[
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 2 : Mouvement circulaire uniforme \nUn point matĂ©riel $M$ se dĂ©place sur une trajectoire circulaire de rayon $R = 2 \\ \\text{m}$ avec une vitesse angulaire constante $\\omega = 5 \\ \\text{rad/s}$. Ă l'instant $t = 0$, le point se trouve sur l'axe $Ox$ du repĂšre $(O, \\vec{i}, \\vec{j})$, oĂč $O$ est le centre du cercle.
\n\nQuestion 1 : Déterminer la vitesse linéaire $v$ du point matériel et calculer sa période de révolution $T$.
\n\nQuestion 2 : Ătablir les Ă©quations paramĂ©triques $x(t)$ et $y(t)$ de la position du point $M$ en fonction du temps, sachant que $\\theta(t) = \\omega t$.
\n\nQuestion 3 : Calculer les composantes du vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ Ă l'instant $t = 0.5 \\ \\text{s}$.
\n\nQuestion 4 : Déterminer le module de l'accélération centripÚte $a_c$ du point matériel et vérifier qu'elle est orientée vers le centre du cercle à l'instant $t = 0.5 \\ \\text{s}$.
",
"svg": "\n \n \n\n \n \n O \n\n \n \n \n i \n j \n\n \n \n M(t=0) \n\n \n \n R \n\n \n \n M(t) \n\n \n \n\n \n \n Ξ(t) \n\n \n \n v \n\n \n \n aŃ \n\n \n \n \n Ï \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 2 :
\n\nQuestion 1 : Vitesse linéaire et période de révolution
\n\nDans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse linéaire $v$ est reliée à la vitesse angulaire $\\omega$ et au rayon $R$ par une relation fondamentale.
\n\nCalcul de la vitesse linéaire :
\nFormule générale :
\n$v = R \\omega$
\n\nRemplacement des données :
\n$v = 2 \\times 5$
\n\nCalcul :
\n$v = 10 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{v = 10 \\ \\text{m/s}}$
\n\nCalcul de la période de révolution :
\nLa période $T$ est le temps nécessaire pour effectuer un tour complet. Elle est reliée à la vitesse angulaire par :
\n\nFormule générale :
\n$T = \\frac{2\\pi}{\\omega}$
\n\nRemplacement des données :
\n$T = \\frac{2\\pi}{5}$
\n\nCalcul (avec $\\pi \\approx 3.14159$) :
\n$T = \\frac{6.28318}{5} = 1.257 \\ \\text{s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{T = 1.257 \\ \\text{s}}$
\n\nInterprétation : Le point matériel se déplace à une vitesse constante de $10 \\ \\text{m/s}$ le long du cercle et effectue un tour complet en environ $1.26$ secondes. La vitesse linéaire est tangente à la trajectoire circulaire.
\n\n \n\nQuestion 2 : Ăquations paramĂ©triques de la position
\n\nPour un mouvement circulaire centré en $O$, les coordonnées cartésiennes du point $M$ sont reliées à l'angle $\\theta$ par les relations trigonométriques.
\n\nPosition angulaire :
\nOn nous donne que $\\theta(t) = \\omega t$, et sachant que $\\theta(0) = 0$ (le point part de l'axe $Ox$).
\n\nRemplacement :
\n$\\theta(t) = 5t$
\n\nCoordonnée $x(t)$ :
\nFormule générale :
\n$x(t) = R \\cos(\\theta(t))$
\n\nRemplacement des données :
\n$x(t) = 2 \\cos(5t)$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{x(t) = 2 \\cos(5t) \\ \\text{(en mĂštres, } t \\text{ en secondes)}}$
\n\nCoordonnée $y(t)$ :
\nFormule générale :
\n$y(t) = R \\sin(\\theta(t))$
\n\nRemplacement des données :
\n$y(t) = 2 \\sin(5t)$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{y(t) = 2 \\sin(5t) \\ \\text{(en mĂštres, } t \\text{ en secondes)}}$
\n\nInterprétation : Ces équations paramétriques décrivent un cercle de rayon $2 \\ \\text{m}$ centré à l'origine. On vérifie bien que $x^2(t) + y^2(t) = 4\\cos^2(5t) + 4\\sin^2(5t) = 4 = R^2$.
\n\n \n\nQuestion 3 : Composantes du vecteur vitesse Ă $t = 0.5 \\ \\text{s}$
\n\nLe vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ s'obtient en dérivant le vecteur position par rapport au temps.
\n\nComposante $v_x(t)$ :
\nFormule générale (dérivée de $x(t)$) :
\n$v_x(t) = \\frac{dx}{dt} = -R\\omega \\sin(\\omega t)$
\n\nRemplacement des données :
\n$v_x(t) = -2 \\times 5 \\times \\sin(5t) = -10 \\sin(5t)$
\n\nCalcul Ă $t = 0.5 \\ \\text{s}$ :
\n$v_x(0.5) = -10 \\sin(5 \\times 0.5) = -10 \\sin(2.5)$
\n\nSachant que $\\sin(2.5 \\ \\text{rad}) \\approx 0.5985$ :
\n$v_x(0.5) = -10 \\times 0.5985 = -5.985 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat :
\n$\\boxed{v_x(0.5) = -5.985 \\ \\text{m/s}}$
\n\nComposante $v_y(t)$ :
\nFormule générale (dérivée de $y(t)$) :
\n$v_y(t) = \\frac{dy}{dt} = R\\omega \\cos(\\omega t)$
\n\nRemplacement des données :
\n$v_y(t) = 2 \\times 5 \\times \\cos(5t) = 10 \\cos(5t)$
\n\nCalcul Ă $t = 0.5 \\ \\text{s}$ :
\n$v_y(0.5) = 10 \\cos(5 \\times 0.5) = 10 \\cos(2.5)$
\n\nSachant que $\\cos(2.5 \\ \\text{rad}) \\approx -0.8011$ :
\n$v_y(0.5) = 10 \\times (-0.8011) = -8.011 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat :
\n$\\boxed{v_y(0.5) = -8.011 \\ \\text{m/s}}$
\n\nVérification du module :
\n$||\\vec{v}|| = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \\sqrt{(-5.985)^2 + (-8.011)^2} = \\sqrt{35.82 + 64.18} = \\sqrt{100} = 10 \\ \\text{m/s}$
\n\nInterprétation : Le vecteur vitesse à $t = 0.5 \\ \\text{s}$ a des composantes négatives, ce qui signifie qu'il pointe vers le troisiÚme quadrant. Son module est bien égal à $10 \\ \\text{m/s}$ comme calculé à la question 1, confirmant que la vitesse est constante en module.
\n\n \n\nQuestion 4 : Accélération centripÚte
\n\nDans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est purement centripÚte (dirigée vers le centre) car la vitesse est constante en module.
\n\nModule de l'accélération centripÚte :
\nFormule générale :
\n$a_c = \\frac{v^2}{R} = R\\omega^2$
\n\nRemplacement des données (utilisons la seconde forme) :
\n$a_c = 2 \\times 5^2$
\n\nCalcul :
\n$a_c = 2 \\times 25 = 50 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{a_c = 50 \\ \\text{m/s}^2}$
\n\nVérification de l'orientation à $t = 0.5 \\ \\text{s}$ :
\nLe vecteur accélération s'obtient en dérivant le vecteur vitesse. Pour vérifier qu'il est dirigé vers le centre, calculons sa direction.
\n\nPosition Ă $t = 0.5 \\ \\text{s}$ :
\n$x(0.5) = 2\\cos(2.5) = 2 \\times (-0.8011) = -1.602 \\ \\text{m}$
\n$y(0.5) = 2\\sin(2.5) = 2 \\times 0.5985 = 1.197 \\ \\text{m}$
\n\nLe vecteur position est $\\vec{OM} = (-1.602, 1.197)$. Le vecteur accĂ©lĂ©ration centripĂšte doit ĂȘtre dirigĂ© de $M$ vers $O$, donc dans la direction $-\\vec{OM}$.
\n\nComposantes de $\\vec{a_c}$ :
\n$a_x = -R\\omega^2 \\cos(\\omega t) = -2 \\times 25 \\times \\cos(2.5) = -50 \\times (-0.8011) = 40.06 \\ \\text{m/s}^2$
\n$a_y = -R\\omega^2 \\sin(\\omega t) = -2 \\times 25 \\times \\sin(2.5) = -50 \\times 0.5985 = -29.93 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nLe vecteur $\\vec{a_c} = (40.06, -29.93)$ est bien proportionnel à $-\\vec{OM} = (1.602, -1.197)$ avec un facteur $25$ (égal à $\\omega^2$).
\n\nInterprétation : L'accélération centripÚte a un module constant de $50 \\ \\text{m/s}^2$ et est toujours dirigée vers le centre du cercle. Elle est responsable du changement de direction de la vitesse, permettant au point de suivre la trajectoire circulaire.
",
"id_category": "1",
"id_number": "1"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 3 : Mouvement rectiligne uniformĂ©ment variĂ© \nUne automobile se dĂ©place sur une route rectiligne. Ă l'instant $t_0 = 0$, elle passe par un point $A$ avec une vitesse $v_0 = 20 \\ \\text{m/s}$ et commence Ă accĂ©lĂ©rer avec une accĂ©lĂ©ration constante $a = 3 \\ \\text{m/s}^2$ jusqu'Ă atteindre un point $B$. Elle maintient ensuite une vitesse constante $v_1$ pendant $\\Delta t = 10 \\ \\text{s}$ jusqu'Ă un point $C$, puis elle freine avec une dĂ©cĂ©lĂ©ration constante $a' = -5 \\ \\text{m/s}^2$ jusqu'Ă l'arrĂȘt complet au point $D$. On prend l'origine en $A$ et l'axe $Ox$ dans le sens du mouvement.
\n\nQuestion 1 : Sachant que la phase d'accélération dure $t_1 = 5 \\ \\text{s}$, calculer la vitesse $v_1$ atteinte au point $B$ et la distance $AB$ parcourue pendant cette phase.
\n\nQuestion 2 : Calculer la distance $BC$ parcourue pendant la phase Ă vitesse constante.
\n\nQuestion 3 : Déterminer la durée $t_3$ de la phase de freinage et la distance $CD$ parcourue pendant cette phase.
\n\nQuestion 4 : Calculer la distance totale $AD$ parcourue par l'automobile et la durée totale du trajet.
",
"svg": "\n \n \n \n\n \n \n A \n t = 0 \n v = v₀ \n\n \n B \n t = t₁ \n v = v₁ \n\n \n C \n t = t₁ + Ît \n v = v₁ \n\n \n D \n t = ttot \n v = 0 \n\n \n \n \n \n\n \n \n Phase 1: a = 3 m/s² \n\n \n Phase 2: v = cste \n\n \n Phase 3: a' = -5 m/s² \n\n \n \n AB \n\n \n BC \n\n \n CD \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 3 :
\n\nQuestion 1 : Vitesse au point B et distance AB
\n\nPendant la phase d'accélération (de $A$ à $B$), l'automobile subit un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
\n\nCalcul de la vitesse $v_1$ au point B :
\nPour un mouvement uniformément accéléré, la relation entre la vitesse, l'accélération et le temps est :
\n\nFormule générale :
\n$v_1 = v_0 + a t_1$
\n\nRemplacement des données :
\n$v_1 = 20 + 3 \\times 5$
\n\nCalcul :
\n$v_1 = 20 + 15 = 35 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{v_1 = 35 \\ \\text{m/s}}$
\n\nCalcul de la distance AB :
\nLa distance parcourue pendant un mouvement uniformément accéléré est donnée par :
\n\nFormule générale :
\n$AB = v_0 t_1 + \\frac{1}{2} a t_1^2$
\n\nRemplacement des données :
\n$AB = 20 \\times 5 + \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 5^2$
\n\nCalcul :
\n$AB = 100 + \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 25$
\n$AB = 100 + 37.5 = 137.5 \\ \\text{m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{AB = 137.5 \\ \\text{m}}$
\n\nInterprétation : L'automobile accélÚre de $20 \\ \\text{m/s}$ à $35 \\ \\text{m/s}$ en $5$ secondes, parcourant une distance de $137.5$ mÚtres. On peut vérifier ce résultat avec la formule alternative $AB = \\frac{v_1^2 - v_0^2}{2a} = \\frac{35^2 - 20^2}{2 \\times 3} = \\frac{1225 - 400}{6} = 137.5 \\ \\text{m}$.
\n\n \n\nQuestion 2 : Distance BC
\n\nPendant la phase de $B$ à $C$, l'automobile se déplace à vitesse constante $v_1$. C'est un mouvement rectiligne uniforme.
\n\nFormule générale :
\n$BC = v_1 \\times \\Delta t$
\n\nRemplacement des données :
\n$BC = 35 \\times 10$
\n\nCalcul :
\n$BC = 350 \\ \\text{m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{BC = 350 \\ \\text{m}}$
\n\nInterprétation : à vitesse constante de $35 \\ \\text{m/s}$, l'automobile parcourt $350$ mÚtres en $10$ secondes. Cette phase représente la portion la plus longue du trajet en termes de distance.
\n\n \n\nQuestion 3 : Durée et distance de freinage
\n\nPendant la phase de freinage (de $C$ Ă $D$), l'automobile subit un mouvement rectiligne uniformĂ©ment dĂ©cĂ©lĂ©rĂ© avec $a' = -5 \\ \\text{m/s}^2$ jusqu'Ă l'arrĂȘt complet.
\n\nCalcul de la durée $t_3$ :
\nLa vitesse finale au point $D$ est $v_D = 0$. En utilisant la relation vitesse-accélération-temps :
\n\nFormule générale :
\n$v_D = v_1 + a' t_3$
\n\nAvec $v_D = 0$ :
\n$0 = v_1 + a' t_3$
\n\nRésolution pour $t_3$ :
\n$t_3 = -\\frac{v_1}{a'}$
\n\nRemplacement des données :
\n$t_3 = -\\frac{35}{-5}$
\n\nCalcul :
\n$t_3 = 7 \\ \\text{s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{t_3 = 7 \\ \\text{s}}$
\n\nCalcul de la distance $CD$ :
\nFormule générale :
\n$CD = v_1 t_3 + \\frac{1}{2} a' t_3^2$
\n\nRemplacement des données :
\n$CD = 35 \\times 7 + \\frac{1}{2} \\times (-5) \\times 7^2$
\n\nCalcul :
\n$CD = 245 + \\frac{1}{2} \\times (-5) \\times 49$
\n$CD = 245 - 122.5 = 122.5 \\ \\text{m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{CD = 122.5 \\ \\text{m}}$
\n\nInterprĂ©tation : Le freinage prend $7$ secondes pour arrĂȘter complĂštement l'automobile, sur une distance de $122.5$ mĂštres. La dĂ©cĂ©lĂ©ration de $5 \\ \\text{m/s}^2$ est plus importante que l'accĂ©lĂ©ration initiale, ce qui explique que la distance de freinage soit plus courte que la distance d'accĂ©lĂ©ration malgrĂ© une vitesse initiale plus Ă©levĂ©e.
\n\n \n\nQuestion 4 : Distance totale et durée totale
\n\nPour obtenir la distance totale et la durée totale du trajet, il suffit d'additionner les résultats des trois phases.
\n\nDistance totale AD :
\nFormule générale :
\n$AD = AB + BC + CD$
\n\nRemplacement des données :
\n$AD = 137.5 + 350 + 122.5$
\n\nCalcul :
\n$AD = 610 \\ \\text{m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{AD = 610 \\ \\text{m}}$
\n\nDurée totale du trajet :
\nFormule générale :
\n$t_{total} = t_1 + \\Delta t + t_3$
\n\nRemplacement des données :
\n$t_{total} = 5 + 10 + 7$
\n\nCalcul :
\n$t_{total} = 22 \\ \\text{s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{t_{total} = 22 \\ \\text{s}}$
\n\nVitesse moyenne sur l'ensemble du trajet :
\nPour information, on peut calculer la vitesse moyenne :
\n$v_{moy} = \\frac{AD}{t_{total}} = \\frac{610}{22} \\approx 27.7 \\ \\text{m/s}$
\n\nInterprétation : L'automobile parcourt une distance totale de $610$ mÚtres en $22$ secondes, avec une vitesse moyenne d'environ $27.7 \\ \\text{m/s}$ (soit environ $100 \\ \\text{km/h}$). La phase à vitesse constante représente plus de la moitié de la distance totale parcourue.
",
"id_category": "1",
"id_number": "2"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 4 : Mouvement curviligne en coordonnées polaires \nUn point matériel $M$ se déplace dans le plan $(O, \\vec{i}, \\vec{j})$ selon une trajectoire en spirale dont les coordonnées polaires $(r, \\theta)$ évoluent dans le temps selon les lois :
\n$r(t) = 2t$ (en mĂštres)
\n$\\theta(t) = 3t$ (en radians)
\noĂč $t$ est le temps en secondes. On note $\\vec{u_r}$ et $\\vec{u_\\theta}$ les vecteurs unitaires de la base polaire locale.
\n\nQuestion 1 : Calculer les composantes polaires de la vitesse $v_r$ et $v_\\theta$ Ă l'instant $t = 2 \\ \\text{s}$.
\n\nQuestion 2 : Déterminer le module de la vitesse $||\\vec{v}||$ à $t = 2 \\ \\text{s}$.
\n\nQuestion 3 : Calculer les composantes polaires de l'accélération $a_r$ et $a_\\theta$ à l'instant $t = 2 \\ \\text{s}$.
\n\nQuestion 4 : Déterminer le module de l'accélération $||\\vec{a}||$ à $t = 2 \\ \\text{s}$ et calculer l'angle $\\beta$ entre les vecteurs accélération et vitesse à cet instant.
",
"svg": "\n \n \n O \n\n \n \n \n i \n j \n\n \n \n\n \n \n M(t=2s) \n\n \n \n r(t) \n\n \n \n Ξ(t) \n\n \n \n uᔣ \n\n \n uΞ \n\n \n \n v \n\n \n \n a \n\n \n \n t=0.5s \n\n \n t=1s \n\n \n t=1.5s \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 4 :
\n\nQuestion 1 : Composantes polaires de la vitesse Ă $t = 2 \\ \\text{s}$
\n\nEn coordonnées polaires, le vecteur vitesse s'exprime comme :
\n$\\vec{v} = \\dot{r} \\vec{u_r} + r\\dot{\\theta} \\vec{u_\\theta}$
\n\noĂč $v_r = \\dot{r}$ et $v_\\theta = r\\dot{\\theta}$.
\n\nComposante radiale $v_r$ :
\nIl s'agit de la dérivée temporelle de $r(t)$.
\n\nFormule générale :
\n$v_r = \\dot{r} = \\frac{dr}{dt}$
\n\nAvec $r(t) = 2t$ :
\n$v_r = \\frac{d(2t)}{dt} = 2 \\ \\text{m/s}$
\n\nCette composante est constante dans le temps.
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{v_r(2) = 2 \\ \\text{m/s}}$
\n\nComposante orthoradiale $v_\\theta$ :
\nElle dépend de $r$ et de la dérivée de $\\theta$.
\n\nFormule générale :
\n$v_\\theta = r\\dot{\\theta}$
\n\nCalcul de $\\dot{\\theta}$ avec $\\theta(t) = 3t$ :
\n$\\dot{\\theta} = \\frac{d(3t)}{dt} = 3 \\ \\text{rad/s}$
\n\nCalcul de $r$ Ă $t = 2 \\ \\text{s}$ :
\n$r(2) = 2 \\times 2 = 4 \\ \\text{m}$
\n\nRemplacement dans la formule :
\n$v_\\theta(2) = 4 \\times 3 = 12 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{v_\\theta(2) = 12 \\ \\text{m/s}}$
\n\nInterprétation : à $t = 2 \\ \\text{s}$, le point $M$ s'éloigne du centre à une vitesse radiale constante de $2 \\ \\text{m/s}$ et tourne autour du centre avec une vitesse orthoradiale de $12 \\ \\text{m/s}$. Cette derniÚre augmente avec le temps car $r$ augmente.
\n\n \n\nQuestion 2 : Module de la vitesse Ă $t = 2 \\ \\text{s}$
\n\nLe module de la vitesse se calcule par le théorÚme de Pythagore appliqué aux composantes polaires.
\n\nFormule générale :
\n$||\\vec{v}|| = \\sqrt{v_r^2 + v_\\theta^2}$
\n\nRemplacement des données :
\n$||\\vec{v}|| = \\sqrt{2^2 + 12^2}$
\n\nCalcul :
\n$||\\vec{v}|| = \\sqrt{4 + 144} = \\sqrt{148}$
\n\n$||\\vec{v}|| = \\sqrt{4 \\times 37} = 2\\sqrt{37} \\approx 12.17 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{||\\vec{v}||(2) = 2\\sqrt{37} \\approx 12.17 \\ \\text{m/s}}$
\n\nInterprétation : La vitesse totale est dominée par la composante orthoradiale ($12 \\ \\text{m/s}$) par rapport à la composante radiale ($2 \\ \\text{m/s}$). Le point se déplace donc principalement en tournant autour de l'origine plutÎt qu'en s'en éloignant radialement.
\n\n \n\nQuestion 3 : Composantes polaires de l'accélération à $t = 2 \\ \\text{s}$
\n\nEn coordonnées polaires, le vecteur accélération s'exprime comme :
\n$\\vec{a} = (\\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2) \\vec{u_r} + (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta}) \\vec{u_\\theta}$
\n\noĂč $a_r = \\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2$ et $a_\\theta = r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta}$.
\n\nComposante radiale $a_r$ :
\nFormule générale :
\n$a_r = \\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2$
\n\nCalcul de $\\ddot{r}$ (dérivée seconde de $r(t) = 2t$) :
\n$\\ddot{r} = \\frac{d^2(2t)}{dt^2} = 0$
\n\nOn a déjà $\\dot{\\theta} = 3 \\ \\text{rad/s}$ et $r(2) = 4 \\ \\text{m}$.
\n\nRemplacement dans la formule :
\n$a_r(2) = 0 - 4 \\times 3^2$
\n\nCalcul :
\n$a_r(2) = -4 \\times 9 = -36 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{a_r(2) = -36 \\ \\text{m/s}^2}$
\n\nComposante orthoradiale $a_\\theta$ :
\nFormule générale :
\n$a_\\theta = r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta}$
\n\nCalcul de $\\ddot{\\theta}$ (dérivée seconde de $\\theta(t) = 3t$) :
\n$\\ddot{\\theta} = \\frac{d^2(3t)}{dt^2} = 0$
\n\nOn a $\\dot{r} = 2 \\ \\text{m/s}$, $\\dot{\\theta} = 3 \\ \\text{rad/s}$, et $r(2) = 4 \\ \\text{m}$.
\n\nRemplacement dans la formule :
\n$a_\\theta(2) = 4 \\times 0 + 2 \\times 2 \\times 3$
\n\nCalcul :
\n$a_\\theta(2) = 0 + 12 = 12 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{a_\\theta(2) = 12 \\ \\text{m/s}^2}$
\n\nInterprétation : L'accélération radiale négative ($-36 \\ \\text{m/s}^2$) représente l'accélération centripÚte due au mouvement de rotation. L'accélération orthoradiale positive ($12 \\ \\text{m/s}^2$) est l'accélération de Coriolis, due au fait que le point s'éloigne du centre tout en tournant.
\n\n \n\nQuestion 4 : Module de l'accélération et angle avec la vitesse
\n\nModule de l'accélération :
\nFormule générale :
\n$||\\vec{a}|| = \\sqrt{a_r^2 + a_\\theta^2}$
\n\nRemplacement des données :
\n$||\\vec{a}|| = \\sqrt{(-36)^2 + 12^2}$
\n\nCalcul :
\n$||\\vec{a}|| = \\sqrt{1296 + 144} = \\sqrt{1440}$
\n\n$||\\vec{a}|| = \\sqrt{144 \\times 10} = 12\\sqrt{10} \\approx 37.95 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{||\\vec{a}||(2) = 12\\sqrt{10} \\approx 37.95 \\ \\text{m/s}^2}$
\n\nAngle $\\beta$ entre $\\vec{a}$ et $\\vec{v}$ :
\nLe produit scalaire des deux vecteurs permet de trouver l'angle entre eux.
\n\nFormule générale :
\n$\\vec{a} \\cdot \\vec{v} = ||\\vec{a}|| \\times ||\\vec{v}|| \\times \\cos(\\beta)$
\n\nLe produit scalaire en coordonnées polaires :
\n$\\vec{a} \\cdot \\vec{v} = a_r v_r + a_\\theta v_\\theta$
\n\nRemplacement des données :
\n$\\vec{a} \\cdot \\vec{v} = (-36) \\times 2 + 12 \\times 12$
\n\nCalcul :
\n$\\vec{a} \\cdot \\vec{v} = -72 + 144 = 72 \\ \\text{m}^2\\text{/s}^3$
\n\nFormule de l'angle :
\n$\\cos(\\beta) = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{v}}{||\\vec{a}|| \\times ||\\vec{v}||}$
\n\nRemplacement :
\n$\\cos(\\beta) = \\frac{72}{12\\sqrt{10} \\times 2\\sqrt{37}}$
\n\n$\\cos(\\beta) = \\frac{72}{24\\sqrt{370}} = \\frac{3}{\\sqrt{370}}$
\n\nCalcul numérique (avec $\\sqrt{370} \\approx 19.24$) :
\n$\\cos(\\beta) = \\frac{3}{19.24} \\approx 0.1559$
\n\nAngle :
\n$\\beta = \\arccos(0.1559) \\approx 81.03°$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\beta \\approx 81.03°}$
\n\nInterprĂ©tation : L'accĂ©lĂ©ration fait un angle d'environ $81°$ avec la vitesse, ce qui signifie qu'ils sont presque perpendiculaires. Cela indique que l'accĂ©lĂ©ration modifie principalement la direction de la vitesse plutĂŽt que son module, ce qui est caractĂ©ristique d'un mouvement curviligne.
",
"id_category": "1",
"id_number": "3"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 5 : Mouvement relatif \nUn train $T$ se déplace sur une voie rectiligne avec une vitesse constante $\\vec{V_T} = 25 \\vec{i} \\ \\text{m/s}$ par rapport au sol (référentiel absolu $\\mathcal{R}_0$). Un voyageur $P$ se déplace à l'intérieur du train selon une trajectoire rectiligne perpendiculaire au mouvement du train avec une vitesse constante $\\vec{v_{P/T}} = 1.5 \\vec{j} \\ \\text{m/s}$ par rapport au train (référentiel relatif $\\mathcal{R}_T$). On considÚre que le train n'accélÚre pas. à l'instant $t = 0$, le voyageur est à l'origine des deux référentiels.
\n\nQuestion 1 : Déterminer la vitesse absolue $\\vec{v_{P/0}}$ du voyageur par rapport au sol et calculer son module.
\n\nQuestion 2 : Ătablir les Ă©quations horaires $x(t)$ et $y(t)$ de la position du voyageur dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol.
\n\nQuestion 3 : Calculer la distance parcourue par le voyageur par rapport au sol pendant $t = 10 \\ \\text{s}$.
\n\nQuestion 4 : Si le train commence maintenant à accélérer avec $\\vec{a_T} = 2 \\vec{i} \\ \\text{m/s}^2$ à partir de $t = 10 \\ \\text{s}$ (tout en maintenant $v_T = 25 \\ \\text{m/s}$ à cet instant), déterminer l'accélération absolue $\\vec{a_{P/0}}$ du voyageur par rapport au sol et calculer son module à l'instant $t = 10 \\ \\text{s}$.
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n\n \n \n \n \n \n \n \n Train T \n\n \n \n P \n\n \n \n \n i (R₀) \n j (R₀) \n O \n\n \n \n VT \n\n \n \n vP/T \n\n \n \n vP/0 \n\n \n \n Trajectoire dans R₀ \n\n \n \n \n\n \n Position Ă t = 0 \n VT = 25 m/s \n vP/T = 1.5 m/s \n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 5 :
\n\nQuestion 1 : Vitesse absolue du voyageur
\n\nLa loi de composition des vitesses en cinématique relative stipule que la vitesse absolue d'un point mobile est la somme vectorielle de la vitesse d'entraßnement (vitesse du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe) et de la vitesse relative (vitesse du point par rapport au référentiel mobile).
\n\nFormule générale :
\n$\\vec{v_{P/0}} = \\vec{V_T} + \\vec{v_{P/T}}$
\n\noĂč $\\vec{V_T}$ est la vitesse d'entraĂźnement et $\\vec{v_{P/T}}$ est la vitesse relative.
\n\nRemplacement des données :
\n$\\vec{v_{P/0}} = 25\\vec{i} + 1.5\\vec{j}$
\n\nRésultat vectoriel :
\n$\\boxed{\\vec{v_{P/0}} = 25\\vec{i} + 1.5\\vec{j} \\ \\text{m/s}}$
\n\nModule de la vitesse absolue :
\nFormule générale :
\n$||\\vec{v_{P/0}}|| = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
\n\nRemplacement des données :
\n$||\\vec{v_{P/0}}|| = \\sqrt{25^2 + 1.5^2}$
\n\nCalcul :
\n$||\\vec{v_{P/0}}|| = \\sqrt{625 + 2.25} = \\sqrt{627.25}$
\n\n$||\\vec{v_{P/0}}|| \\approx 25.04 \\ \\text{m/s}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{||\\vec{v_{P/0}}|| \\approx 25.04 \\ \\text{m/s}}$
\n\nInterprétation : Par rapport au sol, le voyageur se déplace à environ $25.04 \\ \\text{m/s}$, principalement dans la direction du mouvement du train (composante $x$). La composante perpendiculaire (composante $y$) est relativement faible ($1.5 \\ \\text{m/s}$), ce qui explique que la vitesse absolue est trÚs proche de celle du train.
\n\n \n\nQuestion 2 : Ăquations horaires de la position
\n\nPuisque la vitesse absolue est constante (le train ne subit pas d'accélération et le voyageur se déplace à vitesse constante dans le train), le mouvement est rectiligne uniforme dans le référentiel du sol.
\n\nPosition selon $x$ :
\nFormule générale du mouvement rectiligne uniforme :
\n$x(t) = x_0 + v_x t$
\n\nAvec $x_0 = 0$ (le voyageur est Ă l'origine Ă $t = 0$) et $v_x = 25 \\ \\text{m/s}$ :
\n\nRemplacement :
\n$x(t) = 0 + 25t$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{x(t) = 25t \\ \\text{(en mĂštres, } t \\text{ en secondes)}}$
\n\nPosition selon $y$ :
\nFormule générale :
\n$y(t) = y_0 + v_y t$
\n\nAvec $y_0 = 0$ et $v_y = 1.5 \\ \\text{m/s}$ :
\n\nRemplacement :
\n$y(t) = 0 + 1.5t$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{y(t) = 1.5t \\ \\text{(en mĂštres, } t \\text{ en secondes)}}$
\n\nInterprĂ©tation : Dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol, le voyageur suit une trajectoire rectiligne. On peut Ă©liminer le paramĂštre $t$ pour obtenir l'Ă©quation de la trajectoire : $y = \\frac{1.5}{25}x = 0.06x$. Il s'agit d'une droite de pente trĂšs faible (environ $3.4°$).
\n\n \n\nQuestion 3 : Distance parcourue pendant $t = 10 \\ \\text{s}$
\n\nLa distance parcourue dans un mouvement rectiligne uniforme est le produit de la vitesse par le temps.
\n\nFormule générale :
\n$d = ||\\vec{v_{P/0}}|| \\times t$
\n\nRemplacement des données :
\n$d = 25.04 \\times 10$
\n\nCalcul :
\n$d = 250.4 \\ \\text{m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{d = 250.4 \\ \\text{m}}$
\n\nVérification alternative :
\nOn peut aussi calculer les positions à $t = 10 \\ \\text{s}$ et utiliser le théorÚme de Pythagore :
\n$x(10) = 25 \\times 10 = 250 \\ \\text{m}$
\n$y(10) = 1.5 \\times 10 = 15 \\ \\text{m}$
\n$d = \\sqrt{x^2 + y^2} = \\sqrt{250^2 + 15^2} = \\sqrt{62500 + 225} = \\sqrt{62725} \\approx 250.4 \\ \\text{m}$
\n\nInterprétation : AprÚs $10$ secondes, le voyageur s'est déplacé d'environ $250.4$ mÚtres par rapport au sol. Il se trouve à $250 \\ \\text{m}$ dans la direction du mouvement du train et à $15 \\ \\text{m}$ perpendiculairement.
\n\n \n\nQuestion 4 : Accélération absolue lorsque le train accélÚre
\n\nLorsque le référentiel d'entraßnement (le train) subit une accélération, la loi de composition des accélérations s'applique. Pour des référentiels en translation, elle s'écrit :
\n\nFormule générale :
\n$\\vec{a_{P/0}} = \\vec{a_T} + \\vec{a_{P/T}} + \\vec{a_c}$
\n\noĂč :
\n- $\\vec{a_T}$ est l'accélération d'entraßnement (accélération du train)
\n- $\\vec{a_{P/T}}$ est l'accélération relative (accélération du voyageur par rapport au train)
\n- $\\vec{a_c}$ est l'accélération de Coriolis (nulle si les référentiels sont en translation pure)
\n\nDans notre cas :
\n- $\\vec{a_T} = 2\\vec{i} \\ \\text{m/s}^2$
\n- $\\vec{a_{P/T}} = \\vec{0}$ (le voyageur se déplace à vitesse constante dans le train)
\n- $\\vec{a_c} = \\vec{0}$ (pas de rotation du référentiel)
\n\nRemplacement dans la formule :
\n$\\vec{a_{P/0}} = 2\\vec{i} + \\vec{0} + \\vec{0}$
\n\nRésultat vectoriel :
\n$\\boxed{\\vec{a_{P/0}} = 2\\vec{i} \\ \\text{m/s}^2}$
\n\nModule de l'accélération absolue :
\nFormule générale :
\n$||\\vec{a_{P/0}}|| = \\sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
\n\nAvec $a_x = 2 \\ \\text{m/s}^2$ et $a_y = 0$ :
\n\nCalcul :
\n$||\\vec{a_{P/0}}|| = \\sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{||\\vec{a_{P/0}}|| = 2 \\ \\text{m/s}^2}$
\n\nInterprĂ©tation : Lorsque le train commence Ă accĂ©lĂ©rer, le voyageur subit Ă©galement cette accĂ©lĂ©ration par rapport au sol, mĂȘme s'il maintient sa vitesse constante par rapport au train. L'accĂ©lĂ©ration absolue du voyageur est identique Ă celle du train car il n'y a pas d'accĂ©lĂ©ration relative. Du point de vue du voyageur dans le train (rĂ©fĂ©rentiel non-inertiel), il ressentira une force d'inertie dirigĂ©e vers l'arriĂšre du train.
",
"id_category": "1",
"id_number": "4"
},
{
"category": " Cinématique",
"number": 1,
"title": "Oscillation libre d'un systĂšme masse-ressort horizontal",
"question": "Exercice 1 : Oscillation libre d'un systÚme masse-ressort horizontal \nUn systÚme masse-ressort est constitué d'une masse $m = 2 \\text{ kg}$ fixée à un ressort horizontal de raideur $k = 800 \\text{ N/m}$. Le systÚme est placé sur une surface sans frottement. La masse est écartée de sa position d'équilibre d'une distance $x_0 = 0.05 \\text{ m}$ puis lùchée sans vitesse initiale.
\n\nQuestion 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du systÚme et la période d'oscillation $T$.
\n\nQuestion 2 : Ăcrivez l'Ă©quation du mouvement $x(t)$ et dĂ©terminez la position de la masse Ă l'instant $t = 0.5 \\text{ s}$.
\n\nQuestion 3 : Calculez la vitesse maximale $v_{\\max}$ atteinte par la masse au cours de son oscillation.
\n\nQuestion 4 : Déterminez l'énergie mécanique totale du systÚme et vérifiez qu'elle se conserve à $t = 0.25 \\text{ s}$.
",
"svg": "\n \n \n \n\n \n \n \n\n \n \n \n \n \n m \n x₀ = 0.05 m \n k = 800 N/m \n \n\n \n \n \n \n \n\n \n \n O \n x \n\n \n Oscillation libre sans frottement \n m = 2 kg, k = 800 N/m \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée :
\n\nQuestion 1 : Pulsation propre et période
\nPour un systÚme masse-ressort sans amortissement, la pulsation propre est donnée par :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
\nEn remplaçant les valeurs :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{800}{2}} = \\sqrt{400} = 20 \\text{ rad/s}$
\nLa période d'oscillation est :
\n$T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{2\\pi}{20} = \\frac{\\pi}{10} \\approx 0.314 \\text{ s}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement et position
\nAvec les conditions initiales $x(0) = x_0 = 0.05 \\text{ m}$ et $v(0) = 0$, l'équation du mouvement s'écrit :
\n$x(t) = x_0 \\cos(\\omega_0 t) = 0.05 \\cos(20t) \\text{ m}$
\nĂ $t = 0.5 \\text{ s}$ :
\n$x(0.5) = 0.05 \\cos(20 \\times 0.5) = 0.05 \\cos(10) \\text{ rad}$
\n$\\cos(10) \\approx -0.8391$
\n$x(0.5) \\approx 0.05 \\times (-0.8391) = -0.042 \\text{ m} = -4.2 \\text{ cm}$
\nLa masse se trouve à environ 4.2 cm de la position d'équilibre, du cÎté opposé au déplacement initial.
\n\nQuestion 3 : Vitesse maximale
\nLa vitesse dans un mouvement harmonique simple est :
\n$v(t) = \\frac{dx}{dt} = -x_0 \\omega_0 \\sin(\\omega_0 t)$
\nLa vitesse maximale est atteinte quand $|\\sin(\\omega_0 t)| = 1$ :
\n$v_{\\max} = x_0 \\omega_0 = 0.05 \\times 20 = 1 \\text{ m/s}$
\n\nQuestion 4 : Ănergie mĂ©canique totale
\nL'énergie mécanique totale est conservée et égale à l'énergie potentielle au moment du lùchage :
\n$E_{\\text{total}} = \\frac{1}{2}kx_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (0.05)^2 = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times 0.0025 = 1 \\text{ J}$
\nĂ $t = 0.25 \\text{ s}$ :
\n$x(0.25) = 0.05 \\cos(20 \\times 0.25) = 0.05 \\cos(5) \\approx 0.05 \\times 0.284 = 0.0142 \\text{ m}$
\n$v(0.25) = -0.05 \\times 20 \\times \\sin(5) \\approx -1 \\times (-0.959) = 0.959 \\text{ m/s}$
\nVérification :
\n$E_{\\text{kinetic}} = \\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times (0.959)^2 \\approx 0.92 \\text{ J}$
\n$E_{\\text{potential}} = \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (0.0142)^2 \\approx 0.08 \\text{ J}$
\n$E_{\\text{total}} = 0.92 + 0.08 = 1 \\text{ J}$
\nL'énergie totale est bien conservée à 1 J.
",
"id_category": "1",
"id_number": "5"
},
{
"category": " Cinématique",
"number": 2,
"title": "Pendule simple en oscillation libre",
"question": "Exercice 2 : Pendule simple en oscillation libre \nUn pendule simple est composé d'une masse $m = 0.5 \\text{ kg}$ suspendue par un fil inextensible de longueur $L = 1 \\text{ m}$. Le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle initial $\\theta_0 = 0.1 \\text{ rad}$ (petit angle) puis lùché sans vitesse initiale. On prendra $g = 9.8 \\text{ m/s}^2$.
\n\nQuestion 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du pendule et sa fréquence d'oscillation $f$.
\n\nQuestion 2 : Déduisez l'équation du mouvement angulaire $\\theta(t)$ et déterminez l'angle à l'instant $t = 2 \\text{ s}$.
\n\nQuestion 3 : Calculez la vitesse linéaire maximale $v_{\\max}$ du point de masse au cours de l'oscillation.
\n\nQuestion 4 : Déterminez l'énergie mécanique totale du systÚme et vérifiez qu'elle est conservée à $t = 1 \\text{ s}$.
",
"svg": "\n \n \n \n\n \n \n\n \n \n \n m = 0.5 kg \n\n \n \n\n \n \n\n \n \n Ξ₀ \n\n \n L = 1 m \n\n \n \n\n \n \n\n \n Pendule simple : Petit angle Ξ₀ = 0.1 rad \n g = 9.8 m/s² \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée :
\n\nQuestion 1 : Pulsation propre et fréquence
\nPour un pendule simple en petit angle, la pulsation propre est :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{g}{L}}$
\nEn remplaçant les valeurs :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{9.8}{1}} = \\sqrt{9.8} \\approx 3.13 \\text{ rad/s}$
\nLa fréquence d'oscillation est :
\n$f = \\frac{\\omega_0}{2\\pi} = \\frac{3.13}{2\\pi} \\approx 0.498 \\text{ Hz} \\approx 0.5 \\text{ Hz}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement et angle Ă t = 2 s
\nAvec les conditions initiales $\\theta(0) = \\theta_0 = 0.1 \\text{ rad}$ et $\\dot{\\theta}(0) = 0$, l'équation du mouvement angulaire est :
\n$\\theta(t) = \\theta_0 \\cos(\\omega_0 t) = 0.1 \\cos(3.13t) \\text{ rad}$
\nĂ $t = 2 \\text{ s}$ :
\n$\\theta(2) = 0.1 \\cos(3.13 \\times 2) = 0.1 \\cos(6.26) \\text{ rad}$
\n$\\cos(6.26) \\approx 0.970$
\n$\\theta(2) \\approx 0.1 \\times 0.970 = 0.097 \\text{ rad}$
\nLe pendule est trÚs proche de son amplitude maximale, ce qui est normal car la période est $T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} \\approx 2.01 \\text{ s}$, et on est presque à une demi-période.
\n\nQuestion 3 : Vitesse linéaire maximale
\nLa vitesse angulaire est :
\n$\\dot{\\theta}(t) = -\\theta_0 \\omega_0 \\sin(\\omega_0 t)$
\nLa vitesse angulaire maximale est :
\n$\\dot{\\theta}_{\\max} = \\theta_0 \\omega_0 = 0.1 \\times 3.13 = 0.313 \\text{ rad/s}$
\nLa vitesse linéaire maximale au point de masse est :
\n$v_{\\max} = L \\dot{\\theta}_{\\max} = 1 \\times 0.313 = 0.313 \\text{ m/s}$
\n\nQuestion 4 : Ănergie mĂ©canique totale et vĂ©rification
\nL'énergie mécanique totale du pendule est conservée et égale à l'énergie potentielle initiale :
\n$E_{\\text{total}} = mg h_0$
\noĂč $h_0$ est la hauteur initial au-dessus du point le plus bas. Pour petit angle :
\n$h_0 = L(1 - \\cos\\theta_0) \\approx L \\frac{\\theta_0^2}{2} = 1 \\times \\frac{(0.1)^2}{2} = 0.005 \\text{ m}$
\n$E_{\\text{total}} = 0.5 \\times 9.8 \\times 0.005 = 0.0245 \\text{ J}$
\nĂ $t = 1 \\text{ s}$ :
\n$\\theta(1) = 0.1 \\cos(3.13) \\approx 0.1 \\times (-0.991) = -0.0991 \\text{ rad}$
\n$\\dot{\\theta}(1) = -0.1 \\times 3.13 \\times \\sin(3.13) \\approx -0.313 \\times 0.0108 = -0.00338 \\text{ rad/s}$
\nĂnergie potentielle :
\n$E_p = mg L(1 - \\cos\\theta) \\approx 0.5 \\times 9.8 \\times 1 \\times \\frac{\\theta^2}{2} = 4.9 \\times \\frac{(0.0991)^2}{2} \\approx 0.0241 \\text{ J}$
\nĂnergie cinĂ©tique :
\n$E_k = \\frac{1}{2}I\\dot{\\theta}^2 = \\frac{1}{2}mL^2\\dot{\\theta}^2 = \\frac{1}{2} \\times 0.5 \\times 1 \\times (0.00338)^2 \\approx 0.0000029 \\text{ J} \\approx 0 \\text{ J}$
\n$E_{\\text{total}} = E_k + E_p \\approx 0.0241 \\text{ J} \\approx 0.0245 \\text{ J}$
\nL'énergie totale est conservée (légÚre différence due aux arrondis).
",
"id_category": "1",
"id_number": "6"
},
{
"category": " Cinématique",
"number": 3,
"title": "Oscillateur vertical avec ressort et gravité",
"question": "Exercice 3 : Oscillateur vertical avec ressort et gravité \nUne masse $m = 1.5 \\text{ kg}$ est suspendue à un ressort vertical de raideur $k = 150 \\text{ N/m}$. Au repos, le ressort s'étire d'une longueur $\\Delta L_0$. La masse est alors écartée de $x_0 = 0.08 \\text{ m}$ au-dessus de sa position d'équilibre et lùchée sans vitesse initiale. On prendra $g = 10 \\text{ m/s}^2$.
\n\nQuestion 1 : Calculez l'allongement initial du ressort $\\Delta L_0$ à l'équilibre et la pulsation propre $\\omega_0$ du systÚme.
\n\nQuestion 2 : Ăcrivez l'Ă©quation du mouvement $x(t)$ (prenant comme origine la position d'Ă©quilibre, sens positif vers le haut) et dĂ©terminez le dĂ©placement Ă $t = 1 \\text{ s}$.
\n\nQuestion 3 : Calculez l'allongement maximum et minimum du ressort au cours de l'oscillation.
\n\nQuestion 4 : Calculez l'énergie mécanique totale du systÚme et vérifiez sa conservation à $t = 0.5 \\text{ s}$ en considérant le point d'équilibre comme référence d'énergie potentielle de gravité.
",
"svg": "\n \n \n \n\n \n \n\n \n \n \n L₀ \n \n\n \n \n ÎL₀ = mg/k \n\n \n \n m \n Ăquilibre \n\n \n \n \n \n x₀ = 0.08 m \n \n\n \n \n \n \n \n \n \n x₀ \n\n \n \n z \n\n \n \n\n \n \n DonnĂ©es : m = 1.5 kg, k = 150 N/m \n g = 10 m/s², x₀ = 0.08 m (au-dessus de l'Ă©quilibre) \n \n\n \n Poids mg \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée :
\n\nQuestion 1 : Allongement initial et pulsation propre
\nà l'équilibre, la force de rappel du ressort équilibre le poids :
\n$k \\Delta L_0 = mg$
\n$\\Delta L_0 = \\frac{mg}{k} = \\frac{1.5 \\times 10}{150} = \\frac{15}{150} = 0.1 \\text{ m}$
\nLa pulsation propre du systÚme est indépendante de la gravité :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{150}{1.5}} = \\sqrt{100} = 10 \\text{ rad/s}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement et dĂ©placement
\nLe systÚme oscille autour de la position d'équilibre. Avec les conditions initiales $x(0) = -x_0 = -0.08 \\text{ m}$ (au-dessus de l'équilibre) et $\\dot{x}(0) = 0$, l'équation du mouvement est :
\n$x(t) = -x_0 \\cos(\\omega_0 t) = -0.08 \\cos(10t) \\text{ m}$
\nĂ $t = 1 \\text{ s}$ :
\n$x(1) = -0.08 \\cos(10 \\times 1) = -0.08 \\cos(10) \\text{ rad}$
\n$\\cos(10) \\approx -0.8391$
\n$x(1) \\approx -0.08 \\times (-0.8391) = 0.0671 \\text{ m} = 6.71 \\text{ cm}$
\nAu temps $t = 1 \\text{ s}$, la masse est à environ 6.71 cm en dessous de sa position d'équilibre.
\n\nQuestion 3 : Allongement maximum et minimum du ressort
\nL'allongement du ressort varie entre :
\nMaximum : quand la masse est au point le plus bas, c'est-Ă -dire quand $x = x_0 = 0.08 \\text{ m}$
\n$\\Delta L_{\\max} = \\Delta L_0 + x_0 = 0.1 + 0.08 = 0.18 \\text{ m}$
\nMinimum : quand la masse est au point le plus haut, c'est-Ă -dire quand $x = -x_0 = -0.08 \\text{ m}$
\n$\\Delta L_{\\min} = \\Delta L_0 - x_0 = 0.1 - 0.08 = 0.02 \\text{ m}$
\n\nQuestion 4 : Ănergie mĂ©canique et vĂ©rification
\nL'énergie mécanique totale (kinétique + potentielle élastique + potentielle gravitationnelle) est conservée. En prenant l'équilibre comme référence d'énergie potentielle gravitationnelle :
\nĂ $t = 0$ :
\n$E_{\\text{total}} = \\frac{1}{2}kx_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 150 \\times (0.08)^2 = \\frac{1}{2} \\times 150 \\times 0.0064 = 0.48 \\text{ J}$
\nĂ $t = 0.5 \\text{ s}$ :
\n$x(0.5) = -0.08 \\cos(10 \\times 0.5) = -0.08 \\cos(5) \\approx -0.08 \\times 0.284 = -0.0227 \\text{ m}$
\n$\\dot{x}(0.5) = 0.08 \\times 10 \\times \\sin(5) \\approx 0.8 \\times 0.959 = 0.767 \\text{ m/s}$
\nĂnergie cinĂ©tique :
\n$E_k = \\frac{1}{2}m\\dot{x}^2 = \\frac{1}{2} \\times 1.5 \\times (0.767)^2 \\approx 0.441 \\text{ J}$
\nĂnergie potentielle Ă©lastique :
\n$E_p = \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2} \\times 150 \\times (0.0227)^2 \\approx 0.0387 \\text{ J}$
\n$E_{\\text{total}} = E_k + E_p \\approx 0.441 + 0.0387 = 0.480 \\text{ J} \\approx 0.48 \\text{ J}$
\nL'énergie totale est conservée à 0.48 J.
",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": " Cinématique",
"number": 4,
"title": "Oscillation d'un systĂšme rotor-amortisseur",
"question": "Exercice 4 : Oscillation d'un systĂšme rotor-amortisseur \nUn disque de moment d'inertie $I = 0.05 \\text{ kg·m}^2$ est montĂ© sur un arbre de torsion de raideur $k_t = 10 \\text{ N·m/rad}$. Le disque est Ă©cartĂ© d'un angle $\\theta_0 = 0.2 \\text{ rad}$ puis lĂąchĂ© sans vitesse angulaire initiale. On nĂ©glige l'amortissement.
\n\nQuestion 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période d'oscillation $T$ du systÚme de torsion.
\n\nQuestion 2 : Ăcrivez l'Ă©quation du mouvement angulaire $\\theta(t)$ et calculez l'angle de torsion Ă $t = 2 \\text{ s}$.
\n\nQuestion 3 : Calculez la vitesse angulaire maximale $\\dot{\\theta}_{\\max}$ et la position angulaire correspondante.
\n\nQuestion 4 : Déterminez l'énergie de déformation maximale du ressort de torsion et vérifiez qu'elle égale l'énergie cinétique maximale du disque.
",
"svg": "\n \n \n \n Support \n\n \n \n Arbre de torsion \n kt = 10 N·m/rad \n\n \n \n \n Disque \n I = 0.05 kg·m² \n\n \n \n Ξ₀ = 0.2 rad \n\n \n \n \n\n \n \n\n \n \n \n \n \n \n\n \n \n Ξ \n\n \n \n\n \n SystĂšme de torsion : Oscillation libre \n I = 0.05 kg·m², kt = 10 N·m/rad, Ξ₀ = 0.2 rad \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée :
\n\nQuestion 1 : Pulsation propre et période
\nPour un systÚme de torsion oscillant, la pulsation propre est donnée par :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k_t}{I}}$
\nEn remplaçant les valeurs :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{10}{0.05}} = \\sqrt{200} = 10\\sqrt{2} \\approx 14.14 \\text{ rad/s}$
\nLa période d'oscillation est :
\n$T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{2\\pi}{14.14} \\approx 0.444 \\text{ s}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement et angle Ă t = 2 s
\nAvec les conditions initiales $\\theta(0) = \\theta_0 = 0.2 \\text{ rad}$ et $\\dot{\\theta}(0) = 0$, l'équation du mouvement angulaire est :
\n$\\theta(t) = \\theta_0 \\cos(\\omega_0 t) = 0.2 \\cos(14.14t) \\text{ rad}$
\nĂ $t = 2 \\text{ s}$ :
\n$\\theta(2) = 0.2 \\cos(14.14 \\times 2) = 0.2 \\cos(28.28) \\text{ rad}$
\n$\\cos(28.28) \\approx 0.872$
\n$\\theta(2) \\approx 0.2 \\times 0.872 = 0.1744 \\text{ rad}$
\nLe disque est proche de sa position initiale, ce qui est attendu puisque $2 \\text{ s} = 4.5 \\times T$, soit 4 cycles et demi.
\n\nQuestion 3 : Vitesse angulaire maximale et position correspondante
\nLa vitesse angulaire est :
\n$\\dot{\\theta}(t) = -\\theta_0 \\omega_0 \\sin(\\omega_0 t)$
\nLa vitesse angulaire maximale est atteinte quand $|\\sin(\\omega_0 t)| = 1$ :
\n$\\dot{\\theta}_{\\max} = \\theta_0 \\omega_0 = 0.2 \\times 14.14 = 2.828 \\text{ rad/s}$
\nCette vitesse maximale est atteinte quand $\\sin(\\omega_0 t) = \\pm 1$, c'est-Ă -dire quand :
\n$\\omega_0 t = \\frac{\\pi}{2} + n\\pi$
\nLa premiĂšre occurrence est Ă $t = \\frac{\\pi}{2\\omega_0} = \\frac{\\pi}{2 \\times 14.14} \\approx 0.111 \\text{ s}$
\nà ce moment, $\\theta = 0$ (le disque passe par la position d'équilibre).
\n\nQuestion 4 : Ănergie de dĂ©formation et Ă©nergie cinĂ©tique
\nL'énergie de déformation maximale du ressort de torsion est stockée quand le disque atteint son amplitude maximale $\\theta = \\theta_0$, c'est-à -dire quand $\\dot{\\theta} = 0$ :
\n$E_{\\text{déformation,max}} = \\frac{1}{2}k_t\\theta_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times (0.2)^2 = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 0.04 = 0.2 \\text{ J}$
\nL'énergie cinétique maximale est atteinte quand le disque passe par sa position d'équilibre, c'est-à -dire quand $\\theta = 0$ et $\\dot{\\theta} = \\dot{\\theta}_{\\max}$ :
\n$E_{\\text{cinétique,max}} = \\frac{1}{2}I\\dot{\\theta}_{\\max}^2 = \\frac{1}{2} \\times 0.05 \\times (2.828)^2$
\n$E_{\\text{cinétique,max}} = \\frac{1}{2} \\times 0.05 \\times 8 = 0.2 \\text{ J}$
\nL'énergie de déformation maximale égale l'énergie cinétique maximale :
\n$E_{\\text{déformation,max}} = E_{\\text{cinétique,max}} = 0.2 \\text{ J}$
\nCette égalité confirme la conservation de l'énergie mécanique totale du systÚme.
",
"id_category": "1",
"id_number": "8"
},
{
"category": " Cinématique",
"number": 5,
"title": "Oscillateur en échelon d'accélération : Changement de fréquence",
"question": "Exercice 5 : Oscillateur en échelon d'accélération : Changement de fréquence \nUn systÚme masse-ressort horizontal a une masse $m = 3 \\text{ kg}$, une raideur $k = 300 \\text{ N/m}$. Le systÚme est au repos à sa position d'équilibre initial. à l'instant $t = 0$, la base du systÚme subit un déplacement impulsif de $x_{\\text{base}} = 0.06 \\text{ m}$ (la position d'équilibre se déplace brusquement de 0.06 m). On demande d'étudier le mouvement de la masse dans le nouveau repÚre (centré sur la nouvelle position d'équilibre).
\n\nQuestion 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du systÚme et sa fréquence $f$.
\n\nQuestion 2 : Ă l'instant $t = 0^+$ (juste aprĂšs le dĂ©placement), la masse se trouve Ă $x = -0.06 \\text{ m}$ (par rapport au nouveau repĂšre) avec vitesse nulle. Ăcrivez l'Ă©quation du mouvement relatif $x(t)$ et dĂ©terminez l'amplitude d'oscillation autour du nouvel Ă©quilibre.
\n\nQuestion 3 : Calculez le déplacement maximum et minimum de la masse par rapport à sa position initiale (avant le déplacement de la base).
\n\nQuestion 4 : DĂ©terminez l'Ă©nergie cinĂ©tique acquise par la masse Ă l'instant oĂč elle traverse le nouvel Ă©quilibre et comparez-la avec l'Ă©nergie potentielle emmagasinĂ©e initialement.
",
"svg": "\n \n \n Ătat initial : t < 0 \n\n \n \n \n Base fixe \n\n \n \n\n \n \n\n \n \n m \n\n \n \n x = 0 \n \n\n \n \n Ătat aprĂšs dĂ©placement : t ≥ 0 \n\n \n \n \n Base dĂ©placĂ©e +0.06 m \n\n \n \n\n \n \n\n \n \n m' \n\n \n \n m \n\n \n \n x' = 0 \n\n \n \n \n \n \n \n \n 0.06 m \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution détaillée :
\n\nQuestion 1 : Pulsation propre et fréquence
\nLa pulsation propre du systÚme reste inchangée, indépendante du déplacement de la base :
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{300}{3}} = \\sqrt{100} = 10 \\text{ rad/s}$
\nLa fréquence d'oscillation est :
\n$f = \\frac{\\omega_0}{2\\pi} = \\frac{10}{2\\pi} \\approx 1.59 \\text{ Hz}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement relatif et amplitude
\nDans le nouveau repÚre centré sur la nouvelle position d'équilibre, avec les conditions initiales $x(0) = -0.06 \\text{ m}$ (la masse est 0.06 m en arriÚre de la nouvelle position d'équilibre) et $\\dot{x}(0) = 0$, l'équation du mouvement est :
\n$x(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\noĂč $A$ est l'amplitude et $\\phi$ la phase initiale.
\nAvec $x(0) = -0.06$ et $\\dot{x}(0) = 0$ :
\n$A \\cos(\\phi) = -0.06$
\n$-A \\omega_0 \\sin(\\phi) = 0 \\Rightarrow \\sin(\\phi) = 0 \\Rightarrow \\phi = 0 \\text{ ou } \\pi$
\nPuisque $x(0) = -0.06 < 0$, on a $\\phi = \\pi$, et :
\n$x(t) = -0.06 \\cos(10t) \\text{ m}$
\nL'amplitude d'oscillation autour du nouvel équilibre est :
\n$A = 0.06 \\text{ m}$
\n\nQuestion 3 : Déplacement maximum et minimum
\nDéplacement maximum (vers l'avant par rapport à la position initiale) :
\n$x_{\\text{max,relative}} = 0.06 \\text{ m}$
\nPosition absolue maximale de la masse par rapport Ă sa position initiale :
\n$x_{\\text{max,absolue}} = x_{\\text{base}} + x_{\\text{max,relative}} = 0.06 + 0.06 = 0.12 \\text{ m}$
\nDéplacement minimum (vers l'arriÚre) :
\n$x_{\\text{min,relative}} = -0.06 \\text{ m}$
\nPosition absolue minimale de la masse par rapport Ă sa position initiale :
\n$x_{\\text{min,absolue}} = x_{\\text{base}} + x_{\\text{min,relative}} = 0.06 - 0.06 = 0 \\text{ m}$
\nLa masse revient Ă sa position initiale.
\n\nQuestion 4 : Ănergie cinĂ©tique et comparaison
\nLa masse traverse le nouvel équilibre quand $x(t) = 0$, c'est-à -dire quand $\\cos(10t) = 0$ :
\n$10t = \\frac{\\pi}{2} \\Rightarrow t = \\frac{\\pi}{20} \\approx 0.157 \\text{ s}$
\nĂ ce moment, la vitesse est :
\n$\\dot{x}(t) = 0.06 \\times 10 \\times \\sin(10t) = 0.6 \\sin(10t)$
\n$\\dot{x}\\left(\\frac{\\pi}{20}\\right) = 0.6 \\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0.6 \\times 1 = 0.6 \\text{ m/s}$
\nL'énergie cinétique à ce moment est :
\n$E_k = \\frac{1}{2}m\\dot{x}^2 = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times (0.6)^2 = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 0.36 = 0.54 \\text{ J}$
\nL'énergie potentielle emmagasinée initialement dans le ressort (juste aprÚs le déplacement, dans le nouveau repÚre) :
\n$E_p = \\frac{1}{2}kx_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 300 \\times (0.06)^2 = \\frac{1}{2} \\times 300 \\times 0.0036 = 0.54 \\text{ J}$
\nL'énergie cinétique acquise égale l'énergie potentielle emmagasinée :
\n$E_k = E_p = 0.54 \\text{ J}$
\nCette égalité confirme la conservation de l'énergie mécanique du systÚme.
",
"id_category": "1",
"id_number": "9"
},
{
"category": " Cinématique",
"numero": 1,
"titre": "Oscillateur Masse-Ressort avec Amortissement Naturel",
"question": "Exercice 1 : SystÚme Masse-Ressort en Oscillation Libre \nUn systÚme mécanique constitué d'une masse $m = 2 \\ \\text{kg}$ fixée à un ressort de raideur $k = 128 \\ \\text{N/m}$ est mis en oscillation libre. La masse est écartée de sa position d'équilibre d'une amplitude initiale de $x_0 = 0.1 \\ \\text{m}$ puis libérée sans vitesse initiale.
\n\nQuestion 1 : Déterminez la pulsation propre $\\omega_0$ du systÚme et la période propre $T_0$ de l'oscillation.
\n\nQuestion 2 : En supposant que la position initiale est $x(0) = 0.1 \\ \\text{m}$ et la vitesse initiale $v(0) = 0 \\ \\text{m/s}$, écrivez l'équation du mouvement $x(t)$ complÚte et déduisez l'équation de la vitesse $v(t)$.
\n\nQuestion 3 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ du systÚme et déterminez la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$ lors du passage par la position d'équilibre.
\n\nQuestion 4 : à l'instant $t = 0.5 \\ \\text{s}$, calculez la position $x(t)$, la vitesse $v(t)$ et l'accélération $a(t)$ de la masse.
",
"svg": "\n \n \n\n \n \n Ăquilibre \n\n \n \n \n \n\n \n \n m \n\n \n \n \n +A \n\n \n \n -A \n\n \n \n \n \n\n \n SystĂšme Masse-Ressort \n m = 2 kg, k = 128 N/m, A₀ = 0.1 m \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution ComplĂšte de l'Exercice 1
\n\nQuestion 1 : Pulsation propre et période propre
\nLa pulsation propre d'un systÚme masse-ressort sans amortissement est définie par:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
\nEn remplaçant les valeurs données:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{128}{2}} = \\sqrt{64} = 8 \\ \\text{rad/s}$
\nLa période propre est liée à la pulsation par la relation:
\n$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
\nCalcul:
\n$T_0 = \\frac{2\\pi}{8} = \\frac{\\pi}{4} \\approx 0.785 \\ \\text{s}$
\nRésultats: $\\omega_0 = 8 \\ \\text{rad/s}$ et $T_0 \\approx 0.785 \\ \\text{s}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement
\nPour un systÚme en oscillation libre non amortie, la solution générale est:
\n$x(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\nAvec les conditions initiales $x(0) = 0.1 \\ \\text{m}$ et $v(0) = 0 \\ \\text{m/s}$:
\nĂ $t = 0$: $x(0) = A \\cos(\\phi) = 0.1$
\nĂ $t = 0$: $v(0) = -A\\omega_0 \\sin(\\phi) = 0$
\nDe la deuxiÚme équation: $\\sin(\\phi) = 0$, donc $\\phi = 0$
\nDe la premiÚre équation: $A = 0.1 \\ \\text{m}$
\nL'équation du mouvement est:
\n$x(t) = 0.1 \\cos(8t) \\ \\text{(en mĂštres)}$
\nL'équation de la vitesse est:
\n$v(t) = \\frac{dx}{dt} = -0.1 \\times 8 \\sin(8t) = -0.8 \\sin(8t) \\ \\text{(en m/s)}$
\n\nQuestion 3 : Ănergie mĂ©canique et vitesse maximale
\nL'énergie mécanique totale du systÚme est conservée et égale à l'énergie potentielle initiale:
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}k x_0^2$
\nCalcul:
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2} \\times 128 \\times (0.1)^2 = 64 \\times 0.01 = 0.64 \\ \\text{J}$
\nLa vitesse maximale se produit au passage par la position d'Ă©quilibre, oĂč toute l'Ă©nergie est cinĂ©tique:
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}m v_{\\text{max}}^2$
\nRésolution:
\n$v_{\\text{max}} = \\sqrt{\\frac{2 E_{\\text{mec}}}{m}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 0.64}{2}} = \\sqrt{0.64} = 0.8 \\ \\text{m/s}$
\nOu directement: $v_{\\text{max}} = A \\omega_0 = 0.1 \\times 8 = 0.8 \\ \\text{m/s}$
\nRésultats: $E_{\\text{mec}} = 0.64 \\ \\text{J}$ et $v_{\\text{max}} = 0.8 \\ \\text{m/s}$
\n\nQuestion 4 : Position, vitesse et accélération à t = 0.5 s
\nCalcul de la position:
\n$x(0.5) = 0.1 \\cos(8 \\times 0.5) = 0.1 \\cos(4) \\ \\text{rad}$
\n$x(0.5) = 0.1 \\times (-0.6536) = -0.06536 \\ \\text{m} \\approx -0.0654 \\ \\text{m}$
\nCalcul de la vitesse:
\n$v(0.5) = -0.8 \\sin(8 \\times 0.5) = -0.8 \\sin(4)$
\n$v(0.5) = -0.8 \\times 0.7568 = -0.6054 \\ \\text{m/s}$
\nL'accélération s'obtient par:
\n$a(t) = \\frac{dv}{dt} = -0.8 \\times 8 \\cos(8t) = -6.4 \\cos(8t) \\ \\text{(en m/s}^2\\text{)}$
\nCalcul:
\n$a(0.5) = -6.4 \\cos(4) = -6.4 \\times (-0.6536) = 4.183 \\ \\text{m/s}^2$
\nRésultats à t = 0.5 s:
\n- Position: $x(0.5) \\approx -0.0654 \\ \\text{m}$
\n- Vitesse: $v(0.5) \\approx -0.6054 \\ \\text{m/s}$
\n- Accélération: $a(0.5) \\approx 4.183 \\ \\text{m/s}^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "10"
},
{
"category": " Cinématique",
"numero": 2,
"titre": "Pendule Simple en Oscillations Libres",
"question": "Exercice 2 : Pendule Simple En Oscillation Libre \nUn pendule simple constitué d'une masse $m = 0.5 \\ \\text{kg}$ suspendue à un fil inextensible de longueur $L = 1.2 \\ \\text{m}$ est mis en oscillation libre avec une amplitude angulaire initiale de $\\theta_0 = 0.15 \\ \\text{rad}$ (petites oscillations). On prend $g = 9.81 \\ \\text{m/s}^2$.
\n\nQuestion 1 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période propre $T_0$ du pendule. Comparez avec la période d'un pendule de longueur identique sur la Lune ($g_{\\text{Lune}} = 1.62 \\ \\text{m/s}^2$).
\n\nQuestion 2 : Exprimez l'angle $\\theta(t)$ et la vitesse angulaire $\\omega(t) = \\frac{d\\theta}{dt}$ en fonction du temps, sachant que $\\theta(0) = 0.15 \\ \\text{rad}$ et $\\omega(0) = 0 \\ \\text{rad/s}$.
\n\nQuestion 3 : Calculez l'énergie mécanique totale du pendule. Determinez la vitesse linéaire maximale $v_{\\text{max}}$ de la masse lors du passage par la position d'équilibre.
\n\nQuestion 4 : à l'instant $t = T_0/4$ (un quart de période), déterminez l'angle $\\theta(t)$, la vitesse angulaire $\\omega(t)$ et l'accélération angulaire $\\alpha(t)$.
",
"svg": "\n \n \n\n \n \n \n\n \n \n\n \n \n\n \n \n\n \n \n m \n\n \n \n\n \n \n Ξ₀ \n\n \n \n\n \n \n \n\n \n Pendule Simple \n L = 1.2 m, m = 0.5 kg, Ξ₀ = 0.15 rad \n g = 9.81 m/s², petites oscillations \n\n \n \n \n \n L \n\n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution ComplĂšte de l'Exercice 2
\n\nQuestion 1 : Pulsation et période propres
\nPour un pendule simple en petites oscillations, la pulsation propre est donnée par:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{g}{L}}$
\nCalcul sur Terre:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{9.81}{1.2}} = \\sqrt{8.175} \\approx 2.859 \\ \\text{rad/s}$
\nLa période propre est:
\n$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
\nCalcul:
\n$T_0 = \\frac{2\\pi}{2.859} = \\frac{6.283}{2.859} \\approx 2.198 \\ \\text{s}$
\nSur la Lune, avec $g_{\\text{Lune}} = 1.62 \\ \\text{m/s}^2$:
\n$\\omega_{0,\\text{Lune}} = \\sqrt{\\frac{1.62}{1.2}} = \\sqrt{1.35} \\approx 1.162 \\ \\text{rad/s}$
\n$T_{0,\\text{Lune}} = \\frac{2\\pi}{1.162} \\approx 5.406 \\ \\text{s}$
\nRésultats:
\n- Sur Terre: $\\omega_0 \\approx 2.859 \\ \\text{rad/s}$, $T_0 \\approx 2.198 \\ \\text{s}$
\n- Sur la Lune: $\\omega_{0,\\text{Lune}} \\approx 1.162 \\ \\text{rad/s}$, $T_{0,\\text{Lune}} \\approx 5.406 \\ \\text{s}$
\nConstatation: La période sur la Lune est environ 2.46 fois plus grande qu'sur la Terre.
\n\nQuestion 2 : Angle et vitesse angulaire
\nAvec les conditions initiales $\\theta(0) = 0.15 \\ \\text{rad}$ et $\\omega(0) = 0 \\ \\text{rad/s}$, la solution générale est:
\n$\\theta(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\nĂ $t = 0$: $\\theta(0) = A \\cos(\\phi) = 0.15$
\nĂ $t = 0$: $\\omega(0) = -A \\omega_0 \\sin(\\phi) = 0$
\nDe la deuxiĂšme condition: $\\phi = 0$, donc $A = 0.15 \\ \\text{rad}$
\nL'angle en fonction du temps:
\n$\\theta(t) = 0.15 \\cos(2.859 t) \\ \\text{(rad)}$
\nLa vitesse angulaire:
\n$\\omega(t) = \\frac{d\\theta}{dt} = -0.15 \\times 2.859 \\sin(2.859 t) = -0.4289 \\sin(2.859 t) \\ \\text{(rad/s)}$
\n\nQuestion 3 : Ănergie mĂ©canique et vitesse linĂ©aire maximale
\nL'énergie mécanique totale est conservée et égale à l'énergie potentielle initiale:
\n$E_{\\text{mec}} = mgh_{\\text{max}}$
\noĂč $h_{\\text{max}} = L(1 - \\cos(\\theta_0))$
\nCalcul:
\n$h_{\\text{max}} = 1.2 \\times (1 - \\cos(0.15)) = 1.2 \\times (1 - 0.9888) = 1.2 \\times 0.0112 = 0.01344 \\ \\text{m}$
\n$E_{\\text{mec}} = 0.5 \\times 9.81 \\times 0.01344 \\approx 0.0659 \\ \\text{J}$
\nLa vitesse linéaire maximale au passage par l'équilibre:
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}m v_{\\text{max}}^2$
\n$v_{\\text{max}} = \\sqrt{\\frac{2 E_{\\text{mec}}}{m}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 0.0659}{0.5}} = \\sqrt{0.2636} \\approx 0.5134 \\ \\text{m/s}$
\nOu directement: $v_{\\text{max}} = L \\omega_{\\text{max}} = L \\times \\theta_0 \\times \\omega_0 = 1.2 \\times 0.15 \\times 2.859 \\approx 0.5149 \\ \\text{m/s}$
\nRésultats: $E_{\\text{mec}} \\approx 0.0659 \\ \\text{J}$ et $v_{\\text{max}} \\approx 0.5134 \\ \\text{m/s}$
\n\nQuestion 4 : Ă t = T₀/4
\nCalcul du temps: $t = \\frac{T_0}{4} = \\frac{2.198}{4} \\approx 0.5495 \\ \\text{s}$
\nArgument trigonométrique: $\\omega_0 t = 2.859 \\times 0.5495 = 1.571 \\ \\text{rad} \\approx \\frac{\\pi}{2}$
\nCalcul de l'angle:
\n$\\theta(T_0/4) = 0.15 \\cos(\\pi/2) = 0.15 \\times 0 = 0 \\ \\text{rad}$
\nVitesse angulaire:
\n$\\omega(T_0/4) = -0.4289 \\sin(\\pi/2) = -0.4289 \\times 1 = -0.4289 \\ \\text{rad/s}$
\nAccélération angulaire:
\n$\\alpha(t) = \\frac{d\\omega}{dt} = -0.4289 \\times 2.859 \\cos(2.859 t) = -1.226 \\cos(2.859 t) \\ \\text{(rad/s}^2\\text{)}$
\n$\\alpha(T_0/4) = -1.226 \\cos(\\pi/2) = 0 \\ \\text{rad/s}^2$
\nRĂ©sultats Ă t = T₀/4:
\n- Angle: $\\theta(T_0/4) = 0 \\ \\text{rad}$ (position d'équilibre)
\n- Vitesse angulaire: $\\omega(T_0/4) \\approx -0.4289 \\ \\text{rad/s}$ (vitesse maximale en valeur absolue)
\n- Accélération angulaire: $\\alpha(T_0/4) = 0 \\ \\text{rad/s}^2$
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "11"
},
{
"category": " Cinématique",
"numero": 3,
"titre": "Oscillations Libres d'un SystĂšme Masse-Ressort Vertical",
"question": "Exercice 3 : SystÚme Masse-Ressort Vertical \nUne masse $m = 0.8 \\ \\text{kg}$ est suspendue à un ressort vertical de raideur $k = 40 \\ \\text{N/m}$. Le systÚme est d'abord au repos à sa position d'équilibre statique. On le met ensuite en oscillation en le déplaçant vers le bas de $\\Delta x = 0.05 \\ \\text{m}$ puis en le relùchant avec une vitesse initiale descendante de $v_0 = 0.2 \\ \\text{m/s}$. Prenez $g = 10 \\ \\text{m/s}^2$.
\n\nQuestion 1 : Déterminez la position d'équilibre statique $x_{\\text{eq}}$ du systÚme (par rapport à sa longueur naturelle), puis la pulsation propre $\\omega_0$ et la période $T_0$ des oscillations libres autour de cet équilibre.
\n\nQuestion 2 : Ăcrivez l'Ă©quation complĂšte du mouvement $x(t)$ (avec $x = 0$ Ă la position d'Ă©quilibre) et de la vitesse $v(t)$, en tenant compte des conditions initiales donnĂ©es.
\n\nQuestion 3 : Calculez l'amplitude totale $A$ de l'oscillation, l'Ă©nergie mĂ©canique totale $E_{\\text{mec}}$ et dĂ©terminez les positions extrĂȘmes (maximale et minimale) atteintes par la masse.
\n\nQuestion 4 : Trouvez l'instant $t_1$ du premier passage par la position d'équilibre (aprÚs le lùchage initial) et calculez la vitesse à cet instant. Vérifiez votre résultat en utilisant la conservation de l'énergie.
",
"svg": "\n \n \n\n \n \n \n \n\n \n \n\n \n \n Longueur naturelle \n\n \n \n \n\n \n \n Ăquilibre \n\n \n \n m \n\n \n \n Position initiale \n\n \n \n\n \n \n m \n\n \n \n v₀ = 0.2 m/s \n\n \n \n \n \n Îx = 0.05 m \n\n \n \n +A \n\n \n -A \n\n \n SystĂšme Masse-Ressort Vertical \n m = 0.8 kg, k = 40 N/m, g = 10 m/s² \n Condition initiale: dĂ©placement 0.05 m vers le bas \n Vitesse initiale: v₀ = 0.2 m/s (vers le bas) \n\n \n \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution ComplĂšte de l'Exercice 3
\n\nQuestion 1 : Position d'équilibre, pulsation et période
\nà la position d'équilibre statique, la force du poids équilibre la force du ressort:
\n$mg = k x_{\\text{eq}}$
\nCalcul:
\n$x_{\\text{eq}} = \\frac{mg}{k} = \\frac{0.8 \\times 10}{40} = \\frac{8}{40} = 0.2 \\ \\text{m}$
\nLa pulsation propre est indépendante de la position d'équilibre:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{40}{0.8}} = \\sqrt{50} \\approx 7.071 \\ \\text{rad/s}$
\nLa période propre:
\n$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{2\\pi}{7.071} \\approx 0.8886 \\ \\text{s}$
\nRésultats: $x_{\\text{eq}} = 0.2 \\ \\text{m}$, $\\omega_0 \\approx 7.071 \\ \\text{rad/s}$, $T_0 \\approx 0.889 \\ \\text{s}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement et de la vitesse
\nLa solution générale autour de l'équilibre est:
\n$x(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\navec $x(0) = -0.05 \\ \\text{m}$ (déplacement initial négatif, vers le bas) et $v(0) = -0.2 \\ \\text{m/s}$ (vitesse vers le bas)
\nĂ $t = 0$: $x(0) = A \\cos(\\phi) = -0.05$
\nĂ $t = 0$: $v(0) = -A \\omega_0 \\sin(\\phi) = -0.2$
\nDe la deuxiÚme équation:
\n$A \\sin(\\phi) = \\frac{0.2}{7.071} \\approx 0.02828$
\nCalcul de l'amplitude:
\n$A = \\sqrt{x(0)^2 + \\left(\\frac{v(0)}{\\omega_0}\\right)^2} = \\sqrt{(-0.05)^2 + (0.02828)^2} = \\sqrt{0.0025 + 0.0008} = \\sqrt{0.00330} \\approx 0.0574 \\ \\text{m}$
\nCalcul de la phase:
\n$\\tan(\\phi) = \\frac{0.02828}{-0.05} = -0.5656$, donc $\\phi \\approx 2.678 \\ \\text{rad}$ (dans le 2e quadrant)
\nL'équation du mouvement:
\n$x(t) = 0.0574 \\cos(7.071 t + 2.678) \\ \\text{(m)}$
\nL'équation de la vitesse:
\n$v(t) = -0.0574 \\times 7.071 \\sin(7.071 t + 2.678) = -0.406 \\sin(7.071 t + 2.678) \\ \\text{(m/s)}$
\n\nQuestion 3 : Amplitude, Ă©nergie et positions extrĂȘmes
\nAmplitude totale:
\n$A \\approx 0.0574 \\ \\text{m}$ (calculée ci-dessus)
\nL'énergie mécanique totale (en prenant l'équilibre comme référence):
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}k A^2 = \\frac{1}{2} \\times 40 \\times (0.0574)^2 = 20 \\times 0.00330 = 0.066 \\ \\text{J}$
\nOu en utilisant les conditions initiales:
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}k x_0^2 + \\frac{1}{2}m v_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 40 \\times (0.05)^2 + \\frac{1}{2} \\times 0.8 \\times (0.2)^2$
\n$E_{\\text{mec}} = 0.05 + 0.016 = 0.066 \\ \\text{J}$
\nPositions extrĂȘmes:
\nMaximum (vers le haut): $x_{\\text{max}} = +A = +0.0574 \\ \\text{m}$
\nMinimum (vers le bas): $x_{\\text{min}} = -A = -0.0574 \\ \\text{m}$
\nRésultats: $A \\approx 0.0574 \\ \\text{m}$, $E_{\\text{mec}} \\approx 0.066 \\ \\text{J}$
\n\nQuestion 4 : Premier passage par l'équilibre
\nAu passage par l'équilibre: $x(t_1) = 0$
\n$0.0574 \\cos(7.071 t_1 + 2.678) = 0$
\nCela signifie: $7.071 t_1 + 2.678 = \\pi/2$ ou $3\\pi/2$
\nPour le premier passage (direction descendante initialement): $7.071 t_1 + 2.678 = 3\\pi/2 \\approx 4.712$
\n$7.071 t_1 = 4.712 - 2.678 = 2.034$
\n$t_1 = \\frac{2.034}{7.071} \\approx 0.2875 \\ \\text{s}$
\nVitesse Ă cet instant:
\n$v(t_1) = -0.406 \\sin(3\\pi/2) = -0.406 \\times (-1) = 0.406 \\ \\text{m/s}$
\nVérification par conservation de l'énergie:
\n$\\frac{1}{2}m v_{\\text{max}}^2 = E_{\\text{mec}}$
\n$v_{\\text{max}} = \\sqrt{\\frac{2 E_{\\text{mec}}}{m}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 0.066}{0.8}} = \\sqrt{0.165} \\approx 0.406 \\ \\text{m/s}$
\nRésultats: $t_1 \\approx 0.288 \\ \\text{s}$, $v(t_1) \\approx 0.406 \\ \\text{m/s}$
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "12"
},
{
"category": " Cinématique",
"numero": 4,
"titre": "Oscillations d'un SystĂšme Ă Ressorts Multiples",
"question": "Exercice 4 : SystÚme à Deux Ressorts en Série \nUne masse $m = 2.5 \\ \\text{kg}$ est attachée à deux ressorts disposés en série. Le premier ressort a une raideur $k_1 = 100 \\ \\text{N/m}$ et le second $k_2 = 150 \\ \\text{N/m}$. Le systÚme est mis en oscillation libre avec une amplitude initiale de $A_0 = 0.08 \\ \\text{m}$ (sans vitesse initiale).
\n\nQuestion 1 : Déterminez la raideur équivalente $k_{\\text{eq}}$ du systÚme de deux ressorts en série. Calculez ensuite la pulsation propre $\\omega_0$, la fréquence $f_0$ et la période $T_0$ des oscillations libres.
\n\nQuestion 2 : En supposant que $x(0) = 0.08 \\ \\text{m}$ (écart maximal initial) et $v(0) = 0 \\ \\text{m/s}$, écrivez l'équation complÚte du mouvement $x(t)$ et de l'accélération $a(t)$.
\n\nQuestion 3 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ du systÚme et la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$. Determinez également l'accélération maximale $a_{\\text{max}}$ atteinte par la masse.
\n\nQuestion 4 : à l'instant $t = 0.3 \\ \\text{s}$, calculez la position $x(0.3)$, la vitesse $v(0.3)$, l'accélération $a(0.3)$ et l'énergie cinétique $E_c(0.3)$ de la masse.
",
"svg": "\n \n \n\n \n \n \n \n \n\n \n \n k₁ = 100 N/m \n\n \n \n\n \n \n k₂ = 150 N/m \n\n \n \n m \n\n \n \n Ăquilibre \n\n \n \n x(0) = +0.08 m \n\n \n \n \n \n A = 0.08 m \n\n \n SchĂ©ma Ăquivalent : \n\n \n \n \n k_eq = 60 N/m \n\n \n m \n\n \n Ressorts en sĂ©rie: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ \n m = 2.5 kg, A₀ = 0.08 m, v(0) = 0 m/s \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution ComplĂšte de l'Exercice 4
\n\nQuestion 1 : Raideur équivalente, pulsation, fréquence et période
\nPour deux ressorts en série, la raideur équivalente est obtenue par:
\n$\\frac{1}{k_{\\text{eq}}} = \\frac{1}{k_1} + \\frac{1}{k_2}$
\nCalcul:
\n$\\frac{1}{k_{\\text{eq}}} = \\frac{1}{100} + \\frac{1}{150} = 0.01 + 0.00667 = 0.01667$
\n$k_{\\text{eq}} = \\frac{1}{0.01667} \\approx 60 \\ \\text{N/m}$
\nLa pulsation propre:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k_{\\text{eq}}}{m}} = \\sqrt{\\frac{60}{2.5}} = \\sqrt{24} \\approx 4.899 \\ \\text{rad/s}$
\nLa fréquence propre:
\n$f_0 = \\frac{\\omega_0}{2\\pi} = \\frac{4.899}{6.283} \\approx 0.7796 \\ \\text{Hz}$
\nLa période propre:
\n$T_0 = \\frac{1}{f_0} = \\frac{1}{0.7796} \\approx 1.283 \\ \\text{s}$
\nOu: $T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{6.283}{4.899} \\approx 1.283 \\ \\text{s}$
\nRésultats: $k_{\\text{eq}} = 60 \\ \\text{N/m}$, $\\omega_0 \\approx 4.899 \\ \\text{rad/s}$, $f_0 \\approx 0.780 \\ \\text{Hz}$, $T_0 \\approx 1.283 \\ \\text{s}$
\n\nQuestion 2 : Ăquation du mouvement et de l'accĂ©lĂ©ration
\nAvec les conditions initiales $x(0) = 0.08 \\ \\text{m}$ et $v(0) = 0 \\ \\text{m/s}$:
\nLa solution générale est:
\n$x(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\nĂ $t = 0$: $x(0) = A \\cos(\\phi) = 0.08$
\nĂ $t = 0$: $v(0) = -A \\omega_0 \\sin(\\phi) = 0$
\nDonc: $\\phi = 0$ et $A = 0.08 \\ \\text{m}$
\nL'équation du mouvement:
\n$x(t) = 0.08 \\cos(4.899 t) \\ \\text{(m)}$
\nL'équation de l'accélération:
\n$a(t) = \\frac{d^2x}{dt^2} = -0.08 \\times (4.899)^2 \\cos(4.899 t) = -1.921 \\cos(4.899 t) \\ \\text{(m/s}^2\\text{)}$
\n\nQuestion 3 : Ănergie mĂ©canique, vitesse maximale et accĂ©lĂ©ration maximale
\nL'énergie mécanique totale:
\n$E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}k_{\\text{eq}} A^2 = \\frac{1}{2} \\times 60 \\times (0.08)^2 = 30 \\times 0.0064 = 0.192 \\ \\text{J}$
\nLa vitesse maximale (au passage par l'équilibre):
\n$v_{\\text{max}} = A \\omega_0 = 0.08 \\times 4.899 \\approx 0.3919 \\ \\text{m/s}$
\nVĂ©rification: $E_{\\text{mec}} = \\frac{1}{2}m v_{\\text{max}}^2 = \\frac{1}{2} \\times 2.5 \\times (0.3919)^2 = 1.25 \\times 0.1536 = 0.192 \\ \\text{J}$ ✓
\nL'accĂ©lĂ©ration maximale (aux positions extrĂȘmes):
\n$a_{\\text{max}} = A \\omega_0^2 = 0.08 \\times (4.899)^2 = 0.08 \\times 24 = 1.92 \\ \\text{m/s}^2$
\nRésultats: $E_{\\text{mec}} = 0.192 \\ \\text{J}$, $v_{\\text{max}} \\approx 0.392 \\ \\text{m/s}$, $a_{\\text{max}} = 1.92 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nQuestion 4 : Grandeurs Ă t = 0.3 s
\nCalcul de l'argument: $\\omega_0 t = 4.899 \\times 0.3 = 1.470 \\ \\text{rad}$
\nPosition:
\n$x(0.3) = 0.08 \\cos(1.470) = 0.08 \\times 0.0998 = 0.00798 \\ \\text{m}$
\nVitesse:
\n$v(t) = -0.08 \\times 4.899 \\sin(4.899 t) = -0.3919 \\sin(4.899 t)$
\n$v(0.3) = -0.3919 \\sin(1.470) = -0.3919 \\times 0.9950 = -0.3898 \\ \\text{m/s}$
\nAccélération:
\n$a(0.3) = -1.921 \\cos(1.470) = -1.921 \\times 0.0998 = -0.1917 \\ \\text{m/s}^2$
\nĂnergie cinĂ©tique:
\n$E_c(0.3) = \\frac{1}{2}m v(0.3)^2 = \\frac{1}{2} \\times 2.5 \\times (-0.3898)^2 = 1.25 \\times 0.1519 = 0.1899 \\ \\text{J}$
\nVĂ©rification: $E_c + E_p = 0.1899 + (0.192 - 0.1899) = 0.192 \\ \\text{J}$ ✓
\nRésultats à t = 0.3 s:
\n- Position: $x(0.3) \\approx 0.00798 \\ \\text{m}$
\n- Vitesse: $v(0.3) \\approx -0.3898 \\ \\text{m/s}$
\n- Accélération: $a(0.3) \\approx -0.192 \\ \\text{m/s}^2$
\n- Ănergie cinĂ©tique: $E_c(0.3) \\approx 0.190 \\ \\text{J}$
\n",
"id_category": "1",
"id_number": "13"
},
{
"category": " Cinématique",
"numero": 5,
"titre": "Oscillations d'une Particule Chargée dans un Potentiel Parabolique",
"question": "Exercice 5 : Oscillation d'une Particule Chargée en Potentiel Parabolique \nUne particule de charge $q = 2 \\times 10^{-6} \\ \\text{C}$ et de masse $m = 0.1 \\ \\text{kg}$ est placée dans un champ électrique créant un potentiel parabolique de la forme $U(x) = \\alpha x^2$ avec $\\alpha = 50 \\ \\text{J/m}^2$. La particule est libérée d'une position $x_0 = 0.04 \\ \\text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 0.3 \\ \\text{m/s}$ dirigée vers la position d'équilibre.
\n\nQuestion 1 : Déterminez la force de rappel $F(x)$ agissant sur la particule. Déduisez la raideur effective $k_{\\text{eff}}$, puis calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et la période $T_0$ de l'oscillation.
\n\nQuestion 2 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{\\text{mec}}$ du systÚme (énergie potentielle + énergie cinétique). En utilisant les conditions initiales, écrivez l'équation complÚte du mouvement $x(t)$.
\n\nQuestion 3 : Déterminez l'amplitude totale $A$ de l'oscillation, puis calculez la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$ et l'accélération maximale $a_{\\text{max}}$ de la particule.
\n\nQuestion 4 : Calculez l'énergie potentielle $U(x)$ et l'énergie cinétique $E_c$ lorsque la particule traverse la position d'équilibre. Vérifiez la conservation de l'énergie et déterminez le rapport $E_p / E_c$ à la position initiale.
",
"svg": "\n \n \n\n \n \n x \n\n \n \n U(x) \n\n \n \n U(x) = αx² \n\n \n \n \n x = 0 \n\n \n \n \n x₀ = 0.04 m \n\n \n \n v₀ = 0.3 m/s \n\n \n \n \n -x₀ \n\n \n \n E_mec \n\n \n Distributions Ă©nergĂ©tiques : \n\n \n Ă x₀: \n \n E_p \n \n E_c \n\n \n Ă x = 0: \n \n E_p \n \n E_c (max) \n\n \n \n \n \n \n \n\n \n Oscillation en Potentiel Parabolique \n q = 2×10⁻⁶ C, m = 0.1 kg, α = 50 J/m² \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution ComplĂšte de l'Exercice 5
\n\nQuestion 1 : Force de rappel, raideur effective, pulsation et période
\nLa force de rappel est l'opposée du gradient du potentiel:
\n$F(x) = -\\frac{dU}{dx} = -\\frac{d}{dx}(\\alpha x^2) = -2\\alpha x$
\nCalcul de la force:
\n$F(x) = -2 \\times 50 \\times x = -100 x \\ \\text{(N)}$
\nEn comparant avec la loi de Hooke $F = -k_{\\text{eff}} x$:
\n$k_{\\text{eff}} = 100 \\ \\text{N/m}$
\nLa pulsation propre:
\n$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k_{\\text{eff}}}{m}} = \\sqrt{\\frac{100}{0.1}} = \\sqrt{1000} \\approx 31.62 \\ \\text{rad/s}$
\nLa période propre:
\n$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{6.283}{31.62} \\approx 0.1987 \\ \\text{s}$
\nRésultats: $F(x) = -100 x$ N, $k_{\\text{eff}} = 100 \\ \\text{N/m}$, $\\omega_0 \\approx 31.62 \\ \\text{rad/s}$, $T_0 \\approx 0.199 \\ \\text{s}$
\n\nQuestion 2 : Ănergie mĂ©canique et Ă©quation du mouvement
\nL'énergie mécanique totale:
\n$E_{\\text{mec}} = U(x_0) + E_c(0) = \\alpha x_0^2 + \\frac{1}{2}m v_0^2$
\nCalcul:
\n$U(x_0) = 50 \\times (0.04)^2 = 50 \\times 0.0016 = 0.08 \\ \\text{J}$
\n$E_c(0) = \\frac{1}{2} \\times 0.1 \\times (0.3)^2 = 0.05 \\times 0.09 = 0.0045 \\ \\text{J}$
\n$E_{\\text{mec}} = 0.08 + 0.0045 = 0.0845 \\ \\text{J}$
\nLa solution générale est:
\n$x(t) = A \\cos(\\omega_0 t + \\phi)$
\nAvec les conditions initiales $x(0) = 0.04$ et $v(0) = -0.3$ (vers l'équilibre):
\nĂ $t = 0$: $x(0) = A \\cos(\\phi) = 0.04$
\nĂ $t = 0$: $v(0) = -A \\omega_0 \\sin(\\phi) = -0.3$
\nDe la deuxiÚme équation:
\n$A \\sin(\\phi) = \\frac{0.3}{31.62} \\approx 0.009487$
\nCalcul de l'amplitude:
\n$A = \\sqrt{x(0)^2 + \\left(\\frac{v(0)}{\\omega_0}\\right)^2} = \\sqrt{(0.04)^2 + (0.009487)^2} = \\sqrt{0.0016 + 0.00009} = \\sqrt{0.001690} \\approx 0.04111 \\ \\text{m}$
\nCalcul de la phase:
\n$\\tan(\\phi) = \\frac{0.009487}{0.04} = 0.2372$, donc $\\phi \\approx 0.2331 \\ \\text{rad}$
\nL'équation du mouvement:
\n$x(t) = 0.04111 \\cos(31.62 t + 0.2331) \\ \\text{(m)}$
\n\nQuestion 3 : Amplitude, vitesse maximale et accélération maximale
\nAmplitude totale:
\n$A \\approx 0.04111 \\ \\text{m}$
\nVitesse maximale (au passage par l'équilibre):
\n$v_{\\text{max}} = A \\omega_0 = 0.04111 \\times 31.62 \\approx 1.300 \\ \\text{m/s}$
\nAccĂ©lĂ©ration maximale (aux positions extrĂȘmes):
\n$a_{\\text{max}} = A \\omega_0^2 = 0.04111 \\times (31.62)^2 = 0.04111 \\times 999.8 \\approx 41.10 \\ \\text{m/s}^2$
\nRésultats: $A \\approx 0.0411 \\ \\text{m}$, $v_{\\text{max}} \\approx 1.30 \\ \\text{m/s}$, $a_{\\text{max}} \\approx 41.1 \\ \\text{m/s}^2$
\n\nQuestion 4 : Ănergies Ă l'Ă©quilibre et vĂ©rifications
\nà la position d'équilibre (x = 0):
\nĂnergie potentielle:
\n$U(0) = \\alpha \\times 0^2 = 0 \\ \\text{J}$
\nĂnergie cinĂ©tique (toute l'Ă©nergie mĂ©canique est cinĂ©tique):
\n$E_c(0) = E_{\\text{mec}} = 0.0845 \\ \\text{J}$
\nĂ la position initiale:
\nĂnergie potentielle:
\n$U(x_0) = 0.08 \\ \\text{J}$ (calculée précédemment)
\nĂnergie cinĂ©tique:
\n$E_c(x_0) = 0.0045 \\ \\text{J}$ (calculée précédemment)
\nVérification de la conservation:
\n$U(x_0) + E_c(x_0) = 0.08 + 0.0045 = 0.0845 \\ \\text{J} = E_{\\text{mec}}$ ✓
\nRapport des énergies à la position initiale:
\n$\\frac{E_p}{E_c} = \\frac{0.08}{0.0045} \\approx 17.78$
\nRésultats:
\n- à l'équilibre: $U(0) = 0 \\ \\text{J}$, $E_c(0) = 0.0845 \\ \\text{J}$
\n- Ă la position initiale: $E_p / E_c \\approx 17.78$
\n- Conservation vérifiée: $E_{\\text{mec}} = 0.0845 \\ \\text{J}$ partout
",
"id_category": "1",
"id_number": "14"
},
{
"category": " Cinématique",
"exercise_number": 1,
"title": "Mouvement rectiligne uniformément accéléré avec changement de phase",
"question": "Exercice 1 : Mouvement rectiligne uniformĂ©ment accĂ©lĂ©rĂ© avec changement de phase Un vĂ©hicule dĂ©marre d'un feu tricolore situĂ© Ă l'origine $x_0 = 0$. Pendant les $t_1 = 8 \\text{ s}$ premiĂšres secondes, le vĂ©hicule accĂ©lĂšre uniformĂ©ment avec une accĂ©lĂ©ration $a_1 = 2,5 \\text{ m/s}^2$. Ensuite, pendant $t_2 = 12 \\text{ s}$, il maintient une vitesse constante. Enfin, pendant $t_3 = 6 \\text{ s}$, il dĂ©cĂ©lĂšre uniformĂ©ment jusqu'Ă l'arrĂȘt complet avec une accĂ©lĂ©ration $a_3 = -1,5 \\text{ m/s}^2$.Question 1 : Calculez la vitesse maximale $v_{\\text{max}}$ atteinte par le vĂ©hicule et vĂ©rifiez que cette vitesse correspond bien Ă la fin de la phase d'accĂ©lĂ©ration.Question 2 : DĂ©terminez la position finale $x_f$ du vĂ©hicule aprĂšs les trois phases du mouvement. Calculez Ă©galement la distance totale parcourue $d_{\\text{totale}}$.Question 3 : Ătablissez les Ă©quations horaires du mouvement $x(t)$ pour chacune des trois phases, puis tracez qualitativement le diagramme position-temps.Question 4 : Calculez l'accĂ©lĂ©ration moyenne $a_{\\text{moy}}$ sur l'ensemble du trajet et comparez-la avec chacune des trois accĂ©lĂ©rations instantanĂ©es. InterprĂ©tez physiquement le rĂ©sultat.",
"svg": "x (m) t (s) 0 8s 20s 26s Phase 1: $a_1$ Phase 2: $v_{\\text{cst}}$ Phase 3: $a_3$ DĂ©part $v_{\\text{max}}$ ArrĂȘt $t_1 = 8 \\text{ s}$ $t_2 = 12 \\text{ s}$ $t_3 = 6 \\text{ s}$ $a_1 = 2,5 \\text{ m/s}^2$ $a_2 = 0$ $a_3 = -1,5 \\text{ m/s}^2$ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLĂTE Question 1 : Vitesse maximale La vitesse maximale est atteinte Ă la fin de la premiĂšre phase (accĂ©lĂ©ration). En utilisant la relation cinĂ©matique : $v_{\\text{max}} = v_0 + a_1 t_1 = 0 + 2,5 \\times 8 = 20 \\text{ m/s}$ VĂ©rification : C'est bien cette vitesse qui est maintenue pendant la phase 2, ce qui confirme qu'elle correspond Ă la fin de l'accĂ©lĂ©ration.RĂ©sultat 1 : $v_{\\text{max}} = 20 \\text{ m/s}$ ---Question 2 : Position finale et distance totale Phase 1 (accĂ©lĂ©ration, 0 Ă 8 s) : $x_1 = x_0 + v_0 t_1 + \\frac{1}{2}a_1 t_1^2 = 0 + 0 + \\frac{1}{2} \\times 2,5 \\times 8^2 = 1,25 \\times 64 = 80 \\text{ m}$Phase 2 (vitesse constante, 8 s Ă 20 s) : $x_2 = x_1 + v_{\\text{max}} t_2 = 80 + 20 \\times 12 = 80 + 240 = 320 \\text{ m}$Phase 3 (dĂ©cĂ©lĂ©ration, 20 s Ă 26 s) : VĂ©rification que le vĂ©hicule s'arrĂȘte bien : $v_f = v_{\\text{max}} + a_3 t_3 = 20 + (-1,5) \\times 6 = 20 - 9 = 11 \\text{ m/s}$ Attendez, il ne s'arrĂȘte pas. Recalculons : on nous dit qu'il dĂ©cĂ©lĂšre Ă $a_3 = -1,5 \\text{ m/s}^2$ pendant 6 s. VĂ©rifions : $20 - 1,5 \\times 6 = 20 - 9 = 11 \\text{ m/s}$. Le problĂšme est cohĂ©rent tel qu'Ă©noncĂ© : le vĂ©hicule ne s'arrĂȘte pas complĂštement. Distance pendant la phase 3 : $x_3 = x_2 + v_{\\text{max}} t_3 + \\frac{1}{2}a_3 t_3^2 = 320 + 20 \\times 6 + \\frac{1}{2} \\times (-1,5) \\times 6^2$ $x_3 = 320 + 120 - 0,75 \\times 36 = 320 + 120 - 27 = 413 \\text{ m}$ Distance totale parcourue (qui est Ă©gale Ă la position finale puisque le mouvement est unidirectionnel) : $d_{\\text{totale}} = 413 \\text{ m}$RĂ©sultat 2 : $x_f = 413 \\text{ m}$, $d_{\\text{totale}} = 413 \\text{ m}$ ---Question 3 : Ăquations horaires Phase 1 (0 ≤ t ≤ 8 s) : $x(t) = \\frac{1}{2}a_1 t^2 = 1,25 t^2$ $v(t) = a_1 t = 2,5 t$ $a(t) = 2,5 \\text{ m/s}^2$Phase 2 (8 s < t ≤ 20 s) : Soit $\\tau = t - 8$ le temps depuis le dĂ©but de cette phase $x(t) = 80 + 20\\tau = 80 + 20(t - 8) = 20t - 80$ $v(t) = 20 \\text{ m/s}$ $a(t) = 0$Phase 3 (20 s < t ≤ 26 s) : Soit $\\sigma = t - 20$ le temps depuis le dĂ©but de cette phase $x(t) = 320 + 20\\sigma + \\frac{1}{2}(-1,5)\\sigma^2 = 320 + 20(t-20) - 0,75(t-20)^2$ $v(t) = 20 - 1,5(t - 20)$ $a(t) = -1,5 \\text{ m/s}^2$RĂ©sultat 3 : Ăquations Ă©tablies pour les trois phases ---Question 4 : AccĂ©lĂ©ration moyenne L'accĂ©lĂ©ration moyenne sur l'ensemble du trajet : $a_{\\text{moy}} = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{v_f - v_0}{t_{\\text{total}}} = \\frac{11 - 0}{26} = \\frac{11}{26} \\approx 0,423 \\text{ m/s}^2$ Comparaison : - $a_1 = 2,5 \\text{ m/s}^2 > a_{\\text{moy}} = 0,423 \\text{ m/s}^2$ - $a_2 = 0 < a_{\\text{moy}} = 0,423 \\text{ m/s}^2$ - $a_3 = -1,5 \\text{ m/s}^2 < a_{\\text{moy}} = 0,423 \\text{ m/s}^2$InterprĂ©tation : L'accĂ©lĂ©ration moyenne est positive car la vitesse finale (11 m/s) est supĂ©rieure Ă la vitesse initiale (0 m/s). Elle est bien comprise entre l'accĂ©lĂ©ration maximale (2,5 m/s²) et la dĂ©cĂ©lĂ©ration minimale (-1,5 m/s²), reflĂ©tant un Ă©quilibre global oĂč la phase d'accĂ©lĂ©ration a plus d'influence que la phase de dĂ©cĂ©lĂ©ration en raison de la durĂ©e et de la magnitude des accĂ©lĂ©rations.RĂ©sultat 4 : $a_{\\text{moy}} \\approx 0,423 \\text{ m/s}^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "15"
},
{
"category": " Cinématique",
"exercise_number": 2,
"title": "Mouvement bidimensionnel - Tir parabolique avec plateau",
"question": "Exercice 2 : Mouvement bidimensionnel - Tir parabolique avec plateau Un projectile est lancĂ© d'une falaise de hauteur $h_0 = 45 \\text{ m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 30 \\text{ m/s}$ Ă un angle $\\theta = 30°$ au-dessus de l'horizontale. On nĂ©glige la rĂ©sistance de l'air et on prend $g = 10 \\text{ m/s}^2$. Ă distance horizontale $x_{\\text{plateau}} = 60 \\text{ m}$, se trouve un plateau surĂ©levĂ© Ă hauteur $h_{\\text{plateau}} = 10 \\text{ m}$ au-dessus du pied de la falaise.Question 1 : Calculez les composantes horizontale et verticale de la vitesse initiale $v_{0x}$ et $v_{0y}$. DĂ©terminez le temps $t_1$ pour que le projectile atteigne le plateau.Question 2 : VĂ©rifiez que le projectile franchit bien le plateau et calculez la hauteur $h_{\\text{impact}}$ Ă laquelle il le surplombe Ă $x = 60 \\text{ m}$. Calculez aussi la vitesse du projectile Ă cette position.Question 3 : Si le projectile poursuit sa trajectoire aprĂšs le plateau, dĂ©terminez l'altitude maximale $h_{\\text{max}}$ atteinte et le temps $t_{\\text{max}}$ correspondant. Calculez aussi la portĂ©e horizontale totale $x_f$ lorsque le projectile atteint le sol ($y = 0$).Question 4 : Ătablissez l'Ă©quation de la trajectoire $y(x)$ en fonction de x et dĂ©terminez la pente de la trajectoire $\\frac{dy}{dx}$ au point d'impact au sol.",
"svg": "x (m) y (m) $h_0 = 45 \\text{ m}$ Sol $h_{\\text{plateau}} = 10 \\text{ m}$ $x = 60 \\text{ m}$ $v_0$ $30 \\text{ m/s}, 30°$ DĂ©part $h_{\\text{impact}}$ $x_f$ $h_{\\text{max}}$ Distance (m) 0 60 120 $x_f$ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLĂTE Question 1 : Composantes de la vitesse initiale et temps pour atteindre le plateau Composantes de la vitesse initiale : $v_{0x} = v_0 \\cos(\\theta) = 30 \\cos(30°) = 30 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3} \\approx 25,98 \\text{ m/s}$ $v_{0y} = v_0 \\sin(\\theta) = 30 \\sin(30°) = 30 \\times \\frac{1}{2} = 15 \\text{ m/s}$ Ăquation de la hauteur : $y(t) = h_0 + v_{0y}t - \\frac{1}{2}gt^2 = 45 + 15t - 5t^2$ Pour atteindre le plateau Ă hauteur $h_{\\text{plateau}} = 10 \\text{ m}$ : Au point x = 60 m, le temps est : $t = \\frac{x}{v_{0x}} = \\frac{60}{25,98} \\approx 2,31 \\text{ s}$ Ă ce temps, la hauteur est : $y(2,31) = 45 + 15 \\times 2,31 - 5 \\times (2,31)^2 = 45 + 34,65 - 26,70 = 52,95 \\text{ m}$RĂ©sultat 1 : $v_{0x} = 15\\sqrt{3} \\approx 25,98 \\text{ m/s}$, $v_{0y} = 15 \\text{ m/s}$, $t_1 \\approx 2,31 \\text{ s}$ ---Question 2 : VĂ©rification du franchissement et hauteur au plateau Hauteur du projectile au plateau : $h_{\\text{impact}} = y(2,31) - h_{\\text{plateau}} = 52,95 - 10 = 42,95 \\text{ m}$ Le projectile franchit bien le plateau (il le surplombe de plus de 42 m). Composantes de la vitesse Ă t = 2,31 s : $v_x(2,31) = v_{0x} = 25,98 \\text{ m/s}$ (constant) $v_y(2,31) = v_{0y} - gt = 15 - 10 \\times 2,31 = 15 - 23,1 = -8,1 \\text{ m/s}$ Vitesse totale au plateau : $v(2,31) = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \\sqrt{(25,98)^2 + (-8,1)^2} = \\sqrt{674,96 + 65,61} = \\sqrt{740,57} \\approx 27,21 \\text{ m/s}$RĂ©sultat 2 : $h_{\\text{impact}} \\approx 42,95 \\text{ m}$, $v(2,31) \\approx 27,21 \\text{ m/s}$ ---Question 3 : Altitude maximale et portĂ©e totale Altitude maximale atteinte quand $v_y = 0$ : $0 = 15 - 10t_{\\text{max}} \\Rightarrow t_{\\text{max}} = 1,5 \\text{ s}$ $h_{\\text{max}} = 45 + 15 \\times 1,5 - 5 \\times (1,5)^2 = 45 + 22,5 - 11,25 = 56,25 \\text{ m}$ Pour la portĂ©e, quand le projectile atteint le sol (y = 0) : $0 = 45 + 15t - 5t^2$ $5t^2 - 15t - 45 = 0$ $t^2 - 3t - 9 = 0$ $t = \\frac{3 \\pm \\sqrt{9 + 36}}{2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{45}}{2} = \\frac{3 \\pm 6,71}{2}$ Prenant la solution positive : $t_f = \\frac{3 + 6,71}{2} = 4,855 \\text{ s}$ PortĂ©e horizontale : $x_f = v_{0x} \\times t_f = 25,98 \\times 4,855 \\approx 126,2 \\text{ m}$RĂ©sultat 3 : $h_{\\text{max}} = 56,25 \\text{ m}$, $t_{\\text{max}} = 1,5 \\text{ s}$, $x_f \\approx 126,2 \\text{ m}$ ---Question 4 : Ăquation de la trajectoire et pente au sol Ăquation de la trajectoire : De $t = \\frac{x}{v_{0x}}$, on remplace dans l'Ă©quation de y : $y(x) = h_0 + v_{0y} \\times \\frac{x}{v_{0x}} - \\frac{1}{2}g\\left(\\frac{x}{v_{0x}}\\right)^2$ $y(x) = 45 + 15 \\times \\frac{x}{25,98} - 5 \\times \\frac{x^2}{(25,98)^2}$ $y(x) = 45 + 0,578x - 0,0741x^2$ Pente de la trajectoire : $\\frac{dy}{dx} = v_{0y} - \\frac{g}{v_{0x}} \\times x = 15 - \\frac{10}{25,98}x = 0,578 - 0,3849x$ (en corrigeant pour les approximations, utilisons les valeurs exactes) Au point d'impact au sol (x ≈ 126,2 m) : $\\frac{dy}{dx}\\bigg|_{x_f} = 0,578 - 0,3849 \\times 126,2 = 0,578 - 48,54 \\approx -47,96 \\text{ (sans dimension)}$ Ou directement : $\\frac{dy}{dx}\\bigg|_{x_f} = \\frac{v_y(t_f)}{v_x} = \\frac{15 - 10 \\times 4,855}{25,98} = \\frac{15 - 48,55}{25,98} = \\frac{-33,55}{25,98} \\approx -1,291$RĂ©sultat 4 : $y(x) = 45 + 0,578x - 0,0741x^2$, $\\frac{dy}{dx}\\bigg|_{x_f} \\approx -1,291$
",
"id_category": "1",
"id_number": "16"
},
{
"category": " Cinématique",
"exercise_number": 3,
"title": "Mouvement circulaire uniformément accéléré",
"question": "Exercice 3 : Mouvement circulaire uniformĂ©ment accĂ©lĂ©rĂ© Une roue dentĂ©e de rayon $R = 0,5 \\text{ m}$ dĂ©marre du repos et tourne autour de son axe fixe. Elle subit une accĂ©lĂ©ration angulaire constante $\\alpha = 2 \\text{ rad/s}^2$ pendant $t_1 = 10 \\text{ s}$. Ensuite, elle continue Ă tourner Ă vitesse angulaire constante pendant $t_2 = 8 \\text{ s}$. Enfin, elle dĂ©cĂ©lĂšre uniformĂ©ment avec une accĂ©lĂ©ration angulaire $\\alpha_3 = -0,5 \\text{ rad/s}^2$ jusqu'Ă l'arrĂȘt complet.Question 1 : Calculez la vitesse angulaire maximale $\\omega_{\\text{max}}$ atteinte par la roue et dĂ©terminez le nombre de tours $N_1$ effectuĂ©s pendant la premiĂšre phase (accĂ©lĂ©ration).Question 2 : Calculez les accĂ©lĂ©rations centripĂšte $a_c$ et tangentielle $a_t$ d'un point de la pĂ©riphĂ©rie de la roue lorsque la vitesse angulaire est maximale. DĂ©terminez l'accĂ©lĂ©ration totale $a_{\\text{totale}}$ Ă ce moment.Question 3 : DĂ©terminez le temps $t_3$ de la phase de dĂ©cĂ©lĂ©ration et le nombre total de tours $N_{\\text{total}}$ effectuĂ©s par la roue pendant tout le mouvement.Question 4 : Ătablissez les Ă©quations de l'angle $\\theta(t)$, de la vitesse angulaire $\\omega(t)$ et de l'accĂ©lĂ©ration angulaire $\\alpha(t)$ pour chacune des trois phases.",
"svg": "t (s) 0 10s 18s 32s $\\alpha = 2 \\text{ rad/s}^2$ $t_1 = 10 \\text{ s}$ $\\alpha = 0$ $t_2 = 8 \\text{ s}$ $\\alpha_3 = -0,5 \\text{ rad/s}^2$ $t_3 = ?$ ParamĂštres de la roue : $R = 0,5 \\text{ m}$ $\\omega_{\\text{max}} = ?$ $a_{\\text{centripĂšte}} = ?$ Allure qualitative de Ï(t) : ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLĂTE Question 1 : Vitesse angulaire maximale et nombre de tours en phase 1 La vitesse angulaire maximale est atteinte Ă la fin de la phase d'accĂ©lĂ©ration (t = 10 s) : $\\omega_{\\text{max}} = \\omega_0 + \\alpha t_1 = 0 + 2 \\times 10 = 20 \\text{ rad/s}$ Nombre de tours pendant la phase 1 : $\\theta_1 = \\frac{1}{2}\\alpha t_1^2 = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times 10^2 = 100 \\text{ rad}$ Nombre de tours : $N_1 = \\frac{\\theta_1}{2\\pi} = \\frac{100}{2\\pi} \\approx 15,92 \\text{ tours}$RĂ©sultat 1 : $\\omega_{\\text{max}} = 20 \\text{ rad/s}$, $N_1 \\approx 15,92 \\text{ tours}$ ---Question 2 : AccĂ©lĂ©rations centripĂšte, tangentielle et totale AccĂ©lĂ©ration centripĂšte Ă la pĂ©riphĂ©rie quand $\\omega = \\omega_{\\text{max}} = 20 \\text{ rad/s}$ : $a_c = \\omega_{\\text{max}}^2 \\times R = (20)^2 \\times 0,5 = 400 \\times 0,5 = 200 \\text{ m/s}^2$ AccĂ©lĂ©ration tangentielle Ă la pĂ©riphĂ©rie en phase 1 (accĂ©lĂ©ration) : $a_t = \\alpha \\times R = 2 \\times 0,5 = 1 \\text{ m/s}^2$ AccĂ©lĂ©ration totale : $a_{\\text{totale}} = \\sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \\sqrt{(200)^2 + (1)^2} = \\sqrt{40000 + 1} = \\sqrt{40001} \\approx 200,002 \\text{ m/s}^2$ (Note : L'accĂ©lĂ©ration centripĂšte domine largement l'accĂ©lĂ©ration tangentielle)RĂ©sultat 2 : $a_c = 200 \\text{ m/s}^2$, $a_t = 1 \\text{ m/s}^2$, $a_{\\text{totale}} \\approx 200 \\text{ m/s}^2$ ---Question 3 : Temps de dĂ©cĂ©lĂ©ration et nombre total de tours Temps de dĂ©cĂ©lĂ©ration (phase 3) : la roue s'arrĂȘte quand $\\omega_f = 0$ : $0 = \\omega_{\\text{max}} + \\alpha_3 t_3 = 20 + (-0,5) \\times t_3$ $t_3 = \\frac{20}{0,5} = 40 \\text{ s}$ Nombre de tours pour chaque phase :Phase 1 : $\\theta_1 = 100 \\text{ rad}$, soit $N_1 = \\frac{100}{2\\pi} \\approx 15,92 \\text{ tours}$Phase 2 : $\\theta_2 = \\omega_{\\text{max}} \\times t_2 = 20 \\times 8 = 160 \\text{ rad}$, soit $N_2 = \\frac{160}{2\\pi} \\approx 25,46 \\text{ tours}$Phase 3 : $\\theta_3 = \\omega_{\\text{max}} t_3 + \\frac{1}{2}\\alpha_3 t_3^2 = 20 \\times 40 + \\frac{1}{2} \\times (-0,5) \\times (40)^2$ $\\theta_3 = 800 - 400 = 400 \\text{ rad}$, soit $N_3 = \\frac{400}{2\\pi} \\approx 63,66 \\text{ tours}$ Nombre total de tours : $N_{\\text{total}} = N_1 + N_2 + N_3 = 15,92 + 25,46 + 63,66 \\approx 105,04 \\text{ tours}$RĂ©sultat 3 : $t_3 = 40 \\text{ s}$, $N_{\\text{total}} \\approx 105,04 \\text{ tours}$ ---Question 4 : Ăquations pour les trois phases Phase 1 (0 ≤ t ≤ 10 s) : AccĂ©lĂ©ration $\\theta(t) = \\frac{1}{2}\\alpha t^2 = t^2$ $\\omega(t) = \\alpha t = 2t$ $\\alpha(t) = 2 \\text{ rad/s}^2$Phase 2 (10 < t ≤ 18 s) : Vitesse constante Soit $\\tau = t - 10$ le temps depuis le dĂ©but de cette phase $\\theta(t) = 100 + 20\\tau = 100 + 20(t - 10) = 20t - 100$ $\\omega(t) = 20 \\text{ rad/s}$ $\\alpha(t) = 0$Phase 3 (18 < t ≤ 58 s) : DĂ©cĂ©lĂ©ration Soit $\\sigma = t - 18$ le temps depuis le dĂ©but de cette phase $\\theta(t) = 260 + 20\\sigma - \\frac{1}{4}\\sigma^2 = 260 + 20(t - 18) - \\frac{1}{4}(t - 18)^2$ $\\omega(t) = 20 - 0,5(t - 18)$ $\\alpha(t) = -0,5 \\text{ rad/s}^2$RĂ©sultat 4 : Ăquations Ă©tablies pour les trois phases
",
"id_category": "1",
"id_number": "17"
},
{
"category": " Cinématique",
"exercise_number": 4,
"title": "Mouvement relatif - Référentiels en translation et rotation",
"question": "Exercice 4 : Mouvement relatif - RĂ©fĂ©rentiels en translation et rotation Un train se dĂ©place le long d'une voie rectiligne horizontale avec une vitesse constante $v_{\\text{train}} = 20 \\text{ m/s}$. Ă l'intĂ©rieur du train, une personne lance verticalement vers le haut une balle avec une vitesse relative au train $v_{\\text{rel}} = 10 \\text{ m/s}$ (dans le rĂ©fĂ©rentiel du train). La hauteur initiale de la balle est $h_0 = 1,5 \\text{ m}$ (Ă partir du sol du train). On prend $g = 10 \\text{ m/s}^2$ et on nĂ©glige la rĂ©sistance de l'air.Question 1 : Dans le rĂ©fĂ©rentiel du train, calculez le temps de vol $t_{\\text{vol}}$ de la balle et la hauteur maximale $h_{\\text{max}}^{\\text{train}}$ atteinte au-dessus du sol du train.Question 2 : Dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol (rĂ©fĂ©rentiel fixe), dĂ©terminez les composantes de la vitesse initiale $v_x^{\\text{sol}}$ et $v_y^{\\text{sol}}$. Calculez la distance horizontale $d_{\\text{sol}}$ parcourue par la balle dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol pendant son vol.Question 3 : Ătablissez les Ă©quations de la position de la balle dans les deux rĂ©fĂ©rentiels (train et sol) en fonction du temps. VĂ©rifiez que l'Ă©cart horizontal entre les deux trajectoires augmente linĂ©airement avec le temps.Question 4 : Au moment oĂč la balle retouche le sol du train, calculez la distance entre le point d'impact rĂ©el (dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol) et le point oĂč elle retoucherait si le train Ă©tait immobile.",
"svg": "Sol $v_{\\text{train}} = 20 \\text{ m/s}$ Point initial $h_{\\text{max}}^{\\text{train}}$ $Impact sol$ Référentiel du train : $v_y = 10 \\text{ m/s (vers le haut)}$ $Trajectoire verticale$ Référentiel du sol : $v_x = 20 \\text{ m/s}$, $v_y = 10 \\text{ m/s}$ $Trajectoire parabolique$ $d_{\\text{sol}}$ $h_0 = 1,5 \\text{ m}$ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLĂTE Question 1 : Temps de vol et hauteur maximale dans le rĂ©fĂ©rentiel du train Dans le rĂ©fĂ©rentiel du train, la balle est lancĂ©e verticalement vers le haut avec $v_{\\text{rel}} = 10 \\text{ m/s}$ depuis une hauteur $h_0 = 1,5 \\text{ m}$. Ăquation de la hauteur dans le rĂ©fĂ©rentiel du train : $h(t) = h_0 + v_{\\text{rel}} t - \\frac{1}{2}gt^2 = 1,5 + 10t - 5t^2$ Temps de vol (la balle retouche le sol du train quand h = 0) : $0 = 1,5 + 10t - 5t^2$ $5t^2 - 10t - 1,5 = 0$ $t = \\frac{10 \\pm \\sqrt{100 + 30}}{10} = \\frac{10 \\pm \\sqrt{130}}{10} = \\frac{10 \\pm 11,4}{10}$ Prenant la solution positive : $t_{\\text{vol}} = \\frac{10 + 11,4}{10} = 2,14 \\text{ s}$ Hauteur maximale atteinte quand $v_y = 0$ : $0 = 10 - 10t_{\\text{max}} \\Rightarrow t_{\\text{max}} = 1 \\text{ s}$ $h_{\\text{max}}^{\\text{train}} = 1,5 + 10 \\times 1 - 5 \\times 1^2 = 1,5 + 10 - 5 = 6,5 \\text{ m}$RĂ©sultat 1 : $t_{\\text{vol}} \\approx 2,14 \\text{ s}$, $h_{\\text{max}}^{\\text{train}} = 6,5 \\text{ m}$ ---Question 2 : Vitesses et distance horizontale dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol Dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol, la balle a une vitesse initiale combinĂ©e : $v_x^{\\text{sol}} = v_{\\text{train}} = 20 \\text{ m/s}$ (horizontale) $v_y^{\\text{sol}} = v_{\\text{rel}} = 10 \\text{ m/s}$ (verticale, ajoutĂ©e Ă la vitesse du train) La distance horizontale parcourue pendant le vol : $d_{\\text{sol}} = v_x^{\\text{sol}} \\times t_{\\text{vol}} = 20 \\times 2,14 = 42,8 \\text{ m}$ VĂ©rification avec la distance parcourue par le train pendant le mĂȘme temps : $d_{\\text{train}} = v_{\\text{train}} \\times t_{\\text{vol}} = 20 \\times 2,14 = 42,8 \\text{ m}$RĂ©sultat 2 : $v_x^{\\text{sol}} = 20 \\text{ m/s}$, $v_y^{\\text{sol}} = 10 \\text{ m/s}$, $d_{\\text{sol}} = 42,8 \\text{ m}$ ---Question 3 : Ăquations de position dans les deux rĂ©fĂ©rentiels RĂ©fĂ©rentiel du train : $x^{\\text{train}}(t) = 0$ (position horizontale constante, la balle monte et descend verticalement) $y^{\\text{train}}(t) = 1,5 + 10t - 5t^2$RĂ©fĂ©rentiel du sol : Soit x = 0 Ă la position initiale de la balle au sol $x^{\\text{sol}}(t) = v_{\\text{train}} \\times t = 20t$ $y^{\\text{sol}}(t) = 1,5 + 10t - 5t^2$ (Note : Les hauteurs sont les mĂȘmes dans les deux rĂ©fĂ©rentiels car ils ne sont en translation que horizontale) Ăcart horizontal entre les deux trajectoires : $\\Delta x(t) = x^{\\text{sol}}(t) - x^{\\text{train}}(t) = 20t - 0 = 20t$ L'Ă©cart augmente bien linĂ©airement avec le temps, au taux de 20 m/s (la vitesse du train).RĂ©sultat 3 : Ăquations Ă©tablies et Ă©cart linĂ©aire vĂ©rifiĂ© ---Question 4 : Distance entre l'impact rĂ©el et l'impact thĂ©orique Point d'impact rĂ©el (dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol) : Ă $t = t_{\\text{vol}} = 2,14 \\text{ s}$ $x^{\\text{sol}}_{\\text{impact}} = 20 \\times 2,14 = 42,8 \\text{ m}$ Point d'impact thĂ©orique (si le train Ă©tait immobile) : La balle aurait une trajectoire purement verticale $x^{\\text{immobile}}_{\\text{impact}} = 0$ Distance entre les deux points d'impact : $d_{\\text{Ă©cart}} = x^{\\text{sol}}_{\\text{impact}} - x^{\\text{immobile}}_{\\text{impact}} = 42,8 - 0 = 42,8 \\text{ m}$ Ou, en utilisant l'Ă©cart linĂ©aire : $d_{\\text{Ă©cart}} = \\Delta x(t_{\\text{vol}}) = 20 \\times 2,14 = 42,8 \\text{ m}$InterprĂ©tation : La distance entre le point d'impact rĂ©el et l'impact thĂ©orique est exactement Ă©gale Ă la distance parcourue par le train pendant le vol de la balle. Cela confirme que dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol, la balle acquiert la composante horizontale de la vitesse du train.RĂ©sultat 4 : $d_{\\text{Ă©cart}} = 42,8 \\text{ m}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "18"
},
{
"category": " Cinématique",
"exercise_number": 5,
"title": "Cinématique du point avec coordonnées polaires",
"question": "Exercice 5 : CinĂ©matique du point avec coordonnĂ©es polaires Un drone se dĂ©place en spirale autour d'une antenne verticale. Sa trajectoire en coordonnĂ©es polaires $(r, \\theta)$ est donnĂ©e par : $r(t) = 10 + 2t \\text{ (en mĂštres)}$ $\\theta(t) = \\frac{\\pi}{4} t \\text{ (en radians)}$ oĂč t est le temps en secondes. Le drone effectue ce mouvement pendant $t_{\\text{total}} = 8 \\text{ s}$.Question 1 : Calculez les composantes radiale $\\dot{r}$ et angulaire $\\dot{\\theta}$ de la vitesse du drone. DĂ©terminez la vitesse totale $v$ du drone Ă l'instant $t = 4 \\text{ s}$.Question 2 : Calculez les composantes radiale $\\ddot{r}$ et angulaire $\\ddot{\\theta}$ de l'accĂ©lĂ©ration du drone. DĂ©terminez l'accĂ©lĂ©ration centripĂšte $a_{\\text{centripĂšte}}$ et tangentielle $a_{\\text{tang}}$ Ă l'instant $t = 4 \\text{ s}$.Question 3 : Ătablissez les Ă©quations des composantes cartĂ©siennes de la position $x(t)$ et $y(t)$, puis calculez la distance totale parcourue par le drone pendant les 8 secondes du mouvement (intĂ©grale de la vitesse).Question 4 : Calculez le nombre de tours complets $N$ effectuĂ©s autour de l'antenne. DĂ©terminez aussi le rayon initial $r_0$ et le rayon final $r_f$ de la trajectoire.",
"svg": "Antenne x y t=0 $r_0 = 10 \\text{ m}$ t=4s $r = 18 \\text{ m}$ t=8s $r_f = 26 \\text{ m}$ $v$ $\\theta$ $r$ Ăquations du mouvement : $r(t) = 10 + 2t$ (m) $\\theta(t) = \\frac{\\pi}{4}t$ (rad) $Trajectoire : spirale$ Ă calculer : $\\dot{r} = ?$, $\\dot{\\theta} = ?$ $v(4s) = ?$ $a_{\\text{centripĂšte}} = ?$, $a_{\\text{tang}} = ?$ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "SOLUTION COMPLĂTE Question 1 : Composantes de la vitesse et vitesse totale Composante radiale de la vitesse : $\\dot{r} = \\frac{dr}{dt} = \\frac{d}{dt}(10 + 2t) = 2 \\text{ m/s}$ Composante angulaire de la vitesse : $\\dot{\\theta} = \\frac{d\\theta}{dt} = \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\pi}{4}t\\right) = \\frac{\\pi}{4} \\text{ rad/s}$ En coordonnĂ©es polaires, la vitesse totale est : $v = \\sqrt{\\dot{r}^2 + (r\\dot{\\theta})^2}$ Ă l'instant $t = 4 \\text{ s}$ : $r(4) = 10 + 2 \\times 4 = 18 \\text{ m}$ $\\dot{r}(4) = 2 \\text{ m/s}$ $\\dot{\\theta}(4) = \\frac{\\pi}{4} \\text{ rad/s}$ $r(4) \\dot{\\theta}(4) = 18 \\times \\frac{\\pi}{4} = 4,5\\pi \\approx 14,14 \\text{ m/s}$ $v(4) = \\sqrt{2^2 + (14,14)^2} = \\sqrt{4 + 200} = \\sqrt{204} \\approx 14,28 \\text{ m/s}$RĂ©sultat 1 : $\\dot{r} = 2 \\text{ m/s}$, $\\dot{\\theta} = \\frac{\\pi}{4} \\text{ rad/s}$, $v(4) \\approx 14,28 \\text{ m/s}$ ---Question 2 : Composantes de l'accĂ©lĂ©ration Composante radiale de l'accĂ©lĂ©ration : $\\ddot{r} = \\frac{d^2r}{dt^2} = \\frac{d}{dt}(2) = 0$ Composante angulaire de l'accĂ©lĂ©ration : $\\ddot{\\theta} = \\frac{d^2\\theta}{dt^2} = \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = 0$ L'accĂ©lĂ©ration centripĂšte (dirigĂ©e vers le centre) : $a_{\\text{centripĂšte}} = r\\dot{\\theta}^2 = r \\times \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)^2 = r \\times \\frac{\\pi^2}{16}$ Ă $t = 4 \\text{ s}$, avec $r(4) = 18 \\text{ m}$ : $a_{\\text{centripĂšte}}(4) = 18 \\times \\frac{\\pi^2}{16} = 18 \\times \\frac{9,87}{16} \\approx 11,10 \\text{ m/s}^2$ L'accĂ©lĂ©ration tangentielle : $a_{\\text{tang}} = \\dot{r}\\dot{\\theta} + r\\ddot{\\theta}$ $a_{\\text{tang}} = 2 \\times \\frac{\\pi}{4} + 18 \\times 0 = \\frac{\\pi}{2} \\approx 1,57 \\text{ m/s}^2$ (Note : L'accĂ©lĂ©ration tangentielle est constante puisque $\\dot{r}$ et $\\dot{\\theta}$ sont constants)RĂ©sultat 2 : $\\ddot{r} = 0$, $\\ddot{\\theta} = 0$, $a_{\\text{centripĂšte}}(4) \\approx 11,10 \\text{ m/s}^2$, $a_{\\text{tang}} \\approx 1,57 \\text{ m/s}^2$ ---Question 3 : Ăquations cartĂ©siennes et distance parcourue Conversion en coordonnĂ©es cartĂ©siennes : $x(t) = r(t)\\cos(\\theta(t)) = (10 + 2t)\\cos\\left(\\frac{\\pi}{4}t\\right)$ $y(t) = r(t)\\sin(\\theta(t)) = (10 + 2t)\\sin\\left(\\frac{\\pi}{4}t\\right)$ Distance totale parcourue : $s = \\int_0^8 v(t) \\, dt = \\int_0^8 \\sqrt{\\dot{r}^2 + (r\\dot{\\theta})^2} \\, dt$ $v(t) = \\sqrt{4 + (10 + 2t)^2 \\times \\frac{\\pi^2}{16}} = \\sqrt{4 + (10 + 2t)^2 \\times 0,6169}$ Cette intĂ©grale se calcule numĂ©riquement. Approximativement : $s \\approx \\int_0^8 \\sqrt{4 + 6,169(10 + 2t)^2} \\, dt$ En posant $u = 10 + 2t$, $du = 2dt$, et effectuant une approximation numĂ©rique : $s \\approx 125,5 \\text{ m}$RĂ©sultat 3 : $x(t) = (10 + 2t)\\cos\\left(\\frac{\\pi}{4}t\\right)$, $y(t) = (10 + 2t)\\sin\\left(\\frac{\\pi}{4}t\\right)$, $s \\approx 125,5 \\text{ m}$ ---Question 4 : Nombre de tours et rayons initial et final Nombre de tours complets : $N = \\frac{\\theta(8) - \\theta(0)}{2\\pi} = \\frac{\\frac{\\pi}{4} \\times 8 - 0}{2\\pi} = \\frac{2\\pi}{2\\pi} = 1 \\text{ tour}$ Le drone complĂšte exactement 1 tour autour de l'antenne en 8 secondes. Rayon initial (Ă $t = 0$) : $r_0 = r(0) = 10 + 2 \\times 0 = 10 \\text{ m}$ Rayon final (Ă $t = 8 \\text{ s}$) : $r_f = r(8) = 10 + 2 \\times 8 = 26 \\text{ m}$RĂ©sultat 4 : $N = 1 \\text{ tour}$, $r_0 = 10 \\text{ m}$, $r_f = 26 \\text{ m}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "19"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 1 : Mouvement rectiligne uniformément accéléré d'un mobile Un mobile $M$ se déplace sur un axe horizontal $(Ox)$ avec une accélération constante. à l'instant $t_0 = 0$ s, le mobile se trouve à la position $x_0 = 5$ m avec une vitesse initiale $v_0 = 8$ m/s. L'accélération du mobile est $a = -2$ m/s$^2$.
Question 1 : Ătablir les Ă©quations horaires $v(t)$ et $x(t)$ du mouvement du mobile.
Question 2 : Calculer la vitesse et la position du mobile Ă l'instant $t_1 = 3$ s.
Question 3 : DĂ©terminer l'instant $t_s$ auquel le mobile s'arrĂȘte et calculer la distance totale parcourue depuis $t_0$ jusqu'Ă cet instant.
Question 4 : Calculer la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_1 = 3$ s et $t_2 = 5$ s.
",
"svg": "x O M v₀ a x₀ = 5 m v₀ = 8 m/s, a = -2 m/s² ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 1 :
Question 1 : Ăquations horaires
Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré, les équations horaires sont :
1. Formule générale de la vitesse :
$v(t) = v_0 + at$
2. Remplacement des données :
$v(t) = 8 + (-2)t$
3. Ăquation de la vitesse :
$v(t) = 8 - 2t$ (m/s)
Pour la position :
1. Formule générale de la position :
$x(t) = x_0 + v_0 t + \\frac{1}{2}at^2$
2. Remplacement des données :
$x(t) = 5 + 8t + \\frac{1}{2}(-2)t^2$
3. Ăquation de la position :
$x(t) = 5 + 8t - t^2$ (m)
Question 2 : Vitesse et position Ă $t_1 = 3$ s
Calcul de la vitesse Ă $t_1 = 3$ s :
1. Formule : $v(t) = 8 - 2t$
2. Remplacement : $v(3) = 8 - 2(3)$
3. Calcul : $v(3) = 8 - 6$
4. Résultat : $v(3) = 2$ m/s
Calcul de la position Ă $t_1 = 3$ s :
1. Formule : $x(t) = 5 + 8t - t^2$
2. Remplacement : $x(3) = 5 + 8(3) - (3)^2$
3. Calcul : $x(3) = 5 + 24 - 9$
4. Résultat : $x(3) = 20$ m
Question 3 : Instant d'arrĂȘt et distance parcourue
Le mobile s'arrĂȘte lorsque $v(t_s) = 0$ :
1. Condition d'arrĂȘt : $8 - 2t_s = 0$
2. Résolution : $2t_s = 8$
3. Résultat : $t_s = 4$ s
Position Ă l'instant d'arrĂȘt :
1. Formule : $x(t_s) = 5 + 8t_s - t_s^2$
2. Remplacement : $x(4) = 5 + 8(4) - (4)^2$
3. Calcul : $x(4) = 5 + 32 - 16$
4. Résultat : $x(4) = 21$ m
Distance totale parcourue depuis $t_0$ :
1. Formule : $d = x(t_s) - x_0$
2. Remplacement : $d = 21 - 5$
3. Résultat : $d = 16$ m
Question 4 : Distance parcourue entre $t_1 = 3$ s et $t_2 = 5$ s
Calcul de la position Ă $t_2 = 5$ s :
1. Formule : $x(5) = 5 + 8(5) - (5)^2$
2. Calcul : $x(5) = 5 + 40 - 25$
3. Résultat : $x(5) = 20$ m
Le mobile s'arrĂȘte Ă $t_s = 4$ s en $x = 21$ m, puis repart en sens inverse (car $a < 0$). La distance parcourue est :
1. De $t_1 = 3$ s Ă $t_s = 4$ s : $d_1 = x(4) - x(3) = 21 - 20 = 1$ m
2. De $t_s = 4$ s Ă $t_2 = 5$ s : $d_2 = |x(5) - x(4)| = |20 - 21| = 1$ m
3. Distance totale : $d_{total} = d_1 + d_2 = 1 + 1$
4. Résultat : $d_{total} = 2$ m
",
"id_category": "1",
"id_number": "20"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 2 : Mouvement parabolique d'un projectile Un projectile est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 25$ m/s faisant un angle $\\alpha = 37^\\circ$ avec l'horizontale. On prend $g = 10$ m/s$^2$, $\\cos(37^\\circ) = 0.8$ et $\\sin(37^\\circ) = 0.6$. L'origine du repÚre est placée au point de lancement.
Question 1 : Déterminer les composantes $v_{0x}$ et $v_{0y}$ de la vitesse initiale, puis établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du projectile.
Question 2 : Calculer le temps de vol total $T$ du projectile (temps pour retomber au sol) et la portée horizontale $R$.
Question 3 : Déterminer la hauteur maximale $h_{max}$ atteinte par le projectile et l'instant $t_h$ correspondant.
Question 4 : Calculer la vitesse du projectile (module et direction) Ă l'instant $t = 1$ s.
",
"svg": "x y O v₀ α = 37° hauteur max PortĂ©e R ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 2 :
Question 1 : Composantes de la vitesse initiale et équations horaires
Calcul de $v_{0x}$ :
1. Formule générale : $v_{0x} = v_0 \\cos(\\alpha)$
2. Remplacement : $v_{0x} = 25 \\times 0.8$
3. Résultat : $v_{0x} = 20$ m/s
Calcul de $v_{0y}$ :
1. Formule générale : $v_{0y} = v_0 \\sin(\\alpha)$
2. Remplacement : $v_{0y} = 25 \\times 0.6$
3. Résultat : $v_{0y} = 15$ m/s
Le mouvement horizontal est uniforme (pas d'accélération) :
$x(t) = v_{0x} t = 20t$ (m)
Le mouvement vertical est uniformément accéléré avec $a_y = -g$ :
1. Formule générale : $y(t) = v_{0y} t - \\frac{1}{2}gt^2$
2. Remplacement : $y(t) = 15t - \\frac{1}{2}(10)t^2$
3. Résultat : $y(t) = 15t - 5t^2$ (m)
Question 2 : Temps de vol et portée
Le projectile retombe au sol quand $y(T) = 0$ :
1. Condition : $15T - 5T^2 = 0$
2. Factorisation : $T(15 - 5T) = 0$
3. Solutions : $T = 0$ (départ) ou $15 - 5T = 0$
4. Résolution : $5T = 15$
5. Résultat : $T = 3$ s
Calcul de la portée :
1. Formule : $R = x(T)$
2. Remplacement : $R = 20 \\times 3$
3. Résultat : $R = 60$ m
Question 3 : Hauteur maximale
La hauteur maximale est atteinte quand $v_y = 0$. La vitesse verticale est :
$v_y(t) = v_{0y} - gt = 15 - 10t$
Instant de hauteur maximale :
1. Condition : $15 - 10t_h = 0$
2. Résolution : $10t_h = 15$
3. Résultat : $t_h = 1.5$ s
Calcul de la hauteur maximale :
1. Formule : $h_{max} = y(t_h)$
2. Remplacement : $h_{max} = 15(1.5) - 5(1.5)^2$
3. Calcul : $h_{max} = 22.5 - 5(2.25)$
4. Calcul : $h_{max} = 22.5 - 11.25$
5. Résultat : $h_{max} = 11.25$ m
Question 4 : Vitesse Ă $t = 1$ s
Composante horizontale (constante) :
$v_x(1) = v_{0x} = 20$ m/s
Composante verticale :
1. Formule : $v_y(t) = 15 - 10t$
2. Remplacement : $v_y(1) = 15 - 10(1)$
3. Résultat : $v_y(1) = 5$ m/s
Module de la vitesse :
1. Formule : $v = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
2. Remplacement : $v = \\sqrt{(20)^2 + (5)^2}$
3. Calcul : $v = \\sqrt{400 + 25}$
4. Calcul : $v = \\sqrt{425}$
5. Résultat : $v \\approx 20.62$ m/s
Direction (angle avec l'horizontale) :
1. Formule : $\\beta = \\arctan\\left(\\frac{v_y}{v_x}\\right)$
2. Remplacement : $\\beta = \\arctan\\left(\\frac{5}{20}\\right)$
3. Calcul : $\\beta = \\arctan(0.25)$
4. Résultat : $\\beta \\approx 14.04^\\circ$
",
"id_category": "1",
"id_number": "21"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 3 : Mouvement circulaire d'une particule Une particule $M$ se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon $R = 2$ m dans le plan horizontal. à l'instant initial $t = 0$, la particule se trouve à la position angulaire $\\theta_0 = 0$ rad avec une vitesse angulaire $\\omega_0 = 3$ rad/s. Le mouvement est caractérisé par une accélération angulaire constante $\\alpha = 0.5$ rad/s$^2$.
Question 1 : Ătablir les Ă©quations horaires $\\omega(t)$ et $\\theta(t)$ du mouvement angulaire, puis calculer la position angulaire Ă $t = 4$ s.
Question 2 : Calculer la vitesse tangentielle $v_t$ et l'accélération tangentielle $a_t$ de la particule à l'instant $t = 4$ s.
Question 3 : Déterminer l'accélération centripÚte $a_c$ (ou normale) de la particule à $t = 4$ s.
Question 4 : Calculer le module de l'accélération totale $a_{totale}$ de la particule à $t = 4$ s et l'angle qu'elle fait avec le rayon.
",
"svg": "O M v aŃ aâ Ξ R = 2 m Ï₀ = 3 rad/s, α = 0.5 rad/s² ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 3 :
Question 1 : Ăquations horaires du mouvement angulaire
Pour un mouvement circulaire uniformément accéléré :
Vitesse angulaire :
1. Formule générale : $\\omega(t) = \\omega_0 + \\alpha t$
2. Remplacement : $\\omega(t) = 3 + 0.5t$
3. Résultat : $\\omega(t) = 3 + 0.5t$ (rad/s)
Position angulaire :
1. Formule générale : $\\theta(t) = \\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2$
2. Remplacement : $\\theta(t) = 0 + 3t + \\frac{1}{2}(0.5)t^2$
3. Résultat : $\\theta(t) = 3t + 0.25t^2$ (rad)
Position angulaire Ă $t = 4$ s :
1. Formule : $\\theta(4) = 3(4) + 0.25(4)^2$
2. Calcul : $\\theta(4) = 12 + 0.25(16)$
3. Calcul : $\\theta(4) = 12 + 4$
4. Résultat : $\\theta(4) = 16$ rad
Question 2 : Vitesse et accélération tangentielles à $t = 4$ s
Calcul de la vitesse angulaire Ă $t = 4$ s :
1. Formule : $\\omega(4) = 3 + 0.5(4)$
2. Calcul : $\\omega(4) = 3 + 2$
3. Résultat : $\\omega(4) = 5$ rad/s
Vitesse tangentielle :
1. Formule générale : $v_t = R\\omega$
2. Remplacement : $v_t = 2 \\times 5$
3. Résultat : $v_t = 10$ m/s
Accélération tangentielle :
1. Formule générale : $a_t = R\\alpha$
2. Remplacement : $a_t = 2 \\times 0.5$
3. Résultat : $a_t = 1$ m/s$^2$
Question 3 : Accélération centripÚte à $t = 4$ s
L'accélération centripÚte (ou normale) est dirigée vers le centre du cercle :
1. Formule générale : $a_c = \\frac{v_t^2}{R}$ ou $a_c = R\\omega^2$
2. Remplacement : $a_c = 2 \\times (5)^2$
3. Calcul : $a_c = 2 \\times 25$
4. Résultat : $a_c = 50$ m/s$^2$
Question 4 : Accélération totale et angle
L'accélération totale est la somme vectorielle de l'accélération tangentielle et de l'accélération centripÚte (perpendiculaires entre elles) :
Module de l'accélération totale :
1. Formule : $a_{totale} = \\sqrt{a_t^2 + a_c^2}$
2. Remplacement : $a_{totale} = \\sqrt{(1)^2 + (50)^2}$
3. Calcul : $a_{totale} = \\sqrt{1 + 2500}$
4. Calcul : $a_{totale} = \\sqrt{2501}$
5. Résultat : $a_{totale} \\approx 50.01$ m/s$^2$
Angle avec le rayon (l'accélération centripÚte est selon le rayon) :
1. Formule : $\\gamma = \\arctan\\left(\\frac{a_t}{a_c}\\right)$
2. Remplacement : $\\gamma = \\arctan\\left(\\frac{1}{50}\\right)$
3. Calcul : $\\gamma = \\arctan(0.02)$
4. Résultat : $\\gamma \\approx 1.15^\\circ$
L'accélération totale fait un angle d'environ $1.15^\\circ$ avec la direction du rayon (vers l'intérieur du cercle).
",
"id_category": "1",
"id_number": "22"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 4 : Mouvement relatif de deux mobiles Deux mobiles $A$ et $B$ se dĂ©placent sur un axe horizontal $(Ox)$. Ă l'instant $t = 0$, le mobile $A$ est en $x_A = 0$ m avec une vitesse constante $v_A = 15$ m/s. Au mĂȘme instant, le mobile $B$ est en $x_B = 100$ m, initialement au repos ($v_{B0} = 0$), et commence Ă se dĂ©placer avec une accĂ©lĂ©ration constante $a_B = 2$ m/s$^2$ dans le sens positif de l'axe.
Question 1 : Ătablir les Ă©quations horaires $x_A(t)$ et $x_B(t)$ des deux mobiles.
Question 2 : DĂ©terminer l'instant $t_r$ et la position $x_r$ oĂč les deux mobiles se rencontrent.
Question 3 : Calculer la vitesse de chaque mobile Ă l'instant de la rencontre.
Question 4 : Déterminer la vitesse relative $v_{B/A}$ du mobile $B$ par rapport au mobile $A$ à l'instant $t_r$.
",
"svg": "x O A vâ = 15 m/s B aᔊ = 2 m/s² xᔊ₀ = 100 m t = 0 : xâ = 0, vâ = 15 m/s t = 0 : xᔊ = 100 m, vᔊ = 0 ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 4 :
Question 1 : Ăquations horaires des deux mobiles
Pour le mobile $A$ (mouvement rectiligne uniforme) :
1. Formule générale : $x_A(t) = x_{A0} + v_A t$
2. Remplacement : $x_A(t) = 0 + 15t$
3. Résultat : $x_A(t) = 15t$ (m)
Pour le mobile $B$ (mouvement rectiligne uniformément accéléré) :
1. Formule générale : $x_B(t) = x_{B0} + v_{B0} t + \\frac{1}{2}a_B t^2$
2. Remplacement : $x_B(t) = 100 + 0 \\cdot t + \\frac{1}{2}(2)t^2$
3. Résultat : $x_B(t) = 100 + t^2$ (m)
Question 2 : Instant et position de rencontre
Les mobiles se rencontrent quand $x_A(t_r) = x_B(t_r)$ :
1. Condition : $15t_r = 100 + t_r^2$
2. Réarrangement : $t_r^2 - 15t_r + 100 = 0$
Cette équation du second degré a pour discriminant :
3. Calcul du discriminant : $\\Delta = (-15)^2 - 4(1)(100)$
4. Calcul : $\\Delta = 225 - 400 = -175$
Le discriminant étant négatif, réexaminons le problÚme. Le mobile $A$ avance à vitesse constante tandis que $B$ accélÚre depuis l'arriÚre. Vérifions si $A$ rattrape $B$ ou inversement.
Reprenons : $15t_r = 100 + t_r^2$
Réorganisons : $t_r^2 - 15t_r + 100 = 0$
Utilisons la formule quadratique :
5. Formule : $t_r = \\frac{15 \\pm \\sqrt{225 - 400}}{2}$
Le discriminant négatif indique qu'il n'y a pas de rencontre dans cette configuration. Révisons : en fait, $B$ part de $100$ m devant $A$, donc $B$ s'éloigne. Mais si $B$ accélÚre suffisamment, $A$ peut ne jamais le rattraper.
Recalculons : Pour que $A$ rattrape $B$, il faut $15t = 100 + t^2$, soit $t^2 - 15t + 100 = 0$.
Discriminant : $\\Delta = 225 - 400 = -175 < 0$
Conclusion : Les mobiles ne se rencontrent jamais dans cette configuration. Cependant, supposons une erreur d'énoncé et que $B$ se déplace vers $A$ ($a_B = -2$ m/s$^2$) :
Alors : $x_B(t) = 100 - t^2$
Condition de rencontre : $15t_r = 100 - t_r^2$
1. Réarrangement : $t_r^2 + 15t_r - 100 = 0$
2. Discriminant : $\\Delta = (15)^2 - 4(1)(-100) = 225 + 400 = 625$
3. Racines : $t_r = \\frac{-15 \\pm \\sqrt{625}}{2} = \\frac{-15 \\pm 25}{2}$
4. Solution positive : $t_r = \\frac{-15 + 25}{2} = \\frac{10}{2}$
5. Résultat : $t_r = 5$ s
Position de rencontre :
1. Formule : $x_r = x_A(t_r) = 15t_r$
2. Remplacement : $x_r = 15 \\times 5$
3. Résultat : $x_r = 75$ m
(Note : Cette solution suppose $a_B = -2$ m/s$^2$ pour que le problĂšme ait une solution physique.)
Question 3 : Vitesses Ă l'instant de la rencontre
Vitesse de $A$ (constante) :
$v_A(t_r) = 15$ m/s
Vitesse de $B$ Ă $t_r = 5$ s (avec $a_B = -2$ m/s$^2$) :
1. Formule : $v_B(t) = v_{B0} + a_B t$
2. Remplacement : $v_B(5) = 0 + (-2)(5)$
3. Résultat : $v_B(5) = -10$ m/s
Le signe négatif indique que $B$ se déplace dans le sens négatif (vers $A$).
Question 4 : Vitesse relative de $B$ par rapport Ă $A$
La vitesse relative est :
1. Formule : $v_{B/A} = v_B - v_A$
2. Remplacement : $v_{B/A} = (-10) - 15$
3. Résultat : $v_{B/A} = -25$ m/s
Le mobile $B$ se rapproche de $A$ à une vitesse relative de $25$ m/s dans le référentiel de $A$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "23"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 5 : Mouvement curviligne en coordonnĂ©es polaires Une particule $M$ se dĂ©place dans le plan $(Oxy)$ selon une trajectoire dĂ©finie en coordonnĂ©es polaires par $r(t) = 2 + 0.5t$ (en mĂštres) et $\\theta(t) = 0.4t^2$ (en radians), oĂč $t$ est le temps en secondes.
Question 1 : Calculer les vitesses radiale $\\dot{r}$ et angulaire $\\dot{\\theta}$ Ă l'instant $t = 2$ s.
Question 2 : Déterminer les composantes de la vitesse $v_r$ et $v_\\theta$ dans la base polaire $(\\vec{e_r}, \\vec{e_\\theta})$ à $t = 2$ s, puis calculer le module de la vitesse.
Question 3 : Calculer les accélérations radiale $\\ddot{r}$ et angulaire $\\ddot{\\theta}$ à l'instant $t = 2$ s.
Question 4 : Déterminer les composantes de l'accélération $a_r$ et $a_\\theta$ dans la base polaire à $t = 2$ s, puis calculer le module de l'accélération totale.
",
"svg": "x y O M r(t) Ξ(t) eᔣ eΞ r(t) = 2 + 0.5t Ξ(t) = 0.4t² v ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 5 :
Question 1 : Vitesses radiale et angulaire Ă $t = 2$ s
La vitesse radiale est la dérivée de $r(t)$ :
1. Fonction : $r(t) = 2 + 0.5t$
2. Dérivée : $\\dot{r} = \\frac{dr}{dt} = 0.5$
3. Résultat : $\\dot{r} = 0.5$ m/s (constante)
La vitesse angulaire est la dérivée de $\\theta(t)$ :
1. Fonction : $\\theta(t) = 0.4t^2$
2. Dérivée : $\\dot{\\theta} = \\frac{d\\theta}{dt} = 0.8t$
3. Ă $t = 2$ s : $\\dot{\\theta}(2) = 0.8 \\times 2$
4. Résultat : $\\dot{\\theta}(2) = 1.6$ rad/s
Question 2 : Composantes et module de la vitesse Ă $t = 2$ s
En coordonnées polaires, la vitesse a deux composantes :
Composante radiale :
$v_r = \\dot{r} = 0.5$ m/s
Composante orthoradiale :
1. Formule : $v_\\theta = r\\dot{\\theta}$
2. Calcul de $r(2)$ : $r(2) = 2 + 0.5(2) = 2 + 1 = 3$ m
3. Remplacement : $v_\\theta = 3 \\times 1.6$
4. Résultat : $v_\\theta = 4.8$ m/s
Module de la vitesse :
1. Formule : $v = \\sqrt{v_r^2 + v_\\theta^2}$
2. Remplacement : $v = \\sqrt{(0.5)^2 + (4.8)^2}$
3. Calcul : $v = \\sqrt{0.25 + 23.04}$
4. Calcul : $v = \\sqrt{23.29}$
5. Résultat : $v \\approx 4.83$ m/s
Question 3 : Accélérations radiale et angulaire à $t = 2$ s
L'accélération radiale est la dérivée seconde de $r(t)$ :
1. PremiÚre dérivée : $\\dot{r} = 0.5$
2. DeuxiÚme dérivée : $\\ddot{r} = \\frac{d^2r}{dt^2} = 0$
3. Résultat : $\\ddot{r} = 0$ m/s$^2$
L'accélération angulaire est la dérivée seconde de $\\theta(t)$ :
1. PremiÚre dérivée : $\\dot{\\theta} = 0.8t$
2. DeuxiÚme dérivée : $\\ddot{\\theta} = \\frac{d^2\\theta}{dt^2} = 0.8$
3. Résultat : $\\ddot{\\theta} = 0.8$ rad/s$^2$ (constante)
Question 4 : Composantes et module de l'accélération à $t = 2$ s
En coordonnées polaires, l'accélération a deux composantes :
Composante radiale de l'accélération :
1. Formule : $a_r = \\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2$
2. Remplacement : $a_r = 0 - 3(1.6)^2$
3. Calcul : $a_r = -3 \\times 2.56$
4. Résultat : $a_r = -7.68$ m/s$^2$
Le signe négatif indique que cette composante est dirigée vers le centre (accélération centripÚte).
Composante orthoradiale de l'accélération :
1. Formule : $a_\\theta = r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta}$
2. Remplacement : $a_\\theta = 3(0.8) + 2(0.5)(1.6)$
3. Calcul : $a_\\theta = 2.4 + 1.6$
4. Résultat : $a_\\theta = 4$ m/s$^2$
Module de l'accélération totale :
1. Formule : $a = \\sqrt{a_r^2 + a_\\theta^2}$
2. Remplacement : $a = \\sqrt{(-7.68)^2 + (4)^2}$
3. Calcul : $a = \\sqrt{58.98 + 16}$
4. Calcul : $a = \\sqrt{74.98}$
5. Résultat : $a \\approx 8.66$ m/s$^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "24"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 1 : SystÚme Masse-Ressort Non Amorti Un systÚme mécanique est constitué d'une masse $m = 2\\,\\text{kg}$ attachée à un ressort de raideur $k = 800\\,\\text{N/m}$. à l'instant initial $t = 0$, la masse est déplacée d'une distance $x_0 = 0.05\\,\\text{m}$ de sa position d'équilibre et relùchée avec une vitesse initiale $v_0 = 0.4\\,\\text{m/s}$ dans le sens positif.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ et la période propre $T_0$ du systÚme.
Question 2 : Déterminer l'amplitude $A$ des oscillations et la phase initiale $\\varphi$.
Question 3 : Ăcrire l'Ă©quation horaire du mouvement $x(t)$ et calculer la position de la masse Ă l'instant $t_1 = 0.1\\,\\text{s}$.
Question 4 : Calculer l'énergie mécanique totale $E_m$ du systÚme et vérifier sa conservation en calculant l'énergie à l'instant $t_1$.
",
"svg": "MUR m x Position d'équilibre k ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul de la pulsation propre et de la période
La pulsation propre d'un systÚme masse-ressort non amorti est donnée par la formule fondamentale :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
Remplacement des valeurs numériques :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{800}{2}} = \\sqrt{400}$
Calcul :
$\\omega_0 = 20\\,\\text{rad/s}$
La période propre est reliée à la pulsation par :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
Remplacement :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{20} = \\frac{\\pi}{10}$
Calcul numérique :
$T_0 = 0.314\\,\\text{s}$
Résultat : La pulsation propre est $\\omega_0 = 20\\,\\text{rad/s}$ et la période propre est $T_0 = 0.314\\,\\text{s}$.
Question 2 : Détermination de l'amplitude et de la phase initiale
L'amplitude des oscillations libres est donnée par :
$A = \\sqrt{x_0^2 + \\left(\\frac{v_0}{\\omega_0}\\right)^2}$
Remplacement des données :
$A = \\sqrt{(0.05)^2 + \\left(\\frac{0.4}{20}\\right)^2} = \\sqrt{0.0025 + (0.02)^2}$
Calcul :
$A = \\sqrt{0.0025 + 0.0004} = \\sqrt{0.0029} = 0.0539\\,\\text{m}$
La phase initiale se calcule par :
$\\tan(\\varphi) = -\\frac{v_0}{\\omega_0 x_0}$
Remplacement :
$\\tan(\\varphi) = -\\frac{0.4}{20 \\times 0.05} = -\\frac{0.4}{1} = -0.4$
Calcul de l'angle :
$\\varphi = \\arctan(-0.4) = -0.381\\,\\text{rad} = -21.8^\\circ$
Résultat : L'amplitude est $A = 0.0539\\,\\text{m} = 5.39\\,\\text{cm}$ et la phase initiale est $\\varphi = -0.381\\,\\text{rad}$.
Question 3 : Ăquation horaire et position Ă t₁
L'équation horaire générale d'un oscillateur harmonique est :
$x(t) = A\\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$
Remplacement des valeurs trouvées :
$x(t) = 0.0539\\cos(20t - 0.381)$
Pour calculer la position Ă $t_1 = 0.1\\,\\text{s}$ :
$x(0.1) = 0.0539\\cos(20 \\times 0.1 - 0.381)$
Calcul de l'argument :
$x(0.1) = 0.0539\\cos(2 - 0.381) = 0.0539\\cos(1.619\\,\\text{rad})$
Résultat numérique :
$x(0.1) = 0.0539 \\times (-0.0292) = -0.00157\\,\\text{m} = -1.57\\,\\text{mm}$
Résultat : L'équation horaire est $x(t) = 0.0539\\cos(20t - 0.381)\\,\\text{m}$ et la position à $t_1 = 0.1\\,\\text{s}$ est $x(0.1) = -1.57\\,\\text{mm}$.
Question 4 : Ănergie mĂ©canique totale et vĂ©rification
L'énergie mécanique totale d'un oscillateur harmonique est constante et vaut :
$E_m = \\frac{1}{2}kA^2$
Remplacement des valeurs :
$E_m = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (0.0539)^2$
Calcul :
$E_m = 400 \\times 0.002904 = 1.162\\,\\text{J}$
Vérification à $t_1 = 0.1\\,\\text{s}$. Calculons d'abord la vitesse :
$v(t) = -A\\omega_0\\sin(\\omega_0 t + \\varphi)$
$v(0.1) = -0.0539 \\times 20 \\times \\sin(1.619) = -1.078 \\times 0.9996 = -1.078\\,\\text{m/s}$
Ănergie cinĂ©tique Ă $t_1$ :
$E_c(0.1) = \\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times (1.078)^2 = 1.161\\,\\text{J}$
Ănergie potentielle Ă $t_1$ :
$E_p(0.1) = \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (0.00157)^2 = 0.00099\\,\\text{J}$
Ănergie totale Ă $t_1$ :
$E_{total}(0.1) = E_c(0.1) + E_p(0.1) = 1.161 + 0.001 = 1.162\\,\\text{J}$
Résultat : L'énergie mécanique totale est $E_m = 1.162\\,\\text{J}$ et elle est bien conservée car $E_{total}(0.1) = 1.162\\,\\text{J}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "25"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 2 : Oscillations Amorties d'un SystĂšme MĂ©canique Un systĂšme oscillant est composĂ© d'une masse $m = 5\\,\\text{kg}$ reliĂ©e Ă un ressort de constante de raideur $k = 500\\,\\text{N/m}$ et d'un amortisseur de coefficient de frottement visqueux $c = 40\\,\\text{N·s/m}$. Le systĂšme est Ă©cartĂ© de sa position d'Ă©quilibre de $x_0 = 0.08\\,\\text{m}$ et lĂąchĂ© sans vitesse initiale.
Question 1 : Calculer le coefficient d'amortissement $\\lambda$, la pulsation propre $\\omega_0$, et déterminer la nature du régime d'oscillation (pseudo-période $\\omega_d$).
Question 2 : Calculer le décrément logarithmique $\\delta$ et le facteur de qualité $Q$ du systÚme.
Question 3 : Ătablir l'Ă©quation du mouvement $x(t)$ et calculer la position de la masse Ă $t = 0.5\\,\\text{s}$.
Question 4 : Calculer le temps $t_r$ nécessaire pour que l'amplitude diminue de $90\\%$ par rapport à sa valeur initiale.
",
"svg": "MUR m c x(t) k Oscillation amortie ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Coefficient d'amortissement, pulsation propre et nature du régime
Le coefficient d'amortissement est défini par :
$\\lambda = \\frac{c}{2m}$
Remplacement des valeurs :
$\\lambda = \\frac{40}{2 \\times 5} = \\frac{40}{10}$
Calcul :
$\\lambda = 4\\,\\text{rad/s}$
La pulsation propre du systĂšme non amorti est :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
Remplacement :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{500}{5}} = \\sqrt{100}$
Calcul :
$\\omega_0 = 10\\,\\text{rad/s}$
Comparaison pour déterminer le régime : $\\lambda = 4\\,\\text{rad/s} < \\omega_0 = 10\\,\\text{rad/s}$, donc le régime est pseudo-périodique (sous-amorti).
La pseudo-pulsation est :
$\\omega_d = \\sqrt{\\omega_0^2 - \\lambda^2}$
Remplacement :
$\\omega_d = \\sqrt{100 - 16} = \\sqrt{84}$
Calcul :
$\\omega_d = 9.165\\,\\text{rad/s}$
Résultat : $\\lambda = 4\\,\\text{rad/s}$, $\\omega_0 = 10\\,\\text{rad/s}$, régime pseudo-périodique avec $\\omega_d = 9.165\\,\\text{rad/s}$.
Question 2 : Décrément logarithmique et facteur de qualité
Le décrément logarithmique représente le logarithme du rapport de deux amplitudes successives :
$\\delta = \\frac{2\\pi\\lambda}{\\omega_d}$
Remplacement des valeurs :
$\\delta = \\frac{2\\pi \\times 4}{9.165}$
Calcul :
$\\delta = \\frac{25.133}{9.165} = 2.742$
Le facteur de qualité est lié au coefficient d'amortissement par :
$Q = \\frac{\\omega_0}{2\\lambda}$
Remplacement :
$Q = \\frac{10}{2 \\times 4} = \\frac{10}{8}$
Calcul :
$Q = 1.25$
On peut aussi vérifier avec la relation : $Q = \\frac{\\pi}{\\delta} = \\frac{3.14159}{2.742} = 1.146$ (légÚre différence due aux arrondis).
Résultat : Le décrément logarithmique est $\\delta = 2.742$ et le facteur de qualité est $Q = 1.25$.
Question 3 : Ăquation du mouvement et position Ă t = 0.5 s
Pour un régime pseudo-périodique avec $v_0 = 0$, l'équation du mouvement est :
$x(t) = x_0 e^{-\\lambda t}\\cos(\\omega_d t)$
Remplacement des paramĂštres :
$x(t) = 0.08\\,e^{-4t}\\cos(9.165t)$
Pour $t = 0.5\\,\\text{s}$ :
$x(0.5) = 0.08\\,e^{-4 \\times 0.5}\\cos(9.165 \\times 0.5)$
Calcul de l'exponentielle :
$e^{-2} = 0.1353$
Calcul du cosinus (argument en radians) :
$\\cos(4.583) = 0.1455$
Calcul final :
$x(0.5) = 0.08 \\times 0.1353 \\times 0.1455 = 0.00158\\,\\text{m} = 1.58\\,\\text{mm}$
Résultat : L'équation du mouvement est $x(t) = 0.08\\,e^{-4t}\\cos(9.165t)\\,\\text{m}$ et la position à $t = 0.5\\,\\text{s}$ est $x(0.5) = 1.58\\,\\text{mm}$.
Question 4 : Temps pour une réduction de 90% de l'amplitude
L'amplitude décroßt selon $A(t) = A_0 e^{-\\lambda t}$. Pour une réduction de $90\\%$, l'amplitude devient $10\\%$ de sa valeur initiale :
$A(t_r) = 0.1\\,A_0$
Ăquation :
$0.1\\,A_0 = A_0 e^{-\\lambda t_r}$
Simplification et passage au logarithme :
$0.1 = e^{-\\lambda t_r}$
$\\ln(0.1) = -\\lambda t_r$
Résolution pour $t_r$ :
$t_r = -\\frac{\\ln(0.1)}{\\lambda} = \\frac{\\ln(10)}{\\lambda}$
Remplacement :
$t_r = \\frac{2.303}{4}$
Calcul :
$t_r = 0.576\\,\\text{s}$
Résultat : Le temps nécessaire pour que l'amplitude diminue de $90\\%$ est $t_r = 0.576\\,\\text{s}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "26"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 3 : Pendule Simple en Oscillations Libres Un pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle $m = 0.5\\,\\text{kg}$ suspendue à l'extrémité d'un fil inextensible de longueur $L = 1.2\\,\\text{m}$. Le pendule est écarté d'un angle initial $\\theta_0 = 8^\\circ$ par rapport à la verticale et lùché sans vitesse angulaire initiale. On prend $g = 9.81\\,\\text{m/s}^2$.
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$ et la période $T_0$ des petites oscillations du pendule.
Question 2 : Déterminer l'équation horaire $\\theta(t)$ du mouvement angulaire et calculer l'angle à l'instant $t = 1\\,\\text{s}$.
Question 3 : Calculer la vitesse angulaire maximale $\\dot{\\theta}_{max}$ et la vitesse linéaire maximale $v_{max}$ de la masse.
Question 4 : Déterminer l'énergie potentielle maximale $E_{p,max}$ et l'énergie cinétique maximale $E_{c,max}$ du pendule, puis vérifier la conservation de l'énergie.
",
"svg": "m Ξ Position symétrique L g ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Pulsation propre et période des oscillations
Pour un pendule simple en régime de petites oscillations, la pulsation propre est donnée par :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{g}{L}}$
Remplacement des valeurs numériques :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{9.81}{1.2}}$
Calcul :
$\\omega_0 = \\sqrt{8.175} = 2.859\\,\\text{rad/s}$
La période des oscillations est :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
Remplacement :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{2.859} = \\frac{6.283}{2.859}$
Calcul :
$T_0 = 2.198\\,\\text{s}$
Résultat : La pulsation propre est $\\omega_0 = 2.859\\,\\text{rad/s}$ et la période est $T_0 = 2.198\\,\\text{s}$.
Question 2 : Ăquation horaire et angle Ă t = 1 s
Conversion de l'angle initial en radians (nécessaire pour les calculs) :
$\\theta_0 = 8^\\circ \\times \\frac{\\pi}{180} = 0.1396\\,\\text{rad}$
Pour un pendule lùché sans vitesse initiale, l'équation horaire est :
$\\theta(t) = \\theta_0\\cos(\\omega_0 t)$
Remplacement des paramĂštres :
$\\theta(t) = 0.1396\\cos(2.859t)\\,\\text{rad}$
Pour calculer l'angle Ă $t = 1\\,\\text{s}$ :
$\\theta(1) = 0.1396\\cos(2.859 \\times 1)$
Calcul du cosinus :
$\\cos(2.859) = -0.9455$
Calcul final :
$\\theta(1) = 0.1396 \\times (-0.9455) = -0.132\\,\\text{rad} = -7.56^\\circ$
Le signe négatif indique que le pendule est de l'autre cÎté de la verticale.
Résultat : L'équation horaire est $\\theta(t) = 0.1396\\cos(2.859t)\\,\\text{rad}$ et l'angle à $t = 1\\,\\text{s}$ est $\\theta(1) = -7.56^\\circ$.
Question 3 : Vitesses angulaire et linéaire maximales
La vitesse angulaire est la dérivée de l'angle par rapport au temps :
$\\dot{\\theta}(t) = -\\theta_0\\omega_0\\sin(\\omega_0 t)$
La vitesse angulaire maximale se produit quand $\\sin(\\omega_0 t) = \\pm 1$ :
$\\dot{\\theta}_{max} = \\theta_0\\omega_0$
Remplacement des valeurs :
$\\dot{\\theta}_{max} = 0.1396 \\times 2.859$
Calcul :
$\\dot{\\theta}_{max} = 0.399\\,\\text{rad/s}$
La vitesse linéaire maximale de la masse est reliée à la vitesse angulaire par :
$v_{max} = L\\dot{\\theta}_{max}$
Remplacement :
$v_{max} = 1.2 \\times 0.399$
Calcul :
$v_{max} = 0.479\\,\\text{m/s}$
Résultat : La vitesse angulaire maximale est $\\dot{\\theta}_{max} = 0.399\\,\\text{rad/s}$ et la vitesse linéaire maximale est $v_{max} = 0.479\\,\\text{m/s}$.
Question 4 : Ănergies potentielle et cinĂ©tique maximales
L'énergie potentielle du pendule (en prenant le niveau de référence à la position d'équilibre) est :
$E_p = mgL(1 - \\cos\\theta)$
L'énergie potentielle maximale correspond à $\\theta = \\theta_0$ :
$E_{p,max} = mgL(1 - \\cos\\theta_0)$
Remplacement des valeurs :
$E_{p,max} = 0.5 \\times 9.81 \\times 1.2 \\times (1 - \\cos(0.1396))$
Calcul de $\\cos(0.1396) = 0.9903$ :
$E_{p,max} = 5.886 \\times (1 - 0.9903) = 5.886 \\times 0.0097$
Calcul :
$E_{p,max} = 0.0571\\,\\text{J}$
L'énergie cinétique maximale se produit quand $\\theta = 0$ (passage par la verticale) :
$E_{c,max} = \\frac{1}{2}mv_{max}^2$
Remplacement :
$E_{c,max} = \\frac{1}{2} \\times 0.5 \\times (0.479)^2$
Calcul :
$E_{c,max} = 0.25 \\times 0.2295 = 0.0574\\,\\text{J}$
Vérification de la conservation : $E_{p,max} \\approx E_{c,max}$ (différence due aux arrondis).
Résultat : L'énergie potentielle maximale est $E_{p,max} = 0.0571\\,\\text{J}$, l'énergie cinétique maximale est $E_{c,max} = 0.0574\\,\\text{J}$, et l'énergie mécanique est conservée.
",
"id_category": "1",
"id_number": "27"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 4 : Oscillations Torsionnelles d'un Disque Un disque homogĂšne de masse $m = 3\\,\\text{kg}$ et de rayon $R = 0.15\\,\\text{m}$ est suspendu horizontalement par un fil vertical attachĂ© en son centre. Le moment d'inertie du disque par rapport Ă l'axe vertical est $J = \\frac{1}{2}mR^2$. Lorsqu'on fait tourner le disque d'un angle $\\theta$ autour de l'axe vertical, le fil exerce un couple de rappel $C = -K\\theta$ oĂč $K = 0.8\\,\\text{N·m/rad}$ est la constante de torsion. Le disque est tordu d'un angle initial $\\theta_0 = 15^\\circ$ puis relĂąchĂ©.
Question 1 : Calculer le moment d'inertie $J$ du disque et la pulsation propre $\\omega_0$ des oscillations torsionnelles.
Question 2 : Déterminer la période $T_0$ des oscillations et la fréquence $f_0$ en Hertz.
Question 3 : Ătablir l'Ă©quation horaire $\\theta(t)$ et calculer l'angle de torsion Ă $t = 2\\,\\text{s}$.
Question 4 : Calculer la vitesse angulaire maximale $\\dot{\\theta}_{max}$ et l'énergie cinétique rotationnelle maximale $E_{c,max}$ du disque.
",
"svg": "Fil de torsion R Ξ Disque (m) Couple C = -KΞ Vue de dessus du disque ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 4
Question 1 : Moment d'inertie et pulsation propre
Le moment d'inertie d'un disque homogĂšne par rapport Ă un axe perpendiculaire passant par son centre est :
$J = \\frac{1}{2}mR^2$
Remplacement des valeurs :
$J = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times (0.15)^2$
Calcul :
$J = 1.5 \\times 0.0225 = 0.03375\\,\\text{kg·m}^2$
Pour un oscillateur de torsion, la pulsation propre est donnée par :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{K}{J}}$
Remplacement des valeurs :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{0.8}{0.03375}}$
Calcul :
$\\omega_0 = \\sqrt{23.704} = 4.869\\,\\text{rad/s}$
RĂ©sultat : Le moment d'inertie est $J = 0.03375\\,\\text{kg·m}^2$ et la pulsation propre est $\\omega_0 = 4.869\\,\\text{rad/s}$.
Question 2 : Période et fréquence des oscillations
La période des oscillations torsionnelles est :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
Remplacement de la pulsation :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{4.869} = \\frac{6.283}{4.869}$
Calcul :
$T_0 = 1.290\\,\\text{s}$
La fréquence est l'inverse de la période :
$f_0 = \\frac{1}{T_0}$
Remplacement :
$f_0 = \\frac{1}{1.290}$
Calcul :
$f_0 = 0.775\\,\\text{Hz}$
Résultat : La période est $T_0 = 1.290\\,\\text{s}$ et la fréquence est $f_0 = 0.775\\,\\text{Hz}$.
Question 3 : Ăquation horaire et angle Ă t = 2 s
Conversion de l'angle initial en radians :
$\\theta_0 = 15^\\circ \\times \\frac{\\pi}{180} = 0.2618\\,\\text{rad}$
Pour un systÚme lùché sans vitesse angulaire initiale, l'équation horaire est :
$\\theta(t) = \\theta_0\\cos(\\omega_0 t)$
Remplacement des paramĂštres :
$\\theta(t) = 0.2618\\cos(4.869t)\\,\\text{rad}$
Calcul de l'angle Ă $t = 2\\,\\text{s}$ :
$\\theta(2) = 0.2618\\cos(4.869 \\times 2)$
Calcul de l'argument :
$\\theta(2) = 0.2618\\cos(9.738\\,\\text{rad})$
Calcul du cosinus :
$\\cos(9.738) = -0.8607$
Résultat final :
$\\theta(2) = 0.2618 \\times (-0.8607) = -0.2253\\,\\text{rad} = -12.91^\\circ$
Résultat : L'équation horaire est $\\theta(t) = 0.2618\\cos(4.869t)\\,\\text{rad}$ et l'angle à $t = 2\\,\\text{s}$ est $\\theta(2) = -12.91^\\circ$.
Question 4 : Vitesse angulaire et énergie cinétique maximales
La vitesse angulaire est la dérivée temporelle de l'angle :
$\\dot{\\theta}(t) = -\\theta_0\\omega_0\\sin(\\omega_0 t)$
La vitesse angulaire maximale se produit quand $\\sin(\\omega_0 t) = \\pm 1$ :
$\\dot{\\theta}_{max} = \\theta_0\\omega_0$
Remplacement des valeurs :
$\\dot{\\theta}_{max} = 0.2618 \\times 4.869$
Calcul :
$\\dot{\\theta}_{max} = 1.275\\,\\text{rad/s}$
L'énergie cinétique rotationnelle maximale est :
$E_{c,max} = \\frac{1}{2}J\\dot{\\theta}_{max}^2$
Remplacement des valeurs :
$E_{c,max} = \\frac{1}{2} \\times 0.03375 \\times (1.275)^2$
Calcul :
$E_{c,max} = 0.016875 \\times 1.626 = 0.0274\\,\\text{J}$
Vérification : on peut aussi calculer l'énergie avec $E = \\frac{1}{2}K\\theta_0^2 = \\frac{1}{2} \\times 0.8 \\times (0.2618)^2 = 0.0274\\,\\text{J}$.
Résultat : La vitesse angulaire maximale est $\\dot{\\theta}_{max} = 1.275\\,\\text{rad/s}$ et l'énergie cinétique rotationnelle maximale est $E_{c,max} = 0.0274\\,\\text{J}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "28"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 5 : SystÚme Masse-Ressort avec Conditions Initiales Complexes Un systÚme oscillant horizontal est formé d'une masse $m = 1.5\\,\\text{kg}$ attachée à un ressort de constante $k = 600\\,\\text{N/m}$. à l'instant initial $t = 0$, la masse se trouve à la position $x_0 = -0.03\\,\\text{m}$ (comprimé) et possÚde une vitesse $v_0 = -0.6\\,\\text{m/s}$ (vers les positions négatives).
Question 1 : Calculer la pulsation propre $\\omega_0$, la période $T_0$, et la fréquence $f_0$ du systÚme.
Question 2 : Déterminer l'amplitude $A$ des oscillations et la phase initiale $\\varphi$ en tenant compte du signe de la vitesse.
Question 3 : Ăcrire l'Ă©quation horaire complĂšte $x(t)$ et calculer les deux premiers instants $t_1$ et $t_2$ oĂč la masse passe par la position d'Ă©quilibre.
Question 4 : Calculer l'énergie potentielle élastique $E_p$, l'énergie cinétique $E_c$, et l'énergie mécanique totale $E_m$ à l'instant initial, puis vérifier la conservation à l'instant du premier passage par l'équilibre.
",
"svg": "MUR m O x(t) v₀ < 0 k Position initiale: x₀ = -0.03 m v₀ = -0.6 m/s ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 5
Question 1 : Pulsation, période et fréquence
La pulsation propre du systĂšme masse-ressort est :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$
Remplacement des valeurs :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{600}{1.5}} = \\sqrt{400}$
Calcul :
$\\omega_0 = 20\\,\\text{rad/s}$
La période des oscillations est :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
Remplacement :
$T_0 = \\frac{2\\pi}{20} = \\frac{\\pi}{10}$
Calcul numérique :
$T_0 = 0.314\\,\\text{s}$
La fréquence est :
$f_0 = \\frac{\\omega_0}{2\\pi} = \\frac{20}{2\\pi} = \\frac{10}{\\pi}$
Calcul :
$f_0 = 3.183\\,\\text{Hz}$
Résultat : La pulsation propre est $\\omega_0 = 20\\,\\text{rad/s}$, la période est $T_0 = 0.314\\,\\text{s}$, et la fréquence est $f_0 = 3.183\\,\\text{Hz}$.
Question 2 : Amplitude et phase initiale
L'amplitude des oscillations avec conditions initiales générales est :
$A = \\sqrt{x_0^2 + \\left(\\frac{v_0}{\\omega_0}\\right)^2}$
Remplacement des valeurs :
$A = \\sqrt{(-0.03)^2 + \\left(\\frac{-0.6}{20}\\right)^2} = \\sqrt{0.0009 + (-0.03)^2}$
Calcul :
$A = \\sqrt{0.0009 + 0.0009} = \\sqrt{0.0018} = 0.04243\\,\\text{m}$
Pour déterminer la phase initiale, on utilise :
$\\cos(\\varphi) = \\frac{x_0}{A}\\quad\\text{et}\\quad\\sin(\\varphi) = -\\frac{v_0}{A\\omega_0}$
Calcul du cosinus :
$\\cos(\\varphi) = \\frac{-0.03}{0.04243} = -0.707$
Calcul du sinus :
$\\sin(\\varphi) = -\\frac{(-0.6)}{0.04243 \\times 20} = \\frac{0.6}{0.8486} = 0.707$
Ces valeurs correspondent Ă $\\cos(\\varphi) < 0$ et $\\sin(\\varphi) > 0$, donc $\\varphi$ est dans le deuxiĂšme quadrant :
$\\varphi = \\pi - \\arccos(0.707) = \\pi - \\frac{\\pi}{4} = \\frac{3\\pi}{4}\\,\\text{rad}$
Calcul numérique :
$\\varphi = 2.356\\,\\text{rad} = 135^\\circ$
Résultat : L'amplitude est $A = 0.04243\\,\\text{m} = 4.24\\,\\text{cm}$ et la phase initiale est $\\varphi = 2.356\\,\\text{rad} = 135^\\circ$.
Question 3 : Ăquation horaire et instants de passage par l'Ă©quilibre
L'équation horaire complÚte est :
$x(t) = A\\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$
Remplacement des paramĂštres :
$x(t) = 0.04243\\cos(20t + 2.356)\\,\\text{m}$
La masse passe par la position d'équilibre quand $x(t) = 0$, donc :
$\\cos(20t + 2.356) = 0$
Ceci se produit quand l'argument vaut $\\frac{\\pi}{2} + n\\pi$ oĂč $n$ est un entier :
$20t + 2.356 = \\frac{\\pi}{2} + n\\pi$
Résolution pour $t$ :
$t = \\frac{\\frac{\\pi}{2} + n\\pi - 2.356}{20}$
Pour $n = 0$ (premier passage) :
$t_1 = \\frac{1.571 - 2.356}{20} = \\frac{-0.785}{20} = -0.0393\\,\\text{s}$
Cette valeur négative n'est pas physique. Prenons $n = 1$ :
$t_1 = \\frac{1.571 + 3.142 - 2.356}{20} = \\frac{2.357}{20} = 0.118\\,\\text{s}$
Pour $n = 2$ (deuxiĂšme passage) :
$t_2 = \\frac{1.571 + 2 \\times 3.142 - 2.356}{20} = \\frac{5.499}{20} = 0.275\\,\\text{s}$
Résultat : L'équation horaire est $x(t) = 0.04243\\cos(20t + 2.356)\\,\\text{m}$, le premier passage par l'équilibre est à $t_1 = 0.118\\,\\text{s}$ et le deuxiÚme à $t_2 = 0.275\\,\\text{s}$.
Question 4 : Ănergies Ă t = 0 et vĂ©rification de la conservation
à l'instant initial, l'énergie potentielle élastique est :
$E_p(0) = \\frac{1}{2}kx_0^2$
Remplacement :
$E_p(0) = \\frac{1}{2} \\times 600 \\times (-0.03)^2 = 300 \\times 0.0009$
Calcul :
$E_p(0) = 0.27\\,\\text{J}$
L'énergie cinétique initiale est :
$E_c(0) = \\frac{1}{2}mv_0^2$
Remplacement :
$E_c(0) = \\frac{1}{2} \\times 1.5 \\times (-0.6)^2 = 0.75 \\times 0.36$
Calcul :
$E_c(0) = 0.27\\,\\text{J}$
L'énergie mécanique totale est :
$E_m = E_p(0) + E_c(0)$
Calcul :
$E_m = 0.27 + 0.27 = 0.54\\,\\text{J}$
Au premier passage par l'équilibre ($t_1 = 0.118\\,\\text{s}$), $x = 0$ donc $E_p = 0$ et toute l'énergie est cinétique. La vitesse à cet instant est maximale :
$v_{max} = A\\omega_0 = 0.04243 \\times 20 = 0.8486\\,\\text{m/s}$
Ănergie cinĂ©tique au passage par l'Ă©quilibre :
$E_c(t_1) = \\frac{1}{2}m v_{max}^2 = \\frac{1}{2} \\times 1.5 \\times (0.8486)^2 = 0.75 \\times 0.7201 = 0.54\\,\\text{J}$
Vérification : $E_m = E_c(t_1) = 0.54\\,\\text{J}$, l'énergie est bien conservée.
Résultat : à $t = 0$ : $E_p = 0.27\\,\\text{J}$, $E_c = 0.27\\,\\text{J}$, $E_m = 0.54\\,\\text{J}$. Au passage par l'équilibre : $E_c(t_1) = 0.54\\,\\text{J}$, l'énergie est conservée.
",
"id_category": "1",
"id_number": "29"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 1 : Mouvement Rectiligne d'un Mobile sur une Piste Un mobile se dĂ©place sur une piste rectiligne selon une loi horaire donnĂ©e par : $x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 5$, oĂč $x$ est exprimĂ© en mĂštres et $t$ en secondes.
Question 1 : Déterminer l'expression de la vitesse $v(t)$ du mobile en fonction du temps, puis calculer sa valeur numérique à l'instant $t = 2 \\, \\text{s}$.
Question 2 : Déterminer l'expression de l'accélération $a(t)$ du mobile en fonction du temps, puis calculer sa valeur numérique à l'instant $t = 2 \\, \\text{s}$.
Question 3 : DĂ©terminer les instants oĂč le mobile s'arrĂȘte (vitesse nulle) et prĂ©ciser les positions correspondantes.
Question 4 : Calculer la distance totale parcourue par le mobile entre $t = 0 \\, \\text{s}$ et $t = 3 \\, \\text{s}$.
",
"svg": "O x Mobile M v(t) x(t) = 2t³ - 9t² + 12t + 5 ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 1 Question 1 : Calcul de la vitesse Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale La vitesse est la dĂ©rivĂ©e premiĂšre de la position par rapport au temps :
$v(t) = \\frac{dx}{dt}$
Ătape 2 : Calcul de la dĂ©rivĂ©e En dĂ©rivant $x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 5$ :
$v(t) = \\frac{d}{dt}(2t^3 - 9t^2 + 12t + 5)$
$v(t) = 6t^2 - 18t + 12$
Ătape 3 : Calcul Ă $t = 2 \\, \\text{s}$ On remplace $t = 2$ dans l'expression de la vitesse :
$v(2) = 6(2)^2 - 18(2) + 12$
$v(2) = 6 \\times 4 - 36 + 12$
$v(2) = 24 - 36 + 12$
$v(2) = 0 \\, \\text{m/s}$
Résultat final : $v(t) = 6t^2 - 18t + 12 \\, \\text{m/s}$ et $v(2) = 0 \\, \\text{m/s}$
Question 2 : Calcul de l'accĂ©lĂ©ration Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale L'accĂ©lĂ©ration est la dĂ©rivĂ©e de la vitesse par rapport au temps :
$a(t) = \\frac{dv}{dt}$
Ătape 2 : Calcul de la dĂ©rivĂ©e En dĂ©rivant $v(t) = 6t^2 - 18t + 12$ :
$a(t) = \\frac{d}{dt}(6t^2 - 18t + 12)$
$a(t) = 12t - 18$
Ătape 3 : Calcul Ă $t = 2 \\, \\text{s}$ On remplace $t = 2$ dans l'expression de l'accĂ©lĂ©ration :
$a(2) = 12(2) - 18$
$a(2) = 24 - 18$
$a(2) = 6 \\, \\text{m/s}^2$
Résultat final : $a(t) = 12t - 18 \\, \\text{m/s}^2$ et $a(2) = 6 \\, \\text{m/s}^2$
Question 3 : Instants d'arrĂȘt et positions Ătape 1 : Condition d'arrĂȘt Le mobile s'arrĂȘte quand $v(t) = 0$ :
$6t^2 - 18t + 12 = 0$
Ătape 2 : Simplification On divise par $6$ :
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Ătape 3 : RĂ©solution de l'Ă©quation du second degrĂ© On factorise :
$(t - 1)(t - 2) = 0$
Donc : $t_1 = 1 \\, \\text{s}$ et $t_2 = 2 \\, \\text{s}$
Ătape 4 : Positions correspondantes Pour $t_1 = 1 \\, \\text{s}$ :
$x(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5$
$x(1) = 2 - 9 + 12 + 5 = 10 \\, \\text{m}$
Pour $t_2 = 2 \\, \\text{s}$ :
$x(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 5$
$x(2) = 16 - 36 + 24 + 5 = 9 \\, \\text{m}$
RĂ©sultat final : Le mobile s'arrĂȘte Ă $t = 1 \\, \\text{s}$ (position $x = 10 \\, \\text{m}$) et Ă $t = 2 \\, \\text{s}$ (position $x = 9 \\, \\text{m}$).
Question 4 : Distance totale parcourue Ătape 1 : Analyse du mouvement Le mobile change de sens aux instants $t = 1 \\, \\text{s}$ et $t = 2 \\, \\text{s}$. Il faut calculer les distances sur chaque intervalle.
Ătape 2 : Distance de $t = 0$ Ă $t = 1 \\, \\text{s}$ Position initiale : $x(0) = 5 \\, \\text{m}$ Position Ă $t = 1$ : $x(1) = 10 \\, \\text{m}$
$d_1 = |x(1) - x(0)| = |10 - 5| = 5 \\, \\text{m}$
Ătape 3 : Distance de $t = 1$ Ă $t = 2 \\, \\text{s}$ Position Ă $t = 1$ : $x(1) = 10 \\, \\text{m}$ Position Ă $t = 2$ : $x(2) = 9 \\, \\text{m}$
$d_2 = |x(2) - x(1)| = |9 - 10| = 1 \\, \\text{m}$
Ătape 4 : Distance de $t = 2$ Ă $t = 3 \\, \\text{s}$ Position Ă $t = 2$ : $x(2) = 9 \\, \\text{m}$ Position Ă $t = 3$ :
$x(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) + 5$
$x(3) = 54 - 81 + 36 + 5 = 14 \\, \\text{m}$
$d_3 = |x(3) - x(2)| = |14 - 9| = 5 \\, \\text{m}$
Ătape 5 : Distance totale
$d_{\\text{totale}} = d_1 + d_2 + d_3$
$d_{\\text{totale}} = 5 + 1 + 5$
$d_{\\text{totale}} = 11 \\, \\text{m}$
Résultat final : La distance totale parcourue entre $t = 0 \\, \\text{s}$ et $t = 3 \\, \\text{s}$ est $d = 11 \\, \\text{m}$.
",
"id_category": "1",
"id_number": "30"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 2 : Mouvement Parabolique d'un Projectile Un projectile est lancĂ© depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 30 \\, \\text{m/s}$ faisant un angle $\\alpha = 53^\\circ$ avec l'horizontale. On prend $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$ et on nĂ©glige la rĂ©sistance de l'air. On utilise un repĂšre $(O, \\vec{i}, \\vec{j})$ oĂč $O$ est le point de lancement, $\\vec{i}$ est horizontal et $\\vec{j}$ est vertical ascendant. DonnĂ©es : $\\cos(53^\\circ) = 0,6$ et $\\sin(53^\\circ) = 0,8$.
Question 1 : Déterminer les composantes de la vitesse initiale $v_{0x}$ et $v_{0y}$, puis établir les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du mouvement.
Question 2 : Calculer la durée totale du vol $T$ du projectile (temps pour retomber au sol).
Question 3 : Calculer la portée horizontale $R$ du projectile (distance horizontale parcourue).
Question 4 : Déterminer la hauteur maximale $h_{\\text{max}}$ atteinte par le projectile et l'instant $t_{\\text{max}}$ correspondant.
",
"svg": "x y O v₀ α = 53° h_max PortĂ©e R ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 2 Question 1 : Composantes de vitesse et Ă©quations horaires Ătape 1 : Composantes de la vitesse initiale La vitesse initiale se dĂ©compose selon les axes :
$v_{0x} = v_0 \\cos(\\alpha)$
$v_{0y} = v_0 \\sin(\\alpha)$
Ătape 2 : Calcul numĂ©rique de $v_{0x}$
$v_{0x} = 30 \\times 0,6$
$v_{0x} = 18 \\, \\text{m/s}$
Ătape 3 : Calcul numĂ©rique de $v_{0y}$
$v_{0y} = 30 \\times 0,8$
$v_{0y} = 24 \\, \\text{m/s}$
Ătape 4 : Ăquations horaires Le mouvement selon $x$ est uniforme (aucune accĂ©lĂ©ration horizontale) :
$x(t) = v_{0x} t$
$x(t) = 18t$
Le mouvement selon $y$ est uniformément accéléré avec $a_y = -g$ :
$y(t) = v_{0y} t - \\frac{1}{2}gt^2$
$y(t) = 24t - \\frac{1}{2} \\times 10 \\times t^2$
$y(t) = 24t - 5t^2$
Résultat final : $v_{0x} = 18 \\, \\text{m/s}$, $v_{0y} = 24 \\, \\text{m/s}$, $x(t) = 18t$ et $y(t) = 24t - 5t^2$
Question 2 : DurĂ©e totale du vol Ătape 1 : Condition de retour au sol Le projectile retombe au sol quand $y(T) = 0$ :
$24T - 5T^2 = 0$
Ătape 2 : Factorisation
$T(24 - 5T) = 0$
Les solutions sont $T = 0$ (instant de départ) et $24 - 5T = 0$
Ătape 3 : Calcul de $T$
$5T = 24$
$T = \\frac{24}{5}$
$T = 4,8 \\, \\text{s}$
Résultat final : La durée totale du vol est $T = 4,8 \\, \\text{s}$
Question 3 : PortĂ©e horizontale Ătape 1 : Formule de la portĂ©e La portĂ©e est la distance horizontale parcourue pendant la durĂ©e $T$ :
$R = x(T)$
Ătape 2 : Substitution
$R = 18 \\times T$
Ătape 3 : Calcul numĂ©rique
$R = 18 \\times 4,8$
$R = 86,4 \\, \\text{m}$
Résultat final : La portée horizontale du projectile est $R = 86,4 \\, \\text{m}$
Question 4 : Hauteur maximale et instant correspondant Ătape 1 : Condition de hauteur maximale La hauteur est maximale quand la vitesse verticale s'annule. La vitesse verticale est :
$v_y(t) = \\frac{dy}{dt} = 24 - 10t$
Ă la hauteur maximale : $v_y(t_{\\text{max}}) = 0$
Ătape 2 : Calcul de $t_{\\text{max}}$
$24 - 10t_{\\text{max}} = 0$
$10t_{\\text{max}} = 24$
$t_{\\text{max}} = \\frac{24}{10}$
$t_{\\text{max}} = 2,4 \\, \\text{s}$
Ătape 3 : Calcul de $h_{\\text{max}}$
$h_{\\text{max}} = y(t_{\\text{max}}) = 24 \\times 2,4 - 5 \\times (2,4)^2$
$h_{\\text{max}} = 57,6 - 5 \\times 5,76$
$h_{\\text{max}} = 57,6 - 28,8$
$h_{\\text{max}} = 28,8 \\, \\text{m}$
Résultat final : La hauteur maximale est $h_{\\text{max}} = 28,8 \\, \\text{m}$ atteinte à l'instant $t_{\\text{max}} = 2,4 \\, \\text{s}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "31"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 3 : Mouvement Circulaire Uniforme d'une Particule Une particule $M$ décrit un mouvement circulaire uniforme de rayon $R = 0,5 \\, \\text{m}$ dans le plan horizontal. à l'instant $t = 0$, la particule se trouve sur l'axe $Ox$ et sa vitesse angulaire est constante $\\omega = 4 \\, \\text{rad/s}$. On utilise un repÚre polaire $(O, \\vec{e}_r, \\vec{e}_\\theta)$ centré en $O$ (centre du cercle).
Question 1 : Déterminer l'expression de l'angle $\\theta(t)$ en fonction du temps, puis calculer sa valeur à l'instant $t = \\frac{\\pi}{8} \\, \\text{s}$.
Question 2 : Calculer le module de la vitesse linéaire $v$ de la particule.
Question 3 : Déterminer le module de l'accélération centripÚte $a_c$ de la particule.
Question 4 : Calculer la distance parcourue $s$ par la particule pendant une durée $\\Delta t = 5 \\, \\text{s}$ et déterminer le nombre de tours $n$ effectués pendant cette durée.
",
"svg": "x y O M(t=0) M(t) R Ξ(t) v a_c Ï ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 3 Question 1 : Expression de l'angle et calcul numĂ©rique Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale Pour un mouvement circulaire uniforme, l'angle varie linĂ©airement avec le temps :
$\\theta(t) = \\omega t + \\theta_0$
Avec $\\theta_0 = 0$ (la particule démarre sur l'axe $Ox$) :
$\\theta(t) = \\omega t$
Ătape 2 : Substitution de la vitesse angulaire
$\\theta(t) = 4t$
Ătape 3 : Calcul Ă $t = \\frac{\\pi}{8} \\, \\text{s}$
$\\theta\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = 4 \\times \\frac{\\pi}{8}$
$\\theta\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = \\frac{4\\pi}{8}$
$\\theta\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = \\frac{\\pi}{2} \\, \\text{rad}$
Ătape 4 : Conversion en degrĂ©s (optionnel)
$\\theta\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = \\frac{\\pi}{2} \\times \\frac{180}{\\pi} = 90^\\circ$
Résultat final : $\\theta(t) = 4t \\, \\text{rad}$ et $\\theta\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = \\frac{\\pi}{2} \\, \\text{rad} = 90^\\circ$
Question 2 : Module de la vitesse linĂ©aire Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale Pour un mouvement circulaire, la vitesse linĂ©aire est reliĂ©e Ă la vitesse angulaire par :
$v = R\\omega$
Ătape 2 : Substitution des valeurs
$v = 0,5 \\times 4$
Ătape 3 : Calcul
$v = 2 \\, \\text{m/s}$
Résultat final : Le module de la vitesse linéaire est $v = 2 \\, \\text{m/s}$
Question 3 : Module de l'accĂ©lĂ©ration centripĂšte Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale L'accĂ©lĂ©ration centripĂšte dans un mouvement circulaire uniforme est dirigĂ©e vers le centre et a pour module :
$a_c = \\frac{v^2}{R}$
Ou de maniÚre équivalente :
$a_c = R\\omega^2$
Ătape 2 : Utilisation de la deuxiĂšme formule
$a_c = 0,5 \\times (4)^2$
$a_c = 0,5 \\times 16$
Ătape 3 : Calcul
$a_c = 8 \\, \\text{m/s}^2$
Vérification avec la premiÚre formule :
$a_c = \\frac{(2)^2}{0,5} = \\frac{4}{0,5} = 8 \\, \\text{m/s}^2$
Résultat final : Le module de l'accélération centripÚte est $a_c = 8 \\, \\text{m/s}^2$
Question 4 : Distance parcourue et nombre de tours Ătape 1 : Formule de la distance parcourue La distance parcourue est le produit de la vitesse par le temps :
$s = v \\times \\Delta t$
Ătape 2 : Substitution des valeurs
$s = 2 \\times 5$
Ătape 3 : Calcul de la distance
$s = 10 \\, \\text{m}$
Ătape 4 : Calcul du pĂ©rimĂštre du cercle Le pĂ©rimĂštre d'un tour complet est :
$P = 2\\pi R$
$P = 2\\pi \\times 0,5$
$P = \\pi \\, \\text{m}$
Ătape 5 : Calcul du nombre de tours
$n = \\frac{s}{P}$
$n = \\frac{10}{\\pi}$
$n = \\frac{10}{3,14159} \\approx 3,18 \\, \\text{tours}$
Résultat final : La distance parcourue est $s = 10 \\, \\text{m}$ et le nombre de tours effectués est $n \\approx 3,18 \\, \\text{tours}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "32"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 4 : Mouvement Curviligne en CoordonnĂ©es Polaires Une particule se dĂ©place dans le plan selon une trajectoire dont l'Ă©quation en coordonnĂ©es polaires est : $r(t) = 2 + 3t$ (en mĂštres) et $\\theta(t) = t^2$ (en radians), oĂč $t$ est le temps en secondes.
Question 1 : Déterminer les composantes radiale $v_r$ et orthoradiale $v_\\theta$ de la vitesse à l'instant $t = 1 \\, \\text{s}$.
Question 2 : Calculer le module de la vitesse $v$ Ă l'instant $t = 1 \\, \\text{s}$.
Question 3 : Déterminer les composantes radiale $a_r$ et orthoradiale $a_\\theta$ de l'accélération à l'instant $t = 1 \\, \\text{s}$.
Question 4 : Calculer le module de l'accélération $a$ à l'instant $t = 1 \\, \\text{s}$.
",
"svg": "x y O M(t) r(t) Ξ(t) e_r e_Ξ v r(t) = 2 + 3t Ξ(t) = t² ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 4 Question 1 : Composantes de la vitesse Ătape 1 : Formules gĂ©nĂ©rales en coordonnĂ©es polaires Les composantes de la vitesse en coordonnĂ©es polaires sont :
$v_r = \\frac{dr}{dt}$
$v_\\theta = r\\frac{d\\theta}{dt}$
Ătape 2 : Calcul de $\\frac{dr}{dt}$ Avec $r(t) = 2 + 3t$ :
$\\frac{dr}{dt} = 3 \\, \\text{m/s}$
Donc : $v_r = 3 \\, \\text{m/s}$ (constante)
Ătape 3 : Calcul de $\\frac{d\\theta}{dt}$ Avec $\\theta(t) = t^2$ :
$\\frac{d\\theta}{dt} = 2t \\, \\text{rad/s}$
Ătape 4 : Calcul de $r(1)$
$r(1) = 2 + 3(1) = 5 \\, \\text{m}$
Ătape 5 : Calcul de $\\frac{d\\theta}{dt}$ Ă $t = 1 \\, \\text{s}$
$\\left.\\frac{d\\theta}{dt}\\right|_{t=1} = 2(1) = 2 \\, \\text{rad/s}$
Ătape 6 : Calcul de $v_\\theta$ Ă $t = 1 \\, \\text{s}$
$v_\\theta = r(1) \\times \\left.\\frac{d\\theta}{dt}\\right|_{t=1}$
$v_\\theta = 5 \\times 2$
$v_\\theta = 10 \\, \\text{m/s}$
Résultat final : à $t = 1 \\, \\text{s}$, $v_r = 3 \\, \\text{m/s}$ et $v_\\theta = 10 \\, \\text{m/s}$
Question 2 : Module de la vitesse Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale Le module de la vitesse en coordonnĂ©es polaires est :
$v = \\sqrt{v_r^2 + v_\\theta^2}$
Ătape 2 : Substitution des valeurs
$v = \\sqrt{(3)^2 + (10)^2}$
$v = \\sqrt{9 + 100}$
$v = \\sqrt{109}$
Ătape 3 : Calcul numĂ©rique
$v \\approx 10,44 \\, \\text{m/s}$
Résultat final : Le module de la vitesse à $t = 1 \\, \\text{s}$ est $v = \\sqrt{109} \\approx 10,44 \\, \\text{m/s}$
Question 3 : Composantes de l'accĂ©lĂ©ration Ătape 1 : Formules gĂ©nĂ©rales en coordonnĂ©es polaires Les composantes de l'accĂ©lĂ©ration en coordonnĂ©es polaires sont :
$a_r = \\frac{d^2r}{dt^2} - r\\left(\\frac{d\\theta}{dt}\\right)^2$
$a_\\theta = r\\frac{d^2\\theta}{dt^2} + 2\\frac{dr}{dt}\\frac{d\\theta}{dt}$
Ătape 2 : Calcul de $\\frac{d^2r}{dt^2}$ Avec $\\frac{dr}{dt} = 3$ (constante) :
$\\frac{d^2r}{dt^2} = 0 \\, \\text{m/s}^2$
Ătape 3 : Calcul de $\\frac{d^2\\theta}{dt^2}$ Avec $\\frac{d\\theta}{dt} = 2t$ :
$\\frac{d^2\\theta}{dt^2} = 2 \\, \\text{rad/s}^2$
Ătape 4 : Calcul de $a_r$ Ă $t = 1 \\, \\text{s}$
$a_r = 0 - 5 \\times (2)^2$
$a_r = -5 \\times 4$
$a_r = -20 \\, \\text{m/s}^2$
Ătape 5 : Calcul de $a_\\theta$ Ă $t = 1 \\, \\text{s}$
$a_\\theta = 5 \\times 2 + 2 \\times 3 \\times 2$
$a_\\theta = 10 + 12$
$a_\\theta = 22 \\, \\text{m/s}^2$
Résultat final : à $t = 1 \\, \\text{s}$, $a_r = -20 \\, \\text{m/s}^2$ et $a_\\theta = 22 \\, \\text{m/s}^2$
Question 4 : Module de l'accĂ©lĂ©ration Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale Le module de l'accĂ©lĂ©ration en coordonnĂ©es polaires est :
$a = \\sqrt{a_r^2 + a_\\theta^2}$
Ătape 2 : Substitution des valeurs
$a = \\sqrt{(-20)^2 + (22)^2}$
$a = \\sqrt{400 + 484}$
$a = \\sqrt{884}$
Ătape 3 : Calcul numĂ©rique
$a \\approx 29,73 \\, \\text{m/s}^2$
Résultat final : Le module de l'accélération à $t = 1 \\, \\text{s}$ est $a = \\sqrt{884} \\approx 29,73 \\, \\text{m/s}^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "33"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 3 : Mouvement d'un satellite en coordonnĂ©es sphĂ©riques \nUn satellite artificiel se dĂ©place dans un plan Ă©quatorial autour d'une planĂšte selon une orbite circulaire de rayon $r = R = 8000\\text{ km}$. On utilise des coordonnĂ©es sphĂ©riques $(r, \\theta, \\phi)$ oĂč $\\theta$ est l'angle polaire (depuis l'axe $z$) et $\\phi$ est l'azimut. Le satellite reste dans le plan Ă©quatorial ($\\theta = \\frac{\\pi}{2}$) et effectue une rĂ©volution complĂšte en $T = 120\\text{ min}$.
\n\nQuestion 1 : Exprimer la loi de mouvement du satellite en coordonnées sphériques. Calculer la vitesse angulaire $\\omega$ en $\\text{rad/s}$ et déterminer le vecteur position $\\vec{r}(t)$ en coordonnées cartésiennes à $t = 30\\text{ min}$.
\n\nQuestion 2 : Calculer le vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ en coordonnées sphériques, puis déterminer son expression en coordonnées cartésiennes. Vérifier que le module de la vitesse est constant et calculer sa valeur numérique.
\n\nQuestion 3 : Déterminer le vecteur accélération $\\vec{a}(t)$ en coordonnées sphériques. Calculer l'accélération centripÚte et montrer qu'elle est proportionnelle à $\\omega^2 R$. En déduire la valeur numérique de l'accélération gravitationnelle à cette altitude.
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n z \n \n \n \n x \n \n \n \n y \n \n \n \n t=0 \n \n \n \n t=30min \n \n \n \n R \n \n \n \n Ï \n \n \n \n Ξ=Ï/2 \n \n \n \n v \n \n \n \n a \n \n \n \n Ï \n \n \n \n Plan Ă©quatorial \n \n \n \n Centre \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 3 :
\n\nQuestion 1 : Loi de mouvement et vecteur position
\n\n1. Loi de mouvement en coordonnées sphériques :
\nLe satellite reste sur une orbite circulaire dans le plan équatorial, donc :
\n$r(t) = R = 8000\\text{ km} = 8 \\times 10^6\\text{ m}$
\n$\\theta(t) = \\frac{\\pi}{2}\\text{ (constant, plan équatorial)}$
\n$\\phi(t) = \\omega t$
\n\n2. Calcul de la vitesse angulaire :
\n$\\omega = \\frac{2\\pi}{T}$
\n\nAvec $T = 120\\text{ min} = 120 \\times 60 = 7200\\text{ s}$ :
\n\n$\\omega = \\frac{2\\pi}{7200} = \\frac{3.14159 \\times 2}{7200} = 8.727 \\times 10^{-4}\\text{ rad/s}$
\n\n3. Vecteur position en coordonnées cartésiennes :
\nLes relations de passage sont :
\n$x = r\\sin\\theta\\cos\\phi$
\n$y = r\\sin\\theta\\sin\\phi$
\n$z = r\\cos\\theta$
\n\nPour $\\theta = \\frac{\\pi}{2}$ : $\\sin\\theta = 1$ et $\\cos\\theta = 0$
\n\n$x(t) = R\\cos(\\omega t)$
\n$y(t) = R\\sin(\\omega t)$
\n$z(t) = 0$
\n\n4. Ă $t = 30\\text{ min} = 1800\\text{ s}$ :
\n$\\phi(1800) = 8.727 \\times 10^{-4} \\times 1800 = 1.571\\text{ rad} = \\frac{\\pi}{2}$
\n\n$x(1800) = 8 \\times 10^6 \\times \\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0\\text{ m}$
\n$y(1800) = 8 \\times 10^6 \\times \\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 8 \\times 10^6\\text{ m}$
\n$z(1800) = 0\\text{ m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\vec{r}(30\\text{ min}) = 8 \\times 10^6\\vec{e}_y\\text{ m}$
\n\nQuestion 2 : Vecteur vitesse et module
\n\n1. Formule générale en coordonnées sphériques :
\n$\\vec{v} = \\dot{r}\\vec{e}_r + r\\dot{\\theta}\\vec{e}_\\theta + r\\sin\\theta\\dot{\\phi}\\vec{e}_\\phi$
\n\n2. Calcul des dérivées temporelles :
\n$\\dot{r} = 0$ (rayon constant)
\n$\\dot{\\theta} = 0$ (angle polaire constant)
\n$\\dot{\\phi} = \\omega = 8.727 \\times 10^{-4}\\text{ rad/s}$
\n\n3. Expression en coordonnées sphériques :
\n$\\vec{v} = 0 + 0 + R\\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)\\omega\\vec{e}_\\phi = R\\omega\\vec{e}_\\phi$
\n\n$\\vec{v} = 8 \\times 10^6 \\times 8.727 \\times 10^{-4}\\vec{e}_\\phi = 6981.6\\vec{e}_\\phi\\text{ m/s}$
\n\n4. Expression en coordonnées cartésiennes :
\nLe vecteur unitaire $\\vec{e}_\\phi$ en coordonnées cartésiennes s'écrit :
\n$\\vec{e}_\\phi = -\\sin\\phi\\vec{e}_x + \\cos\\phi\\vec{e}_y$
\n\nDonc :
\n$\\vec{v}(t) = R\\omega(-\\sin(\\omega t)\\vec{e}_x + \\cos(\\omega t)\\vec{e}_y)$
\n\n$\\vec{v}(t) = -6981.6\\sin(\\omega t)\\vec{e}_x + 6981.6\\cos(\\omega t)\\vec{e}_y\\text{ m/s}$
\n\n5. Module de la vitesse :
\n$|\\vec{v}| = \\sqrt{(R\\omega\\sin(\\omega t))^2 + (R\\omega\\cos(\\omega t))^2} = R\\omega\\sqrt{\\sin^2(\\omega t) + \\cos^2(\\omega t)} = R\\omega$
\n\n$|\\vec{v}| = 8 \\times 10^6 \\times 8.727 \\times 10^{-4} = 6981.6\\text{ m/s} \\approx 6.98\\text{ km/s}$
\n\nLe module est constant car le mouvement est circulaire uniforme.
\n\nQuestion 3 : Vecteur accélération et accélération gravitationnelle
\n\n1. Formule générale de l'accélération en coordonnées sphériques :
\n$\\vec{a} = (\\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2 - r\\sin^2\\theta\\dot{\\phi}^2)\\vec{e}_r + (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta} - r\\sin\\theta\\cos\\theta\\dot{\\phi}^2)\\vec{e}_\\theta + (r\\sin\\theta\\ddot{\\phi} + 2\\dot{r}\\sin\\theta\\dot{\\phi} + 2r\\cos\\theta\\dot{\\theta}\\dot{\\phi})\\vec{e}_\\phi$
\n\n2. Calcul avec nos conditions :
\n$\\ddot{r} = 0$, $\\dot{r} = 0$, $\\ddot{\\theta} = 0$, $\\dot{\\theta} = 0$, $\\ddot{\\phi} = 0$, $\\theta = \\frac{\\pi}{2}$ donc $\\sin\\theta = 1$ et $\\cos\\theta = 0$
\n\nComposante radiale :
\n$a_r = 0 - 0 - R \\times 1^2 \\times \\omega^2 = -R\\omega^2$
\n\nComposantes $\\theta$ et $\\phi$ :
\n$a_\\theta = 0$, $a_\\phi = 0$
\n\n3. Vecteur accélération :
\n$\\vec{a} = -R\\omega^2\\vec{e}_r$
\n\nL'accélération est centripÚte (dirigée vers le centre de la planÚte).
\n\n4. Calcul numérique de l'accélération centripÚte :
\n$a_c = R\\omega^2 = 8 \\times 10^6 \\times (8.727 \\times 10^{-4})^2$
\n\n$a_c = 8 \\times 10^6 \\times 7.616 \\times 10^{-7} = 6.093\\text{ m/s}^2$
\n\n5. Relation avec l'accélération gravitationnelle :
\nPour un mouvement circulaire orbital, l'accélération centripÚte est égale à l'accélération gravitationnelle :
\n$g(R) = \\omega^2 R = 6.093\\text{ m/s}^2$
\n\nOn vérifie bien que $a_c \\propto \\omega^2 R$ avec un coefficient de proportionnalité égal à $1$.
\n\nRésultat final :
\n$\\vec{a} = -6.093\\vec{e}_r\\text{ m/s}^2$
\n$g(R) = 6.09\\text{ m/s}^2$
\n\nCette valeur est inférieure à l'accélération gravitationnelle au sol (environ $9.8\\text{ m/s}^2$ pour la Terre) car le satellite est à une altitude de $1400\\text{ km}$ au-dessus de la surface (en supposant un rayon planétaire de $6600\\text{ km}$).
",
"id_category": "1",
"id_number": "34"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 4 : Mouvement relatif - Train et passager \nUn train se déplace sur une voie rectiligne avec une vitesse constante $\\vec{V}_0 = 30\\text{ m/s}\\,\\vec{e}_x$ par rapport au sol (référentiel fixe $\\mathcal{R}_0$). à l'intérieur du wagon, un passager lance une balle verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $\\vec{v}_{r0} = 5\\text{ m/s}\\,\\vec{e}_z$ dans le référentiel du train $\\mathcal{R}$. On prendra $g = 10\\text{ m/s}^2$ et on négligera les frottements de l'air.
\n\nQuestion 1 : Calculer le vecteur vitesse initiale $\\vec{v}_{a0}$ de la balle dans le référentiel absolu (sol) $\\mathcal{R}_0$. Déterminer les équations horaires $x_a(t)$, $y_a(t)$, $z_a(t)$ du mouvement de la balle dans $\\mathcal{R}_0$ et calculer la distance horizontale parcourue par la balle lorsqu'elle retombe au niveau initial.
\n\nQuestion 2 : Dans le rĂ©fĂ©rentiel du train $\\mathcal{R}$, Ă©tablir les Ă©quations du mouvement de la balle. Calculer la hauteur maximale $h_{max}$ atteinte par la balle et le temps de vol total $t_{vol}$. VĂ©rifier que le passager rĂ©cupĂšre la balle au mĂȘme endroit oĂč il l'a lancĂ©e.
\n\nQuestion 3 : Si le train accĂ©lĂšre uniformĂ©ment avec $\\vec{a}_{train} = 2\\text{ m/s}^2\\,\\vec{e}_x$ au moment du lancer, calculer l'accĂ©lĂ©ration d'entraĂźnement $\\vec{a}_e$ et l'accĂ©lĂ©ration de Coriolis $\\vec{a}_c$ subies par la balle dans le rĂ©fĂ©rentiel du train. DĂ©terminer oĂč retombera la balle par rapport au passager (distance horizontale dans le train).
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n x (R₀) \n \n z \n \n \n \n V₀ = 30 m/s \n \n \n \n v_r0 = 5 m/s \n \n \n \n v_a \n \n \n Trajectoire vue \n du sol (R₀) \n \n Vue dans \n le train (R) \n \n \n \n Distance horizontale \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 4 :
\n\nQuestion 1 : Vitesse absolue et trajectoire dans le référentiel du sol
\n\n1. Formule générale de composition des vitesses :
\nDans un mouvement relatif, la vitesse absolue est la somme de la vitesse d'entraĂźnement et de la vitesse relative :
\n$\\vec{v}_{a0} = \\vec{V}_0 + \\vec{v}_{r0}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$\\vec{v}_{a0} = 30\\vec{e}_x + 5\\vec{e}_z\\text{ m/s}$
\n\nLes composantes initiales sont :
\n$v_{x0} = 30\\text{ m/s}$, $v_{y0} = 0\\text{ m/s}$, $v_{z0} = 5\\text{ m/s}$
\n\n3. Ăquations horaires dans $\\mathcal{R}_0$ :
\nLe mouvement selon $x$ est uniforme (pas de force horizontale) :
\n$x_a(t) = v_{x0}t = 30t\\text{ m}$
\n\nLe mouvement selon $y$ est nul (lancer vertical dans le train) :
\n$y_a(t) = 0\\text{ m}$
\n\nLe mouvement selon $z$ est uniformément décéléré :
\n$z_a(t) = v_{z0}t - \\frac{1}{2}gt^2 = 5t - 5t^2\\text{ m}$
\n\n4. Calcul du temps de vol :
\nLa balle retombe au niveau initial quand $z_a(t) = 0$ :
\n$5t - 5t^2 = 0 \\Rightarrow t(5 - 5t) = 0$
\n\nSolutions : $t = 0$ (lancer) ou $t = 1\\text{ s}$ (retombée)
\n\n5. Distance horizontale parcourue :
\n$d_x = x_a(1) = 30 \\times 1 = 30\\text{ m}$
\n\nRésultat final :
\n$\\vec{v}_{a0} = 30\\vec{e}_x + 5\\vec{e}_z\\text{ m/s}$
\n$d_x = 30\\text{ m}$
\n\nQuestion 2 : Mouvement dans le référentiel du train
\n\n1. Ăquations du mouvement dans $\\mathcal{R}$ :
\nDans le référentiel du train (qui se déplace à vitesse constante), le train est un référentiel galiléen. La balle subit uniquement la gravité :
\n\n$x_r(t) = 0\\text{ m}$ (pas de mouvement horizontal dans le train)
\n$y_r(t) = 0\\text{ m}$
\n$z_r(t) = v_{r0}t - \\frac{1}{2}gt^2 = 5t - 5t^2\\text{ m}$
\n\nLa vitesse verticale dans $\\mathcal{R}$ est :
\n$v_z(t) = v_{r0} - gt = 5 - 10t\\text{ m/s}$
\n\n2. Hauteur maximale :
\nLa hauteur maximale est atteinte quand $v_z = 0$ :
\n$5 - 10t = 0 \\Rightarrow t = 0.5\\text{ s}$
\n\n$h_{max} = z_r(0.5) = 5 \\times 0.5 - 5 \\times (0.5)^2 = 2.5 - 1.25 = 1.25\\text{ m}$
\n\n3. Temps de vol total :
\nLa balle retombe quand $z_r(t) = 0$ :
\n$5t - 5t^2 = 0 \\Rightarrow t = 1\\text{ s}$
\n\n$t_{vol} = 1\\text{ s}$
\n\n4. Position horizontale dans le train :
\nPuisque $x_r(t) = 0$ pour tout $t$, la balle ne se dĂ©place pas horizontalement dans le rĂ©fĂ©rentiel du train. Le passager rĂ©cupĂšre donc la balle exactement au mĂȘme endroit oĂč il l'a lancĂ©e.
\n\nRésultat final :
\n$h_{max} = 1.25\\text{ m}$
\n$t_{vol} = 1\\text{ s}$
\nLa balle retombe au mĂȘme point dans le train.
\n\nQuestion 3 : Mouvement dans un référentiel accéléré
\n\n1. Accélération d'entraßnement :
\nL'accélération d'entraßnement est l'accélération du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe :
\n$\\vec{a}_e = \\vec{a}_{train} = 2\\vec{e}_x\\text{ m/s}^2$
\n\n2. Accélération de Coriolis :
\nL'accélération de Coriolis s'écrit :
\n$\\vec{a}_c = 2\\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}_r$
\n\noĂč $\\vec{\\Omega}$ est le vecteur rotation du rĂ©fĂ©rentiel mobile. Ici, le train n'est pas en rotation ($\\vec{\\Omega} = \\vec{0}$), donc :
\n\n$\\vec{a}_c = \\vec{0}$
\n\n3. Ăquation du mouvement dans le rĂ©fĂ©rentiel accĂ©lĂ©rĂ© :
\nDans le référentiel du train, la balle subit une force apparente (force d'inertie d'entraßnement) :
\n$\\vec{F}_{app} = -m\\vec{a}_e = -2m\\vec{e}_x$
\n\nL'accélération dans $\\mathcal{R}$ est donc :
\n$\\vec{a}_r = -\\vec{a}_e + \\vec{g} = -2\\vec{e}_x - 10\\vec{e}_z\\text{ m/s}^2$
\n\n4. Ăquations horaires dans le train accĂ©lĂ©rĂ© :
\nSelon $x$ (dans le train) :
\n$x_r(t) = -\\frac{1}{2}a_e t^2 = -\\frac{1}{2} \\times 2 \\times t^2 = -t^2\\text{ m}$
\n\nSelon $z$ :
\n$z_r(t) = 5t - 5t^2\\text{ m}$ (inchangé)
\n\n5. Position de retombée :
\nĂ $t = 1\\text{ s}$ (temps de vol) :
\n$x_r(1) = -(1)^2 = -1\\text{ m}$
\n\nLa balle retombe $1\\text{ m}$ en arriÚre par rapport au passager dans le référentiel du train.
\n\nRésultat final :
\n$\\vec{a}_e = 2\\vec{e}_x\\text{ m/s}^2$
\n$\\vec{a}_c = \\vec{0}$
\n$\\Delta x = -1\\text{ m}$ (la balle retombe 1 m derriĂšre le passager)
\n\nInterprétation physique : Pendant que la balle est en l'air ($1\\text{ s}$), le train accélÚre et le passager avance de plus en plus vite. Dans le référentiel du train, la balle semble reculer à cause de la force d'inertie.
",
"id_category": "1",
"id_number": "35"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 5 : Mouvement sur une spirale logarithmique \nUne particule se dĂ©place sur une spirale logarithmique dĂ©finie en coordonnĂ©es polaires par l'Ă©quation $r = ae^{k\\theta}$, oĂč $a = 0.1\\text{ m}$ et $k = 0.2$. Le mouvement suit une loi temporelle $\\theta(t) = \\omega t$ avec $\\omega = 2\\text{ rad/s}$. La particule part de $\\theta_0 = 0$ Ă $t = 0$.
\n\nQuestion 1 : Déterminer les expressions de $r(t)$ et $\\theta(t)$. Calculer la position de la particule en coordonnées cartésiennes $(x, y)$ à $t = \\pi\\text{ s}$. Quelle est la distance radiale $r$ parcourue depuis l'origine à cet instant ?
\n\nQuestion 2 : Calculer les composantes radiale $v_r$ et orthoradiale $v_\\theta$ de la vitesse, ainsi que le module $|\\vec{v}(t)|$ de la vitesse. Ăvaluer numĂ©riquement ces grandeurs Ă $t = \\frac{\\pi}{2}\\text{ s}$.
\n\nQuestion 3 : Déterminer les composantes radiale et orthoradiale de l'accélération, $a_r$ et $a_\\theta$. Calculer le module de l'accélération totale à $t = \\frac{\\pi}{2}\\text{ s}$. En déduire l'angle $\\beta$ entre le vecteur vitesse et le vecteur accélération à cet instant.
",
"svg": "\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n O \n \n \n \n x \n \n \n \n y \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n t=0 \n \n \n \n t=Ï/2 \n \n \n \n t=Ï \n \n \n \n r(t) \n \n \n \n Ξ \n \n \n \n v \n \n \n \n vᔣ \n \n \n \n vΞ \n \n \n \n a \n \n \n \n ÎČ \n \n \n r = ae^(kΞ) \n a = 0.1 m \n k = 0.2 \n Ï = 2 rad/s \n \n \n Spirale \n logarithmique \n \n \n \n \n ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 5 :
\n\nQuestion 1 : Expressions de r(t) et Ξ(t), position cartésienne
\n\n1. Loi de mouvement :
\nL'angle varie selon :
\n$\\theta(t) = \\omega t = 2t\\text{ rad}$
\n\nLe rayon suit la spirale logarithmique :
\n$r(t) = ae^{k\\theta(t)} = ae^{k\\omega t}$
\n\n2. Remplacement des données :
\n$r(t) = 0.1 \\times e^{0.2 \\times 2t} = 0.1e^{0.4t}\\text{ m}$
\n\n3. Position Ă $t = \\pi\\text{ s}$ :
\n$\\theta(\\pi) = 2\\pi\\text{ rad}$
\n$r(\\pi) = 0.1e^{0.4\\pi} = 0.1e^{1.257} = 0.1 \\times 3.515 = 0.3515\\text{ m}$
\n\nEn coordonnées cartésiennes :
\n$x = r\\cos\\theta = 0.3515\\cos(2\\pi) = 0.3515 \\times 1 = 0.3515\\text{ m}$
\n$y = r\\sin\\theta = 0.3515\\sin(2\\pi) = 0.3515 \\times 0 = 0\\text{ m}$
\n\n4. Résultat final :
\n$r(t) = 0.1e^{0.4t}\\text{ m}$
\n$\\theta(t) = 2t\\text{ rad}$
\nĂ $t = \\pi\\text{ s}$ : $(x, y) = (0.3515, 0)\\text{ m}$
\n$r(\\pi) = 0.3515\\text{ m}$
\n\nQuestion 2 : Composantes de la vitesse
\n\n1. Formule générale en coordonnées polaires :
\n$\\vec{v} = \\dot{r}\\vec{e}_r + r\\dot{\\theta}\\vec{e}_\\theta$
\n\n2. Calcul de la composante radiale :
\n$v_r = \\dot{r} = \\frac{d}{dt}(0.1e^{0.4t}) = 0.1 \\times 0.4e^{0.4t} = 0.04e^{0.4t}\\text{ m/s}$
\n\n3. Calcul de la composante orthoradiale :
\n$v_\\theta = r\\dot{\\theta} = 0.1e^{0.4t} \\times 2 = 0.2e^{0.4t}\\text{ m/s}$
\n\n4. Module de la vitesse :
\n$|\\vec{v}| = \\sqrt{v_r^2 + v_\\theta^2} = \\sqrt{(0.04e^{0.4t})^2 + (0.2e^{0.4t})^2}$
\n\n$|\\vec{v}| = e^{0.4t}\\sqrt{0.0016 + 0.04} = e^{0.4t}\\sqrt{0.0416} = 0.204e^{0.4t}\\text{ m/s}$
\n\n5. Ăvaluation Ă $t = \\frac{\\pi}{2}\\text{ s}$ :
\n$e^{0.4\\pi/2} = e^{0.2\\pi} = e^{0.628} = 1.874$
\n\n$v_r\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0.04 \\times 1.874 = 0.0750\\text{ m/s}$
\n\n$v_\\theta\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0.2 \\times 1.874 = 0.3748\\text{ m/s}$
\n\n$|\\vec{v}|\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0.204 \\times 1.874 = 0.3823\\text{ m/s}$
\n\nRésultat final à $t = \\frac{\\pi}{2}\\text{ s}$ :
\n$v_r = 0.075\\text{ m/s}$
\n$v_\\theta = 0.375\\text{ m/s}$
\n$|\\vec{v}| = 0.382\\text{ m/s}$
\n\nQuestion 3 : Composantes de l'accélération et angle
\n\n1. Formule générale de l'accélération en coordonnées polaires :
\n$\\vec{a} = (\\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2)\\vec{e}_r + (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta})\\vec{e}_\\theta$
\n\n2. Calcul des dérivées :
\n$\\ddot{r} = \\frac{d}{dt}(0.04e^{0.4t}) = 0.04 \\times 0.4e^{0.4t} = 0.016e^{0.4t}\\text{ m/s}^2$
\n$\\ddot{\\theta} = \\frac{d}{dt}(\\omega) = 0$
\n\n3. Composante radiale de l'accélération :
\n$a_r = \\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2 = 0.016e^{0.4t} - 0.1e^{0.4t} \\times 2^2$
\n$a_r = 0.016e^{0.4t} - 0.4e^{0.4t} = -0.384e^{0.4t}\\text{ m/s}^2$
\n\n4. Composante orthoradiale de l'accélération :
\n$a_\\theta = r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta} = 0 + 2 \\times 0.04e^{0.4t} \\times 2$
\n$a_\\theta = 0.16e^{0.4t}\\text{ m/s}^2$
\n\n5. Module de l'accélération :
\n$|\\vec{a}| = \\sqrt{a_r^2 + a_\\theta^2} = e^{0.4t}\\sqrt{(-0.384)^2 + (0.16)^2}$
\n\n$|\\vec{a}| = e^{0.4t}\\sqrt{0.1475 + 0.0256} = e^{0.4t}\\sqrt{0.1731} = 0.416e^{0.4t}\\text{ m/s}^2$
\n\n6. Ăvaluation Ă $t = \\frac{\\pi}{2}\\text{ s}$ :
\n$a_r\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = -0.384 \\times 1.874 = -0.7196\\text{ m/s}^2$
\n\n$a_\\theta\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0.16 \\times 1.874 = 0.2998\\text{ m/s}^2$
\n\n$|\\vec{a}|\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0.416 \\times 1.874 = 0.7796\\text{ m/s}^2$
\n\n7. Angle entre vitesse et accélération :
\nLe produit scalaire donne :
\n$\\vec{v} \\cdot \\vec{a} = v_r a_r + v_\\theta a_\\theta = 0.075 \\times (-0.7196) + 0.375 \\times 0.2998$
\n\n$\\vec{v} \\cdot \\vec{a} = -0.0540 + 0.1124 = 0.0584\\text{ m}^2/\\text{s}^3$
\n\n$\\cos\\beta = \\frac{\\vec{v} \\cdot \\vec{a}}{|\\vec{v}||\\vec{a}|} = \\frac{0.0584}{0.382 \\times 0.7796} = \\frac{0.0584}{0.2978} = 0.196$
\n\n$\\beta = \\arccos(0.196) = 78.7°$
\n\nRésultat final à $t = \\frac{\\pi}{2}\\text{ s}$ :
\n$a_r = -0.720\\text{ m/s}^2$
\n$a_\\theta = 0.300\\text{ m/s}^2$
\n$|\\vec{a}| = 0.780\\text{ m/s}^2$
\n$\\beta = 78.7°$
\n\nInterprĂ©tation : L'angle proche de $90°$ indique que la vitesse et l'accĂ©lĂ©ration sont presque perpendiculaires, caractĂ©ristique d'un mouvement Ă vitesse scalaire croissante avec changement rapide de direction.
",
"id_category": "1",
"id_number": "36"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un point matĂ©riel M se dĂ©place dans un repĂšre cartĂ©sien selon la loi de mouvement suivante : \n$ x(t) = 3t^2 + 2t $, $ y(t) = 4t + 1 $, $ z(t) = 2t^3 $, oĂč t est en secondes et les positions en mĂštres.\n\n1. DĂ©terminez le vecteur position de M Ă l'instant $ t = 2\\,s $.\n2. Calculez le vecteur vitesse Ă cet instant.\n3. DĂ©terminez la norme de l'accĂ©lĂ©ration Ă $ t = 2\\,s $.",
"svg": "x z y M Trajectoire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 1. Formule générale : $ \\vec{r} = x(t)\\vec{i} + y(t)\\vec{j} + z(t)\\vec{k} $ 2. Remplacement : $ x(2) = 3\\times4 + 2\\times2 = 12 + 4 = 16\\,m $, $ y(2) = 4\\times2 + 1 = 8 + 1 = 9\\,m $, $ z(2) = 2\\times8 = 16\\,m $ 3. Calcul : $ \\vec{r}(2) = 16\\vec{i} + 9\\vec{j} + 16\\vec{k}\\;[m] $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{r}(2) = 16\\vec{i} + 9\\vec{j} + 16\\vec{k}\\;[m]} $Question 2 1. Formule générale : $ \\vec{v} = \\frac{d\\vec{r}}{dt} = \\dot{x}(t)\\vec{i} + \\dot{y}(t)\\vec{j} + \\dot{z}(t)\\vec{k} $ 2. Remplacement : $ \\dot{x}(t) = 6t + 2 $, $ \\dot{y}(t) = 4 $, $ \\dot{z}(t) = 6t^2 $. Pour $ t=2\\,s $: $ \\dot{x}(2) = 6\\times2 + 2 = 14\\,m/s $, $ \\dot{y}(2) = 4\\,m/s $, $ \\dot{z}(2) = 6\\times4 = 24\\,m/s $ 3. Calcul : $ \\vec{v}(2) = 14\\vec{i} + 4\\vec{j} + 24\\vec{k}\\;[m/s] $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{v}(2) = 14\\vec{i} + 4\\vec{j} + 24\\vec{k}\\;[m/s]} $Question 3 1. Formule générale : $ \\vec{a} = \\frac{d^2\\vec{r}}{dt^2} $, $ a = \\|\\vec{a}\\| $ 2. Remplacement : $ \\ddot{x}(t) = 6 $, $ \\ddot{y}(t) = 0 $, $ \\ddot{z}(t) = 12t $, $ \\ddot{z}(2) = 24\\,m/s^2 $ 3. Calcul : $ a = \\sqrt{6^2 + 0^2 + 24^2} = \\sqrt{36 + 576} = \\sqrt{612} \\approx 24,74\\,m/s^2 $ 4. Résultat final : $ \\boxed{a(2) \\approx 24,74\\,m/s^2} $
",
"id_category": "1",
"id_number": "37"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un point matériel se déplace selon une trajectoire définie dans un systÚme cylindrique par : $ r(t) = 2t + 1 $, $ \\theta(t) = t^2 $, $ z(t) = 5 \\sin(t) $, avec t en secondes.\n1. Calculez le vecteur position à $ t = 1,5\\,s $.\n2. Déterminez le vecteur vitesse à cet instant dans la base cylindrique.\n3. Trouvez la norme de l'accélération à $ t = 1,5\\,s $.",
"svg": "r z M Trajectoire \\theta ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 1. Formule générale : $ \\vec{OM} = r(t)\\vec{e}_r + z(t)\\vec{e}_z $, $ \\theta(t) $. 2. Remplacement : $ r(1,5) = 2\\times1,5 + 1 = 4\\,m $, $ \\theta(1,5) = (1,5)^2 = 2,25\\,rad $, $ z(1,5) = 5\\sin(1,5) \\approx 4,98\\,m $ 3. Calcul : $ \\vec{OM} = 4\\vec{e}_r(2,25) + 4,98 \\vec{e}_z $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{OM} = 4\\vec{e}_r(2,25) + 4,98\\vec{e}_z\\;[m]} $Question 2 1. Formule générale : $ \\vec{v} = \\dot{r}\\vec{e}_r + r\\dot{\\theta}\\vec{e}_\\theta + \\dot{z}\\vec{e}_z $ 2. Remplacement : $ \\dot{r} = 2 $, $ \\dot{\\theta} = 2t = 3 $, $ \\dot{z} = 5\\cos(1,5) \\approx 3,54 $ à t=1,5 : r=4, \\theta=2,25 3. Calcul : $ \\vec{v} = 2\\vec{e}_r + 4 \\times 3 \\vec{e}_\\theta + 3,54\\vec{e}_z = 2\\vec{e}_r + 12\\vec{e}_\\theta + 3,54\\vec{e}_z\\;[m/s] $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{v} = 2\\vec{e}_r + 12\\vec{e}_\\theta + 3,54\\vec{e}_z\\;[m/s]} $Question 3 1. Formule générale : $ \\vec{a} = (\\ddot{r} - r \\dot{\\theta}^2)\\vec{e}_r + (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta})\\vec{e}_\\theta + \\ddot{z}\\vec{e}_z $ 2. Calcul des dérivées secondes : $ \\ddot{r}=0 $, $ \\ddot{\\theta}=2 $, $ \\ddot{z} = -5\\sin(1,5) \\approx -4,98 $ 3. Calcul : $ (\\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2) = 0 - 4 \\times 9 = -36 $ $ (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta}) = 4\\times2 + 2\\times3 = 8 + 6 = 14 $ $ \\ddot{z} \\approx -4,98 $ $ \\vec{a} = -36 \\vec{e}_r + 14 \\vec{e}_\\theta -4,98 \\vec{e}_z $ $ \\|\\vec{a}\\| = \\sqrt{(-36)^2 + 14^2 + (-4,98)^2} \\approx \\sqrt{1296 + 196 + 24,8} = \\sqrt{1516,8} \\approx 38,95\\,m/s^2 $ 4. Résultat final : $ \\boxed{a \\approx 38,95\\,m/s^2} $
",
"id_category": "1",
"id_number": "38"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Dans un systÚme de coordonnées sphériques, un point matériel a pour coordonnées à chaque instant : $ r(t) = 5 + t^2 $, $ \\theta(t) = \\pi/6 \\cdot t $, $ \\varphi(t) = \\pi/2 - 0,1 t $ (t en secondes, angles en radians). \n1. Déterminez le vecteur position pour $ t = 2\\,s $.\n2. Calculez chaque composante du vecteur vitesse à cet instant.\n3. Trouvez la norme du vecteur vitesse.",
"svg": "x z y M Trajectoire \\theta ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 1. Formule générale : $ \\vec{OM} = r\\vec{e}_r $, coordonnées sphériques. 2. Remplacement : $ r(2) = 5 + 4 = 9\\,m $, $ \\theta(2) = \\frac{\\pi}{3} \\approx 1,047 \\,rad $, $ \\varphi(2) = \\frac{\\pi}{2} - 0,2 \\approx 1,371 \\,rad $ 3. Calcul : $ \\vec{OM} = 9\\vec{e}_r(1,047,1,371) \\, [m] $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{OM} = 9\\vec{e}_r(1,047,1,371)\\;[m]} $Question 2 1. Formule : $ \\vec{v} = \\dot{r}\\vec{e}_r + r\\dot{\\theta}\\sin\\varphi\\vec{e}_\\theta + r\\dot{\\varphi}\\vec{e}_\\varphi $ 2. Calcul des dérivées : $ \\dot{r} = 2t = 4 $, $ \\dot{\\theta} = \\pi/6 \\approx 0,524 $, $ \\dot{\\varphi} = -0,1 $ Remplacement : $ r=9\\,m $, $ \\theta=1,047 $, $ \\varphi=1,371 $ $ v_{e_r} = 4 $ $ v_{e_\\theta} = 9 \\times 0,524 \\times \\sin(1,371) \\approx 9 \\times 0,524 \\times 0,980 = 4,62 $ $ v_{e_\\varphi} = 9 \\times (-0,1) = -0,9 $ 3. Résultat : $ \\vec{v} = 4\\vec{e}_r + 4,62\\vec{e}_\\theta - 0,9\\vec{e}_\\varphi\\;[m/s] $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{v} = 4\\vec{e}_r + 4,62\\vec{e}_\\theta - 0,9\\vec{e}_\\varphi\\;[m/s]} $Question 3 1. Formule de la norme : $ v = \\sqrt{v_{e_r}^2 + v_{e_\\theta}^2 + v_{e_\\varphi}^2} $ 2. Remplacement : $ v = \\sqrt{4^2 + 4,62^2 + (-0,9)^2} = \\sqrt{16 + 21,3444 + 0,81} = \\sqrt{38,1544} \\approx 6,18\\,m/s $ 4. Résultat final : $ \\boxed{v \\approx 6,18\\,m/s} $
",
"id_category": "1",
"id_number": "39"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un point suit une trajectoire curviligne plane dĂ©crite par l'Ă©quation cartĂ©sienne $ y = 0,5x^2 $, oĂč la coordonnĂ©e $ x(t) = 2t $ (t en secondes, x et y en mĂštres).\n1. Exprimez le vecteur position en fonction du temps Ă partir de ces relations.\n2. Calculez le vecteur vitesse Ă l'instant $ t = 3\\,s $.\n3. Trouvez la valeur de l'accĂ©lĂ©ration normale Ă cet instant.",
"svg": "x y M Trajectoire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 1. Formule : $ x(t) = 2t $, $ y(t) = 0,5\\,[x(t)]^2 = 0,5\\times(2t)^2 = 2t^2 $ 2. Vecteur position : $ \\vec{r}(t) = x(t)\\vec{i} + y(t)\\vec{j} = 2t\\vec{i} + 2t^2\\vec{j} $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{r}(t) = 2t\\vec{i} + 2t^2\\vec{j}\\;[m]} $Question 2 1. Formule : $ \\vec{v}(t) = \\dot{x}(t)\\vec{i} + \\dot{y}(t)\\vec{j} $ 2. Calcul : $ \\dot{x}(t) = 2 $, $ \\dot{y}(t) = 4t $. Pour $ t=3\\,s $: $ \\dot{x}(3)=2 $, $ \\dot{y}(3)=12 $ $ \\vec{v} = 2\\vec{i} + 12\\vec{j}\\;[m/s] $ 4. Résultat final : $ \\boxed{\\vec{v} = 2\\vec{i} + 12\\vec{j}\\;[m/s]} $Question 3 1. Formule : $ a_n = \\frac{v^2}{\\rho} $, $ v = \\|\\vec{v}\\| $, rayon de courbure $ \\rho = \\frac{[1 + (y'(x))^2]^{3/2}}{|y''(x)|} $ 2. Calculons à $ x=6 $ (car t=3) : $ y'(x) = x $, $ y''(x) = 1 $ $ \\rho = \\frac{[1 + 6^2]^{3/2}}{1} = [37]^{3/2} = 37\\sqrt{37} \\approx 225,77\\,m $ à t=3\\,s : $ v = \\sqrt{2^2 + 12^2} = \\sqrt{4 + 144} = \\sqrt{148} \\approx 12,17\\,m/s $ $ a_n = \\frac{12,17^2}{225,77} = \\frac{148}{225,77} \\approx 0,655\\,m/s^2 $ 4. Résultat final : $ \\boxed{a_n \\approx 0,655\\,m/s^2} $
",
"id_category": "1",
"id_number": "40"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un point matĂ©riel est animĂ© d'un mouvement rectiligne selon $ x(t) = 4t - t^3 $ (t en secondes, x en mĂštres). Un second repĂšre (R') se dĂ©place par rapport au repĂšre fixe (R) selon $ x'(t) = x(t) - 3t $ (en m). On Ă©tudie le mouvement relatif.\n1. DĂ©terminez la vitesse du point dans R puis dans R' Ă l'instant $ t = 1\\,s $.\n2. Trouvez l'accĂ©lĂ©ration du point dans R puis dans R' au mĂȘme instant.\n3. Calculez la diffĂ©rence de vitesses (vitesse relative du point dans R par rapport Ă R') Ă $ t = 1\\,s $.",
"svg": "x RepĂšre R RepĂšre R' M Relatif ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 1. Formule : $ v_R = \\frac{dx}{dt} $, $ v_{R'} = \\frac{dx'}{dt} $ 2. Calculs : $ x(t) = 4t - t^3 $, donc $ v_R = 4 - 3t^2 $. à $ t=1\\,s $ : $ v_R = 4 - 3 = 1\\,m/s $ $ x'(t) = x(t) - 3t $, donc $ v_{R'} = v_R - 3 = 1 - 3 = -2\\,m/s $ 4. Résultats : $ \\boxed{v_R = 1\\,m/s ;\\quad v_{R'} = -2\\,m/s} $Question 2 1. Formule : $ a_R = \\frac{dv_R}{dt} $, $ a_{R'} = \\frac{dv_{R'}}{dt} $ 2. Calculs : $ v_R = 4 - 3t^2 \\Rightarrow a_R = -6t $. à $ t=1\\,s \\Rightarrow a_R = -6\\,m/s^2 $. Pour $ R' $ la dérivée de -3 est nulle, donc $ a_{R'} = a_R = -6\\,m/s^2 $ 4. Résultats : $ \\boxed{a_R = -6\\,m/s^2 ;\\quad a_{R'} = -6\\,m/s^2} $Question 3 1. Formule : $ v_{rel} = v_R - v_{R'} $ 2. Calcul : à $ t=1\\,s \\Rightarrow v_{rel} = 1 - (-2) = 3\\,m/s $ 4. Résultat final : $ \\boxed{v_{rel} = 3\\,m/s} $
",
"id_category": "1",
"id_number": "41"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un point matĂ©riel M se dĂ©place dans un plan selon un mouvement dĂ©crit dans le repĂšre cartĂ©sien par la loi de mouvement suivante :\n$x(t) = 2t^2 + 1$, $y(t) = 3t + 4$, oĂč t est en secondes et x, y en mĂštres.\n1. Calculez le vecteur position $\\vec{r}(t)$ Ă l’instant $t = 2\\ \\text{s}$.\n2. DĂ©terminez l’expression gĂ©nĂ©rale du vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ puis sa norme Ă $t = 2\\ \\text{s}$.\n3. DĂ©terminez le vecteur accĂ©lĂ©ration $\\vec{a}(t)$ et calculez sa norme Ă $t = 2\\ \\text{s}$.",
"svg": "y x M(t=2s) M(t) Trajectoire de M dans le plan ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Calcul du vecteur position \nFormule générale : $\\vec{r}(t) = x(t)\\vec{i} + y(t)\\vec{j}$ \nRemplacement à $t = 2\\ \\text{s}$ : $x(2) = 2 \\times 2^2 + 1 = 2 \\times 4 + 1 = 8 + 1 = 9\\ \\text{m}$, $y(2) = 3 \\times 2 + 4 = 6 + 4 = 10\\ \\text{m}$ \nCalcul : $\\vec{r}(2) = 9\\vec{i} + 10\\vec{j}$ \nRésultat final : à $t=2\\ \\text{s}$, $\\vec{r}(2) = 9\\vec{i} + 10\\vec{j}\\ (\\text{en m})$ \n2. Calcul du vecteur vitesse et de sa norme \nFormule générale : $\\vec{v}(t) = \\frac{d\\vec{r}(t)}{dt} = \\dot{x}(t)\\vec{i} + \\dot{y}(t)\\vec{j}$ \nDérivation : $\\dot{x}(t) = \\frac{d}{dt}(2t^2+1) = 4t$, $\\dot{y}(t) = \\frac{d}{dt}(3t+4) = 3$ \nRemplacement à $t=2\\ \\text{s}$ : $\\vec{v}(2) = 8\\vec{i} + 3\\vec{j}$ ($4 \\times 2 = 8$ et $3$) \nNorme : $|\\vec{v}(2)| = \\sqrt{8^2 + 3^2} = \\sqrt{64+9} = \\sqrt{73} \\approx 8.544\\ \\text{m/s}$ \nRésultat final : à $t=2\\ \\text{s}$, $\\vec{v}(2) = 8\\vec{i} + 3\\vec{j}\\ (\\text{m/s}),\\ |\\vec{v}(2)| \\approx 8.54\\ \\text{m/s}$ \n3. Calcul du vecteur accélération et de sa norme \nFormule générale : $\\vec{a}(t) = \\frac{d\\vec{v}(t)}{dt} = \\ddot{x}(t)\\vec{i} + \\ddot{y}(t)\\vec{j}$ \nDérivation : $\\ddot{x}(t) = \\frac{d}{dt}(4t) = 4$, $\\ddot{y}(t) = \\frac{d}{dt}(3) = 0$ \nValeur constante : $\\vec{a}(t) = 4\\vec{i} + 0\\vec{j}$, donc $\\vec{a}(2) = 4\\vec{i}$ (m/s2 ) \nNorme : $|\\vec{a}(2)| = \\sqrt{4^2 + 0^2} = 4\\ \\text{m/s}^2$ \nRésultat final : Le vecteur accélération est constant, $\\vec{a} = 4\\vec{i}\\ (\\text{m/s}^2)$ et $|\\vec{a}| = 4\\ \\text{m/s}^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "42"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un mobile M dĂ©crit un mouvement dans un repĂšre cylindrique de coordonnĂ©es $(r,\\ \\theta,\\ z)$ selon les lois :\n$r(t) = 2 + t$, $\\theta(t) = \\frac{\\pi}{4} t$, $z(t) = t^2$, avec t en secondes, r et z en mĂštres, $\\theta$ en radians.\n1. DĂ©terminer l’expression gĂ©nĂ©rale du vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ dans ce systĂšme.\n2. Calculer la valeur numĂ©rique de $\\vec{v}(t)$ Ă $t=2\\ \\text{s}$.\n3. Donner le vecteur accĂ©lĂ©ration gĂ©nĂ©ral $\\vec{a}(t)$ et sa valeur Ă $t=2\\ \\text{s}$.",
"svg": "M(t) r z Schéma du mouvement dans le repÚre cylindrique ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Expression générale du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques \nFormule : $\\vec{v}(t) = \\dot{r}\\vec{e}_r + r \\dot{\\theta} \\vec{e}_\\theta + \\dot{z}\\vec{e}_z$ \nCalcul des dérivées : $\\dot{r} = \\frac{d}{dt}(2+t) = 1$, $\\dot{\\theta} = \\frac{d}{dt}(\\frac{\\pi}{4}t) = \\frac{\\pi}{4}$, $\\dot{z} = \\frac{d}{dt}(t^2) = 2t$ \nDonc : $\\vec{v}(t) = 1\\vec{e}_r + (2 + t)\\frac{\\pi}{4}\\vec{e}_\\theta + 2t\\vec{e}_z$ \n2. Valeur de $\\vec{v}(t)$ à $t=2\\ \\text{s}$ \nRemplacement : $r = 2+2 = 4$, $\\dot{\\theta} = \\frac{\\pi}{4}$, $\\dot{z} = 4$ \nPartie radiale : $\\dot{r} = 1$ \nPartie azimutale : $r \\dot{\\theta} = 4 \\times \\frac{\\pi}{4} = \\pi$ \nPartie axiale : $\\dot{z} = 4$ \nVecteur : $\\vec{v}(2) = 1\\vec{e}_r + \\pi\\vec{e}_\\theta + 4\\vec{e}_z$ ($\\approx 1\\vec{e}_r + 3.142\\vec{e}_\\theta + 4\\vec{e}_z$) \nNorme : $|\\vec{v}(2)| = \\sqrt{1^2 + \\pi^2 + 4^2} = \\sqrt{1 + 9.870 + 16} = \\sqrt{26.870} \\approx 5.184\\ \\text{m/s}$ \n3. Expression du vecteur accélération général et valeur à $t=2\\ \\text{s}$ \nFormule : $\\vec{a} = (\\ddot{r} - r \\dot{\\theta}^2)\\vec{e}_r + (r \\ddot{\\theta} + 2 \\dot{r} \\dot{\\theta})\\vec{e}_\\theta + \\ddot{z}\\vec{e}_z$ \nDérivées secondes : $\\ddot{r} = 0$, $\\ddot{\\theta} = 0$, $\\ddot{z} = 2$ \nCalcul des termes : \nRadial : $\\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2 = 0 - 4 \\times (\\frac{\\pi}{4})^2 = -4 \\times \\frac{\\pi^2}{16} = -\\frac{\\pi^2}{4} \\approx -2.467$ \nAzimutal : $r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta} = 0 + 2\\times 1\\times \\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\pi}{2} \\approx 1.571$ \nAxiale : $\\ddot{z} = 2$ \nVecteur : $\\vec{a}(2) = -2.467\\vec{e}_r + 1.571\\vec{e}_\\theta + 2\\vec{e}_z\\ (\\text{m/s}^2)$ \nNorme : $|\\vec{a}(2)| = \\sqrt{(-2.467)^2 + (1.571)^2 + 2^2} = \\sqrt{6.087 + 2.469 + 4} = \\sqrt{12.556} \\approx 3.546\\ \\text{m/s}^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "43"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Soit un point matĂ©riel M qui suit la trajectoire plane curviligne paramĂ©trĂ©e par :\n$x(t) = 4\\cos(t)$, $y(t) = 3\\sin(t)$ avec $t$ en secondes ($x, y$ en mĂštres).\n1. Ăcrivez l’Ă©quation de la trajectoire de M sous la forme $f(x,y) = 0$.\n2. DĂ©terminez l’expression de la vitesse scalaire $v(t)$ et de l’accĂ©lĂ©ration vectorielle $\\vec{a}(t)$.\n3. Calculez la norme de la vitesse et de l’accĂ©lĂ©ration Ă $t=\\frac{\\pi}{3}\\ \\text{s}$.",
"svg": "M(t) Trajectoire plane curviligne ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Ăquation de la trajectoire \nFormule : $x(t) = 4 \\cos(t)$, $y(t) = 3 \\sin(t)$ \nOn exprime le temps Ă partir de x et y : $\\cos(t) = \\frac{x}{4}$, $\\sin(t) = \\frac{y}{3}$ \nUtilisation de l'identitĂ© : $\\left(\\frac{x}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{y}{3}\\right)^2 = 1$ \nĂquation sous la forme : $f(x, y) = \\frac{x^2}{16} + \\frac{y^2}{9} - 1 = 0$ \nRĂ©sultat final : La trajectoire de M est une ellipse d’Ă©quation $\\frac{x^2}{16} + \\frac{y^2}{9} = 1$ \n2. Vitesse scalaire et accĂ©lĂ©ration vectorielle \nVitesse vectorielle : $\\vec{v}(t) = \\frac{dx}{dt}\\vec{i} + \\frac{dy}{dt}\\vec{j}$ \n$\\frac{dx}{dt} = -4\\sin(t)$, $\\frac{dy}{dt} = 3\\cos(t)$ \nDonc : $\\vec{v}(t) = -4\\sin(t)\\vec{i} + 3\\cos(t)\\vec{j}$ \nVitesse scalaire : $v(t) = \\sqrt{(\\frac{dx}{dt})^2 + (\\frac{dy}{dt})^2} = \\sqrt{16\\sin^2(t) + 9\\cos^2(t)}$ \nAccĂ©lĂ©ration vectorielle : $\\frac{d^2x}{dt^2} = -4\\cos(t)$, $\\frac{d^2y}{dt^2} = -3\\sin(t)$ \nDonc : $\\vec{a}(t) = -4\\cos(t)\\vec{i} - 3\\sin(t)\\vec{j}$ \n3. Calculs Ă $t=\\frac{\\pi}{3}$ \n$\\sin(\\frac{\\pi}{3}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0.866$, $\\cos(\\frac{\\pi}{3}) = 0.5$ \nVitesse scalaire : $v(\\frac{\\pi}{3}) = \\sqrt{16\\times (0.866)^2 + 9\\times (0.5)^2} = \\sqrt{16\\times 0.75 + 9 \\times 0.25} = \\sqrt{12 + 2.25} = \\sqrt{14.25} \\approx 3.775\\ \\text{m/s}$ \nAccĂ©lĂ©ration : $\\vec{a}(\\frac{\\pi}{3}) = -4\\times 0.5\\vec{i} - 3\\times 0.866\\vec{j} = -2\\vec{i} - 2.598\\vec{j}$ \nNorme : $|\\vec{a}(\\frac{\\pi}{3})| = \\sqrt{(-2)^2 + (-2.598)^2} = \\sqrt{4+6.75} = \\sqrt{10.75}\\approx 3.28\\ \\text{m/s}^2$
",
"id_category": "1",
"id_number": "44"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Un train circule Ă vitesse constante de $V_T = 25\\ \\text{m/s}$ le long d’une voie rectiligne orientĂ©e suivant l’axe x. Un oiseau part du sol Ă cĂŽtĂ© de la voie, avec une vitesse relative par rapport au train de $v_0 = 12\\ \\text{m/s}$ formant un angle de $\\alpha = 60^\\circ$ (par rapport Ă la direction du train, dans le plan x-y).\n1. DĂ©terminez le vecteur vitesse de l’oiseau dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol.\n2. Quelles sont les composantes x et y de cette vitesse ?\n3. Calculez la norme de la vitesse de l’oiseau par rapport au sol.",
"svg": "Voie ferrĂ©e (x) Oiseau v₀ 60° Train ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "1. Vecteur vitesse de l’oiseau dans le rĂ©fĂ©rentiel du sol \nFormule : $\\vec{v}_{\\text{sol}} = \\vec{V}_T + \\vec{v}_o$ \n$\\vec{V}_T = V_T \\vec{i}$, $\\vec{v}_o = v_0(\\cos \\alpha \\vec{i} + \\sin \\alpha \\vec{j})$ avec $\\alpha = 60^\\circ$\n \nRemplacement : $\\vec{v}_{\\text{sol}} = 25\\vec{i} + 12(\\cos60^\\circ\\vec{i} + \\sin60^\\circ\\vec{j})$ \n2. Composantes x et y \n$\\cos60^\\circ = 0.5$, $\\sin60^\\circ = 0.866$ \nComposante x : $25 + 12 \\times 0.5 = 25 + 6 = 31\\ \\text{m/s}$ \nComposante y : $12 \\times 0.866 = 10.392\\ \\text{m/s}$ \nDonc : $\\vec{v}_{\\text{sol}} = 31\\vec{i} + 10.392\\vec{j}\\ (\\text{m/s})$ \n3. Norme de la vitesse par rapport au sol \nFormule : $|\\vec{v}_{\\text{sol}}| = \\sqrt{31^2 + 10.392^2} = \\sqrt{961 + 108.045} = \\sqrt{1069.045} \\approx 32.71\\ \\text{m/s}$ \nRĂ©sultat final : La vitesse de l’oiseau vue du sol est de $32.71\\ \\text{m/s}$
",
"id_category": "1",
"id_number": "45"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 1 : Mouvement hélicoïdal d'une particule chargée Une particule chargée se déplace dans un champ magnétique uniforme selon une trajectoire hélicoïdale. Son vecteur position dans un systÚme de coordonnées cylindriques est donné par :
$\\vec{r}(t) = R\\vec{u}_\\rho + z(t)\\vec{u}_z$
oĂč $R = 0{,}05~\\text{m}$ est le rayon constant de l'hĂ©lice, $\\rho = R$, l'angle polaire varie selon $\\theta(t) = \\omega t$ avec $\\omega = 100~\\text{rad/s}$, et la coordonnĂ©e axiale Ă©volue selon $z(t) = v_z t$ avec $v_z = 2~\\text{m/s}$.
Question 1 : Déterminer les composantes du vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ de la particule dans la base cylindrique $(\\vec{u}_\\rho, \\vec{u}_\\theta, \\vec{u}_z)$ à l'instant $t = 0{,}01~\\text{s}$. Calculer ensuite la norme de la vitesse totale $|\\vec{v}|$.
Question 2 : Calculer les composantes du vecteur accélération $\\vec{a}(t)$ dans la base cylindrique. Identifier la composante centripÚte et calculer sa valeur numérique à l'instant $t = 0{,}01~\\text{s}$.
Question 3 : En utilisant la relation entre coordonnées cylindriques et cartésiennes, exprimer le vecteur position $\\vec{r}(t)$ dans le repÚre cartésien $(\\vec{i}, \\vec{j}, \\vec{k})$ à l'instant $t = 0{,}01~\\text{s}$. Calculer les coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ numériquement.
",
"svg": "x y z M(t) Ï=R Ξ(t) v O Trajectoire hĂ©licoĂŻdale z(t)=v_z·t ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 1 Question 1 : Détermination du vecteur vitesse
En coordonnées cylindriques, le vecteur vitesse s'exprime comme :
$\\vec{v} = \\dot{\\rho}\\vec{u}_\\rho + \\rho\\dot{\\theta}\\vec{u}_\\theta + \\dot{z}\\vec{u}_z$
Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale
$\\vec{v} = \\dot{\\rho}\\vec{u}_\\rho + \\rho\\dot{\\theta}\\vec{u}_\\theta + \\dot{z}\\vec{u}_z$
Ătape 2 : Identification des dĂ©rivĂ©es temporelles
Pour notre mouvement : $\\rho = R = \\text{constante}$, donc $\\dot{\\rho} = 0$
L'angle polaire : $\\theta(t) = \\omega t$, donc $\\dot{\\theta} = \\omega = 100~\\text{rad/s}$
La coordonnée axiale : $z(t) = v_z t$, donc $\\dot{z} = v_z = 2~\\text{m/s}$
Ătape 3 : Substitution dans la formule
$\\vec{v} = 0 \\cdot \\vec{u}_\\rho + R\\omega\\vec{u}_\\theta + v_z\\vec{u}_z$
$\\vec{v} = R\\omega\\vec{u}_\\theta + v_z\\vec{u}_z$
Ătape 4 : Calcul numĂ©rique des composantes
Composante radiale : $v_\\rho = 0~\\text{m/s}$
Composante orthoradiale : $v_\\theta = R\\omega = 0{,}05 \\times 100 = 5~\\text{m/s}$
Composante axiale : $v_z = 2~\\text{m/s}$
Ătape 5 : Calcul de la norme de la vitesse
$|\\vec{v}| = \\sqrt{v_\\rho^2 + v_\\theta^2 + v_z^2}$
$|\\vec{v}| = \\sqrt{0^2 + 5^2 + 2^2} = \\sqrt{25 + 4} = \\sqrt{29}$
$|\\vec{v}| = 5{,}385~\\text{m/s}$
Résultat : Le vecteur vitesse est $\\vec{v} = 5\\vec{u}_\\theta + 2\\vec{u}_z~\\text{m/s}$ avec une norme de $5{,}385~\\text{m/s}$. La particule ne possÚde pas de vitesse radiale car elle se maintient à rayon constant, elle tourne autour de l'axe $z$ tout en progressant verticalement.
Question 2 : Calcul du vecteur accélération
En coordonnées cylindriques, le vecteur accélération s'exprime comme :
Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale
$\\vec{a} = (\\ddot{\\rho} - \\rho\\dot{\\theta}^2)\\vec{u}_\\rho + (\\rho\\ddot{\\theta} + 2\\dot{\\rho}\\dot{\\theta})\\vec{u}_\\theta + \\ddot{z}\\vec{u}_z$
Ătape 2 : Calcul des dĂ©rivĂ©es secondes
Puisque $\\rho = R = \\text{constante}$ : $\\dot{\\rho} = 0$ et $\\ddot{\\rho} = 0$
Puisque $\\theta(t) = \\omega t$ avec $\\omega = \\text{constante}$ : $\\dot{\\theta} = \\omega$ et $\\ddot{\\theta} = 0$
Puisque $z(t) = v_z t$ avec $v_z = \\text{constante}$ : $\\dot{z} = v_z$ et $\\ddot{z} = 0$
Ătape 3 : Substitution dans la formule
$\\vec{a} = (0 - R\\omega^2)\\vec{u}_\\rho + (R \\cdot 0 + 2 \\cdot 0 \\cdot \\omega)\\vec{u}_\\theta + 0\\vec{u}_z$
$\\vec{a} = -R\\omega^2\\vec{u}_\\rho$
Ătape 4 : Calcul numĂ©rique
$a_\\rho = -R\\omega^2 = -0{,}05 \\times (100)^2 = -0{,}05 \\times 10000$
$a_\\rho = -500~\\text{m/s}^2$
$a_\\theta = 0~\\text{m/s}^2$
$a_z = 0~\\text{m/s}^2$
Ătape 5 : Identification de la composante centripĂšte
La composante centripĂšte est $a_c = -R\\omega^2 = -500~\\text{m/s}^2$
Sa valeur absolue est $|a_c| = 500~\\text{m/s}^2$
Résultat : L'accélération est purement radiale et centripÚte : $\\vec{a} = -500\\vec{u}_\\rho~\\text{m/s}^2$. Le signe négatif indique que l'accélération est dirigée vers l'axe $z$, ce qui est caractéristique d'un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à $z$. Cette accélération maintient la particule sur sa trajectoire circulaire.
Question 3 : Expression en coordonnées cartésiennes
Les relations de passage entre coordonnées cylindriques et cartésiennes sont :
Ătape 1 : Formules de transformation
$x = \\rho\\cos\\theta$
$y = \\rho\\sin\\theta$
$z = z$
Ătape 2 : Calcul de l'angle Ă $t = 0{,}01~\\text{s}$
$\\theta(0{,}01) = \\omega t = 100 \\times 0{,}01 = 1~\\text{rad}$
Ătape 3 : Calcul de la coordonnĂ©e $x$
$x = R\\cos(\\omega t) = 0{,}05 \\times \\cos(1)$
$x = 0{,}05 \\times 0{,}5403 = 0{,}02702~\\text{m}$
Ătape 4 : Calcul de la coordonnĂ©e $y$
$y = R\\sin(\\omega t) = 0{,}05 \\times \\sin(1)$
$y = 0{,}05 \\times 0{,}8415 = 0{,}04207~\\text{m}$
Ătape 5 : Calcul de la coordonnĂ©e $z$
$z = v_z t = 2 \\times 0{,}01 = 0{,}02~\\text{m}$
Ătape 6 : Expression vectorielle
$\\vec{r}(0{,}01) = 0{,}02702\\vec{i} + 0{,}04207\\vec{j} + 0{,}02\\vec{k}~\\text{m}$
RĂ©sultat : Ă l'instant $t = 0{,}01~\\text{s}$, le vecteur position en coordonnĂ©es cartĂ©siennes est $\\vec{r} = (0{,}027;~0{,}042;~0{,}02)~\\text{m}$. La particule a effectuĂ© une rotation de $1~\\text{radian}$ (environ $57{,}3°$) autour de l'axe $z$ tout en s'Ă©levant de $2~\\text{cm}$ le long de cet axe.
",
"id_category": "1",
"id_number": "46"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 2 : Mouvement d'un satellite en coordonnées sphériques Un satellite se déplace dans l'espace selon une trajectoire décrite en coordonnées sphériques $(r, \\theta, \\varphi)$. Son vecteur position est donné par :
$\\vec{r}(t) = r(t)\\vec{u}_r$
oĂč la distance radiale varie selon $r(t) = r_0 + A\\sin(\\omega_r t)$ avec $r_0 = 7000~\\text{km}$, $A = 500~\\text{km}$, $\\omega_r = 0{,}001~\\text{rad/s}$. L'angle de colatitude Ă©volue selon $\\theta(t) = \\theta_0 = \\frac{\\pi}{3}$ (constant), et l'angle azimutal selon $\\varphi(t) = \\omega_\\varphi t$ avec $\\omega_\\varphi = 0{,}0007~\\text{rad/s}$.
Question 1 : Calculer les composantes du vecteur vitesse $\\vec{v}(t)$ dans la base sphérique $(\\vec{u}_r, \\vec{u}_\\theta, \\vec{u}_\\varphi)$ à l'instant $t = 1000~\\text{s}$. Déterminer la composante radiale $v_r$, la composante de colatitude $v_\\theta$, et la composante azimutale $v_\\varphi$.
Question 2 : Calculer la composante radiale de l'accélération $a_r$ à l'instant $t = 1000~\\text{s}$. Cette composante comprend deux termes : un terme dû à la variation de $r$ et des termes centrifuges. Identifier et calculer chaque contribution.
Question 3 : à l'instant $t = 1000~\\text{s}$, déterminer les coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ du satellite en utilisant les relations de transformation. Sachant que $\\sin(\\frac{\\pi}{3}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\cos(\\frac{\\pi}{3}) = \\frac{1}{2}$, calculer les valeurs numériques.
",
"svg": "x y z Terre Satellite r(t) Ξ Ï(t) u_r u_Ξ u_Ï CoordonnĂ©es sphĂ©riques O ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 2 Question 1 : Calcul du vecteur vitesse en coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques, le vecteur vitesse s'exprime comme :
Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale
$\\vec{v} = \\dot{r}\\vec{u}_r + r\\dot{\\theta}\\vec{u}_\\theta + r\\sin\\theta\\dot{\\varphi}\\vec{u}_\\varphi$
Ătape 2 : Calcul de $r(1000)$ et $\\dot{r}(1000)$
$r(t) = r_0 + A\\sin(\\omega_r t)$
$r(1000) = 7000 + 500\\sin(0{,}001 \\times 1000) = 7000 + 500\\sin(1)$
$r(1000) = 7000 + 500 \\times 0{,}8415 = 7000 + 420{,}75 = 7420{,}75~\\text{km}$
$\\dot{r}(t) = A\\omega_r\\cos(\\omega_r t)$
$\\dot{r}(1000) = 500 \\times 0{,}001 \\times \\cos(1) = 0{,}5 \\times 0{,}5403 = 0{,}2702~\\text{km/s}$
Ătape 3 : Identification des dĂ©rivĂ©es angulaires
$\\theta(t) = \\theta_0 = \\frac{\\pi}{3} = \\text{constante}$, donc $\\dot{\\theta} = 0$
$\\varphi(t) = \\omega_\\varphi t$, donc $\\dot{\\varphi} = \\omega_\\varphi = 0{,}0007~\\text{rad/s}$
Ătape 4 : Calcul des composantes de vitesse
Composante radiale :
$v_r = \\dot{r}(1000) = 0{,}2702~\\text{km/s} = 270{,}2~\\text{m/s}$
Composante de colatitude :
$v_\\theta = r\\dot{\\theta} = 7420{,}75 \\times 0 = 0~\\text{m/s}$
Composante azimutale :
$v_\\varphi = r\\sin\\theta\\dot{\\varphi} = 7420{,}75 \\times \\sin(\\frac{\\pi}{3}) \\times 0{,}0007$
$v_\\varphi = 7420{,}75 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\times 0{,}0007 = 7420{,}75 \\times 0{,}8660 \\times 0{,}0007$
$v_\\varphi = 4{,}498~\\text{km/s} = 4498~\\text{m/s}$
Résultat : Les composantes du vecteur vitesse sont : $v_r = 270{,}2~\\text{m/s}$, $v_\\theta = 0~\\text{m/s}$, et $v_\\varphi = 4498~\\text{m/s}$. Le satellite s'éloigne radialement à $270{,}2~\\text{m/s}$, ne change pas de colatitude, et tourne autour de l'axe $z$ avec une vitesse azimutale importante.
Question 2 : Calcul de la composante radiale de l'accélération
La composante radiale de l'accélération en coordonnées sphériques est :
Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale
$a_r = \\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2 - r\\sin^2\\theta\\dot{\\varphi}^2$
Ătape 2 : Calcul de $\\ddot{r}$
$\\dot{r}(t) = A\\omega_r\\cos(\\omega_r t)$
$\\ddot{r}(t) = -A\\omega_r^2\\sin(\\omega_r t)$
$\\ddot{r}(1000) = -500 \\times (0{,}001)^2 \\times \\sin(1)$
$\\ddot{r}(1000) = -500 \\times 0{,}000001 \\times 0{,}8415 = -0{,}0004208~\\text{km/s}^2$
$\\ddot{r}(1000) = -0{,}4208~\\text{m/s}^2$
Ătape 3 : Calcul du terme centrifuge dĂ» Ă $\\theta$
$-r\\dot{\\theta}^2 = -7420{,}75 \\times 0^2 = 0~\\text{m/s}^2$
Ătape 4 : Calcul du terme centrifuge dĂ» Ă $\\varphi$
$-r\\sin^2\\theta\\dot{\\varphi}^2 = -7420{,}75 \\times (\\frac{\\sqrt{3}}{2})^2 \\times (0{,}0007)^2$
$= -7420{,}75 \\times 0{,}75 \\times 0{,}00000049$
$= -7420{,}75 \\times 0{,}0000003675 = -0{,}002727~\\text{km/s}^2$
$= -2{,}727~\\text{m/s}^2$
Ătape 5 : Somme des contributions
$a_r = -0{,}4208 + 0 + (-2{,}727) = -3{,}148~\\text{m/s}^2$
Résultat : La composante radiale de l'accélération est $a_r = -3{,}148~\\text{m/s}^2$. Le terme $\\ddot{r} = -0{,}421~\\text{m/s}^2$ représente l'accélération due à la variation sinusoïdale du rayon. Le terme centrifuge azimutal $-r\\sin^2\\theta\\dot{\\varphi}^2 = -2{,}727~\\text{m/s}^2$ domine et attire le satellite vers le centre, résultant d'une rotation azimutale.
Question 3 : Transformation en coordonnées cartésiennes
Les relations de transformation entre coordonnées sphériques et cartésiennes sont :
Ătape 1 : Formules de transformation
$x = r\\sin\\theta\\cos\\varphi$
$y = r\\sin\\theta\\sin\\varphi$
$z = r\\cos\\theta$
Ătape 2 : Calcul de $\\varphi(1000)$
$\\varphi(1000) = \\omega_\\varphi t = 0{,}0007 \\times 1000 = 0{,}7~\\text{rad}$
Ătape 3 : Calcul de la coordonnĂ©e $x$
$x = r\\sin\\theta\\cos\\varphi = 7420{,}75 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\times \\cos(0{,}7)$
$x = 7420{,}75 \\times 0{,}8660 \\times 0{,}7648 = 4915{,}9~\\text{km}$
Ătape 4 : Calcul de la coordonnĂ©e $y$
$y = r\\sin\\theta\\sin\\varphi = 7420{,}75 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\times \\sin(0{,}7)$
$y = 7420{,}75 \\times 0{,}8660 \\times 0{,}6442 = 4140{,}8~\\text{km}$
Ătape 5 : Calcul de la coordonnĂ©e $z$
$z = r\\cos\\theta = 7420{,}75 \\times \\cos(\\frac{\\pi}{3}) = 7420{,}75 \\times \\frac{1}{2}$
$z = 3710{,}4~\\text{km}$
RĂ©sultat : Ă l'instant $t = 1000~\\text{s}$, les coordonnĂ©es cartĂ©siennes du satellite sont $(x, y, z) = (4915{,}9;~4140{,}8;~3710{,}4)~\\text{km}$. Le satellite se trouve Ă une distance de $7420{,}75~\\text{km}$ de l'origine, Ă un angle de colatitude fixe de $60°$ par rapport Ă l'axe $z$, et a tournĂ© de $0{,}7~\\text{rad}$ autour de cet axe.
",
"id_category": "1",
"id_number": "47"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 3 : Mouvement curviligne d'une bille sur une piste parabolique Une bille se dĂ©place sans frottement sur une piste parabolique situĂ©e dans le plan vertical $xOz$. La trajectoire est dĂ©finie par l'Ă©quation $z = \\frac{x^2}{2a}$ oĂč $a = 2~\\text{m}$. La position de la bille est repĂ©rĂ©e par son abscisse curviligne $s(t)$ mesurĂ©e le long de la courbe depuis l'origine $O$. Ă l'instant $t$, la bille possĂšde une abscisse $x(t) = v_0 t$ avec $v_0 = 1{,}5~\\text{m/s}$.
Question 1 : En utilisant la base de Frenet $(\\vec{T}, \\vec{N})$, calculer la vitesse tangentielle $v_T$ de la bille à l'instant $t = 2~\\text{s}$. Sachant que la norme de la vitesse est $|\\vec{v}| = \\sqrt{\\dot{x}^2 + \\dot{z}^2}$, déterminer cette norme en fonction de $x$ puis numériquement.
Question 2 : Calculer le rayon de courbure $R$ de la trajectoire au point oĂč se trouve la bille Ă $t = 2~\\text{s}$. La formule du rayon de courbure pour une courbe $z = f(x)$ est $R = \\frac{[1 + (\\frac{dz}{dx})^2]^{3/2}}{|\\frac{d^2z}{dx^2}|}$. Calculer ensuite l'accĂ©lĂ©ration normale $a_N = \\frac{v_T^2}{R}$.
Question 3 : Déterminer l'accélération tangentielle $a_T = \\frac{dv_T}{dt}$ à l'instant $t = 2~\\text{s}$. En déduire le vecteur accélération total $\\vec{a} = a_T\\vec{T} + a_N\\vec{N}$ et calculer sa norme $|\\vec{a}|$.
",
"svg": "x z z = x²/(2a) M(t=2s) T (tangent) N (normale) v R x(t=2s) = 3 m z = 2.25 m O Base de Frenet (T, N) a_N ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 3 Question 1 : Calcul de la vitesse tangentielle
La vitesse tangentielle correspond Ă la norme du vecteur vitesse dans la base de Frenet.
Ătape 1 : Calcul de $x$ et $z$ Ă $t = 2~\\text{s}$
$x(2) = v_0 \\times 2 = 1{,}5 \\times 2 = 3~\\text{m}$
$z(2) = \\frac{x^2}{2a} = \\frac{3^2}{2 \\times 2} = \\frac{9}{4} = 2{,}25~\\text{m}$
Ătape 2 : Calcul de $\\dot{x}$ et $\\dot{z}$
$\\dot{x} = v_0 = 1{,}5~\\text{m/s}$
En dérivant $z = \\frac{x^2}{2a}$ par rapport au temps :
$\\dot{z} = \\frac{2x}{2a}\\dot{x} = \\frac{x}{a}\\dot{x}$
$\\dot{z}(2) = \\frac{3}{2} \\times 1{,}5 = 1{,}5 \\times 1{,}5 = 2{,}25~\\text{m/s}$
Ătape 3 : Formule de la norme de la vitesse
$|\\vec{v}| = \\sqrt{\\dot{x}^2 + \\dot{z}^2}$
Ătape 4 : Calcul numĂ©rique
$|\\vec{v}| = \\sqrt{(1{,}5)^2 + (2{,}25)^2} = \\sqrt{2{,}25 + 5{,}0625}$
$|\\vec{v}| = \\sqrt{7{,}3125} = 2{,}704~\\text{m/s}$
Ătape 5 : Vitesse tangentielle
Dans la base de Frenet, la vitesse tangentielle est :
$v_T = |\\vec{v}| = 2{,}704~\\text{m/s}$
Résultat : La vitesse tangentielle de la bille à $t = 2~\\text{s}$ est $v_T = 2{,}704~\\text{m/s}$. Cette vitesse représente la norme du vecteur vitesse le long de la trajectoire curviligne. La vitesse augmente avec la position car $\\dot{z}$ croßt proportionnellement à $x$ en raison de la pente croissante de la parabole.
Question 2 : Calcul du rayon de courbure et de l'accélération normale
Le rayon de courbure mesure la courbure locale de la trajectoire.
Ătape 1 : Formule du rayon de courbure
$R = \\frac{[1 + (\\frac{dz}{dx})^2]^{3/2}}{|\\frac{d^2z}{dx^2}|}$
Ătape 2 : Calcul des dĂ©rivĂ©es de $z$ par rapport Ă $x$
$z = \\frac{x^2}{2a}$, donc $\\frac{dz}{dx} = \\frac{2x}{2a} = \\frac{x}{a}$
Ă $x = 3~\\text{m}$ : $\\frac{dz}{dx} = \\frac{3}{2} = 1{,}5$
$\\frac{d^2z}{dx^2} = \\frac{1}{a} = \\frac{1}{2} = 0{,}5~\\text{m}^{-1}$
Ătape 3 : Calcul du rayon de courbure
$R = \\frac{[1 + (1{,}5)^2]^{3/2}}{0{,}5} = \\frac{[1 + 2{,}25]^{3/2}}{0{,}5}$
$R = \\frac{[3{,}25]^{3/2}}{0{,}5} = \\frac{3{,}25 \\times \\sqrt{3{,}25}}{0{,}5}$
$R = \\frac{3{,}25 \\times 1{,}803}{0{,}5} = \\frac{5{,}860}{0{,}5} = 11{,}72~\\text{m}$
Ătape 4 : Formule de l'accĂ©lĂ©ration normale
$a_N = \\frac{v_T^2}{R}$
Ătape 5 : Calcul numĂ©rique
$a_N = \\frac{(2{,}704)^2}{11{,}72} = \\frac{7{,}312}{11{,}72} = 0{,}624~\\text{m/s}^2$
Résultat : Le rayon de courbure au point $x = 3~\\text{m}$ est $R = 11{,}72~\\text{m}$, et l'accélération normale est $a_N = 0{,}624~\\text{m/s}^2$. Cette accélération normale est dirigée vers le centre de courbure (vers le haut et vers la gauche) et maintient la bille sur sa trajectoire parabolique. Plus la bille descend, plus la courbure augmente.
Question 3 : Calcul de l'accélération tangentielle et du vecteur accélération total
L'accélération tangentielle mesure la variation de la vitesse tangentielle.
Ătape 1 : Expression de $v_T$ en fonction de $x$
$v_T = \\sqrt{\\dot{x}^2 + \\dot{z}^2} = \\sqrt{v_0^2 + (\\frac{x}{a}v_0)^2}$
$v_T = v_0\\sqrt{1 + \\frac{x^2}{a^2}}$
Ătape 2 : DĂ©rivation par rapport au temps
$\\frac{dv_T}{dt} = v_0 \\times \\frac{1}{2\\sqrt{1 + \\frac{x^2}{a^2}}} \\times \\frac{2x}{a^2} \\times \\dot{x}$
$a_T = \\frac{v_0^2 x \\dot{x}}{a^2\\sqrt{1 + \\frac{x^2}{a^2}}}$
Ătape 3 : Calcul numĂ©rique Ă $t = 2~\\text{s}$
$a_T = \\frac{(1{,}5)^2 \\times 3 \\times 1{,}5}{4 \\times \\sqrt{1 + \\frac{9}{4}}}$
$a_T = \\frac{2{,}25 \\times 4{,}5}{4 \\times \\sqrt{3{,}25}} = \\frac{10{,}125}{4 \\times 1{,}803}$
$a_T = \\frac{10{,}125}{7{,}212} = 1{,}404~\\text{m/s}^2$
Ătape 4 : Expression du vecteur accĂ©lĂ©ration total
$\\vec{a} = a_T\\vec{T} + a_N\\vec{N}$
Ătape 5 : Calcul de la norme
$|\\vec{a}| = \\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$
$|\\vec{a}| = \\sqrt{(1{,}404)^2 + (0{,}624)^2} = \\sqrt{1{,}971 + 0{,}389}$
$|\\vec{a}| = \\sqrt{2{,}360} = 1{,}536~\\text{m/s}^2$
Résultat : L'accélération tangentielle est $a_T = 1{,}404~\\text{m/s}^2$, dirigée dans le sens du mouvement. Le vecteur accélération total a une norme $|\\vec{a}| = 1{,}536~\\text{m/s}^2$ et résulte de la combinaison de l'accélération tangentielle (qui augmente la vitesse) et de l'accélération normale (qui change la direction). La bille accélÚre le long de la piste parabolique sous l'effet de la gravité.
",
"id_category": "1",
"id_number": "48"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 4 : Mouvement relatif d'un point sur un disque tournant Un disque horizontal de rayon $R = 1~\\text{m}$ tourne autour de son axe vertical $Oz$ Ă vitesse angulaire constante $\\Omega = 3~\\text{rad/s}$ par rapport au rĂ©fĂ©rentiel du laboratoire $\\mathcal{R}_0$ (considĂ©rĂ© comme galilĂ©en). Un point matĂ©riel $M$ se dĂ©place sur le disque selon une trajectoire radiale dĂ©finie dans le rĂ©fĂ©rentiel tournant $\\mathcal{R}$ liĂ© au disque par : $\\vec{OM} = r(t)\\vec{u}_r$ oĂč $r(t) = r_0 + v_r t$ avec $r_0 = 0{,}2~\\text{m}$ et $v_r = 0{,}3~\\text{m/s}$. Les deux rĂ©fĂ©rentiels partagent la mĂȘme origine $O$ et le mĂȘme axe $Oz$.
Question 1 : Déterminer le vecteur vitesse relative $\\vec{v}_{rel}$ du point $M$ dans le référentiel tournant $\\mathcal{R}$ à l'instant $t = 1~\\text{s}$. Calculer également le vecteur vitesse d'entraßnement $\\vec{v}_{ent} = \\vec{\\Omega} \\times \\vec{OM}$ à cet instant, en exprimant $\\vec{\\Omega} = \\Omega\\vec{k}$ et $\\vec{OM}$ en coordonnées cylindriques.
Question 2 : En appliquant la loi de composition des vitesses $\\vec{v}_{abs} = \\vec{v}_{rel} + \\vec{v}_{ent}$, calculer le vecteur vitesse absolue $\\vec{v}_{abs}$ du point $M$ dans le référentiel $\\mathcal{R}_0$ à $t = 1~\\text{s}$. Déterminer sa norme $|\\vec{v}_{abs}|$.
Question 3 : Calculer l'accélération de Coriolis $\\vec{a}_{Cor} = 2\\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}_{rel}$ à l'instant $t = 1~\\text{s}$. Déterminer son orientation et sa norme. Interpréter physiquement le rÎle de cette accélération dans le mouvement observé depuis le référentiel du laboratoire.
",
"svg": "x₀ y₀ z (Ω) Ω r(t) u_r (tournant) M v_rel v_ent v_abs a_Cor Ωt O r₀ Mouvement relatif sur disque tournant RĂ©fĂ©rentiel tournant R Trajectoire dans R₀ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 4 Question 1 : Calcul des vitesses relative et d'entraĂźnement
Dans le référentiel tournant, le point se déplace radialement.
Ătape 1 : Calcul de $r(1)$
$r(1) = r_0 + v_r \\times 1 = 0{,}2 + 0{,}3 \\times 1 = 0{,}5~\\text{m}$
Ătape 2 : Formule de la vitesse relative
Dans le référentiel tournant, le mouvement est purement radial :
$\\vec{v}_{rel} = \\dot{r}\\vec{u}_r = v_r\\vec{u}_r$
$\\vec{v}_{rel} = 0{,}3\\vec{u}_r~\\text{m/s}$
Ătape 3 : Expression du vecteur rotation
$\\vec{\\Omega} = \\Omega\\vec{k} = 3\\vec{k}~\\text{rad/s}$
Ătape 4 : Expression de $\\vec{OM}$ en coordonnĂ©es cylindriques
$\\vec{OM} = r(1)\\vec{u}_r = 0{,}5\\vec{u}_r~\\text{m}$
Ătape 5 : Calcul de la vitesse d'entraĂźnement
$\\vec{v}_{ent} = \\vec{\\Omega} \\times \\vec{OM} = (\\Omega\\vec{k}) \\times (r\\vec{u}_r)$
Sachant que $\\vec{k} \\times \\vec{u}_r = \\vec{u}_\\theta$ en coordonnées cylindriques :
$\\vec{v}_{ent} = \\Omega r \\vec{u}_\\theta = 3 \\times 0{,}5 \\times \\vec{u}_\\theta$
$\\vec{v}_{ent} = 1{,}5\\vec{u}_\\theta~\\text{m/s}$
Résultat : La vitesse relative est $\\vec{v}_{rel} = 0{,}3\\vec{u}_r~\\text{m/s}$, dirigée radialement vers l'extérieur du disque. La vitesse d'entraßnement est $\\vec{v}_{ent} = 1{,}5\\vec{u}_\\theta~\\text{m/s}$, tangente au cercle de rayon $r = 0{,}5~\\text{m}$ et dans le sens de rotation du disque. Cette vitesse représente l'entraßnement du point par la rotation du disque.
Question 2 : Calcul de la vitesse absolue
La loi de composition des vitesses relie les vitesses dans les deux référentiels.
Ătape 1 : Formule de composition des vitesses
$\\vec{v}_{abs} = \\vec{v}_{rel} + \\vec{v}_{ent}$
Ătape 2 : Substitution des valeurs
$\\vec{v}_{abs} = 0{,}3\\vec{u}_r + 1{,}5\\vec{u}_\\theta~\\text{m/s}$
Ătape 3 : Calcul de la norme
Les vecteurs $\\vec{u}_r$ et $\\vec{u}_\\theta$ sont orthogonaux :
$|\\vec{v}_{abs}| = \\sqrt{v_{rel}^2 + v_{ent}^2}$
Ătape 4 : Calcul numĂ©rique
$|\\vec{v}_{abs}| = \\sqrt{(0{,}3)^2 + (1{,}5)^2} = \\sqrt{0{,}09 + 2{,}25}$
$|\\vec{v}_{abs}| = \\sqrt{2{,}34} = 1{,}530~\\text{m/s}$
Résultat : La vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire est $\\vec{v}_{abs} = 0{,}3\\vec{u}_r + 1{,}5\\vec{u}_\\theta~\\text{m/s}$ avec une norme de $1{,}53~\\text{m/s}$. Cette vitesse résulte de la composition du mouvement radial relatif et du mouvement circulaire dû à la rotation du disque. L'observateur du laboratoire voit le point suivre une trajectoire spirale.
Question 3 : Calcul de l'accélération de Coriolis
L'accélération de Coriolis apparaßt dans les référentiels en rotation.
Ătape 1 : Formule de l'accĂ©lĂ©ration de Coriolis
$\\vec{a}_{Cor} = 2\\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}_{rel}$
Ătape 2 : Substitution des expressions
$\\vec{a}_{Cor} = 2(\\Omega\\vec{k}) \\times (v_r\\vec{u}_r)$
Ătape 3 : Calcul du produit vectoriel
Sachant que $\\vec{k} \\times \\vec{u}_r = \\vec{u}_\\theta$ :
$\\vec{a}_{Cor} = 2\\Omega v_r \\vec{u}_\\theta$
Ătape 4 : Calcul numĂ©rique
$\\vec{a}_{Cor} = 2 \\times 3 \\times 0{,}3 \\times \\vec{u}_\\theta = 1{,}8\\vec{u}_\\theta~\\text{m/s}^2$
Ătape 5 : Norme et orientation
$|\\vec{a}_{Cor}| = 1{,}8~\\text{m/s}^2$
L'accélération est dirigée selon $\\vec{u}_\\theta$, perpendiculaire à la vitesse relative et dans le sens de rotation.
Résultat et interprétation : L'accélération de Coriolis est $\\vec{a}_{Cor} = 1{,}8\\vec{u}_\\theta~\\text{m/s}^2$, dirigée tangentiellement dans le sens de rotation du disque. Cette accélération est responsable de la déviation de la trajectoire observée dans le référentiel du laboratoire. Un observateur lié au disque doit introduire cette force fictive de Coriolis pour expliquer pourquoi le point ne suit pas une trajectoire strictement radiale dans son référentiel. Dans le référentiel du laboratoire, cette accélération contribue à courber la trajectoire en spirale. L'effet Coriolis est d'autant plus important que la vitesse angulaire du disque et la vitesse radiale du point sont grandes.
",
"id_category": "1",
"id_number": "49"
},
{
"category": " Cinématique",
"question": "Exercice 5 : Analyse complĂšte d'un mouvement conique en coordonnĂ©es sphĂ©riques Une particule se dĂ©place sur la surface d'un cĂŽne de demi-angle au sommet $\\alpha = 30°$ (soit $\\alpha = \\frac{\\pi}{6}~\\text{rad}$). Le sommet du cĂŽne est placĂ© Ă l'origine $O$ et l'axe du cĂŽne est l'axe $Oz$. En coordonnĂ©es sphĂ©riques $(r, \\theta, \\varphi)$, la contrainte gĂ©omĂ©trique impose $\\theta(t) = \\alpha = \\frac{\\pi}{6}$ (constant). La particule possĂšde un mouvement tel que $r(t) = r_0 e^{\\beta t}$ avec $r_0 = 0{,}1~\\text{m}$ et $\\beta = 0{,}5~\\text{s}^{-1}$, et $\\varphi(t) = \\omega t$ avec $\\omega = 4~\\text{rad/s}$.
Question 1 : à l'instant $t = 2~\\text{s}$, calculer les trois composantes du vecteur vitesse $\\vec{v}$ dans la base sphérique $(\\vec{u}_r, \\vec{u}_\\theta, \\vec{u}_\\varphi)$. Utiliser les formules $\\vec{v} = \\dot{r}\\vec{u}_r + r\\dot{\\theta}\\vec{u}_\\theta + r\\sin\\theta\\dot{\\varphi}\\vec{u}_\\varphi$ et calculer la norme $|\\vec{v}|$.
Question 2 : Calculer la composante azimutale de l'accélération $a_\\varphi$ à l'instant $t = 2~\\text{s}$. Cette composante s'exprime comme $a_\\varphi = \\frac{1}{r\\sin\\theta}\\frac{d}{dt}(r^2\\sin^2\\theta\\dot{\\varphi}) - r\\sin\\theta\\cos\\theta\\dot{\\varphi}^2$. Simplifier en tenant compte des contraintes du mouvement.
Question 3 : Exprimer les coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ de la particule à l'instant $t = 2~\\text{s}$ en utilisant les relations $x = r\\sin\\theta\\cos\\varphi$, $y = r\\sin\\theta\\sin\\varphi$, $z = r\\cos\\theta$. Vérifier que le point appartient bien à la surface du cÎne d'équation $z = \\sqrt{x^2 + y^2}\\cot\\alpha$.
",
"svg": "x y z (axe) Axe du cĂŽne α = 30° M(t=2s) r(t) u_r u_Ξ u_Ï Trajectoire hĂ©licoĂŻdale Ï(t) v O Mouvement sur cĂŽne (Ξ constant) r(t) croissante, Ï(t) linĂ©aire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'Exercice 5 Question 1 : Calcul du vecteur vitesse en coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques, le vecteur vitesse a trois composantes.
Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale du vecteur vitesse
$\\vec{v} = \\dot{r}\\vec{u}_r + r\\dot{\\theta}\\vec{u}_\\theta + r\\sin\\theta\\dot{\\varphi}\\vec{u}_\\varphi$
Ătape 2 : Calcul de $r(2)$ et $\\dot{r}(2)$
$r(t) = r_0 e^{\\beta t}$
$r(2) = 0{,}1 \\times e^{0{,}5 \\times 2} = 0{,}1 \\times e^1 = 0{,}1 \\times 2{,}7183 = 0{,}2718~\\text{m}$
$\\dot{r}(t) = r_0 \\beta e^{\\beta t} = \\beta r(t)$
$\\dot{r}(2) = 0{,}5 \\times 0{,}2718 = 0{,}1359~\\text{m/s}$
Ătape 3 : Identification de $\\dot{\\theta}$ et $\\dot{\\varphi}$
$\\theta(t) = \\frac{\\pi}{6} = \\text{constante}$, donc $\\dot{\\theta} = 0$
$\\varphi(t) = \\omega t$, donc $\\dot{\\varphi} = \\omega = 4~\\text{rad/s}$
Ătape 4 : Calcul des composantes de vitesse
Composante radiale :
$v_r = \\dot{r}(2) = 0{,}1359~\\text{m/s}$
Composante de colatitude :
$v_\\theta = r\\dot{\\theta} = 0{,}2718 \\times 0 = 0~\\text{m/s}$
Composante azimutale :
$v_\\varphi = r\\sin\\theta\\dot{\\varphi} = 0{,}2718 \\times \\sin(\\frac{\\pi}{6}) \\times 4$
$v_\\varphi = 0{,}2718 \\times 0{,}5 \\times 4 = 0{,}5436~\\text{m/s}$
Ătape 5 : Calcul de la norme de la vitesse
$|\\vec{v}| = \\sqrt{v_r^2 + v_\\theta^2 + v_\\varphi^2}$
$|\\vec{v}| = \\sqrt{(0{,}1359)^2 + 0^2 + (0{,}5436)^2}$
$|\\vec{v}| = \\sqrt{0{,}01847 + 0{,}29550} = \\sqrt{0{,}31397} = 0{,}5603~\\text{m/s}$
Résultat : à $t = 2~\\text{s}$, le vecteur vitesse est $\\vec{v} = 0{,}136\\vec{u}_r + 0{,}544\\vec{u}_\\varphi~\\text{m/s}$ avec une norme de $0{,}560~\\text{m/s}$. La composante radiale indique que la particule s'éloigne du sommet du cÎne selon une croissance exponentielle. La composante azimutale représente la rotation autour de l'axe du cÎne. La particule suit une trajectoire hélicoïdale sur la surface conique.
Question 2 : Calcul de la composante azimutale de l'accélération
L'accélération azimutale est complexe en coordonnées sphériques.
Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale simplifiĂ©e
Pour $\\theta = \\text{constante}$ (donc $\\dot{\\theta} = 0$ et $\\ddot{\\theta} = 0$) :
$a_\\varphi = \\frac{1}{r\\sin\\theta}[2\\dot{r}(r\\sin^2\\theta\\dot{\\varphi}) + r^2\\sin^2\\theta\\ddot{\\varphi}]$
En développant : $a_\\varphi = \\frac{2\\dot{r}\\dot{\\varphi}}{1} + r\\ddot{\\varphi}$
Ătape 2 : Simplification pour notre mouvement
Puisque $\\varphi(t) = \\omega t$ avec $\\omega = \\text{constante}$ : $\\ddot{\\varphi} = 0$
$a_\\varphi = 2\\dot{r}\\dot{\\varphi}$
Ătape 3 : Substitution des valeurs Ă $t = 2~\\text{s}$
$a_\\varphi = 2 \\times 0{,}1359 \\times 4$
Ătape 4 : Calcul numĂ©rique
$a_\\varphi = 2 \\times 0{,}5436 = 1{,}087~\\text{m/s}^2$
RĂ©sultat : La composante azimutale de l'accĂ©lĂ©ration est $a_\\varphi = 1{,}087~\\text{m/s}^2$. Cette accĂ©lĂ©ration provient du couplage entre le mouvement radial (la particule s'Ă©loigne) et le mouvement azimutal (rotation). Lorsque la particule s'Ă©loigne radialement tout en tournant autour de l'axe, sa vitesse tangentielle augmente car elle parcourt des cercles de rayon croissant, d'oĂč une accĂ©lĂ©ration azimutale positive.
Question 3 : Conversion en coordonnées cartésiennes et vérification
Les coordonnées cartésiennes permettent de vérifier l'appartenance au cÎne.
Ătape 1 : Formules de transformation
$x = r\\sin\\theta\\cos\\varphi$
$y = r\\sin\\theta\\sin\\varphi$
$z = r\\cos\\theta$
Ătape 2 : Calcul de $\\varphi(2)$
$\\varphi(2) = \\omega \\times 2 = 4 \\times 2 = 8~\\text{rad}$
Ătape 3 : Calcul de $x$
$x = r(2)\\sin(\\frac{\\pi}{6})\\cos(8)$
$x = 0{,}2718 \\times 0{,}5 \\times (-0{,}1455) = -0{,}01977~\\text{m}$
Ătape 4 : Calcul de $y$
$y = r(2)\\sin(\\frac{\\pi}{6})\\sin(8)$
$y = 0{,}2718 \\times 0{,}5 \\times 0{,}9894 = 0{,}1344~\\text{m}$
Ătape 5 : Calcul de $z$
$z = r(2)\\cos(\\frac{\\pi}{6}) = 0{,}2718 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}$
$z = 0{,}2718 \\times 0{,}8660 = 0{,}2354~\\text{m}$
Ătape 6 : VĂ©rification de l'Ă©quation du cĂŽne
Ăquation du cĂŽne : $z = \\sqrt{x^2 + y^2}\\cot\\alpha = \\sqrt{x^2 + y^2}\\cot(30°)$
$\\cot(30°) = \\frac{\\cos(30°)}{\\sin(30°)} = \\frac{\\sqrt{3}/2}{1/2} = \\sqrt{3} = 1{,}732$
$\\sqrt{x^2 + y^2} = \\sqrt{(-0{,}01977)^2 + (0{,}1344)^2}$
$= \\sqrt{0{,}000391 + 0{,}01806} = \\sqrt{0{,}01845} = 0{,}1358~\\text{m}$
$\\sqrt{x^2 + y^2}\\cot(30°) = 0{,}1358 \\times 1{,}732 = 0{,}2352~\\text{m}$
Comparaison : $z = 0{,}2354~\\text{m}$ et $0{,}1358 \\times 1{,}732 = 0{,}2352~\\text{m}$
La différence est négligeable (erreur d'arrondi), donc vérification confirmée.
RĂ©sultat : Les coordonnĂ©es cartĂ©siennes Ă $t = 2~\\text{s}$ sont $(x, y, z) = (-0{,}020;~0{,}134;~0{,}235)~\\text{m}$. La vĂ©rification confirme que $z \\approx 0{,}235~\\text{m}$ et $\\sqrt{x^2 + y^2}\\cot(30°) \\approx 0{,}235~\\text{m}$, ce qui prouve que le point appartient bien Ă la surface du cĂŽne. La particule reste contrainte sur cette surface tout en s'Ă©loignant du sommet et en tournant autour de l'axe.
",
"id_category": "1",
"id_number": "50"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Exercice 1 : Mouvement d'une particule sur une tige rotative avec force de frottement visqueux
Une particule de masse $m = 0{,}5 \\, \\text{kg}$ glisse sans frottement solide le long d'une tige horizontale (T) qui tourne dans le plan horizontal $(x, y)$ autour de l'axe vertical $(Oz)$ avec une vitesse angulaire constante $\\omega = 4 \\, \\text{rad/s}$. On utilise les coordonnĂ©es cylindriques $(r, \\theta, z)$ avec $\\theta = \\omega t$. Ă l'instant initial $t = 0$, la particule est en position $r_0 = 0{,}2 \\, \\text{m}$ avec une vitesse radiale $\\dot{r}_0 = 0{,}1 \\, \\text{m/s}$. La particule est soumise Ă son poids $\\vec{P}$, Ă la rĂ©action normale de la tige $\\vec{R}$, et Ă une force de frottement visqueux $\\vec{f} = -\\lambda \\dot{r} \\vec{e}_r$ oĂč $\\lambda = 0{,}4 \\, \\text{N·s/m}$.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen, déterminer l'équation différentielle du mouvement radial de la particule. Résoudre cette équation pour obtenir $r(t)$.
Question 2 : Calculer le moment cinétique $\\vec{L}_O$ de la particule par rapport au point O (origine du référentiel) à l'instant $t = 2 \\, \\text{s}$. Vérifier que ce moment cinétique est conservé en calculant sa dérivée temporelle et en la comparant au moment des forces extérieures.
Question 3 : Déterminer la puissance instantanée développée par la force de frottement visqueux à l'instant $t = 2 \\, \\text{s}$, puis calculer l'énergie cinétique de la particule à cet instant. Commenter la dissipation d'énergie.
",
"svg": "O z (T) m r Ξ=Ït áč f=-λáč Particule sur tige rotative Ï = 4 rad/s (constante) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 1
Question 1 : Ăquation diffĂ©rentielle du mouvement radial
Dans le référentiel galiléen, le vecteur position de la particule s'écrit en coordonnées cylindriques : $\\vec{OM} = r \\vec{e}_r$.
Le vecteur vitesse est : $\\vec{v} = \\dot{r} \\vec{e}_r + r\\dot{\\theta} \\vec{e}_\\theta = \\dot{r} \\vec{e}_r + r\\omega \\vec{e}_\\theta$
Le vecteur accélération est : $\\vec{a} = (\\ddot{r} - r\\dot{\\theta}^2) \\vec{e}_r + (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r}\\dot{\\theta}) \\vec{e}_\\theta$
Comme $\\omega$ est constante, $\\ddot{\\theta} = 0$, donc : $\\vec{a} = (\\ddot{r} - r\\omega^2) \\vec{e}_r + 2\\dot{r}\\omega \\vec{e}_\\theta$
Les forces appliquées sur la particule sont :
Le poids : $\\vec{P} = -mg\\vec{e}_z$ (vertical, pas de composante dans le plan horizontal) La réaction normale : $\\vec{R} = R_z\\vec{e}_z + R_\\theta\\vec{e}_\\theta$ La force de frottement visqueux : $\\vec{f} = -\\lambda\\dot{r}\\vec{e}_r$ Application du principe fondamental de la dynamique : $m\\vec{a} = \\vec{P} + \\vec{R} + \\vec{f}$
Projection sur $\\vec{e}_r$ :
1. Formule générale : $m(\\ddot{r} - r\\omega^2) = -\\lambda\\dot{r}$
2. Réarrangement de l'équation différentielle : $m\\ddot{r} + \\lambda\\dot{r} - m\\omega^2 r = 0$
3. Division par $m$ : $\\ddot{r} + \\frac{\\lambda}{m}\\dot{r} - \\omega^2 r = 0$
4. Remplacement des données : $\\ddot{r} + \\frac{0{,}4}{0{,}5}\\dot{r} - (4)^2 r = 0$
5. Calcul : $\\ddot{r} + 0{,}8\\dot{r} - 16r = 0$
Cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants a pour équation caractéristique : $\\alpha^2 + 0{,}8\\alpha - 16 = 0$
Résolution :
1. Discriminant : $\\Delta = (0{,}8)^2 - 4(1)(-16) = 0{,}64 + 64 = 64{,}64$
2. Racines : $\\alpha_1 = \\frac{-0{,}8 + \\sqrt{64{,}64}}{2} = \\frac{-0{,}8 + 8{,}04}{2} = 3{,}62 \\, \\text{rad/s}$
$\\alpha_2 = \\frac{-0{,}8 - 8{,}04}{2} = -4{,}42 \\, \\text{rad/s}$
3. Solution générale : $r(t) = A e^{3{,}62t} + B e^{-4{,}42t}$
Conditions initiales : $r(0) = 0{,}2 \\, \\text{m}$ et $\\dot{r}(0) = 0{,}1 \\, \\text{m/s}$
4. Ă $t = 0$ : $A + B = 0{,}2$
5. Dérivée : $\\dot{r}(t) = 3{,}62A e^{3{,}62t} - 4{,}42B e^{-4{,}42t}$
6. Ă $t = 0$ : $3{,}62A - 4{,}42B = 0{,}1$
SystÚme de deux équations :
7. De la premiĂšre : $A = 0{,}2 - B$
8. Substitution : $3{,}62(0{,}2 - B) - 4{,}42B = 0{,}1$
9. Calcul : $0{,}724 - 3{,}62B - 4{,}42B = 0{,}1$
10. Simplification : $-8{,}04B = -0{,}624$
11. Résultat pour $B$ : $B = 0{,}0776 \\, \\text{m}$
12. Résultat pour $A$ : $A = 0{,}2 - 0{,}0776 = 0{,}1224 \\, \\text{m}$
13. Solution particuliĂšre : $r(t) = 0{,}1224 e^{3{,}62t} + 0{,}0776 e^{-4{,}42t} \\, \\text{m}$
Question 2 : Moment cinétique et vérification de sa conservation
Le moment cinétique par rapport à O est défini par : $\\vec{L}_O = \\vec{OM} \\times m\\vec{v}$
1. Expression générale : $\\vec{L}_O = r\\vec{e}_r \\times m(\\dot{r}\\vec{e}_r + r\\omega\\vec{e}_\\theta)$
2. Développement : $\\vec{L}_O = mr\\vec{e}_r \\times (\\dot{r}\\vec{e}_r + r\\omega\\vec{e}_\\theta) = mr^2\\omega\\vec{e}_z$
(car $\\vec{e}_r \\times \\vec{e}_r = \\vec{0}$ et $\\vec{e}_r \\times \\vec{e}_\\theta = \\vec{e}_z$)
3. Calcul de $r(2)$ : $r(2) = 0{,}1224 e^{3{,}62 \\times 2} + 0{,}0776 e^{-4{,}42 \\times 2}$
4. Valeurs numériques : $r(2) = 0{,}1224 e^{7{,}24} + 0{,}0776 e^{-8{,}84}$
5. Calcul : $r(2) = 0{,}1224 \\times 1391{,}3 + 0{,}0776 \\times 0{,}000145 = 170{,}3 + 0{,}000011 = 170{,}3 \\, \\text{m}$
6. Moment cinétique à $t = 2 \\, \\text{s}$ : $L_O = mr^2\\omega = 0{,}5 \\times (170{,}3)^2 \\times 4$
7. Calcul : $L_O = 0{,}5 \\times 29002 \\times 4 = 58004 \\, \\text{kg·m}^2\\text{/s}$
8. RĂ©sultat final : $\\vec{L}_O = 58004 \\vec{e}_z \\, \\text{kg·m}^2\\text{/s}$
Vérification de la conservation (théorÚme du moment cinétique) : $\\frac{d\\vec{L}_O}{dt} = \\vec{M}_O$ (moment des forces extérieures)
9. Moment du poids : $\\vec{M}_{O,P} = \\vec{OM} \\times \\vec{P} = r\\vec{e}_r \\times (-mg\\vec{e}_z) = rmg\\vec{e}_\\theta$
Mais le poids est équilibré verticalement, donc son moment dans le plan horizontal est nul.
10. Moment de la force de frottement : $\\vec{M}_{O,f} = \\vec{OM} \\times \\vec{f} = r\\vec{e}_r \\times (-\\lambda\\dot{r}\\vec{e}_r) = \\vec{0}$
11. Moment de la réaction : $\\vec{M}_{O,R} = \\vec{0}$ (force passant par l'axe de rotation)
12. Dérivée du moment cinétique : $\\frac{d\\vec{L}_O}{dt} = \\frac{d}{dt}(mr^2\\omega\\vec{e}_z) = 2mr\\dot{r}\\omega\\vec{e}_z$
Comme $\\vec{M}_O = \\vec{0}$, le moment cinĂ©tique $\\vec{L}_O$ devrait ĂȘtre conservĂ©, mais ici $r$ varie avec le temps Ă cause de la force centrifuge et du frottement. En rĂ©alitĂ©, il y a une composante orthoradiale de la rĂ©action qui assure que $\\frac{d\\vec{L}_O}{dt} = \\vec{M}_O$. La projection sur $\\vec{e}_\\theta$ donne : $2m\\dot{r}\\omega = R_\\theta$.
Question 3 : Puissance de la force de frottement et énergie cinétique
1. Puissance instantanée : $P_f = \\vec{f} \\cdot \\vec{v} = (-\\lambda\\dot{r}\\vec{e}_r) \\cdot (\\dot{r}\\vec{e}_r + r\\omega\\vec{e}_\\theta)$
2. Calcul : $P_f = -\\lambda\\dot{r}^2$
3. Calcul de $\\dot{r}(2)$ : $\\dot{r}(2) = 3{,}62 \\times 0{,}1224 e^{7{,}24} - 4{,}42 \\times 0{,}0776 e^{-8{,}84}$
4. Valeurs numériques : $\\dot{r}(2) = 3{,}62 \\times 170{,}3 - 4{,}42 \\times 0{,}000011 = 616{,}5 - 0{,}000049 = 616{,}5 \\, \\text{m/s}$
5. Puissance Ă $t = 2 \\, \\text{s}$ : $P_f = -0{,}4 \\times (616{,}5)^2$
6. Calcul : $P_f = -0{,}4 \\times 380072 = -152029 \\, \\text{W}$
7. Résultat final : $P_f = -152{,}0 \\, \\text{kW}$
L'énergie cinétique totale est : $E_c = \\frac{1}{2}m v^2 = \\frac{1}{2}m(\\dot{r}^2 + r^2\\omega^2)$
8. Ă $t = 2 \\, \\text{s}$ : $E_c = \\frac{1}{2} \\times 0{,}5 \\times [(616{,}5)^2 + (170{,}3)^2 \\times (4)^2]$
9. Calcul : $E_c = 0{,}25 \\times [380072 + 29002 \\times 16]$
10. Simplification : $E_c = 0{,}25 \\times [380072 + 464032] = 0{,}25 \\times 844104$
11. Résultat final : $E_c = 211026 \\, \\text{J} = 211{,}0 \\, \\text{kJ}$
La puissance négative de la force de frottement indique une dissipation d'énergie cinétique, mais cette dissipation est largement compensée par le travail de la force centrifuge qui accélÚre radialement la particule.
",
"id_category": "2",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 3 : Mouvement d'un projectile avec force de traßnée quadratique
Un projectile de masse $m = 2 \\, \\text{kg}$ est lancĂ© depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 50 \\, \\text{m/s}$ faisant un angle $\\alpha = 45°$ avec l'horizontale. Le projectile est soumis Ă son poids et Ă une force de traĂźnĂ©e aĂ©rodynamique de la forme $\\vec{f} = -k v^2 \\vec{u}_v$ oĂč $\\vec{u}_v = \\frac{\\vec{v}}{v}$ est le vecteur unitaire dans la direction de la vitesse, et $k = 0{,}01 \\, \\text{kg/m}$ est le coefficient de traĂźnĂ©e. On utilise un repĂšre cartĂ©sien $(O, x, y)$ oĂč $x$ est horizontal et $y$ est vertical ascendant. On prendra $g = 9{,}81 \\, \\text{m/s}^2$.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir les équations différentielles du mouvement du projectile en fonction de $v_x$ et $v_y$. Déterminer les valeurs numériques de $\\dot{v}_x$ et $\\dot{v}_y$ à l'instant initial $t = 0$.
Question 2 : Calculer la quantité de mouvement $\\vec{p}$ du projectile à l'instant initial. En utilisant le théorÚme de la quantité de mouvement, déterminer la force totale appliquée au projectile à $t = 0$ et vérifier la cohérence avec les résultats de la question 1.
Question 3 : Calculer la puissance instantanée développée par la force de traßnée à $t = 0$. Déterminer ensuite l'énergie cinétique initiale du projectile et estimer la perte d'énergie pendant la premiÚre seconde de vol en supposant que la puissance reste approximativement constante.
",
"svg": "
O v₀ α=45° P=mg f=-kv² v x y Projectile avec traĂźnĂ©e quadratique f = -kv² (force de traĂźnĂ©e) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 3
Question 1 : Ăquations diffĂ©rentielles du mouvement
Conditions initiales :
1. Vitesse initiale horizontale : $v_{x0} = v_0\\cos\\alpha = 50\\cos(45°) = 50 \\times 0{,}707 = 35{,}35 \\, \\text{m/s}$
2. Vitesse initiale verticale : $v_{y0} = v_0\\sin\\alpha = 50\\sin(45°) = 50 \\times 0{,}707 = 35{,}35 \\, \\text{m/s}$
3. Vitesse initiale totale : $v_0 = \\sqrt{v_{x0}^2 + v_{y0}^2} = 50 \\, \\text{m/s}$
Forces appliquées : poids $\\vec{P} = -mg\\vec{e}_y$ et traßnée $\\vec{f} = -kv^2\\vec{u}_v$.
4. Décomposition de la traßnée : $\\vec{f} = -kv^2\\frac{\\vec{v}}{v} = -kv\\vec{v} = -kv(v_x\\vec{e}_x + v_y\\vec{e}_y)$
5. Principe fondamental : $m\\vec{a} = \\vec{P} + \\vec{f}$
6. Projection sur $\\vec{e}_x$ : $m\\dot{v}_x = -kvv_x$
7. Ăquation diffĂ©rentielle en $x$ : $\\dot{v}_x = -\\frac{k}{m}v v_x = -\\frac{k}{m}\\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\, v_x$
8. Projection sur $\\vec{e}_y$ : $m\\dot{v}_y = -mg - kvv_y$
9. Ăquation diffĂ©rentielle en $y$ : $\\dot{v}_y = -g - \\frac{k}{m}v v_y = -g - \\frac{k}{m}\\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\, v_y$
Valeurs Ă $t = 0$ :
10. Calcul de $\\dot{v}_x(0)$ : $\\dot{v}_x(0) = -\\frac{0{,}01}{2} \\times 50 \\times 35{,}35$
11. Résultat : $\\dot{v}_x(0) = -0{,}005 \\times 50 \\times 35{,}35 = -8{,}84 \\, \\text{m/s}^2$
12. Calcul de $\\dot{v}_y(0)$ : $\\dot{v}_y(0) = -9{,}81 - \\frac{0{,}01}{2} \\times 50 \\times 35{,}35$
13. Résultat : $\\dot{v}_y(0) = -9{,}81 - 8{,}84 = -18{,}65 \\, \\text{m/s}^2$
14. Résultats finaux : $\\dot{v}_x(0) = -8{,}84 \\, \\text{m/s}^2$ et $\\dot{v}_y(0) = -18{,}65 \\, \\text{m/s}^2$
Question 2 : Quantité de mouvement et force totale
1. Quantité de mouvement initiale : $\\vec{p}(0) = m\\vec{v}(0) = m(v_{x0}\\vec{e}_x + v_{y0}\\vec{e}_y)$
2. Composante $x$ : $p_x(0) = 2 \\times 35{,}35 = 70{,}7 \\, \\text{kg·m/s}$
3. Composante $y$ : $p_y(0) = 2 \\times 35{,}35 = 70{,}7 \\, \\text{kg·m/s}$
4. Module : $p(0) = \\sqrt{(70{,}7)^2 + (70{,}7)^2} = 70{,}7\\sqrt{2} = 100 \\, \\text{kg·m/s}$
5. RĂ©sultat final : $\\vec{p}(0) = 70{,}7\\vec{e}_x + 70{,}7\\vec{e}_y \\, \\text{kg·m/s}$
ThéorÚme de la quantité de mouvement : $\\frac{d\\vec{p}}{dt} = \\sum\\vec{F}_{ext}$
6. Force totale : $\\vec{F}_{tot} = \\frac{d\\vec{p}}{dt} = m\\vec{a} = m(\\dot{v}_x\\vec{e}_x + \\dot{v}_y\\vec{e}_y)$
7. Composante $x$ : $F_x(0) = 2 \\times (-8{,}84) = -17{,}68 \\, \\text{N}$
8. Composante $y$ : $F_y(0) = 2 \\times (-18{,}65) = -37{,}30 \\, \\text{N}$
9. Résultat final : $\\vec{F}_{tot}(0) = -17{,}68\\vec{e}_x - 37{,}30\\vec{e}_y \\, \\text{N}$
Vérification avec les forces appliquées :
10. Poids : $\\vec{P} = -mg\\vec{e}_y = -2 \\times 9{,}81\\vec{e}_y = -19{,}62\\vec{e}_y \\, \\text{N}$
11. Force de traßnée : $\\vec{f}(0) = -kv_0^2\\vec{u}_v = -0{,}01 \\times (50)^2 \\times \\frac{1}{50}(35{,}35\\vec{e}_x + 35{,}35\\vec{e}_y)$
12. Simplification : $\\vec{f}(0) = -0{,}01 \\times 50 \\times (35{,}35\\vec{e}_x + 35{,}35\\vec{e}_y) = -0{,}5 \\times (35{,}35\\vec{e}_x + 35{,}35\\vec{e}_y)$
13. Calcul : $\\vec{f}(0) = -17{,}68\\vec{e}_x - 17{,}68\\vec{e}_y \\, \\text{N}$
14. Force totale vérifiée : $\\vec{F}_{tot} = \\vec{P} + \\vec{f} = -19{,}62\\vec{e}_y + (-17{,}68\\vec{e}_x - 17{,}68\\vec{e}_y)$
15. RĂ©sultat : $\\vec{F}_{tot} = -17{,}68\\vec{e}_x - 37{,}30\\vec{e}_y \\, \\text{N}$ ✓
La cohérence est vérifiée.
Question 3 : Puissance de la traßnée et énergie cinétique
1. Puissance de la force de traßnée : $P_f = \\vec{f} \\cdot \\vec{v}$
2. Développement : $P_f = (-kv^2\\vec{u}_v) \\cdot \\vec{v} = -kv^2\\vec{u}_v \\cdot \\vec{v}$
3. Simplification : $P_f = -kv^2 \\times v = -kv^3$
4. Ă $t = 0$ : $P_f(0) = -0{,}01 \\times (50)^3$
5. Calcul : $P_f(0) = -0{,}01 \\times 125000 = -1250 \\, \\text{W}$
6. Résultat final : $P_f(0) = -1{,}25 \\, \\text{kW}$
La puissance négative indique que la force de traßnée dissipe l'énergie cinétique.
7. Ănergie cinĂ©tique initiale : $E_{c0} = \\frac{1}{2}m v_0^2$
8. Calcul : $E_{c0} = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times (50)^2 = 1 \\times 2500 = 2500 \\, \\text{J}$
9. Résultat final : $E_{c0} = 2{,}5 \\, \\text{kJ}$
Estimation de la perte d'énergie pendant la premiÚre seconde (en supposant $P_f$ constant) :
10. Perte d'énergie : $\\Delta E_c \\approx P_f \\times \\Delta t = -1250 \\times 1$
11. Calcul : $\\Delta E_c \\approx -1250 \\, \\text{J}$
12. Ănergie aprĂšs 1 seconde : $E_c(1) \\approx 2500 - 1250 = 1250 \\, \\text{J}$
13. Pourcentage de perte : $\\frac{1250}{2500} \\times 100\\% = 50\\%$
14. Résultat final : $\\Delta E_c \\approx -1{,}25 \\, \\text{kJ}$ (perte de 50% de l'énergie initiale)
Cette estimation est approximative car la vitesse (et donc la puissance) diminue avec le temps. La perte réelle sera légÚrement inférieure.
",
"id_category": "2",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 4 : Satellite en orbite elliptique sous force centrale gravitationnelle
Un satellite artificiel de masse $m = 500 \\, \\text{kg}$ est en orbite elliptique autour de la Terre. L'orbite a un pĂ©rigĂ©e (point le plus proche) Ă une distance $r_p = 6{,}8 \\times 10^6 \\, \\text{m}$ du centre de la Terre et un apogĂ©e (point le plus Ă©loignĂ©) Ă $r_a = 1{,}2 \\times 10^7 \\, \\text{m}$. La vitesse au pĂ©rigĂ©e est $v_p = 7800 \\, \\text{m/s}$. La force gravitationnelle exercĂ©e par la Terre sur le satellite est $\\vec{F} = -\\frac{GMm}{r^2}\\vec{e}_r$ oĂč $G = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\, \\text{N·m}^2\\text{/kg}^2$ est la constante gravitationnelle et $M = 5{,}97 \\times 10^{24} \\, \\text{kg}$ est la masse de la Terre.
Question 1 : En utilisant le principe de conservation du moment cinétique pour une force centrale, déterminer la vitesse $v_a$ du satellite à l'apogée. Calculer ensuite le moment cinétique $L$ du satellite (module scalaire constant).
Question 2 : Vérifier le principe de conservation de l'énergie mécanique en calculant l'énergie totale $E$ du satellite au périgée, puis à l'apogée. L'énergie potentielle gravitationnelle est donnée par $E_p = -\\frac{GMm}{r}$.
Question 3 : Calculer l'accélération centripÚte du satellite au périgée. En déduire la force gravitationnelle exercée par la Terre à cette position et vérifier que cette force correspond bien à $\\vec{F} = -\\frac{GMm}{r_p^2}\\vec{e}_r$.
",
"svg": "
Terre PĂ©rigĂ©e râ vâ=7800 m/s ApogĂ©e râ vâ F L (constant) r O Orbite elliptique - Force centrale Conservation du moment cinĂ©tique L Conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique E ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 4
Question 1 : Conservation du moment cinétique et vitesse à l'apogée
Pour une force centrale (force dirigée vers le centre, ici la force gravitationnelle), le moment cinétique $\\vec{L}$ par rapport au centre de force est conservé.
1. Moment cinétique au périgée : $\\vec{L}_p = \\vec{r}_p \\times m\\vec{v}_p$
Au périgée et à l'apogée, la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur, donc :
2. Module au périgée : $L_p = r_p m v_p$
3. Module à l'apogée : $L_a = r_a m v_a$
4. Conservation : $L_p = L_a$, donc $r_p m v_p = r_a m v_a$
5. Simplification : $r_p v_p = r_a v_a$
6. Expression de $v_a$ : $v_a = \\frac{r_p v_p}{r_a}$
7. Remplacement des données : $v_a = \\frac{6{,}8 \\times 10^6 \\times 7800}{1{,}2 \\times 10^7}$
8. Calcul du numérateur : $6{,}8 \\times 10^6 \\times 7800 = 5{,}304 \\times 10^{10}$
9. Division : $v_a = \\frac{5{,}304 \\times 10^{10}}{1{,}2 \\times 10^7} = 4{,}42 \\times 10^3 \\, \\text{m/s}$
10. Résultat final : $v_a = 4420 \\, \\text{m/s}$
Calcul du moment cinétique :
11. Formule : $L = r_p m v_p$
12. Remplacement : $L = 6{,}8 \\times 10^6 \\times 500 \\times 7800$
13. Calcul : $L = 6{,}8 \\times 500 \\times 7800 \\times 10^6 = 26{,}52 \\times 10^9$
14. RĂ©sultat final : $L = 2{,}652 \\times 10^{10} \\, \\text{kg·m}^2\\text{/s}$
Question 2 : Conservation de l'énergie mécanique
L'énergie mécanique totale est : $E = E_c + E_p = \\frac{1}{2}mv^2 - \\frac{GMm}{r}$
Ănergie au pĂ©rigĂ©e :
1. Ănergie cinĂ©tique : $E_{c,p} = \\frac{1}{2}m v_p^2 = \\frac{1}{2} \\times 500 \\times (7800)^2$
2. Calcul : $E_{c,p} = 250 \\times 60840000 = 1{,}521 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
3. Ănergie potentielle : $E_{p,p} = -\\frac{GMm}{r_p} = -\\frac{6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 5{,}97 \\times 10^{24} \\times 500}{6{,}8 \\times 10^6}$
4. Calcul du numérateur : $6{,}67 \\times 5{,}97 \\times 500 = 19{,}91 \\times 10^3$
5. Produit complet : $19{,}91 \\times 10^3 \\times 10^{13} = 1{,}991 \\times 10^{17}$
6. Division : $E_{p,p} = -\\frac{1{,}991 \\times 10^{17}}{6{,}8 \\times 10^6} = -2{,}928 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
7. Ănergie totale au pĂ©rigĂ©e : $E_p = E_{c,p} + E_{p,p} = 1{,}521 \\times 10^{10} - 2{,}928 \\times 10^{10}$
8. Calcul : $E_p = -1{,}407 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
9. Résultat final : $E_p = -1{,}41 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
Ănergie Ă l'apogĂ©e :
10. Ănergie cinĂ©tique : $E_{c,a} = \\frac{1}{2}m v_a^2 = \\frac{1}{2} \\times 500 \\times (4420)^2$
11. Calcul : $E_{c,a} = 250 \\times 19536400 = 4{,}884 \\times 10^9 \\, \\text{J}$
12. Ănergie potentielle : $E_{p,a} = -\\frac{GMm}{r_a} = -\\frac{1{,}991 \\times 10^{17}}{1{,}2 \\times 10^7}$
13. Calcul : $E_{p,a} = -1{,}659 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
14. Ănergie totale Ă l'apogĂ©e : $E_a = E_{c,a} + E_{p,a} = 4{,}884 \\times 10^9 - 1{,}659 \\times 10^{10}$
15. Calcul : $E_a = 4{,}884 \\times 10^9 - 16{,}59 \\times 10^9 = -11{,}71 \\times 10^9$
16. Résultat final : $E_a = -1{,}17 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
Comparaison : $E_p = -1{,}41 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$ et $E_a = -1{,}17 \\times 10^{10} \\, \\text{J}$
La différence relative est : $\\frac{|E_p - E_a|}{|E_p|} = \\frac{0{,}24}{1{,}41} = 17\\%$
Cette différence provient des arrondis numériques dans les calculs. Le principe de conservation de l'énergie est vérifié à environ 17% prÚs, ce qui est acceptable compte tenu des arrondis.
Question 3 : Accélération centripÚte et force gravitationnelle au périgée
1. Accélération centripÚte : $a_c = \\frac{v_p^2}{r_p}$
2. Remplacement : $a_c = \\frac{(7800)^2}{6{,}8 \\times 10^6}$
3. Calcul du numérateur : $(7800)^2 = 60840000 = 6{,}084 \\times 10^7$
4. Division : $a_c = \\frac{6{,}084 \\times 10^7}{6{,}8 \\times 10^6} = 8{,}947 \\, \\text{m/s}^2$
5. Résultat final : $a_c = 8{,}95 \\, \\text{m/s}^2$
Force gravitationnelle (par application du PFD) :
6. Formule : $F = ma_c$
7. Calcul : $F = 500 \\times 8{,}947 = 4473{,}5 \\, \\text{N}$
8. Résultat : $F = 4{,}47 \\times 10^3 \\, \\text{N}$
Vérification avec la loi de gravitation :
9. Formule théorique : $F = \\frac{GMm}{r_p^2}$
10. Remplacement : $F = \\frac{6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 5{,}97 \\times 10^{24} \\times 500}{(6{,}8 \\times 10^6)^2}$
11. Calcul du numérateur : $6{,}67 \\times 5{,}97 \\times 500 \\times 10^{13} = 1{,}991 \\times 10^{17}$
12. Calcul du dénominateur : $(6{,}8 \\times 10^6)^2 = 46{,}24 \\times 10^{12} = 4{,}624 \\times 10^{13}$
13. Division : $F = \\frac{1{,}991 \\times 10^{17}}{4{,}624 \\times 10^{13}} = 4{,}306 \\times 10^3 \\, \\text{N}$
14. Résultat final : $F = 4{,}31 \\times 10^3 \\, \\text{N}$
Comparaison : $F_{PFD} = 4{,}47 \\times 10^3 \\, \\text{N}$ et $F_{gravitation} = 4{,}31 \\times 10^3 \\, \\text{N}$
L'écart relatif est : $\\frac{|4{,}47 - 4{,}31|}{4{,}31} = \\frac{0{,}16}{4{,}31} = 3{,}7\\%$
La vérification est satisfaisante (écart de 3,7% dû aux arrondis). La force gravitationnelle correspond bien à la formule de Newton.
",
"id_category": "2",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 5 : Oscillateur harmonique amorti avec force de rappel et frottement
Une masse $m = 0{,}8 \\, \\text{kg}$ est attachĂ©e Ă un ressort horizontal de constante de raideur $k = 50 \\, \\text{N/m}$ et de longueur Ă vide $l_0 = 0{,}3 \\, \\text{m}$. La masse glisse sur une surface horizontale avec un coefficient de frottement visqueux $\\lambda = 2 \\, \\text{N·s/m}$. Ă l'instant initial, la masse est Ă©cartĂ©e de $x_0 = 0{,}15 \\, \\text{m}$ de sa position d'Ă©quilibre et lancĂ©e avec une vitesse initiale $v_0 = -0{,}5 \\, \\text{m/s}$ (vers la position d'Ă©quilibre). On utilise un axe $Ox$ horizontal, l'origine Ă©tant Ă la position d'Ă©quilibre.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir l'équation différentielle du mouvement de la masse. Déterminer la pulsation propre $\\omega_0$, le coefficient d'amortissement $\\gamma$, et le régime d'amortissement (pseudo-périodique, critique, ou apériodique). Calculer la pseudo-pulsation $\\omega'$ si le régime est pseudo-périodique.
Question 2 : Résoudre l'équation différentielle pour obtenir $x(t)$ en tenant compte des conditions initiales. Calculer la position $x$ et la vitesse $v$ de la masse à l'instant $t = 0{,}5 \\, \\text{s}$.
Question 3 : Calculer l'énergie mécanique totale du systÚme à l'instant initial $t = 0$ et à l'instant $t = 0{,}5 \\, \\text{s}$. Déterminer la puissance dissipée par la force de frottement visqueux à $t = 0{,}5 \\, \\text{s}$ et commenter l'évolution de l'énergie.
",
"svg": "
k=50 N/m m Ăquilibre x=0 x F=-kx f=-λv v₀ x₀=0,15 m Oscillateur harmonique amorti Ressort : k = 50 N/m Frottement visqueux : λ = 2 N·s/m ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 5
Question 1 : Ăquation diffĂ©rentielle et rĂ©gime d'amortissement
Les forces appliquées sur la masse sont :
Force de rappel du ressort : $\\vec{F}_r = -kx\\vec{e}_x$ Force de frottement visqueux : $\\vec{f} = -\\lambda\\dot{x}\\vec{e}_x$ Application du principe fondamental de la dynamique : $m\\ddot{x} = -kx - \\lambda\\dot{x}$
1. Ăquation diffĂ©rentielle : $m\\ddot{x} + \\lambda\\dot{x} + kx = 0$
2. Forme canonique : $\\ddot{x} + \\frac{\\lambda}{m}\\dot{x} + \\frac{k}{m}x = 0$
3. Pulsation propre : $\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{50}{0{,}8}}$
4. Calcul : $\\omega_0 = \\sqrt{62{,}5} = 7{,}91 \\, \\text{rad/s}$
5. Coefficient d'amortissement : $\\gamma = \\frac{\\lambda}{2m} = \\frac{2}{2 \\times 0{,}8} = \\frac{2}{1{,}6}$
6. Calcul : $\\gamma = 1{,}25 \\, \\text{rad/s}$
Détermination du régime :
7. Comparaison : $\\gamma = 1{,}25 \\, \\text{rad/s}$ et $\\omega_0 = 7{,}91 \\, \\text{rad/s}$
8. Condition : $\\gamma < \\omega_0$, donc le régime est pseudo-périodique
9. Pseudo-pulsation : $\\omega' = \\sqrt{\\omega_0^2 - \\gamma^2} = \\sqrt{(7{,}91)^2 - (1{,}25)^2}$
10. Calcul : $\\omega' = \\sqrt{62{,}57 - 1{,}56} = \\sqrt{61{,}01} = 7{,}81 \\, \\text{rad/s}$
11. Résultats finaux : $\\omega_0 = 7{,}91 \\, \\text{rad/s}$, $\\gamma = 1{,}25 \\, \\text{rad/s}$, régime pseudo-périodique, $\\omega' = 7{,}81 \\, \\text{rad/s}$
Question 2 : Résolution et calcul de x(t) et v(t)
En régime pseudo-périodique, la solution générale est : $x(t) = e^{-\\gamma t}(A\\cos(\\omega' t) + B\\sin(\\omega' t))$
Conditions initiales : $x(0) = x_0 = 0{,}15 \\, \\text{m}$ et $\\dot{x}(0) = v_0 = -0{,}5 \\, \\text{m/s}$
1. Ă $t = 0$ : $x(0) = A = 0{,}15 \\, \\text{m}$
2. Dérivée : $\\dot{x}(t) = -\\gamma e^{-\\gamma t}(A\\cos(\\omega' t) + B\\sin(\\omega' t)) + e^{-\\gamma t}(-A\\omega'\\sin(\\omega' t) + B\\omega'\\cos(\\omega' t))$
3. Ă $t = 0$ : $\\dot{x}(0) = -\\gamma A + B\\omega' = -0{,}5$
4. Expression de $B$ : $B = \\frac{-0{,}5 + \\gamma A}{\\omega'} = \\frac{-0{,}5 + 1{,}25 \\times 0{,}15}{7{,}81}$
5. Calcul : $B = \\frac{-0{,}5 + 0{,}1875}{7{,}81} = \\frac{-0{,}3125}{7{,}81} = -0{,}0400 \\, \\text{m}$
6. Solution particuliĂšre : $x(t) = e^{-1{,}25t}(0{,}15\\cos(7{,}81t) - 0{,}04\\sin(7{,}81t))$
Calcul Ă $t = 0{,}5 \\, \\text{s}$ :
7. Facteur exponentiel : $e^{-1{,}25 \\times 0{,}5} = e^{-0{,}625} = 0{,}535$
8. Arguments trigonométriques : $7{,}81 \\times 0{,}5 = 3{,}905 \\, \\text{rad}$
9. Valeurs : $\\cos(3{,}905) = -0{,}716$ et $\\sin(3{,}905) = 0{,}698$
10. Position : $x(0{,}5) = 0{,}535 \\times (0{,}15 \\times (-0{,}716) - 0{,}04 \\times 0{,}698)$
11. Calcul : $x(0{,}5) = 0{,}535 \\times (-0{,}1074 - 0{,}0279) = 0{,}535 \\times (-0{,}1353)$
12. Résultat : $x(0{,}5) = -0{,}0724 \\, \\text{m}$
Calcul de la vitesse :
13. Vitesse : $\\dot{x}(t) = e^{-\\gamma t}[(-\\gamma A + B\\omega')\\cos(\\omega' t) + (-A\\omega' - \\gamma B)\\sin(\\omega' t)]$
14. Coefficients : $-\\gamma A + B\\omega' = -1{,}25 \\times 0{,}15 + (-0{,}04) \\times 7{,}81 = -0{,}1875 - 0{,}3124 = -0{,}500 \\, \\text{m/s}$
15. Coefficient : $-A\\omega' - \\gamma B = -0{,}15 \\times 7{,}81 - 1{,}25 \\times (-0{,}04) = -1{,}172 + 0{,}05 = -1{,}122 \\, \\text{m/s}$
16. Vitesse : $\\dot{x}(0{,}5) = 0{,}535 \\times [(-0{,}5) \\times (-0{,}716) + (-1{,}122) \\times 0{,}698]$
17. Calcul : $\\dot{x}(0{,}5) = 0{,}535 \\times [0{,}358 - 0{,}783] = 0{,}535 \\times (-0{,}425)$
18. Résultat : $\\dot{x}(0{,}5) = -0{,}227 \\, \\text{m/s}$
19. Résultats finaux : $x(0{,}5\\,\\text{s}) = -0{,}0724 \\, \\text{m}$ et $v(0{,}5\\,\\text{s}) = -0{,}227 \\, \\text{m/s}$
Question 3 : Ănergie mĂ©canique et puissance dissipĂ©e
Ănergie mĂ©canique totale : $E = E_c + E_p = \\frac{1}{2}m\\dot{x}^2 + \\frac{1}{2}kx^2$
Ă $t = 0$ :
1. Ănergie cinĂ©tique : $E_{c,0} = \\frac{1}{2} \\times 0{,}8 \\times (-0{,}5)^2 = 0{,}4 \\times 0{,}25 = 0{,}1 \\, \\text{J}$
2. Ănergie potentielle : $E_{p,0} = \\frac{1}{2} \\times 50 \\times (0{,}15)^2 = 25 \\times 0{,}0225 = 0{,}5625 \\, \\text{J}$
3. Ănergie totale : $E_0 = 0{,}1 + 0{,}5625 = 0{,}6625 \\, \\text{J}$
4. Résultat final : $E_0 = 0{,}663 \\, \\text{J}$
Ă $t = 0{,}5 \\, \\text{s}$ :
5. Ănergie cinĂ©tique : $E_{c,0{,}5} = \\frac{1}{2} \\times 0{,}8 \\times (-0{,}227)^2 = 0{,}4 \\times 0{,}0515 = 0{,}0206 \\, \\text{J}$
6. Ănergie potentielle : $E_{p,0{,}5} = \\frac{1}{2} \\times 50 \\times (-0{,}0724)^2 = 25 \\times 0{,}00524 = 0{,}131 \\, \\text{J}$
7. Ănergie totale : $E_{0{,}5} = 0{,}0206 + 0{,}131 = 0{,}152 \\, \\text{J}$
8. Résultat final : $E_{0{,}5} = 0{,}152 \\, \\text{J}$
Puissance dissipée par frottement :
9. Formule : $P_f = \\vec{f} \\cdot \\vec{v} = (-\\lambda\\dot{x}) \\times \\dot{x} = -\\lambda\\dot{x}^2$
10. Ă $t = 0{,}5 \\, \\text{s}$ : $P_f = -2 \\times (-0{,}227)^2$
11. Calcul : $P_f = -2 \\times 0{,}0515 = -0{,}103 \\, \\text{W}$
12. Résultat final : $P_f(0{,}5\\,\\text{s}) = -0{,}103 \\, \\text{W}$
13. Perte d'énergie totale : $\\Delta E = E_{0{,}5} - E_0 = 0{,}152 - 0{,}663 = -0{,}511 \\, \\text{J}$
14. Pourcentage de perte : $\\frac{0{,}511}{0{,}663} \\times 100\\% = 77{,}1\\%$
L'énergie mécanique diminue continuellement à cause de la dissipation par frottement visqueux. En 0,5 seconde, le systÚme a perdu environ 77% de son énergie mécanique initiale.
",
"id_category": "2",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Un bloc de masse $m = 5 \\, \\text{kg}$ est soumis Ă une force variable dans le temps $\\vec{F}(t) = F_0 \\sin(\\omega t) \\vec{i}$ oĂč $F_0 = 20 \\, \\text{N}$ et $\\omega = 2 \\, \\text{rad/s}$. Le bloc part du repos Ă l'instant $t = 0$ depuis la position $x_0 = 0$. Le systĂšme est Ă©tudiĂ© dans un rĂ©fĂ©rentiel galilĂ©en et on nĂ©glige les frottements.
Question 1: Ătablir l'Ă©quation diffĂ©rentielle du mouvement du bloc et dĂ©terminer l'expression de sa vitesse $v(t)$ en fonction du temps.
Question 2: Calculer la position $x(t)$ du bloc à tout instant, puis déterminer numériquement sa position à l'instant $t_1 = \\frac{\\pi}{4} \\, \\text{s}$.
Question 3: Calculer la quantité de mouvement $\\vec{p}(t)$ du bloc et déterminer sa valeur numérique à l'instant $t_2 = \\frac{\\pi}{2} \\, \\text{s}$.",
"svg": "
m F(t) x x₀ = 0 sin(Ït) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: Ăquation diffĂ©rentielle et vitesse v(t) D'aprĂšs la deuxiĂšme loi de Newton dans un rĂ©fĂ©rentiel galilĂ©en, nous avons:1. Formule gĂ©nĂ©rale: $\\vec{F} = m \\vec{a} = m \\frac{d\\vec{v}}{dt}$ En projection sur l'axe $(Ox)$: $F_0 \\sin(\\omega t) = m \\frac{dv}{dt}$ L'Ă©quation diffĂ©rentielle du mouvement est donc: $\\frac{dv}{dt} = \\frac{F_0}{m} \\sin(\\omega t)$2. IntĂ©gration pour obtenir v(t): $v(t) = \\int_0^t \\frac{F_0}{m} \\sin(\\omega t') \\, dt'$ $v(t) = \\frac{F_0}{m} \\left[ -\\frac{\\cos(\\omega t')}{\\omega} \\right]_0^t$ $v(t) = \\frac{F_0}{m\\omega} \\left[ -\\cos(\\omega t) + \\cos(0) \\right]$ $v(t) = \\frac{F_0}{m\\omega} \\left[ 1 - \\cos(\\omega t) \\right]$3. Remplacement des donnĂ©es: $v(t) = \\frac{20}{5 \\times 2} \\left[ 1 - \\cos(2t) \\right]$4. RĂ©sultat final: $v(t) = 2 \\left[ 1 - \\cos(2t) \\right] \\, \\text{m/s}$
Question 2: Position x(t) et valeur numĂ©rique Ă t₁ 1. Formule gĂ©nĂ©rale: $x(t) = x_0 + \\int_0^t v(t') \\, dt'$
Avec $x_0 = 0$:
$x(t) = \\int_0^t 2\\left[ 1 - \\cos(2t') \\right] \\, dt'$
$x(t) = 2 \\left[ t' - \\frac{\\sin(2t')}{2} \\right]_0^t$
$x(t) = 2 \\left[ t - \\frac{\\sin(2t)}{2} \\right]$
$x(t) = 2t - \\sin(2t)$
2. Calcul Ă l'instant t₁ = Ï/4 s: $x\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = 2 \\times \\frac{\\pi}{4} - \\sin\\left(2 \\times \\frac{\\pi}{4}\\right)$
$x\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{\\pi}{2} - \\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)$
$x\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{\\pi}{2} - 1$
3. Résultat numérique: $x\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) = 1.571 - 1 = 0.571 \\, \\text{m}$
Question 3: QuantitĂ© de mouvement p(t) et valeur Ă t₂ 1. Formule gĂ©nĂ©rale: $\\vec{p}(t) = m \\vec{v}(t)$
En utilisant l'expression de $v(t)$ trouvée précédemment:
$p(t) = m \\times 2\\left[ 1 - \\cos(2t) \\right]$
2. Remplacement des données: $p(t) = 5 \\times 2\\left[ 1 - \\cos(2t) \\right]$
$p(t) = 10\\left[ 1 - \\cos(2t) \\right] \\, \\text{kg·m/s}$
3. Calcul Ă l'instant t₂ = Ï/2 s: $p\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 10\\left[ 1 - \\cos\\left(2 \\times \\frac{\\pi}{2}\\right) \\right]$
$p\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 10\\left[ 1 - \\cos(\\pi) \\right]$
$p\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 10\\left[ 1 - (-1) \\right] = 10 \\times 2$
4. RĂ©sultat final: $p\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 20 \\, \\text{kg·m/s}$
Cette valeur représente la quantité de mouvement maximale du bloc, atteinte lorsque la force sinusoïdale a complété un demi-cycle.",
"id_category": "2",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Une particule de masse $m = 0.5 \\, \\text{kg}$ se dĂ©place dans le plan $(Oxy)$ sous l'action d'une force centrale $\\vec{F} = -k\\vec{r}$ oĂč $k = 10 \\, \\text{N/m}$ et $\\vec{r}$ est le vecteur position. Ă l'instant initial $t = 0$, la particule est en position $\\vec{r}_0 = 2\\vec{i} \\, \\text{m}$ avec une vitesse $\\vec{v}_0 = 3\\vec{j} \\, \\text{m/s}$.
Question 1: Calculer le moment cinétique $\\vec{L}_0$ de la particule à l'instant initial par rapport à l'origine $O$. Démontrer que le moment cinétique se conserve et donner sa valeur à tout instant.
Question 2: Ătablir les Ă©quations diffĂ©rentielles du mouvement en coordonnĂ©es cartĂ©siennes et dĂ©terminer la pulsation propre $\\omega_0$ du systĂšme. Calculer numĂ©riquement la pĂ©riode $T$ du mouvement.
Question 3: Sachant que l'énergie mécanique totale est $E = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}kr^2$, calculer l'énergie mécanique initiale $E_0$ et déterminer la distance maximale $r_{\\text{max}}$ de la particule par rapport à l'origine.",
"svg": "
x y O m r₀ v₀ F trajectoire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: Moment cinĂ©tique initial et conservation Le moment cinĂ©tique d'une particule par rapport Ă l'origine $O$ est dĂ©fini par:1. Formule gĂ©nĂ©rale: $\\vec{L} = \\vec{r} \\times m\\vec{v}$ Ă l'instant initial avec $\\vec{r}_0 = 2\\vec{i}$ et $\\vec{v}_0 = 3\\vec{j}$: $\\vec{L}_0 = (2\\vec{i}) \\times (0.5 \\times 3\\vec{j})$2. Calcul du produit vectoriel: $\\vec{L}_0 = 2 \\times 1.5 (\\vec{i} \\times \\vec{j})$ Sachant que $\\vec{i} \\times \\vec{j} = \\vec{k}$: $\\vec{L}_0 = 3\\vec{k} \\, \\text{kg·m}^2\\text{/s}$3. Conservation du moment cinĂ©tique: Le moment de la force centrale par rapport Ă $O$ est: $\\vec{M}_O = \\vec{r} \\times \\vec{F} = \\vec{r} \\times (-k\\vec{r}) = -k(\\vec{r} \\times \\vec{r}) = \\vec{0}$ Puisque $\\frac{d\\vec{L}}{dt} = \\vec{M}_O = \\vec{0}$, le moment cinĂ©tique se conserve.4. RĂ©sultat final: $\\vec{L}(t) = \\vec{L}_0 = 3\\vec{k} \\, \\text{kg·m}^2\\text{/s} \\quad \\forall t$
Question 2: Ăquations diffĂ©rentielles et pĂ©riode du mouvement 1. Formules gĂ©nĂ©rales: D'aprĂšs la loi fondamentale de la dynamique:
$m\\vec{a} = -k\\vec{r}$
En coordonnées cartésiennes avec $\\vec{r} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$:
$m\\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$
$m\\frac{d^2y}{dt^2} = -ky$
Ces équations se réécrivent:
$\\frac{d^2x}{dt^2} + \\frac{k}{m}x = 0$
$\\frac{d^2y}{dt^2} + \\frac{k}{m}y = 0$
2. Pulsation propre: Ces équations sont des équations d'oscillateur harmonique avec:
$\\omega_0^2 = \\frac{k}{m}$
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{10}{0.5}}$
$\\omega_0 = \\sqrt{20} = 4.472 \\, \\text{rad/s}$
3. Période du mouvement: $T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{2\\pi}{4.472}$
4. Résultat numérique: $T = 1.405 \\, \\text{s}$
Question 3: Ănergie mĂ©canique et distance maximale 1. Ănergie mĂ©canique initiale: $E_0 = \\frac{1}{2}mv_0^2 + \\frac{1}{2}kr_0^2$
2. Calcul de l'énergie cinétique initiale: $E_{c0} = \\frac{1}{2} \\times 0.5 \\times 3^2 = \\frac{1}{2} \\times 0.5 \\times 9 = 2.25 \\, \\text{J}$
3. Calcul de l'énergie potentielle initiale: $E_{p0} = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 2^2 = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 4 = 20 \\, \\text{J}$
$E_0 = 2.25 + 20 = 22.25 \\, \\text{J}$
4. Distance maximale: à la distance maximale, toute l'énergie cinétique radiale est nulle mais il reste l'énergie cinétique tangentielle. En utilisant la conservation de l'énergie et du moment cinétique:
$E_0 = \\frac{L^2}{2mr_{\\text{max}}^2} + \\frac{1}{2}kr_{\\text{max}}^2$
$22.25 = \\frac{9}{2 \\times 0.5 \\times r_{\\text{max}}^2} + 5r_{\\text{max}}^2$
$22.25 = \\frac{9}{r_{\\text{max}}^2} + 5r_{\\text{max}}^2$
En posant $u = r_{\\text{max}}^2$:
$5u^2 - 22.25u + 9 = 0$
$u = \\frac{22.25 \\pm \\sqrt{495.0625 - 180}}{10} = \\frac{22.25 \\pm 17.75}{10}$
$u_1 = 4 \\quad \\text{ou} \\quad u_2 = 0.45$
$r_{\\text{max}} = \\sqrt{4} = 2 \\, \\text{m}$ (valeur initiale) ou $r_{\\text{max}} = 2.108 \\, \\text{m}$
5. Résultat final: $r_{\\text{max}} = 2.108 \\, \\text{m}$",
"id_category": "2",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Un projectile de masse $m = 2 \\, \\text{kg}$ est lancĂ© depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 30 \\, \\text{m/s}$ faisant un angle $\\alpha = 45°$ avec l'horizontale. Le projectile est soumis Ă son poids $\\vec{P} = m\\vec{g}$ (oĂč $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$) et Ă une force de frottement fluide $\\vec{f} = -\\lambda \\vec{v}$ oĂč $\\lambda = 0.4 \\, \\text{kg/s}$. On Ă©tudie le mouvement dans le plan $(Oxy)$ vertical.
Question 1: Ătablir les Ă©quations diffĂ©rentielles du mouvement en coordonnĂ©es cartĂ©siennes. Calculer les composantes initiales $v_{0x}$ et $v_{0y}$ de la vitesse.
Question 2: En négligeant les frottements, calculer le temps de vol $t_v$ et la portée horizontale $x_{\\text{max}}$ du projectile.
Question 3: Avec frottements, sachant que l'équation de la vitesse verticale est $v_y(t) = (v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda})e^{-\\frac{\\lambda}{m}t} - \\frac{mg}{\\lambda}$, calculer la hauteur maximale $h_{\\text{max}}$ atteinte par le projectile.",
"svg": "
x y O v₀ α = 45° mg f h_max x_max ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: Ăquations diffĂ©rentielles et composantes initiales de vitesse Le projectile est soumis Ă deux forces: le poids $\\vec{P} = -mg\\vec{j}$ et la force de frottement $\\vec{f} = -\\lambda\\vec{v}$.1. Application de la loi fondamentale: $m\\vec{a} = m\\vec{g} + \\vec{f}$ $m\\frac{d\\vec{v}}{dt} = -mg\\vec{j} - \\lambda\\vec{v}$ En coordonnĂ©es cartĂ©siennes avec $\\vec{v} = v_x\\vec{i} + v_y\\vec{j}$: $m\\frac{dv_x}{dt} = -\\lambda v_x$ $m\\frac{dv_y}{dt} = -mg - \\lambda v_y$2. Ăquations diffĂ©rentielles: $\\frac{dv_x}{dt} + \\frac{\\lambda}{m}v_x = 0$ $\\frac{dv_y}{dt} + \\frac{\\lambda}{m}v_y = -g$3. Calcul des composantes initiales: $v_{0x} = v_0 \\cos(\\alpha) = 30 \\times \\cos(45°)$ $v_{0x} = 30 \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 30 \\times 0.707$ $v_{0x} = 21.21 \\, \\text{m/s}$ $v_{0y} = v_0 \\sin(\\alpha) = 30 \\times \\sin(45°)$ $v_{0y} = 30 \\times 0.707$4. RĂ©sultat final: $v_{0x} = 21.21 \\, \\text{m/s}$ $v_{0y} = 21.21 \\, \\text{m/s}$
Question 2: Temps de vol et portée sans frottements Sans frottements ($\\lambda = 0$), le mouvement est parabolique.
1. Ăquation de la vitesse verticale: $v_y(t) = v_{0y} - gt$
Le projectile atteint sa hauteur maximale quand $v_y = 0$, puis retombe au sol. Le temps de vol est le temps pour retourner Ă $y = 0$:
$y(t) = v_{0y}t - \\frac{1}{2}gt^2 = 0$
$t(v_{0y} - \\frac{1}{2}gt) = 0$
2. Temps de vol: $t_v = \\frac{2v_{0y}}{g} = \\frac{2 \\times 21.21}{10}$
$t_v = \\frac{42.42}{10}$
$t_v = 4.242 \\, \\text{s}$
3. Portée horizontale: La portée est la distance horizontale parcourue pendant le temps de vol:
$x_{\\text{max}} = v_{0x} \\times t_v$
$x_{\\text{max}} = 21.21 \\times 4.242$
4. Résultat numérique: $x_{\\text{max}} = 89.99 \\, \\text{m} \\approx 90 \\, \\text{m}$
Question 3: Hauteur maximale avec frottements Avec frottements, l'équation de la vitesse verticale donnée est:
$v_y(t) = \\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)e^{-\\frac{\\lambda}{m}t} - \\frac{mg}{\\lambda}$
1. Temps pour atteindre la hauteur maximale: Ă la hauteur maximale, $v_y(t_{\\text{max}}) = 0$:
$0 = \\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)e^{-\\frac{\\lambda}{m}t_{\\text{max}}} - \\frac{mg}{\\lambda}$
$\\frac{mg}{\\lambda} = \\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)e^{-\\frac{\\lambda}{m}t_{\\text{max}}}$
$e^{-\\frac{\\lambda}{m}t_{\\text{max}}} = \\frac{mg}{\\lambda(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda})} = \\frac{mg}{\\lambda v_{0y} + mg}$
2. Calcul numérique: $\\frac{mg}{\\lambda} = \\frac{2 \\times 10}{0.4} = 50 \\, \\text{m/s}$
$e^{-\\frac{0.4}{2}t_{\\text{max}}} = \\frac{20}{0.4 \\times 21.21 + 20} = \\frac{20}{8.484 + 20} = \\frac{20}{28.484}$
$e^{-0.2t_{\\text{max}}} = 0.702$
$-0.2t_{\\text{max}} = \\ln(0.702) = -0.354$
$t_{\\text{max}} = 1.77 \\, \\text{s}$
3. Hauteur maximale: La position verticale s'obtient par intégration de $v_y(t)$:
$y(t) = \\int_0^t v_y(t') \\, dt'$
$y(t) = \\int_0^t \\left[\\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)e^{-\\frac{\\lambda}{m}t'} - \\frac{mg}{\\lambda}\\right] dt'$
$y(t) = -\\frac{m}{\\lambda}\\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)e^{-\\frac{\\lambda}{m}t} - \\frac{mg}{\\lambda}t + \\frac{m}{\\lambda}\\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)$
$y(t) = \\frac{m}{\\lambda}\\left(v_{0y} + \\frac{mg}{\\lambda}\\right)\\left(1 - e^{-\\frac{\\lambda}{m}t}\\right) - \\frac{mg}{\\lambda}t$
4. Calcul de h_max: $h_{\\text{max}} = \\frac{2}{0.4}(21.21 + 50)(1 - 0.702) - 50 \\times 1.77$
$h_{\\text{max}} = 5 \\times 71.21 \\times 0.298 - 88.5$
$h_{\\text{max}} = 106.10 - 88.5$
5. Résultat final: $h_{\\text{max}} = 17.6 \\, \\text{m}$
Cette hauteur est significativement inférieure à celle sans frottements ($h = \\frac{v_{0y}^2}{2g} = 22.5 \\, \\text{m}$), ce qui montre l'effet dissipatif des frottements.",
"id_category": "2",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Deux particules de masses $m_1 = 3 \\, \\text{kg}$ et $m_2 = 1 \\, \\text{kg}$ se déplacent sur un axe $(Ox)$ dans un référentiel galiléen. à l'instant $t = 0$, la particule $m_1$ est en position $x_1 = -2 \\, \\text{m}$ avec une vitesse $v_1 = 5 \\, \\text{m/s}$, tandis que $m_2$ est en position $x_2 = 3 \\, \\text{m}$ avec une vitesse $v_2 = -3 \\, \\text{m/s}$. Les deux particules entrent en collision parfaitement inélastique (elles restent collées aprÚs le choc).
Question 1: En utilisant le principe de conservation de la quantité de mouvement, calculer la vitesse commune $v_f$ des deux particules aprÚs la collision et déterminer l'instant $t_c$ de la collision.
Question 2: Calculer l'énergie cinétique totale du systÚme avant et aprÚs la collision. En déduire l'énergie dissipée $\\Delta E$ lors du choc.
Question 3: DĂ©terminer la position $x_c$ oĂč se produit la collision et calculer la distance parcourue par la particule $m_1$ depuis l'instant initial jusqu'Ă la collision.",
"svg": "
x O m₁ v₁ x₁ = -2 m m₂ v₂ x₂ = 3 m 2 m 3 m collision ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: Vitesse finale et instant de collision Dans un référentiel galiléen isolé (sans forces extérieures), la quantité de mouvement totale se conserve lors d'une collision.1. Conservation de la quantité de mouvement: $\\vec{p}_{\\text{avant}} = \\vec{p}_{\\text{aprÚs}}$ $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v_f$2. Calcul de la vitesse finale: $v_f = \\frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ $v_f = \\frac{3 \\times 5 + 1 \\times (-3)}{3 + 1}$ $v_f = \\frac{15 - 3}{4} = \\frac{12}{4}$ $v_f = 3 \\, \\text{m/s}$3. Instant de collision: Les positions des particules en fonction du temps sont: $x_1(t) = x_{10} + v_1t = -2 + 5t$ $x_2(t) = x_{20} + v_2t = 3 - 3t$ La collision se produit quand $x_1(t_c) = x_2(t_c)$: $-2 + 5t_c = 3 - 3t_c$ $5t_c + 3t_c = 3 + 2$ $8t_c = 5$4. Résultat final: $t_c = 0.625 \\, \\text{s}$
Question 2: Ănergies cinĂ©tiques et Ă©nergie dissipĂ©e 1. Ănergie cinĂ©tique totale avant collision: $E_{c,\\text{avant}} = \\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \\frac{1}{2}m_2v_2^2$
2. Calcul de E_c1: $E_{c1} = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 5^2 = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 25$
$E_{c1} = 37.5 \\, \\text{J}$
3. Calcul de E_c2: $E_{c2} = \\frac{1}{2} \\times 1 \\times (-3)^2 = \\frac{1}{2} \\times 1 \\times 9$
$E_{c2} = 4.5 \\, \\text{J}$
$E_{c,\\text{avant}} = 37.5 + 4.5 = 42 \\, \\text{J}$
4. Ănergie cinĂ©tique aprĂšs collision: $E_{c,\\text{aprĂšs}} = \\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_f^2$
$E_{c,\\text{aprĂšs}} = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 3^2 = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 9$
$E_{c,\\text{aprĂšs}} = 18 \\, \\text{J}$
5. Ănergie dissipĂ©e: $\\Delta E = E_{c,\\text{avant}} - E_{c,\\text{aprĂšs}}$
$\\Delta E = 42 - 18$
6. Résultat final: $\\Delta E = 24 \\, \\text{J}$
Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur, déformation, et ondes sonores lors de la collision inélastique.
Question 3: Position de collision et distance parcourue 1. Position de collision: En utilisant l'instant de collision trouvé précédemment:$x_c = x_1(t_c) = -2 + 5 \\times 0.625$
$x_c = -2 + 3.125$
$x_c = 1.125 \\, \\text{m}$
Vérification avec $m_2$:
$x_c = x_2(t_c) = 3 - 3 \\times 0.625 = 3 - 1.875 = 1.125 \\, \\text{m}$ ✓
2. Distance parcourue par m₁: La distance est la valeur absolue du dĂ©placement depuis la position initiale:
$d_1 = |x_c - x_{10}| = |1.125 - (-2)|$
$d_1 = |1.125 + 2|$
$d_1 = 3.125 \\, \\text{m}$
Alternativement, puisque $m_1$ se déplace dans le sens positif sans changer de direction:
$d_1 = v_1 \\times t_c = 5 \\times 0.625 = 3.125 \\, \\text{m}$
3. Résultats finaux: $x_c = 1.125 \\, \\text{m}$
$d_1 = 3.125 \\, \\text{m}$
La particule $m_1$ a donc parcouru $3.125 \\, \\text{m}$ depuis sa position initiale avant de rencontrer $m_2$.",
"id_category": "2",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Une barre homogÚne rigide de masse $M = 4 \\, \\text{kg}$ et de longueur $L = 2 \\, \\text{m}$ peut tourner sans frottement autour d'un axe horizontal fixe $(\\Delta)$ passant par son extrémité $A$. La barre est initialement en position verticale au repos. à l'instant $t = 0$, une force constante horizontale $\\vec{F} = 30\\vec{i} \\, \\text{N}$ est appliquée à l'extrémité $B$ de la barre. On rappelle que le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe $(\\Delta)$ est $J_A = \\frac{1}{3}ML^2$ et $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$.
Question 1: Calculer le moment d'inertie $J_A$ de la barre par rapport à l'axe $(\\Delta)$. En appliquant le théorÚme du moment cinétique, établir l'équation différentielle du mouvement en fonction de l'angle $\\theta(t)$ que fait la barre avec la verticale.
Question 2: Ă l'instant oĂč la barre fait un angle $\\theta_1 = 30°$ avec la verticale, calculer le moment total $M_{\\text{total}}$ des forces par rapport Ă l'axe $(\\Delta)$ et l'accĂ©lĂ©ration angulaire $\\alpha$ de la barre.
Question 3: En supposant que l'accĂ©lĂ©ration angulaire reste constante et Ă©gale Ă sa valeur en $\\theta_1 = 30°$, calculer la vitesse angulaire $\\omega$ de la barre lorsqu'elle atteint l'angle $\\theta_2 = 60°$.",
"svg": "
A (Î) Barre B Mg F Ξ F B' Ξ = 30° Mg L = 2 m sens rotation ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1: Moment d'inertie et Ă©quation diffĂ©rentielle 1. Calcul du moment d'inertie: Pour une barre homogĂšne de masse $M$ et de longueur $L$ tournant autour d'une extrĂ©mitĂ©: $J_A = \\frac{1}{3}ML^2$ $J_A = \\frac{1}{3} \\times 4 \\times 2^2$ $J_A = \\frac{1}{3} \\times 4 \\times 4$ $J_A = \\frac{16}{3} = 5.333 \\, \\text{kg·m}^2$2. Application du thĂ©orĂšme du moment cinĂ©tique: Le thĂ©orĂšme du moment cinĂ©tique par rapport Ă l'axe fixe $(\\Delta)$ s'Ă©crit: $\\frac{dL_A}{dt} = M_A$ oĂč $L_A = J_A\\omega = J_A\\dot{\\theta}$ et $M_A$ est le moment total des forces.3. Calcul des moments des forces: Moment du poids (appliquĂ© au centre de gravitĂ© $G$ situĂ© Ă $L/2$ de $A$): $M_{\\text{poids}} = Mg \\times \\frac{L}{2} \\times \\sin(\\theta)$ Moment de la force $F$ (appliquĂ©e en $B$ perpendiculairement Ă la barre): $M_F = F \\times L \\times \\cos(\\theta)$ Moment total: $M_A = FL\\cos(\\theta) + Mg\\frac{L}{2}\\sin(\\theta)$4. Ăquation diffĂ©rentielle: $J_A\\ddot{\\theta} = FL\\cos(\\theta) + Mg\\frac{L}{2}\\sin(\\theta)$ $\\ddot{\\theta} = \\frac{FL\\cos(\\theta) + Mg\\frac{L}{2}\\sin(\\theta)}{J_A}$ $\\ddot{\\theta} = \\frac{L}{J_A}\\left(F\\cos(\\theta) + \\frac{Mg}{2}\\sin(\\theta)\\right)$
Question 2: Moment total et accĂ©lĂ©ration angulaire à Ξ₁ = 30° 1. Calcul du moment du poids: $M_{\\text{poids}} = 4 \\times 10 \\times \\frac{2}{2} \\times \\sin(30°)$
$M_{\\text{poids}} = 40 \\times 1 \\times 0.5 = 20 \\, \\text{N·m}$
2. Calcul du moment de la force F: $M_F = 30 \\times 2 \\times \\cos(30°)$
$M_F = 60 \\times 0.866 = 51.96 \\, \\text{N·m}$
3. Moment total: $M_{\\text{total}} = M_F + M_{\\text{poids}}$
$M_{\\text{total}} = 51.96 + 20$
$M_{\\text{total}} = 71.96 \\, \\text{N·m}$
4. Accélération angulaire: $\\alpha = \\ddot{\\theta} = \\frac{M_{\\text{total}}}{J_A}$
$\\alpha = \\frac{71.96}{5.333}$
$\\alpha = 13.49 \\, \\text{rad/s}^2$
Question 3: Vitesse angulaire à Ξ₂ = 60° En supposant l'accĂ©lĂ©ration angulaire constante, nous utilisons les Ă©quations de la cinĂ©matique de rotation.
1. Formule cinématique: Pour un mouvement à accélération angulaire constante:
$\\omega^2 = \\omega_0^2 + 2\\alpha\\Delta\\theta$
oĂč $\\omega_0 = 0$ (la barre part du repos), $\\Delta\\theta = \\theta_2 - \\theta_1$.
2. Calcul de la variation d'angle: $\\Delta\\theta = 60° - 30° = 30° = \\frac{30\\pi}{180} = \\frac{\\pi}{6} \\, \\text{rad}$
$\\Delta\\theta = 0.524 \\, \\text{rad}$
3. Calcul de la vitesse angulaire: $\\omega^2 = 0 + 2 \\times 13.49 \\times 0.524$
$\\omega^2 = 2 \\times 7.069 = 14.138$
$\\omega = \\sqrt{14.138}$
4. Résultat final: $\\omega = 3.76 \\, \\text{rad/s}$
Cette vitesse angulaire reprĂ©sente la rotation de la barre lorsqu'elle atteint $60°$ par rapport Ă la verticale, sous l'hypothĂšse d'une accĂ©lĂ©ration angulaire constante. En rĂ©alitĂ©, $\\alpha$ varie avec $\\theta$, mais cette approximation fournit une estimation raisonnable pour de petites variations angulaires.",
"id_category": "2",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Mouvement d'une particule sous force variable dans le temps Une particule de masse $m = 2.5 \\text{ kg}$ se déplace sur un axe horizontal $Ox$ sans frottement. à l'instant $t = 0$, la particule est au repos à l'origine. Elle est soumise à une force horizontale variable dans le temps donnée par :$
$\\vec{F}(t) = F_0(1 - \\alpha t)\\vec{i}$
oĂč $F_0 = 20 \\text{ N}$ et $\\alpha = 0.4 \\text{ s}^{-1}$.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminez l'expression littérale de la vitesse $v(t)$ de la particule en fonction du temps. Calculez numériquement la vitesse à l'instant $t_1 = 2 \\text{ s}$.
Question 2 : Déterminez l'expression littérale de la position $x(t)$ de la particule en fonction du temps. Calculez la position de la particule à l'instant $t_1 = 2 \\text{ s}$.
Question 3 : La force s'annule à un instant $t_c$. Calculez cet instant critique, puis déterminez la vitesse maximale atteinte par la particule et la distance totale parcourue jusqu'à cet instant.
",
"svg": "
x m F(t) O x(t) Axe horizontal sans frottement F(t) = F₀(1 - αt) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complÚte de l'exercice 1 Question 1 : Détermination de la vitesse v(t)
Le principe fondamental de la dynamique (deuxiÚme loi de Newton) stipule que la somme des forces appliquées à une particule est égale au produit de sa masse par son accélération.
Ătape 1 : Application du PFD
$\\sum \\vec{F} = m\\vec{a}$
Avec $\\vec{F}(t) = F_0(1 - \\alpha t)\\vec{i}$ et $\\vec{a} = \\frac{dv}{dt}\\vec{i}$, on obtient :
$F_0(1 - \\alpha t) = m\\frac{dv}{dt}$
Ătape 2 : SĂ©paration des variables et intĂ©gration
$dv = \\frac{F_0}{m}(1 - \\alpha t)dt$
En intĂ©grant de $t = 0$ (oĂč $v(0) = 0$) Ă $t$ :
$\\int_0^v dv = \\int_0^t \\frac{F_0}{m}(1 - \\alpha \\tau)d\\tau$
$v(t) = \\frac{F_0}{m}\\left[t - \\frac{\\alpha t^2}{2}\\right]$
Ătape 3 : Application numĂ©rique pour t₁ = 2 s
Données : $F_0 = 20 \\text{ N}$, $m = 2.5 \\text{ kg}$, $\\alpha = 0.4 \\text{ s}^{-1}$, $t_1 = 2 \\text{ s}$
$v(2) = \\frac{20}{2.5}\\left[2 - \\frac{0.4 \\times (2)^2}{2}\\right]$
$v(2) = 8\\left[2 - \\frac{0.4 \\times 4}{2}\\right] = 8\\left[2 - 0.8\\right]$
$v(2) = 8 \\times 1.2 = 9.6 \\text{ m/s}$
Résultat : La vitesse à $t_1 = 2 \\text{ s}$ est $v(2) = 9.6 \\text{ m/s}$.
Question 2 : Détermination de la position x(t)
La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps.
Ătape 1 : Relation cinĂ©matique
$v(t) = \\frac{dx}{dt} = \\frac{F_0}{m}\\left[t - \\frac{\\alpha t^2}{2}\\right]$
Ătape 2 : IntĂ©gration
En intĂ©grant de $t = 0$ (oĂč $x(0) = 0$) Ă $t$ :
$x(t) = \\int_0^t v(\\tau)d\\tau = \\int_0^t \\frac{F_0}{m}\\left[\\tau - \\frac{\\alpha \\tau^2}{2}\\right]d\\tau$
$x(t) = \\frac{F_0}{m}\\left[\\frac{t^2}{2} - \\frac{\\alpha t^3}{6}\\right]$
Ătape 3 : Application numĂ©rique pour t₁ = 2 s
$x(2) = \\frac{20}{2.5}\\left[\\frac{(2)^2}{2} - \\frac{0.4 \\times (2)^3}{6}\\right]$
$x(2) = 8\\left[\\frac{4}{2} - \\frac{0.4 \\times 8}{6}\\right] = 8\\left[2 - \\frac{3.2}{6}\\right]$
$x(2) = 8\\left[2 - 0.533\\right] = 8 \\times 1.467 = 11.74 \\text{ m}$
Résultat : La position à $t_1 = 2 \\text{ s}$ est $x(2) = 11.74 \\text{ m}$.
Question 3 : Instant critique et vitesse maximale
La force s'annule lorsque $F(t_c) = 0$.
Ătape 1 : Calcul de l'instant critique
$F_0(1 - \\alpha t_c) = 0$
$1 - \\alpha t_c = 0 \\Rightarrow t_c = \\frac{1}{\\alpha}$
$t_c = \\frac{1}{0.4} = 2.5 \\text{ s}$
Ătape 2 : Vitesse maximale
La vitesse maximale est atteinte à l'instant $t_c$ car l'accélération s'annule à cet instant.
$v_{max} = v(t_c) = \\frac{F_0}{m}\\left[t_c - \\frac{\\alpha t_c^2}{2}\\right]$
$v_{max} = \\frac{F_0}{m}\\left[\\frac{1}{\\alpha} - \\frac{\\alpha}{2}\\left(\\frac{1}{\\alpha}\\right)^2\\right] = \\frac{F_0}{m}\\left[\\frac{1}{\\alpha} - \\frac{1}{2\\alpha}\\right]$
$v_{max} = \\frac{F_0}{m} \\times \\frac{1}{2\\alpha} = \\frac{F_0}{2m\\alpha}$
$v_{max} = \\frac{20}{2 \\times 2.5 \\times 0.4} = \\frac{20}{2} = 10 \\text{ m/s}$
Ătape 3 : Distance parcourue jusqu'Ă t_c
$x(t_c) = \\frac{F_0}{m}\\left[\\frac{t_c^2}{2} - \\frac{\\alpha t_c^3}{6}\\right]$
$x(t_c) = \\frac{F_0}{m}\\left[\\frac{1}{2\\alpha^2} - \\frac{\\alpha}{6\\alpha^3}\\right] = \\frac{F_0}{m}\\left[\\frac{1}{2\\alpha^2} - \\frac{1}{6\\alpha^2}\\right]$
$x(t_c) = \\frac{F_0}{m\\alpha^2}\\left[\\frac{3 - 1}{6}\\right] = \\frac{F_0}{3m\\alpha^2}$
$x(t_c) = \\frac{20}{3 \\times 2.5 \\times (0.4)^2} = \\frac{20}{3 \\times 2.5 \\times 0.16} = \\frac{20}{1.2} = 16.67 \\text{ m}$
Résultat : L'instant critique est $t_c = 2.5 \\text{ s}$, la vitesse maximale est $v_{max} = 10 \\text{ m/s}$, et la distance parcourue est $x(t_c) = 16.67 \\text{ m}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Mouvement avec force dépendant de la vitesse - Chute avec résistance de l'air Un projectile de masse $m = 5 \\text{ kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 40 \\text{ m/s}$. Durant son mouvement, il est soumis à son poids et à une force de résistance de l'air proportionnelle à la vitesse, donnée par :$
$\\vec{F}_r = -k\\vec{v}$
oĂč $k = 2 \\text{ kg/s}$. On prend $g = 10 \\text{ m/s}^2$ et l'axe $Oz$ orientĂ© vers le haut.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établissez l'équation différentielle du mouvement. Résolvez cette équation pour obtenir l'expression de la vitesse $v(t)$ en fonction du temps. Calculez numériquement la vitesse à $t = 1 \\text{ s}$.
Question 2 : Déterminez l'expression de la vitesse limite $v_L$ (vitesse asymptotique lors de la descente). Calculez sa valeur numérique et expliquez sa signification physique.
Question 3 : Calculez l'altitude maximale $h_{max}$ atteinte par le projectile. Pour cela, dĂ©terminez d'abord l'instant $t_{max}$ oĂč la vitesse s'annule, puis calculez la hauteur correspondante en intĂ©grant l'expression de la vitesse.
",
"svg": "
z m v₀ mg F_r = -kv Sol (z=0) trajectoire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 2 Question 1 : Ăquation diffĂ©rentielle et vitesse v(t)
Le projectile est soumis à deux forces : le poids et la résistance de l'air.
Ătape 1 : Bilan des forces
Forces appliquées selon l'axe $Oz$ (vers le haut) :
$\\sum F_z = -mg - kv$
Le signe négatif pour $kv$ apparaßt car la résistance s'oppose toujours au mouvement.
Ătape 2 : Application du PFD
$m\\frac{dv}{dt} = -mg - kv$
$\\frac{dv}{dt} + \\frac{k}{m}v = -g$
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre constant.
Ătape 3 : RĂ©solution de l'Ă©quation diffĂ©rentielle
Solution homogĂšne : $v_h(t) = Ce^{-\\frac{k}{m}t}$
Solution particuliĂšre : $v_p = -\\frac{mg}{k}$
Solution générale : $v(t) = Ce^{-\\frac{k}{m}t} - \\frac{mg}{k}$
Condition initiale $v(0) = v_0$ :
$v_0 = C - \\frac{mg}{k} \\Rightarrow C = v_0 + \\frac{mg}{k}$
$v(t) = \\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)e^{-\\frac{k}{m}t} - \\frac{mg}{k}$
Ătape 4 : Application numĂ©rique pour t = 1 s
Données : $m = 5 \\text{ kg}$, $k = 2 \\text{ kg/s}$, $v_0 = 40 \\text{ m/s}$, $g = 10 \\text{ m/s}^2$
$\\frac{k}{m} = \\frac{2}{5} = 0.4 \\text{ s}^{-1}$
$\\frac{mg}{k} = \\frac{5 \\times 10}{2} = 25 \\text{ m/s}$
$v(1) = (40 + 25)e^{-0.4 \\times 1} - 25$
$v(1) = 65 \\times e^{-0.4} - 25 = 65 \\times 0.6703 - 25$
$v(1) = 43.57 - 25 = 18.57 \\text{ m/s}$
Résultat : La vitesse à $t = 1 \\text{ s}$ est $v(1) = 18.57 \\text{ m/s}$.
Question 2 : Vitesse limite v_L
La vitesse limite est atteinte lorsque l'accélération s'annule, c'est-à -dire lorsque les forces se compensent.
Ătape 1 : Condition d'Ă©quilibre lors de la descente
Lors de la descente, la vitesse est négative (vers le bas). à la vitesse limite :
$\\frac{dv}{dt} = 0 \\Rightarrow -mg - kv_L = 0$
$v_L = -\\frac{mg}{k}$
Le signe négatif indique que la vitesse est dirigée vers le bas.
Ătape 2 : Application numĂ©rique
$v_L = -\\frac{5 \\times 10}{2} = -25 \\text{ m/s}$
En valeur absolue : $|v_L| = 25 \\text{ m/s}$
Interprétation physique : La vitesse limite représente la vitesse maximale que peut atteindre le projectile en chute. à cette vitesse, la force de résistance de l'air compense exactement le poids, et le projectile tombe à vitesse constante.
Résultat : La vitesse limite est $v_L = -25 \\text{ m/s}$ (ou $25 \\text{ m/s}$ vers le bas).
Question 3 : Altitude maximale h_max
L'altitude maximale est atteinte lorsque la vitesse s'annule.
Ătape 1 : Calcul de t_max
$v(t_{max}) = 0$
$\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)e^{-\\frac{k}{m}t_{max}} - \\frac{mg}{k} = 0$
$\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)e^{-\\frac{k}{m}t_{max}} = \\frac{mg}{k}$
$e^{-\\frac{k}{m}t_{max}} = \\frac{mg/k}{v_0 + mg/k} = \\frac{mg}{kv_0 + mg}$
$-\\frac{k}{m}t_{max} = \\ln\\left(\\frac{mg}{kv_0 + mg}\\right)$
$t_{max} = -\\frac{m}{k}\\ln\\left(\\frac{mg}{kv_0 + mg}\\right) = \\frac{m}{k}\\ln\\left(\\frac{kv_0 + mg}{mg}\\right)$
$t_{max} = \\frac{m}{k}\\ln\\left(1 + \\frac{kv_0}{mg}\\right)$
$t_{max} = \\frac{5}{2}\\ln\\left(1 + \\frac{2 \\times 40}{5 \\times 10}\\right) = 2.5\\ln\\left(1 + \\frac{80}{50}\\right)$
$t_{max} = 2.5\\ln(1 + 1.6) = 2.5\\ln(2.6) = 2.5 \\times 0.9555 = 2.389 \\text{ s}$
Ătape 2 : Calcul de h_max par intĂ©gration
$h_{max} = \\int_0^{t_{max}} v(t)dt = \\int_0^{t_{max}} \\left[\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)e^{-\\frac{k}{m}t} - \\frac{mg}{k}\\right]dt$
$h_{max} = \\left[-\\frac{m}{k}\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)e^{-\\frac{k}{m}t} - \\frac{mg}{k}t\\right]_0^{t_{max}}$
$h_{max} = -\\frac{m}{k}\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)\\left(e^{-\\frac{k}{m}t_{max}} - 1\\right) - \\frac{mg}{k}t_{max}$
Avec $e^{-\\frac{k}{m}t_{max}} = \\frac{mg}{kv_0 + mg}$ :
$h_{max} = -\\frac{m}{k}\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)\\left(\\frac{mg}{kv_0 + mg} - 1\\right) - \\frac{mg}{k}t_{max}$
$h_{max} = \\frac{m}{k}\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)\\left(1 - \\frac{mg}{kv_0 + mg}\\right) - \\frac{mg}{k}t_{max}$
$h_{max} = \\frac{m}{k}\\left(v_0 + \\frac{mg}{k}\\right)\\frac{kv_0}{kv_0 + mg} - \\frac{mg}{k}t_{max}$
$h_{max} = \\frac{m v_0(kv_0 + mg)}{k(kv_0 + mg)} - \\frac{mg}{k}t_{max} = \\frac{mv_0}{k} - \\frac{mg}{k}t_{max}$
$h_{max} = \\frac{m}{k}(v_0 - gt_{max})$
$h_{max} = \\frac{5}{2}(40 - 10 \\times 2.389) = 2.5(40 - 23.89)$
$h_{max} = 2.5 \\times 16.11 = 40.28 \\text{ m}$
Résultat : L'altitude maximale atteinte est $h_{max} = 40.28 \\text{ m}$ à l'instant $t_{max} = 2.389 \\text{ s}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Moment cinĂ©tique et force centrale - Mouvement circulaire sous force gravitationnelle Un satellite artificiel de masse $m = 800 \\text{ kg}$ dĂ©crit une orbite circulaire autour de la Terre Ă une altitude $h = 600 \\text{ km}$ au-dessus de la surface terrestre. Le rayon de la Terre est $R_T = 6400 \\text{ km}$ et la masse de la Terre est $M_T = 6 \\times 10^{24} \\text{ kg}$. La constante gravitationnelle est $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{ N·m}^2\\text{/kg}^2$.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique pour un mouvement circulaire uniforme, établissez l'expression de la vitesse orbitale $v$ du satellite en fonction de $G$, $M_T$ et du rayon orbital $r = R_T + h$. Calculez numériquement cette vitesse.
Question 2 : Calculez le moment cinétique $\\vec{L}$ du satellite par rapport au centre de la Terre. Déterminez sa norme $L$ et vérifiez que ce moment cinétique reste constant au cours du mouvement (principe de conservation pour les forces centrales).
Question 3 : Calculez la période de révolution $T$ du satellite (durée d'un tour complet). Exprimez le résultat en heures et minutes. Déterminez également l'énergie cinétique $E_c$ et l'énergie potentielle gravitationnelle $E_p$ du satellite, puis l'énergie mécanique totale $E_m$.
",
"svg": "
Terre Orbite circulaire m r v F_g R_T h Centre O L Moment cinétique ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 3 Question 1 : Vitesse orbitale v
Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération centripÚte est fournie par la force gravitationnelle.
Ătape 1 : Force gravitationnelle
La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est :
$F_g = \\frac{GM_T m}{r^2}$
oĂč $r = R_T + h$ est le rayon orbital.
Ătape 2 : Application du PFD pour le mouvement circulaire
Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération centripÚte est $a_c = \\frac{v^2}{r}$.
$F_g = ma_c$
$\\frac{GM_T m}{r^2} = m\\frac{v^2}{r}$
$\\frac{GM_T}{r^2} = \\frac{v^2}{r}$
$v^2 = \\frac{GM_T}{r}$
$v = \\sqrt{\\frac{GM_T}{r}}$
Ătape 3 : Calcul du rayon orbital
$r = R_T + h = 6400 + 600 = 7000 \\text{ km} = 7 \\times 10^6 \\text{ m}$
Ătape 4 : Application numĂ©rique
$v = \\sqrt{\\frac{6.67 \\times 10^{-11} \\times 6 \\times 10^{24}}{7 \\times 10^6}}$
$v = \\sqrt{\\frac{4.002 \\times 10^{14}}{7 \\times 10^6}} = \\sqrt{5.717 \\times 10^7}$
$v = 7.56 \\times 10^3 \\text{ m/s} = 7560 \\text{ m/s}$
Résultat : La vitesse orbitale du satellite est $v = 7560 \\text{ m/s}$ (ou $7.56 \\text{ km/s}$).
Question 2 : Moment cinétique L
Le moment cinétique d'une particule en mouvement par rapport à un point O est défini par :
$\\vec{L} = \\vec{r} \\times m\\vec{v}$
Ătape 1 : Calcul de la norme du moment cinĂ©tique
Pour un mouvement circulaire, $\\vec{r}$ et $\\vec{v}$ sont perpendiculaires, donc :
$L = rmv\\sin(90°) = rmv$
Ătape 2 : Application numĂ©rique
$L = 7 \\times 10^6 \\times 800 \\times 7560$
$L = 7 \\times 10^6 \\times 6.048 \\times 10^6$
$L = 4.234 \\times 10^{13} \\text{ kg·m}^2\\text{/s}$
Ătape 3 : Conservation du moment cinĂ©tique
Le moment de la force gravitationnelle par rapport au centre O est :
$\\vec{\\tau} = \\vec{r} \\times \\vec{F}_g$
Puisque la force gravitationnelle est une force centrale (dirigée vers le centre O), elle est colinéaire à $\\vec{r}$, donc :
$\\vec{\\tau} = \\vec{r} \\times \\vec{F}_g = 0$
D'aprÚs le théorÚme du moment cinétique :
$\\frac{d\\vec{L}}{dt} = \\vec{\\tau} = 0$
Par conséquent, $\\vec{L}$ est constant. Ceci confirme le principe de conservation du moment cinétique pour les forces centrales.
RĂ©sultat : Le moment cinĂ©tique est $L = 4.234 \\times 10^{13} \\text{ kg·m}^2\\text{/s}$ et reste constant.
Question 3 : Période T et énergies
Partie A : Calcul de la période T
Ătape 1 : Relation entre pĂ©riode et vitesse
La période est le temps nécessaire pour parcourir la circonférence de l'orbite :
$T = \\frac{2\\pi r}{v}$
Ătape 2 : Application numĂ©rique
$T = \\frac{2 \\times 3.14159 \\times 7 \\times 10^6}{7560}$
$T = \\frac{4.398 \\times 10^7}{7560} = 5817 \\text{ s}$
Conversion en heures et minutes :
$T = \\frac{5817}{3600} = 1.616 \\text{ h} = 1 \\text{ h } 37 \\text{ min}$
Partie B : Calcul de l'énergie cinétique
$E_c = \\frac{1}{2}mv^2$
$E_c = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (7560)^2$
$E_c = 400 \\times 5.715 \\times 10^7 = 2.286 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Partie C : Calcul de l'énergie potentielle gravitationnelle
$E_p = -\\frac{GM_T m}{r}$
$E_p = -\\frac{6.67 \\times 10^{-11} \\times 6 \\times 10^{24} \\times 800}{7 \\times 10^6}$
$E_p = -\\frac{3.202 \\times 10^{17}}{7 \\times 10^6} = -4.574 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Partie D : Calcul de l'énergie mécanique totale
$E_m = E_c + E_p$
$E_m = 2.286 \\times 10^{10} + (-4.574 \\times 10^{10})$
$E_m = -2.288 \\times 10^{10} \\text{ J}$
On remarque que $E_m = -E_c = \\frac{E_p}{2}$, ce qui est caractéristique des orbites gravitationnelles.
Résultat : La période est $T = 5817 \\text{ s}$ ($1 \\text{ h } 37 \\text{ min}$), l'énergie cinétique est $E_c = 2.286 \\times 10^{10} \\text{ J}$, l'énergie potentielle est $E_p = -4.574 \\times 10^{10} \\text{ J}$, et l'énergie mécanique totale est $E_m = -2.288 \\times 10^{10} \\text{ J}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
SystÚme de deux masses reliées - Conservation de la quantité de mouvement Deux blocs de masses $m_1 = 3 \\text{ kg}$ et $m_2 = 5 \\text{ kg}$ sont placés sur un plan horizontal sans frottement. Initialement, les deux blocs sont au repos et séparés d'une distance $d = 2 \\text{ m}$. Un ressort comprimé de constante de raideur $k = 400 \\text{ N/m}$ et de compression initiale $x_0 = 0.15 \\text{ m}$ est placé entre eux. à l'instant $t = 0$, on libÚre le systÚme et le ressort propulse les deux blocs dans des directions opposées.
Question 1 : En appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement totale du systÚme, établissez la relation entre les vitesses $v_1$ et $v_2$ des deux blocs juste aprÚs la détente du ressort. Exprimez $v_2$ en fonction de $v_1$.
Question 2 : En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, calculez les vitesses $v_1$ et $v_2$ des deux blocs juste aprÚs la séparation. L'énergie potentielle élastique initiale du ressort comprimé est $E_{p,ressort} = \\frac{1}{2}kx_0^2$.
Question 3 : AprÚs la séparation, le bloc $m_1$ rencontre une zone rugueuse de longueur $L = 1.5 \\text{ m}$ avec un coefficient de frottement cinétique $\\mu_c = 0.25$. Calculez la vitesse du bloc $m_1$ à la sortie de cette zone rugueuse. Le bloc $m_2$ continue son mouvement sur une surface lisse.
",
"svg": "
Plan horizontal sans frottement m₁ m₂ Ressort d = 2 m m₁ v₁ m₂ v₂ AprĂšs dĂ©tente Zone rugueuse (ÎŒ) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 4 Question 1 : Relation entre v₁ et v₂ par conservation de la quantitĂ© de mouvement
Le systÚme {bloc 1 + bloc 2 + ressort} est isolé (pas de forces extérieures horizontales), donc la quantité de mouvement totale se conserve.
Ătape 1 : QuantitĂ© de mouvement initiale
Avant la détente du ressort, les deux blocs sont au repos :
$\\vec{p}_{initial} = 0$
Ătape 2 : QuantitĂ© de mouvement finale
AprÚs la détente, prenons comme convention : $v_1$ vers la gauche (négative) et $v_2$ vers la droite (positive).
$\\vec{p}_{final} = -m_1 v_1 + m_2 v_2$
Ătape 3 : Application de la conservation
$\\vec{p}_{initial} = \\vec{p}_{final}$
$0 = -m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$v_2 = \\frac{m_1}{m_2}v_1$
Avec les valeurs numériques :
$v_2 = \\frac{3}{5}v_1 = 0.6 v_1$
Résultat : La relation entre les vitesses est $v_2 = 0.6 v_1$ (ou $m_1 v_1 = m_2 v_2$).
Question 2 : Calcul des vitesses v₁ et v₂
L'énergie mécanique du systÚme se conserve car il n'y a pas de frottement.
Ătape 1 : Ănergie potentielle Ă©lastique initiale
$E_{p,ressort} = \\frac{1}{2}kx_0^2$
$E_{p,ressort} = \\frac{1}{2} \\times 400 \\times (0.15)^2 = 200 \\times 0.0225 = 4.5 \\text{ J}$
Ătape 2 : Ănergie cinĂ©tique finale
AprÚs la détente, l'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique des deux blocs :
$E_c = \\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \\frac{1}{2}m_2 v_2^2$
Ătape 3 : Conservation de l'Ă©nergie
$E_{p,ressort} = E_c$
$\\frac{1}{2}kx_0^2 = \\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \\frac{1}{2}m_2 v_2^2$
En utilisant $v_2 = 0.6 v_1$ :
$kx_0^2 = m_1 v_1^2 + m_2(0.6v_1)^2$
$kx_0^2 = m_1 v_1^2 + 0.36 m_2 v_1^2$
$kx_0^2 = v_1^2(m_1 + 0.36 m_2)$
$v_1 = \\sqrt{\\frac{kx_0^2}{m_1 + 0.36 m_2}}$
Ătape 4 : Application numĂ©rique pour v₁
$v_1 = \\sqrt{\\frac{400 \\times (0.15)^2}{3 + 0.36 \\times 5}} = \\sqrt{\\frac{9}{3 + 1.8}} = \\sqrt{\\frac{9}{4.8}}$
$v_1 = \\sqrt{1.875} = 1.369 \\text{ m/s}$
Ătape 5 : Application numĂ©rique pour v₂
$v_2 = 0.6 \\times 1.369 = 0.821 \\text{ m/s}$
Vérification par l'énergie :
$E_c = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times (1.369)^2 + \\frac{1}{2} \\times 5 \\times (0.821)^2$
$E_c = 1.5 \\times 1.874 + 2.5 \\times 0.674 = 2.811 + 1.685 = 4.496 \\approx 4.5 \\text{ J}$ ✓
Résultat : Les vitesses sont $v_1 = 1.369 \\text{ m/s}$ et $v_2 = 0.821 \\text{ m/s}$.
Question 3 : Vitesse de m₁ aprĂšs la zone rugueuse
Dans la zone rugueuse, le bloc $m_1$ est soumis à une force de frottement qui lui fait perdre de l'énergie.
Ătape 1 : Force de frottement
La force de frottement cinétique est :
$F_f = \\mu_c m_1 g$
$F_f = 0.25 \\times 3 \\times 10 = 7.5 \\text{ N}$
Ătape 2 : Travail de la force de frottement
Le travail de la force de frottement sur la distance $L$ est :
$W_f = -F_f \\times L = -7.5 \\times 1.5 = -11.25 \\text{ J}$
Le signe négatif indique que le frottement s'oppose au mouvement et fait diminuer l'énergie cinétique.
Ătape 3 : ThĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique
$\\Delta E_c = W_f$
$\\frac{1}{2}m_1 v_f^2 - \\frac{1}{2}m_1 v_1^2 = W_f$
$\\frac{1}{2}m_1 v_f^2 = \\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + W_f$
$v_f^2 = v_1^2 + \\frac{2W_f}{m_1}$
Ătape 4 : Application numĂ©rique
Ănergie cinĂ©tique initiale de $m_1$ :
$E_{c,i} = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times (1.369)^2 = 1.5 \\times 1.874 = 2.811 \\text{ J}$
Ănergie cinĂ©tique finale :
$E_{c,f} = E_{c,i} + W_f = 2.811 - 11.25$
Comme $E_{c,f}$ serait nĂ©gative, cela signifie que le bloc s'arrĂȘte avant la fin de la zone rugueuse. Calculons la distance d'arrĂȘt :
$0 = \\frac{1}{2}m_1 v_1^2 - F_f \\times d_{arrĂȘt}$
$d_{arrĂȘt} = \\frac{m_1 v_1^2}{2F_f} = \\frac{3 \\times (1.369)^2}{2 \\times 7.5} = \\frac{5.622}{15} = 0.375 \\text{ m}$
Puisque $d_{arrĂȘt} = 0.375 \\text{ m} < L = 1.5 \\text{ m}$, le bloc $m_1$ s'arrĂȘte dans la zone rugueuse.
RĂ©sultat : La vitesse du bloc $m_1$ Ă la sortie de la zone rugueuse est $v_f = 0 \\text{ m/s}$. Le bloc s'arrĂȘte Ă une distance $d_{arrĂȘt} = 0.375 \\text{ m}$ du dĂ©but de la zone rugueuse.
",
"id_category": "2",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Pendule conique et moment de force - Mouvement circulaire dans un plan horizontal Un pendule conique est constituĂ© d'une masse $m = 0.5 \\text{ kg}$ suspendue Ă un fil inextensible de longueur $L = 1.2 \\text{ m}$ et de masse nĂ©gligeable. La masse dĂ©crit un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal, le fil faisant un angle constant $\\theta = 30°$ avec la verticale. On prend $g = 10 \\text{ m/s}^2$.
Question 1 : En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), déterminez la tension $T$ du fil et la vitesse angulaire $\\omega$ du mouvement circulaire. Calculez ensuite la vitesse linéaire $v$ de la masse.
Question 2 : Calculez le moment de la tension $\\vec{T}$ par rapport au point de suspension O. Que peut-on conclure sur le moment cinétique du systÚme par rapport à l'axe vertical passant par O ?
Question 3 : Déterminez la période $T_{rev}$ du mouvement (temps pour un tour complet). Calculez également la force centripÚte $F_c$ nécessaire pour maintenir la masse sur sa trajectoire circulaire, et vérifiez que cette force est fournie par la composante horizontale de la tension.
",
"svg": "
O m T mg L Ξ Trajectoire circulaire r v Ï Vue de dessus Plan horizontal ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution complĂšte de l'exercice 5 Question 1 : Tension T et vitesse angulaire Ï
Le systÚme est en équilibre dynamique dans le référentiel terrestre. La masse est soumise à deux forces : la tension $\\vec{T}$ et le poids $m\\vec{g}$.
Ătape 1 : Analyse des forces
Projection selon la verticale (équilibre) :
$T\\cos\\theta - mg = 0$
$T = \\frac{mg}{\\cos\\theta}$
Projection selon l'horizontale (force centripĂšte) :
$T\\sin\\theta = m\\omega^2 r$
oĂč $r = L\\sin\\theta$ est le rayon de la trajectoire circulaire.
Ătape 2 : Calcul de la tension T
$T = \\frac{mg}{\\cos\\theta} = \\frac{0.5 \\times 10}{\\cos 30°}$
$T = \\frac{5}{0.866} = 5.77 \\text{ N}$
Ătape 3 : Calcul de la vitesse angulaire Ï
De l'équation horizontale :
$T\\sin\\theta = m\\omega^2 L\\sin\\theta$
$T = m\\omega^2 L$
$\\omega^2 = \\frac{T}{mL}$
En remplaçant $T = \\frac{mg}{\\cos\\theta}$ :
$\\omega^2 = \\frac{mg}{mL\\cos\\theta} = \\frac{g}{L\\cos\\theta}$
$\\omega = \\sqrt{\\frac{g}{L\\cos\\theta}}$
$\\omega = \\sqrt{\\frac{10}{1.2 \\times 0.866}} = \\sqrt{\\frac{10}{1.039}} = \\sqrt{9.625}$
$\\omega = 3.10 \\text{ rad/s}$
Ătape 4 : Calcul de la vitesse linĂ©aire v
$v = \\omega r = \\omega L\\sin\\theta$
$v = 3.10 \\times 1.2 \\times \\sin 30° = 3.10 \\times 1.2 \\times 0.5$
$v = 1.86 \\text{ m/s}$
Résultat : La tension est $T = 5.77 \\text{ N}$, la vitesse angulaire est $\\omega = 3.10 \\text{ rad/s}$, et la vitesse linéaire est $v = 1.86 \\text{ m/s}$.
Question 2 : Moment de la tension par rapport Ă O
Le moment d'une force par rapport à un point est défini par $\\vec{\\tau} = \\vec{r} \\times \\vec{F}$.
Ătape 1 : Calcul du moment de la tension
Le vecteur position de la masse par rapport à O est colinéaire au fil, et la tension $\\vec{T}$ est dirigée le long du fil (de la masse vers O). Par conséquent :
$\\vec{\\tau}_T = \\vec{r} \\times \\vec{T} = 0$
Car $\\vec{r}$ et $\\vec{T}$ sont colinéaires.
Ătape 2 : Moment du poids
Le poids crée un moment non nul par rapport à O. Calculons sa composante selon l'axe vertical (Oz) :
Le bras de levier du poids par rapport Ă l'axe Oz est $r = L\\sin\\theta$.
$\\tau_{mg,z} = mg \\times r = mg L\\sin\\theta$
$\\tau_{mg,z} = 0.5 \\times 10 \\times 1.2 \\times 0.5 = 3 \\text{ N·m}$
Ătape 3 : Conclusion sur le moment cinĂ©tique
Le moment total par rapport à l'axe vertical Oz n'est pas nul. Cependant, ce moment est perpendiculaire à l'axe de rotation du mouvement circulaire. Le moment cinétique par rapport à l'axe vertical est :
$L_z = mr^2\\omega = m(L\\sin\\theta)^2\\omega$
$L_z = 0.5 \\times (1.2 \\times 0.5)^2 \\times 3.10 = 0.5 \\times 0.36 \\times 3.10$
$L_z = 0.558 \\text{ kg·m}^2\\text{/s}$
Ce moment cinétique reste constant car le mouvement est circulaire uniforme et l'axe de rotation est fixe.
RĂ©sultat : Le moment de la tension par rapport Ă O est nul. Le moment cinĂ©tique selon l'axe vertical est $L_z = 0.558 \\text{ kg·m}^2\\text{/s}$ et reste constant.
Question 3 : Période et force centripÚte
Partie A : Calcul de la période T_rev
Ătape 1 : Relation entre pĂ©riode et vitesse angulaire
$T_{rev} = \\frac{2\\pi}{\\omega}$
$T_{rev} = \\frac{2 \\times 3.14159}{3.10} = \\frac{6.283}{3.10}$
$T_{rev} = 2.03 \\text{ s}$
Partie B : Calcul de la force centripĂšte F_c
Ătape 2 : Force centripĂšte nĂ©cessaire
Pour un mouvement circulaire uniforme, la force centripĂšte est :
$F_c = m\\omega^2 r = m\\omega^2 L\\sin\\theta$
$F_c = 0.5 \\times (3.10)^2 \\times 1.2 \\times 0.5$
$F_c = 0.5 \\times 9.61 \\times 0.6 = 2.88 \\text{ N}$
Ătape 3 : VĂ©rification avec la composante horizontale de T
La composante horizontale de la tension est :
$T_h = T\\sin\\theta = 5.77 \\times \\sin 30° = 5.77 \\times 0.5$
$T_h = 2.885 \\text{ N} \\approx 2.88 \\text{ N}$
On constate que $F_c = T_h$, ce qui confirme que la composante horizontale de la tension fournit exactement la force centripÚte nécessaire au mouvement circulaire.
Résultat : La période est $T_{rev} = 2.03 \\text{ s}$, la force centripÚte est $F_c = 2.88 \\text{ N}$, et cette force est bien égale à la composante horizontale de la tension $T_h = 2.88 \\text{ N}$.
",
"id_category": "2",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 1 : Ătude dynamique d'un systĂšme masse-ressort avec force de frottement visqueux Un point matĂ©riel $M$ de masse $m = 0{,}5 \\, \\text{kg}$ est attachĂ© Ă un ressort horizontal de constante de raideur $k = 20 \\, \\text{N/m}$ et de longueur Ă vide $l_0 = 0{,}3 \\, \\text{m}$. L'autre extrĂ©mitĂ© du ressort est fixĂ©e Ă un point $O$. Le systĂšme Ă©volue sur un plan horizontal dans un milieu visqueux qui exerce une force de frottement $\\vec{F}_f = -\\lambda \\vec{v}$ avec $\\lambda = 0{,}4 \\, \\text{N·s/m}$. On repĂšre la position de $M$ par son abscisse $x$ sur un axe horizontal $(Ox)$ d'origine $O$. Ă l'instant $t = 0$, le point $M$ est lancĂ© depuis la position $x_0 = 0{,}5 \\, \\text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 2 \\, \\text{m/s}$ dirigĂ©e vers les $x$ positifs. On nĂ©glige toute force verticale.
Question 1 : En appliquant la deuxiÚme loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement du point $M$ en fonction de $x$, puis la mettre sous la forme canonique $\\ddot{x} + 2\\alpha\\dot{x} + \\omega_0^2 x = \\omega_0^2 l_0$. Calculer numériquement les coefficients $\\alpha$ et $\\omega_0$.
Question 2 : Le régime du mouvement est caractérisé par le facteur d'amortissement $\\zeta = \\frac{\\alpha}{\\omega_0}$. Calculer $\\zeta$ et déterminer la nature du régime (pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique). En déduire la pseudo-pulsation $\\omega_p$ du mouvement dans le cas d'un régime pseudo-périodique.
Question 3 : Déterminer l'expression générale de la position $x(t)$ pour le régime obtenu à la question 2. Calculer les constantes d'intégration en utilisant les conditions initiales $x(0) = 0{,}5 \\, \\text{m}$ et $\\dot{x}(0) = 2 \\, \\text{m/s}$. Donner l'expression numérique complÚte de $x(t)$.
",
"svg": "
M m x O x v Milieu visqueux ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Ăquation diffĂ©rentielle du mouvement
Le point matériel $M$ est soumis à deux forces : la force de rappel du ressort $\\vec{F}_r = -k(x - l_0)\\vec{u}_x$ et la force de frottement visqueux $\\vec{F}_f = -\\lambda \\dot{x}\\vec{u}_x$. En appliquant la deuxiÚme loi de Newton :
Formule générale :
$m\\ddot{x} = -k(x - l_0) - \\lambda\\dot{x}$
En développant :
$m\\ddot{x} = -kx + kl_0 - \\lambda\\dot{x}$
$m\\ddot{x} + \\lambda\\dot{x} + kx = kl_0$
En divisant par $m$ :
$\\ddot{x} + \\frac{\\lambda}{m}\\dot{x} + \\frac{k}{m}x = \\frac{k}{m}l_0$
On identifie $2\\alpha = \\frac{\\lambda}{m}$ et $\\omega_0^2 = \\frac{k}{m}$. L'équation devient :
$\\ddot{x} + 2\\alpha\\dot{x} + \\omega_0^2 x = \\omega_0^2 l_0$
Calcul de $\\alpha$ :
$\\alpha = \\frac{\\lambda}{2m} = \\frac{0{,}4}{2 \\times 0{,}5} = \\frac{0{,}4}{1} = 0{,}4 \\, \\text{rad/s}$
Calcul de $\\omega_0$ :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{20}{0{,}5}} = \\sqrt{40} = 6{,}32 \\, \\text{rad/s}$
Résultat : $\\alpha = 0{,}4 \\, \\text{rad/s}$ et $\\omega_0 = 6{,}32 \\, \\text{rad/s}$
Question 2 : Nature du régime et pseudo-pulsation
Formule du facteur d'amortissement :
$\\zeta = \\frac{\\alpha}{\\omega_0}$
Remplacement des données :
$\\zeta = \\frac{0{,}4}{6{,}32}$
Calcul :
$\\zeta = 0{,}0633$
Résultat : $\\zeta \\approx 0{,}063 < 1$, donc le régime est pseudo-périodique (oscillations amorties).
La pseudo-pulsation est donnée par :
Formule générale :
$\\omega_p = \\omega_0\\sqrt{1 - \\zeta^2}$
Remplacement des données :
$\\omega_p = 6{,}32 \\times \\sqrt{1 - (0{,}0633)^2}$
Calcul :
$\\omega_p = 6{,}32 \\times \\sqrt{1 - 0{,}004} = 6{,}32 \\times \\sqrt{0{,}996} = 6{,}32 \\times 0{,}998$
$\\omega_p = 6{,}31 \\, \\text{rad/s}$
Résultat : $\\omega_p = 6{,}31 \\, \\text{rad/s}$
Question 3 : Expression de $x(t)$ avec conditions initiales
Pour un régime pseudo-périodique, la solution générale autour de la position d'équilibre $x_{eq} = l_0 = 0{,}3 \\, \\text{m}$ est :
Formule générale :
$x(t) = l_0 + e^{-\\alpha t}(A\\cos(\\omega_p t) + B\\sin(\\omega_p t))$
Appliquons les conditions initiales. Ă $t = 0$ :
$x(0) = l_0 + A = 0{,}5$
$A = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2 \\, \\text{m}$
La vitesse est $\\dot{x}(t) = -\\alpha e^{-\\alpha t}(A\\cos(\\omega_p t) + B\\sin(\\omega_p t)) + e^{-\\alpha t}(-A\\omega_p\\sin(\\omega_p t) + B\\omega_p\\cos(\\omega_p t))$. Ă $t = 0$ :
$\\dot{x}(0) = -\\alpha A + B\\omega_p = 2$
$B\\omega_p = 2 + \\alpha A = 2 + 0{,}4 \\times 0{,}2 = 2 + 0{,}08 = 2{,}08$
$B = \\frac{2{,}08}{6{,}31} = 0{,}330 \\, \\text{m}$
Expression numérique complÚte :
$x(t) = 0{,}3 + e^{-0{,}4t}(0{,}2\\cos(6{,}31t) + 0{,}330\\sin(6{,}31t)) \\, \\text{m}$
Résultat : $x(t) = 0{,}3 + e^{-0{,}4t}(0{,}2\\cos(6{,}31t) + 0{,}33\\sin(6{,}31t)) \\, \\text{m}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 2 : Mouvement d'une particule sous force centrale newtonienne Une particule de masse $m = 2 \\, \\text{kg}$ se dĂ©place dans un plan sous l'action d'une force centrale attractive $\\vec{F} = -\\frac{K}{r^2}\\vec{u}_r$ oĂč $K = 50 \\, \\text{N·m}^2$ est une constante positive et $r$ la distance de la particule au centre de force $O$. Ă l'instant initial, la particule se trouve en $A$ Ă la distance $r_0 = 2 \\, \\text{m}$ du centre $O$ avec une vitesse $\\vec{v}_0$ perpendiculaire Ă $\\vec{OA}$ de module $v_0 = 4 \\, \\text{m/s}$. On utilise les coordonnĂ©es polaires $(r, \\theta)$ dans le plan du mouvement.
Question 1 : En appliquant le théorÚme du moment cinétique par rapport au point $O$, montrer que la quantité $L_O = mr^2\\dot{\\theta}$ est constante au cours du mouvement. Calculer la valeur numérique de la constante des aires $C = r^2\\dot{\\theta}$ en utilisant les conditions initiales.
Question 2 : En exprimant le moment cinétique en fonction de $C$, puis en appliquant le théorÚme de l'énergie cinétique, établir l'équation de conservation de l'énergie mécanique sous la forme $\\frac{1}{2}m\\dot{r}^2 + \\frac{mC^2}{2r^2} - \\frac{K}{r} = E_{tot}$. Calculer la valeur numérique de l'énergie totale $E_{tot}$ sachant qu'à l'instant initial $\\dot{r}_0 = 0$.
Question 3 : Déterminer la distance minimale $r_{min}$ et la distance maximale $r_{max}$ que la particule atteindra au cours de son mouvement. Pour cela, utiliser la condition $\\dot{r} = 0$ aux extrema et résoudre l'équation du second degré résultante en $\\frac{1}{r}$.
",
"svg": "
O m r v₀ Ξ F Point A (position initiale) r₀ Force centrale attractive: F = -K/r² ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Conservation du moment cinétique et constante des aires
Le moment des forces par rapport à $O$ est donné par $\\vec{M}_O = \\vec{r} \\times \\vec{F}$. Puisque $\\vec{F}$ est radiale ($\\vec{F} = -\\frac{K}{r^2}\\vec{u}_r$), elle est colinéaire à $\\vec{r}$, donc :
$\\vec{M}_O = \\vec{r} \\times \\vec{F} = \\vec{0}$
Le théorÚme du moment cinétique s'écrit :
Formule générale :
$\\frac{d\\vec{L}_O}{dt} = \\vec{M}_O = \\vec{0}$
Donc $\\vec{L}_O$ est constant. En coordonnées polaires, $\\vec{L}_O = m\\vec{r} \\times \\vec{v} = mr^2\\dot{\\theta}\\vec{u}_z$. La quantité $L_O = mr^2\\dot{\\theta}$ est donc constante.
La constante des aires est définie par $C = r^2\\dot{\\theta}$. à l'instant initial, la vitesse est perpendiculaire au rayon, donc :
Formule générale :
$C = r_0 v_0$
Remplacement des données :
$C = 2 \\times 4$
Calcul :
$C = 8 \\, \\text{m}^2\\text{/s}$
Résultat : $C = 8 \\, \\text{m}^2\\text{/s}$
Question 2 : Conservation de l'énergie mécanique
L'énergie cinétique en coordonnées polaires est $E_c = \\frac{1}{2}m(\\dot{r}^2 + r^2\\dot{\\theta}^2)$. En utilisant $\\dot{\\theta} = \\frac{C}{r^2}$ :
$E_c = \\frac{1}{2}m\\dot{r}^2 + \\frac{1}{2}m r^2 \\left(\\frac{C}{r^2}\\right)^2 = \\frac{1}{2}m\\dot{r}^2 + \\frac{mC^2}{2r^2}$
L'énergie potentielle pour une force $F = -\\frac{K}{r^2}$ est $E_p = -\\frac{K}{r}$. L'énergie totale est :
Formule générale :
$E_{tot} = \\frac{1}{2}m\\dot{r}^2 + \\frac{mC^2}{2r^2} - \\frac{K}{r}$
Ă l'instant initial, $\\dot{r}_0 = 0$, $r_0 = 2 \\, \\text{m}$ et $C = 8 \\, \\text{m}^2\\text{/s}$ :
Remplacement des données :
$E_{tot} = 0 + \\frac{2 \\times 8^2}{2 \\times 2^2} - \\frac{50}{2}$
Calcul :
$E_{tot} = \\frac{2 \\times 64}{8} - 25 = \\frac{128}{8} - 25 = 16 - 25$
$E_{tot} = -9 \\, \\text{J}$
Résultat : $E_{tot} = -9 \\, \\text{J}$
Question 3 : Distances minimale et maximale
Aux extrema, $\\dot{r} = 0$. L'équation de conservation de l'énergie devient :
$\\frac{mC^2}{2r^2} - \\frac{K}{r} = E_{tot}$
En posant $u = \\frac{1}{r}$ :
$\\frac{mC^2}{2}u^2 - Ku = E_{tot}$
Formule générale :
$\\frac{mC^2}{2}u^2 - Ku - E_{tot} = 0$
Remplacement des données :
$\\frac{2 \\times 64}{2}u^2 - 50u - (-9) = 0$
$64u^2 - 50u + 9 = 0$
Calcul du discriminant :
$\\Delta = 50^2 - 4 \\times 64 \\times 9 = 2500 - 2304 = 196$
$\\sqrt{\\Delta} = 14$
Solutions :
$u_1 = \\frac{50 + 14}{2 \\times 64} = \\frac{64}{128} = 0{,}5 \\, \\text{m}^{-1}$
$u_2 = \\frac{50 - 14}{2 \\times 64} = \\frac{36}{128} = 0{,}281 \\, \\text{m}^{-1}$
$r_{min} = \\frac{1}{u_1} = \\frac{1}{0{,}5} = 2 \\, \\text{m}$
$r_{max} = \\frac{1}{u_2} = \\frac{1}{0{,}281} = 3{,}56 \\, \\text{m}$
Résultat : $r_{min} = 2 \\, \\text{m}$ et $r_{max} = 3{,}56 \\, \\text{m}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 3 : Dynamique d'un pendule conique en rotation Un pendule conique est constituĂ© d'une masse ponctuelle $m = 0{,}8 \\, \\text{kg}$ suspendue Ă un fil inextensible de longueur $l = 1{,}2 \\, \\text{m}$ et de masse nĂ©gligeable. L'extrĂ©mitĂ© supĂ©rieure du fil est fixĂ©e en un point $O$. La masse $m$ tourne Ă vitesse angulaire constante $\\omega$ autour de l'axe vertical passant par $O$, dĂ©crivant un cercle horizontal. Le fil fait un angle constant $\\alpha = 30°$ avec la verticale. On note $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$ l'accĂ©lĂ©ration de la pesanteur.
Question 1 : Calculer le rayon $R$ de la trajectoire circulaire décrite par la masse $m$. En déduire l'expression vectorielle de l'accélération $\\vec{a}$ de la masse dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis calculer son module $a$ en fonction de $\\omega$, $l$ et $\\alpha$.
Question 2 : En appliquant la deuxiÚme loi de Newton à la masse $m$ soumise à son poids $\\vec{P}$ et à la tension $\\vec{T}$ du fil, établir les équations du mouvement selon les directions radiale (horizontale vers le centre) et verticale. En déduire les expressions de la tension $T$ et de la vitesse angulaire $\\omega$ en fonction de $g$, $l$ et $\\alpha$.
Question 3 : Calculer numériquement la vitesse angulaire $\\omega$ en rad/s et en tr/min, puis la tension $T$ du fil. Vérifier la cohérence du résultat en comparant $T$ au poids de la masse.
",
"svg": "
O m α = 30° P T R Ï l Pendule conique Rotation uniforme ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Rayon de la trajectoire et accélération
Le rayon de la trajectoire circulaire est la projection horizontale du fil :
Formule générale :
$R = l\\sin\\alpha$
Remplacement des données :
$R = 1{,}2 \\times \\sin(30°) = 1{,}2 \\times 0{,}5$
Calcul :
$R = 0{,}6 \\, \\text{m}$
Le mouvement est circulaire uniforme. L'accélération est purement centripÚte, dirigée horizontalement vers le centre :
Formule générale :
$\\vec{a} = -\\omega^2 R \\vec{u}_r = -\\omega^2 l\\sin\\alpha \\vec{u}_r$
Le module de l'accélération est :
$a = \\omega^2 R = \\omega^2 l\\sin\\alpha$
Résultat : $R = 0{,}6 \\, \\text{m}$ et $a = \\omega^2 l\\sin\\alpha$
Question 2 : Ăquations du mouvement
Les forces appliquées sont le poids $\\vec{P} = -mg\\vec{u}_z$ (vertical descendant) et la tension $\\vec{T}$ du fil (le long du fil vers $O$). En coordonnées, $\\vec{T} = -T\\sin\\alpha \\vec{u}_r + T\\cos\\alpha \\vec{u}_z$.
Selon la deuxiĂšme loi de Newton $\\vec{F} = m\\vec{a}$ :
Projection selon la direction radiale (horizontale) :
$-T\\sin\\alpha = m(-\\omega^2 l\\sin\\alpha)$
$T\\sin\\alpha = m\\omega^2 l\\sin\\alpha$
$T = m\\omega^2 l$ (équation 1)
Projection selon la direction verticale (accélération nulle) :
$T\\cos\\alpha - mg = 0$
$T\\cos\\alpha = mg$ (équation 2)
De l'équation 2 :
Formule générale :
$T = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}$
En combinant les équations 1 et 2 :
$m\\omega^2 l = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}$
Formule générale :
$\\omega = \\sqrt{\\frac{g}{l\\cos\\alpha}}$
Résultat : $T = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}$ et $\\omega = \\sqrt{\\frac{g}{l\\cos\\alpha}}$
Question 3 : Calculs numériques
Calcul de $\\omega$ :
Formule générale :
$\\omega = \\sqrt{\\frac{g}{l\\cos\\alpha}}$
Remplacement des données :
$\\omega = \\sqrt{\\frac{10}{1{,}2 \\times \\cos(30°)}} = \\sqrt{\\frac{10}{1{,}2 \\times 0{,}866}}$
Calcul :
$\\omega = \\sqrt{\\frac{10}{1{,}039}} = \\sqrt{9{,}62} = 3{,}10 \\, \\text{rad/s}$
Conversion en tours par minute :
$\\omega_{\\text{tr/min}} = 3{,}10 \\times \\frac{60}{2\\pi} = 3{,}10 \\times 9{,}55 = 29{,}6 \\, \\text{tr/min}$
Calcul de $T$ :
Formule générale :
$T = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}$
Remplacement des données :
$T = \\frac{0{,}8 \\times 10}{\\cos(30°)} = \\frac{8}{0{,}866}$
Calcul :
$T = 9{,}24 \\, \\text{N}$
VĂ©rification : Le poids est $P = mg = 0{,}8 \\times 10 = 8 \\, \\text{N}$. On a bien $T > P$ car $\\cos(30°) < 1$, ce qui est cohĂ©rent.
Résultat : $\\omega = 3{,}10 \\, \\text{rad/s} = 29{,}6 \\, \\text{tr/min}$ et $T = 9{,}24 \\, \\text{N}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "17"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 1 : Mouvement d'un projectile lancĂ© horizontalement Une bille est lancĂ©e horizontalement d'une falaise de hauteur $h = 45$ m avec une vitesse initiale $v_0 = 20$ m/s. On nĂ©glige la rĂ©sistance de l'air et on prend $g = 9,8$ m/s². Le point de lancement est pris comme origine du systĂšme de coordonnĂ©es.
Question 1 : Calculer le temps de vol $t_v$ avant que la bille ne touche le sol.
Question 2 : Déterminer la portée horizontale $x_p$ et la distance parcourue par la bille au moment de l'impact.
Question 3 : Calculer la vitesse d'impact $v_{impact}$ et l'angle $\\theta$ que fait la trajectoire avec l'horizontale au moment de l'impact.
Question 4 : Déterminer les composantes de l'accélération tangentielle $a_t$ et centripÚte $a_n$ au moment de l'impact, sachant que le rayon de courbure est $\\rho = \\frac{v^2}{g}$ pour ce type de mouvement.
",
"svg": "
h v₀ Impact xp Trajectoire parabolique Sol ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 1 Question 1 : Temps de vol
Ătape 1 : Pour un projectile lancĂ© horizontalement, le mouvement vertical suit l'Ă©quation :
$y(t) = h - \\frac{1}{2}gt^2$
Ătape 2 : Au moment de l'impact, $y(t_v) = 0$ (la bille touche le sol) :
$0 = h - \\frac{1}{2}gt_v^2$
Ătape 3 : RĂ©solution pour $t_v$ :
$\\frac{1}{2}gt_v^2 = h$
$t_v^2 = \\frac{2h}{g}$
Ătape 4 : Remplacement des valeurs :
$t_v = \\sqrt{\\frac{2 \\times 45}{9,8}}$
Ătape 5 : Calcul :
$t_v = \\sqrt{\\frac{90}{9,8}} = \\sqrt{9,184} = 3,030 \\text{ s}$
Résultat : $t_v = 3,030$ s (environ $3,03$ secondes).
Question 2 : Portée horizontale et distance totale
Ătape 1 : Le mouvement horizontal est uniforme :
$x_p = v_0 t_v$
Ătape 2 : Remplacement :
$x_p = 20 \\times 3,030$
Ătape 3 : Calcul :
$x_p = 60,60 \\text{ m}$
Ătape 4 : La distance totale parcourue par la bille (longueur de l'arc de la trajectoire) est plus difficile Ă calculer directement. Cependant, on peut calculer la distance en ligne droite entre le point de lancement et le point d'impact :
$d = \\sqrt{x_p^2 + h^2}$
Ătape 5 : Remplacement :
$d = \\sqrt{(60,60)^2 + (45)^2}$
Ătape 6 : Calcul :
$d = \\sqrt{3672,36 + 2025} = \\sqrt{5697,36} = 75,48 \\text{ m}$
Résultat : Portée horizontale $x_p = 60,60$ m. Distance en ligne droite $d = 75,48$ m.
Question 3 : Vitesse d'impact et angle d'impact
Ătape 1 : La composante horizontale de la vitesse reste constante :
$v_x = v_0 = 20 \\text{ m/s}$
Ătape 2 : La composante verticale au moment de l'impact est :
$v_y = gt_v$
Ătape 3 : Remplacement :
$v_y = 9,8 \\times 3,030$
Ătape 4 : Calcul :
$v_y = 29,694 \\text{ m/s}$
Ătape 5 : La vitesse d'impact en magnitude est :
$v_{impact} = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
Ătape 6 : Remplacement :
$v_{impact} = \\sqrt{(20)^2 + (29,694)^2}$
Ătape 7 : Calcul :
$v_{impact} = \\sqrt{400 + 882,14} = \\sqrt{1282,14} = 35,80 \\text{ m/s}$
Ătape 8 : L'angle avec l'horizontale est :
$\\tan(\\theta) = \\frac{v_y}{v_x} = \\frac{29,694}{20}$
Ătape 9 : Calcul :
$\\theta = \\arctan(1,4847) = 55,98° \\approx 56,0°$
RĂ©sultat : Vitesse d'impact $v_{impact} = 35,80$ m/s, angle d'impact $\\theta = 56,0°$ (par rapport Ă l'horizontale, vers le bas).
Question 4 : Accélérations tangentielle et centripÚte
Ătape 1 : L'accĂ©lĂ©ration tangentielle est la composante de l'accĂ©lĂ©ration le long de la trajectoire :
$a_t = g \\sin(\\theta)$
oĂč $\\theta$ est l'angle entre la trajectoire et l'horizontale.
Ătape 2 : Calcul de $\\sin(\\theta)$ :
$\\sin(56,0°) = 0,8290$
Ătape 3 : Calcul :
$a_t = 9,8 \\times 0,8290 = 8,124 \\text{ m/s}^2$
Ătape 4 : L'accĂ©lĂ©ration centripĂšte est :
$a_n = g \\cos(\\theta)$
Ătape 5 : Calcul de $\\cos(\\theta)$ :
$\\cos(56,0°) = 0,5592$
Ătape 6 : Calcul :
$a_n = 9,8 \\times 0,5592 = 5,480 \\text{ m/s}^2$
Ătape 7 : VĂ©rification : $\\sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \\sqrt{8,124^2 + 5,480^2} = \\sqrt{65,999 + 30,030} = \\sqrt{96,029} = 9,8 \\text{ m/s}^2 = g$ ✓
Ătape 8 : Le rayon de courbure Ă l'impact est :
$\\rho = \\frac{v_{impact}^2}{a_n} = \\frac{(35,80)^2}{5,480}$
Ătape 9 : Calcul :
$\\rho = \\frac{1281,64}{5,480} = 233,9 \\text{ m}$
RĂ©sultat : AccĂ©lĂ©ration tangentielle $a_t = 8,124$ m/s² (accĂ©lĂ©ration le long du mouvement), accĂ©lĂ©ration centripĂšte $a_n = 5,480$ m/s² (accĂ©lĂ©ration perpendiculaire), rayon de courbure $\\rho = 233,9$ m.
",
"id_category": "2",
"id_number": "18"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 2 : Mouvement sur un plan inclinĂ© avec frottement Un bloc de masse $m = 5$ kg est placĂ© sur un plan inclinĂ© d'angle $\\alpha = 30°$. Le coefficient de friction statique est $\\mu_s = 0,5$ et le coefficient de friction cinĂ©tique est $\\mu_k = 0,3$. On applique une force $F = 30$ N parallĂšle au plan inclinĂ©, dirigĂ©e vers le haut.
Question 1 : Vérifier si le bloc se met en mouvement et calculer l'accélération du bloc s'il se déplace.
Question 2 : Déterminer les forces de réaction normale $N$ et de frottement $f$ agissant sur le bloc.
Question 3 : Si le bloc part du repos et se déplace sur $d = 10$ m le long du plan incliné, calculer sa vitesse finale $v_f$ et le travail effectué par chaque force.
Question 4 : Calculer la puissance moyenne développée par la force appliquée $F$ et la puissance dissipée par le frottement pendant ce trajet.
",
"svg": "
α = 30° m F N f P d = 10 m Plan inclinĂ© ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 2 Question 1 : Vérification du mouvement et accélération
Ătape 1 : On analyse d'abord si le bloc est en Ă©quilibre statique. Le poids du bloc est :
$P = mg = 5 \\times 9,8 = 49 \\text{ N}$
Ătape 2 : La composante du poids parallĂšle au plan inclinĂ© :
$P_{\\parallel} = mg \\sin(\\alpha) = 49 \\times \\sin(30°) = 49 \\times 0,5 = 24,5 \\text{ N}$
Ătape 3 : La composante perpendiculaire au plan :
$P_{\\perp} = mg \\cos(\\alpha) = 49 \\times \\cos(30°) = 49 \\times 0,866 = 42,43 \\text{ N}$
Ătape 4 : La force normale (Ă©quilibre perpendiculaire au plan) :
$N = P_{\\perp} = 42,43 \\text{ N}$
Ătape 5 : La force de frottement statique maximale :
$f_s^{max} = \\mu_s N = 0,5 \\times 42,43 = 21,22 \\text{ N}$
Ătape 6 : Force rĂ©sultante appliquĂ©e vers le haut du plan :
$F_{résultante} = F - P_{\\parallel} = 30 - 24,5 = 5,5 \\text{ N}$
Ătape 7 : Comparaison : $F_{rĂ©sultante} = 5,5 \\text{ N} > f_s^{max} - P_{\\parallel} = 21,22 - 24,5$, ce calcul n'est pas correct. Refaçons :
Ătape 8 : On compare la force appliquĂ©e moins le poids parallĂšle Ă la friction maximale. La force qui tente de faire bouger le bloc vers le haut est $F = 30$ N. La force qui l'empĂȘche est $P_{\\parallel} = 24,5$ N plus la friction. Si le bloc Ă©tait au repos, la friction s'ajusterait pour maintenir l'Ă©quilibre jusqu'Ă sa limite :
$f_s = F - P_{\\parallel} = 30 - 24,5 = 5,5 \\text{ N}$
Ătape 9 : Puisque $f_s = 5,5 \\text{ N} < f_s^{max} = 21,22 \\text{ N}$, le bloc ne se met pas en mouvement . Cependant, rĂ©examinons : si $F > P_{\\parallel} + f_s^{max}$, alors il y a mouvement.
Ătape 10 : VĂ©rification : $F = 30 \\text{ N}$, $P_{\\parallel} + f_s^{max} = 24,5 + 21,22 = 45,72 \\text{ N}$. Puisque $30 < 45,72$, le bloc ne se met pas en mouvement si la force Ă©tait dirigĂ©e contre la pente. Mais la force est dirigĂ©e vers le haut (aprĂšs le poids), donc :
Ătape 11 : Force nette vers le haut = $F - P_{\\parallel} = 30 - 24,5 = 5,5 \\text{ N}$, et friction maximale vers le bas = $21,22 \\text{ N}$. Puisque $5,5 < 21,22$, le bloc ne bouge pas.
RĂ©sultat : Le bloc ne se met pas en mouvement . L'accĂ©lĂ©ration est $a = 0$ m/s².
Question 2 : Forces de réaction
Ătape 1 : La force normale (perpendiculaire au plan) :
$N = mg \\cos(\\alpha) = 49 \\times \\cos(30°) = 42,43 \\text{ N}$
Ătape 2 : La force de frottement statique (Ă©quilibre) :
$f = F - mg \\sin(\\alpha) = 30 - 24,5 = 5,5 \\text{ N}$
Résultat : Force normale $N = 42,43$ N, force de frottement $f = 5,5$ N (dirigée vers le bas du plan, pour équilibrer les forces).
Question 3 : Mouvement sur 10 m (hypothĂšse alternative)
Note : Puisque le bloc ne se meut pas avec les conditions données, on suppose une nouvelle force $F = 50$ N pour générer du mouvement.
Ătape 1 : Force nette = $50 - 24,5 = 25,5$ N (vers le haut). Friction cinĂ©tique = $\\mu_k N = 0,3 \\times 42,43 = 12,73$ N.
Ătape 2 : Force rĂ©sultante = $25,5 - 12,73 = 12,77 \\text{ N}$
Ătape 3 : AccĂ©lĂ©ration :
$a = \\frac{F_{nette}}{m} = \\frac{12,77}{5} = 2,554 \\text{ m/s}^2$
Ătape 4 : Vitesse finale aprĂšs $d = 10$ m :
$v_f^2 = 2ad = 2 \\times 2,554 \\times 10 = 51,08$
$v_f = \\sqrt{51,08} = 7,147 \\text{ m/s}$
Ătape 5 : Travail de la force appliquĂ©e :
$W_F = F \\times d \\times \\cos(0°) = 50 \\times 10 = 500 \\text{ J}$
Ătape 6 : Travail du poids (composante parallĂšle, dirigĂ©e vers le bas) :
$W_P = -mg \\sin(\\alpha) \\times d = -24,5 \\times 10 = -245 \\text{ J}$
Ătape 7 : Travail de la friction :
$W_f = -\\mu_k N \\times d = -12,73 \\times 10 = -127,3 \\text{ J}$
Résultat : Vitesse finale $v_f = 7,147$ m/s, $W_F = 500$ J, $W_P = -245$ J, $W_f = -127,3$ J.
Question 4 : Puissance moyenne
Ătape 1 : Temps pour parcourir $d = 10$ m :
$d = \\frac{1}{2}at^2$
$t = \\sqrt{\\frac{2d}{a}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 10}{2,554}} = \\sqrt{7,831} = 2,798 \\text{ s}$
Ătape 2 : Puissance moyenne de la force appliquĂ©e :
$P_{moyenne} = \\frac{W_F}{t} = \\frac{500}{2,798} = 178,6 \\text{ W}$
Ătape 3 : Puissance moyenne dissipĂ©e par la friction :
$P_{dissipée} = \\frac{|W_f|}{t} = \\frac{127,3}{2,798} = 45,52 \\text{ W}$
Résultat : Puissance moyenne de la force appliquée $P_{moyenne} = 178,6$ W, puissance dissipée par la friction $P_{dissipée} = 45,52$ W.
",
"id_category": "2",
"id_number": "19"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 3 : Mouvement circulaire d'une voiture en courbe Une voiture de masse $m = 1200$ kg prend une courbe horizontale de rayon $r = 80$ m avec une vitesse constante $v = 20$ m/s. La route est inclinĂ©e d'un angle $\\beta = 15°$ vers l'intĂ©rieur de la courbe (dĂ©vers). Le coefficient de friction entre les pneus et la route est $\\mu = 0,6$.
Question 1 : Calculer la force centripĂšte requise $F_c$ et analyser les forces agissant sur la voiture en incluant le poids, la normale et la friction.
Question 2 : Déterminer la vitesse maximale $v_{max}$ que la voiture peut atteindre sans déraper sur cette courbe en tenant compte du dévers.
Question 3 : Calculer l'accélération centripÚte $a_c$, l'accélération tangentielle $a_t$ et l'accélération totale $a_{totale}$ de la voiture.
Question 4 : Déterminer le couple de forces (moment) qui s'exerce sur le systÚme et la variation d'énergie cinétique aprÚs un quart de tour complet.
",
"svg": "
r m v N Fc P ÎČ Route dĂ©versĂ©e horizontalement Vue de dessus : courbe circulaire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 3 Question 1 : Force centripĂšte et analyse des forces
Ătape 1 : La force centripĂšte requise pour le mouvement circulaire est :
$F_c = \\frac{mv^2}{r}$
Ătape 2 : Remplacement des valeurs :
$F_c = \\frac{1200 \\times (20)^2}{80}$
Ătape 3 : Calcul :
$F_c = \\frac{1200 \\times 400}{80} = \\frac{480000}{80} = 6000 \\text{ N}$
Ătape 4 : Le poids de la voiture :
$P = mg = 1200 \\times 9,8 = 11760 \\text{ N}$
Ătape 5 : Analyse des forces. En direction radiale (vers le centre) :
$F_c = N \\sin(\\beta) + f \\cos(\\beta)$
oĂč $N$ est la normale et $f$ est la friction.
Ătape 6 : En direction verticale (Ă©quilibre) :
$N \\cos(\\beta) = P + f \\sin(\\beta)$
Ătape 7 : Pour le cas oĂč la friction atteint sa limite : $f = \\mu N$
Résultat : Force centripÚte requise $F_c = 6000$ N.
Question 2 : Vitesse maximale sans déraper
Ătape 1 : Ă la limite du dĂ©repage, la friction est maximale : $f = \\mu N = 0,6 N$.
Ătape 2 : Ăquilibre vertical :
$N \\cos(\\beta) = mg + 0,6 N \\sin(\\beta)$
Ătape 3 : RĂ©solution pour $N$ :
$N[\\cos(\\beta) - 0,6 \\sin(\\beta)] = mg$
$N = \\frac{mg}{\\cos(\\beta) - 0,6 \\sin(\\beta)}$
Ătape 4 : Calcul des trigonomĂ©tries :
$\\cos(15°) = 0,9659$
$\\sin(15°) = 0,2588$
Ătape 5 : Calcul de $N$ :
$N = \\frac{11760}{0,9659 - 0,6 \\times 0,2588} = \\frac{11760}{0,9659 - 0,1553} = \\frac{11760}{0,8106} = 14509 \\text{ N}$
Ătape 6 : Ăquilibre horizontal (force centripĂšte) :
$F_c = N \\sin(\\beta) + \\mu N \\cos(\\beta)$
$F_c = N[\\sin(\\beta) + \\mu \\cos(\\beta)]$
Ătape 7 : Calcul :
$F_c = 14509[0,2588 + 0,6 \\times 0,9659] = 14509[0,2588 + 0,5795] = 14509 \\times 0,8383 = 12164 \\text{ N}$
Ătape 8 : Vitesse maximale :
$F_c = \\frac{m v_{max}^2}{r}$
$v_{max} = \\sqrt{\\frac{F_c \\times r}{m}} = \\sqrt{\\frac{12164 \\times 80}{1200}}$
Ătape 9 : Calcul :
$v_{max} = \\sqrt{\\frac{973120}{1200}} = \\sqrt{810,93} = 28,48 \\text{ m/s}$
Résultat : Vitesse maximale $v_{max} = 28,48$ m/s (environ $102,5$ km/h).
Question 3 : Accélérations
Ătape 1 : L'accĂ©lĂ©ration centripĂšte :
$a_c = \\frac{v^2}{r} = \\frac{(20)^2}{80} = \\frac{400}{80} = 5 \\text{ m/s}^2$
Ătape 2 : L'accĂ©lĂ©ration tangentielle est nulle puisque la vitesse est constante :
$a_t = 0 \\text{ m/s}^2$
Ătape 3 : L'accĂ©lĂ©ration totale est Ă©gale Ă l'accĂ©lĂ©ration centripĂšte :
$a_{totale} = \\sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \\sqrt{5^2 + 0^2} = 5 \\text{ m/s}^2$
RĂ©sultat : $a_c = 5$ m/s², $a_t = 0$ m/s², $a_{totale} = 5$ m/s².
Question 4 : Couple de forces et variation d'énergie cinétique
Ătape 1 : Le couple exercĂ© sur le systĂšme. Il n'y a pas de moment autour de l'axe vertical car la force centripĂšte passe par le centre. Cependant, le moment du poids par rapport Ă un point sur la route :
$\\tau = P \\times h$
oĂč $h$ est la hauteur du centre de masse.
Ătape 2 : Alternativement, le moment des forces perpendiculaires au rayon :
$\\tau = F_c \\times r = 6000 \\times 80 = 480000 \\text{ N·m}$
Ătape 3 : Pour un quart de tour, la voiture parcourt :
$d = \\frac{1}{4} \\times 2\\pi r = \\frac{1}{4} \\times 2\\pi \\times 80 = 40\\pi = 125,7 \\text{ m}$
Ătape 4 : Puisque la vitesse est constante, l'Ă©nergie cinĂ©tique ne change pas :
$\\Delta E_c = \\frac{1}{2}m v_f^2 - \\frac{1}{2}m v_i^2 = 0 \\text{ J}$
Ătape 5 : Cependant, la hauteur change si la courbe n'est pas parfaitement horizontale :
$\\Delta h = r \\times \\sin(\\beta) \\times \\sin(\\frac{\\pi}{2}) = 80 \\times \\sin(15°) \\times 1 \\approx 20,7 \\text{ m}$
Ătape 6 : Variation d'Ă©nergie potentielle :
$\\Delta E_p = mg \\Delta h = 1200 \\times 9,8 \\times 20,7 = 243432 \\text{ J}$
RĂ©sultat : Couple de forces $\\tau = 480000$ N·m, variation d'Ă©nergie cinĂ©tique $\\Delta E_c = 0$ J (vitesse constante), variation d'Ă©nergie potentielle $\\Delta E_p \\approx 243432$ J (le vĂ©hicule monte durant le quart de tour).
",
"id_category": "2",
"id_number": "20"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 4 : Collision entre deux corps et conservation de la quantité de mouvement Deux billes se déplacent sur une surface sans frottement. La premiÚre bille de masse $m_1 = 2$ kg se déplace à une vitesse $v_1 = 8$ m/s et la seconde de masse $m_2 = 3$ kg se déplace à une vitesse $v_2 = -4$ m/s (direction opposée). Elles entrent en collision.
Question 1 : Calculer la quantité de mouvement totale avant la collision et déterminer si la collision est élastique ou inélastique en calculant l'énergie cinétique avant et aprÚs.
Question 2 : En supposant une collision parfaitement inélastique (les billes restent ensemble aprÚs la collision), déterminer la vitesse finale du systÚme combiné.
Question 3 : En supposant une collision élastique, déterminer les vitesses finales de chaque bille aprÚs la collision.
Question 4 : Calculer l'impulsion subie par chaque bille, le coefficient de restitution, et l'énergie dissipée lors de la collision inélastique.
",
"svg": "
Avant collision : m₁ v₁ = 8 m/s m₂ v₂ = -4 m/s AprĂšs collision : m₁+m₂ v_f = ? ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 4 Question 1 : Quantité de mouvement et type de collision
Ătape 1 : La quantitĂ© de mouvement totale avant la collision :
$p_{avant} = m_1 v_1 + m_2 v_2$
Ătape 2 : Remplacement :
$p_{avant} = 2 \\times 8 + 3 \\times (-4)$
Ătape 3 : Calcul :
$p_{avant} = 16 - 12 = 4 \\text{ kg·m/s}$
Ătape 4 : L'Ă©nergie cinĂ©tique avant la collision :
$E_c^{avant} = \\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \\frac{1}{2}m_2 v_2^2$
Ătape 5 : Remplacement :
$E_c^{avant} = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times (8)^2 + \\frac{1}{2} \\times 3 \\times (-4)^2$
Ătape 6 : Calcul :
$E_c^{avant} = 1 \\times 64 + 1,5 \\times 16 = 64 + 24 = 88 \\text{ J}$
RĂ©sultat : QuantitĂ© de mouvement avant collision $p_{avant} = 4$ kg·m/s, Ă©nergie cinĂ©tique avant collision $E_c^{avant} = 88$ J. Le type de collision (Ă©lastique ou inĂ©lastique) sera dĂ©terminĂ© aprĂšs le calcul du cas inĂ©lastique.
Question 2 : Collision parfaitement inélastique
Ătape 1 : Pour une collision inĂ©lastique, les billes restent ensemble. La quantitĂ© de mouvement est conservĂ©e :
$p_{avant} = p_{aprĂšs}$
Ătape 2 : AprĂšs collision :
$(m_1 + m_2) v_f = m_1 v_1 + m_2 v_2$
Ătape 3 : Calcul de $v_f$ :
$v_f = \\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \\frac{4}{2 + 3} = \\frac{4}{5}$
Ătape 4 : RĂ©sultat :
$v_f = 0,8 \\text{ m/s}$
Ătape 5 : L'Ă©nergie cinĂ©tique aprĂšs collision inĂ©lastique :
$E_c^{aprĂšs} = \\frac{1}{2}(m_1 + m_2) v_f^2 = \\frac{1}{2} \\times 5 \\times (0,8)^2$
Ătape 6 : Calcul :
$E_c^{aprĂšs} = 2,5 \\times 0,64 = 1,6 \\text{ J}$
Résultat : Vitesse finale pour collision inélastique $v_f = 0,8$ m/s. L'énergie cinétique diminue, confirmant que la collision est inélastique.
Question 3 : Collision élastique
Ătape 1 : Pour une collision Ă©lastique, deux lois doivent ĂȘtre satisfaites :
Conservation de la quantité de mouvement :
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$
Ătape 2 : Conservation de l'Ă©nergie cinĂ©tique :
$\\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \\frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \\frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \\frac{1}{2}m_2 v_2'^2$
Ătape 3 : Les formules gĂ©nĂ©rales pour une collision Ă©lastique unidimensionnelle sont :
$v_1' = \\frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
Ătape 4 : Remplacement :
$v_1' = \\frac{(2 - 3) \\times 8 + 2 \\times 3 \\times (-4)}{2 + 3}$
Ătape 5 : Calcul :
$v_1' = \\frac{-8 - 24}{5} = \\frac{-32}{5} = -6,4 \\text{ m/s}$
Ătape 6 : La deuxiĂšme vitesse :
$v_2' = \\frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$
Ătape 7 : Remplacement :
$v_2' = \\frac{(3 - 2) \\times (-4) + 2 \\times 2 \\times 8}{2 + 3}$
Ătape 8 : Calcul :
$v_2' = \\frac{-4 + 32}{5} = \\frac{28}{5} = 5,6 \\text{ m/s}$
Ătape 9 : VĂ©rification de la conservation de la quantitĂ© de mouvement :
$p_{aprĂšs} = 2 \\times (-6,4) + 3 \\times 5,6 = -12,8 + 16,8 = 4 \\text{ kg·m/s}$ ✓
Résultat : Pour collision élastique, $v_1' = -6,4$ m/s (la bille 1 rebondit), $v_2' = 5,6$ m/s (la bille 2 accélÚre).
Question 4 : Impulsion, coefficient de restitution et énergie dissipée
Ătape 1 : L'impulsion subie par la bille 1 dans le cas inĂ©lastique :
$\\Delta p_1 = m_1(v_f - v_1) = 2 \\times (0,8 - 8)$
Ătape 2 : Calcul :
$\\Delta p_1 = 2 \\times (-7,2) = -14,4 \\text{ kg·m/s}$
Ătape 3 : L'impulsion subie par la bille 2 :
$\\Delta p_2 = m_2(v_f - v_2) = 3 \\times (0,8 - (-4))$
Ătape 4 : Calcul :
$\\Delta p_2 = 3 \\times 4,8 = 14,4 \\text{ kg·m/s}$
Ătape 5 : VĂ©rification : $\\Delta p_1 + \\Delta p_2 = -14,4 + 14,4 = 0$ ✓
Ătape 6 : Le coefficient de restitution est dĂ©fini par :
$e = -\\frac{v_f - v_f}{v_1 - v_2} = -\\frac{0}{8 - (-4)} = 0$
Cela confirme une collision totalement inélastique ($e = 0$).
Ătape 7 : Pour une collision Ă©lastique, $e = 1$, ce qui peut ĂȘtre vĂ©rifiĂ© :
$e = -\\frac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2} = -\\frac{(-6,4) - 5,6}{8 - (-4)} = -\\frac{-12}{12} = 1$ ✓
Ătape 8 : L'Ă©nergie dissipĂ©e lors de la collision inĂ©lastique :
$\\Delta E = E_c^{avant} - E_c^{aprĂšs} = 88 - 1,6 = 86,4 \\text{ J}$
RĂ©sultat : Impulsion sur bille 1 $\\Delta p_1 = -14,4$ kg·m/s, impulsion sur bille 2 $\\Delta p_2 = 14,4$ kg·m/s, coefficient de restitution (inĂ©lastique) $e = 0$, coefficient de restitution (Ă©lastique) $e = 1$, Ă©nergie dissipĂ©e $\\Delta E = 86,4$ J.
",
"id_category": "2",
"id_number": "21"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 5 : Mouvement d'un satellite en orbite Un satellite artificiel de masse $m = 1500$ kg orbite autour de la Terre Ă une altitude $h = 400$ km. Le rayon de la Terre est $R_T = 6371$ km et la masse de la Terre est $M_T = 5,972 \\times 10^{24}$ kg. La constante gravitationnelle est $G = 6,674 \\times 10^{-11}$ N·m²/kg².
Question 1 : Calculer le rayon orbital $r$, la vitesse orbitale $v_{orb}$ et la période de révolution $T_{orb}$ du satellite.
Question 2 : Déterminer l'accélération centripÚte $a_c$ et la force gravitationnelle $F_g$ qui maintient le satellite en orbite.
Question 3 : Calculer l'énergie cinétique $E_k$, l'énergie potentielle gravitationnelle $E_p$ et l'énergie mécanique totale $E_{mech}$ du satellite.
Question 4 : Déterminer la vitesse d'échappement $v_{ech}$ à l'altitude du satellite et calculer l'énergie nécessaire pour élever le satellite d'une orbite de $400$ km à une orbite de $800$ km.
",
"svg": "
T m r = RT + h RT v_orb Fg Orbite circulaire du satellite autour de la Terre ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Solution de l'Exercice 5 Question 1 : Rayon orbital, vitesse orbitale et période
Ătape 1 : Le rayon orbital du satellite :
$r = R_T + h$
Ătape 2 : Remplacement (convertir en mĂštres) :
$r = 6371 \\times 10^3 + 400 \\times 10^3 = 6,371 \\times 10^6 + 0,4 \\times 10^6$
Ătape 3 : Calcul :
$r = 6,771 \\times 10^6 \\text{ m}$
Ătape 4 : La vitesse orbitale est donnĂ©e par :
$v_{orb} = \\sqrt{\\frac{GM_T}{r}}$
Ătape 5 : Remplacement :
$v_{orb} = \\sqrt{\\frac{6,674 \\times 10^{-11} \\times 5,972 \\times 10^{24}}{6,771 \\times 10^6}}$
Ătape 6 : Calcul du numĂ©rateur :
$GM_T = 3,986 \\times 10^{14} \\text{ m}^3/\\text{s}^2$
Ătape 7 : Calcul du rapport :
$\\frac{GM_T}{r} = \\frac{3,986 \\times 10^{14}}{6,771 \\times 10^6} = 5,887 \\times 10^7 \\text{ m}^2/\\text{s}^2$
Ătape 8 : Calcul de la racine :
$v_{orb} = \\sqrt{5,887 \\times 10^7} = 7,673 \\times 10^3 \\text{ m/s} = 7673 \\text{ m/s}$
Ătape 9 : La pĂ©riode de rĂ©volution (en secondes) :
$T_{orb} = \\frac{2\\pi r}{v_{orb}}$
Ătape 10 : Remplacement :
$T_{orb} = \\frac{2\\pi \\times 6,771 \\times 10^6}{7673}$
Ătape 11 : Calcul :
$T_{orb} = \\frac{4,255 \\times 10^7}{7673} = 5544 \\text{ s}$
Ătape 12 : Conversion en minutes :
$T_{orb} = \\frac{5544}{60} = 92,4 \\text{ min}$
RĂ©sultat : Rayon orbital $r = 6,771 \\times 10^6$ m, vitesse orbitale $v_{orb} = 7673$ m/s = $7,673$ km/s, pĂ©riode de rĂ©volution $T_{orb} = 5544$ s ≈ $92,4$ minutes (environ $1,54$ heures).
Question 2 : Accélération centripÚte et force gravitationnelle
Ătape 1 : L'accĂ©lĂ©ration centripĂšte :
$a_c = \\frac{v_{orb}^2}{r}$
Ătape 2 : Remplacement :
$a_c = \\frac{(7673)^2}{6,771 \\times 10^6}$
Ătape 3 : Calcul :
$a_c = \\frac{5,887 \\times 10^7}{6,771 \\times 10^6} = 8,689 \\text{ m/s}^2$
Ătape 4 : La force gravitationnelle agissant sur le satellite :
$F_g = \\frac{GM_T m}{r^2}$
Ătape 5 : Remplacement :
$F_g = \\frac{6,674 \\times 10^{-11} \\times 5,972 \\times 10^{24} \\times 1500}{(6,771 \\times 10^6)^2}$
Ătape 6 : Calcul :
$F_g = \\frac{5,979 \\times 10^{14}}{4,584 \\times 10^{13}} = 13034 \\text{ N}$
Ătape 7 : VĂ©rification : $F_g = m \\times a_c = 1500 \\times 8,689 = 13033,5 \\text{ N}$ ✓
RĂ©sultat : AccĂ©lĂ©ration centripĂšte $a_c = 8,689$ m/s², force gravitationnelle $F_g = 13034$ N.
Question 3 : Ănergies cinĂ©tique, potentielle et mĂ©canique
Ătape 1 : L'Ă©nergie cinĂ©tique du satellite :
$E_k = \\frac{1}{2}m v_{orb}^2$
Ătape 2 : Remplacement :
$E_k = \\frac{1}{2} \\times 1500 \\times (7673)^2$
Ătape 3 : Calcul :
$E_k = 750 \\times 5,887 \\times 10^7 = 4,415 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 4 : L'Ă©nergie potentielle gravitationnelle :
$E_p = -\\frac{GM_T m}{r}$
Ătape 5 : Remplacement :
$E_p = -\\frac{6,674 \\times 10^{-11} \\times 5,972 \\times 10^{24} \\times 1500}{6,771 \\times 10^6}$
Ătape 6 : Calcul :
$E_p = -\\frac{5,979 \\times 10^{14}}{6,771 \\times 10^6} = -8,830 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 7 : L'Ă©nergie mĂ©canique totale :
$E_{mech} = E_k + E_p$
Ătape 8 : Calcul :
$E_{mech} = 4,415 \\times 10^{10} - 8,830 \\times 10^{10} = -4,415 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 9 : VĂ©rification : $E_k = -\\frac{E_p}{2}$ et $E_{mech} = -E_k = -\\frac{E_p}{2}$ ✓
RĂ©sultat : Ănergie cinĂ©tique $E_k = 4,415 \\times 10^{10}$ J, Ă©nergie potentielle $E_p = -8,830 \\times 10^{10}$ J, Ă©nergie mĂ©canique totale $E_{mech} = -4,415 \\times 10^{10}$ J (nĂ©gative, indiquant une orbite liĂ©e).
Question 4 : Vitesse d'échappement et énergie de transition orbitale
Ătape 1 : La vitesse d'Ă©chappement Ă l'altitude du satellite :
$v_{ech} = \\sqrt{\\frac{2GM_T}{r}}$
Ătape 2 : Remplacement :
$v_{ech} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 3,986 \\times 10^{14}}{6,771 \\times 10^6}}$
Ătape 3 : Calcul :
$v_{ech} = \\sqrt{1,176 \\times 10^8} = 10849 \\text{ m/s}$
Ătape 4 : VĂ©rification : $v_{ech} = \\sqrt{2} \\times v_{orb} = 1,414 \\times 7673 = 10845 \\text{ m/s}$ ✓
Ătape 5 : Pour l'orbite Ă $800$ km, le rayon orbital :
$r' = (6371 + 800) \\times 10^3 = 7,171 \\times 10^6 \\text{ m}$
Ătape 6 : L'Ă©nergie mĂ©canique dans cette nouvelle orbite :
$E_{mech}' = -\\frac{GM_T m}{2r'}$
Ătape 7 : Remplacement :
$E_{mech}' = -\\frac{3,986 \\times 10^{14} \\times 1500}{2 \\times 7,171 \\times 10^6}$
Ătape 8 : Calcul :
$E_{mech}' = -\\frac{5,979 \\times 10^{14}}{1,434 \\times 10^7} = -4,169 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 9 : L'Ă©nergie nĂ©cessaire pour la transition :
$\\Delta E = E_{mech}' - E_{mech}$
Ătape 10 : Calcul :
$\\Delta E = -4,169 \\times 10^{10} - (-4,415 \\times 10^{10}) = 2,46 \\times 10^9 \\text{ J}$
Résultat : Vitesse d'échappement à $400$ km $v_{ech} = 10849$ m/s = $10,849$ km/s, énergie nécessaire pour élever l'orbite de $400$ km à $800$ km : $\\Delta E = 2,46 \\times 10^9$ J = $2,46$ GJ (gigajoules).
",
"id_category": "2",
"id_number": "22"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Un bloc de masse $m = 5{,}0\\ \\text{kg}$ est placĂ© sur un plan inclinĂ© d'angle $\\theta = 30°$. Le coefficient de frottement cinĂ©tique entre le bloc et le plan est $\\mu_k = 0{,}25$ et le coefficient de frottement statique est $\\mu_s = 0{,}35$. On applique une force $F$ parallĂšle au plan, dirigĂ©e vers le haut.Question 1 : Calculez la force minimale $F_{min}$ nĂ©cessaire pour initier le mouvement du bloc.Question 2 : Si on applique une force $F = 35\\ \\text{N}$ parallĂšle au plan vers le haut, calculez l'accĂ©lĂ©ration du bloc.Question 3 : Avec cette mĂȘme force, calculez le temps nĂ©cessaire pour que le bloc parcoure une distance $d = 4{,}0\\ \\text{m}$ le long du plan.Question 4 : Calculez la vitesse du bloc lorsqu'il atteint cette distance.
",
"svg": "
sol m F N f Ξ Plan inclinĂ© ÎŒâ = 0,25 ÎŒâ = 0,35 ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Force minimale pour initier le mouvement 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $F_{min} = mg\\sin\\theta + \\mu_s mg\\cos\\theta$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $m = 5{,}0\\ \\text{kg}, \\theta = 30°, \\mu_s = 0{,}35, g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$ 3. Calcul : $\\sin 30° = 0{,}5, \\cos 30° = 0{,}866$ $F_{min} = 5{,}0\\times 9{,}8\\times 0{,}5 + 0{,}35\\times 5{,}0\\times 9{,}8\\times 0{,}866$ $F_{min} = 24{,}5 + 14{,}86 = 39{,}36\\ \\text{N}$ 4. RĂ©sultat final : $F_{min} = 39{,}4\\ \\text{N}$
\n
Question 2 : Accélération avec F = 35 N 1. Formule générale : $F - mg\\sin\\theta - \\mu_k mg\\cos\\theta = ma$ 2. Remplacement : $F = 35\\ \\text{N}, \\mu_k = 0{,}25$ 3. Calcul : $a = \\frac{F - mg\\sin\\theta - \\mu_k mg\\cos\\theta}{m}$ $a = \\frac{35 - 5{,}0\\times 9{,}8\\times 0{,}5 - 0{,}25\\times 5{,}0\\times 9{,}8\\times 0{,}866}{5{,}0}$ $a = \\frac{35 - 24{,}5 - 10{,}63}{5{,}0} = \\frac{-0{,}13}{5{,}0} = -0{,}026\\ \\text{m/s}^2$ 4. Résultat final : Le bloc n'accélÚre pas car $F < F_{min}$. Le bloc demeure immobile avec $a = 0\\ \\text{m/s}^2$
\n
Question 3 : Temps pour parcourir 4,0 m 1. Formule générale : $d = \\frac{1}{2}at^2$ (avec vitesse initiale nulle) 2. Remplacement : $d = 4{,}0\\ \\text{m}$, mais puisque $F = 35\\ \\text{N} < F_{min}$, le bloc ne se meut pas 3. Calcul : Le bloc reste immobile 4. Résultat final : Le temps est indéfini car le bloc ne bouge pas
\n
Question 4 : Vitesse finale 1. Formule générale : $v^2 = v_0^2 + 2ad$ 2. Remplacement : $v_0 = 0, a = 0$ 3. Calcul : $v^2 = 0$ 4. Résultat final : $v = 0\\ \\text{m/s}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "23"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Un bloc de masse $m_1 = 3{,}0\\ \\text{kg}$ et un bloc de masse $m_2 = 2{,}0\\ \\text{kg}$ sont reliés par une corde inextensible passant sur une poulie sans frottement. Le bloc $m_1$ est sur une table horizontale avec un coefficient de frottement cinétique $\\mu_k = 0{,}20$. Le bloc $m_2$ pend verticalement. Le systÚme part du repos.Question 1 : Calculez l'accélération du systÚme.Question 2 : Calculez la tension dans la corde.Question 3 : Si $m_2$ descend d'une distance $h = 1{,}5\\ \\text{m}$, quelle est la vitesse du bloc $m_2$ ?Question 4 : Quel est le travail effectué par la tension sur le bloc $m_1$ lors de ce déplacement ?
",
"svg": "
m₁ m₂ f = ÎŒâN m₂g SystĂšme de deux masses connectĂ©es par une corde ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Accélération du systÚme 1. Formule générale : $m_2 g - \\mu_k m_1 g = (m_1 + m_2)a$ 2. Remplacement : $m_1 = 3{,}0\\ \\text{kg}, m_2 = 2{,}0\\ \\text{kg}, \\mu_k = 0{,}20, g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$ 3. Calcul : $a = \\frac{m_2 g - \\mu_k m_1 g}{m_1 + m_2}$ $a = \\frac{2{,}0\\times 9{,}8 - 0{,}20\\times 3{,}0\\times 9{,}8}{3{,}0 + 2{,}0}$ $a = \\frac{19{,}6 - 5{,}88}{5{,}0} = \\frac{13{,}72}{5{,}0} = 2{,}744\\ \\text{m/s}^2$ 4. Résultat final : $a = 2{,}74\\ \\text{m/s}^2$
\n
Question 2 : Tension dans la corde 1. Formule générale : $T = m_1(a + \\mu_k g)$ 2. Remplacement : $a = 2{,}74\\ \\text{m/s}^2$ 3. Calcul : $T = 3{,}0(2{,}74 + 0{,}20\\times 9{,}8)$ $T = 3{,}0(2{,}74 + 1{,}96) = 3{,}0\\times 4{,}70 = 14{,}1\\ \\text{N}$ 4. Résultat final : $T = 14{,}1\\ \\text{N}$
\n
Question 3 : Vitesse de m₂ aprĂšs descente de 1,5 m 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $v^2 = v_0^2 + 2ah$ (mouvement uniformĂ©ment accĂ©lĂ©rĂ©) 2. Remplacement : $v_0 = 0, a = 2{,}74\\ \\text{m/s}^2, h = 1{,}5\\ \\text{m}$ 3. Calcul : $v^2 = 0 + 2\\times 2{,}74\\times 1{,}5 = 8{,}22$ $v = \\sqrt{8{,}22} = 2{,}867\\ \\text{m/s}$ 4. RĂ©sultat final : $v = 2{,}87\\ \\text{m/s}$
\n
Question 4 : Travail effectuĂ© par la tension sur m₁ 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $W_T = T \\cdot d_{m_1}$, oĂč $d_{m_1} = h = 1{,}5\\ \\text{m}$ 2. Remplacement : $T = 14{,}1\\ \\text{N}, d_{m_1} = 1{,}5\\ \\text{m}$ 3. Calcul : $W_T = 14{,}1\\times 1{,}5 = 21{,}15\\ \\text{J}$ 4. RĂ©sultat final : $W_T = 21{,}2\\ \\text{J}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "24"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Un projectile de masse $m = 2{,}0\\ \\text{kg}$ est lancĂ© du sol avec une vitesse initiale $v_0 = 30\\ \\text{m/s}$ Ă un angle $\\alpha = 45°$ par rapport Ă l'horizontale. On nĂ©glige la rĂ©sistance de l'air et on prend $g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$.Question 1 : Calculez la hauteur maximale atteinte par le projectile.Question 2 : Calculez le temps total de vol du projectile.Question 3 : Calculez la portĂ©e horizontale du projectile.Question 4 : Calculez la vitesse du projectile au moment oĂč il retouche le sol.
",
"svg": "
v₀ h_max PortĂ©e α = 45° Trajectoire parabolique ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Hauteur maximale 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $h_{max} = \\frac{(v_0 \\sin\\alpha)^2}{2g}$ 2. Remplacement : $v_0 = 30\\ \\text{m/s}, \\alpha = 45°, g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$ 3. Calcul : $v_{0y} = v_0 \\sin 45° = 30\\times 0{,}707 = 21{,}21\\ \\text{m/s}$ $h_{max} = \\frac{(21{,}21)^2}{2\\times 9{,}8} = \\frac{450}{19{,}6} = 22{,}96\\ \\text{m}$ 4. RĂ©sultat final : $h_{max} = 23{,}0\\ \\text{m}$
\n
Question 2 : Temps total de vol 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $t_{tot} = \\frac{2v_0 \\sin\\alpha}{g}$ 2. Remplacement : $v_0 = 30\\ \\text{m/s}, \\sin 45° = 0{,}707, g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$ 3. Calcul : $t_{tot} = \\frac{2\\times 30\\times 0{,}707}{9{,}8} = \\frac{42{,}42}{9{,}8} = 4{,}33\\ \\text{s}$ 4. RĂ©sultat final : $t_{tot} = 4{,}33\\ \\text{s}$
\n
Question 3 : PortĂ©e horizontale 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $R = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\alpha)}{g}$ 2. Remplacement : $v_0 = 30\\ \\text{m/s}, \\alpha = 45°, \\sin(90°) = 1$ 3. Calcul : $R = \\frac{(30)^2\\times 1}{9{,}8} = \\frac{900}{9{,}8} = 91{,}84\\ \\text{m}$ 4. RĂ©sultat final : $R = 91{,}8\\ \\text{m}$
\n
Question 4 : Vitesse au sol 1. Formule générale : $v = v_0$ (conservation de l'énergie en absence de frottement) 2. Remplacement : $v_0 = 30\\ \\text{m/s}$ 3. Calcul : Par conservation de l'énergie : $\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}mv^2$ $v = v_0 = 30\\ \\text{m/s}$ 4. Résultat final : $v = 30\\ \\text{m/s}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "25"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Une particule de masse $m = 1{,}5\\ \\text{kg}$ subit l'action d'une force résultante $\\vec{F} = (12\\ \\vec{i} - 8\\ \\vec{j})\\ \\text{N}$. Au temps $t = 0$, la particule est à la position $\\vec{r}_0 = (2{,}0\\ \\vec{i} + 1{,}0\\ \\vec{j})\\ \\text{m}$ et possÚde une vitesse initiale $\\vec{v}_0 = (3{,}0\\ \\vec{i} - 2{,}0\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}$.Question 1 : Calculez l'accélération de la particule (vecteur et magnitude).Question 2 : Calculez la position de la particule au temps $t = 2{,}0\\ \\text{s}$.Question 3 : Calculez la vitesse de la particule au temps $t = 2{,}0\\ \\text{s}$.Question 4 : Calculez le travail effectué par la force entre $t = 0$ et $t = 2{,}0\\ \\text{s}$.
",
"svg": "
y x t=0 t=2s v₀ F v(2s) Mouvement 2D ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Accélération de la particule 1. Formule générale : $\\vec{a} = \\frac{\\vec{F}}{m}$ 2. Remplacement : $\\vec{F} = (12\\ \\vec{i} - 8\\ \\vec{j})\\ \\text{N}, m = 1{,}5\\ \\text{kg}$ 3. Calcul : $\\vec{a} = \\frac{1}{1{,}5}(12\\ \\vec{i} - 8\\ \\vec{j}) = (8{,}0\\ \\vec{i} - 5{,}33\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}^2$ Magnitude : $a = \\sqrt{(8{,}0)^2 + (-5{,}33)^2} = \\sqrt{64 + 28{,}41} = \\sqrt{92{,}41} = 9{,}61\\ \\text{m/s}^2$ 4. Résultat final : $\\vec{a} = (8{,}0\\ \\vec{i} - 5{,}33\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}^2, a = 9{,}61\\ \\text{m/s}^2$
\n
Question 2 : Position à t = 2,0 s 1. Formule générale : $\\vec{r}(t) = \\vec{r}_0 + \\vec{v}_0 t + \\frac{1}{2}\\vec{a}t^2$ 2. Remplacement : $\\vec{r}_0 = (2{,}0\\ \\vec{i} + 1{,}0\\ \\vec{j})\\ \\text{m}, \\vec{v}_0 = (3{,}0\\ \\vec{i} - 2{,}0\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}, \\vec{a} = (8{,}0\\ \\vec{i} - 5{,}33\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}^2, t = 2{,}0\\ \\text{s}$ 3. Calcul : $\\vec{r}(2) = (2{,}0\\ \\vec{i} + 1{,}0\\ \\vec{j}) + (3{,}0\\ \\vec{i} - 2{,}0\\ \\vec{j})\\times 2{,}0 + \\frac{1}{2}(8{,}0\\ \\vec{i} - 5{,}33\\ \\vec{j})\\times (2{,}0)^2$ $= (2{,}0 + 6{,}0 + 16{,}0)\\ \\vec{i} + (1{,}0 - 4{,}0 - 10{,}66)\\ \\vec{j}$ $= (24{,}0\\ \\vec{i} - 13{,}66\\ \\vec{j})\\ \\text{m}$ 4. Résultat final : $\\vec{r}(2) = (24{,}0\\ \\vec{i} - 13{,}7\\ \\vec{j})\\ \\text{m}$
\n
Question 3 : Vitesse à t = 2,0 s 1. Formule générale : $\\vec{v}(t) = \\vec{v}_0 + \\vec{a}t$ 2. Remplacement : $\\vec{v}_0 = (3{,}0\\ \\vec{i} - 2{,}0\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}, \\vec{a} = (8{,}0\\ \\vec{i} - 5{,}33\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}^2, t = 2{,}0\\ \\text{s}$ 3. Calcul : $\\vec{v}(2) = (3{,}0\\ \\vec{i} - 2{,}0\\ \\vec{j}) + (8{,}0\\ \\vec{i} - 5{,}33\\ \\vec{j})\\times 2{,}0$ $= (3{,}0 + 16{,}0)\\ \\vec{i} + (-2{,}0 - 10{,}66)\\ \\vec{j}$ $= (19{,}0\\ \\vec{i} - 12{,}66\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}$ 4. Résultat final : $\\vec{v}(2) = (19{,}0\\ \\vec{i} - 12{,}7\\ \\vec{j})\\ \\text{m/s}$
\n
Question 4 : Travail effectué par la force 1. Formule générale : $W = \\vec{F} \\cdot \\Delta\\vec{r}$ 2. Remplacement : $\\vec{F} = (12\\ \\vec{i} - 8\\ \\vec{j})\\ \\text{N}, \\Delta\\vec{r} = \\vec{r}(2) - \\vec{r}(0) = (24{,}0 - 2{,}0)\\ \\vec{i} + (-13{,}66 - 1{,}0)\\ \\vec{j} = (22{,}0\\ \\vec{i} - 14{,}66\\ \\vec{j})\\ \\text{m}$ 3. Calcul : $W = (12\\ \\vec{i} - 8\\ \\vec{j}) \\cdot (22{,}0\\ \\vec{i} - 14{,}66\\ \\vec{j})$ $= 12\\times 22{,}0 + (-8)\\times (-14{,}66)$ $= 264 + 117{,}28 = 381{,}28\\ \\text{J}$ 4. Résultat final : $W = 381\\ \\text{J}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "26"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Un objet de masse $m = 4{,}0\\ \\text{kg}$ se dĂ©place sur un plan inclinĂ© d'angle $\\beta = 25°$ par rapport Ă l'horizontale. Une force motrice $F_{motrice} = 50\\ \\text{N}$ est appliquĂ©e parallĂšlement au plan vers le haut. Le coefficient de frottement cinĂ©tique est $\\mu_k = 0{,}30$. L'objet part du repos.Question 1 : Calculez la force de frottement agissant sur l'objet.Question 2 : Calculez l'accĂ©lĂ©ration de l'objet le long du plan inclinĂ©.Question 3 : Quel est le travail net effectuĂ© sur l'objet lorsqu'il se dĂ©place de $s = 3{,}0\\ \\text{m}$ le long du plan ?Question 4 : Calculez la vitesse de l'objet aprĂšs ce dĂ©placement de 3,0 m.
",
"svg": "
m F_motrice N f mg s ÎČ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
Question 1 : Force de frottement 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $f = \\mu_k N = \\mu_k mg\\cos\\beta$ 2. Remplacement : $m = 4{,}0\\ \\text{kg}, \\mu_k = 0{,}30, \\beta = 25°, g = 9{,}8\\ \\text{m/s}^2$ 3. Calcul : $\\cos 25° = 0{,}906$ $f = 0{,}30\\times 4{,}0\\times 9{,}8\\times 0{,}906 = 0{,}30\\times 39{,}2\\times 0{,}906 = 10{,}65\\ \\text{N}$ 4. RĂ©sultat final : $f = 10{,}7\\ \\text{N}$
\n
Question 2 : AccĂ©lĂ©ration le long du plan 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $F_{motrice} - mg\\sin\\beta - f = ma$ 2. Remplacement : $F_{motrice} = 50\\ \\text{N}, \\sin 25° = 0{,}423$ 3. Calcul : $a = \\frac{F_{motrice} - mg\\sin\\beta - f}{m}$ $a = \\frac{50 - 4{,}0\\times 9{,}8\\times 0{,}423 - 10{,}65}{4{,}0}$ $a = \\frac{50 - 16{,}58 - 10{,}65}{4{,}0} = \\frac{22{,}77}{4{,}0} = 5{,}694\\ \\text{m/s}^2$ 4. RĂ©sultat final : $a = 5{,}69\\ \\text{m/s}^2$
\n
Question 3 : Travail net 1. Formule générale : $W_{net} = (F_{motrice} - mg\\sin\\beta - f) \\times s$ 2. Remplacement : $F_{motrice} - mg\\sin\\beta - f = 22{,}77\\ \\text{N}, s = 3{,}0\\ \\text{m}$ 3. Calcul : $W_{net} = 22{,}77\\times 3{,}0 = 68{,}31\\ \\text{J}$ 4. Résultat final : $W_{net} = 68{,}3\\ \\text{J}$
\n
Question 4 : Vitesse aprÚs 3,0 m 1. Formule générale : $v^2 = v_0^2 + 2as$ 2. Remplacement : $v_0 = 0, a = 5{,}69\\ \\text{m/s}^2, s = 3{,}0\\ \\text{m}$ 3. Calcul : $v^2 = 0 + 2\\times 5{,}69\\times 3{,}0 = 34{,}14$ $v = \\sqrt{34{,}14} = 5{,}84\\ \\text{m/s}$ 4. Résultat final : $v = 5{,}84\\ \\text{m/s}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "27"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 1 : Bloc sur plan incliné avec frottement \n
Un bloc de masse $m = 10 \\, \\text{kg}$ est posĂ© sur un plan inclinĂ© d'un angle $\\alpha = 30^{\\circ}$ par rapport Ă l'horizontale. Le coefficient de frottement cinĂ©tique entre le bloc et le plan est $\\mu_k = 0.20$. On prendra $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$. Le bloc est initialement au repos et libre de glisser vers le bas.
\n
Questions :
\n
\nEn appliquant la deuxiĂšme loi de Newton, calculez l'accĂ©lĂ©ration $a$ du bloc le long du plan inclinĂ©. \nLe bloc parcourt une distance $s = 2.0 \\, \\text{m}$ le long du plan Ă partir du repos. Calculez le temps $t$ nĂ©cessaire pour parcourir cette distance. \nCalculez la vitesse $v_f$ du bloc Ă l'issue de cette descente de $2.0 \\, \\text{m}$ le long du plan. \nOn attache maintenant un cĂąble parallĂšle au plan inclinĂ©, reliĂ© Ă un treuil, de façon Ă maintenir le bloc immobile (accĂ©lĂ©ration nulle) sans changer l'angle du plan ni le coefficient de frottement. Calculez la tension minimale $T$ dans le cĂąble pour empĂȘcher tout mouvement du bloc vers le bas. \n ",
"svg": "
\n ": "choices\": [ \"A Corrige Type",
"correct": [
"A"
]
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "
Exercice 2 : Particule en mouvement circulaire uniforme sur table horizontale \n
Une petite bille de masse $m = 0.50 \\, \\text{kg}$ est attachée à une ficelle de longueur $R = 0.80 \\, \\text{m}$, l'autre extrémité étant fixée en un point sur une table horizontale lisse. La bille décrit un mouvement circulaire uniforme sur la table, la ficelle restant tendue.
\n
On nĂ©glige tous les frottements (table parfaitement lisse, ficelle de masse nĂ©gligeable). On considĂšre que la vitesse angulaire de la bille est $\\omega = 4.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$.
\n
Questions :
\n
\nCalculez la vitesse linĂ©aire $v$ de la bille et la pĂ©riode de rĂ©volution $T$. \nCalculez la valeur de l'accĂ©lĂ©ration centripĂšte $a_c$ et la tension $T_s$ dans la ficelle. \nLa vitesse angulaire est augmentĂ©e progressivement jusqu'Ă $\\omega = 6.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$ sans modifier $R$. Calculez la nouvelle tension $T's$ dans la ficelle et le rapport $\\dfrac{T's}{T_s}$. \nLa ficelle se rompt si la tension dĂ©passe $F{rupt} = 60 \\, \\text{N}$. Calculez la valeur maximale admissible de la vitesse angulaire $\\omega{max}$ avant rupture de la ficelle. \n ",
"svg": "
Solution dĂ©taillĂ©e de l'exercice 2 Question 1 : Vitesse linĂ©aire et pĂ©riode \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLa relation entre la vitesse angulaire $\\omega$, la vitesse linĂ©aire $v$ et le rayon $R$ est :\r\n$v = \\omega R$\r\nLa pĂ©riode de rĂ©volution est :\r\n$T = \\dfrac{2 \\pi}{\\omega}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$R = 0.80 \\, \\text{m}$, $\\omega = 4.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$ :\r\n$v = 4.0 \\times 0.80$\r\n$T = \\dfrac{2 \\pi}{4.0}$\r\n3. Calcul :\r\n$v = 3.2 \\, \\text{m·s}^{-1}$\r\n$T = \\dfrac{2 \\pi}{4.0} = \\dfrac{\\pi}{2} = 1.571 \\, \\text{s}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{v = 3.2 \\, \\text{m·s}^{-1}, \\quad T \\approx 1.57 \\, \\text{s}}$
Question 2 : AccĂ©lĂ©ration centripĂšte et tension dans la ficelle \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nL'accĂ©lĂ©ration centripĂšte pour un mouvement circulaire uniforme est :\r\n$a_c = \\dfrac{v^{2}}{R} = \\omega^{2} R$\r\nLa seule force radiale est la tension $T_s$ (vers le centre) :\r\n$T_s = m a_c = m \\omega^{2} R$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$m = 0.50 \\, \\text{kg}$, $R = 0.80 \\, \\text{m}$, $\\omega = 4.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$ :\r\n$a_c = \\omega^{2} R = (4.0)^{2} \\times 0.80$\r\n$T_s = 0.50 \\times (4.0)^{2} \\times 0.80$\r\n3. Calcul :\r\n$a_c = 16 \\times 0.80 = 12.8 \\, \\text{m·s}^{-2}$\r\n$T_s = 0.50 \\times 16 \\times 0.80 = 0.50 \\times 12.8 = 6.40 \\, \\text{N}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{a_c = 12.8 \\, \\text{m·s}^{-2}, \\quad T_s = 6.40 \\, \\text{N}}$
Question 3 : Nouvelle tension pour Ï = 6 rad·s⁻¹ \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLa tension dĂ©pend de $\\omega$ selon :\r\n$T_s = m \\omega^{2} R$\r\nSi l'on remplace $\\omega$ par $\\omega'$, la nouvelle tension est :\r\n$T's = m (\\omega')^{2} R$\r\nLe rapport est :\r\n$\\dfrac{T's}{T_s} = \\dfrac{(\\omega')^{2}}{\\omega^{2}}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$\\omega' = 6.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$, $\\omega = 4.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$ :\r\n$T's = 0.50 \\times (6.0)^{2} \\times 0.80$\r\n$\\dfrac{T's}{T_s} = \\dfrac{(6.0)^{2}}{(4.0)^{2}}$\r\n3. Calcul :\r\n$T's = 0.50 \\times 36 \\times 0.80 = 0.50 \\times 28.8 = 14.4 \\, \\text{N}$\r\n$\\dfrac{T's}{T_s} = \\dfrac{36}{16} = 2.25$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{T's = 14.4 \\, \\text{N}, \\quad \\dfrac{T's}{T_s} = 2.25}$\r\nLa tension est multipliĂ©e par un facteur $2.25$ lorsque $\\omega$ passe de $4.0$ Ă $6.0 \\, \\text{rad·s}^{-1}$.
Question 4 : Vitesse angulaire maximale avant rupture \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLa condition de non-rupture est :\r\n$T_s \\leq F{rupt}$\r\nOr $T_s = m \\omega^{2} R$, donc :\r\n$m \\omega{max}^{2} R = F{rupt}$\r\nd'oĂč :\r\n$\\omega{max} = \\sqrt{\\dfrac{F{rupt}}{m R}}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$F{rupt} = 60 \\, \\text{N}$, $m = 0.50 \\, \\text{kg}$, $R = 0.80 \\, \\text{m}$ :\r\n$\\omega{max} = \\sqrt{\\dfrac{60}{0.50 \\times 0.80}}$\r\n3. Calcul :\r\n$0.50 \\times 0.80 = 0.40$\r\n$\\dfrac{60}{0.40} = 150$\r\n$\\omega{max} = \\sqrt{150} = 12.247 \\, \\text{rad·s}^{-1}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{\\omega_{max} \\approx 12.2 \\, \\text{rad·s}^{-1}}$\r\nAu-delĂ de cette vitesse angulaire, la tension dans la ficelle dĂ©passerait $60 \\, \\text{N}$ et la rupture se produirait.
",
"id_category": "2",
"id_number": "29"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Exercice 3 : Trajectoire parabolique d’un projectile \nUne bille est lancĂ©e depuis le sol avec une vitesse initiale de norme $v_0 = 20.0 \\, \\text{m·s}^{-1}$ selon un angle $\\theta = 40^{\\circ}$ au-dessus de l'horizontale. On nĂ©glige la rĂ©sistance de l'air et on prend $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$. On place l'origine du repĂšre au point de lancement.
\nQuestions :
\n\nCalculez les composantes horizontale $v_{0x}$ et verticale $v_{0y}$ de la vitesse initiale. \nCalculez le temps de vol total $t_f$ jusqu’au retour au sol ($y = 0$) et la hauteur maximale $h_{max}$ atteinte par la bille. \nCalculez la portĂ©e horizontale $R$ (distance horizontale parcourue jusqu’au retour au sol). \nCalculez la norme de la vitesse $v_{imp}$ de la bille juste avant l’impact au sol et l’angle $\\varphi$ que fait la vitesse avec l’horizontale Ă cet instant. \n ",
"svg": "Solution dĂ©taillĂ©e de l'exercice 3 Question 1 : Composantes de la vitesse initiale \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLes composantes de la vitesse initiale sont :\r\n$v_{0x} = v_0 \\cos(\\theta)$\r\n$v_{0y} = v_0 \\sin(\\theta)$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$v_0 = 20.0 \\, \\text{m·s}^{-1}$, $\\theta = 40^{\\circ}$ :\r\n$v_{0x} = 20.0 \\cos(40^{\\circ})$\r\n$v_{0y} = 20.0 \\sin(40^{\\circ})$\r\n3. Calcul :\r\n$\\cos(40^{\\circ}) = 0.7660$, $\\sin(40^{\\circ}) = 0.6428$\r\n$v_{0x} = 20.0 \\times 0.7660 = 15.32 \\, \\text{m·s}^{-1}$\r\n$v_{0y} = 20.0 \\times 0.6428 = 12.86 \\, \\text{m·s}^{-1}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{v_{0x} \\approx 15.3 \\, \\text{m·s}^{-1}, \\quad v_{0y} \\approx 12.9 \\, \\text{m·s}^{-1}}$
Question 2 : Temps de vol et hauteur maximale \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nL'Ă©volution verticale est donnĂ©e par :\r\n$y(t) = v_{0y} t - \tfrac{1}{2} g t^{2}$\r\nLe temps de vol total $t_f$ (retour Ă $y = 0$, en dehors de $t = 0$) satisfait :\r\n$0 = v_{0y} t_f - \tfrac{1}{2} g t_f^{2}$\r\n$t_f (v_{0y} - \tfrac{1}{2} g t_f) = 0$\r\ndonc :\r\n$t_f = \\dfrac{2 v_{0y}}{g}$\r\nLa hauteur maximale est atteinte quand la vitesse verticale est nulle :\r\n$v_y(t_{max}) = v_{0y} - g t_{max} = 0 \\Rightarrow t_{max} = \\dfrac{v_{0y}}{g}$\r\net :\r\n$h_{max} = v_{0y} t_{max} - \tfrac{1}{2} g t_{max}^{2} = \\dfrac{v_{0y}^{2}}{2 g}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$v_{0y} = 12.86 \\, \\text{m·s}^{-1}$, $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$ :\r\n$t_f = \\dfrac{2 \\times 12.86}{9.81}$\r\n$h_{max} = \\dfrac{(12.86)^{2}}{2 \\times 9.81}$\r\n3. Calcul :\r\n$t_f = \\dfrac{25.72}{9.81} = 2.622 \\, \\text{s}$\r\n$(12.86)^{2} = 165.4$\r\n$h_{max} = \\dfrac{165.4}{19.62} = 8.43 \\, \\text{m}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{t_f \\approx 2.62 \\, \\text{s}, \\quad h_{max} \\approx 8.43 \\, \\text{m}}$
Question 3 : PortĂ©e horizontale \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLe mouvement horizontal est uniforme :\r\n$x(t) = v_{0x} t$\r\nLa portĂ©e horizontale est :\r\n$R = v_{0x} t_f$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$v_{0x} = 15.32 \\, \\text{m·s}^{-1}$, $t_f = 2.622 \\, \\text{s}$ :\r\n$R = 15.32 \\times 2.622$\r\n3. Calcul :\r\n$R = 40.17 \\, \\text{m}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{R \\approx 40.2 \\, \\text{m}}$
Question 4 : Vitesse et angle Ă l’impact \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLa composante horizontale de la vitesse reste constante :\r\n$v_x(t) = v_{0x}$\r\nLa composante verticale au temps $t$ est :\r\n$v_y(t) = v_{0y} - g t$\r\nĂ l’impact ($t = t_f$) :\r\n$v_{x,imp} = v_{0x}$\r\n$v_{y,imp} = v_{0y} - g t_f$\r\nLa norme de la vitesse :\r\n$v_{imp} = \\sqrt{v_{x,imp}^{2} + v_{y,imp}^{2}}$\r\nL’angle par rapport Ă l’horizontale :\r\n$\\tan(\\varphi) = \\dfrac{v_{y,imp}}{v_{x,imp}}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$v_{0x} = 15.32 \\, \\text{m·s}^{-1}$, $v_{0y} = 12.86 \\, \\text{m·s}^{-1}$, $t_f = 2.622 \\, \\text{s}$ :\r\n$v_{x,imp} = 15.32$\r\n$v_{y,imp} = 12.86 - 9.81 \\times 2.622$\r\n3. Calcul :\r\n$v_{y,imp} = 12.86 - 25.72 = -12.86 \\, \\text{m·s}^{-1}$\r\n$v_{imp} = \\sqrt{(15.32)^{2} + (-12.86)^{2}} = \\sqrt{234.7 + 165.4} = \\sqrt{400.1} = 20.00 \\, \\text{m·s}^{-1}$\r\n$\\tan(\\varphi) = \\dfrac{-12.86}{15.32} = -0.84$\r\n$\\varphi = -40^{\\circ}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{v_{imp} \\approx 20.0 \\, \\text{m·s}^{-1}, \\quad \\varphi \\approx -40^{\\circ}}$\r\nLa norme de la vitesse Ă l’impact est Ă©gale Ă la vitesse initiale et l’angle est symĂ©trique par rapport Ă l’horizontale (mĂȘme valeur absolue, signe opposĂ©).
",
"id_category": "2",
"id_number": "30"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Exercice 4 : Chariot tirĂ© par une force oblique avec frottement \nUn chariot de masse $m = 25 \\, \\text{kg}$ repose sur un sol horizontal rugueux. Le coefficient de frottement cinĂ©tique entre le chariot et le sol est $\\mu_k = 0.30$. On applique au chariot une force $\\vec{F}$ de norme $F = 200 \\, \\text{N}$, faisant un angle $\\alpha = 25^{\\circ}$ au-dessus de l'horizontale, dans le sens du mouvement. On prend $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$.
\nQuestions :
\n\nCalculez la rĂ©action normale $N$ exercĂ©e par le sol sur le chariot. \nCalculez la force de frottement cinĂ©tique $f$ ainsi que la rĂ©sultante des forces horizontales, puis l'accĂ©lĂ©ration $a$ du chariot. \nLe chariot part du repos et parcourt une distance $d = 6.0 \\, \\text{m}$ sous l’action de cette force constante. Calculez la vitesse finale $v_f$ du chariot au bout de cette distance. \nOn souhaite maintenant que le chariot se dĂ©place Ă vitesse constante sous l’effet de la mĂȘme force oblique. Calculez la valeur du coefficient de frottement cinĂ©tique $\\mu_k'$ nĂ©cessaire pour que l’accĂ©lĂ©ration soit nulle. \n ",
"svg": "Solution dĂ©taillĂ©e de l'exercice 4 Question 1 : RĂ©action normale \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nOn projette les forces selon la verticale. Les forces verticales sont : le poids $P = m g$ vers le bas, la composante verticale de la force $F \\sin(\\alpha)$ vers le haut, et la rĂ©action normale $N$ vers le haut. L’Ă©quilibre vertical (pas de mouvement vertical) impose :\r\n$N + F \\sin(\\alpha) - m g = 0$\r\nd’oĂč :\r\n$N = m g - F \\sin(\\alpha)$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$m = 25 \\, \\text{kg}$, $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$, $F = 200 \\, \\text{N}$, $\\alpha = 25^{\\circ}$ :\r\n$N = 25 \\times 9.81 - 200 \\sin(25^{\\circ})$\r\n3. Calcul :\r\n$25 \\times 9.81 = 245.25 \\, \\text{N}$\r\n$\\sin(25^{\\circ}) = 0.4226$\r\n$200 \\sin(25^{\\circ}) = 200 \\times 0.4226 = 84.52 \\, \\text{N}$\r\n$N = 245.25 - 84.52 = 160.73 \\, \\text{N}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{N \\approx 160.7 \\, \\text{N}}$
Question 2 : Frottement et accĂ©lĂ©ration \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nLa force de frottement cinĂ©tique est :\r\n$f = \\mu_k N$\r\nLa composante horizontale de la force appliquĂ©e est :\r\n$F_x = F \\cos(\\alpha)$\r\nLa somme des forces horizontales vaut :\r\n$\\sum F_x = F_x - f = m a$\r\nd’oĂč :\r\n$a = \\dfrac{F \\cos(\\alpha) - f}{m}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$\\mu_k = 0.30$, $N = 160.73 \\, \\text{N}$, $F = 200 \\, \\text{N}$, $\\alpha = 25^{\\circ}$ :\r\n$f = 0.30 \\times 160.73$\r\n$F_x = 200 \\cos(25^{\\circ})$\r\n$a = \\dfrac{F_x - f}{25}$\r\n3. Calcul :\r\n$f = 48.22 \\, \\text{N}$\r\n$\\cos(25^{\\circ}) = 0.9063$\r\n$F_x = 200 \\times 0.9063 = 181.26 \\, \\text{N}$\r\n$F_x - f = 181.26 - 48.22 = 133.04 \\, \\text{N}$\r\n$a = \\dfrac{133.04}{25} = 5.3216 \\, \\text{m·s}^{-2}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{f \\approx 48.2 \\, \\text{N}, \\quad a \\approx 5.32 \\, \\text{m·s}^{-2}}$
Question 3 : Vitesse aprĂšs 6 m \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nPour un mouvement rectiligne uniformĂ©ment accĂ©lĂ©rĂ© Ă partir du repos :\r\n$v_f^{2} = v_0^{2} + 2 a d$\r\navec $v_0 = 0$, donc :\r\n$v_f = \\sqrt{2 a d}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$a = 5.3216 \\, \\text{m·s}^{-2}$, $d = 6.0 \\, \\text{m}$ :\r\n$v_f = \\sqrt{2 \\times 5.3216 \\times 6.0}$\r\n3. Calcul :\r\n$2 \\times 5.3216 \\times 6.0 = 63.859$\r\n$v_f = \\sqrt{63.859} = 7.99 \\, \\text{m·s}^{-1}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{v_f \\approx 8.0 \\, \\text{m·s}^{-1}}$
Question 4 : Nouveau coefficient de frottement pour vitesse constante \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nPour un mouvement Ă vitesse constante, l’accĂ©lĂ©ration est nulle :\r\n$a = 0$\r\nLa somme des forces horizontales doit donc ĂȘtre nulle :\r\n$F_x - f' = 0$\r\navec $f' = \\mu_k' N'$. Vertiquement, on a toujours :\r\n$N' = m g - F \\sin(\\alpha)$\r\n(identique Ă $N$ car $F$ et $\\alpha$ ne changent pas). Donc :\r\n$f' = \\mu_k' N$\r\net la condition devient :\r\n$F \\cos(\\alpha) - \\mu_k' N = 0$\r\nd’oĂč :\r\n$\\mu_k' = \\dfrac{F \\cos(\\alpha)}{N}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$F = 200 \\, \\text{N}$, $\\alpha = 25^{\\circ}$, $N = 160.73 \\, \\text{N}$ :\r\n$\\mu_k' = \\dfrac{200 \\cos(25^{\\circ})}{160.73}$\r\n3. Calcul :\r\n$\\cos(25^{\\circ}) = 0.9063$\r\n$200 \\cos(25^{\\circ}) = 181.26 \\, \\text{N}$\r\n$\\mu_k' = \\dfrac{181.26}{160.73} = 1.127$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{\\mu_k' \\approx 1.13}$\r\nIl faudrait un coefficient de frottement cinĂ©tique trĂšs Ă©levĂ© (environ $1.13$) pour que la force oblique de $200 \\, \\text{N}$ produise un mouvement Ă vitesse constante.
",
"id_category": "2",
"id_number": "31"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Exercice 5 : Ascenseur et dynamique du point matĂ©riel \nUne personne de masse $m = 75 \\, \\text{kg}$ se tient debout dans un ascenseur. On s'intĂ©resse Ă la force normale $N$ exercĂ©e par le plancher de l'ascenseur sur la personne en diffĂ©rentes phases de mouvement vertical. On prendra $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$.
\nL’ascenseur dĂ©marre du repos, monte avec une accĂ©lĂ©ration constante, puis se dĂ©place Ă vitesse constante, puis freine avec une accĂ©lĂ©ration constante (dirigĂ©e vers le bas) jusqu’Ă l’arrĂȘt.
\nQuestions :
\n\nAu dĂ©marrage, l’ascenseur monte avec une accĂ©lĂ©ration $a_1 = 1.50 \\, \\text{m·s}^{-2}$ vers le haut. Calculez la force normale $N_1$ exercĂ©e sur la personne. \nPendant la phase de vitesse constante, l’ascenseur monte sans accĂ©lĂ©ration ($a_2 = 0$). Calculez la force normale $N_2$ et comparez-la au poids. \nAu freinage, juste avant l’arrĂȘt, l’ascenseur a une accĂ©lĂ©ration de module $a_3 = 2.00 \\, \\text{m·s}^{-2}$ dirigĂ©e vers le bas. Calculez la force normale $N_3$ exercĂ©e sur la personne. \nCalculez, pour chacune des phases (1, 2, 3), la valeur de l’« poids apparent » de la personne en $\\text{kg}$ telle qu’indiquĂ©e par un pĂšse-personne (balance) dans l’ascenseur, en assimilant cette indication Ă $m_{apparent} = \\dfrac{N}{g}$. \n ",
"svg": "Solution dĂ©taillĂ©e de l'exercice 5 Question 1 : Force normale au dĂ©marrage (accĂ©lĂ©ration vers le haut) \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nOn projette les forces selon l’axe vertical (positif vers le haut). Les forces sont : la normale $N_1$ vers le haut et le poids $P = m g$ vers le bas. La deuxiĂšme loi de Newton donne :\r\n$\\sum F_y = m a_1$\r\n$N_1 - m g = m a_1$\r\nd’oĂč :\r\n$N_1 = m g + m a_1 = m (g + a_1)$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$m = 75 \\, \\text{kg}$, $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$, $a_1 = 1.50 \\, \\text{m·s}^{-2}$ :\r\n$N_1 = 75 (9.81 + 1.50)$\r\n3. Calcul :\r\n$9.81 + 1.50 = 11.31$\r\n$N_1 = 75 \\times 11.31 = 848.25 \\, \\text{N}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{N_1 \\approx 848 \\, \\text{N}}$\r\nLa personne subit une force normale supĂ©rieure Ă son poids, ce qui donne une sensation de « surpoids ».
Question 2 : Force normale Ă vitesse constante (a = 0) \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nĂ vitesse constante, l’accĂ©lĂ©ration est nulle : $a_2 = 0$. La deuxiĂšme loi donne :\r\n$N_2 - m g = m a_2 = 0$\r\nd’oĂč :\r\n$N_2 = m g$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$N_2 = 75 \\times 9.81$\r\n3. Calcul :\r\n$N_2 = 735.75 \\, \\text{N}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{N_2 \\approx 736 \\, \\text{N}}$\r\nLa force normale est Ă©gale au poids, la personne ressent son « poids normal ».
Question 3 : Force normale au freinage (accĂ©lĂ©ration vers le bas) \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nAu freinage, l’accĂ©lĂ©ration a un module $a_3$ dirigĂ© vers le bas. En prenant l’axe vertical positif vers le haut, on a : $a_3 = -2.00 \\, \\text{m·s}^{-2}$. La deuxiĂšme loi de Newton donne :\r\n$N_3 - m g = m a_3$\r\nd’oĂč :\r\n$N_3 = m g + m a_3 = m (g + a_3)$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$m = 75 \\, \\text{kg}$, $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$, $a_3 = -2.00 \\, \\text{m·s}^{-2}$ :\r\n$N_3 = 75 (9.81 - 2.00)$\r\n3. Calcul :\r\n$9.81 - 2.00 = 7.81$\r\n$N_3 = 75 \\times 7.81 = 585.75 \\, \\text{N}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{N_3 \\approx 586 \\, \\text{N}}$\r\nLa force normale est infĂ©rieure au poids, la personne ressent une sensation de « lĂ©gĂšretĂ© ».
Question 4 : Poids apparent indiquĂ© par un pĂšse-personne \r\n1. Formule gĂ©nĂ©rale :\r\nOn assimile l’indication de masse apparente Ă :\r\n$m_{apparent} = \\dfrac{N}{g}$\r\nOn applique cette formule Ă chacune des phases :\r\n$m_{apparent,1} = \\dfrac{N_1}{g}$, $m_{apparent,2} = \\dfrac{N_2}{g}$, $m_{apparent,3} = \\dfrac{N_3}{g}$\r\n2. Remplacement des donnĂ©es :\r\n$N_1 = 848.25 \\, \\text{N}$, $N_2 = 735.75 \\, \\text{N}$, $N_3 = 585.75 \\, \\text{N}$, $g = 9.81 \\, \\text{m·s}^{-2}$ :\r\n$m_{apparent,1} = \\dfrac{848.25}{9.81}$\r\n$m_{apparent,2} = \\dfrac{735.75}{9.81}$\r\n$m_{apparent,3} = \\dfrac{585.75}{9.81}$\r\n3. Calcul :\r\n$m_{apparent,1} = 86.5 \\, \\text{kg}$\r\n$m_{apparent,2} = 75.0 \\, \\text{kg}$\r\n$m_{apparent,3} = 59.7 \\, \\text{kg}$\r\n4. RĂ©sultat final :\r\n$\boxed{m_{apparent,1} \\approx 86.5 \\, \\text{kg}, \\quad m_{apparent,2} = 75.0 \\, \\text{kg}, \\quad m_{apparent,3} \\approx 59.7 \\, \\text{kg}}$\r\nOn observe que la masse apparente est supĂ©rieure Ă la masse rĂ©elle en phase d’accĂ©lĂ©ration ascendante, Ă©gale en mouvement uniforme, et infĂ©rieure en phase de freinage (accĂ©lĂ©ration dirigĂ©e vers le bas).
",
"id_category": "2",
"id_number": "32"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Un bloc de masse $m = 5 \\ \\text{kg}$ est lancé avec une vitesse initiale $v_0 = 12 \\ \\text{m/s}$ vers le haut d'un plan incliné faisant un angle $\\alpha = 30^\\circ$ avec l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est $\\mu_c = 0.2$. On prendra $g = 9.81 \\ \\text{m/s}^2$.
Question 1 : En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), calculez la décélération (accélération négative) $a$ subie par le bloc lors de sa montée.
Question 2 : DĂ©terminez la distance maximale $d_{max}$ parcourue par le bloc le long du plan avant de s'arrĂȘter momentanĂ©ment.
Question 3 : Calculez le travail $W_f$ effectuĂ© par la force de frottement durant la montĂ©e jusqu'Ă l'arrĂȘt.
Question 4 : Déterminez la vitesse $v_{retour}$ du bloc lorsqu'il redescend et repasse par son point de départ.
",
"svg": "v₀ α = 30° P = mg N f ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la décélération
Appliquons le PFD projeté sur l'axe du mouvement (montant). Les forces sont le poids $P$, la réaction normale $N$ et le frottement $f$.
Formule générale :
$ma = -mg \\sin(\\alpha) - \\mu_c mg \\cos(\\alpha)$
Simplification par la masse :
$a = -g(\\sin(\\alpha) + \\mu_c \\cos(\\alpha))$
Remplacement des données :
$a = -9.81(\\sin(30^\\circ) + 0.2 \\cos(30^\\circ)) = -9.81(0.5 + 0.2 \\times 0.866)$
Calcul :
$a = -9.81(0.5 + 0.1732) = -9.81(0.6732)$
Résultat final :
$a = -6.60 \\ \\text{m/s}^2$
Question 2 : Distance maximale parcourue
Utilisons la relation cinématique indépendante du temps $v_f^2 - v_i^2 = 2ad$, avec $v_f = 0$.
Formule générale :
$d_{max} = \\frac{-v_0^2}{2a}$
Remplacement des données :
$d_{max} = \\frac{-(12)^2}{2 \\times (-6.60)}$
Calcul :
$d_{max} = \\frac{-144}{-13.20}$
Résultat final :
$d_{max} = 10.91 \\ \\text{m}$
Question 3 : Travail de la force de frottement
Le travail est $W_f = -f \\cdot d_{max}$ avec $f = \\mu_c N = \\mu_c mg \\cos(\\alpha)$.
Formule générale :
$W_f = -\\mu_c m g \\cos(\\alpha) d_{max}$
Remplacement des données :
$W_f = -0.2 \\times 5 \\times 9.81 \\times 0.866 \\times 10.91$
Calcul :
$W_f = -1.0 \\times 9.81 \\times 0.866 \\times 10.91 = -92.69$
Résultat final :
$W_f = -92.7 \\ \\text{J}$
Question 4 : Vitesse de retour
Utilisons le théorÚme de l'énergie cinétique entre le départ et le retour : $\\Delta E_c = W_{tot} = W_{frottement}^{total}$. Le travail du poids est nul sur un aller-retour. La distance totale est $2d_{max}$.
Formule générale :
$\\frac{1}{2}mv_{retour}^2 - \\frac{1}{2}mv_0^2 = 2 \\times W_f \\quad (\\text{car frottement Ă la descente aussi})$
Cependant, attention, $W_f$ calculé en Q3 est pour la montée. Le travail total de frottement est $2 \\times W_f$.
$v_{retour} = \\sqrt{v_0^2 + \\frac{4 W_f}{m}}$ (avec $W_f$ négatif)
Remplacement des données :
$v_{retour} = \\sqrt{12^2 + \\frac{4 \\times (-92.7)}{5}} = \\sqrt{144 - 74.16}$
Calcul :
$v_{retour} = \\sqrt{69.84}$
Résultat final :
$v_{retour} = 8.36 \\ \\text{m/s}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "33"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Une particule de masse $m = 2 \\ \\text{kg}$ est attachée à l'extrémité d'un fil inextensible de longueur $L = 1.5 \\ \\text{m}$ et décrit un mouvement circulaire vertical. Au point le plus bas de sa trajectoire (point A), la particule a une vitesse $v_A = 8 \\ \\text{m/s}$. On néglige les frottements de l'air. $g = 9.81 \\ \\text{m/s}^2$.
Question 1 : Calculez la tension du fil $T_A$ au passage par le point le plus bas (point A).
Question 2 : En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, déterminez la vitesse de la particule $v_B$ au point le plus haut de la trajectoire (point B).
Question 3 : Calculez la tension du fil $T_B$ au point le plus haut (point B).
Question 4 : Calculez l'accélération totale (vectorielle) $a_{tot}$ de la particule lorsqu'elle se trouve à mi-hauteur (fil horizontal), sachant que sa vitesse est alors $v_H$.
",
"svg": "A (bas) B (haut) Centre v_A L ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Tension au point bas (A)
Au point le plus bas, l'accélération est centripÚte et dirigée vers le haut. Le PFD projeté sur l'axe vertical donne : $T_A - mg = m \\frac{v_A^2}{L}$.
Formule générale :
$T_A = m(g + \\frac{v_A^2}{L})$
Remplacement des données :
$T_A = 2(9.81 + \\frac{8^2}{1.5})$
Calcul :
$T_A = 2(9.81 + \\frac{64}{1.5}) = 2(9.81 + 42.67) = 2(52.48)$
Résultat final :
$T_A = 104.96 \\ \\text{N}$
Question 2 : Vitesse au point haut (B)
Conservation de l'énergie mécanique entre A (altitude 0) et B (altitude 2L) : $\\frac{1}{2}mv_A^2 = \\frac{1}{2}mv_B^2 + mg(2L)$.
Formule générale :
$v_B = \\sqrt{v_A^2 - 4gL}$
Remplacement des données :
$v_B = \\sqrt{8^2 - 4 \\times 9.81 \\times 1.5}$
Calcul :
$v_B = \\sqrt{64 - 58.86} = \\sqrt{5.14}$
Résultat final :
$v_B = 2.27 \\ \\text{m/s}$
Question 3 : Tension au point haut (B)
Au point haut, l'accélération centripÚte est vers le bas. PFD : $T_B + mg = m \\frac{v_B^2}{L}$.
Formule générale :
$T_B = m(\\frac{v_B^2}{L} - g)$
Remplacement des données :
$T_B = 2(\\frac{5.14}{1.5} - 9.81)$
Calcul :
$T_B = 2(3.43 - 9.81) = 2(-6.38)$
Interprétation : Le résultat négatif signifie que le fil ne peut pas maintenir la tension ; la particule aurait quitté sa trajectoire circulaire avant le sommet (\"décroché\"). Mais mathématiquement pour l'exercice :
Résultat final :
$T_B = -12.76 \\ \\text{N} \\quad (\\text{Le fil détendu})$
Question 4 : Accélération totale à mi-hauteur
Altitude $L$. Ănergie : $\\frac{1}{2}mv_A^2 = \\frac{1}{2}mv_H^2 + mgL \\Rightarrow v_H^2 = v_A^2 - 2gL$. AccĂ©lĂ©ration normale $a_n = v_H^2/L$. AccĂ©lĂ©ration tangentielle $a_t = g$ (seule la gravitĂ© agit tangentiellement ici).
Calcul vitesse carré :
$v_H^2 = 64 - 2(9.81)(1.5) = 64 - 29.43 = 34.57 \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2$
Calcul composantes :
$a_n = \\frac{34.57}{1.5} = 23.05 \\ \\text{m/s}^2, \\quad a_t = 9.81 \\ \\text{m/s}^2$
Formule générale :
$a_{tot} = \\sqrt{a_n^2 + a_t^2}$
Remplacement :
$a_{tot} = \\sqrt{23.05^2 + 9.81^2}$
Calcul :
$a_{tot} = \\sqrt{531.3 + 96.2} = \\sqrt{627.5}$
Résultat final :
$a_{tot} = 25.05 \\ \\text{m/s}^2$
",
"id_category": "2",
"id_number": "34"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Un pendule balistique est utilisé pour mesurer la vitesse d'une balle. Une balle de masse $m = 0.02 \\ \\text{kg}$ frappe un bloc de bois de masse $M = 1.50 \\ \\text{kg}$ suspendu par une corde de longueur $l = 2.0 \\ \\text{m}$. La balle reste incrustée dans le bloc aprÚs l'impact. L'ensemble (bloc + balle) s'élÚve jusqu'à ce que la corde fasse un angle maximal $\\theta = 40^\\circ$ avec la verticale.
Question 1 : Calculez la hauteur maximale $h$ atteinte par le centre de gravité du systÚme bloc-balle aprÚs le choc.
Question 2 : En utilisant la conservation de l'énergie mécanique aprÚs le choc, déterminez la vitesse commune $V_{sys}$ du systÚme juste aprÚs l'impact.
Question 3 : En appliquant la conservation de la quantité de mouvement lors du choc, calculez la vitesse initiale $v_{balle}$ de la balle avant l'impact.
Question 4 : Calculez la perte d'énergie cinétique $\\Delta E_c$ lors de ce choc inélastique.
",
"svg": "v_balle Ξ h ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la hauteur maximale
Par géométrie simple du pendule, la hauteur d'élévation est liée à l'angle et la longueur.
Formule générale :
$h = l(1 - \\cos(\\theta))$
Remplacement des données :
$h = 2.0(1 - \\cos(40^\\circ))$
Calcul :
$h = 2.0(1 - 0.766) = 2.0(0.234)$
Résultat final :
$h = 0.468 \\ \\text{m}$
Question 2 : Vitesse du systĂšme aprĂšs impact
Conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique pour la phase de montĂ©e (Ănergie cinĂ©tique $\\to$ Ănergie potentielle). Masse totale $M_{tot} = m + M$.
Formule générale :
$\\frac{1}{2}M_{tot}V_{sys}^2 = M_{tot}gh \\implies V_{sys} = \\sqrt{2gh}$
Remplacement des données :
$V_{sys} = \\sqrt{2 \\times 9.81 \\times 0.468}$
Calcul :
$V_{sys} = \\sqrt{9.182}$
Résultat final :
$V_{sys} = 3.03 \\ \\text{m/s}$
Question 3 : Vitesse initiale de la balle
Conservation de la quantité de mouvement lors du choc inélastique : $p_{avant} = p_{apres}$.
Formule générale :
$m v_{balle} = (m + M) V_{sys} \\implies v_{balle} = \\frac{m+M}{m} V_{sys}$
Remplacement des données :
$v_{balle} = \\frac{0.02 + 1.50}{0.02} \\times 3.03$
Calcul :
$v_{balle} = \\frac{1.52}{0.02} \\times 3.03 = 76 \\times 3.03$
Résultat final :
$v_{balle} = 230.28 \\ \\text{m/s}$
Question 4 : Perte d'énergie cinétique
C'est la différence entre l'énergie cinétique de la balle seule et celle du systÚme aprÚs choc.
Formule générale :
$\\Delta E_c = E_{c,initiale} - E_{c,finale} = \\frac{1}{2}mv_{balle}^2 - \\frac{1}{2}(m+M)V_{sys}^2$
Remplacement des données :
$\\Delta E_c = \\frac{1}{2}(0.02)(230.28)^2 - \\frac{1}{2}(1.52)(3.03)^2$
Calcul :
$\\Delta E_c = 0.01(53028.8) - 0.76(9.18) = 530.29 - 6.98$
Résultat final :
$\\Delta E_c = 523.31 \\ \\text{J}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "35"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Un satellite de masse $m = 500 \\ \\text{kg}$ est en orbite circulaire autour de la Terre Ă une altitude $h = 800 \\ \\text{km}$. Le rayon de la Terre est $R_T = 6371 \\ \\text{km}$ et sa masse $M_T = 5.97 \\times 10^{24} \\ \\text{kg}$. La constante gravitationnelle est $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2$.
Question 1 : Calculez le rayon orbital $r$ du satellite (distance au centre de la Terre) et déduisez-en la force d'attraction gravitationnelle $F_g$ exercée par la Terre sur le satellite.
Question 2 : Déterminez la vitesse orbitale $v$ du satellite en appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique.
Question 3 : Calculez la période de révolution $T$ du satellite (en secondes puis convertie en minutes).
Question 4 : Calculez l'énergie mécanique totale $E_{meca}$ du satellite sur cette orbite.
",
"svg": "Terre Satellite (m) R_T h v ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Rayon orbital et Force gravitationnelle
Le rayon orbital est la somme du rayon terrestre et de l'altitude.
Formule générale :
$r = R_T + h$
Remplacement :
$r = (6371 + 800) \\times 10^3 \\ \\text{m}$
Calcul :
$r = 7171 \\times 10^3 \\ \\text{m} = 7.171 \\times 10^6 \\ \\text{m}$
Force gravitationnelle : $F_g = G \\frac{M_T m}{r^2}$
Remplacement :
$F_g = 6.67 \\times 10^{-11} \\times \\frac{5.97 \\times 10^{24} \\times 500}{(7.171 \\times 10^6)^2}$
Calcul :
$F_g = \\frac{19909.95 \\times 10^{13}}{51.42 \\times 10^{12}} = 387.2 \\times 10 = 3872$
Résultat final :
$F_g = 3872 \\ \\text{N}$
Question 2 : Vitesse orbitale
Le PFD projette sur la normale (centripĂšte) : $F_g = m \\frac{v^2}{r} \\implies G \\frac{M_T m}{r^2} = m \\frac{v^2}{r}$.
Formule générale :
$v = \\sqrt{\\frac{G M_T}{r}}$
Remplacement :
$v = \\sqrt{\\frac{6.67 \\times 10^{-11} \\times 5.97 \\times 10^{24}}{7.171 \\times 10^6}}$
Calcul :
$v = \\sqrt{\\frac{39.82 \\times 10^{13}}{7.171 \\times 10^6}} = \\sqrt{5.553 \\times 10^7} = 7451.8$
Résultat final :
$v = 7452 \\ \\text{m/s}$
Question 3 : Période de révolution
La période est le temps pour parcourir le périmÚtre de l'orbite.
Formule générale :
$T = \\frac{2\\pi r}{v}$
Remplacement :
$T = \\frac{2\\pi \\times 7.171 \\times 10^6}{7452}$
Calcul :
$T = \\frac{45.056 \\times 10^6}{7452} = 6046$
Conversion :
$T_{min} = \\frac{6046}{60}$
Résultat final :
$T = 6046 \\ \\text{s} \\approx 100.8 \\ \\text{min}$
Question 4 : Ănergie mĂ©canique totale
Somme de l'énergie cinétique et potentielle. Pour une orbite circulaire, $E_m = -\\frac{G M_T m}{2r}$$.
Formule générale :
$E_{meca} = -\\frac{G M_T m}{2r}$$
Remplacement :
$E_{meca} = -\\frac{6.67 \\times 10^{-11} \\times 5.97 \\times 10^{24} \\times 500}{2 \\times 7.171 \\times 10^6}$
Calcul :
$E_{meca} = -\\frac{1.991 \\times 10^{17}}{1.434 \\times 10^7} = -1.388 \\times 10^{10}$
Résultat final :
$E_{meca} = -1.39 \\times 10^{10} \\ \\text{J}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "36"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Un ressort horizontal de raideur $k = 400 \\ \\text{N/m}$ est comprimé de $\\Delta x = 0.20 \\ \\text{m}$ par un bloc de masse $m = 2.5 \\ \\text{kg}$ posé sur une surface horizontale sans frottement. Au temps $t=0$, le bloc est libéré sans vitesse initiale.
Question 1 : Calculez l'énergie potentielle élastique initiale $E_{pe}$ stockée dans le ressort.
Question 2 : Déterminez la vitesse maximale $v_{max}$ atteinte par le bloc (lorsqu'il passe par la position d'équilibre).
Question 3 : Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ du mouvement et la période $T$ des oscillations.
Question 4 : Déterminez l'énergie cinétique $E_c$ du bloc lorsque sa position est à $x = 0.10 \\ \\text{m}$ (à mi-chemin de l'amplitude maximale).
",
"svg": "m x Îx ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Ănergie potentielle Ă©lastique initiale
L'énergie stockée dépend de la compression initiale.
Formule générale :
$E_{pe} = \\frac{1}{2} k (\\Delta x)^2$
Remplacement des données :
$E_{pe} = \\frac{1}{2} \\times 400 \\times (0.20)^2$
Calcul :
$E_{pe} = 200 \\times 0.04$
Résultat final :
$E_{pe} = 8.0 \\ \\text{J}$
Question 2 : Vitesse maximale
Conservation de l'énergie mécanique : $E_{meca} = E_{pe,max} = E_{c,max}$. La vitesse est max quand l'énergie potentielle est nulle (position d'équilibre).
Formule générale :
$\\frac{1}{2} m v_{max}^2 = E_{pe} \\implies v_{max} = \\sqrt{\\frac{2 E_{pe}}{m}}$
Remplacement des données :
$v_{max} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 8.0}{2.5}}$
Calcul :
$v_{max} = \\sqrt{\\frac{16}{2.5}} = \\sqrt{6.4}$
Résultat final :
$v_{max} = 2.53 \\ \\text{m/s}$
Question 3 : Pulsation et période
La pulsation propre dépend de la raideur et de la masse.
Formule générale :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}, \\quad T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0}$
Remplacement :
$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{400}{2.5}}$
Calcul :
$\\omega_0 = \\sqrt{160} = 12.65 \\ \\text{rad/s}$$
Calcul de T :
$T = \\frac{2\\pi}{12.65}$
Résultat final :
$\\omega_0 = 12.65 \\ \\text{rad/s}, \\quad T = 0.50 \\ \\text{s}$
Question 4 : Ănergie cinĂ©tique Ă une position intermĂ©diaire
L'énergie mécanique se conserve : $E_{tot} = 8.0 \\ \\text{J} = E_c + E_{pe}(x)$$.
Formule générale :
$E_c = E_{tot} - \\frac{1}{2} k x^2$
Remplacement :
$E_c = 8.0 - \\frac{1}{2} \\times 400 \\times (0.10)^2$
Calcul :
$E_c = 8.0 - 200 \\times 0.01 = 8.0 - 2.0$
Résultat final :
$E_c = 6.0 \\ \\text{J}$
",
"id_category": "2",
"id_number": "37"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Contexte : Un bloc de masse $m = 5,0 \\, \\text{kg}$ est lùché sans vitesse initiale du sommet d'un plan incliné faisant un angle $\\alpha = 30^\\circ$ avec l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et le plan est $\\mu_c = 0,20$. Le bloc glisse sur une distance $d = 4,0 \\, \\text{m}$ avant d'atteindre le bas de la pente. On prendra $g = 9,81 \\, \\text{m/s}^2$.
Question 1 : En appliquant la deuxiÚme loi de Newton projetée sur les axes adéquats, calculer l'accélération $a$ du bloc lors de sa descente.
Question 2 : Calculer la vitesse $v_f$ du bloc au moment oĂč il atteint le bas de la pente (aprĂšs avoir parcouru la distance $d$).
Question 3 : ArrivĂ© en bas, le bloc continue sur une surface horizontale rugueuse (mĂȘme $\\mu_c$) et percute un ressort de raideur $k = 200 \\, \\text{N/m}$. Calculer la force de frottement $f_k$ agissant sur le bloc sur le plan horizontal.
Question 4 : En utilisant le théorÚme de l'énergie cinétique, calculer la compression maximale $x_{\\text{max}}$ du ressort, en supposant que le bloc percute le ressort immédiatement en bas de la pente (on néglige la distance parcourue sur le plat avant le ressort).
",
"svg": "m 30° d = 4m k ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de l'accélération Nous projetons les forces sur l'axe parallÚle au mouvement (x) et l'axe perpendiculaire (y). Les forces sont le poids $P$, la réaction normale $N$ et le frottement $f = \\mu_c N$. 1. Formule générale issue de la 2Úme loi de Newton : $a = g(\\sin(\\alpha) - \\mu_c \\cos(\\alpha))$ 2. Remplacement des données : $a = 9,81 \\times (\\sin(30^\\circ) - 0,20 \\times \\cos(30^\\circ))$ 3. Calcul : $a = 9,81 \\times (0,5 - 0,20 \\times 0,866) = 9,81 \\times (0,5 - 0,1732) = 9,81 \\times 0,3268$ 4. Résultat final : $a \\approx 3,21 \\, \\text{m/s}^2$
Question 2 : Calcul de la vitesse finale Le mouvement est uniformément accéléré avec une vitesse initiale nulle.
1. Formule générale (équation cinématique) : $v_f = \\sqrt{2 a d}$ 2. Remplacement des données : $v_f = \\sqrt{2 \\times 3,21 \\times 4,0}$ 3. Calcul : $v_f = \\sqrt{25,68}$ 4. Résultat final : $v_f \\approx 5,07 \\, \\text{m/s}$Question 3 : Calcul de la force de frottement sur le plat Sur le plan horizontal, la normale est égale au poids $N = mg$.
1. Formule générale : $f_k = \\mu_c m g$ 2. Remplacement des données : $f_k = 0,20 \\times 5,0 \\times 9,81$ 3. Calcul : $f_k = 1,0 \\times 9,81$ 4. Résultat final : $f_k = 9,81 \\, \\text{N}$Question 4 : Calcul de la compression maximale Nous appliquons la conservation de l'énergie modifiée par le travail des forces non conservatives. La variation d'énergie cinétique + variation d'énergie potentielle élastique = Travail du frottement.
1. Formule gĂ©nĂ©rale (bilan Ă©nergĂ©tique entre le bas de la pente et l'arrĂȘt) : $\\frac{1}{2}mv_f^2 - \\frac{1}{2}k x_{\\text{max}}^2 - f_k x_{\\text{max}} = 0 \\implies \\frac{1}{2}k x_{\\text{max}}^2 + f_k x_{\\text{max}} - \\frac{1}{2}mv_f^2 = 0$ 2. Remplacement des donnĂ©es pour former l'Ă©quation quadratique : $\\frac{1}{2}(200)x^2 + (9,81)x - \\frac{1}{2}(5,0)(5,07)^2 = 0 \\implies 100x^2 + 9,81x - 64,26 = 0$ 3. Calcul (rĂ©solution de $ax^2+bx+c=0$) : $\\Delta = (9,81)^2 - 4(100)(-64,26) = 96,23 + 25704 = 25800,23$ $x = \\frac{-9,81 + \\sqrt{25800,23}}{200} = \\frac{-9,81 + 160,62}{200}$ 4. RĂ©sultat final : $x_{\\text{max}} \\approx 0,754 \\, \\text{m}$",
"id_category": "2",
"id_number": "38"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Contexte : Un ingénieur conçoit une courbe relevée pour une piste d'essai automobile. La courbe est un arc de cercle de rayon $R = 150 \\, \\text{m}$. La voiture, modélisée par un point matériel de masse $m = 1200 \\, \\text{kg}$, doit pouvoir négocier ce virage à une vitesse optimale $v_0$ sans avoir recours aux frottements latéraux (force de frottement nulle). L'angle d'inclinaison de la route par rapport à l'horizontale est $\\theta = 20^\\circ$.
Question 1 : En considérant l'équilibre dynamique dans le référentiel terrestre (décomposition sur les axes vertical et radial), calculer la valeur de la réaction normale $N$ exercée par la route sur la voiture.
Question 2 : Calculer la vitesse optimale $v_0$ (en m/s) pour laquelle le véhicule ne subit aucune force latérale de frottement.
Question 3 : Convertir cette vitesse $v_0$ en km/h.
Question 4 : Si la voiture passe ce virage à une vitesse plus élevée $v_1 = 35 \\, \\text{m/s}$, une force de frottement $F_f$ est nécessaire pour la maintenir sur la trajectoire (vers le bas de la pente). Calculer l'accélération centripÚte $a_c$ requise pour cette nouvelle vitesse.
",
"svg": "Car 20° N P ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la réaction normale Dans le cas sans frottement, la composante verticale de la normale compense exactement le poids : $N \\cos(\\theta) = mg$.
1. Formule générale : $N = \\frac{mg}{\\cos(\\theta)}$ 2. Remplacement des données : $N = \\frac{1200 \\times 9,81}{\\cos(20^\\circ)}$ 3. Calcul : $N = \\frac{11772}{0,9397}$ 4. Résultat final : $N \\approx 12527 \\, \\text{N}$Question 2 : Calcul de la vitesse optimale La composante horizontale de la normale fournit la force centripÚte : $N \\sin(\\theta) = \\frac{mv_0^2}{R}$. En combinant avec l'équation précédente, on obtient la relation classique du virage relevé.
1. Formule générale : $v_0 = \\sqrt{R g \\tan(\\theta)}$ 2. Remplacement des données : $v_0 = \\sqrt{150 \\times 9,81 \\times \\tan(20^\\circ)}$ 3. Calcul : $v_0 = \\sqrt{1471,5 \\times 0,3640} = \\sqrt{535,62}$ 4. Résultat final : $v_0 \\approx 23,14 \\, \\text{m/s}$Question 3 : Conversion de la vitesse Conversion standard des m/s vers km/h.
1. Formule générale : $v_{\\text{km/h}} = v_{\\text{m/s}} \\times 3,6$ 2. Remplacement des données : $v_{\\text{km/h}} = 23,14 \\times 3,6$ 3. Calcul : $v_{\\text{km/h}} = 83,304$ 4. Résultat final : $v_{\\text{km/h}} \\approx 83,3 \\, \\text{km/h}$Question 4 : Calcul de l'accélération centripÚte à v1 L'accélération centripÚte dépend uniquement de la vitesse tangentielle et du rayon de courbure.
1. Formule générale : $a_c = \\frac{v_1^2}{R}$ 2. Remplacement des données : $a_c = \\frac{35^2}{150}$ 3. Calcul : $a_c = \\frac{1225}{150}$ 4. Résultat final : $a_c \\approx 8,17 \\, \\text{m/s}^2$",
"id_category": "2",
"id_number": "39"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Contexte : Une petite bille de masse $m = 0,2 \\, \\text{kg}$ est attachée à un fil inextensible de longueur $L = 0,8 \\, \\text{m}$. L'autre extrémité du fil est fixée à un point O. La bille est lancée de telle sorte qu'elle décrit un cercle vertical. Au point le plus bas de sa trajectoire (point A), sa vitesse est $v_A = 6,0 \\, \\text{m/s}$. On néglige les frottements de l'air.
Question 1 : Calculer la tension $T_A$ du fil lorsque la bille est au point le plus bas (point A).
Question 2 : En utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique, calculer la vitesse $v_B$ de la bille lorsqu'elle atteint le point le plus haut de sa trajectoire (point B, situé à une hauteur $2L$ au-dessus de A).
Question 3 : Calculer la tension $T_B$ du fil au point le plus haut (point B).
Question 4 : Calculer l'énergie mécanique totale $E_m$ du systÚme en prenant le point A comme référence d'énergie potentielle nulle ($E_p(A) = 0$).
",
"svg": "A (v_A) B L O ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la tension au point bas (A) Au point bas, la tension et le poids sont verticaux mais opposés. La résultante est la force centripÚte dirigée vers le haut.
1. Formule générale (Newton selon la radiale) : $T_A - mg = m \\frac{v_A^2}{L} \\implies T_A = m(g + \\frac{v_A^2}{L})$ 2. Remplacement des données : $T_A = 0,2 \\times (9,81 + \\frac{6,0^2}{0,8})$ 3. Calcul : $T_A = 0,2 \\times (9,81 + \\frac{36}{0,8}) = 0,2 \\times (9,81 + 45) = 0,2 \\times 54,81$ 4. Résultat final : $T_A \\approx 10,96 \\, \\text{N}$Question 2 : Calcul de la vitesse au point haut (B) Conservation de l'énergie mécanique entre A et B. $\\Delta E_c + \\Delta E_p = 0$.
1. Formule générale : $\\frac{1}{2} m v_A^2 = \\frac{1}{2} m v_B^2 + mg(2L) \\implies v_B = \\sqrt{v_A^2 - 4gL}$ 2. Remplacement des données : $v_B = \\sqrt{6,0^2 - 4 \\times 9,81 \\times 0,8}$ 3. Calcul : $v_B = \\sqrt{36 - 31,392} = \\sqrt{4,608}$ 4. Résultat final : $v_B \\approx 2,15 \\, \\text{m/s}$Question 3 : Calcul de la tension au point haut (B) Au sommet, la tension et le poids sont tous deux dirigés vers le bas (centre du cercle).
1. Formule gĂ©nĂ©rale : $T_B + mg = m \\frac{v_B^2}{L} \\implies T_B = m(\\frac{v_B^2}{L} - g)$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $T_B = 0,2 \\times (\\frac{2,15^2}{0,8} - 9,81)$ Note : on utilise la valeur exacte $v_B^2 = 4,608$ pour la prĂ©cision. 3. Calcul : $T_B = 0,2 \\times (\\frac{4,608}{0,8} - 9,81) = 0,2 \\times (5,76 - 9,81) = 0,2 \\times (-4,05)$ Attention : Un rĂ©sultat nĂ©gatif signifierait que le fil n'est plus tendu et que la bille a quittĂ© la trajectoire circulaire avant le sommet. VĂ©rifions le calcul : $v_A$ doit ĂȘtre supĂ©rieur Ă $\\sqrt{5gL} \\approx 6,26$. Ici $v_A=6$, donc la bille ne peut pas atteindre le sommet avec le fil tendu. MathĂ©matiquement, la tension calculĂ©e serait nĂ©gative, ce qui est physiquement impossible pour un fil. Correction contextuelle pour l'exercice : ConsidĂ©rons le calcul thĂ©orique de la force nĂ©cessaire pour maintenir la trajectoire (si c'Ă©tait une tige rigide). 4. RĂ©sultat final (Force de la tige) : $T_B \\approx -0,81 \\, \\text{N}$ (Une tige pousserait la bille vers l'extĂ©rieur).Question 4 : Calcul de l'Ă©nergie mĂ©canique totale L'Ă©nergie mĂ©canique est conservĂ©e (fil inextensible, pas de frottement).
1. Formule générale (calculée au point A) : $E_m = E_c(A) + E_p(A) = \\frac{1}{2} m v_A^2 + 0$ 2. Remplacement des données : $E_m = 0,5 \\times 0,2 \\times 6,0^2$ 3. Calcul : $E_m = 0,1 \\times 36$ 4. Résultat final : $E_m = 3,6 \\, \\text{J}$",
"id_category": "2",
"id_number": "40"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Contexte : Un satellite de télécommunication de masse $m = 800 \\, \\text{kg}$ est en orbite circulaire géostationnaire autour de la Terre. Le rayon de cette orbite (distance centre Terre - satellite) est $r = 42164 \\, \\text{km}$. La masse de la Terre est $M_T = 5,97 \\times 10^{24} \\, \\text{kg}$ et la constante de gravitation universelle est $G = 6,67 \\times 10^{-11} \\, \\text{N}\\cdot\\text{m}^2/\\text{kg}^2$.
Question 1 : Calculer la force d'attraction gravitationnelle $F_g$ exercée par la Terre sur le satellite.
Question 2 : Déterminer la vitesse orbitale $v$ du satellite sur cette orbite circulaire.
Question 3 : Calculer la période de révolution $T$ du satellite (en secondes).
Question 4 : Calculer l'énergie cinétique $E_c$ du satellite sur cette orbite.
",
"svg": "Terre Satellite r ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la force gravitationnelle C'est l'application directe de la loi de Newton. Attention aux unités (km en m).
1. Formule générale : $F_g = G \\frac{M_T m}{r^2}$ 2. Remplacement des données (r = 4,2164 x 10^7 m) : $F_g = 6,67 \\times 10^{-11} \\times \\frac{5,97 \\times 10^{24} \\times 800}{(4,2164 \\times 10^7)^2}$ 3. Calcul : $F_g = \\frac{3,1856 \\times 10^{17}}{1,7778 \\times 10^{15}}$ 4. Résultat final : $F_g \\approx 179,2 \\, \\text{N}$Question 2 : Calcul de la vitesse orbitale La force gravitationnelle est la force centripÚte : $G \\frac{Mm}{r^2} = m \\frac{v^2}{r}$.
1. Formule générale : $v = \\sqrt{\\frac{G M_T}{r}}$ 2. Remplacement des données : $v = \\sqrt{\\frac{6,67 \\times 10^{-11} \\times 5,97 \\times 10^{24}}{4,2164 \\times 10^7}}$ 3. Calcul : $v = \\sqrt{\\frac{3,982 \\times 10^{14}}{4,2164 \\times 10^7}} = \\sqrt{9,444 \\times 10^6}$ 4. Résultat final : $v \\approx 3073 \\, \\text{m/s}$Question 3 : Calcul de la période de révolution Pour un mouvement circulaire uniforme, la période est la circonférence divisée par la vitesse.
1. Formule générale : $T = \\frac{2 \\pi r}{v}$ 2. Remplacement des données : $T = \\frac{2 \\times \\pi \\times 4,2164 \\times 10^7}{3073}$ 3. Calcul : $T = \\frac{2,649 \\times 10^8}{3073}$ 4. Résultat final : $T \\approx 86202 \\, \\text{s}$ (Ce qui est trÚs proche de 86164s, la période sidérale de la Terre).Question 4 : Calcul de l'énergie cinétique Définition classique de l'énergie cinétique.
1. Formule générale : $E_c = \\frac{1}{2} m v^2$ 2. Remplacement des données : $E_c = 0,5 \\times 800 \\times (3073)^2$ 3. Calcul : $E_c = 400 \\times 9443329$ 4. Résultat final : $E_c \\approx 3,78 \\times 10^9 \\, \\text{J}$ (ou 3,78 GJ).",
"id_category": "2",
"id_number": "41"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Contexte : Deux palets de hockey sur glace entrent en collision frontale sur une surface sans frottement. Le palet A, de masse $m_A = 0,15 \\, \\text{kg}$, se déplace initialement à $v_{A1} = 5,0 \\, \\text{m/s}$ vers la droite. Le palet B, de masse $m_B = 0,25 \\, \\text{kg}$, se déplace initialement à $v_{B1} = -3,0 \\, \\text{m/s}$ (vers la gauche). La collision est parfaitement élastique.
Question 1 : Calculer la quantité de mouvement totale $P_{\\text{tot}}$ du systÚme avant la collision.
Question 2 : En utilisant les équations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique, établir et calculer la vitesse finale $v_{B2}$ du palet B aprÚs le choc.
Question 3 : Calculer la variation de la quantité de mouvement $\\Delta p_A$ du palet A.
Question 4 : Si la durée du contact pendant le choc est $\\Delta t = 0,020 \\, \\text{s}$, calculer la force moyenne $F_{\\text{moy}}$ exercée par le palet B sur le palet A.
",
"svg": "A v_A1 B v_B1 ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Calcul de la quantité de mouvement totale initiale La quantité de mouvement est un vecteur. Ici, nous travaillons sur un axe 1D.
1. Formule générale : $P_{\\text{tot}} = m_A v_{A1} + m_B v_{B1}$ 2. Remplacement des données : $P_{\\text{tot}} = 0,15 \\times 5,0 + 0,25 \\times (-3,0)$ 3. Calcul : $P_{\\text{tot}} = 0,75 - 0,75$ 4. Résultat final : $P_{\\text{tot}} = 0 \\, \\text{kg}\\cdot\\text{m/s}$Question 2 : Calcul de la vitesse finale de B Pour une collision élastique frontale avec conservation de P et de l'énergie cinétique, il existe une formule dérivée standard.
1. Formule générale : $v_{B2} = \\frac{2 m_A v_{A1} + (m_B - m_A) v_{B1}}{m_A + m_B}$ 2. Remplacement des données : $v_{B2} = \\frac{2(0,15)(5,0) + (0,25 - 0,15)(-3,0)}{0,15 + 0,25}$ 3. Calcul : $v_{B2} = \\frac{1,5 + (0,10)(-3,0)}{0,40} = \\frac{1,5 - 0,3}{0,40} = \\frac{1,2}{0,40}$ 4. Résultat final : $v_{B2} = 3,0 \\, \\text{m/s}$Question 3 : Calcul de la variation de quantité de mouvement de A D'abord, calculons $v_{A2}$. Comme $P_{\\text{tot}}=0$ avant et aprÚs, $m_A v_{A2} + m_B v_{B2} = 0$. Donc $v_{A2} = - \\frac{m_B}{m_A} v_{B2} = -\\frac{0,25}{0,15} (3) = -5,0 \\, \\text{m/s}$.
1. Formule générale : $\\Delta p_A = m_A (v_{A2} - v_{A1})$ 2. Remplacement des données : $\\Delta p_A = 0,15 \\times (-5,0 - 5,0)$ 3. Calcul : $\\Delta p_A = 0,15 \\times (-10,0)$ 4. Résultat final : $\\Delta p_A = -1,5 \\, \\text{kg}\\cdot\\text{m/s}$Question 4 : Calcul de la force moyenne Le théorÚme de l'impulsion lie la force à la variation de quantité de mouvement.
1. Formule générale : $F_{\\text{moy}} = \\frac{\\Delta p_A}{\\Delta t}$ 2. Remplacement des données : $F_{\\text{moy}} = \\frac{-1,5}{0,020}$ 3. Calcul : $F_{\\text{moy}} = -75$ 4. Résultat final : $F_{\\text{moy}} = -75 \\, \\text{N}$ (Le signe moins indique que la force est dirigée vers la gauche, opposée au mouvement initial de A).",
"id_category": "2",
"id_number": "42"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Exercice 4 : Chute d'un corps avec rĂ©sistance de l'air quadratique Un projectile de masse $m = 5 \\, \\text{kg}$ est lĂąchĂ© sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 100 \\, \\text{m}$. Durant sa chute verticale, il subit la force de pesanteur $\\vec{P} = m\\vec{g}$ et une force de rĂ©sistance de l'air proportionnelle au carrĂ© de sa vitesse $\\vec{F}_r = -\\beta v^2 \\vec{u}_z$ oĂč $\\vec{u}_z$ est le vecteur unitaire vertical ascendant, $v$ la vitesse du projectile (positive vers le bas), et $\\beta = 0{,}02 \\, \\text{N·s}^2\\text{/m}^2$ un coefficient aĂ©rodynamique. On prend $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$ et on oriente l'axe $(Oz)$ vers le haut avec l'origine au sol.
Question 1 : En appliquant la deuxiÚme loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement en fonction de $v$. Montrer qu'il existe une vitesse limite $v_\\infty$ atteinte asymptotiquement. Calculer numériquement cette vitesse limite.
Question 2 : L'équation différentielle peut se mettre sous la forme $\\frac{dv}{dt} = g\\left(1 - \\frac{v^2}{v_\\infty^2}\\right)$. En séparant les variables et en intégrant avec la condition initiale $v(0) = 0$, établir l'expression de la vitesse $v(t)$ sous la forme $v(t) = v_\\infty \\tanh\\left(\\frac{gt}{v_\\infty}\\right)$. Calculer le temps $t_1$ nécessaire pour atteindre $99\\%$ de la vitesse limite.
Question 3 : Sachant que la position est donnée par $z(t) = h - \\frac{v_\\infty^2}{g}\\ln\\left(\\cosh\\left(\\frac{gt}{v_\\infty}\\right)\\right)$, calculer la distance parcourue par le projectile pendant le temps $t_1$ trouvé à la question 2. En déduire si le projectile a atteint le sol à cet instant.
",
"svg": "Sol (z = 0) z m h = 100 m v P = mg Fr = -ÎČv² Particules d'air RĂ©sistance quadratique ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Ăquation diffĂ©rentielle et vitesse limite
En orientant l'axe $(Oz)$ vers le haut avec une vitesse positive vers le bas (donc $v > 0$ et $\\dot{z} < 0$), les forces s'écrivent : $\\vec{P} = -mg\\vec{u}_z$ et $\\vec{F}_r = -\\beta v^2 \\vec{u}_z$ (résistance opposée au mouvement descendant). La deuxiÚme loi de Newton donne :
Formule générale :
$m\\frac{dv}{dt} = mg - \\beta v^2$
En régime permanent ($\\frac{dv}{dt} = 0$), on obtient la vitesse limite :
$mg - \\beta v_\\infty^2 = 0$
Formule générale :
$v_\\infty = \\sqrt{\\frac{mg}{\\beta}}$
Remplacement des données :
$v_\\infty = \\sqrt{\\frac{5 \\times 10}{0{,}02}} = \\sqrt{\\frac{50}{0{,}02}}$
Calcul :
$v_\\infty = \\sqrt{2500} = 50 \\, \\text{m/s}$
Résultat : $v_\\infty = 50 \\, \\text{m/s}$
Question 2 : Résolution et temps pour atteindre 99% de $v_\\infty$
L'équation se réécrit :
$\\frac{dv}{dt} = g\\left(1 - \\frac{v^2}{v_\\infty^2}\\right)$
Séparation des variables :
$\\frac{dv}{1 - \\frac{v^2}{v_\\infty^2}} = g \\, dt$
En intégrant avec $v(0) = 0$ et en utilisant $\\int \\frac{dx}{1-x^2} = \\tanh^{-1}(x)$ :
$v_\\infty \\tanh^{-1}\\left(\\frac{v}{v_\\infty}\\right) = gt$
Formule générale :
$v(t) = v_\\infty \\tanh\\left(\\frac{gt}{v_\\infty}\\right)$
Pour $v = 0{,}99 v_\\infty$ :
$0{,}99 = \\tanh\\left(\\frac{gt_1}{v_\\infty}\\right)$
$\\frac{gt_1}{v_\\infty} = \\tanh^{-1}(0{,}99)$
Sachant que $\\tanh^{-1}(x) = \\frac{1}{2}\\ln\\left(\\frac{1+x}{1-x}\\right)$ :
$\\tanh^{-1}(0{,}99) = \\frac{1}{2}\\ln\\left(\\frac{1{,}99}{0{,}01}\\right) = \\frac{1}{2}\\ln(199) = \\frac{1}{2} \\times 5{,}29 = 2{,}65$
Formule générale :
$t_1 = \\frac{v_\\infty}{g} \\tanh^{-1}(0{,}99)$
Remplacement des données :
$t_1 = \\frac{50}{10} \\times 2{,}65$
Calcul :
$t_1 = 5 \\times 2{,}65 = 13{,}25 \\, \\text{s}$
Résultat : $t_1 = 13{,}3 \\, \\text{s}$
Question 3 : Distance parcourue et vérification
La position est donnée par $z(t) = h - \\frac{v_\\infty^2}{g}\\ln\\left(\\cosh\\left(\\frac{gt}{v_\\infty}\\right)\\right)$. La distance parcourue est :
Formule générale :
$d = h - z(t_1) = \\frac{v_\\infty^2}{g}\\ln\\left(\\cosh\\left(\\frac{gt_1}{v_\\infty}\\right)\\right)$
Remplacement des données :
$d = \\frac{50^2}{10}\\ln(\\cosh(2{,}65))$
Sachant que $\\cosh(2{,}65) = \\frac{e^{2{,}65} + e^{-2{,}65}}{2} \\approx 7{,}05$ :
Calcul :
$d = \\frac{2500}{10}\\ln(7{,}05) = 250 \\times 1{,}95 = 487{,}5 \\, \\text{m}$
La distance calculée $d = 487{,}5 \\, \\text{m}$ est bien supérieure à la hauteur initiale $h = 100 \\, \\text{m}$. Cela signifie que le projectile a atteint le sol bien avant le temps $t_1$.
Pour vérifier, calculons le temps réel de chute en résolvant $z(t) = 0$ numériquement ou en constatant que le projectile atteint le sol en quelques secondes, bien avant $t_1 = 13{,}3 \\, \\text{s}$.
Résultat : La distance théorique parcourue en $t_1 = 13{,}3 \\, \\text{s}$ serait $d = 487{,}5 \\, \\text{m}$, donc le projectile a déjà atteint le sol (aprÚs avoir parcouru $100 \\, \\text{m}$) bien avant ce temps.
",
"id_category": "2",
"id_number": "43"
},
{
"category": "Dynamique",
"question": "Exercice 5 : Application de la loi fondamentale à un systÚme de deux masses reliées Deux masses $m_1 = 2 \\, \\text{kg}$ et $m_2 = 3 \\, \\text{kg}$ sont reliées par un fil inextensible de masse négligeable passant sur une poulie idéale (sans masse et sans frottement) fixée au bord d'une table horizontale. La masse $m_1$ est posée sur la table et peut glisser avec un coefficient de frottement cinétique $\\mu_c = 0{,}2$. La masse $m_2$ pend verticalement. On prend $g = 10 \\, \\text{m/s}^2$. On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le systÚme est lùché sans vitesse initiale avec $m_2$ à une hauteur $h_0 = 1{,}5 \\, \\text{m}$ au-dessus du sol.
Question 1 : En appliquant la deuxiÚme loi de Newton à chacune des deux masses et en tenant compte de la liaison par le fil, établir l'équation du mouvement du systÚme. Calculer l'accélération $a$ des deux masses ainsi que la tension $T$ du fil.
Question 2 : En utilisant le principe de conservation de la quantité de mouvement du systÚme isolé dans la direction du mouvement (en négligeant les forces extérieures horizontales), calculer la vitesse $v$ du systÚme juste avant que $m_2$ touche le sol. Vérifier ce résultat en utilisant l'équation cinématique avec l'accélération trouvée en question 1.
Question 3 : Calculer le travail total effectué par toutes les forces sur le systÚme pendant la descente de $m_2$ du point de départ jusqu'au sol. Vérifier la cohérence avec le théorÚme de l'énergie cinétique en comparant ce travail à la variation d'énergie cinétique du systÚme.
",
"svg": "m₁ m₂ h₀ Sol P₂ v N f T SystĂšme de deux masses avec frottement sur m₁ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Accélération et tension du fil
Pour la masse $m_1$ sur la table (mouvement horizontal, accélération $a$ vers la droite) :
Forces : tension $T$ (vers la droite), frottement $f = \\mu_c N = \\mu_c m_1 g$ (vers la gauche).
$m_1 a = T - \\mu_c m_1 g$ (équation 1)
Pour la masse $m_2$ (mouvement vertical descendant, accélération $a$ vers le bas) :
Forces : poids $m_2 g$ (vers le bas), tension $T$ (vers le haut).
$m_2 a = m_2 g - T$ (équation 2)
Addition des équations 1 et 2 :
$(m_1 + m_2)a = m_2 g - \\mu_c m_1 g$
Formule générale :
$a = \\frac{(m_2 - \\mu_c m_1)g}{m_1 + m_2}$
Remplacement des données :
$a = \\frac{(3 - 0{,}2 \\times 2) \\times 10}{2 + 3} = \\frac{(3 - 0{,}4) \\times 10}{5}$
Calcul :
$a = \\frac{2{,}6 \\times 10}{5} = \\frac{26}{5} = 5{,}2 \\, \\text{m/s}^2$
De l'équation 1 :
Formule générale :
$T = m_1(a + \\mu_c g)$
Remplacement des données :
$T = 2 \\times (5{,}2 + 0{,}2 \\times 10) = 2 \\times (5{,}2 + 2)$
Calcul :
$T = 2 \\times 7{,}2 = 14{,}4 \\, \\text{N}$
Résultat : $a = 5{,}2 \\, \\text{m/s}^2$ et $T = 14{,}4 \\, \\text{N}$
Question 2 : Vitesse juste avant l'impact
Méthode cinématique avec $v_0 = 0$, $a = 5{,}2 \\, \\text{m/s}^2$ et distance $d = h_0 = 1{,}5 \\, \\text{m}$ :
Formule générale :
$v^2 = v_0^2 + 2ad$
Remplacement des données :
$v^2 = 0 + 2 \\times 5{,}2 \\times 1{,}5$
Calcul :
$v^2 = 15{,}6$
$v = \\sqrt{15{,}6} = 3{,}95 \\, \\text{m/s}$
Vérification par conservation de la quantité de mouvement : Cette approche est inappropriée car le systÚme n'est pas isolé (forces extérieures : poids, réaction normale, frottement). La méthode cinématique est correcte.
Résultat : $v = 3{,}95 \\, \\text{m/s}$
Question 3 : Travail total et théorÚme de l'énergie cinétique
Travaux des forces pendant la descente de $h_0 = 1{,}5 \\, \\text{m}$ :
Travail du poids de $m_2$ :
$W_{P_2} = m_2 g h_0 = 3 \\times 10 \\times 1{,}5 = 45 \\, \\text{J}$
Travail du frottement sur $m_1$ (négatif, sur distance $d = h_0$) :
$W_f = -\\mu_c m_1 g d = -0{,}2 \\times 2 \\times 10 \\times 1{,}5 = -6 \\, \\text{J}$
Travail de la tension (interne au systĂšme, se compense) : $W_T = 0$.
Formule générale :
$W_{total} = W_{P_2} + W_f$
Remplacement des données :
$W_{total} = 45 + (-6)$
Calcul :
$W_{total} = 39 \\, \\text{J}$
Variation d'énergie cinétique du systÚme ($E_{c,i} = 0$, $E_{c,f} = \\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$) :
Formule générale :
$\\Delta E_c = \\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$
Remplacement des données :
$\\Delta E_c = \\frac{1}{2}(2 + 3) \\times (3{,}95)^2 = \\frac{1}{2} \\times 5 \\times 15{,}6$
Calcul :
$\\Delta E_c = 2{,}5 \\times 15{,}6 = 39 \\, \\text{J}$
Vérification : $W_{total} = \\Delta E_c = 39 \\, \\text{J}$. Le théorÚme de l'énergie cinétique est vérifié.
Résultat : $W_{total} = 39 \\, \\text{J}$ et $\\Delta E_c = 39 \\, \\text{J}$, donc cohérence parfaite.
",
"id_category": "2",
"id_number": "44"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 3 : Ressort comprimĂ©, forces conservatives et Ă©nergie Ă©lastique Un bloc de masse $m = 3$ kg est placĂ© contre un ressort horizontal de raideur $k = 1000$ N/m, comprimĂ© d'une distance $x_0 = 0{,}1$ m. Le ressort est soudainement libĂ©rĂ©, projetant le bloc sur une surface horizontale rugueuse. Le coefficient de frottement cinĂ©tique entre le bloc et la surface est $\\mu_k = 0{,}2$. On nĂ©glige les frottements du ressort lui-mĂȘme.
DonnĂ©es : $g = 10$ m/s² ; distance initiale : $x_0 = 0{,}1$ m
Question 1 : Calculer l'Ă©nergie potentielle Ă©lastique initiale emmagasinĂ©e dans le ressort $E_{p,\\text{Ă©last}}$. Le ressort est une force conservative. Calculer Ă©galement l'Ă©nergie cinĂ©tique du bloc au moment oĂč il quitte le ressort (quand le ressort retrouve sa longueur naturelle).
Question 2 : Une fois le bloc quittĂ© du ressort, celui-ci se dĂ©place sur la surface horizontale rugueuse. Calculer la force de frottement agissant sur le bloc, puis utiliser le thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique pour dĂ©terminer la distance $d_f$ parcourue par le bloc avant de s'arrĂȘter.
Question 3 : Faire un bilan énergétique complet : énergie initiale (dans le ressort), énergie cinétique maximale (à la sortie du ressort), énergie dissipée par le frottement. Vérifier que l'énergie se conserve en incluant la chaleur générée par le frottement.
",
"svg": "Ressort comprimĂ© libĂ©rant un bloc sur surface avec frottement Stage 1 : Ressort comprimĂ© x₀ = 0,1 m m Compression Stage 2 : Ressort libĂ©rĂ© L₀ (naturelle) m v Stage 3 : Glisse avec frottement m Distance d_f Finalement arrĂȘtĂ© Bilan Ă©nergĂ©tique du systĂšme Ătape 1 : Energie Ă©lastique initialeEâ,Ă©last = ½kx₀² = ½ × 1000 × (0,1)² = 5 J Ătape 2 : Bloc quitte ressort (ressort = force conservative)Ec,max = Eâ,Ă©last = 5 J (pas de perte d'Ă©nergie) Ătape 3 : Frottement dissipe l'Ă©nergie cinĂ©tiqueFriction = force non-conservative → chaleur gĂ©nĂ©rĂ©e ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 3 Question 1 : Ănergie potentielle Ă©lastique et Ă©nergie cinĂ©tique Ă la sortie du ressort Ătape 1 : Formule de l'Ă©nergie potentielle Ă©lastique L'Ă©nergie stockĂ©e dans un ressort comprimĂ© est :
$E_{p,\\text{élast}} = \\frac{1}{2}kx_0^2$
Ătape 2 : Remplacement des donnĂ©es Avec $k = 1000$ N/m et $x_0 = 0{,}1$ m :
$E_{p,\\text{élast}} = \\frac{1}{2} \\times 1000 \\times (0{,}1)^2$
$E_{p,\\text{élast}} = \\frac{1}{2} \\times 1000 \\times 0{,}01$
$E_{p,\\text{élast}} = 5 \\text{ J}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{E_{p,\\text{élast}} = 5 \\text{ J}}$
Ătape 3 : Ănergie cinĂ©tique Ă la sortie du ressort Le ressort est une force conservative (pas de frottement du ressort). Toute l'Ă©nergie Ă©lastique se convertit en Ă©nergie cinĂ©tique :
$E_{c,\\text{sortie}} = E_{p,\\text{élast}} = 5 \\text{ J}$
Résultat final :
$\\boxed{E_{c,\\text{sortie}} = 5 \\text{ J}}$
InterprĂ©tation : La conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique s'applique tant que le ressort exerce sa force. Le bloc quitte le ressort avec une Ă©nergie cinĂ©tique de 5 J, correspondant exactement Ă l'Ă©nergie initiale stockĂ©e dans le ressort. Cela peut Ă©galement ĂȘtre utilisĂ© pour calculer la vitesse initiale du bloc :
$5 = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times v_0^2 \\Rightarrow v_0 = \\sqrt{\\frac{10}{3}} \\approx 1{,}83 \\text{ m/s}$
Question 2 : Distance d'arrĂȘt du bloc due au frottement Ătape 1 : Calcul de la force normale Sur une surface horizontale, la force normale Ă©gale le poids :
$N = mg = 3 \\times 10 = 30 \\text{ N}$
Ătape 2 : Calcul de la force de frottement
$f = \\mu_k N = 0{,}2 \\times 30 = 6 \\text{ N}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{f = 6 \\text{ N}}$
Ătape 3 : Application du thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique Le bloc dĂ©marre avec une Ă©nergie cinĂ©tique de 5 J et s'arrĂȘte (Ă©nergie cinĂ©tique finale = 0). Le travail du frottement Ă©gale la variation d'Ă©nergie cinĂ©tique :
$W_{\\text{frot}} = \\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}$
$-f \\times d_f = 0 - 5$
$-6 \\times d_f = -5$
$d_f = \\frac{5}{6} \\approx 0{,}833 \\text{ m}$
Résultat final :
$\\boxed{d_f \\approx 0{,}833 \\text{ m} = \\frac{5}{6} \\text{ m}}$
Interprétation : La force de frottement non-conservative dissipe toute l'énergie cinétique du bloc sur une distance d'environ 83 cm. Cet exemple montre le contraste entre forces conservatives (ressort) et non-conservatives (friction).
Question 3 : Bilan Ă©nergĂ©tique complet Ătape 1 : Ănergie initiale (dans le ressort comprimĂ©)
$E_{\\text{initiale}} = E_{p,\\text{élast}} = 5 \\text{ J}$
Ătape 2 : Ănergie cinĂ©tique maximale (bloc quittant le ressort)
$E_{c,\\text{max}} = 5 \\text{ J}$
à ce point, 100% de l'énergie élastique s'est convertie en énergie cinétique.
Ătape 3 : Ănergie dissipĂ©e par le frottement Le travail effectuĂ© par la friction est :
$W_{\\text{frot}} = f \\times d_f = 6 \\times \\frac{5}{6} = 5 \\text{ J}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{E_{\\text{dissipée}} = 5 \\text{ J}}$
Ătape 4 : VĂ©rification de la conservation de l'Ă©nergie totale
Bilan énergétique complet :
$E_{\\text{initiale}} = E_{c,\\text{max}} + E_{\\text{dissipée}} = 5 + 5 = 10 \\text{ J}?$
Non ! En réalité :
$E_{\\text{initiale}} = E_{c,\\text{max}} = 5 \\text{ J}$ (sans dissipation lors de la libération)
Ensuite :
$E_{c,\\text{max}} = E_{\\text{dissipée par friction}} = 5 \\text{ J}$
Résultat final - Bilan complet :
$\\boxed{\\text{Ănergie Ă©lastique initiale} = 5 \\text{ J}}$
$\\boxed{\\rightarrow \\text{Ănergie cinĂ©tique (bloc quitte ressort)} = 5 \\text{ J}}$
$\\boxed{\\rightarrow \\text{Chaleur générée par friction} = 5 \\text{ J}}$
$\\boxed{\\text{Ănergie cinĂ©tique finale (bloc arrĂȘtĂ©)} = 0 \\text{ J}}$
Vérification énergétique globale :
$5 \\text{ J (élastique)} = 0 \\text{ J (cinétique finale)} + 5 \\text{ J (chaleur)}\\checkmark$
Interprétation physique : Ce bilan énergétique illustre les trois transformations successives :
1. Ressort → Mouvement : L'Ă©nergie potentielle Ă©lastique (force conservative) se convertit entiĂšrement en Ă©nergie cinĂ©tique sans perte. Aucune dissipation d'Ă©nergie.
2. Mouvement → Chaleur : Le frottement (force non-conservative) dissipe l'Ă©nergie cinĂ©tique en chaleur. L'Ă©nergie n'est pas perdue (premiĂšre loi de la thermodynamique), mais transformĂ©e en chaleur, augmentant la tempĂ©rature du bloc et de la surface.
3. Bilan global : L'énergie totale du systÚme est conservée si on compte la chaleur : $E_{\\text{élastique initiale}} = E_{\\text{thermique générée}}$
Cet exercice démontre pourquoi les forces conservatives (comme les ressorts) préservent l'énergie mécanique, tandis que les forces non-conservatives (comme la friction) la transforment en autres formes d'énergie.
",
"id_category": "3",
"id_number": "1"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 4 : SystĂšme de poulie avec Ă©nergie potentielle gravitationnelle Un systĂšme de deux masses connectĂ©es par une corde inextensible passant sur une poulie sans frottement est considĂ©rĂ©. La masse $m_1 = 4$ kg est suspendue verticalement d'un cĂŽtĂ©, et la masse $m_2 = 2$ kg de l'autre cĂŽtĂ©. Initialement, le systĂšme est au repos. On lĂąche le systĂšme et il commence Ă se mouvoir sous l'effet de la gravitĂ©. On prendra le niveau initial de m₁ comme rĂ©fĂ©rence pour l'Ă©nergie potentielle (h = 0 Ă ce niveau).
DonnĂ©es : $g = 10$ m/s² ; les masses se dĂ©placent sur une distance $d = 2$ m avant d'arrĂȘter le systĂšme
Question 1 : Calculer la variation d'Ă©nergie potentielle de chaque masse lorsqu'elles se dĂ©placent de 2 m (m₁ descend, m₂ monte). DĂ©terminer la variation totale d'Ă©nergie potentielle du systĂšme. Cette variation peut-elle ĂȘtre convertie en Ă©nergie cinĂ©tique ?
Question 2 : Utiliser le thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique pour dĂ©terminer la vitesse commune des masses aprĂšs s'ĂȘtre dĂ©placĂ©es de 2 m. (Note : les masses sont reliĂ©es par une corde inextensible, elles ont donc la mĂȘme vitesse).
Question 3 : Si le systĂšme continue Ă se mouvoir, Ă quelle distance d₁ la masse m₁ descendra-t-elle avant que le systĂšme s'arrĂȘte complĂštement ? Ă ce point, les deux masses auront parcouru une distance Ă©gale d₁. Utiliser le fait que m₂ atteint le sol et la corde se dĂ©tend.
",
"svg": "SystĂšme de poulie avec deux masses en interaction Ătat initial (au repos) m₁ = 4 kg m₂ = 2 kg Ătat en mouvement (aprĂšs dĂ©placement d = 2 m) Ref (h=0) m₁ ↓ 2m Ref + 2m m₂ ↑ 2m v v Analyse Ă©nergĂ©tique du mouvement Phase 1 (d = 2 m) : m₁ descend : Ep₁ diminue (convertie en Ec) m₂ monte : Ep₂ augmente (retranche de Ec) Variation nette : ÎEp = Ep₁ - Ep₂ = 80 - 40 = 40 J Phase 2 (continuitĂ© du mouvement) : Le systĂšme continue jusqu'Ă l'arrĂȘt complet Condition limite : m₂ atteint le sol (corde se dĂ©tend) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 4 Question 1 : Variations d'Ă©nergie potentielle et variation totale Ătape 1 : Variation d'Ă©nergie potentielle pour m₁ La masse m₁ descend de $d = 2$ m, donc sa hauteur diminue de 2 m :
$\\Delta h_1 = -2 \\text{ m}$
Variation d'énergie potentielle :
$\\Delta E_{p,1} = m_1 g \\Delta h_1 = 4 \\times 10 \\times (-2) = -80 \\text{ J}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{\\Delta E_{p,1} = -80 \\text{ J}}$
L'Ă©nergie potentielle de m₁ diminue de 80 J.
Ătape 2 : Variation d'Ă©nergie potentielle pour m₂ La masse m₂ monte de $d = 2$ m, donc sa hauteur augmente de 2 m :
$\\Delta h_2 = +2 \\text{ m}$
Variation d'énergie potentielle :
$\\Delta E_{p,2} = m_2 g \\Delta h_2 = 2 \\times 10 \\times 2 = 40 \\text{ J}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{\\Delta E_{p,2} = 40 \\text{ J}}$
L'Ă©nergie potentielle de m₂ augmente de 40 J.
Ătape 3 : Variation totale d'Ă©nergie potentielle du systĂšme
$\\Delta E_{p,\\text{total}} = \\Delta E_{p,1} + \\Delta E_{p,2} = -80 + 40 = -40 \\text{ J}$
Résultat final :
$\\boxed{\\Delta E_{p,\\text{total}} = -40 \\text{ J}}$
InterprĂ©tation : La diminution totale d'Ă©nergie potentielle est de 40 J. Cette Ă©nergie \"libĂ©rĂ©e\" peut ĂȘtre entiĂšrement convertie en Ă©nergie cinĂ©tique du systĂšme car la poulie est sans frottement (systĂšme conservatif). Le systĂšme gagne de l'Ă©nergie cinĂ©tique Ă©gale Ă la perte d'Ă©nergie potentielle.
Question 2 : Vitesse commune des masses aprĂšs 2 m Ătape 1 : Application du thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique La variation d'Ă©nergie cinĂ©tique Ă©gale le travail des forces (ou la diminution d'Ă©nergie potentielle) :
$\\Delta E_c = -\\Delta E_{p,\\text{total}}$
$\\Delta E_c = -(-40) = 40 \\text{ J}$
Ătape 2 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique totale Initialement, le systĂšme est au repos, donc $E_{c,i} = 0$ :
$E_{c,f} - E_{c,i} = 40$
$E_{c,f} = 40 \\text{ J}$
Ătape 3 : Expression de l'Ă©nergie cinĂ©tique totale Les deux masses se dĂ©placent Ă la mĂȘme vitesse $v$ (corde inextensible) :
$E_{c,f} = \\frac{1}{2}m_1 v^2 + \\frac{1}{2}m_2 v^2 = \\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$
$E_{c,f} = \\frac{1}{2}(4 + 2)v^2 = 3v^2$
Ătape 4 : RĂ©solution pour v
$3v^2 = 40$
$v^2 = \\frac{40}{3} = 13{,}33$
$v = \\sqrt{13{,}33} \\approx 3{,}65 \\text{ m/s}$
Résultat final :
$\\boxed{v \\approx 3{,}65 \\text{ m/s}}$
InterprĂ©tation : AprĂšs un dĂ©placement de 2 m, les deux masses ont la mĂȘme vitesse d'environ 3,65 m/s. C'est une consĂ©quence de la corde inextensible qui les relie.
Question 3 : Distance totale avant arrĂȘt complet Ătape 1 : Condition d'arrĂȘt du systĂšme Le systĂšme s'arrĂȘte quand la masse m₂ atteint le sol (la corde devient lĂąche). Ă ce moment, m₁ et m₂ ne sont plus connectĂ©es, et le systĂšme cesse de fonctionner comme un systĂšme liĂ©.
Ătape 2 : Application du thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique pour tout le mouvement Du dĂ©part jusqu'Ă l'arrĂȘt complet (m₂ au sol) :
$\\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = 0 - 0 = 0$
L'Ă©nergie cinĂ©tique finale est zĂ©ro (systĂšme arrĂȘtĂ©).
Ătape 3 : Variation d'Ă©nergie potentielle totale Si m₁ descend d'une distance totale $d_1$ et m₂ monte d'une distance $d_1$ (mĂȘme distance en raison de la corde inextensible) :
$\\Delta E_{p,1} = -m_1 g d_1 = -4 \\times 10 \\times d_1 = -40d_1$
$\\Delta E_{p,2} = m_2 g d_1 = 2 \\times 10 \\times d_1 = 20d_1$
$\\Delta E_{p,\\text{total}} = -40d_1 + 20d_1 = -20d_1$
Ătape 4 : Principe de conservation de l'Ă©nergie Par conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique (poulie sans frottement) :
$\\Delta E_c + \\Delta E_p = 0$
$0 + (-20d_1) = 0$
Cette Ă©quation suggĂšre un problĂšme : le systĂšme ne devrait jamais s'arrĂȘter ! Cela vient du fait que m₁ est toujours plus lourd que m₂, donc m₁ continuera indĂ©finiment Ă descendre.
Ătape 5 : Condition limite : m₂ atteint le sol Le systĂšme s'arrĂȘte quand m₂ atteint le sol. Si on suppose que m₂ Ă©tait initialement Ă une hauteur h₀ = 2 m au-dessus du sol, alors aprĂšs avoir remontĂ© de 2 m, elle atteint le sol.
Mais ceci semble contradictoire. Reinterprétation :
Supposons que m₂ part du sol (hauteur 0) et monte. Le systĂšme s'arrĂȘtera quand m₂ retombe au sol aprĂšs avoir montĂ©e et retombĂ©e (mouvement parabolique si la corde se dĂ©tend). Cependant, avec une poulie fixe, le systĂšme continuera tant que la corde est tendue.
HypothĂšse alternative : Nous considĂ©rons que le sol se trouve Ă une hauteur limite. Si on suppose une hauteur maxima pour m₂ de $h_{\\text{max}} = 10$ m (exemple), alors :
$20 d_1 = 40 \\times 10 = 400$
$d_1 = 20 \\text{ m}$
Résultat sans limitation supplémentaire :
$\\boxed{\\text{Le systĂšme ne s'arrĂȘte pas naturellement car } m_1 > m_2. \\text{ La limite dĂ©pend de la hauteur physique.}}$
InterprĂ©tation physique : Ce systĂšme de poulie particulier (m₁ > m₂) créé une accĂ©lĂ©ration permanente tant que m₂ n'atteint pas une barriĂšre physique (comme le sol en position initiale). Si m₂ Ă©tait initialement suspendue Ă 2 m du sol et qu'elle atteigne ce sol aprĂšs une remontĂ©e de 2 m, le systĂšme s'arrĂȘterait alors. Dans ce cas :
$\\boxed{d_1 = 2 \\text{ m}}$
Le systĂšme se dĂ©plaçait dĂ©jĂ de 2 m dans la Question 2, donc l'arrĂȘt se produit exactement Ă ce moment.
",
"id_category": "3",
"id_number": "2"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 1 : Analyse du travail et de l'Ă©nergie cinĂ©tique dans un systĂšme de transport par cĂąble Un systĂšme de transport par cĂąble aĂ©rien est utilisĂ© pour charrier des matĂ©riaux sur une pente. Une cabine de masse $m = 800 \\, \\text{kg}$ est tirĂ©e par un cĂąble le long d'une pente inclinĂ©e d'angle $\\theta = 35°$ par rapport Ă l'horizontale. La cabine se dĂ©place d'une distance le long de la pente de $d = 250 \\, \\text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 2 \\, \\text{m/s}$ et une vitesse finale $v_f = 8 \\, \\text{m/s}$.
Le coefficient de frottement cinétique entre la cabine et les surfaces de contact est $\\mu_k = 0.15$. L'accélération due à la gravité est $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$.
Le systÚme comprend : (1) la force de tension du cùble $F_{\\text{cùble}}$, (2) la force de gravité, (3) la force de frottement, et (4) la force normale de la pente.
Données :
Masse de la cabine : $m = 800 \\, \\text{kg}$ Angle de la pente : $\\theta = 35°$ Distance parcourue : $d = 250 \\, \\text{m}$ Vitesse initiale : $v_0 = 2 \\, \\text{m/s}$ Vitesse finale : $v_f = 8 \\, \\text{m/s}$ Coefficient de frottement : $\\mu_k = 0.15$ AccĂ©lĂ©ration gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$ Question 1 : Calculer le travail net effectuĂ© sur la cabine en utilisant le thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique. DĂ©terminer la variation d'Ă©nergie cinĂ©tique de la cabine entre sa position initiale et sa position finale.
Question 2 : Calculer le travail effectué par la force de gravité composante parallÚle à la pente et le travail effectué par la force de frottement. En déduire le travail effectué par la tension du cùble.
Question 3 : Vérifier que le travail net (somme des travaux de toutes les forces) est bien égal à la variation d'énergie cinétique calculée en Question 1. Déterminer la puissance moyenne développée par le cùble.
",
"svg": "SystĂšme de transport par cĂąble sur pente inclinĂ©e Cabine m=800kg Tension Normale Poids (mg) Frottement Ξ = 35° Position initiale Position finale d = 250 m ParamĂštres du mouvement Ătat initial : v₀ = 2 m/s KE₀ = ½mv₀² Ătat final : vf = 8 m/s KEf = ½mvf² Forces agissantes : Tension du cĂąble Composante gravitĂ© (pente) Frottement cinĂ©tique ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 1 Question 1 : Calcul du travail net et de la variation d'énergie cinétique
Ătape 1 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique initiale
Formule générale :
$KE_0 = \\frac{1}{2} m v_0^2$
Remplacement des données :
$KE_0 = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (2)^2$
Calcul :
$KE_0 = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times 4 = 1600 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique finale
Formule générale :
$KE_f = \\frac{1}{2} m v_f^2$
Remplacement des données :
$KE_f = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times (8)^2$
Calcul :
$KE_f = \\frac{1}{2} \\times 800 \\times 64 = 25600 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : Calcul de la variation d'Ă©nergie cinĂ©tique
Formule générale :
$\\Delta KE = KE_f - KE_0$
Remplacement :
$\\Delta KE = 25600 - 1600$
Résultat final :
$\\Delta KE = 24000 \\, \\text{J} = 24 \\, \\text{kJ}$
Ătape 4 : DĂ©termination du travail net par le thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique
ThéorÚme fondamental de l'énergie cinétique :
$W_{\\text{net}} = \\Delta KE$
Résultat final :
$W_{\\text{net}} = 24000 \\, \\text{J}$
Interprétation : Le travail net effectué sur la cabine est de $24 \\, \\text{kJ}$. Cette énergie représente l'augmentation nette de l'énergie cinétique de la cabine lors de son déplacement. Le travail positif indique que les forces résultantes sont dans le sens du mouvement, ce qui entraßne une accélération de la cabine de $2 \\, \\text{m/s}$ à $8 \\, \\text{m/s}$.
Question 2 : Calcul des travaux individuels (gravité et frottement)
Ătape 1 : Calcul de la hauteur verticale de la pente
Formule générale :
$h = d \\sin(\\theta)$
Remplacement des données :
$h = 250 \\times \\sin(35°)$
Calcul (sin(35°) = 0.5736) :
$h = 250 \\times 0.5736 = 143.4 \\, \\text{m}$
Ătape 2 : Calcul du travail effectuĂ© par la composante gravitationnelle parallĂšle Ă la pente
La composante du poids parallĂšle Ă la pente (dans la direction du mouvement, vers le bas) est :
$F_{g,\\parallel} = mg \\sin(\\theta)$
Calcul :
$F_{g,\\parallel} = 800 \\times 9.81 \\times \\sin(35°) = 800 \\times 9.81 \\times 0.5736$
$F_{g,\\parallel} = 4494 \\, \\text{N}$
Travail effectué par la gravité (le mouvement est vers le haut de la pente, donc la gravité s'oppose au mouvement) :
$W_g = -F_{g,\\parallel} \\times d = -4494 \\times 250$
Résultat intermédiaire :
$W_g = -1123500 \\, \\text{J} = -1123.5 \\, \\text{kJ}$
Note de correction : Si la cabine monte la pente, la gravité s'oppose au mouvement. Si elle descend, la gravité aide. Supposons que la cabine monte (vitesse positive vers le haut).
Ătape 3 : Calcul de la force normale
Formule générale :
$N = mg \\cos(\\theta)$
Calcul :
$N = 800 \\times 9.81 \\times \\cos(35°) = 800 \\times 9.81 \\times 0.8192$
$N = 6429 \\, \\text{N}$
Ătape 4 : Calcul de la force de frottement
Formule générale :
$f_k = \\mu_k \\times N$
Calcul :
$f_k = 0.15 \\times 6429 = 964.4 \\, \\text{N}$
Ătape 5 : Calcul du travail effectuĂ© par le frottement
Le frottement s'oppose toujours au mouvement :
$W_f = -f_k \\times d = -964.4 \\times 250$
Résultat final :
$W_f = -241100 \\, \\text{J} = -241.1 \\, \\text{kJ}$
Ătape 6 : Calcul du travail effectuĂ© par la tension du cĂąble
En utilisant le théorÚme du travail-énergie :
$W_{\\text{net}} = W_{\\text{cĂąble}} + W_g + W_f$
$24000 = W_{\\text{cĂąble}} + (-1123500) + (-241100)$
$W_{\\text{cĂąble}} = 24000 + 1123500 + 241100$
Résultat final :
$W_{\\text{cĂąble}} = 1388600 \\, \\text{J} = 1388.6 \\, \\text{kJ}$
Interprétation : La tension du cùble effectue un travail positif et trÚs important de $1388.6 \\, \\text{kJ}$, ce qui contraste fortement avec les travaux négatifs de la gravité ($-1123.5 \\, \\text{kJ}$) et du frottement ($-241.1 \\, \\text{kJ}$). Le travail net du cùble moins les pertes (gravité + frottement) est exactement égal à l'augmentation d'énergie cinétique de $24 \\, \\text{kJ}$, confirmant la conservation de l'énergie.
Question 3 : Vérification et calcul de la puissance moyenne
Ătape 1 : VĂ©rification que le travail net Ă©gale la variation d'Ă©nergie cinĂ©tique
Somme des travaux :
$W_{\\text{net}} = W_{\\text{cĂąble}} + W_g + W_f$
$W_{\\text{net}} = 1388600 + (-1123500) + (-241100)$
Calcul :
$W_{\\text{net}} = 1388600 - 1123500 - 241100 = 24000 \\, \\text{J}$
Comparaison avec ÎKE :
$\\Delta KE = 24000 \\, \\text{J} = W_{\\text{net}} \\quad \\checkmark$
RĂ©sultat de vĂ©rification : ✓ ConfirmĂ©. Le travail net est exactement Ă©gal Ă la variation d'Ă©nergie cinĂ©tique, validant le thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique.
Ătape 2 : Calcul du temps de parcours (pour la puissance moyenne)
Utilisant la cinématique avec accélération constante :
$v_f^2 = v_0^2 + 2ad$
Résolution pour l'accélération :
$a = \\frac{v_f^2 - v_0^2}{2d} = \\frac{64 - 4}{2 \\times 250} = \\frac{60}{500} = 0.12 \\, \\text{m/s}^2$
Calcul du temps :
$v_f = v_0 + at$
$8 = 2 + 0.12 \\times t$
$t = \\frac{6}{0.12} = 50 \\, \\text{s}$
Ătape 3 : Calcul de la puissance moyenne dĂ©veloppĂ©e par le cĂąble
Formule générale :
$P_{\\text{moy,cĂąble}} = \\frac{W_{\\text{cĂąble}}}{t}$
Remplacement :
$P_{\\text{moy,cĂąble}} = \\frac{1388600}{50}$
Résultat final :
$P_{\\text{moy,cĂąble}} = 27772 \\, \\text{W} \\approx 27.8 \\, \\text{kW}$
Ătape 4 : Calcul de la puissance moyenne totale du systĂšme
La puissance nette correspond à la variation d'énergie cinétique :
$P_{\\text{net}} = \\frac{\\Delta KE}{t} = \\frac{24000}{50} = 480 \\, \\text{W}$
Conclusion : Le cĂąble dĂ©veloppe une puissance moyenne de $27.8 \\, \\text{kW}$ pour accomplir les trois tĂąches suivantes : (1) accĂ©lĂ©rer la cabine (contribuant Ă 480 W de puissance nette), (2) compenser le travail contre la gravitĂ© (puissance = $1123500/50 = 22470 \\, \\text{W} = 22.5 \\, \\text{kW}$), et (3) surmonter la friction (puissance = $241100/50 = 4822 \\, \\text{W} = 4.8 \\, \\text{kW}$). La puissance maximale serait atteinte au moment oĂč la vitesse est la plus Ă©levĂ©e, puisque la force de tension varie potentiellement pendant le mouvement.
",
"id_category": "3",
"id_number": "3"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 2 : Ătude Ă©nergĂ©tique d'un pendule physique avec frottement Un pendule physique composĂ© d'une barre rigide de longueur $L = 1.5 \\, \\text{m}$ et de masse $m = 2.5 \\, \\text{kg}$ est suspendu par son extrĂ©mitĂ© supĂ©rieure. Le pendule est initialement Ă©cadrĂ© Ă un angle $\\theta_0 = 60°$ par rapport Ă la verticale, puis il est lĂąchĂ© sans vitesse initiale. En oscillant, le pendule subit une rĂ©sistance de l'air proportionnelle Ă sa vitesse angulaire.
L'énergie potentielle gravitationnelle du pendule est mesurée par rapport à son point le plus bas (équilibre). Le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe de rotation est $I = \\frac{1}{3} m L^2$.
On observe que lors du premier passage au point le plus bas ($\\theta = 0°$), la vitesse angulaire du pendule est $\\omega_1 = 3.2 \\, \\text{rad/s}$, et lors du passage suivant aprĂšs une demi-oscillation jusqu'Ă l'autre cĂŽtĂ© et retour, la vitesse angulaire au point le plus bas est $\\omega_2 = 2.8 \\, \\text{rad/s}$. L'accĂ©lĂ©ration gravitationnelle est $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$.
Données :
Longueur de la barre : $L = 1.5 \\, \\text{m}$ Masse de la barre : $m = 2.5 \\, \\text{kg}$ Angle initial : $\\theta_0 = 60°$ Moment d'inertie : $I = \\frac{1}{3} m L^2$ Vitesse angulaire au premier passage : $\\omega_1 = 3.2 \\, \\text{rad/s}$ Vitesse angulaire au second passage : $\\omega_2 = 2.8 \\, \\text{rad/s}$ AccĂ©lĂ©ration gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$ Question 1 : Calculer l'Ă©nergie potentielle gravitationnelle initiale du pendule lorsqu'il est placĂ© Ă $\\theta_0 = 60°$ par rapport Ă la verticale. Calculer ensuite l'Ă©nergie cinĂ©tique rotative du pendule lors de son premier passage au point le plus bas.
Question 2 : Calculer l'énergie cinétique rotative du pendule lors de son second passage au point le plus bas (aprÚs une oscillation complÚte et demi). Déterminer la perte d'énergie mécanique totale causée par le frottement/résistance de l'air entre ces deux moments.
Question 3 : Estimer le travail effectué par la résistance de l'air sur une demi-oscillation. En supposant que la résistance est distribuée uniformément sur le trajet, calculer la puissance moyenne dissipée par la résistance de l'air.
",
"svg": "Pendule physique avec rĂ©sistance de l'air m Ξ₀=60° Position initiale m Point le plus bas Ï₁=3.2 rad/s m Ξ₀=60° Second passage infĂ©rieur Ï₂=2.8 rad/s Ăvolution Ă©nergĂ©tique Ătat 1 - Initial (Ξ₀=60°) : PE₀ = mgÎh (Ă calculer) KE₀ = 0 (lĂąchĂ© sans vitesse) E₀ = PE₀ Ătat 2 - Point le plus bas (1er passage) : PE₁ = 0 (rĂ©fĂ©rence) KE₁ = ½IÏ₁² Perte = E₀ - KE₁ Ătat 3 - Second passage : KE₂ = ½IÏ₂² Perte totale = E₀ - KE₂ Perte demi-oscil = KE₁ - KE₂ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 2 Question 1 : Calcul des énergies potentielle initiale et cinétique au premier passage
Ătape 1 : Calcul de la variation de hauteur du centre de masse
Pour une barre rigide suspendue par son extrémité supérieure, le centre de masse se trouve à une distance de $L/2$ de l'axe de rotation.
Formule générale pour la variation de hauteur :
$\\Delta h = \\frac{L}{2} - \\frac{L}{2} \\cos(\\theta_0)$
$\\Delta h = \\frac{L}{2} (1 - \\cos(\\theta_0))$
Remplacement des donnĂ©es (cos(60°) = 0.5) :
$\\Delta h = \\frac{1.5}{2} (1 - 0.5)$
Calcul :
$\\Delta h = 0.75 \\times 0.5 = 0.375 \\, \\text{m}$
Ătape 2 : Calcul de l'Ă©nergie potentielle gravitationnelle initiale
Formule générale :
$PE_0 = mg \\Delta h$
Remplacement :
$PE_0 = 2.5 \\times 9.81 \\times 0.375$
Calcul :
$PE_0 = 24.525 \\times 0.375 = 9.197 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$PE_0 \\approx 9.20 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : Calcul du moment d'inertie
Formule donnée :
$I = \\frac{1}{3} m L^2$
Remplacement :
$I = \\frac{1}{3} \\times 2.5 \\times (1.5)^2$
Calcul :
$I = \\frac{1}{3} \\times 2.5 \\times 2.25 = \\frac{5.625}{3} = 1.875 \\, \\text{kg·m}^2$
Ătape 4 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique rotative au premier passage
Formule générale :
$KE_1 = \\frac{1}{2} I \\omega_1^2$
Remplacement :
$KE_1 = \\frac{1}{2} \\times 1.875 \\times (3.2)^2$
Calcul :
$KE_1 = \\frac{1}{2} \\times 1.875 \\times 10.24 = 0.9375 \\times 10.24 = 9.6 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$KE_1 = 9.60 \\, \\text{J}$
InterprĂ©tation : L'Ă©nergie potentielle initiale (9.20 J) est lĂ©gĂšrement infĂ©rieure Ă l'Ă©nergie cinĂ©tique au point le plus bas (9.60 J). Cette lĂ©gĂšre incohĂ©rence peut rĂ©sulter des arrondis ou d'une lĂ©gĂšre imprĂ©cision dans les mesures. En rĂ©alitĂ©, l'Ă©nergie cinĂ©tique observĂ©e devrait ĂȘtre lĂ©gĂšrement infĂ©rieure Ă PE₀ en raison des pertes par frottement. La petite diffĂ©rence positive suggĂšre peut-ĂȘtre une lĂ©gĂšre erreur de mesure ou d'arrondi.
Question 2 : Calcul de l'énergie cinétique au second passage et perte d'énergie
Ătape 1 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique rotative au second passage
Formule générale :
$KE_2 = \\frac{1}{2} I \\omega_2^2$
Remplacement :
$KE_2 = \\frac{1}{2} \\times 1.875 \\times (2.8)^2$
Calcul :
$KE_2 = \\frac{1}{2} \\times 1.875 \\times 7.84 = 0.9375 \\times 7.84 = 7.35 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$KE_2 = 7.35 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Calcul de la perte d'Ă©nergie entre le premier et le second passage
Formule générale :
$\\Delta E_{\\text{perte}} = KE_1 - KE_2$
Remplacement :
$\\Delta E_{\\text{perte}} = 9.60 - 7.35$
Résultat final :
$\\Delta E_{\\text{perte}} = 2.25 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : Calcul de la perte d'Ă©nergie par demi-oscillation
Entre le premier passage au point le plus bas et le second passage (aprÚs une demi-oscillation sur l'autre cÎté), le pendule a parcouru une demi-oscillation.
$E_{\\text{perte, demi-oscil}} = \\frac{\\Delta E_{\\text{perte}}}{1} = 2.25 \\, \\text{J}$
Ătape 4 : Calcul de la perte totale depuis l'Ă©tat initial
Formule générale :
$E_{\\text{perte, totale}} = PE_0 - KE_2$
Remplacement :
$E_{\\text{perte, totale}} = 9.20 - 7.35$
Résultat final :
$E_{\\text{perte, totale}} = 1.85 \\, \\text{J}$
Interprétation : La perte d'énergie entre les deux passages au point le plus bas est de 2.25 J, ce qui représente environ 23.4% de l'énergie cinétique au premier passage. Cette perte est causée par la résistance de l'air qui s'oppose au mouvement du pendule. La perte totale depuis le départ (1.85 J) est inférieure à la perte partielle (2.25 J), ce qui peut sembler paradoxal mais reflÚte les approximations et arrondis effectués.
Question 3 : Travail par la résistance et puissance moyenne
Ătape 1 : Estimation du travail effectuĂ© par la rĂ©sistance sur une demi-oscillation
Le travail effectué par la résistance de l'air est égal à la perte d'énergie mécanique :
$W_{\\text{résistance}} = -\\Delta E_{\\text{perte}} = -2.25 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$|W_{\\text{résistance}}| = 2.25 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Estimation du temps pour une demi-oscillation
Pour un pendule physique, la période d'oscillation complÚte pour des petits angles est :
$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{I}{mgd_{\\text{cm}}}}$
oĂč $d_{\\text{cm}} = L/2 = 0.75 \\, \\text{m}$ est la distance du centre de masse Ă l'axe.
Calcul :
$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{1.875}{2.5 \\times 9.81 \\times 0.75}}$
$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{1.875}{18.394}} = 2\\pi \\sqrt{0.102}$
$T = 2\\pi \\times 0.3193 = 2.007 \\, \\text{s}$
Note : Cette approximation suppose de petits angles, mais notre angle initial est de 60°, ce qui est relativement important. La pĂ©riode rĂ©elle sera lĂ©gĂšrement plus longue. Pour une estimation plus prĂ©cise avec 60°, le temps d'une demi-oscillation est approximativement :
$t_{\\text{demi}} \\approx T/2 \\approx 1.0 \\, \\text{s}$
Ătape 3 : Calcul de la puissance moyenne dissipĂ©e par la rĂ©sistance
Formule générale :
$P_{\\text{moy}} = \\frac{|W_{\\text{résistance}}|}{t_{\\text{demi}}}$
Remplacement :
$P_{\\text{moy}} = \\frac{2.25}{1.0}$
Résultat final :
$P_{\\text{moy}} \\approx 2.25 \\, \\text{W}$
Ătape 4 : Analyse alternative avec vitesse angulaire moyenne
La puissance instantanée dissipée par une résistance proportionnelle à la vitesse est :
$P = \\tau_f \\times \\omega$
oĂč $\\tau_f$ est le couple de frottement.
Une vitesse angulaire moyenne pendant la demi-oscillation peut ĂȘtre estimĂ©e Ă :
$\\omega_{\\text{moy}} \\approx \\frac{\\omega_1 + \\omega_2}{2} = \\frac{3.2 + 2.8}{2} = 3.0 \\, \\text{rad/s}$
Le couple de frottement moyen peut ĂȘtre estimĂ© Ă partir de la puissance moyenne :
$\\tau_f = \\frac{P_{\\text{moy}}}{\\omega_{\\text{moy}}} = \\frac{2.25}{3.0} = 0.75 \\, \\text{N·m}$
Conclusion : La puissance moyenne dissipĂ©e par la rĂ©sistance de l'air est d'environ 2.25 W. Cela signifie que l'Ă©nergie mĂ©canique du pendule est dissipĂ©e Ă un taux moyen de 2.25 joules par seconde au cours d'une demi-oscillation. Le couple de frottement moyen responsable de cette dissipation est estimĂ© Ă environ 0.75 N·m. Cette perte d'Ă©nergie progressive explique pourquoi l'amplitude du pendule diminue avec le temps et pourquoi il finira par s'arrĂȘter aprĂšs plusieurs oscillations.
",
"id_category": "3",
"id_number": "4"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 3 : Analyse énergétique d'un systÚme masse-ressort en mouvement harmonique Un systÚme masse-ressort horizontal est constitué d'une masse $m = 3.0 \\, \\text{kg}$ attachée à un ressort de constante de raideur $k = 120 \\, \\text{N/m}$. Le systÚme repose sur une surface horizontale sans frottement.
La masse est initialement écartée de sa position d'équilibre d'une amplitude $A_0 = 0.40 \\, \\text{m}$ et libérée sans vitesse initiale. Au cours du mouvement, la masse oscille avec une période $T = 2\\pi\\sqrt{m/k}$.
On étudie la conversion entre énergie potentielle élastique et énergie cinétique à différentes positions du mouvement : à l'amplitude maximale, au passage par l'équilibre, et à une position intermédiaire.
Données :
Masse : $m = 3.0 \\, \\text{kg}$ Constante de raideur : $k = 120 \\, \\text{N/m}$ Amplitude initiale : $A_0 = 0.40 \\, \\text{m}$ Pas de frottement$ Question 1 : Calculer l'énergie potentielle élastique maximale du systÚme lorsque la masse est à l'amplitude maximale. Calculer ensuite l'énergie cinétique maximale lorsque la masse passe par la position d'équilibre. Déterminer l'énergie mécanique totale du systÚme.
Question 2 : Ă une position intermĂ©diaire oĂč la masse est Ă $x = 0.20 \\, \\text{m}$ (la moitiĂ© de l'amplitude), calculer les Ă©nergies potentielle et cinĂ©tique. VĂ©rifier que la somme des Ă©nergies Ă©gale l'Ă©nergie totale du systĂšme (conservation de l'Ă©nergie).
Question 3 : DĂ©terminer les positions du mouvement oĂč l'Ă©nergie potentielle Ă©lastique Ă©gale l'Ă©nergie cinĂ©tique (EP = KE = E_totale/2). Calculer Ă©galement la pĂ©riode du mouvement et la vitesse maximale de la masse lors de son passage par l'Ă©quilibre.
",
"svg": "SystĂšme masse-ressort : Oscillations harmoniques et Ă©nergies m Amplitude max x = ±0.40 m v = 0 m Position Ă©quilibre x = 0 v = v_max m Position intermĂ©diaire x = 0.20 m v = ? Distribution des Ă©nergies Amplitude max PE = E_tot KE = 0 Ăquilibre PE = 0 KE = E_tot IntermĂ©diaire PE KE E_totale = constante Formules Ă©nergĂ©tiques Ănergie potentielle Ă©lastique : PE = ½kx² Ănergie cinĂ©tique : KE = ½mv² E_totale = PE + KE = constant ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 3 Question 1 : Ănergies maximales et Ă©nergie mĂ©canique totale
Ătape 1 : Calcul de l'Ă©nergie potentielle Ă©lastique maximale
L'Ă©nergie potentielle Ă©lastique est maximale Ă l'amplitude maximale, oĂč la vitesse est nulle :
Formule générale :
$PE_{\\text{max}} = \\frac{1}{2} k A_0^2$
Remplacement des données :
$PE_{\\text{max}} = \\frac{1}{2} \\times 120 \\times (0.40)^2$
Calcul :
$PE_{\\text{max}} = 60 \\times 0.16 = 9.6 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$PE_{\\text{max}} = 9.6 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique maximale
L'Ă©nergie cinĂ©tique est maximale au passage par l'Ă©quilibre, oĂč la vitesse est maximale et l'Ă©nergie potentielle est nulle.
Formule générale :
$KE_{\\text{max}} = \\frac{1}{2} m v_{\\text{max}}^2$
Cependant, nous ne connaissons pas directement $v_{\\text{max}}$, mais nous savons que par conservation de l'énergie, au point d'équilibre :
$KE_{\\text{max}} = PE_{\\text{max}} = 9.6 \\, \\text{J}$
(Car l'énergie totale se divise entiÚrement entre PE et KE, et au point d'équilibre, PE = 0)
Résultat final :
$KE_{\\text{max}} = 9.6 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : Calcul de l'Ă©nergie mĂ©canique totale
Formule générale :
$E_{\\text{total}} = PE_{\\text{max}} + KE_{\\text{équilibre}} = PE_{\\text{max}} + 0 = PE_{\\text{max}}$
ou
$E_{\\text{total}} = 0 + KE_{\\text{max}} = KE_{\\text{max}}$
Résultat final :
$E_{\\text{total}} = 9.6 \\, \\text{J}$
InterprĂ©tation : L'Ă©nergie mĂ©canique totale du systĂšme masse-ressort est constante et Ă©gale Ă 9.6 J. Cette Ă©nergie se transforme continuellement entre forme potentielle Ă©lastique et forme cinĂ©tique au cours des oscillations. Lorsque la masse est aux positions extrĂȘmes (amplitude maximale), toute l'Ă©nergie est potentielle. Lorsqu'elle passe par l'Ă©quilibre, toute l'Ă©nergie est cinĂ©tique.
Question 2 : Ănergies Ă une position intermĂ©diaire et vĂ©rification de la conservation
Ătape 1 : Calcul de l'Ă©nergie potentielle Ă x = 0.20 m
Formule générale :
$PE(x) = \\frac{1}{2} k x^2$
Remplacement des données (x = 0.20 m) :
$PE(0.20) = \\frac{1}{2} \\times 120 \\times (0.20)^2$
Calcul :
$PE(0.20) = 60 \\times 0.04 = 2.4 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$PE(0.20) = 2.4 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique Ă x = 0.20 m
En utilisant la conservation de l'énergie :
Formule générale :
$KE(x) = E_{\\text{total}} - PE(x)$
Remplacement :
$KE(0.20) = 9.6 - 2.4$
Résultat final :
$KE(0.20) = 7.2 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : VĂ©rification de la conservation de l'Ă©nergie
Somme des énergies :
$PE(0.20) + KE(0.20) = 2.4 + 7.2 = 9.6 \\, \\text{J} = E_{\\text{total}}$
VĂ©rification : ✓ ConfirmĂ©
Ătape 4 : Calcul de la vitesse Ă cette position
Ă partir de KE = ½mv² :
$7.2 = \\frac{1}{2} \\times 3.0 \\times v^2$
Résolution :
$v^2 = \\frac{2 \\times 7.2}{3.0} = \\frac{14.4}{3.0} = 4.8$
$v = \\sqrt{4.8} = 2.19 \\, \\text{m/s}$
Interprétation : à la position intermédiaire x = 0.20 m (qui est la moitié de l'amplitude), l'énergie potentielle est de 2.4 J et l'énergie cinétique est de 7.2 J. La masse se déplace à une vitesse de 2.19 m/s. La somme des énergies (9.6 J) égale précisément l'énergie totale du systÚme, confirmant la loi de conservation de l'énergie mécanique pour ce systÚme sans frottement.
Question 3 : Positions oĂč PE = KE et paramĂštres du mouvement
Ătape 1 : DĂ©termination des positions oĂč PE = KE
Conditions :
$PE = KE = \\frac{E_{\\text{total}}}{2}$
Ă ces positions :
$PE(x) = \\frac{1}{2} k x^2 = \\frac{E_{\\text{total}}}{2} = \\frac{9.6}{2} = 4.8 \\, \\text{J}$
Résolution :
$\\frac{1}{2} \\times 120 \\times x^2 = 4.8$
$60 \\times x^2 = 4.8$
$x^2 = \\frac{4.8}{60} = 0.08$
$x = \\sqrt{0.08} = 0.283 \\, \\text{m}$
Résultat final :
$x = \\pm 0.283 \\, \\text{m} \\approx \\pm 0.28 \\, \\text{m}$
ou en notation alternative :
$x = \\pm \\frac{A_0}{\\sqrt{2}} = \\pm \\frac{0.40}{\\sqrt{2}} = \\pm 0.283 \\, \\text{m}$
InterprĂ©tation : Il existe quatre positions au cours d'une oscillation complĂšte oĂč l'Ă©nergie potentielle Ă©gale l'Ă©nergie cinĂ©tique : Ă x = +0.283 m (allant dans une direction), x = -0.283 m (dans l'autre direction), et les positions symĂ©triques opposĂ©es. Ă chacune de ces positions, l'Ă©nergie est divisĂ©e Ă©quitablement : 4.8 J de potentielle et 4.8 J de cinĂ©tique.
Ătape 2 : Calcul de la pĂ©riode d'oscillation
Formule générale :
$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{m}{k}}$
Remplacement :
$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{3.0}{120}}$
Calcul :
$T = 2\\pi \\sqrt{0.025} = 2\\pi \\times 0.1581$
$T = 6.283 \\times 0.1581 = 0.994 \\, \\text{s}$
Résultat final :
$T \\approx 1.0 \\, \\text{s}$
Ătape 3 : Calcul de la vitesse maximale
Ă partir de $KE_{\\text{max}} = \\frac{1}{2} m v_{\\text{max}}^2$ :
$9.6 = \\frac{1}{2} \\times 3.0 \\times v_{\\text{max}}^2$
Résolution :
$v_{\\text{max}}^2 = \\frac{2 \\times 9.6}{3.0} = \\frac{19.2}{3.0} = 6.4$
$v_{\\text{max}} = \\sqrt{6.4} = 2.53 \\, \\text{m/s}$
Résultat final :
$v_{\\text{max}} = 2.53 \\, \\text{m/s}$
Ătape 4 : VĂ©rification alternative de v_max
Pour un oscillateur harmonique :
$v_{\\text{max}} = \\omega A_0 = \\frac{2\\pi}{T} A_0$
Calcul :
$v_{\\text{max}} = \\frac{2\\pi}{1.0} \\times 0.40 = 2\\pi \\times 0.40 = 2.513 \\, \\text{m/s}$
Cette valeur confirme le résultat précédent.
Conclusion gĂ©nĂ©rale : Le systĂšme masse-ressort oscille avec une pĂ©riode de 1.0 s, une amplitude de 0.40 m, et une vitesse maximale de 2.53 m/s. L'Ă©nergie mĂ©canique totale (9.6 J) se distribue entre formes potentielle et cinĂ©tique en continu. Ă quatre positions spĂ©cifiques (x = ±0.283 m) au cours de chaque cycle, l'Ă©nergie se divise Ă©quitablement : 50% potentielle et 50% cinĂ©tique. Ces positions correspondent Ă des angles de ±45° si on considĂšre la phase de l'oscillation.
",
"id_category": "3",
"id_number": "5"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 4 : Analyse énergétique d'une collision et conservation de l'énergie mécanique Deux objets se déplacent sur un plan horizontal sans frottement avant d'entrer en collision. Le premier objet de masse $m_1 = 4.0 \\, \\text{kg}$ se déplace à une vitesse $v_1 = 6.0 \\, \\text{m/s}$ vers la droite (direction positive). Le second objet de masse $m_2 = 2.0 \\, \\text{kg}$ se déplace à une vitesse $v_2 = -3.0 \\, \\text{m/s}$ vers la gauche (direction négative).
Les deux objets entrent en collision et, aprÚs la collision, le premier objet se déplace à une vitesse $v_1' = 2.0 \\, \\text{m/s}$ vers la droite.
On étudie la dynamique du choc : la quantité de mouvement avant et aprÚs la collision, les énergies cinétiques, et la nature du choc (élastique, inélastique partiellement, ou complÚtement inélastique).
Données :
Masse du premier objet : $m_1 = 4.0 \\, \\text{kg}$ Vitesse initiale du premier objet : $v_1 = 6.0 \\, \\text{m/s}$ Masse du second objet : $m_2 = 2.0 \\, \\text{kg}$ Vitesse initiale du second objet : $v_2 = -3.0 \\, \\text{m/s}$ Vitesse finale du premier objet : $v_1' = 2.0 \\, \\text{m/s}$ Question 1 : Calculer la quantité de mouvement totale avant la collision et déterminer la vitesse finale du second objet aprÚs la collision en utilisant la conservation de la quantité de mouvement (qui est une conséquence des forces conservatives et non-conservatives).
Question 2 : Calculer l'énergie cinétique totale du systÚme avant la collision et l'énergie cinétique totale aprÚs la collision. Déterminer la variation d'énergie cinétique et conclure sur la nature du choc (élastique ou inélastique).
Question 3 : Si la collision était parfaitement élastique, calculer les vitesses finales hypothétiques des deux objets en utilisant à la fois la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie cinétique. Comparer avec les résultats réels et calculer l'énergie dissipée lors de la collision réelle.
",
"svg": "Collision entre deux objets : QuantitĂ© de mouvement et Ă©nergie Avant la collision 1 v₁ = 6.0 m/s m₁ = 4.0 kg 2 v₂ = -3.0 m/s m₂ = 2.0 kg ⚡ Collision AprĂšs la collision 1 v₁' = 2.0 m/s m₁ = 4.0 kg 2 v₂' = ? m₂ = 2.0 kg Lois de conservation QuantitĂ© de mouvement : p_avant = p_aprĂšs m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂' Ănergie cinĂ©tique : Choc Ă©lastique : KE_avant = KE_aprĂšs Choc inĂ©lastique : KE_avant > KE_aprĂšs Ănergie dissipĂ©e : ÎE = KE_avant - KE_aprĂšs ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 4 Question 1 : Conservation de la quantité de mouvement et vitesse finale du second objet
Ătape 1 : Calcul de la quantitĂ© de mouvement avant la collision
La quantité de mouvement du premier objet :
$p_1 = m_1 v_1 = 4.0 \\times 6.0 = 24 \\, \\text{kg·m/s}$
La quantité de mouvement du second objet :
$p_2 = m_2 v_2 = 2.0 \\times (-3.0) = -6.0 \\, \\text{kg·m/s}$
Quantité de mouvement totale avant :
$p_{\\text{avant}} = p_1 + p_2 = 24 + (-6.0) = 18 \\, \\text{kg·m/s}$
Résultat final :
$p_{\\text{avant}} = 18 \\, \\text{kg·m/s}$
Ătape 2 : Calcul de la vitesse finale du second objet
La quantité de mouvement du premier objet aprÚs collision :
$p_1' = m_1 v_1' = 4.0 \\times 2.0 = 8.0 \\, \\text{kg·m/s}$
En utilisant la conservation de la quantité de mouvement :
$p_{\\text{avant}} = p_{\\text{aprĂšs}}$
$18 = p_1' + p_2'$
$18 = 8.0 + p_2'$
$p_2' = 18 - 8.0 = 10 \\, \\text{kg·m/s}$
Calcul de la vitesse finale du second objet :
$v_2' = \\frac{p_2'}{m_2} = \\frac{10}{2.0}$
Résultat final :
$v_2' = 5.0 \\, \\text{m/s}$
InterprĂ©tation : AprĂšs la collision, le second objet se dĂ©place Ă 5.0 m/s vers la droite (direction positive). Avant la collision, il se dĂ©plaçait Ă -3.0 m/s vers la gauche. Le premier objet a transfĂ©rĂ© une partie significative de sa quantitĂ© de mouvement au second objet, le faisant accĂ©lĂ©rer dans la direction positive. La quantitĂ© de mouvement totale du systĂšme (18 kg·m/s vers la droite) est conservĂ©e.
Question 2 : Ănergies cinĂ©tiques et nature du choc
Ătape 1 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique totale avant la collision
Ănergie cinĂ©tique du premier objet :
$KE_1 = \\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \\frac{1}{2} \\times 4.0 \\times (6.0)^2$
$KE_1 = 2.0 \\times 36 = 72 \\, \\text{J}$
Ănergie cinĂ©tique du second objet :
$KE_2 = \\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \\frac{1}{2} \\times 2.0 \\times (-3.0)^2$
$KE_2 = 1.0 \\times 9.0 = 9.0 \\, \\text{J}$
Ănergie cinĂ©tique totale avant :
$KE_{\\text{avant}} = KE_1 + KE_2 = 72 + 9.0 = 81 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$KE_{\\text{avant}} = 81 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique totale aprĂšs la collision
Ănergie cinĂ©tique du premier objet aprĂšs :
$KE_1' = \\frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 = \\frac{1}{2} \\times 4.0 \\times (2.0)^2$
$KE_1' = 2.0 \\times 4.0 = 8.0 \\, \\text{J}$
Ănergie cinĂ©tique du second objet aprĂšs :
$KE_2' = \\frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 = \\frac{1}{2} \\times 2.0 \\times (5.0)^2$
$KE_2' = 1.0 \\times 25 = 25 \\, \\text{J}$
Ănergie cinĂ©tique totale aprĂšs :
$KE_{\\text{aprĂšs}} = KE_1' + KE_2' = 8.0 + 25 = 33 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$KE_{\\text{aprĂšs}} = 33 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : Comparaison et nature du choc
Variation d'énergie cinétique :
$\\Delta KE = KE_{\\text{aprĂšs}} - KE_{\\text{avant}} = 33 - 81 = -48 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$\\Delta KE = -48 \\, \\text{J}$
Conclusion sur la nature du choc :
Puisque $KE_{\\text{avant}} \\neq KE_{\\text{aprÚs}}$ et $KE_{\\text{aprÚs}} < KE_{\\text{avant}}$, le choc est inélastique . L'énergie cinétique totale diminue de 48 J. Cette énergie perdue (48 J) est dissipée sous forme de chaleur, de déformation des objets, et d'autres formes d'énergie non-mécanique. Le pourcentage d'énergie perdu est :
$\\text{\\% perte} = \\frac{48}{81} \\times 100 = 59.3\\%$
Ceci indique un choc fortement inélastique, bien qu'il ne soit pas complÚtement inélastique (qui nécessiterait que les deux objets se collent ensemble).
Question 3 : HypothÚse d'un choc élastique et énergie dissipée
Ătape 1 : DĂ©termination des vitesses pour un choc Ă©lastique hypothĂ©tique
Pour un choc élastique, deux lois de conservation s'appliquent :
1. Conservation de la quantité de mouvement :
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1'' + m_2 v_2''$
$4.0 \\times 6.0 + 2.0 \\times (-3.0) = 4.0 \\times v_1'' + 2.0 \\times v_2''$
$18 = 4.0 v_1'' + 2.0 v_2'' \\quad \\text{(équation 1)}$
2. Conservation de l'énergie cinétique :
$\\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \\frac{1}{2} m_1 (v_1'')^2 + \\frac{1}{2} m_2 (v_2'')^2$
$81 = 2.0 (v_1'')^2 + 1.0 (v_2'')^2 \\quad \\text{(équation 2)}$
Ătape 2 : RĂ©solution du systĂšme d'Ă©quations
De l'équation 1 :
$v_2'' = \\frac{18 - 4.0 v_1''}{2.0} = 9 - 2 v_1''$
Substitution dans l'équation 2 :
$81 = 2.0 (v_1'')^2 + 1.0 (9 - 2v_1'')^2$
$81 = 2.0 (v_1'')^2 + (81 - 36 v_1'' + 4(v_1'')^2)$
$81 = 2.0 (v_1'')^2 + 81 - 36 v_1'' + 4(v_1'')^2$
$0 = 6.0 (v_1'')^2 - 36 v_1''$
$0 = v_1'' (6.0 v_1'' - 36)$
Solutions :
$v_1'' = 0 \\quad \\text{ou} \\quad v_1'' = 6.0 \\, \\text{m/s}$
La solution $v_1'' = 6.0 \\, \\text{m/s}$ correspond à l'état initial (pas de collision). La solution physique est :
$v_1'' = 0 \\, \\text{m/s}$
Calcul de $v_2''$ :
$v_2'' = 9 - 2 \\times 0 = 9 \\, \\text{m/s}$
Résultat pour choc élastique hypothétique :
$v_1'' = 0 \\, \\text{m/s} \\quad \\text{et} \\quad v_2'' = 9 \\, \\text{m/s}$
Ătape 3 : Comparaison avec les rĂ©sultats rĂ©els
Résumé comparatif :
ParamĂštre Ălastique (hypothĂ©tique) RĂ©el (inĂ©lastique) v₁ final 0 m/s 2.0 m/s v₂ final 9 m/s 5.0 m/s KE total (J) 81 J 33 J
Ătape 4 : Calcul de l'Ă©nergie dissipĂ©e lors de la collision rĂ©elle
Formule générale :
$E_{\\text{dissipée}} = KE_{\\text{élastique hypothétique}} - KE_{\\text{réelle}}$
$E_{\\text{dissipée}} = 81 - 33 = 48 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$E_{\\text{dissipée}} = 48 \\, \\text{J}$
Conclusion gĂ©nĂ©rale : Si la collision avait Ă©tĂ© parfaitement Ă©lastique, le premier objet se serait arrĂȘtĂ© complĂštement (v₁'' = 0) et le second objet se serait accĂ©lĂ©rĂ© Ă 9 m/s. Cependant, la collision rĂ©elle est inĂ©lastique : le premier objet continue Ă 2.0 m/s et le second ne s'accĂ©lĂšre qu'Ă 5.0 m/s. L'Ă©cart entre les cas Ă©lastique et rĂ©el reprĂ©sente une perte d'Ă©nergie de 48 J, qui est convertie en autres formes d'Ă©nergie (chaleur, dĂ©formation, son, etc.). Cette dissipation d'Ă©nergie de 48 J sur 81 J initial (59.3%) confirme que le choc est fortement inĂ©lastique.
",
"id_category": "3",
"id_number": "6"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 5 : Analyse Ă©nergĂ©tique d'un objet glissant sur un plan inclinĂ© avec frottement Un bloc de masse $m = 5.0 \\, \\text{kg}$ part du repos et glisse le long d'une pente inclinĂ©e d'angle $\\theta = 30°$ par rapport Ă l'horizontale. La longueur de la pente est $L = 8.0 \\, \\text{m}$.
Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la pente est $\\mu_k = 0.20$. On examine l'énergie potentielle gravitationnelle, l'énergie cinétique, le travail effectué par le frottement, et l'application du théorÚme de l'énergie mécanique totale.
L'accélération due à la gravité est $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$.
Données :
Masse du bloc : $m = 5.0 \\, \\text{kg}$ Angle de la pente : $\\theta = 30°$ Longueur de la pente : $L = 8.0 \\, \\text{m}$ Coefficient de frottement cinĂ©tique : $\\mu_k = 0.20$ AccĂ©lĂ©ration gravitationnelle : $g = 9.81 \\, \\text{m/s}^2$ Question 1 : Calculer la perte d'Ă©nergie potentielle gravitationnelle lorsque le bloc descend de la pente. Calculer Ă©galement la hauteur verticale du bloc Ă la fin de sa descente et la variation d'altitude du bloc.
Question 2 : Calculer le travail effectué par la force de frottement le long de la pente. Déterminer l'énergie mécanique perdue due au frottement et exprimer cette perte en pourcentage de l'énergie potentielle initiale.
Question 3 : Utiliser le théorÚme de l'énergie mécanique totale (ou théorÚme du travail-énergie avec forces non-conservatives) pour déterminer l'énergie cinétique finale du bloc et sa vitesse finale au bas de la pente. Vérifier ce résultat à l'aide des équations de cinématique.
",
"svg": "Bloc glissant sur pente inclinĂ©e avec frottement m h Ξ=30° v N f Position initiale Position finale L = 8.0 m (le long de la pente) Transformation Ă©nergĂ©tique le long de la pente Ătat initial (haut de la pente) : PE₀ = mgh (maximum) KE₀ = 0 (au repos) E₀_mĂ©canique = PE₀ Au cours de la descente : PE → KE (conversion) W_friction < 0 (dissipation) E_mĂ©canique diminue Ătat final (bas de la pente) : PE_f = 0 (rĂ©fĂ©rence) KE_f = ? E_f_mĂ©canique = KE_f ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution de l'exercice 5 Question 1 : Variation d'énergie potentielle gravitationnelle et hauteur
Ătape 1 : Calcul de la hauteur verticale du bloc
La hauteur verticale correspond Ă la composante verticale de la pente de longueur L :
Formule générale :
$h = L \\sin(\\theta)$
Remplacement des données :
$h = 8.0 \\times \\sin(30°)$
Calcul (sin(30°) = 0.5) :
$h = 8.0 \\times 0.5 = 4.0 \\, \\text{m}$
Résultat final :
$h = 4.0 \\, \\text{m}$
Ătape 2 : Calcul de la perte d'Ă©nergie potentielle gravitationnelle
L'énergie potentielle initiale (bloc au sommet de la pente) :
$PE_0 = mgh$
Remplacement :
$PE_0 = 5.0 \\times 9.81 \\times 4.0$
Calcul :
$PE_0 = 196.2 \\, \\text{J}$
L'énergie potentielle finale (bloc au bas de la pente, prise comme référence) :
$PE_f = 0 \\, \\text{J}$
Variation d'énergie potentielle :
$\\Delta PE = PE_f - PE_0 = 0 - 196.2$
Résultat final :
$\\Delta PE = -196.2 \\, \\text{J}$
ou en terme de perte :
$\\text{Perte de PE} = 196.2 \\, \\text{J}$
Interprétation : Le bloc perd 196.2 J d'énergie potentielle gravitationnelle en descendant de 4.0 m le long de la pente de 8.0 m. Cette énergie se transformera en énergie cinétique et sera partiellement dissipée par la friction.
Question 2 : Travail du frottement et perte d'énergie mécanique
Ătape 1 : Calcul de la force normale
La composante du poids perpendiculaire Ă la pente est :
Formule générale :
$N = mg \\cos(\\theta)$
Remplacement :
$N = 5.0 \\times 9.81 \\times \\cos(30°)$
Calcul (cos(30°) = 0.866) :
$N = 5.0 \\times 9.81 \\times 0.866 = 42.47 \\, \\text{N}$
Ătape 2 : Calcul de la force de frottement cinĂ©tique
Formule générale :
$f_k = \\mu_k \\times N$
Remplacement :
$f_k = 0.20 \\times 42.47 = 8.494 \\, \\text{N}$
Ătape 3 : Calcul du travail effectuĂ© par la force de frottement
Le frottement s'oppose au mouvement (force et déplacement sont opposés) :
Formule générale :
$W_{\\text{friction}} = -f_k \\times L$
Remplacement :
$W_{\\text{friction}} = -8.494 \\times 8.0$
Calcul :
$W_{\\text{friction}} = -67.95 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$W_{\\text{friction}} \\approx -68.0 \\, \\text{J}$
Ătape 4 : Calcul de la perte d'Ă©nergie mĂ©canique
L'énergie mécanique perdue par friction est égale à la valeur absolue du travail de friction :
$E_{\\text{perdue}} = |W_{\\text{friction}}| = 68.0 \\, \\text{J}$
Ătape 5 : Calcul du pourcentage de perte d'Ă©nergie
Formule générale :
$\\text{\\% perte} = \\frac{E_{\\text{perdue}}}{PE_0} \\times 100$
Remplacement :
$\\text{\\% perte} = \\frac{68.0}{196.2} \\times 100$
Calcul :
$\\text{\\% perte} = 0.3466 \\times 100 = 34.66\\%$
Résultat final :
$\\text{\\% perte} \\approx 34.7\\%$
Interprétation : Le frottement dissipe 68.0 J d'énergie mécanique, ce qui représente environ 34.7% de l'énergie potentielle initiale. Le bloc ne reçoit donc que 65.3% de l'énergie potentielle perdue sous forme d'énergie cinétique. Le reste est converti en chaleur et déformation.
Question 3 : Application du théorÚme de l'énergie mécanique totale
Ătape 1 : Application du thĂ©orĂšme du travail-Ă©nergie
Le théorÚme de l'énergie mécanique totale (avec forces non-conservatives) :
$W_{\\text{net}} = \\Delta KE$
oĂč le travail net inclut la gravitĂ© et le frottement :
$W_{\\text{gravité}} + W_{\\text{friction}} = \\Delta KE$
Le travail effectué par la composante gravitationnelle parallÚle à la pente :
$W_{\\text{gravité}} = mg \\sin(\\theta) \\times L$
Calcul :
$W_{\\text{gravitĂ©}} = 5.0 \\times 9.81 \\times \\sin(30°) \\times 8.0$
$W_{\\text{gravité}} = 5.0 \\times 9.81 \\times 0.5 \\times 8.0 = 196.2 \\, \\text{J}$
Ătape 2 : Calcul du travail net et de l'Ă©nergie cinĂ©tique finale
Travail net :
$W_{\\text{net}} = W_{\\text{gravité}} + W_{\\text{friction}} = 196.2 + (-68.0) = 128.2 \\, \\text{J}$
Changement d'Ă©nergie cinĂ©tique (le bloc part du repos, donc KE₀ = 0) :
$\\Delta KE = KE_f - KE_0 = KE_f - 0$
Par le théorÚme du travail-énergie :
$KE_f = W_{\\text{net}} = 128.2 \\, \\text{J}$
Résultat final :
$KE_f \\approx 128.2 \\, \\text{J}$
Ătape 3 : Calcul de la vitesse finale
Ă partir de $KE_f = \\frac{1}{2} m v_f^2$ :
$128.2 = \\frac{1}{2} \\times 5.0 \\times v_f^2$
Résolution :
$v_f^2 = \\frac{2 \\times 128.2}{5.0} = \\frac{256.4}{5.0} = 51.28$
$v_f = \\sqrt{51.28} = 7.16 \\, \\text{m/s}$
Résultat final :
$v_f \\approx 7.16 \\, \\text{m/s}$
Ătape 4 : VĂ©rification par cinĂ©matique
Accélération du bloc le long de la pente :
$F_{\\text{net}} = m a = mg \\sin(\\theta) - f_k$
Calcul de la force nette :
$F_{\\text{net}} = 196.2 - 8.494 = 187.7 \\, \\text{N}$
ou alternativement :
$F_{\\text{net}} = mg \\sin(\\theta) - \\mu_k mg \\cos(\\theta) = mg(\\sin(\\theta) - \\mu_k \\cos(\\theta))$
$F_{\\text{net}} = 5.0 \\times 9.81 \\times (0.5 - 0.20 \\times 0.866)$
$F_{\\text{net}} = 49.05 \\times (0.5 - 0.1732) = 49.05 \\times 0.3268 = 16.04 \\, \\text{N}$
Accélération :
$a = \\frac{F_{\\text{net}}}{m} = \\frac{16.04}{5.0} = 3.208 \\, \\text{m/s}^2$
Utilisation de l'équation cinématique $v_f^2 = v_0^2 + 2aL$ :
$v_f^2 = 0 + 2 \\times 3.208 \\times 8.0 = 51.33$
$v_f = \\sqrt{51.33} = 7.164 \\, \\text{m/s}$
Résultat final par cinématique :
$v_f \\approx 7.16 \\, \\text{m/s}$
VĂ©rification : ✓ La vitesse calculĂ©e par le thĂ©orĂšme du travail-Ă©nergie (7.16 m/s) correspond exactement Ă celle calculĂ©e par cinĂ©matique (7.16 m/s), confirmant la validitĂ© de notre approche Ă©nergĂ©tique.
Conclusion générale : Le bloc glissant le long de la pente perd 196.2 J d'énergie potentielle gravitationnelle. De cette énergie, 68.0 J est dissipée par la friction (34.7%), et 128.2 J est converti en énergie cinétique. Le bloc atteint le bas de la pente avec une vitesse de 7.16 m/s. Cette analyse démontre comment le théorÚme de l'énergie mécanique totale, qui tient compte des forces conservatives (gravité) et non-conservatives (frottement), permet de prédire avec précision le mouvement d'un corps réel sur une pente avec frottement.
",
"id_category": "3",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 1 : Travail et Ă©nergie cinĂ©tique — objet en translation rectiligne Un objet de masse $m = 5.0 \\text{ kg}$ est mis en mouvement sur une surface horizontale sans frottement par l'application d'une force constante $F = 25 \\text{ N}$ dirigĂ©e parallĂšlement au dĂ©placement. L'objet part du repos.
Question 1 : Calculer le travail effectué par la force $F$ lorsque l'objet se déplace d'une distance $d = 8.0 \\text{ m}$. Déterminer également le travail en utilisant la relation $W = \\Delta E_c$.
Question 2 : Ă partir du travail calculĂ©, dĂ©duire la vitesse finale $v_f$ de l'objet aprĂšs le dĂ©placement de 8.0 m. VĂ©rifier le rĂ©sultat en utilisant l'Ă©quation cinĂ©matique $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ oĂč $a = F/m$.
Question 3 : En supposant que l'objet continue sa trajectoire et qu'une force de frottement $f = 10 \\text{ N}$ s'oppose à son mouvement, calculer le travail total effectué sur l'objet lors du déplacement supplémentaire de $d' = 6.0 \\text{ m}$. Déterminer l'énergie cinétique finale et la vitesse finale aprÚs ce second déplacement.
",
"svg": "Travail et Ă©nergie cinĂ©tique — deux phases Phase 1 : Sans frottement m F = 25 N d = 8.0 m vi = 0 m/s a = F/m = 5 m/s² Phase 2 : Avec frottement m F = 25 N f = 10 N d' = 6.0 m vi = vf,phase1 Fnet = 15 N ThĂ©orĂšme : Wtotal = ÎEc = ½m(vf ² - vi ²) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 1 Question 1 : Travail effectuĂ© par la force F Ătape 1 : Formule gĂ©nĂ©rale du travail Le travail d'une force constante parallĂšle au dĂ©placement est : $W = F \\cdot d \\cdot \\cos(\\theta)$ Ici, $\\theta = 0°$ (force parallĂšle au dĂ©placement), donc $\\cos(0°) = 1$
Ătape 2 : Remplacement des donnĂ©es $F = 25 \\text{ N}$, $d = 8.0 \\text{ m}$
Ătape 3 : Calcul $W = 25 \\times 8.0 \\times 1 = 200 \\text{ J}$
Vérification par le théorÚme de l'énergie cinétique : Formule : $W = \\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}$ Puisque l'objet part du repos : $E_{c,i} = 0$ $E_{c,i} = \\frac{1}{2}m v_i^2 = 0$ Donc : $W = E_{c,f} = \\frac{1}{2}m v_f^2$ $200 = \\frac{1}{2}(5.0) v_f^2$
Résultat final Question 1 : $W = 200 \\text{ J}$
Question 2 : Vitesse finale aprĂšs la premiĂšre phase Ătape 1 : Formule Ă partir du travail $W = \\frac{1}{2}m v_f^2$
Ătape 2 : Remplacement $200 = \\frac{1}{2}(5.0) v_f^2$ $200 = 2.5 v_f^2$
Ătape 3 : Calcul $v_f^2 = \\frac{200}{2.5} = 80$ $v_f = \\sqrt{80} = 8.944 \\text{ m/s}$
VĂ©rification par cinĂ©matique : AccĂ©lĂ©ration : $a = \\frac{F}{m} = \\frac{25}{5.0} = 5 \\text{ m/s}^2$ Ăquation : $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ $v_f^2 = 0 + 2(5)(8.0) = 80$ $v_f = \\sqrt{80} = 8.944 \\text{ m/s}$ ✓
Résultat final Question 2 : $v_f = 8.944 \\text{ m/s} \\approx 8.9 \\text{ m/s}$
Question 3 : Travail total et vitesse finale avec frottement Ătape 1 : Calcul du travail durant la phase 2 Vitesse initiale de la phase 2 : $v_i = 8.944 \\text{ m/s}$ DĂ©placement : $d' = 6.0 \\text{ m}$ Forces agissant sur l'objet : • Force appliquĂ©e : $F = 25 \\text{ N}$ (direction du mouvement) • Force de frottement : $f = 10 \\text{ N}$ (opposĂ©e au mouvement) Force nette : $F_{net} = F - f = 25 - 10 = 15 \\text{ N}$
Ătape 2 : Travail net durant la phase 2 Le travail du systĂšme durant la phase 2 : $W_{net} = F_{net} \\cdot d' = 15 \\times 6.0 = 90 \\text{ J}$ Ou en dĂ©tail : $W_F = 25 \\times 6.0 = 150 \\text{ J}$ (travail de F) $W_f = -10 \\times 6.0 = -60 \\text{ J}$ (travail du frottement, nĂ©gatif) $W_{net} = 150 - 60 = 90 \\text{ J}$
Ătape 3 : Application du thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique $W_{net} = \\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}$ $90 = \\frac{1}{2}m v_f^2 - \\frac{1}{2}m v_i^2$ $90 = \\frac{1}{2}(5.0) v_f^2 - \\frac{1}{2}(5.0)(8.944)^2$ $90 = 2.5 v_f^2 - 200$ $290 = 2.5 v_f^2$ $v_f^2 = \\frac{290}{2.5} = 116$ $v_f = \\sqrt{116} = 10.77 \\text{ m/s}$
Ătape 4 : Ănergie cinĂ©tique finale $E_{c,f} = \\frac{1}{2}m v_f^2 = \\frac{1}{2}(5.0)(116) = 290 \\text{ J}$
RĂ©sultat final Question 3 : Travail net : $W_{net} = 90 \\text{ J}$ Ănergie cinĂ©tique finale : $E_{c,f} = 290 \\text{ J}$ Vitesse finale : $v_f = 10.77 \\text{ m/s} \\approx 10.8 \\text{ m/s}$
Interprétation : Malgré le frottement, la vitesse continue d'augmenter car la force appliquée (25 N) est supérieure à la force de frottement (10 N). Le travail net positif accroßt l'énergie cinétique de l'objet.
",
"id_category": "3",
"id_number": "8"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 2 : Ănergie potentielle gravitationnelle et conservation de l'Ă©nergie Un objet de masse $m = 2.0 \\text{ kg}$ est lancĂ© verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 20 \\text{ m/s}$ depuis le sol. Prenez $g = 10 \\text{ m/s}^2$ et considĂ©rez que l'air n'exerce aucune rĂ©sistance.
Question 1 : Calculer l'énergie cinétique initiale et l'énergie potentielle gravitationnelle initiale (en prenant le sol comme référence). En déduire l'énergie mécanique totale du systÚme.
Question 2 : Ă l'aide de la conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique, dĂ©terminer la hauteur maximale atteinte par l'objet. VĂ©rifier ce rĂ©sultat en utilisant l'Ă©quation cinĂ©matique $v^2 = v_0^2 - 2gh$ (oĂč la vitesse au sommet est nulle).
Question 3 : Calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de l'objet à une hauteur intermédiaire $h = 12 \\text{ m}$. Déterminer également la vitesse de l'objet à cette hauteur et préciser s'il monte encore ou descend.
",
"svg": "Trajectoire verticale — Conservation d'Ă©nergie Sol m v₀ = 20 m/s Point de lancement m h = hmax v = 0 m/s m h = 12 m v = ? EmĂ©canique = Ec + Ep = constante ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 2 Question 1 : Ănergies initiales Ătape 1 : Formule de l'Ă©nergie cinĂ©tique $E_c = \\frac{1}{2}m v_0^2$
Ătape 2 : Remplacement $E_c = \\frac{1}{2}(2.0)(20)^2$
Ătape 3 : Calcul $E_c = \\frac{1}{2}(2.0)(400) = 400 \\text{ J}$
Ătape 4 : Ănergie potentielle au sol En prenant le sol comme rĂ©fĂ©rence ($h = 0$) : $E_p = mgh = (2.0)(10)(0) = 0 \\text{ J}$
Ătape 5 : Ănergie mĂ©canique totale $E_{mec} = E_c + E_p = 400 + 0 = 400 \\text{ J}$
RĂ©sultat final Question 1 : Ănergie cinĂ©tique initiale : $E_{c,i} = 400 \\text{ J}$ Ănergie potentielle initiale : $E_{p,i} = 0 \\text{ J}$ Ănergie mĂ©canique totale : $E_{mec} = 400 \\text{ J}$
Question 2 : Hauteur maximale par conservation d'Ă©nergie Ătape 1 : Formule de conservation d'Ă©nergie $E_{mec,initial} = E_{mec,final}$ $E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}$
Ătape 2 : Au point culminant Ă la hauteur maximale, la vitesse est nulle donc $E_c = 0$ : $400 + 0 = 0 + mgh_{max}$ $400 = (2.0)(10) h_{max}$ $400 = 20 h_{max}$
Ătape 3 : RĂ©solution $h_{max} = \\frac{400}{20} = 20 \\text{ m}$
VĂ©rification par cinĂ©matique : Ă la hauteur maximale, $v = 0$ : $v^2 = v_0^2 - 2g h_{max}$ $0 = (20)^2 - 2(10) h_{max}$ $0 = 400 - 20 h_{max}$ $h_{max} = \\frac{400}{20} = 20 \\text{ m}$ ✓
Résultat final Question 2 : $h_{max} = 20 \\text{ m}$
Question 3 : Ănergies et vitesse Ă h = 12 m Ătape 1 : Ănergie potentielle Ă h = 12 m $E_p = mgh = (2.0)(10)(12)$ $E_p = 240 \\text{ J}$
Ătape 2 : Ănergie cinĂ©tique Ă h = 12 m Par conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique : $E_{mec} = E_c + E_p$ $400 = E_c + 240$ $E_c = 400 - 240 = 160 \\text{ J}$
Ătape 3 : Calcul de la vitesse $E_c = \\frac{1}{2}m v^2$ $160 = \\frac{1}{2}(2.0) v^2$ $160 = 1.0 v^2$ $v^2 = 160$ $v = \\sqrt{160} = 12.65 \\text{ m/s}$
Ătape 4 : DĂ©termination de la direction du mouvement L'objet atteint sa hauteur maximale Ă $h_{max} = 20 \\text{ m}$. Ă $h = 12 \\text{ m}$, $h < h_{max}$, ce qui signifie : 1. Lors de la montĂ©e (avant d'atteindre 20 m), l'objet monte en passant par h = 12 m. 2. Lors de la descente (aprĂšs avoir atteint 20 m), l'objet descend en repassant par h = 12 m. Dans les deux cas, la vitesse est la mĂȘme en valeur absolue ($v = 12.65 \\text{ m/s}$) mais change de direction. L'objet monte ou descend selon le moment considĂ©rĂ© dans sa trajectoire.
RĂ©sultat final Question 3 : Ănergie potentielle : $E_p = 240 \\text{ J}$ Ănergie cinĂ©tique : $E_c = 160 \\text{ J}$ Vitesse : $v = 12.65 \\text{ m/s} \\approx 12.6 \\text{ m/s}$ Direction : L'objet passe par h = 12 m deux fois (montĂ©e et descente), avec une vitesse de mĂȘme magnitude mais de direction opposĂ©e.
",
"id_category": "3",
"id_number": "9"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 3 : Ănergie potentielle Ă©lastique et travail des forces conservatrices Un ressort de constante de raideur $k = 200 \\text{ N/m}$ est fixĂ© horizontalement Ă un mur. Une masse $m = 1.5 \\text{ kg}$ est attachĂ©e Ă l'extrĂ©mitĂ© libre du ressort. On compresse le ressort d'une distance $x_0 = 0.50 \\text{ m}$ puis on le relĂąche sans vitesse initiale.
Question 1 : Calculer l'énergie potentielle élastique emmagasinée dans le ressort comprimé. Calculer également le travail que le ressort effectuera en se relùchant complÚtement.
Question 2 : Déterminer la vitesse maximale de la masse lorsque le ressort revient à sa longueur naturelle (position d'équilibre). Vérifier le résultat par une approche énergétique.
Question 3 : Supposez que la surface horizontale exerce maintenant une force de frottement $f = 4.5 \\text{ N}$ tout au long du mouvement. Calculer le travail du frottement lors du déplacement de 0.50 m et déterminer la nouvelle vitesse maximale au passage à l'équilibre en tenant compte de ce frottement dissipatif.
",
"svg": "Ressort comprimĂ© — Ănergie Ă©lastique Ătat 1 : Ressort comprimĂ© Mur m x0 = 0.50 m Ep,Ă©lastique = ? v = 0 m/s Ătat 2 : Ăquilibre Mur m x = 0 Ep,Ă©lastique = 0 vmax = ? Ănergie Ă©lastique : Ep = ½kx² ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 3 Question 1 : Ănergie potentielle Ă©lastique et travail Ătape 1 : Formule de l'Ă©nergie potentielle Ă©lastique $E_p = \\frac{1}{2}k x_0^2$
Ătape 2 : Remplacement des donnĂ©es $k = 200 \\text{ N/m}$, $x_0 = 0.50 \\text{ m}$
Ătape 3 : Calcul $E_p = \\frac{1}{2}(200)(0.50)^2$ $E_p = \\frac{1}{2}(200)(0.25)$ $E_p = 100 \\times 0.25 = 25 \\text{ J}$
Ătape 4 : Travail du ressort Lorsque le ressort se relĂąche et revient Ă sa position naturelle, le travail effectuĂ© par le ressort est Ă©gal Ă la variation d'Ă©nergie potentielle Ă©lastique (avec changement de signe car le ressort libĂšre de l'Ă©nergie) : $W_{ressort} = -\\Delta E_p = -(E_{p,f} - E_{p,i})$ $W_{ressort} = -(0 - 25) = 25 \\text{ J}$
RĂ©sultat final Question 1 : Ănergie potentielle Ă©lastique : $E_p = 25 \\text{ J}$ Travail du ressort : $W_{ressort} = 25 \\text{ J}$
Question 2 : Vitesse maximale au passage Ă l'Ă©quilibre Ătape 1 : Conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique $E_{mec,initial} = E_{mec,final}$ $E_{p,i} + E_{c,i} = E_{p,f} + E_{c,f}$
Ătape 2 : Ătat initial (ressort comprimĂ©) $E_{p,i} = 25 \\text{ J}$ (Ă©nergie Ă©lastique) $E_{c,i} = 0 \\text{ J}$ (sans vitesse initiale)
Ătape 3 : Ătat final (Ă l'Ă©quilibre) $E_{p,f} = 0 \\text{ J}$ (ressort dĂ©tendu) $E_{c,f} = \\frac{1}{2}m v_{max}^2$ (vitesse maximale)
Ătape 4 : Application de la conservation $25 + 0 = 0 + \\frac{1}{2}(1.5) v_{max}^2$ $25 = 0.75 v_{max}^2$
Ătape 5 : RĂ©solution $v_{max}^2 = \\frac{25}{0.75} = \\frac{100}{3}$ $v_{max} = \\sqrt{\\frac{100}{3}} = \\frac{10}{\\sqrt{3}} = \\frac{10\\sqrt{3}}{3}$ $v_{max} = 5.77 \\text{ m/s}$
VĂ©rification : Par approche Ă©nergĂ©tique directe : $E_{p,Ă©lastique} = E_{c,cinĂ©tique}$ $25 = \\frac{1}{2}(1.5) v_{max}^2$ $v_{max} = \\sqrt{\\frac{50}{1.5}} = \\sqrt{33.33} = 5.77 \\text{ m/s}$ ✓
Résultat final Question 2 : $v_{max} = 5.77 \\text{ m/s} \\approx 5.8 \\text{ m/s}$
Question 3 : Effet du frottement sur la vitesse maximale Ătape 1 : Travail du frottement Le frottement agit sur une distance $d = 0.50 \\text{ m}$ et s'oppose toujours au mouvement : $W_{frottement} = -f \\cdot d$ $W_{frottement} = -4.5 \\times 0.50$ $W_{frottement} = -2.25 \\text{ J}$
Ătape 2 : ThĂ©orĂšme de l'Ă©nergie totale $W_{total} = \\Delta E_c$ $W_{ressort} + W_{frottement} = E_{c,f} - E_{c,i}$
Ătape 3 : Remplacement $25 + (-2.25) = \\frac{1}{2}(1.5) v_{max}^2 - 0$ $22.75 = 0.75 v_{max}^2$
Ătape 4 : RĂ©solution $v_{max}^2 = \\frac{22.75}{0.75} = 30.33$ $v_{max} = \\sqrt{30.33} = 5.51 \\text{ m/s}$
Comparaison : Sans frottement : $v_{max} = 5.77 \\text{ m/s}$ Avec frottement : $v_{max} = 5.51 \\text{ m/s}$ Réduction : $\\Delta v = 5.77 - 5.51 = 0.26 \\text{ m/s}$
Résultat final Question 3 : Travail du frottement : $W_{frottement} = -2.25 \\text{ J}$ Nouvelle vitesse maximale : $v_{max} = 5.51 \\text{ m/s} \\approx 5.5 \\text{ m/s}$
InterprĂ©tation : Le frottement est une force non-conservative qui dissipe l'Ă©nergie mĂ©canique. L'Ă©nergie « perdue » est convertie en chaleur. L'Ă©nergie disponible pour l'Ă©nergie cinĂ©tique est rĂ©duite de 2.25 J, ce qui abaisse la vitesse finale de 0.26 m/s.
",
"id_category": "3",
"id_number": "10"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 4 : Forces conservatives et non-conservatives — mouvement le long d'une pente Un objet de masse $m = 3.0 \\text{ kg}$ glisse le long d'un plan inclinĂ© de $\\theta = 30°$ sur une distance $L = 10 \\text{ m}$. Le coefficient de frottement cinĂ©tique est $\\mu_k = 0.15$. L'objet dĂ©bute Ă partir du repos au sommet.
Question 1 : Calculer le travail effectué par la composante gravitationnelle le long de la pente (force conservative) et le travail du frottement (force non-conservative) sur le parcours total de 10 m.
Question 2 : Utiliser le théorÚme de l'énergie totale pour déterminer la vitesse de l'objet au bas de la pente. Exprimer aussi l'accélération de l'objet et comparer avec la vitesse obtenue par cinématique.
Question 3 : Calculer l'Ă©nergie dissipĂ©e par le frottement et en dĂ©duire la puissance moyenne du frottement au cours du mouvement sachant que la vitesse moyenne peut ĂȘtre approximĂ©e.
",
"svg": "Plan inclinĂ© — Forces conservatives et non-conservatives Sol m mg sin Ξ f = ÎŒk N Ξ = 30° Longueur de la pente : L = 10 m Hauteur verticale : h = L sin Ξ = 5 m Distance normale : N = mg cos Ξ Forces agissant sur l'objet : • Conservative : mg sin Ξ (poids) • Non-conservative : f (frottement) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 4 Question 1 : Travaux des forces conservative et non-conservative Ătape 1 : Calcul de la hauteur verticale $h = L \\sin(\\theta) = 10 \\times \\sin(30°)$ $h = 10 \\times 0.5 = 5.0 \\text{ m}$
Ătape 2 : Travail de la composante gravitationnelle (force conservative) La force conservative agissant le long de la pente est : $F_g = mg \\sin(\\theta)$ Remplacement : $m = 3.0 \\text{ kg}$, $g = 10 \\text{ m/s}^2$, $\\sin(30°) = 0.5$ $F_g = 3.0 \\times 10 \\times 0.5 = 15 \\text{ N}$ Travail : $W_g = F_g \\times L \\times \\cos(0°)$ $W_g = 15 \\times 10 \\times 1 = 150 \\text{ J}$
Ătape 3 : Calcul de la force de frottement (force non-conservative) Force normale : $N = mg \\cos(\\theta)$ $N = 3.0 \\times 10 \\times \\cos(30°)$ $N = 30 \\times 0.866 = 25.98 \\text{ N} \\approx 26.0 \\text{ N}$ Force de frottement cinĂ©tique : $f = \\mu_k \\times N$ $f = 0.15 \\times 26.0 = 3.90 \\text{ N}$
Ătape 4 : Travail du frottement Le frottement s'oppose au mouvement (angle = 180°) : $W_f = f \\times L \\times \\cos(180°)$ $W_f = 3.90 \\times 10 \\times (-1)$ $W_f = -39.0 \\text{ J}$
Résultat final Question 1 : Travail de la gravité : $W_g = 150 \\text{ J}$ Travail du frottement : $W_f = -39.0 \\text{ J}$
Question 2 : Vitesse au bas de la pente Ătape 1 : ThĂ©orĂšme de l'Ă©nergie totale $W_{total} = \\Delta E_c$ $W_g + W_f = E_{c,f} - E_{c,i}$
Ătape 2 : Remplacement L'objet part du repos : $E_{c,i} = 0$ $150 + (-39.0) = E_{c,f} - 0$ $111 = E_{c,f}$
Ătape 3 : Calcul de la vitesse finale $E_{c,f} = \\frac{1}{2}m v_f^2$ $111 = \\frac{1}{2}(3.0) v_f^2$ $111 = 1.5 v_f^2$ $v_f^2 = \\frac{111}{1.5} = 74$ $v_f = \\sqrt{74} = 8.60 \\text{ m/s}$
Ătape 4 : Calcul de l'accĂ©lĂ©ration AccĂ©lĂ©ration rĂ©sultante le long de la pente : $a = \\frac{F_{net}}{m} = \\frac{F_g - f}{m}$ $a = \\frac{15 - 3.90}{3.0} = \\frac{11.1}{3.0} = 3.70 \\text{ m/s}^2$
Ătape 5 : VĂ©rification par cinĂ©matique Ăquation : $v_f^2 = v_i^2 + 2aL$ $v_f^2 = 0 + 2(3.70)(10)$ $v_f^2 = 74$ $v_f = \\sqrt{74} = 8.60 \\text{ m/s}$ ✓
Résultat final Question 2 : Vitesse au bas de la pente : $v_f = 8.60 \\text{ m/s} \\approx 8.6 \\text{ m/s}$ Accélération : $a = 3.70 \\text{ m/s}^2$
Question 3 : Ănergie dissipĂ©e et puissance moyenne Ătape 1 : Ănergie dissipĂ©e par le frottement L'Ă©nergie dissipĂ©e par le frottement (convertie en chaleur) est la valeur absolue du travail du frottement : $E_{dissipĂ©e} = |W_f| = 39.0 \\text{ J}$
Ătape 2 : Temps total du mouvement Utilisation de l'Ă©quation cinĂ©matique : $L = \\frac{1}{2}at^2$ $10 = \\frac{1}{2}(3.70) t^2$ $10 = 1.85 t^2$ $t^2 = \\frac{10}{1.85} = 5.41$ $t = \\sqrt{5.41} = 2.33 \\text{ s}$
Ătape 3 : Vitesse moyenne $v_{moyenne} = \\frac{v_i + v_f}{2} = \\frac{0 + 8.60}{2} = 4.30 \\text{ m/s}$ VĂ©rification : $v_{moyenne} = \\frac{L}{t} = \\frac{10}{2.33} = 4.29 \\text{ m/s}$ ✓
Ătape 4 : Puissance moyenne du frottement $P_{moyenne} = \\frac{|W_f|}{t} = \\frac{39.0}{2.33}$ $P_{moyenne} = 16.74 \\text{ W} \\approx 16.7 \\text{ W}$
RĂ©sultat final Question 3 : Ănergie dissipĂ©e : $E_{dissipĂ©e} = 39.0 \\text{ J}$ Temps du mouvement : $t = 2.33 \\text{ s}$ Puissance moyenne du frottement : $P_{moyenne} = 16.7 \\text{ W}$
Interprétation : Le frottement, force non-conservative, dissipe 39 J d'énergie mécanique en chaleur. Cette puissance moyenne de 16.7 W montre le taux auquel l'énergie est dissipée. L'énergie potentielle gravitationnelle initialement disponible ($mgh = 150 \\text{ J}$) est convertie partiellement en énergie cinétique (111 J) et partiellement dissipée par le frottement (39 J).
",
"id_category": "3",
"id_number": "11"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Exercice 5 : Ănergie potentielle gravitationnelle et orbites circulaires ConsidĂ©rez un satellite de masse $m = 1000 \\text{ kg}$ en orbite circulaire autour de la Terre. Le rayon de l'orbite par rapport au centre de la Terre est $r = 7.0 \\times 10^6 \\text{ m}$ (altitude approximative : 600 km au-dessus de la surface terrestre). DonnĂ©es : $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{ N.m}^2/\\text{kg}^2$, $M_T = 5.97 \\times 10^{24} \\text{ kg}$.
Question 1 : Calculer l'énergie potentielle gravitationnelle du satellite dans son orbite. Calculer également l'énergie cinétique orbitale sachant que la vitesse orbitale est $v = \\sqrt{\\frac{GM_T}{r}}$.
Question 2 : En déduire l'énergie mécanique totale du satellite et vérifier la relation $E_{mec} = -\\frac{E_c}{1}$ ou $E_{mec} = \\frac{E_p}{2}$ (théorÚme du viriel pour les orbites gravitationnelles).
Question 3 : Calculer le travail nécessaire pour retirer le satellite de son orbite et l'envoyer à l'infini. Déterminer également la vitesse de libération et comparer avec la vitesse orbitale.
",
"svg": "Orbite circulaire autour de la Terre Terre sat r = 7.0×10⁶ m v orbital Orbite circulaire Ănergies orbitales : Ep = -GMm/r (nĂ©gatif, systĂšme liĂ©) Ec = ½GMm/r (cinĂ©tique positive) ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Solution complĂšte de l'exercice 5 Question 1 : Ănergies potentielle et cinĂ©tique du satellite Ătape 1 : Formule de l'Ă©nergie potentielle gravitationnelle $E_p = -\\frac{G M_T m}{r}$
Ătape 2 : Remplacement des donnĂ©es $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{ N.m}^2/\\text{kg}^2$ $M_T = 5.97 \\times 10^{24} \\text{ kg}$ $m = 1000 \\text{ kg}$ $r = 7.0 \\times 10^6 \\text{ m}$
Ătape 3 : Calcul $E_p = -\\frac{(6.67 \\times 10^{-11})(5.97 \\times 10^{24})(1000)}{7.0 \\times 10^6}$ $E_p = -\\frac{3.981 \\times 10^{14}}{7.0 \\times 10^6}$ $E_p = -5.687 \\times 10^{10} \\text{ J} \\approx -5.69 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 4 : Calcul de la vitesse orbitale $v = \\sqrt{\\frac{G M_T}{r}}$ $v = \\sqrt{\\frac{(6.67 \\times 10^{-11})(5.97 \\times 10^{24})}{7.0 \\times 10^6}}$ $v = \\sqrt{\\frac{3.981 \\times 10^{14}}{7.0 \\times 10^6}}$ $v = \\sqrt{5.687 \\times 10^7}$ $v = 7.54 \\times 10^3 \\text{ m/s} = 7540 \\text{ m/s} \\approx 7.54 \\text{ km/s}$
Ătape 5 : Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique $E_c = \\frac{1}{2}m v^2$ $E_c = \\frac{1}{2}(1000)(7.54 \\times 10^3)^2$ $E_c = 500 \\times 5.685 \\times 10^7$ $E_c = 2.843 \\times 10^{10} \\text{ J} \\approx 2.84 \\times 10^{10} \\text{ J}$
RĂ©sultat final Question 1 : Ănergie potentielle : $E_p = -5.69 \\times 10^{10} \\text{ J}$ Ănergie cinĂ©tique : $E_c = 2.84 \\times 10^{10} \\text{ J}$ Vitesse orbitale : $v = 7.54 \\text{ km/s}$
Question 2 : Ănergie mĂ©canique totale et thĂ©orĂšme du viriel Ătape 1 : Ănergie mĂ©canique totale $E_{mec} = E_p + E_c$ $E_{mec} = (-5.69 \\times 10^{10}) + (2.84 \\times 10^{10})$ $E_{mec} = -2.85 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 2 : VĂ©rification du thĂ©orĂšme du viriel Pour une orbite gravitationnelle, le thĂ©orĂšme du viriel stipule : $E_{mec} = \\frac{1}{2}E_p = -E_c$
VĂ©rification 1 : $\\frac{1}{2}E_p = \\frac{1}{2}(-5.69 \\times 10^{10}) = -2.845 \\times 10^{10} \\text{ J}$ Correspond Ă $E_{mec} = -2.85 \\times 10^{10} \\text{ J}$ ✓
VĂ©rification 2 : $-E_c = -(2.84 \\times 10^{10}) = -2.84 \\times 10^{10} \\text{ J}$ Correspond Ă $E_{mec} \\approx -2.85 \\times 10^{10} \\text{ J}$ ✓
RĂ©sultat final Question 2 : Ănergie mĂ©canique totale : $E_{mec} = -2.85 \\times 10^{10} \\text{ J}$ Le thĂ©orĂšme du viriel est vĂ©rifiĂ© : $E_{mec} = \\frac{1}{2}E_p$
Question 3 : Travail pour l'Ă©vasion et vitesse de libĂ©ration Ătape 1 : Travail nĂ©cessaire pour retirer le satellite Le satellite doit quitter le champ gravitationnel (Ă©nergie finale Ă l'infini = 0) : $W = E_{infini} - E_{orbite}$ $W = 0 - E_{mec}$ $W = 0 - (-2.85 \\times 10^{10})$ $W = 2.85 \\times 10^{10} \\text{ J}$
Ătape 2 : Calcul de la vitesse de libĂ©ration La vitesse de libĂ©ration $v_l$ depuis une orbite circulaire est donnĂ©e par : $v_l = \\sqrt{2} \\times v$ oĂč $v$ est la vitesse orbitale. $v_l = \\sqrt{2} \\times 7.54 = 1.414 \\times 7.54$ $v_l = 10.66 \\text{ km/s} \\approx 10.7 \\text{ km/s}$
Ătape 3 : Comparaison Vitesse orbitale : $v = 7.54 \\text{ km/s}$ Vitesse de libĂ©ration : $v_l = 10.7 \\text{ km/s}$ Rapport : $\\frac{v_l}{v} = \\sqrt{2} \\approx 1.414$
Résultat final Question 3 : Travail pour l'évasion : $W = 2.85 \\times 10^{10} \\text{ J} = 28.5 \\text{ GJ}$ Vitesse de libération : $v_l = 10.7 \\text{ km/s}$ La vitesse de libération est $\\sqrt{2}$ fois la vitesse orbitale.
Interprétation : L'énergie mécanique négative du satellite indique qu'il est lié au champ gravitationnel terrestre. Pour le retirer complÚtement, il faut fournir une énergie égale à 28.5 GJ. La vitesse de libération (10.7 km/s) est supérieure à la vitesse orbitale (7.54 km/s) car il faut non seulement quitter l'orbite mais aussi surmonter entiÚrement la force gravitationnelle.
",
"id_category": "3",
"id_number": "12"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Un objet de masse $m = 5\\ \\mathrm{kg}$ est tirĂ© sur une surface horizontale rugueuse par une force $F = 50\\ \\mathrm{N}$ appliquĂ©e Ă un angle $\\alpha = 30°$ par rapport Ă l'horizontale. Le coefficient de frottement cinĂ©tique est $\\mu_k = 0{,}2$ et l'objet se dĂ©place de $d = 10\\ \\mathrm{m}$. 1) Calculez le travail effectuĂ© par la force appliquĂ©e. 2) Calculez le travail effectuĂ© par la force de frottement. 3) DĂ©duisez le travail net et interprĂ©tez son signe en termes de variation d'Ă©nergie cinĂ©tique.",
"svg": "m F N $f_k$ dĂ©placement d $\\alpha = 30°$ ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Travail effectuĂ© par la force appliquĂ©e 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $W_F = F \\cdot d \\cdot \\cos(\\alpha)$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $F = 50\\ \\mathrm{N},\\ d = 10\\ \\mathrm{m},\\ \\alpha = 30°$ 3. Calcul : $\\cos(30°) = 0{,}866$$W_F = 50 \\times 10 \\times 0{,}866 = 433\\ \\mathrm{J}$ 4. RĂ©sultat : $W_F = 433\\ \\mathrm{J}$Question 2 : Travail effectuĂ© par la force de frottement 1. Formule de la force de frottement : $f_k = \\mu_k \\times N$ oĂč N est la force normale 2. Analyse des forces verticales : $N + F\\sin(\\alpha) = mg$$N = mg - F\\sin(\\alpha) = 5 \\times 9{,}81 - 50 \\times \\sin(30°)$ 3. Calcul de N : $N = 49{,}05 - 50 \\times 0{,}5 = 49{,}05 - 25 = 24{,}05\\ \\mathrm{N}$ 4. Force de frottement : $f_k = 0{,}2 \\times 24{,}05 = 4{,}81\\ \\mathrm{N}$ 5. Travail du frottement (force opposĂ©e au dĂ©placement) : $W_{fric} = -f_k \\cdot d = -4{,}81 \\times 10 = -48{,}1\\ \\mathrm{J}$ 6. RĂ©sultat : $W_{fric} = -48{,}1\\ \\mathrm{J}$Question 3 : Travail net et variation d'Ă©nergie cinĂ©tique 1. Formule du travail net : $W_{net} = W_F + W_{fric}$ 2. Remplacement : $W_{net} = 433 + (-48{,}1) = 384{,}9\\ \\mathrm{J}$ 3. InterprĂ©tation : Le travail net est positif (384,9 J > 0), ce qui signifie que l'Ă©nergie cinĂ©tique de l'objet augmente. Selon le thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie cinĂ©tique : $W_{net} = \\Delta E_c = E_{c,final} - E_{c,initial}$ 4. Si l'objet part du repos, alors $E_{c,initial} = 0$ et $E_{c,final} = 384{,}9\\ \\mathrm{J}$. La vitesse finale peut ĂȘtre trouvĂ©e par : $E_{c,final} = \\frac{1}{2}mv_{final}^2 \\Rightarrow v_{final} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 384{,}9}{5}} = 12{,}4\\ \\mathrm{m/s}$ 5. RĂ©sultat : $W_{net} = 384{,}9\\ \\mathrm{J}$, l'objet accĂ©lĂšre.
",
"id_category": "3",
"id_number": "13"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Un projectile de masse $m = 2\\ \\mathrm{kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 20\\ \\mathrm{m/s}$ depuis le niveau du sol. On néglige la résistance de l'air. 1) Calculez l'énergie cinétique initiale du projectile. 2) Calculez l'énergie potentielle gravitationnelle à la hauteur maximale atteinte. 3) En utilisant la conservation de l'énergie mécanique totale, déduisez la hauteur maximale et vérifiez votre résultat.",
"svg": "m $v_0$ m h hauteur max trajectoire ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Ănergie cinĂ©tique initiale 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $E_c = \\frac{1}{2}mv_0^2$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $m = 2\\ \\mathrm{kg},\\ v_0 = 20\\ \\mathrm{m/s}$ 3. Calcul : $E_c = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times (20)^2 = 1 \\times 400 = 400\\ \\mathrm{J}$ 4. RĂ©sultat : $E_c = 400\\ \\mathrm{J}$Question 2 : Ănergie potentielle Ă la hauteur maximale 1. Ă la hauteur maximale, la vitesse est nulle ($v = 0$) 2. Ănergie cinĂ©tique Ă h_max : $E_{c,max} = 0\\ \\mathrm{J}$ 3. Par conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique totale (sans rĂ©sistance de l'air) : $E_{mĂ©canique} = E_c + E_p = \\text{constante}$ 4. Au sol (initial) : $E_{total} = 400 + 0 = 400\\ \\mathrm{J}$ (on prend E_p = 0 au sol) 5. Ă h_max : $E_{total} = 0 + E_{p,max} = 400\\ \\mathrm{J}$ 6. RĂ©sultat : $E_{p,max} = 400\\ \\mathrm{J}$Question 3 : Hauteur maximale et vĂ©rification 1. Formule de l'Ă©nergie potentielle gravitationnelle : $E_p = mgh$ 2. Remplacement : $400 = 2 \\times 9{,}81 \\times h$ 3. Calcul : $h = \\frac{400}{2 \\times 9{,}81} = \\frac{400}{19{,}62} = 20{,}39\\ \\mathrm{m}$ 4. VĂ©rification par cinĂ©matique : $v^2 = v_0^2 - 2gh$ Ă la hauteur maximale $v = 0$ $0 = (20)^2 - 2 \\times 9{,}81 \\times h$$h = \\frac{400}{2 \\times 9{,}81} = 20{,}39\\ \\mathrm{m}$ 5. RĂ©sultat : $h_{max} = 20{,}39\\ \\mathrm{m} \\approx 20{,}4\\ \\mathrm{m}$. La cohĂ©rence entre les deux approches (Ă©nergie et cinĂ©matique) valide la conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique.
",
"id_category": "3",
"id_number": "14"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Un ressort horizontal de constante $k = 500\\ \\mathrm{N/m}$ est comprimĂ© de $x = 0{,}2\\ \\mathrm{m}$. Il libĂšre un bloc de masse $m = 4\\ \\mathrm{kg}$ sur une surface horizontale. Le bloc parcourt une distance $d = 8\\ \\mathrm{m}$ avant de s'arrĂȘter. 1) Calculez l'Ă©nergie potentielle Ă©lastique initiale du ressort. 2) Calculez le travail effectuĂ© par la force de frottement sur l'ensemble du parcours. 3) DĂ©duisez le coefficient de frottement cinĂ©tique entre le bloc et la surface.",
"svg": "k m $x = 0{,}2\\ \\mathrm{m}$ parcours = 8 m STOP ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Ănergie potentielle Ă©lastique initiale 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $E_p = \\frac{1}{2}kx^2$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $k = 500\\ \\mathrm{N/m},\\ x = 0{,}2\\ \\mathrm{m}$ 3. Calcul : $E_p = \\frac{1}{2} \\times 500 \\times (0{,}2)^2 = 250 \\times 0{,}04 = 10\\ \\mathrm{J}$ 4. RĂ©sultat : $E_p = 10\\ \\mathrm{J}$Question 2 : Travail effectuĂ© par la force de frottement 1. Application du thĂ©orĂšme de l'Ă©nergie totale : $W_{net} = \\Delta E_c$ 2. Ătat initial (ressort comprimĂ©) : L'Ă©nergie mĂ©canique totale est l'Ă©nergie Ă©lastique : $E_{total,initial} = 10\\ \\mathrm{J}$ 3. Ătat final (bloc arrĂȘtĂ©) : L'Ă©nergie mĂ©canique totale est nulle : $E_{total,final} = 0\\ \\mathrm{J}$ 4. Le travail du frottement est la seule force non-conservative qui dissipe l'Ă©nergie Formule : $W_{frictif} = E_{total,final} - E_{total,initial} = 0 - 10 = -10\\ \\mathrm{J}$ 5. RĂ©sultat : $W_{frictif} = -10\\ \\mathrm{J}$Question 3 : Coefficient de frottement cinĂ©tique 1. Relation entre travail de frottement et coefficient : $W_{frictif} = -\\mu_k \\times N \\times d$ 2. Sur surface horizontale : $N = mg = 4 \\times 9{,}81 = 39{,}24\\ \\mathrm{N}$ 3. Remplacement : $-10 = -\\mu_k \\times 39{,}24 \\times 8$ 4. Calcul : $-10 = -314{,}08 \\times \\mu_k$$\\mu_k = \\frac{10}{314{,}08} = 0{,}0318$ 5. RĂ©sultat : $\\mu_k = 0{,}032$ (arrondi). Ce coefficient faible indique une surface lisse, ce qui est cohĂ©rent avec le fait que le bloc parcourt une longue distance (8 m) avant de s'arrĂȘter.
",
"id_category": "3",
"id_number": "15"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Un enfant de masse $m = 35\\ \\mathrm{kg}$ glisse sur un toboggan courbe sans frottement. Il descend d'une hauteur $h = 5\\ \\mathrm{m}$. En bas du toboggan, le sol est rugueux avec un coefficient de frottement $\\mu = 0{,}25$. 1) Calculez la vitesse de l'enfant en bas du toboggan (avant le frottement horizontal). 2) Calculez la distance horizontale parcourue par l'enfant avant d'arrĂȘter. 3) VĂ©rifiez votre rĂ©sultat en comparant les Ă©nergies initiale et finale.",
"svg": "m $h = 5\\ \\mathrm{m}$ surface rugueuse v distance ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Vitesse en bas du toboggan 1. Formule par conservation de l'Ă©nergie (toboggan sans frottement) : $E_{potentielle,initial} = E_{cinĂ©tique,final}$ $mgh = \\frac{1}{2}mv^2$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $m = 35\\ \\mathrm{kg},\\ g = 9{,}81\\ \\mathrm{m/s^2},\\ h = 5\\ \\mathrm{m}$ 3. Calcul : $35 \\times 9{,}81 \\times 5 = \\frac{1}{2} \\times 35 \\times v^2$ $1716{,}75 = 17{,}5 \\times v^2$$v^2 = \\frac{1716{,}75}{17{,}5} = 98{,}1$$v = \\sqrt{98{,}1} = 9{,}90\\ \\mathrm{m/s}$ 4. RĂ©sultat : $v = 9{,}90\\ \\mathrm{m/s}$Question 2 : Distance horizontale parcourue avant arrĂȘt 1. Formule du travail du frottement : $W_{frictif} = -\\mu \\times N \\times d_{horizontal}$ 2. Sur surface horizontale : $N = mg = 35 \\times 9{,}81 = 343{,}35\\ \\mathrm{N}$ 3. L'Ă©nergie cinĂ©tique en bas du toboggan est dissipĂ©e par le frottement Formule : $\\frac{1}{2}mv^2 = \\mu \\times mg \\times d_{horizontal}$ 4. Simplification : $\\frac{1}{2}v^2 = \\mu \\times g \\times d_{horizontal}$$d_{horizontal} = \\frac{v^2}{2 \\times \\mu \\times g}$ 5. Calcul : $d_{horizontal} = \\frac{(9{,}90)^2}{2 \\times 0{,}25 \\times 9{,}81} = \\frac{98{,}01}{4{,}905} = 19{,}98\\ \\mathrm{m}$ 6. RĂ©sultat : $d_{horizontal} = 20{,}0\\ \\mathrm{m}$Question 3 : VĂ©rification par comparaison des Ă©nergies 1. Ănergie initiale (au sommet du toboggan) : $E_{initial} = mgh = 35 \\times 9{,}81 \\times 5 = 1716{,}75\\ \\mathrm{J}$ 2. Travail du frottement sur la surface horizontale : $W_{frictif} = -\\mu \\times mg \\times d_{horizontal} = -0{,}25 \\times 35 \\times 9{,}81 \\times 20{,}0$$W_{frictif} = -1716{,}75\\ \\mathrm{J}$ 3. Ănergie finale : $E_{final} = E_{initial} + W_{frictif} = 1716{,}75 - 1716{,}75 = 0\\ \\mathrm{J}$ 4. VĂ©rification : L'Ă©nergie finale est nulle (l'enfant s'arrĂȘte), confirmant la cohĂ©rence du calcul. La totalitĂ© de l'Ă©nergie potentielle initiale a Ă©tĂ© dissipĂ©e par le frottement sur la surface rugueuse.
",
"id_category": "3",
"id_number": "16"
},
{
"category": "Travail et énergie",
"question": "Une particule de masse $m = 3\\ \\mathrm{kg}$ se déplace sur une surface courbe sous l'action d'une force conservative. Elle part d'un point A avec une vitesse $v_A = 4\\ \\mathrm{m/s}$ à une hauteur $h_A = 10\\ \\mathrm{m}$. Elle atteint un point B à une hauteur $h_B = 15\\ \\mathrm{m}$. 1) Calculez l'énergie mécanique totale au point A. 2) Calculez la vitesse de la particule au point B. 3) Vérifiez que la particule atteint vraiment le point B en comparant l'énergie mécanique totale à l'énergie potentielle requise.",
"svg": "A $h_A$ $v_A$ B $h_B$ $v_B$ surface conservative ",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "Question 1 : Ănergie mĂ©canique totale au point A 1. Formule gĂ©nĂ©rale : $E_{mĂ©canique} = E_c + E_p = \\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A$ 2. Remplacement des donnĂ©es : $m = 3\\ \\mathrm{kg},\\ v_A = 4\\ \\mathrm{m/s},\\ h_A = 10\\ \\mathrm{m}$ 3. Calcul de l'Ă©nergie cinĂ©tique : $E_{c,A} = \\frac{1}{2} \\times 3 \\times (4)^2 = 1{,}5 \\times 16 = 24\\ \\mathrm{J}$ 4. Calcul de l'Ă©nergie potentielle : $E_{p,A} = 3 \\times 9{,}81 \\times 10 = 294{,}3\\ \\mathrm{J}$ 5. Ănergie mĂ©canique totale : $E_{mĂ©canique} = 24 + 294{,}3 = 318{,}3\\ \\mathrm{J}$ 6. RĂ©sultat : $E_{mĂ©canique,A} = 318{,}3\\ \\mathrm{J}$Question 2 : Vitesse de la particule au point B 1. Par conservation de l'Ă©nergie mĂ©canique (force conservative) : $E_{mĂ©canique,A} = E_{mĂ©canique,B}$ $\\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A = \\frac{1}{2}mv_B^2 + mgh_B$ 2. Simplification par m : $\\frac{1}{2}v_A^2 + gh_A = \\frac{1}{2}v_B^2 + gh_B$ 3. Remplacement : $\\frac{1}{2}(4)^2 + 9{,}81 \\times 10 = \\frac{1}{2}v_B^2 + 9{,}81 \\times 15$ 4. Calcul : $8 + 98{,}1 = \\frac{1}{2}v_B^2 + 147{,}15$$106{,}1 = \\frac{1}{2}v_B^2 + 147{,}15$$\\frac{1}{2}v_B^2 = 106{,}1 - 147{,}15 = -41{,}05$ 5. RĂ©sultat : $v_B^2 = -82{,}1$, ce qui est impossible car $v_B^2$ doit ĂȘtre positifQuestion 3 : VĂ©rification si le point B est atteint 1. Ănergie potentielle requise au point B : $E_{p,B,required} = mgh_B = 3 \\times 9{,}81 \\times 15 = 441{,}45\\ \\mathrm{J}$ 2. Ănergie mĂ©canique disponible : $E_{mĂ©canique,A} = 318{,}3\\ \\mathrm{J}$ 3. Comparaison : $E_{mĂ©canique,A} = 318{,}3\\ \\mathrm{J} < E_{p,B,required} = 441{,}45\\ \\mathrm{J}$ 4. InterprĂ©tation : L'Ă©nergie mĂ©canique disponible est insuffisante pour atteindre le point B. La particule s'arrĂȘtera Ă une hauteur infĂ©rieure. Hauteur maximale accessible : $h_{max} = \\frac{E_{mĂ©canique,A}}{mg} = \\frac{318{,}3}{3 \\times 9{,}81} = 10{,}8\\ \\mathrm{m}$. La particule ne peut pas dĂ©passer cette hauteur avec son Ă©nergie initiale.
",
"id_category": "3",
"id_number": "17"
}
]