Systemes Asservis json

[
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "title": "Examen 2: Réponse Temporelle et Stabilité",
    "question": "Examen 2: Systèmes Asservis - Réponse Temporelle et Stabilité
\n| 
\n\nContexte Global
\nUn système de guidage de missile balistique utilise un asservissement de cap (direction) pour maintenir la trajectoire planifiée. Le système complet en boucle fermée avec retour unitaire présente une fonction de transfert en chaîne directe :
\n$G(s) = \\frac{K}{s(s^2 + 3s + 2)}$
\noù $K$ est un gain à déterminer selon les spécifications de performance. Les exigences sont : dépassement D < 15%, temps de réponse t_r < 1.5 s, et erreur statique e_∞ < 5% pour une entrée échelon.
\n\n
\n\nQuestion 1: Analyse de Stabilité par le Critère de Routh-Hurwitz
\nAvant de dimensionner le gain, une analyse de stabilité robuste est nécessaire.
\n1.1 Factorisez le dénominateur et identifiez les pôles de la chaîne directe en boucle ouverte.
\n1.2 Établissez la condition de stabilité en boucle fermée à l'aide du critère de Routh-Hurwitz.
\n1.3 Déterminez la valeur maximale admissible du gain $K$ pour que le système en boucle fermée reste stable.
\n\n
\n\nQuestion 2: Dimensionnement du Gain pour Satisfaction des Spécifications
\nAvec les contraintes de performance, déterminez le gain optimal.
\n2.1 Analysez la relation entre le gain $K$ et l'erreur statique. Quel gain est nécessaire pour satisfaire e_∞ < 5% ?
\n2.2 Déterminez les pôles du système en boucle fermée en fonction de $K$.
\n2.3 Trouvez la valeur optimale de $K$ qui satisfait simultanément la stabilité, le dépassement (D < 15%), et le temps de réponse (t_r < 1.5 s).
\n\n
\n\nQuestion 3: Caractérisation de la Réponse Temporelle
\nPour le gain déterminé à la Question 2, caractérisez complètement la réponse du système.
\n3.1 Tracez qualitativement la réponse indicielle (échelon unitaire) du système en boucle fermée.
\n3.2 Calculez le temps de montée (10% à 90%), le temps au premier pic, et le temps de réponse (2%).
\n3.3 Évaluez la sensibilité du système vis-à-vis d'une perturbation en charge (entrée perturbation).
\n\n
\n\nQuestion 4: Analyse de Précision et de Rejet de Perturbation
\nDans les applications de guidage, les perturbations externes (rafales de vent, vibrations) doivent être rejetées.
\n4.1 Écrivez la fonction de transfert de sensibilité $S(s) = \\frac{Y(s)}{P(s)}$ reliant la perturbation $P(s)$ à la sortie $Y(s)$.
\n4.2 Calculez l'erreur en régime permanent provoquée par une perturbation échelon unitaire.
\n4.3 Déterminez comment le gain $K$ affecte le rejet de perturbation.
\n\n
\n\nQuestion 5: Robustesse et Marges de Stabilité
\nÉvaluez la robustesse du système par rapport aux variations de paramètres.
\n5.1 Calculez les marges de phase et de gain du système.
\n5.2 Analysez comment une variation de ±20% du gain $K$ affecte la stabilité et la performance.
\n5.3 Proposez des améliorations de conception (ajout d'un correcteur) pour améliorer la robustesse.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solutions Détaillées - Examen 2
\n\nQuestion 1: Analyse de Stabilité par le Critère de Routh-Hurwitz
\n\n1.1 Factorisation du dénominateur
\n\nFormule générale:
\nNous avons $G(s) = \\frac{K}{s(s^2 + 3s + 2)}$
\n\nFactorisation du trinôme:
\n$s^2 + 3s + 2 = 0$
\n$s = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{9 - 8}}{2} = \\frac{-3 \\pm 1}{2}$
\n$s_1 = -1 \\quad ; \\quad s_2 = -2$
\n\nRemplacement:
\n$s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)$
\n\nRésultat final:
\n$G(s) = \\frac{K}{s(s + 1)(s + 2)}$
\n\nPôles en boucle ouverte:
\n$s = 0, s = -1, s = -2$
\n\nLe système en boucle ouverte est marginalement stable (pôle en s = 0).
\n\n
\n\n1.2 Critère de Routh-Hurwitz pour la boucle fermée
\n\nFormule générale:
\nLa fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire est:
\n$H_{BF}(s) = \\frac{G(s)}{1 + G(s)} = \\frac{K}{s(s+1)(s+2) + K}$
\n\nDéveloppement du dénominateur:
\n$s(s+1)(s+2) + K = s(s^2 + 3s + 2) + K = s^3 + 3s^2 + 2s + K$
\n\nÉquation caractéristique:
\n$A(s) = s^3 + 3s^2 + 2s + K$
\n\nTableau de Routh:
\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nLigne Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3
s³ 1 2 
s² 3 K 
s¹ (3·2 - 1·K)/3 = (6-K)/3 0 
s⁰ K 
\n\nCalcul de la ligne s¹:
\n$b_1 = \\frac{a_1 \\cdot a_2 - a_0 \\cdot a_3}{a_1} = \\frac{3 \\cdot 2 - 1 \\cdot K}{3} = \\frac{6 - K}{3}$
\n\nRésultat final:
\nLe tableau de Routh est établi correctement. Le système en boucle fermée est stable si tous les coefficients de la première colonne ont le même signe.
\n\n
\n\n1.3 Gain maximal admissible
\n\nConditions de stabilité:
\n\nPour que le système soit stable, tous les termes de la première colonne du tableau de Routh doivent être positifs:
\n\nColonne 1:
\n$1 > 0 \\quad ✓$
\n$3 > 0 \\quad ✓$
\n$\\frac{6 - K}{3} > 0 \\quad \\Rightarrow \\quad 6 - K > 0 \\quad \\Rightarrow \\quad K < 6$
\n$K > 0 \\quad ✓$
\n\nRésultat final:
\n$0 < K < 6$
\n\nLe gain maximal admissible pour la stabilité est $K_{max} = 6 \\text{ rad/s}$.
\n\n
\n\nQuestion 2: Dimensionnement du Gain pour Satisfaction des Spécifications
\n\n2.1 Relation entre K et erreur statique
\n\nFormule générale (erreur statique):
\n$e_{\\infty} = \\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot E(s)$
\n\nPour une entrée échelon unitaire R(s) = 1/s:
\n$E(s) = \\frac{R(s)}{1 + G(s)H(s)} = \\frac{1/s}{1 + K/[s(s+1)(s+2)]}$
\n\n$= \\frac{1/s}{\\frac{s(s+1)(s+2) + K}{s(s+1)(s+2)}} = \\frac{(s+1)(s+2)}{s(s+1)(s+2) + K}$
\n\nErreur statique:
\n$e_{\\infty} = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot \\frac{(s+1)(s+2)}{s(s+1)(s+2) + K}$
\n\n$= \\lim_{s \\to 0} \\frac{(s+1)(s+2)}{(s+1)(s+2) + K/s}$
\n\nÀ s = 0:
\n$e_{\\infty} = \\frac{1 \\cdot 2}{1 \\cdot 2 + \\infty} = 0$
\n\nCorrection: pour un système de type 1 (intégrateur), l'erreur statique d'échelon est 0.
\n\nCependant, étudions l'erreur pour les perturbations:
\nL'erreur relative (par rapport à la référence) est très faible.
\n\nRésultat final:
\n$e_{\\infty,\\text{step}} = 0$
\n\nLe système de type 1 (avec intégrateur) élimine l'erreur statique pour une entrée échelon, indépendamment de K.
\n\n
\n\n2.2 Pôles du système en boucle fermée
\n\nÉquation caractéristique:
\n$s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$
\n\nCette équation cubique dépend de K. Pour des valeurs spécifiques de K:
\n\nCas 1: K = 0
\n$s^3 + 3s^2 + 2s = 0 \\Rightarrow s(s^2 + 3s + 2) = 0 \\Rightarrow s(s+1)(s+2) = 0$
\nPôles: $s = 0, -1, -2$
\n\nCas 2: K = 2
\n$s^3 + 3s^2 + 2s + 2 = 0$
\n\nPar résolution numérique (ou graphique):
\n$s_1 \u0007pprox -0.7 + j1.1 \\quad ; \\quad s_2 \u0007pprox -0.7 - j1.1 \\quad ; \\quad s_3 \u0007pprox -1.6$
\n\nCas général:
\nPour $0 < K < 6$, les pôles se déplacent dans le plan complexe selon le lieu des racines.
\n\nRésultat final:
\nLes pôles sont généralement complexes conjugués pour $0 < K < K_{crit}$, avec un pôle réel supplémentaire.
\n\n
\n\n2.3 Gain optimal satisfaisant les trois spécifications
\n\nLes trois spécifications:
\n1. Stabilité: $0 < K < 6$
\n2. Dépassement: $D\\% < 15\\%$
\n3. Temps de réponse: $t_r < 1.5 \\text{ s}$
\n\nAnalyse qualitative:
\n\nPour un système du 3ème ordre dominé par deux pôles complexes:
\n\nLe dépassement est lié à l'amortissement ζ des pôles dominants:
\n$D\\% = 100 \\exp\\left(-\\frac{\\pi \\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}\\right) < 15\\%$
\n\nCela implique: $\\zeta > 0.517$
\n\nLe temps de réponse est approximativement: $t_r \u0007pprox \\frac{4}{\\zeta \\omega_n}$
\n\nAvec $t_r < 1.5 \\text{ s}$, nous avons: $\\zeta \\omega_n > 2.67 \\text{ rad/s}$
\n\nÉvaluation pour K = 2:
\n\nPôles dominants (approximatifs): $s \u0007pprox -0.7 \\pm j1.1$
\n\n$|s| = \\sqrt{0.7^2 + 1.1^2} = \\sqrt{1.7} = 1.30$
\n\n$\\zeta = \\frac{0.7}{1.30} = 0.538 > 0.517 \\quad ✓ \\text{(dépassement OK)}$
\n\n$\\omega_n = 1.30 \\text{ rad/s} \\quad ; \\quad \\zeta \\omega_n = 0.70 \\text{ rad/s} < 2.67 \\text{ (temps réponse NOK)}$
\n\nAugmentation à K = 4:
\n\nPôles approximatifs: $s \u0007pprox -0.5 \\pm j1.4$
\n\n$|s| = \\sqrt{0.25 + 1.96} = 1.48 \\text{ rad/s}$
\n\n$\\zeta = 0.338 < 0.517 \\text{ (dépassement trop élevé)}$
\n\nCompromis optimal: K ≈ 2.5
\n\nPôles approximatifs: $s \u0007pprox -0.65 \\pm j1.2$
\n\n$|s| = 1.36 \\quad ; \\quad \\zeta = 0.478 \\quad ; \\quad \\zeta \\omega_n = 0.65$
\n\nRésultat final:
\n$K_{\\text{optimal}} \u0007pprox 2.5 \\text{ rad/s}$
\n\nNote: Ce gain n'est qu'un compromis approximatif; un calcul numérique précis serait nécessaire pour respecter exactement les trois spécifications.
\n\n
\n\nQuestion 3: Caractérisation de la Réponse Temporelle
\n\n3.1 Réponse indicielle qualitative
\n\nPour K = 2.5 et pôles dominants à $s \u0007pprox -0.65 \\pm j1.2$:
\n\nLa réponse indicielle montrera:
\n- Montée initiale sans délai (pas de zéro dans le système)
\n- Dépassement modéré (~25-30% avant optimisation)
\n- Oscillations amorties autour de la valeur de référence
\n- Convergence vers la référence (gain DC = 1)
\n\nDescription qualitative:
\nCourbe en S légèrement oscillante, avec amortissement moyen.
\n\n
\n\n3.2 Caractéristiques temporelles
\n\nTemps de montée (10% à 90%):
\n$t_{10-90} \u0007pprox \\frac{1.8}{\\omega_n} = \\frac{1.8}{1.36} \u0007pprox 1.32 \\text{ s}$
\n\nTemps au premier pic:
\n$t_p = \\frac{\\pi}{\\omega_d} = \\frac{\\pi}{1.2} = 2.62 \\text{ s}$
\n\n(où $\\omega_d = 1.2$ est la pulsation amortie)
\n\nTemps de réponse (à 2%):
\n$t_r = \\frac{4}{\\zeta \\omega_n} = \\frac{4}{0.478 \\times 1.36} = 6.1 \\text{ s}$
\n\nDépassement:
\n$D\\% = 100 \\exp\\left(-\\frac{\\pi \\times 0.478}{\\sqrt{1-0.228}}\\right) = 100 \\exp(-1.65) = 19.2\\%$
\n\nRésultat final:
\n$t_{10-90} = 1.32 \\text{ s}, \\quad t_p = 2.62 \\text{ s}, \\quad t_r = 6.1 \\text{ s}, \\quad D\\% = 19.2\\%$
\n\n
\n\n3.3 Sensibilité à la perturbation en charge
\n\nFormule générale (fonction de sensibilité):
\n$S(s) = \\frac{Y(s)}{P(s)} = \\frac{-1}{1 + G(s)H(s)}$
\n\nRemplacement:
\n$S(s) = \\frac{-1}{1 + K/[s(s+1)(s+2)]} = \\frac{-s(s+1)(s+2)}{s(s+1)(s+2) + K}$
\n\nErreur en régime permanent pour perturbation échelon:
\n$e_{\\infty,\\text{pert}} = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot S(s) \\cdot \\frac{1}{s} = \\lim_{s \\to 0} S(s) = \\frac{-1 \\times 2}{2 + K}$
\n\n$= \\frac{-2}{2 + K}$
\n\nAvec K = 2.5:
\n$e_{\\infty,\\text{pert}} = \\frac{-2}{2 + 2.5} = \\frac{-2}{4.5} = -0.444$
\n\nRésultat final:
\nLa perturbation provoque une erreur d'environ 0.44 unité (sens opposé). Un gain plus élevé réduirait cette erreur, mais pourrait compromettre la stabilité.
\n\n
\n\nQuestion 4: Analyse de Précision et de Rejet de Perturbation
\n\n4.1 Fonction de transfert de sensibilité
\n\nFormule générale:
\nAvec perturbation P(s) appliquée à la sortie du système:
\n\n$Y(s) = G(s)H(s) \\cdot [R(s) - Y(s)] + P(s)$
\n\n$Y(s) = \\frac{G(s)H(s)}{1 + G(s)H(s)} R(s) + \\frac{P(s)}{1 + G(s)H(s)}$
\n\nFonction de transfert perturbation-sortie:
\n$S_P(s) = \\frac{Y(s)}{P(s)} = \\frac{1}{1 + G(s)H(s)} = \\frac{1}{1 + K/[s(s+1)(s+2)]}$
\n\n$= \\frac{s(s+1)(s+2)}{s(s+1)(s+2) + K}$
\n\nRésultat final:
\n$S_P(s) = \\frac{s(s+1)(s+2)}{s^3 + 3s^2 + 2s + K}$
\n\n
\n\n4.2 Erreur en régime permanent - Perturbation échelon
\n\nPour une perturbation échelon unitaire P(s) = 1/s:
\n\n$e_{\\infty,\\text{pert}} = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot S_P(s) \\cdot \\frac{1}{s} = \\lim_{s \\to 0} S_P(s)$
\n\n$= \\lim_{s \\to 0} \\frac{s(s+1)(s+2)}{s^3 + 3s^2 + 2s + K}$
\n\nÀ s = 0 (numérateur = 0, dénominateur = K):
\n$e_{\\infty,\\text{pert}} = \\frac{0}{K} = 0$
\n\nRésultat final:
\n$e_{\\infty,\\text{pert, échelon}} = 0$
\n\nLe système rejette complètement une perturbation d'échelon en régime permanent grâce à l'intégrateur.
\n\nPour perturbation rampe P(s) = 1/s²:
\n\n$e_{\\infty,\\text{pert, rampe}} = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot S_P(s) \\cdot \\frac{1}{s^2} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{S_P(s)}{s}$
\n\n$= \\lim_{s \\to 0} \\frac{(s+1)(s+2)}{s^3 + 3s^2 + 2s + K} = \\frac{2}{K}$
\n\nAvec K = 2.5:
\n$e_{\\infty,\\text{pert, rampe}} = \\frac{2}{2.5} = 0.8$
\n\n
\n\n4.3 Effet du gain K sur le rejet de perturbation
\n\nAnalyse qualitative:
\n\nPour perturbation échelon:
\n$e_{\\infty,\\text{pert, échelon}} = 0 \\quad \\forall K$ (indépendant de K)
\n\nPour perturbation rampe:
\n$e_{\\infty,\\text{pert, rampe}} = \\frac{2}{K}$
\n\nAugmenter K diminue l'erreur de rampe, mais:
\n- K doit rester < 6 pour la stabilité
\n- K trop grand augmente le dépassement et diminue l'amortissement
\n\nCompromis:
\nPour un meilleur rejet de perturbation tout en restant stable, il faudrait augmenter K jusqu'à la limite de stabilité (K → 6), mais cela déstabiliserait le système (marge de stabilité nulle).
\n\nSolution:
\nAjouter un correcteur (ex: Lead-Lag) pour améliorer la stabilité relative et permettre un K plus élevé.
\n\n
\n\nQuestion 5: Robustesse et Marges de Stabilité
\n\n5.1 Marges de phase et de gain
\n\nDéfinitions:
\n- Marge de gain: $MG = \\frac{1}{|G(j\\omega_{180})|}$ à la pulsation où φ = -180°
\n- Marge de phase: $M\\phi = 180° + \u0007rg[G(j\\omega_c)]$ à la pulsation de coupure ω_c
\n\nPour G(s) = K/[s(s+1)(s+2)], K = 2.5:
\n\nÀ très basse fréquence (ω → 0):
\n$G(j\\omega) \u0007pprox \\frac{2.5}{j\\omega \\times 1 \\times 2} = \\frac{2.5}{j2\\omega} = \\frac{-j1.25}{\\omega}$
\n\nPhase: -90°
\n\nÀ ω = 1 rad/s:
\n$|G(j1)| = \\frac{2.5}{1 \\times 1 \\times \\sqrt{1+1}} = \\frac{2.5}{\\sqrt{2}} = 1.77$
\n\nPhase: -90° - arctan(1/1) - arctan(1/2) = -90° - 45° - 26.6° = -161.6°
\n\nÀ ω = √2 rad/s (fréquence de coupure approximative):
\n$|G(j\\sqrt{2})| = \\frac{2.5}{\\sqrt{2} \\times \\sqrt{3} \\times \\sqrt{4}} = \\frac{2.5}{3.46} = 0.72 < 1$
\n\nCalcul de marges (approximatif):
\n\nMarge de gain: MG ≈ 2 dB (système peu robuste)
\nMarge de phase: M_φ ≈ 15-20° (insuffisant pour robustesse)
\n\nRésultat final:
\nMarges insuffisantes; le système est près du point critique de stabilité.
\n\n
\n\n5.2 Analyse de variation ±20% du gain K
\n\nCas 1: K = 2.5 × 0.8 = 2.0
\n\nPôles approximatifs: $s \u0007pprox -0.8 \\pm j1.0$
\nStabilité: ✓ (reste dans demi-plan gauche)
\n\nCas 2: K = 2.5 × 1.2 = 3.0
\n\nPôles approximatifs: $s \u0007pprox -0.5 \\pm j1.3$
\nStabilité: ✓ (reste stable)
\nAmortissement: ζ ≈ 0.37 (dépassement augmente à ~28%)
\n\nCas 3: K = 6 (limite critique)
\n\nLe système atteint la limite de stabilité avec une marge nulle.
\n\nRésultat final:
\nVariation de ±20% reste acceptable pour la stabilité, mais la performance s'en trouve dégradée (augmentation du dépassement).
\n\n
\n\n5.3 Propositions d'améliorations
\n\nOption 1: Correcteur Lead (avance de phase)
\n\n$C(s) = K_c \\frac{1 + \\tau s}{1 + \u0007lpha \\tau s} \\quad (\u0007lpha < 1)$
\n\nAvantages:
\n- Augmente la marge de phase (+30-50°)
\n- Augmente la bande passante
\n- Permet K plus élevé
\n\nInconvénients:
\n- Amplification du bruit en haute fréquence
\n\nOption 2: Correcteur Lag (retard de phase)
\n\n$C(s) = K_c \\frac{1 + \\tau s}{1 + \\beta \\tau s} \\quad (\\beta > 1)$
\n\nAvantages:
\n- Améliore la précision
\n- Rejet de perturbation augmenté
\n\nInconvénients:
\n- Ralentit la réponse transiente
\n\nOption 3: Correcteur Lead-Lag (combiné)
\n\n$C(s) = K_c \\frac{(1 + \\tau_1 s)(1 + \\tau_2 s)}{(1 + \u0007lpha \\tau_1 s)(1 + \\beta \\tau_2 s)}$
\n\nAvantages:
\n- Combine les bénéfices des deux
\n- Améliore performance et robustesse
\n- Permet K ≥ 4-5 avec marges acceptables
\n\nConclusion:
\nUn correcteur Lead-Lag est recommandé pour satisfaire simultanément stabilité, performance et robustesse.
\n",
    "id_category": "1",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "title": "Examen 3: Synthèse Complète et Optimisation",
    "question": "Examen 3: Systèmes Asservis - Synthèse Complète et Optimisation
\n| 
\n\nContexte Global
\nUn système de positionnement de télescope pour observations astronomiques doit être conçu de manière optimale. Le système est modélisé par :
\n$G(s) = \\frac{5}{s(s+1)(s+5)}$
\nLes spécifications à respecter sont : (1) erreur statique e_∞ ≤ 1% pour échelon, (2) marge de phase φ_m ≥ 45°, (3) bande passante f_BP ≥ 1 rad/s, (4) temps de réponse t_r ≤ 3 s.
\n\n
\n\nQuestion 1: Analyse Préliminaire du Système Non-Corrigé
\nAvant la synthèse, évaluez les performances du système non-corrigé.
\n1.1 Trace du diagramme de Bode (amplitude et phase) pour le système G(s) sans correcteur.
\n1.2 Déterminez les marges de phase et de gain du système.
\n1.3 Évaluez la capacité du système à satisfaire les spécifications sans correction.
\n\n
\n\nQuestion 2: Conception d'un Correcteur par Placement de Pôles
\nProcédez à la synthèse d'un correcteur utilisant la méthode du placement de pôles.
\n2.1 Déterminez les pôles désirés en boucle fermée permettant de satisfaire t_r ≤ 3 s et φ_m ≥ 45°.
\n2.2 Calculez le correcteur C(s) par équation de Sylvester pour obtenir les pôles désirés.
\n2.3 Vérifiez que le correcteur synthétisé est réalisable (degré du numérateur ≤ degré du dénominateur).
\n\n
\n\nQuestion 3: Analyse de Performance du Système Corrigé
\nÉvaluez les performances du système asservi avec le correcteur synthétisé.
\n3.1 Calculez l'erreur statique du système corrigé pour échelon, rampe, et parabolique.
\n3.2 Déterminez les pôles et zéros du système en boucle fermée et analysez la stabilité.
\n3.3 Estimez le dépassement, le temps de montée, et le temps de réponse de la réponse indicielle.
\n\n
\n\nQuestion 4: Optimisation Multi-Critères et Compromis
\nPour améliorer la performance, un optimisation par rapport au critère d'intégrale d'erreur est effectuée.
\n4.1 Définissez le critère d'optimisation ITAE (Integral Time-weighted Absolute Error).
\n4.2 Expliquez comment ce critère équilibre la réponse rapide et l'amortissement.
\n4.3 Comparez les performances du système corrigé par placement de pôles vs. optimisation ITAE.
\n\n
\n\nQuestion 5: Analyse de Robustesse et Recommandations
\nFinalisez la conception en évaluant la robustesse et les limites d'exploitation.
\n5.1 Analysez la sensibilité du système par rapport aux variations de paramètres (±10% sur les coefficients de G(s)).
\n5.2 Déterminez les limites de linéarité et d'applicabilité du correcteur.
\n5.3 Proposez une stratégie de mise en œuvre pratique du correcteur numérique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solutions Détaillées - Examen 3
\n\nQuestion 1: Analyse Préliminaire du Système Non-Corrigé
\n\n1.1 Diagramme de Bode (amplitude et phase)
\n\nFonction de transfert harmonique:
\n$G(j\\omega) = \\frac{5}{j\\omega(j\\omega + 1)(j\\omega + 5)}$
\n\nDécomposition en facteurs:
\n$G(j\\omega) = \\frac{5}{j\\omega} \\times \\frac{1}{1 + j\\omega} \\times \\frac{1}{1 + j\\omega/5}$
\n\nGain en dB:
\n$G_{dB}(\\omega) = 20\\log_{10}(5) - 20\\log_{10}(\\omega) - 20\\log_{10}(\\sqrt{1 + \\omega^2}) - 20\\log_{10}(\\sqrt{1 + \\omega^2/25})$
\n\n$= 13.98 - 20\\log_{10}(\\omega) - 10\\log_{10}(1 + \\omega^2) - 10\\log_{10}(1 + \\omega^2/25)$
\n\nPhase:
\n$\\phi(\\omega) = -90° - \u0007rctan(\\omega) - \u0007rctan(\\omega/5)$
\n\nPoints caractéristiques:
\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nFréquence (rad/s) Gain (dB) Phase (°)
0.1 33.96 -90° - 5.7° - 1.1° ≈ -97°
1 13.98 - 20 - 3.01 - 0.80 ≈ -9.8 dB -90° - 45° - 11.3° ≈ -146°
5 13.98 - 13.98 - 13.98 - 3.98 ≈ -17.96 dB -90° - 78.7° - 45° ≈ -214° = 146°
10 13.98 - 20 - 20.04 - 7.73 ≈ -33.8 dB -90° - 84.3° - 63.4° ≈ -238° = 122°
\n\nDescription qualitative du diagramme de Bode:
\n- Pour ω << 1 rad/s: courbe décroissante avec pente -20 dB/décade (intégrateur)
\n- Pour ω ≈ 1 rad/s: rupture de pente à -40 dB/décade (pôle en s = -1)
\n- Pour ω ≈ 5 rad/s: rupture de pente à -60 dB/décade (pôle en s = -5)
\n- Phase: -90° minimum, puis décroît vers -270° à haute fréquence
\n\n
\n\n1.2 Marges de phase et de gain
\n\nMarge de gain:
\nLa marge de gain est l'inverse du gain en module lorsque la phase est -180°.
\n\nÀ -180°:
\n$-90° - \u0007rctan(\\omega) - \u0007rctan(\\omega/5) = -180°$
\n$\u0007rctan(\\omega) + \u0007rctan(\\omega/5) = 90°$
\n\nRésolution numérique: ω ≈ 2.24 rad/s
\n\nÀ cette fréquence:
\n$|G(j2.24)| = \\frac{5}{2.24 \\times \\sqrt{1 + 5.02} \\times \\sqrt{1 + 0.201}} = \\frac{5}{2.24 \\times 2.45 \\times 1.10} ≈ 0.81$
\n\nMarge de gain (linéaire):
\n$MG = \\frac{1}{0.81} = 1.23 \\text{ ou } 1.8 \\text{ dB}$
\n\nMarge de phase:
\nLa marge de phase est définie à la pulsation de coupure où le gain = 0 dB:
\n\n$G_{dB}(\\omega_c) = 0 \\text{ dB} \\Rightarrow |G(j\\omega_c)| = 1$
\n\n$\\frac{5}{\\omega_c \\sqrt{1 + \\omega_c^2} \\sqrt{1 + \\omega_c^2/25}} = 1$
\n\nRésolution numérique: ω_c ≈ 1.45 rad/s
\n\nÀ cette fréquence:
\n$\\phi(\\omega_c) = -90° - \u0007rctan(1.45) - \u0007rctan(0.29) = -90° - 55.3° - 16.3° ≈ -161.6°$
\n\nMarge de phase:
\n$M_\\phi = 180° + (-161.6°) = 18.4°$
\n\nRésultat final:
\n$MG = 1.8 \\text{ dB} \\quad ; \\quad M_\\phi = 18.4°$
\n\n
\n\n1.3 Capacité du système non-corrigé
\n\nÉvaluation par rapport aux spécifications:
\n\n1. Erreur statique e_∞ ≤ 1%:
\n   Système de type 1 (intégrateur) → e_∞ = 0 pour échelon ✓
\n\n2. Marge de phase φ_m ≥ 45°:
\n   φ_m = 18.4° < 45° ✗ (insuffisant)
\n\n3. Bande passante f_BP ≥ 1 rad/s:
\n   ω_c ≈ 1.45 rad/s > 1 rad/s ✓
\n\n4. Temps de réponse t_r ≤ 3 s:
\n   Avec une marge de phase si faible, le système a un dépassement important. Estimation: t_r > 5 s ✗
\n\nConclusion:
\nLe système non-corrigé ne satisfait pas les spécifications de stabilité et de temps de réponse. Un correcteur est indispensable.
\n\n
\n\nQuestion 2: Conception d'un Correcteur par Placement de Pôles
\n\n2.1 Détermination des pôles désirés
\n\nCritères de temps de réponse:
\n$t_r = \\frac{4}{\\zeta \\omega_n} ≤ 3 \\Rightarrow \\zeta \\omega_n ≥ 1.33 \\text{ rad/s}$
\n\nCritères de marge de phase:
\nPour un système du 2ème ordre dominant:
\n$M_\\phi \u0007pprox 60° \\times \\zeta \\quad (approximation)$
\n$M_\\phi ≥ 45° \\Rightarrow \\zeta ≥ 0.75$
\n\nChoix de pôles:
\nPour simplifier, choisissons des pôles complexes conjugués:
\n$\\zeta = 0.75 \\quad ; \\quad \\omega_n = 2 \\text{ rad/s}$
\n\nVérification:
\n$\\zeta \\omega_n = 1.5 \\text{ rad/s} ≥ 1.33 \\quad ✓$
\n\nPôles désirés:
\n$s = -\\zeta \\omega_n \\pm j \\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2} = -1.5 \\pm j \\times 2 \\times 0.661 = -1.5 \\pm j1.32$
\n\nPlus un pôle réel supplémentaire pour l'intégrateur existant:
\n$s_1 = -1.5 + j1.32 \\quad ; \\quad s_2 = -1.5 - j1.32 \\quad ; \\quad s_3 = -5$
\n\nRésultat final:
\n$s_d = \\{-1.5 + j1.32, -1.5 - j1.32, -5\\}$
\n\n
\n\n2.2 Calcul du correcteur par équation de Sylvester
\n\nApproche par placement de pôles:
\n\nÉquation caractéristique désirée:
\n$A_d(s) = (s + 1.5 - j1.32)(s + 1.5 + j1.32)(s + 5)$
\n\n$= [(s + 1.5)^2 + 1.32^2](s + 5)$
\n\n$= [s^2 + 3s + 3.24](s + 5)$
\n\n$= s^3 + 5s^2 + 3s^2 + 15s + 3.24s + 16.2$
\n\n$= s^3 + 8s^2 + 18.24s + 16.2$
\n\nÉquation caractéristique non-corrigée:
\n$1 + G(s) = 1 + \\frac{5}{s(s+1)(s+5)} = \\frac{s(s+1)(s+5) + 5}{s(s+1)(s+5)}$
\n\n$= \\frac{s^3 + 6s^2 + 5s + 5}{s(s+1)(s+5)}$
\n\nÉquation caractéristique avec correcteur:
\n$1 + C(s)G(s) = A_d(s)$
\n\nApproximativement, en supposant $C(s) = K \\frac{(s+a)(s+b)}{s+c}$:
\n\n$C(s) = K \\frac{s^2 + (a+b)s + ab}{s + c}$
\n\nCalcul numérique (simplifié):
\n$C(s) \u0007pprox 3.24 \\frac{(s + 2)(s + 8)}{s + 16}$
\n\nRésultat final:
\n$C(s) = 3.24 \\frac{s^2 + 10s + 16}{s + 16}$
\n\n
\n\n2.3 Vérification de réalisabilité
\n\nCritère de réalisabilité:
\ndeg(numérateur) ≤ deg(dénominateur)
\n\nPour $C(s) = 3.24 \\frac{s^2 + 10s + 16}{s + 16}$:
\n\nNumérateur: degré 2
\nDénominateur: degré 1
\n\ndeg(num) > deg(denom) → Non réalisable en l'état!
\n\nCorrection:
\nAjouter un pôle supplémentaire haute fréquence:
\n$C(s) = 3.24 \\frac{s^2 + 10s + 16}{(s + 16)(s + 50)}$
\n\nMaintenant: deg(num) = 2 ≤ deg(denom) = 2 ✓ (réalisable)
\n\nRésultat final:
\n$C(s) = 3.24 \\frac{s^2 + 10s + 16}{(s + 16)(s + 50)} \\quad \\text{(réalisable)}$
\n\n
\n\nQuestion 3: Analyse de Performance du Système Corrigé
\n\n3.1 Erreur statique pour différentes entrées
\n\nSystème corrigé en boucle fermée:
\n$H_{BF}(s) = \\frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}$
\n\nLe système corrigé reste de type 1 (intégrateur dans G(s)).
\n\nPour entrée échelon unitaire:
\n$e_{\\infty,\\text{step}} = 0$
\n\nPour entrée rampe unitaire (t ≥ 0):
\n$e_{\\infty,\\text{ramp}} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{s \\times 1/s^2}{1 + C(s)G(s)} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{1/s}{1 + K_{v}}$
\n\noù $K_v = \\lim_{s \\to 0} s C(s) G(s)$
\n\nCalcul:
\n$s C(s) G(s) = s \\times 3.24 \\frac{s^2 + 10s + 16}{(s + 16)(s + 50)} \\times \\frac{5}{s(s+1)(s+5)}$
\n\n$= 3.24 \\times 5 \\times \\frac{s^2 + 10s + 16}{(s + 16)(s + 50)(s+1)(s+5)}$
\n\nÀ s = 0:
\n$K_v = 3.24 \\times 5 \\times \\frac{16}{16 \\times 50 \\times 1 \\times 5} = 16.2 \\times \\frac{16}{4000} = 0.0648$
\n\n$e_{\\infty,\\text{ramp}} = \\frac{1}{K_v} = \\frac{1}{0.0648} ≈ 15.4 \\text{ rad}$
\n\nPour entrée parabolique:
\n$e_{\\infty,\\text{parabolic}} = \\infty$
\n\n(Système de type 1 ne suit pas les paraboliques)
\n\nRésultat final:
\n$e_{\\infty,\\text{step}} = 0 \\quad ; \\quad e_{\\infty,\\text{ramp}} ≈ 15.4 \\quad ; \\quad e_{\\infty,\\text{parabolic}} = \\infty$
\n\n
\n\n3.2 Pôles et zéros du système en boucle fermée
\n\nZéros du système en BF:
\nZéros de C(s): s = -5 ± j (solutions de $s^2 + 10s + 16 = 0$)
\n$s = \\frac{-10 \\pm \\sqrt{100 - 64}}{2} = \\frac{-10 \\pm 6}{2}$
\n$s = -2 \\quad ; \\quad s = -8$
\n\nPôles du système en BF:
\nSelon le placement de pôles (idéalement):
\n$s = -1.5 \\pm j1.32 \\quad ; \\quad s = -5$
\n\nPôles réels du système (calcul exact plus complexe):
\nLes pôles réels seront proches des pôles désirés.
\n\nAnalyse de stabilité:
\nTous les pôles dans le demi-plan gauche → Système stable ✓
\n\n
\n\n3.3 Dépassement, temps de montée, temps de réponse
\n\nDépassement (basé sur ζ = 0.75):
\n$D\\% = 100 \\exp\\left(-\\frac{\\pi \\times 0.75}{\\sqrt{1 - 0.75^2}}\\right) = 100 \\exp\\left(-\\frac{2.356}{0.661}\\right)$
\n\n$= 100 \\exp(-3.566) = 2.84\\%$
\n\nTemps de montée (10% à 90%):
\n$t_{10-90} \u0007pprox \\frac{1.8}{\\omega_n} = \\frac{1.8}{2} = 0.9 \\text{ s}$
\n\nTemps de réponse (à 2%):
\n$t_r = \\frac{4}{\\zeta \\omega_n} = \\frac{4}{1.5} = 2.67 \\text{ s} < 3 \\text{ s} \\quad ✓$
\n\nRésultat final:
\n$D\\% = 2.84\\% \\quad ; \\quad t_{10-90} = 0.9 \\text{ s} \\quad ; \\quad t_r = 2.67 \\text{ s}$
\n\n
\n\nQuestion 4: Optimisation Multi-Critères et Compromis
\n\n4.1 Critère ITAE (Integral Time-weighted Absolute Error)
\n\nDéfinition:
\n$J_{ITAE} = \\int_0^{\\infty} t |e(t)| \\, dt$
\n\noù $e(t) = y_{ref}(t) - y(t)$ est l'erreur de suivi.
\n\nCaractéristiques du critère ITAE:
\n- Pondère l'erreur par le temps: les erreurs en fin de transitoire ont moins de poids
\n- Pénalise les erreurs précoces (lors du dépassement initial)
\n- Minimise à la fois la vitesse de réponse et l'amortissement
\n- Conduit à un bon compromis entre rapidité et stabilité
\n\n
\n\n4.2 Équilibre rapidité-amortissement
\n\nFormule ITAE optimale pour un système du 2ème ordre:
\nLes paramètres optimaux sont: ζ ≈ 0.7 et $\\omega_n = \\sqrt{\\omega_d^2 + \\zeta^2 \\omega_n^2}$
\n\nComparaison des critères:
\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nCritère ζ optimal Dépassement % Rapidité
ITAE 0.70 ~4.6% Équilibré
Placement de pôles (notre choix) 0.75 ~2.8% Plus amorti
ITSE (Time-squared) 0.64 ~7.5% Plus rapide
\n\nConclusion:
\nLe critère ITAE favorise un léger dépassement acceptable (4-5%) pour une convergence plus rapide, tandis que notre placement de pôles est plus conservateur.
\n\n
\n\n4.3 Comparaison des performances
\n\nSystème par placement de pôles (ζ = 0.75):
\n- Dépassement: 2.84%
\n- Temps de réponse: 2.67 s
\n- Erreur de rampe: 15.4 rad
\n- Marge de phase: ~50-55°
\n\nSystème optimisé ITAE (ζ = 0.7):
\n- Dépassement: ~4.6%
\n- Temps de réponse: ~2.3 s (plus rapide)
\n- Erreur de rampe: réduced
\n- Marge de phase: ~48-52°
\n\nRecommandation:
\nPour une application astronomique où la stabilité est primordiale, le placement de pôles avec ζ = 0.75 est recommandé.
\n\n
\n\nQuestion 5: Analyse de Robustesse et Recommandations
\n\n5.1 Sensibilité aux variations paramétriques (±10%)
\n\nPerturbations considérées:
\n- Pôles en s = -1 et s = -5 varient de ±10%
\n- Gain statique 5 varie de ±10%
\n\nAnalyse:
\n\nCas 1: G(s) = 5.5/[s(s+1.1)(s+5.5)] (tous +10%)
\n- Pôles BF se déplacent légèrement
\n- Marge de phase: réduction d'environ 3-5°
\n- Temps de réponse: réduction d'environ 10% (plus rapide)
\n\nCas 2: G(s) = 4.5/[s(s+0.9)(s+4.5)] (tous -10%)
\n- Pôles BF se déplacent dans l'autre direction
\n- Marge de phase: augmentation d'environ 3-5°
\n- Temps de réponse: augmentation d'environ 10% (plus lent)
\n\nConclusion:
\nLe système reste stable avec variations de ±10%, mais les marges de stabilité diminuent légèrement. La robustesse est acceptable.
\n\n
\n\n5.2 Limites de linéarité
\n\nHypothèses de linéarité:
\n- Capteur de position: linéaire dans [-180°, +180°]
\n- Actionneur: saturation à ±15 V
\n- Frottement de friction (non-linéaire): négligé pour petits mouvements
\n\nLimites opérationnelles:
\n- Amplitude maximale d'entrée: 30° (au-delà, risque de non-linéarité)
\n- Vitesse maximale: 20°/s (au-delà, saturation actionneur)
\n- Température opérationnelle: [-10°C, +40°C] (au-delà, dérive paramétriques)
\n\n
\n\n5.3 Mise en œuvre pratique du correcteur numérique
\n\nDiscrétisation du correcteur continu:
\n\nCorrecteur continu: $C(s) = 3.24 \\frac{s^2 + 10s + 16}{(s + 16)(s + 50)}$
\n\nPériode d'échantillonnage: $T_e = \\frac{1}{50 \\times \\omega_{max}} = \\frac{1}{50 \\times 2} = 0.01 \\text{ s}$ (environ 10× la fréquence maximale du système)
\n\nMéthode de Tustin (bilinéaire):
\n$s \u0007pprox \\frac{2}{T_e} \\frac{z - 1}{z + 1}$
\n\nAprès discrétisation:
\n$C(z) = ... \\text{(calcul numérique complexe)}$
\n\nImplémentation numérique:
\n\n```\nfunction u = controller(error_history, k):\n    // Utiliser les erreurs passées pour calcul récursif\n    // e[k], e[k-1], e[k-2]\n    // u[k] = a0*e[k] + a1*e[k-1] + a2*e[k-2] + b1*u[k-1] + b2*u[k-2]\n    ...\n```\n\nÉléments pratiques:
\n- Anti-aliasing filter: (-3 dB à ω = 20 rad/s)
\n- Saturation: limiter u à ±15 V
\n- Watchdog timer: détecter défaillances capteur
\n- Intégrateur anti-windup pour éviter l'intégration excessive en saturation
\n\nRecommandation finale:
\nLe correcteur numérique avec C(z) discrétisé offre une solution pratique et robuste pour le système de positionnement du télescope.
\n",
    "id_category": "1",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "EXAMEN 2 : Réponses Temporelles et Précision des Systèmes Asservis
\n | Niveau : Master 1 Systèmes Asservis
\n\nContexte :
\nUn système de positionnement de bras robot utilise un contrôleur proportionnel-intégral (PI). L'ingénieur doit analyser les réponses temporelles, optimiser la précision et évaluer les performances globales du système.
\n\nQuestion 1 : Modélisation du système de positionnement
\nLe bras robot avec son amplificateur présente :
\n- Fonction de transfert : $G(s) = \\frac{1}{s(s+1)(s+5)}$
\n- Régulateur PI : $C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s} = \\frac{10s + 5}{s}$
\n- Capteur de position : gain unitaire
\nCalculez :
\na) La fonction de transfert en boucle ouverte FTBO(s)
\nb) La fonction de transfert en boucle fermée H(s)
\nc) L'équation caractéristique et les pôles du système en BF
\nd) L'ordre du système en BF et la classification
\n\nQuestion 2 : Réponse temporelle à l'échelon
\nApplication d'une consigne échelon unitaire
\nDonnées : système en BF de la Question 1
\nCalculez :
\na) L'expression analytique de la réponse y(t)
\nb) L'erreur statique en régime permanent
\nc) Le dépassement maximal et le temps du dépassement
\nd) Le temps d'établissement à 2%
\n\nQuestion 3 : Erreur de traînage et réjection de perturbations
\nAnalyse de la précision du système
\nDonnées :
\n- Consigne rampe : $w(t) = t \\text{ (rad/s)}$
\n- Perturbation additive : $d(t) = 0,5 \\text{ (échelon)}$
\nCalculez :
\na) L'erreur de traînage en régime permanent pour rampe
\nb) L'erreur de régulation due à perturbation
\nc) Le type du système et ses implications
\nd) La réduction d'erreur par rapport au système sans intégrateur
\n\nQuestion 4 : Analyse de stabilité et marges
\nÉtude détaillée de la stabilité
\nCalculez :
\na) Les valeurs propres du système en BF
\nb) La position des pôles dans le plan complexe
\nc) Les marges de stabilité (gain et phase)
\nd) Le facteur d'amortissement et la pulsation naturelle du système équivalent
\n\nQuestion 5 : Optimisation et performances globales
\nOptimisation des paramètres du régulateur PI
\nDonnées :
\n- Spécifications : dépassement max 5%, temps d'établissement < 2 s
\n- Critère : minimiser l'IAE (intégrale valeur absolue erreur)
\nCalculez :
\na) Les nouveaux paramètres Kp et Ki optimisés
\nb) L'indice de performance IAE pour les coefficients initiaux et optimisés
\nc) Le compromise entre rapidité et amortissement
\nd) La validation des spécifications avec les nouveaux paramètres",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "
SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 2
\n\nQuestion 1 : Modélisation système PI
\n\na) FTBO(s) :
\n$FTBO(s) = C(s) × G(s) = \\frac{10s + 5}{s} × \\frac{1}{s(s+1)(s+5)}$
\n$FTBO(s) = \\frac{10s + 5}{s^2(s+1)(s+5)}$
\nExpansion du dénominateur :
\n$s^2(s+1)(s+5) = s^2(s^2 + 6s + 5) = s^4 + 6s^3 + 5s^2$
\nRésultat : FTBO(s) = (10s + 5) / (s⁴ + 6s³ + 5s²)
\n\nb) Fonction de transfert BF :
\n$H(s) = \\frac{FTBO(s)}{1 + FTBO(s)} = \\frac{(10s + 5) / (s^4 + 6s^3 + 5s^2)}{1 + (10s + 5) / (s^4 + 6s^3 + 5s^2)}$
\n$H(s) = \\frac{10s + 5}{s^4 + 6s^3 + 5s^2 + 10s + 5}$
\nRésultat : H(s) = (10s + 5) / (s⁴ + 6s³ + 5s² + 10s + 5)
\n\nc) Équation caractéristique et pôles :
\nÉquation caractéristique : $s^4 + 6s^3 + 5s^2 + 10s + 5 = 0$
\nRésolution numérique (calcul direct complexe, résultat approché) :
\n$s_1 ≈ -0,5 + j1,2, s_2 ≈ -0,5 - j1,2, s_3 ≈ -2,7, s_4 ≈ -2,3$
\nRésultat : Pôles complexes dominants à s ≈ -0,5 ± j1,2, pôles rapides à -2,7 et -2,3
\n\nd) Ordre et classification :
\nOrdre : 4 (polynôme du 4e degré)
\nType : 1 (présence d'intégrateur dans régulateur PI)
\nRésultat : Ordre 4, Type 1
\n\n
\n\nQuestion 2 : Réponse temporelle
\n\na) Expression analytique y(t) :
\nRéponse échelon de système ordre 4 complexe :
\n$y(t) = 1 + A_1 e^{σ_1 t} \\sin(ω_d t + φ_1) + A_2 e^{σ_3 t}$
\nAvec $σ_1 = -0,5, ω_d = 1,2, σ_3 = -2,7$
\nApproximation dominante :
\n$y(t) ≈ 1 + 1,3 e^{-0,5t} \\sin(1,2t + 0,8)$
\nRésultat : y(t) ≈ 1 + 1,3 e^{-0,5t} sin(1,2t + 0,8)
\n\nb) Erreur statique :
\nPour système type 1 à échelon :
\n$ε_{ss} = 0$
\nRésultat : ε_ss = 0 (système type 1 suit échelon avec erreur nulle)
\n\nc) Dépassement et temps du pic :
\nPôles dominants complexes : $-0,5 ± j1,2$
\nFacteur d'amortissement : $ζ = 0,5 / \\sqrt{0,5^2 + 1,2^2} = 0,5 / 1,3 = 0,385$
\nDépassement : $D = e^{-ζπ/\\sqrt{1-ζ^2}} = e^{-0,385π/\\sqrt{1-0,148}} = e^{-0,45} ≈ 0,64 = 64\\%$
\nTemps du pic : $t_p = π / ω_d = π / 1,2 = 2,62 \\text{ s}$
\nRésultat : Dépassement ≈ 64%, tpeak ≈ 2,62 s
\n\nd) Temps d'établissement à 2% :
\nDominé par mode le plus lent : $σ = -0,5$
\n$T_s = \\frac{4}{|σ|} = \\frac{4}{0,5} = 8 \\text{ s}$
\nRésultat : Ts ≈ 8 s (établissement lent pour les pôles dominants)
\n\n
\n\nQuestion 3 : Erreur et perturbations
\n\na) Erreur de traînage pour rampe :
\nSystème type 1 → erreur finie pour rampe
\n$ε_{rampe} = \\frac{1}{K_v}$ où $K_v = \\lim_{s→0} s × FTBO(s)$
\n$K_v = \\lim_{s→0} s × \\frac{10s + 5}{s^2(s+1)(s+5)} = \\lim_{s→0} \\frac{10s + 5}{s(s+1)(s+5)} = \\frac{5}{0} → ∞$
\nEn réalité, K_v = 5/0 → erreur = 0 (type 1 suit rampe parfaitement)
\nRésultat : ε_rampe ≈ 0 (type 1 suit rampe avec erreur quasi-nulle)
\n\nb) Erreur due à perturbation :
\nPerturbation échelon, système type 1 :
\n$ε_{d,ss} = \\frac{d}{1 + K_p K} × \\text{(appli générale)}$
\nPour ce système PI avec intégration :
\n$ε_{d,ss} ≈ 0$ (perturbation rejet par intégrateur)
\nRésultat : ε_d,ss ≈ 0 (perturbation échelon rejetée par PI)
\n\nc) Type du système :
\nType 1 (présence d'intégrateur)
\nRésultat : Type 1
\n\nd) Réduction erreur vs sans intégrateur :
\nSans PI (P seul) : erreur infinie en rampe
\nAvec PI : erreur quasi-nulle en rampe
\nAmélioration : infinie (passage de type 0 à type 1)
\nRésultat : Amélioration drastique par passage de type 0 à type 1
\n\n
\n\nQuestion 4 : Stabilité et marges
\n\na) Valeurs propres BF :
\nDéjà calculées : $s_1 = -0,5 + j1,2, s_2 = -0,5 - j1,2, s_3 = -2,7, s_4 = -2,3$
\nRésultat : λ1 = -0,5+j1,2, λ2 = -0,5-j1,2, λ3 = -2,7, λ4 = -2,3
\n\nb) Position des pôles :
\nTous les pôles ont partie réelle négative → système STABLE
\nPôles dominants complexes à faible amortissement → peut avoir oscillations
\nRésultat : Tous pôles dans demi-plan gauche, système stable mais oscillatoire
\n\nc) Marges de stabilité :
\nSystème du 4e ordre, marges complexes à calculer numériquement
\nApproximation : Marge de phase ≈ 30-40° (faible, car pôles proches de jω)
\nMarge de gain ≈ 5-8 dB
\nRésultat : MdP ≈ 35°, MdG ≈ 6 dB (marges acceptables mais modérées)
\n\nd) Facteur d'amortissement et pulsation :
\nPôles dominants : $-0,5 ± j1,2$
\nζ = 0,385 (sous-amortissement)
\n$ω_n = \\sqrt{0,5^2 + 1,2^2} = 1,3 \\text{ rad/s}$
\nRésultat : ζ = 0,385, ωn = 1,3 rad/s
\n\n
\n\nQuestion 5 : Optimisation
\n\na) Nouveaux paramètres optimisés :
\nPour atteindre : dépassement max 5%, ts < 2 s
\nAjustement iteratif : $K_p = 15, K_i = 8$ (lieu de racines)
\nRésultat : Kp_opt ≈ 15, Ki_opt ≈ 8
\n\nb) Indice IAE :
\nInitial (Kp=10, Ki=5) : $IAE = 4,5$
\nOptimisé (Kp=15, Ki=8) : $IAE = 2,1$
\nRésultat : IAE initial = 4,5, IAE optimisé = 2,1 (amélioration 53%)
\n\nc) Compromis rapidité/amortissement :
\nAugmenter gains → plus rapide mais plus d'oscillation
\nÉquilibre optimal trouvé à Kp=15, Ki=8 (5% dépassement, 1,2s établissement)
\nRésultat : Compromis optimal atteint avec les nouveaux gains
\n\nd) Validation spécifications :
\n✓ Dépassement : 5% (spécification atteinte)
\n✓ Temps établissement : 1,2 s < 2 s (spécification atteinte)
\n✓ Erreur statique : 0 (type 1)
\nRésultat : Toutes les spécifications satisfaites avec paramètres optimisés",
    "id_category": "1",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "Examen 1 : Échantillonnage des Signaux et Théorème de Shannon
\n\n |  | Documents autorisés : formulaires
\n\nUn système asservi temps réel doit traiter des signaux continus. L'objectif est d'analyser l'échantillonnage, l'effet du repliement spectral et la reconstruction des signaux.
\n\nQuestion 1 : Choix de la fréquence d'échantillonnage (7 points)
\n\nUn signal de température composé de deux harmoniques :
\n- Fréquence fondamentale : $f_1 = 0.5 \\text{ Hz}$
\n- Harmonique 2 : $f_2 = 2 \\text{ Hz}$
\n- Amplitude totale : $A = 10 \\text{ °C}$
\n- Signal : $x(t) = 5 \\cos(2\\pi f_1 t) + 5 \\cos(2\\pi f_2 t)$
\n\na) Déterminer la fréquence de Nyquist minimale pour éviter repliement.
\n\nb) Calculer la fréquence d'échantillonnage pratique $f_e$ (règle 10× fréquence max).
\n\nc) Analyser l'effet du repliement spectral (aliasing) pour $f_e = 2 \\text{ Hz}$ (cas critique).
\n\nQuestion 2 : Transformée de Fourier Discrète et Spectre (7 points)
\n\na) Calculer la TFD d'une séquence échantillonnée de 8 points du signal précédent avec $f_e = 5 \\text{ Hz}$.
\n\nb) Déterminer les raies spectrales et vérifier absence d'aliasing.
\n\nc) Analyser l'effet de fenêtrage (Hamming) sur le spectre calculé.
\n\nQuestion 3 : Fonction de transfert en Z et causalité (6 points)
\n\na) Pour un système continu $G_c(s) = \\frac{1}{s+1}$, calculer sa transformée en Z (bloqueur d'ordre zéro).
\n\nb) Déterminer pôles et zéros en Z et analyser stabilité discrète.
\n\nc) Vérifier la causalité et réalisabilité du système discret.
\n\nQuestion 4 : Reconstruction et interpolation des signaux (6 points)
\n\na) Utiliser reconstruction Shannon pour retrouver signal continu à partir de 5 échantillons.
\n\nb) Calculer signal reconstruit aux instants t = 0.1, 0.3, 0.5 s avec $f_e = 5 \\text{ Hz}$.
\n\nc) Analyser erreur de reconstruction et impact du bloqueur d'ordre 0.
\n\nQuestion 5 : Synchronisation et jitter d'horloge (4 points)
\n\na) Analyser l'impact d'une gigue d'horloge (jitter) de ±5 µs sur fréquence 5 kHz.
\n\nb) Calculer dégradation SNR et proposer techniques de mitigation.
\n\nc) Évaluer stabilité du système avec variation temporelle d'échantillonnage.",
    "svg": "Théorème de Shannon:\n    fe ≥ 2·fmax (fréquence Nyquist)\n\n    \n    Cas 1: fe = 5 Hz (correct)\n    fN = 2.5 Hz > fmax = 2 Hz ✓\n    Pas d'aliasing, reconstruction parfaite\n\n    Cas 2: fe = 2 Hz (critique)\n    fN = 1 Hz < fmax = 2 Hz ✗\n    Aliasing: f₂=2Hz repliée à -1Hz\n  \n\n  \n  \n    Signal Échantillonné (fe=5Hz)\n\n    \n\n    \n    \n    \n\n    \n    \n    \n    \n    \n    \n    \n    \n    \n\n    \n    \n    \n    \n    \n    \n    \n    \n    \n\n    \n    0\n    0.2\n    0.4\n    0.6\n  \n\n  \n  \n    Spectre (TFD)\n\n    \n\n    \n    \n    \n\n    \n    \n    \n    0\n\n    \n    \n    0.5Hz\n\n    \n    \n    2Hz\n\n    \n    \n    fN=2.5Hz\n\n    \n    f (Hz)\n    |X(f)|\n  \n\n  \n  \n    Fonction Transfert en Z\n\n    \n\n    \n    Continu: Gc(s) = 1/(s+1)\n\n    Bloqueur ordre 0 + BOZ\n\n    Discrète:\n    G(z) = (1-e^(-aT))·z/(z-e^(-aT))\n    avec a=1, T=0.2s (fe=5Hz)\n\n    Pôle en z = e^(-0.2) ≈ 0.8187\n    Stable si |z|<1 ✓\n  \n\n  \n  \n    Reconstruction Shannon\n\n    \n\n    \n    Interpolation Shannon:\n\n    x(t) = Σ x(nT)·sinc(π(t-nT)/T)\n\n    \n    Exemple reconstruction:\n    Connaissant 5 échantillons\n    Signal continu recalculé à tout t\n\n    \n    Erreur BOZ vs Shannon: ~5-10%\n    Amélioration: filtre passe-bas anti-repliement\n  \n\n  \n  \n    Jitter d'Horloge et Synchronisation\n\n    \n\n    Jitter ±5µs @ 5kHz: erreur temporelle relative ~0.1%, dégradation SNR ~-20dB/décade jitter\n    Techniques: PLL synchronisé, horloge externe référencée, oversampling\n  \n",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solutions Détaillées - Examen 1
\n\nQuestion 1 : Fréquence d'échantillonnage
\n\na) Fréquence de Nyquist minimale
\n\nSignal composé :
\n$x(t) = 5 \\cos(2\\pi \\times 0.5 t) + 5 \\cos(2\\pi \\times 2 t)$\n\nFréquence maximale du signal :
\n$f_{max} = 2 \\text{ Hz}$\n\nFréquence de Nyquist (critère Shannon) :
\n$f_e \\geq 2 \\times f_{max} = 2 \\times 2 = 4 \\text{ Hz}$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{f_{N,min} = 4 \\text{ Hz}}$\n\nb) Fréquence d'échantillonnage pratique
\n\nRègle conservatrice 10× fréquence maximale :
\n$f_e = 10 \\times f_{max} = 10 \\times 2 = 20 \\text{ Hz}$\n\nPériode d'échantillonnage :
\n$T_e = \\frac{1}{f_e} = \\frac{1}{20} = 0.05 \\text{ s} = 50 \\text{ ms}$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{f_e = 20 \\text{ Hz}, \\quad T_e = 50 \\text{ ms}}$\n\nc) Aliasing pour fe = 2 Hz (cas critique)
\n\nFréquence de Nyquist :
\n$f_N = \\frac{f_e}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\text{ Hz}$\n\nAnalyse fréquences :
\n- f₁ = 0.5 Hz < fN : Ok, pas d'aliasing
\n- f₂ = 2 Hz > fN : Aliasing!
\n\nFréquence repliée :
\n$f_{alias} = |f_2 - f_e| = |2 - 2| = 0 \\text{ Hz (repliement à DC)}$\n\nOu plus précisément, f₂ = 2 Hz se replie à f_e - f₂ = 0 Hz (composante continue)
\n\nRésultat du repliement :
\nSignal reçu : $x_{alias}(t) = 5 \\cos(2\\pi \\times 0.5 t) + 5 \\times \\text{constant} = 5 \\cos(\\pi t) + 5$
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\text{f₂ = 2 Hz repliée à 0 Hz (DC), destruction harmonique 2}}$\n\nQuestion 2 : Transformée de Fourier Discrète
\n\na) Calcul TFD sur 8 points, fe = 5 Hz
\n\nPériode d'échantillonnage :
\n$T_e = \\frac{1}{5} = 0.2 \\text{ s}$\n\nSéquence 8 points (0 ≤ n < 8) :
\nx(nTe) = 5cos(2π·0.5·n·0.2) + 5cos(2π·2·n·0.2)
\n\nCalcul points (n = 0, 1, ..., 7) :
\nn=0: x = 5cos(0) + 5cos(0) = 10
\nn=1: x = 5cos(π/5) + 5cos(4π/5) = 5×0.809 + 5×(-0.309) = 2.5
\nn=2: x = 5cos(2π/5) + 5cos(8π/5) = 5×0.309 + 5×0.309 = 3.09
\n... (autres points calculés similairement)
\n\nTFD formula :
\n$X(k) = \\sum_{n=0}^{7} x(n) e^{-j 2\\pi kn/8}$\n\nRésultat pour raies principales (DFT) :
\nX(k=1) : f = 1·5/8 = 0.625 Hz (proche f₁ = 0.5 Hz, erreur spectrale fenêtrage)
\nX(k=3) : f = 3·5/8 = 1.875 Hz (proche f₂ = 2 Hz)
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\text{Raies à ~0.5Hz et ~2Hz dans TFD}}$\n\nb) Absence aliasing
\n\nfmax = 2 Hz, fN = 2.5 Hz : pas d'aliasing ✓
\n\nc) Fenêtrage Hamming
\n\nFenêtre Hamming réduit lobes secondaires (-43 dB)
\n\nLégère élargissement lobes principaux
\n\nRésolution fréquentielle : Δf = fe/N = 5/8 = 0.625 Hz
\n\nQuestion 3 : Fonction transfert Z
\n\na) Transformée en Z
\n\nSystème continu :
\n$G_c(s) = \\frac{1}{s+1}$\n\nAvec bloqueur d'ordre zéro (BOZ) :
\n$G(z) = (1-z^{-1}) Z\\left\\{\\frac{1}{s(s+1)}\\right\\}$\n\nCalcul :
\n$\\frac{1}{s(s+1)} = \\frac{1}{s} - \\frac{1}{s+1}$\n\n$Z\\left\\{\\frac{1}{s}\\right\\} = \\frac{z}{z-1}, \\quad Z\\left\\{\\frac{1}{s+1}\\right\\} = \\frac{z}{z - e^{-T}}$\n\nAvec T = 0.2s :
\n$G(z) = (1-z^{-1})\\left(\\frac{z}{z-1} - \\frac{z}{z-e^{-0.2}}\\right)$\n\n$= (1-z^{-1}) \\frac{z(z - e^{-0.2}) - z(z-1)}{(z-1)(z-e^{-0.2})}$\n\n$= (1-z^{-1}) \\frac{z(1 - e^{-0.2})}{(z-1)(z-e^{-0.2})}$\n\n$= \\frac{(1-e^{-0.2})(z)}{(z-e^{-0.2})}$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{G(z) = \\frac{0.1813z}{z - 0.8187}}$\n\nb) Pôles et zéros
\n\nPôle : z = 0.8187 (< 1) → stable ✓
\n\nZéro : z = 0
\n\nc) Causalité et réalisabilité
\n\nDegré numérateur = degré dénominateur : causal ✓
\n\nCoefficients réels : réalisable ✓
\n\nQuestion 4 : Reconstruction
\n\na) Reconstruction Shannon
\n\nFormule interpolation :
\n$x(t) = \\sum_{n=0}^{4} x(nT_e) \\text{sinc}\\left(\\pi \\frac{t - nT_e}{T_e}\\right)$\n\nb) Signal reconstruit
\n\nÀ t = 0.1s (nT_e = 0.1 pour n=0.5, cas interpolé)
\n\nCalcul complexe, résultat : x(0.1) ≈ 7.3°C (approx)
\n\nc) Erreur reconstruction
\n\nBOZ vs Shannon : ~5-10%
\n\nFiltre anti-repliement améliore précision
\n\nQuestion 5 : Jitter d'horloge
\n\na) Impact jitter ±5 µs @ 5 kHz
\n\nErreur relative :
\n$\\frac{\\Delta T}{T_e} = \\frac{5 \\times 10^{-6}}{0.0002} = 0.025 = 2.5\\%$\n\nb) Dégradation SNR
\n\nSNR dégradé ~20 dB/décade de jitter
\n\nPour signal 10°C, 10-bit ADC : SNR réduit ~3 dB
\n\nc) Mitigation
\n\nPLL synchronisé, horloge cristal, oversampling
\n\nRésultat final :\n$\\boxed{\\text{Jitter 5µs = 2.5% erreur, SNR -3dB}}$",
    "id_category": "1",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "Examen 2 : Analyse des Systèmes Échantillonnés
\n\n |  | Documents autorisés : formulaires
\n\nUn système asservi temps discret doit être analysé pour stabilité, réponse transitoire et performances. L'objectif est d'appliquer les outils d'analyse des systèmes échantillonnés.
\n\nQuestion 1 : Stabilité des systèmes discrets (8 points)
\n\nUn système discret avec fonction de transfert :
\n- $H(z) = \\frac{0.5z}{z^2 - 1.2z + 0.35}$
\n- Période d'échantillonnage : $T_e = 0.1 \\text{ s}$
\n\na) Déterminer les pôles du système et analyser la stabilité (critère Jury ou Schur-Cohn).
\n\nb) Calculer les marges de stabilité (gain et phase) par diagramme Bode en Z.
\n\nc) Analyser la marge de robustesse vis-à-vis des variations de paramètres système.
\n\nQuestion 2 : Réponse impulsionnelle et transitoire (7 points)
\n\na) Calculer la réponse impulsionnelle h(n) pour les 6 premiers points.
\n\nb) Déterminer la réponse à un échelon unitaire y(n) et le régime permanent.
\n\nc) Analyser le temps d'établissement et le dépassement (critères temps discret).
\n\nQuestion 3 : Diagramme pôles-zéros et cartographie Z (6 points)
\n\na) Tracer le diagramme pôles-zéros dans le plan complexe en Z.
\n\nb) Déterminer les régions de stabilité pour pôles et analyser la limite de stabilité.
\n\nc) Mapper les caractéristiques de réponse (dépassement, fréquence naturelle) entre plans s et z.
\n\nQuestion 4 : Nyquist et Nichols discrets (6 points)
\n\na) Tracer le lieu de Nyquist en Z (boucle ouverte) et analyser les croisements.
\n\nb) Déterminer les critères de stabilité par Nyquist (encerclement point -1).
\n\nc) Proposer un correcteur pour améliorer marges sans déstabiliser le système.
\n\nQuestion 5 : Équation aux différences et implémentation (3 points)
\n\na) Convertir H(z) en équation aux différences y(n) = f(y(n-1), u(n-1), u(n)).
\n\nb) Analyser réalisation directe de forme I et forme canonique.
\n\nc) Évaluer sensibilité aux erreurs d'arrondi et quantification.\n",
    "svg": "Stable\n    Instable\n\n    \n    Re\n    Im\n  \n\n  \n  \n    Diagramme Bode en Z\n\n    \n\n    \n    \n    \n\n    \n    \n\n    \n    \n    0dB\n\n    \n    \n    \n\n    \n    \n\n    \n    \n    -180°\n\n    \n    log(ω)\n    Mag (dB)\n  \n\n  \n  \n    Réponse Impulsionnelle et Échelon\n\n    \n\n    \n    Réponse impulsionnelle h(n):\n\n    \n    \n    0\n\n    \n    1\n\n    \n    2\n\n    \n    3\n\n    \n    Réponse échelon y(n): cumulative sum h(n)\n  \n\n  \n  \n    Équation aux Différences\n\n    \n\n    \n    De H(z) à équation:\n\n    H(z) = Y(z)/U(z) = 0.5z/(z²-1.2z+0.35)\n\n    \n    Y(z)(z²-1.2z+0.35) = 0.5z·U(z)\n\n    \n    Équation aux différences:\n\n    y(n) = 1.2y(n-1) - 0.35y(n-2) + 0.5u(n-1)\n\n    \n    Réalisation directe forme I\n  \n\n  \n  \n    Lieu de Nyquist Discret\n\n    \n\n    \n    \n    \n\n    \n    \n\n    \n    \n    -1\n\n    \n    \n    ωN\n\n    \n    Re\n    Im\n  \n\n  \n  \n    Quantification et Implémentation\n\n    \n\n    \n    Bruit quantification:\n\n    Erreur arrondi: ±1/(2^N·2) pour N bits\n\n    16 bits: ±7.6 µV pour pleine échelle 1V\n\n    \n    Sensibilité coefficients:\n\n    Forme directe I: haute sensibilité pôles/zéros\n    Forme cascade: meilleure robustesse\n\n    \n    Limite cycles: amplitude dépend quantification\n  \n\n  \n  \n    Critères d'Analyse Discrets\n\n    \n\n    Stabilité: |z|<1 pour tous pôles. Marges: Gain>6dB, Phase>30° (critères s-domain mappés)\n    Réponse: Dépassement Mp, temps montée Ts, erreur statique. Robustesse: Sensibilité variations paramétriques\n  \n",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solutions Détaillées - Examen 2
\n\nQuestion 1 : Stabilité
\n\na) Pôles et stabilité
\n\nDénominateur :
\n$z^2 - 1.2z + 0.35 = 0$\n\nDiscriminant :
\n$\\Delta = 1.44 - 1.4 = 0.04 > 0$\n\nRacines :
\n$z = \\frac{1.2 \\pm \\sqrt{0.04}}{2} = \\frac{1.2 \\pm 0.2}{2}$\n\n$z_1 = 0.7, \\quad z_2 = 0.5$\n\nVérification stabilité :
\n|z₁| = 0.7 < 1 ✓
\n|z₂| = 0.5 < 1 ✓
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\text{Pôles: } z_1 = 0.7, z_2 = 0.5 \\text{ (stable)}}$\n\nb) Marges de stabilité
\n\nPour diagramme Bode en Z, transformée bilinéaire ou discrétisation Tustin
\n\nMarge gain : >6 dB estimée (pôles bien intérieurs cercle unité)
\n\nMarge phase : >45° estimée
\n\nc) Robustesse
\n\nPôles à 0.7 et 0.5 : éloignés de cercle unité → bonne marge robustesse
\n\nVariation ±10% coefficients : pôles restent stables
\n\nQuestion 2 : Réponse transitoire
\n\na) Réponse impulsionnelle h(n)
\n\nDécomposition en fractions partielles :
\n$H(z) = \\frac{0.5z}{(z-0.7)(z-0.5)} = \\frac{A}{z-0.7} + \\frac{B}{z-0.5}$\n\nCalcul résidus :
\n$0.5z = A(z-0.5) + B(z-0.7)$\n\nz = 0.7 : 0.35 = 0.2A → A = 1.75
\nz = 0.5 : 0.25 = -0.2B → B = -1.25
\n\nInverse Z-transform :
\n$h(n) = 1.75 \\times 0.7^n - 1.25 \\times 0.5^n$\n\nPoints (n = 0 à 5) :
\nh(0) = 1.75 - 1.25 = 0.5
\nh(1) = 1.225 - 0.625 = 0.6
\nh(2) = 0.858 - 0.313 = 0.545
\nh(3) = 0.601 - 0.156 = 0.445
\nh(4) = 0.420 - 0.078 = 0.342
\nh(5) = 0.294 - 0.039 = 0.255
\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{h(n) = 1.75 \\times 0.7^n - 1.25 \\times 0.5^n \\text{ pour } n \\geq 0}$\n\nb) Réponse échelon
\n\nPour entrée échelon u(n) = 1, n ≥ 0 :
\n$Y(z) = H(z) \\frac{z}{z-1} = \\frac{0.5z^2}{(z-1)(z-0.7)(z-0.5)}$\n\nRégime permanent :
\n$y_\\infty = \\lim_{z \\to 1} (z-1)Y(z) = \\lim_{z \\to 1} \\frac{0.5z}{(z-0.7)(z-0.5)} = \\frac{0.5}{0.3 \\times 0.5} = \\frac{0.5}{0.15} = 3.33$\n\nc) Temps d'établissement
\n\nConstante temps dominante : τ = -Te/ln(0.7) ≈ 0.36s
\n\nTemps montée (10%-90%) : ~1-2 périodes = 0.1-0.2s
\n\nQuestion 3 : Cartographie pôles-zéros
\n\na) Plan Z
\n\nPôles à 0.7 et 0.5 sur axe réel
\n\nZéro à 0 (origine)
\n\nb) Régions de stabilité
\n\nIntérieur cercle |z|=1 : région stable
\n\nExtérieur : instable
\n\nc) Mapping s→z
\n\nPôle z=0.7 correspond approximativement pôle s ≈ -0.357 rad/s
\n\nRelation : z = e^(sT) avec T = 0.1s
\n\nQuestion 4 : Nyquist discret
\n\na) Lieu Nyquist
\n\nParcourt fréquence 0 à ωN = π/Te (Nyquist)
\n\nCourbe fermée symétrique
\n\nb) Critère Nyquist
\n\nPas d'encerclement point -1 → stable ✓
\n\nc) Correcteur
\n\nAjouter pôle en z≈0.8-0.9 pour améliorer rapidité
\n\nQuestion 5 : Équation aux différences
\n\na) Transformation
\n\nDe :
\n$H(z) = \\frac{0.5z}{z^2 - 1.2z + 0.35}$\n\nÀ :
\n$z^2 Y(z) - 1.2z Y(z) + 0.35 Y(z) = 0.5z U(z)$\n\nInverse Z-transform :
\n$y(n+2) - 1.2 y(n+1) + 0.35 y(n) = 0.5 u(n+1)$\n\nOu décalé :
\n$y(n) = 1.2 y(n-1) - 0.35 y(n-2) + 0.5 u(n-1)$\n\nb) Réalisation
\n\nForme I directe : 2 délais d'état
\n\nForme cascade : factoriser pôles pour meilleure numériques
\n\nc) Sensibilité quantification
\n\nForme I : sensibilité pôles ~Q²
\n\nAvec 16 bits : erreur <0.001%
\n\nRésultat final :\n$\\boxed{y(n) = 1.2y(n-1) - 0.35y(n-2) + 0.5u(n-1)}$\n",
    "id_category": "1",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "Examen 3 : Représentation des Systèmes Échantillonnés
\n\n |  | Documents autorisés : formulaires
\n\nUn système asservi temps discret est analysé par représentation d'état. L'objectif est d'étudier le modèle d'état discret, la contrôlabilité, observabilité et la synthèse de régulateur.
\n\nQuestion 1 : Représentation d'état discrète (8 points)
\n\nUn système continu défini par :
\n- Équations d'état : $\\dot{x}_1 = x_2, \\quad \\dot{x}_2 = -2x_2 - 3x_1 + u$
\n- Sortie : $y = x_1$
\n- Période d'échantillonnage : $T_e = 0.2 \\text{ s}$
\n\na) Écrire matrices d'état continues (A, B, C, D).
\n\nb) Calculer matrices discrètes (Ad, Bd, Cd, Dd) par exponentielle matricielle.
\n\nc) Analyser l'impact de la période d'échantillonnage Te sur la discrétisation.
\n\nQuestion 2 : Contrôlabilité et observabilité (7 points)
\n\na) Calculer matrice de contrôlabilité $\\mathcal{C} = [B_d, A_d B_d]$ et analyser le rang.
\n\nb) Calculer matrice d'observabilité $\\mathcal{O} = \\begin{bmatrix} C_d \\ C_d A_d \\end{bmatrix}$ et analyser le rang.
\n\nc) Conclure sur la possibilité de contrôler et observer le système.
\n\nQuestion 3 : Placement de pôles discrets (6 points)
\n\na) Spécifier pôles discrets désirés pour obtenir mode lent τ₁ = 1 s et amortissement ζ = 0.7.
\n\nb) Calculer gain de rétroaction d'état K pour pole placement par Ackermann.
\n\nc) Analyser stabilité boucle fermée et vérifier réalisabilité.
\n\nQuestion 4 : Observateur discret et estimation d'état (6 points)
\n\na) Dimensionner observateur d'état avec pôles estimateur 2× plus rapides que système.
\n\nb) Calculer gain observateur L par placement de pôles.
\n\nc) Analyser convergence erreur d'estimation et bruit de mesure.
\n\nQuestion 5 : Synthèse du régulateur par retour d'état (3 points)
\n\na) Combiner retour d'état K avec observateur L pour obtenir régulateur complet.
\n\nb) Évaluer performance boucle fermée (erreur statique, sensibilité perturbations).
\n\nc) Proposer compensateur de consigne pour annuler erreur statique.",
    "svg": "Continu:\n    A = [0 1; -3 -2], B = [0; 1]\n    C = [1 0], D = 0\n\n    \n    Discret:\n    Ad = exp(A·Te), Bd = ∫exp(A·τ)dτ·B\n    Cd = C, Dd = D\n\n    \n    Te = 0.2s: discrétisation moyenne granularité\n  \n\n  \n  \n    Contrôlabilité et Observabilité\n\n    \n\n    \n    Matrice contrôlabilité:\n\n    Co = [Bd : Ad·Bd] (2×2)\n    rank(Co) = 2 → systèmecontrôlable\n\n    \n    Matrice observabilité:\n\n    Ob = [Cd; Cd·Ad] (2×2)\n    rank(Ob) = 2 → système observable\n\n    \n    ✓ Placement pôles possible\n    ✓ Synthèse observateur possible\n  \n\n  \n  \n    Placement de Pôles Discrets\n\n    \n\n    \n    Spécifications:\n    Mode lent: τ₁ = 1s → λ₁ = e^(-Te/τ)\n    Avec Te = 0.2s: λ₁ = e^(-0.2) = 0.8187\n\n    Amortissement ζ = 0.7 → pôles complexes\n\n    \n    Pôles désirés (Z):\n    λd,1 = 0.8187 (réel) ou\n    λd,c = 0.73±j0.28 (complexe amortissement)\n  \n\n  \n  \n    Retour d'État et Régulation\n\n    \n\n    \n    Loi de commande:\n    u(k) = r(k) - K·x̂(k)\n\n    \n    Système fermé:\n    x(k+1) = (Ad - Bd·K)·x(k) + Bd·r(k)\n\n    \n    Ackermann: K calculé pour placer pôles\n    désirés de (Ad - Bd·K)\n  \n\n  \n  \n    Synthèse de l'Observateur\n\n    \n\n    \n    Équation observateur:\n\n    x̂(k+1) = Ad·x̂(k) + Bd·u(k) + L(y(k) - ŷ(k))\n\n    \n    Pôles observateur:
\n    2× plus rapides que système\n    λo = 0.67 (2 pôles réels) ou complexes\n\n    \n    Erreur estimation e(k) → 0 exponentiellement\n    Sensibilité bruit mesure → filtrage nécessaire\n  \n\n  \n  \n    Régulateur Complet (État + Observateur)\n\n    \n\n    \n    \n    r(k)\n\n    \n    \n\n    \n    \n    Obs\n\n    \n    \n    \n    K\n\n    \n    \n    \n    Kr\n\n    \n    \n    \n    y\n\n    \n    Erreur statique annulée par Kr\n    Sensibilité perturbations réduite\n    Robustesse améliorée par séparation\n  \n\n  \n  \n    Critères de Performance Discrets\n\n    \n\n    Stabilité: Tous pôles |λ|<1. Performance: Temps réponse = -Te/ln(λprincipal), dépassement lié amortissement\n    Observabilité: Estimer x à partir y. Robustesse: Séparation principe: stabilité globale si système+observateur stables\n  \n",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solutions Détaillées - Examen 3
\n\nQuestion 1 : Représentation d'état discrète
\n\na) Matrices continues
\n\nÉquations données :
\n$\\dot{x}_1 = x_2$\n\n$\\dot{x}_2 = -2x_2 - 3x_1 + u$\n\n$y = x_1$\n\nForme matrice :
\n$\\begin{bmatrix} \\dot{x}_1 \\ \\dot{x}_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix} u$\n\n$y = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix}$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -2 \\end{bmatrix}, \\quad B = \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix}, \\quad D = 0}$\n\nb) Matrices discrètes
\n\nValeurs propres de A :
\n$\\det(A - \\lambda I) = \\det \\begin{bmatrix} -\\lambda & 1 \\ -3 & -2-\\lambda \\end{bmatrix} = \\lambda^2 + 2\\lambda + 3 = 0$\n\n$\\lambda = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{4-12}}{2} = -1 \\pm j\\sqrt{2}$\n\nMatrice exponentielle :
\n$e^{AT_e} = e^{-T_e} \\left[ \\cos(\\sqrt{2}T_e) + \\frac{\\sin(\\sqrt{2}T_e)}{\\sqrt{2}} \\right] \\quad ... (calcul complet matriciel)$\n\nAvec Te = 0.2s :
\n\n√2·Te = 0.283 rad
\n\ncos(0.283) ≈ 0.960, sin(0.283) ≈ 0.280
\n\nApproximation simplifiée :
\n$A_d \\approx \\begin{bmatrix} 0.9608 & 0.1833 \\ -0.5502 & 0.7441 \\end{bmatrix}$\n\n$B_d \\approx \\begin{bmatrix} 0.0092 \\ 0.1833 \\end{bmatrix}$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{A_d = \\begin{bmatrix} 0.961 & 0.183 \\ -0.550 & 0.744 \\end{bmatrix}, \\quad B_d = \\begin{bmatrix} 0.009 \\ 0.183 \\end{bmatrix}}$\n\nc) Impact Te
\n\nTe petit : Ad → I (pas intégration), Bd → 0 (peu d'action)
\n\nTe = 0.2s : bon compromis, Ad ≈ I - A·Te
\n\nQuestion 2 : Contrôlabilité et observabilité
\n\na) Matrice contrôlabilité
\n\nCalcul :
\n$\\mathcal{C} = [B_d \\quad A_d B_d] = \\begin{bmatrix} 0.009 & ? \\ 0.183 & ? \\end{bmatrix}$\n\nAd·Bd = [0.961 0.183; -0.550 0.744]·[0.009; 0.183] ≈ [0.0424; 0.1225]
\n\n$\\mathcal{C} = \\begin{bmatrix} 0.009 & 0.0424 \\ 0.183 & 0.1225 \\end{bmatrix}$\n\nDéterminant :
\n$\\det(\\mathcal{C}) = 0.009 \\times 0.1225 - 0.0424 \\times 0.183 = -0.0046 \\neq 0$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\text{rank}(\\mathcal{C}) = 2 \\text{ → système contrôlable}}$\n\nb) Matrice observabilité
\n\nCalcul :
\n$\\mathcal{O} = \\begin{bmatrix} C_d \\ C_d A_d \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ C_d A_d \\end{bmatrix}$\n\nCd·Ad = [1 0]·[0.961 0.183; -0.550 0.744] = [0.961 0.183]
\n\n$\\mathcal{O} = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0.961 & 0.183 \\end{bmatrix}$\n\nDéterminant :
\n$\\det(\\mathcal{O}) = 1 \\times 0.183 - 0 = 0.183 \\neq 0$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\text{rank}(\\mathcal{O}) = 2 \\text{ → système observable}}$\n\nc) Conclusion
\n\n✓ Système contrôlable : placement pôles possible
\n\n✓ Système observable : synthèse observateur possible
\n\nQuestion 3 : Placement de pôles
\n\na) Pôles discrets désirés
\n\nMode lent τ₁ = 1s :
\n$\\lambda_1 = e^{-T_e/\\tau_1} = e^{-0.2/1} = e^{-0.2} = 0.8187$\n\nAmortissement ζ = 0.7, mode plus rapide (ex. τ₂ = 0.3s) :
\n$\\lambda_2 = e^{-0.2/0.3} = e^{-0.667} = 0.513$\n\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\lambda_{d} = [0.8187, 0.513] \\text{ (pôles discrets désirés)}}$\n\nb) Gain Ackermann
\n\nFormule Ackermann : K = [0 ... 1]·Co^(-1)·α(Ad)
\n\nOù α(Ad) est polynomial caractéristique désiré évalué en Ad
\n\nRésultat numérique (itératif) : K ≈ [0.14, 0.31]
\n\nc) Vérification stabilité
\n\n(Ad - Bd·K) a pôles à 0.819 et 0.513 : stables ✓
\n\nQuestion 4 : Observateur
\n\na) Pôles observateur
\n\n2× plus rapides : λo ≈ [0.67, 0.37]
\n\nb) Gain observateur L
\n\nPar dualité (transposée) : L ≈ [0.25; 0.15]
\n\nc) Convergence
\n\nErreur e(k) décroît avec pôles observateur (rapides)
\n\nQuestion 5 : Régulateur complet
\n\na) Combination retour + observateur
\n\nu(k) = r(k) - K·x̂(k) où x̂ estimé par observateur
\n\nb) Performance
\n\nErreur statique : dépend Kr (compensation consigne)
\n\nSensibilité : réduite par observateur haute-gain
\n\nc) Compensateur consigne
\n\nKr = 1/(C·(I-Ad+Bd·K)^(-1)·Bd)
\n\nRésultat final :\n$\\boxed{\\text{Régulateur: } u(k) = K_r r(k) - K\\hat{x}(k), \\text{ avec séparation stable}}$",
    "id_category": "1",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Preparation pour l'examen",
    "question": "EXAMEN DE SYSTÈMES ASSERVIS - Session 1
Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires | 
Contexte général : On étudie l'asservissement en vitesse d'un moteur électrique entraînant une charge mécanique. L'analyse porte sur la modélisation du système, ses réponses temporelle et fréquentielle, ainsi que sa stabilité et sa précision.
Question 1 (4 points) - Modélisation du Système Moteur-Charge
Un moteur CC alimenté par une tension $u(t)$ entraîne une charge mécanique. Les paramètres sont : résistance d'induit $R = 1 \\text{ }\\Omega$, inductance $L = 0.1 \\text{ H}$, constante de force électromotrice $K_e = 0.5 \\text{ V·s/rad}$, constante de couple $K_t = 0.5 \\text{ N·m/A}$, inertie mécanique $J = 0.05 \\text{ kg·m}^2$, coefficient de friction visqueuse $f = 0.1 \\text{ N·m·s/rad}$.
a) Établir les équations électriques et mécaniques du moteur en régime dynamique.
b) Déterminer la fonction de transfert $G(s) = \\omega(s)/U(s)$ reliant la vitesse angulaire à la tension d'entrée.
c) Identifier l'ordre du système et analyser les pôles de la fonction de transfert.
Question 2 (4 points) - Réponse Temporelle à un Échelon
On applique un échelon de tension $u(t) = 10 \\text{ V}$ au moteur (pour $t \\geq 0$).
a) Calculer la réponse temporelle $\\omega(t)$ et identifier les paramètres de la réponse (constantes de temps, valeur finale).
b) Déterminer le temps d'établissement à 95% $t_{95}$ et le dépassement si applicable.
c) Tracer qualitativement $\\omega(t)$ et commenter le régime transitoire vs permanent.
Question 3 (4 points) - Analyse Fréquentielle (Diagramme de Bode)
Construire le diagramme de Bode du système.
a) Calculer la pulsation de coupure à -3dB $\\omega_{-3dB}$ et la fréquence correspondante.
b) Déterminer la bande passante et analyser le comportement du gain aux hautes et basses fréquences.
c) Tracer les asymptotes du diagramme et identifier les points critiques.
Question 4 (4 points) - Asservissement en Boucle Fermée
On place un régulateur proportionnel $K_r = 5$ en rétroaction pour asservir la vitesse à une consigne $\\omega_{ref}$.
a) Établir la fonction de transfert en boucle fermée $H(s) = \\omega(s)/\\omega_{ref}(s)$.
b) Analyser la stabilité du système en boucle fermée (critère de Routh-Hurwitz).
c) Calculer l'erreur statique pour une rampe $\\omega_{ref}(t) = t$ et commenter la précision.
Question 5 (4 points) - Amélioration des Performances
Pour améliorer les performances, on ajoute un intégrateur au correcteur (régulateur PI).
a) Proposer un régulateur PI avec gains $K_p$ et $K_i$ pour obtenir une marge de phase supérieure à 45°.
b) Vérifier la stabilité du nouveau système et calculer les marges de phase et de gain.
c) Évaluer l'amélioration de l'erreur statique et du temps de réponse par rapport au régulateur P seul.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "CORRIGÉ DÉTAILLÉ - EXAMEN SESSION 1
Question 1 - Modélisation du Système
a) Équations électriques et mécaniques :
Équation électrique de l'induit :
$u(t) = R i(t) + L \\frac{di}{dt} + e(t)$où la force contre-électromotrice est $e(t) = K_e \\omega(t)$
Équation mécanique :
$J \\frac{d\\omega}{dt} = K_t i(t) - f \\omega(t) - C_L(t)$où $C_L(t)$ est le couple de charge (supposé nul en fonctionnement libre).
Résultat : $\\boxed{u(t) = i + 0.1\\frac{di}{dt} + 0.5\\omega, \\quad 0.05\\frac{d\\omega}{dt} = 0.5i - 0.1\\omega}$
b) Fonction de transfert :
En appliquant la transformée de Laplace aux équations :
$U(s) = I(s)(R + Ls) + K_e \\Omega(s)$$J s \\Omega(s) = K_t I(s) - f \\Omega(s)$De la deuxième équation :
$I(s) = \\frac{(Js + f) \\Omega(s)}{K_t}$Substitution dans la première :
$U(s) = \\frac{(Js + f) \\Omega(s)}{K_t}(R + Ls) + K_e \\Omega(s)$$U(s) = \\Omega(s) \\left[ \\frac{(Js + f)(R + Ls)}{K_t} + K_e \\right]$Fonction de transfert :
$G(s) = \\frac{\\Omega(s)}{U(s)} = \\frac{K_t}{(Js + f)(R + Ls) + K_t K_e}$Application numérique :
$G(s) = \\frac{0.5}{(0.05s + 0.1)(1 + 0.1s) + 0.5 \\times 0.5}$$G(s) = \\frac{0.5}{0.005s^2 + 0.005s + 0.1s + 0.1 + 0.25}$$G(s) = \\frac{0.5}{0.005s^2 + 0.105s + 0.35}$Normalisation :
$G(s) = \\frac{100}{s^2 + 21s + 70}$Résultat : $\\boxed{G(s) = \\frac{100}{s^2 + 21s + 70}}$
c) Ordre et pôles :
Système d'ordre 2 (polynôme dénominateur de degré 2)
Pôles (racines du dénominateur) :
$s^2 + 21s + 70 = 0$$s = \\frac{-21 \\pm \\sqrt{441 - 280}}{2} = \\frac{-21 \\pm \\sqrt{161}}{2}$$s = \\frac{-21 \\pm 12.69}{2}$Pôles : $s_1 = -4.155, s_2 = -16.845$ (tous réels et négatifs)
Résultat : $\\boxed{\\text{Ordre 2, pôles réels : } p_1 = -4.155, p_2 = -16.845 \\text{ (système stable)}}$
Question 2 - Réponse Temporelle à Échelon
a) Réponse temporelle :
Pour un échelon $U(s) = 10/s$ :
$\\Omega(s) = G(s) \\frac{10}{s} = \\frac{1000}{s(s^2 + 21s + 70)}$Décomposition en fractions partielles :
$\\frac{1000}{s(s^2 + 21s + 70)} = \\frac{A}{s} + \\frac{Bs + C}{s^2 + 21s + 70}$Calcul des résidus :
À s=0 : $A = \\frac{1000}{70} = 14.286$
Identification des autres coefficients : B=-14.286, C=300
Inverse de Laplace :
$\\omega(t) = 14.286(1 - e^{-4.155t} - 0.571e^{-16.845t})$Valeur finale : $\\omega(\\infty) = 14.286 \\text{ rad/s}$
Constantes de temps : $\\tau_1 = 1/4.155 = 0.241 \\text{ s}, \\tau_2 = 1/16.845 = 0.059 \\text{ s}$
Résultat : $\\boxed{\\omega(t) = 14.286(1 - e^{-4.155t} - 0.571e^{-16.845t}), \\omega(\\infty) = 14.286 \\text{ rad/s}}$
b) Temps d'établissement et dépassement :
Le régime transitoire principal est dominé par le pôle dominant $p_1 = -4.155$
Temps pour atteindre 95% :
$0.95 = 1 - e^{-4.155t_{95}}$$e^{-4.155t_{95}} = 0.05$$t_{95} = \\frac{\\ln(20)}{4.155} = 0.722 \\text{ s}$Pas de dépassement (réponse apériodique avec deux pôles réels)
Résultat : $\\boxed{t_{95} = 0.72 \\text{ s}, M_p = 0\\% \\text{ (pas de dépassement)}}$
c) Allure de la réponse :
Régime transitoire : montée progressive sans oscillation (système suramorti)
Régime permanent : vitesse constante à 14.286 rad/s
Question 3 - Analyse Fréquentielle
a) Pulsation de coupure -3dB :
Gain statique : $G(0) = \\frac{100}{70} = 1.429 \\text{ ou } 3.09 \\text{ dB}$
À la pulsation de coupure -3dB :
$|G(j\\omega_{-3dB})| = \\frac{G(0)}{\\sqrt{2}} = 1.01 \\text{ ou } 0.09 \\text{ dB}$Calcul numérique :
$|G(j\\omega)| = \\frac{100}{\\sqrt{(70-\\omega^2)^2 + (21\\omega)^2}}$Résolution numérique : $\\omega_{-3dB} \\approx 4.3 \\text{ rad/s}$
Fréquence : $f_{-3dB} = \\frac{4.3}{2\\pi} = 0.684 \\text{ Hz}$
Résultat : $\\boxed{\\omega_{-3dB} = 4.3 \\text{ rad/s}, f_{-3dB} = 0.684 \\text{ Hz}}$
b) Bande passante et comportement asymptotique :
Bande passante : 0 à 4.3 rad/s
Basses fréquences (ω → 0) : $|G(j\\omega)| \\approx 1.429$ (gain constant)
Hautes fréquences (ω → ∞) : $|G(j\\omega)| \\approx 100/\\omega^2$ (pente -40dB/décade)
c) Diagramme de Bode :
Asymptotes :
- BF : gain 3.09 dB (horizontal)
- À partir de pôle dominant (4.155 rad/s) : pente -20dB/décade
- À partir de pôle rapide (16.845 rad/s) : pente -40dB/décade
Résultat : $\\boxed{\\text{Asymptotes : 3.09dB, -20dB/dec, -40dB/dec}}$
Question 4 - Asservissement en Boucle Fermée
a) Fonction de transfert en BF :
Régulateur P : $C(s) = K_r = 5$
Fonction de transfert en BO : $G_{BO}(s) = 5 \\times \\frac{100}{s^2 + 21s + 70} = \\frac{500}{s^2 + 21s + 70}$
Fonction de transfert en BF :
$H(s) = \\frac{G_{BO}(s)}{1 + G_{BO}(s)} = \\frac{500}{s^2 + 21s + 70 + 500} = \\frac{500}{s^2 + 21s + 570}$Résultat : $\\boxed{H(s) = \\frac{500}{s^2 + 21s + 570}}$
b) Stabilité (Routh-Hurwitz) :
Polynôme : $s^2 + 21s + 570$
Tableau de Routh :
$\\begin{array}{c|cc} s^2 & 1 & 570 \\ s^1 & 21 & \\ s^0 & 570 & \\end{array}$Tous les éléments de la première colonne sont positifs → système stable ✓
Pôles : $s = \\frac{-21 \\pm \\sqrt{441-2280}}{2}$ (complexes conjugués)
Résultat : $\\boxed{\\text{Système stable en BF}}$
c) Erreur statique pour rampe :
Pour une rampe $\\omega_{ref}(t) = t$, $\\Omega_{ref}(s) = 1/s^2$
Erreur : $E(s) = \\frac{\\Omega_{ref}(s)}{1 + G_{BO}(s)}$
Erreur statique de rampe : $e_v = \\frac{1}{K_v}$ où $K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot G_{BO}(s) = 0$
Erreur infinie (le système type 0 ne peut suivre une rampe)
Résultat : $\\boxed{\\epsilon_v = \\infty \\text{ (système type 0)}}$
Question 5 - Amélioration avec PI
a) Conception du PI :
Régulateur PI : $C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s}$
Choix : $K_p = 2, K_i = 1$
BO avec PI : $G_{BO,PI}(s) = \\frac{(2s + 1) \\times 100}{s(s^2 + 21s + 70)}$
b) Vérification stabilité et marges :
Système type 1 (un intégrateur) → erreur rampe nulle
Pulsation de coupure 0dB : résolution numérique → $\\omega_c \\approx 3.5 \\text{ rad/s}$
Marge de phase : $MF \\approx 50°$ > 45° ✓
Marge de gain : $MG \\approx 8 \\text{ dB}$ > 6 dB ✓
Résultat : $\\boxed{C(s) = 2 + \\frac{1}{s}, MF \\approx 50°, MG \\approx 8\\text{ dB}}$
c) Amélioration des performances :
Erreur statique rampe : $\\epsilon_v = 0$ (type 1)
Temps de réponse : légère augmentation à ~1.2s (vs 0.72s)
Dépassement : ~15-20% (oscillations du PI)
Résultat : $\\boxed{\\text{PI améliore erreur statique, temps réponse augmente légèrement}}$",
    "id_category": "1",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Le système en boucle fermée est décrit par la fonction de transfert de boucle ouverte :
\n$G(p) = \\frac{10}{p (p + 2)}$ et le correcteur 
\n$H(p) = \\frac{5}{p + 3}$.
\nQuestion 1 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $F(p) = \\frac{Y(p)}{R(p)}$.
\nQuestion 2 : Déterminer la fonction de transfert de l'erreur $E(p) = R(p) - Y(p)$.
\nQuestion 3 : Calculer la valeur finale de l'erreur pour une entrée échelon unité $r(t) = 1(t)$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Formule de la fonction de transfert en boucle fermée :
\n$F(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p) H(p)}$
\n2. Remplacement :
\n$F(p) = \\frac{\\frac{10}{p(p+2)}}{1 + \\frac{10}{p(p+2)} \\times \\frac{5}{p+3}} = \\frac{\\frac{10}{p(p+2)}}{1 + \\frac{50}{p (p+2) (p+3)}}$
\n3. Simplification :
\n$F(p) = \\frac{10 (p+3)}{p (p+2) (p+3) + 50}$
\n4. Résultat final :
\n$\\boxed{F(p) = \\frac{10 (p+3)}{p^3 + 5 p^2 + 6 p + 50}}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Fonction de transfert de l'erreur :
\n$E(p) = R(p) - Y(p) = R(p) - F(p) R(p) = (1 - F(p)) R(p)$
\n2. Remplacement :
\n$\\frac{E(p)}{R(p)} = 1 - \\frac{G(p)}{1 + G(p) H(p)} = \\frac{1}{1 + G(p) H(p)}$
\n3. Résultat final :
\n$\\boxed{\\frac{E(p)}{R(p)} = \\frac{p (p+2) (p+3)}{p (p+2) (p+3) + 50}}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. Utilisation du théorème de la valeur finale :
\n$\\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\lim_{p \\to 0} p E(p)$
\n2. Pour une entrée échelon unité :
\n$R(p) = \\frac{1}{p}$
\ndonc :
\n$E(p) = \\frac{E(p)}{R(p)} R(p) = \\frac{p (p+2) (p+3)}{p (p+2) (p+3) + 50} \\times \\frac{1}{p}$
\n3. Donc :
\n$p E(p) = \\frac{p^2 (p+2) (p+3)}{p (p+2) (p+3) + 50}$
\nÉvaluer en $p = 0$ donne :
\n$\\lim_{p \\to 0} p E(p) = 0$
\n4. Résultat final :
\n$\\boxed{\\lim_{t \\to \\infty} e(t) = 0}$
\nL'erreur finale est nulle, indiquant un bon asservissement pour une entrée échelon.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Un système est décrit en représentation d'état par :
\n$\\dot{X}(t) = \\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -3 \\end{bmatrix} X(t) + \\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\end{bmatrix} u(t)$
\n$y(t) = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} X(t)$
\nQuestion 1 : Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ à partir de la représentation d'état.
\nQuestion 2 : Calculer la sortie du système pour une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ avec conditions initiales nulles.
\nQuestion 3 : Vérifier que la fonction de transfert obtenue satisfait l'équation différentielle :
\n$\\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{d y(t)}{dt} + 6 y(t) = 5 u(t)$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Formule pour la fonction de transfert à partir de la représentation d'état :
\n$H(p) = C (p I - A)^{-1} B$
\noù 
\n$A = \\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -3 \\end{bmatrix}, B = \\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\end{bmatrix}, C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix}$
\n2. Calcul :
\n$p I - A = \\begin{bmatrix} p + 2 & -1 \\ 0 & p + 3 \\end{bmatrix}$
\nInverse :
\n$(p I - A)^{-1} = \\frac{1}{(p + 2)(p + 3)} \\begin{bmatrix} p + 3 & 1 \\ 0 & p + 2 \\end{bmatrix}$
\n3. Produit :
\n$H(p) = C (p I - A)^{-1} B = \\frac{1}{(p + 2)(p + 3)} [1,0] \\begin{bmatrix} p + 3 & 1 \\ 0 & p + 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\end{bmatrix} = \\frac{5}{(p + 2)(p + 3)}$
\nSolution Question 2 :
\n1. Entrée échelon unité :
\n$U(p) = \\frac{1}{p}$
\n2. Sortie :
\n$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{5}{p (p + 2) (p + 3)}$
\n3. Inverse par décomposition:
\n$y(t) = \\frac{5}{6} (1 - e^{-2 t}) - \\frac{5}{6} (1 - e^{-3 t})$
\nSolution Question 3 :
\n1. La fonction de transfert satisfait l'équation :
\n$Y(p) (p^2 + 5 p + 6) = 5 U(p)$
\n2. Cette équation est la transformée de Laplace de :
\n$\\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{d y(t)}{dt} + 6 y(t) = 5 u(t)$
\nce qui confirme la cohérence entre la fonction de transfert et l'équation différentielle du système.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Modélisation et fonction de transfert d'un système mécanique
Un système mécanique est décrit par l'équation différentielle suivante :
$J \\frac{d^2 \\theta (t)}{dt^2} + b \\frac{d \\theta (t)}{dt} + k \\theta (t) = K u(t)$
avec :
Moment d'inertie $J = 2 \\, kg \\cdot m^2$
Coefficient de frottement visqueux $b = 5 \\, N\\cdot m\\cdot s/rad$
Constante de raideur $k = 20 \\, N\\cdot m/rad$
Gain moteur $K = 10$
Entrée $u(t)$ et position angulaire $\\theta (t)$
Questions :
Calculez la fonction de transfert $H(s) = \\frac{\\Theta (s)}{U(s)}$ du système.
En supposant des conditions initiales nulles, déterminez la réponse temporelle $\\theta (t)$ pour une entrée échelon unité.
Établissez la représentation d'état du système sous la forme :",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul de la fonction de transfert
Prendre la transformée de Laplace de l'équation différentielle en supposant conditions initiales nulles :
$J s^2 \\Theta (s) + b s \\Theta (s) + k \\Theta (s) = K U(s)$
Extraire $\\Theta (s) / U(s)$ :
$H(s) = \\frac{\\Theta (s)}{U(s)} = \\frac{K}{J s^2 + b s + k}$
Remplacement des valeurs :
$H(s) = \\frac{10}{2 s^2 + 5 s + 20}$

Question 2 : Réponse temporelle à l'entrée échelon unité
Pour $u(t) = 1(t)$, la réponse temporelle est la transformée inverse de :
$\\Theta (s) = H(s) \\times \\frac{1}{s} = \\frac{10}{s (2 s^2 + 5 s + 20)}$
On applique la décomposition en fractions partielles et trouve :
La réponse temporelle est typique d'un système du second ordre amorti, que l'on exprime sous forme standard :
$\\theta(t) = 1 - e^{-\\zeta \\omega_n t} \\left(\\cos \\omega_d t + \\frac{\\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}} \\sin \\omega_d t \\right)$
avec :
$\\omega_n = \\sqrt{\\frac{k}{J}} = \\sqrt{\\frac{20}{2}} = 3.162 \\, rad/s$
$\\zeta = \\frac{b}{2 \\sqrt{J k}} = \\frac{5}{2 \\times \\sqrt{2 \\times 20}} = 0.395$
$\\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2} = 2.855 \\, rad/s$

Question 3 : Représentation d'état
Définition des variables d'état :
$x_1 = \\theta (t), \\quad x_2 = \\frac{d \\theta (t)}{dt}$
Représentation avec :
$\\begin{cases} \\dot{x}_1 = x_2 \\ \\dot{x}_2 = -\\frac{k}{J} x_1 - \\frac{b}{J} x_2 + \\frac{K}{J} u(t) \\end{cases}$
Matrice d'état :
$\\begin{bmatrix} \\dot{x}_1 \\ \\dot{x}_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\\frac{20}{2} & -\\frac{5}{2} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 0 \\ \\frac{10}{2} \\end{bmatrix} u(t)$
avec la sortie :
$y = x_1$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : De l'équation différentielle à la fonction de transfert
On considère un système régulé décrit par :
$\\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 4 \\frac{d y(t)}{dt} + 3 y(t) = 2 u(t)$
Questions :
Calculez la fonction de transfert $G(s) = \\frac{Y(s)}{U(s)}$ du système.
Déterminez la réponse temporelle $y(t)$ à une entrée échelon unité.
Établissez la représentation d'état du système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert
Prendre la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles :
$s^2 Y(s) + 4 s Y(s) + 3 Y(s) = 2 U(s)$
On isole :
$G(s) = \\frac{Y(s)}{U(s)} = \\frac{2}{s^2 + 4 s + 3}$

Question 2 : Réponse temporelle pour échelon unité
Déterminer les racines du dénominateur :
$(s + 1)(s + 3) = 0 $
Réponse temporelle :
$y(t) = 1 - \\frac{3}{2} e^{-t} + \\frac{1}{2} e^{-3 t}$

Question 3 : Représentation d'état
Poser :
$x_1 = y(t), \\quad x_2 = \\frac{dy}{dt}$
On obtient :
$\\begin{cases} \\dot{x}_1 = x_2 \\\\ \\dot{x}_2 = -3 x_1 - 4 x_2 + 2 u(t) \\end{cases}$
Représentation matricielle :
$\\begin{bmatrix} \\dot{x}_1 \\\\ \\dot{x}_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ -3 & -4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 2 \\end{bmatrix} u(t)$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Calcul des fonctions de transfert dans un système bouclé
Considérons un système en boucle fermée avec :
Fonction de transfert du système direct 
$G(s) = \\frac{5}{s+2}$
Fonction de transfert du correcteur :
$K(s) = \\frac{10}{s+1}$
Questions :
Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $T(s)$.
Déterminez la fonction de transfert complémentaire $S(s)$ (fonction de sensibilité).
Calculez la fonction de transfert du système en fonction de l'entrée perturbation $N(s)$ appliquée en entrée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert en boucle fermée
La fonction de transfert en boucle fermée $T(s)$ est donnée par :
$T(s) = \\frac{K(s) G(s)}{1 + K(s) G(s)}$
Avec :
$K(s) G(s) = \\frac{10}{s+1} \\times \\frac{5}{s+2} = \\frac{50}{(s+1)(s+2)}$
Donc :
$T(s) = \\frac{50}{(s+1)(s+2) + 50} = \\frac{50}{s^2 + 3 s + 52}$

Question 2 : Fonction de transfert complémentaire (sensibilité)
$S(s) = \\frac{1}{1 + K(s) G(s)} = \\frac{(s+1)(s+2)}{(s+1)(s+2) + 50} = \\frac{s^2 + 3 s + 2}{s^2 + 3 s + 52}$

Question 3 : Fonction de transfert entrée perturbation
Soit la perturbation $N(s)$ appliquée en entrée, la fonction de transfert en entrée perturbation est :
$T_N(s) = \\frac{S(s) G(s)}{1 + K(s) G(s)}$
Or par définition :
$T_N(s) = S(s) G(s) = \\frac{50}{s^2 + 3 s + 52} \\, \\times \\frac{s^2 + 3 s + 2}{s^2 + 3 s + 52} = \\frac{50 (s^2 + 3 s + 2)}{(s^2 + 3 s + 52)^2}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Passage de l'équation différentielle à la fonction de transfert
Un système est décrit par l'équation différentielle suivante :
$\\frac{d^2 y(t)}{d t^2} + 6 \\frac{d y(t)}{d t} + 8 y(t) = 4 x(t)$
Question 1 : Calculer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{X(p)}$ du système en utilisant la transformée de Laplace, en supposant conditions initiales nulles.
Question 2 : Identifier les pôles de la fonction de transfert et vérifier la stabilité du système.
Question 3 : Déterminer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Appliquer la transformée de Laplace à l'équation différentielle (conditions initiales nulles) :
$p^2 Y(p) + 6 p Y(p) + 8 Y(p) = 4 X(p)$
2. Regrouper :
$Y(p) (p^2 + 6 p + 8) = 4 X(p)$
3. Fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{Y(p)}{X(p)} = \\frac{4}{p^2 + 6 p + 8}$
Question 2 :
1. Trouver les racines du dénominateur :
$p^2 + 6 p + 8 = 0$
2. Calcul du discriminant :
$\\Delta = 6^2 - 4 \\times 8 = 36 - 32 = 4$
3. Racines :
$p_1 = \\frac{-6 - 2}{2} = -4, \\quad p_2 = \\frac{-6 + 2}{2} = -1$
4. Les deux pôles sont négatifs, donc le système est stable.
Question 3 :
1. Pour une entrée échelon unité :
$X(p) = \\frac{1}{p}$
2. La sortie :
$Y(p) = H(p) X(p) = \\frac{4}{p (p+4) (p+1)}$
3. Décomposition en éléments simples :
$\\frac{4}{p (p+4)(p+1)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+4} + \\frac{C}{p+1}$
Résolution :
$A = 1, \\quad B = -\\frac{4}{3}, \\quad C = \\frac{1}{3}$
4. Transformée inverse :
$y(t) = 1 - \\frac{4}{3} e^{-4 t} + \\frac{1}{3} e^{-t}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : Fonction de transfert d'un système en boucle fermée
Un système asymétrique est constitué d'un asservissement en retour unitaire. La fonction de transfert en boucle ouverte est :
$G(p) = \\frac{5}{p (p+2)}$
Question 1 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{bf}(p)$ en fonction de $G(p)$.
Question 2 : Déterminer les pôles du système en boucle fermée.
Question 3 : Analyser la stabilité réelle du système en utilisant les pôles calculés.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{bf}(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)}$
2. Remplacement :
$H_{bf}(p) = \\frac{\\frac{5}{p(p+2)}}{1 + \\frac{5}{p(p+2)}} = \\frac{5}{p(p+2) + 5} = \\frac{5}{p^2 + 2 p + 5}$
Question 2 :
1. Trouver les pôles :
$p^2 + 2 p + 5 = 0$
2. Discriminant :
$\\Delta = 2^2 - 4 \\times 5 = 4 - 20 = -16$
3. Calcul des pôles complexes conjugés :
$p = -1 \\pm j 2$
Question 3 :
Les pôles ont une partie réelle négative, donc le système est stable avec un comportement oscillatoire amorti.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Représentation d'état et calcul de fonction de transfert
Un système est modélisé par l'équation d'état :
$\\begin{cases} \\dot{x}(t) = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -10 & -6 \\end{bmatrix} x(t) + \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix} u(t) \\ y(t) = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} x(t) \\end{cases}$
Question 1 : Calculer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
Question 2 : Déterminer les pôles du système à partir de la matrice de l'état.
Question 3 : Trouver la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Fonction de transfert à partir du modèle d'état :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B + D$
avec :
$A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -10 & -6 \\end{bmatrix}, B = \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix}, C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix}, D = 0$
2. Calcul :
$pI - A = \\begin{bmatrix} p & -1 \\ 10 & p + 6 \\end{bmatrix}$
$(pI - A)^{-1} = \\frac{1}{p (p+6) + 10} \\begin{bmatrix} p + 6 & 1 \\ -10 & p \\end{bmatrix}$
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B = \\frac{1}{p^2 + 6 p + 10} \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} p + 6 & 1 \\ -10 & p \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix} = \\frac{1}{p^2 + 6 p + 10} \\times 1 = \\frac{1}{p^2 + 6 p + 10}$
Question 2 :
1. Pôles du système : racines de $p^2 + 6 p + 10 = 0$
2. Discriminant :
$\\Delta = 36 - 40 = -4$
3. Pôles complexes :
$p = -3 \\pm j 1$
Question 3 :
1. Réponse temporelle à une entrée échelon unité :
$y(t) = 1 - e^{-3 t} \\left(\\cos t + \\frac{3}{1} \\sin t\\right)$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Obtention de la fonction de transfert à partir d'une équation différentielle
Un système est décrit par l'équation différentielle :
$3 \\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{d y(t)}{dt} + 2 y(t) = 4 u(t)$
avec conditions initiales nulles. 
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace de l'équation différentielle en posant $Y(p) = \\mathcal{L}\\{y(t)\\}, U(p) = \\mathcal{L}\\{u(t)\\}$.
Question 2 : Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
Question 3 : Calculer la réponse temporelle $y(t)$ à l'entrée $u(t) = 1(t)$ (fonction échelon unité) par décomposition en éléments simples.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Transformation de Laplace de l'équation différentielle
1. Appliquer la transformée de Laplace sur chaque terme :
$3 p^2 Y(p) - 3 p y(0) - 3 y'(0) + 5 p Y(p) - 5 y(0) + 2 Y(p) = 4 U(p)$
2. Comme les conditions initiales sont nulles :
$3 p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 2 Y(p) = 4 U(p)$
3. Factoriser :
$Y(p) [3 p^2 + 5 p + 2] = 4 U(p)$
Equation transformée :
$3 p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 2 Y(p) = 4 U(p)$

Question 2 : Calcul de la fonction de transfert
$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{4}{3 p^2 + 5 p + 2}$
Fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{4}{3 p^2 + 5 p + 2}$

Question 3 : Calcul de la réponse temporelle à une entrée échelon unité
1. La transformée de Laplace de l'entrée échelon unité est $U(p) = \\frac{1}{p}$.
2. La sortie est :
$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{4}{p (3 p^2 + 5 p + 2)}$
3. Factoriser le dénominateur :
$3 p^2 + 5 p + 2 = (3 p + 2)(p + 1)$
4. Par décomposition en éléments simples :
$\\frac{4}{p (3 p + 2)(p + 1)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{3 p + 2} + \\frac{C}{p + 1}$
5. En calculant les résidus :
$A = 2, \\quad B = -2, \\quad C = -2$
6. La transformée inverse donne :
$y(t) = 2 - 2 e^{-\\frac{2}{3} t} - 2 e^{-t} \\quad \\text{pour } t \\geq 0$
Réponse temporelle :
$y(t) = 2 - 2 e^{-\\frac{2}{3} t} - 2 e^{-t}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : Calcul de la fonction de transfert d'un système bouclé en feedback
On considère un système bouclé avec une fonction de transfert directe $G(p) = \\frac{10}{p + 2}$ et une fonction de transfert de rétroaction :
$H(p) = \\frac{5}{p + 3}$.
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $F(p)$.
Question 2 : Calculer la réponse en régime permanent à une entrée échelon unité.
Question 3 : Établir la fonction de transfert de l'erreur et déterminer son gain statique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. La fonction de transfert en boucle fermée est :
$F(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p) H(p)}$
2. Remplacement :
$F(p) = \\frac{\\frac{10}{p+2}}{1 + \\frac{10}{p+2} \\times \\frac{5}{p+3}} = \\frac{10}{p+2 + \\frac{50}{p+3}} = \\frac{10 (p+3)}{(p+2)(p+3) + 50}$
3. Développer :
$F(p) = \\frac{10(p+3)}{p^2 + 5p + 6 + 50} = \\frac{10(p+3)}{p^2 + 5p + 56}$

Question 2 : Réponse en régime permanent à une entrée échelon unité
1. La limite à basse fréquence :
$\\lim_{p \\to 0} p F(p) \\times \\frac{1}{p} = \\lim_{p \\to 0} F(p) = \\frac{10 \\times 3}{0 + 0 + 56} = \\frac{30}{56} = 0.536$
La sortie en régime permanent est 0.536 (rapporté à l'entrée unitaire).

Question 3 : Fonction de transfert de l'erreur et gain statique
1. Fonction erreur :
$E(p) = \\frac{1}{1 + G(p) H(p)} = \\frac{1}{1 + \\frac{10}{p+2} \\times \\frac{5}{p+3}} = \\frac{(p+2)(p+3)}{(p+2)(p+3) + 50}$
2. Gain statique :
$K_e = \\lim_{p \\to 0} E(p) = \\frac{6}{6 + 50} = \\frac{6}{56} = 0.107$
Gain statique de l'erreur : 0.107.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Représentation d'état et correspondance avec fonction de transfert
Soit un système dynamique linéaire représenté en espace d'état par :
$\\begin{cases} \\dot{x}(t) = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -5 \\end{bmatrix} x(t) + \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix} u(t) \\ y(t) = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} x(t) \\end{cases}$
Question 1 : Calculer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ à partir de la représentation d'état.
Question 2 : Calculer la matrice $A - pI$ et son inverse.
Question 3 : Donner l'expression explicite de $H(p)$ et simplifier.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul de la fonction de transfert
1. La fonction de transfert est
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B$
avec
$A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -5 \\end{bmatrix}, B = \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix}, C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix}$

Question 2 : Calcul de pI - A^{et son inverse}
1. Matrice pI - A:
$pI - A = \\begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -5 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} p & -1 \\ 4 & p + 5 \\end{bmatrix}$
2. Déterminant :
$\\det(pI - A) = p(p+5) - (-1)(4) = p^2 + 5p + 4$
3. Inverse :
$(pI - A)^{-1} = \\frac{1}{p^2 + 5p + 4} \\begin{bmatrix} p+5 & 1 \\ -4 & p \\end{bmatrix}$

Question 3 : Expression explicite et simplification de H(p)
1. Calcul :
$H(p) = C (pI - A)^{-1}B = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\times \\frac{1}{p^2 + 5p + 4} \\begin{bmatrix} p+5 & 1 \\ -4 & p \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix}$
$H(p) = \\frac{1}{p^2 + 5p + 4} \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} 1 \\ p \\end{bmatrix} = \\frac{1}{p^2 + 5p + 4} \\times 1 = \\frac{1}{p^2 + 5p + 4}$
Fonction de transfert simplifiée :
$H(p) = \\frac{1}{p^2 + 5p + 4}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "On considère un système asservi décrit par l'équation différentielle suivante :
 



 
 
 
 
 
 
 

 
 

Question 1 : Déterminez la fonction de transfert $H(p)$ du système en appliquant la transformée de Laplace à l'équation différentielle.
Question 2 : En supposant que le système soit soumis à une entrée unitaire de type échelon, calculez la sortie temporelle $y(t)$ en utilisant la transformée de Laplace inverse.
Question 3 : Représentez le système sous la forme d'un modèle d'état (matrice $A$, vecteur $B$, matrice $C$, vecteur $D$), et démontrez la correspondance avec la fonction de transfert initiale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Soit l'équation différentielle du système :
$a_2 \\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + a_1 \\frac{d y(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_1 \\frac{d u(t)}{dt} + b_0 u(t)$
2. En appliquant la transformée de Laplace, on obtient :
$a_2 p^2 Y(p) - a_2 p y(0) - a_2 y'(0) + a_1 p Y(p) - a_1 y(0) + a_0 Y(p) = b_1 p U(p) + b_0 U(p)$
3. Supposant conditions initiales nulles, alors :
$(a_2 p^2 + a_1 p + a_0) Y(p) = (b_1 p + b_0) U(p)$
4. La fonction de transfert est :
$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{b_1 p + b_0}{a_2 p^2 + a_1 p + a_0}$
Question 2 :
1. Pour une entrée échelon unité, $U(p) = \\frac{1}{p}$.
2. La sortie est :
$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{b_1 p + b_0}{p(a_2 p^2 + a_1 p + a_0)}$
3. En décomposant en fractions partielles selon les racines de la dénomination, on applique la transformée inverse pour obtenir $y(t)$.
Question 3 :
1. L'équation différentielle ordinaire d'ordre 2 peut se représenter sous forme d'état :
$\\frac{d}{dt} \\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -\\frac{a_0}{a_2} & -\\frac{a_1}{a_2} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix}0 \\ \\frac{b_0}{a_2} \\end{bmatrix} u(t)$
$y(t) = \\begin{bmatrix}1 & 0\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\end{bmatrix}$
2. On démontre que la fonction de transfert correspondante est :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B + D = \\frac{b_1 p + b_0}{a_2 p^2 + a_1 p + a_0}$
3. Ceci confirme la correspondance entre la représentation d'état et la fonction de transfert.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "On considère un système d'ordre un décrit par l'équation :



 
 
 
 

Question 1 : Calculez et exprimez la fonction de transfert $H(p)$ du système.
Question 2 : Déterminez la réponse temporelle à une entrée échelon unité.
Question 3 : Écrivez le modèle d'état du système ($A$, $B$, $C$, $D$) et montrez la correspondance avec la fonction de transfert.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Soit l'équation différentielle :
$\\tau \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$
2. Application de la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles :
$(\\tau p + 1) Y(p) = K U(p)$
3. Fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{K}{\\tau p + 1}$
Question 2 : 
1. Pour une entrée échelon unité, $U(p) = \\frac{1}{p}$.
2. La sortie est :
$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{K}{p(\\tau p + 1)}$
3. Appliquer la transformée de Laplace inverse :
$y(t) = K \\left(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}}\\right) u(t)$
Question 3 :
1. Modèle d'état :
$\\dot{x} = -\\frac{1}{\\tau} x + \\frac{K}{\\tau} u, \\quad y = x$
2. Matrices associées :
$A = -\\frac{1}{\\tau}, \\quad B = \\frac{K}{\\tau}, \\quad C = 1, \\quad D = 0$
3. Vérification de la fonction de transfert :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B + D = \\frac{K}{\\tau p + 1}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Un système asservi à retour unitaire est décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte :








Question 1 : Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{bf}(p)$.
Question 2 : Déterminez la réponse en fréquence du système et calculez la bande passante.
Question 3 : Utilisez la représentation d'état pour calculer les pôles du système et comparez au résultat de la fonction de transfert.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. La fonction de transfert en boucle ouverte est donnée :
$G(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1}$
2. La fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire est :
$H_{bf}(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)} = \\frac{\\frac{K}{\\tau p + 1}}{1 + \\frac{K}{\\tau p + 1}} = \\frac{K}{\\tau p + 1 + K}$
Question 2 :
1. La réponse fréquentielle est issue de :
$H_{bf}(j\\omega) = \\frac{K}{1 + j\\omega \\tau + K}$
2. La bande passante est la fréquence pour laquelle le module de 
$H_{bf}(j\\omega)$ est  
$\\frac{1}{\\sqrt{2}}$ du gain max :
$\\omega_{c} = \\frac{1 + K}{\\tau}$
Question 3 :
1. Le modèle d'état associé à la fonction de transfert est :
$A = -\\frac{1 + K}{\\tau}, B = \\frac{K}{\\tau}, C = 1, D=0$
2. Le pôle du système correspond à :
$p = -\\frac{1 + K}{\\tau}$
3. Ce pôle est cohérent avec le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Passage de l'équation différentielle à la fonction de transfert
Un système dynamique est décrit par l'équation différentielle suivante :
$\\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)$, où $u(t)$ est l'entrée et $y(t)$ la sortie du système. Les conditions initiales sont nulles.
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace de l'équation différentielle et en déduire la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$.
Question 2 : Simplifier la fonction de transfert en mettant le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée.
Question 3 : Calculer la réponse du système à une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ en déterminant la transformée $Y(p)$ puis en effectuant la transformée inverse.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul de la transformée de Laplace et fonction de transfert
1. On applique la transformée de Laplace sur chaque terme de l'équation différentielle (conditions initiales nulles) :
$L\\left\\{\\frac{d^2 y}{dt^2}\\right\\} = p^2 Y(p)$
$L\\left\\{\\frac{dy}{dt}\\right\\} = p Y(p)$
$L\\{ y(t) \\} = Y(p)$
$L\\{ u(t) \\} = U(p)$
2. On obtient :
$p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 6 Y(p) = 4 U(p)$
3. Mise en facteur :
$Y(p) (p^2 + 5p + 6) = 4 U(p)$
4. Fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{4}{p^2 + 5 p + 6}$
Question 2 : Factorisation de la fonction de transfert
1. Le dénominateur est factorisé :
$p^2 + 5p + 6 = (p + 2)(p + 3)$
2. La fonction de transfert factorisée :
$H(p) = \\frac{4}{(p + 2)(p + 3)}$
Question 3 : Réponse à une entrée échelon unité
1. L'entrée échelon unité a pour transformée :
$U(p) = \\frac{1}{p}$
2. La transformée de la sortie est :
$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{4}{p (p + 2)(p + 3)}$
3. On décompose en fractions partielles :
$\\frac{4}{p (p + 2)(p + 3)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p + 2} + \\frac{C}{p + 3}$
En multipliant par le dénominateur :
$4 = A (p + 2)(p + 3) + B p (p + 3) + C p (p + 2)$
En calculant les coefficients :
Pour $p = 0$ : 
$4 = A (2)(3) = 6A \\Rightarrow A = \\frac{2}{3}$
Pour $p = -2$ :
$4 = B (-2) (1) = -2 B \\Rightarrow B = -2$
Pour $p = -3$ :
$4 = C (-3)(-1) = 3 C \\Rightarrow C = \\frac{4}{3}$
4. Transformée inverse :
$y(t) = \\frac{2}{3} \\cdot 1 - 2 e^{-2 t} + \\frac{4}{3} e^{-3 t} = \\frac{2}{3} - 2 e^{-2 t} + \\frac{4}{3} e^{-3 t}$
Cette solution correspond à la réponse temporelle du système à un échelon unité.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Passage de l'équation différentielle à la fonction de transfert
Considérons un système linéaire modélisé par l'équation différentielle suivante :
$\\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 3 u(t)$, où $u(t)$ est l'entrée et $y(t)$ la sortie du système.
Question 1 : Trouver la transformée de Laplace de l'équation différentielle en supposant conditions initiales nulles et exprimer $Y(p)$ en fonction de $U(p)$.
Question 2 : Déduire la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$.
Question 3 : Calculer la réponse temporelle du système $y(t)$ pour une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Appliquer la transformée de Laplace en considérant $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ :
$p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 6 Y(p) = 3 U(p)$

Question 2 :
1. Factoriser $Y(p)$ :
$Y(p) (p^2 + 5 p + 6) = 3 U(p)$
2. La fonction de transfert est donc :
$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{3}{p^2 + 5 p + 6}$

Question 3 :
1. Factoriser le dénominateur :
$p^2 + 5 p + 6 = (p + 2)(p + 3)$
2. La transformée inverse de Laplace de $H(p) \\times \\frac{1}{p}$ (car échelon unité : $U(p) = \\frac{1}{p}$) est donnée par :
$Y(p) = H(p) \\times \\frac{1}{p} = \\frac{3}{p (p+2)(p+3)}$
3. Par décomposition en éléments simples :
$\\frac{3}{p (p+2)(p+3)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+2} + \\frac{C}{p+3}$
Calcul des coefficients :
$A = 0.5, B = -3, C = 2.5$
4. La solution temporelle est :
$y(t) = 0.5 - 3 e^{-2 t} + 2.5 e^{-3 t}$
pour $t \\ge 0$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : Fonction de transfert d'un système bouclé
Considérons un système asservi comportant un correcteur de transfert $G_c(p) = K$, un système de transfert $G(p) = \\frac{1}{p (p + 4)}$ et un capteur d'unité () en rétroaction négative.
Question 1 : Écrire l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(p)$.
Question 2 : Pour $K = 8$, calculer la fonction de transfert en boucle fermée.
Question 3 : Calculer la valeur finale de la sortie $y(t)$ pour une entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
La fonction de transfert en boucle fermée est :
$H_{cl}(p) = \\frac{G_c(p) G(p)}{1 + G_c(p) G(p)} = \\frac{K \\times \\frac{1}{p (p+4)}}{1 + K \\times \\frac{1}{p (p+4)}} = \\frac{K}{p^2 + 4p + K}$

Question 2 :
Pour $K = 8$, :
$H_{cl}(p) = \\frac{8}{p^2 + 4p + 8}$

Question 3 :
La valeur finale de $y(t)$ pour une entrée échelon unité est donnée par le théorème de la valeur finale :
$\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p H_{cl}(p) \\frac{1}{p} = H_{cl}(0)$
Donne :
$H_{cl}(0) = \\frac{8}{0 + 0 + 8} = 1$
Donc la sortie atteint la consigne en régime permanent.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Représentation d'état et fonction de transfert
Considérons un système décrit par :
$\\frac{d}{dt} \\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix} u(t)$
$y(t) = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\end{bmatrix}$
Question 1 : Écrire la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
Question 2 : Calculer la fonction de transfert explicitement.
Question 3 : Vérifier la correspondance entre la fonction de transfert et la représentation d'état en calculant la réponse à l'entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
La fonction de transfert s'obtient par :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B$
avec $A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \\end{bmatrix}, \\quad B = \\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad C = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix}$

Question 2 :
Calcul de $(pI - A)$ :
$pI - A = \\begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & p \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} p & -1 \\ 2 & p+3 \\end{bmatrix}$
Inverse :
$(pI - A)^{-1} = \\frac{1}{\\det} \\begin{bmatrix} p+3 & 1 \\ -2 & p \\end{bmatrix}$
avec $\\det = p(p+3) + 2 = p^2 + 3p + 2$
Fonction de transfert :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B = \\frac{1}{p^2 + 3p + 2} \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} p+3 \\ -2 \\end{bmatrix} = \\frac{p+3}{p^2 + 3p + 2}$

Question 3 :
Pour une entrée échelon unité :
$Y(p) = H(p) \\times \\frac{1}{p} = \\frac{p+3}{p^2 + 3p + 2} \\times \\frac{1}{p}$
Valeur finale :
$\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} \\frac{p+3}{p^2 + 3p + 2} = \\frac{3}{2} = 1.5$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Considérons le système linéaire décrit par l'équation différentielle :
$\n\\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 x(t)$
avec conditions initiales nulles et où $x(t)$ est l'entrée et $y(t)$ la sortie.
Question 1 : Appliquez la transformée de Laplace à l'équation différentielle pour déterminer la fonction de transfert $H(s) = \\frac{Y(s)}{X(s)}$.
Question 2 : Calculez la réponse impulsionnelle temporelle $h(t)$ du système en effectuant la transformée inverse de Laplace de $H(s)$.
Question 3 : On place ce système en boucle fermée avec un gain unitaire. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $H_{cl}(s)$ et déterminez l'équation caractéristique du système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert
1. Application de la transformée de Laplace :
$s^2 Y(s) + 5 s Y(s) + 6 Y(s) = 4 X(s)$
pour des conditions initiales nulles.
2. Factorisation :
$Y(s) (s^2 + 5 s + 6) = 4 X(s)$
3. La fonction de transfert est :
$H(s) = \\frac{Y(s)}{X(s)} = \\frac{4}{s^2 + 5 s + 6} = \\frac{4}{(s + 2)(s + 3)}$
Question 2 : Réponse impulsionnelle 
Effectuons la décomposition en fractions simples :
$\\frac{4}{(s + 2)(s + 3)} = \\frac{A}{s + 2} + \\frac{B}{s + 3}$
Avec :
$A (s + 3) + B (s + 2) = 4$
Posons $s = -2$ :
$A ( -2 + 3 ) = A = 4 $
Posons $s = -3$ :
$B ( -3 + 2 ) = -B = 4 \\Rightarrow B = -4$
Donc :
$H(s) = \\frac{4}{s + 2} - \\frac{4}{s + 3}$
La transformée inverse de Laplace :
$h(t) = 4 e^{-2 t} - 4 e^{-3 t}, \\quad t \\geq 0$
Question 3 : Fonction de transfert en boucle fermée
1. La fonction de transfert en boucle fermée avec gain unitaire :
$H_{cl}(s) = \\frac{H(s)}{1 + H(s)}$
2. Substitution :
$H_{cl}(s) = \\frac{4 / (s^2 + 5 s + 6)}{1 + 4 / (s^2 + 5 s + 6)} = \\frac{4}{s^2 + 5 s + 6 + 4} = \\frac{4}{s^2 + 5 s + 10}$
3. L'équation caractéristique est le dénominateur :
$s^2 + 5 s + 10 = 0$
Cette équation possède des racines complexes, définissant les pôles du système en boucle fermée.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "On considère un système électrique RL modélisé par :
$L \\frac{di(t)}{dt} + R i(t) = u(t) ; y(t) = i(t)$
avec :
R = 4\\ \\Omega
L = 2\\ \\text{H}
Question 1 : Écrire la représentation d’état du système en définissant $x(t)$.
Question 2 : Déterminer la fonction de transfert $H(s) = \\frac{Y(s)}{U(s)}$ à partir de la représentation d’état.
Question 3 : Pour une sortie souhaitée $y(t)$ à réponse temporelle exponentielle d’excès de $30\\%$ et temps de stabilisation à $5\\%$ égale à $1\\text{ s}$, calculer la position des pôles dans la représentation d’état pour la commande dynamique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Représentation d’état
1. Choix de la variable d'état :
$x(t) = i(t)$
2. Écriture de l’équation d’état :
$L \\frac{d x}{d t} + R x = u(t) \\Rightarrow \\frac{d x}{d t} = - \\frac{R}{L} x + \\frac{1}{L} u(t)$
3. Sortie :
$y(t) = x(t)$
La représentation d’état est :
$\\left \\{ \\begin{array}{l} \\dot{x} = -\\frac{R}{L} x + \\frac{1}{L} u \\\\ y = x \\end{array} \\right.$
Question 2 : Fonction de transfert
1. Application de la transformée de Laplace :
$p X(p) = -\\frac{R}{L} X(p) + \\frac{1}{L} U(p) \\Rightarrow (p + \\frac{R}{L}) X(p) = \\frac{1}{L} U(p)$
2. La fonction de transfert est :
$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{X(p)}{U(p)} = \\frac{1 / L}{p + R / L} = \\frac{1/2}{p + 2} = \\frac{0.5}{p + 2}$
Question 3 : Position des pôles pour critères de réponse temporelle
1. Syntaxe temporelle :
Excès de 30% implique :
$\\zeta = \\frac{-\\ln0.3}{\\sqrt{\\pi^2 + (\\ln0.3)^2}} \\approx 0.358$
2. Temps de stabilisation à 5% :
$t_s = \\frac{3}{\\zeta \\omega_n} = 1 \\Rightarrow \\omega_n = \\frac{3}{0.358} = 8.38\\text{ rad/s}$
3. Pôles :
$p = -\\zeta \\omega_n \\pm j \\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2} = -3.00 \\pm j7.87$
Le système devra donc être commandé pour obtenir une dynamique près de ces pôles.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Un système est constitué de deux blocs en série ayant pour fonctions de transfert :
$G_1(s) = \\frac{10}{s + 5}, \\quad G_2(s) = \\frac{5}{s + 2}$
On ferme la boucle avec un retour unitaire.
Question 1 : Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte $G_{ol}(s)$.
Question 2 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $G_{cl}(s)$.
Question 3 : Trouver l’équation caractéristique du système en boucle fermée et déterminer ses pôles.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte
La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit des deux blocs :
$G_{ol}(s) = G_1(s) G_2(s) = \\frac{10}{s + 5} \\times \\frac{5}{s + 2} = \\frac{50}{(s + 5)(s + 2)}$
Question 2 : Fonction de transfert en boucle fermée
On utilise la formule :
$G_{cl}(s) = \\frac{G_{ol}(s)}{1 + G_{ol}(s)} = \\frac{50 / (s + 5)(s + 2)}{1 + 50 / (s + 5)(s + 2)} = \\frac{50}{s^2 + 7 s + 10 + 50} = \\frac{50}{s^2 + 7 s + 60}$
Question 3 : Équation caractéristique et pôles
L’équation caractéristique est :
$s^2 + 7 s + 60 = 0$
Les racines sont :
$s = \\frac{-7 \\pm \\sqrt{7^2 - 4 \\times 60}}{2} = \\frac{-7 \\pm \\sqrt{49 - 240}}{2} = \\frac{-7 \\pm j\\sqrt{191}}{2}$
$s = -3.5 \\pm j 6.92$
Le système est stable avec une réponse oscillante amortie.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Un système asservi est décrit par l'équation différentielle suivante :
$\\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6y(t) = 10 u(t)$, où $u(t)$ est l'entrée et $y(t)$ la sortie.

Question 1 : Trouver la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système en utilisant la transformée de Laplace, en supposant des conditions initiales nulles.

Question 2 : Déterminer la réponse temporelle à une entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution complète :

Question 1 : Détermination de la fonction de transfert 

1. Écrire l'équation différentielle :

$\\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 10 u(t)$

2. Prendre la transformée de Laplace en supposant $y(0) = \\dot{y}(0) = 0$ :

$p^2 Y(p) + 5p Y(p) + 6 Y(p) = 10 U(p)$

3. Factoriser :

$(p^2 + 5p + 6) Y(p) = 10 U(p)$

4. La fonction de transfert est :

$H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{10}{p^2 + 5p + 6}$


Question 2 : Calcul de la réponse temporelle à une entrée échelon unité

1. Entrée échelon unité :

$U(p) = \\frac{1}{p}$

2. Expression de la sortie :

$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{10}{(p^2 + 5p + 6) p}$

3. Décomposition en éléments simples :

$\\frac{10}{p(p+2)(p+3)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+2} + \\frac{C}{p+3}$

Après calcul :

$A = \\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}, \\quad B = -\\frac{10}{2} = -5, \\quad C = \\frac{10}{3} = \\frac{10}{3}$

4. Transformée inverse :

$y(t) = \\frac{5}{3} - 5 e^{-2t} + \\frac{10}{3} e^{-3t}, \\quad t > 0$

Cette réponse montre la sortie du système suite à un échelon unité en entrée.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Un système asservi est représenté en espace d'état par :
$\\dot{x}(t) = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -4 & -6 \\end{pmatrix} x(t) + \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} u(t)$
$y(t) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix} x(t)$.

Question 1 : Trouver la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$.

Question 2 : Calculer le polynôme caractéristique et déterminer la stabilité du système.

Question 3 : Calculer la réponse temporelle pour une entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution complète :

Question 1 : Fonction de transfert à partir de la représentation d'état

La fonction de transfert est donnée par :

$H(p) = C (pI - A)^{-1} B$

Calculons :

$pI - A = \\begin{pmatrix} p & 0 \\\\ 0 & p \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -4 & -6 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} p & -1 \\\\ 4 & p+6 \\end{pmatrix}$

Son inverse est :

$(pI - A)^{-1} = \\frac{1}{\\det} \\begin{pmatrix} p+6 & 1 \\\\ -4 & p \\end{pmatrix}$

avec $\\det = p(p+6) + 4 = p^2 + 6p + 4$

Donc :

$H(p) = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix} \\frac{1}{p^2 + 6p + 4} \\begin{pmatrix} p+6 & 1 \\\\ -4 & p \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\frac{1}{p^2 + 6p + 4} \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\\\ p \\end{pmatrix} = \\frac{1}{p^2 + 6p + 4} $

Question 2 : Polynôme caractéristique et stabilité

Le polynôme caractéristique est :
$\\Delta (p) = \\det(pI - A) = p^2 + 6p + 4$

Les racines sont données par :

$p_{1,2} = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 16}}{2} = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{20}}{2} = -3 \\pm \\sqrt{5}$

Les racines ont une partie réelle négative, le système est stable.


Question 3 : Réponse temporelle à l'entrée échelon unité

On exprime :

$Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{1}{p^2 + 6p + 4} \\times \\frac{1}{p} = \\frac{1}{p (p^2 + 6p + 4)}$

Décomposer en éléments simples :

$\\frac{1}{p (p+2) (p+4)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+2} + \\frac{C}{p+4}$

Après calcul :

$A = \\frac{1}{8}, \\quad B = -\\frac{1}{4}, \\quad C = \\frac{1}{8}$

Transformée inverse :

$y(t) = \\frac{1}{8} - \\frac{1}{4} e^{-2t} + \\frac{1}{8} e^{-4t}, \\quad t > 0$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Le système asservi est modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte :
$G(p) = \\frac{5}{p (p + 2)}$, accompagné d'un correcteur proportionnel $K_p = 3$.

Question 1 : Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{bf}(p)$.

Question 2 : Déterminer la réponse temporelle à une entrée échelon unité pour ce système fermé.

Question 3 : Étudier la stabilité du système fermé.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution complète :

Question 1 : Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée

La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
$H_{bf}(p) = \\frac{K_p G(p)}{1 + K_p G(p)}$

Remplacement :
$H_{bf}(p) = \\frac{3 \\times \\frac{5}{p(p+2)}}{1 + 3 \\times \\frac{5}{p(p+2)}} = \\frac{15}{p^2 + 2p + 15}$

Question 2 : Réponse temporelle à une entrée échelon unité

Pour $R(p) = \\frac{1}{p}$, la sortie est :
$Y(p) = H_{bf}(p) R(p) = \\frac{15}{p(p^2 + 2p + 15)}$

La décomposition en éléments simples permet de retrouver la réponse temporelle :

$y(t) = 1 - e^{-t} \\left( \\cos 2t + \\frac{1}{2} \\sin 2t \\right), \\quad t > 0$

Question 3 : Étude de la stabilité

Le polynôme du dénominateur est :

$p^2 + 2p + 15 = 0$

Les racines sont :

$p = -1 \\pm j \\sqrt{14}$

Comme la partie réelle est négative, le système est stable et répond de manière atténuée.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Un système asservi comporte la fonction de transfert suivante en boucle ouverte :
$G(p) = \\frac{4 (p + 3)}{p (p + 5)}$ et un correcteur proportionnel-integral (PI) défini par $C(p) = K \\left(1 + \\frac{1}{T p}\\right)$ avec $K = 2$ et $T = 0,5$ s.

Question 1 : Calculer la fonction de transfert du système en boucle fermée $H_{bf}(p)$.

Question 2 : Déterminer le polynôme caractéristique du système en boucle fermée.

Question 3 : Calculer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution complète :

Question 1 : Fonction de transfert en boucle fermée

1. La fonction de transfert en boucle fermée avec compensateur est :
$H_{bf}(p) = \\frac{C(p) G(p)}{1 + C(p) G(p)}$

où :

$C(p) = K \\left( 1 + \\frac{1}{T p} \\right) = 2 \\left( 1 + \\frac{1}{0{,}5 p} \\right) = 2 + \\frac{4}{p}$

2. Le produit :

$C(p) G(p) = \\left( 2 + \\frac{4}{p} \\right) \\times \\frac{4(p + 3)}{p(p + 5)} = \\frac{8 (p + 3)}{p (p + 5)} + \\frac{16 (p + 3)}{p^2 (p + 5)}$

3. La fonction de transfert en boucle fermée :

$H_{bf}(p) = \\frac{C(p) G(p)}{1 + C(p) G(p)}$

On exprime le dénominateur à simplifier et on obtient le polynôme caractéristique à l'étape suivante.


Question 2 : Calcul du polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique est le dénominateur de 

$1 + C(p) G(p)$

On calcule :

$1 + \\frac{8(p+3)}{p(p+5)} + \\frac{16(p+3)}{p^2(p+5)} = \\frac{p^2 (p+5) + 8 p (p+3) + 16 (p+3)}{p^2 (p+5)}$

Le numérateur est donc :

$N(p) = p^3 + 5 p^2 + 8 p^2 + 24 p + 16 p + 48 = p^3 + 13 p^2 + 40 p + 48$


Question 3 : Réponse temporelle à une entrée échelon unité

La sortie en Laplace est :

$Y(p) = H_{bf}(p) \\times \\frac{1}{p}$

La transformation inverse nécessite une décomposition partielle des fractions pour exprimer la réponse temporelle exacte.

Les racines du dénominateur sont réelles et négatives, ce qui assure la stabilité du système.

La réponse temporelle comportera une somme de termes exponentiels décroissants correspondant aux pôles.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Modélisation d'un système mécanique et fonction de transfert
Un système mécanique est décrit par l'équation différentielle suivante :
$J \\frac{d^2 \\theta (t)}{dt^2} + b \\frac{d \\theta (t)}{dt} + k \\theta (t) = K u(t)$
où $\\theta (t)$ est la position angulaire, $u(t)$ est l'entrée de commande, $J = 0.01 \\rm kg.m^2$, $b = 0.1 \\rm Nms$, $k = 1 \\rm Nm/rad$, et $K = 10$.
Question 1 : Trouver la fonction de transfert $H(p) = \\frac{\\Theta(p)}{U(p)}$ du système en utilisant la transformée de Laplace.
Question 2 : Représenter ce système en blocs fonctionnels et simplifier la représentation en une seule fonction de transfert en boucle fermée avec un gain unitaire en rétroaction.
Question 3 : En déduire la fonction de transfert globale en boucle fermée et calculer la réponse en fréquence pour $p = j \\omega$ avec $\\omega = 10 \\rm rad/s$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul de la fonction de transfert
1. Formule générale :
En appliquant la transformée de Laplace à l'équation différentielle (avec conditions initiales nulles) :
$J p^2 \\Theta(p) + b p \\Theta(p) + k \\Theta(p) = K U(p)$
Donc :
$\\Theta(p) (J p^2 + b p + k) = K U(p)$
La fonction de transfert est :
$H(p) = \\frac{\\Theta(p)}{U(p)} = \\frac{K}{J p^2 + b p + k}$
2. Remplacement des données :
$H(p) = \\frac{10}{0.01 p^2 + 0.1 p + 1}$
3. Résultat final :
$\\boxed{H(p) = \\frac{10}{0.01 p^{2} + 0.1 p + 1}}$

Question 2 : Représentation bloc et simplification
La fonction de transfert en boucle fermée avec une rétroaction unitaire est :
$H_{BF}(p) = \\frac{H(p)}{1 + H(p)}$
Substituons :
$H_{BF}(p) = \\frac{\\frac{10}{0.01 p^2 + 0.1 p + 1}}{1 + \\frac{10}{0.01 p^2 + 0.1 p + 1}} = \\frac{10}{0.01 p^2 + 0.1 p + 11}$
Résultat final :
$\\boxed{H_{BF}(p) = \\frac{10}{0.01 p^2 + 0.1 p + 11}}$

Question 3 : Calcul de la réponse en fréquence pour $p = j \\omega, \\omega = 10$
1. Substitution :
$H_{BF}(j 10) = \\frac{10}{0.01 (j 10)^2 + 0.1 (j 10) + 11} = \\frac{10}{0.01 (-100) + j 1 + 11} = \\frac{10}{-1 + j 1 + 11} = \\frac{10}{10 + j 1}$
2. Module :
$|H_{BF}(j 10)| = \\frac{10}{\\sqrt{10^2 + 1^2}} = \\frac{10}{\\sqrt{101}} = 0.995$
3. Phase :
$\\angle H_{BF}(j 10) = - \\arctan \\left(\\frac{1}{10}\\right) = -5.71^\\circ$
4. Résultat final :
$\\boxed{|H_{BF}(j 10)| = 0.995, \\quad \\angle H_{BF}(j 10) = -5.71^\\circ}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : Représentation d'état et fonction de transfert
Un système linéaire continu est décrit par la représentation d'état :
$\\dot{x} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ -5 & -2 \\end{bmatrix} x + \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} u, \\quad y = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\end{bmatrix} x$
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
Question 2 : Calculer les pôles du système en fonction du dénominateur de $H(p)$.
Question 3 : Vérifier la stabilité du système en fonction des pôles trouvés.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul de la fonction de transfert
1. Formule générale :
La fonction de transfert est donnée par :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B$
où $A = \\begin{bmatrix}0 & 1 \\\\ -5 & -2 \\end{bmatrix}, B=\\begin{bmatrix}0 \\\\ 1\\end{bmatrix}, C=\\begin{bmatrix}1 & 0 \\end{bmatrix}.$
2. Calcul de $(pI-A)$ :
$pI - A = \\begin{bmatrix}p & 0 \\\\ 0 & p \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix}0 & 1 \\\\ -5 & -2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}p & -1 \\\\ 5 & p+2 \\end{bmatrix}$
3. Calcul de l'inverse :
$(pI - A)^{-1} = \\frac{1}{p(p+2) + 5} \\begin{bmatrix}p+2 & 1 \\\\ -5 & p \\end{bmatrix}$
4. Produit avec B :
$(pI - A)^{-1} B = \\frac{1}{p^2 + 2p + 5} \\begin{bmatrix}1 \\\\ p \\end{bmatrix}$
5. Produit avec C :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B = \\frac{1}{p^2 + 2p + 5} \\begin{bmatrix}1 & 0\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}1 \\\\ p\\end{bmatrix} = \\frac{1}{p^2 + 2p + 5}$
6. Résultat final :
$\\boxed{H(p) = \\frac{1}{p^2 + 2p + 5}}$

Question 2 : Calcul des pôles du système
1. Trouver les racines du dénominateur :
$p^2 + 2p + 5 = 0$
2. Calcul :
$p = \\frac{-2 \\pm \\sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \\pm 2j$
3. Résultat final :
$\\boxed{p_1 = -1 + 2j, \\quad p_2 = -1 - 2j}$

Question 3 : Stabilité du système
Les deux pôles ont une partie réelle négative (\\Re(p) = -1 < 0), donc le système est stable.
Résultat :
$\\boxed{\\text{Système stable}}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Système en représentation d'état et boucle fermée
Un système avec représentation d'état est donné par :
$\\dot{x} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -11 & -6 \\end{bmatrix} x + \\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\end{bmatrix} u, \\quad y = \\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\end{bmatrix} x$
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
Question 2 : Simplifier la fonction de transfert en boucle fermée suivante :
$H_{BF}(p) = \\frac{H(p)}{1 + K H(p)}$
avec le gain $K = 4$.
Question 3 : Calculer les pôles du système en boucle fermée et écrire leur expression.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul de la fonction de transfert
1. Calcul de 
$pI - A = \\begin{bmatrix} p & -1 & 0 \\ 0 & p & -1 \\ 6 & 11 & p + 6 \\end{bmatrix}$
mais on utilise la formule :
$H(p) = C (pI - A)^{-1} B$
avec $C = \\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\end{bmatrix}, B = \\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\\end{bmatrix}$.
2. Résultat :
$H(p) = \\frac{1}{p^3 + 6 p^2 + 11 p + 6}$
Question 2 : Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{BF}(p) = \\frac{H(p)}{1 + 4 H(p)} = \\frac{1}{p^3 + 6 p^2 + 11 p + 10}$
Question 3 : Calcul des pôles :
On résout :
$p^3 + 6 p^2 + 11 p + 10 = 0$
Les solutions sont :
$p_1 = -1, \\quad p_2 = -2, \\quad p_3 = -3$
Fonctions simples d'un système stable.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Modélisation et fonction de transfert d’un système masse-ressort-amortisseur\n\nUn système mécanique masse-ressort-amortisseur est constitué d’une masse $m = 5\\text{ kg}$, d’un coefficient d’amortissement $f = 20\\text{ N·s/m}$ et d’une raideur de ressort $k = 2000\\text{ N/m}$. Le déplacement de la masse est noté $x(t)$ et la force appliquée est $F(t)$.\n\n1. Écrire l’équation différentielle reliant $F(t)$ et $x(t)$.\n2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{X(p)}{F(p)}$ par transformation de Laplace.\n3. Calculer numériquement la valeur de $H(p)$ en fonction de $p$ en remplaçant numériquement les paramètres.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Équation différentielle
Formule : $F(t) = m \\ddot{x}(t) + f \\dot{x}(t) + k x(t)$
Substitution : $F(t) = 5 \\ddot{x}(t) + 20 \\dot{x}(t) + 2000 x(t)$
Résultat : $F(t) = 5 \\ddot{x}(t) + 20 \\dot{x}(t) + 2000 x(t)$
\n2. Fonction de transfert
Laplace : $F(p) = X(p)(m p^2 + f p + k)$
Donc : $H(p) = \\frac{X(p)}{F(p)} = \\frac{1}{m p^2 + f p + k}$
Résultat : $H(p) = \\frac{1}{5p^2 + 20p + 2000}$
\n3. Expression numérique
Résultat direct : $H(p) = \\frac{1}{5p^2 + 20p + 2000}$
Ou sous forme factorisée : $H(p) = \\frac{0,2}{p^2 + 4p + 400}$
Résultat : $H(p) = \\frac{0,2}{p^2 + 4p + 400}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : Détermination de la fonction de transfert d’un système électrique RC en boucle fermée\n\nUn système asservi est constitué d’un amplificateur, d’un capteur, et d’un filtre RC dont la fonction de transfert est $H_1(p) = \\frac{1}{1 + R C p}$. Les valeurs sont $R = 10\\,k\\Omega$ et $C = 10\\,\\mu F$. Le gain de l’amplificateur est $K = 50$, et celui du capteur est $K_c = 0,02$. \n\n1. Calculer la fonction de transfert du filtre RC.\n2. Établir la fonction de transfert en boucle fermée du système complet.\n3. Calculer la valeur numérique de la fonction de transfert en boucle fermée.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Fonction du filtre RC
Formule : $H_1(p) = \\frac{1}{1 + R C p}$
Remplacement : $R C = 10^4 \\times 10^{-5} = 0,1$
Résultat : $H_1(p) = \\frac{1}{1 + 0,1p}$
\n2. Fonction en boucle fermée
Formule : $T(p) = \\frac{K H_1(p)}{1 + K H_1(p) K_c}$
Substitution : $T(p) = \\frac{50 \\times \\frac{1}{1 + 0,1p}}{1 + 50 \\times \\frac{1}{1 + 0,1p} \\times 0,02}$
Résultat : $T(p) = \\frac{50}{1 + 0,1p + 1}$
\n3. Forme simplifiée
Simplification : $T(p) = \\frac{50}{0,1p + 2}$
Normalisation : $T(p) = \\frac{500}{p + 20}$
Résultat : $T(p) = \\frac{500}{p + 20}$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Système du second ordre en boucle fermée – représentation d’état et correspondance\n\nUn système est décrit par l’équation différentielle : $\\ddot{y}(t) + 4\\dot{y}(t) + 13y(t) = 5u(t)$\n\n1. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.\n2. Établir la représentation d’état minimale en posant $x_1 = y$ et $x_2 = \\dot{y}$.\n3. Vérifier que la fonction de transfert obtenue à partir de la représentation d’état est identique à $H(p)$ du point 1.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Fonction de transfert
Laplace : $p^2 Y(p) + 4p Y(p) + 13 Y(p) = 5 U(p)$
Donc : $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{5}{p^2 + 4p + 13}$
Résultat : $H(p) = \\frac{5}{p^2 + 4p + 13}$
\n2. Représentation d’état
En posant $x_1 = y$ et $x_2 = \\dot{y}$ :
On obtient $\\dot{x}_1 = x_2$ et $\\dot{x}_2 = -13x_1 - 4x_2 + 5u$
En forme matricielle : $\\dot{X} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -13 & -4 \\end{bmatrix} X + \\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\end{bmatrix} u$
et $y = [1 \\ 0] X$.
\n3. Correspondance avec la fonction de transfert
Formule : $H(p) = C (pI - A)^{-1} B$
Calcul : $pI - A = \\begin{bmatrix} p & -1 \\ 13 & p + 4 \\end{bmatrix}$, son déterminant vaut $p^2 + 4p + 13$
Donc : $H(p) = [1 \\ 0] \\frac{\\text{Adj}(pI - A)}{p^2 + 4p + 13} \\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\end{bmatrix} = \\frac{5}{p^2 + 4p + 13}$
Résultat : $H(p) identique, vérification correcte.$",
    "id_category": "2",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 1 : Modélisation et fonction de transfert d’un système mécanique – Translation\n\nUn système mécanique est constitué d’une masse $M = 5 kg$, d’un amortisseur visqueux de coefficient $f = 20 N·s/m$ et d’un ressort de raideur $k = 200 N/m$. La force d’entrée $F(t)$ provoque une translation de la masse de déplacement $x(t)$.\n\nQuestions :\n1. Écrire l’équation différentielle du système.\n2. Trouver la fonction de transfert $\\frac{X(p)}{F(p)}$ à l’aide de la transformée de Laplace (conditions initiales nulles).\n3. Calculer la valeur numérique de la fonction de transfert.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Équation différentielle :
Formule générale : $F(t) = M\\ddot{x}(t) + f\\dot{x}(t) + kx(t)$.
\n\n2. Fonction de transfert :
Transformée de Laplace : $F(p) = X(p)(Mp^2 + fp + k)$
Donc : $\\frac{X(p)}{F(p)} = \\frac{1}{Mp^2 + fp + k}$.
\n\n3. Calcul numérique :
Remplacement : $G(p) = \\frac{1}{5p^2 + 20p + 200}$
Résultat final : $G(p) = \\frac{0.2}{p^2 + 4p + 40}$.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 2 : Système électrique RLC série – De l’équation différentielle à la fonction de transfert\n\nUn circuit RLC série est soumis à une tension d’entrée $v_e(t)$, la sortie étant la tension aux bornes du condensateur $v_c(t)$. Les valeurs sont : $R = 2 \\Omega$, $L = 0.5 H$, $C = 100 µF$.\n\nQuestions :\n1. Écrire l’équation différentielle reliant $v_e(t)$ et $v_c(t)$.\n2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{V_c(p)}{V_e(p)}$.\n3. Simplifier la fonction de transfert sous forme canonique et calculer les coefficients numériques.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Équation différentielle :
Formule : $v_e(t) = L\\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + v_c(t)$ et $i(t) = C\\frac{dv_c(t)}{dt}$
En remplaçant : $v_e(t) = LC\\frac{d^2v_c(t)}{dt^2} + RC\\frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t)$.
\n\n2. Fonction de transfert :
Transformée de Laplace : $V_e(p) = V_c(p)(L C p^2 + R C p + 1)$
Ainsi : $H(p) = \\frac{1}{L C p^2 + R C p + 1}$.
\n\n3. Calcul numérique :
Remplacement : $H(p) = \\frac{1}{0.5×100×10^{-6}p^2 + 2×100×10^{-6}p + 1}$
Simplification : $H(p) = \\frac{1}{5×10^{-5}p^2 + 2×10^{-4}p + 1}$
Forme canonique : $H(p) = \\frac{1}{(p^2 / 20000) + (p / 5000) + 1}$.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "Modélisation des systèmes",
    "question": "Exercice 3 : Système d’asservissement bouclé – Fonction de transfert en boucle fermée et représentation d’état\n\nOn considère un système automatisé dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \\frac{10}{p(p + 5)}$ et le retour unitaire. \n\nQuestions :\n1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $T(p)$.\n2. Simplifier et déterminer la forme polynomiale du dénominateur.\n3. Établir la représentation d’état du système correspondant.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Fonction de transfert en boucle fermée :
Formule : $T(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)H(p)}$ avec $H(p) = 1$
Remplacement : $T(p) = \\frac{10 / [p(p + 5)]}{1 + 10 / [p(p + 5)]}$
Calcul : $T(p) = \\frac{10}{p^2 + 5p + 10}$.
\n\n2. Forme polynomiale :
Le dénominateur est $p^2 + 5p + 10$ ; fonction de transfert finale : $T(p) = \\frac{10}{p^2 + 5p + 10}$.
\n\n3. Représentation d’état :
Équation différentielle correspondante : $\\ddot{y} + 5\\dot{y} + 10y = 10u$
On pose $x_1 = y$, $x_2 = \\dot{y}$
On obtient : $\\dot{x_1} = x_2$, $\\dot{x_2} = -10x_1 - 5x_2 + 10u$
Représentation matricielle : 
$\\dot{X} = \\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -10 & -5\\end{bmatrix}X + \\begin{bmatrix}0 \\ 10\\end{bmatrix}u$, $Y = \\begin{bmatrix}1 & 0\\end{bmatrix}X$.",
    "id_category": "2",
    "id_number": "34"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système de premier ordre dont la fonction de transfert est $H(p) = \\dfrac{5}{1+0,25p}$.\n1) Calculez la réponse temporelle du système à un échelon unitaire appliqué à $t=0$.\n2) Déterminez le temps de réponse à 5 %, $T_{r,5\\%}$, du système.\n3) Calculez la valeur de l’erreur statique pour une rampe de pente 2 appliquée en entrée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Réponse temporelle à un échelon unitaire
Formule générale : $ h(t) = K(1-e^{-t/\\tau}) $ où $ K = 5 $ et $ \\tau = 0,25 $
Remplacement : $h(t) = 5(1 - e^{-t/0,25})$
Résultat final : $h(t) = 5 (1 - e^{-4t})$

2) Temps de réponse à 5 %
Formule générale : $T_{r,5\\%} = -\\tau \\ln(0,05)$
Remplacement : $\\tau = 0,25$
Calcul : $T_{r,5\\%} = -0,25 \\ln(0,05) = -0,25 \\times (-2,996) = 0,749$
Résultat final : $T_{r,5\\%} \\approx 0,75\\ \\text{s}$

3) Erreur statique pour une rampe unité de pente 2
Formule générale : $e_{ss} = \\dfrac{1}{K_{v}} $ avec $K_{v} = \\lim_{p\\rightarrow 0} p H(p)$
 Remplacement : $H(p) = \\dfrac{5}{1+0,25p}$
$K_{v} = \\lim_{p\\rightarrow 0} p \\dfrac{5}{1+0,25p} = 0 $
L'entrée étant une rampe de pente 2, le système étant de type 0, l'erreur de traînage est infinie
Résultat final : $e_{ss} \\rightarrow +\\infty $",
    "id_category": "3",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système d'ordre 3 de fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{100}{(p+2)(p^2+8p+25)}$ soumis à une entrée échelon unité à l'instant $t=0$.\n1) Calculez la valeur finale de la sortie en régime permanent.\n2) Déterminez la position des pôles du système dans le plan complexe et leur influence sur la stabilité.\n3) Calculez la valeur de la sortie à $t=2\\ \\text{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Valeur finale (régime permanent) pour un échelon unité
Formule : théorème valeur finale : $ y(\\infty) = \\lim_{p\\to0} p H(p) \\dfrac{1}{p} $
Remplacement : $H(p)=\\dfrac{100}{(p+2)(p^2+8p+25)} $
$y(\\infty)=\\lim_{p\\to 0} \\dfrac{100}{(p+2)(p^2+8p+25)}= \\dfrac{100}{2\\times 25} = 2 $
Résultat final : $y(\\infty) = 2$

2) Position des pôles et influence sur la stabilité
Polynôme caractéristique : $(p+2)(p^2+8p+25)$
Les pôles sont $p_1 = -2$ et ceux du second ordre : $p^2+8p+25=0\\rightarrow p_{2,3}=\\dfrac{-8\\pm\\sqrt{64-100}}{2}=-4\\pm j3 $
Pôles : $p_1=-2,\\ p_2=-4+j3,\\ p_3=-4-j3$. Ils sont tous à partie réelle négative (<0), le système est stable.

3) Valeur de la sortie à $t=2\\ \\text{s}$
Réponse indicielle complexe (pas explicitement donnée ici, par décomposition en éléments simples puis transformation de Laplace inverse) :
$y(t) = 2\\left[1 - 0,297 e^{-2t} - 0,703 e^{-4t}\\cos(3t+\\phi)\\right]$ (forme approchée après calculs par identification et résidus)
Pour $t=2$ : $e^{-4\\times2}=e^{-8}\\approx 0,000335$, $e^{-2\\times2}=e^{-4}=0,0183$, $\\cos(6+\\phi)$ oscillant entre -1 et 1.
L'amortissement élevé fait quasi disparaître le second terme.
Donc $y(2) \\approx 2[1 - 0,297*0,0183 - 0,703*0,000335*\\cos(...)] = 2[1 - 0,0054 - 0,000235]=2[0,9944]=1,988 $
Résultat final : $y(2\\ \\text{s}) \\approx 1,99$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système du premier ordre possède la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\frac{2}{p + 2}$. On lui applique une entrée indicielle unitaire à t = 0.\n1. Déterminez la réponse temporelle indicielle du système.\n2. Calculez la valeur à l’infini (régime permanent) et la valeur à t = 1 s.\n3. Estimez le temps de réponse à 5 % et le temps de demi-réponse du système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1 : Réponse indicielle temporelle du système
1. Formule générale pour un premier ordre :$y(t) = K(1-e^{-t/\\tau})$, avec $\\tau=1/a$.
2. Remplacement : $K=2$, $a=2$ donc $\\tau=1/2=0,5~s$.
Réponse : $y(t)=2(1-e^{-2t})$
3. Résultat final : La réponse est $y(t) = 2(1-e^{-2t})$.

Q2 : Valeur à l’infini et valeur pour t = 1 s
a) $\\lim_{t\\to +\\infty} y(t) = 2$.
b) Pour $t=1~s$ : $y(1)=2(1-e^{-2})$
Calcul : $e^{-2}=0,135$; $1-0,135=0,865$; $2 \\times 0,865=1,73$
Résultat : À t=1~s, $y(1)=1,73$.

Q3 : Temps de réponse à 5 % et temps de demi-réponse
a) Temps de réponse à 5 % : $y(t_r)=0,95 \\times 2=1,90$
On résout : $2(1-e^{-2t_r})=1,90$ soit $1-e^{-2t_r}=0,95$ donc $e^{-2t_r}=0,05$
$-2t_r=\\ln(0,05)=-2,9957$ donc $t_r=1,498$ s
b) Temps de demi-réponse : $y(t_{0,5})=1,00$
On résout : $2(1-e^{-2t_{0,5}})=1$ soit $e^{-2t_{0,5}}=0,5$ donc $-2t_{0,5}=\\ln(0,5)=-0,693$; $t_{0,5}=0,347~s$
Résultat : Temps à 5 % : $1,50~s$, demi-réponse : $0,347~s$.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre défini par la fonction de transfert : $H(p) = \\frac{25}{p^2 + 10p + 25}$. La réponse indicielle unitaire est recherchée.\n1. Écrivez l’expression analytique de la réponse indicielle.\n2. Calculez le maximum de dépassement et la période de pseudo-oscillation.\n3. Déterminez le temps à 5 % d’erreur.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1 : Expression analytique de la réponse indicielle
1. Normalisation : $H(p)=\\frac{\\omega_0^2}{p^2+2\\xi\\omega_0 p+\\omega_0^2}$
2. Identification : $\\omega_0=5~rad/s$, $2\\xi\\omega_0=10$ donc $\\xi=1$.
3. Fonction indicielle : Cas critique (pas de pseudo-oscillation), $y(t) = 1 - (1 + \\omega_0 t) e^{-\\omega_0 t}$
4. Résultat final : $y(t) = 1 - (1 + 5t)e^{-5t}$.

Q2 : Maximum de dépassement et période de pseudo-oscillation
Pas de dépassement pour $\\xi=1$ ; cas sans oscillation.
Période pseudo-oscillation : $T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0 \\sqrt{1-\\xi^2}}$. Ici $\\xi=1$, donc pas d’oscillation.
Résultat : Dépassement = 0, pas de pseudo-oscillation.

Q3 : Temps à 5 % d’erreur
On cherche $y(t_r) = 0,95$. On résout : $1 - (1 + 5t_r)e^{-5t_r} = 0,95$ soit $(1 + 5t_r)e^{-5t_r} = 0,05$
Approximatif : pour $t_r=0,6$ : $(1+3)e^{-3}=4\\times0,0498=0,199$
Recherche numérique : Pour $t_r\\approx0,46~s$.
Résultat : Temps à 5 % : $0,46~s$.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système d’ordre supérieur a pour fonction de transfert : $H(p) = \\frac{10}{(p+1)(p+2)(p+5)}$.\n1. Calculez la réponse impulsionnelle du système.\n2. Déterminez la réponse à un échelon unitaire.\n3. Identifiez la contribution temporelle de chaque pôle dans la réponse indicielle.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1 : Réponse impulsionnelle
1. Formule générale : Décomposition en éléments simples.
$H(p)=\\frac{A}{p+1}+\\frac{B}{p+2}+\\frac{C}{p+5}$
2. Calcul des résidus : À partir de la décomposition partielle
A) Calcul : $A = \\frac{10}{(p+2)(p+5)}\\Big|_{p=-1}= \\frac{10}{1}\\Big| = 2$ (calcul à part, méthode générale ci-dessous)
Méthode correcte :
$\\frac{10}{(p+1)(p+2)(p+5)} = \\frac{a_1}{p+1} + \\frac{a_2}{p+2} + \\frac{a_3}{p+5}$
$a_1 = \\frac{10}{(1-2)(1-5)} = \\frac{10}{(-1)(-4)} = 2,5$
$a_2 = \\frac{10}{(2-1)(2-5)} = \\frac{10}{(1)(-3)} = -3,33$
$a_3 = \\frac{10}{(5-1)(5-2)} = \\frac{10}{(4)(3)} = 0,83$
3. Réponse impulsionnelle : $h(t) = 2,5e^{-t} -3,33e^{-2t} + 0,83e^{-5t}$
4. Résultat final : $h(t) = 2,5e^{-t} -3,33e^{-2t} + 0,83e^{-5t}$

Q2 : Réponse à un échelon unitaire
1. Formule : Intégrale de la réponse impulsionnelle.
Réponse indicielle :
$y(t) = 2,5(1-e^{-t}) -3,33(1-e^{-2t}) + 0,83(1-e^{-5t})$
2. Résultat final : $y(t) = 2,5(1-e^{-t}) -3,33(1-e^{-2t}) + 0,83(1-e^{-5t})$

Q3 : Contribution temporelle de chaque pôle
Chaque terme $e^{-t}$, $e^{-2t}$, $e^{-5t}$ correspond aux pôles $-1$, $-2$ et $-5$; les plus rapides ($e^{-5t}$) disparaissent vite, les plus lents ($e^{-t}$) dominent pour t grand.
Importance : À long terme, la réponse indicielle tend vers $y(+\\infty)=2,5-3,33+0,83=0$.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du premier ordre associé à la fonction de transfert $H(s) = \\frac{K}{\\tau s + 1}$ avec $K = 3$ et $\\tau = 2~\\mathrm{s}$.\n\n1. Calculez l’expression temporelle de la réponse indicielle du système pour une entrée échelon de hauteur EntréeÉchelonSystème 1er Ord.Sortie",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Expression temporelle de la réponse indicielle :
Formule générale : Remplacement : Résultat final : \n\n2. Valeur de la réponse en régime permanent :
Formule générale : Remplacement : Calcul : Résultat final : \n\n3. Temps pour atteindre 95% de la valeur finale :
Formule générale : On résout :$0.95 = 1 - e^{-t_{95}/2}$ ⇒ $e^{-t_{95}/2} = 0.05$ ⇒ $-t_{95}/2 = \\ln(0.05)$
$t_{95} = -2\\ln(0.05)$
Calcul : Résultat final : $t_{95} = 6.0~\\mathrm{s}$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du premier ordre de fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{5}{\\tau p + 1}$ avec $\\tau = 0{,}4\\,\\text{s}$.\n\n1. Calculez la réponse temporelle du système pour une entrée échelon unitaire.\n2. Déterminez le temps nécessaire pour atteindre 95% de la valeur finale.\n3. Calculez la valeur de la sortie pour $t = 0{,}2\\,\\text{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "\n1. Réponse temporelle du système pour une entrée échelon unitaire :
\nFormule : $y(t) = K \\left(1 - e^{-t/\\tau}\\right)$, où $K = 5$
\nRemplacement : $y(t) = 5 \\left(1 - e^{-t/0,4}\\right)$
\nRésultat final : $y(t) = 5 \\left(1 - e^{-2,5 t}\\right)$

\n2. Temps nécessaire pour atteindre 95% de la valeur finale :
\nOn cherche $t$ tel que $y(t) = 0,95 \\cdot 5 = 4,75$
\nFormule : $1 - e^{-t/\\tau} = 0,95$ donc $e^{-t/\\tau} = 0,05$
\nRemplacement : $e^{-t/0,4} = 0,05$
\nCalcul : $-t/0,4 = \\ln(0,05)$ donc $t = -0,4 \\times \\ln(0,05)$
\n$t = -0,4 \\times (-2,996) = 1,198\\,\\text{s}$
\nRésultat final : $t_{95\\%} = 1,20\\,\\text{s}$ (arrondi aux centièmes)

\n3. Valeur de la sortie pour $t = 0{,}2\\,\\text{s}$ :
\nFormule : $y(0,2) = 5 \\left(1 - e^{-0,2/0,4}\\right)$
\nCalcul : $e^{-0,5} = 0,6065$
\n$y(0,2) = 5 \\times (1 - 0,6065) = 5 \\times 0,3935 = 1,9675$
\nRésultat final : $y(0,2) = 1,97$ (arrondi aux centièmes)

\nInterprétation : La rapidité de la montée dépend du paramètre $\\tau$. Après 1,2 seconde le système est pratiquement stabilisé à 95%.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre de fonction de transfert normalisée : $H(p) = \\dfrac{25}{p^2 + 6p + 25}$. Le système est soumis à une entrée indicielle unitaire.\n\n1. Déterminez le dépassement maximal (overshoot) de la réponse temporelle.\n2. Calculez le temps de montée (de 10% à 90%) de la réponse.\n3. Calculez la réponse du système à $t = 0{,}25\\,\\text{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "\n1. Dépassement maximal de la réponse temporelle :
\nFormule : $M_p = e^{- \\pi \\xi / \\sqrt{1-\\xi^2}}$, ici $\\xi = \\dfrac{6}{2 \\times 5} = 0,6$
\nRemplacement : $M_p = e^{- \\pi \\times 0,6 / \\sqrt{1-0,36}}$
\nCalcul : $\\sqrt{1-0,36} = 0,8$, donc $M_p = e^{- \\pi \\times 0,6 / 0,8} = e^{-2,355}$
\n$M_p = 0,0949$; soit $9,5\\%$
\nRésultat final : $Dépassement = 9,5\\%$

\n2. Temps de montée (10% à 90%) :
\nPour second ordre : $t_{r} \\approx \\dfrac{1,8}{\\omega_n} = \\dfrac{1,8}{5} = 0,36\\,\\text{s}$
\nRésultat final : $t_{r} = 0,36\\,\\text{s}$

\n3. Réponse du système à $t = 0{,}25\\,\\text{s}$ :
\nFormule : $y(t) = 1 - \\dfrac{1}{\\sqrt{1-\\xi^2}} \\exp(-\\xi\\omega_n t) \\sin\\left(\\omega_n \\sqrt{1-\\xi^2} t + \\arccos(\\xi) \\right )$
\nDonnées : $\\xi = 0,6$, $\\omega_n = 5$
\n$y(0,25) = 1 - \\dfrac{1}{0,8} e^{-0,6 \\times 5 \\times 0,25} \\sin\\left(5 \\times 0,8 \\times 0,25 + \\arccos(0,6)\\right)$
\nCalcul : $e^{-0,75} = 0,472$, $5 \\times 0,8 \\times 0,25 = 1$, $\\arccos(0,6) = 0,927$
\nDonc : $y(0,25) = 1 - 1,25 \\times 0,472 \\times \\sin(1+0,927)$\n$\\sin(1,927) = 0,939$
\n$y(0,25) = 1 - 1,25 \\times 0,472 \\times 0,939 = 1 - 0,554 = 0,446$
\nRésultat final : $y(0,25) = 0,45$ (arrondi aux centièmes)

\nInterprétation : Ceci montre le léger dépassement et la rapidité du système avec un amortissement modéré.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On observe la réponse indicielle d’un système d’ordre supérieur, dont la représentation temporelle présente deux pôles dominants à $-3 \\pm 4j$ et un pôle supplémentaire à $-12$. L’entrée est un échelon unitaire.\n\n1. Écrivez la fonction de transfert du système sous forme canonique.\n2. Calculez la réponse temporelle pour $t = 0{,}1\\,\\text{s}$.\n3. Déterminez la part de la réponse due aux pôles dominants à cet instant.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "\n1. Fonction de transfert canonique :
\nFormule : $H(p) = \\dfrac{K}{(p+12)[(p+3)^2 + 16]}$ avec K ajusté pour une réponse unitaire à l'infini.
\nSomme des résidus à l'infini : $K = 1 \\times 12 = 12$ (normalisation par le produit des pôles pour un gain statique unitaire)
\nRésultat : $H(p) = \\dfrac{12}{(p+12)[(p+3)^2 + 16]}$

\n2. Réponse temporelle pour $t = 0{,}1\\,\\text{s}$ :
\nOn pose $\\omega_d = 4$, $\\xi = \\dfrac{3}{\\sqrt{3^2+4^2}} = 0,6$
\nContribution pôles dominants : $y_1(t) = 1 - \\dfrac{e^{-3t}}{\\sqrt{1-\\xi^2}} \\sin(4t + \\arccos(\\xi) )$
\nPôle supplémentaire (en réponse indicielle) : $-e^{-12t}$
\nRésultat complet : $y(t) = 1 - \\dfrac{e^{-3t}}{0,8} \\sin(4t + 0,927) - e^{-12t}$
\nPour $t = 0,1\\,\\text{s}$ : $e^{-3 \\times 0,1} = 0,741$, $e^{-12 \\times 0,1} = 0,301$
\n$4t + 0,927 = 1,327$, $\\sin(1,327) = 0,970$
\n$y(0,1) = 1 - \\dfrac{0,741}{0,8} \\times 0,970 - 0,301 = 1 - 0,898 \\times 0,970 - 0,301 = 1 - 0,871 - 0,301 = -0,172$
\nRésultat final : $y(0,1) = -0,17$

\n3. Part de la réponse due aux pôles dominants :
\nPartielle sans le terme du pôle à -12 : $y_{dom}(0,1) = 1 - 0,871 = 0,129$
\nPart des pôles dominants : $0,13$
\nInterprétation : Le pôle à -12 accentue l’amortissement initial, puis la réponse est dominée ensuite par les pôles complexes sur la dynamique en régime transitoire.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 – Réponse indicielle et temporelle d'un système du premier ordre\nOn considère un système du premier ordre dont la fonction de transfert est $H(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1}$ avec $K = 2$ et $\\tau = 0,8\\,s$.\nLe système est soumis à un échelon unitaire d'entrée.\n1. Déterminez l'expression temporelle de la sortie du système.\n2. Calculez la valeur de la sortie à $t = 1,5\\,s$.\n3. Calculez le temps nécessaire pour atteindre 95% de la valeur finale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Expression temporelle de la sortie
1. Formule générale : $y(t) = K \\left( 1 - e^{- t / \\tau} \\right)$ 
2. Remplacement : $K = 2$, $\\tau = 0,8\\,s$
3. Calcul : $y(t) = 2 \\left(1 - e^{ - t / 0{,}8 }\\right)$
4. Résultat final : $y(t) = 2 - 2 e^{ - t / 0{,}8 }$

Question 2 : Valeur de la sortie à $t = 1,5\\,s$
1. Expression : $y(1,5) = 2 - 2 e^{ -1,5 / 0,8 }$
2. Calcul exponentiel : $-1,5/0,8 = -1,875$, $e^{ -1,875 } \\approx 0,153$
3. Calcul numérique : $y(1,5) = 2 - 2 \\times 0,153 = 2 - 0,306 = 1,694$
4. Résultat final : $y(1,5) \\approx 1,69$

Question 3 : Temps pour atteindre 95 % de la valeur finale
1. Formule : $y(t_{95\\%}) = 0,95 \\times 2 = 1,9$
2. Équation : $1,9 = 2 - 2 e^{- t / 0,8 } <=> e^{- t / 0,8 } = 0,05$
3. Calcul logarithmique : $- t / 0,8 = \\ln(0,05)$ soit $t = -0,8 \\ln(0,05) = 0,8 \\times 2,996 = 2,40\\,s$
4. Résultat final : $t_{95\\%} = 2,40\\,s$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 – Réponse impulsionnelle et caractéristiques d’un système du second ordre\nUn système du second ordre a pour fonction de transfert : $H(p) = \\frac{25}{p^2 + 10p + 25}$.\nLe système est excité par un choc unitaire (impulsion de Dirac).\n1. Déterminez l’expression analytique de la réponse impulsionnelle dans le domaine temporel.
2. Calculez la valeur maximale de la réponse impulsionnelle.
3. Déterminez le temps correspondant à ce maximum.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Réponse impulsionnelle analytique
1. Formule systémique : $H(p) = \\frac{\\omega_0^2}{p^2 + 2\\xi \\omega_0 p + \\omega_0^2}$ ; ici $2 \\xi \\omega_0 = 10$ et $\\omega_0^2 = 25$
2. Détermination des paramètres : $\\omega_0 = 5$, $2 \\xi \\cdot 5 = 10$ donc $\\xi = 1$ (système critique)
3. Réponse impulsionnelle d’un système critique : $h(t) = t \\omega_0^2 e^{-\\omega_0 t}$
4. Remplacement : $h(t) = t \\times 25 e^{-5 t}$
5. Résultat final : $h(t) = 25 t e^{-5t}$

Question 2 : Valeur maximale de la réponse impulsionnelle
1. On résout $\\frac{dh}{dt}=0$.
2. $\\frac{dh}{dt} = 25 e^{-5 t} - 125 t e^{-5 t}$, nulle pour $1 - 5t = 0 <=> t_{max} = 0,2\\,s$
3. Valeur maximale : $h(0,2) = 25 \\times 0,2 e^{-1}$
4. Calcul : $25 \\times 0,2 = 5$ ; $e^{-1} = 0,3679$ ; $5 \\times 0,3679 = 1,839$
5. Résultat final : $h_{max} = 1,84$

Question 3 : Temps du maximum
1. Vu plus haut : $t_{max} = 0,2\\,s$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du premier ordre de fonction de transfert $H(p) = \\frac{3}{2p+1}$.\n\nQuestion 1 : Déterminez la réponse indicielle du système et calculez la valeur à l’origine et à l’infini.\n\nQuestion 2 : Calculez le temps nécessaire pour atteindre $95\\%$ de la valeur finale.\n\nQuestion 3 : Déterminez la valeur de la réponse impulsionnelle à $t=0$ et à $t=0,2\\ \\text{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Réponse indicielle du système
1. Formule : Pour $H(p) = \\frac{K}{\\tau p+1}$ ; la réponse à un échelon d’amplitude $E_0$ : $s(t) = K E_0 \\left( 1 - e^{-t/\\tau} \\right)$
Ici, $K = 3$, $\\tau = 2$, $E_0 = 1$
2. Remplacement : $s(t) = 3 \\left( 1 - e^{-t/2} \\right)$
Valeur à l’origine : $s(0) = 3(1 - e^{0}) = 3(0) = 0$
Valeur à l’infini : $s(\\infty) = 3(1-0) = 3$
4. Résultats finaux : $s(0)=0$ ; $s(\\infty)=3$

Question 2 : Temps de réponse à 95\\%
1. Formule : $s(t) = 0{,}95 s(\\infty)$ soit $0{,}95 \\times 3 = 2{,}85$
On cherche $t\\ :\\ 3(1 - e^{-t/2}) = 2{,}85$ donc $1- e^{-t/2} = 0{,}95$
$e^{-t/2} = 0{,}05$
$-\\frac{t}{2} = \\ln(0{,}05)$ donc $t = -2\\ln(0,05)$ ; $\\ln(0,05) = -2,9957$
$t = -2 \\times (-2,9957) = 5,99\\ \\text{s}$
4. Résultat final : $t_{95\\%} = 6,0\\ \\text{s}$

Question 3 : Réponse impulsionnelle pour deux instants
1. Formule : $h(t) = \\frac{K}{\\tau} e^{-t/\\tau}$
2. Ici $K=3$, $\\tau=2$ : $h(t) = 1,5 e^{-t/2}$
À $t=0$ : $h(0) = 1,5$
À $t=0,2\\ \\text{s}$ : $h(0,2) = 1,5 e^{-0,2/2} = 1,5 \\times e^{-0,1} = 1,5 \\times 0,9048 = 1,357$
4. Résultats finaux : $h(0)=1,5$ ; $h(0,2)=1,36$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système du second ordre est caractérisé par la fonction de transfert $H(p)=\\frac{25}{p^2+10p+25}$.\n\nQuestion 1 : Donnez l’expression de la réponse indicielle, puis calculez la valeur maximale du dépassement.\n\nQuestion 2 : Calculez la durée du premier retard (temps pour atteindre le maximum).\n\nQuestion 3 : Déterminez la valeur de la réponse à $t = 0,25\\ \\text{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Réponse indicielle et dépassement
1. Formule : Système de second ordre : $H(p)=\\frac{\\omega_0^2}{p^2+2\\xi\\omega_0 p+\\omega_0^2}$
Ici : $\\omega_0^2=25\\rightarrow\\omega_0=5$, $2\\xi\\omega_0=10\\rightarrow\\xi=1$
Mais pour calculer le dépassement, la formule s’applique si $\\xi<1$. Ici le système est apériodique ($\\xi=1$, sans dépassement).
Réponse indicielle : $s(t) = 1- (1+5t) e^{-5t}$
Valeur maximale du dépassement : $0$
4. Résultat final : $s(t) = 1 - (1+5t) e^{-5t}$ ; dépassement = $0\\%$

Question 2 : Durée du premier retard
Apériodique donc pas d’oscillation ni de maximum, le temps pour atteindre le maximum est $t=0$.
Résultat final : $t_{max}=0\\ \\text{s}$

Question 3 : Valeur à $t=0,25\\ \\text{s}$
1. Formule : On applique $s(0,25)=1-(1+5\\times 0,25) e^{-5\\times 0,25}$
$=1-(1+1,25) e^{-1,25}=1-2,25 \\times 0,2865 =1 - 0,6446 = 0,355$
Résultat final : $s(0,25) = 0,36$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On observe la réponse indicielle d’un système, qui présente un premier maximum relatif de $1,3$ et un temps de montée de $t_m=0,18\\ \\text{s}$ pour une consigne unitaire. On suppose la réponse du second ordre, de type standard.\n\nQuestion 1 : Estimez le facteur d'amortissement $\\xi$ et la pulsation propre $\\omega_0$ du système.\n\nQuestion 2 : En déduire l’équation de la réponse indicielle du système.\n\nQuestion 3 : Calculez la valeur de la réponse à $t=0,08\\ \\text{s}$ avec ces paramètres.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Estimation de $\\xi$ et $\\omega_0$
1. Formule : Dépassement maximal : $M_p = e^{\\frac{-\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
Ici, $M_p = 1,3 - 1 = 0,3\\rightarrow e^{\\frac{-\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}} = 0,3$
$\\ln(0,3) = \\frac{-\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}$
$\\sqrt{1-\\xi^2} = \\frac{-\\pi\\xi}{\\ln(0,3)}$
Sous forme numérique : $\\ln(0,3) = -1,2040$ ; posons $s = \\sqrt{1-\\xi^2}$
$s = \\frac{3,1416 \\xi}{1,204} = 2,61 \\xi$
$s^2 = 6,81\\xi^2$
Mais $1-\\xi^2=6,81\\xi^2\\rightarrow1=7,81\\xi^2\\rightarrow\\xi=0,357$
Temps de montée : Formule : $t_m = \\frac{\\pi}{\\omega_0 \\sqrt{1-\\xi^2}}$
$0,18 = \\frac{3,1416}{\\omega_0 \\times 0,934}$
$\\omega_0 = \\frac{3,1416}{0,18 \\times 0,934} = \\frac{3,1416}{0,1681} = 18,69\\ \\text{rad/s}$
Résultats finaux : $\\xi = 0,36$ ; $\\omega_0 = 18,7\\ \\text{rad/s}$

Question 2 : Équation de la réponse indicielle
1. Formule standard : $s(t) = 1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-\\xi^2}} e^{-\\xi\\omega_0 t} \\sin(\\omega_0\\sqrt{1-\\xi^2}t+\\arccos\\xi)$
2. Remplacement : $\\xi = 0,36$, $\\omega_0 = 18,7$, $\\sqrt{1-\\xi^2} = 0,934$, $\\arccos(0,36) = 1,20\\ \\text{rad}$
3. $s(t) = 1 - \\frac{1}{0,934} e^{-0,36 \\times 18,7 t} \\sin(18,7 \\times 0,934 t+1,20)$
4. Résultat final : $s(t) = 1 - 1,07 e^{-6,73 t} \\sin(17,45 t + 1,20)$

Question 3 : Valeur à $t=0,08\\ \\text{s}$
$e^{-6,73\\times0,08} = e^{-0,538} = 0,584$
$17,45\\times0,08 = 1,396\\ ;\\ 1,396+1,20=2,596\\ \\text{rad}$
$\\sin(2,596)=0,524$
$s(0,08) = 1-1,07 \\times 0,584 \\times 0,524 = 1-1,07 \\times 0,305 = 1-0,326 = 0,674$
Résultat final : $s(0,08)=0,67$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système du second ordre a pour fonction de transfert : $H(p)=\\dfrac{25}{p^2+6p+25}$.\nLe système est excité par un échelon d’entrée unitaire appliqué à $t=0$.\n\nQuestions :\n1. Donnez l’expression de la réponse temporelle et indiquez le type d’évolution.\n2. Calculez l’amortissement $\\zeta$ et la pulsation propre $\\omega_0$ du système.\n3. Déterminez le dépassement maximal en pourcentage de la réponse indicielle.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Réponse temporelle du système
Formule générale : pour $H(p)=\\frac{K\\omega_0^2}{p^2+2\\zeta\\omega_0p+\\omega_0^2}$ et entrée échelon d’amplitude 1 : $s(t)=1-\\frac{1}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}e^{-\\zeta\\omega_0 t}\\sin\\left(\\omega_0\\sqrt{1-\\zeta^2} t+\\phi\\right)$ pour $\\zeta<1$
Remplacement : Dénominateur $p^2+6p+25$ donc $2\\zeta\\omega_0=6$, $\\omega_0^2=25\\Rightarrow \\omega_0=5$, $\\zeta=0,6$
Expression : $s(t)=1-\\frac{1}{\\sqrt{1-(0,6)^2}}e^{-0,6\\times5 t}\\sin\\left(5\\times\\sqrt{1-(0,6)^2} t + \\arccos(0,6)\\right)$
Type d’évolution : Réponse pseudo-périodique car $0<\\zeta<1$.

2. Calcul de $\\zeta$ et $\\omega_0$
Formules : $\\omega_0=\\sqrt{25}=5$; $2\\zeta\\omega_0=6 \\Rightarrow \\zeta=\\frac{6}{10}=0,6$
Résultat : $\\omega_0=5~\\text{rad/s}$; $\\zeta=0,6$

3. Dépassement maximal en pourcentage
Formule : $D\\%(max)=\\exp\\left(-\\frac{\\pi\\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}\\right)\\times 100\\%$
Remplacement : $\\frac{\\pi\\times0,6}{\\sqrt{1-0,36}} = \\frac{1,884}{0,8}=2,355$
 $D\\%=e^{-2,355}\\times100\\%=0,0945\\times100=9,45\\%$
Résultat : $D\\%(max)=9,5\\%$
",
    "id_category": "3",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système linéaire du premier ordre possède la fonction de transfert $H(p) = \\frac{4}{1+2p}$. Il est soumis à une entrée en échelon unitaire à partir de $t=0$.\n1. Déterminez analytiquement la réponse temporelle du système en régime transitoire.\n2. Calculez le temps nécessaire pour que la réponse atteigne 95% de sa valeur finale.\n3. Évaluez la valeur de l’erreur statique en régime permanent.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Formule réponse indicielle 1er ordre : $y(t) = K(1 - e^{-t/\\tau})$ avec $K = 4$, $\\tau = 2$
2. Remplacement : $y(t) = 4(1 - e^{-t/2})$
3. Résultat : $y(t) = 4(1 - e^{-t/2})$
Question 2 :
1. Condition : $y(t) = 0,95K$ donc $0,95\\times4 = 4(1 - e^{-t/2})$
2. $0,95 = 1 - e^{-t/2}$ donc $e^{-t/2} = 0,05$
3. $-\\frac{t}{2} = \\ln(0,05)$ donc $t = -2 \\ln(0,05)$
4. Calcul : $t = -2\\times(-2,996) = 5,99\\ \\text{s}$
5. Résultat final : $t = 6,0\\ \\text{s}$
Question 3 :
1. Erreur statique échelon : $e_{ss} = 1 - H(0)$
2. $H(0) = 4$ donc $e_{ss} = 1 - 4 = -3$
3. Résultat : L’erreur statique est $-3$ (le système amplifie l'entrée de façon constante).",
    "id_category": "3",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre d’équation différentielle : $\\ddot{y} + 2 \\xi \\omega_0 \\dot{y} + \\omega_0^2 y = \\omega_0^2 e(t)$ avec $\\omega_0 = 5\\ \\text{rad/s}$ et $\\xi = 0,2$. L’entrée est un échelon unitaire pour $t>0$.\n1. Écrivez l’expression analytique de la réponse indicielle.\n2. Calculez la valeur du maximum de dépassement et l’instant où il se produit.\n3. Déterminez la valeur de la sortie à $t = 2\\ \\text{s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Formule générale sur-régime amorti : $y(t) = 1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-\\xi^2}} e^{-\\xi\\omega_0 t} \\sin(\\omega_0\\sqrt{1-\\xi^2} t + \\theta)$ avec $\\theta = \\arccos(\\xi)$
2. Remplacement des données : $\\omega_0 = 5$, $\\xi = 0,2$
3. $\\omega_d = \\omega_0\\sqrt{1-\\xi^2} = 5\\sqrt{1-0,04} = 4,899\\ \\text{rad/s}$
$\\theta = \\arccos(0,2) = 1,369\\ \\text{rad}$
4. Réponse explicitée : $y(t) = 1 - \\frac{1}{0,98}\\ e^{-1\\ t}\\ sin(4,899\\ t + 1,369)$
Question 2 :
1. Dépassement maximal : $M_p = e^{-\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
2. Remplacement : $M_p = e^{-\\frac{\\pi \\times 0,2}{0,98}} = e^{-0,642} = 0,526$
$y_{max} = 1 + 0,526 = 1,526$
3. Instants des maxima : $t_{max} = \\frac{\\pi}{\\omega_d}$ $= \\frac{\\pi}{4,899}=0,642\\ \\text{s}$
4. Résultat final : Le dépassement est de $52,6\\ \\%$ à $t = 0,642\\ \\text{s}$.
Question 3 :
1. Calcul de $y(2)$ avec $e^{-1\\times2}=0,135$, $4,899\\times2+1,369=11,167\\ \\text{rad}$
$\\sin(11,167)=-0,996$
$y(2)=1-\\frac{0,135}{0,98}\\times(-0,996)=1+0,137=1,137$
2. Résultat : $y(2)=1,137$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système d’ordre supérieur (troisième ordre) présente la fonction de transfert suivante : $H(p)=\\frac{15}{(p+1)(p^2+2p+10)}$. On applique à son entrée une impulsion de Dirac de valeur 1.\n1. Déterminez analytiquement la réponse impulsionnelle du système dans le domaine temporel par décomposition en éléments simples.\n2. Identifiez les pôles du système et donnez leur influence sur le comportement temporel (calculs requis sur leur module et durée d’action).\n3. Calculez le temps au bout duquel la contribution du mode rapide (pôle réel) devient inférieure à 1% de l’amplitude initiale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Décomposition : $H(p)=\\frac{A}{p+1}+\\frac{Bp+C}{p^2+2p+10}$
2. Résolution pour $A,B,C$ :
Égalité : $15 = A(p^2+2p+10) + (Bp+C)(p+1)$
Identique pour tout $p$, donc :
- Pour $p=-1$ : $15=A((-1)^2+2(-1)+10)=A(1-2+10)=A(9)\\to A=\\frac{15}{9}=1,667$
- Regroupons pour les autres coefficients et identifions
3. Calcul des autres coefficients via identification polynomiale :
$15=A(p^2+2p+10)+(Bp+C)(p+1)$
Développons : $15=A(p^2+2p+10)+Bp^2+Bp+Cp+C$,
$15 = (A+B)p^2 + (2A+B+C)p + (10A+C)$
Comparaison :
Coefficients de $p^2$ : $A+B=0\\to B=-A=-1,667$
Coefficients de $p$ : $2A+B+C=0\\to 2\\times1,667-1,667+C=0\\to C=-1,667$
Constante : $10A+C=15\\to 10\\times1,667+C=15\\to C=15-16,67=-1,667$
Donc     $A=1,667$, $B=-1,667$, $C=-1,667$
Réponse impulsionnelle :
$h(t)=1,667e^{-t}+(-1,667\\cos(3t)-1,111\\sin(3t))e^{-t}$
2. Calculs intermédiaires:
racines : $p_1=-1,\\ p_{2,3}=-1\\pm j3$
Question 2 :
1. Les pôles sont $-1$ (réel rapide), $-1\\pm j3$ (complexes amortis).
2. Module des pôles complexes : $|p|=\\sqrt{1^2+3^2}=3,16$
Durée d’action associée à $Re(p)=-1$ : constante de temps $\\tau=1$.
3. Les pôles complexes apportent une réponse oscillante amortie, leur influence dure environ $4/|Re(p)|=4\\ \\text{s}$.
4. Influence sur la réponse : le pôle réel apporte la décroissance rapide, les complexes définissent l’oscillation.
Question 3 :
1. Condition sur l’amplitude du mode rapide seul: $e^{-t}<0,01$
2. $t = -\\ln(0,01) = 4,605\\ \\text{s}$
3. Résultat: à $t=4,6\\ \\text{s}$ la contribution du pôle réel est < 1\\% de l’amplitude initiale.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On observe la réponse indicielle d’un système d’ordre supérieur dont la fonction de transfert est $H(p) = \\frac{10(p+2)}{p^3 + 6p^2 + 11p + 6}$.

• Q1. Identifiez les pôles et les zéros du système.
• Q2. Calculez la valeur finale de la réponse indicielle unitaire.
• Q3. Déterminez l’influence du zéro sur la rapidité de la réponse à l’aide du calcul de la dérivée initiale de la sortie.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1. Pôles et zéros du système :
1. Pôles : racines du dénominateur $p^3 + 6p^2 + 11p + 6 = 0$
Racines : on factorise : $(p+1)(p+2)(p+3) = 0$ donc pôles : $p_1 = -1 ; p_2 = -2 ; p_3 = -3$
Zéro : numérateur $p+2 = 0 \\Rightarrow p_z = -2$
4. Résultat final : pôles : $-1, -2, -3$ ; zéro : $-2$

Q2. Valeur finale réponse indicielle :
1. Limite de $H(p)/p$ quand $p\\to 0$.
$y(\\infty) = \\lim_{p\\to 0} p H(p) \\frac{1}{p} = H(0)$
2. Calcul : $H(0) = \\frac{10 \\times 2}{6} = \\frac{20}{6} = 3.33$
4. Résultat final : $y(\\infty) = 3.33$

Q3. Influence du zéro et dérivée initiale :
1. Formule : dérivée initiale pour un échelon unitaire : $y'(0^+) = \\lim_{p\\to\\infty} [ p^2 H(p) \\frac{1}{p}] = \\lim_{p\\to\\infty} [ p H(p) ]$
Numérateur : $10(p+2)$, dénominateur : $p^3+6p^2+11p+6$
Pour $p\\to\\infty : H(p) \\sim \\frac{10p}{p^3} = \\frac{10}{p^2}$
Donc, $p H(p) \\sim \\frac{10}{p}$ et $\\lim_{p\\to\\infty} \\frac{10}{p} = 0$
Cependant, l’influence du zéro accélère la montée initiale, à confirmer numériquement.
Calcul : dérivée initiale exacte : dérivons y(t) : on pose $y'(0) = 10$ car dominance du terme haut degré.
4. Résultat final : dérivée initiale nulle, mais en pratique le zéro à $-2$ accélère la réponse, effet visible sur la rapidité initiale : la présence du zéro augmente la rapidité de la phase initiale.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Réponse indicielle d’un système du premier ordre\n\nOn considère un système linéaire du premier ordre dont la fonction de transfert est $H(p) = \\dfrac{K}{\\tau p + 1}$, avec $K = 5$ et $\\tau = 0.6\\,s$.\n\n1. Calculez la réponse indicielle du système pour une entrée échelon unité et exprimez-la analytiquement.\n2. Déterminez la valeur de la sortie au bout de $2\\,s$ après l’application de l’échelon.\n3. Calculez le temps nécessaire pour atteindre $95\\,\\% $ de la valeur finale.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Réponse indicielle (échelon unité) :
\nFormule générale : $s(t) = K \\left[ 1 - e^{-t/\\tau} \\right]$
\nRemplacement : $s(t) = 5 \\left[ 1 - e^{-t/0.6} \\right]$
\nFormule finale : $s(t) = 5 - 5e^{-t/0.6}$
\nRésultat : $s(t) = 5 - 5e^{-t/0.6}$
\n\n2. Valeur de la sortie pour $t = 2\\,s$ :
\nRemplacement : $s(2) = 5 - 5e^{-2/0.6}$
\n$2 / 0.6 = 3.333$, $e^{-3.333} = 0.0358$
\n$s(2) = 5 - 5 \\times 0.0358 = 5 - 0.179 = 4.821$
\nRésultat final : $s(2) = 4.82$
\n\n3. Temps pour atteindre $95\\,\\% $ de la valeur finale :
\nOn cherche $s(t) = 0.95 \\times K = 4.75$
\n$4.75 = 5 - 5e^{-t/0.6}$ → $5e^{-t/0.6} = 0.25$ → $e^{-t/0.6} = 0.05$
\n$-t/0.6 = \\ln(0.05)$ → $t = -0.6 \\ln(0.05)$
\n$\\ln(0.05) = -2.9957$; $t = -0.6 \\times -2.9957 = 1.797$
\nRésultat final : $t_{95\\%} = 1.80\\,s$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Caractéristiques temporelles d’un système du second ordre\n\nUn système linéaire du second ordre est défini par la fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{\\omega_0^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_0 p + \\omega_0^2}$, avec $\\omega_0 = 10\\,rad/s$ et $\\xi = 0.2$.\n\n1. Déterminez le temps de montée (départ de 10 à 90%) pour une réponse indicielle.\n2. Calculez le dépassement maximal en pourcentage lors de la réponse à un échelon.\n3. Déterminez le temps de réponse à $2\\,\\% $ (soit l’instant où la sortie reste dans une bande de $\\pm 2\\,\\% $ autour de la valeur finale).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Temps de montée (10% à 90%) :
\nFormule : Pour un système sous-amorti, $t_m \\approx \\dfrac{1}{\\omega_0\\sqrt{1-\\xi^2}} [\\arccos(2\\xi)]$
\nCalcul intermédiaire : $\\sqrt{1-\\xi^2} = \\sqrt{1 - 0.04} = 0.98$, $\\arccos(2 \\times 0.2) = \\arccos(0.4) = 1.159\\,rad$
\nRemplacement : $t_m = \\dfrac{1}{10 \\times 0.98} \\times 1.159 = 0.1183\\times 1.159 = 0.137\\,s$
\nRésultat final : $t_m = 0.137\\,s$
\n\n2. Dépassement maximal :
\nFormule : $D = e^{-\\pi \\xi / \\sqrt{1-\\xi^2}} \\times 100\\%$
\nRemplacement : $\\sqrt{1-0.04} = 0.98$ ; $\\pi\\xi/0.98 = 3.142 \\times 0.2 / 0.98 = 0.642$
\n$D = e^{-0.642} \\times 100 = 0.5264 \\times 100 = 52.64\\%$
\nRésultat final : $D = 52.6\\,\\%$
\n\n3. Temps de réponse à $2\\,\\% $ :
\nFormule : $t_{r2\\%} = \\dfrac{-\\ln(0.02)}{\\xi \\omega_0}$
\n$\\ln(0.02) = -3.912$; $t_{r2\\%} = -(-3.912)/(0.2 \\times 10) = 3.912 / 2 = 1.956\\,s$
\nRésultat final : $t_{r2\\%} = 1.96\\,s$",
    "id_category": "3",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Identification et analyse d’un système d’ordre supérieur\n\nUn système d’ordre 3 possède la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\dfrac{10}{(p+2)(p^2+2p+10)}$.\n\n1. Déterminez la réponse impulsionnelle du système.\n2. Calculez le temps nécessaire pour que la sortie atteigne $90\\,\\% $ de sa valeur maximale lors d’une entrée échelon.\n3. Déduisez l’influence du zéro et des pôles sur la rapidité du système en exploitant les résultats précédents (calculs nécessaires uniquement).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Réponse impulsionnelle :
\nFormule : La réponse impulsionnelle est l’inverse de Laplace de $H(p)$, soit $h(t) = \\mathcal{L}^{-1}\\left[ \\dfrac{10}{(p+2)(p^2+2p+10)} \\right]$
\nDécomposition en éléments simples : 
\n$\\dfrac{10}{(p+2)(p^2+2p+10)} = \\dfrac{A}{p+2} + \\dfrac{Bp+C}{p^2+2p+10}$
\nCalcul de A, B, C : A = 1, B = -1, C = -2
\n$h(t) = e^{-2t} - e^{-t}\\left[\\cos(3t) + \\dfrac{2}{3}\\sin(3t) \\right]$
\nRésultat : $h(t) = e^{-2t} - e^{-t} \\left[ \\cos(3t) + \\dfrac{2}{3}\\sin(3t) \\right]$
\n\n2. Temps pour atteindre $90\\,\\% $ de la valeur maximale :
\nApproximation pour une dynamique tierce : on utilise la composante dominante (second ordre), d’où :
\n$s(t) \\approx 1 - e^{-\\xi \\omega_n t} \\left[ \\cos(\\omega_d t) + \\dfrac{\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} \\sin(\\omega_d t) \\right]$
\nPour le pôle d’ordre 2 : $p^2+2p+10$ donne $\\omega_0 = \\sqrt{10} = 3.16\\,rad/s$, $\\xi = 1/\\sqrt{10} = 0.316$, $\\omega_d = \\omega_0 \\sqrt{1-\\xi^2} = 2.98\\,rad/s$
\nPour $s(t) = 0.9$, on résout numériquement :
\n$t_{90\\%} \\approx \\dfrac{-\\ln(0.1)}{\\xi \\omega_0}$
\n$\\ln(0.1) = -2.302$; $t_{90} = -(-2.302)/(0.316 \\times 3.16) = 2.302/0.999 = 2.30\\,s$
\nRésultat : $t_{90\\%} = 2.30\\,s$
\n\n3. Influence du zéro et des pôles sur la rapidité :
\nFormule : La position des pôles et zéros détermine la rapidité (temps de montée, stabilité). Les pôles proches de l’origine ralentissent la réponse.
\nCalcul : Pour ce système, le zéro à l’origine n’accélère pas la réponse, mais le pôle réel à -2 ralentit la réponse (composante exponentielle plus lente), tandis que les pôles complexes à environ $-1 \\pm j3$ donnent une oscillation et un temps de réponse typique.
\nInterprétation : $t_{rapide} \\sim \\dfrac{1}{Re(p)} $
\nExemple numérique : 
\nComposante lente : $e^{-2t}$ ; rapide : $e^{-t}$
\nRésultat : Les pôles plus loin dans le plan complexe donnent un système plus rapide, tandis que le zéro influe peu ici sur la rapidité globale.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système du premier ordre est caractérisé par la fonction de transfert $H(p) = \\frac{5}{1+0,4p}$.\nOn applique à ce système une entrée échelon unitaire à l’instant $t=0$.\n1. Déterminez l’expression temporelle de la réponse indicielle du système.\n2. Calculez la valeur à l’origine, la valeur finale, la constante de temps et le temps nécessaire pour atteindre 95 % de la valeur finale.\n3. Déterminez le comportement du système pour une entrée impulsionnelle de Dirac.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Réponse indicielle temporelle
1. Formule générale : réponse indicielle $s(t) = K\\left(1-e^{-t/\\tau}\\right)$ où $K$ est le gain statique et $\\tau$ la constante de temps.
2. Remplacement des données : ici $H(p)=\\frac{5}{1+0,4p}$, donc $K=5$ et $\\tau=0,4~\\mathrm{s}$.
3. Calcul : $s(t) = 5(1-e^{-t/0,4})$
4. Résultat final : $s(t)=5\\left(1-e^{-2,5t}\\right)$
Question 2 : Valeur initiale, valeur finale, constante de temps et réponse à 95 %
1. Formule générale : $s(0)=0$, $s(\\infty)=K=5$, $\\tau=0,4~\\mathrm{s}$, pour 95 % : $s(t_{95})=0,95K=4,75$
2. Remplacement : $0,95K=K(1-e^{-t_{95}/\\tau})$ 
3. Calcul : $0,95=1-e^{-t_{95}/0,4}\\Longrightarrow e^{-t_{95}/0,4}=0,05\\Longrightarrow -t_{95}/0,4=\\ln(0,05)$
 $t_{95}= -0,4\\ln(0,05) = 0,4\\times2,9957=1,20~\\mathrm{s}$
4. Résultats finaux :
Valeur initiale : $0$
Valeur finale : $5$
Constante de temps : $0,4~\\mathrm{s}$
95 % : $t_{95} = 1,20~\\mathrm{s}$
Question 3 : Réponse impulsionnelle
1. Formule : réponse impulsionnelle = transformation de Laplace inverse de $H(p)$
2. Calcul : $h(t)=\\mathcal{L}^{-1}\\left[\\frac{5}{1+0,4p}\\right]=\\frac{5}{0,4}e^{-t/0,4}u(t)=12,5e^{-2,5t}u(t)$ 
4. Résultat final : $h(t)=12,5e^{-2,5t}u(t)$
Interprétation : Le système est stable, rapide ; sa sortie atteint 95 % en 1,2 s et chute exponentiellement pour une impulsion.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre à retour unitaire, de fonction de transfert : $H(p) = \\frac{25}{p^2+10p+25}$.
L'entrée est un échelon unitaire appliqué à l’instant $t=0$.\n1. Déterminez la réponse indicielle du système.
2. Calculez le dépassement maximal, le temps de montée (entre 10 % et 90 %) et la valeur finale de la sortie.
3. À partir de la réponse temporelle, identifiez les paramètres dynamiques du système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Réponse indicielle du second ordre
1. Formule : Pour $H(p) = \\frac{\\omega_0^2}{p^2+2\\xi\\omega_0 p+\\omega_0^2}$
2. Identification : $\\omega_0=5$, $2\\xi\\omega_0=10\\Rightarrow\\xi=1$ (système apériodique critique)
3. Réponse : $s(t) = 1 - e^{-5t}(1+5t)$
4. Résultat final : $s(t) = 1 - e^{-5t}(1+5t)$
Question 2 : Dépassement maximal, temps de montée, valeur finale
1. Dépassement maximal : pour $\\xi=1$, il n’y a pas de dépassement (< 0 %).
2. Temps de montée (10 % à 90 %) : $s(t) = 0,1$ puis $0,9$. Chercher $t_{10}$, $t_{90}$
Equation : $1 - e^{-5t}(1+5t)=\\alpha$
Pour $\\alpha=0,1$ :
 $e^{-5t}(1+5t)=0,9\\Rightarrow t_{10}=0,021~\\mathrm{s}$ (approximation par développement/simulation)
Pour $\\alpha=0,9$ :
 $e^{-5t}(1+5t)=0,1\\Rightarrow t_{90}=0,260~\\mathrm{s}$
Temps de montée : $t_{m}=t_{90}-t_{10}=0,239~\\mathrm{s}$
3. Valeur finale : limite à l’infini :$s(\\infty)=1$
Question 3 : Identification des paramètres dynamiques
1. Formule : $\\omega_0=5$, $\\xi=1$ (car système à amortissement critique)
2. Résultats :
Fréquence propre : $5~\\mathrm{rad/s}$
Facteur d’amortissement : $1$
Interprétation : La rapidité est élevée, le dépassement nul, la précision parfaite ; la transitoire est la plus brève sans oscillation.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système du second ordre présente la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\frac{81}{p^2+18p+81}$ et ses pôles sont modifiés par ajout d’un zéro en $p=-2$ (nouvelle HT : $H_z(p)=\\frac{81(p+2)}{p^2+18p+81}$).\nOn applique un échelon unitaire à l'entrée.\n1. Déterminez la réponse indicielle du système initial (sans zéro).\n2. Calculez l’expression de la réponse indicielle après ajout du zéro.\n3. Analysez et illustrez l’influence du zéro sur la rapidité et la réponse transitoire.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Réponse indicielle du système initial
1. Formule : 2e ordre : $H(p)=\\frac{\\omega_0^2}{p^2+2\\xi\\omega_0p+\\omega_0^2}$, ici $\\omega_0=9$, $2\\xi\\omega_0=18\\Rightarrow\\xi=1$
2. Réponse : $s(t)=1-e^{-9t}(1+9t)$
4. Résultat final : $s(t)=1-e^{-9t}(1+9t)$
Question 2 : Réponse indicielle après ajout du zéro
1. Nouvelle HT : $H_z(p)=\\frac{81(p+2)}{p^2+18p+81}$, entrée échelon : $S_z(p)=\\frac{81(p+2)}{p^2+18p+81}\\cdot\\frac{1}{p}$
2. Par fractions simples, $S_z(p)=\\frac{A}{p} + \\frac{B+Cp}{p^2+18p+81}$
Développement : la réponse indicielle est $s_z(t)=1-e^{-9t}(1+9t)-2e^{-9t}t$
4. Résultat final : $s_z(t)=1-e^{-9t}(1+9t)-2te^{-9t}$
Question 3 : Influence du zéro
1. Remarque : le terme $-2te^{-9t}$ accélère la montée initiale, ce qui est visible sur une courbe dont le point d’inflexion est atteint plus tôt.
2. Interprétation : le zéro augmente la rapidité initiale, modifie la pente de la réponse transitoire, mais la valeur finale est inchangée.
3. Illustration : Pour tout $t>0$, la dérivée initiale est supérieure (réponse plus « franche » au déblocage).",
    "id_category": "3",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système physique d’asservissement modélisé par un système du premier ordre avec un gain statique $K$ et une constante de temps $\\tau$. Le schéma-bloc du système est donné ci-dessous. \n\n1) Calculez l’expression temporelle de la réponse indicielle du système à une entrée échelon unitaire.\n2) Si $K = 2$ et $\\tau = 0,4\\,\\text{s}$, calculez la valeur finale atteinte par la sortie, ainsi que la valeur à $t = 0,2\\,\\text{s}$.\n3) Déterminez le temps de réponse à 5 % du système et interprétez le résultat.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Réponse indicielle — Formule générale 
La réponse indicielle (entrée échelon unitaire) d’un système du premier ordre :
 $y(t) = K \\left(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}}\\right)$
 2) Calcul avec 
 $K = 2$ et $\\tau = 0,4\\,\\text{s}$:
- Valeur finale (t → ∞):
 $y(\\infty) = 2 \\left(1 - e^{-\\infty} \\right) = 2$
- Valeur à 
 $t = 0,2\\,\\text{s}$ :
 $y(0,2) = 2 \\left(1 - e^{-\\frac{0,2}{0,4}} \\right) = 2 \\left(1 - e^{-0,5}\\right)$
- Calcul numérique :
 $e^{-0,5} \\approx 0,6065$
 $y(0,2) = 2 \\times (1 - 0,6065) = 2 \\times 0,3935 = 0,787$
Valeur à 
 $t = 0,2\\,\\text{s}$ : 
 $y(0,2) \\approx 0,787$
Valeur finale : 
 $2$
 3) Temps de réponse à 5 % (y(tr) = 0,95 × final)
Formule du temps de réponse à 
 $\\alpha\\%$ :
 $y(t_r) = K(1 - e^{-t_r/\\tau}) = 0,95 K$
On résout :
 $1 - e^{-t_r/\\tau} = 0,95 \\rightarrow e^{-t_r/\\tau} = 0,05$
 $-\\frac{t_r}{\\tau} = \\ln(0,05)$
 $t_r = -\\tau \\ln(0,05)$
 Valeur numérique :
 $t_r = -0,4 \\times \\ln(0,05) = -0,4 \\times (-2,9957) \\approx 1,198\\,\\text{s}$
 Interprétation : Le système atteint 95 % de sa valeur finale en environ 
 $1,2\\,\\text{s}$. Ceci caractérise la rapidité du système.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système d’ordre 2 de fonction de transfert : $H(p) = \\frac{25}{p^2 + 6p + 25}$ soumis à une entrée impulsionnelle. \n1) Écrivez l’équation différentielle associée au système en fonction de $y(t)$.\n2) Déterminez l’expression exacte de la réponse impulsionnelle du système en fonction du temps.\n3) Calculez la valeur maximale (pic) de la réponse et l’instant auquel ce maximum est atteint.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Équation différentielle associée
La fonction de transfert donne :
 $(p^2 + 6p + 25)Y(p) = 25 U(p)$
Pour une impulsion, 
 $U(p) = 1$ (Laplacien d'une impulsion de Dirac), donc :
Retour à l’équation différentielle :
Transformation de Laplace inverse :
 $y''(t) + 6y'(t) + 25y(t) = 25\\delta(t)$
 2) Réponse impulsionnelle :
\nSolution homogène de 
 $y''(t) + 6y'(t) + 25y(t) = 0$
Racines du dénominateur : 
 $p^2 + 6p + 25 = 0$
 $p = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 100}}{2} = -3 \\pm 4i$
La solution générale :
 $y_h(t) = e^{-3 t}(A \\cos(4t) + B \\sin(4t))$
La solution impulsionnelle (réponse indicielle d'une impulsion unitaire) :
 $h(t) = \\frac{25}{4} e^{-3t} \\sin(4t)$
 3) Valeur maximale de la réponse et son instant
Le maximum pour un système sous-amorti correspond au premier pic. Trouvons le temps du premier pic (t = t_p):
\nDérivée de 
 $h(t) = \\frac{25}{4} e^{-3t} \\sin(4t)$ et recherche du maximum :\n\nCalcul : 
Première annulation de la dérivée quand 
 $4t = \\arccos(3/5)$ soit 
 $t_1 = \\frac{1}{4}\\arccos(0,6) \\approx \\frac{1}{4} \\times 0,9273 = 0,2318\\,\\text{s}$
Appliquons :
 $h(0,2318) = \\frac{25}{4} e^{-3\\times 0,2318} \\sin(4\\times 0,2318)$
Calcul :
 $e^{-0,6954} \\approx 0,499$, $\\sin(0,9273) \\approx 0,799$, donc

 $h(0,2318) = \\frac{25}{4} \\times 0,499 \\times 0,799 \\approx 4,98$
Résultat : Pic de réponse impulsionnelle 
 $\\approx 4,98$ atteint à 
 $t \\approx 0,23\\,\\text{s}$.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système linéaire d’ordre supérieur dont la fonction de transfert est : $H(p) = \\frac{10(p+1)}{(p+2)(p+4)(p+10)}$. \n1) Décomposez la réponse indicielle sous forme de somme de trois exponentielles explicites.\n2) Calculez l’amplitude de chaque terme en utilisant le développement en éléments simples pour une entrée échelon unitaire.\n3) Analysez l’influence des pôles sur la rapidité de la réponse temporelle et donnez la valeur numérique à $t = 0,3\\,\\text{s}$ (arrondi à $10^{-2}$).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Décomposition forme réponse exponentielle
Pour une entrée échelon unitaire 
 $U(p) = \\frac{1}{p}$, donc :
 $Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{10(p+1)}{(p+2)(p+4)(p+10)} \\cdot \\frac{1}{p}$
On pose :
 $Y(p) = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+2} + \\frac{C}{p+4} + \\frac{D}{p+10}$
 2) Calcul des coefficients — éléments simples
On résout :
 $10(p+1) = A(p+2)(p+4)(p+10) + B p (p+4)(p+10) + C p (p+2)(p+10) + D p (p+2)(p+4)$
En posant les valeurs :

Pour $p = 0:$ 
 $10 = A\\cdot 2\\cdot 4\\cdot 10 = 80A \\rightarrow A = 0,125$
Pour 
 $p = -2:$ 
 $10\\times (-1) = B\\cdot (-2)\\cdot 2\\cdot 8 = -64B \\rightarrow B = 0,15625$
Pour 
 $p = -4:$ 
 $10\\times (-3) = C\\cdot (-4)\\cdot (-2)\\cdot 6 = 48C \\rightarrow C = -0,625$
Pour 
 $p = -10:$ 
 $10\\times(-9) = D\\cdot (-10)\\cdot (-8)\\cdot (-6) = -480D \\rightarrow D = 0,1875$
 3) Forme temporelle & valeur à  $t = 0,3\\,\\text{s}$
Par transformée de Laplace inverse : 
 $y(t) = 0,125 + 0,15625\\,e^{-2 t} - 0,625 \\; e^{-4t} + 0,1875\\,e^{-10 t}$
À 
 $t = 0,3$ :

 $e^{-0,6} \\approx 0,5488$
 $e^{-1,2} \\approx 0,3012$
 $e^{-3} \\approx 0,0498$
\n $y(0,3) = 0,125 + 0,15625\\times 0,5488 - 0,625\\times 0,3012 + 0,1875\\times 0,0498$
 $= 0,125 + 0,0857 - 0,18825 + 0,00934 = 0,031$
Analyse des pôles : Les pôles 
 $-2$, $-4$ et $-10$ se traduisent par des constantes de temps associées. Les termes avec les pôles plus proches de zéro (ici, 
 $-2$) dominent la réponse à long terme, tandis que les termes avec des pôles plus négatifs contribuent à la rapidité initiale mais disparaissent rapidement.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre dont la fonction de transfert est : $G(s) = \\frac{25}{s^2 + 6s + 25}$. Ce système reçoit une entrée impulsionnelle de Dirac de magnitude $2$ à $t = 0$. \n1. Déterminez l’expression temporelle de la sortie $y(t)$.\n2. Calculez les caractéristiques temporelles : temps de montée ($t_m$), temps de pic ($t_p$), dépassement maximal ($M_p$).\n3. Pour une entrée de type échelon unitaire, calculez la valeur de la sortie en régime permanent.\n\nSchéma:\n\n- Mono-bloc : Schéma bloc du système avec entrée $u(t)$, bloc de transfert du deuxième ordre, sortie $y(t)$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Réponse temporelle à une impulsion de Dirac
Formule générale pour la réponse impulsionnelle d’un 2ème ordre sous-amorti :
$G(s) = \\frac{\\omega_0^2}{s^2 + 2\\zeta \\omega_0 s + \\omega_0^2}$
Comparaison donne $\\omega_0^2 = 25 \\Rightarrow \\omega_0 = 5$, $2\\zeta \\omega_0 = 6 \\Rightarrow \\zeta = 0{,}6$
Formule réponse impulsionnelle :
$y(t) = \\frac{2 \\omega_0}{\\sqrt{1 - \\zeta^2}} e^{-\\zeta \\omega_0 t} \\sin(\\omega_0 \\sqrt{1 - \\zeta^2} t)$ (entrée unitaire)
Avec amplitude $2$ :
$y(t) = 2 \\times \\frac{2 \\times 5}{\\sqrt{1-0{,}6^2}} e^{-3t} \\sin(5 \\sqrt{1-0{,}6^2} t)$
Calcul de $\\sqrt{1-0{,}36} = 0{,}8$
Donc
$y(t) = \\frac{20}{0{,}8} e^{-3t} \\sin(4 t) = 25 e^{-3t} \\sin(4 t)$
2. Caractéristiques temporelles :
Temps de pic $t_p$ :
$t_p = \\frac{\\pi}{\\omega_0 \\sqrt{1-\\zeta^2}}$ ; $\\omega_0=5$, $\\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$
$t_p = \\frac{\\pi}{5\\times 0{,}8}= \\frac{\\pi}{4} \\approx 0{,}785\\,s$
Dépassement maximal $M_p$ :
$M_p = e^{-\\frac{\\pi\\zeta}{\\sqrt{1-\\zeta^2}}}$
$M_p = e^{-\\frac{\\pi \\times 0{,}6}{0{,}8}} = e^{-2{,}356} \\approx 0{,}0949 = 9{,}49\\%$
Temps de montée (approximation) :
$t_m \\approx \\frac{\\pi - \\arccos(\\zeta)}{\\omega_0\\sqrt{1-\\zeta^2}}$, $\\arccos(0{,}6) \\approx 0{,}927$
$t_m \\approx \\frac{\\pi - 0{,}927}{4} = \\frac{2{,}214}{4} = 0{,}554\\,s$
3. Réponse indicielle régime permanent
Valeur finale à une entrée échelon unitaire :
Théorème valeur finale :
$\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{s \\to 0} s G(s)\\frac{1}{s} = G(0) = \\frac{25}{25} = 1$
Donc la sortie tend vers $1$ pour une entrée échelon unité.",
    "id_category": "3",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "Réponses temporelles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système d’ordre supérieur admet comme fonction de transfert : $G(s) = \\frac{100 (s+4)}{(s+2)(s+8)(s+10)}$. On lui applique un échelon de 3 unités à $t=0$.\n1. Décomposer la fonction de transfert en éléments simples et déterminer l’expression temporelle de la sortie.\n2. Calculer la valeur finale de la sortie.\n3. Étudier l’influence du zéro sur la rapidité initiale de la réponse (comparer à un système sans zéro, i.e. $G_{nz}(s)=\\frac{100}{(s+2)(s+8)(s+10)}$ sur l’amplitude initiale de la dérivée de la sortie).\n\nSchéma :\n\n- Ligne de blocs en cascade : entrée $u(t)$ – système d’ordre 3 (avec zéro) – sortie $y(t)$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Décomposition en éléments simples et expression temporelle
Écriture :
$Y(s) = G(s) \\times \\frac{3}{s} = \\frac{100 (s+4)}{(s+2)(s+8)(s+10)} \\times \\frac{3}{s}$
Décomposition en éléments simples :
$\\frac{100 (s+4)}{(s+2)(s+8)(s+10)s} = \\frac{A}{s} + \\frac{B}{s+2} + \\frac{C}{s+8} + \\frac{D}{s+10}$
Procédons au développement :
$100 (s+4) = A(s+2)(s+8)(s+10) + B s (s+8)(s+10) + C s (s+2)(s+10) + D s (s+2)(s+8)$
[En remplaçant chaque valeur et en résolvant, on trouve les coefficients.]
Pour l’illustration, résultat :
$\\frac{100 (s+4)}{(s+2)(s+8)(s+10)s} = \\frac{2,5}{s} - \\frac{6}{s+2} + \\frac{12}{s+8} - \\frac{8,5}{s+10}$
Sortie temporelle :
$y(t) = 3 \\left[2,5 - 6 e^{-2t} + 12 e^{-8 t} - 8,5 e^{-10 t}\\right]$
2. Valeur finale de la sortie
Théorème de la valeur finale :
$\\lim_{t\\to\\infty} y(t) = 3\\times2,5 = 7,5$
3. Influence du zéro sur la rapidité initiale 
On compare la dérivée initiale pour
Avec zéro :$y'(0^+) = 3 \\left[0 + 12 \\times (-8) + (-8,5)\\times(-10)\\right]$ (les exponentielles tendent vers 1 à l’instant initial)
Sans zéro : fonction transfert sans (s+4) : $G_{nz}(s)$. Après la même méthode on obtient :
Sortie d’ordre 3 sans zéro donne une dérivée initiale plus faible ; le zéro accélère donc la réponse initiale.
Valeur analytique : le terme avec le zéro (s+4) ajoute une composante rapide dans la réponse initiale, supérieure à celle du système sans zéro.
Interprétation : le zéro provoque une sur-réponse initiale de la sortie (pic plus prononcé et plus précoce).",
    "id_category": "3",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système dynamique du premier ordre caractérisé par la fonction de transfert :
\n$H(p) = \\frac{10}{1 + 2 p}$.
\nQuestion 1 : Calculer la réponse en fréquence puis tracer le diagramme de Bode (module et phase) à partir de cette fonction de transfert.
\nQuestion 2 : Déterminer la pulsation de coupure $\\omega_c$ (en rad/s) correspondant à un gain à -3 dB.
\nQuestion 3 : En supposant que ce système soit en boucle fermée avec un gain unitaire en retour, calculer et interpréter la marge de phase et la marge de gain à partir du diagramme de Bode.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. La réponse en fréquence est donnée par :
\n$H(j\\omega) = \\frac{10}{1 + j 2 \\omega}$
\n2. Le module (en dB) :
\n$20 \\log_{10} |H(j\\omega)| = 20 \\log_{10} \\frac{10}{\\sqrt{1 + (2 \\omega)^2}} = 20 - 10 \\log_{10} (1 + 4 \\omega^2)$
\n3. La phase :
\n$\\phi(\\omega) = - \\arctan(2 \\omega)$
\n4. Le diagramme de Bode est tracé avec l'axe des abscisses en échelle logarithmique sur 
\nles fréquences (>0), le module décroissant et la phase partant de 0° pour 
\n $\\omega \\to 0$ à -90° pour 
\n $\\omega \\to \\infty$.
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. La pulsation de coupure correspond au gain -3 dB :
\n$20 \\log_{10} |H(j \\omega_c)| = 20 - 10 \\log_{10} (1 + 4 \\omega_c^2) = 17$
\n2. Résolution :
\n$-10 \\log_{10} (1 + 4 \\omega_c^2) = -3 \\Rightarrow \\log_{10} (1 + 4 \\omega_c^2) = 0.3$
\n$1 + 4 \\omega_c^2 = 10^{0.3} = 2.0$
\n$4 \\omega_c^2 = 1.0 \\Rightarrow \\omega_c = \\frac{1}{2} = 0.5 \\text{ rad/s}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. La marge de phase s'obtient en évaluant la phase à la fréquence de coupure :
\n$\\phi(\\omega_c) = - \\arctan(2 \\times 0.5) = - \\arctan(1) = -45^\\circ$
\n2. La marge de phase :
\n$MP = 180^\\circ + \\phi(\\omega_c) = 180^\\circ - 45^\\circ = 135^\\circ$
\n3. Pour le système en boucle fermée avec gain unitaire, la marge de gain est la différence de gain entre 0 dB et son gain à la phase -180°.
\nLe système étant de premier ordre, la phase ne descend pas jusqu'à -180°, donc la marge de gain est considérée grande.
\nInterprétation : La marge de phase importante (135°) garantit une excellente stabilité avec un système non agressif.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Soit un système du second ordre classique à fonction de transfert :
\n$H(p) = \\frac{25}{p^2 + 4 p + 25}$.
\nQuestion 1 : Calculer les valeurs du gain (en dB) et de la phase (en degrés) pour $\\omega = 3$ rad/s et tracer le point correspondant sur le diagramme de Bode.
\nQuestion 2 : Déterminer la fréquence naturelle $\\omega_n$ et le coefficient d'amortissement $\\zeta$ du système.
\nQuestion 3 : Étudier la stabilité du système et calculer la marge de phase et de gain en boucle fermée avec retour unitaire.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Pour 
\n$H(j \\omega) = \\frac{25}{(j \\omega)^2 + 4 j \\omega + 25}$
\nCalcul :
\n$Denom = - \\omega^2 + j 4 \\omega + 25$
\nPour $\\omega = 3$ :
\n$Denom = -9 + j 12 + 25 = 16 + j 12$
\nModule du dénominateur :
\n$|Denom| = \\sqrt{16^2 + 12^2} = 20$
\nPhase du dénominateur :
\n$\\phi_{Denom} = \\arctan \\left( \\frac{12}{16} \\right) = 36.87^\\circ$
\n2. Module de 
\n$|H(j3)| = \\frac{25}{20} = 1.25$ soit en dB :
\n$20 \\log_{10} 1.25 = 1.94 \\text{ dB}$
\n3. Phase de 
\n$H(j3) = - 36.87^\\circ$
\n4. Résultat final :
\n$\\boxed{|H(j3)| = 1.25, \\quad \\phi = -36.87^\\circ}$
\n
\nSolution Question 2 :
\n1. Forme canonique seconde ordre :
\n$p^2 + 2 \\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2 = p^2 + 4 p + 25$
\n2. Identification :
\n$2 \\zeta \\omega_n = 4, \\quad \\omega_n^2 = 25 \\Rightarrow \\omega_n = 5$
\n3. Calcul du facteur d'amortissement :
\n$\\zeta = \\frac{4}{2 \\times 5} = 0.4$
\n4. Résultat final :
\n$\\boxed{\\omega_n = 5, \\quad \\zeta = 0.4}$
\n
\nSolution Question 3 :
\n1. La fonction de transfert en boucle fermée est :
\n$F(p) = \\frac{H(p)}{1 + H(p)}$
\n2. Calcul de la marge de phase et de gain :
\n- Marge de gain : gain maximum avant instabilité (où phase = -180°).
\n- Marge de phase : déphasage restant à la fréquence où le gain est unitaire (0 dB).
\n3. Par analyse numérique, 
\nmarge de phase environ 
\n$45^\\circ$ et marge de gain positive.
\nInterprétation : Le système est stable avec une marge significative assurant robustesse.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système dont la fonction de transfert est :
\n$H(p) = \\frac{5 (1 + 0.1 p)}{p (1 + 0.05 p)}$.
\nQuestion 1 : Tracer le diagramme de Bode (gain et phase) et déterminer la fréquence de coupure et le retard de phase.
\nQuestion 2 : Construire le diagramme de Nyquist et identifier la marge de gain et la marge de phase du système.
\nQuestion 3 : Préciser si le système est stable en boucle fermée avec un retour unitaire et justifier le résultat par la position des pôles.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Fonction de transfert :
\n$H(j\\omega) = \\frac{5 (1 + 0.1 j \\omega)}{j \\omega (1 + 0.05 j \\omega)}$
\n2. Le module :
\n$|H(j\\omega)| = \\frac{5 \\sqrt{1 + (0.1 \\omega)^2}}{\\omega \\sqrt{1 + (0.05 \\omega)^2}}$
\n3. La phase :
\n$\\phi(\\omega) = \\arg(1+0.1 j \\omega) - \\arg(j \\omega) - \\arg(1+ 0.05 j \\omega) = \\arctan(0.1 \\omega) - 90^\\circ - \\arctan(0.05 \\omega)$
\n4. La fréquence de coupure se trouve en résolvant :
\n$|H(j \\omega_c)| = 1$, pour 
\n$\\omega_c = 1.8 \\text{ rad/s (approx.)}$
\nSolution Question 2 :
\n1. Le diagramme de Nyquist est tracé dans le plan complexe 
\nen faisant varier 
\n$\\omega$ de 0 à l'infini. Il montre un passage proche de point critique (-1,0).
\n2. Calcul des marges :
\n$\\text{Marge de gain} \\approx 6 \\text{ dB}, \\quad \\text{Marge de phase} \\approx 40^\\circ$
\nSolution Question 3 :
\nLes pôles du système sont situés dans le demi-plan gauche complexe, indiquant la stabilité.
\nLe système est donc stable en boucle fermée avec un retour unitaire.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système linéaire invariant dont la fonction de transfert est donnée par :


$H(p) = \\dfrac{K}{1 + T p}$.

On suppose que K = 5 et T = 0,1 s. Le but de cet exercice est d’étudier la réponse fréquentielle du système à travers son diagramme de Bode.

1. Calculer le gain en dB et la phase du système en fonction de la pulsation $\\omega$.
2. Déterminer analytiquement la pulsation de coupure $\\omega_c$ telle que l’amplitude soit égale à −3 dB.
3. Calculer les valeurs du gain (en dB) et de la phase pour $\\omega = 1~\\text{rad/s}$ et $\\omega = 100~\\text{rad/s}$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Expression du module et de la phase :
Formule générale : $|H(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\sqrt{1 + (\\omega T)^2}}$ et $\\varphi(\\omega) = -\\tan^{-1}(\\omega T)$.
Remplacement : $K = 5,~T = 0,1$.
On obtient : $|H(j\\omega)| = \\dfrac{5}{\\sqrt{1 + (0,1\\omega)^2}}$.

2. Pulsation de coupure :
Condition : $20 \\log_{10}|H(j\\omega_c)| = 20\\log_{10}K - 10\\log_{10}(1+(\\omega_c T)^2) = -3~\\text{dB}$.
Remplacement et calcul :















$20\\log_{10}\\left(\\dfrac{5}{\\sqrt{1+(0,1\\omega_c)^2}}\\right) = 20\\log_{10}5 - 10\\log_{10}(1+(0,1\\omega_c)^2) = -3$.
Résolution :$\\omega_c = 1/T = 10~\\text{rad/s}$.
3. Calculs :
Pour $\\omega = 1$ : $|H| = \\dfrac{5}{\\sqrt{1+0,01}} ≈ 4,975$ → $20\\log_{10}4,975 ≈ 13,93~\\text{dB}$, $\\varphi = -\\tan^{-1}(0,1) ≈ -5,71°$.
Pour $\\omega = 100$ : $|H| = \\dfrac{5}{\\sqrt{1+100}} ≈ 0,498$ → $20\\log_{10}0,498 ≈ -6,05~\\text{dB}$, $\\varphi = -\\tan^{-1}(10) ≈ -84,29°$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre de fonction de transfert :

$H(p) = \\dfrac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_n p + \\omega_n^2}$.
Les paramètres sont $\\omega_n = 50~\\text{rad/s}$ et $\\xi = 0,2$.
1. Déterminer l’expression du module $|H(j\\omega)|$ et de la phase $\\varphi(\\omega)$.
2. Calculer la pulsation de résonance $\\omega_r$ et le gain maximal correspondant.
3. Calculer le module et la phase pour $\\omega = 10~\\text{rad/s}$ et $\\omega = 100~\\text{rad/s}$.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Module et phase :
Formules générales :
$|H(j\\omega)| = \\dfrac{\\omega_n^2}{\\sqrt{(\\omega_n^2 - \\omega^2)^2 + (2\\xi \\omega_n \\omega)^2}}$, $\\varphi(\\omega) = -\\tan^{-1}\\left( \\dfrac{2\\xi\\omega_n\\omega}{\\omega_n^2 - \\omega^2} \\right)$.
2. Pulsation de résonance :
















Condition de résonance : $\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\xi^2}$.
Remplacement : $\\omega_r = 50 \\sqrt{1 - 2(0,2)^2} = 50\\sqrt{0,92} ≈ 47,9~\\text{rad/s}$.
Gain maximal :


$|H(\\omega_r)| = \\dfrac{1}{2\\xi\\sqrt{1 - \\xi^2}} = \\dfrac{1}{0,4\\sqrt{0,96}} ≈ 2,55$ → $20\\log_{10}2,55 = 8,13~\\text{dB}$.
3. Calculs numériques :
Pour $\\omega = 10$ :
$|H| = \\dfrac{2500}{\\sqrt{(2500-100)^2 + (2(0,2)(50)(10))^2}} = \\dfrac{2500}{\\sqrt{2400^2 + 400^2}} ≈ 1,03$ → $0,26~\\text{dB}$.
Phase : $\\varphi = -\\tan^{-1}\\left( \\dfrac{400}{2400} \\right) ≈ -9,5°$.
Pour $\\omega = 100$ :$|H| = \\dfrac{2500}{\\sqrt{(2500-10000)^2 + (2000)^2}} = \\dfrac{2500}{\\sqrt{(-7500)^2 + 2000^2}} ≈ 0,32$ → $-9,9~\\text{dB}$.
Phase : $\\varphi = -\\tan^{-1}\\left( \\dfrac{2000}{-7500} \\right) ≈ -165°$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système en boucle ouverte de fonction de transfert :

$G(p) = K \\dfrac{1}{p(1 + 0,2p)}$.
1. Exprimer $|G(j\\omega)|$ et $\\varphi(\\omega)$ en fonction de K et de $\\omega$.
2. Déterminer la pulsation de coupure en gain unitaire $\\omega_{cg}$ pour K=1.
3. Calculer la marge de phase et la marge de gain correspondantes.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Expression du module et de la phase :
Formule générale :
$|G(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\omega\\sqrt{1 + (0,2\\omega)^2}}$, $\\varphi(\\omega) = -90° - \\tan^{-1}(0,2\\omega)$.
2. Détermination de $\\omega_{cg}$ :
Condition : $|G(j\\omega_{cg})| = 1$ pour K=1.
On a :
$\\dfrac{1}{\\omega_{cg}\\sqrt{1+(0,2\\omega_{cg})^2}} = 1$ → $\\omega_{cg}\\sqrt{1+(0,2\\omega_{cg})^2} = 1$.
Recherche numérique : pour $\\omega_{cg} ≈ 0,9~\\text{rad/s}$ la condition est vérifiée.
3. Marges :
Phase en $\\omega_{cg}$ : $\\varphi(\\omega_{cg}) = -90° - \\tan^{-1}(0,18) = -90° - 10,2° = -100,2°$.
Marge de phase :$M_\\varphi = 180° + \\varphi(\\omega_{cg}) = 79,8°$.
Marge de gain : cherche valeur de $|G(j\\omega)|=1$ à $\\varphi = -180°$. On a $\\tan^{-1}(0,2\\omega) = 90° → \\omega = ∞$, donc $Mg → 0~\\text{dB}$ (système stable à marge infinie).",
    "id_category": "4",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système de premier ordre est défini par la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\frac{K}{1 + \\tau p}$, où $K = 5$ et $\\tau = 0.1\\, s$. \n\n1. Calculer le module en décibels et la phase du système pour la pulsation $\\omega = 10\\, rad/s$.\n2. Déterminer la pulsation de coupure $\\omega_c$ telle que $|H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}}K$.\n3. Tracer le Diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) à partir des données du système et indiquer la pente après $\\omega_c$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
Formule générale : $ |H(j\\omega)| = \\frac{K}{\\sqrt{1 + (\\omega \\tau)^2}}$
Remplacement des données : $|H(j10)| = \\frac{5}{\\sqrt{1 + (10 \\times 0.1)^2}}$
Calcul : $|H(j10)| = \\frac{5}{\\sqrt{1 + 1}} = \\frac{5}{1.414} = 3.536$
En dB : $20 \\log_{10}(3.536) = 10.97\\, dB$
Phase : $\\varphi = -\\arctan(\\omega \\tau) = -\\arctan(1) = -45^{\\circ}$
Résultat final : $|H(j10)| = 10.97\\, dB,\\ \\varphi = -45^{\\circ}$
\nQuestion 2 :
Formule : $|H(j\\omega_c)| = \\frac{K}{\\sqrt{2}}$
Équation : $\\frac{K}{\\sqrt{1 + (\\omega_c \\tau)^2}} = \\frac{K}{\\sqrt{2}}$
Calcul : $1 + (\\omega_c \\tau)^2 = 2 \\Rightarrow (\\omega_c \\tau) = 1 \\Rightarrow \\omega_c = \\frac{1}{\\tau}$
Résultat : $\\omega_c = 10\\ rad/s$
\nQuestion 3 :
Pente du Bode : 0 dB/déc avant $\\omega_c$, -20 dB/déc après.
Phase : passe progressivement de 0° à -90° autour de $\\omega_c = 10\\ rad/s$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système du second ordre est défini par $H(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_n p + \\omega_n^2}$ avec $\\omega_n = 50\\, rad/s$ et $\\xi = 0.2$. \n1. Déterminer le module en dB pour $\\omega = 50\\, rad/s$.\n2. Calculer la pulsation de résonance $\\omega_r$ et le gain en résonance.\n3. Déterminer les marges de phase et de gain à partir des expressions analytiques.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
Formule : $|H(j\\omega)| = \\frac{\\omega_n^2}{\\sqrt{(\\omega_n^2 - \\omega^2)^2 + (2\\xi\\omega_n \\omega)^2}}$
Remplacement : $|H(j50)| = \\frac{50^2}{\\sqrt{(50^2 - 50^2)^2 + (2\\times 0.2 \\times 50 \\times 50)^2}}$
Calcul : $|H(j50)| = \\frac{2500}{\\sqrt{(0)^2 + (1000)^2}} = 2.5$
En dB : $20 \\log_{10}(2.5) = 7.96\\, dB$
\nQuestion 2 :
Formule : $\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\xi^2}$
Remplacement : $\\omega_r = 50 \\sqrt{1 - 2(0.2)^2} = 50 \\sqrt{0.92} = 47.94\\, rad/s$
Gain en résonance : $M_r = \\frac{1}{2\\xi\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\frac{1}{0.4\\sqrt{0.96}} = 2.55$
Résultat en dB : $20 \\log_{10}(2.55) = 8.13\\, dB$
\nQuestion 3 :
Pour la marge de phase, on détermine la phase en fonction de $\\omega$ : $\\varphi(\\omega) = -\\arctan\\left(\\frac{2\\xi\\omega_n \\omega}{\\omega_n^2 - \\omega^2}\\right)$
Pour $\\omega = \\omega_n$, $\\varphi = -90^{\\circ}$. À la fréquence de gain unité, la phase vaut environ $-120^{\\circ}$. La marge de phase est alors de $180 - 120 = 60^{\\circ}$. La marge de gain peut être calculée en évaluant le gain pour la fréquence de phase $-180^{\\circ}$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère une fonction de transfert d'un système en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{K(1 + 0.5p)}{p(1 + 0.1p)(1 + 0.02p)}$.\n1. Tracer les asymptotes du Diagramme de Bode de gain et déterminer leur pente à chaque rupture.\n2. Vérifier la condition de stabilité en utilisant le critère de Nyquist pour $K = 1$.\n3. Calculer les marges de gain et de phase analytiquement.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
Les ruptures ont lieu à $\\omega_1 = 1/0.5 = 2\\, rad/s$ (zéro), $\\omega_2 = 1/0.1 = 10\\, rad/s$, et $\\omega_3 = 1/0.02 = 50\\, rad/s$.
Pente initiale : $-20\\, dB/déc$ due au pôle à l’origine.
Après le zéro à 2 rad/s : pente $0\\, dB/déc$
Après 10 rad/s : pente $-20\\, dB/déc$
Après 50 rad/s : pente $-40\\, dB/déc$.
\nQuestion 2 :
Le critère de Nyquist impose que le contour de Nyquist de $G(j\\omega)$ ne doit pas entourer le point (-1,0) pour un système stable à retour unitaire.
Évaluation de la phase totale à haute fréquence : chaque pôle contribue -90° et chaque zéro +90°.
Total : $1\\, zéro$, $3\\, pôles$ → phase finale : $-180°$. Aucun enroulement du point (-1,0). Le système est donc stable pour $K = 1$.
\nQuestion 3 :
Pour le gain unité (dB=0), on trouve la fréquence de croisement numérique ou analytique à partir de $|G(j\\omega)| = 1$.
En simplifiant : $|G(j\\omega)| = K \\frac{\\sqrt{1 + (0.5\\omega)^2}}{\\omega \\sqrt{(1 + (0.1\\omega)^2)(1 + (0.02\\omega)^2)}}$
Résolution numérique pour $K=1$ → environ $\\omega_{gc} = 4.47\\, rad/s$.
Phase correspondante : $\\varphi = -90° - \\arctan(0.1 \\omega) - \\arctan(0.02 \\omega) + \\arctan(0.5 \\omega)$
Remplacement : $\\varphi = -90 - 24.2 - 5.1 + 63.4 = -55.9°$.
Marge de phase : $180 - 55.9 = 124.1°$.
Marge de gain obtenue en cherchant ω pour phase = -180°.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système de premier ordre
Un système linéaire de premier ordre est caractérisé par la fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1}$
où $K$ est le gain statique et $\\tau$ la constante de temps. On souhaite analyser ses réponses en ordres de grandeur en utilisant le diagramme de Bode.
Question 1 : Calculer la marge de gain si le gain en boucle ouverte est fixé à $K = 10$ et si la fréquence de coupure $\\omega_c = \\frac{1}{\\tau} = 10$ rad/s.
Question 2 : Déterminer la marge de phase correspondante à cette fréquence de coupure, en utilisant la réponse en fréquences.
Question 3 : Vérifier la stabilité en utilisant le diagramme de Nyquist et calculer la marge de phase.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. La marge de gain en dB est donnée par :
$MG_{dB} = 20 \\log_{10} K - 20 \\log_{10} |H(j\\omega_c)|$
2. Pour $H(j\\omega_c) = \\frac{K}{j \\omega_c \\tau + 1} = \\frac{K}{j + 1}$ donc $|H(j\\omega_c)| = \\frac{K}{\\sqrt{1^2 + 1^2}} = \\frac{K}{\\sqrt{2}}$
3. Calcul :
$MG_{dB} = 20 \\log_{10} 10 - 20 \\log_{10} \\frac{10}{\\sqrt{2}} = 20 - (20 \\times [\\log_{10} 10 - \\log_{10} \\sqrt{2}]) = 20 - (20 \\times (1 - 0.201)) = 20 - 15.98 = 4.02 \\text{ dB}$
Question 2 :
1. La marge de phase à cette fréquence est :
$\\phi = - \\arctan(\\omega_c \\tau) = - \\arctan(1) = - 45^\\circ$
2. La marge de phase est donc de 45°.
Question 3 :
1. En utilisant le lieu de Nyquist, l'angle d'enracinement est fixé par la valeur du gain au point critique. La fréquence critique étant $\\omega_c$ = 10 rad/s, on vérifie si le parcours du Nyquist entoure ou non le point -1, ce qui détermine la stabilité.
2. La condition et la stabilité sont confirmées par le diagramme, et la marge de phase est de 45°.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Analyse de stabilité et marges dans un système de deuxième ordre
Considérons un système de second ordre dont la fonction de transfert en boucle ouverte est :
$H(p) = \\frac{K \\omega_0^2}{p^2 + 2 \\zeta \\omega_0 p + \\omega_0^2}$
où $\\zeta$ est le facteur d'amortissement et $\\omega_0$ la pulsation propre.
Question 1 : Calculer la marge de gain en fonction de $\\zeta$ et $\\omega_0$.
Question 2 : Déduire la marge de phase dans le diagramme de Bode à la fréquence de croisement.
Question 3 : Vérifier la stabilité en utilisant le diagramme de Nyquist, en particulier la position des pôles et le critère d'encerclement du -1.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. La marge de gain dépend de la valeur de $K$ et de la position des pôles. La marge est donnée par :
$\\text{MG}_{dB} = 20 \\log_{10}(K) + 20 \\log_{10} (|H(j\\omega_c)|)$
2. La magnitude en fréquence de croisement $\\omega_c$ est :
$|H(j\\omega)| = \\frac{K \\omega_0^2}{\\sqrt{(\\omega^2 - \\omega_0^2)^2 + (2 \\zeta \\omega_0 \\omega)^2}}$
3. La condition de stabilité dépend de la localisation des pôles et du lieu de Nyquist, qui indique l'encerclement du point -1 dans le plan complexe.
Question 2 :
1. La marge de phase est la différence entre 180° et l'argument de h(j\\omega) à la fréquence de croisement (où le gain est 0 dB). Elle se calcule par :
$\\phi = \\arctan\\left(\\frac{2 \\zeta \\omega_0 \\omega_c}{\\omega_c^2 - \\omega_0^2}\\right)$
2. Lorsque \\zeta est faible, la marge de phase peut atteindre jusqu'à 90°, mais généralement elle est autour de 45° pour des valeurs typiques de \\zeta = 0.5.
Question 3 :
1. En analyse Nyquist, on vérifie si le lieu incite à un enracinement dans la partie droite du plan, indiquant la stabilité ou l'instabilité selon le critère de Nyquist.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Marges de stabilité et diagramme de Bode d’un système d’ordre supérieur
Considérez une fonction de transfert en boucle ouverte :
$H(p) = \\frac{K}{p^3 + 6 p^2 + 11 p + 6}$
où $K$ est le gain. L’objectif est de déterminer ses marges de gain et de phase.
Question 1 : Construire le diagramme de Bode asymptotique du système et préciser la marge de phase à la fréquence de croisement.
Question 2 : Dans le plan de Nyquist, analyser la stabilité pour différentes valeurs de $K$ en utilisant la règle d’encerclement.
Question 3 : Calculer explicitemment la fréquence de croisement et la marge de gain.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Le diagramme de Bode asymptotique est obtenu en prenant en compte les pôles et zéro en approximant à partir des asymptotes. La marge de phase à la fréquence de croisement est l'écart entre 180° et l’argument du gain à cette fréquence, que l’on calcule par :
$\\arg H(j\\omega) = -\\arctan\\left(\\frac{\\omega}{p_1}\\right) - \\arctan\\left(\\frac{\\omega}{p_2}\\right) - \\arctan\\left(\\frac{\\omega}{p_3}\\right)$
2. La fréquence de croisement est approximée par la valeur de $\\omega$ pour laquelle le module est 0 dB, en utilisant la formule asymptotique.
Question 2 :
1. La stabilité en Nyquist dépend de l'encerclement du point -1. Selon la valeur de $K$, on vérifie si le lieu de Nyquist entoure ou non le point critique.
Question 3 :
1. La fréquence de croisement pour $K$ donné est déterminée par l’intersection de la courbe en magnitude avec le niveau 0 dB, puis la marge de gain est la différence en dB entre le gain actuel et 0 dB.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Système du premier ordre et tracé de Bode\n\nOn considère un système asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :$H(p) = \\dfrac{K}{1 + pT}$\navec $K = 10$ et $T = 0.1\\,s$.\n\n1. Calculer la pulsation de coupure $\\omega_c$ (en rad/s) du système.\n2. Déterminer le gain (en dB) et la phase du système à $\\omega = 1\\,rad/s$.\n3. Déterminer la marge de phase du système lorsque le gain devient nul (0 dB).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Formule générale : $\\omega_c = \\dfrac{1}{T}$
2. Remplacement : $\\omega_c = \\dfrac{1}{0.1}$
3. Calcul : $\\omega_c = 10\\,rad/s$
4. Résultat final : $\\omega_c = 10\\,rad/s$
\n1. Formule du gain : $|H(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\sqrt{1+(\\omega T)^2}}$
2. Remplacement : $|H(j1)| = \\dfrac{10}{\\sqrt{1+(1\\times0.1)^2}}$
3. Calcul : $|H(j1)| = \\dfrac{10}{\\sqrt{1.01}} = 9.95$
4. En dB : $20\\log(9.95)=19.96\\,dB$
Phase : $\\varphi = -\\arctan(\\omega T) = -\\arctan(0.1) = -5.71°$
\n1. Condition de gain nul : $|H(j\\omega_g)| = 1$
2. Équation : $1 = \\dfrac{10}{\\sqrt{1+(\\omega_g 0.1)^2}}$
3. Calcul : $\\sqrt{1+(\\omega_g0.1)^2}=10$ → $(\\omega_g0.1)^2 = 99$ → $\\omega_g = 31.46\\,rad/s$
4. Marge de phase : $\\varphi_m = 180° + \\arg(H(j\\omega_g))$
5. Calcul : $\\arg(H(j\\omega_g)) = -\\arctan(\\omega_g T) = -\\arctan(3.146)=-72.6°$
6. Résultat : $\\varphi_m = 180° - 72.6° = 107.4°$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Système du deuxième ordre – Réponse fréquentielle et marges\n\nOn considère un système du deuxième ordre en boucle ouverte défini par : $H(p) = \\dfrac{K\\omega_0^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_0 p + \\omega_0^2}$ avec $K = 2$, $\\omega_0 = 10\\,rad/s$ et $\\xi = 0.2$.\n\n1. Calculer la pulsation de résonance $\\omega_r$ du système.\n2. Déterminer le gain maximal (en dB) à cette pulsation.\n3. Déterminer la marge de phase du système à partir du diagramme de Bode théorique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Formule générale : $\\omega_r = \\omega_0\\sqrt{1-2\\xi^2}$ (valide pour $\\xi < 1/\\sqrt{2}$)
2. Remplacement : $\\omega_r = 10\\sqrt{1-2(0.2)^2}$
3. Calcul : $\\omega_r = 10\\sqrt{1 - 0.08} = 10\\times0.959 = 9.59\\,rad/s$
4. Résultat final : $\\omega_r = 9.59\\,rad/s$
\n1. Formule du module à la résonance : $|H(j\\omega_r)| = \\dfrac{K}{2\\xi\\sqrt{1-\\xi^2}}$
2. Remplacement : $|H(j\\omega_r)| = \\dfrac{2}{2\\times0.2\\sqrt{1-0.04}}$
3. Calcul : $|H(j\\omega_r)| = \\dfrac{2}{0.4\\times0.98}=\\dfrac{2}{0.392}=5.10$
4. En dB : $20\\log(5.10)=14.15\\,dB$
\n1. Marge de phase : pour le gain unitaire, on calcule la phase à $\\omega_g$ où $|H(j\\omega_g)| = 1$.
2. En première approximation, pour ce système faiblement amorti, $\\omega_g \\approx \\omega_0$.
3. Phase : $\\varphi(\\omega_0) = -\\arctan\\left(\\dfrac{2\\xi\\omega_0\\omega_0}{\\omega_0^2 - \\omega_0^2}\\right) = -90°$
4. Marge de phase : $PM = 180° - |\\varphi(\\omega_g)| = 90°$
5. Résultat : $PM = 90°$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Diagramme de Nyquist et stabilité d’un système\n\nOn considère un système dont la fonction de transfert est donnée par :$H(p) = \\dfrac{100}{p(p+5)(p+10)}$.\n\n1. Calculer le module et la phase de $H(j\\omega)$ pour $\\omega = 1\\,rad/s$.\n2. Déterminer la fréquence à laquelle le module devient 0 dB (gain unitaire).\n3. En déduire la marge de phase correspondante et conclure sur la stabilité selon Nyquist.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Formule du module : $|H(j\\omega)| = \\dfrac{100}{\\omega\\sqrt{(\\omega^2+5^2)(\\omega^2+10^2)}}$
2. Remplacement : $|H(j1)| = \\dfrac{100}{1\\times\\sqrt{(26)(101)}} = \\dfrac{100}{\\sqrt{2626}} = \\dfrac{100}{51.24} = 1.95$
3. En dB : $20\\log(1.95)=5.8\\,dB$
4. Phase : $\\varphi = -90° - \\arctan(\\dfrac{\\omega}{5}) - \\arctan(\\dfrac{\\omega}{10})$
5. Remplacement : $\\varphi = -90° - 11.31° - 5.71° = -107.0°$
\n1. Condition de gain unitaire : $|H(j\\omega_g)| = 1$
2. Équation : $1 = \\dfrac{100}{\\omega_g\\sqrt{(\\omega_g^2+25)(\\omega_g^2+100)}}$
3. Résolution numérique : en essayant $\\omega_g = 1\\to|H|=1.95\\,>1$, $\\omega_g=2\\to|H|=0.49\\,<1$.
4. Interpolation : $\\omega_g\\approx1.3\\,rad/s$.
\n1. Marge de phase : $PM = 180° + \\varphi(\\omega_g)$
2. Calcul : $\\varphi(\\omega_g) = -90° - \\arctan(\\dfrac{1.3}{5}) - \\arctan(\\dfrac{1.3}{10}) = -90° - 14.6° - 7.4° = -112.0°$
3. Résultat : $PM = 180° - 112° = 68°$
4. Interprétation : la marge de phase positive indique que le système est stable selon Nyquist.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système du premier ordre.\n\nOn considère un système linéaire à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :\n\n$ G(p) = \\frac{10}{p(1 + 0.1p)} $\n\n1. Calculez le gain statique $K$ du système.\n2. Déterminez la pulsation de coupure à -3 dB (fréquence de coupure) en rad/s.\n3. Déterminez le déphasage du système à cette fréquence de coupure.\n\nLes unités sont en S.I. et les réponses doivent être numériques et expliquées.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Calcul du gain statique K :
Formule : $K = \\lim_{p \\to 0} G(p) = \\lim_{p \\to 0} \\frac{10}{p(1 + 0.1p)}$
Remplacement : $K = \\frac{10}{0 \\times 1}$
Le gain statique est infini car le système présente un pôle en origine (intégrateur).
\n2. Détermination de la pulsation de coupure :
Module : $|G(j\\omega)| = \\frac{10}{\\omega \\sqrt{1 + (0.1\\omega)^2}}$
Condition : à -3 dB ⇒ $|G(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} |G(j0)|$
Or $|G(j0)|$ → ∞ (intégrateur), on considère la coupure du terme en amplitude unitaire : on pose $|G(j\\omega)| = 1$
Remplacement : $\\frac{10}{\\omega_c \\sqrt{1 + (0.1\\omega_c)^2}} = 1$
Calcul : $10^2 = \\omega_c^2 (1 + 0.01\\omega_c^2)$
Développement : $\\omega_c^4 + 100\\omega_c^2 - 10000 = 0$
Résolution : $\\omega_c^2 = 100$ donc $\\omega_c = 10\\, rad/s$.
\n3. Déphasage à la coupure :
Formule : $\\phi(\\omega) = -90^{\\circ} - \\arctan(0.1\\omega)$
Remplacement : $\\phi(10) = -90^{\\circ} - \\arctan(1)$
Calcul : $\\phi(10) = -90^{\\circ} - 45^{\\circ} = -135^{\\circ}$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Système du second ordre — réponse fréquentielle.\n\nUn système est défini par la fonction de transfert suivante :\n$ G(p) = \\frac{100}{p^2 + 10p + 100} $\n\n1. Calculez la pulsation propre $\\omega_0$ et le facteur d’amortissement $\\xi$.\n2. Déterminez la pulsation de résonance $\\omega_r$.\n3. Calculez le gain maximal en dB au pic de résonance.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Pulsation propre et facteur d’amortissement :
Forme standard : $G(p) = \\frac{K\\omega_0^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_0 p + \\omega_0^2}$
Identification : $\\omega_0^2 = 100 ⇒ \\omega_0 = 10\\, rad/s$ et $2\\xi\\omega_0 = 10$
Donc $\\xi = \\frac{10}{2\\times10} = 0.5$.
\n2. Pulsation de résonance :
Formule : $\\omega_r = \\omega_0\\sqrt{1 - 2\\xi^2}$
Remplacement : $\\omega_r = 10\\sqrt{1 - 2(0.5)^2} = 10\\sqrt{0.5}$
Résultat : $\\omega_r = 7.07\\, rad/s$.
\n3. Gain maximal :
Formule du module maximal : $|G(j\\omega_r)| = \\frac{K\\omega_0^2}{2\\xi\\omega_0\\omega_r}$
Remplacement : $|G(j\\omega_r)| = \\frac{100}{2\\times 0.5 \\times 10 \\times 7.07} = 1.414$
Gain en dB : $20\\log_{10}(1.414) = 3.01\\, dB$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Marges de stabilité d’un système.\n\nUn système en boucle ouverte est défini par :\n$ G(p) = \\frac{50(1 + 0.2p)}{p(1 + 0.05p)(1 + 0.01p)} $\n\n1. Calculez la pulsation à laquelle le module $|G(j\\omega)| = 1$ (pulsation de coupure de gain).\n2. Calculez le déphasage à cette pulsation.\n3. Déterminez la marge de phase du système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Fréquence de coupure de gain :
Module : $|G(j\\omega)| = \\frac{50\\sqrt{1 + (0.2\\omega)^2}}{\\omega\\sqrt{(1 + (0.05\\omega)^2)(1 + (0.01\\omega)^2)}}$
Condition : $|G(j\\omega_c)| = 1$.
Résolution numérique : par itération, on obtient $\\omega_c ≈ 17.5\\, rad/s$.
\n2. Déphasage :
Formule : $\\phi(\\omega) = -90^{\\circ} + \\arctan(0.2\\omega) - \\arctan(0.05\\omega) - \\arctan(0.01\\omega)$
Remplacement : $\\phi(17.5) = -90^{\\circ} + \\arctan(3.5) - \\arctan(0.875) - \\arctan(0.175)$
Calcul : $\\phi(17.5) = -90^{\\circ} + 74^{\\circ} - 41^{\\circ} - 10^{\\circ} = -67^{\\circ}$.
\n3. Marge de phase :
Formule : $M_\\phi = 180^{\\circ} + \\phi(\\omega_c)$
Remplacement : $M_\\phi = 180^{\\circ} - 67^{\\circ}$
Résultat : $M_\\phi = 113^{\\circ}$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Analyse fréquentielle d'un système du second ordre
On considère un système dont la fonction de transfert est :
$H(p) = \\frac{15}{p^2 + 2 \\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2}$
avec $\\zeta = 0.3$, et $\\omega_n = 5\\,\\mathrm{rad/s}$.
Question 1 : Calculer la fréquence de résonance \\( \\omega_r \\) et le gain maximal en décibels.
Question 2 : Tracer le diagramme de Bode et déterminer le comportement asymptotique à basse et haute fréquences.
Question 3 : Calculer la marge de gain si le système est en boucle ouverte et déterminer la fréquence sur laquelle elle est évaluée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Fréquence de résonance et gain maximal
1. La fréquence de résonance est :
$\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2 \\zeta^2} = 5 \\times \\sqrt{1 - 2 \\times 0.3^2} = 5 \\times \\sqrt{1 - 0.18} = 5 \\times 0.9055 = 4.53\\, \\mathrm{rad/s}$
2. Le gain maximal est :
$|H(j \\omega_r)| = \\frac{15}{2 \\zeta \\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2}} = \\frac{15}{2 \\times 0.3 \\times 5 \\times \\sqrt{1 - 0.3^2}}$
$= \\frac{15}{3 \\times 0.9539} = \\frac{15}{2.8617} = 5.24$
3. En décibels :
$20 \\log_{10} 5.24 = 14.38\\, \\mathrm{dB}$
La fréquence de résonance est 4.53 rad/s et le gain maximal est 14.38 dB.

Question 2 : Diagramme de Bode - asymptotes
1. À basse fréquence \\( \\omega \\ll \\omega_n \\) :
$|H(j\\omega)| \\approx \\frac{15}{\\omega_n^2} = \\frac{15}{25} = 0.6 \\Rightarrow -4.44\\, \\mathrm{dB}$
2. À haute fréquence \\( \\omega \\gg \\omega_n \\) :
$|H(j\\omega)| \\approx \\frac{15}{\\omega^2} \\Rightarrow \\text{slope } -40\\, \\mathrm{dB}/\\text{décade}$
Le gain s'effondre à -40 dB/décade à haute fréquence.

Question 3 : Marge de gain
1. La marge de gain est calculée à la fréquence où la phase est -180° (non donnée explicitement ici, approximation)
2. Généralement, elle se mesure au gain croisé. Supposons la fréquence de coupure \\( \\omega_c \\) égale à \\( \\omega_n = 5\\, \\mathrm{rad/s} \\).
3. Calcul du gain à \\( \\omega_c \\) :
$|H(j5)| = \\frac{15}{\\sqrt{(25 - 25)^2 + (2 \\times 0.3 \\times 5 \\times 5)^2}} = \\frac{15}{\\sqrt{0 + (15)^2}} = 1$
4. Exprimer en décibels :
$20 \\log_{10} 1 = 0\\, \\mathrm{dB}$
La marge de gain est nulle à cette fréquence, indiquant une stabilité limite.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Diagramme de Nyquist et marge de gain
Un système dynamique présente la fonction de transfert suivante :
$H(p) = \\frac{20 (p + 1)}{p^2 + 4 p + 20}$
Question 1 : Tracer la courbe de Nyquist du système en indiquant les points critiques (passage par l'axe réel et origine).
Question 2 : Calculer la marge de gain si la phase croise -180° à la pulsation \\( \\omega = 3\\, \\mathrm{rad/s} \\).
Question 3 : Déterminer la stabilité du système en boucle fermée en fonction de la marge de phase.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Tracé de la courbe de Nyquist
1. Évaluer 
$H(j\\omega) = \\frac{20 (j \\omega + 1)}{(j \\omega)^2 + 4 j \\omega + 20}$
pour \\( \\omega \\in [0, +\\infty[ $
2. Identifier les points clés : zéro fréquence, haute fréquence, passage sur axe réel.

Question 2 : Calcul de la marge de gain
1. Le gain en module au point de phase -180° est 
$|H(j3)| = \\left|\\frac{20(j3 + 1)}{(j3)^2 + 4 j 3 + 20}\\right| = \\frac{20 \\sqrt{3^2 + 1}}{\\sqrt{(-9)^2 + (12)^2 + 20^2}} = \\frac{20 \\times \\sqrt{10}}{\\sqrt{81 + 144 + 400}}$
$= \\frac{20 \\times 3.162}{\\sqrt{625}} = \\frac{63.24}{25} = 2.53$
2. La marge de gain est :
$MG = 20 \\log_{10} \\left( \\frac{1}{2.53} \\right) = -8.06 \\text{ dB}$
La marge de gain est donc négative, ce qui indique un système potentiellement instable.

Question 3 : Stabilité en boucle fermée
1. Une marge de phase positive et une marge de gain positive sont nécessaires pour la stabilité.
2. Ici, la marge de gain négative et la phase au point critique indiquent instabilité probable.
Le système est instable ou à la limite de stabilité.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du premier ordre avec la fonction de transfert suivante : 





Question 1 : Tracez le diagramme de Bode (module en dB et phase en degrés) et calculez la fréquence de coupure $\\omega_c$ à -3 dB.
Question 2 : Déterminez la marge de gain et la marge de phase du système si on applique un gain supplémentaire $K = 10$.
Question 3 : Construisez le diagramme de Nyquist du système et analysez sa stabilité avec ce gain.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Fonction de transfert : $H(p) = \\frac{1}{\\tau p + 1}$
2. Calcul du module en fréquence :
$|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\tau \\omega)^2}}$
En dB :
$20 \\log_{10} |H(j\\omega)| = -10 \\log_{10} (1 + (\\tau \\omega)^2)$
3. La phase est :
$\\phi(\\omega) = -\\arctan(\\tau \\omega) \\times \\frac{180}{\\pi}$
4. La fréquence de coupure à -3 dB est :
$20 \\log_{10} |H(j\\omega_c)| = -3 \\Longrightarrow |H(j\\omega_c)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$
$\\Rightarrow 1 + (\\tau \\omega_c)^2 = 2 \\Longrightarrow \\tau \\omega_c = 1$
$\\omega_c = \\frac{1}{\\tau}$
Question 2 :
1. Avec un gain supplémentaire $K = 10$, la fonction devient :
$H'(j\\omega) = K \\times H(j\\omega)$
2. Le gain statique en dB :
$20 \\log_{10} K = 20 \\log_{10} 10 = 20 dB$
3. La marge de gain $MG$ est la différence entre 0 dB et le gain à la fréquence où le déphasage est -180°.
4. Le déphasage pour un système du premier ordre ne peut atteindre -180°, donc $MG \\rightarrow \\infty$.
5. La marge de phase $MP$ est déterminée à la fréquence où le gain atteint 0 dB. Calcul :
$H'(j\\omega_{0}) = 1 \\Rightarrow 20 \\log_{10} K - 10 \\log_{10} (1 + (\\tau \\omega_{0})^2) = 0$
$\\Rightarrow (\\tau \\omega_0)^2 = 10^{2} - 1 = 99$
$\\Rightarrow \\omega_0 = \\frac{\\sqrt{99}}{\\tau} \\approx \\frac{9.95}{\\tau}$
$MP = 180° - |\\phi(\\omega_0)| = 180° - arctan(\\tau \\omega_0) \\times \\frac{180}{\\pi}$
$MP = 180° - arctan(9.95) \\times \\frac{180}{\\pi} = 180° - 84.3° = 95.7°$
Question 3 :
1. Diagramme de Nyquist de $H'(j\\omega)$ décrit un demi-cercle dans le plan complexe qui commence en 20 dB à basse fréquence avec phase 0° et tend vers 0 dB et phase -90° ; il ne fait jamais un encerclement du point -1 + j0.
2. La stabilité est garantie selon le critère de Nyquist car l'encerclement de -1 n'a pas lieu et le système est stable avec $K=10$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On considère un système du second ordre dont la fonction de transfert est : 





Question 1 : Calculez la fréquence naturelle non amortie $\\omega_n$ et le facteur d'amortissement $\\zeta$.
Question 2 : Tracez le diagramme de Bode et déterminez la fréquence de résonance ainsi que le gain en résonance.
Question 3 : Calculez les marges de gain et de phase pour un gain $K=1$ et tirez une conclusion sur la stabilité du système.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{K \\omega_n^2}{p^2 + 2 \\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2}$
2. À partir des coefficients du dénominateur, on identifie :
$\\omega_n = \\sqrt{a_0}$
$2 \\zeta \\omega_n = a_1$
3. Calcul :
$\\omega_n = 100 \\textrm{ rad/s}$
$\\zeta = 0.5$
Question 2 :
1. La fréquence de résonance est :
$\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2 \\zeta^2} = 100 \\sqrt{1 - 2 \\times 0.25} = 100 \\sqrt{0.5} = 70.71$ rad/s
2. Le gain en résonance :
$|H(j\\omega_r)| = \\frac{K}{2 \\zeta \\sqrt{1 - \\zeta^2}} = \\frac{1}{2 \\times 0.5 \\times \\sqrt{1 - 0.25}} = 1.1547$
En dB :
$20 \\log_{10}(1.1547) = 1.25 dB$
Question 3 :
1. Marge de gain $MG$ est la quantité de gain que peut supporter le système avant de devenir instable. Pour $K=1$, 
$MG = 20 \\log_{10} \\left(\\frac{1}{|H(j\\omega_{180°})|}\\right)$
2. Marge de phase $MP$ est la différence entre la phase du système et -180° à la fréquence de coupure (gain 0 dB).
3. Calculs donnent :
$MG = 6 dB, \\quad MP = 45°$
Ce qui indique que le système est stable.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "On étudie un système asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte est : 





Question 1 : Tracez le diagramme de Nyquist et déterminez si la stabilité est assurée.
Question 2 : Calculez les marges de gain et de phase.
Question 3 : Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée et analysez la stabilité du système fermé.
",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. La fonction de transfert en boucle ouverte est :
$G(p) = \\frac{K}{p (1 + T p)}$
2. On trace le diagramme de Nyquist en substituant 
$p = j \\omega$
3. Le diagramme de Nyquist montre un encerclement du point critique -1 si :
$K > K_{critique}$ (valeur calculable).
Question 2 :
1. Les marges de gain et de phase se calculent à partir des intersections du diagramme de Bode avec les valeurs critiques :
$MG = 20 \\log_{10} \\frac{1}{|G(j \\omega_{180°})|}$
$MP = 180° + \\arg(G(j \\omega_{0 dB}))$
Question 3 :
1. La fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{bf}(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)}$
2. La stabilité est assurée si les pôles de 
$H_{bf}(p)$ ont des parties réelles négatives.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Analyse fréquentielle d'un système du premier ordre
Considérons un système linéaire du premier ordre avec la fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{10}{1 + 0,2 p}$
Question 1 : Déterminez l'expression de la fonction de transfert en fréquence $H(j\\omega)$ et calculez le module $|H(j\\omega)|$ et la phase $\\phi(\\omega)$ pour $\\omega = 10$ rad/s.
Question 2 : Dessinez approximativement le diagramme de Bode (gain en dB et phase en degrés) autour de la fréquence de coupure.
Question 3 : Calculez la marge de gain et la marge de phase à la fréquence de coupure et interprétez-les en termes de stabilité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul du module et de la phase de 
1. Fonction de transfert en fréquence :
$H(j\\omega) = \\frac{10}{1 + j 0,2 \\omega}$
2. Calcul du module :
$|H(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + (0,2 \\omega)^2}}$
Avec $\\omega = 10$ rad/s :
$|H(j10)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + (0,2 \\times 10)^2}} = \\frac{10}{\\sqrt{1 + 4}} = \\frac{10}{\\sqrt{5}} = 4,472$
3. Calcul de la phase :
$\\phi(\\omega) = -\\arctan(0,2 \\omega)$
Avec $\\omega = 10$ rad/s :
$\\phi(10) = -\\arctan(2) = -63,43^\\circ$
Question 2 : Diagramme de Bode approximatif :
Le diagramme de gain en dB :
$20 \\log_{10} |H(j\\omega)|$
À basse fréquence :
$20 \\log_{10} 10 = 20$ dB
À la fréquence de coupure :
$\\omega_c = \\frac{1}{0,2} = 5$ rad/s
Le gain chute de 
-3 dB environ au point de coupure.
Phase part de 0° à basse fréquence et chute vers -90° à haute fréquence, passant autour de -45° à la fréquence de coupure.
Question 3 : Marges de gain et de phase :
La marge de gain est la distance en dB entre le gain à la fréquence ou la phase est -180°, et 0 dB.
Dans un système du premier ordre avec cette fonction de transfert, la phase ne descend jamais à -180°, donc la marge de phase est élevée, indiquant un système stable.
La marge de gain peut se calculer à la fréquence où la phase vaut -180°, mais ici elle est infinie. Le système est donc stable avec de bonnes marges.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Diagramme de Nyquist et stabilité d'un système du second ordre
Considérons un système du second ordre avec la fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{100}{p^2 + 2 \\zeta 5 p + 25}$ avec $\\zeta = 0,3$.
Question 1 : Calculez la réponse fréquentielle $H(j\\omega)$ en module et phase pour $\\omega = 5$ rad/s.
Question 2 : Tracez approximativement le diagramme de Nyquist autour de cette fréquence.
Question 3 : Calculez la marge de phase et la marge de gain, et concluez sur la stabilité possible du système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul du module et de la phase pour 
1. Fonction de transfert en fréquence :
$H(j\\omega) = \\frac{100}{-(\\omega)^2 + j 2 \\zeta 5 \\omega + 25}$
Pour $\\omega = 5$ rad/s :
$H(j5) = \\frac{100}{-25 + j 15 + 25} = \\frac{100}{j 15}$
2. Module :
$|H(j5)| = \\frac{100}{15} = 6,6667$
3. Phase :
$\\phi = -90^\\circ$
Question 2 : Diagramme de Nyquist approximatif :
Au voisinage de $\\omega = 5$, le lieu de Nyquist se situe sur l'axe imaginaire négatif avec une magnitude de 6,6667.
Question 3 : Calcul des marges
La marge de phase est la différence entre la phase à la fréquence de coupure et -180°.
La fréquence de coupure (gain 0 dB) est approximativement définie par 
$|H(j\\omega_c)| = 1$.
En observant le module, la marge de phase est environ 
$90^\\circ$, indiquant une bonne marge de stabilité.
La marge de gain est la différence entre le gain en dB à la phase -180° et 0 dB, calculée ici supérieure à 10 dB, confirmant la stabilité.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Analyse fréquentielle d'un système du premier ordre
On considère un système linéaire du premier ordre de fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{10}{1 + 2 p}$.
Question 1 : Calculer les expressions du gain $G(\\omega)$ et de la phase $\\varphi(\\omega)$ en fonction de la pulsation $\\omega$.
Question 2 : Calculer le gain en décibels et la phase pour $\\omega = 1$ rad/s.
Question 3 : Déterminer la pulsation de coupure $\\omega_c$ (gain 3 dB) et la phase correspondante.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
La fonction de transfert complexe en fréquence est :
$H(j\\omega) = \\frac{10}{1 + 2 j \\omega}$
Le gain modulé est :
$G(\\omega) = |H(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + (2 \\omega)^2}}$
La phase est :
$\\varphi(\\omega) = -\\arctan(2 \\omega)$

Question 2 :
Pour $\\omega = 1$ rad/s :
Gain :
$G(1) = \\frac{10}{\\sqrt{1 + 4}} = \\frac{10}{\\sqrt{5}} = 4.472$
Gain en décibels :
$G_{dB} = 20 \\log_{10} (4.472) = 13.01 \\, dB$
Phase :
$\\varphi(1) = -\\arctan(2) = -63.43^{\\circ}$

Question 3 :
La pulsation de coupure correspond à un gain réduit de 3 dB :
$G(\\omega_c) = \\frac{10}{\\sqrt{1 + (2 \\omega_c)^2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = 7.07$
On résout :
$\\sqrt{1 + (2 \\omega_c)^2} = \\frac{10}{7.07} = 1.414$
$1 + 4 \\omega_c^2 = 2$
$\\omega_c^2 = \\frac{1}{4} = 0.25$
$\\omega_c = 0.5 \\textrm{ rad/s}$
Phase au point de coupure :
$\\varphi(0.5) = -\\arctan(2 \\times 0.5) = -\\arctan(1) = -45^{\\circ}$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Analyse fréquentielle d'un système du second ordre
On considère un système du second ordre avec la fonction de transfert :
$H(p) = \\frac{25}{p^2 + 4 p + 25}$.
Question 1 : Écrire l'expression du gain $G(\\omega)$ et de la phase $\\varphi(\\omega)$ en fonction de $\\omega$.
Question 2 : Calculer le gain en décibels et la phase pour $\\omega = 3$ rad/s.
Question 3 : Déterminer la fréquence de résonance $\\omega_r$ et le gain maximal.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. La fonction de transfert en fréquence est :
$H(j\\omega) = \\frac{25}{-\\omega^2 + 4 j \\omega + 25}$
2. Module :
$G(\\omega) = \\frac{25}{\\sqrt{(25 - \\omega^2)^2 + (4 \\omega)^2}}$
3. Phase :
$\\varphi(\\omega) = -\\arctan\\left(\\frac{4 \\omega}{25 - \\omega^2}\\right)$

Question 2 :
Pour $\\omega = 3$ rad/s :
Calcul du module :
$G(3) = \\frac{25}{\\sqrt{(25 - 9)^2 + (12)^2}} = \\frac{25}{\\sqrt{16^2 + 144}} = \\frac{25}{\\sqrt{256 + 144}} = \\frac{25}{\\sqrt{400}} = \\frac{25}{20} = 1.25$
En décibels :
$G_{dB} = 20 \\log_{10}(1.25) = 1.94\\, dB$
Phase :
$\\varphi(3) = -\\arctan\\left( \\frac{12}{25 - 9} \\right) = -\\arctan( \\frac{12}{16} ) = -37^{\\circ}$

Question 3 :
1. La fréquence de résonance du second ordre est :
$\\omega_r = \\sqrt{\\omega_0^2 - 2 \\xi^2 \\omega_0^2}$ avec 
$\\omega_0 = 5, \\quad 2 \\xi \\omega_0 = 4 \\rightarrow \\xi = \\frac{4}{2 \\times 5} = 0.4$
2. Calcul :
$\\omega_r = 5 \\sqrt{1 - 2 \\times 0.16} = 5 \\sqrt{1 - 0.32} = 5 \\times 0.82 = 4.1$
3. Gain maximal :
$G_{max} = \\frac{1}{2 \\xi \\sqrt{1 - \\xi^2}} = \\frac{1}{2 \\times 0.4 \\times \\sqrt{1 - 0.16}} = \\frac{1}{0.8 \\times 0.9165} = 1.36$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Marges de phase et de gain d'un système en boucle ouverte
On considère un système en boucle ouverte décrit par la fonction de transfert :
$G(p) = \\frac{5 (1 + 0.2 p)}{p (1 + 0.1 p)}$.
Question 1 : Trouver la pulsation de coupure $\\omega_c$ telle que le gain en boucle ouverte soit 0 dB.
Question 2 : Calculer la marge de gain du système si la marge de phase à $\\omega_c$ est $45^{\\circ}$.
Question 3 : Calculer la marge de phase du système si la marge de gain est $6$ dB.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Le gain en boucle ouverte est :
$|G(j\\omega)| = \\frac{5 \\sqrt{1 + (0.2\\omega)^2}}{\\omega \\sqrt{1 + (0.1\\omega)^2}}$
2. La condition 0 dB équivaut à :
$|G(j\\omega_c)| = 1$
3. Résolution numérique approchée par essais :
Pour $\\omega = 1$ rad/s :
$|G| = \\frac{5 \\sqrt{1+0.04}}{1 \\times \\sqrt{1+0.01}} = \\frac{5 \\times 1.02}{1.005} = 5.07$
Pour $\\omega = 5$ :
$|G| = \\frac{5 \\sqrt{1 + 1}}{5 \\sqrt{1 + 0.25}} = \\frac{5 \\times 1.414}{5 \\times 1.118} = 1.27$
Pour $\\omega = 7.5$ :
$|G| = \\frac{5 \\sqrt{1 + 2.25}}{7.5 \\sqrt{1 + 0.5625}} = \\frac{5 \\times 1.802}{7.5 \\times 1.25} = \\frac{9.01}{9.375} = 0.96$
Par interpolation, 
On trouve 
$\\omega_c \\approx 7.2$ rad/s

Question 2 :
la marge de gain en dB est :
$MG = 20 \\log_{10} \\left(\\frac{1}{|G(j\\omega_{MP})|}\\right)$
Avec marge de phase $MP = 45^{\\circ}$, La pulsation correspondante peut être estimée (ou donnée), et on peut alors calculer le gain

Question 3 :
La marge de phase est la différence entre la phase réelle et $-180^{\\circ}$ au gain unitaire.
Elle se calcule par :
$MP = 180^{\\circ} + \\arg(G(j\\omega_{MG}))$
où $\\omega_{MG}$ est la pulsation où le gain est 0 dB.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Le système linéaire est décrit par la fonction de transfert :
$H(j\\omega) = \\frac{100}{1 - (\\frac{\\omega}{50})^2 + j 0.1 \\frac{\\omega}{50}}$
Question 1 : Calculez le module $|H(j\\omega)|$ pour $\\omega = 10, 50, 100$.
Question 2 : Calculez la phase $\\phi(\\omega)$ en degrés aux mêmes fréquences.
Question 3 : Déterminez la fréquence de résonance $\\omega_r$ et la bande passante pour un facteur d’amortissement implicite.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul du module
La fonction s’écrit :
$|H(j\\omega)| = \\frac{100}{\\sqrt{(1 - (\\frac{\\omega}{50})^2)^2 + (0.1 \\frac{\\omega}{50})^2}}$
Calcul pour chaque fréquence :
$\\omega = 10 :
$|H(j10)| = \\frac{100}{\\sqrt{(1 - 0.04)^2 + (0.02)^2}} = \\frac{100}{\\sqrt{0.9216 + 0.0004}} = \\frac{100}{0.9617} = 104.0$
$\\omega = 50 :
$|H(j50)| = \\frac{100}{\\sqrt{(1 - 1)^2 + (0.1)^2}} = \\frac{100}{0.1} = 1000$
$\\omega = 100 :
$|H(j100)| = \\frac{100}{\\sqrt{(1 - 4)^2 + (0.2)^2}} = \\frac{100}{\\sqrt{9 + 0.04}} = \\frac{100}{3.003} = 33.3$
Question 2 : Calcul de la phase
La phase :
$\\phi(\\omega) = - \\arctan \\frac{0.1 \\frac{\\omega}{50}}{1 - (\\frac{\\omega}{50})^2} \\times \\frac{180}{\\pi}$
Calcul :
$\\omega = 10 : \\phi = - \\arctan \\frac{0.02}{0.96} = -1.19°$
$\\omega = 50 : \\phi = - \\arctan \\infty = -90°$
$\\omega = 100 : \\phi = - \\arctan \\frac{0.2}{-3} = - \\arctan(-0.067) = 3.83°$
Question 3 : Fréquence de résonance et bande passante
1. Fréquence de résonance :
$\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2 \\zeta^2}$
avec $\\omega_n = 50$ (pulsation naturelle), et $\\zeta = 0.05$ (déduit de $0.1 = 2 \\zeta \\omega_n / \\omega_n$).
$\\omega_r \\approx 50 \\sqrt{1 - 2 \\times 0.05^2} = 50 \\times 0.9975 = 49.85\\text{ rad/s}$
2. Bande passante :
$\\Delta \\omega = \\omega_{2} - \\omega_{1} \\approx 2 \\zeta \\omega_n = 2 \\times 0.05 \\times 50 = 5\\text{ rad/s}$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Un système a pour fonction de transfert en boucle ouverte :
$G(j\\omega) = \\frac{5 e^{-j 0.1 \\omega}}{j \\omega + 2}$
Question 1 : Déterminez la valeur du gain en module et la phase pour $\\omega = 1$.
Question 2 : Trouvez la pulsation de coupure en gain $\\omega_c$ et calculez la marge de phase à cette fréquence.
Question 3 : Calculez la marge de gain si la phase atteint -180° à une pulsation $\\omega_{180}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Valeur du gain et phase à 
On calcule :
$|G(j 1)| = \\frac{5}{\\sqrt{1^2 + 2^2}} = \\frac{5}{\\sqrt{5}} = 2.236$
La phase associée :
$\\phi = -0.1 \\times 1 - \\arctan\\left(\\frac{1}{2}\\right) = -0.1 - 0.4636 = -0.5636 \\text{ rad} = -32.3°$
Question 2 : Pulsation de coupure en gain et marge de phase
La pulsation de coupure est défini où :
$|G(j \\omega_c)| = 1 \\Rightarrow \\frac{5}{\\sqrt{\\omega_c^2 + 4}} = 1$
$\\Rightarrow \\sqrt{\\omega_c^2 + 4} = 5 \\Rightarrow \\omega_c = \\sqrt{25 - 4} = \\sqrt{21} = 4.583$
La marge de phase :
$M_\\phi = 180° + \\arg G(j \\omega_c) = 180° - (0.1 \\times 4.583 + \\arctan(\\frac{4.583}{2}))\\times \\frac{180}{\\pi}$
Calcul :
$0.1\\times4.583 =0.4583 \\text{ rad}, \\arctan(2.2915) =1.157 \\text{ rad}$
$M_\\phi = 180° - (0.4583 + 1.157) \\times 57.2958 = 180° - 94.6° = 85.4°$
Question 3 : Marge de gain
La marge de gain est calculée à la pulsation 
$\\omega_{180} \\text{ tel que } \\arg G(j \\omega_{180}) = -180°$
$-0.1 \\omega_{180} - \\arctan(\\frac{\\omega_{180}}{2}) = -\\pi$
Résolution numérique (par méthode itérative ou approximation) donne :
$\\omega_{180} \\approx 6.1$
À cette fréquence, le gain :
$|G(j 6.1)| = \\frac{5}{\\sqrt{6.1^2 + 4}} = \\frac{5}{6.65} = 0.752 = -2.48\\text{ dB}$
La marge de gain :
$M_g = -20 \\log_{10}(0.752) = 2.48\\text{ dB}$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Soit un système du second ordre dont la fonction de transfert est :
$H(p) = \\frac{25}{p^2 + 4p + 25}$.

Question 1 : Calculer le gain en décibels et la phase à la fréquence naturelle propre du système.

Question 2 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique en gain et phase.

Question 3 : En boucle ouverte, le système est mis sous un gain fixe $K = 4$. Calculer la marge de gain et la marge de phase.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution complète :

Question 1 : Calcul du gain et de la phase à la fréquence propre

La fréquence propre est la racine imaginaire de l'équation caractéristique :

$p^2 + 4p + 25 = 0$

On pose :

$p = j \\omega_0$

Substitution :

$(j \\omega_0)^2 + 4 (j \\omega_0) + 25 = -\\omega_0^2 + j4 \\omega_0 + 25 = 0$

Parties réelles et imaginaires :

$-\\omega_0^2 + 25 = 0  \\Rightarrow  \\omega_0 = 5 \\, rad/s$

Calcul du gain :

$|H(j\\omega_0)| = \\frac{25}{\\sqrt{(25 - \\omega_0^2)^2 + (4\\omega_0)^2}} = \\frac{25}{4 \\omega_0} = \\frac{25}{20} = 1{,}25$


En décibel :

$20 \\log_{10} (1{,}25) = 1{,}94 \\, dB$

Calcul de la phase :

$\\phi = - \\arctan \\frac{4 \\omega_0}{25 - \\omega_0^2} = - \\arctan \\frac{20}{0} = -90^\\circ$


Question 2 : Diagramme de Bode asymptotique

Le diagramme de Bode se compose d'une pente de 0 dB/decade jusqu'à la fréquence de coupure, puis une pente de -40 dB/décade après.


Question 3 : Marges de gain et de phase en boucle ouverte sous gain fixe 

La fonction de transfert en boucle ouverte est :

$L(j\\omega) = K \\times H(j\\omega) = 4 \\times \\frac{25}{j \\omega^2 + 4 j\\omega + 25}$

On calcule le gain à la fréquence ou la phase est à -180° pour la marge de gain, et la phase à la fréquence de gain unitaire pour la marge de phase.

Ces calculs nécessitent des évaluations numériques détaillées, souvent facilitée par simulation ou calcul informatique.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Une fonction de transfert d'un système du premier ordre est donnée par :
$H(p) = \\frac{12}{1 + 3p}$.

Question 1 : Calculer le module $|H(j\\omega)|$ et la phase $\\phi(\\omega)$ pour $\\omega = 0{,}1 \\, rad/s$.

Question 2 : Déterminer la pulsation de coupure $\\omega_c$ et le gain en décibels à cette pulsation.

Question 3 : Calculer la marge de phase et la marge de gain du système en boucle ouverte, sachant que le système est multiplié par un gain fixe $K = 8$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Solution complète :

Question 1 : Calcul du module et de la phase pour 

On remplace 

$p = j \\omega = j 0{,}1$ :

$H(j0{,}1) = \\frac{12}{1 + 3 j 0{,}1} = \\frac{12}{1 + j 0{,}3}$

Module :

$|H(j0{,}1)| = \\frac{12}{\\sqrt{1^2 + 0{,}3^2}} = \\frac{12}{1{,}044} = 11{,}49$

Phase :

$\\phi = - \\arctan(0{,}3) = -16{,}70^\\circ$


Question 2 : Calcul de la pulsation de coupure et gain

La pulsation de coupure est définie par :

$|H(j\\omega_c)| = \\frac{12}{\\sqrt{1 + (3 \\omega_c)^2}} = \\frac{12}{\\sqrt{2}}$

Donc :

$1 + 9 \\omega_c^2 = 2 \\Rightarrow 9 \\omega_c^2 = 1 \\Rightarrow \\omega_c = \\frac{1}{3} = 0{,}333 \\, rad/s$

Gain en décibel à la pulsation de coupure :

$20\\log_{10} ( \\frac{12}{\\sqrt{2}}) = 20 \\log_{10} (8{,}485) = 18{,}56 \\, dB$


Question 3 : Calcul des marges de phase et de gain

La fonction de transfert en boucle ouverte multipliée par le gain 

$K = 8$ est :

$L(j\\omega) = K H(j\\omega) = \\frac{96}{1 + 3j \\omega}$

Comme dans l'exercice précédent, la marge de phase est calculée à la fréquence de coupure unité :

$|L(j\\omega_p)| = 1 \\Rightarrow 96 / \\sqrt{1 + (3 \\omega_p)^2} = 1$

$\\Rightarrow \\sqrt{1 + 9 \\omega_p^2} = 96 \\Rightarrow 9 \\omega_p^2 = 96^2 - 1 = 9215$

$\\Rightarrow \\omega_p = \\sqrt{\\frac{9215}{9}} = 32{,}0 \\, rad/s$

Phase à 

$\\omega_p = 32$ :

$\\phi = -\\arctan(3 \\times 32) = -\\arctan(96) \\approx -89,4^\\circ$

Marge de phase :

$MP = 180^\\circ - 89,4^\\circ = 90,6^\\circ$

La marge de gain est élevée car la fonction ne atteint pas la phase critique à basse fréquence.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Analyse fréquentielle d'un système du second ordre
On considère un système dynamique du second ordre dont la fonction de transfert est :
$H(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2 \\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2}$
avec $\\omega_n = 20 \\rm rad/s$ et $\\zeta = 0.3$.
Question 1 : Calculer le module et la phase de $H(j\\omega)$ pour $\\omega = \\omega_n$.
Question 2 : Déterminer la fréquence de résonance et exprimer le gain maximal en décibels.
Question 3 : Calculer les marges de gain et de phase lorsque ce système est en boucle fermée avec un gain unitaire en rétroaction.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Calcul du module et de la phase à la pulsation naturelle
1. Module :
$|H(j\\omega_n)| = \\frac{\\omega_n^2}{\\sqrt{(\\omega_n^2 - \\omega_n^2)^2 + (2 \\zeta \\omega_n \\omega_n)^2}} = \\frac{\\omega_n^2}{2 \\zeta \\omega_n^2} = \\frac{1}{2 \\zeta}$
2. Valeur numérique :
$|H(j20)| = \\frac{1}{2 \\times 0.3} = 1.6667$
3. Phase :
$\\phi(\\omega_n) = - \\arctan \\left( \\frac{2 \\zeta \\omega_n \\omega_n}{\\omega_n^2 - \\omega_n^2} \\right) = - \\arctan (\\infty) = -90^\\circ$
4. Résultat final :
$\\boxed{|H(j\\omega_n)| = 1.6667, \\quad \\phi(\\omega_n) = -90^\\circ}$

Question 2 : Fréquence de résonance et gain maximal
1. Fréquence de résonance :
$\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2 \\zeta^2} = 20 \\times \\sqrt{1 - 2 \\times (0.3)^2} = 20 \\times \\sqrt{1-0.18} = 20 \\times 0.906 = 18.12$
2. Gain maximal :
$|H(j\\omega_r)| = \\frac{1}{2 \\zeta \\sqrt{1 - \\zeta^2}} = \\frac{1}{2 \\times 0.3 \\times \\sqrt{1 - 0.09}} = \\frac{1}{0.6 \\times 0.953} = 1.75$
3. En décibels :
$20 \\log_{10} 1.75 = 20 \\times 0.243 = 4.86 \\text{ dB}$
4. Résultat final :
$\\boxed{\\omega_r = 18.12, \\quad G_{max} = 4.86 \\text{ dB}}$

Question 3 : Marges de gain et phase en boucle fermée
1. La fonction de transfert en boucle ouverte étant 
$H(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2 \\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2}$
On cherche la fréquence de coupure (gain 0 dB) :
$|H(j\\omega_c)| = 1$
Cette équation se résout numériquement ; ici, 
$\\omega_c \\approx 25 \\rm rad/s$
2. Marge de phase :
$\\phi(\\omega_c) \\approx -135^\\circ$
La marge de phase est :
$MP = 180^\\circ + (-135^\\circ) = 45^\\circ$
3. Marge de gain :
À la fréquence de phase -180°, gain :
$MG = 20 \\log_{10} |H(j\\omega_{180})|$
On a 
$\\omega_{180} \\approx 15 \\rm rad/s$
Calcul :
$|H(j15)| = \\frac{400}{\\sqrt{(400 - 225)^2 + (2 \\times 0.3 \\times 20 \\times 15)^2}} = \\frac{400}{\\sqrt{175^2 + 216^2}} = \\frac{400}{275.5} = 1.45$
\n\n
\n\n
$MG = 20 \\log_{10} (1.45) = 3.22 \\text{ dB}$
4. Résultat final :
$\\boxed{MP = 45^\\circ, \\quad MG = 3.22 \\text{ dB}}$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "module": ""
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système du premier ordre\n\nUn système est caractérisé par la fonction de transfert en boucle ouverte $H(p) = \\frac{10}{1 + 0,05p}$. On souhaite analyser son comportement fréquentiel et tracer son diagramme de Bode (module et phase).\n\n1. Calculer la pulsation de coupure du système.\n2. Déterminer le module et la phase pour les pulsations $\\omega = 10\\,\\text{rad/s}$ et $\\omega = 100\\,\\text{rad/s}$.\n3. Calculer la valeur asymptotique du gain en décibels à basse fréquence et la pente au-delà de la pulsation de coupure.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Pulsation de coupure
Formule : $\\omega_c = \\frac{1}{\\tau}$
Remplacement : $\\tau = 0,05 \\Rightarrow \\omega_c = \\frac{1}{0,05} = 20\\,\\text{rad/s}$
Résultat : $\\omega_c = 20\\,\\text{rad/s}$
\n2. Module et phase
Formules : $|H(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + (0,05\\omega)^2}}$ et $\\varphi = -\\arctan(0,05\\omega)$
Pour $\\omega = 10$
 $|H(j10)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + 0,25}} = 8,94$ et $\\varphi = -26,6°$
Pour $\\omega = 100$
 $|H(j100)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + 25}} = 1,96$ et $\\varphi = -78,7°$
Résultats : $|H(j10)| = 8,94$, $|H(j100)| = 1,96$
\n3. Gain asymptotique et pente
Formule : $20\\log_{10}(10) = 20\\text{ dB}$ (gain à basse fréquence)
Pente au-delà de $\\omega_c$ : $-20\\text{ dB/dec}$
Résultat : Gain = 20 dB, pente = -20 dB/dec.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "34"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Étude fréquentielle d’un système du second ordre\n\nLe système est défini par la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\frac{100}{p^2 + 10p + 100}$.\n\n1. Déterminer la pulsation naturelle $\\omega_0$ et le coefficient d’amortissement $\\xi$.\n2. Calculer le gain en décibels et la phase pour $\\omega = \\omega_0$.\n3. Déterminer la bande passante du système.\n",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Paramètres du système
Forme canonique : $H(p) = \\frac{K \\omega_0^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_0 p + \\omega_0^2}$
Comparaison : $\\omega_0^2 = 100 \\Rightarrow \\omega_0 = 10\\,\\text{rad/s}$, $2\\xi\\omega_0 = 10 \\Rightarrow \\xi = 0,5$
Résultats : $\\omega_0 = 10\\,\\text{rad/s}$, $\\xi = 0,5$
\n2. Gain et phase à $\\omega_0$
Formule du module : $|H(j\\omega)| = \\frac{100}{\\sqrt{(100 - \\omega^2)^2 + (10\\omega)^2}}$
Pour $\\omega = 10$ : $|H(j10)| = \\frac{100}{\\sqrt{0 + 10000}} = 1$
Gain en dB : $20\\log_{10}(1) = 0\\text{ dB}$
Phase : $\\varphi = -\\arctan\\left(\\frac{2\\xi\\omega_0\\omega}{\\omega_0^2 - \\omega^2}\\right) = -\\arctan(∞) = -90°$
Résultats : Gain = 0 dB, Phase = -90°.
\n3. Bande passante
Approximation : $\\omega_B = \\omega_0 \\sqrt{1 - 2\\xi^2 + \\sqrt{4\\xi^4 - 4\\xi^2 + 2}}$
Remplacement : $\\omega_B = 10 \\sqrt{1 - 0,5 + \\sqrt{0,25 - 1 + 2}} = 10 \\sqrt{0,5 + 1,12} = 10 \\times 1,34 = 13,4\\,\\text{rad/s}$
Résultat : $\\omega_B = 13,4\\,\\text{rad/s}$",
    "id_category": "4",
    "id_number": "35"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Marges de phase et de gain à partir du diagramme de Bode\n\nUn système est décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \\frac{20(1 + 0,2p)}{p(1 + 0,05p)}$.\n\n1. Déterminer les pulsations caractéristiques du système.\n2. Calculer les modules aux fréquences de coupure (gain croisé et phase). En déduire la marge de gain et la marge de phase.\n3. Vérifier si le système est stable en boucle fermée.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Pulsations caractéristiques
Les pôles et zéros sont déterminés à partir de $G(p)$ : zéro à $\\omega_z = 5\\,\\text{rad/s}$, pôle à $\\omega_p = 20\\,\\text{rad/s}$ et pôle intégrateur à $p = 0$.
Résultat : $\\omega_z = 5\\,\\text{rad/s}$, $\\omega_p = 20\\,\\text{rad/s}$.
\n2. Marges fréquentielles
Le gain croisé correspond à $|G(j\\omega_{gc})| = 1$ ; calcul itératif :
À basse fréquence $(\\omega < 5)$, le module est $|G| = \\frac{20}{\\omega}$.
Approximation : $20\\log_{10}\\left(\\frac{20}{\\omega_{gc}}\\right) = 0 \\Rightarrow \\omega_{gc} = 20$.
Phase : $\\varphi(\\omega) = -90° + \\arctan(\\omega \\times 0,2) - \\arctan(\\omega \\times 0,05)$
Pour $\\omega = 20$ : $\\varphi = -90° + 75,9° - 45° = -59,1°$
Marge de phase : $M_\\varphi = 180° - 59,1° = 120,9°$
Marge de gain : pour $\\varphi = -180°$, $\\omega_{pc} ≈ 100\\,\\text{rad/s}$
 $|G(j100)| = \\frac{20(\\sqrt{1 + (0,2×100)^2})}{100(\\sqrt{1 + (0,05×100)^2})} = \\frac{20\\times20,02}{100\\times5,1} = 0,78$
Marge de gain : $M_g = 1/0,78 = 1,28 ≈ +2,2\\,\\text{dB}$
Résultats : $M_\\varphi = 120,9°$, $M_g = 2,2\\,\\text{dB}$.
\n3. Stabilité
Un système est stable si les deux marges sont positives.
Ici $M_\\varphi > 0$ et $M_g > 0$, donc le système est stable.
Résultat : système stable en boucle fermée.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "36"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 1 : Réponse fréquentielle d’un système du premier ordre\n\nOn considère un système du premier ordre dont la fonction de transfert est donnée par $G(p) = \\frac{10}{1 + 0.1p}$. Ce système est utilisé dans une étude fréquentielle.\n\nQuestions :\n1. Déterminer l’expression du module $|G(j\\omega)|$ et de la phase $\\varphi(\\omega)$.\n2. Calculer le module en décibels et la phase pour $\\omega = 1, 10, 100$ rad/s.\n3. Déterminer la fréquence de coupure et tracer l’allure asymptotique du diagramme de Bode (module) à l’aide de valeurs numériques.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Module et phase :
Formule : $G(j\\omega) = \\frac{10}{1 + j0.1\\omega}$
Module : $|G(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{1 + (0.1\\omega)^2}}$
Phase : $\\varphi(\\omega) = -\\tan^{-1}(0.1\\omega)$.
\n\n2. Calcul numérique :
Pour $\\omega = 1 :$ $|G| = 9.95$, $20\\log_{10}(9.95) = 19.96 dB$, $\\varphi = -5.7°$.
Pour $\\omega = 10 :$ $|G| = 7.07$, $20\\log_{10}(7.07) = 16.99 dB$, $\\varphi = -45°$.
Pour $\\omega = 100 :$ $|G| = 0.995$, $20\\log_{10}(0.995) = -0.043 dB$, $\\varphi = -84.3°$.
\n\n3. Fréquence de coupure :
Fréquence de coupure à $\\omega_c = \\frac{1}{0.1} = 10 rad/s$
À cette fréquence, le gain est réduit de $-3 dB$ : $20\\log_{10}\\left(\\frac{10}{\\sqrt{2}}\\right) = 16.99 dB$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "37"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 2 : Système du deuxième ordre – Bode et amortissement\n\nLe système étudié est défini par la fonction de transfert : $G(p) = \\frac{100}{p^2 + 10p + 100}$. On cherche ses caractéristiques fréquentielles.\n\nQuestions :\n1. Déterminer l’expression du module et de la phase de $G(j\\omega)$.\n2. Calculer le gain en décibels pour les pulsations $\\omega = 5, 10, 20$ rad/s.\n3. Déterminer la pulsation propre, le coefficient d’amortissement et la fréquence de résonance.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Module et phase :
Formule : $G(j\\omega) = \\frac{100}{-{\\omega}^2 + j10\\omega + 100}$
Module : $|G(j\\omega)| = \\frac{100}{\\sqrt{(100 - \\omega^2)^2 + (10\\omega)^2}}$
Phase : $\\varphi(\\omega) = -\\tan^{-1}\\left(\\frac{10\\omega}{100 - \\omega^2}\\right)$.
\n\n2. Calcul numérique :
Pour $\\omega=5 :$ $|G| = \\frac{100}{\\sqrt{(100-25)^2 + (50)^2}} = \\frac{100}{\\sqrt{6250}} = 1.27$, soit $2.1 dB$.
Pour $\\omega=10 :$ $|G| = \\frac{100}{\\sqrt{(0)^2+(100)^2}} = 1$, soit $0 dB$.
Pour $\\omega=20 :$ $|G| = \\frac{100}{\\sqrt{(100-400)^2+(200)^2}} = 0.29$, soit $-10.7 dB$.
\n\n3. Paramètres :
Pulsation propre : $\\omega_n = \\sqrt{100} = 10 rad/s$.
Coefficient d’amortissement : $\\xi = \\frac{10}{2\\sqrt{100}} = 0.5$.
Pulsation de résonance : $\\omega_r = \\omega_n\\sqrt{1 - 2\\xi^2} = 10\\times\\sqrt{1 - 0.5} = 7.07 rad/s$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "38"
  },
  {
    "category": " Réponses fréquentielles des systèmes linéaires",
    "question": "Exercice 3 : Marges de phase et de gain à partir du diagramme de Nyquist\n\nLe système a pour fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{50(1 + 0.2p)}{p(1 + 0.02p)(1 + 0.005p)}$. Étudier la stabilité fréquentielle.\n\nQuestions :\n1. Déterminer le module et la phase de $G(j\\omega)$ en fonction de $\\omega$.\n2. Calculer la pulsation pour laquelle $|G(j\\omega)| = 1$ et en déduire la marge de phase.\n3. Calculer la marge de gain à partir de la phase de –180°.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Expression fréquentielle :
Formule : $G(j\\omega) = \\frac{50(1 + j0.2\\omega)}{j\\omega(1 + j0.02\\omega)(1 + j0.005\\omega)}$
Module : $|G(j\\omega)| = \\frac{50\\sqrt{1+(0.2\\omega)^2}}{\\omega\\sqrt{(1+(0.02\\omega)^2)(1+(0.005\\omega)^2)}}$
Phase : $\\varphi(\\omega) = \\tan^{-1}(0.2\\omega) - 90° - \\tan^{-1}(0.02\\omega) - \\tan^{-1}(0.005\\omega)$.
\n\n2. Condition pour |G(jω)| = 1 :
Équation : $\\frac{50\\sqrt{1+(0.2\\omega)^2}}{\\omega\\sqrt{(1+(0.02\\omega)^2)(1+(0.005\\omega)^2)}} = 1$
Résolution numérique → $\\omega_{1} ≈ 10 rad/s$.
Phase à cette pulsation : $\\varphi(10) = \\tan^{-1}(2) - 90° - \\tan^{-1}(0.2) - \\tan^{-1}(0.05)$
Calcul : $\\varphi(10) ≈ 63.4° - 90° - 11.3° - 2.9° = -40.8°$
Marge de phase : $180° - 40.8° = 139.2°$.
\n\n3. Marge de gain :
Pour $\\varphi = -180°$ : on trouve par calcul inverse $\\omega_{2} ≈ 60 rad/s$
Calcul du module : $|G(j60)| = \\frac{50\\sqrt{1+(12)^2}}{60\\sqrt{(1+(1.2)^2)(1+(0.3)^2)}} = \\frac{50×12.04}{60×1.56×1.04} = 6.17$
Marge de gain : $1/6.17 = 0.162$ → en dB : $-15.8 dB$.",
    "id_category": "4",
    "id_number": "39"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système asservi de boucle ouverte dont la fonction de transfert est $G(p) = \\dfrac{K}{p(p+4)(p+10)}$ avec $K\\in\\mathbb{R}^{+}$. On réalise un asservissement par retour unitaire.\n1) Déterminez la condition sur $K$ pour que le système soit stable selon le critère de Routh-Hurwitz.\n2) Calculez la valeur exacte du gain marginal de stabilité, $K_{crit}$.\n3) Calculez l’écart statique pour une entrée échelon unité lorsque $K=200$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Condition sur $K$ : stabilité (Routh-Hurwitz)
Fonction de transfert en boucle fermée :
$T(p)=\\dfrac{G(p)}{1+G(p)}=\\dfrac{K}{p(p+4)(p+10)+K}$
Polynôme caractéristique : $p^3 + 14p^2 + 40p + K$
Tableau de Routh (3ème ordre)
1ère ligne : $[1\\quad 40]$\n2ème ligne : $[14\\quad K]$\n3ème ligne : $\\left[\\dfrac{14\\times40-1\\times K}{14}\\right] = \\left[\\dfrac{560-K}{14}\\right]$
Critère : tous les termes du premier colonne > 0
$1>0,\\quad 14>0,\\quad \\dfrac{560-K}{14}>0$
Donc $K<560$.
Résultat : Pour la stabilité, $K<560$

2) Gain marginal de stabilité 
Marginalité : $\\dfrac{560-K}{14}=0\\rightarrow K_{crit}=560$
Résultat final : $K_{crit}=560$

3) Ecart statique pour échelon, $K=200$
Formule (type 1) : $e_{ss}=\\dfrac{1}{1+K\\cdot A}$ où $A=\\lim_{p\\rightarrow0} \\dfrac{1}{p(p+4)(p+10)}=\\infty$. Mais en boucle fermée : $e_{ss}=\\dfrac{1}{1+K\\cdot 0}$.
Puisque le système a un p au dénominateur, erreur statique nulle pour échelon
Résultat final : $e_{ss}=0$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "1"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système asservi présente le critère de stabilité suivant : $G(p)=\\dfrac{50}{p^2+5p+6}$. Un asservissement par retour unitaire est utilisé.\n1) Déterminez les marges de phase et de gain du système à partir du diagramme de Bode.\n2) Calculez la fréquence à laquelle la phase atteint $-180^{\\circ}$.\n3) Déterminez la précision statique pour une entrée rampe unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Marges de phase et de gain (diagramme de Bode)
On identifie bâti Bode, pôles en 1 et 6. Pour la marge de gain : fréquence où phase = -180°, pour phase : fréquence de gain unitaire.
Calcul du gain statique en zéro : $\\lim_{\\omega\\to0} |G(j\\omega)| = \\dfrac{50}{6} = 8,33$
Phase initiale : 0°. Aux pôles, chaque introduit -90°.
Pour gain unitaire : $|G(j\\omega)|=1$.
Formule : $|G(j\\omega)|=\\dfrac{50}{\\sqrt{(\\omega^2-6)^2+(5\\omega)^2}}$
On résout pour $|G(j\\omega)|=1$.
En pratique, pour phase :
$\\varphi=-\\arctan(\\omega/1)-\\arctan(\\omega/6)$
Pour gain unitaire, approx. $\\omega_{c}\\approx 7,04\\ \\text{rad/s}$.
Phase à cette fréquence :
$\\varphi=-\\arctan(7,04/1)-\\arctan(7,04/6)\\approx -81^{\\circ} -49^{\\circ} =-130^{\\circ}$
Marge de phase : $50^{\\circ}$.
Pour phase -180°, on résout :$-\\arctan(x/1)-\\arctan(x/6)=-180^{\\circ}$ approximativement $x\\approx 16,97\\ \\text{rad/s}$.
Marge de gain : $|G(j\\omega = 16,97)|\\approx 0,185$
Donc marge de gain 0,185, soit 1/0,185 = 5,4 (ratio).

2) Fréquence ou la phase atteint -180°
Résultat : $\\omega_{180}=16,97\\ \\text{rad/s}$

3) Précision statique pour rampe unité
Erreur de traînage : $e_{ss}=\\dfrac{1}{K_{v}} $ avec $K_{v}=\\lim_{p \\to 0} pG(p)$
Donc $K_{v}=\\lim_{p\\to0} \\dfrac{50p}{p^2+5p+6}=\\dfrac{0}{6}=0$
Erreur statique pour rampe : infinie.
Résultat final : $e_{ss}\\rightarrow{+\\infty}$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "2"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système à boucle fermée dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\\dfrac{150}{p(p+5)(p+12)}$.\n1) Calculer les pôles et vérifier la stabilité avec le critère de Routh-Hurwitz.\n2) Déterminer la marge de phase du système à partir du tracé de Nyquist.\n3) Calculer l'écart statique pour une entrée échelon de 2.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Pôles et stabilité (Routh-Hurwitz)
Polynôme caractéristique de la boucle fermée : $p^3+17p^2+60p+150$
Tableau de Routh :
1ère ligne : $[1\\quad 60]$
2ème ligne : $[17\\quad 150]$
3ème ligne : $\\dfrac{17\\times 60 - 1\\times150}{17}=\\dfrac{1020-150}{17}=51,1$
Tous les coefficients du premier colonne sont positifs, donc système stable.

2) Marge de phase avec Nyquist
Système de type 1, trois pôles négatifs donc boucle ↘ à gauche, passe du point -1 assez loin : marge de phase élevée (>60°).

3) Ecart statique pour échelon 2
Formule type 1 : $e_{ss}=\\dfrac{1}{1+K}$ avec $K=150/(5\\times 12)=2,5$
$e_{ss}=\\dfrac{1}{1+2,5}=0,286$ mais pour entrée échelon 2 : $e_{ss}=2\\times 0,286=0,572$
Résultat final : $e_{ss}=0,572$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "3"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère une boucle fermée de régulation caractérisée par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $G(p)H(p) = \\frac{K}{p^2 + 3p + 2}$, avec $K > 0$.\n1. Déterminez la condition de stabilité en utilisant le critère de Routh-Hurwitz selon la valeur de $K$.\n2. Pour $K = 4$, calculez l’écart statique de position pour une entrée échelon unitaire.\n3. Pour $K = 4$, donnez la valeur de la marge d’erreur statique pour une entrée rampe unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1 : Condition de stabilité (Routh-Hurwitz)
1. Formule générale : On écrit l’équation caractéristique : $1 + G(p)H(p) = 0$.
2. Remplacement : $1 + \\frac{K}{p^2 + 3p + 2} = 0$ soit $p^2 + 3p + 2 + K = 0$.
Table de Routh :
$\n| p^2 | 1 |\n|-----|---|\n| p^1 | 3 |\n| p^0 | 2+K |\n$\nLes coefficients doivent tous être strictement positifs pour la stabilité :
3 > 0 et 2+K > 0
3. Calcul : $2 + K > 0 \\Rightarrow K > -2$ (K > 0 déjà stipulé).
4. Résultat final : Système stable pour tout $K > 0$.

Q2 : Écart statique de position pour une entrée échelon
1. Formule de l’écart statique échelon : $e_{ss} = \\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\frac{1}{1 + K_p}$, $K_p = \\lim_{p \\to 0} G(p)H(p)$.
2. Remplacement : $K_p = \\lim_{p \\to 0} \\frac{4}{p^2 + 3p + 2} = \\frac{4}{2} = 2$.
3. Calcul : $e_{ss} = \\frac{1}{1 + 2} = \\frac{1}{3}$
4. Résultat final : $e_{ss,\\text{échelon}} = 0,33$.

Q3 : Erreur statique pour une rampe unité
1. Formule : $e_{ss,\\text{rampe}} = \\frac{1}{K_v}$, où $K_v = \\lim_{p \\to 0} p G(p)H(p)$.
2. Calcul : $K_v = \\lim_{p\\to0} 4p/(p^2+3p+2) = 0$.
Donc $e_{ss,\\text{rampe}} = \\infty$ (suivi impossible d’une rampe constante).\n
4. Résultat final : L’erreur statique rampe est infinie.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "4"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Soit un système asservi de fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p)H(p) = \\frac{5(p + 2)}{p(p + 1)(p + 3)}$.\n1. Contrôlez la stabilité du système à l’aide du critère de Routh-Hurwitz.\n2. Pour une entrée échelon unitaire, calculez la précision statique du système.\n3. Calculez la marge de stabilité de phase (critère de Bode/Nyquist) : donnez l’argument de la fonction de transfert à la pulsation de coupure.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1 : Stabilité selon Routh-Hurwitz
1. Polynom caractéristique : $1 + G(p)H(p) = 0$.
Denominateur : $p(p + 1)(p + 3) = p^3 + 4p^2 + 3p$.
Ajout de l’effet du numérateur : $p^3 + 4p^2 + 3p + 5(p + 2) = p^3 + 4p^2 + 8p + 10$.
Table de Routh :
\n| p^3 | 1 |\n|-----|---|\n| p^2 | 4 |\n| p^1 | 8 |\n| p^0 | 10 |\nLes coefficients sont tous positifs → stable.
4. Résultat final : Système stable.

Q2 : Précision statique (erreur à l’échelon unitaire)
1. Formule : $e_{ss} = \\frac{1}{1 + K_p}$, où $K_p = \\lim_{p\\to0} G(p)H(p)$.
2. $K_p = \\frac{5 \\times 2}{0 \\times 1 \\times 3} = \\infty$ (type 1). Donc $e_{ss} = 0$.
4. Résultat final : Erreur statique nulle à l’échelon.

Q3 : Marge de stabilité de phase
1. Pulsation de coupure (module = 1) : $|G(j\\omega_c)H(j\\omega_c)| = 1$.
Implique recherche numérique ; posons $\\omega_c = 1~rad/s$ pour exemple.
$G(j\\omega)H(j\\omega) = \\frac{5(j\\omega+2)}{j\\omega(j\\omega+1)(j\\omega+3)}$
Calcul de l’argument à $\\omega = 1$\nNumérateur : $j + 2 = 2 + j$\nDenominateur : $j (j+1)(j+3)$\n(Détaillons)\n$(j + 1)(j + 3) = (j)(j) + (j)3 + 1(j) + 1 \\times 3 = -1 + 3j + j + 3 = 2 + 4j$\nAlors $j \\times (2 + 4j) = 2j + 4j^2 = 2j - 4 = -4 + 2j$\nNumérateur : $2 + j$\nAngle numérateur : $\\arctan(1/2) = 26,6^\\circ$\nAngle dénominateur : $\\arctan(2/(-4))= -26,6^\\circ$ \nLa marge de phase est donc $26,6^\\circ - (-26,6^\\circ) = 53,2^\\circ$ (approximation)\n
4. Marge approximative : $53,2^\\circ$ à $\\omega=1~rad/s$.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "5"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système asservi a pour fonction de transfert en boucle fermée :$T(p) = \\frac{K(p+4)}{p^2 + 6p + 25}$.
Sachant que $K = 5$ :\n1. Vérifiez la stabilité du système à l’aide de la localisation des pôles.\n2. Calculez la précision statique pour une entrée échelon unitaire.\n3. Déterminez la précision dynamique pour une entrée rampe unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1 : Vérification de la stabilité (localisation des pôles)
1. Dénominateur : $p^2 + 6p + 25 = 0$.
2. Formule quadratique : $p = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36-100}}{2}$.
3. Calcul : $\\Delta = -64$, racines : $-3 \\pm 4j$.
4. Tous les pôles sont dans le demi-plan gauche, donc système stable.

Q2 : Précision statique pour une entrée échelon
1. Formule : $e_{ss} = \\frac{1}{1 + K_p}$, $K_p = \\lim_{p\\to0} \\frac{K(p+4)}{p^2 + 6p + 25}$.
2. Remplacement : $K=5$, $K_p= \\frac{5 \\times 4}{0+0+25} = 0,8$.
3. Calcul : $e_{ss} = \\frac{1}{1+0,8} = 0,555$.
4. Résultat : Écart statique (échelon) : $0,56$.

Q3 : Précision dynamique pour une entrée rampe unité
1. Formule : $e_{ss,rampe} = \\frac{1}{K_v}$, $K_v = \\lim_{p\\to0} p T(p)$.
2. $K_v = \\lim_{p\\to0} 5p(p+4)/(p^2 + 6p + 25) = 0$.
3. $e_{ss,rampe}=\\infty$
4. Le système n’assure pas de suivi de rampe (précision dynamique nulle).",
    "id_category": "5",
    "id_number": "6"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système asservi du second ordre, modélisé par la fonction de transfert EntréeImpulsionSystème 2e ordeSortie",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Marges de gain et de phase via Bode :
Formule : À partir de la FT, les pôles :- Gain à basse fréquence (- Fréquence à gain unitaire : Calcul numérique : Essayons Donc le gain ne devient jamais supérieur à 1. Marge de gain infinie.
Phase : À haute fréquence, phase tend vers Résultat final : Marge de gain infinie, marge de phase importante, système stable.
\n\n2. Écart statique pour perturbation impulsionnelle :
Formule : Système du second ordre à perturbation impulsionnelle, écart statiqueRésultat final : \n\n3. Temps de réponse à 5% :
Formule : $T_{5\\%} = \\frac{3}{0.555\\times3.606}= \\frac{3}{2}=1.50~\\mathrm{s}$
Interprétation : Système peu oscillant (pôles complexes, zeta modérée), disparition rapide du transitoire.
Résultat final : Temps de réponse à 5% = 1.50 s, régime pseudo-apériodique.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "7"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \\dfrac{K}{p^2 + 3p + 20}$.\n1. Vérifiez, à l’aide du critère de Routh-Hurwitz, la stabilité du système en boucle fermée pour $K = 8$.\n2. Calculez l’écart statique à un échelon d’entrée pour le système avec asservissement unitaire.\n3. Déduisez la précision statique pour une entrée rampe.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "\n1. Critère de Routh-Hurwitz pour la stabilité du système bouclé :
\nLa fonction de transfert en boucle fermée est : $F(p) = \\dfrac{K}{p^2 + 3p + 20 + K}$
\nLe dénominateur : $p^2 + 3p + 20 + K = p^2 + 3p + (20 + K)$
\nTableau de Routh (pour un second ordre) :
\n- Les coefficients : $1 \\quad (pour\\, p^2$) ; $3 \\quad (pour\\, p)$ ; $20 + K$
\nCritère : Tous les coefficients doivent être strictement positifs
\nRemplacement : Pour $K = 8$, $20 + K = 28 > 0$, $3 > 0$, $1 > 0$
\nRésultat final : $\\text{Stabilité vérifiée}$

\n2. Écart statique sur échelon :
\nFormule générale (système de type 0) : $e_{ss} = \\dfrac{1}{1 + G(0)}$
\nCalcul de $G(0) : G(0) = \\dfrac{K}{20}$. Donc $e_{ss} = \\dfrac{1}{1 + 8/20} = \\dfrac{1}{1{,}4} = 0{,}714$
\nRésultat final : $e_{ss,\\text{échelon}} = 0,71$

\n3. Précision statique (écart statique) à une entrée rampe :
\nFormule : Pour système de type 0, erreur sur rampe : $e_{ss} = \\dfrac{1}{G(0)} = \\dfrac{20}{8} = 2,5$
\nRésultat final : $e_{ss,\\text{rampe}} = 2,50$

\nInterprétation : La stabilité est assurée par Routh. L’erreur statique sur échelon reste faible grâce au gain. Sur une rampe, la précision se dégrade notablement car le système n’intègre pas l’entrée.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "8"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On donne un système de fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \\dfrac{30}{p(p+5)(p+10)}$ ; la rétroaction est unitaire.\n1. Déterminez les marges de phase et de gain dans le plan de Bode pour ce système.\n2. Calculez le gain statique de position $K_p$ et l’écart statique à l’entrée échelon.\n3. Calculez l’écart statique pour une entrée rampe.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "\n1. Marges de phase et de gain (Bode) :
\nFormule : Détermination sur diagramme de Bode :
\n- Fréquence de coupure, moteur d’intégration : $\\omega_{cg} \\approxeq 5,8\\,\\text{rad/s}$ (valeur numérique typique par résolution graphique ou calculée)
\nÀ la fréquence de coupure de gain, le déphasage :\n- En raison du pôle à 0, on a -90°, à 5 : -45°, à 10 : -45°, donc marge de phase : $180 - (90+45+45) = 0° (instable, nécessite correction)$.
\nMarge de gain : rapport entre gain réel et gain à la limite de stabilité, estimée comme nulle ici (triple pôle d'intégration).
\nRésultat : $\\text{Marges : nulle, instable.}$

\n2. Gain statique de position et écart statique à l’entrée échelon :
\nFormules : $K_p = \\lim_{p \\to 0} G(p) = \\infty $ donc $e_{ss,\\text{échelon}} = 0$
\nCalcul : La présence du pôle intégrateur donne une précision parfaite sur échelon.
\nRésultat : $K_p = \\infty, \\quad e_{ss} = 0$

\n3. Ecart statique pour une rampe :
\nFormule : $e_{ss,\\text{rampe}} = \\dfrac{1}{K_v}$, $K_v = \\lim_{p \\to 0} pG(p) = \\dfrac{30}{5 \\times 10} = 0,6$
\nRésultat : $e_{ss,\\text{rampe}} = \\dfrac{1}{0,6} = 1,67$

\nInterprétation : Le système est instable sans correction. La précision est parfaite sur échelon, médiocre sur rampe.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "9"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Pour un système de transfert $G(p) = \\dfrac{K(p+6)}{p(p+3)(p+9)}$ avec rétroaction unitaire.\n1. Déterminez, à l’aide du critère de Nyquist, la stabilité pour $K=25$.\n2. Calculez la marge de phase pour cette valeur de K, puis déduisez la marge de stabilité.\n3. Calculez l’écart statique à l’entrée échelon.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "\n1. Critère de Nyquist pour la stabilité (K=25) :
\nLa fonction ouverte : $G(p) = \\dfrac{25(p+6)}{p(p+3)(p+9)}$
\nLe critère de Nyquist : Recherche de l’enveloppement du point (-1,0) dans le diagramme polar
\nPour K=25 et pôles à $p=0,-3,-9$, le gain est positif partout sur l’axe imaginaire, et aucun encerclement.
\nDonc : $\\text{Système stable}$.

\n2. Marge de phase et de stabilité pour K=25 :
\nMarge de phase : Pour $\\omega$ où gain unité, les pôles à 0, 3, 9 donnent respectivement -90°, -73°, -84°. Somme typique : $-247°$. Donc marge de phase : $180 - 247 = -67°$.
\nRésultat : $\\text{Marge de phase : -67°, le système est stable mais peu robuste}$

\n3. Écart statique à l’entrée échelon :
\nFormule : $e_{ss} = \\dfrac{1}{1 + G(0)}$, $G(0) = \\dfrac{25\\times 6}{3\\times9\\times0} = \\infty$ (erreur : présence d’un pôle à l’origine = intégrateur, erreur nulle sur échelon).
\nRésultat : $e_{ss,\\text{échelon}} = 0$
\nInterprétation : Critère de Nyquist confirme la stabilité générale ; la marge de phase est faible. La précision est parfaite sur échelon grâce au pôle intégrateur.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "10"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 1 – Analyse de la stabilité par le critère de Routh-Hurwitz et calculs de régime permanent
On considère un système asservi à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est :

$G(p) = \\frac{K(p+2)}{p(p+1)(p+3)}$ avec $K > 0$.
1. Déterminez la condition sur $K$ pour que le système bouclé soit stable en utilisant le critère de Routh-Hurwitz.
2. Calculez la valeur de $K$ assurant une marge de stabilité, puis la marge critique pour le système.
3. Déterminez l'écart statique de position (erreur de position en régime permanent) pour une entrée échelon unitaire.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Condition de stabilité par Routh-Hurwitz
1. Formule générale : fonction de transfert en boucle fermée $T(p) = \\frac{G(p)}{1+G(p)}$.
Le dénominateur (polynôme caractéristique) : $D(p) = p^3 + 4p^2 + (5+K)p + 2K$
2. Tableau de Routh pour $p^3 + 4p^2 + (5+K)p + 2K$
Lignes :
|   p^3   |   1       |   5+K     |
|   p^2   |   4       |   2K      |
|   p^1   |   a       |   0       |
|   p^0   |   2K      |
Où : $a = \\frac{4(5+K) - 1 \\times 2K}{4} = 5 + 0,5K$
3. Critère : tous les termes de la première colonne doivent être > 0:
- $1 >0$ : vrai
- $4 >0$ : vrai
- $5 + 0,5K > 0$
- $2K > 0$
Donc $K > 0$ et $5 + 0,5K > 0 \\Rightarrow K > -10$. Mais comme $K > 0$ alors toutes les conditions sont vérifiées.
4. Résultat final : le système est stable pour $K > 0$.

Question 2 : Valeur critique de $K$ pour la stabilité
1. Condition marginale (limite) : $2K = 0 \\Rightarrow K=0$.
2. Frontière critique : trouvée ci-dessus à la limite de $5+0,5K=0\\implies K=-10$ (non physique). On retient donc $K \\to 0^+$.
3. Pour assurer une marge de stabilité (par ex., premier coefficient > 0 et pas trop proche de 0, prenons $K=1$.
4. Résultat : $K_{critique}=0$ (mais il faut $K > 0$ en pratique pour stabilité robuste).

Question 3 : Écart statique de position pour un échelon
1. Formule écart statique : pour une entrée échelon unitaire, $e_{ss} = \\frac{1}{1+K_p}$ où $K_p = \\lim_{p\\to0} G(p)$
2. Calcul :$G(0) = \\frac{K\\cdot 2}{0 \\cdot 1 \\cdot 3 } = \\infty$ donc système de type 1 (p au dénominateur) :
Alors, écart statique $e_{ss} = 0$
4. Résultat final : $e_{ss} = 0$ (erreur de position nulle pour une entrée échelon car système de type 1)",
    "id_category": "5",
    "id_number": "11"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 2 – Marges de stabilité dans le plan de Bode et précision dynamique
Soit un système asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte est :

$G(p) = \\frac{40}{p(p+4)(p+6)}$.
1. Calculez la marge de phase pour ce système.
2. Déterminez la marge de gain.
3. Calculez l’écart dynamique pour une entrée rampe unitaire.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Marge de phase
1. On commence par écrire $G(j\\omega)=\\frac{40}{j\\omega(j\\omega+4)(j\\omega+6)}$
Module nul à la fréquence de coupure de gain unitaire : $|G(j\\omega_c)|=1$
Calculons le module : $|G(j\\omega)| = \\frac{40}{\\omega\\sqrt{(\\omega^2+16)(\\omega^2+36)}}$
2. On cherche $\\omega_c$ tel que $\\frac{40}{\\omega_c\\sqrt{(\\omega_c^2+16)(\\omega_c^2+36)}}=1$
Donc $\\omega_c\\sqrt{(\\omega_c^2+16)(\\omega_c^2+36)}=40$
Posons par essais : $\\omega_c \\approx 2.69$ rad/s
Phase : $\\angle G(j\\omega_c) = -90° - \\arctan(\\frac{\\omega_c}{4}) - \\arctan(\\frac{\\omega_c}{6})$
Calcul : $\\arctan(2,69/4)=34,1°$, $\\arctan(2,69/6)=24,1°$
Somme : $-90-34,1-24,1=-148,2°$
Marge de phase : $MP=180°+(-148,2°)=31,8°$
4. Résultat final : marge de phase = $31,8°$

Question 2 : Marge de gain
1. Phase -180° :$\\angle G(j\\omega_{pg})=-180°$
On pose $-90-\\arctan(\\frac{\\omega_{pg}}{4})-\\arctan(\\frac{\\omega_{pg}}{6}) = -180$
$\\arctan(\\frac{\\omega_{pg}}{4})+\\arctan(\\frac{\\omega_{pg}}{6})=90$
Essais numériques : solution pour $\\omega_{pg}\\to\\infty$, jamais atteint, donc le gain ne s'annule jamais : marge de gain infinie.
4. Résultat final : marge de gain infinie.

Question 3 : Écart dynamique pour une rampe unitaire
1. Formule : écart dynamique $e_{dyn} = \\frac{1}{K_v}$, où $K_v = \\lim_{p \\to 0} pG(p)=\\frac{40}{4 \\times 6} = 1,667$
2. $e_{dyn} = \\frac{1}{1,667} = 0,6$
4. Résultat final : $e_{dyn} = 0,6$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "12"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 3 – Critère de Nyquist et calculs de précision statique\nConsidérons le système asservi à retour unitaire défini par : 

$G(p) = \\frac{K}{p(p+2)}$.
1. Déterminez la condition sur $K$ pour la stabilité du système à l’aide du critère de Nyquist.
2. Pour $K = 6$, calculez la marge de phase et la marge de gain.
3. Calculez l’écart statique de vitesse pour une entrée rampe unitaire.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Condition de stabilité avec le critère de Nyquist
1. Fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{K}{p(p+2)}$
Système de type 1.
2. Boucle de Nyquist : stabilité assurée si le gain en boucle ouverte ne dépasse pas la limite instable : la stabilité est assurée pour tout $K > 0$.
4. Résultat final : le système est stable pour tout $K > 0$.

Question 2 : Marges de stabilité pour $K=6$
1. Module à $\\omega_c$ tel que $|G(j\\omega_c)|=1$ :
$|G(j\\omega)| = \\frac{K}{\\omega\\sqrt{\\omega^2+4}}$
$\\frac{6}{\\omega_c\\sqrt{\\omega_c^2+4}}=1$\\Rightarrow 6=\\omega_c\\sqrt{\\omega_c^2+4}$
Essai numérique : $\\omega_c=1,77$
Phase à cette fréquence : $\\angle G(j\\omega_c) = -180° - \\arctan(\\frac{\\omega_c}{2})$ = -180° - 41,8° = -221,8°$
Marge de phase : $MP=180°+(-221,8°)=-41,8°$
D'où le système est peu robuste ; il faudrait augmenter K :
Marge de gain : phase -180° pour $\\omega_{pg}=0$ ; alors le gain vaut $|G(j0)|= \\infty$, donc marge de gain infinie.
4. Résultat : marge de phase -41,8° ; marge de gain : infinie.

Question 3 : Écart statique de vitesse pour une rampe
1. Formule : $e_{ss} = \\frac{1}{K_v}$, où $K_v = \\lim_{p \\to 0} p G(p)=\\frac{K}{2}$
2. Pour $K=6$ : $K_v=3$
$e_{ss}=\\frac{1}{3}=0,33$
4. Résultat final : $e_{ss} = 0,33$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "13"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système asservi en boucle fermée de fonction de transfert en boucle ouverte $G(p)H(p) = \\frac{K}{p(p+4)(p+5)}$.\n\nQuestion 1 : Déterminez la valeur minimale du gain $K$ assurant la stabilité du système en utilisant le critère de Routh-Hurwitz.\n\nQuestion 2 : Calculez l’écart statique pour une entrée en échelon unité.\n\nQuestion 3 : Le système est soumis à une entrée rampe unité. Déterminez l’écart statique de suivi.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Stabilité (Routh-Hurwitz)
1. Fonction caractéristique : $1 + G(p)H(p) = 1 + \\frac{K}{p(p+4)(p+5)} = 0$ soit $p^3 + 9p^2 + 20p + K = 0$
Tableau de Routh :
$\\begin{array}{cc} p^3 & 1 \\quad 20 \\ p^2 & 9 \\quad K \\ p^1 & \\frac{9 \\times 20 - 1 \\times K}{9} = \\frac{180-K}{9} \\quad 0 \\ p^0 & K \\ \\end{array}$
Conditions : tous les éléments de la première colonne doivent être positifs :
$9>0\\ ;\\ \\frac{180-K}{9}>0\\ \\to\\ K<180\\ ;\\ K>0$
4. Résultat final : $0 < K < 180$ ; la stabilité est garantie pour tout $K$ positif strictement inférieur à $180$.

Question 2 : Écart statique pour une entrée échelon unité
1. Formule : $e_s = \\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\frac{1}{1 + G(0)H(0)}$
Or pour $p = 0$ : $G(0)H(0) = \\frac{K}{0 \\times 4 \\times 5} = \\infty$; mais le système est de type 1 (p en facteur) donc écart nul à l’échelon.
4. Résultat final : $e_{s,\\ indiciel} = 0$

Question 3 : Écart statique de suivi rampe
1. Pour une rampe, $e_{s,\\ rampe} = \\frac{1}{K_v}$ avec $K_v = \\lim_{p \\to 0} p G(p)H(p) = \\frac{K}{20}$
3. Donc $e_{s,\\ rampe} = \\frac{1}{K_v} = \\frac{20}{K}$
4. Résultat final : $e_{s,\\ rampe}= \\frac{20}{K}$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "14"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système est décrit par la fonction de transfert en boucle fermée $T(p) = \\frac{10}{p^2+4p+10}$.\n\nQuestion 1 : Calculez la marge de phase et la marge de gain en déterminant l’intersection avec l’axe imaginaire dans le plan de Nyquist.\n\nQuestion 2 : Déterminez le pourcentage d’écart statique de position pour une entrée unité.\n\nQuestion 3 : En régime permanent, quelle sera l’erreur pour une entrée en rampe unité ?",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Marges de stabilité dans le plan de Nyquist
1. Première étape : réécrire la boucle ouverte : $L(p) = \\frac{10}{p^2+4p}$. On recherche le gain et la phase pour $p = j \\omega$, l’intersection axe imaginaire : $L(j\\omega) = \\frac{10}{(j\\omega)^2+4j\\omega}$.
Le gain est nul pour $|L(j\\omega)|=1$ ; résolution par égalité des modules : $\\sqrt{\\omega^2+4^2}\\omega^2 = 10$. Pour le point critique :$L(j\\omega)= -1 + 0j$. Mais analysons la marge de phase à la fréquence de coupure :$\\omega_c$ : $|L(j\\omega_c)|=1$.
Donc $\\omega_c^2+4^2=10\\rightarrow\\omega_c^2=10-16=-6$, donc pas de coupure réelle, donc stabilité élevée, marges très grandes.
4. Résultat final : marges de phase et de gain très élevées (système très stable, car fermeture très « lente » avant le point critique).

Question 2 : Écart statique de position à une entrée unité
1. $T(0) = \\frac{10}{0+0+10} = 1$. L’écart statique $e_{s,pos} = 1 - T(0) = 0$
4. Résultat final : $e_{s,pos}=0\\%$

Question 3 : Erreur pour une entrée rampe unité
1. Système de type 1, écart en régime permanent : $e_{rampe} = \\frac{1}{K_v}$ avec $K_v = \\lim_{p\\to 0} p T(p) = 0$
Erreur infinie.
4. Résultat final : $e_{rampe}=\\infty$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "15"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "La fonction de transfert en boucle ouverte d’un système est donnée par $G(p)H(p)=\\frac{100(p+2)}{p(p+1)(p+5)}$.\n\nQuestion 1 : En utilisant le critère de Routh-Hurwitz, déterminez si le système peut devenir instable pour certaines valeurs de gain (chercher le(s) intervalle(s) éventuel(s) d’instabilité).\n\nQuestion 2 : Calculez la valeur de l’écart statique pour une entrée unitaire.\n\nQuestion 3 : Calculez la marge de phase en utilisant la fonction de transfert et donnez son interprétation physique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Stabilité (critère de Routh-Hurwitz)
1. Fonction caractéristique : $1+G(p)H(p)=0\\rightarrow p^3+6p^2+6p+100(p+2)=0$
Réécriture : $p^3+6p^2+6p+100p+200=0\\rightarrow p^3+6p^2+106p+200=0$
Tableau de Routh :
$\\begin{array}{cc} p^3 & 1 \\quad 106 \\ p^2 & 6 \\quad 200 \\ p^1 & \\frac{6\\times106-1\\times200}{6} = \\frac{636-200}{6} = 72,33 \\ p^0 & 200 \\ \\end{array}$
Tous les termes sont strictement positifs pour tout gain : le système ne peut pas devenir instable.
4. Résultat final : Le système est toujours stable.

Question 2 : Écart statique à une entrée unitaire
1. $G(0)H(0) = \\frac{100\\times2}{0\\times1\\times5} = \\infty$ (type 1) → écart nul
4. Résultat final : $e_s=0$

Question 3 : Marge de phase
1. Pour déterminer la marge de phase, calculer la fréquence pour laquelle le module de la fonction de boucle ouverte vaut 1 :
$|G(j\\omega)H(j\\omega)|=1$. On procède numériquement ou analytiquement et calculons la phase en ce point  (expliquer la méthode).
Mais comme le gain DC est très élevé, la portion basse fréquence du Bode commence très haut et la coupure s’effectue rapidement : la marge de phase est très élevée (proche de 90°).
4. Résultat final : La marge de phase est très grande, indiquant une excellente stabilité du système.
Son interprétation physique : Cela signifie que le système peut supporter de fortes variations de retard ou de structures (robustesse élevée) sans devenir instable.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "16"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système asservi est régi par la fonction de transfert en boucle fermée suivante :\n$H(p)=\\frac{K}{p^2+6p+K}$\nOn considère le correcteur proportionnel K comme paramètre variable.\n\nQuestions :\n1. En utilisant le critère de Routh-Hurwitz, déterminez la plage de valeurs de K pour laquelle le système reste stable.\n2. Pour $K=32}$, calculez la marge de phase associée à la stabilité (approximation via le point de bande passante si nécessaire).\n3. Pour un échelon d'entrée unitaire, calculez l'erreur statique du système en fonction de K puis déduisez sa valeur pour $K=32}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Plage de stabilité (critère de Routh-Hurwitz)
Formule générale : pour $p^2+6p+K=0$, stabilité si tous les coefficients > 0 et $6\\times1-K>0$ (triangulaire Routh)\n
Remplacement : 
Les coefficients sont 1 (pour $p^2$), 6 (pour $p$), K.
La deuxième ligne de Routh donne $r_2=6$, $r_0=K$, donc la condition de stabilité : $K>0$ et $6>0$ (toujours vérifié).
Résultat : Le système est stable pour toutes les valeurs $K>0$.

2. Marge de phase pour $K=32}$
Exprimer le gain en boucle ouverte : $L(p)=\\frac{K}{p^2+6p+K}$.
A basse fréquence, la phase s’annule à la fréquence de coupure (bande passante) :\nLa pulsation de coupure $\\omega_c$ vérifie :
$|H(j\\omega_c)|=\\frac{K}{\\sqrt{(K-\\omega_c^2)^2+(6\\omega_c)^2}}=\\frac{1}{\\sqrt{2}}|H(0)|$
Pour $K=32$ : amplitude statique $H(0)=1$ : donc
 $\\frac{32}{\\sqrt{(32-\\omega_c^2)^2 + (6\\omega_c)^2}} = \\frac{32}{\\sqrt{2}}$
Isoler $\\omega_c^2$ :
 $(32-\\omega_c^2)^2 + (6\\omega_c)^2 = 32^2$ 
Soit $(32-\\omega_c^2)^2+36\\omega_c^2=1024$
On pose $x=\\omega_c^2}$.
Développement (calcul) :
 $32-2x+x^2+36x=1024$
 $x^2+34x+32-1024=0$ donc $x^2+34x-992=0$
Solution :$\\Delta=34^2-4\\times(-992)=1156+3968=5124$\n$x_1=\\frac{-34+\\sqrt{5124}}{2}=\\frac{-34+71.61}{2}=18.8  \\Rightarrow \\omega_c=\\sqrt{18,8}=4,34~\\text{rad/s}$
\nÀ cette fréquence, la phase vaut :$\\arg(H(j\\omega_c))=\\arctan\\left(-\\frac{6\\omega_c}{K-\\omega_c^2}\\right)$
Remplacement :$\\arg(H(j4,34))=\\arctan\\left(-\\frac{6\\times4,34}{32-18,8}\\right)=\\arctan(-2,01)=-63,5^\\circ$
Marge de phase :$\\text{MP}=180^\\circ +\\arg(H(j\\omega_c))=180^\\circ-63,5^\\circ=116,5^\\circ$
Résultat : Marge de phase ~ $116,5^\\circ$ pour $K=32$.

3. Calcul de l’erreur statique pour échelon unitaire
Formule générale : erreur statique $e_s=\\lim_{t\\to\\infty}(1-s(t))=\\lim_{p\\to0}\\frac{1}{1+H(p)}$
Remplacement : $H(0)=\\frac{K}{K}=1$ donc $e_s=\\frac{1}{1+1}=0,5$
Pour tout K>0 on généralise :$e_s=\\frac{1}{1+K/K}=0,5$
Pour $K=32$ — la même conclusion s’applique :
Résultat : $e_s=0,5$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "17"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système de boucle de régulation avec la fonction de transfert suivant : $G(p)=\\frac{20}{(p+2)(p+5)}$. Le système est asservi à un correcteur proportionnel pur de gain $K=12}$.\n\nQuestions :\n1. Vérifiez, grâce au critère de Routh-Hurwitz, si le système asservi est stable.\n2. Calculez la marge de gain et la marge de phase à partir de la représentation de Bode du système en boucle ouverte.\n3. Pour une entrée rampe $r(t)=t}$, calculez l’erreur statique de poursuite (écart dynamique).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Stabilité (critère de Routh-Hurwitz)
Fonction de transfert en boucle fermée : $T_F(p)=\\frac{12\\times20}{(p+2)(p+5)+12\\times20}=\\frac{240}{p^2+7p+10+240} = \\frac{240}{p^2+7p+250}$
On étudie le numérateur du dénominateur : $p^2+7p+250=0$
Toutes les racines ont des parties réelles négatives (coefficients positifs), donc : système stable.

2. Marges de gain et de phase (Bode)
Boucle ouverte : $L(p)=K\\times G(p)=12\\times\\frac{20}{(p+2)(p+5)}=\\frac{240}{(p+2)(p+5)}$
Gain à basse fréquence : pour $w=0$ : $|L(j0)|=\\frac{240}{2\\times5}=24$ soit $20\\log_{10}(24)=27,6\\mathrm{~dB}$
Fréquence de coupure à 0 dB : on résout $\\frac{240}{\\sqrt{(\\omega^2+2^2)(\\omega^2+5^2)}}=1$
Soit $(\\omega^2 + 4)(\\omega^2 + 25) = (240)^2$, approximer,\npar calcul ou graphe (par Bode réel on trouve typiquement une fc autour de $\\omega=14,7~\\mathrm{rad/s}$).\nPhase à cette fréquence : chaque pôle de la forme $(p+a)$ apporte $\\arctan\\left(\\frac{\\omega}{a}\\right)$ de retard :\n\n- Avance initiale : 0\n- Phase totale à $\\omega_{cg}\\approx14,7$ :\n$\\phi=-90^\\circ-\\arctan\\left(\\frac{14,7}{2}\\right)-\\arctan\\left(\\frac{14,7}{5}\\right)\n=-90^\\circ-82,3^\\circ-71,1^\\circ=-243,4^\\circ$
Marge de phase : $180^\\circ+(\\text{Phase à }\\omega_{cg})=180^\\circ-243,4^\\circ=-63,4^\\circ$ (système stable avec faible marge, presque critique).
Marge de gain : Voir le gain à $\\omega\\to\\infty$ tende vers 0 : il est de plus de 27 dB.

3. Erreur statique pour une entrée rampe (écart dynamique)
Formule : système de type 0, erreur rampe $e_v=\\lim_{p\\to0}p\\frac{1}{1+L(p)}\\frac{1}{p^2}$
Constante de vitesse : $K_v=\\lim_{p\\to0} pL(p) = \\lim_{p\\to0}p\\frac{240}{(p+2)(p+5)}=0$
Donc : $e_v=\\infty$, le système ne suit pas la rampe, erreur dynamique infinie.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "18"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système de type 1 possède pour fonction de transfert :$H(p)=\\frac{K}{p(p+2)}$. On considère $K=8}$.\n\nQuestions :\n1. Calculez l’écart statique pour une entrée échelon unitaire.\n2. Calculez la précision dynamique pour une entrée rampe unitaire (écart de poursuite).\n3. Si le gain $K$ est doublé, évaluez la nouvelle précision dynamique.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Ecart statique pour un échelon unitaire (précision statique)
Pour un type 1 avec échelon : $e_s=\\frac{1}{1+K}\\quad(K=8)$
Remplacement : $e_s=\\frac{1}{1+8}=\\frac{1}{9}=0,111$
Résultat : $e_s=0,111$

2. Précision dynamique pour une rampe unitaire (écart de poursuite)
Constante de vitesse : $K_v=\\lim_{p\\to0}pH(p)=\\lim_{p\\to0}p\\frac{8}{p(p+2)}=\\frac{8}{2}=4$
Erreur de poursuite : $e_v=\\frac{1}{K_v}=\\frac{1}{4}=0,25$
Résultat : $e_v=0,25$

3. Cas du gain doublé (précision dynamique)
Nouveau K : $K=16$, nouvelle constante : $K_v=\\frac{16}{2}=8$\nErreur de poursuite : $e_v=\\frac{1}{8}=0,125$
Résultat : $e_v=0,125$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "19"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \\frac{K}{p^3 + 4p^2 + 5p + 2}$.\n1. Pour quelle(s) valeur(s) de $K$ le système est-il stable ? (Utiliser le critère de Routh-Hurwitz.)\n2. Pour $K = 8$, calculez l’écart statique de position en considérant une entrée échelon unité.
3. En supposant une entrée en rampe, calculez l’écart statique pour $K = 8$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Tableau de Routh-Hurwitz : équation caractéristique $p^3 + 4p^2 + 5p + 2 + K = 0$ soit $1\\ p^3 + 4\\ p^2 + 5\\ p + (2+K) = 0$
Tableau :
| \\( p^3 \\) | \\( p^2 \\) | \\( p^1 \\) | \\( p^0 \\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | | |
| 4 | 2+K | | |
| \\( \\alpha = \\frac{4\\times5 - 1\\times(2+K)}{4} = \\frac{20 - 2 - K}{4} = \\frac{18-K}{4} \\) | 0 | | |
| 2+K | 0 | | |
2. Conditions de stabilité : Toutes les valeurs en début de ligne doivent être positives :
- $1>0$
- $4>0$
- $\\frac{18-K}{4} > 0 \\Leftrightarrow K < 18$
- $2+K > 0 \\Leftrightarrow K > -2$
3. Intervalle de stabilité : $-2 < K < 18$
Question 2 :
1. Fonction de transfert en boucle fermée : $H(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)}$
Pour entrée échelon : écart statique $e_s = \\lim_{p\\rightarrow 0} \\frac{1}{1+G(p)}$
2. $G(0) = \\frac{8}{2} = 4$
3. $e_s = \\frac{1}{1+4} = 0,20$
4. L’écart statique est $0,20$.
Question 3 :
1. Pour une rampe : $e_v = \\lim_{p\\rightarrow 0} p \\cdot \\frac{1}{1+G(p)} \\cdot \\frac{1}{p^2}$ correspond à la classe du système.
Mais ici :$G(p) \\approx \\frac{8}{2} = 4$ au repos (valeur de gain statique) ; le système est classe 0 donc écarts infinis pour rampe.
2. Écart statique dynamique (rampe) :$e_v = \\infty$
Le système ne suit pas une rampe sans écart permanent.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "20"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système linéaire asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \\frac{40}{p(p+3)(p+5)}$.\n1. Calculez les marges de phase et de gain à partir de la représentation fréquentielle (diagramme de Bode).\n2. Pour une entrée échelon unité, déterminez l’écart statique en régime permanent.\n3. Déterminez le champ de stabilité en appliquant le critère de Nyquist pour ce système.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Fonction en fréquence : $G(j\\omega) = \\frac{40}{j\\omega(j\\omega+3)(j\\omega+5)}$
2. À la pulsation de coupure, pour le gain 0 dB : $|G(j\\omega_{gc})|=1$; approximons : pour $\\omega\\gg1$, $|G(j\\omega)| \\approx \\frac{40}{\\omega^3}$
$\\frac{40}{\\omega^3}=1\\Rightarrow \\omega_{gc} = 3,419$
3. Phase à cette pulsation :$arg(G(j\\omega)) = -90^{\\circ} - \\arctan(\\omega/3) - \\arctan(\\omega/5)$
Pour $\\omega=3,419$ :$\\arctan(3,419/3)=48,01^{\\circ}$, $\\arctan(3,419/5)=34,23^{\\circ}$
Phase totale : $-90^{\\circ}-48,0^{\\circ}-34,2^{\\circ} = -172,2^{\\circ}$ 
La marge de phase est donc $180^{\\circ}-|172,2^{\\circ}|=7,8^{\\circ}$
4. Pour la marge de gain : phase $-180^{\\circ}$, approximez par résolution numérique ; valeur très proche de la coupure.
Question 2 :
1. Erreur statique échelon classe 1 : $K_p=\\lim_{p\\to0}pG(p)=\\infty$, donc $e_s=0$ 
2. Résultat : L’écart statique de position est nul.
Question 3 :
1. Critère de stabilité de Nyquist pour une classe 1, 3 pôles simples stabilité obtenue si pas d’enveloppement du -1.
2. Ici, tous les pôles sont dans HP, le diagramme de Nyquist ne contourne pas -1, donc système stable.
3. Champ de stabilité : valeur du gain positif ; stabilité pour $K<K_{max}$ où la marge de phase s’annule.
4. Pour le gain calculé, stabilité garantie, stabilité marginale pour gain accru d’environ 1,12 (environ 12% d’augmentation du gain possible avant l’instabilité).",
    "id_category": "5",
    "id_number": "21"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système asservi de fonction de transfert de boucle ouverte $G(p) = \\frac{10}{(p+1)(p+2)(p+4)}$ doit suivre une entrée échelon puis une entrée en rampe.\n1. Calculez les indicateurs de précision statique : écart de position et de vitesse statiques.\n2. Vérifiez la stabilité du système pour tout gain multiplicatif positif par le critère algébrique de Routh-Hurwitz.\n3. Pour une consigne en rampe, déterminez analytiquement la précision dynamique (écart dynamique) en régime permanent.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 :
1. Écart de position statique : $K_p=\\lim_{p\\to0}G(p)=\\frac{10}{1\\times2\\times4}=1,25$;
$e_{pos} = \\frac{1}{1+K_p}=\\frac{1}{2,25}=0,444$
2. Gain de vitesse :$K_v=\\lim_{p\\to 0} pG(p)=0$, donc écart de vitesse infini (non nul que pour système de classe 1 ou plus).
Question 2 :
Équation caractéristique : $(p+1)(p+2)(p+4)+10 = p^3 +7p^2 +14p+18$
Tableau de Routh–Hurwitz :
| \\( p^3 \\) | \\( p^2 \\) | \\( p^1 \\) | \\( p^0 \\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 14 | | |
| 7 | 18 | | |
| \\( \\alpha = \\frac{7\\times14-1\\times18}{7} = \\frac{98-18}{7} = 11,43 \\) | 0 | | |
| 18 | 0 | | |
Tous les premiers termes sont strictement positifs, donc stable pour tout gain positif.
Question 3 :
Précision dynamique pour rampe : $e_v = \\frac{1}{K_v}=\\infty$, donc écart en vitesse infini (la sortie ne suit pas une rampe sans écart statique). Le système de classe 0 ne possède pas de précision dynamique.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "22"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système asservi est décrit par la fonction de transfert : $G(p) = \\frac{K(p+3)}{p^3 + 7p^2 + 14p + 8}$. On souhaite analyser sa stabilité et ses performances de précision.

• Q1. Déterminez les conditions de stabilité à l’aide du critère de Routh-Hurwitz.
• Q2. Pour $K=2$, calculez l’écart statique pour une entrée échelon unitaire.
• Q3. Tracez la table de Routh et déduisez la condition sur $K$ pour que le système soit stable.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1. Stabilité par Routh-Hurwitz :
1. Formule générale pour $p^3 + a_1 p^2 + a_2 p + a_3$ : toutes les lignes du tableau de Routh doivent être strictement positives.
2. Dénominateur : $p^3 + 7p^2 + 14p + 8$
Tableau de Routh :
Première ligne : $1~~14$
Deuxième ligne : $7~~8$
Troisième : $\\frac{7 \\times 14 - 1 \\times 8}{7} = \\frac{98-8}{7}=12.86$
4. Résultat final : toutes les valeurs sont >0, donc le système est stable pour $K>0$

Q2. Écart statique pour $K=2$ et entrée échelon :
1. Formule générale avec retour unitaire : $e_{stat} = \\lim_{t \\to \\infty} [1 - y(t)] = \\lim_{p \\to 0} \\frac{1}{1 + G(p)}$
2. Remplacement : $G(0) = \\frac{2 \\times 3}{8} = \\frac{6}{8} = 0.75$
$e_{stat} = \\frac{1}{1 + 0.75} = \\frac{1}{1.75} = 0.571$
4. Résultat : écart statique $e_{stat} = 0.571$

Q3. Table de Routh pour $G(p)$ :
1. Tableau pour $p^3 + 7p^2 + 14p + 8$
• Ligne 1 : $1~~14$
• Ligne 2 : $7~~8$
• Ligne 3 : $c = \\frac{7 \\times 14 - 1 \\times 8}{7} = 12.86$
• Ligne 4 : $8$
Toutes >0 si $K>0$
2. Résultat final : la stabilité est assurée pour $K>0$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "23"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système d’asservissement présente la fonction de transfert : $G(p)=\\frac{10}{p^2+2p+5}$. On souhaite étudier sa stabilité selon les critères de Nyquist et son niveau de précision statique.

• Q1. Déterminez, par le critère de Nyquist, si le système est stable.
• Q2. Calculez l’écart statique pour une entrée échelon unitaire.
• Q3. Calculez la marge de gain et la marge de phase à partir des diagrammes de Bode.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Q1. Stabilité par Nyquist :
1. Formule : “Nyquist” : un système est stable si le diagramme ne entoure pas – 1 et si tous les pôles sont dans la demi-plan gauche.
2. Denominateur : $p^2 + 2p + 5$, racines : $p = -1 ± 2i$ (réel négatif) donc tous les pôles dans la demi-plan gauche.
3. Courbe de Nyquist ne contourne pas – 1 pour G(p), donc stable.
4. Résultat final : le système est stable.

Q2. Écart statique pour un échelon :
1. Formule : $e_{stat} = \\frac{1}{1 + G(0)}$
2. $G(0)=\\frac{10}{5}=2$
3. $e_{stat} = \\frac{1}{1+2}=0.333$
4. Résultat final : $e_{stat}=0.333$

Q3. Marges de gain et phase (Bode) :
1. Calcul pour gain crossover : $|G(j\\omega_{gc})|=1$
Remplacement : $|G(j\\omega)|=\\frac{10}{\\sqrt{(\\omega^2-5)^2 + (2 \\omega)^2}}$ ; à $\\omega_{gc}\\approx 2.7~rad/s$
Phase: $\\arctan(\\frac{2\\omega}{5-\\omega^2})$ ; $\\arctan\\left(\\frac{2 \\times 2.7}{5-(2.7)^2}\\right)=\\arctan\\left(\\frac{5.4}{5-7.29}\\right)\\approx\\arctan(-2.36)=-66.3^\\circ$
Marge de phase : $180^\\circ - 66.3^\\circ = 113.7^\\circ$
Pour la marge de gain, il faut calculer pour $\\omega_{pc} ;$ ici, forte marge car le gain chute lentement.
4. Résultat final: marge de phase $113.7^\\circ$, marge de gain élevée (système stable).",
    "id_category": "5",
    "id_number": "24"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 1 : Analyse de la stabilité par le critère de Routh-Hurwitz et calcul de la précision statique\n\nOn considère un système asservi de fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{K}{p^3+4p^2+7p+3}$.\nLe système est soumis à une entrée de type échelon unité en boucle fermée unitaire.\n\n1. Déterminez, pour quelle(s) valeur(s) de $K$, le système est stable en utilisant le critère de Routh-Hurwitz.\n2. Calculez l’écart statique (erreur statique) pour une entrée échelon unité en boucle fermée pour $K = 8$.\n3. Calculez l’écart statique pour une entrée rampe unité dans les mêmes conditions.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Stabilité par Routh-Hurwitz :
\nLa polynomiale caractéristique en boucle fermée : $Q(p) = p^3+4p^2+7p+3+K$
\nFormule générale : Le système est stable si tous les termes sur la 1ère colonne du tableau de Routh sont positifs.
\nTableau :
\n- Ligne 1 : $1\\quad 7$
\n- Ligne 2 : $4\\quad 3+K$
\n- Ligne 3 : $\\dfrac{4\\times 7 - 1\\times(3+K)}{4} = \\dfrac{28 - (3+K)}{4} = \\dfrac{25-K}{4}$
\n- Ligne 4 : $3+K$
\nConditions pour la stabilité :
\n $1 > 0\\ ;\\ 4 > 0\\ ;\\ \\dfrac{25-K}{4}>0\\ ;\\ 3+K>0$
\nSoit $K < 25$ et $K > -3$
\nRésultat final : $-3 < K < 25$

\n2. Ecart statique pour une entrée échelon unité, K = 8 :
\nErreur statique : $e_{ss} = \\frac{1}{1+G(0)}$ avec $G(0) = \\frac{K}{3}$
\nDonc $e_{ss} = \\frac{1}{1+8/3} = \\frac{1}{11/3} = \\frac{3}{11}$
\nRésultat final : $e_{ss} = 0.273$

\n3. Ecart statique pour une entrée rampe unité :
\nErreur statique rampe : $e_{vss} = \\frac{1}{K_v}$, $K_v = \\lim_{p\\to0} p \\cdot G(p) = 0$
\nPar calcul :
\n$G(p) = \\frac{8}{p^3+4p^2+7p+3}$; donc pour $p \\to 0$ :$K_v = \\lim_{p\\to0} p \\cdot \\frac{8}{3} = 0$
\n$e_{vss} \\to +\\infty$\nDonc système de type 0, erreur rampe infinie.
\nRésultat final : $e_{vss} = +\\infty$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "25"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 3 : Stabilité dans le plan de Nyquist et optimisation de la précision statique\n\nOn considère une chaîne asservie de fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{K(p+3)}{p(p+2)(p+4)}$.\n\n1. Déterminez pour quelles valeurs de $K$ le système est stable selon le critère de Nyquist.\n2. Pour $K = 6$, calculez l’écart statique pour une entrée échelon unité en boucle fermée unitaire.\n3. Pour ce même $K = 6$, calculez l’écart statique pour une entrée rampe unité.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Stabilité selon le critère de Nyquist :
\nCondition : Boucle stable si le lieu de Nyquist n'encercle pas le point (-1,0)
\nPour la FTBO : $G(p) = \\frac{K(p+3)}{p(p+2)(p+4)}$, les pôles sont tous dans le demi-plan gauche
\nOn examine la marge de phase pour $p = j\\omega$ :
\nÀ basse fréquence : le gain augmente avec $K$ ; la stabilité est garantie pour $K < 16$ afin que le système ne franchisse pas (-1,0) en boucle ouverte.
\nRésultat final : $0 < K < 16$

\n2. Ecart statique échelon unité pour $K = 6$ :
\nErreur statique : $e_{ss} = \\frac{1}{1+G(0)}$, $G(0) = \\frac{6 \\times 3}{0 \\times 2 \\times 4} = \\infty$ ; mais p=0 provoque une singularité (intégrateur, système de type 1)
\nDonc erreur statique échelon = 0
\nRésultat final : $e_{ss} = 0$

\n3. Ecart statique rampe unité pour $K = 6$ :
\n$K_v = \\lim_{p\\to 0} p \\cdot G(p) = 6 \\cdot \\frac{3}{2 \\times 4} = 6 \\times 0.375 = 2.25$
\nErreur rampe : $e_{vss} = 1/K_v = 1/2.25 = 0.444$
\nRésultat final : $e_{vss} = 0.444$",
    "id_category": "5",
    "id_number": "26"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Considérons un système de boucle fermée à retour unitaire dont la fonction de transfert d’asservissement est :$G(p) = \\frac{K}{p^2 + 4p + 8}$.\nPour trois valeurs du gain K : $K=2$, $K=10$, $K=30$ :\n1. Déterminez la condition de stabilité grâce au critère de Routh-Hurwitz pour ce système et discutez la plage de stabilité en fonction de K.\n2. Pour $K=10$, calculez la marge de gain et la marge de phase sur le diagramme de Bode (ordre de grandeur exigé).\n3. Pour $K=30$, calculez l’écart statique de position pour une référence échelon de taille 4.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Stabilité par critère de Routh-Hurwitz
1. Formule générale : L’équation caractéristique de la boucle fermée est $p^2 + 4p + 8 + K = 0$.
 Tableau de Routh : 
$\\begin{pmatrix}1 & 8+K\\4 & 0\\end{pmatrix}$
 Conditions de stabilité : tous les coefficients du premier col doivent être strictement positifs.
2. Remplacement :
 - Le second coefficient est $4 > 0$
 - Le terme constant est $8+K > 0 \\Rightarrow K > -8$ (toujours vrai car $K>0$)
 - Il faut également que le déterminant soit positif : $\\Delta = 4(8+K)-1\\times 0 = 4(8+K) > 0$ donc $K > -8$ (toujours satisfait).
3. Calcul : Donc, pour toute $K > 0$, le système fermé est stable.
4. Résultat final : Système stable pour $K > 0$.
Question 2 : Marges de gain et de phase pour K = 10
1. Formule : Le diagramme de Bode du système donne la marge de gain (Gm) et de phase (Pm) à la fréquence de coupure de phase/ gain.
2. Remplacement : Fonction de boucle ouverte :$L(p) = \\frac{10}{p^2 + 4p + 8}$
 À basse fréquence, la pente est $-40~\\mathrm{dB/déc}$. La pulsation caractéristique $\\omega_0 = \\sqrt{8} = 2{,}83$~rad/s.
 Gain croisement :$|L(j\\omega)| = 1 \\Rightarrow 20\\log_{10}|L(j\\omega)| = 0 \\mathrm{~dB}$ 
 Méthode graphique : Estimation (~ordre de grandeur) :
 — Marge de gain : le gain croise 0 dB à une pulsation plus grande que $\\omega_0$, la phase s'approche de $-180°$ à haute fréquence, donc la marge de phase est faible mais non nulle (~10–20° typiquement).
 — Marge de gain : à la fréquence où la phase atteint $-180°$ (~10 rad/s), le module de L(jω) ≪ 0 dB, donc MG > 10 dB.
4. Résultats : Ordre de grandeur : $MG > 10~\\mathrm{dB}$, $MP \\approx 15^\\circ$.
Question 3 : Ecart statique de position pour K = 30, entrée échelon de taille 4
1. Formule : $e_{ss} = \\lim_{t\\to\\infty} [r(t) - y(t)] = \\frac{1}{1+K_s}$ (type 0, K_s = K/8)
 Pour une entrée échelon d’amplitude A :
2. Remplacement :$K = 30, H(0) = 30/8 = 3,75$ donc $e_{ss} = \\frac{A}{1+K_s}$
3. Calcul : $e_{ss} = \\frac{4}{1+3,75} = \\frac{4}{4,75} = 0{,}842$
4. Résultat final : $e_{ss} = 0{,}84$
Interprétation : Le système est stabilisé par tout K strictement positif ; en augmentant K, la précision s’améliore au détriment des marges de stabilité.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "27"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système asservi dont la fonction de boucle ouverte est $G(p) = \\frac{20(p+2)}{p(p+5)(p+10)}$.\n1. Vérifiez la stabilité en boucle fermée via le critère de Routh-Hurwitz.\n2. Calculez la précision statique de position et de vitesse pour une entrée échelon et rampe.\n3. Pour une entrée rampe unitaire, donnez l'écart statique en régime permanent.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Stabilité boucle fermée, critère de Routh-Hurwitz
1. Boucle fermée : équation caractéristique $p(p+5)(p+10)+20(p+2)=0$
 Développement : $p(p^2+15p + 50) + 20p + 40 = p^3 + 15p^2 + 70p + 40 = 0$
2. Tableau de Routh :
$\\begin{pmatrix}1 & 70\\\\15 & 40\\\\20 & ~\\end{pmatrix}$
 Les coefficients du 1er col doivent être strictement positifs: 1, 15, 20, 40 > 0
3. Conclusion : toutes les lignes sont positives => le système est stable.
Question 2 : Précisions statiques de position et de vitesse
1. Système de type 1 : un p au dénominateur
2. Position :$K_p = \\lim_{p\\to 0}G(p) = \\infty$ (car numérateur non nul, dénominateur annule)
 Écart statique position :$e_p = \\frac{1}{1+K_p} = 0$
3. Vitesse :$K_v = \\lim_{p\\to 0} pG(p) = \\lim_{p\\to 0} \\frac{20(p+2)}{(p+5)(p+10)} = \\frac{20 \\times 2}{5 \\times 10 }=0{,}8$
 Écart statique rampe :$e_v = \\frac{1}{K_v} = 1,25$
Question 3 : Ecart statique pour une entrée rampe unitaire
1. Formule : $e_v = \\frac{1}{K_v}$ (trouvé ci-dessus)
2. Résultat final : $e_v = 1,25$
Interprétation : Le système est stable et très précis pour une consigne constante ; la précision dynamique dépend du nombre de pôles en zéro du dénominateur.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "28"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "On considère un système d’ordre supérieur défini par :$G(p) = \\frac{100}{p^3 + 6p^2 + 11p + 6}$.\n1. Vérifiez la stabilité grâce au critère de Routh-Hurwitz.\n2. Donnez la valeur de l’écart statique de position pour une entrée échelon unitaire.
3. Pour une entrée sinusoidale de pulsation $\\omega = 1~\\mathrm{rad/s}$, calculez le module et l’argument de la sortie en régime permanent.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Stabilité par Routh-Hurwitz
1. Équation caractéristique : $p^3+6p^2+11p+6=0$
2. Tableau de Routh : 
$\\begin{pmatrix}1 & 11\\6 & 6\\6 & ~\\end{pmatrix}$
 Tous les coefficients du 1er col sont strictement positifs (1,6,6).
3. Résultat : Système stable.
Question 2 : Ecart statique de position pour une entrée échelon
1. Fonction de transfert en boucle fermée : $T(p) = \\frac{G(p)}{1+G(p)}$
2. Calcul statique : $K_p = G(0) = \\frac{100}{6}$
 Écart statique : $e_{ss} = \\frac{1}{1+K_p} = \\frac{1}{1+16,67} = 0,0566$
Question 3 : Module et argument pour une entrée sinusoïdale $\\omega = 1~\\mathrm{rad/s}$
1. Calcul : $G(j1) = \\frac{100}{(j1)^3 + 6(j1)^2 + 11(j1) + 6}$ 
 Développement : 
 $(j1)^2 = -1, (j1)^3 = -j$
 Denom = $-j + 6\\times -1 + 11j + 6 = (-1 + 6) + j(11-1) = 5 + 10j$
 $G(j1)=\\frac{100}{5 + 10j}$
 Module : $|5+10j| = \\sqrt{5^2 + 10^2} = \\sqrt{25+100} = \\sqrt{125}=11,18$
 $|G(j1)| = \\frac{100}{11,18} = 8,94$
 Argument : $\\arg(5+10j)=\\arctan(10/5)=63,4^\\circ$
 donc $\\arg(G(j1))= -63,4^\\circ$
4. Résultats : Module : $8,94$ ; Phase : $-63,4^\\circ$.
Interprétation : Ce système d’ordre 3 est stable, la précision statique élevée, la sortie en sinus subit un gain de 8,94 et un déphasage notable.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "29"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Considérez un système asservi de boucle unitaire avec la fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{K}{p(p+3)}$. \n\n1) Pour quelle valeur minimale de $K$ le système est-il stable selon le critère de Routh-Hurwitz ? \n2) Pour $K = 8$, calculez l’écart statique pour une entrée échelon unitaire (précision statique). \n3) Pour cette même valeur de $K$, calculez l’écart statique pour une entrée rampe unitaire (précision dynamique).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Stabilité par Routh-Hurwitz
Equation caractéristique :
 $1 + G(p) = 0 \\Rightarrow 1 + \\frac{K}{p(p+3)} = 0$
Soit : 
 $p^2 + 3p + K = 0$
Matrice de Routh :


 $\\begin{array}{c|cc}\np^2 & 1 & K \\ \np^1 & 3 & 0 \\ \np^0 & K & \\n\\end{array}$
Conditions de stabilité :
 $K > 0$ et le coefficient devant 
 $p^1$ doit aussi être positif
Donc :
 $K > 0$ (valeur minimale : 
 $0^+$)

2) Écart statique pour échelon unitaire
Pour l’entrée échelon :
 $e_{ss} = \\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\lim_{p \\to 0} \\frac{1}{1 + G(p)}$
Calculons G(0) :

 $G(0) = \\frac{8}{0 \\times 3} = \\infty$
Le système est de type 1 (car un p au dénominateur) :
 $e_{ss} = 0$

3) Écart statique pour rampe unitaire
Erreur statique rampe : 
 $e_{ss} = \\lim_{p \\to 0} p \\cdot \\frac{1}{1 + G(p)} \\frac{1}{p^2}$
Constante de vitesse :
 $K_v = \\lim_{p \\to 0} p G(p) = \\lim_{p \\to 0} p \\frac{8}{p(p+3)} = \\frac{8}{3}$
Donc :
 $e_{ss} = \\frac{1}{K_v} = \\frac{3}{8} = 0,375$
La précision dynamique pour rampe unitaire vaut donc 
 $0,375$.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "30"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système asservi est caractérisé en boucle ouverte par : $G(p) = \\frac{10}{(p+1)(p+2)}$.\nL’étude de la stabilité et des marges est réalisée sur le diagramme de Bode.\n1) Déterminez par calcul la pulsation de coupure à 0 dB (fréquence pour laquelle le gain est nul).\n2) Calculez la marge de phase en ce point.\n3) Si l’on veut une marge de phase de 50°, quelle doit être la valeur maximale de $K$ (pondérer sa variation sur la stabilité).",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Pulsation de coupure à 0 dB
Pour 
 $|G(j\\omega)| = 1$ (soit 0 dB) :
 $G(j\\omega) = \\frac{10}{(j\\omega+1)(j\\omega+2)}$
Calcul du module :
 $|G(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{(\\omega^2+1)} \\sqrt{(\\omega^2+4)}}$
On pose 
 $\\frac{10}{\\sqrt{(\\omega^2+1)(\\omega^2+4)}} = 1$
Élévation au carré :
 $100 = (\\omega^2+1)(\\omega^2+4)$
 $100 = \\omega^4 + 5\\omega^2 + 4$
 $\\omega^4 + 5\\omega^2 - 96 = 0$
On pose 
 $x = \\omega^2$
 $x^2 + 5x - 96 = 0$
Solve :
 $x = \\frac{-5 + \\sqrt{25 + 384}}{2} = \\frac{-5 + 19,4679}{2} = 7,23$
Donc 
 $\\omega = \\sqrt{7,23} \\approx 2,69$

2) Marge de phase en ce point
Phase de 
 $G(j\\omega) = \\arg\\left( \\frac{1}{j\\omega+1} \\right) + \\arg\\left( \\frac{1}{j\\omega+2} \\right)$
Donc :
 $\\phi = -\\arctan(\\omega/1) - \\arctan(\\omega/2)$
À 
 $\\omega = 2,69$ :
 $\\phi = -\\arctan(2,69) - \\arctan(2,69/2)$
Calcul :
 $\\arctan(2,69) \\approx 69,3^\\circ$
 $\\arctan(1,345) \\approx 53,4^\\circ$
Donc 
 $\\phi = -(69,3 + 53,4) = -122,7^\\circ$
Marge de phase :
 $M_{\\phi} = 180^\\circ + (-122,7^\\circ) = 57,3^\\circ$

3) Valeur maximale de  $K $ pour une marge de phase de 50°
On cherche la fréquence pour laquelle :
 $M_{\\phi} = 50^\\circ \\Rightarrow \\phi = -130^\\circ$
Donc :
 $\\arctan(\\omega) + \\arctan(\\omega/2) = 130^\\circ$
Par essai : à 
 $\\omega_{MP=50} \\approx 2,98$
Module en ce point :
 $|G(j\\omega)| = \\frac{K}{\\sqrt{\\omega^2+1}\\sqrt{\\omega^2+4}}$
Pulsation de coupure :
 $|G(j\\omega_{MP=50})| = 1$
Soit :
 $K = \\sqrt{2,98^2+1}\\sqrt{2,98^2+4}$
Calcul :
 $\\sqrt{8,88+1} = 3,16$ et $\\sqrt{8,88+4} = 3,61$
Donc 
 $K = 3,16 \\times 3,61 \\approx 11,4$
La valeur maximale acceptable de 
 $K $ est 
 $11,4$ pour garantir une marge de phase de 50°.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "31"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Soit un système de commande représenté dans le plan de Nyquist par : $G(p) = \\frac{8(p+2)}{p(p+1)(p+5)}$.\n1) Déterminez la stabilité du système pour $K = 8$ à l’aide du critère de Nyquist (nombre d’enroulements et situation du point critique).\n2) Calculez la marge de gain du système à partir du diagramme de Nyquist.\n3) Calculez la précision statique pour une entrée échelon unitaire.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1) Stabilité – Critère de Nyquist
Déterminons les pôles :
 $p = 0, -1, -5$
Soit trois pôles en partie réelle négative ou nulle ([SISO, classique]).\nTraçons le contour : pour un système de type 1, le lieu passe à l’infini sur l’axe imaginaire (\\ninterdit l’enroulement du point critique pour un gain modéré).\nCalculons la valeur en 
 $p = j0 = 0$ :
 $G(0) = \\frac{8 \\cdot 2}{0 \\cdot 1 \\cdot 5} = \\infty$
Ainsi, trajectoire qui part à l’infini. Le nombre d’enroulements du point (-1,0) reste nul pour 
 $K = 8$ (aucun passage à droite, système stable).
2) Marge de gain
Marche de gain : inverse du module de la fonction à la fréquence de phase -180°.
Puisque la phase vaut -180° quand :
 $\\arg G(j\\omega_c) = -180^\\circ$
À haute fréquence, la phase tend vers -270°, recherchons la fréquence pour laquelle :
 $\\arg G(j\\omega) = -180^\\circ$
Calcul rapide :
 $G(j\\omega) = \\frac{8(j\\omega+2)}{j\\omega(j\\omega+1)(j\\omega+5)}$
Pour 
 $\\omega_c \\gg 1$:
 $\\approx \\frac{8j\\omega}{j\\omega(j\\omega)^2} = \\frac{8}{-\\omega^2}$
Valeur de module à très haute fréquence tend vers zéro.\nPour module unitaire :
 $|G(j\\omega)| = 1$
Il s'agit d'un calcul numérique précis : à la fréquence de phase -180°, le module est très petit.\nIl en résulte une marge de gain très élevée (système robuste pour K = 8).\n3) Précision statique pour échelon unitaire
Système de type 1 (un p au dénominateur)\nErreur :
 $e_{ss} = \\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\lim_{p\\to 0} \\frac{1}{1+G(p)}$
Pour l’échelon, 
 $G(0) = \\frac{8 \\cdot 2}{0} = \\infty$, donc :
 $e_{ss} = 0$
La précision statique pour échelon unitaire est parfaite (erreur nulle à régime permanent).",
    "id_category": "5",
    "id_number": "32"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un système d’asservissement est représenté par le schéma-bloc ci-dessous. Son actionneur est modélisé par une fonction de transfert de type second ordre : $G_a(p) = \\frac{A}{p^2+4p+20}$. Le système est soumis à une entrée de consigne échelon de valeur $1\\,\\mathrm{V}$.\n\n1. Déterminez les conditions de stabilité du système en boucle fermée à l’aide du critère de Routh-Hurwitz.\n2. Pour $A=40$, calculez la marge de gain et la marge de phase sur le diagramme de Bode (esquisser le diagramme).\n3. Calculez la précision statique pour une entrée échelon et le paramètre de précision dynamique pour une entrée en sinus de fréquence $5\\,\\mathrm{rad.s}^{-1}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Stabilité par Routh-Hurwitz :
 \\\n1. La boucle fermée possède le polynôme caractéristique \\\n$ p^2+4p+20+A $
 \\\n2. Le tableau de Routh (degré 2) : Les coefficients doivent être strictement positifs : \\\n$ 1 > 0,\\ 4 > 0,\\ 20+A>0 $
 \\\n3. Condition de stabilité : \\\n$ A > -20 $ (physiquement, A > 0)

 \\\n2. Marges en Bode pour A=40 :
 \\\n1. Fonction de transfert : \\\n$ G_a(p) = \\frac{40}{p^2+4p+20} $
 \\\n2. Gain unitaire : Trouver $\\omega_{cu}$ tel que \\\n$ |G_a(j\\omega_{cu})|=1 $.\\\n$ |G_a(j\\omega)| = \\frac{40}{\\sqrt{(20-\\omega^2)^2+(4\\omega)^2}} $ \\\nÉgaliser à 1 : \\\n$ 40^2 = (20-\\omega^2)^2+16\\omega^2 $ \\\nDéveloppement et résolution : \\\n$ (20-\\omega^2)^2+16\\omega^2-1600=0 $ \\\nPosons $ x=\\omega^2 $ : \\\n$ (20-x)^2+16x-1600=0 $ \\\n$ 400-40x+x^2+16x-1600=0 $ \\\n$ x^2-24x-1200=0 $ \\\nSolutions : $ x=12+\\sqrt{12^2+1200}=12+35.08=47.08 $ \\\n$ \\omega_{cu}=\\sqrt{47.08}\\approx 6.86\\,\\mathrm{rad.s}^{-1} $
 \\\nPhase à $\\omega_{cu} :$ \\\n$ \\phi = -\\arctan\\left(\\frac{4\\omega_{cu}}{20-\\omega_{cu}^2}\\right) $ \\\nCalcul : $ 4\\times6.86=27.44; 20-47.08=-27.08 $ \\\n$ \\phi = -\\arctan\\left(\\frac{27.44}{-27.08}\\right)=-\\arctan(-1.013) \\approx +45.4^\\circ $ 
 \\\nPhase totale : $-90^\\circ$ (dû au second ordre) + $45.4^\\circ = -44.6^\\circ $ \\\nMarge de phase : \\\n$ MP = 180^\\circ + (-44.6^\\circ) = 135.4^\\circ $
 \\\nMarge de gain : Presque > 0 pour second ordre bien amorti.

 \\\n3. Précision statique et dynamique :
 \\\n1. Erreur statique (entrée échelon) : \\\n$ K_p = \\lim_{p\\to0} G_a(p) = \\frac{40}{20} = 2 $ \\\nErreur : \\\n$ e_s = \\frac{1}{1+K_p} = \\frac{1}{3} \\approx 0.333 $ soit 33.3% 
 \\\n2. Précision dynamique pour sinusoïde $\\omega=5$: \\\n$ |G_a(j5)| = \\frac{40}{\\sqrt{(20-25)^2+(4\\times5)^2}} = \\frac{40}{\\sqrt{25+400}} = \\frac{40}{\\sqrt{425}} \\approx \\frac{40}{20.62} = 1.94 $
 \\\nRésultat : Erreur statique : $0.333 $ ; gain sinusoïdal : $1.94$
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "33"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un amplificateur opérationnel alimente un dispositif dont la fonction de transfert est donnée par $G(p) = \\frac{K}{p(p+3)}$, où $K$ est le gain de boucle réglable. Le système reçoit une consigne rampe de pente $2\\,\\mathrm{V.s}^{-1}$.\n\n1. Trouvez la condition de stabilité par critère algébrique de Routh-Hurwitz en exprimant la relation sur $K$.\n2. Calculez la marge de phase et la marge de gain pour $K=12$ à partir du diagramme de Bode (à esquisser).\n3. Déterminez l’erreur statique de traînage (suivi de la rampe) et donnez la valeur minimale de $K$ pour que cette erreur soit inférieure à $0.03$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Condition de stabilité (Routh-Hurwitz) :
 \\\n1. Le polynôme caractéristique : \\\n$ p^2+3p+K $
 \\\n2. Tableau de Routh : coefficients tous strictement positifs : \\\n$ 1>0,\\ 3>0,\\ K>0 $
 \\\n3. Condition :  \\\n$ K>0 $ 

 \\\n2. Marges avec K=12 (diagramme de Bode) :
 \\\n1. Fonction de transfert : \\\n$ G(p) = \\frac{12}{p(p+3)} $
 \\\n2. Gain unitaire : trouver $\\omega_{cu}$ tel que \\\n$ |G(j\\omega)|=1 $ \\\n$ |G(j\\omega)|=\\frac{12}{\\omega\\sqrt{\\omega^2+9}}=1 $ \\\n$ 12^2=\\omega^2(\\omega^2+9) $ \\\n$ \\omega^4+9\\omega^2-144=0 $ \\\nPosons $ x=\\omega^2 $: \\\n$ x^2+9x-144=0 $ \\\n$ x=\\frac{-9+\\sqrt{81+576}}{2}=\\frac{-9+25.024}{2}=8.012 $ \\\n$ \\omega_{cu}=\\sqrt{8.012}\\approx 2.83 \\mathrm{rad.s}^{-1}$
 \\\nPhase : \\\n$ \\phi=-90^\\circ-\\arctan\\left(\\frac{\\omega_{cu}}{3}\\right) $ \\\n$ \\arctan\\left(\\frac{2.83}{3}\\right)=43.3^\\circ $ \\\n$ \\phi=-90^\\circ-43.3^\\circ=-133.3^\\circ $
 \\\nMarge de phase : \\\n$ MP=180^\\circ+(-133.3^\\circ)=46.7^\\circ $
 \\\nLa marge de gain se lit sur le diagramme vers $-180^\\circ$ (second ordre, typiquement > 0).

 \\\n3. Erreur statique de suivi de rampe :
 \\\n1. Constante de vitesse \\\n$ K_v=\\lim_{p\\to0} pG(p)=\\frac{K}{3} $
 \\\nErreur de traînage pour rampe unité : \\\n$ e_v=\\frac{1}{K_v}=\\frac{3}{K} $
 \\\nPour $ e_v<0.03 $ \\\n$ \\frac{3}{K}<0.03 \\rightarrow K>100$.
 \\\nRésultat final :  \\\n$ K>100 $ pour avoir $ e_v<0.03 $.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "34"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Un moteur à courant continu est modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $G(p)=\\frac{50}{(p+2)(p+7)}$. Le capteur de mesure ajoute une rétroaction unitaire.\n1. Établissez la condition de stabilité du système asservi complet à l’aide du critère de Routh-Hurwitz.\n2. Calculez la marge de gain et la marge de phase à partir des diagrammes de Bode pour ce système.\n3. Déterminez la précision statique pour une entrée en échelon ainsi que la précision dynamique pour une entrée sinusoïdale de fréquence $10\\,\\mathrm{rad.s}^{-1}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "1. Stabilité (Routh-Hurwitz) :
 \\\n1. Boucle fermée : \\\n$ G_{BF}(p)=\\frac{50}{(p+2)(p+7)+50} $
 \\\nPolynôme : \\\n$ p^2+9p+64=0 $
 \\\nTableau de Routh : \\\n$ 1>0,\\ 9>0,\\ 64>0 $
 \\\nSystème toujours stable.

 \\\n2. Marges de stabilité (Bode) :
 \\\n1. Fonction de transfert : \\\n$ G(j\\omega)=\\frac{50}{(j\\omega+2)(j\\omega+7)} $
 \\\n2. Gain unitaire : \\\n$ |G(j\\omega)|=\\frac{50}{\\sqrt{(\\omega^2+4)(\\omega^2+49)}}=1 $
 \\\n$ 50^2=(\\omega^2+4)(\\omega^2+49) $ \\\n$ 2500=\\omega^4+53\\omega^2+196 $ \\\n$ \\omega^4+53\\omega^2-2304=0 $ \\\nPar résolution, $\\omega_{cu}\\approx6.42 $
 \\\nPhase : \\\n$ \\phi=-\\arctan\\left(\\frac{\\omega_{cu}}{2}\\right)-\\arctan\\left(\\frac{\\omega_{cu}}{7}\\right) $ \\\n$ \\arctan(6.42/2)=72.1^\\circ $ \\\n$ \\arctan(6.42/7)=42.6^\\circ $ \\\n$ \\phi=-72.1^\\circ-42.6^\\circ=-114.7^\\circ $ \\\nMarge de phase : \\\n$ MP=180^\\circ+(-114.7^\\circ)=65.3^\\circ $
 \\\nMarge de gain : élevée pour ce système.

 \\\n3. Précision statique et dynamique :
 \\\n1. Échelon : \\\n$ K_p=\\lim_{p\\to0}G(p)=\\frac{50}{2\\times7}=3.571 $ \\\nErreur statique : \\\n$ e_s=\\frac{1}{1+K_p}=\\frac{1}{4.571}=0.219 $ soit 21.9% 
 \\\n2. Sinus à $\\omega=10 $ \\\n$ |G(j10)|=\\frac{50}{\\sqrt{(100+4)(100+49)}}=\\frac{50}{\\sqrt{104\\times149}} \\approx \\frac{50}{124.67}=0.401 $
 \\\nRésultat : Erreur statique échelon : $0.219 $ ; gain dynamique (suivi sinus à 10) : $0.401$.
",
    "id_category": "5",
    "id_number": "35"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 1 : Étude de la stabilité et précision d'un système d'asservissement d'ordre 3\n\nSoit un système en boucle fermée avec retour unitaire et fonction de transfert en boucle ouverte :\n$G(p) = \\frac{K}{(p+1)(p+3)(p+7)}$\navec $K>0$.\n\n1. Pour quelle(s) valeur(s) maximale(s) de $K$ le système est-il stable selon Routh-Hurwitz ?\n2. Pour $K=210$, calculez la marge de phase du système sur le diagramme de Bode.\n3. Pour $K=210$, déterminez l'erreur statique pour une entrée échelon, puis pour une entrée rampe.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Stabilité par Routh-Hurwitz
1. Formule générale :
$1 + G(p) = 0 \\Rightarrow (p+1)(p+3)(p+7) + K = 0$
Soit équation caractéristique : $p^3 + 11p^2 + 31p + (21+K)=0$
2. Tableau de Routh :
$\\begin{array}{c|cc}\\text{p}^3 & 1 & 31 \\ \\text{p}^2 & 11 & 21+K \\ \\text{p}^1 & \\frac{11\\times31-1\\times(21+K)}{11}=\\frac{341-K-21}{11}=\\frac{320-K}{11} & 0 \\ \\text{p}^0 & 21+K &  \\end{array}$
3. Calcul :
Pour la stabilité, toutes les premières colonnes doivent être positives :
$1>0$, $11>0$, $\\frac{320-K}{11}>0 \\Rightarrow K<320$, $21+K>0 \\Rightarrow K>-21$ (ici, K>0 par hypothèse).
4. Résultat final :
Le système reste stable pour $0
Question 2 : Marge de phase (K=210)
1. Formule : Lecture du diagramme de phase à la fréquence de coupure $\\omega_c$ où $|G(j\\omega_c)|=1$
2. Remplacement des données : $G(j\\omega) = \\frac{210}{(j\\omega+1)(j\\omega+3)(j\\omega+7)}$
Résolution numérique : $\\omega_c \\approx 6.08$.
Phase : $\\arg(G(j6.08)) = -\\arctan(6.08/1) - \\arctan(6.08/3) - \\arctan(6.08/7)$
3. Calcul : $\\arctan(6.08)\\approx80.6°$, $\\arctan(2.03)\\approx63.3°$, $\\arctan(0.87)\\approx41.6°$
Somme : $-185.5°$
Marge de phase : $180° - 185.5° = -5.5°$
4. Résultat final :
La marge de phase est d’environ $-5.5°$ (système faiblement stable, quasi instable).

Question 3 : Précision statique (entrée échelon et rampe, K=210)
1. Formules générales :
Erreur échelon : $e_{ss,\\text{échelon}}=\\frac{1}{1+K/(1\\times3\\times7)}$
 Erreur rampe : système de type 0, $e_{ss,\\text{rampe}}=\\infty$
2. Application :
$1\\times3\\times7=21$, $K=210$
$K/(1\\times3\\times7)=10$
$e_{ss,\\text{échelon}}=\\frac{1}{1+10}=\\frac{1}{11}$
$e_{ss,\\text{rampe}}=\\infty$
3. Calcul :
$\\frac{1}{11}\\approx0.091$
4. Résultat final :
L'erreur statique pour une entrée échelon est $0.091$.
L'erreur statique pour une rampe est infinie : $e_{ss,\\text{rampe}}=\\infty$.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "36"
  },
  {
    "category": "Stabilité et précision des systèmes asservis",
    "question": "Exercice 2 : Critère de Bode et précisions d’un système d’asservissement\n\nOn considère le système suivant :\n$G(p) = \\frac{40(p+2)}{p(p+8)}$\nIl est asservi par retour unitaire.\n\n1. Déterminez les marges de phase et de gain à partir d’une analyse du diagramme de Bode.\n2. Calculez l’erreur statique pour une entrée échelon et pour une entrée rampe.\n3. Déterminez la précision dynamique du système pour une entrée sinusoïdale de fréquence $\\omega=4\\ \\mathrm{rad/s}$.",
    "svg": "",
    "choices": [
      "A Corrige Type"
    ],
    "correct": [
      "A"
    ],
    "explanation": "Question 1 : Marges de stabilité par diagramme de Bode
1. Formule générale :
Marge de phase : $180°+\\arg[G(j\\omega_{0dB})]$
Marge de gain : différence en dB à la phase -180°
2. Calcul de la norme à la fréquence de coupure:
$|G(j\\omega)|=\\frac{40\\sqrt{\\omega^2+4}}{\\omega\\sqrt{\\omega^2+64}}$
Produit scalaire pour $\\omega_{0dB}$, numériquement $\\omega_{0dB}\\approx5.84$
\n$\\arg(G(j5.84))=\\arctan(5.84/2)-90°-\\arctan(5.84/8)$
3. Calcul :
$\\arctan(2.92)\\approx71.2°$, $\\arctan(0.73)\\approx36.3°$
Somme : $71.2°-90°-36.3°=-55.1°$
Marge de phase : $180°-55.1°=124.9°$
La marge de gain : très supérieure à 0 dB (système très stable).
4. Résultat final :
Marge de phase : $124.9°$, marge de gain élevée.

Question 2 : Précision statique pour échelon et rampe
1. Formule générale :
Erreur échelon $e_{ss,1}=\\frac{1}{1+K_p}$ avec $K_p=\\lim_{p\\to0}G(p)$
Erreur rampe $e_{ss,2}=\\frac{1}{K_v}$ avec $K_v=\\lim_{p\\to0}pG(p)$
2. Remplacement :
Pour l’échelon : $K_p=\\frac{40\\times2}{0\\times8}=\\infty=>e_{ss,1}=0$
Pour la rampe : $K_v=\\lim_{p\\to0}p\\frac{40(p+2)}{p(p+8)}=\\lim_{p\\to0}\\frac{40(p+2)}{p+8}=\\frac{40\\times2}{8}=10$
$e_{ss,2}=\\frac{1}{10}=0.1$
3. Résultats :
Erreur échelon : $0$
Erreur rampe : $0.1$

Question 3 : Précision dynamique pour une sinusoïde 
1. Formule :
Erreur dynamique : $E=\\frac{1}{|1+G(j\\omega)|}$ avec $\\omega=4$
2. Remplacement :
$G(j4)=\\frac{40(4+2)}{j4(j4+8)}=\\frac{240}{j4(j4+8)}$
$j4+8=8+4j\\Rightarrow|8+4j|=\\sqrt{64+16}=\\sqrt{80}=8.94$
$j4(8+4j)=32j+16j^2=32j-16$
$G(j4)=\\frac{240}{32j-16}$
$|32j-16|=\\sqrt{1024+256}=\\sqrt{1280}=35.78$
$|G(j4)|=\\frac{240}{35.78}=6.71$
$E=\\frac{1}{1+6.71}=0.13$
3. Résultat :
L'erreur dynamique pour $\\omega=4\\ \\mathrm{rad/s}$ est $0.13$.",
    "id_category": "5",
    "id_number": "37"
  }
]
Fréquence (rad/s)	Gain (dB)	Phase (°)
0.1	33.96	-90° - 5.7° - 1.1° ≈ -97°
1	13.98 - 20 - 3.01 - 0.80 ≈ -9.8 dB	-90° - 45° - 11.3° ≈ -146°
5	13.98 - 13.98 - 13.98 - 3.98 ≈ -17.96 dB	-90° - 78.7° - 45° ≈ -214° = 146°
10	13.98 - 20 - 20.04 - 7.73 ≈ -33.8 dB	-90° - 84.3° - 63.4° ≈ -238° = 122°
Critère	ζ optimal	Dépassement %	Rapidité
ITAE	0.70	~4.6%	Équilibré
Placement de pôles (notre choix)	0.75	~2.8%	Plus amorti
ITSE (Time-squared)	0.64	~7.5%	Plus rapide
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Examen 2: Systèmes Asservis - Réponse Temporelle et Stabilité

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Contexte Global

Question 1: Analyse de Stabilité par le Critère de Routh-Hurwitz

Question 2: Dimensionnement du Gain pour Satisfaction des Spécifications

Question 3: Caractérisation de la Réponse Temporelle

Question 4: Analyse de Précision et de Rejet de Perturbation

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Solutions Détaillées - Examen 2

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Examen 3: Systèmes Asservis - Synthèse Complète et Optimisation

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Contexte Global

Question 1: Analyse Préliminaire du Système Non-Corrigé

Question 2: Conception d'un Correcteur par Placement de Pôles

Question 3: Analyse de Performance du Système Corrigé

Question 4: Optimisation Multi-Critères et Compromis

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EXAMEN 2 : Réponses Temporelles et Précision des Systèmes Asservis

Contexte :

Question 1 : Modélisation du système de positionnement

Question 2 : Réponse temporelle à l'échelon

Question 3 : Erreur de traînage et réjection de perturbations

Question 4 : Analyse de stabilité et marges

Question 5 : Optimisation et performances globales

Question 1 : Modélisation système PI

Question 2 : Réponse temporelle

Question 3 : Erreur et perturbations

Question 4 : Stabilité et marges

Question 5 : Optimisation

Examen 1 : Échantillonnage des Signaux et Théorème de Shannon

Question 1 : Choix de la fréquence d'échantillonnage (7 points)

Question 2 : Transformée de Fourier Discrète et Spectre (7 points)

Question 3 : Fonction de transfert en Z et causalité (6 points)

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Solutions Détaillées - Examen 1

Question 1 : Fréquence d'échantillonnage

Question 2 : Transformée de Fourier Discrète

Question 3 : Fonction transfert Z

Question 4 : Reconstruction

Question 5 : Jitter d'horloge

Examen 2 : Analyse des Systèmes Échantillonnés

Question 1 : Stabilité des systèmes discrets (8 points)

Question 2 : Réponse impulsionnelle et transitoire (7 points)

Question 3 : Diagramme pôles-zéros et cartographie Z (6 points)

Question 4 : Nyquist et Nichols discrets (6 points)

Question 5 : Équation aux différences et implémentation (3 points)

Solutions Détaillées - Examen 2

Question 1 : Stabilité

Question 2 : Réponse transitoire

Question 3 : Cartographie pôles-zéros

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Question 5 : Équation aux différences

Examen 3 : Représentation des Systèmes Échantillonnés

Question 1 : Représentation d'état discrète (8 points)

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Solutions Détaillées - Examen 3

Question 1 : Représentation d'état discrète

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EXAMEN DE SYSTÈMES ASSERVIS - Session 1

Durée : 4 heures | Documents autorisés : formulaires |

Question 1 (4 points) - Modélisation du Système Moteur-Charge
