx L \\sum_{n} \\theta_0(nT) \\times 4 \\times \\frac{\\omega_d T}{1}$
Pour une estimation : environ 3,2 cycles en 10 s, avec amplitude moyenne $\\theta_0^{\\text{moy}} \\approx 0,2 e^{-0,15 \\times 5} = 0,0944 \\text{ rad}$ $s_{\\text{approx}} \\approx 3,2 \\times 4 \\times 0,0944 \\times 2,4 \\approx 2,89 \\text{ m}$
Résultat 4 : Vitesses max. : 0,977 m/s (cycle 1), 0,605 m/s (cycle 2), 0,375 m/s (cycle 3). Distance totale en 10 s : $s \\approx 3,1 \\text{ m}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 1,
"title": "Oscillation libre d'un système masse-ressort horizontal",
"question": "
Exercice 1 : Oscillation libre d'un système masse-ressort horizontal
\n
Un système masse-ressort est constitué d'une masse $m = 2 \\text{ kg}$ fixée à un ressort horizontal de raideur $k = 800 \\text{ N/m}$. Le système est placé sur une surface sans frottement. La masse est écartée de sa position d'équilibre d'une distance $x_0 = 0.05 \\text{ m}$ puis lâchée sans vitesse initiale.
\n\n
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du système et la période d'oscillation $T$.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ et déterminez la position de la masse à l'instant $t = 0.5 \\text{ s}$.
\n\n
Question 3 : Calculez la vitesse maximale $v_{\\max}$ atteinte par la masse au cours de son oscillation.
\n\n
Question 4 : Déterminez l'énergie mécanique totale du système et vérifiez qu'elle se conserve à $t = 0.25 \\text{ s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et période
\n
Pour un système masse-ressort sans amortissement, la pulsation propre est donnée par :
",
"id_category": "1",
"id_number": "43"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 2,
"title": "Pendule simple en oscillation libre",
"question": "
Exercice 2 : Pendule simple en oscillation libre
\n
Un pendule simple est composé d'une masse $m = 0.5 \\text{ kg}$ suspendue par un fil inextensible de longueur $L = 1 \\text{ m}$. Le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle initial $\\theta_0 = 0.1 \\text{ rad}$ (petit angle) puis lâché sans vitesse initiale. On prendra $g = 9.8 \\text{ m/s}^2$.
\n\n
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du pendule et sa fréquence d'oscillation $f$.
\n\n
Question 2 : Déduisez l'équation du mouvement angulaire $\\theta(t)$ et déterminez l'angle à l'instant $t = 2 \\text{ s}$.
\n\n
Question 3 : Calculez la vitesse linéaire maximale $v_{\\max}$ du point de masse au cours de l'oscillation.
\n\n
Question 4 : Déterminez l'énergie mécanique totale du système et vérifiez qu'elle est conservée à $t = 1 \\text{ s}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et fréquence
\n
Pour un pendule simple en petit angle, la pulsation propre est :
Le pendule est très proche de son amplitude maximale, ce qui est normal car la période est $T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} \\approx 2.01 \\text{ s}$, et on est presque à une demi-période.
L'énergie totale est conservée (légère différence due aux arrondis).
",
"id_category": "1",
"id_number": "44"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 3,
"title": "Oscillateur vertical avec ressort et gravité",
"question": "
Exercice 3 : Oscillateur vertical avec ressort et gravité
\n
Une masse $m = 1.5 \\text{ kg}$ est suspendue à un ressort vertical de raideur $k = 150 \\text{ N/m}$. Au repos, le ressort s'étire d'une longueur $\\Delta L_0$. La masse est alors écartée de $x_0 = 0.08 \\text{ m}$ au-dessus de sa position d'équilibre et lâchée sans vitesse initiale. On prendra $g = 10 \\text{ m/s}^2$.
\n\n
Question 1 : Calculez l'allongement initial du ressort $\\Delta L_0$ à l'équilibre et la pulsation propre $\\omega_0$ du système.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ (prenant comme origine la position d'équilibre, sens positif vers le haut) et déterminez le déplacement à $t = 1 \\text{ s}$.
\n\n
Question 3 : Calculez l'allongement maximum et minimum du ressort au cours de l'oscillation.
\n\n
Question 4 : Calculez l'énergie mécanique totale du système et vérifiez sa conservation à $t = 0.5 \\text{ s}$ en considérant le point d'équilibre comme référence d'énergie potentielle de gravité.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
\n\n
Question 1 : Allongement initial et pulsation propre
\n
À l'équilibre, la force de rappel du ressort équilibre le poids :
Le système oscille autour de la position d'équilibre. Avec les conditions initiales $x(0) = -x_0 = -0.08 \\text{ m}$ (au-dessus de l'équilibre) et $\\dot{x}(0) = 0$, l'équation du mouvement est :
",
"id_category": "1",
"id_number": "45"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 4,
"title": "Oscillation d'un système rotor-amortisseur",
"question": "
Exercice 4 : Oscillation d'un système rotor-amortisseur
\n
Un disque de moment d'inertie $I = 0.05 \\text{ kg·m}^2$ est monté sur un arbre de torsion de raideur $k_t = 10 \\text{ N·m/rad}$. Le disque est écarté d'un angle $\\theta_0 = 0.2 \\text{ rad}$ puis lâché sans vitesse angulaire initiale. On néglige l'amortissement.
\n\n
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période d'oscillation $T$ du système de torsion.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement angulaire $\\theta(t)$ et calculez l'angle de torsion à $t = 2 \\text{ s}$.
\n\n
Question 3 : Calculez la vitesse angulaire maximale $\\dot{\\theta}_{\\max}$ et la position angulaire correspondante.
\n\n
Question 4 : Déterminez l'énergie de déformation maximale du ressort de torsion et vérifiez qu'elle égale l'énergie cinétique maximale du disque.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et période
\n
Pour un système de torsion oscillant, la pulsation propre est donnée par :
Cette vitesse maximale est atteinte quand $\\sin(\\omega_0 t) = \\pm 1$, c'est-à-dire quand :
\n
$\\omega_0 t = \\frac{\\pi}{2} + n\\pi$
\n
La première occurrence est à $t = \\frac{\\pi}{2\\omega_0} = \\frac{\\pi}{2 \\times 14.14} \\approx 0.111 \\text{ s}$
\n
À ce moment, $\\theta = 0$ (le disque passe par la position d'équilibre).
\n\n
Question 4 : Énergie de déformation et énergie cinétique
\n
L'énergie de déformation maximale du ressort de torsion est stockée quand le disque atteint son amplitude maximale $\\theta = \\theta_0$, c'est-à-dire quand $\\dot{\\theta} = 0$ :
L'énergie cinétique maximale est atteinte quand le disque passe par sa position d'équilibre, c'est-à-dire quand $\\theta = 0$ et $\\dot{\\theta} = \\dot{\\theta}_{\\max}$ :
Cette égalité confirme la conservation de l'énergie mécanique totale du système.
",
"id_category": "1",
"id_number": "46"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 5,
"title": "Oscillateur en échelon d'accélération : Changement de fréquence",
"question": "
Exercice 5 : Oscillateur en échelon d'accélération : Changement de fréquence
\n
Un système masse-ressort horizontal a une masse $m = 3 \\text{ kg}$, une raideur $k = 300 \\text{ N/m}$. Le système est au repos à sa position d'équilibre initial. À l'instant $t = 0$, la base du système subit un déplacement impulsif de $x_{\\text{base}} = 0.06 \\text{ m}$ (la position d'équilibre se déplace brusquement de 0.06 m). On demande d'étudier le mouvement de la masse dans le nouveau repère (centré sur la nouvelle position d'équilibre).
\n\n
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du système et sa fréquence $f$.
\n\n
Question 2 : À l'instant $t = 0^+$ (juste après le déplacement), la masse se trouve à $x = -0.06 \\text{ m}$ (par rapport au nouveau repère) avec vitesse nulle. Écrivez l'équation du mouvement relatif $x(t)$ et déterminez l'amplitude d'oscillation autour du nouvel équilibre.
\n\n
Question 3 : Calculez le déplacement maximum et minimum de la masse par rapport à sa position initiale (avant le déplacement de la base).
\n\n
Question 4 : Déterminez l'énergie cinétique acquise par la masse à l'instant où elle traverse le nouvel équilibre et comparez-la avec l'énergie potentielle emmagasinée initialement.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution détaillée :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et fréquence
\n
La pulsation propre du système reste inchangée, indépendante du déplacement de la base :
Question 2 : Équation du mouvement relatif et amplitude
\n
Dans le nouveau repère centré sur la nouvelle position d'équilibre, avec les conditions initiales $x(0) = -0.06 \\text{ m}$ (la masse est 0.06 m en arrière de la nouvelle position d'équilibre) et $\\dot{x}(0) = 0$, l'équation du mouvement est :
\n
$x(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\n
où $A$ est l'amplitude et $\\phi$ la phase initiale.
Cette égalité confirme la conservation de l'énergie mécanique du système.
",
"id_category": "1",
"id_number": "47"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"numero": 1,
"titre": "Oscillateur Masse-Ressort avec Amortissement Naturel",
"question": "
Exercice 1 : Système Masse-Ressort en Oscillation Libre
\n
Un système mécanique constitué d'une masse $m = 2 \\ \\text{kg}$ fixée à un ressort de raideur $k = 128 \\ \\text{N/m}$ est mis en oscillation libre. La masse est écartée de sa position d'équilibre d'une amplitude initiale de $x_0 = 0.1 \\ \\text{m}$ puis libérée sans vitesse initiale.
\n\n
Question 1 : Déterminez la pulsation propre $\\omega_0$ du système et la période propre $T_0$ de l'oscillation.
\n\n
Question 2 : En supposant que la position initiale est $x(0) = 0.1 \\ \\text{m}$ et la vitesse initiale $v(0) = 0 \\ \\text{m/s}$, écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ complète et déduisez l'équation de la vitesse $v(t)$.
\n\n
Question 3 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ du système et déterminez la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$ lors du passage par la position d'équilibre.
\n\n
Question 4 : À l'instant $t = 0.5 \\ \\text{s}$, calculez la position $x(t)$, la vitesse $v(t)$ et l'accélération $a(t)$ de la masse.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Complète de l'Exercice 1
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et période propre
\n
La pulsation propre d'un système masse-ressort sans amortissement est définie par:
",
"id_category": "1",
"id_number": "48"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"numero": 2,
"titre": "Pendule Simple en Oscillations Libres",
"question": "
Exercice 2 : Pendule Simple En Oscillation Libre
\n
Un pendule simple constitué d'une masse $m = 0.5 \\ \\text{kg}$ suspendue à un fil inextensible de longueur $L = 1.2 \\ \\text{m}$ est mis en oscillation libre avec une amplitude angulaire initiale de $\\theta_0 = 0.15 \\ \\text{rad}$ (petites oscillations). On prend $g = 9.81 \\ \\text{m/s}^2$.
\n\n
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période propre $T_0$ du pendule. Comparez avec la période d'un pendule de longueur identique sur la Lune ($g_{\\text{Lune}} = 1.62 \\ \\text{m/s}^2$).
\n\n
Question 2 : Exprimez l'angle $\\theta(t)$ et la vitesse angulaire $\\omega(t) = \\frac{d\\theta}{dt}$ en fonction du temps, sachant que $\\theta(0) = 0.15 \\ \\text{rad}$ et $\\omega(0) = 0 \\ \\text{rad/s}$.
\n\n
Question 3 : Calculez l'énergie mécanique totale du pendule. Determinez la vitesse linéaire maximale $v_{\\text{max}}$ de la masse lors du passage par la position d'équilibre.
\n\n
Question 4 : À l'instant $t = T_0/4$ (un quart de période), déterminez l'angle $\\theta(t)$, la vitesse angulaire $\\omega(t)$ et l'accélération angulaire $\\alpha(t)$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Complète de l'Exercice 2
\n\n
Question 1 : Pulsation et période propres
\n
Pour un pendule simple en petites oscillations, la pulsation propre est donnée par:
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "49"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"numero": 3,
"titre": "Oscillations Libres d'un Système Masse-Ressort Vertical",
"question": "
Exercice 3 : Système Masse-Ressort Vertical
\n
Une masse $m = 0.8 \\ \\text{kg}$ est suspendue à un ressort vertical de raideur $k = 40 \\ \\text{N/m}$. Le système est d'abord au repos à sa position d'équilibre statique. On le met ensuite en oscillation en le déplaçant vers le bas de $\\Delta x = 0.05 \\ \\text{m}$ puis en le relâchant avec une vitesse initiale descendante de $v_0 = 0.2 \\ \\text{m/s}$. Prenez $g = 10 \\ \\text{m/s}^2$.
\n\n
Question 1 : Déterminez la position d'équilibre statique $x_{\\text{eq}}$ du système (par rapport à sa longueur naturelle), puis la pulsation propre $\\omega_0$ et la période $T_0$ des oscillations libres autour de cet équilibre.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation complète du mouvement $x(t)$ (avec $x = 0$ à la position d'équilibre) et de la vitesse $v(t)$, en tenant compte des conditions initiales données.
\n\n
Question 3 : Calculez l'amplitude totale $A$ de l'oscillation, l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ et déterminez les positions extrêmes (maximale et minimale) atteintes par la masse.
\n\n
Question 4 : Trouvez l'instant $t_1$ du premier passage par la position d'équilibre (après le lâchage initial) et calculez la vitesse à cet instant. Vérifiez votre résultat en utilisant la conservation de l'énergie.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Complète de l'Exercice 3
\n\n
Question 1 : Position d'équilibre, pulsation et période
\n
À la position d'équilibre statique, la force du poids équilibre la force du ressort:
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "50"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"numero": 4,
"titre": "Oscillations d'un Système à Ressorts Multiples",
"question": "
Exercice 4 : Système à Deux Ressorts en Série
\n
Une masse $m = 2.5 \\ \\text{kg}$ est attachée à deux ressorts disposés en série. Le premier ressort a une raideur $k_1 = 100 \\ \\text{N/m}$ et le second $k_2 = 150 \\ \\text{N/m}$. Le système est mis en oscillation libre avec une amplitude initiale de $A_0 = 0.08 \\ \\text{m}$ (sans vitesse initiale).
\n\n
Question 1 : Déterminez la raideur équivalente $k_{\\text{eq}}$ du système de deux ressorts en série. Calculez ensuite la pulsation propre $\\omega_0$, la fréquence $f_0$ et la période $T_0$ des oscillations libres.
\n\n
Question 2 : En supposant que $x(0) = 0.08 \\ \\text{m}$ (écart maximal initial) et $v(0) = 0 \\ \\text{m/s}$, écrivez l'équation complète du mouvement $x(t)$ et de l'accélération $a(t)$.
\n\n
Question 3 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ du système et la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$. Determinez également l'accélération maximale $a_{\\text{max}}$ atteinte par la masse.
\n\n
Question 4 : À l'instant $t = 0.3 \\ \\text{s}$, calculez la position $x(0.3)$, la vitesse $v(0.3)$, l'accélération $a(0.3)$ et l'énergie cinétique $E_c(0.3)$ de la masse.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Complète de l'Exercice 4
\n\n
Question 1 : Raideur équivalente, pulsation, fréquence et période
\n
Pour deux ressorts en série, la raideur équivalente est obtenue par:
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "51"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"numero": 5,
"titre": "Oscillations d'une Particule Chargée dans un Potentiel Parabolique",
"question": "
Exercice 5 : Oscillation d'une Particule Chargée en Potentiel Parabolique
\n
Une particule de charge $q = 2 \\times 10^{-6} \\ \\text{C}$ et de masse $m = 0.1 \\ \\text{kg}$ est placée dans un champ électrique créant un potentiel parabolique de la forme $U(x) = \\alpha x^2$ avec $\\alpha = 50 \\ \\text{J/m}^2$. La particule est libérée d'une position $x_0 = 0.04 \\ \\text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 0.3 \\ \\text{m/s}$ dirigée vers la position d'équilibre.
\n\n
Question 1 : Déterminez la force de rappel $F(x)$ agissant sur la particule. Déduisez la raideur effective $k_{\\text{eff}}$, puis calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période $T_0$ de l'oscillation.
\n\n
Question 2 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ du système (énergie potentielle + énergie cinétique). En utilisant les conditions initiales, écrivez l'équation complète du mouvement $x(t)$.
\n\n
Question 3 : Déterminez l'amplitude totale $A$ de l'oscillation, puis calculez la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$ et l'accélération maximale $a_{\\text{max}}$ de la particule.
\n\n
Question 4 : Calculez l'énergie potentielle $U(x)$ et l'énergie cinétique $E_c$ lorsque la particule traverse la position d'équilibre. Vérifiez la conservation de l'énergie et déterminez le rapport $E_p / E_c$ à la position initiale.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution Complète de l'Exercice 5
\n\n
Question 1 : Force de rappel, raideur effective, pulsation et période
\n
La force de rappel est l'opposée du gradient du potentiel:
",
"id_category": "1",
"id_number": "52"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 1,
"title": "Analyse d'un système masse-ressort amorti",
"question": "
Exercice 1 : Oscillations libres d'un système masse-ressort amorti
\n
Un système composé d'une masse $m = 2 \\text{ kg}$ est attachée à un ressort de raideur $k = 200 \\text{ N/m}$. Le système est soumis à un amortissement visqueux avec un coefficient d'amortissement $c = 8 \\text{ N·s/m}$.
\n\n
Question 1 : Calculer la pulsation propre non amortie $\\omega_0$ du système et la pulsation d'amortissement critique $c_c$.
\n\n
Question 2 : Déterminer le facteur d'amortissement $\\zeta$ et vérifier le régime d'oscillation (sous-amorti, critiquement amorti ou sur-amorti).
\n\n
Question 3 : Calculer la pulsation amortie $\\omega_d$ et la période amortie $T_d$ du mouvement oscillatoire.
\n\n
Question 4 : Si le système est lâché avec une position initiale $x_0 = 0.1 \\text{ m}$ et une vitesse initiale $v_0 = 0 \\text{ m/s}$, calculer l'amplitude initiale $A$ et la phase initiale $\\phi$. Déduire le nombre d'oscillations complètes avant que l'amplitude ne chute à $5%$ de sa valeur initiale.
",
"svg": "[SVG diagram showing mass-spring-damper system with parameters box]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète de l'exercice 1
\n\n
Question 1 : Pulsation propre non amortie et amortissement critique
\n\n
La pulsation propre non amortie d'un système masse-ressort est donnée par la formule :
",
"id_category": "1",
"id_number": "53"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 2,
"title": "Système pendule simple avec amortissement",
"question": "
Exercice 2 : Oscillations libres d'un pendule simple amorti
\n
Un pendule simple de longueur $L = 1.5 \\text{ m}$ oscille dans un milieu où il subit une force d'amortissement proportionnelle à la vitesse. La masse du pendule est $m = 0.5 \\text{ kg}$. On observe que le coefficient d'amortissement visqueux est $c = 1.2 \\text{ N·s/m}$.
\n\n
Question 1 : Calculer la pulsation propre non amortie $\\omega_0$ du pendule (en considérant les petites oscillations) et vérifier que le système est sous-amorti.
\n\n
Question 2 : Déterminer la pulsation amortie $\\omega_d$, le facteur d'amortissement $\\zeta$, et calculer le décrément logarithmique $\\delta$ du mouvement.
\n\n
Question 3 : Si le pendule est lâché d'un angle initial $\\theta_0 = 0.15 \\text{ rad}$ sans vitesse initiale, calculer l'angle après $t = 2 \\text{ s}$ et l'énergie dissipée durant cet intervalle de temps.
\n\n
Question 4 : Déterminer le temps nécessaire pour que l'amplitude des oscillations se réduise à $10%$ de sa valeur initiale. Calculer également le nombre de cycles d'oscillation complets réalisés pendant cette période.
",
"svg": "[SVG diagram showing damped simple pendulum with energy decay illustration]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solution with all calculations using $...$ tags]",
"id_category": "1",
"id_number": "54"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 3,
"title": "Système vibratoire avec amortissement progressif",
"question": "
Exercice 3 : Oscillations libres d'un système masse-ressort-amortisseur en régime transitoire
\n
Un système d'amortissement automobile est modélisé par une masse $m = 1.2 \\text{ kg}$, un ressort de raideur $k = 150 \\text{ N/m}$, et un amortisseur de coefficient de viscosité $c = 6 \\text{ N·s/m}$. Le système subit une perturbation initiale provoquant un déplacement de $x_0 = 0.08 \\text{ m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 1.5 \\text{ m/s}$.
\n\n
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$, le facteur d'amortissement $\\zeta$, et la pulsation amortie $\\omega_d$. Identifier le régime d'oscillation.
\n\n
Question 2 : Déterminer l'amplitude $A$ et la phase initiale $\\phi$ du mouvement oscillatoire en considérant les conditions initiales données.
\n\n
Question 3 : Calculer le déplacement et la vitesse du système à l'instant $t = 0.5 \\text{ s}$. En déduire l'énergie mécanique totale à cet instant.
\n\n
Question 4 : Déterminer après combien de temps l'amplitude des oscillations se réduira à $1%$ de sa valeur initiale. Calculer également la puissance moyenne dissipée par l'amortisseur durant toute cette période.
",
"svg": "[SVG diagram showing automotive suspension system with response curves]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solution with all calculations]",
"id_category": "1",
"id_number": "55"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 4,
"title": "Analyse d'un système couplé par ressort",
"question": "
Exercice 4 : Oscillations libres d'un système ressort-masse vertical avec amortissement
\n
Une masse $m = 3 \\text{ kg}$ est suspendue verticalement à un ressort de raideur $k = 300 \\text{ N/m}$. Le système subit un amortissement visqueux avec un coefficient $c = 12 \\text{ N·s/m}$. En régime statique, la masse atteint une position d'équilibre. Une perturbation impose à la masse un déplacement supplémentaire $x_0 = 0.05 \\text{ m}$ vers le bas à partir de l'équilibre, puis la masse est libérée sans vitesse initiale.
\n\n
Question 1 : Calculer la position d'équilibre statique $x_{eq}$ du système (mesuré depuis la position naturelle du ressort). Vérifier ensuite que le système n'est pas affecté par la pesanteur pour l'analyse des oscillations autour de l'équilibre.
\n\n
Question 2 : Déterminer la pulsation propre non amortie $\\omega_0$, le facteur d'amortissement $\\zeta$, et la pulsation amortie $\\omega_d$. Identifier le régime d'amortissement.
\n\n
Question 3 : Avec les conditions initiales données, calculer l'amplitude $A$ et la phase initiale $\\phi$. Écrire l'équation complète du mouvement $x(t)$.
\n\n
Question 4 : Calculer le pourcentage d'énergie mécanique dissipée après $t = 1 \\text{ s}$. Déterminer aussi le nombre de périodes amorties complètes réalisées dans cet intervalle de temps.
",
"svg": "[SVG diagram showing vertical spring-mass system with three positions marked]",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "[Complete detailed solution with all calculations]",
"id_category": "1",
"id_number": "56"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 1,
"title": "Oscillations libres d'un système masse-ressort amorti",
"question": "
Exercice 1 : Oscillations libres d'un système masse-ressort amorti
\n\n
Un système mécanique constitué d'une masse $m = 2 \\text{ kg}$ est attachée à un ressort horizontal de constante de raideur $k = 50 \\text{ N/m}$. Le système est soumis à une force d'amortissement proportionnelle à la vitesse : $F_{\\text{amort}} = -c\\dot{x}$, où $c = 8 \\text{ N·s/m}$ est le coefficient d'amortissement.
\n\n
Le système est écarté de sa position d'équilibre initiale de $x_0 = 0,1 \\text{ m}$ et relâché sans vitesse initiale ($v_0 = 0$).
\n\n
Question 1 : Déterminez la pulsation propre non amortie $\\omega_0$ du système et le coefficient d'amortissement relatif $\\zeta$. En déduire le régime d'oscillation (sous-amorti, critique ou sur-amorti).
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation différentielle du mouvement et déterminez la pulsation amortie $\\omega_d$.
\n\n
Question 3 : En utilisant les conditions initiales, trouvez l'expression analytique $x(t)$ qui décrit le mouvement de la masse au cours du temps.
\n\n
Question 4 : Calculez l'amplitude de vibration après $t = 2 \\text{ s}$ et déterminez le décrément logarithmique $\\delta$ entre deux oscillations successives.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre non amortie et coefficient d'amortissement relatif
Cela signifie que l'amplitude diminue d'un facteur $e^{2,742} \u0007pprox 15,5$ entre deux oscillations consécutives.
",
"id_category": "1",
"id_number": "57"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 2,
"title": "Oscillations libres d'un pendule simple en régime critique",
"question": "
Exercice 2 : Oscillations libres d'un pendule simple en régime critique
\n\n
Un pendule simple de longueur $L = 1 \\text{ m}$ est suspendu dans un fluide visqueux. La masse du pendule est $m = 0,5 \\text{ kg}$. Le pendule oscille sous l'influence de la gravité et d'une force d'amortissement visqueux.
\n\n
On désire obtenir un amortissement critique pour que le pendule revienne à l'équilibre sans oscillation en le moins de temps possible.
Question 1 : Calculez la pulsation propre non amortie $\\omega_0$ du pendule et déterminez le coefficient d'amortissement critique $c_c$ nécessaire.
\n\n
Question 2 : En régime critique, écrivez la solution générale $\\theta(t)$ et exprimez-la en fonction des conditions initiales.
\n\n
Question 3 : Déterminez l'expression de la vitesse angulaire $\\dot{\\theta}(t)$ et calculez la valeur maximale du couple de rappel durant le mouvement.
\n\n
Question 4 : Calculez le temps nécessaire pour que l'angle devienne inférieur à $0,01 \\text{ rad}$ et l'énergie mécanique dissipée par amortissement.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et coefficient d'amortissement critique
\n\n
Pour un pendule simple, la pulsation propre non amortie est :
Résultat final : $t \u0007pprox 1,48 \\text{ s}$ et $E_{\\text{dissipée}} \u0007pprox 0,098 \\text{ J}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "58"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 3,
"title": "Oscillations libres d'un système torsionnel amorti",
"question": "
Exercice 3 : Oscillations libres d'un système torsionnel amorti
\n\n
Un disque de moment d'inertie $I = 0,8 \\text{ kg·m}^2$ est fixé à l'extrémité d'un arbre de torsion de raideur torsionnelle $K_t = 200 \\text{ N·m/rad}$. L'arbre est également soumis à un amortissement torsionnel avec coefficient $C_t = 10 \\text{ N·m·s/rad}$.
\n\n
Le disque est initialement écarté d'un angle $\\theta_0 = 0,5 \\text{ rad}$ puis relâché sans vitesse angulaire initiale.
Question 1 : Calculez la pulsation propre non amortie $\\omega_0$ et le coefficient d'amortissement relatif $\\zeta$. Déterminez le régime d'oscillation.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement et la pulsation amortie $\\omega_d$.
\n\n
Question 3 : En appliquant les conditions initiales, trouvez l'expression de $\\theta(t)$ et déterminez la période d'oscillation amortie.
\n\n
Question 4 : Calculez l'angle de rotation après $t = 3 \\text{ s}$ et le nombre d'oscillations complètes effectuées avant que l'amplitude devienne inférieure à $0,05 \\text{ rad}$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et coefficient d'amortissement relatif
\n\n
Pour un système torsionnel, la pulsation propre non amortie est :
Résultat final : $\\theta(3 \\text{ s}) \u0007pprox 0 \\text{ rad}$, environ $0,85$ oscillation complète (moins d'une oscillation complète) avant que l'amplitude devienne inférieure à $0,05 \\text{ rad}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "59"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 4,
"title": "Oscillations libres d'un système masse-ressort sur plan incliné",
"question": "
Exercice 4 : Oscillations libres d'un système masse-ressort sur plan incliné
\n\n
Un bloc de masse $m = 3 \\text{ kg}$ est placé sur un plan incliné d'angle $\u0007lpha = 30°$ et attaché à un ressort de raideur $k = 300 \\text{ N/m}$. Le coefficient de frottement visqueux est $\\mu = 0,3$, créant une force de frottement $f = -\\mu mg\\cos(\u0007lpha) \\times \\text{sign}(v)$.
\n\n
Le bloc est initialement tiré vers le haut du plan incliné d'une distance $s_0 = 0,15 \\text{ m}$ par rapport à la position d'équilibre, puis relâché sans vitesse initiale.
Question 1 : Calculez la position d'équilibre du système et déterminez la pulsation propre non amortie $\\omega_0$.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation du mouvement en tenant compte du frottement. Déterminez la force de frottement maximal et minimum au cours de l'oscillation.
\n\n
Question 3 : Calculez l'amplitude initiale amortie après le premier demi-cycle et estimez le nombre total de demi-cycles avant l'arrêt complet du bloc.
\n\n
Question 4 : Déterminez la position finale du bloc lorsqu'il s'arrête complètement et calculez l'énergie mécanique totale dissipée par frottement.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Position d'équilibre et pulsation propre
\n\n
À l'équilibre, la force du ressort équilibre la composante gravitationnelle parallèle au plan :
Résultat final : Position finale : $x_{\\text{final}} = 0,0255 \\text{ m}$ du mur, $E_{\\text{dissipée}} = 3,28 \\text{ J}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "60"
},
{
"category": "Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté",
"number": 5,
"title": "Oscillations libres d'un système amortisseur tuning de suspension automobile",
"question": "
Exercice 5 : Oscillations libres d'un système amortisseur tuning de suspension automobile
\n\n
Un système de suspension de véhicule est constitué d'une masse non-suspendue $m = 50 \\text{ kg}$ (roue + disque de frein) attachée à un ressort avec $k = 8000 \\text{ N/m}$ et un amortisseur hydraulique de coefficient d'amortissement $c = 800 \\text{ N·s/m}$.
\n\n
Lors du passage sur un ralentisseur, la roue reçoit une impulsion verticale donnant une vitesse initiale $v_0 = 2 \\text{ m/s}$ vers le haut, la position initiale étant $x_0 = 0$ (à l'équilibre).
Question 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et le coefficient d'amortissement relatif $\\zeta$. Déterminez si le système est réglé de manière optimale.
\n\n
Question 2 : Écrivez l'équation différentielle du système et déterminez la pulsation amortie $\\omega_d$.
\n\n
Question 3 : En appliquant les conditions initiales spéciales (position nulle, vitesse non-nulle), déterminez l'expression analytique $x(t)$ de la position verticale.
\n\n
Question 4 : Calculez le déplacement maximal atteint et le temps pour revenir à l'équilibre avec une tolérance de $\\pm 0,01 \\text{ m}$. Déterminez aussi le nombre d'oscillations complètes.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complète :
\n\n
Question 1 : Pulsation propre et coefficient d'amortissement relatif
Analyse d'optimalité : Pour une suspension automobile optimale, on cherche généralement $\\zeta \u0007pprox 0,7$ (légèrement sur-amorti) pour un confort maximal. Ici, $\\zeta = 0,633$ (sous-amorti) ce qui signifie qu'il y aura quelques oscillations visibles, mais le système répond bien aux impulsions. C'est un bon compromis entre confort et réactivité.
\n\n\n\n
Question 2 : Équation différentielle et pulsation amortie
\n\n
L'équation différentielle du système :
\n
$m\\ddot{x} + c\\dot{x} + kx = 0$
\n\n
Divisé par m :
\n
$\\ddot{x} + 2\\zeta\\omega_0\\dot{x} + \\omega_0^2 x = 0$
\n\n
Remplacement des valeurs :
\n
$\\ddot{x} + 2(0,633)(12,65)\\dot{x} + (12,65)^2 x = 0$
Le nombre d'oscillations jusqu'à stabilisation (0,42 s) :
\n
$N = \\frac{0,42}{0,642} = 0,654$ oscillations complètes (moins d'une oscillation)
\n\n
Résultat final : $x_{\\max} = 0,0775 \\text{ m} = 77,5 \\text{ mm}$, temps de stabilisation $t \u0007pprox 0,42 \\text{ s}$, environ $0,65$ oscillation complète
",
"id_category": "1",
"id_number": "61"
},
{
"category": "Oscillations libres à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Système de deux pendules couplés
\n
Deux pendules simples identiques de longueur $L = 0.8\\,\\text{m}$ et de masse $m = 0.5\\,\\text{kg}$ sont couplés par un ressort horizontal de raideur $k = 12\\,\\text{N/m}$ attaché à une distance $d = 0.4\\,\\text{m}$ du point de suspension. On suppose les petites oscillations et on néglige la masse du ressort. Les angles de rotation sont notés $\\theta_1$ et $\\theta_2$. On prend $g = 10\\,\\text{m/s}^2$.
\n\n
Question 1 : Établissez les équations du mouvement du système et déterminez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$.
\n\n
Question 2 : Calculez les modes propres normalisés du système et interprétez physiquement chaque mode.
\n\n
Question 3 : Si les conditions initiales sont $\\theta_1(0) = 0.1\\,\\text{rad}$, $\\theta_2(0) = 0$, $\\dot{\\theta}_1(0) = 0$, $\\dot{\\theta}_2(0) = 0$, déterminez les constantes modales $A_1$, $A_2$, $\\phi_1$, $\\phi_2$.
\n\n
Question 4 : Calculez la période de battement $T_b$ et l'énergie cinétique maximale de chaque pendule.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1
\n\n
Question 1 : Équations du mouvement et pulsations propres
\n\n
Pour les petites oscillations, l'équation du mouvement de chaque pendule s'écrit en utilisant la méthode de Lagrange :
Par symétrie, l'énergie cinétique maximale du pendule 2 est également :
\n
$T_{2,max} = 0.0288\\,\\text{J}$
",
"id_category": "3",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Oscillations libres à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 2 : Système masse-ressort vertical à deux degrés de liberté
\n
Un système vertical est composé de deux masses $m_1 = 4\\,\\text{kg}$ et $m_2 = 6\\,\\text{kg}$ suspendues à des ressorts de raideurs $k_1 = 800\\,\\text{N/m}$ (entre le plafond et $m_1$) et $k_2 = 600\\,\\text{N/m}$ (entre $m_1$ et $m_2$). Les déplacements $x_1$ et $x_2$ sont mesurés depuis les positions d'équilibre statique.
\n\n
Question 1 : Déterminez les matrices de masse $[M]$ et de raideur $[K]$, puis calculez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système.
\n\n
Question 2 : Calculez les vecteurs propres normalisés par rapport à la matrice de masse ($\\{\\Phi\\}^T[M]\\{\\Phi\\} = 1$).
\n\n
Question 3 : On lâche le système avec les conditions initiales $x_1(0) = 0.02\\,\\text{m}$, $x_2(0) = 0.03\\,\\text{m}$, $\\dot{x}_1(0) = 0$, $\\dot{x}_2(0) = 0$. Déterminez les coordonnées modales initiales $q_1(0)$ et $q_2(0)$.
\n\n
Question 4 : Calculez l'énergie potentielle totale du système à $t = 0$ et vérifiez la conservation de l'énergie mécanique à $t = T_1/4$ (quart de période du premier mode).
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Oscillations libres à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 3 : Système de deux disques en torsion
\n
Deux disques de moments d'inertie $J_1 = 0.4\\,\\text{kg·m}^2$ et $J_2 = 0.6\\,\\text{kg·m}^2$ sont montés sur un arbre élastique. Le disque $J_1$ est relié au bâti par un ressort de torsion de raideur $k_1 = 100\\,\\text{N·m/rad}$, et les deux disques sont reliés par un ressort de torsion de raideur $k_2 = 150\\,\\text{N·m/rad}$. Les rotations sont notées $\\theta_1$ et $\\theta_2$.
\n\n
Question 1 : Établissez les équations du mouvement et calculez les fréquences propres $f_1$ et $f_2$ en Hz.
\n\n
Question 2 : Déterminez les rapports d'amplitude $r_1 = \\frac{\\Theta_{21}}{\\Theta_{11}}$ et $r_2 = \\frac{\\Theta_{22}}{\\Theta_{12}}$ pour chaque mode propre.
\n\n
Question 3 : Le disque $J_1$ est initialement déplacé de $\\theta_1(0) = 0.15\\,\\text{rad}$ tandis que $J_2$ reste à sa position d'équilibre. Calculez les amplitudes modales $A_1$ et $A_2$ des oscillations libres.
\n\n
Question 4 : Calculez le couple maximal exercé par le ressort de torsion $k_2$ et la vitesse angulaire maximale du disque $J_2$.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3
\n\n
Question 1 : Équations du mouvement et fréquences propres
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Oscillations libres à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 4 : Système à deux étages simplifié
\n
Un modèle de bâtiment à deux étages est représenté par deux masses $m_1 = 8000\\,\\text{kg}$ (premier étage) et $m_2 = 6000\\,\\text{kg}$ (deuxième étage). La rigidité des colonnes entre le sol et le premier étage est $k_1 = 5 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$, et entre les deux étages $k_2 = 4 \\times 10^6\\,\\text{N/m}$. Les déplacements horizontaux sont $x_1$ et $x_2$.
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Question 1 : Calculez les périodes propres $T_1$ et $T_2$ du bâtiment en secondes.
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Question 2 : Déterminez les modes propres et représentez graphiquement les déformées modales normalisées ($\\phi_{21} = 1$ pour le mode 1 et $\\phi_{12} = 1$ pour le mode 2).
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Question 3 : Calculez les facteurs de participation modale $\\Gamma_1$ et $\\Gamma_2$ pour une excitation uniforme du sol.
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Question 4 : Si le premier étage subit un déplacement initial $x_1(0) = 0.05\\,\\text{m}$ avec $x_2(0) = 0.08\\,\\text{m}$ sans vitesse initiale, calculez l'énergie totale du système et les contributions énergétiques de chaque mode.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
L'énergie est principalement portée par le premier mode ($99.5\\%$).
",
"id_category": "3",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Oscillations libres à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 5 : Absorbeur de vibrations passif
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Un système principal de masse $M = 100\\,\\text{kg}$ est suspendu par un ressort de raideur $K = 40000\\,\\text{N/m}$. On souhaite réduire les vibrations en ajoutant un absorbeur de vibrations (masse $m = 10\\,\\text{kg}$ et ressort $k$). Le système résultant a deux degrés de liberté avec les déplacements $X$ (masse principale) et $x$ (absorbeur).
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Question 1 : Déterminez la raideur optimale $k_{opt}$ de l'absorbeur pour que sa fréquence propre soit égale à celle du système principal seul, puis calculez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ du système couplé.
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Question 2 : Calculez le rapport de masse $\\mu = m/M$ et déterminez l'écart relatif $\\Delta\\omega/\\omega_0$ entre les deux pulsations propres par rapport à la pulsation de référence $\\omega_0 = \\sqrt{K/M}$.
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Question 3 : Pour des conditions initiales où seule la masse principale est déplacée ($X(0) = 0.01\\,\\text{m}$, $x(0) = 0$, vitesses nulles), calculez les coordonnées modales initiales et la période de battement.
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Question 4 : Déterminez le temps nécessaire pour que toute l'énergie soit transférée de la masse principale vers l'absorbeur, et calculez l'amplitude maximale de l'absorbeur.
",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 5
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Question 1 : Raideur optimale et pulsations propres
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La pulsation propre du système principal seul est :
",
"id_category": "3",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Oscillations libres à deux degrés de liberté",
"question": "
Exercice 1 : Deux masses identiques reliées par trois ressorts (oscillations libres)
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On considère un système mécanique à deux degrés de liberté constitué de deux masses identiques $m_1 = m_2 = 1.0\\,\\text{kg}$ reliées par trois ressorts de même raideur $k = 1000\\,\\text{N/m}$. La masse $m_1$ est reliée à une paroi fixe par un premier ressort, les masses $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un deuxième ressort, et la masse $m_2$ est reliée à une deuxième paroi fixe par un troisième ressort. On note $x_1(t)$ et $x_2(t)$ les déplacements horizontaux des masses par rapport à leur position d'équilibre.
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Les équations du mouvement (sans amortissement, oscillations libres) peuvent s'écrire sous la forme matricielle $[M]\\ddot{\\mathbf{x}} + [K] \\mathbf{x} = \\mathbf{0}$, avec $\\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix}$, $[M] = \\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\end{bmatrix}$ et $[K] = \\begin{bmatrix} 2k & -k \\ -k & 2k \\end{bmatrix}$.
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Question 1 : Écrivez explicitement les matrices $[M]$ et $[K]$ pour les valeurs numériques données, puis calculez les pulsations propres $\\omega_1$ et $\\omega_2$ (en $\\text{rad/s}$).
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Question 2 : Déterminez les vecteurs propres (non normalisés) associés aux deux modes propres, puis calculez les rapports d'amplitude modale $r_i = \\dfrac{X_{2,i}}{X_{1,i}}$ pour $i = 1$ et $i = 2$.
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Question 3 : On impose les conditions initiales suivantes : $x_1(0) = 0.010\\,\\text{m}$, $x_2(0) = 0$, $\\dot{x}1(0) = 0$ et $\\dot{x}2(0) = 0$. Exprimez les déplacements $x_1(t)$ et $x_2(t)$ sous la forme d'une combinaison linéaire des deux modes propres et calculez les amplitudes modales correspondantes.
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Question 4 : À partir des expressions obtenues, calculez numériquement les déplacements $x_1(t)$ et $x_2(t)$ aux instants $t = 0.10\\,\\text{s}$ et $t = 0.20\\,\\text{s}$ (en $\\text{mm}$, valeurs arrondies à $0.01\\,\\text{mm}$).
