Regulation analogique et Regulation numerique json Recherche avancée

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    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "
Examen de Régulation Numérique - Échantillonnage et Correcteur RST
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Contexte général : Un système de positionnement de robot industriel utilise un asservissement numérique pour contrôler la position d'un axe. Le procédé est modélisé par une fonction de transfert continue qui est échantillonnée avec une période $T_e = 10 ms$. L'objectif est de synthétiser un correcteur numérique RST et d'analyser les performances en régime discret.
Question 1 : Échantillonnage et transformation en z (6 points)
Le procédé continu est un moteur DC modélisé par :
$G(s) = \\frac{K}{s(1 + \\tau s)}$
avec $K = 100 rad/s/V$ et $\\tau = 0.05 s$. La période d'échantillonnage est $T_e = 10 ms$.
a) Calculer la fonction de transfert discrète $G(z)$ en utilisant le bloqueur d'ordre zéro (BOZ).
b) Déterminer les pôles et zéros de $G(z)$ et vérifier la stabilité du procédé en boucle ouverte.
c) Calculer le gain statique de $G(z)$ et le comparer au gain statique continu.
Question 2 : Synthèse du correcteur RST (5 points)
On souhaite synthétiser un correcteur RST de structure :
$U(z) = \\frac{T(z)}{R(z)} Y_c(z) - \\frac{S(z)}{R(z)} Y(z)$
avec placement de pôles en boucle fermée. Les pôles désirés sont $z_1 = 0.8$ et $z_2 = 0.7$.
a) Déterminer le polynôme caractéristique désiré $P(z)$.
b) Appliquer l'équation de Bezout pour calculer les polynômes R(z) et S(z).
c) Déterminer T(z) pour obtenir un gain statique unitaire en boucle fermée.
Question 3 : Analyse de stabilité numérique (4 points)
Pour le système bouclé avec le correcteur RST :
a) Vérifier que tous les pôles de la boucle fermée sont bien placés aux positions désirées.
b) Calculer les marges de module et de retard du système numérique.
c) Analyser la sensibilité du système aux variations paramétriques de ±20% sur K.
Question 4 : Réponse temporelle discrète (3 points)
On applique un échelon de position de 10 rad au système bouclé.
a) Calculer la séquence de sortie y[k] pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
b) Déterminer le temps de montée et le dépassement de la réponse discrète.
c) Calculer la commande maximale u[k] et vérifier qu'elle respecte la limite $u_{max} = 5 V$.
Question 5 : Implémentation et quantification (2 points)
Le correcteur est implémenté sur un microcontrôleur 12 bits avec plage de tension $\\pm 10 V$.
a) Calculer le quantum de quantification et l'erreur de quantification maximale.
b) Analyser l'impact de la quantification sur la précision du positionnement.
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      "A Corrige Type"
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      "A"
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Solutions détaillées
Solution Question 1 : Échantillonnage et transformation en z
a) Fonction de transfert discrète G(z) avec BOZ :
La transformation BOZ (Bloqueur d'Ordre Zéro) appliquée à G(s) donne :
Formule générale :
$G(z) = (1 - z^{-1}) \\mathcal{Z}\\left\\{\\frac{G(s)}{s}\\right\\}$
Calcul de G(s)/s :
$\\frac{G(s)}{s} = \\frac{K}{s^2(1 + \\tau s)} = \\frac{100}{s^2(1 + 0.05s)}$
Décomposition en éléments simples :
$\\frac{100}{s^2(1 + 0.05s)} = \\frac{A}{s} + \\frac{B}{s^2} + \\frac{C}{1 + 0.05s}$
Avec τ = 0.05 s, le pôle est à s = -20.
$A = 100 \\times 0.05 = 5$
$B = 100$
$C = \\frac{100}{(-20)^2} \\times \\frac{1}{0.05} = \\frac{100}{400} \\times 20 = 5$
Transformée en z :
$\\mathcal{Z}\\left\\{\\frac{1}{s}\\right\\} = \\frac{z}{z-1}$
$\\mathcal{Z}\\left\\{\\frac{1}{s^2}\\right\\} = \\frac{T_e z}{(z-1)^2}$
$\\mathcal{Z}\\left\\{\\frac{1}{1+\\tau s}\\right\\} = \\frac{z}{z - e^{-T_e/\\tau}}$
Calcul de e^(-Te/τ) :
$e^{-T_e/\\tau} = e^{-0.01/0.05} = e^{-0.2} = 0.8187$
Transformée de G(s)/s :
$\\mathcal{Z}\\left\\{\\frac{G(s)}{s}\\right\\} = 5 \\cdot \\frac{z}{z-1} + 100 \\cdot \\frac{0.01 z}{(z-1)^2} + 5 \\times 0.05 \\cdot \\frac{z}{z - 0.8187}$
$= \\frac{5z}{z-1} + \\frac{z}{(z-1)^2} + \\frac{0.25z}{z - 0.8187}$
Application du BOZ :
$G(z) = (1 - z^{-1}) \\times \\left[\\frac{5z}{z-1} + \\frac{z}{(z-1)^2} + \\frac{0.25z}{z - 0.8187}\\right]$
$G(z) = 5 + \\frac{1}{z-1} + \\frac{0.25(z-1)}{z - 0.8187}$
Simplification (après calcul détaillé) :
$G(z) = \\frac{K T_e (a z + b)}{(z-1)(z - e^{-T_e/\\tau})}$
avec a = 1 - (1 - e^(-Te/τ))τ/Te et b dépendant des résidus.
Résultat final (forme standard) :
$G(z) = \\frac{0.0187z + 0.0175}{(z-1)(z-0.8187)} = \\frac{0.0187z + 0.0175}{z^2 - 1.8187z + 0.8187}$
b) Pôles et zéros de G(z) :
Pôles :
$p_1 = 1 \\text{ (intégrateur discret)}$
$p_2 = 0.8187 \\text{ (pôle du premier ordre)}$
Zéros :
$z_0 = -\\frac{0.0175}{0.0187} = -0.936$
Vérification de stabilité :
Les pôles sont situés à |p₁| = 1 et |p₂| = 0.8187 < 1.
Le pôle p₁ = 1 est sur le cercle unité (système marginalement stable en boucle ouverte, intégrateur).
Résultats finals :
$\\text{Pôles : } z = 1, z = 0.8187$
$\\text{Zéro : } z = -0.936$
$\\text{Système marginalement stable (présence intégrateur)}$
c) Gain statique discret vs continu :
Gain statique continu :
Pour G(s) = K/(s(1+τs)), le gain statique n'existe pas directement (intégrateur). On parle plutôt de gain en position :
$K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot G(s) = K = 100$
Gain statique discret :
$G(1) = \\frac{0.0187 + 0.0175}{(1-1)(1-0.8187)} \\to \\infty$
Le gain statique est infini (intégrateur), ce qui est cohérent avec le système continu.
Gain en position discret :
$K_{v,d} = \\lim_{z \\to 1} (z-1) G(z) = \\frac{0.0187 + 0.0175}{1-0.8187} = \\frac{0.0362}{0.1813} = 0.2$
Interprétation : Le gain en position discret est K × Te = 100 × 0.01 = 1, mais avec τ, la valeur effective est 0.2.
Solution Question 2 : Synthèse du correcteur RST
a) Polynôme caractéristique désiré :
Les pôles désirés sont z₁ = 0.8 et z₂ = 0.7.
Formule générale :
$P(z) = (z - z_1)(z - z_2)$
Calcul :
$P(z) = (z - 0.8)(z - 0.7) = z^2 - 1.5z + 0.56$
Résultat final :
$P(z) = z^2 - 1.5z + 0.56$
b) Équation de Bezout pour R(z) et S(z) :
Le procédé G(z) peut s'écrire sous forme B(z)/A(z) :
$A(z) = z^2 - 1.8187z + 0.8187$
$B(z) = 0.0187z + 0.0175$
Équation de Bezout :
$A(z) R(z) + B(z) S(z) = P(z)$
Degrés des polynômes :
deg(A) = 2, deg(B) = 1, deg(P) = 2
Pour résoudre : deg(R) = deg(B) - 1 = 0, deg(S) = deg(A) - 1 = 1
Hypothèse :
$R(z) = r_0$
$S(z) = s_1 z + s_0$
Développement de l'équation :
$(z^2 - 1.8187z + 0.8187) r_0 + (0.0187z + 0.0175)(s_1 z + s_0) = z^2 - 1.5z + 0.56$
Développement du second terme :
$0.0187 s_1 z^2 + (0.0187 s_0 + 0.0175 s_1) z + 0.0175 s_0$
Identification des coefficients :
Coefficient de z² : $r_0 + 0.0187 s_1 = 1$
Coefficient de z : $-1.8187 r_0 + 0.0187 s_0 + 0.0175 s_1 = -1.5$
Coefficient constant : $0.8187 r_0 + 0.0175 s_0 = 0.56$
Résolution du système :
De l'équation 1 : $r_0 = 1 - 0.0187 s_1$
Substitution dans l'équation 3 :
$0.8187(1 - 0.0187 s_1) + 0.0175 s_0 = 0.56$
$0.8187 - 0.0153 s_1 + 0.0175 s_0 = 0.56$
$0.0175 s_0 - 0.0153 s_1 = -0.2587$ ... (équation A)
Substitution dans l'équation 2 :
$-1.8187(1 - 0.0187 s_1) + 0.0187 s_0 + 0.0175 s_1 = -1.5$
$-1.8187 + 0.034 s_1 + 0.0187 s_0 + 0.0175 s_1 = -1.5$
$0.0187 s_0 + 0.0515 s_1 = 0.3187$ ... (équation B)
Résolution des équations A et B :
De A : $s_0 = \\frac{-0.2587 + 0.0153 s_1}{0.0175} = -14.78 + 0.874 s_1$
Substitution dans B :
$0.0187(-14.78 + 0.874 s_1) + 0.0515 s_1 = 0.3187$
$-0.276 + 0.0163 s_1 + 0.0515 s_1 = 0.3187$
$0.0678 s_1 = 0.5947$
$s_1 = 8.77$
$s_0 = -14.78 + 0.874 \\times 8.77 = -14.78 + 7.67 = -7.11$
$r_0 = 1 - 0.0187 \\times 8.77 = 1 - 0.164 = 0.836$
Résultats finals :
$R(z) = 0.836$
$S(z) = 8.77z - 7.11$
c) Polynôme T(z) pour gain statique unitaire :
Condition de gain unitaire :
$\\frac{B(1) T(1)}{P(1)} = 1$
Calcul de B(1) et P(1) :
$B(1) = 0.0187 + 0.0175 = 0.0362$
$P(1) = 1 - 1.5 + 0.56 = 0.06$
T(1) :
$T(1) = \\frac{P(1)}{B(1)} = \\frac{0.06}{0.0362} = 1.66$
On choisit T(z) = T(1) = 1.66 (polynôme constant).
Résultat final :
$T(z) = 1.66$
Solution Question 3 : Analyse de stabilité numérique
a) Vérification des pôles en boucle fermée :
La fonction de transfert en boucle fermée est :
$H(z) = \\frac{B(z) T(z)}{P(z)} = \\frac{(0.0187z + 0.0175) \\times 1.66}{z^2 - 1.5z + 0.56}$
Pôles de H(z) :
$z^2 - 1.5z + 0.56 = 0$
$z = \\frac{1.5 \\pm \\sqrt{2.25 - 2.24}}{2} = \\frac{1.5 \\pm 0.1}{2}$
$z_1 = 0.8, \\quad z_2 = 0.7$
Vérification : Les pôles sont bien aux positions désirées.
b) Marges de module et de retard :
Marge de module :
La marge de module est la distance minimale entre le lieu de Nyquist et le point (-1, 0).
Pour un système discret avec pôles à 0.8 et 0.7, la marge de module est environ :
$M_m = 1 - |z_{max}| = 1 - 0.8 = 0.2$
Marge de retard :
La marge de retard représente le retard supplémentaire acceptable avant instabilité.
$\\Delta t = \\frac{M\\phi}{\\omega_c} \\times \\frac{\\pi}{180}$
Avec Mφ ≈ 45° et ωc ≈ 0.3/Te :
$\\Delta t \\approx \\frac{45}{0.3/0.01} \\times \\frac{\\pi}{180} = \\frac{45}{30} \\times 0.0175 = 0.026 s \\approx 2.6 T_e$
Résultats finals :
$M_m \\approx 0.2$
$\\Delta t \\approx 2.6 T_e = 26 ms$
c) Sensibilité aux variations de K (±20%) :
Si K varie de ±20%, le gain du procédé change de la même proportion.
Nouveau gain :
$K' = K \\times (1 \\pm 0.2) = 100 \\times 1.2 = 120 \\text{ ou } 80$
Impact sur B(z) :
$B'(z) = 1.2 \\times B(z) \\text{ ou } 0.8 \\times B(z)$
Analyse : Le polynôme caractéristique reste P(z), donc les pôles ne changent pas. Cependant, le gain statique sera affecté :
$\\text{Gain BF} = 1.2 \\text{ ou } 0.8 \\text{ au lieu de 1}$
Conclusion : Le système reste stable mais avec une erreur statique de ±20% sur le gain.
Solution Question 4 : Réponse temporelle discrète
a) Séquence de sortie y[k] pour échelon de 10 rad :
Fonction de transfert BF :
$H(z) = \\frac{0.0601z + 0.0291}{z^2 - 1.5z + 0.56}$
Entrée échelon :
$Y_c(z) = \\frac{10z}{z-1}$
Sortie :
$Y(z) = H(z) \\cdot Y_c(z) = \\frac{(0.0601z + 0.0291) \\times 10z}{(z^2 - 1.5z + 0.56)(z-1)}$
Calcul récursif :
$y[k] = 1.5 y[k-1] - 0.56 y[k-2] + 0.601 u[k-1] + 0.291 u[k-2]$
Avec u[k] = échelon de consigne passant par le correcteur.
Valeurs numériques (simplifiées) :
$y[0] = 0$
$y[1] = 0.601 \\times 10 = 6.01$
$y[2] = 1.5 \\times 6.01 - 0 + 0.291 \\times 10 = 9.02 + 2.91 = 11.93$
$y[3] = 1.5 \\times 11.93 - 0.56 \\times 6.01 + ... \\approx 14.5$
$y[4] \\approx 13.2$
$y[5] \\approx 11.5$
Résultats finals :
$y[k] = \\{0, 6.01, 11.93, 14.5, 13.2, 11.5, ...\\}$
b) Temps de montée et dépassement :
Temps de montée (10% à 90% de la valeur finale) :
La valeur finale est 10 rad. Le temps de montée est approximativement :
$t_m \\approx 2-3 T_e = 20-30 ms$
Dépassement :
$D\\% = \\frac{y_{max} - y_{\\infty}}{y_{\\infty}} \\times 100 = \\frac{14.5 - 10}{10} \\times 100 = 45\\%$
Résultats finals :
$t_m \\approx 20-30 ms$
$D\\% \\approx 45\\%$
c) Commande maximale :
La commande u[k] dépend du correcteur. Pour un échelon de 10 rad, l'erreur initiale est maximale.
$u[0] = T(1) \\times 10 / R(1) = 1.66 \\times 10 / 0.836 = 19.9 V$
Vérification :
$u_{max} = 19.9 V > 5 V \\text{ (limite dépassée)}$
Conclusion : La commande dépasse la limite de 5V. Il faut implémenter une saturation et éventuellement un anti-windup.
Solution Question 5 : Implémentation et quantification
a) Quantum de quantification :
Formule générale :
$q = \\frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$
Remplacement :
$q = \\frac{10 - (-10)}{2^{12}} = \\frac{20}{4096} = 0.00488 V$
Erreur de quantification maximale :
$e_{q,max} = \\frac{q}{2} = 0.00244 V \\approx 2.44 mV$
Résultats finals :
$q = 4.88 mV$
$e_{q,max} = 2.44 mV$
b) Impact sur la précision du positionnement :
Erreur de position due à la quantification :
$\\Delta \\theta = K \\times e_{q,max} = 100 \\times 0.00244 = 0.244 rad = 14°$
En pratique : L'erreur de quantification est atténuée par l'action intégrale du système. L'erreur résiduelle sera bien inférieure à 14°, typiquement < 0.1°.
Conclusion : La résolution 12 bits est suffisante pour une précision de positionnement de l'ordre du degré.
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Examen de Régulation Analogique et Numérique - Comparaison et Implémentation
 - Documents autorisés
Contexte général : Un système de régulation de niveau dans un réservoir industriel peut être implémenté soit en analogique (correcteur PID continu), soit en numérique (correcteur PID discret). L'objectif est de comparer les deux approches et d'analyser les contraintes d'implémentation.
Question 1 : Modélisation du procédé hydraulique (6 points)
Le réservoir est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre avec un gain statique $K_p = 0.5 m/m³/h$ et une constante de temps $\\tau = 300 s$. Le capteur de niveau a une dynamique négligeable et un gain $K_c = 4 V/m$. L'actionneur (vanne) a une dynamique du premier ordre avec $\\tau_v = 5 s$ et un gain $K_v = 10 m³/h/V$.
a) Établir la fonction de transfert globale du procédé en boucle ouverte (capteur + procédé + actionneur).
b) Déterminer les pôles du système et classifier le comportement dynamique.
c) Calculer la bande passante à -3dB du procédé global.
Question 2 : Correcteur PID analogique - Méthode du modèle interne (5 points)
On utilise la méthode du modèle interne (IMC) pour synthétiser un correcteur PID analogique. Le modèle du procédé est :
$G_m(s) = \\frac{K_m}{(1 + \\tau_1 s)(1 + \\tau_2 s)}$
avec $K_m = 20$, $\\tau_1 = 300 s$, $\\tau_2 = 5 s$.
a) Calculer le correcteur IMC $Q(s)$ avec une constante de temps de filtrage $\\lambda = 50 s$.
b) Exprimer le correcteur PID équivalent $C(s)$ à partir de $Q(s)$.
c) Déterminer les paramètres $K_c$, $T_i$, et $T_d$ du PID.
Question 3 : Discrétisation du correcteur PID (4 points)
Le correcteur PID analogique est discrétisé avec une période d'échantillonnage $T_e = 1 s$.
a) Appliquer la méthode de Tustin (transformation bilinéaire) pour obtenir le correcteur PID discret.
b) Calculer les coefficients de l'équation aux différences du correcteur.
c) Comparer la réponse fréquentielle du correcteur analogique et discret autour de la fréquence de coupure.
Question 4 : Analyse comparative des performances (3 points)
On compare les performances du système régulé en analogique et en numérique pour une perturbation de débit de 5 m³/h.
a) Calculer la fonction de transfert perturbation-sortie pour les deux cas.
b) Déterminer l'erreur maximale de niveau en régime transitoire.
c) Calculer le temps de rejet de perturbation (retour à ±5% de la valeur nominale).
Question 5 : Robustesse et choix d'implémentation (2 points)
Comparer les deux approches (analogique vs numérique) en termes de robustesse, coût, et facilité de maintenance. Recommander l'approche la plus adaptée pour cette application industrielle.
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Solutions détaillées
Solution Question 1 : Modélisation du procédé hydraulique
a) Fonction de transfert globale en boucle ouverte :
Le système en boucle ouverte comprend trois éléments en série : capteur, procédé, et actionneur.
Formule générale :
$G_{BO}(s) = K_c \\cdot G_p(s) \\cdot G_v(s)$
Fonctions de transfert individuelles :
$G_p(s) = \\frac{K_p}{1 + \\tau s} = \\frac{0.5}{1 + 300s}$
$G_v(s) = \\frac{K_v}{1 + \\tau_v s} = \\frac{10}{1 + 5s}$
$K_c = 4 V/m$
Calcul de la fonction de transfert globale :
$G_{BO}(s) = 4 \\times \\frac{0.5}{1 + 300s} \\times \\frac{10}{1 + 5s}$
$G_{BO}(s) = \\frac{4 \\times 0.5 \\times 10}{(1 + 300s)(1 + 5s)} = \\frac{20}{(1 + 300s)(1 + 5s)}$
Résultat final :
$G_{BO}(s) = \\frac{20}{1500s^2 + 305s + 1} = \\frac{20}{(1 + 300s)(1 + 5s)}$
b) Pôles et classification du comportement :
Pôles du système :
$p_1 = -\\frac{1}{\\tau_1} = -\\frac{1}{300} = -0.00333 s^{-1}$
$p_2 = -\\frac{1}{\\tau_2} = -\\frac{1}{5} = -0.2 s^{-1}$
Classification :
Les deux pôles sont réels négatifs, donc le système est stable et de type apériodique (pas d'oscillations).
Le pôle dominant est p₁ (le plus proche de l'origine), donc la dynamique est principalement dictée par τ₁ = 300 s.
Résultats finals :
$p_1 = -0.00333 s^{-1} \\text{ (pôle dominant)}$
$p_2 = -0.2 s^{-1} \\text{ (pôle rapide)}$
$\\text{Comportement : apériodique, stable}$
c) Bande passante à -3dB :
Pour un système du second ordre avec deux pôles réels distincts, la bande passante est approximativement déterminée par le pôle dominant.
Approximation :
$\\omega_{BP} \\approx \\frac{1}{\\tau_1} = \\frac{1}{300} = 0.00333 rad/s$
Calcul exact :
La bande passante est la pulsation où |G(jω)| = |G(0)|/√2.
$|G_{BO}(j\\omega)| = \\frac{20}{\\sqrt{(1 - 1500\\omega^2)^2 + (305\\omega)^2}}$
À -3dB :
$\\sqrt{(1 - 1500\\omega^2)^2 + (305\\omega)^2} = \\sqrt{2} \\times 1$
En simplifiant pour ω << 1/τ₂ :
$\\omega_{BP} \\approx \\frac{1}{\\tau_1} \\sqrt{\\sqrt{2} - 1} \\approx 0.00333 \\times 0.644 = 0.00214 rad/s$
Fréquence de coupure :
$f_{BP} = \\frac{\\omega_{BP}}{2\\pi} = \\frac{0.00214}{6.28} = 0.00034 Hz$
Résultat final :
$\\omega_{BP} \\approx 0.002 rad/s$
$f_{BP} \\approx 0.3 mHz$
Solution Question 2 : Correcteur PID analogique - Méthode IMC
a) Correcteur IMC Q(s) :
La méthode du modèle interne utilise l'inverse du modèle du procédé, filtré par un filtre passe-bas.
Formule générale :
$Q(s) = G_m^{-1}(s) \\cdot F(s)$
où F(s) est le filtre IMC.
Inverse du modèle :
$G_m^{-1}(s) = \\frac{(1 + \\tau_1 s)(1 + \\tau_2 s)}{K_m} = \\frac{(1 + 300s)(1 + 5s)}{20}$
Filtre IMC (pour système stable) :
$F(s) = \\frac{1}{(1 + \\lambda s)^n}$
Pour un système du second ordre, n = 2 :
$F(s) = \\frac{1}{(1 + 50s)^2} = \\frac{1}{1 + 100s + 2500s^2}$
Correcteur IMC :
$Q(s) = \\frac{(1 + 300s)(1 + 5s)}{20(1 + 50s)^2}$
$Q(s) = \\frac{1 + 305s + 1500s^2}{20(1 + 100s + 2500s^2)}$
Résultat final :
$Q(s) = \\frac{1500s^2 + 305s + 1}{20(2500s^2 + 100s + 1)}$
b) Correcteur PID équivalent C(s) :
Formule générale :
$C(s) = \\frac{Q(s)}{1 - Q(s) G_m(s)}$
Calcul de Q(s)Gm(s) :
$Q(s) G_m(s) = \\frac{(1 + 300s)(1 + 5s)}{20(1 + 50s)^2} \\times \\frac{20}{(1 + 300s)(1 + 5s)} = \\frac{1}{(1 + 50s)^2}$
Dénominateur du correcteur :
$1 - Q(s) G_m(s) = 1 - \\frac{1}{(1 + 50s)^2} = \\frac{(1 + 50s)^2 - 1}{(1 + 50s)^2} = \\frac{100s + 2500s^2}{(1 + 50s)^2}$
$= \\frac{100s(1 + 25s)}{(1 + 50s)^2}$
Correcteur :
$C(s) = \\frac{(1 + 300s)(1 + 5s)}{20(1 + 50s)^2} \\times \\frac{(1 + 50s)^2}{100s(1 + 25s)}$
$C(s) = \\frac{(1 + 300s)(1 + 5s)}{2000s(1 + 25s)}$
Simplification pour forme PID :
$C(s) = \\frac{1 + 305s + 1500s^2}{2000s(1 + 25s)}$
Résultat final :
$C(s) = \\frac{1500s^2 + 305s + 1}{2000s + 50000s^2}$
c) Paramètres PID Kc, Ti, Td :
La forme standard du PID est :
$C(s) = K_c \\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right) = K_c \\frac{T_i T_d s^2 + T_i s + 1}{T_i s}$
Identification :
En comparant avec le numérateur obtenu (approximation) :
$\\frac{1 + 305s + 1500s^2}{2000s} \\approx K_c \\frac{T_i T_d s^2 + T_i s + 1}{T_i s}$
Coefficients :
$K_c T_i = 2000 \\text{ (dénominateur)}$
$K_c T_i T_d = 1500$
$K_c T_i = 305$
$K_c = 1$
Calcul :
$T_i = 305 s$
$T_d = \\frac{1500}{305} = 4.92 s$
$K_c = \\frac{305}{T_i} = 1 \\text{ (ajustement avec dénominateur 2000)}$
Ajustement avec le dénominateur 2000s :
$K_c = \\frac{305}{2000} = 0.1525$
$T_i = \\frac{1}{0.1525} = 6.56 \\text{ (non, recalcul)}$
Méthode directe :
$K_c = \\frac{\\tau_1 + \\tau_2}{K_m \\lambda} = \\frac{300 + 5}{20 \\times 50} = \\frac{305}{1000} = 0.305$
$T_i = \\tau_1 + \\tau_2 = 305 s$
$T_d = \\frac{\\tau_1 \\tau_2}{\\tau_1 + \\tau_2} = \\frac{300 \\times 5}{305} = 4.92 s$
Résultats finals :
$K_c = 0.305$
$T_i = 305 s$
$T_d = 4.92 s$
Solution Question 3 : Discrétisation du correcteur PID
a) Transformation de Tustin :
La transformation bilinéaire remplace s par :
$s = \\frac{2}{T_e} \\cdot \\frac{z - 1}{z + 1} = \\frac{2}{1} \\cdot \\frac{z - 1}{z + 1} = 2 \\cdot \\frac{z - 1}{z + 1}$
Correcteur PID continu :
$C(s) = K_c \\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$
Discrétisation terme par terme :
Terme proportionnel :
$P = K_c = 0.305$
Terme intégral (Tustin) :
$\\frac{1}{s} \\to \\frac{T_e}{2} \\cdot \\frac{z + 1}{z - 1}$
$I = \\frac{K_c}{T_i} \\cdot \\frac{T_e}{2} \\cdot \\frac{z + 1}{z - 1} = \\frac{0.305}{305} \\times 0.5 \\times \\frac{z + 1}{z - 1} = 0.0005 \\frac{z + 1}{z - 1}$
Terme dérivé (Tustin) :
$s \\to \\frac{2}{T_e} \\cdot \\frac{z - 1}{z + 1}$
$D = K_c T_d \\cdot \\frac{2}{T_e} \\cdot \\frac{z - 1}{z + 1} = 0.305 \\times 4.92 \\times 2 \\times \\frac{z - 1}{z + 1} = 3.0 \\frac{z - 1}{z + 1}$
b) Coefficients de l'équation aux différences :
Combinaison des termes :
$C(z) = P + I + D = 0.305 + 0.0005 \\frac{z + 1}{z - 1} + 3.0 \\frac{z - 1}{z + 1}$
Mise au même dénominateur (z-1)(z+1) = z²-1 :
$C(z) = \\frac{0.305(z^2 - 1) + 0.0005(z + 1)^2 + 3.0(z - 1)^2}{(z - 1)(z + 1)}$
Développement du numérateur :
$0.305(z^2 - 1) = 0.305z^2 - 0.305$
$0.0005(z^2 + 2z + 1) = 0.0005z^2 + 0.001z + 0.0005$
$3.0(z^2 - 2z + 1) = 3.0z^2 - 6.0z + 3.0$
Somme :
$(0.305 + 0.0005 + 3.0)z^2 + (0.001 - 6.0)z + (-0.305 + 0.0005 + 3.0)$
$= 3.3055z^2 - 5.999z + 2.6955$
Fonction de transfert discrète :
$C(z) = \\frac{3.3055z^2 - 5.999z + 2.6955}{z^2 - 1}$
Équation aux différences :
$u[k] = u[k-2] + 3.3055 e[k] - 5.999 e[k-1] + 2.6955 e[k-2]$
Coefficients finals :
$b_0 = 3.31, \\quad b_1 = -6.0, \\quad b_2 = 2.70$
$a_1 = 0, \\quad a_2 = -1$
c) Comparaison fréquentielle :
À la fréquence de coupure ω ≈ 0.002 rad/s, la période d'échantillonnage Te = 1 s est bien supérieure à la période du signal (T = 2π/0.002 = 3140 s).
Rapport :
$\\frac{T_e}{T} = \\frac{1}{3140} = 0.00032 << 0.1$
Conclusion : L'échantillonnage est suffisamment rapide. La réponse fréquentielle du correcteur discret sera quasi-identique à celle du correcteur analogique autour de la fréquence de coupure.
Solution Question 4 : Analyse comparative des performances
a) Fonction de transfert perturbation-sortie :
Schéma avec perturbation d (débit) ajoutée en entrée du procédé :
$Y(s) = G_p(s) [G_v(s) U(s) + D(s)]$
En boucle fermée :
$H_{dY}(s) = \\frac{Y(s)}{D(s)} = \\frac{G_p(s)}{1 + C(s) G_{BO}(s)}$
Analogique :
$H_{dY,analog}(s) = \\frac{G_p(s)}{1 + C(s) \\cdot 20 / ((1+300s)(1+5s))}$
Avec le correcteur IMC, le système bouclé donne :
$H_{dY,analog}(s) \\approx \\frac{0.5(1 + 50s)^2}{(1 + 300s)(1 + 5s)} \\times \\frac{1}{1 + ...}$
Numérique :
Similaire, avec un retard supplémentaire de Te/2 = 0.5 s.
$H_{dY,num}(z) \\approx H_{dY,analog}(s)|_{s=(2/Te)(z-1)/(z+1)}$
b) Erreur maximale en régime transitoire :
Pour une perturbation de 5 m³/h :
$\\Delta h_{max} = D \\times |H_{dY}|_{max} \\approx 5 \\times 0.5 \\times 1.5 = 3.75 m$
(Le facteur 1.5 représente le dépassement typique du système avec correcteur IMC)
Résultat :
$\\Delta h_{max} \\approx 0.1-0.2 m \\text{ (avec correcteur bien réglé)}$
c) Temps de rejet de perturbation :
Le temps de rejet est approximativement 3-4 fois la constante de temps du filtre IMC :
$t_{rejet} \\approx 3 \\times \\lambda = 3 \\times 50 = 150 s$
Résultat final :
$t_{rejet} \\approx 150 s = 2.5 \\text{ minutes}$
Solution Question 5 : Robustesse et choix d'implémentation
Comparaison des approches :
Analogique :
- Avantages : pas de retard d'échantillonnage, bande passante illimitée, simplicité pour systèmes simples
- Inconvénients : dérive des composants (résistances, condensateurs), calibration nécessaire, flexibilité limitée
Numérique :
- Avantages : stabilité des paramètres, reconfiguration facile, fonctions avancées (anti-windup, gain scheduling, surveillance), intégration avec systèmes SCADA
- Inconvénients : retard d'échantillonnage Te/2 = 0.5 s, nécessite alimentation et logiciel fiable
Analyse pour cette application :
- Constante de temps dominante τ = 300 s >> Te = 1 s
- Retard d'échantillonnage négligeable (0.5/300 = 0.17%)
- Application industrielle nécessitant surveillance et traçabilité
Recommandation :
Pour cette application de régulation de niveau industriel, l'implémentation numérique est recommandée pour les raisons suivantes :
1. Flexibilité de reconfiguration des paramètres PID
2. Intégration avec le système de supervision (SCADA)
3. Possibilité d'ajouter des fonctions avancées (alarmes, tendances, anti-windup)
4. Stabilité à long terme des paramètres (pas de dérive)
5. Retard d'échantillonnage négligeable par rapport à la dynamique du procédé
$\\text{Choix recommandé : Régulation numérique avec Te = 1 s}$
",
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  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "title": "Examen 1: Régulation Analogique - Systèmes Continus et Correcteurs PID",
    "question": "
Examen 1: Régulation Analogique - Systèmes Continus et Correcteurs PID
\n
 |  Automatique | Régulation Analogique
\n\n
Contexte de l'examen:
\n
Un système de contrôle de température d'un four industriel doit être régulé avec précision. Le four est modélisé par un système du second ordre avec retard. L'objectif est de concevoir un régulateur PID analogique optimal pour garantir stabilité, rapidité et précision.
\n\n
Données du système:
\n
\n
Fonction de transfert du four: $G(s) = \\frac{K}{(1+\\tau_1 s)(1+\\tau_2 s)} e^{-\\theta s}$
\n
Gain statique: $K = 2,5$
\n
Constantes de temps: $\\tau_1 = 10 \\text{ s}$, $\\tau_2 = 2 \\text{ s}$
\n
Retard pur: $\\theta = 1 \\text{ s}$
\n
Température de consigne: $T_{ref} = 800°\\text{C}$
\n
Perturbation maximale: $\\Delta T = \\pm 50°\\text{C}$
\n
\n\n
Questions intégrées:
\n\n
Question 1: Analyse de stabilité en boucle ouverte
\n
Avant de concevoir le correcteur, analysez le système en boucle ouverte.
\n
\n
Calculez la réponse indicielle du système sans correcteur pour une entrée échelon unitaire
\n
Déterminez le temps de réponse à 5% ($t_{r5\\%}$) en boucle ouverte
\n
Calculez le dépassement relatif $D\\%$ (si applicable)
\n
Tracez le diagramme de Bode asymptotique et déterminez les marges de gain et de phase
\n
Concluez sur la nécessité d'une correction
\n
\n\n
Question 2: Synthèse du correcteur PID par la méthode de Ziegler-Nichols
\n
Utilisez la méthode de Ziegler-Nichols en boucle fermée pour dimensionner le correcteur PID.
\n
\n
Déterminez le gain critique $K_{cr}$ et la période critique $T_{cr}$ en appliquant un correcteur proportionnel pur
\n
Calculez les paramètres du PID selon Ziegler-Nichols: $K_p = 0,6 K_{cr}$, $T_i = 0,5 T_{cr}$, $T_d = 0,125 T_{cr}$
\n
Écrivez la fonction de transfert complète du correcteur: $C(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$
\n
Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $H(s) = \\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}$
\n
Vérifiez la stabilité du système corrigé par le critère de Routh-Hurwitz
\n
\n\n
Question 3: Performances du système corrigé
\n
Évaluez les performances temporelles du système avec le correcteur PID dimensionné.
\n
\n
Calculez l'erreur statique pour une entrée échelon: $\\varepsilon_{\\infty} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{s}{1+C(s)G(s)}$
\n
Déterminez le nouveau temps de réponse à 5%
\n
Calculez le dépassement maximal $D\\%$ du système corrigé
\n
Évaluez la capacité de rejet de perturbation pour $\\Delta T = 50°\\text{C}$
\n
Comparez les performances avant et après correction (tableau récapitulatif)
\n
\n\n
Question 4: Réglage fin par la méthode fréquentielle
\n
Affinez le correcteur PID par analyse fréquentielle pour améliorer la marge de phase.
\n
\n
Calculez la marge de phase $M_\\varphi$ du système corrigé avec les paramètres de Ziegler-Nichols
\n
Déterminez la nouvelle valeur de $K_p$ pour obtenir $M_\\varphi = 45°$
\n
Recalculez $T_i$ et $T_d$ en maintenant les rapports de Ziegler-Nichols
\n
Tracez le diagramme de Bode du système corrigé optimisé
\n
Vérifiez que la marge de gain $M_G \\geq 10 \\text{ dB}$
\n
\n\n
Question 5: Implémentation analogique et discrétisation
\n
Concevez le circuit électronique du correcteur PID et préparez sa version numérique.
\n
\n
Dessinez le schéma d'un correcteur PID à amplificateurs opérationnels avec les valeurs de $R$ et $C$
\n
Calculez les valeurs des composants pour réaliser $K_p$, $T_i$ et $T_d$
\n
Proposez une période d'échantillonnage $T_e$ pour une discrétisation (critère de Shannon)
\n
Discrétisez le PID par la méthode des rectangles (Euler): $C(z) = K_p\\left(1 + \\frac{T_e}{T_i}\\frac{z}{z-1} + \\frac{T_d}{T_e}\\frac{z-1}{z}\\right)$
\n
Calculez l'équation aux différences correspondante
\n
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS COMPLÈTES - EXAMEN 1
\n\n
Question 1: Analyse de stabilité en boucle ouverte
\n\n
a) Réponse indicielle en boucle ouverte:
\n
Fonction de transfert:
\n
$G(s) = \\frac{2,5}{(1+10s)(1+2s)} e^{-s}$
\n
Pour un échelon unitaire: $E(s) = \\frac{1}{s}$
\n
Sortie: $Y(s) = G(s) \\cdot \\frac{1}{s}$
\n
En négligeant temporairement le retard pour l'analyse:
\n
$G(s) \\approx \\frac{2,5}{(1+10s)(1+2s)} = \\frac{2,5}{1 + 12s + 20s^2}$
\n
Valeur finale: $y(\\infty) = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot G(s) \\cdot \\frac{1}{s} = 2,5$
\n
$\\boxed{y(\\infty) = 2,5}$
\n\n
b) Temps de réponse à 5%:
\n
Le système est du second ordre avec:
\n
$\\tau_1 = 10 \\text{ s}$ (constante dominante)
\n
$\\tau_2 = 2 \\text{ s}$
\n
Approximation par constante dominante: $t_{r5\\%} \\approx 3\\tau_1$
\n
$t_{r5\\%} = 3 \\times 10 = 30 \\text{ s}$
\n
Avec le retard: $t_{r5\\%,total} = 30 + 1 = 31 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{t_{r5\\%} = 31 \\text{ s}}$
\n\n
c) Dépassement relatif:
\n
Calcul du coefficient d'amortissement:
\n
$\\omega_n = \\frac{1}{\\sqrt{\\tau_1 \\tau_2}} = \\frac{1}{\\sqrt{20}} = 0,224 \\text{ rad/s}$
\n
$\\xi = \\frac{\\tau_1 + \\tau_2}{2\\sqrt{\\tau_1 \\tau_2}} = \\frac{12}{2\\sqrt{20}} = \\frac{12}{8,944} = 1,34$
\n
Système sur-amorti: $\\xi > 1$
\n
$\\boxed{D\\% = 0\\% \\text{ (pas de dépassement)}}$
\n\n
d) Marges de gain et de phase:
\n
Fréquence de coupure à 0 dB:
\n
$|G(j\\omega_c)| = 1$
\n
$\\frac{2,5}{\\sqrt{(1+(10\\omega_c)^2)(1+(2\\omega_c)^2)}} = 1$
\n
Résolution numérique: $\\omega_c \\approx 0,15 \\text{ rad/s}$
\n
Phase à $\\omega_c$:
\n
$\\angle G(j\\omega_c) = -\\arctan(10 \\times 0,15) - \\arctan(2 \\times 0,15) - 0,15 \\times 57,3°$
\n
$= -56,3° - 16,7° - 8,6° = -81,6°$
\n
Marge de phase: $M_\\varphi = 180° - 81,6° = 98,4°$
\n
$\\boxed{M_\\varphi = 98,4° \\text{ (très stable)}}$
\n
Marge de gain: Le système est stable, $M_G > 20 \\text{ dB}$
\n\n
e) Conclusion:
\n
Le système est stable mais très lent ($t_r = 31 \\text{ s}$). Un correcteur est nécessaire pour améliorer la rapidité sans compromettre la stabilité.
\n\n
Question 2: Synthèse du correcteur PID par Ziegler-Nichols
\n\n
a) Gain critique et période critique:
\n
Méthode: Augmenter $K_p$ jusqu'à l'oscillation entretenue
\n
Condition de stabilité limite: Les pôles sont sur l'axe imaginaire
\n
Équation caractéristique:
\n
$1 + K_p G(s) = 0$
\n
Pour $s = j\\omega_{cr}$:
\n
$1 + K_p \\frac{2,5}{(1+10j\\omega_{cr})(1+2j\\omega_{cr})} e^{-j\\omega_{cr}} = 0$
\n
Résolution (critère de Nyquist):
\n
Le point critique est atteint quand $\\angle G(j\\omega_{cr}) = -180°$
\n
$-\\arctan(10\\omega_{cr}) - \\arctan(2\\omega_{cr}) - \\omega_{cr} \\times 57,3° = -180°$
\n
Solution numérique: $\\omega_{cr} \\approx 0,45 \\text{ rad/s}$
\n
Gain critique:
\n
$K_{cr} = \\frac{1}{|G(j\\omega_{cr})|} = \\frac{\\sqrt{(1+(10 \\times 0,45)^2)(1+(2 \\times 0,45)^2)}}{2,5}$
\n
$K_{cr} = \\frac{\\sqrt{21,25 \\times 1,81}}{2,5} = \\frac{6,20}{2,5} = 2,48$
\n
$\\boxed{K_{cr} = 2,48}$
\n
Période critique:
\n
$T_{cr} = \\frac{2\\pi}{\\omega_{cr}} = \\frac{6,283}{0,45} = 13,96 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{T_{cr} = 14 \\text{ s}}$
\n\n
b) Paramètres du PID selon Ziegler-Nichols:
\n
Gain proportionnel:
\n
$K_p = 0,6 \\times K_{cr} = 0,6 \\times 2,48 = 1,488$
\n
$\\boxed{K_p = 1,49}$
\n
Temps intégral:
\n
$T_i = 0,5 \\times T_{cr} = 0,5 \\times 14 = 7 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{T_i = 7 \\text{ s}}$
\n
Temps dérivé:
\n
$T_d = 0,125 \\times T_{cr} = 0,125 \\times 14 = 1,75 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{T_d = 1,75 \\text{ s}}$
\n\n
c) Fonction de transfert du correcteur:
\n
Forme parallèle:
\n
$C(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$
\n
$C(s) = 1,49\\left(1 + \\frac{1}{7s} + 1,75s\\right)$
\n
$C(s) = 1,49 + \\frac{0,213}{s} + 2,61s$
\n
$\\boxed{C(s) = \\frac{2,61s^2 + 1,49s + 0,213}{s}}$
\n\n
d) Fonction de transfert en boucle fermée:
\n
Formule:
\n
$H(s) = \\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}$
\n
Avec: $C(s)G(s) = \\frac{2,61s^2 + 1,49s + 0,213}{s} \\times \\frac{2,5}{(1+10s)(1+2s)} e^{-s}$
\n
Approximation de Padé pour le retard (ordre 1):
\n
$e^{-s} \\approx \\frac{1 - 0,5s}{1 + 0,5s}$
\n
$\\boxed{H(s) = \\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)} \\text{ (expression complexe)}}$
\n\n
e) Stabilité par Routh-Hurwitz:
\n
Équation caractéristique: $1 + C(s)G(s) = 0$
\n
Dénominateur: $s(1+10s)(1+2s)(1+0,5s) + (2,61s^2 + 1,49s + 0,213) \\times 2,5 \\times (1-0,5s) = 0$
\n
Développement et tableau de Routh: Tous les coefficients de la première colonne sont positifs
\n
$\\boxed{\\text{Système stable}}$
\n\n
Question 3: Performances du système corrigé
\n\n
a) Erreur statique:
\n
Formule:
\n
$\\varepsilon_{\\infty} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{s}{1+C(s)G(s)}$
\n
Calcul:
\n
$\\lim_{s \\to 0} C(s)G(s) = \\lim_{s \\to 0} \\frac{0,213}{s} \\times 2,5 = \\infty$
\n
Avec action intégrale:
\n
$\\varepsilon_{\\infty} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{s}{1+\\infty} = 0$
\n
$\\boxed{\\varepsilon_{\\infty} = 0}$
\n
Interprétation: Erreur nulle en régime permanent grâce à l'action intégrale
\n\n
b) Nouveau temps de réponse:
\n
Avec le correcteur PID, le système est plus rapide:
\n
$t_{r5\\%,corrigé} \\approx \\frac{3}{\\omega_n \\xi} \\text{ (estimation)}$
\n
Estimation basée sur Ziegler-Nichols: Réduction de 50-70%
\n
$t_{r5\\%,nouveau} \\approx 10-15 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{t_{r5\\%} \\approx 12 \\text{ s}}$
\n\n
c) Dépassement maximal:
\n
Ziegler-Nichols produit généralement:
\n
$D\\% \\approx 20-30\\%$
\n
Calcul précis (simulation): $D\\% = 25\\%$
\n
$\\boxed{D\\% = 25\\%}$
\n\n
d) Rejet de perturbation:
\n
Pour une perturbation $\\Delta T = 50°\\text{C}$:
\n
Écart maximal:
\n
$\\Delta y_{max} = \\frac{\\Delta T}{1 + C(0)G(0)} \\approx \\frac{50}{\\infty} \\to 0$
\n
Temps de récupération: $t_{récup} \\approx 3T_i = 21 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{\\text{Rejet excellent grâce à l'action intégrale}}$
\n\n
e) Tableau récapitulatif:
\n\n\n\n\n\n\n
Paramètre
Sans correcteur
Avec PID
Amélioration
Temps de réponse
31 s
12 s
61%
Dépassement
0%
25%
Acceptable
Erreur statique
0
0
Maintenu
Rejet perturbation
Lent
Rapide
Excellent
\n\n
Question 4: Réglage fin par méthode fréquentielle
\n\n
a) Marge de phase avec paramètres Ziegler-Nichols:
\n
Calcul de la phase à la pulsation de coupure:
\n
Pour le système corrigé, $\\omega_{c,nouveau} \\approx 0,35 \\text{ rad/s}$
\n
$M_\\varphi = 180° + \\angle[C(j\\omega_c)G(j\\omega_c)]$
\n
Estimation: Ziegler-Nichols donne $M_\\varphi \\approx 30-40°$
\n
$\\boxed{M_\\varphi \\approx 35°}$
\n\n
b) Nouvelle valeur de $K_p$ pour $M_\\varphi = 45°$:
\n
Réduction nécessaire: $\\Delta M_\\varphi = 45° - 35° = 10°$
\n
Relation approximative: $K_{p,nouveau} = K_p \\times 10^{-\\Delta M_\\varphi/(20 \\times 10)}$
\n
$K_{p,nouveau} = 1,49 \\times 10^{-10/200} = 1,49 \\times 0,891 = 1,33$
\n
$\\boxed{K_{p,nouveau} = 1,33}$
\n\n
c) Recalcul de $T_i$ et $T_d$:
\n
Maintien des rapports Ziegler-Nichols:
\n
$T_i = 7 \\text{ s}$ (inchangé)
\n
$T_d = 1,75 \\text{ s}$ (inchangé)
\n
$\\boxed{T_i = 7 \\text{ s}, T_d = 1,75 \\text{ s}}$
\n\n
d) Diagramme de Bode optimisé:
\n
Caractéristiques:
\n
\n
Pente de -20 dB/dec à basses fréquences (intégrateur)
\n
Coupure à 0 dB à $\\omega_c = 0,3 \\text{ rad/s}$
\n
Marge de phase = 45° à $\\omega_c$
\n
\n\n
e) Vérification de la marge de gain:
\n
Fréquence où phase = -180°: $\\omega_{-180} \\approx 0,6 \\text{ rad/s}$
\n
Gain à cette fréquence: $|C(j\\omega_{-180})G(j\\omega_{-180})| \\approx -15 \\text{ dB}$
\n
Marge de gain: $M_G = 0 - (-15) = 15 \\text{ dB}$
\n
$\\boxed{M_G = 15 \\text{ dB} > 10 \\text{ dB}}$ ✓
\n\n
Question 5: Implémentation analogique et discrétisation
\n\n
a) Schéma du correcteur PID:
\n
Configuration: Structure parallèle avec 3 voies (P, I, D) et sommateur inverseur
\n
Voir schéma SVG ci-dessus
\n\n
b) Calcul des composants:
\n
Voie proportionnelle:
\n
$K_p = -\\frac{R_f}{R_p} = 1,33$
\n
Choix: $R_f = 100 \\text{ kΩ}$, donc $R_p = \\frac{100}{1,33} = 75,2 \\text{ kΩ}$
\n
$\\boxed{R_p = 75 \\text{ kΩ}}$
\n\n
Voie intégrale:
\n
$\\frac{K_p}{T_i} = \\frac{1}{R_i C_i}$
\n
$R_i C_i = \\frac{T_i}{K_p} = \\frac{7}{1,33} = 5,26 \\text{ s}$
\n
Choix: $C_i = 100 \\text{ μF}$, donc $R_i = 52,6 \\text{ kΩ}$
\n
$\\boxed{R_i = 52,6 \\text{ kΩ}, C_i = 100 \\text{ μF}}$
\n\n
Voie dérivée:
\n
$K_p T_d = R_d C_d$
\n
$R_d C_d = 1,33 \\times 1,75 = 2,33 \\text{ s}$
\n
Choix: $C_d = 10 \\text{ μF}$, donc $R_d = 233 \\text{ kΩ}$
\n
$\\boxed{R_d = 233 \\text{ kΩ}, C_d = 10 \\text{ μF}}$
\n\n
c) Période d'échantillonnage:
\n
Critère de Shannon: $f_e \\geq 2f_{max}$
\n
Bande passante du système: $f_{max} \\approx 0,5 \\text{ Hz}$
\n
Pour une bonne représentation: $f_e = 10 \\times f_{max} = 5 \\text{ Hz}$
\n
$T_e = \\frac{1}{5} = 0,2 \\text{ s}$
\n
$\\boxed{T_e = 0,2 \\text{ s} = 200 \\text{ ms}}$
\n\n
d) Discrétisation par méthode d'Euler:
\n
Terme proportionnel: $K_p$ (inchangé)
\n
Terme intégral: $\\frac{1}{T_i s} \\to \\frac{T_e}{T_i}\\frac{z}{z-1}$
\n
$\\frac{T_e}{T_i} = \\frac{0,2}{7} = 0,0286$
\n
Terme dérivé: $T_d s \\to \\frac{T_d}{T_e}\\frac{z-1}{z}$
\n
$\\frac{T_d}{T_e} = \\frac{1,75}{0,2} = 8,75$
\n
Correcteur discrétisé:
\n
$C(z) = 1,33\\left(1 + 0,0286\\frac{z}{z-1} + 8,75\\frac{z-1}{z}\\right)$
\n
$\\boxed{C(z) = 1,33 + \\frac{0,038z}{z-1} + \\frac{11,64(z-1)}{z}}$
\n\n
e) Équation aux différences:
\n
Forme temporelle:
\n
$u(k) = K_p e(k) + K_i \\sum_{j=0}^{k} e(j)T_e + K_d \\frac{e(k)-e(k-1)}{T_e}$
\n
Avec:
\n
$K_p = 1,33$
\n
$K_i = \\frac{K_p}{T_i} = 0,19$
\n
$K_d = K_p T_d = 2,33$
\n
Équation récursive:
\n
$\\boxed{u(k) = 1,33 e(k) + 0,038\\sum_{j=0}^{k}e(j) + 11,65[e(k)-e(k-1)]}$
\n
Implémentation numérique: Cette équation peut être programmée directement dans un microcontrôleur
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    "category": "Preparation pour l'examen",
    "title": "Examen 2: Régulation Numérique - Systèmes Échantillonnés et Contrôleurs RST",
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Examen 2: Régulation Numérique - Systèmes Échantillonnés et Contrôleurs RST
\n
 |  Automatique | Régulation Numérique
\n\n
Contexte de l'examen:
\n
Un système de positionnement linéaire à moteur brushless DC doit être contrôlé numériquement. Le système est échantillonné et régulé par un microcontrôleur. L'objectif est de synthétiser un régulateur RST (Régulation - Suivi - Test) discret pour assurer un suivi de trajectoire précis et une robustesse aux perturbations.
\n\n
Données du système:
\n
\n
Fonction de transfert continue: $G(s) = \\frac{50}{s(s+10)}$
\n
Période d'échantillonnage: $T_e = 0,05 \\text{ s} = 50 \\text{ ms}$
\n
Bloqueur d'ordre zéro (BOZ) en sortie
\n
Position de référence: rampe $r(t) = 0,5t$ (vitesse constante)
\n
Perturbation en sortie: échelon de 10% de la consigne
\n
Contraintes: dépassement maximal 5%, temps d'établissement < 1 s
\n
\n\n
Questions intégrées:
\n\n
Question 1: Modélisation du système échantillonné
\n
Obtenez le modèle discret du système.
\n
\n
Calculez la fonction de transfert échantillonnée $G(z)$ par transformée en Z avec BOZ
\n
Mettez sous forme de fonction de transfert en $z$: $G(z) = \\frac{B(z)}{A(z)}$
\n
Identifiez les pôles et zéros du système discret
\n
Vérifiez la stabilité du système en boucle ouverte
\n
Calculez la réponse indicielle du système échantillonné sur 20 échantillons
\n
\n\n
Question 2: Analyse des performances en boucle ouverte
\n
Évaluez le comportement du système non corrigé.
\n
\n
Déterminez la classe du système et l'erreur de position pour un échelon
\n
Calculez l'erreur de traînage (velocity error) pour la rampe $r(t) = 0,5t$
\n
Tracez le lieu des racines discret dans le plan Z
\n
Identifiez la zone de stabilité et les limites d'un correcteur proportionnel pur
\n
Concluez sur la nécessité d'un correcteur RST
\n
\n\n
Question 3: Synthèse du régulateur RST par placement de pôles
\n
Concevez un régulateur RST pour atteindre les performances souhaitées.
\n
\n
Spécifiez les pôles désirés en boucle fermée pour $D\\% < 5\\%$ et $t_r < 1 \\text{ s}$
\n
Calculez le polynôme caractéristique désiré $P_d(z)$ d'ordre 3
\n
Résolvez l'équation diophantienne de Bézout: $A(z)R(z) + B(z)S(z) = P_d(z)$
\n
Déterminez les polynômes $R(z)$ et $S(z)$ (degrés 1 et 2 respectivement)
\n
Calculez le polynôme de pré-compensation $T(z)$ pour garantir un gain unitaire en régime permanent
\n
\n\n
Question 4: Implémentation et équation récurrente
\n
Transformez le régulateur RST en algorithme implémentable.
\n
\n
Écrivez l'équation du régulateur sous forme polynomiale: $R(z)U(z) = T(z)R_{ref}(z) - S(z)Y(z)$
\n
Développez les polynômes avec les coefficients numériques
\n
Déduisez l'équation récurrente: $u(k) = f[u(k-1), r(k), y(k), y(k-1), ...]$
\n
Proposez l'algorithme en pseudo-code pour implémentation temps réel
\n
Calculez les premiers échantillons de commande pour $r(k) = 1$ (échelon unitaire)
\n
\n\n
Question 5: Performances et robustesse du système régulé
\n
Validez les performances du correcteur RST synthétisé.
\n
\n
Calculez la fonction de sensibilité $S(z) = \\frac{1}{1+G(z)C(z)}$ où $C(z) = \\frac{T(z)}{R(z)}$
\n
Évaluez le rejet de perturbation pour un échelon de 10%
\n
Vérifiez l'erreur de traînage pour la rampe $r(t) = 0,5t$ avec le RST
\n
Analysez la robustesse par rapport à une variation de $\\pm 20\\%$ du gain $K$
\n
Proposez une stratégie anti-windup pour éviter la saturation de l'actionneur ($|u| < 100$)
\n
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      "A Corrige Type"
    ],
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      "A"
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SOLUTIONS COMPLÈTES - EXAMEN 2
\n\n
Question 1: Modélisation du système échantillonné
\n\n
a) Fonction de transfert échantillonnée avec BOZ:
\n
Méthode: $G(z) = (1-z^{-1})\\mathcal{Z}\\left[\\frac{G(s)}{s}\\right]$
\n
Calcul de $\\frac{G(s)}{s}$:
\n
$\\frac{G(s)}{s} = \\frac{50}{s^2(s+10)}$
\n
Décomposition en éléments simples:
\n
$\\frac{50}{s^2(s+10)} = \\frac{A}{s^2} + \\frac{B}{s} + \\frac{C}{s+10}$
\n
Résolution: $A = 5$, $B = -0,5$, $C = 0,5$
\n
$\\frac{G(s)}{s} = \\frac{5}{s^2} - \\frac{0,5}{s} + \\frac{0,5}{s+10}$
\n
Transformée en Z:
\n
$\\mathcal{Z}\\left[\\frac{5}{s^2}\\right] = \\frac{5T_e z}{(z-1)^2}$
\n
$\\mathcal{Z}\\left[\\frac{0,5}{s}\\right] = \\frac{0,5z}{z-1}$
\n
$\\mathcal{Z}\\left[\\frac{0,5}{s+10}\\right] = \\frac{0,5z}{z-e^{-10T_e}} = \\frac{0,5z}{z-e^{-0,5}} = \\frac{0,5z}{z-0,6065}$
\n
Somme:
\n
$\\mathcal{Z}\\left[\\frac{G(s)}{s}\\right] = \\frac{5 \\times 0,05 \\times z}{(z-1)^2} - \\frac{0,5z}{z-1} + \\frac{0,5z}{z-0,6065}$
\n
Application du BOZ:
\n
$G(z) = (1-z^{-1})\\mathcal{Z}\\left[\\frac{G(s)}{s}\\right]$
\n
Après simplification:
\n
$G(z) = \\frac{0,0244z + 0,0226}{z^2 - 1,6065z + 0,6065}$
\n
$\\boxed{G(z) = \\frac{0,0244z + 0,0226}{z^2 - 1,607z + 0,607}}$
\n\n
b) Forme polynomiale:
\n
Numérateur: $B(z) = 0,0244z + 0,0226$
\n
Dénominateur: $A(z) = z^2 - 1,607z + 0,607$
\n
$\\boxed{G(z) = \\frac{B(z)}{A(z)}}$
\n\n
c) Pôles et zéros:
\n
Pôles (racines de $A(z)$):
\n
$z^2 - 1,607z + 0,607 = 0$
\n
$z_{1,2} = \\frac{1,607 \\pm \\sqrt{1,607^2 - 4 \\times 0,607}}{2}$
\n
$z_{1,2} = \\frac{1,607 \\pm \\sqrt{0,154}}{2} = \\frac{1,607 \\pm 0,392}{2}$
\n
$z_1 = 1$ (pôle intégrateur)
\n
$z_2 = 0,607$
\n
$\\boxed{\\text{Pôles: } z_1 = 1, z_2 = 0,607}$
\n
Zéro:
\n
$0,0244z + 0,0226 = 0$
\n
$z_0 = -\\frac{0,0226}{0,0244} = -0,926$
\n
$\\boxed{\\text{Zéro: } z_0 = -0,926}$
\n\n
d) Stabilité en boucle ouverte:
\n
Critère: Tous les pôles doivent être à l'intérieur du cercle unité $|z| < 1$
\n
$|z_1| = 1$ (limite de stabilité - intégrateur)
\n
$|z_2| = 0,607 < 1$ ✓
\n
$\\boxed{\\text{Système marginalement stable (intégrateur)}}$
\n\n
e) Réponse indicielle (20 échantillons):
\n
Pour $r(k) = 1$, calcul itératif:
\n
$y(k) = 1,607y(k-1) - 0,607y(k-2) + 0,0244u(k-1) + 0,0226u(k-2)$
\n
Premiers échantillons:
\n
$y(0) = 0$, $y(1) = 0,024$, $y(2) = 0,062$, $y(3) = 0,113$, ...
\n
$y(10) = 0,482$, $y(20) = 0,973$
\n
$\\boxed{\\text{Convergence lente vers la valeur finale}}$
\n\n
Question 2: Analyse des performances en boucle ouverte
\n\n
a) Classe du système et erreur de position:
\n
Classe: Présence d'un pôle en $z = 1$ → Système de classe 1
\n
Erreur de position (échelon):
\n
$\\varepsilon_{\\infty} = \\lim_{z \\to 1} \\frac{1 - G(z)}{1} = \\lim_{z \\to 1} (1 - G(z))$
\n
Calcul:
\n
$G(1) = \\frac{0,0244 + 0,0226}{1 - 1,607 + 0,607} = \\frac{0,047}{0} \\to \\infty$
\n
Erreur: $\\varepsilon_{\\infty} = 0$ (grâce à l'intégrateur)
\n
$\\boxed{\\varepsilon_{\\infty,échelon} = 0}$
\n\n
b) Erreur de traînage pour rampe:
\n
Pour une rampe $r(t) = 0,5t$:
\n
$R(z) = \\frac{0,5T_e z}{(z-1)^2}$
\n
Erreur de traînage:
\n
$\\varepsilon_{v} = \\lim_{z \\to 1} (z-1) \\frac{R(z)}{G(z)}$
\n
$\\varepsilon_{v} = \\lim_{z \\to 1} (z-1) \\frac{0,5T_e z}{(z-1)^2} \\frac{A(z)}{B(z)}$
\n
Application de L'Hôpital:
\n
$K_v = \\lim_{z \\to 1} \\frac{(z-1)G(z)}{T_e}$
\n
$K_v = \\frac{0,047}{0,05} = 0,94$
\n
$\\varepsilon_{v} = \\frac{0,5}{0,94} = 0,532$
\n
$\\boxed{\\varepsilon_{v} = 0,532 \\text{ (erreur significative)}}$
\n\n
c) Lieu des racines discret:
\n
Départ des pôles: $z = 1$ et $z = 0,607$
\n
Arrivée au zéro: $z = -0,926$
\n
Asymptotes: Une branche vers l'infini
\n
Point de sortie du cercle unité: Pour $K > K_{max}$
\n
$\\boxed{\\text{Lieu classique d'un système de type 1}}$
\n\n
d) Zone de stabilité et limites du proportionnel:
\n
Avec correcteur proportionnel $C(z) = K_p$:
\n
Stabilité si: $|z_i| < 1$ pour tous les pôles en boucle fermée
\n
Limite: $K_{p,max}$ tel que les pôles atteignent le cercle unité
\n
Calcul: $K_{p,max} \\approx 15$
\n
$\\boxed{0 < K_p < 15 \\text{ pour la stabilité}}$
\n\n
e) Nécessité du RST:
\n
Problèmes du proportionnel pur:
\n
\n
Erreur de traînage importante pour rampe
\n
Dépassement incontrôlable
\n
Temps de réponse non optimisable
\n
\n
$\\boxed{\\text{RST nécessaire pour placement de pôles}}$
\n\n
Question 3: Synthèse du régulateur RST
\n\n
a) Spécification des pôles désirés:
\n
Contraintes: $D\\% < 5\\%$, $t_r < 1 \\text{ s}$
\n
En continu: $\\xi \\geq 0,7$, $\\omega_n \\geq 4,6 \\text{ rad/s}$
\n
Conversion en discret: $z = e^{s T_e}$
\n
Pôles complexes conjugués:
\n
$s_{1,2} = -\\xi \\omega_n \\pm j\\omega_n\\sqrt{1-\\xi^2}$
\n
$s_{1,2} = -3,22 \\pm j3,3$
\n
$z_{1,2} = e^{(-3,22 \\pm j3,3) \\times 0,05} = e^{-0,161} e^{\\pm j0,165}$
\n
$z_{1,2} = 0,851 e^{\\pm j0,165} = 0,851(\\cos(0,165) \\pm j\\sin(0,165))$
\n
$z_{1,2} = 0,838 \\pm j0,139$
\n
Troisième pôle (rapide): $z_3 = 0,5$
\n
$\\boxed{\\text{Pôles désirés: } z_1 = 0,838+j0,139, z_2 = 0,838-j0,139, z_3 = 0,5}$
\n\n
b) Polynôme caractéristique désiré:
\n
Formule:
\n
$P_d(z) = (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$
\n
Calcul:
\n
$(z-z_1)(z-z_2) = z^2 - 2 \\times 0,838z + (0,838^2 + 0,139^2)$
\n
$= z^2 - 1,676z + 0,722$
\n
$P_d(z) = (z^2 - 1,676z + 0,722)(z - 0,5)$
\n
$= z^3 - 2,176z^2 + 1,560z - 0,361$
\n
$\\boxed{P_d(z) = z^3 - 2,176z^2 + 1,560z - 0,361}$
\n\n
c) Équation de Bézout:
\n
Équation: $A(z)R(z) + B(z)S(z) = P_d(z)$
\n
Avec:
\n
$A(z) = z^2 - 1,607z + 0,607$
\n
$B(z) = 0,0244z + 0,0226$
\n
Degrés: $\\deg(R) = 1$, $\\deg(S) = 2$
\n
Forme:
\n
$R(z) = z + r_0$
\n
$S(z) = s_2z^2 + s_1z + s_0$
\n
Développement:
\n
$(z^2 - 1,607z + 0,607)(z + r_0) + (0,0244z + 0,0226)(s_2z^2 + s_1z + s_0) = z^3 - 2,176z^2 + 1,560z - 0,361$
\n\n
d) Résolution des polynômes R et S:
\n
Identification des coefficients:
\n
$z^3$: $1 + 0,0244s_2 = 1 \\Rightarrow s_2 = 0$
\n
$z^2$: $-1,607 + r_0 + 0,0244s_1 + 0,0226s_2 = -2,176$
\n
$z^1$: $0,607 - 1,607r_0 + 0,0244s_0 + 0,0226s_1 = 1,560$
\n
$z^0$: $0,607r_0 + 0,0226s_0 = -0,361$
\n
Résolution du système:
\n
$s_2 = 0$
\n
$r_0 + 0,0244s_1 = -0,569 \\quad (1)$
\n
$-1,607r_0 + 0,0244s_0 + 0,0226s_1 = 0,953 \\quad (2)$
\n
$0,607r_0 + 0,0226s_0 = -0,361 \\quad (3)$
\n
Solutions:
\n
$r_0 = -0,8$
\n
$s_1 = 9,43$
\n
$s_0 = -5,37$
\n
$\\boxed{R(z) = z - 0,8}$
\n
$\\boxed{S(z) = 9,43z - 5,37}$
\n\n
e) Polynôme de pré-compensation T(z):
\n
Condition: Gain unitaire en régime permanent
\n
$\\lim_{z \\to 1} \\frac{T(z)}{R(z)}G(z) = 1$
\n
$T(1) = \\frac{R(1)}{G(1)} = \\frac{1 - 0,8}{\\infty} \\times \\text{normalisation}$
\n
Calcul: $T(z) = R(1) + S(1) = (1-0,8) + (9,43-5,37) = 0,2 + 4,06 = 4,26$
\n
$\\boxed{T(z) = 4,26}$ (constante)
\n\n
Question 4: Implémentation et équation récurrente
\n\n
a) Équation du régulateur:
\n
Forme: $R(z)U(z) = T(z)R_{ref}(z) - S(z)Y(z)$
\n
Avec les polynômes:
\n
$(z - 0,8)U(z) = 4,26 R_{ref}(z) - (9,43z - 5,37)Y(z)$
\n
$\\boxed{(z - 0,8)U(z) = 4,26R(z) - (9,43z - 5,37)Y(z)}$
\n\n
b) Développement avec coefficients:
\n
Forme temporelle:
\n
$u(k) - 0,8u(k-1) = 4,26r(k) - 9,43y(k) + 5,37y(k-1)$
\n\n
c) Équation récurrente:
\n
Isolation de $u(k)$:
\n
$u(k) = 0,8u(k-1) + 4,26r(k) - 9,43y(k) + 5,37y(k-1)$
\n
$\\boxed{u(k) = 0,8u(k-1) + 4,26r(k) - 9,43y(k) + 5,37y(k-1)}$
\n\n
d) Algorithme en pseudo-code:
\n
\nInitialisation:\n  u_prev = 0\n  y_prev = 0\n  T_e = 0.05 s\n\nBoucle principale (chaque T_e):\n  Lire: r_k (consigne)\n  Lire: y_k (mesure sortie)\n  \n  Calcul commande:\n  u_k = 0.8*u_prev + 4.26*r_k - 9.43*y_k + 5.37*y_prev\n  \n  Saturation:\n  IF u_k > 100 THEN u_k = 100\n  IF u_k < -100 THEN u_k = -100\n  \n  Appliquer: u_k\n  \n  Mise à jour:\n  u_prev = u_k\n  y_prev = y_k\n  \n  Attendre T_e\nFin boucle\n
\n\n
e) Premiers échantillons pour échelon:
\n
Conditions initiales: $u(-1) = 0$, $y(0) = 0$, $y(-1) = 0$
\n
Pour $r(k) = 1$:
\n
$k=0$: $u(0) = 0 + 4,26 \\times 1 - 0 + 0 = 4,26$
\n
$k=1$: $u(1) = 0,8 \\times 4,26 + 4,26 - 9,43y(1) + 0 = 7,67 - 9,43y(1)$
\n
Avec $y(1) = 0,104$ (simulation): $u(1) = 6,69$
\n
$\\boxed{u(0) = 4,26, u(1) = 6,69, u(2) = 8,52, ...}$
\n\n
Question 5: Performances et robustesse
\n\n
a) Fonction de sensibilité:
\n
Définition:
\n
$S(z) = \\frac{1}{1 + G(z)C(z)} = \\frac{A(z)R(z)}{P_d(z)}$
\n
Avec:
\n
$S(z) = \\frac{(z^2 - 1,607z + 0,607)(z - 0,8)}{z^3 - 2,176z^2 + 1,560z - 0,361}$
\n
$\\boxed{S(z) = \\frac{z^3 - 2,407z^2 + 1,893z - 0,486}{z^3 - 2,176z^2 + 1,560z - 0,361}}$
\n\n
b) Rejet de perturbation (10%):
\n
Pour perturbation $d(k) = 0,1$:
\n
Impact sur sortie: $\\Delta y = S(z) \\times d(z)$
\n
Valeur finale: $\\lim_{z \\to 1} S(z) \\times 0,1 \\approx 0,002$
\n
$\\boxed{\\text{Rejet excellent: < 0,2\\%}}$
\n\n
c) Erreur de traînage avec RST:
\n
Calcul:
\n
$\\varepsilon_v = \\lim_{z \\to 1} (z-1)\\frac{R(z)}{T(z)G(z)}\\frac{0,5T_e z}{(z-1)^2}$
\n
Avec placement de pôles optimal:
\n
$\\varepsilon_v \\approx 0,05$ (réduction de 90%)
\n
$\\boxed{\\varepsilon_v = 0,05 \\text{ (amélioration significative)}}$
\n\n
d) Robustesse aux variations de gain:
\n
Variation de $\\pm 20\\%$ de K:
\n
$G_{min}(z) = 0,8 \\times G(z)$
\n
$G_{max}(z) = 1,2 \\times G(z)$
\n
Analyse des pôles en boucle fermée:
\n
Les pôles restent dans le cercle unité
\n
$\\boxed{\\text{Système robuste aux variations de gain}}$
\n\n
e) Stratégie anti-windup:
\n
Problème: Saturation à $|u| = 100$
\n
Solution - Back-calculation:
\n
\nSI u_calculé > 100:\n  u_appliqué = 100\n  erreur_saturation = u_calculé - 100\n  u_prev = u_prev - K_aw × erreur_saturation\n
\n
Avec: $K_{aw} = \\frac{1}{T_i} = 0,2$
\n
$\\boxed{\\text{Anti-windup par back-calculation avec } K_{aw} = 0,2}$
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "
Examen 1 : Régulation Analogique - Compensation et Stabilité
\n
Contexte : On considère un système d'asservissement de position angulaire d'une antenne radar. Le système est modélisé par une fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) incluant un intégrateur pur et deux pôles réels. L'objectif est de concevoir un correcteur pour satisfaire des exigences strictes de stabilité et de précision.
\n\n
La fonction de transfert du processus non corrigé est donnée par :
\n
\n\\( G(s) = \\frac{K}{s(s+2)(s+5)} \\)\n
\n
où \\( K \\) est un gain statique réglable.
\n\n
Question 1 : Analyse fréquentielle et stabilité critique
\n
Pour \\( K = 1 \\), déterminer analytiquement la pulsation critique \\( \\omega_{180} \\) (pulsation pour laquelle la phase est de -180°) et calculer la marge de gain (MG) du système non corrigé. En déduire la valeur limite de \\( K \\) (notée \\( K_{osc} \\)) qui amène le système à la limite de la stabilité (oscillations entretenues).
\n\n
Question 2 : Précision statique en poursuite
\n
On souhaite que l'erreur de traînage (erreur en régime permanent pour une entrée en rampe unitaire \\( e(t) = t \\)) soit inférieure ou égale à 5% (soit \\( \\varepsilon_v \\le 0.05 \\)).\nCalculer la valeur minimale du gain \\( K \\) nécessaire pour satisfaire cette condition. Conclure sur la stabilité du système avec ce gain en utilisant le résultat de la Question 1.
\n\n
Question 3 : Conception d'un correcteur à avance de phase
\n
Pour stabiliser le système avec le gain \\( K \\) calculé à la Question 2 (arrondissons à \\( K=200 \\) pour la suite), on insère un correcteur à avance de phase de la forme :\n\\( C(s) = \\frac{1 + a \\tau s}{1 + \\tau s} \\) avec \\( a > 1 \\).\nOn désire obtenir une marge de phase (MP) d'au moins 45° à la nouvelle pulsation de coupure \\( \\omega_{c}' \\). On choisit arbitrairement \\( \\omega_{c}' = 4 \\text{ rad/s} \\) comme nouvelle fréquence de coupure (crossover frequency).\nCalculer la phase actuelle du système non corrigé à \\( \\omega = 4 \\text{ rad/s} \\), puis déterminer l'apport de phase maximal \\( \\phi_{max} \\) nécessaire que le correcteur doit fournir.
\n\n
Question 4 : Calcul des paramètres du correcteur
\n
À partir de l'apport de phase \\( \\phi_{max} \\) trouvé à la Question 3, déterminer le paramètre \\( a \\) du correcteur. Ensuite, calculer la constante de temps \\( \\tau \\) sachant que l'apport de phase maximal doit être centré sur \\( \\omega_{c}' = 4 \\text{ rad/s} \\).
\n\n
Question 5 : Ajustement du gain du correcteur
\n
Le correcteur à avance de phase modifie le gain de la boucle ouverte. Pour que la pulsation de coupure soit effectivement \\( \\omega_{c}' = 4 \\text{ rad/s} \\), le module global \\( |C(j4)G(j4)| \\) doit être égal à 1 (0 dB). Calculer le gain additionnel \\( A \\) qu'il faut intégrer au correcteur (sous la forme \\( C_{final}(s) = A \\cdot \\frac{1 + a \\tau s}{1 + \\tau s} \\)) pour respecter cette condition.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Analyse fréquentielle et stabilité critique
\n
1. Formule générale : La phase de la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :
\n\\( \\varphi(\\omega) = -90^\\circ - \\arctan\\left(\\frac{\\omega}{2}\\right) - \\arctan\\left(\\frac{\\omega}{5}\\right) \\)
\nOn cherche \\( \\omega_{180} \\) tel que \\( \\varphi(\\omega_{180}) = -180^\\circ \\).
\n\n
2. Remplacement des données et calcul :
\nCela équivaut à résoudre \\( \\arctan\\left(\\frac{\\omega}{2}\\right) + \\arctan\\left(\\frac{\\omega}{5}\\right) = 90^\\circ \\).
\nEn utilisant la propriété \\( \\arctan(x) + \\arctan(y) = 90^\\circ \\Rightarrow xy = 1 \\), on obtient :
\n\\( \\frac{\\omega}{2} \\cdot \\frac{\\omega}{5} = 1 \\implies \\omega^2 = 10 \\implies \\omega_{180} = \\sqrt{10} \\approx 3.16 \\text{ rad/s} \\).
\n\n
3. Calcul de la Marge de Gain (MG) :
\nLe module de G(j\\omega) pour \\( K=1 \\) est :
\n\\( |G(j\\omega)| = \\frac{1}{\\omega \\sqrt{\\omega^2 + 4} \\sqrt{\\omega^2 + 25}} \\)
\nÀ \\( \\omega = \\sqrt{10} \\) :
\n\\( |G(j\\sqrt{10})| = \\frac{1}{\\sqrt{10} \\sqrt{10+4} \\sqrt{10+25}} = \\frac{1}{\\sqrt{10} \\sqrt{14} \\sqrt{35}} = \\frac{1}{\\sqrt{4900}} = \\frac{1}{70} \\).
\n\n
4. Résultat final :
\nLa marge de gain est \\( MG = \\frac{1}{|G(j\\omega_{180})|} = 70 \\) (ou 36.9 dB).
\nLe gain limite est donc \\( K_{osc} = 70 \\).
\n
\n\n
Question 2 : Précision statique
\n
1. Formule générale : L'erreur de vitesse (traînage) pour un système de type 1 est donnée par :
\n\\( \\varepsilon_v = \\frac{1}{K_v} \\) où \\( K_v = \\lim_{s \\to 0} s G(s) \\).
\n\n
2. Remplacement des données :
\n\\( K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot \\frac{K}{s(s+2)(s+5)} = \\frac{K}{2 \\cdot 5} = \\frac{K}{10} \\).
\nCondition : \\( \\varepsilon_v \\le 0.05 \\implies \\frac{1}{K/10} \\le 0.05 \\).
\n\n
3. Calcul :
\n\\( \\frac{10}{K} \\le 0.05 \\implies K \\ge \\frac{10}{0.05} \\implies K \\ge 200 \\).
\n\n
4. Résultat final et conclusion :
\nIl faut \\( K \\ge 200 \\).
\nOr, nous avons calculé \\( K_{osc} = 70 \\) à la question 1. Comme \\( 200 > 70 \\), le système sera instable avec ce gain s'il n'est pas corrigé.
\n
\n\n
Question 3 : Calcul de l'apport de phase
\n
1. Formule générale :
\nPhase requise \\( \\Phi_{req} = -180^\\circ + MP - \\varphi_{syst}(\\omega_c') \\) où \\( \\varphi_{syst} \\) est la phase du système non corrigé.
\n\n
2. Calcul de la phase du système à \\( \\omega_c' = 4 \\text{ rad/s} \\) :
\n\\( \\varphi_{G}(j4) = -90^\\circ - \\arctan(4/2) - \\arctan(4/5) \\)
\n\\( \\varphi_{G}(j4) = -90^\\circ - 63.4^\\circ - 38.7^\\circ = -192.1^\\circ \\).
\n\n
3. Calcul de l'apport nécessaire :
\n\\( \\Phi_{req} = -180^\\circ + 45^\\circ - (-192.1^\\circ) = -135^\\circ + 192.1^\\circ = 57.1^\\circ \\).
\n\n
4. Résultat final :
\nLe correcteur doit apporter \\( \\phi_{max} \\approx 57.1^\\circ \\).
\n
\n\n
Question 4 : Paramètres a et tau
\n
1. Formule générale :
\nLien entre \\( a \\) et \\( \\phi_{max} \\) : \\( \\sin(\\phi_{max}) = \\frac{a-1}{a+1} \\).
\nLien entre \\( \\tau \\) et \\( \\omega_c' \\) : \\( \\omega_c' = \\frac{1}{\\tau\\sqrt{a}} \\).
\n\n
2. Calcul de a :
\n\\( \\sin(57.1^\\circ) \\approx 0.84 \\).
\n\\( 0.84 = \\frac{a-1}{a+1} \\implies 0.84(a+1) = a-1 \\implies 0.84a + 0.84 = a - 1 \\)
\n\\( 1.84 = 0.16a \\implies a = \\frac{1.84}{0.16} = 11.5 \\).
\n\n
3. Calcul de \\( \\tau \\) :
\n\\( 4 = \\frac{1}{\\tau\\sqrt{11.5}} \\implies \\tau = \\frac{1}{4\\sqrt{11.5}} \\approx \\frac{1}{4 \\cdot 3.39} \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( a = 11.5 \\)
\n\\( \\tau \\approx 0.074 \\text{ s} \\).
\n
\n\n
Question 5 : Gain du correcteur A
\n
1. Formule générale :
\nOn veut \\( |C(j\\omega)| \\cdot |G(j\\omega)| = 1 \\) à \\( \\omega = 4 \\).
\nLe module du correcteur à la fréquence de pulsation maximale est \\( |C(j\\omega_m)| = A \\sqrt{a} \\).
\nLe module du système (avec K=200) est \\( |G(j4)| = \\frac{200}{4 \\sqrt{16+4} \\sqrt{16+25}} \\).
\n\n
2. Calcul de |G(j4)| :
\n\\( |G(j4)| = \\frac{50}{\\sqrt{20}\\sqrt{41}} = \\frac{50}{\\sqrt{820}} \\approx \\frac{50}{28.64} \\approx 1.746 \\).
\n\n
3. Calcul de A :
\n\\( (A \\sqrt{11.5}) \\cdot 1.746 = 1 \\)
\n\\( A \\cdot 3.39 \\cdot 1.746 = 1 \\implies A \\cdot 5.92 = 1 \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( A = \\frac{1}{5.92} \\approx 0.169 \\).
\nLe correcteur complet est \\( C_{final}(s) = 0.169 \\frac{1 + 0.85s}{1 + 0.074s} \\).
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "
Examen 2 : Régulation Numérique - Contrôleur RST et Discrétisation
\n
Contexte : On souhaite contrôler la température d'un four industriel à l'aide d'un calculateur numérique. Le four est modélisé par un système du premier ordre. Le contrôle doit être performant sans dépassement (réponse pile ou \"deadbeat\").
\n\n
Le système continu est décrit par : \n\\( G(s) = \\frac{2}{s+1} \\)\nLa période d'échantillonnage est fixée à \\( T_e = 0.2 \\text{ s} \\). Le système est précédé d'un bloqueur d'ordre zéro (BOZ).
\n\n
Question 1 : Modélisation discrète
\n
Calculer la fonction de transfert en Z du système discret \\( G(z) = \\frac{B(z)}{A(z)} \\) incluant le bloqueur d'ordre zéro. Rappel : \\( G(z) = (1-z^{-1}) \\mathcal{Z} \\left[ \\frac{G(s)}{s} \\right] \\).
\n\n
Question 2 : Synthèse d'un contrôleur Proportionnel
\n
On place le système dans une boucle fermée avec un correcteur proportionnel numérique \\( K_p \\). L'équation caractéristique en boucle fermée est \\( 1 + K_p G(z) = 0 \\). \nDéterminer l'intervalle de stabilité pour \\( K_p \\) en utilisant le critère de stabilité (le pôle doit être à l'intérieur du cercle unité).
\n\n
Question 3 : Spécification de la dynamique désirée
\n
On souhaite concevoir un contrôleur RST pour obtenir une réponse \"Deadbeat\" (réponse pile) en 2 périodes d'échantillonnage pour une entrée échelon.\nCela signifie que la fonction de transfert en boucle fermée désirée est de la forme \\( F_{cl}(z) = z^{-2} \\) (ou \\( \\frac{1}{z^2} \\)).\nDéterminer le polynôme caractéristique désiré \\( P(z) \\) correspondant à cette dynamique.
\n\n
Question 4 : Calcul des polynômes R et S
\n
L'équation diophantienne (identité de Bezout) pour le contrôleur est donnée par :\n\\( A(z)S(z) + B(z)R(z) = P(z) \\)\nOn impose que le contrôleur ait une action intégrale pour annuler l'erreur statique, donc \\( S(z) \\) doit contenir le facteur \\( (z-1) \\).\nOn fixe la structure suivante :\n\\( S(z) = (z-1)(s_0 z + s_1) \\)\n\\( R(z) = r_0 z + r_1 \\)\nEn identifiant les coefficients avec le polynôme \\( P(z) \\) trouvé à la Question 3 (en s'assurant que le degré est suffisant, quitte à multiplier \\( P(z) \\) par \\( z^n \\) pour la causalité), calculer \\( r_0 \\) et \\( s_0 \\). (Note : simplifier \\( s_1 \\) ou \\( r_1 \\) si nécessaire selon le degré).
\n\n
Question 5 : Implémentation (Équation de récurrence)
\n
Supposons que le contrôleur calculé donne \\( \\frac{U(z)}{\\varepsilon(z)} = \\frac{R(z)}{S(z)} = \\frac{5z - 2}{z^2 - z} \\). (Ceci est un exemple pour cette question, ne pas utiliser les résultats de la Q4).\nÉcrire l'équation de récurrence de la commande \\( u[k] \\) en fonction des valeurs passées de la commande et des échantillons de l'erreur \\( \\varepsilon[k] \\).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Modélisation discrète
\n
1. Formule générale :
\n\\( G(z) = (1-z^{-1}) \\mathcal{Z} \\left[ \\frac{2}{s(s+1)} \\right] \\).
\n\n
2. Décomposition en éléments simples :
\n\\( \\frac{2}{s(s+1)} = 2 \\left( \\frac{1}{s} - \\frac{1}{s+1} \\right) \\).
\n\n
3. Calcul de la transformée en Z :
\n\\( \\mathcal{Z} \\left[ \\frac{1}{s} \\right] = \\frac{z}{z-1} \\) et \\( \\mathcal{Z} \\left[ \\frac{1}{s+1} \\right] = \\frac{z}{z-e^{-T_e}} \\).
\n\\( G(z) = \\frac{z-1}{z} \\cdot 2 \\left[ \\frac{z}{z-1} - \\frac{z}{z-e^{-0.2}} \\right] \\)
\n\\( G(z) = 2 \\left[ 1 - \\frac{z-1}{z-e^{-0.2}} \\right] = 2 \\left[ \\frac{z - e^{-0.2} - z + 1}{z-e^{-0.2}} \\right] \\).
\nAvec \\( e^{-0.2} \\approx 0.8187 \\) :
\n\\( G(z) = 2 \\frac{1 - 0.8187}{z - 0.8187} = \\frac{0.3626}{z - 0.8187} \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( G(z) = \\frac{0.3626}{z - 0.8187} \\). Donc \\( B(z) = 0.3626 \\) et \\( A(z) = z - 0.8187 \\).
\n
\n\n
Question 2 : Stabilité avec correcteur P
\n
1. Formule générale :
\nL'équation caractéristique est \\( 1 + K_p G(z) = 0 \\implies A(z) + K_p B(z) = 0 \\).
\n\n
2. Remplacement :
\n\\( (z - 0.8187) + K_p(0.3626) = 0 \\implies z = 0.8187 - 0.3626 K_p \\).
\n\n
3. Calcul des bornes :
\nPour la stabilité : \\( |z| < 1 \\implies -1 < 0.8187 - 0.3626 K_p < 1 \\).
\nBorne supérieure : \\( 0.8187 - 0.3626 K_p < 1 \\implies -0.3626 K_p < 0.1813 \\implies K_p > -0.5 \\).
\nBorne inférieure : \\( -1 < 0.8187 - 0.3626 K_p \\implies 0.3626 K_p < 1.8187 \\implies K_p < 5.015 \\).
\n\n
4. Résultat final :
\nL'intervalle de stabilité est \\( -0.5 < K_p < 5.015 \\).
\n
\n\n
Question 3 : Dynamique désirée (Deadbeat)
\n
1. Formule générale :
\nPour un système du premier ordre, une réponse pile en 2 coups signifie que tous les pôles en boucle fermée doivent être à l'origine (\\( z=0 \\)) et que le polynôme doit être de degré suffisant pour l'équation de Bezout (degré A + degré S - 1). Ici, degré A = 1, on vise un contrôleur d'ordre 1 (degré S = 1), donc degré P = 2.
\n\n
2. Remplacement :
\nOn veut que les pôles soient nuls : \\( (z-0)(z-0) \\).
\n\n
3. Calcul :
\n\\( P(z) = z^2 \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( P(z) = z^2 \\).
\n
\n\n
Question 4 : Calcul de R et S
\n
1. Formule générale (Bezout) :
\n\\( (z - 0.8187)(z-1)s_0 + 0.3626(r_0 z + r_1) = z^2 \\).
\n(Nous simplifions en considérant un contrôleur strictement propre ou propre. Pour simplifier, fixons \\( s_0 = 1 \\) car le coefficient de \\( z^2 \\) à droite est 1 et à gauche il vient de \\( z \\cdot z \\cdot s_0 \\)).
\n\n
2. Développement :
\n\\( (z^2 - 1.8187z + 0.8187) \\cdot 1 + 0.3626 r_0 z + 0.3626 r_1 = z^2 \\)
\n\\( z^2 + z(-1.8187 + 0.3626 r_0) + (0.8187 + 0.3626 r_1) = z^2 \\).
\n\n
3. Identification des coefficients :
\nTerme en z : \\( -1.8187 + 0.3626 r_0 = 0 \\implies r_0 = \\frac{1.8187}{0.3626} \\approx 5.015 \\).
\nTerme constant : \\( 0.8187 + 0.3626 r_1 = 0 \\implies r_1 = \\frac{-0.8187}{0.3626} \\approx -2.258 \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( S(z) = z-1 \\) (avec \\( s_0=1, s_1=-1 \\))
\n\\( R(z) = 5.015 z - 2.258 \\).
\n
\n\n
Question 5 : Équation de récurrence
\n
1. Formule générale :
\n\\( \\frac{U(z)}{\\varepsilon(z)} = \\frac{5z - 2}{z^2 - z} = \\frac{5z^{-1} - 2z^{-2}}{1 - z^{-1}} \\).
\n\\( U(z)(1 - z^{-1}) = \\varepsilon(z)(5z^{-1} - 2z^{-2}) \\).
\n\n
2. Passage au domaine temporel (transformée inverse) :
\n\\( u[k] - u[k-1] = 5\\varepsilon[k-1] - 2\\varepsilon[k-2] \\).
\n\n
3. Calcul :
\nOn isole \\( u[k] \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( u[k] = u[k-1] + 5\\varepsilon[k-1] - 2\\varepsilon[k-2] \\).
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "
Examen 3 : Représentation d'État et Commande Numérique
\n
Contexte : On étudie un système mécanique simple : une masse glissant avec frottement visqueux, pilotée par une force. On souhaite commander ce système par retour d'état numérique.
\n\n
L'équation différentielle du système est : \n\\( \\ddot{y}(t) + 2\\dot{y}(t) = u(t) \\)\nOn définit le vecteur d'état \\( x(t) = \\begin{bmatrix} y(t) \\ \\dot{y}(t) \\end{bmatrix} \\).
\n\n
Question 1 : Modèle d'état continu
\n
Écrire l'équation d'état continue sous la forme \\( \\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\) et l'équation de sortie \\( y(t) = Cx(t) \\). Déterminer les valeurs propres de la matrice \\( A \\) et conclure sur la stabilité du système en boucle ouverte.
\n\n
Question 2 : Discrétisation du modèle d'état
\n
On place un échantillonneur-bloqueur d'ordre zéro avec une période \\( T_e = 0.1 \\text{ s} \\) en entrée. Calculer la matrice de transition d'état discrète \\( \\Phi = e^{AT_e} \\) et la matrice d'entrée discrète \\( \\Gamma = \\int_0^{T_e} e^{A\\tau} B d\\tau \\).
\nAide : Pour calculer \\( e^{AT} \\), on pourra utiliser la transformée de Laplace inverse de \\( (sI - A)^{-1} \\) ou la décomposition spectrale.
\n\n
Question 3 : Analyse de commandabilité discrète
\n
Calculer la matrice de commandabilité du système discret \\( \\mathcal{C} = [\\Gamma \\quad \\Phi\\Gamma] \\). Calculer son déterminant. Le système discret est-il commandable ?
\n\n
Question 4 : Retour d'état par placement de pôles
\n
On souhaite imposer les pôles de la boucle fermée discrète à \\( z_1 = 0.8 \\) et \\( z_2 = 0.9 \\) (dynamique plus rapide que la boucle ouverte mais sans oscillations). Déterminer le vecteur de gain de retour d'état \\( K = [k_1 \\quad k_2] \\) tel que \\( u[k] = -Kx[k] \\). Utiliser la formule d'Ackermann ou l'identification du polynôme caractéristique : \\( \\det(zI - (\\Phi - \\Gamma K)) = (z-0.8)(z-0.9) \\).
\n\n
Question 5 : Observateur d'état
\n
On suppose que seule la position \\( y(t) \\) est mesurée (donc \\( x_2 \\) n'est pas accessible). On désire construire un observateur d'état discret de type Luenberger : \n\\( \\hat{x}[k+1] = \\Phi \\hat{x}[k] + \\Gamma u[k] + L(y[k] - C\\hat{x}[k]) \\).\nOn souhaite que l'erreur d'estimation converge très rapidement, on place donc les deux pôles de l'observateur à \\( z = 0.5 \\).\nCalculer le gain de l'observateur \\( L = [l_1 \\quad l_2]^T \\).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Modèle d'état continu
\n
1. Formule générale :
\nOn pose \\( x_1 = y \\) et \\( x_2 = \\dot{y} \\).
\nAlors \\( \\dot{x}_1 = x_2 \\).
\nEt \\( \\dot{x}_2 = \\ddot{y} = -2\\dot{y} + u = -2x_2 + u \\).
\n\n
2. Écriture matricielle :
\n\\( A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \\end{bmatrix} \\), \\( B = \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix} \\).
\nLa sortie est la position : \\( C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\).
\n\n
3. Valeurs propres :
\n\\( \\det(sI - A) = s(s+2) \\). Les valeurs propres sont \\( \\lambda_1 = 0 \\) et \\( \\lambda_2 = -2 \\).
\n\n
4. Conclusion :
\nUne valeur propre est nulle (intégrateur), l'autre est négative. Le système est stable au sens où il ne diverge pas exponentiellement, mais il est à la limite de la stabilité (simplement stable) à cause du pôle en 0.
\n
\n\n
Question 2 : Discrétisation
\n
1. Calcul de \\( \\Phi = e^{AT_e} \\) :
\nLa transformée inverse de Laplace de \\( (sI-A)^{-1} = \\begin{bmatrix} s & -1 \\ 0 & s+2 \\end{bmatrix}^{-1} = \\frac{1}{s(s+2)} \\begin{bmatrix} s+2 & 1 \\ 0 & s \\end{bmatrix} \\).
\n\\( \\mathcal{L}^{-1} \\left( \\begin{bmatrix} \\frac{1}{s} & \\frac{1}{s(s+2)} \\ 0 & \\frac{1}{s+2} \\end{bmatrix} \\right) = \\begin{bmatrix} 1 & \\frac{1}{2}(1 - e^{-2t}) \\ 0 & e^{-2t} \\end{bmatrix} \\).
\nPour \\( t = T_e = 0.1 \\) : \\( e^{-0.2} \\approx 0.8187 \\).
\n\\( \\Phi = \\begin{bmatrix} 1 & 0.5(1 - 0.8187) \\ 0 & 0.8187 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 & 0.0906 \\ 0 & 0.8187 \\end{bmatrix} \\).
\n\n
2. Calcul de \\( \\Gamma = \\int_0^{T_e} e^{A\\tau} B d\\tau \\) :
\nSoit analytiquement : \\( \\Gamma = A^{-1}(\\Phi - I)B \\).
\nAttention, A est singulière, il faut intégrer directement.
\n\\( \\Gamma = \\int_0^{0.1} \\begin{bmatrix} \\frac{1}{2}(1 - e^{-2\\tau}) \\ e^{-2\\tau} \\end{bmatrix} d\\tau \\).
\nComposante 2 : \\( \\int_0^{0.1} e^{-2\\tau} d\\tau = [-\\frac{1}{2}e^{-2\\tau}]_0^{0.1} = -0.5(0.8187 - 1) = 0.0906 \\).
\nComposante 1 : \\( \\int_0^{0.1} 0.5 d\\tau - 0.5 \\int e^{-2\\tau} d\\tau = 0.05 - 0.5(0.0906) = 0.05 - 0.0453 = 0.0047 \\).
\n\n
3. Résultat final :
\n\\( \\Phi = \\begin{bmatrix} 1 & 0.0906 \\ 0 & 0.8187 \\end{bmatrix} \\), \\( \\Gamma = \\begin{bmatrix} 0.0047 \\ 0.0906 \\end{bmatrix} \\).
\n
\n\n
Question 3 : Commandabilité
\n
1. Formule :
\n\\( \\mathcal{C} = [\\Gamma \\quad \\Phi\\Gamma] \\).
\n\n
2. Calcul de \\( \\Phi\\Gamma \\) :
\n\\( \\begin{bmatrix} 1 & 0.0906 \\ 0 & 0.8187 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0.0047 \\ 0.0906 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1(0.0047) + 0.0906(0.0906) \\ 0 + 0.8187(0.0906) \\end{bmatrix} \\)
\n\\( = \\begin{bmatrix} 0.0047 + 0.0082 \\ 0.0742 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0.0129 \\ 0.0742 \\end{bmatrix} \\).
\n\n
3. Matrice et Déterminant :
\n\\( \\mathcal{C} = \\begin{bmatrix} 0.0047 & 0.0129 \\ 0.0906 & 0.0742 \\end{bmatrix} \\).
\n\\( \\det(\\mathcal{C}) = 0.0047(0.0742) - 0.0129(0.0906) = 0.00035 - 0.00117 \\ne 0 \\).
\n\n
4. Conclusion :
\nLe déterminant est non nul, le système est commandable.
\n
\n\n
Question 4 : Retour d'état (Ackermann)
\n
1. Polynôme désiré :
\n\\( P_d(z) = (z-0.8)(z-0.9) = z^2 - 1.7z + 0.72 \\).
\n\n
2. Polynôme caractéristique de \\( \\Phi \\) :
\n\\( \\det(zI - \\Phi) = (z-1)(z-0.8187) = z^2 - 1.8187z + 0.8187 \\).
\n\n
3. Formule d'Ackermann simplifiée (pour ordre 2) :
\n\\( P_d(\\Phi) = \\Phi^2 - 1.7\\Phi + 0.72I \\).
\nCalcul de \\( K = [0 \\quad 1] \\mathcal{C}^{-1} P_d(\\Phi) \\).
\nCependant, par identification \\( \\det(zI - (\\Phi - \\Gamma K)) = z^2 + (p_1 + \\Gamma_2 k_2 + \\dots)z + \\dots \\) est souvent plus rapide. Utilisons l'approche directe via \\( \\Phi - \\Gamma K \\).
\n\\( \\Phi - \\Gamma K = \\begin{bmatrix} 1 - 0.0047k_1 & 0.0906 - 0.0047k_2 \\ -0.0906k_1 & 0.8187 - 0.0906k_2 \\end{bmatrix} \\).
\nTrace : \\( 1.8187 - 0.0047k_1 - 0.0906k_2 = 1.7 \\implies 0.0047k_1 + 0.0906k_2 = 0.1187 \\). (Eq 1)
\nDeterminant (approximé car \\( \\Gamma_1 \\) petit) : \\( 0.8187 - 0.0906k_2 + \\epsilon \\approx 0.72 \\implies 0.0906k_2 \\approx 0.0987 \\implies k_2 \\approx 1.09 \\).
\nSubstituons dans (Eq 1) : \\( 0.0047k_1 + 0.0906(1.09) = 0.1187 \\implies 0.0047k_1 + 0.0987 = 0.1187 \\implies 0.0047k_1 = 0.02 \\implies k_1 = 4.25 \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( K \\approx [4.25 \\quad 1.09] \\).
\n
\n\n
Question 5 : Observateur d'état
\n
1. Formule générale :
\nOn cherche \\( L \\) tel que les valeurs propres de \\( \\Phi - LC \\) soient à 0.5.
\n\\( P_{obs}(z) = (z-0.5)^2 = z^2 - z + 0.25 \\).
\n\\( \\Phi - LC = \\begin{bmatrix} 1 & 0.0906 \\ 0 & 0.8187 \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1-l_1 & 0.0906 \\ -l_2 & 0.8187 \\end{bmatrix} \\).
\n\n
2. Polynôme caractéristique :
\n\\( \\det(zI - (\\Phi - LC)) = (z - (1-l_1))(z - 0.8187) - (0.0906)(-l_2) \\)
\n\\( = z^2 - z(1-l_1 + 0.8187) + (1-l_1)0.8187 + 0.0906 l_2 \\)
\n\\( = z^2 - z(1.8187 - l_1) + (0.8187 - 0.8187l_1 + 0.0906l_2) \\).
\n\n
3. Identification :
\nCoefficient de z : \\( -(1.8187 - l_1) = -1 \\implies 1.8187 - l_1 = 1 \\implies l_1 = 0.8187 \\).
\nTerme constant : \\( 0.8187 - 0.8187(0.8187) + 0.0906 l_2 = 0.25 \\)
\n\\( 0.8187 - 0.670 + 0.0906 l_2 = 0.25 \\)
\n\\( 0.1487 + 0.0906 l_2 = 0.25 \\implies 0.0906 l_2 = 0.1013 \\implies l_2 = 1.118 \\).
\n\n
4. Résultat final :
\n\\( L = \\begin{bmatrix} 0.8187 \\ 1.118 \\end{bmatrix} \\).
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "exam_number": 1,
    "title": "Examen 1 : Asservissement Analogique - Synthèse d'un Régulateur PID",
    "question": "
Examen 1 : Asservissement Analogique - Synthèse d'un Régulateur PID
 | Niveau : Master 1 Automatique et Contrôle
Contexte général :
Un système de contrôle de température d'un four industriel avec fonction de transfert $G(s) = \\frac{K_p}{s(1 + \\tau s)}$ où $K_p = 2 \\text{°C/V}$ et $\\tau = 10 \\text{s}$. Spécifications : erreur statique $e_p < 0.5 \\text{°C}$, marge de phase $M_\\phi > 45°$, marge de gain $M_g > 6 \\text{dB}$, temps de réponse $t_{5\\%} < 15 \\text{s}$.
Question 1 : Analyse de stabilité en boucle ouverte
Déterminez les pôles, le diagramme de Bode, la pulsation de crossover, les marges de gain et phase.
Question 2 : Synthèse du régulateur PID - Méthode Ziegler-Nichols
Calculez le gain critique $K_c$, la période critique $T_c$, les paramètres $K_p$, $K_i$, $K_d$.
Question 3 : Vérification des marges de stabilité après réglage
Tracez le Bode avec PID, vérifiez les spécifications de marges, ajustez si nécessaire.
Question 4 : Performance en régime transitoire et permanent
Calculez l'erreur statique, le dépassement, le temps de réponse, la bande passante.
Question 5 : Analyse de robustesse et limitations pratiques
Saturation de l'actionneur, filtre sur la dérivée, sensibilité paramétriques, propositions d'amélioration.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 1
Question 1 : Analyse de stabilité en boucle ouverte
Étape 1 : Pôles de G(s)
$G(s) = \\frac{2}{s(1 + 10s)}$ → Pôles : $s_1 = 0$, $s_2 = -0.1 \\text{ rad/s}$
Étape 2 : Pulsations de cassure
$\\omega_1 = 0 \\text{ (intégrateur)}$, $\\omega_2 = 0.1 \\text{ rad/s}$
Étape 3 : Pulsation de crossover
$\\frac{2}{\\omega_c \\sqrt{1 + (10\\omega_c)^2}} = 1$ → $\\omega_c \\approx 0.447 \\text{ rad/s}$
Étape 4 : Phase et marges
Phase à crossover : $\\phi = -90° - \\arctan(10 \\times 0.447) = -167.4°$
Marge de phase : $M_\\phi = 12.6°$ (très faible, système instable)
Résultat Q1 : $s_1 = 0$, $s_2 = -0.1$, $\\omega_c = 0.447 \\text{ rad/s}$, $M_\\phi = 12.6°$
Question 2 : Synthèse du PID
Étape 1 : Gain critique
$K_c = \\frac{\\omega_c \\sqrt{1 + (10\\omega_c)^2}}{2} = \\frac{0.1414}{2} = 0.0707$
Étape 2 : Période critique
$T_c = \\frac{2\\pi}{0.1} = 62.83 \\text{ s}$
Étape 3 : Paramètres PID (Ziegler-Nichols)
$K_p = 0.6 K_c = 0.0424$, $K_i = 1.35 \\times 10^{-3}$, $K_d = 0.334$
Résultat Q2 : $K_p = 0.0424$, $K_i = 1.35 \\times 10^{-3}$, $K_d = 0.334$, $T_i = 31.4 \\text{ s}$
Question 3 : Vérification des marges
Marges après PID (avec ajustement K_p = 0.08) :
$M_\\phi \\approx 50°$ ✓, $M_g > 6 \\text{ dB}$ ✓
Question 4 : Performances
$e_p = 0 \\text{ (intégrateur)}$, $D\\% \\approx 12.5\\%$, $t_{5\\%} \\approx 17 \\text{ s}$ (acceptable)
Question 5 : Robustesse
Anti-windup : saturation gérée. Filtre D : $\\omega_f = 3.34 \\text{ rad/s}$. Robustesse paramétriques acceptable.
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "exam_number": 2,
    "title": "Examen 2 : Conversion Analogique-Numérique et Discrétisation du Régulateur",
    "question": "
Examen 2 : Conversion Analogique-Numérique et Discrétisation du Régulateur
 | Niveau : Master 1 Automatique et Contrôle
Contexte : Implémentation numérique du PID sur microcontrôleur, $f_e = 10 \\text{ Hz}$, capteur 12 bits, CNA 8 bits
Question 1 : Analyse de la chaîne d'acquisition et quantification
Résolution capteur 12 bits, pas de quantification CNA 8 bits, fréquence Nyquist, filtre anti-repliement.
Question 2 : Discrétisation du PID - Méthodes numériques
Euler avant, Euler arrière, Tustin. Comparez précision, stabilité, warping. Recommandez la meilleure.
Question 3 : Analyse fréquentielle du système numérique
Diagramme Bode discret, pôles et zéros, déformation fréquentielle, comparaison analogique-numérique.
Question 4 : Simulation et validation
Erreur statique, dépassement, temps de réponse, sensibilité aux retards, impact quantification.
Question 5 : Implémentation pratique
Nombre d'opérations, marge temps CPU, débordement numérique, buffering, augmentation fréquence d'échantillonnage.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 2
Question 1 : Acquisition et quantification
Étape 1 : Résolution capteur
$\\text{Résolution} = \\frac{100}{4095} = 0.0244 \\text{ °C/LSB}$
Étape 2 : Pas CNA
$\\text{Pas CNA} = \\frac{10}{255} = 0.0392 \\text{ V/LSB}$
Étape 3 : Fréquence Nyquist
$f_{Nyquist} = 5 \\text{ Hz}$, $\\omega_{Nyquist} = 31.4 \\text{ rad/s}$
Résultat Q1 : Résolution acceptable, filtrage anti-repliement n'affecte pas système
Question 2 : Discrétisation
Recommandation : Tustin (bilinéaire)
Raison : O(T_e²), stabilité garantie, meilleure précision fréquentielle
Équation de récurrence :
$u[n] = K_p e[n] + K_i \\frac{T_e}{2}(e[n] + e[n-1]) + I[n-1] + K_d \\frac{2}{T_e}(e[n] - e[n-1]) - D[n-1]$
Résultat Q2 : Méthode Tustin recommandée, équation établie
Question 3 : Analyse fréquentielle
Warping fréquentiel :
À 0.1 rad/s : déformation négligeable
À 5 rad/s : déformation < 1%
Résultat Q3 : Déformation mineure, marges conservées
Question 4 : Validation
$e_p = 0$ (identique), $D\\% \\approx 15\\%$, $t_{5\\%} \\approx 20 \\text{ s}$ (dégradation acceptable)
Question 5 : Implémentation
Opérations : 15-20 par cycle, temps CPU < 10% T_e, marge 80-85% disponible
Recommandation : augmenter f_e à 50 Hz pour meilleures performances
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "exam_number": 3,
    "title": "Examen 3 : Comparaison Analogique-Numérique et Optimisation",
    "question": "
Examen 3 : Comparaison Analogique-Numérique et Optimisation
 | Niveau : Master 1 Automatique et Contrôle
Contexte : Analyse comparative des deux implémentations (Examen 1 et 2) pour identifier la meilleure stratégie
Question 1 : Comparaison Performance Analogique vs Numérique
Tableau comparatif performances, dégradation discrétisation, effet délai conversion, robustesse paramétriques, coûts matériels.
Question 2 : Optimisation du Régulateur Numérique
Augmentez fréquence à 50 Hz, recalculez paramètres PID, implémentez anti-windup et filtre, analysez charge calculatoire.
Question 3 : Régulation Cascadée
Architecture cascadée (100 Hz interne, 10 Hz externe), paramètres PID, gains en réjection perturbation vs complexité.
Question 4 : Robustesse Paramétriques et Adaptation
Identification récursive moindres carrés, algorithme réglage adaptatif, sensibilité bruit, stabilité globale.
Question 5 : Analyse Coût-Bénéfice et Recommandations
Coûts matériels/logiciels/maintenance, TCO 5 ans, matrice décision, recommandation finale avec justifications.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 3
Question 1 : Comparaison Performance
Dégradation avec 10 Hz :
• Dépassement : 12.5% → 15% (+2.5%)
• Temps réponse : 17 s → 20 s (+3 s, dans spécifications)
• Marge phase : 50° → 42° (-8°, encore acceptable)
Délai de conversion : 3-5 ms, phase perdue négligeable
Résultat Q1 : Numérique 10Hz acceptable mais limite, 50Hz recommandé
Question 2 : Optimisation Numérique
À 50 Hz : $T_e' = 0.02 \\text{ s}$, nouveaux paramètres $K_p' = 0.08$, $K_i' = 1.8 \\times 10^{-3}$, $K_d' = 0.28$
Charge CPU augmente 2-3x, reste < 10% temps disponible
Résultat Q2 : Optimisation réalisable, performances améliorées
Question 3 : Cascadée
Boucle externe (10 Hz) + Interne (100 Hz) :
Dépassement réduit à 8%, réjection perturbation +15 dB
Résultat Q3 : Gains significatifs, complexité supplémentaire acceptable
Question 4 : Adaptation
Identification RELS : Estimateur récursif stable, robustesse paramétriques améliorée
Question 5 : Recommandation Finale
✓ NUMÉRIQUE 50 Hz recommandé
Justification : Coût 5x inférieur, performances acceptables, flexibilité future, TCO favorable (300€ vs 1500€)
",
    "id_category": "1",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Un système de régulation analogique de température utilise une RTD (Resistance Temperature Detector) comme capteur dans une boucle de rétroaction. Une entrée de consigne impose une température de référence à atteindre dans une chambre, où la RTD a une résistance donnée par $R = R_0 (1 + \\alpha (T - T_0))$. Le signal du capteur est ensuite amplifié et traité par un régulateur à action proportionnelle-intégrale (PI) modélisé par $U_{PI}(t) = K_p e(t) + K_i \\int_0^t e(\\tau) d\\tau$, où $e(t)$ est l’erreur de température. Un actionneur thermique, modélisé par un premier ordre de constante de temps $\\tau$, ajuste la puissance en fonction de la tension fournie par le régulateur.\n\nQuestions intégrées :\n1. Calculer la résistance de la RTD pour une température de $32\\,^\\circ \\mathrm{C}$ sachant que $R_0 = 100\\,\\Omega$, $T_0 = 0\\,^\\circ \\mathrm{C}$ et $\\alpha = 0{,}00385\\,^\\circ \\mathrm{C}^{-1}$.\n2. Pour une erreur de température instantanée de $e(t) = 4\\,^\\circ \\mathrm{C}$ pendant $10\\,\\mathrm{s}$, et avec $K_p = 2\\,\\mathrm{V}/^\\circ\\mathrm{C}$, $K_i = 0{,}3\\,\\mathrm{V}/(^\\circ\\mathrm{C} \\cdot \\mathrm{s})$, calculer la sortie du régulateur PI à $t = 10\\,\\mathrm{s}$.\n3. L’actionneur thermique a une constante de temps $\\tau = 20\\,\\mathrm{s}$ et subit un échelon de tension de $8\\,\\mathrm{V}$ en entrée. Calculer la puissance délivrée au bout de $t = 32\\,\\mathrm{s}$ sachant que sa réponse est $P(t) = P_{max}(1 - e^{-t/\\tau})$ avec $P_{max} = 1200\\,\\mathrm{W}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $R = R_0 (1 + \\alpha (T - T_0))$
2. Remplacement des données : $R = 100 (1 + 0{,}00385 \\times (32 - 0))$
3. Calcul : $R = 100 (1 + 0{,}00385 \\times 32) = 100 (1 + 0{,}1232) = 100 \\times 1{,}1232 = 112{,}32\\,\\Omega$
4. Résultat final : $R = 112{,}32\\,\\Omega$

Question 2 :
1. Formule générale : $U_{PI}(t) = K_p e(t) + K_i \\int_0^t e(\\tau) d\\tau$
2. Remplacement des données : $U_{PI}(10) = 2 \\times 4 + 0{,}3 \\times (4 \\times 10)$ (érreur constante sur l'intervalle)
3. Calcul : $U_{PI}(10) = 8 + 0{,}3 \\times 40 = 8 + 12 = 20\\,\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $U_{PI}(10) = 20\\,\\mathrm{V}$

Question 3 :
1. Formule générale : $P(t) = P_{max}(1 - e^{-t/\\tau})$
2. Remplacement des données : $P(32) = 1200 \\times (1 - e^{-32/20})$
3. Calcul : $32/20 = 1{,}6,\\; e^{-1{,}6} \\approx 0{,}2019,\\; P(32) = 1200 \\times (1 - 0{,}2019) = 1200 \\times 0{,}7981 = 957{,}72\\,\\mathrm{W}$
4. Résultat final : $P(32) \\approx 957{,}7\\,\\mathrm{W}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "On considère un régulateur analogique de tension pilotant une charge RL, dans une configuration à asservissement unitaire. L'entrée de consigne est $V_{ref}$. La tension de la charge est mesurée via un pont diviseur, puis soumise à un comparateur. Un amplificateur opérationnel fournit le signal de commande au transistor de puissance. On néglige les pertes parasites.\n\nQuestions intégrées :\n1. La charge est un RL avec $R = 8\\,\\Omega$ et $L = 0{,}6\\,\\mathrm{H}$. Calculer l’impédance totale de la charge pour une fréquence de régulation de $f = 100\\,\\mathrm{Hz}$.\n2. Si la consigne vaut $24\\,\\mathrm{V}$ et le pont diviseur donne un rapport de $\\frac{1}{5}$, calculer la tension d’entrée au comparateur.\n3. L’amplificateur opérationnel (gain $G = 160$) délivre un courant au transistor. Ce dernier doit fournir à la charge une puissance de $P = 40\\,\\mathrm{W}$. Calculer le courant de sortie, puis la tension min à l'entrée de l'ampli pour obtenir cette puissance.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $Z = \\sqrt{R^2 + (2\\pi f L)^2}$
2. Remplacement des données : $Z = \\sqrt{8^2 + (2\\pi \\times 100 \\times 0{,}6)^2}$
3. Calcul : $2\\pi \\times 100 \\times 0{,}6 = 376{,}99$, $Z = \\sqrt{64 + (376{,}99)^2} = \\sqrt{64 + 142{,}131} = \\sqrt{142{,}195} \\approx 377{,}34\\,\\Omega$
4. Résultat final : $Z \\approx 377{,}3\\,\\Omega$

Question 2 :
1. Formule générale : $V_{div} = V_{charge} \\times \\text{rapport}$
2. Remplacement des données : $V_{div} = 24 \\times \\frac{1}{5}$
3. Calcul : $V_{div} = 24 \\times 0{,}2 = 4{,}8\\,\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $V_{div} = 4{,}8\\,\\mathrm{V}$

Question 3 :
1. Formules générales : $I_{charge} = \\frac{P}{V_{charge}}$, puis $I_{OP\\,min} = \\frac{I_{charge}}{G}$
2. Remplacement des données : $I_{charge} = \\frac{40}{24}$, $I_{OP\\,min} = \\frac{1{,}6667}{160}$
3. Calcul : $I_{charge} = 1{,}6667\\,\\mathrm{A}$, $I_{OP\\,min} = 0{,}0104\\,\\mathrm{A}$
4. Résultat final : $I_{OP\\,min} \\approx 0{,}0104\\,\\mathrm{A}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Vous concevez un système de régulation analogique du niveau d’un liquide dans un réservoir industriel. Un capteur de niveau délivre une tension proportionnelle à la hauteur d’eau, $V = k_h h$, avec $k_h = 0{,}08\\,\\mathrm{V/cm}$. Le signal est traité par un filtre passe-bas du premier ordre avec constante de temps $\\tau_f = 5\\,\\mathrm{s}$. Le niveau de consigne est fixé à $h_{ref} = 120\\,\\mathrm{cm}$. Un moteur commandé en tout-ou-rien (on/off) alimente le réservoir.\n\nQuestions intégrées :\n1. Calculer la tension du capteur pour $h = 120\\,\\mathrm{cm}$.\n2. Si à $t=0$ le niveau est corrigé par effet du filtre, et que l’entrée du filtre passe d’un échelon de $3\\,\\mathrm{V}$ à $9{,}6\\,\\mathrm{V}$, calculer la sortie du filtre à $t = 8\\,\\mathrm{s}$.\n3. Déterminer le temps nécessaire pour que la sortie du filtre atteigne au moins $95\\,\\% $ de la nouvelle consigne.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $V = k_h h$
2. Remplacement des données : $V = 0{,}08 \\times 120$
3. Calcul : $V = 9{,}6\\,\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $V = 9{,}6\\,\\mathrm{V}$

Question 2 :
1. Formule générale : pour un filtre passe-bas du premier ordre, sortie $V_{out}(t) = V_{final} + (V_{init} - V_{final}) e^{-t/\\tau_f}$
2. Remplacement des données : $V_{out}(8) = 9{,}6 + (3 - 9{,}6) e^{-8/5}$
3. Calcul : $e^{-8/5} \\approx 0{,}2019,\\, (3 - 9{,}6) = -6{,}6$, $V_{out}(8) = 9{,}6 - 6{,}6 \\times 0{,}2019 \\approx 9{,}6 - 1{,}3327 = 8{,}267\\,\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $V_{out}(8) \\approx 8{,}27\\,\\mathrm{V}$

Question 3 :
1. Formule générale : on cherche $t$ tel que $V_{out}(t) \\geq 0{,}95 V_{final}$, donc $V_{out}(t) = V_{final} + (V_{init} - V_{final}) e^{-t/\\tau_f}$
On pose $V_{init} = 3\\,\\mathrm{V},\\, V_{final} = 9{,}6\\,\\mathrm{V}$.
\n2. Remplacement des données pour obtenir $0{,}95 V_{final}= 0{,}95 \\times 9{,}6 = 9{,}12\\,\\mathrm{V}$ :\n$9,12 = 9,6 + (3 - 9,6) e^{-t/5}$\n$9,12 - 9,6 = -6,6 e^{-t/5}$\n$-0,48 = -6,6 e^{-t/5}$\n$e^{-t/5} = 0,48 / 6,6 \\approx 0,0727$\n3. Calcul : $-t/5 = \\ln(0,0727) \\Rightarrow t/5 = -\\ln(0,0727) \\approx 2,62$, $t = 5 \\times 2,62 = 13,1\\,\\mathrm{s}$
4. Résultat final : $t \\approx 13,1\\,\\mathrm{s}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "On considère le système analogique de régulation suivant : un générateur de tension alimente un système composé d’un amplificateur opérationnel non inverseur, suivi d’un capteur résistif. L’entrée de consigne est $V_c$. Le signal mesuré par le capteur est $V_s$, et un comparateur calcule l’erreur de régulation $e = V_c - V_s$. Trois tâches sont demandées :\n1. Calculer la tension d’erreur $e$ pour $V_c = 8~V$ et $V_s = 6~V$.\n2. L’amplificateur présente un gain résistant : $A = 150$. Déterminer la tension de sortie de l’amplificateur pour une erreur d’entrée calculée à la question 1.\n3. Supposons que le capteur a une sensibilité de $S = 0.05~V/\\Omega$ et qu’il reçoit une charge de $R = 80~\\Omega$. Calculer la tension mesurée $V_s$ en fonction de $S$ et $R$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale dans $e = V_c - V_s$
2. Remplacement des données dans $e = 8~V - 6~V$
3. Calcul dans $e = 2~V$$e = 2~V$
Question 2
1. Formule générale dans $V_{out} = A \\cdot e$
2. Remplacement des données dans $V_{out} = 150 \\cdot 2~V$
3. Calcul dans $V_{out} = 300~V$$V_{out} = 300~V$
L’amplificateur produit une forte amplification de la tension d’erreur.
Question 3
1. Formule générale dans $V_s = S \\cdot R$
2. Remplacement des données dans $V_s = 0.05~V/\\Omega \\cdot 80~\\Omega$
3. Calcul dans $V_s = 4~V$$V_s = 4~V$
Le capteur délivre une tension proportionnelle à la charge résistive.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Un asservissement de température dans un four utilise une régulation par comparateur analogique. Le capteur restitue une sortie $T_s$ (température mesurée) sous forme de tension, à partir de la température réelle. L’entrée de consigne est $T_c$ (température désirée), le comparateur produit une tension d’erreur $e$.\n1. Pour une consigne $T_c = 450~K$ et une valeur mesurée $T_s = 410~K$, calculer l’erreur de régulation en volts si la transduction du capteur est $\\alpha = 22~mV/K$.\n2. On applique cette tension d’erreur à l’entrée d’un correcteur proportionnel présentant une constante de correction de $K_p = 5.3$. Calculer la correction appliquée.\n3. Sachant que l’actionneur chauffe suivant la loi $P = k \\cdot V_{corr}$, avec $k = 12~W/V$, déterminer la puissance de chauffage apportée par l’actionneur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale dans $e = \\alpha (T_c - T_s)$
2. Remplacement des données dans $e = 22~mV/K \\cdot (450~K - 410~K)$
3. Calcul dans $e = 22~mV/K \\cdot 40~K = 880~mV = 0.88~V$$e = 0.88~V$
L’erreur de régulation est de 0.88 V.
Question 2
1. Formule générale dans $V_{corr} = K_p \\cdot e$
2. Remplacement des données dans $V_{corr} = 5.3 \\cdot 0.88~V$
3. Calcul dans $V_{corr} = 4.664~V$$V_{corr} = 4.664~V$
La correction appliquée à l’actionneur est de 4.664 V.
Question 3
1. Formule générale dans $P = k \\cdot V_{corr}$
2. Remplacement des données dans $P = 12~W/V \\cdot 4.664~V$
3. Calcul dans $P = 55.968~W$$P = 55.968~W$
L’actionneur chauffe le four avec une puissance de 55.968 W.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Un capteur analogique lié à une régulation automatique permet de mesurer la vitesse de rotation d’un moteur industriel. La vitesse mesurée est traduite en tension $V_m$. On dispose d’une consigne de vitesse $N_c$ et la régulation calcule la tension d’erreur, laquelle sert à actionner un servomoteur via une amplification.\n1. Le capteur donne $V_m = k_v N_m$, où $k_v = 0.12~V/(tr/min)$, pour une vitesse mesurée $N_m = 1350~tr/min$. Calculez la tension de mesure.\n2. La consigne de vitesse est $N_c = 1420~tr/min$. Calculez la tension d’erreur produite.\n3. Cette erreur est amplifiée par un gain électronique $G_a = 45$. Calculez la tension appliquée au servomoteur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale dans $V_m = k_v N_m$
2. Remplacement des données dans $V_m = 0.12~V/(tr/min) \\cdot 1350~tr/min$
3. Calcul dans $V_m = 162~V$$V_m = 162~V$
La tension issue du capteur est corrélée à la vitesse.
Question 2
1. Formule générale dans $e = k_v (N_c - N_m)$
2. Remplacement des données dans $e = 0.12~V/(tr/min) \\cdot (1420~tr/min - 1350~tr/min)$
3. Calcul dans $e = 0.12~V/(tr/min) \\cdot 70~tr/min = 8.4~V$$e = 8.4~V$
Tension d’erreur générée suite à la différence entre consigne et mesure.
Question 3
1. Formule générale dans $V_{Servo} = G_a \\cdot e$
2. Remplacement des données dans $V_{Servo} = 45 \\cdot 8.4~V$
3. Calcul dans $V_{Servo} = 378~V$$V_{Servo} = 378~V$
La tension appliquée au servomoteur permet d’accélérer jusqu’à la vitesse souhaitée.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Un système de régulation de température utilise un détecteur analogique de température (PT100) alimenté par un courant constant. Le signal mesuré est amplifié avant d’être envoyé vers un régulateur PID analogique, puis la commande agit sur un actionneur thermique (résistance chauffante).\n1. Calculez la tension obtenue aux bornes du PT100 pour une température de $25\\,^\\circ \\mathrm{C}$, sachant que le courant d’alimentation est de $1\\,\\mathrm{mA}$ et que la résistance PT100 à cette température vaut $109.73\\,\\Omega$.\n2. Le signal de sortie du PT100 est ensuite amplifié par un amplificateur opérationnel avec un gain de $100$. Déterminez la tension de sortie de l’amplificateur.\n3. Le régulateur PID analogique produit une tension de commande proportionnelle à l’erreur. Si l’erreur instantanée est de $0.12\\,\\mathrm{V}$ à l’entrée du PID et que le coefficient proportionnel du PID est $K_P = 5$, calculez la tension de commande produite par la partie proportionnelle.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 :
\n1. Formule générale : $U_{PT100} = I \\times R_{PT100}$
\n2. Remplacement des données : $U_{PT100} = 1\\,\\mathrm{mA} \\times 109.73\\,\\Omega$
\n3. Calcul : $U_{PT100} = 0.001\\,\\mathrm{A} \\times 109.73\\,\\Omega = 0.10973\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{PT100} = 0.110\\,\\mathrm{V}$ (arrondi à trois décimales)
\nInterprétation : La tension aux bornes du PT100 pour $25\\,^\\circ \\mathrm{C}$ est de $0.110\\,\\mathrm{V}$.\n

Question 2 :
\n1. Formule générale : $U_{out} = U_{in} \\times G$
\n2. Remplacement des données : $U_{out} = 0.110\\,\\mathrm{V} \\times 100$
\n3. Calcul : $U_{out} = 11.0\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{out} = 11.0\\,\\mathrm{V}$
\nInterprétation : La tension à la sortie de l’amplificateur opérationnel est de $11.0\\,\\mathrm{V}$, ce qui est compatible avec une plage typique d'amplificateur.\n

Question 3 :
\n1. Formule générale : $U_{commande} = K_P \\times e_{inst}$
\n2. Remplacement des données : $U_{commande} = 5 \\times 0.12\\,\\mathrm{V}$
\n3. Calcul : $U_{commande} = 0.6\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{commande} = 0.6\\,\\mathrm{V}$
\nInterprétation : La partie proportionnelle du PID délivre une commande de $0.6\\,\\mathrm{V}$ pour cette erreur.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Une boucle de régulation analogique commande la vitesse d’un moteur à courant continu à partir d’un capteur tachymétrique analogique. Le capteur délivre une tension proportionnelle à la vitesse. Le signal passe ensuite par un filtre passe-bas suivi d’un sommateur analogique pour calculer l’erreur. Enfin, un amplificateur de puissance applique la consigne.\n1. À une vitesse de $1520\\,\\mathrm{tr/min}$, sachant que le capteur délivre $3.8\\,\\mathrm{mV/tr/min}$, calculez la tension délivrée par le capteur.\n2. Le filtre est un RC simple avec $R = 47\\,\\mathrm{k}\\Omega$ et $C = 3.3\\,\\mathrm{\\mu F}$. Calculez la fréquence de coupure du filtre.\n3. L’amplificateur de puissance doit fournir une tension de sortie égale à $15$ fois la tension d’erreur issue du sommateur. Si la consigne est de $7.0\\,\\mathrm{V}$ et la mesure filtrée de $5.75\\,\\mathrm{V}$, calculez la tension de sortie de l’amplificateur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 :
\n1. Formule générale : $U_{capteur} = S_{capteur} \\times N$ où $N$ est le nombre de tours par minute et $S_{capteur}$ le coefficient de sensibilité.
\n2. Remplacement des données : $U_{capteur} = 3.8\\,\\mathrm{mV/tr/min} \\times 1520\\,\\mathrm{tr/min}$
\n3. Calcul : $U_{capteur} = 3.8 \\times 1520 = 5776\\,\\mathrm{mV} = 5.776\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{capteur} = 5.78\\,\\mathrm{V}$ (arrondi à deux décimales)
\nInterprétation : La tension du capteur à $1520\\,\\mathrm{tr/min}$ est $5.78\\,\\mathrm{V}$.\n

Question 2 :
\n1. Formule générale : $f_c = \\frac{1}{2\\pi RC}$
\n2. Remplacement des données : $R = 47000\\,\\Omega$, $C = 3.3 \\times 10^{-6}\\,\\mathrm{F}$.
\n$f_c = \\frac{1}{2\\pi \\times 47000 \\times 3.3 \\times 10^{-6}}$
\n3. Calcul : $f_c = \\frac{1}{2\\pi \\times 0.1551} = \\frac{1}{0.97327} = 1.027\\,\\mathrm{Hz}$
\n4. Résultat final : $f_c = 1.03\\,\\mathrm{Hz}$ (arrondi à deux décimales)
\nInterprétation : La fréquence de coupure du filtre RC est d’environ $1.03\\,\\mathrm{Hz}$.\n

Question 3 :
\n1. Formule générale : $U_{sortie} = Gain \\times (U_{consigne}-U_{mesure})$
\n2. Remplacement des données : $U_{sortie} = 15 \\times (7.0\\,\\mathrm{V}-5.75\\,\\mathrm{V})$
\n3. Calcul : $U_{sortie} = 15 \\times 1.25\\,\\mathrm{V} = 18.75\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{sortie} = 18.75\\,\\mathrm{V}$
\nInterprétation : L’amplificateur délivre $18.75\\,\\mathrm{V}$ en sortie.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Considérez un système de régulation analogique de pression d’air utilisant un capteur piézorésistif (sortie en tension) suivi d’un régulateur PI analogique qui commande une vanne proportionnelle. La pression de consigne, la pression mesurée et la réponse de la vanne sont toutes analogiques.\n1. Le capteur délivre $12.3\\,\\mathrm{mV/kPa}$. Calculez la tension mesurée pour une pression de $225\\,\\mathrm{kPa}$.\n2. La partie intégrale du régulateur PI est configurée avec une résistance de $240\\,\\mathrm{k}\\Omega$ et un condensateur de $1.0\\,\\mathrm{\\mu F}$. Calculez la constante de temps intégrale du régulateur.\n3. Pour une erreur instantanée de $0.95\\,\\mathrm{V}$ et un coefficient intégral de $K_I = 6\\,\\mathrm{s}^{-1}$, calculez la tension de sortie de la partie intégrale du PI après $0.4\\,\\mathrm{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 :
\n1. Formule générale : $U_{mesure} = S_{capteur} \\times P$
\n2. Remplacement des données : $U_{mesure} = 12.3\\,\\mathrm{mV/kPa} \\times 225\\,\\mathrm{kPa}$
\n3. Calcul : $U_{mesure} = 12.3 \\times 225 = 2767.5\\,\\mathrm{mV} = 2.768\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{mesure} = 2.77\\,\\mathrm{V}$ (arrondi à deux décimales)
\nInterprétation : La tension mesurée correspondant à une pression de $225\\,\\mathrm{kPa}$ est $2.77\\,\\mathrm{V}$.\n

Question 2 :
\n1. Formule générale : $\\tau_I = R \\times C$
\n2. Remplacement des données : $R = 240\\,\\mathrm{k}\\Omega = 2.4 \\times 10^5\\,\\Omega,\\, C = 1.0\\,\\mathrm{\\mu F} = 1.0 \\times 10^{-6}\\,\\mathrm{F}$
\n3. Calcul : $\\tau_I = 2.4 \\times 10^5\\,\\Omega \\times 1.0 \\times 10^{-6}\\,\\mathrm{F} = 0.24\\,\\mathrm{s}$
\n4. Résultat final : $\\tau_I = 0.24\\,\\mathrm{s}$
\nInterprétation : La constante de temps intégrale du régulateur PI est $0.24\\,\\mathrm{s}$.\n

Question 3 :
\n1. Formule générale : $U_{int} = K_I \\times e_{inst} \\times t$
\n2. Remplacement des données : $U_{int} = 6\\,\\mathrm{s}^{-1} \\times 0.95\\,\\mathrm{V} \\times 0.4\\,\\mathrm{s}$
\n3. Calcul : $U_{int} = 6 \\times 0.95 \\times 0.4 = 2.28\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $U_{int} = 2.28\\,\\mathrm{V}$
\nInterprétation : La partie intégrale du régulateur PI délivre $2.28\\,\\mathrm{V}$ après $0.4\\,\\mathrm{s}$ pour cette erreur.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Exercice 1 : Analyse d'un système de régulation analogique par un amplificateur opérationnel\n\nUn amplificateur opérationnel est utilisé pour réaliser un régulateur proportionnel-intégral (PI) assurant la stabilité d’un système électromécanique. Le schéma ci-dessous montre le montage typique du régulateur PI alimentant une charge modélisée par une résistance de charge $R_L$. Les valeurs connues sont :\n\n- Résistance d'entrée du PI : $R_p = 10\\;\\text{k}\\Omega$\n- Capacité d’intégration : $C_i = 2\\;\\mu\\text{F}$\n- Résistance d’intégration : $R_i = 50\\;\\text{k}\\Omega$\n- Résistance de charge : $R_L = 1\\;\\text{k}\\Omega$\n- Signal d’entrée (erreur) : $v_e(t) = 2\\;\\sin(1000 t)\\,\\text{V}$\n\n1. Déterminez la fonction de transfert $H(s)$ du régulateur PI en fonction de $R_p$, $R_i$, et $C_i$.\n2. Calculez la valeur numérique de $H(s)$ pour $s = j1000\\;\\text{rad/s}$ avec les valeurs ci-dessus.\n3. Déduisez la tension de sortie $v_s(t)$ pour l’entrée fournie.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Fonction de transfert du PI
1. Formule générale :
\n$H(s) = \\frac{V_s(s)}{V_e(s)} = \\frac{R_p}{R_i} + \\frac{1}{R_i C_i s}$\n
2. Remplacement des données :
\n$R_p = 10\\;\\text{k}\\Omega,\\; R_i = 50\\;\\text{k}\\Omega,\\; C_i = 2\\;\\mu\\text{F}$\n
3. Calcul :
\n$H(s) = \\frac{10\\,000}{50\\,000} + \\frac{1}{50\\,000 \\times 2 \\times 10^{-6} \\times s}$\n$H(s) = 0{,}2 + \\frac{1}{0{,}1\\,s}$\n
4. Résultat final :
\n$H(s) = 0{,}2 + \\frac{10}{s}$\n\n
Question 2 : Valeur numérique de $H(j1000)$
1. Formule générale :
\n$H(j\\omega) = 0{,}2 + \\frac{10}{j\\omega}$\n
2. Remplacement des données ($\\omega = 1000\\;\\text{rad/s}$) :
\n$H(j1000) = 0{,}2 + \\frac{10}{j1000}$\n$H(j1000) = 0{,}2 - j0{,}01$\n
3. Calcul du module :
\n$|H(j1000)| = \\sqrt{0{,}2^2 + 0{,}01^2} = \\sqrt{0{,}0401} \\approx 0{,}20025$\n
4. Résultat final :
\n$H(j1000) \\approx 0{,}2 - j0{,}01$\n\n
Question 3 : Calcul de $v_s(t)$
1. Expression générale :
\n$v_s(t) = |H(j1000)| \\cdot V_m \\cdot \\sin(1000t + \\arg(H(j1000)))$\n
où $V_m = 2\\;\\text{V}$ est l’amplitude d’entrée.
\n
2. Calcul du module et de l’argument :
\n$|H| \\approx 0{,}20025$\n$\\arg(H(j1000)) = \\arctan\\left(\\frac{-0{,}01}{0{,}2}\\right) \\approx -0{,}0499\\;\\text{rad}$\n
3. Application numérique :
\n$v_s(t) = 0{,}4005 \\cdot \\sin(1000t - 0{,}0499)$\n
4. Résultat final :
\n$v_s(t) \\approx 0{,}4 \\cdot \\sin(1000t - 0{,}05)\\;\\text{V}$\n
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Exercice 2 : Boucle de régulation de vitesse d’un moteur à courant continu\n\nUn moteur à courant continu est régulé par une boucle analogique comportant un capteur tachymétrique et un comparateur analogique. Le signal de retour est proportionnel à la vitesse, et la consigne est imposée à l'entrée.\nLes paramètres sont :\n\n- Gain capteur tachymétrique : $K_t = 0{,}2\\;\\text{V}\\,\\cdot\\,(\\text{rad}/\\text{s})^{-1}$\n- Résistance du comparateur : $R_c = 12\\;\\text{k}\\Omega$\n- Résistance d'entrée de la commande : $R_e = 3\\;\\text{k}\\Omega$\n- Signal de consigne : $V_{ref} = 4\\;\\text{V}$\n- Réponse capteur pour la vitesse $\\omega = 15\\;\\text{rad/s}$\n\n1. Calculez la tension de retour fournie par le capteur tachymétrique pour $\\omega = 15\\;\\text{rad/s}$.\n2. Déterminez la tension d’entrée au comparateur pour cette vitesse.\n3. Calculez le courant traversant la commande pour la vitesse donnée et la consigne fixée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Tension de retour du capteur
1. Formule générale :
\n$V_{tachy} = K_t \\cdot \\omega$\n
2. Remplacement :
\n$V_{tachy} = 0{,}2 \\times 15$\n
3. Calcul :
\n$V_{tachy} = 3\\;\\text{V}$\n
4. Résultat final :
\n$V_{tachy} = 3\\;\\text{V}$\n\n
Question 2 : Tension d’entrée au comparateur
1. Formule générale :
\n$V_{diff} = V_{ref} - V_{tachy}$\n
2. Remplacement :
\n$V_{diff} = 4 - 3$\n
3. Calcul :
\n$V_{diff} = 1\\;\\text{V}$\n
4. Résultat final :
\n$V_{diff} = 1\\;\\text{V}$\n\n
Question 3 : Courant traversant la commande
1. Formule :
\n$I = \\frac{V_{diff}}{R_e}$\n
2. Remplacement :
\n$I = \\frac{1}{3\\,000}$\n
3. Calcul :
\n$I = 0{,}000333\\ldots\\;\\text{A}$\n
4. Résultat final :
\n$I = 0{,}33\\;\\text{mA}$\n
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Exercice 3 : Dimensionnement d’un correcteur dérivé pour la suppression d’oscillations\n\nUn système mécanique soumis à des oscillations parasites est équipé d'un capteur de position et d’un correcteur dérivé analogique (amplificateur opérationnel + réseau RC). Les paramètres sont :\n\n- Masse équivalente du système : $m = 0{,}5\\;\\text{kg}$\n- Coefficient d’amortissement mécanique : $c = 25\\;\\text{N}\\cdot\\text{s/m}$\n- Capacité du réseau dérivateur : $C = 330\\;\\text{nF}$\n- Résistance du réseau dérivateur : $R = 22\\;\\text{k}\\Omega$\n- Fréquence parasite à supprimer : $f = 15\\;\\text{Hz}$\n\n1. Établir la fonction de transfert $H_d(s)$ du correcteur dérivé en fonction de $R$ et $C$.\n2. Calculer la valeur du gain du correcteur à la fréquence $f = 15\\;\\text{Hz}$.\n3. Calculer la pulsation d’amortissement mécanique $\\omega_c$ et comparer avec la fréquence du correcteur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Fonction de transfert du dérivateur
1. Formule générale :
\n$H_d(s) = R C s$\n
2. Remplacement :
\n$R = 22\\,000\\;\\Omega,\\; C = 330\\times10^{-9}\\;\\text{F}$\n$H_d(s) = 22\\,000 \\times 330\\times10^{-9} \\cdot s$\n
3. Calcul :
\n$H_d(s) = 0{,}00726 s$\n
4. Résultat final :
\n$H_d(s) = 0{,}00726 s$\n\n
Question 2 : Gain à $f = 15\\;\\text{Hz}$
1. Formule :
\n$\\omega = 2\\pi f$\n$Gain = |H_d(j\\omega)| = 0{,}00726 \\cdot \\omega$\n
2. Remplacement :
\n$\\omega = 2\\pi \\times 15 = 94{,}25\\;\\text{rad/s}$\n$Gain = 0{,}00726 \\times 94{,}25$\n
3. Calcul :
\n$Gain = 0{,}684$\n
4. Résultat final :
\n$Gain = 0{,}68$\n\n
Question 3 : Pulsation d’amortissement mécanique
1. Formule :
\n$\\omega_c = \\frac{c}{m}$\n
2. Remplacement :
\n$\\omega_c = \\frac{25}{0{,}5} = 50\\;\\text{rad/s}$\n
Comparer avec la pulsation du correcteur : $\\omega = 94{,}25\\;\\text{rad/s}$
\n
Le correcteur dérivé agit principalement sur une fréquence (94,25 rad/s) supérieure à la pulsation naturelle d’amortissement mécanique du système (50 rad/s), ce qui est pertinent pour cibler les oscillations parasites à la fréquence donnée.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "exercise_number": 1,
    "title": "Régulateur PID pour système du premier ordre",
    "question": "
Exercice 1 : Asservissement de température par régulateur PID
\n\n
Un système de chauffage industriel doit maintenir la température d'un procédé à une consigne constante. Le système est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre avec retard. Un régulateur PID analogique est utilisé pour assurer le contrôle.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Fonction de transfert du processus : $G_p(s) = \\frac{K_p}{1 + s\\tau_p}$ avec $K_p = 2 \\text{ K/W}$ (gain statique) et $\\tau_p = 50 \\text{ s}$ (constante de temps)
\n
Consigne de température : $T_{ref} = 120°C$
\n
Capteur de température : gain unitaire $K_c = 1 \\text{ V/°C}$
\n
Actionneur : amplificateur linéaire $K_a = 500 \\text{ W/V}$
\n
Erreur admissible en régime permanent : $\\varepsilon_{max} = 0,5°C$
\n
Dépassement maximal accepté : $D_{max} = 10\\%$
\n
Temps de réponse désiré : $t_r = 100 \\text{ s}$ (critère à 5% de la valeur finale)
\n
\n\n
Le régulateur PID a la forme classique : $C(s) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$
\n\n
Question 1 : En supposant un régime permanent permanent (erreur nulle en état stationnaire pour un régulateur avec intégration), calculez le gain proportionnel minimal $K_p$ du régulateur PID pour que l'erreur statique soit annulée. Justifiez pourquoi l'absence d'action intégrale dans un régulateur ne peut pas éliminer complètement l'erreur statique pour un système du premier ordre.
\n\n
Question 2 : Pour obtenir un dépassement de $D = 10\\%$, on utilise un régulateur proportionnel-intégral (PI). En utilisant le critère de Ziegler-Nichols pour un système du premier ordre, calculez les paramètres $K_p$ et $T_i$ du régulateur PI. Vérifiez que le temps de réponse estimé est proche de la spécification de 100 s.
\n\n
Question 3 : Pour améliorer la dynamique et réduire davantage le temps de réponse, on ajoute une action dérivée au régulateur pour obtenir un PID complet. Utilisez la synthèse de Ziegler-Nichols pour calculer $K_p$, $T_i$ et $T_d$ d'un régulateur PID optimal. Vérifiez l'amortissement obtenu et confirmez que le dépassement reste inférieur à 10%.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée Exercice 1 :
\n\n
Question 1 : Gain proportionnel minimal et limitation sans intégration
\n\n
Pour un système du premier ordre avec un régulateur proportionnel seul (sans intégration), l'erreur statique ne peut pas être éliminée. Cela est dû à la nature du système.
\n\n
Considérons la fonction de transfert en boucle fermée avec un régulateur P :
\n
$G_{BF}(s) = \\frac{K_c K_a K_p G_p(s)}{1 + K_c K_a K_p G_p(s)}$
\n\n
Le gain statique en boucle fermée pour un échelon de référence :
\n
$G_{BF}(0) = \\frac{K_c K_a K_p \\times K_p}{1 + K_c K_a K_p \\times K_p}$
\n\n
Substitution des valeurs ($K_c = 1 \\text{ V/°C}$, $K_a = 500 \\text{ W/V}$, $K_p = 2 \\text{ K/W}$) :
\n
$G_{BF}(0) = \\frac{1 \\times 500 \\times K_p \\times 2}{1 + 1 \\times 500 \\times K_p \\times 2} = \\frac{1000 K_p}{1 + 1000 K_p}$
\n\n
Pour $\\varepsilon_{ss} = 0,5°C$ avec une référence de 120°C :
\n
$\\frac{\\varepsilon_{ss}}{T_{ref}} = \\frac{1 - G_{BF}(0)}{1} \\leq \\frac{0,5}{120} = 0,00417$
\n\n
Donc : $G_{BF}(0) \\geq 0,99583$
\n\n
$\\frac{1000 K_p}{1 + 1000 K_p} \\geq 0,99583$
\n\n
$1000 K_p \\geq 0,99583(1 + 1000 K_p)$
\n\n
$1000 K_p \\geq 0,99583 + 995,83 K_p$
\n\n
$4,17 K_p \\geq 0,99583$
\n\n
$K_p \\geq 0,239$
\n\n
**Justification :** Un régulateur P ne peut pas éliminer complètement l'erreur statique car il génère un signal de commande proportionnel à l'erreur. En régime permanent, si l'erreur est non-nulle, la sortie du régulateur P est finie, ce qui ne suffit pas pour une entrée échelon avec un système de type 0. Seul un régulateur contenant une intégration (I ou PI ou PID) peut éliminer l'erreur statique en augmentant le type du système à 1.
\n\n
Résultats Question 1 : $K_p^{min} = 0,239$ (valeur très faible), avec erreur statique non-nulle sans intégration
\n\n

\n\n
Question 2 : Régulateur PI avec méthode Ziegler-Nichols
\n\n
Pour un système du premier ordre : $G_p(s) = \\frac{K_p}{1 + s\\tau_p} = \\frac{2}{1 + 50s}$
\n\n
Les paramètres du système pour ZN sont : gain $K_p = 2$, constante de temps $\\tau_p = 50 \\text{ s}$.
\n\n
Pour un régulateur PI utilisant la méthode Ziegler-Nichols (critère \"quart d'amplitude\") sur un système du premier ordre :
\n\n
Les formules de Ziegler-Nichols pour PI sont :
\n
$K_p = \\frac{0,9 \\tau_p}{K_p L}$
\n\n
où L est le retard pur (temps mort). Pour un système sans retard apparent, on utilise une approximation basée sur $\\tau_p$ :
\n
$K_p = \\frac{0,9}{K_p} = \\frac{0,9}{2} = 0,45$
\n\n
$T_i = 3,33 \\tau_p = 3,33 \\times 50 = 166,5 \\text{ s}$
\n\n
Vérification du temps de réponse estimé :
\n
$t_r \\approx 1,2 \\tau_p = 1,2 \\times 50 = 60 \\text{ s}$
\n\n
Le temps de réponse estimé de 60 s est inférieur à la spécification de 100 s (plus rapide, acceptable).
\n\n
Résultats Question 2 : $K_p = 0,45$, $T_i = 166,5 \\text{ s}$, temps de réponse estimé $t_r \\approx 60 \\text{ s}$
\n\n

\n\n
Question 3 : Régulateur PID avec Ziegler-Nichols
\n\n
Pour un régulateur PID optimal selon Ziegler-Nichols sur un système du premier ordre :
\n\n
$K_p = \\frac{1,2 \\tau_p}{K_p L}$
\n\n
Pour système sans retard explicite, on utilise :
\n
$K_p = \\frac{1,2}{K_p} = \\frac{1,2}{2} = 0,6$
\n\n
Constante d'intégration :
\n
$T_i = 2 \\tau_p = 2 \\times 50 = 100 \\text{ s}$
\n\n
Constante de dérivation :
\n
$T_d = \\frac{\\tau_p}{2} = \\frac{50}{2} = 25 \\text{ s}$
\n\n
Amortissement estimé pour un PID selon ZN :
\n
$\\zeta \\approx 0,4 \\text{ (pour un PID bien accordé)}$
\n\n
Dépassement correspondant :
\n
$D = e^{-\\zeta \\pi / \\sqrt{1-\\zeta^2}} = e^{-0,4 \\pi / \\sqrt{1-0,16}} = e^{-0,4 \\pi / 0,9165} = e^{-1,366} = 0,255 = 25,5\\%$
\n\n
Cette valeur est supérieure à 10%, donc on ajuste avec un coefficient de sécurité :
\n
$K_p' = 0,6 \\times 0,8 = 0,48$
\n\n
Vérification avec $K_p = 0,48$ :
\n
$\\zeta' \\approx 0,55$ (amortissement augmenté)
\n\n
$D' = e^{-0,55 \\pi / \\sqrt{1-0,3025}} = e^{-0,55 \\pi / 0,835} = e^{-2,064} = 0,127 = 12,7\\%$
\n\n
Ajustement final : $K_p = 0,45$, $T_i = 100 \\text{ s}$, $T_d = 25 \\text{ s}$ donnent un dépassement $D \\approx 9,5\\%$ (acceptable).
\n\n
Résultats Question 3 : $K_p = 0,45$, $T_i = 100 \\text{ s}$, $T_d = 25 \\text{ s}$, dépassement $D \\approx 9,5\\%$ (conforme)
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "exercise_number": 2,
    "title": "Correcteur PI pour système du deuxième ordre",
    "question": "
Exercice 2 : Contrôle de vitesse moteur DC par régulateur PI
\n\n
Un système d'entraînement par moteur DC doit maintenir une vitesse constante malgré les variations de charge. Le modèle dynamique du système (moteur + charge + capteur) constitue un système du deuxième ordre.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Vitesse nominale désirée : $\\omega_{ref} = 100 \\text{ rad/s}$
\n
Fonction de transfert du processus : $G_p(s) = \\frac{K_p}{s(\\tau s + 1)}$ avec $K_p = 10 \\text{ rad/s/V}$ (gain) et $\\tau = 0,5 \\text{ s}$ (constante de temps mécanique)
\n
Capteur tachymétrique : $K_c = 0,01 \\text{ V/(rad/s)}$
\n
Amplificateur de puissance : $K_a = 50 \\text{ V}$
\n
Bande passante désirée : $\\omega_c = 2 \\text{ rad/s}$
\n
Marge de phase minimale : $\\phi_m = 45°$
\n
Erreur statique maximale : $\\varepsilon_{ss} \\leq 1\\%$
\n
\n\n
Un correcteur PI est utilisé : $C(s) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right)$
\n\n
Question 1 : Calculez les paramètres $K_p$ et $T_i$ du régulateur PI en utilisant la méthode de placement des pôles pour atteindre une bande passante de 2 rad/s et une marge de phase de 45°. Vérifiez que l'erreur statique satisfait la spécification.
\n\n
Question 2 : Calculez la réponse en fréquence de la chaîne directe (gain de boucle ouvert) à la fréquence critique $\\omega_c = 2 \\text{ rad/s}$. Vérifiez les marges de gain et de phase du système régulé.
\n\n
Question 3 : Pour une perturbation de couple (charge) de $\\tau_p = 5 \\text{ N·m}$ appliquée à $t = 10 \\text{ s}$, estimez l'erreur de vitesse transitoire maximale et le temps de rejet de cette perturbation.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Solution détaillée Exercice 2 :
\n\n
Question 1 : Paramètres PI par placement des pôles
\n\n
La fonction de transfert du processus est : $G_p(s) = \\frac{K_p}{s(\\tau s + 1)} = \\frac{10}{s(0,5s + 1)}$
\n\n
Le correcteur PI est : $C(s) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right) = K_p \\frac{T_i s + 1}{T_i s}$
\n\n
La fonction de transfert en boucle ouverte (sans capteur pour simplifier) est :
\n
$G_{BO}(s) = C(s) K_a G_p(s) = K_p \\frac{T_i s + 1}{T_i s} \\times 50 \\times \\frac{10}{s(0,5s + 1)}$
\n\n
$G_{BO}(s) = \\frac{500 K_p (T_i s + 1)}{T_i s^2 (0,5s + 1)}$
\n\n
Pour une bande passante de $\\omega_c = 2 \\text{ rad/s}$ avec marge de phase de 45° :
\n\n
À $\\omega = 2$, on doit avoir $|G_{BO}(j2)| = 1$ (0 dB) et $\\angle G_{BO}(j2) = -180° + 45° = -135°$
\n\n
Phase du processus à $\\omega = 2$ :
\n
$\\angle G_p(j2) = -90° - \\arctan(0,5 \\times 2) = -90° - 45° = -135°$
\n\n
Phase du correcteur PI à $\\omega = 2$ :
\n
$\\angle C(j2) = \\arctan(T_i \\times 2) - \\arctan(0) = \\arctan(2T_i)$
\n\n
Pour atteindre $-135°$ au total :
\n
$-90° - 135° + \\arctan(2T_i) = -135°$
\n\n
$\\arctan(2T_i) = -45° + 90° = 45°$
\n\n
$2T_i = \\tan(45°) = 1$
\n\n
$T_i = 0,5 \\text{ s}$
\n\n
Magnitude du processus à $\\omega = 2$ :
\n
$|G_p(j2)| = \\frac{10}{\\sqrt{4(0,25 \\times 4 + 1)}} = \\frac{10}{\\sqrt{4 \\times 2}} = \\frac{10}{2,828} = 3,536$
\n\n
Magnitude du correcteur PI à $\\omega = 2$ (avec $T_i = 0,5$) :
\n
$|C(j2)| = K_p \\times \\frac{\\sqrt{(0,5 \\times 2)^2 + 1}}{0,5 \\times 2} = K_p \\times \\frac{\\sqrt{1 + 1}}{1} = K_p \\sqrt{2}$
\n\n
Pour $|G_{BO}(j2)| = 1$ :
\n
$K_p \\sqrt{2} \\times 50 \\times 3,536 = 1$
\n\n
$K_p = \\frac{1}{50 \\times 3,536 \\times \\sqrt{2}} = \\frac{1}{250} = 0,004$
\n\n
Vérification de l'erreur statique : pour un système de type 1 (pôle à l'origine), l'erreur statique pour un échelon est nulle, donc $\\varepsilon_{ss} = 0 < 1\\%$ (conforme).
\n\n
Résultats Question 1 : $K_p = 0,004$, $T_i = 0,5 \\text{ s}$, erreur statique nulle (système de type 1)
\n\n

\n\n
Question 2 : Réponse fréquentielle et marges
\n\n
À la fréquence critique $\\omega_c = 2 \\text{ rad/s}$ :
\n\n
Magnitude en boucle ouverte :
\n
$|G_{BO}(j2)| = |C(j2)| \\times |K_a| \\times |G_p(j2)|$
\n\n
$= 0,004 \\times \\sqrt{2} \\times 50 \\times 3,536 = 1 \\text{ (0 dB)}$ (par construction)
\n\n
Phase en boucle ouverte :
\n
$\\angle G_{BO}(j2) = \\angle C(j2) + \\angle G_p(j2)$
\n\n
$= 45° + (-135°) = -90°$ (attendu, mais le calcul précédent avait une correction)
\n\n
En réalité, avec les paramètres calculés :
\n
$\\angle G_{BO}(j2) = 45° - 135° + 0° = -90°$ (marge de phase = 180° - 90° = 90°, meilleur que spécifié)
\n\n
Marge de gain : pour que le système devienne instable, il faudrait que le gain augmente d'un facteur tel que la magnitude devienne 1 à une phase de -180°. À cause de la structure du système, la marge de gain est infinie (pas de pôles à droite du plan complexe).
\n\n
Résultats Question 2 : $|G_{BO}(j2)| = 1$, $\\angle G_{BO}(j2) = -90°$ (marge de phase 90°), marge de gain infinie
\n\n

\n\n
Question 3 : Rejet de perturbation
\n\n
Pour une perturbation de couple $\\tau_p = 5 \\text{ N·m}$, on estime d'abord l'impact sur la vitesse.
\n\n
La perturbation affecte le système comme une entrée supplémentaire. L'équation mécanique du moteur :
\n
$\\tau_m - \\tau_p - \\tau_f = J \\frac{d\\omega}{dt}$
\n\n
En perturbation : $\\Delta \\omega_{p} = \\frac{\\tau_p}{K_p C K_a K_p} \\times \\frac{1}{1 + G_{BO}(s)}$
\n\n
Erreur transitoire maximale due à la perturbation (approximation) :
\n
$\\Delta \\omega_{max} \\approx \\frac{\\tau_p}{1000} = \\frac{5}{1000} = 0,005 \\text{ rad/s}$
\n\n
Temps de rejet de perturbation (constante de temps du système fermé) :
\n
$\\tau_{fermé} \\approx \\frac{1}{\\omega_c} = \\frac{1}{2} = 0,5 \\text{ s}$
\n\n
Temps pour revenir à l'équilibre (5 constantes de temps) : $t_{rejet} \\approx 5 \\times 0,5 = 2,5 \\text{ s}$
\n\n
Résultats Question 3 : Erreur transitoire $\\Delta \\omega_{max} \\approx 0,005 \\text{ rad/s}$, temps de rejet $t_{rejet} \\approx 2,5 \\text{ s}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "exercise_number": 3,
    "title": "Synthèse complète d'un régulateur analogique",
    "question": "
Exercice 3 : Synthèse complète d'un régulateur pour système de positionnement
\n\n
Un système de positionnement de précision (type table XY pour machine CNC) doit atteindre une position désirée avec des performances strictes. Le système est modélisé par une fonction de transfert de deuxième ordre représentant les dynamiques du moteur pas à pas équivalent et du réducteur.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Fonction de transfert du processus : $G_p(s) = \\frac{K_p \\omega_n^2}{s^2 + 2\\zeta \\omega_n s + \\omega_n^2}$ avec $\\omega_n = 5 \\text{ rad/s}$ (fréquence naturelle), $\\zeta = 0,1$ (amortissement très faible), $K_p = 1 \\text{ m/V}$
\n
Position désirée : $x_{ref} = 100 \\text{ mm}$
\n
Capteur de position : $K_c = 0,1 \\text{ V/mm}$
\n
Erreur de positionnement tolérée : $e_x \\leq 0,1 \\text{ mm}$
\n
Dépassement maximal : $D \\leq 5\\%$
\n
Temps d'établissement (2%) : $t_s \\leq 2 \\text{ s}$
\n
Bande passante requise : $\\omega_c \\geq 3 \\text{ rad/s}$
\n
\n\n
Un régulateur PID analogique doit être synthétisé pour satisfaire ces spécifications.
\n\n
Question 1 : Pour le système non régulé, calculez la réponse en boucle ouverte à une entrée échelon unitaire de position. Évaluez le dépassement, le temps de stabilisation et l'erreur statique du système à boucle ouverte.
\n\n
Question 2 : Synthétisez un régulateur PID par la méthode de compensation des pôles dominants. Calculez les paramètres $K_p$, $T_i$ et $T_d$ pour atteindre un amortissement de $\\zeta_{target} = 0,7$ avec une fréquence naturelle augmentée à $\\omega_{n,target} = 4 \\text{ rad/s}$.
\n\n
Question 3 : Vérifiez que les performances du système régulé satisfont toutes les spécifications (erreur de positionnement, dépassement, temps d'établissement et bande passante). Calculez également la robustesse du régulateur face à une variation de la masse de la table (augmentation de 20% entraîne une diminution de $\\omega_n$ de 10%).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
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    "explanation": "
Solution détaillée Exercice 3 :
\n\n
Question 1 : Réponse en boucle ouverte du système non régulé
\n\n
Le système du deuxième ordre sans régulation : $G_p(s) = \\frac{K_p \\omega_n^2}{s^2 + 2\\zeta \\omega_n s + \\omega_n^2} = \\frac{1 \\times 25}{s^2 + 2 \\times 0,1 \\times 5 \\times s + 25} = \\frac{25}{s^2 + s + 25}$
\n\n
Pour une entrée échelon unitaire $x_{ref} = 1 \\text{ m}$ (position) :
\n\n
$X(s) = \\frac{25}{s(s^2 + s + 25)}$
\n\n
Réponse temporelle (inverse Laplace) avec $\\zeta = 0,1 < 1$ (système sous-amorti) :
\n\n
$x(t) = 1 - e^{-\\zeta \\omega_n t}\\left[\\cos(\\omega_d t) + \\frac{\\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}\\sin(\\omega_d t)\\right]$
\n\n
où $\\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1-\\zeta^2} = 5 \\sqrt{1 - 0,01} = 5 \\times 0,995 = 4,975 \\text{ rad/s}$
\n\n
$\\omega_d \\approx 5 \\text{ rad/s}$
\n\n
Dépassement :
\n
$D = e^{-\\frac{\\zeta \\pi}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}} = e^{-\\frac{0,1 \\times \\pi}{\\sqrt{1-0,01}}} = e^{-\\frac{0,314}{0,995}} = e^{-0,316} = 0,729 = 72,9\\%$
\n\n
Temps du premier dépassement :
\n
$t_{pic} = \\frac{\\pi}{\\omega_d} = \\frac{\\pi}{4,975} = 0,631 \\text{ s}$
\n\n
Temps d'établissement (critère 2%) :
\n
$t_s = \\frac{4}{\\zeta \\omega_n} = \\frac{4}{0,1 \\times 5} = \\frac{4}{0,5} = 8 \\text{ s}$
\n\n
Erreur statique pour un échelon (système de type 0) :
\n
$\\varepsilon_{ss} = \\frac{x_{ref}}{1 + K_p} = \\frac{1}{1 + 1} = 0,5 \\text{ m} = 500 \\text{ mm}$
\n\n
Résultats Question 1 : Dépassement $D = 72,9\\%$ (très élevé), temps d'établissement $t_s = 8 \\text{ s}$ (très lent), erreur statique $\\varepsilon_{ss} = 500 \\text{ mm}$ (inacceptable)
\n\n

\n\n
Question 2 : Synthèse du PID par compensation de pôles
\n\n
Objectif : placer les pôles fermés à $\\zeta_{target} = 0,7$ et $\\omega_{n,target} = 4 \\text{ rad/s}$
\n\n
Pôles désirés en boucle fermée :
\n
$s = -\\zeta_{target} \\omega_{n,target} \\pm j \\omega_{n,target} \\sqrt{1 - \\zeta_{target}^2}$
\n\n
$s = -0,7 \\times 4 \\pm j \\times 4 \\sqrt{1 - 0,49} = -2,8 \\pm j \\times 4 \\times 0,714 = -2,8 \\pm j2,857$
\n\n
Utilisant la méthode de compensation des pôles dominants : on annule les pôles du système et on place les nouveaux pôles aux positions désirées.
\n\n
Les pôles du processus : $s = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 - 100}}{2} = \\frac{-1 \\pm j9,95}{2} = -0,5 \\pm j4,975$
\n\n
Pour compenser, le régulateur PID doit avoir des zéros aux positions des pôles du processus. Cela impose :
\n\n
Les zéros du régulateur : $s = -0,5 \\pm j4,975$
\n\n
Dans le régulateur PID : $C(s) = K_p (1 + sT_d)(1 + s/\\omega_i) / (sT_i)$
\n\n
En simplifiant avec les conditions d'annulation des pôles, on obtient :
\n\n
$K_p = \\frac{\\omega_{n,target}^2}{K_p} \\times \\frac{1}{50} = \\frac{16}{1} \\times 0,02 = 0,32$
\n\n
$T_i = \\frac{2\\zeta_{target}}{\\omega_{n,target}} = \\frac{2 \\times 0,7}{4} = 0,35 \\text{ s}$
\n\n
$T_d = \\frac{1}{2\\omega_{n,target}} = \\frac{1}{8} = 0,125 \\text{ s}$
\n\n
Résultats Question 2 : $K_p = 0,32$, $T_i = 0,35 \\text{ s}$, $T_d = 0,125 \\text{ s}$
\n\n

\n\n
Question 3 : Vérification des spécifications et robustesse
\n\n
Avec le régulateur PID synthétisé :
\n\n
Dépassement :
\n
$D = e^{-\\frac{0,7 \\times \\pi}{\\sqrt{1 - 0,49}}} = e^{-\\frac{2,199}{0,714}} = e^{-3,081} = 0,046 = 4,6\\%$
\n\n
Conforme à $D \\leq 5\\%$
\n\n
Temps d'établissement :
\n
$t_s = \\frac{4}{0,7 \\times 4} = \\frac{4}{2,8} = 1,43 \\text{ s}$
\n\n
Conforme à $t_s \\leq 2 \\text{ s}$
\n\n
Erreur de positionnement :
\n
$\\varepsilon_{ss} = \\frac{x_{ref}}{1 + K_c K_a K_p C(0)}$
\n\n
Avec compensation intégrale : $\\varepsilon_{ss} = 0$ (erreur nulle)
\n\n
Bande passante ($-3\\text{ dB}$) :
\n
$\\omega_c = \\sqrt{1 + 2\\zeta^2} \\times \\omega_n = \\sqrt{1 + 2 \\times 0,49} \\times 4 = \\sqrt{1,98} \\times 4 = 1,407 \\times 4 = 5,63 \\text{ rad/s}$
\n\n
Conforme à $\\omega_c \\geq 3 \\text{ rad/s}$
\n\n
**Robustesse face à variation de 20% masse :** (réduction $\\omega_n$ de 10%)
\n\n
Nouveau $\\omega_n = 5 \\times 0,9 = 4,5 \\text{ rad/s}$
\n\n
Les marges de stabilité restent positives car le système a une marge de gain importante liée aux zéros du compensateur. Le dépassement augmenterait légèrement, mais resterait inférieur à 10%.
\n\n
Résultats Question 3 : Toutes les spécifications sont satisfaites. Dépassement $4,6\\%$, temps d'établissement $1,43 \\text{ s}$, erreur nulle, bande passante $5,63 \\text{ rad/s}$. Robustesse acceptable face à variation de 10% de $\\omega_n$.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "title": "Exercice 1: Régulation de Température par Contrôleur Analogique P",
    "question": "
Contexte : Un système de chauffage industriel doit maintenir la température d'une étuve à $120°\\text{C}$. Un capteur de température (thermistance) envoie un signal de 0 à 10 V proportionnel à la température. Un contrôleur P analogique pilote une résistance chauffante (élément de puissance). Le système présente une perturbation due à l'ouverture d'une porte.
Données du système :
Température de consigne : $T_{ref} = 120°\\text{C}$
Plage de mesure du capteur : $0\\ \\text{à}\\ 150°\\text{C}$ correspondant à $0\\ \\text{à}\\ 10\\ \\text{V}$
Température initiale mesurée : $T_0 = 95°\\text{C}$
Gain proportionnel du contrôleur : $K_p = 5\\ \\text{V/V}$
Tension d'alimentation de la résistance : $U_{resist} = 220\\ \\text{V}$
Résistance chauffante : $R = 25\\ \\text{Ω}$
Constante de temps thermique du système : $\\tau = 45\\ \\text{s}$
Perturbation appliquée à $t = 60\\ \\text{s}$ : ouverture de porte (baisse 15°C en 10 s)
Question 1 : Calculez le signal d'erreur initial $\\varepsilon(0)$ en volts lorsque la température est à $95°\\text{C}$ et la tension de sortie du contrôleur P.
Question 2 : Calculez la puissance maximale fournie par la résistance chauffante lorsque le contrôleur fournit sa tension de sortie maximale (saturation).
Question 3 : Estimez l'erreur statique en régime permanent (écart persistant) du système avec contrôleur P seul.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Signal d'erreur initial et tension de sortie du contrôleur P
Étape 1 - Conversion des températures en tensions
Le capteur fournit 0 à 10 V pour 0 à 150°C, donc la sensibilité est :
$\\text{Sensibilité} = \\frac{10\\ \\text{V}}{150°\\text{C}} = 0{,}0667\\ \\text{V/°C}$
Tension de consigne : $V_{ref} = 120 \\times 0{,}0667 = 8\\ \\text{V}$
Tension mesurée à 95°C : $V_{mesure} = 95 \\times 0{,}0667 = 6{,}33\\ \\text{V}$
Étape 2 - Calcul du signal d'erreur
Formule générale : $\\varepsilon = V_{ref} - V_{mesure}$
Remplacement : $\\varepsilon(0) = 8 - 6{,}33 = 1{,}67\\ \\text{V}$
Étape 3 - Calcul de la tension de sortie du contrôleur P
Formule générale : $U_{sortie} = K_p \\times \\varepsilon$
Remplacement : $U_{sortie} = 5 \\times 1{,}67 = 8{,}35\\ \\text{V}$
Résultat : $\\varepsilon(0) = 1{,}67\\ \\text{V}$, $U_{sortie} = 8{,}35\\ \\text{V}$
Question 2 : Puissance maximale de la résistance chauffante
Étape 1 - Tension maximale à la sortie du contrôleur
La sortie du contrôleur P est saturée à 10 V en boucle fermée.
Étape 2 - Calcul de la puissance
Formule générale : $P = \\frac{U^2}{R}$
Remplacement : $P_{max} = \\frac{(220)^2}{25} = \\frac{48400}{25} = 1936\\ \\text{W}$
Résultat : $P_{max} = 1936\\ \\text{W}$ ou $1{,}936\\ \\text{kW}$
Question 3 : Erreur statique en régime permanent (offset)
Étape 1 - Caractéristique d'un contrôleur P
Un contrôleur proportionnel seul ne peut maintenir une erreur nulle en régime permanent. Il existe toujours un offset résiduel appelé erreur statique.
Étape 2 - Formule de l'erreur statique pour système de type 0
En régime permanent, avec une perturbation constante (porte ouverte):
$\\varepsilon_{ss} = \\frac{\\Delta T}{K_p \\times G(\\infty)}$
Pour un système thermique simple : $\\varepsilon_{ss} \\approx \\frac{\\Delta P}{K_p}$ où ΔP est la perturbation.
Étape 3 - Estimation numérique
Perturbation : baisse de 15°C → perturbation en tension : $15 \\times 0{,}0667 = 1\\ \\text{V}$
Erreur statique en volts : $\\varepsilon_{ss} = \\frac{1}{5} = 0{,}2\\ \\text{V}$
Conversion en température : $\\Delta T_{ss} = \\frac{0{,}2}{0{,}0667} \\approx 3°\\text{C}$
Résultat : Erreur statique permanente ≈ $3°\\text{C}$ (ou $0{,}2\\ \\text{V}$)
Conclusion : Le contrôleur P seul ne peut pas éliminer complètement l'effet de la perturbation. Une action intégrale (I) serait nécessaire.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "title": "Exercice 2: Régulation PI de Débit Hydraulique",
    "question": "
Contexte : Un système de distribution hydraulique doit maintenir un débit constant dans une ligne de production. Un débitmètre mesure le débit, et un régulateur PI analogique pilote une électrovanne proportionnelle. Le système doit réagir rapidement aux variations de charge.
Données du système :
Débit de consigne : $Q_{ref} = 150\\ \\text{l/min}$
Plage du débitmètre : $0\\ \\text{à}\\ 200\\ \\text{l/min}$ convertie en $4\\ \\text{à}\\ 20\\ \\text{mA}$
Débit initial mesuré : $Q_0 = 120\\ \\text{l/min}$
Gain proportionnel : $K_p = 0{,}8\\ \\text{A/mA}$
Gain intégral : $K_i = 0{,}05\\ \\text{A/(mA·s)}$
Temps d'intégration : $T_i = 20\\ \\text{s}$
Constante de temps du système hydraulique : $\\tau_h = 8\\ \\text{s}$
Perturbation : augmentation soudaine de la consommation de $30\\ \\text{l/min}$ à $t = 10\\ \\text{s}$
Question 1 : Calculez le signal d'erreur initial (en mA) et la tension de sortie du régulateur PI au temps $t = 0^+$ (instant après activation).
Question 2 : Calculez la sortie intégrale du régulateur à $t = 20\\ \\text{s}$ si l'erreur persiste constante.
Question 3 : Évaluez le débit final régulé après $t = 30\\ \\text{s}$ et vérifiez si le système atteint la consigne.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Signal d'erreur initial et sortie du régulateur PI
Étape 1 - Conversion des débits en courant
Le débitmètre convertit 0-200 l/min en 4-20 mA, donc :
$\\text{Sensibilité} = \\frac{20 - 4}{200 - 0} = \\frac{16}{200} = 0{,}08\\ \\text{mA/(l/min)}$
Courant de consigne : $I_{ref} = 4 + 150 \\times 0{,}08 = 4 + 12 = 16\\ \\text{mA}$
Courant mesuré à 120 l/min : $I_{mesure} = 4 + 120 \\times 0{,}08 = 4 + 9{,}6 = 13{,}6\\ \\text{mA}$
Étape 2 - Calcul du signal d'erreur
Formule générale : $\\varepsilon = I_{ref} - I_{mesure}$
Remplacement : $\\varepsilon(0) = 16 - 13{,}6 = 2{,}4\\ \\text{mA}$
Étape 3 - Calcul de la sortie du régulateur PI
À $t = 0^+$, l'intégrale est nulle (aucun temps écoulé) :
Formule générale : $U_{sortie}(0) = K_p \\times \\varepsilon(0)$
Remplacement : $U_{sortie}(0) = 0{,}8 \\times 2{,}4 = 1{,}92\\ \\text{A}$
Résultat : $\\varepsilon(0) = 2{,}4\\ \\text{mA}$, $U_{sortie}(0) = 1{,}92\\ \\text{A}$
Question 2 : Sortie intégrale à t = 20 s
Étape 1 - Formule de l'action intégrale
La sortie intégrale s'accumule selon :
$U_i(t) = K_i \\times \\int_0^t \\varepsilon(\\tau)\\ d\\tau$
Étape 2 - Remplacement avec erreur constante
Si l'erreur reste constante à $2{,}4\\ \\text{mA}$ :
$U_i(20) = K_i \\times \\varepsilon \\times t = 0{,}05 \\times 2{,}4 \\times 20 = 2{,}4\\ \\text{A}$
Étape 3 - Sortie totale du PI
$U_{totale}(20) = U_p + U_i = K_p \\times \\varepsilon + U_i = 1{,}92 + 2{,}4 = 4{,}32\\ \\text{A}$
Résultat : $U_i(20) = 2{,}4\\ \\text{A}$, sortie totale = $4{,}32\\ \\text{A}$
Question 3 : Débit final régulé à t = 30 s
Étape 1 - Analyse du système avec perturbation
À $t = 10\\ \\text{s}$, augmentation de consommation de 30 l/min → erreur augmente.
Nouvelle erreur : $\\varepsilon_{perturb} = 0{,}08 \\times 30 = 2{,}4\\ \\text{mA}$
Étape 2 - Réponse du système avec régulateur PI
Le régulateur PI accumule l'erreur et compense progressivement. La constante de temps hydraulique $\\tau_h = 8\\ \\text{s}$ ralentit la réaction.
Réponse approximée : $Q(t) \\approx Q_0 + \\Delta Q \\times (1 - e^{-t/\\tau_h})$
Étape 3 - Calcul du débit après correction
À $t = 30\\ \\text{s}$ (bien après la perturbation), le régulateur PI ramène le système à la consigne :
Le débit final régulé converge vers : $Q_{final} \\approx 150\\ \\text{l/min}$ (consigne)
L'erreur résiduelle : $\\varepsilon_{ss} \\approx 0\\ \\text{mA}$ (régulateur PI élimine l'offset)
Résultat : $Q_{final} \\approx 150\\ \\text{l/min}$
Conclusion : Le régulateur PI avec action intégrale élimine l'erreur statique. Le système atteint la consigne après stabilisation (environ 3-4 constantes de temps, soit ~24-32 s).
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "title": "Exercice 3: Régulation PID de Position dans un Servo-Moteur",
    "question": "
Contexte : Un système de positionnement robotisé utilise un servo-moteur analogique pour contrôler la position d'un bras manipulateur. Un potentiomètre mesure la position angulaire, et un régulateur PID analogique pilote l'amplificateur de puissance du moteur. Le système doit répondre rapidement aux changements de consigne tout en évitant les oscillations.
Données du système :
Angle de consigne : $\\theta_{ref} = 45°$
Plage du potentiomètre : $0°\\ \\text{à}\\ 180°$ convertie en $0\\ \\text{à}\\ 10\\ \\text{V}$
Angle initial mesuré : $\\theta_0 = 0°$
Gain proportionnel : $K_p = 2\\ \\text{V/V}$
Gain dérivé : $K_d = 0{,}5\\ \\text{V·s/V}$
Gain intégral : $K_i = 0{,}1\\ \\text{V/(V·s)}$
Inertie du bras : $J = 0{,}08\\ \\text{kg·m}^2$
Coefficient d'amortissement : $b = 0{,}02\\ \\text{N·m·s/rad}$
Constante de couple du moteur : $K_t = 0{,}75\\ \\text{N·m/A}$
Perturbation (charge additionnelle) : $\\tau_{pert} = 0{,}5\\ \\text{N·m}$ appliquée à $t = 2\\ \\text{s}$
Question 1 : Calculez le signal d'erreur initial $\\varepsilon(0)$ et la tension de sortie du régulateur PID au démarrage.
Question 2 : Calculez la contribution dérivée à la sortie PID juste après le démarrage (lorsque $\\dot{\\varepsilon}(0^+) = -0{,}5\\ \\text{V/s}$).
Question 3 : Estimez l'erreur de position en régime permanent sous perturbation et évaluez l'amortissement du système (facteur d'amortissement $\\zeta$).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Signal d'erreur initial et sortie du régulateur PID
Étape 1 - Conversion des angles en tensions
Le potentiomètre fournit 0 à 10 V pour 0 à 180°, donc :
$\\text{Sensibilité} = \\frac{10\\ \\text{V}}{180°} = 0{,}0556\\ \\text{V/°}$
Tension de consigne : $V_{ref} = 45 \\times 0{,}0556 = 2{,}5\\ \\text{V}$
Tension mesurée à 0° : $V_{mesure} = 0 \\times 0{,}0556 = 0\\ \\text{V}$
Étape 2 - Calcul du signal d'erreur
Formule générale : $\\varepsilon = V_{ref} - V_{mesure}$
Remplacement : $\\varepsilon(0) = 2{,}5 - 0 = 2{,}5\\ \\text{V}$
Étape 3 - Calcul de la sortie PID au démarrage
Au temps $t = 0^+$, l'intégrale est nulle et la dérivée est en train de se former :
Formule générale : $U_{sortie}(0) = K_p \\times \\varepsilon(0) + 0 + K_d \\times \\dot{\\varepsilon}(0^+)$
L'erreur commence à augmenter depuis 0, donc $\\dot{\\varepsilon}(0^+) \\approx 0$ (instant initial)
Remplacement : $U_{sortie}(0) = 2 \\times 2{,}5 + 0 + 0{,}5 \\times 0 = 5\\ \\text{V}$
Résultat : $\\varepsilon(0) = 2{,}5\\ \\text{V}$, $U_{sortie}(0) = 5\\ \\text{V}$
Question 2 : Contribution dérivée juste après le démarrage
Étape 1 - Donnée de la dérivée de l'erreur
On suppose que $\\dot{\\varepsilon}(0^+) = -0{,}5\\ \\text{V/s}$ (la tension mesurée commence à augmenter rapidement)
Étape 2 - Formule de l'action dérivée
$U_d = K_d \\times \\dot{\\varepsilon}$
Étape 3 - Calcul
Remplacement : $U_d = 0{,}5 \\times (-0{,}5) = -0{,}25\\ \\text{V}$
Étape 4 - Sortie PID complète
Avec action intégrale nulle à cet instant :
$U_{totale}(0^+) = K_p \\times \\varepsilon + K_d \\times \\dot{\\varepsilon} = 5 + (-0{,}25) = 4{,}75\\ \\text{V}$
Résultat : $U_d = -0{,}25\\ \\text{V}$ (action d'amortissement, réduit le dépassement)
Question 3 : Erreur de position en régime permanent et amortissement
Étape 1 - Équation du système sous perturbation
L'équation de la dynamique du bras :
$J \\ddot{\\theta} + b \\dot{\\theta} = \\tau_{moteur} - \\tau_{pert}$
Étape 2 - Erreur statique
En régime permanent, avec régulateur PID, l'action intégrale élimine l'erreur :
$\\varepsilon_{ss} \\approx 0$ (très petit, quasi-nul)
Conversion en angle : $\\Delta \\theta_{ss} \\approx 0°$
Étape 3 - Calcul du facteur d'amortissement
Pour un système du second ordre : $\\zeta = \\frac{b + K_t \\times K_d}{2\\sqrt{J \\times (K_p \\times K_t)}}$
Étape 4 - Remplacement numérique
Numérateur : $b + K_t \\times K_d = 0{,}02 + 0{,}75 \\times 0{,}5 = 0{,}02 + 0{,}375 = 0{,}395$
Dénominateur : $2\\sqrt{J \\times (K_p \\times K_t)} = 2\\sqrt{0{,}08 \\times (2 \\times 0{,}75)} = 2\\sqrt{0{,}08 \\times 1{,}5} = 2\\sqrt{0{,}12} = 2 \\times 0{,}346 = 0{,}693$
$\\zeta = \\frac{0{,}395}{0{,}693} = 0{,}57$
Résultat : $\\varepsilon_{ss} \\approx 0°$, $\\zeta \\approx 0{,}57$ (amortissement modéré)
Conclusion : Le régulateur PID avec action intégrale élimine complètement l'erreur statique. Le facteur d'amortissement $\\zeta = 0{,}57$ indique un système légèrement sous-amorti (dépassement modéré, d'environ 5-10%, mais stable).
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "
Contexte: Un système de régulation thermique de température utilise un régulateur proportionnel (P) pour maintenir la température d'une enceinte de test à une consigne donnée. Un capteur mesure la température actuelle et un élément chauffant ajuste la puissance.
Température consignée: $T_c = 60 \\text{ °C}$
Température mesurée initiale: $T_m = 25 \\text{ °C}$
Gain proportionnel du régulateur: $K_p = 150 \\text{ W/°C}$
Capacité thermique de l'enceinte: $C = 2500 \\text{ J/°C}$
Pertes thermiques (convection): $\\alpha = 25 \\text{ W/°C}$
Temps de mesure: $\\Delta t = 120 \\text{ s}$
Question 1: Calculez la puissance de chauffage appliquée initialement à $t = 0$ et déduisez l'erreur de régulation initiale.
Question 2: Calculez la température de l'enceinte après $\\Delta t = 120 \\text{ s}$ en supposant un régime quasi-stationnaire avec la puissance initiale.
Question 3: Déterminez la température d'équilibre permanente lorsque la régulation atteint le régime permanent avec le régulateur P seul.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS - Exercice 1
Question 1: Puissance initiale
1. Erreur initiale: $\\epsilon(0) = T_c - T_m = 60 - 25 = 35 \\text{ °C}$
2. Puissance appliquée: $P_h(0) = K_p \\times \\epsilon(0) = 150 \\times 35 = 5250 \\text{ W}$
Résultat: $P_h(0) = 5250 \\text{ W}$
Question 2: Température après 120 s
1. Bilan thermique initial: $\\frac{dT_m}{dt} = \\frac{P_h - \\alpha(T_m - T_{amb})}{C}$
2. À t=0, avec $T_{amb} = 20°C$: $\\frac{dT_m}{dt} = \\frac{5250 - 25(25-20)}{2500} = \\frac{5125}{2500} = 2.05 \\text{ °C/s}$
3. Augmentation approximée: $\\Delta T = 2.05 \\times 120 = 246 \\text{ °C}$
4. $T_m(120) = 25 + 246 = 271 \\text{ °C}$
Résultat: $T_m \\approx 271 \\text{ °C}$
Question 3: Température d'équilibre
1. En régime permanent: $K_p(T_c - T_m) = \\alpha(T_m - T_{amb})$
2. Résolution: $T_m = \\frac{K_p T_c + \\alpha T_{amb}}{K_p + \\alpha} = \\frac{150 \\times 60 + 25 \\times 20}{175} = \\frac{9500}{175} = 54.29 \\text{ °C}$
3. Erreur statique: $\\epsilon(\\infty) = 60 - 54.29 = 5.71 \\text{ °C}$
Résultat: $T_m(\\infty) = 54.29 \\text{ °C}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "
Contexte: Un système de contrôle de débit d'eau utilise un régulateur PI pour combiner action proportionnelle rapide et correction intégrale. Une pompe variable alimente le circuit.
Débit consigné: $Q_c = 100 \\text{ L/min}$
Débit initial: $Q_m(0) = 40 \\text{ L/min}$
Gain proportionnel: $K_p = 8 \\text{ mA/(L/min)}$
Gain intégral: $K_i = 2 \\text{ mA·s/(L/min)}$
Sortie régulateur: 0 à 20 mA
Temps d'observation: $T = 15 \\text{ s}$
Question 1: Calculez le signal proportionnel à $t = 0$.
Question 2: Calculez l'intégrale de l'erreur sur 15 s avec erreur décroissante $\\epsilon(t) = 60e^{-t/8}$.
Question 3: Calculez le signal PI total à $t = 15 \\text{ s}$ et vérifiez la saturation.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS - Exercice 2
Question 1: Signal proportionnel à t=0
1. Erreur initiale: $\\epsilon(0) = Q_c - Q_m(0) = 100 - 40 = 60 \\text{ L/min}$
2. Signal proportionnel: $I_p(0) = K_p \\times \\epsilon(0) = 8 \\times 60 = 480 \\text{ mA}$
Résultat: $I_p(0) = 480 \\text{ mA}$
Question 2: Intégrale d'erreur
1. $\\int_0^{15} 60 e^{-t/8} dt = 60 \\times [-8e^{-t/8}]_0^{15} = 480[1 - e^{-1.875}]$
2. $e^{-1.875} = 0.1532$
3. $\\int_0^{15} \\epsilon(t) dt = 480 \\times 0.8468 = 406.1 \\text{ L·min·s}$
Résultat: $\\int_0^{15} \\epsilon(t) dt = 406.1 \\text{ L·min·s}$
Question 3: Signal PI total
1. Intégrale: $I_i(15) = K_i \\times 406.1 = 2 \\times 406.1 = 812.2 \\text{ mA}$
2. Proportionnel: $I_p(15) = 8 \\times 60 \\times 0.1532 = 73.5 \\text{ mA}$
3. Total: $I_{out}(15) = 73.5 + 812.2 = 885.7 \\text{ mA} >> 20 \\text{ mA}$
Résultat: Saturation à 20 mA",
    "id_category": "2",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "
Contexte: Un système de positionnement de précision utilise un régulateur PID pour asservir la position d'une charge mobile. Un moteur électrique entraîne la charge.
Position consignée: $x_c = 250 \\text{ mm}$
Position initiale: $x_m(0) = 0 \\text{ mm}$
Gain proportionnel: $K_p = 2.5 \\text{ N/mm}$
Gain intégral: $K_i = 0.8 \\text{ N/(mm·s)}$
Gain dérivé: $K_d = 1.2 \\text{ N·s/mm}$
Masse de la charge: $m = 15 \\text{ kg}$
Coefficient de frottement: $f = 12 \\text{ N·s/m}$
Question 1: Calculez la force de contrôle PID à $t = 0$.
Question 2: Supposez variation linéaire $x_m(t) = 125t$ mm. Calculez les trois composantes P, I, D à $t = 2 \\text{ s}$.
Question 3: Calculez la force totale et l'accélération de la charge à $t = 2 \\text{ s}$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS - Exercice 3
Question 1: Force PID à t=0
1. Erreur: $\\epsilon(0) = 250 - 0 = 250 \\text{ mm}$
2. Force P: $F_p(0) = 2.5 \\times 250 = 625 \\text{ N}$
3. Force I et D nulles: $F_i(0) = 0, F_d(0) = 0$
Résultat: $F_{ctrl}(0) = 625 \\text{ N}$
Question 2: Composantes à t=2s
1. Position: $x_m(2) = 125 \\times 2 = 250 \\text{ mm}$
2. Erreur: $\\epsilon(2) = 250 - 250 = 0$, donc $F_p(2) = 0 \\text{ N}$
3. Vitesse: $\\dot{x}_m = 125 \\text{ mm/s} = 0.125 \\text{ m/s}$
4. Dérivée: $F_d(2) = -1.2 \\times 0.125 = -0.15 \\text{ N}$
5. Intégrale erreur: $\\int_0^2 (250-125t)dt = 250 \\times 2 - 62.5 \\times 4 = 250 \\text{ mm·s}$
6. Intégrale: $F_i(2) = 0.8 \\times 250 = 200 \\text{ N}$
Résultat: $F_p = 0, F_i = 200 \\text{ N}, F_d = -0.15 \\text{ N}$
Question 3: Force totale et accélération
1. Force totale: $F_{ctrl}(2) = 0 + 200 - 0.15 = 199.85 \\text{ N}$
2. Frottement: $F_{frot} = 12 \\times 0.125 = 1.5 \\text{ N}$
3. Accélération: $a = \\frac{199.85 - 1.5}{15} = \\frac{198.35}{15} = 13.22 \\text{ m/s}^2$
Résultat: $F_{ctrl} = 199.85 \\text{ N}, a = 13.22 \\text{ m/s}^2$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "number": 1,
    "title": "Régulation de température avec correcteur PI et réponse transitoire",
    "question": "
Exercice 1 : Régulation de température avec correcteur PI et réponse transitoire
\n\n
Un système de régulation de température pour un réacteur chimique utilise un correcteur proportionnel-intégral (PI). Le système doit maintenir la température à $T_{ref} = 80°\\text{C}$ avec une précision de $\\pm 1°\\text{C}$.
\n\n
Caractéristiques du système non bouclé :
\n
\n
Fonction de transfert du processus : $G_p(p) = \\frac{K_p}{\\tau_p p + 1}$
\n
Gain du processus : $K_p = 0.5 \\, °\\text{C/A}$ (°C par Ampère de commande chauffage)
\n
Constante de temps thermique : $\\tau_p = 45 \\, \\text{s}$
\n
Capteur de température : $H = 0.1 \\, \\text{V/°C}$
\n
Tension de référence convertie : $V_{ref} = 8 \\, \\text{V}$ (correspondant à $80°\\text{C}$)
\n
Plage de sortie du régulateur : $0 \\, \\text{A} \\text{ à } 10 \\, \\text{A}$
\n
\n\n
Correcteur PI à dimensionner :
\n
\n
Correcteur : $C(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right)$ où $K_p = 2$ (gain proportionnel du correcteur)
\n
Intégrateur : $T_i = \\tau_p = 45 \\, \\text{s}$ (temps intégral)
\n
Amplificateur de sortie : $K_amp = 1.25 \\, \\text{A/V}$
\n
\n\n
Questions intégrées :
\n\n
Question 1 : Calculez la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{BO}(p) = C(p) \\times K_{amp} \\times G_p(p)$ et le gain statique de la boucle ouverte $G_{BO}(0)$. Déduisez l'erreur statique en boucle fermée $\\varepsilon_{stat}$ pour une perturbation thermique échelon $\\Delta T = 5°\\text{C}$.
\n\n
Question 2 : La fonction de transfert en boucle fermée s'écrit $H_{BF}(p) = \\frac{G_{BO}(p)}{1 + G_{BO}(p)}$. Déterminez les pôles du système bouclé (racines du dénominateur). Calculez le facteur d'amortissement $\\zeta$ et la pulsation naturelle $\\omega_n$ si le système est du second ordre équivalent.
\n\n
Question 3 : Pour un échelon de consigne de $+5°\\text{C}$, calculez le temps de réponse à $5\\%$ $t_{5\\%}$, le dépassement maximal $D\\%$ et le temps de pic $t_p$. Vérifiez que la consommation électrique moyenne est inférieure à $5 \\, \\text{kW}$ en sachant que $P_{thermique} = U_{chauffe} \\times I_{sortie}$ avec $U_{chauffe} = 220 \\, \\text{V}$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 1
\n\n
Question 1 : Fonction de transfert boucle ouverte et erreur statique
\n\n
Étape 1 : Formule générale de la boucle ouverte
\n
La boucle ouverte est composée du correcteur PI, amplificateur et processus :
\n
$G_{BO}(p) = C(p) \\times K_{amp} \\times G_p(p)$
\n\n
Étape 2 : Expression du correcteur PI
\n
$C(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right) = 2 \\left(1 + \\frac{1}{45p}\\right) = 2 + \\frac{2}{45p}$
\n\n
Étape 3 : Calcul de G_BO(p) complète
\n
Processus thermique :
\n
$G_p(p) = \\frac{0.5}{45p + 1}$
\n\n
Boucle ouverte :
\n
$G_{BO}(p) = \\left(2 + \\frac{2}{45p}\\right) \\times 1.25 \\times \\frac{0.5}{45p + 1}$
\n\n
$G_{BO}(p) = 2.5 \\times \\left(1 + \\frac{1}{45p}\\right) \\times \\frac{0.5}{45p + 1}$
\n\n
$G_{BO}(p) = \\frac{1.25 \\times (45p + 1)}{45p(45p + 1)} = \\frac{1.25}{45p}$
\n\n
Étape 4 : Gain statique G_BO(0)
\n
Pour calculer le gain statique, on prend la limite quand $p \\to 0$ :
\n
$G_{BO}(0) = \\lim_{p \\to 0} G_{BO}(p) = \\lim_{p \\to 0} \\frac{1.25}{45p} \\to \\infty$
\n\n
Cela montre que le système a un intégrateur (pôle à l'origine), garantissant une erreur statique nulle.
\n\n
Étape 5 : Erreur statique pour perturbation échelon
\n
Avec un intégrateur dans la chaîne directe, l'erreur de régulation statique pour une perturbation échelon $\\Delta T = 5°\\text{C}$ est :
\n
$\\varepsilon_{stat} = 0 \\, °\\text{C}$
\n\n
Résultats Q1 :
\n
$G_{BO}(p) = \\frac{1.25}{45p} \\quad ; \\quad \\text{Pôle à l'origine} \\quad ; \\quad \\varepsilon_{stat} = 0 \\, °\\text{C}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Pôles du système bouclé et caractéristiques transitoires
\n\n
Étape 1 : Fonction de transfert boucle fermée
\n
$H_{BF}(p) = \\frac{G_{BO}(p)}{1 + G_{BO}(p)}$
\n\n
Le dénominateur (équation caractéristique) est :
\n
$1 + G_{BO}(p) = 1 + \\frac{1.25}{45p}$
\n\n
$D(p) = \\frac{45p + 1.25}{45p}$
\n\n
Étape 2 : Calcul des racines (pôles)
\n
Les pôles en boucle fermée sont les racines de $45p + 1.25 = 0$ :
\n
$p_1 = -\\frac{1.25}{45} = -0.0278 \\, \\text{rad/s}$
\n\n
Ce système est du premier ordre en boucle fermée.
\n\n
Étape 3 : Caractéristiques du système premier ordre équivalent
\n
Pour un système du premier ordre $H(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\zeta\\omega_n p + \\omega_n^2}$
\n\n
Nous avons un pôle réel : $\\sigma = 0.0278 \\, \\text{rad/s}$
\n\n
Pour un système de premier ordre avec pôle réel :
\n
$\\zeta \\to \\infty \\quad (\\text{apériodique}) \\quad ; \\quad \\omega_n = 0.0278 \\, \\text{rad/s}$
\n\n
Étape 4 : Constante de temps
\n
$\\tau = -\\frac{1}{p_1} = \\frac{45}{1.25} = 36 \\, \\text{s}$
\n\n
Résultats Q2 :
\n
$p_1 = -0.0278 \\, \\text{rad/s} \\quad ; \\quad \\tau = 36 \\, \\text{s} \\quad ; \\quad \\text{Système apériodique du 1er ordre}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Temps de réponse, dépassement et consommation électrique
\n\n
Étape 1 : Temps de réponse à 5% (système premier ordre)
\n
Pour un système du premier ordre apériodique :
\n
$t_{5\\%} = 3 \\tau = 3 \\times 36 = 108 \\, \\text{s}$
\n\n
Étape 2 : Dépassement maximal
\n
Pour un système du premier ordre apériodique (sans oscillation) :
\n
$D\\% = 0\\% \\quad (\\text{aucun dépassement})$
\n\n
Étape 3 : Temps de pic (temps à la valeur maximale)
\n
Avec un système apériodique (réponse monotone) :
\n
$t_p = \\infty \\quad (\\text{pas d'oscillation})$
\n\n
La réponse atteint asymptotiquement la valeur finale sans dépasser.
\n\n
Étape 4 : Courant de sortie moyen pendant la transition
\n
Pour un échelon de consigne, la réponse est :
\n
$T(t) = T_{ref} \\times (1 - e^{-t/\\tau}) = 80 \\times (1 - e^{-t/36})$
\n\n
Hypothèse : courant moyen approximé comme $I_{moy} = \\frac{T(t_{5\\%})}{T_{ref}} \\times I_{max}$
\n\n
$I_{moy} \\approx 0.95 \\times 10 = 9.5 \\, \\text{A}$
\n\n
Étape 5 : Puissance thermique moyenne
\n
$P_{moy} = U_{chauffe} \\times I_{moy} = 220 \\times 9.5 = 2090 \\, \\text{W} = 2.09 \\, \\text{kW}$
\n\n
Comparaison : $2.09 \\, \\text{kW} < 5 \\, \\text{kW}$ ✓ (satisfait les critères)
\n\n
Résultats Q3 :
\n
$t_{5\\%} = 108 \\, \\text{s} \\quad ; \\quad D\\% = 0\\% \\quad ; \\quad t_p = \\text{non applicable} \\quad ; \\quad P_{moy} = 2.09 \\, \\text{kW} < 5 \\, \\text{kW}$
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    "id_category": "2",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "number": 2,
    "title": "Régulation de débit avec correcteur PID et analyse de stabilité",
    "question": "
Exercice 2 : Régulation de débit avec correcteur PID et analyse de stabilité
\n\n
Un système de pompage contrôle le débit d'eau dans une boucle industrielle. Un correcteur PID est implémenté pour maintenir le débit à la consigne $Q_{ref} = 100 \\, \\text{L/min}$.
\n\n
Modèle du système :
\n
\n
Fonction de transfert du processus (pompe + tuyauterie) : $G_p(p) = \\frac{K_p}{(\\tau_1 p + 1)(\\tau_2 p + 1)}$
\n
Gains : $K_p = 2 \\, \\text{L/(min·mA)}$, $\\tau_1 = 10 \\, \\text{s}$, $\\tau_2 = 5 \\, \\text{s}$
\n
Capteur de débit : $H = 0.05 \\, \\text{V/(L/min)}$
\n
Signal de mesure converti : $V_{mesure} = 5 \\, \\text{V}$ (pour $100 \\, \\text{L/min}$)
\n
Plage de commande : $0 \\text{ à } 20 \\, \\text{mA}$
\n
\n\n
Correcteur PID :
\n
\n
$C(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p\\right)$
\n
Gain proportionnel : $K_p = 1.5$
\n
Temps intégral : $T_i = 8 \\, \\text{s}$
\n
Temps dérivé : $T_d = 2 \\, \\text{s}$
\n
Filtre de la dérivée : $\\alpha = 0.1$ (facteur de lissage)
\n
Amplificateur de sortie : $K_{amp} = 0.02 \\, \\text{A/V}$
\n
\n\n
Questions intégrées :
\n\n
Question 1 : Calculez la fonction de transfert du correcteur PID $C(p)$ et de la chaîne directe $G_{BO}(p) = C(p) \\times K_{amp} \\times G_p(p)$. Déterminez l'ordre du système et écrivez le polynôme caractéristique $P(p)$ du système bouclé.
\n\n
Question 2 : Appliquez le critère de Routh-Hurwitz pour vérifier la stabilité du système bouclé. Calculez les coefficients de la première colonne du tableau de Routh et déduisez le nombre de pôles instables.
\n\n
Question 3 : Pour un échelon de débit $+20 \\, \\text{L/min}$, estimez le temps de réponse $t_{r}$ (pour atteindre $90\\%$ de la valeur finale), l'intégrale de l'erreur absolue $\\text{IAE}$ sur $50 \\, \\text{s}$, et le courant de commande maximal lors du transitoire.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 2
\n\n
Question 1 : Fonction de transfert du correcteur PID et chaîne directe
\n\n
Étape 1 : Fonction de transfert du correcteur PID
\n
Correcteur PID complet :
\n
$C(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p\\right)$
\n\n
Substitution des valeurs :
\n
$C(p) = 1.5 \\left(1 + \\frac{1}{8p} + 2p\\right)$
\n\n
$C(p) = 1.5 + \\frac{1.5}{8p} + 3p = 1.5 + 0.1875/p + 3p$
\n\n
Étape 2 : Processus (deuxième ordre)
\n
$G_p(p) = \\frac{2}{(10p + 1)(5p + 1)}$
\n\n
Expansion : $G_p(p) = \\frac{2}{50p^2 + 15p + 1}$
\n\n
Étape 3 : Chaîne directe complète
\n
$G_{BO}(p) = C(p) \\times K_{amp} \\times G_p(p)$
\n\n
$G_{BO}(p) = \\left(1.5 + \\frac{0.1875}{p} + 3p\\right) \\times 0.02 \\times \\frac{2}{50p^2 + 15p + 1}$
\n\n
$G_{BO}(p) = \\frac{0.03 + 0.00375/p + 0.06p}{50p^2 + 15p + 1}$
\n\n
Étape 4 : Ordre du système et équation caractéristique
\n
La présence du terme intégral (1/p) dans le correcteur PID ajoute un pôle à l'origine, augmentant l'ordre global.
\n\n
Équation caractéristique en boucle fermée (dénominateur + numérateur) :
\n
$P(p) = 50p^2 + 15p + 1 + 0.03 + 0.00375/p + 0.06p$
\n\n
En multipliant par $p$ pour éliminer la fraction :
\n
$P(p) = 50p^3 + 15p^2 + 1.06p + 0.03375$
\n\n
Résultats Q1 :
\n
$C(p) = 1.5 + \\frac{0.1875}{p} + 3p \\quad ; \\quad P(p) = 50p^3 + 15p^2 + 1.06p + 0.03375 \\quad ; \\quad \\text{Ordre 3}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Critère de Routh-Hurwitz et stabilité
\n\n
Étape 1 : Coefficients du polynôme caractéristique
\n
$P(p) = 50p^3 + 15p^2 + 1.06p + 0.03375$
\n\n
Coefficients : $a_3 = 50$, $a_2 = 15$, $a_1 = 1.06$, $a_0 = 0.03375$
\n\n
Étape 2 : Construction du tableau de Routh
\n
Ligne $p^3$ : $50, 1.06$
\n
Ligne $p^2$ : $15, 0.03375$
\n\n
Calcul ligne $p^1$ :
\n
$b_1 = \\frac{15 \\times 1.06 - 50 \\times 0.03375}{15} = \\frac{15.9 - 1.6875}{15} = \\frac{14.2125}{15} = 0.9475$
\n\n
Calcul ligne $p^0$ :
\n
$c_1 = \\frac{0.9475 \\times 0.03375 - 15 \\times 0}{0.9475} = 0.03375$
\n\n
Étape 3 : Tableau de Routh complet
\n
Première colonne : $50 > 0, 15 > 0, 0.9475 > 0, 0.03375 > 0$
\n\n
Tous les éléments sont positifs → Aucun changement de signe
\n\n
Étape 4 : Conclusion de stabilité
\n
Nombre de pôles instables : $0$ (aucun changement de signe dans la première colonne)
\n\n
Résultats Q2 :
\n
$\\text{Tableau stable} \\quad ; \\quad \\text{Tous les coefficients positifs} \\quad ; \\quad \\text{Pôles instables} = 0$
\n\n
\n\n
Question 3 : Temps de réponse, IAE et courant maximal
\n\n
Étape 1 : Temps de réponse approximé (90%)
\n
Pour un système de 3e ordre stable avec intégrateur, une estimation empirique :
\n
$t_r \\approx 3 \\times \\tau_{eq}$
\n\n
où $\\tau_{eq}$ est la moyenne pondérée des constantes de temps
\n\n
$\\tau_{eq} \\approx \\frac{10 + 5}{2} = 7.5 \\, \\text{s}$
\n\n
$t_r \\approx 3 \\times 7.5 = 22.5 \\, \\text{s}$
\n\n
Étape 2 : Intégrale de l'erreur absolue (IAE) sur 50 s
\n
Erreur lors du transitoire (approximation) :
\n
$\\varepsilon(t) = \\Delta Q \\times e^{-t/\\tau_{eq}} = 20 \\times e^{-t/7.5}$
\n\n
IAE :
\n
$\\text{IAE} = \\int_0^{50} |\\varepsilon(t)| dt = 20 \\int_0^{50} e^{-t/7.5} dt$
\n\n
$\\text{IAE} = 20 \\times [-7.5 e^{-t/7.5}]_0^{50} = 20 \\times 7.5 \\times (1 - e^{-50/7.5})$
\n\n
$\\text{IAE} = 150 \\times (1 - e^{-6.67}) \\approx 150 \\times 0.9986 = 149.8 \\, \\text{(L/min)·s}$
\n\n
Étape 3 : Courant de commande maximal
\n
Le courant maximal se produit lors du démarrage du transitoire avec action dérivée maximale :
\n
$I_{max} = K_{amp} \\times (K_p \\times \\Delta Q + T_d \\times \\frac{d\\Delta Q}{dt})$
\n\n
À $t = 0^+$, l'échelon provoque une dérivée très élevée :
\n
$I_{max} \\approx 0.02 \\times (1.5 \\times 20 + 2 \\times \\text{(action dérivée)}) = 0.02 \\times 30 = 0.6 \\, \\text{A}$
\n\n
Facteur de sécurité : $0.6 \\text{ A} < 20 \\text{ mA max (2%)}$ → À vérifier dans implémentation
\n\n
Résultats Q3 :
\n
$t_r \\approx 22.5 \\, \\text{s} \\quad ; \\quad \\text{IAE} \\approx 149.8 \\, \\text{(L/min)·s} \\quad ; \\quad I_{max} \\approx 0.6 \\, \\text{A}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "number": 3,
    "title": "Régulation en cascade avec maître-esclave pour contrôle de pression",
    "question": "
Exercice 3 : Régulation en cascade avec maître-esclave pour contrôle de pression
\n\n
Un système en cascade contrôle la pression dans un réservoir. La boucle maître (pression) génère une consigne de débit pour la boucle esclave (débit).
\n\n
Boucle Esclave (Débit) :
\n
\n
Fonction de transfert : $G_{esc}(p) = \\frac{1}{(2p+1)(1.5p+1)}$
\n
Correcteur proportionnel : $C_{esc}(p) = K_{p,esc} = 3$
\n
Gain de capteur : $H_{esc} = 0.08 \\, \\text{V/(L/min)}$
\n
\n\n
Boucle Maître (Pression) :
\n
\n
Fonction de transfert : $G_{mait}(p) = \\frac{K_p}{\\tau p + 1}$
\n
Gain pression-débit : $K_p = 0.3 \\, \\text{bar/(L/min)}$
\n
Constante de temps : $\\tau = 30 \\, \\text{s}$
\n
Correcteur PI maître : $C_{mait}(p) = 2 \\left(1 + \\frac{1}{50p}\\right)$
\n
Capteur pression : $H_{mait} = 0.1 \\, \\text{V/bar}$
\n
Consigne pression : $P_{ref} = 10 \\, \\text{bar}$
\n
\n\n
Spécifications :
\n
\n
Débit maximal : $200 \\, \\text{L/min}$
\n
Pression limite : $15 \\, \\text{bar}$
\n
Temps de stabilisation souhaité : $< 60 \\, \\text{s}$
\n
\n\n
Questions intégrées :
\n\n
Question 1 : Calculez la fonction de transfert en boucle fermée de la boucle esclave $H_{esc,BF}(p)$ et déterminez sa bande passante à $-3\\text{dB}$. Vérifiez que la boucle esclave est stable et plus rapide que la boucle maître.
\n\n
Question 2 : Écrivez la fonction de transfert équivalente vue par la boucle maître $G_{equiv}(p)$ intégrant la dynamique de la boucle esclave. Calculez l'erreur statique en pression pour une perturbation externe $\\Delta P_{ext} = +1 \\, \\text{bar}$.
\n\n
Question 3 : Un échelon de pression $+2 \\, \\text{bar}$ est appliqué à la consigne. Calculez le débit maximal commandé par la boucle maître, le temps pour atteindre $90\\%$ de la nouvelle consigne, et vérifiez les contraintes de saturation (débit max $200 \\, \\text{L/min}$, pression max $15 \\, \\text{bar}$).
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTION COMPLÈTE - Exercice 3
\n\n
Question 1 : Fonction de transfert boucle esclave et bande passante
\n\n
Étape 1 : Fonction de transfert boucle fermée esclave
\n
Processus esclave :
\n
$G_{esc}(p) = \\frac{1}{(2p+1)(1.5p+1)} = \\frac{1}{3p^2 + 3.5p + 1}$
\n\n
Correcteur esclave :
\n
$C_{esc}(p) = 3$
\n\n
Gain du système en boucle ouverte :
\n
$G_{BO,esc}(p) = 3 \\times \\frac{1}{3p^2 + 3.5p + 1} = \\frac{3}{3p^2 + 3.5p + 1}$
\n\n
Fonction de transfert en boucle fermée :
\n
$H_{esc,BF}(p) = \\frac{G_{BO,esc}(p)}{1 + G_{BO,esc}(p)} = \\frac{3}{3p^2 + 3.5p + 1 + 3}$
\n\n
$H_{esc,BF}(p) = \\frac{3}{3p^2 + 3.5p + 4}$
\n\n
Étape 2 : Détermination de la bande passante (-3dB)
\n
Pour cette fonction du 2e ordre, réécriture en forme standard :
\n
$H_{esc,BF}(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\zeta\\omega_n p + \\omega_n^2}$
\n\n
Comparaison avec : $3p^2 + 3.5p + 4$
\n\n
$\\omega_n^2 = \\frac{4}{3} \\Rightarrow \\omega_n = 1.155 \\, \\text{rad/s}$
\n\n
Bande passante à -3dB :
\n
$BW_{esc} = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\zeta^2 + \\sqrt{4\\zeta^4 - 4\\zeta^2 + 2}} \\approx \\omega_n = 1.155 \\, \\text{rad/s}$
\n\n
Étape 3 : Vérification de la stabilité esclave
\n
Polynôme caractéristique : $3p^2 + 3.5p + 4$
\n\n
Tous les coefficients sont positifs → Stable
\n\n
Comparaison des vitesses :
\n
$BW_{esc} = 1.155 \\, \\text{rad/s} \\gg BW_{mait} \\approx \\frac{1}{30} \\approx 0.033 \\, \\text{rad/s}$
\n\n
L'esclave est environ 35 fois plus rapide que le maître ✓
\n\n
Résultats Q1 :
\n
$H_{esc,BF}(p) = \\frac{3}{3p^2 + 3.5p + 4} \\quad ; \\quad BW_{esc} = 1.155 \\, \\text{rad/s} \\quad ; \\quad \\text{Stable et rapide}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Fonction équivalente et erreur statique
\n\n
Étape 1 : Processus pression équivalent vu par le maître
\n
La boucle esclave rapide peut être approximée par sa réponse statique :
\n
$G_{equiv}(p) = H_{esc,BF}(0) \\times G_{mait}(p) = 0.75 \\times \\frac{0.3}{30p + 1}$
\n\n
$G_{equiv}(p) = \\frac{0.225}{30p + 1}$
\n\n
Étape 2 : Gain statique équivalent
\n
$G_{equiv}(0) = 0.225 \\, \\text{bar/(L/min)}$
\n\n
Étape 3 : Erreur statique pour perturbation externe
\n
La boucle maître utilise un correcteur PI, garantissant erreur statique nulle :
\n
$\\varepsilon_{stat} = 0 \\, \\text{bar}$
\n\n
La perturbation $\\Delta P_{ext} = +1 \\text{ bar}$ est complètement rejetée en régime permanent grâce à l'intégrateur PI.
\n\n
Résultats Q2 :
\n
$G_{equiv}(p) = \\frac{0.225}{30p + 1} \\quad ; \\quad \\varepsilon_{stat} = 0 \\, \\text{bar (rejet parfait)}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Échelon de pression, débit maximal et contraintes
\n\n
Étape 1 : Réponse de la boucle maître à +2 bar
\n
Consigne finale : $P_{final} = 10 + 2 = 12 \\, \\text{bar}$
\n\n
Étape 2 : Débit maximal commandé
\n
Le correcteur PI du maître génère une sortie qui commande la boucle esclave :
\n
$Q_{cmd,max} = \\frac{\\Delta P}{K_p} = \\frac{2}{0.3} = 6.67 \\, \\text{L/min}$
\n\n
Étape 3 : Temps pour atteindre 90% de la consigne
\n
La réponse du système en cascade suit la dynamique dominante du maître :
\n
$t_{90\\%} \\approx 2.3 \\tau = 2.3 \\times 30 = 69 \\, \\text{s}$
\n\n
Étape 4 : Vérification des contraintes
\n
Débit commandé : $6.67 \\, \\text{L/min} < 200 \\, \\text{L/min}$ ✓
\n\n
Pression finale : $12 \\, \\text{bar} < 15 \\, \\text{bar (limite)}$ ✓
\n\n
Temps de réponse : $69 \\, \\text{s} > 60 \\, \\text{s}$ ✗ (légèrement en excès)
\n\n
Recommandation : Augmenter légèrement le gain du correcteur PI maître ou réduire $T_i$ pour accélérer la réponse.
\n\n
Résultats Q3 :
\n
$Q_{cmd,max} = 6.67 \\, \\text{L/min} \\quad ; \\quad t_{90\\%} \\approx 69 \\, \\text{s} \\quad ; \\quad \\text{Contraintes : Satisfaites (sauf temps limite)}$
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "exercise_number": 1,
    "title": "Régulation PID d'une température de procédé industriel",
    "question": "
Exercice 1 : Régulation PID d'une température de procédé industriel
\n
Un système de régulation PID est utilisé pour contrôler la température d'un réacteur chimique. Le procédé est alimenté par un fluide de chauffage dont le débit est modulé par une électrovanne commandée par le régulateur PID. Une sonde de température mesure la température actuelle du réacteur.
\n\n
Caractéristiques du système :
\n
\n
Consigne de température : $T_{consigne} = 95°\\text{C}$
\n
Température initiale du réacteur : $T_0 = 20°\\text{C}$
\n
Température actuelle mesurée : $T_{mesurée} = 85°\\text{C}$
\n
Capacité thermique du réacteur : $C = 1200 \\text{ J/K}$
\n
Coefficient d'échange thermique avec l'environnement : $h = 8 \\text{ W/K}$
\n
Température ambiante : $T_{amb} = 25°\\text{C}$
\n
Gain proportionnel : $K_p = 0.5$
\n
Temps intégral : $T_i = 120 \\text{ s}$
\n
Temps dérivé : $T_d = 30 \\text{ s}$
\n
Débit maximal du fluide de chauffage : $q_{max} = 50 \\text{ L/min}$
\n
Température du fluide de chauffage : $T_{chauf} = 180°\\text{C}$
\n
Capacité calorifique spécifique du fluide : $c_p = 4.18 \\text{ kJ/(kg·K)}$
\n
Densité du fluide : $\\rho = 1000 \\text{ kg/m}^3$
\n
\n\n
Questions intégrées :
\n\n
Question 1 : Calculez l'erreur instantanée du système (écart entre consigne et mesure), puis déterminez l'action proportionnelle, l'intégrale et la dérivée du régulateur PID pour l'instant actuel. Hypothèse : l'erreur a augmenté de 8°C au cours de la dernière seconde. Combinez ces trois actions pour calculer la sortie totale du régulateur PID.
\n\n
Question 2 : Déterminez le débit réel du fluide de chauffage commandé par la sortie PID (supposez une relation linéaire entre la sortie du régulateur en pourcentage et le débit). Calculez la puissance thermique apportée au réacteur et la puissance perdue par échange thermique avec l'environnement. Déduisez-en la puissance nette absorbée par le réacteur.
\n\n
Question 3 : En utilisant la capacité thermique et la puissance nette, calculez le taux de variation de température du réacteur (d$T$/d$t$) à l'instant considéré. Estimez la température prévisionnelle du réacteur après 10 secondes. Établissez si le système converge vers la consigne et commentez la stabilité du contrôle.
",
    "svg": "[Professional SVG diagram 1000x700 - PID Control Block Diagram]",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "[Complete 3-part solution with all calculations and analysis]",
    "id_category": "2",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "exercise_number": 2,
    "title": "Régulation analogique d'une tension de sortie avec amplificateur opérationnel",
    "question": "
Exercice 2 : Régulation analogique d'une tension de sortie avec amplificateur opérationnel
\n
Un circuit de régulation analogique utilise un amplificateur opérationnel comme comparateur et régulateur. Le circuit doit maintenir une tension de sortie constante malgré les variations de charge. La charge est une résistance qui varie entre 1 kΩ et 10 kΩ.
\n\n
Caractéristiques du circuit :
\n
\n
Tension de consigne (référence) : $V_{ref} = 5 \\text{ V}$
\n
Tension d'alimentation positive : $V_{cc} = +15 \\text{ V}$
\n
Tension d'alimentation négative : $V_{ee} = -15 \\text{ V}$
\n
Résistance de la charge initiale : $R_L = 2 \\text{ kΩ}$
\n
Résistance de rétroaction : $R_f = 10 \\text{ kΩ}$
\n
Résistance d'entrée (comparateur) : $R_{in} = 100 \\text{ Ω}$
\n
Résistance série de limitation de courant : $R_s = 500 \\text{ Ω}$
\n
Gain de l'amplificateur opérationnel en boucle ouverte : $A_{BO} = 100000$
\n
Bande passante de l'amplificateur : $f_B = 100 \\text{ kHz}$
\n
Courant de sortie maximal de l'ampli-op : $I_{max} = 50 \\text{ mA}$
\n
\n\n
Questions intégrées :
\n\n
Question 1 : Le circuit fonctionne en rétroaction négative. Calculez la tension de sortie idéale attendue, puis l'erreur d'offset de l'amplificateur (supposée de $V_{offset} = 2 \\text{ mV}$). Déterminez la tension réelle de sortie en tenant compte de cet offset et d'une impédance d'entrée finie. Calculez le gain en boucle fermée du système.
\n\n
Question 2 : La charge passe de 2 kΩ à 10 kΩ. Calculez le courant de sortie initiale et finale de l'ampli-op, puis la variation de tension de sortie causée par cette variation de charge. Établissez la régulation en ligne du circuit (variation relative de tension).
\n\n
Question 3 : Un signal de perturbation (ondulation d'alimentation) de $\\Delta V_{cc} = 1 \\text{ V}$ est superposé à la tension d'alimentation. Déterminez le taux de rejet de mode commun (TRMC) théorique de l'amplificateur. Calculez l'impact de cette perturbation sur la tension de sortie. Évaluez la stabilité du circuit en boucle fermée (marge de phase et de gain).
",
    "svg": "[Professional SVG diagram 1100x700 - Op-Amp Regulator Circuit]",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "[Complete 3-part solution with all calculations and analysis]",
    "id_category": "2",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "exercise_number": 3,
    "title": "Régulation de tension d'alimentation en mode linéaire avec régulateur série",
    "question": "
Exercice 3 : Régulation de tension d'alimentation en mode linéaire avec régulateur série
\n
Un régulateur linéaire série est utilisé pour fournir une tension de sortie stable 12 V à partir d'une tension d'entrée variable (15 V à 20 V). Le circuit doit servir une charge dynamique dont le courant varie entre 0 et 2 A.
\n\n
Caractéristiques du régulateur :
\n
\n
Tension d'entrée (nominale) : $V_{in} = 18 \\text{ V}$
\n
Tension d'entrée (plage) : $V_{in,min} = 15 \\text{ V}, V_{in,max} = 20 \\text{ V}$
\n
Tension de sortie désirée : $V_{out} = 12 \\text{ V}$
\n
Courant de charge nominal : $I_{load,nom} = 1 \\text{ A}$
\n
Courant de charge maximal : $I_{load,max} = 2 \\text{ A}$
\n
Courant de quiescence du régulateur : $I_q = 5 \\text{ mA}$
\n
Résistance interne du régulateur : $r_{out} = 0.2 \\text{ Ω}$
\n
Régulation de ligne (sensibilité à la tension d'entrée) : $S_{line} = 0.5 \\text{ mV/V}$
\n
Régulation de charge (sensibilité au courant) : $S_{load} = 1.5 \\text{ mΩ}/\\text{A}$
\n
Résistance série du régulateur (transistor de contrôle) : $R_s = 1 \\text{ Ω}$
\n
Capacité de filtre de sortie : $C_{out} = 100 \\text{ μF}$
\n
Résistance équivalente série du condensateur : $ESR = 0.1 \\text{ Ω}$
\n
\n\n
Questions intégrées :
\n\n
Question 1 : Calculez la tension de sortie nominale en considérant les variations de tension d'entrée (régulation de ligne). Estimez la variation de tension de sortie due aux changements de courant de charge (régulation de charge). Déterminez le rendement énergétique du régulateur pour le cas nominal et pour le courant maximal.
\n\n
Question 2 : Lors d'une transition de courant (de 0 A à 2 A en 1 ms), calculez la variation de tension transitoire au condensateur de sortie. Estimez le temps de réponse du régulateur pour revenir à la tension nominale. Établissez la stabilité du circuit de régulation (produit de gain et phase).
\n\n
Question 3 : Calculez la dissipation de puissance dans le régulateur pour les trois cas : courant minimal, courant nominal et courant maximal. Déterminez la température de jonction du transistor de contrôle (supposez une résistance thermique $R_{th} = 50°\\text{C/W}$ et une température ambiante $T_{amb} = 25°\\text{C}$). Vérifiez si le régulateur doit être équipé d'un radiateur thermique.
",
    "svg": "[Professional SVG diagram 1050x700 - Linear Regulator Circuit]",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "[Complete 3-part solution with all calculations and analysis]",
    "id_category": "2",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Un amplificateur opérationnel est utilisé dans un montage amplificateur inverseur avec une résistance d'entrée $R_1 = 10 \\mathrm{k\\Omega}$ et une résistance de rétroaction $R_2 = 100 \\mathrm{k\\Omega}$.\n1. Calculer le gain en tension \\(A_v\\) du montage.\n2. Si la tension d'entrée est $V_{in} = 1 \\mathrm{V}$, calculer la tension de sortie \\(V_{out}\\).\n3. En supposant une limite de saturation de $\\pm 15 \\mathrm{V}$, déterminer la plage maximale de tension d'entrée admissible sans saturation.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Le gain en tension \\(A_v\\) pour un amplificateur inverseur est donné par :
\n$A_v = - \\frac{R_2}{R_1}$\n
2. Substitution :
\n$A_v = - \\frac{100 \\times 10^3}{10 \\times 10^3} = -10$\n
Le gain du montage est donc 
\n$-10$.
\n
3. La tension de sortie est donnée par :
\n$V_{out} = A_v \\times V_{in}$\n
Substitution :
\n$V_{out} = -10 \\times 1 = -10 \\mathrm{V}$\n
La tension de sortie est 
\n$-10 \\mathrm{V}$, ce qui est dans la plage de saturation \\(\\pm 15 \\mathrm{V}\\).
\n
4. La plage maximale de tension d'entrée admissible sans saturation est obtenue en posant :
\n$|V_{out}| \\leq 15 \\Rightarrow |A_v| \\times |V_{in}| \\leq 15$\n
5. D'où :
\n$|V_{in}| \\leq \\frac{15}{|A_v|} = \\frac{15}{10} = 1.5 \\mathrm{V}$\n
La tension d'entrée doit donc rester dans l'intervalle 
\n$[-1.5, +1.5] \\mathrm{V}$ pour éviter la saturation.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "Un régulateur proportionnel contrôle un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est :
\n$G(s) = \\frac{10}{s+2}$.\n1. Calculer la valeur du gain statique \\(K_p\\).\n2. Déterminer la valeur de la sortie lorsque l'entrée est une consigne constante de $5$.\n3. Calculer l'erreur statique du système en boucle fermée pour une entrée en échelon de amplitude $5$ avec un gain proportionnel \\(K_c = 3\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Le gain statique \\(K_p\\) est la valeur de la fonction de transfert pour \\(s=0\\) :
\n$K_p = G(0) = \\frac{10}{0+2} = 5$\n
2. Pour une entrée constante de 
\n$R = 5$, la sortie en régime permanent est :
\n
Formule :
\n$Y_{ss} = K_p \\times R = 5 \\times 5 = 25$\n
3. L'erreur statique pour une boucle avec un gain proportionnel \\(K_c\\) est :
\n
Formule :
\n$e_{ss} = \\frac{R}{1 + K_c K_p} = \\frac{5}{1 + 3 \\times 5} = \\frac{5}{16} = 0.3125$\n
L'erreur statique est donc 
\n$0.3125$.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "question": "On considère un circuit intégrateur analogique avec une résistance $R = 10 \\mathrm{k\\Omega}$ et un condensateur $C = 100 \\mathrm{\\mu F}$.\n1. Calculer la constante de temps \\(\\tau\\) du circuit.\n2. Déterminer la sortie \\(V_{out}(t)\\) pour une entrée en échelon de tension \\(V_{in} = 5 \\mathrm{V}\\).\n3. Calculer la valeur de la sortie à $t = 0.1 \\mathrm{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. La constante de temps \\(\\tau\\) est donnée par :
\n$\\tau = R \\times C$\n
2. Substitution :
\n$\\tau = 10 \\times 10^3 \\times 100 \\times 10^{-6} = 1 \\mathrm{s}$\n
3. La sortie du circuit intégrateur pour une entrée en échelon est :
\n$V_{out}(t) = - \\frac{1}{RC} \\int V_{in} \\, dt = - \\frac{V_{in}}{RC} t = - \\frac{V_{in}}{\\tau} t$\n
4. Substitution de 
\n$V_{in} = 5 \\mathrm{V}, t = 0.1 \\mathrm{s}$\n
5. Calcul :
\n$V_{out}(0.1) = - \\frac{5}{1} \\times 0.1 = -0.5 \\mathrm{V}$\n
La valeur de sortie à \\(t = 0.1 \\mathrm{s}\\) est donc 
\n$-0.5 \\mathrm{V}$.
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "number": 1,
    "title": "Régulation analogique d'un système thermique : étude d'une boucle de contrôle en température",
    "question": "
Exercice 1 : Régulation analogique d'un four industriel avec correcteur PID
\n\n
Un four de traitement thermique industriel doit maintenir une température stable de $T_{consigne} = 250°\\mathrm{C}$. Le système utilise un capteur de température (thermocouple), un correcteur analogique PID et une résistance de chauffage commandée par un amplificateur. La dynamique thermique du four est caractérisée par sa fonction de transfert et les paramètres du correcteur doivent être optimisés.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Température de consigne : $T_{ref} = 250°\\mathrm{C}$
\n
Température initiale du four : $T_0 = 20°\\mathrm{C}$
\n
Puissance maximale du chauffage : $P_{max} = 15\\,\\mathrm{kW}$
\n
Capacité thermique du four : $C = 850\\,\\mathrm{J/K}$
\n
Conductance thermique (perte) : $G = 2.5\\,\\mathrm{W/K}$
\n
Constante de temps du système : $\\tau = \\frac{C}{G} = 340\\,\\mathrm{s}$
\n
Gain statique du système : $K_s = \\frac{1}{G} = 0.4\\,°\\mathrm{C/W}$
\n
Gain du capteur : $K_{capt} = 10\\,\\mathrm{mV/°C}$
\n
Gain de l'amplificateur : $K_{amp} = 50\\,\\mathrm{W/V}$
\n
Gain du correcteur proportionnel : $K_P = 0.2\\,\\mathrm{V/V}$
\n
Temps d'intégration : $T_I = 150\\,\\mathrm{s}$
\n
Temps de dérivation : $T_D = 25\\,\\mathrm{s}$
\n
Tension de référence : $U_{ref} = 2.5\\,\\mathrm{V}$
\n
\n\n
Questions :
\n\n
Question 1 : Calculez l'erreur statique du système en régime permanent lorsque la température atteint $100°\\mathrm{C}$. En déduire l'écart en pourcentage par rapport à la consigne.
\n\n
Question 2 : Déterminez la tension de commande du correcteur PID pour l'action proportionnelle, intégrale et dérivée si l'erreur évolue linéairement de $0$ à $-150\\,\\mathrm{mV}$ en $30\\,\\mathrm{s}$.
\n\n
Question 3 : Calculez la constante de temps en boucle fermée du système si le gain en boucle ouverte total est $K_O = K_P \\times K_{amp} \\times K_s \\times K_{capt}$, et déterminez le temps de réponse à $5\\%$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\n\n
Solution Exercice 1
\n\n
Question 1 : Erreur statique en régime permanent
\n\n
Données :
\n
\n
Température actuelle mesurée : $T = 100°\\mathrm{C}$
\n
Température de consigne : $T_{ref} = 250°\\mathrm{C}$
\n
Gain du capteur : $K_{capt} = 10\\,\\mathrm{mV/°C}$
\n
Tension de référence : $U_{ref} = 2.5\\,\\mathrm{V}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'erreur en température
\n
$\\Delta T = T_{ref} - T = 250 - 100 = 150°\\mathrm{C}$
\n\n
Étape 2 : Convertir en tension de consigne
\n
$U_{mes} = T \\times K_{capt} = 100 \\times 10 = 1000\\,\\mathrm{mV} = 1.0\\,\\mathrm{V}$
\n
$U_{consigne} = T_{ref} \\times K_{capt} = 250 \\times 10 = 2500\\,\\mathrm{mV} = 2.5\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 3 : Calculer l'erreur de tension
\n
$\\varepsilon = U_{ref} - U_{mes} = 2.5 - 1.0 = 1.5\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 4 : Calculer l'erreur en pourcentage
\n
$\\text{Erreur\\%} = \\frac{\\Delta T}{T_{ref}} \\times 100 = \\frac{150}{250} \\times 100 = 60\\%$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\Delta T = 150°\\mathrm{C}, \\quad \\varepsilon = 1.5\\,\\mathrm{V}, \\quad \\text{Écart} = 60\\%}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Tension de commande du correcteur PID
\n\n
Données :
\n
\n
Erreur initiale : $\\varepsilon_0 = 0\\,\\mathrm{V}$
\n
Erreur finale : $\\varepsilon_f = -150\\,\\mathrm{mV} = -0.15\\,\\mathrm{V}$
\n
Intervalle de temps : $\\Delta t = 30\\,\\mathrm{s}$
\n
Gain proportionnel : $K_P = 0.2\\,\\mathrm{V/V}$
\n
Temps d'intégration : $T_I = 150\\,\\mathrm{s}$
\n
Temps de dérivation : $T_D = 25\\,\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'action proportionnelle
\n
La tension proportionnelle en fin d'intervalle :
\n
$U_P = K_P \\times \\varepsilon_f = 0.2 \\times (-0.15) = -0.03\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 2 : Calculer l'action intégrale
\n
L'intégrale de l'erreur sur l'intervalle (trapézoïdale) :
\n
$\\int_0^{30} \\varepsilon(t) dt \\approx \\frac{(\\varepsilon_0 + \\varepsilon_f) \\times \\Delta t}{2} = \\frac{(0 + (-0.15)) \\times 30}{2} = -2.25\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s}$
\n
$U_I = \\frac{K_P}{T_I} \\times \\int_0^{30} \\varepsilon dt = \\frac{0.2}{150} \\times (-2.25) = -0.003\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 3 : Calculer l'action dérivée
\n
La dérivée de l'erreur :
\n
$\\frac{d\\varepsilon}{dt} = \\frac{\\varepsilon_f - \\varepsilon_0}{\\Delta t} = \\frac{-0.15 - 0}{30} = -0.005\\,\\mathrm{V/s}$
\n
$U_D = K_P \\times T_D \\times \\frac{d\\varepsilon}{dt} = 0.2 \\times 25 \\times (-0.005) = -0.025\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 4 : Tension totale du correcteur
\n
$U_{PID} = U_P + U_I + U_D = -0.03 + (-0.003) + (-0.025) = -0.058\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{U_P = -0.030\\,\\mathrm{V}, \\quad U_I = -0.003\\,\\mathrm{V}, \\quad U_D = -0.025\\,\\mathrm{V}}$
\n
$\\boxed{U_{PID,total} = -0.058\\,\\mathrm{V}}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Constante de temps en boucle fermée
\n\n
Données :
\n
\n
Gain proportionnel : $K_P = 0.2\\,\\mathrm{V/V}$
\n
Gain de l'amplificateur : $K_{amp} = 50\\,\\mathrm{W/V}$
\n
Gain statique du four : $K_s = 0.4°\\mathrm{C/W}$
\n
Gain du capteur : $K_{capt} = 10\\,\\mathrm{mV/°C} = 0.01\\,\\mathrm{V/°C}$
\n
Constante de temps du four : $\\tau = 340\\,\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer le gain en boucle ouverte
\n
$K_O = K_P \\times K_{amp} \\times K_s \\times K_{capt} = 0.2 \\times 50 \\times 0.4 \\times 0.01$
\n
$K_O = 0.04\\,\\mathrm{(sans\\ unité)}$
\n\n
Étape 2 : Calculer la constante de temps en boucle fermée
\n
Pour un système du premier ordre en boucle fermée :
\n
$\\tau_{BF} = \\frac{\\tau}{1 + K_O} = \\frac{340}{1 + 0.04} = \\frac{340}{1.04} = 326.9\\,\\mathrm{s}$
\n\n
Étape 3 : Calculer le temps de réponse à 5%
\n
Le temps de réponse à 5% pour un système du premier ordre :
\n
$t_{5\\%} = -3 \\times \\ln(0.05) \\times \\tau_{BF} = -3 \\times (-2.996) \\times 326.9$
\n
$t_{5\\%} = 2.938\\,\\times 326.9 = 959.3\\,\\mathrm{s}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{K_O = 0.04, \\quad \\tau_{BF} = 327\\,\\mathrm{s}, \\quad t_{5\\%} \\approx 959\\,\\mathrm{s} \\approx 16\\,\\mathrm{min}}$
\n\n
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "number": 2,
    "title": "Régulation analogique d'un système de débit avec contrôleur proportionnel-intégral",
    "question": "
Exercice 2 : Régulation de débit hydraulique avec correcteur PI analogique
\n\n
Un système de distribution hydraulique doit maintenir un débit constant de $Q_{ref} = 50\\,\\mathrm{L/min}$ en sortie d'une pompe variable commandée par un correcteur analogique. Un capteur de débit mesure en continu le débit réel et compare à la consigne. Le correcteur PI corrige la pression de commande de la pompe pour minimiser l'erreur.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Débit de référence : $Q_{ref} = 50\\,\\mathrm{L/min} = 0.833\\,\\mathrm{L/s}$
\n
Débit initial : $Q_0 = 35\\,\\mathrm{L/min}$
\n
Sensibilité du capteur de débit : $K_{Q} = 0.5\\,\\mathrm{V/(L/min)}$
\n
Gain du correcteur PI : $K_C = 0.08\\,\\mathrm{bar/mV}$
\n
Constante d'intégration : $T_I = 120\\,\\mathrm{s}$
\n
Relation débit-pression de la pompe : $Q = 0.25 \\times P_{cmd}\\,\\mathrm{(L/min/bar)}$
\n
Temps mort du système : $\\tau_m = 2\\,\\mathrm{s}$
\n
Constante de temps du système : $\\tau_s = 8\\,\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Questions :
\n\n
Question 1 : Calculez l'erreur initiale de débit (en L/min et en tension mesurée), puis la pression de commande initiale nécessaire pour atteindre le débit de consigne.
\n\n
Question 2 : Si l'erreur varie linéairement de $-100\\,\\mathrm{mV}$ à $+50\\,\\mathrm{mV}$ en $20\\,\\mathrm{s}$, calculez la contribution du terme d'intégration du correcteur PI.
\n\n
Question 3 : Déterminez la pression de commande totale fournie par le correcteur PI (terme proportionnel + intégral) et estimez le temps de réponse du système en considérant le temps mort.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\n\n
Solution Exercice 2
\n\n
Question 1 : Erreur initiale et pression de commande
\n\n
Données :
\n
\n
Débit de référence : $Q_{ref} = 50\\,\\mathrm{L/min}$
\n
Débit initial : $Q_0 = 35\\,\\mathrm{L/min}$
\n
Sensibilité du capteur : $K_Q = 0.5\\,\\mathrm{V/(L/min)}$
\n
Relation pompe : $Q = 0.25 \\times P_{cmd}\\,\\mathrm{(L/min/bar)}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'erreur de débit
\n
$\\Delta Q = Q_{ref} - Q_0 = 50 - 35 = 15\\,\\mathrm{L/min}$
\n\n
Étape 2 : Convertir en tension mesurée
\n
Tension correspondant au débit de référence :
\n
$U_{ref} = Q_{ref} \\times K_Q = 50 \\times 0.5 = 25\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension mesurée au débit initial :
\n
$U_{mes} = Q_0 \\times K_Q = 35 \\times 0.5 = 17.5\\,\\mathrm{V}$
\n
Erreur en tension :
\n
$\\varepsilon = U_{ref} - U_{mes} = 25 - 17.5 = 7.5\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 3 : Calculer la pression initiale de commande
\n
À débit $Q_0 = 35\\,\\mathrm{L/min}$ :
\n
$P_{cmd,0} = \\frac{Q_0}{0.25} = \\frac{35}{0.25} = 140\\,\\mathrm{bar}$
\n
À débit de référence :
\n
$P_{cmd,ref} = \\frac{Q_{ref}}{0.25} = \\frac{50}{0.25} = 200\\,\\mathrm{bar}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\Delta Q = 15\\,\\mathrm{L/min}, \\quad \\varepsilon = 7.5\\,\\mathrm{V}, \\quad P_{cmd,ref} = 200\\,\\mathrm{bar}}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Contribution du terme d'intégration
\n\n
Données :
\n
\n
Erreur initiale : $\\varepsilon_0 = -100\\,\\mathrm{mV} = -0.1\\,\\mathrm{V}$
\n
Erreur finale : $\\varepsilon_f = +50\\,\\mathrm{mV} = 0.05\\,\\mathrm{V}$
\n
Intervalle de temps : $\\Delta t = 20\\,\\mathrm{s}$
\n
Constante d'intégration : $T_I = 120\\,\\mathrm{s}$
\n
Gain du correcteur : $K_C = 0.08\\,\\mathrm{bar/mV}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'intégrale de l'erreur (approximation trapézoïdale)
\n
$\\int_0^{20} \\varepsilon(t) dt \\approx \\frac{(\\varepsilon_0 + \\varepsilon_f) \\times \\Delta t}{2} = \\frac{(-0.1 + 0.05) \\times 20}{2} = \\frac{-0.05 \\times 20}{2} = -0.5\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s}$
\n\n
Étape 2 : Calculer la contribution intégrale en pression
\n
$\\Delta P_I = \\frac{K_C \\times 1000}{T_I} \\times \\int_0^{20} \\varepsilon dt = \\frac{0.08 \\times 1000}{120} \\times (-0.5)$
\n
$\\Delta P_I = \\frac{80}{120} \\times (-0.5) = 0.667 \\times (-0.5) = -0.333\\,\\mathrm{bar}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\int_0^{20} \\varepsilon dt = -0.5\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s}, \\quad \\Delta P_I = -0.333\\,\\mathrm{bar}}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Pression de commande totale et temps de réponse
\n\n
Données :
\n
\n
Erreur à $t = 20\\,\\mathrm{s}$ : $\\varepsilon_f = 0.05\\,\\mathrm{V} = 50\\,\\mathrm{mV}$
\n
Gain du correcteur : $K_C = 0.08\\,\\mathrm{bar/mV}$
\n
Contribution intégrale : $\\Delta P_I = -0.333\\,\\mathrm{bar}$
\n
Temps mort : $\\tau_m = 2\\,\\mathrm{s}$
\n
Constante de temps : $\\tau_s = 8\\,\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer le terme proportionnel
\n
$\\Delta P_P = K_C \\times \\varepsilon_f = 0.08 \\times 50 = 4.0\\,\\mathrm{bar}$
\n\n
Étape 2 : Calculer la pression totale
\n
$\\Delta P_{total} = \\Delta P_P + \\Delta P_I = 4.0 + (-0.333) = 3.667\\,\\mathrm{bar}$
\n
Pression de commande absolue (ajout à la pression de base) :
\n
$P_{cmd} = P_{cmd,0} + \\Delta P_{total} = 140 + 3.667 = 143.667\\,\\mathrm{bar}$
\n\n
Étape 3 : Estimer le temps de réponse
\n
Temps de réponse à 95% pour un système du premier ordre avec temps mort :
\n
$t_{95\\%} = \\tau_m + 3 \\times \\tau_s = 2 + 3 \\times 8 = 2 + 24 = 26\\,\\mathrm{s}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\Delta P_P = 4.0\\,\\mathrm{bar}, \\quad \\Delta P_{total} = 3.667\\,\\mathrm{bar}, \\quad P_{cmd} = 143.67\\,\\mathrm{bar}}$
\n
$\\boxed{t_{95\\%} = 26\\,\\mathrm{s}}$
\n\n
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "Regulation analogique",
    "number": 3,
    "title": "Régulation analogique d'une tension en sortie de convertisseur DC-DC avec asservissement",
    "question": "
Exercice 3 : Régulation de tension analogique d'une alimentation DC-DC avec feedback
\n\n
Une alimentation stabilisée DC-DC convertit une tension d'entrée variable en une tension de sortie régulée de $V_{out,ref} = 12\\,\\mathrm{V}$. Un diviseur résistif génère une tension de feedback, qui est comparée à une consigne par un amplificateur d'erreur. Un amplificateur d'erreur analogique commande le rapport cyclique du convertisseur pour maintenir la tension de sortie constante.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Tension de sortie de référence : $V_{out,ref} = 12\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension d'entrée nominale : $V_{in} = 24\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension d'entrée en variation : $\\Delta V_{in} = \\pm 2\\,\\mathrm{V}$
\n
Résistance de diviseur haute : $R_1 = 10\\,\\mathrm{k\\Omega}$
\n
Résistance de diviseur basse : $R_2 = 10\\,\\mathrm{k\\Omega}$
\n
Tension de référence du comparateur : $V_{ref} = 6\\,\\mathrm{V}$
\n
Gain de l'amplificateur d'erreur : $A_e = 200\\,\\mathrm{V/V}$
\n
Tension de sortie de l'ampli d'erreur saturation : $\\pm 5\\,\\mathrm{V}$
\n
Résistance de charge : $R_{load} = 40\\,\\Omega$
\n
Inductance de sortie : $L_{out} = 10\\,\\mu\\mathrm{H}$
\n
Capacité de sortie : $C_{out} = 100\\,\\mu\\mathrm{F}$
\n
Fréquence de découpage : $f_{sw} = 100\\,\\mathrm{kHz}$
\n
\n\n
Questions :
\n\n
Question 1 : Calculez la tension de feedback au diviseur pour une tension de sortie de $12\\,\\mathrm{V}$ et l'erreur en tension du comparateur.
\n\n
Question 2 : Déterminez la sortie de l'amplificateur d'erreur pour une erreur de $-0.5\\,\\mathrm{V}$ et calculez l'ondulation de courant de sortie du convertisseur.
\n\n
Question 3 : Estimez la perte de régulation (variation de tension de sortie) si la tension d'entrée chute de $24\\,\\mathrm{V}$ à $22\\,\\mathrm{V}$ et le courant de charge varie de $0\\,\\mathrm{A}$ à $300\\,\\mathrm{mA}$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\n\n
Solution Exercice 3
\n\n
Question 1 : Tension de feedback et erreur du comparateur
\n\n
Données :
\n
\n
Tension de sortie : $V_{out} = 12\\,\\mathrm{V}$
\n
Résistance haute : $R_1 = 10\\,\\mathrm{k\\Omega}$
\n
Résistance basse : $R_2 = 10\\,\\mathrm{k\\Omega}$
\n
Tension de référence : $V_{ref} = 6\\,\\mathrm{V}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer la tension de feedback au diviseur
\n
Le diviseur capacitif crée un rapport :
\n
$V_{fb} = V_{out} \\times \\frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \\times \\frac{10}{10 + 10} = 12 \\times \\frac{10}{20} = 12 \\times 0.5 = 6\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 2 : Calculer l'erreur du comparateur
\n
$\\varepsilon = V_{ref} - V_{fb} = 6 - 6 = 0\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{V_{fb} = 6\\,\\mathrm{V}, \\quad \\varepsilon = 0\\,\\mathrm{V}}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Sortie de l'amplificateur d'erreur et ondulation de courant
\n\n
Données :
\n
\n
Erreur : $\\varepsilon = -0.5\\,\\mathrm{V}$
\n
Gain de l'amplificateur : $A_e = 200\\,\\mathrm{V/V}$
\n
Tension de saturation : $\\pm 5\\,\\mathrm{V}$
\n
Inductance de sortie : $L_{out} = 10\\,\\mu\\mathrm{H}$
\n
Tension d'entrée : $V_{in} = 24\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension de sortie : $V_{out} = 12\\,\\mathrm{V}$
\n
Fréquence de découpage : $f_{sw} = 100\\,\\mathrm{kHz}$
\n
Période : $T_{sw} = 10\\,\\mu\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer la sortie de l'amplificateur d'erreur
\n
$V_{out,error} = A_e \\times \\varepsilon = 200 \\times (-0.5) = -100\\,\\mathrm{V}$
\n
Saturation à la valeur limite :
\n
$V_{out,error,sat} = \\mathrm{sat}(-100\\,\\mathrm{V}) = -5\\,\\mathrm{V} \\text{ (limité)}$
\n\n
Étape 2 : Calculer le rapport cyclique correspondant
\n
La sortie négative réduit le rapport cyclique :
\n
$D = 50\\% + \\text{correction} = 0.5 + \\frac{-5}{10} = 0.5 - 0.5 = 0\\,\\text{(limite inférieure)}$
\n\n
Étape 3 : Calculer l'ondulation de courant
\n
Pendant la phase active (rapport $D$) :
\n
$\\Delta I_{on} = \\frac{(V_{in} - V_{out})}{L_{out}} \\times D \\times T_{sw} = \\frac{(24-12)}{10\\times10^{-6}} \\times 0.5 \\times 10\\times10^{-6}$
\n
$\\Delta I_{on} = \\frac{12}{10\\times10^{-6}} \\times 5\\times10^{-6} = 1.2\\times10^6 \\times 5\\times10^{-6} = 6\\,\\mathrm{A}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{V_{out,error} = -5\\,\\mathrm{V (saturé)}, \\quad \\Delta I = 6\\,\\mathrm{A}}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Perte de régulation avec variation d'entrée et de charge
\n\n
Données :
\n
\n
Tension d'entrée nominale : $V_{in,nom} = 24\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension d'entrée réduite : $V_{in,red} = 22\\,\\mathrm{V}$
\n
Courant de charge initial : $I_0 = 0\\,\\mathrm{A}$
\n
Courant de charge final : $I_L = 300\\,\\mathrm{mA} = 0.3\\,\\mathrm{A}$
\n
Résistance de charge : $R_{load} = 40\\,\\Omega$
\n
Capacité de sortie : $C_{out} = 100\\,\\mu\\mathrm{F}$
\n
\n\n
Étape 1 : Perte due à la variation de tension d'entrée
\n
Variation d'entrée : $\\Delta V_{in} = 24 - 22 = 2\\,\\mathrm{V}$
\n
Gain en boucle ouverte affecte la régulation :
\n
$\\text{Rejet d'entrée} = \\frac{\\Delta V_{in}}{1 + A_e} \\approx \\frac{2}{1 + 200} = \\frac{2}{201} = 0.00995\\,\\mathrm{V} \\approx 10\\,\\mathrm{mV}$
\n\n
Étape 2 : Perte due à la variation de courant de charge
\n
Variation de courant : $\\Delta I_L = 0.3 - 0 = 0.3\\,\\mathrm{A}$
\n
Impédance de sortie (ESR approximée) : $Z_{out} \\approx \\frac{1}{\\omega C_{out}}$ à basse fréquence ou résistance série
\n
Chute de tension sur la résistance série du condensateur (ESR) :
\n
$\\Delta V_{ESR} = \\Delta I_L \\times \\mathrm{ESR} \\approx 0.3 \\times 0.1 = 0.03\\,\\mathrm{V} = 30\\,\\mathrm{mV} \\text{ (typique)}$
\n\n
Étape 3 : Perte totale de régulation
\n
$\\Delta V_{total} = \\Delta V_{entrée} + \\Delta V_{charge} = 10 + 30 = 40\\,\\mathrm{mV}$
\n
Régulation en pourcentage :
\n
$\\text{Régulation\\%} = \\frac{\\Delta V_{total}}{V_{out,ref}} \\times 100 = \\frac{0.04}{12} \\times 100 = 0.333\\%$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\Delta V_{entrée} = 10\\,\\mathrm{mV}, \\quad \\Delta V_{charge} = 30\\,\\mathrm{mV}}$
\n
$\\boxed{\\Delta V_{total} = 40\\,\\mathrm{mV}, \\quad \\text{Régulation} = 0.333\\%}$
\n\n
",
    "id_category": "2",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un système d’asservissement de position utilise un microcontrôleur pour réguler la position angulaire d’un axe via un moteur à courant continu. Un codeur incrémental de résolution $N = 2048$ impulsions/tr délivre l’angle sous forme numérique. La commande est calculée toutes les $T_e = 2\\,\\mathrm{ms}$ et un régulateur numérique PI discret applique la loi suivante : $u[n] = u[n-1] + K_p (e[n] - e[n-1]) + K_i T_e e[n]$. \n\nQuestions intégrées :\n1. Pour un déplacement d’angle de $\\Delta\\theta = 57,3^\\circ$ entre deux échantillons, calculer le nombre d’impulsions reçues par l’encodeur.\n2. Sachant que $K_p = 0,4$, $K_i = 20$, et que les deux dernières erreurs sont $e[n-1] = -15$, $e[n] = 12$, calculer la commande numérique $u[n]$ si $u[n-1] = 1,8$.\n3. Le moteur nécessite une tension PWM appliquée sur un convertisseur numérique-analogique de résolution $10$ bits (**0-5 V**). Si la sortie calculée est $u[n] = 3,6$, calculer la valeur numérique à programmer dans le convertisseur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $N_{imp} = N \\times \\frac{\\Delta\\theta}{360}$
2. Remplacement des données : $N_{imp} = 2048 \\times \\frac{57,3}{360}$
3. Calcul : $\\frac{57,3}{360} \\approx 0,1592$, $N_{imp} = 2048 \\times 0,1592 \\approx 326$
4. Résultat final : $N_{imp} = 326$ impulsions

Question 2 :
1. Formule générale : $u[n] = u[n-1] + K_p (e[n] - e[n-1]) + K_i T_e e[n]$
2. Remplacement des données : $u[n] = 1,8 + 0,4 \\times (12 - (-15)) + 20 \\times 0,002 \\times 12$
3. Calcul : $0,4 \\times 27 = 10,8$, $20 \\times 0,002 \\times 12 = 0,48$, $u[n] = 1,8 + 10,8 + 0,48 = 13,08$
4. Résultat final : $u[n] = 13,08$

Question 3 :
1. Formule générale : $V_{num} = \\frac{u[n]}{V_{max}} \\times (2^{10}-1)$ avec $V_{max} = 5\\,V$
2. Remplacement des données : $V_{num} = \\frac{3,6}{5} \\times 1023$
3. Calcul : $\\frac{3,6}{5} = 0,72$, $0,72 \\times 1023 = 736,56$
4. Résultat final : $V_{num} = 737$ (arrondi à l’entier supérieur)
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "On souhaite réguler numériquement le courant dans une bobine d’inductance $L = 150\\,\\mathrm{mH}$ et de résistance $R = 12\\,\\Omega$ via une commande échantillonnée toutes les $T_e = 1\\,\\mathrm{ms}$. Un convertisseur analogique-numérique (CAN) à 12 bits mesure la tension aux bornes du shunt pour calculer le courant. On modélise la dynamique à chaque pas par : $i[n+1] = a\\,i[n] + b\\,u[n]$ où $a = e^{-R T_e / L}$ et $b = (1 - a)/R$.\n\nQuestions intégrées :\n1. Calculer les valeurs de $a$ et $b$.\n2. Si $i[0] = 0$ et on applique $u[0] = 4,5\\,\\mathrm{V}$, quel est le courant $i[1]$ ?\n3. Le courant mesuré est converti par le CAN 12 bits (plage 0 à 2,5 A). Déterminer la valeur numérique correspondante à $i[1]$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $a = e^{-R T_e / L}$, $b = \\frac{1 - a}{R}$
2. Remplacement des données : $T_e = 0,001\\,\\mathrm{s}$, $R = 12\\,\\Omega$, $L = 0,15\\,\\mathrm{H}$.
$a = e^{-12 \\times 0,001 / 0,15}$
$= e^{-0,08}$
$a \\approx 0,9231$
$b = \\frac{1 - 0,9231}{12} = \\frac{0,0769}{12} \\approx 0,00641$
4. Résultat final : $a = 0,923$ , $b = 0,00641$

Question 2 :
1. Formule générale : $i[1]=a\\,i[0]+b\\,u[0]$
2. Remplacement des données : $i[1]=0,923 \\times 0 + 0,00641 \\times 4,5$
3. Calcul : $i[1]=0+0,028845$
4. Résultat final : $i[1]=0,0288\\,\\mathrm{A}$

Question 3 :
1. Formule générale : $Num = \\frac{i_{mesuré}}{I_{max}} \\times (2^{12}-1)$ où $I_{max}=2,5$.
2. Remplacement des données : $Num = \\frac{0,0288}{2,5} \\times 4095$
3. Calcul : $0,0288/2,5=0,01152$, $0,01152 \\times 4095 = 47,19$
4. Résultat final : $Num = 47$ (arrondi à l'entier)
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un asservissement numérique de la vitesse d’une bande transporteuse est conçu autour d’un capteur tachymétrique (sortie analogique) converti en numérique via un CAN 8 bits (plage 0-30 V). Le régulateur numérique avancé utilise une approximation de la dérivée pour anticiper les variations rapides de la charge, modélisée par : $y[n]=a\\,y[n-1]+b\\,u[n-1]$ et la vitesse désirée est $v_{ref}=4,5\\,\\mathrm{m/s}$.\n\nQuestions intégrées :\n1. Le capteur délivre $17,2\\,\\mathrm{V}$. Calculer la valeur numérique lue par le CAN.\n2. Sachant que la constante d’échantillonnage est $T_e = 2,5\\,\\mathrm{ms}$, $a = 0,84$ et $b = 0,06$, pour une commande précédente $u[n-1] = 55$ et une vitesse précédente $y[n-1]=2,7\\,\\mathrm{m/s}$, calculer la nouvelle vitesse $y[n]$.\n3. Pour ramener la vitesse à la consigne, le régulateur calcul la variation de commande suivante : $\\Delta u[n]=K_d\\frac{v_{ref}-y[n-1]}{T_e}$ avec $K_d=0,32$. Calculer la valeur à appliquer.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 :
1. Formule générale : $Num = \\frac{V_{mes}}{V_{max}}\\times(2^8-1)$ avec $V_{max}=30\\mathrm{~V}$.
2. Remplacement des données : $Num = \\frac{17,2}{30}\\times 255$
3. Calcul : $17,2/30=0,5733$, $0,5733 \\times 255 = 146,2$
4. Résultat final : $Num = 146$

Question 2 :
1. Formule générale : $y[n]=a\\,y[n-1]+b\\,u[n-1}$
2. Remplacement des données : $y[n]=0,84\\times 2,7+0,06\\times55$
3. Calcul : $0,84 \\times 2,7=2,268$, $0,06\\times 55=3,3$, $y[n]=2,268+3,3=5,568\\,\\mathrm{m/s}$
4. Résultat final : $y[n]=5,57\\,\\mathrm{m/s}$

Question 3 :
1. Formule générale : $\\Delta u[n]=K_d\\frac{v_{ref}-y[n-1]}{T_e}$
2. Remplacement des données : $\\Delta u[n]=0,32\\times \\frac{4,5-2,7}{0,0025}$
3. Calcul : $4,5-2,7=1,8$, $1,8/0,0025=720$, $0,32\\times 720=230,4$
4. Résultat final : $\\Delta u[n]=230,4$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "On considère un système de régulation numérique de type PID appliqué à un moteur DC. Un microcontrôleur effectue l’acquisition de la vitesse du moteur toutes les $t_e = 50~ms$. Le schéma ci-dessous montre la boucle de régulation avec capteur, convertisseur A/N (ADC), régulateur numérique, convertisseur N/A (DAC), et actionneur.\n1. Sachant que la vitesse mesurée à trois instants consécutifs est $\\omega_1 = 1200~tr/min$, $\\omega_2 = 1230~tr/min$ et $\\omega_3 = 1275~tr/min$, calculez l’accélération moyenne du moteur entre $t_1$ et $t_3$, exprimée en $tr/min^2$.\n2. Le régulateur numérique reçoit en consigne une variation instantanée de vitesse (rampe) : $\\omega^* = 1300~tr/min$. Calculez l’erreur d’échantillonnage à l’instant $t_3$.\n3. Si le régulateur PID numérique applique la loi suivante à $t_3$ : $u[n] = K_p e[n] + K_d \\big(e[n]-e[n-1]\\big)/T_e$ avec $K_p=0.6$ et $K_d=0.018$, calculez la commande numérique $u[3]$ à l’instant considéré.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale dans $a = \\dfrac{\\omega_3 - \\omega_1}{t_3-t_1}$
2. Remplacement des données dans $a = \\dfrac{1275~tr/min - 1200~tr/min}{2 \\times 0.05~s}$
3. Calcul dans $a = \\dfrac{75~tr/min}{0.10~s} = 750~tr/min^2$$a = 750~tr/min^2$
L'accélération moyenne entre $t_1$ et $t_3$ est de $750~tr/min^2$.
Question 2
1. Formule générale dans $e[3] = \\omega^* - \\omega_3$
2. Remplacement des données dans $e[3] = 1300~tr/min - 1275~tr/min$
3. Calcul dans $e[3] = 25~tr/min$$e[3] = 25~tr/min$
L’erreur d’échantillonnage à $t_3$ est de $25~tr/min$.
Question 3
1. Formule générale dans $u[3] = K_p e[3] + K_d \\dfrac{e[3] - e[2]}{T_e}$
2. Remplacement des données :\n- $e[3] = 25~tr/min$, $e[2] = \\omega^* - \\omega_2 = 1300~tr/min - 1230~tr/min = 70~tr/min$
 - $K_p = 0.6$, $K_d = 0.018$, $T_e = 0.05~s$
\n3. Calcul :\n$u[3] = 0.6 \\times 25 + 0.018 \\dfrac{25-70}{0.05}$\n$u[3] = 15 + 0.018 \\times (-900)$\n$u[3] = 15 - 16.2 = -1.2$\n4. Résultat final dans $u[3] = -1.2$
La commande numérique indique un ajustement négatif à l'actionneur.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un filtre numérique récursif de première ordre (IIR) modélise la boucle de retour d’une régulation numérique de température. À chaque période d’échantillonnage $T_e$, la sortie est calculée selon : $y[n]=0.7y[n-1]+0.3x[n]$ où $x[n]$ est la nouvelle donnée issue du capteur.\n1. Si la sortie précédente est $y[0]=24.0~°C$ et les valeurs d’entrée successives sont $x[1]=25.4~°C$, $x[2]=27.0~°C$, calculez $y[1]$ et $y[2]$.\n2. Une consigne de température est fixée à $T_c = 29.0~°C$. Calculer l’erreur d’asservissement à l’étape 2 : $e[2] = T_c - y[2]$.\n3. Le correcteur numérique applique la loi de commande impulsionnelle : $u[2] = K_c \\cdot e[2]$ avec $K_c = 2.5$. Calculer la commande envoyée à l’actionneur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule générale dans $y[n]=0.7y[n-1]+0.3x[n]$
2. Calcul de $y[1]$ :
$y[1]=0.7 \\times 24.0 + 0.3 \\times 25.4$
3. Calcul :$y[1]=16.8+7.62=24.42~°C$
4. Résultat dans $y[1]=24.42~°C$
2. Calcul de $y[2]$ :$y[2]=0.7 \\times 24.42 + 0.3 \\times 27.0$
3. Calcul :$y[2]=17.094+8.1=25.194~°C$
4. Résultat dans $y[2]=25.194~°C$
Question 2
1. Formule dans $e[2] = T_c - y[2]$
2. Remplacement :$e[2] = 29.0-25.194$
3. Calcul :$e[2] = 3.806~°C$
4. Résultat dans $e[2]=3.806~°C$
Question 3
1. Formule dans $u[2]=K_c \\times e[2]$
2. Remplacement :$u[2]=2.5 \\times 3.806~°C$
3. Calcul :$u[2]=9.515$
4. Résultat dans $u[2]=9.515$
La commande numérique à envoyer à l'actionneur à l'étape 2 est de $9.515$.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un régulateur numérique en boucle fermée est appliqué à un procédé discret modélisé par $y[n] = 0.85y[n-1] + b\\,u[n-1]$ où $b=3.2$. La sortie précédente $y[0]=7.4$ et la commande précédente $u[0]=2.0$. La consigne reste constante à $y^*=10.0$ pour tous les instants considérés.\n1. Calculez la sortie à l’instant $n=1$.\n2. Calculez l’erreur à l’instant $n=1$ et la commande suivante dans un schéma de régulateur Δ (delta) où $u[1]=u[0]+K(e[1]-e[0])$, avec $K=0.55$ et $e[0]=y^*-y[0]$.\n3. Calculez la sortie à l’instant $n=2$ selon la même loi d’évolution.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1
1. Formule dans $y[1]=0.85y[0]+b\\,u[0]$
2. Remplacement : $y[1]=0.85 \\times 7.4+3.2 \\times 2.0$
3. Calcul : $y[1]=6.29+6.4=12.69$
4. Résultat dans $y[1]=12.69$
Question 2
1. Erreur à $n=1$ : $e[1]=y^*-y[1]$ ; $e[0]=y^*-y[0]$
2. Remplacement : $e[1]=10.0-12.69=-2.69$ ; $e[0]=10.0-7.4=2.6$
3. Commande :$u[1]=u[0]+K(e[1]-e[0])=2.0+0.55(-2.69-2.6)$\n$u[1]=2.0+0.55 \\times (-5.29)=2.0-2.9095=-0.9095$
4. Résultat final : $u[1]=-0.9095$
Question 3
1. Formule dans $y[2]=0.85y[1]+b\\,u[1]$
2. Remplacement :$y[2]=0.85 \\times 12.69+3.2 \\times (-0.9095)$
3. Calcul :$y[2]=10.7865-2.9104=7.8761$
4. Résultat dans $y[2]=7.8761$
La sortie du procédé à l’instant $n=2$ est $7.8761$.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un système de régulation numérique pour la température ambiante utilise un capteur analogique suivi d’un convertisseur analogique-numérique (CAN) 12 bits. Les données sont traitées par un algorithme de régulation numérique puis envoyées vers un actionneur via un convertisseur numérique-analogique (CNA).
1. Calculez la résolution en tension du CAN si la plage d'entrée analogique est de $0$ à $3.3\\,\\mathrm{V}$.
2. Déterminez la valeur numérique obtenue à la sortie du CAN si le capteur délivre une tension de $2.12\\,\\mathrm{V}$.
3. Si l’actionneur doit recevoir exactement $1.56\\,\\mathrm{V}$, calculez la valeur numérique à envoyer au CNA (12 bits), puis la tension analogique restituée effectivement si la quantification la plus proche est utilisée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 :
\n1. Formule générale : $\\mathrm{Résolution} = \\frac{V_{max}-V_{min}}{2^{N}}$ où $N$ est le nombre de bits.
\n2. Remplacement des données : $\\mathrm{Résolution} = \\frac{3.3\\,\\mathrm{V}-0\\,\\mathrm{V}}{4096}$
\n3. Calcul : $\\mathrm{Résolution} = \\frac{3.3}{4096} = 0.000805\\,\\mathrm{V} = 0.805\\,\\mathrm{mV}$
\n4. Résultat final : $\\mathrm{Résolution} = 0.805\\,\\mathrm{mV}$
\nInterprétation : La plus petite variation de tension détectable est $0.805\\,\\mathrm{mV}$.\n

Question 2 :
\n1. Formule générale : $Valeur_{num} = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}-V_{min}}{\\mathrm{Résolution}} \\right\\rfloor$
\n2. Remplacement des données : $Valeur_{num} = \\left\\lfloor \\frac{2.12\\,\\mathrm{V}-0\\,\\mathrm{V}}{0.000805\\,\\mathrm{V}} \\right\\rfloor$
\n3. Calcul : $Valeur_{num} = \\left\\lfloor \\frac{2.12}{0.000805} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 2630.43 \\right\\rfloor = 2630$
\n4. Résultat final : $Valeur_{num} = 2630$
\nInterprétation : La valeur numérique sortie du CAN est $2630$.\n

Question 3 :
\n1. Formule générale : $Valeur_{CNA} = \\left\\lfloor \\frac{1.56\\,\\mathrm{V}-0\\,\\mathrm{V}}{0.000805\\,\\mathrm{V}} \\right\\rfloor$
\n2. Remplacement des données : $Valeur_{CNA} = \\left\\lfloor \\frac{1.56}{0.000805} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 1937.89 \\right\\rfloor = 1937$
\n3. Calcul de la tension restitutée : $V_{restitué} = 1937 \\times 0.000805\\,\\mathrm{V} = 1.558\\,\\mathrm{V}$
\n4. Résultat final : $V_{restitué} = 1.558\\,\\mathrm{V}$
\nInterprétation : La valeur à envoyer au CNA est $1937$ et la tension obtenue sera $1.558\\,\\mathrm{V}$.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un régulateur numérique de vitesse utilise une chaîne d’acquisition avec un codeur incrémental branché sur microprocesseur, qui échantillonne toutes les $20\\,\\mathrm{ms}$. Le traitement numérique appliqué est une régulation à avance de phase numérique.
1. Calculez la fréquence d’échantillonnage numérique en Hz.
2. Le régulateur numérique calcule une correction d'avance de phase approximée par une différence arrière sur 2 échantillons. Si la variation de vitesse détectée sur deux échantillons consécutifs est $+43$ puis $+50$ incréments, calculez la valeur de la correction numérique.
3. Si la consigne de correction moyenne sur une période de $120\\,\\mathrm{ms}$ doit être transmise à un synthétiseur numérique à $16$ bits, calculez la valeur entière à transmettre si la dynamique maximale de correction est $3000$ incréments/échantillon et la moyenne calculée est $41.2$ incréments/échantillon.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 :
\n1. Formule générale : $f_e = \\frac{1}{T_e}$
\n2. Remplacement des données : $T_e = 20\\,\\mathrm{ms} = 0.020\\,\\mathrm{s}$
\n3. Calcul : $f_e = \\frac{1}{0.020} = 50\\,\\mathrm{Hz}$
\n4. Résultat final : $f_e = 50\\,\\mathrm{Hz}$
\nInterprétation : Le système acquiert les données à $50\\,\\mathrm{Hz}$.\n

Question 2 :
\n1. Formule générale (différence arrière) : $\\Delta v = v[n] - v[n-1]$
\n2. Remplacement des données : $\\Delta v = 50 - 43$
\n3. Calcul : $\\Delta v = 7$
\n4. Résultat final : $\\Delta v = 7$
\nInterprétation : La correction numérique d’avance de phase est de $7$ incréments/échantillon.\n

Question 3 :
\n1. Formule de normalisation : $Valeur_{16b} = \\left\\lfloor \\frac{41.2}{3000} \\times 65535 \\right\\rfloor$
\n2. Remplacement des données : $Valeur_{16b} = \\left\\lfloor \\frac{41.2}{3000} \\times 65535 \\right\\rfloor$
\n3. Calcul intermédiaire : $\\frac{41.2}{3000} = 0.01373$
\n$Valeur_{16b} = \\left\\lfloor 0.01373 \\times 65535 \\right\\rfloor = 899.81 \\rightarrow 899$
\n4. Résultat final : $Valeur_{16b} = 899$
\nInterprétation : La consigne numérique à transmettre au synthétiseur est $899$ sur 16 bits.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un régulateur numérique de niveau utilise une mesure analogique du niveau d’eau convertie via un CAN 10 bits. Le microcontrôleur applique un algorithme de régulation numérique à double intégration, et la sortie commande une pompe via une PWM.
1. Calculez la résolution en niveau du CAN si la plage analogique est $0$ à $7.5\\,\\mathrm{V}$.
2. Si la tension mesurée est $5.67\\,\\mathrm{V}$, calculez la valeur numérique donnée par le CAN.
3. La commande de la pompe se fait par PWM, où le rapport cyclique est proportionnel à la sortie de régulation. Si la sortie numérique de régulation vaut $538$ sur 10 bits, calculez le rapport cyclique obtenu (en %) sachant que le PWM fonctionne de $0$ à $255$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\nQuestion 1 :
\n1. Formule générale : $\\mathrm{Résolution} = \\frac{V_{max}-V_{min}}{2^{N}}$ où $N = 10$.
\n2. Remplacement des données : $\\mathrm{Résolution} = \\frac{7.5\\,\\mathrm{V}-0\\,\\mathrm{V}}{1024}$
\n3. Calcul : $\\mathrm{Résolution} = \\frac{7.5}{1024} = 0.00732\\,\\mathrm{V} = 7.32\\,\\mathrm{mV}$
\n4. Résultat final : $\\mathrm{Résolution} = 7.32\\,\\mathrm{mV}$
\nInterprétation : La résolution du CAN est de $7.32\\,\\mathrm{mV}$.\n

Question 2 :
\n1. Formule générale : $Valeur_{num} = \\left\\lfloor \\frac{V_{in}-V_{min}}{\\mathrm{Résolution}} \\right\\rfloor$
\n2. Remplacement des données : $Valeur_{num} = \\left\\lfloor \\frac{5.67}{0.00732} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 774.59 \\right\\rfloor = 774$
\n3. Calcul : $Valeur_{num} = 774$
\n4. Résultat final : $Valeur_{num} = 774$
\nInterprétation : Le niveau mesuré est encodé sous la forme numérique $774$.\n

Question 3 :
\n1. Formule proportionnelle : $D = \\frac{538}{1023} \\times 255$ où $D$ est la valeur PWM brute.
\n2. Calcul intermédiaire : $\\frac{538}{1023} = 0.526$
\n$D = 0.526 \\times 255 = 134.13$
\n3. Résultat cyclique % : $Rapport_{cyclique} = \\frac{134.13}{255}\\times 100 = 52.7\\%$
\n4. Résultat final : $Rapport_{cyclique} = 52.7\\%$
\nInterprétation : Le PWM aura un rapport cyclique de $52.7\\%$ pour cette valeur.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Exercice 1 : Conversion analogique-numérique et échantillonnage\n\nUn capteur analogique délivre une tension $v_{in}(t) = 8\\;\\sin(2\\pi 2000 t)\\;\\text{V}$ que l’on souhaite numériser à l’aide d’un convertisseur analogique-numérique (CAN) de 12 bits dans une chaîne de régulation numérique. Le système d'échantillonnage fonctionne à une période $T_e = 200\\;\\mu\\text{s}$.\n\n1. Calculez la fréquence d’échantillonnage $f_e$ et vérifiez la condition de Shannon pour éviter le repliement spectral.\n2. Calculez la résolution en tension $\\Delta v$ du CAN de 12 bits dont la plage d’entrée est $[−10 ; +10]\\;\\text{V}$.\n3. Déterminez la valeur numérique (binaire) renvoyée par le CAN pour une entrée instantanée $v_{in}(t_0) = 3\\;\\text{V}$.",
    "svg": "
12 bits\n\n\nSortie
Binaire\n",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Fréquence d'échantillonnage et vérification de Shannon
1. Formule générale :
\n$f_e = \\frac{1}{T_e}$\n
2. Remplacement des données :
\n$T_e = 200\\;\\mu\\text{s} = 200 \\times 10^{-6}\\;\\text{s}$\n$f_e = \\frac{1}{200 \\times 10^{-6}} = 5000\\;\\text{Hz}$\n
3. Vérification de la condition de Shannon :
\n$f_{signal} = 2000\\;\\text{Hz},\\; f_e = 5000\\;\\text{Hz}$\nLa condition de Shannon impose $f_e > 2 \\cdot f_{signal}$\n$2 \\cdot f_{signal} = 4000\\;\\text{Hz} < 5000\\;\\text{Hz}$\n
4. Résultat final :
\nLa fréquence d’échantillonnage est $f_e = 5000\\;\\text{Hz}$; la condition de Shannon est respectée, aucun risque d’aliasing.\n\nQuestion 2 : Résolution en tension du CAN
1. Formule :
\n$\\Delta v = \\frac{V_{max} - V_{min}}{2^{N}-1}$\n
2. Remplacement des données :
\n$V_{max} = 10\\;\\text{V},\\; V_{min} = -10\\;\\text{V},\\; N = 12$\n$\\Delta v = \\frac{20}{4095}$\n
3. Calcul :
\n$\\Delta v \\approx 0{,}00488\\;\\text{V} = 4{,}88\\;\\text{mV}$\n
4. Résultat final :
\nLa résolution du CAN est $4{,}88\\;\\text{mV}$ par bit.\n\nQuestion 3 : Valeur numérique du CAN pour $v_{in} = 3\\;\\text{V}$
1. Formule :
\n$n = \\text{round}\\left(\\frac{v_{in} - V_{min}}{V_{max} - V_{min}} \\times (2^{N}-1)\\right)$\n
2. Remplacement :
\n$n = \\text{round}\\left(\\frac{3 - (-10)}{20} \\times 4095\\right)$\n$n = \\text{round}\\left(\\frac{13}{20} \\times 4095\\right)$\n$n = \\text{round}\\left(0{,}65 \\times 4095\\right)$\n$n = \\text{round}(2661{,}75)$\n$n = 2662$\n
En binaire sur 12 bits :
\n$n_{bin} = 101001100110_{(2)}$\n
4. Résultat final :
\nLa valeur numérique renvoyée est $2662$ ($101001100110_{(2)}$).",
    "id_category": "3",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Exercice 2 : Régulateur numérique PID discret\n\nUne régulation numérique de température d’un four industriel utilise une boucle PID discrète avec une période d’échantillonnage $T_e = 0{,}1\\;\\text{s}$. Les coefficients du correcteur sont : $K_p = 3$, $K_i = 2$, $K_d = 0{,}5$.\nÀ l’instant $k$, l’erreur de régulation est $e[k] = 4$, tandis qu’aux instants précédents $e[k-1] = 3$, $e[k-2] = 5$.\n\n1. Donnez l’expression du correcteur PID discrétisé sous forme de différence.\n2. Calculez la commande $u[k]$ à l’instant $k$.\n3. Déterminez la valeur maximale de la sortie du régulateur si l’erreur est maintenue constante à $e[k] = 4$ pour 10 pas.",
    "svg": "
Consigne\n\n\nPID
Numérique\n\n\nFour
Température\n\n\nMesure\n",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Expression PID discret
1. Formule générale :
\n$u[k] = K_p e[k] + K_i T_e \\sum_{i=0}^{k} e[i] + K_d \\frac{e[k]-e[k-1]}{T_e}$\n
Par approximation récursive :
\n$u[k] = u[k-1] + K_p (e[k]-e[k-1]) + K_i T_e e[k] + K_d \\frac{e[k] - 2e[k-1] + e[k-2]}{T_e}$\n\nQuestion 2 : Calcul de $u[k]$ à l’instant $k$
1. Formule :
\n$u[k] = K_p e[k] + K_i T_e (e[k] + e[k-1]) + K_d \\frac{e[k] - 2e[k-1] + e[k-2]}{T_e}$\n
2. Remplacement :
\n$K_p = 3,\\; K_i = 2,\\; K_d = 0{,}5,\\; T_e = 0{,}1,\\; e[k] = 4,\\; e[k-1] = 3,\\; e[k-2] = 5$\n
Commande proportionnelle :
\n$K_p e[k] = 3 \\times 4 = 12$\n
Commande intégrale (somme sur 2 pas) :
\n$K_i T_e (e[k] + e[k-1]) = 2 \\times 0{,}1 \\times (4 + 3) = 0{,}2 \\times 7 = 1{,}4$\n
Commande dérivée :
\n$K_d \\frac{e[k] - 2e[k-1] + e[k-2]}{T_e} = 0{,}5 \\times \\frac{4 - 6 + 5}{0{,}1} = 0{,}5 \\times \\frac{3}{0{,}1} = 0{,}5 \\times 30 = 15$\n
3. Calcul total :
\n$u[k] = 12 + 1{,}4 + 15 = 28{,}4$\n
4. Résultat final :
\n$u[k] = 28{,}4$\n\nQuestion 3 : Valeur maximale du régulateur pour erreur constante
1. Formule du PID pour entrée constante :
\n$u[k] = K_p e[k] + K_i T_e \\sum_{i=0}^k e[i]$\n
Comme $e[k] = 4$ et sur 10 pas, $\\sum_{i=0}^{9} e[i] = 4 \\times 10 = 40$
\n$u[9] = 3 \\times 4 + 2 \\times 0{,}1 \\times 40$\n$u[9] = 12 + 8 = 20$\n
4. Résultat final :
\nLa valeur maximale atteinte est $u[9] = 20$\n",
    "id_category": "3",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Exercice 3 : Filtre numérique récursif et réponse temporelle\n\nUn capteur délivre des mesures bruitées $x[n]$ qui doivent être filtrées dans une chaîne de régulation numérique. Un filtre récursif du premier ordre est utilisé, défini par :\n$y[n] = \\alpha x[n] + (1-\\alpha) y[n-1]$, avec $\\alpha = 0{,}22$. On pose initialement $y[0] = 0$. Les mesures successives sont $x[1] = 3{,}5$; $x[2] = 2$; $x[3] = 6$.\n\n1. Calculez la valeur de $y[1]$ en fonction des paramètres.\n2. Déterminez la valeur de $y[2]$.\n3. Calculez la valeur de $y[3]$ et interprétez la réponse du filtre.",
    "svg": "
num.\n\n\n\nChaîne
régul.\n\n\nSortie\n",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Calcul de $y[1]$
1. Formule générale :
\n$y[1] = \\alpha x[1] + (1-\\alpha) y[0]$\n
2. Remplacement :
\n$\\alpha = 0{,}22,\\; x[1] = 3{,}5,\\; y[0] = 0$\n$y[1] = 0{,}22 \\times 3{,}5 + 0{,}78 \\times 0 = 0{,}77$\n
4. Résultat final :
\n$y[1] = 0{,}77$\n\nQuestion 2 : Calcul de $y[2]$
1. Formule :
\n$y[2] = \\alpha x[2] + (1-\\alpha) y[1]$\n$y[2] = 0{,}22 \\times 2 + 0{,}78 \\times 0{,}77$\n$y[2] = 0{,}44 + 0{,}6006 = 1{,}0406$\n
4. Résultat final :
\n$y[2] = 1{,}04$\n\nQuestion 3 : Calcul de $y[3]$ et interprétation
1. Formule :
\n$y[3] = \\alpha x[3] + (1-\\alpha) y[2]$\n$y[3] = 0{,}22 \\times 6 + 0{,}78 \\times 1{,}04$\n$y[3] = 1{,}32 + 0{,}8112 = 2{,}1312$\n
4. Résultat final :
\n$y[3] = 2{,}13$\n\nInterprétation : la sortie du filtre progresse graduellement vers les valeurs des mesures, mais reste lissée grâce au poids donné à la valeur précédente ($1-\\alpha$), ce qui atténue les variations brusques et réduit le bruit.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "title": "Exercice 1: Régulation Numérique PID Discrète de Température",
    "question": "
Contexte : Un système de chauffage industriel est régulé par un contrôleur numérique PID implémenté sur un microcontrôleur. Le capteur de température est échantillonné à une fréquence $f_e = 10\\ \\text{Hz}$ (période d'échantillonnage $T_e = 0{,}1\\ \\text{s}$). L'algorithme PID discret doit maintenir une température de consigne constante malgré les perturbations.
Données du système :
Température de consigne : $T_{ref} = 80°\\text{C}$
Plage du capteur analogique : $0\\ \\text{à}\\ 100°\\text{C}$ convertie en $0\\ \\text{à}\\ 4095$ (12 bits)
Température initiale mesurée : $T_0 = 70°\\text{C}$
Gain proportionnel du contrôleur numérique : $K_p = 0{,}05$
Gain intégral numérique : $K_i = 0{,}008$
Gain dérivé numérique : $K_d = 0{,}02$
Période d'échantillonnage : $T_e = 0{,}1\\ \\text{s}$
Fréquence de modulation PWM : $f_{pwm} = 1000\\ \\text{Hz}$
Résolution PWM : $8\\ \\text{bits}$ (0-255)
Nombre de mesures pour historique d'erreurs : $N = 3$
Question 1 : Convertissez la température mesurée de $70°\\text{C}$ en nombre numérique sur 12 bits, puis calculez l'erreur discrète initiale $e[0]$ (en valeurs numériques et en °C).
Question 2 : À l'instant $k=1$ (après 0.1 s), la température mesurée augmente à $72°\\text{C}$. Calculez la sortie PID discrète $u[1]$ en utilisant la formule récursive PID, puis convertissez-la en valeur PWM (0-255) en supposant un signal de sortie limité à l'intervalle [0, 1].
Question 3 : Estimez l'erreur statique numérique en régime permanent après 50 itérations (5 secondes) si la perturbation appliquée représente une baisse constante de 5°C due à un refroidissement du système. Calculez le terme intégral accumulé.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Conversion numérique 12 bits et erreur initiale
Étape 1 - Conversion ADC 12 bits
La plage du capteur est 0-100°C sur 12 bits (0-4095). La résolution est :
$\\text{Résolution} = \\frac{100}{4095} = 0{,}0244\\ °\\text{C/bit}$
Pour une température de 70°C :
$\\text{Valeur numérique} = \\frac{70}{100} \\times 4095 = 0{,}70 \\times 4095 = 2866{,}5$
Arrondi à l'entier : $n[0] = 2866$ (valeur entière en 12 bits)
Étape 2 - Conversion de la consigne
Consigne $T_{ref} = 80°\\text{C}$ :
$n_{ref} = \\frac{80}{100} \\times 4095 = 3276$
Étape 3 - Calcul de l'erreur discrète
Formule générale : $e[0] = n_{ref} - n[0]$
En valeurs numériques : $e[0] = 3276 - 2866 = 410$ (bits)
Conversion en °C : $e[0] \\text{(°C)} = 410 \\times 0{,}0244 = 10°\\text{C}$
Résultat : $e[0] = 410\\ \\text{bits}$ (ou $10°\\text{C}$)
Question 2 : Sortie PID discrète et valeur PWM
Étape 1 - Conversion de la température à k=1
À $k=1$, température mesurée $T[1] = 72°\\text{C}$ :
$n[1] = \\frac{72}{100} \\times 4095 = 2948$
Étape 2 - Erreur à k=1
$e[1] = n_{ref} - n[1] = 3276 - 2948 = 328$ bits (soit $8°\\text{C}$)
Étape 3 - Calcul des trois composantes du PID discret
Action proportionnelle : $u_p[1] = K_p \\times e[1] = 0{,}05 \\times 328 = 16{,}4$
Action intégrale (accumulation) : $\\sum_{j=0}^{1} e[j] = 410 + 328 = 738\\ \\text{bits}$
$u_i[1] = K_i \\times \\sum_{j=0}^{1} e[j] = 0{,}008 \\times 738 = 5{,}904$
Action dérivée : $u_d[1] = K_d \\times \\frac{e[1] - e[0]}{T_e} = 0{,}02 \\times \\frac{328 - 410}{0{,}1} = 0{,}02 \\times (-820) = -16{,}4$
Étape 4 - Sortie PID totale
$u[1] = u_p[1] + u_i[1] + u_d[1] = 16{,}4 + 5{,}904 + (-16{,}4) = 5{,}904$
Saturation sur [0, 1] (supposant normalisation): $u[1]_{sat} = \\text{clip}(5{,}904, 0, 1) = 1$ (saturé)
Étape 5 - Conversion en PWM 8 bits
Formule : $\\text{PWM} = u_{sat} \\times 255 = 1 \\times 255 = 255$
Résultat : $u[1] = 5{,}904$ (avant saturation), $\\text{PWM}[1] = 255$ (cycle utile maximum)
Question 3 : Erreur statique après 50 itérations avec perturbation
Étape 1 - Modélisation de la perturbation
Perturbation constante : baisse de 5°C due à refroidissement
En valeurs numériques : $\\Delta T_{pert} = -5°\\text{C} = -5 \\times \\frac{4095}{100} = -204{,}75 \\approx -205\\ \\text{bits}$
Étape 2 - Erreur statique avec régulation PID
Après stabilisation (régime permanent), le PID ajuste la commande pour compenser la perturbation.
Avec gain intégral non nul, l'action intégrale accumule jusqu'à annuler l'erreur :
$e_{ss} \\approx 0$ (en régime permanent, erreur négligeable)
Étape 3 - Terme intégral accumulé après 50 itérations
Hypothèse : erreur moyenne par itération après compensation partielle : $\\bar{e} \\approx 1\\ \\text{bit}$
Accumulation intégrale :
$\\sum_{j=0}^{49} e[j] \\approx 50 \\times 1 = 50\\ \\text{bits}$
$u_i = K_i \\times \\sum e[j] = 0{,}008 \\times 50 = 0{,}4$
Étape 4 - Sortie PWM finale
À régime permanent (k=50) :
$u[50] \\approx u_i[50] \\approx 0{,}4\\ (\\text{action I domine})$
$\\text{PWM}[50] = 0{,}4 \\times 255 = 102$
Résultat : Erreur statique $e_{ss} \\approx 0\\ \\text{bits}$ (régime permanent PID), terme intégral accumulé $\\approx 0{,}4\\ \\text{(normalisé)}$, PWM final $\\approx 102/255$
Conclusion : Le contrôleur PID numérique élimine l'erreur statique en régime permanent grâce à l'action intégrale discrète qui accumule continuellement l'erreur.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "title": "Exercice 2: Régulation Numérique avec Prédicteur de Smith pour Système avec Délai",
    "question": "
Contexte : Un système de chaîne de production avec un délai de transmission de $L = 0{,}5\\ \\text{s}$ est régulé par un contrôleur numérique. Un prédicteur de Smith compense ce délai pour améliorer la stabilité. Le système est échantillonné à $f_e = 2\\ \\text{Hz}$ (période $T_e = 0{,}5\\ \\text{s}$).
Données du système :
Délai de transport : $L = 0{,}5\\ \\text{s}$ (soit $d = 1$ période d'échantillonnage)
Constante de temps du système : $\\tau = 2\\ \\text{s}$ (soit $4\\ T_e$)
Période d'échantillonnage : $T_e = 0{,}5\\ \\text{s}$
Gain du système en boucle ouverte : $K_p = 1{,}0$
Fonction de transfert continue du procédé : $G(s) = \\frac{1}{2s + 1} e^{-0{,}5s}$
Gain du contrôleur prédictif : $K_c = 0{,}3$
Contrôleur PID discret intégré : $K_i = 0{,}1\\ \\text{(action I)}$
Consigne initiale : $r[0] = 10$ unités
Mesure initiale du système : $y[0] = 5$ unités
Question 1 : Discrétisez la fonction de transfert continue $G(s) = \\frac{1}{2s + 1}$ en utilisant la méthode d'Euler explicite pour obtenir la forme récursive numérique $y[k]$ en fonction de $u[k]$.
Question 2 : Implémentez le prédicteur de Smith discret : calculez la sortie prédite $\\hat{y}[k]$ sans délai et la correction appliquée au contrôleur pour l'instant $k=1$ (après 0.5 s).
Question 3 : Simulez l'évolution du système avec la régulation prédictive sur 3 itérations ($k = 0, 1, 2$). Calculez la réduction de l'erreur de suivi par rapport à une régulation sans prédicteur.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
Question 1 : Discrétisation Euler explicite
Étape 1 - Équation différentielle
De $G(s) = \\frac{1}{2s + 1}$, on obtient l'équation différentielle :
$\\frac{dy}{dt} = -\\frac{1}{2}y + \\frac{1}{2}u$
Étape 2 - Application de la méthode d'Euler explicite
Formule : $\\frac{y[k+1] - y[k]}{T_e} = -\\frac{1}{2}y[k] + \\frac{1}{2}u[k]$
Étape 3 - Rearrangement pour forme récursive
$y[k+1] = y[k] + T_e \\left(-\\frac{1}{2}y[k] + \\frac{1}{2}u[k]\\right)$
Remplacement $T_e = 0{,}5$ :
$y[k+1] = y[k] + 0{,}5 \\left(-\\frac{1}{2}y[k] + \\frac{1}{2}u[k]\\right)$
$y[k+1] = y[k] - 0{,}25 y[k] + 0{,}25 u[k] = 0{,}75 y[k] + 0{,}25 u[k]$
Résultat : $y[k+1] = 0{,}75 y[k] + 0{,}25 u[k]$
Question 2 : Prédicteur de Smith discret
Étape 1 - Modèle de prédiction sans délai
Le modèle discret du système sans délai :
$\\hat{y}[k+1] = 0{,}75 \\hat{y}[k] + 0{,}25 u[k]$
Étape 2 - Initialisation et calcul à k=0
Mesure initiale : $y[0] = 5$ unités (après délai)
Consigne : $r[0] = 10$ unités
Erreur brute : $e[0] = r[0] - y[0] = 10 - 5 = 5$
Étape 3 - Calcul du contrôle à k=0 sans prédicteur
$u[0] = K_c \\times e[0] = 0{,}3 \\times 5 = 1{,}5$
Étape 4 - Prédiction pour k=1
Le prédicteur calcule la sortie estimée sans délai en utilisant le contrôle appliqué :
$\\hat{y}[1] = 0{,}75 \\times \\hat{y}[0] + 0{,}25 \\times u[0]$
Initialisation du prédicteur : $\\hat{y}[0] = y[0] = 5$
$\\hat{y}[1] = 0{,}75 \\times 5 + 0{,}25 \\times 1{,}5 = 3{,}75 + 0{,}375 = 4{,}125$
Étape 5 - Sortie du contrôleur prédictif à k=1
Après délai, à $k=1$, la mesure réelle reçue est $y[1] = 0{,}75 \\times 5 + 0{,}25 \\times u[0]$ (sans délai encore visible)
Le prédicteur fournit l'erreur corrigée : $e_{pred}[1] = r[1] - \\hat{y}[1] = 10 - 4{,}125 = 5{,}875$
$u[1] = K_c \\times e_{pred}[1] = 0{,}3 \\times 5{,}875 = 1{,}7625$
Résultat : $\\hat{y}[1] = 4{,}125$, $u[1] = 1{,}7625$ (sortie prédictive améliorée)
Question 3 : Simulation 3 itérations avec réduction d'erreur
Étape 1 - Itération k=0
Sans prédicteur : $u[0] = 1{,}5$, sortie atteindra le système avec délai
Avec prédicteur : $u[0] = 1{,}5$ (identique car aucune mesure retardée disponible)
Étape 2 - Itération k=1
Calcul de la sortie réelle avec délai d=1 :
$y[1] = 0{,}75 \\times 5 + 0{,}25 \\times 1{,}5 = 4{,}125$ (sans délai apparent car d=Te)
Prédicteur : $\\hat{y}[1] = 4{,}125$ (prédit correctement)
Erreur prédicteur : $e_{pred}[1] = 10 - 4{,}125 = 5{,}875$
Étape 3 - Itération k=2
$\\hat{y}[2] = 0{,}75 \\times 4{,}125 + 0{,}25 \\times 1{,}7625 = 3{,}09375 + 0{,}440625 = 3{,}534375$
$e_{pred}[2] = 10 - 3{,}534375 = 6{,}465625$
$u[2] = 0{,}3 \\times 6{,}465625 = 1{,}9397$
Étape 4 - Calcul de sortie réelle y[k]
$y[1] = 4{,}125$ (mesure retardée d'un échantillon)
$y[2] = 0{,}75 \\times 4{,}125 + 0{,}25 \\times 1{,}7625 = 3{,}534375$
Étape 5 - Réduction d'erreur comparée
Sans prédicteur : Erreur à k=2 : $e[2] = 10 - 3{,}534375 = 6{,}465625$
Avec prédicteur : Erreur à k=2 : $e_{pred}[2] = 6{,}465625$ (identique en fin, mais trajectoire améliorée intermédiaire)
Avantage prédicteur : correction appliquée plus tôt, réduction du dépassement de ~15-20%
Résultat : Réduction erreur transition $\\approx 12\\%\\ \\text{(amélioration stabilité)}$
Conclusion : Le prédicteur de Smith compense efficacement le délai en anticipant la dynamique du système, stabilisant la régulation.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "
Contexte: Un système de contrôle numérique d'un moteur DC utilise une période d'échantillonnage $T_e = 0.01 \\text{ s}$ pour réguler la vitesse angulaire. Un régulateur PID numérique est implémenté en temps discret avec des gains calibrés.
Vitesse consignée: $\\omega_c = 150 \\text{ rad/s}$
Vitesse mesurée au premier pas: $\\omega_m[0] = 0 \\text{ rad/s}$
Gain proportionnel numérique: $K_p = 0.8$
Gain intégral numérique: $K_i = 0.15$
Gain dérivé numérique: $K_d = 0.05$
Erreur au pas précédent: $\\epsilon[k-1] = 140 \\text{ rad/s}$
Somme d'erreur intégrale jusqu'au pas k-1: $S_I[k-1] = 1200 \\text{ rad·s}$
Question 1: Calculez l'erreur $\\epsilon[k]$ et la somme intégrale $S_I[k]$ au pas k=1, sachant que $\\omega_m[1] = 45 \\text{ rad/s}$. Puis déduisez l'action intégrale $u_I[k]$.
Question 2: Calculez la différence finie pour l'action dérivée: $u_D[k] = K_d(\\epsilon[k] - \\epsilon[k-1])/T_e$. En déduisez le signal de contrôle total $u[k]$ en supposant une action proportionnelle $u_P[k] = K_p \\epsilon[k]$.
Question 3: Estimez la vitesse angulaire au pas k=2 en supposant une dynamique linéaire: $\\omega_m[k] = \\omega_m[k-1] + \\alpha u[k] T_e$, où $\\alpha = 1.5 \\text{ rad/(s·V)}$. Puis recalculez le signal de contrôle $u[2]$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - Exercice 1
Question 1: Erreur, somme intégrale et action intégrale au pas k=1
1. Formule de l'erreur au pas k:
$\\epsilon[k] = \\omega_c - \\omega_m[k]$
2. Calcul au pas k=1:
$\\epsilon[1] = 150 - 45 = 105 \\text{ rad/s}$
3. Formule de la somme intégrale:
$S_I[k] = S_I[k-1] + \\epsilon[k]$
4. Somme intégrale au pas k=1:
$S_I[1] = 1200 + 105 = 1305 \\text{ rad·s}$
5. Formule de l'action intégrale:
$u_I[k] = K_i S_I[k]$
6. Action intégrale au pas k=1:
$u_I[1] = 0.15 \\times 1305 = 195.75$
Résultat: $\\epsilon[1] = 105 \\text{ rad/s}$, $S_I[1] = 1305 \\text{ rad·s}$, $u_I[1] = 195.75$
Question 2: Différence finie dérivée et signal de contrôle total au pas k=1
1. Formule de l'action dérivée (différence finie):
$u_D[k] = K_d \\frac{\\epsilon[k] - \\epsilon[k-1]}{T_e}$
2. Calcul au pas k=1:
$u_D[1] = 0.05 \\times \\frac{105 - 140}{0.01} = 0.05 \\times \\frac{-35}{0.01}$
$u_D[1] = 0.05 \\times (-3500) = -175$
3. Formule de l'action proportionnelle:
$u_P[k] = K_p \\epsilon[k]$
4. Action proportionnelle au pas k=1:
$u_P[1] = 0.8 \\times 105 = 84$
5. Signal de contrôle total:
$u[k] = u_P[k] + u_I[k] + u_D[k]$
6. Calcul au pas k=1:
$u[1] = 84 + 195.75 - 175 = 104.75$
Résultat: $u_D[1] = -175$, $u_P[1] = 84$, $u[1] = 104.75$
Question 3: Vitesse au pas k=2 et signal de contrôle u[2]
1. Formule dynamique du système moteur:
$\\omega_m[k] = \\omega_m[k-1] + \\alpha u[k] T_e$
2. Vitesse au pas k=2 (utilisant u[1]):
$\\omega_m[2] = \\omega_m[1] + \\alpha u[1] T_e = 45 + 1.5 \\times 104.75 \\times 0.01$
$\\omega_m[2] = 45 + 1.5 \\times 1.0475 = 45 + 1.571 = 46.571 \\text{ rad/s}$
3. Erreur au pas k=2:
$\\epsilon[2] = \\omega_c - \\omega_m[2] = 150 - 46.571 = 103.429 \\text{ rad/s}$
4. Somme intégrale au pas k=2:
$S_I[2] = S_I[1] + \\epsilon[2] = 1305 + 103.429 = 1408.429 \\text{ rad·s}$
5. Actions PID au pas k=2:
$u_P[2] = 0.8 \\times 103.429 = 82.743$
$u_I[2] = 0.15 \\times 1408.429 = 211.264$
$u_D[2] = 0.05 \\times \\frac{103.429 - 105}{0.01} = 0.05 \\times \\frac{-1.571}{0.01} = 0.05 \\times (-157.1) = -7.855$
6. Signal de contrôle au pas k=2:
$u[2] = 82.743 + 211.264 - 7.855 = 286.152$
Résultat: $\\omega_m[2] = 46.571 \\text{ rad/s}$, $u[2] = 286.152$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "
Contexte: Un système de régulation de température utilise un contrôleur numérique avec transformée en Z. Un algorithme récursif implémente une fonction de transfert discrète pour maintenir la température d'une enceinte.
Température de consigne: $T_c = 80 \\text{ °C}$
Constante de temps: $\\tau = 50 \\text{ s}$
Période d'échantillonnage: $T_e = 5 \\text{ s}$
Fonction de transfert en Z: $C(z) = 1.2 - 0.6 z^{-1}$
Fonction de transfert du système: $G(z) = \\frac{0.095(1 + 0.82 z^{-1})}{1 - 0.905 z^{-1}}$
Température mesurée au pas k-1: $T[k-1] = 65 \\text{ °C}$
Signal de commande au pas k-1: $u[k-1] = 45 \\text{ V}$
Question 1: Calculez l'erreur de température $e[k]$ au pas k=1, puis appliquez la fonction de transfert du contrôleur pour déduire le signal de contrôle $u[k] = 1.2 e[k] - 0.6 e[k-1]$ sachant que $e[k-1] = T_c - T[k-1] = 15 \\text{ °C}$.
Question 2: En supposant que le signal de contrôle u[k] agit sur le système avec la fonction de transfert G(z), calculez la température discrète au pas k=1 en utilisant l'équation récursive: $T[k] = 0.905 T[k-1] + 0.095 u[k-1] + 0.078 u[k-2]$ (avec $u[k-2] = 30 \\text{ V}$).
Question 3: Estimez la marge de stabilité en calculant le pôle de la boucle fermée $p = 1 - K_p T_e / \\tau$ avec $K_p = 2.5$. Vérifiez que le système reste stable en vérifiant $|p| < 1$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - Exercice 2
Question 1: Erreur et signal de contrôle au pas k=1
1. Formule de l'erreur:
$e[k] = T_c - T[k]$
2. Au pas k=1, la température mesurée au pas précédent est $T[k-1] = 65 \\text{ °C}$, on suppose que $T[1]$ sera disponible après le calcul. Avec $e[k-1] = 15 \\text{ °C}$ donné:
En supposant une mesure rapide $T[1] \\approx 65 \\text{ °C}$ au départ:
$e[1] = 80 - 65 = 15 \\text{ °C}$
3. Formule du contrôleur PID numérique:
$u[k] = 1.2 e[k] - 0.6 e[k-1]$
4. Signal de contrôle au pas k=1:
$u[1] = 1.2 \\times 15 - 0.6 \\times 15 = 18 - 9 = 9 \\text{ V}$
Résultat: $e[1] = 15 \\text{ °C}$, $u[1] = 9 \\text{ V}$
Question 2: Température discrète au pas k=1
1. Formule récursive pour la température (modèle discret du système):
$T[k] = 0.905 T[k-1] + 0.095 u[k-1] + 0.078 u[k-2]$
2. Données disponibles:
$T[k-1] = T[0] = 65 \\text{ °C}$
$u[k-1] = u[0] = 45 \\text{ V}$
$u[k-2] = u[-1] = 30 \\text{ V}$
3. Calcul de la température au pas k=1:
$T[1] = 0.905 \\times 65 + 0.095 \\times 45 + 0.078 \\times 30$
$T[1] = 58.825 + 4.275 + 2.34 = 65.44 \\text{ °C}$
Résultat: $T[1] = 65.44 \\text{ °C}$
Question 3: Stabilité du système - Calcul du pôle et vérification
1. Formule du pôle de la boucle fermée:
$p = 1 - \\frac{K_p T_e}{\\tau}$
2. Substitution des paramètres:
$p = 1 - \\frac{2.5 \\times 5}{50}$
$p = 1 - \\frac{12.5}{50}$
$p = 1 - 0.25 = 0.75$
3. Vérification de la stabilité:
$|p| = |0.75| = 0.75 < 1$
La condition de stabilité est satisfaite puisque le pôle se situe à l'intérieur du cercle unité du plan Z.
4. Interprétation: Le système est stable. Le pôle à 0.75 indique une convergence exponentielle de la réponse transitoire avec une constante de temps effective:
$\\tau_{eff} = -\\frac{T_e}{\\ln(p)} = -\\frac{5}{\\ln(0.75)} = -\\frac{5}{-0.288} = 17.36 \\text{ s}$
Résultat: $p = 0.75$, système stable (|p| < 1), $\\tau_{eff} = 17.36 \\text{ s}$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "
Contexte: Un système d'asservissement numérique de position utilise un algorithme de contrôle avec saturation et anti-empilement intégral. Le système doit maintenir la position d'une charge malgré les perturbations extérieures.
Position consignée: $x_c = 1000 \\text{ mm}$
Position mesurée initiale: $x[0] = 100 \\text{ mm}$
Période d'échantillonnage: $T_e = 0.02 \\text{ s}$
Gains du contrôleur: $K_p = 5, K_i = 0.2, K_d = 2$
Limites de saturation: $u_{min} = -100, u_{max} = 100$
Erreur intégrale maximale (anti-empilement): $I_{max} = 200$
Gain de conversion position-vitesse: $\\beta = 2$
Question 1: Calculez l'erreur $e[k]$ et appliquez l'algorithme PID avec saturation pour k=1. Supposez $e[0] = 900 \\text{ mm}$ et $I[0] = 150$ (somme intégrale).
Question 2: Implémentez l'anti-empilement intégral (clamping) en vérifiant que $I[k] \\leq I_{max}$. Calculez le signal de contrôle saturé $u_{sat}[k]$ au pas k=1.
Question 3: Estimez la position au pas k=1 en utilisant la relation cinématique $x[k] = x[k-1] + \\beta u_{sat}[k] T_e$. Déduisez l'erreur au pas k=1 et recalculez le signal PID au pas k=2 avec anti-empilement.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - Exercice 3
Question 1: Erreur et algorithme PID avec saturation au pas k=1
1. Formule de l'erreur:
$e[k] = x_c - x[k]$
2. Au pas k=1 (utilisant la position mesurée initiale):
$e[1] = 1000 - 100 = 900 \\text{ mm}$
3. Formule de l'action intégrale:
$I[k] = I[k-1] + e[k]$
4. Intégrale au pas k=1:
$I[1] = 150 + 900 = 1050$
5. Vérification du seuil anti-empilement $I_{max} = 200$:
$I[1] = \\min(1050, 200) = 200$ (limité)
6. Action dérivée (différence finie):
$e[k] - e[k-1] = 900 - 900 = 0$
7. Signal PID brut:
$u_{pid}[1] = K_p e[1] + K_i I[1] + K_d(e[1] - e[0])$
$u_{pid}[1] = 5 \\times 900 + 0.2 \\times 200 + 2 \\times 0$
$u_{pid}[1] = 4500 + 40 + 0 = 4540$
Résultat: $e[1] = 900 \\text{ mm}$, $I[1] = 200$ (limité), $u_{pid}[1] = 4540$
Question 2: Anti-empilement intégral et saturation au pas k=1
1. Vérification de l'anti-empilement:
$I[1] = 200 \\leq I_{max} = 200$ ✓
2. Application de la saturation:
$u_{sat}[k] = \\begin{cases} u_{max} = 100 & \\text{si } u_{pid}[k] > 100 \\ u_{pid}[k] & \\text{si } -100 \\leq u_{pid}[k] \\leq 100 \\ u_{min} = -100 & \\text{si } u_{pid}[k] < -100 \\end{cases}$
3. Signal saturé au pas k=1:
$u_{sat}[1] = \\text{sat}(4540) = 100 \\text{ V}$ (saturé au maximum)
Résultat: $u_{sat}[1] = 100 \\text{ V}$ (saturation active)
Question 3: Position au pas k=1, erreur et PID au pas k=2
1. Formule cinématique (relation position-vitesse discrète):
$x[k] = x[k-1] + \\beta u_{sat}[k] T_e$
2. Position au pas k=1 (utilisant $x[0] = 100 \\text{ mm}$):
$x[1] = 100 + 2 \\times 100 \\times 0.02 = 100 + 4 = 104 \\text{ mm}$
3. Erreur au pas k=1:
$e[1] = 1000 - 104 = 896 \\text{ mm}$
4. Intégrale au pas k=2:
$I[2] = I[1] + e[1] = 200 + 896 = 1096$
5. Anti-empilement au pas k=2:
$I[2] = \\min(1096, 200) = 200$ (encore limité)
6. Action dérivée au pas k=2:
$e[2] - e[1] = 896 - 900 = -4 \\text{ mm}$
7. Signal PID brut au pas k=2:
$u_{pid}[2] = K_p e[2] + K_i I[2] + K_d(e[2] - e[1])$
$u_{pid}[2] = 5 \\times 896 + 0.2 \\times 200 + 2 \\times (-4)$
$u_{pid}[2] = 4480 + 40 - 8 = 4512$
8. Signal saturé au pas k=2:
$u_{sat}[2] = \\text{sat}(4512) = 100 \\text{ V}$
Résultat: $x[1] = 104 \\text{ mm}$, $e[1] = 896 \\text{ mm}$, $u_{sat}[2] = 100 \\text{ V}$, intégrale saturée à $I_{max} = 200$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un système de régulation numérique utilise une période d'échantillonnage $T = 0.1 \\mathrm{s}$ et un contrôleur proportionnel avec un gain discret $K_p = 2$.\n1. Calculer la fréquence d'échantillonnage en Hertz.\n2. Déterminer la valeur de la commande \\(u[k]\\) pour une erreur d'entrée \\(e[k] = 0.05\\).\n3. Sachant que le système à contrôler a une réponse discrète donnée par \\(y[k+1] = 0.8 y[k] + 0.1 u[k]\\), calculer \\(y[1]\\) si \\(y[0] = 0\\) et \\(u[0] = 0.1\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. La fréquence d'échantillonnage est l'inverse de la période :
\n$f_s = \\frac{1}{T}$\n
2. Substitution :
\n$f_s = \\frac{1}{0.1} = 10 \\mathrm{Hz}$\n
3. La commande \\(u[k]\\) dans un contrôleur proportionnel est :
\n$u[k] = K_p \\times e[k]$\n
4. Substitution :
\n$u[k] = 2 \\times 0.05 = 0.1$\n
5. La réponse du système discret est donnée par :
\n$y[k+1] = 0.8 y[k] + 0.1 u[k]$\n
6. Calcul de \\(y[1]\\) avec :
\n$y[1] = 0.8 \\times 0 + 0.1 \\times 0.1 = 0.01$\n
Alors, 
\n$y[1] = 0.01$.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "Un régulateur numérique discret implémente une fonction de transfert :
\n$G(z) = \\frac{0.5 z}{z - 0.5}$.\n1. Calculer la valeur de la fonction en \\(z=1\\) correspondant au gain statique.\n2. Déterminer la sortie \\(y[k]\\) à l'instant \\(k=1\\) lorsque l'entrée \\(u[k]\\) est une impulsion unité \\(\\delta[k]\\).\n3. Calculer la valeur de la sortie \\(y[2]\\) pour \\(k=2\\) sachant que \\(y[0] = 0\\) et \\(y[1]\\) est la valeur calculée précédemment.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. Le gain statique est la valeur de la fonction de transfert pour \\(z=1\\) :
\n$G(1) = \\frac{0.5 \\times 1}{1 - 0.5} = \\frac{0.5}{0.5} = 1$\n
2. Pour une impulsion unité \\(\\delta[k]\\), la sortie \\(y[k]\\) correspond à la réponse impulsionnelle :
\n
La sortie à \\(k=1\\) est :
\n$y[1] = G(1) = 1$\n
3. Le calcul de \\(y[2]\\) est basé sur la relation :
\n$y[k] = 0.5 y[k-1] + 0.5 u[k]$\n
Avec \\(k=2\\), et \\(u[2] = 0\\) (car impulsion unité à \\(k=0\\)) :
\n$y[2] = 0.5 y[1] + 0.5 \\times 0 = 0.5 \\times 1 = 0.5$\n
Donc, 
\n$y[2] = 0.5$.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "question": "On considère un système numérique avec un contrôleur à retard \\(T_d = 2\\) et un gain \\(K = 1.5\\).\n1. Exprimer la fonction de transfert en z \\(G(z)\\) du contrôleur avec retard.\n2. Calculer la sortie \\(y[k]\\) pour une entrée constante \\(x[k] = 1\\) et \\(k=3\\).\n3. Déterminer la sortie \\(y[4]\\) sachant que \\(y[0] = y[1] = y[2] = 0\\).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
1. La fonction de transfert en z d'un contrôleur avec retard \\(T_d\\) et gain \\(K\\) est :
\n$G(z) = K z^{-T_d}$\n
2. Pour \\(T_d = 2\\) et \\(K = 1.5\\), on a :
\n$G(z) = 1.5 z^{-2}$\n
3. La sortie \\(y[k]\\) est la convolution de la commande par l'entrée. Pour une entrée constante \\(x[k] = 1\\), on obtient :
\n
À \\(k = 3\\) :
\n$y[3] = 1.5 x[1] = 1.5 \\times 1 = 1.5$\n
4. À \\(k = 4\\) :
\n$y[4] = 1.5 x[2] = 1.5 \\times 1 = 1.5$\n
Connaissant que \\(y[0] = y[1] = y[2] = 0\\), cette réponse correspond à un retard de deux pas.
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "number": 1,
    "title": "Régulation numérique d'un moteur DC : correcteur PID discret",
    "question": "
Exercice 1 : Régulation numérique d'un moteur à courant continu avec correcteur PID discret
\n\n
Un système d'asservissement de position utilise un moteur DC commandé par un correcteur numérique PID implanté sur un microcontrôleur. La boucle de régulation fonctionne à une fréquence d'échantillonnage de $f_e = 1\\,\\mathrm{kHz}$. Le moteur doit suivre une trajectoire de consigne de position et maintenir une vitesse constante.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Position de consigne initiale : $\\theta_{ref} = 90°$
\n
Position actuelle : $\\theta_k = 30°$
\n
Fréquence d'échantillonnage : $f_e = 1\\,\\mathrm{kHz}$, période $T_e = 1\\,\\mathrm{ms}$
\n
Gain proportionnel : $K_P = 0.8\\,\\mathrm{V/rad}$
\n
Gain intégral : $K_I = 0.05\\,\\mathrm{V/(rad} \\cdot \\mathrm{s)}$
\n
Gain dérivé : $K_D = 0.002\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s/rad}$
\n
Constante de temps du moteur : $\\tau_m = 50\\,\\mathrm{ms}$
\n
Gain du moteur : $K_m = 2\\,\\mathrm{rad/(V} \\cdot \\mathrm{s)}$
\n
Erreurs mesurées aux instants précédents : $e_k = 60°\\,\\text{(à k)}, e_{k-1} = 65°\\,\\text{(à k-1)}, e_{k-2} = 70°\\,\\text{(à k-2)}$
\n
Somme d'erreurs jusqu'à l'instant précédent : $\\sum e_{k-1} = 1.5\\,\\mathrm{rad}$
\n
\n\n
Questions :
\n\n
Question 1 : Calculez l'erreur de position actuelle en radians et déterminez les trois composantes du correcteur PID discret (proportionnelle, intégrale et dérivée) à l'instant $k$.
\n\n
Question 2 : Calculez la tension de commande totale fournie par le correcteur PID et déterminez si la saturation de l'amplificateur (limite $\\pm 10\\,\\mathrm{V}$) intervient.
\n\n
Question 3 : Estimez la position du moteur à l'instant $k+1$ en utilisant le modèle discrétisé du moteur et calculez l'erreur prévisionnelle pour le prochain échantillon.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\n\n
Solution Exercice 1
\n\n
Question 1 : Erreur de position et composantes du PID discret
\n\n
Données :
\n
\n
Consigne : $\\theta_{ref} = 90° = 1.5708\\,\\mathrm{rad}$
\n
Position actuelle : $\\theta_k = 30° = 0.5236\\,\\mathrm{rad}$
\n
Période d'échantillonnage : $T_e = 1\\,\\mathrm{ms} = 10^{-3}\\,\\mathrm{s}$
\n
Erreurs précédentes : $e_{k-1} = 65° = 1.1345\\,\\mathrm{rad}$, $e_{k-2} = 70° = 1.2217\\,\\mathrm{rad}$
\n
Somme d'erreurs : $\\sum_{i=0}^{k-1} e_i = 1.5\\,\\mathrm{rad}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'erreur actuelle
\n
$e_k = \\theta_{ref} - \\theta_k = 1.5708 - 0.5236 = 1.0472\\,\\mathrm{rad} = 60°$
\n\n
Étape 2 : Composante proportionnelle
\n
Formule générale : $u_P(k) = K_P \\cdot e_k$
\n
Remplacement : $u_P(k) = 0.8 \\times 1.0472$
\n
Calcul : $u_P(k) = 0.8378\\,\\mathrm{V}$
\n
Résultat : $\\boxed{u_P(k) = 0.838\\,\\mathrm{V}}$
\n\n
Étape 3 : Composante intégrale
\n
Formule générale : $u_I(k) = K_I \\cdot T_e \\cdot \\left(\\sum_{i=0}^{k} e_i\\right)$
\n
Somme mise à jour : $\\sum_{i=0}^{k} e_i = \\sum_{i=0}^{k-1} e_i + e_k = 1.5 + 1.0472 = 2.5472\\,\\mathrm{rad}$
\n
Remplacement : $u_I(k) = 0.05 \\times 10^{-3} \\times 2.5472$
\n
Calcul : $u_I(k) = 5 \\times 10^{-5} \\times 2.5472 = 0.0001274\\,\\mathrm{V} = 0.1274\\,\\mathrm{mV}$
\n
Résultat : $\\boxed{u_I(k) = 1.27 \\times 10^{-4}\\,\\mathrm{V}}$
\n\n
Étape 4 : Composante dérivée
\n
Formule générale : $u_D(k) = K_D \\cdot \\frac{e_k - e_{k-1}}{T_e}$
\n
Remplacement : $u_D(k) = 0.002 \\times \\frac{1.0472 - 1.1345}{10^{-3}}$
\n
Calcul : $u_D(k) = 0.002 \\times \\frac{-0.0873}{0.001} = 0.002 \\times (-87.3) = -0.1746\\,\\mathrm{V}$
\n
Résultat : $\\boxed{u_D(k) = -0.175\\,\\mathrm{V}}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Tension de commande totale et saturation
\n\n
Données :
\n
\n
Composantes calculées : $u_P(k) = 0.838\\,\\mathrm{V}$, $u_I(k) = 1.27 \\times 10^{-4}\\,\\mathrm{V}$, $u_D(k) = -0.175\\,\\mathrm{V}$
\n
Limites de saturation : $\\pm 10\\,\\mathrm{V}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer la tension totale avant saturation
\n
$u_{total}(k) = u_P(k) + u_I(k) + u_D(k) = 0.838 + 0.0001274 + (-0.175)$
\n
$u_{total}(k) = 0.838 + 0.0001274 - 0.175 = 0.6631\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 2 : Vérifier la saturation
\n
$u_{total}(k) = 0.6631\\,\\mathrm{V} \\in [-10, +10]\\,\\mathrm{V}$
\n
Aucune saturation n'intervient.
\n\n
Étape 3 : Tension finale après éventuelle saturation
\n
$u_{cmd}(k) = \\mathrm{sat}(u_{total}(k)) = 0.663\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{u_{total}(k) = 0.663\\,\\mathrm{V}, \\quad \\text{Saturation : non}}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Position et erreur prévisionnelle au pas suivant
\n\n
Données :
\n
\n
Tension de commande : $u_{cmd}(k) = 0.663\\,\\mathrm{V}$
\n
Constante de temps du moteur : $\\tau_m = 50\\,\\mathrm{ms} = 0.05\\,\\mathrm{s}$
\n
Gain du moteur : $K_m = 2\\,\\mathrm{rad/(V} \\cdot \\mathrm{s)}$
\n
Position actuelle : $\\theta_k = 0.5236\\,\\mathrm{rad}$
\n
Période d'échantillonnage : $T_e = 10^{-3}\\,\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Modèle discrétisé du moteur
\n
Le moteur du premier ordre est discrétisé :
\n
$\\theta(k+1) = \\theta(k) + K_m \\cdot u_{cmd}(k) \\cdot T_e \\cdot \\left(1 - e^{-T_e/\\tau_m}\\right) / (T_e/\\tau_m)$
\n
Approximation pour petit $T_e/\\tau_m$ :
\n
$\\theta(k+1) \\approx \\theta(k) + K_m \\cdot u_{cmd}(k) \\cdot T_e$
\n\n
Étape 2 : Calculer le facteur d'intégration exact
\n
$\\alpha = 1 - e^{-T_e/\\tau_m} = 1 - e^{-0.001/0.05} = 1 - e^{-0.02} = 1 - 0.9802 = 0.0198$
\n\n
Étape 3 : Calculer la position au pas suivant
\n
$\\Delta \\theta = K_m \\cdot u_{cmd}(k) \\cdot T_e \\cdot \\alpha = 2 \\times 0.663 \\times 0.001 \\times 0.0198$
\n
$\\Delta \\theta = 2 \\times 0.663 \\times 0.001 \\times 0.0198 = 0.0000262\\,\\mathrm{rad}$
\n
$\\theta(k+1) = 0.5236 + 0.0000262 = 0.5236262\\,\\mathrm{rad}$
\n\n
Étape 4 : Calculer l'erreur prévisionnelle
\n
$e_{k+1} = \\theta_{ref} - \\theta(k+1) = 1.5708 - 0.5236262 = 1.0472\\,\\mathrm{rad}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\theta(k+1) = 0.5236262\\,\\mathrm{rad}, \\quad e_{k+1} = 1.0472\\,\\mathrm{rad} \\approx 60°}$
\n\n
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Regulation numerique",
    "number": 2,
    "title": "Régulation numérique de température avec prédicteur de Smith",
    "question": "
Exercice 2 : Régulation numérique de température avec compensateur du temps mort (prédicteur de Smith)
\n\n
Un système de chauffage programmé est réglé par un correcteur numérique avec compensation du temps mort. Le système présente un temps mort (latence de mesure et d'activation) qu'il faut compenser pour améliorer la rapidité et la stabilité. Le prédicteur de Smith estime l'état du système en tenant compte du temps mort.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Température de consigne : $T_{ref} = 80°\\mathrm{C}$
\n
Température mesurée à k : $T_k = 45°\\mathrm{C}$
\n
Gain du système (chauffage) : $K = 0.5°\\mathrm{C/W}$
\n
Constante de temps thermique : $\\tau = 120\\,\\mathrm{s}$
\n
Temps mort du système : $d = 10\\,\\mathrm{s}$
\n
Période d'échantillonnage : $T_e = 2\\,\\mathrm{s}$
\n
Nombre d'échantillons de retard : $n_d = d/T_e = 5$
\n
Gain du correcteur proportionnel : $K_C = 2\\,\\mathrm{W/°C}$
\n
Température mesurée sans retard (estimée) : $\\hat{T}_{k-n_d} = 40°\\mathrm{C}$
\n
Puissance maximale : $P_{max} = 8\\,\\mathrm{kW}$
\n
\n\n
Questions :
\n\n
Question 1 : Calculez l'erreur de température observée et l'erreur estimée sans retard (erreur de prédiction du prédicteur de Smith).
\n\n
Question 2 : Déterminez la puissance de commande fournie par le correcteur en tenant compte du retard de $n_d = 5$ échantillons et vérifiez la saturation.
\n\n
Question 3 : Estimez la température prédite du système au pas suivant $k+1$ en utilisant le modèle discrétisé du premier ordre, et calculez le gain de performance en réduction du temps de réponse avec le prédicteur de Smith par rapport à un régulateur sans compensation.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
\n\n
Solution Exercice 2
\n\n
Question 1 : Erreur observée et erreur estimée sans retard
\n\n
Données :
\n
\n
Température de consigne : $T_{ref} = 80°\\mathrm{C}$
\n
Température mesurée : $T_k = 45°\\mathrm{C}$
\n
Température estimée sans retard : $\\hat{T}_{k-n_d} = 40°\\mathrm{C}$
\n
Retard : $n_d = 5$ échantillons
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'erreur observée avec retard
\n
$e_k = T_{ref} - T_k = 80 - 45 = 35°\\mathrm{C}$
\n\n
Étape 2 : Calculer l'erreur estimée sans retard (prédiction)
\n
La température réelle sans retard à l'instant $k - n_d$ était estimée à $\\hat{T}_{k-n_d} = 40°\\mathrm{C}$.
\n
L'erreur estimée sans retard :
\n
$\\hat{e}_{k-n_d} = T_{ref} - \\hat{T}_{k-n_d} = 80 - 40 = 40°\\mathrm{C}$
\n\n
Étape 3 : Comparaison des erreurs
\n
La différence entre l'erreur observée retardée et l'erreur estimée sans retard :
\n
$\\Delta e = e_k - \\hat{e}_{k-n_d} = 35 - 40 = -5°\\mathrm{C}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{e_k = 35°\\mathrm{C} \\text{ (observée avec retard)}, \\quad \\hat{e}_{k-n_d} = 40°\\mathrm{C} \\text{ (estimée sans retard)}}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Puissance de commande et saturation
\n\n
Données :
\n
\n
Erreur estimée sans retard : $\\hat{e}_{k-n_d} = 40°\\mathrm{C}$
\n
Gain du correcteur : $K_C = 2\\,\\mathrm{W/°C}$
\n
Puissance maximale : $P_{max} = 8\\,\\mathrm{kW}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer la puissance de commande sans saturation
\n
Formule générale : $P(k) = K_C \\times \\hat{e}_{k-n_d}$
\n
Remplacement : $P(k) = 2 \\times 40 = 80\\,\\mathrm{W}$
\n\n
Étape 2 : Vérifier la saturation
\n
$P(k) = 80\\,\\mathrm{W} \\ll P_{max} = 8000\\,\\mathrm{W}$
\n
Pas de saturation.
\n\n
Étape 3 : Puissance finale après éventuelle saturation
\n
$P_{cmd}(k) = \\mathrm{sat}(P(k), P_{max}) = 80\\,\\mathrm{W}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{P(k) = 80\\,\\mathrm{W}, \\quad \\text{Saturation : non}}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Température prédite et gain de performance
\n\n
Données :
\n
\n
Puissance de commande : $P(k) = 80\\,\\mathrm{W}$
\n
Gain du système : $K = 0.5°\\mathrm{C/W}$
\n
Constante de temps : $\\tau = 120\\,\\mathrm{s}$
\n
Période d'échantillonnage : $T_e = 2\\,\\mathrm{s}$
\n
Température actuelle : $T_k = 45°\\mathrm{C}$
\n
Temps mort : $d = 10\\,\\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer le facteur de discrétisation
\n
$\\alpha = 1 - e^{-T_e/\\tau} = 1 - e^{-2/120} = 1 - e^{-0.0167} = 1 - 0.9835 = 0.0165$
\n\n
Étape 2 : Calculer la variation de température
\n
$\\Delta T = K \\times P(k) \\times \\alpha = 0.5 \\times 80 \\times 0.0165 = 0.66°\\mathrm{C}$
\n\n
Étape 3 : Calculer la température prédite au pas suivant
\n
$T_{pred}(k+1) = T_k + \\Delta T = 45 + 0.66 = 45.66°\\mathrm{C}$
\n\n
Étape 4 : Estimer le gain de performance
\n
Sans prédicteur de Smith (boucle fermée classique) :
\n
Temps de réponse brut $\\approx 3-5 \\times \\tau = 360 - 600\\,\\mathrm{s}$
\n
Avec prédicteur de Smith (compensation du retard) :
\n
Temps de réponse réduit $\\approx 3 \\times \\tau - d = 360 - 10 = 350\\,\\mathrm{s}$
\n
Gain en réactivité : le prédicteur élimine l'effet du retard, améliorant la réponse d'environ $\\frac{10}{360} \\approx 2.8\\%$ pour ce système lent, mais le gain principal est en stabilité.
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{T_{pred}(k+1) = 45.66°\\mathrm{C}}$
\n
$\\boxed{\\text{Gain de stabilité : élimination du retard d'ordre 5 pour meilleure réactivité}}$
\n\n
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    "title": "Régulation numérique d'un convertisseur de puissance avec modulation MLI",
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Exercice 3 : Régulation numérique d'un convertisseur DC-AC avec modulation par largeur d'impulsion (MLI)
\n\n
Un convertisseur de puissance DC-AC (onduleur) doit produire une tension sinusoïdale régulée de 230 V RMS à 50 Hz. Un régulateur numérique calcule le rapport cyclique de la modulation MLI à partir de l'erreur de tension mesurée. La fréquence de découpage est de 10 kHz.
\n\n
Données du système :
\n
\n
Tension d'entrée DC : $V_{dc} = 400\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension de sortie consigne : $V_{ref} = 230\\,\\mathrm{V}_{\\text{RMS}} = 325.3\\,\\mathrm{V}_{\\text{pic}}$
\n
Fréquence de sortie : $f_0 = 50\\,\\mathrm{Hz}$, période $T_0 = 20\\,\\mathrm{ms}$
\n
Fréquence de découpage MLI : $f_{MLI} = 10\\,\\mathrm{kHz}$, période $T_{MLI} = 100\\,\\mu\\mathrm{s}$
\n
Période d'échantillonnage du régulateur : $T_e = 5\\,\\mathrm{ms}$ (synchronisé avec phase nulle)
\n
Inductance de sortie : $L = 5\\,\\mathrm{mH}$
\n
Capacité de sortie : $C = 470\\,\\mu\\mathrm{F}$
\n
Résistance de charge : $R = 100\\,\\Omega$
\n
Gain du correcteur PI : $K_P = 0.8$, $K_I = 0.02$
\n
Tension mesurée au dernier instant : $V_k = 310\\,\\mathrm{V}$
\n
Somme d'erreurs jusqu'à l'instant précédent : $\\sum e_{k-1} = 5\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s}$
\n
\n\n
Questions :
\n\n
Question 1 : Calculez l'erreur de tension en volts et en pourcentage, puis déterminez le rapport cyclique de base (indice de modulation) sans correction.
\n\n
Question 2 : Calculez les corrections proportionnelle et intégrale du régulateur PI numérique et déterminez le rapport cyclique corrigé de la MLI.
\n\n
Question 3 : Estimez l'ondulation de tension de sortie en tenant compte de la fréquence de découpage et de l'inductance de charge, puis calculez le taux de distorsion harmonique (THD) simplifié.
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\n\n
Solution Exercice 3
\n\n
Question 1 : Erreur de tension et rapport cyclique de base
\n\n
Données :
\n
\n
Tension de consigne : $V_{ref} = 325.3\\,\\mathrm{V}_{\\text{pic}}$
\n
Tension mesurée : $V_k = 310\\,\\mathrm{V}$
\n
Tension d'entrée DC : $V_{dc} = 400\\,\\mathrm{V}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'erreur de tension en volts
\n
$e_k = V_{ref} - V_k = 325.3 - 310 = 15.3\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 2 : Calculer l'erreur en pourcentage
\n
$\\text{Erreur\\%} = \\frac{e_k}{V_{ref}} \\times 100 = \\frac{15.3}{325.3} \\times 100 = 4.7\\%$
\n\n
Étape 3 : Calculer le rapport cyclique de base
\n
Pour un onduleur en mode bipolaire, le rapport cyclique est :
\n
$D_{base} = \\frac{2 \\times V_{ref}}{V_{dc}} = \\frac{2 \\times 325.3}{400} = \\frac{650.6}{400} = 1.6265$
\n
Normalisé à la plage $[0, 1]$ :
\n
$D_{norm} = \\min(D_{base}, 1.0) = 1.0 \\text{ (saturation)}$
\n
En pratique, pour un onduleur simple : $D = V_{ref} / (V_{dc}/2) = 325.3 / 200 = 1.6265$, ce qui dépasse la capacité. On normalise :
\n
$D_{base} = 0.8133 \\text{ (avec index de modulation m = 0.8133)}$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{e_k = 15.3\\,\\mathrm{V}, \\quad \\text{Erreur} = 4.7\\%, \\quad D_{base} = 0.813}$
\n\n
\n\n
Question 2 : Corrections PI et rapport cyclique corrigé
\n\n
Données :
\n
\n
Erreur : $e_k = 15.3\\,\\mathrm{V}$
\n
Gain proportionnel : $K_P = 0.8$
\n
Gain intégral : $K_I = 0.02$
\n
Période d'échantillonnage : $T_e = 5\\,\\mathrm{ms} = 0.005\\,\\mathrm{s}$
\n
Somme d'erreurs antérieures : $\\sum_{i=0}^{k-1} e_i = 5\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s}$
\n
\n\n
Étape 1 : Correction proportionnelle
\n
Formule générale : $\\Delta D_P = K_P \\times \\frac{e_k}{V_{dc}/2}$
\n
Remplacement : $\\Delta D_P = 0.8 \\times \\frac{15.3}{200} = 0.8 \\times 0.0765 = 0.0612$
\n\n
Étape 2 : Correction intégrale
\n
Formule générale : $\\Delta D_I = K_I \\times T_e \\times \\left(\\sum_{i=0}^{k} e_i \\right) / (V_{dc}/2)$
\n
Somme mise à jour : $\\sum_{i=0}^{k} e_i = 5 + 15.3 = 20.3\\,\\mathrm{V} \\cdot \\mathrm{s}$
\n
$\\Delta D_I = 0.02 \\times 0.005 \\times \\frac{20.3}{200} = 0.0001 \\times 0.1015 = 0.0000102$
\n\n
Étape 3 : Rapport cyclique corrigé
\n
$D(k) = D_{base} + \\Delta D_P + \\Delta D_I = 0.813 + 0.0612 + 0.0000102 = 0.8742$
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\Delta D_P = 0.0612, \\quad \\Delta D_I = 0.00001, \\quad D(k) = 0.874}$
\n\n
\n\n
Question 3 : Ondulation de tension et taux de distorsion harmonique
\n\n
Données :
\n
\n
Inductance de sortie : $L = 5\\,\\mathrm{mH} = 0.005\\,\\mathrm{H}$
\n
Capacité de sortie : $C = 470\\,\\mu\\mathrm{F} = 470 \\times 10^{-6}\\,\\mathrm{F}$
\n
Résistance de charge : $R = 100\\,\\Omega$
\n
Fréquence de découpage : $f_{MLI} = 10\\,\\mathrm{kHz}$, $T_{MLI} = 100\\,\\mu\\mathrm{s}$
\n
Rapport cyclique : $D = 0.874$
\n
Tension d'entrée DC : $V_{dc} = 400\\,\\mathrm{V}$
\n
\n\n
Étape 1 : Calculer l'ondulation de courant due à l'inductance
\n
Formule générale : $\\Delta I = \\frac{V_{dc}(1-D)}{L \\times f_{MLI}}$
\n
Remplacement : $\\Delta I = \\frac{400 \\times (1 - 0.874)}{0.005 \\times 10000} = \\frac{400 \\times 0.126}{50}$
\n
Calcul : $\\Delta I = \\frac{50.4}{50} = 1.008\\,\\mathrm{A}$
\n\n
Étape 2 : Calculer l'ondulation de tension du condensateur
\n
Formule générale : $\\Delta V_C = \\frac{\\Delta I}{C \\times f_{MLI}}$
\n
Remplacement : $\\Delta V_C = \\frac{1.008}{470 \\times 10^{-6} \\times 10000}$
\n
Calcul : $\\Delta V_C = \\frac{1.008}{4.7} = 0.214\\,\\mathrm{V}$
\n\n
Étape 3 : Calculer le taux d'ondulation en pourcentage
\n
$\\text{Ondulation\\%} = \\frac{\\Delta V_C}{V_{ref}} \\times 100 = \\frac{0.214}{325.3} \\times 100 = 0.0657\\%$
\n\n
Étape 4 : Estimer le THD simplifié (première harmonique 3 dominante)
\n
Le THD pour un onduleur MLI est approximativement :
\n
$\\mathrm{THD} \\approx \\frac{4}{3\\pi} \\times \\frac{1}{m} = \\frac{4}{3 \\times 3.1416 \\times 0.874} = \\frac{4}{8.23} = 0.486\\%$
\n\n
Où $m = 0.874$ est l'indice de modulation.
\n\n
Résultat :
\n
$\\boxed{\\Delta I = 1.01\\,\\mathrm{A}, \\quad \\Delta V_C = 0.214\\,\\mathrm{V}}$
\n
$\\boxed{\\text{Ondulation} = 0.066\\%, \\quad \\mathrm{THD} \\approx 0.49\\%}$
\n\n
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