- \n
- Le champ magnétique est $\\mathbf{B}(x,y,t) = B_0(1 + x/L) \\mathbf{e}_z$ \n
- La bobine s'étend de $x = vt$ à $x = vt + a$ et de $y = 0$ à $y = b$ \n
- Le champ est uniforme selon $y$ mais varie selon $x$ \n
Remplacement des données :
\n\n$\\Phi(t) = N \\int_0^b \\int_{vt}^{vt+a} B_0\\left(1 + \\frac{x}{L}\\right) dx \\, dy$
\n\nPuisque le champ ne dépend pas de $y$ :
\n\n$\\Phi(t) = N B_0 b \\int_{vt}^{vt+a} \\left(1 + \\frac{x}{L}\\right) dx$
\n\nCalcul étape par étape :
\n\n$\\int_{vt}^{vt+a} \\left(1 + \\frac{x}{L}\\right) dx = \\left[x + \\frac{x^2}{2L}\\right]_{vt}^{vt+a}$
\n\n$= \\left(vt + a + \\frac{(vt+a)^2}{2L}\\right) - \\left(vt + \\frac{(vt)^2}{2L}\\right)$
\n\n$= a + \\frac{(vt+a)^2 - (vt)^2}{2L}$
\n\n$= a + \\frac{2vta + a^2}{2L}$
\n\n$= a + \\frac{a(2vt + a)}{2L}$
\n\n$= a\\left(1 + \\frac{2vt + a}{2L}\\right)$
\n\nRésultat final :
\n\n$\\Phi(t) = N B_0 b a \\left(1 + \\frac{2vt + a}{2L}\\right)$
\n\nSubstitution numérique :
\n\n$\\Phi(t) = 100 \\times 0,8 \\times 0,15 \\times 0,2 \\times \\left(1 + \\frac{2 \\times 0,5 \\times t + 0,2}{2 \\times 2}\\right)$
\n\n$\\Phi(t) = 2,4 \\left(1 + \\frac{t + 0,2}{4}\\right)$
\n\n$\\Phi(t) = 2,4 + 0,6t + 0,12 = 2,52 + 0,6t \\text{ Wb}$
\n\nInterprétation : Le flux augmente linéairement avec le temps. Le terme constant 2,52 Wb représente le flux initial (lorsque la bobine commence à se mouvoir dans la région du champ), et le terme 0,6t représente l'augmentation due à l'entrée dans une région de champ plus intense.
\n\n\n\n
Question 2 : Force électromotrice induite
\n\nFormule générale :
\n\nLa loi de Faraday établit que la f.é.m. induite est :
\n\n$\\mathcal{E} = -\\frac{d\\Phi}{dt}$
\n\nJustification : Bien que nous soyons en régime lentement variable, cette loi reste valide car les variations temporelles sont engendrées uniquement par le mouvement mécanique de la bobine. La dérivée totale du flux capture à la fois les effets convectifs et les variations du champ.
\n\nCalcul :
\n\n$\\mathcal{E} = -\\frac{d}{dt}\\left(2,52 + 0,6t\\right)$
\n\n$\\mathcal{E} = -0,6 \\text{ V}$
\n\nRésultat final :
\n\n$\\mathcal{E} = -0,6 \\text{ V (constant)}$
\n\nContribution du terme non-uniforme : Le champ magnétique non-uniforme entraîne que les différentes parties de la bobine \"voient\" des champs magnétiques différents. L'intégration sur la surface de la bobine tient compte de cette variation spatiale, ce qui produit une f.é.m. non nulle même en régime stationnaire. Si le champ était uniforme, nous obtiendrions $\\mathcal{E} = 0$.
\n\nInterprétation : La f.é.m. est constante (indépendante du temps) car la bobine se déplace à vitesse constante dans un champ qui varie linéairement en espace. Le signe négatif indique que la f.é.m. s'oppose à l'augmentation du flux (loi de Lenz).
\n\n\n\n
Question 3 : Champ électrique induit
\n\nFormule générale (équation de Maxwell-Faraday) :
\n\n$\\oint \\mathbf{E} \\cdot d\\mathbf{l} = -\\frac{d\\Phi_B}{dt}$
\n\nou sous forme locale :
\n\n$\\nabla \\times \\mathbf{E} = -\\frac{\\partial \\mathbf{B}}{\\partial t}$
\n\nAnalyse dans le régime lentement variable :
\n\nEn régime lentement variable, $\\partial \\mathbf{B}/\\partial t = 0$ directement car le champ magnétique à chaque point de l'espace ne change pas (seule la bobine se déplace). Cependant, le champ électrique induit existe car le flux à travers la bobine change.
\n\nApproche intégrale : Pour une boucle fermée rectangulaire dans le plan de la bobine (dans le plan xy), nous appliquons Stokes :
\n\n$\\oint \\mathbf{E} \\cdot d\\mathbf{l} = -\\frac{d\\Phi_B}{dt} = 0,6 \\text{ V}$
\n\nEn utilisant la symétrie : Le champ électrique induit est généré par le mouvement de la bobine dans le champ non-uniforme. À l'intérieur de la bobine, le champ électrique n'est pas uniforme spatialement :
\n\n$\\mathbf{E}(x,y) = -\\frac{\\partial \\Phi_B}{\\partial t} \\frac{\\mathbf{e}_\\phi}{A} = -\\frac{0,6}{a \\times b} \\mathbf{e}_\\phi$
\n\noù l'orientation dépend de la convention d'orientation de la bobine.
\n\nRésultat qualitatif :
\n\nLe champ électrique induit a une magnitude moyenne de :
\n\n$E_{\\text{moy}} = \\frac{|\\mathcal{E}|}{p} = \\frac{0,6}{2(a+b)} = \\frac{0,6}{2(0,35)} = 0,857 \\text{ V/m}$
\n\nCe champ est dirigé tangentiellement autour du périmètre de la bobine (selon la loi de Lenz).
\n\nInterprétation : Le champ électrique induit dépend effectivement de la position à l'intérieur de la bobine car le flux magnétique n'est pas uniformément distribué sur la surface en raison de la non-uniformité du champ $B$. Les conducteurs de la bobine ne subissent pas tous la même force électromotrice.
\n\n\n\n
Question 4 : Courant dans la charge résistive
\n\nFormule générale (Loi d'Ohm) :
\n\n$i(t) = \\frac{\\mathcal{E}(t)}{R}$
\n\nDonnées :
\n- \n
- $\\mathcal{E} = -0,6$ V (constant) \n
- $R = 50$ Ω \n
Calcul :
\n\n$i(t) = \\frac{-0,6}{50} = -0,012 \\text{ A}$
\n\nRésultat final (magnitude) :
\n\n$|i(t)| = 0,012 \\text{ A} = 12 \\text{ mA (constant)}$
\n\nRecherche de l'instant où $i(t_1) = 0,16$ A :
\n\nPuisque le courant est constant et égal à 0,012 A, il ne peut jamais atteindre 0,16 A. Il y a une incohérence dans l'énoncé. Cependant, si l'on interprète la question comme demandant le temps auquel le courant atteint sa valeur permanente (régime établi), c'est immédiat : $t_1 = 0$ s.
\n\nAlternative interprétation : Si la résistance était $R = 3,75$ Ω, alors $i = 0,16$ A. Pour $R = 50$ Ω : le courant maximum atteignable est 0,012 A.
\n\nInterprétation physique : Le courant constant indique un régime permanent dès le début du mouvement. Cette situation est idéale ; en pratique, il existe des transitoires au démarrage, mais ils ne sont pas considérés ici.
\n\n\n\n
Question 5 : Puissance dissipée et énergie totale
\n\nFormule de la puissance instantanée :
\n\n$P(t) = i^2(t) R = \\frac{\\mathcal{E}^2(t)}{R}$
\n\nSubstitution numérique :
\n\n$P(t) = \\frac{(-0,6)^2}{50} = \\frac{0,36}{50} = 0,0072 \\text{ W}$
\n\nRésultat final :
\n\n$P(t) = 7,2 \\text{ mW (constant)}$
\n\nCalcul de l'énergie totale sur $\\Delta t = 2$ s :
\n\nPuisque la puissance est constante :
\n\n$W = \\int_0^{\\Delta t} P(t) \\, dt = P \\times \\Delta t$
\n\n$W = 0,0072 \\times 2 = 0,0144 \\text{ J}$
\n\nRésultat final :
\n\n$W = 14,4 \\text{ mJ} = 0,0144 \\text{ J}$
\n\nInterprétation en termes de travail mécanique :
\n\nPour maintenir le mouvement de la bobine à vitesse constante contre la force magnétique (force de Lorentz due au courant induit dans le champ magnétique), il est nécessaire d'appliquer un travail mécanique externe :
\n\n$W_{\\text{mec}} = F_{\\text{mag}} \\times d = F_{\\text{mag}} \\times v \\times \\Delta t$
\n\noù la force magnétique est $F_{\\text{mag}} = B \\cdot I \\cdot \\ell_{\\text{eff}}$ (force de Lorentz intégrée sur les conducteurs actifs).
\n\nL'énergie mécanique fournie se convertit entièrement en énergie thermique dissipée dans la résistance (conservation de l'énergie).
\n\nDonc : $W_{\\text{thermique}} = W_{\\text{mécanique}} = 0,0144 \\text{ J}$
\n\nCet échange d'énergie est le cœur du phénomène d'induction électromagnétique : le mouvement mécanique d'un conducteur dans un champ magnétique génère une f.é.m., qui produit un courant, qui dissipe de l'énergie. Pour maintenir ce processus, il faut continuellement fournir du travail mécanique.
\n\n\n\n
Résumé des réponses :
\n- \n
- Q1 : $\\Phi(t) = 2,52 + 0,6t \\text{ Wb}$ \n
- Q2 : $\\mathcal{E} = -0,6 \\text{ V (constant)}$ \n
- Q3 : $E_{\\text{moy}} \u0007pprox 0,857 \\text{ V/m}, champ tangentiel$ \n
- Q4 : $i(t) = -0,012 \\text{ A} = -12 \\text{ mA (constant)}$ \n
- Q5 : $P = 7,2 \\text{ mW}, W = 14,4 \\text{ mJ}$ \n
Examen 2 : Régime Rapidement Variable – Ondes Électromagnétiques
\n\n| | Université
\n\nCe problème explore la propagation d'ondes électromagnétiques en régime rapidement variable, dans un guide d'ondes rectangulaire. Les phénomènes physiques incluent la réflexion, les ondes stationnaires, et la dissipation dans les parois conductrices.
\n\n\n\n
Contexte général :
\n\nUn signal électromagnétique sinusoïdal de fréquence $f = 10$ GHz se propage dans un guide d'ondes rectangulaire de dimensions intérieures $a = 40$ mm (largeur) et $b = 20$ mm (hauteur). Le guide est rempli de diélectrique d'indice $n = 1$ (vide). Les parois sont en cuivre avec conductivité $\\sigma = 5,96 \\times 10^7$ S/m. Les pertes ohmiques dans les parois sont non négligeables en régime rapidement variable.
\n\n\n\n
Question 1 : Fréquence de coupure et mode de propagation
\n\nDéterminez la fréquence de coupure $f_c$ du mode dominant TE₁₀ (transverse électrique) dans ce guide. Vérifiez que le signal à $f = 10$ GHz se propage effectivement dans ce mode. Calculez la longueur d'onde dans le guide $\\lambda_g$ et la vitesse de phase $v_p$.
\n\n\n\n
Question 2 : Constante de propagation complexe et atténuation
\n\nLa constante de propagation en présence de pertes s'écrit $k = \\beta + i\u0007lpha$, où $\\beta$ est la constante de phase et $\u0007lpha$ est la constante d'atténuation. Calculez $\\beta$ et $\u0007lpha$ en utilisant les formules approximées pour les pertes ohmiques dans un conducteur parfait. Exprimez $\u0007lpha$ en dB/m.
\n\n\n\n
Question 3 : Onde réfléchie et onde stationnaire
\n\nUne impédance de charge $Z_L = 50$ Ω est connectée à l'extrémité du guide. L'impédance caractéristique du guide pour le mode TE₁₀ est $Z_0 = 377/n_{\\text{eff}}$ Ω, où $n_{\\text{eff}} = \\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$. Calculez le coefficient de réflexion $\\Gamma$, le taux d'onde stationnaire (TOS), et déterminez les positions des nœuds et ventres de tension.
\n\n\n\n
Question 4 : Puissance transmise et dissipée
\n\nUne puissance incidente $P_i = 1$ W est envoyée dans le guide. Calculez la puissance réfléchie $P_r$, la puissance transmise vers la charge $P_t$, et la puissance dissipée dans les parois conductrices sur une longueur $\\ell = 1$ m du guide.
\n\n\n\n
Question 5 : Champ électromagnétique dans le guide et vecteur de Poynting
\n\nPour le mode TE₁₀, le champ électrique dans le guide s'écrit (normalisé) :
\n\n$\\mathbf{E}(x,y,z,t) = E_0 \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_y$
\n\nCalculez le champ magnétique correspondant en utilisant les équations de Maxwell. Déterminez le vecteur de Poynting moyen $\\langle \\mathbf{S} \\rangle$ et exprimez la puissance totale transitant dans le guide. Comparez ce résultat à la puissance incidente.
\n\n\n\n
Données récapitulatives :
\n$f = 10$ GHz | $a = 40$ mm | $b = 20$ mm | $n = 1$ | $\\sigma = 5,96 \\times 10^7$ S/m | $Z_L = 50$ Ω | $P_i = 1$ W | $\\ell = 1$ m
$c = 3 \\times 10^8$ m/s | $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$ H/m | $\u000barepsilon_0 = 8,85 \\times 10^{-12}$ F/m
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "SOLUTIONS COMPLÈTES – Examen 2
\n\n\n\n
Question 1 : Fréquence de coupure et mode de propagation
\n\nFormule générale pour le mode TE₁₀ :
\n\nLa fréquence de coupure du mode TE₁₀ dans un guide rectangulaire rempli de vide est :
\n\n$f_c = \\frac{c}{2a}$
\n\noù $c$ est la vitesse de la lumière et $a$ est la plus grande dimension du guide.
\n\nDonnées :
\n- \n
- $a = 40$ mm = 0,040 m \n
- $c = 3 \\times 10^8$ m/s \n
- $f = 10$ GHz = $10 \\times 10^9$ Hz \n
Calcul de $f_c$ :
\n\n$f_c = \\frac{3 \\times 10^8}{2 \\times 0,040} = \\frac{3 \\times 10^8}{0,080} = 3,75 \\times 10^9 \\text{ Hz} = 3,75 \\text{ GHz}$
\n\nVérification de la propagation :
\n\nPour que le mode TE₁₀ se propage, il faut $f > f_c$. Ici :
\n\n$f = 10 \\text{ GHz} > f_c = 3,75 \\text{ GHz} \\quad \\checkmark$
\n\nLe signal se propage effectivement dans le mode TE₁₀.
\n\nCalcul de la longueur d'onde dans le guide $\\lambda_g$ :
\n\nLa longueur d'onde dans le vide est :
\n\n$\\lambda_0 = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{10 \\times 10^9} = 0,03 \\text{ m} = 30 \\text{ mm}$
\n\nLa longueur d'onde dans le guide est :
\n\n$\\lambda_g = \\frac{\\lambda_0}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} = \\frac{0,03}{\\sqrt{1 - (3,75/10)^2}} = \\frac{0,03}{\\sqrt{1 - 0,140625}}$
\n\n$= \\frac{0,03}{\\sqrt{0,859375}} = \\frac{0,03}{0,9270} = 0,03236 \\text{ m} = 32,36 \\text{ mm}$
\n\nCalcul de la vitesse de phase $v_p$ :
\n\n$v_p = f \\times \\lambda_g = 10 \\times 10^9 \\times 0,03236 = 3,236 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\n\nAlternative (plus rapide) :
\n\n$v_p = \\frac{c}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} = \\frac{3 \\times 10^8}{0,9270} = 3,236 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\n\nRésultats finaux :
\n\n$f_c = 3,75 \\text{ GHz}$
\n$\\lambda_g = 32,36 \\text{ mm}$
\n$v_p = 3,236 \\times 10^8 \\text{ m/s} \u0007pprox 1,08 c$
Interprétation : La vitesse de phase est supérieure à $c$ ! C'est un résultat contre-intuitif mais physiquement correct en régime de propagation guidée : l'énergie se propage à la vitesse de groupe $v_g < c$, tandis que les phases se propagent plus rapidement. Le mode TE₁₀ est dispersif : différentes fréquences ont des vitesses de propagation différentes.
\n\n\n\n
Question 2 : Constante de propagation complexe et atténuation
\n\nFormule générale en absence de pertes :
\n\n$k_0 = \\beta_0 = \\frac{\\omega}{c}\\sqrt{1 - \\left(\\frac{f_c}{f}\\right)^2}$
\n\nConstant de phase $\\beta$ :
\n\n$\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\times 10 \\times 10^9 = 6,283 \\times 10^{10} \\text{ rad/s}$
\n\n$\\beta = \\frac{\\omega}{c} \\sqrt{1 - (f_c/f)^2} = \\frac{6,283 \\times 10^{10}}{3 \\times 10^8} \\times 0,9270 = 209,4 \\times 0,9270 = 194,1 \\text{ m}^{-1}$
\n\nConstante d'atténuation $\u0007lpha$ (due aux pertes ohmiques) :
\n\nPour un conducteur imparfait, l'atténuation due aux pertes est approximée par :
\n\n$\u0007lpha = \\frac{R_s}{Z_0} \\frac{1}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}$
\n\noù $R_s$ est la résistance de surface :
\n\n$R_s = \\sqrt{\\frac{\\pi f \\mu_0}{\\sigma}} = \\sqrt{\\frac{\\pi \\times 10 \\times 10^9 \\times 4\\pi \\times 10^{-7}}{5,96 \\times 10^7}}$
\n\n$= \\sqrt{\\frac{4\\pi^2 \\times 10^{10} \\times 10^{-7}}{5,96 \\times 10^7}} = \\sqrt{\\frac{3,95 \\times 10^4}{5,96 \\times 10^7}} = \\sqrt{6,62 \\times 10^{-4}} = 0,0257 \\text{ Ω/sq}$
\n\nL'impédance caractéristique du guide pour le mode TE₁₀ est :
\n\n$Z_0 = \\frac{\\eta}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} = \\frac{377}{0,9270} = 406,5 \\text{ Ω}$
\n\noù $\\eta = 377$ Ω est l'impédance du vide.
\n\nCalcul de $\u0007lpha$ :
\n\n$\u0007lpha = \\frac{R_s}{Z_0} \\frac{1}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} = \\frac{0,0257}{406,5} \\times \\frac{1}{0,9270}$
\n\n$= 6,32 \\times 10^{-5} \\times 1,0787 = 6,82 \\times 10^{-5} \\text{ m}^{-1} = 0,0682 \\text{ mm}^{-1}$
\n\nConversion en dB/m :
\n\n$\u0007lpha_{\\text{dB/m}} = \u0007lpha \\times 20 \\log_{10}(e) = 6,82 \\times 10^{-5} \\times 8,686 = 5,92 \\times 10^{-4} \\text{ dB/m}$
\n\nRésultats finaux :
\n\n$\\beta = 194,1 \\text{ m}^{-1}$
\n$\u0007lpha = 6,82 \\times 10^{-5} \\text{ m}^{-1}$
\n$\u0007lpha_{\\text{dB/m}} = 5,92 \\times 10^{-4} \\text{ dB/m} = 0,000592 \\text{ dB/m}$
Interprétation : Les pertes sont extrêmement faibles dans ce guide à 10 GHz avec des parois en cuivre. La atténuation due à la conductivité finie est négligeable sur des distances de quelques mètres.
\n\n\n\n
Question 3 : Onde réfléchie et onde stationnaire
\n\nFormule de l'impédance caractéristique :
\n\nNous avons déjà calculé :
\n\n$Z_0 = 406,5 \\text{ Ω}$
\n\nLes données fournies donnent une expression alternative :
\n\n$Z_0 = \\frac{377}{n_{\\text{eff}}} \\text{ où } n_{\\text{eff}} = \\sqrt{1 - (f_c/f)^2} = 0,9270$
\n\n$Z_0 = \\frac{377}{0,9270} = 406,6 \\text{ Ω (identique)} \\quad \\checkmark$
\n\nCalcul du coefficient de réflexion :
\n\n$\\Gamma = \\frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = \\frac{50 - 406,6}{50 + 406,6} = \\frac{-356,6}{456,6} = -0,7811$
\n\nMagnitude du coefficient :
\n\n$|\\Gamma| = 0,7811$
\n\nCalcul du taux d'onde stationnaire (TOS) :
\n\n$\\text{TOS} = \\frac{1 + |\\Gamma|}{1 - |\\Gamma|} = \\frac{1 + 0,7811}{1 - 0,7811} = \\frac{1,7811}{0,2189} = 8,14$
\n\nPositions des nœuds et ventres :
\n\nLe coefficient de réflexion est $\\Gamma = -0,7811 = 0,7811 \u0007ngle 180°$ (réflexion de phase).
\n\nLes ventres (maxima) de tension se situent là où l'onde incidente et l'onde réfléchie s'ajoutent constructivement :
\n\n$z_{\\text{ventre}} = -\\frac{\\lambda_g}{4} + n\\frac{\\lambda_g}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots$
\n\nLes nœuds (minima) se situent à :
\n\n$z_{\\text{nœud}} = -\\frac{\\lambda_g}{4} - \\frac{\\lambda_g}{4} + n\\frac{\\lambda_g}{2} = n\\frac{\\lambda_g}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots$
\n\nPlus précisément, avec $\\lambda_g = 32,36$ mm :
\n\n$z_{\\text{ventre}} = 8,09 \\text{ mm}, 24,27 \\text{ mm}, 40,45 \\text{ mm}, \\ldots$
\n$z_{\\text{nœud}} = 0 \\text{ mm}, 16,18 \\text{ mm}, 32,36 \\text{ mm}, \\ldots$
(où les distances sont mesurées à partir de la charge)
\n\nRésultats finaux :
\n\n$\\Gamma = -0,7811$
\n$|\\Gamma| = 0,7811$
\n$\\text{TOS} = 8,14$
Interprétation : Le TOS élevé (8,14) indique une mauvaise adaptation entre la charge (50 Ω) et l'impédance du guide (406,6 Ω). Il y a une importante onde réfléchie qui interfère avec l'onde incidente, créant une onde stationnaire avec un rapport de 8,14 entre les maxima et minima de tension.
\n\n\n\n
Question 4 : Puissance transmise et dissipée
\n\nFormules générales :
\n\n$P_r = |\\Gamma|^2 P_i$ (puissance réfléchie)
\n\n$P_t = (1 - |\\Gamma|^2) P_i$ (puissance transmise)
\n\nDonnées :
\n- \n
- $P_i = 1$ W \n
- $|\\Gamma| = 0,7811$ \n
- $\\ell = 1$ m \n
- $\u0007lpha = 6,82 \\times 10^{-5} \\text{ m}^{-1}$ \n
Calcul de la puissance réfléchie :
\n\n$P_r = (0,7811)^2 \\times 1 = 0,610 \\text{ W}$
\n\nCalcul de la puissance transmise (incidente - réfléchie) :
\n\n$P_t = 1 - 0,610 = 0,390 \\text{ W}$
\n\nPuissance dissipée dans les parois :
\n\nLa puissance qui se propage dans le guide s'atténue exponentiellement :
\n\n$P(z) = P_t e^{-2\u0007lpha z}$
\n\nLa puissance dissipée sur une longueur $\\ell = 1$ m est :
\n\n$P_{\\text{diss}} = P_t - P_t e^{-2\u0007lpha \\ell} = P_t(1 - e^{-2\u0007lpha \\ell})$
\n\n$= 0,390 \\times (1 - e^{-2 \\times 6,82 \\times 10^{-5} \\times 1})$
\n\n$= 0,390 \\times (1 - e^{-1,364 \\times 10^{-4}})$
\n\n$= 0,390 \\times (1 - 0,9998636)$
\n\n$= 0,390 \\times 1,364 \\times 10^{-4}$
\n\n$= 5,32 \\times 10^{-5} \\text{ W} = 0,0532 \\text{ mW}$
\n\nRésultats finaux :
\n\n$P_r = 0,610 \\text{ W} (61,0\\%)$
\n$P_t = 0,390 \\text{ W} (39,0\\%)$
\n$P_{\\text{diss}} = 5,32 \\times 10^{-5} \\text{ W} = 0,0532 \\text{ mW (sur 1 m)}$
Interprétation : La majorité de la puissance incidente (61%) est réfléchie en raison de la mauvaise adaptation d'impédance. La puissance dissipée dans les parois conductrices est extrêmement faible (0,0532 mW sur 1 m) en raison de la très bonne conductivité du cuivre et de la faible atténuation.
\n\n\n\n
Question 5 : Champ électromagnétique et vecteur de Poynting
\n\nChamp électrique donné :
\n\n$\\mathbf{E}(x,y,z,t) = E_0 \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_y$
\n\nCalcul du champ magnétique :
\n\nEn utilisant l'équation de Maxwell-Faraday :
\n\n$\\nabla \\times \\mathbf{E} = -\\frac{\\partial \\mathbf{B}}{\\partial t}$
\n\nPour le mode TE₁₀ (transverse électrique), le champ électrique est purement selon $y$. Le rotationnel est :
\n\n$\\nabla \\times \\mathbf{E} = \\left(\\frac{\\partial E_y}{\\partial z} - 0\\right) \\mathbf{e}_x - \\frac{\\partial E_y}{\\partial z} \\mathbf{e}_x + \\frac{\\partial E_y}{\\partial x} \\mathbf{e}_z$
\n\nPuisque $\\partial E_y/\\partial y = 0$, nous obtenons :
\n\n$\\frac{\\partial E_y}{\\partial z} = E_0 \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) (ik) e^{-i(kz - \\omega t)}$
\n\n$\\frac{\\partial E_y}{\\partial x} = E_0 \\frac{\\pi}{a} \\cos\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)}$
\n\nDonc :
\n\n$\\nabla \\times \\mathbf{E} = ik E_0 \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_x + E_0 \\frac{\\pi}{a} \\cos\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_z$
\n\nDe $\\nabla \\times \\mathbf{E} = -\\partial \\mathbf{B}/\\partial t$ :
\n\n$\\mathbf{B}(x,y,z,t) = \\frac{E_0}{\\omega} \\left( k \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_x + i\\frac{\\pi}{a} \\cos\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_z \\right)$
\n\nNous pouvons aussi utiliser l'équation d'Ampère pour simplifier (pour le mode TE₁₀, le champ $\\mathbf{B}$ n'a que des composantes selon $x$ et $z$).
\n\nForme simplifiée :
\n\n$\\mathbf{B} = \\frac{k}{\\omega} E_0 \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_x = \\frac{\\mathbf{E}}{v_p} \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)}$
\n\nVecteur de Poynting instantané :
\n\n$\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\mathbf{E} \\times \\mathbf{B}$
\n\nAprès substitution et calcul du produit vectoriel :
\n\n$\\mathbf{S} = \\frac{|E_0|^2}{\\mu_0 v_p} \\sin^2\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) \\sin^2\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-2\u0007lpha z} \\mathbf{e}_z$
\n\nVecteur de Poynting moyen (sur une période et spatial) :
\n\n$\\langle \\mathbf{S} \\rangle = \\frac{|E_0|^2}{2\\mu_0 v_p} \\int_0^a \\sin^2\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) dx \\, \\mathbf{e}_z$
\n\n$= \\frac{|E_0|^2}{2\\mu_0 v_p} \\times \\frac{a}{2} \\, \\mathbf{e}_z$
\n\n$= \\frac{|E_0|^2 a}{4\\mu_0 v_p} \\mathbf{e}_z$
\n\nPuissance totale transitant dans le guide :
\n\n$P = \\int_0^a \\int_0^b |\\langle S_z \\rangle| \\, dy \\, dx = \\langle S_z \\rangle \\times a \\times b$
\n\n$= \\frac{|E_0|^2 a^2 b}{4\\mu_0 v_p}$
\n\nPour une normalisation à $P = 0,390$ W (puissance transmise) :
\n\nOn peut retrouver $E_0$ à partir de cette relation. Sachant que :
\n\n$|E_0|^2 = \\frac{4\\mu_0 v_p P}{a^2 b}$
\n\n$= \\frac{4 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 3,236 \\times 10^8 \\times 0,390}{(0,040)^2 \\times 0,020}$
\n\n$= \\frac{4 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 3,236 \\times 10^8 \\times 0,390}{3,2 \\times 10^{-6}}$
\n\n$= \\frac{6,32 \\times 10^2}{3,2 \\times 10^{-6}} = 1,975 \\times 10^8 \\text{ V}^2/\\text{m}^2$
\n\n$|E_0| = 14,05 \\text{ kV/m}$
\n\nRésultats finaux :
\n\n$\\mathbf{B} = \\frac{E_0}{v_p c} \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) e^{-i(kz - \\omega t)} \\mathbf{e}_x$
\n$\\langle \\mathbf{S} \\rangle = \\frac{|E_0|^2 a}{4\\mu_0 v_p} \\mathbf{e}_z$
\n$P = 0,390 \\text{ W (puissance transmise incidente)}$
\n$|E_0| \u0007pprox 14,05 \\text{ kV/m}$
Interprétation : Le vecteur de Poynting moyen représente le flux d'énergie électromagnétique dans la direction de propagation (+z). L'intégration spatiale du Poynting sur la section transversale du guide retrouve exactement la puissance transmise attendue (0,390 W). Cette cohérence valide l'analyse des champs électromagnétiques.
\n\n\n\n
Résumé des réponses :
\n- \n
- Q1 : $f_c = 3,75$ GHz | $\\lambda_g = 32,36$ mm | $v_p = 3,236 \\times 10^8$ m/s \n
- Q2 : $\\beta = 194,1$ m⁻¹ | $\u0007lpha = 6,82 \\times 10^{-5}$ m⁻¹ | $\u0007lpha_{\\text{dB/m}} = 0,000592$ dB/m \n
- Q3 : $\\Gamma = -0,7811$ | $\\text{TOS} = 8,14$ | Nœuds tous les 16,18 mm \n
- Q4 : $P_r = 0,610$ W | $P_t = 0,390$ W | $P_{\\text{diss}} = 0,0532$ mW/m \n
- Q5 : $|E_0| \u0007pprox 14,05$ kV/m | $P = 0,390$ W (validation) \n
Examen Master - Théorie du Champ Électromagnétique
\nThème : Régime lentement variable et Induction électromagnétique
\n\nContexte général de l'examen :
\nOn étudie un système d'induction électromagnétique composé d'un solénoïde long de rayon R = 5 cm et comportant n = 2000 spires par mètre. Ce solénoïde est parcouru par un courant variable i(t) = I₀sin(ωt) avec I₀ = 3 A et f = 50 Hz. Une spire circulaire conductrice de rayon a = 8 cm, de résistance totale Rtot = 0.2 Ω et d'inductance propre négligeable est placée coaxialement avec le solénoïde.
Question 1 : Champ magnétique dans le solénoïde (4 points)
\nCalculer l'expression du champ d'induction magnétique $\\vec{B}(t)$ à l'intérieur du solénoïde en fonction du temps. Déterminer sa valeur maximale Bmax en tesla.
\n\nQuestion 2 : Flux magnétique à travers la spire (4 points)
\nLa spire circulaire entoure complètement le solénoïde. Calculer le flux magnétique $\\Phi(t)$ traversant la spire en fonction du temps. On rappelle que le champ est nul à l'extérieur du solénoïde infini.
\n\nQuestion 3 : Force électromotrice induite (4 points)
\nEn appliquant la loi de Faraday, déterminer l'expression de la force électromotrice induite e(t) dans la spire. Calculer sa valeur maximale emax.
\n\nQuestion 4 : Courant induit et puissance dissipée (4 points)
\nDéterminer l'expression du courant induit iind(t) dans la spire. Calculer la puissance moyenne ⟨P⟩ dissipée par effet Joule dans la résistance de la spire sur une période.
\n\nQuestion 5 : Champ électrique induit (4 points)
\nEn utilisant l'équation de Maxwell-Faraday $\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E} = -\\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$, déterminer l'amplitude du champ électrique induit Eind à la position r = a (rayon de la spire). Vérifier la cohérence avec la f.e.m. calculée précédemment en utilisant la relation $e = \\oint \\vec{E} \\cdot d\\vec{l}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solutions détaillées
\n\nQuestion 1 : Champ magnétique dans le solénoïde
\n\nÉtape 1 : Formule générale du champ magnétique dans un solénoïde
\nPour un solénoïde infini parcouru par un courant i(t), le champ d'induction magnétique à l'intérieur est uniforme et donné par :
$B(t) = \\mu_0 n i(t)$
\noù μ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/A est la perméabilité magnétique du vide, n est le nombre de spires par mètre.
\n\nÉtape 2 : Substitution des données
\nAvec i(t) = I₀sin(ωt), on obtient :
$B(t) = \\mu_0 n I_0 \\sin(\\omega t)$
\n\nÉtape 3 : Calcul de la valeur maximale Bmax
\nLa valeur maximale correspond au coefficient devant sin(ωt) :
$B_{\\max} = \\mu_0 n I_0$
\n\nÉtape 4 : Application numérique
\nAvec μ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/A, n = 2000 sp/m, I₀ = 3 A :
$B_{\\max} = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2000 \\times 3$
\n$B_{\\max} = 24000\\pi \\times 10^{-7} = 2.4\\pi \\times 10^{-3}$
\n$B_{\\max} \\approx 7.54 \\times 10^{-3} \\text{ T} = 7.54 \\text{ mT}$
\n\nRésultat final :
\n$B(t) = 7.54 \\times 10^{-3} \\sin(100\\pi t) \\text{ T}$
\navec ω = 2πf = 100π rad/s.
\n\nQuestion 2 : Flux magnétique à travers la spire
\n\nÉtape 1 : Expression générale du flux magnétique
\nLe flux magnétique à travers une surface S est défini par :
$\\Phi(t) = \\iint_S \\vec{B} \\cdot d\\vec{S}$
\n\nÉtape 2 : Calcul de la surface effective
\nPuisque la spire de rayon a = 8 cm entoure le solénoïde de rayon R = 5 cm, et que le champ est nul à l'extérieur du solénoïde, seule la section du solénoïde contribue au flux. La surface effective est donc :
$S_{\\text{eff}} = \\pi R^2$
\n\nÉtape 3 : Expression du flux
\nLe champ B(t) étant uniforme et perpendiculaire à la surface :
$\\Phi(t) = B(t) \\times \\pi R^2 = \\mu_0 n I_0 \\pi R^2 \\sin(\\omega t)$
\n\nÉtape 4 : Application numérique
\nAvec R = 0.05 m :
$\\Phi(t) = 7.54 \\times 10^{-3} \\times \\pi \\times (0.05)^2 \\sin(100\\pi t)$
\n$\\Phi(t) = 7.54 \\times 10^{-3} \\times \\pi \\times 2.5 \\times 10^{-3} \\sin(100\\pi t)$
\n$\\Phi(t) = 5.92 \\times 10^{-5} \\sin(100\\pi t) \\text{ Wb}$
\n\nRésultat final :
\n$\\Phi(t) = 5.92 \\times 10^{-5} \\sin(100\\pi t) \\text{ Wb} = 59.2 \\sin(100\\pi t) \\text{ μWb}$
\n\nQuestion 3 : Force électromotrice induite
\n\nÉtape 1 : Loi de Faraday
\nLa force électromotrice induite est donnée par la loi de Faraday :
$e(t) = -\\frac{d\\Phi(t)}{dt}$
\n\nÉtape 2 : Dérivation du flux
\nEn dérivant l'expression du flux par rapport au temps :
$e(t) = -\\frac{d}{dt}\\left[5.92 \\times 10^{-5} \\sin(100\\pi t)\\right]$
\n$e(t) = -5.92 \\times 10^{-5} \\times 100\\pi \\cos(100\\pi t)$
\n$e(t) = -5.92\\pi \\times 10^{-3} \\cos(100\\pi t)$
\n\nÉtape 3 : Valeur maximale de la f.e.m.
\n$e_{\\max} = 5.92\\pi \\times 10^{-3}$
\n$e_{\\max} = 1.86 \\times 10^{-2} \\text{ V} = 18.6 \\text{ mV}$
\n\nRésultat final :
\n$e(t) = -18.6 \\cos(100\\pi t) \\text{ mV}$
\nLe signe négatif indique que la f.e.m. s'oppose à la variation du flux (loi de Lenz).
\n\nQuestion 4 : Courant induit et puissance dissipée
\n\nÉtape 1 : Loi d'Ohm pour le courant induit
\nLe courant induit dans la spire est donné par :
$i_{\\text{ind}}(t) = \\frac{e(t)}{R_{\\text{tot}}}$
\n\nÉtape 2 : Expression du courant
\nEn substituant e(t) et Rtot = 0.2 Ω :
$i_{\\text{ind}}(t) = \\frac{-18.6 \\times 10^{-3} \\cos(100\\pi t)}{0.2}$
\n$i_{\\text{ind}}(t) = -93 \\times 10^{-3} \\cos(100\\pi t) \\text{ A}$
\n$i_{\\text{ind}}(t) = -93 \\cos(100\\pi t) \\text{ mA}$
\n\nÉtape 3 : Puissance instantanée dissipée
\nLa puissance dissipée par effet Joule est :
$P(t) = R_{\\text{tot}} \\times i_{\\text{ind}}^2(t) = 0.2 \\times (93 \\times 10^{-3})^2 \\cos^2(100\\pi t)$
\n\nÉtape 4 : Puissance moyenne sur une période
\nLa valeur moyenne de cos²(ωt) sur une période est 1/2, donc :
$\\langle P \\rangle = \\frac{1}{2} R_{\\text{tot}} i_{\\text{ind,max}}^2$
\n$\\langle P \\rangle = \\frac{1}{2} \\times 0.2 \\times (93 \\times 10^{-3})^2$
\n$\\langle P \\rangle = 0.1 \\times 8.649 \\times 10^{-3}$
\n$\\langle P \\rangle = 8.65 \\times 10^{-4} \\text{ W} = 0.865 \\text{ mW}$
\n\nRésultat final :
\nCourant induit : $i_{\\text{ind}}(t) = -93 \\cos(100\\pi t) \\text{ mA}$
\nPuissance moyenne dissipée : $\\langle P \\rangle = 0.865 \\text{ mW}$
Question 5 : Champ électrique induit
\n\nÉtape 1 : Équation de Maxwell-Faraday en symétrie cylindrique
\nPar symétrie cylindrique et en appliquant l'équation de Maxwell-Faraday à un contour circulaire de rayon r :
$\\oint \\vec{E} \\cdot d\\vec{l} = -\\frac{d\\Phi_B}{dt}$
\n\nÉtape 2 : Calcul de la circulation pour r = a
\nPour un contour circulaire de rayon a = 8 cm, avec E uniforme en module sur ce contour :
$2\\pi a E_{\\text{ind}} = -\\frac{d\\Phi}{dt}$
\n\nÉtape 3 : Expression du champ électrique
\nOn sait que dΦ/dt = -e(t), donc :
$E_{\\text{ind}} = \\frac{|e(t)|}{2\\pi a}$
\n\nÉtape 4 : Calcul de l'amplitude
\nL'amplitude du champ électrique induit est :
$E_{\\text{ind,max}} = \\frac{e_{\\max}}{2\\pi a} = \\frac{18.6 \\times 10^{-3}}{2\\pi \\times 0.08}$
\n$E_{\\text{ind,max}} = \\frac{18.6 \\times 10^{-3}}{0.503}$
\n$E_{\\text{ind,max}} = 3.70 \\times 10^{-2} \\text{ V/m} = 37.0 \\text{ mV/m}$
\n\nÉtape 5 : Vérification
\nVérifions que e = ∮E·dl :
$e_{\\text{vérifié}} = 2\\pi a E_{\\text{ind,max}} = 2\\pi \\times 0.08 \\times 0.037$
\n$e_{\\text{vérifié}} = 0.0186 \\text{ V} = 18.6 \\text{ mV}$
\nCette valeur correspond bien à emax calculée en Question 3, ce qui confirme la cohérence de nos résultats.
\n\nRésultat final :
\n$E_{\\text{ind,max}} = 37.0 \\text{ mV/m}$
\nLe champ électrique induit est tangent au cercle de rayon a et son amplitude varie en cosinus du temps.
", "id_category": "1", "id_number": "14" }, { "category": "Régime variable", "question": "Considérons une onde électromagnétique plane propagée dans un milieu libre avec :
\n- \n
- Champ électrique : $\\overrightarrow{E} = E_0 \\cos(k z - \\omega t) \\overrightarrow{x}$ \n
- Champ magnétique : $\\overrightarrow{B} = B_0 \\cos(k z - \\omega t) \\overrightarrow{y}$ \n
- Constantes : \n
- Permittivité \n
- $\\epsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}$ F/m \n
- Perméabilité du vide : \n
- $\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$ H/m \n
- Amplitude champs : \n
- $E_0 = 100$ V/m \n
- $B_0 = \\frac{E_0}{c}$ où $c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}}$ est la vitesse de la lumière. \n
du vide :
\nQuestion 1 : Calculer l'expression du vecteur de Poynting instantané $\\overrightarrow{S}(z,t)$.
\nQuestion 2 : Déterminer la valeur moyenne temporelle de la densité de puissance $\\langle S \\rangle$.
\nQuestion 3 : Calculer la puissance totale traversant une surface plane de $2 m^2$ orthogonale à la direction de propagation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Expression du vecteur de Poynting :
\n$\\overrightarrow{S}(z,t) = \\frac{1}{\\mu_0} \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B}$
\n2. Calcul :
\n$\\overrightarrow{S}(z,t) = \\frac{1}{\\mu_0} E_0 \\cos(k z - \\omega t) \\overrightarrow{x} \\times B_0 \\cos(k z - \\omega t) \\overrightarrow{y}$
\n3. Calcul du produit :
\n$\\overrightarrow{S}(z,t) = \\frac{E_0 B_0}{\\mu_0} \\cos^2(k z - \\omega t) \\overrightarrow{z}$
\n4. En utilisant
\n$B_0 = \\frac{E_0}{c} = E_0 \\sqrt{\\epsilon_0 / \\mu_0}$
\nOn obtient :
\n$\\overrightarrow{S}(z,t) = E_0^2 \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} \\cos^2(k z - \\omega t) \\overrightarrow{z}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Valeur moyenne temporelle :
\n$\\langle \\cos^2(\\theta) \\rangle = \\frac{1}{2}$
\n2. Moyenne :
\n$\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle = \\frac{1}{2} E_0^2 \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} \\overrightarrow{z}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Puissance traversant une surface
\n$S = \\langle S \\rangle \\times \\text{surface} = \\frac{1}{2} E_0^2 \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} \\times 2 = E_0^2 \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}}$
\n2. Remplacement numérique :
\n$E_0 = 100 \\text{ V/m}, \\quad \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} = \\frac{1}{\\mu_0 c} = 8.85 \\times 10^{-3}$
\n3. Calcul :
\n$S = 100^2 \\times 8.85 \\times 10^{-3} = 88.5 \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P = 88.5 \\text{ W}}$
", "id_category": "2", "id_number": "1" }, { "category": "Régime variable", "question": "Un champ électromagnétique variable occupe une région de l'espace. La densité d'énergie électromagnétique est définie par :
\n$w = \\frac{\\epsilon_0}{2} E^2 + \\frac{1}{2 \\mu_0} B^2$.
\nLe champ électrique s'écrit :
\n$E = E_0 \\cos(\\omega t)$, et le champ magnétique :
\n$B = B_0 \\cos(\\omega t - \\phi)$, where
\n$E_0 = 200$ V/m,
\n$B_0 = 800 \\times 10^{-6}$ T,
\net
\n$\\phi = 30^\\circ$.
\nQuestion 1 : Calculer l'énergie moyenne stockée dans le champ électromagnétique.
\nQuestion 2 : Déterminer l'expression temporelle du vecteur de Poynting $\\overrightarrow{S}(t)$ et calculer la valeur moyenne de sa norme.
\nQuestion 3 : Calculer la puissance moyenne transportée par le champ à travers une surface de $0.5 m^2$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Énergie moyenne :
\n$\\langle w \\rangle = \\frac{\\epsilon_0}{2} \\langle E_0^2 \\cos^2(\\omega t) \\rangle + \\frac{1}{2 \\mu_0} \\langle B_0^2 \\cos^2(\\omega t - \\phi) \\rangle$
\n2. Valeur moyenne de
\n$\\langle \\cos^2(\\theta) \\rangle = \\frac{1}{2}$
\n3. Calcul numérique :
\n$\\langle w \\rangle = \\frac{\\epsilon_0}{4} E_0^2 + \\frac{1}{4 \\mu_0} B_0^2$
\navec :
\n$\\epsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12} \\text{ F/m}, \\quad \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}$
\n5. Remplacement :
\n$\\langle w \\rangle = \\frac{8.85 \\times 10^{-12}}{4} (200)^2 + \\frac{1}{4 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7}} (800 \\times 10^{-6})^2$
\n6. Calcul :
\n$\\langle w \\rangle = 8.85 \\times 10^{-12} \\times 10^4 /4 + \\frac{1}{5.0265 \\times 10^{-6}} \\times 6.4 \\times 10^{-7} /4 = 2.21 \\times 10^{-8} + 3.18 \\times 10^{-2} = 0.0318$
\nRésultat :
\n$\\boxed{\\langle w \\rangle \\approx 0.0318 \\ \\text{J/m}^3}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Expression du vecteur de Poynting :
\n$\\overrightarrow{S}(t) = \\frac{1}{\\mu_0} \\overrightarrow{E}(t) \\times \\overrightarrow{B}(t) = \\frac{E_0 B_0}{\\mu_0} \\cos(\\omega t) \\cos(\\omega t - \\phi) \\overrightarrow{z}$
\n2. En utilisant une identité trigonométrique :
\n$\\cos A \\cos B = \\frac{\\cos(A-B) + \\cos(A+B)}{2}$
\n3. La valeur moyenne :
\n$\\langle S \\rangle = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0} \\cos \\phi$
\n4. Remplacement :
\n$\\langle S \\rangle = \\frac{200 \\times 800 \\times 10^{-6}}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7}} \\times \\cos 30^{\\circ} = 63,660 \\text{ W/m}^2$
\nRésultat :
\n$\\boxed{\\langle S \\rangle \\approx 63,660 \\text{ W/m}^2}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Puissance à travers
\nune surface de 0.5 m² :
\n$P = \\langle S \\rangle \\times 0.5 = 31,830 \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P = 31,830 \\text{ W}}$
", "id_category": "2", "id_number": "2" }, { "category": "Régime variable", "question": "On considère un champ magnétique variable dans le temps, décrit dans un cylindre de rayon $R = 5~\\text{cm}$ par :$B(t) = B_0 \\cos(\\omega t)$ avec $B_0 = 0,02~\\text{T}$ et $\\omega = 500~\\text{rad/s}$.L'étude porte sur la tension induite selon la loi de Maxwell-Faraday et Lenz, la densité du champ électrique induit, puis la vérification du flux à travers une surface. 1. Déterminer l’expression du champ électrique induit $\\vec{E}(r,t)$ à une distance $r$ de l’axe du cylindre. 2. Calculer la valeur de $|\\vec{E}|$ pour $r = 2~\\text{cm}$ au temps $t = 0$. 3. Calculer la force électromotrice totale induite autour d’un contour de même rayon.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Expression du champ électrique induit :
Formule générale de Maxwell–Faraday :$\\nabla \\times \\vec{E} = -\\dfrac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$.Pour une symétrie cylindrique :$E(2\\pi r) = -\\dfrac{d}{dt}(B\\pi r^2)$.On en déduit :$E = -\\dfrac{r}{2} \\dfrac{dB}{dt}$.Remplacement : $B(t) = B_0 \\cos(\\omega t)$ donc $\\dfrac{dB}{dt} = -B_0 \\omega \\sin(\\omega t)$.Donc :$E(r,t) = \\dfrac{r B_0 \\omega}{2} \\sin(\\omega t)$.2. Calcul de $|E|$ pour $r = 2~\\text{cm}$ :
Remplacement :$E = \\dfrac{0,02 \\times 0,02 \\times 500}{2} \\sin(0) = 0~\\text{V/m}$.Le maximum sera :$E_{max} = \\dfrac{r B_0 \\omega}{2} = \\dfrac{0,02 \\times 0,02 \\times 500}{2} = 0,1~\\text{V/m}$.3. Force électromotrice :
$\\mathcal{E} = \\oint \\vec{E} \\cdot d\\vec{l} = E (2\\pi r)$.Remplacement :$\\mathcal{E} = (2\\pi r) \\dfrac{r B_0 \\omega}{2} \\sin(\\omega t)$ = $\\pi r^2 B_0 \\omega \\sin(\\omega t)$.Ampitude maximale :$\\mathcal{E}_{max} = \\pi (0,02)^2 (0,02)(500) = 0,0126~\\text{V}$.
1. Vérification de Maxwell et relation $E_0/B_0$ :
Pour une onde plane dans le vide, $\\nabla \\times \\vec{E} = -\\dfrac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$.On montre :$\\beta E_0 \\sin(\\omega t - \\beta z) = \\omega B_0 \\sin(\\omega t - \\beta z)$ donc $\\dfrac{E_0}{B_0} = \\dfrac{\\omega}{\\beta} = v$.Dans le vide :$v = \\dfrac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\varepsilon_0}}$.2. Calcul de $v$ :
$v = \\dfrac{1}{\\sqrt{(4\\pi\\times10^{-7})(8,854\\times10^{-12})}} = 2,9979\\times10^8~\\text{m/s}$.3. Flux du vecteur de Poynting :
Vecteur moyen :$\\langle S \\rangle = \\dfrac{E_0^2}{2\\eta_0}$ avec $\\eta_0 = \\sqrt{\\dfrac{\\mu_0}{\\varepsilon_0}} = 377~\\Omega$.Remplacement :$\\langle S \\rangle = \\dfrac{200^2}{2 \\times 377} = 53,05~\\text{W/m}^2$.Flux total à travers S :$\\Phi = \\langle S \\rangle \\cdot S = 53,05 \\times 0,01 = 0,5305~\\text{W}$.
1. Champs associés :
Formules générales :$\\vec{B} = \\nabla \\times \\vec{A}$, $\\vec{E} = -\\dfrac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t}$.Calculs :$\\vec{B} = \\dfrac{\\partial A_z}{\\partial r} \\hat{\\phi} = \\dfrac{\\mu_0 I_0}{4\\pi} \\dfrac{\\partial}{\\partial r}\\left(\\dfrac{1}{r}\\cos(\\omega(t - r/c))\\right) \\hat{\\phi}$.Après dérivation :$\\vec{B} = \\dfrac{\\mu_0 I_0}{4\\pi} \\left[ \\dfrac{\\omega}{c r} \\sin(\\omega(t - r/c)) + \\dfrac{\\cos(\\omega(t - r/c))}{r^2} \\right] \\hat{\\phi}$.$\\vec{E} = \\dfrac{\\mu_0 I_0 \\omega}{4\\pi r} \\sin(\\omega(t - r/c)) \\hat{z}$.2. Vérification de la jauge de Lorentz :
$\\nabla^2 \\vec{A} - \\dfrac{1}{c^2} \\dfrac{\\partial^2 \\vec{A}}{\\partial t^2} = 0$.Remplacement du terme temporel et spatial montre que les dérivées donnent des termes proportionnels à $\\cos(\\omega(t - r/c))$, ce qui satisfait bien l’équation d’onde.3. Densité moyenne du flux d’énergie :
Vecteur de Poynting :$\\langle S \\rangle = \\dfrac{1}{2\\mu_0} |\\vec{E}||\\vec{B}|$.On prend les amplitudes :$|E| = \\dfrac{\\mu_0 I_0 \\omega}{4\\pi r}$, $|B| = \\dfrac{\\mu_0 I_0 \\omega}{4\\pi c r}$.Donc :$\\langle S \\rangle = \\dfrac{1}{2\\mu_0} \\left(\\dfrac{\\mu_0 I_0 \\omega}{4\\pi r}\\right) \\left(\\dfrac{\\mu_0 I_0 \\omega}{4\\pi c r}\\right)$.Remplacement numérique :$\\langle S \\rangle = \\dfrac{1}{2(4\\pi\\times10^{-7})} \\left(\\dfrac{4\\pi\\times10^{-7} (10^8)}{4\\pi}\\right)^2 \\dfrac{1}{3\\times10^8}\\dfrac{1}{1^2}$ ≈ $0,066~\\text{W/m}^2$.
Question 1 :
Formule : $\\vec{B} = \\frac{1}{c} \\hat{k} \\times \\vec{E}$, où $c = 3 \\times 10^8 m/s$.
Remplacement des données : $\\vec{B}(x,t) = \\frac{1}{3 \\times 10^8} \\hat{x} \\times (E_0 \\cos(\\omega t - kx) \\hat{y})$
Calcul : $\\vec{B}(x,t) = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - kx) \\hat{z}$
Résultat final : $\\vec{B}(x,t) = 3.33 \\times 10^{-7} \\cos(\\omega t - kx) \\hat{z}$ (Tesla)
Question 2 :
Équation de Maxwell-Faraday : $\\nabla \\times \\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$
Calcul du rotationnel : $\\nabla \\times \\vec{E} = -\\frac{\\partial E_y}{\\partial x} \\hat{z} = kE_0 \\sin(\\omega t - kx) \\hat{z}$
Calcul de la dérivée temporelle : $- \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} = -\\frac{E_0}{c}(-\\omega \\sin(\\omega t - kx)) \\hat{z} = \\frac{E_0 \\omega}{c} \\sin(\\omega t - kx) \\hat{z}$
Égalité vérifiée si $k = \\frac{\\omega}{c}$, ce qui est cohérent avec les valeurs données (0.667 ≈ 2×10⁸ / 3×10⁸).
Question 3 :
Vecteur de Poynting : $\\vec{S} = \\vec{E} \\times \\vec{H}$ avec $\\vec{H} = \\frac{\\vec{B}}{\\mu_0}$
Remplacement : $\\vec{S} = E_0 \\cos(\\omega t - kx) \\frac{E_0}{\\mu_0 c} \\cos(\\omega t - kx) \\hat{x}$
Valeur moyenne : $\\langle S \\rangle = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c}$
Résultat final : $\\langle S \\rangle = \\frac{100^2}{2(4\\pi \\times 10^{-7})3\\times10^8} = 13.26\\, W/m^2$
Question 1 :
Formule : $\\vec{A}(r,t) = \\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\frac{\\vec{J}(t_r)}{r}$
Remplacement : $\\vec{A}(r,t) = \\frac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r} e^{j\\omega (t - r/c)} \\hat{z}$
Résultat : $\\vec{A}(r,t) = \\frac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r} e^{j(\\omega t - kr)} \\hat{z}$
Question 2 :
En jauge de Lorentz : $\\nabla \\cdot \\vec{A} + \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial \\phi}{\\partial t} = 0$ et $\\vec{E} = -\\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t} - \\nabla \\phi$
Supposons champ rayonné lointain, donc $\\phi \\approx 0$.
Calcul : $\\vec{E}(r,t) = -\\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t} = -j\\omega \\frac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r} e^{j(\\omega t - kr)} \\hat{z}$
Résultat : $\\vec{E}(r,t) = j\\omega \\frac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r} e^{j(\\omega t - kr)} \\hat{z}$
Question 3 :
Densité de puissance instantanée : $\\vec{S}(r,t) = \\frac{\\vec{E} \\times \\vec{H}}{2}$.
Champ magnétique associé : $\\vec{H} = \\frac{1}{\\mu_0} \\nabla \\times \\vec{A}$ → en champ lointain, $\\vec{H} = \\frac{E_0}{\\eta_0} \\hat{\\theta}$, où $\\eta_0 = 377 \\Omega$.
Remplacement : $\\langle S \\rangle = \\frac{|E_0|^2}{2\\eta_0} = \\frac{1}{2\\eta_0} \\left(\\omega \\frac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r}\\right)^2$
Question 1 :
Formule : $v_p = \\frac{c}{n}$ et $\\lambda = \\frac{2\\pi}{k}$
Remplacement : $v_p = \\frac{3\\times10^8}{2} = 1.5\\times10^8\\, m/s$
Avec $k = \\frac{n\\omega}{c}$ et pour $\\omega = 2\\pi \\times 10^9\\, rad/s$, $k = 41.89\\, rad/m$
Résultat final : $\\lambda = \\frac{2\\pi}{41.89} = 0.15\\, m$.
Question 2 :
Champ magnétique : $\\vec{H} = \\frac{1}{\\eta} (\\hat{k} \\times \\vec{E})$, où $\\eta = \\frac{\\eta_0}{n}$.
Remplacement : $\\eta = \\frac{377}{2} = 188.5\\, \\Omega$
Donc $\\vec{H} = \\frac{E_0}{188.5} e^{-j(kx - \\omega t)} \\hat{z}$
Vérification : $|E| / |H| = \\eta = 188.5\\, \\Omega$, ce qui valide la cohérence de l’onde plane.
Question 3 :
Coefficients de réflexion et de transmission : $R = \\frac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1}$, $T = \\frac{2\\eta_2}{\\eta_2 + \\eta_1}$
Remplacement : $\\eta_1 = 377\\, \\Omega$, $\\eta_2 = 188.5\\, \\Omega$
Calcul : $R = \\frac{188.5 - 377}{565.5} = -0.333$, $T = \\frac{2 \\times 188.5}{565.5} = 0.667$
Résultat final : $E_r = -0.333 E_0$, $E_t = 0.667 E_0$.
Exercice 1 : Application des équations de Maxwell en régime variable
On considère un champ électromagnétique variable dans le temps, régi par les équations de Maxwell complètes :
$\\begin{cases} \\nabla \\times \\overrightarrow{E} = - \\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t} \\ \\nabla \\times \\overrightarrow{H} = \\overrightarrow{J} + \\frac{\\partial \\overrightarrow{D}}{\\partial t} \\end{cases}$
Dans un milieu linéaire isotrope avec permittivité $\\epsilon_0$ et perméabilité $\\mu_0$, sans charges libres ni courants externes.
Question 1 : Déduire l'équation de propagation du champ électrique $\\overrightarrow{E}(\\overrightarrow{r}, t)$ à partir des équations de Maxwell et exploiter la jauge de Lorentz.
Question 2 : Montrer que les potentiels scalaire $V(\\overrightarrow{r}, t)$ et vectoriel $\\overrightarrow{A}(\\overrightarrow{r}, t)$ satisfont l'équation d'onde retardée, et écrire la forme générale des solutions des potentiels retardés.
Question 3 : Calculer le vecteur de Poynting et interpréter la densité de flux énergétique du champ électromagnétique en régime variable.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Partant des équations de Maxwell :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = - \\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t}$ et
$\\nabla \\times \\overrightarrow{H} = \\frac{\\partial \\overrightarrow{D}}{\\partial t}$ dans un milieu sans sources.
2. En utilisant les relations
$\\overrightarrow{B} = \\mu_0 \\overrightarrow{H}, \\quad \\overrightarrow{D} = \\epsilon_0 \\overrightarrow{E}$, on combine pour obtenir :
$\\nabla \\times (\\nabla \\times \\overrightarrow{E}) = - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2}$
3. Avec l'identité vectorielle :
$\\nabla \\times (\\nabla \\times \\overrightarrow{E}) = \\nabla (\\nabla \\cdot \\overrightarrow{E}) - \\nabla^2 \\overrightarrow{E}$
4. En imposant la jauge de Lorentz et sans charges libres,
$\\nabla \\cdot \\overrightarrow{E} = 0$ donc :
$\\Rightarrow \\nabla^2 \\overrightarrow{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2} = \\overrightarrow{0}$
Ce qui est l'équation d'onde pour le champ électrique.
Question 2 :
1. Définition des potentiels :
$\\overrightarrow{B} = \\nabla \\times \\overrightarrow{A}$,
$\\overrightarrow{E} = -\\nabla V - \\frac{\\partial \\overrightarrow{A}}{\\partial t}$
2. Sous jauge de Lorentz :
$\\nabla \\cdot \\overrightarrow{A} + \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial V}{\\partial t} = 0$
3. Les potentiels satisfont alors :
$\\Box V = \\nabla^2 V - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 V}{\\partial t^2} = - \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}, \\quad \\Box \\overrightarrow{A} = \\nabla^2 \\overrightarrow{A} - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{A}}{\\partial t^2} = - \\mu_0 \\overrightarrow{J}$
4. Les solutions générales sont les potentiels retardés :
$V(\\overrightarrow{r}, t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\int \\frac{\\rho\\left(\\overrightarrow{r}', t - \\frac{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r}'|}{c}\\right)}{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r}'|} d^3r',$
et
$\\overrightarrow{A}(\\overrightarrow{r}, t) = \\frac{\\mu_0}{4 \\pi} \\int \\frac{\\overrightarrow{J}\\left(\\overrightarrow{r}', t - \\frac{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r}'|}{c}\\right)}{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r}'|} d^3r'$
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting est défini par :
$\\overrightarrow{S} = \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{H}$
2. La densité de flux énergétique représente la puissance électromagnétique traversant une unité de surface perpendiculairement.
3. En régime variable,
$\\overrightarrow{S}(\\overrightarrow{r}, t) = \\epsilon_0 c^2 (\\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B})$ montre le transfert local d'énergie due aux champs variables.
", "id_category": "2", "id_number": "9" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 2 : Conditions aux limites et propagation des ondes électromagnétiques
Une onde électromagnétique plane incidente d’amplitude $E_0 = 100$ V/m est polarisée selon l’axe $x$ et se propage dans le vide vers un milieu conducteur semi-infini de conductivité $\\sigma = 5 \\times 10^7$ S/m.
Question 1 : Calculer la profondeur de pénétration $\\delta$ de cette onde dans le conducteur.
Question 2 : Déterminer l’expression du champ électrique réfléchi et transmis en fonction de la distance dans les deux milieux, en tenant compte des conditions aux limites.
Question 3 : Évaluer la puissance dissipée dans le conducteur en fonction du vecteur de Poynting.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "(Suite)
Calcul du dénominateur :
$\\omega \\mu \\sigma = 6.283 \\times 10^9 \\times 1.257 \\times 10^{-6} \\times 5 \\times 10^7 = 3.948 \\times 10^{11}$
$\\delta = \\sqrt{\\frac{2}{3.948 \\times 10^{11}}} = 2.25 \\times 10^{-6} \\text{ m }= 2.25 \\mu\\text{m}$
Question 2 :
1. Le champ électrique incident :
$\\overrightarrow{E}_i = E_0 e^{-j(k_1 z - \\omega t)} \\hat{x}$
2. En surface, conditions continuité des champs :
$E_i + E_r = E_t, \\quad H_i + H_r = H_t$
3. Expression des champs réfléchis et transmis en fonction des coefficients de réflexion $\\Gamma$ et transmission $T$ :
$\\overrightarrow{E}_r = \\Gamma E_0 e^{j(k_1 z + \\omega t)} \\hat{x}, \\quad \\overrightarrow{E}_t = T E_0 e^{-\\alpha z} e^{-j(\\beta z + \\omega t)} \\hat{x}$
Question 3 :
1. La puissance dissipée dans le conducteur correspond au flux du vecteur de Poynting :
$P = \\iint \\overrightarrow{S} \\cdot d\\overrightarrow{S} = \\frac{|E_0|^2}{2 \\eta} (1 - |\\Gamma|^2)$
avec $\\eta$ l'impédance caractéristique du milieu conducteur.
", "id_category": "2", "id_number": "10" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 3 : Énergie électromagnétique et propagation dans un guide d'onde
Une onde électromagnétique se propage dans un guide d'onde rectangulaire vide de permittivité $\\epsilon_0$ et perméabilité $\\mu_0$. Le champ électrique est donné par :
$\\overrightarrow{E}(x,y,z,t) = E_0 \\sin\\left(\\frac{\\pi x}{a}\\right) \\cos\\left(\\frac{\\pi y}{b}\\right) e^{j(\\omega t - \\beta z)} \\hat{y}$
Question 1 : Écrire l'expression du champ magnétique $\\overrightarrow{B}(x,y,z,t)$ associé à cette onde.
Question 2 : Calculer la densité d'énergie électromagnétique moyenne dans le guide.
Question 3 : Déterminer le vecteur de Poynting moyen et calculer la puissance transportée dans la section du guide.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Du fait de la relation entre champs dans une onde électromagnétique plane :
$\\overrightarrow{B} = \\frac{1}{\\omega} \\nabla \\times \\overrightarrow{E}$
2. Calcul du rotationnel et application à la forme donnée du champ électrique.
Question 2 :
1. La densité d'énergie moyenne est :
$u = \\frac{1}{2} \\epsilon_0 |\\overrightarrow{E}|^2 + \\frac{1}{2 \\mu_0} |\\overrightarrow{B}|^2$
2. Calcul des valeurs moyennes sur le volume du guide à partir des expressions de $\\overrightarrow{E}$ et $\\overrightarrow{B}$.
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting moyen est :
$\\overrightarrow{S} = \\frac{1}{2} \\Re(\\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{H}^*)$
2. Calcul de la puissance transportée intégrant sur la section transversale :
$P = \\iint \\overrightarrow{S} \\cdot \\hat{z} \\,dA$
", "id_category": "2", "id_number": "11" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 1 : Équations de Maxwell et onde électromagnétique plane dans le vide\n\nOn considère une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide selon la direction $z$, dont le champ électrique est donné par :$\\vec{E}(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - kz)\\hat{x}$.\n\n1. En utilisant les équations de Maxwell en régime variable, déterminer le champ magnétique $\\vec{B}(z,t)$ associé.\n2. En déduire le vecteur de Poynting moyen $\\langle \\vec{S} \\rangle$ et l’intensité moyenne transportée par l’onde.\n3. Calculer la densité d’énergie électromagnétique moyenne $\\langle u \\rangle$ et vérifier la relation d’égalité avec $\\langle S \\rangle = c \\langle u \\rangle$ dans le vide pour $E_0 = 100\\,V/m$ et $f = 1\\,GHz$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Formule : $\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E} = -\\dfrac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$
2. En 1D (onde plane en z) : $\\dfrac{\\partial E_x}{\\partial z} = -\\dfrac{\\partial B_y}{\\partial t}$
3. Remplacement : $E_x = E_0 \\cos(\\omega t - kz)$
4. Application : $\\dfrac{\\partial E_x}{\\partial z} = kE_0 \\sin(\\omega t - kz)$ et $\\dfrac{\\partial B_y}{\\partial t} = -\\omega B_0 \\sin(\\omega t - kz)$
5. Égalisation : $kE_0 = \\omega B_0$ donc $B_0 = \\dfrac{k}{\\omega}E_0 = \\dfrac{E_0}{c}$
Résultat final : $\\vec{B} = \\dfrac{E_0}{c}\\cos(\\omega t - kz)\\hat{y}$
1. Formule : $\\vec{S} = \\dfrac{1}{\\mu_0}(\\vec{E} \\times \\vec{B})$
2. Remplacement : $\\vec{S} = \\dfrac{E_0^2}{\\mu_0 c}\\cos^2(\\omega t - kz)\\hat{z}$
3. Moyenne temporelle : $\\langle S \\rangle = \\dfrac{E_0^2}{2\\mu_0 c}$
4. Calcul numérique : $\\langle S \\rangle = \\dfrac{100^2}{2(4\\pi\\times10^{-7})3\\times10^8} = 13.27\\,W/m^2$
1. Densité d’énergie : $u = \\dfrac{\\varepsilon_0 E^2 + B^2/\\mu_0}{2}$
2. Moyenne : $\\langle u \\rangle = \\dfrac{\\varepsilon_0 E_0^2}{2}$
3. Calcul : $\\langle u \\rangle = 0.5(8.85\\times10^{-12})(100)^2 = 4.43\\times10^{-8}\\,J/m^3$
4. Vérification : $c \\langle u \\rangle = 3\\times10^8 \\times 4.43\\times10^{-8} = 13.3\\,W/m^2$ → cohérent avec $\\langle S \\rangle$.
1. Formule : $\\vec{A}(r,t) = \\dfrac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r} e^{-j\\omega(t - r/c)}\\hat{z}$
2. Remplacement : $A(r,t) = \\dfrac{\\mu_0 J_0}{4\\pi r} e^{-j\\omega t} e^{jkr}$ avec $k = \\dfrac{\\omega}{c}$
3. Résultat final : $A(r,t) = \\dfrac{10^{-7} J_0}{r} e^{-j\\omega t + jkr}$
1. Équation du potentiel dans la jauge de Lorentz : $\\nabla^2 A - \\dfrac{1}{c^2} \\dfrac{\\partial^2 A}{\\partial t^2} = -\\mu_0 J$
2. Dans le vide, source nulle : $\\nabla^2 A - \\dfrac{1}{c^2} \\dfrac{\\partial^2 A}{\\partial t^2} = 0$ → équation d’onde plane.
1. Champ électrique dérivé : $\\vec{E} = -\\dfrac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t}$
2. Remplacement : $E = j\\omega A$
3. Calcul : $E = j(2\\pi\\times10^8) \\times \\dfrac{10^{-7}}{1} e^{-j\\omega t + jkr}= j62.8 e^{-j\\omega t + jkr}$
4. Partie réelle : $E(t) = 62.8\\cos(\\omega t - kr)\\,V/m$.
1. Formule : $\\Gamma = \\dfrac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1}$ et $\\tau = \\dfrac{2\\eta_2}{\\eta_2 + \\eta_1}$
2. Impédances : $\\eta_i = \\sqrt{\\dfrac{\\mu_i}{\\varepsilon_i}}$
3. Remplacement : $\\eta_1 = 377\\,\\Omega$, $\\eta_2 = 188.5\\,\\Omega$
4. Calcul : $\\Gamma = (188.5 - 377)/(188.5 + 377) = -0.333$, $\\tau = 0.667$
1. Champ réfléchi : $E_r = \\Gamma E_i = -0.333\\,E_0$
2. Champ transmis : $E_t = \\tau E_i = 0.667\\,E_0$
3. Pour $E_0 = 1\\,V/m$ : $E_r = -0.333\\,V/m$, $E_t = 0.667\\,V/m$
4. Résultat au plan : $E_{total}(z=0^-) = E_i + E_r = 0.667\\,V/m$, $E_{total}(z=0^+) = E_t = 0.667\\,V/m$ → continuité respectée.
1. Calcul de la f.e.m. induite :
Formule générale : $e(t) = -\\frac{d\\Phi_B}{dt}$ avec $\\Phi_B = B(t)S = B_0\\cos(\\omega t)\\pi R^2$
Remplacement : $e(t) = -\\frac{d}{dt}[B_0\\cos(\\omega t)\\pi R^2]$
Calcul : $e(t) = B_0\\omega\\pi R^2\\sin(\\omega t)$
Résultat : $e(t) = 0.02\\times100\\pi\\times\\pi\\times(0.05)^2\\sin(100\\pi t) = 0.493\\sin(100\\pi t)$ V.
2. Champ électrique induit :
Formule : $E_{t} = \\frac{e(t)}{2\\pi R}$
Remplacement : $E_t(t) = \\frac{0.493\\sin(100\\pi t)}{2\\pi\\times0.05}$
Résultat : $E_t(t) = 1.57\\sin(100\\pi t)$ V/m.
3. Valeur maximale :
Formule : $E_{max} = 1.57$ V/m, obtenue lorsque $\\sin(100\\pi t) = 1$.
1. Relation de dispersion :
Formule : $k = \\frac{\\omega}{c}$ dans le vide, avec $c = 3\\times10^8$ m/s.
2. Vitesse de propagation :
Formule générale : $v_p = \\frac{\\omega}{k} = c$
Résultat : $v_p = 3\\times10^8$ m/s.
3. Champ magnétique :
Relation de Maxwell-Faraday : $\\vec{B} = \\frac{1}{\\omega}\\vec{k} \\times \\vec{E}$
Amplitude : $B_0 = \\frac{E_0}{c}$
Remplacement : $B_0 = \\frac{20}{3\\times10^8} = 6.67\\times10^{-8}$ T.
Expression finale : $\\vec{B}(z,t) = 6.67\\times10^{-8} \\cos(\\omega t - kz) \\hat{y}$.
1. Champ magnétique :
Formule : $\\vec{B} = \\nabla \\times \\vec{A}$
Dans le champ lointain : $\\vec{B} = \\frac{\\mu_0 I_0 l k}{4\\pi r}\\sin(\\omega t - kr) \\hat{\\phi}$
Remplacement : $B_0 = \\frac{4\\pi\\times10^{-7} \\times 2 \\times 0.2 \\times \\frac{10^8}{3\\times10^8}}{4\\pi\\times10} = 1.33\\times10^{-9}$ T.
2. Champ électrique rayonné :
Relation : $\\vec{E} = c \\vec{B}$ dans le champ lointain.
Amplitude : $E_0 = 3\\times10^8\\times1.33\\times10^{-9} = 0.4$ V/m.
Expression : $\\vec{E}(r,t) = 0.4 \\sin(\\omega t - kr) \\hat{\\theta}$.
3. Densité de puissance moyenne :
Formule : $\\langle S \\rangle = \\frac{E_0^2}{2\\mu_0 c}$
Remplacement : $\\langle S \\rangle = \\frac{0.4^2}{2\\times4\\pi\\times10^{-7}\\times3\\times10^8}$
Calcul : $\\langle S \\rangle = 0.21$ W/m².
Exercice 1 : Résolution des équations de Maxwell en régime variable
Considérons le problème d’un champ électromagnétique dans un milieu homogène, isotrope, sans charges libres. La densité de courant est nulle et la perméabilité magnétique est celle du vide. La composante électrique E et la composante magnétique B évoluent selon les équations de Maxwell en régime variable.
Question 1 : En partant de l’équation de Maxwell-Ampère, dérivez l’équation de propagation des champs électrique et magnétique en régime libre.
Question 2 : Écrivez l’équation en domaine fréquentiel pour le potentiel scalaire électrique V et le potentiel vecteur A en régime harmonique.
Question 3 : Combien vaut l’énergie électromagnétique contenue dans une sphère de rayon R ? Exprimez-la en fonction du vecteur de Poynting.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Equation de propagation
1. La sous-équation d’onde pour le champ électrique dans un milieu sans charges est dérivée en utilisant l’équation de Maxwell :
$\\nabla^2 \\mathbf{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\mathbf{E}}{\\partial t^2} = 0$
2. En utilisant la transformation de Fourier, on obtient pour la version fréquentielle :
$\\nabla^2 \\tilde{\\mathbf{E}} + k^2 \\tilde{\\mathbf{E}} = 0$
avec
$k^2 = \\omega^2 \\mu_0 \\epsilon_0$.
Question 2 : Potentiels en domaine fréquentiel
1. Les potentiels scalaire et vecteur liés à l’onde électromagnétique en régime harmonique sont séparés :
$\\nabla^2 V + k^2 V = 0, \\quad \\nabla^2 \\mathbf{A} + k^2 \\mathbf{A} = 0$
2. La relation de Lorentz impose :
$\\text{div} \\mathbf{A} + \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial V}{\\partial t} = 0$
3. Sous régime harmonique, cela devient :
$\\text{div} \\mathbf{A} + \\frac{i \\omega}{c^2} V = 0$
Question 3 : Energie électromagnétique et vecteur de Poynting
1. L’énergie électromagnétique dans une sphère de rayon R est donnée par :
$W = \\frac{1}{2} \\int_{V} \\left( \\epsilon_0 |\\mathbf{E}|^2 + \\frac{1}{\\mu_0} |\\mathbf{B}|^2 \\right) dV$
2. Le vecteur de Poynting est :
$\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\mathbf{E} \\times \\mathbf{B}$
3. La puissance totale qui traverse la surface de rayon R est :
$P = \\oint_{\\text{surface}} \\mathbf{S} \\cdot d\\mathbf{A}$
", "id_category": "2", "id_number": "18" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 2 : Equations différentielles de Maxwell en régime stationnaire
Considérons un champ électrique statique dans un espace homogène avec charge volumique de densité $\\rho = 0$. La permittivité de l’espace est $\\epsilon_0$.
Question 1 : Écrire l’équation de Poisson pour le potentiel électrique V en régime statique.
Question 2 : Dans le cas sans charge, quelle est la condition sur le potentiel électrique V ?
Question 3 : Déduire la relation entre l’énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting pour une onde stationnaire.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Équation de Poisson
1. La loi de Coulomb dans un espace sans charge voisine donne :
$\\nabla^2 V = -\\frac{\\rho}{\\epsilon_0} $
Pour un espace sans charge (\\( \\rho=0 \\)), cela devient :
$\\nabla^2 V = 0$
2. C’est l’équation de Laplace pour le potentiel électrique.
Question 2 : Condition en absence de charge
1. Le potentiel électrique doit satisfaire l’équation de Laplace :
$\\nabla^2 V = 0$
2. La conditions aux limites doivent contenir les valeurs de V à l’infini ou sur les surfaces conductrices.
Question 3 : Relation énergie / vecteur de Poynting
1. L’énergie électromagnétique dans une onde stationnaire n’a pas de flux net dans le volume mais oscille localement.
2. La puissance est donnée par le flux du vecteur de Poynting :
$P = \\oint \\mathbf{S} \\cdot d\\mathbf{A} = 0$
3. La relation entre énergie et flux implique que, dans une onde stationnaire, l’énergie est stockée dans les champs électrique et magnétique, sans déplacement net d’énergie à l’échelle globale.
", "id_category": "2", "id_number": "19" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 3 : Conditions de passage aux limites et équations de propagation
Dans un espace médié contenant un interfaces entre deux milieux, nous étudions la propagation d’une onde électromagnétique incidente sur la surface avec permittivité $\\epsilon_1$ et $\\epsilon_2$.
Question 1 : Écrire les conditions de passage pour le champ électrique et le champ magnétique à l’interface.
Question 2 : Établir l’équation de Maxwell pour la transmission d’un potentiel scalaire électrique V et d’un vecteur de potentiel A dans chaque milieu.
Question 3 : Définir le paramètre de réflexion et de transmission de l’onde à l’interface en fonction des permittivités.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Conditions de passage
1. La continuité du champ électrique normale à l’interface :
$\\mathbf{E}_{1\\perp} = \\mathbf{E}_{2\\perp}$
2. La continuité du champ électrique tangent à l’interface :
$\\mathbf{E}_{1\\parallel} = \\mathbf{E}_{2\\parallel}$
3. Conditions similaires pour le champ magnétique :
$\\mathbf{H}_{1\\perp} = \\mathbf{H}_{2\\perp}, \\quad \\mathbf{H}_{1\\parallel} = \\mathbf{H}_{2\\parallel}$
Question 2 : Equation de propagation
1. En utilisant le potentiel scalaire V et le potentiel vecteur A, l’équation de Maxwell s’écrit :
$\\Delta V - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 V}{\\partial t^2} = 0, \\quad \\Delta \\mathbf{A} - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 \\mathbf{A}}{\\partial t^2} = 0$
2. Dans chaque milieu, il faut appliquer ces équations en tenant compte des conditions aux limites ci-dessus.
Question 3 : Réflexion et transmission
1. Les coefficients de réflexion (R) et de transmission (T) sont :
$R = \\frac{\\sqrt{\\epsilon_1} - \\sqrt{\\epsilon_2}}{\\sqrt{\\epsilon_1} + \\sqrt{\\epsilon_2}}, \\quad T = 1 + R$
2. La réflexion est maximale si $\\epsilon_1 = \\epsilon_2$.
3. La transmission dépend de la permittivité relative de chaque milieu.
", "id_category": "2", "id_number": "20" }, { "category": "Régime variable", "question": "Un conducteur rectiligne infini transporte un courant variable en régime sinusoïdal à la fréquence $f = 1$ MHz. Le champ magnétique variable induit un champ électrique dans l'espace environnant.Question 1 : En partant des équations de Maxwell en régime variable, écrivez l'équation de propagation du champ électrique $\\vec{E}$ dans le vide.
Question 2 : Calculez la longueur d'onde correspondante et exprimez la solution générale de l'équation de propagation en fonction des potentiels retardés.
Question 3 : En considérant une source ponctuelle, calculez explicitement le vecteur de Poynting moyen $\\langle \\vec{S} \\rangle$ à une distance $r = 1$ m du conducteur, en précisant la direction et le sens du flux d'énergie.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. En régime variable, les équations de Maxwell associées dans le vide sont :
$\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$
$\\vec{\\nabla} \\times \\vec{B} = \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t}$
2. En combinant ces équations, on obtient l'équation de propagation du champ électrique :
$\\nabla^2 \\vec{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2} = \\vec{0}$
Question 2 :
1. La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}} = 3 \\times 10^8$ m/s
2. La longueur d'onde pour une fréquence $f = 1$ MHz est :
$\\lambda = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{1 \\times 10^6} = 300$ m
3. La solution générale de l'équation de propagation sous forme de potentiels retardés est :
$\\vec{E}(\\vec{r}, t) = \\Re \\left\\{ \\vec{E}_0 \\frac{e^{j(\\omega t - k r)}}{r} \\right\\}$ avec
$k = \\frac{2\\pi}{\\lambda}, \\quad \\omega = 2\\pi f$
Question 3 :
1. Pour une source ponctuelle portée par un filament conducteur, le vecteur de Poynting moyen est :
$\\langle \\vec{S} \\rangle = \\frac{1}{2 \\mu_0} \\Re(\\vec{E} \\times \\vec{B}^*)$
2. À distance $r = 1$ m, en champ lointain :
$|\\vec{E}| = E_0 / r, \\quad |\\vec{B}| = \\frac{|\\vec{E}|}{c}$
3. La direction de $\\vec{S}$ est radiale, de la source vers l'extérieur, ce qui représente le flux énergétique sortant.
4. En substituant, on obtient :
$\\langle S \\rangle = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c r^2}$
Interprétation : Ce vecteur quantifie la puissance électromagnétique échangée par unité de surface, décroit avec $1/r^2$ comme attendu pour une onde rayonnante sphérique.
", "id_category": "2", "id_number": "21" }, { "category": "Régime variable", "question": "Un condensateur plan est soumis à un champ électrique variable sinusoïdal de fréquence $f=500$ kHz. La densité volumique de charges évolue dans l'entrefer en accord avec les équations de Maxwell.Question 1 : Exprimez la loi de Maxwell-Faraday dans cet espace et écrivez l'équation liant la variation temporelle du champ magnétique à celle du champ électrique.
Question 2 : En supposant le modèle simplifié, calculez la valeur de la composante magnétique induite à une distance de 2 cm du condensateur.
Question 3 : Calculez la puissance moyenne électromagnétique transférée dans le milieu et exprimez le vecteur de Poynting associé.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. La loi de Maxwell-Faraday en forme différentielle est :
$\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$
2. Cette relation indique que toute variation temporelle du champ magnétique génère un champ électrique circulant autour de la variation.
Question 2 :
1. En régime sinusoïdal à la fréquence $f=500$ kHz, l'amplitude variable de $\\vec{E}$ induit un champ magnétique :
$|\\vec{B}| = \\frac{1}{\\omega} |\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E}|$
2. En supposant une variation uniforme dans l'espace sur une distance $2$ cm :
$|\\vec{B}| \\approx \\frac{E_0}{\\omega r}$
3. Calcul numérique pour $\\omega = 2\\pi \\times 500 \\times 10^3 = 3.14 \\times 10^6$ rad/s, $r=0.02$ m, et $E_0=1000$ V/m :
$|\\vec{B}| = \\frac{1000}{3.14 \\times 10^6 \\times 0.02} = 0.016$ T
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting est :
$\\vec{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\vec{E} \\times \\vec{B}$
2. Valeur moyenne :
$\\langle S \\rangle = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0}$
3. Avec $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$ H/m, :
$\\langle S \\rangle = \\frac{1000 \\times 0.016}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7}} = 6.37 \\times 10^{6}$ W/m²
Interprétation : La puissance moyenne transférée est très élevée, typique d'un champ électrique intense variable à haute fréquence.
", "id_category": "2", "id_number": "22" }, { "category": "Régime variable", "question": "Une onde électromagnétique plane est décrite par les potentiels retardés :Question 1 : Écrivez l'équation de propagation des potentiels scalaire et vecteur en régime variable.
Question 2 : Déterminez la relation entre les champs $\\vec{E}$ et $\\vec{B}$ dans cette onde et calculez la densité d'énergie électromagnétique.
Question 3 : Calculez la puissance transported par unité de surface et interprétez le sens du vecteur de Poynting dans le milieu libre.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Les équations de propagation des potentiels scalaire
$V(\\vec{r}, t)$ et vecteur
$\\vec{A}(\\vec{r}, t)$ en régime variable sont :
$\\triangle V - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 V}{\\partial t^2} = - \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}$
$\\triangle \\vec{A} - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 \\vec{A}}{\\partial t^2} = - \\mu_0 \\vec{J}$
2. Sous la jauge de Lorentz, ces équations sont découplées et permettent la résolution par la méthode des potentiels retardés.
Question 2 :
1. Dans une onde plane, les champs $\\vec{E}$ et $\\vec{B}$ sont perpendiculaires et liés par :
$\\vec{B} = \\frac{1}{c} \\vec{k} \\times \\vec{E}$
2. La densité d'énergie électromagnétique est :
$u = \\frac{1}{2} \\epsilon_0 E^2 + \\frac{1}{2 \\mu_0} B^2$
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting, qui donne la puissance par unité de surface transportée, est :
$\\vec{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\vec{E} \\times \\vec{B}$
2. Le sens de $\\vec{S}$ est la direction de propagation de l'onde, perpendiculaire à $\\vec{E}$ et $\\vec{B}$.
3. La puissance transportée est donc positive dans cette direction, indiquant un transport d'énergie depuis la source vers l'espace libre.
", "id_category": "2", "id_number": "23" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 1 : Équations de Maxwell en régime variable et vecteur de Poynting
On considère un champ électromagnétique variable dans un milieu libre et isotrope. Les équations de Maxwell en forme locale sont :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = -\\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t}$
$\\nabla \\times \\overrightarrow{H} = \\overrightarrow{J} + \\frac{\\partial \\overrightarrow{D}}{\\partial t}$
On suppose une onde plane électromagnétique se propageant selon l'axe
$x$, avec des champs
$\\overrightarrow{E} = E_0 \\cos(\\omega t - k x) \\hat{y}$ et
$\\overrightarrow{B} = B_0 \\cos(\\omega t - k x) \\hat{z}$.
Question 1 : Vérifiez que ces champs satisfont la loi de Maxwell-Faraday et calculer le rapport $\\frac{E_0}{B_0}$.
Question 2 : Écrire l'équation de propagation dans le vide pour le champ électrique et déterminer la relation entre $k$, $\\omega$ et la vitesse de la lumière $c$.
Question 3 : Calculer le vecteur de Poynting moyen $\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle$ en fonction de $E_0$ et interpréter physiquement ce résultat.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Vérification de la loi de Maxwell-Faraday
1. Loi de Maxwell-Faraday :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = -\\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t}$
2. Calcul du rotationnel de
$\\overrightarrow{E} = E_0 \\cos(\\omega t - kx) \\hat{y}$ :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = \\left( \\frac{\\partial E_z}{\\partial y} - \\frac{\\partial E_y}{\\partial z} \\right) \\hat{x} + ...$ mais ici, seuls les termes non nuls sont :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = - \\frac{\\partial E_y}{\\partial z} \\hat{x}$, mais étant donné que $E_y$ dépend uniquement de x et t, cette dérivée est nulle.
En revanche, dans une onde plane, la variation spatiale du champ électrique est selon $x$, on obtient :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = - \\frac{\\partial E_y}{\\partial x} \\hat{z} = k E_0 \\sin(\\omega t - kx) \\hat{z} $
3. Calcul de la dérivée temporelle du champ magnétique :
$- \\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t} = \\omega B_0 \\sin(\\omega t - kx) \\hat{z}$
4. En identifiant les termes :
$k E_0 = \\omega B_0$ donc :
$\\boxed{\\frac{E_0}{B_0} = \\frac{\\omega}{k}}$
Question 2 : Équation de propagation dans le vide
1. L'équation pour le champ électrique dans le vide est :
$\\nabla^2 \\overrightarrow{E} = \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2}$
2. Pour une onde plane :
$\\frac{\\partial^2 E_y}{\\partial x^2} = \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 E_y}{\\partial t^2}$
3. En substituant la forme $E_y = E_0 \\cos(\\omega t - kx)$ :
$-k^2 E_0 \\cos(\\omega t - kx) = - \\mu_0 \\epsilon_0 \\omega^2 E_0 \\cos(\\omega t - kx)$
4. En simplifiant :
$k^2 = \\mu_0 \\epsilon_0 \\omega^2$
5. Avec :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}}$ donc :
$\\boxed{k = \\frac{\\omega}{c}}$
Question 3 : Calcul du vecteur de Poynting moyen
1. Le vecteur de Poynting instantané :
$\\overrightarrow{S} = \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{H}$ avec
$\\overrightarrow{H} = \\frac{\\overrightarrow{B}}{\\mu_0}$
2. Donc :
$\\overrightarrow{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B}$
3. Calcul du produit vectoriel :
$\\overrightarrow{E} = E_0 \\cos(\\omega t - kx) \\hat{y}, \\quad \\overrightarrow{B} = B_0 \\cos(\\omega t - kx) \\hat{z}$
$\\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B} = E_0 B_0 \\cos^2(\\omega t - kx) \\hat{x}$
4. Vecteur de Poynting moyen (moyenne temporelle) :
$\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0} \\hat{x}$
5. En remplaçant
$\\frac{E_0}{B_0} = c$, on obtient :
$\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c} \\hat{x}$
Ce vecteur représente la densité moyenne de puissance transportée par l'onde électromagnétique dans la direction de propagation.
", "id_category": "2", "id_number": "24" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 2 : Potentiels retardés et énergie électromagnétique
Dans un espace libre, un système de charges ponctuelles crée des potentiels scalaires et vecteurs retardés :
$V(\\overrightarrow{r}, t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\sum \\frac{q_i(t_r)}{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r_i}|}$
$\\overrightarrow{A}(\\overrightarrow{r}, t) = \\frac{\\mu_0}{4 \\pi} \\sum \\frac{q_i(t_r) \\overrightarrow{v_i}(t_r)}{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r_i}|}$
avec
$t_r = t - \\frac{|\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r_i}|}{c}$ le temps retardé.
Question 1 : Exprimer la dérivée temporelle du potentiel scalaire $V(\\overrightarrow{r}, t)$ en fonction des vitesses et positions des charges.
Question 2 : Déduire l'expression du champ électrique instantané $\\overrightarrow{E}(\\overrightarrow{r},t)$ en fonction des potentiels et vérifier la jauge de Lorentz.
Question 3 : Calculer l'énergie électromagnétique densité volumique $w = \\frac{1}{2}(\\epsilon_0 E^2 + \\frac{B^2}{\\mu_0})$ pour une onde plane de champ maximum $E_0$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Dérivée temporelle du potentiel scalaire
1. Expression du potentiel scalaire :
$V(\\overrightarrow{r}, t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\sum_i \\frac{q_i(t_r)}{R_i}$, où
$R_i = |\\overrightarrow{r} - \\overrightarrow{r_i}|$ et
$t_r = t - \\frac{R_i}{c}$
2. La dérivée temporelle s'écrit :
$\\frac{\\partial V}{\\partial t} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\sum_i \\left[ \\frac{\\dot{q}_i(t_r)}{R_i} - \\frac{q_i(t_r)}{R_i^2} \\frac{\\partial R_i}{\\partial t} \\right]$
3. En notant
$\\dot{q}_i(t_r) = \\frac{d q_i}{d t_r}$ et prenant en compte le mouvement des charges, on trouve :
$\\frac{\\partial V}{\\partial t} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\sum_i \\left[ \\frac{\\dot{q}_i(t_r)}{R_i} + \\frac{q_i(t_r)}{c R_i^2} \\overrightarrow{v}_i \\cdot \\hat{R}_i \\right]$
Question 2 : Expression du champ électrique instantané et jauge de Lorentz
1. Le champ électrique s'écrit :
$\\overrightarrow{E} = - \\nabla V - \\frac{\\partial \\overrightarrow{A}}{\\partial t}$
2. En développant, on obtient une expression complexe en fonction des \\(q_i\\), leurs vitesses, et leurs positions retardées.
3. La jauge de Lorentz s'exprime :
$\\nabla \\cdot \\overrightarrow{A} + \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial V}{\\partial t} = 0$
La vérification consiste à démontrer que cette relation est satisfaite pour les potentiels retardés, ce qui est un résultat classique de l'électromagnétisme.
Question 3 : Densité volumique d'énergie électromagnétique
1. Formule :
$w = \\frac{1}{2} \\left( \\epsilon_0 E^2 + \\frac{B^2}{\\mu_0} \\right)$
2. Pour une onde plane dans le vide :
$E = E_0 \\cos(\\omega t - kx)$ et
$B = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - kx)$
3. Moyenne temporelle :
$\\langle w \\rangle = \\frac{1}{4} \\epsilon_0 E_0^2 + \\frac{1}{4} \\frac{E_0^2}{\\mu_0 c^2} = \\frac{1}{2} \\epsilon_0 E_0^2$
puisque
$c^2 = \\frac{1}{\\mu_0 \\epsilon_0}$
", "id_category": "2", "id_number": "25" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 3 : Conditions aux limites et propagation des potentiels
Un plan conducteur est placé à $z = 0$ dans le vide. Une source ponctuelle de charge variable est située en $(0,0,d)$ avec $d = 1$ m. On étudie la propagation des potentiels retardés.
Question 1 : Écrire l'expression du potentiel scalaire retardé $V(\\overrightarrow{r}, t)$ au point $\\overrightarrow{r} = (x,y,z)$ en tenant compte de la réflexion sur le plan conducteur par la méthode de l'image.
Question 2 : Calculer le délai temporel entre l'émission et la réception du potentiel au point $\\overrightarrow{r}$.
Question 3 : En utilisant le vecteur de Poynting, calculer la puissance instantanée traversant une surface sphérique à distance $r$ de la source.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Expression du potentiel scalaire retardé avec image
1. Potentiel retardé de la charge ponctuelle :
$V_1(\\overrightarrow{r}, t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\frac{q(t - \\frac{R_1}{c})}{R_1}$ avec
$R_1 = \\sqrt{(x)^2 + (y)^2 + (z - d)^2}$
2. Image fictive charge symétrique produit :
$V_2(\\overrightarrow{r}, t) = -\\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\frac{q(t - \\frac{R_2}{c})}{R_2}$ avec
$R_2 = \\sqrt{(x)^2 + (y)^2 + (z + d)^2}$
3. Potentiel total :
$V = V_1 + V_2$
Question 2 : Calcul du délai temporel
1. Délai de propagation :
$\\tau_1 = \\frac{R_1}{c}, \\quad \\tau_2 = \\frac{R_2}{c}$
2. Le délai au point $\\overrightarrow{r}$ est la différence entre temps émis et reçu. Calcul selon le déplacement relatif.
Question 3 : Puissance instantanée via vecteur de Poynting
1. Calcul du vecteur de Poynting :
$\\overrightarrow{S} = \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{H}$
2. Puissance traversant une surface sphérique :
$P(t) = \\iint \\overrightarrow{S} \\cdot d \\overrightarrow{A} = S_r 4 \\pi r^2$
3. Exprimer
en fonction des champs mesurés et rayonnement de la source ponctuelle.
", "id_category": "2", "id_number": "26" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 1 : Équations de Maxwell et propagation des ondes électromagnétiques
Une onde électromagnétique se propage dans le vide avec une permittivité $\\epsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12}$ F/m et une perméabilité $\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$ H/m.
Question 1 : Écrire l'équation d'onde pour le champ électrique $\\mathbf{E}(\\mathbf{r},t)$ à partir des équations de Maxwell.
Question 2 : Calculer la vitesse de propagation $c$ de l'onde électromagnétique dans le vide.
Question 3 : Sachant que l'onde a une fréquence $f = 10^9$ Hz, calculer la longueur d'onde $\\lambda$ dans le vide.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Les équations de Maxwell en régime variable donnent les équations d'onde pour le champ électrique :
$\\nabla^2 \\mathbf{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\mathbf{E}}{\\partial t^2} = \\mathbf{0}$
Question 2 :
La vitesse de propagation
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}}$
Remplacement numérique :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 8.85 \\times 10^{-12}}}$
$c \\approx 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
Question 3 :
La longueur d'onde est donnée par :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
Avec $f = 10^9$ Hz :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{10^9} = 0.3 \\text{ m}$
", "id_category": "2", "id_number": "27" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 2 : Potentiels retardés et conditions aux limites
Un dipôle électrique oscillant génère un potentiel scalaire retardé $V(\\mathbf{r},t)$ et un potentiel vecteur magnétique $\\mathbf{A}(\\mathbf{r},t)$.
Question 1 : Écrire les équations d'onde associés aux potentiels retardés en utilisant la jauge de Lorentz.
Question 2 : Exprimer la solution formelle des potentiels retardés en fonction des densités sources $\\rho(\\mathbf{r'},t')$ et $\\mathbf{j}(\\mathbf{r'},t')$.
Question 3 : Décrire les conditions aux limites qui doivent être respectées aux interfaces entre deux milieux diélectriques.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Les équations d'onde des potentiels scalar et vecteur en jauge de Lorentz sont :
$\\square V - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 V}{\\partial t^2} = -\\frac{\\rho}{\\epsilon_0}$
$\\square \\mathbf{A} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\mathbf{A}}{\\partial t^2} = - \\mu_0 \\mathbf{j}$, où
$\\square = \\nabla^2$ est le laplacien spatial.
Question 2 :
Les solutions retardées s'écrivent :
$V(\\mathbf{r}, t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\int \\frac{\\rho(\\mathbf{r}', t_r)}{|\\mathbf{r} - \\mathbf{r}'|} d^3 r'$
$\\mathbf{A}(\\mathbf{r}, t) = \\frac{\\mu_0}{4 \\pi} \\int \\frac{\\mathbf{j}(\\mathbf{r}', t_r)}{|\\mathbf{r} - \\mathbf{r}'|} d^3 r'$, avec le temps retardé
$t_r = t - \\frac{|\\mathbf{r} - \\mathbf{r}'|}{c}$.
Question 3 :
Aux interfaces entre deux milieux diélectriques, les conditions aux limites sont :
- Continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
- Continuité de la composante normale du champ électrique par rapport à la permittivité :
- Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique :
- Continuité de la composante normale du champ magnétique par rapport à la perméabilité :
$\\mathbf{E}_{1t} = \\mathbf{E}_{2t}$
$\\epsilon_1 E_{1n} = \\epsilon_2 E_{2n}$
$\\mathbf{H}_{1t} = \\mathbf{H}_{2t}$
$\\mu_1 H_{1n} = \\mu_2 H_{2n}$
Exercice 3 : Vecteur de Poynting et énergie électromagnétique
Un plan d'onde électromagnétique se propage dans un milieu libre avec un champ électrique donné par :
$\\mathbf{E}(x,t) = E_0 \\cos(\\omega t - k x) \\mathbf{e}_y$, où $E_0 = 100$ V/m, $\\omega = 2 \\pi \\times 10^8$ rad/s et $k = \\frac{\\omega}{c}$.
Question 1 : Calculer le champ magnétique $\\mathbf{B}(x,t)$ associé.
Question 2 : Calculer le vecteur de Poynting instantané $\\mathbf{S}(x,t)$.
Question 3 : Déterminer la densité d'énergie moyenne transportée par l'onde.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Le champ magnétique associé est donné par :
$\\mathbf{B} = \\frac{1}{c} \\mathbf{k} \\times \\mathbf{E}$
avec
$c = 3 \\times 10^8\\, \\text{m/s}$ et
direction propagation Axe x,
champ électrique selon
$\\mathbf{e}_y$, donc :
$\\mathbf{B} = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - k x) \\mathbf{e}_z$
Calcul numérique :
$B_0 = \\frac{100}{3 \\times 10^8} = 3.33 \\times 10^{-7}$ T
Question 2 :
Le vecteur de Poynting instantané :
$\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\mathbf{E} \\times \\mathbf{B}$
Valeur :
$S = \\frac{E_0 B_0}{\\mu_0} \\cos^2(\\omega t - k x)$
Avec $\\mu_0=4 \\pi \\times 10^{-7}$ H/m :
$S_0 = \\frac{100 \\times 3.33 \\times 10^{-7}}{4 \\pi \\times 10^{-7}} = \\frac{3.33 \\times 10^{-5}}{1.2566 \\times 10^{-6}} = 26.5$ W/m²
Question 3 :
La densité d'énergie moyenne :
$u = \\frac{\\epsilon_0 E_0^2}{2} = \\frac{8.85 \\times 10^{-12} \\times 100^2}{2} = 4.425 \\times 10^{-8}$ J/m³
", "id_category": "2", "id_number": "29" }, { "category": "Régime variable", "question": "Dans un milieu libre, on étudie la propagation d'un champ électromagnétique variable décrit par les équations de Maxwell. La densité de courant est nulle et la permittivité et perméabilité du vide sont respectivement $\\varepsilon_0 = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\, F/m$ et $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\, H/m$.Question 1 : Écrire l'équation de propagation du champ électrique $\\vec{E}(\\vec{r},t)$ en fonction du temps et de l'espace.
Question 2 : Donner l'expression de la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
Question 3 : Calculer la densité de puissance électromagnétique transportée par le vecteur de Poynting pour une onde plane monochromatique dont le module du champ électrique est $E_0 = 100 \\, V/m$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Équation de propagation du champ électrique
La propagation du champ électrique dans un milieu libre sans charges ni courants est décrite par l'équation d'onde :
$\\nabla^2 \\vec{E} - \\mu_0 \\varepsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2} = 0$
où
\\(\\nabla^2\\) est l'opérateur laplacien spatial.
Question 2 : Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
La vitesse de propagation
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\varepsilon_0}}$
En remplaçant :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 8.85 \\times 10^{-12}}} \\approx 3 \\times 10^8 \\, m/s$
Question 3 : Densité de puissance électromagnétique via le vecteur de Poynting
La densité de puissance moyenne transportée par une onde électromagnétique plane est :
$S = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c}$
Avec
$E_0 = 100 \\, V/m$ :
$S = \\frac{(100)^2}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{10000}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8}$
Calcul :
$S = \\frac{10000}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{10000}{0.75398} = 13257 \\, W/m^2$
Donc, la densité de puissance électromagnétique est d'environ
$1,33 \\times 10^{4} \\, W/m^2$.
", "id_category": "2", "id_number": "30" }, { "category": "Régime variable", "question": "On étudie une onde électromagnétique monochromatique dans un espace libre. Le potentiel vecteur magnétique est donné par :$\\vec{A}(\\vec{r},t) = A_0 \\cos(\\omega t - kz) \\hat{x}$, avec $A_0 = 1 \\times 10^{-7} \\, Wb/m$, $\\omega = 2\\pi \\times 10^9 \\, rad/s$, et $k = \\frac{\\omega}{c}$.
Question 1 : Calculer le champ magnétique $\\vec{B}(\\vec{r},t)$.
Question 2 : Déterminer le champ électrique associé $\\vec{E}(\\vec{r},t)$.
Question 3 : Calculer la densité moyenne de puissance transportée par l'onde à l'aide du vecteur de Poynting.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul du champ magnétique
Le champ magnétique est donné par :
$\\vec{B} = \\nabla \\times \\vec{A}$
Dans ce cas :
$\\vec{A} = A_0 \\cos(\\omega t - kz) \\hat{x}$
Calcul du rotationnel dans la direction
z :
$B_y = \\frac{\\partial A_x}{\\partial z} = k A_0 \\sin(\\omega t - kz)$
On obtient :
$\\vec{B} = -k A_0 \\sin(\\omega t - kz) \\hat{y}$
Question 2 : Calcul du champ électrique associé
Avec la relation dans le vide :
$\\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t} = \\omega A_0 \\sin(\\omega t - kz) \\hat{x}$
Question 3 : Densité moyenne de puissance transportée
La densité moyenne est :
$S_{moy} = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0} = \\frac{\\omega A_0 k A_0}{2 \\mu_0} = \\frac{\\omega k A_0^2}{2 \\mu_0}$
Remplaçons :
$k = \\frac{\\omega}{c}, \\quad \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$
$S_{moy} = \\frac{\\omega^2}{2 \\mu_0 c} A_0^2$
Valeurs numériques peuvent être calculées avec les données fournies.
", "id_category": "2", "id_number": "31" }, { "category": "Régime variable", "question": "On considère un milieu libre caractérisé par les constantes $\\epsilon_0$ et $\\mu_0$. Le champ électrique $\\overrightarrow{E}(\\overrightarrow{r},t)$ et le champ magnétique $\\overrightarrow{B}(\\overrightarrow{r},t)$ satisfont aux équations de Maxwell en régime variable.
Question 1 : Montrez que le champ électrique vérifie l'équation d'onde :
$ \\nabla^2 \\overrightarrow{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2} = 0 $
en supposant l'absence de charges libres et de courants.
Question 2 : En utilisant les potentiels vectoriel et scalaire avec la jauge de Lorentz, écrivez l'équation de propagation du potentiel vecteur magnétique $\\overrightarrow{A}(\\overrightarrow{r},t)$ et décrivez sommairement la notion de potentiel retardé.
Question 3 : Calculez le vecteur de Poynting $\\overrightarrow{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B}$ pour un champ électromagnétique plan monochromatique décrit par :
$\\overrightarrow{E} = E_0 \\cos(kz - \\omega t) \\overrightarrow{x}, \\quad \\overrightarrow{B} = B_0 \\cos(kz - \\omega t) \\overrightarrow{y}$
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Équation d'onde pour le champ électrique
1. Les équations de Maxwell en absence de charges et courants sont :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = - \\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t}, \\quad \\nabla \\times \\overrightarrow{B} = \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial \\overrightarrow{E}}{\\partial t}$
2. En appliquant le rotationnel à la première :
$\\nabla \\times (\\nabla \\times \\overrightarrow{E}) = - \\frac{\\partial}{\\partial t} (\\nabla \\times \\overrightarrow{B})$
3. En utilisant l’identitié vectorielle :
$\\nabla (\\nabla \\cdot \\overrightarrow{E}) - \\nabla^2 \\overrightarrow{E} = - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2}$
4. En absence de charges libres, $\\nabla \\cdot \\overrightarrow{E} = 0$, donc :
$\\nabla^2 \\overrightarrow{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2} = 0$
Ceci est l'équation d'onde pour le champ électrique.
Question 2 : Équations de propagation des potentiels et potentiels retardés
1. Avec la jauge de Lorentz :
$\\nabla \\cdot \\overrightarrow{A} + \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial V}{\\partial t} = 0$
2. Les potentiels satisfont :
$\\Box V = - \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}, \\quad \\Box \\overrightarrow{A} = - \\mu_0 \\overrightarrow{J} $
où $\\Box = \\nabla^2 - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2}{\\partial t^2}$ est l'opérateur d'onde.
3. Les potentiels retardés signifient que la solution en un point dépend des sources à un instant retardé, avec un délai proportionnel à la distance divisée par la vitesse de la lumière.
Question 3 : Calcul du vecteur de Poynting
1. Calcul du produit vectoriel :
$\\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B} = E_0 B_0 \\cos^2 (kz - \\omega t) \\overrightarrow{z}$
2. Moyenne temporelle :
$\\langle \\cos^2(\\cdot) \\rangle = \\frac{1}{2}$
3. Donc :
$\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle = \\frac{1}{\\mu_0} \\times \\frac{E_0 B_0}{2} \\overrightarrow{z}$
4. Or, $B_0 = \\frac{E_0}{c} = E_0 \\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}$, donc :
$\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle = \\frac{1}{2 \\mu_0} E_0^2 \\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0} \\overrightarrow{z} = \\frac{E_0^2}{2} \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} \\overrightarrow{z}$
", "id_category": "2", "id_number": "32" }, { "category": "Régime variable", "question": "Un plan frontière parfait sépare deux milieux non conducteurs avec permittivités $\\epsilon_1$ et $\\epsilon_2$, perméabilités $\\mu_1$ et $\\mu_2$. Un champ électromagnétique incident décrit par :
$\\overrightarrow{E}_i = E_i \\cos(k_1 z - \\omega t) \\overrightarrow{x}, \\quad \\overrightarrow{B}_i = B_i \\cos(k_1 z - \\omega t) \\overrightarrow{y}$
Question 1 : Écrivez les conditions aux limites sur les champs $\\overrightarrow{E}, \\overrightarrow{B}$ à l’interface
Question 2 : Déduisez l'expression de la réflexion et de la transmission pour $\\overrightarrow{E}_r$ et $\\overrightarrow{E}_t$.
Question 3 : Calculez la puissance réfléchie et transmise à l’interface en fonction des impédances des milieux.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Conditions aux limites
1. Continuité des composantes tangentielles du champ électrique :
$\\overrightarrow{E}_{1t} = \\overrightarrow{E}_{2t}$
2. Continuité des composantes tangentielles du champ magnétique :
$\\overrightarrow{B}_{1t} = \\overrightarrow{B}_{2t}$
Question 2 : Expressions des champs réfléchi et transmis
1. Impédances des milieux :
$Z_1 = \\sqrt{\\frac{\\mu_1}{\\epsilon_1}}, \\quad Z_2 = \\sqrt{\\frac{\\mu_2}{\\epsilon_2}}$
2. Coefficient de réflexion :
$\\Gamma = \\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}$
3. Champs réfléchi :
$\\overrightarrow{E}_r = \\Gamma \\overrightarrow{E}_i$
4. Champs transmis :
$\\overrightarrow{E}_t = (1 + \\Gamma) \\overrightarrow{E}_i = \\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} \\overrightarrow{E}_i$
Question 3 : Puissance réfléchie et transmise
1. Puissance incidente :
$S_i = \\frac{|\\overrightarrow{E}_i|^2}{2 Z_1}$
2. Puissance réfléchie :
$S_r = |\\Gamma|^2 S_i$
3. Puissance transmise :
$S_t = S_i - S_r = (1 - |\\Gamma|^2) S_i$
", "id_category": "2", "id_number": "33" }, { "category": "Régime variable", "question": "Un champ électromagnétique variable dans l'espace est décrit par les champs :
$\\overrightarrow{E}(t) = E_0 \\sin(\\omega t) \\overrightarrow{x}, \\quad \\overrightarrow{B}(t) = B_0 \\sin(\\omega t) \\overrightarrow{y}$
avec $E_0 = 100 \\text{ V/m}$, $B_0 = 0.33 \\text{ mT}$ et $\\omega = 2 \\pi \\times 10^8 \\text{ rad/s}$.
Question 1 : Calculez l'énergie électromagnétique volumique $u(t) = \\frac{1}{2} \\left( \\epsilon_0 E^2 + \\frac{B^2}{\\mu_0} \\right)$.
Question 2 : Déterminez la valeur moyenne temporelle de la densité de flux de Poynting $\\langle S \\rangle$.
Question 3 : Calculez la puissance transportée à travers une surface plane d'aire $S = 0.01 \\text{ m}^2$ orthogonale à la direction de propagation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Énergie électromagnétique volumique
1. Formule :
$u(t) = \\frac{1}{2} \\left( \\epsilon_0 E^2(t) + \\frac{B^2(t)}{\\mu_0} \\right)$
2. Substitution :
$u(t) = \\frac{1}{2} \\left( \\epsilon_0 E_0^2 \\sin^2(\\omega t) + \\frac{B_0^2 \\sin^2(\\omega t)}{\\mu_0} \\right) = \\frac{1}{2} \\sin^2(\\omega t) \\left( \\epsilon_0 E_0^2 + \\frac{B_0^2}{\\mu_0} \\right)$
3. Valeurs numériques :
Avec
$\\epsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{ F/m}, \\quad \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}$
$E_0 = 100 \\text{ V/m}, \\quad B_0 = 0.33 \\times 10^{-3} \\text{ T}$
$u(t) = \\frac{1}{2} \\sin^2(\\omega t) \\left(8.854 \\times 10^{-12} \\times 10^4 + \\frac{(0.33 \\times 10^{-3})^2}{4 \\pi \\times 10^{-7}}\\right)$
$= \\frac{1}{2} \\sin^2(\\omega t) \\left(8.854 \\times 10^{-8} + 8.662 \\times 10^{-2} \\right) \\approx 0.0433 \\sin^2(\\omega t)\\text{ J/m}^3$
Question 2 : Valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting
1. Le vecteur de Poynting instantané est :
$\\overrightarrow{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B} = \\frac{1}{\\mu_0} E_0 B_0 \\sin^2(\\omega t) \\overrightarrow{z}$
2. Moyenne temporelle :
$\\langle S \\rangle = \\frac{1}{\\mu_0} E_0 B_0 \\langle \\sin^2(\\omega t) \\rangle = \\frac{1}{\\mu_0} E_0 B_0 \\times \\frac{1}{2}$
3. Valeur numérique :
$\\langle S \\rangle = \\frac{1}{4 \\pi \\times 10^{-7}} \\times 100 \\times 0.33 \\times 10^{-3} \\times \\frac{1}{2} = 13.17 \\text{ W/m}^2$
Question 3 : Puissance transportée
1. Avec une surface $S = 0.01\\text{ m}^2$ :
$P = \\langle S \\rangle \\times S = 13.17 \\times 0.01 = 0.1317 \\text{ W}$
La puissance électromagnétique transportée à travers cette surface est de $0.1317 \\text{ W}.$
", "id_category": "2", "id_number": "34" }, { "category": "Régime variable", "question": "Dans un milieu libre, on étudie la propagation d'un champ électromagnétique variable décrit par les équations de Maxwell. La densité de courant est nulle et la permittivité et perméabilité du vide sont respectivement $\\varepsilon_0 = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\, F/m$ et $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\, H/m$.Question 1 : Écrire l'équation de propagation du champ électrique $\\vec{E}(\\vec{r},t)$ en fonction du temps et de l'espace.
Question 2 : Donner l'expression de la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
Question 3 : Calculer la densité de puissance électromagnétique transportée par le vecteur de Poynting pour une onde plane monochromatique dont le module du champ électrique est $E_0 = 100 \\, V/m$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Équation de propagation du champ électrique
La propagation du champ électrique dans un milieu libre sans charges ni courants est décrite par l'équation d'onde :
$\\nabla^2 \\vec{E} - \\mu_0 \\varepsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2} = 0$
où
\\(\\nabla^2\\) est l'opérateur laplacien spatial.
Question 2 : Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
La vitesse de propagation
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\varepsilon_0}}$
En remplaçant :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 8.85 \\times 10^{-12}}} \\approx 3 \\times 10^8 \\, m/s$
Question 3 : Densité de puissance électromagnétique via le vecteur de Poynting
La densité de puissance moyenne transportée par une onde électromagnétique plane est :
$S = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c}$
Avec
$E_0 = 100 \\, V/m$ :
$S = \\frac{(100)^2}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{10000}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8}$
Calcul :
$S = \\frac{10000}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{10000}{0.75398} = 13257 \\, W/m^2$
Donc, la densité de puissance électromagnétique est d'environ
$1,33 \\times 10^{4} \\, W/m^2$.
", "id_category": "2", "id_number": "35" }, { "category": "Régime variable", "question": "On étudie une onde électromagnétique monochromatique dans un espace libre. Le potentiel vecteur magnétique est donné par :$\\vec{A}(\\vec{r},t) = A_0 \\cos(\\omega t - kz) \\hat{x}$, avec $A_0 = 1 \\times 10^{-7} \\, Wb/m$, $\\omega = 2\\pi \\times 10^9 \\, rad/s$, et $k = \\frac{\\omega}{c}$.
Question 1 : Calculer le champ magnétique $\\vec{B}(\\vec{r},t)$.
Question 2 : Déterminer le champ électrique associé $\\vec{E}(\\vec{r},t)$.
Question 3 : Calculer la densité moyenne de puissance transportée par l'onde à l'aide du vecteur de Poynting.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul du champ magnétique
Le champ magnétique est donné par :
$\\vec{B} = \\nabla \\times \\vec{A}$
Dans ce cas :
$\\vec{A} = A_0 \\cos(\\omega t - kz) \\hat{x}$
Calcul du rotationnel dans la direction
z :
$B_y = \\frac{\\partial A_x}{\\partial z} = k A_0 \\sin(\\omega t - kz)$
On obtient :
$\\vec{B} = -k A_0 \\sin(\\omega t - kz) \\hat{y}$
Question 2 : Calcul du champ électrique associé
Avec la relation dans le vide :
$\\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t} = \\omega A_0 \\sin(\\omega t - kz) \\hat{x}$
Question 3 : Densité moyenne de puissance transportée
La densité moyenne est :
$S_{moy} = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0} = \\frac{\\omega A_0 k A_0}{2 \\mu_0} = \\frac{\\omega k A_0^2}{2 \\mu_0}$
Remplaçons :
$k = \\frac{\\omega}{c}, \\quad \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$
$S_{moy} = \\frac{\\omega^2}{2 \\mu_0 c} A_0^2$
Valeurs numériques peuvent être calculées avec les données fournies.
", "id_category": "2", "id_number": "36" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 1 : Analyse des équations de Maxwell en régime variable
Considérons un champ électromagnétique variable dans une région de l'espace décrite par les équations de Maxwell :
$\\begin{cases} \\mathrm{rot} \\; \\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} \\ \\mathrm{rot} \\; \\vec{B} = \\mu_0 \\vec{J} + \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t} \\end{cases}$
avec une densité de courant $\\vec{J}$ et $\\vec{E}, \\vec{B}$ les champs électrique et magnétique.
Question 1 : Étant donné une onde plane électromagnétique se propageant dans le vide avec champ électrique $\\vec{E}(x,t) = E_0 \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_y}$, déterminer l'expression du champ magnétique induit $\\vec{B}(x,t)$.
Question 2 : Utiliser la loi de Maxwell-Faraday pour vérifier la relation entre les champs $\\vec{E}$ et $\\vec{B}$.
Question 3 : Calculer la densité de puissance électromagnétique moyenne (vecteur de Poynting) associée à cette onde plane.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Expression du champ magnétique
1. Relations fondamentales :
Dans le vide, une onde électromagnétique plane propagée selon l'axe
$x$ vérifie :
$\\vec{B} = \\frac{1}{c} \\vec{e_x} \\times \\vec{E}$
où $c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}}$ est la vitesse de la lumière dans le vide.
2. Calcul :
etant donné
$\\vec{E}(x,t) = E_0 \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_y}$,
le produit vectoriel donne :
$\\vec{B}(x,t) = \\frac{E_0}{c} \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_z}$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\vec{B}(x,t) = \\frac{E_0}{c} \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_z}}$
Question 2 : Vérification de la loi de Maxwell-Faraday
1. Loi de Maxwell-Faraday :
$\\mathrm{rot} \\vec{E} = - \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$
2. Calcul de $\\mathrm{rot} \\vec{E}$ :
Dans ce cas :
$\\mathrm{rot} \\vec{E} = - \\frac{\\partial E_y}{\\partial x} \\vec{e_z} = -(-k E_0 \\cos(\\omega t - k x)) \\vec{e_z} = k E_0 \\cos(\\omega t - k x) \\vec{e_z} $
3. Calcul de $- \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$ :
$- \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} = - \\frac{\\partial}{\\partial t} \\left( \\frac{E_0}{c} \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_z} \\right) = - \\frac{E_0 \\omega}{c} \\cos(\\omega t - k x) \\vec{e_z}$
4. Égalité :
Pour que la loi soit vérifiée :
$k E_0 \\cos(\\omega t - k x) = \\frac{\\omega E_0}{c} \\cos(\\omega t - k x)$
ce qui implique :
$k = \\frac{\\omega}{c}$
Résultat : La relation entre $k$ et $\\omega$ est celle d'une onde électromagnétique dans le vide.
Question 3 : Calcul du vecteur de Poynting moyen
1. Expression du vecteur de Poynting :
$\\vec{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\vec{E} \\times \\vec{B}$
2. Substitution :
$\\vec{S} = \\frac{1}{\\mu_0} E_0 \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_y} \\times \\frac{E_0}{c} \\sin(\\omega t - k x) \\vec{e_z} = \\frac{E_0^2}{\\mu_0 c} \\sin^2(\\omega t - k x) \\vec{e_x}$
3. Puissance moyenne :
La puissance moyenne est l'espérance temporelle :
$\\langle \\vec{S} \\rangle = \\frac{E_0^2}{\\mu_0 c} \\langle \\sin^2(\\cdot) \\rangle \\vec{e_x} = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c} \\vec{e_x}$
4. Résultat final :
$\\boxed{\\langle \\vec{S} \\rangle = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c} \\vec{e_x}}$
", "id_category": "2", "id_number": "37" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 2 : Propagation des potentiels retardés
On considère une source ponctuelle de charge variable en temps, produisant un potentiel scalaire retardé donné par :
$V(\\vec{r},t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\frac{q \\left(t - \\frac{|\\vec{r} - \\vec{r}'|}{c}\\right)}{|\\vec{r} - \\vec{r}'|}$
avec $q(t)$ la charge variable, $\\vec{r}'$ la position de la charge et $c$ la vitesse de la lumière.
Question 1 : Pour une charge variable $q(t) = q_0 \\cos(\\omega t)$, calculer l'expression complète du potentiel au point d'observation.
Question 2 : Évaluer l'équation d'onde à laquelle satisfait le potentiel scalaire dans le vide.
Question 3 : Calculer la vitesse de propagation et discuter la physicalité des potentiels retardés.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul du potentiel retardé
1. Remplacement dans la formule :
$V(\\vec{r},t) = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\frac{q_0 \\cos \\left(\\omega \\left( t - \\frac{|\\vec{r} - \\vec{r}'|}{c} \\right) \\right)}{|\\vec{r} - \\vec{r}'|}$
2. Résultat final :
$\\boxed{V(\\vec{r},t) = \\frac{q_0}{4 \\pi \\epsilon_0 |\\vec{r} - \\vec{r}'|} \\cos \\left( \\omega t - \\frac{\\omega}{c} |\\vec{r} - \\vec{r}'| \\right)}$
Question 2 : Équation d'onde satisfaite par le potentiel
1. Équation d'onde dans le vide :
$\\nabla^2 V - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 V}{\\partial t^2} = - \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}$
où $\\rho$ est la densité volumique de charge, à $0$ hors de la source.
2. Conclusion :
$\\boxed{\\nabla^2 V - \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial^2 V}{\\partial t^2} = 0\\text{ dans le vide}}$
Question 3 : Vitesse de propagation et physicalité
1. La vitesse de propagation est donnée par :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}} = 3 \\times 10^{8} \\rm m/s$
2. Interprétation :
Les potentiels retardés respectent la causalité, car la propagation des effets électromagnétiques ne dépasse jamais la vitesse de la lumière.
3. Résultat final :
$\\boxed{c = 3 \\times 10^{8} \\rm m/s}$
", "id_category": "2", "id_number": "38" }, { "category": "Régime variable", "question": "Exercice 1 : Équations de Maxwell et propagation du champ électrique dans le vide\n\nOn considère dans le vide un champ électrique plan progressif défini par $\\vec{E}(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - kz) \\vec{u_x}$. On suppose que le champ magnétique associé est du type $\\vec{B}(z,t) = B_0 \\cos(\\omega t - kz) \\vec{u_y}$. Les constantes du vide sont $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}\\,H/m$ et $\\varepsilon_0 = 8,854 \\times 10^{-12}\\,F/m$.\n\n1. Déterminer la relation de propagation entre $\\omega$ et $k$ à partir des équations de Maxwell.\n2. Calculer la valeur numérique de la vitesse de propagation de l’onde.\n3. Déterminer l’amplitude du champ magnétique $B_0$ en fonction de $E_0$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Relation de propagation
Équations de Maxwell dans le vide : $\\nabla \\times \\vec{E} = -\\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t}$ et $\\nabla \\times \\vec{B} = \\mu_0 \\varepsilon_0 \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t}$
En appliquant la rotationnelle de E : $kE_0 \\sin(\\omega t - kz) = \\omega B_0 \\sin(\\omega t - kz)$
Donc : $\\omega = c k$ avec $c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\varepsilon_0}}$.
2. Vitesse de propagation
Formule : $c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\varepsilon_0}}$
Remplacement : $c = \\frac{1}{\\sqrt{4\\pi \\times 10^{-7} \\times 8,854 \\times 10^{-12}}}$
Calcul : $c = 2,998 \\times 10^8\\,\\text{m/s}$
Résultat : $c ≈ 3,00 \\times 10^8\\,\\text{m/s}$
3. Relation entre $E_0$ et $B_0$
Formule de propagation : $\\frac{E_0}{B_0} = c$
Donc : $B_0 = \\frac{E_0}{c}$
Résultat : $B_0 = \\frac{E_0}{3 \\times 10^8}$
1. Équation de propagation
En jauge de Lorentz : $\\nabla^2 \\vec{A} - \\mu_0 \\varepsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\vec{A}}{\\partial t^2} = -\\mu_0 \\vec{J}$
C’est l’équation d’onde pour le potentiel magnétique.
2. Potentiel retardé
Solution : $\\vec{A}(r,t) = \\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\int \\frac{\\vec{J}(r',t_r)}{|r - r'|} dV'$
avec $t_r = t - \\frac{|r - r'|}{c}$ (retard temporel).
Pour une source ponctuelle : $\\vec{A}(r,t) = \\frac{\\mu_0 I(t - r/c)}{4\\pi r} \\vec{u}$.
3. Calcul numérique
Formule : $A = \\frac{\\mu_0 I_0 \\sin(\\omega (t - r/c))}{4\\pi r}$
Remplacement : $\\mu_0 = 4\\pi 10^{-7}$, $I_0 = 2$, $r = 1$
Calcul : $A = 10^{-7} \\times 2 \\sin(10^6(t - 1/3\\times10^8))$
Résultat : $A(t) = 2 \\times 10^{-7} \\sin(10^6 t - 3,3\\times10^{-3})\\,\\text{Wb/m}$
1. Densité d’énergie instantanée
Formule : $u(t) = \\frac{1}{2} (\\varepsilon_0 E^2 + \\frac{B^2}{\\mu_0})$
Substitution : $B = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - kz)$
$u(t) = \\frac{1}{2}(\\varepsilon_0 E_0^2 \\cos^2(\\omega t - kz) + \\frac{E_0^2 \\cos^2(\\omega t - kz)}{\\mu_0 c^2})$
Mais $\\frac{1}{\\mu_0 c^2} = \\varepsilon_0$
Donc $u(t) = \\varepsilon_0 E_0^2 \\cos^2(\\omega t - kz)$
Résultat : $u(t) = 8,854 \\times 10^{-12} \\times 100^2 \\cos^2(\\omega t - kz)$.
2. Densité d’énergie moyenne
Valeur moyenne : $\\langle u \\rangle = \\frac{1}{2}\\varepsilon_0 E_0^2$
Remplacement : $\\langle u \\rangle = 0,5 \\times 8,854 \\times 10^{-12} \\times 10^4 = 4,43 \\times 10^{-8}\\,\\text{J/m³}$
Résultat : $\\langle u \\rangle = 4,43 \\times 10^{-8}\\,\\text{J/m³}$
3. Vecteur de Poynting moyen
Formule : $\\langle S \\rangle = c \\langle u \\rangle$
Remplacement : $\\langle S \\rangle = 3\\times10^8 \\times 4,43 \\times 10^{-8} = 13,3\\,\\text{W/m²}$
Résultat : $\\langle S \\rangle = 13,3\\,\\text{W/m²}$
1. Flux magnétique :
Formule : $\\Phi(t) = B(t) \\cdot S = B_0 \\cos(\\omega t) \\cdot \\pi a^2$
Remplacement : $\\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\times 50 = 314 rad/s$
Donc $\\Phi(t) = 0.08 \\times \\pi \\times (0.1)^2 \\cos(314t) = 2.51 \\times 10^{-3}\\cos(314t)$ Wb.
2. Force électromotrice induite :
Formule de Faraday : $e(t) = -\\frac{d\\Phi(t)}{dt}$
Remplacement : $e(t) = -(-2.51\\times10^{-3}\\times314)\\sin(314t)$
Calcul : $e(t) = 0.789\\sin(314t)$ V.
3. Courant maximal :
Formule : $I_{max} = \\frac{E_{max}}{R}$
Remplacement : $I_{max} = \\frac{0.789}{2}$
Résultat : $I_{max} = 0.395 A$.
1. Champ magnétique associé :
Dans le vide, $\\vec{B} = \\frac{1}{\\omega} \\vec{k} \\times \\vec{E} = \\frac{1}{c}\\hat{z} \\times \\vec{E}$
Donc $\\vec{H} = \\frac{\\vec{B}}{\\mu_0} = \\frac{E_0}{\\eta_0}\\cos(\\omega t - \\beta z)\\hat{y}$
avec $\\eta_0 = \\sqrt{\\frac{\\mu_0}{\\varepsilon_0}} = 377 \\Omega$
Résultat : $H_0 = \\frac{100}{377} = 0.265 A/m$.
2. Densité moyenne de puissance :
Formule : $\\langle S \\rangle = \\frac{1}{2} E_0H_0$
Remplacement : $\\langle S \\rangle = 0.5 \\times 100 \\times 0.265 = 13.25 W/m^2$.
3. Vérification de la relation :
On doit avoir $\\frac{E_0}{H_0} = \\eta_0$
Calcul : $\\frac{100}{0.265} = 377 \\Omega$ ; cohérence vérifiée avec la valeur du vide.
1. Potentiel scalaire retardé :
Formule : $V(r,t) = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{q}{r - \\frac{v r}{c}}$
Remplacement : $c = 3\\times10^8 m/s$, $v/c = 10^7 / 3\\times10^8 = 0.0333$
Calcul : $V = \\frac{9\\times10^9 \\times 3\\times10^{-9}}{1(1 - 0.0333)} = 27.9 V$.
2. Potentiel vecteur :
Formule : $\\vec{A}(r,t) = \\frac{\\mu_0 q \\vec{v}}{4\\pi r (1 - \\frac{v}{c})}$
Remplacement : $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$
Calcul : $A = \\frac{4\\pi 10^{-7} \\times 3\\times10^{-9} \\times 10^7}{4\\pi \\times 1(1 - 0.0333)} = 3.1\\times10^{-9} T·m$.
3. Densité d’énergie électromagnétique :
Formule : $w = \\frac{1}{2}(\\varepsilon_0 E^2 + \\frac{B^2}{\\mu_0})$
Approximation : $E = \\frac{V}{r} = 27.9 V/m$, $B = \\frac{E}{c} = 9.3\\times10^{-8} T$
Calcul : $w = 0.5(8.85\\times10^{-12} \\times 27.9^2 + \\frac{(9.3\\times10^{-8})^2}{4\\pi\\times10^{-7}})$
Résultat : $w = 3.45\\times10^{-9} J/m^3$.
1. Calculez l’induction électromagnétique totale dans le conducteur.
2. Déterminez l’intensité du courant de déplacement selon Maxwell-Ampère.
3. Calculez la force de Laplace exercée sur le conducteur à l’instant $t=4s$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Calculez l’induction électromagnétique totale.
1. Formule générale : $\\mathcal{E} = -\\frac{d\\Phi}{dt}$, avec $\\Phi = B S$
2. Remplacement : $S = L \\times l$ (prenez $l=1m$ pour unité), $\\Phi = (B_0 + \\alpha t) L$
3. Calcul : $\\frac{d\\Phi}{dt} = \\alpha L$ alors $\\mathcal{E} = - \\alpha L = -0,015\\;T/s \\times 0,8\\;m = -0,012\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{-0,012\\;V}$
Question 2 : Déterminez l’intensité du courant de déplacement.
1. Formule générale (Maxwell-Ampère) : $I_D = \\varepsilon_0 \\frac{dE}{dt}$; $\\nabla \\times B = \\mu_0 (J + \\varepsilon_0 \\frac{dE}{dt})$
2. Remplacement : négligeant les effets capacitifs, la variation de champ E est liée à la variation de B donc : $\\frac{dE}{dt} = \\frac{1}{L} \\frac{d\\mathcal{E}}{dt}$
3. Calcul : $\\frac{d\\mathcal{E}}{dt} = - \\frac{d^2\\Phi}{dt^2} = 0$ car $B$ varie linéairement. Donc $I_D = 0$
4. Résultat final : $\\boxed{0\\;A}$
Question 3 : Calculez la force de Laplace.
1. Formule générale : $\\vec{F} = I \\vec{L} \\times \\vec{B}$
2. Remplacement : $\\vec{L}$ et $\\vec{B}$ sont perpendiculaires, donc $F = I L B$ à $t=4s$, $B(4)=0,2+0,015\\times 4=0,26\\;T$
3. Calcul : $F = 3,5\\;A \\times 0,8\\;m \\times 0,26\\;T = 0,728\\;N$
4. Résultat final : $\\boxed{0,728\\;N}$
1. Déterminez la constante de temps de relaxation de la charge électrique dans ce conducteur.
2. Calculez la densité de courant de conduction à l’instant où la charge a chuté à 10% de sa valeur initiale.
3. Évaluez la puissance dissipée dans le volume à cet instant.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Calculez la constante de temps.
1. Formule générale : $\\tau = \\frac{\\varepsilon_0}{\\gamma}$
2. Remplacement : $\\tau = \\frac{8,85\\times10^{-12}\\;F/m}{1,4\\times10^{7}\\;S/m}$
3. Calcul : $\\tau = 6,321\\times10^{-19}\\;s$
4. Résultat final : $\\boxed{6,32\\times10^{-19}\\;s}$
Question 2 : Densité de courant de conduction pour $\\rho=0,1\\rho_0$.
1. Formule générale : relaxation exponentielle, $\\rho(t) = \\rho_0 e^{-t/\\tau}$ ;
Équation de conservation locale : $J = -\\gamma E, \\nabla \\cdot J = -\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t}$
2. Remplacement : $\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} = - \\frac{\\rho_0}{\\tau} e^{-t/\\tau}$ donc $J = \\gamma E = \\frac{\\rho_0}{\\tau} e^{-t/\\tau}$, à $\\rho=0,1\\rho_0$
3. Calcul : $J = \\frac{9,0 \\times 10^{-6}}{6,321 \\times 10^{-19}} \\times 0,1 = 1,4 \\times 10^{11} \\; A/m^2$
4. Résultat final : $\\boxed{1,4 \\times 10^{11}\\;A/m^2}$
Question 3 : Puissance dissipée dans le volume.
1. Formule générale : $P=J^2/\\gamma \\times V$
2. Remplacement : $V=\\pi R^2 L = \\pi \\times (0,025)^2 \\times 0,6 = 1,178 \\times 10^{-3} \\; m^3$
3. Calcul : $P = \\frac{(1,4 \\times 10^{11})^2}{1,4 \\times 10^{7}} \\times 1,178 \\times 10^{-3} = 1,654 \\times 10^{12}\\;W$
4. Résultat final : $\\boxed{1,65 \\times 10^{12}\\;W}$
1. Calculez le flux magnétique à travers la spire 2 induit par la spire 1 à $t=0,2\\;s$, en utilisant l’approximation de Neumann.
2. Déterminez la force électromotrice induite dans la spire 2.
3. Quelle est l’énergie magnétique totale du système à cet instant ?", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 : Flux magnétique à travers la spire 2.
1. Formule générale (Neumann) : $\\Phi_2 = M_{12} I_1$, avec $M_{12}=\\mu_0 \\frac{\\pi r_1^2 r_2^2}{d^3}$
2. Remplacement : $I_1(0,2)=2,5\\cos(10)$
$r_1=0,06\\;m$, $r_2=0,04\\;m$, $d=0,10\\;m$
3. Calcul : $M_{12}=4\\pi \\times 10^{-7} \\times \\frac{\\pi \\times (0,06)^2 \\times (0,04)^2}{0,10^3}=7,23\\times10^{-9}\\;H$
$I_1(0,2)=2,5\\cos(10)=-2,08\\;A$
$\\Phi_2=7,23\\times10^{-9}\\times(-2,08)=-1,50\\times10^{-8}\\;Wb$
4. Résultat final : $\\boxed{-1,50\\times10^{-8}\\;Wb}$
Question 2 : Force électromotrice induite.
1. Formule : $\\mathcal{E}_2 = - M_{12} \\frac{d I_1}{dt}$
2. Remplacement : $\\frac{d I_1}{dt}|_{t=0,2} = -2,5\\times50\\sin(10)$
3. Calcul : $\\mathcal{E}_2 = -7,23\\times10^{-9}\\times(-2,5\\times50\\sin(10)) = 6,37\\times10^{-8}\\;V$
4. Résultat final : $\\boxed{6,37\\times10^{-8}\\;V}$
Question 3 : Énergie magnétique totale.
1. Formule : $W = \\frac{1}{2}(L_1 I_1^2 + L_2 I_2^2 + 2 M_{12} I_1 I_2)$, mais si $I_2=0$ alors $W=\\frac{1}{2}L_1 I_1^2$
Pour une spire circulaire : $L_1 = \\mu_0 r_1 [\\ln(8 r_1/a)-2]$, on prend $r_1>a$, estimation simplifiée : $L_1 \\approx \\mu_0 \\pi r_1^2$
2. Remplacement : $L_1=4\\pi \\times 10^{-7} \\times \\pi \\times (0,06)^2=1,42\\times10^{-7}\\;H$ ; $I_1=-2,08\\;A$
3. Calcul : $W=0,5\\times1,42\\times10^{-7}\\times(-2,08)^2=3,08\\times10^{-7}\\;J$
4. Résultat final : $\\boxed{3,08\\times10^{-7}\\;J}$
1) f.e.m. induite maximale
Formule générale : $e(t) = -N\\dfrac{d\\Phi}{dt} = -N S \\dfrac{dB}{dt}$
Surface : $S = \\pi R^2 = \\pi \\times 0,12^2 = 0,04524\\ \\text{m}^2$
Calcul de dérivée : $B(t)=0,04\\cos(120\\pi t)\\Rightarrow \\dfrac{dB}{dt} = -0,04\\times 120\\pi\\sin(120\\pi t)$
Amplitude maximale $|dB/dt|_{max} = 0,04\\times 120\\pi = 15,08$
f.e.m. maximale : $e_{max} = N S \\times 15,08 = 150\\times 0,04524\\times 15,08 = 102,48$
Résultat final : $e_{max} \\approx 102,5\\ \\text{V}$
2) Intensité maximale du courant induit
Formule : $I_{max}=\\dfrac{e_{max}}{r}$
Remplacement : $e_{max}=102,5\\ \\text{V},\\ r=2,1\\ \\Omega$
Calcul : $I_{max}=\\dfrac{102,5}{2,1}=48,8\\ \\text{A}$
Résultat final : $I_{max}\\approx48,8\\ \\text{A}$
3) Énergie dissipée en 5 ms
Formule : $W = \\int_{0}^{\\Delta t} rI^2(t) dt$
En supposant valeur efficace pour une période courte : $e_{rms} = e_{max}/\\sqrt{2},\\ I_{rms}=e_{rms}/r$
$e_{rms} = 102,5/1,414 = 72,5\\text{V},\\ I_{rms}=72,5/2,1=34,5\\text{A}$
$P=rI^2=2,1\\times(34,5)^2=2,1\\times 1190=2499\\ \\text{W}$
$W=2499\\times 0,005=12,5\\ \\text{J}$
Résultat final : $W\\approx12,5\\ \\text{J}$
1) Courant de conduction
Formule : $J= n e\\mu E$, $I=J\\cdot S$, avec $S=2,5\\ \\text{mm}^2=2,5\\times10^{-6}\\ \\text{m}^2$
$J=8,5\\times10^{28}\\times1,6\\times10^{-19}\\times3,2\\times10^{-3}\\times1,6=6,97\\times 10^{7}$
$I=J\\times S=6,97\\times10^{7}\\times2,5\\times10^{-6}=174,3\\ \\text{A}$
Résultat final : $I\\approx174,3\\ \\text{A}$
2) Constante de relaxation de la charge
Formule : $\\tau=\\dfrac{\\varepsilon_0}{\\sigma}$, où $\\sigma=ne\\mu$, $\\varepsilon_0=8,85\\times10^{-12}\\ \\text{F/m}$
$\\sigma=8,5\\times10^{28}\\times1,6\\times10^{-19}\\times3,2\\times10^{-3}=4,35\\times10^7\\ \\text{S/m}$
$\\tau=8,85\\times10^{-12}/4,35\\times10^{7}=2,03\\times10^{-19}\\ \\text{s}$
Résultat final : $\\tau\\approx2,0\\times10^{-19}\\ \\text{s}$
3) Charge relâchée après 3\\tau
Formule (charge résiduelle) : $Q(t)=Q_0 e^{-t/\\tau}$ pour $t=3\\tau$\n$Q(3\\tau)=Q_0 e^{-3}=Q_0\\times0,0498$\nPourcentage relâché : $Q_{relâchée}=Q_0-Q(3\\tau)=0,9502Q_0$\nRésultat final : $95,0\\% \\ \\text{de la charge initiale est dissipée après}\\ 3\\tau$
Q1 : Champ magnétique au centre à t=3s
1. Formule de Maxwell-Ampère (ARQS, solénoïde long) : $B = \\mu_0 n I$ où $n=\\frac{N}{L}$
2. Remplacement : $N=1000$, $L=0,5~m$ donc $n=2000~\\text{spires/m}$
À $t=3~s$, $I=4 \\times 3=12~A$
3. Calcul : $B = 4\\pi\\times10^{-7} \\times 2000 \\times 12 = 4\\pi\\times10^{-7}\\times24000$.
$4\\pi\\times10^{-7}=1,257\\times10^{-6}$ ; $B = 1,257\\times10^{-6}\\times24000=0,0302~T$
4. Résultat final : $B = 0,0302~T$.
Q2 : Force électromotrice induite à t=3s
1. Formule de Neumann : $e = -N \\frac{d\\Phi}{dt}$ ; $\\Phi = B S$, $S=\\pi r^2$
2. Calcul préalable : $S = \\pi \\times (0,02)^2 = 0,001257~m^2$
Champ variable : $B(t) = \\mu_0 n I(t)$ donc $\\frac{dB}{dt} = \\mu_0 n \\frac{dI}{dt} = \\mu_0 n \\times 4$
Donc $\\frac{d\\Phi}{dt} = S \\frac{dB}{dt} = 0,001257 \\times 1,257\\times10^{-6}\\times2000\\times4 = 0,001257 \\times 1,257\\times10^{-6}\\times8000$
Calcul : $1,257\\times10^{-6}\\times8000= 0,010056$ ; $0,001257 \\times 0,010056=1,264\\times10^{-5}$
$e = -N \\frac{d\\Phi}{dt} = -1000 \\times 1,264\\times10^{-5} = -0,01264~V$
4. Résultat final : $e = -12,64~mV$ (sens d’opposition)
Q3 : Énergie magnétique stockée à t=3s
1. Formule générale : $W = \\frac{1}{2} L_{eq} I^2$, $L_{eq} = \\mu_0 n^2 S L$
2. Calcul : $n=2000$, $S=0,001257~m^2$, $L=0,5~m$
$L_{eq}=1,257\\times10^{-6}\\times(2000^2)\\times0,001257\\times0,5$ = $1,257\\times10^{-6}\\times4\\times10^{6}\\times0,001257\\times0,5$
$1,257\\times10^{-6}\\times4\\times10^6 = 5,028$ ; $5,028\\times0,001257=0,00632$ ; $0,00632\\times0,5=0,00316~H$
À t=3s, $I=12~A$
$W = 0,5 \\times 0,00316 \\times 144 = 0,5 \\times 0,455 = 0,227~J$
4. Résultat final : $W = 0,227~J$.
Q1 : Constante de temps et courant maximal
1. Formule générale : $\\tau = \\frac{L}{R}$, $I_{max} = \\frac{V}{R}$
2. Remplacement : $L=0,024~H$, $R=6~\\Omega$, $V=60~V$
Calculs : $\\tau = 0,024/6=0,004~s=4~ms$; $I_{max}=60/6=10~A$
4. Résultat final : $\\tau=4~ms$, $I_{max}=10~A$.
Q2 : Courant dans la bobine à t=10~ms
1. Formule : $I(t) = I_{max}(1-e^{-t/\\tau})$
2. Remplacement : $I(10~ms) = 10(1-e^{-10/4})$
Calcul : $10/4=2,5$, $e^{-2,5}=0,0821$; $1-0,0821=0,9179$, $10\\times0,9179=9,18~A$
4. Résultat final : $I(10~ms)=9,18~A$.
Q3 : Énergie stockée dans la bobine à t=10~ms
1. Formule : $W=\\frac{1}{2}L[I(t)]^2$
2. Remplacement : $W=0,5\\times0,024\\times(9,18)^2$
Calcul : $0,5\\times0,024=0,012$; $9,18^2=84,27$; $0,012\\times84,27=1,01~J$
4. Résultat final : $W=1,01~J$.
Q1 : Force électromotrice d’induction dans le circuit 1
1. Formule : $e_1 = -M\\frac{dI_2}{dt}$
2. Remplacement : $M=18\\times10^{-3}~H$, $\\frac{dI_2}{dt}=100~A/s$
3. Calcul : $e_1 = -18\\times10^{-3} \\times 100 = -1,8~V$
4. Résultat final : $e_1 = -1,8~V$.
Q2 : Force de Laplace sur le circuit 1
1. Formule : $F = I_1 B_2 l$
2. Remplacement : $I_1=5~A$, $B_2=3\\times10^{-3}~T$, $l=0,7~m$
3. Calcul : $F=5\\times3\\times10^{-3}\\times0,7=5\\times0,0021=0,0105~N$
4. Résultat final : $F=0,0105~N$.
Q3 : Énergie totale magnétique dans les circuits couplés
1. Formule : $W = \\frac{1}{2}[L_1I_1^2 + L_2I_2^2 + 2M I_1 I_2]$
2. Remplacement :$L_1=0,03~H,~I_1=5~A,~L_2=0,06~H,~I_2=2~A,~M=0,018~H$
Calcul :
$L_1I_1^2=0,03\\times25=0,75$
$L_2I_2^2=0,06\\times4=0,24$
$2M I_1 I_2=2\\times0,018\\times5\\times2=0,36$
Somme : 0,75+0,24+0,36=1,35
Final : $W=0,5\\times1,35=0,675~J$
4. Résultat : $W=0,675~J$.
1. Densité du courant de conduction :
Formule générale : Calcul de la section : Calcul du courant : Donc : Résultat final : \n\n2. Champ électrique local selon la loi d’Ohm locale :
Formule : Remplacement : Résultat final : \n\n3. Relaxation de la charge électrique :
Formule (dans ARQS) : Interprétation : la charge se dissipe quasi-instantanément.
Résultat final : ",
"id_category": "3",
"id_number": "9"
},
{
"category": " Régime lentement variable – Induction électromagnétique ",
"question": "Un conducteur rectiligne de longueur $l=41~\\text{cm}$ parcourt un courant $I=6,4~\\text{A}$ dans un champ magnétique perpendiculaire de $B=0,079~\\text{T}$. On considère le régime quasi-stationnaire ARQS.\n\nQuestions :\n1. Calculez la force de Laplace exercée sur le conducteur.\n2. Déterminez la vitesse maximale acquise par le conducteur après avoir reçu une impulsion de force constante pendant $1,2~\\text{ms}$ (masse du conducteur $m=42~\\text{g}$).\n3. Calculez le travail fourni par le champ au conducteur durant cette impulsion.",
"svg": "",
"choices": [
"A Corrige Type"
],
"correct": [
"A"
],
"explanation": "
1. Force de Laplace
Formule : $F = I l B \\sin\\theta$ (ici $\\theta=90^\\circ$, donc $\\sin\\theta=1$)
Remplacement : $l=41~\\text{cm}=0,41~\\text{m}$
$F=6,4\\times0,41\\times0,079=0,207~\\text{N}$
Résultat : $F=0,207~\\text{N}$
2. Vitesse maximale après 1,2 ms d'impulsion
Formule : $v=\\frac{F \\cdot t}{m}$
Remplacement : $t=1,2~\\text{ms}=0,0012~\\text{s}$, $m=42~\\text{g}=0,042~\\text{kg}$
$v=\\frac{0,207\\times0,0012}{0,042}=\\frac{0,0002484}{0,042}=0,00591~\\text{m/s}$
Résultat : $v=5,91~\\text{mm/s}$
3. Travail fourni par le champ
Formule : $W=F\\cdot d$ où $d=v\\cdot t$
$d=0,00591\\times0,0012=7,092\\times10^{-6}~\\text{m}$
$W=0,207\\times7,092\\times10^{-6}=1,47\\times10^{-6}~\\text{J}$
Résultat : $W=1,47\\times10^{-6}~\\text{J}$
• Q1. Calculez l’inductance mutuelle entre les deux circuits.
• Q2. Déterminez la tension induite dans le circuit 2 au moment où $dI_1/dt = 60~A/s$.
• Q3. Calculez la coénergie magnétique associée au système pour $I_1 = 2~A$ et $I_2 = 1,5~A$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Inductance mutuelle :
1. Formule générale : $M = k \\sqrt{L_1 L_2}$
2. Remplacement : $k = 0,82 ; L_1 = 80 \\times 10^{-3}~H ; L_2 = 50 \\times 10^{-3}~H$
$M = 0,82 \\sqrt{0,08 \\times 0,05} = 0,82 \\sqrt{0,004} = 0,82 \\times 0,0632 = 0,0518~H$
4. Résultat final : $M = 51,8~mH$
Q2. Tension induite dans le circuit 2 :
1. Formule générale : $e_2 = M \\frac{dI_1}{dt}$
2. Remplacement : $M = 0,0518~H ; \\frac{dI_1}{dt} = 60~A/s$
$e_2 = 0,0518\\times 60 = 3,108~V$
4. Résultat final : $e_2 = 3,11~V$
Q3. Coénergie magnétique :
1. Formule générale pour deux circuits couplés : $W_{co} = \\frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \\frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$
2. Remplacement : $L_1 = 0,08~H ; I_1 = 2~A ; L_2 = 0,05~H ; I_2 = 1,5~A ; M = 0,0518~H$
Calcul : premier terme : $\\frac{1}{2} \\times 0,08 \\times 4 = 0,16$
Second : $\\frac{1}{2} \\times 0,05 \\times 2,25 = 0,05625$
Troisième : $0,0518 \\times 2 \\times 1,5 = 0,1554$
Total : $0,16 + 0,05625 + 0,1554 = 0,3717~J$
4. Résultat final : $W_{co} = 0,372~J$
• Q1. Calculez la constante de relaxation du conducteur.
• Q2. Déterminez la valeur de la charge après $t = 4,3~ms$.
• Q3. Calculez le courant de conduction instantané à $t = 4,3~ms$.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Q1. Constante de relaxation :
1. Formule : $\\tau = \\frac{\\varepsilon_0}{\\sigma}$ ; $\\varepsilon_0 = 8,85\\times10^{-12}~F/m$
2. Remplacement : $\\sigma = 4,5\\times10^7~S/m$
3. Calcul : $\\tau = \\frac{8,85\\times10^{-12}}{4,5\\times10^7} = 1,967\\times10^{-19}~s$
4. Résultat final : $\\tau = 1,97\\times10^{-19}~s$
Q2. Charge après $t=4,3~ms$ :
1. Formule : $q(t) = q_0 \\exp(-t/\\tau)$
2. Remplacement : $q_0 = 3,7\\times10^{-5}~C ; t = 4,3\\times10^{-3}~s ; \\tau = 1,967\\times10^{-19}~s$
3. Calcul : $q(4,3\\times10^{-3}) \\approx 3,7\\times10^{-5} \\exp(-2.2\\times10^{16}) \\approx 0~C$
4. Résultat final : $q(4,3~ms) \\approx 0~C$ (la charge relaxe quasi instantanément)
Q3. Courant de conduction instantané :
1. Formule : $i(t) = -\\frac{dq}{dt} = \\frac{q_0}{\\tau} \\exp(-t/\\tau)$
2. Remplacement : $q_0 = 3,7\\times10^{-5}~C ; \\tau = 1,97\\times10^{-19}~s ; t=4,3~ms$
3. Calcul : $i(4,3~ms) \\approx \\frac{3,7\\times10^{-5}}{1,97\\times10^{-19}} \\exp(-2,18\\times10^{16}) \\approx 0~A$ (le courant chute immédiatement)
4. Résultat final : $i(4,3~ms) \\approx 0~A$
1. FEM induite dans la bobine 2 (loi de Neumann) :
\nFormule générale : $e_{2} = -N_2 \\frac{d\\Phi_{21}}{dt}$
\nSupposons $\\frac{d\\Phi_{21}}{dt} = 0.95\\,\\mathrm{mWb}/\\Delta t$, par unité de temps.\n$N_2 = 250$
\nRemplacement : $e_{2} = -250 \\cdot \\frac{0.95 \\times 10^{-3}}{\\Delta t}$
\n$e_{2} = -0.2375/\\Delta t\\,\\mathrm{V}$
\nRésultat final (sous forme : par unité de variation ): $e_2 = -0.238/\\Delta t$
\n2. Coefficient d'inductance mutuelle $M$ :
\nFormule générale : $M = \\frac{N_2 \\Phi_{21}}{i_1}$
\nRemplacement : $M = \\frac{250 \\times 0.95 \\times 10^{-3}}{2.6}$
\n$250 \\times 0.95 \\times 10^{-3} = 0.2375$
\n$M = 0.2375 / 2.6 = 0.0913\\,\\mathrm{H}$
\nRésultat final : $M = 91.3\\,\\mathrm{mH}$
\n3. Énergie magnétique stockée :
\nFormule : $W_m = \\frac{1}{2}L_1 i_1^2$
\nRemplacement : $W_m = 0.5 \\times 48 \\times 10^{-3} \\times (2.6)^2$
\n$0.5 \\times 48 = 24$, $24 \\times 10^{-3} \\times 6.76 = 0.1622$
\n$W_m = 0.1622\\,\\mathrm{J}$
\nRésultat final : $W_m = 0.162\\,\\mathrm{J}$
1. Densité de courant de conduction à $t = 0$ :
\nFormule : $J_{cond} = \\sigma E$, $E = \\frac{U}{L}$
\n$U(0) = 5\\,V$; $L = 10\\,cm = 0.1\\,m$
\n$E = 5 / 0.1 = 50\\,V/m$; $J_{cond} = 5.8\\times10^7 \\times 50 = 2.90\\times10^9\\,A/m^2$
\nRésultat final : $J_{cond}(0) = 2.90\\times10^9\\,A/m^2$
\n2. Densité du courant de déplacement à $t=0$ et comparaison :
\nFormule : $J_{dépl} = \\varepsilon \\frac{\\partial E}{\\partial t}$
\n$E(t) = \\frac{U(t)}{L} = \\frac{5\\exp(-t/3\\times10^{-6})}{0.1}$
\n$\\frac{\\partial E}{\\partial t} = -\\frac{5}{0.1}\\frac{1}{3\\times10^{-6}}e^{-t/(3\\times10^{-6})}$
\nÀ $t=0$ : $-50/3\\times10^{-6} = -1.6667\\times10^7$
\n$J_{dépl}(0) = 8.85\\times10^{-12}\\times(-1.6667\\times10^7) = -1.475\\times10^{-4}\\,A/m^2$
\nComparaison : $J_{dépl}(0) \\ll J_{cond}(0)$
\nRésultat final : $J_{dépl}(0) = -1.48\\times10^{-4}\\,A/m^2$; négligeable devant la conduction.
\n3. Temps de relaxation de la charge :
\nFormule : $\\tau_{relax} = \\frac{\\varepsilon}{\\sigma}$
\nRemplacement : $\\tau_{relax} = 8.85\\times10^{-12}/5.8\\times10^7 = 1.53 \\times 10^{-19}\\,s$
\nRésultat final : $\\tau_{relax} = 1.53\\times10^{-19}\\,s$
1. Force de Laplace sur le conducteur :
\nFormule : $F = B I l \\sin\\theta$
\nRemplacement : $B = 0.32\\,T$ ; $I = 4.1\\,A$ ; $l = 0.35\\,m$ ; $\\sin 60^\\circ = 0.866$
\n$F = 0.32 \\times 4.1 \\times 0.35 \\times 0.866 = 0.32 \\times 4.1 = 1.312$ ; $1.312 \\times 0.35 = 0.4592$ ; $0.4592 \\times 0.866 = 0.3977\\,N$
\nRésultat final : $F = 0.398\\,N$
\n2. Tension d’induction de Lorentz :
\nFormule : $e = B l v$
\n$B = 0.32\\,T$ ; $l = 0.35\\,m$ ; $v = 5.6\\,m/s$
\n$e = 0.32 \\times 0.35 \\times 5.6 = 0.32 \\times 1.96 = 0.627\\,V$
\nRésultat final : $e = 0.627\\,V$
\n3. Intensité du courant induit :
\nFormule : $I_{ind} = \\dfrac{e}{R}$
\n$e = 0.627\\,V$ ; $R = 2.5\\,\\Omega$
\n$I_{ind} = 0.627 / 2.5 = 0.251\\,A$
\nRésultat final : $I_{ind} = 0.251\\,A$
Question 1 : Densités de courant de conduction et déplacement
1. Formules générales :
$\\vec{J}_c = \\frac{E_0}{\\rho}$ (loi d’Ohm local)
$\\vec{J}_d = \\varepsilon \\frac{\\partial E}{\\partial t}$ (courant déplacement)
2. Remplacement :
$\\vec{J}_c = \\frac{40}{2 \\times 10^{-7}} = 2 \\times 10^{8}~\\mathrm{A/m}^2$
Pour $J_d$, si $E_0$ est constant, $\\frac{\\partial E}{\\partial t} = 0$ donc $J_d = 0$.
3. Résultat final :
$\\vec{J}_c = 2 \\times 10^8~\\mathrm{A/m}^2$
$\\vec{J}_d = 0~\\mathrm{A/m}^2$
Question 2 : Constante de relaxation de la charge
1. Formule :$\\tau = \\varepsilon/\\sigma = \\varepsilon \\rho$, $\\sigma = 1/\\rho$
2. Remplacement :$\\tau = \\varepsilon \\rho = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\times 2 \\times 10^{-7} = 1,77 \\times 10^{-18}~\\mathrm{s}$
3. Résultat final :$\\tau = 1,77 \\times 10^{-18}~\\mathrm{s}$
Question 3 : Temps pour diviser la densité de charge par 100
1. Formule :$\\rho(t) = \\rho_0 e^{-t/\\tau}$ ; on cherche $t$ tel que $\\frac{\\rho(t)}{\\rho_0}=\\frac{1}{100}$
2. Remplacement :$e^{-t/\\tau}=0,01$ donc $-t/\\tau=\\ln(0,01)=-4,605$
$t = 4,605 \\tau = 4,605 \\times 1,77 \\times 10^{-18} = 8,15 \\times 10^{-18}~\\mathrm{s}$
Résultat final : $t = 8,15 \\times 10^{-18}~\\mathrm{s}$
Interprétation : En régime ARQS pour les métaux, la relaxation est quasi-instantanée, justifiant l’approximation du régime quasi-stationnaire.
Question 1 : Champ magnétique à l'intérieur
1. Formule : $B(t) = \\mu_0 \\frac{N}{L} I(t)$ avec $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}~\\mathrm{H/m}$
2. Remplacement : $N=600$, $L=0,4~\\mathrm{m}$, $I(t)=0,5t$
Calcul :$B(t) = 4\\pi \\times 10^{-7} \\frac{600}{0,4} 0,5t = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 1500 \\times t = (6\\pi \\times 10^{-4}) t$
3. Résultat final : $B(t) = 1,88 \\times 10^{-3}~t~\\mathrm{T}$
Question 2 : Force électromotrice induite
1. Formule : $e = -N \\frac{d\\Phi}{dt}$, $\\Phi = B S_c$ où $S_c = \\pi R^2$
2. Remplacement : $e = -N \\pi R^2 \\frac{dB}{dt}$, $\\frac{dB}{dt} = 1,88 \\times 10^{-3}~\\mathrm{T/s}$
$e = -600 \\times \\pi \\times (0,03)^2 \\times 1,88 \\times 10^{-3}$
Calcul :$(0,03)^2 = 0,0009$ ; $\\pi \\times 0,0009 = 0,002827$
$e = -600 \\times 0,002827 \\times 1,88 \\times 10^{-3} = -600 \\times 0,002827 \\times 0,00188 = -600 \\times 5,317 \\times 10^{-6} = -0,00319~\\mathrm{V}$
4. Résultat final : $e = -3,19~\\mathrm{mV}$
Question 3 : Puissance du champ magnétique à t=10 s
1. Formule : énergie magnétique $U = \\frac{1}{2} L_{eq} I^2$, $L_{eq} = \\mu_0 \\frac{N^2}{L} \\pi R^2$
2. Remplacement : $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$, $N=600$, $L=0,4$, $R=0,03$
$L_{eq} = 4\\pi \\times 10^{-7} \\frac{600^2}{0,4} \\pi (0,03)^2$
Calcul :$600^2 = 360,000$, $\\frac{360,000}{0,4} = 900,000$, $(0,03)^2 = 0,0009$; $\\pi \\times 0,0009 = 0,002827$
$L_{eq} = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 900,000 \\times 0,002827 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2,5443 = 3,194 \\times 10^{-6}~\\mathrm{H}$
$I(10) = 5~\\mathrm{A}$
$U = 0,5 \\times 3,194 \\times 10^{-6} \\times 25 = 0,5 \\times 7,985 \\times 10^{-5} = 3,99 \\times 10^{-5}~\\mathrm{J}$
4. Résultat final : $U = 39,9~\\mu\\mathrm{J}$
Interprétation : La croissance du courant implique une croissance linéaire du champ, une FEM constante, et le stockage d’énergie magnétique au sein de l’inducteur.
Question 1 : Flux magnétique dans la seconde spire
1. Formule : $\\Phi_2 = B_1 S_2$, $B_1 = \\mu_0 \\frac{I_1}{2a_1}$, $S_2 = \\pi a_2^2$
2. Remplacement :$I_1=2~\\mathrm{A}$, $a_1=0,10~\\mathrm{m}$, $a_2=0,05~\\mathrm{m}$, $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}$
$B_1 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times \\frac{2}{2 \\times 0,10} = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 10 = 4\\pi \\times 10^{-6} = 1,256 \\times 10^{-5}~\\mathrm{T}$
$S_2 = \\pi \\times (0,05)^2 = \\pi \\times 0,0025 = 0,00785~\\mathrm{m}^2$
$\\Phi_2 = 1,256 \\times 10^{-5} \\times 0,00785 = 9,85 \\times 10^{-8}~\\mathrm{Wb}$
4. Résultat final : $\\Phi_2 = 9,85 \\times 10^{-8}~\\mathrm{Wb}$
Question 2 : Inductance mutuelle
1. Formule : $M = \\frac{\\Phi_2}{I_1}$
2. Remplacement :$I_1=2~\\mathrm{A}$, $\\Phi_2=9,85\\times10^{-8}~\\mathrm{Wb}$
$M = \\frac{9,85 \\times 10^{-8}}{2} = 4,93 \\times 10^{-8}~\\mathrm{H}$
Question 3 : Tension induite à t = 8 ms
1. Formule : $e_2 = -M \\frac{dI_1}{dt}$ ; ici $I_1(t)=2+3t$, donc $\\frac{dI_1}{dt}=3~\\mathrm{A/s}$
$e_2 = -4,93 \\times 10^{-8} \\times 3 = -1,48 \\times 10^{-7}~\\mathrm{V}$
2. Résultat : $e_2 = -0,148~\\mu\\mathrm{V}$
Interprétation : Ce couplage inductif faible illustre l’action de Neumann et l’induction mutuelle entre circuits couplés.
Question 1 : Force électromotrice induite
1. Formule : $e = B L v$
2. Remplacement :$B = 0,5~\\mathrm{T}$, $L=0,3~\\mathrm{m}$, $v=4~\\mathrm{m/s}$
3. Calcul :$e = 0,5 \\times 0,3 \\times 4 = 0,6~\\mathrm{V}$
4. Résultat final :$e = 0,6~\\mathrm{V}$
Question 2 : Intensité du courant et force de Laplace
1. Courant :$i = \\frac{e}{R}$
2. Remplacement :$i = \\frac{0,6}{25} = 0,024~\\mathrm{A}$
Force de Laplace :$F = i L B$
Calcul :$F=0,024 \\times 0,3 \\times 0,5 = 0,0036~\\mathrm{N}$
4. Résultat : $i = 0,024~\\mathrm{A}$, $F = 3,6~\\mathrm{mN}$
Question 3 : Puissance magnétique convertie
1. Formule : $P = e i$
2. Remplacement : $P = 0,6 \\times 0,024 = 0,0144~\\mathrm{W}$
3. Résultat final :$P = 14,4~\\mathrm{mW}$
Interprétation : Cette expérience illustre la conversion directe entre énergie mécanique et électrique par induction et action de Laplace.
1) Force électromotrice induite (f.é.m.)
Formule f.é.m de Neumann dans ARQS : $\\mathcal{E} = B \\cdot L \\cdot v$
Remplacement : $\\mathcal{E} = 0,8 \\times 0,5 \\times 3$
Calcul : $\\mathcal{E} = 1,2$ V
Résultat final : $1,2$ V
2) Courant induit
Loi d’Ohm locale : $I = \\frac{\\mathcal{E}}{R}$
Remplacement : $I = \\frac{1,2}{2}$
Calcul : $I = 0,6$ A
Résultat final : $0,6$ A
3) Force de Laplace
Formule : $F = I \\cdot L \\cdot B$
Remplacement : $F = 0,6 \\times 0,5 \\times 0,8$
Calcul : $F = 0,24$ N
Résultat final : $0,24$ N
Le sens de la force de Laplace est opposé au mouvement de la barre (règle des trois doigts de la main droite).
1) Temps de relaxation de la charge
Formule : $\\tau = \\frac{\\varepsilon}{\\sigma}$
Remplacement : $\\tau = \\frac{8,85 \\times 10^{-12}}{5 \\times 10^6}$
Calcul : $\\tau = 1,77 \\times 10^{-18}$ s (erreur d'ordre, re-correctons)
La formule correcte prend la constante de temps : $\\tau = \\frac{\\varepsilon}{\\sigma}$
Numériquement : $\\tau = \\frac{8,85 \\times 10^{-12}}{5 \\times 10^6} = 1,77 \\times 10^{-18}$ s (ordre très faible, à revérifier).
Mais numériquement en pratique (chargeurs classiques), on arrondit souvent à l'ordre pico voire moins : $\\tau = 1,77 \\times 10^{-18}$ s.
2) Densité de courant initiale
Loi d’Ohm locale : $j_0 = \\sigma E_0$
Remplacement : $j_0 = 5 \\times 10^6 \\times 1500$
Calcul : $j_0 = 7,5 \\times 10^9$ A/m²
Résultat : $7,5 \\times 10^9$ A/m²
3) Charge totale résiduelle à $t = 0,3\\,\\mu\\text{s}$
La charge décroît selon : $Q(t) = Q_0 e^{-t/\\tau}$
$t = 0,3 \\mu\\text{s} = 3 \\times 10^{-7}$ s
Numériquement : $Q(t) = Q_0 e^{-3 \\times 10^{-7} / 1,77 \\times 10^{-18}} \\approx 0$
Compte tenu du temps de relaxation très court, toute charge résiduelle est quasi nulle après $0,3\\,\\mu\\text{s}$ dans ce matériau très conducteur.
1) Tension induite dans la seconde bobine
Formule de Neumann : $e_2(t) = -M \\frac{dI_1}{dt}$
Calcul de la dérivée : $\\frac{dI_1}{dt} = -2 \\times 400 \\sin(400 t)$
À $t = 0,002\\,\\text{s}$ : $\\sin(400 \\times 0,002) = \\sin(0,8)$
Numériquement : $\\sin(0,8) \\approx 0,717$
Remplacement : $e_2 = -8 \\times 10^{-3} \\times [-800 \\times 0,717]$
$= 8 \\times 10^{-3} \\times 573,6 = 4,589$ V
Résultat : $4,589$ V
2) Énergie magnétique stockée
Énergie en couplage : $W_{mag} = \\frac{1}{2} M I_1^2$
À $t = 0,002$ : $I_1 = 2 \\cos(0,8) \\approx 2 \\times 0,697 = 1,394$ A
Remplacement : $W_{mag} = 0,5 \\times 8 \\times 10^{-3} \\times (1,394)^2$
Calcul : $W_{mag} = 0,5 \\times 8 \\times 10^{-3} \\times 1,944 \\approx 0,00778$ J
Résultat : $7,78 \\times 10^{-3}$ J
3) Force de Lorentz totale sur la bobine 1
Formule : $F = N_1 I_1 l B$
Remplacement : $F = 200 \\times 1,394 \\times 0,3 \\times 0,05$
Calcul : $F = 200 \\times 1,394 \\times 0,015 = 4,182$ N
Résultat : $4,18$ N
1. Densité de courant de conduction au centre à t=0 :
\\\n1. Formule : $ \\vec{j}_c = \\sigma \\vec{E} $ (loi d’Ohm locale)
\\\n2. Données : $ E(0) = E_0 = 100\\ \\mathrm{V.m}^{-1} $
\\\nSupposons $ \\sigma = 5 \\times 10^7\\ \\mathrm{S.m}^{-1} $ (exemple: cuivre)
\\\n3. Calcul : $ \\vec{j}_c(0) = 5\\cdot10^7\\times100 = 5\\cdot10^9\\ \\mathrm{A.m}^{-2} $
\\\n4. Résultat : $ \\vec{j}_c(0) = 5{\\,}10^9\\ \\mathrm{A.m}^{-2}\\ \\vec{e_z} $
\\\n2. Intensité totale traversant la section à t=0 (conduction + déplacement) :
\\\n1. Formule : $ I_{tot} = I_c + I_d $
\\\nOù $ I_c = \\int_S \\vec{j}_c \\cdot d\\vec{S} $ et courant de déplacement $ I_d = \\varepsilon_0 \\int_S \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t} \\cdot d\\vec{S} $
\\\nPour un cylindre, $ S = \\pi a^2 = \\pi (0.02)^2 = 1.257\\ times 10^{-3}\\ \\mathrm{m}^2 $
\\\nÀ $ t=0 $, $ \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t} = -E_0\\omega\\sin(0)=0 $ donc $ I_d = 0 $
\\\n$ I_{tot} = j_c(0)\\times S = 5\\cdot10^9 \\times 1.257\\cdot10^{-3} = 6.285\\cdot10^6\\ \\mathrm{A} $
\\\nRésultat final : $ I_{tot}(0) = 6.29\\times 10^6\\ \\mathrm{A} $
\\\n3. Densité volumique de charge à long terme :
\\\n1. Conservation : Après un temps long, régime permanent ARQS, $ \\nabla \\cdot \\vec{j}_c = -\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} = 0 $ donc $ \\rho = \\mathrm{cste} $ partout.
\\\n2. En régime alternatif sinusoïdal, la charge ne s’accumule pas, la densité reste nulle.
\\\n3. Résultat : $ \\rho(r) = 0 $ (pas de charge résiduelle dans l’ARQS à régime sinusoïdal stabilisé)
1. Induction magnétique au centre à t=0 :
\\\n1. Formule : $ B = \\mu_0 \\frac{N}{L} I(t) $
\\\n2. À t=0 : $ I(0)=0 $
\\\n$ B(0)=\\mu_0 \\frac{500}{0.4} \\cdot 0 = 0 \\ \\mathrm{T} $
\\\n4. Résultat : $ B(0)=0 \\ \\mathrm{T} $
\\\n2. f.é.m. induite (Neumann, Faraday) et intensité dans la boucle :
\\\n1. Flux dans la boucle : $ \\Phi = B S_b $ où $ S_b = \\pi r^2 = \\pi \\cdot (0.05)^2 = 7.853\\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{m}^2 $
\\\n2. $ \\frac{dI}{dt}|_{t=0} = 4\\cdot2000\\cos(0) = 8000 \\ \\mathrm{A.s}^{-1} $
\\\n3. $ \\frac{dB}{dt} = \\mu_0 \\frac{N}{L} \\frac{dI}{dt} $ , $ \\mu_0 = 4\\pi\\cdot10^{-7}\\ \\mathrm{H.m}^{-1} $
\\\n$ \\frac{dB}{dt} = 4\\pi\\cdot10^{-7}\\cdot\\frac{500}{0.4}\\cdot8000 = 0.012566\\ \\mathrm{T.s}^{-1} $
\\\n4. $ \\mathcal{E} = -S_b \\frac{dB}{dt} = -7.853\\cdot10^{-3}\\cdot0.012566 = -9.87\\cdot 10^{-5}\\ \\mathrm{V} $
\\\n5. Intensité : $ i = \\frac{\\mathcal{E}}{R_b} = \\frac{-9.87\\cdot10^{-5}}{1} = -9.87\\cdot10^{-5}\\ \\mathrm{A} $
\\\n3. Énergie magnétique stockée au courant maximal :
\\\n1. $ E_m = \\frac{1}{2} L_s I_{max}^2 $ avec $ L_s = \\mu_0 \\frac{N^2}{L} S_s $, $ S_s = \\pi R^2 = 1.257\\cdot10^{-3} \\mathrm{m}^2 $
\\\n2. $ L_s = 4\\pi\\cdot10^{-7}\\cdot\\frac{(500)^2}{0.4}\\cdot1.257\\cdot10^{-3}=0.000988\\ \\mathrm{H} $
\\\n3. $ I_{max} = 4 \\ $ donc $ E_m = \\frac{1}{2}\\cdot0.000988\\cdot16 = 0.00790\\ \\mathrm{J} $
\\\nRésultat : énergie stockée maximale $ E_m = 7.90 \\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{J} $
1. Flux magnétique de Neumann de A à travers B à t=1s :
\\\n1. Mutuelle inductance approchée : $ M = \\mu_0 \\frac{w l^2}{2\\pi d} $ (approximation parallèle)
\\\nParamètres : $ l=0.2\\ \\mathrm{m},\\ w=0.12\\ \\mathrm{m},\\ d=0.04\\ \\mathrm{m},\\ t=1\\,s,\\ I_A=6\\,A $
\\\nCalcul de M : $ M = 4\\pi\\cdot10^{-7}\\cdot \\frac{0.12\\cdot0.2^2}{2\\pi 0.04} = 4\\cdot10^{-7} \\cdot \\frac{0.0048}{0.08} =4\\cdot10^{-7}\\cdot0.06=2.40\\cdot10^{-8}\\ \\mathrm{H} $
\\\nFlux : $ \\Phi_{A\\to B} = M I_A = 2.40\\cdot10^{-8}\\cdot6 = 1.44\\cdot10^{-7}\\ \\mathrm{Wb} $
\\\n2. f.é.m. induite dans B et courant :
\\\n1. $ \\mathcal{E}_B = -M\\frac{dI_A}{dt} $ ; $ \\frac{dI_A}{dt}=6 $
\\\n$ \\mathcal{E}_B = -2.40\\cdot10^{-8}\\times6 = -1.44\\cdot10^{-7}\\ \\mathrm{V} $
\\\nCourant dans B : $ I_B = \\frac{\\mathcal{E}_B}{R_B} = \\frac{-1.44\\cdot10^{-7}}{2} = -7.2\\cdot10^{-8}\\ \\mathrm{A} $
\\\n3. Énergie magnétique mutuelle à t=1s :
\\\n1. $ E_m = M I_A I_B $
\\\n2. $ E_m = 2.40\\cdot10^{-8}\\times6\\times(-7.2\\cdot10^{-8}) = -1.037\\cdot10^{-14}\\,\\mathrm{J} $
\\\n(bonne grandeur: valeur absolue près de zéro, couplage faible)
1. Calcul du flux magnétique
Formule générale :
$\\Phi = B \\cdot S \\cdot \\cos \\theta$
Remplacement : Ici, $S = a \\times b$ et $\\theta = 0$ (le champ est perpendiculaire au plan), donc à $t = 0{,}01\\ \\text{s}$ :
$B = B_0 \\cos(\\omega t)$
$\\Phi = B_0 \\cos(\\omega t) \\times a \\times b$
Calcul :
$\\omega t = 100 \\times 0{,}01 = 1$
$\\cos(1) \\approx 0{,}5403$
$\\Phi = 0{,}5 \\times 0{,}5403 \\times 0{,}2 \\times 0{,}1$
$\\Phi = 0{,}5 \\times 0{,}5403 \\times 0{,}02$
$\\Phi \\approx 0{,}005403\\ \\text{Wb}$
Résultat final :
$\\Phi(0{,}01\\ \\text{s}) \\approx 0{,}0054\\ \\text{Wb}$
2. Calcul de la fem induite
Formule générale :
$e = -\\frac{d\\Phi}{dt}$
Remplacement et dérivation :
$\\Phi(t) = B_0\\cos(\\omega t)ab$
$e = -\\frac{d}{dt}(B_0ab \\cos(\\omega t))$
$e = -B_0ab\\left(-\\omega \\sin(\\omega t) \\right)$
$e = B_0 ab \\omega \\sin(\\omega t)$
Calcul numérique :
$e = 0{,}5 \\times 0{,}2 \\times 0{,}1 \\times 100 \\times \\sin(1)$
$e = 0{,}5 \\times 0{,}02 \\times 100 \\times 0{,}8415$
$e = 0{,}01 \\times 100 \\times 0{,}8415$
$e = 1 \\times 0{,}8415$
$e \\approx 0{,}8415\\ \\text{V}$
Résultat final :
$e(t=0{,}01~\\text{s}) \\approx 0{,}84~\\text{V}$
3. Calcul du courant dans le circuit
Formule générale (Loi d’Ohm local) :
$I = \\frac{e}{R}$
Remplacement :
$I = \\frac{0{,}8415}{1{,}2}$
Calcul :
$I \\approx 0{,}7013~\\text{A}$
Résultat final :
$I \\approx 0{,}70~\\text{A}$
1. Variation du flux magnétique
Formule générale :
$\\Phi(t) = B \\cdot S(t)$
$S(t) = L \\cdot x(t), \\ x(t) = d_0 + v t$
$\\Delta \\Phi = \\Phi(0{,}1) - \\Phi(0)$
Remplacement :
$\\Phi(0{,}1) = 0{,}8 \\times 0{,}5 \\times (0{,}2+3\\times 0{,}1)$
$= 0{,}8 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5 = 0{,}2$
$\\Phi(0) = 0{,}8 \\times 0{,}5 \\times 0{,}2 = 0{,}08$
$\\Delta \\Phi = 0{,}2 - 0{,}08 = 0{,}12~\\text{Wb}$
Résultat final :
$\\Delta \\Phi = 0{,}12~\\text{Wb}$
2. Force électromotrice induite moyenne
Formule générale :
$e_{moy} = -\\frac{\\Delta \\Phi}{\\Delta t}$
Remplacement :
$e_{moy} = -\\frac{0{,}12}{0{,}1}$
Calcul :
$e_{moy} = -1{,}2~\\text{V}$
Résultat final :
$e_{moy} = -1{,}2~\\text{V}$ (le signe indique le sens selon la règle de Lenz)
3. Intensité du courant traversant la résistance
Formule générale :
$I = \\frac{|e_{moy}|}{R}$
Remplacement :
$I = \\frac{1{,}2}{2}$
Calcul :
$I = 0{,}6~\\text{A}$
Résultat final :
$I = 0{,}60~\\text{A}$
1. Calcul de l’inductance équivalente (bobines en série, couplage parfait)
Formule générale :
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
Remplacement :
$L_{eq} = 0{,}12 + 0{,}05 + 2 \\times 0{,}035$
Calcul :
$L_{eq} = 0{,}12 + 0{,}05 + 0{,}07 = 0{,}24~\\text{H}$
Résultat final :
$L_{eq} = 0{,}24~\\text{H}$
2. Expression de la fem induite dans M2 (induction de Neumann)
Formule générale :
$e_2(t) = -M \\frac{di_1}{dt}$
Remplacement de $i_1\\ (t) = 0{,}5 \\sin(150t)$ :
$\\frac{di_1}{dt} = 0{,}5 \\times 150 \\cos(150t) = 75 \\cos(150t)$
$e_2(t) = -0{,}035 \\times 75 \\cos(150t)$
Calcul :
$e_2(t) = -2{,}625 \\cos(150t)$
Résultat final :
$e_2(t) = -2{,}625 \\cos(150t)~\\text{V}$
3. Valeur maximale de cette tension induite
Formule générale :
$e_{2,max} = M \\cdot \\max \\left| \\frac{di_1}{dt} \\right|$
$\\max |\\cos(150t)| = 1$
$e_{2,max} = 2{,}625~\\text{V}$
Résultat final :
$e_{2,max} = 2{,}63~\\text{V}$ (arrondi à deux décimales)
1. Calcul de la résistance du conducteur
Formule générale : $R = \\rho \\dfrac{L}{S}$
Remplacement : $R = 1,6 \\times 10^{-8} \\dfrac{1,2}{4,5 \\times 10^{-6}}$
Calcul : $R = 1,6 \\times 10^{-8} \\times \\dfrac{1,2}{4,5 \\times 10^{-6}} = 4,27 \\times 10^{-3}\\ \\Omega $
Résultat : $R = 4,27\\ \\mathrm{m\\Omega}$
2. Équation différentielle du courant
Formule générale pour un RL soumis à $u(t)$ : $u(t) = Ri(t) + L_b \\dfrac{di}{dt}$
Remplacement : $15 \\cos(2\\pi 50 t) = 4,27\\times 10^{-3} i(t) + 30\\times 10^{-3} \\dfrac{di}{dt}$
Équation différentielle à résoudre : $15 \\cos(2\\pi 50 t) = 4,27\\times 10^{-3} i(t) + 30\\times 10^{-3} \\dfrac{di}{dt}$
3. Courant maximal et tension aux bornes de la bobine
Courant de régime permanent à fréquence $f=50\\ \\mathrm{Hz}$ :
Impédance totale : $Z = \\sqrt{R^2 + (\\omega L_b)^2}$ avec $\\omega = 2\\pi 50 = 314\\ \\mathrm{rad/s}$
Calcul : $Z = \\sqrt{(4,27 \\times 10^{-3})^2 + (314 \\times 30 \\times 10^{-3})^2} = \\sqrt{1,82\\times 10^{-5} + 88,8} \\approx 94,2\\ \\Omega$
Courant maximal : $I_{max} = \\dfrac{15}{94,2} = 0,159\\ \\mathrm{A}$
Tension aux bornes de la bobine :
$U_{L_b} = L_b \\omega I_{max} = 0,03 \\times 314 \\times 0,159 = 1,50\\ \\mathrm{V}$
1. Force électromotrice induite
Formule générale Neumann : $e = -\\dfrac{d\\Phi}{dt}$ ; le flux change avec $s = a\\cdot x(t)$.
Remplacement : $\\Phi = B \\times a \\times x(t)$ ; $\\dfrac{d\\Phi}{dt} = B \\times a \\times v$
Calcul : $e = -0,3 \\times 0,2 \\times 5{,}0 = -0,3\\ \\mathrm{V}$
Résultat : $e = -0,3\\ \\mathrm{V}$ (le signe montre le sens de Lenz)
2. Courant induit et force de Lorentz
Courant induit : $I = \\dfrac{|e|}{R}$
Remplacement : $I = \\dfrac{0,3}{2,0} = 0,15\\ \\mathrm{A}$
Force de Lorentz sur AB : $F = IabB$
Remplacement : $F = 0,15 \\times 0,2 \\times 0,3 = 9{,}0 \\times 10^{-3}\\ \\mathrm{N}$
Résultat : $F = 9,0\\ \\mathrm{mN}$
3. Travail de la force motrice et énergie dissipée
Travail total : $W = F \\cdot d = 9,0\\times 10^{-3} \\times 0,2 = 1,8 \\times 10^{-3}\\ \\mathrm{J}$
Énergie dissipée : $Q = I^2 R t$
Durée du mouvement : $t = \\dfrac{0,2}{5,0} = 0,04\\ \\mathrm{s}$
Calcul : $Q = (0,15)^2 \\times 2,0 \\times 0,04 = 1,8 \\times 10^{-3}\\ \\mathrm{J}$
Résultat : le travail fourni est entièrement dissipé en chaleur $Q = 1,8\\ \\mathrm{mJ}$
1. Capacité du condensateur
Formule générale : $C = \\varepsilon \\dfrac{S}{d}$
Remplacement : $S = 30\\ \\mathrm{cm}^2 = 3,0 \\times 10^{-3}\\ \\mathrm{m}^2$, $d = 2,0\\ \\mathrm{mm} = 2,0\\times 10^{-3}\\ \\mathrm{m}$, $\\varepsilon = 3,2 \\times 8,85 \\times 10^{-12} = 2.832 \\times 10^{-11}\\ \\mathrm{F/m}$
Calcul : $C = 2,832 \\times 10^{-11} \\times \\dfrac{3,0 \\times 10^{-3}}{2,0 \\times 10^{-3}} = 4,25 \\times 10^{-11}\\ \\mathrm{F}$
Résultat : $C = 42,5\\ \\mathrm{pF}$
2. Densité de courant de déplacement
Formule générale : $j_d = \\varepsilon \\dfrac{\\partial E}{\\partial t} = \\varepsilon \\dfrac{1}{d} \\dfrac{\\partial V}{\\partial t}$
Remplacement de $V(t)$ : $\\dfrac{\\partial V}{\\partial t} = 9,0 \\times 1,5 \\times 10^{4} \\cos(1,5\\times 10^{4}t) = 1,35 \\times 10^{5} \\cos(1,5\\times 10^4 t)$
Calcul : $j_d(t) = 2,832 \\times 10^{-11} \\dfrac{1}{2,0 \\times 10^{-3}} \\times 1,35 \\times 10^{5} \\cos(1,5 \\times 10^4 t)$
$j_d(t) = 1,91\\times 10^{-3} \\cos(1,5 \\times 10^4 t)\\ \\mathrm{A/m}^2$
3. Valeur maximale de $j_d$
Valeur maximale : $j_{d,max} = 1,91\\times 10^{-3}\\ \\mathrm{A/m}^2$
1. Densité de courant de conduction.
Formule générale : $J_c = \\frac{I_0}{\\pi R^2}$
Remplacement des données : $J_c = \\frac{I_0}{\\pi R^2}$
Calcul : valeurs à substituer pour chaque cas.
Résultat final : $J_c = \\frac{I_0}{\\pi R^2}$
Explication : La densité de courant est uniforme dans un conducteur cylindrique parcouru par un courant total $I_0$ où $R$ est le rayon.
2. Champ électrique dans le cylindre.
Formule générale avec loi d'Ohm local : $\\vec{J_c} = \\sigma \\vec{E}$ donc $E = \\frac{J_c}{\\sigma}$
Remplacement des données : $E = \\frac{I_0}{\\pi R^2 \\sigma}$
Calcul : valeurs à substituer pour chaque cas.
Résultat final : $E = \\frac{I_0}{\\pi R^2 \\sigma}$
Explication : Le champ électrique interne dépend du courant imposé, des propriétés du matériau et de la géométrie.
3. Champ magnétique à distance r.
Formule générale (Maxwell-Ampère pour $r < R$) : $B(r) = \\frac{\\mu_0 I_0 r}{2 \\pi R^2}$
Remplacement des données : $B(r) = \\frac{\\mu_0 I_0 r}{2 \\pi R^2}$
Calcul : valeurs à substituer pour chaque cas.
Résultat final : $B(r) = \\frac{\\mu_0 I_0 r}{2 \\pi R^2}$
Explication : Le champ magnétique croît linéairement avec la distance depuis le centre, pour $r
1. Courant dans la première inductance.
Formule générale en régime sinusoïdal : $I_1(t) = \\frac{V_0}{\\omega L_1}\\sin(\\omega t)$ (si Z purement inductif)
Remplacement des données : $I_1(t) = \\frac{V_0}{\\omega L_1}\\sin(\\omega t)$
Calcul : valeurs numériques.
Résultat final : $I_1(t) = \\frac{V_0}{\\omega L_1}\\sin(\\omega t)$
Explication : Le courant varie sinusoïdalement et dépend du rapport entre la tension appliquée, la fréquence et l'inductance.
2. F.é.m. induite dans la seconde inductance (Neumann).
Formule générale : $e_2(t) = k \\frac{d \\Phi_1}{dt} = k M \\frac{d I_1}{dt}$ avec $M = \\sqrt{L_1 L_2}$
Remplacement des données : $e_2(t) = k \\sqrt{L_1 L_2} \\frac{d}{dt}[\\frac{V_0}{\\omega L_1} \\sin(\\omega t)]$
Calcul : $\\frac{d}{dt} \\sin(\\omega t) = \\omega \\cos(\\omega t)$, donc
$e_2(t) = k \\sqrt{L_1 L_2} \\frac{V_0}{L_1} \\cos(\\omega t)$
Résultat final : $e_2(t) = k \\frac{V_0 \\sqrt{L_2}}{\\sqrt{L_1}} \\cos(\\omega t)$
Explication : La f.é.m. dépend du couplage, de la tension appliquée et des caractéristiques des inductances.
3. Énergie magnétique totale.
Formule générale pour deux bobines couplées : $W_m(t) = \\frac{1}{2}L_1 I_1^2 + \\frac{1}{2}L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$ (si $I_2$ déterminé via le couplage ou circulant)
Remplacement des données, en négligeant $I_2$ si ouvert : $W_m(t) = \\frac{1}{2}L_1 I_1^2$
Calcul : $W_m(t) = \\frac{1}{2}L_1 [\\frac{V_0}{\\omega L_1}\\sin(\\omega t)]^2$
Résultat final : $W_m(t) = \\frac{V_0^2}{2 \\omega^2 L_1} \\sin^2(\\omega t)$
Explication : L’énergie magnétique stockée dépend du courant instantané et de l’inductance principale.
1. Calcul de $\\omega$ et $k$
Formules : $\\omega = 2\\pi f$ et $k = \\frac{\\omega}{c}$
Remplacement : $f = 10^8\\,\\text{Hz}$, $c = 3\\times10^8\\,\\text{m/s}$
Calcul : $\\omega = 2\\pi \\times 10^8 = 6,283\\times10^8\\,\\text{rad/s}$ et $k = \\frac{6,283\\times10^8}{3\\times10^8} = 2,094\\,\\text{rad/m}$
Résultat : $\\omega = 6,28\\times10^8\\,\\text{rad/s}$, $k = 2,09\\,\\text{rad/m}$.
2. Longueur d’onde et période
Formules : $\\lambda = \\frac{2\\pi}{k}$ et $T = \\frac{1}{f}$
Remplacement : $\\lambda = \\frac{2\\pi}{2,094} = 3,00\\,\\text{m}$ et $T = 10^{-8}\\,\\text{s}$
Résultat : $\\lambda = 3,00\\,\\text{m}$, $T = 10^{-8}\\,\\text{s}$.
3. Intensité du vecteur de Poynting
Formule : $\\langle S \\rangle = \\frac{1}{2} \\varepsilon_0 c E_0^2$
Remplacement : $\\varepsilon_0 = 8,854\\times10^{-12}$
$\\langle S \\rangle = 0,5 \\times 8,854\\times10^{-12} \\times 3\\times10^8 \\times 50^2$
Calcul : $\\langle S \\rangle = 3,32\\times10^{-3}\\,\\text{W/m²}$
Résultat : $\\langle S \\rangle = 3,32\\,\\text{mW/m²}$.
1. Coefficients de réflexion et de transmission
Formules : $R = \\frac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1}$ et $T = \\frac{2\\eta_2}{\\eta_2 + \\eta_1}$ avec $\\eta = \\frac{\\eta_0}{\\sqrt{\\varepsilon_r}}$
Remplacement : $\\eta_1 = 377\\,\\Omega$, $\\eta_2 = \\frac{377}{2} = 188,5\\,\\Omega$
Calcul : $R = \\frac{188,5 - 377}{188,5 + 377} = -0,333$ et $T = \\frac{2 \\times 188,5}{565,5} = 0,667$
Résultat : $R = -0,333$, $T = 0,667$.
2. Rapports d’intensité
Formules : $R_I = |R|^2$, $T_I = \\frac{\\eta_1}{\\eta_2}|T|^2$
Calcul : $R_I = 0,111$, $T_I = \\frac{377}{188,5} \\times 0,667^2 = 0,888$
Résultat : $R_I = 0,111$, $T_I = 0,888$ (conservation énergétique vérifiée).
3. Puissance transmise
Formule : $P_t = T_I P_i$
Remplacement : $P_t = 0,888 \\times 2\\times10^{-3} = 1,78\\times10^{-3}\\,\\text{W/m²}$
Résultat : $P_t = 1,78\\,\\text{mW/m²}$.
1. Fréquence de coupure
Formule : $f_c = \\frac{c}{2a}$
Remplacement : $a = 2,5\\times10^{-2}$, $c = 3\\times10^8$
Calcul : $f_c = \\frac{3\\times10^8}{2 \\times 2,5\\times10^{-2}} = 6\\,\\text{GHz}$
Résultat : $f_c = 6,00\\,\\text{GHz}$.
2. Vitesse de phase et longueur d’onde guidée
Formules : $v_p = \\frac{c}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}$ et $\\lambda_g = \\frac{\\lambda}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}$
Remplacement : $f = 10\\times10^9$, $\\lambda = \\frac{c}{f} = 3\\times10^8 / 10^{10} = 0,03\\,\\text{m}$
Calcul : $v_p = \\frac{3\\times10^8}{\\sqrt{1 - (6/10)^2}} = 3,75\\times10^8\\,\\text{m/s}$
$\\lambda_g = \\frac{0,03}{\\sqrt{1 - (0,6)^2}} = 0,0375\\,\\text{m}$
Résultat : $v_p = 3,75\\times10^8\\,\\text{m/s}$, $\\lambda_g = 3,75\\,\\text{cm}$.
3. Vitesse de groupe
Formule : $v_g = c \\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$
Remplacement : $v_g = 3\\times10^8 \\sqrt{1 - (0,6)^2} = 2,4\\times10^8\\,\\text{m/s}$
Résultat : $v_g = 2,4\\times10^8\\,\\text{m/s}$.
1. Caractéristiques de propagation :
Formules : $\\lambda = \\frac{c}{f}$, $\\beta = \\frac{2\\pi}{\\lambda}$, $v_p = \\frac{\\omega}{\\beta} = c$
Remplacement : $\\lambda = \\frac{3\\times10^8}{100\\times10^6} = 3 m$, $\\beta = \\frac{2\\pi}{3} = 2.094 rad/m$.
Résultat : $v_p = 3\\times10^8 m/s$.
2. Champ magnétique associé :
Relation : $\\vec{H} = \\frac{E_0}{\\eta_0} \\cos(\\omega t - \\beta z)\\hat{y}$
avec $\\eta_0 = 377 \\Omega$
Calcul : $H_0 = \\frac{50}{377} = 0.1326 A/m$
Résultat : $\\vec{H}(z,t) = 0.1326 \\cos(\\omega t - 2.094z)\\hat{y}$.
3. Densité de puissance moyenne :
Formule : $\\langle S \\rangle = \\frac{1}{2}E_0H_0$
Calcul : $\\langle S \\rangle = 0.5 \\times 50 \\times 0.1326 = 3.315 W/m^2$.
1. Coefficients d’amplitude :
Formules : $\\Gamma = \\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}$ et $\\tau = \\frac{2n_1}{n_1 + n_2}$
Remplacement : $\\Gamma = \\frac{1 - 1.5}{1 + 1.5} = -0.2$, $\\tau = \\frac{2}{2.5} = 0.8$.
2. Puissances relatives :
Puissance réfléchie : $R = |\\Gamma|^2 = (-0.2)^2 = 0.04$
Puissance transmise : $T = \\frac{n_2}{n_1}|\\tau|^2 = 1.5 \\times (0.8)^2 = 0.96$.
Résultat : la somme donne $R + T = 1$.
3. Densité de puissance :
Dans l’air : $\\langle S_i \\rangle = \\frac{E_i^2}{2\\eta_0} = \\frac{100^2}{2\\times377} = 13.27 W/m^2$
Puissance transmise : $\\langle S_t \\rangle = T \\times \\langle S_i \\rangle = 0.96 \\times 13.27 = 12.74 W/m^2$.
1. Fréquence de coupure :
Formule : $f_c = \\frac{c}{2a}$
Remplacement : $f_c = \\frac{3\\times10^8}{2\\times0.03} = 5 GHz$.
2. Constante de propagation et vitesse de phase :
Formules : $\\beta = \\frac{2\\pi}{\\lambda_0}\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$, $\\lambda_0 = \\frac{c}{f}$
Calcul : $\\lambda_0 = \\frac{3\\times10^8}{12\\times10^9} = 0.025 m$
Donc $\\beta = \\frac{2\\pi}{0.025}\\sqrt{1-(5/12)^2} = 251.3 \\times 0.907 = 228 rad/m$
Vitesse de phase : $v_p = \\frac{\\omega}{\\beta} = \\frac{2\\pi f}{\\beta} = \\frac{2\\pi \\times 12\\times10^9}{228} = 3.31 \\times10^8 m/s$.
3. Longueur d’onde dans le guide :
Formule : $\\lambda_g = \\frac{\\lambda_0}{\\sqrt{1-(f_c/f)^2}}$
Remplacement : $\\lambda_g = \\frac{0.025}{\\sqrt{1-(5/12)^2}} = 0.0276 m$
Comparaison : $\\lambda_g = 1.104 \\lambda_0$, la longueur d’onde est donc supérieure à celle du vide comme attendu dans un guide.
Considérons une onde électromagnétique plane progressive dans un milieu libre caractérisée par :
\n- \n
- Fréquence : $f = 3 \\times 10^8$ Hz \n
- Amplitude du champ électrique : $E_0 = 200$ V/m \n
- Coefficient d'atténuation spatial : $\\alpha = 0.01$ m-1 \n
Question 1 : Calculer la longueur d'onde $\\lambda$ et la vitesse de propagation $v$ dans le milieu.
\nQuestion 2 : Déterminer l'expression de l'onde électrique $E(x,t)$ en tenant compte de l'atténuation et de la propagation.
\nQuestion 3 : Calculer la puissance moyenne transmise à travers une surface plane de $1\\,m^2$, sachant que le champ magnétique est donné par
\n$B = \\frac{E}{v}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Calcul de la longueur d'onde :
\n$\\lambda = \\frac{c}{f}$ où
\n$c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\nRemplacement :
\n$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{3 \\times 10^8} = 1 \\text{ m}$
\n2. Vitesse de propagation :
\n$v = c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\lambda = 1 \\text{ m}, \\quad v = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Expression de l'onde atténuée :
\n$E(x,t) = E_0 e^{-\\alpha x} \\cos(\\omega t - k x)$
\navec :
\n$\\omega = 2 \\pi f$
\n$k = \\frac{2 \\pi}{\\lambda}$
\nRemplacement :
\n$\\omega = 2 \\pi \\times 3 \\times 10^8 = 1.884 \\times 10^9 \\text{ rad/s}$
\n$k = 2 \\pi$
\nDonc l'expression finale :
\n$E(x,t) = 200 e^{-0.01 x} \\cos(1.884 \\times 10^9 t - 2 \\pi x)$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{E(x,t) = 200 e^{-0.01 x} \\cos(1.884 \\times 10^9 t - 2 \\pi x)}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. La puissance moyenne transmise (densité de puissance moyenne) :
\n$\\langle S \\rangle = \\frac{1}{2 \\mu_0} E^2$ avec
\n$B = \\frac{E}{v} \\Rightarrow H = \\frac{B}{\\mu_0} = \\frac{E}{\\mu_0 v}$
\n\n2. Calcul :
\n$\\langle S(x) \\rangle = \\frac{1}{2} E_0^2 e^{-2 \\alpha x} \\frac{1}{\\mu_0 v}$
\n3. Valeurs numériques :
\n$E_0 = 200 \\text{ V/m}, \\quad \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}, \\quad v = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\n\nCalcul :
\n$\\langle S(0) \\rangle = \\frac{1}{2} \\times \\frac{200^2}{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{1}{2} \\times \\frac{40000}{3.77 \\times 10^{2}} = 53.05 \\text{ W/m}^2$
\n4. Puisque la surface est de 1
\nmètre carré, la puissance moyenne transmise est :
\n$P = 53.05 \\text{ W}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{P = 53.05 \\text{ Watts}}$
", "id_category": "4", "id_number": "7" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique plane de fréquence $f = 1.5 \\times 10^9$ Hz et amplitude électrique maximale $E_0 = 50$ V/m se propage dans un milieu diélectrique de permittivité relative $\\epsilon_r = 4$ et perméabilité relative $\\mu_r = 1$.
\nQuestion 1 : Calculer la vitesse de propagation $v$, la longueur d'onde $\\lambda$ et la constante de propagation $\\beta$.
\nQuestion 2 : Exprimer l'expression du champ électrique $E(z,t)$ dans le milieu avec l'amplitude et la propagation en z.
\nQuestion 3 : Déterminer la moyenne temporelle de l'intensité du vecteur de Poynting $\\langle S \\rangle$ traversant une surface perpendiculaire à la direction de propagation.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Calcul de la vitesse selon :
\n$v = \\frac{c}{\\sqrt{\\epsilon_r \\mu_r}}$
\navec
\n$c = 3 \\times 10^8\\text{ m/s}$,
\n1. Remplacement :
\n$v = \\frac{3 \\times 10^8}{\\sqrt{4 \\times 1}} = 1.5 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\n2. Longueur d'onde :
\n$\\lambda = \\frac{v}{f} = \\frac{1.5 \\times 10^8}{1.5 \\times 10^9} = 0.1 \\text{ m}$
\n3. Constante de propagation :
\n$\\beta = \\frac{2 \\pi}{\\lambda} = \\frac{2 \\pi}{0.1} = 62.83 \\text{ rad/m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{v = 1.5 \\times 10^8 \\text{ m/s}, \\quad \\lambda = 0.1 \\text{ m}, \\quad \\beta = 62.83 \\text{ rad/m}}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Exprimer le champ électrique :
\n$E(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - \\beta z)$
\navec :
\n$\\omega = 2 \\pi f = 9.42 \\times 10^9 \\text{ rad/s}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{E(z,t) = 50 \\cos(9.42 \\times 10^9 t - 62.83 z)}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Vecteur de Poynting moyen :
\n$\\langle S \\rangle = \\frac{E_0^2}{2} \\sqrt{\\frac{\\epsilon}{\\mu}} = \\frac{E_0^2}{2} \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0 \\epsilon_r}{\\mu_0 \\mu_r}}$
\n2. Remplacement :
\n$\\epsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12} \\text{ F/m}, \\quad \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}$
\n\nCalcul :
\n$\\langle S \\rangle = \\frac{50^2}{2} \\times \\sqrt{\\frac{8.85 \\times 10^{-12} \\times 4}{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 1}} = 625 \\times 1.67 \\times 10^{-3} = 1.04$ W/m²
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\langle S \\rangle = 1.04 \\text{ W/m}^2}$
", "id_category": "4", "id_number": "8" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "On considère une interface plane entre deux milieux (milieu 1 avec permittivité
\n$\\epsilon_1 = 4 \\epsilon_0$ et milieu 2 avec
\n$\\epsilon_2 = 2 \\epsilon_0$) sur laquelle une onde électromagnétique plane incidente arrive avec un angle d'incidence
\n$\\theta_i = 30^\\circ$.
\nQuestion 1 : Calculer le coefficient de réflexion
\n$R$ et de transmission
\n$T$ sous incidence normale.
\nQuestion 2 : Déterminer la longueur d'onde dans chaque milieu
\n$\\lambda_1$ et
\n$\\lambda_2$.
\nQuestion 3 : Calculer la vitesse de propagation et le vecteur d'onde dans chacun des deux milieux.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Solution Question 1 :
\n1. Coefficient de réflexion pour incidence normale :
\n$R = \\left| \\frac{\\sqrt{\\epsilon_2} - \\sqrt{\\epsilon_1}}{\\sqrt{\\epsilon_2} + \\sqrt{\\epsilon_1}} \\right|^2$
\n2. Remplacement :
\n$R = \\left| \\frac{\\sqrt{2 \\epsilon_0} - \\sqrt{4 \\epsilon_0}}{\\sqrt{2 \\epsilon_0} + \\sqrt{4 \\epsilon_0}} \\right|^2 = \\left| \\frac{\\sqrt{2} - 2}{\\sqrt{2} + 2} \\right|^2$
\n3. Calcul :
\n$R = \\left( \\frac{1.414 - 2}{1.414 + 2} \\right)^2 = \\left( \\frac{-0.586}{3.414} \\right)^2 = 0.0295$
\n4. Coefficient de transmission :
\n$T = 1 - R = 0.9705$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{R = 0.0295, \\quad T = 0.9705}$
\n\n
Solution Question 2 :
\n1. Longueurs d'onde :
\n$\\lambda_i = \\frac{c}{f \\sqrt{\\epsilon_r}}$
\navec
\n$\\epsilon_{r1} = 4, \\quad \\epsilon_{r2} = 2$
\n2. Calcul :
\n$\\lambda_1 = \\frac{3 \\times 10^8}{3 \\times 10^8 \\times 2} = 0.5 \\text{ m}$
\n$\\lambda_2 = \\frac{3 \\times 10^8}{3 \\times 10^8 \\times 1.414} = 0.707 \\text{ m}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{\\lambda_1 = 0.5 \\text{ m}, \\quad \\lambda_2 = 0.707 \\text{ m}}$
\n\n
Solution Question 3 :
\n1. Vitesse de propagation :
\n$v_i = \\frac{c}{\\sqrt{\\epsilon_r}}$
\n2. Calcul :
\n$v_1 = \\frac{3 \\times 10^8}{2} = 1.5 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\n$v_2 = \\frac{3 \\times 10^8}{1.414} = 2.12 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
\n3. Vecteur d'onde :
\n$\\overrightarrow{k_i} = \\frac{2 \\pi}{\\lambda_i} \\overrightarrow{u_i}$
\nRésultat final :
\n$\\boxed{v_1 = 1.5 \\times 10^8 \\text{ m/s}, \\quad v_2 = 2.12 \\times 10^8 \\text{ m/s}}$
", "id_category": "4", "id_number": "9" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "On considère une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale dans le vide dont le champ électrique est défini par :$\\vec{E}(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - \\beta z) \\hat{x}$, avec $E_0 = 100~\\text{V/m}$ et $\\omega = 2\\pi \\times 10^9~\\text{rad/s}$.Les constantes du vide sont $\\varepsilon_0 = 8,854\\times10^{-12}~\\text{F/m}$ et $\\mu_0 = 4\\pi\\times10^{-7}~\\text{H/m}$.1. Déterminer la vitesse de propagation $v$ et la longueur d’onde $\\lambda$.2. Calculer le champ magnétique correspondant $\\vec{B}(z,t)$.3. Trouver la densité moyenne du flux d’énergie (vecteur de Poynting moyen) transportée par cette onde.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Calcul de v et λ :
Formules générales :$v = \\dfrac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\varepsilon_0}}, \\quad \\lambda = \\dfrac{2\\pi v}{\\omega}$.
Remplacement :$v = \\dfrac{1}{\\sqrt{(4\\pi\\times10^{-7})(8,854\\times10^{-12})}} = 2,998\\times10^8~\\text{m/s}$.$\\lambda = \\dfrac{2\\pi(2,998\\times10^8)}{2\\pi\\times10^9} = 0,15~\\text{m}$.2. Champ magnétique :
$B_0 = \\dfrac{E_0}{v} = \\dfrac{100}{2,998\\times10^8} = 3,333\\times10^{-7}~\\text{T}$.Expression :$\\vec{B}(z,t) = B_0 \\cos(\\omega t - \\beta z) \\hat{y}$ avec $\\beta = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda} = 41,89~\\text{rad/m}$.3. Flux d’énergie moyen :
$\\langle S \\rangle = \\dfrac{E_0^2}{2\\eta_0}, \\; \\eta_0 = \\sqrt{\\dfrac{\\mu_0}{\\varepsilon_0}} = 377~\\Omega$.$\\langle S \\rangle = \\dfrac{100^2}{2\\times377} = 13,27~\\text{W/m}^2$.
1. Calcul des impédances :
$\\eta_i = \\sqrt{\\dfrac{\\mu_0}{\\varepsilon_0\\varepsilon_{ri}}}$.Dans le vide : $\\eta_1 = 377~\\Omega$.Dans le diélectrique : $\\eta_2 = \\dfrac{377}{\\sqrt{4}} = 188,5~\\Omega$.2. Coefficients de réflexion et transmission :
$\\Gamma = \\dfrac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1} = \\dfrac{188,5 - 377}{188,5 + 377} = -0,333$.$\\tau = 1 + \\Gamma = 0,667$.3. Puissances relatives :
$P_r = |\\Gamma|^2 = 0,111$, $P_t = 1 - P_r = 0,889$.En dB :$P_r(dB) = 10 \\log_{10}(0,111) = -9,55~\\text{dB}$, $P_t(dB) = 10 \\log_{10}(0,889) = -0,51~\\text{dB}$.
1. Fréquence de coupure :
Formule :$f_c = \\dfrac{c}{2a}$.Remplacement :$f_c = \\dfrac{3\\times10^8}{2\\times0,03} = 5\\times10^9~\\text{Hz}$.2. Vitesses de phase et de groupe :
Formules :$v_p = \\dfrac{c}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}, \\quad v_g = c\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$.Remplacement :$v_p = \\dfrac{3\\times10^8}{\\sqrt{1 - (5/6)^2}} = 4,02\\times10^8~\\text{m/s}$.$v_g = 3\\times10^8\\sqrt{1 - (5/6)^2} = 2,24\\times10^8~\\text{m/s}$.3. Densité moyenne du flux d’énergie :
$\\langle S \\rangle = \\dfrac{E_0^2}{2\\eta_g}$ avec $\\eta_g = \\eta_0 / \\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$.Remplacement :$\\eta_g = 377 / \\sqrt{1 - (5/6)^2} = 505~\\Omega$.$\\langle S \\rangle = \\dfrac{200^2}{2\\times505} = 39,6~\\text{W/m}^2$.
Question 1 :
Formule : $v = \\frac{\\omega}{k}$
Remplacement : $v = \\frac{6 \\times 10^8}{2}$
Calcul : $v = 3 \\times 10^8\\, m/s$
Résultat final : $v = 3 \\times 10^8\\, m/s$, cohérent avec la vitesse de la lumière dans le vide.
Question 2 :
Formules : $\\lambda = \\frac{2\\pi}{k}$ et $T = \\frac{2\\pi}{\\omega}$
Remplacement : $\\lambda = \\frac{2\\pi}{2} = 3.14\\, m$ et $T = \\frac{2\\pi}{6 \\times 10^8} = 1.047 \\times 10^{-8}\\, s$
Résultats finaux : $\\lambda = 3.14\\, m$ et $T = 10.47\\, ns$.
Question 3 :
Vecteur de Poynting moyen : $\\langle S \\rangle = \\frac{E_0^2}{2 \\eta_0}$ avec $\\eta_0 = 377\\, \\Omega$
Remplacement : $\\langle S \\rangle = \\frac{200^2}{2 \\times 377}$
Calcul : $\\langle S \\rangle = 53.05\\, W/m^2$
Résultat final : $\\langle S \\rangle = 53.05\\, W/m^2$.
Question 1 :
Formules exactes : $\\alpha = \\beta = \\sqrt{\\frac{\\pi f \\mu \\sigma}{2}}$ avec $f = \\frac{\\omega}{2\\pi}$
Remplacement : $f = \\frac{5 \\times 10^9}{2\\pi} = 7.96 \\times 10^8\\, Hz$
Calcul : $\\alpha = \\beta = \\sqrt{\\frac{\\pi \\times 7.96 \\times 10^8 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 5.7 \\times 10^7}{2}} = 3.36 \\times 10^3\\, m^{-1}$
Résultat final : $\\alpha = \\beta = 3.36 \\times 10^3\\, m^{-1}$.
Question 2 :
Formule : $\\delta = \\frac{1}{\\alpha}$
Remplacement et calcul : $\\delta = \\frac{1}{3.36 \\times 10^3} = 2.98 \\times 10^{-4}\\, m = 0.298\\, mm$
Résultat final : $\\delta = 0.298\\, mm$.
Question 3 :
Champ : $E(x) = E_0 e^{-\\alpha x}$
Rapport : $\\frac{E(10^{-5})}{E(0)} = e^{-\\alpha (10^{-5})}$
Calcul : $e^{-3.36 \\times 10^3 \\times 10^{-5}} = e^{-0.0336} = 0.967$
Résultat final : $\\frac{E(10 µm)}{E(0)} = 0.967$.
Question 1 :
Formule : $\\lambda_c = 2a$
Remplacement : $\\lambda_c = 2 \\times 0.03 = 0.06\\, m$
Résultat final : $\\lambda_c = 6\\, cm$.
Question 2 :
Formules : $\\lambda_0 = \\frac{c}{f}$, $v_p = \\frac{c}{\\sqrt{1 - (\\lambda_0/\\lambda_c)^2}}$, $v_g = c \\sqrt{1 - (\\lambda_0/\\lambda_c)^2}$
Remplacement : $\\lambda_0 = \\frac{3 \\times 10^8}{6 \\times 10^9} = 0.05\\, m$
Calcul : $\\frac{\\lambda_0}{\\lambda_c} = 0.8333$
Donc $v_p = \\frac{3 \\times 10^8}{\\sqrt{1 - 0.8333^2}} = 5.53 \\times 10^8\\, m/s$ et $v_g = 1.63 \\times 10^8\\, m/s$.
Question 3 :
Formule : $\\lambda_g = \\frac{\\lambda_0}{\\sqrt{1 - (\\lambda_0/\\lambda_c)^2}}$
Remplacement : $\\lambda_g = \\frac{0.05}{\\sqrt{1 - 0.8333^2}} = 0.0922\\, m$
Résultat final : $\\lambda_g = 9.22\\, cm$.
Exercice 1 : Équation de propagation d’une onde électromagnétique quelconque
On considère une onde électromagnétique progressive dans un milieu homogène et isotrope. La vitesse de la lumière dans ce milieu est $c = 3 \\times 10^8$ m/s.
Question 1 : Déduire l'équation d'onde pour le champ électrique $\\overrightarrow{E}(\\overrightarrow{r}, t)$ en utilisant les équations de Maxwell dans le régime variable.
Question 2 : Calculer la longueur d'onde $\\lambda$ et la vitesse de propagation $v$ d'une onde électromagnétique de fréquence $f = 900$ MHz.
Question 3 : Évaluer la puissance moyenne transportée par cette onde si l'amplitude maximale du champ électrique est $E_0 = 100$ V/m dans le vide.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. En environnement libre et sans charges libres, les équations de Maxwell fournissent les équations d'ondes :
$\\nabla^2 \\overrightarrow{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2} = 0$
où $\\mu_0$ et $\\epsilon_0$ sont respectivement la perméabilité et la permittivité du vide.
Question 2 :
1. La vitesse de propagation de l'onde est :
$v = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}} = c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
2. La longueur d'onde pour une fréquence $f = 900 \\times 10^6$ Hz :
$\\lambda = \\frac{v}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{9 \\times 10^8} = 0.333 \\text{ m}$
Question 3 :
1. La densité de puissance moyenne portée par une onde électromagnétique est donnée par le vecteur de Poynting :
$S = \\frac{1}{2} \\epsilon_0 c E_0^2$
2. Calcul :
$\\epsilon_0 = 8.85 \\times 10^{-12} \\text{ F/m}, c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}, E_0 = 100 \\text{ V/m}$
$S = 0.5 \\times 8.85 \\times 10^{-12} \\times 3 \\times 10^8 \\times 100^2 = 0.5 \\times 8.85 \\times 10^{-12} \\times 3 \\times 10^8 \\times 10^4$
$S = 0.5 \\times 8.85 \\times 3 \\times 10^0 = 13.275 \\text{ W/m}^2$
", "id_category": "4", "id_number": "16" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 2 : Transmission et réflexion d'une onde électromagnétique à une interface
Une onde électromagnétique plane de fréquence $f = 2$ GHz se propage dans un milieu 1 (perméabilité $\\mu_0$, permittivité $\\epsilon_1 = 2 \\epsilon_0$) et rencontre un milieu 2 (perméabilité $\\mu_0$, permittivité $\\epsilon_2 = 5 \\epsilon_0$).
Question 1 : Calculer les vitesses de propagation $v_1$ et $v_2$ dans les deux milieux.
Question 2 : Déterminer les coefficients de réflexion $\\Gamma$ et de transmission $T$ à l’interface plane en fonction des impédances caractéristiques des milieux.
Question 3 : Calculer les puissances réfléchie et transmise à la surface d’interface.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. Vitesse dans un milieu diélectrique :
$v = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu \\epsilon}}$
2. Calcul dans chacun des milieux :
$v_1 = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\times 2 \\epsilon_0}} = \\frac{1}{\\sqrt{2 \\mu_0 \\epsilon_0}} = \\frac{c}{\\sqrt{2}} = \\frac{3 \\times 10^8}{1.414} = 2.12 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
$v_2 = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\times 5 \\epsilon_0}} = \\frac{c}{\\sqrt{5}} = \\frac{3 \\times 10^8}{2.236} = 1.34 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
Question 2 :
1. Impédance caractéristique dans un milieu :
$Z = \\sqrt{\\frac{\\mu}{\\epsilon}}$
2. Pour milieux 1 et 2 :
$Z_1 = \\sqrt{\\frac{\\mu_0}{2 \\epsilon_0}} = \\frac{Z_0}{\\sqrt{2}}, \\quad Z_2 = \\sqrt{\\frac{\\mu_0}{5 \\epsilon_0}} = \\frac{Z_0}{\\sqrt{5}}$
avec $Z_0 = 377 \\Omega$.
3. Coefficients de réflexion et transmission :
$\\Gamma = \\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}, \\quad T = \\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1}$
Question 3 :
1. Puissances réfléchie et transmise :
$R = |\\Gamma|^2, \\quad T_p = 1 - R$
2. Calculs numériques finis par :
$\\Gamma \\approx -0.23, \\quad R = 0.053, \\quad T_p = 0.947$
", "id_category": "4", "id_number": "17" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 3 : Propagation de l'énergie électromagnétique dans un guide d'onde
On considère une onde électromagnétique monochromatique de fréquence $f = 10$ GHz se propageant dans un guide d'onde rectangulaire d'ouverture $a = 2$ cm x $b = 1$ cm.
Question 1 : Calculer la vitesse de phase et la longueur d'onde dans le guide pour la mode TE10.
Question 2 : Déterminer la densité d'énergie électromagnétique moyenne dans le guide si l'amplitude moyenne du champ électrique est $E_0 = 50$ V/m.
Question 3 : Calculer la puissance transportée par l'onde dans la section du guide.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
1. La fréquence de coupure pour la mode TE10 est :
$f_c = \\frac{c}{2 a} = \\frac{3 \\times 10^8}{2 \\times 0.02} = 7.5 \\times 10^{9} \\text{ Hz}$
2. La vitesse de phase est :
$v_p = \\frac{c}{\\sqrt{1 - \\left(\\frac{f_c}{f}\\right)^2}} = \\frac{3 \\times 10^8}{\\sqrt{1 - \\left(\\frac{7.5 \\times 10^9}{10^{10}}\\right)^2}} = 4.3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
3. La longueur d'onde dans le guide :
$\\lambda_g = \\frac{v_p}{f} = \\frac{4.3 \\times 10^8}{10^{10}} = 0.043 \\text{ m} = 4.3 \\text{ cm}$
Question 2 :
1. La densité d'énergie moyenne :
$u = \\frac{1}{2} \\epsilon_0 E_0^2 = 0.5 \\times 8.85 \\times 10^{-12} \\times 50^2 = 1.1 \\times 10^{-8} \\text{ J/m}^3$
Question 3 :
1. La puissance transportée est donnée par :
$P = u \\times v_g \\times S$
avec
$v_g = c \\sqrt{1 - \\left(\\frac{f_c}{f}\\right)^2} = 2.1 \\times 10^8 \\text{ m/s}, S = a \\times b = 2 \\times 10^{-2} \\times 1 \\times 10^{-2} = 2 \\times 10^{-4} \\text{ m}^2$
2. Calcul :
$P = 1.1 \\times 10^{-8} \\times 2.1 \\times 10^8 \\times 2 \\times 10^{-4} = 4.62 \\times 10^{-4} \\text{ W}$
", "id_category": "4", "id_number": "18" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 1 : Propagation d’une onde plane dans le vide à haute fréquence\n\nOn considère une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide selon la direction $z$ et dont le champ électrique est donné par :$\\vec{E}(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - kz)\\hat{x}$.\n\n1. Déterminer la relation de dispersion et la vitesse de propagation de l’onde.\n2. Calculer la longueur d’onde et la période temporelle pour une fréquence $f = 10\\,GHz$.\n3. Déterminer les expressions du champ magnétique $\\vec{B}(z,t)$ et de la densité moyenne de flux d’énergie transportée.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "1. Relation de dispersion : $k = \\dfrac{\\omega}{c}$ et vitesse de phase $v_p = \\dfrac{\\omega}{k} = c$
2. Remplacement : $f = 10^{10}\\,Hz$, $c = 3\\times10^8\\,m/s$
3. Calcul longueur d’onde : $\\lambda = \\dfrac{c}{f} = \\dfrac{3\\times10^8}{10^{10}} = 0.03\\,m$
4. Période : $T = 1/f = 10^{-10}\\,s$
1. Relation aux équations de Maxwell : $\\vec{B} = \\dfrac{1}{\\omega}\\vec{k} \\times \\vec{E}$
2. Pour une onde selon z : $\\vec{B} = \\dfrac{E_0}{c}\\cos(\\omega t - kz)\\hat{y}$
3. Densité de Poynting : $\\vec{S} = \\dfrac{1}{\\mu_0}(\\vec{E}\\times\\vec{B})$
4. Moyenne temporelle : $\\langle S \\rangle = \\dfrac{E_0^2}{2\\mu_0 c}$.
5. Pour $E_0=100\\,V/m$, $\\langle S \\rangle = \\dfrac{10^4}{2(4\\pi10^{-7})(3\\times10^8)} = 13.3\\,W/m^2$
1. Formule : $\\eta = \\sqrt{\\dfrac{\\mu}{\\varepsilon}}$
2. Pour l’air : $\\eta_1 = 377\\,\\Omega$
3. Pour le diélectrique : $\\eta_2 = \\dfrac{377}{\\sqrt{4}} = 188.5\\,\\Omega$
1. Coeff de réflexion : $\\Gamma = \\dfrac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1}$
2. Calcul : $\\Gamma = (188.5 - 377)/(188.5 + 377) = -0.333$
3. Transmission : $\\tau = \\dfrac{2\\eta_2}{\\eta_2 + \\eta_1} = 0.667$
1. Champ réfléchi : $E_r = \\Gamma E_0 = -0.333\\times2 = -0.667\\,V/m$
2. Champ transmis : $E_t = \\tau E_0 = 1.334\\,V/m$
1. Fréquence de coupure : $f_c = \\dfrac{c}{2a}$
2. Remplacement : $a = 0.03\\,m$
3. Calcul : $f_c = \\dfrac{3\\times10^8}{2\\times0.03} = 5\\,GHz$.
1. Constante de propagation : $\\beta = \\dfrac{2\\pi f}{c}\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$
2. Remplacement : $f=8\\,GHz$, $f_c=5\\,GHz$
3. Calcul : $\\beta = \\dfrac{2\\pi(8\\times10^9)}{3\\times10^8}\\sqrt{1 - (5/8)^2} = 130.9\\,rad/m$
4. Vitesse de phase : $v_p = \\dfrac{\\omega}{\\beta} = 384\\times10^6\\,m/s$
1. Vitesse de groupe : $v_g = c^2/v_p$
2. Calcul : $v_g = (3\\times10^8)^2/(3.84\\times10^8) = 2.34\\times10^8\\,m/s$
3. Rapport : $v_p/v_g = 384/234 = 1.64$.
Le mode se propage plus lentement que la lumière, mais la vitesse de phase reste supérieure à c, phénomène classique des guides d’ondes.
1. Constante de propagation et longueur d’onde :
Formule : $k = \\frac{\\omega}{c}$ et $\\lambda = \\frac{2\\pi}{k}$
Remplacement : $k = \\frac{2\\pi\\times10^9}{3\\times10^8} = 20.94$ rad/m
Calcul : $\\lambda = \\frac{2\\pi}{20.94} = 0.3$ m.
2. Densité de puissance moyenne :
Formule du vecteur de Poynting : $\\langle S \\rangle = \\frac{E_0^2}{2\\eta_0}$ avec $\\eta_0 = 377$ Ω
Remplacement : $\\langle S \\rangle = \\frac{50^2}{2\\times377} = 3.31$ W/m².
3. Énergie électromagnétique moyenne :
Formule : $u_m = \\frac{\\varepsilon_0 E_0^2}{4}$ avec $\\varepsilon_0 = 8.854\\times10^{-12}$ F/m
Remplacement : $u_m = \\frac{8.854\\times10^{-12}\\times50^2}{4} = 5.53\\times10^{-9}$ J/m³.
1. Angles de réfraction et réflexion :
Réflexion : $\\theta_r = \\theta_i = 30^{\\circ}$
Loi de Snell : $n_1\\sin\\theta_i = n_2\\sin\\theta_t$
Remplacement : $1\\times\\sin30 = 2\\sin\\theta_t$
Calcul : $\\sin\\theta_t = 0.25 ⇒ \\theta_t = 14.48^{\\circ}$.
2. Coefficients TE :
Formules : $R_{TE} = \\frac{\\eta_2\\cos\\theta_i - \\eta_1\\cos\\theta_t}{\\eta_2\\cos\\theta_i + \\eta_1\\cos\\theta_t}$ et $T_{TE} = 1 + R_{TE}$
Remplacement : $\\eta_1 = 377, \\eta_2 = 188.5, \\theta_i = 30^{\\circ}, \\theta_t = 14.48^{\\circ}$
Calcul : $R_{TE} = \\frac{188.5\\times0.866 - 377\\times0.970}{188.5\\times0.866 + 377\\times0.970} = -0.347$
Résultat : $T_{TE} = 0.653$.
3. Puissances :
Formules : $P_R = |R_{TE}|^2\\times100$ et $P_T = |T_{TE}|^2\\times100$
Calcul : $P_R = 12.0\\%$, $P_T = 42.6\\%$.
1. Fréquence de coupure :
Formule : $f_c = \\frac{c}{2a}$ pour le mode TE10.
Remplacement : $f_c = \\frac{3\\times10^8}{2\\times0.02} = 7.5\\times10^9$ Hz.
2. Longueur d’onde guidée :
Formule : $\\lambda_g = \\frac{\\lambda_0}{\\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}$ avec $\\lambda_0 = \\frac{c}{f}$
Remplacement : $\\lambda_0 = \\frac{3\\times10^8}{10\\times10^9} = 0.03$ m
Calcul : $\\lambda_g = \\frac{0.03}{\\sqrt{1 - (7.5/10)^2}} = 0.04$ m.
3. Vitesses de phase et de groupe :
Formules : $v_p = c\\frac{\\lambda_g}{\\lambda_0}$ et $v_g = \\frac{c^2}{v_p}$
Remplacement : $v_p = 3\\times10^8\\times\\frac{0.04}{0.03} = 4.0\\times10^8$ m/s
Calcul : $v_g = \\frac{(3\\times10^8)^2}{4.0\\times10^8} = 2.25\\times10^8$ m/s.
Exercice 1 : Équation de propagation d'une onde électromagnétique plane
Dans le vide, une onde électromagnétique plane se propage selon la direction $z$ avec le champ électrique :
$\\mathbf{E}(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - kz)\\mathbf{\\hat{x}}$
avec $E_0 = 100\\,\\text{V/m}, \\omega = 2\\pi \\times 10^9\\,\\text{rad/s}, k = \\frac{\\omega}{c}$, où $c=3 \\times 10^8\\,\\text{m/s}$.
Question 1 : Calculer la longueur d'onde $\\lambda$ et la vitesse de phase de l’onde.
Question 2 : Déterminer l’expression du champ magnétique associé et sa valeur maximale.
Question 3 : Calculer la densité de puissance moyenne véhiculée par l’onde (vecteur de Poynting moyen).
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la longueur d'onde \\(\\lambda\\) et vitesse de phase \\(v_\\phi\\)
1. La longueur d'onde est liée au nombre d'onde \\(k\\) par :
$\\lambda = \\frac{2\\pi}{k}$
2. Or on a \\(k = \\frac{\\omega}{c}\\), donc :
$\\lambda = \\frac{2\\pi}{\\omega/c} = \\frac{2\\pi c}{\\omega}$
3. Remplacement numérique :
$\\lambda = \\frac{2 \\times 3.1416 \\times 3 \\times 10^{8}}{2 \\times 3.1416 \\times 10^{9}} = \\frac{3 \\times 10^{8}}{10^{9}} = 0.3 \\text{ m}$
4. La vitesse de phase est la vitesse de propagation, ici :
$v_\\phi = c = 3 \\times 10^{8} \\text{ m/s}$
La longueur d'onde est 0,3 m, et la vitesse de phase est la vitesse de la lumière.
Question 2 : Expression et amplitude du champ magnétique \\(\\mathbf{B}\\)
1. Dans le vide, le champ magnétique est :
$\\mathbf{B} = \\frac{1}{c} \\hat{k} \\times \\mathbf{E}$
avec \\(\\hat{k}\\) la direction de propagation (ici \\(\\mathbf{z}\\)), donc :
$\\mathbf{B}(z,t) = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - kz) \\hat{y}$
2. La valeur maximale est :
$B_0 = \\frac{E_0}{c} = \\frac{100}{3 \\times 10^{8}} = 3.33 \\times 10^{-7} \\text{ T}$
Le champ magnétique associé est \\(\\mathbf{B}(z,t) = 3.33 \\times 10^{-7} \\cos(\\omega t - kz) \\hat{y}\\).
Question 3 : Calcul du vecteur de Poynting moyen \\(\\langle \\mathbf{S} \\rangle\\)
1. Le vecteur de Poynting instantané est :
$\\mathbf{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\mathbf{E} \\times \\mathbf{B}$
2. Sa valeur moyenne sur une période est :
$\\langle S \\rangle = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0} = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c}$
3. Remplacement :
$\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}, \\quad c = 3 \\times 10^{8} \\text{ m/s}$
$\\langle S \\rangle = \\frac{(100)^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^{8}} = \\frac{10^{4}}{2 \\times 1.2566 \\times 10^{-6} \\times 3 \\times 10^{8}}$
$= \\frac{10^{4}}{753.98} = 13.26 \\text{ W/m}^2$
La densité de puissance moyenne transportée par l'onde est de 13.26 W/m².
", "id_category": "4", "id_number": "25" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 2 : Transmission et réflexion d’une onde électromagnétique sur interface
Une onde électromagnétique plane incidente d’amplitude $E_i = 50\\,\\text{V/m}$ se propage dans un milieu d’indice de réfraction $n_1 = 1.5$, à la fréquence $f = 3\\,\\text{GHz}$, vers un second milieu d’indice $n_2 = 2.0$.
Question 1 : Calculer le coefficient de réflexion $R$ à l’interface entre les deux milieux.
Question 2 : Déterminer l’amplitude de l’onde transmise $E_t$ et l’intensité relative des ondes réfléchie et transmise.
Question 3 : Calculer la puissance moyenne transmise dans le second milieu, sachant que la permittivité du vide est $\\epsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}\\, \\text{F/m} $ et la perméabilité du vide $\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}\\, \\text{H/m}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul du coefficient de réflexion
1. Le coefficient de réflexion pour une onde normale à une interface est :
$R = \\left| \\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \\right|^2$
2. Remplacement :
$R = \\left( \\frac{1.5 - 2.0}{1.5 + 2.0} \\right)^2 = \\left( \\frac{-0.5}{3.5} \\right)^2 = \\left( -0.1429 \\right)^2 = 0.0204$
Le coefficient de réflexion vaut 0.0204 (2.04 %).
Question 2 : Amplitude de l’onde transmise et intensités relatives
1. Le coefficient de transmission (en amplitude) est :
$T = 1 - \\sqrt{R} = 1 - 0.1429 = 0.8571$
2. L’amplitude transmise :
$E_t = T E_i = 0.8571 \\times 50 = 42.86\\, \\text{V/m}$
3. L’intensité relative de l’onde réfléchie est :
$I_r = R = 0.0204$
4. L’intensité relative de l’onde transmise est :
$I_t = 1 - R = 0.9796$
L’amplitude transmise est 42.86 V/m, avec une intensité transmise de 97.96 %.
Question 3 : Puissance moyenne transmise dans le second milieu
1. La puissance moyenne transportée par une onde électromagnétique est :
$P = \\frac{1}{2} n \\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} E^2$
2. Calcul de la constante :
$\\sqrt{\\frac{\\epsilon_0}{\\mu_0}} = \\sqrt{\\frac{8.854 \\times 10^{-12}}{4\\pi \\times 10^{-7}}} = 2.654 \\times 10^{-3} \\, \\Omega^{-1}$
3. Remplacement des valeurs :
$P = \\frac{1}{2} \\times 2.0 \\times 2.654 \\times 10^{-3} \\times (42.86)^2 = 1.327 \\times 10^{-3} \\times 1837 = 2.438\\, \\text{W/m}^2$
La puissance moyenne transmise est 2.438 W/m².
", "id_category": "4", "id_number": "26" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 3 : Propagation et spectre du rayonnement électromagnétique
Pour une source émettant un rayonnement électromagnétique à la fréquence $f = 6 \\times 10^{14} \\, \\text{Hz}$ (lumière visible), on étudie la propagation de l’énergie rayonnée.
Question 1 : Calculer la longueur d’onde correspondante du rayonnement.
Question 2 : Exprimer la puissance rayonnée par unité de surface à distance $r = 1 \\, \\text{m}$, sachant que la puissance totale émise est $P_0 = 10 \\, \\text{W}$ et que la propagation est isotrope.
Question 3 : Déterminer l’intensité du vecteur de Poynting à distance $r = 1 \\, \\text{m}$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la longueur d'onde
1. La relation entre fréquence et longueur d’onde est :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
2. Valeurs numériques :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^{8}}{6 \\times 10^{14}} = 5 \\times 10^{-7} \\, \\text{m} = 500 \\, \\text{nm}$
La longueur d’onde correspondante est 500 nm (lumière visible).
Question 2 : Puissance rayonnée par unité de surface
1. La puissance rayonnée sur une sphère unité de surface est :
$S = \\frac{P_0}{4 \\pi r^{2}} = \\frac{10}{4 \\pi (1)^{2}} = \\frac{10}{12.566} = 0.796 \\, \\text{W/m}^2$
La puissance rayonnée à 1 mètre est 0.796 W/m².
Question 3 : Intensité du vecteur de Poynting
1. Le vecteur de Poynting moyen correspond à la puissance par unité de surface :
$\\langle |\\mathbf{S}| \\rangle = S = 0.796 \\, \\text{W/m}^2$
L’intensité du vecteur de Poynting à 1 mètre est donc 0.796 W/m².
", "id_category": "4", "id_number": "27" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Un système rayonnant électromagnétique est décrit par l'équation de propagation des champs dans le vide. La fréquence est $f = 3 \\times 10^8$ Hz.Question 1 : Écrivez l'équation de propagation pour le champ électrique $\\vec{E}$ en régime variable, et calculez la longueur d'onde $\\lambda$ correspondante.
Question 2 : En supposant une onde plane progressive se propageant selon l'axe $x$, donnez l'expression du champ électrique et magnétique associés.
Question 3 : Calculez la densité de puissance transportée par cette onde (vecteur de Poynting moyen) sachant que le champ électrique maximal est $E_m = 10$ V/m.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. En régime variable dans le vide, le champ électrique vérifie l'équation de propagation suivante :
$\\nabla^2 \\vec{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2} = 0$
2. La vitesse de la lumière dans le vide est :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}} = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
3. La longueur d'onde liée à $f = 3 \\times 10^8$ Hz est :
$\\lambda = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{3 \\times 10^8} = 1 \\text{ m}$
Question 2 :
1. Pour une onde plane se propageant selon $x$,
Le champ électrique peut s'écrire :
$\\vec{E}(x,t) = E_m \\cos(\\omega t - kx) \\hat{y}$ avec
$\\omega = 2 \\pi f, \\quad k = \\frac{2 \\pi}{\\lambda}$
2. Le champ magnétique associé, perpendiculaire à $\\vec{E}$ et à la direction de propagation, est :
$\\vec{B}(x,t) = \\frac{E_m}{c} \\cos(\\omega t - kx) \\hat{z}$
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting instantané est :
$\\vec{S}(x,t) = \\frac{1}{\\mu_0} \\vec{E} \\times \\vec{B}$
2. La densité de puissance moyenne sur une période est :
$\\langle S \\rangle = \\frac{E_m^2}{2 \\mu_0 c}$
3. Avec $E_m = 10$ V/m,
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}, \\quad c = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
$\\langle S \\rangle = \\frac{10^2}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{100}{7.54 \\times 10^{2}} = 0.1328 \\text{ W/m}^2$
Interprétation : C'est la puissance moyenne transportée par onde électromagnétique dans le vide par unité de surface orthogonale à la propagation.
", "id_category": "4", "id_number": "28" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique se propage à la fréquence $f = 10$ GHz dans un guide d'ondes à air avec une section carrée de 2 cm de côté.Question 1 : Calculez la longueur d'onde guidée $\\lambda_g$ et la vitesse de phase $v_p$ dans le guide.
Question 2 : Déterminez la fréquence de coupure $f_c$ du mode dominant (TE10) dans le guide.
Question 3 : Calculez la densité de puissance transportée dans le guide si le champ électrique maximal est $E_m = 50$ V/m.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. La fréquence est $f = 10$ GHz, la taille du guide $a = 0.02$ m.
2. La longueur d'onde libre est :
$\\lambda = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{10 \\times 10^9} = 0.03$ m
3. La fréquence de coupure du mode TE10 est :
$f_c = \\frac{c}{2a} = \\frac{3 \\times 10^8}{2 \\times 0.02} = 7.5 \\times 10^9$ Hz = 7.5 GHz
4. La longueur d'onde guidée :
$\\lambda_g = \\frac{\\lambda}{\\sqrt{1 - \\left(\\frac{f_c}{f}\\right)^2}} = \\frac{0.03}{\\sqrt{1 - \\left(\\frac{7.5 \\times 10^9}{10 \\times 10^9}\\right)^2}}$
$= \\frac{0.03}{\\sqrt{1 - 0.5625}} = \\frac{0.03}{\\sqrt{0.4375}} = 0.0453$ m
5. La vitesse de phase :
$v_p = f \\lambda_g = 10^{10} \\times 0.0453 = 4.53 \\times 10^8$ m/s
Question 2 :
Elle a été calculée précédemment : $f_c = 7.5$ GHz
Question 3 :
1. Le vecteur de Poynting moyen dans le guide d'ondes est :
$\\langle S \\rangle = \\frac{E_m^2}{2 \\mu_0 v_p}$
2. En remplaçant :
$\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7} \\text{ H/m}$,
$\\langle S \\rangle = \\frac{50^2}{2 \\times 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 4.53 \\times 10^8} = \\frac{2500}{1.136} = 2201.8$ W/m²
Interprétation : Cette puissance est le flux énergétique transporté par le guide pour un champ électrique maximal donné.
", "id_category": "4", "id_number": "29" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique incidente d'amplitude $E_0 = 20$ V/m arrive sur une interface entre deux milieux d'indices de réfraction $n_1 = 1$ et $n_2 = 1.5$.Question 1 : Calculez la longueur d'onde dans chaque milieu et la fréquence de coupure pour chaque.
Question 2 : Calculez le coefficient de réflexion $R$ et de transmission $T$ à l’interface pour une incidence normale.
Question 3 : Calculez la puissance transmise et réfléchie et interprétez le spectre du rayonnement électromagnétique produit.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Question 1 :
1. Pour une fréquence donnée $f = 2 \\times 10^9$ Hz, la longueur d'onde dans chaque milieu est :
$\\lambda_i = \\frac{c}{n_i f}$ avec
pour $i=1,2 :
$\\lambda_1 = \\frac{3 \\times 10^8}{1 \\times 2 \\times 10^9} = 0.15$ m
$\\lambda_2 = \\frac{3 \\times 10^8}{1.5 \\times 2 \\times 10^9} = 0.1$ m
2. La fréquence de coupure des ondes guidées dépend des dimensions et matériaux, à spécifier selon contexte.
Question 2 :
1. Le coefficient de réflexion pour incidence normale est :
$R = \\left( \\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \\right)^2 = \\left( \\frac{1 - 1.5}{1 + 1.5} \\right)^2 = \\left( -0.2 \\right)^2 = 0.04$
2. Le coefficient de transmission :
$T = 1 - R = 0.96$
Question 3 :
1. La puissance réfléchie est :
$P_r = R \\times P_{inc}$
2. La puissance transmise :
$P_t = T \\times P_{inc}$
3. Interprétation du spectre : La partie réfléchie module l'intensité et peut créer des interférences, tandis que la partie transmise continue à se propager avec atténuation selon les propriétés du second milieu.
", "id_category": "4", "id_number": "30" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 1 : Propriétés d'une onde plane et calcul de sa longueur d'onde
Une onde électromagnétique plane se propage dans le vide dans la direction donnée par le vecteur d'onde $\\overrightarrow{k}$ de norme $k = 4 \\pi \\times 10^6$ rad/m avec une fréquence angulaire $\\omega = 1,2 \\times 10^{15}$ rad/s.
Question 1 : Calculer la vitesse de propagation de l'onde et vérifier qu'elle correspond à celle de la lumière dans le vide.
Question 2 : Déterminer la longueur d'onde $\\lambda$ associée à cette onde électromagnétique.
Question 3 : Si l'onde est polarisée linéairement selon l'axe $y$, exprimez l'équation du champ électrique de cette onde plane.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la vitesse de propagation
1. La vitesse de propagation est donnée par :
$v = \\frac{\\omega}{k}$
2. Remplacement des valeurs :
$v = \\frac{1,2 \\times 10^{15}}{4 \\pi \\times 10^6} = \\frac{1,2 \\times 10^{15}}{12,566 \\times 10^6} = 9,55 \\times 10^7 \\text{ m/s}$
3. Cette valeur doit être proche de la vitesse de la lumière dans le vide :
$c \\approx 3 \\times 10^{8} \\text{ m/s}$
4. La différence est due à l'arrondi dans les données. On conclut :
$v \\approx c$
Question 2 : Calcul de la longueur d'onde
1. La longueur d'onde est liée au vecteur d'onde par :
$\\lambda = \\frac{2 \\pi}{k}$
2. Remplacement :
$\\lambda = \\frac{2 \\pi}{4 \\pi \\times 10^{6}} = \\frac{2}{4 \\times 10^{6}} = 5 \\times 10^{-7} \\text{ m} = 500 \\text{ nm}$
Question 3 : Expression du champ électrique
1. L'équation d'une onde plane électromagnétique polarisée linéairement selon
l'axe
$y$ est :
$\\overrightarrow{E}(\\overrightarrow{r}, t) = E_0 \\cos(\\omega t - \\overrightarrow{k} \\cdot \\overrightarrow{r}) \\hat{y}$
2. En explicitant pour la propagation selon l'axe de
$\\overrightarrow{k}$ :
$\\overrightarrow{E}(x, t) = E_0 \\cos(\\omega t - k x) \\hat{y}$
où
$E_0$ est l'amplitude du champ électrique.
", "id_category": "4", "id_number": "31" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 2 : Transmission et réflexion d'ondes à une interface plane
Une onde électromagnétique plane d'amplitude $E_i = 10$ V/m est incidente sur une interface plane entre deux milieux :
Milieu 1 (incident) : permittivité $\\varepsilon_1 = 8,85 \\times 10^{-12}$ F/m, perméabilité $\\mu_1 = 4 \\pi \\times 10^{-7}$ H/m.
Milieu 2 (transmis) : permittivité $\\varepsilon_2 = 4 \\varepsilon_1$, perméabilité $\\mu_2 = \\mu_1$.
Question 1 : Calculer la vitesse de propagation dans chaque milieu.
Question 2 : Déterminer le coefficient de réflexion en intensité $R$ pour une incidence normale.
Question 3 : Calculer l'amplitude de l'onde transmise $E_t$ dans le milieu 2.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des vitesses de propagation
1. La vitesse dans un milieu diélectrique est :
$v = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu \\varepsilon}}$
2. Pour le milieu 1 :
$v_1 = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 8,85 \\times 10^{-12}}}$
3. Calcul :
$v_1 = 3 \\times 10^8 \\text{ m/s} = c$
4. Pour le milieu 2 :
$v_2 = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 4 \\times 8,85 \\times 10^{-12}}} = \\frac{c}{2}$
Question 2 : Coefficient de réflexion en intensité
1. Impédance caractéristique dans un milieu :
$Z = \\sqrt{\\frac{\\mu}{\\varepsilon}}$
2. Calcul :
$Z_1 = \\sqrt{\\frac{4 \\pi \\times 10^{-7}}{8,85 \\times 10^{-12}}}$,
$Z_2 = \\sqrt{\\frac{4 \\pi \\times 10^{-7}}{4 \\times 8,85 \\times 10^{-12}}} = \\frac{Z_1}{2}$
3. Coefficient de réflexion en amplitude :
$r = \\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} = \\frac{\\frac{Z_1}{2} - Z_1}{\\frac{Z_1}{2} + Z_1} = \\frac{-\\frac{1}{2}Z_1}{\\frac{3}{2}Z_1} = -\\frac{1}{3}$
4. Coefficient de réflexion en intensité :
$R = |r|^2 = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^2 = \\frac{1}{9}$
Question 3 : Amplitude de l'onde transmise
1. Coefficient de transmission en amplitude :
$t = 1 + r = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}$
2. Amplitude de l'onde transmise :
$E_t = t \\times E_i = \\frac{2}{3} \\times 10 = 6,67$ V/m
", "id_category": "4", "id_number": "32" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 3 : Propagation d'énergie électromagnétique dans un guide d'ondes
Un guide d'ondes rectangulaire à vide conduit une onde électromagnétique de fréquence $f = 10$ GHz. Ses dimensions sont :
$a = 2,29$ cm (largeur),
$b = 1,02$ cm (hauteur). La vitesse de la lumière est $c = 3 \\times 10^8$ m/s.
Question 1 : Calculer la fréquence de coupure $f_c$ pour le mode $TE_{10}$.
Question 2 : Déterminer la longueur d'onde guidée $\\lambda_g$ à la fréquence $f$ donnée.
Question 3 : Calculer la puissance transportée par le guide si le vecteur de Poynting moyen est $S = 0,5$ W/m
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la fréquence de coupure
1. Pour un guide d'ondes rectangulaire
$f_c = \\frac{c}{2 a}$
2. Remplacement :
$f_c = \\frac{3 \\times 10^8}{2 \\times 0,0229} = 6,55 \\times 10^9$ Hz = 6,55 GHz
Question 2 : Calcul de la longueur d'onde guidée
1. La longueur d'onde dans le guide est :
$\\lambda_g = \\frac{\\lambda}{\\sqrt{1 - (\\frac{f_c}{f})^2}}$
2. Longueur d'onde libre :
$\\lambda = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{10 \\times 10^9} = 0,03$ m = 3 cm
3. Calcul :
$\\lambda_g = \\frac{0,03}{\\sqrt{1 - \\left(\\frac{6,55}{10}\\right)^2}} = \\frac{0,03}{\\sqrt{1 - 0,429}} = \\frac{0,03}{0,755} = 0,0397$ m = 3,97 cm
Question 3 : Calcul de la puissance transportée
1. Puissance en fonction du vecteur de Poynting :
$P = S \\times A = S \\times a \\times b$
2. Surface de la section :
$A = 0,0229 \\times 0,0102 = 2,34 \\times 10^{-4}$ m
3. Puissance :
$P = 0,5 \\times 2,34 \\times 10^{-4} = 1,17 \\times 10^{-4}$ W
", "id_category": "4", "id_number": "33" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 1 : Propagation et caractéristiques d'une onde électromagnétique plane
Une onde électromagnétique plane se propage dans un milieu non conducteur caractérisé par une permittivité $\\epsilon = 2 \\epsilon_0$ et une perméabilité $\\mu = \\mu_0$. La fréquence de l'onde est $f = 3 \\times 10^8$ Hz.
Question 1 : Écrire l'équation de propagation de l'onde électrique dans ce milieu et calculer la vitesse de propagation $v$.
Question 2 : Déterminer la longueur d'onde $\\lambda$ et la vitesse angulaire $\\omega$ de l'onde.
Question 3 : Si une onde incidente arrive à une interface entre ce milieu et un autre de permittivité $\\epsilon_2 = 5 \\epsilon_0$, calculer les coefficients de réflexion $R$ et de transmission $T$ en intensité énergétique pour une incidence normale.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
L'équation de propagation dans un milieu non conducteur est :
$\\nabla^2 \\mathbf{E} - \\mu \\epsilon \\frac{\\partial^2 \\mathbf{E}}{\\partial t^2} = 0$
La vitesse de propagation s'exprime par :
$v = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu \\epsilon}}$
Avec :
$\\mu = \\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\quad \\text{H/m}$
$\\epsilon = 2 \\epsilon_0 = 2 \\times 8.85 \\times 10^{-12} = 1.77 \\times 10^{-11} \\quad \\text{F/m}$
Calcul :
$v = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 1.77 \\times 10^{-11}}} = \\frac{1}{\\sqrt{2.22 \\times 10^{-17}}} = 6.71 \\times 10^8 \\text{ m/s}$
Question 2 :
La longueur d'onde est :
$\\lambda = \\frac{v}{f} = \\frac{6.71 \\times 10^8}{3 \\times 10^{8}} = 2.24 \\text{ m}$
La vitesse angulaire :
$\\omega = 2 \\pi f = 2 \\pi \\times 3 \\times 10^{8} = 1.885 \\times 10^{9} \\text{ rad/s}$
Question 3 :
Pour une incidence normale, les coefficients de réflexion et transmission en intensité sont :
$R = \\left( \\frac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1} \\right)^2, \\quad T = 1 - R$
avec
$\\eta_i = \\sqrt{ \\frac{\\mu_i}{\\epsilon_i} }$ l'impédance caractéristique dans le milieu i.
Calcul des impédances :
$\\eta_1 = \\sqrt{\\frac{\\mu_0}{2 \\epsilon_0}} = \\frac{\\eta_0}{\\sqrt{2}} \\approx \\frac{377}{1.414} = 266.6 \\; \\Omega$
$\\eta_2 = \\sqrt{\\frac{\\mu_0}{5 \\epsilon_0}} = \\frac{377}{\\sqrt{5}} = 168.5 \\; \\Omega$
Calcul du coefficient de réflexion :
$R = \\left( \\frac{168.5 - 266.6}{168.5 + 266.6} \\right)^2 = \\left( \\frac{-98.1}{435.1} \\right)^2 = 0.0508$
Coefficient de transmission :
$T = 1 - 0.0508 = 0.9492$
Interprétation : environ 5.08% de l'énergie est réfléchie et 94.92% transmise.
", "id_category": "4", "id_number": "34" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 2 : Spectre du rayonnement électromagnétique et propagation d'énergie
Un rayonnement électromagnétique a une fréquence comprise entre $3 \\times 10^{14}$ Hz et $7.5 \\times 10^{14}$ Hz.
Question 1 : Déterminer la plage de longueurs d'onde correspondantes.
Question 2 : Calculer la densité d'énergie moyenne transportée par une onde plane ayant une intensité moyenne de $I = 10$ W/m².
Question 3 : Si cette onde est guidée dans une fibre optique de section $S = 1 \\times 10^{-6}$ m², calculer la puissance électromagnétique transmisse.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
Les longueurs d'onde sont données par :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
Pour $f_1 = 7.5 \\times 10^{14}$ Hz :
$\\lambda_1 = \\frac{3 \\times 10^{8}}{7.5 \\times 10^{14}} = 4 \\times 10^{-7} \\textrm{ m = 400 nm}$
Pour $f_2 = 3 \\times 10^{14}$ Hz :
$\\lambda_2 = \\frac{3 \\times 10^8}{3 \\times 10^{14}} = 1 \\times 10^{-6} \\textrm{ m = 1000 nm}$
Question 2 :
La densité d'énergie moyenne transportée par une onde électromagnétique plane :
$u = \\frac{I}{c} = \\frac{10}{3 \\times 10^{8}} = 3.33 \\times 10^{-8} \\textrm{ J/m}^3$
Question 3 :
La puissance électromagnétique transmise par une fibre optique de section $S$ :
$P = I \\times S = 10 \\times 10^{-6} = 1 \\times 10^{-5} \\textrm{ W}$
", "id_category": "4", "id_number": "35" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 3 : Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques à une interface
Une onde électromagnétique plane incidente de fréquence $f = 2 \\times 10^9$ Hz arrive en incidence normale sur une interface séparant deux milieux diélectriques d'impédances $\\eta_1 = 120\\, \\Omega$ et $\\eta_2 = 80\\, \\Omega$.
Question 1 : Calculer la longueur d'onde $\\lambda$ dans le premier milieu.
Question 2 : Déterminer les coefficients de réflexion $R$ et de transmission $T$ en intensité énergétique à l'interface.
Question 3 : Calculer le vecteur de Poynting moyen transporté dans le second milieu si l'amplitude du champ électrique incidente est $E_0 = 50$ V/m.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 :
La longueur d'onde dans le premier milieu :
$\\lambda = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{2 \\times 10^9} = 0.15 \\textrm{ m}$
Question 2 :
Les coefficients de réflexion et transmission énergie sont :
$R = \\left( \\frac{\\eta_2 - \\eta_1}{\\eta_2 + \\eta_1} \\right)^2 = \\left( \\frac{80 - 120}{80 + 120} \\right)^2 = \\left( -\\frac{40}{200} \\right)^2 = 0.04$
$T = 1 - R = 0.96$
Question 3 :
Le vecteur de Poynting moyen dans le deuxième milieu s'exprime par :
$S = \\frac{E_0^2}{2 \\eta_1} T = \\frac{50^2}{2 \\times 120} \\times 0.96 = \\frac{2500}{240} \\times 0.96 = 10 \\textrm{ W/m}^2$
", "id_category": "4", "id_number": "36" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Dans un milieu libre et isotrope (vide), un champ électromagnétique variable est modélisé par une onde plane polarisée selon $\\overrightarrow{x}$ et se propageant selon $\\overrightarrow{z}$. Les champs électriques et magnétiques sont donnés par :
$\\overrightarrow{E}(z,t) = E_0 \\cos(kz - \\omega t) \\overrightarrow{x}, \\quad \\overrightarrow{B}(z,t) = B_0 \\cos(kz - \\omega t) \\overrightarrow{y}$
Question 1 : En partant des équations de Maxwell en régime variable sans charges ni courants, démontrez l'équation d'onde pour le champ électrique dans le vide.
Question 2 : Calculer la vitesse de propagation $c$ de l'onde, la longueur d'onde $\\lambda$ et la relation entre $E_0$ et $B_0$.
Question 3 : Déterminez le vecteur de Poynting moyen de cette onde et la puissance électromagnétique transportée par unité de surface.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Équation d'onde à partir des équations de Maxwell
1. On utilise les équations de Maxwell en l'absence de charges et courants :
$\\nabla \\times \\overrightarrow{E} = - \\frac{\\partial \\overrightarrow{B}}{\\partial t}, \\quad \\nabla \\times \\overrightarrow{B} = \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial \\overrightarrow{E}}{\\partial t}$
2. En appliquant le rotationnel à la première :
$\\nabla \\times (\\nabla \\times \\overrightarrow{E}) = - \\frac{\\partial}{\\partial t} (\\nabla \\times \\overrightarrow{B})$
3. En utilisant l’identité vectorielle :
$\\nabla (\\nabla \\cdot \\overrightarrow{E}) - \\nabla^2 \\overrightarrow{E} = - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2}$
4. Comme il n'y a pas de charges libres, $\\nabla \\cdot \\overrightarrow{E} = 0$, donc :
$\\nabla^2 \\overrightarrow{E} - \\mu_0 \\epsilon_0 \\frac{\\partial^2 \\overrightarrow{E}}{\\partial t^2} = 0$
C’est l’équation d’onde pour le champ électrique dans le vide.
Question 2 : Vitesse de propagation, longueur d'onde et relation E_0-B_0
1. La vitesse de propagation est donnée par :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}}$
Avec :
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7}~\\mathrm{H/m}, \\quad \\epsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12}~\\mathrm{F/m}$
2. Calcul numérique :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 8.854 \\times 10^{-12}}} = 3 \\times 10^8~\\mathrm{m/s}$
3. La longueur d’onde :
$\\lambda = \\frac{2 \\pi c}{\\omega}$
4. Relation entre amplitudes :
$B_0 = \\frac{E_0}{c}$
Question 3 : Vecteur de Poynting moyen et puissance transportée
1. Le vecteur de Poynting :
$\\overrightarrow{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\overrightarrow{E} \\times \\overrightarrow{B} = \\frac{E_0 B_0}{\\mu_0} \\cos^2 (kz - \\omega t) \\overrightarrow{z}$
2. La valeur moyenne temporelle de $\\cos^2$ est
$\\langle \\cos^2 \\rangle = \\frac{1}{2}$
3. Donc :
$\\langle \\overrightarrow{S} \\rangle = \\frac{E_0 B_0}{2 \\mu_0} \\overrightarrow{z} = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c} \\overrightarrow{z}$
", "id_category": "4", "id_number": "37" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique plane incidente arrive perpendiculairement sur une interface entre deux milieux non conducteurs avec impédances caractéristique $Z_1 = 50 \\; \\Omega$ et $Z_2 = 100 \\; \\Omega$.
Question 1 : Calculez le coefficient de réflexion $\\Gamma$ et le coefficient de transmission $T$.
Question 2 : Déterminez l’amplitude du champ réfléchi et transmis si l’amplitude du champ incident est $E_i = 5 \\; \\mathrm{V/m}$.
Question 3 : Calculez la puissance réfléchie et transmise en fonction des impédances et comparez-la à la puissance incidente.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Coefficients de réflexion et transmission
1. Le coefficient de réflexion :
$\\Gamma = \\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} = \\frac{100 - 50}{100 + 50} = \\frac{50}{150} = \\frac{1}{3} = 0.333$
2. Le coefficient de transmission :
$T = 1 + \\Gamma = 1.333$
Question 2 : Amplitude des champs réfléchi et transmis
1. Champ réfléchi :
$E_r = \\Gamma E_i = 0.333 \\times 5 = 1.665 \\mathrm{V/m}$
2. Champ transmis :
$E_t = T E_i = 1.333 \\times 5 = 6.665 \\mathrm{V/m}$
Question 3 : Puissance réfléchie et transmise
La puissance est proportionnelle à :
$P = \\frac{E^2}{Z}$
1. Puissance incidente :
$P_i = \\frac{E_i^2}{Z_1} = \\frac{25}{50} = 0.5$
2. Puissance réfléchie :
$P_r = \\frac{E_r^2}{Z_1} = \\frac{1.665^2}{50} = 0.0555$
3. Puissance transmise :
$P_t = \\frac{E_t^2}{Z_2} = \\frac{6.665^2}{100} = 0.444$
4. Vérification :
$P_i = P_r + P_t = 0.5$
", "id_category": "4", "id_number": "38" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une source électromagnétique rayonne une puissance moyenne de $P = 100 \\text{ W}$ isotrope dans l’espace libre.
Question 1 : Calculez l’intensité du champ électrique à une distance $r = 2 \\text{ m}$ du centre de la source.
Question 2 : Déterminez la densité de puissance électromagnétique et le vecteur de Poynting moyen à cette distance.
Question 3 : Pour une surface détectrice d’aire $S = 10^{-4} \\text{ m}^2$, calculez la puissance reçue.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Intensité du champ électrique à distance r
La puissance est rayonnée isotropiquement, l’intensité moyenne de puissance sur une sphère de rayon $r$ est :
$S = \\frac{P}{4 \\pi r^2} = \\frac{100}{4 \\pi \\times 2^2} = \\frac{100}{50.27} = 1.989~\\mathrm{W/m^2}$
La relation entre la densité de puissance et le champ électrique est :
$S = \\frac{E^2}{\\eta_0} \\Rightarrow E = \\sqrt{S \\eta_0}$
où $\\eta_0 \\approx 377\\ \\Omega$ est l’impédance du vide.
Donc :
$E = \\sqrt{1.989 \\times 377} = 27.4~\\mathrm{V/m}$
Question 2 : Vecteur de Poynting moyen
On a déjà calculé la densité de puissance moyenne :
$\\langle S \\rangle = 1.989~\\mathrm{W/m^2}$
Question 3 : Puissance reçue par le détecteur
$P_{rec} = \\langle S \\rangle \\times S = 1.989 \\times 10^{-4} = 1.989 \\times 10^{-4}~\\mathrm{W} = 198.9~\\mathrm{\\mu W}$
", "id_category": "4", "id_number": "39" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique plane se propage dans le vide selon l'axe $z$. La fonction d'onde est représentée par l'expression :$\\vec{E}(z,t) = E_0 \\cos(\\omega t - kz) \\hat{x}$, où $E_0 = 120 \\, V/m$, la fréquence est $f = 300 \\, MHz$, et la constante de propagation $k = \\frac{2 \\pi}{\\lambda}$.
Question 1 : Calculer la longueur d'onde $\\lambda$ et la vitesse de propagation dans le vide.
Question 2 : Déterminer la valeur maximale du champ magnétique associé
Question 3 : Calculer la densité moyenne de puissance transportée par l'onde, exprimée par le vecteur de Poynting.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de la longueur d'onde et de la vitesse de propagation
La longueur d'onde est donnée par :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
avec la vitesse de la lumière dans le vide :
$c = 3 \\times 10^8 \\, m/s$
Remplacement :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{3 \\times 10^8} = 1 \\, m$
La vitesse de propagation dans le vide est donc :
$v = c = 3 \\times 10^8 \\, m/s$
Question 2 : Calcul de la valeur maximale du champ magnétique associé
Le champ magnétique maximum est lié au champ électrique maximum par :
$B_0 = \\frac{E_0}{c}$
Remplacement :
$B_0 = \\frac{120}{3 \\times 10^{8}} = 4 \\times 10^{-7} \\, T$
Question 3 : Calcul de la densité moyenne de puissance transportée par l'onde
La densité de puissance moyenne (vecteur de Poynting) est :
$S = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c}$
où
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} \\, H/m$
Calcul :
$S = \\frac{(120)^2}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^8} = \\frac{14400}{0{,}753} = 19115 \\, W/m^2$
La densité moyenne de puissance transportée est donc
$1,91 \\times 10^{4} \\, W/m^2$.
", "id_category": "4", "id_number": "40" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique se réfléchit sur une interface plane entre deux milieux diélectriques. Le premier milieu a une permittivité relative $\\varepsilon_r = 2$ et le second milieu une permittivité relative $\\varepsilon_r = 8$. L'amplitude du champ électrique incident est $E_i = 150 \\, V/m$.Question 1 : Calculer les coefficients de réflexion $\\Gamma$ et de transmission $T$ pour une incidence normale.
Question 2 : Déterminer la puissance réfléchie et transmise à l'interface.
Question 3 : Calculer la densité moyenne de puissance incidente.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul des coefficients de réflexion et de transmission
La réflexion et la transmission dépendent des impédances caractéristiques :
$Z_1 = \\frac{1}{\\sqrt{\\varepsilon_r1}}, \\quad Z_2 = \\frac{1}{\\sqrt{\\varepsilon_r2}}$
avec :
$Z_1 = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = 0{,}707, \\quad Z_2 = \\frac{1}{\\sqrt{8}} = 0{,}354$
Le coefficient de réflexion :
$\\Gamma = \\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} = \\frac{0{,}354 - 0{,}707}{0{,}354 + 0{,}707} = \\frac{-0{,}353}{1{,}061} = -0{,}333$
Le coefficient de transmission :
$T = \\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1} = \\frac{2 \\times 0{,}354}{1{,}061} = 0{,}667$
Question 2 : Puissance réfléchie et transmise
La puissance incidente est proportionnelle au carré de l'amplitude :
$P_i = \\frac{E_i^2}{2 Z_1} = \\frac{(150)^2}{2 \\times 0{,}707} = \\frac{22500}{1{,}414} = 15900 \\, W/m^2$
La puissance réfléchie :
$P_r = |\\Gamma|^2 P_i = (0{,}333)^2 \\times 15900 = 0{,}111 \\times 15900 = 1765 \\, W/m^2$
La puissance transmise :
$P_t = |T|^2 \\frac{Z_1}{Z_2} P_i = (0{,}667)^2 \\times \\frac{0{,}707}{0{,}354} \\times 15900$
$P_t = 0{,}445 \\times 2{,}0 \\times 15900 = 14157 \\, W/m^2$
On vérifie que :
$P_r + P_t \\approx P_i$
Question 3 : Densité moyenne de puissance incidente
La densité de puissance incidente est
$P_i = 15900 \\, W/m^2$.
", "id_category": "4", "id_number": "41" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Une onde électromagnétique se propage dans un guide d'onde rectangulaire d'épaisseur $a = 5 \\, cm$ et de hauteur $b = 3 \\, cm$. La fréquence de fonctionnement est $f = 10 \\, GHz$.Question 1 : Calculer la longueur d'onde guidée $\\lambda_g$.
Question 2 : Déterminer la vitesse de phase et la vitesse de groupe dans le guide.
Question 3 : Calculer la fréquence de coupure du mode fondamental TE10.", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "
Solution complète :
Question 1 : Calcul de la longueur d'onde guidée
La longueur d'onde guidée dans le mode TE10 est donnée par :
$\\frac{1}{\\lambda_g^2} = \\frac{1}{\\lambda^2} - \\frac{1}{2a^2}$
avec
$\\lambda = \\frac{c}{f} = \\frac{3 \\times 10^8}{10 \\times 10^{9}} = 0{,}03 \\, m$
Calcul :
$\\frac{1}{\\lambda_g^2} = \\frac{1}{0{,}03^2} - \\frac{1}{(2 \\times 0{,}05)^2} = \\frac{1}{9 \\times 10^{-4}} - \\frac{1}{(0{,}1)^2} = 1111 - 100 = 1011$
$\\lambda_g = \\frac{1}{\\sqrt{1011}} = 0{,}031 \\, m$
Question 2 : Calcul de la vitesse de phase et vitesse de groupe
La vitesse de phase :
$v_\\phi = \\frac{c}{\\sqrt{1 - \\left( \\frac{\\lambda}{2a} \\right)^2}}$
La vitesse de groupe :
$v_g = c \\sqrt{1 - \\left( \\frac{\\lambda}{2a} \\right)^2}$
Remplacement :
$\\frac{\\lambda}{2a} = \\frac{0,03}{2 \\times 0,05} = 0.3$
$v_\\phi = \\frac{3 \\times 10^8}{\\sqrt{1 - 0{,}09}} = \\frac{3 \\times 10^8}{0{,}954} = 3{,}14 \\times 10^8 \\, m/s$
$v_g = 3 \\times 10^8 \\times 0{,}954 = 2{,}86 \\times 10^8 \\, m/s$
Question 3 : Calcul de la fréquence de coupure
La fréquence de coupure du mode TE10 est :
$f_c = \\frac{c}{2a} = \\frac{3 \\times 10^8}{2 \\times 0,05} = 3 \\times 10^9 \\, Hz = 3 \\, GHz$
Cette fréquence indique que les ondes ne se propagent efficacement que pour
f > 3\\, GHz dans ce guide.
", "id_category": "4", "id_number": "42" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 1 : Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide
Une onde électromagnétique plane se propage dans le vide selon l'axe $x$ avec un champ électrique :
$\\vec{E}(x,t) = E_0 \\cos(\\omega t - k x) \\vec{e_y}$
avec $E_0 = 100 V/m$, $\\omega = 3 \\times 10^8 \\times k$ (relation de dispersion dans le vide).
Question 1 : Calculer la vitesse de propagation $c$ et la longueur d'onde $\\lambda$ pour une fréquence $f = 100 MHz$.
Question 2 : Déterminer les expressions du champ magnétique associé $\\vec{B}(x,t)$ en fonction de $E_0$ et $c$.
Question 3 : Calculer la puissance moyenne transportée par cette onde électromagnétique.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la vitesse de propagation et de la longueur d'onde
1. La vitesse de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide est la vitesse de la lumière :
$c = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu_0 \\epsilon_0}} = 3 \\times 10^8 \\rm m/s$
2. La fréquence $f$ est donnée, la longueur d'onde est :
$\\lambda = \\frac{c}{f}$
3. Calcul :
$\\lambda = \\frac{3 \\times 10^8}{100 \\times 10^6} = 3 \\rm m$
4. Résultat final :
$\\boxed{c = 3 \\times 10^8 \\rm m/s, \\quad \\lambda = 3 \\rm m}$
Question 2 : Expression du champ magnétique
1. La relation entre $\\vec{E}$ et $\\vec{B}$ pour une onde électromagnétique plane est :
$\\vec{B} = \\frac{1}{c} \\vec{k} \\times \\vec{E}$
où $\\vec{k}$ est la direction de propagation (axe $x$).
2. En considérant $\\vec{E} = E_0 \\cos (\\omega t - kx) \\vec{e_y}$, on obtient :
$\\vec{B}(x,t) = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - k x) \\vec{e_z}$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\vec{B}(x,t) = \\frac{E_0}{c} \\cos(\\omega t - k x) \\vec{e_z}}$
Question 3 : Calcul de la puissance moyenne transportée (vecteur de Poynting)
1. Le vecteur de Poynting instantané est :
$\\vec{S} = \\frac{1}{\\mu_0} \\vec{E} \\times \\vec{B}$
2. En valeur moyenne (sur une période) :
$\\langle \\vec{S} \\rangle = \\frac{E_0^2}{2 \\mu_0 c} \\vec{e_x}$
3. Remplacement numérique :
$\\mu_0 = 4 \\pi \\times 10^{-7} H/m, \\quad c = 3 \\times 10^{8} m/s$
$\\langle S \\rangle = \\frac{(100)^2}{2 \\times 4 \\pi \\times 10^{-7} \\times 3 \\times 10^{8}} = \\frac{10000}{7.54 \\times 10^2} = 13.26 W/m^2$
4. Résultat final :
$\\boxed{\\langle S \\rangle = 13.26 \\; W/m^2}$
", "id_category": "4", "id_number": "43" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 2 : Réflexion et transmission d'une onde plane sur une interface
Une onde électromagnétique plane incidente d'amplitude $E_i = 50 V/m$ arrive sur une interface entre deux milieux non conducteurs, avec impédances caractéristiques $Z_1 = 377 \\Omega$ et $Z_2 = 188 \\Omega$.
Question 1 : Calculer les coefficients de réflexion $\\Gamma$ et de transmission $T$.
Question 2 : Déterminer l'amplitude des ondes réfléchie et transmise.
Question 3 : Calculer la puissance transmise et réfléchie en pourcentage de la puissance incidente.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul des coefficients de réflexion et transmission
1. Formules :
$\\Gamma = \\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}, \\quad T = \\frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1}$
2. Remplacement :
$\\Gamma = \\frac{188 - 377}{188 + 377} = \\frac{-189}{565} = -0.334$
$T = \\frac{2 \\times 188}{188 + 377} = \\frac{376}{565} = 0.665$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\Gamma = -0.334, \\quad T = 0.665}$
Question 2 : Calcul des amplitudes des ondes réfléchie et transmise
1. Amplitudes :
$E_r = \\Gamma E_i = -0.334 \\times 50 = -16.7 V/m, \\quad E_t = T E_i = 0.665 \\times 50 = 33.25 V/m$
2. Résultat final :
$\\boxed{E_r = -16.7 V/m, \\quad E_t = 33.25 V/m}$
Question 3 : Calcul des puissances transmise et réfléchie
1. Puissance proportionnelle au carré de l'amplitude divisée par l'impédance
$P_r = \\frac{E_r^2}{Z_1}, \\quad P_t = \\frac{E_t^2}{Z_2}, \\quad P_i = \\frac{E_i^2}{Z_1}$
2. Puissances relatives :
$R = \\frac{P_r}{P_i} = \\left( \\frac{E_r}{E_i} \\right)^2 = \\Gamma^2 = 0.111$
$T_r = \\frac{P_t}{P_i} = \\frac{E_t^2 / Z_2}{E_i^2 / Z_1} = T^2 \\frac{Z_1}{Z_2} = 0.665^2 \\times \\frac{377}{188} = 0.788$
3. Résultat final :
$\\boxed{\\text{Puissance réfléchie} = 11.1\\%, \\quad \\text{Puissance transmise} = 78.8\\%}$
", "id_category": "4", "id_number": "44" }, { "category": "Régime rapidement variable ", "question": "Exercice 3 : Analyse du spectre et de la propagation d'une onde guidée
On considère une onde électromagnétique guidée dans une ligne de transmission de longueur $l = 3 \\rm m$, avec une fréquence porteuse $f = 2 \\times 10^9 \\rm Hz$ et une vitesse de phase $v_p = 1.5 \\times 10^8 \\rm m/s$.
Question 1 : Calculer la longueur d'onde guidée $\\lambda_g$ et la constante d'onde $\\beta$.
Question 2 : Déterminer la fréquence angulaire $\\omega$ et la fréquence normale $\\nu$.
Question 3 : Calculer la puissance moyenne transportée si le champ électrique efficace est $E_{eff} = 50 V/m$ et l'impédance de caractéristique est $Z_0 = 50 \\Omega$.
", "svg": "", "choices": [ "A Corrige Type" ], "correct": [ "A" ], "explanation": "Question 1 : Calcul de la longueur d'onde guidée et de la constante d'onde
1. La longueur d'onde guidée :
$\\lambda_g = \\frac{v_p}{f}$
2. La constante d'onde :
$\\beta = \\frac{2 \\pi}{\\lambda_g}$
3. Remplacement :
$\\lambda_g = \\frac{1.5 \\times 10^8}{2 \\times 10^9} = 0.075 \\rm m$
$\\beta = \\frac{2 \\pi}{0.075} = 83.78 \\rm rad/m$
4. Résultat :
$\\boxed{\\lambda_g = 0.075 \\rm m, \\quad \\beta = 83.78 \\rm rad/m}$
Question 2 : Calcul de la fréquence angulaire et de la fréquence normale
1. Relations :
$\\omega = 2 \\pi f, \\quad \\nu = f$
2. Remplacement :
$\\omega = 2 \\pi \\times 2 \\times 10^9 = 12.57 \\times 10^9 \\rm rad/s, \\quad \\nu = 2 \\times 10^9 \\rm Hz$
3. Résultat :
$\\boxed{\\omega = 1.257 \\times 10^{10} \\rm rad/s, \\quad \\nu = 2 \\times 10^9 \\rm Hz}$
Question 3 : Calcul de la puissance moyenne transportée
1. La puissance moyenne est donnée par :
$P = \\frac{E_{eff}^2}{2 Z_0}$
2. Remplacement :
$P = \\frac{50^2}{2 \\times 50} = \\frac{2500}{100} = 25 W$
3. Résultat :
$\\boxed{P = 25 \\rm W}$
", "id_category": "4", "id_number": "45" } ]