Systemes non lineaires Recherche avancée

• Preparation pour l'examen (14 Exercices)
  • 1
    Le système d'oscillateur de Van der Pol couplé à une commande externe est étudié pour ses applications en électronique et en biophotonique. Ce problème intégré examine sa stabilité, son analyse de phase et sa commande. ÉNONCÉ INTÉGRÉ DES QUESTIONS Problème contexte : Un oscillateur de Van der Pol modifié est régi par le système : $\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -x_1 + \mu(1 - x_1^2)x_2 + u(t) \end{cases}$ où $\mu = 0.5$ est le paramètre de non-linéarité, $x_1$ est la position, $x_2$ est la vitesse, et $u(t)$ est la commande. QUESTION 1 : Analyse du Point d'Équilibre et Fonction de Lyapunov Le point d'équilibre du système non commandé ( $u = 0$ ) est $(0, 0)$ ....→
  • 2
    Un système de suspension active non-linéaire est utilisé dans les véhicules de compétition. Ce problème analyse ses caractéristiques dynamiques par les méthodes du plan de phase et de l'approximation harmonique. ÉNONCÉ INTÉGRÉ DES QUESTIONS Problème contexte : Le système d'amortisseur non-linéaire est modélisé par : $\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \ \dot{x}_2 = -2x_1 - x_2 - 0.8x_2^3 + f(t) \end{cases}$ où $x_1$ est le déplacement, $x_2$ est la vitesse, et $f(t) = F_0 \sin(\Omega t)$ avec $F_0 = 1 \text{ N}$ et $\Omega = 2 \text{ rad/s}$ . QUESTION 1 : Analyse Qualitative du Plan de Phase Construisez le portrait de phase qualitativement pour $f(t) = 0$ (système autonome). Identifiez les points d'équilibre, analysez leur nature (nœud, foyer, selle), et déterminez si des cycles limites existent. Tracez au...→
  • 3
    Un système de convertisseur de puissance boost (élévateur de tension) modélisé par des équations non-linéaires est étudié pour optimiser sa dynamique et sa robustesse. Ce problème intègre la géométrie différentielle, la contrôlabilité et l'optimalité. ÉNONCÉ INTÉGRÉ DES QUESTIONS Problème contexte : Le convertisseur boost est régi par : $\begin{cases} \dot{x}_1 = -\frac{u}{L}x_2 + \frac{1}{L}V_{in} \ \dot{x}_2 = \frac{u}{C}x_1 - \frac{x_2}{RC} \end{cases}$ où $x_1$ est le courant (A), $x_2$ est la tension (V), $u \in [0, 1]$ est le rapport cyclique de commande, $L = 1$ H, $C = 1$ F, $R = 2$ Ω, $V_{in} = 5$ V. QUESTION 1 : Analyse de Contrôlabilité par Géométrie Différentielle Vérifiez que le système est contrôlable au sens de Lie en utilisant le test du crochet...→
  • 4
    Durée: 3 heures | Niveau: Master | Spécialité: Systèmes Non-Linéaires Contexte global: Vous analysez un oscillateur électronique non-linéaire (type Van der Pol) utilisé en télécommunications. Le système présente naturellement des cycles limites. Vous étudierez d'abord l'existence de ces cycles, puis analyserez leur stabilité, vous estimerez leur amplitude et fréquence par la méthode du premier harmonique, vous interpréterez le plan de phase, et enfin vous étudierez les phénomènes de synchronisation (entrainement de fréquence). Question 1: Existence et Stabilité des Cycles Limites Considérez l'oscillateur de Van der Pol modifié: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -x_1 + \mu(1 - x_1^2)x_2$ avec le paramètre $\mu = 1$ (régime modérément non-linéaire). a) Montrez que le...→
  • 5
    Durée: 3 heures | Niveau: Master | Spécialité: Géométrie Différentielle Appliquée Contexte global: Vous concevez un système de commande pour un robot manipulateur non-linéaire opérant dans l'espace. Le système possède des contraintes holonomes et non-holonomes. À travers les 5 questions suivantes, vous analyserez la géométrie de l'espace de configuration, vous synthétiserez une loi de commande basée sur la théorie différentielle, vous étudierez les singularités de contrôlabilité, vous appliquerez des méthodes d'inversion dynamique, et enfin vous interpréterez les variétés invariantes. Question 1: Espace de Configuration et Forme Symplectique Considérez un système de second ordre affine en contrôle: $\ddot{q} = f(q, \dot{q}) + G(q)u$ où $q \in \mathbb{R}^2$ est...→
  • 6
    00 | Niveau : Automatique | Documents : Tables mathématiques autorisées Contexte : On étudie un système de commande non-linéaire d'un pendule amortisseur (amortisseur magnétique pour isolateur parasismique). Le système exhibe des phénomènes d'hystérésis et de saturation typiques des systèmes non-linéaires industriels. Question 1 : Caractérisation de la Non-Linéarité et Points d'Équilibre Le système est modélisé par l'équation différentielle vectorielle suivante : $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -2x_1 - 0.5x_2 - 0.3\text{sat}(x_1 + 2x_2) + u$ Où $\text{sat}(y) = \begin{cases} 1 & \text{si } y > 1 \ y & \text{si } |y| \leq 1 \ -1 & \text{si } y La commande en boucle ouverte est $ u = 0 $. 1.1) Trouvez les points d'équilibre du système en résolvant $ \dot{x}_1 = 0, \dot{x}_2 = 0 $. 1.2) Analysez la nature de la non-linéarité (saturation vs hystérésis) et ses implications. 1.3) Linéarisez le système autour de l'origine et calculez les valeurs propres de la matrice jacobienne. Question 2 : Fonction de Lyapunov Quadratique On propose une fonction de Lyapunov candidate : $ V(x) = x_1^2 + 2x_1 x_2 + 2x_2^2 $. 2.1) Montrez que $ V(x) $ est définie positive (trouvez les valeurs propres de sa matrice hessienne ou utilisez Sylvester). 2.2) Calculez la dérivée temporelle $ \dot{V} = \frac{\partial V}{\partial x}^T \dot{x} $. 2.3) Analysez la stabilité asymptotique globale du système non-linéaire en utilisant le théorème de Lyapunov. 2.4) Si le système était commandé avec $ u = -k_1 x_1 -...→
  • 7
    00 | Niveau : Automatique Avancée Contexte : On étudie un système avec élément non-linéaire saturant commandé en boucle fermée. La méthode du premier harmonique permet d'approximer le comportement oscillatoire quasi-sinusoïdal du système. Question 1 : Caractérisation de la Non-Linéarité par Gain Complexe Équivalent La non-linéarité est une saturation : $y = \text{sat}(x) = \begin{cases} U & \text{si } x > U \ x & \text{si } |x| \leq U \ -U & \text{si } x On applique une entrée sinusoïdale : $ x(t) = A \sin(\omega t) $. 1.1) Pour une amplitude $ A = 0.8 $ (zone linéaire, $ A 1.2) Pour une amplitude $A = 1.5$ (zone saturante, $A > U$ ), calculez le gain complexe équivalent $N(A) = \frac{4U}{\pi A}$ (avec phase). 1.3) Interprétez le résultat : comment le gain varie avec l'amplitude ? Question 2 : Analyse de Stabilité Oscillatoire (Cycle Limite)...→
  • 8
    00 | Niveau : Spécialisé | Documents : Formulaires de géométrie différentielle autorisés Contexte : Analyse d'un système robotique non-holonome (robot mobile) utilisant les outils de géométrie différentielle pour planifier des trajectoires et concevoir des lois de commande géométriques. Question 1 : Variété, Champ de Vecteurs et Crochet de Lie Un robot mobile non-holonome est modélisé par : $\dot{x} = v \cos(\theta)$ $\dot{y} = v \sin(\theta)$ $\dot{\theta} = \omega$ Où $x, y$ sont les coordonnées de position, $\theta$ est l'orientation, $v$ et $\omega$ sont les entrées de contrôle. 1.1) Exprimez le système sous forme affine : $\dot{X} = f(X) + g_1(X) v + g_2(X) \omega$ où $X = [x, y, \theta]^T$ . 1.2) Calculez les champs de vecteurs $f, g_1, g_2$ . 1.3)...→
  • 9
    Contexte global Un système de régulation thermique non-linéaire est modélisé pour contrôler la température d'une salle d'industrie pharmaceutique. Le système présente des non-linéarités dues aux échanges thermiques convectifs. L'objectif est d'analyser la stabilité de ce système et de déterminer les trajectoires possibles dans le plan de phase. Question 1 : Modélisation et Points d'Équilibre Le système de régulation thermique est décrit par le système d'équations suivant : $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -2x_1 - 0.5x_2 + 0.1x_2^2 - 0.05x_1^3$ où $x_1$ est l'écart de température (en °C) et $x_2$ est la vitesse de variation de température (en °C/min). 1.a) Déterminez les points d'équilibre du système. 1.b) Justifiez pourquoi l'origine est...→
  • 10
    On considère un système dynamique non linéaire d’ordre 2 modélisé par : $\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \n\dot{x}_2 = -x_1 + x_1^3 - 2x_2 + u \end{cases}$ Le but de cet examen est de vérifier la stabilité du système, d'étudier la commande, puis d'analyser la réponse harmonique et la géométrie différentielle. 1. (a) Justifiez le choix d'une fonction de Lyapunov pour ce système et proposez-en une adaptée. 2. (b) Montrez, à l'aide de la fonction de Lyapunov proposée, si l'origine est stable sans contrôle (autonome, $u=0$ ). 3. (c) Proposez un retour d’état $u = k_1 x_1 + k_2 x_2$ stabilisant le système selon la méthode de Lyapunov. Précisez les conditions sur $k_1$ et $k_2$ . 4. (d) Tracez le...→
  • 11
    On considère un pendule inversé de longueur $l = 1\,m$ et de masse $m = 1\,kg$ , dont la dynamique s'écrit : $\ddot{\theta} + 0,2\dot{\theta} - \sin\theta = u$ avec $\theta$ : angle du pendule (nul : position verticale haute), et $u$ : couple de commande. 1. (a) Décrivez les équilibres du système sans commande, et étudiez leur stabilité locale par linéarisation. 2. (b) Proposez une fonction de Lyapunov adaptée à la stabilisation autour de $\theta = 0$ . 3. (c) Choisissez une loi de commande par feedback linéaire qui rend l'équilibre globalement asymptotiquement stable autour de $\theta = 0$ . 4. (d) Analysez la réponse du système pour une perturbation initiale faible ( $\theta_0 = 0,1\,rad$ ,...→
  • 12
    On considère le système modélisé par : $\dot{x} = y - x^3$ , $\dot{y} = -x - y$ Ce système apparaît dans certains modèles de circuits électriques non linéaires. 1. (a) Déterminez tous les points d’équilibre et analysez leur nature (stabilité, type) par linéarisation. 2. (b) Construisez et interprétez le plan de phase localement autour de chaque point d'équilibre. 3. (c) Utilisez la méthode de Lyapunov pour discuter la stabilité globale de l’origine. 4. (d) Proposez une transformation de coordonnées permettant la simplification locale du système par des outils géométriques (formes normales). 5. (e) À partir du premier harmonique, donnez la réponse approchée à un forçage périodique $y(t) = B \cos(\Omega t)$ ....→
  • 13
    Durée: 2 heures | Niveau: Master | Candidat: ___________________ Consignes: Montrez tous les calculs intermédiaires. Les approximations harmoniques doivent être justifiées. Question 1 (5 points): Cycle Limite et Analyse de Poincaré-Bendixson Considérez l'oscillateur de Van der Pol amorti: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = \mu(1 - x_1^2)x_2 - x_1$ avec $\mu = 0.5$ . a) Identifiez les points d'équilibre et analysez leur stabilité par linéarisation. b) Démontrez qu'il existe un cycle limite dans ce système en utilisant les concepts de région de piégeage (trapping region). c) Esquissez le portrait de phase qualitativement et situez le cycle limite approximativement. Question 2 (5 points): Système de Contrôle avec Hysteresis Un système de rétroaction...→
  • 14
    Durée: 2 heures | Niveau: Master Avancé | Candidat: ___________________ Consignes: Les démonstrations géométriques doivent être rigoureuses. Justifiez toutes les hypothèses. Question 1 (5 points): Variétés Intégrales et Champs de Vecteurs Invariants Considérez le système non-linéaire: $\dot{x}_1 = x_2 + x_1 x_2$ $\dot{x}_2 = -x_1 + x_1^2$ a) Trouvez une première intégrale (fonction d'intégration invariante) du système en utilisant la méthode de recherche des courbes d'énergie. b) Analysez l'involutivité de la distribution engendrée par les champs de vecteurs $f$ et le champ de contrôle $g = [0, 1]^T$ . c) Tracez la géométrie des variétés intégrales dans le plan de phase et interprétez leur signification physique. Question 2 (5 points): Linéarisation par...→
• Méthode du plan de phase (27 Exercices)
  • 1
    Considérez un système non linéaire du second ordre utilisé pour modéliser un oscillateur non linéaire type Van der Pol, et étudiez-le via la méthode du plan de phase. Le système est décrit par les équations: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1$ , avec $\mu > 0$ . On considère une version normalisée où l’oscillateur est soumis à une perturbation additive sous forme de commande $u$ agissant comme un terme d’entrée sur la vitesse, ainsi que la sortie $y = x_1$ . 1. Tracez le plan de phase du système sans entrée (u = 0) pour $\mu = 1$ , identifiez les points d’équilibre, et calculez l’indice (index) des points singuliers...→
  • 2
    Systèmes non linéaires — Exemple: oscillateur Van der Pol à paramètre μ = 1, fréquenté par une entrée u affectant la dynamique par un terme non linéaire. On étudie les orbites et l’influence d’un bruit sur les orbites périodiques. Le système est : $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1 + b u$ , avec $ b = 0.5$ et la sortie $y = x_1$ . 1. Analysez l’existence d’orbites limites et calculez le cycle limite pour μ = 1 en considérant le système sans contrôle (u = 0). Discutez les conditions d’existence et donnez les propriétés locales et globales des trajectoires autour du cycle limite. 2. Introduisez une entrée de contrôle $u = -K y$...→
  • 3
    Exercice 1 : Plan de phase d’un système non linéaire du second ordre Considérons un système non linéaire du plan réel décrit par l’équation différentielle $\ddot{x} = f(x, \dot{x})$ avec $x ∈ R$ . Pour faciliter l’étude, on transforme le système en variables d’état $x_1 = x$ , $x_2 = \dot{x}$ et on obtient le système en forme standard : $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = f(x_1, x_2)$ Supposons un modèle canonique du Van der Pol dans une version non linéaire: $f(x_1, x_2) = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1$ avec $\mu > 0$ . Question 1 : Construisez le portrait de phase pour $\mu = 1$ en décrivant les orbites, les points fixes et le type des points singuliers. Identifiez les isoclines principales et discutez les...→
  • 4
    Exercice 3 : Théorème de Poincaré-Bendixson et trajectoires dans le plan Pour le système non linéaire $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = µ (1 - x_1^2) x_2 - x_1$ avec $µ = 1$ , considérons le domaine plan $R = { (x_1, x_2) | x_1^2 + x_2^2 ≤ 4 }$ . Question 1 : Déterminez les points singuliers et leur index. Calculez l’index de chaque point singulier et déduisez si un ou des cycles limites peuvent exister dans ce domaine. Question 2 : Appliquez le théorème de Bendixson pour énoncer les conditions qui excluent l’existence de cycles fermés dans ce domaine. Vérifiez si les conditions sont satisfaites et discutez les implications pour l’existence d’orbites périodiques. Question 3 : Quantification des orbites et portraits...→
  • 5
    Exercice 2 : Énigme – Plan de phase et complétion Singulaires (orbites et index) dans des systèmes non linéaires On étudie un système général du second ordre avec des points singuliers et l’indice de Poincaré-Bendixson pour discuter l’existence d’orbites périodiques. Le système est donné par $\dot{x} = f(x)$ avec $x = [x_1, x_2]^T$ , et le champ est dominé par les termes non linéaires. On suppose qu’il existe des points critiques et un domaine d’étude $D$ . 1. Déterminez l’indice en un point singulier $x^*$ comme $Ind(x^*) = sign(det(J_f(x^*)))$ , et discutez le lien entre l’indice et l’orientation des champs autour du point. Donnez les conditions pour...→
  • 6
    Exercice 3 : Théorèmes d’index et Bendixson – application pratique dans des systèmes non linéaires On considère un système plan $\dot{x} = f(x)$ avec des points singuliers et on applique le théorème de Bendixson pour discuter l’absence de cycles dans des domaines limités. Supposons que le domaine D est simplement connexe et que la divergence $div f(x)$ est strictement négative dans D. 1. Énoncez le théorème de Bendixson et montrez qu’il implique l’absence d’orbites fermées dans D. 2. Montrez que l’indice des singularités intérieures dans D est compatible avec l’absence de cycles et donnez les conditions sur les points critiques pour lesquelles cela...→
  • 7
    Exercice 2 : Théorèmes d’existence et de non-existence des orbites – Poincaré-Bendixson et points singuliers Considérez le système plan $\dot{x}_1 = f_1(x_1, x_2)$ , $\dot{x}_2 = f_2(x_1, x_2)$ avec des fonctions C^1 et où l’espace d’étude est un domaine borné et simplement connexe. On suppose l’existence d’un unique point singulier local et une orbite qui reste dans le domaine. Question 1 : Énoncer le théorème de Poincaré-Bendixson et décrire les conditions dans lesquelles il assure l’existence d’orbites limites et donne une classification des comportements possibles (point fixe, orbite limite, ou convergence vers un cycle). Question 2 : Appliquer le théorème à un exemple du système Van...→
  • 8
    Exercice 3 : Application numérique — démonstration du théorème d’existence dans le plan On étudie le système non linéaire en plan $\dot{x}_1 = f_1(x_1, x_2)$ , $\dot{x}_2 = f_2(x_1, x_2)$ avec des fonctions connues telles que f_1(x_1, x_2) = x_2 et f_2(x_1, x_2) = -x_1 - x_2 - x_1^3 Question 1 : Trouver les points critiques et calculer les indices de chaque point critique. Donnez les résultats et interprétez les implications sur l’existence de cycles. Question 2 : Construire le plan de phase autour des points critiques et déduire la nature des orbites autour de ces points (nœuds, spirales, saddle). Fournir les informations sur les flots...→
  • 9
    Considérez un système non linéaire du second ordre modélisé par un oscillateur de Van der Pol standard décrit par les équations réécrites en espace d’états : $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1$ , où $\mu \in \mathbb{R}$ est le paramètre d’non-linéarité. On considère une représentation multi-états pour l’addition d’un terme de rétroaction d’état et l’étude des orbites et des points d’équilibre dans le plan phi-x1 (plan de phase). On introduit une perturbation légère et une observation par une sortie $y = x_1$ . Question 1 : Écrivez les équations d’état et déterminez les points d’équilibre du système en fonction de $\mu$ . Calculez le Jacobien en chaque...→
  • 10
    Étude d’oscillations non linéaires et de stabilité par plan de phase pour un système non linéaire du type Van der Pol généralisé avec term e(d) et couplage entre deux modes. Le système est modélisé par un plan d’état de dimension 4 : $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1 + x_3$ , $\dot{x}_3 = x_4$ , $\dot{x}_4 = \nu (1 - x_3^2) x_4 - x_3$ où $\mu, \nu > 0$ modulent les non-linéarités et les couplages entre les modes. On observe deux modes d’oscillation couplés et la sortie est $y = [x_1, x_3]$ . Question 1 : Définissez les points d’équilibre et calculez les Jacobiennes en ces points pour étudier la stabilité locale de chaque équilibre. Analyser les conditions sur $\mu$ et...→
  • 11
    Considérez un système non linéaire du plan (système de second ordre) décrivant un oscillateur non linéaire tel que l’oscillateur de Van der Pol, avec les équations d’état $\dot{x}_1 = x_2$ et $\dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1$ , où $\mu > 0$ est le paramètre d’amortissement non linéaire. On étudie le plan de phase, les isoclines et les orbites, et on rappelle les résultats pour les systèmes linéaires. Question 1 : Établissez le portrait de phase qualitatif pour le système Van der Pol en indiquant les points critiques, leur stabilité et les orbites typiques selon différentes valeurs de $\mu$ . Discutez l’existence d’oscillations auto-entretenues et la nature des attracteurs...→
  • 12
    Analyse et synthèse des systèmes non linéaires – méthode des isoclines et application à l’oscillateur Van der Pol et à des systèmes en régime périodique. On étudie l caractérisation des orbites et l’index des points singuliers dans un cadre non linéaire et plan autonome. Question 1 : Construct a portrait de phase et l’identification des points singuliers et de leur index pour un système non linéaire générique donné par $\dot{x}_1 = f(x_1, x_2), \dot{x}_2 = g(x_1, x_2)$ , puis déterminer l’index (α) des points critiques et discuter des conséquences sur la dynamique. Question 2 : Appliquer le théorème de Bendixson et Poincaré-Bendixson pour un domaine planaire donné...→
  • 13
    Exercice sur les systèmes non linéaires et le plan de phase. Cet exercice regroupe 5 questions interdépendantes autour des notions de systèmes du second ordre, plan de phase, isoclines, et propriétés des points singuliers, avec une application à l oscillateur de Van der Pol et à la comparaison avec les systèmes linéaires. Les données numériques suivantes seront utilisées: l’oscillateur de Van der Pol $\ddot{x} - \mu (1 - x^2) \dot{x} + x = 0$ avec $\mu = 1.5$ . 1) Construction du plan de phase et équations d'état Réécrivez le système non linéaire sous forme d’état $x_1 = x, x_2 = \dot{x}$ et donnez le système d’états $\dot{x}_1 = x_2, \dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1$ . Déduisez les courbes d’isocline pour lesquelles $\dot{x}_2 = 0$ et...→
  • 14
    Exercice sur les systèmes non linéaires — portraits de phase, isoclines et théorèmes classiques. On considère un autre système non linéaire du second ordre: $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = -x_1 + x_1^3 - x_2$ . Étudier les points critiques, l’indice et la stabilité, puis discuter le théorème de Bendixson et le théorème de Poincaré–Bendixson pour comprendre l’existence d’orbites limites dans le domaine défini par les limites naturelles du système. 1. Trouver les points critiques et classifier localement le système par linéarisation autour de chaque point critique. Calculer les valeurs propres et interpréter le type de stabilité. 2. Déterminer les isoclines associées et représenter le champ vectoriel qualitativement;...→
  • 15
    Systèmes non linéaires - Plan de phase et oscillateurs On étudie un système non linéaire du second ordre donné par $ \ddot{x} + f(x) = 0$ , où $ f(x) $ est une fonction non linéaire continue. On propose le remplacement par le couple first-order: $ x_1 = x, x_2 = \dot{x} $ et $ \dot{x}_1 = x_2, \dot{x}_2 = - f(x_1) $ . Pour une fonction $ f(x) = x - \tfrac{1}{3} x^3 $ ( potentiel de type double-well ), construire le plan de phase et tracer les isoclines associées. Considérez ensuite l’oscillateur de Van der Pol comme comparaison et discutez des différences qualitatives entre les orbites des deux systèmes.→
  • 16
    Identité et stabilité des orbites - application 2 Considérons un système non linéaire du type $ \ddot{x} + \alpha x + \beta x^3 = 0$ avec $\alpha>0$ , $\beta>0$ . En écrivant en premier ordre $ x_1 = x, x_2 = \dot{x}$ on obtient $ \dot{x}_1 = x_2, \dot{x}_2 = - \alpha x_1 - \beta x_1^3$ . a) Déterminez les points d’équilibre et leur stabilité locale en utilisant l’énergie $E = 1/2 x_2^2 + 1/2 \alpha x_1^2 + 1/4 \beta x_1^4$ . b) Démontrer que l’énergie conserve les orbites lorsque les termes de dissipation sont nuls et déduire la forme des orbites pour des conditions initiales simples (par exemple x(0) = x0, ẋ(0) = 0). c) Si l’on introduit une petite dissipation $ -\epsilon \dot{x} $ avec $\epsilon>0$ , discuter qualitativement de l’existence d’une boucle limite et décrire l’allure du...→
  • 17
    Plan de phase et principes de Bendixson-Poincaré Considérons un système non linéaire du second ordre $ \ddot{x} = F(x, \dot{x}) $ avec $F$ suffisamment régulière. En introduisant le vecteur d’état $z = [x, \dot{x}]^T$ et en traçant le plan de phase, on peut discuter les points singuliers et le théorème de Bendixson-Poincaré pour exclure l’existence d’orbites fermées dans une région planaire. 1) Théorie et conditions Énoncer le théorème de Bendixson et l’assertion du théorème de Bendixson-Poincaré pour des systèmes planaires et donner les conditions sous lesquelles il est possible d’exclure l’existence d’orbites fermées dans une région simplement connexe sans singularité. Appliquer ces conditions sur l’exemple $ \ddot{x} + (1 - x^2) \dot{x} + x = 0$ (Van der...→
  • 18
    Indices et stabilité des points singuliers – application pratique Considérons un système de plan dynamique $ \dot{x} = f(x) $ avec $ f: R^2 → R^2$ . On suppose que les points fixes se localisent et que le théorème de index s’applique. Les points singuliers $P_i$ ont des indices $i(P_i)$ et le théorème de Poincaré-Hopf donne la somme des indices dans une région compacte comme étant égale à l’indice de la région. 1) Points singuliers et index Pour le système $ \dot{x}_1 = x_2 - x_1 (x_1^2 + x_2^2 - 1), \dot{x}_2 = - x_1 - x_2 (x_1^2 + x_2^2 - 1)$ , identifier les points fixes et calculer leur indice local en utilisant la matrice jacobienne $J = \partial f / \partial x$ évaluée en chaque point fixe. Discuter des implications pour le théorème...→
  • 19
    Analyse de portrait de phase et index – application pratique en contrôle Examinez le système non linéaire suivant: $ \dot{x} = y - x^3, \dot{y} = - x - y$ . a) Trouver les points fixes et déterminer leur stabilité locale en calculant la matrice jacobienne et les valeurs propres. b) Construire le portrait de phase qualitativement et discuter l’existence d’orbites fermées et l’indice des points fixes. c) Vérifier la condition de Bendixson-Bendixson-Poincaré pour exclure les orbites fermées dans une région donnée et discuter les implications pour la stabilisation d’un système réel (par exemple, un filtre non linéaire). d) Utiliser le théorème de Poincaré-Bendixson pour discuter des ensembles omega et des...→
  • 20
    Exercice 1 – Systèmes non linéaires et plan de phase Étudier un oscillateur non linéaire du type Van der Pol compacté pour faciliter l’analyse pédagogique en électrique : $\ddot{x} - \mu (1 - x^2) \dot{x} + x = 0$ , avec $\mu > 0$ . Reformuler sous forme d’un système du premier ordre, puis tracer le portrait de phase et déterminer les points critiques. 1. Écrire le système du premier ordre et décrire les conditions d’existence des points d’équilibre $(x,y)$ : $x = y'$ et $y' = \dot{x}$ . 2. Construire et interpréter les isoclines du système et identifier les orbites typiques autour des points critiques lorsque $\mu = 1$ . Déduire la nature des points critiques (nœud,...→
  • 21
    Exercice 2 – Méthode du berceau de l’index et points singuliers (Poincaré-Bendixson et Bendixson) Considérer un système plan non linéaire donné par $\dot{x} = f(x, y), \quad \dot{y} = g(x, y)$ où $f$ et $g$ sont des polynômes jusqu’au troisième degré. On étudie les points critiques et les propriétés globales via le théorème de Poincaré-Bendixson et l’indice des points singuliers. 1. Trouver tous les points critiques du système et classifier localement chaque point en fonction de la matrice jacobienne $J = \begin{bmatrix} ∂f/∂x & ∂f/∂y \ ∂g/∂x & ∂g/∂y \end{bmatrix}$ évaluée au point critique; déterminer la nature (node, focus, saddle). 2. Calculer l’indice (index) d’un point critique et relier à la nature du point; démontrer le théorème de...→
  • 22
    Exercice 3 – Théorèmes de Bendixson et d’index appliqués à des systèmes mécaniques simples Un système plan décrit par $∂x/∂t = y, ∂y/∂t = -x + a(1 - x^2) y$ illustre une version légère du modèle Van der Pol sans non linéaire dans le terme d’amortissement. Étudier la dynamique du système et commenter les résultats par référence à Bendixson et à l’indice. 1. Trouver les points critiques et calculer le jacobien, puis déterminer la nature locale des points critiques et leur indice. Discuter la condition de Bendixson dans le domaine et conclure s’il est possible d’avoir des cycles limites dans un domaine borné. 2. Analyser les valeurs propres du système...→
  • 23
    Exercice 1 : Systèmes non linéaires et plan de phase On étudie un système non linéaire du second ordre représentant une dynamique électrique, avec les équations temporelles énoncées comme suit : $ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2, \n\dot{x}_2 = \mu (1 - x_1^2) x_2 - x_1 + u(t), \end{cases} $ où $\mu > 0$ est un paramètre et $u(t)$ est une entrée de commande. On se propose d’analyser le portrait de phase, d’éliminer le temps implicitement et d’étudier le comportement pour $u(t) = 0$ et $\mu = 1$ . 1) Écrire le système sous forme vectorielle $\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, u)$ et déterminer les points critiques lorsque $u = 0$ . Calculer la matrice Jacobienne locale $J(\mathbf{x})$ et les valeurs propres à chacun des points critiques identifiés. 2) Construire le...→
  • 24
    Trois exercices intégrés sur le thème Systèmes non linéaires - Méthode du plan de phase, portraits et orbites, oscillateur de Van der Pol, et théorèmes de dynamique planaire. Chaque exercice présente une suite logique de questions liées entre elles et adaptées au niveau ingénierie électrique. Exercice 1, Exercice 2 et Exercice 3 sont indépendants les uns des autres et ne présentent pas de répétition de questions ou de sujets. Pour chaque exercice, les questions explorent des aspects différents (construction du plan de phase, isoclines, et conditions de Bendixson/Poincaré-Bendixson), tout en restant liées à la thématique générale et aux concepts fondamentaux...→
  • 25
    Exercice sur les Systèmes non linéaires : Méthode du plan de phase pour systèmes du second ordre et construction du portrait de phase. Cet ensemble de 5 questions interdépendantes simule un devoir universitaire avancé en génie électrique, en se concentrant sur l'élimination du temps et la méthode des isoclines pour l'oscillateur de Van der Pol. Utilisez $...$ pour toutes les expressions mathématiques (LaTeX brut, non rendu). Considérez le système non linéaire du second ordre modélisant un circuit oscillateur électrique : $\dot{x} = y$ $\dot{y} = -\mu (1 - x^2) y - x$ où $\mu > 0$ est un paramètre de non-linéarité représentant l'amplification dans un tube à vide, x et y sont...→
  • 26
    Exercice sur les Systèmes non linéaires : Rappel des systèmes linéaires et caractérisation des orbites par les valeurs propres, index des points singuliers et théorème de l'index. 5 questions liées pour un devoir cohérent en génie électrique, appliqué à un modèle de circuit non linéaire. Utilisez $...$ pour toutes les expressions mathématiques. Étudiez le système : $\dot{x} = -y + x(1 - x^2 - y^2)$ $\dot{y} = x + y(1 - x^2 - y^2)$ représentant un oscillateur polaire non linéaire (x,y : composantes en phase et quadrature, unités V). 1. Linéarisez autour de (0,0) et calculez les valeurs propres pour caractériser l'orbite locale ; comparez au cas linéaire pur. 2. Identifiez tous les points singuliers et...→
  • 27
    Trois exercices complets sur les systèmes non linéaires et la méthode du plan de phase, destinés à un niveau ingénierie électrique. Chaque exercice est autoconclusif et comporte des questions intégrées qui déclinent une progression logique. Les domaines couvrent: systèmes non linéaires du second ordre, portrait de phase, elimination du temps implicite/explicite, isoclines, oscillateur de Van der Pol, et résultats théoriques sur les systèmes linéaires (典 valeurs propres, points singuliers, théorèmes d’index et de Poincaré-Bendixson, condition de Bendixson). Chaque exercice contient 5 questions intégrées et 3 problèmes de calcul, avec des solutions étape par étape. Les formulations en mathématiques utilisent les...→
• Méthode du premier harmonique (28 Exercices)
  • 1
    Dans le cadre des systèmes non linéaires et de l’analyse par le premier harmonique (décomposition en harmoniques), on étudie un système with saturation et zone morte, qui est ensuite linéarisé autour d’un point de fonctionnement pour l’analyse par Nyquist et par le critère de Nyquist modifié. Considérons un système dynamique non linéaire en temps continu décrit par : $\dot{x} = f(x, u), \quad y = h(x) $ où x ∈ R^2 est l’état, u ∈ R est l’entrée, et y ∈ R est la sortie. On suppose que le système présente une saturation d’entrée avec seuil ±u_sat et une zone morte autour de u = 0 avec largeur...→
  • 2
    Exercice d’initiation avancée sur les non-linéarités communes et les cycles limites: on étudie un système avec saturation et hystérésis modélisé par un régulateur et une zone morte, et on cherche à identifier le cycle limite expérimental par une approche d’estimation des paramètres et de tests de stabilité. Le système est modélisé par: ẋ = f(x, u) avec u = G(x) simulant une retroaction non linéaire et saturée et où la frontière du cycle limite est approximée par une condition φ(x) = 0. On suppose que le premier harmonique est le mode dominant et que l’estimation des paramètres se fait par...→
  • 3
    Exercice intégré sur les systèmes non linéaires et la méthode du premier harmonique. Considérons un système régi par une non-linéarité saturante et une rétroaction linéaire, modélisé par l’équation différentielle $\dot{x} = A x + f(x) + B u$ , où $x ∈ R^2$ , $u ∈ R$ , et $f(x)$ représente l’harmonisation non linéaire. On suppose une saturation simple $f(x) = sat(x) = \begin{cases} -s, & x s \end{cases}$ , avec $s = 1$ . Le système est soumis à une entrée $u(t) = 0$ et on étudie la décomposition en premier harmonique sous excitation sinusoïdale $u(t) = A \sin(\omega t)$ et pour $\omega$ autour de la fréquence du cycle limite. Les propriétés de stabilité et de reproductibilité de la forme d’onde sont examinées via le critère du premier...→
  • 4
    Exercice sur l’Equivalent du premier harmonique et les systèmes avec hystérésis et saturation. Considérons un régulateur linéaire en boucle fermée qui est soumis à une non-linéarité de saturation et à une zone morte avec hystérésis. Le modèle simplifié est: $\dot{x} = A x + B u$ , $u = sat(K_p e) + h(s),$ où $e = r - y$ , et $h(s)$ représente une hystérésis d’amplitude h. L’objectif est d’estimer les paramètres du cycle limite par l’analyse du premier harmonique et de comparer avec une solution numérique du système régi par $\dot{x} = A x + B sat(K_p e) + B h(s)$ . Donnez 3 questions inter-dépendantes et résolvez-les pas à pas en utilisant les balises $...$ pour toutes les expressions mathématiques.→
  • 5
    Exercice final sur l’utilisation du premier harmonique pour l’identification d’un régulateur non linéaire dans un système en chaîne. Considérons un système où une non-linéarité de type saturation et un régulateur linéaire en boucle fermée interagissent. Le modèle est $\dot{x} = A x + B sat(K_p e) + B d(x)$ , $e = r - y$ , $y = C x$ , et $d(x)$ représente une distorsion additionnelle non linéaire. On cherche à estimer le gain du régulateur et la frontière du cycle limite en utilisant l’approche du premier harmonique et des essais numériques. Donnez 3 questions interdépendantes et résolvez-les pas à pas en utilisant les balises $...$ pour toutes les expressions mathématiques.→
  • 6
    Exercice unique sur les Systèmes non linéaires – Méthode du premier harmonique (H1). On considère un système non linéaire continu décrit par l’équation $\dot{x} = f(x, u)$ , où $x ∈ ℝ^n$ est l’état et $u ∈ ℝ$ l’entrée. L’analyse par le premier harmonique consiste à approximer le comportement autour d’un point d’équilibre par un champ linéaire et à évaluer l’amplitude des harmoniques générés par les non-linéarités. On suppose des non-linéarités typiques telles que saturation, zone morte et hystérésis, qui apparaissent par exemple dans des boucles de régulation ou des relais. a) Formulez le cadre du premier harmonique pour un système supposé autour d’un équilibre stable $(x*, u*)$ ....→
  • 7
    Exercice sur l’Equivalent premier harmonique – Validation et fiabilité. On étudie un système non linéaire dont l’analyse par le premier harmonique est utilisée pour la prédiction du comportement dynamique en présence d’interactions non linéaires (saturation, zone morte, hystérésis). On s’intéresse à la fiabilité de l’approximation par le premier harmonique pour évaluer les performances d’un régulateur linéaire en présence d’un non-linéarité. a) Écrivez le cadre du premier harmonique et déduisez les équations qui décrivent le comportement autour d’un équilibre et autour d’un cycle limite, en indiquant comment les termes non linéaires apparaissent dans le modèle linéarisé et comment on peut estimer...→
  • 8
    Exercice intégré sur les Systèmes non linéaires et la méthode du premier harmonique. Considérons un système qui, en régime linéaire, peut être approché par son premier harmonique autour d’une réponse en entrée sinusoïdale. Le modèle non linéaire est simplifié en une fonction de référence f(x) avec saturation et zone morte, décrite par : $f(x) = \begin{cases} 0 & x \leq a \ \alpha (x - a) & a < x < b \ s & x \geq b \end{cases}$ , où $a$ et $b$ définissent la zone de conduction, $\alpha$ est le gain linéaire et $s$ la saturation. On applique un signal d’entrée $x(t) = X_0 \cos(\omega t)$ . Le but est d’étudier la décomposition en harmoniques et l’estimation des paramètres du cycle limite. 1. Décrivez l’équivalent du premier...→
  • 9
    Exercice sur l’estimation des paramètres et la fiabilité de l’analyse par le premier harmonique dans un système non linéaire. On modélise une boucle avec saturation et zone morte et on souhaite estimer les paramètres $p = [a, b, α]$ à partir d’un signal d’entrée $u(t)$ et de la sortie mesurée $y(t)$ via la décomposition en harmonique et des méthodes d’identification. On suppose des données simulées et un réseau en rétroaction. 1. Formulez le problème d’estimation des paramètres $p$ en minimisant l’erreur entre la sortie mesurée et la sortie simulée par le modèle non linéaire $f_p(u) $ . Donnez l’expression du coût $J(p) = \frac{1}{N} \sum (y_i - f_p(u_i))^2$ et la dérivée...→
  • 10
    Exercice sur les systèmes non linéaires et la décomposition en harmoniques. On étudie un système dynamique non linéaire où le régime de fonctionnement est proche d’un point fixe et l’analyse est conduite via la décomposition en harmoniques. Le modèle simplifié est donné par $\dot{x} = f(x) + g(x) u$ , $y = h(x)$ , avec des non-linéarités typiques telles que saturation, zone morte et hystérésis. On suppose une structuration du système autour d’un régime de référence et l’on cherche à caractériser le premier harmoniques et les limites de l’approximation harmonique unique. On donne des paramètres exemplaires et on demande d’évaluer les conditions de validité de l’approximation. 1)...→
  • 11
    Exercice sur les régulateurs et les systèmes non linéaires: Décomposition en harmoniques et régulateur linéaire. On considère un système avec un régulateur linéaire L qui agit sur une entrée u comme u = K x et une non-linéarité saturative saturant l’entrée à une plage [−u_max, u_max]. On applique une excitations sinusoïdale à fréquence ω et l’on cherche à caractériser la réponse du système en termes de premier harmonique et des conditions de stabilité. Matrices: A = [ [0, 1], [-2, -3] ], B = [ [0], [1] ], C = [1, 0]. 1) Calculer la réponse en régime linéaire autour...→
  • 12
    Considérez un système de rétroaction avec une non-linéarité de saturation dans la boucle : la fonction de saturation $N(a) = \begin{cases} a & \text{si } |a| \leq 1 \ 1 \cdot \sgn(a) & \text{si } |a| > 1 \end{cases}$ , précédant un système linéaire $G(s) = \frac{10}{s(s+2)}$ . Analysez la stabilité via la méthode du premier harmonique. a) Calculez l'équivalent du premier harmonique pour une entrée sinusoïdale $a(t) = A \sin(\omega t)$ avec $A = 1.5$ , en déterminant le gain et la phase du describing function $N(A, \omega)$ . b) Appliquez le critère de Nyquist modifié en calculant le point critique $-1/N(A)$ et vérifiez s'il intersecte la courbe de $G(j\omega)$ pour $\omega > 0$ , en supposant $G(j\omega) = \frac{10}{j\omega (j\omega + 2)}$ . c) Estimez les paramètres du cycle limite potentiel en résolvant $1 + N(A) G(j\omega_c) = 0$...→
  • 13
    Exercice 1 : Analyse de stabilité d'un système de régulation de tension avec non-linéarité de saturation en utilisant la méthode du premier harmonique et le critère de Nyquist modifié. Considérez un système en boucle fermée où la non-linéarité de saturation est placée en série avec un régulateur linéaire $G(s) = \frac{10}{s(s+1)}$ , la saturation allant de $-5$ V à $+5$ V. L'entrée sinusoïdale $A \sin(\omega t)$ subit une saturation, et l'équivalent du premier harmonique est utilisé pour approximer la réponse. Les questions portent sur la décomposition harmonique, le gain complexe supplémentaire et l'estimation du cycle limite. (a) Déterminez la fonction descriptive de la saturation...→
  • 14
    Exercice 2 : Étude d'un servomécanisme avec non-linéarité de zone morte et relais pour la commande de position, en décomposant en harmoniques et appliquant l'équivalent indépendant de la fréquence via méthode du premier harmonique. Considérez un servomoteur avec zone morte de largeur $2\epsilon = 0,2$ rad suivie d'un gain linéaire $K=10$ , équivalent à un relais approximé pour petites amplitudes, couplé à $G(s) = \frac{5}{s(0,5s +1)}$ . L'analyse vise les cycles limites. Les questions intègrent la décomposition, le gain supplémentaire et la fiabilité. (a) Calculez la fonction descriptive de la zone morte pour $A = 0,1$ rad et le gain $N(A)$ réel. (b) Déterminez l'équivalent indépendant de...→
  • 15
    Exercice 3 : Analyse d'un circuit magnétique avec hystérésis non linéaire couplé à un amplificateur linéaire pour la stabilité en alimentation, en utilisant la décomposition en harmoniques et le critère de Nyquist avec gain complexe pour estimer les cycles limites. Considérez l'hystérésis modélisée par une boucle avec largeur $2\Delta B = 0,5$ T et hauteur $2 H_c = 200$ A/m, approximée par fonction descriptive, en série avec $G(s) = \frac{100}{s + 2}$ . Les questions couvrent l'équivalent premier harmonique, le Nyquist modifié et la fiabilité. (a) Calculez la fonction descriptive de l'hystérésis pour amplitude $H_m = 100$ A/m et le gain complexe $N(H_m) = \alpha + j \beta$ . (b) Appliquez le critère de Nyquist modifié en...→
  • 16
    Exercice intégré sur les $Systèmes non linéaires$ — $Méthode du premier harmonique$ . On considère un système non linéaire représenté par l’entrée u(t) et la sortie y(t), avec des non-linéarités admises typiquement dans les systèmes électriques ( saturation, zone morte, hystérèse ). On suppose que le système peut être approché par une expansion en harmoniques autour d’un point de fonctionnement et que le premier harmonique est dominant. On analyse comment le modèle du premier harmonique permet d’estimer le cycle limite et la stabilité, et on évalue la fiabilité de l’analyse lorsque les non-linéarités varient (ex. saturation progressive). Le système est décrit par les paramètres: $κ$...→
  • 17
    Exercice sur les $Systèmes non linéaires$ — $Régulateur linéaire et équivalence en premier harmonique$ . Considérons un système non linéaire avec une dynamique décrite par le régulateur $u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_d \frac{de(t)}{dt}$ et un système avec saturation et zone morte qui peut être décrit par $y(t) = f(x(t), u(t))$ , où $f$ peut être approché par sa composante harmonique fondamentale $f_1$ et un éventuel harmonique $f_h$ selon les régimes. On cherche à comparer les performances du régulateur linéaire et l’efficacité de l’approche par premier harmonique pour modéliser et contrôler le système. 1. Décrivez une méthode pour estimer la dynamique du premier harmonique et dériver une approximation linéaire $f_1(x, u) = A_1 x + B_1 u$ autour du point de fonctionnement et discutez...→
  • 18
    Exercice 1 : Systèmes non linéaires et premier harmonique. Considérons un système non linéaire régi par l’équation différentielle simple $\dot{x} = f(x) = a x - b x^3 + u$ , avec $x ∈ R$ , $a = 2.0$ , $b = 0.5$ et $u$ une entrée de commande. On s’intéresse à l’analyse autour d’un point d’équilibre $x^*$ tel que $f(x^*) = 0$ et on souhaite utiliser la méthode du premier harmonique pour approximer le comportement non linéaire par un modèle linéarisé autour de $x^*$ . 1. Trouvez le point d’équilibre $x^*$ en fonction de $u$ et donnez l’expression de la dérivée $f'(x) = a - 3 b x^2$ évaluée en $x^*$ . 2. Reformulez le système en coordonnées autour de $x^*$ en posant...→
  • 19
    Exercice 2 : Décomposition en harmoniques et analyse d’un système avec saturation et hystérésis. Considérons un oscillateur non linéaire avec saturation dugain $g(x) = \tanh(x)$ et une dynamique linéaire $\dot{x} = A x + B u$ , avec $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -2 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$ et entrée sinusoïdale $u(t) = U_0 \sin(\omega t)$ . 1. Définissez le premier harmonique équivalent pour ce système non linéaire avec saturation et démontrez la manière d’évaluer l’effet sur les harmoniques dans la sortie. Donnez l’expression pour $N_1$ et le critère de Nyquist modifié si applicable. 2. Écrivez les équations d’état en coordonnées quasi-linéaires autour d’un point d’exploitation et donnez les matrices $A_e$ , $B_e$ . 3. Calculez la réponse en...→
  • 20
    Dans le cadre des systèmes non linéaires, on étudie la méthode du premier harmonique (H1) comme outil d’analyse et de modélisation des phénomènes non linéaires dans des systèmes électriques. On considère un système non linéaire présentant saturation et zone morte, relié à un régulateur linéaire et soumis à une entrée périodique $u(t) = U_m cos(ω t)$ . On s’intéresse à l’estimation de l’amplitude effective et de la fréquence du premier harmonique à partir de la sortie $y(t)$ et à la vérification des conditions de Nyquist modifié pour la stabilité des cycles limites. 1. Modélisez le système par une fonction non linéaire $f(u) = sat(k u)$ , où...→
  • 21
    Cinquième exercice sur les systèmes non linéaires et la décomposition en premier harmonique: Analyse et identification pratique. On considère un système avec saturation et hystérésis simulant un relais ou une activation/désactivation dans un régulateur, et l’objectif est d’estimer les paramètres de cycle limite et d’évaluer la fiabilité de l’analyse par H1 dans différentes conditions. 1. Écrivez le modèle simple d’un relais avec hystérésis et saturation où l’entrée $u(t)$ est comparée à des seuils $±u_h$ avec éventuellement une zone morte; écrivez l’expression pour la sortie $y(t)$ et discutez l’apparition du premier harmonique dans le spectre. Détaillez les conditions pour lesquelles les...→
  • 22
    Exercice intégré sur les Systèmes non linéaires et la méthode du premier harmonique. On considère un système non linéaire simple modélisé par l’équation différentielle $\dot{x} = f(x, u)$ , où $x$ est l’état et $u$ l’entrée. On suppose que le système présente une non-linéarité saturante simple $f_{sat}(x) = sat(x) = \begin{cases} x & |x| \leq a \ a \operatorname{sgn}(x) & |x| > a \end{cases}$ , et une zone morte $z_0$ autour de zéro appliquée lorsque l’entrée ne dépasse pas le seuil. Le but est d’analyser le comportement autour d’un point opératoire $x^*$ et l’existence d’un cycle limite via la décomposition en harmoniques, en comparant l’équivalent du premier harmonique et l’estimation des paramètres. On suppose une régulation linéaire $u = -K x$ et une...→
  • 23
    Deuxième exercice: Validation du modèle non linéaire par analyse fréquentielle et tests de stabilité. On suppose une entrée sinusoïdale $u(t) = U sin(\omega t)$ appliquée au système non linéaire. On cherche à déterminer l’amplitude critique $A_c$ et la fréquence associée au premier harmonique pour laquelle le système peut basculer en cycle limite. On applique la décomposition harmonique et on compare avec l’équivalent du premier harmonique obtenu par linéarisation. On discute aussi de la fiabilité de l’analyse pour des non-linéarités typiques (sat, zone morte) et la robustesse vis-à-vis des variations de $a$ et $z_0$ .→
  • 24
    Troisième exercice sur l’identification non linéaire: équivalent premier harmonique et fiabilité d’analyse. On considère un système régulé par un régulateur linéaire, mais soumis à une non-linéarité de type relais/hystérèse. On applique un balayage fréquentiel et on collecte les données sur l’amplitude et la phase du premier harmonique. On doit estimer les paramètres $a$ et $z_0$ et évaluer la fiabilité de l’estimation via des tests statistiques et des méthodes heuristiques (bootstrap, comparaison avec une modélisation alternative). Enfin, on discute de la validité de l’hypothèse de fréquence unique et du cadre Nyquist modifié dans ce contexte.→
  • 25
    Exercice sur les systèmes non linéaires et l’analyse par le premier harmonique. Considérons un système non linéaire simple décrit par l’équation différentielle $\dot{x} = f(x, u)$ avec sortie $y = g(x, u)$ , et supposons que l’entrée $u$ peut être réarrangée comme une somme de termes harmoniques et qu’un régime périodique se stabilise autour d’un cycle limite. Le but est d’analyser la contribution du premier harmonique et la fiabilité de l’approximation par équivalent linéaire autour du cycle limite. Considérons un modèle illustratif où $f(x, u) = A x + B u + N(x, u)$ et $g(x, u) = C x$ , avec $N(x, u)$ représentant les non-linéarités et $A$ , $B$ des matrices constantes. 1. Formulez l’equivalent linéaire autour d’un cycle...→
  • 26
    Exercice sur la décomposition en harmoniques et les critères de Nyquist modifié appliqués à un régulateur non linéaire. Considérons un système où le régulateur linéaire est complété par une non-linéarité saturante et une zone morte, et où l’on analyse la stabilité autour d’un cycle limite inspiré par la dynamique en boucle fermée. On introduit une représentation par équivalent premier harmonique et un critère de Nyquist modifié afin d’évaluer les conditions de stabilité. 1. Donnez la modélisation par harmonique et écrivez les conditions nécessaires pour que le premier harmonique permette une estimation fiable du comportement en régime permanent du système: définition...→
  • 27
    Exercice sur l’estimation des paramètres et la fiabilité du premier harmonique dans un système non linéaire avec saturation et zone morte, analysé via l’approximation par premier harmonique et via Nyquist modifié. On considère un régulateur non linéaire avec saturation et zone morte et on évalue la stabilité autour d’un cycle limite par l’approximation harmonique et des tests de stabilité. 1. Présentez la décomposition harmonique et le cadre analytique du premier harmonique: décrire comment on obtient le pôle et le gain autour de la fréquence fondamentale et comment on intègre la saturation et la zone morte dans l’analyse de stabilité. 2....→
  • 28
    Exercice 3 — Estimation des paramètres et fiabilité d’analyse par le premier harmonique dans un système avec régulateur linéaire. On modélise un système avec régulateur linéaire et une non-linéarité saturante, et on souhaite estimer les paramètres autour d’un point opératoire par décomposition en harmonique et validation par Nyquist modifié. 1. Décrivez le modèle et la décomposition par le premier harmonique, y compris l’estimation du gain et la phase autour de l’harmonique principal, et expliquez comment l’analyse par le premier harmonique se rattache au critère de Nyquist modifié. 2. Proposez une méthode d’estimation des paramètres et donnez les expressions pour les...→
• Méthode de Lyapunov (21 Exercices)
  • 1
    Considérez un système non linéaire simple utilisé pour illustrer la méthodologie de Lyapunov. Le système est défini par $\dot{x} = f(x) = \begin{bmatrix} x_2 \ -x_1 + x_1^3 - x_2 \end{bmatrix}$ , et la sortie est $y = h(x) = x_1$ . On se place autour de l’équilibre trivial $x^* = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ . 1. Proposez une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = \tfrac{1}{2} x_1^2 + \tfrac{1}{2} x_2^2$ et calculez sa dérivée temporelle le long des trajectoires du système. Déduisez si l’équilibre est (localement) stable au sens de Lyapunov et indiquez les conditions sur les paramètres locaux éventuels qui assurent cette stabilité. 2. Utilisez la méthode directe de Lyapunov: trouvez une matrice réelle symétrique positive définie $P$ telle que $\dot{V} = x^T (A^T P + P A) x < 0$ pour tout $x \neq 0$ dans un...→
  • 2
    Exercice 1 : Méthode de Lyapunov pour systèmes non linéaires On considère un système non linéaire en forme d’état $\dot{x} = f(x)$ avec $x ∈ R^n$ . On cherche à étudier la stabilité d’un point d’équilibre $x^* = 0$ en utilisant une fonction de Lyapunov $V(x) = x^T P x$ avec $P ≻ 0$ . Question 1 : Définir la stabilité selon Lyapunov et expliquer le lien entre la dérivée de $V$ le long des trajectoires et la stabilité locale. Donnez les conditions suffisantes pour la stabilité asymptotique et pour la stabilité globale en fonction de $\dot{V}(x)$ . Question 2 : Méthode directe de Lyapunov. En supposant que $f(x) = A x - g(x)$ avec $A$ une...→
  • 3
    Exercice 2 : Krasovskii et Lyapunov pour systèmes non linéaires et équilibres multiples On considère $\dot{x} = f(x)$ avec $x ∈ R^n$ , et les points d’équilibre $X_i$ satisfaisant $f(X_i) = 0$ . Supposons que $f$ soit localement Lipschitz et que des méthodes de Lyapunov puissent être appliquées. Question 1 : Méthode de Krasovskii. Proposez une fonction de Lyapunov de forme $V(x) = f(x)^T P f(x)$ avec $P ≻ 0$ et discutez l’interprétation en termes de stabilité locale autour d’un équilibre. Donnez les conditions sur P et sur la dérivée $\dot{V}$ pour obtenir $\dot{V} ≤ 0$ dans un voisinage de l’équilibre. Question 2 : Méthode du gradient et stabilité. Expliquez comment la méthode du...→
  • 4
    Exercice 2 : Dissipation et stabilité globale – méthode de LaSalle et systèmes oscillants Soit un système non linéaire plan avec énergie $V(x) = x_1^2 + x_2^2$ et dynamique $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = -x_1 - φ(x_1, x_2)$ où $φ$ est une fonction non linéaire dissipative vérifiant $φ(x) x_2 ≥ 0$ et $|φ(x)| ≤ c |x|$ . 1. Montrez que $V$ est une fonction de Lyapunov candidate et calculez $\dot{V} = 2 x_1 x_2 + 2 x_2 (-x_1 - φ)$ = -2 x_2 φ(x_1, x_2). 2. D’écrire les conditions suffisantes pour que $\dot{V} ≤ 0$ et discuter la stabilité asymptotique (à travers LaSalle) et l’éventuelle stabilité globale. 3. Proposez une fonction de Lyapunov personnalisée pour assurer la stabilité locale et discutez comment la rétroaction non linéaire peut être...→
  • 5
    Considérez un système non linéaire simple en dimension 2 illustrant une application typique en robotique légère: $\dot{x}_1 = -x_1 + x_2^2$ , $\dot{x}_2 = -x_2 + u$ , et la sortie $y = x_1$ . L’objectif est d’appliquer la méthode de Lyapunov pour étudier la stabilité et comparer des approches directes et indirectes. Question 1 : Définissez une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = a x_1^2 + b x_2^2$ avec $a>0$ et $b>0$ , et calculez $\dot{V}(x)$ le long des trajectoires du système. Déterminez les conditions sur $a$ et $b$ pour que $\dot{V}(x) \le 0$ pour tout $x$ et discutez de la stabilité locale autour de l’origine. Question 2 : Utilisez la méthode directe de Lyapunov et montrez...→
  • 6
    Étude d’un système non linéaire simple représentant un robot avec couple et vitesse sous un cadre non linéaire et l’application de la méthode des plans de phase et de l’indicateur d’index. Le système est défini par $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = a (1 - x_1^2) x_2 - x_1 + \alpha \sin(x_3)$ , $\dot{x}_3 = x_4$ , $\dot{x}_4 = -b x_4 + c \cos(x_2)$ , avec $a,b,c,\alpha>0$ . La sortie est $y = [x_1, x_3]$ . On cherche à étudier les orbites, les points singuliers et les conditions de Bendixson-Poincaré dans ce cadre couplé non linéaire. Question 1 : Trouvez les points d’équilibre et calculez le Jacobien en ces points; discutez la stabilité locale et comment les paramètres $a$ , $b$ et $c$ influencent...→
  • 7
    Considérez un système non linéaire décrit par les équations d’état d’un robot mobile simple, dont la dynamique est donnée par $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = -\alpha x_1 - \beta x_2 + u$ avec $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , et $u$ l’action de contrôle. Ce système est étudié via la méthode de Lyapunov afin d’établir des résultats de stabilité locale et globale autour d’un point d’équilibre $(x_1^*, x_2^*)$ et de la possibilité de stabilisation par retour d’état. Question 1 : Formulation des conditions de stabilité locale et globale à travers une fonction de Lyapunov $V(x) = 1/2 p_1 (x_1 - x_1^*)^2 + 1/2 p_2 (x_2 - x_2^*)^2$ avec $p_1 > 0$ , $p_2 > 0$ . Déduisez les conditions sur $p_1$ , $p_2$ , et sur les paramètres...→
  • 8
    Exercice sur les systèmes non linéaires et la stabilité par Lyapunov. Cet ensemble de questions intègre les concepts fondamentaux de stabilité, fonctions de Lyapunov, méthodes directes et invariance, et s’applique à des systèmes typiques en génie électrique (robotique, actionneurs, systèmes non linéaires). On considère le système non linéaire: $\dot{x} = f(x) = \begin{pmatrix} x_2 \ -x_1 + x_1^3 - x_2 \end{pmatrix}$ , avec $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix}$ .→
  • 9
    Exercice sur les systèmes non linéaires – Plan de phase et théorèmes classiques (Poincaré-Bendixson, Bendixson-Daulton et index des points singuliers). On considère le système non linéaire suivant: $\dot{x}_1 = x_2, \dot{x}_2 = -x_1 - \sin(x_1)$ . Étudiez qualitativement le comportement et les points singuliers.→
  • 10
    Exercice sur les systèmes non linéaires – théorème de Bendixson-Dulac et l’invariance de LaSalle autour d’un filtre non linéaire. Étudiez le système suivant: $\dot{x}_1 = x_2, \dot{x}_2 = -x_1 + x_1^2 x_2 - x_2$ et discutez des propriétés de stabilité et des orbites.→
  • 11
    Exercice unique sur les Systèmes non linéaires – Méthode de Lyapunov et stabilité. Cet exercice comporte 5 questions interconnectées sur la stabilité des systèmes non linéaires et les approches Lyapunov (directe, LaSalle, Krasovskii), avec des exemples illustratifs tels qu’un robot ou un système à rétroaction non linéaire. On considère le système en temps continu suivant : $\dot{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -\alpha x_1 - \beta x_2 - x_1^3 & -\gamma x_2 \end{pmatrix} x$ avec les paramètres $\alpha = 2$ , $\beta = 1$ , $\gamma = 0.5$ et l’état $x = [x_1 \; x_2]^T$ . 1. Donnez une intuition claire de la stabilité selon Lyapunov et expliquez ce que signifie une fonction de Lyapunov pour ce système non linéaire. Proposez une fonction candidate $V(x)$ positive définie...→
  • 12
    Exercice mixte - Plan de phase et invariance pour un système non linéaire avec application électrique Considérons le système suivant en dimension 2: $ \dot{x} = y, \dot{y} = -x - a x^3 + b y$ avec $a>0$ , $b 1) Points fixes et stabilité locale Trouvez les points fixes et calculez la matrice jacobienne en ceux-ci pour déterminer la stabilité locale. 2) Plan de phase et isoclines Tracer le plan de phase qualitativement et déduire les directions du flux autour des points fixes. Discutez l’efficacité des isoclines pour la compréhension du comportement dynamique et la présence possible d’un cycle limite. 3) Bendixson-Poincaré et oscillations Appliquez le théorème de Bendixson-Poincaré pour exclure ou confirmer l’existence d’un cycle limite dans un domaine compact et sans singularité. Décrire les implications pour un oscillateur en électronique. 4) Condition d’invariance et stabilité globale Discuter de la possibilité d’une stabilité globale ou seulement locale et proposer une fonction de Lyapunov pour affirmer une stabilité locale autour d’un équilibre si possible. 5) Considérations expérimentales Proposer une approche de contrôle ou de régulation pour éviter des oscillations indésirables et obtenir une réponse critique dans un réseau électrique, incluant les compromis entre énergie dissipée et stabilité.→
  • 13
    Exercice 1 : Méthode de Lyapunov — stabilité locale et globale Considérons un système non linéaire continu dans R^2 décrits par $\dot{x} = f(x)$ , avec $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de classe C^1 autour de l’origine. On cherche à évaluer la stabilité locale et globale de l’origine à l’aide d’une fonction de Lyapunov et des résultats classiques (stabilité locale, stabilité asymptotique, robuste). On suppose que $f(0) = 0$ et que le jacobien en l’origine est $J(0) = \begin{pmatrix} -2 & 0 \ 0 & -3 \end{pmatrix}$ . 1) Définir une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = x^T P x$ avec $P > 0$ et écrire la condition sur $P$ pour que $V$ soit une fonction de Lyapunov strictement décroissante au voisinage de l’origine...→
  • 14
    Exercice 2 : Méthodes de Lyapunov — stabilité locale et invariance de LaSalle Considérons le système non linéaire dans R^2 donné par $\dot{x}_1 = x_2$ et $\dot{x}_2 = -x_1 + x_1^3 - x_2$ , et recherchons les propriétés de stabilité et les ensembles invariables en utilisant les outils de Lyapunov et de LaSalle. 1) Vérifier le point d’équilibre à l’origine et calculer la dérivée temporelle $\dot{V}$ d’une fonction candidate $V(x) = 1/2 (x_1^2 + x_2^2)$ . Déterminer si $\dot{V} \le 0$ et interpréter les résultats par rapport à la stabilité locale. 2) Appliquer le théorème de LaSalle pour conclure sur la stabilité asymptotique dans le domaine où $|x_1|, |x_2|$ petites. Définir l’ensemble invariant $\mathcal{E} = \{ x : \dot{V}(x) = 0 \}$ et discuter...→
  • 15
    Trois exercices autonomes sur les systèmes non linéaires et Lyapunov orientés ingénierie électrique, avec un axe pratique sur des automates ou robots légers. Chaque exercice intègre 5 questions qui s’enchainent logiquement autour de la construction de fonctions de Lyapunov adaptées, de l’analyse de stabilité locale et globale, et des limites des méthodes (Chetaev, invariance). Chaque exercice contient 3 problèmes de calcul, tous structurés comme un examen réel.→
  • 16
    Trois exercices sur les systèmes non linéaires et stabilité: méthode du gradient variable et Chetaev, avec 5 questions chacune et 3 problèmes de calcul par exercice. Chaque ensemble explore des notions avancées de Lyapunov, LaSalle, et instabilité. Langage technique en français, avec balises $...$ pour toutes les expressions mathématiques.→
  • 17
    Cinquième exercice sur les méthodes de Lyapunov et stabilité dans les systèmes non linéaires et électriques, avec 5 questions et 3 calculs clairs et connectés. Exploration avancée des notions de stabilité globale vs locale via Lyapunov, LaSalle, et des méthodes de contrôle adaptées.→
  • 18
    Exercice 1 — Systèmes non linéaires et Lyapunov Dans un cadre de robotique, considérez un système dynamique non linéaire décrit par $ \dot{x}_1 = -x_2 + x_1(1 - x_1^2 - x_2^2) \ \dot{x}_2 = x_1 + x_2(1 - x_1^2 - x_2^2) $ où $x = [x_1, x_2]^T$ est l'état du robot et l’origine $x=0$ est un point d’équilibre. On cherche à analyser la stabilité locale via une fonction de Lyapunov candidate et les notions associées. 1. Définissez une fonction définie positive candidate $V(x)$ et montrez qu’elle est bien définie autour de l’origine. Donnez une expression explicite de $V(x)$ et discutez ses propriétés. 2. Calculez $\dot{V}(x)$ le long des trajectoires du système et discutez les conditions sous lesquelles $\dot{V}(x) \le 0$ dans un voisinage de l’origine....→
  • 19
    Exercice 2 — Théorème de LaSalle et systèmes non linéaires Un système dynamique planaire est donné par $ \dot{x} = f(x) = \begin{pmatrix} -x_1 + x_2 - x_1(x_1^2 + x_2^2) \\ -x_2 - x_1^2 + x_2^2 \end{pmatrix}$ avec $x = [x_1, x_2]^T$ . On choisit une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = 1/2 (x_1^2 + x_2^2)$ . 1. Calculez $\dot{V}(x)$ et identifiez l’ensemble où $\dot{V}(x) = 0$ . 2. Utilisez le théorème d’invariance de LaSalle pour déduire l’ensemble omega et déduire la stabilité (locale ou globale) de l’origine. 3. Décrivez qualitativement l’influence des termes non linéaires et discutez de l’existence éventuelle d’un ensemble limite autre que l’origine. 4. Donnez une suggestion de méthode alternative (Krasovskii ou gradient) pour évaluer la stabilité et discuter des avantages et inconvénients par rapport...→
  • 20
    Exercice 3 — Méthode du gradient et stabilité globale Considérons un système non linéaire construit à partir d’une fonction énergie $E(x) = 1/4 (x_1^2 + x_2^2)^2$ et d’un champ dissipatif $g(x) = -α x$ avec $α > 0$ . Le système est décrit par $\dot{x} = -∇E(x) + g(x) = - (x_1 (x_1^2 + x_2^2), x_2 (x_1^2 + x_2^2))^T - α x$ . 1. Calculez $∇E(x)$ et écrivez explicitement les équations du système. 2. Choisissez une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = E(x) = 1/4 r^4$ avec $r^2 = x_1^2 + x_2^2$ . Montrez que $\dot{V}(x) = -α r^2$ et déduisez la stabilité (globale ou locale) de l’origine. 3. Déduisez si la stabilité est asymptotique globale et commentez l’effet de l’amortissement $α$ sur le taux de décroissance de $V$ . 4. Variation: si l’on choisit $Ṽ(x) = 1/2 r^2$ , montrez que...→
  • 21
    Exercice 2 – Systèmes non linéaires et stabilité locale via LaSalle Considérons un système bidimensionnel décrit par $ \dot{x} = y + x(1 - x^2 - y^2) \dot{y} = -x + y(1 - x^2 - y^2) $ , qui dépeint la dynamique d’un moteur ou d’un robot plan en travail sur un cercle. 1) Montrer que l’origine est un equilibré et proposer une fonction de Lyapunov candidate $V(x, y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$ . 2) Calculer $\dot{V}(x, y)$ et déterminer les ensembles où $\dot{V} \le 0$ . 3) Utiliser le théorème d’invariance de LaSalle pour conclure sur la stabilité à long terme des trajectoires et décrire le rôle des finis invariants. 4) Déterminer les orbites limites potentielles et discuter de la stabilité locale autour de l’origine. 5)...→
• géométrie différentielle (12 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 : Géométrie différentielle appliquée aux systèmes non linéaires. On considère un système non linéaire décrit en espace d’état par $\dot{x} = f(x)$ , avec $x \in \mathbb{R}^2$ . Supposons que la trajectoire cible est une orbite fermée orbitant autour d’un point fixe $x^*$ , et que la dynamique peut être approximée localement par une linearisation $\dot{\xi} = A(x^*) \xi$ autour de ce point, où $\xi = x - x^*$ et $A(x^*) = \frac{\partial f}{\partial x}\big|_{x^*}$ . Question 1 : Déterminez les conditions nécessaires pour qu’un point fixe soit asymptotiquement stable au sens de Lyapunov en utilisant une fonction de Lyapunov quadratique $V(\xi) = \xi^T P \xi$ avec $P = P^T > 0$ . Écrivez l’équation de Lyapunov pour le système linéarisé...→
  • 2
    Exercice 2 : Théorème de Bendixson-Poincaré et localisation des orbites dans les systèmes non linéaires planaires. Considérons un système planar non linéaire donné par $\dot{x} = f(x)$ avec $x = (x_1, x_2)^T$ et supposons que $f$ est C^1 sur une région D strictement délimitée et simplement connectée contenant des points critiques. Question 1 : Énoncez le théorème de Bendixson-Poincaré et expliquez comment il peut être utilisé pour exclure l’existence d’oscillations périodiques dans D sous certaines conditions. Précisez les conditions sur la divergence $div f(x) = \partial f_1/\partial x_1 + \partial f_2/\partial x_2$ et son signe. Question 2 : Donnez un exemple simple de système planaire non linéaire (par exemple une version de Van der...→
  • 3
    Considérez un système non linéaire décrit par les équations de géométrie différentielle utilisées pour modéliser des dynamiques non linéaires en électronique de puissance : $\dot{x} = f(x) = \begin{bmatrix} x_2 \ -\sin(x_1) - x_2 + u \ 0 \end{bmatrix}$ , avec $x = (x_1, x_2, x_3)^T$ et $u$ une entrée scalaire. La sortie mesurée est $y = h(x) = x_1$ . On suppose que l’espace d’états est local autour de l’origine et que $ x_3$ est une composante non dynamique ( $\dot{x}_3 = 0$ dans le modèle simplifié). 1. Déterminez les points d’équilibre et analysez l’linearisation autour de l’origine. Donnez les conditions locales de stabilité par analyse des valeurs propres de la matrice jacobienne $J_f(0)$ . 2. Formulez la notion d’orbites et de plan de...→
  • 4
    Étude d’un système non linéaire 2D illustrant le théorème d’invariance de LaSalle et l’application des méthodes de Lyapunov pour un oscillateur paramétrique: $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = -x_1 - \alpha x_2 + p x_1^3$ avec $\alpha > 0$ et paramètre $p$ choisi pour créer des comportements non linéaires. Sortie $y = x_1$ . 1. Proposez une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = 1/2 x_1^2 + 1/2 x_2^2$ et calculez $\dot{V}$ le long des trajectoires. Dites sous quelles conditions sur $p$ et $\alpha$ l’équilibre est stable. 2. Appliquez LaSalle: identifiez l’ensemble E où $\dot{V} = 0$ et discutez des conséquences sur la stabilité globale et les trajectoires possibles. Donnez les conditions d’invariance et établissez si les trajectoires convergent vers l’origine ou vers...→
  • 5
    Exercice 3 : Application de la théorie de stabilité via Lyapunov et géométrie différentielle (cas Van der Pol et variantes) Soit le système de Van der Pol modifié : $\ddot{x} - \mu (1 - x^2) \dot{x} + x = 0$ avec $\mu > 0$ . Converti en variables d’état $x_1 = x$ , $x_2 = \dot{x}$ : Question 1 : Écrire le système d’état et calculer les valeurs propres de la linéarisation autour de l’origine pour $\mu = 0.5$ et $\mu = 2$ pour évaluer les propriétés locales et l’existence d’oscillations. Question 2 : Proposer une fonction de Lyapunov $V(x) = a x_1^2 + b x_2^2$ et calculer $\dot{V}$ . Déduire des conditions sur a et b pour que $\dot{V} ≤ 0$ locale et discuter l’existence d’orbites limites....→
  • 6
    Considérez un système non linéaire décrivant une dynamique de type géométrie différentielle sur deux états, modélisé par $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = -\sin(x_1) + u$ , et avec une sortie $y = x_1$ . On explore l’application des méthodes géométriques (plans de phase, invariants, intégrales premières) pour l’analyse de stabilité et la commande. Question 1 : Écrivez les équations de lissage sur le plan d’état et déduisez les points d’équilibre du système. Calculez ensuite la dérivée directionnelle le long de toute trajectoire et discutez de la stabilité locale autour des équilibres. Question 2 : Construisez le portrait de phase dans le plan (x1, x2) et identifiez les...→
  • 7
    Étude d’un système non linéaire en dimension 2 utilisant la méthode des plans de phase et des invariants pour une application en asservissement moteur. Le système est: $\dot{x}_1 = x_2$ , $\dot{x}_2 = -\alpha x_1 - \beta x_2 + g(x_1) + u$ , avec $\alpha, \beta > 0$ et $g(x_1) = \gamma x_1^3$ . Sortie y = x_1, et entrée u. Question 1 : Trouvez les équilibres et les valeurs propres locales en utilisant la linéarisation en autour de chaque équilibre. Déterminez les conditions sur les paramètres pour des équilibres asymptotiquement stables localement. Question 2 : Dessinez le portrait de phase dans le plan (x1, x2) et discutez la possible existence de cycles limites via les isoclines et...→
  • 8
    Exercice 1 : Géométrie différentielle des systèmes non linéaires On étudie un système dynamique non linéaire dans R^2 décrit par $\dot{x} = f(x)$ avec $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de classe C^1 et on s’intéresse à la topologie des orbites et l’invariance des ensembles. Supposons que l’origine est un point d’équilibre et que le flux est orienté autour de celui-ci. On introduit une courbe $C$ dans le plan et une fonction de distance $d(x) = \|x\|$ . 1) Définit la distance $d(x)$ comme une fonction de Lyapunov candidate et écris les conditions sur la dérivée le long des trajectoires $\dot{d^2(x)}/dt$ pour obtenir une stabilité locale. Conclure sur la...→
  • 9
    Exercice 1 — Systèmes non linéaires et géométrie différentielle Dans le cadre d’un véhicule autonome, on modélise l’évolution des états du système par un système non linéaire sur R^2 donné par $ \dot{x}_1 = x_2 + x_1(1 - \|x\|^2) \n\dot{x}_2 = -x_1 + x_2(1 - \|x\|^2)$ où $x = [x_1, x_2]^T$ et $\|x\|^2 = x_1^2 + x_2^2$ . L’origine est un point d’équilibre et l’étude qualitative passe par les notions de stabilité et d’invariance. 1. Proposez une fonction de Lyapunov candidate définie positive $V(x)$ et démontrez qu’elle est définie positive autour de l’origine. Donnez une expression explicite et commentez ses termes. 2. Calculez $\dot{V}(x)$ le long des trajectoires et déduisez l’ensemble où $\dot{V}(x) = 0$ près de l’origine. 3. En utilisant le théorème...→
  • 10
    Exercice 2 — Géométrie différentielle et stabilité On considère un système non linéaire sur R^3 décrit par $ \dot{x} = f(x) = \begin{pmatrix} -x_2 \; + \; x_1(1 - \|x\|^2) \ x_1 \; - \; x_3(1 + x_2^2) \ -x_3 + x_2 x_3 \end{pmatrix}$ avec $x = [x_1, x_2, x_3]^T$ et $|x|^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ . Considérez la sphère unité comme ensemble d’intérêt et explorez l’invariance et la stabilité. 1. Proposez une fonction de Lyapunov candidate $V(x) = 1/2 |x|^2$ et calculez $\dot{V}(x)$ le long des trajectoires; indiquez l’ensemble où $\dot{V}(x) = 0$ . 2. Utilisez LaSalle pour déduire l’ensemble omega et commentez ce que cela implique pour la stabilité de l’origine et pour l’existence éventuelle d’un ensemble limite autre que l’origine. 3. Discutez qualitativement des implications géométriques des termes non linéaires et proposez une approche alternative (Krasovskii...→
  • 11
    Exercice 1 – Géométrie différentielle appliquée aux systèmes non linéaires Considérons un système décrit par les équations dynamiques non linéaires sur une variété discrète bidimensionnelle $\dot{q}_1 = f_1(q_1, q_2)$ , $\dot{q}_2 = f_2(q_1, q_2)$ , où $(q_1, q_2) \in \mathbb{R}^2$ . On suppose que l’espace d’états possède une métrique Riemannienne donnée localement par $g = diag(λ_1(q_1, q_2), λ_2(q_1, q_2))$ . Une fonction énergie $E(q_1, q_2) = \frac{1}{2}(q_1^2 + q_2^2)$ est proposée comme candidat pour étudier la stabilité et le comportement des trajectoires. 1) Vérifier que $E(0,0) = 0$ et décrire ce que représente $E$ par rapport à la distance sur la variété munie de la métrique $g$ . 2) Calculer le champ de vecteurs $F = (f_1, f_2)$ et exprimer la dérivée de $E$...→
  • 12
    Exercice 2 – Géométrie différentielle et stabilité globale via les notions de flux Soit un système non linéaire plan décrit par $ \dot{q}_1 = -q_2 + q_1(1 - q_1^2 - q_2^2) \dot{q}_2 = q_1 + q_2(1 - q_1^2 - q_2^2) $ . Ce système peut être interprété comme une version dissipative d’un mouvement circulaire avec amortissement radiale. 1) Déterminer les points d’équilibre et justifier que l’origine est un équilibre. 2) Choisir $V(q_1, q_2) = \frac{1}{2}(q_1^2 + q_2^2)$ et calculer $\dot{V}$ . Déterminer le signe de $\dot{V}$ selon le rayon $r^2 = q_1^2 + q_2^2$ . 3) En utilisant le théorème d’invariance de LaSalle, déduire le comportement asymptotique des trajectoires et décrire l’ensemble limite possible des orbites. 4) Discuter de l’impact de la rotation pur sur le comportement et...→
• Commande de systèmes non-linéaires (15 Exercices)
  • 1
    Exercice 1 — Commande par linéarisation et modes glissants Considérez un système non linéaire en commande directe, modèle par : $\dot{x_1} = x_2$ $\dot{x_2} = -a x_2 + b \tanh(x_1) + u$ où $x_1$ est la position, $x_2$ la vitesse, $a$ et $b$ des constantes positives, et $u$ l’entrée. On donne $a = 0.8$ , $b = 2.0$ . On cherche à stabiliser l’origine en utilisant une commande par modes glissants. 1. Définissez une surface de glissement $s(x) = x_1$ et proposez une loi de commande en mode glissant sous forme $u = -\phi(x) - k \operatorname{sgn}(s)$ où $\phi(x)$ est une fonction choisie pour assurer la compatibilité du mode glissant, et $k > 0$ est le gain du mode glissant. Appliquez ensuite la...→
  • 2
    Exercice 1 : Systèmes non linéaires et commande par linéarisation et modes glissants Considérons un système continu non linéaire en entrée u, décrit par les équations d’état suivantes : $\dot{x}_1 = -x_1 + x_2$ $\dot{x}_2 = -x_2 + x_1^2 + u$ L’objectif est d’étudier une commande par linéarisation et, dans un second temps, une approche par modes glissants autour d’un endroit de commutation choisi près de l’origine. On suppose une région d’opération suffisamment proche de l’origine et une entrée linéaire $u = -K x$ avec $K=[k_1 \; k_2]$ à déterminer. 1. Calculez les équations linéarisées autour de l’équilibre identifié près de l’origine et exprimez $A$ et $g$ telles que $\dot{x} = A x + g u$ . 2. En supposant $u = -K x$ ,...→
  • 3
    Exercice 2 : Systèmes non linéaires et commande par glissants Considérons un système continu non linéaire en entrée u et décrit par : $\dot{x}_1 = -x_1 + x_2$ $\dot{x}_2 = -x_2 + x_1 x_2 + u$ L’objectif est d’appliquer une loi de commande par modes glissants associée à une surface de balayage choisie $s(x) = x_1 - x_2$ et d’analyser la stabilité locale autour de l’origine. On prend une loi de contrôle par glissant $u = -\phi(s)$ où $\phi$ est une fonction de balayage telle que $\phi(s) = \alpha |s|$ avec $\alpha > 0$ . 1. Déterminez l’expression du système en coordonnées s et r avec $s = x_1 - x_2$ et $r = x_1 + x_2$ , et écrivez les équations d’évolution correspondantes. 2. Établissez la condition de stabilité...→
  • 4
    Exercice 1 : Commande par linéarisation et modes glissants Considérons un système non linéaire en temps continu représentant une sous-système électrique avec une entrée u et deux états x1 et x2, modélisé par : $ \dot{x}_1 = x_2 - x_1^2 + u \ \dot{x}_2 = -x_1 + x_2^2$ On suppose une commande par linéarisation autour de l’état et de l’entrée courants afin de préparer une stratégie par modes glissants. Soit un point d’équilibre approximatif (x1, x2) ≈ (0, 0) et u ≈ 0. Question 1. Calculer les matrices A = ∂f/∂x et B = ∂f/∂u au voisinage de l’équilibre (0,0) pour u = 0. Question 2. En utilisant la linéarisation, proposer une loi...→
  • 5
    Exercice 2 : Commande par modes glissants avec saturations et non-linéarités Considérons un système non linéaire en temps continu : $ \dot{x}_1 = x_2 + x_1^3 + u \ \dot{x}_2 = -x_1 + \tanh(x_2) $ avec u la commande. On cherche à appliquer une loi de commande par modes glissants pour assurer la stabilité vers l’origine malgré les non-linéarités et la saturation d’entrée |u| ≤ 2. Question 1. Formuler une surface de glissement s = σ(x) = x_2 + λ x_1 avec λ > 0 et trouver la loi de contrôle glissant u_s = -ρ sign(s) où ρ > 0 est choisi pour assurer la stabilité locale, en supposant que la dynamique extérieure est...→
  • 6
    Exercice 1 : Commande par linéarisation et modes glissants d’un système non linéaire en électronique de puissance. Considérons un modèle non linéaire représentant une boucle de régulation avec action de commande u et sortie y, décrite par $\dot{x}_1 = -a x_1 + b u - c x_1 x_2$ , $\dot{x}_2 = -d x_2 + e x_1^2 - f x_2$ , et $y = g x_1 + h x_2$ . Les paramètres numériques sont $a=1.2\,s^{-1}$ , $b=0.8$ , $c=0.05$ , $d=0.9\,s^{-1}$ , $e=0.9$ , $f=0.3$ , $g=1.2$ , $h=0.6$ et la consigne d’entrée est $u(t)=1.0$ pour t≥0. L’état initial est $x_1(0)=0$ , $x_2(0)=0$ . On cherche à concevoir une commande par modes glissants en supposant une ligne de mode glissant de référence $s = e = r - y$ et une loi...→
  • 7
    Exercice 1 : Commande par linéarisation et modes glissants Dans le cadre d’un véhicule électrique en régime dynamique, modélisé par un système non linéaire à deux états, on considère le modèle suivant en espace d’état augmenté : $\dot{x}_1 = f_1(x_1, x_2) = x_2 - x_1^3$ $\dot{x}_2 = f_2(x_1, x_2) = -\alpha x_1 - \beta x_2 + u$ $y = x_1$ Où $\alpha = 1.0$ et $\beta = 0.5$ . L’action de commande est $u$ et l’objectif est d’atteindre et de maintenir l’origine $(x_1, x_2) = (0, 0)$ en utilisant une loi de commande par mode glissant sur la surface de glissement $s = x_1$ et le contrôle $u = -\phi(s, \dot{s})$ avec $\dot{s} = x_2$ et $\phi(s, \dot{s}) = c |s|^{p} \operatorname{sign}(s) + d \dot{s}$ , où $c > 0$ , $p > 1$ et $d > 0$ . 1) Établissez le schéma de glissement et écrivez l’expression explicite...→
  • 8
    Exercice 2 : Commande par modes glissants avec perturbations externes Considérez un système non linéaire en espace d’état à deux états: $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -\omega^2 x_1 - a x_2 + b u + w(t)$ $y = x_1$ Où $\omega = 3.0$ rad/s, $a = 0.6$ , $b = 1.0$ , et $w(t)$ est une perturbation externe inconnue mais bornée $|w(t)| \leq w_{max}$ . On applique une loi de commande par mode glissant simple avec surface de glissement $s = x_2$ et $\dot{s} = \ddot{x}_2$ et $u = -\phi(s, \dot{s})$ avec $\phi(s, \dot{s}) = p |s|^{q} \operatorname{sign}(s) + r \dot{s}$ , où $p > 0$ , $q > 1$ , $r > 0$ . 1) Écrivez le système en forme opérationnelle et donnez les expressions de $A$ et $B$ autour de l’équilibre supposé $x^* = [0, 0]^T$ et $u^* = 0$ . 2) Déterminez les conditions sur $p, q, r$...→
  • 9
    Exercice 2 : Commande par modes glissants — arbre de décision et robustesse Considérer un système non linéaire continu en dimension 2 décrit par $\dot{x} = f(x) + B u$ avec $f(x) = \begin{pmatrix} -2 x_1 + x_2^2 \\ -x_2 + x_1 x_2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . On vise une loi de commande par modes glissants en présence d’incertitudes sur le modèle représenté par $\dot{x} = f(x) + (B + \Delta B) u$ avec $\Delta B$ borné par $|\Delta B| \le \delta$ . 1) Définir une surface glissante s(x) = h(x) telle que la dynamique sur la surface soit stable et que les conditions de glissement soient satisfaites en présence des incertitudes. Donner une forme explicite pour s(x) et le mode de glissement. 2) Décrire une loi de contrôle...→
  • 10
    Exercice 3 : Commande par modes glissants et discrétisation temporelle Considérer un système non linéaire discret en dimension 2 décrit par $x_{k+1} = x_k + T f(x_k) + T B u_k$ où $f(x) = \begin{pmatrix} x_2 - x_1^3 \ -x_1 + x_2^2 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$ et $T = 0.01 s$ . On souhaite appliquer une commande par modes glissants adaptée à la discrétisation et évaluer la stabilité. 1) Définir une surface glissante $s(x) = h(x) = x_2 - x_1^2$ et dériver la dynamique de $s$ en utilisant $ x_{k+1} = x_k + T f(x_k) + T B u_k$ . Écrire l’expression explicite de $s(x_{k+1}) - s(x_k)$ et proposer une loi de commande $u_k = -\alpha s(x_k)$ avec $\alpha > 0$ . 2) Condition de stabilité discrète : en supposant que la linéarisation autour de l’équilibre est suffisante, déterminer les valeurs propres de la jacobienne discrète...→
  • 11
    Considérez un système non linéaire modélisant un moteur synchrone à reluctance variable utilisé en ingénierie électrique. Le modèle simplifié en coordonnées d'état est : $\dot{x}_1 = x_2$ $\dot{x}_2 = -a \sin(x_1) + b x_2^2 + c u$ où $x_1$ est la position angulaire en radians, $x_2$ la vitesse angulaire en rad/s, $u$ est la tension d'alimentation en V, $a = 10$ s $^{-2}$ , $b = -0.2$ s $^{-1}$ , $c = 1$ V $^{-1}$ s $^{-2}$ . 1. Appliquez la linéarisation par contre-réaction pour obtenir un système linéarisé de la forme Brunovsky. Déterminez explicitement la transformation de coordonnées $z_1 = \phi_1(x)$ , $z_2 = \phi_2(x)$ et la loi de commande $u(x, v)$ où $v$ est la nouvelle entrée. 2. Pour le...→
  • 12
    Étudiez la commande par modes glissants pour un circuit RC non linéaire avec élément à loi quadratique. Le modèle est : $i = C \dot{v} + \frac{v^2}{R}$ $v = L \dot{i} + u \cdot \sgn(i)$ ou $i$ courant en A, $v$ tension en V, $C = 1$ $\mu$ F, $R = 100$ $\Omega$ , $L = 0.1$ mH, $u$ commande en V. Reformulé en état $x_1 = i$ , $x_2 = v$ : $\dot{x_1} = - \frac{x_2}{L} \sgn(x_1) + \frac{u}{L}$ $\dot{x_2} = - \frac{x_2^2}{R C} + \frac{x_1}{C}$ . 1. Définissez la surface de glissement $s = \dot{e} + \lambda e$ avec $e = x_{2d} - x_2$ , $x_{2d} = 10$ V, $\lambda = 20$ s $^{-1}$ , et calculez la dynamique $\dot{s}$ en termes de $x$ et $u$ . 2. Synthétisez la loi de commande $u = u_{eq} + u_{sw}$ pour atteindre $\dot{s} = - k \sgn(s) - \eta s$ avec $k = 5$ A/s, $\eta = 2$ s $^{-1}$ , en...→
  • 13
    Analysez une commande hybride combinant linéarisation et modes glissants pour un amplificateur opérationnel non linéaire en boucle de servomécanisme. Le modèle est : $\dot{x}_1 = - \frac{1}{R C} x_1 + \frac{1}{R C} u + d(x_2) x_1$ $\dot{x_2} = x_1 - b \tanh(x_2)$ où $x_1$ tension d'erreur en V, $x_2$ position en m, $R = 1$ k $\Omega$ , $C = 1$ $\mu$ F, $b = 5$ m/s, $d(x_2) = 0.1 \sin(x_2)$ , $u$ commande en V. 1. Linéarisez par contre-réaction le sous-système de $x_2$ en considérant $z = x_2 - x_{2d}$ , $x_{2d} = 0.5$ m, et obtenez $u(z, v)$ pour $\dot{z} = v$ , en négligeant $d$ initialement. 2. Intégrez une composante par modes glissants pour compenser $d(x_2)$ : définissez $s = v + k z$ , $k = 10$ s $^{-1}$ , et modifiez $u = u_{lin} + u_{smc}$ pour $\dot{s} < - \gamma |s|^\rho$ avec $\gamma = 2$ ,...→
  • 14
    Exercice intégré sur la commande et les systèmes non-linéaires: commandes et comportements dynamiques. On considère un système non linéaire décrit par $\dot{x} = A x + f(x) + B u$ , où $x \in \mathbb{R}^2$ , $u \in \mathbb{R}$ et $f(x)$ représente une non-linéarité saturante saturant selon $f(x) = sat(x) = \begin{cases} -s, & x_1 s \end{cases}$ avec $s = 1$ . Le système est contrôlé par entrée $u$ et observe la sortie $y = C x$ avec $C = [1 \ 0]$ (mesure de la première composante). On étudie l’existence et la stabilité des cycles limites via la décomposition en harmonique et l’impact de la saturation sur la réponse en régime transversal. Donnez 3 questions interdépendantes et résolvez-les pas à pas en utilisant les balises $...$ pour toutes les...→
  • 15
    Exercice sur les équivalents du premier harmonique et la validation des modèles non linéaires. On considère un système avec une non-linéarité de type zone morte et saturation combinée à une boucle de contrôle simple. Le système est modélisé par $\dot{x} = A x + B sat(K_p e) + f_{nh}(x)$ , $e = r - C x$ , $f_{nh}(x)$ représentant une distortion non linéaire additionnelle et $K_p$ le gain du régulateur. On cherche à estimer les paramètres du premier harmonique et à évaluer l’influence de $f_{nh}(x)$ sur l’estimation. Donnez 3 questions interdépendantes et résolvez-les pas à pas en utilisant les balises $...$ pour toutes les expressions mathématiques.→

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