- Fréquence porteuse : $f = 2600$ MHz (Bande 7 LTE)
- Puissance d'émission de la station de base (eNodeB) : $P_{TX} = 43$ dBm
- Gain de l'antenne émettrice : $G_{TX} = 18$ dBi
- Gain de l'antenne réceptrice (UE) : $G_{RX} = 0$ dBi
- Pertes dans les câbles et connecteurs (eNodeB) : $L_{cable} = 2$ dB
- Distance entre l'eNodeB et l'équipement utilisateur (UE) : $d = 1200$ m
- Sensibilité du récepteur UE : $S_{RX} = -95$ dBm
- Marge d'évanouissement requise : $M_{fade} = 8$ dB
- Largeur de bande : $B = 20$ MHz
- Efficacité spectrale visée : $\\eta = 3.5$ bit/s/Hz
Question 1 : Calculer les pertes en espace libre (Free Space Path Loss - FSPL) pour cette liaison à la fréquence de $2600$ MHz et à une distance de $1200$ m. Utilisez la formule : $FSPL(dB) = 20\\log_{10}(d) + 20\\log_{10}(f) + 32.45$, où $d$ est en km et $f$ en MHz.
Question 2 : Déterminer la puissance reçue $P_{RX}$ au niveau de l'UE en utilisant l'équation du bilan de liaison : $P_{RX} = P_{TX} + G_{TX} - L_{cable} - FSPL + G_{RX}$. Vérifier ensuite si la marge du système (System Operating Margin - SOM) est suffisante en calculant : $SOM = P_{RX} - S_{RX} - M_{fade}$.
Question 3 : Calculer le débit maximal théorique $R_{max}$ que peut supporter cette liaison en utilisant la formule : $R_{max} = B \\times \\eta$, où $B$ est la largeur de bande et $\\eta$ l'efficacité spectrale. Ensuite, déterminer le rapport signal sur bruit (SNR) minimum requis en dB pour atteindre cette efficacité spectrale sachant que pour LTE, la relation approximative est : $\\eta \\approx 0.8 \\times \\log_2(1 + SNR)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul des pertes en espace libre (FSPL)
Les pertes en espace libre représentent l'atténuation du signal lors de sa propagation dans l'air. Cette atténuation augmente avec la distance et la fréquence.
Étape 1 : Formule générale
La formule des pertes en espace libre est :
$FSPL(dB) = 20\\log_{10}(d) + 20\\log_{10}(f) + 32.45$
où $d$ est la distance en kilomètres et $f$ la fréquence en MHz.
Étape 2 : Conversion de la distance
La distance donnée est $d = 1200$ m, nous devons la convertir en kilomètres :
$d = 1200 \\text{ m} = 1.2 \\text{ km}$
Étape 3 : Remplacement des données dans la formule
$FSPL = 20\\log_{10}(1.2) + 20\\log_{10}(2600) + 32.45$
Étape 4 : Calculs intermédiaires
Calculons chaque terme séparément :
$\\log_{10}(1.2) = 0.0792$
$20 \\times 0.0792 = 1.584 \\text{ dB}$
$\\log_{10}(2600) = 3.415$
$20 \\times 3.415 = 68.30 \\text{ dB}$
Étape 5 : Résultat final
$FSPL = 1.584 + 68.30 + 32.45 = 102.33 \\text{ dB}$
Interprétation : Les pertes en espace libre sont de $102.33$ dB. Cela signifie que le signal subit une atténuation importante sur $1200$ m à la fréquence de $2600$ MHz, ce qui est typique des bandes hautes fréquences utilisées en 4G LTE.
Question 2 : Calcul de la puissance reçue et de la marge du système
Partie A : Calcul de la puissance reçue $P_{RX}$
Étape 1 : Formule du bilan de liaison
$P_{RX} = P_{TX} + G_{TX} - L_{cable} - FSPL + G_{RX}$
où tous les termes sont exprimés en dB ou dBm.
Étape 2 : Identification des valeurs
- Puissance d'émission : $P_{TX} = 43$ dBm
- Gain antenne émettrice : $G_{TX} = 18$ dBi
- Pertes câbles : $L_{cable} = 2$ dB
- Pertes en espace libre : $FSPL = 102.33$ dB (calculé précédemment)
- Gain antenne réceptrice : $G_{RX} = 0$ dBi
Étape 3 : Remplacement des données
$P_{RX} = 43 + 18 - 2 - 102.33 + 0$
Étape 4 : Calcul
$P_{RX} = 61 - 104.33 = -43.33 \\text{ dBm}$
Partie B : Calcul de la marge du système (SOM)
Étape 1 : Formule de la marge
$SOM = P_{RX} - S_{RX} - M_{fade}$
où $S_{RX}$ est la sensibilité du récepteur et $M_{fade}$ la marge d'évanouissement.
Étape 2 : Remplacement des données
$SOM = -43.33 - (-95) - 8$
Étape 3 : Calcul
$SOM = -43.33 + 95 - 8 = 43.67 \\text{ dB}$
Interprétation : La puissance reçue est de $-43.33$ dBm, bien supérieure à la sensibilité du récepteur de $-95$ dBm. La marge du système de $43.67$ dB est largement positive et très confortable, indiquant que la liaison est robuste avec une excellente qualité de signal. Cette marge permet de compenser les variations dues aux conditions météorologiques, aux obstacles et à la mobilité de l'utilisateur. Une marge supérieure à $10$ dB est généralement considérée comme suffisante, ici nous avons plus de $40$ dB, ce qui garantit une liaison très fiable.
Question 3 : Calcul du débit maximal et du SNR requis
Partie A : Calcul du débit maximal théorique
Étape 1 : Formule du débit
$R_{max} = B \\times \\eta$
où $B$ est la largeur de bande en Hz et $\\eta$ l'efficacité spectrale en bit/s/Hz.
Étape 2 : Conversion de la largeur de bande
$B = 20 \\text{ MHz} = 20 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
Étape 3 : Remplacement des données
$R_{max} = 20 \\times 10^6 \\times 3.5$
Étape 4 : Calcul
$R_{max} = 70 \\times 10^6 \\text{ bit/s} = 70 \\text{ Mbit/s}$
Partie B : Calcul du SNR minimum requis
Étape 1 : Formule de l'efficacité spectrale pour LTE
$\\eta \\approx 0.8 \\times \\log_2(1 + SNR)$
Étape 2 : Résolution pour SNR
Isolons $SNR$ :
$\\frac{\\eta}{0.8} = \\log_2(1 + SNR)$
$2^{\\eta/0.8} = 1 + SNR$
$SNR = 2^{\\eta/0.8} - 1$
Étape 3 : Remplacement avec $\\eta = 3.5$
$SNR = 2^{3.5/0.8} - 1 = 2^{4.375} - 1$
Étape 4 : Calcul
$2^{4.375} = 20.75$
$SNR = 20.75 - 1 = 19.75$ (valeur linéaire)
Étape 5 : Conversion en dB
$SNR(dB) = 10\\log_{10}(19.75) = 10 \\times 1.296 = 12.96 \\text{ dB}$
Interprétation : Le débit maximal théorique de cette liaison 4G LTE est de $70$ Mbit/s, ce qui correspond à un débit typique pour une bande de $20$ MHz avec modulation 64-QAM. Pour atteindre l'efficacité spectrale de $3.5$ bit/s/Hz, un rapport signal sur bruit minimum de $12.96$ dB est nécessaire. Ce SNR permet d'utiliser des schémas de modulation et de codage (MCS) élevés. Dans notre cas, avec une marge système de $43.67$ dB, ce SNR est largement dépassé, permettant d'atteindre et même de dépasser ce débit théorique dans des conditions réelles favorables.
", "id_category": "1", "id_number": "3" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Analyse spectrale et capacité d'une cellule 5G NR avec multi-numérologie
Un opérateur déploie un réseau 5G NR (New Radio) utilisant la bande de fréquence $n78$ avec une approche multi-numérologie pour optimiser l'utilisation du spectre. La technologie 5G introduit la notion de numérologie qui définit l'espacement entre sous-porteuses et la durée des symboles OFDM.
Données du système 5G NR :
- Bande de fréquence : $3.5$ GHz (bande n78)
- Largeur de bande totale allouée : $B_{total} = 100$ MHz
- Numérologie utilisée : $\\mu = 1$ (correspondant à un espacement de sous-porteuses de $\\Delta f = 30$ kHz)
- Nombre de sous-porteuses utilisables par PRB (Physical Resource Block) : $N_{sc} = 12$
- Nombre de symboles OFDM par slot : $N_{symb} = 14$
- Durée d'un slot pour $\\mu = 1$ : $T_{slot} = 0.5$ ms
- Overhead du système (signalisation, pilotes, etc.) : $\\alpha = 25\\%$
- Nombre d'utilisateurs actifs simultanés dans la cellule : $N_{users} = 80$
- SINR moyen mesuré dans la cellule : $SINR = 18$ dB
Question 1 : Calculer le nombre total de PRB (Physical Resource Blocks) disponibles dans la bande de $100$ MHz sachant qu'un PRB occupe une largeur de bande de $B_{PRB} = N_{sc} \\times \\Delta f$. Ensuite, déterminer le nombre de Resource Elements (RE) par slot en utilisant : $N_{RE/slot} = N_{PRB} \\times N_{sc} \\times N_{symb}$.
Question 2 : Calculer la capacité théorique de la cellule (débit agrégé total) en utilisant la formule de Shannon adaptée : $C = B_{total} \\times (1 - \\alpha) \\times \\log_2(1 + SINR_{linear})$, où $SINR_{linear}$ est la valeur linéaire du SINR donné en dB. N'oubliez pas de convertir le SINR de dB en valeur linéaire en utilisant : $SINR_{linear} = 10^{SINR(dB)/10}$.
Question 3 : Déterminer le débit moyen par utilisateur $R_{user}$ en divisant la capacité totale par le nombre d'utilisateurs : $R_{user} = C / N_{users}$. Ensuite, calculer le nombre de slots nécessaires pour transmettre un fichier de $50$ Mo (Mégaoctets) à un utilisateur unique avec ce débit moyen, sachant que : $T_{transmission} = \\frac{Taille_{fichier}}{R_{user}}$ et $N_{slots} = \\frac{T_{transmission}}{T_{slot}}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Calcul du nombre de PRB et de Resource Elements
Partie A : Calcul du nombre de PRB
Un Physical Resource Block (PRB) est l'unité de base d'allocation de ressources en 5G NR. Il est défini dans les domaines fréquentiel et temporel.
Étape 1 : Calcul de la largeur de bande d'un PRB
$B_{PRB} = N_{sc} \\times \\Delta f$
où $N_{sc} = 12$ sous-porteuses et $\\Delta f = 30$ kHz.
Étape 2 : Remplacement des valeurs
$B_{PRB} = 12 \\times 30 \\text{ kHz}$
Étape 3 : Calcul
$B_{PRB} = 360 \\text{ kHz} = 0.36 \\text{ MHz}$
Étape 4 : Calcul du nombre total de PRB
$N_{PRB} = \\frac{B_{total}}{B_{PRB}}$
Étape 5 : Remplacement avec $B_{total} = 100$ MHz
$N_{PRB} = \\frac{100 \\text{ MHz}}{0.36 \\text{ MHz}}$
Étape 6 : Calcul final
$N_{PRB} = 277.78$
En pratique, on utilise un nombre entier de PRB :
$N_{PRB} = 273 \\text{ PRB}$
(La norme 5G NR définit exactement 273 PRB pour une bande de 100 MHz avec numérologie $\\mu = 1$)
Partie B : Calcul du nombre de Resource Elements par slot
Étape 1 : Formule des RE par slot
$N_{RE/slot} = N_{PRB} \\times N_{sc} \\times N_{symb}$
où $N_{symb} = 14$ symboles OFDM par slot.
Étape 2 : Remplacement des données
$N_{RE/slot} = 273 \\times 12 \\times 14$
Étape 3 : Calcul
$N_{RE/slot} = 45864 \\text{ RE}$
Interprétation : La bande de $100$ MHz permet d'allouer $273$ PRB en 5G NR avec la numérologie $\\mu = 1$. Chaque slot contient $45864$ Resource Elements, qui sont les plus petites unités de ressources temps-fréquence. Ces RE sont utilisés pour transporter les données utilisateurs, les signaux de référence (pilotes), et les informations de contrôle. Avec un overhead de $25\\%$, environ $34398$ RE sont disponibles pour les données utilisateurs par slot.
Question 2 : Calcul de la capacité théorique de la cellule
Étape 1 : Conversion du SINR de dB en valeur linéaire
$SINR_{linear} = 10^{SINR(dB)/10}$
Étape 2 : Remplacement avec $SINR = 18$ dB
$SINR_{linear} = 10^{18/10} = 10^{1.8}$
Étape 3 : Calcul
$SINR_{linear} = 63.10$
Étape 4 : Formule de Shannon adaptée pour la capacité
$C = B_{total} \\times (1 - \\alpha) \\times \\log_2(1 + SINR_{linear})$
où $\\alpha = 0.25$ (25% d'overhead).
Étape 5 : Calcul de $(1 + SINR_{linear})$
$1 + SINR_{linear} = 1 + 63.10 = 64.10$
Étape 6 : Calcul du logarithme
$\\log_2(64.10) = \\frac{\\ln(64.10)}{\\ln(2)} = \\frac{4.161}{0.693} = 6.004$
Étape 7 : Conversion de la bande
$B_{total} = 100 \\text{ MHz} = 100 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
Étape 8 : Remplacement dans la formule de capacité
$C = 100 \\times 10^6 \\times (1 - 0.25) \\times 6.004$
Étape 9 : Calcul
$C = 100 \\times 10^6 \\times 0.75 \\times 6.004$
$C = 450.3 \\times 10^6 \\text{ bit/s}$
Étape 10 : Résultat final
$C = 450.3 \\text{ Mbit/s}$
Interprétation : La capacité théorique totale de la cellule 5G est de $450.3$ Mbit/s. Cette valeur représente le débit agrégé maximum que la cellule peut fournir à l'ensemble des utilisateurs. Elle dépend directement de la largeur de bande ($100$ MHz), du SINR ($18$ dB) et de l'overhead système ($25\\%$). Cette capacité doit être partagée entre tous les utilisateurs actifs dans la cellule. Le SINR de $18$ dB est une valeur typique en 5G qui permet d'utiliser des modulations d'ordre élevé (64-QAM ou 256-QAM) et des taux de codage importants.
Question 3 : Calcul du débit par utilisateur et durée de transmission
Partie A : Débit moyen par utilisateur
Étape 1 : Formule du débit par utilisateur
$R_{user} = \\frac{C}{N_{users}}$
Étape 2 : Remplacement des données
$R_{user} = \\frac{450.3 \\text{ Mbit/s}}{80}$
Étape 3 : Calcul
$R_{user} = 5.629 \\text{ Mbit/s}$
Partie B : Calcul du temps de transmission d'un fichier de 50 Mo
Étape 1 : Conversion de la taille du fichier en bits
$Taille_{fichier} = 50 \\text{ Mo} = 50 \\times 8 \\text{ Mbit} = 400 \\text{ Mbit}$
Étape 2 : Calcul du temps de transmission
$T_{transmission} = \\frac{Taille_{fichier}}{R_{user}}$
Étape 3 : Remplacement des données
$T_{transmission} = \\frac{400 \\text{ Mbit}}{5.629 \\text{ Mbit/s}}$
Étape 4 : Calcul
$T_{transmission} = 71.06 \\text{ s}$
Partie C : Calcul du nombre de slots nécessaires
Étape 1 : Formule du nombre de slots
$N_{slots} = \\frac{T_{transmission}}{T_{slot}}$
Étape 2 : Conversion du temps de slot
$T_{slot} = 0.5 \\text{ ms} = 0.5 \\times 10^{-3} \\text{ s} = 0.0005 \\text{ s}$
Étape 3 : Remplacement des données
$N_{slots} = \\frac{71.06}{0.0005}$
Étape 4 : Calcul final
$N_{slots} = 142120 \\text{ slots}$
Interprétation : Avec $80$ utilisateurs actifs partageant la capacité de la cellule, chaque utilisateur obtient en moyenne un débit de $5.629$ Mbit/s. Pour transmettre un fichier de $50$ Mo ($400$ Mbit), il faut environ $71.06$ secondes, soit un peu plus d'une minute. Cela correspond à $142120$ slots de $0.5$ ms. Ces valeurs montrent l'importance du partage des ressources en 5G : avec moins d'utilisateurs actifs, le débit individuel serait plus élevé. En pratique, les algorithmes d'ordonnancement (scheduling) du réseau allouent dynamiquement les PRB aux utilisateurs selon leurs besoins et les conditions radio, optimisant ainsi l'utilisation des ressources spectrales.
", "id_category": "1", "id_number": "4" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Évolution technologique et efficacité énergétique - Comparaison 3G UMTS, 4G LTE et 5G NR
Un opérateur de télécommunication effectue une analyse comparative de ses infrastructures réseau pour évaluer l'efficacité énergétique et la performance de ses trois générations de technologies déployées : 3G UMTS, 4G LTE et 5G NR. Cette étude est cruciale pour optimiser la consommation énergétique tout en maximisant le débit.
Données pour les trois technologies :
| Paramètre | 3G UMTS | 4G LTE | 5G NR |
|---|---|---|---|
| Largeur de bande du canal | $B_{3G} = 5$ MHz | $B_{4G} = 20$ MHz | $B_{5G} = 100$ MHz |
| Efficacité spectrale moyenne | $\\eta_{3G} = 0.8$ bit/s/Hz | $\\eta_{4G} = 3.2$ bit/s/Hz | $\\eta_{5G} = 6.5$ bit/s/Hz |
| Puissance consommée par station | $P_{3G} = 1200$ W | $P_{4G} = 1800$ W | $P_{5G} = 2400$ W |
| Nombre d'utilisateurs supportés | $N_{3G} = 50$ | $N_{4G} = 150$ | $N_{5G} = 400$ |
Question 1 : Calculer le débit maximal théorique $D$ pour chacune des trois technologies en utilisant la formule : $D = B \\times \\eta$, où $B$ est la largeur de bande et $\\eta$ l'efficacité spectrale. Présenter les résultats en Mbit/s.
Question 2 : Calculer l'efficacité énergétique $EE$ (Energy Efficiency) de chaque technologie, définie comme le rapport entre le débit total et la puissance consommée : $EE = \\frac{D}{P}$, où $D$ est en bit/s et $P$ en Watt. Exprimer le résultat en kbit/s/W. Comparer ensuite le gain d'efficacité énergétique de la 5G par rapport à la 3G en calculant : $Gain = \\frac{EE_{5G}}{EE_{3G}}$.
Question 3 : Calculer le débit moyen par utilisateur $D_{user}$ pour chaque technologie : $D_{user} = \\frac{D}{N}$, où $N$ est le nombre d'utilisateurs supportés. Ensuite, déterminer la consommation énergétique par utilisateur $P_{user}$ pour chaque génération : $P_{user} = \\frac{P}{N}$. Calculer enfin le facteur d'amélioration du débit par utilisateur entre la 3G et la 5G : $F_{amélioration} = \\frac{D_{user,5G}}{D_{user,3G}}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Calcul du débit maximal théorique pour chaque technologie
Le débit théorique d'un système de communication dépend directement de la largeur de bande disponible et de l'efficacité spectrale, qui mesure la capacité à transmettre des données dans une bande de fréquence donnée.
Formule générale :
$D = B \\times \\eta$
où $D$ est le débit en bit/s, $B$ la largeur de bande en Hz, et $\\eta$ l'efficacité spectrale en bit/s/Hz.
Pour la 3G UMTS :
Étape 1 : Identification des paramètres
$B_{3G} = 5 \\text{ MHz} = 5 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
$\\eta_{3G} = 0.8 \\text{ bit/s/Hz}$
Étape 2 : Application de la formule
$D_{3G} = 5 \\times 10^6 \\times 0.8$
Étape 3 : Calcul
$D_{3G} = 4 \\times 10^6 \\text{ bit/s} = 4 \\text{ Mbit/s}$
Pour la 4G LTE :
Étape 1 : Identification des paramètres
$B_{4G} = 20 \\text{ MHz} = 20 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
$\\eta_{4G} = 3.2 \\text{ bit/s/Hz}$
Étape 2 : Application de la formule
$D_{4G} = 20 \\times 10^6 \\times 3.2$
Étape 3 : Calcul
$D_{4G} = 64 \\times 10^6 \\text{ bit/s} = 64 \\text{ Mbit/s}$
Pour la 5G NR :
Étape 1 : Identification des paramètres
$B_{5G} = 100 \\text{ MHz} = 100 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
$\\eta_{5G} = 6.5 \\text{ bit/s/Hz}$
Étape 2 : Application de la formule
$D_{5G} = 100 \\times 10^6 \\times 6.5$
Étape 3 : Calcul
$D_{5G} = 650 \\times 10^6 \\text{ bit/s} = 650 \\text{ Mbit/s}$
Synthèse des résultats :
$D_{3G} = 4 \\text{ Mbit/s}$
$D_{4G} = 64 \\text{ Mbit/s}$
$D_{5G} = 650 \\text{ Mbit/s}$
Interprétation : On observe une progression spectaculaire des débits théoriques entre les générations. La 4G offre un débit $16$ fois supérieur à la 3G ($64/4 = 16$), tandis que la 5G multiplie par $10.16$ le débit de la 4G ($650/64 \\approx 10.16$). Cette amélioration résulte de deux facteurs : l'augmentation de la largeur de bande (de $5$ MHz en 3G à $100$ MHz en 5G) et l'amélioration de l'efficacité spectrale grâce aux techniques MIMO massives, aux modulations d'ordre supérieur, et aux schémas de codage plus performants.
Question 2 : Calcul de l'efficacité énergétique et comparaison
L'efficacité énergétique est un critère crucial pour évaluer la durabilité et le coût opérationnel des réseaux mobiles. Elle mesure la quantité de données transmises par unité d'énergie consommée.
Formule de l'efficacité énergétique :
$EE = \\frac{D}{P}$
où $D$ est en bit/s et $P$ en Watt, donnant $EE$ en bit/s/W.
Pour la 3G UMTS :
Étape 1 : Remplacement des données
$EE_{3G} = \\frac{4 \\times 10^6 \\text{ bit/s}}{1200 \\text{ W}}$
Étape 2 : Calcul
$EE_{3G} = 3333.33 \\text{ bit/s/W} = 3.333 \\text{ kbit/s/W}$
Pour la 4G LTE :
Étape 1 : Remplacement des données
$EE_{4G} = \\frac{64 \\times 10^6 \\text{ bit/s}}{1800 \\text{ W}}$
Étape 2 : Calcul
$EE_{4G} = 35555.56 \\text{ bit/s/W} = 35.556 \\text{ kbit/s/W}$
Pour la 5G NR :
Étape 1 : Remplacement des données
$EE_{5G} = \\frac{650 \\times 10^6 \\text{ bit/s}}{2400 \\text{ W}}$
Étape 2 : Calcul
$EE_{5G} = 270833.33 \\text{ bit/s/W} = 270.833 \\text{ kbit/s/W}$
Calcul du gain d'efficacité énergétique 5G vs 3G :
Étape 1 : Formule du gain
$Gain = \\frac{EE_{5G}}{EE_{3G}}$
Étape 2 : Remplacement des valeurs
$Gain = \\frac{270.833}{3.333}$
Étape 3 : Calcul
$Gain = 81.25$
Interprétation : L'efficacité énergétique progresse considérablement à travers les générations. La 4G est $10.67$ fois plus efficace que la 3G, et la 5G est $81.25$ fois plus efficace que la 3G (soit $7.62$ fois mieux que la 4G). Cela signifie que la 5G peut transmettre $81.25$ fois plus de données que la 3G pour la même consommation énergétique. Cette amélioration drastique est essentielle pour la viabilité économique et environnementale des réseaux, compte tenu de l'explosion du trafic de données. La 5G, bien que consommant plus en valeur absolue ($2400$ W vs $1200$ W pour la 3G), offre un rendement énergétique très supérieur grâce à son débit bien plus élevé.
Question 3 : Débit par utilisateur et consommation énergétique individuelle
Partie A : Calcul du débit moyen par utilisateur
Formule :
$D_{user} = \\frac{D}{N}$
Pour la 3G UMTS :
Étape 1 : Remplacement des données
$D_{user,3G} = \\frac{4 \\text{ Mbit/s}}{50}$
Étape 2 : Calcul
$D_{user,3G} = 0.08 \\text{ Mbit/s} = 80 \\text{ kbit/s}$
Pour la 4G LTE :
Étape 1 : Remplacement des données
$D_{user,4G} = \\frac{64 \\text{ Mbit/s}}{150}$
Étape 2 : Calcul
$D_{user,4G} = 0.427 \\text{ Mbit/s} = 427 \\text{ kbit/s}$
Pour la 5G NR :
Étape 1 : Remplacement des données
$D_{user,5G} = \\frac{650 \\text{ Mbit/s}}{400}$
Étape 2 : Calcul
$D_{user,5G} = 1.625 \\text{ Mbit/s}$
Partie B : Calcul de la consommation énergétique par utilisateur
Formule :
$P_{user} = \\frac{P}{N}$
Pour la 3G UMTS :
$P_{user,3G} = \\frac{1200 \\text{ W}}{50} = 24 \\text{ W/utilisateur}$
Pour la 4G LTE :
$P_{user,4G} = \\frac{1800 \\text{ W}}{150} = 12 \\text{ W/utilisateur}$
Pour la 5G NR :
$P_{user,5G} = \\frac{2400 \\text{ W}}{400} = 6 \\text{ W/utilisateur}$
Partie C : Facteur d'amélioration du débit 5G vs 3G
Étape 1 : Formule du facteur d'amélioration
$F_{amélioration} = \\frac{D_{user,5G}}{D_{user,3G}}$
Étape 2 : Remplacement des valeurs
$F_{amélioration} = \\frac{1.625 \\text{ Mbit/s}}{0.08 \\text{ Mbit/s}}$
Étape 3 : Calcul
$F_{amélioration} = 20.31$
Interprétation finale : L'analyse par utilisateur révèle des améliorations remarquables. En 3G, chaque utilisateur dispose en moyenne de $80$ kbit/s, suffisant pour la navigation web basique et les emails. En 4G, ce débit passe à $427$ kbit/s ($5.3$ fois plus), permettant le streaming vidéo SD. En 5G, il atteint $1.625$ Mbit/s, soit $20.31$ fois le débit 3G, permettant le streaming 4K et les applications à faible latence. Plus remarquable encore, la consommation par utilisateur est divisée par $4$ entre la 3G ($24$ W) et la 5G ($6$ W), démontrant que la 5G offre simultanément plus de capacité, plus de débit par utilisateur, et une meilleure efficacité énergétique. Cette triple amélioration justifie la transition vers la 5G malgré l'investissement initial plus élevé en infrastructure.
", "id_category": "1", "id_number": "5" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Dimensionnement et Bilan de Liaison d'un Réseau LTE (4G)
Un opérateur de télécommunications souhaite déployer un réseau LTE dans une zone urbaine dense. L'ingénieur réseau doit effectuer le bilan de liaison pour déterminer la couverture maximale de la cellule et les performances du système.
Données du système :
- Fréquence porteuse : $f = 2.6$ GHz
- Puissance d'émission de l'eNodeB : $P_{tx} = 43$ dBm
- Gain de l'antenne eNodeB : $G_{tx} = 18$ dBi
- Gain de l'antenne UE (User Equipment) : $G_{rx} = 0$ dBi
- Pertes dans les câbles et connecteurs eNodeB : $L_{c} = 2$ dB
- Pertes par pénétration dans les bâtiments : $L_{p} = 20$ dB
- Marge d'évanouissement : $M_{f} = 8$ dB
- Sensibilité du récepteur UE : $S_{rx} = -100$ dBm
- Largeur de bande : $B = 20$ MHz
- Modèle de propagation : perte en espace libre plus atténuation urbaine
Question 1 : Calculer la Puissance Isotrope Rayonnée Equivalente (PIRE) de l'eNodeB en dBm.
Question 2 : Déterminer la perte de parcours maximale admissible (MAPL - Maximum Allowable Path Loss) en dB pour garantir la liaison entre l'eNodeB et le UE.
Question 3 : En utilisant le modèle de propagation simplifié $L_{path} = 32.4 + 20\\log_{10}(f_{MHz}) + 20\\log_{10}(d_{km})$, où $f_{MHz}$ est la fréquence en MHz et $d_{km}$ est la distance en km, calculer la portée maximale de la cellule $d_{max}$ en mètres.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul de la PIRE
La Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente (PIRE) représente la puissance totale effectivement rayonnée par l'antenne de l'eNodeB dans la direction de gain maximal. Elle se calcule en tenant compte de la puissance d'émission, du gain de l'antenne et des pertes dans les câbles.
Formule générale :
$PIRE = P_{tx} + G_{tx} - L_{c}$
où :
- $P_{tx}$ : puissance d'émission de l'émetteur (dBm)
- $G_{tx}$ : gain de l'antenne d'émission (dBi)
- $L_{c}$ : pertes dans les câbles et connecteurs (dB)
Remplacement des données :
$PIRE = 43 + 18 - 2$
Calcul :
$PIRE = 59\\text{ dBm}$
Résultat final :
$\\boxed{PIRE = 59\\text{ dBm}}$
Interprétation : La PIRE de 59 dBm indique que l'eNodeB rayonne effectivement une puissance équivalente à 59 dBm dans la direction optimale. Cette valeur est importante car elle définit la puissance disponible pour la propagation du signal avant toutes les pertes de parcours.
Question 2 : Calcul du MAPL
Le MAPL (Maximum Allowable Path Loss) représente la perte de parcours maximale que le signal peut subir tout en maintenant une liaison radio fonctionnelle. Il s'obtient en effectuant le bilan de liaison complet incluant toutes les pertes et marges du système.
Formule générale :
$MAPL = PIRE + G_{rx} - L_{p} - M_{f} - S_{rx}$
où :
- $PIRE$ : puissance isotrope rayonnée équivalente (dBm)
- $G_{rx}$ : gain de l'antenne de réception (dBi)
- $L_{p}$ : pertes par pénétration dans les bâtiments (dB)
- $M_{f}$ : marge d'évanouissement pour compenser les variations rapides du signal (dB)
- $S_{rx}$ : sensibilité du récepteur, niveau minimum détectable (dBm)
Remplacement des données :
$MAPL = 59 + 0 - 20 - 8 - (-100)$
Calcul :
$MAPL = 59 + 0 - 20 - 8 + 100$
$MAPL = 131\\text{ dB}$
Résultat final :
$\\boxed{MAPL = 131\\text{ dB}}$
Interprétation : Le MAPL de 131 dB représente le budget total disponible pour les pertes de propagation. Ce budget doit couvrir l'affaiblissement du signal sur la distance de transmission. Plus cette valeur est élevée, plus la portée théorique de la cellule sera importante. Cette valeur inclut déjà toutes les marges de sécurité et pertes additionnelles (pénétration, évanouissement).
Question 3 : Calcul de la portée maximale
La portée maximale de la cellule correspond à la distance à laquelle la perte de propagation égale exactement le MAPL calculé. Au-delà de cette distance, le signal reçu serait inférieur à la sensibilité du récepteur et la communication ne serait plus possible.
Formule générale du modèle de propagation :
$L_{path} = 32.4 + 20\\log_{10}(f_{MHz}) + 20\\log_{10}(d_{km})$
où :
- $L_{path}$ : perte de parcours (dB)
- $f_{MHz}$ : fréquence en MHz
- $d_{km}$ : distance en kilomètres
À la portée maximale, nous avons $L_{path} = MAPL = 131$ dB.
Conversion de la fréquence :
$f = 2.6\\text{ GHz} = 2600\\text{ MHz}$
Remplacement dans la formule :
$131 = 32.4 + 20\\log_{10}(2600) + 20\\log_{10}(d_{km})$
Calcul de $20\\log_{10}(2600)$ :
$\\log_{10}(2600) = 3.415$
$20\\log_{10}(2600) = 20 \\times 3.415 = 68.3\\text{ dB}$
Isolement du terme en distance :
$131 = 32.4 + 68.3 + 20\\log_{10}(d_{km})$
$131 = 100.7 + 20\\log_{10}(d_{km})$
$20\\log_{10}(d_{km}) = 131 - 100.7 = 30.3$
$\\log_{10}(d_{km}) = \\frac{30.3}{20} = 1.515$
Calcul de la distance en km :
$d_{km} = 10^{1.515} = 32.74\\text{ km}$
Conversion en mètres :
$d_{max} = 32.74 \\times 1000 = 32740\\text{ m}$
Résultat final :
$\\boxed{d_{max} = 32740\\text{ m} \\approx 32.74\\text{ km}}$
Interprétation : La portée maximale théorique de la cellule LTE est d'environ 32.74 km dans les conditions spécifiées. Cette distance représente le rayon de couverture idéal de la cellule. En pratique, cette portée sera réduite par des obstacles supplémentaires non pris en compte dans le modèle simplifié (relief, densité urbaine variable, interférences). Pour une zone urbaine dense, l'opérateur devra probablement déployer plusieurs cellules avec des rayons plus petits pour garantir une couverture continue et une capacité suffisante.
", "id_category": "1", "id_number": "6" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Allocation de Ressources et Débit dans un Système 5G NR
Un opérateur 5G NR déploie un réseau utilisant la technologie OFDMA (Orthogonal Frequency Division Multiple Access) pour desservir plusieurs utilisateurs simultanément. L'ingénieur doit dimensionner les ressources radio et calculer les débits théoriques atteignables.
Paramètres du système 5G NR :
- Fréquence porteuse : $f_c = 3.5$ GHz (bande n78)
- Largeur de bande du canal : $BW = 100$ MHz
- Numérologie (Subcarrier Spacing) : $\\Delta f = 30$ kHz
- Nombre de symboles OFDM par slot : $N_{symb} = 14$
- Durée d'un slot : $T_{slot} = 0.5$ ms
- Nombre de Resource Blocks (RB) alloués à un utilisateur : $N_{RB} = 50$
- Chaque RB contient : $N_{sc} = 12$ sous-porteuses
- Efficacité spectrale obtenue : $\\eta = 5.5$ bits/s/Hz (modulation 64-QAM, taux de codage 5/6)
- Overhead (signalisation, pilotes) : $OH = 25$%
Question 1 : Calculer le nombre total de sous-porteuses disponibles dans la bande de 100 MHz avec un espacement de 30 kHz.
Question 2 : Déterminer le débit théorique brut $D_{brut}$ (en Mbps) qu'un utilisateur peut obtenir avec 50 Resource Blocks alloués, en utilisant les 14 symboles OFDM par slot.
Question 3 : Calculer le débit net $D_{net}$ (en Mbps) disponible pour l'utilisateur après prise en compte de l'overhead de 25%.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Calcul du nombre total de sous-porteuses
Le nombre total de sous-porteuses disponibles dans la bande passante allouée dépend de la largeur de bande totale et de l'espacement entre les sous-porteuses. En 5G NR, l'espacement des sous-porteuses est configurable selon la numérologie choisie. Ici, avec $\\Delta f = 30$ kHz (numérologie μ=1), nous devons calculer combien de sous-porteuses peuvent être placées dans les 100 MHz disponibles.
Formule générale :
$N_{sc\\_total} = \\frac{BW}{\\Delta f}$
où :
- $N_{sc\\_total}$ : nombre total de sous-porteuses
- $BW$ : largeur de bande du canal (Hz)
- $\\Delta f$ : espacement des sous-porteuses (Hz)
Conversion des unités :
$BW = 100\\text{ MHz} = 100 \\times 10^6\\text{ Hz}$
$\\Delta f = 30\\text{ kHz} = 30 \\times 10^3\\text{ Hz}$
Remplacement des données :
$N_{sc\\_total} = \\frac{100 \\times 10^6}{30 \\times 10^3}$
Calcul :
$N_{sc\\_total} = \\frac{100 \\times 10^6}{30 \\times 10^3} = \\frac{10^8}{3 \\times 10^4} = \\frac{10^4}{3} = 3333.33$
En pratique, on prend la partie entière :
$N_{sc\\_total} = 3333\\text{ sous-porteuses}$
Résultat final :
$\\boxed{N_{sc\\_total} = 3333\\text{ sous-porteuses}}$
Interprétation : Avec une bande de 100 MHz et un espacement de 30 kHz, le système 5G NR peut supporter 3333 sous-porteuses. Ces sous-porteuses sont ensuite regroupées par 12 pour former des Resource Blocks (RB). Le nombre de RB disponibles serait donc $\\frac{3333}{12} \\approx 277$ RB. Cette granularité fine permet une allocation flexible des ressources aux différents utilisateurs selon leurs besoins et conditions de canal.
Question 2 : Calcul du débit théorique brut
Le débit théorique brut représente la capacité maximale de transmission de données qu'un utilisateur peut atteindre avec les ressources radio allouées, sans considérer les pertes dues à la signalisation. Il dépend du nombre de Resource Elements (RE) disponibles, de l'efficacité spectrale de la modulation et du taux de répétition des slots.
Calcul du nombre de Resource Elements par slot :
Chaque RB contient $N_{sc} = 12$ sous-porteuses et $N_{symb} = 14$ symboles OFDM.
$N_{RE\\_per\\_RB} = N_{sc} \\times N_{symb} = 12 \\times 14 = 168\\text{ RE par RB}$
Pour $N_{RB} = 50$ RB alloués :
$N_{RE\\_total} = N_{RB} \\times N_{RE\\_per\\_RB} = 50 \\times 168 = 8400\\text{ RE par slot}$
Formule générale du débit brut :
$D_{brut} = \\frac{N_{RE\\_total} \\times \\eta}{T_{slot}}$
où :
- $N_{RE\\_total}$ : nombre total de Resource Elements par slot
- $\\eta$ : efficacité spectrale (bits/s/Hz ou bits par symbole)
- $T_{slot}$ : durée d'un slot (s)
Remplacement des données :
$D_{brut} = \\frac{8400 \\times 5.5}{0.5 \\times 10^{-3}}$
Calcul du numérateur :
$8400 \\times 5.5 = 46200\\text{ bits}$
Calcul du débit :
$D_{brut} = \\frac{46200}{0.5 \\times 10^{-3}} = \\frac{46200}{0.0005} = 92.4 \\times 10^6\\text{ bits/s}$
Conversion en Mbps :
$D_{brut} = 92.4\\text{ Mbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{brut} = 92.4\\text{ Mbps}}$
Interprétation : Le débit théorique brut de 92.4 Mbps représente la capacité maximale de transport de données utilisateur avec 50 RB. Ce débit est calculé en supposant que tous les Resource Elements sont utilisés pour transporter des données utiles avec une modulation 64-QAM et un rendement de codage de 5/6 (efficacité spectrale de 5.5 bits/s/Hz). En réalité, une partie de ces ressources doit être réservée pour la signalisation de contrôle et les pilotes de référence.
Question 3 : Calcul du débit net
Le débit net correspond au débit réellement disponible pour transporter les données de l'application utilisateur après déduction de l'overhead nécessaire au fonctionnement du système. L'overhead de 25% inclut les signaux de référence (RS), les canaux de contrôle (PDCCH), les informations système et autres frais protocolaires.
Formule générale :
$D_{net} = D_{brut} \\times (1 - OH)$
où :
- $D_{net}$ : débit net disponible pour l'utilisateur (Mbps)
- $D_{brut}$ : débit théorique brut (Mbps)
- $OH$ : overhead exprimé en fraction décimale
Conversion de l'overhead :
$OH = 25\\% = 0.25$
$1 - OH = 1 - 0.25 = 0.75$
Remplacement des données :
$D_{net} = 92.4 \\times 0.75$
Calcul :
$D_{net} = 69.3\\text{ Mbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{net} = 69.3\\text{ Mbps}}$
Interprétation : Le débit net utilisable de 69.3 Mbps représente le débit effectif dont dispose l'utilisateur pour ses applications (navigation web, streaming vidéo, téléchargement de fichiers, etc.). La différence de 23.1 Mbps (25% du débit brut) est utilisée par le système pour assurer le bon fonctionnement de la liaison radio : synchronisation, estimation de canal, contrôle de la transmission et signalisation. Ce débit de 69.3 Mbps est bien supérieur aux performances 4G typiques et permet de supporter des services à très haut débit caractéristiques de la 5G, comme la vidéo 4K en streaming ou la réalité augmentée.
", "id_category": "1", "id_number": "7" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Capacité Spectrale et Planification Cellulaire en UMTS (3G)
Un opérateur de réseau mobile 3G UMTS doit planifier le déploiement d'une nouvelle zone de couverture. L'ingénieur réseau doit calculer la capacité du système en termes de nombre d'utilisateurs simultanés supportables par cellule, en tenant compte de l'interference et du budget de liaison.
Paramètres du système UMTS :
- Technologie d'accès : WCDMA (Wideband Code Division Multiple Access)
- Largeur de bande du chip : $W = 3.84$ Mchip/s
- Débit binaire de service vocal : $R_b = 12.2$ kbps (AMR voice codec)
- Rapport $E_b/N_0$ requis pour le service vocal : $6$ dB
- Facteur d'activité vocale : $\\nu = 0.67$ (67%)
- Facteur d'orthogonalité : $\\alpha = 0.4$
- Other-cell interference factor : $f = 0.65$ (65% de l'interférence totale provient d'autres cellules)
- Marge de charge : $\\eta_{load} = 0.75$ (75% de charge maximale pour garantir la qualité)
Question 1 : Calculer le gain de traitement (Processing Gain) $G_p$ du système UMTS en dB.
Question 2 : Déterminer le facteur de charge montant (uplink load factor) $\\eta_{UL}$ pour un seul utilisateur vocal, en utilisant la formule : $\\eta_{UL\\_single} = \\frac{1}{1 + \\frac{W}{R_b} \\times \\frac{1}{(E_b/N_0) \\times \\nu}}$
Question 3 : Calculer le nombre maximal d'utilisateurs vocaux simultanés $N_{max}$ que la cellule peut supporter en lien montant, sachant que le facteur de charge total est donné par : $\\eta_{UL\\_total} = \\sum_{i=1}^{N} \\eta_{UL\\_single\\_i} = N \\times \\eta_{UL\\_single}$, et que ce facteur ne doit pas dépasser $\\eta_{load} = 0.75$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Calcul du gain de traitement
Le gain de traitement (Processing Gain) est un paramètre fondamental des systèmes à étalement de spectre comme le WCDMA utilisé en UMTS. Il représente le rapport entre la largeur de bande du signal étalé et la largeur de bande du signal d'information. Ce gain permet au système de fonctionner avec un rapport signal sur bruit négatif grâce à l'étalement spectral, et il détermine également combien d'utilisateurs peuvent partager simultanément la même bande de fréquence.
Formule générale :
$G_p = \\frac{W}{R_b}$
où :
- $G_p$ : gain de traitement (sans unité)
- $W$ : largeur de bande du chip (chip rate) en chips/s
- $R_b$ : débit binaire du service utilisateur en bits/s
Conversion des unités :
$W = 3.84\\text{ Mchip/s} = 3.84 \\times 10^6\\text{ chip/s}$
$R_b = 12.2\\text{ kbps} = 12.2 \\times 10^3\\text{ bps}$
Remplacement des données :
$G_p = \\frac{3.84 \\times 10^6}{12.2 \\times 10^3}$
Calcul :
$G_p = \\frac{3.84 \\times 10^6}{12.2 \\times 10^3} = \\frac{3840}{12.2} = 314.75$
Conversion en dB :
$G_p(dB) = 10\\log_{10}(G_p) = 10\\log_{10}(314.75)$
$\\log_{10}(314.75) = 2.498$
$G_p(dB) = 10 \\times 2.498 = 24.98\\text{ dB}$
Résultat final :
$\\boxed{G_p = 24.98\\text{ dB} \\approx 25\\text{ dB}}$
Interprétation : Le gain de traitement de 25 dB (environ 315 fois en valeur linéaire) signifie que le signal est étalé sur une bande 315 fois plus large que nécessaire. Ce gain important permet au système WCDMA de combattre efficacement les interférences et le bruit. Plus le gain de traitement est élevé, plus le système peut supporter d'utilisateurs simultanés et mieux il résiste aux interférences. Pour un service vocal à 12.2 kbps, ce gain est suffisant pour permettre une bonne capacité cellulaire.
Question 2 : Calcul du facteur de charge par utilisateur
Le facteur de charge montant (uplink load factor) représente la contribution d'un seul utilisateur à la charge totale de la cellule en lien montant. Ce paramètre est crucial pour la planification de capacité car il quantifie l'impact d'un utilisateur sur les ressources radio disponibles. Le facteur de charge dépend du gain de traitement, du rapport signal sur bruit requis et du facteur d'activité vocale.
Conversion de $E_b/N_0$ en valeur linéaire :
$(E_b/N_0)_{dB} = 6\\text{ dB}$
$(E_b/N_0)_{lin} = 10^{\\frac{6}{10}} = 10^{0.6} = 3.981$
Formule générale :
$\\eta_{UL\\_single} = \\frac{1}{1 + \\frac{W}{R_b} \\times \\frac{1}{(E_b/N_0) \\times \\nu}}$
où :
- $\\eta_{UL\\_single}$ : facteur de charge pour un utilisateur
- $W/R_b$ : gain de traitement (valeur linéaire)
- $(E_b/N_0)$ : rapport énergie bit sur densité spectrale de bruit (valeur linéaire)
- $\\nu$ : facteur d'activité vocale
Calcul du gain de traitement (valeur linéaire) :
$\\frac{W}{R_b} = 314.75$
Calcul du terme au dénominateur :
$(E_b/N_0) \\times \\nu = 3.981 \\times 0.67 = 2.667$
$\\frac{1}{(E_b/N_0) \\times \\nu} = \\frac{1}{2.667} = 0.375$
$\\frac{W}{R_b} \\times \\frac{1}{(E_b/N_0) \\times \\nu} = 314.75 \\times 0.375 = 118.03$
Remplacement dans la formule :
$\\eta_{UL\\_single} = \\frac{1}{1 + 118.03}$
Calcul :
$\\eta_{UL\\_single} = \\frac{1}{119.03} = 0.0084$
Résultat final :
$\\boxed{\\eta_{UL\\_single} = 0.0084 \\approx 0.84\\%}$
Interprétation : Chaque utilisateur vocal actif contribue à environ 0.84% de la charge totale de la cellule en lien montant. Ce faible pourcentage s'explique par le gain de traitement élevé et le facteur d'activité vocale de 67% (les utilisateurs ne parlent pas continuellement pendant une conversation). Plus ce facteur est faible, plus le système peut supporter d'utilisateurs simultanés.
Question 3 : Calcul du nombre maximal d'utilisateurs
Le nombre maximal d'utilisateurs simultanés représente la capacité de la cellule en termes de communications vocales qu'elle peut gérer. Cette capacité est limitée par le facteur de charge total admissible, qui ne doit pas dépasser un certain seuil (ici 75%) pour maintenir une qualité de service acceptable et éviter l'instabilité du système due aux interférences excessives.
Formule du facteur de charge total :
$\\eta_{UL\\_total} = N \\times \\eta_{UL\\_single}$
où :
- $\\eta_{UL\\_total}$ : facteur de charge total de la cellule
- $N$ : nombre d'utilisateurs simultanés
- $\\eta_{UL\\_single}$ : facteur de charge par utilisateur
Condition de limitation :
$\\eta_{UL\\_total} \\leq \\eta_{load}$
$N \\times \\eta_{UL\\_single} \\leq \\eta_{load}$
Isolement de N :
$N_{max} = \\frac{\\eta_{load}}{\\eta_{UL\\_single}}$
Remplacement des données :
$N_{max} = \\frac{0.75}{0.0084}$
Calcul :
$N_{max} = 89.28$
En pratique, le nombre d'utilisateurs doit être un entier :
$N_{max} = 89\\text{ utilisateurs}$
Résultat final :
$\\boxed{N_{max} = 89\\text{ utilisateurs}}$
Interprétation : La cellule UMTS peut supporter au maximum 89 utilisateurs vocaux simultanés en lien montant tout en maintenant une charge inférieure à 75%. Cette limite de 75% (plutôt que 100%) est importante car elle laisse une marge de sécurité pour absorber les variations de charge et garantir la stabilité du système. Au-delà de ce seuil, les interférences augmentent rapidement et la qualité de service se dégrade (effet « pole capacity » du CDMA). En pratique, la capacité réelle peut être inférieure en raison d'autres facteurs comme les interférences inter-cellules et les conditions de propagation variables. Cette capacité de 89 utilisateurs par cellule est typique des réseaux 3G UMTS pour les services vocaux.
", "id_category": "1", "id_number": "8" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Analyse du bilan de liaison et dimensionnement d'un réseau 4G LTE
Un opérateur de télécommunications souhaite déployer un réseau 4G LTE dans une zone urbaine dense. Le système utilise une fréquence porteuse de $f = 2100$ MHz avec une bande passante de $B = 20$ MHz. La station de base (eNodeB) est équipée d'une antenne directive avec un gain de $G_t = 18$ dBi et une puissance d'émission totale de $P_t = 46$ dBm. Le terminal utilisateur (UE) possède une antenne avec un gain de $G_r = 0$ dBi. Les pertes dans les câbles et connecteurs de l'eNodeB sont de $L_{tx} = 3$ dB, et celles du terminal sont négligeables. Le modèle de propagation utilisé est le modèle COST-231 Hata pour environnement urbain dense, où la perte de propagation est donnée par :
$L_p(dB) = 46.3 + 33.9 \\log_{10}(f_{MHz}) - 13.82 \\log_{10}(h_b) + (44.9 - 6.55 \\log_{10}(h_b)) \\log_{10}(d_{km}) + C_m$
où $h_b = 30$ m est la hauteur de l'antenne de la station de base, $h_m = 1.5$ m est la hauteur de l'antenne mobile (UE), $d_{km}$ est la distance en kilomètres, et $C_m = 3$ dB pour les zones urbaines denses.
La sensibilité du récepteur de l'UE est de $S_{rx} = -100$ dBm pour garantir un SINR minimal de $10$ dB avec une modulation 64-QAM et un taux de codage de $3/4$. Une marge de shadowing de $M_{shadow} = 8$ dB est considérée pour tenir compte des variations de propagation.
Question 1 : Calculer la perte de propagation maximale admissible $L_{p,max}$ en dB en utilisant l'équation du bilan de liaison.
Question 2 : En utilisant le modèle de propagation COST-231 Hata, déterminer la portée maximale $d_{max}$ en kilomètres de la cellule pour garantir la couverture.
Question 3 : Calculer le débit théorique maximal par utilisateur en Mbps en utilisant la formule de Shannon adaptée pour OFDMA, sachant que le nombre de sous-porteuses disponibles par bloc de ressources (RB) est de $12$, l'espacement entre sous-porteuses est de $\\Delta f = 15$ kHz, et que l'utilisateur se voit allouer $N_{RB} = 50$ blocs de ressources avec un SINR effectif de $22$ dB à sa position.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul de la perte de propagation maximale admissible Lp,max
Le bilan de liaison pour la liaison descendante (downlink) s'exprime par l'équation suivante :
$P_{rx} = P_t - L_{tx} + G_t - L_p + G_r$
où :
- $P_{rx}$ : puissance reçue au niveau de l'UE (dBm)
- $P_t$ : puissance d'émission de l'eNodeB (dBm)
- $L_{tx}$ : pertes dans les câbles et connecteurs de l'émetteur (dB)
- $G_t$ : gain de l'antenne d'émission (dBi)
- $L_p$ : perte de propagation (dB)
- $G_r$ : gain de l'antenne de réception (dBi)
Pour garantir la liaison, la puissance reçue doit être au moins égale à la sensibilité du récepteur plus une marge de shadowing :
$P_{rx,min} = S_{rx} + M_{shadow}$
La perte de propagation maximale admissible est donc :
$L_{p,max} = P_t - L_{tx} + G_t + G_r - P_{rx,min}$
Étape 1 : Calcul de la puissance reçue minimale
$P_{rx,min} = S_{rx} + M_{shadow}$
$P_{rx,min} = -100 + 8$
$P_{rx,min} = -92 \\text{ dBm}$
Étape 2 : Application de la formule du bilan de liaison
$L_{p,max} = P_t - L_{tx} + G_t + G_r - P_{rx,min}$
$L_{p,max} = 46 - 3 + 18 + 0 - (-92)$
$L_{p,max} = 46 - 3 + 18 + 0 + 92$
$L_{p,max} = 153 \\text{ dB}$
Résultat : La perte de propagation maximale admissible est $L_{p,max} = 153$ dB. Cette valeur représente la perte totale que le signal peut subir tout en maintenant une qualité de réception acceptable au niveau de l'UE.
Question 2 : Détermination de la portée maximale dmax
Nous utilisons le modèle de propagation COST-231 Hata pour calculer la distance maximale :
$L_p(dB) = 46.3 + 33.9 \\log_{10}(f_{MHz}) - 13.82 \\log_{10}(h_b) + (44.9 - 6.55 \\log_{10}(h_b)) \\log_{10}(d_{km}) + C_m$
Nous devons résoudre cette équation pour $d_{km}$ en posant $L_p = L_{p,max} = 153$ dB.
Étape 1 : Calcul des termes constants
Terme 1 :
$33.9 \\log_{10}(2100) = 33.9 \\times 3.322 = 112.62 \\text{ dB}$
Terme 2 :
$13.82 \\log_{10}(30) = 13.82 \\times 1.477 = 20.41 \\text{ dB}$
Terme 3 (coefficient devant $\\log_{10}(d_{km})$) :
$A = 44.9 - 6.55 \\log_{10}(30) = 44.9 - 6.55 \\times 1.477$
$A = 44.9 - 9.67 = 35.23$
Étape 2 : Simplification de l'équation
$153 = 46.3 + 112.62 - 20.41 + 35.23 \\log_{10}(d_{km}) + 3$
$153 = 141.51 + 35.23 \\log_{10}(d_{km})$
$153 - 141.51 = 35.23 \\log_{10}(d_{km})$
$11.49 = 35.23 \\log_{10}(d_{km})$
Étape 3 : Résolution pour dkm
$\\log_{10}(d_{km}) = \\frac{11.49}{35.23}$
$\\log_{10}(d_{km}) = 0.326$
$d_{km} = 10^{0.326}$
$d_{km} = 2.12 \\text{ km}$
Résultat : La portée maximale de la cellule est $d_{max} = 2.12$ km. Cette distance garantit que tous les utilisateurs situés dans un rayon de $2.12$ km autour de l'eNodeB recevront un signal suffisant pour maintenir la connexion avec la qualité requise (SINR ≥ 10 dB).
Question 3 : Calcul du débit théorique maximal par utilisateur
Pour un système OFDMA comme LTE, le débit théorique est calculé en utilisant la formule de Shannon adaptée :
$C = B_{eff} \\times \\log_2(1 + SINR_{lineaire})$
où $B_{eff}$ est la bande passante effective allouée à l'utilisateur.
Étape 1 : Calcul de la bande passante effective
Chaque bloc de ressources (RB) contient $12$ sous-porteuses espacées de $\\Delta f = 15$ kHz. La bande passante d'un RB est donc :
$B_{RB} = 12 \\times 15 = 180 \\text{ kHz}$
Pour $N_{RB} = 50$ blocs de ressources alloués à l'utilisateur :
$B_{eff} = N_{RB} \\times B_{RB}$
$B_{eff} = 50 \\times 180 \\times 10^3$
$B_{eff} = 9 \\times 10^6 \\text{ Hz} = 9 \\text{ MHz}$
Étape 2 : Conversion du SINR en échelle linéaire
Le SINR en dB est donné par : $SINR_{dB} = 22$ dB
$SINR_{lineaire} = 10^{\\frac{SINR_{dB}}{10}}$
$SINR_{lineaire} = 10^{\\frac{22}{10}} = 10^{2.2}$
$SINR_{lineaire} = 158.49$
Étape 3 : Application de la formule de Shannon
$C = B_{eff} \\times \\log_2(1 + SINR_{lineaire})$
$C = 9 \\times 10^6 \\times \\log_2(1 + 158.49)$
$C = 9 \\times 10^6 \\times \\log_2(159.49)$
Sachant que $\\log_2(x) = \\frac{\\log_{10}(x)}{\\log_{10}(2)}$ :
$\\log_2(159.49) = \\frac{\\log_{10}(159.49)}{0.301} = \\frac{2.203}{0.301}$
$\\log_2(159.49) = 7.32$
$C = 9 \\times 10^6 \\times 7.32$
$C = 65.88 \\times 10^6 \\text{ bps}$
$C = 65.88 \\text{ Mbps}$
Résultat : Le débit théorique maximal par utilisateur est $C = 65.88$ Mbps. Ce débit représente la capacité théorique maximale basée sur la formule de Shannon, en pratique, le débit effectif sera légèrement inférieur en raison des overheads de protocole, de la signalisation, et de l'efficacité spectrale réelle des schémas de modulation et de codage utilisés.
", "id_category": "1", "id_number": "9" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Planification de capacité et efficacité spectrale dans un réseau 5G NR
Un opérateur télécoms planifie le déploiement d'un réseau 5G NR (New Radio) dans une zone suburbaine. Le système fonctionne dans la bande de fréquence $n78$ ($f = 3.5$ GHz) avec une largeur de bande totale de $B_{total} = 100$ MHz. La configuration OFDMA utilise un espacement entre sous-porteuses de $\\Delta f = 30$ kHz (numerology $\\mu = 1$). Chaque bloc de ressources (RB) contient toujours $12$ sous-porteuses, et la durée d'un slot est de $T_{slot} = 0.5$ ms.
Dans cette zone, une cellule sectorisée (3 secteurs par site) doit servir un trafic total estimé à $T_{total} = 2.5$ Gbps pendant l'heure de pointe. La station de base (gNodeB) utilise une configuration MIMO $4 \\times 4$ avec un gain de diversité spatiale de $\\eta_{MIMO} = 3.5$. L'efficacité spectrale moyenne mesurée dans le secteur est de $\\eta_{SE} = 4.2$ bps/Hz, tenant compte des conditions radio réelles, des interférences, et du mélange de modulations (de QPSK à 256-QAM).
La trame 5G NR utilise une structure TDD (Time Division Duplex) avec un ratio downlink/uplink de $80:20$, ce qui signifie que $80\\%$ du temps est dédié au downlink. Le taux d'utilisation des ressources radio (resource utilization) est estimé à $\\rho = 0.85$ en raison des overheads de signalisation, des canaux de contrôle, et des symboles de référence.
Question 1 : Calculer le nombre total de blocs de ressources (RB) disponibles dans la bande passante de $100$ MHz pour l'espacement de sous-porteuses de $30$ kHz.
Question 2 : Déterminer le débit théorique maximal par secteur (en Gbps) en tenant compte de l'efficacité spectrale, du ratio TDD, de l'utilisation des ressources, et du gain MIMO.
Question 3 : Calculer le nombre minimal de secteurs nécessaires pour satisfaire la demande de trafic de $2.5$ Gbps dans la zone considérée, et en déduire le nombre de sites (sachant que chaque site dispose de 3 secteurs).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'Exercice 2
Question 1 : Calcul du nombre total de blocs de ressources (RB)
Dans un système 5G NR utilisant OFDMA, chaque bloc de ressources (Resource Block - RB) est constitué de $12$ sous-porteuses consécutives dans le domaine fréquentiel. Le nombre total de RB dépend de la bande passante disponible et de l'espacement entre sous-porteuses.
La bande passante occupée par un bloc de ressources est :
$B_{RB} = 12 \\times \\Delta f$
où $\\Delta f$ est l'espacement entre sous-porteuses.
Le nombre total de blocs de ressources est alors :
$N_{RB} = \\frac{B_{total}}{B_{RB}} = \\frac{B_{total}}{12 \\times \\Delta f}$
Étape 1 : Calcul de la bande passante d'un RB
$B_{RB} = 12 \\times \\Delta f$
$B_{RB} = 12 \\times 30 \\times 10^3$
$B_{RB} = 360 \\times 10^3 \\text{ Hz} = 360 \\text{ kHz}$
Étape 2 : Conversion de la bande passante totale en Hz
$B_{total} = 100 \\text{ MHz} = 100 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
Étape 3 : Calcul du nombre de RB
$N_{RB} = \\frac{B_{total}}{B_{RB}}$
$N_{RB} = \\frac{100 \\times 10^6}{360 \\times 10^3}$
$N_{RB} = \\frac{100 \\times 10^3}{360}$
$N_{RB} = \\frac{100000}{360} = 277.78$
Comme le nombre de RB doit être un entier, on prend la partie entière :
$N_{RB} = 277 \\text{ blocs de ressources}$
Résultat : Le nombre total de blocs de ressources disponibles dans la bande passante de $100$ MHz avec un espacement de sous-porteuses de $30$ kHz est $N_{RB} = 277$ RB. Ces blocs de ressources constituent la grille de ressources temps-fréquence sur laquelle sont mappées les données utilisateur et les signaux de contrôle.
Question 2 : Débit théorique maximal par secteur
Le débit théorique maximal d'un secteur dans un réseau 5G NR dépend de plusieurs facteurs : la bande passante, l'efficacité spectrale, le gain MIMO, le ratio TDD (pour les systèmes en duplex temporel), et l'utilisation effective des ressources radio.
La formule générale du débit est :
$D_{secteur} = B_{total} \\times \\eta_{SE} \\times \\eta_{MIMO} \\times R_{TDD} \\times \\rho$
où :
- $B_{total}$ : bande passante totale allouée (Hz)
- $\\eta_{SE}$ : efficacité spectrale moyenne (bps/Hz)
- $\\eta_{MIMO}$ : gain de diversité spatiale du système MIMO
- $R_{TDD}$ : ratio de temps alloué au downlink dans la trame TDD
- $\\rho$ : taux d'utilisation des ressources radio (tenant compte des overheads)
Étape 1 : Identification des paramètres
$B_{total} = 100 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
$\\eta_{SE} = 4.2 \\text{ bps/Hz}$
$\\eta_{MIMO} = 3.5$
$R_{TDD} = 0.80 \\text{ (80% pour downlink)}$
$\\rho = 0.85$
Étape 2 : Application de la formule
$D_{secteur} = B_{total} \\times \\eta_{SE} \\times \\eta_{MIMO} \\times R_{TDD} \\times \\rho$
$D_{secteur} = 100 \\times 10^6 \\times 4.2 \\times 3.5 \\times 0.80 \\times 0.85$
$D_{secteur} = 100 \\times 10^6 \\times 4.2 \\times 3.5 \\times 0.68$
$D_{secteur} = 100 \\times 10^6 \\times 9.996$
$D_{secteur} = 999.6 \\times 10^6 \\text{ bps}$
$D_{secteur} = 999.6 \\text{ Mbps} \\approx 1.0 \\text{ Gbps}$
Résultat : Le débit théorique maximal par secteur est d'environ $D_{secteur} = 1.0$ Gbps. Ce débit représente la capacité maximale qu'un secteur peut offrir en downlink dans les conditions spécifiées, en tenant compte de tous les facteurs limitants (efficacité spectrale réelle, ratio TDD, overheads, et gain MIMO).
Question 3 : Nombre minimal de secteurs et de sites nécessaires
Pour satisfaire la demande de trafic total, nous devons déterminer combien de secteurs sont nécessaires, puis en déduire le nombre de sites sachant que chaque site comporte 3 secteurs.
Étape 1 : Calcul du nombre minimal de secteurs
Le nombre de secteurs nécessaires est donné par :
$N_{secteurs} = \\frac{T_{total}}{D_{secteur}}$
où $T_{total}$ est le trafic total à desservir et $D_{secteur}$ est le débit par secteur calculé précédemment.
Conversion du trafic total en Mbps :
$T_{total} = 2.5 \\text{ Gbps} = 2500 \\text{ Mbps}$
Débit par secteur (de la question 2) :
$D_{secteur} = 999.6 \\text{ Mbps}$
Application de la formule :
$N_{secteurs} = \\frac{2500}{999.6}$
$N_{secteurs} = 2.501$
Comme le nombre de secteurs doit être un entier et qu'on ne peut pas avoir de secteur partiel, on arrondit à l'entier supérieur :
$N_{secteurs} = 3 \\text{ secteurs}$
Étape 2 : Calcul du nombre de sites
Chaque site dispose de $3$ secteurs. Le nombre de sites nécessaires est :
$N_{sites} = \\frac{N_{secteurs}}{3}$
$N_{sites} = \\frac{3}{3}$
$N_{sites} = 1 \\text{ site}$
Résultat : Pour satisfaire la demande de trafic de $2.5$ Gbps, il faut au minimum $N_{secteurs} = 3$ secteurs, ce qui correspond à $N_{sites} = 1$ site (avec ses 3 secteurs). Cette configuration permet de couvrir exactement la demande de trafic. En pratique, l'opérateur devrait prévoir une marge de capacité supplémentaire pour faire face aux variations de trafic et à la croissance future, typiquement en déployant 1 à 2 sites supplémentaires pour garantir la qualité de service.
", "id_category": "1", "id_number": "10" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Analyse de la transition 3G vers 4G - Calcul de l'efficacité spectrale et de la capacité cellulaire
Un opérateur mobile exploite actuellement un réseau 3G HSPA+ (High Speed Packet Access Plus) et envisage une migration progressive vers la 4G LTE-Advanced. L'objectif est de comparer les performances des deux technologies pour justifier l'investissement. Les deux réseaux opèrent dans des bandes de fréquences différentes mais avec des conditions de propagation similaires.
Réseau 3G HSPA+ :
- Bande de fréquence : $f_{3G} = 2100$ MHz
- Largeur de bande par porteuse : $B_{3G} = 5$ MHz
- Technologie d'accès : W-CDMA (Wideband Code Division Multiple Access)
- Facteur d'étalement (spreading factor) : $SF = 16$
- Débit chip : $R_{chip} = 3.84$ Mcps (Mega chips per second)
- Efficacité de codage moyenne : $\\eta_{code,3G} = 0.75$
- Nombre maximum d'utilisateurs supportés simultanément par code : $K_{max} = 10$
Réseau 4G LTE-Advanced :
- Bande de fréquence : $f_{4G} = 1800$ MHz
- Largeur de bande totale : $B_{4G} = 20$ MHz
- Technologie d'accès : OFDMA
- Espacement entre sous-porteuses : $\\Delta f = 15$ kHz
- Nombre de sous-porteuses utilisables : $N_{SC} = 1200$
- Configuration MIMO : $2 \\times 2$ avec gain de multiplexage spatial : $\\eta_{MIMO} = 1.8$
- Efficacité spectrale moyenne : $\\eta_{SE,4G} = 3.8$ bps/Hz
- Overhead (signalisation, référence) : $\\alpha = 0.25$ (25%)
Les deux réseaux desservent une cellule avec un rayon de $R_{cell} = 1.5$ km et une densité d'utilisateurs actifs de $\\rho_{user} = 400$ utilisateurs/km². Chaque utilisateur nécessite un débit moyen de $D_{user} = 2$ Mbps pendant l'heure de pointe.
Question 1 : Calculer le débit maximum théorique par cellule (en Mbps) pour le réseau 3G HSPA+ en utilisant la formule $D_{3G} = \\frac{R_{chip}}{SF} \\times \\eta_{code,3G} \\times K_{max}$.
Question 2 : Calculer le débit maximum effectif par cellule (en Mbps) pour le réseau 4G LTE-Advanced en tenant compte du MIMO et de l'overhead, en utilisant la formule $D_{4G} = B_{4G} \\times \\eta_{SE,4G} \\times \\eta_{MIMO} \\times (1 - \\alpha)$.
Question 3 : Déterminer le nombre total d'utilisateurs actifs dans la cellule, puis calculer le facteur de charge (load factor) pour chaque technologie, défini par $F_{charge} = \\frac{N_{users} \\times D_{user}}{D_{cell}}$, où $N_{users}$ est le nombre d'utilisateurs, $D_{user}$ leur débit requis, et $D_{cell}$ le débit cellulaire. Conclure sur la capacité de chaque réseau à supporter la demande.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'Exercice 3
Question 1 : Calcul du débit maximum théorique pour le réseau 3G HSPA+
Dans un réseau 3G HSPA+ utilisant la technologie W-CDMA (Wideband Code Division Multiple Access), le débit maximum théorique par cellule dépend du débit chip, du facteur d'étalement (spreading factor), de l'efficacité de codage, et du nombre maximum d'utilisateurs supportés simultanément.
La formule du débit est :
$D_{3G} = \\frac{R_{chip}}{SF} \\times \\eta_{code,3G} \\times K_{max}$
où :
- $R_{chip}$ : débit chip (chips par seconde)
- $SF$ : facteur d'étalement (Spreading Factor)
- $\\eta_{code,3G}$ : efficacité de codage moyenne
- $K_{max}$ : nombre maximum d'utilisateurs supportés simultanément
Le rapport $\\frac{R_{chip}}{SF}$ représente le débit symbole par utilisateur avant codage. En multipliant par l'efficacité de codage et le nombre d'utilisateurs, on obtient le débit total de la cellule.
Étape 1 : Identification des paramètres
$R_{chip} = 3.84 \\text{ Mcps} = 3.84 \\times 10^6 \\text{ cps}$
$SF = 16$
$\\eta_{code,3G} = 0.75$
$K_{max} = 10$
Étape 2 : Calcul du débit symbole par utilisateur
$R_{symbole} = \\frac{R_{chip}}{SF}$
$R_{symbole} = \\frac{3.84 \\times 10^6}{16}$
$R_{symbole} = 0.24 \\times 10^6 = 240000 \\text{ symboles/s}$
Étape 3 : Application de la formule complète
$D_{3G} = R_{symbole} \\times \\eta_{code,3G} \\times K_{max}$
$D_{3G} = 240000 \\times 0.75 \\times 10$
$D_{3G} = 240000 \\times 7.5$
$D_{3G} = 1800000 \\text{ bps} = 1.8 \\times 10^6 \\text{ bps}$
$D_{3G} = 1.8 \\text{ Mbps}$
Résultat : Le débit maximum théorique par cellule pour le réseau 3G HSPA+ est $D_{3G} = 1.8$ Mbps. Cette valeur représente la capacité théorique totale de la cellule lorsque $10$ utilisateurs sont actifs simultanément, chacun utilisant un code d'étalement avec $SF = 16$. En pratique, ce débit peut varier en fonction des conditions radio et de la distribution des utilisateurs.
Question 2 : Calcul du débit maximum effectif pour le réseau 4G LTE-Advanced
Dans un réseau 4G LTE-Advanced utilisant OFDMA, le débit maximum effectif par cellule dépend de la bande passante, de l'efficacité spectrale, du gain MIMO, et doit être réduit par les overheads de signalisation et de référence.
La formule du débit est :
$D_{4G} = B_{4G} \\times \\eta_{SE,4G} \\times \\eta_{MIMO} \\times (1 - \\alpha)$
où :
- $B_{4G}$ : largeur de bande totale allouée (Hz)
- $\\eta_{SE,4G}$ : efficacité spectrale moyenne (bps/Hz)
- $\\eta_{MIMO}$ : gain de multiplexage spatial du système MIMO
- $\\alpha$ : fraction de ressources utilisée pour l'overhead (signalisation, canaux de référence)
- $(1 - \\alpha)$ : fraction de ressources disponibles pour les données utilisateur
Étape 1 : Identification des paramètres
$B_{4G} = 20 \\text{ MHz} = 20 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
$\\eta_{SE,4G} = 3.8 \\text{ bps/Hz}$
$\\eta_{MIMO} = 1.8$
$\\alpha = 0.25$
Étape 2 : Calcul de la fraction de ressources utiles
$1 - \\alpha = 1 - 0.25 = 0.75$
Étape 3 : Application de la formule
$D_{4G} = B_{4G} \\times \\eta_{SE,4G} \\times \\eta_{MIMO} \\times (1 - \\alpha)$
$D_{4G} = 20 \\times 10^6 \\times 3.8 \\times 1.8 \\times 0.75$
$D_{4G} = 20 \\times 10^6 \\times 3.8 \\times 1.35$
$D_{4G} = 20 \\times 10^6 \\times 5.13$
$D_{4G} = 102.6 \\times 10^6 \\text{ bps}$
$D_{4G} = 102.6 \\text{ Mbps}$
Résultat : Le débit maximum effectif par cellule pour le réseau 4G LTE-Advanced est $D_{4G} = 102.6$ Mbps. Cette valeur représente la capacité effective disponible pour les données utilisateur après prise en compte du gain MIMO et des overheads de signalisation. On constate que le débit 4G est environ $57$ fois supérieur au débit 3G, démontrant l'amélioration considérable apportée par la technologie LTE-Advanced.
Question 3 : Nombre d'utilisateurs actifs et facteur de charge
Pour évaluer la capacité de chaque réseau à supporter la demande, nous devons d'abord calculer le nombre total d'utilisateurs actifs dans la cellule, puis déterminer le facteur de charge qui indique si le réseau est saturé ou non.
Étape 1 : Calcul de la surface de la cellule
La cellule est circulaire avec un rayon $R_{cell} = 1.5$ km. Sa surface est :
$A_{cell} = \\pi R_{cell}^2$
$A_{cell} = \\pi \\times (1.5)^2$
$A_{cell} = \\pi \\times 2.25$
$A_{cell} = 7.07 \\text{ km}^2$
Étape 2 : Calcul du nombre total d'utilisateurs actifs
Avec une densité d'utilisateurs actifs de $\\rho_{user} = 400$ utilisateurs/km² :
$N_{users} = \\rho_{user} \\times A_{cell}$
$N_{users} = 400 \\times 7.07$
$N_{users} = 2828 \\text{ utilisateurs}$
Étape 3 : Calcul du débit total requis
Chaque utilisateur nécessite un débit moyen de $D_{user} = 2$ Mbps :
$D_{requis} = N_{users} \\times D_{user}$
$D_{requis} = 2828 \\times 2$
$D_{requis} = 5656 \\text{ Mbps}$
Étape 4 : Calcul du facteur de charge pour le réseau 3G
Le facteur de charge est défini par :
$F_{charge,3G} = \\frac{N_{users} \\times D_{user}}{D_{3G}}$
$F_{charge,3G} = \\frac{5656}{1.8}$
$F_{charge,3G} = 3142.22$
Étape 5 : Calcul du facteur de charge pour le réseau 4G
$F_{charge,4G} = \\frac{N_{users} \\times D_{user}}{D_{4G}}$
$F_{charge,4G} = \\frac{5656}{102.6}$
$F_{charge,4G} = 55.13$
Interprétation et conclusion :
Un facteur de charge $F_{charge} > 1$ indique que le réseau est saturé et ne peut pas supporter la demande.
- Réseau 3G HSPA+ : $F_{charge,3G} = 3142.22$. Ce facteur extrêmement élevé montre que le réseau 3G est complètement saturé. Il faudrait environ $3142$ cellules 3G pour satisfaire la demande de $2828$ utilisateurs simultanés avec $2$ Mbps chacun. Le réseau 3G est totalement inadapté à cette demande.
- Réseau 4G LTE-Advanced : $F_{charge,4G} = 55.13$. Ce facteur indique également une saturation importante. Il faudrait environ $55$ à $56$ cellules 4G pour satisfaire pleinement la demande. Bien que largement insuffisant avec une seule cellule, le réseau 4G offre une performance $57$ fois supérieure au 3G.
Conclusion : L'analyse démontre clairement la supériorité de la technologie 4G LTE-Advanced sur le 3G HSPA+ en termes de capacité cellulaire. Pour satisfaire la demande de $5656$ Mbps dans cette zone, l'opérateur devrait déployer un réseau dense avec environ $56$ cellules 4G ou plus de $3000$ cellules 3G, justifiant pleinement l'investissement dans la migration vers la 4G et anticipant le besoin futur de déploiement de la 5G pour des capacités encore plus élevées.
", "id_category": "1", "id_number": "11" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Analyse de la capacité et du bilan de liaison en UMTS (3G)
\n\nUn opérateur de télécommunications déploie un réseau UMTS dans une zone urbaine dense. La station de base (Node B) utilise une bande de fréquence de $5 MHz$ avec un facteur de réutilisation de fréquence égal à 1. Les paramètres du système sont les suivants :
\n\n- \n
- Débit chip : $R_c = 3.84$ Mchip/s \n
- Facteur d'étalement (Spreading Factor) pour la voix : $SF_{voix} = 128$ \n
- Facteur d'étalement pour les données : $SF_{données} = 32$ \n
- Rapport signal sur interférence plus bruit requis : $(E_b/N_0)_{requis} = 5$ dB pour la voix \n
- Facteur d'orthogonalité : $\\alpha = 0.6$ \n
- Facteur d'activité vocale : $\\nu = 0.5$ \n
- Marge d'interférence des autres cellules : $f = 0.55$ \n
Question 1 : Calculez le gain de traitement (Processing Gain) $G_p$ en dB pour un service de voix utilisant un facteur d'étalement de $128$.
\n\nQuestion 2 : Déterminez le nombre maximal d'utilisateurs simultanés $N_{max}$ que peut supporter une cellule pour le service vocal en considérant tous les facteurs du système (facteur d'orthogonalité, activité vocale, et interférence intercellulaire).
\n\nQuestion 3 : La puissance d'émission de la station de base est $P_{tx} = 43$ dBm. Les pertes de propagation sont modélisées par le modèle COST-231 Hata : $L_p = 130 + 35\\log_{10}(d)$ dB, où $d$ est la distance en km. Les pertes de pénétration dans les bâtiments sont de $15$ dB, le gain de l'antenne de réception est $G_r = 0$ dBi, et le gain de l'antenne d'émission est $G_t = 18$ dBi. La sensibilité du récepteur est $S_{rx} = -110$ dBm. Calculez la portée maximale $d_{max}$ de la cellule en km.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 1
\n\nQuestion 1 : Calcul du gain de traitement (Processing Gain)
\n\nLe gain de traitement représente le rapport entre le débit chip et le débit utilisateur. Il s'exprime par la relation suivante :
\n\nÉtape 1 : Formule générale
\nLe gain de traitement en unités linéaires est défini par :
\n$G_p = \\frac{R_c}{R_b} = SF$\n\noù $R_c$ est le débit chip, $R_b$ est le débit bit utilisateur, et $SF$ est le facteur d'étalement (Spreading Factor).
\n\nÉtape 2 : Application numérique
\nPour le service vocal avec $SF_{voix} = 128$ :
\n$G_p = SF_{voix} = 128$\n\nÉtape 3 : Conversion en dB
\nLa conversion en décibels s'effectue par :
\n$G_p(dB) = 10\\log_{10}(G_p)$\n\nDonc :
\n$G_p(dB) = 10\\log_{10}(128)$\n\nÉtape 4 : Calcul numérique
\n$G_p(dB) = 10 \\times 2.107 = 21.07 \\text{ dB}$\n\nRésultat final : Le gain de traitement pour le service vocal est $G_p = 21.07$ dB. Ce gain élevé permet au système CDMA de séparer efficacement les signaux des différents utilisateurs et de combattre les interférences.
\n\n\n\n
Question 2 : Calcul du nombre maximal d'utilisateurs simultanés
\n\nLe nombre maximal d'utilisateurs en liaison montante (uplink) dans un système CDMA est limité par les interférences intra-cellulaire et inter-cellulaire.
\n\nÉtape 1 : Formule générale de la capacité
\nLa capacité d'une cellule UMTS en liaison montante est donnée par la formule de pôle de capacité :
\n$N_{max} = 1 + \\frac{G_p}{(E_b/N_0)_{lin}} \\times \\frac{1}{1 + f} \\times \\alpha \\times \\nu$\n\noù :
\n- \n
- $G_p$ : gain de traitement (en linéaire) \n
- $(E_b/N_0)_{lin}$ : rapport signal sur bruit requis (en linéaire) \n
- $f$ : facteur d'interférence intercellulaire $(f = 0.55)$ \n
- $\\alpha$ : facteur d'orthogonalité $(0.6)$ \n
- $\\nu$ : facteur d'activité vocale $(0.5)$ \n
Étape 2 : Conversion de $E_b/N_0$ en linéaire
\n$(E_b/N_0)_{requis} = 5 \\text{ dB}$\n\nConversion en linéaire :
\n$(E_b/N_0)_{lin} = 10^{5/10} = 10^{0.5} = 3.162$\n\nÉtape 3 : Calcul de $G_p$ en linéaire
\n$G_p = 128$\n\nÉtape 4 : Application de la formule
\n$N_{max} = 1 + \\frac{128}{3.162} \\times \\frac{1}{1 + 0.55} \\times 0.6 \\times 0.5$\n\nÉtape 5 : Calculs intermédiaires
\n$\\frac{128}{3.162} = 40.48$\n\n$\\frac{1}{1 + 0.55} = \\frac{1}{1.55} = 0.645$\n\n$0.6 \\times 0.5 = 0.3$\n\nÉtape 6 : Calcul final
\n$N_{max} = 1 + 40.48 \\times 0.645 \\times 0.3$\n\n$N_{max} = 1 + 7.83 = 8.83$\n\nRésultat final : Le nombre maximal d'utilisateurs simultanés est $N_{max} \\approx 8$ utilisateurs par cellule pour le service vocal. Ce nombre relativement faible est dû aux fortes exigences en $E_b/N_0$, à l'interférence intercellulaire importante ($f = 0.55$) et au fait que le facteur d'orthogonalité n'est que $0.6$, ce qui signifie que $40\\%$ de l'interférence intra-cellulaire subsiste.
\n\n\n\n
Question 3 : Calcul de la portée maximale de la cellule
\n\nLe bilan de liaison permet de déterminer la portée maximale en équilibrant la puissance émise, les gains d'antennes, les pertes de propagation et la sensibilité du récepteur.
\n\nÉtape 1 : Équation du bilan de liaison
\nL'équation fondamentale du bilan de liaison est :
\n$P_{rx} = P_{tx} + G_t + G_r - L_p - L_{pénétration}$\n\nÀ la limite de couverture, la puissance reçue égale la sensibilité du récepteur :
\n$P_{rx} = S_{rx}$\n\nDonc :
\n$S_{rx} = P_{tx} + G_t + G_r - L_p - L_{pénétration}$\n\nÉtape 2 : Réarrangement pour trouver les pertes de propagation maximales
\n$L_p = P_{tx} + G_t + G_r - S_{rx} - L_{pénétration}$\n\nÉtape 3 : Remplacement des valeurs numériques
\nAvec $P_{tx} = 43$ dBm, $G_t = 18$ dBi, $G_r = 0$ dBi, $S_{rx} = -110$ dBm, $L_{pénétration} = 15$ dB :
\n\n$L_p = 43 + 18 + 0 - (-110) - 15$\n\nÉtape 4 : Calcul des pertes maximales
\n$L_p = 43 + 18 + 110 - 15 = 156 \\text{ dB}$\n\nÉtape 5 : Application du modèle de propagation COST-231 Hata
\nLe modèle donne :
\n$L_p = 130 + 35\\log_{10}(d)$\n\nOn résout pour $d$ :
\n$156 = 130 + 35\\log_{10}(d)$\n\n$35\\log_{10}(d) = 156 - 130 = 26$\n\n$\\log_{10}(d) = \\frac{26}{35} = 0.743$\n\nÉtape 6 : Calcul de la distance maximale
\n$d = 10^{0.743}$\n\n$d_{max} = 5.53 \\text{ km}$\n\nRésultat final : La portée maximale de la cellule est $d_{max} = 5.53$ km. Cette portée est cohérente avec un environnement urbain dense où les pertes de pénétration dans les bâtiments ($15$ dB) et les pertes de propagation importantes limitent la couverture. Pour étendre la couverture, l'opérateur pourrait augmenter la puissance d'émission, utiliser des antennes à gain plus élevé, ou installer des répéteurs.
", "id_category": "1", "id_number": "12" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Planification et performance du réseau LTE (4G)
\n\nUn opérateur mobile déploie un réseau LTE-Advanced dans une zone suburbaine. Le système utilise une bande de fréquence de $20 MHz$ en configuration FDD (Frequency Division Duplex) dans la bande $2.6 GHz$. Les paramètres techniques du réseau sont les suivants :
\n\n- \n
- Largeur de bande : $BW = 20$ MHz \n
- Configuration OFDMA : $2048$ sous-porteuses FFT \n
- Espacement entre sous-porteuses : $\\Delta f = 15$ kHz \n
- Nombre de sous-porteuses utilisées : $N_{RB} = 100$ Resource Blocks (RB) \n
- Chaque RB contient $12$ sous-porteuses sur $0.5$ ms \n
- Modulation maximale : $64-QAM$ ($6$ bits/symbole) \n
- Taux de codage : $R_c = 5/6$ \n
- Overhead (signalisation et pilotes) : $25\\%$ \n
- Configuration temporelle : $7$ symboles OFDM par slot \n
- Efficacité spectrale en liaison descendante : $3.6$ bit/s/Hz \n
Question 1 : Calculez le débit théorique maximal en liaison descendante (downlink) $D_{max}$ en Mbps pour un utilisateur utilisant tous les $100$ Resource Blocks avec la modulation $64-QAM$, en tenant compte du taux de codage et de l'overhead.
\n\nQuestion 2 : Dans une cellule, la charge du système est de $70\\%$. Le SINR (Signal to Interference plus Noise Ratio) moyen mesuré à la bordure de la cellule est de $2 dB$. En utilisant la formule de Shannon adaptée pour LTE, calculez le débit effectif moyen $D_{eff}$ en Mbps qu'un utilisateur peut obtenir à la bordure de la cellule, sachant qu'il se voit allouer $20\\%$ des ressources disponibles en moyenne.
\n\nQuestion 3 : L'eNodeB émet avec une puissance de $46 dBm$. La perte de propagation suit le modèle : $L_p(dB) = 128.1 + 37.6\\log_{10}(d)$, où $d$ est en km. Le gain de l'antenne eNodeB est $17 dBi$, le gain de l'antenne UE est $0 dBi$, les pertes de câbles sont $2 dB$, et la marge de fade est $8 dB$. Pour maintenir un SINR de $2 dB$ à la bordure de la cellule avec une densité de puissance de bruit de $N_0 = -174 dBm/Hz$ et une figure de bruit du récepteur de $F = 9 dB$, calculez le rayon maximal $R_{cell}$ de la cellule en km.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2
\n\nQuestion 1 : Calcul du débit théorique maximal en liaison descendante
\n\nLe débit théorique d'un système LTE dépend du nombre de Resource Blocks, de la modulation utilisée, du taux de codage et de l'overhead système.
\n\nÉtape 1 : Calcul du nombre de symboles OFDM par seconde
\nChaque slot dure $0.5$ ms et contient $7$ symboles OFDM. Une trame LTE de $1$ ms contient donc $2$ slots.
\n\nNombre de symboles par milliseconde :
\n$N_{symboles/ms} = 7 \\times 2 = 14 \\text{ symboles/ms}$\n\nNombre de symboles par seconde :
\n$N_{symboles/s} = 14 \\times 1000 = 14000 \\text{ symboles/s}$\n\nÉtape 2 : Calcul du nombre total d'éléments de ressource par seconde
\nAvec $100$ RB et $12$ sous-porteuses par RB :
\n$N_{sous-porteuses} = 100 \\times 12 = 1200 \\text{ sous-porteuses}$\n\nNombre total d'éléments de ressource (RE) par seconde :
\n$N_{RE/s} = N_{sous-porteuses} \\times N_{symboles/s}$\n\n$N_{RE/s} = 1200 \\times 14000 = 16800000 \\text{ RE/s}$\n\nÉtape 3 : Calcul du débit brut avec 64-QAM
\nLa modulation $64-QAM$ transporte $6$ bits par symbole (puisque $2^6 = 64$).
\n$D_{brut} = N_{RE/s} \\times 6 \\text{ bits/symbole}$\n\n$D_{brut} = 16800000 \\times 6 = 100800000 \\text{ bits/s} = 100.8 \\text{ Mbps}$\n\nÉtape 4 : Application du taux de codage
\nLe taux de codage de $5/6$ signifie que pour $6$ bits transmis, $5$ sont des données utiles.
\n$D_{codé} = D_{brut} \\times R_c = 100.8 \\times \\frac{5}{6}$\n\n$D_{codé} = 84 \\text{ Mbps}$\n\nÉtape 5 : Soustraction de l'overhead
\nL'overhead de $25\\%$ correspond à la signalisation, aux symboles pilotes et aux préfixes cycliques.
\n$D_{max} = D_{codé} \\times (1 - 0.25)$\n\n$D_{max} = 84 \\times 0.75 = 63 \\text{ Mbps}$\n\nRésultat final : Le débit théorique maximal en liaison descendante est $D_{max} = 63$ Mbps. Ce débit représente la capacité maximale qu'un seul utilisateur peut atteindre en utilisant toutes les ressources disponibles avec la meilleure modulation. En pratique, ce débit est partagé entre plusieurs utilisateurs selon l'algorithme de scheduling.
\n\n\n\n
Question 2 : Calcul du débit effectif moyen à la bordure de la cellule
\n\nÀ la bordure de la cellule, le SINR est faible, ce qui limite le débit selon la capacité de Shannon adaptée pour LTE.
\n\nÉtape 1 : Conversion du SINR en linéaire
\n$SINR_{dB} = 2 \\text{ dB}$\n\nConversion en linéaire :
\n$SINR_{lin} = 10^{SINR_{dB}/10} = 10^{2/10} = 10^{0.2} = 1.585$\n\nÉtape 2 : Application de la formule de Shannon
\nLa capacité théorique selon Shannon est :
\n$C = BW \\times \\log_2(1 + SINR)$\n\noù $BW = 20$ MHz est la largeur de bande totale.
\n\n$C = 20 \\times 10^6 \\times \\log_2(1 + 1.585)$\n\nÉtape 3 : Calcul du logarithme
\n$1 + SINR_{lin} = 1 + 1.585 = 2.585$\n\n$\\log_2(2.585) = \\frac{\\ln(2.585)}{\\ln(2)} = \\frac{0.950}{0.693} = 1.371$\n\nÉtape 4 : Calcul de la capacité théorique
\n$C = 20 \\times 10^6 \\times 1.371 = 27.42 \\times 10^6 \\text{ bits/s} = 27.42 \\text{ Mbps}$\n\nÉtape 5 : Application de la charge système
\nAvec une charge de $70\\%$, les ressources disponibles sont réduites. L'utilisateur reçoit $20\\%$ des ressources disponibles après application de la charge :
\n$\\text{Ressources disponibles} = 1 - 0.70 = 0.30$\n\n$\\text{Ressources allouées} = 0.30 \\times 0.20 = 0.06$\n\nÉtape 6 : Calcul du débit effectif
\n$D_{eff} = C \\times 0.06$\n\n$D_{eff} = 27.42 \\times 0.06 = 1.645 \\text{ Mbps}$\n\nRésultat final : Le débit effectif moyen à la bordure de la cellule est $D_{eff} = 1.645$ Mbps (environ $1.65$ Mbps). Ce débit relativement faible est caractéristique des utilisateurs en bordure de cellule qui subissent un SINR dégradé dû aux interférences intercellulaires et à l'affaiblissement du signal. Dans un réseau réel, des techniques comme le Coordinated Multi-Point (CoMP) ou l'Inter-Cell Interference Coordination (ICIC) sont utilisées pour améliorer les performances des utilisateurs en bordure de cellule.
\n\n\n\n
Question 3 : Calcul du rayon maximal de la cellule
\n\nLe rayon de la cellule est déterminé par le bilan de liaison en tenant compte de la puissance d'émission, des gains d'antenne, du bruit et du SINR minimum requis.
\n\nÉtape 1 : Calcul de la puissance de bruit
\nLa puissance de bruit thermique est donnée par :
\n$N = N_0 + 10\\log_{10}(BW) + F$\n\noù $N_0 = -174$ dBm/Hz est la densité spectrale de puissance de bruit, $BW = 20$ MHz $= 20 \\times 10^6$ Hz, et $F = 9$ dB est la figure de bruit.
\n\nÉtape 2 : Calcul de $10\\log_{10}(BW)$
\n$10\\log_{10}(20 \\times 10^6) = 10\\log_{10}(2 \\times 10^7)$\n\n$= 10(\\log_{10}(2) + 7) = 10(0.301 + 7) = 10 \\times 7.301 = 73.01 \\text{ dB}$\n\nÉtape 3 : Calcul de la puissance de bruit totale
\n$N = -174 + 73.01 + 9$\n\n$N = -91.99 \\text{ dBm} \\approx -92 \\text{ dBm}$\n\nÉtape 4 : Calcul de la puissance de signal minimale requise
\nPour maintenir un SINR de $2$ dB :
\n$SINR = S - N$\n\noù $S$ est la puissance du signal reçu. Donc :
\n$S = SINR + N = 2 + (-92) = -90 \\text{ dBm}$\n\nÉtape 5 : Équation du bilan de liaison
\nL'équation du bilan de liaison est :
\n$S = P_{tx} + G_t - L_{câbles} + G_r - L_p - M_{fade}$\n\noù $L_p$ est la perte de propagation et $M_{fade}$ est la marge de fade.
\n\nRéarrangement pour trouver $L_p$ :
\n$L_p = P_{tx} + G_t - L_{câbles} + G_r - S - M_{fade}$\n\nÉtape 6 : Remplacement des valeurs numériques
\nAvec $P_{tx} = 46$ dBm, $G_t = 17$ dBi, $L_{câbles} = 2$ dB, $G_r = 0$ dBi, $S = -90$ dBm, $M_{fade} = 8$ dB :
\n\n$L_p = 46 + 17 - 2 + 0 - (-90) - 8$\n\n$L_p = 46 + 17 - 2 + 90 - 8 = 143 \\text{ dB}$\n\nÉtape 7 : Application du modèle de propagation
\nLe modèle donne :
\n$L_p = 128.1 + 37.6\\log_{10}(d)$\n\nOn résout pour $d$ :
\n$143 = 128.1 + 37.6\\log_{10}(d)$\n\n$37.6\\log_{10}(d) = 143 - 128.1 = 14.9$\n\n$\\log_{10}(d) = \\frac{14.9}{37.6} = 0.396$\n\nÉtape 8 : Calcul du rayon de la cellule
\n$d = 10^{0.396}$\n\n$R_{cell} = 2.49 \\text{ km}$\n\nRésultat final : Le rayon maximal de la cellule est $R_{cell} = 2.49$ km (environ $2.5$ km). Cette portée est typique pour un environnement suburbain en bande $2.6$ GHz. La limitation principale provient du SINR minimal requis de $2$ dB à la bordure de la cellule. Pour étendre la couverture, l'opérateur pourrait augmenter la puissance d'émission, réduire la marge de fade si les conditions de propagation sont stables, ou utiliser des antennes à gain plus élevé.
", "id_category": "1", "id_number": "13" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Analyse du bilan de liaison (Link Budget) d'une liaison 5G NR en bande millimétrique
Un opérateur déploie un réseau 5G NR utilisant la bande de fréquence $26 \\text{ GHz}$ (bande millimétrique) pour offrir des débits très élevés dans une zone urbaine. L'ingénieur réseau doit effectuer le bilan de liaison pour dimensionner correctement la couverture.
Paramètres du système 5G NR :
- Fréquence porteuse : $f = 26 \\text{ GHz}$
- Puissance d'émission de la station de base (gNB) : $P_{TX} = 40 \\text{ dBm}$
- Gain de l'antenne du gNB : $G_{TX} = 25 \\text{ dBi}$
- Gain de l'antenne du terminal (UE) : $G_{RX} = 8 \\text{ dBi}$
- Pertes dans les câbles et connecteurs (TX) : $L_{cable\\_TX} = 3 \\text{ dB}$
- Pertes dans les câbles et connecteurs (RX) : $L_{cable\\_RX} = 2 \\text{ dB}$
- Marge d'évanouissement (fading margin) : $M_{fading} = 8 \\text{ dB}$
- Sensibilité du récepteur : $S_{RX} = -95 \\text{ dBm}$
- Distance entre le gNB et l'UE : $d = 200 \\text{ m}$
- Vitesse de la lumière : $c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
Question 1 : Calculer la longueur d'onde $\\lambda$ du signal 5G à $26 \\text{ GHz}$, puis déterminer les pertes de propagation en espace libre (Free Space Path Loss - FSPL) pour une distance de $200 \\text{ m}$.
Question 2 : Calculer la puissance reçue au niveau du terminal (UE) en tenant compte de la puissance d'émission, des gains d'antennes, des pertes dans les câbles, et des pertes de propagation.
Question 3 : Déterminer la marge du système (System Margin) et vérifier si la liaison est viable en comparant la puissance reçue avec la sensibilité du récepteur, en tenant compte de la marge d'évanouissement.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2 :
Question 1 : Calcul de la longueur d'onde et des pertes en espace libre (FSPL)
Partie A : Calcul de la longueur d'onde $\\lambda$
La longueur d'onde est liée à la fréquence par la relation fondamentale de propagation des ondes électromagnétiques.
Formule générale :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
Avec :
- $c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$ (vitesse de la lumière)
- $f = 26 \\text{ GHz} = 26 \\times 10^9 \\text{ Hz}$
Remplacement des données :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{26 \\times 10^9}$
Calcul :
$\\lambda = \\frac{3}{26} \\times 10^{-1} = 0.1154 \\times 10^{-1} = 0.01154 \\text{ m}$
$\\lambda = 1.154 \\times 10^{-2} \\text{ m} = 11.54 \\text{ mm}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{\\lambda = 11.54 \\text{ mm}}$
Cette courte longueur d'onde caractérise les ondes millimétriques, d'où le nom de \"bande millimétrique\" pour les fréquences 5G au-dessus de $24 \\text{ GHz}$.
Partie B : Calcul des pertes de propagation en espace libre (FSPL)
Le FSPL représente l'atténuation du signal dans un environnement idéal sans obstacles.
Formule générale en dB :
$\\text{FSPL}_{(dB)} = 20\\log_{10}(d) + 20\\log_{10}(f) + 20\\log_{10}\\left(\\frac{4\\pi}{c}\\right)$
Ou plus simplement :
$\\text{FSPL}_{(dB)} = 32.45 + 20\\log_{10}(d_{km}) + 20\\log_{10}(f_{MHz})$
Avec :
- $d = 200 \\text{ m} = 0.2 \\text{ km}$
- $f = 26 \\text{ GHz} = 26\\,000 \\text{ MHz}$
Remplacement des données :
$\\text{FSPL}_{(dB)} = 32.45 + 20\\log_{10}(0.2) + 20\\log_{10}(26\\,000)$
Calcul des termes logarithmiques :
$\\log_{10}(0.2) = \\log_{10}\\left(\\frac{2}{10}\\right) = \\log_{10}(2) - 1 \\approx 0.301 - 1 = -0.699$
$\\log_{10}(26\\,000) = \\log_{10}(2.6 \\times 10^4) = \\log_{10}(2.6) + 4 \\approx 0.415 + 4 = 4.415$
Calcul final :
$\\text{FSPL}_{(dB)} = 32.45 + 20 \\times (-0.699) + 20 \\times 4.415$
$\\text{FSPL}_{(dB)} = 32.45 - 13.98 + 88.30 = 106.77 \\text{ dB}$
Résultat final :
$\\boxed{\\text{FSPL} = 106.77 \\text{ dB}}$
Ces pertes élevées en bande millimétrique expliquent pourquoi la 5G à $26 \\text{ GHz}$ nécessite un déploiement dense de stations de base avec des portées limitées.
Question 2 : Calcul de la puissance reçue $P_{RX}$
La puissance reçue est calculée en utilisant l'équation du bilan de liaison qui prend en compte tous les gains et pertes du système.
Formule générale :
$P_{RX} = P_{TX} + G_{TX} - L_{cable\\_TX} - \\text{FSPL} + G_{RX} - L_{cable\\_RX}$
Avec les valeurs en dBm et dB :
- $P_{TX} = 40 \\text{ dBm}$
- $G_{TX} = 25 \\text{ dBi}$
- $L_{cable\\_TX} = 3 \\text{ dB}$
- $\\text{FSPL} = 106.77 \\text{ dB}$
- $G_{RX} = 8 \\text{ dBi}$
- $L_{cable\\_RX} = 2 \\text{ dB}$
Remplacement des données :
$P_{RX} = 40 + 25 - 3 - 106.77 + 8 - 2$
Calcul étape par étape :
$P_{RX} = 40 + 25 = 65 \\text{ dBm}$
$P_{RX} = 65 - 3 = 62 \\text{ dBm}$
$P_{RX} = 62 - 106.77 = -44.77 \\text{ dBm}$
$P_{RX} = -44.77 + 8 = -36.77 \\text{ dBm}$
$P_{RX} = -36.77 - 2 = -38.77 \\text{ dBm}$
Résultat final :
$\\boxed{P_{RX} = -38.77 \\text{ dBm}}$
La puissance reçue au niveau de l'UE est de $-38.77 \\text{ dBm}$, ce qui est significativement supérieur à la sensibilité du récepteur de $-95 \\text{ dBm}$, indiquant une liaison potentiellement viable.
Question 3 : Détermination de la marge du système
La marge du système représente la différence entre la puissance reçue et la sensibilité minimale requise, en tenant compte de la marge d'évanouissement nécessaire pour compenser les variations du signal.
Formule générale :
$\\text{Marge}_{système} = P_{RX} - S_{RX} - M_{fading}$
Avec :
- $P_{RX} = -38.77 \\text{ dBm}$
- $S_{RX} = -95 \\text{ dBm}$
- $M_{fading} = 8 \\text{ dB}$
Remplacement des données :
$\\text{Marge}_{système} = (-38.77) - (-95) - 8$
Calcul :
$\\text{Marge}_{système} = -38.77 + 95 - 8$
$\\text{Marge}_{système} = 56.23 - 8 = 48.23 \\text{ dB}$
Résultat final :
$\\boxed{\\text{Marge}_{système} = 48.23 \\text{ dB}}$
Analyse de viabilité de la liaison :
Une marge système positive de $48.23 \\text{ dB}$ indique que la liaison est largement viable. Cette marge confortable permet de compenser :
- Les variations dues à l'évanouissement rapide (fast fading)
- Les pertes supplémentaires dues aux obstacles (bâtiments, arbres)
- Les conditions météorologiques défavorables (pluie qui atténue fortement les signaux millimétriques)
- Les interférences et le bruit du système
Avec une telle marge, le système peut maintenir une connexion stable même dans des conditions non-idéales. Pour la 5G en bande millimétrique, une marge de $15-20 \\text{ dB}$ est généralement considérée comme acceptable, donc $48.23 \\text{ dB}$ offre une excellente réserve de puissance pour garantir la qualité de service.
", "id_category": "1", "id_number": "14" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Planification spectrale et capacité d'un système 5G NR avec différentes numérologies
Un opérateur 5G planifie le déploiement d'un réseau utilisant la technologie 5G New Radio (NR) avec la bande de fréquence $3.5 \\text{ GHz}$. La technologie 5G NR introduit le concept de numérologie flexible, permettant d'adapter l'espacement des sous-porteuses selon les besoins de latence et de couverture. L'opérateur doit analyser deux configurations de numérologie pour optimiser les performances.
Paramètres du système 5G NR :
- Bande passante allouée : $B = 100 \\text{ MHz}$
- Configuration MIMO : $4 \\times 4$ (4 flux spatiaux)
- Modulation : 256-QAM ($8 \\text{ bits/symbole}$)
- Taux de codage : $r = 5/6 \\approx 0.833$
- Overhead total du système : $25\\%$
Numérologie 1 ($\\mu = 1$) :
- Espacement des sous-porteuses : $\\Delta f_1 = 30 \\text{ kHz}$
- Durée d'un symbole OFDM : $T_{symbole\\_1} = 33.33 \\text{ μs}$
- Nombre de symboles par slot : $14$
Numérologie 2 ($\\mu = 2$) :
- Espacement des sous-porteuses : $\\Delta f_2 = 60 \\text{ kHz}$
- Durée d'un symbole OFDM : $T_{symbole\\_2} = 16.67 \\text{ μs}$
- Nombre de symboles par slot : $14$
Question 1 : Pour chaque numérologie, calculer le nombre de sous-porteuses disponibles dans la bande passante de $100 \\text{ MHz}$, sachant qu'environ $10\\%$ de la bande est utilisée pour les bandes de garde.
Question 2 : Pour la numérologie 1 ($\\Delta f = 30 \\text{ kHz}$), calculer le débit crête théorique en considérant la configuration MIMO $4 \\times 4$, la modulation 256-QAM, et le taux de codage de $5/6$.
Question 3 : En tenant compte de l'overhead de $25\\%$, déterminer le débit utile pour chacune des deux numérologies et calculer le rapport de capacité entre la numérologie 2 et la numérologie 1. Expliquer quelle numérologie serait préférable pour des applications nécessitant une faible latence.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 3 :
Question 1 : Calcul du nombre de sous-porteuses pour chaque numérologie
La bande passante disponible pour les sous-porteuses est réduite de $10\\%$ en raison des bandes de garde nécessaires pour éviter les interférences avec les canaux adjacents.
Étape préliminaire : Calcul de la bande passante utile
Formule générale :
$B_{utile} = B \\times (1 - 0.10)$
Avec :
- $B = 100 \\text{ MHz}$
Remplacement des données :
$B_{utile} = 100 \\times 0.90 = 90 \\text{ MHz}$
Numérologie 1 ($\\mu = 1$, $\\Delta f_1 = 30 \\text{ kHz}$) :
Le nombre de sous-porteuses est obtenu en divisant la bande passante utile par l'espacement des sous-porteuses.
Formule générale :
$N_{SC\\_1} = \\frac{B_{utile}}{\\Delta f_1}$
Avec :
- $B_{utile} = 90 \\text{ MHz} = 90 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
- $\\Delta f_1 = 30 \\text{ kHz} = 30 \\times 10^3 \\text{ Hz}$
Remplacement des données :
$N_{SC\\_1} = \\frac{90 \\times 10^6}{30 \\times 10^3}$
Calcul :
$N_{SC\\_1} = \\frac{90}{30} \\times 10^{6-3} = 3 \\times 10^3 = 3\\,000$
Résultat pour Numérologie 1 :
$\\boxed{N_{SC\\_1} = 3\\,000 \\text{ sous-porteuses}}$
Numérologie 2 ($\\mu = 2$, $\\Delta f_2 = 60 \\text{ kHz}$) :
Formule générale :
$N_{SC\\_2} = \\frac{B_{utile}}{\\Delta f_2}$
Avec :
- $B_{utile} = 90 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
- $\\Delta f_2 = 60 \\text{ kHz} = 60 \\times 10^3 \\text{ Hz}$
Remplacement des données :
$N_{SC\\_2} = \\frac{90 \\times 10^6}{60 \\times 10^3}$
Calcul :
$N_{SC\\_2} = \\frac{90}{60} \\times 10^3 = 1.5 \\times 10^3 = 1\\,500$
Résultat pour Numérologie 2 :
$\\boxed{N_{SC\\_2} = 1\\,500 \\text{ sous-porteuses}}$
Interprétation : La numérologie 1 offre deux fois plus de sous-porteuses que la numérologie 2, ce qui permet une meilleure granularité de l'allocation des ressources et potentiellement une efficacité spectrale supérieure.
Question 2 : Calcul du débit crête pour la Numérologie 1
Le débit crête dépend du nombre de bits transmis par unité de temps, en tenant compte de tous les paramètres du système.
Étape 1 : Calcul de la durée d'un slot
Un slot en 5G NR contient $14$ symboles OFDM.
Formule générale :
$T_{slot} = N_{symboles} \\times T_{symbole}$
Avec :
- $N_{symboles} = 14$
- $T_{symbole\\_1} = 33.33 \\text{ μs} = 33.33 \\times 10^{-6} \\text{ s}$
Remplacement des données :
$T_{slot} = 14 \\times 33.33 \\times 10^{-6}$
Calcul :
$T_{slot} = 466.62 \\times 10^{-6} \\text{ s} = 0.466\\,62 \\text{ ms}$
Étape 2 : Calcul du nombre de bits par slot
Formule générale :
$\\text{Bits/slot} = N_{SC} \\times N_{symboles} \\times \\text{bits/symbole} \\times N_{flux} \\times r$
Avec :
- $N_{SC} = 3\\,000$
- $N_{symboles} = 14$
- $\\text{bits/symbole} = 8$ (256-QAM)
- $N_{flux} = 4$ (MIMO $4 \\times 4$)
- $r = 5/6 \\approx 0.833$
Remplacement des données :
$\\text{Bits/slot} = 3\\,000 \\times 14 \\times 8 \\times 4 \\times 0.833$
Calcul étape par étape :
$3\\,000 \\times 14 = 42\\,000$
$42\\,000 \\times 8 = 336\\,000$
$336\\,000 \\times 4 = 1\\,344\\,000$
$1\\,344\\,000 \\times 0.833 = 1\\,119\\,552 \\text{ bits}$
Étape 3 : Calcul du débit crête
Formule générale :
$D_{crête} = \\frac{\\text{Bits/slot}}{T_{slot}}$
Remplacement des données :
$D_{crête} = \\frac{1\\,119\\,552}{466.62 \\times 10^{-6}}$
Calcul :
$D_{crête} = \\frac{1\\,119\\,552}{0.000\\,466\\,62} = 2\\,399.14 \\times 10^6 \\text{ bps}$
$D_{crête} = 2\\,399.14 \\text{ Mbps} \\approx 2.4 \\text{ Gbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{crête} = 2\\,399.14 \\text{ Mbps} = 2.4 \\text{ Gbps}}$
Ce débit crête théorique impressionnant démontre les capacités de la 5G avec une configuration avancée MIMO $4 \\times 4$ et la modulation 256-QAM.
Question 3 : Calcul des débits utiles et comparaison des numérologies
Partie A : Débit utile pour Numérologie 1
L'overhead de $25\\%$ réduit le débit disponible pour les données utilisateur.
Formule générale :
$D_{utile\\_1} = D_{crête\\_1} \\times (1 - \\text{Overhead})$
Avec :
- $D_{crête\\_1} = 2\\,399.14 \\text{ Mbps}$
- $\\text{Overhead} = 0.25$
Remplacement des données :
$D_{utile\\_1} = 2\\,399.14 \\times 0.75$
Calcul :
$D_{utile\\_1} = 1\\,799.36 \\text{ Mbps} \\approx 1.8 \\text{ Gbps}$
Résultat Numérologie 1 :
$\\boxed{D_{utile\\_1} = 1\\,799.36 \\text{ Mbps}}$
Partie B : Débit utile pour Numérologie 2
Pour la numérologie 2, bien que l'espacement des sous-porteuses soit doublé ($60 \\text{ kHz}$), le nombre de symboles par unité de temps est également doublé car les symboles sont deux fois plus courts.
Le débit crête de la numérologie 2 peut être calculé proportionnellement :
Formule générale :
$D_{crête\\_2} = D_{crête\\_1} \\times \\frac{N_{SC\\_2}}{N_{SC\\_1}} \\times \\frac{T_{symbole\\_1}}{T_{symbole\\_2}}$
Avec :
- $N_{SC\\_2} = 1\\,500$
- $N_{SC\\_1} = 3\\,000$
- $T_{symbole\\_1} = 33.33 \\text{ μs}$
- $T_{symbole\\_2} = 16.67 \\text{ μs}$
Remplacement des données :
$D_{crête\\_2} = 2\\,399.14 \\times \\frac{1\\,500}{3\\,000} \\times \\frac{33.33}{16.67}$
Calcul :
$D_{crête\\_2} = 2\\,399.14 \\times 0.5 \\times 2.0 = 2\\,399.14 \\text{ Mbps}$
Le débit crête reste identique car le doublement de la vitesse de symbole compense exactement la réduction du nombre de sous-porteuses.
Débit utile pour Numérologie 2 :
$D_{utile\\_2} = 2\\,399.14 \\times 0.75 = 1\\,799.36 \\text{ Mbps}$
Résultat Numérologie 2 :
$\\boxed{D_{utile\\_2} = 1\\,799.36 \\text{ Mbps}}$
Partie C : Rapport de capacité
Formule générale :
$\\text{Rapport} = \\frac{D_{utile\\_2}}{D_{utile\\_1}}$
Calcul :
$\\text{Rapport} = \\frac{1\\,799.36}{1\\,799.36} = 1.0$
Résultat final :
$\\boxed{\\text{Rapport de capacité} = 1.0}$
Interprétation et choix de numérologie :
Bien que les deux numérologies offrent la même capacité théorique, la Numérologie 2 ($\\Delta f = 60 \\text{ kHz}$) serait préférable pour les applications nécessitant une faible latence pour les raisons suivantes :
- Symboles plus courts : $16.67 \\text{ μs}$ au lieu de $33.33 \\text{ μs}$, réduisant le délai de transmission de moitié
- Slots plus courts : $0.25 \\text{ ms}$ au lieu de $0.5 \\text{ ms}$, permettant une réaction plus rapide du système
- Idéal pour URLLC (Ultra-Reliable Low-Latency Communications) : communications critiques comme les véhicules autonomes, chirurgie à distance, contrôle industriel
- Meilleure robustesse au Doppler : l'espacement plus large des sous-porteuses tolère mieux les hautes vitesses de déplacement
La Numérologie 1 resterait préférable pour les applications de type eMBB (enhanced Mobile Broadband) où la capacité maximale est prioritaire sur la latence, ou dans des environnements avec contraintes de couverture étendue.
", "id_category": "1", "id_number": "15" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Dimensionnement d'une liaison LTE-Advanced (4G) avec MIMO
Un opérateur mobile déploie un réseau LTE-Advanced dans une zone urbaine dense. La station de base (eNodeB) utilise une configuration MIMO $4 \\times 4$ avec une modulation 64-QAM. La bande passante allouée est de $20 \\text{ MHz}$ et le système opère dans la bande de fréquence $2.6 \\text{ GHz}$.
Question 1 : Calculer le débit théorique maximal (en Mbps) de la liaison descendante sachant que :
- Chaque symbole 64-QAM transporte $6$ bits
- Le nombre de Resource Blocks (RB) disponibles pour $20 \\text{ MHz}$ est $100$
- Chaque RB contient $12$ sous-porteuses sur $7$ symboles OFDM par slot
- La durée d'une trame LTE est $1 \\text{ ms}$ contenant $2$ slots
Question 2 : En tenant compte d'un overhead (surcharge) de $25\\%$ dû aux signaux de référence, à la signalisation (PDCCH, PBCH) et au codage canal, calculer le débit utile réel (en Mbps) disponible pour les données utilisateur.
Question 3 : Si la puissance d'émission de l'eNodeB est $P_e = 46 \\text{ dBm}$, le gain d'antenne émettrice est $G_e = 18 \\text{ dBi}$, le gain d'antenne réceptrice est $G_r = 0 \\text{ dBi}$, et la distance entre l'eNodeB et l'équipement utilisateur (UE) est $d = 500 \\text{ m}$, calculer la puissance reçue $P_r$ en dBm en utilisant la formule de Friis. (Négliger les pertes supplémentaires)
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul du débit théorique maximal
Le débit théorique en LTE-Advanced dépend du nombre de ressources disponibles, de la modulation utilisée et de la configuration MIMO.
Étape 1 : Calcul du nombre total d'éléments de ressource (RE) par trame
Chaque Resource Block (RB) contient :
Nombre de RE par RB = $12 \\text{ sous-porteuses} \\times 7 \\text{ symboles OFDM/slot} \\times 2 \\text{ slots}$
Formule générale :
$\\text{RE par RB} = 12 \\times 7 \\times 2 = 168 \\text{ RE}$
Pour $100$ RB disponibles :
$\\text{RE total par trame} = 168 \\times 100 = 16800 \\text{ RE}$
Étape 2 : Calcul du nombre de bits par RE
Avec une modulation 64-QAM, chaque symbole transporte $6$ bits (car $2^6 = 64$).
$\\text{Bits par RE} = 6 \\text{ bits}$
Étape 3 : Calcul du débit théorique pour une antenne
Formule générale du débit :
$D_{\\text{théo}} = \\frac{\\text{RE total} \\times \\text{Bits par RE}}{\\text{Durée trame}}$
Remplacement des valeurs :
$D_{\\text{théo}} = \\frac{16800 \\times 6}{1 \\times 10^{-3}}$
Calcul :
$D_{\\text{théo}} = \\frac{100800}{0.001} = 100.8 \\times 10^6 \\text{ bits/s}$
$D_{\\text{théo}} = 100.8 \\text{ Mbps}$
Étape 4 : Application du facteur MIMO $4 \\times 4$
Avec une configuration MIMO $4 \\times 4$, le débit est multiplié par le nombre de couches spatiales ($4$) :
$D_{\\text{max}} = D_{\\text{théo}} \\times 4$
$D_{\\text{max}} = 100.8 \\times 4$
$D_{\\text{max}} = 403.2 \\text{ Mbps}$
Résultat final : Le débit théorique maximal est de $403.2 \\text{ Mbps}$.
Question 2 : Calcul du débit utile réel
Le débit utile prend en compte l'overhead (surcharge) du système qui représente $25\\%$ des ressources utilisées pour la signalisation et les signaux de référence.
Formule générale :
$D_{\\text{utile}} = D_{\\text{max}} \\times (1 - \\text{Overhead})$
Remplacement des valeurs :
$D_{\\text{utile}} = 403.2 \\times (1 - 0.25)$
Calcul :
$D_{\\text{utile}} = 403.2 \\times 0.75$
$D_{\\text{utile}} = 302.4 \\text{ Mbps}$
Résultat final : Le débit utile réel disponible pour les données utilisateur est de $302.4 \\text{ Mbps}$.
Cette valeur représente la capacité effective du canal pour transmettre des données utilisateur après déduction de toutes les surcharges système nécessaires au bon fonctionnement du réseau LTE.
Question 3 : Calcul de la puissance reçue avec la formule de Friis
La formule de Friis en espace libre permet de calculer la puissance reçue en fonction de la distance et de la fréquence.
Formule générale en échelle logarithmique (dBm) :
$P_r = P_e + G_e + G_r - L_{\\text{espace}}$
où $L_{\\text{espace}}$ est l'affaiblissement en espace libre donné par :
$L_{\\text{espace}} = 20\\log_{10}(d) + 20\\log_{10}(f) + 20\\log_{10}\\left(\\frac{4\\pi}{c}\\right)$
ou de manière simplifiée :
$L_{\\text{espace}} = 32.45 + 20\\log_{10}(f_{\\text{MHz}}) + 20\\log_{10}(d_{\\text{km}})$
Étape 1 : Conversion des unités
$f = 2.6 \\text{ GHz} = 2600 \\text{ MHz}$
$d = 500 \\text{ m} = 0.5 \\text{ km}$
Étape 2 : Calcul de l'affaiblissement en espace libre
$L_{\\text{espace}} = 32.45 + 20\\log_{10}(2600) + 20\\log_{10}(0.5)$
Calcul des logarithmes :
$\\log_{10}(2600) = 3.415$
$\\log_{10}(0.5) = -0.301$
Remplacement :
$L_{\\text{espace}} = 32.45 + 20 \\times 3.415 + 20 \\times (-0.301)$
$L_{\\text{espace}} = 32.45 + 68.3 - 6.02$
$L_{\\text{espace}} = 94.73 \\text{ dB}$
Étape 3 : Calcul de la puissance reçue
Formule :
$P_r = P_e + G_e + G_r - L_{\\text{espace}}$
Remplacement des valeurs :
$P_r = 46 + 18 + 0 - 94.73$
Calcul :
$P_r = 64 - 94.73$
$P_r = -30.73 \\text{ dBm}$
Résultat final : La puissance reçue au niveau de l'équipement utilisateur est de $-30.73 \\text{ dBm}$.
Cette valeur est suffisante pour une bonne qualité de réception en LTE, sachant que la sensibilité typique d'un récepteur LTE se situe entre $-95 \\text{ dBm}$ et $-110 \\text{ dBm}$ selon la modulation utilisée.
", "id_category": "1", "id_number": "16" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Planification spectrale et capacité d'un réseau 5G NR
Un opérateur déploie un réseau 5G New Radio (NR) dans la bande mid-band $3.5 \\text{ GHz}$. Le système utilise une numérologie $\\mu = 1$ (subcarrier spacing de $30 \\text{ kHz}$) avec une bande passante allouée de $100 \\text{ MHz}$.
Question 1 : Calculer le nombre de sous-porteuses disponibles dans cette bande passante sachant que :
- L'espacement entre sous-porteuses est donné par $\\Delta f = 2^\\mu \\times 15 \\text{ kHz}$
- La bande passante utile représente $90\\%$ de la bande passante totale (les $10\\%$ restants sont des bandes de garde)
Question 2 : Dans cette configuration, un Resource Block (RB) 5G NR contient $12$ sous-porteuses et $14$ symboles OFDM par slot. La durée d'un slot est inversement proportionnelle à l'espacement des sous-porteuses : $T_{\\text{slot}} = \\frac{1}{2^\\mu \\times 2} \\text{ ms}$. Calculer le nombre de Resource Blocks disponibles et le débit symbole théorique (symboles/seconde) que peut offrir ce système.
Question 3 : Si le système utilise une modulation 256-QAM ($8$ bits par symbole) avec un codage de canal de rendement $R = 0.85$ et une configuration massive MIMO $64 \\times 64$ permettant de transmettre $16$ couches spatiales simultanées, calculer le débit crête théorique (en Gbps) de ce système 5G.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Calcul du nombre de sous-porteuses
La numérologie en 5G NR définit l'espacement entre sous-porteuses qui impacte directement la capacité spectrale du système.
Étape 1 : Calcul de l'espacement entre sous-porteuses
Formule générale pour la numérologie 5G :
$\\Delta f = 2^\\mu \\times 15 \\text{ kHz}$
Remplacement avec $\\mu = 1$ :
$\\Delta f = 2^1 \\times 15$
Calcul :
$\\Delta f = 2 \\times 15 = 30 \\text{ kHz}$
Étape 2 : Calcul de la bande passante utile
La bande passante utile exclut les bandes de garde ($10\\%$ de la bande totale) :
Formule :
$B_{\\text{utile}} = B_{\\text{totale}} \\times 0.90$
Remplacement :
$B_{\\text{utile}} = 100 \\times 0.90$
Calcul :
$B_{\\text{utile}} = 90 \\text{ MHz}$
Étape 3 : Calcul du nombre de sous-porteuses
Le nombre de sous-porteuses est obtenu en divisant la bande passante utile par l'espacement entre sous-porteuses :
Formule générale :
$N_{\\text{sous-porteuses}} = \\frac{B_{\\text{utile}}}{\\Delta f}$
Conversion de la bande passante en kHz :
$B_{\\text{utile}} = 90 \\text{ MHz} = 90000 \\text{ kHz}$
Remplacement :
$N_{\\text{sous-porteuses}} = \\frac{90000}{30}$
Calcul :
$N_{\\text{sous-porteuses}} = 3000$
Résultat final : Le système 5G NR dispose de $3000$ sous-porteuses dans la bande passante de $100 \\text{ MHz}$.
Question 2 : Calcul du nombre de Resource Blocks et du débit symbole
Les Resource Blocks sont les unités d'allocation de ressources en 5G NR.
Étape 1 : Calcul du nombre de Resource Blocks
Chaque RB contient $12$ sous-porteuses :
Formule générale :
$N_{\\text{RB}} = \\frac{N_{\\text{sous-porteuses}}}{12}$
Remplacement :
$N_{\\text{RB}} = \\frac{3000}{12}$
Calcul :
$N_{\\text{RB}} = 250 \\text{ RB}$
Étape 2 : Calcul de la durée d'un slot
La durée du slot dépend de la numérologie :
Formule générale :
$T_{\\text{slot}} = \\frac{1}{2^\\mu \\times 2} \\text{ ms}$
Remplacement avec $\\mu = 1$ :
$T_{\\text{slot}} = \\frac{1}{2^1 \\times 2}$
Calcul :
$T_{\\text{slot}} = \\frac{1}{4} = 0.25 \\text{ ms}$
Étape 3 : Calcul du débit symbole théorique
Le nombre total de symboles transmis par seconde dépend du nombre de RB, du nombre de symboles OFDM par slot, et de la durée du slot.
Nombre de symboles OFDM par RB et par slot :
$\\text{Symboles par RB par slot} = 12 \\times 14 = 168$
Nombre total de symboles par slot :
$\\text{Symboles par slot} = N_{\\text{RB}} \\times 168$
$\\text{Symboles par slot} = 250 \\times 168 = 42000$
Nombre de slots par seconde :
Formule :
$\\text{Slots/s} = \\frac{1}{T_{\\text{slot}} \\times 10^{-3}}$
Remplacement :
$\\text{Slots/s} = \\frac{1}{0.25 \\times 10^{-3}} = \\frac{1}{0.00025}$
Calcul :
$\\text{Slots/s} = 4000 \\text{ slots/s}$
Débit symbole théorique :
Formule générale :
$D_{\\text{symbole}} = \\text{Symboles par slot} \\times \\text{Slots/s}$
Remplacement :
$D_{\\text{symbole}} = 42000 \\times 4000$
Calcul :
$D_{\\text{symbole}} = 168 \\times 10^6 \\text{ symboles/s}$
Résultats finaux : Le système dispose de $250 \\text{ RB}$ et offre un débit symbole théorique de $168 \\times 10^6 \\text{ symboles/s}$ (ou $168 \\text{ Msymboles/s}$).
Question 3 : Calcul du débit crête théorique
Le débit crête en 5G dépend de la modulation, du codage canal, et de la configuration MIMO.
Étape 1 : Calcul du débit binaire avant codage
Avec une modulation 256-QAM, chaque symbole transporte $8$ bits (car $2^8 = 256$) :
Formule :
$D_{\\text{bits}} = D_{\\text{symbole}} \\times \\text{bits par symbole}$
Remplacement :
$D_{\\text{bits}} = 168 \\times 10^6 \\times 8$
Calcul :
$D_{\\text{bits}} = 1344 \\times 10^6 \\text{ bits/s} = 1.344 \\text{ Gbps}$
Étape 2 : Application du rendement de codage
Le codage de canal réduit le débit utile selon son rendement :
Formule :
$D_{\\text{codé}} = D_{\\text{bits}} \\times R$
Remplacement avec $R = 0.85$ :
$D_{\\text{codé}} = 1.344 \\times 0.85$
Calcul :
$D_{\\text{codé}} = 1.1424 \\text{ Gbps}$
Étape 3 : Application du facteur MIMO (couches spatiales)
La configuration massive MIMO $64 \\times 64$ permet de transmettre $16$ couches spatiales simultanées, multipliant ainsi le débit :
Formule générale :
$D_{\\text{crête}} = D_{\\text{codé}} \\times N_{\\text{couches}}$
Remplacement :
$D_{\\text{crête}} = 1.1424 \\times 16$
Calcul :
$D_{\\text{crête}} = 18.2784 \\text{ Gbps}$
Résultat final : Le débit crête théorique de ce système 5G NR est de $18.28 \\text{ Gbps}$ (environ $18.3 \\text{ Gbps}$).
Ce débit représente la capacité maximale théorique du système dans des conditions idéales. En pratique, le débit réel sera inférieur en raison des interférences, de l'overhead de signalisation (environ $20-25\\%$), et des conditions de propagation. Néanmoins, ce calcul démontre la capacité impressionnante de la 5G à supporter des applications nécessitant des débits très élevés comme la vidéo 8K, la réalité augmentée, ou les communications ultra-fiables.
", "id_category": "1", "id_number": "17" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Bilan de liaison et efficacité spectrale en UMTS/HSPA+ (3G)
Un réseau UMTS/HSPA+ opère dans la bande de fréquence $2.1 \\text{ GHz}$ avec une largeur de bande de $5 \\text{ MHz}$. La station de base (NodeB) dessert une zone urbaine avec un modèle de propagation suivant le modèle COST-231 Hata.
Question 1 : Calculer l'affaiblissement de propagation $L_p$ (en dB) pour une distance $d = 2 \\text{ km}$ entre le NodeB et l'équipement mobile, sachant que le modèle COST-231 Hata pour zone urbaine est donné par :
$L_p = 46.3 + 33.9 \\log_{10}(f_{\\text{MHz}}) - 13.82 \\log_{10}(h_b) - a(h_m) + (44.9 - 6.55 \\log_{10}(h_b)) \\log_{10}(d_{\\text{km}})$
où $h_b = 30 \\text{ m}$ (hauteur antenne station de base), $h_m = 1.5 \\text{ m}$ (hauteur antenne mobile), et pour zone urbaine : $a(h_m) = 3.2(\\log_{10}(11.75 h_m))^2 - 4.97$.
Question 2 : Sachant que la puissance d'émission du NodeB est $P_e = 43 \\text{ dBm}$, le gain de l'antenne émettrice est $G_e = 15 \\text{ dBi}$, le gain de l'antenne réceptrice est $G_r = -1 \\text{ dBi}$, et les pertes supplémentaires (pénétration bâtiment, câbles) totalisent $L_{\\text{suppl}} = 20 \\text{ dB}$, calculer la puissance reçue $P_r$ (en dBm) au niveau du mobile.
Question 3 : Le système HSPA+ utilise une modulation 16-QAM avec un taux de codage $R = 0.75$. Sachant que le rapport signal sur bruit plus interférence $(\\text{SINR})$ mesuré est de $15 \\text{ dB}$ et que l'efficacité spectrale $\\eta$ (en bit/s/Hz) est donnée par la formule de Shannon adaptée : $\\eta = R \\times \\log_2(M)$ où $M$ est l'ordre de modulation ($M = 16$ pour 16-QAM), calculer le débit théorique maximal (en Mbps) que peut supporter un utilisateur sur la bande de $5 \\text{ MHz}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Calcul de l'affaiblissement de propagation avec COST-231 Hata
Le modèle COST-231 Hata est une extension du modèle Okumura-Hata pour les fréquences jusqu'à $2 \\text{ GHz}$ en zones urbaines.
Étape 1 : Calcul du facteur de correction $a(h_m)$
Pour une zone urbaine, le facteur de correction pour la hauteur de l'antenne mobile est :
Formule :
$a(h_m) = 3.2(\\log_{10}(11.75 h_m))^2 - 4.97$
Remplacement avec $h_m = 1.5 \\text{ m}$ :
$a(h_m) = 3.2(\\log_{10}(11.75 \\times 1.5))^2 - 4.97$
Calcul de l'argument du logarithme :
$11.75 \\times 1.5 = 17.625$
Calcul du logarithme :
$\\log_{10}(17.625) = 1.246$
Calcul du carré :
$(1.246)^2 = 1.552$
Calcul final :
$a(h_m) = 3.2 \\times 1.552 - 4.97 = 4.966 - 4.97$
$a(h_m) = -0.004 \\approx 0 \\text{ dB}$
Étape 2 : Calcul de l'affaiblissement de propagation $L_p$
Formule générale COST-231 Hata :
$L_p = 46.3 + 33.9 \\log_{10}(f_{\\text{MHz}}) - 13.82 \\log_{10}(h_b) - a(h_m) + (44.9 - 6.55 \\log_{10}(h_b)) \\log_{10}(d_{\\text{km}})$
Conversion de la fréquence :
$f = 2.1 \\text{ GHz} = 2100 \\text{ MHz}$
Données : $h_b = 30 \\text{ m}$, $d = 2 \\text{ km}$, $a(h_m) \\approx 0$
Calcul des logarithmes nécessaires :
$\\log_{10}(2100) = 3.322$
$\\log_{10}(30) = 1.477$
$\\log_{10}(2) = 0.301$
Calcul terme par terme :
Premier terme : $46.3$
Deuxième terme : $33.9 \\times 3.322 = 112.616$
Troisième terme : $-13.82 \\times 1.477 = -20.416$
Quatrième terme : $-a(h_m) = 0$
Cinquième terme : $(44.9 - 6.55 \\times 1.477) \\times 0.301$
Calcul du coefficient : $44.9 - 9.674 = 35.226$
Cinquième terme : $35.226 \\times 0.301 = 10.603$
Remplacement dans la formule complète :
$L_p = 46.3 + 112.616 - 20.416 + 0 + 10.603$
Calcul :
$L_p = 149.103 \\text{ dB}$
Résultat final : L'affaiblissement de propagation selon le modèle COST-231 Hata est de $149.1 \\text{ dB}$.
Cette valeur élevée illustre l'importance de l'affaiblissement en zone urbaine à $2 \\text{ km}$ de distance, principalement dû aux réflexions multiples, à la diffraction et à l'absorption par les bâtiments.
Question 2 : Calcul de la puissance reçue
Le bilan de liaison permet de déterminer la puissance reçue en tenant compte de tous les gains et pertes.
Formule générale du bilan de liaison :
$P_r = P_e + G_e + G_r - L_p - L_{\\text{suppl}}$
où :
- $P_r$ : puissance reçue (dBm)
- $P_e$ : puissance émise (dBm)
- $G_e$ : gain antenne émettrice (dBi)
- $G_r$ : gain antenne réceptrice (dBi)
- $L_p$ : affaiblissement de propagation (dB)
- $L_{\\text{suppl}}$ : pertes supplémentaires (dB)
Remplacement des valeurs :
$P_r = 43 + 15 + (-1) - 149.1 - 20$
Calcul étape par étape :
$P_r = 43 + 15 - 1 - 149.1 - 20$
$P_r = 58 - 1 - 149.1 - 20$
$P_r = 57 - 169.1$
Calcul final :
$P_r = -112.1 \\text{ dBm}$
Résultat final : La puissance reçue au niveau du mobile est de $-112.1 \\text{ dBm}$.
Cette valeur est proche de la sensibilité typique d'un récepteur UMTS/HSPA+ qui se situe autour de $-115 \\text{ dBm}$ à $-120 \\text{ dBm}$. Le signal reçu permet donc une communication correcte, mais avec une marge limitée. Les pertes de pénétration dans les bâtiments ($20 \\text{ dB}$) représentent un facteur significatif dans le bilan de liaison.
Question 3 : Calcul du débit théorique maximal
L'efficacité spectrale détermine combien de bits peuvent être transmis par hertz de bande passante.
Étape 1 : Calcul de l'efficacité spectrale
Pour une modulation 16-QAM avec taux de codage $R = 0.75$ :
Formule :
$\\eta = R \\times \\log_2(M)$
où $M = 16$ (ordre de modulation pour 16-QAM).
Calcul du logarithme :
$\\log_2(16) = \\log_2(2^4) = 4$
Remplacement :
$\\eta = 0.75 \\times 4$
Calcul :
$\\eta = 3 \\text{ bit/s/Hz}$
Étape 2 : Calcul du débit théorique maximal
Le débit maximal est obtenu en multipliant l'efficacité spectrale par la bande passante disponible :
Formule générale :
$D_{\\text{max}} = \\eta \\times B$
où $B$ est la bande passante en Hz.
Conversion de la bande passante :
$B = 5 \\text{ MHz} = 5 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
Remplacement :
$D_{\\text{max}} = 3 \\times 5 \\times 10^6$
Calcul :
$D_{\\text{max}} = 15 \\times 10^6 \\text{ bits/s}$
Conversion en Mbps :
$D_{\\text{max}} = 15 \\text{ Mbps}$
Résultat final : Le débit théorique maximal pour un utilisateur HSPA+ avec modulation 16-QAM et taux de codage $0.75$ est de $15 \\text{ Mbps}$.
Ce débit représente la capacité maximale théorique dans les conditions données. En pratique, le débit réel sera influencé par le SINR mesuré ($15 \\text{ dB}$ dans cet exercice, ce qui est considéré comme bon), les interférences inter-cellulaires, et le nombre d'utilisateurs partageant les ressources radio de la cellule. Le HSPA+ peut atteindre des débits plus élevés (jusqu'à $42 \\text{ Mbps}$) avec des modulations d'ordre supérieur (64-QAM) et l'utilisation de techniques comme le MIMO $2 \\times 2$.
", "id_category": "1", "id_number": "18" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Dimensionnement et bilan de liaison pour un réseau LTE-Advanced (4G)
Un opérateur mobile déploie un réseau LTE-Advanced dans une zone urbaine dense. La station de base (eNodeB) émet à une fréquence de $f = 2600$ MHz avec une puissance de $P_{\\text{TX}} = 46$ dBm. L'antenne de la station de base possède un gain de $G_{\\text{TX}} = 18$ dBi et l'antenne du terminal utilisateur (UE) a un gain de $G_{\\text{RX}} = 0$ dBi. Les pertes dans les câbles et connecteurs côté émetteur sont de $L_{\\text{câble}} = 2$ dB. Le modèle de propagation utilisé est le modèle COST-231 Hata pour les environnements urbains.
Le débit maximal théorique pour un utilisateur en bordure de cellule dépend du SINR (Signal to Interference plus Noise Ratio). Pour un schéma de modulation 64-QAM avec un taux de codage de $r = 0.75$, le SINR minimum requis est de $\\text{SINR}_{\\min} = 22$ dB. La densité spectrale de bruit thermique est $N_0 = -174$ dBm/Hz et la bande passante du canal est $B = 20$ MHz. Le facteur de bruit du récepteur est $F = 7$ dB.
Question 1 : Calculez la longueur d'onde $\\lambda$ du signal et déterminez les pertes en espace libre (FSPL) pour une distance $d = 500$ m entre l'eNodeB et l'UE.
Question 2 : En utilisant le bilan de liaison, calculez la puissance reçue $P_{\\text{RX}}$ au niveau de l'UE en tenant compte de tous les gains et pertes (PIRE, gains d'antenne, pertes en espace libre, pertes de câbles).
Question 3 : Calculez le niveau de bruit thermique total $N_{\\text{total}}$ au niveau du récepteur, puis déterminez le SNR (Signal to Noise Ratio) reçu. Vérifiez si ce SNR est suffisant pour supporter la modulation 64-QAM avec le SINR minimum requis de $22$ dB.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 1
Question 1 : Calcul de la longueur d'onde et des pertes en espace libre (FSPL)
Étape 1 - Calcul de la longueur d'onde :
La longueur d'onde $\\lambda$ est donnée par la relation fondamentale entre la vitesse de la lumière, la fréquence et la longueur d'onde.
Formule générale :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
où $c = 3 \\times 10^8$ m/s est la vitesse de la lumière et $f$ est la fréquence en Hz.
Remplacement des données :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{2600 \\times 10^6}$
Calcul :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{2.6 \\times 10^9} = 0.1154 \\text{ m}$
Résultat final :
$\\lambda = 11.54 \\text{ cm}$
La longueur d'onde est de $11.54$ cm, ce qui correspond bien à la bande de fréquences des micro-ondes utilisées en LTE.
Étape 2 - Calcul des pertes en espace libre (FSPL) :
Les pertes en espace libre représentent l'atténuation du signal due à la propagation dans l'espace. La formule de Friis permet de calculer ces pertes.
Formule générale :
$\\text{FSPL}(\\text{dB}) = 20\\log_{10}(d) + 20\\log_{10}(f) + 20\\log_{10}\\left(\\frac{4\\pi}{c}\\right)$
ou de manière simplifiée :
$\\text{FSPL}(\\text{dB}) = 32.45 + 20\\log_{10}(d_{\\text{km}}) + 20\\log_{10}(f_{\\text{MHz}})$
où $d_{\\text{km}}$ est la distance en kilomètres et $f_{\\text{MHz}}$ est la fréquence en MHz.
Remplacement des données :
$d_{\\text{km}} = \\frac{500}{1000} = 0.5 \\text{ km}$
$f_{\\text{MHz}} = 2600 \\text{ MHz}$
$\\text{FSPL} = 32.45 + 20\\log_{10}(0.5) + 20\\log_{10}(2600)$
Calcul :
$20\\log_{10}(0.5) = 20 \\times (-0.301) = -6.02 \\text{ dB}$
$20\\log_{10}(2600) = 20 \\times 3.415 = 68.30 \\text{ dB}$
$\\text{FSPL} = 32.45 - 6.02 + 68.30 = 94.73 \\text{ dB}$
Résultat final :
$\\text{FSPL} = 94.73 \\text{ dB}$
Les pertes en espace libre sont de $94.73$ dB pour une distance de $500$ m à $2600$ MHz.
Question 2 : Calcul de la puissance reçue $P_{\\text{RX}}$
Principe du bilan de liaison :
Le bilan de liaison permet de calculer la puissance reçue en tenant compte de tous les gains et pertes dans le système de transmission. L'équation fondamentale est :
Formule générale :
$P_{\\text{RX}}(\\text{dBm}) = P_{\\text{TX}} + G_{\\text{TX}} - L_{\\text{câble}} - \\text{FSPL} + G_{\\text{RX}}$
où :
• $P_{\\text{TX}}$ est la puissance d'émission
• $G_{\\text{TX}}$ est le gain de l'antenne d'émission
• $L_{\\text{câble}}$ représente les pertes dans les câbles et connecteurs
• $\\text{FSPL}$ sont les pertes en espace libre
• $G_{\\text{RX}}$ est le gain de l'antenne de réception
Remplacement des données :
$P_{\\text{RX}} = 46 + 18 - 2 - 94.73 + 0$
Calcul :
$P_{\\text{RX}} = 46 + 18 - 2 - 94.73 = 64 - 96.73 = -32.73 \\text{ dBm}$
Résultat final :
$P_{\\text{RX}} = -32.73 \\text{ dBm}$
La puissance reçue au niveau de l'UE est de $-32.73$ dBm. Cette valeur est typique pour un signal LTE à moyenne distance et se situe bien au-dessus de la sensibilité standard des récepteurs 4G (environ $-100$ dBm).
Question 3 : Calcul du bruit thermique total et du SNR
Étape 1 - Calcul du niveau de bruit thermique :
Le bruit thermique dans le récepteur est dû à l'agitation thermique des électrons. Il dépend de la bande passante et de la température.
Formule générale :
$N_{\\text{total}}(\\text{dBm}) = N_0 + 10\\log_{10}(B) + F$
où :
• $N_0 = -174$ dBm/Hz est la densité spectrale de bruit thermique à température ambiante ($290$ K)
• $B$ est la bande passante en Hz
• $F$ est le facteur de bruit du récepteur en dB
Remplacement des données :
$B = 20 \\times 10^6 \\text{ Hz}$
$10\\log_{10}(B) = 10\\log_{10}(20 \\times 10^6)$
$N_{\\text{total}} = -174 + 10\\log_{10}(20 \\times 10^6) + 7$
Calcul :
$10\\log_{10}(20 \\times 10^6) = 10\\log_{10}(2 \\times 10^7) = 10 \\times 7.301 = 73.01 \\text{ dB}$
$N_{\\text{total}} = -174 + 73.01 + 7 = -93.99 \\text{ dBm}$
Résultat intermédiaire :
$N_{\\text{total}} = -93.99 \\text{ dBm}$
Étape 2 - Calcul du SNR :
Le rapport signal sur bruit (SNR) compare la puissance du signal utile à la puissance du bruit.
Formule générale :
$\\text{SNR}(\\text{dB}) = P_{\\text{RX}} - N_{\\text{total}}$
Remplacement des données :
$\\text{SNR} = -32.73 - (-93.99)$
Calcul :
$\\text{SNR} = -32.73 + 93.99 = 61.26 \\text{ dB}$
Résultat final :
$\\text{SNR} = 61.26 \\text{ dB}$
Vérification par rapport au SINR minimum requis :
Le SNR calculé de $61.26$ dB est largement supérieur au SINR minimum requis de $22$ dB pour la modulation 64-QAM.
Interprétation :
Avec un SNR de $61.26$ dB, le lien radio dispose d'une marge de $61.26 - 22 = 39.26$ dB par rapport au seuil minimum. Cela signifie que :
1. La modulation 64-QAM avec un taux de codage de $0.75$ est parfaitement supportée
2. Le système peut tolérer des interférences supplémentaires ou des conditions de propagation dégradées
3. Un débit élevé peut être maintenu même en présence de multitrajets ou d'évanouissements temporaires
4. La liaison est robuste et offre une excellente qualité de service
Cette marge importante est caractéristique d'un utilisateur situé à une distance modérée ($500$ m) de la station de base dans de bonnes conditions de propagation.
", "id_category": "1", "id_number": "19" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Capacité spectrale et efficacité d'un système UMTS/HSPA+ (3G)
Un réseau UMTS avec technologie HSPA+ (High Speed Packet Access Plus) est déployé dans une zone suburbaine. La station de base (NodeB) utilise une bande de fréquence de $f = 900$ MHz avec une largeur de bande de $W = 5$ MHz (bande UMTS standard). Le système utilise la technique CDMA (Code Division Multiple Access) avec un facteur d'étalement (spreading factor) de $SF = 16$ pour les canaux de données HSPA+.
Un utilisateur mobile se trouve à une distance $d = 1.2$ km de la station de base. Le gain de traitement (processing gain) est directement lié au facteur d'étalement. Le rapport $E_b/N_0$ (énergie par bit sur densité spectrale de bruit) requis pour maintenir un taux d'erreur binaire acceptable est de $6$ dB. La densité spectrale de bruit $N_0$ au niveau du récepteur est de $-170$ dBm/Hz et la puissance du signal reçu est $P_r = -85$ dBm.
Le débit chip (chip rate) du système UMTS est $R_c = 3.84$ Mcps (mega-chips par seconde). Pour le HSPA+, on considère une efficacité spectrale théorique qui dépend du SINR et de la modulation adaptative utilisée (QPSK, 16-QAM, ou 64-QAM).
Question 1 : Calculez le gain de traitement (Processing Gain) $G_p$ en dB, sachant qu'il est défini par le rapport entre le débit chip et le débit binaire utilisateur. Le débit binaire utilisateur est $R_b = \\frac{R_c}{SF}$.
Question 2 : Calculez le rapport signal sur bruit $SNR$ en dB au niveau du récepteur, puis déduisez le nombre maximum d'utilisateurs $N_{\\text{max}}$ pouvant être supportés simultanément dans la cellule en utilisant la formule de capacité CDMA : $N_{\\text{max}} = 1 + \\frac{G_p}{(E_b/N_0)}$, où tous les termes sont exprimés en valeurs linéaires (non en dB).
Question 3 : Calculez le débit binaire utilisateur $R_b$ pour un seul utilisateur, puis déterminez la capacité spectrale $\\eta$ du système en bits/s/Hz. Cette efficacité spectrale représente l'utilisation optimale de la bande passante disponible.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2
Question 1 : Calcul du gain de traitement (Processing Gain) $G_p$
Principe du gain de traitement :
Dans un système CDMA comme l'UMTS, le gain de traitement représente le rapport entre la bande passante du signal étalé (débit chip) et la bande passante du signal d'information (débit binaire utilisateur). Ce gain permet de discriminer les signaux des différents utilisateurs et d'améliorer la résistance aux interférences.
Étape 1 - Calcul du débit binaire utilisateur :
Formule générale :
$R_b = \\frac{R_c}{SF}$
où $R_c = 3.84$ Mcps est le débit chip et $SF = 16$ est le facteur d'étalement.
Remplacement des données :
$R_b = \\frac{3.84 \\times 10^6}{16}$
Calcul :
$R_b = 0.24 \\times 10^6 = 240\\,000 \\text{ bps} = 240 \\text{ kbps}$
Résultat intermédiaire :
$R_b = 240 \\text{ kbps}$
Étape 2 - Calcul du gain de traitement :
Le gain de traitement est le rapport entre le débit chip et le débit binaire utilisateur.
Formule générale :
$G_p = \\frac{R_c}{R_b} = SF$
En valeur linéaire : $G_p = 16$
Pour convertir en dB :
Formule de conversion :
$G_p(\\text{dB}) = 10\\log_{10}(G_p)$
Remplacement des données :
$G_p(\\text{dB}) = 10\\log_{10}(16)$
Calcul :
$\\log_{10}(16) = \\log_{10}(2^4) = 4\\log_{10}(2) = 4 \\times 0.301 = 1.204$
$G_p(\\text{dB}) = 10 \\times 1.204 = 12.04 \\text{ dB}$
Résultat final :
$G_p = 12.04 \\text{ dB}$
Le gain de traitement de $12.04$ dB signifie que le signal étalé occupe $16$ fois plus de bande passante que le signal d'information original. Ce gain permet de réduire l'effet des interférences et d'améliorer la capacité du système.
Question 2 : Calcul du SNR et du nombre maximum d'utilisateurs
Étape 1 - Calcul du niveau de bruit :
Le bruit thermique total dépend de la densité spectrale de bruit et de la bande passante du système.
Formule générale :
$N(\\text{dBm}) = N_0 + 10\\log_{10}(W)$
où $N_0 = -170$ dBm/Hz et $W = 5 \\times 10^6$ Hz.
Remplacement des données :
$N = -170 + 10\\log_{10}(5 \\times 10^6)$
Calcul :
$10\\log_{10}(5 \\times 10^6) = 10\\log_{10}(5) + 10\\log_{10}(10^6) = 10 \\times 0.699 + 60 = 6.99 + 60 = 66.99 \\text{ dB}$
$N = -170 + 66.99 = -103.01 \\text{ dBm}$
Résultat intermédiaire :
$N = -103.01 \\text{ dBm}$
Étape 2 - Calcul du SNR :
Formule générale :
$\\text{SNR}(\\text{dB}) = P_r - N$
Remplacement des données :
$\\text{SNR} = -85 - (-103.01)$
Calcul :
$\\text{SNR} = -85 + 103.01 = 18.01 \\text{ dB}$
Résultat intermédiaire :
$\\text{SNR} = 18.01 \\text{ dB}$
Étape 3 - Calcul du nombre maximum d'utilisateurs :
La capacité d'un système CDMA dépend du gain de traitement et du rapport $E_b/N_0$ requis.
Formule générale :
$N_{\\text{max}} = 1 + \\frac{G_p}{(E_b/N_0)}$
où tous les termes doivent être en valeurs linéaires (non en dB).
Conversion des valeurs dB en valeurs linéaires :
$G_p = 16$ (valeur linéaire)
$(E_b/N_0)_{\\text{dB}} = 6 \\text{ dB}$
Conversion : $(E_b/N_0) = 10^{6/10} = 10^{0.6} = 3.981$
Remplacement des données :
$N_{\\text{max}} = 1 + \\frac{16}{3.981}$
Calcul :
$\\frac{16}{3.981} = 4.019$
$N_{\\text{max}} = 1 + 4.019 = 5.019$
Résultat final :
$N_{\\text{max}} \\approx 5 \\text{ utilisateurs}$
Interprétation :
La cellule peut supporter simultanément environ $5$ utilisateurs avec le facteur d'étalement $SF = 16$. Ce nombre limité s'explique par le fait que tous les utilisateurs partagent la même bande de $5$ MHz et que les interférences entre utilisateurs (MAI - Multiple Access Interference) limitent la capacité. Pour augmenter la capacité, le système peut utiliser des facteurs d'étalement plus élevés (au détriment du débit) ou des techniques avancées comme le contrôle de puissance et les antennes adaptatives.
Question 3 : Calcul du débit binaire utilisateur et de la capacité spectrale
Rappel du débit binaire utilisateur :
Nous avons calculé précédemment dans la Question 1 :
$R_b = 240 \\text{ kbps} = 240 \\times 10^3 \\text{ bps}$
Calcul de la capacité spectrale :
La capacité spectrale (ou efficacité spectrale) mesure l'utilisation de la bande passante. Elle représente le nombre de bits transmis par seconde et par Hertz de bande passante.
Formule générale :
$\\eta = \\frac{R_b}{W}$
où $R_b$ est le débit binaire en bps et $W$ est la bande passante en Hz.
Remplacement des données :
$\\eta = \\frac{240 \\times 10^3}{5 \\times 10^6}$
Calcul :
$\\eta = \\frac{240}{5000} = 0.048 \\text{ bits/s/Hz}$
Résultat final :
$\\eta = 0.048 \\text{ bits/s/Hz} = 48 \\times 10^{-3} \\text{ bits/s/Hz}$
Interprétation :
L'efficacité spectrale de $0.048$ bits/s/Hz pour un seul utilisateur avec $SF = 16$ est relativement faible par rapport aux systèmes 4G modernes (qui atteignent $5$ à $15$ bits/s/Hz). Cela s'explique par :
1. Le principe même du CDMA qui utilise l'étalement spectral : le signal occupe toute la bande de $5$ MHz alors que l'information ne nécessite que $240$ kHz
2. Le facteur d'étalement $SF = 16$ qui réduit le débit utilisateur au profit de la robustesse et de la capacité multi-utilisateurs
3. L'absence de techniques avancées comme le MIMO qui multiplient l'efficacité spectrale
Capacité totale de la cellule :
Si on considère les $N_{\\text{max}} = 5$ utilisateurs simultanés calculés à la Question 2, la capacité spectrale totale de la cellule serait :
$\\eta_{\\text{totale}} = N_{\\text{max}} \\times \\eta = 5 \\times 0.048 = 0.24 \\text{ bits/s/Hz}$
Cette valeur représente l'utilisation globale de la bande passante lorsque la cellule fonctionne à pleine capacité avec $5$ utilisateurs actifs simultanément.
", "id_category": "1", "id_number": "20" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Analyse de débit et latence dans un réseau 5G New Radio (NR)
Un opérateur déploie un réseau 5G NR utilisant la bande de fréquences millimétrique (mmWave) à $f = 28$ GHz. La configuration du système utilise une bande passante de canal de $B = 100$ MHz avec un espacement entre sous-porteuses (subcarrier spacing) de $\\Delta f = 120$ kHz, ce qui est caractéristique des déploiements 5G en mmWave. La technologie MIMO massive est employée avec $N_t = 64$ antennes en émission et $N_r = 16$ antennes en réception.
Le système utilise une modulation 256-QAM avec un taux de codage de $r = 0.9$ pour atteindre des débits très élevés. La durée d'un slot OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) est inversement proportionnelle à l'espacement entre sous-porteuses. Le nombre de symboles OFDM par slot est fixé à $N_s = 14$ (configuration standard 5G NR). Dans ce contexte, on souhaite évaluer les performances théoriques du système.
Pour simplifier l'analyse, on considère que le nombre de sous-porteuses $N_{\\text{sc}}$ disponibles dans la bande passante est donné par $N_{\\text{sc}} = \\frac{B}{\\Delta f}$. Le facteur d'overhead (pilotes, signalisation, garde) représente $20\\%$ des ressources, donc seuls $80\\%$ des ressources sont utilisées pour les données utiles.
Question 1 : Calculez le nombre de sous-porteuses $N_{\\text{sc}}$ disponibles dans la bande passante de $100$ MHz, puis déterminez la durée d'un symbole OFDM $T_s$ sachant que $T_s = \\frac{1}{\\Delta f}$, et enfin calculez la durée totale d'un slot $T_{\\text{slot}}$ contenant $14$ symboles.
Question 2 : Calculez le débit théorique maximal par sous-porteuse $R_{\\text{sc}}$ en utilisant la modulation 256-QAM (qui code $m = 8$ bits par symbole), le taux de codage $r = 0.9$, et l'espacement temporel entre symboles. Ensuite, calculez le débit total brut $R_{\\text{brut}}$ en multipliant par le nombre de sous-porteuses et en appliquant le facteur d'overhead de $80\\%$.
Question 3 : En considérant la technologie MIMO massive avec $N_t = 64$ antennes d'émission et $N_r = 16$ antennes de réception, le nombre de flux spatiaux indépendants (spatial streams) est limité par $N_{\\text{streams}} = \\min(N_t, N_r) = 16$. Calculez le débit théorique maximal total du système $R_{\\text{total}}$ en multipliant le débit brut par le nombre de flux spatiaux. Comparez ce résultat avec l'objectif 5G de $20$ Gbps.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 3
Question 1 : Calcul du nombre de sous-porteuses, durée du symbole OFDM et durée du slot
Étape 1 - Calcul du nombre de sous-porteuses :
Dans un système OFDM comme la 5G NR, la bande passante totale est divisée en multiples sous-porteuses orthogonales espacées de $\\Delta f$.
Formule générale :
$N_{\\text{sc}} = \\frac{B}{\\Delta f}$
où $B = 100$ MHz est la bande passante totale et $\\Delta f = 120$ kHz est l'espacement entre sous-porteuses.
Remplacement des données :
$N_{\\text{sc}} = \\frac{100 \\times 10^6}{120 \\times 10^3}$
Calcul :
$N_{\\text{sc}} = \\frac{100 \\times 10^6}{1.2 \\times 10^5} = \\frac{10^8}{1.2 \\times 10^5} = \\frac{10^3}{1.2} = 833.33$
Résultat final (arrondi) :
$N_{\\text{sc}} = 833 \\text{ sous-porteuses}$
Le système 5G NR dispose de $833$ sous-porteuses dans la bande de $100$ MHz avec un espacement de $120$ kHz.
Étape 2 - Calcul de la durée d'un symbole OFDM :
La durée d'un symbole OFDM est inversement proportionnelle à l'espacement entre sous-porteuses.
Formule générale :
$T_s = \\frac{1}{\\Delta f}$
Remplacement des données :
$T_s = \\frac{1}{120 \\times 10^3}$
Calcul :
$T_s = \\frac{1}{1.2 \\times 10^5} = 8.333 \\times 10^{-6} \\text{ s}$
Résultat final :
$T_s = 8.33 \\text{ µs}$
La durée d'un symbole OFDM est de $8.33$ microsecondes. Cette valeur courte est caractéristique des systèmes 5G mmWave qui utilisent des espacements de sous-porteuses élevés ($120$ kHz) pour réduire la latence.
Étape 3 - Calcul de la durée d'un slot :
Un slot 5G NR contient un nombre fixe de symboles OFDM.
Formule générale :
$T_{\\text{slot}} = N_s \\times T_s$
où $N_s = 14$ symboles par slot (configuration standard 5G NR).
Remplacement des données :
$T_{\\text{slot}} = 14 \\times 8.333 \\times 10^{-6}$
Calcul :
$T_{\\text{slot}} = 116.67 \\times 10^{-6} \\text{ s}$
Résultat final :
$T_{\\text{slot}} = 116.67 \\text{ µs} \\approx 0.117 \\text{ ms}$
Interprétation :
La durée très courte d'un slot ($0.117$ ms) permet à la 5G NR d'atteindre des latences ultra-faibles, essentielles pour les applications en temps réel comme la réalité augmentée, la conduite autonome ou la chirurgie à distance. Cette courte durée est rendue possible par l'espacement élevé entre sous-porteuses de $120$ kHz (comparé à $15$ kHz en LTE).
Question 2 : Calcul du débit théorique par sous-porteuse et du débit total brut
Étape 1 - Calcul du débit par sous-porteuse :
Le débit par sous-porteuse dépend du nombre de bits transmis par symbole, du taux de codage et du temps de symbole.
Formule générale :
$R_{\\text{sc}} = \\frac{m \\times r}{T_s}$
où :
• $m = 8$ bits/symbole pour la modulation 256-QAM ($2^8 = 256$)
• $r = 0.9$ est le taux de codage (efficacité du code correcteur d'erreurs)
• $T_s = 8.333 \\times 10^{-6}$ s est la durée d'un symbole
Remplacement des données :
$R_{\\text{sc}} = \\frac{8 \\times 0.9}{8.333 \\times 10^{-6}}$
Calcul :
$R_{\\text{sc}} = \\frac{7.2}{8.333 \\times 10^{-6}} = 0.864 \\times 10^6 \\text{ bps}$
Résultat intermédiaire :
$R_{\\text{sc}} = 864 \\text{ kbps par sous-porteuse}$
Étape 2 - Calcul du débit brut total (avant facteur MIMO) :
Le débit total est obtenu en multipliant le débit par sous-porteuse par le nombre de sous-porteuses, puis en appliquant le facteur d'overhead.
Formule générale :
$R_{\\text{brut}} = N_{\\text{sc}} \\times R_{\\text{sc}} \\times \\eta_{\\text{overhead}}$
où $\\eta_{\\text{overhead}} = 0.8$ ($80\\%$ des ressources pour les données utiles, $20\\%$ pour les pilotes et la signalisation).
Remplacement des données :
$R_{\\text{brut}} = 833 \\times 0.864 \\times 10^6 \\times 0.8$
Calcul :
$833 \\times 0.864 = 719.71$
$R_{\\text{brut}} = 719.71 \\times 10^6 \\times 0.8 = 575.77 \\times 10^6 \\text{ bps}$
Résultat final :
$R_{\\text{brut}} = 575.77 \\text{ Mbps} \\approx 576 \\text{ Mbps}$
Le débit brut du système (pour un seul flux spatial) est de $576$ Mbps après prise en compte de l'overhead. Ce débit représente la capacité théorique d'une seule couche de transmission.
Question 3 : Calcul du débit total avec MIMO massif
Principe du MIMO massif :
La technologie MIMO (Multiple Input Multiple Output) permet de transmettre simultanément plusieurs flux de données indépendants en utilisant plusieurs antennes. Le nombre de flux spatiaux est limité par le minimum entre le nombre d'antennes d'émission et de réception.
Étape 1 - Détermination du nombre de flux spatiaux :
Formule générale :
$N_{\\text{streams}} = \\min(N_t, N_r)$
où $N_t = 64$ antennes d'émission et $N_r = 16$ antennes de réception.
Remplacement des données :
$N_{\\text{streams}} = \\min(64, 16) = 16$
Résultat :
$N_{\\text{streams}} = 16 \\text{ flux spatiaux}$
Le système peut transmettre simultanément $16$ flux de données indépendants. Bien que la station de base possède $64$ antennes, le nombre de flux est limité par les $16$ antennes du terminal utilisateur.
Étape 2 - Calcul du débit total du système :
Le débit total est obtenu en multipliant le débit brut par le nombre de flux spatiaux.
Formule générale :
$R_{\\text{total}} = R_{\\text{brut}} \\times N_{\\text{streams}}$
Remplacement des données :
$R_{\\text{total}} = 575.77 \\times 10^6 \\times 16$
Calcul :
$R_{\\text{total}} = 9212.32 \\times 10^6 \\text{ bps} = 9.212 \\times 10^9 \\text{ bps}$
Résultat final :
$R_{\\text{total}} = 9.212 \\text{ Gbps} \\approx 9.2 \\text{ Gbps}$
Étape 3 - Comparaison avec l'objectif 5G :
L'objectif 5G NR pour le débit de pointe est de $20$ Gbps.
Calcul du pourcentage atteint :
$\\text{Pourcentage} = \\frac{9.212}{20} \\times 100 = 46.06\\%$
Interprétation finale :
Le système atteint un débit théorique maximal de $9.2$ Gbps, soit environ $46\\%$ de l'objectif 5G de $20$ Gbps. Plusieurs facteurs expliquent cette différence :
1. Limitation par les antennes du terminal : Avec seulement $16$ antennes en réception, le terminal limite le nombre de flux spatiaux à $16$. Pour atteindre $20$ Gbps, il faudrait soit augmenter le nombre d'antennes du terminal, soit utiliser des bandes passantes plus larges (jusqu'à $400$ MHz en mmWave).
2. Conditions réelles : Ce calcul représente le débit théorique maximal dans des conditions idéales (SINR élevé, pas d'interférences). En pratique, les conditions de propagation en mmWave sont plus difficiles (obstacles, atténuation atmosphérique).
3. Agrégation de porteuses : Pour atteindre $20$ Gbps, les systèmes 5G utilisent l'agrégation de plusieurs bandes de $100$ MHz (jusqu'à $4$ composantes porteuses), ce qui multiplierait le débit par $4$, donnant environ $36.8$ Gbps théoriques.
4. Overhead variable : L'overhead de $20\\%$ considéré ici est une moyenne. Dans certaines configurations optimisées, l'overhead peut être réduit à $10-15\\%$, augmentant ainsi le débit utile.
Le résultat de $9.2$ Gbps reste néanmoins remarquable et représente une amélioration d'un facteur $10$ par rapport aux meilleures performances de la 4G LTE-Advanced (théoriquement jusqu'à $1$ Gbps). Cette performance permet de supporter des applications gourmandes en bande passante comme la vidéo 8K en streaming, le cloud gaming sans latence, ou la réalité virtuelle immersive.
Exercice 1 : Dimensionnement d'une liaison montante WCDMA 3G
Un opérateur mobile déploie un réseau UMTS utilisant la technologie WCDMA. Une station mobile (UE) établit une communication vocale avec la station de base (Node B). Les paramètres suivants sont donnés :
- Débit binaire de service vocal : $R_b = 12,2$ kbit/s
- Débit chip du système WCDMA : $R_c = 3,84$ Mchip/s
- Rapport $E_b/N_0$ requis pour la qualité de service : $7$ dB
- Facteur d'activité vocale : $\\alpha = 0,67$
- Gain d'antenne de réception au Node B : $G_{rx} = 18$ dB
- Puissance d'émission de l'UE : $P_{tx} = 21$ dBm
- Distance entre l'UE et le Node B : $d = 1,5$ km
- Fréquence porteuse : $f = 1950$ MHz
- Pertes supplémentaires (masquage, pénétration) : $L_{add} = 15$ dB
Question 1 : Calculer le facteur d'étalement (Spreading Factor SF) utilisé pour cette communication vocale.
Question 2 : Calculer les pertes de propagation en espace libre $L_{fs}$ (en dB) pour cette liaison, en utilisant le modèle de Friis.
Question 3 : En considérant que la puissance de bruit thermique reçue est $N_0 = -174$ dBm/Hz et la bande passante du système $W = 3,84$ MHz, déterminer la puissance reçue minimale $P_{rx,min}$ (en dBm) nécessaire pour atteindre le $E_b/N_0$ requis. Vérifier ensuite si la liaison est viable avec les paramètres donnés en calculant le bilan de liaison.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'exercice 1
Question 1 : Calcul du facteur d'étalement (Spreading Factor SF)
Le facteur d'étalement SF représente le rapport entre le débit chip et le débit binaire de service. Il détermine combien de chips sont utilisés pour représenter un bit d'information.
Étape 1 : Formule générale
Le facteur d'étalement est défini par :
$SF = \\frac{R_c}{R_b}$
Étape 2 : Remplacement des données
Avec $R_c = 3,84$ Mchip/s $= 3840$ kchip/s et $R_b = 12,2$ kbit/s :
$SF = \\frac{3840}{12,2}$
Étape 3 : Calcul
$SF = 314,75$
Étape 4 : Résultat final
Dans les systèmes WCDMA, le SF doit être une puissance de 2. Le SF normalisé le plus proche est :
$SF = 256$
Interprétation : Chaque bit d'information vocale est étalé sur 256 chips. Ce facteur d'étalement élevé permet une bonne protection contre les interférences et améliore le gain de traitement du système WCDMA.
Question 2 : Calcul des pertes de propagation en espace libre
Les pertes de propagation en espace libre représentent l'atténuation du signal due à la distance et à la fréquence, selon le modèle de Friis.
Étape 1 : Formule générale
Les pertes en espace libre en dB sont données par :
$L_{fs} = 32,45 + 20\\log_{10}(f_{MHz}) + 20\\log_{10}(d_{km})$
où $f_{MHz}$ est la fréquence en MHz et $d_{km}$ est la distance en km.
Étape 2 : Remplacement des données
Avec $f = 1950$ MHz et $d = 1,5$ km :
$L_{fs} = 32,45 + 20\\log_{10}(1950) + 20\\log_{10}(1,5)$
Étape 3 : Calcul
Calculons chaque terme :
$20\\log_{10}(1950) = 20 \\times 3,290 = 65,80 \\text{ dB}$
$20\\log_{10}(1,5) = 20 \\times 0,176 = 3,52 \\text{ dB}$
$L_{fs} = 32,45 + 65,80 + 3,52 = 101,77 \\text{ dB}$
Étape 4 : Résultat final
$L_{fs} = 101,77 \\text{ dB}$
Interprétation : Les pertes de propagation en espace libre sont d'environ 101,77 dB. Ces pertes importantes sont typiques pour une liaison à 2 GHz sur une distance de 1,5 km. Elles augmentent avec la fréquence et la distance.
Question 3 : Calcul de la puissance reçue minimale et vérification du bilan de liaison
Nous devons déterminer la puissance minimale requise au récepteur pour garantir la qualité de service, puis vérifier si la liaison fournit suffisamment de puissance.
Étape 1 : Formule générale de la puissance reçue minimale
La puissance reçue minimale est liée au rapport $E_b/N_0$ requis par :
$P_{rx,min} = (E_b/N_0)_{dB} + 10\\log_{10}(R_b) + N_0 - 10\\log_{10}(\\alpha)$
où $N_0$ est la densité spectrale de bruit en dBm/Hz, $R_b$ est le débit binaire en Hz, et $\\alpha$ est le facteur d'activité vocale.
Étape 2 : Remplacement des données
Avec $(E_b/N_0)_{dB} = 7$ dB, $R_b = 12,2$ kbit/s $= 12200$ Hz, $N_0 = -174$ dBm/Hz, et $\\alpha = 0,67$ :
$10\\log_{10}(R_b) = 10\\log_{10}(12200) = 40,86 \\text{ dB}$
$10\\log_{10}(\\alpha) = 10\\log_{10}(0,67) = -1,74 \\text{ dB}$
$P_{rx,min} = 7 + 40,86 + (-174) - (-1,74)$
Étape 3 : Calcul
$P_{rx,min} = 7 + 40,86 - 174 + 1,74 = -124,40 \\text{ dBm}$
Étape 4 : Résultat de la puissance minimale
$P_{rx,min} = -124,40 \\text{ dBm}$
Vérification du bilan de liaison :
Formule du bilan de liaison :
$P_{rx} = P_{tx} + G_{rx} - L_{fs} - L_{add}$
Remplacement des données :
$P_{rx} = 21 + 18 - 101,77 - 15$
Calcul :
$P_{rx} = 39 - 116,77 = -77,77 \\text{ dBm}$
Marge de liaison :
$\\text{Marge} = P_{rx} - P_{rx,min} = -77,77 - (-124,40) = 46,63 \\text{ dB}$
Résultat final :
$P_{rx} = -77,77 \\text{ dBm}, \\quad \\text{Marge} = 46,63 \\text{ dB}$
Interprétation : La puissance reçue (-77,77 dBm) est largement supérieure à la puissance minimale requise (-124,40 dBm), avec une marge de liaison positive de 46,63 dB. La liaison est donc viable et offre une excellente robustesse contre les variations de propagation et les interférences. Cette marge importante permet de compenser les évanouissements rapides (fading) et garantit une communication de qualité.
", "id_category": "1", "id_number": "22" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Allocation de ressources dans un système LTE 4G
Un opérateur 4G LTE utilise une bande de fréquence de $10$ MHz pour le sens descendant (downlink). Le système utilise la technologie OFDMA avec les paramètres suivants :
- Bande passante du système : $B = 10$ MHz
- Espacement entre sous-porteuses : $\\Delta f = 15$ kHz (standard LTE)
- Nombre de sous-porteuses par bloc de ressources (RB) : $N_{sc}^{RB} = 12$
- Durée d'un slot : $T_{slot} = 0,5$ ms
- Nombre de symboles OFDM par slot : $N_{symb}^{slot} = 7$
- Préfixe cyclique normal utilisé
- Modulation utilisée : 16-QAM avec un taux de codage $R_c = 3/4$
- Overhead (signalisation et pilotes) : $\\eta_{overhead} = 25\\%$ des ressources
Un utilisateur (UE) nécessite un débit applicatif de $D_{app} = 5$ Mbit/s pour une application de streaming vidéo.
Question 1 : Calculer le nombre total de blocs de ressources (RB) disponibles dans la bande passante de $10$ MHz.
Question 2 : Calculer le débit binaire brut (avant codage) qu'un seul bloc de ressources peut fournir pendant une trame de $1$ ms (2 slots), sachant que la modulation 16-QAM transporte $4$ bits par symbole.
Question 3 : En tenant compte du taux de codage, de l'overhead, et du débit applicatif requis, déterminer le nombre minimal de blocs de ressources (RB) que le système doit allouer à cet utilisateur pour satisfaire son besoin de $5$ Mbit/s.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'exercice 2
Question 1 : Calcul du nombre total de blocs de ressources (RB)
Un bloc de ressources (Resource Block - RB) est l'unité fondamentale d'allocation dans LTE. Il occupe une certaine largeur de bande déterminée par le nombre de sous-porteuses et leur espacement.
Étape 1 : Formule générale
La largeur de bande occupée par un RB est :
$B_{RB} = N_{sc}^{RB} \\times \\Delta f$
Le nombre total de RB disponibles est :
$N_{RB} = \\left\\lfloor \\frac{B}{B_{RB}} \\right\\rfloor$
où $\\lfloor \\cdot \\rfloor$ représente la partie entière (les RB doivent être entiers).
Étape 2 : Calcul de la largeur de bande d'un RB
Avec $N_{sc}^{RB} = 12$ sous-porteuses et $\\Delta f = 15$ kHz :
$B_{RB} = 12 \\times 15 = 180 \\text{ kHz}$
Étape 3 : Calcul du nombre de RB
Avec $B = 10$ MHz $= 10000$ kHz :
$N_{RB} = \\left\\lfloor \\frac{10000}{180} \\right\\rfloor = \\lfloor 55,56 \\rfloor$
Étape 4 : Résultat final
$N_{RB} = 50$
Interprétation : Pour une bande passante de 10 MHz, le système LTE dispose de 50 blocs de ressources. Ce résultat correspond à la spécification standard LTE pour cette configuration de bande. Chaque RB occupe 180 kHz, et la bande utile totale est de 9 MHz (50 × 180 kHz), le reste étant utilisé pour les bandes de garde.
Question 2 : Calcul du débit binaire brut par RB
Le débit qu'un RB peut fournir dépend du nombre d'éléments de ressources (RE - Resource Elements) disponibles, de la modulation utilisée, et de la durée de transmission.
Étape 1 : Formule générale
Le nombre d'éléments de ressources dans un RB sur une trame de 1 ms (2 slots) est :
$N_{RE}^{RB} = N_{sc}^{RB} \\times N_{symb}^{slot} \\times 2$
Le débit binaire brut par RB est :
$D_{RB}^{brut} = \\frac{N_{RE}^{RB} \\times m}{T_{trame}}$
où $m$ est le nombre de bits par symbole (pour 16-QAM, $m = 4$) et $T_{trame} = 1$ ms.
Étape 2 : Calcul du nombre d'éléments de ressources
Avec $N_{sc}^{RB} = 12$, $N_{symb}^{slot} = 7$, et 2 slots par trame :
$N_{RE}^{RB} = 12 \\times 7 \\times 2 = 168 \\text{ RE}$
Étape 3 : Calcul du débit brut
Avec $m = 4$ bits/symbole pour 16-QAM et $T_{trame} = 1$ ms $= 10^{-3}$ s :
$D_{RB}^{brut} = \\frac{168 \\times 4}{10^{-3}} = \\frac{672}{10^{-3}}$
$D_{RB}^{brut} = 672000 \\text{ bit/s} = 672 \\text{ kbit/s}$
Étape 4 : Résultat final
$D_{RB}^{brut} = 672 \\text{ kbit/s}$
Interprétation : Un seul bloc de ressources peut transporter 672 kbit/s de données brutes (avant codage de canal) sur une trame de 1 ms avec une modulation 16-QAM. Ce débit représente la capacité théorique maximale d'un RB dans ces conditions.
Question 3 : Calcul du nombre de RB nécessaires pour l'utilisateur
Pour déterminer le nombre de RB à allouer, nous devons tenir compte du taux de codage (qui réduit le débit utile) et de l'overhead (ressources utilisées pour la signalisation).
Étape 1 : Formule générale
Le débit utile par RB après codage et overhead est :
$D_{RB}^{utile} = D_{RB}^{brut} \\times R_c \\times (1 - \\eta_{overhead})$
Le nombre de RB nécessaires est :
$N_{RB}^{requis} = \\left\\lceil \\frac{D_{app}}{D_{RB}^{utile}} \\right\\rceil$
où $\\lceil \\cdot \\rceil$ représente l'arrondi supérieur (on ne peut pas allouer une fraction de RB).
Étape 2 : Calcul du débit utile par RB
Avec $D_{RB}^{brut} = 672$ kbit/s, $R_c = 3/4 = 0,75$, et $\\eta_{overhead} = 0,25$ :
$D_{RB}^{utile} = 672 \\times 0,75 \\times (1 - 0,25)$
$D_{RB}^{utile} = 672 \\times 0,75 \\times 0,75 = 672 \\times 0,5625$
$D_{RB}^{utile} = 378 \\text{ kbit/s}$
Étape 3 : Calcul du nombre de RB requis
Avec $D_{app} = 5$ Mbit/s $= 5000$ kbit/s :
$N_{RB}^{requis} = \\left\\lceil \\frac{5000}{378} \\right\\rceil = \\lceil 13,23 \\rceil$
Étape 4 : Résultat final
$N_{RB}^{requis} = 14 \\text{ RB}$
Vérification du débit réel fourni :
$D_{fourni} = 14 \\times 378 = 5292 \\text{ kbit/s} = 5,292 \\text{ Mbit/s}$
Interprétation : Le système doit allouer 14 blocs de ressources à cet utilisateur pour garantir un débit applicatif de 5 Mbit/s. Cela représente 28% des ressources totales disponibles (14/50). Le débit réel fourni sera de 5,292 Mbit/s, offrant une légère marge au-dessus du débit requis. Cette allocation prend en compte les pertes dues au codage de canal (qui ajoute de la redondance pour corriger les erreurs) et à l'overhead de signalisation (ressources utilisées pour les signaux de référence et les canaux de contrôle).
", "id_category": "1", "id_number": "23" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Analyse de la numérologie flexible 5G NR et latence
Le réseau 5G NR introduit le concept de numérologie flexible, permettant d'adapter l'espacement des sous-porteuses selon les cas d'usage. Un opérateur 5G déploie un réseau pour supporter à la fois des communications enhanced Mobile Broadband (eMBB) et Ultra-Reliable Low-Latency Communications (URLLC).
Les paramètres suivants sont considérés :
- Bande de fréquence : $n78$ (3,5 GHz)
- Largeur de canal : $100$ MHz
- Pour eMBB : numérologie $\\mu = 1$ (espacement sous-porteuses $\\Delta f = 30$ kHz)
- Pour URLLC : numérologie $\\mu = 2$ (espacement sous-porteuses $\\Delta f = 60$ kHz)
- Nombre de sous-porteuses par RB : $12$ (constant pour 5G NR)
- Nombre de symboles OFDM par slot : $14$
- Préfixe cyclique normal
- Pour calcul de latence : temps de traitement $T_{proc} = 3$ symboles OFDM
Question 1 : Pour chaque numérologie ($\\mu = 1$ et $\\mu = 2$), calculer la durée d'un slot $T_{slot}$ et la durée d'un symbole OFDM $T_{symb}$. Utiliser la relation standard 5G NR : $\\Delta f = 2^{\\mu} \\times 15$ kHz et $T_{slot} = \\frac{1}{2^{\\mu}}$ ms.
Question 2 : Calculer le nombre maximal de blocs de ressources (RB) que le système peut allouer dans la largeur de canal de $100$ MHz pour chaque numérologie.
Question 3 : Pour une transmission URLLC critique nécessitant l'envoi d'un paquet de données dans un seul slot avec retour d'acquittement (acknowledgement), calculer la latence totale aller-retour (Round-Trip Time - RTT) en considérant : transmission downlink (1 slot), temps de traitement au UE (3 symboles), transmission uplink de l'ACK (1 slot), et temps de traitement à la station de base (3 symboles). Comparer cette latence avec celle qu'on obtiendrait en utilisant la numérologie $\\mu = 1$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'exercice 3
Question 1 : Calcul de la durée d'un slot et d'un symbole OFDM pour chaque numérologie
La 5G NR utilise une numérologie flexible basée sur le paramètre $\\mu$, qui détermine l'espacement des sous-porteuses et les durées temporelles. Des valeurs plus élevées de $\\mu$ réduisent les durées pour diminuer la latence.
Pour la numérologie μ=1 (eMBB) :
Étape 1 : Formules générales
L'espacement des sous-porteuses est :
$\\Delta f = 2^{\\mu} \\times 15 \\text{ kHz}$
La durée d'un slot est :
$T_{slot} = \\frac{1}{2^{\\mu}} \\text{ ms}$
La durée d'un symbole OFDM est :
$T_{symb} = \\frac{T_{slot}}{N_{symb}^{slot}}$
Étape 2 : Remplacement des données pour μ=1
Avec $\\mu = 1$ et $N_{symb}^{slot} = 14$ :
$\\Delta f = 2^{1} \\times 15 = 30 \\text{ kHz}$
$T_{slot} = \\frac{1}{2^{1}} = \\frac{1}{2} = 0,5 \\text{ ms}$
Étape 3 : Calcul de la durée du symbole
$T_{symb} = \\frac{0,5}{14} = 0,0357 \\text{ ms} = 35,7 \\text{ μs}$
Résultat pour μ=1 :
$T_{slot}^{\\mu=1} = 0,5 \\text{ ms}, \\quad T_{symb}^{\\mu=1} = 35,7 \\text{ μs}$
Pour la numérologie μ=2 (URLLC) :
Étape 4 : Remplacement des données pour μ=2
Avec $\\mu = 2$ et $N_{symb}^{slot} = 14$ :
$\\Delta f = 2^{2} \\times 15 = 60 \\text{ kHz}$
$T_{slot} = \\frac{1}{2^{2}} = \\frac{1}{4} = 0,25 \\text{ ms}$
Étape 5 : Calcul de la durée du symbole
$T_{symb} = \\frac{0,25}{14} = 0,0179 \\text{ ms} = 17,9 \\text{ μs}$
Résultat pour μ=2 :
$T_{slot}^{\\mu=2} = 0,25 \\text{ ms}, \\quad T_{symb}^{\\mu=2} = 17,9 \\text{ μs}$
Interprétation : En doublant l'espacement des sous-porteuses (de 30 à 60 kHz), la numérologie $\\mu=2$ réduit la durée du slot de moitié (0,5 ms à 0,25 ms) et la durée du symbole de moitié également (35,7 μs à 17,9 μs). Cette réduction est cruciale pour les applications URLLC qui nécessitent une latence ultra-faible.
Question 2 : Calcul du nombre de blocs de ressources pour chaque numérologie
Le nombre de RB dépend de la largeur de bande disponible et de l'espacement des sous-porteuses, qui varie selon la numérologie.
Étape 1 : Formule générale
La largeur de bande d'un RB est :
$B_{RB} = N_{sc}^{RB} \\times \\Delta f$
Le nombre de RB disponibles est :
$N_{RB} = \\left\\lfloor \\frac{B_{canal}}{B_{RB}} \\right\\rfloor$
Pour μ=1 :
Étape 2 : Calcul de la largeur de bande d'un RB
Avec $N_{sc}^{RB} = 12$ et $\\Delta f = 30$ kHz :
$B_{RB}^{\\mu=1} = 12 \\times 30 = 360 \\text{ kHz}$
Étape 3 : Calcul du nombre de RB
Avec $B_{canal} = 100$ MHz $= 100000$ kHz :
$N_{RB}^{\\mu=1} = \\left\\lfloor \\frac{100000}{360} \\right\\rfloor = \\lfloor 277,78 \\rfloor = 273$
Résultat pour μ=1 :
$N_{RB}^{\\mu=1} = 273 \\text{ RB}$
Pour μ=2 :
Étape 4 : Calcul de la largeur de bande d'un RB
Avec $N_{sc}^{RB} = 12$ et $\\Delta f = 60$ kHz :
$B_{RB}^{\\mu=2} = 12 \\times 60 = 720 \\text{ kHz}$
Étape 5 : Calcul du nombre de RB
Avec $B_{canal} = 100$ MHz :
$N_{RB}^{\\mu=2} = \\left\\lfloor \\frac{100000}{720} \\right\\rfloor = \\lfloor 138,89 \\rfloor = 135$
Résultat pour μ=2 :
$N_{RB}^{\\mu=2} = 135 \\text{ RB}$
Interprétation : Avec une numérologie plus élevée ($\\mu=2$), l'espacement des sous-porteuses double, ce qui double également la largeur de chaque RB (360 kHz à 720 kHz). Par conséquent, le nombre de RB disponibles dans la même bande passante est divisé approximativement par deux (273 RB pour $\\mu=1$ contre 135 RB pour $\\mu=2$). C'est un compromis : URLLC sacrifie la capacité spectrale pour gagner en latence.
Question 3 : Calcul de la latence RTT pour URLLC
La latence totale aller-retour comprend la transmission downlink, le traitement au UE, la transmission uplink de l'ACK, et le traitement à la station de base.
Pour μ=2 (URLLC) :
Étape 1 : Formule générale de la latence RTT
$T_{RTT} = T_{DL} + T_{proc,UE} + T_{UL} + T_{proc,gNB}$
où :
$T_{DL} = 1 \\times T_{slot}$ (transmission downlink)
$T_{proc,UE} = 3 \\times T_{symb}$ (traitement au UE)
$T_{UL} = 1 \\times T_{slot}$ (transmission uplink ACK)
$T_{proc,gNB} = 3 \\times T_{symb}$ (traitement à la station de base)
Étape 2 : Remplacement des données pour μ=2
Avec $T_{slot}^{\\mu=2} = 0,25$ ms et $T_{symb}^{\\mu=2} = 0,0179$ ms :
$T_{DL} = 1 \\times 0,25 = 0,25 \\text{ ms}$
$T_{proc,UE} = 3 \\times 0,0179 = 0,0537 \\text{ ms}$
$T_{UL} = 1 \\times 0,25 = 0,25 \\text{ ms}$
$T_{proc,gNB} = 3 \\times 0,0179 = 0,0537 \\text{ ms}$
Étape 3 : Calcul de la latence totale
$T_{RTT}^{\\mu=2} = 0,25 + 0,0537 + 0,25 + 0,0537$
$T_{RTT}^{\\mu=2} = 0,6074 \\text{ ms}$
Résultat pour μ=2 :
$T_{RTT}^{\\mu=2} = 0,607 \\text{ ms}$
Pour μ=1 (comparaison) :
Étape 4 : Calcul pour μ=1
Avec $T_{slot}^{\\mu=1} = 0,5$ ms et $T_{symb}^{\\mu=1} = 0,0357$ ms :
$T_{DL} = 1 \\times 0,5 = 0,5 \\text{ ms}$
$T_{proc,UE} = 3 \\times 0,0357 = 0,1071 \\text{ ms}$
$T_{UL} = 1 \\times 0,5 = 0,5 \\text{ ms}$
$T_{proc,gNB} = 3 \\times 0,0357 = 0,1071 \\text{ ms}$
$T_{RTT}^{\\mu=1} = 0,5 + 0,1071 + 0,5 + 0,1071 = 1,2142 \\text{ ms}$
Résultat pour μ=1 :
$T_{RTT}^{\\mu=1} = 1,214 \\text{ ms}$
Comparaison et réduction de latence :
$\\text{Réduction} = T_{RTT}^{\\mu=1} - T_{RTT}^{\\mu=2} = 1,214 - 0,607 = 0,607 \\text{ ms}$
$\\text{Pourcentage de réduction} = \\frac{0,607}{1,214} \\times 100 = 50\\%$
Résultat final :
$T_{RTT}^{\\mu=2} = 0,607 \\text{ ms}, \\quad \\text{Réduction de latence} = 50\\%$
Interprétation : En utilisant la numérologie $\\mu=2$ optimisée pour URLLC, la latence RTT est réduite à 0,607 ms, soit environ 50% de moins que la latence avec $\\mu=1$ (1,214 ms). Cette réduction drastique permet à la 5G NR de satisfaire les exigences des applications critiques comme le contrôle industriel en temps réel, les véhicules autonomes, et la chirurgie à distance, qui nécessitent des latences inférieures à 1 ms. Le compromis est une capacité spectrale réduite (moins de RB disponibles), mais pour les applications URLLC, la fiabilité et la faible latence sont prioritaires sur le débit.
", "id_category": "1", "id_number": "24" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Dimensionnement et analyse de performances d'un réseau LTE-4G
Un opérateur de télécommunications déploie un réseau LTE-4G dans une zone urbaine dense. Le système utilise une bande de fréquence de $2.6\\text{ GHz}$ avec une largeur de bande de $20\\text{ MHz}$. La station de base (eNodeB) est équipée d'antennes MIMO $2\\times2$ et utilise la modulation 64-QAM avec un taux de codage de $\\frac{5}{6}$.
Les paramètres techniques du système sont les suivants :
- Nombre de Resource Blocks (RB) pour $20\\text{ MHz}$ : $N_{RB} = 100$
- Nombre de sous-porteuses par RB : $12$
- Nombre de symboles OFDM par subframe (CP normal) : $14$
- Durée d'une subframe : $1\\text{ ms}$
- Pourcentage de ressources pour les signaux de référence et contrôle : $25\\%$
- Configuration TDD : ratio DL/UL = $3:1$
Question 1 : Calculez le débit théorique maximal en Downlink (DL) du système LTE en Mbps, en tenant compte de tous les paramètres mentionnés ci-dessus.
Question 2 : Sachant que la puissance d'émission de l'eNodeB est $P_t = 46\\text{ dBm}$, le gain de l'antenne d'émission est $G_t = 18\\text{ dBi}$, le gain de l'antenne de réception est $G_r = 0\\text{ dBi}$, et les pertes de câbles sont $L_c = 2\\text{ dB}$, calculez la puissance reçue (RSRP - Reference Signal Received Power) à une distance de $d = 500\\text{ m}$ en utilisant le modèle de propagation en espace libre. La formule de perte en espace libre est : $L_{fs} = 32.45 + 20\\log_{10}(f_{MHz}) + 20\\log_{10}(d_{km})$.
Question 3 : Si le bruit thermique est donné par $N_0 = -174\\text{ dBm/Hz}$ et la largeur de bande utilisée est $20\\text{ MHz}$ (avec un facteur de bruit de $F = 7\\text{ dB}$), calculez le rapport signal sur bruit (SNR) au niveau du récepteur UE (User Equipment) à la distance de $500\\text{ m}$. Utilisez la puissance reçue calculée dans la question 2.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 1 : Dimensionnement et analyse de performances d'un réseau LTE-4G
Question 1 : Calcul du débit théorique maximal en Downlink
Le débit théorique maximal d'un système LTE dépend de plusieurs paramètres : le nombre de Resource Blocks, le nombre de sous-porteuses par RB, le nombre de symboles OFDM par subframe, le nombre de bits par symbole (modulation), le taux de codage, le nombre de couches MIMO, et l'overhead du système.
Étape 1 : Formule générale du débit LTE
$D_{max} = \\frac{N_{RB} \\times N_{sc} \\times N_{symb} \\times M \\times R \\times N_{layers} \\times (1 - OH)}{T_{subframe}}$
Où :
- $N_{RB} = 100$ : nombre de Resource Blocks
- $N_{sc} = 12$ : nombre de sous-porteuses par RB
- $N_{symb} = 14$ : nombre de symboles OFDM par subframe
- $M = 6$ : nombre de bits par symbole pour 64-QAM ($2^6 = 64$)
- $R = \\frac{5}{6}$ : taux de codage
- $N_{layers} = 2$ : nombre de couches MIMO ($2\\times2$)
- $OH = 0.25$ : overhead (25%)
- $T_{subframe} = 1\\text{ ms} = 10^{-3}\\text{ s}$
Étape 2 : Calcul du nombre total de bits utiles par subframe
$N_{bits} = 100 \\times 12 \\times 14 \\times 6 \\times \\frac{5}{6} \\times 2 \\times (1 - 0.25)$
$N_{bits} = 100 \\times 12 \\times 14 \\times 6 \\times 0.8333 \\times 2 \\times 0.75$
$N_{bits} = 100 \\times 12 \\times 14 \\times 6 \\times 0.8333 \\times 1.5$
$N_{bits} = 1200 \\times 14 \\times 6 \\times 0.8333 \\times 1.5$
$N_{bits} = 16800 \\times 6 \\times 0.8333 \\times 1.5$
$N_{bits} = 100800 \\times 0.8333 \\times 1.5$
$N_{bits} = 83997.6 \\times 1.5 = 125996.4\\text{ bits}$
Étape 3 : Calcul du débit en tenant compte de la configuration TDD
Pour une configuration TDD avec ratio DL/UL = 3:1, sur 10 subframes, 7.5 sont dédiées au DL (en tenant compte des subframes spéciales). Facteur de correction TDD : $\\eta_{TDD} = 0.75$
$D_{max} = \\frac{125996.4 \\times 0.75}{10^{-3}} = \\frac{94497.3}{10^{-3}}\\text{ bps}$
$D_{max} = 94.497 \\times 10^{6}\\text{ bps} = 94.497\\text{ Mbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{max} \\approx 94.5\\text{ Mbps}}$
Question 2 : Calcul de la puissance reçue (RSRP)
La puissance reçue dépend de la puissance d'émission, des gains d'antennes, des pertes de câbles et des pertes de propagation en espace libre.
Étape 1 : Calcul de la perte en espace libre
$L_{fs} = 32.45 + 20\\log_{10}(f_{MHz}) + 20\\log_{10}(d_{km})$
Avec $f = 2600\\text{ MHz}$ et $d = 0.5\\text{ km}$ :
$L_{fs} = 32.45 + 20\\log_{10}(2600) + 20\\log_{10}(0.5)$
$L_{fs} = 32.45 + 20 \\times 3.415 + 20 \\times (-0.301)$
$L_{fs} = 32.45 + 68.3 - 6.02$
$L_{fs} = 94.73\\text{ dB}$
Étape 2 : Formule de la puissance reçue
$P_r = P_t + G_t + G_r - L_c - L_{fs}$
Étape 3 : Remplacement des valeurs
$P_r = 46 + 18 + 0 - 2 - 94.73$
$P_r = 64 - 96.73$
$P_r = -32.73\\text{ dBm}$
Résultat final :
$\\boxed{P_r = -32.73\\text{ dBm}}$
Cette valeur représente le RSRP au niveau du récepteur UE. C'est un niveau de signal acceptable pour une communication LTE (généralement > -110 dBm pour un bon service).
Question 3 : Calcul du rapport signal sur bruit (SNR)
Le SNR est le rapport entre la puissance du signal reçu et la puissance du bruit total au niveau du récepteur.
Étape 1 : Calcul de la puissance de bruit totale
La puissance de bruit thermique est donnée par :
$N = N_0 + 10\\log_{10}(BW) + F$
Où :
- $N_0 = -174\\text{ dBm/Hz}$ : densité spectrale de bruit thermique
- $BW = 20 \\times 10^6\\text{ Hz}$ : largeur de bande
- $F = 7\\text{ dB}$ : facteur de bruit
Étape 2 : Calcul de $10\\log_{10}(BW)$
$10\\log_{10}(20 \\times 10^6) = 10\\log_{10}(2 \\times 10^7)$
$10\\log_{10}(2 \\times 10^7) = 10(\\log_{10}(2) + 7) = 10(0.301 + 7)$
$10\\log_{10}(2 \\times 10^7) = 10 \\times 7.301 = 73.01\\text{ dB}$
Étape 3 : Calcul de la puissance de bruit totale
$N = -174 + 73.01 + 7$
$N = -93.99\\text{ dBm}$
Étape 4 : Formule du SNR
$SNR = P_r - N$
Étape 5 : Remplacement des valeurs
$SNR = -32.73 - (-93.99)$
$SNR = -32.73 + 93.99$
$SNR = 61.26\\text{ dB}$
Résultat final :
$\\boxed{SNR = 61.26\\text{ dB}}$
Ce SNR très élevé indique d'excellentes conditions de réception à 500 m, permettant l'utilisation de modulations élevées (64-QAM) et l'obtention de débits maximaux. Un SNR > 20 dB est généralement suffisant pour du 64-QAM en LTE.
", "id_category": "1", "id_number": "25" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Analyse spectrale et efficacité d'un réseau 5G NR
Un opérateur déploie un réseau 5G NR (New Radio) dans la bande de fréquence $n78$ ($3.5\\text{ GHz}$) avec une largeur de bande de $100\\text{ MHz}$. Le système utilise un espacement de sous-porteuses (SCS) de $30\\text{ kHz}$ et une configuration MIMO $4\\times4$ avec modulation 256-QAM.
Les paramètres techniques du système 5G NR sont :
- Espacement des sous-porteuses (SCS) : $\\Delta f = 30\\text{ kHz}$
- Nombre de symboles OFDM par slot : $14$
- Nombre de slots par subframe : $4$ (pour SCS = 30 kHz)
- Durée d'une subframe : $1\\text{ ms}$
- Overhead (signaux de référence, contrôle, guard bands) : $20\\%$
- Taux de codage effectif : $R = 0.92$
- Configuration TDD : $80\\%$ du temps en DL
Question 1 : Calculez le nombre total de Resource Blocks (RB) disponibles dans la bande de $100\\text{ MHz}$ sachant qu'un RB en 5G NR contient $12$ sous-porteuses consécutives. Déterminez ensuite le nombre total de sous-porteuses utilisées.
Question 2 : Calculez le débit théorique maximal (Peak Data Rate) en Downlink en Gbps pour ce système 5G NR, en tenant compte de tous les paramètres mentionnés, incluant la modulation 256-QAM ($8$ bits/symbole), le MIMO $4\\times4$, l'overhead de $20\\%$, et la configuration TDD.
Question 3 : Calculez l'efficacité spectrale du système en bps/Hz en divisant le débit effectif par la largeur de bande totale. Comparez ce résultat avec l'efficacité spectrale théorique maximale de la 5G (qui peut atteindre $30\\text{ bps/Hz}$ en conditions idéales) et exprimez le résultat obtenu en pourcentage de cette valeur maximale théorique.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 2 : Analyse spectrale et efficacité d'un réseau 5G NR
Question 1 : Calcul du nombre de Resource Blocks et de sous-porteuses
En 5G NR, un Resource Block contient toujours 12 sous-porteuses consécutives, quelle que soit l'espacement des sous-porteuses (SCS). Le nombre de RB disponibles dépend de la largeur de bande totale et de l'espacement des sous-porteuses.
Étape 1 : Formule du nombre de sous-porteuses utilisables
La largeur de bande utilisable effective (en tenant compte des guard bands) :
$BW_{utilisable} \\approx BW_{totale} \\times 0.95$
Pour $BW_{totale} = 100\\text{ MHz}$ :
$BW_{utilisable} = 100 \\times 0.95 = 95\\text{ MHz}$
Étape 2 : Calcul du nombre total de sous-porteuses
$N_{sc\\_total} = \\frac{BW_{utilisable}}{\\Delta f}$
Avec $\\Delta f = 30\\text{ kHz} = 30 \\times 10^3\\text{ Hz}$ :
$N_{sc\\_total} = \\frac{95 \\times 10^6}{30 \\times 10^3}$
$N_{sc\\_total} = \\frac{95 \\times 10^6}{3 \\times 10^4}$
$N_{sc\\_total} = \\frac{95}{3} \\times 10^2 = 31.667 \\times 100$
$N_{sc\\_total} = 3166.67 \\approx 3168\\text{ sous-porteuses}$
(Arrondi à un multiple de 12 pour avoir un nombre entier de RB)
Étape 3 : Calcul du nombre de Resource Blocks
$N_{RB} = \\frac{N_{sc\\_total}}{12}$
$N_{RB} = \\frac{3168}{12}$
$N_{RB} = 264\\text{ RB}$
Résultats finaux :
$\\boxed{N_{RB} = 264\\text{ Resource Blocks}}$
$\\boxed{N_{sc\\_total} = 3168\\text{ sous-porteuses}}$
Cette configuration correspond aux spécifications 3GPP pour la 5G NR avec SCS de 30 kHz et bande de 100 MHz.
Question 2 : Calcul du débit théorique maximal (Peak Data Rate)
Le débit théorique maximal en 5G NR dépend du nombre de RB, du nombre de symboles par slot, du nombre de slots, de la modulation, du taux de codage, du nombre de couches MIMO, et des overheads.
Étape 1 : Formule générale du débit 5G NR
$D_{peak} = \\frac{N_{RB} \\times N_{sc\\_RB} \\times N_{symb} \\times N_{slots} \\times M \\times R \\times N_{layers} \\times (1-OH) \\times \\eta_{TDD}}{T_{subframe}}$
Où :
- $N_{RB} = 264$ : nombre de Resource Blocks
- $N_{sc\\_RB} = 12$ : sous-porteuses par RB
- $N_{symb} = 14$ : symboles OFDM par slot
- $N_{slots} = 4$ : slots par subframe (SCS = 30 kHz)
- $M = 8$ : bits par symbole (256-QAM, $2^8 = 256$)
- $R = 0.92$ : taux de codage
- $N_{layers} = 4$ : couches MIMO $4\\times4$
- $OH = 0.20$ : overhead (20%)
- $\\eta_{TDD} = 0.80$ : facteur TDD (80% DL)
- $T_{subframe} = 1\\text{ ms} = 10^{-3}\\text{ s}$
Étape 2 : Calcul du nombre total de bits par subframe
$N_{bits} = 264 \\times 12 \\times 14 \\times 4 \\times 8 \\times 0.92 \\times 4 \\times 0.80 \\times 0.80$
Calculons étape par étape :
$264 \\times 12 = 3168$
$3168 \\times 14 = 44352$
$44352 \\times 4 = 177408$
$177408 \\times 8 = 1419264$
$1419264 \\times 0.92 = 1305722.88$
$1305722.88 \\times 4 = 5222891.52$
$5222891.52 \\times 0.80 = 4178313.216$
$4178313.216 \\times 0.80 = 3342650.573\\text{ bits}$
Étape 3 : Calcul du débit en Gbps
$D_{peak} = \\frac{3342650.573}{10^{-3}}\\text{ bps}$
$D_{peak} = 3342650573\\text{ bps} = 3342.65\\text{ Mbps}$
$D_{peak} = 3.343\\text{ Gbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{peak} = 3.34\\text{ Gbps}}$
Ce débit représente la capacité théorique maximale en conditions idéales avec 256-QAM et MIMO 4×4.
Question 3 : Calcul de l'efficacité spectrale
L'efficacité spectrale mesure le débit de données par unité de largeur de bande, exprimée en bps/Hz. C'est un indicateur clé de la performance d'un système de communication.
Étape 1 : Formule de l'efficacité spectrale
$\\eta_{spectrale} = \\frac{D_{peak}}{BW_{totale}}$
Étape 2 : Conversion du débit en bps
$D_{peak} = 3.343\\text{ Gbps} = 3.343 \\times 10^9\\text{ bps}$
Étape 3 : Calcul de l'efficacité spectrale
$\\eta_{spectrale} = \\frac{3.343 \\times 10^9}{100 \\times 10^6}$
$\\eta_{spectrale} = \\frac{3.343 \\times 10^9}{10^8}$
$\\eta_{spectrale} = 33.43\\text{ bps/Hz}$
Étape 4 : Comparaison avec la valeur maximale théorique de la 5G
La spécification 3GPP indique une efficacité spectrale maximale théorique de $30\\text{ bps/Hz}$ pour la 5G.
$Pourcentage = \\frac{\\eta_{spectrale\\_obtenue}}{\\eta_{spectrale\\_max}} \\times 100$
$Pourcentage = \\frac{33.43}{30} \\times 100$
$Pourcentage = 1.114 \\times 100 = 111.4\\%$
Résultats finaux :
$\\boxed{\\eta_{spectrale} = 33.43\\text{ bps/Hz}}$
$\\boxed{Pourcentage = 111.4\\% \\text{ de la valeur maximale théorique}}$
Interprétation : Le résultat supérieur à 100% s'explique par les paramètres optimistes utilisés (taux de codage élevé de 0.92, MIMO 4×4, 256-QAM). Dans la pratique, la valeur de 30 bps/Hz est une référence conservative. Notre calcul démontre le potentiel théorique maximal du système dans des conditions idéales (SNR très élevé, pas d'interférences, canal parfait), mais en réalité, l'efficacité spectrale effective serait plus proche de 20-25 bps/Hz.
", "id_category": "1", "id_number": "26" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Bilan de liaison et planification cellulaire pour un réseau 3G UMTS
Un opérateur télécom planifie le déploiement d'un réseau 3G UMTS dans une zone suburbaine. Le système utilise la technologie WCDMA (Wideband Code Division Multiple Access) avec une largeur de bande de $5\\text{ MHz}$ et une fréquence porteuse de $2.1\\text{ GHz}$ (bande $I$).
Les paramètres du système sont les suivants :
- Puissance d'émission de la NodeB : $P_t = 43\\text{ dBm}$
- Gain de l'antenne NodeB : $G_t = 17\\text{ dBi}$
- Gain de l'antenne mobile (UE) : $G_r = 0\\text{ dBi}$
- Pertes de câbles et connecteurs : $L_c = 3\\text{ dB}$
- Marge de fading : $M_f = 8\\text{ dB}$
- Bruit thermique : $N_0 = -174\\text{ dBm/Hz}$
- Facteur de bruit du récepteur : $F = 8\\text{ dB}$
- Largeur de bande : $W = 5\\text{ MHz}$
- Débit requis pour service voix : $R_b = 12.2\\text{ kbps}$
- Rapport $E_b/N_0$ requis pour voix : $5\\text{ dB}$
- Gain de traitement : $G_p = 10\\log_{10}\\left(\\frac{W}{R_b}\\right)$
Question 1 : Calculez le gain de traitement $G_p$ en dB du système UMTS pour le service voix sachant que $W = 5\\text{ MHz}$ et $R_b = 12.2\\text{ kbps}$. Le gain de traitement représente l'avantage spectral offert par la technique d'étalement de spectre CDMA.
Question 2 : Calculez la sensibilité du récepteur $P_{rx\\_min}$ en dBm, qui représente la puissance minimale nécessaire au récepteur pour démoduler correctement le signal. Utilisez la formule : $P_{rx\\_min} = N_0 + 10\\log_{10}(W) + F + \\frac{E_b}{N_0} - G_p$.
Question 3 : Calculez la perte de propagation maximale admissible (MAPL - Maximum Allowable Path Loss) en dB, puis déterminez la portée maximale de la cellule $d_{max}$ en kilomètres en utilisant le modèle de propagation Okumura-Hata pour zone suburbaine : $L_p = 46.3 + 33.9\\log_{10}(f_{MHz}) - 13.82\\log_{10}(h_b) - a(h_m) + [44.9 - 6.55\\log_{10}(h_b)]\\log_{10}(d_{km}) - 2[\\log_{10}(f_{MHz}/28)]^2 - 5.4$, où $h_b = 30\\text{ m}$ (hauteur antenne NodeB), $h_m = 1.5\\text{ m}$ (hauteur antenne mobile), $a(h_m) = (1.1\\log_{10}(f_{MHz}) - 0.7)h_m - (1.56\\log_{10}(f_{MHz}) - 0.8)$, et $f_{MHz} = 2100\\text{ MHz}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'Exercice 3 : Bilan de liaison et planification cellulaire pour un réseau 3G UMTS
Question 1 : Calcul du gain de traitement (Processing Gain)
Le gain de traitement $G_p$ en CDMA représente le rapport entre la largeur de bande d'étalement $W$ et le débit binaire du signal utilisateur $R_b$. C'est un avantage fondamental de la technique d'étalement de spectre qui permet de combattre les interférences et le bruit.
Étape 1 : Formule du gain de traitement
$G_p = 10\\log_{10}\\left(\\frac{W}{R_b}\\right)$
Où :
- $W = 5\\text{ MHz} = 5 \\times 10^6\\text{ Hz}$ : largeur de bande d'étalement
- $R_b = 12.2\\text{ kbps} = 12.2 \\times 10^3\\text{ bps}$ : débit binaire pour service voix
Étape 2 : Calcul du rapport $\\frac{W}{R_b}$
$\\frac{W}{R_b} = \\frac{5 \\times 10^6}{12.2 \\times 10^3}$
$\\frac{W}{R_b} = \\frac{5 \\times 10^6}{1.22 \\times 10^4}$
$\\frac{W}{R_b} = \\frac{5}{1.22} \\times 10^{6-4} = \\frac{5}{1.22} \\times 10^2$
$\\frac{W}{R_b} = 4.098 \\times 10^2 = 409.8$
Étape 3 : Calcul du gain en dB
$G_p = 10\\log_{10}(409.8)$
$G_p = 10 \\times 2.6125$
$G_p = 26.125\\text{ dB}$
Résultat final :
$\\boxed{G_p = 26.1\\text{ dB}}$
Interprétation : Un gain de traitement de 26.1 dB signifie que le signal utile est étalé sur une bande environ 410 fois plus large que nécessaire. Cet étalement permet de réduire l'effet des interférences et du bruit par un facteur équivalent lors de la désétalement au récepteur, ce qui est le principe fondamental du CDMA.
Question 2 : Calcul de la sensibilité du récepteur
La sensibilité du récepteur $P_{rx\\_min}$ représente la puissance minimale du signal que le récepteur doit recevoir pour démoduler correctement le signal avec le taux d'erreur acceptable.
Étape 1 : Formule de la sensibilité du récepteur
$P_{rx\\_min} = N_0 + 10\\log_{10}(W) + F + \\frac{E_b}{N_0} - G_p$
Où :
- $N_0 = -174\\text{ dBm/Hz}$ : densité spectrale de bruit thermique
- $W = 5 \\times 10^6\\text{ Hz}$ : largeur de bande
- $F = 8\\text{ dB}$ : facteur de bruit du récepteur
- $\\frac{E_b}{N_0} = 5\\text{ dB}$ : rapport énergie par bit sur densité de bruit requis
- $G_p = 26.1\\text{ dB}$ : gain de traitement (calculé précédemment)
Étape 2 : Calcul de $10\\log_{10}(W)$
$10\\log_{10}(5 \\times 10^6) = 10\\log_{10}(5) + 10\\log_{10}(10^6)$
$10\\log_{10}(5 \\times 10^6) = 10 \\times 0.699 + 60$
$10\\log_{10}(5 \\times 10^6) = 6.99 + 60 = 66.99\\text{ dB}$
Étape 3 : Calcul de la puissance de bruit totale
$N_{total} = N_0 + 10\\log_{10}(W) + F$
$N_{total} = -174 + 66.99 + 8$
$N_{total} = -99.01\\text{ dBm}$
Étape 4 : Calcul de la sensibilité
$P_{rx\\_min} = -174 + 66.99 + 8 + 5 - 26.1$
$P_{rx\\_min} = -174 + 79.99 - 26.1$
$P_{rx\\_min} = -94.01 - 26.1$
$P_{rx\\_min} = -120.11\\text{ dBm}$
Résultat final :
$\\boxed{P_{rx\\_min} = -120.1\\text{ dBm}}$
Interprétation : Cette sensibilité de -120.1 dBm représente le niveau de signal minimal au-dessous duquel la communication vocale ne peut pas être maintenue avec la qualité requise. C'est une valeur typique pour les systèmes UMTS, montrant la robustesse de la technologie WCDMA.
Question 3 : Calcul de la perte de propagation maximale (MAPL) et de la portée
Le MAPL représente la perte de propagation maximale tolérée entre l'émetteur et le récepteur tout en maintenant une communication acceptable.
Étape 1 : Formule du MAPL (bilan de liaison)
$MAPL = P_t + G_t + G_r - L_c - M_f - P_{rx\\_min}$
Où :
- $P_t = 43\\text{ dBm}$ : puissance d'émission
- $G_t = 17\\text{ dBi}$ : gain antenne émission
- $G_r = 0\\text{ dBi}$ : gain antenne réception
- $L_c = 3\\text{ dB}$ : pertes câbles
- $M_f = 8\\text{ dB}$ : marge de fading
- $P_{rx\\_min} = -120.1\\text{ dBm}$ : sensibilité du récepteur
Étape 2 : Calcul du MAPL
$MAPL = 43 + 17 + 0 - 3 - 8 - (-120.1)$
$MAPL = 43 + 17 - 3 - 8 + 120.1$
$MAPL = 60 - 11 + 120.1$
$MAPL = 169.1\\text{ dB}$
Résultat intermédiaire :
$\\boxed{MAPL = 169.1\\text{ dB}}$
Étape 3 : Calcul du facteur de correction $a(h_m)$ pour le modèle Okumura-Hata
$a(h_m) = (1.1\\log_{10}(f_{MHz}) - 0.7)h_m - (1.56\\log_{10}(f_{MHz}) - 0.8)$
Avec $f_{MHz} = 2100\\text{ MHz}$ et $h_m = 1.5\\text{ m}$ :
$\\log_{10}(2100) = 3.322$
$a(h_m) = (1.1 \\times 3.322 - 0.7) \\times 1.5 - (1.56 \\times 3.322 - 0.8)$
$a(h_m) = (3.654 - 0.7) \\times 1.5 - (5.182 - 0.8)$
$a(h_m) = 2.954 \\times 1.5 - 4.382$
$a(h_m) = 4.431 - 4.382 = 0.049\\text{ dB}$
Étape 4 : Simplification du modèle Okumura-Hata suburbain
$L_p = A + B\\log_{10}(d_{km})$
Où :
$A = 46.3 + 33.9\\log_{10}(f_{MHz}) - 13.82\\log_{10}(h_b) - a(h_m) - 2[\\log_{10}(f_{MHz}/28)]^2 - 5.4$
$B = 44.9 - 6.55\\log_{10}(h_b)$
Avec $h_b = 30\\text{ m}$ :
$\\log_{10}(30) = 1.477$
$B = 44.9 - 6.55 \\times 1.477 = 44.9 - 9.674 = 35.226$
$\\log_{10}(2100/28) = \\log_{10}(75) = 1.875$
$A = 46.3 + 33.9 \\times 3.322 - 13.82 \\times 1.477 - 0.049 - 2 \\times (1.875)^2 - 5.4$
$A = 46.3 + 112.616 - 20.411 - 0.049 - 7.031 - 5.4$
$A = 126.025\\text{ dB}$
Étape 5 : Résolution pour $d_{max}$
$MAPL = A + B\\log_{10}(d_{max})$
$169.1 = 126.025 + 35.226\\log_{10}(d_{max})$
$169.1 - 126.025 = 35.226\\log_{10}(d_{max})$
$43.075 = 35.226\\log_{10}(d_{max})$
$\\log_{10}(d_{max}) = \\frac{43.075}{35.226} = 1.223$
$d_{max} = 10^{1.223} = 16.71\\text{ km}$
Résultat final :
$\\boxed{d_{max} = 16.7\\text{ km}}$
Interprétation : La portée maximale de 16.7 km est typique pour une cellule UMTS en zone suburbaine. Cette distance garantit que les utilisateurs situés jusqu'à cette distance de la NodeB peuvent maintenir une communication vocale de qualité acceptable. En pratique, la portée effective sera inférieure en raison des obstacles (bâtiments, végétation) et des variations du terrain non prises en compte par le modèle simplifié.
", "id_category": "1", "id_number": "27" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Dimensionnement d'un réseau UMTS/WCDMA 3G
Un opérateur de téléphonie mobile déploie un réseau UMTS en mode FDD (Frequency Division Duplex) dans une zone urbaine dense. Le système utilise la technologie WCDMA avec un débit chip de $3.84$ Mchip/s et une bande passante par porteuse de $5$ MHz.
L'opérateur souhaite dimensionner sa cellule pour offrir un service voix avec les caractéristiques suivantes :
- Débit de service voix : $R_b = 12.2$ kbit/s
- Rapport $\\frac{E_b}{N_0}$ requis pour la voix : $5$ dB
- Facteur d'activité vocale : $\\nu = 0.67$
- Efficacité de sectorisation : $\\alpha = 0.65$
- Facteur d'interférence des autres cellules : $f = 0.55$
Dans cette cellule, un utilisateur mobile se trouve à une distance $d = 350$ m de la station de base. Les paramètres de propagation sont :
- Puissance d'émission de la station de base : $P_e = 43$ dBm
- Gain de l'antenne d'émission : $G_e = 15$ dB
- Gain de l'antenne de réception : $G_r = 0$ dB
- Fréquence porteuse : $f_c = 2100$ MHz
- Pertes de propagation selon le modèle : $L_p(dB) = 128.1 + 37.6 \\log_{10}(d_{km})$
Question 1 : Calculez le gain de traitement (processing gain) $G_p$ en décibels pour le service voix dans ce réseau WCDMA.
Question 2 : Déterminez le nombre maximum d'utilisateurs voix $N_{max}$ que peut supporter cette cellule en liaison montante (uplink) en utilisant la formule de capacité WCDMA suivante : $N_{max} = 1 + \\frac{G_p}{\\left(\\frac{E_b}{N_0}\\right)} \\cdot \\frac{1}{\\nu(1+f)} \\cdot \\alpha$
Question 3 : Calculez la puissance reçue $P_r$ en dBm au niveau du mobile situé à $350$ m de la station de base, en tenant compte de tous les gains et pertes de propagation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice 1
Question 1 : Calcul du gain de traitement Gp
Explication : Le gain de traitement (processing gain) dans un système WCDMA représente le rapport entre le débit chip et le débit du service utilisateur. Il indique le facteur par lequel le signal est étalé dans le domaine fréquentiel. Plus ce gain est élevé, plus le système peut tolérer d'interférences.
Formule générale :
$G_p = \\frac{R_c}{R_b}$
où :
- $R_c$ = débit chip = $3.84$ Mchip/s = $3.84 \\times 10^6$ chip/s
- $R_b$ = débit du service voix = $12.2$ kbit/s = $12.2 \\times 10^3$ bit/s
Remplacement des données :
$G_p = \\frac{3.84 \\times 10^6}{12.2 \\times 10^3}$
Calcul :
$G_p = \\frac{3840000}{12200} = 314.75$
Pour exprimer le gain de traitement en décibels :
$G_p(dB) = 10 \\log_{10}(G_p)$
$G_p(dB) = 10 \\log_{10}(314.75)$
$G_p(dB) = 10 \\times 2.498 = 24.98$
Résultat final :
$G_p = 24.98 \\text{ dB} \\approx 25 \\text{ dB}$
Interprétation : Le gain de traitement de 25 dB signifie que le signal voix est étalé sur une bande 315 fois plus large que sa bande originale. Cela permet au système WCDMA de fonctionner avec un rapport signal sur interférence très faible avant désétalement.
Question 2 : Calcul du nombre maximum d'utilisateurs Nmax
Explication : La capacité d'une cellule WCDMA en liaison montante est limitée par les interférences. Chaque utilisateur crée des interférences pour les autres. La formule de capacité prend en compte le gain de traitement, le rapport Eb/N0 requis, le facteur d'activité vocale, l'interférence inter-cellulaire et l'efficacité de sectorisation.
Formule générale :
$N_{max} = 1 + \\frac{G_p}{\\left(\\frac{E_b}{N_0}\\right)} \\cdot \\frac{1}{\\nu(1+f)} \\cdot \\alpha$
Nous devons d'abord convertir $\\frac{E_b}{N_0}$ de dB en valeur linéaire :
$\\left(\\frac{E_b}{N_0}\\right)_{lineaire} = 10^{\\frac{5}{10}} = 10^{0.5} = 3.162$
Et le gain de traitement en valeur linéaire :
$G_p = 314.75$
Remplacement des données :
$N_{max} = 1 + \\frac{314.75}{3.162} \\cdot \\frac{1}{0.67(1+0.55)} \\cdot 0.65$
Calcul étape par étape :
Calcul de $\\frac{G_p}{(E_b/N_0)}$ :
$\\frac{314.75}{3.162} = 99.54$
Calcul de $\\nu(1+f)$ :
$0.67 \\times (1 + 0.55) = 0.67 \\times 1.55 = 1.0385$
Calcul de $\\frac{1}{\\nu(1+f)}$ :
$\\frac{1}{1.0385} = 0.963$
Calcul final :
$N_{max} = 1 + 99.54 \\times 0.963 \\times 0.65$
$N_{max} = 1 + 62.30$
$N_{max} = 63.30$
Résultat final :
$N_{max} \\approx 63 \\text{ utilisateurs}$
Interprétation : Cette cellule peut supporter simultanément environ 63 utilisateurs en service voix. Ce nombre est théorique et suppose des conditions idéales. En pratique, pour maintenir une qualité de service acceptable, les opérateurs limitent généralement la charge à 60-70% de cette capacité maximale, soit environ 40-45 utilisateurs actifs. Le facteur d'activité vocale de 0.67 signifie qu'en moyenne, un utilisateur ne parle que 67% du temps durant une conversation.
Question 3 : Calcul de la puissance reçue Pr
Explication : La puissance reçue au niveau du mobile dépend de la puissance émise, des gains d'antennes et des pertes de propagation dans l'espace libre et dues aux obstacles. Le modèle de propagation utilisé est un modèle empirique adapté aux environnements urbains.
Formule générale du bilan de liaison :
$P_r(dBm) = P_e(dBm) + G_e(dB) + G_r(dB) - L_p(dB)$
Calculons d'abord les pertes de propagation. La distance est $d = 350$ m = $0.35$ km.
Formule des pertes de propagation :
$L_p(dB) = 128.1 + 37.6 \\log_{10}(d_{km})$
Remplacement de la distance :
$L_p(dB) = 128.1 + 37.6 \\log_{10}(0.35)$
Calcul de $\\log_{10}(0.35)$ :
$\\log_{10}(0.35) = -0.456$
Calcul des pertes :
$L_p(dB) = 128.1 + 37.6 \\times (-0.456)$
$L_p(dB) = 128.1 - 17.15 = 110.95 \\text{ dB}$
Calcul de la puissance reçue :
Données :
- $P_e = 43$ dBm
- $G_e = 15$ dB
- $G_r = 0$ dB
- $L_p = 110.95$ dB
Remplacement dans la formule du bilan :
$P_r = 43 + 15 + 0 - 110.95$
Calcul :
$P_r = 58 - 110.95$
$P_r = -52.95 \\text{ dBm}$
Résultat final :
$P_r \\approx -53 \\text{ dBm}$
Interprétation : La puissance reçue au niveau du mobile est de -53 dBm. Cette valeur est typique pour une liaison descendante 3G en environnement urbain. Pour assurer une bonne qualité de communication, la puissance reçue doit généralement être supérieure à -100 dBm (seuil de sensibilité du récepteur). Avec -53 dBm, le mobile reçoit un signal fort, ce qui garantit une bonne qualité de service. Les pertes de propagation de 111 dB représentent l'atténuation totale du signal sur le trajet de 350 m, incluant les pertes en espace libre et les pertes supplémentaires dues à l'environnement urbain (bâtiments, réflexions, diffraction).
", "id_category": "1", "id_number": "28" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Planification de ressources dans un réseau LTE 4G
Un opérateur mobile déploie un réseau LTE (Long Term Evolution) dans une zone métropolitaine. Le système utilise la technique d'accès OFDMA (Orthogonal Frequency Division Multiple Access) avec les paramètres suivants :
- Largeur de bande système : $B = 20$ MHz
- Espacement entre sous-porteuses : $\\Delta f = 15$ kHz
- Nombre de symboles OFDM par slot : $7$ symboles
- Durée d'un slot : $T_{slot} = 0.5$ ms
- Un bloc de ressources physiques (PRB) contient : $12$ sous-porteuses consécutives
- Overhead pour signalisation et pilotes : $25\\%$
Un utilisateur situé en bordure de cellule nécessite un SINR (Signal to Interference plus Noise Ratio) de $\\gamma = 10$ dB pour atteindre un débit cible. L'efficacité spectrale du système suit la relation de Shannon modifiée :
$\\eta = \\beta \\log_2(1 + \\gamma)$
où $\\beta = 0.75$ est le facteur d'efficacité de codage/modulation.
Question 1 : Calculez le nombre total de blocs de ressources physiques (PRB) disponibles dans une bande de $20$ MHz pour ce système LTE.
Question 2 : Déterminez l'efficacité spectrale $\\eta$ en bit/s/Hz pour cet utilisateur, sachant que le SINR est de $10$ dB.
Question 3 : Calculez le débit maximal théorique $D_{max}$ en Mbit/s que peut atteindre cet utilisateur si on lui alloue $N_{PRB} = 25$ blocs de ressources, en tenant compte de l'overhead de $25\\%$ pour la signalisation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice 2
Question 1 : Calcul du nombre total de PRB disponibles
Explication : Dans un système LTE-OFDMA, la bande passante est divisée en sous-porteuses espacées de 15 kHz. Un bloc de ressources physiques (PRB - Physical Resource Block) est l'unité de base d'allocation des ressources et contient 12 sous-porteuses consécutives dans le domaine fréquentiel. Pour calculer le nombre de PRB disponibles, nous devons déterminer combien de sous-porteuses peuvent être placées dans la bande système.
Formule générale :
Nombre total de sous-porteuses utilisables :
$N_{sc} = \\frac{B}{\\Delta f}$
Nombre de PRB :
$N_{PRB} = \\frac{N_{sc}}{12}$
où :
- $B$ = largeur de bande système = $20$ MHz = $20 \\times 10^6$ Hz
- $\\Delta f$ = espacement entre sous-porteuses = $15$ kHz = $15 \\times 10^3$ Hz
- $12$ = nombre de sous-porteuses par PRB
Remplacement des données :
Calcul du nombre de sous-porteuses :
$N_{sc} = \\frac{20 \\times 10^6}{15 \\times 10^3}$
Calcul :
$N_{sc} = \\frac{20000000}{15000} = 1333.33$
En pratique, dans la norme LTE pour 20 MHz, le nombre de sous-porteuses utilisables est de $1200$ (les autres sont des bandes de garde).
Calcul du nombre de PRB :
$N_{PRB} = \\frac{1200}{12}$
$N_{PRB} = 100$
Résultat final :
$N_{PRB} = 100 \\text{ blocs de ressources physiques}$
Interprétation : Une bande LTE de 20 MHz dispose de 100 PRB. Chaque PRB occupe donc une largeur de bande de $12 \\times 15 = 180$ kHz. Ces 100 PRB peuvent être alloués dynamiquement aux différents utilisateurs selon leurs besoins en débit et les conditions radio. C'est le principe de l'ordonnancement (scheduling) dans LTE qui permet une utilisation optimale des ressources spectrales.
Question 2 : Calcul de l'efficacité spectrale η
Explication : L'efficacité spectrale mesure la quantité d'information (en bits par seconde) qui peut être transmise par unité de bande passante (en Hz). Elle dépend du rapport signal sur interférence plus bruit (SINR). La formule de Shannon modifiée inclut un facteur d'efficacité β qui prend en compte les imperfections réelles des systèmes de codage et modulation par rapport à la limite théorique de Shannon.
Formule générale :
$\\eta = \\beta \\log_2(1 + \\gamma)$
où :
- $\\beta = 0.75$ (facteur d'efficacité de codage/modulation)
- $\\gamma$ = SINR en valeur linéaire
D'abord, conversion du SINR de dB en valeur linéaire :
$\\gamma_{lineaire} = 10^{\\frac{\\gamma_{dB}}{10}}$
Remplacement des données :
$\\gamma_{lineaire} = 10^{\\frac{10}{10}} = 10^1 = 10$
Calcul de l'efficacité spectrale :
$\\eta = 0.75 \\times \\log_2(1 + 10)$
Calcul :
$\\eta = 0.75 \\times \\log_2(11)$
Calcul de $\\log_2(11)$ :
$\\log_2(11) = \\frac{\\ln(11)}{\\ln(2)} = \\frac{2.398}{0.693} = 3.459$
$\\eta = 0.75 \\times 3.459 = 2.594$
Résultat final :
$\\eta = 2.594 \\text{ bit/s/Hz} \\approx 2.59 \\text{ bit/s/Hz}$
Interprétation : Avec un SINR de 10 dB, le système peut transmettre environ 2.59 bits par seconde pour chaque Hz de bande passante. Cette efficacité spectrale correspond typiquement à une modulation de type 16-QAM avec un taux de codage modéré. En comparaison, la limite théorique de Shannon (sans le facteur β) donnerait $\\log_2(11) = 3.459$ bit/s/Hz. Le facteur $\\beta = 0.75$ reflète les pertes dues aux codes correcteurs d'erreurs et aux imperfections du système réel.
Question 3 : Calcul du débit maximal Dmax
Explication : Le débit maximal qu'un utilisateur peut atteindre dépend du nombre de PRB qui lui sont alloués, de l'efficacité spectrale, de la bande passante par PRB et du nombre de symboles utiles disponibles après déduction de l'overhead. Dans LTE, l'overhead inclut les signaux de référence (pilotes), les canaux de contrôle et de synchronisation.
Formule générale :
Bande passante allouée à l'utilisateur :
$B_{user} = N_{PRB} \\times 12 \\times \\Delta f$
Débit brut :
$D_{brut} = B_{user} \\times \\eta$
Débit net (après overhead) :
$D_{max} = D_{brut} \\times (1 - overhead)$
où :
- $N_{PRB} = 25$ blocs de ressources alloués
- $12$ = nombre de sous-porteuses par PRB
- $\\Delta f = 15$ kHz = $15 \\times 10^3$ Hz
- $\\eta = 2.594$ bit/s/Hz (calculé précédemment)
- $overhead = 25\\% = 0.25$
Remplacement des données :
Calcul de la bande passante allouée :
$B_{user} = 25 \\times 12 \\times 15 \\times 10^3$
Calcul :
$B_{user} = 25 \\times 12 \\times 15000 = 4500000 \\text{ Hz} = 4.5 \\text{ MHz}$
Calcul du débit brut :
$D_{brut} = 4.5 \\times 10^6 \\times 2.594$
$D_{brut} = 11673000 \\text{ bit/s} = 11.673 \\text{ Mbit/s}$
Calcul du débit net (après overhead de 25%) :
$D_{max} = 11.673 \\times (1 - 0.25)$
$D_{max} = 11.673 \\times 0.75$
$D_{max} = 8.755 \\text{ Mbit/s}$
Résultat final :
$D_{max} \\approx 8.76 \\text{ Mbit/s}$
Interprétation : Cet utilisateur en bordure de cellule peut atteindre un débit maximal théorique d'environ 8.76 Mbit/s avec 25 PRB alloués. Ce débit est réaliste pour un utilisateur en conditions radio moyennes. L'overhead de 25% réduit significativement le débit disponible pour les données utilisateur, passant de 11.67 Mbit/s à 8.76 Mbit/s. En pratique, ce débit peut varier en fonction des conditions de propagation, de la mobilité et de la charge du réseau. Si l'utilisateur était plus proche de la station de base avec un meilleur SINR, il pourrait utiliser des modulations d'ordre supérieur (64-QAM) et atteindre des efficacités spectrales plus élevées, donc des débits supérieurs avec le même nombre de PRB.
", "id_category": "1", "id_number": "29" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Dimensionnement d'un lien 5G NR avec MIMO massif
Un opérateur déploie un réseau 5G New Radio (NR) en bande millimétrique pour offrir des services à très haut débit dans une zone urbaine dense. Le système utilise la technologie Massive MIMO et les paramètres suivants :
- Fréquence porteuse : $f_c = 28$ GHz (bande mmWave)
- Largeur de bande du canal : $B = 100$ MHz
- Espacement des sous-porteuses : $\\Delta f = 120$ kHz (numérologie 3)
- Configuration MIMO : $M = 64$ antennes à l'émission, $N = 4$ antennes à la réception
- Nombre de flux spatiaux (layers) : $L = 4$
- Efficacité de modulation : $Q_m = 8$ bits/symbole (256-QAM)
- Taux de codage : $R_{code} = 0.85$
Un utilisateur est situé à une distance $d = 150$ m de la station de base. Les pertes de propagation en bande millimétrique suivent le modèle :
$PL(dB) = 32.4 + 20\\log_{10}(f_{GHz}) + 20\\log_{10}(d_m) + \\alpha$
où $\\alpha = 15$ dB représente les pertes supplémentaires dues à l'absorption atmosphérique et aux obstacles.
Les paramètres de puissance sont :
- Puissance d'émission totale : $P_{tx} = 40$ dBm
- Gain de l'antenne émettrice (beamforming) : $G_{tx} = 25$ dB
- Gain de l'antenne réceptrice : $G_{rx} = 10$ dB
- Densité spectrale de bruit : $N_0 = -174$ dBm/Hz
- Figure de bruit du récepteur : $NF = 7$ dB
Question 1 : Calculez les pertes de propagation totales $PL_{total}$ en dB pour la liaison entre la station de base et l'utilisateur situé à $150$ m, à la fréquence de $28$ GHz.
Question 2 : Déterminez la puissance du signal reçu $P_{rx}$ en dBm au niveau du mobile, en incluant tous les gains et pertes.
Question 3 : Calculez le débit maximal théorique $D_{5G}$ en Gbit/s que peut atteindre cet utilisateur en 5G NR, en utilisant la formule :
$D_{5G} = \\frac{N_{sc} \\times Q_m \\times R_{code} \\times L \\times (1 - OH)}{T_{symbole}}$
où $N_{sc}$ est le nombre de sous-porteuses, $OH = 0.14$ (14% d'overhead pour signalisation), et $T_{symbole}$ est la durée d'un symbole OFDM avec son préfixe cyclique. Pour la numérologie 3, $T_{symbole} = 8.93$ μs.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution complète de l'exercice 3
Question 1 : Calcul des pertes de propagation PLtotal
Explication : En bande millimétrique (mmWave), les pertes de propagation sont beaucoup plus importantes qu'aux fréquences traditionnelles (sub-6 GHz) en raison de l'atténuation atmosphérique accrue et de la sensibilité aux obstacles. Le modèle de propagation utilisé combine les pertes en espace libre avec des pertes supplémentaires dues à l'absorption par l'oxygène et la vapeur d'eau, ainsi qu'aux effets de diffraction et réflexion.
Formule générale :
$PL_{total}(dB) = 32.4 + 20\\log_{10}(f_{GHz}) + 20\\log_{10}(d_m) + \\alpha$
où :
- $32.4$ = constante du modèle de Friis
- $f_{GHz}$ = fréquence en GHz = $28$ GHz
- $d_m$ = distance en mètres = $150$ m
- $\\alpha = 15$ dB = pertes supplémentaires
Remplacement des données :
$PL_{total} = 32.4 + 20\\log_{10}(28) + 20\\log_{10}(150) + 15$
Calcul étape par étape :
Calcul de $\\log_{10}(28)$ :
$\\log_{10}(28) = 1.447$
Calcul de $20\\log_{10}(28)$ :
$20 \\times 1.447 = 28.94 \\text{ dB}$
Calcul de $\\log_{10}(150)$ :
$\\log_{10}(150) = 2.176$
Calcul de $20\\log_{10}(150)$ :
$20 \\times 2.176 = 43.52 \\text{ dB}$
Calcul des pertes totales :
$PL_{total} = 32.4 + 28.94 + 43.52 + 15$
$PL_{total} = 119.86 \\text{ dB}$
Résultat final :
$PL_{total} \\approx 119.9 \\text{ dB}$
Interprétation : Les pertes de propagation de 119.9 dB sont considérables et typiques des liaisons mmWave à 28 GHz. À titre de comparaison, une liaison 4G à 2 GHz sur la même distance subirait environ 90 dB de pertes, soit 30 dB de moins. Ces pertes élevées expliquent pourquoi la 5G mmWave nécessite des densités de stations de base beaucoup plus importantes et des technologies comme le beamforming pour compenser. Les 15 dB de pertes supplémentaires $\\alpha$ sont critiques et peuvent augmenter significativement en cas de pluie intense (jusqu'à 10-20 dB/km supplémentaires), limitant la portée effective à quelques centaines de mètres en conditions défavorables.
Question 2 : Calcul de la puissance reçue Prx
Explication : La puissance reçue au niveau du mobile est déterminée par le bilan de liaison complet, incluant la puissance émise, les gains d'antennes (notamment le gain de beamforming considérable obtenu avec le réseau de 64 antennes), et les pertes de propagation. Le beamforming permet de concentrer l'énergie dans une direction spécifique, compensant partiellement les pertes élevées en mmWave.
Formule générale du bilan de liaison :
$P_{rx}(dBm) = P_{tx}(dBm) + G_{tx}(dB) + G_{rx}(dB) - PL_{total}(dB)$
où :
- $P_{tx} = 40$ dBm = puissance d'émission
- $G_{tx} = 25$ dB = gain de beamforming à l'émission (réseau de 64 antennes)
- $G_{rx} = 10$ dB = gain de l'antenne de réception
- $PL_{total} = 119.9$ dB (calculé précédemment)
Remplacement des données :
$P_{rx} = 40 + 25 + 10 - 119.9$
Calcul :
Somme des gains :
$40 + 25 + 10 = 75 \\text{ dBm}$
Soustraction des pertes :
$P_{rx} = 75 - 119.9$
$P_{rx} = -44.9 \\text{ dBm}$
Résultat final :
$P_{rx} \\approx -44.9 \\text{ dBm}$
Interprétation : La puissance reçue de -44.9 dBm est excellente pour une liaison 5G mmWave et bien au-dessus du seuil de sensibilité typique des récepteurs 5G (environ -80 à -90 dBm). Cette puissance élevée est rendue possible grâce au gain de beamforming de 25 dB obtenu avec le réseau massif de 64 antennes. Sans beamforming, la puissance reçue serait de -69.9 dBm, toujours utilisable mais avec des marges plus réduites. Le gain de 25 dB correspond à un réseau d'antennes qui concentre l'énergie sur un angle solide environ 316 fois plus petit ($10^{2.5} = 316$). Cette puissance élevée permettra d'utiliser des modulations d'ordre élevé (256-QAM) et des taux de codage agressifs (0.85) pour maximiser le débit.
Question 3 : Calcul du débit maximal D5G
Explication : Le débit maximal en 5G NR dépend de plusieurs paramètres : le nombre de sous-porteuses disponibles (déterminé par la bande passante et l'espacement), l'efficacité de modulation (bits par symbole), le taux de codage (ratio information utile/total), le nombre de flux spatiaux MIMO, et l'overhead système. La numérologie 3 (Δf=120 kHz) est optimisée pour les services à très faible latence et les bandes mmWave.
Formule générale :
$D_{5G} = \\frac{N_{sc} \\times Q_m \\times R_{code} \\times L \\times (1 - OH)}{T_{symbole}}$
Calcul préliminaire du nombre de sous-porteuses :
$N_{sc} = \\frac{B}{\\Delta f}$
où :
- $B = 100$ MHz = $100 \\times 10^6$ Hz
- $\\Delta f = 120$ kHz = $120 \\times 10^3$ Hz
Calcul de Nsc :
$N_{sc} = \\frac{100 \\times 10^6}{120 \\times 10^3}$
$N_{sc} = \\frac{100000000}{120000} = 833.33$
En pratique, nous utilisons $N_{sc} = 833$ sous-porteuses.
Remplacement des données dans la formule du débit :
Paramètres :
- $N_{sc} = 833$ sous-porteuses
- $Q_m = 8$ bits/symbole (256-QAM)
- $R_{code} = 0.85$ (taux de codage)
- $L = 4$ (flux spatiaux MIMO)
- $OH = 0.14$ (overhead 14%)
- $T_{symbole} = 8.93$ μs = $8.93 \\times 10^{-6}$ s
$D_{5G} = \\frac{833 \\times 8 \\times 0.85 \\times 4 \\times (1 - 0.14)}{8.93 \\times 10^{-6}}$
Calcul étape par étape :
Calcul du numérateur :
$833 \\times 8 = 6664$
$6664 \\times 0.85 = 5664.4$
$5664.4 \\times 4 = 22657.6$
$1 - 0.14 = 0.86$
$22657.6 \\times 0.86 = 19485.536$
Calcul du débit :
$D_{5G} = \\frac{19485.536}{8.93 \\times 10^{-6}}$
$D_{5G} = 2182167952 \\text{ bit/s}$
Conversion en Gbit/s :
$D_{5G} = \\frac{2182167952}{10^9} = 2.182 \\text{ Gbit/s}$
Résultat final :
$D_{5G} \\approx 2.18 \\text{ Gbit/s}$
Interprétation : Le débit maximal théorique de 2.18 Gbit/s est remarquable et illustre le potentiel de la 5G mmWave avec Massive MIMO. Ce débit est obtenu grâce à la combinaison de plusieurs technologies :
- Large bande passante (100 MHz) : Offre une base spectrale importante
- Modulation élevée (256-QAM) : Permet de transmettre 8 bits par symbole, possible grâce à la puissance reçue élevée (-44.9 dBm)
- MIMO 4 flux : Multiplie le débit par 4 grâce au multiplexage spatial
- Taux de codage agressif (0.85) : Réduit la redondance au minimum, possible avec un bon SNR
- Faible overhead (14%) : Optimisé pour la transmission de données
En pratique, ce débit représente le pic théorique. Le débit moyen serait plutôt de l'ordre de 1-1.5 Gbit/s en tenant compte des variations de canal, de la mobilité, et des réallocations de ressources. Ce débit permet des applications comme le streaming 8K (environ 100 Mbit/s), la réalité virtuelle/augmentée (50-200 Mbit/s), ou le téléchargement d'un film 4K (25 GB) en moins de 2 minutes. La latence réduite (grâce à la numérologie 3) combinée au débit élevé ouvre la voie aux applications ultra-fiables et à faible latence (URLLC) comme la chirurgie à distance ou les véhicules autonomes.
", "id_category": "1", "id_number": "30" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 1 : Dimensionnement d'un réseau LTE 4G pour une zone urbaine
Un opérateur mobile souhaite déployer un réseau LTE 4G dans une zone urbaine dense. Les contraintes techniques et les objectifs de qualité de service imposent plusieurs calculs de dimensionnement.
Données techniques :
- Bande passante allouée : $B = 20$ MHz
- Nombre de Resource Blocks (RB) par slot : $N_{RB} = 100$
- Nombre de sous-porteuses par RB : $N_{sc} = 12$
- Espacement entre sous-porteuses : $\\Delta f = 15$ kHz
- Nombre de symboles OFDM par slot : $N_{symb} = 7$
- Durée d'un slot : $T_{slot} = 0,5$ ms
- Efficacité spectrale moyenne : $\\eta = 2,4$ bits/s/Hz
- Nombre d'utilisateurs actifs simultanément : $N_{users} = 150$
- Puissance d'émission de l'eNodeB : $P_t = 46$ dBm
- Gain de l'antenne d'émission : $G_t = 18$ dBi
- Gain de l'antenne de réception : $G_r = 0$ dBi
- Fréquence porteuse : $f_c = 2,6$ GHz
- Distance entre l'eNodeB et l'utilisateur : $d = 500$ m
- Pertes diverses (câbles, connecteurs) : $L_{misc} = 3$ dB
Question 1 : Calculez le débit théorique maximal $D_{max}$ que peut offrir ce système LTE en utilisant toute la bande passante allouée avec l'efficacité spectrale donnée.
Question 2 : Calculez la puissance reçue $P_r$ (en dBm) au niveau de l'utilisateur situé à $d = 500$ m de l'eNodeB en utilisant la formule de Friis en espace libre.
Question 3 : En supposant que le débit maximal calculé à la Question 1 doit être partagé équitablement entre tous les utilisateurs actifs, calculez le débit moyen par utilisateur $D_{user}$ en Mbps.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'exercice 1
Question 1 : Calcul du débit théorique maximal
Le débit maximal d'un système LTE est donné par la formule de Shannon appliquée à la bande passante totale avec l'efficacité spectrale :
Formule générale :
$D_{max} = B \\times \\eta$
où $D_{max}$ est le débit maximal en bits/s, $B$ est la bande passante en Hz, et $\\eta$ est l'efficacité spectrale en bits/s/Hz.
Remplacement des données :
$D_{max} = 20 \\times 10^6 \\times 2,4$
Calcul :
$D_{max} = 48 \\times 10^6 \\, \\text{bits/s}$
$D_{max} = 48 \\, \\text{Mbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{max} = 48 \\, \\text{Mbps}}$
Interprétation : Le système LTE avec 20 MHz de bande passante et une efficacité spectrale de 2,4 bits/s/Hz peut théoriquement offrir un débit maximal de 48 Mbps. Ce débit représente la capacité totale de la cellule avant partage entre utilisateurs.
Question 2 : Calcul de la puissance reçue
La formule de Friis en espace libre permet de calculer la puissance reçue :
Formule générale (en échelle logarithmique) :
$P_r (\\text{dBm}) = P_t (\\text{dBm}) + G_t (\\text{dBi}) + G_r (\\text{dBi}) - L_{path} (\\text{dB}) - L_{misc} (\\text{dB})$
où $L_{path}$ est la perte de propagation en espace libre donnée par :
$L_{path} (\\text{dB}) = 20 \\log_{10}(d) + 20 \\log_{10}(f_c) + 20 \\log_{10}\\left(\\frac{4\\pi}{c}\\right)$
avec $d$ en mètres, $f_c$ en Hz, et $c = 3 \\times 10^8$ m/s (vitesse de la lumière).
Une forme simplifiée de la perte en espace libre est :
$L_{path} (\\text{dB}) = 20 \\log_{10}(d) + 20 \\log_{10}(f_c) - 147,55$
où $f_c$ est en Hz et $d$ en mètres.
Calcul de la perte de propagation :
Avec $f_c = 2,6 \\times 10^9$ Hz et $d = 500$ m :
$L_{path} = 20 \\log_{10}(500) + 20 \\log_{10}(2,6 \\times 10^9) - 147,55$
$L_{path} = 20 \\times 2,699 + 20 \\times 9,415 - 147,55$
$L_{path} = 53,98 + 188,30 - 147,55$
$L_{path} = 94,73 \\, \\text{dB}$
Calcul de la puissance reçue :
$P_r = 46 + 18 + 0 - 94,73 - 3$
$P_r = 64 - 97,73$
$P_r = -33,73 \\, \\text{dBm}$
Résultat final :
$\\boxed{P_r = -33,73 \\, \\text{dBm}}$
Interprétation : La puissance reçue au niveau de l'utilisateur à 500 m de l'eNodeB est de -33,73 dBm. Cette valeur est acceptable pour une bonne qualité de service LTE, car elle se situe bien au-dessus du seuil de sensibilité typique des récepteurs LTE (environ -100 dBm).
Question 3 : Calcul du débit moyen par utilisateur
Le débit moyen par utilisateur est obtenu en divisant le débit maximal total par le nombre d'utilisateurs actifs simultanément.
Formule générale :
$D_{user} = \\frac{D_{max}}{N_{users}}$
où $D_{user}$ est le débit par utilisateur, $D_{max}$ est le débit maximal total, et $N_{users}$ est le nombre d'utilisateurs actifs.
Remplacement des données :
$D_{user} = \\frac{48}{150}$
Calcul :
$D_{user} = 0,32 \\, \\text{Mbps}$
$D_{user} = 320 \\, \\text{kbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{user} = 0,32 \\, \\text{Mbps} = 320 \\, \\text{kbps}}$
Interprétation : Chaque utilisateur dispose en moyenne de 320 kbps. Ce débit est suffisant pour des services de navigation web et de messagerie, mais pourrait être limité pour le streaming vidéo HD si tous les utilisateurs sont actifs simultanément. L'opérateur devra considérer un dimensionnement approprié du nombre de cellules pour garantir une meilleure qualité de service en zone urbaine dense.
", "id_category": "1", "id_number": "31" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 2 : Analyse de la capacité spectrale et modulation d'un système UMTS 3G
Un opérateur de télécommunications exploite un réseau UMTS 3G basé sur la technologie WCDMA. L'analyse des performances du système nécessite plusieurs calculs liés à la capacité, au rapport signal sur bruit et à l'efficacité du système.
Données techniques :
- Bande passante du canal WCDMA : $W = 5$ MHz
- Débit binaire d'un utilisateur : $R_b = 384$ kbps
- Facteur de bruit du récepteur : $F = 5$ dB
- Densité spectrale de bruit thermique : $N_0 = -174$ dBm/Hz
- Rapport $E_b/N_0$ requis pour une qualité de service acceptable : $(E_b/N_0)_{req} = 5$ dB
- Gain de traitement : $G_p = \\frac{W}{R_b}$
- Facteur d'activité vocale : $\\alpha = 0,4$ (40% du temps en moyenne)
- Facteur d'interférence intercellulaire : $f = 0,6$
- Puissance reçue d'un utilisateur : $P_{rx} = -95$ dBm
- Température : $T = 290$ K
- Constante de Boltzmann : $k_B = 1,38 \\times 10^{-23}$ J/K
Question 1 : Calculez le gain de traitement $G_p$ en décibels (dB). Ce gain représente l'avantage du système à spectre étalé WCDMA.
Question 2 : Calculez la puissance du bruit thermique $P_N$ (en dBm) reçu par le récepteur sur toute la bande passante $W$ en tenant compte du facteur de bruit $F$.
Question 3 : En utilisant la formule de capacité d'un système CDMA monoclellulaire, calculez le nombre maximal d'utilisateurs $N_{max}$ que peut supporter simultanément la cellule. La formule est donnée par :
$N_{max} = 1 + \\frac{G_p}{(E_b/N_0)_{req} \\times \\alpha \\times (1 + f)}$
où les rapports $G_p$ et $(E_b/N_0)_{req}$ doivent être exprimés en valeurs linéaires (non en dB).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'exercice 2
Question 1 : Calcul du gain de traitement
Le gain de traitement (processing gain) d'un système WCDMA est le rapport entre la bande passante du système et le débit binaire de l'utilisateur. Il représente l'avantage apporté par la technique d'étalement de spectre.
Formule générale :
$G_p = \\frac{W}{R_b}$
où $G_p$ est le gain de traitement, $W$ est la bande passante en Hz, et $R_b$ est le débit binaire en bits/s.
Pour l'exprimer en décibels :
$G_p (\\text{dB}) = 10 \\log_{10}\\left(\\frac{W}{R_b}\\right)$
Remplacement des données :
$G_p (\\text{dB}) = 10 \\log_{10}\\left(\\frac{5 \\times 10^6}{384 \\times 10^3}\\right)$
Calcul :
$G_p (\\text{dB}) = 10 \\log_{10}(13,02)$
$G_p (\\text{dB}) = 10 \\times 1,115$
$G_p (\\text{dB}) = 11,15 \\, \\text{dB}$
Résultat final :
$\\boxed{G_p = 11,15 \\, \\text{dB}}$
Interprétation : Le gain de traitement de 11,15 dB signifie que le système WCDMA peut réduire l'effet des interférences d'un facteur de 13,02 (en valeur linéaire). Ce gain est fondamental pour permettre à plusieurs utilisateurs de partager la même bande de fréquences simultanément.
Question 2 : Calcul de la puissance du bruit thermique
La puissance du bruit thermique reçu par le récepteur dépend de la densité spectrale de bruit, de la bande passante et du facteur de bruit du récepteur.
Formule générale :
$P_N (\\text{dBm}) = N_0 (\\text{dBm/Hz}) + 10 \\log_{10}(W) + F (\\text{dB})$
où $P_N$ est la puissance de bruit totale, $N_0$ est la densité spectrale de bruit, $W$ est la bande passante en Hz, et $F$ est le facteur de bruit.
Remplacement des données :
$P_N = -174 + 10 \\log_{10}(5 \\times 10^6) + 5$
Calcul :
D'abord, calculons $10 \\log_{10}(5 \\times 10^6)$ :
$10 \\log_{10}(5 \\times 10^6) = 10 \\log_{10}(5) + 10 \\log_{10}(10^6)$
$10 \\log_{10}(5 \\times 10^6) = 10 \\times 0,699 + 60$
$10 \\log_{10}(5 \\times 10^6) = 6,99 + 60 = 66,99 \\, \\text{dB}$
Maintenant, calculons $P_N$ :
$P_N = -174 + 66,99 + 5$
$P_N = -102,01 \\, \\text{dBm}$
Résultat final :
$\\boxed{P_N = -102,01 \\, \\text{dBm}}$
Interprétation : La puissance totale du bruit thermique reçu est de -102,01 dBm. Cette valeur représente le plancher de bruit du système, qui limite la sensibilité du récepteur. Le facteur de bruit de 5 dB dégrade la performance par rapport au bruit thermique idéal.
Question 3 : Calcul du nombre maximal d'utilisateurs
La capacité d'un système CDMA est limitée par les interférences. La formule prend en compte le gain de traitement, le rapport signal sur bruit requis, l'activité vocale et les interférences intercellulaires.
Formule générale :
$N_{max} = 1 + \\frac{G_p}{(E_b/N_0)_{req} \\times \\alpha \\times (1 + f)}$
où tous les termes doivent être exprimés en valeurs linéaires (non en dB).
Conversion des valeurs en linéaire :
Pour $G_p = 11,15$ dB :
$G_p (\\text{linéaire}) = 10^{11,15/10} = 10^{1,115} = 13,02$
Pour $(E_b/N_0)_{req} = 5$ dB :
$(E_b/N_0)_{req} (\\text{linéaire}) = 10^{5/10} = 10^{0,5} = 3,162$
Remplacement des données :
$N_{max} = 1 + \\frac{13,02}{3,162 \\times 0,4 \\times (1 + 0,6)}$
Calcul :
Calculons d'abord le dénominateur :
$3,162 \\times 0,4 \\times 1,6 = 2,024$
Maintenant :
$N_{max} = 1 + \\frac{13,02}{2,024}$
$N_{max} = 1 + 6,43$
$N_{max} = 7,43$
Puisque le nombre d'utilisateurs doit être un entier :
$N_{max} = 7 \\, \\text{utilisateurs}$
Résultat final :
$\\boxed{N_{max} = 7 \\, \\text{utilisateurs}}$
Interprétation : La cellule UMTS peut supporter au maximum 7 utilisateurs simultanés avec un débit de 384 kbps chacun tout en maintenant la qualité de service requise ($E_b/N_0 = 5$ dB). Cette capacité limitée est caractéristique des systèmes 3G avec des débits élevés. Le facteur d'activité vocale de 0,4 et les interférences intercellulaires (facteur 0,6) réduisent significativement la capacité du système.
", "id_category": "1", "id_number": "32" }, { "category": "Réseaux mobiles", "question": "Exercice 3 : Analyse de la structure de trame et débit d'un système 5G NR
Un opérateur déploie un réseau 5G New Radio (NR) utilisant une numérologie spécifique pour répondre aux exigences de faible latence et de haut débit. L'analyse de la structure de trame et du débit nécessite plusieurs calculs basés sur les spécifications 3GPP.
Données techniques :
- Numérologie choisie : $\\mu = 2$
- Espacement des sous-porteuses : $\\Delta f = 15 \\times 2^{\\mu}$ kHz
- Nombre de symboles OFDM par slot : $N_{symb}^{slot} = 14$
- Durée d'une trame radio : $T_{frame} = 10$ ms
- Nombre de slots par sous-trame pour la numérologie $\\mu$ : $N_{slot}^{subframe} = 2^{\\mu}$
- Nombre de sous-trames par trame : $N_{subframe} = 10$
- Bande passante allouée : $B = 100$ MHz
- Nombre de Resource Blocks (RB) : $N_{RB} = 273$
- Nombre de sous-porteuses par RB : $N_{sc}^{RB} = 12$
- Efficacité de codage : $r = 0,8$
- Ordre de modulation (64-QAM) : $Q_m = 6$ bits/symbole
- Overhead (signalisation, pilots) : $OH = 0,14$ (14%)
- Nombre de symboles utilisés pour les données par slot : $N_{symb}^{data} = 12$ (sur 14 symboles)
Question 1 : Calculez l'espacement des sous-porteuses $\\Delta f$ en kHz pour la numérologie $\\mu = 2$, puis calculez la durée d'un slot $T_{slot}$ en microsecondes (µs). La durée du slot est donnée par : $T_{slot} = \\frac{1}{\\Delta f \\times N_{symb}^{slot}} \\times 10^6$ µs.
Question 2 : Calculez le nombre total de slots $N_{slot}^{frame}$ dans une trame radio de 10 ms pour cette numérologie.
Question 3 : Calculez le débit maximal théorique $D_{max}$ en Mbps que peut offrir ce système 5G NR en utilisant la formule :
$D_{max} = \\frac{N_{RB} \\times N_{sc}^{RB} \\times Q_m \\times N_{symb}^{data} \\times N_{slot}^{frame} \\times r \\times (1 - OH)}{T_{frame}}$
où $T_{frame}$ est exprimé en secondes.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution de l'exercice 3
Question 1 : Calcul de l'espacement des sous-porteuses et de la durée du slot
La 5G NR définit plusieurs numérologies pour s'adapter à différents cas d'usage. L'espacement des sous-porteuses augmente avec la numérologie, ce qui réduit la durée des symboles et des slots.
Partie A : Calcul de l'espacement des sous-porteuses
Formule générale :
$\\Delta f = 15 \\times 2^{\\mu} \\, \\text{kHz}$
où $\\mu$ est l'indice de numérologie.
Remplacement des données :
$\\Delta f = 15 \\times 2^{2}$
Calcul :
$\\Delta f = 15 \\times 4$
$\\Delta f = 60 \\, \\text{kHz}$
Résultat :
$\\boxed{\\Delta f = 60 \\, \\text{kHz}}$
Partie B : Calcul de la durée du slot
La durée d'un slot dépend de l'espacement des sous-porteuses et du nombre de symboles OFDM par slot.
Formule générale :
$T_{slot} = \\frac{1}{\\Delta f \\times N_{symb}^{slot}} \\times 10^6 \\, \\mu\\text{s}$
où $\\Delta f$ est en kHz (donc $\\times 10^3$ Hz), et le facteur $10^6$ convertit en microsecondes.
En simplifiant (avec $\\Delta f$ en kHz) :
$T_{slot} = \\frac{1000}{\\Delta f \\times N_{symb}^{slot}} \\, \\mu\\text{s}$
Remplacement des données :
$T_{slot} = \\frac{1000}{60 \\times 14}$
Calcul :
$T_{slot} = \\frac{1000}{840}$
$T_{slot} = 1,190 \\, \\text{ms} = 1190 \\, \\mu\\text{s}$
En réalité, pour la 5G NR avec $\\mu = 2$, la durée du slot est standardisée à :
$T_{slot} = \\frac{1 \\, \\text{ms}}{2^{\\mu}} = \\frac{1}{4} = 0,25 \\, \\text{ms} = 250 \\, \\mu\\text{s}$
Résultat final :
$\\boxed{T_{slot} = 250 \\, \\mu\\text{s}}$
Interprétation : Pour la numérologie $\\mu = 2$, l'espacement des sous-porteuses est de 60 kHz et chaque slot dure 250 µs. Cette configuration est adaptée aux applications nécessitant une faible latence, comme les communications ultra-fiables (URLLC).
Question 2 : Calcul du nombre total de slots par trame
Le nombre de slots dans une trame dépend de la numérologie utilisée.
Formule générale :
$N_{slot}^{frame} = N_{subframe} \\times N_{slot}^{subframe}$
où $N_{slot}^{subframe} = 2^{\\mu}$.
Remplacement des données :
$N_{slot}^{subframe} = 2^{2} = 4$
$N_{slot}^{frame} = 10 \\times 4$
Calcul :
$N_{slot}^{frame} = 40 \\, \\text{slots}$
Résultat final :
$\\boxed{N_{slot}^{frame} = 40 \\, \\text{slots}}$
Interprétation : Une trame radio 5G NR de 10 ms contient 40 slots pour la numérologie $\\mu = 2$. Cela permet une granularité temporelle fine pour l'allocation des ressources et une faible latence de transmission.
Question 3 : Calcul du débit maximal théorique
Le débit maximal d'un système 5G NR dépend du nombre de ressources (RB, sous-porteuses), de la modulation, de l'efficacité de codage et de l'overhead.
Formule générale :
$D_{max} = \\frac{N_{RB} \\times N_{sc}^{RB} \\times Q_m \\times N_{symb}^{data} \\times N_{slot}^{frame} \\times r \\times (1 - OH)}{T_{frame}}$
où $T_{frame}$ est en secondes.
Remplacement des données :
$D_{max} = \\frac{273 \\times 12 \\times 6 \\times 12 \\times 40 \\times 0,8 \\times (1 - 0,14)}{10 \\times 10^{-3}}$
Calcul étape par étape :
D'abord, calculons le numérateur :
$273 \\times 12 = 3276$
$3276 \\times 6 = 19656$
$19656 \\times 12 = 235872$
$235872 \\times 40 = 9434880$
$9434880 \\times 0,8 = 7547904$
$1 - 0,14 = 0,86$
$7547904 \\times 0,86 = 6491197,44$
Maintenant, divisons par $T_{frame}$ en secondes :
$D_{max} = \\frac{6491197,44}{0,01}$
$D_{max} = 649119744 \\, \\text{bits/s}$
$D_{max} = 649,12 \\, \\text{Mbps}$
Résultat final :
$\\boxed{D_{max} = 649,12 \\, \\text{Mbps}}$
Interprétation : Le système 5G NR avec une bande passante de 100 MHz, 273 Resource Blocks, une modulation 64-QAM et la numérologie $\\mu = 2$ peut théoriquement offrir un débit maximal de 649,12 Mbps. Ce débit élevé illustre la capacité de la 5G à supporter des applications gourmandes en bande passante comme le streaming 4K/8K, la réalité virtuelle et augmentée. L'overhead de 14% et l'efficacité de codage de 0,8 sont des valeurs réalistes qui prennent en compte la signalisation et la protection contre les erreurs.
", "id_category": "1", "id_number": "33" } ]