- Test échelon 20% vanne
- Retard avant réaction: 10 secondes
- Température atteint 90°C en régime permanent
- Temps total réponse: 200 secondes
a) Modèle mathématique du système:
Observation graphique:
- Retard pur 10s (mort-temps L = 10s)
- Croissance exponentielle sans dépassement (1er ordre)
- Asymptote 90°C (gain statique)
Classification: Système 1er ordre avec retard pur
b) Fonction de transfert:
Gain statique:
$K = \\frac{\\Delta T_{ss}}{\\Delta U \\%} = \\frac{90°C}{20\\%} = 4.5$ °C par % vanne
Constante temps (règle des 63% amplitude):
$T_{63\\%} = 0.63 \\times 90 = 56.7°C$ atteint à t ~ 10s + τ
En observant courbe, 90% à t = 200s →
$\\tau = \\frac{200 - 10}{2.3} ≈ 83$ secondes (règle 2.3τ pour 90%)
Fonction de transfert:
$\\boxed{G(s) = \\frac{4.5 e^{-10s}}{1 + 83s}}$
c) Pour échelon 10% (moitié):
$\\Delta T_{10\\%} = (10\\% / 20\\%) \\times 90 = 45°C$
Même dynamique (fonction linéaire):
$T(t) = 45(1 - e^{-(t-10)/83}) \\text{ pour } t \\geq 10s$
Résultat:
$\\boxed{T_{ss,10\\%} = 45°C, \\quad \\tau = 83 \\text{ s (inchangée)}}$
d) Dynamique dominant:
$\\boxed{\\tau = 83 \\text{ secondes (dominante)}}$
Retard pur 10s secondaire mais non négligeable (10/83 ≈ 12% du temps constant)
e) Stabilité boucle ouverte:
$\\text{Poles: } s = -1/83 ≈ -0.012$ (réel, négatif) → STABLE$
$\\text{Pas d'oscillation (1er ordre + retard)} \\Rightarrow \\text{STABLE asymptotiquement}$
Résultat:
$\\boxed{\\text{Système stable, aperiodique, pas oscillation}}$
Solution Question 2: Boucle Fermée Simple
a) Fonction de transfert boucle fermée (proportionnel K = 1):
Configuration feedback:
$H(s) = \\frac{K G(s)}{1 + K G(s)} = \\frac{K \\times 4.5 e^{-10s} / (1+83s)}{1 + K \\times 4.5 e^{-10s} / (1+83s)}$
$= \\frac{4.5 e^{-10s}}{83s + 1 + 4.5 e^{-10s}}$ (K=1)
Approximation (retard négligé pour analyse simplifié):
$H(s) ≈ \\frac{4.5}{83s + 1 + 4.5} = \\frac{4.5}{83s + 5.5}$
Résultat:
$\\boxed{H(s) = \\frac{4.5}{83s + 5.5}}$
b) Stabilité poles boucle fermée:
$\\text{Pole: } s = -5.5/83 = -0.066$ (réel, négatif) → STABLE
c) Erreur statique:
$\\text{Erreur statique pour échelon (Théorème valeur finale)}$
$e(\\infty) = \\lim_{s \\to 0} s E(s) = \\lim_{s \\to 0} s \\times (R(s) - Y(s))$
$\\text{Avec régulation P: type 0 → erreur permanente}$
$e(\\infty) = \\frac{R}{1 + K G(0)} = \\frac{80}{1 + 1 \\times 4.5} = \\frac{80}{5.5} = 14.5°C$ (énorme!)
Résultat:
$\\boxed{\\text{Erreur statique } = 14.5°C \\text{ (inacceptable)}}$
d) Temps de réponse boucle fermée:
$\\tau_{BF} = 83 / 5.5 = 15.1$ secondes
e) Proposition régulateur:
$\\text{Erreur statique inacceptable → ajouter action intégrale (PI ou PID)}$
Résultat:
$\\boxed{\\text{Régulateur PI recommandé}}$
Solution Question 3: Régulateur PI - Ziegler-Nichols
a) Gain critique et fréquence (méthode premier ordre + retard):
Pour système 1er ordre + retard: K_c ≈ (1 + τ/L) / (K × e^(πL/τ))
$K_c = (1 + 83/10) / (4.5 \\times e^{3.14 \\times 10 / 83}) = 9.3 / (4.5 \\times e^{0.378}) = 9.3 / (4.5 \\times 1.46) = 1.4$
Fréquence critique:
$\\omega_c = \\pi / (2 \\sqrt{\\tau L}) = 3.14 / (2 \\sqrt{83 \\times 10}) = 3.14 / (2 \\times 28.8) = 0.054$ rad/s
Période:
$T_u = 2\\pi / \\omega_c = 116$ secondes
b) Paramètres PI Ziegler-Nichols:
$K_p = 0.45 K_c = 0.45 \\times 1.4 = 0.63$ V/°C
$T_i = 1.2 T_u = 1.2 \\times 116 = 139$ secondes
Résultat:
$\\boxed{K_p = 0.63 \\text{ V/°C}, \\quad T_i = 139 \\text{ s}, \\quad K_i = K_p/T_i = 0.0045 \\text{ s}^{-1}}$
c) Fonction de transfert régulateur PI:
$C_{PI}(s) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right) = 0.63 \\left(1 + \\frac{1}{139s}\\right)$
d) Réponse système + PI (simulation indicielle):
Prédictions qualitatives:
- Erreur statique éliminée (action intégrale)
- Dépassement ~ 15-20% (régulation PI typique)
- Temps établissement ~ 3-4 × τ_BF ≈ 50-60 secondes
e) Justification PI vs P:
$\\text{PI: élimine erreur offset, meilleur suivi perturbations, peu d'overshoot supplémentaire}$
Solution Question 4: Rejet Perturbations
a) Modélisation perturbation charge (10 kW ajoutée):
$\\Delta P = +10 \\text{ kW} \\Rightarrow \\Delta T_{perturbation} = \\Delta P / (C \\times \\dot{m})$
Sans compensation, croissance environ 5-8°C jusqu'à nouveau point équilibre
b-e) Réaction système PI:
Intégration lente (T_i = 139s long) mais progressive élimine perturbation
Améliorations proposées:
- Réduire T_i (~50-70s): améliore rejet mais risque overshoot
- Ajouter action dérivée (PID): anticipe perturbation via terme dT/dt
Solution Question 5: Synthèse
a-e) Comparaison complète régulateurs et recommandation finale:
| Régulateur | Erreur statique | Temps réponse | Overshoot | Rejet perturb | Complexité |
|-----------|---------|---------|---------|---------|---------|
| P | 14.5°C | 15s | 0% | Mauvais | Très simple |
| PI | 0°C | 50s | 15% | Très bon | Simple |
| PID | 0°C | 30s | 5% | Excellent | Modéré |
Recommandation industrielle: PI (bon compromis performance/complexité)
Tuning final: K_p = 0.63, T_i = 100s (légère réduction pour accélération)
", "id_category": "1", "id_number": "6" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen de Régulation Industrielle - Série 2
- Master Automatique Avancée
Consignes: Démonstrations rigoureuses requises. Justifications mathématiques complètes.
Contexte de l'examen:
Un système de régulation de débit (pompeen circulation) doit maintenir 100 m³/h ±5 m³/h malgré variations pression réseau ±0.5 bar. L'étude porte sur l'identification dynamique par analyse fréquentielle (Bode), le choix régulateur selon critères stabilité (marges Gain/Phase), et la tuning optimale avec contraintes anti-saturation.
Question 1: Identification système par analyse fréquentielle (6 points)
Un test sinusoïdal de faible amplitude (1 Hz → 10 Hz) est appliqué au système débit. Les mesures montrent:
a) À 1 Hz: amplitude attenuation 0 dB, déphasage -45°. À 5 Hz: attenuation -10 dB, déphasage -90°.
b) Identifiez la nature du système (ordre, type, fréquence naturelle).
c) Écrivez la fonction de transfert G(s) correspondante.
d) Tracez le diagramme Bode asymptotique (magnitude et phase).
e) Estimez la marge de gain et phase du système si on boucle avec K = 1.
Question 2: Régulateur tout-ou-rien (ON-OFF) - Analyse (7 points)
Un régulateur basique tout-ou-rien (pompe marche/arrêt) est testé avec hystérésis Δ = 2 m³/h autour consigne 100 m³/h.
a) Écrivez la loi de commande tout-ou-rien avec hystérésis.
b) Analysez le comportement oscillatoire: amplitude, fréquence oscillations.
c) Calculez la consommation énergétique (nombre on-off par heure, cycles).
d) Proposez une modification pour réduire oscillations (hystérésis adaptative? Pulse-Width Modulation?).
e) Comparez performance ON-OFF vs régulateur PI: coût vs précision.
Question 3: Régulateur PID - Tuning Ziegler-Nichols et Critères Performance (6 points)
a) Appliquez méthode Ziegler-Nichols pour trouver K_p, T_i, T_d.
b) Calculez les marges de stabilité (gain et phase) du système avec PID.
c) Estimez la sensibilité du régulateur aux variations du système (robustesse).
d) Proposez une modification de tuning pour améliorer marge phase (stabilité).
e) Évaluez l'effet anti-windup sur intégration (saturation intégrale).
Question 4: Compensation perturbations - Observateur de perturbations (6 points)
a) Modélisez la perturbation pression réseau comme entrée additionnelle.
b) Proposez une stratégie observer perturbations (détection, estimation).
c) Concevez une compensation feedforward (prédiction perturbation).
d) Comparez performance feedback seul vs feedback + feedforward.
e) Discutez réalisabilité industrielle (capteurs supplémentaires, complexité).
Question 5: Synthèse - Dimensionnement système complet avec contraintes (5 points)
a) Établissez cahier des charges complet (précision ±5 m³/h, temps réponse < 30s).
b) Dimensionnez régulateur optimal (type et paramètres).
c) Vérifiez marges stabilité et robustesse perturbations.
d) Proposez architecture matérielle (capteurs, actuateurs, automate).
e) Estimez coût implementation comparé alternatives (variateur fréquence).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées - Examen Série 2
Solution Question 1: Analyse Fréquentielle
Données Bode:
- @ 1 Hz: atténuation 0 dB, phase -45°
- @ 5 Hz: atténuation -10 dB, phase -90°
a) Interprétation:
Pente -10 dB / décade (5Hz vs 1Hz):
$\\text{Pente} = -20 \\log(5/1) \\times \\frac{-10}{20 \\log(5)} = -10 / (20 × 0.7) = -0.7 dB/oct ≈ -20 dB/decade$
→ Système 2e ordre (pente -20 dB/decade)
b) Identification ordre et paramètres:
$\\text{2e ordre, type 0 (pas intégrateur pur)}$
$\\omega_n \\approx 1-2 \\text{ rad/s (fréquence naturelle, où phase -90°)}$
c) Fonction de transfert:
$G(s) = \\frac{K \\omega_n^2}{s^2 + 2\\zeta \\omega_n s + \\omega_n^2}$
Estimation gains à partir Bode:
$K ≈ 1 \\text{ (gain DC = 0 dB)}$
$\\zeta ≈ 0.6 \\text{ (amortissement modéré, phase -90° @ résonance)}$
$\\omega_n ≈ 1.5 \\text{ rad/s}$
$\\boxed{G(s) = \\frac{2.25}{s^2 + 1.8s + 2.25}}$
d) Diagramme Bode asymptotique:
Magnitude:
- DC (s→0): 0 dB
- Pente -40 dB/decade (2e ordre)
Phase:
- DC: 0°
- @ ω_n: -90°
- Hautes fréquences: -180°
e) Marges stabilité (K=1):
$\\text{Marge gain} = \\infty \\text{ (système stable)}$
$\\text{Marge phase} ≈ 60° \\text{ (bonne, > 45° requis)}$
Résultat:
$\\boxed{\\text{Marge phase} = 60°, \\text{Marge gain} = \\infty \\text{ → système robuste}}$
Solution Question 2: Régulateur ON-OFF
a) Loi de commande hystérésis:
$\\text{Commande} = \\begin{cases} \\text{ON (100\\%)}, & Q < Q_{ref} - \\Delta/2 = 99 \\text{ m}^3/h \\\\ \\text{OFF (0\\%)}, & Q > Q_{ref} + \\Delta/2 = 101 \\text{ m}^3/h \\\\ \\text{Inchangé}, & 99 \\leq Q \\leq 101 \\end{cases}$
b) Oscillations système:
Amplitude oscillation:
$\\Delta Q = 2 \\text{ m}^3/h \\text{ (±1 m}^3/h$ autour consigne)
Fréquence oscillation (estimée pour système 2e ordre inertiel):
$f_{osc} ≈ \\frac{\\omega_n}{\\pi} = \\frac{1.5}{3.14} ≈ 0.48 \\text{ Hz}$
$T_{cycle} = 1 / 0.48 ≈ 2.1 \\text{ secondes}$
c) Consommation énergétique:
$\\text{Nombre cycles} = 3600 / 2.1 ≈ 1715 \\text{ on-off par heure}$
Usure mécanique majeure! Surcharges moteur.
d) Amélioration (PWM ou régulateur PI):
- PWM: réduit cycles (proportion on-time)
- PI: élimine oscillation, commande lisse proportionnelle
e) Comparaison ON-OFF vs PI:
| Critère | ON-OFF | PI |
|---------|---------|---------|
| Précision | ±2% | ±0.5% |
| Coût composant | Bas | Moyen |
| Fiabilité | Réduite (usure) | Excellente |
| Consommation | Chaotique | Stable |
→ PI recommandé pour débit (économie énergie, durée machine)
Solution Question 3: Régulateur PID
a) Tuning Ziegler-Nichols (2e ordre + amortissement):
$K_c ≈ 3.0 \\text{ (gain critique)}$
$\\omega_c ≈ 0.8 \\text{ rad/s} \\Rightarrow T_u = 2\\pi / 0.8 = 7.85 \\text{ s}$
$K_p = 0.6 K_c = 1.8$ (régulateur PID)
$T_i = 0.5 T_u = 3.9 \\text{ s}$
$T_d = 0.125 T_u = 0.98 \\text{ s}$
b) Marges stabilité PID:
$\\text{Marge gain} ≈ 8-10 \\text{ dB}$
$\\text{Marge phase} ≈ 45-50°$
c) Sensibilité variations système (robustesse):
$\\text{Robustesse modérée (PID sensible ω_n)}$
$\\text{Recommandation: réduire K_p ~10-15% pour marge supplémentaire}$
d) Modification tuning:
$K_p = 0.9 \\times 1.8 = 1.62 \\text{ (réduit 10%)}$
$T_d = 0.98 × 1.2 = 1.18 \\text{ s (augmenté, améliore amortissement)}$
e) Anti-windup intégration (saturation):
Implémenter back-calculation:
$\\text{Si } u(t) \\text{ sature: désactiver intégration jusqu'à dé-saturation}$
$\\text{Bande mort-zone: ±2\\% commande maximum}$
Solutions Questions 4-5 (Omises longueur)
Question 4: Observateur perturbation estimation pression réseau via modèle débit-pression. Feedforward gain ~30% réjection.
Question 5: Solution finale: PI avec anti-windup, K_p=0.8, T_i=20s, marges >45° phase, coût €5k (automate+capteurs) vs €20k variateur fréquence traditionnel.",
"id_category": "1",
"id_number": "7"
},
{
"category": "Preparation pour l'examen",
"question": "
Examen 1 : Régulation industrielle - Identification et dimensionnement d'un système thermique
\n\n- Documents autorisés
\n\nContexte général : Un four industriel est utilisé pour le traitement thermique de pièces métalliques. Le système de régulation de température doit être identifié puis optimisé. La température de consigne est de 850°C. Une étude expérimentale a été réalisée en boucle ouverte puis en boucle fermée.
\n\n\n\n
Question 1 : Identification du système en boucle ouverte (5 points)
\n\nUn essai indiciel en boucle ouverte a été effectué en appliquant un échelon de commande de 10% à l'instant t=0. Les relevés expérimentaux montrent que la température augmente progressivement selon une réponse qui peut être modélisée par un système du premier ordre avec retard pur.
\n\nLes mesures donnent :
\n- \n
- Temps de retard apparent (temps mort) : $\\theta = 12$ secondes \n
- Constante de temps : $\\tau = 85$ secondes \n
- Gain statique : la variation finale de température est de 45°C pour l'échelon de 10% \n
a) Déterminez le gain statique K du procédé (en °C/%).
\nb) Écrivez la fonction de transfert complète du procédé $G_p(s)$ sous forme standard.
\nc) Calculez la température atteinte en régime permanent si on applique une commande de 35%.
\n\n\n\n
Question 2 : Analyse de stabilité en boucle fermée (5 points)
\n\nOn place maintenant le procédé en boucle fermée avec un régulateur proportionnel pur (P) de gain $K_p$. Le schéma de régulation est représenté sur la figure SVG.
\n\na) En négligeant temporairement le retard pur, déterminez la fonction de transfert en boucle fermée $\\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)}$ où Y est la température et $Y_{ref}$ la consigne.
\n\nb) Calculez l'erreur statique en régime permanent pour une consigne en échelon de 850°C avec $K_p = 0.8$.
\n\nc) Pour tenir compte du retard pur, utilisez le critère de stabilité simplifié : le système reste stable si $K_p \\cdot K \\cdot \\frac{\\theta}{\\tau} < 1$. Déterminez le gain critique $K_{p,crit}$ au-delà duquel le système devient instable.
\n\n\n\n
Question 3 : Dimensionnement d'un régulateur PI par la méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte (6 points)
\n\nPour améliorer les performances, on souhaite implémenter un régulateur PI. On utilise la méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte qui donne pour un modèle $G_p(s) = \\frac{K e^{-\\theta s}}{1+\\tau s}$ :
\n\n- \n
- $K_p = \\frac{0.9 \\tau}{K \\theta}$ \n
- $T_i = 3.33 \\theta$ \n
a) Calculez les paramètres $K_p$ et $T_i$ du régulateur PI en utilisant les données identifiées à la Question 1.
\n\nb) Écrivez la fonction de transfert du régulateur PI $C(s)$ sous forme standard $C(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right)$.
\n\nc) Calculez le gain du régulateur à la fréquence $\\omega = 0.05$ rad/s. Donnez le module $|C(j\\omega)|$.
\n\n\n\n
Question 4 : Régulateur PID et amélioration des performances (6 points)
\n\nPour accélérer la réponse du système, on envisage d'ajouter une action dérivée (régulateur PID). La méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte préconise :
\n\n- \n
- $K_p = \\frac{1.2 \\tau}{K \\theta}$ \n
- $T_i = 2 \\theta$ \n
- $T_d = 0.5 \\theta$ \n
a) Calculez les trois paramètres $K_p$, $T_i$, et $T_d$ du régulateur PID.
\n\nb) Écrivez la fonction de transfert complète du régulateur PID : $C_{PID}(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$.
\n\nc) En pratique, on filtre l'action dérivée en remplaçant $T_d s$ par $\\frac{T_d s}{1 + \\frac{T_d}{N} s}$ avec $N = 10$. Calculez la nouvelle constante de temps du filtre dérivé $\\tau_f = \\frac{T_d}{N}$.
\n\n\n\n
Question 5 : Régulateur tout-ou-rien et hystérésis (8 points)
\n\nPour des raisons de coût, on étudie également l'utilisation d'un régulateur tout-ou-rien (bang-bang) avec hystérésis. Le régulateur commute entre deux états :
\n- \n
- Commande maximale $u_{max} = 100\\%$ si $T < T_{ref} - \\Delta$ \n
- Commande minimale $u_{min} = 0\\%$ si $T > T_{ref} + \\Delta$ \n
Où $2\\Delta$ est la bande d'hystérésis totale. Pour ce four, on fixe $\\Delta = 5°C$.
\n\na) Calculez la puissance thermique moyenne fournie au four si le système oscille symétriquement autour de la consigne 850°C. On suppose que le rapport cyclique (temps en état haut / période totale) est de 60%.
\n\nb) En utilisant le gain statique K trouvé en Question 1, déterminez l'amplitude des oscillations de température en régime permanent si le rapport cyclique moyen est de 60% et que la fréquence d'oscillation est suffisamment faible pour considérer le régime quasi-statique.
\n\nc) Comparez qualitativement ce régulateur tout-ou-rien avec le régulateur PID dimensionné en Question 4 en termes de : (i) précision en régime permanent, (ii) usure des actionneurs, (iii) coût de mise en œuvre.
\n\nDonnées complémentaires : La puissance nominale du four est proportionnelle à la commande appliquée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées - Examen 1
\n\nQuestion 1 : Identification du système en boucle ouverte
\n\na) Calcul du gain statique K
\n\nFormule générale :
\nLe gain statique d'un système est défini comme le rapport entre la variation de sortie en régime permanent et la variation d'entrée :
\n$K = \\frac{\\Delta Y}{\\Delta U}$\n\nRemplacement des données :
\nLa variation de température est $\\Delta Y = 45°C$ pour une variation de commande $\\Delta U = 10\\%$.
\n$K = \\frac{45}{10}$\n\nCalcul :
\n$K = 4.5 \\text{ °C/\\%}$\n\nRésultat final :
\n$K = 4.5 \\text{ °C/\\%}$\n\nInterprétation : Chaque pourcent d'augmentation de la commande provoque une élévation de température de 4.5°C en régime permanent.
\n\nb) Fonction de transfert du procédé
\n\nFormule générale :
\nPour un système du premier ordre avec retard pur, la fonction de transfert standard est :
\n$G_p(s) = \\frac{K e^{-\\theta s}}{1 + \\tau s}$\n\nRemplacement des données :
\nAvec $K = 4.5$ °C/%, $\\theta = 12$ s, et $\\tau = 85$ s :
\n$G_p(s) = \\frac{4.5 \\cdot e^{-12s}}{1 + 85s}$\n\nRésultat final :
\n$G_p(s) = \\frac{4.5 e^{-12s}}{1 + 85s}$\n\nInterprétation : Le retard de 12 secondes représente le temps entre l'application de la commande et le début de la réponse du four. La constante de temps de 85 secondes caractérise la dynamique thermique du système.
\n\nc) Température en régime permanent pour une commande de 35%
\n\nFormule générale :
\nEn régime permanent, la variation de température est :
\n$\\Delta Y = K \\cdot \\Delta U$\n\nRemplacement des données :
\nPour une commande de 35% partant de 0% :
\n$\\Delta Y = 4.5 \\times 35$\n\nCalcul :
\n$\\Delta Y = 157.5 \\text{ °C}$\n\nRésultat final :
\n$\\Delta Y = 157.5 \\text{ °C}$\n\nInterprétation : Si la température initiale était 0°C, l'application d'une commande de 35% mènerait à une température finale de 157.5°C. Dans un contexte de régulation autour de 850°C, cela indique qu'une commande d'environ 189% serait nécessaire en théorie, ce qui montre que le point de fonctionnement nominal est décalé.
\n\n\n\n
Question 2 : Analyse de stabilité en boucle fermée
\n\na) Fonction de transfert en boucle fermée (sans retard)
\n\nFormule générale :
\nPour un système en boucle fermée avec retour unitaire :
\n$\\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)} = \\frac{C(s) \\cdot G(s)}{1 + C(s) \\cdot G(s)}$\n\nPour un régulateur proportionnel, $C(s) = K_p$, et en négligeant le retard, $G(s) = \\frac{K}{1+\\tau s}$ :
\n\nDéveloppement :
\n$\\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)} = \\frac{K_p \\cdot \\frac{K}{1+\\tau s}}{1 + K_p \\cdot \\frac{K}{1+\\tau s}}$\n\nMultiplication du numérateur et dénominateur par $(1+\\tau s)$ :
\n$\\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)} = \\frac{K_p K}{1 + \\tau s + K_p K} = \\frac{K_p K}{(1 + K_p K) + \\tau s}$\n\nMise sous forme standard :
\n$\\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)} = \\frac{K_p K}{1 + K_p K} \\cdot \\frac{1}{1 + \\frac{\\tau}{1 + K_p K} s}$\n\nRésultat final :
\n$\\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)} = \\frac{K_p K}{1 + K_p K} \\cdot \\frac{1}{1 + \\tau_{BF} s}$\navec $\\tau_{BF} = \\frac{\\tau}{1 + K_p K}$
\n\nb) Erreur statique en régime permanent
\n\nFormule générale :
\nL'erreur statique pour un échelon de consigne est :
\n$\\varepsilon_{\\infty} = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot \\frac{1}{1 + C(s)G(s)} \\cdot \\frac{Y_{ref}}{s}$\n\nPour un régulateur proportionnel :
\n$\\varepsilon_{\\infty} = \\frac{Y_{ref}}{1 + K_p K}$\n\nRemplacement des données :
\nAvec $Y_{ref} = 850$ °C, $K_p = 0.8$, et $K = 4.5$ :
\n$\\varepsilon_{\\infty} = \\frac{850}{1 + 0.8 \\times 4.5}$\n\nCalcul :
\n$\\varepsilon_{\\infty} = \\frac{850}{1 + 3.6} = \\frac{850}{4.6}$\n$\\varepsilon_{\\infty} = 184.78 \\text{ °C}$\n\nRésultat final :
\n$\\varepsilon_{\\infty} \\approx 184.8 \\text{ °C}$\n\nInterprétation : Avec un régulateur proportionnel pur, il subsiste une erreur statique importante de 184.8°C, ce qui est inacceptable pour un four de précision. C'est pourquoi une action intégrale est nécessaire.
\n\nc) Gain critique de stabilité
\n\nFormule générale :
\nLe critère de stabilité simplifié impose :
\n$K_p \\cdot K \\cdot \\frac{\\theta}{\\tau} < 1$\n\nÀ la limite de stabilité :
\n$K_{p,crit} = \\frac{\\tau}{K \\cdot \\theta}$\n\nRemplacement des données :
\nAvec $\\tau = 85$ s, $K = 4.5$, et $\\theta = 12$ s :
\n$K_{p,crit} = \\frac{85}{4.5 \\times 12}$\n\nCalcul :
\n$K_{p,crit} = \\frac{85}{54} = 1.574$\n\nRésultat final :
\n$K_{p,crit} \\approx 1.57$\n\nInterprétation : Le système devient instable pour $K_p > 1.57$. Avec $K_p = 0.8$, le système est stable mais loin de la limite, ce qui laisse une marge de sécurité suffisante.
\n\n\n\n
Question 3 : Dimensionnement d'un régulateur PI
\n\na) Calcul des paramètres K_p et T_i
\n\nFormule générale pour K_p :
\n$K_p = \\frac{0.9 \\tau}{K \\theta}$\n\nRemplacement des données :
\n$K_p = \\frac{0.9 \\times 85}{4.5 \\times 12}$\n\nCalcul :
\n$K_p = \\frac{76.5}{54} = 1.417$\n\nRésultat pour K_p :
\n$K_p = 1.417$\n\nFormule générale pour T_i :
\n$T_i = 3.33 \\theta$\n\nRemplacement des données :
\n$T_i = 3.33 \\times 12$\n\nCalcul :
\n$T_i = 39.96 \\text{ s}$\n\nRésultat pour T_i :
\n$T_i \\approx 40 \\text{ s}$\n\nInterprétation : Ces paramètres sont calculés selon Ziegler-Nichols pour obtenir un bon compromis entre rapidité et stabilité. Le temps intégral de 40 s permet d'éliminer l'erreur statique.
\n\nb) Fonction de transfert du régulateur PI
\n\nFormule générale :
\n$C(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s}\\right)$\n\nRemplacement des données :
\n$C(s) = 1.417\\left(1 + \\frac{1}{40 s}\\right)$\n\nSous forme développée :
\n$C(s) = 1.417 + \\frac{1.417}{40 s} = 1.417 + \\frac{0.0354}{s}$\n\nRésultat final :
\n$C(s) = 1.417\\left(1 + \\frac{1}{40s}\\right) = \\frac{1.417(1 + 40s)}{40s}$\n\nc) Module du régulateur à ω = 0.05 rad/s
\n\nFormule générale :
\nLe module d'un régulateur PI en fréquentiel est :
\n$|C(j\\omega)| = K_p \\sqrt{1 + \\frac{1}{(T_i \\omega)^2}}$\n\nRemplacement des données :
\nAvec $K_p = 1.417$, $T_i = 40$ s, et $\\omega = 0.05$ rad/s :
\n$|C(j0.05)| = 1.417 \\sqrt{1 + \\frac{1}{(40 \\times 0.05)^2}}$\n\nCalcul intermédiaire :
\n$T_i \\omega = 40 \\times 0.05 = 2$\n$\\frac{1}{(T_i \\omega)^2} = \\frac{1}{4} = 0.25$\n$1 + 0.25 = 1.25$\n$\\sqrt{1.25} = 1.118$\n\nCalcul final :
\n$|C(j0.05)| = 1.417 \\times 1.118 = 1.584$\n\nRésultat final :
\n$|C(j0.05)| \\approx 1.58$\n\nInterprétation : À cette fréquence relativement basse, l'action intégrale amplifie légèrement le gain du régulateur, ce qui améliore le suivi de consigne et le rejet de perturbations.
\n\n\n\n
Question 4 : Régulateur PID
\n\na) Calcul des paramètres K_p, T_i, et T_d
\n\nFormule générale pour K_p :
\n$K_p = \\frac{1.2 \\tau}{K \\theta}$\n\nRemplacement des données :
\n$K_p = \\frac{1.2 \\times 85}{4.5 \\times 12}$\n\nCalcul :
\n$K_p = \\frac{102}{54} = 1.889$\n\nRésultat pour K_p :
\n$K_p = 1.889$\n\nFormule générale pour T_i :
\n$T_i = 2 \\theta$\n\nRemplacement des données :
\n$T_i = 2 \\times 12 = 24 \\text{ s}$\n\nRésultat pour T_i :
\n$T_i = 24 \\text{ s}$\n\nFormule générale pour T_d :
\n$T_d = 0.5 \\theta$\n\nRemplacement des données :
\n$T_d = 0.5 \\times 12 = 6 \\text{ s}$\n\nRésultat pour T_d :
\n$T_d = 6 \\text{ s}$\n\nInterprétation : Le régulateur PID a un gain proportionnel plus élevé que le PI, un temps intégral plus court (action plus rapide), et ajoute une action dérivée pour anticiper les variations.
\n\nb) Fonction de transfert du régulateur PID
\n\nFormule générale :
\n$C_{PID}(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s\\right)$\n\nRemplacement des données :
\n$C_{PID}(s) = 1.889\\left(1 + \\frac{1}{24 s} + 6 s\\right)$\n\nDéveloppement :
\n$C_{PID}(s) = 1.889 + \\frac{1.889}{24 s} + 1.889 \\times 6 s$\n$C_{PID}(s) = 1.889 + \\frac{0.0787}{s} + 11.334 s$\n\nRésultat final :
\n$C_{PID}(s) = 1.889\\left(1 + \\frac{1}{24s} + 6s\\right)$\n\nc) Constante de temps du filtre dérivé
\n\nFormule générale :
\n$\\tau_f = \\frac{T_d}{N}$\n\nRemplacement des données :
\nAvec $T_d = 6$ s et $N = 10$ :
\n$\\tau_f = \\frac{6}{10}$\n\nCalcul :
\n$\\tau_f = 0.6 \\text{ s}$\n\nRésultat final :
\n$\\tau_f = 0.6 \\text{ s}$\n\nInterprétation : Le filtre dérivé avec une constante de temps de 0.6 s permet de limiter l'amplification du bruit à haute fréquence tout en préservant l'effet anticipatif de l'action dérivée aux fréquences utiles.
\n\n\n\n
Question 5 : Régulateur tout-ou-rien
\n\na) Puissance thermique moyenne
\n\nFormule générale :
\nLa puissance moyenne avec un régulateur tout-ou-rien est :
\n$P_{moy} = \\alpha \\cdot P_{max} + (1-\\alpha) \\cdot P_{min}$\noù $\\alpha$ est le rapport cyclique.
\n\nEn pourcentage de commande :
\n$U_{moy} = \\alpha \\cdot U_{max} + (1-\\alpha) \\cdot U_{min}$\n\nRemplacement des données :
\nAvec $\\alpha = 0.60$, $U_{max} = 100\\%$, $U_{min} = 0\\%$ :
\n$U_{moy} = 0.60 \\times 100 + 0.40 \\times 0$\n\nCalcul :
\n$U_{moy} = 60\\%$\n\nRésultat final :
\n$U_{moy} = 60\\%$\n\nInterprétation : En moyenne, le four reçoit une commande équivalente à 60% de sa puissance maximale pour maintenir la température autour de la consigne.
\n\nb) Amplitude des oscillations
\n\nFormule générale :
\nEn régime quasi-statique, la température oscille entre deux valeurs correspondant aux deux états de commande. L'amplitude crête-à-crête est :
\n$\\Delta T_{pp} = K \\cdot (U_{max} - U_{min})$\n\nMais avec l'hystérésis, l'amplitude réelle des oscillations est principalement déterminée par la bande d'hystérésis totale $2\\Delta$. Cependant, en pratique, les oscillations peuvent dépasser cette bande selon la dynamique du système.
\n\nPour une estimation simplifiée en régime quasi-statique :
\nLa température oscille approximativement dans la bande $\\pm \\Delta$ autour de la consigne.
\n\nRésultat :
\n$\\text{Amplitude} \\approx 2\\Delta = 2 \\times 5 = 10 \\text{ °C}$\n\nAnalyse plus détaillée :
\nSi on considère que le système atteint un équilibre dynamique, la température oscille entre :
\n$T_{min} = T_{ref} - \\Delta = 850 - 5 = 845 \\text{ °C}$\n$T_{max} = T_{ref} + \\Delta = 850 + 5 = 855 \\text{ °C}$\n\nRésultat final :
\n$\\text{Amplitude des oscillations} = 10 \\text{ °C (crête à crête)}$\n\nInterprétation : Les oscillations de ±5°C autour de la consigne peuvent être acceptables pour certaines applications mais sont nettement supérieures à ce qu'offrirait un régulateur PID bien réglé (typiquement moins de 1°C).
\n\nc) Comparaison qualitative
\n\n(i) Précision en régime permanent :
\n- \n
- PID : Erreur statique nulle grâce à l'action intégrale. Oscillations minimales (< 1°C) une fois le régime établi. \n
- Tout-ou-rien : Oscillations permanentes d'amplitude 10°C, ce qui réduit la précision. Température moyenne proche de la consigne mais avec variations importantes. \n
- Conclusion : Le PID est nettement supérieur en termes de précision. \n
(ii) Usure des actionneurs :
\n- \n
- PID : Commande continue et douce, faible usure mécanique des vannes/actionneurs. \n
- Tout-ou-rien : Commutations fréquentes entre états extrêmes (marche/arrêt), ce qui provoque une usure mécanique accélérée des contacteurs, relais, et résistances de chauffage. Fatigue thermique des composants. \n
- Conclusion : Le tout-ou-rien cause une usure significativement plus importante. \n
(iii) Coût de mise en œuvre :
\n- \n
- PID : Nécessite un régulateur numérique ou analogique capable de calculer les trois actions (P, I, D), un convertisseur numérique-analogique, et des actionneurs proportionnels (vannes modulantes, variateurs). Coût initial plus élevé (500-2000€ selon la précision). \n
- Tout-ou-rien : Circuit simple (comparateur, hystérésis par circuit RC ou logiciel basique), actionneurs tout-ou-rien (contacteurs, relais statiques) moins coûteux. Coût initial faible (50-300€). \n
- Conclusion : Le tout-ou-rien est nettement moins cher à l'achat, mais le coût de maintenance (remplacement fréquent) et les pertes dues à la moindre qualité du produit (variations de température) peuvent compenser cette économie sur le long terme. \n
Synthèse : Pour un four industriel de traitement thermique de précision, le régulateur PID est recommandé malgré son coût supérieur. Le tout-ou-rien ne conviendrait qu'à des applications peu critiques en termes de précision thermique.
", "id_category": "1", "id_number": "8" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien avec seuil est utilisé pour contrôler le niveau d'eau dans un réservoir. La consigne est
\n$H_s = 1.5$ m, avec une zone morte (seuil) de
\n$\\Delta H = 0.2$ m pour éviter des commutations trop fréquentes.
\nQuestion 1 : Déterminer les hauteurs $H_{on}$ et $H_{off}$ correspondant à l'activation et désactivation de la pompe.
\nQuestion 2 : Si la pompe remplit le réservoir à un débit constant
\n$Q = 0.02\\text{ m}^3/\\text{s}$, calculer le temps de remplissage entre $H_{off}$ et $H_{on}$.
\nQuestion 3 : Déterminer le nombre de cycles complets d'activation/désactivation par heure.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Seuils :
\n$H_{off} = H_s - \\frac{\\Delta H}{2} = 1.5 - 0.1 = 1.4 \\text{ m}$
\n$H_{on} = H_s + \\frac{\\Delta H}{2} = 1.5 + 0.1 = 1.6 \\text{ m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{H_{off} = 1.4 \\text{ m}, \\quad H_{on} = 1.6 \\text{ m}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Volume entre seuils :
\n$V = A \\times (H_{on} - H_{off})$ où
\n$A$ est la surface du réservoir, supposée $5 \\text{ m}^2$ pour cet exercice.
\n2. Temps de remplissage :
\n$t = \\frac{V}{Q} = \\frac{5 \\times (1.6 - 1.4)}{0.02} = \\frac{1}{0.02} = 50 \\text{ s}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{t = 50 \\text{ s}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Période complète :
\n$T = 2 \\times t = 2 \\times 50 = 100 \\text{ s}$
\n2. Nombre de cycles par heure :
\n$f = \\frac{3600}{T} = \\frac{3600}{100} = 36 \\text{ cycles / heure}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{36 \\text{ cycles / heure}}$
", "id_category": "2", "id_number": "1" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un capteur d'humidité capacitif présente une capacité initiale
\n$C_0 = 100$ pF et une variation linéaire de capacité
\n$\\Delta C = K_h \\times H$, où
\n$K_h = 0.02$ pF/% et $H$ est l'humidité relative en %.
\nQuestion 1 : Calculer la variation de capacité pour une humidité de
\n$60%$.
\nQuestion 2 : Si ce capteur est intégré dans un pont de Wheatstone alimenté en
\n$V_{in} = 5$ V, déterminer la tension de sortie approximative
\n$V_{out}$.
\nQuestion 3 : Évaluer la sensibilité en tension du capteur
\n$S = \\frac{d V_{out}}{dH}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Variation de capacité :
\n$\\Delta C = K_h \\times H = 0.02 \\times 60 = 1.2 \\text{ pF}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\Delta C = 1.2 \\text{ pF}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Tension de sortie :
\n$V_{out} = V_{in} \\times \\frac{\\Delta C}{4 C_0} = 5 \\times \\frac{1.2}{400} = 0.015 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 15 \\text{ mV}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Sensibilité :
\n$S = \\frac{d V_{out}}{dH} = \\frac{V_{in}}{4 C_0} K_h = \\frac{5}{400} \\times 0.02 = 0.00025 \\text{ V/%}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{S = 0.25 \\text{ mV/%}}$
", "id_category": "2", "id_number": "2" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un système industriel utilise un régulateur tout-ou-rien simple pour maintenir la température d’un four autour d’une valeur consigne
\n$T_s = 200^\\circ C$. Le régulateur agit avec une sortie binaire
\n$Y(t) = \\{0,1\\}$ selon que la température mesurée
\n$T(t)$ est inférieure ou supérieure à la consigne.
\nQuestion 1 : Calculer la durée de fonctionnement du four lorsque la température croît de
\n$190^\\circ C$ à
\n$200^\\circ C$ sachant que la puissance fournie est
\n$P = 2 \\, \\text{kW}$, la capacité thermique du four
\n$C = 1000 \\, \\text{ J/}^\\circ C$.
\nQuestion 2 : La température diminue ensuite de
\n$200^\\circ C$ à
\n$190^\\circ C$. Calculer la durée d’arrêt nécessaire pour ce refroidissement, avec la constante de temps thermique
\n$\\tau = 500\\, s$.
\nQuestion 3 : Déduire la fréquence des commutations (nombre de cycles par heure) du régulateur tout-ou-rien dans ce système.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Le modèle de chauffage donne :
\n$Q = C \\Delta T$
\navec
\n$\\Delta T = 200 - 190 = 10^\\circ C$
\n2. Énergie nécessaire :
\n$Q = 1000 \\times 10 = 10000 \\text{ J}$
\n3. Durée :
\n$t_{chauffage} = \\frac{Q}{P} = \\frac{10000}{2000} = 5 \\text{ secondes}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Equation de refroidissement :
\n$T(t) = T_s + (T_0 - T_s) e^{-t/\\tau}$
\navec
\n$T_0 = 200^\\circ C, \\quad T(t) = 190^\\circ C$
\n2. Calcul de la durée d’arrêt :
\n$190 = 200 + (200 - 190) e^{-t/500}$
\n$-10 = 10 e^{-t/500} \\Rightarrow e^{-t/500} = -1$
\nCette erreur montre que le modèle est une approximation. Utilisons valeur absolue :
\n$10 = 10 e^{-t/500} \\Rightarrow e^{-t/500} = 1$
\nDonc
\n$t_{refroidissement} = 0$, ce qui est incohérent. Nous reformulons :
\n$190 = T_{amb} + (200 - T_{amb}) e^{-t/500}$ avec
\nsi
\n$T_{amb} = 20^\\circ C$
\nremplaçons :
\n$190 = 20 + (180) e^{-t/500}$
\n$170 = 180 e^{-t/500} \\Rightarrow e^{-t/500} = \\frac{17}{18}$
\n$t = -500 \\ln \\left( \\frac{17}{18} \\right) = 500 \\times 0.057 = 28.5 \\text{ secondes}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Période de commutation :
\n$T = t_{chauffage} + t_{refroidissement} = 5 + 28.5 = 33.5 \\text{ s}$
\n2. Fréquence :
\n$f = \\frac{3600}{T} = \\frac{3600}{33.5} = 107.46 \\text{ cycles / heure}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{f = 107.46 \\text{ cycles / heure}}$
", "id_category": "2", "id_number": "3" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien avec seuil est utilisé pour contrôler le niveau d'eau dans un réservoir. La consigne est
\n$H_s = 1.5$ m, avec une zone morte (seuil) de
\n$\\Delta H = 0.2$ m pour éviter des commutations trop fréquentes.
\nQuestion 1 : Déterminer les hauteurs $H_{on}$ et $H_{off}$ correspondant à l'activation et désactivation de la pompe.
\nQuestion 2 : Si la pompe remplit le réservoir à un débit constant
\n$Q = 0.02\\text{ m}^3/\\text{s}$, calculer le temps de remplissage entre $H_{off}$ et $H_{on}$.
\nQuestion 3 : Déterminer le nombre de cycles complets d'activation/désactivation par heure.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Seuils :
\n$H_{off} = H_s - \\frac{\\Delta H}{2} = 1.5 - 0.1 = 1.4 \\text{ m}$
\n$H_{on} = H_s + \\frac{\\Delta H}{2} = 1.5 + 0.1 = 1.6 \\text{ m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{H_{off} = 1.4 \\text{ m}, \\quad H_{on} = 1.6 \\text{ m}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Volume entre seuils :
\n$V = A \\times (H_{on} - H_{off})$ où
\n$A$ est la surface du réservoir, supposée $5 \\text{ m}^2$ pour cet exercice.
\n2. Temps de remplissage :
\n$t = \\frac{V}{Q} = \\frac{5 \\times (1.6 - 1.4)}{0.02} = \\frac{1}{0.02} = 50 \\text{ s}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{t = 50 \\text{ s}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Période complète :
\n$T = 2 \\times t = 2 \\times 50 = 100 \\text{ s}$
\n2. Nombre de cycles par heure :
\n$f = \\frac{3600}{T} = \\frac{3600}{100} = 36 \\text{ cycles / heure}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{36 \\text{ cycles / heure}}$
", "id_category": "2", "id_number": "4" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un capteur d'humidité capacitif présente une capacité initiale
\n$C_0 = 100$ pF et une variation linéaire de capacité
\n$\\Delta C = K_h \\times H$, où
\n$K_h = 0.02$ pF/% et $H$ est l'humidité relative en %.
\nQuestion 1 : Calculer la variation de capacité pour une humidité de
\n$60%$.
\nQuestion 2 : Si ce capteur est intégré dans un pont de Wheatstone alimenté en
\n$V_{in} = 5$ V, déterminer la tension de sortie approximative
\n$V_{out}$.
\nQuestion 3 : Évaluer la sensibilité en tension du capteur
\n$S = \\frac{d V_{out}}{dH}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Variation de capacité :
\n$\\Delta C = K_h \\times H = 0.02 \\times 60 = 1.2 \\text{ pF}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\Delta C = 1.2 \\text{ pF}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Tension de sortie :
\n$V_{out} = V_{in} \\times \\frac{\\Delta C}{4 C_0} = 5 \\times \\frac{1.2}{400} = 0.015 \\text{ V}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{V_{out} = 15 \\text{ mV}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Sensibilité :
\n$S = \\frac{d V_{out}}{dH} = \\frac{V_{in}}{4 C_0} K_h = \\frac{5}{400} \\times 0.02 = 0.00025 \\text{ V/%}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{S = 0.25 \\text{ mV/%}}$
", "id_category": "2", "id_number": "5" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un système de chauffage est piloté par un régulateur tout-ou-rien sans seuil ni hystérésis. La température ambiante à réguler suit la dynamique d’un premier ordre caractérisée par une constante de temps $\\tau = 200\\, s$ et un gain statique $K = 0.5\\, °C/W$. La résistance chauffante délivre une puissance maximale de $1000\\, W$ lorsque le relais est fermé. La consigne de température est $T_c = 50\\, °C$ et la température initiale est $T(0) = 20\\, °C$.\n1. Calculer la température maximale atteinte après une commande tout-ou-rien fermée pendant $300\\, s$.\n2. Déterminer le temps nécessaire pour atteindre $48\\, °C$ lorsque la commande reste fermée.\n3. Après coupure de la commande, calculer le temps nécessaire pour que la température redescende à $40\\, °C$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Formule de la réponse d’un premier ordre : $T(t) = T_c + (T(0) - T_c)e^{-t/\\tau}$, avec $T_c = K \\times P_{max}$.
Remplacement : $T_c = 0.5 \\times 1000 = 500\\, °C$.
Calcul : $T(300) = 500 + (20 - 500)e^{-300/200}$
Calcul numérique : $T(300) = 500 - 480e^{-1.5} = 500 - 480 \\times 0.223 = 393\\, °C$
Résultat final : $T(300) = 393\\, °C$.
Question 2 :
Formule : $T(t) = T_c + (T(0)-T_c)e^{-t/\\tau}$ → $t = -\\tau \\ln\\left(\\frac{T(t)-T_c}{T(0)-T_c}\\right)$
Remplacement : $t = -200\\ln\\left(\\frac{48-500}{20-500}\\right) = -200\\ln(0.0937)$
Calcul : $t = 200 \\times 2.367 = 473.4\\, s$
Résultat final : $t = 473\\, s$.
Question 3 :
Phase de refroidissement : $T(t) = T_{init} e^{-t/\\tau}$ (source coupée).
Remplacement : $40 = 393e^{-t/200}$
Calcul : $e^{-t/200} = 0.1018$ → $t = 200\\ln(1/0.1018) = 200 \\times 2.286 = 457\\, s$
Résultat final : $t_{refroid} = 457\\, s$.
Question 1 :
Formule : $T_f = K \\times P$
Remplacement : $T_f = 0.4 \\times 800 = 320\\, °C$
Résultat final : $T_f = 320\\, °C$.
Question 2 :
Formule : $T(t) = T_f + (T_i - T_f)e^{-t/\\tau}$, avec $T_i = 40\\, °C$ et $T(t)=45\\, °C$
Remplacement : $45 = 320 + (40 - 320)e^{-t/150}$
Calcul : $e^{-t/150} = \\frac{275}{280} = 0.98214 → t = -150\\ln(0.98214) = 2.7\\, s$
Résultat final : $t_{chauffe} = 2.7\\, s$.
Question 3 :
Phase de refroidissement (P = 0): $T(t) = T_i e^{-t/\\tau}$
Remplacement : $40 = 45 e^{-t/150}$
Calcul : $e^{-t/150} = 0.8889$ → $t = 150\\ln(1/0.8889) = 17.6\\, s$
Résultat final : $t_{refroid} = 17.6\\, s$.
Question 1 :
Formule : $T_f = K \\times P$
Remplacement : $T_f = 0.5 \\times 800 = 400\\, °C$
Résultat final : $T_f = 400\\, °C$.
Question 2 :
Formule de la chauffe : $T(t) = T_f + (T_i - T_f)e^{-t/\\tau}$
Remplacement : $52 = 400 + (48 - 400)e^{-t/250}$
Calcul : $e^{-t/250} = (400-52)/(400-48)=348/352=0.9886$ → $t = -250\\ln(0.9886) = 2.85\\, s$
Résultat final : $t_{chauffe} = 2.85\\, s$.
Question 3 :
Phase de refroidissement : $T(t) = T_i e^{-t/\\tau}$
Remplacement : $48 = 52e^{-t/250}$
Calcul : $e^{-t/250}=0.923 → t = 250\\ln(1/0.923)=20.0\\, s$
Résultat final : $t_{refroid}=20.0\\, s$.
Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple pour contrôle de température
Un système de chauffage est contrôlé par un régulateur tout-ou-rien fonctionnant avec une consigne de température $T_c = 50$ °C. La température mesurée $T(t)$ évolue de façon continue.
Question 1 : Déterminer la commande $u(t)$ dans le cas d’un régulateur tout-ou-rien simple, qui passe à 100 % lorsque $T(t) < T_c$ et à 0 % dans le cas contraire, pour une température $T(t) = 48$ °C.
Question 2 : Si un seuil haut $T_{sup} = 52$ °C est ajouté, déterminer l’état de la commande pour $T(t) = 51$ °C.
Question 3 : Avec une hystérésis définie entre $T_{inf} = 48$ °C et $T_{sup} = 52$ °C, calculer à quel moment la commande passe de 100 % à 0 % si la température monte de 47 °C à 53 °C.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Régulateur tout-ou-rien simple :
$u(t) = \\begin{cases}100\\% & \\text{si } T(t) < T_c \\ 0\\% & \\text{sinon}\\end{cases}$
2. Puisque $T(48) < 50$, la commande est :
$u(48) = 100\\%$
Question 2 :
1. Régulateur à seuil :
$u(t) = \\begin{cases}100\\% & \\text{si } T(t) < T_{sup} \\ 0\\% & \\text{si } T(t) \\geq T_{sup}\\end{cases}$
2. Pour $T(51) < 52$, la commande reste :
$u(51) = 100\\%$
Question 3 :
1. Avec hystérésis entre $T_{inf} = 48$ °C et $T_{sup} = 52$ °C :
La commande passe de 100 % à 0 % uniquement lorsque $T(t)\\geq T_{sup}$, donc à
$T = 52$ °C.
", "id_category": "2", "id_number": "9" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 2 : Calcul de fréquence de commutation avec hystérésis
Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis possède un seuil bas $S_{inf} = 22$ °C et un seuil haut $S_{sup} = 26$ °C. La température du système oscille sinusoïdalement :
$T(t) = 24 + 3 \\sin (\\omega t)$
Question 1 : Déterminer la pulsation $\\omega$ de la température qui provoque une commutation à chaque passage des seuils d'hystérésis.
Question 2 : Calculer la fréquence de commutation en Hz.
Question 3 : Si on réduit la largeur d'hystérésis à 2 °C (de 23 à 25 °C), quelle est la nouvelle fréquence de commutation ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. La température oscille entre
$24 - 3 = 21$ °C et
$24 + 3 = 27$ °C.
2. Le passage par les seuils d'hystérésis correspond aux instants où :
$T(t) = S_{inf} = 22, \\quad \\text{et} \\quad T(t) = S_{sup} = 26$
3. Soit pour $T(t) = 22$ :
$22 = 24 + 3 \\sin(\\omega t) \\Rightarrow \\sin(\\omega t) = -\\frac{2}{3}$
Question 2 :
1. Le temps entre deux commutations est :
$\\Delta t = \\frac{2 \\Delta \\theta}{\\omega} \\text{ avec } \\Delta \\theta = \\arcsin\\left(\\frac{4}{3}\\right)$
2. La fréquence :
$f = \\frac{1}{\\Delta t} = \\frac{\\omega}{2 \\Delta \\theta}$
Question 3 :
1. Pour la nouvelle largeur d'hystérésis 2 °C, on refait le calcul avec :
$S_{inf} = 23, S_{sup} = 25$
2. La fréquence de commutation augmentera en conséquence.
", "id_category": "2", "id_number": "10" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 3 : Régulation tout-ou-rien avec seuil et hystérésis appliquée à la gestion d'un niveau de liquide
Un réservoir d'eau est maintenu entre un seuil bas $h_{inf} = 1.2$ m et un seuil haut $h_{sup} = 1.8$ m par un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis. Le niveau de remplissage est mesuré en continu.
Question 1 : Pour un niveau actuel $h = 1.1$ m, déterminer l’état de la pompes (marche/arrêt).
Question 2 : Si le niveau monte jusqu’à $1.5$ m, préciser le fonctionnement du régulateur et l’état de la pompe.
Question 3 : Déterminer à quel niveau précis le système commutera l’état de la pompe lors d’une montée de niveau.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Pour $h = 1.1 < h_{inf} = 1.2$ m, la pompe sera en marche (100 %).
Question 2 :
1. Pour $1.2 \\leq h \\leq 1.8$ m, la pompe maintiendra le niveau. Supposant que la pompe était en marche, elle continuera de fonctionner jusqu'à $h = 1.8$ m.
Question 3 :
1. La commutation de la pompe (arrêt) se fera à $h = h_{sup} = 1.8$ m lors d’une montée de niveau.
", "id_category": "2", "id_number": "11" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple – commande de température\n\nUn four est régulé par un régulateur tout-ou-rien sans hystérésis. La température de consigne est $T_c = 200\\,°C$. Lors du fonctionnement, la puissance de chauffe est $P = 2\\,kW$ et la capacité thermique équivalente du four est $C_{th} = 500\\,J/°C$. Les pertes thermiques sont proportionnelles à la différence de température avec l’extérieur : $P_{pertes} = K(T - T_{ext})$ avec $K = 8\\,W/°C$ et $T_{ext} = 20\\,°C$.\n\n1. Déterminer la température d’équilibre atteinte lorsque le chauffage est en régime permanent (ON en continu).\n2. Calculer le temps nécessaire pour chauffer de 20 °C à 200 °C en négligeant les pertes thermiques.\n3. En considérant les pertes, calculer la vitesse initiale de montée en température au départ (à 20 °C).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule d’équilibre : $P = K(T_{eq} - T_{ext})$
2. Remplacement : $T_{eq} = \\dfrac{P}{K} + T_{ext}$
3. Calcul : $T_{eq} = \\dfrac{2000}{8} + 20 = 270\\,°C$
4. Résultat : température limite 270 °C si relais reste fermé.
1. Énergie nécessaire : $Q = C_{th}(T_f - T_i)$
2. Remplacement : $Q = 500(200 - 20) = 90000\\,J$
3. Temps : $t = \\dfrac{Q}{P} = \\dfrac{90000}{2000} = 45\\,s$
4. Résultat : $t = 45\\,s$ pour une montée sans pertes.
1. Bilan instantané : $C_{th}\\dfrac{dT}{dt} = P - K(T - T_{ext})$
2. À t=0 : $T = T_{ext} = 20\\,°C$
3. Calcul : $\\dfrac{dT}{dt}\\big|_{t=0} = \\dfrac{P}{C_{th}} = \\dfrac{2000}{500} = 4\\,°C/s$
4. Résultat : pente initiale $4\\,°C/s$.
1. Équation thermique pendant marche : $C_{th}\\dfrac{dT}{dt} = -P_c + P_e$
2. Remplacement : $\\dfrac{dT}{dt} = \\dfrac{-1500 + 300}{4000} = -0.3\\,°C/s$
3. Variation : $\\Delta T = -2\\,°C$ ⇒ $t = \\dfrac{2}{0.3} = 6.67\\,s$
4. Résultat : refroidissement $t_{refroid}=6.7\\,s$.
1. Équation thermique à l’arrêt : $C_{th}\\dfrac{dT}{dt} = P_e$
2. Remplacement : $\\dfrac{dT}{dt} = \\dfrac{300}{4000} = 0.075\\,°C/s$
3. Élévation de 2 °C : $t = \\dfrac{2}{0.075} = 26.7\\,s$
4. Résultat : $t_{réchauff} = 26.7\\,s$.
1. Période totale : $T_{cycle} = t_{refroid} + t_{réchauff} = 6.7 + 26.7 = 33.4\\,s$
2. Rapport cyclique (marche) : $D = \\dfrac{t_{refroid}}{T_{cycle}} = \\dfrac{6.7}{33.4} = 0.20$
3. Résultat final : $D = 20\\%$ de marche, $80\\%$ d’arrêt, régulation stable et économique.
1. Équation différentielle :
Formule : $\\tau \\frac{dT}{dt} + T = K P$.
Quand le chauffage est ON, $P = P_{max}$ donc : $\\frac{dT}{dt} = \\frac{1}{\\tau}(K P_{max} - T)$.
Remplacement : $\\frac{dT}{dt} = \\frac{1}{120}(2\\times100 - T)$ = $\\frac{1}{120}(200 - T)$.
2. Temps pour atteindre 79 °C :
Solution : $T(t) = T_{\\infty} - (T_{\\infty} - T_0)e^{-t/\\tau}$ avec $T_{\\infty} = K P_{max} = 200$ °C.
Remplacement : $79 = 200 - (200 - 20)e^{-t/120}$.
Calcul : $121 = 180 e^{-t/120} ⇒ e^{-t/120} = 0.672$ ⇒ $t = -120\\ln(0.672) = 47.7$ s.
3. Période d’oscillation :
Le système refroidit selon : $\\frac{dT}{dt} = -\\frac{T}{\\tau}$ (lorsque chauffage OFF).
De 80 à 79, $ \\frac{T(t)}{80} = e^{-t/120}$ ⇒ $79 = 80 e^{-t_{ref}/120}$ ⇒ $t_{ref} = 1.51$ s.
Période approximative : $T_{osc} = t_{ch}+t_{ref} = 47.7 + 1.51 = 49.2$ s.
1. Équations :
Montée : $\\tau \\frac{dT}{dt} + T = K P_{max}$
Descente : $\\tau \\frac{dT}{dt} + T = 0$.
2. Durée de chauffage :
Formule : $T(t) = T_{\\infty} - (T_{\\infty} - T_0)e^{-t/\\tau}$
Avec $T_0 = 75$ °C, $T_{\\infty} = K P_{max} = 90$ °C.
Remplacement : $80 = 90 - (90 - 75)e^{-t/100}$ ⇒ $10 = 15e^{-t/100}$ ⇒ $e^{-t/100} = 2/3$
Calcul : $t = -100\\ln(2/3) = 40.5$ s.
3. Durée de refroidissement :
Formule : $T(t) = T_i e^{-t/100}$ avec $T_i = 80$ °C et $T_f = 75$ °C
Remplacement : $75 = 80 e^{-t/100}$ ⇒ $e^{-t/100} = 0.9375$ ⇒ $t_{ref} = 6.5$ s.
Période totale : $T_{osc} = 40.5 + 6.5 = 47$ s.
Exercice 1 : Régulation tout-ou-rien simple
Un système régulé utilise un régulateur tout-ou-rien simple avec une consigne de température $T_c = 70^{\\circ}\\mathrm{C}$. Le système chauffe jusqu'à $T = 75^{\\circ}\\mathrm{C}$ où le régulateur arrête la chauffe, puis baisse jusqu'à $T = 65^{\\circ}\\mathrm{C}$ où il relance la chauffe.
Question 1 : Déterminer la bande d'hystérésis effective $\\Delta T$.
Question 2 : Calculer la durée de fonctionnement du système si la puissance de chauffe moyenne est de $P = 2\\,\\text{kW}$ avec une variation de température $\\pm 5^{\\circ}\\mathrm{C}$ autour de la consigne, sachant que la capacité thermique de l'environnement est $C = 10\\,\\text{kJ/K}$.
Question 3 : Estimer l'énergie consommée par cycle complet (chauffe et refroidissement).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Largeur de la bande d'hystérésis
1. La bande d'hystérésis est définie par la différence entre les seuils haut et bas :
$\\Delta T = T_{haut} - T_{bas} = 75 - 65 = 10^{\\circ}\\mathrm{C}$
Valeur : \\(\\Delta T = 10^{\\circ}\\mathrm{C}\\).
Question 2 : Calcul de la durée de fonctionnement
1. La variation de l'énergie thermique est :
$\\Delta E = C \\times \\Delta T = 10 \\times 10^{3} \\times 10 = 10^{5} \\, \\text{J}$
2. La puissance fournie est :
$P = 2 \\times 10^{3} \\, \\text{W} = 2000 \\, \\text{J/s}$
3. Durée de chauffe :
$t = \\frac{\\Delta E}{P} = \\frac{10^{5}}{2000} = 50 \\, \\text{s}$
La durée de fonctionnement est 50 s par cycle de chauffe.
Question 3 : Énergie consommée par cycle complet
1. Le cycle complet comprend chauffe et refroidissement :
$E_{cycle} = 2 \\times \\Delta E = 2 \\times 10^{5} = 2 \\times 10^{5} \\, \\text{J} = 200 \\, \\text{kJ}$
L'énergie consommée par cycle complet est 200 kJ.
", "id_category": "2", "id_number": "16" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil
Un régulateur tout-ou-rien est réglé avec une consigne de température $T_s = 40^{\\circ}C$ et un seuil d'activation $\\Delta T_s = 2^{\\circ}C$. Le système doit prévenir les oscillations trop fréquentes.
Question 1 : Définir les seuils supérieur et inférieur $T_{sup}, T_{inf}$.
Question 2 : Si la chaleur spécifique du système est $C=5000 \\, \\text{J/K}$ et que la puissance de chauffe est $P=1000\\, \\text{W}$, calculer le temps nécessaire pour passer du seuil inférieur au seuil supérieur.
Question 3 : Calculer la fréquence minimale d’oscillation du système avec ces seuils.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des seuils
1. Seuil supérieur :
$T_{sup} = T_s + \\frac{\\Delta T_s}{2} = 40 + 1 = 41^{\\circ}\\mathrm{C}$
2. Seuil inférieur :
$T_{inf} = T_s - \\frac{\\Delta T_s}{2} = 40 - 1 = 39^{\\circ}\\mathrm{C}$
Question 2 : Durée pour montée en température de 39 à 41 °C
1. Énergie à fournir :
$\\Delta E = C \\times (T_{sup} - T_{inf}) = 5000 \\times (41 - 39) = 10\\,000 \\, \\text{J}$
2. Durée :
$t = \\frac{\\Delta E}{P} = \\frac{10\\,000}{1000} = 10\\, \\text{s}$
Question 3 : Fréquence d’oscillation
1. Puisque chaque cycle dure montée + descente,
$T_{cycle} = 2t = 20\\, \\text{s}$
2. La fréquence c’est :
$f = \\frac{1}{T_{cycle}} = \\frac{1}{20} = 0.05\\, \\text{Hz}$
La fréquence minimale d'oscillation est 0.05 Hz.
", "id_category": "2", "id_number": "17" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 3 : Régulation tout-ou-rien avec seuil et hystérésis
Un régulateur tout-ou-rien est conçu avec une consigne de température $T_c = 60^{\\circ}\\mathrm{C}$, un seuil d’action supérieur $T_{sup} = 62^{\\circ}\\mathrm{C}$ et un seuil d’action inférieur $T_{inf} = 58^{\\circ}\\mathrm{C}$. Il présente une hystérésis assurant la stabilisation du système.
Question 1 : Déterminer la largeur de l’hystérésis $\\Delta T$.
Question 2 : En supposant que la puissance appliquée à la charge est $P=1.5\\,\\text{kW}$ et que la capacité thermique est $C=8000\\,\\text{J/K}$, calculer la période d’oscillation.
Question 3 : Calculer l’énergie consommée par cycle d’oscillation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Largeur de l'hystérésis
1. La largeur est :
$\\Delta T = T_{sup} - T_{inf} = 62 - 58 = 4^{\\circ}\\mathrm{C}$
La largeur d’hystérésis est 4 °C.
Question 2 : Calcul de la période d’oscillation
1. Énergie pour changement de température :
$\\Delta E = C \\times \\Delta T = 8000 \\times 4 = 32,000 \\, \\text{J}$
2. Durée sur une phase de chauffe (montée ou descente) :
$t = \\frac{\\Delta E}{P} = \\frac{32,000}{1500} = 21.33 \\, \\text{s}$
3. Période complète :
$T = 2 t = 42.67 \\, \\text{s}$
La période d’oscillation est 42.67 secondes.
Question 3 : Energie consommée par cycle
$E_{cycle} = P \\times T = 1500 \\times 42.67 = 64,000 \\, \\text{J} = 64 \\, \\text{kJ}$
L’énergie consommée par cycle est 64 kJ.
", "id_category": "2", "id_number": "18" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "On étudie un régulateur tout-ou-rien simple pour un système de chauffage électrique avec une consigne de température $T_s = 75$ °C.Question 1 : Calculez l'état de la sortie du régulateur (ON ou OFF) pour une température mesurée $T_m = 70$ °C.
Question 2 : Si on introduit une zone morte (seuil) de ± 3 °C autour de la consigne, calculez les limites supérieure et inférieure de la zone morte.
Question 3 : En ajoutant une hystérésis de ± 2 °C, calculez les seuils effectifs de passage ON/OFF et expliquez leur effet sur la fréquence des commutations.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Règle de fonctionnement : Si $T_m < T_s$, la sortie est ON (chauffage actif). Sinon, OFF.
2. Avec $T_m = 70$ °C et $T_s = 75$ °C :
$70 < 75 \\Rightarrow \\text{Sortie ON}$
Question 2 :
1. La zone morte définit une bande d'insensibilité :
$T_{inf} = T_s - 3 = 72$ °C,
$T_{sup} = T_s + 3 = 78$ °C
2. Dans cette zone, le régulateur ne change pas d'état.
Question 3 :
1. L'hystérésis déplace les seuils de commutation :
$T_{ON} = T_s - 3 - 2 = 70$ °C (passage ON)
$T_{OFF} = T_s + 3 + 2 = 80$ °C (passage OFF)
2. Cela évite la commutation fréquente en cas de fluctuation autour de la consigne, réduisant l'usure mécanique et les cycles de commande.
", "id_category": "2", "id_number": "19" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis est utilisé pour contrôler le niveau d'un réservoir d'eau.Question 1 : Si le seuil bas est fixé à 30% et le seuil haut à 70% de remplissage, calculez la largeur de la bande d'hystérésis.
Question 2 : Pour un remplissage actuel de 25%, quelle action prendra le régulateur (activé/désactivé) ?
Question 3 : Calculez la fréquence de commutation théorique si la vitesse de variation du niveau est de 5% par minute dans une zone efficace entre 30% et 70%.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Largeur de la bande d'hystérésis :
$\\text{Bande} = 70\\% - 30\\% = 40\\%$
Question 2 :
1. Si le niveau est $25\\% < 30\\%$, l'action du régulateur est :
Cela correspond à l'activation du remplissage (ou régulation ON).
Question 3 :
1. La vitesse de variation est 5% par minute. La bande utile est 40%.
2. La durée d'un cycle complet est :
$t = \\frac{\\text{bande}}{\\text{vitesse}} = \\frac{40}{5} = 8$ minutes
3. La fréquence de commutation est l'inverse :
$f = \\frac{1}{t} = 0.125$ cycles par minute
Interprétation : L'hystérésis réduit la fréquence de commutation, évitant des cycles trop fréquents et assurant la stabilité du système.
", "id_category": "2", "id_number": "20" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un système industriel utilise un régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis pour maintenir une pression constante.Question 1 : Les seuils étant $P_{bas} = 1.5$ bar et $P_{haut} = 2.0$ bar, calculez l'intervalle de pression d'activation du compresseur.
Question 2 : Si la pression diminue de $0.05$ bar par minute, calculez le temps de réponse avant activation du compresseur en cas de dépassement du seuil bas.
Question 3 : Calculez le nombre théorique de cycles de mise en marche/arrêt en 1 heure si la pression est proche des seuils et varie périodiquement de ±0.1 bar autour de 1.75 bar.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. L'intervalle d'activation est :
$P_{activation} = P_{haut} - P_{bas} = 2.0 - 1.5 = 0.5$ bar
Question 2 :
1. Temps de réponse avant l'activation :
$t = \\frac{P_{bas} - P_{courante}}{\\text{vitesse de chute}} = \\frac{1.5 - 1.5}{0.05} = 0$ min
(si la pression est déjà à 1.5 bar, activation immédiate)
Question 3 :
1. L'amplitude de variation est $\\pm 0.1$ bar autour de 1.75 bar.
2. La période complète est :
$T = \\frac{2 \\times 0.1}{0.05} = 4$ minutes
3. Nombre de cycles par heure :
$N = \\frac{60}{T} = \\frac{60}{4} = 15$ cycles
Interprétation : Le régulateur avec seuil et hystérésis réduit les commutations intempestives, limitant l'usure des composants tout en assurant un contrôle précis.
", "id_category": "2", "id_number": "21" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple
Un système est contrôlé par un régulateur tout-ou-rien simple avec une consigne $W = 50$ °C. La température mesurée
$T(t)$ varie autour de cette consigne. La sortie du régulateur est soit 0 (arrêt du chauffage) soit $M = 100$ % (mise en marche du chauffage).
Question 1 : Calculer la durée pendant laquelle le chauffage est activé si la température s'élève de $45$ °C à $55$ °C avec un taux de chauffe constant de $2$ °C/min.
Question 2 : Déterminer la fréquence de commutation du régulateur si la température descend ensuite de 55 °C à 45 °C avec un taux de refroidissement de $1$ °C/min.
Question 3 : Expliquer l'impact d'un hystérésis de $2$ °C sur les fréquences de commutation en calculant les nouvelles plages de déclenchement et les durées associées.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Durée de mise en marche du chauffage
1. Le chauffage démarre à 45 °C et s'arrête à 50 °C (consigne).
2. Taux de chauffe :
$r_c = 2$ °C/min
3. Durée de montée :
$\\Delta T = 50 - 45 = 5$ °C
$t_{on} = \\frac{\\Delta T}{r_c} = \\frac{5}{2} = 2,5$ minutes
Question 2 : Fréquence de commutation
1. Refroidissement entre 50 et 45 °C, taux de refroidissement
$r_f = 1$ °C/min.
2. Durée de descente :
$t_{off} = \\frac{5}{1} = 5$ minutes
3. Période de cycle complet :
$T = t_{on} + t_{off} = 2,5 + 5 = 7,5$ minutes
4. Fréquence :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{7,5} = 0,133$ cycles par minute
Question 3 : Impact de l'hystérésis de 2 °C
1. Consignes avec hystérésis :
$W_{sup} = 51$ °C et $W_{inf} = 49$ °C
2. Durée de montée :
$t_{on} = \\frac{51 - 45}{2} = 3$ minutes
3. Durée de descente :
$t_{off} = \\frac{51 - 49}{1} = 2$ minutes
4. Période :
$T = 3 + 2 = 5$ minutes
5. Fréquence :
$f = \\frac{1}{5} = 0,2$ cycles/minute
L'hystérésis réduit la fréquence de commutation, diminuant l'usure mécanique et électrique du système.
", "id_category": "2", "id_number": "22" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil
Un régulateur tout-ou-rien équipé d'un seuil de déclenchement $W_s = 2$ unités agit sur un système avec une consigne $W = 100$. La mesure évolue entre $W - W_s$ et $W + W_s$ avec une vitesse de changement constante.
Question 1 : Calculer la durée entre deux commutations si la mesure varie de $90$ à $110$ unités avec une vitesse de changement de $5$ unités/s.
Question 2 : Déduire la fréquence de commutation.
Question 3 : Si on diminue le seuil à $1$ unité, quel sera l'impact sur la fréquence ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Durée entre deux commutations
1. Intervalle total entre commutations :
$\\Delta = 110 - 90 = 20$ unités
2. Durée :
$t = \\frac{\\Delta}{v} = \\frac{20}{5} = 4$ s
Question 2 : Fréquence de commutation
$f = \\frac{1}{t} = \\frac{1}{4} = 0,25$ Hz
Question 3 : Impact d'un seuil réduit
1. Nouvelle amplitude :
$\\Delta' = 2 \\times W_s = 2 \\times 1 = 2$ unités
2. Nouvelle période :
$t' = \\frac{\\Delta'}{v} = \\frac{2}{5} = 0,4$ s
3. Nouvelle fréquence :
$f' = \\frac{1}{t'} = 2,5$ Hz
Diminuer le seuil augmente la fréquence, causant plus de commutations et usure possible.
", "id_category": "2", "id_number": "23" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis
Un régulateur est configuré avec une consigne $W = 75$, un seuil de commutation $W_s = 3$ et une hystérésis de $H = 2$. La grandeur mesurée oscille entre $70$ et $80$ selon un profil sinusoïdal.
Question 1 : Déterminer les bornes hautes et basses des plages de commutation conséquentes à l'hystérésis.
Question 2 : Calculer la durée où la commande est activée et désactivée si la période d'oscillation est $T = 60$ secondes.
Question 3 : Déduire la fréquence de commutation et expliquer l'impact sur la stabilité du système.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Bornes de commutation
1. Borne haute activation :
$W_{high} = W + W_s + H = 75 + 3 + 2 = 80$
2. Borne basse désactivation :
$W_{low} = W - W_s - H = 75 - 3 - 2 = 70$
Question 2 : Durées d'activation et de désactivation
1. L'oscillation est sinusoïdale entre 70 et 80 avec période $T = 60$ s.
2. Durée d'activation correspond à la portion où la mesure dépasse $W_{high}$ et la désactivation à la portion inférieure à $W_{low}$.
3. Calculs détaillés avec la fonction sinus permettent de déterminer la durée effective dans ces plages (basé sur intégration temporelle des portions de cycle).
Question 3 : Fréquence de commutation et stabilité
1. La fréquence de commutation est inférieure à celle d'un tout ou rien sans hystérésis, réduisant ainsi l'usure et les oscillations indésirables.
2. Ce mode stabilise le système par l'introduction d'une zone morte effective (hystérésis).
", "id_category": "2", "id_number": "24" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple - calculs de seuils et temps de réponse
Un système est régulé par un régulateur tout-ou-rien avec une consigne $W = 50$ unité, une sortie de commande binaire entre 0 (arrêt) et 100 % (marche), et une dynamique caractérisée par une constante de temps $\\tau = 10$ s.
Question 1 : Pour un écart initial de $e(0) = -10$, calculer le temps nécessaire pour que la sortie bascule pour la première fois si la sortie initiale est 100 %.
Question 2 : Si la consigne est $W$ avec un seuil d'activation $S = 2$, déterminer la valeur de l'écart $e$ pour laquelle la commande bascule de 0 à 100 % et inversement.
Question 3 : Calculer la fréquence d'oscillation du système si la sortie oscille entre 0 et 100 % autour de la consigne.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
La réponse du système suit :
$e(t) = e(0) e^{-t/\\tau}$
On cherche
$t_1$ tel que la commande bascule quand
$e(t_1) = 0$, mais la bascule se produit dès que l'écart atteint 0 (consigne atteinte).
Si la commande est 100 %, on calcule le temps pour que
$e(t_1) = 0$, ce qui est théorique à l'infini. Pratiquement on considère le seuil de tolérance.
Supposons que la bascule se produit quand
$e(t_1) = -S = -2$ :
$-2 = -10 e^{-t_1/10}$
Donc :
$e^{-t_1/10} = 0.2$
$t_1 = -10 \\ln(0.2) = 16.09 \\; \\text{s}$
Question 2 :
La commande bascule de 0 à 100 % quand
$e > S = 2$, et de 100 % à 0 quand
$e < -S = -2$. Ce sont les seuils d'hystérésis.
Question 3 :
La fréquence d'oscillation entre seuils pour un régime stationnaire est donnée par :
$f = \\frac{1}{2 T}$, où $T$ est le temps nécessaire pour aller d'un seuil à l'autre.
Durée entre seuils :
$T = \\tau \\ln \\frac{e(0)}{S} = 10 \\ln \\frac{10}{2} = 10 \\times 1.609 = 16.09 \\; \\text{s}$
Donc :
$f = \\frac{1}{2 \\times 16.09} = 0.031 \\; \\text{Hz}$
", "id_category": "2", "id_number": "25" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 2 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil
Considérons un régulateur TOR avec seuil $S = 3$ unités, consigne $W = 100$, et réponse de l'erreur suivant :
$e(t) = 25 \\sin(0.2 t)$.
Question 1 : Déterminer les instants où la commande bascule entre 0 % et 100 %.
Question 2 : Calculer les périodes d'activation et désactivation.
Question 3 : Calculer la fréquence moyenne d'oscillation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
La commande bascule aux instants où
$|e(t)| = S = 3$ :
$25 \\sin(0.2 t) = \\pm 3$
$\\sin(0.2 t) = \\pm 0.12$
Résolvons :
$0.2 t = \\arcsin(\\pm 0.12) + k \\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$
Les premières valeurs :
$t_1 = \\frac{\\arcsin(0.12)}{0.2} = 0.602 \\; s, \\quad t_2 = \\frac{\\pi - \\arcsin(0.12)}{0.2} = 14.21 \\; s$
Question 2 :
Les périodes d'activation et désactivation sont :
$T_{on} = t_2 - t_1 = 14.21 - 0.602 = 13.61 \\; s$
La période complète est
$T = \\frac{2 \\pi}{0.2} = 31.42 \\; s$
Le temps de désactivation :
$T_{off} = T - T_{on} = 17.81 \\; s$
Question 3 :
La fréquence moyenne d'oscillation :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{31.42} = 0.0318 \\; \\text{Hz}$
", "id_category": "2", "id_number": "26" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis
Un régulateur TOR est configuré avec seuils $w_{inf} = 45$ et $w_{sup} = 55$. La consigne est $W = 50$. La dynamique du système est représentée par :
$e(t) = 10 \\sin(0.1 t)$.
Question 1 : Déterminer les intervalles de temps où la commande est activée (100 %) ou désactivée (0 %).
Question 2 : Calculer la fréquence d'oscillation effective du système.
Question 3 : Déterminer l'amplitude maximale de l'erreur $e(t)$ durant un cycle complet.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
La commande est activée quand
$e(t) \\leq w_{inf} - W = 45 - 50 = -5$ et désactivée quand
$e(t) \\geq w_{sup} - W = 55 - 50 = 5$.
Résolvons :
$10 \\sin(0.1 t) \\leq -5 \\Rightarrow \\sin(0.1 t) \\leq -0.5$
$10 \\sin(0.1 t) \\geq 5 \\Rightarrow \\sin(0.1 t) \\geq 0.5$
On trouve les intervalles sur une période
$T = \\frac{2\\pi}{0.1} = 62.83 \\text{ s}$
Question 2 :
La fréquence d'oscillation correspondante est :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{62.83} = 0.0159 \\text{ Hz}$
Question 3 :
L'amplitude maximale vaut :
$max(|e(t)|) = 10$
", "id_category": "2", "id_number": "27" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien simple commande un système où la variable mesurée est la température $T(t)$. Le régulateur agit en coupant ou en activant une résistance chauffante avec :
- Consigne : $T_c = 70^\\circ C$
- Valeur de sortie : $y(t) = 1$ si $T(t) < T_c$, sinon $0$.
Question 1 : Pour une température mesurée $T = 65^\\circ C$, quelle est la commande $y$ ?
Question 2 : Pour une température de $T = 75^\\circ C$, calculer la valeur de la sortie.
Question 3 : Si on mesure une oscillation entre $68^\\circ C$ et $72^\\circ C$, quelle est la fréquence d’oscillation pour une période de $120\\text{ s}$ ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la commande pour
1. La température est inférieure à la consigne :
$T = 65^\\circ C < \\quad T_c = 70^\\circ C$
Donc :
$y = 1$
Question 2 : Calcul de la commande pour valeur supérieure à la consigne
1. La température est supérieure :
$T = 75^\\circ C > T_c$
Donc :
$y = 0$
Question 3 : Fréquence d’oscillation
1. La période :
$T = 120\\text{ s}$
2. La fréquence :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{120} = 8.33 \\times 10^{-3} \\text{ Hz} = 8.33 \\text{ mHz}$
", "id_category": "2", "id_number": "28" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Dans un système de chauffage, un régulateur tout-ou-rien avec seuil agit sur la température :
- Seuil bas : $T_{min} = 68^\\circ C$
- Seuil haut : $T_{max} = 72^\\circ C$
Lorsque la température dépasse $T_{max}$, la commande coupe l’alimentation, et quand elle descend sous $T_{min}$, elle rétablit l’alimentation.
Question 1 : Déterminez la valeur de la sortie $y(t)$ si $T = 67^\\circ C$.
Question 2 : Pour une température $T = 70^\\circ C$, quel état de la commande ?
Question 3 : Pour $T = 75^\\circ C$, calculez la valeur de $y(t)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Commande pour
1. Comme $T = 67^\\circ C < T_{min} = 68^\\circ C$, la commande doit activer :
$y = 1$
Question 2 : Commande pour température entre seuils
1. Pour $T = 70^\\circ C$, la commande ne change pas l’état (mode tout-ou-rien). Si elle était activée, elle reste activée, sinon désactivée. Sans historique, on suppose :
$y = 1$
Question 3 : Commande au-dessus du seuil haut
1. Pour $T = 75^\\circ C > T_{max} = 72^\\circ C$, la commande désactive :
$y = 0$
", "id_category": "2", "id_number": "29" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis est défini par :
- Seuil inférieur $U_{inf} = 40$
- Seuil supérieur $U_{sup} = 50$
Le système commande l’état selon :
$y(t) = \\left\\{ \\begin{array}{ll} 1, & \\text{si } x(t) \\leq U_{inf} \\ 0, & \\text{si } x(t) \\geq U_{sup} \\end{array} \\right.$
Question 1 : Calculez la valeur de $y$ pour $x = 35$.
Question 2 : Pour $x = 45$, quelle est la valeur de $y$ sachant que la dernière commande était à 1.
Question 3 : Pour $x = 48$, quelle est la valeur de $y$ si la dernière commande était à 0.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul pour
1. Pour $x = 35 < U_{inf} = 40$, on a :
$y = 1$
Question 2 : Valeur avec dernière commande à 1
1. Pour $x = 45$, situé entre $U_{inf} = 40$ et $U_{sup} = 50$, la commande reste à la précédente valeur :
$y = 1$
Question 3 : Valeur avec dernière commande à 0
1. Pour $x = 48$, entre les seuils mais dernière commande à 0, la sortie reste :
$y = 0$
", "id_category": "2", "id_number": "30" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "On considère un régulateur tout-ou-rien simple qui commande un chauffage électrique alimenté sous une tension $V_s = 220 \\, V$. La température de consigne est $T_s = 75^\\circ C$, et la température actuelle $T$. Le régulateur déclenche le chauffage lorsque $T < T_s$ et l'arrête sinon.Question 1 : Calculer la durée de chauffe nécessaire pour augmenter la température de $10^\\circ C$ dans une pièce dont la capacité thermique est $C = 5000 \\, J/^{\\circ}C$ et la puissance thermique du chauffage est $P = 1000 \\, W$.
Question 2 : Déterminer la fréquence de commutation du régulateur si la température baisse de $2^\\circ C$ par heure.
Question 3 : Calculer la tension moyenne appliquée au chauffage.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de la durée de chauffe
La quantité d'énergie nécessaire pour augmenter la température de
$\\Delta T = 10^\\circ C$ est :
$Q = C \\times \\Delta T = 5000 \\times 10 = 50000 \\, J$
La durée nécessaire avec une puissance
$P = 1000 \\, W$ (1 watt = 1 joule/seconde) :
$t = \\frac{Q}{P} = \\frac{50000}{1000} = 50 \\, s$
Question 2 : Calcul de la fréquence de commutation
La température baisse de 2° par heure, soit :
$f_{dec} = \\frac{2}{3600} = 5.56 \\times 10^{-4} \\, ^\\circ C/s$
Pour un cycle de chauffe/refroidissement de 10° (chaleur) + 2° (refroidissement), la période est :
$T = \\frac{10 + 2}{5.56 \\times 10^{-4}} = 21605 \\, s = 6 \\, h$
La fréquence de commutation :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{21605} = 4.63 \\times 10^{-5} \\, Hz$
Question 3 : Calcul de la tension moyenne appliquée au chauffage
Le rapport cyclique est :
$D = \\frac{t_{chauffe}}{T} = \\frac{50}{21605} = 0.00231$
La tension moyenne est :
$V_{moy} = D \\times V_s = 0.00231 \\times 220 = 0.508 \\, V$
Le chauffage est donc alimenté en moyenne avec une tension très faible, reflétant un contrôle tout-ou-rien avec un faible rapport cyclique.
", "id_category": "2", "id_number": "31" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien avec seuils positive et négative est utilisé pour maintenir la température autour d'une consigne $T_c = 60^\\circ C$. Le seuil haut est $T_{sup} = 62^\\circ C$ et le seuil bas est $T_{inf} = 58^\\circ C$. La puissance du chauffage est $P = 1500 \\, W$, la capacité thermique du milieu est $C = 8000 \\, J/^{\\circ}C$.Question 1 : Calculer la durée de chauffe jusqu'à atteindre $T_{sup}$ depuis la consigne.
Question 2 : Calculer le temps de refroidissement jusqu'à atteindre $T_{inf}$.
Question 3 : Déterminer la période totale de commutation et la fréquence du cycle.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Durée de chauffe
La quantité d'énergie nécessaire pour augmenter la température de
$\\Delta T = T_{sup} - T_c = 62 - 60 = 2^\\circ C$
$Q = C \\times \\Delta T = 8000 \\times 2 = 16000 \\, J$
La durée de chauffe est :
$t_{ch} = \\frac{Q}{P} = \\frac{16000}{1500} = 10{,}67 \\, s$
Question 2 : Temps de refroidissement
La température baisse de
$\\Delta T = T_c - T_{inf} = 60 - 58 = 2^\\circ C$
La puissance thermique dissipée est supposée nulle, donc l'énergie se dissipe par la baisse de température :
$t_{ref} = \\frac{Q}{P} = 10{,}67 \\, s$
Question 3 : Calcul de la période et fréquence de commutation
La période du cycle est :
$T = t_{ch} + t_{ref} = 10{,}67 + 10{,}67 = 21{,}34 \\, s$
La fréquence de commutation est :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{21{,}34} = 0{,}0469 \\, Hz$
", "id_category": "2", "id_number": "32" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis maintient la température dans une enceinte comprise entre $20^\\circ C$ et $22^\\circ C$. Le cycle de chauffe est piloté par une puissance $P = 1200 \\, W$ et le volume thermique a une capacité $C = 4500 \\, J/^{\\circ}C$.Question 1 : Calculez la durée de montée de la température de 2°.
Question 2 : Calculez la durée de refroidissement sur 2° dans ce contexte.
Question 3 : Déterminez la fréquence de commutation du régulateur.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Durée de montée de température
La quantité d'énergie nécessaire :
$\\Delta T = 2^\\circ C, \\quad Q = C \\times \\Delta T = 4500 \\times 2 = 9000 \\, J$
Durée de chauffe :
$t_{montée} = \\frac{Q}{P} = \\frac{9000}{1200} = 7{,}5 \\, s$
Question 2 : Durée de refroidissement
La durée est égale à la durée de montée si on néglige les pertes :
$t_{descente} \\approx 7{,}5 \\, s$
Question 3 : Fréquence de commutation
La période de cycle :
$T = t_{montée} + t_{descente} = 7{,}5 + 7{,}5 = 15 \\, s$
La fréquence :
$f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{15} = 0{,}0667 \\, Hz$
", "id_category": "2", "id_number": "33" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 1 : Calculs pour un régulateur tout-ou-rien simple
Un système industriel est commandé par un régulateur tout-ou-rien simple. La consigne est fixée à $W = 100$ unités et la mesure instantanée est $X(t)$.
Question 1 : Calculer la sortie du régulateur $Y(t)$ lorsque $X(t) = 95$ puis pour $X(t) = 105$.
Question 2 : Si la dynamique du système implique un dépassement de la consigne de 5 unités avant stabilisation, calculer la durée totale pendant laquelle la sortie sera à 100% dans un cycle complet en supposant une fréquence de régulation de 1 Hz.
Question 3 : Décrire l'effet de l'introduction d'un seuil $u_s = 3$ sur la fréquence des commutations et calculer la plage de non-commutation (zone morte) correspondante.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la sortie $Y(t)$
1. Principe :
Si $X(t) < W$, alors $Y(t) = 0$ ; sinon $Y(t) = 100$.
2. Calcul :
Pour $X = 95 < 100$, on a
$Y = 0$
Pour $X = 105 > 100$, on a
$Y = 100$
3. Résultats :
$\\boxed{\\begin{cases} X=95 \\rightarrow Y=0 \\ X=105 \\rightarrow Y=100 \\end{cases}}$
Question 2 : Calcul de la durée de sortie à 100%
1. À 1 Hz, la période est
$T = \\frac{1}{f} = 1 \\text{ s}$
2. La sortie est à 100 % pendant le dépassement de 5 unités. Supposons que cette phase dure proportionnellement :
$\\Delta t = \\frac{5}{(max-X_{min})} \\times T$
Sans données additionnelles sur la période de variation, on considère que $\\Delta t = 0.5 \\text{ s}$ (hypothèse pour résolution).
3. Résultat :
$\\boxed{\\Delta t = 0.5 \\text{ s}}$
Question 3 : Effet du seuil et calcul de la zone morte
1. Le seuil $u_s = 3$ introduit une zone d'insensibilité de largeur $2 u_s = 6$ unités.
2. Cela évite les commutations intempestives pour des variations dans cette plage.
3. Résultat :
$\\boxed{\\text{Zone morte} = 6 \\text{ unités}}$
", "id_category": "2", "id_number": "34" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 2 : Calculs pour un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis
Un régulateur tout-ou-rien avec hystérésis a des seuils $u_{sup} = 55$ et $u_{inf} = 45$ avec une consigne nominale $W = 50$.
Question 1 : Déterminer la sortie $Y(t)$ lorsque la mesure est $X(t) = 47$, puis lorsque $X(t) = 53$.
Question 2 : Calculer la largeur de la bande d'hystérésis.
Question 3 : Estimer la fréquence maximale de commutation si la mesure varie sinusoidalement avec une période de 10 s.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la sortie $Y(t)$
1. Principe :
Sortie 100 % si mesure dépasse $u_{sup} = 55$, sortie 0 % si elle est en dessous de $u_{inf} = 45$, sinon maintien.
2. Pour $X = 47$, entre les seuils :
La sortie reste sur la dernière valeur, supposons 0 %.
3. Pour $X = 53$, toujours entre les seuils :
La sortie reste sur la dernière valeur, supposons 0 %.
4. Résultat :
$\\boxed{\\begin{cases} X=47 \\rightarrow Y=0 \\\\ X=53 \\rightarrow Y=0 \\end{cases}}$
Question 2 : Calcul de la largeur de la bande d'hystérésis
1. Formule :
$\\Delta U = u_{sup} - u_{inf} = 55 - 45 = 10$
2. Résultat :
$\\boxed{\\Delta U = 10}$
Question 3 : Fréquence maximale de commutation
1. La période d'oscillation est $T = 10 s$ (sinusoïde).
2. À chaque cycle, il y a deux commutations (montée et descente).
3. Fréquence :
$f = \\frac{2}{T} = \\frac{2}{10} = 0.2 \\rm Hz$
4. Résultat :
$\\boxed{f = 0.2 \\rm Hz}$
", "id_category": "2", "id_number": "35" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 3 : Régulateur tout-ou-rien avec seuil et hystérésis
Un régulateur tout-ou-rien possède un seuil d'activation $u_s = 2$ et une bande d'hystérésis de $h = 4$. La consigne est fixée à $W = 50$.
Question 1 : Déterminer les seuils supérieur et inférieur de commutation $u_{sup}$ et $u_{inf}$.
Question 2 : Calculer la sortie du régulateur pour une mesure qui augmente de $48$ à $52$.
Question 3 : Estimer la moindre amplitude du signal de mesure pour que le régulateur commute.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des seuils de commutation
1. Formules :
$u_{sup} = W + \\frac{h}{2}, \\quad u_{inf} = W - \\frac{h}{2}$
2. Remplacement :
$u_{sup} = 50 + 2 = 52, \\quad u_{inf} = 50 - 2 = 48$
3. Résultat :
$\\boxed{u_{sup} = 52, \\quad u_{inf} = 48}$
Question 2 : Calcul de la sortie pour une mesure de 48 à 52
1. Entre $48$ et $52$, le régulateur retient sa dernière sortie. Supposons sortie initiale 0.
2. À 48, sortie = 0, à 52 (dépassement du seuil supérieur), sortie passe à 100.
3. Résultat :
$\\boxed{\\begin{cases} X=48 \\rightarrow Y=0 \\ X=52 \\rightarrow Y=100 \\end{cases}}$
Question 3 : Amplitude minimale pour commutation
1. La bande d'hystérésis est $h = 4$, donc l'amplitude minimale est également de 4 unités.
2. Résultat :
$\\boxed{\\Delta X_{min} = 4}$
", "id_category": "2", "id_number": "36" }, { "category": "Régulateur tout-ou-rien", "question": "Exercice 1 : Régulateur tout-ou-rien simple sans seuil\n\nUn système thermique est régulé par un actionneur tout-ou-rien commandant une résistance chauffante de puissance $P = 1000\\,\\text{W}$, montée dans un réservoir d’eau de masse $m = 10\\,\\text{kg}$. La chaleur spécifique de l’eau est $c = 4180\\,\\text{J/kg·K}$. Le système est soumis à une dissipation thermique équivalente à une résistance thermique $R_{th} = 6\\,\\text{K/W}$. La température de consigne est fixée à $T_c = 60\\,\\text{°C}$, et la température ambiante vaut $T_a = 20\\,\\text{°C}$.\n\n1. Calculer la température d’équilibre atteinte lorsque le chauffage reste en service en permanence.\n2. Déterminer le temps nécessaire pour que la température atteigne 90 % de la valeur d’équilibre en régime de chauffage continu.\n3. Évaluer la période d’oscillation approximative du système en fonctionnement tout-ou-rien autour de la consigne.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Température d’équilibre
Formule : $T_{eq} = T_a + P R_{th}$
Remplacement : $T_{eq} = 20 + 1000 \\times 6 = 6020\\,\\text{°C}$
Résultat : $T_{eq} = 6020\\,\\text{°C}$ (système surchauffant si non régulé)
2. Temps pour atteindre 90 %
Modèle thermique du premier ordre : $T(t) = T_a + (T_{eq} - T_a)(1 - e^{-t/\\tau})$ avec $\\tau = m c R_{th}$
Calcul de $\\tau$ : $\\tau = 10 \\times 4180 \\times 6 = 2,508\\times10^5\\,\\text{s}$
Pour 90 % : $T = T_a + 0,9(T_{eq} - T_a)$ → $e^{-t/\\tau} = 0,1$
$t = -\\tau \\ln(0,1) = 2,303 \\tau = 5,78\\times10^5\\,\\text{s}$
Résultat : $t = 578000\\,\\text{s} ≈ 160\\,\\text{h}$.
3. Période d’oscillation approximative
Hypothèse de commande tout-ou-rien avec énergie dissipée entre activation et coupure : $T = 2\\tau \\frac{\\Delta T}{T_{eq} - T_a}$
Si le régulateur oscille de ±2°C autour de la consigne : $\\Delta T = 4\\,\\text{°C}$
$T = 2 \\times 2,508\\times10^5 \\times \\frac{4}{6020 - 20} = 334\\,\\text{s}$
Résultat : $T_{osc} = 334\\,\\text{s}$.
1. Température d’équilibre
Équilibre si $\\frac{dT}{dt} = 0$ : $T_{eq} = T_{ext} + K Q \\tau$
Remplacement : $T_{eq} = 30 + 0,05 \\times (-200) \\times 600$
Calcul : $T_{eq} = 30 - 6000 = -5970\\,°C$
Résultat : température très basse ; le compresseur doit s’arrêter avant ce point, d’où l’intérêt du pilotage TOR.
2. Temps de refroidissement
Formule de décroissance exponentielle : $T(t) = T_f + (T_0 - T_f)e^{-t/\\tau}$
Ici $T_f = T_{eq} ≈ 23,5°C$ (seuil d’arrêt), $T_0 = 26,5°C$
Pour obtenir une variation de 3°C sur une dynamique de $\\tau = 600\\,\\text{s}$ :
$\\frac{T(t) - T_f}{T_0 - T_f} = e^{-t/600}$ ⇒ $e^{-t/600} = 0,1$
$t = 600\\ln(10) = 1380\\,\\text{s}$
Résultat : $t_{refroid} = 1380\\,\\text{s}$.
3. Période d’oscillation
Si la montée thermique (sans compresseur) dure approximativement le même temps : $T_{cycle} = 2 \\times t_{refroid}$
Calcul : $T_{cycle} = 2 \\times 1380 = 2760\\,\\text{s}$
Résultat : $Période ≈ 46\\,\\text{min}$.
1. Temps de chauffage (135→150 °C) :
Formule : $T(t) = T_{h} - (T_{h} - T_{b})e^{-t/τ}$, à l’instant initial $T(0)=135$
Remplacement : $150 = 150 - (150 - 135)e^{-t/300}$ → $e^{-t/300} = 0.5$
Calcul : $t = 300 \\ln2 = 208 s$.
2. Temps de refroidissement (150→135 °C) :
Formule : $T(t) = 135 + (150 - 135)e^{-t/500}$, pour $T = 135$ → $e^{-t/500} = 0.5$
Calcul : $t = 500 \\ln2 = 347 s$.
3. Période complète :
Formule : $T_{cycle} = t_{chauffage} + t_{refroidissement} = 208 + 347 = 555 s$.
1. Temps de montée :
Formule : $T(t) = 80 - 3e^{-t/400}$, à $T(0)=77$.
Remplacement : $77 = 80 - 3e^{-t/400}$ → $e^{-t/400} = 1$ → initial, donc recherche du temps pour atteindre 80 °C : $80 = 80 - 3e^{-t/400}$ → $e^{-t/400}=0$
On définit la montée jusqu’à 79.9 °C : $e^{-t/400} = \\frac{0.1}{3}$ → $t = -400\\ln(0.0333)=1350 s$.
2. Temps de refroidissement :
Formule : $T(t) = 77 + 3e^{-t/400}$, à $T=77.1 °C$ (quasi retour), $e^{-t/400} = \\frac{0.1}{3}$
Résultat : $t = 1350 s$ (même constante de temps).
3. Durée totale de cycle :
Formule : $T_{cycle} = 2t = 2×1350 = 2700 s$ soit 45 min.
1) Identification des paramètres du modèle Broïda
Formule générale : $t_0$ = retard pur $T_m$ ; différence $(t_1-t_0)$ = constante de temps $\\tau$ ; $K=\\dfrac{\\text{variation sortie}}{\\text{variation entrée}}$
Remplacement : $\\Delta y=6,6,\\Delta u=3,\\ t_0=16,\\ t_1=43$
$K=6,6/3=2,2$
$T_m=16\\ \\text{s}$
$\\tau=43-16=27\\ \\text{s}$
Résultat final : $K=2,2 ; T_m=16\\ \\text{s} ; \\tau=27\\ \\text{s}$
2) Fonction de transfert identifiée
Formule : $H(p) = K \\exp(-T_m p) / (\\tau p + 1)$
Remplacement : $K=2,2 ; T_m=16 ; \\tau=27$
$H(p) = \\dfrac{2,2 \\exp(-16p)}{27p+1}$
Résultat final : $H(p)=\\dfrac{2,2 e^{-16p}}{27p+1}$
3) Sortie à $t=60\\ \\text{s}$
Réponse indicielle : $y(t) = K \\cdot \\, \\Delta u \\cdot (1-\\exp(-(t-T_m)/\\tau)) \\text{ pour } t>T_m$
Remplacement : $\\Delta u=3, t=60, T_m=16, \\tau=27, K=2,2$
$y(60)=2,2\\times3\\times(1-\\exp(-(60-16)/27))=6,6\\times(1-\\exp(-1,63))$
$\\exp(-1,63)=0,196$
$y(60)=6,6\\times(1-0,196)=6,6\\times0,804=5,31$
Résultat final : $y(60)=5,31$
1) Fonction de transfert intégrateur
Formule générale (intégrateur pur) : $H(p)=\\dfrac{K}{p}$
Loi temporelle : $y(t)=K\\cdot u_0 t$, où $u_0=2$, après 25 s, $y=10$
Résultat final : $H(p)=\\dfrac{0,2}{p}$
2) Valeur constante d’intégration
Formule : $y(t)=K u_0 t$
On sait $10=K\\cdot 2\\cdot25\\Rightarrow K=10/50=0,2$
Résultat final : $K=0,2$
3) Sortie à $t=80\\ \\text{s}$
Formule : $y=K u_0 t=0,2\\times2\\times80=32$
Résultat final : $y(80)=32$
1) Paramètres PID Ziegler-Nichols
Formule : $K_P=0,6 K_{cr}$, $T_I=0,5 T_u$, $T_D=0,125 T_u$
Remplacement : $K_{cr}=8,7, T_u=23$
$K_P=0,6\\times8,7=5,22$
$T_I=0,5\\times23=11,5\\ \\text{s}$
$T_D=0,125\\times23=2,88\\ \\text{s}$
Résultat final : $K_P=5,22,\\, T_I=11,5\\ \\text{s},\\, T_D=2,88\\ \\text{s}$
2) Fonction de transfert globale
Correcteur PID : $C(p)=K_P\\left(1+\\dfrac{1}{T_I p}+T_D p\\right)$
Résultat final : $C(p)=5,22\\left(1+\\dfrac{1}{11,5p}+2,88p\\right)$
3) Marge de stabilité (phase à -180°)
Fréquence de croisement de phase, $\\omega_{180}=\\dfrac{\\pi}{T_I}=\\dfrac{3,14}{11,5}=0,273\\ \\text{rad/s}$
Résultat final : $\\omega_{180}=0,273\\ \\text{rad/s}$
Q1 : Modèle équivalent et fonction de transfert
1. Chaîne à retard pur et premier ordre :$H(p)=\\frac{K}{1+\\tau p}e^{-T_0 p}$
2. Données : $T_0=8~s$, $\\tau=T_1=36~s$
3. Fonction de transfert : $H(p)=\\frac{K}{1+36p}e^{-8p}$
4. Résultat : $H(p)=\\frac{K}{1+36p}e^{-8p}$.
Q2 : Gain statique du procédé
1. Formule : $K=\\frac{\\Delta y}{\\Delta u}$
2. Remplacement : $K=\\frac{9,7}{2,5}=3,88$
4. Résultat : $K=3,88$.
Q3 : Sortie attendue pour $\\Delta u=1,8~V$
1. Formule : $\\Delta y=K\\Delta u$
2. Calcul : $\\Delta y=3,88\\times1,8=6,98~V$
4. Résultat : Sortie attendue $6,98~V$.
Q1 : Constante d’intégration K
1. Pour une entrée échelon : $y(t) = K\\Delta u \\cdot t$
2. $\\Delta y = K\\Delta u \\cdot t$ donc $K=\\frac{\\Delta y}{\\Delta u\\cdot t}$
3. Remplacement : $\\Delta u=4~V$, $\\Delta y=3,6~V$, $t=2~min=120~s$
Calcul : $K=\\frac{3,6}{4\\times120}=\\frac{3,6}{480}=0,0075~s^{-1}$
4. Résultat : $K=7,5\\times10^{-3}~s^{-1}$.
Q2 : Sortie au bout de 5 min pour même amplitude
1. $t=300~s$ :
2. $y=0,0075\\times4\\times300=9~V$
4. Résultat : $y=9~V$.
Q3 : Consigne de 2 V pendant 60 s, puis coupée
1. $y_{max}=K\\Delta u\\cdot t=0,0075\\times2\\times60=0,9~V$
4. Résultat : Valeur maximale $0,9~V$.
Q1 : Fonction de transfert approchée (Ziegler-Nichols)
1. Modèle : $H(p)=\\frac{K}{1+Tp}$ avec $K_{cr}$ et $T_{osc}$.
2. Pour méthode Ziegler-Nichols : $T=0,5T_{osc}$ ; $K=0,6K_{cr}$
3. Remplacement : $T=0,5\\times33=16,5~s$ ; $K=0,6\\times9,1=5,46$
4. Résultat : $H(p)=\\frac{5,46}{1+16,5p}$.
Q2 : Constante de temps et gain
Déjà calculé ci-dessus : $T=16,5~s$ ; $K=5,46$.
Q3 : Valeur réelle du gain avec correcteur proportionnel pur réglé à $K_p=0,45K_{cr}$
1. Remplacement : $K_p=0,45 \\times 9,1=4,10$
4. Résultat : Gain réel appliqué : $K_p=4,10$.
1. Identification et fonction de transfert intégrateur
Formule : $H(p)=\\frac{K}{p}$
Résultat : $H(p)=2,3\\frac{1}{p}$
2. Constante de temps équivalente
L’intégrateur a une réponse en rampe de pente $a=KA$ sous échelon d’amplitude A.
$a=KA = 2,3\\times1,5=3,45$ (mais ici a=0,092 donné, donc équation de modélisation)
Or, pour un intégrateur, sortie : $y(t)=KA t$
On a : à $t=27~\\text{s}$, $y=3,7$ donc calcul de K :
$y(27)=K\\times1,5\\times27=3,7$ donc $K=\\frac{3,7}{1,5\\times27}=0,0914$
Sinon avec a donné directement : la constante de temps d’un intégrateur pur est virtuelle, mais correspond à la pente elle-même.
Constante : $a=0,092}$.
3. Sortie à $t=50~\\text{s}$ pour échelon 1,5
$y(50)=K\\times1,5\\times50$ (avec K=0,092)
$y(50)=0,092\\times1,5\\times50=0,092\\times75=6,9$
Résultat : $y(50)=6,90$
1. Modèle de système (Ziegler-Nichols)
Critère oscillation : ce type donne une FT : $H(p)=\\frac{e^{-T_0p}}{T_1p+1}$ avec réglage limite. Approximation : $T_1=0,5 \\times T_u$, $T_0=0,125 \\times T_u$
Remplacements : $T_1=0,5\\times36=18~\\text{s}$, $T_0=0,125\\times36=4,5~\\text{s}$
$H(p)=\\frac{e^{-4,5p}}{18p+1}$
Résultat : $H(p)=\\frac{e^{-4,5p}}{18p+1}$
2. Constante de temps équivalente
Définition typique : $T_1=0,5T_u=18~\\text{s}$
Résultat : $T=18~\\text{s}$
3. Amplitude de la première oscillation pour échelon 2,5
En régime de Ziegler-Nichols, la sortie est du type : amplitude initiale $a_1\\approx A\\times K_u$
$a_1=2,5\\times13,7=34,25$
Résultat : amplitude = $34,3$
• Q1. Déterminez le temps de réponse du procédé.
• Q2. Identifiez les paramètres du modèle de type « premier ordre à retard » (constante de temps, gain, temps mort).
• Q3. Donnez l'expression mathématique de la sortie d'après le modèle obtenu.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Temps de réponse :
1. Formule : temps de montée $T_r = t_2 - t_1$ (entre 10 % et 90 %)
2. Remplacement : $t_1 = 13~s ; t_2 = 33~s$
3. Calcul : $T_r = 33 - 13 = 20~s$
4. Résultat final : $T_r = 20~s$
Q2. Identification premier ordre à retard :
Modèle : $Y(t) = K (1 - e^{-(t-T_0)/\\tau})$ pour $t > T_0$.
Temps mort : $T_0 = t_1 - 2,3 \\tau$ ; mais aussi : $t_1 = T_0 + 0,105\\tau$ ; $t_2 = T_0 + 2,303\\tau$
Différence : $t_2 - t_1 = (2,303 - 0,105)\\tau = 2,198 \\tau$
$\\tau = \\frac{20}{2,198}=9,10~s$
Gain : $K = Y_{\\infty} = 8,2$
Temps mort : $T_0 = t_1 - 0,105 \\tau = 13 - 0,955 = 12,05~s$
Résultat : $K = 8,2 ; \\tau = 9,10~s ; T_0 = 12,05~s$
Q3. Expression mathématique de la sortie :
1. Formule : $Y(t) = 8,2 [1 - \\exp (-(t-12,05)/9,10)]$ pour $t > 12,05~s$
4. Résultat final : $Y(t) = 8,2 [1 - e^{-(t-12,05)/9,10}]$
• Q1. Donnez la fonction de transfert du modèle à identifier.
• Q2. Calculez la constante d’intégration.
• Q3. En déduire l’expression de la sortie en fonction du temps.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Fonction de transfert de l’intégrateur pur :
1. Formule : $H(p) = \\frac{K}{p}$
2. Résultat : $H(p) = \\frac{K}{p}$
Q2. Constante d’intégration :
1. Pour une entrée échelon $A$, sortie : $y(t) = K A t$ ; pente = K A$
2. Remplacement : s = K A = 0,18~unit/s ; A = 4,5$
$K = \\frac{0,18}{4,5} = 0,04$
4. Résultat final : $K = 0,04$
Q3. Expression temporelle :
1. Formule : $y(t) = K A t$
2. Remplacement : $K = 0,04 ; A = 4,5$
$y(t) = 0,18 t$
4. Résultat final : $y(t) = 0,18 t$
• Q1. Calculez la pulsation propre associée à la période d’oscillation.
• Q2. En utilisant la méthode de Ziegler-Nichols, donnez la valeur recommandée du gain proportionnel pour réglage optimal.
• Q3. Donnez la fonction de transfert du système fermé, identifié comme un second ordre critique.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Pulsation propre associée :
1. Formule : $\\omega_u = \\frac{2\\pi}{T_u}$
2. Remplacement : $T_u = 8,2~s$
3. Calcul : $\\omega_u = \\frac{2\\times3,142}{8,2} = \\frac{6,284}{8,2} = 0,766~rad/s$
4. Résultat final : $\\omega_u = 0,77~rad/s$
Q2. Réglage optimal de Ziegler-Nichols :
1. Formule : $K_p = 0,5 K_u$
2. Remplacement : $K_u = 5,7$
3. Calcul : $K_p = 0,5 \\times 5,7 = 2,85$
4. Résultat final : $K_p = 2,85$
Q3. Fonction de transfert second ordre critique :
1. Modèle : $H(p) = \\frac{\\omega_u^2}{p^2 + 2\\omega_u p + \\omega_u^2}$
2. Remplacement : $\\omega_u = 0,766$
3. Expression : $H(p) = \\frac{0,587}{p^2 + 1,532 p + 0,587}$
4. Résultat final : $H(p) = \\frac{0,587}{p^2 + 1,532 p + 0,587}$
1. Fonction de transfert du système :
\nFormule intégrateur : $H(p) = \\frac{K}{p}$
\nRésultat final : $H(p) = \\frac{K}{p}$
\n2. Constante d’intégration à partir de la courbe :
\nLa pente de la sortie : $S = \\frac{\\Delta y}{\\Delta t} = \\frac{3.5}{7} = 0.5\\,V/s$
\nPour une entrée échelon unité :$s(t) = K t$ donc $K = 0.5$
\nRésultat final : $K = 0.5$
\n3. Sortie pour une entrée de $u(t) = 2\\,U$ pendant $5\\,s$ :
\nSortie : $y(t) = K \\, U \\, t$
\nRemplacement : $y(5) = 0.5 \\, \\times 2 \\, \\times 5 = 5.0\\,V$
\nRésultat final : $y(5) = 5.0\\,V$
1. Constante de temps du système :
\nMéthode graphique : $\\tau = t_{2} - t_{1}$
\n$\\tau = 3.9 - 1.3 = 2.6\\,s$
\nRésultat final : $\\tau = 2.6\\,s$
\n2. Fonction de transfert :
\nSaut finale : $K = 1.4$ (gain)
\n$H(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1} = \\frac{1.4}{2.6p+1}$
\nRésultat final : $H(p) = \\frac{1.4}{2.6p + 1}$
\n3. Sortie après $5 s$ :
\nRéponse échelon : $s(t) = K[1 - e^{-t/\\tau}]$
\n$s(5) = 1.4[1 - e^{-5/2.6}]$\n$5/2.6 = 1.923$, $e^{-1.923} = 0.146$
\n$1 - 0.146 = 0.854$ ; $1.4 \\times 0.854 = 1.196$
\nRésultat final : $s(5) = 1.20\\,V$
1. Fonction de transfert équivalente selon Ziegler-Nichols :
\nFormule : $H(p) = \\frac{K_{cr}}{1 + T_{cr}p}$
\nRemplacement : $H(p) = \\frac{7.3}{1 + 25.4p}$
\nRésultat final : $H(p) = \\frac{7.3}{1+25.4p}$
\n2. Sortie après 50 s à impulsion unité :
\nRéponse impulsionnelle : $s(t) = \\frac{K_{cr}}{T_{cr}}e^{-t/T_{cr}}$\nPour $t=50$ :\n$s(50) = 7.3/25.4 \\times e^{-50/25.4} = 0.287 \\times e^{-1.97} = 0.287 \\times 0.139 = 0.0399$
\nRésultat : $s(50) = 0.040$
\n3. Paramètres PID optimum (Ziegler-Nichols classique) :
\nFormules : $K_P = 0.6 K_{cr}$; $T_I = 0.5 T_{cr}$; $T_D = 0.125 T_{cr}$
\nRemplacement : $K_P = 0.6 \\times 7.3 = 4.38$; $T_I = 0.5 \\times 25.4 = 12.7$; $T_D = 0.125 \\times 25.4 = 3.18$
\nRésultats : $K_P = 4.38$; $T_I = 12.7\\,s$; $T_D = 3.18\\,s$
Question 1 : Constante de temps du modèle
1. Pour une courbe en S, rapport d’identification : $\\tau=\\frac{T_g}{2}$
2. Remplacement : $T_g=38~\\mathrm{s}$
3. Calcul : $\\tau=\\frac{38}{2}=19~\\mathrm{s}$
4. Résultat final : $\\tau=19~\\mathrm{s}$
Question 2 : Fonction de transfert identifiée
1. Expression générale : $H(p)=\\frac{K}{1+\\tau p}e^{-T_u p}$
2. Remplacement : $K=2,8$, $\\tau=19~\\mathrm{s}$, $T_u=8~\\mathrm{s}$
3. Résultat final :$H(p)=\\frac{2,8}{1+19p}e^{-8p}$
Question 3 : Sortie à un échelon une (réponse indicielle)
1. Pour une entrée 2. Remplacement : $y(t)=2,8\\left(1-e^{-(t-8)/19}\\right)u(t-8)$
3. Valeur à long terme :$\\lim_{t\\to\\infty} y(t)=2,8$
4. Résultat final :$y(t)=\\begin{cases}0 & t<8\\ 2,8\\left(1-e^{-\\frac{t-8}{19}}\\right) & t \\geq 8\\end{cases}$
Interprétation : Le modèle permet de prévoir la dynamique du procédé et de calibrer une régulation adaptée selon les temps d’action et l’inertie du système.
Question 1 : Fonction de transfert d’un intégrateur pur à retard
1. Formule : $H(p)=\\frac{k_I}{p}e^{-T_u p}$
2. Valeurs : $k_I=1,7~\\mathrm{min}^{-1}=0,0283~\\mathrm{s}^{-1}$, $T_u=5,5~\\mathrm{s}$
3. Résultat final : $H(p)=\\frac{0,0283}{p}e^{-5,5p}$
Question 2 : Sortie à un échelon unité pour t=30 s
1. Réponse : après le retard, intégrale de la pente :$y(t)=k_I(t-T_u)u(t-T_u)$
2. Pour $t=30~\\mathrm{s}$, $y(30)=0,0283\\times(30-5,5)=0,0283\\times24,5=0,693$
3. Résultat final : $y(30)=0,693$
Question 3 : Réponse à une rampe entrée à t=30 s
1. Pour une entrée rampe, sortie (double intégration) :$ y(t) = k_I \\int_0^{t-T_u} r \\tau d\\tau = k_I r \\frac{(t-T_u)^2}{2} $
2. Remplacement : $r=0,5~\\mathrm{min}^{-1}=0,0083~\\mathrm{s}^{-1}$, $t-T_u = 24,5~\\mathrm{s}$
3. Calcul :$y = 0,0283\\times0,0083\\times\\frac{24,5^2}{2} = 0,0283\\times0,0083\\times300,125=0,0283\\times2,491=0,0705$
4. Résultat : $y(30)=0,0705$
Interprétation : L’identification intégratrice permet d’estimer les évolutions lentes et les dépassements en sortie, essentiels dans l’étape de régulation.
3. Précisez le modèle de la chaîne fermée, en retrouvant la pulsation propre et le facteur d’amortissement.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Méthode de Ziegler-Nichols pour identification
1. À l’oscillation entretenue, $K_{pc}=K_p=11$, la période critique $T_u=6,2~\\mathrm{s}$.
Pour un modèle premier ordre : $T=\\frac{T_u}{2\\pi}$
2. Calcul : $T=\\frac{6,2}{2\\times3,142}=\\frac{6,2}{6,283}=0,987~\\mathrm{s}$
3. Résultat : $T=0,99~\\mathrm{s}$
Question 2 : Modèle bouclé équivalent
1. FTBO : $K_p \\cdot H(p)=\\frac{11}{1+0,99p}$
2. FTBF : $\\frac{11}{1+0,99p+11}$
3. Résultat : $H_{cl}(p)=\\frac{11}{12+0,99p}$
Question 3 : Pulsation propre et facteur d'amortissement
1. Modèle boucle fermée : équation caractéristique $1+0,99p+11=0 \\rightarrow 0,99p=-12\\rightarrow p=-12/0,99=-12,12~\\mathrm{s}^{-1}$
Pour un premier ordre : $\\omega_n=|p|=12,12~\\mathrm{rad/s}$, amortissement $\\xi=1$ (système apériodique)
2. Résultat : $\\omega_n=12,12~\\mathrm{rad/s}$, $\\xi=1$
Interprétation : Cette méthode donne un réglage rapide et robuste, la chaîne fermée reste apériodique si l’on garde un réglage inférieur à la critique.
1) Identification du modèle par courbe en S
Courbe en S : retard pur $T_d$ suivi d'un système du premier ordre.
Modèle : $y(t) = K [1 - e^{-\\frac{t-T_d}{\\tau}} ]$ pour $t > T_d$.
2) Équation de la sortie
À $t = T_c$, la sortie atteint $0,63 K$.
Formule : $y(T_c) = K [1 - e^{-\\frac{T_c-T_d}{\\tau}} ] = 0,63K$
On solve : $1 - e^{-\\frac{T_c-T_d}{\\tau}} = 0,63$
$e^{-\\frac{T_c-T_d}{\\tau}} = 0,37$
$-\\frac{T_c-T_d}{\\tau} = \\ln(0,37)$
$\\tau = \\frac{T_c-T_d}{-\\ln(0,37)} = \\frac{8,2-3,0}{-\\ln(0,37)} = \\frac{5,2}{0,9943}$
$\\tau = 5,23$ s
Équation : $y(t) = K [1 - e^{-\\frac{t-3}{5,23}} ]$ pour $t > 3$
3) Calcul à $t = 12$ s
$y(12) = K [1 - e^{-\\frac{12-3}{5,23}} ] = K [1 - e^{-1,720}]$
$e^{-1,720} = 0,179$
$y(12) = K \\times [1 - 0,179 ] = 0,821K$
Si la mesure réelle à 12 s est $y_{mesure}(12) = 0,79K$, l'erreur : $\\epsilon = 0,821K - 0,79K = 0,031K$ (soit 3,1 % de la valeur finale)
1) Modèle et gain intégrateur
Chaîne intégratrice : $y(t) = K_i t$.
Pour $t = 14$ : $y(14) = 16 = K_i \\times 14$
$K_i = \\frac{16}{14} = 1,143$
Résultat : modèle $y(t) = 1,143t$
2) Réponse à l’échelon unitaire
Pour une entrée échelon unitaire : $y(t) = K_i t$
Équation complète : $y(t) = 1,143 t$
3) Valeur à $t = 50$ s ; précision
$y(50) = 1,143 \\times 50 = 57,15$
Si la sortie mesurée réelle à 50 s est $y_{mesure}(50) = 56,8$, erreur : $\\epsilon = 57,15 - 56,8 = 0,35$ (soit 0,61 % d’erreur relative)
1) Fréquence propre et modèle identifié
Période oscillation : $T = 11,3$ s.
Fréquence propre : $\\omega_0 = \\frac{2\\pi}{T} = \\frac{2\\pi}{11,3} = 0,556$ rad/s
Modèle temporaire : avec oscillations entretenues, on assimile le système à un modèle de second ordre pur.
2) Marge de stabilité pour $K = 4,6$
Marge : $\\text{Marge} = \\frac{K_{cr}}{K}$
$\\frac{7,3}{4,6} = 1,59$ (soit une marge de 59 % par rapport au seuil d’instabilité)
3) Réponse à une consigne sinusoïdale $\\omega = 0,45$ rad/s
Réponse pour $G(j\\omega) = \\frac{3,8}{6j0,45+1} = \\frac{3,8}{1+2,7j}$
Le module : $|G(j\\omega)| = \\frac{3,8}{\\sqrt{1^2+(2,7)^2}} = \\frac{3,8}{\\sqrt{8,29}} = 1,319$
Phase : $\\phi = -\\arctan\\left(\\frac{2,7}{1}\\right) = -69.3^{\\circ}$
Équation de sortie : $y(t) = 1,319 \\sin(0,45 t - 69,3^{\\circ})$
1. Identification du modèle de transfert et paramètres :
\\\n1. Modèle à utiliser : Système à retard et intégrateur (modèle de Broïda typique) :
\\\n$ H(p) = \\frac{K}{T p + 1} e^{-T_0 p} $
\\\n2. Gain statique : $ K = \\frac{\\Delta y}{A} $ ; mais ici l'entrée est un échelon donc $ K = \\frac{P_{max} T_m}{A} $
\\\n$ K = \\frac{0.32 \\times 14.6}{5} = \\frac{4.672}{5} = 0.934 $
\\\nConstante de temps : $ T = T_m / 2 = 7.3\\,\\mathrm{s} $
\\\n3. Résultats :
\\\n$ K = 0.934\\,\\mathrm{V/V};\\ T = 7.3\\,\\mathrm{s};\\ T_0 = 2.8\\,\\mathrm{s} $
\\\n2. Expression analytique de la sortie pour une entrée échelon :
\\\n1. Formule : $ y(t) = K A \\left(1 - e^{-\\frac{(t-T_0)}{T}} \\right),\\ t > T_0 $
\\\n2. Remplacement : $ y(t) = 0.934 \\times 5 \\left(1 - e^{-\\frac{t-2.8}{7.3}} \\right) \\quad \\, t > 2.8 $
\\\n$ y(t) = 4.67 \\left(1 - e^{-\\frac{t-2.8}{7.3}} \\right) \\, \\mathrm{V} $
\\\n3. Valeurs de la sortie à t = 10 s et t = 40 s :
\\\n1. À $ t = 10\\,\\mathrm{s} \\rightarrow t - T_0 = 7.2 $
\\\n$ y(10) = 4.67 \\left(1 - e^{-\\frac{7.2}{7.3}} \\right) $
\\\n$ e^{-0.986} = 0.3734 $
\\\n$ y(10) = 4.67 \\times (1 - 0.3734) = 4.67 \\times 0.6266 = 2.92\\,\\mathrm{V} $
\\\n2. À $ t = 40\\,\\mathrm{s} \\rightarrow t - T_0 = 37.2 $
\\\n$ y(40) = 4.67 \\left(1 - e^{-\\frac{37.2}{7.3}} \\right) $
\\\n$ e^{-5.096} = 0.0061 $
\\\n$ y(40) = 4.67 \\times (1 - 0.0061) = 4.67 \\times 0.9939 = 4.64\\,\\mathrm{V} $
1. Fonction de transfert et paramètres :
\\\n1. Modèle intégrateur : $ H(p) = \\frac{K_i}{p} $ où $K_i$ est la pente maximale.
\\\n2. $ \\frac{dy}{dt} = K_i E $ donc $ K_i = \\frac{dy/dt}{E} = \\frac{0.58}{2} = 0.29\\,\\mathrm{V/V.s} $
\\\n3. Résultat : $ H(p) = \\frac{0.29}{p};\\ K_i = 0.29\\,\\mathrm{V/V.s} $
\\\n2. Sortie pour une entrée échelon :
\\\n1. Formule : $ y(t) = K_i E t $
\\\n2. Remplacement : $ y(t) = 0.29 \\times 2 \\times t = 0.58 t $
\\\n3. Expression : $ y(t) = 0.58 t \\ \\mathrm{V} $
\\\n3. Valeur de la sortie à t = 4 s puis t = 20 s :
\\\n1. $ y(4) = 0.58 \\times 4 = 2.32\\ \\mathrm{V} $
\\\n2. $ y(20) = 0.58 \\times 20 = 11.6\\ \\mathrm{V} $
1. Pulsation critique et fonction de transfert :
\\\n1. Pulsation critique : $ \\omega_{cr} = \\frac{2\\pi}{T_{osc}} $
\\\n$ \\omega_{cr} = \\frac{2\\pi}{11.2} = 0.561\\ \\mathrm{rad.s}^{-1} $
\\\n2. Modèle typique avec correcteur P : $ H(p) = \\frac{K}{1 + K K_p p} $ (point de limite de stabilité)
\\\n3. Résultat : $ \\omega_{cr} = 0.561\\ \\mathrm{rad.s}^{-1};\\ H(p) = \\frac{K}{1 + 0.89 K p} $
\\\n2. Expression analytique pour consigne harmonique :
\\\n1. Entrée : $ u(t) = A \\sin(\\omega_{cr} t) $
\\\n2. Sortie stationnaire : $ y(t) = \\frac{|H(j\\omega_{cr})|}{A} \\sin(\\omega_{cr} t + \\varphi) $ (modèle proportionnel oscillant)
\\\nPour oscillation idéale à amplitude A (boucle fermée oscillante : gain unitaire) : \\\n$ y(t) = 1.5 \\sin(0.561 t) $
\\\n3. Valeurs minimale et maximale de la sortie :
\\\n1. Maximale : $ y_{max} = 1.5\\,\\mathrm{V} $
\\\n2. Minimale : $ y_{min} = -1.5\\,\\mathrm{V} $
Question 1 : Constante de temps T
1. Formule (modèle en S) : $T = \\frac{T_r}{2.2}$
2. Remplacement : $T = \\frac{9.6}{2.2} = 4.36\\ \\mathrm{min}$
3. Résultat final :
La constante de temps du système est $4.36\\ \\mathrm{min}$.
Question 2 : Gain statique K
1. Formule générale : $K = \\frac{T_f}{A}$
2. Remplacement : $K = \\frac{62}{30} = 2.07$
3. Résultat final :
Le gain statique vaut $2.07$.
Question 3 : Fonction de transfert et valeur de sortie à t=15 min
1. Fonction : $G(s) = \\frac{2.07}{1 + 4.36 s} e^{-2.8 s}$
2. Valeur de sortie pour t > D : réponse à un échelon : $y(t) = K \\cdot A \\cdot (1 - e^{-(t-D)/T}) ; t=15, D=2.8, T=4.36$
\n$y(15) = 2.07 \\times 30 \\times (1 - e^{-\\frac{15-2.8}{4.36}}) = 62 \\times (1 - e^{-2.817}) $
\n$e^{-2.817} = 0.0596$, $(1 - 0.0596) = 0.9404$
\n$y(15) = 62 \\times 0.9404 = 58.30$
4. Résultat final :
À t = 15 min, la sortie vaut $58.30\\ ^\\circ\\mathrm{C}$.
Question 1 : Facteur d’amortissement ξ
1. Formule (dépassement de second ordre) :$M_{max} = e^{-\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
\n2. $0.37 = e^{-\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$\nPosons $ln(0.37) = -\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} \\rightarrow -0.99425 = -\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}$\nDonc $\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = 0.99425$\n$\\xi = \\frac{0.99425}{\\pi + 0.99425} = 0.275$
3. Résultat final :
Le facteur d’amortissement est $0.275$.
Question 2 : Constante de temps T
1. Formule :\n$T_p = \\frac{2\\pi T \\sqrt{1-\\xi^2}}{1}$ donc $T = \\frac{T_p}{2\\pi \\sqrt{1-\\xi^2}}$\n$\\sqrt{1-\\xi^2}=\\sqrt{1-0.0756}=0.962$\n2. $T = \\frac{2.35}{2\\pi\\times0.962}=\\frac{2.35}{6.043}=0.389\\ \\mathrm{s}$\n3. Résultat final :
La constante de temps est $0.389\\ \\mathrm{s}$.
Question 3 : Sortie à t=3.1 s
1. Formule réponse à un échelon second ordre (gain unitaire) :\n$y(t) = K \\left(1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-\\xi^2}} e^{-\\xi\\omega_n t} \\sin(\\omega_d t + \\phi) \\right)$\noù $\\omega_n = \\frac{1}{T},\\ \\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1-\\xi^2}$
\n2. $\\omega_n = \\frac{1}{0.389} = 2.57\\ rad/s,\\ \\omega_d = 2.57 \\times 0.962 = 2.47\\ rad/s$\n$\\phi = \\arccos(\\xi) = \\arccos(0.275) = 74° = 1.29\\ rad$\n$e^{-\\xi \\omega_n t} = e^{-0.275 \\times 2.57 \\times 3.1} = e^{-2.186} = 0.1127$\n$sin(2.47\\times3.1 + 1.29) = sin(7.657+1.29) = sin(8.947) = 0.451$\n$y(3.1) = 0.85 \\left(1 - \\frac{1}{0.962} \\times 0.1127 \\times 0.451 \\right) = 0.85 \\left(1 - 0.0529 \\right) = 0.85 \\times 0.9471 = 0.805$
3. Résultat final :
La sortie à t=3.1 s est $0.805$.
Question 1 : Coefficients PI Ziegler-Nichols
1. Formules :\n$K_p=0.45K_c$ ; $T_i=0.83T_u$ ; $K_i=K_p/T_i$
\n2. $K_p=0.427$ ; $T_i=43.16\\ \\mathrm{s}$ ; $K_i=\\frac{0.427}{43.16}=0.0099\\ \\mathrm{s}^{-1}$
\n3. Résultat : $K_p=0.43 ; K_i=0.01\\ \\mathrm{s}^{-1}$.
\nQuestion 2 : Constantes de temps équivalentes T_1, T_2
1. Méthode : période d’oscillation pour boucle fermée de second ordre : $\\omega_u=\\frac{2\\pi}{T_u}=\\frac{6.283}{52}=0.121\\ \\mathrm{rad/s}$
\nOn postule $T_1=T_2=T_u/2=26\\ \\mathrm{s}$ (modèle symétrique, hypothèse Ziegler-Nichols typique)
2. Résultat : $T_1=T_2=26\\ \\mathrm{s}$.
\nQuestion 3 : Amplitude fondamentale et réponse initiale
1. Amplitude fondamentale : série de Fourier :\n$A_1=\\frac{4A}{\\pi}=\\frac{4\\times16}{\\pi}=20.37$
\nRéponse initiale à t=0 : système démarré, sortie initiale nulle :$y(0)=0$
\n2. Résultat : amplitude fondamentale $20.37$ , réponse initiale $y(0)=0$.
1. Identification des paramètres du modèle de Broïda
Formule générale :
$T_u$ (retard pur) et $T_g$ (temps de réponse global).
$K = \\frac{\\Delta y}{\\Delta u} = \\frac{6,8}{2,5} = 2,72$
Constante de temps (méthode Broïda):$T = T_g - T_u = 13,2 - 1,6 = 11,6~\\text{s}$
Résultats des paramètres :$T_u = 1,6~\\text{s}$, $T = 11,6~\\text{s}$, $K = 2,72$
2. Calcul de la constante de temps et du gain statique
Constante de temps :$T = 11,6~\\text{s}$
Gain statique :$K = 2,72$
Résultats finaux :
$T = 11,6~\\text{s}$, $K = 2,72$
3. Fonction de transfert du modèle identifié
Formule de Broïda :$G(s) = K \\frac{e^{-T_u s}}{T s + 1}$
Remplacement :$G(s) = 2,72 \\frac{e^{-1,6 s}}{11,6 s + 1}$
Résultat final :
$G(s) = 2,72 \\frac{e^{-1,6 s}}{11,6 s + 1}$
1. Détermination du modèle intégrateur
Formule générale : pour un modèle intégrateur,\n$y(t) = K_I \\Delta u \\cdot t$\n
Pour $t = 15~\\text{s}$, $\\Delta y = 10,5~\\text{mm}$ :
$K_I = \\frac{\\Delta y}{\\Delta u \\cdot t} = \\frac{10,5}{1,4 \\times 15} = \\frac{10,5}{21} = 0,5~\\text{mm}/(\\text{V}\\cdot\\text{s})$
Résultat : $K_I = 0,5~\\text{mm}/(\\text{V}\\cdot\\text{s})$
2. Coefficient d’intégration du système
Résultat :$K_I = 0,5~\\text{mm}/(\\text{V}\\cdot\\text{s})$
3. Fonction de transfert du système
Formule :$G(s) = \\frac{K_I}{s}$
Remplacement :$G(s) = \\frac{0,5}{s}$
Résultat final :$G(s) = \\frac{0,5}{s}$
1. Fonction de transfert équivalente du système
Modèle selon Ziegler-Nichols :\n$G_{BO}(s) = \\frac{K_{BO}}{1 + T_{BO} s}$ ou pour oscillations, on peut approximer le système :\n$G(s) = \\frac{1}{T_{osc} s}$
Résultat final :\n$G(s) = \\frac{1}{22,5 s}$
2. Réglage PI selon Z-N
Formules :\n$K_{PI} = 0,45 \\times K_{crit} = 0,45 \\times 6,7 = 3,015$\n$T_i = 0,85 \\times T_{osc} = 0,85 \\times 22,5 = 19,13~\\text{s}$
Résultats :\n$K_{PI} = 3,02$, $T_i = 19,1~\\text{s}$ (arrondi)
3. Réglage PID optimal selon Z-N
Formules :\n$K_{PID} = 0,6 \\times K_{crit} = 0,6 \\times 6,7 = 4,02$\n$T_i = 0,5 \\times T_{osc} = 0,5 \\times 22,5 = 11,25~\\text{s}$\n$T_d = 0,125 \\times T_{osc} = 0,125 \\times 22,5 = 2,81~\\text{s}$
Résultats finaux :\n$K_{PID} = 4,02$, $T_i = 11,3~\\text{s}$, $T_d = 2,81~\\text{s}$
1. Identifiez le modèle équivalent du système (type et paramètres caractéristiques) utilisant la méthode de la courbe en S.
2. Déduisez la fonction de transfert modélisée du système.
3. Si on applique un échelon d’entrée de $A=4,5$ unités, calculez la sortie du système au régime établi.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Identification du modèle.
1. Formule : méthode S – modèle retard & premier ordre : $G(s) = \\frac{K}{T s + 1} e^{-t_0 s}$
2. Remplacement : $T = t_{m}/2 = 8,7/2 = 4,35\\;s$ ; $t_0 = 2,6\\;s$
3. Calcul : Modèle = retard de $2,6\\;s$ + système du 1er ordre de $T=4,35\\;s$
4. Résultat final : $G(s) = \\frac{3,4}{4,35s + 1} e^{-2,6s}$
Question 2 : Fonction de transfert.
Formule générale vue précédemment.
2. Remplacement : déjà obtenue.
3. Calcul : Rien de plus
4. Résultat final : $G(s) = \\frac{3,4}{4,35s + 1} e^{-2,6s}$
Question 3 : Réponse à un échelon.
1. Formule : $Sortie_{établi} = K \\cdot A$
2. Remplacement : $Sortie_{établi} = 3,4 \\times 4,5 = 15,3$
3. Calcul : $3,4\\times4,5=15,3$
4. Résultat final : $\\boxed{15,3}$
1. À l’aide de la méthode des oscillations (Ziegler-Nichols), estimez les paramètres d’un correcteur PID réglé.
2. Déduisez la fonction de transfert PID du système pour ces réglages.
3. Donnez la valeur numérique du temps intégral et du temps dérivatif du régulateur PID.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Paramètres PID (règles de Ziegler-Nichols).
1. Formules : $K_P=0,6 K_{cr}$ ; $T_i=0,5T_{osc}$; $T_d=0,125 T_{osc}$
2. Remplacement : $K_P=0,6\\times2,1=1,26$ ; $T_i=0,5\\times12,2=6,1$; $T_d=0,125\\times12,2=1,525$
4. Résultat : $K_P=1,26 ;\\; T_i=6,1\\;s ;\\; T_d=1,53\\;s$
Question 2 : Fonction de transfert PID.
1. Formule : $H_{PID}(s)=K_P\\left(1+\\frac{1}{T_is}+T_ds\\right)$
Remplacement : $1,26\\left(1+\\frac{1}{6,1s}+1,53s\\right)$
Question 3 : Valeur numérique des temps.
1. Données : $T_i=6,1\\;s$ ; $T_d=1,53\\;s$
2. Résultat final : $\\boxed{T_i=6,1\\;s}\\text{ et }\\boxed{T_d=1,53\\;s}$
Un système est soumis à une régulation par un régulateur proportionnel (P) de gain $K_p = 3$. L'entrée de consigne est une rampe
\n$r(t) = 2t$, l'erreur de suivi est :
\n$e(t) = r(t) - y(t)$.
\nQuestion 1 : Calculer la sortie du régulateur
\n$u(t) = K_p e(t)$ en fonction de temps.
\nQuestion 2 : En ajoutant une action intégrale avec constante $T_i = 5$ s, déterminer l’expression de la commande dans un régulateur PI.
\nQuestion 3 : Pour le régulateur PID avec une constante dérivée $T_d = 1$ s et avec
\n$K_p = 3$, calculer la sortie pour une erreur
\n$e(t) = 0.1 e^{-t}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Régulateur proportionnel :
\n$u(t) = K_p \\times e(t) = K_p (r(t) - y(t))$
\nAvec
\n$r(t) = 2t$, sans information sur
\n$y(t)$, la sortie instantanée suivra :
\n$u(t) = 3 \\times (2 t - y(t))$
\nExpression générale, dépendante de
\nla sortie système.
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Dans le cas PI, la sortie :
\n$u(t) = K_p \\left(e(t) + \\frac{1}{T_i} \\int_0^t e(\\tau) d\\tau \\right)$
\n2. Remplacement :
\n$u(t) = 3 \\left(e(t) + \\frac{1}{5} \\int_0^t e(\\tau) d\\tau \\right)$
\nExpression intégrée sur l'erreur jusqu'à l'instant
\n$t$.
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Le régulateur PID ajoute la dérivée :
\n$u(t) = K_p \\left(e(t) + \\frac{1}{T_i} \\int_0^t e(\\tau) d\\tau + T_d \\frac{de}{dt} \\right)$
\n2. Avec
\n$e(t) = 0.1 e^{-t}$, calcul de la dérivée :
\n$\\frac{de}{dt} = -0.1 e^{-t}$
\n3. Calcul :
\n$u(t) = 3 \\left(0.1 e^{-t} + \\frac{1}{5} \\int_0^t 0.1 e^{-\\tau} d\\tau + 1 \\times (-0.1 e^{-t})\\right)$
\nCalcul de l'intégrale :
\n$\\int_0^t 0.1 e^{-\\tau} d\\tau = 0.1 (1 - e^{-t})$
\nSubstitution :
\n$u(t) = 3 \\left(0.1 e^{-t} + \\frac{1}{5} 0.1 (1 - e^{-t}) - 0.1 e^{-t} \\right) = 3 \\times 0.02 (1 - e^{-t}) = 0.06 (1 - e^{-t})$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{u(t) = 0.06 (1 - e^{-t})}$
", "id_category": "4", "id_number": "1" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un système est contrôlé par un régulateur PD avec les paramètres :
\n- \n
- Gain proportionnel $K_p = 4$ \n
- Constante dérivée $T_d = 0.5$ s \n
Question 1 : Calculer la fonction de transfert du régulateur
\n$H(p) = K_p (1 + T_d p)$.
\nQuestion 2 : Pour une entrée échelon unité, déterminer la sortie $u(t)$ en domaine temporel.
\nQuestion 3 : Évaluer l'impact du terme dérivé sur la réponse du système pour un signal d'erreur rapide.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Fonction de transfert :
\n$H(p) = K_p (1 + T_d p) = 4 (1 + 0.5 p)$
\nSolution Question 2 :
\n1. Pour une entrée échelon unité, la transformée de Laplace de l'entrée est :
\n$E(p) = \\frac{1}{p}$
\n2. La sortie en domaine de Laplace :
\n$U(p) = H(p) E(p) = \\frac{4 (1 + 0.5 p)}{p} = \\frac{4}{p} + 2$
\n3. En inverse de Laplace :
\n$u(t) = 4 + 2 \\delta(t)$ où $\\delta(t)$ représente une impulsion à $t=0$.
\n\n
Solution Question 3 :
\nL'action dérivée ajoute une composante impulsionnelle qui permet d'anticiper les variations rapides de l'erreur, améliorant la stabilité et la rapidité de la réponse.
", "id_category": "4", "id_number": "2" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un moteur est contrôlé par un régulateur PID avec :
\n- \n
- Gain proportionnel $K_p = 5$ \n
- Constante intégrale $T_i = 2$ s \n
- Constante dérivée $T_d = 0.1$ s \n
Question 1 : Écrire la fonction de transfert du régulateur PID.
\nQuestion 2 : Pour une entrée fonction échelon unité
\n$e(t) = 1(t)$, calculer la sortie
\n$u(t)$ du régulateur.
\nQuestion 3 : Déterminer la valeur finale
\n$\\lim_{t \\to \\infty} u(t)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Fonction de transfert :
\n$H(p) = K_p \\left( 1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p \\right) = 5 \\left( 1 + \\frac{1}{2 p} + 0.1 p \\right)$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Pour une entrée échelon unité :
\n$E(p) = \\frac{1}{p}$
\n2. La sortie en Laplace :
\n$U(p) = H(p) E(p) = 5 \\left( 1 + \\frac{1}{2 p} + 0.1 p \\right) \\frac{1}{p} = 5\\left( \\frac{1}{p} + \\frac{1}{2 p^2} + \\frac{0.1}{1} \\right)$
\n3. Inverse :
\n$u(t) = 5 \\left( 1 + \\frac{t}{2} + 0.1 \\delta(t) \\right)$
\nL'impulsion de Dirac
\n$\\delta(t)$ correspond à l'effet dérivé instantané.
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Valeur finale par théorème :
\n$\\lim_{t \\to \\infty} u(t) = \\lim_{p \\to 0} p U(p) = \\lim_{p \\to 0} 5 \\left( 1 + \\frac{1}{2 p} + 0.1 p \\right) = + \\infty$
\nLa sortie diverge, indiquant une action intégrale qui accumule l'erreur, ce qui est attendu dans un régulateur PID.
", "id_category": "4", "id_number": "3" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "On considère un système industriel de premier ordre dont la fonction de transfert est :$G(p) = \\dfrac{K}{1 + T p}$ avec $K = 2$ et $T = 3~\\text{s}$.On souhaite asservir ce système à l’aide d’un régulateur proportionnel de gain $K_p$.1. Établir la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$.2. Calculer le gain de boucle fermée si $K_p = 5$.3. Déterminer la valeur finale de la réponse à un échelon unitaire d’entrée en utilisant le théorème de la valeur finale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fonction de transfert en boucle fermée :
Formule : $H(p) = \\dfrac{K_p G(p)}{1 + K_p G(p)}$.
Remplacement :$H(p) = \\dfrac{K_p \\dfrac{2}{1+3p}}{1 + K_p \\dfrac{2}{1+3p}} = \\dfrac{2K_p}{1 + 3p + 2K_p}$.2. Gain statique :
Pour $p = 0$ :$H(0) = \\dfrac{2K_p}{1 + 2K_p}$.Remplacement :$H(0) = \\dfrac{2\\times5}{1+10} = \\dfrac{10}{11} = 0,909$.3. Valeur finale :
Théorème de la valeur finale :$y(\\infty) = \\lim_{p\\to0} pY(p) = \\lim_{p\\to0} pH(p)\\dfrac{1}{p} = H(0)$.$y(\\infty) = 0,909$.
1. Boucle ouverte :
$L(p) = C(p)G(p) = 2\\left(1 + \\dfrac{1}{4p}\\right) \\dfrac{4}{1 + 5p} = \\dfrac{8(4p+1)}{4p(1+5p)} = \\dfrac{8(1+4p)}{4p(1+5p)}$.2. Boucle fermée :
$H(p) = \\dfrac{L(p)}{1 + L(p)}$.$H(p) = \\dfrac{8(1+4p)}{4p(1+5p) + 8(1+4p)}$ = $\\dfrac{8(1+4p)}{8 + 32p + 4p + 20p^2} = \\dfrac{8(1+4p)}{8 + 36p + 20p^2}$.3. Erreur statique pour un échelon :
Type du système = 1 (intégrateur), donc $e_s = 0$ pour une entrée échelon.
1. Fonction du correcteur PID :
$C(p) = 1,5 \\left(1 + \\dfrac{1}{3p} + 0,5p\\right) = 1,5\\left(\\dfrac{1 + 3p + 1,5p^2}{3p}\\right) = \\dfrac{1,5(1,5p^2 + 3p + 1)}{3p}$ = $\\dfrac{(2,25p^2 + 4,5p + 1,5)}{3p}$.2. Boucle ouverte :
$L(p) = C(p)G(p) = \\dfrac{(2,25p^2 + 4,5p + 1,5)}{3p} \\cdot \\dfrac{10}{p(1 + 2p)} = \\dfrac{10(2,25p^2 + 4,5p + 1,5)}{3p^2(1 + 2p)}$.$L(p) = \\dfrac{(7,5p^2 + 15p + 5)}{p^2(1 + 2p)}$.3. Pulsation de coupure :
À -3 dB, on approxime le gain unité :$|L(j\\omega_c)| = 1$.Expression du module :$|L(j\\omega)| = \\dfrac{|7,5(j\\omega)^2 + 15j\\omega + 5|}{\\omega^2\\sqrt{1 + (2\\omega)^2}}$.Par itération rapide, pour $\\omega_c ≈ 1,1~\\text{rad/s}$, le module devient $|L(j1,1)| ≈ 1,02 → \\omega_c ≈ 1,1~\\text{rad/s}$.
Question 1 :
La boucle fermée a pour gain équivalent : $G_{bf}(p) = \\frac{K_p K}{1 + K_p K + T p}$, forme d’un premier ordre.
Forme canonique : $G_{bf}(p) = \\frac{K_{eq}}{1 + T_{eq} p}$ avec $K_{eq} = \\frac{K_p K}{1+K_p K}$ et $T_{eq} = \\frac{T}{1+K_p K}$.
Question 2 :
Condition : $3T_{eq} = 4\\, s$ donc $T_{eq} = 1.33\\, s$.
Formule : $T_{eq} = \\frac{4}{1 + 2K_p}$.
Résolution : $1.33(1 + 2K_p) = 4$ → $K_p = 0.5$.
Résultat final : $K_p = 0.5$.
Question 3 :
Erreur statique (échelon unité) : $e(∞) = \\frac{1}{1 + K_p K}$.
Remplacement : $e(∞) = \\frac{1}{1+0.5\\times2} = 0.333$.
Résultat : erreur de 33,3 %, typique d’un P pur (erreur non nulle).
Question 1 :
Formule : $G_{ol}(p) = R_{PID}(p)G(p)$
Substitution : $G_{ol}(p) = 2 \\left(1 + \\frac{1}{0.6p} + 0.15p \\right) \\frac{3}{0.5p + 1}$
Développons le numérateur : $G_{ol}(p) = \\frac{6(0.15p^2 + p + 1/0.6)}{0.5p + 1} = \\frac{0.9p^2 + 6p + 10}{0.5p + 1}$.
Question 2 :
Constante de boucle ouverte en $p → 0 :$ $G_{ol}(0) = K_p K \\frac{T_i}{T} = 2 \\times 3 \\times \\frac{0.6}{0.5} = 7.2$.
Erreur statique (échelon) : $e(∞) = \\frac{1}{1 + G_{ol}(0)} = 0.122$
Résultat final : erreur = 12.2 %.
Question 3 :
Approximation des pôles dominants : équation caractéristique $1 + G_{ol}(p) = 0$.
En négligeant les termes d’ordre supérieur : $0.5p^2 + 6p + 10 = 0$.
Résolution : $p_{1,2} = \\frac{-6 ± \\sqrt{36 - 20}}{1} = -3 ± 2\\, j$
Période d’oscillation : $T = 2\\pi/2 = 3.14\\, s$ et amortissement : $\\zeta = 3/\\sqrt{3^2+2^2} = 0.83$.
Exercice 1 : Analyse d’un régulateur proportionnel (P)
Un système industriel linéaire est contrôlé par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 5$. L'équation d'erreur est
$\\varepsilon(t) = R(t) - Y(t)$ où $R(t)$ est la consigne et $Y(t)$ la sortie du système.
Question 1 : Écrire l’expression de la commande $u(t)$ délivrée par le régulateur.
Question 2 : Pour une erreur constante $\\varepsilon = 2$, calculer la valeur de la commande.
Question 3 : Si une perturbation fait que l’erreur diminue à $0.5$, déterminer la nouvelle commande.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. La commande en régulateur proportionnel est donnée par :
$u(t) = K_p \\times \\varepsilon(t)$
Question 2 :
1. Calcul de la commande :
$u = 5 \\times 2 = 10$
Question 3 :
1. Nouvelle commande :
$u = 5 \\times 0.5 = 2.5$
", "id_category": "4", "id_number": "9" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 2 : Régulateur proportionnel-intégral (PI) et élimination de l'erreur statique
Un régulateur PI est défini par :
$u(t) = K_p \\varepsilon(t) + K_i \\int_0^t \\varepsilon(\\tau) d\\tau$
avec
$K_p = 4, K_i = 1$.
Question 1 : Calculer la commande $u(t)$ à l’instant $t=5$ s, sachant que $\\varepsilon(t) = 3$ (constante).
Question 2 : Déterminer la valeur de la commande si l'erreur est réduite à zéro à $t=5$ s.
Question 3 : Calculer la contribution de l’action intégrale à $t=5$ s.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Calcul de l’intégrale :
$\\int_0^5 3 d\\tau = 3 \\times 5 = 15$
2. Calcul de
$u(5) = 4 \\times 3 + 1 \\times 15 = 12 + 15 = 27$
Question 2 :
1. Pour $\\varepsilon = 0$, seule la partie intégrale continue à agir :
$u(5) = 1 \\times 15 = 15$
Question 3 :
1. Contribution de l’action intégrale :
$u_I = K_i \\times \\int_0^5 3 d\\tau = 15$
", "id_category": "4", "id_number": "10" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 3 : Régulateur proportionnel-intégral-dérivé (PID) dans un système dynamique
Le régulateur PID est caractérisé par :
$u(t) = K_p \\varepsilon(t) + K_i \\int_0^t \\varepsilon(\\tau) d\\tau + K_d \\frac{d \\varepsilon}{d t}$
avec
$K_p = 3, K_i = 2, K_d = 0.5$.
Question 1 : Pour une erreur constante $\\varepsilon = 1$, calculer la commande instantanée \\(u(t)\\).
Question 2 : Si l'erreur diminue linéairement selon $\\varepsilon(t) = 1 - 0.1 t$, calculer la dérivée
Question 3 : Déterminer la commande totale $u(t)$ à \\(t = 5\\) s.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Calcul de la commande P + I (à erreur constante) :
$u(t) = K_p \\times 1 + K_i \\times \\int_0^t 1 d\\tau = 3 + 2 \\times t$
2. La dérivée de l’erreur :
$\\frac{d \\varepsilon}{d t} = 0$
Question 2 :
1. Calcul de la dérivée si
$\\varepsilon(t) = 1 - 0.1 t \\Rightarrow \\frac{d \\varepsilon}{d t} = -0.1$
Question 3 :
1. Calcul complet :
$u(t) = K_p \\varepsilon(t) + K_i \\int_0^t \\varepsilon(\\tau) d\\tau + K_d \\frac{d \\varepsilon}{d t}$
2. Calcul de l’intégrale :
$\\int_0^5 (1 - 0.1 \\tau) d\\tau = 5 - 0.05 \\times 25 = 5 - 1.25 = 3.75$
3. Calcul final :
$u(5) = 3 \\times (1 - 0.5) + 2 \\times 3.75 + 0.5 \\times (-0.1) = 1.5 + 7.5 - 0.05 = 8.95$
", "id_category": "4", "id_number": "11" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 3 : Régulateur PID – Compensation dynamique d’un procédé du second ordre\n\nOn considère un procédé de fonction de transfert $G(p) = \\dfrac{4}{p(1 + 2p)}$ soumis à un régulateur PID défini par $R(p) = K_p \\left(1 + \\dfrac{1}{T_i p} + T_d p \\right)$. Les constantes sont $K_p = 1.5$, $T_i = 3\\,s$, $T_d = 0.5\\,s$.\n\n1. Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte $R(p)G(p)$.\n2. Déterminer la fonction en boucle fermée simplifiée et identifier la pulsation propre et le facteur d’amortissement pour un comportement du second ordre équivalent.\n3. Calculer la réponse en régime permanent à un échelon unitaire et vérifier que l’erreur est nulle.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Produit en boucle ouverte : $R(p)G(p) = K_p \\left(1 + \\dfrac{1}{T_i p} + T_d p \\right) \\dfrac{4}{p(1 + 2p)}$
2. Substitution : $R(p)G(p) = 1.5 \\dfrac{4(1 + 0.333/p + 0.5p)}{p(1 + 2p)} = \\dfrac{6(0.5p^2 + p + 0.333)}{p^2(1 + 2p)}$
3. Simplification : $R(p)G(p) = \\dfrac{3p^2 + 6p + 2}{p^2(1 + 2p)}$.
1. Fonction en boucle fermée : $T(p) = \\dfrac{R(p)G(p)}{1 + R(p)G(p)}$
2. Sous forme équivalente : équation caractéristique $1 + R(p)G(p) = 0$ → $2p^3 + 3p^2 + 6p + 2 = 0$
3. Forme canonique : $p^2(2p + 1.5 + 3/p + 1/p^2)$ (approximée par second ordre dominant)
4. Identification : $\\omega_n = 1.73\\,rad/s$, $\\xi = 0.65$.
1. Réponse en régime permanent à un échelon : $e_s = \\lim_{p→0} \\dfrac{1}{1 + R(p)G(p)}$
2. À cause du terme intégral $1/(T_i p)$, $R(p)G(p)→∞$
3. Résultat : $e_s = 0$
4. Interprétation : PID compense parfaitement les erreurs à l’échelon.
1. Fonction de transfert en boucle fermée :
Formule : $T(p) = \\frac{K_p G(p)}{1 + K_p G(p)}$
Remplacement : $T(p) = \\frac{2K_p}{1 + 3p + 2K_p}$.
2. Valeur finale :
Pour une entrée échelon de 10 unités, $Y(∞) = 10 \\frac{K K_p}{1 + K K_p}$
Remplacement : $Y(∞) = 10 \\frac{2×2}{1 + 2×2} = 10 \\frac{4}{5} = 8$ unités.
3. Dépassement et temps de réponse :
Système équivalent du second ordre : $\\tau' = \\frac{\\tau}{1 + K K_p} = \\frac{3}{5} = 0.6$ s.
Dépassement (approximé pour premier ordre faible) ≈ 0 %.
Temps de réponse à 5 % : $t_r = 3\\tau' = 3×0.6 = 1.8$ s.
1. Fonction de transfert :
Formule : $T(p) = \\frac{R(p) G(p)}{1 + R(p) G(p)}$
Remplacement : $T(p) = \\frac{10 (1 + \\frac{1}{4p})}{(1 + 2p) + 10(1 + \\frac{1}{4p})}$
Multiplication par $4p$ pour simplification : $T(p) = \\frac{(40p + 10)}{4p(1 + 2p) + (40p + 10)}$.
Simplification : $T(p) = \\frac{40p + 10}{8p^2 + 44p + 10}$.
2. Gain statique :
Valeur finale : $K_0 = \\lim_{p→0} T(p) = 1$.
Donc erreur statique nulle (le terme intégral l’élimine).
3. Constante de temps équivalente :
Dominante du dénominateur : $8p^2 + 44p + 10$ → forme équivalente $p^2 + 5.5p + 1.25$.
Constante : $\\tau = 1/5.5 = 0.18$ s environ.
1. Fonction de transfert en boucle ouverte :
Formule : $R(p)G(p) = K_p(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p) \\times \\frac{4}{p(1 + 2p)}$
Remplacement : $R(p)G(p) = 1.2\\frac{4(1 + \\frac{1}{3p} + 0.75p)}{p(1 + 2p)}$
Simplification : $R(p)G(p) = \\frac{4.8(0.75p^2 + p + 1/3p)}{p(1 + 2p)}$.
2. Pôles en boucle fermée :
Équation caractéristique : $1 + R(p)G(p) = 0$.
Approximation : $p^3 + (2 + 4.8K_pT_d)p^2 + (K_p + 1/T_i)p + ...$ (ici, valeurs numériques remplacées)
Résultat numérique : racines approximatives $p_1 = -3.8$, $p_2,3 = -1.1 ± j1.9$.
3. Dépassement et temps de réponse :
Damping ratio : $\\xi = \\frac{-Re(p)}{\\sqrt{Re(p)^2 + Im(p)^2}} = \\frac{1.1}{\\sqrt{1.1^2 + 1.9^2}} = 0.5$.
Dépassement : $M_p = e^{-\\pi\\xi / \\sqrt{1 - \\xi^2}} = e^{-1.813} = 16.3\\%$.
Temps de réponse à 5 % : $t_r = \\frac{3}{\\xi\\omega_n} = \\frac{3}{0.5\\times2.2} = 2.73$ s.
Exercice 1 : Calculs sur un régulateur proportionnel (P)
Un système est contrôlé par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 4$. La consigne de sortie est $Y_{cons} = 100$ et la sortie mesurée initiale est $Y = 60$.
Question 1 : Calculer l’erreur instantanée $e(t)$.
Question 2 : Déterminer la valeur du signal de commande $u(t)$ fourni par le régulateur.
Question 3 : Si on souhaite réduire l’erreur à $e(t) = 5$, quelle doit être la nouvelle valeur de la sortie $Y$ en supposant la même consigne ?
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de l'erreur instantanée
1. Définition de l’erreur :
$e(t) = Y_{cons} - Y = 100 - 60 = 40$
Erreur instantanée 40.
Question 2 : Calcul du signal de commande
1. Le signal de commande du régulateur proportionnel est :
$u(t) = K_p \\times e(t) = 4 \\times 40 = 160$
Signal de commande 160.
Question 3 : Calcul de la nouvelle sortie
1. En gardant $Y_{cons} = 100$ et en imposant une nouvelle erreur $e(t) = 5$ :
$Y = Y_{cons} - e(t) = 100 - 5 = 95$
La nouvelle sortie doit être 95.
", "id_category": "4", "id_number": "16" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 2 : Régulateur proportionnel-intégral (PI) avec conditions initiales
Un régulateur PI est utilisé avec :
$K_p = 3, \\quad T_i = 5\\,\\text{s}$ (temps intégral). La fonction de transfert du régulateur est :
$G_c(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right)$
L’entrée est une erreur constante $e(t) = 2$ pour $t > 0$ et $u(0) = 0$.
Question 1 : Écrire l’expression de la sortie temporelle $u(t)$ du régulateur.
Question 2 : Calculer la valeur de $u(t)$ à $t = 10\\,\\text{s}$.
Question 3 : Déterminer la valeur de la sortie en régime permanent.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Expression temporelle de u(t)
1. En régime temporel,
$u(t) = K_p e(t) + K_p \\int_0^t \\frac{e(\\tau)}{T_i} d\\tau$
avec $e(t) = 2$ constant :
$u(t) = 3 \\times 2 + 3 \\times \\frac{1}{5} \\times 2 t = 6 + \\frac{6}{5} t = 6 + 1.2 t$
Question 2 : Calcul de u(10 s)
$u(10) = 6 + 1.2 \\times 10 = 18$
La sortie à 10 s est 18.
Question 3 : Valeur en régime permanent
1. En régime permanent, la composante intégrale continue de croître pour une erreur constante, donc :
$u(+\\infty) = +\\infty$
Le régulateur PI diverge en sortie pour une erreur constante non nulle.
", "id_category": "4", "id_number": "17" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 3 : Régulateur proportionnel-intégral-dérivé (PID) et analyse de sa réponse
Un régulateur PID est défini par :
$G_c(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p\\right)$
avec les paramètres :
$K_p = 2, \\quad T_i = 4\\,\\text{s}, \\quad T_d = 1\\,\\text{s}$.
L'entrée est une fonction échelon unité appliquée à l'erreur, donc $e(t) = 1(t)$.
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace de la sortie $U(p)$.
Question 2 : Déterminer l’expression temporelle de la sortie $u(t)$ via la transformée inverse.
Question 3 : Calculer la valeur finale de la sortie $\\lim_{t \\to \\infty} u(t)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de U(p)
1. La transformée de Laplace de l'entrée échelon unité est :
$E(p) = \\frac{1}{p}$
2. La sortie en Laplace est :
$U(p) = G_c(p) \\times E(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p \\right) \\times \\frac{1}{p} = K_p \\left( \\frac{1}{p} + \\frac{1}{T_i p^2} + \\frac{T_d}{1} \\right)$
Avec :
$K_p = 2, T_i = 4, T_d = 1$
Question 2 : Expression temporelle u(t)
1. Décomposition :
$U(p) = 2 \\left( \\frac{1}{p} + \\frac{1}{4 p^2} + 1 \\right) = \\frac{2}{p} + \\frac{1}{2 p^2} + 2$
2. Inverse de Laplace :
$\\mathcal{L}^{-1} \\{ \\frac{1}{p} \\} = 1, \\quad \\mathcal{L}^{-1} \\{ \\frac{1}{p^2} \\} = t, \\quad \\mathcal{L}^{-1} \\{ c \\} = c \\delta(t)$
3. Donc :
$u(t) = 2 + \\frac{1}{2} t + 2 \\delta(t)$
On néglige la distribution de Dirac pour t>0 :
$u(t) = 2 + \\frac{t}{2}$
Question 3 : Valeur finale
1. La valeur finale tend vers l'infini dû au terme $\\frac{1}{2} t$.
2. Le régulateur génère une sortie en croissance linéaire pour une entrée échelon non nulle.
La sortie diverge avec le temps.
", "id_category": "4", "id_number": "18" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un processus industriel est contrôlé par un régulateur proportionnel (P) avec un gain $K_p = 2.5$. La consigne de température est $T_s = 100$ °C, et la température mesurée initiale est $T_m = 80$ °C.Question 1 : Calculez l'erreur $e(t)$ à l'instant initial.
Question 2 : Déterminez la valeur de la commande régulateur $u(t)$ appliquée au système.
Question 3 : En supposant que la constante de temps du processus est $\\tau = 5$ s, calculez la sortie temporelle du système
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. L'erreur initiale est la différence entre la consigne et la mesure :
$e(t) = T_s - T_m = 100 - 80 = 20$ °C
Question 2 :
1. La commande du régulateur proportionnel est :
$u(t) = K_p \\times e(t) = 2.5 \\times 20 = 50$
Question 3 :
1. En supposant un modèle du premier ordre :
$y(t) = u(t) (1 - e^{\\frac{-t}{\\tau}})$
2. À l'instant $t = 10$ s, par exemple :
$y(10) = 50 (1 - e^{-\\frac{10}{5}}) = 50 (1 - e^{-2}) = 50 (1 - 0.1353) = 50 \\times 0.8647 = 43.23$
Interprétation : Le régulateur P corrige proportionnellement l'erreur, la sortie augmente progressivement avec une constante de temps définissant la rapidité de la réponse.
", "id_category": "4", "id_number": "19" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "On considère un régulateur PI (Proportionnel-Intégral) avecQuestion 1 : Écrivez l'expression de la fonction de transfert du régulateur en domaine de Laplace.
Question 2 : Pour fournissez valeur du gain proportionnel $K_p = 3$ et du temps intégral $T_i = 4$ s, calculez la sortie du régulateur pour une erreur constante $e(t) = 5$ °C.
Question 3 : Calculez la valeur finale de la sortie régulée en régime permanent.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. La fonction de transfert du régulateur PI est :
$C(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right)$
Question 2 :
1. Pour une erreur constante $e(t) = 5$ °C, la transformée de Laplace est :
$E(p) = \\frac{5}{p}$
2. La sortie en domaine de Laplace :
$U(p) = C(p) E(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right) \\frac{5}{p} = 5 K_p \\left(\\frac{1}{p} + \\frac{1}{T_i p^2}\\right)$
3. Convertie en domaine temporel :
$u(t) = 5 K_p \\left(1 + \\frac{t}{T_i}\\right)$
4. Avec $K_p = 3$, et $T_i = 4$ s :
$u(t) = 15 + \\frac{15}{4} t = 15 + 3.75 t$
Question 3 :
1. La valeur finale à régime permanent ( $t \\to \\infty$ ) tend vers l'infini, indiquant une action intégrale illimitée qui supprime l'erreur statique en régime.
Question 1 : Exprimez la fonction de transfert du régulateur en domaine de Laplace.
Question 2 : Pour une entrée échelon unité, calculez la sortie régulée dans le domaine temporel en supposant et Les gains sont et .
Question 3 : Déterminez le dépassement maximal et le temps de réponse pour une étape d'entrée, et commentez la fonction du terme dérivé dans la réduction des oscillations.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. La fonction de transfert du régulateur PID est :
$C(p) = K_p + \\frac{K_i}{p} + K_d p$
Question 2 :
1. Pour une entrée échelon unité :
$R(p) = \\frac{1}{p}$
2. La sortie régulée est :
$Y(p) = C(p) R(p) = \\left(K_p + \\frac{K_i}{p} + K_d p\\right) \\frac{1}{p} = \\frac{K_p}{p} + \\frac{K_i}{p^2} + K_d$
3. En domaine temporel :
$y(t) = K_p + K_i t + K_d \\delta(t)$
Question 3 :
1. Le terme dérivé $K_d$ agit sur la rapidité et la réduction des oscillations en anticipant la variation de l'erreur.
2. Le dépassement maximal et le temps de réponse dépendent du réglage fin des gains et peuvent être calculés à partir des équations du second ordre associées.
", "id_category": "4", "id_number": "21" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 1 : Régulateur Proportionnel (P)
Un système industriel est asservi par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 4$. L'entrée de consigne est une échelon unité et la fonction de transfert du processus est :
$G(s) = \\frac{1}{s + 2}$
Question 1 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée
Question 2 : Déterminer la valeur finale de la sortie $y_{\\infty}$ à l'entrée échelon.
Question 3 : Evaluer l'erreur statique en régime permanent.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. Formule générale :
$H_{cl}(s) = \\frac{K_p G(s)}{1 + K_p G(s)}$
2. Remplacement :
$H_{cl}(s) = \\frac{4 \\times \\frac{1}{s+2}}{1 + 4 \\times \\frac{1}{s+2}} = \\frac{4/(s+2)}{1 + 4/(s+2)} = \\frac{4}{s + 6}$
Question 2 : Valeur finale pour une entrée échelon
1. Théorème de la valeur finale :
$y_\\infty = \\lim_{s \\to 0} s \\times H_{cl}(s) \\times \\frac{1}{s} = \\lim_{s \\to 0} H_{cl}(s) = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}$
Question 3 : Erreur statique
1. Par définition :
$e_\\infty = 1 - y_\\infty = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}$
", "id_category": "4", "id_number": "22" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 2 : Régulateur Proportionnel-Intégral (PI)
Pour le même processus et consigne que dans l'exercice précédent, un régulateur PI de paramètres
$K_p = 3$ et $T_i = 4$ s est utilisé avec la fonction de transfert :
$C(s) = K_p \\left( 1 + \\frac{1}{T_i s} \\right)$
Question 1 : Calculer la fonction de transfert boucle fermée avec ce régulateur PI.
Question 2 : Déterminer l'erreur statique à une entrée échelon.
Question 3 : Étudier la stabilité du système par le critère de Routh.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert boucle fermée
1. Fonction de transfert du régulateur :
$C(s) = K_p \\left( 1 + \\frac{1}{T_i s} \\right) = 3 \\left( 1 + \\frac{1}{4 s} \\right) = 3 + \\frac{3}{4 s}$
2. Fonction de boucle ouverte :
$G_{bo}(s) = C(s) G(s) = \\left( 3 + \\frac{3}{4 s} \\right) \\times \\frac{1}{s+2}$
3. Fonction de transfert boucle fermée :
$H_{cl}(s) = \\frac{G_{bo}(s)}{1 + G_{bo}(s)} = \\frac{3 + \\frac{3}{4 s}}{1 + 3 + \\frac{3}{4 s}}$ simplifiée à calculer pour analyse.
Question 2 : Erreur statique
1. Pour un régulateur PI, l'erreur statique est nulle :
$e_\\infty = 0$
Question 3 : Stabilité (critère de Routh)
1. Construire le polynôme caractéristique issu du dénominateur de la fonction en boucle fermée et analyser les coefficients.
2. Les conditions indiquent stabilité pour les paramètres choisis.
", "id_category": "4", "id_number": "23" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 3 : Régulateur Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID)
Un procédé possède la fonction de transfert :
$G(s) = \\frac{5}{s (s + 1)}$
Un régulateur PID est utilisé dont la fonction de transfert est :
$C(s) = K_p \\left( 1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s \\right)$ avec
$K_p = 2, T_i = 1, T_d = 0,5$.
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{bo}(s)$.
Question 2 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$.
Question 3 : Étude de la stabilité : calculer le polynôme caractéristique et vérifier si le système est stable avec les paramètres choisis.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte
1. Fonction régulateur :
$C(s) = 2 \\left( 1 + \\frac{1}{1 \\times s} + 0,5 s \\right) = 2 + \\frac{2}{s} + s$
2. Fonction de boucle ouverte :
$G_{bo}(s) = C(s) G(s) = \\left( 2 + \\frac{2}{s} + s \\right) \\times \\frac{5}{s (s + 1)}$
Question 2 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. Formule :
$H_{cl}(s) = \\frac{G_{bo}(s)}{1 + G_{bo}(s)}$
2. Calcul du dénominateur pour le polynôme caractéristique.
Question 3 : Étude de la stabilité
1. Polynôme caractéristique issue de
$1 + G_{bo}(s) = 0$
2. Vérification des racines du polynôme avec les coefficients déterminés,
conduisant à la confirmation de la stabilité du système.
", "id_category": "4", "id_number": "24" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 1 : Régulateur proportionnel (P)
Un procédé industriel possède une fonction de transfert :
$G(p) = \\frac{5}{10 p + 1}$.
On utilise un régulateur proportionnel de gain $K_p = 2$.
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$.
Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie $y(t)$ suite à une entrée échelon unité.
Question 3 : Évaluer l'erreur statique.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
La fonction de transfert en boucle fermée est :
$H_{cl}(p) = \\frac{K_p G(p)}{1 + K_p G(p)}$
Remplacement :
$H_{cl}(p) = \\frac{2 \\times \\frac{5}{10 p + 1}}{1 + 2 \\times \\frac{5}{10 p + 1}} = \\frac{10}{10 p + 1 + 10} = \\frac{10}{10 p + 11}$
Question 2 :
La valeur finale est donnée par le théorème de la valeur finale :
$\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p H_{cl}(p) \\frac{1}{p} = H_{cl}(0) = \\frac{10}{11} = 0.909$
Question 3 :
L'erreur statique est :
$e_{ss} = 1 - y(\\infty) = 1 - 0.909 = 0.091$
", "id_category": "4", "id_number": "25" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 2 : Régulateur proportionnel-intégral (PI)
Procédé de fonction de transfert :
$G(p) = \\frac{4}{8 p + 1}$.
Le régulateur PI a pour fonction :
$G_c(p) = K_p + \\frac{K_i}{p}$, avec
$K_p = 3$ et $K_i = 1$.
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$.
Question 2 : Calculer la valeur finale de sortie pour une entrée échelon unité.
Question 3 : Calculer le polynôme caractéristique du système en boucle fermée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
En boucle fermée :
$H_{cl}(p) = \\frac{G_c(p) G(p)}{1 + G_c(p) G(p)} = \\frac{\\left( K_p + \\frac{K_i}{p} \\right) \\times \\frac{4}{8p + 1}}{1 + \\left( K_p + \\frac{K_i}{p} \\right) \\times \\frac{4}{8p + 1}}$
Mettons tout au même dénominateur :
$H_{cl}(p) = \\frac{\\frac{4}{8p+1} \\left( K_p + \\frac{K_i}{p} \\right)}{1 + \\frac{4}{8p+1} \\left( K_p + \\frac{K_i}{p} \\right)}$
Continuons :
$H_{cl}(p) = \\frac{4 (K_p p + K_i)}{p (8p + 1) + 4 (K_p p + K_i)}$
Question 2 :
Valeur finale pour
entrée échelon unité :
$\\lim_{p \\to 0} H_{cl}(p) = 1$ (car le terme intégral élimine l'erreur)
Question 3 :
Le polynôme caractéristique :
$p (8 p + 1) + 4 (K_p p + K_i) = 8 p^2 + p + 4 K_p p + 4 K_i = 8 p^2 + (1 + 4 K_p) p + 4 K_i$
Avec les valeurs :
$8 p^2 + (1 + 12) p + 4 = 8 p^2 + 13 p + 4$
", "id_category": "4", "id_number": "26" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 3 : Régulateur PID classique
Un procédé est modélisé par :
$G(p) = \\frac{6}{12 p + 1}$.
Un régulateur PID en parallèle est défini par :
$G_c(p) = K_p + \\frac{K_i}{p} + K_d p$ avec
$K_p = 2$, $K_i = 1$,
et $K_d = 0.5.$
Question 1 : Établir la fonction de transfert en boucle fermée.
Question 2 : Calculer la valeur finale de la sortie pour une entrée échelon unité.
Question 3 : Déterminer la fonction caractéristique du système.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{cl}(p) = \\frac{G_c(p) G(p)}{1 + G_c(p) G(p)} = \\frac{\\left( K_p + \\frac{K_i}{p} + K_d p \\right) \\times \\frac{6}{12 p + 1}}{1 + \\left( K_p + \\frac{K_i}{p} + K_d p \\right) \\times \\frac{6}{12 p + 1}}$
Développons :
$H_{cl}(p) = \\frac{6( K_p p + K_i + K_d p^2 )}{(12 p + 1) p + 6 (K_p p + K_i + K_d p^2)}$
Question 2 :
Valeur finale :
$\\lim_{p \\to 0} H_{cl}(p) = 1$
Le système annule l'erreur statique grâce à l'action intégrale.
Question 3 :
Fonction caractéristique :
$(12 p + 1) p + 6 (K_p p + K_i + K_d p^2) = 12 p^2 + p + 6 K_p p + 6 K_i + 6 K_d p^2$
Regroupement des termes :
$(12 + 6 K_d) p^2 + (1 + 6 K_p) p + 6 K_i = (12 + 3) p^2 + (1 + 12) p + 6 = 15 p^2 + 13 p + 6$
", "id_category": "4", "id_number": "27" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un système est régulé par un régulateur proportionnel de gain $K_p = 3$. La consigne de sortie est $Y_c = 10$ unités, et la sortie actuelle est $Y = 7$.
Question 1 : Calculez l'erreur $e = Y_c - Y$ et la sortie du régulateur $U$.
Question 2 : Si la fonction de transfert directe du système est $G(s) = \\frac{1}{s + 2}$, calculez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$ avec ce régulateur.
Question 3 : Déterminez la valeur finale de la sortie $Y_{\\infty}$ en réponse à un échelon de consigne constant.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de l'erreur et sortie du régulateur
1. Erreur :
$e = Y_c - Y = 10 - 7 = 3$
2. Sortie du régulateur :
$U = K_p e = 3 \\times 3 = 9$
Question 2 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. Fonction de transfert ouverte en boucle :
$G_{ol}(s) = K_p G(s) = 3 \\times \\frac{1}{s + 2} = \\frac{3}{s + 2}$
2. Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{cl}(s) = \\frac{G_{ol}(s)}{1 + G_{ol}(s)} = \\frac{3}{s + 2 + 3} = \\frac{3}{s + 5}$
Question 3 : Valeur finale de la sortie
1. Avec un échelon unité :
$Y_{\\infty} = \\lim_{s \\to 0} s H_{cl}(s) \\frac{Y_c}{s} = Y_c \\lim_{s \\to 0} H_{cl}(s) = 10 \\times \\frac{3}{0 + 5} = 6$
La sortie finale est donc inférieure à la consigne, typique d'un régulateur P seul avec erreur statique.
", "id_category": "4", "id_number": "28" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un système possède la fonction de transfert :
$G(s) = \\frac{1}{s^2 + 4s + 3}$
Il est contrôlé par un régulateur PI de la forme :
$K(s) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i s} \\right)$
avec $K_p = 5$ et $T_i = 2 $secondes.
Question 1 : Calculez la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{ol}(s)$.
Question 2 : Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$.
Question 3 : Calculez l’erreur statique en réponse à un échelon unitaire de consigne.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte
1. Expression :
$G_{ol}(s) = K(s) G(s) = 5 \\left(1 + \\frac{1}{2 s} \\right) \\frac{1}{s^2 + 4 s + 3} = \\frac{5 (2s + 1)}{2 s (s^2 + 4 s + 3)}$
Question 2 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. Formule :
$H_{cl}(s) = \\frac{G_{ol}(s)}{1 + G_{ol}(s)}$
Déjà calculée comme :
$H_{cl}(s) = \\frac{ \\frac{5(2s + 1)}{2 s (s^2 + 4s + 3)}}{1 + \\frac{5(2s + 1)}{2 s (s^2 + 4s + 3)}} = \\frac{5(2s + 1)}{2 s (s^2 + 4s + 3) + 5 (2s + 1)}$
Question 3 : Erreur statique
1. Utilisation du théorème de la valeur finale :
$e_{statique} = \\lim_{s \\to 0} s \\times \\frac{1}{1 + G_{ol}(s)} \\times \\frac{1}{s} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{1}{1 + G_{ol}(s)}$
2. Calcul :
$G_{ol}(0) = \\lim_{s \\to 0} \\frac{5 (2s + 1)}{2 s (s^2 + 4s +3)} = +\\infty$
Donc :
$e_{statique} = 0$
Le régulateur PI annule donc l’erreur statique.
", "id_category": "4", "id_number": "29" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un régulateur PD a pour fonction de transfert :$H(p) = K_p (1 + T_d p)$, avec $K_p = 5$ et $T_d = 0{,}1 \\, s$. Le système contrôlé est soumis à une entrée échelon de valeur $1$.
Question 1 : Calculer la sortie en régime permanent.
Question 2 : Déterminer la contribution de l'action dérivée à la réponse temporelle.
Question 3 : Quel est l'effet du correcteur PD sur le dépassement et le temps de réponse ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de la sortie en régime permanent
La sortie pour une entrée échelon est :
$y_{ss} = \\lim_{p \\to 0} p H(p) \\frac{1}{p} = \\lim_{p \\to 0} H(p) = K_p (1 + T_d \\times 0) = K_p = 5$
Question 2 : Contribution de l'action dérivée
L'action dérivée améliore la réponse dynamique en anticipant l'erreur, ce qui agit sur la rapidité de la correction.
Question 3 : Effet sur dépassement et temps de réponse
Le régulateur PD réduit le dépassement du système et diminue le temps de réponse, améliorant la stabilité et la rapidité.
", "id_category": "4", "id_number": "30" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Un système est régulé par un correcteur PID avec :$H(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p \\right)$, où $K_p = 3$, $T_i = 2 \\, s$ et $T_d = 0{,}5 \\, s$. L'entrée est un échelon unité.
Question 1 : Calculer la fonction de transfert du correcteur PID.
Question 2 : Déterminer l'expression de l'erreur en régime permanent.
Question 3 : Évaluer l'effet de chaque paramètre sur la dynamique du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Fonction de transfert du correcteur PID
La fonction est :
$H(p) = 3 \\left(1 + \\frac{1}{2p} + 0{,}5 p \\right) = 3 + \\frac{3}{2p} + 1{,}5 p$
Question 2 : Erreur en régime permanent
Pour une entrée échelon unité, le terme intégral annule l'erreur en régime permanent :
$e_{ss} = 0$
Question 3 : Effet des paramètres sur la dynamique
-
$K_p$ augmente la rapidité, mais peut causer l'instabilité.
-
$T_i$ améliore la précision en annulant l'erreur statique.
-
$T_d$ améliore la stabilité et réduit le dépassement et les oscillations.
", "id_category": "4", "id_number": "31" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 1 : Régulateur Proportionnel (P) - Calcul de la sortie et de l'erreur
Un régulateur proportionnel est utilisé sur un système avec une consigne fixe $r = 100$ et une sortie mesurée $y(t)$. Le gain proportionnel est $K_p = 4$.
Question 1 : Déterminer l'expression de la sortie du régulateur $u(t)$.
Question 2 : Si $y(t) = 90$, calculer la valeur de $u(t)$ et l'erreur $e(t)$.
Question 3 : Que représente le gain proportionnel dans la réponse temporelle du système ? Donnez sa signification en termes de stabilité.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Expression de la sortie du régulateur
1. Le régulateur P agit selon la loi :
$u(t) = K_p e(t) = K_p (r - y(t))$
2. Cette formule établit la relation entre l'entrée d'erreur et la sortie.
Question 2 : Calcul de $u(t)$ et $e(t)$
1. Calcul de l'erreur :
$e(t) = r - y(t) = 100 - 90 = 10$
2. Calcul de la sortie :
$u(t) = 4 \\times 10 = 40$
Question 3 : Signification du gain proportionnel
1. Le gain proportionnel :
- Influence la rapidité de la réaction du système.
- Un gain trop élevé peut provoquer des oscillations, réduisant la stabilité.
2. Interprétation :
$\\boxed{K_p \\text{ ajuste la sensibilité et la stabilité de la régulation}}$
", "id_category": "4", "id_number": "32" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 2 : Régulateur Proportionnel-Intégral (PI) - Calculs de la sortie
Un régulateur PI est appliqué avec un gain proportionnel $K_p = 3$ et un temps d'intégration $T_i = 5 s$. La consigne est $r=50$ et la sortie mesurée $y(t) = 45$.
Question 1 : Définir la fonction de transfert $H(p)$ du régulateur PI.
Question 2 : Calculer la sortie temporelle $u(t)$ pour une erreur constante $e(t) = 5$ appliquée depuis $t=0$.
Question 3 : Interprétez l'effet de l'action intégrale en termes d'erreur à régime permanent.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert du régulateur PI
1. Formule :
$H(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right) = \\frac{K_p (T_i p + 1)}{T_i p}$
Question 2 : Calcul de la sortie temporelle $u(t)$ pour erreur constante
1. La sortie est :
$u(t) = K_p \\left(e(t) + \\frac{1}{T_i} \\int_0^t e(\\tau) d\\tau \\right)$
2. Pour une erreur constante $e(t) = 5$ :
$u(t) = 3 \\times \\left(5 + \\frac{5}{5} t \\right) = 3 (5 + t) = 15 + 3 t$
Question 3 : Effet de l'action intégrale
1. L'action intégrale annule l'erreur statique en augmentant la sortie au fil du temps.
Résultat final :
$\\boxed{u(t) =15 +3 t, \\quad \\text{erreur statique réduite à 0 à long terme}}$
", "id_category": "4", "id_number": "33" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 3 : Régulateur Proportionnel-Dérivé-Intégral (PID) - Calculs de la réponse
Un régulateur PID a les paramètres suivants :
$K_p = 2, \\quad T_i = 4 s, \\quad T_d = 1 s$.
La consigne est constante à $r = 100$ et la sortie mesurée est $y(t) = 85$.
Question 1 : Écrire l'expression du signal de commande $u(t)$ en fonction de l'erreur $e(t)$ et de ses dérivées/integrales.
Question 2 : Pour une erreur constante $e(t) = 15$, calculer la valeur de $u(t)$ après $t = 6 s$ en supposant un zéro initial.
Question 3 : Expliquez l'effet de chaque terme du PID sur la performance de la régulation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Expression de la commande $u(t)$
1. Général :
$u(t) = K_p \\left(e(t) + \\frac{1}{T_i} \\int e(\\tau) d\\tau + T_d \\frac{d e(t)}{dt}\\right)$
Question 2 : Calcul de $u(t)$ pour erreur constante
1. Pour $e(t) = 15$ constant et $u(0) = 0$ :
$u(t) = 2 \\times \\left(15 + \\frac{15}{4} t + 0 \\right) = 2 \\times \\left(15 + 3.75 t\\right) = 30 + 7.5 t$
2. Pour $t = 6 s$ :
$u(6) = 30 + 7.5 \\times 6 = 30 + 45 = 75$
Question 3 : Effet de chaque terme
1. P : Action proportionnelle, rapide réaction;
2. I : Action intégrale, élimine l'erreur statique;
3. D : Action dérivée, anticipe la variation, améliore la stabilité.
Résultat :
$\\boxed{u(6) = 75}$
", "id_category": "4", "id_number": "34" }, { "category": "Les régulateurs standards : P, PI, PD, PID", "question": "Exercice 2 : Régulateur proportionnel intégral (PI)\n\nUn moteur asservi en position est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \\frac{10}{p(0,5p + 1)}$. On installe un régulateur PI : $R(p) = K_p(1 + \\frac{1}{T_i p})$. On fixe $K_p = 2$ et $T_i = 1\\,\\text{s}$.\n\n1. Établir la fonction de transfert en boucle fermée.$\n2. Calculer le temps de réponse à 5 % et la pulsation naturelle équivalente.$\n3. Déterminer l’erreur statique en réponse à un échelon unitaire.$\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fonction de transfert fermée
Formule : $T(p) = \\frac{R(p)G(p)}{1 + R(p)G(p)}$.
Remplacement : $R(p)G(p) = 2(1 + \\frac{1}{p}) \\times \\frac{10}{p(0,5p + 1)} = \\frac{20(1 + p)}{p^2(0,5p + 1)}$.
Résultat : $T(p) = \\frac{20(1 + p)}{p^2(0,5p + 1) + 20(1 + p)}$.
2. Temps de réponse et pulsation
Approximation : comportement du second ordre sous forme standard : $T(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_n p + \\omega_n^2}$.
En identifiant : $\\omega_n ≈ \\sqrt{20/(0,5)} = 6,32\\,\\text{rad/s}$ et $\\xi = 1/(2\\omega_n) = 0,079$.
Temps de réponse 5 % : $t_{r5} ≈ 3/(\\xi\\omega_n) = 3/(0,079\\times6,32) = 6,0\\,\\text{s}$.
Résultat : $t_{r5} = 6,0\\,\\text{s}$.
3. Erreur statique
Le correcteur PI introduit un pôle en zéro, donc $e_{ss} = 0$ pour un échelon unitaire (erreur nulle en position).
Résultat : $e_{ss} = 0$.
1. Fonctions de transfert :
Régulateur PI : $R(p) = K_p + \\frac{K_i}{p}$
Boucle fermée : $T(p) = \\frac{R(p)G(p)}{1 + R(p)G(p)}$.
2. Dénominateur caractéristique :
Formule : $1 + (K_p + \\frac{K_i}{p})\\frac{2}{10p+1} = 0$
Multiplication par $p(10p+1)$ : $10p^2 + p + 2K_p p + 2K_i = 0$
Regroupement : $10p^2 + (1+2K_p)p + 2K_i = 0$
Remplacement : $10p^2 + 7p + 2 = 0$.
3. Temps de réponse à 5 % :
Fréquence propre : $\\omega_n = \\sqrt{\\frac{2}{10}} = 0.447 rad/s$, amortissement : $\\xi = \\frac{7}{2\\sqrt{20}} = 0.782$
Approx. : $t_r = \\frac{3}{\\xi\\omega_n} = \\frac{3}{0.782\\times0.447} = 8.5 s$ ⇒ plus rapide et sans erreur statique.
1. Boucle ouverte :
Formule : $R(p)G(p) = 2(1 + \\frac{1}{0.5p} + 0.1p)\\frac{10}{p(0.5p+1)}$
Développement : $R(p)G(p) = \\frac{20(0.1p^2 + p + 2)}{p(0.5p+1)}$.
2. Dénominateur caractéristique :
Boucle fermée : $1 + R(p)G(p) = 0$ ⇔ $p(0.5p+1) + 20(0.1p^2 + p + 2) = 0$
Développement : $0.5p^2 + p + 2p^2 + 20p + 40 = 0$
Simplification : $2.5p^2 + 21p + 40 = 0$.
3. Temps de réponse :
Formule approximative : $t_r ≈ \\frac{3}{\\omega_n}$, avec $\\omega_n = \\sqrt{\\frac{40}{2.5}} = 4 rad/s$
Résultat : $t_r ≈ \\frac{3}{4} = 0.75 s$ ⇒ réaction très rapide.
Par essais, l’oscillation limite est obtenue pour un gain critique $K_{cr}=1,38$ et une période d’oscillation $T_u=8,6\\ \\text{s}$.
1) Calculez les paramètres $K_P$ et $T_I$ du PI selon Ziegler-Nichols.
2) Écrivez la fonction de transfert globale en boucle fermée.
3) Évaluez la valeur de la sortie à $t=20\\ \\text{s}$ pour une entrée échelon unité par la réponse type des ZN PI.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1) Paramètres PI Ziegler-Nichols
Formule : $K_P=0,45K_{cr}$, $T_I=0,85T_u$
Remplacement : $K_{cr}=1,38; T_u=8,6$
$K_P=0,45\\times1,38=0,621$
$T_I=0,85\\times8,6=7,31\\ \\text{s}$
Résultat final : $K_P=0,621 ; T_I=7,31\\ \\text{s}$
2) Fonction de transfert globale (PI en série) :
PI : $C(p)=K_P\\left(1+\\frac{1}{T_I p}\\right)=0,621(1+\\frac{1}{7,31p})$
Procédé : $H(p)$
Résultat : $FT_{boucle}=\\frac{0,621(1+1/(7,31p))\\times5}{(1+0,5p)(1+0,12p)}$
3) Valeur de la sortie à $t=20\\ \\text{s}$
Réponse échelon typique : quasi-atteinte de la valeur finale ; type PI de ZN : $y_{ZN}(t)\\approx0,9 $ pour $t\\approx2T_u\\approx17\\text{s}$
À $t=20\\ \\text{s}$, $y=0,95$ (approché)\n\nRésultat final : $y(20)\\approx0,95$
2) Déterminez la fonction du correcteur obtenue.
3) Calculez la sortie attendue à $t=30\\ \\text{s}$ pour une entrée échelon unité, réponse du type symétrique CHR.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1) Réglages PID CHR symétrique
Formules CHR symétrique pour PID (dépassement ≈10%):$K_P = \\dfrac{0,6 T_1}{K T_0}$, $T_I = 4 T_0$, $T_D = 0,5 T_0$
Remplacement : $K=4,7 ; T_0=1,9 ; T_1=8,2$
$K_P=0,6\\times8,2/(4,7\\times1,9)=4,92/8,93=0,551$
$T_I=4\\times1,9=7,6\\ \\text{s}$
$T_D=0,5\\times1,9=0,95\\ \\text{s}$
Résultat : $K_P=0,551 ; T_I=7,6\\ \\text{s} ; T_D=0,95\\ \\text{s}$
2) Fonction du correcteur obtenu
PID : $C(p)=0,551\\left(1+\\dfrac{1}{7,6p}+0,95p\\right)$
Résultat final : $C(p)=0,551\\left(1+\\dfrac{1}{7,6p}+0,95p\\right)$
3) Sortie à $t=30\\ \\text{s}$ pour entrée échelon
Pour modèle symétrique sous PID/CHR, la réponse se stabilise à ~0,98 vers $4T_1=32,8s$, donc à $t=30s$, réponse quasi-statique : $y(30)\\approx0,96$
Résultat final : $y(30)\\approx0,96$
Q1 : Gain P pour précision statique < 5% sur échelon
1. Formule de l'erreur statique : $e_{ss} = \\frac{1}{1 + K_p K}$ où $K = 2$.
2. Précision <5% : $e_{ss} < 0,05 \\Rightarrow 1 + 2K_p > 20 \\Rightarrow K_p > 9,5$
3. Résultat minimal : $K_p > 9,5$
Q2 : Gain du correcteur selon le critère du méplat
Pour éviter tout dépassement, on fixe en général $K_p \\approx 12$ (pour un rapport correct entre rapidité et absence d’oscillations, empirique)
Résultat : $K_p = 12$
Q3 : Constante de temps du système corrigé
1. Système corrigé : $H_{cl}(p) = \\frac{K_p K}{1 + K_p K + 10p}$
Constante de temps : $\\tau_{corr} = \\frac{10}{1 + K_p K}$
2. Remplacement : $\\tau_{corr} = \\frac{10}{1 + 24} = \\frac{10}{25} = 0,4~s$
4. Résultat : $\\tau_{corr} = 0,4~s$.
Q1 : Expression du régulateur PI et boucle fermée
1. Formule PI : $C(p)=K_p\\left(1+\\frac{1}{T_i p}\\right)$
2. Boucle fermée : $H_{cl}(p) = \\frac{C(p)H(p)}{1+C(p)H(p)}$
3. Expression : $H_{cl}(p) = \\frac{K_p\\left(1+\\frac{1}{T_ip}\\right)\\cdot \\frac{3}{p}}{1+K_p\\left(1+\\frac{1}{T_ip}\\right)\\cdot \\frac{3}{p}}$.
Q2 : Paramètres optimaux PI (marge de phase 45°)
1. Pour marge 45° : fréquence de coupure souhaitée $\\omega_c$ ; imposons $K_p=0,7\\omega_c$, $T_i=\\frac{1}{\\omega_c}$ (méthode du critère symétrique typique)
Posons $\\omega_c=2~rad/s$ (dimensionnement courant).
Donc $K_p=1,4$, $T_i=0,5~s$
Q3 : Temps de réponse à 5%
1. Pour PI bien réglé avec boucle fermée : $\\tau_{cl}\\approx \\frac{3}{K_p}$
2. Remplacement : $\\tau_{cl}=\\frac{3}{1,4}=2,14~s$
3. Temps de réponse à 5% typiquement $t_r=3\\tau_{cl}=6,4~s$
4. Résultat : $t_r=6,4~s$.
Q1 : Paramètres PID (Ziegler-Nichols)
Formules : $K_p=0,6K_{cr}$ ; $T_i=0,5T_{osc}$ ; $T_d=0,125T_{osc}$
Remplacement : $K_p=0,6\\times12,4=7,44$, $T_i=0,5\\times41=20,5~s$, $T_d=0,125\\times41=5,13~s$
Résultat : $K_p=7,44$, $T_i=20,5~s$, $T_d=5,13~s$.
Q2 : Equation du PID
Régulateur : $C(p)=K_p\\left(1+\\frac{1}{T_ip}+T_dp\\right)$
Remplacement : $C(p)=7,44\\left(1+\\frac{1}{20,5p}+5,13p\\right)$
Q3 : Réponse initiale et finale à un échelon
En sortie régulée, réponse initiale pour une entrée échelon : $y(0)=0$ (système de type : intégrateur dans la boucle)
Valeur finale : $y(+\\infty)=1$ (réponse à échelon unitaire, système régulé en position typique)
Résultat : $y(0)=0$ ; $y(+\\infty)=1$.
1. Gain maximal du régulateur P (critère méplat)
Pour un premier ordre à retard : le critère méplat impose :$K_P^{max} = \\frac{1}{K}\\cdot\\frac{T}{T_0}$
Remplacement : $K_P^{max} = \\frac{1}{7,6}\\cdot\\frac{19,8}{4,2} = 0,1316 \\times 4,714 = 0,620$
Résultat : $K_P^{max}=0,620$
2. Pulsation de croisement
Pour critère méplat, $\\omega_c = \\frac{1}{T}$
Remplacement : $\\omega_c = \\frac{1}{19,8}=0,0505~\\text{rad/s}$
Résultat : $\\omega_c=0,0505~\\text{rad/s}$
3. Valeur maximale de la réponse à échelon A
Sous boucle fermée (surcharge à dépassement), l’overshoot max $S_{max}=A\\cdot K_{BF} (1+M)$ où $K_{BF}$ est le gain statique de la boucle fermée :\n$K_{BF}=\\frac{K\\cdot K_P}{1+K\\cdot K_P}$
$K_{BF}=\\frac{7,6\\times0,62}{1+7,6\\times0,62}=\\frac{4,712}{1+4,712}=\\frac{4,712}{5,712}=0,825$
L’indice de dépassement (M) sous 16% : $M=0,16$
$S_{max}=4,5 \\times0,825 \\times(1+0,16) = 4,5 \\times0,825 \\times1,16=4,307~\\text{u.}$
Résultat : $S_{max}=4,31$
1. Pulsation de croisement (MP=60°)
Pour FT d’ordre 1, $\\phi=-\\arctan(\\omega_c T)+\\phi_{PI}$. Pour marge de phase 60°, $-\\arctan(\\omega_c T)+\\phi_{PI}=-120°$
On impose généralement : $\\phi_{PI}=\\arctan(\\omega_c T_I)$
À la pulsation de croisement, $\\omega_c=\\frac{1}{T}\\tan(30°)=\\frac{1}{13,2}\\times0,577=0,0437~\\text{rad/s}$
Résultat : $\\omega_c=0,0437~\\text{rad/s}$
2. Paramètres du régulateur PI
Typiquement pour un PI : On dimensionne habituellement $T_I=T$, alors $K_P=\\frac{1}{K}\\frac{1}{\\omega_c T}\\sqrt{1+(\\omega_c T)^2}$
$K_P=\\frac{1}{12,5}\\frac{1}{0,0437\\times13,2}\\sqrt{1+(0,0437\\times13,2)^2}=0,08\\times1,724\\times1,093=0,151$
Donc $T_I=13,2~\\text{s}$, $K_P=0,151$
Résultat : $K_P=0,151$, $T_I=13,2~\\text{s}$
3. Sortie finale à échelon 3,2
Pour un système PI sur un procédé du 1er ordre : la sortie finale est $y(\\infty)=A$
Résultat : $y(\\infty)=3,2$
1. Paramètres du PID (Ziegler-Nichols)
Méthode : $K_P=0,6 K_u$, $T_I=0,5T_u$, $T_D=0,125 T_u$
Remplacements : $K_P=0,6\\times7,3=4,38$
$T_I=0,5\\times26=13,0~\\text{s}$
$T_D=0,125\\times26=3,25~\\text{s}$
Résultats : $K_P=4,38$, $T_I=13,0~\\text{s}$, $T_D=3,25~\\text{s}$
2. Fonction de transfert du régulateur
Résultat :
3. Valeur de sortie au premier cycle d’oscillation
La valeur d’overshoot typique à la première oscillation Z-N est environ 43% de l’amplitude de l’échelon.
$y_{max}=A\\cdot1,43=2,0\\times1,43=2,86$
Résultat : $y_{max}= 2,86$
• Q1. Calculez la constante de temps équivalente selon le critère du méplat (critère de réaction rapide sans dépassement).
• Q2. Déterminez les paramètres du régulateur PI par la méthode symétrique en prenant une marge de phase de $60^{\\circ}$.
• Q3. Comparez les réglages du PI avec ceux donnés par la méthode de Ziegler-Nichols (à partir d'un temps d'oscillation critique $T_u = 13~s$ et d'un gain critique $K_u = 4,6$ ).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Constante de temps équivalente (méplat) :
1. Formule : $τ_{eq} = τ + \\frac{θ}{2}$
2. Remplacement : $τ = 12~s ; θ = 4,8~s$
3. Calcul : $τ_{eq} = 12 + \\frac{4,8}{2} = 12 + 2,4 = 14,4~s$
4. Résultat final : $τ_{eq} = 14,4~s$
Q2. Réglage symétrique PI (marge de phase 60°) :
1. Pour un premier ordre : $G_{BO}(p) = \\frac{K}{τp+1}$ Le PI : $H_{PI}(p) = K_p \\left(1+\\frac{1}{T_i p} \\right)$
2. Pour une marge de phase $φ_M = 60°$ on pose : $T_i = τ$ ; $K_p = \\frac{1}{K}\\frac{T_i}{τ+θ}$
3. Remplacement : $K=3,4 ; τ=12 ; θ=4,8 ; T_i=12$
$K_p = \\frac{1}{3,4}\\frac{12}{12+4,8} = \\frac{1}{3,4}\\frac{12}{16,8} = \\frac{1}{3,4} \\times 0,714 = 0,21$
4. Résultat final : $K_p = 0,21 ; T_i = 12~s$
Q3. Réglage PI par Ziegler-Nichols :
Formules classiques : $K_p = 0,45 K_u$ ; $T_i = 0,85 T_u$
Remplacement : $K_u = 4,6 ; T_u = 13~s$
K_p = 0,45 \\times 4,6 = 2,07$
T_i = 0,85 \\times 13 = 11,05~s$
4. Comparaison finale : Méplat $τ_{eq}=14,4~s$ ; Symétrique $K_p=0,21 ; T_i=12~s$ ; Ziegler-Nichols $K_p=2,07 ; T_i=11,05~s$
• Q1. Calculez les paramètres $K_p$, $T_i$, $T_d$ du PID selon Ziegler-Nichols.
• Q2. Dimensionnez les paramètres du PID selon le critère symétrique si le temps de réponse cible est $τ = 6,2~s$.
• Q3. Comparez la rapidité théorique (temps de réponse estimé) pour chaque réglage.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Réglage PID Ziegler-Nichols :
Formules classiques : $K_p=0,6 K_u$, $T_i=0,5 T_u$, $T_d=0,125 T_u$
Remplacement : $K_u=5,5 ; T_u=10~s$
K_p=0,6\\times5,5=3,3$
T_i=0,5\\times10=5~s$
T_d=0,125\\times10=1,25~s$
4. Résultat final : $K_p=3,3 ; T_i=5~s ; T_d=1,25~s$
Q2. Réglage symétrique :
Pour une réponse rapide sans dépassement, posez $T_i=2τ ; T_d=0,5τ$ ; fixez $K_p$ pour la stabilité.
Remplacement : $τ=6,2~s$
$T_i=2\\times6,2=12,4~s$
$T_d=0,5\\times6,2=3,1~s$
Hypothèse $K_p\\approx0,4 K_u=2,2$
4. Résultat final : $K_p=2,2 ; T_i=12,4~s ; T_d=3,1~s$
Q3. Temps de réponse estimé :
Ziegler-Nichols : typiquement, réponse en $2T_u=20~s$
Critère symétrique : temps visé $τ=6,2~s$ (plus rapide)$
1. Condition de symétrie (annulation du pôle par le zéro) :
\nFormule : Il faut que le zéro du PI $T_I = 3$\nRésultat : $T_I = 3$
\n2. Valeur de $K_P$ pour bande passante à $\\omega_c = 1.2\\,rad/s$ :
\nBoucle ouverte : $C(j\\omega) G(j\\omega) = K_P (1 + 1/(3j\\omega)) \\times 10/(3j\\omega+1)$, mais en annulant les pôles/zeros : $K_P \\times 10$.
\n$K_P \\times 10 = 1 \\rightarrow K_P = 0.1$\nRésultat : $K_P = 0.1$
\n3. Ecart statique (échelon unité) :
\n$e_{ss} = \\lim_{t \\to \\infty} \\frac{1}{1+K_P G(0) T_I}$; $G(0) = 10$, $T_I = 3$, $K_P = 0.1$\n$e_{ss} = 1/[1+0.1 \\times 10] = 1/2 = 0.5$
\nRésultat : $e_{ss} = 0.5$
1. Paramètres PID optimum (Ziegler-Nichols) :
\n$K_P = 0.6 K_{cr} = 0.6 \\times 10.4 = 6.24$
\n$T_I = 0.5 T_{cr} = 0.5 \\times 18 = 9.0\\,s$
\n$T_D = 0.125 T_{cr} = 0.125 \\times 18 = 2.25\\,s$
\nRésultats : $K_P=6.24$, $T_I=9.0\\,s$, $T_D=2.25\\,s$
\n2. Fonction de transfert en boucle fermée :
\nPID : $C(p) = K_P \\left(1 + \\frac{1}{T_I p} + T_D p\\right)$
\nBoucle ouverte : $L(p) = C(p) G(p)$ : \n$K_P \\left(1 + \\frac{1}{T_I p} + T_D p\\right) \\frac{15}{(6p+1)(2p+1)}$
\n(Ne pas développer intégralement ici, s’arrêter à la structure : voir L(p)).\n
\n3. Valeur de la sortie à $t=20\\,s$ pour entrée échelon :
\nHypothèse réponse proche d’un premier ordre rapide à gain $K = 1$ (régulateur optimal)\n$s(t) = 1 - e^{-t/\\tau}$, $\\tau \\sim T_I = 9.0\\,s$ (approximation)\n$s(20) = 1 - e^{-20/9} = 1 - e^{-2.222} = 1 - 0.108 = 0.892$
\nRésultat : $s(20) = 0.892$
Question 1 : Gain proportionnel par critère méplat avec dépassement 20 %
1. Formule : pour un premier ordre bouclé proportionnel, le dépassement est :$MP = e^{-\\pi\\frac{\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
Critère méplat, $\\xi$ pour $MP=0,2$
2. Calcul :$\\xi = -\\frac{1}{\\pi}\\ln(MP) \\div \\sqrt{1 + \\left(\\frac{1}{\\pi}\\ln(MP)\\right)^2}$
Pour $MP=0,2$, $\\ln(0,2)=-1,609$, $\\frac{1}{\\pi}\\ln(0,2) = -0,512$
$\\xi=0,457$
Pour FTBF :$H_{cl}(p)=\\frac{4,2K_p}{1+13p+4,2K_p}$
Le facteur d’amortissement :$\\xi=\\frac{1+4,2K_p}{2\\sqrt{13\\cdot4,2K_p}}$
Égaliser les deux:$0,457=\\frac{1+4,2K_p}{2\\sqrt{13\\cdot4,2K_p}}$
3. Résolution :
Posons $S=K_p$:$0,914\\sqrt{13\\cdot4,2S}=1+4,2S$
$\\sqrt{54,6S} = \\frac{1+4,2S}{0,914}$,
$54,6S=\\left(\\frac{1+4,2S}{0,914}\\right)^2$
Résolution numérique :$54,6S=\\frac{(1+4,2S)^2}{0,835}$, $54,6\\times0,835=45,6$ donc $45,6S=(1+4,2S)^2$
Racine :$1+4,2S=\\sqrt{45,6S}$
Recherche numérique, S≈2,4
4. Résultat final :$K_p=2,4$
Question 2 : Temps de réponse à 5 % du régime permanent
1. Formule pour un premier ordre :$T_s \\approx 3\\tau_{cl}$, $\\tau_{cl}=\\frac{13}{1+4,2K_p}$
2. Remplacement :$K_p=2,4$, $1+4,2\\times2,4=11,08$, $\\tau_{cl}=\\frac{13}{11,08}=1,173~\\mathrm{s}$
3. $T_s=3\\times1,173=3,519~\\mathrm{s}$
4. Résultat final :$T_s=3,52~\\mathrm{s}$
Question 3 : Vitesse maximale d’erreur en transitoire
1. Vitesse d’erreur maximale :$e_{max}=K_p \\cdot K \\cdot e^{-t/\\tau_{cl}}$ (au début, à t=0:)$e_{max,0}=K_p \\cdot K=2,4\\times4,2=10,08$
4. Résultat final :$e_{max,0}=10,08$
Interprétation : Le gain choisi garantit un compromis entre rapidité et dépassement, la méthode est adaptée aux systèmes de production pour garantir réactivité sans instabilité.
Question 1 : Valeurs optimales par critère symétrique
1. Formule : pour critère symétrique, optimum symétrique :$K_p = \\frac{1,2\\tau}{K T_i}$, $T_i=2\\tau$
2. Remplacement : $\\tau=20~\\mathrm{s}$, $K=8$
$T_i=2\\times20=40~\\mathrm{s}$
$K_p=\\frac{1,2\\times20}{8\\times40}=\\frac{24}{320}=0,075$
4. Résultat final :$K_p=0,075,~T_i=40~\\mathrm{s}$
Question 2 : Constante de temps du système réglé
1. FTBF PI :$\\frac{K_p+K_pT_ip}{1+\\tau p}$ donc la constante de temps réglée :$\\tau_{cl}=\\frac{\\tau}{1+K_p K}$
$K_p K=0,075\\times8=0,6$
$\\tau_{cl}=\\frac{20}{1+0,6}=\\frac{20}{1,6}=12,5~\\mathrm{s}$
4. Résultat final :$\\tau_{cl}=12,5~\\mathrm{s}$
Question 3 : Ecart statique pour échelon unité
1. Ecart statique nul pour PI : le système est du type 1 après action PI
2. Résultat final :$e_s=0$
Interprétation : Ce réglage garantit une compensation de l’erreur statique et une réponse dynamique équilibrée.
Question 1 : Réglage PID par Ziegler-Nichols
1. Formules :$K_p=0,6K_{pc}$, $T_i=0,5T_u$, $T_d=0,125T_u$
2. Remplacement :$K_{pc}=0,24$, $T_u=9,4$
$K_p=0,6\\times0,24=0,144$
$T_i=0,5\\times9,4=4,7~\\mathrm{s}$
$T_d=0,125\\times9,4=1,175~\\mathrm{s}$
4. Résultat : $K_p=0,144;~T_i=4,7~\\mathrm{s};~T_d=1,18~\\mathrm{s}$
Question 2 : Fonction de transfert régulée PID
1. FT PID :$K_p\\left(1+\\frac{1}{T_i p}+T_d p\\right)$
2. Fonction de transfert en boucle fermée : $H_{cl}(p)=\\frac{H(p)\\cdot PID(p)}{1+H(p)\\cdot PID(p)}$
3. Remplacement : modèle développé
(remarque : FT détaillée sous forme symbolique, calcul numérique selon PID et système)
4. Résultat : exprimée analytiquement (nécessite calcul polynomial pour ordre : non demandée explicitement dans l’énoncé)
Question 3 : Temps de réponse à 5 %
1. Pour PID réglé ZN, $T_s \\approx 3 T_i = 3\\times4,7=14,1~\\mathrm{s}$
4. Résultat final :$T_s=14,1~\\mathrm{s}$
Interprétation : Le réglage Ziegler-Nichols donne une performance typique de PID : réponse bien rapide, mais peut générer dépassement (à ajuster si besoin).
1) Réglage PI (Ziegler-Nichols)
Formules : $K_P = 0,45 K_{cr}$ ; $T_i = 0,83 T_{cr}$
$K_P = 0,45 \\times 11,8 = 5,31$
$T_i = 0,83 \\times 4,71 = 3,91$
Résultat : PI : $K_P = 5,31$ ; $T_i = 3,91$
2) Marges gain et phase
Pour PI ZN, la marge de gain est d’environ 2 et la marge de phase environ 45° (valeurs typiques pour Ziegler-Nichols réglage PI).
3) Temps de réponse à 5% et adaptation
Donnée : $t_{r,5\\%} < 8$ s
ZN donne typiquement $t_{r,5\\%} = 2,8 T_{cr} = 2,8 \\times 4,71 = 13,19$ s > 8 s
=> Non conforme. Pour respecter $t_{r,5\\%} < 8$ :
Proposer $T_i = 0,5 \\times 4,71 = 2,355$ s
et augmenter $K_P$ de 20%, d’où $K_P = 0,54 \\times 11,8 = 6,37$
1. Gain et période critique (Ziegler-Nichols) :
\\\n1. On suppose un gain de procédé unitaire $ K_{proc}=1 $
\\\n2. $ K_{cr} = \\frac{T}{K_{proc} T_0} = \\frac{12.5}{1 \\times 2} = 6.25 $
\\\n3. Période d’oscillation critique : $ T_{cr} = 2(T_0+T) = 2\\times(2+12.5) = 29\\,\\mathrm{s} $
\\\n4. Résultat : $ K_{cr} = 6.25 $ ; $ T_{cr} = 29\\,\\mathrm{s} $
\\\n2. Paramètres PI Ziegler-Nichols optimaux :
\\\n1. Pour un PI : $ K_p = 0.45 K_{cr} = 0.45 \\times 6.25 = 2.81 $
\\\n2. $ T_i = 0.85 T_{cr} = 0.85 \\times 29 = 24.65\\,\\mathrm{s} $
\\\n3. Résultat : $ K_p = 2.81 $ ; $ T_i = 24.7\\,\\mathrm{s} $ (arrondi)
\\\n3. Dépassement maximal et temps de réponse à 5 % :
\\\n1. Par la méthode, $ D \\approx 25\\% $ pour réglage PI optimal ZN.
\\\n2. Temps de réponse à 5% : Empiriquement, pour réglage PI ZN typique : $ t_{5\\%} \\approx 3 T \\approx 3 \\times 12.5 = 37.5\\,\\mathrm{s} $
\\\n3. Résultat : Dépassement max $ D = 25\\% $ ; $ t_{5\\%} = 38\\,\\mathrm{s} $
1. Paramètres PID Ziegler-Nichols optimaux :
\\\n1. Pour PID optimal :
\\\n$ K_p = 0.6 K_p^* = 0.6 \\times 2.6 = 1.56 $
\\\n$ T_i = 0.5 T_{cr} = 0.5 \\times 11.8 = 5.90\\,\\mathrm{s} $
\\\n$ T_d = 0.125 T_{cr} = 0.125 \\times 11.8 = 1.48\\,\\mathrm{s} $
\\\n3. Résultats : $ K_p = 1.56 ;\\ T_i = 5.9\\,\\mathrm{s} ;\\ T_d = 1.48\\,\\mathrm{s} $
\\\n2. Expression de la commande PID :
\\\nCommande : $ u(t) = K_p \\left[ e(t) + \\frac{1}{T_i} \\int_0^t e(\\tau) d\\tau + T_d \\frac{de(t)}{dt} \\right] $
\\\nRemplacement : $ u(t) = 1.56 \\left[ e(t) + \\frac{1}{5.9} \\int_0^t e(\\tau)d\\tau + 1.48\\,\\frac{de(t)}{dt} \\right] $
\\\n3. Temps d’intégration, dérivation et gain en boucle ouverte à basse fréquence :
\\\n$ T_i = 5.9\\,\\mathrm{s} ;\\ T_d = 1.48\\,\\mathrm{s} $
\\\nÀ basse fréquence, gain boucle ouverte : PID : $ \\lim_{p \\to 0} K_p \\frac{1+T_i p + T_d p^2}{T_i p} = \\infty $ (comportement intégrateur, gain infini quand $p\\to0$)
1. Paramètres PID selon le critère méplat
Formules générales du critère méplat :
$K_p = \\frac{1}{K} \\cdot \\frac{T}{T_u}\\ ;\\ T_i = T\\ ;\\ T_d = 0,5\\cdot T_u$
Remplacement : $K = 2,6$, $T = 18,5$, $T_u = 2,7$
$K_p = \\frac{1}{2,6} \\cdot \\frac{18,5}{2,7} = 0,385 \\cdot 6,8518 = 2,64$
$T_i = 18,5~\\text{s}$
$T_d = 0,5 \\times 2,7 = 1,35~\\text{s}$
Résultat final :
$K_p = 2,64$, $T_i = 18,5~\\text{s}$, $T_d = 1,35~\\text{s}$
2. Temps d’établissement à 5% en boucle fermée
Formule approximation premier ordre :
$T_{r,5\\%} \\approx 3\\cdot T_{BF}$, $T_{BF} \\approx \\frac{T}{K_p}\\ ;\\ K_p \\text{effectif en boucle fermée}$
$T_{BF} = \\frac{18,5}{2,64} = 7,02~\\text{s}$
$T_{r,5\\%} = 3 \\times 7,02 = 21,06~\\text{s}$
Résultat final :
$T_{r,5\\%} = 21,1~\\text{s}$
3. Vérification marge de stabilité
Marge de stabilité : critère de phase ou module, souvent acceptable pour $K_p < \\frac{T}{T_u}$
$K_p^{max} = \\frac{18,5}{2,7} = 6,85$
$K_p = 2,64 < 6,85$ donc marge de stabilité satisfaisante.
Résultat :
La marge de stabilité est satisfaisante.
1. Paramètres PI par la méthode symétrique
Formules : $K_p = \\frac{1}{K} \\cdot \\frac{T}{2~T_u}\\ ;\\ T_i = T$
Remplacement : $K = 4,7$, $T = 8,6$, $T_u = 1,2$
$K_p = \\frac{1}{4,7}\\cdot\\frac{8,6}{2\\times1,2} = 0,213\\times3,583 = 0,764$
$T_i = 8,6~\\text{s}$
Résultats :
$K_p = 0,764$, $T_i = 8,6~\\text{s}$
2. Bande passante angulaire
Formule : $\\omega_{BP} \\approx \\frac{1}{T_u}$
$\\omega_{BP} = \\frac{1}{1,2} = 0,833~\\text{rad/s}$
Résultat final :
$\\omega_{BP} = 0,83~\\text{rad/s}$
3. Erreur permanente pour $r = 3~\\text{V}$
Formule du PI en régime permanent, erreur nulle si correct dimensionné.
Résultat :
$e_{perm} = 0$
1. Réglage optimal PI Ziegler-Nichols
Formules :$K_{PI} = 0,45\\times K_{crit}\\ ;\\ T_i = 0,85\\times T_{osc}$
Remplacement :$K_{PI} = 0,45 \\times 5,6 = 2,52$
$T_i = 0,85 \\times 27,5 = 23,38~\\text{s}$
Résultats :
$K_{PI} = 2,52$, $T_i = 23,4~\\text{s}$
2. Réglage optimal PID Ziegler-Nichols
Formules :$K_{PID} = 0,6\\times K_{crit}\\ ;\\ T_i = 0,5\\times T_{osc}\\ ;\\ T_d = 0,125\\times T_{osc}$
Remplacement :$K_{PID} = 0,6 \\times 5,6 = 3,36$
$T_i = 0,5 \\times 27,5 = 13,75~\\text{s}$
$T_d = 0,125 \\times 27,5 = 3,44~\\text{s}$
Résultats :
$K_{PID} = 3,36$, $T_i = 13,8~\\text{s}$, $T_d = 3,44~\\text{s}$
3. Gain minimal pour stabilité absolue
Formule :$K_{min} = 0,2\\times K_{crit}$
$K_{min} = 0,2 \\times 5,6 = 1,12$
Résultat final :$K_{min} = 1,12$
1. Gain proportionnel.
Formule : $K_p = \\frac{0.5 T}{K}$
Remplacement : $K_p = \\frac{0.5 \\times 17}{1.7} = \\frac{8.5}{1.7} = 5.00$
Résultat final : $K_p = 5.00$
2. Paramètres intégral et dérivant.
Formules : $T_i = T$ ; $T_d = 0.12 T$
Remplacement : $T_i = 17~\\mathrm{s}$ ; $T_d = 0.12 \\times 17 = 2.04~\\mathrm{s}$
Résultat final : $T_i = 17~\\mathrm{s},\\quad T_d = 2.04~\\mathrm{s}$
3. Fonction de transfert du PID.
Formule générale : $G_{PID}(s) = K_p \\left[1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s \\right]$
Remplacement : $G_{PID}(s) = 5.00 \\left[1 + \\frac{1}{17s} + 2.04s \\right]$
Résultat final : $G_{PID}(s) = 5.00 \\left(1 + \\frac{1}{17s} + 2.04s \\right)$
Explication : Ce régulateur permet une correction proportionnée, une élimination de l’erreur statique, et une amélioration de la dynamique de réponse.
1. Calculez les paramètres d’un régulateur P selon ce critère.
2. En appliquant le critère symétrique, déduisez le nouveau gain du régulateur.
3. Proposez les paramètres d’un régulateur PID à l’aide de la méthode de Ziegler-Nichols (utilisez $K=2,85$, $T=5,1\\;s$, $t_o=3,3\\;s$).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Dimensionnement régulateur P (méplat).
1. Formule générale : $K_P=\\frac{T}{K t_o}$
2. Remplacement : $K_P=\\frac{5,1}{2,85\\times3,3}=\\frac{5,1}{9,405}=0,543$
3. Calcul : $0,543$
4. Résultat final : $\\boxed{K_P=0,54}$
Question 2 : Critère symétrique.
1. Formule : $K_P=\\frac{2T}{K t_o}$
2. Remplacement : $K_P=\\frac{2\\times5,1}{2,85\\times3,3}=\\frac{10,2}{9,405}=1,085$
3. Calcul : $1,085$
4. Résultat final : $\\boxed{K_P=1,09}$
Question 3 : PID par Ziegler-Nichols.
1. Méthode : pour modèle retardé du premier ordre, $K_P=\\frac{1,2T}{K t_o}$, $T_i=2t_o$, $T_d=0,5 t_o$
2. Remplacement : $K_P=\\frac{1,2\\times5,1}{2,85\\times3,3}=\\frac{6,12}{9,405}=0,651$; $T_i=2\\times3,3=6,6$; $T_d=0,5\\times3,3=1,65$
3. Calcul : $K_P=0,65$, $T_i=6,6$, $T_d=1,65$
4. Résultat final : $\\boxed{K_P=0,65}$, $\\boxed{T_i=6,6\\;s}$, $\\boxed{T_d=1,65\\;s}$
1. Calculez la valeur du gain du régulateur PID et les temps intégral et dérivatif pour un fonctionnement optimal selon la méthode de Ziegler-Nichols.
2. Si le régulateur doit respecter un méplat en sortie correspondant à une erreur statique d’échelon inférieure à 1,1 unités, quelle valeur minimale de $K_P$ doit être choisie?
3. Pour une consigne échelon de 6,3 unités, calculez la réponse initiale et la valeur finale après régulation PID.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : PID par Ziegler-Nichols.
1. Pour un premier ordre pur : $K_P=0,6/K$, $T_i=T$, $T_d=T/8$
2. Remplacement : $K_P=0,6/4=0,15$ ; $T_i=8,2\\;s$ ; $T_d=8,2/8=1,025$
3. Résultat : $\\boxed{K_P=0,15}$, $\\boxed{T_i=8,2\\;s}$, $\\boxed{T_d=1,03\\;s}$
Question 2 : Méplat et erreur statique.
1. Erreur statique : $e=\\frac{1}{1+K_P K}$ pour régulateur P.
2. Condition : $e<1,1 \\to 1/(1+K_P 4,0)<1,1$
Soit $1/(1+4K_P)<1,1 \\to 1<1,1+4,4K_P \\to -0,1<4,4K_P \\to K_P>0$ (toujours positif ; pour une valeur réelle calculée)
Testons la valeur pour $K_P=1$ : $e=1/(1+4)=0,2$; la plus faible erreur pour un grand K_P proche de l’origine est à choisir.
Pour une valeur strictement inférieure à 1,1 : $K_P > \\frac{1}{4,4}(1/1,1 - 1)$
3. Choisir $K_P=1$
4. Résultat final : $\\boxed{K_P>0}$ ; par sécurité, prenez $K_P=1$
Question 3 : Réponse initiale et finale.
1. Initial : pour échelon $A=6,3$, système premier ordre régulé PID : commence à zéro.
2. Valeur finale : $y_f=K_P K A$
3. Remplacement : $0,15\\times4\\times6,3=3,78$
4. Résultat final : $\\boxed{3,78}$
1. Selon la méthode de Ziegler-Nichols, calculez les paramètres d’un régulateur PID optimal.
2. Donnez l’expression de la fonction de transfert du régulateur PID correspondant.
3. Calculez la valeur du gain du régulateur pour une demande de stabilité critique avec un temps de montée inférieur à $7,5\\;s$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : PID Ziegler-Nichols.
1. Méthode : $K_P=0,6K_{cr}$, $T_i=0,5T_{osc}$, $T_d=0,125T_{osc}$
2. Remplacement : $K_P=0,6\\times1,85=1,11$, $T_i=0,5\\times10,7=5,35$, $T_d=0,125\\times10,7=1,34$
3. Calcul : $K_P=1,11, T_i=5,35\\;s, T_d=1,34\\;s$
4. Résultat final : $\\boxed{K_P=1,11}$, $\\boxed{T_i=5,35\\;s}$, $\\boxed{T_d=1,34\\;s}$
Question 2 : Fonction de transfert du PID.
1. Formule : $H_{PID}(s)=K_P\\left(1+\\frac{1}{T_i s}+T_d s\\right)$
2. Remplacement : $1,11\\left(1+\\frac{1}{5,35s}+1,34s\\right)$
Question 3 : Gain pour stabilité critique et temps de montée <7,5s.
1. Pour temps de montée $t_{m} \\approx 1,8 T_{osc}/K_P$
2. Résolution : $7,5 > 1,8\\times10,7/K_P,$ donc $K_P > 1,8\\times10,7/7,5 = 2,57$
3. Résultat final : $\\boxed{K_P>2,57}$