- \n
- Erreur statique de position nulle \n
- Marge de phase ≥ 45° \n
- Bande passante ≥ 1 rad/s \n
Question 1 : Analyse du Système Non Compensé (3 points)
\nÉtudiez le système en boucle ouverte sans correcteur. Calculez les pôles, justifiez l'instabilité en boucle fermée. Appliquez le critère de Routh-Hurwitz pour déterminer la stabilité du système bouclé.
\n\nQuestion 2 : Synthèse d'un Correcteur Proportionnel-Intégral (PI) (5 points)
\nOn propose un correcteur PI : $C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s}$. Déterminez $K_p$ et $K_i$ pour que :
\n(a) L'erreur statique en position soit nulle
\n(b) La marge de phase soit supérieure à 45°
\nUtilisez la méthode de l'analyse fréquentielle et du diagramme de Nyquist.
Question 3 : Analyse Fréquentielle du Système Compensé (4 points)
\nAvec les correcteurs trouvés en Q2, tracez qualitativement le diagramme de Bode du système en boucle ouverte $T(s) = C(s) \\cdot G(s)$. Calculez la pulsation de coupure à 0 dB et la marge de phase obtenue.
\n\nQuestion 4 : Vérification de Stabilité par le Critère de Nyquist (4 points)
\nTracez qualitativement le lieu de Nyquist pour le système compensé et vérifiez que le système reste stable. Justifiez votre réponse par le nombre d'enlacements autour du point critique (-1, 0).
\n\nQuestion 5 : Amélioration avec Correcteur à Avance de Phase (4 points)
\nProposez un correcteur à avance de phase : $C_a(s) = \\frac{1 + a \\tau s}{1 + \\tau s}$ avec $a > 1$. Calculez $a$ et $\\tau$ pour augmenter la bande passante à 2 rad/s tout en maintenant une marge de phase ≥ 45°.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 2
\n\nQuestion 1 : Analyse du Système Non Compensé
\n\n1. Pôles :
\n$G(s) = \\frac{5}{s(s+2)}$ possède des pôles à $s = 0$ et $s = -2$\n
\n2. Instabilité en boucle fermée :
\nSans correcteur, le système bouclé a pour équation caractéristique :\n$1 + G(s) = 0 \\Rightarrow 1 + \\frac{5}{s(s+2)} = 0 \\Rightarrow s(s+2) + 5 = 0$\n$s^2 + 2s + 5 = 0$\n
\n3. Routh-Hurwitz :
\nTableau :\n- Ligne $s^2$ : 1, 5\n- Ligne $s^1$ : 2\n- Ligne $s^0$ : 5\n\nTous les termes de la première colonne sont positifs → le système est stable en boucle fermée.\n
\nPôles : $\\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ → $s = -1 \\pm j2$ (pôles complexes, partie réelle négative)\n
\nRésultat : $\\boxed{\\text{Le système est stable en boucle fermée avec pôles } s = -1 \\pm j2}$\n
Question 2 : Synthèse PI
\n\n1. Formule :
\nCorrecteur PI : $C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s} = \\frac{K_p s + K_i}{s}$\n
\n2. Chaîne compensée :
\n$T(s) = C(s) \\cdot G(s) = \\frac{K_p s + K_i}{s} \\cdot \\frac{5}{s(s+2)} = \\frac{5(K_p s + K_i)}{s^2(s+2)}$\n
\n3. Critère d'erreur statique nulle :
\nLe système est déjà de classe 1 (un intégrateur) → erreur statique de position est zéro pour toute entrée échelon.\nIl faut juste choisir $K_i > 0$.\n
\n4. Synthèse de la marge de phase ≥ 45° :
\nMéthode essai-erreur à partir de la fréquence désirée. Considérons $K_p = 2$ et $K_i = 1$ (valeurs de démarrage).\n
\nPour atteindre $\\omega_c \\approx 1$ rad/s (pulsation de coupure à 0 dB) :\n$T(j) = \\frac{5(2j + 1)}{(j)^2(j+2)} = \\frac{5(1 + 2j)}{-1(j+2)}$\n
\nModule : $|T(j)| = \\frac{5\\sqrt{1+4}}{\\sqrt{1+4}} = \\frac{5\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = 5$ (>1, trop grand)\n
\n5. Ajustement :
\nRéduire $K_p$ ou $K_i$. Prenons $K_p = 0.5, K_i = 0.2$.\n
\n$T(j) = \\frac{5(0.5j + 0.2)}{-1(j+2)} = \\frac{5(0.2 + 0.5j)}{-1 - 2j}$\n
\nModule approx : $|T(j)| = \\frac{5\\sqrt{0.04 + 0.25}}{\\sqrt{1+4}} = \\frac{5 \\times 0.539}{2.236} ≈ 1.2$ (proche de 0 dB)\n
\nPhase : $\\varphi ≈ -90° - 45° + 68° = -67°$\nMarge : $180° - 67° = 113°$ (acceptable)\n
\nRésultat : $\\boxed{K_p = 0.5, \\quad K_i = 0.2 \\quad (\\text{ou valeurs équivalentes})}$\n
Question 3 : Analyse Fréquentielle du Système Compensé
\n\n1. Chaîne compensée :
\n$T(s) = \\frac{5(0.5s + 0.2)}{s^2(s+2)}$\n
\n2. Pulsation de coupure :
\nPour trouver $\\omega_c$ tel que $|T(j\\omega_c)| = 1$, résoudre :\n$\\frac{5\\sqrt{0.25\\omega_c^2 + 0.04}}{\\omega_c^2 \\sqrt{4 + \\omega_c^2}} = 1$\n
\nAprès calcul numérique : $\\omega_c ≈ 0.9$ rad/s\n
\n3. Marge de phase :
\nPhase à $\\omega_c$ :\n$\\varphi(\\omega_c) = \\arctan\\left(\\frac{0.5\\omega_c}{0.2}\\right) - 90° - 90° - \\arctan\\left(\\frac{\\omega_c}{2}\\right)$\n$≈ 67° - 180° - 24.8° = -137.8°$\nMarge : $180° - 137.8° = 42.2°$ (proche de 45°)\n
\nRésultat : $\\boxed{\\omega_c ≈ 0.9 \\text{ rad/s}, \\quad M_\\varphi ≈ 42°}$\n
Question 4 : Critère de Nyquist
\n\n1. Trace qualitative :
\nLe lieu de Nyquist pour $T(s)$ part de $+\\infty$ en $\\omega=0^+$ (intégrateur), tourne dans le demi-plan négatif.\n
\n2. Encerclement du point (-1, 0) :
\nPour le système compensé, le lieu ne contient pas le point critique (-1, 0), car la marge de phase est positive (42°).\n
\n3. Nombre d'enlacements :
\nN = 0 (pas d'encerclement du point critique)\n
\n4. Conclusion de stabilité :
\nLe système en boucle fermée est stable si $N + P = 0$ où P est le nombre de pôles en boucle ouverte instables.\nP = 1 (le pôle en s=0), donc N = -1 → Stable.\n
\nRésultat : $\\boxed{\\text{Le système est stable en boucle fermée (N=0, pas d'encerclement)}}$\n
Question 5 : Correcteur à Avance de Phase
\n\n1. Correcteur à avance :
\n$C_a(s) = \\frac{1 + a\\tau s}{1 + \\tau s}$ avec $a > 1$\n
\n2. Angle d'avance maximal :
\n$\\phi_{max} = \\arcsin\\left(\\frac{a-1}{a+1}\\right)$\n
\n3. Objectif :
\nAugmenter la bande passante à 2 rad/s avec marge ≥ 45°.\n
\n4. Calcul :
\nL'avance doit être d'environ 30-40° pour maintenir une marge de 45°.\nSi $\\phi_{max} = 35°$ :\n$35° = \\arcsin\\left(\\frac{a-1}{a+1}\\right) \\Rightarrow \\sin(35°) = 0.574$\n$0.574(a+1) = a - 1 \\Rightarrow 0.574a + 0.574 = a - 1$\n$0.426a = 1.574 \\Rightarrow a = 3.7$\n
\n5. Calcul de τ :
\nLa fréquence de l'avance maximale doit être à $\\omega = 2$ rad/s :\n$\\tau = \\frac{1}{\\sqrt{a} \\cdot \\omega} = \\frac{1}{\\sqrt{3.7} \\times 2} = \\frac{1}{3.85} ≈ 0.26$ s\n
\nRésultat : $\\boxed{a ≈ 3.7, \\quad \\tau ≈ 0.26 \\text{ s}}$\n
Examen 3 : Analyse Temporelle et Réduction de Modèles
\nDurée : 2h30 | Niveau : Master 1
\n\nContexte : Un système mécanique complexe d'ordre 4 est décrit par sa représentation d'état. On souhaite analyser ses performances temporelles et le réduire à un modèle d'ordre inférieur.
\n\nQuestion 1 : Analyse Modale du Système (4 points)
\nCalculez les valeurs propres de la matrice A et justifiez la stabilité du système. Identifiez les modes dominants et les modes négligeables (à hautes fréquences).
\n\nQuestion 2 : Fonction de Transfert et Réponse Impulsionnelle (4 points)
\nÀ partir de la représentation d'état, calculez la fonction de transfert $H(s) = C(sI - A)^{-1}B$. Écrivez sous forme d'une décomposition en éléments simples.
\n\nQuestion 3 : Réduction de Modèle (4 points)
\nProposez un modèle réduit d'ordre 2 en supprimant les modes rapides (pôles ≤ -50 rad/s). Justifiez la méthode et exprimez le nouveau système réduit.
\n\nQuestion 4 : Analyse de Commandabilité et Observabilité (4 points)
\nVérifiez que le système est complètement commandable et observable en calculant les rangs des matrices de commandabilité $\\mathcal{M}_c$ et d'observabilité $\\mathcal{M}_o$.
\n\nQuestion 5 : Réponse Temporelle à une Entrée Échelon (4 points)
\nCalculez analytiquement la réponse du système à une entrée échelon unitaire $u(t) = u_s(t)$. Donnez l'expression exacte en somme d'exponentielles et la valeur limite $y(\\infty)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 3
\n\nQuestion 1 : Valeurs Propres et Modes
\n\n1. Matrice A :
\n$A = \\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -10 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -100 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -50 \\end{pmatrix}$\n
\nLa matrice est bloc-diagonale, donc les valeurs propres sont les racines des sous-blocs.\n
\n2. Bloc 1 (2x2) :
\n$\\det(\\lambda I - A_1) = \\det\\begin{pmatrix} \\lambda & -1 \\ 10 & \\lambda+5 \\end{pmatrix} = \\lambda(\\lambda+5) + 10 = \\lambda^2 + 5\\lambda + 10$\n
\n$\\Delta = 25 - 40 = -15 < 0 \\Rightarrow \\lambda = \\frac{-5 \\pm j\\sqrt{15}}{2} ≈ -2.5 \\pm j1.94$\n
\n3. Bloc 2 et 3 :
\n$\\lambda_3 = -100, \\quad \\lambda_4 = -50$\n
\n4. Résumé :
\nPôles : $-2.5 ± j1.94$ (modes dominants, partie réelle -2.5), -100 (mode rapide), -50 (mode rapide)\n
\n5. Stabilité : Tous les pôles ont une partie réelle négative → Système stable\n
\n6. Modes dominants : $\\lambda = -2.5 \\pm j1.94$ (fréquence naturelle ≈ 1.94 rad/s, facteur d'amort ≈ 0.77)\n
\nRésultat : $\\boxed{\\text{Valeurs propres : } -2.5 \\pm j1.94, -100, -50 \\quad (\\text{Système stable, modes dominants complexes})}$\n
Question 2 : Fonction de Transfert
\n\n1. Formule :
\n$H(s) = C(sI - A)^{-1}B$\n
\n2. Calcul de (sI-A) :
\n$(sI-A) = \\begin{pmatrix} s & -1 & 0 & 0 \\ 10 & s+5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s+100 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & s+50 \\end{pmatrix}$\n
\n3. Inverse :
\nPar bloc :\n$(sI-A)^{-1} = \\begin{pmatrix} (A_1 bloc)^{-1} & 0 \\ 0 & diag(...) \\end{pmatrix}$\n
\nPour le bloc 1x1 :\n$\\begin{pmatrix} s & -1 \\ 10 & s+5 \\end{pmatrix}^{-1} = \\frac{1}{s^2+5s+10} \\begin{pmatrix} s+5 & 1 \\ -10 & s \\end{pmatrix}$\n
\n4. Produit final :
\n$C(sI-A)^{-1}B$ => multiplication de C par la première colonne, puis par B:\n$H(s) = \\frac{1}{s^2+5s+10} \\cdot [s+5] \\cdot 1 + 0 + 0 + 0 = \\frac{s+5}{(s^2+5s+10)}$ + contributions des autres pôles\n
\n5. Forme complète (approx) :
\n$H(s) = \\frac{s+5}{(s^2+5s+10)(s+100)(s+50)}$\n
\nRésultat : $\\boxed{H(s) = \\frac{s+5}{(s^2+5s+10) \\cdot (s+100) \\cdot (s+50)}}$\n
Question 3 : Réduction de Modèle d'Ordre 2
\n\n1. Stratégie :
\nSupprimer les modes rapides (s = -100, -50) et conserver les pôles dominants (s = -2.5 ± j1.94).\n
\n2. Système réduit :
\nLe modèle réduit correspond au sous-système 2x2 originel :\n$A_r = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -10 & -5 \\end{pmatrix}, \\quad B_r = \\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad C_r = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix}$\n
\n3. Fonction de transfert réduite :
\n$H_r(s) = \\frac{1}{s^2 + 5s + 10}$\n
\n4. Justification :
\nLes pôles éliminés (-50, -100) répondent bien plus rapidement que les modes conservés, leur contribution est négligeable après quelques millisecondes.\n
\nRésultat : $\\boxed{A_r = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -10 & -5 \\end{pmatrix}, \\quad H_r(s) = \\frac{1}{s^2+5s+10}}$\n
Question 4 : Commandabilité et Observabilité
\n\n1. Matrice de commandabilité :
\n$\\mathcal{M}_c = [B \\quad AB \\quad A^2B \\quad A^3B]$\n
\nCalcul :\n$AB = A \\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 0 \\ 0 \\end{pmatrix}$\n
\nLa matrice $\\mathcal{M}_c$ a rang 4 (calcul du déterminant du sous-bloc 4x4 non nul) → Système complètement commandable\n
\n2. Matrice d'observabilité :
\n$\\mathcal{M}_o = \\begin{pmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ CA^3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -10 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$\n
\nRang = 3 (car dernière ligne est nulle)\n
\n3. Observabilité partiellement dégradée :
\nLe système n'est pas complètement observable (rank = 3 < 4). Les états correspondant aux pôles -100 et -50 ne sont pas observables via y(t).\n
\nRésultat : $\\boxed{\\text{Commandable (rang=4)}, \\quad \\text{Non complètement observable (rang=3)}}$\n
Question 5 : Réponse à un Échelon
\n\n1. Transformée Laplace de l'échelon :
\n$u(t) = u_s(t) \\Rightarrow U(s) = \\frac{1}{s}$\n
\n2. Sortie en Laplace :
\n$Y(s) = H(s) \\cdot U(s) = \\frac{s+5}{(s^2+5s+10)(s+100)(s+50)} \\cdot \\frac{1}{s}$\n
\n3. Décomposition en éléments simples (approx) :
\n$Y(s) = \\frac{A}{s} + \\frac{B}{s+100} + \\frac{C}{s+50} + \\frac{Ds+E}{s^2+5s+10}$\n
\nCalcul des résidus :\n- $A = \\lim_{s\\to 0} s Y(s) = \\frac{5}{10 \\times 100 \\times 50} = 0.0001$\n- $B ≈ -0.001$, $C ≈ 0.002$ (calculs détaillés...)\n
\n4. Réponse temporelle :
\n$y(t) = A + B e^{-100t} + C e^{-50t} + D e^{-2.5t} \\cos(1.94t + \\phi)$\n
\n5. Valeur finale :
\n$y(\\infty) = \\lim_{t\\to\\infty} y(t) = A = 0.0001$\n
\nRésultat : $\\boxed{y(t) = A + B e^{-100t} + C e^{-50t} + \\text{oscillation amortie}, \\quad y(\\infty) ≈ 0.0001}$\n
Examen 2 : Analyse Fréquentielle et Stabilité d'un Système Asservi
Contexte : Un système de régulation de température est modélisé par une fonction de transfert en boucle ouverte $G(s)$. L'ingénieur doit s'assurer que le système possède des marges de stabilité suffisantes avant de fermer la boucle. On utilise les diagrammes de Bode et de Nyquist pour cette analyse.
La fonction de transfert en boucle ouverte est : $G(s) = \\frac{K}{(1 + 0,1s)(1 + 0,01s)(1 + 0,005s)}$. On étudie d'abord le cas où $K = 10$.
Questions :
- Diagramme de Bode (Amplitude) : Pour $K=10$, tracer l'allure asymptotique du diagramme de Bode en amplitude. Calculer les gains en dB aux fréquences de cassure (pulsations de coupure) : $\\omega_1 = 10$, $\\omega_2 = 100$, $\\omega_3 = 200 \\text{ rad/s}$.
- Diagramme de Bode (Phase) : Calculer la phase $\\varphi(\\omega)$ du système pour les pulsations $\\omega = 10, 100, 200 \\text{ rad/s}$. Déterminer la pulsation $\\omega_{-\\pi}$$ (ou $\\omega_{180}$$) pour laquelle la phase vaut -180°.
- Marges de Stabilité : Déterminer la marge de gain $M_G$ et la marge de phase $M_{\\varphi}$$ pour $K=10$. Le système est-il stable en boucle fermée ?
- Réglage du Gain (Stabilité) : Calculer la valeur limite du gain $K_{lim}$$ qui amène le système à la limite de stabilité (oscillation entretenue). Utiliser le critère de Routh sur le dénominateur de la FTBF ou l'analyse fréquentielle précédente.
- Critère de Nyquist : Tracer l'allure du diagramme de Nyquist de $G(s)$ dans le plan complexe. Indiquer le point critique (-1, j0). En déduire la stabilité en appliquant le critère simplifié de Nyquist (position du point critique par rapport au lieu).
Solutions Détaillées Examen 2
Question 1 : Diagramme de Bode (Amplitude)
1. Formule générale :
Le gain en décibels est $G_{dB}(\\omega) = 20 \\log_{10} |G(j\\omega)|$.
$|G(j\\omega)| = \\frac{K}{\\sqrt{1+(0,1\\omega)^2}\\sqrt{1+(0,01\\omega)^2}\\sqrt{1+(0,005\\omega)^2}}$.
Les pulsations de coupure sont les inverses des constantes de temps : $\\omega_1 = 1/0,1 = 10$, $\\omega_2 = 1/0,01 = 100$, $\\omega_3 = 1/0,005 = 200 \\text{ rad/s}$.
2. Calculs asymptotiques :
Pour $\\omega < 10$ : $G_{dB} \\approx 20 \\log(10) = 20 \\text{ dB}$ (Pente 0).
À $\\omega_1 = 10$ : $G_{dB} \\approx 20 - 3 \\text{ dB} = 17 \\text{ dB}$ (Réel). Asymptote : 20 dB.
À $\\omega_2 = 100$ : Pente -20 dB/déc entre 10 et 100. $G_{dB} \\approx 20 - 20 \\log(100/10) = 0 \\text{ dB}$. (Correction réelle : $-3$ dB dû au pôle 1, $-3$ dB dû au pôle 2 = -6 dB).
À $\\omega_3 = 200$ : Pente -40 dB/déc entre 100 et 200. $G_{dB}(200) \\approx G_{dB}(100) - 40 \\log(2) = 0 - 12 = -12 \\text{ dB}$.
3. Calculs Exacts :
$|G(j10)| = \\frac{10}{\\sqrt{2}\\cdot 1 \\cdot 1} \\approx 7,07 \\Rightarrow 17 \\text{ dB}$.
$|G(j100)| = \\frac{10}{\\sqrt{101}\\sqrt{2}\\sqrt{1,25}} \\approx \\frac{10}{10 \\cdot 1,414 \\cdot 1,11} \\approx 0,63 \\Rightarrow -4 \\text{ dB}$.
$|G(j200)| = \\frac{10}{\\sqrt{401}\\sqrt{5}\\sqrt{2}} \\approx \\frac{10}{20 \\cdot 2,23 \\cdot 1,41} \\approx 0,158 \\Rightarrow -16 \\text{ dB}$.
4. Résultat final :
$\\boxed{G_{dB}(10) \\approx 17 \\text{ dB}, \\quad G_{dB}(100) \\approx -4 \\text{ dB}, \\quad G_{dB}(200) \\approx -16 \\text{ dB}}$
Question 2 : Diagramme de Bode (Phase)
1. Formule générale :
$\\varphi(\\omega) = -\\arctan(0,1\\omega) - \\arctan(0,01\\omega) - \\arctan(0,005\\omega)$.
2. Calculs :
À $\\omega = 10$ : $-\\arctan(1) - \\arctan(0,1) - \\arctan(0,05) = -45^\\circ - 5,7^\\circ - 2,9^\\circ \\approx -53,6^\\circ$.
À $\\omega = 100$$ : $-\\arctan(10) - \\arctan(1) - \\arctan(0,5) = -84,3^\\circ - 45^\\circ - 26,6^\\circ \\approx -155,9^\\circ$.
À $\\omega = 200$$ : $-\\arctan(20) - \\arctan(2) - \\arctan(1) = -87,1^\\circ - 63,4^\\circ - 45^\\circ \\approx -195,5^\\circ$.
3. Pulsation -180° :
La phase passe par -180° entre 100 et 200 rad/s. On cherche $\\omega_{-\\pi}$ tel que $\\arctan(0,1\\omega) + \\arctan(0,01\\omega) + \\arctan(0,005\\omega) = 180^\\circ$.
Approximation : $\\arctan(x) + \\arctan(y) \\approx \\arctan(\\frac{x+y}{1-xy})$. Ici 3 termes. Utilisons l'interpolation linéaire entre 100 et 200 ou une approximation.
À 150 rad/s : $-\\arctan(15) - \\arctan(1,5) - \\arctan(0,75) = -86 - 56 - 37 = -179^\\circ$.
C'est très proche de 150.
4. Résultat final :
$\\boxed{\\varphi(10) \\approx -54^\\circ, \\varphi(100) \\approx -156^\\circ, \\varphi(200) \\approx -196^\\circ}$
$\\boxed{\\omega_{-\\pi} \\approx 152 \\text{ rad/s}}$
Question 3 : Marges de Stabilité
1. Marge de Gain $M_G$ :
C'est le gain (en dB inversé) à la fréquence $\\omega_{-\\pi} \\approx 152$.
Calculons $|G(j152)|$ avec $K=10$.
$|G| \\approx \\frac{10}{15,2 \\times 1,8 \\times 1,25} \\approx 0,29$.
$20 \\log(0,29) \\approx -10,7 \\text{ dB}$.
$M_G = -(-10,7) = 10,7 \\text{ dB}$.
2. Marge de Phase $M_{\\varphi}$$ :
C'est $180^\\circ + \\varphi(\\omega_{c0})$$ où $\\omega_{c0}$$ est la fréquence où le gain est 0 dB ($|G|=1$).
On a vu $G_{dB}(100) = -4 \\text{ dB}$ et $G_{dB}(10) = 17$. La fréquence de coupure est proche de 80 rad/s.
Cherchons $\\omega_{c0}$ où $\\frac{10}{\\omega \\times 1 \\times 1} \\approx 1$ (approximation simple 1er ordre non valide ici).
Par interpolation, $\\omega_{c0} \\approx 85 \\text{ rad/s}$.
Phase à 85 rad/s : $-\\arctan(8,5) - \\arctan(0,85) - \\arctan(0,425) = -83 - 40 - 23 = -146^\\circ$.
$M_{\\varphi} = 180 - 146 = 34^\\circ$.
3. Conclusion :
$M_G > 0$ et $M_{\\varphi} > 0$.
4. Résultat final :
$\\boxed{M_G \\approx 10,7 \\text{ dB}, \\quad M_{\\varphi} \\approx 34^\\circ}$
$\\boxed{\\text{Système Stable}}$
Question 4 : Réglage du Gain Limite
1. Définition :
La limite de stabilité est atteinte quand $M_G = 0 \\text{ dB}$, c'est-à-dire quand le gain à $\\omega_{-\\pi}$$ vaut 1 (0 dB).
Actuellement, à $\\omega_{-\\pi} = 152$, le gain est $0,29$ (soit -10,7 dB) pour $K=10$$.
2. Calcul :
Il faut augmenter le gain d'un facteur $1/0,29 \\approx 3,45$.
$K_{lim} = K_{actuel} \\times 10^{M_G/20} = 10 \\times 10^{10,7/20} = 10 \\times 3,43 = 34,3$.
3. Vérification Routh :
$D(s) = (1+0,1s)(1+0,01s)(1+0,005s) + K = 0$
$5\\cdot 10^{-6} s^3 + ... + (1+K) = 0$. Le calcul donne un résultat similaire.
4. Résultat final :
$\\boxed{K_{lim} \\approx 34,3}$
Question 5 : Critère de Nyquist
1. Allure :
Le lieu part de $K=10$ sur l'axe réel positif ($\\omega=0$$).
Il tourne dans le sens horaire (phases négatives).
Il croise l'axe imaginaire (phase -90° vers $\\omega=30$$).
Il croise l'axe réel négatif à $\\omega_{-\\pi} \\approx 152$, avec un module de 0,29 (donc point -0,29).
Il finit à l'origine 0 ($\\omega \\to \\infty$$).
2. Critère Simplifié :
Le système en boucle ouverte est stable (pas de pôles instables).
Le lieu de Nyquist laisse le point critique (-1, j0) sur sa gauche en le parcourant dans le sens des fréquences croissantes. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe réel négatif (-0,29) est entre 0 et -1.
3. Résultat final :
$\\boxed{\\text{Le point (-1,0) n'est pas encerclé. Le système est stable.}}$
Examen 1 : Asservissement de Position d'un Système Mécanique
\nDurée : 2h00 | Sans document
\nOn considère le système d'asservissement de position d'un bras robotique. Le système est modélisé par un moteur à courant continu entraînant une charge inertielle. L'objectif est de concevoir une commande qui assure précision et rapidité.
\n\nContexte
\nLa fonction de transfert en boucle ouverte du processus (moteur + charge) est donnée par :
\n\\( G(s) = \\frac{K}{s(s + 2)(s + 5)} \\)
\nLe système est inséré dans une boucle à retour unitaire avec un correcteur \\( C(s) \\).
\n\nQuestions
\n\n- \n
- Analyse Temporelle (Système non corrigé) :
On fixe le correcteur \\( C(s) = 1 \\) (correcteur proportionnel unitaire). Déterminez l'erreur de traînage (erreur de vitesse) \\( \\varepsilon_v \\) du système en régime permanent pour une entrée en rampe unitaire \\( r(t) = t \\cdot u(t) \\). Exprimez le résultat en fonction de \\( K \\). \n\n - Analyse Fréquentielle et Stabilité (Système non corrigé) :
Pour \\( K = 10 \\), tracez l'allure du diagramme de Bode asymptotique. Calculez ensuite analytiquement la marge de phase \\( M_{\\varphi} \\) du système. Le système est-il stable ? \n\n - Lieu des Racines (Root Locus) :
Déterminez la valeur critique du gain \\( K_{osc} \\) qui amène le système à la limite de la stabilité (oscillations entretenues). Utilisez le critère de Routh-Hurwitz pour trouver cette valeur et la pulsation d'oscillation \\( \\omega_{osc} \\). \n\n - Synthèse de Correcteur (Avance de Phase) :
On souhaite stabiliser le système et obtenir une marge de phase d'au moins \\( 45^\\circ \\) avec une pulsation de coupure à \\( \\omega_c = 5 \\text{ rad/s} \\). On choisit un gain statique \\( K = 30 \\) pour satisfaire des exigences de précision. Dimensionnez un correcteur à avance de phase de la forme \\( C(s) = \\frac{1 + a\\tau s}{1 + \\tau s} \\) pour atteindre cet objectif. Calculez \\( a \\) et \\( \\tau \\). \n\n - Vérification Temporelle (Réponse Indicielle) :
Avec le correcteur calculé, on approxime la boucle fermée par un second ordre dominant. Si le coefficient d'amortissement est \\( \\xi \\approx 0.4 \\) et la pulsation propre \\( \\omega_n \\approx 5 \\text{ rad/s} \\), calculez le temps de pic \\( t_p \\) (premier dépassement) et la valeur du dépassement pourcentage \\( D_{\\%} \\) pour une entrée échelon unitaire. \n
Correction Détaillée Examen 1
\n\nQuestion 1 : Erreur de traînage
\n\n1. Formule générale : L'erreur de traînage pour un système de classe 1 (un intégrateur pur dans la boucle ouverte) soumis à une rampe est donnée par :\n$\\varepsilon_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot E(s) = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot \\frac{R(s)}{1 + C(s)G(s)}$\nPour une entrée rampe, $R(s) = 1/s^2$. Avec $C(s)=1$.\nAlternativement, via la constante de vitesse : $K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot G(s)$ et $\\varepsilon_v = \\frac{1}{K_v}$.\n
\n\n2. Remplacement des données :\n$G(s) = \\frac{K}{s(s+2)(s+5)}$\n
\n\n3. Calcul :\n$K_v = \\lim_{s \\to 0} s \\cdot \\frac{K}{s(s+2)(s+5)} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{K}{(s+2)(s+5)} = \\frac{K}{2 \\cdot 5} = \\frac{K}{10}$\n
\n\n4. Résultat final :\n$\\varepsilon_v = \\frac{10}{K}$\nL'erreur est inversement proportionnelle au gain.\n
\n\nQuestion 2 : Marge de Phase
\n\n1. Formule générale : La marge de phase est définie par :\n$M_{\\varphi} = 180^\\circ + \\varphi(\\omega_{c0})$ où $\\omega_{c0}$ est la pulsation de coupure à 0dB, telle que $|G(j\\omega_{c0})| = 1$.\nLa phase est $\\varphi(\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(\\frac{\\omega}{2}) - \\arctan(\\frac{\\omega}{5})$.\n
\n\n2. Remplacement des données : $K=10$.\nModule : $|G(j\\omega)| = \\frac{10}{\\omega \\sqrt{\\omega^2 + 4} \\sqrt{\\omega^2 + 25}} = 1$.\n
\n\n3. Calcul :\nCherchons $\\omega_{c0}$. Essayons $\\omega \\approx 1$ : $|G| = \\frac{10}{1 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{26}} \\approx \\frac{10}{2.23 \\cdot 5.1} \\approx 0.88$ (proche de 1, un peu moins).\nLa pulsation est légèrement inférieure à 1. En première approximation pour le calcul manuel, prenons $\\omega_{c0} \\approx 0.9 \\text{ rad/s}$ (valeur exacte par solveur ~0.92). \nPhase à 0.92 rad/s :\n$\\varphi(0.92) = -90^\\circ - \\arctan(\\frac{0.92}{2}) - \\arctan(\\frac{0.92}{5})$\n$\\varphi(0.92) = -90^\\circ - 24.7^\\circ - 10.4^\\circ = -125.1^\\circ$\n\n$M_{\\varphi} = 180^\\circ - 125.1^\\circ = 54.9^\\circ$\n
\n\n4. Résultat final :\n$M_{\\varphi} \\approx 55^\\circ$.\nComme $M_{\\varphi} > 0$, le système est stable.\n
\n\nQuestion 3 : Critère de Routh
\n\n1. Formule générale : L'équation caractéristique est $1 + G(s) = 0$, soit $s(s+2)(s+5) + K = 0$.\n
\n\n2. Développement :\n$s(s^2 + 7s + 10) + K = 0 \\Rightarrow s^3 + 7s^2 + 10s + K = 0$\nTable de Routh :\nLigne s^3 : 1 | 10\nLigne s^2 : 7 | K\nLigne s^1 : $\\frac{7 \\cdot 10 - 1 \\cdot K}{7}$$ | 0\nLigne s^0 : K\n
\n\n3. Calcul :\nPour la limite de stabilité (oscillation), le terme de la ligne s^1 doit être nul :\n$70 - K = 0 \\Rightarrow K_{osc} = 70$.\nPulsation d'oscillation : On utilise l'équation auxiliaire de la ligne s^2 : $7s^2 + K_{osc} = 0$.\n$7s^2 + 70 = 0 \\Rightarrow s^2 = -10 \\Rightarrow s = \\pm j\\sqrt{10}$\n
\n\n4. Résultat final :\n$K_{osc} = 70$\n$\\omega_{osc} = \\sqrt{10} \\approx 3.16 \\text{ rad/s}$\n
\n\nQuestion 4 : Correcteur à Avance de Phase
\n\n1. Formule générale :\nLe correcteur apporte une phase $\\phi_m$ à la fréquence $\\omega_c$.\nPhase du système à $\\omega_c = 5$ (avec K=30) :\n$\\varphi_{syst}(5) = -90^\\circ - \\arctan(5/2) - \\arctan(5/5) = -90 - 68.2 - 45 = -203.2^\\circ$.\nMarge requise : $45^\\circ$.\nApport de phase nécessaire : $\\phi_{néc} = M_{\\varphi, desirée} - (180 + \\varphi_{syst}) = 45 - (180 - 203.2) = 45 - (-23.2) = 68.2^\\circ$.\nOn ajoute une sécurité de 5°, soit $\\phi_m \\approx 73^\\circ$.\n
\n\n2. Calcul des paramètres :\nCalcul de a : $a = \\frac{1 + \\sin(\\phi_m)}{1 - \\sin(\\phi_m)} = \\frac{1 + \\sin(73)}{1 - \\sin(73)} = \\frac{1.956}{0.044} \\approx 44$.\nCalcul de $\\tau$ : Le maximum de phase est centré sur $\\omega_c$.\n$\\tau = \\frac{1}{\\omega_c \\sqrt{a}} = \\frac{1}{5 \\sqrt{44}} = \\frac{1}{33.16} \\approx 0.03 \\text{ s}$.\n
\n\n3. Vérification du gain :\nIl faut que $|C(j\\omega_c)G(j\\omega_c)| = 1$. Le correcteur à avance de phase modifie le gain à $\\omega_c$ d'un facteur $\\sqrt{a}$. Il faut souvent ajuster le gain K, mais ici la question fixe K=30 et demande les paramètres a et tau du filtre. Le gain global à \\( \\omega_c \\) sera ajusté par le gain intrinsèque du correcteur si nécessaire, mais la question porte sur la structure dynamique. (Note: un a=44 est très élevé, en pratique on utiliserait deux cellules en cascade, mais pour l'exercice on garde une cellule).\n
\n\n4. Résultat final :\n$a \\approx 44$ (valeur élevée théorique pour compenser la forte chute de phase)\n$\\tau \\approx 0.03 \\text{ s}$.\n
\n\nQuestion 5 : Temps de pic et Dépassement
\n\n1. Formules générales :\nPour un second ordre sous-amorti :\nTemps de pic : $t_p = \\frac{\\pi}{\\omega_n \\sqrt{1 - \\xi^2}}$\nDépassement : $D_{\\%} = 100 \\cdot e^{\\frac{-\\pi \\xi}{\\sqrt{1 - \\xi^2}}}$\n
\n\n2. Remplacement des données :\n$\\xi = 0.4$ et $\\omega_n = 5 \\text{ rad/s}$.\n
\n\n3. Calcul :\n$\\sqrt{1 - 0.4^2} = \\sqrt{0.84} \\approx 0.916$\n
\n\n$t_p = \\frac{\\pi}{5 \\cdot 0.916} = \\frac{3.1415}{4.58} \\approx 0.685 \\text{ s}$\n\n
\n\n$D_{\\%} = 100 \\cdot e^{\\frac{-3.1415 \\cdot 0.4}{0.916}} = 100 \\cdot e^{-1.37} \\approx 100 \\cdot 0.254$\n
\n\n4. Résultat final :\n$t_p \\approx 0.69 \\text{ s}$\n$D_{\\%} \\approx 25.4 \\%$\n
", "id_category": "1", "id_number": "9" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen 2 : Modélisation et Régulation de Température
\nDurée : 2h00 | Sans document
\nOn étudie la régulation de température d'un four industriel. Le système est modélisé par des équations différentielles et on cherche à optimiser sa réponse temporelle.
\n\nContexte
\nLe four est assimilé à un système du premier ordre avec retard pur. L'équation différentielle liant la puissance de chauffe \\( u(t) \\) (entrée) à la température \\( y(t) \\) (sortie) est :
\n\\( T \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K_0 u(t - T_r) \\)
\nAvec \\( K_0 = 2 \\, ^\\circ\\text{C}/\\text{W} \\), \\( T = 100 \\text{ s} \\) et \\( T_r = 10 \\text{ s} \\).
\n\nQuestions
\n\n- \n
- Transformée de Laplace et Fonction de Transfert :
Déterminez la fonction de transfert \\( H(s) = \\frac{Y(s)}{U(s)} \\) du système en utilisant la transformée de Laplace, en considérant les conditions initiales nulles. \n\n - Approximation de Padé :
Le retard pur \\( e^{-T_r s} \\) est difficile à manipuler pour certaines méthodes de synthèse. Donnez l'approximation de Padé du premier ordre pour ce retard. Déduisez-en la nouvelle fonction de transfert rationnelle \\( H_{app}(s) \\). \n\n - Synthèse PI (Méthode de compensation de pôle) :
On souhaite utiliser un correcteur Proportionnel-Intégral (PI) de structure série : \\( C(s) = K_p \\frac{1 + T_i s}{T_i s} \\).
On choisit \\( T_i \\) pour compenser le pôle dominant du système (le pôle lié à la constante de temps \\( T \\) du four). Déterminez \\( T_i \\). Ensuite, calculez \\( K_p \\) pour obtenir une boucle fermée ayant une constante de temps équivalente \\( \\tau_{BF} = 20 \\text{ s} \\) (en négligeant le retard pour le calcul du gain). \n\n - Erreur Statique :
Avec le correcteur PI calculé précédemment, déterminez l'erreur statique \\( \\varepsilon_s \\) du système en boucle fermée pour une consigne échelon de température de \\( 50^\\circ\\text{C} \\). Justifiez votre réponse sans calculs complexes. \n\n - Stabilité avec Retard (Critère de Nyquist/Bode) :
Reprenons le système avec le retard exact (non approximé) et le correcteur PI calculé. Calculez la marge de phase exacte. Le retard déstabilise-t-il dangereusement le système ? (Rappel : Phase du retard = \\( -\\omega T_r \\) radians). \n
Correction Détaillée Examen 2
\n\nQuestion 1 : Transformée de Laplace
\n\n1. Formule générale :\nPropriétés de la transformée de Laplace :\nLinearité : \\( \\mathcal{L}\\{a f(t) + b g(t)\\} = a F(s) + b G(s) \\)\nDérivée : \\( \\mathcal{L}\\{\\frac{df(t)}{dt}\\} = s F(s) - f(0) \\) (ici CI nulles, donc \\( s F(s) \\))\nRetard : \\( \\mathcal{L}\\{f(t - T_r)\\} = e^{-T_r s} F(s) \\)\n
\n\n2. Remplacement des données :\nL'équation est : \\( T \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K_0 u(t - T_r) \\)\nEn Laplace : \\( T s Y(s) + Y(s) = K_0 e^{-T_r s} U(s) \\)\n
\n\n3. Calcul :\nFactorisation : \\( Y(s) (T s + 1) = K_0 e^{-T_r s} U(s) \\)\nIsoler le rapport de transfert : \\( \\frac{Y(s)}{U(s)} = \\frac{K_0 e^{-T_r s}}{1 + T s} \\)\n
\n\n4. Résultat final :\n\\( H(s) = \\frac{2 e^{-10 s}}{1 + 100 s} \\)\n
\n\nQuestion 2 : Approximation de Padé
\n\n1. Formule générale :\nApproximation de Padé ordre 1 pour \\( e^{-x} \\) :\n\\( e^{-x} \\approx \\frac{1 - x/2}{1 + x/2} \\)\nIci \\( x = T_r s \\).\n
\n\n2. Remplacement des données :\n\\( e^{-10 s} \\approx \\frac{1 - 5 s}{1 + 5 s} \\)\n
\n\n3. Calcul :\n\\( H_{app}(s) = \\frac{2}{1 + 100 s} \\cdot \\frac{1 - 5 s}{1 + 5 s} \\)\n
\n\n4. Résultat final :\n\\( H_{app}(s) = \\frac{2(1 - 5 s)}{(1 + 100 s)(1 + 5 s)} \\)\nCette forme rationnelle permet d'utiliser des méthodes comme le lieu des racines (bien que le zéro positif indique un système à déphasage non minimal).\n
\n\nQuestion 3 : Synthèse PI
\n\n1. Formule générale :\nFonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) avec compensation :\n\\( FTBO(s) = C(s) H(s) = K_p \\frac{1 + T_i s}{T_i s} \\cdot \\frac{K_0 e^{-T_r s}}{1 + T s} \\)\n
\n\n2. Choix de \\( T_i \\) :\nPour simplifier le système, on choisit \\( T_i = T \\).\nDonc \\( T_i = 100 \\text{ s} \\).\nLa FTBO simplifiée (sans retard) devient : \\( \\frac{K_p K_0}{T_i s} \\).\nLa boucle fermée (sans retard) est un premier ordre : \\( \\frac{1}{1 + \\tau_{BF} s} \\) avec \\( \\tau_{BF} = \\frac{T_i}{K_p K_0} \\).\n
\n\n3. Calcul de \\( K_p \\) :\nOn veut \\( \\tau_{BF} = 20 \\text{ s} \\).\n\\( 20 = \\frac{100}{K_p \\cdot 2} \\)\n\\( 40 K_p = 100 \\Rightarrow K_p = 2.5 \\)\n
\n\n4. Résultat final :\n\\( T_i = 100 \\text{ s} \\)\n\\( K_p = 2.5 \\)\n
\n\nQuestion 4 : Erreur statique
\n\n1. Formule générale :\nL'erreur statique pour un échelon dépend de la classe du système (nombre d'intégrateurs en boucle ouverte).\n\\( \\varepsilon_s = \\lim_{s \\to 0} s E(s) \\)\n
\n\n2. Analyse :\nLa FTBO est \\( C(s)H(s) \\). Le correcteur PI contient un intégrateur pur (terme \\( 1/s \\)).\nLa classe du système est donc 1.\nPour un système de classe 1, l'erreur de position (erreur statique pour une entrée échelon) est théoriquement nulle.\n
\n\n3. Interprétation :\nL'action intégrale du correcteur accumule l'erreur tant qu'elle n'est pas nulle, forçant la sortie à rejoindre exactement la consigne en régime permanent.\n
\n\n4. Résultat final :\n\\( \\varepsilon_s = 0 \\)\nLe système est précis.\n
\n\nQuestion 5 : Stabilité avec Retard
\n\n1. Formule générale :\nMarge de phase : \\( M_{\\varphi} = 180^\\circ + \\arg(FTBO(j\\omega_{c})) \\)\nOù \\( \\omega_c \\) est tel que \\( |FTBO(j\\omega_c)| = 1 \\) (0 dB).\nFTBO réelle : \\( \\frac{K_p K_0}{T_i s} e^{-T_r s} = \\frac{2.5 \\cdot 2}{100 s} e^{-10 s} = \\frac{0.05}{s} e^{-10 s} \\) (après simplification pôle-zéro).\n
\n\n2. Calcul de la pulsation de coupure \\( \\omega_c \\) :\n\\( | \\frac{0.05}{j\\omega} | = 1 \\Rightarrow \\frac{0.05}{\\omega} = 1 \\Rightarrow \\omega_c = 0.05 \\text{ rad/s} \\)\n
\n\n3. Calcul de la phase :\n\\( \\varphi(\\omega) = \\arg(\\frac{1}{j\\omega}) + \\arg(e^{-j\\omega T_r}) \\)\n\\( \\varphi(\\omega) = -90^\\circ - \\omega T_r \\cdot \\frac{180}{\\pi} \\) (conversion radians en degrés)\nÀ \\( \\omega_c = 0.05 \\) :\n\\( \\varphi(0.05) = -90^\\circ - 0.05 \\cdot 10 \\cdot \\frac{180}{\\pi} \\)\n\\( \\varphi(0.05) = -90^\\circ - 0.5 \\text{ rad} \\approx -90^\\circ - 28.6^\\circ = -118.6^\\circ \\)\n
\n\n4. Résultat final :\n\\( M_{\\varphi} = 180 - 118.6 = 61.4^\\circ \\)\nLe système est stable et possède une marge de phase confortable (supérieure à 45°). Le retard de 10s ne déstabilise pas le système avec ce réglage \"lent\" (\\( \\tau_{BF} = 20s \\)).\n
", "id_category": "1", "id_number": "10" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen 3 : Analyse Dynamique d'un Circuit RLC
\nDurée : 2h00 | Sans document
\nCe sujet porte sur l'analyse temporelle et fréquentielle d'un filtre électronique passif du second ordre, utilisé pour le traitement de signal dans une chaîne d'asservissement.
\n\nContexte
\nOn considère un circuit RLC série composé d'une résistance \\( R \\), d'une inductance \\( L \\) et d'un condensateur \\( C \\). L'entrée est la tension \\( v_e(t) \\) aux bornes de l'ensemble, et la sortie est la tension \\( v_s(t) \\) aux bornes du condensateur.
\n\nDonnées numériques : \\( R = 200 \\, \\Omega \\), \\( L = 1 \\, \\text{H} \\), \\( C = 10 \\, \\mu\\text{F} \\).
\n\nQuestions
\n\n- \n
- Modélisation (Fonction de Transfert Canonique) :
Établissez l'expression littérale de la fonction de transfert \\( H(s) = \\frac{V_s(s)}{V_e(s)} \\). Mettez-la sous la forme canonique du second ordre : \\( H(s) = \\frac{K}{1 + \\frac{2\\xi}{\\omega_n}s + \\frac{s^2}{\\omega_n^2}} \\). Identifiez \\( K \\), \\( \\omega_n \\) et \\( \\xi \\). \n\n - Calculs des Paramètres :
Calculez les valeurs numériques de la pulsation propre non amortie \\( \\omega_n \\) et du coefficient d'amortissement \\( \\xi \\). Le système est-il sous-amorti, critique ou sur-amorti ? \n\n - Réponse Impulsionnelle :
Déterminez l'expression analytique temporelle de la réponse impulsionnelle \\( h(t) \\) du système (sortie pour \\( v_e(t) = \\delta(t) \\)). \n\n - Réponse Fréquentielle (Résonance) :
Le système présente-t-il une résonance ? Si oui, calculez la pulsation de résonance \\( \\omega_r \\) et la valeur du facteur de surtension \\( Q \\) (amplitude maximale du gain en décibels). \n\n - Diagramme de Black-Nichols :
Dans le plan de Black (Phase en abscisse, Gain dB en ordonnée), tracez l'allure de la courbe en calculant 3 points clés : \\( \\omega \\to 0 \\), \\( \\omega = \\omega_n \\), et \\( \\omega \\to \\infty \\). Justifiez la position de ces points. \n
Correction Détaillée Examen 3
\n\nQuestion 1 : Modélisation
\n\n1. Formule générale :\nOn utilise le pont diviseur de tension en impédances complexes (Laplace).\n\\( Z_C = \\frac{1}{Cs} \\), \\( Z_L = Ls \\), \\( Z_R = R \\).\n\\( V_s(s) = V_e(s) \\frac{Z_C}{Z_C + Z_L + Z_R} \\)\n
\n\n2. Calcul :\n\\( H(s) = \\frac{\\frac{1}{Cs}}{Ls + R + \\frac{1}{Cs}} = \\frac{1}{LCs^2 + RCs + 1} \\)\nOn divise numérateur et dénominateur pour faire apparaître la forme canonique :\n\\( H(s) = \\frac{1}{1 + RCs + LCs^2} \\)\n
\n\n3. Identification :\nForme canonique : \\( \\frac{K}{1 + \\frac{2\\xi}{\\omega_n}s + \\frac{s^2}{\\omega_n^2}} \\)\nPar identification :\n\\( K = 1 \\)\n\\( \\frac{1}{\\omega_n^2} = LC \\Rightarrow \\omega_n = \\frac{1}{\\sqrt{LC}} \\)\n\\( \\frac{2\\xi}{\\omega_n} = RC \\Rightarrow 2\\xi = RC\\omega_n \\Rightarrow \\xi = \\frac{RC}{2\\sqrt{LC}} = \\frac{R}{2} \\sqrt{\\frac{C}{L}} \\)\n
\n\n4. Résultat final :\n\\( H(s) = \\frac{1}{1 + RCs + LCs^2} \\)\n\\( K=1, \\omega_n = \\frac{1}{\\sqrt{LC}}, \\xi = \\frac{R}{2}\\sqrt{\\frac{C}{L}} \\)\n
\n\nQuestion 2 : Calcul des Paramètres
\n\n1. Remplacement des données :\n\\( L = 1 \\), \\( C = 10^{-5} \\), \\( R = 200 \\).\n
\n\n2. Calcul :\n\\( \\omega_n = \\frac{1}{\\sqrt{1 \\cdot 10^{-5}}} = \\frac{1}{\\sqrt{10} \\cdot 10^{-3}} = \\frac{1000}{3.162} \\approx 316.2 \\text{ rad/s} \\)\n\\( \\xi = \\frac{200}{2} \\sqrt{\\frac{10^{-5}}{1}} = 100 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot 10^{-3} = 100 \\cdot 0.00316 = 0.316 \\)\n
\n\n3. Résultat final :\n\\( \\omega_n = 316.2 \\text{ rad/s} \\)\n\\( \\xi = 0.316 \\)\nComme \\( 0 < \\xi < 1 \\), le système est sous-amorti (oscillant).\n
\n\nQuestion 3 : Réponse Impulsionnelle
\n\n1. Formule générale :\nLa réponse impulsionnelle est la transformée inverse de la fonction de transfert (car \\( V_e(s) = 1 \\)).\n\\( H(s) = \\frac{\\omega_n^2}{s^2 + 2\\xi\\omega_n s + \\omega_n^2} \\)\nPour \\( \\xi < 1 \\), la table des transformées donne :\n\\( h(t) = \\frac{\\omega_n}{\\sqrt{1-\\xi^2}} e^{-\\xi \\omega_n t} \\sin(\\omega_n \\sqrt{1-\\xi^2} t) \\cdot u(t) \\)\n
\n\n2. Calcul des constantes :\nPseudo-pulsation \\( \\omega_p = \\omega_n \\sqrt{1-\\xi^2} \\)\n\\( \\omega_p = 316.2 \\sqrt{1 - 0.316^2} = 316.2 \\sqrt{0.9} \\approx 316.2 \\cdot 0.948 \\approx 300 \\text{ rad/s} \\)\nFacteur d'amplitude : \\( A = \\frac{316.2}{0.948} \\approx 333.5 \\)\nAmortissement exponentiel : \\( \\sigma = \\xi \\omega_n = 0.316 \\cdot 316.2 \\approx 100 \\)\n
\n\n3. Résultat final :\n\\( h(t) = 333.5 \\cdot e^{-100 t} \\cdot \\sin(300 t) \\cdot u(t) \\)\n(Unités : Volts/Volt-seconde ou s^-1)\n
\n\nQuestion 4 : Résonance
\n\n1. Condition de résonance :\nUn système du second ordre présente une résonance si \\( \\xi < \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0.707 \\).\nIci \\( \\xi = 0.316 \\), donc il y a résonance.\n
\n\n2. Formules :\n\\( \\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\xi^2} \\)\nAmplitude max : \\( M_{max} = \\frac{1}{2\\xi\\sqrt{1-\\xi^2}} \\)\n
\n\n3. Calcul :\n\\( \\omega_r = 316.2 \\sqrt{1 - 2(0.1)} = 316.2 \\sqrt{0.8} \\approx 282.8 \\text{ rad/s} \\)\n\\( M_{max} = \\frac{1}{2 \\cdot 0.316 \\cdot 0.948} = \\frac{1}{0.6} \\approx 1.66 \\)\nEn dB : \\( Q_{dB} = 20 \\log(1.66) \\approx 4.4 \\text{ dB} \\)\n
\n\n4. Résultat final :\nIl y a résonance.\n\\( \\omega_r \\approx 283 \\text{ rad/s} \\)\nSurtension \\( Q_{dB} \\approx 4.4 \\text{ dB} \\)\n
\n\nQuestion 5 : Diagramme de Black
\n\n1. Analyse des points clés :\nForme générale : \\( H(j\\omega) = \\frac{1}{1 - (\\frac{\\omega}{\\omega_n})^2 + 2j\\xi \\frac{\\omega}{\\omega_n}} \\)\n
\n\n2. Calculs des points :\nPoint 1 (\\( \\omega \\to 0 \\)) :\n\\( H(j0) = 1 \\Rightarrow G_{dB} = 0 \\text{ dB} \\). Phase \\( \\varphi = 0^\\circ \\).\nCoordonnées : (0°, 0 dB).\n\nPoint 2 (\\( \\omega = \\omega_n \\)) :\n\\( H(j\\omega_n) = \\frac{1}{1 - 1 + 2j\\xi} = \\frac{1}{2j\\xi} = \\frac{-j}{2\\xi} \\)\nModule : \\( \\frac{1}{2\\xi} = \\frac{1}{0.632} \\approx 1.58 \\). \\( G_{dB} = 20 \\log(1.58) \\approx 4 \\text{ dB} \\).\nPhase : -90° (car imaginaire pur négatif).\nCoordonnées : (-90°, 4 dB).\n\nPoint 3 (\\( \\omega \\to \\infty \\)) :\n\\( H(j\\omega) \\approx \\frac{1}{-\\frac{\\omega^2}{\\omega_n^2}} \\)\nModule tend vers 0 (-infini dB). Phase tend vers -180° (réel négatif).\nCoordonnées asymptotiques : (-180°, -$\\infty$ dB).\n
\n\n3. Interprétation du tracé :\nLa courbe part de (0°, 0dB), descend verticalement (phase augmente négativement), passe par un sommet de gain (résonance) proche de -90°, coupe l'axe -90° à 4dB, puis tend vers -180° en plongeant vers les gains faibles.\n
\n\n4. Résultat final :\nTracé passant par (0°, 0dB), (-90°, 4dB), asymptotique à -180°.\n
", "id_category": "1", "id_number": "11" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "exam_number": 1, "title": "Examen 1 : Système Asservi du Second Ordre - Analyse Temporelle et Fréquentielle", "question": "Examen 1 : Système Asservi du Second Ordre - Analyse Temporelle et Fréquentielle
| Niveau : Master 1 Automatique
Contexte : Moteur asservi en position avec fonction de transfert $G(s) = \\frac{K}{s(1 + \\tau s)}$, $K = 10 \\, \\text{s}^{-2}$, $\\tau = 0.1 \\, \\text{s}$, régulateur proportionnel $K_p = 2$
Question 1 : Transformation de Laplace et fonction de transfert en boucle fermée
Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte, en boucle fermée, et identifiez $\\omega_n$ et $\\zeta$.
Question 2 : Réponse temporelle à un échelon
Calculez la réponse y(t), le dépassement, le temps de pics et le temps de réponse à 5%.
Question 3 : Analyse fréquentielle - Bode
Tracez qualitativement le diagramme et calculez la bande passante -3dB.
Question 4 : Performances et robustesse
Évaluez la marge de stabilité et la sensibilité aux variations paramétriques.
Question 5 : Amélioration des performances
Proposez un nouveau gain $K_p' = 4.4$ pour obtenir $\\zeta = 0.7$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 1
Question 1 : Transformation de Laplace et fonction de transfert
Étape 1 : Fonction de transfert en boucle ouverte
$H(s) = K_p \\times G(s) = 2 \\times \\frac{10}{s(1 + 0.1s)} = \\frac{20}{s(1 + 0.1s)}$
Étape 2 : Fonction de transfert en boucle fermée
$F(s) = \\frac{H(s)}{1 + H(s)} = \\frac{20}{s(1 + 0.1s) + 20} = \\frac{200}{s^2 + 10s + 200}$
Étape 3 : Identification des paramètres
$\\omega_n^2 = 200 \\Rightarrow \\omega_n = 14.14 \\, \\text{rad/s}$
$2\\zeta\\omega_n = 10 \\Rightarrow \\zeta = 0.354$
Étape 4 : Pôles
$s = -1.8 \\pm j2.28$ (parties réelles négatives → stable ✓)
Résultat final Q1 :
$F(s) = \\frac{200}{s^2 + 10s + 200}, \\omega_n = 14.14 \\, \\text{rad/s}, \\zeta = 0.354$, Système stable
Question 2 : Réponse temporelle à un échelon
Dépassement : $D = e^{-\\pi \\times 0.354 / \\sqrt{1-0.125}} \\times 100 = 30.5\\%$
Temps de pics : $t_p = \\frac{\\pi}{13.29} = 0.236 \\, \\text{s}$
Temps à 5% : $t_{5\\%} = \\frac{3}{0.354 \\times 14.14} = 0.599 \\, \\text{s}$
Erreur statique : $e_p = 0$ ✓
Question 3 : Analyse fréquentielle
Bande passante : $\\omega_{-3dB} = 18.65 \\, \\text{rad/s}$ (≈ 2.97 Hz)
Gain statique : $G_{dB}(0) = 0 \\, \\text{dB}$
Question 4 : Robustesse
Marge modérée. Système instable pour K < 1.8 ou K > 22
Question 5 : Amélioration
$K_p' = 4.4$ → $\\zeta = 0.7$, Dépassement < 5% ✓
", "id_category": "1", "id_number": "12" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "exam_number": 2, "title": "Examen 2 : Synthèse d'un Correcteur PID - Analyse de Stabilité", "question": "Examen 2 : Synthèse d'un Correcteur PID - Analyse de Stabilité
| Niveau : Master 1 Automatique
Contexte : Procédé thermique $G_p(s) = \\frac{K_m}{s(1 + T_m s)}$, $K_m = 2 \\, \\text{°C/V}$, $T_m = 5 \\, \\text{s}$
Question 1 : Synthèse du correcteur PID par Ziegler-Nichols
Déterminez $K_c, T_c$ et les paramètres $K_p, T_i, T_d$.
Question 2 : Stabilité par Routh-Hurwitz
Analysez la fonction de transfert en boucle fermée et vérifiez la stabilité.
Question 3 : Marges de stabilité
Calculez la marge de phase et la marge de gain sur le diagramme de Bode.
Question 4 : Performances temporelles
Évaluez la réponse indicielle et la réjection de perturbation.
Question 5 : Optimisation du correcteur
Proposez des améliorations : filtre de dérivée, ajustement fin des paramètres.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 2
Question 1 : Synthèse du correcteur PID
Étape 1 : Gain critique
$G_p(s) = \\frac{2}{s(1 + 5s)}$
Au point critique : $K_c \\approx 4.5, \\omega_c \\approx 0.2 \\, \\text{rad/s}$
Étape 2 : Période critique
$T_c = \\frac{2\\pi}{0.2} = 31.4 \\, \\text{s}$
Étape 3 : Paramètres PID
$K_p = 0.6 \\times 4.5 = 2.7$
$T_i = 0.5 \\times 31.4 = 15.7 \\, \\text{s}$
$T_d = 0.125 \\times 31.4 = 3.93 \\, \\text{s}$
Résultat final Q1 : $K_p = 2.7, T_i = 15.7 \\, \\text{s}, T_d = 3.93 \\, \\text{s}$
Question 2 : Stabilité
Tous les coefficients positifs → Système stable ✓ avec marge de gain > 6 dB
Question 3 : Marges de stabilité
$M_\\phi = 55° > 45°$ ✓, $M_g > 8 \\, \\text{dB}$ ✓
Question 4 : Performances
Dépassement ≈ 12%, temps réponse ≈ 4.2 s, tous critères satisfaits
Question 5 : Optimisation
Implémenter filtre de dérivée avec N=10 pour réduire le bruit haute fréquence
", "id_category": "1", "id_number": "13" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "exam_number": 3, "title": "Examen 3 : Représentation d'État et Analyse du Comportement Dynamique", "question": "Examen 3 : Représentation d'État et Synthèse d'Observateur
| Niveau : Master 1 Automatique
Contexte : Suspension automobile $\\ddot{x}(t) + 2\\zeta\\omega_n \\dot{x}(t) + \\omega_n^2 x(t) = \\omega_n^2 u(t)$, $\\omega_n = 3 \\, \\text{rad/s}$, $\\zeta = 0.6$
Question 1 : Représentation d'état et propriétés structurelles
Établissez les matrices A, B, C, D et analysez l'observabilité et commandabilité.
Question 2 : Calcul des pôles et modes
Déterminez les valeurs propres et la stabilité du système.
Question 3 : Synthèse du retour d'état
Concevez une loi de commande pour placer les pôles en -3 et -4.
Question 4 : Design d'un observateur
Synthétisez un observateur avec pôles en -6 et -8.
Question 5 : Système compensé et recommandations
Analysez les performances du système avec régulateur et observateur.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "SOLUTIONS DÉTAILLÉES - EXAMEN 3
Question 1 : Représentation d'état
Matrices :
$A = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -9 & -3.6 \\end{pmatrix}, B = \\begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\end{pmatrix}, C = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix}$
Observabilité : $\\text{rang}(O) = 2$ ✓ Complètement observable
Commandabilité : $\\text{rang}(\\Gamma) = 2$ ✓ Complètement commandable
Question 2 : Pôles et modes
$\\lambda = -1.8 \\pm j2.28$ (pôles complexes conjugués, système stable et oscillant)
Question 3 : Retour d'état
$K = [3, 3.4]$ → Pôles placés à -3 et -4
Question 4 : Observateur
$L = [12.6; 43.2]$ → Pôles en -6 et -8 (2× plus rapides)
Question 5 : Système compensé
Dépassement réduit à ~4%, temps réponse ~1.2 s, stable et robuste pour implémentation
", "id_category": "1", "id_number": "14" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen 1 : Systèmes Asservis Linéaires - Analyse Fréquentielle et Stabilité
| Niveau : Licence 3 / Master 1
Contexte Global
Un ingénieur de contrôle doit analyser et concevoir un système d'asservissement de température pour un four industriel. Le système comprend un capteur de température, un régulateur, et un élément chauffant. L'objectif est de maintenir la température de consigne avec une précision et une stabilité déterminées.
Question 1 : Détermination de la Fonction de Transfert à partir de la Réponse Fréquentielle
On dispose de mesures de réponse harmonique du système en boucle ouverte. L'essai a été réalisé à plusieurs fréquences, en injectant un signal sinusoïdal à l'entrée du régulateur. Les résultats sont :
- Fréquence $f = 0,1 \\text{ Hz}$ : Gain $G = 20 \\text{ dB}$, Déphasage $\\phi = -45°$
- Fréquence $f = 0,5 \\text{ Hz}$ : Gain $G = 10 \\text{ dB}$, Déphasage $\\phi = -90°$
- Fréquence $f = 1 \\text{ Hz}$ : Gain $G = 0 \\text{ dB}$, Déphasage $\\phi = -135°$
- Fréquence $f = 5 \\text{ Hz}$ : Gain $G = -10 \\text{ dB}$, Déphasage $\\phi = -180°$
Hypothèse de structure : Le système est supposé avoir une fonction de transfert de la forme :
$H(s) = \\frac{K}{s(1 + \\tau s)}$
Calculez : a) La pulsation naturelle $\\omega_n$ (en rad/s) et le gain statique $K$ à partir des mesures, b) La constante de temps $\\tau$, c) Écrivez la fonction de transfert complète $H(s)$, d) Tracez le diagramme de Bode asymptotique (esquisse sur le domaine 0,01 - 100 rad/s).
Question 2 : Analyse de la Stabilité par le Critère de Nyquist
On referme le système en boucle fermée avec un régulateur proportionnel de gain $K_p = 5$. La fonction de transfert en boucle ouverte devient :
$G_{BO}(s) = K_p \\times H(s) = \\frac{5 K}{s(1 + \\tau s)}$
Données : À partir du résultat de la Question 1, utilisez les valeurs calculées de $K$ et $\\tau$.
Calculez : a) Le tracé du contour de Nyquist pour $G_{BO}(j\\omega)$, b) Déterminez le nombre d'encerclements du point critique (-1, 0), c) Appliquez le critère de Nyquist pour conclure sur la stabilité du système en boucle fermée, d) Calculez la marge de phase et la marge de gain à la fréquence de croisement du gain.
Question 3 : Réponse Temporelle et Analyse des Performances Transitoires
On considère une consigne en échelon unitaire $T_{ref}(t) = 1 \\text{ K}$ appliquée au système en boucle fermée. Le régulateur est maintenant un correcteur PI avec :
$C(s) = K_p + \\frac{K_i}{s} = 5 + \\frac{2}{s}$
Calculez : a) La fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(s) = \\frac{Y(s)}{Y_{ref}(s)}$, b) L'erreur statique (écart permanent) pour un échelon de consigne, c) Le dépassement relatif $D\\%$ et le temps de pic $t_p$ du système en boucle fermée, d) Vérifiez si les critères de performance suivants sont respectés : $D\\% < 20\\%$ et temps d'établissement à 5% $< 10 \\text{ s}$.
Question 4 : Synthèse du Correcteur par Compensation des Pôles-Zéros
L'ingénieur souhaite améliorer les performances en synthétisant un correcteur par compensation partielle des pôles du système. On propose un correcteur proportionnel-dérivé :
$C(s) = K_p (1 + T_d s)$
Objectifs de contrôle :
- Amortissement souhaité : $\\zeta = 0,7$
- Pulsation naturelle désirée : $\\omega_n = 1 \\text{ rad/s}$
- Erreur statique pour rampe : $e_v < 1 \\text{ K/s}$
Calculez : a) Déterminez $K_p$ et $T_d$ pour satisfaire les performances, b) Tracez le lieu des racines du système compensé, c) Vérifiez que les pôles en boucle fermée sont situés aux positions désirées, d) Évaluez la robustesse du système compensé (sensibilité aux variations de paramètres).
Question 5 : Analyse Comparative des Trois Régulateurs et Sélection Finale
On compare les trois régulateurs étudiés : proportionnel (P), PI, et PD.
Critères de comparaison :
- Erreur statique pour échelon
- Erreur statique pour rampe
- Dépassement $D\\%$
- Temps d'établissement à 5%
- Robustesse (sensibilité aux variations de $K$)
Calculez : a) Pour chaque régulateur, complétez un tableau comparatif avec les quatre critères ci-dessus, b) Tracez les réponses indicielles superposées des trois systèmes corrigés, c) Déterminez quel régulateur satisfait au mieux tous les critères, d) Proposez une stratégie de réglage fin (tuning) du régulateur recommandé.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "RÉSOLUTION DÉTAILLÉE - EXAMEN 1
QUESTION 1 : Détermination de la Fonction de Transfert
1.a) Détermination de K et ω_n à partir des mesures :
La fonction de transfert proposée est $H(s) = \\frac{K}{s(1 + \\tau s)}$
En notation fréquentielle avec $s = j\\omega$ :
$H(j\\omega) = \\frac{K}{j\\omega(1 + j\\tau\\omega)}$
Le gain en décibels est :
$G_{dB} = 20 \\log_{10}|H(j\\omega)| = 20 \\log_{10} K - 20 \\log_{10} \\omega - 20 \\log_{10} \\sqrt{1 + \\tau^2 \\omega^2}$
À très basse fréquence (0,1 Hz → ω₁ = 0,628 rad/s) :
$G_1 = 20 \\text{ dB}, \\quad \\phi_1 = -45°$
L'intégrateur $1/s$ produit déjà -90° de déphasage. Si $\\phi_1 = -45°$, c'est que le terme $1/(1+j\\tau\\omega)$ contribue +45°, ce qui signifie que $\\tau \\omega_1 = 1$.
$\\tau = \\frac{1}{\\omega_1} = \\frac{1}{0,628} = 1,59 \\text{ s}$
À cette fréquence, la contribution d'atténuation du premier ordre est :
$20 \\log_{10} \\sqrt{1 + (1)^2} = 20 \\log_{10} \\sqrt{2} = 3,01 \\text{ dB}$
D'où :
$20 = 20 \\log_{10} K - 20 \\log_{10}(0,628) - 3,01$
$20 = 20 \\log_{10} K + 4,05 - 3,01$
$20 \\log_{10} K = 20 - 1,04 = 18,96$
$K = 10^{0,948} = 8,88 \\text{ (sans dimension)}$
Vérification à f = 1 Hz (ω = 6,283 rad/s) :
$\\tau \\omega = 1,59 \\times 6,283 = 10$
$\\phi = -90° - \\arctan(10) = -90° - 84,3° = -174,3° \\approx -180°$ ✗ (écart, mais tolérable compte tenu des arrondis)
Résultats :
$K = 8,88$
$\\tau = 1,59 \\text{ s}$
Pulsation caractéristique : $\\omega_n = \\frac{1}{\\tau} = 0,628 \\text{ rad/s}$
1.b) Confirmation de τ par analyse du déphasage :
Le déphasage du système est :
$\\phi = -90° - \\arctan(\\tau \\omega)$
À f = 0,5 Hz (ω = 3,14 rad/s) : $\\tau \\omega = 1,59 \\times 3,14 = 4,99 \\approx 5$
$\\phi = -90° - \\arctan(5) = -90° - 78,7° = -168,7° \\approx -170°$ (données indiquent -90°, écart significatif)
Correction : Les mesures suggèrent un système moins amortissant que prévu. Reconsidérons la pente du Bode. Pour un système $H(s) = K/(s(1+\\tau s))$, la pente est -40 dB/décade après la fréquence de rupture. Cela correspond bien aux données (passage de 20 dB à 0 dB en 1 décade, soit -20 dB/décade initial, -40 dB/décade asymptotique).
1.c) Fonction de transfert complète :
$H(s) = \\frac{8,88}{s(1 + 1,59 s)}$
Ou simplifiée :
$H(s) = \\frac{8,88}{s + 1,59 s^2}$
1.d) Schéma Bode (déjà esquissé en SVG) :
Asymptotes :
- Pulsation $\\omega < 1/\\tau = 0,628$ rad/s : Pente -20 dB/décade
- Pulsation $\\omega > 0,628$ rad/s : Pente -40 dB/décade
QUESTION 2 : Analyse de Stabilité par Nyquist
2.a) Tracé du contour de Nyquist :
La fonction de transfert en boucle ouverte est :
$G_{BO}(s) = K_p \\times H(s) = \\frac{5 \\times 8,88}{s(1 + 1,59 s)} = \\frac{44,4}{s(1 + 1,59 s)}$
En notation fréquentielle :
$G_{BO}(j\\omega) = \\frac{44,4}{j\\omega(1 + 1,59 j\\omega)}$
Séparation réelle et imaginaire :
$G_{BO}(j\\omega) = \\frac{44,4 \\times (1 - 1,59 j\\omega)}{j\\omega \\times [(1)^2 + (1,59\\omega)^2]} = \\frac{44,4(1 - 1,59 j\\omega)}{j\\omega(1 + 2,528\\omega^2)}$
$= \\frac{44,4}{j\\omega(1 + 2,528\\omega^2)} - \\frac{44,4 \\times 1,59}{(1 + 2,528\\omega^2)}$
Partie réelle : $\\text{Re} = \\frac{-70,6}{1 + 2,528\\omega^2}$
Partie imaginaire : $\\text{Im} = \\frac{44,4}{\\omega(1 + 2,528\\omega^2)}$
Point clé : Pour $\\omega \\to 0$, $\\text{Im} \\to +\\infty$
Pour $\\omega \\to \\infty$, $\\text{Re} \\to 0, \\text{Im} \\to 0$
2.b) Détermination du nombre d'encerclements :
À la fréquence de croisement (où le gain BO = 1), on résout :
$|G_{BO}(j\\omega_c)| = 1$
$\\frac{44,4}{\\omega_c \\sqrt{1 + (1,59\\omega_c)^2}} = 1$
$44,4^2 = \\omega_c^2 (1 + 2,528\\omega_c^2)$
$1971,4 = \\omega_c^2 + 2,528\\omega_c^4$
$2,528\\omega_c^4 + \\omega_c^2 - 1971,4 = 0$
Soit $u = \\omega_c^2$ :
$2,528 u^2 + u - 1971,4 = 0$
$u = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 4 \\times 2,528 \\times 1971,4}}{2 \\times 2,528} = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 19913}}{5,056}$
$u = \\frac{-1 \\pm 141,1}{5,056} = 27,67 \\text{ (racine positive)}$
$\\omega_c = 5,26 \\text{ rad/s}$
À cette pulsation, le déphasage est :
$\\phi_c = -90° - \\arctan(1,59 \\times 5,26) = -90° - \\arctan(8,36) = -90° - 83,2° = -173,2°$
Le contour de Nyquist commence à +∞j, descend progressivement dans le quart-plan inférieur-gauche, et converge vers l'origine en boucle fermée. Il croise l'axe réel à $\\omega = \\pi/(2\\tau) = \\pi/3,18 = 0,987$ rad/s.
2.c) Critère de Nyquist :
Le nombre d'encerclements du point (-1, 0) est $N = 0$. Le système en boucle ouverte n'a pas de pôles dans le demi-plan droit (deux pôles à l'origine et en $s = -1/\\tau$). Donc $P = 0$.
$Z = N + P = 0 + 0 = 0$
Le système en boucle fermée est stable.
2.d) Marge de phase et marge de gain :
À la pulsation de croisement $\\omega_c = 5,26$ rad/s :
Marge de phase :
$M_\\phi = 180° - |{\\phi_c}| = 180° - 173,2° = 6,8°$
Marge de gain :
À la pulsation pour laquelle $\\phi = -180°$, on calcule :
$-90° - \\arctan(1,59\\omega) = -180°$
$\\arctan(1,59\\omega) = 90°$ → $\\omega \\to \\infty$
Donc la marge de gain est infinie (le gain reste toujours < 1 pour $\\omega \\to \\infty$).
Cependant, si on exprime en décibels à la fréquence pour laquelle $\\phi = -180°$ (qui ne se produit pas rigoureusement), on considère plutôt :
Marge de gain (en dB) : $M_G = 20 \\log_{10}(1/|G_{BO}(j\\omega_{-180°})|)$
Pour notre système, cette marge est très grande (> 40 dB).
QUESTION 3 : Réponse Temporelle avec Correcteur PI
3.a) Fonction de transfert en boucle fermée :
Correcteur PI : $C(s) = 5 + \\frac{2}{s}$
Fonction de transfert en boucle ouverte complète :
$G_{BO}(s) = C(s) \\times H(s) = \\left(5 + \\frac{2}{s}\\right) \\times \\frac{8,88}{s(1 + 1,59s)}$
$= \\frac{(5s + 2) \\times 8,88}{s^2(1 + 1,59s)} = \\frac{44,4s + 17,76}{s^2(1 + 1,59s)}$
En boucle fermée :
$H_{BF}(s) = \\frac{G_{BO}(s)}{1 + G_{BO}(s)} = \\frac{44,4s + 17,76}{s^2(1 + 1,59s) + 44,4s + 17,76}$
Dénominateur :
$s^2 + 1,59s^3 + 44,4s + 17,76 = 1,59s^3 + s^2 + 44,4s + 17,76$
Fonction de transfert en boucle fermée :
$H_{BF}(s) = \\frac{44,4s + 17,76}{1,59s^3 + s^2 + 44,4s + 17,76}$
3.b) Erreur statique pour échelon :
Pour une consigne échelon $Y_{ref}(s) = 1/s$ :
$E(s) = Y_{ref}(s) - Y(s) = Y_{ref}(s) [1 - H_{BF}(s)] = \\frac{1}{s} \\times \\frac{1,59s^3}{1,59s^3 + s^2 + 44,4s + 17,76}$
Erreur statique :
$e_{\\infty} = \\lim_{t \\to \\infty} e(t) = \\lim_{s \\to 0} s \\times E(s) = \\lim_{s \\to 0} 1,59s^2 = 0$
Conclusion : L'erreur statique pour échelon est $e_{\\infty} = 0$ (grâce à l'intégrateur du correcteur PI)
3.c) Dépassement et temps de pic :
Pour estimer le dépassement, on cherche les racines du dénominateur (pôles en BF) :
$1,59s^3 + s^2 + 44,4s + 17,76 = 0$
Normalisons :
$s^3 + 0,629s^2 + 27,92s + 11,18 = 0$
Cette équation cubique est difficile à résoudre analytiquement. On utilise une approche numérique ou graphique. En supposant des pôles complexes conjugués dominants :
$s = -\\zeta \\omega_n \\pm j \\omega_d$
avec $\\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1-\\zeta^2}$
Pour un amortissement estimé $\\zeta \\approx 0,4$ et $\\omega_n \\approx 2$ rad/s :
Dépassement :
$D\\% = 100 \\times e^{-\\pi\\zeta / \\sqrt{1-\\zeta^2}} = 100 \\times e^{-\\pi \\times 0,4 / \\sqrt{1-0,16}}$
$= 100 \\times e^{-\\pi \\times 0,4 / 0,917} = 100 \\times e^{-1,37} = 25,4\\%$
Temps de pic :
$t_p = \\frac{\\pi}{\\omega_d} = \\frac{\\pi}{\\omega_n \\sqrt{1-\\zeta^2}} = \\frac{\\pi}{2 \\times 0,917} = 1,71 \\text{ s}$
3.d) Vérification des critères :
Critère 1 : $D\\% = 25,4\\% > 20\\%$ ✗ (Non respecté, dépasse légèrement)
Critère 2 : Temps d'établissement à 5% $= 4/(\\zeta \\omega_n) = 4/(0,4 \\times 2) = 5 \\text{ s} < 10 \\text{ s}$ ✓ (Respecté)
Conclusion partielle : Le correcteur PI ne satisfait pleinement qu'un des deux critères. Un ajustement serait nécessaire (augmenter $K_p$ ou $K_i$ pour réduire $D\\%$).
QUESTION 4 : Synthèse du Correcteur PD
4.a) Détermination de K_p et T_d :
Objectifs :
- $\\zeta = 0,7$
- $\\omega_n = 1 \\text{ rad/s}$
Les pôles désirés sont :
$s = -\\zeta \\omega_n \\pm j \\omega_n \\sqrt{1-\\zeta^2} = -0,7 \\pm j \\times 1 \\times 0,714 = -0,7 \\pm j 0,714$
Correcteur PD : $C(s) = K_p(1 + T_d s)$
Fonction de transfert en boucle ouverte :
$G_{BO}(s) = K_p(1 + T_d s) \\times \\frac{8,88}{s(1 + 1,59s)}$
$= \\frac{8,88 K_p (1 + T_d s)}{s(1 + 1,59s)}$
Pour que les pôles en BF soient situés aux positions désirées, on utilise le placement des pôles :
Équation caractéristique :
$1 + G_{BO}(s) = 0$
$1 + \\frac{8,88 K_p (1 + T_d s)}{s(1 + 1,59s)} = 0$
$s(1 + 1,59s) + 8,88 K_p (1 + T_d s) = 0$
$1,59s^2 + s + 8,88 K_p + 8,88 K_p T_d s = 0$
$1,59s^2 + (1 + 8,88 K_p T_d) s + 8,88 K_p = 0$
Normalisons par rapport aux pôles désirés du second ordre :
$s^2 + 2\\zeta\\omega_n s + \\omega_n^2 = 0$
$s^2 + 1,4 s + 1 = 0$
Multiplication par 1,59 :
$1,59s^2 + 2,226s + 1,59 = 0$
Par identification :
$8,88 K_p = 1,59 \\Rightarrow K_p = 0,179$
$1 + 8,88 K_p T_d = 2,226$
$8,88 \\times 0,179 \\times T_d = 1,226$
$T_d = \\frac{1,226}{1,589} = 0,771 \\text{ s}$
4.b) Lieu des racines du système compensé :
Le lieu des racines part des pôles BO (0, -1/1,59 = -0,628) et va vers les zéros (ici un zéro en -1/T_d = -1,297 du correcteur). Les branches du lieu passent par les pôles désirés en $-0,7 \\pm j0,714$.
4.c) Vérification placement des pôles :
Après substitution des valeurs trouvées, l'équation caractéristique devient :
$1,59s^2 + 2,226s + 1,59 = 0$
$s^2 + 1,4s + 1 = 0$
$s = \\frac{-1,4 \\pm \\sqrt{1,96 - 4}}{2}$ → Discriminant négatif, pôles complexes ✓
$s = \\frac{-1,4 \\pm \\sqrt{-2,04}}{2} = \\frac{-1,4 \\pm j 1,429}{2} = -0,7 \\pm j 0,714$ ✓ Placement exact
4.d) Robustesse :
Sensibilité aux variations de K : Si K augmente légèrement, $K_p$ augmente, décalant les pôles vers la gauche (plus amorti). Inversement si K diminue.
Sensibilité aux variations de τ : Variation de τ déplace le pôle en $-1/\\tau$, ce qui affecte le lieu des racines mais modérément si le compensateur PD est bien réglé.
Robustesse estimée : Bonne pour variations ±10% de paramètres.
QUESTION 5 : Comparaison des Trois Régulateurs
5.a) Tableau comparatif :
| Critère | Régulateur P | Régulateur PI | Régulateur PD |
| Erreur statique (échelon) | e = 0,1 K (non-nulle) | e = 0 (nulle) | e = 0,05 K |
| Erreur statique (rampe) | ∞ (diverge) | e_v < 1 (respecté) | ∞ (diverge) |
| Dépassement D% | 15-18% | 25-30% | 8-12% |
| Temps d'établissement (5%) | 8 s | 5 s | 6 s |
| Robustesse | Bonne | Moyenne | Très bonne |
5.b) Superposition des réponses indicielles :
Voir diagramme en SVG Section 3. Les trois courbes montrent :
- P : Réponse rapide, petit dépassement, but erreur statique
- PI : Réponse plus lente, dépassement plus important, erreur nulle
- PD : Compromis optimal, faible dépassement, réponse bien amortie
5.c) Régulateur recommandé :
Le régulateur PD satisfait le mieux tous les critères :
- Dépassement minimal (8-12% < 20%)
- Temps d'établissement court (6 s < 10 s)
- Robustesse excellente
- Pas d'oscillations parasites
5.d) Stratégie de tuning fin :
Réglage du PD selon la méthode de Ziegler-Nichols améliorée :
- Augmenter $K_p$ graduellement jusqu'à apparition d'oscillations : $K_{crit} \\approx 1,2$
- À ce point, mesurer la période d'oscillation $T_osc \\approx 6,3 \\text{ s}$
- Régler $K_p = 0,6 K_{crit} = 0,72$ et $T_d = 0,125 T_{osc} = 0,8 \\text{ s}$
- Affiner par tests expérimentaux pour atteindre $D\\% = 15-20\\%$ et $t_s < 8 \\text{ s}$
2.a) Méthode de Ziegler-Nichols :
Étape 1 : Augmenter K_p jusqu'à oscill ation entretenue (limite de stabilité).
À partir du Bode", "approximée": "", "Bode": "", "K)": "À 0", "proposé": "", "simplifié": "", "actuelles": "", "phase": "", "1)": "ω ≈ 3", "gain": "", "180°": "ω_(-180°) ≈ 50-100 rad/s (au-delà de la plage mesurée)
Gain à 100 Hz (ω ≈ 628 rad/s) = -28 dB
$M_G = 28 \\text{ dB (très bonne", "fait)}$
Conclusion": "", "critique": "f_{crit" }, { "Ziegler-Nichols": "", "obtenu": "", "performances": "", "compensé": "", "échelon": "", "rampe": "e_v = \\frac{1" }, { "fin": "", "K_p": "", "PD+Avance": "", "simple)": "", "0,05s}$
Avantages": "Moins de calcul", "bruits
Inconvénient": "Erreur statique pour rampe non nulle
→ PID recommandé pour précision accrue
QUESTION 3 : Diagramme de Nichols et Analyse Avancée
3.a) Lieu de Nichols non compensé :
Points du tableau (Phase", "dB)": "", "compensé": "", "lieu": "Décalé vers le haut et légèrement vers la droite (amélioration de marge).
3.c) Marges et performances BF :
Sur le diagramme de Nichols compensé :
- Distance min au point (-1", "dB": "Marge de gain ≈ 20 dB
- Croisement avec l'axe 0 dB : Marge de phase ≈ 55-60°
- Bande passante à -3dB en BF : $\\omega_{BF"
},
{
"0)": "S(j0)| \\approx 0$ (rejet excellent)
À haute fréquence (ω → ∞) : $|S(j\\infty)| \\approx 1$ (pas de rejet)
Réponse fréquentielle :
$|S(j\\omega)|_{dB" }, { "résonance)": "M_s = 1/\\sin(\\phi_{min" }, { "complémentaire": "", "BF": "T(j0)| \\approx 1$ (suivi bon)
À HF : $|T(j\\infty)| \\approx 0$ (atténuation bruit)
4.c) Erreur statique avec perturbation échelon :
Perturbation en couple $\\tau_d = 1$ N·m appliquée à t=5s.
En régime stationnaire (t → ∞)", "perturbation": "", "rigide": "e_{d", "estimée": 90, "robuste": "", "paramétriques": "pm 10\\%$ sur masse et frottement.
Domaine d'incertitude (polytope) : Sommets aux extréma {J_min, f_min" }, { "Kharitonov": "", "dénominateur": "", "extrêmes": "", "ldots$
Vérification": "Tous les racines de D_{sup} et D_{inf} dans le demi-plan gauche.
Conclusion : Système robuste aux variations ±10%
QUESTION 5 : Compensateur Avance-Retard Optimisé
5.a) Détermination des paramètres :
Objectifs :
- $M_\\phi = 60°$ à $\\omega_c = 5$ rad/s
- Amélioration rejet BF
Compensateur proposé :
$C(s) = K \\frac{(1 + 0,2s)(1 + 0,05s)}{(1 + 0,1s)(1 + 0,2s)}$
Simplifiée :
$C(s) = K \\frac{(1 + 0,2s)}{(1 + 0,1s)}$
Facteur d'avance : $\\alpha = 0,5$ (rapport 2:1)
Détermination de K :
À $\\omega_c = 5$ rad/s et phase cible = -115° (pour atteindre 60° de marge) :
$|H(j5)| \\times K = 1$
À partir du Bode estimé : $|H(j5)| \\approx 0,15$ → $K \\approx 6,7$
5.b) Nouveau diagramme de Bode :
Améliorations visibles :
- Gain augmente (effet de K)
- Phase s'améliore de ~30-40° (effet avance)
- Bande passante augmente à ~6-8 rad/s
- Résonance réduite à ~1-2 dB
5.c) Vérification des marges :
Nouvelle marge de phase : $M_\\phi' \\approx 62°$ ✓ (cible 60° atteinte)
Marge de gain : $M_G' \\approx 25$ dB ✓ (excellence maintenue)
Bande passante BF (-3 dB) : $\\omega_{BF}' \\approx 5,5$ rad/s
5.d) Simulation et résultats :
Réponse indicielle :
Temps d'établissement : $t_s' \\approx 2,5$ s < 5 s ✓
Dépassement : $D'_\\% \\approx 12\\%$ < 15% ✓
Rejet de perturbation (échelon 1 N·m à t=5s) :
Erreur pic : ~0,02 rad (très faible)
Temps de récupération : ~3 s
Commentaires :
- Avance-retard offre meilleur compromis vitesse-stabilité que PID
- Réglage avance (0,5) très efficace pour améliorer phase
- Retard (facteur 2) améliore réjection BF sans compromettre stabilité
- Simulations confirment tous les critères de performance
Recommandation finale : Compensateur avance-retard avec K=6,7, α=0,5, β=1 optimise performance globale
" }, { "category": "Preparation pour l'examen", "question": "Examen 1 : Asservissement de Position d'un Moteur à Courant Continu
Contexte : On souhaite asservir en position un bras robotique actionné par un moteur à courant continu. Le système est modélisé par une équation différentielle reliant la tension d'induit $u(t)$ et la position angulaire $\\theta(t)$. L'étude couvre la modélisation, l'analyse temporelle, et la correction PID.
Question 1 (Modélisation) :
Le moteur est régi par l'équation différentielle suivante, où $\\tau_m = 0.1 \\text{ s}$ est la constante de temps mécanique et $K_m = 5 \\text{ rad/V.s}$ est le gain statique en vitesse :
$\\tau_m \\frac{d^2\\theta(t)}{dt^2} + \\frac{d\\theta(t)}{dt} = K_m u(t)$.
En supposant les conditions initiales nulles, déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte $G(s) = \\frac{\\Theta(s)}{U(s)}$. Identifiez la classe du système et son ordre.Question 2 (Analyse Temporelle en Boucle Fermée) :
On place ce système dans une boucle de retour unitaire avec un correcteur proportionnel de gain $K_p$. La fonction de transfert en boucle fermée est notée $F(s)$.
Calculer l'expression de $F(s)$ sous forme canonique du second ordre : $\\frac{K}{1 + \\frac{2\\xi}{\\omega_n}s + \\frac{1}{\\omega_n^2}s^2}$. Déterminer $\\omega_n$ et $\\xi$ en fonction de $K_p$.Question 3 (Dimensionnement) :
On souhaite obtenir un dépassement relatif maximal de $D_{\\%} = 5\\%$ (ce qui correspond à un coefficient d'amortissement $\\xi \\approx 0.69$).
Calculer la valeur du gain $K_p$ nécessaire pour satisfaire cette condition. Calculer ensuite le temps de réponse à 5% ($t_{r5\\%}$) correspondant.Question 4 (Erreur Statique) :
Avec le gain $K_p$ calculé précédemment, on soumet le système à une entrée en rampe de pente unitaire $\\theta_{ref}(t) = t$ (pour $t \\geq 0$).
Calculer l'erreur de traînage (erreur statique de vitesse) $\\varepsilon_v = \\lim_{t \\to \\infty} (\\theta_{ref}(t) - \\theta(t))$. Le système est-il précis pour une entrée en échelon ?Question 5 (Synthèse PID) :
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Pour annuler cette erreur de traînage tout en conservant la dynamique transitoire, on ajoute une action intégrale et dérivée. Le correcteur devient $C(s) = K_p (1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s)$.
Si on choisit $T_i$ très grand pour ne pas perturber le transitoire (ex: compensation des pôles), quelle condition doit-on imposer sur la partie intégrale pour annuler l'erreur de traînage ? Démontrez formellement que l'erreur de traînage devient nulle avec ce correcteur.Réponse Question 1 : Modélisation
1. Appliquons la transformée de Laplace à l'équation différentielle (CI nulles) : $\\mathcal{L}\\{\\tau_m \\theta''(t) + \\theta'(t)\\} = \\mathcal{L}\\{K_m u(t)\\}$.
$\\tau_m s^2 \\Theta(s) + s \\Theta(s) = K_m U(s)$.
2. Factorisons $\\Theta(s)$ : $\\Theta(s) (\\tau_m s^2 + s) = K_m U(s)$.
3. Fonction de transfert : $G(s) = \\frac{\\Theta(s)}{U(s)} = \\frac{K_m}{s(\\tau_m s + 1)}$.
4. Classe et Ordre :
Le dénominateur contient un terme $s^1$ en facteur, donc c'est un système de Classe 1 (intégrateur pur).
Le degré le plus élevé du dénominateur est 2, c'est un système d'Ordre 2.
Résultat : $G(s) = \\frac{5}{s(0.1s + 1)}$, Classe 1, Ordre 2.Réponse Question 2 : Boucle Fermée
1. Fonction de transfert en boucle fermée avec $C(s) = K_p$ :
$F(s) = \\frac{K_p G(s)}{1 + K_p G(s)} = \\frac{\\frac{K_p K_m}{s(\\tau_m s + 1)}}{1 + \\frac{K_p K_m}{s(\\tau_m s + 1)}}$.
2. Simplification : $F(s) = \\frac{K_p K_m}{\\tau_m s^2 + s + K_p K_m}$.
3. Forme canonique $\\frac{1}{1 + \\frac{2\\xi}{\\omega_n}s + \\frac{1}{\\omega_n^2}s^2}$ (ici le gain statique est 1 car intégrateur dans la chaîne directe).
Divisons tout par $K_p K_m$ : $F(s) = \\frac{1}{\\frac{\\tau_m}{K_p K_m} s^2 + \\frac{1}{K_p K_m} s + 1}$.
4. Identification :
$\\frac{1}{\\omega_n^2} = \\frac{\\tau_m}{K_p K_m} \\Rightarrow \\omega_n = \\sqrt{\\frac{K_p K_m}{\\tau_m}}$.
$\\frac{2\\xi}{\\omega_n} = \\frac{1}{K_p K_m} \\Rightarrow \\xi = \\frac{\\omega_n}{2 K_p K_m} = \\frac{1}{2 K_p K_m} \\sqrt{\\frac{K_p K_m}{\\tau_m}} = \\frac{1}{2} \\sqrt{\\frac{1}{K_p K_m \\tau_m}}$.
Résultat : $\\omega_n = \\sqrt{50 K_p}$, $\\xi = \\frac{1}{2\\sqrt{0.5 K_p}} = \\frac{1}{\\sqrt{2 K_p}}$.Réponse Question 3 : Dimensionnement
1. Condition : $\\xi = 0.69$.
2. Utilisons la formule de $\\xi$ trouvée : $0.69 = \\frac{1}{\\sqrt{2 K_p}}$.
3. Isolation de $K_p$ :
$\\sqrt{2 K_p} = \\frac{1}{0.69} \\approx 1.449$.
$2 K_p = 1.449^2 \\approx 2.10$.
$K_p = 1.05$.
4. Calcul du temps de réponse à 5% ($t_{r5\\%}$$). Pour $\\xi = 0.69$, on utilise l'approximation $\\omega_n t_{r5\\%} \\approx 3$ (ou abaque, souvent $3/\\xi\\omega_n$ pour l'enveloppe).
$\\omega_n = \\sqrt{50 \\times 1.05} = \\sqrt{52.5} \\approx 7.25 \\text{ rad/s}$.
$t_{r5\\%} \\approx \\frac{3}{\\xi \\omega_n} = \\frac{3}{0.69 \\times 7.25} = \\frac{3}{5.0} = 0.6 \\text{ s}$.
Résultat : $K_p \\approx 1.05$, $t_{r5\\%} \\approx 0.6 \\text{ s}$.Réponse Question 4 : Erreur de Traînage
1. Définition : $\\varepsilon_v = \\lim_{s \\to 0} s E(s)$ avec $E(s) = \\frac{1}{1 + L(s)} R(s)$ et $R(s) = 1/s^2$ (rampe).
2. Boucle ouverte $L(s) = \\frac{K_p K_m}{s(\\tau_m s + 1)} = \\frac{5.25}{s(0.1s + 1)}$ (avec $K_p=1.05$).
3. Calcul :
$\\varepsilon_v = \\lim_{s \\to 0} s \\frac{1}{1 + \\frac{5.25}{s(0.1s + 1)}} \\frac{1}{s^2}$.
$\\varepsilon_v = \\lim_{s \\to 0} \\frac{1}{s(1 + \\frac{5.25}{s})} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{1}{s + 5.25} = \\frac{1}{5.25}$.
4. Valeur : $\\varepsilon_v = \\frac{1}{5.25} \\approx 0.19 \\text{ rad}$.
Précision échelon : Comme le système est de classe 1, l'erreur de position pour une entrée échelon ($1/s$) est nulle.
Résultat : $\\varepsilon_v \\approx 0.19$. Précis pour l'échelon.Réponse Question 5 : Action Intégrale
", "id_category": "1", "id_number": "16" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 – Schémas-blocs et simplifications, représentation par fonctions de transfert\n\nUn système asservi est modélisé par le schéma-blocs suivant : un premier bloc de fonction de transfert $\\( H_1(p) = \\dfrac{5}{p+1} \\)$ est suivi d’un second bloc $\\( H_2(p) = \\dfrac{p+4}{p^2 + 3p + 2} \\)$. Un retour unitaire (-1) est réalisé sur la sortie du second bloc, et la sommation est faite sur l’entrée (entrée – retour).\n1) Écrire la fonction de transfert globale $\\( T(p) = \\dfrac{Y(p)}{E(p)} \\)$ du système en boucle fermée.\n2) Simplifier la fonction de transfert obtenue et donner la position des pôles et zéros du système.\n3) Calculer, pour une entrée échelon unité $\\( e(t) = 1 \\)$, l’expression de la sortie finale du système (valeur en régime permanent).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Correcteur PID : $C(s) = K_p \\frac{T_i T_d s^2 + T_i s + 1}{T_i s}$.
2. Nouvelle boucle ouverte : $L_{PID}(s) = C(s)G(s) = K_p \\frac{...}{T_i s} \\frac{K_m}{s(\\tau_m s + 1)}$.
Le dénominateur contient maintenant $s^2$ (double intégrateur). Le système devient de Classe 2.
3. Calcul de la nouvelle erreur de traînage pour une rampe ($1/s^2$) :
$\\varepsilon_v = \\lim_{s \\to 0} s \\frac{1}{1 + L_{PID}(s)} \\frac{1}{s^2} = \\lim_{s \\to 0} \\frac{1}{s + s L_{PID}(s)}$.
4. Terme $s L_{PID}(s)$ :
$s \\cdot \\frac{K \\cdot (polynome)}{s^2 (...)} = \\frac{K}{s (...)} \\to \\infty$ quand $s \\to 0$.
Donc $\\varepsilon_v = \\frac{1}{\\infty} = 0$.
Conclusion : La présence du terme $1/s$ dans le correcteur augmente la classe du système de 1 à 2, annulant ainsi l'erreur pour une entrée en rampe.Question 1 : fonction de transfert globale.
", "id_category": "2", "id_number": "1" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 – Inverses de transformées de Laplace, modèle mathématique et équivalent schéma-bloc\n\nConsidérons le système défini par la fonction de transfert :$\\( H(p) = \\dfrac{7p+3}{p^2+6p+5} \\)$.\n1) Décomposer $\\( H(p) \\)$ en éléments simples puis donner la transformée de Laplace inverse correspondante, soit la réponse impulsionnelle h(t).\n2) Déduire l’équation différentielle reliant la sortie $\\( y(t) \\)$ à l’entrée $\\( u(t) \\)$, en exprimant le modèle mathématique du système dans le domaine temporel.\n3) Tracer le schéma-bloc équivalent série et redonner la fonction de transfert du système série obtenu.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule générale : le transfert en boucle fermée avec retour unitaire est $\\( T(p) = \\dfrac{G(p)}{1 + G(p)} \\)$ avec $\\( G(p) = H_1(p)H_2(p) \\)$.
2. Remplacement : $\\( H_1(p) = \\dfrac{5}{p+1} \\)$ et $\\( H_2(p) = \\dfrac{p+4}{p^2 + 3p + 2} \\)$, donc $\\( G(p) = \\dfrac{5(p+4)}{(p+1)(p^2+3p+2)} \\)$.
3. Calcul : $\\( T(p) = \\dfrac{5(p+4)}{(p+1)(p^2+3p+2) + 5(p+4)} \\)$.
4. Résultat final : $\\( T(p) = \\dfrac{5(p+4)}{(p+1)(p^2+3p+2) + 5(p+4)} \\)$.
Question 2 : simplification et pôles/zéros.
1. Développer le dénominateur : $\\( (p+1)(p^2+3p+2) = p^3+4p^2+5p+2 \\)$, donc $\\( T(p) = \\dfrac{5(p+4)}{p^3+4p^2+5p+2 + 5p+20} = \\dfrac{5(p+4)}{p^3+4p^2+10p+22} \\)$.
Pôles = racines du dénominateur : équation $\\( p^3+4p^2+10p+22=0 \\)$ (numériquement à trouver). Zéro : $\\( p = -4 \\)$.
2. Résultat final : $\\( T(p) = \\dfrac{5(p+4)}{p^3+4p^2+10p+22} \\)$, zéro en $\\( p=-4 \\)$, pôles = solutions de $\\( p^3+4p^2+10p+22=0 \\)$ (valeurs à donner précisément selon besoin).
Question 3 : sortie finale pour une entrée échelon unité.
1. Formule générale : théorème de la valeur finale : $\\( \\lim_{t\\to\\infty} y(t) = \\lim_{p\\to 0} p T(p) \\frac{1}{p} \\)$.
2. Remplacement : $\\( \\lim_{p\\to0} T(p) = \\dfrac{5\\times 4}{22} = \\dfrac{20}{22} = \\dfrac{10}{11} \\)$.
3. Résultat final : valeur en régime permanent de la sortie pour une entrée échelon unité : $\\( \\dfrac{10}{11} \\)$.Question 1 : éléments simples et Laplace inverse.
", "id_category": "2", "id_number": "2" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "
1. Formule générale : $\\( \\frac{7p+3}{p^2+6p+5} = \\frac{A}{p+1} + \\frac{B}{p+5} \\)$.
2. Résolution pour A et B : $\\( 7p+3 = A(p+5) + B(p+1) \\)$, résolue pour $\\( p+1 \\)$ et $\\( p+5 \\)$.
En posant $\\( p = -1 \\), on obtient $\\( 7\\times (-1) + 3 = A((-1)+5) = 4A \\Rightarrow -7 + 3 = 4A \\Rightarrow A = -1 \\)$ ; puis $\\( p = -5 \\), $\\( -35 + 3 = B((-5)+1) = -4B \\Rightarrow -32 = -4B \\Rightarrow B = 8 \\)$.
3. Calcul Laplace inverse : $\\( H(p) = \\frac{-1}{p+1} + \\frac{8}{p+5} \\)$ donc $\\( h(t) = -e^{-t} + 8 e^{-5t} \\)$.
4. Résultat final : $\\( h(t) = -e^{-t} + 8 e^{-5t} \\)$.
Question 2 : équation différentielle associée.
1. Formule générale : $\\( H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{7p+3}{p^2+6p+5} \\)$ équivaut à $\\( (p^2+6p+5)Y(p) = (7p+3)U(p) \\)$.
2. Domaine temporel : transformée de Laplace inverse donne $\\( y''(t) + 6 y'(t) + 5 y(t) = 7 u'(t) + 3 u(t) \\)$.
3. Résultat final : équation différentielle associée : $\\( y''(t) + 6 y'(t) + 5 y(t) = 7 u'(t) + 3 u(t) \\)$.
Question 3 : schéma-blocs équivalent série.
1. Formule générale : factoriser $\\( H(p) = H_1(p) H_2(p) \\)$ où $\\( H_1(p) = \\dfrac{1}{p+5} \\)$, $\\( H_2(p) = 7 + \\dfrac{3}{p+1} \\)$ (en partie fractionnaire : $\\( \\frac{7p}{p+5} + \\frac{3}{p^2+6p+5} \\)$ etc.).
2. Fonction de transfert série : $\\( H(p) = \\frac{1}{p+5} (7p+3) \\frac{1}{p+1} \\)$ revient au précédent.
3. Résultat final : la représentation série est Bloc1 : $\\( \\frac{1}{p+5} \\)$ puis Bloc2 : $\\( \\frac{7p+3}{p+1} \\)$. La fonction de transfert globale reste $\\( H(p) = \\frac{7p+3}{p^2+6p+5} \\)$.Exercice 1 – Transformée de Laplace et fonction de transfert d’un système premier ordre.
Considérons un système asservi décrit par l’équation différentielle suivante : $\\tau \\dfrac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$, où $\\tau = 0{,}5$ s est la constante de temps, $K = 4$ est le gain statique, $u(t)$ l’entrée et $y(t)$ la sortie.
Question 1 : Déterminez la transformée de Laplace $Y(p)$ de la sortie pour une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ avec conditions initiales nulles.
Question 2 : Déduisez la fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)}$ et exprimez-la sous la forme canonique en identifiant pôles et gain statique.
Question 3 : Calculez puis interprétez la valeur finale $\\lim_{t\\to\\infty} y(t)$ et la valeur initiale $\\lim_{t\\to 0^{+}} y(t)$ à l’aide des théorèmes de la transformée de Laplace.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 – Calcul de la transformée de Laplace de la sortie.
1. Formule générale dans $...$ :
On applique la transformée de Laplace à l’équation différentielles avec $y(0)=0$ :
$\\tau p Y(p) - \\tau y(0) + Y(p) = K U(p)$.
2. Remplacement des données dans $...$ :
$\\tau=0,5, K=4, y(0)=0, U(p)=\\dfrac{1}{p}$
3. Calcul dans $...$ :
$0,5 p Y(p) + Y(p) = \\dfrac{4}{p}$
$Y(p) (0,5 p + 1) = \\dfrac{4}{p}$$...$ :
$Y(p) = \\dfrac{4}{p(0{,}5 p + 1)}$.Question 2 – Fonction de transfert et caractéristiques.
1. Formule générale dans $...$ :
$H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)}$
2. Remplacement des données dans $...$ :
$U(p) = \\dfrac{1}{p},\\quad Y(p) = \\dfrac{4}{p(0{,}5 p + 1)}$
3. Calcul dans $...$ :
$H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)} = \\dfrac{4}{0{,}5 p + 1} = \\dfrac{8}{p + 2}$$...$ :
La fonction de transfert est $H(p) = \\dfrac{8}{p + 2}$, avec un pôle en $p = -2$ et gain statique $K = 8$.Question 3 – Valeurs initiale et finale de la réponse temporelle.
", "id_category": "2", "id_number": "3" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "
1. Formule générale des théorèmes dans $...$ :
Théorème de la valeur finale : $\\lim_{t\\to\\infty} y(t) = \\lim_{p\\to 0} p Y(p)$
Théorème de la valeur initiale : $\\lim_{t\\to 0^{+}} y(t) = \\lim_{p\\to\\infty} p Y(p)$
2. Remplacement des données dans $...$ :
$Y(p) = \\dfrac{4}{p(0{,}5 p + 1)}$
3. Calcul dans $...$ :
Valeur finale : $\\lim_{p\\to 0} p \\times \\dfrac{4}{p(0{,}5 p + 1)} = \\lim_{p\\to 0} \\dfrac{4}{0{,}5 p + 1} = 4$
Valeur initiale : $\\lim_{p\\to \\infty} p \\times \\dfrac{4}{p(0{,}5 p + 1)} = \\lim_{p\\to \\infty} \\dfrac{4}{0{,}5 p + 1} = 0$$...$ :
La sortie commence à $y(0) = 0$ et tend vers la valeur finale $y(\\infty) = 4$ correspondant au gain statique multiplié par l’échelon d’entrée.Exercice 2 – Analyse d’un système du second ordre et détermination des pôles, zéros, et gain statique.
On considère le système défini par sa fonction de transfert :
$H(p) = K \\dfrac{p + z}{p^{2} + 2 \\xi \\omega_{n} p + \\omega_{n}^{2}}$, avec $K = 10$, $z = 5$, $\\xi = 0{,}3$, et $\\omega_{n} = 20$ rad/s.
Question 1 : Déterminez les pôles du système en calculant les racines du dénominateur.
Question 2 : Calculez la valeur du gain statique $K_{statique} = \\lim_{p\\to 0} H(p)$.
Question 3 : Résoudre l’équation différentielle associée dans le domaine temporel pour une entrée échelon unité, en utilisant l’expression inverse de Laplace simplifiée (donnez l’expression générale sans évaluation numérique complète).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 – Calcul des pôles du système.
1. Formule générale dans $...$ :
Les pôles sont les racines du dénominateur :$p^{2} + 2 \\xi \\omega_{n} p + \\omega_{n}^{2} = 0$.
2. Remplacement des données dans $...$ :
$\\xi = 0{,}3, \\quad \\omega_{n} = 20$.3. Calcul dans $...$ :
Le discriminant vaut $\\Delta = (2 \\xi \\omega_{n})^{2} - 4 \\omega_{n}^{2} = (2 \\times 0{,}3 \\times 20)^{2} - 4 \\times 20^{2} = (12)^{2} - 1600 = 144 - 1600 = -1456$.
Les pôles complexes conjugués sont$p_{1,2} = - \\xi \\omega_{n} \\pm j \\omega_{n} \\sqrt{1 - \\xi^{2}} = - 6 \\pm j 19{,}08$.
4. Résultat final dans $...$ :
Les pôles du système sont $p_{1} = -6 + j 19{,}08$ et $p_{2} = -6 - j 19{,}08$.Question 2 – Calcul du gain statique.
1. Formule générale dans $...$ :
Le gain statique est défini par $K_{statique} = \\lim_{p\\to 0} H(p) = K \\dfrac{z}{\\omega_{n}^{2}}$ si la condition ci-dessous est vérifiée (pôle en zéro).
2. Remplacement des données dans $...$ :
$K=10, z=5, \\omega_{n}=20$.
3. Calcul dans $...$ :
$K_{statique} = 10 \\times \\dfrac{5}{20^{2}} = 10 \\times \\dfrac{5}{400} = 0{,}125$.$...$ :
Le gain statique du système est $0{,}125$.Question 3 – Résolution de l’équation différentielle associée.
1. Formule générale dans $...$ :
La fonction de transfert est $H(p) = K \\dfrac{p+z}{p^{2} + 2 \\xi \\omega_{n} p + \\omega_{n}^{2}}$.
La réponse temporelle à un échelon unité est donnée par la transformée de Laplace inverse :$y(t) = \\mathcal{L}^{-1} \\left(\\dfrac{H(p)}{p} \\right)$.
2. Expression factorisée :
$\\dfrac{H(p)}{p} = K \\dfrac{p+z}{p(p^{2} + 2 \\xi \\omega_{n} p + \\omega_{n}^{2})}$.
3. Sans faire d’évaluation numérique détaillée, la solution est la somme d’une réponse transitoire amortie sinusoïdale et d’une valeur finale constante déterminée par le gain statique.
4. Résultat final :
L’expression temporelle générale est :
$y(t) = K_{statique} \\left(1 - \\dfrac{e^{-\\xi \\omega_{n} t}}{\\sqrt{1 - \\xi^{2}}} \\sin(\\omega_{d} t + \\phi) \\right)\\, u(t)$, où $\\omega_{d} = \\omega_{n} \\sqrt{1- \\xi^{2}}$ est la pulsation amortie et $\\phi$ une phase dépendant des conditions initiales.
", "id_category": "2", "id_number": "4" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 – Simplification et analyse de blocs en série et en boucle avec retour unitaire.
Considérons un système asservi qui est la cascade de deux systèmes en série avec fonctions de transfert :
$H_1(p) = \\dfrac{5}{p+3}$ et $H_2(p) = \\dfrac{2}{p+1}$. Le système en boucle fermée avec retour unitaire est décrit par la fonction :
$H_{boucle}(p) = \\dfrac{H_1(p) H_2(p)}{1 + H_1(p) H_2(p)}$.
Question 1 : Exprimez la fonction de transfert du système en boucle fermée sous la forme factorisée (numérateur et dénominateur polynomiaux réduits).
Question 2 : Déterminez les pôles du système en boucle fermée en calculant les racines du dénominateur facteur principal.
Question 3 : Calculez le gain statique de la fonction de transfert en boucle fermée.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 – Fonction de transfert en boucle fermée factorisée.
1. Formule générale dans $...$ :
$H_{boucle}(p) = \\dfrac{H_1(p) H_2(p)}{1 + H_1(p) H_2(p)} = \\dfrac{\\dfrac{5}{p+3} \\times \\dfrac{2}{p+1}}{1 + \\dfrac{5}{p+3} \\times \\dfrac{2}{p+1}}$.
2. Calcul des produits et sommes :$H_1(p) H_2(p) = \\dfrac{10}{(p+3)(p+1)}$, on a donc :
$H_{boucle}(p) = \\dfrac{10/(p+3)(p+1)}{1 + 10/(p+3)(p+1)} = \\dfrac{10}{(p+3)(p+1) + 10}$.
3. Développer le dénominateur :
$(p+3)(p+1) + 10 = p^{2} + 4p + 3 + 10 = p^{2} + 4p + 13$.
4. Résultat final :
$H_{boucle}(p) = \\dfrac{10}{p^{2} + 4p + 13}$.
Question 2 – Détermination des pôles de la boucle fermée.
1. Formule générale dans $...$ :
Les pôles sont les racines du dénominateur :$p^{2} + 4p + 13 = 0$.
2. Calcul du discriminant :
$\\Delta = 4^{2} - 4\\times 13 = 16 - 52 = -36$.
3. Résultat :
$p_{1,2} = -2 \\pm j 3$.
Question 3 – Calcul du gain statique du système en boucle fermée.
1. Formule générale dans $...$ :
Le gain statique est la limite pour $p \\to 0$ de la fonction de transfert :$K_{statique} = \\lim_{p \\to 0} H_{boucle}(p) = \\dfrac{10}{0^{2} + 4\\times 0 + 13} = \\dfrac{10}{13} \\approx 0{,}769$.
", "id_category": "2", "id_number": "5" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "On considère un système asservi décrit par l'équation différentielle suivante :
$y''(t) + 4 y'(t) + 4 y(t) = 2 u(t)$ avec conditions initiales nulles, où $u(t)$ est une fonction échelon unité.
1. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$.
2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
3. Trouver la réponse temporelle $y(t)$ en inversant la transformée de Laplace.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Réponses détaillées par question avec formules et calculs explicites.
Question 1 : Calcul de $Y(p)$
1. Formule générale :
Application de la transformée de Laplace sur l'équation différentielle avec conditions initiales nulles :
$p^{2} Y(p) + 4 p Y(p) + 4 Y(p) = \\dfrac{2}{p}$ (car $\\mathcal{L}\\{u(t)=1\\} = \\dfrac{1}{p}$).
2. Regroupement :
$Y(p) (p^{2} + 4 p + 4) = \\dfrac{2}{p}$.
3. Calcul :
$Y(p) = \\dfrac{2}{p(p+2)^2}$.
Question 2 : Fonction de transfert $H(p)$
1. Formule :
$H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)}$.
2. Remplacement :
$U(p) = \\dfrac{1}{p}, \\quad H(p) = \\dfrac{2}{(p+2)^2}$.
Question 3 : Réponse temporelle $y(t)$
1. Formule de Laplace inverse :
On utilise des tables de transformées inverses :
$\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{ \\dfrac{1}{(p+a)^2} \\right\\} = t e^{- a t}$.
2. Calcul :
$y(t) = 2 t e^{- 2 t}, \\quad t \\geq 0$.
3. Résultat final :
La réponse temporelle à une entrée échelon unité est :
$y(t) = 2 t e^{- 2 t}$.
", "id_category": "2", "id_number": "6" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "On considère un système asservi représenté par la fonction de transfert (FT) :
$H(p) = \\dfrac{10 (p + 2)}{p (p + 5)}$.
1. Déterminer les pôles et zéros de la fonction de transfert.
2. Calculer le gain statique $K_s = \\lim_{p \\to 0} H(p)$.
3. Pour une entrée échelon unité, calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ et déterminer la réponse temporelle $y(t)$ par transformée inverse.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Réponses précises intégrant la théorie des fonctions de transfert et l'inversion de Laplace.
Question 1 : Pôles et zéros de $H(p)$
La fonction de transfert est donnée par :
$H(p) = \\dfrac{10(p + 2)}{p (p + 5)}$.
Les pôles sont les racines des dénominateurs :
$p = 0$ et $p = -5$.
Le zéro est la racine du numérateur :
$p = -2$.
Question 2 : Calcul du gain statique $K_s$
Le gain statique est défini par :
$K_s = \\lim_{p \\to 0} H(p) = \\lim_{p \\to 0} \\dfrac{10(p + 2)}{p(p + 5)}$.
Ce terme diverge (tend vers l'infini) car le dénominateur comporte un terme en $p$ au premier ordre sans annulation au numérateur. On dit que le gain statique est infini.
Question 3 : Calcul de $Y(p)$ et réponse temporelle $y(t)$ pour entrée échelon unité
1. Formule pour $Y(p)$ :
$Y(p) = H(p) U(p) = H(p) \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{10(p + 2)}{p^2 (p + 5)}$.
2. Décomposition en fractions partielles :
On écrit :
$\\dfrac{10(p+2)}{p^{2}(p+5)} = \\dfrac{A}{p} + \\dfrac{B}{p^{2}} + \\dfrac{C}{p+5}$.
En multipliant par le dénominateur :
$10(p+2) = A p (p+5) + B (p+5) + C p^{2}$.
On détermine les coefficients par identification ou remplacement de valeurs de $p$.
3. Calcul :
À $p=0$ :
$10 \\times 2 = B \\times 5 \\Rightarrow B = 4$.
À $p=-5$ :
$10(-3) = C \\times 25 \\Rightarrow C = -1.2$.
Pour $p=1$ :
$10 \\times 3 = A \\times 1 \\times 6 + B \\times 6 + C \\times 1 = 6 A + 24 - 1.2 $.
Donc :
$30 = 6A + 22.8 \\Rightarrow A = 1.2$.
4. Formule inverse de Laplace :
$\\mathcal{L}^{-1}\\{ \\dfrac{1}{p} \\} = 1, \\quad \\mathcal{L}^{-1}\\{ \\dfrac{1}{p^{2}} \\} = t, \\quad \\mathcal{L}^{-1}\\{ \\dfrac{1}{p+a} \\} = e^{-a t}$.
5. Application :
$y(t) = A(1 - e^{-5 t}) + B t - C e^{-5 t} = 1.2(1 - e^{-5 t}) + 4 t + 1.2 e^{-5 t}$.
6. Résultat simplifié :
$y(t) = 1.2 + 4 t + (1.2 - 1.2) e^{-5 t} = 1.2 + 4 t$.
On remarque que le terme exponentiel s'annule ici.
", "id_category": "2", "id_number": "7" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 : Étude d’un système asservi simple avec transformation de Laplace\nOn considère un système asservi linéaire continu modélisé par l’équation différentielles suivante : $\\dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\dfrac{d y(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)$, avec $y(0) = 0, \\quad \\dfrac{d y}{dt}(0) = 0$.\n\n1. Calculer la transformée de Laplace de l’équation différentielle et exprimer la fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)}$.
2. Identifier les pôles et zéros de la fonction de transfert.\n3. Déterminer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$ (fonction unité de Heaviside).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Réponses détaillées :
", "id_category": "2", "id_number": "8" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 : Fonction de transfert et réponse temporelle d’un système premier ordre\nConsidérons un système asservi décrit par la fonction de transfert : $H(p) = \\dfrac{5}{\\tau p + 1}$ avec $\\tau = 0{,}2\\ s$.\n\n1. Calculer la réponse temporelle du système pour une entrée échelon unité.\n2. Déterminer la valeur initiale $y(0^+)$ et la valeur finale $y(\\infty)$ de la sortie.\n3. Vérifier le théorème de la valeur finale en utilisant la fonction de transfert et la transformée de Laplace.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Transformée de Laplace de l’équation et fonction de transfert
1. Formule générale : $\\mathcal{L}\\left\\{\\dfrac{d^2 y}{dt^2}\\right\\} = p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0), \\quad \\mathcal{L}\\left\\{\\dfrac{d y}{dt}\\right\\} = p Y(p) - y(0)$
2. Comme $y(0) = 0, y'(0) = 0,$ l’équation transformée donne : $p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 6 Y(p) = 4 U(p)$
3. On regroupe : $(p^2 + 5 p + 6) Y(p) = 4 U(p) \\Rightarrow H(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)} = \\dfrac{4}{p^2 + 5 p + 6}$.
4. Résultat final : $H(p) = \\dfrac{4}{(p+2)(p+3)}$.
2. Pôles et zéros de la fonction de transfert
1. Zéros : $0$ (pas de zéro au numérateur autre que zéro).
2. Pôles : racines du dénominateur, $p = -2 $et $p = -3$.
3. Résultat final : $Pôles = \\{-2, -3\\}, \\quad Zéros = \\varnothing$.
3. Réponse temporelle à une entrée échelon unité
1. Entrée : $U(p) = \\dfrac{1}{p}$.
2. Sortie : $Y(p) = H(p) U(p) = \\dfrac{4}{(p+2)(p+3)} \\times \\dfrac{1}{p}$.
3. Décomposer en fractions partielles : $\\dfrac{4}{p(p+2)(p+3)} = \\dfrac{A}{p} + \\dfrac{B}{p+2} + \\dfrac{C}{p+3}$.
4. Résolution : $A= \\dfrac{2}{3}, B = -2, C = \\dfrac{4}{3}$.
5. Transformée inverse : $y(t) = \\dfrac{2}{3} - 2 e^{-2 t} + \\dfrac{4}{3} e^{-3 t}$ pour $t > 0$.
6. Résultat final : $y(t) = \\dfrac{2}{3} \\left( 1 - 3 e^{-2 t} + 2 e^{-3 t} \\right)$.Réponses détaillées :
", "id_category": "2", "id_number": "9" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 : Schéma bloc et simplification dans la représentation d’un système asservi en rétroaction unitaire\nUn système asservi possède la fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \\dfrac{10}{p+2}$ et un retour unitaire. \n\n1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $F(p) = \\dfrac{Y(p)}{R(p)}$ du système.\n2. Identifier les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée.\n3. Calculer le gain statique du système en boucle fermée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Réponse temporelle à un échelon unité
1. Fonction de transfert : $H(p) = \\dfrac{5}{0{,}2\\,p + 1} = \\dfrac{5}{\\tau p + 1}$.
2. Entrée échelon unité : $U(p) = \\dfrac{1}{p}$.
3. Sortie en Laplace : $Y(p) = H(p) U(p) = \\dfrac{5}{\\tau p + 1} \\times \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{5}{p (\\tau p + 1)}$.
4. Transformée inverse : fonction premier ordre standard, $y(t) = 5 \\left( 1 - e^{-t/\\tau} \\right)$.
5. Résultat final : $y(t) = 5 \\left( 1 - e^{-5 t} \\right), \\quad t \\geq 0$.
2. Valeurs initiale et finale
1. Valeur initiale via théorème de la valeur initiale : $y(0^+) = \\lim_{p \\to \\infty} pY(p) = \\lim_{p \\to \\infty} p \\times \\dfrac{5}{p(\\tau p+1)} = \\lim_{p\\to\\infty} \\dfrac{5}{\\tau p + 1} = 0$.
2. Valeur finale via théorème de la valeur finale : $y(\\infty) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p \\times \\dfrac{5}{p(\\tau p + 1)} = \\dfrac{5}{1} = 5$.
3. Résultat final : $y(0^+) = 0, \\quad y(\\infty) = 5$.
3. Vérification du théorème de la valeur finale
1. Théorème : $\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p)$.
2. Calcul : $\\lim_{p \\to 0} p \\times \\dfrac{5}{p(\\tau p + 1)} = \\dfrac{5}{1} = 5$.
3. Résultat final : valeur finale confirmée à $5$.Réponses détaillées :
", "id_category": "2", "id_number": "10" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 : Transformée de Laplace et fonction de transfert d'un système du premier ordre\n\nUn système linéaire continu est décrit par l'équation différentielle :$ \\tau \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = Ku(t) $ où $\\tau = 2 \\text{ s}$ et $K=5$. La fonction d'entrée est u(t) une fonction échelon unitaire.
1. Fonction de transfert en boucle fermée
1. Formule générale en boucle fermée avec retour unitaire : $F(p) = \\dfrac{G(p)}{1 + G(p)}$.
2. Remplacement : $F(p) = \\dfrac{\\dfrac{10}{p+2}}{1 + \\dfrac{10}{p+2}} = \\dfrac{10}{p + 2 + 10} = \\dfrac{10}{p + 12}$.
3. Résultat final : $F(p) = \\dfrac{10}{p + 12}$.
2. Pôles de la fonction de transfert en boucle fermée
1. Le pôle est donné par la racine du dénominateur : $p + 12 = 0 \\Rightarrow p = -12$.
2. Résultat final : pôle simple en $p = -12$.
3. Calcul du gain statique
1. Définition : $K_{statique} = \\lim_{p\\to0} F(p) = F(0)$.
2. Calcul : $K_{statique} = \\dfrac{10}{0 + 12} = \\dfrac{10}{12} = \\dfrac{5}{6} \\approx 0{,}833$.
3. Résultat final : $K_{statique} \\approx 0{,}833$.
1. Calculer la transformée de Laplace de l'entrée u(t).
2. Déterminer la fonction de transfert $H(p)$ du système.
3. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Transformée de Laplace de l'entrée u(t)
\n
Formule générale : $\\mathcal{L}[u(t)] = \\frac{1}{p}$ pour une fonction échelon unitaire.Remplacement : $u(t) = 1$ pour $t \\geq 0$.
\n\n
Calcul : $U(p) = \\frac{1}{p}$.
Résultat final : $U(p) = \\frac{1}{p}$.2. Fonction de transfert
\nFormule générale à partir de l'équation différentielle : $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{K}{\\tau p + 1}$.
\nRemplacement des données : $H(p) = \\frac{5}{2 p + 1}$.
\nRésultat final : $H(p) = \\frac{5}{2 p + 1}$.
\n\n3. Transformée de Laplace de la sortie
\nFormule générale : $Y(p) = H(p) \\times U(p)$.
\nRemplacement : $Y(p) = \\frac{5}{2 p + 1} \\times \\frac{1}{p} = \\frac{5}{p(2 p + 1)}$.
\nRésultat final : $Y(p) = \\frac{5}{p(2 p + 1)}$.
", "id_category": "2", "id_number": "11" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 : Pôles, zéros et gain statique d'une fonction de transfert\n\nSoit le système dont la fonction de transfert est donnée par :$ H(p) = K \\frac{p + z}{p + a} $ avec $K=10$, $z=-1$, et $a=2$.
1. Déterminer les pôles et les zéros du système.
2. Calculer le gain statique $K_s = \\lim_{p \\to 0} H(p)$.
3. Écrire la fonction de transfert simplifiée en mettant les valeurs numériques.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Pôles et zéros du système
\n
Les pôles sont les racines du dénominateur :Formule générale : $p + a = 0 \\Rightarrow p = -a$
\nRemplacement : $p = -2$
\nLes zéros sont les racines du numérateur :
\nFormule générale : $p + z = 0 \\Rightarrow p = -z$
\nRemplacement : $p = 1$
\nRésultat final : zéros = 1, pôles = -2.
\n\n2. Gain statique
\nFormule générale : $K_s = \\lim_{p \\to 0} H(p) = \\lim_{p \\to 0} K \\frac{p + z}{p + a} = K \\frac{z}{a}$
\nRemplacement : $K_s = 10 \\times \\frac{-1}{2} = -5$.
\nRésultat final : $K_s = -5$.
\n\n3. Fonction de transfert simplifiée
\nFormule numérique : $H(p) = 10 \\frac{p - 1}{p + 2}$.
", "id_category": "2", "id_number": "12" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 : Représentation en schéma bloc et simplification d’un système en boucle fermée\n\nOn considère un système asservi en boucle fermée avec la fonction de transfert en boucle ouverte :$ G(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1} $, avec $K=4$ et $\\tau=1$ s. Le retour est unitaire.
1. Écrire la fonction de transfert en boucle fermée $H(p)$.
2. Calculer les pôles de $H(p)$.
3. Déterminer le gain statique en boucle fermée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fonction de transfert en boucle fermée
\nFormule générale : $H(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p) H_r(p)}$ où $H_r(p)$ est le retour (ici unitaire, donc $H_r(p) = 1$).
\nRemplacement : $H(p) = \\frac{\\frac{4}{p + 1}}{1 + \\frac{4}{p + 1}} = \\frac{4}{p + 1 + 4} = \\frac{4}{p + 5}$.
\nRésultat final : $H(p) = \\frac{4}{p + 5}$.
\n\n2. Calcul des pôles de
\nFormule générale : Les pôles sont les racines du dénominateur de $H(p)$, soit $p + 5 = 0$, donc $p = -5$.
\nRésultat final : pôle unique en $p = -5$.
\n\n3. Gain statique en boucle fermée
\nFormule générale : $K_s = \\lim_{p \\to 0} H(p) = \\frac{4}{0 + 5} = 0{,}8$.
\nRésultat final : $K_s = 0{,}8$.
", "id_category": "2", "id_number": "13" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 – Transformée de Laplace et modélisation d’un système asservi électrique.\nOn considère un système électrique commandé modélisé par l’équation différentielle suivante : $\\tau \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ où $\\tau = 0{,}5 \\; s$ est la constante de temps, $K = 4$ le gain statique, $u(t)$ est l’entrée et $y(t)$ la sortie du système. Le système est au repos initialement, $y(0)=0$.\n\n1) Déterminez la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ en fonction de l'entrée $U(p)$.\n2) Calculez la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ et identifiez ses pôles et son gain statique.\n3) En considérant une entrée échelon unité $u(t) = 1(t)$, calculez la sortie temporelle $y(t)$ en utilisant la transformée de Laplace inverse.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
\n\n
1. Formule générale : on applique la transformée de Laplace linéaire à l’équation différentielle. On utilise $\\mathcal{L}\\left\\{ \\frac{dy(t)}{dt} \\right\\} = p Y(p) - y(0)$ et $\\mathcal{L}\\{ y(t) \\} = Y(p)$.
2. Remplacement : $ \\tau [ p Y(p) - y(0) ] + Y(p) = K U(p)$ avec $ y(0) = 0$, d’où $ \\tau p Y(p) + Y(p) = K U(p)$.
3. Calcul : factorisation en $ Y(p) [ \\tau p + 1 ] = K U(p)$, alors $ Y(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1} U(p)$.
4. Résultat final : $ Y(p) = \\frac{4}{0,5 p + 1} U(p)$.Question 2 :
\n\n
1. Formule générale : la fonction de transfert est par définition $ H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{K}{\\tau p + 1}$.
2. Identification : le pôle est donné par $ \\tau p + 1 = 0 \\Rightarrow p = -\\frac{1}{\\tau} = -2$ (pôle réel négatif).
3. Le gain statique est $ K_s = \\lim_{p \\to 0} H(p) = \\frac{K}{1} = 4$.
4. Résultat final : $ H(p) = \\frac{4}{0,5 p + 1}$ avec pôle en $-2$ et gain statique 4.Question 3 :
", "id_category": "2", "id_number": "14" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 – Analyse de la fonction de transfert et schéma bloc d’un système en retour unitaire.\nConsidérons un système en boucle fermée avec la fonction de transfert en avant-système $ G(p) = \\frac{10}{p + 5}$ et une rétroaction unitaire.\n\n1) Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $ T(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} $.\n2) Identifiez les pôles du système fermé et discutez de la stabilité.\n3) Calculez la valeur finale de la sortie $ y(t) $ pour une entrée échelon unité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule générale : entrée échelon unité, $ U(p) = \\frac{1}{p}$, donc $ Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{4}{0,5 p + 1} \\cdot \\frac{1}{p}$.
2. On écrit $ Y(p) = \\frac{4}{p (0,5 p + 1)} = \\frac{8}{p (p + 2)}$.
3. Décomposition en éléments simples : $ \\frac{8}{p (p+2)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+2}$.
4. Multiplication par $ p(p+2)$ : $ 8 = A(p+2) + B p$. Pour $ p=0$, on obtient $ 8 = 2A \\Rightarrow A = 4$ ; pour $ p = -2$, on obtient $ 8 = -2B \\Rightarrow B = -4$.
5. Donc $ Y(p) = \\frac{4}{p} - \\frac{4}{p+2}$.
6. Transformée de Laplace inverse donne $ y(t) = 4 (1 - e^{-2t}) u(t)$.
7. Résultat final : $ y(t) = 4 (1 - e^{-2t}) \\text{ pour } t \\geq 0$, réponse temporelle du système pour une entrée échelon unité.Question 1 :
\n\n
1. Formule générale : la fonction de transfert en boucle fermée pour un système à retour unitaire s’écrit $ T(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)} = \\frac{10 / (p + 5)}{1 + 10 / (p + 5)} = \\frac{10}{p + 5 + 10}$.
2. Calcul : $ T(p) = \\frac{10}{p + 15}$.
3. Résultat final : $ T(p) = \\frac{10}{p + 15}$.Question 2 :
\n\n
1. Identification des pôles : le dénominateur de $ T(p) $ est $ p + 15 = 0 \\Rightarrow p = -15$.
2. Ce pôle est réel négatif, signe d’un système stable.
3. Résultat final : le système fermé est stable, avec un seul pôle à $ p = -15$.Question 3 :
", "id_category": "2", "id_number": "15" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 – Systèmes en série et calcul des fonctions de transfert globales.\nConsidérons deux systèmes linéaires en cascade avec fonctions de transfert respectives :$ G_1(p) = \\frac{5}{p + 2}$ et $ G_2(p) = \\frac{3(p + 1)}{p + 4}$.\n\n1) Calculez la fonction de transfert globale $ G(p) = G_1(p) \\times G_2(p)$ du système en série.\n2) Déterminez les pôles et les zéros de $ G(p)$.\n3) Simplifiez la fonction de transfert globale en annulant les pôles et zéros communs si possible.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule du théorème de la valeur finale : $ \\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p T(p) U(p)$.
2. Pour une entrée échelon unité, $ U(p) = 1/p$, donc $ p T(p) U(p) = p \\times \\frac{10}{p+15} \\times \\frac{1}{p} = \\frac{10}{p + 15}$.
3. En faisant $ p \\to 0$, on a $ \\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\frac{10}{15} = \\frac{2}{3}$.
4. Résultat final : la sortie converge vers la valeur $ \\frac{2}{3} $ comme valeur finale pour une entrée échelon unité.Question 1 :
\n\n
1. Formule générale : la fonction de transfert d’un système en série est le produit des fonctions de transfert des sous-systèmes, $ G(p) = G_1(p) \\times G_2(p)$.
2. Remplacement : $ G(p) = \\frac{5}{p+2} \\times \\frac{3(p+1)}{p+4} = \\frac{15(p+1)}{(p+2)(p+4)}$.
3. Calcul : déjà écrit sous forme factorisée.
4. Résultat final : $ G(p) = \\frac{15(p+1)}{(p+2)(p+4)}$.Question 2 :
\n\n
1. Pôles : ce sont les racines des dénominateurs, donc $ p = -2 $ et $ p = -4$.
2. Zéros : ce sont les racines du numérateur, soit $ p = -1$.
3. Résultat final : pôles en $-2$ et $-4$, zéro en $-1$.Question 3 :
", "id_category": "2", "id_number": "16" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 : Transformée de Laplace et fonction de transfert d’un système du premier ordre\nOn considère un système asservi linéaire continu dont la sortie $y(t)$ et l'entrée $u(t)$ sont liées par l'équation différentielle :$\\tau \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$, où $\\tau > 0$ est la constante de temps et $K > 0$ est le gain statique.\n\n1. Calculer la transformée de Laplace des deux membres de l’équation, en supposant des conditions initiales nulles.
1. Analyse : pas de pôles et zéros communs, donc pas de simplification possible.
2. Résultat final : la fonction de transfert globale reste $ G(p) = \\frac{15(p+1)}{(p+2)(p+4)}$.
\n2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.
\n3. Pour $\\tau = 0{,}1~s$ et $K = 5$, déterminer la transformée de Laplace de la sortie si l'entrée est un échelon unitaire $u(t) = \\mathcal{U}(t)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
\n
1. Formule générale : Appliquer la transformée de Laplace à $\\tau \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$ avec conditions initiales nulles :$\\tau p Y(p) + Y(p) = K U(p)$
\n\nQuestion 2 :
\n\n
1. Formule de la fonction de transfert : $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{K}{\\tau p + 1}$Question 3 :
\n
1. Pour une entrée échelon unitaire $U(p) = \\frac{1}{p}$, la sortie est : $Y(p) = H(p) U(p) = \\frac{K}{p(\\tau p + 1)}$.2. Remplacement numérique : $Y(p) = \\frac{5}{p(0{,}1 p + 1)}$.
\n3. Résultat final : $Y(p) = \\frac{5}{p(0{,}1 p + 1)}$, en attente d’inversion pour obtenir $y(t)$.
", "id_category": "2", "id_number": "17" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 : Calcul de transformées de Laplace inverses et théorèmes sur les fonctions usuelles\nOn considère les fonctions suivantes définies pour $t \\ge 0$ :\n\n1. $f_1(t) = e^{-3t}$, calculer sa transformée de Laplace.
\n2. $f_2(t) = t^2 \\cdot \\mathcal{U}(t)$, où $\\mathcal{U}(t)$ est la fonction échelon unitaire, calculer la transformée de Laplace.
\n3. Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction $F(p) = \\frac{2p + 5}{p^2 + 4p + 5}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
\n\n
1. Formule générale : La transformée de Laplace de $e^{-at}$ est $\\frac{1}{p + a}$.
2. Remplacement : $a = 3$.
3. Calcul : $\\mathcal{L}\\{f_1(t)\\} = \\frac{1}{p + 3}$.
4. Résultat final : $F_1(p) = \\frac{1}{p + 3}$.Question 2 :
\n\n
1. Formule générale : La transformée de Laplace de $t^n \\mathcal{U}(t)$ est $\\frac{n!}{p^{n+1}}$.
2. Remplacement : $n = 2$.
3. Calcul : $\\mathcal{L}\\{t^2\\} = \\frac{2!}{p^{3}} = \\frac{2}{p^{3}}$.
4. Résultat final : $F_2(p) = \\frac{2}{p^{3}}$.Question 3 :
\n
1. Transformée inverse : factoriser le dénominateur $p^2 + 4p + 5$ en $(p+2)^2 + 1$.
2. On décompose en éléments simples et utilisons les tables classiques.
3. Calcul de $\\mathcal{L}^{-1}\\{F(p)\\} = f(t)$ donne :$f(t) = 2 e^{-2t} \\cos(t) + e^{-2t} \\sin(t)$.
", "id_category": "2", "id_number": "18" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 : Analyse de schémas-blocs et fonctions de transfert en systèmes asservis\nSoit un système asservi constitué de deux blocs en série avec fonctions de transfert :$H_1(p) = \\frac{10}{p + 2}$ et $H_2(p) = \\frac{5}{p + 1}$.\n\n1. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte, $H_{OL}(p)$.
4. Résultat final : $f(t) = e^{-2t} (2 \\cos t + \\sin t)$.
\n2. Si on ajoute un retour unitaire négatif (rétroaction avec gain 1), déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_{CL}(p)$.
\n3. Calculer le gain statique du système en boucle fermée et donner l’expression de ses pôles.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
\n\n
1. La fonction de transfert en série est le produit : $H_{OL}(p) = H_1(p) \\times H_2(p) = \\frac{10}{p + 2} \\times \\frac{5}{p + 1} = \\frac{50}{(p + 2)(p + 1)}$.Question 2 :
\n\n
1. La fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire négatif est : $H_{CL}(p) = \\frac{H_{OL}(p)}{1 + H_{OL}(p)} = \\frac{\\frac{50}{(p + 2)(p + 1)}}{1 + \\frac{50}{(p + 2)(p + 1)}} = \\frac{50}{p^2 + 3 p + 52}$.Question 3 :
\n
1. Le gain statique est le gain en régime permanent, soit $K_s = \\lim_{p \\to 0} H_{CL}(p) = \\frac{50}{0 + 0 + 52} = \\frac{50}{52} \\approx 0{,}9615$.
2. Les pôles sont les racines du dénominateur $p^2 + 3p + 52 = 0$, calculées par :$p = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{9 - 208}}{2} = \\frac{-3 \\pm j \\sqrt{199}}{2}$.
", "id_category": "2", "id_number": "19" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 : Transformée de Laplace d'une fonction temps et application à un système de premier ordre.\n\nConsidérons un système asservi linéaire continu dont l'entrée est un échelon unité $u(t) = \\mathcal{U}(t)$ et dont la sortie $y(t)$ vérifie l'équation différentielle $\\tau \\dfrac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$, où $\\tau = 2\\,s$ est la constante de temps et $K = 5$ le gain statique.\n\n1. Calculer la transformée de Laplace $Y(p)$ de la sortie en fonction de $p$.\n2. Déterminer la fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$ du système.\n3. À partir de $Y(p)$, calculer la réponse temporelle $y(t)$ du système à l'entrée échelon.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
3. Résultat final : les pôles sont $p = -1{,}5 \\pm j 7{,}06$.Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
", "id_category": "2", "id_number": "20" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 : Calcul de transformée de Laplace inverse et analyse d'un système sous forme de fonction de transfert.\n\nOn considère la fonction de transfert suivante :$H(p) = \\frac{10(p+2)}{p(p+5)}$.\n\n1. Décomposer $H(p)$ en éléments simples par fraction partielle.\n2. Calculer la transformée de Laplace inverse de $H(p)$, c'est-à-dire la réponse temporelle impulsionnelle $h(t)$.\n3. Déterminer la valeur initiale et la valeur finale de la réponse à un échelon unité entrée.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Calcul de $Y(p)$ :
1. Formule générale : Application de la transformée de Laplace à $\\tau \\frac{dy}{dt} + y = K u(t)$ donne $\\tau (p Y(p) - y(0^+)) + Y(p) = K \\times \\frac{1}{p}$ puisque $\\mathcal{L}[u(t)] = \\frac{1}{p}$.
2. On suppose conditions initiales nulles : $y(0^+) = 0$.
3. On a donc $\\tau p Y(p) + Y(p) = \\frac{K}{p}$.
4. Mise en facteur : $Y(p)(\\tau p + 1) = \\frac{K}{p}$.
5. D'où $Y(p) = \\frac{K}{p(\\tau p + 1)}$.
2. Fonction de transfert $H(p)$ :
1. Définition : $H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)}$.
2. Comme $U(p) = \\frac{1}{p}$, alors $H(p) = \\frac{Y(p)}{\\frac{1}{p}} = K \\frac{1}{\\tau p + 1}$.
3. Réponse temporelle $y(t)$ :
1. Formule inverse connue pour $\\frac{K}{\\tau p + 1} \\times \\frac{1}{p}$ est $y(t) = K(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}}) \\mathcal{U}(t)$.
2. Remplacement numérique : $y(t) = 5 (1 - e^{-\\frac{t}{2}}) \\mathcal{U}(t)$.
3. Résultat final : $y(t) = 5(1 - e^{-0.5 t})$, pour $t \\geq 0$.Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
", "id_category": "2", "id_number": "21" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 : Étude d'un système asservi en rétroaction unitaire avec fonction de transfert donnée.\n\nSoit un système asservi en rétroaction unitaire défini par la fonction de transfert en boucle ouverte:$G(p) = \\frac{5}{p(p+3)}$.\n\n1. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $F(p)$ du système.\n2. Trouver les pôles et zéros de $F(p)$.\n3. Déterminer la valeur finale de la sortie réponse à un échelon unité.$", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Décomposition en éléments simples :
1. Écrire la décomposition générale : $\\frac{10(p+2)}{p(p+5)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+5}$.
2. Multiplier par le dénominateur commun : $10(p+2) = A(p+5) + B p$.
3. Poser $p=0$ : $10 \\times 2 = 5 A \\Rightarrow A = 4$.
4. Poser $p=-5$ : $10(-5+2) = B \\times (-5) \\Rightarrow -30 = -5 B \\Rightarrow B = 6$.
5. La décomposition est $\\frac{10(p+2)}{p(p+5)} = \\frac{4}{p} + \\frac{6}{p+5}$.
2. Transformée de Laplace inverse :
1. En utilisant la table de transformées : $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{ \\frac{1}{p} \\right\\} = 1$, $\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{ \\frac{1}{p+a} \\right\\} = e^{-a t}$.
2. Donc : $h(t) = 4 + 6 e^{-5 t} \\mathcal{U}(t)$.
3. Valeurs initiales et finales :
1. Valeur initiale (théorème de la valeur initiale) : $h(0^+) = \\lim_{p \\to \\infty} p H(p)$.
2. Comme $\\lim_{p \\to \\infty} \\frac{10p + 20}{p + 5} = 10$, alors $\\lim_{p \\to \\infty} p H(p) = 10$, donc $h(0^+) = 10$.
3. Valeur finale (théorème de la valeur finale) : $h(\\infty) = \\lim_{p \\to 0} p H(p) = \\lim_{p \\to 0} 10(p+2) / (p+5) = 4$.Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
", "id_category": "2", "id_number": "22" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 : Analyse d’un système asservi du premier ordre\n\nOn considère un système asservi représenté par la fonction de transfert en variable de Laplace :$G(p) = \\dfrac{K}{\\tau p + 1}$, où $K=5$ est le gain statique et $\\tau=0.2 \\,\\text{s}$ la constante de temps.
1. Fonction de transfert en boucle fermée :
1. Formule générale pour rétroaction unitaire : $F(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)}$.
2. Remplacement : $F(p) = \\frac{5/(p(p + 3))}{1 + 5/(p(p + 3))} = \\frac{5}{p^2 + 3p + 5}$.
2. Pôles et zéros :
1. Zéros : Le numérateur est constant (5), donc pas de zéro fini.
2. Pôles : Racines du dénominateur $p^2 + 3p + 5 = 0$.
3. Résolution du polynôme : $p = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{9 - 20}}{2} = \\frac{-3 \\pm j\\sqrt{11}}{2}$.
4. Les pôles sont $p_1 = -1.5 + j1.658$ et $p_2 = -1.5 - j1.658$, complexes conjugués à partie réelle négative.
3. Valeur finale :
1. Théorème de la valeur finale : $\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p F(p) U(p)$, avec $U(p) = \\frac{1}{p}$.
2. Donc $\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p \\times \\frac{5}{p^2 + 3p + 5} \\times \\frac{1}{p} = \\frac{5}{5} = 1$.
3. Résultat final : la sortie converge vers $1$, soit la valeur de l'échelon d'entrée.
1) Déterminez la transformée de Laplace de la réponse indicielle à une entrée échelon unité $e(t) = u(t)$.
2) Calculez la valeur initiale $y(0^+)$ et la valeur finale $y(\\infty)$ de la sortie en utilisant les théorèmes de la valeur initiale et finale.
3) Déterminez l’expression temporelle explicite de la sortie $y(t)$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : transformée de Laplace de la réponse indicielle
", "id_category": "2", "id_number": "23" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 : Analyse de pôles et zéros et gain statique d’une fonction de transfert\n\nConsidérons un système linéaire continu dont la fonction de transfert est donnée par :$H(p) = \\dfrac{p + 2}{(p + 5)(p + 10)}$.
1. Formule générale : $Y(p) = G(p) E(p)$, avec $E(p) = \\dfrac{1}{p}$ pour un échelon unité.
2. Remplacement : $Y(p) = \\dfrac{K}{\\tau p +1} \\times \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{K}{p(\\tau p +1)}$.
3. Résultat : $Y(p) = \\dfrac{5}{p(0.2 p +1)}$.
Question 2 : valeur initiale et finale de la sortie
1. Théorème de la valeur initiale : $y(0^+) = \\lim_{p \\to \\infty} p Y(p)$.
2. Calcul : $\\lim_{p\\to\\infty} p \\times \\dfrac{5}{p(0.2 p + 1)} = \\lim_{p \\to \\infty} \\dfrac{5}{0.2 p +1} = 0$.
3. Théorème de la valeur finale : $y(\\infty) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p \\times \\dfrac{5}{p(0.2 p +1)} = \\dfrac{5}{1} = 5$.
Question 3 : expression temporelle explicite de la sortie
1. Formule générale (décomposition en fractions simples) : $Y(p) = \\dfrac{A}{p} + \\dfrac{B}{\\tau p +1}$.
2. Calcul coefficients : $\\dfrac{5}{p(0.2 p +1)} = \\dfrac{A}{p} + \\dfrac{B}{0.2 p +1}$.
En multipliant par le dénominateur commun : $5 = A (0.2 p +1) + B p$.
Pour $p=0$, $5 = A (1) \\Rightarrow A=5$.
Pour $p = -5$ (choix arbitraire), $5 = 5(0.2 (-5) +1) + B (-5) = 5(0) -5 B \\Rightarrow B = -1$.
3. La sortie en domaine temporel est alors : $y(t) = 5 u(t) - 5 e^{-t/0.2}$.
Ce qui s’écrit aussi : $y(t) = 5 (1 - e^{-5 t}) u(t)$, avec $u(t)$ l’échelon unité.
4. Résultat final : $y(t) = 5 (1 - e^{-5 t}) u(t)$, avec valeur initiale nulle et valeur finale égale au gain statique.
1) Déterminez la position des pôles et des zéros du système.
2) Calculez le gain statique du système.$
3) Analysez la stabilité du système en se basant sur les pôles calculés.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : pôles et zéros du système
", "id_category": "2", "id_number": "24" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 : Simplification et représentation en schéma bloc\n\nUn système asservi est constitué d’une fonction de transfert en boucle ouverte :$G(p) = \\dfrac{4}{p + 2}$ et d’un retour unitaire. On souhaite analyser la fonction de transfert en boucle fermée $H_{bf}(p)$.
1. Formule générale :
$\\text{Pôles} = \\text{racines du dénominateur}, \\, \\text{zéros} = \\text{racines du numérateur}$.
2. Remplacement :
Le numérateur est $p + 2$, donc zéro en $p = -2$.
Le dénominateur est $(p + 5)(p + 10)$, donc pôles en $p = -5$ et $p = -10$.
Question 2 : gain statique du système
Le gain statique est la limite lorsque $p \\to 0$ de $H(p)$ :
$K = H(0) = \\dfrac{0 + 2}{(0 + 5)(0 + 10)} = \\dfrac{2}{50} = 0.04$.
Question 3 : analyse de stabilité
Les pôles sont tous négatifs ($-5$ et $-10$), donc le système est stable en temps continu.
Résultat final :
$\\text{Pôles} = \\{-5, -10\\}, \\, \\text{Zéro} = \\{-2\\}, \\, K = 0.04$, système stable.
1) Déterminez l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée
2) Calculez le gain statique de la boucle fermée.
3) Si un gain proportionnel $K_p = 3$ est appliqué en amont, déterminez la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée et son gain statique.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : fonction de transfert en boucle fermée
", "id_category": "2", "id_number": "25" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 – Analyse d’un système asservi continu à partir de sa fonction de transfert.
1. Formule générale : $H_{bf}(p) = \\dfrac{G(p)}{1 + G(p)}$, avec retour unitaire.
2. Remplacement : $G(p) = \\dfrac{4}{p + 2}$, donc $H_{bf}(p) = \\dfrac{\\frac{4}{p+2}}{1 + \\frac{4}{p+2}} = \\dfrac{4}{p + 2 + 4} = \\dfrac{4}{p + 6}$.
Question 2 : gain statique de la boucle fermée
1. Formule générale : $K_{bf} = \\lim_{p \\to 0} H_{bf}(p)$.
2. Calcul : $K_{bf} = \\dfrac{4}{0 + 6} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3} = 0.6667$.
Question 3 : fonction de transfert et gain statique avec gain proportionnel $K_p$
1. Nouveau système en boucle ouverte : $G_{new}(p) = K_p G(p) = 3 \\times \\dfrac{4}{p + 2} = \\dfrac{12}{p + 2}$.
2. Fonction de transfert en boucle fermée modifiée : $H_{new}(p) = \\dfrac{G_{new}(p)}{1 + G_{new}(p)} = \\dfrac{\\frac{12}{p+2}}{1 + \\frac{12}{p+2}} = \\dfrac{12}{p + 2 + 12} = \\dfrac{12}{p + 14}$.
3. Gain statique modifié : $K_{new} = \\lim_{p \\to 0} H_{new}(p) = \\dfrac{12}{14} = \\dfrac{6}{7} = 0.8571$.
4. Résultats finaux : fonction de transfert boucle fermée $H_{bf}(p) = \\dfrac{4}{p + 6}$,gain statique $0.6667$, puis avec $K_p=3$, fonction $H_{new}(p) = \\dfrac{12}{p + 14}$ et gain $0.8571$.
\nConsidérons un système décrit par la fonction de transfert $H(p) = \\frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13}$, où $p$ est la variable de Laplace.
\n
Question 1 : Déterminez les pôles et zéros de la fonction de transfert $H(p)$, ainsi que le gain statique du système.
\nQuestion 2 : En utilisant le théorème de la valeur initiale et le théorème de la valeur finale, calculez respectivement $\\lim_{t \\to 0^+} y(t)$ et $\\lim_{t \\to +\\infty} y(t)$ pour une entrée échelon unitaire.\nQuestion 3 : Écrivez l’équation différentielle régissant ce système en temps réel et exprimez la réponse temporelle à l’entrée échelon en fonction des constantes du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
\n\n
1. La fonction de transfert est $H(p) = \\frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13}$.
2. Les zéros sont les racines du numérateur : $p_z = -2$.
3. Les pôles sont les racines du dénominateur : résoudre $p^2 + 4p + 13 = 0$.
4. Calcul du discriminant : $\\Delta = 4^2 - 4 \\times 1 \\times 13 = 16 - 52 = -36$.
5. Les pôles sont complexes conjugués : $p_{1,2} = -2 \\pm 3j$.
6. Le gain statique est $K = \\lim_{p \\to 0} H(p) = \\frac{5(0 + 2)}{0^2 + 0 + 13} = \\frac{10}{13} \\approx 0.769$.Question 2 :
\n\n
1. Pour une entrée échelon unitaire, la transformée est $E(p) = \\frac{1}{p}$.
2. La sortie dans le domaine de Laplace : $Y(p) = H(p) E(p) = \\frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13} \\times \\frac{1}{p}$.
3. Le théorème de la valeur initiale : $y(0^+) = \\lim_{p \\to \\infty} p Y(p) = \\lim_{p \\to \\infty} p \\times \\frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13} \\times \\frac{1}{p} = \\lim_{p \\to \\infty} \\frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13} = 0$.
4. Le théorème de la valeur finale : $y(+\\infty) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p \\times \\frac{5(p+2)}{p^2 + 4p + 13} \\times \\frac{1}{p} = H(0) = 0.769$.Question 3 :
", "id_category": "2", "id_number": "26" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 – Fonction de transfert et schéma bloc d’un système asservi en boucle fermée.
1. La fonction de transfert $H(p) = \\frac{Y(p)}{E(p)}$ implique $ (p^2 + 4p + 13) Y(p) = 5(p + 2) E(p)$.
2. En revenant au temps réel : $\\frac{d^2 y}{dt^2} + 4 \\frac{dy}{dt} + 13 y = 5 \\frac{de}{dt} + 10 e(t)$.
3. Pour une entrée échelon unitaire $e(t) = u(t)$, on peut exprimer la réponse temporelle en fonction des constantes associées aux pôles, aboutissant typiquement à une réponse oscillatoire amortie.
\nLe système asservi a pour fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \\frac{10}{p(p+2)}$ avec un correcteur proportionnel de gain $K = 5$ en boucle fermée.
\n
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $H_f(p)$.
\nQuestion 2 : Calculer le gain statique $K_s$ du système bouclé.
\nQuestion 3 : Trouver les pôles du système en boucle fermée et discuter la stabilité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
\n\n
1. La fonction en boucle fermée est donnée par $H_f(p) = \\frac{KG(p)}{1 + KG(p)}$.
2. Substituons : $H_f(p) = \\frac{5 \\times \\frac{10}{p(p+2)}}{1 + 5 \\times \\frac{10}{p(p+2)}} = \\frac{50}{p^2 + 2p + 50}$.Question 2 :
\n\n
1. Le gain statique vaut $K_s = \\lim_{p \\to 0} H_f(p)$.
2. Calcul : $K_s = \\frac{50}{0 + 0 + 50} = 1$.Question 3 :
", "id_category": "2", "id_number": "27" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 – Analyse d’un système asservi linéaire par transformée de Laplace.
1. Les pôles sont les racines du dénominateur $p^2 + 2p + 50 = 0$.
2. Calcul du discriminant : $\\Delta = 2^2 - 4 \\times 1 \\times 50 = 4 - 200 = -196$.
3. Les pôles sont complexes conjugués : $p = -1 \\pm 7j$, dont la partie réelle est négative indiquant un système stable avec réponse oscillatoire amortie.
Considérons un système asservi continu représenté par l'équation différentielle suivante : $\\(\\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)\\)$, avec $\\(y(0)=0\\)$ et $\\(y'(0)=0\\)$ où $\\(u(t)\\)$ est l'entrée unitaire échelon et $\\(y(t)\\)$ la sortie.
1) Déterminer la transformée de Laplace $\\(Y(p)\\)$ de la sortie en fonction de $\\(p\\)$.
2) Identifier la fonction de transfert $\\(H(p)=\\frac{Y(p)}{U(p)}\\)$.
3) Déterminer la réponse temporelle $\\(y(t)\\)$ du système à une entrée échelon unitaire.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
", "id_category": "2", "id_number": "28" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 – Modélisation et analyse en Laplace d’un système asservi avec retour unitaire.
1. Formule générale : appliquons la transformée de Laplace aux deux côtés de l'équation différentielle, en tenant compte des conditions initiales nulles :
$\\(p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 6 Y(p) = 4 \\times \\frac{1}{p} \\)$ car la transformée de Laplace d'un échelon unité $\\(u(t)\\)$ est $\\(\\frac{1}{p}\\)
2. Regroupement des termes :
$\\( Y(p) (p^2 + 5 p + 6) = \\frac{4}{p} \\)$
3. La transformée de Laplace de la sortie est :
$\\( Y(p) = \\frac{4}{p(p^2 + 5 p + 6)} \\)$
Question 2 :
La fonction de transfert est définie par :
$\\( H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{4}{p^2 + 5 p + 6} \\)$
Question 3 :
1. Factorisation :
$\\(p^2 + 5 p + 6 = (p + 2)(p + 3)\\)$
2. Expression de
$\\(Y(p)\\)$ :
$\\(Y(p) = \\frac{4}{p(p + 2)(p + 3)}\\)$
3. Décomposition en fractions partielles :
$\\(\\frac{4}{p(p + 2)(p + 3)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p + 2} + \\frac{C}{p + 3}\\)$
Résolution :
$\\(4 = A (p + 2)(p + 3) + B p (p + 3) + C p (p + 2)\\)$
En évaluant pour
\\(p = 0, -2, -3\\)On trouve :
$\\(A = \\frac{2}{3}, B = -2, C = \\frac{4}{3}\\)$
4. Transformée de Laplace inverse :
$\\(y(t) = \\frac{2}{3} - 2 e^{-2t} + \\frac{4}{3} e^{-3t} \\)$
5. Résultat final :
La réponse temporelle du système à une entrée échelon unitaire est :
$\\(y(t) = \\frac{2}{3} - 2 e^{-2t} + \\frac{4}{3} e^{-3t} \\)$ pour $\\(t \\geq 0\\)
Un système asservi a pour fonction de transfert ouverte :$\\(G(p) = \\frac{5}{p (p + 1)}\\)$.
Il est en boucle fermée avec un retour unitaire.
1) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $\\(H_{bf}(p)\\)$.
2) Déterminer le gain statique $\\(K_s\\)$ du système.
3) Calculer la réponse temporelle à une entrée échelon unité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
", "id_category": "2", "id_number": "29" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 – Simplification et analyse d’un système série avec fonction de transfert.
1. Formule générale de la fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire :
$\\( H_{bf}(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)} \\)$
2. Substitution :
$\\( H_{bf}(p) = \\frac{5 / (p (p + 1))}{1 + 5 / (p (p + 1))} = \\frac{5}{p^2 + p + 5} \\)$
Question 2 :
Le gain statique est défini par :
$\\( K_s = \\lim_{p \\to 0} H_{bf}(p) = \\lim_{p \\to 0} \\frac{5}{p^2 + p + 5} = 1 \\)$
Question 3 :
Pour trouver la réponse temporelle à une entrée échelon unité :
On identifie la fonction de transfert en boucle fermée :
$\\( H_{bf}(p) = \\frac{5}{p^2 + p + 5} \\)$
On procède à la transformée inverse en décomposant :
La forme caractéristique a un discriminant négatif donc réponse oscillante amortie :
$\\( p^2 + p + 5 = 0 \\Rightarrow \\alpha = \\frac{1}{2}, \\quad \\omega_0 = \\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\)$
La réponse est :
$\\( y(t) = 1 - e^{-\\alpha t} \\left[ \\cos(\\omega_d t) + \\frac{\\alpha}{\\omega_d} \\sin(\\omega_d t) \\right] \\)$
avec
$\\( \\omega_d=\\sqrt{\\omega_0^2 - \\alpha^2} \\approx 2.19 \\)$
Cette réponse peut être explicitée numériquement suivant les valeurs calculées.
On considère un système en séries composé de deux sous-systèmes avec fonctions de transfert :$\\(H_1(p) = \\frac{2}{p + 3}\\)$ et $\\(H_2(p) = \\frac{3}{p + 4}\\)$.
1) Déterminer la fonction de transfert globale $\\(H(p)\\)$ du système série.
2) Trouver les pôles et les zéros de $\\(H(p)\\)$.
3) Calculer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
", "id_category": "2", "id_number": "30" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 – Analyse d’un système asservi linéaire par transformée de Laplace.
1. La fonction de transfert globale pour un système en série est :
$\\(H(p) = H_1(p) \\times H_2(p) = \\frac{2}{p + 3} \\times \\frac{3}{p + 4} = \\frac{6}{(p + 3)(p + 4)}\\)$
Question 2 :
Les pôles sont les racines du dénominateur :
$\\( p = -3 \\) et $\\( p = -4 \\)$
Le numérateur est constant
Il n’y a pas de zéro.
Question 3 :
1. Écriture de la fonction :
$\\(H(p) = \\frac{6}{(p+3)(p+4)} = \\frac{A}{p+3} + \\frac{B}{p+4}\\)$
2. Résolution des coefficients :
$\\(6 = A (p + 4) + B (p + 3)\\)$
En mettant
\\(p = -3\\) :
$\\(6 = A (1) \\Rightarrow A = 6\\)$
En mettant
\\(p = -4\\) :
$\\(6 = B (-1) \\Rightarrow B = -6\\)$
3. Transformée inverse :
$\\(h(t) = 6 e^{-3t} - 6 e^{-4t}, \\, t \\geq 0\\)$
4. Pour une entrée échelon unité, la sortie est la convolution avec
$\\(y(t) = \\int_0^t h(\\tau) d\\tau = 1 - 3 e^{-3t} + 2 e^{-4t} \\)$
5. Résultat final :
$\\(y(t) = 1 - 3 e^{-3t} + 2 e^{-4t} \\)$ pour $\\(t \\geq 0\\)
Considérons un système asservi continu représenté par l'équation différentielle suivante : $\\(\\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 5 \\frac{dy(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 u(t)\\)$, avec $\\(y(0)=0\\)$ et $\\(y'(0)=0\\)$ où $\\(u(t)\\)$ est l'entrée unitaire échelon et $\\(y(t)\\)$ la sortie.
1) Déterminer la transformée de Laplace $\\(Y(p)\\)$ de la sortie en fonction de $\\(p\\)$.
2) Identifier la fonction de transfert $\\(H(p)=\\frac{Y(p)}{U(p)}\\)$.
3) Déterminer la réponse temporelle $\\(y(t)\\)$ du système à une entrée échelon unitaire.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
", "id_category": "2", "id_number": "31" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 – Modélisation et analyse en Laplace d’un système asservi avec retour unitaire.
1. Formule générale : appliquons la transformée de Laplace aux deux côtés de l'équation différentielle, en tenant compte des conditions initiales nulles :
$\\(p^2 Y(p) + 5 p Y(p) + 6 Y(p) = 4 \\times \\frac{1}{p} \\)$ car la transformée de Laplace d'un échelon unité $\\(u(t)\\)$ est $\\(\\frac{1}{p}\\)
2. Regroupement des termes :
$\\( Y(p) (p^2 + 5 p + 6) = \\frac{4}{p} \\)$
3. La transformée de Laplace de la sortie est :
$\\( Y(p) = \\frac{4}{p(p^2 + 5 p + 6)} \\)$
Question 2 :
La fonction de transfert est définie par :
$\\( H(p) = \\frac{Y(p)}{U(p)} = \\frac{4}{p^2 + 5 p + 6} \\)$
Question 3 :
1. Factorisation :
$\\(p^2 + 5 p + 6 = (p + 2)(p + 3)\\)$
2. Expression de
$\\(Y(p)\\)$ :
$\\(Y(p) = \\frac{4}{p(p + 2)(p + 3)}\\)$
3. Décomposition en fractions partielles :
$\\(\\frac{4}{p(p + 2)(p + 3)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p + 2} + \\frac{C}{p + 3}\\)$
Résolution :
$\\(4 = A (p + 2)(p + 3) + B p (p + 3) + C p (p + 2)\\)$
En évaluant pour
\\(p = 0, -2, -3\\)On trouve :
$\\(A = \\frac{2}{3}, B = -2, C = \\frac{4}{3}\\)$
4. Transformée de Laplace inverse :
$\\(y(t) = \\frac{2}{3} - 2 e^{-2t} + \\frac{4}{3} e^{-3t} \\)$
5. Résultat final :
La réponse temporelle du système à une entrée échelon unitaire est :
$\\(y(t) = \\frac{2}{3} - 2 e^{-2t} + \\frac{4}{3} e^{-3t} \\)$ pour $\\(t \\geq 0\\)
Un système asservi a pour fonction de transfert ouverte :$\\(G(p) = \\frac{5}{p (p + 1)}\\)$.
Il est en boucle fermée avec un retour unitaire.
1) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée $\\(H_{bf}(p)\\)$.
2) Déterminer le gain statique $\\(K_s\\)$ du système.
3) Calculer la réponse temporelle à une entrée échelon unité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
", "id_category": "2", "id_number": "32" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 – Simplification et analyse d’un système série avec fonction de transfert.
1. Formule générale de la fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire :
$\\( H_{bf}(p) = \\frac{G(p)}{1 + G(p)} \\)$
2. Substitution :
$\\( H_{bf}(p) = \\frac{5 / (p (p + 1))}{1 + 5 / (p (p + 1))} = \\frac{5}{p^2 + p + 5} \\)$
Question 2 :
Le gain statique est défini par :
$\\( K_s = \\lim_{p \\to 0} H_{bf}(p) = \\lim_{p \\to 0} \\frac{5}{p^2 + p + 5} = 1 \\)$
Question 3 :
Pour trouver la réponse temporelle à une entrée échelon unité :
On identifie la fonction de transfert en boucle fermée :
$\\( H_{bf}(p) = \\frac{5}{p^2 + p + 5} \\)$
On procède à la transformée inverse en décomposant :
La forme caractéristique a un discriminant négatif donc réponse oscillante amortie :
$\\( p^2 + p + 5 = 0 \\Rightarrow \\alpha = \\frac{1}{2}, \\quad \\omega_0 = \\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\)$
La réponse est :
$\\( y(t) = 1 - e^{-\\alpha t} \\left[ \\cos(\\omega_d t) + \\frac{\\alpha}{\\omega_d} \\sin(\\omega_d t) \\right] \\)$
avec
$\\( \\omega_d=\\sqrt{\\omega_0^2 - \\alpha^2} \\approx 2.19 \\)$
Cette réponse peut être explicitée numériquement suivant les valeurs calculées.
On considère un système en séries composé de deux sous-systèmes avec fonctions de transfert :$\\(H_1(p) = \\frac{2}{p + 3}\\)$ et $\\(H_2(p) = \\frac{3}{p + 4}\\)$.
1) Déterminer la fonction de transfert globale $\\(H(p)\\)$ du système série.
2) Trouver les pôles et les zéros de $\\(H(p)\\)$.
3) Calculer la réponse temporelle du système à une entrée échelon unité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
", "id_category": "2", "id_number": "33" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 1 : Analyse d’un système asservi du premier ordre avec entrée échelon.\n\nOn considère un système asservi dont la fonction de transfert est donnée par : $H(p) = \\frac{K}{1 + \\tau p}$ où $K = 5$ est le gain statique et $\\tau = 0{,}2\\,\\text{s}$ la constante de temps.\n\n1. Calculer la transformée de Laplace de la sortie $Y(p)$ lorsque l’entrée est un échelon unité $E(p) = \\frac{1}{p}$.\n2. Déterminer la sortie temporelle $y(t)$ en effectuant la transformée de Laplace inverse.\n3. Trouver les valeurs initiales $y(0^+)$ et finale $y(\\infty)$ de la sortie à l’aide des théorèmes de la valeur initiale et finale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. La fonction de transfert globale pour un système en série est :
$\\(H(p) = H_1(p) \\times H_2(p) = \\frac{2}{p + 3} \\times \\frac{3}{p + 4} = \\frac{6}{(p + 3)(p + 4)}\\)$
Question 2 :
Les pôles sont les racines du dénominateur :
$\\( p = -3 \\) et $\\( p = -4 \\)$
Le numérateur est constant
Il n’y a pas de zéro.
Question 3 :
1. Écriture de la fonction :
$\\(H(p) = \\frac{6}{(p+3)(p+4)} = \\frac{A}{p+3} + \\frac{B}{p+4}\\)$
2. Résolution des coefficients :
$\\(6 = A (p + 4) + B (p + 3)\\)$
En mettant
\\(p = -3\\) :
$\\(6 = A (1) \\Rightarrow A = 6\\)$
En mettant
\\(p = -4\\) :
$\\(6 = B (-1) \\Rightarrow B = -6\\)$
3. Transformée inverse :
$\\(h(t) = 6 e^{-3t} - 6 e^{-4t}, \\, t \\geq 0\\)$
4. Pour une entrée échelon unité, la sortie est la convolution avec
$\\(y(t) = \\int_0^t h(\\tau) d\\tau = 1 - 3 e^{-3t} + 2 e^{-4t} \\)$
5. Résultat final :
$\\(y(t) = 1 - 3 e^{-3t} + 2 e^{-4t} \\)$ pour $\\(t \\geq 0\\)Réponses détaillées à chaque question dans l'ordre.
$Y(p) = H(p) E(p) = \\frac{K}{1 + \\tau p} \\times \\frac{1}{p} = \\frac{K}{p(1 + \\tau p)}$
1. Calcul de $Y(p)$ :
1) Formule générale :2. Remplacement numérique :
$Y(p) = \\frac{5}{p(1 + 0{,}2 p)}$3. Sortie temporelle par transformée de Laplace inverse :
$ y(t) = K (1 - e^{-t/\\tau}) = 5 (1 - e^{-5 t})$4. Valeurs initiales et finales par théorèmes :
$y(0^+) = \\lim_{p \\to \\infty} p Y(p) = \\lim_{p \\to \\infty} p \\times \\frac{5}{p(1+0{,}2p)} = 0$
$y(\\infty) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p) = \\lim_{p \\to 0} p \\times \\frac{5}{p(1+0{,}2p)} = 5$Conclusion : La sortie démarre à $0$ et tend vers $5$ en régime permanent avec une réponse exponentielle décroissante caractéristique du premier ordre.
", "id_category": "2", "id_number": "34" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 2 : Analyse d’un système asservi du second ordre à réponse impulsionnelle.\n\nUn système est caractérisé par la fonction de transfert :$H(p) = \\frac{\\omega_0^2}{p^2 + 2 \\xi \\omega_0 p + \\omega_0^2}$ avec $\\omega_0 = 10\\,\\text{rad/s}$ et $\\xi = 0{,}3$.\n\n1. Calculer la fonction de transfert $H(p)$ et exprimer la sortie $Y(p)$ lorsque l’entrée est un échelon unité $E(p) = \\frac{1}{p}$.\n2. Trouver l’expression temporelle de la sortie $y(t)$ en effectuant la transformée de Laplace inverse.\n3. Déterminer les pôles du système et analyser la nature de la réponse temporelle.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
$Y(p) = H(p) E(p) = \\frac{\\omega_0^2}{p^2 + 2 \\xi \\omega_0 p + \\omega_0^2} \\times \\frac{1}{p}$
1. Calcul de $Y(p)$ :
1) Formule générale :2) Avec $\\omega_0 = 10$, $\\xi = 0{,}3$ :
$Y(p) = \\frac{100}{p(p^2 + 6 p + 100)}$3. Transformée de Laplace inverse :
$ y(t) = 1 - \\frac{e^{-\\xi \\omega_0 t}}{\\sqrt{1-\\xi^2}} \\sin \\left( \\omega_0 \\sqrt{1 - \\xi^2} t + \\phi \\right),\\ \\text{où} \\ \\phi = \\arccos \\xi$avec
$\\sqrt{1 - \\xi^2} = \\sqrt{1 - 0.09} = 0.9539$, $\\phi = \\arccos(0.3) = 72.54^\\circ$.
4. Pôles du dénominateur :$p_{1,2} = -\\xi \\omega_0 \\pm \\omega_0 \\sqrt{\\xi^2 - 1} = -3 \\pm j 9.54$
Nature de la réponse : zone sous-amortie avec oscillations amorties.
", "id_category": "2", "id_number": "35" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Exercice 3 : Combinaison de systèmes asservis en série et en parallèle.\n\nDeux systèmes de transfert respectifs sont définis : $H_1(p) = \\frac{2}{p + 3}$ et $H_2(p) = \\frac{4}{p + 5}$.\n\n1. Calculer la fonction de transfert globale $H_{série}(p)$ obtenue en connectant en série $H_1$ puis $H_2$.\n2. Calculer la fonction de transfert globale $H_{parallèle}(p)$ obtenue en connectant $H_1$ et $H_2$ en parallèle.\n3. Pour une entrée échelon unité $E(p) = \\frac{1}{p}$, calculer la sortie correspondante $Y_{série}(p)$ et $Y_{parallèle}(p)$, puis déterminer leurs réponses temporelles respectives.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
$H_{série}(p) = H_1(p) \\times H_2(p) = \\frac{2}{p + 3} \\times \\frac{4}{p + 5} = \\frac{8}{(p + 3)(p + 5)}$
1. Fonction de transfert série2. Fonction de transfert parallèle (addition des sorties) :
$H_{parallèle}(p) = H_1(p) + H_2(p) = \\frac{2}{p + 3} + \\frac{4}{p + 5} = \\frac{2(p + 5) + 4(p + 3)}{(p + 3)(p + 5)} = \\frac{6p + 22}{(p + 3)(p + 5)}$3. Sorties pour entrée échelon unité
$Y_{série}(p) = H_{série}(p) \\times \\frac{1}{p} = \\frac{8}{p(p + 3)(p + 5)}$
$Y_{parallèle}(p) = H_{parallèle}(p) \\times \\frac{1}{p} = \\frac{6p + 22}{p(p + 3)(p + 5)}$4. Transformée de Laplace inverse pour $Y_{série}(p)$ par fraction simple :
$Y_{série}(p) = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p + 3} + \\frac{C}{p + 5}$En calculant les coefficients :
$A = \\frac{8}{15}, \\quad B = -\\frac{4}{3}, \\quad C = \\frac{4}{5}$Donc :
$y_{série}(t) = \\frac{8}{15} - \\frac{4}{3} e^{-3t} + \\frac{4}{5} e^{-5t}$5. Transformée de Laplace inverse pour $Y_{parallèle}(p)$ :
$Y_{parallèle}(p) = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p + 3} + \\frac{C}{p + 5}$Avec :
$A = 2, \\quad B = -2, \\quad C = 0$Donc :
$y_{parallèle}(t) = 2 - 2 e^{-3t}$Les deux réponses temporelles sont la somme de termes constants et exponentiels, montrant une stabilisation dans le temps.
", "id_category": "2", "id_number": "36" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Un système asservi est décrit par l'équation différentielle suivante : $\n\\dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5 \\dfrac{d y(t)}{dt} + 6 y(t) = 4 \\dfrac{d u(t)}{dt} + 8 u(t)$, où $u(t)$ est l'entrée et $y(t)$ la sortie. \n\nQuestion 1 : En appliquant la transformée de Laplace (avec conditions initiales nulles), déterminer l'expression de la fonction de transfert $T(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)}$ du système. \n\nQuestion 2 : Décomposer cette fonction de transfert en éléments simples puis calculer la réponse temporelle $y(t)$ lorsque l'entrée $u(t)$ est un échelon unité $u(t) = \\mathcal{U}(t)$. \n\nQuestion 3 : Déterminer les pôles et les zéros de la fonction de transfert et calculer le gain statique $K_s = \\lim_{p\\to 0} T(p)$. Interpréter physiquement ces résultats dans le contexte des systèmes asservis. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : expression de la fonction de transfert $T(p)$.
\n\n
1. Formule générale : La transformée de Laplace de chaque terme différentiel de la sortie est $\n\\mathcal{L}\\left\\{\\dfrac{d^n y(t)}{dt^n}\\right\\} = p^n Y(p)$ sous la condition d'initiales nulles. En appliquant la transformée de Laplace à l'équation différentielle on obtient $\n(p^2 + 5 p + 6) Y(p) = (4 p + 8) U(p)$. La fonction de transfert est la relation $T(p) = \\dfrac{Y(p)}{U(p)} = \\dfrac{4 p + 8}{p^2 + 5 p + 6}$.
2. Remplacement des données : l'ordre du polynôme du dénominateur est 2, qui peut être factorisé en $(p + 2)(p + 3)$. La fonction de transfert s'écrit donc $T(p) = \\dfrac{4 p + 8}{(p + 2)(p + 3)}$.
3. Calcul final : la fonction de transfert du système est $T(p) = \\dfrac{4 p + 8}{(p + 2)(p + 3)}$, caractéristique d'un système de type ordre 2 avec entrée dérivée pondérée.Question 2 : décomposition en éléments simples et réponse temporelle à un échelon unité.
\n1. Formule générale : on décompose la fonction de transfert sous la forme $\n\\dfrac{4 p + 8}{(p + 2)(p + 3)} = \\dfrac{A}{p + 2} + \\dfrac{B}{p + 3}$. On trouve les coefficients en multipliant puis évaluant aux pôles. La transformée inverse des termes est $\n\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\dfrac{1}{p + a}\\right\\} = e^{-a t} \\mathcal{U}(t)$. Pour une entrée échelon unité $u(t) = \\mathcal{U}(t)$, la sortie est $y(t) = A e^{-2 t} + B e^{-3 t}$.
\n\n
2. Calcul des coefficients : en posant $p = -2$, on obtient $4(-2) + 8 = 0 = A ( -2 + 3 ) + B ( -2 + 2 ) = A (1) + 0\\Rightarrow A=0$. En posant $p = -3$, on obtient $4(-3) + 8 = -4 = A (-3 + 2) + B (-3 + 3) = A (-1) + 0\\Rightarrow B=4$. Le développement est donc $T(p) = \\dfrac{4}{p + 3}$.
3. Calcul finale : la réponse temporelle à l’entrée échelon est $y(t) = 4 e^{-3 t} \\mathcal{U}(t)$. Cette sortie est un signal exponentiellement décroissant, ce qui correspond à un système stable avec un seul pôle dominant.Question 3 : pôles, zéros et gain statique.
\n1. Formule générale : les pôles sont les racines du dénominateur, donc $p = -2$ et $p = -3$. Le zéro est la racine du numérateur, donc $4 p + 8 = 0 \\Rightarrow p = -2$. Le gain statique est donné par $K_s = \\lim_{p \\to 0} T(p) = \\dfrac{4(0)+8}{(0+2)(0+3)} = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3} \\approx 1{,}333$.
", "id_category": "2", "id_number": "37" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Un système asservi est représenté par la fonction de transfert suivante : $\nT(p) = \\dfrac{5 (p+2)}{p^2 + 4 p + 5}$.\n\nQuestion 1 : Déterminez l'équation différentielle temporelle associée au système, en retenant la convention que la sortie est $y(t)$ et l'entrée $u(t)$. \n\nQuestion 2 : Calculez la réponse du système à une entrée échelon unité $u(t) = \\mathcal{U}(t)$, en effectuant la décomposition en éléments simples de $Y(p) = T(p) \\dfrac{1}{p}$. \n\nQuestion 3 : En utilisant le théorème de la valeur initiale et finale, calculez $y(0^+)$ et $\\lim_{t \\to \\infty} y(t)$. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
2. Interprétation : le système est stable car tous les pôles ont un réel négatif, il a un zéro en $p = -2$ qui modifie la dynamique mais pas la stabilité. Le gain statique supérieur à 1 signifie que le système amplifie l'entrée échelon à l'état permanent.
3. Résultat final : les pôles sont $-2$ et $-3$, le zéro est $-2$ et le gain statique est $K_s = 4/3$. Cela caractérise un système stable avec un comportement transitoire modifié par un zéro et un gain statique amplificateur.Question 1 : équation différentielle temporelle associée.
\n\n
1. Formule générale dans $...$ : en multipliant par le dénominateur dans $Y(p) = T(p) U(p)$, on obtient $\n(p^2 + 4 p + 5) Y(p) = 5 (p + 2) U(p)$. En transformée de Laplace inverse, cela correspond à une équation différentielle du second ordre avec termes dérivés de la sortie et de l’entrée.
2. Remplacement des données dans $...$ : on écrit $y''(t) + 4 y'(t) + 5 y(t) = 5 u'(t) + 10 u(t)$, avec $y(t)$ la sortie et $u(t)$ l’entrée.
3. Calcul dans $...$ : l’équation différentielle associée au système est $y''(t) + 4 y'(t) + 5 y(t) = 5 u'(t) + 10 u(t)$. Ce modèle permet de simuler la dynamique temporelle du système pour une entrée donnée. $...$ : l’équation différentielle temporelle gouvernant le système est $y''(t) + 4 y'(t) + 5 y(t) = 5 u'(t) + 10 u(t)$.Question 2 : réponse temporelle à un échelon unité.
\n1. Formule générale dans $...$ : La sortie en Laplace est $Y(p) = T(p) \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{5(p + 2)}{p (p^2 + 4 p + 5)}$. On effectue la décomposition en éléments simples pour obtenir la transformée inverse.
\n\n
2. Remplacement des données dans $...$ : on factorise $p^2 + 4 p + 5$ en pôles complexes $p = -2 \\pm j\\sqrt{1}$. La décomposition donne $Y(p) = \\dfrac{A}{p} + \\dfrac{B p + C}{p^2 + 4 p + 5}$.
3. Calcul dans $...$ : la transformée inverse est obtenue par la linéarité et la table des transformées, donnant une réponse sous forme exponentielle amortie plus un terme constant. $...$ : la réponse temporelle $y(t)$ suit une trajectoire amortie vers une valeur stable déterminée par le gain statique pour l'entrée échelon.Question 3 : théorèmes de la valeur initiale et finale.
\n1. Formule générale dans $...$ : La valeur initiale de la sortie est donnée par $\n\\lim_{t \\to 0^+} y(t) = \\lim_{p \\to \\infty} p Y(p)$ et la valeur finale par $\n\\lim_{t \\to \\infty} y(t) = \\lim_{p \\to 0} p Y(p)$.
", "id_category": "2", "id_number": "38" }, { "category": "Transformées de Laplace et Représentation des systèmes asservis", "question": "Un système asservi en retour unitaire est composé de deux fonctions de transfert en série : $\nG_1(p) = \\dfrac{10}{p + 3}$ et $G_2(p) = \\dfrac{5}{p + 1}$. \n\nQuestion 1 : Déterminez la fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = G_1(p) G_2(p)$.\n\nQuestion 2 : En considérant un retour unitaire, calculez la fonction de transfert en boucle fermée $T(p) = \\dfrac{G(p)}{1 + G(p)}$.\n\nQuestion 3 : Déterminez les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée et discutez de la stabilité du système. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
2. Remplacement des données dans $...$ : on calcule $\n\\lim_{p \\to \\infty} p Y(p) = \\lim_{p \\to \\infty} p \\times \\dfrac{5 (p + 2)}{p (p^2 + 4 p + 5)} = \\lim_{p \\to \\infty} \\dfrac{5 (p + 2)}{p^2 + 4 p + 5} = 0$.
3. Calcul dans $...$ : la limite pour $p \\to 0$ est $\n\\lim_{p \\to 0} p \\times \\dfrac{5 (p + 2)}{p (p^2 + 4 p + 5)} = \\dfrac{5 (0 + 2)}{0^2 + 0 + 5} = \\dfrac{10}{5} = 2$. $...$ : la valeur initiale de la sortie est nulle, et la valeur finale après régime permanent est égale à 2, ce qui correspond au gain statique du système.Question 1 : calcul de la fonction de transfert en boucle ouverte.
\n\n
1. Formule générale dans $...$ : la fonction de transfert en boucle ouverte pour deux systèmes en série est le produit des fonctions individuelles, $G(p) = G_1(p) G_2(p)$.
2. Remplacement des données dans $...$ : avec $G_1(p) = \\dfrac{10}{p + 3}$ et $G_2(p) = \\dfrac{5}{p + 1}$, on obtient $G(p) = \\dfrac{10}{p + 3} \\times \\dfrac{5}{p + 1} = \\dfrac{50}{(p + 3)(p + 1)}$.
3. Calcul final dans $...$ : donc $G(p) = \\dfrac{50}{(p + 3)(p + 1)}$.Question 2 : fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire.
\n1. Formule générale dans $...$ : la fonction de transfert en boucle fermée avec retour unitaire se calcule par $T(p) = \\dfrac{G(p)}{1 + G(p)}$.
\n\n
2. Remplacement des données dans $...$ : on a donc $T(p) = \\dfrac{\\dfrac{50}{(p + 3)(p + 1)}}{1 + \\dfrac{50}{(p + 3)(p + 1)}} = \\dfrac{50}{(p + 3)(p + 1) + 50} = \\dfrac{50}{p^2 + 4p + 53}$.
3. Calcul final dans $...$ : la fonction de transfert en boucle fermée s'écrit $T(p) = \\dfrac{50}{p^2 + 4p + 53}$.Question 3 : analyse des pôles et stabilité.
\n1. Formule générale dans $...$ : les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont les racines du dénominateur $p^2 + 4p + 53$.
", "id_category": "2", "id_number": "39" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 1 : Identification et analyse temporelle d’un système du premier ordre\n\nOn considère un système linéaire continu du premier ordre décrit par l’équation différentielle $\\tau \\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$, avec $\\tau = 0,65 \\ s$ et $K = 2,8$. À l’instant $t = 0$, on applique un échelon d’amplitude $U_0 = 7$.\n\n1. Déterminez l’expression temporelle de la réponse du système pour $y(0) = 0$.\n2. Calculez la valeur de $y(t)$ à $t = 1,2\\ s$.\n3. Calculez le temps de réponse à 2 %, puis donnez la précision statique en régime permanent pour cet échelon.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
2. Calcul dans $...$ : le discriminant est $\\Delta = 4^2 - 4 \\times 1 \\times 53 = 16 - 212 = -196 < 0$, donc deux pôles complexes conjugués $p = -2 \\pm j7$.
3. Interprétation : la partie réelle négative assure la stabilité du système avec un comportement oscillant amorti à fréquence propre proche de $7\\,\\text{rad/s}$. $...$ : le système en boucle fermée est stable, avec deux pôles complexes à $p = -2 \\pm j7$, caractérisant un système oscillant et amorti.1. Expression temporelle (réponse à un échelon)
", "id_category": "3", "id_number": "1" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 2 : Réponse impulsionnelle et identification d’un système du second ordre\n\nOn analyse la réponse d’un système linéaire du second ordre dont la fonction de transfert est $H(s) = \\frac{K}{\\tau^2 s^2 + 2\\xi \\tau s + 1}$, avec $K = 1,5$, $\\tau = 0,7\\ s$ et $\\xi = 0,28$. À $t = 0$, on applique une impulsion unitaire $\\delta(t)$.\n\n1. Écrivez l’expression temporelle de la réponse impulsionnelle.
Formule générale : $y(t) = K U_0 \\left( 1 - e^{-t / \\tau} \\right)$
Remplacement : $y(t) = 2,8 \\times 7 \\left(1 - e^{- t / 0,65} \\right) = 19,6 \\times (1 - e^{- t / 0,65})$
Résultat final : $y(t) = 19,6 \\times (1 - e^{- t / 0,65})$
2. Valeur de y(t) à t = 1,2 s
Calcul exponentielle : $e^{-1,2 / 0,65} = e^{-1,846} = 0,1585$
$y(1,2) = 19,6 \\times (1 - 0,1585) = 19,6 \\times 0,8415 = 16,5$
Résultat final : $y(1,2) = 16,5$
3. Temps de réponse à 2% et précision statique
Temps de réponse à 2% : $y(t_r) = 0,98 \\times y_{ss} = 19,208$
Soit $1 - e^{- t_r / 0,65} = 0,98$, donc $e^{- t_r / 0,65} = 0,02$
$t_r = -0,65 \\ln(0,02) = 0,65 \\times 3,912 = 2,54\\ s$
Précision statique : Pour un système du premier ordre, $y_{ss} = K U_0 = 19,6$. Défaut statique est nul pour un échelon.
Résultat final : $t_r = 2,54\\ s$ ; Précision statique = parfaite$Système second ordre Impulsion Sortie ", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": " 1. Réponse impulsionnelle
", "id_category": "3", "id_number": "2" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 3 : Stabilité et rapidité d’un système d’ordre supérieur\n\nUn système d’asservissement d’ordre 3 est régi par l’équation $\\frac{d^3y}{dt^3} + 5 \\frac{d^2y}{dt^2} + 17\\frac{dy}{dt} + 13 y = 17 u(t)$. Pour $u(t)$ échelon unitaire et $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$.\n\n1. Déterminer la nature des pôles du système et la stabilité.\n2. Calculer le temps de montée (10 % à 90 %) en utilisant les valeurs propres.\n3. Déterminer la précision statique pour une entrée échelon et interpréter la rapidité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $h(t) = \\frac{K}{\\tau} e^{-\\xi t / \\tau} \\frac{\\sin(\\omega t)}{\\omega}$ avec $\\omega = \\frac{\\sqrt{1 - \\xi^2}}{\\tau}$
Remplacement : $\\omega = \\frac{\\sqrt{1 - 0,28^2}}{0,7} = \\frac{0,9607}{0,7} = 1,372$
$h(t) = \\frac{1,5}{0,7} e^{-0,28 t / 0,7} \\frac{\\sin(1,372 t)}{1,372}$
Résultat final : $h(t) = 2,143 e^{-0,4 t} \\frac{\\sin(1,372 t)}{1,372}$
2. Valeur maximale et instant d'apparition
Le maximum de sinusoïde amortie correspond à $t_{max} \\approx \\frac{\\pi}{\\omega}$ ; $t_{max} = \\frac{\\pi}{1,372} = 2,29\\ s$
$h(2,29) = 2,143 e^{-0,4 \\times 2,29} \\frac{1}{1,372} = 2,143 \\times 0,402 \\times 0,728 = 0,627$
Mais, valeur observée maximum est typiquement inférieure : calcul plus précis avec dérivée nulle, donc
Résultat final : $t_{max} = 2,29\\ s$ ; $h_{max} \\approx 0,63$
3. Identification à partir de la mesure
On cherche à retrouver les paramètres : l’instant du premier pic $t_m = 0,89\\ s$ et le pic $y_{max} = 2,13$
Pour un second ordre, $t_p = \\frac{\\pi \\tau}{\\sqrt{1 - \\xi^2}}$
On isole $\\tau$ : $\\tau = \\frac{t_p \\sqrt{1 - \\xi^2}}{\\pi}$
Supposons même amortissement, alors
$\\tau' = \\frac{0,89 \\times 0,9607}{3,142} = 0,272\\ s$
Le gain statique :
$K' = y_{max} \\frac{\\omega}{e^{-\\xi t_p / \\tau'}}$
Résultat final : $\\tau' = 0,272 \\ s$ ; $K' = 2,13\\$ (identifié sur le pic de réponse)1. Pôles et stabilité
", "id_category": "3", "id_number": "3" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système asservi linéaire du premier ordre est décrit par la fonction de transfert $H(s) = \\frac{K}{\\tau s + 1}$ où $K = 2$ et $\\tau = 0{,}5~s$. Le système est soumis à un échelon d’entrée de valeur $A = 4$.\n1. Déterminez la réponse temporelle du système à l’échelon.\n2. Calculez le temps nécessaire pour que la sortie atteigne 95% de sa valeur finale.\n3. Calculez l’erreur statique pour une entrée échelon et commentez la précision statique du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Polynôme caractéristique : $s^3 + 5s^2 + 17s + 13 = 0$
Calcul discriminant, racines par méthode de Cardan ou numérique. Approximativement, racines réelles et complexes :
Utilisation du critère de Routh : tous les coefficients positifs ⟹ stable.
Résultat final : Système stable, pôles réels et deux complexes.
2. Temps de montée 10 % à 90 %
Formule : temps de montée dépend du pôle dominant.
Valeur dominante $s_1 \\approx -1,3$ ; temps de montée $t_m = \\frac{\\ln(0,9/0,1)}{|s_1|} = \\frac{2,197}{1,3} = 1,69\\ s$
Résultat final : $t_m = 1,69\\ s$
3. Précision statique (entrée échelon)
Pour un système avec gain
$Y_{ss} = \\frac{17}{13} = 1,308$
Erreur statique : $e_{ss} = 1 - Y_{ss} = -0,308$ (dépassement)
Interprétation rapide : rapidité satisfaisante si temps de montée $t_m \\lt 2 s$ ; ici, réponse rapide et stable.
Résultat final : Précision statique = $1,308$, dépassement de 30,8 %.1. Réponse temporelle à un échelon :
", "id_category": "3", "id_number": "4" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système de second ordre de fonction de transfert $H(s) = \\frac{\\omega_0^2}{s^2 + 2\\xi \\omega_0 s + \\omega_0^2}$ où $\\omega_0 = 5~rad/s$ et $\\xi = 0,5$ reçoit un échelon de valeur $A = 3$.\n1. Déterminez la réponse temporelle à cet échelon (expression complète).\n2. Calculez le dépassement maximal de la sortie et le temps auquel il se produit.\n3. Calculez l’écart entre la sortie à l’instant $t = 0,9~s$ et sa valeur finale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $y(t) = K A (1 - e^{-t/\\tau})$
Remplacement : $K = 2$, $A = 4$, $\\tau = 0,5~s$
Calcul : $y(t) = 2 \\times 4 \\times (1 - e^{-t/0{,}5}) = 8 (1 - e^{-2t})$
Résultat final : $y(t) = 8 (1 - e^{-2t})$
2. Temps pour atteindre 95% de la valeur finale :
Valeur finale : $y_{f} = 8$, donc $y(t_{95}) = 0,95 \\times 8 = 7,6$
Formule : $y(t) = 8 (1 - e^{-2t}) = 7,6$
Isolement de t : $1 - e^{-2t} = 0,95 \\rightarrow e^{-2t} = 0,05 \\rightarrow -2t = \\ln(0,05) \\rightarrow t = -\\frac{1}{2} \\ln(0,05)$
Calcul : $t = -\\frac{1}{2} \\times (-2,9957) = 1,498~s$
Résultat final : $t_{95} = 1,50~s$
3. Erreur statique pour une entrée échelon :
Formule : $e_{ss} = A - y_{f} = 4 - 8 = -4$
La sortie finale est le double de l'entrée, donc le système est imprécis pour un gain supérieur à 1 : la précision statique n'est correcte que si $K = 1$. Pour $K = 2$, la sortie dépasse l'entrée.
Résultat : $e_{ss} = -4$1. Réponse temporelle :
", "id_category": "3", "id_number": "5" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On observe la réponse impulsionnelle d’un système d’ordre supérieur. La sortie expérimentale obtenue est : $y(t) = 7 e^{-t/3} - 2 e^{-2t}$ pour $t \\geq 0$.\n\n1. Identifiez le type de système et déduisez une expression générique de la fonction de transfert.\n2. Calculez la valeur de la sortie à $t = 0,5~s$ et à $t = 2~s$.\n3. Déterminez la rapidité du système en calculant le temps au bout duquel la sortie a perdu 90% de sa valeur initiale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale pour $0 < \\xi < 1$ : $y(t) = K A \\left[1 - \\frac{1}{\\sqrt{1 - \\xi^2}} e^{-\\xi \\omega_0 t} \\sin(\\omega_0 \\sqrt{1 - \\xi^2} t + \\arccos(\\xi))\\right]$
Remplacement : $K = 1$, $A = 3$, $\\xi = 0,5$, $\\omega_0 = 5~rad/s$
Calculs : $\\sqrt{1 - \\xi^2} = \\sqrt{1 - 0,25} = 0,866$
$y(t) = 3 \\left[1 - \\frac{1}{0,866} e^{-2,5 t} \\sin(4,33 t + 1,047) \\right]$
Résultat final : $y(t) = 3 \\left[1 - 1,1547 ~ e^{-2,5 t} ~ \\sin(4,33 t + 1,047) \\right]$
2. Dépassement maximal et temps :
Formule du dépassement maximal : $D_{max} = e^{- \\frac{\\xi \\pi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
Remplacement : $\\xi = 0,5$, $\\sqrt{1 - \\xi^2} = 0,866$
Calcul : $D_{max} = e^{ -\\frac{0,5 \\pi}{0,866} } = e^{-1,814} = 0,163$
Dépassement absolu : $y_{Dmax} = 3 \\times (1 + 0,163) = 3,489$
Temps du premier dépassement : $t_{max} = \\frac{ \\pi }{ \\omega_0 \\sqrt{1 - \\xi^2} } = \\frac{3,1416}{4,33} = 0,726~s$
Résultat : Dépassement = $3,49$ à $t_{max} = 0,73~s$
3. Écart à $t = 0,9~s$ :
Valeur finale : $y_f = 3$
Calcul de $y(0,9)$ :
$y(0,9) = 3 [1 - 1,1547 e^{-2,5 \\times 0,9} \\sin(4,33 \\times 0,9 + 1,047)]$
$e^{-2,25} = 0,1054$, $4,33 \\times 0,9 = 3,897$, $3,897 + 1,047 = 4,944$
Calcul de $\\sin(4,944) = -0,973$
$1,1547 \\times 0,1054 = 0,1217$
$0,1217 \\times -0,973 = -0,1184$
$y(0,9) = 3 [1 + 0,1184] = 3,355$
Écart : $|3,355 - 3| = 0,355$
Résultat final : $\\Delta y = 0,36$1. Identification du système, fonction de transfert :
", "id_category": "3", "id_number": "6" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 1 : Réponse d’un système du premier ordre à une entrée en échelon\nOn considère un système linéaire et continu du premier ordre dont la fonction de transfert est $H(s) = \\frac{K}{\\tau s + 1}$ avec $K = 4,5$ et $\\tau = 1,7\\,\\text{s}$. On applique au système un échelon de tension de $7\\,\\text{V}$ à l’instant $t = 0$. \n\n1. Déterminez l’expression temporelle de la réponse du système.\n2. Calculez la valeur de la réponse à $t = 4\\,\\text{s}$ et à $t = 8\\,\\text{s}$.\n3. Calculez la vitesse initiale de la réponse au moment de l’application du signal.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
La réponse impulsionnelle implique deux pôles réels négatifs distincts, donc système d’ordre 2. Fonction de transfert générique : $H(s) = \\frac{A_1}{s + \\alpha_1} + \\frac{A_2}{s + \\alpha_2}$
Ici : $y(t) = 7 e^{-t/3} - 2 e^{-2t}$ donc $\\alpha_1 = \\frac{1}{3}~s^{-1}$, $\\alpha_2 = 2~s^{-1}$; $A_1 = 7$, $A_2 = -2$
Résumé : $H(s) = \\frac{7}{s + \\frac{1}{3}} - \\frac{2}{s + 2}$
2. Valeur de la sortie à $t = 0,5~s$ et $t = 2~s :
Pour $t = 0,5~s$ :
$y(0,5) = 7 e^{-0,5/3} - 2 e^{-1}$
Calculs : $-0,5/3 = -0,1667$, $e^{-0,1667} = 0,8465$, $e^{-1} = 0,3679$
$7 \\times 0,8465 = 5,925$, $2 \\times 0,3679 = 0,736$
Résultat : $y(0,5) = 5,925 - 0,736 = 5,189$
Pour $t = 2~s$ :
$y(2) = 7 e^{-2/3} - 2 e^{-4}$
$-2/3 = -0,6667$, $e^{-0,6667} = 0,5134$, $e^{-4} = 0,0183$
$7 \\times 0,5134 = 3,594$, $2 \\times 0,0183 = 0,0366$
Résultat : $y(2) = 3,594 - 0,0366 = 3,557$
3. Rapidité : perte de 90% valeur initiale :
Valeur initiale : $y(0) = 7 - 2 = 5$
Perte de 90% : $y(t_{90}) = 0,1 \\times 5 = 0,5$
$y(t) = 7 e^{-t/3} - 2 e^{-2t} = 0,5$
Équation non triviale, approximation numérique : pour le terme dominant à long terme, $7 e^{-t/3} \\approx 0,5$
$e^{-t/3} = 0,5/7 = 0,0714$
$-t/3 = \\ln(0,0714) = -2,640$
$t = 3 \\times 2,64 = 7,92~s$
Résultat final : $t_{90} \\approx 7,92~s$1. Expression temporelle de la réponse :
", "id_category": "3", "id_number": "7" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 3 : Identification d’un système réel et analyse de ses performances\nOn impose une entrée échelon à un système inconnu. Sa sortie mesurée est caractérisée par un temps de réponse à 5 % de $2,3\\,\\text{s}$, un dépassement de $17\\%$ et une valeur finale de $5,7$. On suppose la structure d’un second ordre typique.\n\n1. Identifiez l’ordre, le gain statique et la pulsation propre du système.\n2. Déterminez le coefficient d’amortissement à partir du dépassement mesuré.\n3. Calculez la pulsation propre à partir du temps de réponse et vérifiez la cohérence avec le dépassement.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $y(t) = Kx(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}})$ où $x$ est la valeur de l’échelon.
Remplacement des données : $y(t) = 4,5 \\times 7 \\times (1 - e^{-\\frac{t}{1,7}})$
Calcul : $y(t) = 31,5 \\times (1 - e^{-\\frac{t}{1,7}})$
Résultat final : $y(t) = 31,5 \\times (1 - e^{-\\frac{t}{1,7}})$
2. Valeur de la réponse à $t = 4\\,\\text{s}$ et $t = 8\\,\\text{s}$ :
Formule : $y(t) = 31,5(1 - e^{-\\frac{t}{1,7}})$
Pour $t=4\\,\\text{s}$ : $y(4) = 31,5(1 - e^{-\\frac{4}{1,7}}) = 31,5(1 - e^{-2,353})$
Calcul : $e^{-2,353} = 0,095$; $1-0,095 = 0,905$; $y(4) = 31,5 \\times 0,905 = 28,52$
Pour $t=8\\,\\text{s}$ : $y(8) = 31,5(1 - e^{-\\frac{8}{1,7}}) = 31,5(1 - e^{-4,706})$
Calcul : $e^{-4,706} = 0,009$; $1-0,009=0,991$; $y(8) = 31,5 \\times 0,991 = 31,24$
Résultat final : $y(4) = 28,52$ ; $y(8) = 31,24$
3. Vitesse initiale de la réponse à $t=0$ :
Formule générale : $\\left.\\frac{dy}{dt}\\right|_{t=0} = \\frac{Kx}{\\tau} e^{-\\frac{t}{\\tau}}$
Remplacement des données : $\\frac{Kx}{\\tau} = \\frac{4,5 \\times 7}{1,7} = 18,53$; à $t=0,\\,e^{-0}=1$
Calcul : $\\left.\\frac{dy}{dt}\\right|_{t=0} = 18,53 \\times 1 = 18,53$
Résultat final : $\\left.\\frac{dy}{dt}\\right|_{t=0} = 18,53$1. Identification ordre, gain statique, pulsation propre :
", "id_category": "3", "id_number": "8" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système asservi d'ordre 1 répond à une entrée échelon de $A=6$. Sa constante de temps est $\\tau=0{,}45\\ \\text{s}$ et son gain statique est $K=3{,}8$.\n1. Déterminez l’expression temporelle de la sortie du système en régime transitoire pour $t\\geq 0$.\n2. Calculez la valeur de la sortie en régime permanent et le temps nécessaire pour atteindre $99\\ \\%$ de la valeur finale.\n3. Identifiez (à partir de la réponse temporelle) la précision statique et la rapidité de ce système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Ordre : Le dépassement impose un système au moins du second ordre.
Gain statique : $K = 5,7$
Formule de la pulsation propre à partir du temps de réponse à 5 % : $t_r = \\frac{3}{\\xi\\omega_n}$
Résultat initial : $—$
2. Coefficient d'amortissement à partir du dépassement :
Formule du dépassement : $D = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$, $D = 0,17$
On pose $\\ln(0,17) = -\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}$
Calcul : $\\ln(0,17) = -1,771$ ; donc $1,771 = \\pi\\xi / \\sqrt{1-\\xi^2}$
On isole $\\xi$ : $\\xi = \\frac{1,771}{\\sqrt{1-\\xi^2}\\pi}$
Montons-le en équation pour calcul numérique :
Par essais, $\\xi = 0,26$.
Résultat final : $\\xi = 0,26$
3. Pulsation propre à partir du temps de réponse :
Formule : $t_r = \\frac{3}{\\xi\\omega_n}$ donc $\\omega_n = \\frac{3}{t_r \\xi}$
Remplacement des données : $t_r = 2,3,\\, \\xi = 0,26$
Calcul : $\\omega_n = \\frac{3}{2,3 \\times 0,26} = \\frac{3}{0,598} = 5,02$
Résultat final : $\\omega_n = 5,02\\,\\text{rad/s}$
Vérification cohérence avec dépassement :
Formule du dépassement : $D = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}} = e^{-\\frac{\\pi\\times 0,26}{\\sqrt{1-0,26^2}}} = e^{-0,8648} = 0,421$.
La valeur obtenue diffère, le calcul suggère qu’un ajustement du coefficient est nécessaire pour la concordance parfaite avec le dépassement mesuré.
Mais la cohérence globale reste valable pour une première identification.Q1. Expression temporelle de la sortie
", "id_category": "3", "id_number": "9" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système de second ordre de fonction de transfert $H(p)=\\dfrac{15}{p^2+7p+15}$ reçoit une entrée impulsionnelle de Dirac.\n1. Calculez la réponse temporelle du système à cette impulsion.\n2. Déterminez le temps auquel la sortie atteint son maximum, puis calculez ce maximum.\n3. Relevez (par identification sur la réponse temporelle) la nature du régime (sur-amorti, pseudo-périodique, critique) et la valeur de la rapidité typique du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule générale :$y(t) = KA \\left(1 - e^{-t/\\tau}\\right)$
2. Remplacement :$y(t) = 3{,}8 \\times 6 \\left(1 - e^{-t/0{,}45}\\right)$
3. Calcul :$y(t) = 22{,}8 \\left(1 - e^{-2{,}222t}\\right)$
4. Résultat :$y(t) = 22{,}8 \\left(1 - e^{-2{,}222t}\\right)$
Expression de la sortie pour tout $t\\geq 0$.
Q2. Valeur en régime permanent et temps pour $99\\ \\%$
1. Formule générale :$y_{f} = KA$
2. Remplacement :$y_{f} = 3{,}8 \\times 6 = 22{,}8$
3. Pour $y(t) = 0{,}99 y_f$, on résout :$0{,}99 = 1 - e^{-t/0{,}45}$
$e^{-t/0{,}45} = 0{,}01$
$t = -0{,}45 \\ln(0{,}01)$
Calcul :$t = -0{,}45 \\times (-4{,}605) = 2{,}072\\ \\text{s}$
4. Résultat :$y_{f} = 22{,}8$, $t_{99\\%} = 2{,}072\\ \\text{s}$
Q3. Précision statique et rapidité
1. La précision statique est :$\\dfrac{y_f}{KA} = 1$ soit $100\\ \\%$
2. La rapidité (temps de réponse à $99\\ \\%$) est $t_{99\\%}=2{,}072\\ \\text{s}$
4. Résultat :$\\text{Précision statique}=100\\ \\%$, $\\text{Rapidité}=2{,}072\\ \\text{s}$Q1. Réponse temporelle à une impulsion
", "id_category": "3", "id_number": "10" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Une chaîne de régulation d’ordre supérieur (d’ordre 3) est soumise à une entrée échelon, et on observe la réponse temporelle suivante : au bout de $0{,}8\\ \\text{s}$, la sortie atteint $68\\ \\%$ de la valeur finale ; la sortie finale est $10{,}2$.\n1. Identifiez le type d’ordre du système et déduisez, par modélisation simplifiée, la constante de temps équivalente.\n2. Évaluez le temps de réponse à $95\\ \\%$ pour ce système.\n3. Si l’on souhaite obtenir une rapidité deux fois supérieure, calculez la nouvelle constante de temps à imposer.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule générale :$h(t) = \\text{Inverse de } \\mathcal{L}^{-1} \\left( \\dfrac{15}{p^2 + 7p + 15} \\right)$
Polynôme caractéristique : $p^2 + 7p + 15$
Racines :$p_{1,2}= \\dfrac{-7 \\pm \\sqrt{49-60}}{2} = \\dfrac{-7\\pm i\\sqrt{11}}{2}$
On obtient :$h(t)=\\dfrac{15}{\\sqrt{11}}e^{-\\dfrac{7}{2}t}\\sin(\\dfrac{\\sqrt{11}}{2}t)$
2. Résultat :$h(t)=4{,}52\\ e^{-3{,}5t}\\sin(1{,}66t)$
Q2. Temps et valeur du maximum
1. On pose :$h'(t)=0$ pour le maximum.
Calculons le temps,$t_m$:
La première dérivée de $h(t)$ s'annule pour$t_m$:
En considérant l'extremum de $e^{-at}\\sin(bt)$
On utilise $t_m \\approx \\dfrac{\\pi}{b}$.
Donc $t_m=\\dfrac{\\pi}{1{,}66}\\approx 1{,}89\\ \\text{s}$
Valeur du maximum :$h(t_m)=4{,}52\\ e^{-3{,}5\\times 1{,}89}\\sin(1{,}66\\times 1{,}89)$
$=4{,}52\\ e^{-6,615}\\sin(3,14)$
$=4{,}52\\times 0,00134\\times 0$
En vérité, le premier maximum est peu après zéro.
Méthode générale, on peut approximer pour $t \\approx \\dfrac{1}{b}$.
2. Pour t typique:$t_{typique} \\approx \\dfrac{1}{1{,}66}=0{,}60\\ \\text{s}$
Maximum proche de $h(0,60):$
$h(0,6)=4,52\\times e^{-2,1}\\times\\sin(1,0)$
$\\approx 4,52\\times 0,122\\times 0,841$
$\\approx 0,464$
4. Résultat :$t_{max} \\approx 0,60\\ \\text{s}$, $h_{max} \\approx 0,464$
Q3. Nature du régime et rapidité typique
1. Régime : racines complexes, donc pseudo-périodique.
2. Rapidité typique :$\\tau=\\dfrac{1}{b}=0{,}60\\ \\text{s}$
4. Résultat :$\\text{Pseudo-périodique}$, $\\text{rapidité typique} \\approx 0,60\\ \\text{s}$Q1. Type d’ordre et constante de temps équivalente
", "id_category": "3", "id_number": "11" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 1 : Analyse temporelle d’un système du premier ordre soumis à un échelon\n\nUn système linéaire continu du premier ordre de fonction de transfert $H(p) = \\frac{K}{1 + \\tau p}$ reçoit en entrée un échelon de valeur $E_0 = 8\\ \\mathrm{V}$ et de durée infinie. Les paramètres sont $K = 3$ et $\\tau = 0,6\\ \\mathrm{s}$.\n\n1. Déterminer l’expression temporelle de la sortie pour $t \\geq 0$.\n2. Calculer le temps nécessaire pour que la sortie atteigne $95\\%$ de sa valeur finale.\n3. Déterminer la valeur de la sortie en régime permanent et le dépassement éventuel.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Le système est d’ordre 3, mais approché par :$y(t)=y_f(1-e^{-t/\\tau})^3$
On résout pour $y(0,8)=0,68\\times10,2=6,936$.
$y(0,8)=10,2(1-e^{-0,8/\\tau})^3=6,936$
$(1-e^{-0,8/\\tau})=\\sqrt[3]{\\dfrac{6,936}{10,2}}=0,87$
$e^{-0,8/\\tau}=1-0,87=0,13$
$-0,8/\\tau=\\ln(0,13)=-2,040$
$\\tau=\\dfrac{0,8}{2,040}=0,392\\ \\text{s}$
4. Résultat :$\\tau_{eq}=0,392\\ \\text{s}$
Q2. Temps de réponse à $95\\ \\%$
1. Formule :$y(t_{95})=0,95y_f$
$y(t_{95})=10,2(1-e^{-t/\\tau})^3=9,69$
$(1-e^{-t/\\tau})=\\sqrt[3]{9,69/10,2}=0,983$
$e^{-t/\\tau}=1-0,983=0,017$
$t/\\tau=-\\ln(0,017)=4,08$
$t_{95}=4,08\\times0,392=1,60\\ \\text{s}$
4. Résultat :$t_{95}\\approx 1,60\\ \\text{s}$
Q3. Nouvelle constante de temps pour rapidité double
1. Formule :$t_{95,new}=0,5\\times t_{95}=0,8\\ \\text{s}$
$\\tau_{new}=\\dfrac{t_{95,new}}{4,08}=0,196\\ \\text{s}$
4. Résultat :$\\tau_{new}=0,196\\ \\text{s}$1. Expression temporelle de la sortie :
", "id_category": "3", "id_number": "12" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 2 : Identification d’un système du second ordre à partir de la réponse à un échelon\n\nOn applique à un système inconnu un signal échelon de $2\\ \\mathrm{V}$. La sortie observée présente une première oscillation de pic de $3,6\\ \\mathrm{V}$ à $t_1 = 0,32\\ \\mathrm{s}$ et le second maximum atteint $2,8\\ \\mathrm{V}$ à $t_2 = 1,08\\ \\mathrm{s}$.\n\n1. Calculer le taux d’amortissement $\\xi$ du système à partir des pics successifs.\n2. En déduire la pulsation propre $\\omega_0$ du système.\n3. Donner l’expression de la sortie temporelle pour un échelon de 2 V, en utilisant les résultats précédents.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nFormule générale : $y(t) = K E_0 \\left(1 - e^{-t/\\tau}\\right)$
\nRemplacement : $y(t) = 3 \\times 8 \\left(1 - e^{-t/0,6}\\right)$
\nCalcul : $3 \\times 8 = 24$, donc $y(t) = 24\\left(1 - e^{-t/0,6}\\right)$
\nRésultat final : $y(t) = 24\\left(1 - e^{-t/0,6}\\right)\\ \\mathrm{V}$\n
2. Temps pour atteindre 95% de la valeur finale :
\nFormule générale : $y(t_{95}) = 0,95 y(\\infty)$, or $y(\\infty) = 24\\ \\mathrm{V}$
\nRemplacement : $0,95 \\times 24 = 22,8\\ \\mathrm{V}$
\nÉquation : $24\\left(1 - e^{-t/0,6}\\right) = 22,8$ donc $1 - e^{-t/0,6} = 0,95$, donc $e^{-t/0,6}=0,05$
\nCalcul : $-\\frac{t}{0,6} = \\ln(0,05)$ donc $t = -0,6\\times\\ln(0,05)\\approx1,798\\ \\mathrm{s}$
\nRésultat final : $t_{95}=1,80\\ \\mathrm{s}$\n
3. Sortie en régime permanent et dépassement :
\nValeur finale : $y(\\infty) = 24\\ \\mathrm{V}$
\nComme système du 1er ordre : pas de dépassement en réponse indicielle.
\nRésultat final : $y_{final}=24\\ \\mathrm{V}$ ; pas de dépassement.1. Calcul du taux d’amortissement
", "id_category": "3", "id_number": "13" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 3 : Identification d’un système à partir d’une réponse impulsionnelle et stabilité\n\nOn donne la réponse impulsionnelle d’un système continu de la forme $h(t) = \\,\\alpha e^{-\\beta t} u(t)$, où $u(t)$ est l’échelon unité. On observe que le maximum de la réponse est $h_{max}=4,5$ pour $t=0$ et qu’à $t=1,2\\ \\mathrm{s}$ on a $h(1,2) =1,66$.\n\n1. Identifier les valeurs des paramètres $\\alpha$ et $\\beta$.\n2. Vérifier la stabilité du système.\n3. Calculer la réponse à une entrée échelon de $U_0 = 3\\ \\mathrm{V}$ et donner la valeur de la sortie à l’infini.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nFormule générale (log. décroissance) : $\\delta = \\ln\\left(\\frac{S_1}{S_2}\\right)$, $\\xi = \\frac{\\delta}{\\sqrt{4\\pi^2+\\delta^2}}$
\nRemplacement : $\\delta = \\ln\\left(\\frac{3,6}{2,8}\\right) = \\ln(1,286)$
\nCalcul : $\\delta=0,251$, $\\xi=\\frac{0,251}{\\sqrt{4\\pi^2 + (0,251)^2}} = \\frac{0,251}{6,288}=0,040$
\nRésultat final: $\\xi=0,040$\n
2. Calcul de la pulsation propre
\nFormule générale : $T_d = t_2 - t_1$, $\\omega_d = \\frac{\\pi}{T_d}$, $\\omega_0 = \\frac{\\omega_d}{\\sqrt{1-\\xi^2}}$
\nRemplacement : $T_d=1,08-0,32=0,76\\ \\mathrm{s}$ ; $\\omega_d=\\frac{\\pi}{0,76}=4,136\\ \\mathrm{rad/s}$
\n$\\omega_0=\\frac{4,136}{\\sqrt{1-(0,04)^2}}=4,137\\ \\mathrm{rad/s}$\n
Résultat final: $\\omega_0=4,137\\ \\mathrm{rad/s}$\n
3. Expression temporelle de sortie :
\nFormule du second ordre (échelon unitaire) : $y(t) = E_0 \\left[1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-\\xi^2}} e^{-\\xi\\omega_0 t} \\sin\\left(\\omega_d t + \\theta\\right)\\right]$, où $\\theta = \\arccos(\\xi)$
\nRemplacement pour $E_0=2$ : $\\omega_d=4,136$, $\\xi=0,04$, $\\omega_0=4,137$, $\\theta=\\arccos(0,04)=1,530\\ \\mathrm{rad}$
\n$y(t)=2\\left[1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-0,04^2}} e^{-0,04\\times4,137\\ t} \\sin(4,136 t+1,530)\\right]$
\nRésultat final: $y(t)=2\\left[1 - 1,0008\\, e^{-0,1655 t} \\sin(4,136 t+1,530)\\right]$1. Identification des paramètres
\nFormule générale : $y(t) = U_0 \\int_0^t h(\\tau) d\\tau$
\nFormule générale : $h(t) = \\alpha e^{-\\beta t}$
\nPour $t=0$ : $h(0)=\\alpha=4,5$
\nPour $t=1,2$ : $1,66=4,5 e^{-\\beta\\times1,2}$
\n$e^{-\\beta\\times1,2}=1,66/4,5=0,369$
\n$-\\beta\\times1,2=\\ln(0,369)=-0,997$ donc $\\beta=0,831$
\nRésultat final : $\\alpha=4,5$, $\\beta=0,831\\ \\mathrm{s}^{-1}$\n
2. Vérification de stabilité :
\nLa sortie tend vers zéro quand $t \\to \\infty$ si $\\beta>0$. Ici $\\beta=0,831>0$. Le système est donc stable.
\nRésultat final : système stable.\n
3. Réponse à un échelon de
\n$\\int_0^t h(\\tau)d\\tau = \\alpha\\int_0^t e^{-\\beta\\tau}d\\tau=\\frac{\\alpha}{\\beta}\\left(1-e^{-\\beta t}\\right)$
\nRemplacement : $y(t)=3\\times\\frac{4,5}{0,831}(1-e^{-0,831 t})=16,25(1-e^{-0,831 t})$
\nÀ l’infini : $y(\\infty)=16,25$
\nRésultat final : $y(\\infty)=16,25\\ \\mathrm{V}$", "id_category": "3", "id_number": "14" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système linéaire d’ordre 1 à retour unitaire a pour fonction de transfert $H(s) = \\frac{5}{\\tau s + 1}$. Après application d'un échelon d'entrée de valeur $2$ à $t=0$, on mesure expérimentalement une valeur de sortie de $1,26$ au temps $t=0,15~s$.
1) Identifiez la constante de temps $\\tau$ du système.
2) Déterminez l’expression temporelle de la réponse pour $t>0$.
3) Calculez le temps pour lequel la sortie atteint $99~\\%$ de sa valeur finale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Identification de $\\tau$
", "id_category": "3", "id_number": "15" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système du second ordre de fonction de transfert $H(s) = \\frac{16}{s^2 + 4s + 16}$ est soumis à une impulsion de Dirac à $t=0$ d’amplitude $6$.
1. Formule : Pour un système d'ordre 1 soumis à un échelon de valeur $E$
$y(t) = K \\,E \\,(1-e^{-t/\\tau})$ avec $K = 5$
2. Valeur finale : $y(+\\infty) = 5 \\times 2 = 10$
3. Remplacement à $t=0,15$ : $1,26 = 10(1-e^{-0,15/\\tau})$
$1-e^{-0,15/\\tau} = 0,126$ donc $e^{-0,15/\\tau} = 0,874$
4. Calcul : $-0,15/\\tau = \\ln(0,874)$ donc $\\tau = -0,15 / \\ln(0,874) = 1,102~s$
5. Résultat : $\\tau = 1,10~s$
Question 2 : Réponse temporelle
Expression : $y(t) = 10[1-e^{-t/1,10}]$
Question 3 : Temps d’attente de 99~%
1. Valeur visée : $y(t_{99}) = 0,99 \\times 10 = 9,9$
$9,9 = 10[1-e^{-t/1,10}]$ donc $e^{-t/1,10}=0,01$
$-t/1,10 = \\ln(0,01) = -4,6052$
2. Calcul : $t_{99} = 1,10 \\,\\times 4,6052 = 5,066~s$
3. Résultat final : $t_{99}=5,07~s$
1) Déterminez l’expression temporelle de la réponse impulsionnelle.
2) Calculez le temps auquel la première extremum (pic de dépassement) est atteint.
3) Évaluez la valeur de la sortie à cet instant précis.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Réponse impulsionnelle
", "id_category": "3", "id_number": "16" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Lors de l’identification d’un système inconnu, on lui applique un échelon de hauteur $3$. La réponse mesurée est : à $t=0$, $y=0$; à $t=0,3~s$, $y=2,16$; à $t=0,8~s$, $y=2,94$. En régime permanent, $y_\\infty = 3,00$.
1. Fonction de transfert : $H(s)=\\frac{16}{s^2+4s+16}$
2. Réponse impulsionnelle : C'est la transformée inverse de $H(s)$.
Forme standard second ordre : $\\omega_0=4$, $\\xi=0,5$.
3. $h(t) = 16 \\cdot e^{-2t} \\cdot \\sin(2\\sqrt{3}t)/\\sqrt{3}$
Avec entrée impulsionnelle amplitude $6$ : $y(t) = 6h(t) = \\frac{96}{\\sqrt{3}} e^{-2t} \\sin(2\\sqrt{3}t)$
Question 2 : Temps du premier pic
1. Formule: $t_{p1} = \\frac{\\pi}{\\omega_0\\sqrt{1-\\xi^2}}$
2. Remplacement : $t_{p1} = \\frac{\\pi}{4\\times \\sqrt{1-0,25}} = \\frac{\\pi}{4\\times 0,866} = \\frac{3,142}{3,464} = 0,907~s$
3. Résultat : $t_{p1} = 0,91~s$
Question 3 : Valeur à cet instant
1. Calcul : $y(t_{p1}) = \\frac{96}{\\sqrt{3}} e^{-2\\times0,91} \\sin(2\\sqrt{3}\\times 0,91)$
2. $e^{-1,82}=0,162$, $2\\sqrt{3}\\times0,91=3,153$, $\\sin(3,153) = 0,011$
3. $\\frac{96}{1,732} \\approx 55,43$
$y=55,43 \\times 0,162 \\times 0,011 = 0,098$
4. Résultat : $y_{max}=0,098$
1) En supposant un système d’ordre 1, déterminez la constante de temps.
2) Calculez l’écart statique pour un échelon de même amplitude si le système est d’ordre supérieur non parfait.
3) Déduisez une estimation de l’ordre minimal du système compatible avec la précision.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Constante de temps d'ordre 1
", "id_category": "3", "id_number": "17" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On considère un système linéaire continu du premier ordre modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \\frac{4}{2p + 1}$.
1. Réponse ordre 1 : $y(t)=A[1-e^{-t/\\tau}]$ avec $A=3$
2. À $t=0,3 : 2,16=3[1-e^{-0,3/\\tau}]$
$1-e^{-0,3/\\tau}=0,72$ donc $e^{-0,3/\\tau}=0,28$
$-0,3/\\tau=\\ln(0,28)=-1,272$ donc $\\tau=0,236~s$
Question 2 : Écart statique pour un système non parfait
1. Écart statique : $e_s = A - y_\\infty$
2. Ici : $e_s = 3,00 - 3,00 = 0$
Question 3 : Ordre minimal
1. À $t=0,8 : y=2,94$, donc $2,94=3[1-e^{-0,8/0,236}] = 3[1-e^{-3,39}]$
$e^{-3,39}=0,033$, $1-0,033=0,967$, $3\\times 0,967 = 2,901$
$2,94~>~2,901$, donc la réalité est plus rapide : compatible avec un système d'ordre ≤1.
En revanche, si la valeur avait été plus faible à $t=0,8$, il aurait fallu un ordre supérieur.
Conclusion : $n_{min}=1$
1. Déterminez l’expression de la réponse du système à un échelon unitaire.
2. Calculez le temps nécessaire pour que la sortie atteigne 95 % de sa valeur finale.
3. Pour l’entrée impulsionnelle de Dirac, calculez et tracez la réponse impulsionnelle.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Réponse à un échelon :
", "id_category": "3", "id_number": "18" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système de second ordre est défini par $H(p) = \\frac{25}{p^2 + 6p + 25}$.
Formule générale (premier ordre) : $H(p) = \\frac{K}{\\tau p + 1}$, et $s(t) = K (1-e^{-t/\\tau}) u(t)$
Ici :$K=2$ et $\\tau = 2$ : $H(p) = \\frac{4}{2p+1} = \\frac{2}{p+\\frac{1}{2}}$
Donc $s(t) = 4[1-e^{-t/2}]u(t)$
Résultat final : $s(t) = 4[1-e^{-t/2}]u(t)$
2. Temps pour atteindre 95 % :
On résout $s(t_{95}) = 0,95\\times4 = 3,8$
$3,8 = 4[1-e^{-t_{95}/2}]$
$1-e^{-t_{95}/2}=0,95$, donc $e^{-t_{95}/2}=0,05$
$-t_{95}/2 = \\ln(0,05) = -2,996$
$t_{95}=2\\times2,996=5,992$
Résultat : $t_{95}=6,0\\,s$
3. Réponse impulsionnelle de Dirac :
Formule : réponse impulsionnelle = transformée de Laplace inverse de $H(p)$
$h(t) = 4 e^{-t/2} u(t)$
Résultat final : $h(t) = 4 e^{-t/2} u(t)$
1. Calculez la réponse temporelle à un échelon unitaire.
2. Déterminez le maximum de la réponse (dépassement) et le temps d’atteinte de ce maximum.
3. En utilisant la même fonction de transfert, identifiez la nature et calculez le temps de réponse à 2 %.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Réponse à un échelon :
", "id_category": "3", "id_number": "19" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système asservi linéaire continu de premier ordre admet comme fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{5}{1 + 0,25p}$. On applique à l’entrée un échelon unitaire à partir de $t = 0$.\n1. Déterminez la réponse indicielle temporelle $y(t)$ et le temps de réponse à 5%.\n2. Calculez la sortie du système pour une impulsion de Dirac de magnitude 2 à $t = 0$.\n3. On réalise expérimentalement une réponse à un échelon : on trouve que $y(0,25) = 3,16$. Identifiez les paramètres du système expérimental (gain et constante de temps).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $H(p) = \\frac{\\omega_0^2}{p^2 + 2 \\xi \\omega_0 p + \\omega_0^2}$
Ici : $\\omega_0 = 5$, $2\\xi\\omega_0=6 \\rightarrow \\xi = 0,6$
Pour un échelon unitaire :$S(p) = \\frac{25}{p(p^2+6p+25)}$
La réponse temporelle :
$s(t) = 1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-0,6^2}}e^{-3t}[\\sin(4t+\\arccos(0,6))]u(t)$
Résultat : $s(t) = 1 - \\frac{1}{0,8}e^{-3t}\\sin(4t+0,927)u(t)$
2. Dépassement et temps de dépassement :
Dépassement maximal : $D = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}} = e^{-\\frac{\\pi\\times0,6}{0,8}}=e^{-2,356}=0,0945 = 9,45\\%$
Temps du maximum :$T_{max} = \\frac{\\pi}{\\omega_0\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\frac{\\pi}{5\\times0,8}=0,785$
Résultat : $D = 9,45\\%$; $T_{max}=0,785\\,s$
3. Temps de réponse à 2 % :
Formule : $t_{r,2\\%} \\approx \\frac{4}{\\xi \\omega_0} = \\frac{4}{0,6\\times5}=1,33$
Résultat final : $t_{r,2\\%}=1,33\\,s$1. Réponse à un échelon unitaire :
", "id_category": "3", "id_number": "20" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système du second ordre de fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{20}{p^2 + 6p + 20}$ est excité par une entrée échelon unitaire.\n1. Déterminez l’expression de la sortie temporelle $y(t)$ (réponse indicielle).\n2. Calculez la valeur du dépassement maximal (overshoot) et le temps auquel il est atteint.\n3. À partir de la réponse, identifiez la nature du régime transitoire et la précision statique du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $y(t) = K \\left(1 - e^{-\\frac{t}{\\tau}}\\right)$ où $K = 5$, $\\tau = 0,25~s$
Remplacement : $y(t) = 5 \\left(1 - e^{-t/0,25}\\right)$
Temps de réponse à 5% : $t_{r,5\\%} \\approx 3\\tau = 0,75~s$
Résultat : $y(t) = 5 \\left(1 - e^{-4t}\\right)$ et $t_{r,5\\%} = 0,75~s$
2. Réponse à une impulsion de Dirac de magnitude 2 :
Formule générale : la réponse impulsionnelle $h(t) = K/\\tau~e^{-t/\\tau}$;
d’où la sortie $y(t) = 2 \\cdot \\dfrac{5}{0,25} e^{-t/0,25} = 40 e^{-4t}$
Résultat final : $y(t) = 40 e^{-4t}$
3. Identification expérimentale :
Formule générale : $y(0,25) = K \\left(1 - e^{-0,25/\\tau}\\right)$
On pose $y(0,25) = 3,16$. Résolvons pour $K$ et $\\tau$.
Si on suppose $K = 5$, alors $3,16 = 5(1 - e^{-0,25/\\tau}) \\implies 0,632 = 1 - e^{-0,25/\\tau} \\implies e^{-0,25/\\tau} = 0,368 \\implies -0,25/\\tau = \\ln(0,368) = -1,\\!~\\>\\!~0$
Donc $\\tau = 0,25$.
Si le gain est inconnu et $\\tau = 0,25$, alors $K = 3,16 / 0,632 = 5$.
Résultat : gain identifié $K = 5$, constante de temps $\\tau = 0,25~s$1. Réponse indicielle du système :
", "id_category": "3", "id_number": "21" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On considère un système d’ordre supérieur (ordre 4), de fonction de transfert :$H(p) = \\dfrac{15}{(p + 2)^2 (p^2 + 8p + 25)}$. Un signal d’entrée échelon de valeur 1 est appliqué à t=0.\n1. Exprimez la sortie sous la forme d’une somme de réponses de premier et second ordre (décomposition partielle).\n2. Donnez l’expression de la composante dominante de la réponse (celle gouvernant la stagnation/régime permanent).\n3. Identifiez à partir de l’expression temporelle les pôles dominants et leur influence sur la rapidité et la stabilité du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : la réponse d’un second ordre sous $u(t) = 1$ est : $y(t) = 1 - \\dfrac{1}{\\sqrt{1 - \\zeta^2}} e^{-\\zeta\\omega_n t} \\sin(\\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2} t + \\arccos \\zeta)$
Pour $p^2 + 6p + 20$, on a $\\omega_n = \\sqrt{20} = 4,472~rad~s^{-1},~2\\zeta\\omega_n = 6$, donc $\\zeta = 6/(2 \\times 4,472) = 0,671$
Donc $y(t) = 1 - \\dfrac{1}{0,741}~e^{-3,0t}\\sin(3,123t + 0,837)$
2. Calcul du dépassement maximal :
Formule : $M_p = e^{-\\pi \\zeta / \\sqrt{1-\\zeta^2}}$
Remplacement : $M_p = e^{-\\pi \\times 0,671/\\sqrt{1-0,671^2}} = e^{-2,76} = 0,063$
Dépassement en % : $6,3~\\%$
Temps auquel il est atteint : $t_p = \\dfrac{\\pi}{\\omega_n\\sqrt{1-\\zeta^2}} = \\dfrac{3,142}{4,472 \\times 0,741} = 0,956~s$
Résultat : $M_p = 6,3~\\%$ à $t_p = 0,956~s$
3. Nature du régime transitoire et précision :
Avec $\\zeta = 0,671 < 1$ : régime pseudo-périodique (oscillant amorti), précision statique parfaite ($y(\\infty) = 1$ pour une fonction de transfert proprement normalisée),
Résultat : régime oscillant amorti, précision statique totale pour un échelon.1. Décomposition partielle :
", "id_category": "3", "id_number": "22" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On considère un système du premier ordre, modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \\frac{5}{1 + 0{,}2p}$, soumis à un échelon unitaire d'entrée. \n1. Calculez la réponse du système à l’échelon et déterminez la constante de temps.\n2. Déterminez la valeur de la sortie à $t = 0{,}4~s$ et le temps pour atteindre $98~\\% $ de la valeur finale.\n3. Déterminer la réponse impulsionnelle, puis l'intégrale de cette réponse et l’interpréter physiquement.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Forme générale : $H(p) = \\dfrac{A}{p + 2} + \\dfrac{B}{(p + 2)^2} + \\dfrac{Cp + D}{p^2 + 8p + 25}$
Calculs des coefficients par identification :
- Les pôles dominants proviennent de $(p + 2)^2$ (constante de temps la plus grande).
Les coefficients A, B, C, D peuvent être déterminés, ici :
$A \\approx 0,6$, $B \\approx 0,45$, $C \\approx -1,05$, $D \\approx -1,65$
Donc, la sortie temporelle est la somme des réponses associées à ces pôles.
2. Composante dominante (pôle le plus lent) :
La composante $B/(p + 2)^2$, car elle a la décroissance la plus lente :
Réponse temporelle correspondante :$y_{dom}(t) = B~ t~ e^{-2t}$
3. Identification des pôles dominants :
Pôles : $p = -2~(dédoublé)$ ; $p = -4 \\pm 3j$
Le pôle double $-2$ est dominant (plus près de l’axe imaginaire) : il limite la rapidité (plus lent, réponse amortie). Les pôles complexes $-4 \\pm 3j$ entraînent une petite oscillation amortie.
Influence : rapidité faible à cause de $-2$, stabilité bonne (tous les pôles à partie réelle négative; système stable).1. Réponse à l’échelon et constante de temps :
", "id_category": "3", "id_number": "23" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On considère un système du second ordre de fonction de transfert $H(p) = \\frac{16}{p^2 + 8p + 16}$. On applique un échelon unitaire à l’entrée.\n1. Déterminez la réponse du système à l’échelon et la valeur finale atteinte par la sortie.\n2. Calculez la valeur maximale de la sortie, le dépassement éventuel et le temps de réponse à $2~\\% $ près.\n3. Identifiez les caractéristiques du système (rapidité, stabilité, précision statique) et comparez-les à un système du premier ordre ayant même gain statique.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : l’échelon unitaire $E(p) = \\frac{1}{p}$, donc $S(p) = H(p)E(p) = \\frac{5}{p(1 + 0{,}2p)}$. Par décomposition en éléments simples : $\\frac{5}{p(1 + 0{,}2p)} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{1 + 0{,}2p}$. Résolution : $5 = A(1 + 0{,}2p) + Bp$. Pour $p=0$ : $5=A$; Pour $p=-5$ : $5 = B(-5) \\to B = -1$. Donc $S(p) = \\frac{5}{p} - \\frac{1}{1 + 0{,}2p}$; Donc la réponse temporelle : $s(t) = 5(1 - e^{-t/0,2})u(t)$. Constante de temps $\\tau = 0,2~s$.
Résultat final : $s(t) = 5(1 - e^{-5t})u(t)$ et $\\tau = 0,2~s$.
2. Valeur à $t=0,4~s$ et temps à $98~\\%$ :
Remplacement : $s(0,4) = 5(1 - e^{-0,4/0,2}) = 5(1 - e^{-2})$. Calcul : $e^{-2} \\approx 0,1353$; $s(0,4) = 5(1 - 0,1353) = 5 \\times 0,8647 = 4,323~u(t)$.
Pour $s(t) = 0,98 \\times 5$: $1 - e^{-t/0,2} = 0,98$ donc $e^{-t/0,2} = 0,02$ donc $-\\frac{t}{0,2} = \\ln(0,02)$ donc $t = -0,2 \\times \\ln(0,02) = 0,2 \\times 3,912 = 0,782~s$.
Résultat final : $s(0,4) = 4,32$ ; $t_{98\\%} = 0,782~s$.
3. Réponse impulsionnelle et intégrale :
Réponse impulsionnelle = transformée inverse de $H(p)$ : $h(t) = \\frac{5}{0,2} e^{-t/0,2}u(t) = 25 e^{-5t}u(t)$.
Intégrale : $\\int_{0}^{\\infty} h(t)dt = \\int_{0}^{\\infty} 25 e^{-5t}dt = 25 \\times \\frac{1}{5} = 5$.
Résultat final : énergie totale, ou gain statique, vaut $5$, et correspond à la valeur à l’infini de la réponse à l’échelon.1. Réponse à l’échelon et valeur finale :
", "id_category": "3", "id_number": "24" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On observe la réponse temporelle d’un système inconnu à un échelon unitaire : au bout de $0,5~s$, la sortie atteint $0,63$ de sa valeur finale ; au bout de $2~s$, elle atteint $0,98$. On suppose que le système est soit du premier ordre, soit du second ordre.\n1. Identifiez le type et le modèle d’ordre à l’aide des constantes temporelles.\n2. Déterminez l’équation temporelle de la réponse en justifiant l’identification.\n3. Pour un système du second ordre, quelle serait la valeur du facteur d’amortissement pour expliquer cette réponse ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
La transformée de l’échelon unitaire $E(p) = \\frac{1}{p}$, donc $S(p) = H(p)E(p) = \\frac{16}{p(p^2 + 8p + 16)}$.
Décomposition en éléments simples : Les pôles sont réels et égaux à $-4$, ainsi $S(p) = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{(p+4)} + \\frac{C}{(p+4)^2}$.
On trouve par identification $A = 1$, $B = 0$, $C = -1$.
Transformée inverse : $s(t) = (1 - te^{-4t})u(t)$.
Valeur finale : $\\lim_{t\\to\\infty} s(t) = 1$.
Résultat final : $s(t) = (1 - 4te^{-4t})u(t)$ ; valeur finale = $1$.
2. Valeur maximale, dépassement et temps de réponse :
Pour $s(t) = 1 - 4te^{-4t}$, maximum pour $t_{max}$ tel que dérivée nulle : $\\frac{ds}{dt} = 0 \\to 4e^{-4t} - 16te^{-4t} = 0 \\to t_{max} = 0,25~s$.
$s(0,25) = 1 - 4 \\times 0,25 \\times e^{-1} = 1 - e^{-1} = 1 - 0,3679 = 0,6321$: pas de dépassement, la sortie monte monotonement vers 1.
Temps d'établissement à $2\\%$ : $|s(t) - 1| \\leq 0,02$, donc $|-4te^{-4t}| \\leq 0,02$, par approximation pour grande t:
Cherchons t pour lequel $4te^{-4t} = 0,02$; numériquement, cela donne environ $t_{r,2\\%} \\approx 1,1~s$.
Résultat final : $t_{max} = 0,25~s$, valeur maximale = $0,632$, dépassement = $0\\% $, temps de réponse $2\\% $ = $1,1~s$.
3. Identification et comparaison :
Rapidité modérée (temps de réponse intermédiaire), stabilité parfaite (pas de dépassement, convergente), précision statique = 1 (correcte).
Comparé à un premier ordre de même gain statique, la convergence est plus lente au départ mais sans dépassement, la rapidité finale comparable pour même constante de temps globale.1. Identification du type :
", "id_category": "3", "id_number": "25" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 1 : Réponse temporelle d’un système du premier ordre\nOn considère un système linéaire continu du premier ordre de fonction de transfert $H_1(p) = \\frac{4}{\\tau p + 1}$ où $\\tau = 0{,}75~s$.\nÀ t = 0, on applique au système un échelon unitaire. \n1. Calculer l’expression temporelle de la réponse du système à cet échelon.\n2. Déterminer la valeur atteinte par la sortie à t = 2~s et le temps de réponse à 5%.\n3. Calculer et interpréter la valeur finale (régime permanent) et le temps caractéristique lié à la rapidité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Pour un premier ordre : à $t = \\tau$, $s(\\tau) = 1 - e^{-1} = 0,63$; ici à $t = 0,5~s$, donc $\\tau = 0,5~s$.
Vérification à $t=2~s$: $s(2) = 1 - e^{-2/0,5} = 1 - e^{-4} = 0,9817$; cela convient bien, c'est donc un système du premier ordre, $\\tau = 0,5~s$.
2. Équation temporelle :
Formule générale premier ordre : $s(t) = 1 - e^{-t/\\tau}$; $\\tau = 0,5~s$.
Résultat final : $s(t) = 1 - e^{-2t}$
3. Pour second ordre, facteur d’amortissement :
Pour $s(0,5) = 0,63$, pour système du second ordre standardisé :$s(t) = 1 - \\frac{1}{\\sqrt{1-\\xi^2}} e^{-\\xi \\omega_n t} \\sin(\\omega_n \\sqrt{1-\\xi^2} t + \\alpha)$ mais ici pas de dépassement ni de retard marqué.
Cela implique un facteur d'amortissement élevé (surdampé), analysons par la relation entre temps de réponse à 98% et $\\xi, \\omega_n$. Pour $t_{r,2\\%}\\approx 4 / (\\xi \\omega_n) = 2~s$, on trouve $\\xi \\omega_n = 2$; la pseudo-constante de temps est $1 / (\\xi \\omega_n)$. Pour $s(0,5)\\approx 0,63$, on retrouve $\\omega_n \\geq 2~rad/s$, $\\xi \\approx 1$.
Résultat final : Pour système du second ordre, $\\xi \\simeq 1$, fortement amorti.1. Expression temporelle de la réponse à un échelon unitaire
\n\n
Formule générale dans $...$ :
$s(t) = K \\left(1 - e^{ -t / \\tau }\\right)$
Remplacement des données dans $...$ :
$K = 4$, $\\tau = 0{,}75$
$s(t) = 4 \\left(1 - e^{ -t / 0.75 }\\right)$
Résultat : $s(t) = 4 \\left(1 - e^{ -\\frac{t}{0{,}75} }\\right)$2. Valeur atteinte à t = 2~s et temps de réponse à 5%
\n\n
Formule dans $...$ :
$s(t) = 4 (1 - e^{-t/0,75})$
Pour $t = 2$: $s(2) = 4(1 - e^{-2/0,75})$
Calcul : $2 / 0,75 = 2,6667$ ; $e^{-2,6667} = 0,069\\ $
$s(2) = 4(1 - 0,069) = 4 \\, (0,931) = 3,724$
Résultat final : à $t = 2~s$, $s(2) = 3,72$
Temps de réponse à 5 % : c’est le temps $t_{5\\%}$ tel que $s(t) = 0,95 K$
$0,95 \\times 4 = 4(1 - e^{-t/0,75}) \\rightarrow 0,95 = 1 - e^{-t/0,75}$
$e^{-t/0,75} = 0,05$
$-t/0,75 = \\ln(0,05) \\rightarrow t = -0,75 \\ln(0,05)$
$\\ln(0,05) = -2,9957 ;$
$t_{5\\%} = 0,75 \\times 2,9957 = 2,25~s$
Résultat : temps de réponse à 5% $t_{5\\%} = 2,25~s$3. Valeur finale en régime permanent et temps caractéristique
", "id_category": "3", "id_number": "26" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Exercice 3 : Analyse temporelle et stabilité d’un système d’ordre supérieur\nOn considère un système à trois pôles :$H_3(p) = \\frac{20}{(p+1)(p+2)(p+5)}$\n1. Calculer l’expression de la sortie pour une entrée échelon unitaire.\n2. Déterminer la valeur de la sortie à $t = 2~s$ et le régime permanent.\n3. Discuter de la stabilité et rapidité du système en analysant les pôles réels.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule de la valeur finale :
$s(+\\infty) = K = 4$
Interprétation : le système atteint finalement la valeur 4, soit le gain statique.
Temps caractéristique associé à la rapidité : $\\tau = 0,75~s$
En général, le système est établi en $3\\tau = 2,25~s$ (correspondant aussi au temps de réponse à 95%).1. Sortie pour une entrée échelon
\n\n
Sortie : $Y(p) = H_3(p) \\cdot \\frac{1}{p}$
Décomposition en éléments simples :
On écrit :
$\\frac{20}{(p+1)(p+2)(p+5)p} $
On utilise la décomposition en éléments simples :
$\\frac{20}{(p+1)(p+2)(p+5)p} = \\frac{A}{p} + \\frac{B}{p+1} + \\frac{C}{p+2} + \\frac{D}{p+5}$
On trouve (calculs détaillés omis pour lisibilité):$A = 2$, $B = -7.5$, $C = 9$, $D = -3.5$
Inverse de Laplace :$y(t) = 2 - 7{,}5 e^{-t} + 9 e^{-2t} - 3{,}5e^{-5t}$2. Valeur à t = 2~s et régime permanent
\n\n
Remplacement dans $...$ :
$y(2) = 2 - 7{,}5 e^{-2} + 9 e^{-4} - 3{,}5 e^{-10}$
Calcul :
$e^{-2} = 0,135$ ; $e^{-4} = 0,018$ ; $e^{-10} = 0,000045$
$y(2) = 2 -7,5 \\times 0,135 + 9 \\times 0,018 -3,5\\times0,000045$
$y(2) = 2 - 1,013 + 0,162 - 0,0001575$
$y(2) = 1,148$
Résultat : à $t = 2~s$ la sortie vaut $y(2) \\approx 1,15$
\nEn régime permanent : toutes les exponentielles s'annulent :$y(+\\infty) = 2$3. Stabilité et rapidité
", "id_category": "3", "id_number": "27" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système asservi de premier ordre possède une fonction de transfert $H_1(p) = \\frac{K}{1 + \\tau p}$, avec $K = 2,5$ et $\\tau = 0,8\\,s$. Le système reçoit une entrée échelon de valeur $E_0 = 10$ à $t=0$.\n1. Calculez l’expression temporelle de la réponse du système pour $t \\geq 0$.\n2. Déterminez le régime permanent et le temps pour atteindre 95% de la valeur finale.\n3. Déduisez la précision statique et la rapidité (temps de réponse à 5%).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Les pôles sont réels, négatifs ($p = -1, -2, -5$), le système est donc stable.
Le temps le plus lent associé à $1$ sec : la composante $e^{-t}$ domine la rapidité.
Les composants rapides ($e^{-2t}, e^{-5t}$) s'effacent rapidement.
Rapidité caractéristique : en environ $3\\,s$, le système est quasi établi.1. Réponse temporelle :
\nFormule générale :
\n
$s(t) = K E_0 (1 - e^{-t/\\tau})$Remplacement des données :
\n
$s(t) = 2,5 \\times 10 (1 - e^{-t/0,8}) = 25 (1 - e^{-1,25t})$Calcul :
\n
$s(t) = 25(1 - e^{-1,25t})$Résultat final :
\n
$s(t) = 25 (1-e^{-1,25t})$2. Régime permanent et temps d’atteinte à 95% :
\nValeur finale :
\n
$s_{\\infty} = K E_0 = 25$Temps pour 95% :
\n
$s(t) = 0,95 \\times s_{\\infty} = 23,75$
$23,75 = 25(1-e^{-1,25t})$
$\\frac{23,75}{25} = 1-e^{-1,25t}\\Rightarrow e^{-1,25t} = 0,05$
$-1,25t = \\ln(0,05)$Calcul :
\n
$t = -\\frac{\\ln(0,05)}{1,25} \\approx \\frac{2,996}{1,25} = 2,397\\,s$Résultat final :
\n
$t_{95\\%} = 2,40\\,s$3. Précision statique et rapidité :
\nPrécision statique :
\n
$e_{stat} = 0$ (système de type 0 à gain K : erreur nulle pour échelon)Rapidité (à 5% = 0,95 K E_0) déjà calculée :
", "id_category": "3", "id_number": "28" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système d’ordre 2 admet pour fonction de transfert $H_2(p) = \\frac{25}{p^2 + 10p + 25}$. On lui applique une entrée échelon de $E_0 = 5$ unités. \n1. Déterminez la réponse temporelle sous forme analytique.\n2. Calculez la valeur maximale de la réponse avant stabilisation (dépassement maximal).\n3. Déduisez la période de pseudo-oscillation et le temps de stabilisation à 2%, en expliquant les étapes.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
$t_{5\\%} = 2,40\\,s$1. Réponse temporelle analytique (régime pseudo-critiquement amorti) :
\nFormule générale :
\n
$s(t) = K E_0 \\left[1 - \\frac{e^{-\\xi \\omega_0 t}}{\\sqrt{1-\\xi^2}}\\sin(\\omega_d t + \\phi)\\right]$Paramètres :
\n
Comparons avec $p^2 + 2\\xi\\omega_0 p + \\omega_0^2$ :
$2\\xi\\omega_0 = 10\\Rightarrow \\omega_0 = 5$, $\\xi = 1$ (cas critique, donc sans oscillation)Pour $\\xi=1$ :
\n
$s(t) = K E_0 [1 - (1+t) e^{-\\omega_0 t}]$Remplacement :
\n
$s(t) = 1 \\times 5 [1 - (1 + t) e^{-5 t}] = 5[1 - (1+t)e^{-5t}]$Résultat final :
\n
$s(t) = 5(1- (1+t)e^{-5t})$2. Dépassement maximal :
\nPour $\\xi=1$, aucun dépassement (critiquement amorti),
\n
donc valeur max $s_{max}=5$.3. Période pseudo-oscillation et temps de stabilisation à 2% :
\nPseudo-oscillation nulle ($\\xi=1$),
\n
temps de stabilisation à 2% :
$s(t_{stab}) = 0,98 \\times s_{\\infty} = 4,9$
$4,9 = 5 [1-(1+t)e^{-5t}]$
$\\frac{4,9}{5} = 1-(1+t)e^{-5t}$
$(1+t)e^{-5t} = 0,02$Résolution par approximation : $t \\approx 1,35\\,s$
\nRésultat final :
", "id_category": "3", "id_number": "29" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On observe la réponse temporelle d’un système inconnu à une entrée échelon de $E_0 = 3$. La sortie est mesurée et suit : à $t=0$, $s=0$; à $t=0,5\\,s$, $s=1,2$; à $t=1\\,s$, $s=2,02$; à $t=\\infty$, $s=3$.\n1. Proposez l’identification du système (premier ou second ordre).\n2. Déterminez les paramètres caractéristiques du système identifié.\n3. Calculez le temps de réponse à 90%.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
$t_{stab,2\\%} \\approx 1,35\\,s$1. Identification du système :
\nFormule générale (réponse 1er ordre à échelon) :
\n
$s(t) = E_0 (1-e^{-t/\\tau})$Comparaison avec mesures:
\n
à $t=\\infty$, $s=3$ donc $E_0=3$.
À $t=0,5\\,s$ : $3(1-e^{-0,5/\\tau})=1,2 \\Rightarrow 1-e^{-0,5/\\tau}=0,4 \\Rightarrow e^{-0,5/\\tau}=0,6$
$-0,5/\\tau = \\ln(0,6) \\Rightarrow \\tau = -0,5/\\ln(0,6) \\approx 1,28\\,s$2. Paramètres caractéristiques :
\nGain statique : $K=1$. Constant de temps $\\tau = 1,28\\,s$.
\n3. Temps de réponse à 90% :
\nFormule générale :
\n
$s(t_{90\\%})=0,9 \\times 3=2,7$
$2,7=3(1-e^{-t/1,28}) \\Rightarrow 1-e^{-t/1,28}=0,9\\Rightarrow e^{-t/1,28}=0,1$
-t/1,28 = \\ln(0,1)$Calcul :
\n
$t = -1,28 \\times \\ln(0,1) = 1,28 \\times 2,303\\approx 2,95\\,s$Résultat final :
", "id_category": "3", "id_number": "30" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système d’asservissement de premier ordre représenté par la fonction de transfert $H(p) = \\frac{5}{0{,}4p+1}$ reçoit en entrée un échelon de $4\\,\\mathrm{V}$ à $t=0$.\n1) Calculer l’expression temporelle de la sortie $s(t)$ pour $t \\geq 0$.\n2) Déterminer la valeur finale et l’erreur statique par rapport à l’entrée.\n3) Calculer le temps pour atteindre 95 % de la valeur finale.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
$t_{90\\%}=2,95\\,s$1. Expression temporelle de la sortie
", "id_category": "3", "id_number": "31" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "Un système asservi de second ordre est défini par $H(p) = \\frac{10}{p^2 + 4p + 10}$.\n1) Déterminer la réponse temporelle du système à une impulsion unitaire (dirac) d’entrée.\n2) Calculer la valeur maximale de la sortie suite à un échelon unitaire d’entrée.\n3) Identifier le régime (régime transitoire : oscillant, apériodique, rapide/lent ?).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule : Pour une entrée échelon $E_0$, sortie d’un 1er ordre :$s(t) = K E_0 (1 - e^{-t/\\tau})$, avec $K = 5, \\tau = 0,4$
Remplacement : $s(t) = 5 \\times 4 [1 - e^{-t/0{,}4}]$
Calcul : $s(t) = 20 [1 - e^{-2{,}5 t}]$
Résultat final : $s(t) = 20 [1 - e^{-2,5 t}]$
2. Valeur finale et erreur statique
Valeur à l’infini : $\\lim\\limits_{t\\to\\infty} s(t) = 20$
Erreur statique : $\\varepsilon_{stat} = E_0 - \\frac{E_0}{H(0)} = 4 - 20 = -16$
Ici, sortie suit l’entrée multipliée par le gain :
Résultat : Valeur finale $20\\,\\mathrm{V}$, erreur statique (par rapport à 4 V) $16\\,\\mathrm{V}$ (twice as high, so not a unity feedback).
3. Temps pour atteindre 95 %
Formule : $s(t_{95}) = 0,95 \\times 20 = 19$
On a $19 = 20[1 - e^{-2,5t}]$ donc $0,95 = 1 - e^{-2,5t}$ soit $e^{-2,5 t}=0,05$
Remplacement : $-2,5 t = \\ln(0,05)$ donc $t_{95} = -\\frac{\\ln(0,05)}{2,5}$
Calcul : $\\ln(0,05) = -2,9957$, $t_{95} = 2,9957 / 2,5 = 1,20\\,\\mathrm{s}$
Résultat final : $t_{95} \\approx 1,20\\,\\mathrm{s}$1. Réponse impulsionnelle
", "id_category": "3", "id_number": "32" }, { "category": "analyse dans le domaine temporel ", "question": "On effectue l’identification expérimentale d’un procédé asservi. À une entrée échelon de valeur $3\\,\\mathrm{V}$, la sortie s’établit à $2,1\\,\\mathrm{V}$ avec un temps de montée (10 %-90 %) de $0,55\\,\\mathrm{s}$ et un temps de réponse à 5 % de $0,71\\,\\mathrm{s}$.\n1) En considérant un modèle du premier ordre, déterminer le gain statique et la constante de temps.\n2) En considérant un modèle du second ordre de type $\\frac{K\\omega_0^2}{p^2+2\\xi\\omega_0 p+\\omega_0^2}$, identifier $\\omega_0$ et $\\xi$.\n3) Calculer la précision statique (erreur de position) pour chaque modèle.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule : La sortie impulsionnelle est la transformée inverse de Laplace :
$y(t) = L^{-1}\\left[\\frac{10}{p^2 + 4p + 10}\\right]$ = $e^{-2t} \\cdot \\frac{10}{\\sqrt{10-4}}\\sin(\\sqrt{10-4} t)$
Calcul des paramètres : $\\sqrt{10-4}=\\sqrt{6}=2,45$
Résultat : $y(t) = e^{-2 t} \\frac{10}{2,45} \\sin(2,45 t) =4,08\\,e^{-2 t}\\sin(2,45 t)$
2. Valeur maximale si échelon unitaire
Réponse pour $u(t)$ :
$y(t) = 1 - \\frac{e^{-2 t}}{\\sqrt{1-\\xi^2}} \\sin(\\omega_D t + \\phi)$
où $\\xi = 2/\\sqrt{10}=0,632$, $\\omega_0=\\sqrt{10}=3,16$, $\\omega_D=3,16\\sqrt{1-0,632^2}=2,48$, $\\phi=\\arccos(0,632)=0,884\\,\\mathrm{rad}$.
On sait que le maximum excède 1 (“dépassement maximum”) : $M_p = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
Calcul : $\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}=2,46$, $M_p=e^{-2,46}=0,085$ donc dépassement de $8,5 %$ ⇒ valeur max $1,085$
3. Identification du régime
On a $\\xi = 2 / 3,16 = 0,632 (0 < \\xi < 1)$
C’est un régime transitoire pseudo-oscillatoire amorti, réponse rapide et oscillante avec effet de dépassement.1. Modèle 1er ordre : gain statique et constante de temps
", "id_category": "3", "id_number": "33" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Un système de régulation de vitesse est modélisé en boucle ouverte par la fonction de transfert suivante dans le domaine de Laplace : $\\(G(p) = \\dfrac{K}{p(1+0{,}1p)}\\)$, où $\\(K\\)$ est un gain réel strictement positif. \nOn considère une boucle fermée avec retour unitaire. \n\nQuestion 1 :\nPour $\\(K = 1\\)$, calculer la valeur exacte du module $\\(|G(j\\omega)|\\)$ et de l’argument $\\(\\arg G(j\\omega)\\)$ aux pulsations $\\(\\omega = 0{,}1\\)$, $\\(\\omega = 1\\)$ et $\\(\\omega = 10\\)$ (en utilisant des radians par seconde et des degrés). \nEn déduire les valeurs du diagramme de Bode (module en dB et phase en degrés) à ces trois pulsations. \n\nQuestion 2 :\nDéterminer la valeur du gain $\\(K_c\\)$ telle que la pulsation de coupure à $\\(0\\,\\text{dB}\\)$ du diagramme de Bode en module soit exactement $\\(\\omega_c = 10\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$. \nEn supposant que le comportement à la pulsation de coupure puisse être approché par la valeur exacte de $\\(G(j\\omega)\\)$, calculer la marge de phase correspondante pour $\\(K = K_c\\)$. \n\nQuestion 3 :\nPour $\\(K = K_c\\)$, calculer la limite du module $\\(|G(j\\omega)|\\)$ lorsque $\\(\\omega \\to +\\infty\\)$. \nEn déduire la marge de gain du système en boucle fermée (en dB) pour $\\(K = K_c\\)$, en utilisant la définition classique de la marge de gain à partir du diagramme de Bode. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule du gain statique : $K = s_{\\infty} / e_0 = 2,1 / 3 = 0,7$
Constante de temps : temps de montée 10 %-90 % pour 1er ordre :
$t_{m} = \\tau \\ln9 \\implies \\tau = t_m / \\ln9 = 0,55 / 2,197 = 0,25\\,\\mathrm{s}$
Résultat : $K=0,7$, $\\tau=0,25\\,\\mathrm{s}$
2. Modèle 2e ordre : \nTemps de réponse à 5 % : $t_{r,5\\%} \\approx \\frac{3}{\\xi \\omega_0} = 0,71$\nOn a aussi : $s_{\\infty} = K\\,e_0 = 2,1$\nGain statique : $K = 2,1/3 = 0,7$\nImposons $\\omega_0 = \\frac{3}{0,71 \\xi}$\nOn peut approximer $t_m \\approx \\frac{1,8}{\\omega_0}$, donc $\\omega_0 = \\frac{1,8}{0,55} = 3,27$\nÉgalisation : $\\frac{3}{0,71 \\xi} =3,27\\implies \\xi = \\frac{3}{3,27\\times0,71} = 1,30$\nOr, pour un système réel, on prend $\\xi=1$ (apériodique critique), donc $\\omega_0=3/0,71=4,23$\nFinal : $K=0,7\\, ; \\xi=1 ; \\omega_0=4,23$\n
3. Erreur de position
Premier ordre : $\\varepsilon_1 = e_0(1-K)=3(1-0,7)=0,9\\,\\mathrm{V}$
Second ordre : identique car même gain statique, $\\varepsilon_2=0,9\\,\\mathrm{V}$Question 1
", "id_category": "4", "id_number": "1" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système linéaire continu en boucle ouverte défini par la fonction de transfert : $\\(G(p) = \\dfrac{K}{(p+1)(p^2 + 4p + 13)}\\)$, avec $\\(K > 0\\)$. \nLe retour est unitaire et l’on souhaite étudier la stabilité de la boucle fermée à l’aide du critère de Nyquist. \n\nQuestion 1 :\nPour $\\(K = 1\\)$, calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $\\(G(j\\omega)\\)$ aux pulsations $\\(\\omega = 0\\)$, $\\(\\omega = 1\\)$, $\\(\\omega = 2\\)$ et $\\(\\omega = 5\\)$. \nEn déduire le module $\\(|G(j\\omega)|\\)$ et la phase $\\(\\arg G(j\\omega)\\)$ à chacune de ces pulsations. \n\nQuestion 2 :\nToujours pour $\\(K = 1\\)$, déterminer la variation approchée de l’argument de $\\(G(j\\omega)\\)$ lorsque $\\(\\omega\\)$ évolue de $\\(0\\)$ à $\\(+\\infty\\)$, en s’appuyant sur les expressions précédentes et sur le comportement asymptotique de la fonction de transfert. \nEn déduire le nombre d’enlacements du point $\\(-1 + j0\\)$ par le lieu de Nyquist de $\\(G(j\\omega)\\)$. \n\nQuestion 3 :\nOn cherche maintenant une valeur de gain $\\(K = K_s\\)$ telle que le lieu de Nyquist passe exactement par le point $\\(-1 + j0\\)$ pour une certaine pulsation $\\(\\omega_s\\)$. \nEn imposant la condition $\\(G(j\\omega_s) = -1 + j0\\)$, déterminer un système d’équations reliant $\\(K_s\\)$ et $\\(\\omega_s\\)$, puis calculer explicitement une paire réelle $\\((K_s,\\omega_s)\\)$ qui vérifie ces équations. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nPour $\\(K = 1\\)$, on a la fonction de transfert en boucle ouverte $\\(G(p) = \\dfrac{1}{p(1+0{,}1p)}\\)$.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\n$\\(G(j\\omega) = \\dfrac{1}{j\\omega \\bigl(1 + 0{,}1 j\\omega\\bigr)}\\)$.
\nLe module et la phase s’écrivent : $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{1}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$ et $\\(\\arg G(j\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1\\omega)\\)$.
\nLe module en dB est $\\(L(\\omega) = 20 \\log_{10} |G(j\\omega)|\\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ pour $\\(\\omega = 0{,}1\\)$ :
\n$\\(|G(j0{,}1)| = \\dfrac{1}{0{,}1 \\sqrt{1 + (0{,}1 \\times 0{,}1)^2}} = \\dfrac{1}{0{,}1 \\sqrt{1 + 0{,}01^2}}\\)$.
\nComme $\\(0{,}01^2 = 0{,}0001\\)$, on obtient $\\(\\sqrt{1 + 0{,}0001} \\approx 1{,}00005\\)$ et donc $\\(|G(j0{,}1)| \\approx \\dfrac{1}{0{,}100005} \\approx 9{,}9995\\)$.
\nLa phase vaut $\\(\\arg G(j0{,}1) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1 \\times 0{,}1) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}01) \\approx -90^\\circ - 0{,}57^\\circ = -90{,}57^\\circ\\)$.
\n3. Calcul du module en dB dans $...$ :
\n$\\(L(0{,}1) = 20 \\log_{10}(9{,}9995) \\approx 20 \\times 0{,}99998 \\approx 20{,}0\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ pour $\\(\\omega = 0{,}1\\)$ :
\n$\\(|G(j0{,}1)| \\approx 10\\)$, $\\(L(0{,}1) \\approx 20\\,\\text{dB}\\)$, $\\(\\arg G(j0{,}1) \\approx -90{,}6^\\circ\\)$.
\nOn répète le même procédé pour $\\(\\omega = 1\\)$ :
\n1. Formule générale : $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{1}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$, $\\(\\arg G(j\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1\\omega)\\)$.
\n2. Remplacement pour $\\(\\omega = 1\\)$ : $\\(|G(j1)| = \\dfrac{1}{1 \\sqrt{1 + 0{,}1^2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{1{,}01}}\\)$.
\nOn a $\\(\\sqrt{1{,}01} \\approx 1{,}005\\)$ donc $\\(|G(j1)| \\approx 0{,}995\\)$.
\nLa phase vaut $\\(\\arg G(j1) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1) \\approx -90^\\circ - 5{,}71^\\circ = -95{,}71^\\circ\\)$.
\n3. Calcul du module en dB : $\\(L(1) = 20 \\log_{10}(0{,}995) \\approx 20 \\times (-0{,}0022) \\approx -0{,}04\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final pour $\\(\\omega = 1\\)$ : $\\(|G(j1)| \\approx 0{,}995\\)$, $\\(L(1) \\approx 0\\,\\text{dB}\\)$ (très proche), $\\(\\arg G(j1) \\approx -95{,}7^\\circ\\)$.
\nPour $\\(\\omega = 10\\)$ :
\n1. Formule générale identique.
\n2. Remplacement : $\\(|G(j10)| = \\dfrac{1}{10 \\sqrt{1 + (0{,}1 \\times 10)^2}} = \\dfrac{1}{10 \\sqrt{1 + 1}} = \\dfrac{1}{10 \\sqrt{2}}\\)$.
\nOn a $\\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}414\\)$ donc $\\(|G(j10)| \\approx \\dfrac{1}{14{,}14} \\approx 0{,}0707\\)$.
\nLa phase est $\\(\\arg G(j10) = -90^\\circ - \\arctan(1) = -90^\\circ - 45^\\circ = -135^\\circ\\)$.
\n3. Module en dB : $\\(L(10) = 20 \\log_{10}(0{,}0707) \\approx 20 \\times (-1{,}151) \\approx -23{,}0\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final pour $\\(\\omega = 10\\)$ : $\\(|G(j10)| \\approx 0{,}0707\\)$, $\\(L(10) \\approx -23\\,\\text{dB}\\)$, $\\(\\arg G(j10) = -135^\\circ\\)$.
\nQuestion 2
\nOn cherche le gain $\\(K_c\\)$ tel que la pulsation de coupure (module $\\(0\\,\\text{dB}\\)$) soit $\\(\\omega_c = 10\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$.
\n1. Formule générale : pour un gain $\\(K\\)$, la fonction de transfert est $\\(G(p) = \\dfrac{K}{p(1+0{,}1p)}\\)$ et donc $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$.
\nLa condition de coupure est $\\(|G(j\\omega_c)| = 1\\)$.
\n2. Remplacement pour $\\(\\omega_c = 10\\)$ dans $...$ :
\n$\\(1 = |G(j10)| = \\dfrac{K_c}{10 \\sqrt{1 + (0{,}1 \\times 10)^2}} = \\dfrac{K_c}{10 \\sqrt{2}}\\)$.
\n3. Calcul dans $...$ :
\nOn isole $\\(K_c\\)$ : $\\(K_c = 10 \\sqrt{2}\\)$.
\nOn peut approximer $\\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}414\\)$ d’où $\\(K_c \\approx 14{,}14\\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ :
\n$\\(K_c = 10 \\sqrt{2} \\approx 14{,}14\\)$ assure que la pulsation de coupure est $\\(\\omega_c = 10\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$.
\nOn calcule maintenant la marge de phase correspondante.
\n1. Formule de la phase à la coupure : pour ce gain, la phase à $\\(\\omega_c\\)$ reste donnée par la partie angulaire de la fonction sans le gain, soit $\\(\\varphi(\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1\\omega)\\)$.
\n2. Remplacement de $\\(\\omega_c = 10\\)$ :
\n$\\(\\varphi(10) = -90^\\circ - \\arctan(1) = -90^\\circ - 45^\\circ = -135^\\circ\\)$.
\n3. Calcul de la marge de phase dans $...$ :
\nLa marge de phase est définie par $\\(M_\\varphi = 180^\\circ + \\varphi(\\omega_c)\\)$, donc $\\(M_\\varphi = 180^\\circ - 135^\\circ = 45^\\circ\\)$.
\n4. Résultat final :
\nLa marge de phase du système pour $\\(K = K_c\\)$ est $\\(M_\\varphi = 45^\\circ\\)$.
\nQuestion 3
\nOn étudie le comportement en haute fréquence pour $\\(K = K_c\\)$.
\n1. Formule générale de la limite dans $...$ :
\nPour $\\(\\omega \\to +\\infty\\)$, on a $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{K_c}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$.
\n2. Remplacement et simplification :
\nLorsque $\\(\\omega\\)$ est très grand, $\\(1 + (0{,}1\\omega)^2 \\approx (0{,}1\\omega)^2\\)$ donc $\\(\\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2} \\approx 0{,}1\\omega\\)$.
\nAinsi $\\(|G(j\\omega)| \\approx \\dfrac{K_c}{\\omega \\cdot 0{,}1\\omega} = \\dfrac{K_c}{0{,}1\\omega^2}\\)$.
\n3. Calcul de la limite dans $...$ :
\nComme $\\(K_c\\)$ est constant et $\\(\\omega^2 \\to +\\infty\\)$, on obtient $\\(\\lim_{\\omega \\to +\\infty} |G(j\\omega)| = 0\\)$.
\nLe module en dB satisfait alors $\\(L(\\omega) = 20 \\log_{10} |G(j\\omega)| \\to -\\infty\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final et marge de gain :
\nComme le module du diagramme de Bode ne repasse jamais par $\\(0\\,\\text{dB}\\)$ à une phase de $\\(-180^\\circ\\)$, la marge de gain est infinie : une augmentation du gain de boucle ouverte ne peut pas amener un second point de coupure à la phase critique.Question 1
", "id_category": "4", "id_number": "2" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Un système asservi est constitué d’un procédé de fonction de transfert $\\(P(p) = \\dfrac{1}{p(p+4)(p+6)}\\)$ et d’un correcteur proportionnel de gain $\\(K\\)$, en boucle fermée avec retour unitaire. \nOn souhaite étudier la stabilité et la dynamique du système en utilisant le critère de Routh-Hurwitz et le lieu d’Evans. \n\nQuestion 1 :\nÉcrire la fonction de transfert en boucle ouverte $\\(G(p) = K P(p)\\)$ puis déterminer le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire, c’est-à-dire le polynôme caractéristique $\\(\\Delta(p)\\)$. \nConstruire le tableau de Routh-Hurwitz de $\\(\\Delta(p)\\)$ et déterminer la plage de valeurs du gain $\\(K\\)$ pour laquelle le système en boucle fermée est asymptotiquement stable. \n\nQuestion 2 :\nÀ partir du polynôme caractéristique obtenu, écrire l’équation du lieu d’Evans en considérant $\\(K\\)$ comme paramètre variant dans $\\([0,+\\infty)\\)$. \nDéterminer, par un calcul explicite, la position du point de cassure (breakaway) réel sur le lieu d’Evans, c’est-à-dire la valeur de $\\(p_b\\)$ réelle (négative) pour laquelle $\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = 0\\)$ sur l’axe réel. \n\nQuestion 3 :\nOn cherche un réglage du gain $\\(K = K_d\\)$ tel que les pôles dominants du système en boucle fermée forment un couple complexe conjugué avec un facteur d’amortissement $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$. \nEn supposant que ce couple est nettement dominant devant les autres pôles, déterminer une valeur approchée de $\\(K_d\\)$ en identifiant les deux pôles dominants à partir de la forme normalisée d’un second ordre équivalent. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nPour $\\(K = 1\\)$, la fonction de transfert devient $\\(G(p) = \\dfrac{1}{(p+1)(p^2 + 4p + 13)}\\)$.
\nOn calcule successivement $\\(G(j\\omega)\\)$ aux pulsations demandées.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nOn a $\\(p = j\\omega\\)$, donc $\\(p+1 = 1 + j\\omega\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = (j\\omega)^2 + 4 j\\omega + 13 = -\\omega^2 + 13 + j4\\omega\\)$.
\nPar conséquent, $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{1}{(1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)}\\)$.
\n2. Remplacement pour $\\(\\omega = 0\\)$ :
\nOn obtient $\\(G(j0) = \\dfrac{1}{(1 + j0)((0)^2 + 4 \\times 0 + 13)} = \\dfrac{1}{1 \\cdot 13} = \\dfrac{1}{13}\\)$.
\nC’est un nombre réel : $\\(\\Re\\{G(j0)\\} = \\dfrac{1}{13}\\)$, $\\(\\Im\\{G(j0)\\} = 0\\)$.
\nLe module vaut $\\(|G(j0)| = \\dfrac{1}{13} \\approx 0{,}0769\\)$ et la phase $\\(\\arg G(j0) = 0^\\circ\\)$.
\n3. Calcul pour $\\(\\omega = 1\\)$ :
\nOn a $\\(p+1 = 1 + j1\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = -1^2 + 4j1 + 13 = 12 + j4\\)$.
\nLe produit du dénominateur vaut $\\((1 + j)(12 + j4)\\)$.
\nOn calcule : $\\((1 + j)(12 + j4) = 1 \\cdot 12 + 1 \\cdot j4 + j \\cdot 12 + j \\cdot j4 = 12 + j4 + j12 - 4 = 8 + j16\\)$.
\nDonc $\\(G(j1) = \\dfrac{1}{8 + j16}\\)$.
\nPour séparer en parties réelle et imaginaire, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $\\(8 - j16\\)$ :
\n$\\(G(j1) = \\dfrac{1}{8 + j16} = \\dfrac{8 - j16}{(8 + j16)(8 - j16)} = \\dfrac{8 - j16}{8^2 + 16^2} = \\dfrac{8 - j16}{64 + 256} = \\dfrac{8 - j16}{320}\\)$.
\nOn obtient $\\(\\Re\\{G(j1)\\} = \\dfrac{8}{320} = 0{,}025\\)$ et $\\(\\Im\\{G(j1)\\} = -\\dfrac{16}{320} = -0{,}05\\)$.
\nLe module est $\\(|G(j1)| = \\sqrt{0{,}025^2 + (-0{,}05)^2} = \\sqrt{0{,}000625 + 0{,}0025} = \\sqrt{0{,}003125} \\approx 0{,}0559\\)$.
\nLa phase vaut $\\(\\arg G(j1) = \\arctan\\left(\\dfrac{-0{,}05}{0{,}025}\\right) = \\arctan(-2) \\approx -63{,}4^\\circ\\)$.
\n4. Calcul pour $\\(\\omega = 2\\)$ :
\nOn a $\\(p+1 = 1 + j2\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = -(2)^2 + 4j2 + 13 = 9 + j8\\)$.
\nLe dénominateur devient $\\((1 + j2)(9 + j8)\\)$.
\nOn calcule : $\\((1 + j2)(9 + j8) = 1 \\cdot 9 + 1 \\cdot j8 + j2 \\cdot 9 + j2 \\cdot j8 = 9 + j8 + j18 - 16 = -7 + j26\\)$.
\nD’où $\\(G(j2) = \\dfrac{1}{-7 + j26}\\)$.
\nOn multiplie par le conjugué $\\(-7 - j26\\)$ :
\n$\\(G(j2) = \\dfrac{-7 - j26}{(-7)^2 + 26^2} = \\dfrac{-7 - j26}{49 + 676} = \\dfrac{-7 - j26}{725}\\)$.
\nAinsi $\\(\\Re\\{G(j2)\\} = -\\dfrac{7}{725} \\approx -0{,}00966\\)$, $\\(\\Im\\{G(j2)\\} = -\\dfrac{26}{725} \\approx -0{,}0359\\)$.
\nLe module est $\\(|G(j2)| = \\sqrt{(-0{,}00966)^2 + (-0{,}0359)^2} \\approx \\sqrt{9{,}3\\times10^{-5} + 1{,}29\\times10^{-3}} \\approx \\sqrt{1{,}38\\times10^{-3}} \\approx 0{,}0372\\)$.
\nLa phase vaut approximativement $\\(\\arg G(j2) \\approx \\arctan\\left(\\dfrac{-0{,}0359}{-0{,}00966}\\right) \\approx \\arctan(3{,}72)\\)$.
\nComme la partie réelle est négative et la partie imaginaire négative, le point est dans le troisième quadrant, donc $\\(\\arg G(j2) \\approx -180^\\circ + \\arctan(3{,}72) \\approx -180^\\circ + 75^\\circ = -105^\\circ\\)$.
\n5. Calcul pour $\\(\\omega = 5\\)$ :
\nOn a $\\(p+1 = 1 + j5\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = -(5)^2 + 4j5 + 13 = -12 + j20\\)$.
\nLe dénominateur vaut $\\((1 + j5)(-12 + j20)\\)$.
\nOn calcule : $\\((1 + j5)(-12 + j20) = 1 \\cdot (-12) + 1 \\cdot j20 + j5 \\cdot (-12) + j5 \\cdot j20 = -12 + j20 - j60 - 100 = -112 - j40\\)$.
\nAinsi $\\(G(j5) = \\dfrac{1}{-112 - j40}\\)$.
\nMultiplication par le conjugué $\\(-112 + j40\\)$ :
\n$\\(G(j5) = \\dfrac{-112 + j40}{(-112)^2 + 40^2} = \\dfrac{-112 + j40}{12544 + 1600} = \\dfrac{-112 + j40}{14144}\\)$.
\nOn obtient $\\(\\Re\\{G(j5)\\} \\approx -\\dfrac{112}{14144} \\approx -0{,}00792\\)$ et $\\(\\Im\\{G(j5)\\} \\approx \\dfrac{40}{14144} \\approx 0{,}00283\\)$.
\nLe module vaut $\\(|G(j5)| \\approx \\sqrt{(-0{,}00792)^2 + 0{,}00283^2} \\approx 0{,}0084\\)$, la phase étant dans le deuxième quadrant (partie réelle négative, imaginaire positive) : $\\(\\arg G(j5) \\approx 180^\\circ - \\arctan\\left(\\dfrac{0{,}00283}{0{,}00792}\\right) \\approx 180^\\circ - 19{,}5^\\circ = 160{,}5^\\circ\\)$.
\nQuestion 2
\nOn cherche la variation de la phase lorsque $\\(\\omega\\)$ va de $\\(0\\)$ à $\\(+\\infty\\)$.
\n1. Formule de la phase dans $...$ :
\nOn écrit $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{1}{(1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)}\\)$.
\nLa phase est la somme des phases des facteurs : $\\(\\arg G(j\\omega) = -\\arg(1 + j\\omega) - \\arg\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)\\)$.
\n2. Comportement pour $\\(\\omega \\approx 0\\)$ :
\nPour $\\(\\omega = 0\\)$, on a vu que $\\(G(j0)\\)$ est réel positif, donc $\\(\\arg G(j0) = 0^\\circ\\)$.
\nPour des petites valeurs de $\\(\\omega\\)$, l’argument reste proche de $\\(0^\\circ\\)$.
\n3. Comportement pour $\\(\\omega \\to +\\infty\\)$ :
\nPour de grandes pulsations, $\\(1 + j\\omega \\approx j\\omega\\)$ de phase $\\(+90^\\circ\\)$, et $\\((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega \\approx -\\omega^2 + j4\\omega\\)$ qui, pour $\\(\\omega\\)$ suffisamment grand, est majoritairement dans la direction de $\\(-\\omega^2\\)$ (réel négatif) avec une correction imaginaire.
\nAinsi, la phase de ce facteur tend vers $\\(180^\\circ\\)$ et celle du produit vers $\\(90^\\circ + 180^\\circ = 270^\\circ\\)$, soit $\\(-90^\\circ\\)$ modulo $\\(360^\\circ\\)$, d’où $\\(\\arg G(j\\omega) \\to -(-90^\\circ) = 90^\\circ\\)$ lorsque l’on tient compte de l’inversion (dénominateur).
\n4. Variation globale et enlacements :
\nD’après les valeurs calculées : à $\\(\\omega = 0\\)$, la phase vaut $\\(0^\\circ\\)$; à $\\(\\omega = 1\\)$, elle est d’environ $\\(-63^\\circ\\)$; à $\\(\\omega = 2\\)$, autour de $\\(-105^\\circ\\)$; à $\\(\\omega = 5\\)$, la phase a fortement progressé vers le deuxième quadrant (environ $\\(160^\\circ\\)$), ce qui montre une rotation globale d’environ $\\(-200^\\circ\\)$ sur le parcours complet direct (incluant le retour par symétrie du lieu de Nyquist).
\nLe lieu ne réalise pas un enroulement net supplémentaire du point $\\(-1 + j0\\)$, on obtient donc un nombre d’enlacements $\\(N = 0\\)$.
\nQuestion 3
\nOn impose maintenant la condition $\\(G(j\\omega_s) = -1 + j0\\)$ pour une certaine pulsation $\\(\\omega_s\\)$ et un gain $\\(K_s\\)$.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nPour un gain général $\\(K\\)$, on a $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{K}{(1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)}\\)$.
\nÉcrivons $\\(G(j\\omega) = G_R(\\omega) + j G_I(\\omega)\\)$.
\n2. Conditions imposées dans $...$ :
\nLa condition $\\(G(j\\omega_s) = -1 + j0\\)$ équivaut au système : $\\(G_R(\\omega_s) = -1\\)$ et $\\(G_I(\\omega_s) = 0\\)$.
\n3. Calcul symbolique des composantes réelle et imaginaire dans $...$ :
\nOn note $\\(D(j\\omega) = (1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)\\)$.
\nOn a montré plus haut que pour $\\(\\omega = 1\\)$, $\\(D(j1) = 8 + j16\\)$, et en général on peut écrire $\\(D(j\\omega) = A(\\omega) + j B(\\omega)\\)$, où $\\(A(\\omega)\\)$ et $\\(B(\\omega)\\)$ sont des polynômes réels en $\\(\\omega\\)$.
\nOn a alors $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{K_s}{A(\\omega) + j B(\\omega)} = K_s \\dfrac{A(\\omega) - j B(\\omega)}{A(\\omega)^2 + B(\\omega)^2}\\)$.
\nDonc $\\(G_R(\\omega) = K_s \\dfrac{A(\\omega)}{A(\\omega)^2 + B(\\omega)^2}\\)$ et $\\(G_I(\\omega) = -K_s \\dfrac{B(\\omega)}{A(\\omega)^2 + B(\\omega)^2}\\)$.
\n4. Résolution d’une paire explicite dans $...$ :
\nPour satisfaire $\\(G_I(\\omega_s) = 0\\)$ avec $\\(K_s > 0\\)$, il faut $\\(B(\\omega_s) = 0\\)$.
\nEn utilisant l’expression explicite de $\\(D(j\\omega)\\)$ : $\\((1 + j\\omega)((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega)\\)$, on développe et on sépare les parties réelle et imaginaire :
\n$\\((1 + j\\omega)((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega) = (-\\omega^2 + 13) + j4\\omega + j\\omega(-\\omega^2 + 13) + j^2 4\\omega^2\\)$.
\nOn obtient la partie réelle $\\(A(\\omega) = (-\\omega^2 + 13) - 4\\omega^2 = 13 - 5\\omega^2\\)$ et la partie imaginaire $\\(B(\\omega) = 4\\omega + \\omega(-\\omega^2 + 13) = 4\\omega - \\omega^3 + 13\\omega = -\\omega^3 + 17\\omega\\)$.
\nLa condition imaginaire donne $\\(B(\\omega_s) = -\\omega_s^3 + 17\\omega_s = 0\\)$, soit $\\(\\omega_s( -\\omega_s^2 + 17 ) = 0\\)$.
\nOn exclut $\\(\\omega_s = 0\\)$ pour un point critique, donc $\\(\\omega_s^2 = 17\\)$ et $\\(\\omega_s = \\sqrt{17}\\)$.
\n5. Détermination de $\\(K_s\\)$ dans $...$ :
\nOn impose alors $\\(G_R(\\omega_s) = -1\\)$, soit $\\(K_s \\dfrac{A(\\omega_s)}{A(\\omega_s)^2 + B(\\omega_s)^2} = -1\\)$.
\nÀ $\\(\\omega_s^2 = 17\\)$, on a $\\(A(\\omega_s) = 13 - 5\\omega_s^2 = 13 - 5 \\times 17 = 13 - 85 = -72\\)$ et $\\(B(\\omega_s) = 0\\)$.
\nAinsi $\\(G_R(\\omega_s) = K_s \\dfrac{-72}{(-72)^2} = -\\dfrac{K_s}{72}\\)$.
\nLa condition réelle donne $\\(-\\dfrac{K_s}{72} = -1\\)$, donc $\\(K_s = 72\\)$.
\n6. Résultat final dans $...$ :
\nUne paire réelle convenable est $\\(K_s = 72\\)$ et $\\(\\omega_s = \\sqrt{17} \\approx 4{,}12\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$, pour laquelle le lieu de Nyquist passe exactement par le point critique $\\(-1 + j0\\)$.Question 1
", "id_category": "4", "id_number": "3" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système du premier ordre\n\nUn système de commande est défini par la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\dfrac{K}{1 + T p}$ avec $K = 10$ et $T = 0.1\\,s$.\n\n1. Calculez le gain statique du système en décibels à très basse fréquence ($\\omega \\to 0$).\n2. Déterminez la pulsation de coupure à -3 dB du système.\n3. Calculez la phase du système à $\\omega = 10\\,rad/s$.\n4. Tracez sur le diagramme de Bode la courbe asymptotique correspondante.\n5. Vérifiez la stabilité du système en traçant le lieu de Nyquist et en identifiant si le contour entoure le point critique (-1, 0).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nLa fonction de transfert en boucle ouverte est $\\(G(p) = K P(p) = \\dfrac{K}{p(p+4)(p+6)}\\)$.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nLe dénominateur de la boucle fermée à retour unitaire est donné par $\\(1 + G(p) = 0\\)$, soit $\\(1 + \\dfrac{K}{p(p+4)(p+6)} = 0\\)$.
\nEn mettant au même dénominateur, on obtient le polynôme caractéristique $\\(\\Delta(p) = p(p+4)(p+6) + K\\)$.
\n2. Développement du polynôme dans $...$ :
\nOn commence par $\\(p(p+4)(p+6) = p\\bigl((p+4)(p+6)\\bigr)\\)$.
\nOn a $\\((p+4)(p+6) = p^2 + 10p + 24\\)$, donc $\\(p(p+4)(p+6) = p^3 + 10p^2 + 24p\\)$.
\nAinsi $\\(\\Delta(p) = p^3 + 10p^2 + 24p + K\\)$.
\n3. Tableau de Routh-Hurwitz dans $...$ :
\nOn considère le polynôme de degré $\\(3\\)$ : $\\(p^3 + 10p^2 + 24p + K\\)$.
\nLe tableau de Routh s’écrit :
\n$\\[\\begin{array}{c|cc}\n p^3 & 1 & 24 \\n p^2 & 10 & K \\n p^1 & a_1 & 0 \\n p^0 & K & \\n\\end{array}\\]$.
\nL’élément $\\(a_1\\)$ se calcule par $\\(a_1 = \\dfrac{10 \\cdot 24 - 1 \\cdot K}{10} = \\dfrac{240 - K}{10}\\)$.
\n4. Conditions de stabilité dans $...$ :
\nLa stabilité asymptotique exige que tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh soient strictement positifs : $\\(1 > 0\\)$, $\\(10 > 0\\)$, $\\(a_1 > 0\\)$ et $\\(K > 0\\)$.
\nLa condition non triviale est $\\(a_1 = \\dfrac{240 - K}{10} > 0\\)$, soit $\\(240 - K > 0\\)$, donc $\\(K < 240\\)$.
\n5. Résultat final dans $...$ :
\nAvec $\\(K > 0\\)$, la plage de stabilité asymptotique est $\\(0 < K < 240\\)$.
\nQuestion 2
\nOn utilise maintenant le lieu d’Evans du système dont le polynôme caractéristique dépend de $\\(K\\)$.
\n1. Forme du polynôme dans $...$ :
\nOn a $\\(\\Delta(p) = p^3 + 10p^2 + 24p + K\\)$, que l’on peut écrire sous la forme canonique du lieu d’Evans : $\\(1 + K F(p) = 0\\)$ avec $\\(F(p) = \\dfrac{1}{p^3 + 10p^2 + 24p}\\)$.
\n2. Expression de $\\(K\\)$ en fonction de $\\(p\\)$ sur le lieu dans $...$ :
\nSur le lieu d’Evans, pour un pôle fermé $\\(p\\)$, on a $\\(K = -\\dfrac{p^3 + 10p^2 + 24p}{1}\\)$ en appliquant la relation $\\(K = -\\dfrac{\\Delta(p) - K}{\\partial \\Delta/\\partial K}\\)$, ici simplifiée car le gain n’apparaît que dans le terme constant.
\nAinsi on peut prendre $\\(K(p) = -p(p+4)(p+6) = -p^3 - 10p^2 - 24p\\)$.
\n3. Point de Cassure réel dans $...$ :
\nLe point de cassure réel satisfait $\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = 0\\)$.
\nOn dérive $\\(K(p) = -p^3 - 10p^2 - 24p\\)$ :
\n$\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = -3p^2 - 20p - 24\\)$.
\n4. Résolution de l’équation quadratique dans $...$ :
\nOn pose $\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = 0\\)$, d’où $\\(-3p^2 - 20p - 24 = 0\\)$, ou encore $\\(3p^2 + 20p + 24 = 0\\)$.
\nLe discriminant vaut $\\(\\Delta = 20^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 24 = 400 - 288 = 112\\)$.
\nLes racines sont $\\(p_{1,2} = \\dfrac{-20 \\pm \\sqrt{112}}{2 \\cdot 3} = \\dfrac{-20 \\pm 4\\sqrt{7}}{6}\\)$.
\nOn obtient numériquement $\\(p_1 \\approx \\dfrac{-20 + 10{,}58}{6} \\approx \\dfrac{-9{,}42}{6} \\approx -1{,}57\\)$ et $\\(p_2 \\approx \\dfrac{-20 - 10{,}58}{6} \\approx \\dfrac{-30{,}58}{6} \\approx -5{,}10\\)$.
\n5. Choix du point de cassure dans $...$ :
\nLes branches réelles du lieu d’Evans partent des pôles ouverts en $\\(0\\)$, $\\(-4\\)$ et $\\(-6\\)$ et se situent, sur l’axe réel, dans les intervalles où le critère de signe de la fonction de boucle ouverte est satisfaisant, à savoir typiquement entre $\\(0\\)$ et $\\(-4\\)$, puis entre $\\(-4\\)$ et $\\(-6\\)$.
\nLa valeur de cassure devant relier deux pôles voisins doit se trouver entre eux : ainsi le point de cassure principal entre $\\(-4\\)$ et $\\(-6\\)$ est $\\(p_b \\approx -5{,}10\\)$.
\n6. Résultat final dans $...$ :
\nLe point de cassure réel principal du lieu d’Evans se situe à environ $\\(p_b \\approx -5{,}10\\)$ sur l’axe réel, correspondant à la fusion de deux branches issues de pôles réels.
\nQuestion 3
\nOn cherche une valeur de gain $\\(K_d\\)$ donnant des pôles dominants avec un facteur d’amortissement $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$.
\n1. Formule normalisée dans $...$ :
\nUn second ordre type s’écrit $\\(H_{2}(p) = \\dfrac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2}\\)$, où $\\(\\omega_n\\)$ est la pulsation naturelle et $\\(\\zeta\\)$ le facteur d’amortissement.
\nLes pôles dominants désirés sont donc $\\(p_{d,1,2} = -\\zeta \\omega_n \\pm j \\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2}\\)$.
\nPour $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$, on a $\\(\\sqrt{1 - \\zeta^2} = \\sqrt{1 - 0{,}25} = \\sqrt{0{,}75} \\approx 0{,}866\\)$.
\n2. Approximation par regroupement dominant dans $...$ :
\nLe polynôme caractéristique en boucle fermée est $\\(p^3 + 10p^2 + 24p + K = 0\\)$.
\nPour un comportement dominé par un second ordre, on peut chercher des valeurs de $\\(K\\)$ telles que deux pôles se rapprochent d’un couple complexe conjugué, le troisième pôle restant plus éloigné sur l’axe réel.
\n3. Construction d’un second ordre équivalent dans $...$ :
\nOn approxime le produit des deux pôles dominants par le rapport $\\(\\dfrac{\\text{terme constant}}{\\text{coefficient de }p}\\)$ après élimination du pôle non dominant.
\nSupposons que le pôle non dominant soit très éloigné et que les coefficients puissent être ajustés pour approcher un second ordre : on identifie $\\(2\\zeta \\omega_n\\)$ au coefficient du terme en $\\(p\\)$ divisé par celui en $\\(p^2\\)$, et $\\(\\omega_n^2\\)$ au rapport du terme constant sur le coefficient de $\\(p^2\\)$.
\nEn négligeant l’influence du troisième pôle, on pose alors approximativement : $\\(2\\zeta \\omega_n \\approx \\dfrac{24}{10} = 2{,}4\\)$ et $\\(\\omega_n^2 \\approx \\dfrac{K}{10}\\)$.
\n4. Calcul de $\\(\\omega_n\\)$ et de $\\(K_d\\)$ dans $...$ :
\nAvec $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$, on a $\\(2\\zeta \\omega_n = 2 \\times 0{,}5 \\times \\omega_n = \\omega_n\\)$.
\nL’égalité approximative $\\(\\omega_n \\approx 2{,}4\\)$ donne donc $\\(\\omega_n \\approx 2{,}4\\)$.
\nEnsuite $\\(\\omega_n^2 \\approx \\dfrac{K_d}{10}\\)$ implique $\\(K_d \\approx 10 \\omega_n^2 \\approx 10 \\times (2{,}4)^2 = 10 \\times 5{,}76 = 57{,}6\\)$.
\n5. Résultat final dans $...$ :
\nUne valeur de gain de l’ordre de $\\(K_d \\approx 58\\)$ place les deux pôles dominants du système en boucle fermée dans une région du plan complexe correspondant à un facteur d’amortissement proche de $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$, tout en respectant la plage de stabilité $\\(0 < K < 240\\)$.1. Gain statique :
\n
Formule : $G(0) = 20 \\log_{10} (K)$
Remplacement : $G(0) = 20 \\log_{10} (10)$
Calcul : $G(0) = 20\\,dB$
Résultat : $20\\,dB$2. Pulsation de coupure :
\n
Formule : $|H(j\\omega_c)| = \\dfrac{K}{\\sqrt{1 + (\\omega_c T)^2}} = \\dfrac{K}{\\sqrt{2}}$
Remplacement : $\\dfrac{10}{\\sqrt{1 + (\\omega_c 0.1)^2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}}$
Calcul : $1 + (0.1 \\omega_c)^2 = 2 \\Rightarrow \\omega_c = 10\\,rad/s$
Résultat : $\\omega_c = 10\\,rad/s$3. Phase à $\\omega = 10\\,rad/s$ :
\n
Formule : $\\phi(\\omega) = -\\arctan(\\omega T)$
Remplacement : $\\phi(10) = -\\arctan(10 \\times 0.1)$
Calcul : $\\phi(10) = -45°$
Résultat : $-45°$4. Bode asymptotique :
\n
À basse fréquence ($\\omega < 10\\,rad/s$), la pente est 0 dB/décade. Au-delà de $10\\,rad/s$, la pente devient -20 dB/décade.5. Lieu de Nyquist :
", "id_category": "4", "id_number": "4" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 : Diagrammes de Bode et critère de Routh\n\nSoit la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\dfrac{1000}{p^3 + 6p^2 + 11p + K}$.\n\n1. Pour $K = 60$, tracez le diagramme de Bode asymptotique du module.\n2. Déterminez la marge de gain et de phase correspondantes.\n3. Appliquez le critère de Routh pour identifier la plage de valeurs de $K$ assurant la stabilité.\n4. Calculez les valeurs précises de $K$ donnant une racine sur l’axe imaginaire.\n5. Interprétez physiquement la signification de ces résultats en termes de stabilité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
L’image du demi-plan imaginaire trace un arc qui ne passe pas à gauche du point (-1, 0). Le système est alors stable car il n’y a aucun enroulement autour du point critique.1. Bode :
\n
Formule : $H(j\\omega) = \\dfrac{1000}{(j\\omega)^3 + 6(j\\omega)^2 + 11(j\\omega) + K}$.
À basse fréquence, module $\\approx 20 \\log_{10}(1000/K)$.
Pour $K=60$, gain bas ≈ $24.4\\,dB$; pente -60 dB/décade après la troisième pulsation de rupture.2. Marges :
\n
À la coupure de phase -180°, $\\omega_g \\approx 5.6\\,rad/s$ et gain ≈ -1 dB ⟹ marge de gain ≈ 1 dB.
À la coupure de gain 0 dB, $\\omega_p \\approx 7.2\\,rad/s$ ⟹ marge de phase ≈ 25°.3. Critère de Routh :
Équation caractéristique : $p^3 + 6p^2 + 11p + K = 0$.
Table de Routh :p³ 1 11 p² 6 K p¹ (6*11 - K)/6 0 p⁰ K
Conditions de stabilité : tous les termes positifs ⟹ $K > 0$ et $66 - K > 0$ ⟹ $0 < K < 66$.\n4. Racines imaginaires : pour limite de stabilité, $K = 66$ ⟹ racines pures imaginaires $p = \\pm j\\sqrt{11}$.
\n5. Interprétation : le système reste stable tant que $K < 66$. Au-delà, des oscillations apparaissent avec une fréquence naturelle de $\\omega = \\sqrt{11} \\approx 3.32\\,rad/s$.
", "id_category": "4", "id_number": "5" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système du premier ordre. Un système linéaire invariant est décrit par la fonction de transfert $H(p) = \\frac{10}{p + 10}$. On s’intéresse à son comportement dans le domaine fréquentiel. \n\n1. Calculez le module de la fonction de transfert $|H(j\\omega)|$ en fonction de la pulsation $\\omega$.\n2. Déterminez l’argument de $H(j\\omega)$ en fonction de $\\omega$.\n3. Calculez la fréquence de coupure $\\omega_c$ à -3 dB.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule générale : $|H(j\\omega)| = \\left| \\frac{10}{j\\omega + 10} \\right| $
2. Remplacement : $|H(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{(10)^2 + \\omega^2}} $
3. Calcul : Évaluons pour divers points de fréquence si besoin. $|H(j\\omega)|_{\\omega=0} = 1$, et pour $\\omega = 10$,$|H(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{200}} = 0.707$
4. Résultat final (fréquence de coupure) : $\\omega_c = 10 \\, \\text{rad/s}$.2. Argument : $\\arg(H(j\\omega)) = -\\arctan\\left(\\frac{\\omega}{10}\\right)$. Pour $\\omega = 10$, $\\arg(H) = -45^\\circ$.
3. À -3 dB, le module vaut $|H| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = 0.707$. On vérifie que cela correspond bien à $\\omega_c = 10 \\, \\text{rad/s}$.
", "id_category": "4", "id_number": "6" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 : Étude du diagramme de Bode d’un système du second ordre. On considère la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\frac{100\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi \\omega_n p + \\omega_n^2}$ avec $\\omega_n = 20~\\text{rad/s}$ et $\\xi = 0.2$. \n\n1. Calculez le gain statique $K = H(0)$.\n2. Déterminez la fréquence de résonance $\\omega_r$.\n3. Évaluez le module en dB à cette fréquence de résonance.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule générale : $H(p) = \\frac{100\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi \\omega_n p + \\omega_n^2}$. Le gain statique = $H(0) = \\frac{100\\omega_n^2}{\\omega_n^2} = 100$.
2. Formule de la fréquence de résonance : $\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\xi^2}$
Remplacement : $\\omega_r = 20 \\sqrt{1 - 2(0.2)^2} = 20\\sqrt{0.92} = 19.18 \\, \\text{rad/s}$.3. Module à la résonance : $|H(j\\omega_r)| = \\frac{K}{2\\xi \\sqrt{1-\\xi^2}} = \\frac{100}{2(0.2) \\sqrt{1 - 0.04}} = \\frac{100}{0.4 * 0.98} = 255.1$. En décibels : $20 \\log_{10}(255.1) = 48.1 \\, \\text{dB}$.
", "id_category": "4", "id_number": "7" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "EXERCICE 1 : Analyse fréquentielle d’un système d’asservissement de vitesse\n\nUn moteur à courant continu est modélisé par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $G(p) = \\frac{K}{p(Tp + 1)}$ avec $K = 50$ et $T = 0.1\\,s$.\n\n1. Tracer le diagramme de Bode de ce système pour les fréquences comprises entre $\\omega = 1\\,rad/s$ et $\\omega = 1000\\,rad/s$.\n\n2. Déterminer la pulsation de coupure $\\omega_c$ telle que le gain soit nul (0 dB).\n\n3. Calculer la marge de phase correspondante à cette fréquence de coupure.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule générale : $|G(j\\omega)| = \\frac{K}{\\omega\\sqrt{1 + (T\\omega)^2}}$
", "id_category": "4", "id_number": "8" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "EXERCICE 2 : Étude du lieu de Nyquist d’un système du second ordre\n\nUn système de régulation est décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte : $G(p) = \\frac{K}{(1 + 0.2p)(1 + 0.05p)}$ avec $K=10$.\n\n1. Tracer approximativement le lieu de Nyquist de ce système.\n\n2. Déterminer si la courbe de Nyquist encercle le point (-1,0).\n\n3. Évaluer la marge de gain en dB et la marge de phase correspondante.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
2. Remplacement : $|G(j\\omega)| = \\frac{50}{\\omega\\sqrt{1 + (0.1\\omega)^2}}$
3. Calcul du gain : à basse fréquence (\\omega << 10), $|G| ≈ 50/\\omega$ (pente de -20 dB/décade) ; à haute fréquence (>10 rad/s), la pente devient -40 dB/décade.
4. Condition de coupure : $20log(|G(j\\omega_c)|) = 0$ donc $\\frac{50}{\\omega_c\\sqrt{1 + (0.1\\omega_c)^2}} = 1$
5. Calcul : en résolvant, $\\omega_c = 45\\,rad/s$
6. Marge de phase : $\\phi = -90° - \\arctan(0.1\\omega_c) = -90° - 77.5° = -167.5°$
7. Marge de phase : $180° - 167.5° = 12.5°$
Résultat final : ωc = 45 rad/s, marge de phase = 12.5°.1. Expression du Nyquist : $G(j\\omega) = \\frac{10}{(1 + j0.2\\omega)(1 + j0.05\\omega)}$
", "id_category": "4", "id_number": "9" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système de premier ordre RC. \n\nOn considère un système linéaire et continu de fonction de transfert donnée par $H(p) = \\frac{1}{1 + pRC}$, où $R = 10\\,k\\Omega$ et $C = 10\\,\\mu F$. On veut analyser ce système dans le domaine fréquentiel.\n\n1. Calculez la pulsation de coupure $\\omega_c$ et la fréquence de coupure $f_c$.\n2. Déterminez le module $|H(j\\omega)|$ et l'argument $\\arg(H(j\\omega))$ en fonction de $\\omega$.\n3. Calculez le gain (en décibels) et la phase pour $\\omega = 100\\,rad/s$, et en déduire la marge de phase à partir du diagramme de Bode théorique.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
2. Module : $|G(j\\omega)| = \\frac{10}{\\sqrt{(1 + (0.2\\omega)^2)(1 + (0.05\\omega)^2)}}$
3. Phase : $\\phi(\\omega) = -\\arctan(0.2\\omega) - \\arctan(0.05\\omega)$
4. À basse fréquence (\\omega→0), $|G|=10$ et $\\phi≈0°$.
5. À haute fréquence (\\omega→∞), $|G|∝1/\\omega^2$ et $\\phi≈-180°$.
6. Pour le gain unitaire : $|G|=1 → \\frac{10}{\\sqrt{(1+(0.2\\omega_c)^2)(1+(0.05\\omega_c)^2)}} = 1$ ⟹ $\\omega_c ≈ 10\\,rad/s$.
7. Phase à ωc : $\\phi=-\\arctan(2)-\\arctan(0.5)= -116.6°$
8. Marge de phase : $180° - 116.6°=63.4°$
9. Marge de gain : pour $\\phi=-180°$, $\\omega ≈ 40\\,rad/s$, $|G|=10/\\sqrt{(1+64)(1+4)}=10/√325=0.555$
Expression en dB : $20log(1/0.555)=5.1dB$
Résultats : Marge de phase=63.4°, Marge de gain=5.1 dB.1. Calcul de la pulsation de coupure
\n
Formule : $\\omega_c = \\frac{1}{RC}$
Remplacement : $\\omega_c = \\frac{1}{10^4 \\times 10 \\times 10^{-6}}$
Calcul : $\\omega_c = 10\\,rad/s$
Résultat final : $f_c = \\frac{\\omega_c}{2\\pi} = 1.59\\,Hz$2. Module et phase
\n
Formule : $H(j\\omega) = \\frac{1}{1 + j\\omega RC}$
Module : $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (\\omega RC)^2}}$, Phase : $\\phi = -\\arctan(\\omega RC)$3. Gain et phase pour $\\omega = 100\\,rad/s$
", "id_category": "4", "id_number": "10" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 : Analyse de stabilité d’un système d’ordre 2.\n\nOn considère un système de fonction de transfert fermée donnée par $H(p) = \\frac{100}{p^2 + 10p + 100}$.\n1. Calculez la pulsation naturelle $\\omega_n$ et le facteur d’amortissement $\\xi$.\n2. Déterminez la fréquence à laquelle le module du diagramme de Bode atteint -3 dB.\n3. Calculez la marge de phase et la marge de gain à partir des conditions de stabilité du critère de Nyquist.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Remplacement : $|H(j100)| = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (100\\times10^4\\times10\\times10^{-6})^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1+100^2}} = 0.00999$
Gain en dB : $20\\log(0.00999) = -40\\,dB$
Phase : $-\\arctan(100) = -89.43^\\circ$
La marge de phase est proche de $90^\\circ$.1. Calcul de $\\omega_n$ et $\\xi$
\n
Forme normale : $H(p) = \\frac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_n p + \\omega_n^2}$
Identification : $\\omega_n^2 = 100 \\Rightarrow \\omega_n = 10\\,rad/s$, et $2\\xi\\omega_n = 10 \\Rightarrow \\xi = 0.5$2. Fréquence à -3 dB
\n
Formule : $|H(j\\omega)| = \\frac{100}{\\sqrt{(100 - \\omega^2)^2 + (10\\omega)^2}}$
On veut $|H(j\\omega)| = \\frac{1}{\\sqrt{2}} |H(0)| = \\frac{100}{\\sqrt{2}}$. résolution numérique : $\\omega = 8.66\\,rad/s$.3. Marges de stabilité
", "id_category": "4", "id_number": "11" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 : Étude du lieu de Nyquist d’un système de contrôle.\n\nOn considère le système en boucle ouverte de fonction de transfert $G(p) = \\frac{K (1 + 0.5p)}{p(1 + 0.1p)(1 + 0.02p)}$. On souhaite dimensionner K pour assurer la stabilité du système en boucle fermée.\n1. Calculez la valeur de $|G(j\\omega)|$ pour $\\omega = 10\\,rad/s$ et $K = 1$.\n2. Déterminez la marge de gain lorsque la phase atteint -180°.\n3. Calculez la valeur de K correspondant à une marge de phase de 45°.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Phase à gain unitaire (|H| = 1) : on trouve $\\omega_{cg} \\approx 14.14\\,rad/s$
Phase correspondante : $-\\arctan(\\frac{10\\omega}{100-\\omega^2}) \\approx -90^\\circ$
Marge de phase = $180^\\circ - 90^\\circ = 90^\\circ$.
Marge de gain (à phase -180°) est élevée car le gain reste <1 à cette phase.1. Calcul du module pour $\\omega = 10\\,rad/s$
\n
Formule : $|G(j\\omega)| = K \\frac{\\sqrt{1+(0.5\\omega)^2}}{\\omega\\sqrt{(1+(0.1\\omega)^2)(1+(0.02\\omega)^2)}}$
Remplacement : $|G(j10)| = 1 \\times \\frac{\\sqrt{1+25}}{10\\sqrt{(1+1)(1+0.04)}} = \\frac{5.099}{10\\times1.442} = 0.354$
Résultat final : $|G(j10)| = 0.354$.2. Marge de gain à -180°
\n
Phase approximative : $\\phi(\\omega) = -90° - \\arctan(0.1\\omega) - \\arctan(0.02\\omega) + \\arctan(0.5\\omega)$
Pour $\\phi=-180°$, résolution : $\\omega = 31.6\\,rad/s$.
À cette fréquence : $|G(j31.6)| = \\frac{\\sqrt{1+(15.8)^2}}{31.6\\sqrt{(1+(3.16)^2)(1+(0.632)^2)}} = 0.0813$
Marge de gain : $1/0.0813 = 12.3$ soit $21.8\\,dB$.3. Valeur de K pour marge de phase de 45°
", "id_category": "4", "id_number": "12" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 – Analyse fréquentielle d’un système asservi de premier ordre.\n\nUn système de commande est représenté par la fonction de transfert suivante : $H(p) = \\dfrac{K}{1 + \\tau p}$.\n\n1. Calculez la fréquence de coupure en fonction de $\\tau$.\n2. Déterminez le gain (en dB) et la phase à une fréquence donnée $\\omega = 10 \\ rad/s$ pour $\\tau = 0.05 \\ s$ et $K = 2$.\n3. Déduisez les coordonnées du point correspondant sur le diagramme de Nyquist.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
À la fréquence de coupure de gain unitaire : $|G(j\\omega_c)| = 1/K$.
On choisit $\\omega_c = 10\\,rad/s$ avec $\\phi = -135°$ ce qui donne marge de phase de $45°$.
Donc $K = |G(j10)|^{-1} = 1/0.354 = 2.825$.Question 1 :
\n
1. Formule générale : $\\omega_c = \\dfrac{1}{\\tau}$
2. Remplacement : $\\tau = 0.05 \\ s$ ⇒ $\\omega_c = \\dfrac{1}{0.05}$
3. Calcul : $\\omega_c = 20 \\ rad/s$
4. Résultat final : La fréquence de coupure est $\\omega_c = 20 \\ rad/s$.Question 2 :
\n
1. Formule générale : pour $H(j\\omega) = \\dfrac{K}{1 + j\\omega\\tau}$, on a le module $|H(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\sqrt{1 + (\\omega \\tau)^2}}$ et la phase $\\varphi = -\\arctan(\\omega \\tau)$.
2. Remplacement : $\\omega = 10$, $\\tau = 0.05$, $K = 2$.
3. Calcul : $|H(j10)| = \\dfrac{2}{\\sqrt{1 + (10 × 0.05)^2}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{1.25}} = 1.788$, la phase $\\varphi = -\\arctan(0.5) = -26.56°$.
4. Résultat final : Gain en dB $20\\log_{10}(1.788) = 5.05 \\ dB$ et phase $-26.56°$.Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "13" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 – Étude fréquentielle d’un système du second ordre.\n\nOn considère un système dont la fonction de transfert est donnée par : $H(p) = \\dfrac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\xi\\omega_n p + \\omega_n^2}$ avec $\\omega_n = 50 \\ rad/s$ et $\\xi = 0.2$.\n\n1. Calculez le gain à la résonance en fonction de $\\xi$ et $\\omega_n$.\n2. Déterminez la fréquence de résonance $\\omega_r$.\n3. Évaluez le gain en décibels à cette fréquence pour les valeurs données.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule : le point de Nyquist est défini par $H(j\\omega) = |H| e^{j\\varphi}$.
2. Remplacement avec les valeurs précédentes : $H(j10) = 1.788 (\\cos(-26.56°) + j \\sin(-26.56°))$.
3. Calcul : $Re(H) = 1.788 × 0.894 = 1.598$, $Im(H) = 1.788 × (-0.447) = -0.799$.
4. Résultat final : Coordonnées du point Nyquist : $(1.598, -0.799)$.Question 1 :
\n
1. Formule générale : le gain à la résonance vaut $M_r = \\dfrac{1}{2\\xi\\sqrt{1-\\xi^2}}$.
2. Remplacement : $\\xi = 0.2$.
3. Calcul : $M_r = \\dfrac{1}{2×0.2×\\sqrt{1-0.04}} = \\dfrac{1}{0.4×0.98} = 2.55$.
4. Résultat final : $M_r = 2.55$.Question 2 :
\n
1. Formule générale : $\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\xi^2}$.
2. Remplacement : $\\omega_n = 50$, $\\xi = 0.2$.
3. Calcul : $\\omega_r = 50 × \\sqrt{1 - 2(0.2)^2} = 50 × \\sqrt{0.92} = 50 × 0.959 = 47.95$.
4. Résultat final : $\\omega_r = 47.95 \\ rad/s$.Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "14" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 – Étude de stabilité d’un système avec retour unitaire.\n\nLa fonction de transfert en boucle ouverte d’un système est donnée par $G(p) = \\dfrac{10}{p(p+2)(p+5)}$.\n\n1. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée pour un retour unitaire.\n2. Déterminez la marge de gain à partir du diagramme de Bode théorique.\n3. Calculez la marge de phase correspondante.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule générale : $G_{dB} = 20\\log_{10}(M_r)$.
2. Remplacement : $M_r = 2.55$.
3. Calcul : $G_{dB} = 20\\log_{10}(2.55) = 20 × 0.406 = 8.12 \\ dB$.
4. Résultat final : Gain de résonance $G_{dB} = 8.12 \\ dB$.Question 1 :
\n
1. Formule générale : $T(p) = \\dfrac{G(p)}{1 + G(p)}$.
2. Remplacement : $G(p) = \\dfrac{10}{p(p+2)(p+5)}$.
3. Calcul : $T(p) = \\dfrac{10}{p(p+2)(p+5) + 10}$.
4. Résultat final : $T(p) = \\dfrac{10}{p^3 + 7p^2 + 10p + 10}$.Question 2 :
\n
1. Détermination de la fréquence de coupure de gain lorsque $|G(j\\omega)| = 1$.
Pour $G(j\\omega) = \\dfrac{10}{j\\omega (j\\omega + 2)(j\\omega + 5)}$, le module est $|G(j\\omega)| = \\dfrac{10}{\\omega \\sqrt{(\\omega^2 + 4)(\\omega^2 + 25)}}$.
2. Recherche de $\\omega_{cg}$ : résoudre $\\dfrac{10}{\\omega \\sqrt{(\\omega^2 + 4)(\\omega^2 + 25)}} = 1$.
3. Solution numérique : $\\omega_{cg} ≈ 1.7 \\ rad/s$.
4. Résultat final : fréquence de coupure de gain $\\omega_{cg} = 1.7 \\ rad/s$.Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "15" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 – Analyse fréquentielle d’un système de premier ordre.\n\nOn considère un système asservi linéaire et continu dont la fonction de transfert est donnée par : $G(p) = \\dfrac{K}{1 + \\tau p}$, avec $K = 5$ et $\\tau = 0.2\\,s$.\n\n1. Déterminer la pulsation de coupure à -3 dB du système.\n2. Calculer le module et la phase du gain complexe $G(j\\omega)$ pour $\\omega = 5\\,rad/s$.\n3. Tracer le diagramme de Bode asymptotique et indiquer les principales caractéristiques (gain statique, fréquence de rupture, pente finale).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. La marge de phase est donnée par $M_φ = 180° + Arg(G(jω_{cg}))$.
2. Calcul de la phase : Arg$(G(j\\omega)) = - (90° + \\arctan(\\omega/2) + \\arctan(\\omega/5))$.
3. Remplacement : $\\omega = 1.7$ → $Arg(G) = - (90 + 40.3 + 18.8) = -149.1°$.
4. Résultat final : $M_φ = 180 - 149.1 = 30.9°$.Question 1 :
\n\n
1. Formule de la pulsation de coupure : $|G(j\\omega_c)| = \\dfrac{K}{\\sqrt{1+(\\omega_c \\tau)^2}} = \\dfrac{K}{\\sqrt{2}}$
2. En isolant $\\omega_c$ : $\\omega_c = \\dfrac{1}{\\tau}$
3. Remplacement : $\\omega_c = \\dfrac{1}{0.2} = 5\\,rad/s$
4. Résultat final : la pulsation de coupure est $\\omega_c = 5\\,rad/s$.Question 2 :
\n\n
1. Expression complexe : $G(j\\omega) = \\dfrac{K}{1 + j\\omega \\tau}$
2. Remplacement des valeurs : $G(j5) = \\dfrac{5}{1 + j(5)(0.2)} = \\dfrac{5}{1 + j}$
3. Module : $|G(j5)| = \\dfrac{5}{\\sqrt{1^2 + 1^2}} = \\dfrac{5}{\\sqrt{2}} = 3.536$
4. Phase : $\\varphi = -\\arctan(\\omega \\tau) = -\\arctan(1) = -45^{\\circ}$.Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "16" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 – Diagramme de Nyquist d’un système du second ordre.\n\nOn considère un système linéaire invariant dont la fonction de transfert est : $G(p) = \\dfrac{\\omega_0^2}{p^2 + 2\\xi \\omega_0 p + \\omega_0^2}$, avec $\\omega_0 = 10\\,rad/s$ et $\\xi = 0.3$.\n\n1. Calculer le module $|G(j\\omega)|$ pour $\\omega = 10\\,rad/s$.\n2. Déterminer la fréquence de résonance $\\omega_r$ et le gain maximal du module en dB.\n3. Tracer qualitativement le lieu de Nyquist de $G(j\\omega)$ et indiquer le point de passage à $\\omega = 0$ et $\\omega \\to \\infty$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Pour $\\omega < 5\\,rad/s$ : module constant = $20\\log_{10}K = 20\\log_{10}(5) = 13.98\\,dB$.
2. À partir de $\\omega_c = 5\\,rad/s$ : pente de -20 dB/décade.
3. Phase va de 0° à -90° autour de $\\omega_c$.Question 1 :
\n\n
1. Expression du module : $|G(j\\omega)| = \\dfrac{\\omega_0^2}{\\sqrt{(\\omega_0^2 - \\omega^2)^2 + (2\\xi \\omega_0 \\omega)^2}}$
2. Remplacement : $|G(j10)| = \\dfrac{100}{\\sqrt{(100 - 100)^2 + (2(0.3)(10)(10))^2}} = \\dfrac{100}{\\sqrt{(0)^2 + (60)^2}} = 1.667$
3. Résultat final : $|G(j10)| = 1.667$.Question 2 :
\n\n
1. Fréquence de résonance : $\\omega_r = \\omega_0\\sqrt{1 - 2\\xi^2}$
2. Remplacement : $\\omega_r = 10\\sqrt{1 - 2(0.3)^2} = 10\\sqrt{1 - 0.18} = 9.1\\,rad/s$
3. Gain maximum : $G_{max} = \\dfrac{1}{2\\xi\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\dfrac{1}{0.6\\sqrt{0.91}} = 1.83$
4. En dB : $20\\log_{10}(1.83) = 5.25\\,dB$.Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "17" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 – Application du critère de Routh et de Bode à un système d’ordre 3.\n\nOn considère la fonction de transfert suivante : $G(p)H(p) = \\dfrac{K}{p(p+2)(p+5)}$.\n\n1. Déterminer la fonction caractéristique fermée et établir le tableau de Routh.\n2. Trouver la valeur critique $K_c$ qui rend le système à la limite de stabilité.\n3. Déterminer le gain de phase marge à cette limite en considérant le diagramme de Bode asymptotique.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Pour $\\omega = 0$ : $G(0) = 1$ (point à (1,0)).
2. Pour $\\omega \\to \\infty$ : $G(j\\omega) \\approx -\\dfrac{\\omega_0^2}{\\omega^2} \\to 0$ (proche de l’origine).
3. Le lieu de Nyquist passe du point (1,0) vers l’origine en contournant l’axe imaginaire supérieur (signe de la phase négative).Question 1 :
1. Fonction caractéristique : $1 + G(p)H(p) = 0$ donc $1 + \\dfrac{K}{p(p+2)(p+5)} = 0$
2. Sous forme standard : $p^3 + 7p^2 + 10p + K = 0$.
3. Tableau de Routh :\np^3 | 1 10\np^2 | 7 K\np^1 | (70 - K)/7 0\np^0 | K\n
4. Condition de stabilité : premier élément de chaque ligne > 0.\n\nQuestion 2 :
\n\n
1. Condition limite : $(70 - K) = 0$
2. Résolution : $K_c = 70$.
3. Résultat : à $K = K_c$, le système est à la limite de stabilité (pôles imaginaires purs).Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "18" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système du premier ordre.\n\nUn système asservi est défini par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :\n$G(p) = \\dfrac{10}{p(1 + 0.5p)}$\n\n1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $T(p)$ avec un correcteur proportionnel de gain $K$.\n2. Pour $K = 5$, calculer le gain statique du système fermé.\n3. Tracer le diagramme de Bode (gain et phase) de $G(p)$ et déterminer la pulsation de coupure à -3 dB.\n4. Déterminer la marge de phase et la marge de gain de la boucle ouverte.\n5. Vérifier la stabilité de la boucle fermée à l’aide du critère de Nyquist et conclure.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Pour $K = 70$, fréquence critique déterminée par $|G(jω)H(jω)| = 1$.
2. Approximation du module : $|G(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\omega(\\sqrt{(\\omega^2+4)(\\omega^2+25)})}$
3. En cherchant une solution numérique approximative (itération rapide) : pour $\\omega = 4.2\\,rad/s$, module ≈ 1.
4. Phase à cette fréquence : $\\phi = -(90 + \\arctan(\\omega/2) + \\arctan(\\omega/5)) = -(90 + 64 + 39) = -193°$
5. Marge de phase : $180 - 193 = -13°$ donc le système est quasi instable à cette limite.1. Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée.
\n\n
Formule : $T(p) = \\dfrac{K G(p)}{1 + K G(p)}$
Remplacement : $T(p) = \\dfrac{5 * 10 / [p(1 + 0.5p)]}{1 + 5 * 10 / [p(1 + 0.5p)]}$
Calcul : $T(p) = \\dfrac{50}{p(1 + 0.5p) + 50}$
Résultat final : $T(p) = \\dfrac{50}{0.5p^2 + p + 50}$2. Gain statique.
\n\n
Formule : $K_{stat} = \\lim_{p \\to 0} T(p)$
Calcul : $K_{stat} = \\dfrac{50}{50} = 1$
Résultat : le gain statique vaut $1$.3. Diagramme de Bode.
\n\n
Module : $|G(j\\omega)| = \\dfrac{10}{\\omega\\sqrt{1 + (0.5\\omega)^2}}$
À -3 dB de la valeur maximale : faut trouver $\\omega_c$ tel que $|G(j\\omega_c)| = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}\\omega_c\\sqrt{1+(0.5\\omega_c)^2}}$
Résolution donne environ $\\omega_c ≈ 1.8 rad/s$.4. Marges de stabilité.
\n\n
Pour le diagramme, on trouve la marge de phase : $M_\\phi ≈ 52°$ et marge de gain : $M_G ≈ 8 dB$.5. Vérification par le critère de Nyquist.
", "id_category": "4", "id_number": "19" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 : Application du critère de Routh et lieu de Nyquist.\n\nLa fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :\n$G(p) = \\dfrac{K(1 + 2p)}{p(1 + 0.5p)(1 + 0.1p)}$\n\n1. Déterminer l’équation caractéristique du système en boucle fermée.\n2. Construire le tableau de Routh pour étudier la stabilité en fonction de $K$.\n3. Trouver la valeur critique de $K$ pour laquelle le système devient instable.\n4. Représenter le lieu de Nyquist et en déduire la marge de phase associée à $K = 2$.\n5. Vérifier que la stabilité déterminée par Routh coïncide avec celle du Nyquist.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
La courbe de Nyquist ne passe pas par le point (-1,0), le système est donc stable. Conclusion : stable pour $K=5$.1. Équation caractéristique.
\n\n
Formule : $1 + G(p) = 0$
Remplacement : $1 + \\dfrac{K(1+2p)}{p(1+0.5p)(1+0.1p)} = 0$
Calcul : $p(1+0.5p)(1+0.1p) + K(1+2p) = 0$
Développement : $0.05p^3 + 0.6p^2 + p + K(1+2p)=0$
Résultat final : $0.05p^3 + 0.6p^2 + (1+2K)p + K = 0$.2. Tableau de Routh.
\n\n
Ligne 1 : $0.05, (1+2K)$
Ligne 2 : $0.6, K$
Ligne 3 : $\\dfrac{0.6(1+2K) - 0.05K}{0.6}$
Condition de stabilité : tous les termes positifs.3. Valeur critique de K.
\n\n
Résolution de $\\dfrac{0.6(1+2K) - 0.05K}{0.6} = 0$
Calcul : $0.6 + 1.2K - 0.05K = 0$ → $K = -0.5$
Résultat : pour $K > -0.5$ stabilité assurée.4. Lieu de Nyquist.
\n\n
Pour $K = 2$, la courbe entoure pas le point (-1,0), la marge de phase numérique est $45°$.5. Vérification : Les résultats de Routh et Nyquist concordent, le système est stable pour $K = 2$.
", "id_category": "4", "id_number": "20" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 : Analyse de stabilité à partir du lieu d’Evans et diagramme de Bode.\n\nOn considère un système asservi dont la fonction de transfert est :\n$G(p) = \\dfrac{K}{p(p+2)(p+4)}$\n\n1. Établir l’équation caractéristique du système en boucle fermée.\n2. À partir du lieu d’Evans, déterminer les valeurs de $K$ pour lesquelles le système reste stable.\n3. Calculer les pôles en boucle fermée pour $K = 32$.\n4. Déterminer la fréquence de coupure du diagramme de Bode de $G(p)$.\n5. En déduire la marge de gain et de phase du système pour $K = 32$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Équation caractéristique.
\n\n
Formule : $1 + G(p) = 0$
Remplacement : $1 + \\dfrac{K}{p(p+2)(p+4)} = 0$
Calcul : $p(p+2)(p+4) + K = 0$
Développement : $p^3 + 6p^2 + 8p + K = 0$
Résultat : Équation caractéristique $p^3 + 6p^2 + 8p + K = 0$.2. Valeurs de stabilité via le lieu d’Evans.
\n\n
Condition de stabilité : les pôles doivent rester dans le demi-plan gauche. Par déplacement du lieu d’Evans, on obtient stabilité pour $0 < K < 96$.3. Pôles en boucle fermée pour $K = 32$.
\n\n
Résolution de $p^3 + 6p^2 + 8p + 32 = 0$
Numériquement : racines $p_1 ≈ -4.6$, $p_2,3 ≈ -0.7 ± j2.3$.4. Fréquence de coupure (Bode).
\n\n
Amplitude : $|G(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\omega\\sqrt{(\\omega^2+4\\omega+4)(\\omega^2+16\\omega+64)}}$
Résolution donne $\\omega_c ≈ 1.4 rad/s$.5. Marges de stabilité.
", "id_category": "4", "id_number": "21" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 : Analyse fréquentielle d’un système du premier ordre avec retard. \n\nOn considère un système linéaire continu de fonction de transfert : $H(p) = \\dfrac{K e^{-Tp}}{1 + \\tau p}$ avec $K = 2$, $\\tau = 0,1 \\; s$ et $T = 0,05 \\; s$.\n\n1. Calculer le module de la fonction de transfert en fréquence : $|H(j\\omega)|$ en fonction de $\\omega$.\n2. Déterminer la phase totale $\\phi(\\omega)$ du système.\n3. Calculer la fréquence de coupure en amplitude (à -3 dB) et exprimer la valeur correspondante en rad/s.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Marge de phase ≈ $60°$, marge de gain ≈ $10 dB$. Le système est stable pour $K = 32$.Question 1 :
\n
Formule générale : $|H(j\\omega)| = K / \\sqrt{1 + (\\omega \\tau)^2}$
Remplacement : $|H(j\\omega)| = 2 / \\sqrt{1 + (0.1\\omega)^2}$
Calcul : ce module dépend de $\\omega$ et diminue de 0 dB à -20 dB/décade.
Résultat final : $|H(j\\omega)| = \\dfrac{2}{\\sqrt{1 + 0.01\\omega^2}}$Question 2 :
\n
Formule générale de la phase : $\\phi(\\omega) = -\\arctan(\\omega \\tau) - \\omega T$
Remplacement : $\\phi(\\omega) = -\\arctan(0.1\\omega) - 0.05\\omega$
Calcul : on exprime en radians selon $\\omega$.
Résultat final : $\\phi(\\omega) = -\\arctan(0.1\\omega) - 0.05\\omega$Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "22" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 : Diagramme de Bode et stabilité d’un système du second ordre. \n\nOn considère un système d’asservissement de fonction de transfert : $H(p) = \\dfrac{100}{p^2 + 10p + 100}$.\n\n1. Calculer le module et la phase du système en fonction de $\\omega$.\n2. Déterminer la fréquence de résonance $\\omega_r$ et le gain correspondant.\n3. Calculer la marge de phase pour une fonction de boucle ouverte équivalente $L(p) = K \\; H(p)$ avec $K = 2$.\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule : le module à -3 dB correspond à $|H(j\\omega_c)| = \\dfrac{|H(0)|}{\\sqrt{2}}$
Remplacement : $\\dfrac{2}{\\sqrt{1+(0.1\\omega_c)^2}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}$
Calcul : $1 + (0.1\\omega_c)^2 = 2 \\Rightarrow \\omega_c = 10 \\; rad/s$
Résultat final : $\\omega_c = 10\\; rad/s$Question 1 :
\n
Formule : $H(j\\omega) = \\dfrac{100}{-(\\omega^2) + j10\\omega + 100}$
Module : $|H(j\\omega)| = \\dfrac{100}{\\sqrt{(100 - \\omega^2)^2 + (10\\omega)^2}}$
Phase : $\\phi(\\omega) = -\\arctan\\left(\\dfrac{10\\omega}{100 - \\omega^2}\\right)$Question 2 :
\n
Formule fréquence de résonance : $\\omega_r = \\omega_n \\sqrt{1 - 2\\xi^2}$ avec $\\xi = \\dfrac{10}{2\\sqrt{100}} = 0.5$
Résultat : $\\omega_r = 10 \\sqrt{1 - 0.5^2} = 8.66\\; rad/s$
Gain associé : $|H(j\\omega_r)| = \\dfrac{100}{\\sqrt{(100-8.66^2)^2 + (10\\times8.66)^2}} = 1.15$Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "23" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 : Lieu de Nyquist et stabilité d’un système à avance de phase.\n\nOn considère le système ouvert : $L(p) = K \\dfrac{1 + \\alpha T p}{(1 + T p)(p(1 + 0.5p))}$ avec $K = 5$, $\\alpha = 4$ et $T = 0.1\\; s$.\n\n1. Calculer l’expression de $L(j\\omega)$ et son module en fonction de $\\omega$.\n2. Déterminer les coordonnées du point critique du lieu de Nyquist pour $\\omega = 10 \\; rad/s$.\n3. Calculer la marge de gain et la marge de phase correspondantes.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule courante de marge de phase : différence entre -180° et la phase à $\\omega_{GM}$ où $|L(j\\omega_{GM})| = 1$
Remplacement : $|L(j\\omega)| = 2|H(j\\omega)|$, on résout pour $|L(j\\omega_{GM})|=1$
Approximation numérique : $\\omega_{GM} ≈ 20\\; rad/s$
Phase : $\\phi(\\omega_{GM}) ≈ -150°$
Marge de phase : $M_\\phi = 180° - 150° = 30°$Question 1 :
\n
Formule : $L(j\\omega) = 5 \\dfrac{1 + j\\alpha T\\omega}{(1 + jT\\omega)(j\\omega(1 + 0.5j\\omega))}$
Remplacement : $L(j\\omega) = 5 \\dfrac{1 + j0.4\\omega}{(1 + j0.1\\omega)(j\\omega(1 + 0.5j\\omega))}$
Module : $|L(j\\omega)| = 5 \\dfrac{\\sqrt{1 + (0.4\\omega)^2}}{\\omega \\sqrt{(1+(0.1\\omega)^2)(1+(0.5\\omega)^2)}}$Question 2 :
\n
Calcul pour $\\omega = 10$ :
Numérateur : $1 + j0.4(10) = 1 + j4$ → module = $\\sqrt{17}$
Dénominateur : $(1 + j1)(j10(1 + j5))$
Calcul intermédiaire : $(1 + j1) = \\sqrt{2}\\angle45°$, $(1+j5)=\\sqrt{26}\\angle78.69°$
Donc $D = 10\\sqrt{52}\\angle(45° + 78.69° + 90°)=10\\times7.21\\angle213.69°$
Résultat : $L(j10) = \\dfrac{5\\sqrt{17}\\angle75.96°}{72.1\\angle213.69°} = 0.118\\angle(-137.73°)$
Coordonnées : $Re=-0.087, Im=-0.081$Question 3 :
", "id_category": "4", "id_number": "24" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 1 : Étude fréquentielle d’un système du premier ordre avec retard. On considère un système linéaire continu dont la fonction de transfert est définie par $H(p)=\\frac{K e^{-Tp}}{1+\\tau p}$, avec $K=5$, $\\tau=0,2\\,s$ et un retard pur $T=0,05\\,s$. Les questions suivantes concernent uniquement des calculs dans le domaine fréquentiel :
Marge de gain : rapport du gain pour atteindre point -1.
Formule : $MG = 1/|L(j\\omega_\\pi)|$ avec $\\phi(\\omega_\\pi)=-180°$.
Par inspection, $\\omega_\\pi\\approx15 \\; rad/s$ ⇒ $|L(j15)| \\approx 0.7$
Résultat : $MG = 1/0.7 = 1.43$ (soit +3.1 dB).
Marge de phase : $M_\\phi = 180° - |\\phi(\\omega_{0 dB})|$, ici $\\phi(\\omega_{0 dB}) ≈ -150°$ ⇒ $M_\\phi = 30°$
1. Déterminer l’expression du module $|H(j\\omega)|$ et de l’argument $\\phi(\\omega)$ de la fonction de transfert.
2. Calculer le module et la phase du système pour $\\omega=10\\,rad/s$.
3. Déterminer la fréquence à laquelle le module vaut $-3\\,dB$ et le déphasage associé.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule générale : $|H(j\\omega)|=K/\\sqrt{1+(\\omega\\tau)^2}$ et $\\phi(\\omega)=-\\arctan(\\omega\\tau)-\\omega T$.
", "id_category": "4", "id_number": "25" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 2 : Étude de stabilité à partir du lieu de Nyquist d’un système du second ordre. On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\\frac{10}{p(p+2)(p+5)}$. Toutes les étapes sont à calculer :
2. Remplacement : $|H(j10)|=5/\\sqrt{1+(10*0,2)^2}=5/\\sqrt{5}=2,236$, soit en dB $20\\log_{10}(2,236)=7,0\\,dB$. Phase : $\\phi(10)=-\\arctan(2)-10*0,05=-63,43°-0,5°=-63,93°$.
3. Condition $|H|=-3\\,dB$ ⇒ $\\frac{K}{\\sqrt{1+(\\omega\\tau)^2}}=K/\\sqrt{2}$ donc $(\\omega\\tau)^2=1$ ⇒ $\\omega=1/\\tau=5\\,rad/s$. Déphasage : $\\phi=-\\arctan(1)-5*0,05=-45°-14,32°=-59,32°$.
1. Déterminer le gain marginal $K_m$ pour lequel le système est à la limite de stabilité.
2. Calculer la fréquence de coupure de phase correspondante où l'argument est égal à $-180°$.
3. Vérifier la marge de phase pour $K=5$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule : le gain marginal est atteint quand $|G(j\\omega)|=1/K$ et $\\arg(G(j\\omega))=-180°$.
", "id_category": "4", "id_number": "26" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Exercice 3 : Diagramme de Bode et stabilité d’un système à retour unitaire. On se donne un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\\frac{100(1+0,1p)}{p(1+0,5p)(1+0,05p)}$. Les questions sont :
2. Calculons la fréquence où l’argument vaut $-180°$. On a $\\arg(G(j\\omega))=-90°-\\arctan(\\omega/2)-\\arctan(\\omega/5)$. En prenant $\\omega_m$ tel que cette somme vaut $-180°$ : on procède par itération numérique → solution $\\omega_m≈3,2\\,rad/s$.
À cette fréquence, $|G(j\\omega)|=\\frac{10}{\\omega_m\\sqrt{(\\omega_m^2+4)(\\omega_m^2+25)}}=\\frac{10}{3,2\\sqrt{(14,24)(35,24)}}=\\frac{10}{3,2*22,38}=0,139$.
Donc $K_m=1/|G|=7,19$.
3. Pour $K=5$, la fréquence à l’unité de gain satisfait $|K G(j\\omega)|=1$. Recherche numérique : $\\omega≈2,5\\,rad/s$. À cette fréquence la phase vaut $-90°-\\arctan(1,25)-\\arctan(0,5)=-90°-51,3°-26,6°=-167,9°$. Donc marge de phase $M_\\phi≈180°-167,9°=12,1°$.
1. Calculer les points de cassure (pulsations caractéristiques) du diagramme de Bode.
2. Déterminer le gain en dB et la phase à $\\omega=10\\,rad/s$.
3. En déduire la marge de gain pour une boucle unitaire.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Points de cassure : Zéro en $\\omega_z=1/0,1=10\\,rad/s$, pôles en $\\omega_{p1}=0$, $\\omega_{p2}=1/0,5=2\\,rad/s$, $\\omega_{p3}=1/0,05=20\\,rad/s$.
", "id_category": "4", "id_number": "27" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système asservi linéaire, continu et invariant dans le temps en boucle unitaire négative. La fonction de transfert en boucle ouverte du procédé est définie par $\\( G(p) = \\dfrac{K}{p\\bigl(1+0{,}2p\\bigr)\\bigl(1+0{,}05p\\bigr)} \\)$ avec $\\( K > 0 \\)$. On souhaite analyser le comportement fréquentiel de ce système et étudier sa stabilité dans le domaine de Bode.\n\nQuestion 1 : En utilisant la forme produit standard, exprimer symboliquement le module $\\( \\lvert G(j\\omega) \\rvert \\)$ et l’argument $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega)\\bigr) \\)$ puis calculer numériquement le gain en décibels et la phase pour $\\( \\omega = 1 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ et $\\( \\omega = 10 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ (en laissant $\\( K \\)$ symbolique). \n\nQuestion 2 : En prenant la valeur numérique $\\( K = 10 \\)$, déterminer la pulsation de coupure en gain $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\)$ telle que $\\( \\lvert G(j\\omega_{\\mathrm{gc}}) \\rvert = 1 \\)$ puis calculer la marge de phase en ce point à partir du diagramme de Bode analytique.\n\nQuestion 3 : En imposant une marge de phase minimale de $\\( 45^{\\circ} \\)$, déterminer la valeur maximale admissible du gain $\\( K_{\\max} \\)$ et conclure sur la stabilité relative du système pour $\\( 0 < K \\leq K_{\\max} \\)$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
2. Module : $|G(j10)|=\\frac{100\\sqrt{1+(0,1*10)^2}}{10\\sqrt{(1+(0,5*10)^2)(1+(0,05*10)^2)}}=\\frac{100\\sqrt{2}}{10\\sqrt{(26)(1,25)}}=\\frac{14,14}{\\sqrt{32,5}}=2,48$. En dB : $20\\log_{10}(2,48)=7,9\\,dB$. Phase : $\\phi=+\\arctan(1)-90°-\\arctan(5)-\\arctan(0,5) = +45°-90°-78,7°-26,6°=-150,3°$.
3. Fréquence à module unité : résolution approchée $\\omega≈14\\,rad/s$. À cette fréquence, phase ≈ $-180°$. Le gain correspondant vaut $|G|_{\\omega=14}=\\frac{100\\sqrt{1+(1,4)^2}}{14\\sqrt{(1+ (7)^2)(1+(0,7)^2)}}=\\frac{100*1,72}{14*\\sqrt{(50)(1,49)}}=\\frac{172}{14*8,64}=1,42$, en dB $2,95\\,dB$. Donc marge de gain $M_G=-2,95\\,dB$.Question 1.
\n\n
\n1. Formule générale dans $...$ : Pour un produit de termes du type $\\( G(p) = K \\dfrac{1}{p} \\dfrac{1}{1+T_{1}p} \\dfrac{1}{1+T_{2}p} \\)$, le module et la phase à la pulsation $\\( \\omega \\)$ sont donnés par $\\( \\lvert G(j\\omega) \\rvert = \\dfrac{K}{\\omega \\sqrt{1+(\\omega T_{1})^{2}}\\sqrt{1+(\\omega T_{2})^{2}}} \\)$ et $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega)\\bigr) = -90^{\\circ} - \\arctan(\\omega T_{1}) - \\arctan(\\omega T_{2}) \\)$, le gain en décibels étant $\\( G_{\\mathrm{dB}}(\\omega) = 20\\log_{10}\\bigl(\\lvert G(j\\omega) \\rvert\\bigr) \\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : Ici $\\( T_{1} = 0{,}2 \\)$, $\\( T_{2} = 0{,}05 \\)$, et le gain statique est $\\( K \\)$. Pour $\\( \\omega = 1 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ on a $\\( \\lvert G(j1) \\rvert = \\dfrac{K}{1\\,\\sqrt{1+(0{,}2)^{2}}\\,\\sqrt{1+(0{,}05)^{2}}} \\)$ et $\\( \\arg\\bigl(G(j1)\\bigr) = -90^{\\circ} - \\arctan(0{,}2) - \\arctan(0{,}05) \\)$. Pour $\\( \\omega = 10 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$, on a $\\( \\lvert G(j10) \\rvert = \\dfrac{K}{10\\,\\sqrt{1+(2)^{2}}\\,\\sqrt{1+(0{,}5)^{2}}} \\)$ et $\\( \\arg\\bigl(G(j10)\\bigr) = -90^{\\circ} - \\arctan(2) - \\arctan(0{,}5) \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : Pour $\\( \\omega = 1 \\)$, $\\( \\sqrt{1+(0{,}2)^{2}} = \\sqrt{1{,}04} \\approx 1{,}020 \\)$ et $\\( \\sqrt{1+(0{,}05)^{2}} = \\sqrt{1{,}0025} \\approx 1{,}001 \\)$, d’où $\\( \\lvert G(j1) \\rvert \\approx \\dfrac{K}{1{,}020\\times1{,}001} \\approx 0{,}98K \\)$. Le gain est alors $\\( G_{\\mathrm{dB}}(1) = 20\\log_{10}(0{,}98K) = 20\\log_{10}(K) + 20\\log_{10}(0{,}98) \\approx 20\\log_{10}(K) - 0{,}17 \\,\\text{dB} \\)$. La phase est $\\( \\arg\\bigl(G(j1)\\bigr) \\approx -90^{\\circ} - \\arctan(0{,}2) - \\arctan(0{,}05) \\approx -90^{\\circ} - 11{,}3^{\\circ} - 2{,}9^{\\circ} = -104{,}2^{\\circ} \\)$. Pour $\\( \\omega = 10 \\)$, $\\( \\sqrt{1+2^{2}} = \\sqrt{5} \\approx 2{,}236 \\)$, $\\( \\sqrt{1+0{,}5^{2}} = \\sqrt{1{,}25} \\approx 1{,}118 \\)$ donc $\\( \\lvert G(j10) \\rvert \\approx \\dfrac{K}{10\\times2{,}236\\times1{,}118} \\approx \\dfrac{K}{25{,}0} = 0{,}04K \\)$. Ainsi $\\( G_{\\mathrm{dB}}(10) = 20\\log_{10}(0{,}04K) = 20\\log_{10}(K) - 27{,}96 \\,\\text{dB} \\)$. La phase vaut $\\( \\arg\\bigl(G(j10)\\bigr) \\approx -90^{\\circ} - \\arctan(2) - \\arctan(0{,}5) \\approx -90^{\\circ} - 63{,}4^{\\circ} - 26{,}6^{\\circ} = -180^{\\circ} \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : Pour $\\( \\omega = 1 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$, on obtient $\\( G_{\\mathrm{dB}}(1) \\approx 20\\log_{10}(K) - 0{,}17 \\,\\text{dB} \\)$ et $\\( \\arg\\bigl(G(j1)\\bigr) \\approx -104{,}2^{\\circ} \\)$. Pour $\\( \\omega = 10 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ on obtient $\\( G_{\\mathrm{dB}}(10) \\approx 20\\log_{10}(K) - 27{,}96 \\,\\text{dB} \\)$ et $\\( \\arg\\bigl(G(j10)\\bigr) \\approx -180^{\\circ} \\)$, ce qui correspond bien au comportement attendu d’un pôle intégrateur et de deux pôles réels négatifs sur un diagramme de Bode.Question 2.
\n\n
\n1. Formule générale dans $...$ : La pulsation de coupure en gain $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\)$ est définie par la condition $\\( \\lvert G(j\\omega_{\\mathrm{gc}}) \\rvert = 1 \\)$, soit ici $\\( \\dfrac{K}{\\omega_{\\mathrm{gc}} \\sqrt{1+(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}\\sqrt{1+(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}} = 1 \\)$ lorsque $\\( K = 10 \\)$. La marge de phase vaut $\\( M_{\\varphi} = 180^{\\circ} + \\arg\\bigl(G(j\\omega_{\\mathrm{gc}})\\bigr) \\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : En posant $\\( K = 10 \\)$, l’équation de coupure devient $\\( \\dfrac{10}{\\omega_{\\mathrm{gc}} \\sqrt{1+(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}\\sqrt{1+(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}} = 1 \\)$, soit encore $\\( 10 = \\omega_{\\mathrm{gc}} \\sqrt{1+(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}\\sqrt{1+(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}} \\)$. La phase au point de coupure sera $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega_{\\mathrm{gc}})\\bigr) = -90^{\\circ} - \\arctan(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}}) - \\arctan(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}}) \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : La résolution exacte de l’équation précédente est transcendante ; on procède donc par approximation numérique ou itération. En balayant les fréquences, on vérifie qu’une solution acceptable est obtenue pour une pulsation proche de $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\approx 4 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ (évaluation cohérente avec les asymptotes du diagramme de Bode). Pour cette valeur, $\\( 0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}} = 0{,}8 \\)$ et $\\( 0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}} = 0{,}2 \\)$, d’où $\\( \\sqrt{1+0{,}8^{2}} \\approx \\sqrt{1{,}64} \\approx 1{,}28 \\)$ et $\\( \\sqrt{1+0{,}2^{2}} \\approx 1{,}02 \\)$. On obtient alors $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\sqrt{1+(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}\\sqrt{1+(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}} \\approx 4 \\times 1{,}28 \\times 1{,}02 \\approx 5{,}22 \\)$, ce qui est inférieur à $\\( 10 \\)$, montrant que la pulsation exacte est un peu supérieure ; on peut retenir numériquement une valeur de l’ordre de $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\approx 7 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ pour satisfaire la condition de coupure avec davantage de précision. La phase correspondante est alors approximativement $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega_{\\mathrm{gc}})\\bigr) \\approx -90^{\\circ} - \\arctan(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}}) - \\arctan(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}}) \\)$; pour $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\approx 7 \\)$ on a $\\( 0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}} = 1{,}4 \\)$ et $\\( 0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}} = 0{,}35 \\)$, ce qui donne $\\( \\arg \\approx -90^{\\circ} - 54{,}5^{\\circ} - 19{,}3^{\\circ} = -163{,}8^{\\circ} \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : On obtient une pulsation de coupure en gain voisine de $\\( \\omega_{\\mathrm{gc}} \\approx 7 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ pour $\\( K = 10 \\)$ et une marge de phase approximative $\\( M_{\\varphi} = 180^{\\circ} + \\arg\\bigl(G(j\\omega_{\\mathrm{gc}})\\bigr) \\approx 180^{\\circ} - 163{,}8^{\\circ} = 16{,}2^{\\circ} \\)$, ce qui traduit une stabilité relative faible du système.Question 3.
", "id_category": "4", "id_number": "28" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système asservi linéaire et continu en boucle unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par $\\( G(p) = \\dfrac{K(p+2)}{p(p+1)(p+4)} \\)$ avec $\\( K > 0 \\)$. On souhaite étudier la stabilité de la boucle fermée par la méthode du lieu de Nyquist et l’abaque de Black-Nichols.\n\nQuestion 1 : Écrire l’expression de la réponse fréquentielle $\\( G(j\\omega) \\)$ en séparant partie réelle et partie imaginaire, puis calculer numériquement $\\( \\Re\\bigl(G(j\\omega)\\bigr) \\)$ et $\\( \\Im\\bigl(G(j\\omega)\\bigr) \\)$ pour $\\( \\omega = 0{,}5 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ et $\\( \\omega = 2 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ en fonction de $\\( K \\)$.\n\nQuestion 2 : En fixant $\\( K = 5 \\)$, tracer analytiquement les points caractéristiques du lieu de Nyquist (pour les pulsations précédentes) et déterminer le nombre d’enroulements du point $\\( -1+j0 \\)$ par la courbe complète, puis en déduire le nombre de zéros de la fonction caractéristique en demi-plan droit et la stabilité de la boucle fermée.\n\nQuestion 3 : Toujours pour $\\( K = 5 \\)$, déterminer le point correspondant dans le plan de Black-Nichols (gain en dB et phase) pour $\\( \\omega = 1 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ et calculer, à partir de ce point, la marge de gain de la boucle fermée par lecture analytique sur l’abaque de Nichols (sans utiliser de logiciel), en supposant que le point critique $\\( -1+j0 \\)$ correspond à $\\( -180^{\\circ} \\)$ et $\\( 0 \\, \\text{dB} \\)$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\n1. Formule générale dans $...$ : Pour un système donné, la marge de phase à la pulsation de coupure en gain vérifie $\\( M_{\\varphi}(K) = 180^{\\circ} + \\arg\\bigl(G(j\\omega_{\\mathrm{gc}}(K))\\bigr) \\)$. On impose ici la contrainte $\\( M_{\\varphi}(K) \\geq 45^{\\circ} \\)$, soit $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega_{\\mathrm{gc}}(K))\\bigr) \\geq -135^{\\circ} \\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : La phase du système ne dépend pas de $\\( K \\)$ et reste égale à $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega)\\bigr) = -90^{\\circ} - \\arctan(0{,}2\\omega) - \\arctan(0{,}05\\omega) \\)$. La pulsation de coupure en gain dépend de $\\( K \\)$ via la condition $\\( \\lvert G(j\\omega_{\\mathrm{gc}}) \\rvert = 1 \\)$ soit $\\( \\dfrac{K}{\\omega_{\\mathrm{gc}} \\sqrt{1+(0{,}2\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}\\sqrt{1+(0{,}05\\omega_{\\mathrm{gc}})^{2}}} = 1 \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : On recherche une pulsation $\\( \\omega^{\\star} \\)$ telle que $\\( \\arg\\bigl(G(j\\omega^{\\star})\\bigr) = -135^{\\circ} \\)$. Cela conduit à l’équation $\\( -90^{\\circ} - \\arctan(0{,}2\\omega^{\\star}) - \\arctan(0{,}05\\omega^{\\star}) = -135^{\\circ} \\)$, soit $\\( \\arctan(0{,}2\\omega^{\\star}) + \\arctan(0{,}05\\omega^{\\star}) = 45^{\\circ} \\)$. Une résolution numérique fournit une valeur de l’ordre de $\\( \\omega^{\\star} \\approx 3{,}5 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$ pour laquelle cette relation est approximativement satisfaite. La valeur maximale du gain correspond alors à la condition $\\( \\lvert G(j\\omega^{\\star}) \\rvert = 1 \\)$, soit $\\( K_{\\max} = \\omega^{\\star} \\sqrt{1+(0{,}2\\omega^{\\star})^{2}}\\sqrt{1+(0{,}05\\omega^{\\star})^{2}} \\)$. En remplaçant $\\( \\omega^{\\star} = 3{,}5 \\)$, on obtient $\\( 0{,}2\\omega^{\\star} = 0{,}7 \\)$, $\\( 0{,}05\\omega^{\\star} = 0{,}175 \\)$, d’où $\\( \\sqrt{1+0{,}7^{2}} \\approx \\sqrt{1{,}49} \\approx 1{,}22 \\)$ et $\\( \\sqrt{1+0{,}175^{2}} \\approx \\sqrt{1{,}03} \\approx 1{,}015 \\)$. On en déduit $\\( K_{\\max} \\approx 3{,}5 \\times 1{,}22 \\times 1{,}015 \\approx 4{,}33 \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : La contrainte de marge de phase $\\( M_{\\varphi} \\geq 45^{\\circ} \\)$ conduit à un gain maximal admissible de l’ordre de $\\( K_{\\max} \\approx 4{,}3 \\)$. Le système en boucle fermée reste alors stable avec une stabilité relative satisfaisante pour $\\( 0 < K \\leq K_{\\max} \\)$, tandis qu’au delà de cette valeur la marge de phase décroît en dessous de $\\( 45^{\\circ} \\)$ et le régime devient insuffisamment amorti, voire potentiellement instable.Question 1.
\n\n
\n1. Formule générale dans $...$ : On écrit $\\( G(j\\omega) = \\dfrac{K(j\\omega+2)}{(j\\omega)(j\\omega+1)(j\\omega+4)} \\)$. En développant le dénominateur, on a $\\( p(p+1)(p+4) = p(p^{2}+5p+4) = p^{3}+5p^{2}+4p \\)$, d’où pour $\\( p = j\\omega \\)$ : $\\( (j\\omega)^{3}+5(j\\omega)^{2}+4(j\\omega) = j^{3}\\omega^{3}+5j^{2}\\omega^{2}+4j\\omega = -j\\omega^{3}-5\\omega^{2}+4j\\omega \\)$. On en déduit $\\( G(j\\omega) = K\\dfrac{j\\omega+2}{-5\\omega^{2} + j(4\\omega-\\omega^{3})} \\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : Pour séparer partie réelle et imaginaire, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Soit $\\( D(j\\omega) = -5\\omega^{2} + j(4\\omega-\\omega^{3}) \\)$, alors $\\( \\overline{D(j\\omega)} = -5\\omega^{2} - j(4\\omega-\\omega^{3}) \\)$ et $\\( \\lvert D(j\\omega) \\rvert^{2} = (-5\\omega^{2})^{2} + (4\\omega-\\omega^{3})^{2} \\)$. Ainsi $\\( G(j\\omega) = K\\dfrac{(j\\omega+2)\\overline{D(j\\omega)}}{\\lvert D(j\\omega) \\rvert^{2}} \\)$ et l’on obtient la partie réelle et imaginaire en développant le numérateur. Pour $\\( \\omega = 0{,}5 \\)$, on remplace systématiquement $\\( \\omega \\)$ par $\\( 0{,}5 \\)$, et pour $\\( \\omega = 2 \\)$, par $\\( 2 \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : On développe d’abord le numérateur général. On a $\\( (j\\omega+2)(-5\\omega^{2} - j(4\\omega-\\omega^{3})) = (j\\omega+2)(-5\\omega^{2}) - (j\\omega+2)j(4\\omega-\\omega^{3}) \\)$. Le premier terme vaut $\\( -5\\omega^{2}j\\omega -10\\omega^{2} = -5j\\omega^{3} -10\\omega^{2} \\)$. Le second terme vaut $\\( -(j\\omega+2)j(4\\omega-\\omega^{3}) = -(j\\omega j+2j)(4\\omega-\\omega^{3}) = -(-\\omega+2j)(4\\omega-\\omega^{3}) \\)$. On obtient alors $\\( (j\\omega+2)(-5\\omega^{2} - j(4\\omega-\\omega^{3})) = -5j\\omega^{3} -10\\omega^{2} + (\\omega-2j)(4\\omega-\\omega^{3}) \\)$. En développant le dernier produit, $\\( (\\omega-2j)(4\\omega-\\omega^{3}) = 4\\omega^{2} - \\omega^{4} -8j\\omega +2j\\omega^{3} \\)$. On regroupe alors les parties réelle et imaginaire : la partie réelle est $\\( -10\\omega^{2} + 4\\omega^{2} - \\omega^{4} = -6\\omega^{2} - \\omega^{4} \\)$, et la partie imaginaire est $\\( -5\\omega^{3} -8\\omega +2\\omega^{3} = -3\\omega^{3} -8\\omega \\)$, d’où $\\( G(j\\omega) = K\\dfrac{-6\\omega^{2} - \\omega^{4} + j(-3\\omega^{3} -8\\omega)}{25\\omega^{4} + (4\\omega-\\omega^{3})^{2}} \\)$. Pour $\\( \\omega = 0{,}5 \\)$, on a $\\( -6\\omega^{2} - \\omega^{4} = -6(0{,}25) - 0{,}5^{4} = -1{,}5 - 0{,}0625 = -1{,}5625 \\)$ et $\\( -3\\omega^{3} -8\\omega = -3(0{,}125) -8(0{,}5) = -0{,}375 -4 = -4{,}375 \\)$. De plus $\\( 4\\omega-\\omega^{3} = 4(0{,}5) -0{,}125 = 1{,}875 \\)$, donc $\\( \\lvert D(j0{,}5) \\rvert^{2} = 25(0{,}5^{4}) + 1{,}875^{2} = 25(0{,}0625) + 3{,}5156 \\approx 1{,}5625 + 3{,}5156 \\approx 5{,}0781 \\)$. On obtient finalement $\\( \\Re\\bigl(G(j0{,}5)\\bigr) \\approx K\\dfrac{-1{,}5625}{5{,}0781} \\approx -0{,}308K \\)$ et $\\( \\Im\\bigl(G(j0{,}5)\\bigr) \\approx K\\dfrac{-4{,}375}{5{,}0781} \\approx -0{,}862K \\)$. Un calcul similaire pour $\\( \\omega = 2 \\)$ conduit à $\\( -6\\omega^{2} - \\omega^{4} = -6(4) -16 = -24 -16 = -40 \\)$, $\\( -3\\omega^{3} -8\\omega = -3(8) -16 = -24 -16 = -40 \\)$ et $\\( 4\\omega-\\omega^{3} = 8 -8 = 0 \\)$, d’où $\\( \\lvert D(j2) \\rvert^{2} = 25(2^{4}) = 25(16) = 400 \\)$ et $\\( \\Re\\bigl(G(j2)\\bigr) = K\\dfrac{-40}{400} = -0{,}1K \\)$, $\\( \\Im\\bigl(G(j2)\\bigr) = K\\dfrac{-40}{400} = -0{,}1K \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : La décomposition donne une forme cartésienne explicite de $\\( G(j\\omega) \\)$ et pour les pulsations demandées on obtient les points Nyquist approximatifs $\\( G(j0{,}5) \\approx K(-0{,}308 - j0{,}862) \\)$ et $\\( G(j2) \\approx K(-0{,}1 - j0{,}1) \\)$, qui serviront de repères sur le lieu de Nyquist.Question 2.
\n\n
\n1. Formule générale dans $...$ : Le critère de Nyquist indique que le nombre de zéros de la fonction caractéristique en demi-plan droit est donné par $\\( Z = N + P \\)$, où $\\( P \\)$ est le nombre de pôles de $\\( G(p)H(p) \\)$ en demi-plan droit et $\\( N \\)$ le nombre d’enroulements du point $\\( -1+j0 \\)$ par le lieu de Nyquist, comptés positivement dans le sens horaire. Ici $\\( H(p) = 1 \\)$ (boucle unitaire).
\n2. Remplacement des données dans $...$ : Le dénominateur $\\( p(p+1)(p+4) \\)$ possède des pôles en $\\( p = 0 \\)$, $\\( p = -1 \\)$ et $\\( p = -4 \\)$, tous en demi-plan gauche ; ainsi $\\( P = 0 \\)$. Pour $\\( K = 5 \\)$, les points calculés à la question précédente deviennent $\\( G(j0{,}5) \\approx -1{,}54 - j4{,}31 \\)$ et $\\( G(j2) \\approx -0{,}5 - j0{,}5 \\)$. En faisant varier $\\( \\omega \\)$ de $\\( 0 \\)$ à $\\( +\\infty \\)$, le lieu de Nyquist évolue depuis la valeur statique $\\( G(0) = \\lim_{\\omega \\to 0} G(j\\omega) = \\dfrac{10}{0\\times1\\times4} \\rightarrow \\infty \\)$ dirigée vers l’infini dans le demi-plan droit, puis contourne l’origine et vient se rapprocher de $\\( 0 \\)$ lorsque $\\( \\omega \\rightarrow +\\infty \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : L’étude qualitative montre que la courbe passe dans le demi-plan gauche pour des pulsations intermédiaires, les points numériques indiquant que la trajectoire coupe la droite réelle négative pour une pulsation entre $\\( 0{,}5 \\)$ et $\\( 2 \\)$ avec des valeurs réelles négatives modérées. La symétrie par rapport à l’axe réel permet de compléter le contour de Nyquist. Pour $\\( K = 5 \\)$, les modules restent de l’ordre de l’unité ou plus pour les basses fréquences puis décroissent vers zéro ; l’analyse détaillée montre que la courbe ne réalise pas d’enroulement complet autour du point $\\( -1+j0 \\)$, de sorte que $\\( N = 0 \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : Avec $\\( P = 0 \\)$ et $\\( N = 0 \\)$, on obtient $\\( Z = 0 \\)$, ce qui signifie que la fonction caractéristique ne possède aucun zéro en demi-plan droit ; la boucle fermée est donc globalement stable pour $\\( K = 5 \\)$ selon le critère de Nyquist.Question 3.
", "id_category": "4", "id_number": "29" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système asservi linéaire et continu décrit par la fonction de transfert en boucle ouverte suivante : $\\( G(p) = \\dfrac{K(p+3)}{p(p+1)(p+4)} \\)$ avec $\\( K > 0 \\)$, en boucle unitaire négative. On souhaite utiliser successivement le critère de Routh et le lieu d’Evans (root locus) pour analyser la stabilité et la position des pôles fermés.\n\nQuestion 1 : Écrire le polynôme caractéristique de la boucle fermée en fonction de $\\( K \\)$ et le mettre sous la forme standard $\\( a_{3}p^{3}+a_{2}p^{2}+a_{1}p+a_{0} = 0 \\)$ en exprimant les coefficients $\\( a_{i} \\)$ en fonction de $\\( K \\)$.\n\nQuestion 2 : Construire la table de Routh associée à ce polynôme, exprimer les conditions de stabilité (tous les éléments de la première colonne strictement positifs) et en déduire l’intervalle de valeurs de $\\( K \\)$ pour lequel le système en boucle fermée est stable.\n\nQuestion 3 : En considérant le lieu d’Evans de la fonction de transfert en boucle ouverte, calculer analytiquement la valeur de gain $\\( K_{0} \\)$ pour laquelle un pôle fermé se trouve exactement sur l’axe imaginaire pur (frontière de stabilité) et déterminer la pulsation correspondante $\\( \\omega_{0} \\)$ en résolvant le polynôme caractéristique pour $\\( p = j\\omega \\)$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\n1. Formule générale dans $...$ : Le passage au plan de Nichols se fait en représentant, pour chaque pulsation $\\( \\omega \\)$, la phase $\\( \\varphi(\\omega) = \\arg\\bigl(G(j\\omega)\\bigr) \\)$ en abscisse et le gain en décibels $\\( G_{\\mathrm{dB}}(\\omega) = 20\\log_{10}\\bigl(\\lvert G(j\\omega) \\rvert\\bigr) \\)$ en ordonnée. La marge de gain correspond à la variation de gain nécessaire pour que la courbe passe par le point critique $\\( (-180^{\\circ},0 \\, \\text{dB}) \\)$ dans ce plan.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : Pour $\\( \\omega = 1 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$, on calcule d’abord $\\( G(j1) = \\dfrac{5(j+2)}{(j)(j+1)(j+4)} \\)$. Le dénominateur vaut $\\( j(j+1)(j+4) = j(j^{2}+5j+4) = j(-1+5j+4) = j(3+5j) = 3j+5j^{2} = -5+3j \\)$. Le numérateur est $\\( 5(j+2) = 10+5j \\)$. Ainsi $\\( G(j1) = \\dfrac{10+5j}{-5+3j} \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $\\( -5-3j \\)$. On obtient $\\( (10+5j)(-5-3j) = 10(-5-3j)+5j(-5-3j) = -50-30j-25j-15j^{2} = -50-55j+15 = -35-55j \\)$. Le dénominateur vaut $\\( (-5+3j)(-5-3j) = 25+9 = 34 \\)$. Donc $\\( G(j1) = \\dfrac{-35-55j}{34} \\approx -1{,}029 - j1{,}618 \\)$. Le module est $\\( \\lvert G(j1) \\rvert \\approx \\sqrt{1{,}029^{2}+1{,}618^{2}} \\approx \\sqrt{1{,}06+2{,}62} \\approx \\sqrt{3{,}68} \\approx 1{,}92 \\)$, d’où $\\( G_{\\mathrm{dB}}(1) \\approx 20\\log_{10}(1{,}92) \\approx 5{,}66 \\,\\text{dB} \\)$. La phase est $\\( \\varphi(1) = \\arg\\bigl(G(j1)\\bigr) \\approx \\arctan\\Bigl(\\dfrac{-1{,}618}{-1{,}029}\\Bigr) \\)$ en tenant compte du quadrant $\\( (\\Re<0,\\Im<0) \\)$, soit environ $\\( -132^{\\circ} \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : Le point correspondant dans le plan de Nichols est donc approximativement $\\( (\\varphi,G_{\\mathrm{dB}}) \\approx (-132^{\\circ},5{,}7 \\,\\text{dB}) \\)$ pour $\\( \\omega = 1 \\, \\text{rad}\\,\\text{s}^{-1} \\)$. En extrapolant la courbe de Nichols et en notant que le point critique correspond à $\\( (-180^{\\circ},0 \\,\\text{dB}) \\)$, la marge de gain est donnée par la variation de gain nécessaire pour déplacer le point à phase proche de $\\( -180^{\\circ} \\)$ jusqu’au niveau $\\( 0 \\,\\text{dB} \\)$. Pour ce système et $\\( K = 5 \\)$, la position actuelle du point montre que la marge de gain reste positive (un affaiblissement du gain est nécessaire pour atteindre la limite de stabilité), ce qui confirme la stabilité de la boucle fermée avec une certaine réserve de robustesse.Question 1.
\n\n
\n1. Formule générale dans $...$ : Pour une boucle unitaire avec une fonction de transfert en boucle ouverte $\\( G(p) \\)$, la fonction de transfert en boucle fermée est $\\( T(p) = \\dfrac{G(p)}{1+G(p)} \\)$ et le polynôme caractéristique est donné par $\\( 1+G(p) = 0 \\)$. Lorsque $\\( G(p) = \\dfrac{N(p)}{D(p)} \\)$, le polynôme caractéristique s’écrit $\\( D(p)+N(p) = 0 \\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : Ici $\\( D(p) = p(p+1)(p+4) \\)$ et $\\( N(p) = K(p+3) \\)$. On commence par développer $\\( D(p) \\)$ : $\\( (p+1)(p+4) = p^{2}+5p+4 \\)$, puis $\\( p(p^{2}+5p+4) = p^{3}+5p^{2}+4p \\)$. On a donc $\\( D(p) = p^{3}+5p^{2}+4p \\)$ et $\\( N(p) = Kp+3K \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : Le polynôme caractéristique vaut $\\( D(p)+N(p) = p^{3}+5p^{2}+4p + Kp+3K = p^{3}+5p^{2}+(4+K)p+3K \\)$. En le mettant sous la forme standard $\\( a_{3}p^{3}+a_{2}p^{2}+a_{1}p+a_{0} = 0 \\)$, on identifie $\\( a_{3} = 1 \\)$, $\\( a_{2} = 5 \\)$, $\\( a_{1} = 4+K \\)$ et $\\( a_{0} = 3K \\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ : Le polynôme caractéristique de la boucle fermée est $\\( p^{3}+5p^{2}+(4+K)p+3K = 0 \\)$ avec les coefficients $\\( a_{3} = 1 \\)$, $\\( a_{2} = 5 \\)$, $\\( a_{1} = 4+K \\)$ et $\\( a_{0} = 3K \\)$, qui serviront pour la construction de la table de Routh et le lieu d’Evans.Question 2.
\n\n
\n1. Formule générale dans $...$ : Pour un polynôme cubique $\\( a_{3}p^{3}+a_{2}p^{2}+a_{1}p+a_{0} = 0 \\)$, la table de Routh s’écrit sous la forme : première ligne $\\( [a_{3} \\quad a_{1}] \\)$, deuxième ligne $\\( [a_{2} \\quad a_{0}] \\)$, troisième ligne $\\( [b_{1} \\quad 0] \\)$, quatrième ligne $\\( [c_{1} \\quad 0] \\)$ avec $\\( b_{1} = \\dfrac{a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}}{a_{2}} \\)$ et $\\( c_{1} = a_{0} \\)$. La condition de stabilité est que tous les coefficients de la première colonne soient strictement positifs.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : Avec $\\( a_{3} = 1 \\)$, $\\( a_{2} = 5 \\)$, $\\( a_{1} = 4+K \\)$ et $\\( a_{0} = 3K \\)$, la table de Routh devient : première ligne $\\( [1 \\quad 4+K] \\)$, deuxième ligne $\\( [5 \\quad 3K] \\)$, troisième ligne $\\( [b_{1} \\quad 0] \\)$ avec $\\( b_{1} = \\dfrac{5(4+K)-1\\cdot3K}{5} = \\dfrac{20+5K-3K}{5} = \\dfrac{20+2K}{5} \\)$, quatrième ligne $\\( [c_{1} \\quad 0] \\)$ avec $\\( c_{1} = 3K \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : Les conditions de stabilité sont : $\\( a_{3} > 0 \\Rightarrow 1 > 0 \\)$ toujours vraie, $\\( a_{2} > 0 \\Rightarrow 5 > 0 \\)$ toujours vraie, $\\( b_{1} > 0 \\Rightarrow 20+2K > 0 \\Rightarrow K > -10 \\)$ et $\\( c_{1} > 0 \\Rightarrow 3K > 0 \\Rightarrow K > 0 \\)$. La condition la plus restrictive est $\\( K > 0 \\)$, puisque $\\( K > 0 \\Rightarrow K > -10 \\)$ est automatiquement satisfaite.
\n4. Résultat final dans $...$ : Le critère de Routh montre que le système en boucle fermée est stable pour tout gain strictement positif $\\( K > 0 \\)$. L’ensemble des valeurs admissibles est donc l’intervalle $\\( K \\in (0,+\\infty) \\)$, ce qui indique que le lieu d’Evans entier reste dans le demi-plan gauche pour tout gain positif.Question 3.
", "id_category": "4", "id_number": "30" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système de commande en boucle fermée avec retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(s)=4/(s(s+2))$, représentant un processus du second ordre avec un pôle intégrateur et un pôle réel stable à $s=-2$. On souhaite analyser ce système dans le domaine fréquentiel en utilisant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte et le critère de Nyquist pour déterminer la stabilité de la boucle fermée. Question $1$ : exprimer la partie réelle $Re(G(j w))$ et la partie imaginaire $Im(G(j w))$ de la fonction de transfert en fonction de la pulsation réelle $w>0$, en simplifiant algébriquement l'expression complexe. Question $2$ : en déduire les limites de $G(j w)$ lorsque $w→0+$ et lorsque $w→+infini$, puis déterminer qualitativement la trajectoire du lieu de Nyquist dans le plan complexe en indiquant notamment si la courbe passe à gauche ou à droite du point critique $-1+0 j$. Question $3$ : en appliquant le critère de Nyquist, en utilisant le nombre de pôles en demi-plan droit de la boucle ouverte et le nombre d'encerclements du point critique $-1+0 j$ par le lieu de Nyquist, calculer le nombre de pôles en demi-plan droit de la boucle fermée et conclure sur la stabilité du système en boucle fermée associé.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\n1. Formule générale dans $...$ : Un pôle fermé situé sur l’axe imaginaire pur vérifie $\\( p = j\\omega_{0} \\)$ avec $\\( \\omega_{0} > 0 \\)$. En substituant $\\( p = j\\omega_{0} \\)$ dans le polynôme caractéristique $\\( p^{3}+5p^{2}+(4+K)p+3K = 0 \\)$, et en séparant les parties réelle et imaginaire, on obtient un système de deux équations pour les inconnues $\\( K \\)$ et $\\( \\omega_{0} \\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ : On remplace $\\( p \\)$ par $\\( j\\omega_{0} \\)$ : $\\( (j\\omega_{0})^{3}+5(j\\omega_{0})^{2}+(4+K)j\\omega_{0}+3K = 0 \\)$. On utilise $\\( j^{2} = -1 \\)$ et $\\( j^{3} = -j \\)$ pour obtenir $\\( -j\\omega_{0}^{3}+5(-\\omega_{0}^{2})+(4+K)j\\omega_{0}+3K = 0 \\)$, soit $\\( -5\\omega_{0}^{2}+3K + j\\bigl((4+K)\\omega_{0}-\\omega_{0}^{3}\\bigr) = 0 \\)$.
\n3. Calcul dans $...$ : Pour que cette expression soit nulle, il faut que la partie réelle et la partie imaginaire soient nulles. On obtient donc le système : $\\( -5\\omega_{0}^{2}+3K = 0 \\)$ et $\\( (4+K)\\omega_{0}-\\omega_{0}^{3} = 0 \\)$. De la première équation, on tire $\\( K = \\dfrac{5}{3}\\omega_{0}^{2} \\)$. En remplaçant dans la seconde, on obtient $\\( (4+\\tfrac{5}{3}\\omega_{0}^{2})\\omega_{0}-\\omega_{0}^{3} = 0 \\)$, soit $\\( 4\\omega_{0}+\\tfrac{5}{3}\\omega_{0}^{3}-\\omega_{0}^{3} = 0 \\)$. En simplifiant, $\\( 4\\omega_{0}+\\bigl(\\tfrac{5}{3}-1\\bigr)\\omega_{0}^{3} = 0 \\Rightarrow 4\\omega_{0}+\\tfrac{2}{3}\\omega_{0}^{3} = 0 \\)$. On factorise $\\( \\omega_{0} \\neq 0 \\)$ (on ne considère pas le pôle à l’origine) et l’on obtient $\\( 4+\\tfrac{2}{3}\\omega_{0}^{2} = 0 \\Rightarrow \\tfrac{2}{3}\\omega_{0}^{2} = -4 \\Rightarrow \\omega_{0}^{2} = -6 \\)$, ce qui n’admet pas de solution réelle positive.
\n4. Résultat final dans $...$ : L’équation ne possède aucune solution pour $\\( \\omega_{0} > 0 \\)$, ce qui signifie que, pour ce système, aucun pôle fermé ne traverse l’axe imaginaire lorsque $\\( K \\)$ varie dans l’intervalle de stabilité obtenu par Routh. Le lieu d’Evans reste entièrement confiné dans le demi-plan gauche pour tout $\\( K > 0 \\)$, et le gain critique $\\( K_{0} \\)$ conduisant à une oscillation marginalement stable n’existe pas ; le système ne devient jamais marginalement stable par simple variation du gain proportionnel, ce qui corrobore l’analyse de Routh.Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
", "id_category": "4", "id_number": "31" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système de commande en boucle fermée à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(s)=K(s+3)/(s(s+2)(s+5))$, où $K>0$ est un gain réel à ajuster. On souhaite utiliser le critère de Routh-Hurwitz et le lieu d'Evans (root locus) pour analyser la stabilité en boucle fermée lorsque le gain $K$ varie. Question $1$ : établir l'équation caractéristique de la boucle fermée pour un retour unitaire, la mettre sous la forme d'un polynôme en $s$ de degré $3$ et exprimer ses coefficients en fonction de $K$. Question $2$ : construire le tableau de Routh pour ce polynôme de degré $3$ et déterminer la condition sur le gain $K$ pour que tous les pôles fermés soient dans le demi-plan gauche, c'est-à-dire pour que le système soit stable. Question $3$ : pour le même système, en supposant $K>0$, déterminer le centre des asymptotes du lieu d'Evans sur l'axe réel ainsi que les angles des asymptotes, puis interpréter ces résultats en termes de répartition asymptotique des pôles fermés lorsque $K→+infini$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question $1$ : expression de $Re(G(j w))$ et $Im(G(j w))$ en fonction de $w>0$.
1) Formule générale dans $...$ : en posant $s=j w$, on a $G(j w)=4/(j w(j w+2))$, et le produit au dénominateur se simplifie en $j w(j w+2)=j w·2+j w·j w=2 j w -w²$, donc $G(j w)=4/(-w²+2 j w)$ que l'on met sous la forme standard $G(j w)=4(-w²-2 j w)/(w⁴+4 w²)$ en multipliant par le conjugué.
2) Remplacement des données dans $...$ : l'expression précédente donne directement $Re(G(j w))=4(-w²)/(w⁴+4 w²)=-4 w²/(w²(w²+4))=-4/(w²+4)$ et $Im(G(j w))=4(-2 w)/(w⁴+4 w²)=-8 w/(w²(w²+4))=-8/(w(w²+4))$ pour tout $w>0$, ce qui fournit des expressions rationnelles simples en $w$ pour les deux composantes.
3) Calcul dans $...$ : on vérifie que pour tout $w>0$ on a $Re(G(j w))<0$ car le numérateur vaut $-4$ et le dénominateur $w²+4>0$, et que de même $Im(G(j w))<0$ puisque le numérateur vaut $-8$ et le dénominateur $w(w²+4)>0$, ce qui montre que le lieu de Nyquist pour $w>0$ se situe dans le quart inférieur gauche du plan complexe.
4) Résultat final dans $...$ : pour tout $w>0$ on obtient $Re(G(j w))=-4/(w²+4)$ et $Im(G(j w))=-8/(w(w²+4))$, de sorte que le lieu de Nyquist parcourt une courbe entièrement située dans le demi-plan gauche et en dessous de l'axe réel pour la partie correspondant aux pulsations positives.
Question $2$ : limites de $G(j w)$ aux extrémités et trajectoire qualitative du lieu de Nyquist par rapport au point $-1+0 j$.
1) Formule générale dans $...$ : les limites recherchées sont $lim(w→0+) G(j w)$ et $lim(w→+infini) G(j w)$, que l'on obtient en étudiant les limites de $Re(G(j w))$ et $Im(G(j w))$ séparément à partir des expressions précédentes.
2) Remplacement des données dans $...$ : pour $w→0+$, on a $Re(G(j w))=-4/(w²+4)→-4/4=-1$ tandis que $Im(G(j w))=-8/(w(w²+4))≈-8/(4 w)→-infini$, ce qui signifie que la courbe de Nyquist part du point proche de $-1$ sur l'axe réel, mais avec une partie imaginaire tendant vers $-infini$ pour les très petites pulsations positives.
Pour $w→+infini$, on a $Re(G(j w))=-4/(w²+4)→0-$ et $Im(G(j w))=-8/(w(w²+4))→0-$, de sorte que la courbe s'approche de l'origine par le quart inférieur gauche, avec un module décroissant vers $0$ lorsque la pulsation tend vers l'infini.
3) Calcul dans $...$ : pour des valeurs intermédiaires de $w$, par exemple $w=1$ et $w=2$, on obtient $Re(G(j1))=-4/(1+4)=-0,8$, $Im(G(j1))=-8/(1·5)=-1,6$ et $Re(G(j2))=-4/(4+4)=-0,5$, $Im(G(j2))=-8/(2·8)=-0,5$, ce qui montre que la courbe relie progressivement la région proche de $-1$ et très imaginaire négative à la région proche de l'origine en restant toujours avec une partie réelle comprise entre $-1$ et $0$.
On en déduit que, pour le parcours des pulsations positives, la trajectoire du lieu de Nyquist reste entièrement à droite du point critique $-1+0 j$, puisqu'à tout instant $Re(G(j w))>-1$ pour $w>0$, et que le balayage des pulsations négatives fournit la symétrie conjuguée de la courbe par rapport à l'axe réel sans créer d'encerclement autour de ce point.
4) Résultat final dans $...$ : le lieu de Nyquist part d'une position voisine de $-1$ avec une partie imaginaire très négative lorsque $w→0+$, puis remonte vers l'origine en restant dans le quart inférieur gauche et à droite du point critique, avant de revenir par symétrie conjuguée pour les pulsations négatives, sans jamais entourer le point $-1+0 j$.
Question $3$ : application du critère de Nyquist pour déterminer la stabilité en boucle fermée.
1) Formule générale dans $...$ : le critère de Nyquist s'exprime par la relation $Z=N+P$, où $P$ est le nombre de pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte situés dans le demi-plan droit, $N$ le nombre d'encerclements du point critique $-1+0 j$ (comptés positifs en sens horaire) par le lieu de Nyquist de la boucle ouverte, et $Z$ le nombre de pôles du système en boucle fermée dans le demi-plan droit.
2) Remplacement des données dans $...$ : pour la fonction de transfert $G(s)=4/(s(s+2))$, les pôles sont en $s=0$ et $s=-2$, tous deux dans le demi-plan gauche ou sur l'axe imaginaire pour le pôle à l'origine si on considère une légère déformation du contour de Nyquist, de sorte que l'on prend $P=0$ dans l'application classique du critère avec un contournement infinitésimal du pôle à l'origine.
D'après l'étude de la question précédente, le lieu de Nyquist ne réalise aucun encerclement du point critique $-1+0 j$, ce qui conduit à $N=0$ pour le contour complet comprenant la partie associée aux pulsations positives et négatives.
3) Calcul dans $...$ : la relation du critère de Nyquist donne alors $Z=N+P=0+0=0$, ce qui signifie qu'aucun pôle du système en boucle fermée ne se trouve dans le demi-plan droit du plan complexe, et donc que tous les pôles fermés sont situés dans le demi-plan gauche ou sur l'axe imaginaire dans le cas limite.
On peut vérifier cette conclusion en écrivant l'équation caractéristique de la boucle fermée $1+G(s)=0$, soit $1+4/(s(s+2))=0$ qui s'écrit encore $s(s+2)+4=0$, donc $s²+2 s+4=0$, dont les racines sont $s=(-2±sqrt(4-16))/2=-1±j sqrt(3)$ et sont bien toutes deux dans le demi-plan gauche.
4) Résultat final dans $...$ : pour la fonction de transfert $G(s)=4/(s(s+2))$ on obtient $P=0$, $N=0$ et donc $Z=0$, de sorte que la boucle fermée associée est stable, avec des pôles complexes conjugués en $s=-1±j sqrt(3)$ situés dans le demi-plan gauche conformément au critère de Nyquist.Réponses détaillées à chaque question, dans l'ordre.
", "id_category": "4", "id_number": "32" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Un système de régulation de vitesse est modélisé en boucle ouverte par la fonction de transfert suivante dans le domaine de Laplace : $\\(G(p) = \\dfrac{K}{p(1+0{,}1p)}\\)$, où $\\(K\\)$ est un gain réel strictement positif. \nOn considère une boucle fermée avec retour unitaire. \n\nQuestion 1 :\nPour $\\(K = 1\\)$, calculer la valeur exacte du module $\\(|G(j\\omega)|\\)$ et de l’argument $\\(\\arg G(j\\omega)\\)$ aux pulsations $\\(\\omega = 0{,}1\\)$, $\\(\\omega = 1\\)$ et $\\(\\omega = 10\\)$ (en utilisant des radians par seconde et des degrés). \nEn déduire les valeurs du diagramme de Bode (module en dB et phase en degrés) à ces trois pulsations. \n\nQuestion 2 :\nDéterminer la valeur du gain $\\(K_c\\)$ telle que la pulsation de coupure à $\\(0\\,\\text{dB}\\)$ du diagramme de Bode en module soit exactement $\\(\\omega_c = 10\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$. \nEn supposant que le comportement à la pulsation de coupure puisse être approché par la valeur exacte de $\\(G(j\\omega)\\)$, calculer la marge de phase correspondante pour $\\(K = K_c\\)$. \n\nQuestion 3 :\nPour $\\(K = K_c\\)$, calculer la limite du module $\\(|G(j\\omega)|\\)$ lorsque $\\(\\omega \\to +\\infty\\)$. \nEn déduire la marge de gain du système en boucle fermée (en dB) pour $\\(K = K_c\\)$, en utilisant la définition classique de la marge de gain à partir du diagramme de Bode. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question $1$ : obtention de l'équation caractéristique de la boucle fermée et de ses coefficients en fonction de $K$.
1) Formule générale dans $...$ : pour une boucle fermée à retour unitaire, la fonction de transfert fermée est donnée par $T(s)=G(s)/(1+G(s))$ et l'équation caractéristique s'obtient en annulant le dénominateur $1+G(s)=0$, ce qui revient à écrire $1+K(s+3)/(s(s+2)(s+5))=0$ puis à mettre le tout sous la forme d'un polynôme en $s$ après simplification.
2) Remplacement des données dans $...$ : le dénominateur de la boucle ouverte vaut $s(s+2)(s+5)=s(s²+7 s+10)=s³+7 s²+10 s$, de sorte que l'équation caractéristique devient $s³+7 s²+10 s+K(s+3)=0$ après multiplication par le dénominateur commun.
En regroupant les termes de même degré, on obtient $s³+7 s²+(10+K) s+3 K=0$, ce qui est bien un polynôme de degré $3$ en $s$ dont les coefficients dépendent linéairement du gain $K$.
3) Calcul dans $...$ : on identifie les coefficients comme suit, en utilisant la forme générale $a3 s³+a2 s²+a1 s+a0=0$ d'un polynôme de degré $3$ : on a $a3=1$, $a2=7$, $a1=10+K$ et $a0=3 K$, ce qui permettra de construire le tableau de Routh à la question suivante.
4) Résultat final dans $...$ : l'équation caractéristique de la boucle fermée est $s³+7 s²+(10+K) s+3 K=0$ et ses coefficients sont $a3=1$, $a2=7$, $a1=10+K$ et $a0=3 K$ en fonction du gain réel $K$.
Question $2$ : construction du tableau de Routh et condition de stabilité sur $K$.
1) Formule générale dans $...$ : pour un polynôme cubique $a3 s³+a2 s²+a1 s+a0=0$, le tableau de Routh s'écrit avec les lignes associées aux puissances décroissantes de $s$ comme suit : première ligne $[a3 a1]$, deuxième ligne $[a2 a0]$, troisième ligne $[b1 0]$ avec $b1=(a2 a1-a3 a0)/a2$, et quatrième ligne $[c1 0]$ avec $c1=a0$, la condition de stabilité étant que tous les éléments de la première colonne soient strictement positifs.
2) Remplacement des données dans $...$ : en utilisant $a3=1$, $a2=7$, $a1=10+K$ et $a0=3 K$, on construit le tableau de Routh suivant : ligne $s³$ avec $[1 10+K]$, ligne $s²$ avec $[7 3 K]$, ligne $s¹$ avec $[b1 0]$ et ligne $s⁰$ avec $[3 K 0]$, où $b1=(7(10+K)-1·3 K)/7=(70+7 K-3 K)/7=(70+4 K)/7$.
Les éléments de la première colonne sont donc $1$, $7$, $(70+4 K)/7$ et $3 K$, qui doivent tous être strictement positifs pour assurer l'absence de changement de signe et donc la stabilité de la boucle fermée.
3) Calcul dans $...$ : les conditions de positivité s'écrivent successivement $1>0$ qui est toujours vérifiée, $7>0$ toujours vérifiée, $(70+4 K)/7>0$ qui se réécrit $70+4 K>0$ soit $K>-70/4=-17,5$, et enfin $3 K>0$ qui donne $K>0$.
La condition la plus restrictive est $K>0$, qui inclut automatiquement $K>-17,5$ et garantit que tous les coefficients de la première colonne sont strictement positifs, ce qui implique l'absence de pôles en demi-plan droit pour la boucle fermée.
4) Résultat final dans $...$ : le tableau de Routh conduit aux coefficients de première colonne $1$, $7$, $(70+4 K)/7$ et $3 K$, et la condition nécessaire et suffisante de stabilité est $K>0$, ce qui signifie que tout gain strictement positif rend le système en boucle fermée stable.
Question $3$ : centre et angles des asymptotes du lieu d'Evans et interprétation.
1) Formule générale dans $...$ : pour un lieu d'Evans construit pour une fonction de transfert en boucle ouverte avec $n$ pôles et $m$ zéros, le centre des asymptotes sur l'axe réel est donné par $sigmaa=(somme des pôles - somme des zéros)/(n-m)$ et les angles des asymptotes sont $thetakh=(2 k+1)pi/(n-m)$ pour $k=0,1,...,n-m-1$, les asymptotes indiquant la direction de fuite des pôles fermés lorsque $K→+infini$.
2) Remplacement des données dans $...$ : pour $G(s)=K(s+3)/(s(s+2)(s+5))$, les pôles de boucle ouverte sont en $s=0$, $s=-2$ et $s=-5$, et l'unique zéro est en $s=-3$, de sorte que $n=3$, $m=1$ et $n-m=2$ asymptotes.
La somme des pôles vaut $sp=0+(-2)+(-5)=-7$ et la somme des zéros vaut $sz=-3$, de sorte que le centre des asymptotes est $sigmaa=(sp-sz)/(n-m)=(-7-(-3))/2=(-4)/2=-2$ sur l'axe réel.
Les angles des deux asymptotes sont alors $theta0=(2·0+1)pi/2=pi/2$ et $theta1=(2·1+1)pi/2=3 pi/2$, c'est-à-dire des directions verticales vers le haut et vers le bas à partir du point de centre $s=-2$ sur l'axe réel.
3) Calcul dans $...$ : ces résultats montrent que lorsque le gain $K$ augmente, deux branches du lieu d'Evans s'éloignent asymptotiquement le long de droites verticales passant par $s=-2$, l'une montant vers l'infini imaginaire positif avec angle $pi/2$, l'autre descendant vers l'infini imaginaire négatif avec angle $3 pi/2$, tandis que la troisième branche se termine sur le zéro en $s=-3$ dans le demi-plan gauche.
Compte tenu de la condition de stabilité $K>0$ obtenue précédemment, on en déduit que pour tous les gains positifs les pôles fermés restent dans le demi-plan gauche et, pour des gains très élevés, deux pôles se déplacent loin de l'axe réel selon ces asymptotes verticales centrées en $-2$, ce qui peut réduire les marges de stabilité dynamique tout en conservant la stabilité au sens de Routh.
4) Résultat final dans $...$ : le lieu d'Evans du système considéré possède deux asymptotes verticales passant par le centre $s=-2$ avec des angles $pi/2$ et $3 pi/2$, et une troisième branche reliant un pôle de boucle ouverte à l'unique zéro en $s=-3$, ce qui indique qu'à mesure que $K$ croît les pôles fermés s'éloignent de l'axe réel le long de ces asymptotes tout en restant dans le demi-plan gauche pour tout gain strictement positif.Question 1
", "id_category": "4", "id_number": "33" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "On considère un système linéaire continu en boucle ouverte défini par la fonction de transfert : $\\(G(p) = \\dfrac{K}{(p+1)(p^2 + 4p + 13)}\\)$, avec $\\(K > 0\\)$. \nLe retour est unitaire et l’on souhaite étudier la stabilité de la boucle fermée à l’aide du critère de Nyquist. \n\nQuestion 1 :\nPour $\\(K = 1\\)$, calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $\\(G(j\\omega)\\)$ aux pulsations $\\(\\omega = 0\\)$, $\\(\\omega = 1\\)$, $\\(\\omega = 2\\)$ et $\\(\\omega = 5\\)$. \nEn déduire le module $\\(|G(j\\omega)|\\)$ et la phase $\\(\\arg G(j\\omega)\\)$ à chacune de ces pulsations. \n\nQuestion 2 :\nToujours pour $\\(K = 1\\)$, déterminer la variation approchée de l’argument de $\\(G(j\\omega)\\)$ lorsque $\\(\\omega\\)$ évolue de $\\(0\\)$ à $\\(+\\infty\\)$, en s’appuyant sur les expressions précédentes et sur le comportement asymptotique de la fonction de transfert. \nEn déduire le nombre d’enlacements du point $\\(-1 + j0\\)$ par le lieu de Nyquist de $\\(G(j\\omega)\\)$. \n\nQuestion 3 :\nOn cherche maintenant une valeur de gain $\\(K = K_s\\)$ telle que le lieu de Nyquist passe exactement par le point $\\(-1 + j0\\)$ pour une certaine pulsation $\\(\\omega_s\\)$. \nEn imposant la condition $\\(G(j\\omega_s) = -1 + j0\\)$, déterminer un système d’équations reliant $\\(K_s\\)$ et $\\(\\omega_s\\)$, puis calculer explicitement une paire réelle $\\((K_s,\\omega_s)\\)$ qui vérifie ces équations. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nPour $\\(K = 1\\)$, on a la fonction de transfert en boucle ouverte $\\(G(p) = \\dfrac{1}{p(1+0{,}1p)}\\)$.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\n$\\(G(j\\omega) = \\dfrac{1}{j\\omega \\bigl(1 + 0{,}1 j\\omega\\bigr)}\\)$.
\nLe module et la phase s’écrivent : $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{1}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$ et $\\(\\arg G(j\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1\\omega)\\)$.
\nLe module en dB est $\\(L(\\omega) = 20 \\log_{10} |G(j\\omega)|\\)$.
\n2. Remplacement des données dans $...$ pour $\\(\\omega = 0{,}1\\)$ :
\n$\\(|G(j0{,}1)| = \\dfrac{1}{0{,}1 \\sqrt{1 + (0{,}1 \\times 0{,}1)^2}} = \\dfrac{1}{0{,}1 \\sqrt{1 + 0{,}01^2}}\\)$.
\nComme $\\(0{,}01^2 = 0{,}0001\\)$, on obtient $\\(\\sqrt{1 + 0{,}0001} \\approx 1{,}00005\\)$ et donc $\\(|G(j0{,}1)| \\approx \\dfrac{1}{0{,}100005} \\approx 9{,}9995\\)$.
\nLa phase vaut $\\(\\arg G(j0{,}1) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1 \\times 0{,}1) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}01) \\approx -90^\\circ - 0{,}57^\\circ = -90{,}57^\\circ\\)$.
\n3. Calcul du module en dB dans $...$ :
\n$\\(L(0{,}1) = 20 \\log_{10}(9{,}9995) \\approx 20 \\times 0{,}99998 \\approx 20{,}0\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ pour $\\(\\omega = 0{,}1\\)$ :
\n$\\(|G(j0{,}1)| \\approx 10\\)$, $\\(L(0{,}1) \\approx 20\\,\\text{dB}\\)$, $\\(\\arg G(j0{,}1) \\approx -90{,}6^\\circ\\)$.
\nOn répète le même procédé pour $\\(\\omega = 1\\)$ :
\n1. Formule générale : $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{1}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$, $\\(\\arg G(j\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1\\omega)\\)$.
\n2. Remplacement pour $\\(\\omega = 1\\)$ : $\\(|G(j1)| = \\dfrac{1}{1 \\sqrt{1 + 0{,}1^2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{1{,}01}}\\)$.
\nOn a $\\(\\sqrt{1{,}01} \\approx 1{,}005\\)$ donc $\\(|G(j1)| \\approx 0{,}995\\)$.
\nLa phase vaut $\\(\\arg G(j1) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1) \\approx -90^\\circ - 5{,}71^\\circ = -95{,}71^\\circ\\)$.
\n3. Calcul du module en dB : $\\(L(1) = 20 \\log_{10}(0{,}995) \\approx 20 \\times (-0{,}0022) \\approx -0{,}04\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final pour $\\(\\omega = 1\\)$ : $\\(|G(j1)| \\approx 0{,}995\\)$, $\\(L(1) \\approx 0\\,\\text{dB}\\)$ (très proche), $\\(\\arg G(j1) \\approx -95{,}7^\\circ\\)$.
\nPour $\\(\\omega = 10\\)$ :
\n1. Formule générale identique.
\n2. Remplacement : $\\(|G(j10)| = \\dfrac{1}{10 \\sqrt{1 + (0{,}1 \\times 10)^2}} = \\dfrac{1}{10 \\sqrt{1 + 1}} = \\dfrac{1}{10 \\sqrt{2}}\\)$.
\nOn a $\\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}414\\)$ donc $\\(|G(j10)| \\approx \\dfrac{1}{14{,}14} \\approx 0{,}0707\\)$.
\nLa phase est $\\(\\arg G(j10) = -90^\\circ - \\arctan(1) = -90^\\circ - 45^\\circ = -135^\\circ\\)$.
\n3. Module en dB : $\\(L(10) = 20 \\log_{10}(0{,}0707) \\approx 20 \\times (-1{,}151) \\approx -23{,}0\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final pour $\\(\\omega = 10\\)$ : $\\(|G(j10)| \\approx 0{,}0707\\)$, $\\(L(10) \\approx -23\\,\\text{dB}\\)$, $\\(\\arg G(j10) = -135^\\circ\\)$.
\nQuestion 2
\nOn cherche le gain $\\(K_c\\)$ tel que la pulsation de coupure (module $\\(0\\,\\text{dB}\\)$) soit $\\(\\omega_c = 10\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$.
\n1. Formule générale : pour un gain $\\(K\\)$, la fonction de transfert est $\\(G(p) = \\dfrac{K}{p(1+0{,}1p)}\\)$ et donc $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{K}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$.
\nLa condition de coupure est $\\(|G(j\\omega_c)| = 1\\)$.
\n2. Remplacement pour $\\(\\omega_c = 10\\)$ dans $...$ :
\n$\\(1 = |G(j10)| = \\dfrac{K_c}{10 \\sqrt{1 + (0{,}1 \\times 10)^2}} = \\dfrac{K_c}{10 \\sqrt{2}}\\)$.
\n3. Calcul dans $...$ :
\nOn isole $\\(K_c\\)$ : $\\(K_c = 10 \\sqrt{2}\\)$.
\nOn peut approximer $\\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}414\\)$ d’où $\\(K_c \\approx 14{,}14\\)$.
\n4. Résultat final dans $...$ :
\n$\\(K_c = 10 \\sqrt{2} \\approx 14{,}14\\)$ assure que la pulsation de coupure est $\\(\\omega_c = 10\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$.
\nOn calcule maintenant la marge de phase correspondante.
\n1. Formule de la phase à la coupure : pour ce gain, la phase à $\\(\\omega_c\\)$ reste donnée par la partie angulaire de la fonction sans le gain, soit $\\(\\varphi(\\omega) = -90^\\circ - \\arctan(0{,}1\\omega)\\)$.
\n2. Remplacement de $\\(\\omega_c = 10\\)$ :
\n$\\(\\varphi(10) = -90^\\circ - \\arctan(1) = -90^\\circ - 45^\\circ = -135^\\circ\\)$.
\n3. Calcul de la marge de phase dans $...$ :
\nLa marge de phase est définie par $\\(M_\\varphi = 180^\\circ + \\varphi(\\omega_c)\\)$, donc $\\(M_\\varphi = 180^\\circ - 135^\\circ = 45^\\circ\\)$.
\n4. Résultat final :
\nLa marge de phase du système pour $\\(K = K_c\\)$ est $\\(M_\\varphi = 45^\\circ\\)$.
\nQuestion 3
\nOn étudie le comportement en haute fréquence pour $\\(K = K_c\\)$.
\n1. Formule générale de la limite dans $...$ :
\nPour $\\(\\omega \\to +\\infty\\)$, on a $\\(|G(j\\omega)| = \\dfrac{K_c}{\\omega \\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2}}\\)$.
\n2. Remplacement et simplification :
\nLorsque $\\(\\omega\\)$ est très grand, $\\(1 + (0{,}1\\omega)^2 \\approx (0{,}1\\omega)^2\\)$ donc $\\(\\sqrt{1 + (0{,}1\\omega)^2} \\approx 0{,}1\\omega\\)$.
\nAinsi $\\(|G(j\\omega)| \\approx \\dfrac{K_c}{\\omega \\cdot 0{,}1\\omega} = \\dfrac{K_c}{0{,}1\\omega^2}\\)$.
\n3. Calcul de la limite dans $...$ :
\nComme $\\(K_c\\)$ est constant et $\\(\\omega^2 \\to +\\infty\\)$, on obtient $\\(\\lim_{\\omega \\to +\\infty} |G(j\\omega)| = 0\\)$.
\nLe module en dB satisfait alors $\\(L(\\omega) = 20 \\log_{10} |G(j\\omega)| \\to -\\infty\\,\\text{dB}\\)$.
\n4. Résultat final et marge de gain :
\nComme le module du diagramme de Bode ne repasse jamais par $\\(0\\,\\text{dB}\\)$ à une phase de $\\(-180^\\circ\\)$, la marge de gain est infinie : une augmentation du gain de boucle ouverte ne peut pas amener un second point de coupure à la phase critique.Question 1
", "id_category": "4", "id_number": "34" }, { "category": "Analyse des systèmes dans le domaine fréquentiel", "question": "Un système asservi est constitué d’un procédé de fonction de transfert $\\(P(p) = \\dfrac{1}{p(p+4)(p+6)}\\)$ et d’un correcteur proportionnel de gain $\\(K\\)$, en boucle fermée avec retour unitaire. \nOn souhaite étudier la stabilité et la dynamique du système en utilisant le critère de Routh-Hurwitz et le lieu d’Evans. \n\nQuestion 1 :\nÉcrire la fonction de transfert en boucle ouverte $\\(G(p) = K P(p)\\)$ puis déterminer le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire, c’est-à-dire le polynôme caractéristique $\\(\\Delta(p)\\)$. \nConstruire le tableau de Routh-Hurwitz de $\\(\\Delta(p)\\)$ et déterminer la plage de valeurs du gain $\\(K\\)$ pour laquelle le système en boucle fermée est asymptotiquement stable. \n\nQuestion 2 :\nÀ partir du polynôme caractéristique obtenu, écrire l’équation du lieu d’Evans en considérant $\\(K\\)$ comme paramètre variant dans $\\([0,+\\infty)\\)$. \nDéterminer, par un calcul explicite, la position du point de cassure (breakaway) réel sur le lieu d’Evans, c’est-à-dire la valeur de $\\(p_b\\)$ réelle (négative) pour laquelle $\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = 0\\)$ sur l’axe réel. \n\nQuestion 3 :\nOn cherche un réglage du gain $\\(K = K_d\\)$ tel que les pôles dominants du système en boucle fermée forment un couple complexe conjugué avec un facteur d’amortissement $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$. \nEn supposant que ce couple est nettement dominant devant les autres pôles, déterminer une valeur approchée de $\\(K_d\\)$ en identifiant les deux pôles dominants à partir de la forme normalisée d’un second ordre équivalent. ", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nPour $\\(K = 1\\)$, la fonction de transfert devient $\\(G(p) = \\dfrac{1}{(p+1)(p^2 + 4p + 13)}\\)$.
\nOn calcule successivement $\\(G(j\\omega)\\)$ aux pulsations demandées.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nOn a $\\(p = j\\omega\\)$, donc $\\(p+1 = 1 + j\\omega\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = (j\\omega)^2 + 4 j\\omega + 13 = -\\omega^2 + 13 + j4\\omega\\)$.
\nPar conséquent, $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{1}{(1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)}\\)$.
\n2. Remplacement pour $\\(\\omega = 0\\)$ :
\nOn obtient $\\(G(j0) = \\dfrac{1}{(1 + j0)((0)^2 + 4 \\times 0 + 13)} = \\dfrac{1}{1 \\cdot 13} = \\dfrac{1}{13}\\)$.
\nC’est un nombre réel : $\\(\\Re\\{G(j0)\\} = \\dfrac{1}{13}\\)$, $\\(\\Im\\{G(j0)\\} = 0\\)$.
\nLe module vaut $\\(|G(j0)| = \\dfrac{1}{13} \\approx 0{,}0769\\)$ et la phase $\\(\\arg G(j0) = 0^\\circ\\)$.
\n3. Calcul pour $\\(\\omega = 1\\)$ :
\nOn a $\\(p+1 = 1 + j1\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = -1^2 + 4j1 + 13 = 12 + j4\\)$.
\nLe produit du dénominateur vaut $\\((1 + j)(12 + j4)\\)$.
\nOn calcule : $\\((1 + j)(12 + j4) = 1 \\cdot 12 + 1 \\cdot j4 + j \\cdot 12 + j \\cdot j4 = 12 + j4 + j12 - 4 = 8 + j16\\)$.
\nDonc $\\(G(j1) = \\dfrac{1}{8 + j16}\\)$.
\nPour séparer en parties réelle et imaginaire, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $\\(8 - j16\\)$ :
\n$\\(G(j1) = \\dfrac{1}{8 + j16} = \\dfrac{8 - j16}{(8 + j16)(8 - j16)} = \\dfrac{8 - j16}{8^2 + 16^2} = \\dfrac{8 - j16}{64 + 256} = \\dfrac{8 - j16}{320}\\)$.
\nOn obtient $\\(\\Re\\{G(j1)\\} = \\dfrac{8}{320} = 0{,}025\\)$ et $\\(\\Im\\{G(j1)\\} = -\\dfrac{16}{320} = -0{,}05\\)$.
\nLe module est $\\(|G(j1)| = \\sqrt{0{,}025^2 + (-0{,}05)^2} = \\sqrt{0{,}000625 + 0{,}0025} = \\sqrt{0{,}003125} \\approx 0{,}0559\\)$.
\nLa phase vaut $\\(\\arg G(j1) = \\arctan\\left(\\dfrac{-0{,}05}{0{,}025}\\right) = \\arctan(-2) \\approx -63{,}4^\\circ\\)$.
\n4. Calcul pour $\\(\\omega = 2\\)$ :
\nOn a $\\(p+1 = 1 + j2\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = -(2)^2 + 4j2 + 13 = 9 + j8\\)$.
\nLe dénominateur devient $\\((1 + j2)(9 + j8)\\)$.
\nOn calcule : $\\((1 + j2)(9 + j8) = 1 \\cdot 9 + 1 \\cdot j8 + j2 \\cdot 9 + j2 \\cdot j8 = 9 + j8 + j18 - 16 = -7 + j26\\)$.
\nD’où $\\(G(j2) = \\dfrac{1}{-7 + j26}\\)$.
\nOn multiplie par le conjugué $\\(-7 - j26\\)$ :
\n$\\(G(j2) = \\dfrac{-7 - j26}{(-7)^2 + 26^2} = \\dfrac{-7 - j26}{49 + 676} = \\dfrac{-7 - j26}{725}\\)$.
\nAinsi $\\(\\Re\\{G(j2)\\} = -\\dfrac{7}{725} \\approx -0{,}00966\\)$, $\\(\\Im\\{G(j2)\\} = -\\dfrac{26}{725} \\approx -0{,}0359\\)$.
\nLe module est $\\(|G(j2)| = \\sqrt{(-0{,}00966)^2 + (-0{,}0359)^2} \\approx \\sqrt{9{,}3\\times10^{-5} + 1{,}29\\times10^{-3}} \\approx \\sqrt{1{,}38\\times10^{-3}} \\approx 0{,}0372\\)$.
\nLa phase vaut approximativement $\\(\\arg G(j2) \\approx \\arctan\\left(\\dfrac{-0{,}0359}{-0{,}00966}\\right) \\approx \\arctan(3{,}72)\\)$.
\nComme la partie réelle est négative et la partie imaginaire négative, le point est dans le troisième quadrant, donc $\\(\\arg G(j2) \\approx -180^\\circ + \\arctan(3{,}72) \\approx -180^\\circ + 75^\\circ = -105^\\circ\\)$.
\n5. Calcul pour $\\(\\omega = 5\\)$ :
\nOn a $\\(p+1 = 1 + j5\\)$ et $\\(p^2 + 4p + 13 = -(5)^2 + 4j5 + 13 = -12 + j20\\)$.
\nLe dénominateur vaut $\\((1 + j5)(-12 + j20)\\)$.
\nOn calcule : $\\((1 + j5)(-12 + j20) = 1 \\cdot (-12) + 1 \\cdot j20 + j5 \\cdot (-12) + j5 \\cdot j20 = -12 + j20 - j60 - 100 = -112 - j40\\)$.
\nAinsi $\\(G(j5) = \\dfrac{1}{-112 - j40}\\)$.
\nMultiplication par le conjugué $\\(-112 + j40\\)$ :
\n$\\(G(j5) = \\dfrac{-112 + j40}{(-112)^2 + 40^2} = \\dfrac{-112 + j40}{12544 + 1600} = \\dfrac{-112 + j40}{14144}\\)$.
\nOn obtient $\\(\\Re\\{G(j5)\\} \\approx -\\dfrac{112}{14144} \\approx -0{,}00792\\)$ et $\\(\\Im\\{G(j5)\\} \\approx \\dfrac{40}{14144} \\approx 0{,}00283\\)$.
\nLe module vaut $\\(|G(j5)| \\approx \\sqrt{(-0{,}00792)^2 + 0{,}00283^2} \\approx 0{,}0084\\)$, la phase étant dans le deuxième quadrant (partie réelle négative, imaginaire positive) : $\\(\\arg G(j5) \\approx 180^\\circ - \\arctan\\left(\\dfrac{0{,}00283}{0{,}00792}\\right) \\approx 180^\\circ - 19{,}5^\\circ = 160{,}5^\\circ\\)$.
\nQuestion 2
\nOn cherche la variation de la phase lorsque $\\(\\omega\\)$ va de $\\(0\\)$ à $\\(+\\infty\\)$.
\n1. Formule de la phase dans $...$ :
\nOn écrit $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{1}{(1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)}\\)$.
\nLa phase est la somme des phases des facteurs : $\\(\\arg G(j\\omega) = -\\arg(1 + j\\omega) - \\arg\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)\\)$.
\n2. Comportement pour $\\(\\omega \\approx 0\\)$ :
\nPour $\\(\\omega = 0\\)$, on a vu que $\\(G(j0)\\)$ est réel positif, donc $\\(\\arg G(j0) = 0^\\circ\\)$.
\nPour des petites valeurs de $\\(\\omega\\)$, l’argument reste proche de $\\(0^\\circ\\)$.
\n3. Comportement pour $\\(\\omega \\to +\\infty\\)$ :
\nPour de grandes pulsations, $\\(1 + j\\omega \\approx j\\omega\\)$ de phase $\\(+90^\\circ\\)$, et $\\((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega \\approx -\\omega^2 + j4\\omega\\)$ qui, pour $\\(\\omega\\)$ suffisamment grand, est majoritairement dans la direction de $\\(-\\omega^2\\)$ (réel négatif) avec une correction imaginaire.
\nAinsi, la phase de ce facteur tend vers $\\(180^\\circ\\)$ et celle du produit vers $\\(90^\\circ + 180^\\circ = 270^\\circ\\)$, soit $\\(-90^\\circ\\)$ modulo $\\(360^\\circ\\)$, d’où $\\(\\arg G(j\\omega) \\to -(-90^\\circ) = 90^\\circ\\)$ lorsque l’on tient compte de l’inversion (dénominateur).
\n4. Variation globale et enlacements :
\nD’après les valeurs calculées : à $\\(\\omega = 0\\)$, la phase vaut $\\(0^\\circ\\)$; à $\\(\\omega = 1\\)$, elle est d’environ $\\(-63^\\circ\\)$; à $\\(\\omega = 2\\)$, autour de $\\(-105^\\circ\\)$; à $\\(\\omega = 5\\)$, la phase a fortement progressé vers le deuxième quadrant (environ $\\(160^\\circ\\)$), ce qui montre une rotation globale d’environ $\\(-200^\\circ\\)$ sur le parcours complet direct (incluant le retour par symétrie du lieu de Nyquist).
\nLe lieu ne réalise pas un enroulement net supplémentaire du point $\\(-1 + j0\\)$, on obtient donc un nombre d’enlacements $\\(N = 0\\)$.
\nQuestion 3
\nOn impose maintenant la condition $\\(G(j\\omega_s) = -1 + j0\\)$ pour une certaine pulsation $\\(\\omega_s\\)$ et un gain $\\(K_s\\)$.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nPour un gain général $\\(K\\)$, on a $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{K}{(1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)}\\)$.
\nÉcrivons $\\(G(j\\omega) = G_R(\\omega) + j G_I(\\omega)\\)$.
\n2. Conditions imposées dans $...$ :
\nLa condition $\\(G(j\\omega_s) = -1 + j0\\)$ équivaut au système : $\\(G_R(\\omega_s) = -1\\)$ et $\\(G_I(\\omega_s) = 0\\)$.
\n3. Calcul symbolique des composantes réelle et imaginaire dans $...$ :
\nOn note $\\(D(j\\omega) = (1 + j\\omega)\\bigl((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega\\bigr)\\)$.
\nOn a montré plus haut que pour $\\(\\omega = 1\\)$, $\\(D(j1) = 8 + j16\\)$, et en général on peut écrire $\\(D(j\\omega) = A(\\omega) + j B(\\omega)\\)$, où $\\(A(\\omega)\\)$ et $\\(B(\\omega)\\)$ sont des polynômes réels en $\\(\\omega\\)$.
\nOn a alors $\\(G(j\\omega) = \\dfrac{K_s}{A(\\omega) + j B(\\omega)} = K_s \\dfrac{A(\\omega) - j B(\\omega)}{A(\\omega)^2 + B(\\omega)^2}\\)$.
\nDonc $\\(G_R(\\omega) = K_s \\dfrac{A(\\omega)}{A(\\omega)^2 + B(\\omega)^2}\\)$ et $\\(G_I(\\omega) = -K_s \\dfrac{B(\\omega)}{A(\\omega)^2 + B(\\omega)^2}\\)$.
\n4. Résolution d’une paire explicite dans $...$ :
\nPour satisfaire $\\(G_I(\\omega_s) = 0\\)$ avec $\\(K_s > 0\\)$, il faut $\\(B(\\omega_s) = 0\\)$.
\nEn utilisant l’expression explicite de $\\(D(j\\omega)\\)$ : $\\((1 + j\\omega)((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega)\\)$, on développe et on sépare les parties réelle et imaginaire :
\n$\\((1 + j\\omega)((-\\omega^2 + 13) + j4\\omega) = (-\\omega^2 + 13) + j4\\omega + j\\omega(-\\omega^2 + 13) + j^2 4\\omega^2\\)$.
\nOn obtient la partie réelle $\\(A(\\omega) = (-\\omega^2 + 13) - 4\\omega^2 = 13 - 5\\omega^2\\)$ et la partie imaginaire $\\(B(\\omega) = 4\\omega + \\omega(-\\omega^2 + 13) = 4\\omega - \\omega^3 + 13\\omega = -\\omega^3 + 17\\omega\\)$.
\nLa condition imaginaire donne $\\(B(\\omega_s) = -\\omega_s^3 + 17\\omega_s = 0\\)$, soit $\\(\\omega_s( -\\omega_s^2 + 17 ) = 0\\)$.
\nOn exclut $\\(\\omega_s = 0\\)$ pour un point critique, donc $\\(\\omega_s^2 = 17\\)$ et $\\(\\omega_s = \\sqrt{17}\\)$.
\n5. Détermination de $\\(K_s\\)$ dans $...$ :
\nOn impose alors $\\(G_R(\\omega_s) = -1\\)$, soit $\\(K_s \\dfrac{A(\\omega_s)}{A(\\omega_s)^2 + B(\\omega_s)^2} = -1\\)$.
\nÀ $\\(\\omega_s^2 = 17\\)$, on a $\\(A(\\omega_s) = 13 - 5\\omega_s^2 = 13 - 5 \\times 17 = 13 - 85 = -72\\)$ et $\\(B(\\omega_s) = 0\\)$.
\nAinsi $\\(G_R(\\omega_s) = K_s \\dfrac{-72}{(-72)^2} = -\\dfrac{K_s}{72}\\)$.
\nLa condition réelle donne $\\(-\\dfrac{K_s}{72} = -1\\)$, donc $\\(K_s = 72\\)$.
\n6. Résultat final dans $...$ :
\nUne paire réelle convenable est $\\(K_s = 72\\)$ et $\\(\\omega_s = \\sqrt{17} \\approx 4{,}12\\,\\text{rad}\\,\\text{s}^{-1}\\)$, pour laquelle le lieu de Nyquist passe exactement par le point critique $\\(-1 + j0\\)$.Question 1
", "id_category": "4", "id_number": "35" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On considère un système de régulation à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p) = \\frac{20}{p(p+4)}$. On souhaite synthétiser un régulateur proportionnel-intégral (PI) répondant aux spécifications suivantes : erreur statique nulle pour une entrée échelon, dépassement inférieur à 10 %, temps de réponse à 5 % inférieur à $1,4\\,\\mathrm{s}$.\n1) Déterminer la valeur du gain $K_p$ garantissant l’erreur statique nulle pour une entrée échelon.\n2) Dimensionner la constante de temps $T_i$ pour que le dépassement ne dépasse pas 10 % (préciser les calculs sur l’amortissement).\n3) Calculer la valeur minimale du gain pour garantir le temps de réponse à 5 % spécifié.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nLa fonction de transfert en boucle ouverte est $\\(G(p) = K P(p) = \\dfrac{K}{p(p+4)(p+6)}\\)$.
\n1. Formule générale dans $...$ :
\nLe dénominateur de la boucle fermée à retour unitaire est donné par $\\(1 + G(p) = 0\\)$, soit $\\(1 + \\dfrac{K}{p(p+4)(p+6)} = 0\\)$.
\nEn mettant au même dénominateur, on obtient le polynôme caractéristique $\\(\\Delta(p) = p(p+4)(p+6) + K\\)$.
\n2. Développement du polynôme dans $...$ :
\nOn commence par $\\(p(p+4)(p+6) = p\\bigl((p+4)(p+6)\\bigr)\\)$.
\nOn a $\\((p+4)(p+6) = p^2 + 10p + 24\\)$, donc $\\(p(p+4)(p+6) = p^3 + 10p^2 + 24p\\)$.
\nAinsi $\\(\\Delta(p) = p^3 + 10p^2 + 24p + K\\)$.
\n3. Tableau de Routh-Hurwitz dans $...$ :
\nOn considère le polynôme de degré $\\(3\\)$ : $\\(p^3 + 10p^2 + 24p + K\\)$.
\nLe tableau de Routh s’écrit :
\n$\\[\\begin{array}{c|cc}\n p^3 & 1 & 24 \\n p^2 & 10 & K \\n p^1 & a_1 & 0 \\n p^0 & K & \\n\\end{array}\\]$.
\nL’élément $\\(a_1\\)$ se calcule par $\\(a_1 = \\dfrac{10 \\cdot 24 - 1 \\cdot K}{10} = \\dfrac{240 - K}{10}\\)$.
\n4. Conditions de stabilité dans $...$ :
\nLa stabilité asymptotique exige que tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh soient strictement positifs : $\\(1 > 0\\)$, $\\(10 > 0\\)$, $\\(a_1 > 0\\)$ et $\\(K > 0\\)$.
\nLa condition non triviale est $\\(a_1 = \\dfrac{240 - K}{10} > 0\\)$, soit $\\(240 - K > 0\\)$, donc $\\(K < 240\\)$.
\n5. Résultat final dans $...$ :
\nAvec $\\(K > 0\\)$, la plage de stabilité asymptotique est $\\(0 < K < 240\\)$.
\nQuestion 2
\nOn utilise maintenant le lieu d’Evans du système dont le polynôme caractéristique dépend de $\\(K\\)$.
\n1. Forme du polynôme dans $...$ :
\nOn a $\\(\\Delta(p) = p^3 + 10p^2 + 24p + K\\)$, que l’on peut écrire sous la forme canonique du lieu d’Evans : $\\(1 + K F(p) = 0\\)$ avec $\\(F(p) = \\dfrac{1}{p^3 + 10p^2 + 24p}\\)$.
\n2. Expression de $\\(K\\)$ en fonction de $\\(p\\)$ sur le lieu dans $...$ :
\nSur le lieu d’Evans, pour un pôle fermé $\\(p\\)$, on a $\\(K = -\\dfrac{p^3 + 10p^2 + 24p}{1}\\)$ en appliquant la relation $\\(K = -\\dfrac{\\Delta(p) - K}{\\partial \\Delta/\\partial K}\\)$, ici simplifiée car le gain n’apparaît que dans le terme constant.
\nAinsi on peut prendre $\\(K(p) = -p(p+4)(p+6) = -p^3 - 10p^2 - 24p\\)$.
\n3. Point de Cassure réel dans $...$ :
\nLe point de cassure réel satisfait $\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = 0\\)$.
\nOn dérive $\\(K(p) = -p^3 - 10p^2 - 24p\\)$ :
\n$\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = -3p^2 - 20p - 24\\)$.
\n4. Résolution de l’équation quadratique dans $...$ :
\nOn pose $\\(\\dfrac{\\mathrm{d}K}{\\mathrm{d}p} = 0\\)$, d’où $\\(-3p^2 - 20p - 24 = 0\\)$, ou encore $\\(3p^2 + 20p + 24 = 0\\)$.
\nLe discriminant vaut $\\(\\Delta = 20^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 24 = 400 - 288 = 112\\)$.
\nLes racines sont $\\(p_{1,2} = \\dfrac{-20 \\pm \\sqrt{112}}{2 \\cdot 3} = \\dfrac{-20 \\pm 4\\sqrt{7}}{6}\\)$.
\nOn obtient numériquement $\\(p_1 \\approx \\dfrac{-20 + 10{,}58}{6} \\approx \\dfrac{-9{,}42}{6} \\approx -1{,}57\\)$ et $\\(p_2 \\approx \\dfrac{-20 - 10{,}58}{6} \\approx \\dfrac{-30{,}58}{6} \\approx -5{,}10\\)$.
\n5. Choix du point de cassure dans $...$ :
\nLes branches réelles du lieu d’Evans partent des pôles ouverts en $\\(0\\)$, $\\(-4\\)$ et $\\(-6\\)$ et se situent, sur l’axe réel, dans les intervalles où le critère de signe de la fonction de boucle ouverte est satisfaisant, à savoir typiquement entre $\\(0\\)$ et $\\(-4\\)$, puis entre $\\(-4\\)$ et $\\(-6\\)$.
\nLa valeur de cassure devant relier deux pôles voisins doit se trouver entre eux : ainsi le point de cassure principal entre $\\(-4\\)$ et $\\(-6\\)$ est $\\(p_b \\approx -5{,}10\\)$.
\n6. Résultat final dans $...$ :
\nLe point de cassure réel principal du lieu d’Evans se situe à environ $\\(p_b \\approx -5{,}10\\)$ sur l’axe réel, correspondant à la fusion de deux branches issues de pôles réels.
\nQuestion 3
\nOn cherche une valeur de gain $\\(K_d\\)$ donnant des pôles dominants avec un facteur d’amortissement $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$.
\n1. Formule normalisée dans $...$ :
\nUn second ordre type s’écrit $\\(H_{2}(p) = \\dfrac{\\omega_n^2}{p^2 + 2\\zeta \\omega_n p + \\omega_n^2}\\)$, où $\\(\\omega_n\\)$ est la pulsation naturelle et $\\(\\zeta\\)$ le facteur d’amortissement.
\nLes pôles dominants désirés sont donc $\\(p_{d,1,2} = -\\zeta \\omega_n \\pm j \\omega_n \\sqrt{1 - \\zeta^2}\\)$.
\nPour $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$, on a $\\(\\sqrt{1 - \\zeta^2} = \\sqrt{1 - 0{,}25} = \\sqrt{0{,}75} \\approx 0{,}866\\)$.
\n2. Approximation par regroupement dominant dans $...$ :
\nLe polynôme caractéristique en boucle fermée est $\\(p^3 + 10p^2 + 24p + K = 0\\)$.
\nPour un comportement dominé par un second ordre, on peut chercher des valeurs de $\\(K\\)$ telles que deux pôles se rapprochent d’un couple complexe conjugué, le troisième pôle restant plus éloigné sur l’axe réel.
\n3. Construction d’un second ordre équivalent dans $...$ :
\nOn approxime le produit des deux pôles dominants par le rapport $\\(\\dfrac{\\text{terme constant}}{\\text{coefficient de }p}\\)$ après élimination du pôle non dominant.
\nSupposons que le pôle non dominant soit très éloigné et que les coefficients puissent être ajustés pour approcher un second ordre : on identifie $\\(2\\zeta \\omega_n\\)$ au coefficient du terme en $\\(p\\)$ divisé par celui en $\\(p^2\\)$, et $\\(\\omega_n^2\\)$ au rapport du terme constant sur le coefficient de $\\(p^2\\)$.
\nEn négligeant l’influence du troisième pôle, on pose alors approximativement : $\\(2\\zeta \\omega_n \\approx \\dfrac{24}{10} = 2{,}4\\)$ et $\\(\\omega_n^2 \\approx \\dfrac{K}{10}\\)$.
\n4. Calcul de $\\(\\omega_n\\)$ et de $\\(K_d\\)$ dans $...$ :
\nAvec $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$, on a $\\(2\\zeta \\omega_n = 2 \\times 0{,}5 \\times \\omega_n = \\omega_n\\)$.
\nL’égalité approximative $\\(\\omega_n \\approx 2{,}4\\)$ donne donc $\\(\\omega_n \\approx 2{,}4\\)$.
\nEnsuite $\\(\\omega_n^2 \\approx \\dfrac{K_d}{10}\\)$ implique $\\(K_d \\approx 10 \\omega_n^2 \\approx 10 \\times (2{,}4)^2 = 10 \\times 5{,}76 = 57{,}6\\)$.
\n5. Résultat final dans $...$ :
\nUne valeur de gain de l’ordre de $\\(K_d \\approx 58\\)$ place les deux pôles dominants du système en boucle fermée dans une région du plan complexe correspondant à un facteur d’amortissement proche de $\\(\\zeta = 0{,}5\\)$, tout en respectant la plage de stabilité $\\(0 < K < 240\\)$.1. Gain pour erreur statique nulle échelon
", "id_category": "5", "id_number": "1" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un régulateur PID doit être dimensionné pour une boucle dont la fonction de transfert en boucle ouverte est $G(p)=\\frac{14}{(p+2)(p+6)}$. Les spécifications imposent une erreur statique nulle pour une rampe d’entrée, un dépassement maximal de 5 % et un temps de montée inférieur à $0,85\\,\\mathrm{s}$.\n1) Déterminer la structure minimale du PID assurant l’erreur statique nulle pour une rampe (préciser les conditions sur les gains).\n2) Calculer les gains du PID pour obtenir $M_p \\leq 5\\,\\% $ et temps de montée $t_{m} < 0,85\\,\\mathrm{s}$.\n3) Déterminer la position du zéro dérivateur pour optimiser la rapidité sans réduire la marge de stabilité.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule : Pour un système PI, erreur de position échelon $e_{static} = \\lim_{p \\to 0} \\frac{1}{1+G_{BO}(p)}$, où $G_{BO}(p) = PI(p)G(p)$.
Pour un régulateur PI : $PI(p) = K_p(1+1/(T_i p))$, donc la classe augmente d’un ordre → erreur nulle pour échelon pour tout $K_p>0$ et $T_i>0$.
Résultat : Il suffit d’avoir $T_i \\neq 0$ et $K_p > 0$, donc n'importe quelle valeur admissible.
2. Dimensionnement de $T_i$ pour dépassement ≤ 10 %
Le dépassement maximum : $M_p = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
On impose $M_p \\leq 0.10$ → $-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\ln(0.10) = -2.302$ donc $\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = 2.302$
Résolution : $\\xi = \\frac{2.302}{\\pi} / \\sqrt{1+\\left(\\frac{2.302}{\\pi}\\right)^2} = 0.729$
L’équation caractéristique du système asservi :
$M(p) = T_i p^3 + (T_i 4 + K_p) p^2 + K_p p + 20 K_p$
Pour le calcul approximatif, le PI ajoute un zéro très loin si $T_i$ est grand ; on recherche alors un compromis via un placement de pôles adapté.
Avec $T_i$ choisi pour obtenir $\\xi = 0.729$.
On en déduit $T_i \\approx \\frac{4}{\\omega_n}$ (pour second ordre dominant). (Exemple : fixer $\\omega_n$ à l'étape suivante pour respecter rapidité).
(Il faudra refaire le calcul exact une fois la vitesse connue).
3. Gain minimal pour temps de réponse à 5 % ≤ 1,4 s
Temps de réponse (second ordre) : $t_r = \\frac{3}{\\xi \\omega_n}$
On veut : $t_r \\leq 1.4$, $\\xi = 0,729$ donc $\\omega_n = \\frac{3}{0.729 \\times 1.4} = 2.935$
Pour système asservi, $\\omega_n = \\sqrt{20 K_p}$
Donc, $\\sqrt{20 K_p}=2.935 \\implies K_p = (2.935)^2 / 20 = 0.43$
Résultat final : $K_p \\geq 0,43$, avec $T_i \\approx 1,36$1. Structure minimale du PID pour erreur statique nulle rampe
", "id_category": "5", "id_number": "2" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système industriel nécessite un régulateur à avance de phase pour garantir une marge de phase de $50^{\\circ}$ et une bande passante à $6\\,\\mathrm{rad}\\,/\\,\\mathrm{s}$. Le procédé a pour fonction de transfert : $H(p) = \\frac{8}{p\\,(p+3)}$.\n1) Dimensionner un correcteur avance de phase de type $C(p)=K\\frac{1+aT p}{1+T p}$ assurant la marge de phase demandée au point de coupure choisi.\n2) Déterminer les paramètres $K$, $a$ et $T$ pour satisfaire simultanément la marge de phase et la bande passante.\n3) Calculer la précision statique pour une entrée échelon sous cette correction.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Erreur statique rampe : nécessite classe 2 en boucle fermée :
Un correcteur PID : $C(p) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p\\right)$, présence du terme intégral (\\(T_i < +\\infty\\)) et dérivé (\\(T_d > 0\\)) imposée pour accroître la classe :
Résultat : $K_p>0$, $T_i<\\infty$, $T_d>0$
2. Gains PID pour $M_p\\leq5\\ %$, $t_m<0.85\\,\\mathrm{s}$
Dépassement : $M_p = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}} \\leq 0.05$ :
On obtient $\\xi=0.78$
Temps de montée (approx. 2e ordre) : $t_m \\approx \\frac{1.8}{\\omega_n}$ donc $\\omega_n=\\frac{1.8}{0.85} = 2.12$
Pour PID, on vise une équation dominante du type : $p^2 + 2\\xi\\omega_n p + \\omega_n^2$, donc
$K_p=\\frac{\\omega_n^2}{14}$, soit $K_p = \\frac{(2.12)^2}{14} = 0.32$
On ajuste ensuite les pôles dominants à l’aide de $T_i$ et $T_d$ :
On prend $T_i = \\frac{K_p}{\\omega_n}$, soit $T_i=0.32/2.12=0.151$
et $T_d = \\xi/(K_p\\omega_n)=0.78/(0.32\\times2.12)=1.16$
Résultat : $K_p=0.32,\\;T_i=0.151,\\;T_d=1.16$
3. Zéro dérivateur pour rapidité/marge
Formule : placer le zéro dérivateur proche (=0.5-1 fois) du pôle lent mais inférieur. Si pôles à $-2$ et $-6$, placer le zéro à $-2.5$ (typiquement) :
Résultat : $z_d = -2.5$
Interprétation : Zéro dérivateur placé plus rapide que le premier pôle pour accélérer le système tout en conservant la stabilité.1. Dimensionnement de l’avance de phase
", "id_category": "5", "id_number": "3" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On considère un système asservi décrit par la fonction de transfert $G(s) = \\frac{2}{s(s+3)}$ dont la commande est réalisée via un régulateur correcteur d’avance de phase. On souhaite obtenir une marge de phase de $50^\\circ$ et une fréquence de coupure à $\\omega_c = 2,5~rad/s$.\n1. Calculez l’angle de phase du système boucle ouverte à $\\omega_c$ et la phase supplémentaire à apporter.\n2. Déterminez les paramètres du correcteur d’avance de phase nécessaire.\n3. Calculez la fonction de transfert totale boucle ouverte corrigée et vérifiez la nouvelle marge de phase.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Boucle ouverte : $L(j\\omega_{c}) = C(j\\omega_{c}) H(j\\omega_{c})$
Correcteur : $C(p)=K \\frac{1+a T p}{1+T p}$
Valeur typique avance : $\\phi_{max} = \\arcsin\\left(\\frac{a-1}{a+1}\\right)$
On veut $\\phi_m=50^{\\circ}$, donc choisir $a$ pour que $\\phi_{max}\\geq 50^{\\circ}$
Calcul : $\\frac{a-1}{a+1} = \\sin 50^{\\circ} = 0.7660 \\implies a = \\frac{1+0.766}{1-0.766}=7.54$
Résultat : $a \\approx 7.54$
2. Paramètres pour bande passante et stabilité
Pour placer la compensation à $\\omega_c=6\\,\\mathrm{rad/s}$,
Le pic de phase est à $\\omega_{max} = \\frac{1}{T\\sqrt{a}}$ ⇒ $T = \\frac{1}{6\\sqrt{7.54}} = \\frac{1}{16.45} = 0.0608$
On détermine ensuite $K$ : On pose $|C(j\\omega_c)H(j\\omega_c)|=1$.
Calcul pour chacun :
$|H(j6)| = \\frac{8}{6\\times\\sqrt{6^2+9}}=\\frac{8}{6\\times6.7}=0.20$
$|C(j6)|=K \\frac{\\sqrt{1+(aT6)^2}}{\\sqrt{1+(T6)^2}}=K\\frac{\\sqrt{1+(7.54*0.0608*6)^2}}{\\sqrt{1+(0.0608*6)^2}}=K\\frac{\\sqrt{1+1.999}}{\\sqrt{1+0.1336}}=K\\frac{1.7321}{1.065}$
On pose $|L(j6)|=1$.
$K\\frac{1.7321}{1.065}\\times0.20=1 \\implies K=\\frac{1}{0.324}=3.09$
Résultats : $K=3.09,\\;a=7.54,\\;T=0.0608$
3. Précision statique échelon
Système de type 1 (intégrateur en boucle) :
$e_{stat} = \\lim_{t\\to\\infty} e(t) = \\frac{1}{1+K_v}$, avec $K_v=\\lim_{p\\to0} pL(p)=\\infty$ (integrateur)
Résultat : erreur statique nulle pour échelon1. Angle de phase à $\\omega_c$ :
", "id_category": "5", "id_number": "4" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système d’ordre 2 de fonction de transfert $H(s)=\\frac{25}{s^2+6s+25}$ est assujetti à une régulation PID identifiée par la méthode de Ziegler-Nichols. La fréquence d’oscillation critique mesurée est $\\omega_u = 3,16~rad/s$ et le gain critique est $K_u = 1{,}8$.\n1. Calculez les paramètres $K_p$, $T_i$ et $T_d$ du PID selon Ziegler-Nichols.\n2. Donnez la fonction de transfert du régulateur PID dimensionné.\n3. Calculez la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée régulée avec le PID ainsi obtenu.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule : $\\arg G(j \\omega) = -90^\\circ - \\arctan(\\frac{\\omega}{3})$
Remplacement : $\\omega = 2,5~rad/s$
Calcul : $\\arctan(\\frac{2,5}{3}) = 39,8^\\circ$
Donc $\\arg G(j2,5) = -90^\\circ - 39,8^\\circ = -129,8^\\circ$
La marge de phase est $PM = 180^\\circ + \\arg G(j \\omega_c) = 50^\\circ$ souhaité.
Phase supplémentaire à apporter :$\\Delta \\phi = 50^\\circ - (180^\\circ + (-129,8^\\circ)) = 50^\\circ - 50,2^\\circ = -0,2^\\circ$ (soit négligeable, pour l'exemple prenons une marge additionnelle de 5° pour compenser erreurs, donc viser $\\Delta \\phi = 5^\\circ$)
2. Paramètres du correcteur d’avance :
Correcteur : $C(s)=\\frac{1+T_a s}{1+\\alpha T_a s}$ avec $\\alpha < 1$
Avance maximum : $\\varphi_{max}=\\arcsin(\\frac{1-\\alpha}{1+\\alpha})$
Pour une avance de $5^\\circ$: $\\sin(5^\\circ)=\\frac{1-\\alpha}{1+\\alpha}$
Calcul : $\\alpha=\\frac{1-\\sin(5^\\circ)}{1+\\sin(5^\\circ)} = \\frac{1-0,0872}{1+0,0872}=0,839$
Pole/zero placement à $\\omega_{max}=\\frac{1}{T_a \\sqrt{\\alpha}}$, poser $\\omega_{max}=\\omega_c$
$T_a=\\frac{1}{\\omega_c \\sqrt{\\alpha}}=\\frac{1}{2,5 \\times 0,916}=0,436~s$
Résultat : $\\alpha=0,839$, $T_a=0,436~s$
3. Boucle ouverte corrigée :
Formule : $G_{corr}(s)=C(s)G(s)$
$G_{corr}(s)=\\frac{1+0,436s}{1+0,365s} \\times \\frac{2}{s(s+3)}$
Vérification à $s=j2,5$ : Calcul des phases, module, et nouvelle marge.
$\\arg C(j2,5) = \\arctan(2,5\\times0,436) - \\arctan(2,5\\times0,365)= 47,1^\\circ - 42,6^\\circ= 4,5^\\circ$
Total : $\\arg G_{corr}(j2,5) = -129,8^\\circ + 4,5^\\circ = -125,3^\\circ$
Marge finale : $180^\\circ - 125,3^\\circ = 54,7^\\circ$1. Paramètres PID par Ziegler-Nichols :
", "id_category": "5", "id_number": "5" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Une boucle de régulation utilisant la méthode graphique d’Evans doit répondre à des spécifications de stabilité et de rapidité: rabattement du pôle dominant à $-4$ et dépassement maximal inférieur à $10\\%$. Le système à corriger est $G(s) = \\frac{4}{s(s+2)}$ et on propose un régulateur de type avance-retard : $C(s) = K \\frac{s+\\alpha}{s+\\beta}$.\n1. Calculez la valeur de $\\alpha$ de façon à rabattre le pôle dominant à $s = -4$.\n2. Déterminez le gain $K$ qui assure cette position du pôle.\n3. Calculez la valeur maximale admissible de $\\beta$ pour garantir un dépassement inférieur à $10\\%$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formules classiques : $K_p = 0,6 K_u$, $T_i = 0,5 \\frac{2\\pi}{\\omega_u}$, $T_d = 0,125 \\frac{2\\pi}{\\omega_u}$
Remplacement : $K_u = 1,8$, $\\omega_u = 3,16$, $P = \\frac{2\\pi}{\\omega_u} = 1,99~s$
$K_p = 0,6 \\times 1,8 = 1,08$
$T_i = 0,5 \\times 1,99 = 0,995~s$
$T_d = 0,125 \\times 1,99 = 0,249~s$
2. Fonction de transfert du PID dimensionné :
Formule : $R_{PID}(s) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{T_i s} + T_d s \\right)$
Remplacement : $K_p = 1,08$, $T_i = 0,995$, $T_d = 0,249$
$R_{PID}(s) = 1,08 \\left(1 + \\frac{1}{0,995 s} + 0,249 s \\right)$
Résultat : $R_{PID}(s)=1,08 + \\frac{1,08}{0,995 s} + 0,269 s$
3. Boucle fermée régulée :
Système global : $H_{BF}(s) = \\frac{R_{PID}(s) \\times H(s)}{1 + R_{PID}(s) \\times H(s)}$
Substitution : $H(s) = \\frac{25}{s^2+6s+25}$, $R_{PID}(s)$ comme précédemment.
Calcul symbolique (développement possible sur demande).
Résultat général :$H_{BF}(s)=\\frac{R_{PID}(s)\\cdot 25}{s^2+6s+25+R_{PID}(s)\\cdot25}$1. Valeur de $\\alpha$ pour pôle à $s = -4$ :
", "id_category": "5", "id_number": "6" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Exercice 1 : Synthèse d’un correcteur avancé pour système de régulation de température\nUn système de chauffage peut être modélisé par la fonction de transfert de premier ordre $G(p) = \\frac{2,8}{5p+1}$. Pour répondre aux exigences suivantes : temps de réponse à 5 % inférieur à $5\\,\\text{s}$, erreur statique nulle à une consigne en échelon, et marge de phase supérieure à $60^{\\circ}$, on souhaite dimensionner un régulateur à avance de phase.\n\n1. Déterminez la valeur minimale du gain statique pour obtenir le temps de réponse spécifié.
Caractéristique boucle fermée : $1 + C(s)G(s) = 0$, soit$1 + K\\frac{s+\\alpha}{s+\\beta}\\frac{4}{s(s+2)} = 0$
Mise sous forme commune en $s = -4$ :$C(-4)G(-4) = -1$
$K\\frac{-4+\\alpha}{-4+\\beta}\\frac{4}{(-4)(-2)} = -1$
$K\\frac{-4+\\alpha}{-4+\\beta}\\frac{4}{8} = -1$
$K\\frac{-4+\\alpha}{-4+\\beta} = -2$
Prendre $K>0$, il faut $\\frac{-4+\\alpha}{-4+\\beta} = -2/K$, prenons $K=2$ comme essai :$-4+\\alpha = -2(-4+\\beta) = 8 - 2\\beta$
$\\alpha = 12 - 2\\beta$
2. Gain $K$ :
Pour garder la position du pôle, il faut :$K = -2\\frac{-4+\\beta}{-4+\\alpha}$
Remplacement de $\\alpha = 12 - 2\\beta$ :$-4+\\alpha = 8 - 2\\beta$
$K = -2\\frac{-4+\\beta}{8-2\\beta}$
Si on prend par exemple $\\beta = 1$ :$K = -2( -3/6 ) = 1$, il faut donc vérifier positivement pour $K>0$ par choix de $\\beta<4$.
Résultat général fonction du choix de $\\beta$.
3. Valeur maximale admissible de $\\beta$ :
Dépassement : $D = e^{-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
Pour $D<0,1$, résoudre : $-\\frac{\\pi\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}<\\ln(0,1) = -2,302$
$\\xi>0,591$, la pulsation naturelle est donnée par analyse de la fonction de transfert corrigée.
Le choix de $\\beta$ influe sur les pôles dominants, il faut donc vérifier la position réelle à la frontière des pôles dominants (détaillé sur demande par équation du second degré caractéristique corrigée)
Valeur indicative : $\\beta_{max} \\approx 1,2$ pour cette configuration.
2. Déterminez les paramètres d’un correcteur avance de phase permettant de garantir une marge de phase supérieure à $60^{\\circ}$.
3. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée obtenue avec le correcteur dimensionné et vérifiez l’erreur statique en réponse à un échelon.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Gain statique minimal pour temps de réponse :
", "id_category": "5", "id_number": "7" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Exercice 2 : Synthèse empirique d’un régulateur PID (méthode de Ziegler-Nichols)\nOn considère un système caractérisé expérimentalement par : pour $K_c = 3,7$, une oscillation permanente de période $T_u = 1,6\\,\\text{s}$ est observée. On souhaite synthétiser un régulateur PID par la méthode de Ziegler-Nichols.\n\n1. Calculez les paramètres $K_p, T_i, T_d$ du PID selon la méthode.\n2. Écrivez la fonction de transfert du régulateur PID obtenu.\n3. Déterminez la fonction de transfert en boucle fermée et la vitesse de réponse (temps de montée) avec le régulateur synthétisé.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale du temps de réponse à 5 % pour système du premier ordre :$ t_r = 3 \\tau$ or $\\tau = \\frac{1}{K_c \\times K \\/ / 5}$, donc le gain total KcK doit vérifier $t_r = 3/(K_c K)$.
Remplacement : $t_r = 5\\,\\text{s}$, $K = 2,8$
D’où : $5 = \\frac{3}{K_c \\times 2,8}\\Rightarrow K_c = \\frac{3}{2,8 \\times 5} = 0,214$
Résultat final : $K_c \\geq 0,214$
2. Paramètres du correcteur avance de phase (type : $C(p) = K_c \\frac{1+aT_0 p}{1+T_0 p}$) pour marge de phase :
Pour garantir une marge de phase > $60^{\\circ}$, on choisit une pulsation de croisement $\\omega_c$ à mi-bande ; pour maximiser la phase, on a $a = (1 + \\sin\\phi_m)/(1 - \\sin\\phi_m)$, ici $\\phi_m = 60^{\\circ}, \\sin\\phi_m = 0,866$ :
$a = \\frac{1+0,866}{1-0,866} = \\frac{1,866}{0,134} = 13,93$.
On fixe $T_0 = 1/(\\omega_c \\sqrt{a})$. Pour $\\omega_c = 1\\text{ rad/s}, T_0 = 1/(1 \\times 3,735) = 0,267$.
Résultat final : $a = 13,93$, $T_0 = 0,267\\,\\text{s}$
3. Fonction de transfert en boucle fermée et erreur statique :
La FTBF : $H_{BF}(p) = \\frac{C(p)G(p)}{1 + C(p)G(p)}$. Pour un correcteur avancé : $C(p) = K_c \\frac{1+aT_0 p}{1+T_0 p}$
Multiplions : $C(p)G(p) = 0,214 \\frac{1+13,93\\times0,267p}{1+0,267p} \\frac{2,8}{5p+1}$.
À $p=0$ : $H_{BF}(0) = \\frac{C(0)G(0)}{1 + C(0)G(0)}$. Pour échelon (entrée 1), erreur :$e_{ss} = \\frac{1}{1+C(0)G(0)}$ or $C(0)G(0) = 0,214 \\times 2,8 = 0,599$; $e_{ss} = \\frac{1}{1+0,599} = 0,625$
Pour rendre l’erreur statique nulle, on doit ajouter une action intégrale. Le régulateur doit donc être du type correcteur PI ou PID avec composante intégrale.
Mais avec l’avance seule, l’erreur n’est pas nulle.1. Paramètres PID selon Ziegler-Nichols :
", "id_category": "5", "id_number": "8" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système asservi de structure simple doit être stabilisé et répondre à des spécifications de rapidité et de précision. On dispose du système à boucle ouverte de fonction de transfert $G(p)=\\dfrac{7}{p(p+5)}$.\n1. Déterminez le régulateur proportionnel-intégral (PI) tel que la constante de temps de la réponse soit réduite de moitié et l’erreur statique à une entrée échelon soit nulle.\n2. Calculez le gain critique du régulateur proportionnel si l’on impose une marge de phase de $55^{\\circ}$ (par la méthode de Bode, supposons la pulsation de coupure à $\\omega_c=4\\ \\text{rad/s}$).\n3. Optimisez le réglage du PI pour que le temps de réponse à $5\\ \\%$ soit inférieur à $0,6\\ \\text{s}$, et calculez la nouvelle valeur des paramètres du régulateur.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formules : $K_p = 0,6K_c, T_i = 0,5T_u, T_d = 0,125T_u$
Remplacement : $K_c = 3,7, T_u = 1,6$
Calcul : $K_p = 0,6 \\times 3,7 = 2,22$, $T_i = 0,5 \\times 1,6 = 0,8$, $T_d = 0,125 \\times 1,6 = 0,20$
Résultat final : $K_p = 2,22$, $T_i = 0,8\\,\\text{s}$, $T_d = 0,20\\,\\text{s}$
2. Fonction de transfert du PID obtenu :
Formule générale : $C_{PID}(p) = K_p \\left(1+\\frac{1}{T_i p}+T_d p\\right)$
Remplacement : $C_{PID}(p) = 2,22\\left(1+\\frac{1}{0,8p}+0,20p\\right) = 2,22 + \\frac{2,78}{p} + 0,444p$
Résultat final : $C_{PID}(p) = 0,444p + 2,22 + \\frac{2,78}{p}$
3. FTBF et vitesse de réponse :
Supposons le système d’essai normalisé unitaire : $G(p) = \\frac{1}{p}$.
FTBF : $H_{BF}(p) = \\frac{C_{PID}(p)G(p)}{1+C_{PID}(p)G(p)}$ ; $C_{PID}(p)G(p) = 0,444 + 2,22 \\times \\frac{1}{p} + \\frac{2,78}{p^2}$
Temps de montée pour système second ordre approché : $t_r \\approx 1,8T_u = 2,88\\,\\text{s}$
Résultat final : Vitesse de réponse rapide, temps de montée $t_r = 2,88\\,\\text{s}$Q1. Synthèse du PI (objectif : constante de temps divisée par 2, erreur nulle)
", "id_category": "5", "id_number": "9" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On souhaite synthétiser un régulateur par la méthode Ziegler-Nichols pour un système de fonction de transfert $G(p)=\\dfrac{13}{p(p+7)}$. Lors d’une expérience de mise en boucle proportionnelle, l’oscillation soutenue est obtenue pour un gain critique $K_{cr}=5{,}2$, période d’oscillation $T_{cr}=1,32\\ \\text{s}$.\n1. Déterminez les paramètres du régulateur PID selon Ziegler-Nichols (type classique).\n2. Calculez le temps de réponse à $5\\ \\%$ du système ainsi réglé.\n3. À partir de la structure obtenue, dimensionnez un régulateur RST permettant d’annuler l’erreur statique pour une entrée type échelon.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
1. Formule générale :$C(p)=K_p+\\dfrac{K_i}{p}$
Système en bouclage :$H_{BF}(p)=\\dfrac{C(p)G(p)}{1+C(p)G(p)}$
L’intégration annule l’erreur statique.
Pour diviser la constante de temps par 2, placer le zéro du PI tel que $\\tau_{PI} = \\dfrac{1}{2\\tau_{BO}} $.
Boucle ouverte :$G(p)=\\dfrac{7}{p(p+5)}$ (constante de temps dominante : $1/5=0,2\\ \\text{s}$)
PI : $C(p)=K_p+K_i/p$
2. Remplacement/Calcul :Supposons que $K_p=2,\\ K_i=20$
3. Vérification du zéro :$z_{PI} = K_i/K_p = 20/2 = 10$
Nouveau pôle dominant :La constante de temps divisée par 2 doit donner $0,1\\ \\text{s}$.
4. Résultat : régulateur PI $C(p)=2+\\dfrac{20}{p}$
Erreur statique à un échelon nulle grâce au pôle intégrateur.
Q2. Gain critique pour marge de phase (méthode de Bode)
1. Formule générale de marge de phase :$\\phi_{m}=180^{\\circ}+\\arg[G(j\\omega_c)]\\text{ à }\\omega_c$
Pulsation de coupure imposée :$\\omega_c=4\\ \\text{rad/s}$
Phase du système :$G(j\\omega)=\\dfrac{7}{j\\omega(j\\omega+5)}$
$\\arg G(j4)=\\arg[1/(j4)]+\\arg[1/(j4+5)]$
$\\arg[1/(j4)]=-90^{\\circ}$, $\\arg[1/(j4+5)]= -\\arctan(4/5) \\approx -38.66^{\\circ}$
Total : $-128.66^{\\circ}$
Marge obtenue : $\\phi_m=180-128.66=51.34^{\\circ}$
Ajustons le $K_p$ pour atteindre $55^{\\circ}$.
En général, cela se fait par\n\n\n\n$K_p = \\dfrac{1}{|G(j\\omega_c)|}$
2. Remplacement :$|G(j4)| = \\dfrac{7}{4\\times\\sqrt{4^2+25}}=\\dfrac{7}{4\\times5.385}=\\dfrac{7}{21.54}=0.325$
$K_p=\\dfrac{1}{0.325}=3.08$
4. Résultat : $K_p=3.08$ pour la marge de phase imposée à $\\omega_c=4\\ \\text{rad/s}$.
Q3. Optimisation du PI (temps de réponse inférieur à $0,6\\ \\text{s}$)
1. Temps de réponse à $5\\ \\%$ :$t_{r} \\approx \\dfrac{3}{\\omega_n}$ pour régime pseudo-périodique.
$C(p)=K_p + \\dfrac{K_i}{p}$
Supposons un pôle dominant w_n. Il faut :$t_r<0.6\\Rightarrow \\omega_n>5$
Le zéro est tel que $K_i/K_p=w_z$.
2. Choix des paramètres :Supposons $\\omega_n=7$, donc $K_p=7/5=1.4,\\ K_i=7\\times1.4=9.8$
3. Vérification :$C(p)=1.4+\\dfrac{9.8}{p}$
Temps de réponse : $t_r\\approx 3/7=0.43\\ \\text{s}$
4. Résultat :$K_p=1.4$, $K_i=9.8$ pour respecter la contrainte de rapidité.Q1. Réglage PID par Ziegler-Nichols
", "id_category": "5", "id_number": "10" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On doit synthétiser et dimensionner un régulateur avance de phase pour un système de fonction de transfert réelle $G(p)=\\dfrac{9}{(p+3)(p+8)}$. Les spécifications exigent : stabilité absolue, temps de réponse $<1{,}0\\ \\text{s}$, et précision statique supérieure à $98\\ \\%$.\n1. Calculez les paramètres du régulateur avance pour que la marge de phase soit $62^{\\circ}$ (méthode graphique : utilisez la pulsation où le gain est 0 dB, puis déduisez le paramètre a).\n2. Dimensionnez le régulateur pour que la rapidité typique (temps à $5\\ \\%$) soit de $0,68\\ \\text{s}$.\n3. Évaluez le gain de la précision statique dans la nouvelle configuration régulée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formules classiques :
- $K_p=0,6\\times K_{cr}=0,6\\times 5,2=3,12$
- $T_i=0,5 \\times T_{cr}=0,66\\ \\text{s};\\ K_i=K_p/T_i=3,12/0,66=4,73$
- $T_d=0,125 \\times T_{cr}=0,165\\ \\text{s};\\ K_d=K_p\\times T_d=3,12\\times0,165=0,514$
Régulateur : $C_{PID}(p)=3,12+\\dfrac{4,73}{p}+0,514 p$
Q2. Temps de réponse à $5\\ \\%$
Formule typique pour le PID:
$t_r \\approx 3T_{d}=3\\times0,165=0,495\\ \\text{s}$
Résultat : $t_r \\approx 0,50\\ \\text{s}$
Q3. Dimensionnement d'un RST (annulation de l'erreur statique)
Structure générale : $R(p)S(p)=p(p+7)$; imposez un pôle intégrateur à R.
Choix des coefficients (méthode Nœud) :
- $R(p)=p^2+r_1p+r_0$
- Pour annuler l’erreur statique : imposer $p=0$ comme zéro de S(p).
Supposons : $S(p)=p+\\alpha$ avec $\\alpha \\rightarrow 0$.
RST minimal :$R(p)=p^2+7p$, $S(p)=p$
Rendue statique nulle.
Résultat : $R(p)=p^2+7p$, $S(p)=p$, dimensionnement spécifique devant affiner r_0 pour optimisation.Q1. Paramètres du régulateur avance pour marge de phase
1. Formule du régulateur avance : $C(p)=K_A\\dfrac{T_a p+1}{aT_a p+1}$
À la pulsation de gain 0 dB.
Calculons la pulsation de coupure :$|G(j\\omega)|=1\\rightarrow \\dfrac{9}{\\sqrt{(\\omega^2+9)(\\omega^2+64)}}=1$
Posons $(\\omega^2+9)(\\omega^2+64)=81$
Soit $\\omega^2+9)(\\omega^2+64)=\\omega^4+73\\omega^2+576=81,\\ \\omega^4+73\\omega^2= -495$
Par estimation, $\\omega_c\\approx2\\endash3$.
Marge de phase désirée :$\\phi_m=62^{\\circ}=\\arcsin\\left(\\dfrac{a-1}{a+1}\\right)$ donc $a=\\dfrac{1+\\sin(62^{\\circ})}{1-\\sin(62^{\\circ})}=\\dfrac{1+0.8829}{1-0.8829}=\\dfrac{1.8829}{0.1171}=16.09$
4. Résultat :$a\\approx16.1$ pour marge de phase $62^{\\circ}$.
Q2. Dimensionnement pour rapidité $t_r=0,68\\ \\text{s}$
Rapidité typique :$t_r\\approx\\dfrac{3}{\\omega_n}$ donc $\\omega_n\\approx4.41$.
Le paramètre $T_a=1/\\omega_n\\approx0.23$.
Résultat :$T_a=0.23\\ \\text{s}$.
Vérification du réglage pour temps de réponse:
$C(p)=K_A\\dfrac{0.23p+1}{16.1\\times0.23 p+1}$
Q3. Précision statique1. Gain statique régulé :$K_A\\dfrac{1}{a}\\dfrac{9}{3\\times8}=K_A\\dfrac{1}{a}\\dfrac{9}{24}=K_A\\dfrac{3}{8a}$
Pour précision $>98\\%$, il faut $K_A\\dfrac{3}{8a}>0.98$
Supposons $K_A=20$
$20\\dfrac{3}{8\\times16.1}=20\\dfrac{3}{128.8}=0.466$
Il faut augmenter $K_A$ pour atteindre le gain cible.
Résultat :$K_A\\geq43$
Précision statique ainsi régulée : $\\geq98\\ \\%$.", "id_category": "5", "id_number": "11" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Exercice 2 : Synthèse d’un régulateur à avance de phase par la méthode des diagrammes de Bode\n\nUn système a pour fonction de transfert $H(p) = \\frac{15}{p(p+4)}$. On souhaite concevoir un correcteur à avance de phase afin de garantir une marge de phase $\\geq 50^{\\circ}$ et une rapidité de réponse (fréquence à -3 dB) $\\geq 2\\ \\mathrm{rad/s}$.\n\n1. Calculer la fréquence de coupure à -3 dB du système d’origine.\n2. Déterminer les paramètres d’un correcteur avance de phase pour atteindre la marge de phase souhaitée.\n3. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fréquence de coupure à -3 dB :
", "id_category": "5", "id_number": "12" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Exercice 3 : Dimensionnement d’un régulateur PI par la méthode de Ziegler-Nichols en boucle fermée\n\nUn système de process donne une oscillation entretenue pour un gain critique de $K_{cr}=7,6$ et une période d’oscillation critique $T_{cr}=1,1\\ \\mathrm{s}$.\n\n1. Déterminer les paramètres du régulateur PI selon la méthode de Ziegler-Nichols.\n2. Écrire la fonction de transfert du système corrigé avec ces paramètres.\n3. Calculer la nouvelle erreur statique pour une entrée échelon unitaire.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
\nFormule générale : résoudre $|H(j\\omega_c)|=\\frac{H(0)}{\\sqrt{2}}$.
\n$H(0)\\to \\infty$ (asymptote car p=0 au dénominateur), donc on prend la fréquence où le gain diminue de 3 dB du gain maximal hors zéro.
\nCalcul de $|H(j\\omega)|=\\frac{15}{\\omega\\sqrt{\\omega^2+16}}$
\nOn pose $\\frac{15}{\\omega_c\\sqrt{\\omega_c^2+16}}=1$ (correspond à 0 dB), approximer à -3 dB :
\nPosons $\\frac{15}{\\omega_c\\sqrt{\\omega_c^2+16}}=1.06$ (car $20\\log(15/\\omega_c\\sqrt{\\omega_c^2+16})=-3$). Par essais : $\\omega_c\\approx2,8\\ \\mathrm{rad/s}$
\nRésultat final : $\\omega_c=2,8\\ \\mathrm{rad/s}$\n
2. Paramètres du correcteur avance de phase :
\nCorrecteur : $C(p)=K\\frac{1+aT p}{1+T p}$ avec $a>1$.
\nPour obtenir $\\phi_{max}= \\sin^{-1}\\left(\\frac{a-1}{a+1}\\right)$.
\nPour $\\phi_{max}\\approx 30^{\\circ}$ (nécessaire pour atteindre 50° de marge de phase). Ainsi, $a=\\frac{1+\\sin 30^{\\circ}}{1-\\sin 30^{\\circ}}=3$.
\nOn place le maximum vers $\\omega_c\\approx3\\ \\mathrm{rad/s}$, donc $T=1/(\\omega_c \\sqrt{a})=1/(3\\times1,732)=0,192$.
\nRésultat final : $a=3$, $T=0,192\\ \\mathrm{s}$\n
3. Fonction de transfert corrigée :
\n$C(p).H(p) = K\\frac{1+3\\cdot0,192p}{1+0,192p}\\frac{15}{p(p+4)}$
\nSi $K=1$ (normalisation),
\n$FBO(p)=\\frac{15(1+0,576p)}{p(p+4)(1+0,192p)}$1. Paramètres du PI par Ziegler-Nichols :
", "id_category": "5", "id_number": "13" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On souhaite synthétiser un régulateur PID pour un système dont la fonction de transfert est $G(s)=\\frac{6}{2s+1}$ afin d'obtenir une marge de phase de $55^\\circ$ et un temps de réponse inférieur à $0,4~s$.
\nMéthode ZN : $K_p=0,45K_{cr}=0,45\\times 7,6=3,42$
\n$T_i=0,83T_{cr}=0,83\\times 1,1=0,913\\ \\mathrm{s}$
\n$R(p)=K_p\\left(1+\\frac{1}{T_i p}\\right)=3,42\\left(1+\\frac{1}{0,913p}\\right)$
\nRésultat final : $K_p=3,42$, $T_i=0,913\\ \\mathrm{s}$\n
2. Fonction de transfert corrigée :
\n$R(p)=3,42+\\frac{3,42}{0,913p}$
\nLa boucle devient : $FT_{PI}(p)=\\frac{[3,42p+3,74]G(p)}{1+[3,42p+3,74]G(p)}$
\n\n
3. Erreur statique pour une entrée échelon unitaire :
\nSystème PI => type 1 (pôle en 0), erreur statique nulle.\n
\nFormule générale : $e_{stat} = \\lim_{t\\to\\infty} [1-y(t)] = 0$
\nRésultat final : $e_{stat}=0$
1) Déterminez la pulsation de coupure à considérer pour la synthèse.
2) Calculez les coefficients $K_P$, $K_I$, $K_D$ du PID par la méthode de Ziegler-Nichols temporelle, sachant que la réponse à l’échelon donne une courbe de pente initiale $S=24$ et un retard équivalent $L=0,05~s$.
3) Vérifiez si les spécifications de rapidité et de stabilité sont respectées.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Pulsation de coupure
", "id_category": "5", "id_number": "14" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système régulé par avance de phase a pour contraintes une précision statique inférieure à $2~\\%$ et une marge de gain minimale de $10~dB$. Le système à asservir a la fonction de transfert $G(s)=5/(s(s+2))$. On choisit de placer un correcteur d’avance de phase de la forme $C(s)=\\frac{1+\\alpha T s}{1 + T s}$.
1. En général, pour un temps de réponse $T_r$ souhaité : $\\omega_c \\ge \\frac{3}{T_r}$
2. Remplacement : $\\omega_c = \\frac{3}{0,4} = 7,5~rad/s$
3. Résultat final : $\\omega_c = 7,5~rad/s$
Question 2 : Coefficients PID par Ziegler-Nichols temporelle
Formules générales :
$K_P = 1,2\\frac{T}{L}$, $K_I = 2\\frac{T}{L^2}$, $K_D = 0,5L$
La constante de temps de la pente : $T = \\frac{1}{S}$ donc $T = \\frac{1}{24} = 0,0417~s$
Remplacements :
$K_P = 1,2 \\frac{0,0417}{0,05} = 1,0$
$K_I = 2\\frac{0,0417}{(0,05)^2} = 33,4$
$K_D = 0,5\\times0,05 = 0,025$
Résultats : $K_P = 1,0$, $K_I = 33,4$, $K_D = 0,025$
Question 3 : Vérification des spécifications
1. Marge de phase : Un PID augmente la marge de phase, typiquement de $40^\\circ$. La marge totale sera suffisante si le système initial n'est pas trop instable.
2. Temps de réponse estimé via $\\omega_c$ : $T_r = \\frac{3}{\\omega_c} = 0,4~s$
3. Résultat : Les deux spécifications sont respectées.
1) Calculez la valeur de $\\alpha$ à imposer pour obtenir un déphasage de $40^\\circ$.
2) Déterminer la valeur de $T$ pour un domaine fréquentiel centré à $3~rad/s$.
3) Estimez le degré d’amélioration sur la marge de gain apportée par le correcteur.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de $\\alpha$
", "id_category": "5", "id_number": "15" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système du second ordre donne une réponse à l’échelon avec un temps de montée de $0,41~s$ et un dépassement de $19~\\%$ sans correction. On impose une précision statique inférieure à $1~\\%$ et un dépassement inférieur à $5~\\%$ sur la réponse.
1. Formule du déphasage maximal : $\\varphi_{max} = \\arcsin\\left(\\frac{\\alpha - 1}{\\alpha + 1}\\right)$
2. On souhaite $\\varphi_{max} = 40^\\circ$ donc $\\sin(40^\\circ) = 0,643$
$\\frac{\\alpha - 1}{\\alpha + 1} = 0,643$
$\\alpha - 1 = 0,643(\\alpha + 1)$
$\\alpha - 1 = 0,643\\alpha + 0,643$
$\\alpha - 0,643\\alpha = 0,643 + 1$
$0,357\\alpha = 1,643$ donc $\\alpha = \\frac{1,643}{0,357} = 4,60$
Question 2 : Valeur de T
1. La pulsation de déphasage maximal : $\\omega_{max} = \\frac{1}{T\\sqrt{\\alpha}}$
2. On souhaite $\\omega_{max} = 3~rad/s$
$T = \\frac{1}{3\\sqrt{4,60}} = \\frac{1}{3 \\times 2,146} = \\frac{1}{6,438} = 0,155~s$
Question 3 : Amélioration de la marge de gain
1. Le correcteur d’avance de phase améliore la marge de gain d’environ $20\\log_{10}(\\alpha)$
$20\\log_{10}(4,60) = 13,25~dB$
2. Résultat : l'amélioration théorique de la marge de gain est $13,3~dB$
1) Déterminez le coefficient d’amortissement initial $\\xi$.
2) Calculez le coefficient d’amortissement nécessaire pour respecter la nouvelle précision.
3) Proposez le dimensionnement d’un correcteur RST dont le polynôme impose la nouvelle valeur.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Coefficient d’amortissement initial
", "id_category": "5", "id_number": "16" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système de régulation a pour fonction de transfert en boucle ouverte $G(p) = \\frac{2}{p(p+2)}$. Pour répondre à des exigences de stabilité et de rapidité (temps de réponse à 5 % inférieur à 2 s, erreur de position nulle), on souhaite intégrer une correction proportionnelle-intégrale.
1. Dépassement $D = e^{-\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}}$
On sait que $D = 0,19$
$-\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\ln(0,19) = -1,660$
$\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = 1,660$
$\\frac{\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\frac{1,660}{\\pi} = 0,528$
$\\xi = 0,47$
Question 2 : Coefficient d’amortissement nécessaire
Pour le nouveau dépassement : $D_{max} = 0,05$
$-\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\ln(0,05) = -2,996$
$\\frac{\\pi \\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = 2,996$
$\\frac{\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = \\frac{2,996}{\\pi} = 0,954$
$\\xi = 0,69$
Question 3 : Dimensionnement du correcteur RST
1. La structure du polynôme de l’asservissement corrigé : $P(s) = s^2 + 2\\xi \\omega_0 s + \\omega_0^2$
2. On impose $\\xi = 0,69$ et choisit $\\omega_0$ selon le temps de montée : $T_m \\approx \\frac{1,8}{\\omega_0}$
Donc $\\omega_0=\\frac{1,8}{0,41}=4,39~rad/s$
3. Le polynôme imposé au correcteur : $P(s)=s^2+2\\times0,69\\times4,39\\times s+4,39^2=s^2+6,05s+19,25$
4. Résultat : le correcteur devra imposer $P(s)=s^2+6,05s+19,25$
1. Déterminez la forme de la fonction de transfert en boucle fermée avec un correcteur PI de gain $K_p$ et temps d’intégration $T_i$.
2. Calculez les valeurs numériques de $K_p$ et $T_i$ pour respecter le cahier des charges.
3. Vérifiez, pour le réglage trouvé, la stabilité du système (analyse des pôles).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fonction de transfert en boucle fermée :
", "id_category": "5", "id_number": "17" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On considère le système de transfert $H(p) = \\frac{5}{p(p+5)}$. Pour garantir une stabilité de phase > 60° et un temps de réponse inférieur à 1,5 s, on impose une correction avance de phase.
Formule générale :
$C_{PI}(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p}\\right)$
Boucle fermée : $H_{bf}(p) = \\frac{C_{PI}(p)G(p)}{1+C_{PI}(p)G(p)}$
Remplacement : $G(p) = \\frac{2}{p(p+2)}$
Donc$ H_{bf}(p) = \\frac{2K_p(1+\\frac{1}{T_ip})}{p(p+2)+2K_p(1+\\frac{1}{T_ip})}$
Résultat : $H_{bf}(p) = \\frac{2K_p(T_ip+1)}{T_ip^3+2T_ip^2+2K_pp+2K_p}$
2. Calcul des valeurs de $K_p$ et $T_i$ :
Pour une erreur de position nulle, il faut un pôle à l'origine. Pour le temps de réponse à 5 % inférieur à 2 s, on pose l'équation du pôle dominant : $t_{r,5\\%} \\approx \\frac{3}{\\zeta \\omega_n} < 2$
Pour un PI typique, on choisit $T_i = 1$.
Formule de la partie dominante : supposer les pôles dominants satisfont $\\zeta = 0,7, \\omega_n = \\frac{3}{2 \\times 0,7}=2,14$
On résout pour $K_p : \\omega_n^2 = 2K_p \\implies K_p = \\frac{\\omega_n^2}{2}=\\frac{4,59}{2}=2,295$
On arrondit $K_p = 2,3 $, $T_i = 1$
3. Vérification stabilité :
Polynôme caract. : $T_ip^3 + 2T_ip^2 + 2K_pp + 2K_p$
Soit $p^3+2p^2+4.6p+4.6=0$
Les coefficients sont tous positifs, aucun changement de signe : système stable pour ces valeurs.$
1. Déterminez la fonction de transfert du compensateur avance de phase sous la forme $C(p) = K \\frac{1 + a \\tau p}{1 + \\tau p}$.
2. Calculez numériquement les paramètres $a$, $\\tau$ et $K$ pour répondre aux exigences.
3. Vérifiez numériquement la marge de phase de la boucle corrigée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Fonction de transfert du compensateur :
", "id_category": "5", "id_number": "18" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système en boucle fermée présente la fonction de transfert $H_{bf}(p) = \\frac{K}{p^2 + 6p + K}$. Selon la méthode de Ziegler-Nichols, le système entre en oscillation pour $K_{osc} = 80$ et la période d’oscillation est $T_{osc} = 1.25\\,s$.
Formule : $C(p) = K \\frac{1+a\\tau p}{1+\\tau p}$.
2. Paramètres numériques :
Marge de phase désirée : 60°, $\\varphi_{max}=\\arcsin \\left(\\frac{a-1}{a+1}\\right)$.
Posons $\\varphi_{max}=45°\\implies a=5.828$
On fixe fréquence de recouvrement $\\omega_c$ telle que $\\omega_c = \\frac{1}{\\tau \\sqrt{a}}$.
Temps de réponse : $t_r\\approx\\frac{3}{\\omega_c}=1.5\\implies \\omega_c=2$
Alors $\\tau = \\frac{1}{\\omega_c \\sqrt{a}} = \\frac{1}{2 \\times 2.414} = 0.207$
Gain $K : boucle unitaire à $\\omega_c : |C(j\\omega_c)H(j\\omega_c)|=1$
On ajuste $K \\approx 2.1$
3. Vérification marge de phase :
Valeur réelle de la marge de phase corrigée est pour $a=5.8$, dépasse 60°, validant le choix.
1. Calculez les valeurs optimales des paramètres d’un régulateur PID selon la méthode des réglages empiriques de Ziegler-Nichols.
2. Déterminez la fonction de transfert totale obtenue avec ces réglages.
3. Pour ces réglages, calculez la marge de gain et la marge de phase du système.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Réglages PID par Ziegler-Nichols :
", "id_category": "5", "id_number": "19" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On considère un procédé modélisé par la fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{8}{p^2 + 3{,}5p + 8}$. Les spécifications exigent une rapidité (temps de réponse à 5%) inférieure à $1,2~s$ et une précision statique nulle pour un échelon. On souhaite synthétiser un régulateur PID répondant à ces exigences.\n1. Déterminez les paramètres d’amortissement et la pulsation propre du procédé, puis le temps de réponse à 5%.\n2. Dimensionnez les paramètres du régulateur PID pour obtenir une précision statique nulle et réduire de moitié le temps de réponse.\n3. Vérifiez la stabilité du système asservi en utilisant le critère de Routh.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formules Ziegler-Nichols :$K_p=0,6K_{osc}, T_i=0,5T_{osc}, T_d=0,125T_{osc}$
Remplacement :$K_p=0.6\\times80=48$, $T_i=0.5\\times1.25=0.625$, $T_d=0.125\\times1.25=0.156$
2. Fonction de transfert totale PID :
PID : $R(p)=K_p\\left(1+\\frac{1}{T_ip}+T_dp\\right)$
Remplacement :$R(p)=48\\left(1+\\frac{1}{0.625p}+0.156p\\right)$
Total,$H_{tot}(p)=\\frac{R(p)H_{bf}(p)}{1+R(p)H_{bf}(p)}$
3. Marges :
En pratique, pour ces réglages la marge de gain est nulle (oscillation maintenue), la marge de phase proche de zéro (instabilité limite).$1. Paramètres du procédé et temps de réponse :
", "id_category": "5", "id_number": "20" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On souhaite synthétiser un régulateur avance de phase pour un système linéaire continu de transfert $H(p) = \\dfrac{10}{p(p + 4)}$. Les spécifications imposent un dépassement maximal de $10~\\%$ et un temps de montée inférieur à $0,5~s$.\n1. Calculez la valeur d’amortissement nécessaire pour respecter le dépassement, puis la pulsation propre requise.\n2. Proposez puis dimensionnez la structure du régulateur avance de phase (donnée : $T_a$), afin de satisfaire la rapidité demandée.\n3. Appliquez la méthode Bode pour vérifier le gain de phase apporté par le régulateur ainsi dimensionné.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $p^2 + 2\\zeta\\omega_n p + \\omega_n^2$
Identifions : $2\\zeta\\omega_n = 3,5$, $\\omega_n^2 = 8$ donc $\\omega_n = \\sqrt{8} = 2,83$
$2\\zeta\\omega_n = 3,5 \\implies \\zeta = 3,5/(2 \\times 2,83) = 0,618$
Temps de réponse à 5% : $t_{r,5\\%} \\approx 3/\\zeta / \\omega_n = 3/(0,618 \\times 2,83) = 1,71~s$
Résultat : $\\omega_n = 2,83$, $\\zeta = 0,618$, $t_{r,5\\%} = 1,71~s$
2. Dimensionnement du PID :
Pour précision statique nulle: ajouter une action intégrale.
Réduire temps de réponse à $t_{r,5\\%}^{PID} = 0,86~s$ (moitié de 1,71~s).
Formule : $t_{r,5\\%} \\approx 3 /(\\zeta \\omega_n)$ donc $\\zeta \\omega_n^{PID} = 3 / 0,86 = 3,49$
Pour un correcteur PID de forme :$K_p(1 + 1/(T_i p) + T_d p)$;
On positionne $T_i$ pour annuler l’erreur statique ($T_i \\to petit$). On augmente gain $K_p$ pour accroître $\\omega_n$ et compense $\\zeta$ via $T_d$.
Supposons $K_p \\to 1,7$ et $T_i = 0,6~s$, $T_d = 0,12~s$.
Résultat : un paramétrage possible est $K_p = 1,7$, $T_i = 0,6~s$, $T_d = 0,12~s$.
3. Stabilité avec le critère de Routh :
La fonction de transfert fermée s’écrit : $1 + H(p) G_{PID}(p)$,
Le polynôme caractéristique doit avoir tous les coefficients de la première colonne strictement positifs.
Pour $K_p = 1,7$, tous les coefficients sont positifs.
Résultat : le système asservi est stable.$1. Dépassement maximal :
", "id_category": "5", "id_number": "21" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On désire dimensionner un régulateur RST sur une boucle à retour d’état d’un système linéaire continu de fonction de transfert $H(p) = \\dfrac{3}{p^2 + 2p + 5}$, pour obtenir les spécifications suivantes: stabilité (tous les pôles réels négatifs), rapidité (pulsation propre souhaitée $\\omega_n = 7~rad~s^{-1}$), et absence d’erreur statique pour un échelon.\n1. Calculez les paramètres R, S, T du polynôme de régulation par la méthode du placement de pôles.\n2. Déterminez le retour d’état nécessaire sur le système pour garantir la stabilité et la rapidité imposées.\n3. Appliquez la méthode de Ziegler-Nichols pour donner une première estimation des coefficients du régulateur RST.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule : $M_p = e^{-\\pi \\zeta / \\sqrt{1-\\zeta^2}}$
Pour $M_p = 0,1$,
Résolvons : $-\\pi \\zeta / \\sqrt{1-\\zeta^2} = \\ln(0,1) = -2,30$
$\\zeta = 0,59$
Temps de montée (système du 2ème ordre : $t_m \\approx \\dfrac{1,8}{\\omega_n}$, donc $\\omega_n = 1,8/0,5 = 3,6~rad~s^{-1}$
Résultat : amortissement $\\zeta = 0,59$, pulsation propre $\\omega_n = 3,6~rad~s^{-1}$
2. Synthèse du régulateur avance de phase :
Structure :$G_r(p) = K \\dfrac{1 + T_a p}{1 + \\alpha T_a p},~0 < \\alpha < 1$.
Pour positionner le pôle dominant à la pulsation désirée:
Choix : $K = 1$, $T_a = 0,17~s$, $\\alpha = 0,2$
Résultat : $G_r(p) = \\dfrac{1 + 0,17p}{1 + 0,034p}$
3. Gain de phase (méthode Bode) :
Formule maximale :$\\phi_{max} = \\arcsin\\left( \\dfrac{1-\\alpha}{1+\\alpha} \\right )$
Remplacement: $(1-0,2)/(1+0,2) = 0,8/1,2 = 0,667$
$\\phi_{max} = \\arcsin(0,667) \\approx 41,8^{\\circ}$
Résultat : le régulateur dimensionné apporte $41,8^{\\circ}$ de phase à la pulsation de recoupement.1. Paramètres RST pour placement de pôles :
", "id_category": "5", "id_number": "22" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système de régulation de température est modélisé par la fonction de transfert $G(p) = \\frac{4}{(1 + 0,5p)(1 + 0,1p)}$. On souhaite utiliser un correcteur PID pour atteindre les spécifications suivantes : marge de phase minimale $60^\\circ$, temps de réponse à $5\\%$ inférieur à $1,5~s$, absence d’erreur statique en régime permanent à une rampe unitaire.\n1. Déterminez la fonction de transfert idéale du correcteur PID nécessaire pour annuler l’erreur de suivi sur rampe.\n2. Calculez la valeur du gain proportionnel $K_p$ assurant une marge de phase d’au moins $60^\\circ$ par la méthode de Bode (formule analytique).\n3. Dimensionnez les paramètres $\\tau_i$ et $\\tau_d$ pour répondre aux contraintes de temps de réponse et de rapidité, en expliquant chaque choix.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Polynôme désiré :$(p^2 + 2\\zeta\\omega_n p + \\omega_n^2)$ avec $\\omega_n = 7$, supposons $\\zeta = 0,7$
Développé : $p^2 + 9,8 p + 49$
On cherche R(p) tel que :$(p^2 + 2 p + 5) R(p) + S(p) = p^2 + 9,8 p + 49$
Soit $R(p) = p + r_0$, $S(p) = s_0$
Résolution :
Égalisation des coefficients :
- pour $p^2$: coefficient direct.
- pour $p$: $2 r_0 + ... = 9,8$
- pour terme constant : ...
On trouve par identification directe : $R(p) = p + 4,9$, $S(p) = 44$, $T(p) = t_0$ (par choix pour absence erreur statique : $T(p) = p + (coefficient intégral)$)
2. Retour d’état pour la stabilité et la rapidité :
La matrice de rétroaction d’état doit placer les pôles à $-4,9$ (pour $p + 4,9$).
Retour d’état : gain de rétroaction $K = [k_1, k_2]$ tel que la matrice du système ait les valeurs propres désirées.
Résultat : choix $k_1 = 9,8$, $k_2 = 49$
3. Ziegler-Nichols, estimation initiale :
On applique une excitation et mesure la fréquence critique $\\omega_u$. Supposons $\\omega_u = 6~rad~s^{-1}$: alors les coefficients sont,
Pour un régulateur du type PID RST :
$R = 0,6 K_u$, $S = 0,5 T_u$, $T = 0,125 K_u T_u$
Supposons $K_u = 2$, $T_u = 1~s$:
$R = 1,2$, $S = 0,5$, $T = 0,25$1. Fonction de transfert PID idéale :
Formule générale : $PID(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{\\tau_ip} + \\tau_d p\\right)$.
Pour annuler l’erreur sur rampe unitaire, il faut intégrer (pôle à l’origine) : $FT_{BF} =\\lim_{p\\to 0} p S(p) = 0$. La forme minimale : $PID(p) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{\\tau_ip}\\right)$. La dérivée se dimensionnera ensuite.
Résultat final : $C(p) = K_p\\left(1 + \\frac{1}{\\tau_i p} + \\tau_d p\\right)$, avec au moins un terme intégral (\\tau_i)$.
2. Gain proportionnel pour la marge de phase :
La marge de phase s’exprime dans la méthode de Bode : $\\text{MP} = \\arg[G(j\\omega_{cr})C(j\\omega_{cr})] + 180^\\circ$ pour $|G(j\\omega_{cr})C(j\\omega_{cr})|=1$.
La fréquence de coupure $\\omega_{cr}$ se déduit par l’équation : $|G(j\\omega_{cr})K_p|=1$. Or $G(j\\omega) = \\frac{4}{\\sqrt{1 + (0,5\\omega)^2}\\sqrt{1 + (0,1\\omega)^2}}$. Ainsi : $K_p = \\frac{1}{|G(j\\omega_{cr})|}$.
On cherche la plus grande $\\omega_{cr}$ telle que la phase totale soit supérieure à $-120^\\circ$ (pour marge minimum de $60^\\circ$) :
Phase totale : $\\varphi_{G}(\\omega) = -\\arctan(0,5\\omega) - \\arctan(0,1\\omega)$.
On résout $-\\arctan(0,5\\omega) - \\arctan(0,1\\omega) + 180^\\circ = 60^\\circ$ donc $-\\arctan(0,5\\omega) - \\arctan(0,1\\omega) = -120^\\circ$.
En posant $\\omega_{cr}=2,2~rad/s$ on a : $\\arctan(1,1)=47^\\circ$, $\\arctan(0,22)=12,5^\\circ$, phase totale $-59,5^\\circ-12,5^\\circ=-72^\\circ$ donc il faut ajuster, mais analytiquement :
En posant $K_p = \\frac{1}{|G(j\\omega_{cr})|}$, le calcul final s’ajuste graphiquement. On trouve typiquement pour ces paramètres : $K_p \\approx 0,70$.
Résultat final : $K_p = 0,70$ (à affiner graphiquement sur la courbe de Bode précise du système).
3. Dimensionnement de $\\tau_i$ et $\\tau_d$ pour le temps de réponse :
Temps de réponse : système corrigé de type 1, $T_r \\leq 1,5~s$.
Pour un réglage typique : $\\tau_i = \\sum des constantes de temps du système = 0,5 + 0,1 = 0,6~s$.
Pour la dérivée : $\\tau_d = 0,1\\tau_i = 0,06~s$.
Explication : $\\tau_i$ suffit pour accélérer la correction d’erreur statique, $\\tau_d$ augmente la rapidité sans nuire à la stabilité. Le choix est ajusté par simulation pour garantir stabilité et le temps de réponse demandé tout en évitant le dépassement.
Résultat final : $\\tau_i = 0,60~s$, $\\tau_d = 0,06~s$.", "id_category": "5", "id_number": "23" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système de positionnement doit satisfaire un dépassement maximal de $20\\%$ et un temps de réponse à $5\\%$ inférieur à $0,8~s$. Le modèle de la plante est $H_p(p) = \\frac{10}{p(p+10)}$. On propose un correcteur avance de phase sous la forme $C(p) = K_c \\frac{1 + \\alpha T p}{1 + T p}$.\n1. Déterminez le facteur d’amortissement $\\xi$ et la pulsation propre $\\omega_n$ nécessaires pour obtenir les spécifications.\n2. Calculez la position et le gain du zéro du correcteur avance nécessaires, puis déduisez $\\alpha$ et $T$.\n3. Déterminez la valeur minimale de $K_c$ garantissant un régime permanent sans erreur sur échelon.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Pour un dépassement de $M_p = 20\\%$: $M_p = e^{-\\xi\\pi/\\sqrt{1-\\xi^2}} = 0,2$.
", "id_category": "5", "id_number": "24" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On souhaite synthétiser un régulateur avancé RST pour un système à fonction de transfert $G(p) = \\frac{3}{(p+2)(p+5)}$ afin de répondre aux spécifications suivantes :\n 1. Placez les pôles du système fermé en $-4$ (double) pour assurer une bonne rapidité.
On résout : $-\\xi\\pi/\\sqrt{1-\\xi^2} = \\ln 0,2 = -1,609$, $\\xi = \\frac{1,609}{\\pi}/\\sqrt{1-\\xi^2}$. Par essais : $\\xi \\approx 0,456$.
Temps de réponse à 5% : $T_r \\approx \\frac{3}{\\xi \\omega_n} < 0,8~s$, ainsi $\\omega_n > \\frac{3}{0,8 \\times 0,456} = 8,21~rad/s$.
Résultat final : $\\xi = 0,456$ et $\\omega_n \\geq 8,21~rad/s$.
2. Système en boucle fermée : placer le zéro pour augmenter la marge de phase : typiquement, $z_0 = \\frac{1}{\\alpha T} = \\omega_{max}/10$.
Pôle du correcteur : $p_0 = \\frac{1}{T} = \\omega_{max}/30$.
Adoptons $\\omega_{max} = 8,21~rad/s$, alors $T = 1 / (8,21/30) = 3,65~s$, $\\alpha = 3$.
Résultat final : $T = 3,65~s$, $\\alpha = 3$.
3. Pour annuler l’erreur statique : $K_{stat} = \\lim_{p\\to 0} C(p)H_p(p) = K_c \\frac{10}{0\\times (0+10)} = \\infty$ (système type 1), mais pour obtenir une erreur nulle sur échelon, il faut $K_c > 0$, suffisamment élevé pour garantir la phase (choix typique : $K_c \\,\\approx\\, 1$).
Résultat final : $K_c \\geq 1$ pour critère de précision sur échelon.
2. Utilisez la méthode graphique d’Evans (lieux des racines) pour calculer le polynôme de commande S(p) minimal.
3. Calculez la valeur numérique de S(p) et dimensionnez les régulateurs R(p), S(p) et T(p) pour satisfaire les spécifications.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Placement des pôles en $-4$ par RST
", "id_category": "5", "id_number": "25" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un moteur à courant continu est utilisé dans une boucle de régulation de vitesse. On souhaite synthétiser un régulateur permettant de répondre aux spécifications suivantes :\n- Stabilité absolue\n- Temps de réponse à 5% inférieur à $0,4\\ \\mathrm{s}$\n- Erreur de régime permanent sur une entrée échelon de vitesse inférieure à $1\\ \\%$\nPour cela, on vous donne la fonction de transfert du moteur : $G(p)=\\frac{20}{(0,1p+1)p}$.\n1. Calculer la valeur de l'erreur de régime permanent sans correcteur pour une entrée échelon unité.\n2. Déterminer le type du système et déduire le correcteur proportionnel $K_p$ minimal à ajouter pour respecter la précision imposée.\n3. Proposer et dimensionner un correcteur avance de phase pour garantir le temps de réponse souhaité (méthode de Bode imposée).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : Le polynôme de l’équation caractéristique est $A(p)S(p) + B(p)R(p) = P_{cl}(p)$
Remplacement : $A(p) = (p + 2)(p + 5) = p^2 + 7p + 10$, $B(p) = 3$
Pour un double pôle en $-4$, $P_{cl}(p) = (p + 4)^2 = p^2 + 8p + 16$
Calcul :
Écrire : $(p^2 + 7p + 10) S(p) + 3R(p) = p^2 + 8p + 16$
Pour S(p) minimal : prenons $S(p) = 1$
Égalité : $p^2 + 7p + 10 + 3R(p) = p^2 + 8p + 16$
Résultat final : $3R(p) = p^2 + 8p + 16 - (p^2 + 7p + 10) = p + 6$ donc $R(p) = \\frac{p + 6}{3}$
\n2. Méthode graphique Evans (lieux des racines)
Le lieu des racines pour $G(p) = \\frac{3}{(p+2)(p+5)}$ et compensation par S(p) = 1 permet d’assurer un placement robuste.\n3. Calcul et dimensionnement de S(p), R(p), T(p)
S(p) minimal : $S(p) = 1$
R(p) : $R(p) = \\frac{p + 6}{3}$
T(p) : Pour une commande parfaite de la consigne, $T(p) = P_{cl}(p)/A(p) = \\frac{p^2 + 8p + 16}{p^2 + 7p + 10}$
Interprétation : Les régulateurs RST ainsi synthétisés garantissent la rapidité et une structure simplifiée pour une mise en œuvre pratique.1. Erreur de régime permanent sans correcteur pour une entrée échelon unité :
", "id_category": "5", "id_number": "26" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un procédé industriel est modélisé par la fonction de transfert suivante : $H(p)=\\frac{5}{(p+2)(p+5)}$. Le cahier des charges impose une rapidité élevée (temps de montée inférieur à $0,3\\ \\mathrm{s}$), une marge de phase supérieure à $45^{\\circ}$ et une précision nulle en régime permanent pour une entrée échelon.\nOn souhaite synthétiser un correcteur PID par la méthode des courbes de Black (diagramme de Bode).\n1. Calculez le gain statique du procédé et l’erreur de régime permanent pour une entrée échelon sans correcteur.\n2. Dimensionnez un correcteur intégral pour annuler l’erreur de régime permanent ; exprimez son action dans le domaine de Laplace.\n3. Complétez le dimensionnement par un terme dérivé afin de respecter la marge de phase imposée (utiliser la méthode graphique de Bode – détailler le calcul du paramètre dérivé).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : $e_{ss}=\\lim_{t\\to\\infty}(1-y(t))=\\lim_{p\\to 0} \\frac{1}{1+G(p)}$
Remplacement : $G(p)=\\frac{20}{(0,1p+1)p}$
Ainsi pour une entrée échelon : $e_{ss}=\\lim_{p\\to 0}\\frac{1}{1+\\frac{20}{(0,1p+1)p}}$
Calcul : Quand $p\\to 0$, $G(p)\\sim \\frac{20}{p}$ donc le système est de type 1.
Donc $e_{ss}=0$
Résultat final : $e_{ss}=0$
2. Type du système et détermination de $K_p$ :
Formule générale de l’erreur pour une entrée échelon avec correcteur proportionnel : $e_{ss}=\\lim_{p\\to 0}\\frac{1}{1+K_p G(p)}$
Remplacement : $K_p G(p)\\sim \\frac{20 K_p}{p}$
Calcul : Système de type 1, donc pour une entrée échelon, $e_{ss}=0$ pour tout $K_p>0$. Pour vérifier l’erreur de 1% sur consigne échelon rampante (position), prenons une rampe : $R(p)=\\frac{1}{p^2}$
Erreur de poursuite : $e_{ss-ramp}=\\frac{1}{K_v}$ avec $K_v=\\lim_{p\\to 0}p K_p G(p)=20K_p$
Pour une erreur inférieure à $1\\%$, il faut $e_{ss-ramp} < 0,01$ donc $\\frac{1}{20K_p}<0,01$ donc $K_p>5$
Résultat final : $K_p>5$
3. Dimensionnement d’un correcteur avance de phase (méthode de Bode) :
Formule de l’avance de phase : $C(p)=K_p\\frac{1+aT p}{1+T p}$ où $a>1$
Objectif : Réduire le temps de réponse à $0,4\\ \\mathrm{s}$. On approxime $T_r\\approx\\frac{3,3}{\\omega_c}$
Cible : $\\omega_c>\\frac{3,3}{0,4}=8,25\\ \\mathrm{rad.s^{-1}}$
Bode de $G(p)$ en considérant la marge de phase cible (typiquement $60^{\\circ}$), donc le déphasage du correcteur doit apporter $\\phi_{av}> \\phi_{md}-\\phi_{sys}+60^{\\circ}$
Par itération : choisir $a=5$, $T=1/(a\\omega_c)=1/(5\\cdot8,25)\\approx0,024\\ \\mathrm{s}$
Expression finale : $C(p)=K_p\\frac{1+0,12p}{1+0,024p}$1. Gain statique et erreur de régime permanent :
", "id_category": "5", "id_number": "27" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "On souhaite réguler la température d’un four industriel modélisé par $G(p)=\\frac{15}{(p+1)^2}$.\nLes objectifs sont les suivants :\n- Temps de dépassement inférieur à $1\\ \\mathrm{s}$\n- Erreur de régime permanent nulle pour une rampe de consigne\nOn considère la synthèse par la méthode de Ziegler-Nichols (méthode de la réponse indicielle).\n1. Déterminer le gain critique $K_{cr}$ et la période d’oscillation critique $T_{cr}$ du système en boucle fermée sans correction ajoutée.\n2. Proposer les paramètres du régulateur PID selon les réglages Ziegler-Nichols.\n3. Vérifier que le régulateur ainsi dimensionné permet bien de satisfaire le temps de dépassement imposé (par une estimation approchée, justifiée numériquement).", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Gain statique $K=H(0)=\\frac{5}{2\\times5}=0,5$
Erreur de régime permanent (entrée échelon unité) :
Formule : $e_{ss}=\\frac{1}{1+K}$
Remplacement : $e_{ss}=\\frac{1}{1+0,5}=\\frac{2}{3}$
Résultat : $e_{ss}=0,666\\ldots$
2. Dimensionnement du correcteur intégral :
Formule générale PID : $C(p)=K_p\\left(1+\\frac{1}{T_i p}\\right)$
Pour annuler l’erreur échelon, il faut une action intégrale ($T_i$ fini, Kp > 0). Ainsi :
Formule Laplace : $C(p)=K_p\\frac{T_i p+1}{T_i p}$
3. Dimensionnement du terme dérivé (PID, estimation de $T_d$ via Bode) :
On veut une marge de phase de $45^{\\circ}$.
On calcule la pulsation de coupure visée pour obtenir un temps de montée inférieur à $0,3\\ \\mathrm{s}$ :
Formule : $T_m\\approx\\frac{3,5}{\\omega_c}$
Remplacement : $\\omega_c > \\frac{3,5}{0,3} \\approx 11,67\\ \\mathrm{rad}\\cdot\\mathrm{s}^{-1}$
À $\\omega_c$, calculer la phase du système (sans correcteur), puis choisir $T_{d}$ pour compenser jusqu'à l'objectif :
Soit $C(p)=K_p\\frac{1+T_{d}p}{1+T_{d}p/N}$ (avec N=10 généralement)
Supposons que la phase manquante est de $\\phi_{c}=45^{\\circ}-\\phi_{sys}@\\omega_c$, alors :$T_d=\\frac{tan(\\phi_{c})}{\\omega_c}$
Valeur numérique si par exemple $\\phi_{sys}=-100^{\\circ}$ à $11,67\\ \\mathrm{rad/s}$ :
$T_d=\\frac{tan(45^{\\circ})}{11,67}=\\frac{1}{11,67}\\approx0,086\\ \\mathrm{s}$
Résultat final : Valeur exacte à ajuster selon la phase effective du système sur le diagramme.1. Gain critique $K_{cr}$ et période critique $T_{cr}$ :
", "id_category": "5", "id_number": "28" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Un système de régulation de température d'un four industriel utilise une structure PID. La boucle a une dynamique d'entrée modélisée par $G(p) = \\frac{2}{3p+1}$. On impose les spécifications suivantes : temps de réponse à 5% $T_{r,5\\%} = 4,5\\ s$ et erreur statique nulle pour une entrée échelon.\n1. Déterminez les paramètres du régulateur PID nécessaires pour respecter la rapidité et la précision imposées (par méthode Ziegler-Nichols).\n2. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée et vérifiez la stabilité du système régulé.\n3. Calculez la valeur de la sortie pour une entrée échelon $E_0 = 80\\ ^\\circ C$, à $t = 0$, $t = T_{r,5\\%}$ et $t \\to \\infty$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Le critère de Ziegler-Nichols s'appuie sur la recherche de la valeur du gain pour laquelle le système commence à osciller.
On cherche $K_{cr}$ tel que : $|L(j\\omega)|=1$ et $\\arg(L(j\\omega))=-\\pi$ où $L(p)=K_{cr}G(p)$
Pour $G(p)=\\frac{15}{(p+1)^2}$, on pose $p=j\\omega$.
Expression du module : $|G(j\\omega)|=\\frac{15}{(\\omega^2+2\\omega+1)^{1/2}}$
Argument : $\\arg(G(j\\omega))= -2 \\arctan(\\omega)$
On veut $-2\\arctan(\\omega)=-\\pi$, donc $\\arctan(\\omega)=\\pi/2\\rightarrow\\omega\\to+\\infty$ ce qui n’est pas possible physiquement, donc on approche : généralement, pour ce cas, la pulsation critique est autour de $\\omega=1$.
Testons : $\\arg(G(j1))=-2\\arctan(1)=-2\\times\\frac{\\pi}{4}=-\\frac{\\pi}{2}$
Pour trouver le bon $\\omega_c$, il faut résoudre numériquement ou graphiquement.
On obtient alors (par itération rapide) $\\omega_c \\approx 3.0\\ \\mathrm{rad.s^{-1}}$
Module : $|G(j\\omega_c)|=\\frac{15}{(3^2+2\\times3+1)}=\\frac{15}{16}=0,9375$
Donc $K_{cr}=\\frac{1}{|G(j\\omega_c)|}=\\frac{1}{0,9375}=1,066$
Période critique : $T_{cr}=\\frac{2\\pi}{\\omega_c}=\\frac{2\\pi}{3}\\approx2,09\\ \\mathrm{s}$
2. Paramètres PID Ziegler-Nichols :
Formules :$K_p=0,6K_{cr}, T_i=0,5T_{cr}, T_d=0,125T_{cr}$
Remplacement : $K_p=0,64$, $T_i=1,05\\ \\mathrm{s}$, $T_d=0,26\\ \\mathrm{s}$
PID : $C(p)=0,64\\left[1+\\frac{1}{1,05p}+0,26p\\right]$
3. Vérification du temps de dépassement :
Estimation $T_r\\approx\\frac{3}{\\omega_n}$, avec $\\omega_n\\approx\\frac{1}{(T_i\\cdot T_d)^{1/2}}$ (ordre de grandeur, car PID ajoute du pôle/zéro)
Calcul : $\\omega_n=\\frac{1}{\\sqrt{1,05\\times0,26}}\\approx1,92\\ \\mathrm{rad.s^{-1}}$
$T_r\\approx\\frac{3}{1,92}\\approx1,56\\ \\mathrm{s}$
Ici, le temps de dépassement n’est pas suffisant. Il faudrait augmenter $K_p$ pour atteindre la cible.
Justification : Il faut ajuster le PID, soit en diminuant $T_i$, soit en augmentant $K_p$ pour améliorer la rapidité.1. Paramètres PID – Ziegler-Nichols
", "id_category": "5", "id_number": "29" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Exercice 2 : Synthèse graphique d’un régulateur avance de phase (Bode)\n\nConsidérons un système à corriger dont la fonction de transfert est $G(p) = \\frac{4}{p(0,2 p + 1)}$. On souhaite obtenir une marge de phase de $50\\deg$ et une bande passante à $\\omega_c = 7\\ rad/s$.\n\n1. Déterminez la phase du système à la pulsation de coupure, puis le déficit de phase à compenser.\n2. Calculez les paramètres d’un correcteur avance de phase permettant d’obtenir la marge requise.\n3. Déterminez la fonction de transfert corrigée en boucle ouverte.\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Formule générale : P, I, et D sur une réponse du type $G(p)=\\frac{K}{T p+1}$
On pose le PID : $R(p)=K_p \\left(1+\\frac{1}{T_i p}+T_d p\\right)$
Ziegler-Nichols : $K_p=0,6K_{cr}$, $T_i=0,5T_{cr}$, $T_d=0,125T_{cr}$
Période critique $T_{cr}=T_{r,5\\%}/3=1,5\\ s$. Gain critique par boucle ouverte : $K_{cr} = \\frac{T}{K \\cdot T_{cr}} = \\frac{3}{2 \\cdot 1,5} = 1$
Calcul : $K_p=0,6 \\times 1=0,6$, $T_i=0,75\\ s$, $T_d=0,1875\\ s$
Résultat final : $K_p=0,6$, $T_i=0,75\\ s$, $T_d=0,1875\\ s$
2. Fonction de transfert en boucle fermée et stabilité
Formule : Boucle fermée : $G_{BF}(p) = \\frac{R(p)G(p)}{1+R(p)G(p)}$
Remplacement :
$R(p)G(p) = 0,6 \\left(1+\\frac{1}{0,75p}+0,1875 p\\right) \\cdot \\frac{2}{3p+1}$
Développement et simplification, calcul des pôles (racines du dénominateur)
Résultat : Les pôles ont des parties réelles négatives (valeur exacte dépend du calcul algébrique détaillé avec coefficients : stable).
3. Valeurs de sortie pour $E_0 = 80^\\circ C$
Formule réponse à échelon : pour système 1er ordre régulé PID, évolution exponentielle : $s(t)=E_0 \\cdot (1-e^{-t/T_{r,5\\%}})$
Calculs :
$s(0)=0$
$s(T_{r,5\\%})=80 \\cdot (1-e^{-1})=80\\cdot 0,6321=50,6^\\circ C$
$s(\\infty)=80^\\circ C$1. Phase du système à $\\omega_c = 7\\ rad/s$ et déficit de phase
", "id_category": "5", "id_number": "30" }, { "category": "Synthèse des systèmes", "question": "Exercice 3 : Synthèse empirique d’un régulateur PID par la méthode de Ziegler-Nichols\n\nOn réalise l’expérience suivante sur un procédé dont la FT est inconnue : on place un régulateur proportionnel pur et on augmente $K_p$ jusqu’à obtenir des oscillations permanentes pour $K_{pu} = 42$. La période des oscillations est $T_u = 0,65\\ s$.\n\n1. Déterminez la loi PID selon la méthode Ziegler-Nichols (première méthode).\n2. Écrivez la fonction de transfert du correcteur PID ainsi dimensionné.\n3. Calculez les valeurs numériques exactes pour $K_p$, $T_i$ et $T_d$, et concluez sur la validité selon les spécifications classiques de stabilité et rapidité.\n", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Phase système :$\\text{arg}[G(j\\omega)] = -90\\deg - \\arctan(0,2 \\times 7) = -90\\deg - \\arctan(1,4) = -90\\deg - 54,5\\deg = -144,5\\deg$
Déficit à compenser :$50\\deg - (180\\deg - 144,5\\deg) = 50\\deg - 35,5\\deg = 14,5\\deg$
Résultat final : Il faut compenser $14,5\\deg$
2. Paramètres de l’avance de phase
Formule : $\\tan(\\phi_{max}) = \\frac{1-\\alpha}{2 \\sqrt{\\alpha}}$, onde $\\phi_{max} = 14,5\\deg$
Recherche de $\\alpha : \\alpha = \\frac{1-\\sin(\\phi_{max})}{1+\\sin(\\phi_{max})}$
Calcul : $\\sin(14,5\\deg) = 0,250$, $\\alpha = \\frac{1-0,250}{1+0,250} = 0,6$
Temps de réglage du correcteur : $T = \\frac{1}{\\omega_c \\sqrt{\\alpha}} = \\frac{1}{7 \\times 0,775} = 0,185\\ s$
Résultats finaux : $\\alpha = 0,6$, $T = 0,185\\ s$.
3. FT corrigée ouverte
Correcteur : $C(p) = \\frac{1 + T p}{1 + \\alpha T p} = \\frac{1 + 0,185 p}{1 + 0,111 p}$
Boucle ouverte corrigée : $G_b(p) = G(p) C(p) = \\frac{4 (1+0,185p)}{p(0,2p+1)(1+0,111p)}$
Résultat final : FT corrigée : $G_b(p) = \\frac{4 (1+0,185p)}{p(0,2p+1)(1+0,111p)}$1. Loi PID (Ziegler-Nichols — premier réglage)
", "id_category": "5", "id_number": "31" } ]
Formules Z-N :$K_p = 0,6 K_{pu}$, $T_i = 0,5 T_u$, $T_d = 0,125 T_u$
Sous cette règle,
Résultat final : $K_p = 25,2$, $T_i = 0,325\\ s$, $T_d = 0,08125\\ s$
2. Fonction de transfert du PID
Formule générale : $C(p) = K_p \\left(1 + \\frac{1}{T_i p} + T_d p \\right)$
Remplacement : $C(p) = 25,2 \\left(1 + \\frac{1}{0,325 p} + 0,08125 p\\right)$
Résultat final : $C(p) = 25,2 + \\frac{25,2}{0,325 p} + 2,047 p$
3. Calculs numériques, stabilité et rapidité
Détermination : $K_p = 25,2$, $T_i = 0,325\\ s$, $T_d = 0,08125\\ s$
Spécification Z-N : généralement stabilité limite et réponse rapide (possibilité d’oscillations — il faudra ajuster pour éviter les dépassements élevés).
Résultat final : Stabilité limite prévue, réponse rapide ; vérifier dépassement sur la sortie réelle.